ГЛАВА 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ,ДОПУЩЕНИЯ

Предмет и задачи курса

Прежде чем начать изложение, непосредственно касающееся избранного нами предмета, необходимо определить этот предмет и ввести хотя бы начальную терминологию. Однако мы, как и все авторы подобных курсов, находимся в затруднительном положении, поскольку многообразие и широта изучаемого предмета не позволяют на этом этапе дать краткие и одновременно точные определения самого предмета и исходных терминов. Эта проблема с трудом решается даже в математических курсах аксиоматического характера. Мы же вынуждены опираться на жизненный опыт читателя, используя имеющиеся у него на основе этого опыта представления о тех вопросах, которые будут изучаться в дальнейшем. Поэтому на первом этапе некоторая расплывчатость определений неизбежна. В то же время цель обучения — сформировать у учащегося определенную систему понятий. А понятие всегда глубже его определения хотя бы потому, что оно включает знание исключений из этого определения. Однако даже не очень точное определение хорошо тем, что оно помогает выработать понятие, которое формируется и уточняется в процессе изучения всего курса. Поэтому мы просим читателя отнестись к используемым ниже определениям, особенно в этой главе, с учетом только что сказанного.

Создавая самые различные предметы, машины, сооружения, человек прежде всего заинтересован в их безотказной работе. Одной из самых распространенных причин отказов является разрушение конструкций или их элементов либо недопустимая их деформация.

Под разрушением здесь понимается непредусмотренное разделение тела (конструкции или ее элементов) на части.

Деформация — изменение размеров или формы тела.

Чтобы быть работоспособной, всякая конструкция должна быть прочной и жесткой.

Прочность — это свойство конструкции выдерживать внешние воздействия без разрушения и развития чрезмерных деформаций.

Жесткость — способность конструкции сопротивляться деформированию, т.е. сопротивляться внешним воздействиям без значительных деформаций.

Внешние воздействия могут быть самыми разнообразными. Это и силовые воздействия (нагрузки), и нагрев или охлаждение, и различного рода облучения, а также и другие воздействия внешней среды того или иного физического или химического характера. Наиболее распространенными и хорошо изученными являются силовые и температурные воздействия на конструкцию.

Часто причиной разрушения или недопустимых деформаций является потеря устойчивости равновесного состояния конструкции или ее элемента. Под устойчивостью в механике понимается свойство тела, находящегося в состоянии равновесия (или движения), определенным образом реагировать на возмущающие воздействия. Состояние равновесия называется устойчивым, если малые возмущения вызывают малые отклонения от этого состояния.

Прочность, жесткость и устойчивость конструкции должны быть обеспечены не в ущерб работоспособности и стоимости конструкций. Так, самолеты и другие летательные аппараты должны быть возможно более легкими, а используемые в них материалы и технология производства — обеспечивать разумную их стоимость. Природа, решая этот вопрос для своих созданий — растений и животных, использовала эволюционный процесс естественного отбора, который основан на массовом эксперименте по выживанию особей под воздействием внешней среды. Среди этих воздействий были и такие, которые требовали достаточной прочности при минимальных затратах. В результате ей удалось создать такие замечательные в смысле прочности тела, как ствол бамбука, кости птиц и млекопитающих и т.д. Человек при создании конструкций вынужден ориентироваться на минимум эксперимента, который требует обычно больших материальных затрат и длительного времени, и переносить центр тяжести на теоретические исследования. В частности, насущная необходимость в изучении таких фундаментальных свойств тел, как прочность, жесткость и устойчивость, привела к созданию в рамках механики обширного раздела этой науки — механики твердого деформируемого тела. Сопротивление материалов является частью этого раздела, сконцентрировавшей его

результаты прикладного характера, на которых основан расчет прочности, жесткости и устойчивости простейших, но наиболее распространенных элементов конструкций.

К). Наиболее ранние из известных нам опытов по изучению прочностных свойств материалов были поставлены Леонардо да Винчи (1452-1519). Он проводил испытания проволок на растяжение и балок на изгиб. Однако полученные им результаты остались не опубликованными. Первыми печатными исследованиями в области сопротивления материалов были два первых диалога в знаменитой книге Г. Галилея (1564-1642) о двух науках [1 (1638 г.)], где он рассматривает работу бруса на растяжение и изгиб. Хотя некоторые представления Г. Галилея были неточны, но именно его работы положили начало система

тическим экспериментальным и теоретическим исследованиям в области сопротивления материалов и механики твердого деформируемого тела. Подробный анализ результатов исследований Л. да Винчи и Г. Галилея приведен в книге [2].

Несмотря на разнообразие форм, самые различные конструкции можно разбить на элементы, которые по своей форме могут быть отнесены к одной из трех групп.

Первую группу составляют элементы, два размера которых малы по сравнению с третьим. Такие элементы называют брусьями (стержнями^ балками).

Геометрически форму бруса можно образовать движением плоской фигуры (сечения) вдоль некоторой линии (оси бруса)

Рис. 1.1Рис. 1.1так, чтобы плоскость фигуры была перпендикулярна оси бруса и пересекалась с ней в центре тяжести сечения (рис. 1.1). Каждое мгновенное положение фигуры называют поперечным сечением бруса.

Рис. 1.1

Рис. 1.1

В зависимости от фор

мы оси различают прямые и криволинейные брусья. Их

поперечные сечения могут быть постоянными по длине оси либо

изменяться плавно или ступенчато.

Простейшим является прямолинейный брус постоянного сечения. Прямолинейный брус, растянутый или сжатый силами вдоль его оси, называют также стерснснем. Если прямолинейный брус нагружен так, что его ось при деформации изгибается, то его обычно называют балкой.

Примерами брусьев в авиационных конструкциях являются стрингеры, лонжероны, тяги управления. Они часто бывают тонкостенными, т.е. такими, что их поперечное сечение образо

вано из удлиненных элементовКо второй группе относятся ров мал по сравнению с двумявано из удлиненных элементовКо второй группе относятся ров мал по сравнению с двумяповерхностьповерхностьРис. 1.2Рис. 1.2малой толщины.тела, у которых один из разме- другими. Такие тела называют оболочками. Их форма образуется двумя близко расположенными поверхностями, которые называют лицевими. Поверхность, равноудаленная от лицевых, называется срединной (рис. 1.2). Расстояние между лицевыми поверхностями, измеренное по нормали к сре-малой толщины.тела, у которых один из разме- другими. Такие тела называют оболочками. Их форма образуется двумя близко расположенными поверхностями, которые называют лицевими. Поверхность, равноудаленная от лицевых, называется срединной (рис. 1.2). Расстояние между лицевыми поверхностями, измеренное по нормали к сре-динной поверхности, называют толщиной оболочки. Оболочкидинной поверхности, называют толщиной оболочки. Оболочкис плоской срединной поверхно-с плоской срединной поверхно-

вано из удлиненных элементов

Ко второй группе относятся ров мал по сравнению с двумя

вано из удлиненных элементов

Ко второй группе относятся ров мал по сравнению с двумя

поверхность

поверхность

Рис. 1.2

Рис. 1.2

малой толщины.

тела, у которых один из разме- другими. Такие тела называют оболочками. Их форма образуется двумя близко расположенными поверхностями, которые называют лицевими. Поверхность, равноудаленная от лицевых, называется срединной (рис. 1.2). Расстояние между лицевыми поверхностями, измеренное по нормали к сре-

малой толщины.

тела, у которых один из разме- другими. Такие тела называют оболочками. Их форма образуется двумя близко расположенными поверхностями, которые называют лицевими. Поверхность, равноудаленная от лицевых, называется срединной (рис. 1.2). Расстояние между лицевыми поверхностями, измеренное по нормали к сре-

динной поверхности, называют толщиной оболочки. Оболочки

динной поверхности, называют толщиной оболочки. Оболочки

с плоской срединной поверхно-

с плоской срединной поверхно-

стью называют пластинами.

Оболочки и пластины широко используются в самых различных конструкциях. В авиационных конструкциях они образуют обшивку планера, корпус турбореактивного двигателя и т.д.

Третью группу образуют тела, все три размера которых одного порядка. Такие тела иногда называют массивами.

Учет особенностей формы бруса и оболочки позволил со

здать такие их расчетные модели, на основе которых при сравнительной простоте расчета на прочность обеспечивается достаточная для практики точность такого расчета.

Основным объектом изучения в сопротивлении материалов является брус. Оболочки и пластины исследуются в теории пластин и оболочек. Массивами занимается теория упругости. Методы расчета конструкций, образованных из элементов этих трех групп, составляют основной предмет строительной механики. Эти дисциплины вместе с некоторыми другими и составляют механику твердого деформируемого тела.

Основные гипотезы и допущения

Окружающие нас твердые тела обладают самыми различными свойствами. Они различаются по размерам, форме, материалу и его структуре, вкусу, цвету, запаху и т.д. Механика твердого деформируемого тела изучает поведение тел при их деформировании. Поэтому ее интересуют только те свойства тел, которые существенно сказываются на процессе их деформирования. Опыт показывает, что сопротивление тел деформированию во многом определяется материалом, из которого они состоят.

Структура (микроструктура) известных нам материалов разнообразна. Металлы, как правило, имеют кристаллическую микроструктуру, дерево состоит из волокон, структура пластмасс может быть самая разнообразная и определяется технологией их изготовления и т.д. Механика твердого деформируемого тела использует различные модели материалов, каждая из которых моделирует свойства групп, сходных по своим деформативным свойствам материалов. Эти модели могут учитывать лишь отдельные свойства материалов или несколько свойств. Чем проще модель, тем проще, как правило, ее математическое описание. В то же время модель должна отражать процесс деформирования материала с определенной точностью. Иными словами, необходима определенная степень адекватности модели и натуры.

Одно из самых общих свойств рассматриваемых на практике конструкций состоит в том, что их характерные геометрические размеры существенно больше характерных для микроструктуры размеров. Это свойство и легло в основу самой общей гипотезы механики твердого деформирующего материала — гипотезы сплошности, которая предполагает, что материалы, из которых изготовлены исследуемые тела, являются сплошными и непрерывными. Эта гипотеза позволяет отвлечься от реальной дискретной структуры материалов (атомной, молекулярной, кристаллической, волокнистой) и таким образом обеспечивает единообразный подход к различным по микроструктуре телам и создает условия для использования удобного и хорошо разработанного математического аппарата непрерывных функций.

Следующей по общности является гипотеза однородности, которая предполагает, что свойства материала во всех точках тела одинаковы. Она основана на том, что степень однородности металлов, являющихся основными конструкционными материалами, высока.

Такие материалы, как дерево, композитные материалы и т.п. обладают меньшей степенью однородности. Но в большинстве этих случаев расчеты, основывающиеся на гипотезе однородности, дают удовлетворительные результаты.

К. Представление о сплошности тела неявно используется во всех ранних исследованиях, начиная с работ Л. да Винчи и Г. Галилея. Лишь в 1812 г. С. Пуассон (1781-1840) предложил модель пластины как системы частиц, распределенных в ее срединной плоскости. Позже подобные модели рассматривали Л. Навье (1785-1836), О. Коши (1789-1857) и некоторые другие ученые. Однако и они используют вместо суммирования по системе частиц операцию интегрирования, неявно переходя таким образом от системы частиц к непрерывной среде. Впервые, по-видимому, уравнения упругого деформирования тела без использования каких-либо дискретных моделей, а на основе пред-

ставления, что взаимодействие частиц тела описывается некоторой непрерывной и дифференцируемой функцией, построил Д. Грин (1793-1841) в 1828 г. Введение такой функции с самого начала равносильно предположению о сплошности и непрерывности среды.

Широкое распространение получили такие материалы, свойства которых не зависят от направления. Иными словами, если из таких материалов выделить куб, то его свойства не будут зависеть от того, как именно был ориентирован этот куб по отношению ко всему остальному материалу. Такие материалы называются изотропными. Материалы же, свойства которых различны по разным направлениям, называются анизотропными. Металлы близки к изотропным материалам. Некоторая незначительная анизотропия их механических свойств может быть внесена при их обработке (прокатка, волочение и т.п.). Дерево, многие композитные материалы, железобетон и многие другие материалы обладают явной и существенной анизотропией механических свойств. Мы в основном ограничимся исследованием изотропных материалов. Если будут рассматриваться анизотропные материалы, то это будет специально оговариваться.

Из опыта известно, что при не слишком больших усилиях тела, хотя и деформируются под действием этих усилий, но сразу же после того, как усилия перестают действовать, восстанавливают свои размеры и форму. Однако большие усилия могут вызвать такую деформацию, которая частично сохранится и после прекращения действия сил. Такая деформация называется остаточной. Для большинства окружающих нас предметов, сооружений, машин остаточные деформации не допускаются. В то же время остаточная деформация часто используется при изготовлении различных деталей, например при прокатке, штамповке и т.п.

Деформации тела называются идеально упругими, если сразу же после снятия нагрузки тело восстанавливает свои первоначальные размеры и форму. Для большинства материалов существует некоторый предел, до которого его деформации упруги и практически пропорциональны нагрузкам. Такие деформации называют линейно-упругими, а соответствующий им закон деформирования известен как закон Гука (Р. Гук (1635-1703)).

Мы, за некоторыми исключениями, будем рассматривать лишь линейно-упругие деформации, хотя механика твердого деформируемого тела содержит разделы, рассматривающие и другие виды деформаций (теории пластичности и ползучести, реология) .

К абсолютному большинству конструкций предъявляется следующее требование: возникающие в процессе их эксплу-

атации деформации должны быть малы по сравнению с основными размерами конструкций. Так, большие деформации крыла самолета существенно изменяют его аэродинамические характеристики, в результате чего крыло может перестать создавать необходимую подъемную силу. Исключение составляют такие конструкции и их элементы, в которых большие деформации создаются и используются сознательно, как, например, в гибких элементах приборов, в амортизирующих устройствах и т.п.

Малость деформаций позволяет значительно упростить запись и решение уравнений равновесия конструкции и ее частей, пренебрегая малыми изменениями размеров и формы последних. Это и составляет содержание принципа малости деформаций, согласно которому ввиду малости деформаций можно записывать уравнения равновесия, используя в них недеформи- рованные размеры и форму конструкции и ее частей. Погрешность, вносимая этим в решение, будет тем меньше, чем меньше деформации по сравнению с недеформированными размерами конструкции.

Следует заметить, что в некоторых случаях, например в задачах устойчивости, в уравнениях равновесия необходимо учитывать малые отклонения от равновесного состояния, поскольку именно эти отклонения сами являются предметом исследования.

Если элементы конструкции деформируются линейно-упруго (в пределах закона Гука) и имеет место малость деформаций конструкции, то и деформация всей конструкции под действием внешних сил также подчиняется закону Гука, т.е.

Д(Р) = кР. (1.2.1)

Здесь Р — внешняя сила; R — созданная силой Р деформация конструкции; к — коэффициент пропорциональности. Из (1.2.1) ясно, что при Р = 1 коэффициент к = Л(1)/1, таким образом, к — деформация при единичной внешней силе.

Из (1.2.1) следует, что при увеличении силы в с раз точно так же возрастет созданная ею деформация:

R(cP) = cR(P). (1.2.2)

Ясно также, что при отсутствии силы нет и созданной ею деформации, т.е.

R(0) = 0. (1.2.3)

Линейная упругость и малость деформаций конструкции являются достаточными условиями того, чтобы конструкция подчинялась принципу независимости (наложения, суперпозиции) действия сил, который формулируется следующим образом:

Деформация конструкции под действием группи нагрузок не зависит от последовательности их приложения и равна сумме деформаций от каждой из нагрузок в отдельности.

Для двух нагрузок Ру и Р^ принцип независимости действия сил можно записать в виде

Л(Д + Р2) = Р(Р1) + Р(Р2). (1.2.4)

При действии внешних сил между частями конструкции возникают силы взаимодействия, так называемые внутренние силы. Подробно мы рассмотрим эти силы в гл. 2. Здесь же отметим, что принцип независимости действия сил может быть отнесен и к частям конструкции. А так как их деформации пропорциональны действующим на них внешним и внутренним силам, то принцип независимости может быть применен и к внутренним силам. Таким образом, в соотношениях (1.2.2)—(1.2.4) под R(P) можно понимать не только деформации, но и внутренние силы, возникающие в результате действия внешней силы Р.

К. Соотношения (1.2.2)-(1.2.4) с математической точки зрения указывают на линейность зависимости R(P\ а также на то, что в этих условиях внутренние силы и деформации подчиняются линейным уравнениям. Математический аппарат решения таких уравнений исчерпывающе разработан и составляет основное содержание читаемых в вузах математических курсов, что избавляет нас от необходимости в дальнейшем подробно останавливаться на методах решения возникающих линейных задач и позволяет сосредоточиться в основном на инженерном и механическом содержании этих задач.

Внешние нагрузки

Нагрузки, действующие на тело, являются результатом его взаимодействия с другими телами или с внешней средой, которая может быть представлена такими сплошными средами, как газ или жидкость, а также физическими полями различной природы. Например, конструкция может иметь некоторые опорные устройства, силы взаимодействия с которыми называют опорными реакциями. Опорные реакции являются для конструкции внешними силами.

Нагрузки, действующие на тело, можно классифицировать по способу их приложения к телу и по характеру действия во времени.

По способу приложения к телу силы делятся на объемные, поверхностные^ погонные и сосредоточенные.

Объемные силы непрерывно распределены по всему объему тела. Их мерой является интенсивность объемных сил, которая в каждой точке тела, например в точке А, задается вектором qy(A). Если ARy — вектор равнодействующей объемных сил, приходящихся на элементарный объем АУ, который выделен около точки А (рис. 1.3), то

q^} = lim (1.3.1) у ду^о AV v '

Заметим, что предельный переход здесь возможен в силу гипотезы сплошности.

Часто требуется подсчитать равнодействующую Ry объемных сил, приходящихся на конечный объем V тела. Тогда из определения интенсивности (1.3.1) следует

(1.3.2)(1.3.2)Ry = J Qy dV.v

(1.3.2)

(1.3.2)

Примерами объемных сил могут служить гравитационные силы (силы тяжести, электромагнитные силы, силы инерции и т.п.).

Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности тела. Их интенсивность qs(B) в точке В поверхности S (см. рис. 1.3) равна

(1.3.3)

где ARs — равнодействующая поверхностных сил, действующих на элемент поверхности AS, который выделен около точки В.

ar5 asar5 asРис. 1.3Рис. 1.3

ar5 as

ar5 as

Рис. 1.3

Рис. 1.3

Равнодействующая Rs поверхностных сил, приложенных к конечной поверхности S, в силу (1.3.3) будет

(1.3.4)(1.3.4)Rs = J 4s dS.s

(1.3.4)

(1.3.4)

Примерами поверхностных сил являются аэродинамические силы на поверхности крыла самолета, силы давления воды на плотину и т.п.

Погонные силы — это силы, распределенные вдоль линии. Их интенсивность q^G) в точке С линии I (см. рис. 1.3) будет

(1.3.5)

где AR/ — равнодействующая погонных сил на элементе AZ линии Z, выделенном около точки С. Равнодействующая R/ погонных сил, приложенных к конечному отрезку I линии:

Rz = J qtdl. (1.3.6)

I

И, наконец, сосредоточенная сила — это сила, приложенная к точке тела, например сила Р, приложенная к точке D (см. рис. 1.3).

Следует сразу заметить, что погонные и сосредоточенные силы как таковые в природе не существуют, поскольку их определения включают абстрактные математические понятия линии и точки. Эти нагрузки являются удобными для расчета моделями реальных локальных поверхностных сил, приложенных соответственно по сильно вытянутым в одном направлении узким полоскам поверхности или по малым по сравнению с поверхностью площадкам. Правомочность таких моделей и область их применения мы обсудим в гл. 2 в связи с принципами перехода от реальной конструкции к расчетной схеме.

По характеру действия во времени нагрузки делятся на статические и динамические.

Все нагрузки так или иначе меняются во времени. По мере их изменения меняется и деформация тела, за счет чего точки тела совершают движение, которое мы назовем деформационным. Деформационное движение сопровождается инерционными силами. Если эти инерционные силы настолько малы, что ими можно пренебречь по сравнению с максимальными значениями нагрузки, то такие нагрузки называются статическими. В случае действия статических нагрузок деформационное движение не рассматривается и расчет проводится для максимального значения таких нагрузок.

Если же инерционные силы деформационного движения сравнимы с максимальными значениями нагрузки, то такая нагрузка является динамической и расчет на ее действие требует анализа деформационного движения тела.

Динамические нагрузки возникают, например, при посадке самолета, при полете в неспокойной атмосфере, при землетрясениях и т.п.

Контрольные вопросы

Что такое деформация?

В. 1.2. Что такое прочность, жесткость и устойчивость конструкции?

На какие три группы можно разбить элементы реальных конструкций?

Что называется брусом? Что такое поперечное сечение бруса? Какие типы брусьев вы знаете?

В. 1.5. Что такое оболочка и массив?

1.6. Сформулируйте гипотезу сплошности. На каком свойстве реальных тел она основана? Какие возможности она открывает?

1.7. В чем заключается гипотеза однородности материала? На чем она основана?

Что такое изотропные и анизотропные материалы? Какие материалы близки к изотропным? Какие проявляют явную анизотропию?

Что такое остаточная деформация?

1.10. Какие деформации тела называют идеально упругими?

Что такое линейно-упругая деформация? Сформулируйте закон Гука.

1.12. В чем заключается сущность принципа малости деформаций, и где он используется?

1.13. Сформулируйте принцип независимости действия сил. Какие условия являются достаточными, чтобы этот принцип мог быть применен к рассчитываемой конструкции?

Что такое внешние нагрузки? По каким признакам они классифицируются?

В. 1.15. Дайте определение объемным, поверхностным, погонным силам и их интенсивностям. Что такое сосредоточенная сила? Приведите примеры перечисленных типов нагрузок.

1.16. Что служит критерием разделения нагрузок на статические и динамические?

ГЛАВА 2

МЕТОД СЕЧЕНИЙ, ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ,НАПРЯЖЕНИЯ

Метод сечений и внутренние силовые факторы

Форма и размеры всякого твердого тела удерживаются силами взаимодействия составляющих его частиц. Под действием нагрузок и других внешних воздействий тела деформируются, что выражается в изменении расстояний между частицами, а значит, и в изменении сил взаимодействия между ними. Мы будем изучать именно эти изменения сил взаимодействия и называть их в дальнейшем внутренними силами.

Таким образом, внутренние силы — это силы взаимодействия между частями тела, возникающие вследствие его деформации.

Такое определение внутренних сил предполагает, что в неде- формированном теле внутренние силы равны нулю.

Появление внутренних сил в теле может быть вызвано не только внешними нагрузками. Они возникают при неравномерном нагреве и охлаждении или в результате таких технологических операций, как штамповка, прокатка и т.п. В дереве внутренние силы могут возникнуть при неравномерном высыхании, в бетоне — при затвердевании. Определение внутренних сил такого рода является сложной задачей, которая требует специальных исследований и которая изучена, на наш взгляд, недостаточно. Мы лишь слегка коснемся задач такого рода при анализе усилий, возникающих в некоторых конструкциях при нагреве.

Нетрудно понять, что внутренние силы являются основным объектом изучения в механике деформированного твердого тела, так как знание их позволяет судить о прочности и жесткости. Действительно, разрушение произойдет там, где внутренние силы превысят допустимый для материала предел сил взаимодействия его частиц. Жесткость, как способность тела сопротив-

литься деформированию, также определяется внутренними силами, поскольку сами они вызваны деформациями.

Внутренние силы изучаются с помощью метода сечений. Чтобы продемонстрировать этот метод, рассмотрим тело, находящееся в равновесии под действием системы п внешних сил Р^ (г = 1,...,п) (рис. 2.1). Как известно из теоретической механики, необходимым и достаточным условием равновесия те

ла является равенство нулю главного вектора этих сил и их главного момента относительно произвольно выбранной точки, т.е. должны выполняться векторные уравнения

пп

ЕР» = 0’ ^М. = 0, (2.1.1) г=1г=1

где М^ — вектор момента силы Р7

относительно выбранной точки.

Возьмем произвольно некоторую плоскость, разделяющую тело на две части, и рассмотрим эти части тела, которые обозначим римскими цифрами /и //(рис. 2.2). Как само тело, так и его части должны находиться в равновесии. Однако в силу про

извольности выбора плоскости внешние силы, действующие на

каждую из частей тела, уже не

Рис. 2.2Рис. 2.2удовлетворяют условиям равновесия вида (2.1.1) и равновесие частей тела обеспечивается силами их взаимодействия, т.е. внутренними силами.

Рис. 2.2

Рис. 2.2

части тела, можно найти, ничего не зная о распределении самихчасти тела, можно найти, ничего не зная о распределении самихВнутренние силы, действующие на одну часть тела со стороны другой, как любую систему сил, можно свести к главному вектору и главному моменту. Покажем, что главный вектор и главный момент внутренних сил, действующих на

части тела, можно найти, ничего не зная о распределении самих

части тела, можно найти, ничего не зная о распределении самих

внутренних сил по телу и пользуясь только условиями равновесия. Для этого мысленно рассечем тело плоскостью на части / и //и рассмотрим эти части отдельно. Выберем в сечении некоторую точку О (обычно это центр тяжести сечения) и обозначим через R/ и М1 главный вектор и главный момент относительно точки О внутренних сил, с которыми часть // действует на часть I. Точно так же обозначим через RJJ и MJJ главные вектор и момент внутренних сил, действующих на часть // со стороны части / (рис. 2.3). Как равнодействующие сил взаимодействия

векторы R/, RJJ и MJ, "М.11 должны быть взаимны, т.е. равны по величине и противоположны по направлению:

RJ = —RJJ, MJ = -Мп.(2.1.2)

Запишем условия равновесия отсеченной части I:

52 р^+rj = о, 52м*+м/ = °-(2Л-3)

ieiiEi

Здесь символ ^2 означает, что суммируются силы или их мо- гЕ1

менты, приложенные к части I.

Точно так же для части II условия равновесия имеют вид

У2 Pi + НП = 0, ^ Mj + Мн = 0.(2.1.4)

гЕПгЕП

Складывая соответственно равенства (2.1.3), (2.1.4), приходим с учетом взаимности (2.1.2) к условиям равновесия для всего тела (2.1.1).

Каждое из уравнений (2.1.3), (2.1.4) является уравнением с одним неизвестным. Из них получаем

R^-^Pi, M^-^Mi,

IE IiE I

(2.1.5)

r" = Ep*’ m” = -J2m„

iElIiEH

Заметим, что для определения Rz. R/J и MJ, MJJ достаточно решить уравнения равновесия для любой из отсеченных частей. Например, для части I из (2.1.3) найти R7 и М1, тогда для другой части RJJ и MJJ определятся по свойству взаимности (2.1.2). На практике это позволяет решать уравнения равновесия для той отсеченной части, для которой они проще.

Подчеркнем основную идею метода сечений. Она состоит в том, что силы, внутренние для тела, для отсеченной части тела рассматриваются как внешние. А это позволяет включать их в уравнения равновесия отсеченной части точно так же, как и действующие на нее внешние силы и, решая эти уравнения, определять главный вектор и главный момент внутренних сил.

Рис. 2.4Рис. 2.4Чтобы решить уравнения (2.1.3) или (2.1.4), необходимо записать их в координатной форме, для чего прежде всего необходимо задать систему координат. Выбор начала координат и координатных осей обычно определяется удобством решения задачи, а часто и традициями. Так, для бруса наиболее интересны внутренние силы в поперечном сечении. При этом удобно выбирать начало координат в центре тяжести сечения, а декартовы оси направлять так, чтобы одна из них была перпендикулярна (нормальна) к плоскости сечения, а две другие лежали в этой плоскости. Принято нормальную к сечению ось обозначать буквой ж, а оси в плоскости сечения — буквами у и % (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Рис. 2.4

Для составляющих RXl R^ Rz главного вектора R внутренних сил

Рис. 2.5Рис. 2.5установились следующие обозначения и названия: Rx = N — продольная (нормальная) сила; Ry = Q^, Rz = Qz — перерезы-

Рис. 2.5

Рис. 2.5

Рис. 2.6

вающие (поперечные) силы (рис. 2.5). Составляющие Мж, Му, Mz главного момента М внутренних сил, приведенных к центру тяжести сечения, принято обозначать и называть так: Мх = = М^ — крутящий момент; М^ Mz — изгибающие моменты (см. рис. 2.5). На рис. 2.6 моменты М^ М^ Mz показаны в виде пар

сил. Все силы и моменты N, Qy, Qz. М^ Му, Mz часто называют внутренними силовыми факторами. Уравнения для их определения, представляющие собой координатную форму векторных уравнений (2.1.3), принимают с учетом этих обозначений вид

iei

52 ^ + Qy_52 р Qz —

+ мк = 0, ге/

(2.1.6)

52 Мгу + My = 0, 52 Miz + М^ = 0.

iElit I

Здесь обозначено: Р^ж, Р^, Р^ — составляющие силы Р^ по осям ж, у, z\ М^ Miy, Miz — составляющие момента М^ силы Р7 по осям ж, у, z или, другими словами, моменты силы Р^ относительно этих осей.

Каждое из уравнений (2.1.6) содержит лишь один неизвестный внутренний силовой фактор, что позволяет легко найти его. Координатная форма уравнений равновесия (2.1.6) для отсеченной части II имеет аналогичный вид.

С помощью метода сечений можно получить ряд

важных соотношений, определяющих характер изменения вну-

Рис. 2.7Рис. 2.7тренних силовых факторов в брусе. Рассмотрим для этого прямолинейный брус, нагруженный внешней нагрузкой самого общего вида, которая состоит из сосредоточенных сил Р^ приложенных в точках оси бруса с координатами Хр. сосредоточенных моментов Mj в точках хм., погонной нагрузки интенсивностью q(ж) и

Рис. 2.7

Рис. 2.7

погонной моментной на

грузки интенсивностью т(ж) (рис. 2.7). Зададим систему коор

динат ж, ^ z, причем, как принято, направим ось ж вдоль оси бруса.

Векторы нагрузок имеют составляющие по осям координат

Р/ — Фгал Ргуч Piz] 7 Q — 1уч Qz\ ч(2 17)

Mj = ^Mjx^ Myy. Mjz\ 4 m = \™Жч ^уч ^z] •

Здесь мы воспользовались принятой в математике координатной формой записи векторов.

Будем считать составляющие нагрузок положительными, ес

ли они направлены в сторону положительного направления осей координат. Знаки внутренних силовых факторов не связаны с осями координат.

Чтобы понять это, рассмотрим простейший случай нагружения бруса, когда он растянут силой вдоль оси. Как видно из рис. 2.8, в его сечении возникает продольная сила N, которая может быть направлена как влево,

так и вправо в зависимости от того, к какой из отсеченных частей она приложена. Поэтому знаки внутренних сил обыч

но связывают с характером ихно связывают с характером ихдействия на отсеченную часть.

но связывают с характером их

но связывают с характером их

Так, продольная сила N считается положительной, если она стремится растянуть отсеченную часть; Qy > 0, если она стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке

в плоскости ху\ момент Mz > 0,Рис. 2.9

если он деформирует брус так,

что сжаты верхние волокна (рис. 2.9). На рис. 2.10 показаны

принятые в книге положительные направления всех внутренних силовых факторов.

Рассечем брус двумя близкими поперечными сечениями, пересекающими ось х в точках х и x-Vdx так, чтобы на длине dx не были приложены сосредоточнные силы и моменты (рис. 2.11). Рассмотрим равновесие выделенного этими сечениями элемента бруса dx под действием приложенных к нему внешних и внутренних сил. (Обозначая здесь и всюду ниже приращение АЛ некоторой величины А через dA. мы подразумеваем, что совершается обычный для дифференциального исчисления переход к пределу при АЛ -АО.)

В сечении х на элемент действуют внутренние силовые факторы N^x\ Qy(xY Qz(xY Mz(xY My{x\ M^x\ а в сечении x-Vdx — N^x-VdxY Qy^x-VdxY • • M^x-VdxY Ввиду малости dx при переходе от сечения х к сечению х + dx имеет смысл учитывать только основную, линейную часть приращения внутренних силовых факторов. Поэтому с точностью до величин высшего

порядка малости

N(x + dx) = N(x) + dN^ Qy(x + dx) = Qy(x) + dQy, ... (2.1.8)

На рис. 2.11 для большей наглядности показаны усилия и моменты, действующие на элемент в плоскости ху, а на рис. 2.12 —

Mz

Рис. 2.10

отдельно только моменты относительно оси х. Соответствующие этим моментам пары изображены так, что сила, направленная на нас, показана точкой, а от нас — крестиком.

определяются погонными нагрузками qx. qy, qz и моментамиопределяются погонными нагрузками qx. qy, qz и моментамиДействующие на элемент бруса внешние силы и моменты

определяются погонными нагрузками qx. qy, qz и моментами

определяются погонными нагрузками qx. qy, qz и моментами

Рис. 2.12Рис. 2.12mXl myi mz и в соответствии с определением погонных нагрузок (1.3.5) могут быть с точностью до величин высшего порядка малости подсчитаны как qx^ dx,qy(x) dy,... ^т^х^ dx.

Рис. 2.12

Рис. 2.12

(2.1.9)

Теперь нетрудно записать условия равновесия элемента,

состоящие в равенстве нулю сумм проекций действующих

на элемент сил на координатные оси и сумм моментов этих сил относительно координатных осей. Эти уравнения примут вид

52 Рх = 0 : (N(x) + dN) + qxdx- N(x) = О,

5 ^ Ру — ^ • QyQ^ Т Qy dx kQy^P^ т dQ^ — о?

5 у Pz = 0 • Qz^P) + Qz dx — (Qz(x) + dQz) = 0,

(2.1.10)

52 Mr = 0 : (М^(х) + dM^) — M^x^ + mx dx = 0,

52 М/ = 0 : (My(x) + dMy) - My^ - (Qz(x) + dQz) dx + + qz dx^P- + my dx = 0,

52 Mz = 0 : (Mz(x) + dMz) — Mz^ — (Qy(x) + dQy) dx + + qy dx^P- + mz dx = 0.

Усилия и моменты, показанные на рис. 2.11, вошли в первое, второе, пятое и шестое уравнения (2.1.10), а моменты, данные на рис. 2.12, — в четвертое.

Из уравнений (2.1.10) после упрощения и отбрасывания слагаемых, имеющих более высокий порядок малости, получаем следующие соотношения, которые принято называть дифференциальными зависимостями для бруса:

dNdQ^.=-Qx,-у= Qy,dxdxydNdQ^.=-Qx,-у= Qy,dxdxydMkdxdMkdx= -mx,= -mx,dMy _ dxdMy _ dx-my-mydQ. _dx ~qz'dMz -3— Qy ^z-dx ydQ. _dx ~qz'dMz -3— Qy ^z-dx y(2.1.11)(2.1.11)

dNdQ^.

=-Qx,-у= Qy,

dxdxy

dNdQ^.

=-Qx,-у= Qy,

dxdxy

dMkdx

dMkdx

= -mx,

= -mx,

dMy _ dx

dMy _ dx

-my

-my

dQ. _

dx ~qz'

dMz

-3— Qy ^z-

dx y

dQ. _

dx ~qz'

dMz

-3— Qy ^z-

dx y

(2.1.11)

(2.1.11)

Обычно в брусьях внешняя нагрузка такова, что mz = 0, ту = = 0; тогда две последние дифференциальные зависимости упрощаются:

dAL _ dMy _ dxdxdAL _ dMy _ dxdx(2.1.12)(2.1.12)

dAL _ dMy _ dxdx

dAL _ dMy _ dxdx

(2.1.12)

(2.1.12)

Рассмотрим элементы, выделенные из бруса сечениями, близкими к точкам приложения сосредоточенных сил и

Рис. 2.13Рис. 2.13

Рис. 2.13

Рис. 2.13

моментов. На рис. 2.13 а, 5, где эти элементы показаны также в плоскости ху, обозначено:

УГ) = ^Л» ~ N^ = N(xpi +dx),

Равнодействующие приложенных к этим элементам погонных нагрузок и моментов, равные дж(хр^ • 2 dx, qy(xpi) • 2dx, ... ..., mz^xp^ • 2dx, ... , являются из-за множителя dx малыми по сравнению с конечными величинами сосредоточенных сил Р^ и моментов Mj и поэтому в уравнениях равновесия их не следует учитывать.

Составляя условия равновесия элемента, выделенного около точки А приложения сосредоточенной силы Р^ (рис. 2.13 а), легко получаем следующие соотношения:

^"^ = N — Pixi Qy = Qy + РгУ1 Qt = Qz 4" Pizi (2.1.13) м+ = м~, Mt = мг.

Из условий равновесия элемента, который выделен в окрестности точки В приложения сосредоточенного момента Mj

(рис. 2.13 5), получаем

7V+ = N", Q+ = Q~ Q+ =

У У(2.1.14)

- м31, м+ = му-мзу, мт = м;-м:р.

Из соотношений (2.1.13), (2.1.14) следует, что при переходе через точки приложения сосредоточенных сил и моментов соответствующие внутренние силовые факторы изменяются скачком на величину соответствующего внешнего сосредоточенного усилия или момента. В реальных брусьях скачков, конечно, быть не может. Но полученные соотношения отражают тот факт, что локальные нагрузки вызывают в брусе быстрое (в пределах участков их приложения) изменение соответствующих внутренних силовых факторов.

Рассмотрим теперь брус, один конец которого защемлен (т.е. полностью закреплен от любых перемещений), а другой — свободен. На рис. 2.14 показана проекция такого бруса

Рис. 2.14

на плоскость ху. Рассечем брус сечением в точке х = хс на две части I и II (рис. 2.15). Ясно, что можно составлять уравнения

равновесия только для части /, так как часть II защемлена и не имеет степеней свободы. Пользуясь рис. 2.15, нетрудно составить уравнения проекций сил на оси ж, у и моментов относительно оси z^ проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно плоскости ху (на рис. 2.15 след оси % на плоскости ху совпадает с точкой С). Остальные уравнения можно составить аналогично. В результате из условий равновесия части I получаем

I

Мжс) = J qx(x) dx + У^ЖегЕ I

I

Qy^c) =JQyY^ ^*^^ ^ Р^У»

х]гЕ1(2.1.15)

Q^(^c) =JQzY^ d*E^ ^ Piz-

ЖегЕ I

I

Мк(хс) = J тж(ж) dx + У^ MjxiЖегЕ I

Му(хс) =J (х—xc)qz(x)dx + J my^dxA-

Жсжс

+ ^Xp^ — xi)Piz + Mjy^

,,(2.1.16)

Mz(xc) =J (x—xc)qy(x)dx + J m^x^dx-V

ЖсЖе

4"^(^j9z %l)Piy 4" Mjz .

%El

Здесь I — координата правого конца бруса (длина бруса). Эти уравнения по существу являются расшифрованными уравнениями (2.1.6) для отсеченной части / бруса. Вошедшие в них интегралы являются равнодействующими усилиями или моментами погонных нагрузок дж(ж), (/Дж), qz^ и моментов тх^х\ m^xY т^х\

Отметим, что в уравнениях (2.1.15), (2.1.16) содержится та же информация, что и в соотношениях (2.1.11), (2.1.13), (2.1.14). Действительно, если считать координату сечения переменной и продифференцировать по ней равенства (2.1.15), (2.1.16), учитывая, что интегралы имеют переменный нижний предел, то придем к дифференциальным зависимостям (2.1.11).

Продемонстрируем это на примере выражения для Mz. Напомним формулу дифференцирования интеграла по переменному пределу:

X

Тогда, дифференцируя второе соотношение в (2.1.16), получаем

(

II\

J xq^ dx-xc J qy^ dx j - m^x^ -^Piy = xcxc/iE I

I

= -xcqy(xc) - J qy^ dx + жс9у(жс) - m^x^ - У^Ду

XciE I

Подчеркнутые слагаемые уничтожаются, а второе и последнее слагаемые, как это видно из (2.1.15), составляют Qy^XcY В результате имеем

что с точностью до обозначения аргумента совпадает с последним соотношением в (2.1.11).

Иначе говоря, выражения (2.1.15), (2.1.16) представляют собой общее решение дифференциальных уравнений (2.1.11), учитывающее скачки, заданные условиями (2.1.13), (2.1.14). С этой точки зрения видно, что соотношения (2.1.16) можно заменить на следующие:

lI

Му(хс) = — J Qz(x)dx + J ту(х) dx + У^ Mjy,

ХсХс3 ЕI

(2.1.17)

iI

Mz(xc) = — J Qy(x) dx + J mz(x)dx+ ^jMjz.

XcXcjEl

Сравнивая между собой выражения в (2.1.15), (2.1.17), замечаем большое сходство в их структуре. Это единообразие вместе с простотой алгоритмизации входящих в них операций суммирования и интегрирования делает их удобной основой для автоматизации процесса вычисления внутренних силовых факторов на ЭВМ.

Напряжения

В предыдущем разделе были изучены свойства внутренних силовых факторов, которые интегрально (в целом) отражают взаимодействие отсеченных частей тела. Но, как уже

отмечалось, для суждения о

Рис. 2.16Рис. 2.16прочности и жесткости тел нам необходимо более детальное знание внутренних сил.

Рис. 2.16

Рис. 2.16

Взаимодействие частиц тела на молекулярном уровне характеризует рис. 2.16, на котором показаны силы взаимодействия Р двух неполярных молекул в зависимости от расстояния г между ними. Характерные расстояния го и гх имеют порядок 10-9 м. При

г > т\ силы притяжения сильно убывают и изменяются почти обратно пропорционально г7. Следовательно, во взаимодействии двух частей тела

Рис. 2.17Рис. 2.17участвуют частицы, которые расположены в очень тонких слоях тела (толщиной около 10-8 4-10-9 м), прилегающих к сечению со стороны отсеченных частей. На рис. 2.17 эти слои заштрихованы.

Рис. 2.17

Рис. 2.17

Эта физическая особенность взаимодействия и легла в основу предположения, что силы взаимодействия отсеченных частей непрерывно распределены по поверхности сечения, т.е. в данном сечении внутренние силы являются поверхностными. А по

рД) =рД) =lim ^Г, AFh-О Д^lim ^Г, AFh-О Д^(2-2.1)(2-2.1)верхностные силы, как мы уже знаем из разд. 1.3, характеризуются своей интенсивностью. Для того чтобы подчеркнуть отличие внутренних сил от внешних, для интенсивности внутренних сил введен специальный термин — напряжение. Таким образом, напряжение р (А) в точке А сечения F (рис. 2.18, а) будет

рД) =

рД) =

lim ^Г, AFh-О Д^

lim ^Г, AFh-О Д^

(2-2.1)

(2-2.1)

где АР — равнодействующая внутренних усилий на элементарной площадке AF сечения F.

Вектор напряжений р (иногда его называют полним напряжением) удобно раскладывать на составляющие по нормали п к сечению и в плоскости сечения, как это сделано в точке А на рис. 2.18 б.

Рис. 2.18

Составляющую полного напряжения р по нормали п к сечению называют нормальным напряжением и обозначают греческой буквой ст с индексом, соответствующим нормали к сечению, т.е. в данном случае ап.

Составляющую полного напряжения р в плоскости сечения обозначают тп и называют касательным напряжением.

Часто удобно тп разложить на составляющие по осям в плоскости сечения. На рис. 2.19 в сечении введены оси I и m и тп разложено на составляющие тп[ и тпт. Таким образом, у составляющих касательного напряжения имеется два индекса, первый из них обозначает нормаль к сечению, а второй соответствует оси, вдольh

Рис. 2.19Рис. 2.19которой эта составляющая действует.х

Рис. 2.19

Рис. 2.19

На рис. 2.20 показаны напряжения, действующие по граням элементарно- m го кубика, выделенного из тела сечениями, которые параллельны координатным плоскостям в декартовых осях Ж, у, Z.

Знак напряжений устанавливается следующим правилом: в сечении, внешняя нормаль к которому совпадает с положительным направлением координатной оси, напряжения положительны, если они совпадают по направлению с координатными осями. Для нормальных напряжений удобно пользоваться более простым, но следующим из этого правилом: нормальные напряжения положительны, если они растягивающие. На рис. 2.20 показаны положительные направления напряжений.

Заметим, что понятие напряжения связано с сечением. Через заданную точку тела, например точку В на рис. 2.21, можно

провести сколько угодно сечений, и в каждом из них в точке В

будет свое напряжение. Два таких возможных сечения показаны

Рис. 2.20Рис. 2.20на рис. 2.21. Поэтому, говоря о напряжении в точке, необходимо указать сечение, в котором оно действует. Совокупность напряжений в точке во всех сечениях, проходящих через данную точку тела, обычно называют напряженным состоянием в точке.

Рис. 2.20

Рис. 2.20

на показанный на рис. 2.20на показанный на рис. 2.20Подробно напряженное состояние в точке будет изучено в гл. 11. Здесь же мы укажем на одно фундаментальное свойство касательных напряжений. Для этого запишем сумму моментов сил, действующих элементарный кубик, относитель

на показанный на рис. 2.20

на показанный на рис. 2.20

но оси z с учетом, что длины ребер кубика равны dx, dy и dz. Так как кубик вместе с телом находится в равновесии,

Рис. 2.21Рис. 2.21то составленная нами сумма должна быть равна нулю. Видно, что моменты относительно оси z дадут только усилия от касательных напряжений тух и тжу, действующие на видимых гранях кубика. Действительно, усилия от напряжений од, txz, ryz параллельны оси z и поэтому не дадут моментов относительно нее, а моменты усилий от напряжений ох, оу, tzx, rzy, действующих на противоположных гранях,

Рис. 2.21

Рис. 2.21

уравновесятся. Так как грани кубика малы, то можно считать

напряжения на них постоянными. Поэтому, чтобы получить

усилия от этих напряжений, нужно в соответствии с определением (2.2.1) умножить напряжения на площади граней, на которых они действуют. Тогда усилия от тух и тжу равны Tyxdxdz и Txydydz. Умножая их соответственно на плечи dy и dx, получаем их моменты относительно оси z:

^2 Mz = тух dx dz dy — тжу dy dz dx = 0.

Отсюда следует, что тху = т^; рассматривая точно также моменты относительно осей х и у, получим в итоге

ТЖу —ТЖу —Тух*)Тух*)ту% —ту% —Т^У*Т^У*(2.2.2)(2.2.2)Это свойство называют свойством парности касательных напряжений. Оно формулируется так:Во взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряснсений, нормальные к линии пересечения площадок (к ребру^ равны и направлены одновременно либо от ребра, либо к ребру.На рис. 2.22 показаны две произвольные взаимно перпендикулярные площадки с нормалями £ и у. Свойство парностиЭто свойство называют свойством парности касательных напряжений. Оно формулируется так:Во взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряснсений, нормальные к линии пересечения площадок (к ребру^ равны и направлены одновременно либо от ребра, либо к ребру.На рис. 2.22 показаны две произвольные взаимно перпендикулярные площадки с нормалями £ и у. Свойство парности^ZX — TXz-^ZX — TXz-Рис. 2.22Рис. 2.22

ТЖу —

ТЖу —

Тух*)

Тух*)

ту% —

ту% —

Т^У*

Т^У*

(2.2.2)

(2.2.2)

Это свойство называют свойством парности касательных напряжений. Оно формулируется так:

Во взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряснсений, нормальные к линии пересечения площадок (к ребру^ равны и направлены одновременно либо от ребра, либо к ребру.

На рис. 2.22 показаны две произвольные взаимно перпендикулярные площадки с нормалями £ и у. Свойство парности

Это свойство называют свойством парности касательных напряжений. Оно формулируется так:

Во взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряснсений, нормальные к линии пересечения площадок (к ребру^ равны и направлены одновременно либо от ребра, либо к ребру.

На рис. 2.22 показаны две произвольные взаимно перпендикулярные площадки с нормалями £ и у. Свойство парности

^ZX — TXz-

^ZX — TXz-

Рис. 2.22

Рис. 2.22

относится только к т^ и т^, и не касается т^ и т^.

К. Понятие усилий в продольных волокнах бруса, близкое по смыслу к нормальным напряжениям в его поперечных сечениях, использовалось уже в работах Г. Галилея. В дальнейшем это понятие развивалось в работах Ф. Мариотта (1620— 1684), Парана (1666-1716), Ш. Кулона (1736-1806), Т. Юнга (1773-1829) также применительно к теории растяжения и изгиба бруса. В то же время Л. Навье подсчитывал силы взаимодействия отсеченных частей как суммы (интегралы) сил взаимодействия их частиц. Впервые в явном виде понятие напря

жения, а значит, и предположение о том, что внутренние силы распределены по поверхности сечения, ввел один из крупнейших математиков и механиков XIX века О. Коши (1789-1857). Это понятие было высказано в основополагающих работах по математической теории упругости, но оно быстро было использовано и в исследованиях прикладного характера, что придало, в частности, теории деформаций бруса современный вид.

Связь напряжений с внутренними силовымифакторами

Пусть в конечном сечении F бруса известно распределение нормальных ах^у,%^ и касательных Txy(y,z), rxz(y,z) напряжений (рис. 2.23). Тогда нетрудно подсчитать внутренние силовые факторы N, Qy, ..., как равнодействующие элементарных усилий от напряжений. Для этого разобьем сечение F на

2 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

Рис. 2.23N = J ах dF, Qy =FРис. 2.23N = J ах dF, Qy =Fэлементарные площадки dF с координатами у, z. Элементарные усилия от напряжений на этих площадках равны ох^у, z) dF, тху(у, 4 dF, rxz(y, г) dF, а моменты этих элементарных усилий относительно осей у, z, х будут zax dF, усгх dF, yrxz dF — zrxy dF. Суммируя элементарные усилия и моменты по всем площадкам, т.е. интегрируя их по площади поперечного сечения, получаем

Рис. 2.23

N = J ах dF, Qy =

F

Рис. 2.23

N = J ах dF, Qy =

F

J Fey dF, Qz = — J txz dF,

FF

Mz = - J yaxdF, My = J zaxdF, (2.3.1) FF

M^ — J (yTxz ZTXy^ dF.F

Знак «—» в выражениях для Qy, Qz, Mz учитывает, что интегралы в этих выражениях соответствуют силам и моменту,

Рис. 2.24Рис. 2.24направления которых противоположны установленным правилом знаков (см. рис. 2.10) положительным направлениям для внутренних силовых факторов.

Рис. 2.24

Рис. 2.24

Иногда для подсчета М^ удобно использовать полярные координаты р и а (рис. 2.24). В этом случае составляющие касательных напряжений в соответствии с правилом их индексации будут тха и тхр. Подсчитывая Мк

Мк — J ртха dF.FМк — J ртха dF.F(2.3.2)(2.3.2)как интеграл по сечению от моментов элементарных касательных усилий, получаем

Мк — J ртха dF.

F

Мк — J ртха dF.

F

(2.3.2)

(2.3.2)

Соотношения (2.3.1) позволяют найти внутренние силовые факторы по известным напряжениям в сечении. Но при расчете конструкций на прочность и жесткость возникает, как правило, обратная задача: сначала методом сечений определяются внутренние силовые факторы, а по ним требуется найти напряжения. Нетрудно видеть, что только на осно-

Рис. 2.25Рис. 2.25вании соотношений (2.3.1) такую задачу нельзя решить однозначно. Действительно, на рис. 2.25 показаны два различных распределения напряжений. Если в них (од + с^/З = = сто, то им соответствует одинаковая продольная сила 7V = = oqF. Как мы покажем в дальнейшем, для однозначного определения напряжений по внутренним силовым факторам соотношения (2.3.1) необходимо дополнить информацией о характере распределения на

Рис. 2.25

Рис. 2.25

пряжений. Способы получения и использования такой информации будут рассмотрены в главах 4, 6, 8.

В большинстве руководств по сопротивлению материалов нашла отражение сложившаяся в расчетной практике традиция рассматривать элементарные напряженно-деформированные состояния бруса, когда в его поперечных сечениях возникают лишь отдельные внутренние силовые факторы.

Если в поперечных сечениях бруса отлична от нуля только продольная сила N, то напряженно-деформированное состояние такого бруса называют центральным растяжением-сжатием.

Если не равен нулю только крутящий момент, то говорят, что брус находится в состоянии кручения.

Если же не равны нулю только изгибающие моменты М^, Му и перерезывающие силы Qy, Qz, то напряженно- деформированное состояние такого бруса называют изгибом.

В главах 4, 6, 8 мы также рассмотрим эти элементарные состояния бруса и еще вернемся к частному виду для этих случаев соотношений (2.1.11), (2.1.13)-(2.1.16), (2.3.1).

Принцип Сен-Венана

Распределение напряжений в твердых телах обладает одним общим свойством, которое следует из анализа различных решений и подтверждается экспериментально. Это свойство составляет содержание принципа Сен-Венана.

Будем называть нагрузку локальной, если размеры площадки, к которой она приложена, малы по сравнению с размерами тела. Тогда принцип Сен-Венана формулируется так:

Напряжения, вызванные локальной нагрузкой, в точках тела, достаточно удаленных от места приложения к нему этой нагрузки, мало зависят от конкретного характера распределения нагрузки, а определяются только ее главными вектором и моментом.

Так, для показанных на рис. 2.26 трех способов приложения силы Р к брусу напряженное состояние в точке А, удаленной от

места нагружения, практиче

ски одинаково.

Будем называть нагрузки статически эквивалентными, если равны их главные векторы и главные моменты. Показанные на рис. 2.26 нагрузки статически эквивалентны. Согласно принципу Сен-Венана напряжения и деформации от статически эквивалентных локальных нагрузок вдали от площадок, к которым приложены эти нагрузки, практически одинаковы.

На рис. 2.27 показаны напряжения в плоской полосе толщины 6 при сжатии ее равномерно распределенными по торцам усилиями р и статически эквивалентными им сосредоточенными силами Р = = рЬ5. Неравномерность распределения напряжений при

Рис. 2.26нагружении сосредоточенными

силами затухает на длине cZ, близкой по величине к ширине полосы b (d ~ Ь).

Отметим также, что локальные нагрузки, статически эк

вивалентные нулю, т.е. с равными нулю главными вектором

Рис. 2.27Рис. 2.27и моментом, не вызывают напряжений вдали от площадок, к которым они приложены. На рис. 2.28 показана полоса, сжатая сосредоточенными силами. Такая нагрузка является локальной и статически эквивалентной нулю, так как силы уравновешены. Область, в которой возникают существенные напряжения, заштрихована. Эту область называют зоной Сен-Венана. Мы ча

Рис. 2.27

Рис. 2.27

сто пользуемся этим эффектом в быту, например, когда перекусываем проволоку клещами. При этом мы совершенно уверены,

Рис. 2.28Рис. 2.28что в местах, удаленных от места диаметр проволоки, никаких деформаций проволоки не возникает.

Рис. 2.28

Рис. 2.28

Принцип Сен-Венана дает возможность оценить области применимости сосредоточенной и погонной нагрузок, введенных в разд. 1.3 как модели локальных нагрузок. Ясно, что эти

модели можно применять в том случае, если нас интересуют на

пряжения вдали от места приложения локальных нагрузок.

Принцип Сен-Венана также широко используется при построении расчетных схем как моделей реальных конструкций. Он позволяет при расчете основного напряженного состояния отвлечься от реальных конструктивных особенностей выполнения отдельных узлов конструкции. Так, рас

четной схеме балки, показанной на рис. 2.29, могут соответство

вать самые различные конструктивные выполнения мест ее за

крепления и приложения нагрузки. Некоторые из них показаны на рис. 2.30.

Формулировка принципа Сен-Венана несколько расплывчата. Так, в ней не конкретизированы размеры зоны, вне которой напряжения не зависят от характера распределения локальной нагрузки (зона Сен-Венана). Опыт показывает, что обычно эти размеры близки, с одной стороны, к характерному размеру площадки нагружения, а с другой — к характерному размеру тела. Сказанное можно

пояснить на примере деформации тонкостенного стержня (рис. 2.31 а). Приложенные к полкам стержня моменты изгибают полки в разные стороны. Если связывающая эти полки стенка отсутствует, то моменты вызовут одинаковый изгиб полок по всей их длине (рис. 2.31 б). По мере увеличения жесткости стенки (увеличения ее толщины 5), которая связывает полки и заставляет их компенсировать изгибы друг друга,

зона изгиба полок будет уменьшаться. Анализ этой задачи показывает, что для тонкостенного стержня локальной можно считать нагрузку, приложенную к площадке, максимальный

Рис. 2.31Рис. 2.31размер которой имеет порядок толщины сечения.

Рис. 2.31

Рис. 2.31

К. Изложенный выше принцип был сформулирован Б. Сен-Ве- наном (1797-1886), одним из крупнейших механиков XIX века, в работе, касающейся анализа распределения напряжений в балках при изгибе. В своих работах Б. Сен-Венан, в частности, установил связь между точным решением задачи изгиба балки, которое построено в теории упругости, и приближенным решением используемой в сопротивлении материалов технической теории изгиба балок. Он определил области, в которых различия этих решений существенны, и таким образом установил пределы применимости результатов значительно более простой технической теории.

Контрольные вопросы

В.2.7.В.2.7.Что мы называем внутренними силами? Какой метод применяется для их изучения?

В.2.7.

В.2.7.

Возникают ли внутренние силы в ненагруженном теле? В недеформированном теле?

В каком месте произойдет разрушение тела: там, где приложена максимальная внешняя нагрузка, или там, где внутренние силы превысят допустимый для материала тела предел?

Что мы называем отсеченной частью тела? В чем заключается основная идея метода сечений?

Почему обе отсеченные части, на которые разделено тело некоторым произвольным сечением, равноценны с точки зрения определения внутренних сил, действующих в этом сечении?

Что такое внутренние силовые факторы?

Покажите, что внутренние силовые факторы в се-

чениях 1 и 2 нагруженного уравновешенной системой сил тела (рис. 2.32) равны нулю.

Сколько уравнений равновесия отсеченной части и в какой форме (векторной или координатной) необходимо записать их для вычисления внутренних силовых факторов в се- ту чении?

От чего зависят знаки внутренних силовых факторов: от характера их действия на отсеченную часть или от направления координатных осей? Продольная сила 7V (рис. 2.33) положительна или отрицательна?

Какие величины связаны дифференциальными зависимостями для бруса?

В каком месте бруса внутренние силовые факторы будут изменяться скачкообразно?

Рис. 2.34Рис. 2.34Можно ли судить о прочности и жесткости бруса, зная только величину внутренних силовых факторов в его поперечных сечениях?

Рис. 2.34

Рис. 2.34

Что такое напряжение? Дайте определение напряжению в точке (полного напряжения) данного сечения. На какие компоненты принято раскладывать полное напряжение? Как они называются и обозначаются?

Обозначьте напряжения (с расстановкой индексов) на рис. 2.34 согласно принятым правилам обозначения. Укажите

их знаки.

Что такое напряженное состояние в точке?

Сформулируйте свойство парности касательных напряжений.

Обозначьте напряжения, изображенные на рис. 2.35, и дополните их недостающими парными напряжениями.

Как, зная напряжения

в поперечном сечении бруса, найти

внутренние силовые факторы в этомРис- 2,35

сечении? Как решить обратную задачу?

В чем заключается принцип Сен-Венана? Где и как он используется?

ГЛАВА 3

МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ

Элементарные деформации

В предыдущей главе были рассмотрены свойства внутренних сил, обусловленные только условиями равновесия тел и их частей. Особо подчеркнем, что эти свойства никак не зависят от материала, из которого состоят тела. И для двух тел с одинаковой геометрией и одинаковыми нагрузками, но выполненных из различных материалов, все соотношения гл. 2 будут абсолютно одинаковы (конечно, при условии малости деформаций). Но, как уже отмечалось, этих соотношений недостаточно для того, чтобы полностью определить распределение внутренних сил в теле. Для этого необходимо изучить свойства материала тела. Причем из всевозможных свойств материала прочность и жесткость тела определяются способностью материала сопротивляться деформированию. А эти его свойства невозможно определить без эксперимента. Но эксперимент — это, как правило, трудоемкое и дорогое дело. Поэтому он должен быть спланирован так, чтобы необходимая информация была получена с наименьшими затратами.

Рассмотрим деформацию элементарного кубика с ребрами длиной Iq и направим оси ж, у, z вдоль ребер. При его деформации изменяются длины ребер и углы между ними. Конструкционные материалы (металлы, дерево, композитные материалы и т.п.) допускают обычно небольшие деформации до разрушения. Поэтому мы ограничимся изучением таких деформаций кубика, при которых изменения длин его ребер (удлинения) малы по сравнению с начальной длиной ребер Zq, а изменения углов между ребрами (сдвиги) малы в сравнении с начальными прямыми углами между ними. В этих ограничениях произвольная малая деформация кубика (с точностью до величин высшего порядка малости) сводится к превращению его в косоугольный параллелепипед. Такую деформацию кубика можно

представить как сумму (суперпозицию) шести элементарных деформаций, показанных на рис. 3.1. В первых трех из них углы остаются прямыми, а изменяются только длины ребер соответственно на малые величины А/ж, AZ^, AZ^. Деформации такого рода называют удлинениями, считая их положительными, если

Рис. 3.1Рис. 3.1

Рис. 3.1

Рис. 3.1

длина ребер увеличивается. В остальных трех деформациях, наоборот, длины ребер остаются неизменными, а меняются углы между ребрами в плоскостях ху, yz и zx соответственно на величины уж?/, 7^ и 7^ж. Такие деформации называют сдвигами, и их считают положительными, если прямой угол при деформации уменьшается.

Сдвиги 7Ж?/, 7^, 7^ж, будучи угловыми величинами, являются безразмерными, и при одинаковой сдвиговой деформации кубиков различной величины они равны. Это свойство сдвигов позволяет легко переносить результаты испытаний образцов на тела, которые по своим размерам могут существенно отличаться от образцов.

Очевидно, что удлинения AZ^, AZ^, AZ^ (их также называют абсолютными удлинениями) таким свойством не обладают. Поэтому удобнее иметь дело с относителъними удлинениями (относительными деформациями):

£ж - 1Г’ у ■ ТГ’£ж - 1Г’ у ■ ТГ’/о '/о '(3.1.1)(3.1.1)

£ж - 1Г’ у ■ ТГ’

£ж - 1Г’ у ■ ТГ’

/о '

/о '

(3.1.1)

(3.1.1)

Действительно, легко видеть, что если кубик с ребрами длиной 2Zq составить из восьми кубиков с ребрами длиной Iq и придать всем этим кубикам одинаковые относительные деформации, то и относительные деформации составленного кубика будут такими же. Часто еж, s^, ez называют удлинениями, опуская слово «относительные» (если это. конечно, не вызывает путаниЦы).

Для изотропного материала кажется достаточным изучить его свойства при удлинении в одном направлении и при сдвиге в одной из плоскостей. Но это будет так только в пределах закона Гука.

Испытания анизотропных материалов приходится проводить с учетом анизотропии. В общем случае анизотропии необходимо исследовать все шесть элементарных деформаций.

К. Для уточнения понятия относительной деформации, введенного формулами (3.1.1), рассмотрим продольное удлинение стержня, длина которого до деформации равна Zq. Если в результате деформации его длина стала Zq + AZ, то его продольное удлинение по формулам (3.1.1) будет

£ = ^.(3.1.2)

to

В то же время удлинение стержня AZ можно рассматривать как результат процесса, состоящего из ряда последовательных удлинений. Пусть на одном из этапов этого процесса длина до начала этапа была Z, а длина после его окончания стала I + dl. Тогда на этом этапе относительное удлинение стержня будет

de = j.(3.1.3)

Это удлинение обозначено через de потому, что по своему смыслу оно является лишь приращением удлинения ё, полученного стержнем в итоге всего процесса.

Тогда это суммарное по всем этапам относительное удлинение можно подсчитать как

1о + А^

Ё = f de.(3.1.4)

lo

Учтем выражение (3.1.3) и проинтегрируем (3.1.4). Получим lo + AZ

Ё = Г ^ = ln(Z0+AZ)-ln(Z0) = ln^±^ = ln(l+e). (3.1.5) lo

Деформацию ё, введенную соотношением (3.1.3) так, что в процессе удлинения в каждый момент учитывается текущая (мгно-

венная) длина стержня, называют логарифмической деформаци ей. Связь между деформацией £ = AZ/1^ отнесенной к началь

Рис. 3.2Рис. 3.2ной длине Zq, и логарифмической деформацией Ё определяется соотношением (3.1.5). На рис. 3.2 представлено отношение ё/е в зависимости от е. Из него видно, что при £ < 20 % различие между двумя деформациями незначительно. Так, при £ = 20% оно составляет ~ 10%. А так

Рис. 3.2

Рис. 3.2

как для конструкционных материалов максимальная допустимая деформация обычно не превышает 10-15%, то вполне допустимо пользоваться менее точным, но более простым определением деформаций, даваемым формулами (3.1.1).

Испытания на растяжение и сжатие

Для исследования свойств материалов при удлинении проводят испытания на растяжение и сжатие. Методика этих испытаний установилась и к настоящему времени стандартизирована.

Испытываются образцы стандартной формы на специальных испытательных машинах. При выборе формы образца учитывают основное требование, чтобы на той части образца, где будут проводиться измерения, напряженное состояние было однородным (одинаковым по длине). Для этого изготовляют круглые точеные или плоские образцы. Последние используют для испытания листовых материалов. Форма и размеры одного из стандартных образцов показаны на рис. 3.3. Выступы по концам образца служат для закрепления их в захватах испытательной машины. Захваты имеют специальную конструкцию, позволяющую создавать растягивающую образец силу так, чтобы она действовала почти строго вдоль оси образца. На основании принципа Сен-Венана деформация

средней части образца между точками А и В не зависит от распределения нагрузки в зоне захвата, и поэтому она однородна. В зоне однородности выбирают измерительную базу длины Zq и устанавливают специальный прибор (тензометр), позволя-

ющий с большой точностью измерять удлинение AZ базы Zq. Динамометры испытательной машины дают возможность в каждый момент фиксировать растягивающую образец силу Р. Испытания проводят ступенями, фиксируя на каждой ступени

нагружения величины Р и AZ.нагружения величины Р и AZ.Рис. 3.4Рис. 3.4Обычно испытательные машины снабжены также и устройством, позволяющим автоматически строить график зависимости Р от AZ.

нагружения величины Р и AZ.

нагружения величины Р и AZ.

Рис. 3.4

Рис. 3.4

График P(AZ), построенный по точкам или автоматически, называют диаграммой растяжения. Для малоуглеродистой стали он имеет вид, показанный на рис. 3.4.

Пользоваться диаграммой растяжения неудобно, так как

перестраивают, переходя к величинам ст и £ по следующимперестраивают, переходя к величинам ст и £ по следующимформулам:формулам:ММГо’Го’(3.2.1)(3.2.1)она существенно зависит от размера поперечного сечения образца и длины выбранной измерительной базы Zq. Для того чтобы исключить влияние этих факторов, диаграмму Р(Ы)

перестраивают, переходя к величинам ст и £ по следующим

перестраивают, переходя к величинам ст и £ по следующим

формулам:

формулам:

М

М

Го’

Го’

(3.2.1)

(3.2.1)

где Fq - площадь поперечного сечения образца в пределах базы Zq до нагружения (начальная площадь сечения образца).

Рис. 3.5Рис. 3.5

Рис. 3.5

Рис. 3.5

Диаграмма ст(£) для растяжения малоуглеродистой стали показана на рис. 3.5. Она практически не зависит от размеров образца и фактически является характеристикой материала.

На диаграмме сг(е) можно отметить несколько характерных точек. На участке 0-1 (при а ^ стпц) зависимость между пив линейная. Это участок закона Гука, на котором

ст = Ее (а < сгпц). (3.2.2)

Коэффициент пропорциональности Е называют модулем Юнга (модулем упругости) при растяжении или модулем упругости 1-го рода, а предельные напряжения стпц, при которых еще выполняется закон Гука, называют пределом пропорциональности.

На участке 0-2 (при а < ^упр) деформации упруги, т.е. после снятия нагрузки размеры образца сразу же становятся равными его размерам до нагружения. Напряжение сгупр называется пределом упругости.

Для большинства конструкционных материалов стпц и (тупр близки. В то же время для некоторых видов пластмасс и для большинства резиноподобных материалов различие между стпц и бтуПр может быть существенным.

На участке 3-4 (при ст = сгт) происходит рост деформаций без роста напряжений, т.е. образец удлиняется при постоянной нагрузке. Это явление называют течением материала*, напряжение сгт, при котором оно происходит, — пределом текучести, а участок 3-4 на диаграмме сг(е) — площадкой текучести.

На участке ^-5, т.е. при сгт ^ а ^ стПЧ) для увеличения деформаций образца снова требуется увеличение приложенной к нему силы. Этот участок диаграммы сг(е) называют участком упрочнения, а максимальную величину а = Р/ Ю при испытании образца обозначают через стпч и называют пределом прочности. Для этой величины широко принято также обозначение а^ и название - временное сопротивление.

На участке 5-6 деформация образца сопровождается падением нагрузки и в точке 6 образец разрушается.

На рис. 3.6 показаны последовательно деформированные формы образца. На участке упрочнения (^-5) (см. рис. 3.5) на образце появляется сначала мало заметное, а потом все более явное местное сужение, называемое шейкой, развитие которого заканчивается разрывом образца.

Обратим внимание читателя на тот факт, что до появления шейки деформация образца на базе Iq однородна и площадь его поперечного сечения F мало отличается от своей начальной величины Fq. Поэтому на этом этапе испытания величина а = = Р/Fq близка к напряжениям в образце. Но при появлении шейки деформация становится неоднородной и величина а = = Р/Fo близка к напряжениям в образце вне шейки. В том же месте образца, где образовалась шейка, нормальные напряжения в поперечных сечениях образца меняются как по длине образца, так и в поперечном сечении. Они достигают своего мак-

симального значения в самом тонком сечении шейки, площадь которого обозначим через F. Тогда среднее по этому сечению напряжение равно Р/F, его часто называют истинным напряжением и обозначают сгист. В процессе деформаций образца истинные напряжения сгист всегда возрастают, их график показан на рис. 3.5 пунктиром.

Рис. 3.6

Учитывая эти особенности испытаний, диаграмму сг(е) называют диаграммой условных напряжений. Получаемое по ней значение предела прочности стпч = Дпах/^о значительно меньше истинных напряжений в шейке в момент разрыва образца. Поэтому (тпч называют условным пределом прочности. Несмотря на свою условность, он является достаточно удобной характеристикой для сравнения прочности различных материалов

Характерные напряжения сгпц, ^упр, <^т и аПч, а также модуль упругости при растяжении Е называют механическими характеристиками материала.

Диаграмма Р(^1) и соответствующая ей диаграмма cr(s), показанные на рисунках 3.4, 3.5, получены при таком испытании образца, в процессе которого его деформация постоянно растет. Если остановить рост деформации образца и начать ее уменьшать, то нагрузка на образец уменьшится. Такой процесс называют разгрузкой. На рис. 3.7 стрелками показан ход диаграммы сг(е) при нагрузке образца до точки В и далее при разгрузке. При этом характерно, что зависимость сг(е) на участке разгрузки В-D практически является прямой линией, которая параллельна участку закона Гука О-А.

В точке D нагрузка на образец отсутствует, а его деформация еост при этом называется остаточной деформацией.

Если этот образец снова начать нагружать, то его диаграммой ст(£) будет кривая ВВС. Процесс догрузки показан стрелка-

ми на рис. 3.7. Таким образом, предварительно деформированный образец будет уже деформироваться без площадки текучести, а его предел пропорциональности, соответствующий напряжению в точке В, будет выше бтПц для недеформирован- ного образца. Этим свойством иногда пользуются для увеличения сгПц путем предварительного деформирования материала. Следует, однако, заметить, что выигрывая в величине бтпц при растяжении, мы при этом уменьшаем стпц при сжатии. Поэтому такую модификацию свойств материми на рис. 3.7. Таким образом, предварительно деформированный образец будет уже деформироваться без площадки текучести, а его предел пропорциональности, соответствующий напряжению в точке В, будет выше бтПц для недеформирован- ного образца. Этим свойством иногда пользуются для увеличения сгПц путем предварительного деформирования материала. Следует, однако, заметить, что выигрывая в величине бтпц при растяжении, мы при этом уменьшаем стпц при сжатии. Поэтому такую модификацию свойств материНмНмООНагрузкаНагрузкаССft^: Разгрузка ГI д/^ Догрузка£остft^: Разгрузка ГI д/^ Догрузка£остРис. 3.7Рис. 3.788

ми на рис. 3.7. Таким образом, предварительно деформированный образец будет уже деформироваться без площадки текучести, а его предел пропорциональности, соответствующий напряжению в точке В, будет выше бтПц для недеформирован- ного образца. Этим свойством иногда пользуются для увеличения сгПц путем предварительного деформирования материала. Следует, однако, заметить, что выигрывая в величине бтпц при растяжении, мы при этом уменьшаем стпц при сжатии. Поэтому такую модификацию свойств матери

ми на рис. 3.7. Таким образом, предварительно деформированный образец будет уже деформироваться без площадки текучести, а его предел пропорциональности, соответствующий напряжению в точке В, будет выше бтПц для недеформирован- ного образца. Этим свойством иногда пользуются для увеличения сгПц путем предварительного деформирования материала. Следует, однако, заметить, что выигрывая в величине бтпц при растяжении, мы при этом уменьшаем стпц при сжатии. Поэтому такую модификацию свойств матери

Нм

Нм

О

О

Нагрузка

Нагрузка

С

С

ft^

: Разгрузка Г

I д/^ Догрузка

£ост

ft^

: Разгрузка Г

I д/^ Догрузка

£ост

Рис. 3.7

Рис. 3.7

8

8

ала при растяжении имеет смысл проводить лишь в том случае, если он будет в конструкции работать только на растяжение.

Такие же свойства материал приобретает и в результате некоторых технологических операций, как, например, холодная штамповка, гибка и т.п. Говорят, что материал приобретает технологический наклеп.

Отметим, что после отпуска (нагрева до характерной для данного материала температуры отпуска и последующем медленном охлаждении) диаграмма ст(Д деформированного образца становится такой же, как у недеформированного. Иными словами, отпуск снимает все изменения, которые накопились в материале за счет его деформирования, в том числе и остаточные напряжения.

Изложенная выше методика испытаний и соответ

ствующая ей терминология складывались постепенно и включили в себя результаты работ многих ученых. Окончательную форму они приняли в XIX веке, когда основным конструкционным материалом была малоуглеродистая сталь. Диаграмма сг(Д

для этой стали с ее характерными точками (см. рис. 3.5) и определила номенклатуру механических характеристик.

В XX веке во многом под влиянием требований авиации стали широко использоваться новые кон

струкционные материалы — сплавы

алюминия, магния, а в последнее де-ис‘ '

сятилетие и сплавы титана. Эти материалы имеют диаграмму cr(s) (рис. 3.8), для которой характерно отсутствие ярко выраженной площадки текучести.

Разработанные для стали механические характеристики оказались удобными в расчетах. В результате этого, а также в силу

Рис. 3.9Рис. 3.9традиций, номенклатуру механических характеристик для новых материалов стремились привести к уже используемой. Для них были введены условные пределы упругости и текучести. При этом за условный предел упругости принято напряжение, при достижении которого и последующей разгрузке остаточная деформация образца составляет еост = 5 • КГ5 = 0,005 %. Такой предел упругости обозначают через стодоб (рис. 3.9). Иногда за предел упругости

Рис. 3.9

Рис. 3.9

принимают напряжение оддо!, т-е- такое, которому соответствует остаточная деформация ст0СТ = 0,001 %.

В качестве условного предела текучести обычно берется одд, т.е. напряжение, соответствующее остаточной деформации ^ост = 0,002 = 0,2% (рис. 3.9). В

Рис. 3.10Рис. 3.10некоторых случаях в качестве предела текучести принимается одд.

Рис. 3.10

Рис. 3.10

В большинстве случаев достаточная для инженерной практики точность расчета достигается в предположении, что деформация материала пропорциональна напряжениям, т.е. подчиняется закону Гука, вплоть до бгт. Такое предположе

ние соответствует замене реальной диаграммы сг(е) ломаной, которая показана на рис. 3.10 пунктиром. Фактически такое предположение отождествляет стпц с сгт.

Испытания материалов при сжатии проводятся на коротких образцах, изготовленных в форме кубов, а также

призм или цилиндров с высотой, немногим превышающей минимальный поперечный размер. Так, для цилиндрического образца диаметром в один сантиметр высота берется не больше двух диаметров. Это вызвано тем, что при большей высоте образца его сжатие будет сопровождаться искривлением, что исказит результаты испытаний.

Диаграмма сг(е) при сжатии строится по диаграмме Р(^1) точно так же, как и при растяжении, т.е. по формулам (3.2.1). Вид этой диаграммы для образца из малоуглеродистой стали показан штрихпунктиром 3 на рис. 3.11. Для сравнения там же приведены диаграммы сг(е) (сплошная линия 1) и стист(Д (штриховая линия 2) при растяжении.

При сжатии образец укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются. Причем из-за трения между торцами образ

ца и плитами сжимающего его пресса образец принимает бочкообразную форму. На рис. 3.12 показаны последовательные деформированные формы цилиндрического образца из малоуглеродистой стали. Ввиду высоких пластических свойств этого материала образцы из него при испытаниях на сжатие не удается разрушить.

Чтобы отличить механические

характеристики при растяжении и Рис. 3.11 сжатии, к их обозначениям добавля

ют в индексе буквы «р» и «с» соответственно. Так, предел текучести при растяжении обозначается через сгтр, а при сжатии через сгтс.

В табл. 3.1 даны наиболее важные для расчетов механические характеристики некоторых часто используемых в конструкциях материалов. В этой таблице приведены также значения удлинений при разрыве; 5 — среднее, остаточное удлинение,

Рис. 3.12Рис. 3.12которое получает при разрыве участок образца с первоначальной длиной, равной пяти начальным диаметрам образца и такой, что шейка образовалась как раз в его середине. Иногда 6 подсчитывают на базе в 10 диаметров.

Рис. 3.12

Рис. 3.12

Для измерения 5 на образце до испытания наносят ряд рисок так, чтобы

расстояние между ними было равно диаметру образца. После разрыва образца совмещают его части по сечению разрыва и замеряют расстояние Zi между теми двумя рисками, которые

примерно симметрично расположены по отношению к шейке и расстояние между ними до испытания было равно 5d. Тогда 5 можно подсчитать как

5 = У-— ■ 100 %.

Материалы, которые способны получать большие остаточные деформации до разрушения, называют пластичними.

Пластические свойства материалов определяются их текучестью. Механизм течения материала состоит в скольжении его частиц друг относительно друга по поверхности скольжения. При растяжении и сжатии эти поверхности располагаются под углом около 45° по отношению к оси образца (рис. 3.13 а).

Материал

Термообработка

Е, МПа

МПа

1

2

3

4

Сталь малоуглеродистая

Незакаленная

2 • 10=

250

Сталь 30

Незакаленная

2 ■ 106

330

Сталь 30

Закаленная

2 ■ 105

1030

Сталь 45

Незакаленная

2 ■ 105

370

Сталь 45

Закаленная

2 • 105

1040

Сталь 30 ХГСА

То же

2 • 10=

1400

Сталь ЭИ503

То же

1,8-105

800

Чугун серый СЧ28

-

0,7-105

140

1

2

3

4

Алюминиевый сплав Д 16

Закалка + естественное старе-

0,75-10®

320

OxО

Таблица 3.1

[а

СТ вс ?

МПа

8, %

7

8

1

-

42

1

-

28

Ю

-

11

1

-

24

Ю

-

13

:о

-

10

ю

-

15

з

640

0,6

ч а н и е табл. 3.1

7

Внешне этот эффект хорошо наблюдается при растяжении полированных образцов, блестящая поверхность которых при наступлении текучести становится матовой. Под микроскопом хо-

Рис. 3.13Рис. 3.13рошо видно, что это происходит за счет появления на поверхности сетки полос, наклоненных под углом 45° к оси образца (рис. 3.13 б\ Эти полосы являются следами поверхностей скольжения на поверхности образца. Их называют линиями Людерса- Чернова. Впервые они были независимо описаны немецким ученым В. Людерсом (1860) и известным русским ученым, одним из основателей металловедения Д. К. Черновым (1884).

Рис. 3.13

Рис. 3.13

Материалы, которые, наоборот, способны разрушаться без образования заметных остаточных деформаций, на-

зывают хрупкими. Удлинение при разрыве 5 как раз и характеризует пластические свойства материала. Обычно для хрупких

Рис. 3.14Рис. 3.14материалов 5 не превышает 2 4- 5 %. Величину 5 = 5% условно принимают за границу, разделяющую хрупкие и пластичные материалы.

Рис. 3.14

Рис. 3.14

Пластичными материалами являются стали, сплавы алюминия и титана и большинство других конструкционных материалов. Пластичность лежит в основе многих технологических процессов, таких, как гибка, штамповка, волочение и т.п. Хрупкими материалами являются чугун, стекло, бетон и др.

Диаграмма сг(е) для хрупкого материала показана на рис. 3.14. У

такого материала отсутствует явление текучести и деформации упруги почти вплоть до разрушения. Как правило, для пластичных материалов пределы текучести при растяжении сгтр и сжатии атс близки и их принято считать равными. Для хрупких же материалов характерно существенное различие между пределами прочности при растяжении стпч.р и бтпч.с- Так, для чугуна

отношение бтпч.р/^пч.с лежит в пределах 0,2 4- 0,4. Еще меньше это отношение для бетона и керамических материалов.

Характер разрушения образцов из хрупких материалов при растяжении и сжатии различен. При растяжении образец разрушается по плоскости, нормальной к оси образца, т.е. к продольной силе (рис. 3.15 а). При сжатии же разрушение происходит по плоскостям, наклонным к оси образца примерно под углом в 45° (рис. 3.15 5), или

по продольным плоскостям (рис. 3.15 в). Последний вид разрушения происходит, если приняты специальные меры для устранения трения между торцами образца и плитами пресса, для чего их смазывают парафином или другими аналогичными смазывающими веществами. Объяснение таких форм разрушения будет дано в гл. 11.

Некоторые материалы, наоборот, лучше работают на

Рис. 3.15Рис. 3.15растяжение, чем на сжатие. К ним относятся материалы,

Рис. 3.15

Рис. 3.15

имеющие волокнистую или слоистую структуру, такие, как дерево, некоторые виды композитных материалов. Но встречаются и металлы, обладающие таким свойством, например, магний.

Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона

В экспериментах на растяжение и сжатие замечено, что продольная деформация образца всегда сопровождается по

перечной деформацией. При удлинении образца его поперечные размеры уменьшаются не только при образовании шейки, но и с самого начала деформирования образ

ца, а при сжатии поперечные

размеры образца увеличива-Рис- 3.16

ются. На рис. 3.16 пунктиром

показана деформированная форма базового участка образца, размеры которого до деформации были Zq и cZq, а в результате деформации изменились на величины AZ и Ас/. Тогда его отно-

сительные деформации будут

и (3-ЗЛ)

Знак « —» в выражении для е^ учитывает, что поперечный размер уменьшается и поэтому его относительная деформация отрицательна.

Опыты показывают, что при деформациях в пределах закона Гука отношение между продольной еж и поперечной еу деформациями остается постоянным, т.е.

— Рех, (3.3.2) где ц — постоянный коэффициент, называемый коэффициентом Пуассона. Величина ц зависит только от материала и поэтому является его механической характеристикой.

Для металлов величина и, лежит обычно в пределах

0,2 4- 0,35, а для различных0,2 4- 0,35, а для различныхизотропных материалов — 0 4- 0,5.

0,2 4- 0,35, а для различных

0,2 4- 0,35, а для различных

Заметим, что из физических соображений ц ^ 0,5. Для того чтобы понять этот факт, рассмотрим объемную деформацию кубика с единичными ребрами, растянутого в одном из координатных направлений.

На рис. 3.17 штриховыми линиями показано деформированное состояние такого кубика. Его ребра в направлении растяжения удлинятся на величину £, а в поперечном

Рис. 3.17направлении укоротятся на вели

чину /ле. Найдем приращение объема ДУ кубика. Его объем до деформации Уд = 1 • 1 • 1, а после деформации У = (1 + Д(1 — це)(1 — це). Тогда

ди = V-Vo = (1 + е)(1-де)(1-^е)-1 = (1-2^)£-//£2 + Де3.

Так как деформации малы, т.е. £ ^ 1,то вторым и третьим слагаемыми в этой сумме можно пренебречь по сравнению с первым. Поэтому

ДУ ^(1-2ц)е. (3.3.3)

Отсюда видно, что ДУ = 0 при ц = 0,5. А это значит, что объем материала при деформации не изменяется, т.е. материал является несжимаемым. Практически несжимаемыми являются многие жидкости. Опыты показывают, что при течении металлов величина ц также близка к 0,5.

Если бы коэффициент ц оказался большим 0,5, то, как следует из формулы (3.3.3), такой материал обладал бы парадоксальными свойствами: при растягивающих деформациях его объем

уменьшался бы, а при сжимающих — увеличивался. Такое свойство позволило бы создать вечный двигатель. Мы себе такой задачи не ставим, но читатель при

некоторой доле фантазии может придумать подобные гипотетические двигатели. Основу такого двигателя могло бы составить устройство, изображенное на рис. 3.18. Оно состоит из абсолютно жесткого цилиндра 1 с поршнем 2. Объем цилиндра заполнен несжимаемой жидкостью 3, в которую погружен некоторый объем 4 из материала с ц > 0,5. При нагружении поршня силой Р объем 4 увеличился бы и поршень передвинулся бы навстречу силе, т.е. была бы совершена отрицательная работа.

Иными словами, если бы сила Р создавалась каким-либо грузом, то этот груз вместе с поршнем 2 поднялся бы на некоторую величину и таким образом совершенно «бесплатно» образовался бы необходимый для вечного двигателя запас энергии.

. Поперечные деформации в экспериментах на растяжение впервые, по-видимому, были отмечены Т. Юнгом и описаны в его курсе лекций по натурфилософии в 1807 г. Французский ученый С. Пуассон (1781-1840) в 1829 г. теоретически пришел к выводу о необходимости появления поперечных деформаций. При этом он исходил из модели среды как системы частиц, между которыми действуют молекулярные силы.

Влияние условий при испытаниях на механические характеристики

Деление материалов на пластичные и хрупкие является условным и не только потому, что условной является граница 5 = 5 %. Эти свойства во многом зависят от внешних условий, при которых производятся испытания. Так, при низких температурах сталь может стать хрупким материалом, а образец из чугуна, испытываемый при высоком давлении, разрушается с образованием шейки и ведет себя как пластичный материал. Одна и та же высоколегированная сталь может быть пластичной после отпуска и хрупкой после закалки.

На рис. 3.19 даны зависимости модуля упругости Е. предела прочности ств, предела текучести сгт и удлинения при разрыве 5 для малоуглеродистой стали от температуры, при которой проводятся испытания.

Некоторое ухудшение пластических свойств в области температур 150 4- 300° характерно только для малоуглеродистых

сталей. Легированные стали и сплавы алюминия обычно при повышении температуры улучшают пластические свойства. На рис. 3.20 приведено изменение предела текучести сгт при нагреве

Рис. 3.19Рис. 3.19для алюминиевых сплавов, употребляемых в США.

Рис. 3.19

Рис. 3.19

При понижении температуры и углублении в область отрицательных температур пластические свойства практически всех материалов ухудшаются. Как говорят, происходит «охрупчивание» материалов. С этим явлением приходится считаться при проектировании машин, предназначенных для работы в северных районах нашей страны. В частности, для таких машин подбираются материалы, менее чувствительные к

низким температурам.

Влияние связанных с повышением температуры технологических операций, таких, как закалка и отпуск, на механические

Рис. 3.20Рис. 3.20-1-1лах 10 5 4- 10 2лах 10 5 4- 10 2характеристики можно проследить по табл. 3.1. Закалка обычно приводит к ухудшению пластических свойств сталей, а отпуск — к их восстановлению.

Рис. 3.20

Рис. 3.20

-1

-1

лах 10 5 4- 10 2

лах 10 5 4- 10 2

Другим фактором, от которого зависят механические характеристики материалов, является время.

На обычных испытательных машинах скорость деформирования образцов de/dt невелика, она лежит в преде-

и поэтому практически не сказывается на

результатах испытаний. По мере увеличения скорости деформи

рования наступают такие условия, когда пластические деформации не успевают полностью развиться. Поэтому с увеличени-

ем скорости деформирования сами деформации становятся все более хрупкими, а разрушающая нагрузка увеличивается из-за меньшего развития шейки. Модуль упругости от скорости практически не зависит. Это подтверждается совпадением величин модуля, полученных из испытаний на медленное статическое растяжение, и из испытаний, основанных на замере частот колебаний.

При дальнейшем увеличении скорости деформирования существенными становятся процессы распространения волн деформаций по образцам. В этих условиях волновая природа процесса делает невозможным создание необходимого для измерений поля однородных деформаций. Поэтому прямых количественных экспериментальных данных о свойствах материалов при таких скоростях деформаций пока получить не удалось. Качественно же тенденция к охрупчиванию материала и увеличению бтПч сохраняется.

В медленно протекающих процессах, которые хорошо моделируются длительным нагружением постоянными нагрузками или длительной постоянной деформацией, существенным оказывается сама длительность нагружения или деформации.

Простейшим экспериментом такого рода является растяжение образца под действием постоянной во времени нагрузки. Даже если возникающие при этом напряжения а = P/F^ меньше предела упругости, в экспериментах отмечается рост деформаций во времени. Особенно этот эффект, названный ползучестью, проявляет себя при испытании пластмасс. Для металлов ползучесть становится существенной при повышенных темпера-

Па рис. 3.21 показан характер изменения во времени t деформации е образца при постоянных уровнях напряжений ai,

од. 0*3. Кривые 7, 2 соответствуют установившейся ползучести, кривая 3 - неустановившейся, когда скорость нарастания деформаций растет, что приводит в итоге к разрушению образца при напряжениях, которые могут быть значительно меньше стпч- Поэтому часто говорят о пределе длительной прочности как о

минимальных напряжениях, при которых ползучесть становит

ся неустановившейся.ся неустановившейся.Пунктирные кривые на рис. 3.21 демонстрируют процесс изменения деформаций в образцах после снятия с них нагрузок в точках Ан В. При этом деформация сначала сразу же уменьшается на величину упругой деформации, а со временем может ис-

ся неустановившейся.

ся неустановившейся.

0100200300 ^Ч0100200300 ^Ччезнуть полностью (кривая 1 ) или частично (2'). Процесс восстановления деформаций называется последействием.

0100200300 ^Ч

0100200300 ^Ч

Кривая В соответствует упругому, а кривая 2* — неупругому последействию.

На рис. 3.22 показаны кривые ползучести для стали ЭИ756 при температуре 600 °C и при различных значениях уровня напряжений а.

Рассмотрим другой экспе-

рис 3 22римент, демонстрирующий из' 'менение во времени напряже

Рис. 3.23Рис. 3.23ний при постоянной деформации. Сначала образцу задается деформация А (рис. 3.23), а затем его концы закрепляются. После чего замеряется сила Тф. с которой образец действует на захваты (опоры). В таком эксперименте наблюдается уменьшение напряжений во времени при постоянной деформации е = Д/Z. Эти явления называют релаксацией.

Рис. 3.23

Рис. 3.23

С явлениями ползучести и релаксации необходимо считаться при проектировании конструкций, которые длительное вре-

мя работают в условиях повышенных температур, а также конструкций из пластмасс и многих композитных материалов.

Для некоторых конструкций, например для атомных реакторов и для сооружений, предназначенных для длительной работы в космосе, необходимо учитывать фактор длительного радиоактивного облучения. Эксперименты показали, что из всех факторов такого облучения на механические свойства материалов наиболее сильно влияет нейтронное облучение.

Пролетая через массу материала, нейтроны искажают его кристаллическую решетку, создавая в материале изменения, аналогичные наклепу при технологическом деформировании материала. В результате облучения предел текучести и предел прочности материала увеличиваются, а удлинение при разрыве 6 уменьшается.

Дозу облучения принято характеризовать числом нейтронов, прошедших через 1 см2 поверхности тела, и измерять в нейтрон/см2. На рис. 3.24 показано изменение предела прочно-

Рис. 3.24

сти бтв, предела текучести сгт и удлинения при разрыве 6 при увеличении дозы облучения. Видно, что аналогично технологическому наклепу облучение приводит к охрупчиванию материала.

Испытания на сдвиг

Для исследования механических свойств материалов при второй элементарной деформации — сдвиге — испытывают плоские или трубчатые образцы.

Плоские образцы при испытаниях закрепляют в специальной

квадратной рамке, элементы которой скреплены друг с другом

Рис. 3.25по формуле т = Pfl^ где IРис. 3.25по формуле т = Pfl^ где Iшарнирно (рис. 3.25) и достаточно массивны, чтобы при испытаниях их деформации были малы и ими можно было бы пренебречь в сравнении с деформациями образца. Нагружая рамку, как это показано на рис. 3.25, строят зависимость Р от угла сдвига у, выбранного на образце базового квадрата. Для исключения влияния размеров образца от силы Р переходят к касательным напряжениям размер стороны базового квадрата,

Рис. 3.25

по формуле т = Pfl^ где I

Рис. 3.25

по формуле т = Pfl^ где I

а б — толщина образца. В результате испытаний по аналогии с диаграммой cr(s) строят диаграмму г (7).

Рис. 3.26Рис. 3.26Чаще же для испытаний на сдвиг используют трубчатые образцы (рис. 3.26), которые при испытаниях закручивают моментом М. Как будет показано в гл. 6, при закручивании таких об-

Рис. 3.26

Рис. 3.26

разцов в них возникает однородная деформация сдвига. Если ср — угол поворота друг относительно друга двух базовых сечений, взятых на расстоянии I по длине образца, то ясно, что сдвиг у можно найти как

Здесь d — средний диаметр образца.

Касательные напряжения т, вызываемые моментом М, подсчитывают по формуле

3.5.23.5.2Мт = й’

3.5.2

3.5.2

2

где б — толщина базового участка образца. Эта формула будет выведена в гл. 6. Здесь же читатель легко установит связь (3.5.2) между М и т, подсчитав М как момент равномерно распреде-

ленных по поперечному сечению трубы касательных напряже

ний г, направленных касательно к контуру сечения. Для этого достаточно использовать формулу (2.3.2).

Диаграммы т(у) сходны с диаграммами cr(s) (см. рис. 3.5) при растяжении. На них отмечаются аналогичные характерные точки 1-6 (рис. 3.27) и вво

дятся аналогичные механические характеристики при сдвиге, а именно: тпц — предел пропорциональности как предельное напряжение, при котором еще выполняется закон Гука при сдвиге, т.е.

т = Gy, (3.5.3) где G — модуль упругости (Юнга) при сдвиге или

модуль упругости 2-го ро

да; Тупр — предел упругости;Рис- 3,27

тт — предел текучести; тпч (или тв) — предел прочности.

Для хрупких материалов характер диаграммы г (у) аналогичен диаграмме cr(s).

Существенна разница в характере разрушения хрупких и

Рис. 3.28Рис. 3.28пластичных образцов. На поверхности пластичных образцов при текучести появляются линии Людерса-Чернова, направленные вдоль оси образца и перпендикулярно к ней. Разрушение та-

Рис. 3.28

Рис. 3.28

ких образцов происходит путем среза по поперечному сечению (рис. 3.28 а). Это свидетельствует о том, что причиной разрушения является появление предельно допустимых для материала касательных напряжений.

Разрушение хрупких образцов из материалов, хуже работающих на растяжение, чем на сжатие, происходит по винтовой поверхности, которая наклонна к оси образца на угол ~ 45° (рис. 3.28 б\ Причины такого характера разрушения станут ясны позже при анализе напряженного состояния, соответствующего деформации сдвига.

Влияние различных условий, таких, как нагрев, термообработка, облучение и т.п., а также скорости нагружения при испытаниях на сдвиг в целом аналогично их влиянию при растяжении-сжатии. Имеют место и такие явления, как ползучесть и релаксация.

Вообще говоря, для изотропных материалов испытания на сдвиг не имеют самостоятельного значения. Как это будет показано в главах 5, 11, деформация сдвига специальным выбором осей координат может быть сведена к суперпозиции деформаций растяжения и сжатия в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Это позволяет теоретически построить диаграмму сдвига т^ по диаграмме сг(е) для растяжения и сжатия и установить связь между механическими характеристиками растяжения и сдвига.

На этом мы завершаем краткий обзор механических свойств материалов. Более подробно с этими вопросами читатель может ознакомиться в книгах [3, 4, 5], а также в справочной литературе по свойствам материалов [6, 7].

В.З. Контрольные вопросы

Что такое абсолютные и относительные удлинения? Чем определяется их знак?

Что называют сдвигами? Когда они положительны?

Для чего необходимо изучение механических свойств материалов?

Что такое диаграмма растяжения? Как она строится?

Почему для удобства пользования диаграмму растяжения Р(^1) перестраивают в диаграмму сг(е)? Почему последнюю называют диаграммой условных напряжений?

Назовите характерные участки на диаграмме сг(е) для малоуглеродистой стали и определяющие их напряжения.

Что называют механическими характеристиками материалов? С какой диаграммы снимают эти характеристики?

Что такое остаточная деформация?

К каким качественным изменениям в материале образца может привести разгрузка образца и затем повторное его нагружение?

10. Какой термической обработкой снимаются остаточные напряжения в материале?

Для каких материалов вводятся условные пределы упругости и текучести? Чем это вызвано?

12. Что такое удлинение при разрыве? Что отражает эта характеристика материала?

13. Какой материал называется пластичным? Приведите примеры. В чем заключается механизм течения материала? Что такое линии Людерса-Чернова?

14. Какой материал называется хрупким? Приведите примеры таких материалов. В чем различие характера разрушения этого материала при растяжении и сжатии?

15. Что такое коэффициент Пуассона?

16. Какое влияние на механические характеристики материалов оказывает изменение температуры?

Как влияет скорость деформирования на механические характеристики?

18. Что называется ползучестью и последействием? Что такое релаксация?

Как влияет радиоактивное облучение на механические характеристики материалов?

Какая диаграмма строится по результатам испытания на сдвиг? Какие характеристики материалов при этом снимаются?

ГЛАВА 4

ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА

В этой главе, а также в главах 6 и 8 мы рассмотрим элементарные напряженно-деформированные состояния бруса: центральное растяжение-сжатие, кручение и изгиб. Выбор именно этих состояний для анализа традиционен. Но в основе такой традиции лежит то, что при максимальной простоте каждого из них любое сложное напряженно-деформированное состояние бруса можно представить как их суперпозицию.

Мы будем рассматривать простейший брус — прямолинейный (с прямой осью). Пути обобщения результатов на брусья с кривой осью будут обсуждены в гл. 9.

Обращаем внимание читателя также на то, что, хотя центральное растяжение-сжатие является простейшим из элементарных состояний, использованные при его анализе идеи, методы и подходы с тем же успехом будут применены в дальнейшем и при анализе кручения и изгиба.

Централъним растяснсением-сснсатием бруса называется такое напряженно-деформированное состояние бруса, когда в его поперечных сечениях из шести внутренних силовых факторов отлична от нуля только продольная сила.

Статические дифференциальные и интегральные зависимости при центральном растяжении—сжатии

Из данного выше определения центрального растяжения-сжатия и из уравнений равновесия вида (2.1.6) отсеченной части бруса, образованной поперечным сечением, следуют определенные требования к внешним нагрузкам. Ясно, что центральное растяжение-сжатие бруса возникает только при таких нагрузках на него, при которых отлична от нуля только сумма проекций на ось бруса х всех действующих на отсеченную часть нагрузок. А суммы их проекций на лежащие в плоскости попе-

речного сечения координатные оси -у и z и суммы их моментов относительно всех трех осей равны нулю.

Для прямолинейного бруса этим условиям могут удовлетво

рять только нагрузки, равнодействующие которых направлены

Рис. 4.1Рис. 4.1строго вдоль оси бруса, т.е. вдоль оси х. Брус, нагруженный такими нагрузками, изображен на рис. 4.1, где q(x) — интенсивность погонной нагрузки, направленной вдоль оси ж, a Pi — величина сосредоточенной силы, приложенной в сечении xpi.

Рис. 4.1

Рис. 4.1

Напомним, что продольная сила считается

положительной, если она стремится растянуть отсеченную часть, к которой она приложена. Это правило знаков показано на рис. 4.2, на котором продольная сила N(xi) в сечении жх

^^▻О^х2)<0^^▻О^х2)<0Рис. 4.2Рис. 4.2положительна, a N^x^ — отрицательна. На рис. 4.2 отсеченные части, получившиеся в результате рассечения бруса по сечениям жх и Ж2, условно раздвинуты. Как видно из этого рисунка, положительная продольная сила может быть направлена и вдоль положительного

^^▻О^х2)<0

^^▻О^х2)<0

Рис. 4.2

Рис. 4.2

направления оси ж и против него в зависимости от отсеченной части, к которой она приложена. Это всегда характерно для сил взаимодействия. Поэтому знак продольной силы и других вну

N^N^N^dx^N^dNN^dx^N^dNqWqWххтренних сил всегда связывают с характером их действия на отсеченную часть.

N^

N^

N^dx^N^dN

N^dx^N^dN

qW

qW

х

х

Рис. 4.3Рис. 4.3Рассмотрим равновесие элемента бруса, выделенного из него двумя близкими поперечными сечениями с координатами ж и x-Vdx (см. рис. 4.1). Этот элемент изображен на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Рис. 4.3

Действие на него находившейся слева отброшенной части бруса заменим продольной силой N^x\ а действие правой отброшенной части - силой N^x + dx\ которая с точностью до малых высшего порядка равна ^(ж) + dN (см. п. 2.1.4). Кроме того, на элемент действует распределенная нагрузка, интенсивность

3 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

которой ввиду малости dx можно считать постоянной вдоль элемента и равной q^xY Тогда равнодействующая этой нагрузки равна q^ dx.

Ясно, что из шести условий равновесия этого элемента нетривиально только требование равенства нулю проекций действующих на него сил на ось х. Составим это условие:

^2 Рж = —N(x) + (N^ + dN) + Щ) dx = 0.(4.1.1)

Из него сразу следует соотношение

dNdxdNdx-q^Y-q^Y(4.1.2)(4.1.2)

dNdx

dNdx

-q^Y

-q^Y

(4.1.2)

(4.1.2)

Рис. 4.4Рис. 4.4Стрелки в этом соотношении, которое называют статической дифференциальной зависимостью при растяжении- сжатии, указывают на принятые при его выводе положительные направления оси х и нагрузки q^x). При изменении этих направлений знак в (4.1.2) может измениться. Читатель может легко убедиться, что при совпадении направлений х и q в (4.1.2) будет знак « —», а при несовпадении — «+».

Рис. 4.4

Рис. 4.4

Рассмотрим теперь равновесие элемента, выделенного око ло точки приложения сосредоточенной силы Pi (рис. 4.4). Из внешних сил на него действует Pi. Со сторо-

ны отброшенных частей бруса на элемент

действуют силы N(xpi — dx) и N(xpi + dx), которые так же, как в и. 2.1.5, обозначим через ^_(ж^) и ^+(ж^). Тогда условие равновесия элемента примет вид

-N (xpi) + N+(xpi) + Pi = 0.

Откуда

N+^Xpi^N-^-Pi.(4.1.3)

Это соотношение означает, что в сечении хр^ где приложена сосредоточенная сила Pi, продольная сила N испытывает скачок на величину этой силы. Характер графика (эпюры) продольной силы в окрестности точек приложения внешних сосредоточенных сил показан на рис. 4.5.

Как уже отмечалось в и. 2.1.5, в реальных брусьях скачков не может быть, но соотношение (4.1.3) отражает то обстоятель-

ство, что локальные нагрузки, направленные вдоль оси бруса, вызывают быстрое изменение продольной силы.

Соотношения (4.1.2), (4.1.3)

являются частным случаем полученных ранее выражений (2.1.11), (2.1.13) для центрального растяжения-сжатия.

Рассмотрим равновесие конечной отсеченной части 1 бруса от сечения жс до свободного конца с координатой х = I (рис. 4.6). Равнодействующую распределенной на

грузки q(x) мы можем, как и ранее, получить, разбив эту отсеченную часть на участки dx и просуммировав по участкам равнодействующие q(x) dx распределенной на них нагрузки. Тогда

I

эта равнодействующая будет равна J q(x) dx. Поэтому уравне-

Жс

ние равновесия отсеченной части 1 запишется в виде

I

52 Е = -N(xc) + J q(x) dx + ^Pi = 0.

ЖеzG 1

Отсюда получаем выражение для N(xc\.

^dxP^P^(4.1.4)ге 1^dxP^P^(4.1.4)ге 1qto Pi Piqto Pi PiРис. 4.6Рис. 4.6I

^dxP^P^(4.1.4)

ге 1

^dxP^P^(4.1.4)

ге 1

qto Pi Pi

qto Pi Pi

Рис. 4.6

Рис. 4.6

N(xc) = J q(.

Жс которое конечно совпадает с первым из полученных ранее интегральных соотношений (2.1.15).

Иногда удобно использовать уравнение равновесия для конечной отсеченной части, образованной сечениями при х = = яд и х = Х2 (рис. 4.7). Для него из условия равновесия Рж = 0 имеем

ж2

(4.1.5)(4.1.5)ЛЩ) = N(x^ - J q(x) dx — 52 P"

(4.1.5)

(4.1.5)

Ж1ге[жх,Ж2]

Выражения (4.1.4) и (4.1.5) с математической точки зрения представляют собой возможные формы общего решения дифференциального уравнения (4.1.2) с учетом скачков при х = хрг

з*

функции N($y определенных соотношениями вида (4.1.3). Так же, как и в и. 2.1.6, в этом можно убедиться, продифференцировав (4.1.4) по жс, а (4.1.5), например, по #2- Учитывая прави-

Рис. 4.7Рис. 4.7

Рис. 4.7

Рис. 4.7

Рис. 4.7

ло дифференцирования интеграла по переменному пределу (см.

п. 2.1.6), получаем соответственно

dN/ XdN, X

-— = -qlxc) и — = -qV$2h

dxcdx2

что совпадает с точностью до обозначения координатной оси с соотношением (4.1.2).

Геометрические дифференциальные и интегральные зависимости при центральном растяжении—сжатии

Рассмотрим геометрию деформаций бруса сначала в том простейшем случае центрального растяжения-сжатия, который реализуется при испытании образцов (см. разд. 3.2), т.е. рассмотрим деформацию бруса, нагруженного по концам силами Р вдоль его оси (рис. 4.8). Вблизи концов бруса образуются зоны Сен-Венана, в которых напряженное состояние зависит от того, как конструктивно реализуется передача растягивающих сил на брус. На остальной части бруса напряженно-деформированное

состояние будет однородным, т.е. неизменным по длине бруса. Так как внешние силы Р приложены по оси бруса, то центральное растяжение-сжатие в нем может возникнуть только тогда, когда его ось при деформации остается прямой (рис. 4.9 а). Действительно, как это видно из рис. 4.9 5, если ось бруса изгибается, что может произойти при потере устойчивости под действием сжимающих усилий, в сечении бруса возникнет

изгибающий момент Mz = Ру, т.е. такое состояние бруса уже не будет центральным растяжением-сжатием, и оно будет изучаться специально в гл. 10.

Итак, при центральном растяжении-сжатии прямая до деформации ось бруса остается прямой и при деформации.

Рис. 4.9Рис. 4.9

Рис. 4.9

Рис. 4.9

В А СВ А СРис. 4.10 сечения бруса при егоРис. 4.10 сечения бруса при его

В А С

В А С

Рис. 4.10 сечения бруса при его

Рис. 4.10 сечения бруса при его

Рассмотрим теперь произвольное поперечное сечение бруса в зоне его однородной деформации, например сечение А-А. Двумя поперечными сечениями В-В и (7-(7, симметричными относительно А-А, выделим элемент бруса и рассмотрим его деформацию. В силу однородности состояния этот симметричный эле

мент симметрично нагружен распределенными по сечениям С-С и В-В внутренними силами (напряжениями) , равнодействующими которых являются продольные силы N (рис. 4.10). Симметрия элемента и деформирующей его нагрузки относительно сечения А-А позволяет заключить, что это сечение остается при деформации бруса плоским и нормальным к оси бруса. А так как сечение А-А было выбрано произвольно, то отсюда следует, что все

растяжении-сжатии остаются плоскими и нормальными к его оси (кроме, конечно, сечений в зонах Сен-Венана).

При неоднородной по длине бруса деформации, а также для брусьев переменного сечения такой характер деформации бруса уже нельзя доказать строго либо ввиду отсутствия симметрии в нагружении элемента, либо из-за несимметричности самого элемента. Для этих случаев мы будем постулировать именно такой характер деформации, принимая гипотезу, которую называют гипотезой плоских сечений.

При центральном растяснсении-сснсатии ось бруса остается прямолинейной, а плоские до деформации поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформации.

Впервые она была предложена Я. Бернулли в 1694 г. в более сложной задаче об изгибе бруса.

Рис. 4.11Рис. 4.11Рассмотрим теперь соответствующую гипотезе плоских сечений деформацию элемента бруса длиной dx, выделенного поперечными сечениями с координатами х и x+dx (рис. 4.11). Пусть и(х) - перемещение сечения и будем считать, что и > 0, если сечение перемещается вправо. Тогда перемещение u^x-Vdx) сечения х + dx с точностью до малых высшего порядка будет равно

Рис. 4.11

Рис. 4.11

и(х + dx) = и(х) + du.

(4.2.1)

На рис. 4.11 элемент dx после деформации показан пунктиром.

Ввиду малости dx деформацию элемента можно считать однородной. Это

A dxdxA dxdxпозволяет непосредственно использовать для ее исследования результаты экспериментов на растяжение-сжатие, описанных в гл. 3. Для этого по аналогии с принятой при описании эксперимента относительной деформацией е = AZ/Z введем для описания деформаций элемента относительное удлинение

A dxdx

A dxdx

(4.2.2)

Здесь z\dx — удлинение элемента dx. Ясно, что оно равно разности перемещений его концевых сечений:

A dx = и^х + dx) — и^х).(4.2.3)

du dxdu dxУчитывая (4.2.1), получаем, что AcZx = du и поэтому

du dx

du dx

(4.2.4)

Это соотношение называют геометрическим дифференциальным соотношением при растяжении-сжатии. Так же, как и статическое дифференциальное соотношение (4.1.2), его можно рассматривать как дифференциальное уравнение для перемещения и и находить и как решение этого уравнения. Только в отличие от продольной силы N перемещение и является по своей физической природе непрерывной функцией. Действительно, разрыв (скачок) в перемещении и означает, что перемещения бесконечно близких сечений, лежащих по разную сторону

от сечения, где произошел скачок щ различаются на конечную величину. А это значит, что произошел разрыв бруса, т.е. брус разрушился.

Учитывая непрерывность щ общее решение можем получить, проинтегрировав соотношение (4.2.4):

XX

J du = J ех dx.

жожо

Вычисляя интеграл в левой части этого соотношения, получаем

хи^ — U^X^ = J Ех dx,жо

или

ж

и(х) = п(жо) + J Exdx.(4.2.5)

ж0

Здесь u(xq) и и(х) — перемещения сечений с координатами xq и х соответственно.

Из решения (4.2.5) можно легко получить удлинение конечного участка бруса между сечениями х\ и х^. Так как по смыслу это удлинение AZ равно разности и^Х2^—и^х^ перемещений концевых сечений участка, то

Ж2

М = и^х^ — и^х\^ = J Exdx.(4.2.6)

Ж1

Если начальная длина этого участка ж 2 — х\ равна Z, то соотношение (4.2.6) удобно записать в форме

AZ = fe^dx.(4.2.7)

I

Такая запись, в частности, подчеркивает тот факт, что удлинение участка бруса не зависит от выбора начала координаты х.

Чтобы подчеркнуть физический смысл соотношения (4.2.7), обратим внимание читателя на то, что еж dx по смыслу выражения (4.2.2) является удлинением AcZж элементарного участка бруса dx. Учтем также, что интеграл является пределом интегральной суммы. Тогда формула (4.2.7) отражает простой геометрический факт, что удлинение участка бруса I складывается из удлинений AcZж элементарных участков dx, на которые разбит конечный участок I.

Заметим, что в некоторых конструкциях разрыв в перемещениях может быть специально предусмотрен. В таких конструкциях этот зазор либо исчезает в результате деформаций, либо,

наоборот, появляется. Широко известным примером такой конструкции является механизм открытия клапанов в автомобильном двигателе. В нем предусмотрен тепловой зазор, который имеет место в холодном двигателе и исчезает по мере его нагрева. Наличие такого рода разрыва г в перемещениях в сечении хт бруса при центральном растяжении-сжатии можно описать условием, аналогичным условию (4.1.3):

и^хт^ — гГ(хт) = г.(4.2.8)

Здесь

м+(жг) = и^хт + dx\ и~(хг) = и^хт — dx\

Тогда, если разрыв попадает на участок интегрирования xq, х (жо < хг < х\ соотношение (4.2.5) принимает вид

х

п(ж) = п(жо) + J Exdx-Vr.(4.2.9)

жо

Если разрыв находится на участке Z, то соотношение (4.2.7) следует записать так:

AZ = Jedx + r.(4.2.10)

I

Физическая сторона задачи центрального растяжения—сжатия бруса

Дифференциальные и интегральные соотношения двух предыдущих разделов были построены на основании соотношений статики (условий равновесия) (см. разд. 4.1) или описывали геометрию деформаций (см. разд. 4.2), соответствующих гипотезе плоских сечений. Эти соотношения никак не связаны с материалом бруса и справедливы для брусьев из любого материала. Но связать их между собой можно только, учитывая свойства материала бруса.

Итак, рассмотрим брус из изотропного материала. Гипотеза плоских сечений устанавливает такую геометрию деформаций при растяжении-сжатии, что все продольные волокна бруса имеют одинаковую деформацию еЖ1 независимо от их положения в поперечном сечении F, т.е.

ех = const по F.(4.3.1)

Предположим, что все продольные волокна деформируются совершенно одинаково не только в продольном, но и в поперечном направлениях, т.е. что деформация бруса однородна по сечению. Рассмотрим теперь такие продольные волокна, которые частью своей боковой поверхности расположены на поверхности

бруса, как, например, волокно, показанное на рис. 4.12. Поскольку на боковую поверхность бруса при центральном растяжении-

Рис. 4.12Рис. 4.12сжатии не действуют никакие нагрузки, в том числе и давление, то из однородности деформаций по сечению следует, что на всей боковой поверхности граничного волокна не действуют никакие нагрузки. Переходя от граничного волокна к соседнему внутреннему, точно так же заключаем, что и его боковые поверхности свободны от нагрузок. А это значит, что при центральном растяжении-сжатии

Рис. 4.12

Рис. 4.12

продольные волокна бруса между собой не взаимодействуют. Тогда можно считать, что все продольные волокна бруса находятся

в таких условиях, в каких находится образец при его испытании на растяжение-сжатие. Иными словами, предположение об однородности деформации по сечению позволяет перенести результаты испытаний образцов на брусья произвольного поперечного сечения и произвольных размеров. И теперь на основании (4.3.1) мы можем заключить, что в случае растяжения-сжатия однородного бруса нормальные напряжения также постоянны по поперечному сечению бруса, т.е.

ах = const по F. (4.3.2)

А это позволяет сразу же установить связь между напряжениями ах и продольной силой N. Как было показано в разд. 2.3, интегральная связь между N и ах имеет вид

(4.3.3)(4.3.3)N = J стх dF.

(4.3.3)

(4.3.3)

F

Отсюда с учетом (4.3.2) имеем

N = ах J dF = dxF или ах = ^. (4.3.4) F

Связь между напряжениями ах и деформациями ех в соответствии с принятыми допущениями тождественна получаемой в экспериментах на растяжение-сжатие связи между а и е, т.е. диаграмме cr(s). Иными словами, для напряжений ах по диаграмме cr(s) при ст = сгх определяются деформации е = еЖ1 которые, в свою очередь, можно использовать для определения с помощью соотношений разд. 4.2 перемещений сечений бруса

или удлинений всего бруса и его участков. Конечно, на площадке текучести при ах = ат деформация ех не определена и ее конкретная величина зависит от условий деформирования бруса или той конструкции, частью которой он является. Подробно этот вопрос будет выяснен в гл. 13.

Если деформации подчиняются закону Гука, т.е. линейно упруги, то получаемая из эксперимента связь между ах и ех наиболее проста:

Ех =Ех =-^ или ах = Еех.-^ или ах = Еех.(4.3.5)(4.3.5)

Ех =

Ех =

-^ или ах = Еех.

-^ или ах = Еех.

(4.3.5)

(4.3.5)

Значительно более сложны соотношения между ах и еЖ) предназначенные для описания таких явлений, как ползучесть и релаксация. В эти соотношения обязательно должно входить время. В рамках данного курса мы этих вопросов касаться не будем и для первого знакомства с ними рекомендуем читателю обратиться к книгам [5, 8].

Методика расчета напряженно-деформированного состояния при центральном растяжении—сжатии (статически определимые конструкции)

К этому моменту нами уже рассмотрены все необходимые методы и соотношения, позволяющие полностью рассчитать напряженно-деформированное состояние бруса, работающего на растяжение-сжатие, или конструкций, состоящих из таких брусьев. Наиболее просто произвести такой расчет для конструкций, в которых продольные силы можно определить методом сечений из условий равновесия, т.е. для статически определимых конструкций.

Методика расчета в таком случае состоит из следующих этапов.

Определение продольных сил методом сечений из условий равновесия отсеченных частей. Результатом такой операции для отдельного бруса будет знание продольных сил N(x) во всех сечениях бруса в зависимости от координаты сечения х по длине бруса I. При вычислении на этом этапе удобно пользоваться статическими дифференциальными и интегральными зависимостями:

N(x) = N(xq) — J q^dx— У^ P^ x > x^.(4.4.2)

жоге[жо,ж]

Определение напряжений в сечениях бруса по формуле

(4.4.3)(4.4.3)N(x) Е(х)*

(4.4.3)

(4.4.3)

Определение по диаграмме сг(е) деформаций Еж(хУ соответствующих напряжениям щДж). Если деформации линейно

упруги, тоупруги, тоеЩ) =еЩ) =сгж(ж) _ N(x) Е "" ЕЕ^хУсгж(ж) _ N(x) Е "" ЕЕ^хУ(4.4.4)(4.4.4)

упруги, то

упруги, то

еЩ) =

еЩ) =

сгж(ж) _ N(x) Е "" ЕЕ^хУ

сгж(ж) _ N(x) Е "" ЕЕ^хУ

(4.4.4)

(4.4.4)

Определение перемещений и сечений бруса и удлинений всего бруса длиной I или его частей. При вычислениях на этом этапе удобно пользоваться геометрическими дифференциальными и интегральными зависимостями:

(4.4.5)

Ж

и(х) = п(жо) + J ех^(1х^(4.4.6)

жо

AZ = J Ex(x)dx. (4.4.7) I

Рассмотрим пример расчета по этой методике.

Пример 4.1. Рассчитаем напряженно-деформированное состояние бруса, показанного на рис. 4.13 а. На участке между сечениями 0 и 1 площадь поперечного сечения бруса равна 2F, а на участке 1-3 — F. В сечении 1 к брусу приложена сосредоточенная сила 2^о^« На участке 1-3 брус нагружен погонной распределенной нагрузкой ^(ж), график которой показан на рис. 4.13 б. В прочностных расчетах принято называть графики каких-либо величин эпюрами. Обычно эпюры строят с точностью до постоянного множителя, который указывается рядом с эпюрой в фигурных скобках.

При построении эпюры N(x) (рис. 4.13 в) удобно сначала по статической дифференциальной зависимости (4.4.1) предсказать характер изменения N(x) на участке. Потом методом сечений найти величины N в начале и конце участка, а при необходимости и построить аналитическое выражение N(x) на участке.

На участке 0-1 интенсивность погонной нагрузки q(x) = 0, поэтому из (4.4.1) видно, что dN/dx = 0. Следовательно, продольная сила N на этом участке постоянна. Значит, достаточно найти ее в любом сечении. Для этого рассечем брус в произвольном сечении на участке и рассмотрим равновесие отсеченной части, показанной на рис. 4.14 а. В данной задаче можно составить только условия равновесия правой отсеченной части, поскольку левая отсеченная часть закреплена и не имеет степеней свободы. При составлении условий равновесия отсеченных

частей удобно направлять продольную силу 7V в положительном направлении, т.е. так, чтобы она стремилась растянуть отсечен

ную часть, к которой приложена. В этом случае растягивающие продольные силы в результате вычислений окажутся положительными, а сжимающие — отрицательными, что соответствует принятому для 7V правилу знаков.

Составим для отсеченной части, показанной на рис. 4.14 а, условие равновесия ^) Рж = 0:

(4.4.8)(4.4.8)—7Vo-i — 2qo^ + J q^ dx = 0.

(4.4.8)

(4.4.8)

1-3

В этом уравнении последнее слагаемое является равнодействующей распределенной нагрузки на участке 1-3. Для ее определения нет необходимости вычислять интеграл аналитически.

ь

Достаточно вспомнить, что J f(x)dx есть площадь между гра- а

фиком /(ж), осью х и абсциссами ж=аиж=6и она положительна, если /(ж) > 0. У нас есть график ^(ж) (см. рис. 4.13 5). Подсчитав площадь этого графика на участке 1-3, получим искомую равнодействующую ^(ж):

/ q^ dx = qoa + ^qoa = |goa.

1-3

Тогда из (4.4.8) получаем продольную силу TVq-i на участке 0-1:

1а

N0_i = --q^a.

Она постоянна. Изобразим ее на эпюре N(x) (рис. 4.13 в).

Найдем теперь N(x) на участке 1-2, на котором q^ = qo = const, dN и, следовательно, -— = dx

= —qo = const. А это означает, что на участке 1-2 TV (ж) меняется по линейному закону. Поэтому для построения эпюры 7V(ж) на этом участке достаточно найти две точки, через которые проходит соответствующая ей прямая линия. Для этого рассмотрим две отсеченные части, одна из которых

TV+ = J ^(ж) dx =1-3TV+ = J ^(ж) dx =1-333вправо на расстояние dx от сечения 1, а другая — сечением 2. Первая отсеченная часть показана на рис. 4.14 б. Для ее равновесия необходимо, чтобы 7V+ (см. и. 4.1.3) была равна равнодействующей распределенной нагрузки, т.е.

TV+ = J ^(ж) dx =

1-3

TV+ = J ^(ж) dx =

1-3

3

3

Из равновесия второй отсеченной части, показанной на рис. 4.14 в, видно, что

-^2 = J Щ) dx = ^qoa.2—3

Прямая, проходящая через эти точки на эпюре N (рис. 4.13 в), и соответствует функции N(x) на участке 1-2 бруса.

Перейдем к участку 2-3. На нем q(x) меняется по линейному закону. Поэтому из статической дифференциальной зависимости dN/dx = — q^ следует, что N(x) меняется по квадратичному закону. Этот закон легко получить из условий равновесия отсеченной части, показанной на рис. 4.14 г. В качестве координаты х удобно взять расстояние от сечения 3 до текущего сечения. Тогда

Ж2

Л^2-зЮ = J^dx = 9-^.(4.4.9)

О

Легко видеть, что этот же результат получается, если равнодействующую распределенной нагрузки на отсеченной части подсчитывать как площадь показанного на рис. 4.14 д участка эпюры q^x\ Кривая, соответствующая выражению (4.4.9), изображена на участке 2-3 на рис. 4.13 в.

зз33Рис. 4.15Рис. 4.15Обычно нет необходимости строить такого рода кривые абсолютно точно. Достаточно провести их приближенно. Для этого заметим, что, если прямая полностью определяется двумя точками, через которые она проходит, то квадратичная парабола определяется тремя точками или двумя точками и касательной к ней в одной из точек. Одну из таких точек мы имеем в сечении 2, где ^2 = ^9оа- Вторую точку получим, рассматривая равновесие отсеченной части, образованной сечением на

з

з

3

3

Рис. 4.15

Рис. 4.15

расстоянии dx слева от сечения 3 (рис. 4.15). Видно, что

N3 = J q(x) dx -А 0 при dx -А О,

dx

dN

т.е. Ns = 0. Так как в сечении 3 q = 0, то -— = 0, а это dx

означает, что касательная в точке 3 к той же параболе, которую мы хотим строить, горизонтальна. Этого уже достаточно, чтобы провести эту кривую через точки ^2 = ^&сц Ns = 0 и так, чтобы она касалась оси х в точке 3. Кроме того, так как в

сечении 2 нет скачка на эпюре q(xY то в этой точке парабола должна касаться прямой на участке 1-2. Строя искомую параболу по лекалу с учетом еще и этого обстоятельства, мы проведем ее уже практически точно.

Итак, эпюра N(x) построена и показана на рис. 4.13 в. Теперь для построения эпюры а(х) необходимо разделить силы N(x) на площади F(x) поперечных сечений бруса. Сделав это, получаем эпюру аж(хУ изображенную на рис. 4.13 г. Так как в нашем случае деформации упруги, т.е. еж = аж(х)/Е, то эпюра £ж(х) отличается от эпюры аж(х) только постоянным множителем. В таком случае нет необходимости в отдельном графике для еж. Достаточно указать для эпюры, показанной на рис. 4.13 г, масштабный множитель ^q^a/EFY соответствующий деформации еж. Таким образом, эпюра на рис. 4.13 г изображает графики аж^х^ и еж(х) с соответствующими масштабными множителями ^afF^ и ^a[EFY

При построении эпюры перемещений и (ж) сечений бруса (рис. 4.13 д) прежде всего обратим внимание на то, что сечение 0 заделано и, следовательно, его перемещение равно нулю. Это позволяет, приняв в точке 0 начало координат х и учитывая, что тогда п(0) = 0, записать геометрическую интегральную зависимость (4.4.6) в виде

п(х) = J Exdx. (4.4.10) о

Эта формула геометрически означает, что перемещение и^х) сечения х равно площади эпюры еж на участке от сечения 0 до сечения х. При этом площадь эпюры еж считается положительной на участках, где еж > 0, и отрицательной там, где еж < 0. Подсчитывая площади эпюры еЖ1 легко находим перемещения сечений 1 и 2*.

1 дра 1 д0а2

_- 4 еТ’

_1 дра2 .1/3 дра 1 дра А _ 3 дра2

- 4Л+ 2 \2ЁР + 2£РГ 4EF

На участке 0-1 в соответствии с геометрической дифференциальной зависимостью du/dx = еж и так как еж = const, график и^х) является прямой линией, которая проходит через точки по = п(0) = 0 и гч = и(а) = —^^^7. Эта прямая построена на рис. 4.14 д. В качестве масштабного множителя удобно взять величину ^q^a2/EFY

На участке 1-2 ех изменяется линейно. Поэтому в силу того, что du/dx = еж, и^ здесь меняется уже по квадратичному закону. Так как еж > 0, то п(ж) возрастает, причем в начале участка еЖ1 а значит, и скорость возрастания п(ж) больше, чем в его конце. Поэтому парабола имеет выпуклость вверх. Для того, чтобы уточнить ход параболы на участке 1-2 можно поступить следующим образом: продлить прямую еж до пересечения с осью х (пунктир на рис. 4.13 г) в середине участка 2-3. Тогда в этой точке квадратичная парабола должна иметь максимум, и его ве- p.5

личина равна площади эпюры еж на участке от х = 0 до х = -а;

оо3 доа 3_ 7 доа22^F ' 2° “ 8 SF'3 доа 3_ 7 доа22^F ' 2° “ 8 SF'

о

о

3 доа 3_ 7 доа2

2^F ' 2° “ 8 SF'

3 доа 3_ 7 доа2

2^F ' 2° “ 8 SF'

гр1 доа3 доа

1еперь по двум точкам ni = —-^—, ^2 = т^ттт и с учетом 4 pp4 pp

того, что при своем продолжении парабола при ж = |а имеет 7 а2

максимум, равный g ^у- строим эту параболу. Ее ход на участке 2-3 показан пунктиром. При необходимости можно построить и аналитическое выражение этой кривой. Для этого достаточно составить аналитическое выражение прямой еж на участке 1-2. Сделать это можно, используя выражение для прямой линии, проходящей через две точки:

, ж 6 (а, 2а]., ж 6 (а, 2а].М 2 ЕЕ = х~а1 доа _ 3 qoa, 2а - а2 ЕЕ 2 ЕЕ

, ж 6 (а, 2а].

, ж 6 (а, 2а].

Отсюда получаем £ж(х) = ^^ (

Тогда на участке 1-2

хахх

п(ж) = J е(х) dx = Jsxdx + J еж dx = п(а) + J Exdx = 00а

1 qoa2 ■ qo4 ЕЕ ' ЕЕ1 qoa2 ■ qo4 ЕЕ ' ЕЕj 7+ja) =^j 7+ja) =^12,59--ж + -ах - -а12,59--ж + -ах - -а

1 qoa2 ■ qo

4 ЕЕ ' ЕЕ

1 qoa2 ■ qo

4 ЕЕ ' ЕЕ

j 7+ja) =^

j 7+ja) =^

12,59

--ж + -ах - -а

12,59

--ж + -ах - -а

а

Непосредственно проверяя значение этого выражения при х = = а, х = 2а и х = -а, получаем, что такая парабола проходит

через точки

А = а, и = -Цо^) , (ж = 2о’и = |^)’( _ 5 _ 7 q0a2 \

На участке 2-3 п(ж) меняется по кубическому закону, так как здесь еж(х) имеет квадратичный закон изменения. Кроме того, так как ежз = £ж(3а) = 0, эта кубическая парабола имеет максимум при х = За, а в точке 2 (при х = 2а) она касается только что построенной квадратичной параболы и(х) участка 1-2. Подсчитаем перемещение конца бруса (сечение 3):

пз = п(3а)пз = п(3а)f £xdx = J £xdx+ J £xdx = ^^+ J Exdx. 0-30—22-32-3

пз = п(3а)

пз = п(3а)

Из графика £ж(х), данного на рис. 4.14 г, легко видеть, что на участке 2-3

£х(х) = ^Нг^1(4.4.11)

Действительно, при х = За £ж(3а) = 0, а при х = 2а дД2а) = ^^^* Учитывая это, получаем

За2-32а

Поэтому

/о х 3 qoa2 . 1 q0a2

3 а2

Остается только провести через точку ^^у ПРИ ж = 2а и 11 qoa2о

точку ^^у ПРИ ж = За кривую, имеющую выпуклость вверх, касающуюся в точке 2 (х = 2а) кривой участка 1-2 и имеющую в точке 3 (при х = За) максимум.

При необходимости нетрудно построить и аналитическое выражение кривой и(х) и на участке 2-3. Для этого достаточно воспользоваться выражением (4.4.11) для еж(х) на этом участке и формулой (4.4.10), представив ее в виде

и(х) = n(2a) + J ех(х) dx,

2а

о 2

(с\ \3 qoa

где перемещение п(2а) уже вычислено и равно ^^^г-

При разборе этого примера мы подробно остановились на технике построения эпюр с использованием дифференциальных и интегральных зависимостей, поскольку эти приемы при некотором навыке оказываются весьма эффективными.

4.4.2. Для бруса постоянного сечения F и длины Z, нагруженного силами только по концам, соотношения существенно упрощаются. Так как у такого бруса q = 0 и отсутствуют сосредоточенные нагрузки (кроме концевых сил), то из (4.4.1), (4.4.2) следует, что N = const по I. Тогда и ах = ^ = const по Z, а также и ех = ^ = -^ = const по I. И из (4.4.6), (4.4.7) следует, что

Щ) = Цж0) + еЩ - ж0) = Що) + —(ж-ж0), А,- 7-^ (4А12)

Конструкции, составленные из такого рода брусьев (стержней), скрепленных между собой шарнирами, часто называют фермами. Некоторые фермы показаны на рис. 4.16. Фермы, у которых оси всех составляющих их стержней лежат в одной плоскости и которые нагружены в этой же плоскости, называются плоскими фермами.

Рис. 4.16

Шарниры, соединяющие между собой стержни ферм, являются устройствами, которые не оказывают сопротивления взаимному повороту скрепляемых элементов. Поэтому в них возникают только силы взаимодействия стержней. В фермах шарни-

ры выполнены так, чтобы силы, действующие со стороны шар

нира на соединенные им стержни, были направлены вдоль осей

стержней. Один из возможных конструктивных вариантов выполнения шарнира показан на рис. 4.17.

Рассмотрим пример определения продольных сил в стержнях плоской статически определимой фермы.

Пример 4.2. Плоская ферма, показанная на рис. 4.18, состоит из пяти стержней 1-5 и жесткого элемента BCD (диска). Продольную силу в z-м стержне фермы обозначим через Д. Определим

Д из условий равновесия отсеченных частей, показанных на рис. 4.19. На нем через Ndx и ^Dy обозначены усилия взаимодействия узла D с диском BCD.

Уравнения равновесия можно записать в следующем виде. Узел А (рис. 4.19 а)

52 Ру = О -A TVi sin а + Р = О, 52 Рх = О -A N2 + Ж cos а = 0.

Диск BCD (рис. 4.19 б)

52 Ру = 0 -A Nny + Ж sin а + 2F = 0,

52 Мс = 0 -э NdJ - NJ cos а = 0,(4.4.13)

52 Рх = 0 -A —N3 + N2 + Ж cos а + NDx = 0.

Узел D (рис. 4.19 в)

52д/ = o^^4sin^-^D?/ = o,

Е^ = о -A -n5 - ^4C0S^ - NDx = 0.

Уравнения записаны в такой последовательности, чтобы в каждом последующем уравнении появлялось лишь одно новое неизвестное. Решая их с учетом вытекающих из треугольников АВС и DEF значений sin а = 1/V5, cos а = 2/V5, sin/3 = = cos/3 = л/2/2, получаем следующие величины искомых про-

дольных сил:

м = -PV5, N2 = 2Р, NDy = -Р, NDx = —2Р,N3 = —2Р, N4 = PV2, N5 = P.

Теперь по формуле (4.4.12) мы можем найти удлинения всех стержней AZ^ = N^ldEF^ а значит, и длины деформированных

стержней. Положительные значения продольных сил соответствуют растянутым стержням, а отрицательные — сжатым, поэтому положительные значения AZ^ соответствуют удлинениям стержней, а отрицательные — их укорочениям. Знание деформированных длин стержней позволяет нам, вообще говоря, построить деформированное

состояние системы и, таким Рис. 4.18г~'

образом, наити перемеще

ния всех ее точек. Но очевидно, что такой подход неудобен. Разработаны простые и эффективные методы определения перемещений ферменных конструкций, которые будут рассмотрены в разд. 4.7.

В случае расчета сложной многоузловой ферменной конструкции, содержащей много дисков, изложенный выше подход, конечно, также применим, но он трудоемок. Для облегчения

этих расчетов и проведения их с помощью ЭВМ разработаны специальные методы и основанные на них программы для ЭВМ. Более широко методы расчета сложных ферменных конструкций рассматриваются в строительной механике.

Расчет простейших статически неопределимыхконструкций

В гл. 11 будет рассмотрена общая методика расчета сколь угодно сложных статически неопределимых конструкций. Здесь же мы на простейших примерах познакомим читателя с особенностями поведения и расчета таких конструкций.

Пример 4. 3. Найдем продольные силы простой трехстержневой фермы (рис. 4.20), возникающие в результате действия на нее силы Р. Будем считать, что все стержни этой фермы выполнены из одинакового материала с модулем упругости 1-го рода Е и имеют одинаковые поперечные сечения площади F.

Имея уже опыт решения ферменной конструкции (см. пример 4.2), составим сначала уравнения равновесия узла Л, вырезанного из фермы и показанного на рис. 4.21:

£Ft = 0^-Mcos45°+^2cos450 = 0,, г .

(4.5.1) £ Ру = о -э ж sin 45° + N2 sin 45° - N3 - P = 0.

Таких независимых уравнений можно составить только два, так как узел плоский и все действующие на него силы сходятся в

Рис. 4.20Рис. 4.20Рис. 4.21Рис. 4.21

Рис. 4.20

Рис. 4.20

Рис. 4.21

Рис. 4.21

точке А. Но эти два уравнения статики содержат три неизвестные продольные силы. Поэтому эта ферма является статически неопределимой. Для ее решения рассмотрим деформацию системы. В силу симметрии фермы и действующей на нее нагрузки,

как это следует из первого уравнения равновесия (4.5.1), продольные силы в ее боковых стержнях одинаковы: TVi = N^. X так как одинаковы жесткости и длины этих стержней, то и их удлинения равны, т.е. AZi = AZ2. Поэтому узел А под действием силы Р опустится строго вдоль стержня 3. Деформированное состояние фермы показано на рис. 4.22 штриховыми линиями. Ясно, что опускание А А* узла А равно укорочению AZ3 среднего стержня. Чтобы найти удлинение AZi бокового стержня, достаточно вычесть из новой его длины О А’ старую О А. Для этого можно провести через точку А дугу окружности с центром в

Рис. 4.22Рис. 4.22точке О до пересечения с ОАГ. Но так как смещение А А* мало, то с достаточной точностью можно заменить дугу окружности касательной или опустить из точки А перпендикуляр на ОД, который пересечет О А’ в точке В. Тогда AZi = В А’. В треугольнике АВА’ из-за малости смещения АА* угол В А* А близок к углу 45°, который был между стержнями 1 и 3 до деформации, и поэтому с той же точностью можно принять, что ZBAAr = 45°. Заметим, что такое же допущение нами уже еде-

Рис. 4.22

Рис. 4.22

лано неявно при составлении уравнений равновесия узла А (см. (4.5.1)), в которых в соответствии с принципом малости деформаций использованы углы, соответствующие недеформи- рованной ферме. Итак, с принятой точностью можно считать треугольник В А’ А прямоугольным равнобедренным. Поэтому АА* = V^ZBA* или

(4.5.2)(4.5.2)А/3 = V2A/1.

(4.5.2)

(4.5.2)

Однако при линейно-упругих деформациях AZi = N\ly/2/EF, a AZ3 = —N3l/EF. Знак «минус» здесь учитывает, что в уравнения равновесия (4.5.1) ^з входит как растягивающая сила, и поэтому величина N3l/EF является удлинением стержня, а в уравнении (4.5.2) AZ3 — это укорочение стержня. С учетом этого из (4.5.2) следует, что

N3 = -2М. (4.5.3)

Уравнение (4.5.2) отражает простой геометрический факт: при деформации боковые и средний стержни все время остаются соединенными в узле А, т.е. стержни деформируются совместно. Поэтому уравнение (4.5.2) и следующее из него уравнение (4.5.3) называют уравнением неразрывности деформаций, или уравне-

нием совместности деформаций. Решая систему из уравнений равновесия (4.5.1) и совместности деформаций (4.5.3), получаем усилия в стержнях фермы:

Ж =Ж =N3 =—N3 =—2Р2 +V2*2Р2 +V2*

Ж =

Ж =

N3 =—

N3 =—

2Р

2 +V2*

2Р

2 +V2*

Этот простой пример показывает, что при решении статически неопределимых систем к уравнениям статики добавляются уравнения совместности деформаций.

Пример 4.4. Рассмотрим теперь брус, приведенный в примере 4.1 (см. рис. 4.13), но будем считать, что заделаны оба его конца (рис. 4.23). Попытка применить к нему сразу метод сечений оказывается безуспешной, так как при рассечении бруса обе его части остаются заделанными и потому не имеют степеней свободы, необходимых для составления уравнений равновесия. Поэтому сначала отбросим опоры и заменим их реак

циями, которые обозначим через До и ^з (рис. 4.24). Теперь для такого бруса можно составить уравнение равновесия:

57 Сг = 0 -> -До - 2</о« + J у(ж) dx + Дз = 0.

1-3

Отсюда, учитывая, что J q(x) dx равен площади эпюры q(x) 1-3

2qna q(x)2qna q(x)на участке 1-3, получаем

2qna q(x)

2qna q(x)

—Ro + R3 = -qoa. (4.5.4)

Но в этом уравнении статики — две неизвестных реакции Ro и

R3, поэтому такой брус статически неопределим. Замечаем, что он деформируется так, что его общая длина За не изменяется, т.е. его общее удлинение равно нулю:

Мо-з = 0.(4.5.5)

Но удлинение всего бруса равно сумме удлинений его участков:

△^о-з = А^о-1 + ^к-2 + А^2-з-(4.5.6)

Так как на участке 0-1 q = 0 и из статической дифференциальной зависимости dN/dx = — q следует, что N = const, то

удлинение этого участка можно подсчитать по формуле (4.4.12) какПродольную силу TVq-i найдем методом сечений из условия равновесия отсеченной части, показанной на рис. 4.25 а. Получаем 2V0_ 1 = До, тогдаAZ0-i =(4.5.7)На участках 1-2 и 2-3 продольная сила переменна, и для подсчета AZi-2 и AZ2-3 воспользуемся формулой (4.4.7) и законом Гука ех = N/EF. Поэтомуудлинение этого участка можно подсчитать по формуле (4.4.12) какПродольную силу TVq-i найдем методом сечений из условия равновесия отсеченной части, показанной на рис. 4.25 а. Получаем 2V0_ 1 = До, тогдаAZ0-i =(4.5.7)На участках 1-2 и 2-3 продольная сила переменна, и для подсчета AZi-2 и AZ2-3 воспользуемся формулой (4.4.7) и законом Гука ех = N/EF. ПоэтомуRoNo-RoNo-Рис. 4.25Рис. 4.25ЕЕЕЕпоказанныхпоказанныхОпределяяОпределяя^2-з(^2) новесия^2-з(^2) новесияизизM-2(^l) И условий рав-M-2(^l) И условий рав-на рис. 4.25 б, в, получаемна рис. 4.25 б, в, получаемотсеченных частей,отсеченных частей,

удлинение этого участка можно подсчитать по формуле (4.4.12) как

Продольную силу TVq-i найдем методом сечений из условия равновесия отсеченной части, показанной на рис. 4.25 а. Получаем 2V0_ 1 = До, тогда

AZ0-i =(4.5.7)

На участках 1-2 и 2-3 продольная сила переменна, и для подсчета AZi-2 и AZ2-3 воспользуемся формулой (4.4.7) и законом Гука ех = N/EF. Поэтому

удлинение этого участка можно подсчитать по формуле (4.4.12) как

Продольную силу TVq-i найдем методом сечений из условия равновесия отсеченной части, показанной на рис. 4.25 а. Получаем 2V0_ 1 = До, тогда

AZ0-i =(4.5.7)

На участках 1-2 и 2-3 продольная сила переменна, и для подсчета AZi-2 и AZ2-3 воспользуемся формулой (4.4.7) и законом Гука ех = N/EF. Поэтому

Ro

No-

Ro

No-

Рис. 4.25

Рис. 4.25

ЕЕ

ЕЕ

показанных

показанных

Определяя

Определяя

^2-з(^2) новесия

^2-з(^2) новесия

из

из

M-2(^l) И условий рав-

M-2(^l) И условий рав-

на рис. 4.25 б, в, получаем

на рис. 4.25 б, в, получаем

отсеченных частей,

отсеченных частей,

AZi-2 = / ^dxi =

1-23

= Г Ro + 2доа - доЖ1 . = f^Ll^J ЕЕ1 ЕЕ 1

°(4.5.8)

2-3

2 До + 29оа-9оа- (9о:г2--9оУ ) доа + Аоа2

/^4L_M_ dx^ =^—

УЕЕ2 ЕЕ

О

Подставим полученные удлинения участков в уравнение совместности (4.5.5). В результате простых вычислений получим, 26

что До = — —Qo°4 а из УРавнения равновесия (4.5.7) сразу найдем, что Д3 = — |^о^. Полученный результат изображен на рис. 4.26 а. Теперь задача отыскания продольных усилий в сечениях бруса становится статически определимой и можно най-

ти N(x^ сгх^х\ еж(х) и и(х) по методике, которая изложена в и. 4.4.1 и использована при решении примера 4.1. Мы предо

ставляем читателю возможность попрактиковаться в построеставляем читателю возможность попрактиковаться в построении эпюр, а для проверки решения. Отметим, что прежде чем строить эпюру перемещений и(хУ сразу же после построения эпюры еж(х) можно легко проверить правильность определения реакций из уравнения совместности (4.5.5), которое при проверке удобно записать в видеД/о-3 = f Exdx = 0. о-зА это геометрически означает, что должна быть равна нулю площадь эпюры £ж(х).нии эпюр, а для проверки решения. Отметим, что прежде чем строить эпюру перемещений и(хУ сразу же после построения эпюры еж(х) можно легко проверить правильность определения реакций из уравнения совместности (4.5.5), которое при проверке удобно записать в видеД/о-3 = f Exdx = 0. о-зА это геометрически означает, что должна быть равна нулю площадь эпюры £ж(х).приводим на рис. 4.26 результатыприводим на рис. 4.26 результаты33а а аа а аРис. 4.26Рис. 4.26

ставляем читателю возможность попрактиковаться в построе

ставляем читателю возможность попрактиковаться в построе

нии эпюр, а для проверки решения. Отметим, что прежде чем строить эпюру перемещений и(хУ сразу же после построения эпюры еж(х) можно легко проверить правильность определения реакций из уравнения совместности (4.5.5), которое при проверке удобно записать в виде

Д/о-3 = f Exdx = 0. о-з

А это геометрически означает, что должна быть равна нулю площадь эпюры £ж(х).

нии эпюр, а для проверки решения. Отметим, что прежде чем строить эпюру перемещений и(хУ сразу же после построения эпюры еж(х) можно легко проверить правильность определения реакций из уравнения совместности (4.5.5), которое при проверке удобно записать в виде

Д/о-3 = f Exdx = 0. о-з

А это геометрически означает, что должна быть равна нулю площадь эпюры £ж(х).

приводим на рис. 4.26 результаты

приводим на рис. 4.26 результаты

3

3

а а а

а а а

Рис. 4.26

Рис. 4.26

Влияние нагрева на напряженно-деформированное состояние при растяжении—сжатии

При описании температурных деформаций мы ограничимся известным читателю еще из школьного курса физики законом линейного температурного расширения. Согласно этому закону стержень длиной I при свободном расширении из-за нагревания на AZ удлинится на величину

Ы1 = аМ1.(4.6.1)

Здесь а — коэффициент линейного температурного расширения. Из формулы (4.6.1) видно, что а измеряется в град-1 и по своему смыслу а — это удлинение стержня единичной длины при нагревании на один градус; в этом случае AZ^ = а • 1 • 1.

Чтобы отличить удлинение стержня, образовавшееся вследствие нагрева, мы ввели у AZ верхний индекс t.

Удлинение стержня под действием продольной силы N будем обозначать через Д/А. а при одновременном действии нагрева и продольных усилий — как AZ.

Будем считать, что такое удлинение подчиняется гипотезе Дюамеля-Неймана:

(4.6.2)(4.6.2)М = MN + ы1.

(4.6.2)

(4.6.2)

Эта гипотеза по существу постулирует принципы суперпозиции для силовой и температурной деформаций. Для конструкционных материалов она с достаточной точностью подтверждается экспериментально.

Если соотношение (4.6.2) разделить на недеформированную длину стержня I и таким образом перейти к относительным деформациям, то гипотеза Дюамеля-Неймана запишется в форме £х = £ж + Е^ = Е^ + «At(4.6.3)

Если при этом силовая деформация подчиняется закону Гука е^ = с^/Е, то из (4.6.3) получим соотношение

Ех = ^^аМ.(4.6.4)

Это соотношение по существу дополняет закон Гука слагаемым, учитывающим линейное температурное расширение. Заметим, что изменение температуры может сказаться и на первом слагаемом в (4.6.4), если учесть, что, вообще говоря, модуль упругости Е также зависит от температуры, т.е. что Е = E(t) (см. и. 3.4.2).

определимые системы, прежде чемопределимые системы, прежде чемРис. 4.27Рис. 4.27Рассмотрим сначала влияние нагрева на статически —)еходить к общим выво

определимые системы, прежде чем

определимые системы, прежде чем

Рис. 4.27

Рис. 4.27

дам, решим две простые задачи.

Пример 4.5. Найдем напряженно-деформированное состояние знакомого нам по примеру 4.1 бруса, показанного на рис. 4.27 а. при его нагреве. Закон изменения температуры AZ по длине бруса дан на рис. 4.27 б.

Для определения продольной силы TVq-I на участке 0-1 рассечем брус и рассмотрим равновесие отсеченной части, изображенной на рис. 4.28. Из-за отсутствия внешних нагрузок условие равновесия ^2 Рж = 0 для отсеченной части имеет максимально простой вид

^-1 = 0.(4.6.5)

Точно так же из условия равновесия отсеченной части на учатке 1-3 получим, что и на этом участке продольная сила не возникает, т.е.

(4.6.6)(4.6.6)М-з = 0.

(4.6.6)

(4.6.6)

Этот результат в рассматриваемой задаче отражает тот очевидный факт, что расширение бруса при его нагревании происходит без каких-либо стеснений, свободно. В этих уело-1

виях напряжений в брусе не ^Ч~

возникает, т.е. ах = N/F = О, Г

и поэтому е^ = 0, а значит,

ех = eL = аМ. Эпюра отно-_.

к wрис 4.28

сительных деформации еж в

этом случае подобна эпюре температур Д£(ж) (рис. 4.27 в). Ин-

тегрируя ее в соответствии с соотношением и = n(0) + f Exdx, о

как это делалось в примерах 4.1 и 4.4, приходим к эпюре, показанной на рис. 4.27 г.

Если нагрев происходит при одновременном нагружении бруса внешними силами, например, рассмотренными в примере 4.1 (см. рис. 4.13), то по принципу суперпозиции, постулированному гипотезой Дюамеля-Неймана, результат одновременного действия нагрева и нагрузок может быть получен как сумма результатов их действия в отдельности. Иными словами, в этом

случае мы можем получить решение, просуммировав эпюры, данные на рис. 4.13 и 4.27.

Заключая этот пример, обратим внимание читателя на то, что при действии только нагрева на рассмотренный брус уравнения равновесия его отсеченных частей (4.6.5) и (4.6.6) являются однородными. В силу статической определимости бруса они полностью и однозначно определяют продольные силы. И поскольку эти уравнения являются линейными относительно искомых продольных сил TVq-i и TVi-з, то в силу их однородности они имеют единственное нулевое решение. Простота же уравнений (4.6.5) и (4.6.6) не меняет их общих свойств: линейности, однородности и однозначной разрешимости.

Пример 4.6. Рассмотрим знакомую нам уже ферму, изображенную на рис. 4.18. Пусть на нее не действуют внешние силы, а стержни 1. 3 и 5 нагреваются на температуру Д£ (рис.

4.29). Найдем усилия, возникающие в стержнях этой фермы вследствие нагрева. Так же, как и в примере 4.2, методом сечений выделим узлы А, диск BCD и узел D (рис. 4.30 а, 5, в) и

составим уравнения их равновесия:

Узел А (рис. 4.30 а)

Е Ру = 0 -A TVi sin а = 0,

Е Р$ = 0 -A N2 + М cos а = 0.

Диск BCD (рис. 4.30 б)

52 Ру = 0 -A NDy + TVi sin а = 0,

52 Мс = 0 NDxl - NJ cos а = 0,(4.6.7)

52 Рх = 0 -A —N3 + N2 + ТЕ cos а + NDx = 0.

Узел D (рис. 4.30 в)

ЕРу = 0 -TV4sin^ - NDy = 0,

ТА = 0 -A -N5 - ^4COS^ - NDx = 0.

Так же, как и уравнения (4.4.13), эти уравнения являются линейными относительно искомых усилий в стержнях TVi, W2, ... , N5 и сил взаимодействия Ndxi ^Dy диска BCD с уз

лом D. Но в отличие от (4.4.13) уравнения (4.6.7) являются однородными. Решая их последовательно, мы приходим к тому, что все искомые усилия равны нулю и это решение является единственным. Таким образом, нагрев стержней рассмотренной статически определимой фермы не вызывает появления продольных сил в ее стержнях. Если одновременно с нагревом ферма нагружается внешними силами, например, показанными на рис. 4.18, то усилия в стержнях определяются из уравнений (4.4.13). И, следовательно, нагрев рассмотренной в примере 4.2 статически определимой фермы никак не скажется на усилиях в ее стержнях.

Обобщим теперь результаты решения рассмотренных в примерах 4.1, 4.2, 4.5 и 4.6 статически определимых систем. Несмотря на различную форму и сложность их уравнений равновесия, все эти уравнения имеют общие свойства:

Все уравнения равновесия линейны относительно искомых продольных сил.

При действии только нагрева уравнения равновесия являются однородными, а при одновременном действии нагрузок и нагрева свободные члены в уравнениях равновесия зависят только от нагрузок.

Так как эти системы статически определимы, то продольные усилия в них однозначно (!) определяются только из уравнений равновесия.

Эти три свойства характерны для уравнений равновесия любой статически определимой системы. Из них в силу общих свойств решений линейных алгебраических уравнений следует, что при действии только нагрева в статически определимых системах не появляется продольных сил, а при одновременном действии внешних сил и нагрева нагрев не сказывается на величинах продольных сил и они определяются только нагрузкой.

Заметим, что первые два свойства характерны и для уравнений равновесия статически неопределимых систем, но третьим свойством они не обладают. Как мы увидим из решения следующих примеров, именно это обстоятельство не позволяет распространить сделанные только что для статически определимых систем выводы на статически неопределимые системы.

Пример 4.7. Определим напряженно-деформированное состояние заделанного с двух сторон бруса, показанного на рис. 4.31 а, при его нагреве до температуры, закон изменения которой дан на рис. 4.31 б. Подобный брус, но под действием нагрузок, мы уже рассматривали в примере 4.4, где убедились, что он является статически неопределимым. Поэтому сначала отбросим опоры и заменим их реакциями, которые обозначим через Но и Нз (рис. 4.32). Тогда уравнение равновесия бруса примет вид

-Но + н3 = 0. (4.6.8)

Хотя это единственное уравнение равновесия в отличие от (4.5.4) однородно, но оно также содержит две неизвестных реакции Но и Нз, что указывает на статическую неопределимость бруса. Уравнение совместности деформаций бруса, как и в примере 4.4, должно отражать тот факт, что закрепление концов бруса делает невозможным изменение его длины, т.е.

Ыо-з = 0. (4.6.9)

По-прежнему удлинение всего бруса можно подсчитать как сумму удлинений его частей:

△Zo-з = А^о-1 + AZi-з.△Zo-з = А^о-1 + AZi-з.аб вг д ез иаб вг д ез иРис. 4.31Рис. 4.31

△Zo-з = А^о-1 + AZi-з.

△Zo-з = А^о-1 + AZi-з.

а

б в

г д е

з и

а

б в

г д е

з и

Рис. 4.31

Рис. 4.31

Подсчитывая удлинение AZo—1, прежде всего замечаем, что участок 0-1 не нагревается и причиной появления его удлине

ноноРис. 4.32новесия отсеченной частиРис. 4.32новесия отсеченной частилучаем, что TVq-i = R^. Тогдалучаем, что TVq-i = R^. Тогдания является только продольная сила TVq-i, т.е. AZq-i = AZqLx. А силовое удлинение для такого участка бруса можно найти по формуле (4.4.12) как AZq-i = = 7Vo-itt/(52F). Из условия рав- бруса, показанной на рис. 4.33 а, пония является только продольная сила TVq-i, т.е. AZq-i = AZqLx. А силовое удлинение для такого участка бруса можно найти по формуле (4.4.12) как AZq-i = = 7Vo-itt/(52F). Из условия рав- бруса, показанной на рис. 4.33 а, поAZAZRoaRoa0-1 2EF"0-1 2EF"

но

но

Рис. 4.32новесия отсеченной части

Рис. 4.32новесия отсеченной части

лучаем, что TVq-i = R^. Тогда

лучаем, что TVq-i = R^. Тогда

ния является только продольная сила TVq-i, т.е. AZq-i = AZqLx. А силовое удлинение для такого участка бруса можно найти по формуле (4.4.12) как AZq-i = = 7Vo-itt/(52F). Из условия рав- бруса, показанной на рис. 4.33 а, по

ния является только продольная сила TVq-i, т.е. AZq-i = AZqLx. А силовое удлинение для такого участка бруса можно найти по формуле (4.4.12) как AZq-i = = 7Vo-itt/(52F). Из условия рав- бруса, показанной на рис. 4.33 а, по

AZ

AZ

Roa

Roa

0-1 2EF"

0-1 2EF"

На участке 1-3 причинами удлинения являются как продольная сила Ж-з, так и нагрев, т.е.

AZi-з = А^з + ^1-з-

Силовое удлинение мы также можем подсчитать по формуле (4.4.12), так как из условия равновесия отсеченной части, данной на рис. 4.33 5, следует, что М-з =

= Rq = const. Поэтому

д/Д3 == 51_Д. (4.6.11)

3 EF EF v 7

Для подсчета температурного удлинения участка 1-3 на кото

ром температура переменна, вое-^

пользуемся интегральным соотно

шением (4.4.7), которое конечноРис. 4.33

справедливо для любых деформа

ций независимо от их природы, в том числе и для температурных деформаций. Поэтому

Д/' = J e^dx.(4.6.12)

Но Д. = «АД значит AZ|_3 = a J ДДж) dx. Вычисляя здесь 1-3

интеграл от заданного на рис. 4.31 б закона распределения ДДж) как площадь эпюры ДДж) на участке 1-3^ получаем

AZ|_3 = a^to • 2а = at^a.(4.6.13)

Суммируя силовое (4.6.11) и температурное (4.6.13) удлинения, получаем

=(4.6.14)

После подстановки AZq-i (4.6.10) и AZi-з (4.6.14) в (4.6.9) приводим уравнение совместности к виду

^А + ^ + ^о« = О.(4.6.15)

Из этого уравнения находим, что

9

Ro = — —cxi^EF.

5

Тогда из уравнения (4.6.7) сразу следует, что и

R3 = — —cxi^EF.

5

Знак « —» в полученных для Rq и R3 выражениях свидетельствует о том, что истинные направления этих реакций не соответствуют направлениям, принятым при составлении уравнений равновесия всего бруса (4.6.8) и его частей (см. рис. 4.33). В нашей задаче нетрудно, конечно, угадать истинные направления реакций, так как, стремясь расшириться при нагреве, брус упи

рается в опоры, реакции которых создают в нем сжимающую силовую деформацию, компенсирующую температурное расширение. Но в более сложных системах это сделать иногда очень трудно. Наш пример показывает, что в этом и нет необходимости, так как знак у полученной в результате решения реакции

покажет, совпадает ли истинное ее направление с принятым при составлении уравнений равновесия и совместности.

Полученные реакции изображены на рис. 4.31 в и далее построены эпюры продольных сил, напряжений и деформаций точно так же, как это делалось в примерах 4.1 и 4.4. Только

Рис. 4.34Рис. 4.34здесь еще учтены и температурные деформации. Для силовой ех и температурной ех деформаций построены отдельные эпюры (рис. 4.31 в и 4.31 эю\ а эпюра для общей деформации ех = е^ + ех получена графическим суммированием эпюр е^ и ех.

Рис. 4.34

Рис. 4.34

Пример 4.8. Найдем усилия, возникающие в показанной на рис. 4.34 ферме при равномерном нагревании ее 3-го стержня на температуру AZ. Составляя уравнения равновесия для узла А (рис. 4.35), получаем

(4.6.16)(4.6.16)^ рж = 0 -М cos 45° + N2 cos 45° = О,

(4.6.16)

(4.6.16)

^ Ру = 0 -4- М sin 45° + N2 sin 45° - N3 = 0.(4.6.17)

В отличие от уравнений равновесия (4.5.1), построенных при решении в примере 4.3 для нагружения фермы силой Р, эти уравнения однородны. Но так же, как и в примере 4.3, в этих двух уравнениях содержится три неизвестных усилия TVi, W2, W3, что является следствием статической неопределимости системы. Для составления уравнения совместности деформаций рассмотрим деформированное состояние фермы, которое показано на рис. 4.34 штриховыми линиями. Из ZXAA’ В точно так

же, как и в примере 4.3, получаем уравнение

(4.6.18)(4.6.18)AZ3 = а/2 AZi ,

(4.6.18)

(4.6.18)

которое не отличается от уравнения (4.5.2). И это не случайно, так как совместность деформации — это, конечно, свойство самой деформации системы, и оно не за

висит от причин, ее вызывающих.

Перейдем теперь в уравнении совместности деформаций (4.6.18) к усилиям. Стержень 1 деформируется только под действием возникающей в нем продольной силы TVi. Поэтому

Ы1 == -N^l/EF.

Знак « —» здесь необходим, так как усилие TVi растягивающее и величина

NxV^l(EF является удлинением, a AZiрис 435

в уравнении (4.6.18), как это видно из

рис. 4.34, является укорочением 1-го стержня. При подсчете AZ3

необходимо учесть, что 3-й стержень одновременно растягивается силой N3 и удлиняется в результате равномерного нагрева на температуру М. Поэтому

Д/3 = Д/f + Д/^ = ^ + аМ • I.

Подставим теперь полученные выражения для AZi и AZ3 в уравнение (4.6.18) и получим уравнение совместности деформаций в усилиях:

V2^1+ ^ + аМ-1 = 0.(4.6.19)

Упростив это уравнение и решив его совместно с уравнениями равновесия (4.6.16), (4.6.17), получим

TVi = N2 = -TVi = N2 = -аМ • EFаМ • EF2 + V2 ’2 + V2 ’N3 = -N3 = -V2 ci At • EFV2 ci At • EF2 +V22 +V2

TVi = N2 = -

TVi = N2 = -

аМ • EF

аМ • EF

2 + V2 ’

2 + V2 ’

N3 = -

N3 = -

V2 ci At • EF

V2 ci At • EF

2 +V2

2 +V2

Знак « —» здесь означает, что в стержнях фермы возникают сжимающие продольные силы. Это соответствует и физическим представлениям о характере работы фермы при нагревании ее 3-го стержня.

Примеры 4.7 и 4.8 позволяют увидеть общие свойства разрешающих уравнений для статически неопределимых систем, состоящих из уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций. Как видно, уравнения равновесия (4.6.8) или (4.6.16), (4.6.17) являются линейными и однородными алгебраическими уравнениями. Но их недостаточно для определения неизвестных

4 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

усилий. Поэтому к ним добавляют уравнения совместности деформаций ((4.6.15) или (4.6.19)), которые при нагреве элементов системы в общем случае являются неоднородными.

Таким образом, в отличие от статически определимых систем, в статически неопределимых системах при нагреве их элементов обычно возникают продольные силы.

Конечно, можно найти такие распределения температур по системе при ее нагреве, чтобы ее деформация не сопровождалась возникновениями усилий в стержнях. Например, для показанной на рис. 4.34 фермы нагрев 3-го стержня можно сопровождать таким охлаждением 1-го и 2-го стержней, чтобы их температурные удлинения и укорочения полностью компенсировались, т.е. удовлетворяли условию (4.6.17). Тогда в ферме никаких усилий не возникнет. При решении это обстоятельство выразится в том, что уравнение совместности деформаций после перехода к усилиям станет однородным. А это вместе с однородностью уравнений равновесия приведет к единственному нулевому решению.

Потенциальная энергия бруса прирастяжении—сжатии. Определение перемещенийферм

Энергетические методы широко используются для

решения самых различных задач механики, в том числе и задач механики твердого деформируемого тела. Начало этим методам положили работы одного из создателей дифференциального и интегрального исчисления Г. Лейбница (1646-1716), который ввел для описания движения материальной точки так называемую живую силу т^ с точностью до множителя 1/2 совпадающую с современным понятием кинетической энергии. В механике твердого деформируемого тела и ее разделе — сопротивлении материалов — эти методы также широко используются. С их по

мощью можно простым путем решать многие сложные задачи. Наиболее просто и наглядно эти методы работают при решении

задач линейно-упругого де

Рис. 4.36 растянутого силами, Эти силы обозначимРис. 4.36 растянутого силами, Эти силы обозначимформирования. Мы здесь ограничимся именно этим классом задач.

Рис. 4.36 растянутого силами, Эти силы обозначим

Рис. 4.36 растянутого силами, Эти силы обозначим

Сначала рассмотрим самый простой случай — дефор-

мацию прямого бруса постоянного сечения F, статически приложенными к его концам (рис. 4.36). через N^ как мы всегда обозначаем про

дольную силу. Такое обозначение не вызовет недоразумений,

так как продольная сила в любом из сечений стрежня также равна N. Под действием этих сил стержень удлинится на величину AZ. При этом, поскольку нагружение статическое и деформации происходят в пределах закона Гука, между силой N и удлинением AZ сохраняется пропорциональная зависимость, изображенная на рис. 4.37.

А/А/Рис. 4.37Рис. 4.37Так как деформация упруга, потерь энергии не происходит. Поэтому работа А, совершенная силой накопится в стрежне в виде потенциальной энергии деформации П, т.е. имеет место закон сохранения энергии:

А/

А/

Рис. 4.37

Рис. 4.37

(4.7.1)(4.7.1)П = А.

(4.7.1)

(4.7.1)

Можно считать, что левый конец бруса закреплен, тогда работу А совершает только сила N, приложенная к правому

концу бруса. Из курса физики известно, что работа А переменной силы Р па прямолинейном пути х от точки ж о до точки жх равна интегралу от силы по этому пути, т.е.

Ж1

Л = J Р(х) dx.

жо

В нашем случае работа А силы N на пути AZ запишется в виде интеграла:

А= f Nd(M\(4.7.2)

О

При линейной зависимости между силой и удлинением этот интеграл равен площади, заштрихованной на рис. 4.37, т.е.

А = ^NM.(4.7.3)

Поэтому при линейно-упругой деформации рассматриваемого бруса в нем накопится потенциальная энергия деформации:

П = -NM = -N^l = -Nexl.(4.7.4)

22 I2 хv 7

Для такого бруса закон Гука устанавливает пропорциональную зависимость между N и AZ,

м = А или е^ = А (4-7-5)

Потенциальную энергию деформаций для него можно записать в одном из следующих видов:

п = 5§’(4-7-6)

П = ^Wf = \EFl (^ = ^EF^l. (4.7.7)

N^N^N^A-dNN^A-dNF^F^ххРассмотрим теперь растяжение-сжатие произвольно нагруженного бруса длиной Z, например, показанного на рис. 4.1. Разобьем этот брус на элементы длиной dx каждый. В каждом элементе накопится потенциальная энергия деформаций cZII. Тогда общую потенциальную энергию деформации бруса П можно найти в виде интеграла

N^

N^

N^A-dN

N^A-dN

F^

F^

х

х

П= J dn. (4.7.8)

Рис. 4.38Рис. 4.38Для того чтобы найти cZII, рассмотрим элемент бруса (рис. 4.38). Ввиду малости длины элемента dx, с точностью до малых высшего порядка

Рис. 4.38

Рис. 4.38

можно считать продольную силу и площадь поперечного сечения постоянными по длине элемента и равными N(x) и Е(х\ Тогда для вычисления накопленной в элементе потенциальной энергии деформаций cZII можно использовать одну из только что построенных формул (4.7.4), (4.7.6) или (4.7.7) с учетом, что длина элемента равна dx. В итоге получим три различных выражения для П:

(4.7.9)(4.7.10)(4.7.11)(4.7.9)(4.7.10)(4.7.11)П = | J Nex dx,I

(4.7.9)

(4.7.10)

(4.7.11)

(4.7.9)

(4.7.10)

(4.7.11)

П = - Г dx,2 J EF 1

I

П = Д EFe^dx.

Теперь легко подсчитать потенциальную энергию деформации фермы как сумму энергий деформации составляющих ее стержней. Если ^ — продольная сила в г-м стержне длиной 1^ с жесткостью Е^, то в нем согласно (4.7.6) накопится потенциальная энергия деформации

Е = | Д •(4.7.12)

2

Общую потенциальную энергию деформации фермы найдем как сумму энергий составляющих ее стержней:

(4.7.13)

Рассмотрим теперь вопрос об определении перемещений ферм. Для простых ферм (см. рис. 4.34) перемещение узла может быть легко найдено из геометрических соображений. Так, для фермы на рис. 4.34 перемещение А А’ узла А равно удлинению 3-го стержня AZg. Оно может быть сразу найдено как АА’ = AZ3 = N^l/EF. Для сложных же ферм также можно найти перемещения узлов из геометрических соображений. Однако реализовать такой подход даже для сравнительно простой фермы из примера 4.2

(см. рис. 4.18) затруднительно.|Р

Мы рассмотрим здесь общий ал-у

горитм определения перемеще- К Vv ний узлов ферм.

Пусть в стержнях некоторойVV44

фермы (рис. 4.39), нагружен

ной силой Р, возникли усилияС

Ni(P). Необходимо найти пере

мещение б узла С фермы в неко-Рис. 4.39

тором направлении СС. Потен

циальная энергия, накопившаяся в стержнях фермы в результате того, что нагрузка Р совершила работу А^Р\ будет

ЩР) = | Е = А<Р\ (4.7.14)

г

Рассмотрим вспомогательное

состояние фермы, которое воз- К

никает в ней при нагруже- /\/\/\/\ нии ее единичной силой в на-VV-V

правлении искомого перемеще-\ 7

ния (рис. 4.40). Пусть М(1) —

продольные силы в стержняхРис. 4.40

фермы от действия единичного

усилия. Единичная сила в процессе нагружения совершила работу А(1), которая накопилась в стержнях в виде потенциальной энергии деформации П(1), т.е.

Ц) = П(1) = 1£»(4.7.15)

г

Теперь рассмотрим следующее двухэтапное нагружение фермы. Сначала нагрузим ее единичной силой, а потом, не снимая

единичной силы, нагрузим ее силой Р. Усилия в стержнях фермы, возникшие в результате такого ее нагружения, обозначим через ^(1 + F), работу нагрузок — через А(1 + Р) и потенциальную энергию деформации фермы — через П(1 + Р). Ясно, что

П(1 + Р) = | £ ^Аг^ = Щ + П (4.7.16) г

По принципу суперпозиции

Р Р^ = МР\(4.7.17)

Тогда из (4.7.16) следует

Л(1 + Р) =П(1 + Р) =

= 1 V t-^Wbi . V МЫЛА , 1V [ММГ д 7 i sa 2^ (EF^ "г ^ (EF)i 2^ (EF^ '

ггг

Рассмотрим теперь подробнее работу А(1 + Р), совершенную единичной и основной нагрузками. На первом этапе нагружения единичная сила совершит работу А(1), определенную формулой (4.7.15). На втором этапе нагружения сила Р совершит работу А(Р) согласно формуле (4.7.14). Но, кроме того, на втором этапе единичная сила, оставаясь постоянной, смещается вместе с узлом С и переместится в направлении своего действия как раз на величину искомого перемещения 5. Поэтому на этом пути она совершит работу 1 • 5. Таким образом,

А(1 + Р) = А(1) + А(Р) + 1 • 5.(4.7.19)

Сравнивая теперь слагаемые в правых частях выражений (4.7.18), (4.7.19) и учитывая при этом равенства (4.7.14) и (4.7.15), получаем, что

8 =(4-7-20)

г

Здесь Ni(V) = ^(1)/1 — безразмерные единичные продольные силы в стержнях. Их можно получить, определив усилия М(1) в стержнях от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения, и разделив размерность полученных усилий на размерность силы. А можно сразу рассматривать единичную нагрузку как безразмерную «силу», определяя безразмерные продольные силы А^(1) в стержнях по тем же правилам и уравнениям, что используются при определении продольных сил 7Уф1).

При выводе формулы (4.7.20) никак не использовались специфические свойства нагрузки Р (вид, место приложения, направление). Просто N^(P) рассматривались как продольные си-

лы, возникшие в стержнях от внешней нагрузки. Ясно, что формула (4.7.20) для определения перемещений от любой другой внешней нагрузки не изменится, если под АДР) понимать продольные силы, возникающие в стержнях от этой нагрузки.

В результате вычислений по формуле (4.7.20) величина перемещения 6 может оказаться отрицательной. Это означает, что последнее слагаемое в (4.7.19) (т.е. работа единичной силы на перемещении 5) отрицательна. А это, в свою очередь, означает, что перемещение происходит против направления единичной

силы.

Изложенный метод вычисления перемещений называется методом Мора (см. п. 4.7.4), или методом единичной нагрузки.

Пример 4.9. Определим с помощью формулы (4.7.20) вертикальное перемещение узла А фермы, рассмотренной в при

Рис. 4.41Рис. 4.41мере 4.2 и показанной на рис. 4.18. Результаты вычислений удобно представить в форме табл. 4.1. Рассмотрим случай, когда все стержни выполнены из одного материала и имеют одинаковую площадь поперечного сечения F. Пятая строка табл. 4.1 содержит усилия АД1) в стержнях фермы от приложенного в узле А вертикального единичного усилия, соответ-

Рис. 4.41

Рис. 4.41

ствующего искомому вертикальному перемещению этого узла (рис. 4.41). Они определяются из решения следующих уравнений равновесия для отсеченных частей, показанных на рис. 4.42.

Узел А (рис. 4.42 а)

ЕА = o^-ami)-i = o,

Е Р, = о ^ ЛЩ) - ж(1) COS а = 0.

Диск BCD (рис. 4.42 б)

У^Ру = О NDy^ + 7V1 (1)Sina = 0, ^Мс = 0NdxW -Xi(l)Zcosa = 0,(4.7.21)

У Р = 0-Уз(1) + У2(1) + У1(1) cos а + NDx^ = 0.

Узел D (рис. 4.42 в)

Е Д/ = 0-Ж(1) sin^ - TV^(1) = О,

Е Рх = 0 Ж(1) - Ж(1) cos р - NDx = 0.

Рис. 4.42Рис. 4.42

Рис. 4.42

Рис. 4.42

Суммируя результаты по шестой строке, получаем искомое перемещение узла А;

6 = 23,32^.

Т а б л и ц а 4.1

1. Номер стержня г

1

2

3

4

5

2. Длина стержня 1{

2,24/

2/

1

1,41/

/

3. Продольная сила от внешней нагрузки Ni (Р)

—2,24Р

2Р

—2Р

1,41Р

Р

4. Удлинение стерж-

A7 NdPUi

НЯ(EF^

-5tl

ЕЕ

4tl

ЕЕ

ЕЕ

2TL

ЕЕ

Р1

ЕЕ

5. Продольная сила от единичной нагрузки TV» (1)

-2,24

2

-2

-1,41

3

6. Произведение Д/ЛД)

11,2^

ЕЕ

8—

ЕЕ

4tl

ЕЕ

-2 82TL

’ ЕЕ

3TL

ЕЕ

При вычислениях в примере 4.9 выяснилась возможность другой формы записи формулы (4.7.20). Так как произведения Ni(P)li/(EF\ равны по (4.4.12) удлинениям стержней AZ^, то вместо (4.7.20) получаем следующую формулу для определения перемещений:

^ = У2Д/Ж(1)-(4.7.22)

г

Если не переходить к усилиям от безразмерной единичной силы, то из равенства энергий

П(1 + Р) = А(1 + Р)(4.7.23)

получим, что

1-5 = У2МАЩ).(4.7.24)

г

Это равенство означает, что на втором этапе нагружения работа единичной силы на искомом перемещении 6 равна сумме работ, которые совершают вызванные этой единичной силой продольные силы N^(l) на удлинениях AZ^, полученных стержнями системы в процессе ее деформации от внешней нагрузки.

Просматривая с этой точки зрения вывод соотношения (4.7.24), читатель легко может убедиться, что оно не изменится, если удлинения AZ^ образуются не под действием нагрузки Р, а в результате какого-либо другого внешнего воздействия, например в результате нагрева. Это позволяет обобщить формулу (4.7.22) на случай температурных удлинений и записать ее в форме

5 =+(4.7.25)

г

Но так как температурное удлинение AZ| = с^ДрЦ, то

5 = 52 (АЦ + atM^N^Y (4.7.26) г

С помощью этой формулы легко подсчитывать перемещения узлов статически определимых ферм, вызванные их нагревом. Так как в таких фермах нагрев не изменяет усилий в стрежнях, то вызванную нагревом часть 5^ общего перемещения 5 можно определить как

Y = 52«»MW1).(4.7.27)

г

Найдем, например, вертикальные перемещения узла А показанной на рис. 4.18 фермы, вызванные нагревом на температуру AZ 4-го и 5-го стержней. Из табл. 4.1 берем ^4(l) = —1,41,

^5(l) = 3. Тогда искомое перемещение

6* = аДгС2/(-1,41)+аДгГЗ = аДН.

В статически неопределимых фермах, как это видно из примеров 4.7, 4.8 и как показано в п. 4.6.3, нагрев обычно изменяет усилия в стержнях и формула (4.7.27) неприменима. Перемещения в таких фермах от нагрева необходимо подсчитывать по формуле (4.7.26). Возможные упрощения расчетов по этой формуле будут даны в гл. 9 при обсуждении общих методов решения статически неопределимых систем.

. Формула (4.7.20) впервые была получена в 1864 г. Д. Максвеллом, который широко известен как создатель уравнений электромагнитного поля. Она была получена из геометрических соображений. Работа Д. Максвелла, в которой был сформулирован метод расчета ферм, была написана в абстрактной форме без чертежей и примеров и, видимо, по этой причине, осталась незамеченной инженерами. Десять лет спустя эту формулу заново открыл О. Мор. В основу своих рассуждений О. Мор положил принцип возможных перемещении и на его основе пришел к равенству (4.7.24). Приведенный нами вывод формулы (4.7.20) близок к данному О. Мором. В нем также использовано понятие потенциальной энергии деформации фермы, которое стало широко применяться после работ Л. Менабреа и А. Касти- лиано. Последний в 1879 г. получил формулу (4.7.20) из условия минимума потенциальной энергии деформаций. Подробнее этот подход будет рассмотрен в гл. 9.

Напряжения в непоперечных сечениях бруса при центральном растяжении—сжатии

8.1. Изучим подробнее напряженное состояние бруса при центральном растяжении-сжатии. В поперечных сечениях такого бруса, как это показано в п. 4.3.2, возникнут равномерно распределенные по площади F поперечного сечения нормальные напряжения ах = N/ F (рис. 4.43). Найдем напряжения, действующие

в сечении бруса Fa^ нормаль к которому п направлена под углом а к оси х (рис. 4.43). Для этого рассмотрим левую отсеченную часть бруса (рис. 4.44). Полные напряжения р в сечении Fa также равномерно распределены по сечению. Из условия равновесия отсеченной части бруса ^Рж — ^ получаем

-axF + pFa = 0.(4.8.1)

Отсюда, учитывая, что Fa = F/ cos а^ следует, что

р = ах cos а.(4.8.2)

Рис. 4.44Рис. 4.44Разложим полное напряжение р на нормальное ап и касательное тп. Из рис. 4.45 видно, что

Рис. 4.44

Рис. 4.44

an = р cos а, тп = р sin а. (4.8.3)

Отсюда, учитывая (4.82), получаем

On = Ox cos2 а,■1■ о

ти = ох cos a sin а = -<ix sin да.

(4.8.4)

и sin а, можно сделать сле-и sin а, можно сделать сле-Из этих формул, с учетом свойств тригонометрических функций cos а дующие выводы.

и sin а, можно сделать сле-

и sin а, можно сделать сле-

Максимальные нормальные напряжения равны ах и действуют в поперечных сечениях бруса.

Рис. 4.45Рис. 4.45Касательные напряжения во взаимно перпендикулярных сечениях равны по абсолютной величине, т.е.

Рис. 4.45

Рис. 4.45

|ти(а)| = |т„(а + 90°)|.

Анализируя направления касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках (рис. 4.46), приходим

к выводу, что они направлены одновременно либо к линии пересечения этих площадок (рис. 4.46 а), либо от нее (рис. 4.46 5).

аа

а

а

Рис. 4.46

Это свойство, как мы уже знаем, называется свойством парности касательных напряжений. Как мы увидим в дальнейшем, оно характерно не только для растяжения-сжатия, но и для любого напряженного состояния.

При растяжении-сжатии касательные напряжения достигают своего максимального значения в сечениях, расположенных под углом 45° к оси бруса (см. формулу (4.8.4)), т.е. при а = 45°:

тах|тп(а)| = |сгж max | sin2а| = ^.

Появление линий Людерса-Чернова при растяжении пластичных образцов (см. п. 3.2.5) как раз и связано со скольжением материала по поверхностям, в которых действуют максимальные касательные напряжения.

Этим же объясняется и характер разрушения хрупких образов при сжатии (см. и. 3.2.5), когда сжимающие нормальные напряжения не могут быть причиной разрушения. Поэтому разрушение происходит по плоскостям действия максимальных касательных напряжений.

Расчет на прочность при центральном растяжении—сжатии

В итоге длительного опыта расчетов самых различных конструкций на прочность установилась такая их форма, которую принято называть расчетом на прочность по допускаемым напряжениям. Наиболее простой вид эта форма расчета на прочность имеет для такого элементарного напряженного состояния бруса, как центральное растяжение-сжатие, которое непосредственно моделируется в образцах при испытаниях материалов на растяжение-сжатие (см. гл. 3). В этом случае конструкция считается прочной, если нормальные напряжения аж в ее поперечных сечениях удовлетворяют основному условию прочности:

-Мс сгж [<т]р. (4.9.1)

Здесь [сг]р и [ст] с — допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Знак « —» в (4.9.1) учитывает, что допускаемые напряжения на сжатие [ст]с принято брать по абсолютной величине.

Допускаемое напряжение определяется как

г 1 = £пред. ^д,2)

Здесь стПред — предельное напряжение; [п] — коэффициент запаса.

Предельное напряжение выбирается в зависимости от материала и требований к конструкции. Если конструкция выполнена из пластичного материала и в ней недопустимы пластичные деформации, то в качестве стПред выбирают стт. Для конструкций из хрупкого материала стПред = ^в- Если конструкция и деталь

работает в условиях циклически меняющихся нагрузок, то допускаемые напряжения выбираются на основе предела выносливости. Эти вопросы подробно будут рассмотрены в гл. 15.

Величина коэффициента запаса [п] нормируется, т.е. определяется нормативными документами, которые различны в разных отраслях промышленности. Например, в авиации это «Нормы прочности», в строительстве — «Строительные нормы и правила» (СНИП) и т.д. Поскольку к конструкциям предъявляются самые различные требования при их эксплуатации, то введение каких-либо единых норм по прочности не имеет смысла. Но во всех отраслевых нормах прочности при выборе коэффициента запаса обязательно учитывают следующие три фактора:

Степень неточности в определении нагрузок на конструкцию и напряжений в ней. Чем выше эта неточность, тем больше величина коэффициента запаса.

Степень разброса в механических характеристиках материалов, которая даже в одной партии материала может достигать 10%.

Степень ответственности конструкции (или ее детали). В авиации, например, коэффициент запаса принимается в пределах от 1,3 до 2,0. Такие сравнительно малые величины коэффициентов запаса определяются жесткими ограничениями по массе конструкции. В связи с высокой ответственностью конструкций в авиации при расчете нагрузок и напряжений применяются методы расчета, обеспечивающие высокую точность их определения. Кроме того, предусмотрено обязательное проведение испытаний с целью установления фактической прочности отдельных узлов и целых летательных аппаратов, а также тщательный контроль за состоянием конструкции в процессе эксплуатации. Более подробно эти вопросы освещаются в курсах расчета на прочность самолета и т.п.

9.2. Основное условие прочности (4.9.1) можно заменить двумя эквивалентными ему условиями:

^р max Ир? I^clmax Ис- (4.9.3) Здесь стр тах и |стс|тах — максимальные растягивающие и сжимающие (по абсолютной величине) напряжения. Сечения (или точки сечений), в которых эти напряжения действуют, называются опасными или расчетными сечениями (или точками).

Различают следующие виды расчета на прочность.

Поверочный расчет. Часто размеры конструкции полностью определены конструктивными и технологическими соображениями, а нагрузки — условиями работы конструкции. Тогда расчет сводится к проверке выполнения условий прочности (4.9.1) или (4.9.3). При таком расчете обычно подсчитывают фактический запас прочности конструкции п как минимальный

из двух величин:

n = min /I .(4.9.4)

I <^р max Щс|тах J

Ясно, что конструкция удовлетворяет условиям прочности, если rz > [п].

Проектировочный расчет. На определенном этапе проектирования конструкции наступает момент, когда известны основные размеры конструкции и действующие на нее нагрузки. Тогда часть неопределенных еще размеров (обычно это размеры поперечных сечений элементов конструкции) можно определить из условий прочности элементов. Такой расчет называют проектировочным.

Так, при проектировании статически определимой фермы продольные силы Ni в ее стержнях могут быть определены из геометрии фермы и действующих нагрузок. Тогда площади поперечных сечений стержней можно найти из условий прочности. Для растянутых стержней эти условия примут вид

<5 = Д И,.(4.9.5)

Отсюда заключаем, что конструкция будет прочной, если

^>^ = ^потр,(4.9.6)

Ир

где Fi потр — минимальная потребная из условий прочности площадь сечения стержня. Аналогично определяют и площадь поперечных сечений сжатых стержней 1).

Обычно стержни и другие элементы конструкций изготавливают из имеющихся в наличии полуфабрикатов, таких как прутки, трубы, уголки, швеллеры, двутавры и т.п. Тогда условие (4.9.6) является для конструктора ориентиром, позволяющим выбрать конкретный размер полуфабриката из имеющейся номенклатуры.

Расчет допускаемой нагрузки. Часто поверочный расчет проводят в несколько видоизмененной форме. А именно, определяют такую нагрузку на конструкцию, при которой фактический запас прочности конструкции равен коэффициенту запаса [п]. Такую нагрузку называют допускаемой.

Возможны и другие виды расчета на прочность.

*) Следует обратить внимание на то, что сжатые элементы конструкций могут потерять устойчивость. Особенно часто это происходит в тонкостенных конструкциях. Поэтому для них определяющим является не условие прочности, а условие устойчивости. Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в гл. 12.

Контрольные вопросы

Какое напряженно-деформированное состояние бруса называется центральным растяжением-сжатием? При каких внешних нагрузках оно возникает?

Связан ли знак продольной силы 7V с направлением оси х бруса? В каком случае продольная сила считается положительной?

Как связана продольная сила N с интенсивностью нагрузки q и с сосредоточенной силой Р?

Какой характер деформации бруса предполагается гипотезой плоских сечений?

Как связано относительное удлинение £ с перемещением и поперечного сечения бруса и с абсолютным удлинением AZ его конечного участка?

Как распределяются нормальные напряжения аж по поперечному сечению бруса при центральном растяжении- сжатии? Как их вычислить?

Приведите две формы записи закона Гука (связь между е и а и между AZ и 1ST).

Что необходимо сделать (и это будет достаточным) для определения продольных сил в сечениях статически определимой конструкции?

Что необходимо рассмотреть (помимо условий равновесия) для решения статически неопределимой системы?

В чем разница записи относительного удлинения е для ненагретого и нагретого брусьев?

Сказывается ли нагрев нагруженных статически определимых систем на величинах возникающих в них продольных сил?

В какой форме выражается закон сохранения энергии при деформации бруса? Как выглядит это выражение в рамках закона Гука?

В чем состоит идея метода Мора (метода единичной нагрузки) определения перемещений?

Почему формулу для определения перемещений, вызванных только нагревом, б1 = ^ ^A^Zz^(l), нельзя при-

г

менять в статически неопределимых фермах?

В каких сечениях бруса при центральном растяжении-сжатии действуют максимальные нормальные и касательные напряжения?

Как записать условие прочности конструкции при р астяжении-сжатии ?

Что такое допускаемое напряжение?

Как выбираются предельные напряжения?

Какие факторы обязательно учитываются при выборе коэффициента запаса?

В чем разница между фактическим запасом прочности и коэффициентом запаса конструкции?

Задачи

На ферму (рис. 4.47) действует груз Р и вес диска ВС G = ^Р (вес считать сосредоточенным в середине диска). Опре-

Рис. 4.48Рис. 4.48Рис. 4.49Рис. 4.49делить допускаемую величину груза Рдоп? считая заданными параметр площади поперечного сечения F и допускаемое напряжение [сг]р (материал всех стержней одинаковый). При найденном значении Рдоп определить вертикальное перемещение узла А (модуль упругости Е и размер I считать заданными). Насколько изменится это перемещение, если подкос ВЕ нагреть на Д£°С (коэффициент линейного расширения а задан)?

Рис. 4.48

Рис. 4.48

Рис. 4.49

Рис. 4.49

Для ступенча- - того бруса, нагруженного внешними силами, как показано на рис. 4.48, построить эпюры N, а. £, и. Считая заданными щ Z, Е. F, стод, определить запас прочности п и перемещение ng сечения 3. 3.4.3. Определить продольные усилия и нормальные напряжения в горизонтальном и наклонном стержнях конструкции (рис. 4.49), нагруженной указанными силами, построив при этом для горизонтального стержня эпюры N, а, е, и. Будет ли про-

дольное перемещение правого конца этого стержня равно полному перемещению узла С? Все величины, указанные на

рисунке, считать заданными.

Для фермы, показанной на рис. 4.50, найти полное перемещение узла С (Р, Z, Е, F считать заданными). На какую температуру Д£°С надо нагреть нижний и охладить верхний стержни, чтобы в результате совместного действия силы Р и температуры М перемещение узла С оказалось равным нулю? Коэффициент линейного расширения материала стержней а задан.

Из условия прочности конструкции (рис. 4.51) определить минимальное значение параметра F, которым заданы площади поперечных сечений стержней AD и CD (щ Z, Е. [сг]р > [сг]с считать заданными). Используя получен-

Рис. 4.50Рис. 4.50ное значение F, определить перемещение узла С. Считать элемент ЕАВС абсолютно жестким диском. Сняв внешнюю нагрузку, нагреть стержень AD на Д£°С и определить температурные напряжения в стержнях (коэффициент линейного расширения а задан).

Рис. 4.50

Рис. 4.50

Стальной стер

Рис. 4.51Рис. 4.513.4.7. Горизонтальныйстержень оказался корочеРис- 4.52нужной для сборки длины на величину г (рис. 4.53). Определить максимально возможную величину г, при которой мож-3.4.7. Горизонтальныйстержень оказался корочеРис- 4.52нужной для сборки длины на величину г (рис. 4.53). Определить максимально возможную величину г, при которой мож-жень находится внутри дюралевой трубы (рис. 4.52). Какую часть внешней силы Р воспринимают стальной и дюралевый элементы конструкции, жесткости на сжатие которых равны EQFQ и ЕдЕд соответственно? Считая заданными F, Z и жесткости, определить продольную деформацию конструкции.

Рис. 4.51

Рис. 4.51

3.4.7. Горизонтальный

стержень оказался корочеРис- 4.52

нужной для сборки длины на величину г (рис. 4.53). Определить максимально возможную величину г, при которой мож-

3.4.7. Горизонтальный

стержень оказался корочеРис- 4.52

нужной для сборки длины на величину г (рис. 4.53). Определить максимально возможную величину г, при которой мож-

но еще смонтировать конструкцию, удовлетворяющую условию прочности. Считать заданными Е. Е, Z, Нр = Нс = И-

Рис. 4.54Рис. 4.54

Рис. 4.54

Рис. 4.54

На какую температуру Д^[°С] надо нагреть горизонтальный брус (рис. 4.54), чтобы собрать конструкцию? Вычислить максимальные монтажные напряжения в собранной конструкции, которые возникнут после охлаждения горизонтального бруса до исходной температуры. Принять г = 0,5 мм, I = = 500 мм, а = 10"5 град”1, Е = 2 • 105 МПа.

ГЛАВА 5

ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ ИЧИСТЫЙ СДВИГ

Напряженное состояние, которое возникает в пластине, нагруженной в ее плоскости, называют плоским напряснсен- ным состоянием. Для нас сейчас интересен частный случай плоского напряженного состояния прямоугольной пластины толщины 5, нагруженной равномерно распределенными по площадям ее кромок нормальными нагрузками qx и qy (рис. 5.1). Такое состояние пластины называется двухосны

Рис. 5.1растяснсением-сснсатием.Рис. 5.1растяснсением-сснсатием.Напряженное состояниепри двухосном растяжении—сжатии

Рис. 5.1

растяснсением-сснсатием.

Рис. 5.1

растяснсением-сснсатием.

Равномерность распределения нагрузок по кромкам позволяет рассмотреть двухосное растяжение-сжатие как суперпозицию (наложение) состояний растяжения-сжатия по осям х и у. Рассматривая отсеченные части, образованные нормальными к осям х и у сечениями I-I и П-П (рис. 5.2) и учитывая равномерность деформаций, нетрудно заключить, что

ах = Qx и cry = qy. (5.1.1)

Найдем теперь напряжения в сечении, которое нормально к плоскости пластины и нормаль к которому п составляет угол а с осью х. На рис. 5.1 это сечение АА. Для этого тремя сечениями (АА, I-I и II Щ выделим из пластины треугольный элемент BCD, заштрихованный на рис. 5.1, и рассмотрим его равнове-

сие. Этот элемент с действующими на него усилиями показан на рис. 5.3. Площадь грани CD обозначим через Еп а площади

Рис. 5.2Рис. 5.2

Рис. 5.2

Рис. 5.2

Рис. 5.3Рис. 5.3

Рис. 5.3

Рис. 5.3

граней В С и BD — через Еж и Еу соответственно. Ясно, что

Еж = Епсо^а^ Еу = Fn sina.(5.1.2)

На грани В С действуют напряжения стж, равномерно распределенные по площади грани. Поэтому им соответствует равнодействующее усилие ажЕж. Точно также напряжениям Пу^ действующим на грани BD, соответствует равнодействующее усилие сг^Еу. На грани CD возникают интересующие нас нормальные ап и касательные Tnt напряжения. Соответствующие им усилия равны апЕп и TntFn. Чтобы получить ап и Tnt, рассмотрим условия равновесия элемента в виде сумм проекций на оси nut действующих на него сил:

(5.1.3)(5.1.3)Е Рп = onFn - ctxFx cos а - ayFy sin а = О, Е Pt = TntFn + ахFx sin а - ауFy cos а = 0.

(5.1.3)

(5.1.3)

Отсюда, используя соотношения (5.1.2), после сокращения на Еп получаем

(5.1.4)(5.1.4)ап = <тж cos2 а + су у sin2

(5.1.4)

(5.1.4)

Tnt = (<Ту — стж) sin a cos а = ^^ sin 2а.

Эти формулы позволяют найти напряжения в произвольном, нормальном к плоскости пластины сечении. Читатель может

легко получить их также и другим путем, рассматривая двухосное растяжение-сжатие как суперпозицию двух таких одноосных состояний и используя формулы (4.8.4) для них. Различие в знаках для т в (4.8.4) и (5.1.4) объясняется различием в их направлениях.

Так как |sin2a| = | sin [2 (а + 90°)]|, то из формул (5.1.4) сразу следует, что касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных сечениях равны

knt(«)| = \тпДа + 90°)|.knt(«)| = \тпДа + 90°)|.(5.1.5)(5.1.5)

knt(«)| = \тпДа + 90°)|.

knt(«)| = \тпДа + 90°)|.

(5.1.5)

(5.1.5)

Анализируя их направления, приходим к двум возможным случаям, показанным на рис. 5.4. Таким образом, как и в случае

Рис. 5.4

одноосного растяжения-сжатия, мы пришли к свойству парности касательных напряжений. В этом нет ничего удивительного, так как, если свойство парности существует для каждого из одноосных растяжений-сжатий, то оно, конечно, сохраняется и в их суперпозиции.

Чистый сдвиг

Особый интерес представляет такое напряженное состояние пластины, когда она в одном направлении растянута, а в другом сжата одинаковыми по величине напряжениями, т.е. когда

аж = ст, ^у — —ч. (5.2.1)

Тогда в произвольных сечениях возникнут напряжения, которые в соответствии с формулами (5.1.4) будут

(5.2.2)(5.2.2)стп = ст cos 2а,Tnt = —ст sin 2а.

(5.2.2)

(5.2.2)

В площадках, расположенных под углом ±45° к осям х и у, касательные напряжения оказываются максимальными и равными ст, а нормальные напряжения равны нулю. Напряжения в таких сечениях показаны на рис. 5.5. Из него видно, что для

выделенного сечениями под углом 45° прямоугольного элемента пластины реализуется напряженное состояние, соответствующее второй элементарной деформации — сдвигу (см. и. 3.1.2) и создаваемое в эксперимен-

Рис. 5.5Рис. 5.5тах при испытании материалов на сдвиг (разд. 3.5). Такое напряженное состояние называют чистим сдвигом.

Рис. 5.5

Рис. 5.5

Как следует из экспериментов, в пределах линейно-упругих деформаций при чистом сдвиге касательное напряжение т и деформация сдвига у связаны законом Гука:

т = G^. (5.2.3)

На рис. 5.6 пунктиром показано деформированное состояние элемента пластины

при чистом сдвиге. В этом элементе при упругих деформациях накопится потенциальная энергия деформации с/Пт, равная работе деформирующей силы т dx • 5 на пути А = 7 dy (напомним, что 6 — толщина пластины):

(5.2.4)(5.2.4)dIYT = ^т dx • 67 dy = |т7^ dx dy.

(5.2.4)

(5.2.4)

Как и ранее в гл. 4 (см. п. 4.7.1), множитель | учитывает,

что при линейно-упругих деформациях в соответствии с законом Гука (5.2.3) сила пропорциональна пути.

Получим удельную энергию деформации чистого сдвига UT^ т.е. энергию деформации в единице объема. Для этого энергию деформации в элементе dIYT нужно разделить на объем элемента dV = dx dy • 5;

ит = dHT/dV = |т7.(5.2.5)

Е = |^ или UT = ^G^-Е = |^ или UT = ^G^-(5.2.6)(5.2.6)Закон Гука (5.2.3) позволяет выразить UT как через напряжение т, так и через сдвиг 7:

Е = |^ или UT = ^G^-

Е = |^ или UT = ^G^-

(5.2.6)

(5.2.6)

Закон Гука при двухосном растяжении—сжатии. Связь между модулями упругости Е и G и коэффициентом Пуассона р

Взгляд на двухосное растяжение-сжатие как суперпозицию двух одноосных состояний (рис. 5.7) позволяет обобщить на него и закон Гука.

Пусть еж и Еу — относительные удлинения или удлинения

сторон единичного квадрата при двухосном растяжении—сжатии.

Гет (1) A t A)--up®Гет (1) A t A)--up®Рис. 5.7Рис. 5.7На рис. 5.7 деформированные состояния такого квадрата показаны пунктиром. В состоянии одноосного растяжения напряжениями аж его горизонтальная сторона (в направлении ж) удлинится

Гет (1) A t A)--up®

Гет (1) A t A)--up®

Рис. 5.7

Рис. 5.7

на величину eV = ^х/Е,

а вертикальная сторона вследствие эффекта Пуассона укоро

тится на е^ = — ps^ = —рах/Е. В состоянии же одноосного растяжения под действием напряжений ау вертикальная сторона квадрата получит удлинение е^ = ayjE^ а горизонтальная в силу эффекта Пуассона укоротится на е^ = —рЕ^ = —p(jy/E. Тогда при одновременном действии аж и ст у получим удлинения:

(5.3.1)(5.3.1)£_£(1)।Д2)_^_щ

(5.3.1)

(5.3.1)

£_£(1).Д2)_Щ

ЕЕ '

Отсюда сразу следуют формулы закона Гука при двухосном растяжении-сжатии изотропного материала:

^у = ^Vy— p^xY^у = ^Vy— p^xY(5.3.2)(5.3.2)

^у = ^Vy— p^xY

^у = ^Vy— p^xY

(5.3.2)

(5.3.2)

Рассматривая эти соотношения как уравнения с неизвестными сгж и (jy^ нетрудно выразить напряжения через деформации:

5.3.35.3.3+AZEy),

5.3.3

5.3.3

^У = 1 _ ,,2 ^ЕУ + Р£х)-

Теперь найдем потенциальную энергию деформации П^, накопившуюся в единичном квадрате при его деформации.

Ее можно подсчитать как работу деформирующих квадрат усилий сгж • 1 • 5 и (jy • 1 • 5 (5 — толщина квадрата, а 1 • 5 — площадь его боковых граней) на путях еж • 1 и Еу • 1. Связь между силами и их путями определяется законом Гука, поэтому

П^ — 2^ * 1^ж * 1 "Г 2^^ * 1^5/ * 1 —

= |(сгжеж + (Туву) • 1 ■ 1 • <5. (5.3.4)

Так как объем единичного квадрата V = 1-1-5, удельная потенциальная энергия деформаций

— у — 2 (^ж^ж Т (Д'Д)-— у — 2 (^ж^ж Т (Д'Д)-(5.3.5)(5.3.5)

— у — 2 (^ж^ж Т (Д'Д)-

— у — 2 (^ж^ж Т (Д'Д)-

(5.3.5)

(5.3.5)

(5.3.6)(5.3.7)(5.3.6)(5.3.7)

(5.3.6)

(5.3.7)

(5.3.6)

(5.3.7)

Используя закон Гука в форме (5.3.2) или (5.3.3), можно легко найти выражения СД через напряжения или через деформации:

Ua = ^^ ~ ^хОу + О^),и<т = 2(1 Дг) Д + ^хЕу + Су)-

К настоящему моменту мы знаем три константы, характеризующие линейно-упругую деформацию изотропного материала. Это модули упругости Е и G при растяжении и сдвиге, а также коэффициент Пуассона ц. Возникает вопрос: нет ли между этими константами каких-либо связей? Наличие таких связей могло бы упростить экспериментальное определение кон

стант. Покажем, что такая

связь существует.

Сначала обратим внимание читателя на то, что потенциальная энергия деформации является величиной скалярной. Поэтому для таких однородных напряженных состояний, как двухосное растяжение или чистый сдвиг, величина потенциальной энергии деформации, накопившейся в некоторой части пластины, зависит только от площади этой части, а не от ее формы или ори

ентации. Действительно, П^ в

Рис' 5,8 части пластины Fi (рис. 5.8) можно подсчитать как сумму (интеграл) элементарных энергий с/П^, накопившихся в составляющих эту часть пластины элемен-

тарных объемах dV = 5 dF т.е.

щ = (/щ.

Fi

Используя удельную энергию деформации UCT1 нетрудно получить, что

б/П^ = UadV = Ua6 dF

Следовательно,

Щ J Ua6dF

Fi

Но так как напряженное состояние однородно, то Ua не зависит от положения выделенного элемента dF. Поэтому

Щ = ^ J 6dF = U^Ft.

Fi

Из этого, в частности, следует, что потенциальные энергии деформации в единичных квадратах, показанных на рис. 5.9, равны. Для квадрата «а» при аж = а и бт^ = — а по формуле (5.3.6) получим

Ъ = UJ ■ 1 ■ 1 = А . 2(1 + nVS • 1 ■ 1. (5.3.8)

Квадрат «б», как это показано в п. 5.2.1, в этом частном

случае двухосного растяжения-сжатия находится в состояниислучае двухосного растяжения-сжатия находится в состояниичистого сдвига под действием касательных напряжении т = = ст. Тогда по (5.2.6) имеемчистого сдвига под действием касательных напряжении т = = ст. Тогда по (5.2.6) имеемПт = UT6 • 1 • 1 =Пт = UT6 • 1 • 1 =.2.2.2.2• 1 =• 1.• 1 =• 1.(5.3.9)(5.3.9)Теперь ввиду равенства для этого случая П^ и Пт, сравнивая (5.3.8) и (5.3.9), легко получаемТеперь ввиду равенства для этого случая П^ и Пт, сравнивая (5.3.8) и (5.3.9), легко получаемЕ2(1+Д’Е2(1+Д’(5.3.10)(5.3.10)

случае двухосного растяжения-сжатия находится в состоянии

случае двухосного растяжения-сжатия находится в состоянии

чистого сдвига под действием касательных напряжении т = = ст. Тогда по (5.2.6) имеем

чистого сдвига под действием касательных напряжении т = = ст. Тогда по (5.2.6) имеем

Пт = UT6 • 1 • 1 =

Пт = UT6 • 1 • 1 =

.2

.2

.2

.2

• 1 =• 1.

• 1 =• 1.

(5.3.9)

(5.3.9)

Теперь ввиду равенства для этого случая П^ и Пт, сравнивая (5.3.8) и (5.3.9), легко получаем

Теперь ввиду равенства для этого случая П^ и Пт, сравнивая (5.3.8) и (5.3.9), легко получаем

Е2(1+Д’

Е2(1+Д’

(5.3.10)

(5.3.10)

Этот же результат можноРис- 5.9

получить и чисто геометриче

ски, связав деформации диагоналей квадрата «б» (рис. 5.9) ех и Еу с его деформациями сдвига. Подробно с таким выводом можно ознакомиться, например, в [3].

. Следует сказать, что вопрос о количестве независимых констант, характеризующих упругое поведение материала, был предметом длительной дискуссии в XIX веке. Вслед за С. Пуассоном все ведущие ученые французской школы механиков — Л. Навье, О. Коши, Д. Ламе, Б. Клапейрон и др. — считали, что упругие свойства изотропного тела определяются одной константой, а коэффициент Пуассона независимо от материала всегда равен 1/4. Английский ученый Джордж Грин (1793-1841), впервые в явной форме отказавшийся от молекулярного подхода и рассматривавший деформируемое тело как сплошную среду, пришел к выводу, что упругое поведение изотропного материала должно характеризоваться двумя независимыми константами. Дальнейшие многочисленные экспериментальные исследования, проводившиеся многими учеными, подтвердили точку зрения Д. Грина.

Контрольные вопросы

Какое напряженное состояние называется чистым сдвигом? Как реализовать такое состояние в пластине, нагруженной в ее плоскости?

Какую форму принимает закон Гука при чистом сдвиге?

Какую форму принимает закон Гука при двухосном р астяжении-сжатии ?

Зависит ли потенциальная энергия деформации элемента, находящегося в однородном плоском напряженном состоянии, от его формы в плоскости пластины, или она определяется только площадью элемента в этой плоскости?

Как связаны между собой упругие константы 5, G и ц изотропного материала?

Задачи

Вычислить нормальные и касательные напряжения в диагональном нормальном сечении АВ (рис. 5.10) нагруженной в своей плоскости тонкой квадратной пластины. Показать, что касательные напряжения в этом сечении будут максимальными.

При каких направлениях и значениях од и сг^ в задаче 5.1 касательные напряжения во всех нормальных сечениях пластины будут равны нулю? Чему равны при этом нормальные напряжения в этих сечениях?

По граням элемента АВС, выделенного из тонкой

квадратной пластины, действуют касательные напряжения, равные т (рис. 5.11). В каких нормальных кт

плоскости элемента сечениях касательные на- 5 —м—.^

пряжения равны нулю? Чему равны нормальные напряжения в этих сечениях?м

Вычислить относительные удлине- и ние и укорочение диагоналей элемента в зада

че 5.3, если для материала пластины заданы —х—^

его упругие постоянные Е и д.т

Покажите, что отношение относи- о к л оРис. 5.11 тельного сдвига у в плоскости элемента АВС,

рассмотренного в задачах 5.3 и 5.4, к относительному удлинению диагонали АС Еде, вычисленному в задаче 5.4, равно двум.

ГЛАВА 6

КРУЧЕНИЕ

Если в поперечных сечениях бруса под действием внешних нагрузок из шести возможных внутренних силовых факторов возникает только крутящий момент, то такое напряженно-де

Рис. 6.1Рис. 6.1формированное состояние бруса называют кручением.

Рис. 6.1

Рис. 6.1

В брусе с прямой осью кручение создается только при действии на него моментов (пар сил), плоскости действия которых перпендикулярны оси бруса (рис. 6.1). В этом легко убедиться, рассматривая условия равновесия отсеченных частей бруса. Внешние моменты, вызываю

щие кручение, в отличие от крутящего момента называют скручивающими моментами. На рис. 6.1 при изображении фрон

тальных проекций пар сил, соответствующих этим моментам, принято, что сила, показанная знаком Q, направлена на нас, а знаком ф — от нас (рис. 6.2). Зна

ками • и + показано направ-

Рис- 6.2ление погонного скручиваю

щего момента с интенсивностью т^х\ (Подобные обозначения употребляются в электротехнике для указания направлений токов, перпендикулярных плоскости чертежа.)

Для крутящих моментов принято следующее правило знаков: крутящий момент положителен, если со стороны внешней нормали к сечению видно, что он поворачивает отсеченную часть против часовой стрелки.

Это правило проиллюстрировано на рис. 6.3 как в изометрическом изображении, так и в проекции бруса на плоскость рисунка.

Рис. 6.3Рис. 6.3

Рис. 6.3

Рис. 6.3

Перейдем теперь к анализу напряженно-деформированного состояния бруса при кручении. При этом мы будем, насколько возможно, придерживаться последовательности, в которой такой анализ проводился для центрального растяжения-сжатия в гл. 4.

Статические дифференциальные и интегральные соотношения при кручении

Рассмотрим сначала равновесие показанного на

рис. 6.4 элемента, выделенного из бруса сечениями х и x+dx. На

него действует погонный момент, интенсивность которого в виду малости dx можно принять постоянной по длине элемента и равной т^х\ Тогда равнодействующая этого распределенного момента равна т(х) dx. Отброшенные левая и правая отсеченные части бруса действуют на элемент крутящими моментами М^х) и Мк (х + dx) « М^ (ж) + dM^. Соста

вляя условие равновесия элемен

та как равенство нулю суммы дей-Рис- 6-4

ствующих на него моментов относительно оси бруса ж, получаем

^2 Мг = —Мк(ж) + Wk^x) + dM^) + т^х) dx = 0.

dMk d^dMk d^Отсюда сразу следует

dMk d^

dMk d^

= —т(х).= —т(х).(6.1.1)

= —т(х).

= —т(х).

Это и есть статическая дифференциальная зависимость при кручении. Она аналогична зависимости dN / dx = — q при растяжении-сжатии, а значки «—>» и « * » подчеркивают положительные направления оси х и интенсивности m^xY принятые при ее

выводе.

Рис. 6.5Рассмотрим элемент,

выделенный двумя сечениями, близкими к сечению, где приложен внешний момент М (рис. 6.5). Из условий его равновесия получаем

52 Мх = О м+ - М^ = -М.(6.1.2)

Это соотношение аналогично полученному в гл. 4 выражению (4.1.3). Оно показывает, что в

окрестности сечения, где приложен сосредоточенный скручивающий момент М, крутящий момент М^ меняется скачком. Вид эпюры М^ вблизи таких сечений показан на рис. 6.6.

Рассмотрим теперь равновесие конечной части бруса, выделенной из него сечениями х\ и ж2 (рис. 6.7). Из условия ее равновесия ^2 Мж = 0 получаем

Ж2

Mj^xs) = Mk(xi) — J т^ dx — 52 мг- (6.1.3)

Ж1ге[ж1,Ж2]

Второе слагаемое в правой части этого соотношения является равнодействующим моментом распределенного момента m(xY приложенного к рассматриваемой отсеченной части. А третье слагаемое составляет сумму сосредоточенных моментов на отсеченной части. Выражение (6.1.3) является общим решением дифференциального уравнения (6.1.1) с учетом скачков, определенных соотношениями вида (6.1.2). Это нетрудно доказать,

продифференцировав (6.1.3) по ж 2 точно так же, как это было сделано с аналогичным выражением (4.1.5) при рассмотрении растяжения-сжатия (см. и. 4.1.4).продифференцировав (6.1.3) по ж 2 точно так же, как это было сделано с аналогичным выражением (4.1.5) при рассмотрении растяжения-сжатия (см. и. 4.1.4).ВыраженияВыражения(6.1.1)-(6.1.1)-(6.1.3) вместе с условиями отсутствия в брусе при кручении продольных и перерезывающих сил, а также изгибающих моментов являются для случая кручения бруса частным видом общих соотношений(6.1.3) вместе с условиями отсутствия в брусе при кручении продольных и перерезывающих сил, а также изгибающих моментов являются для случая кручения бруса частным видом общих соотношений-^ *х $м. ?"2 Г11-^ *х $м. ?"2 Г1166® Х2 ®® Х2 ®Рис. 6.7Рис. 6.7ФФ(2.1.11)-(2.1.15).(2.1.11)-(2.1.15).

продифференцировав (6.1.3) по ж 2 точно так же, как это было сделано с аналогичным выражением (4.1.5) при рассмотрении растяжения-сжатия (см. и. 4.1.4).

продифференцировав (6.1.3) по ж 2 точно так же, как это было сделано с аналогичным выражением (4.1.5) при рассмотрении растяжения-сжатия (см. и. 4.1.4).

Выражения

Выражения

(6.1.1)-

(6.1.1)-

(6.1.3) вместе с условиями отсутствия в брусе при кручении продольных и перерезывающих сил, а также изгибающих моментов являются для случая кручения бруса частным видом общих соотношений

(6.1.3) вместе с условиями отсутствия в брусе при кручении продольных и перерезывающих сил, а также изгибающих моментов являются для случая кручения бруса частным видом общих соотношений

-^ *х $м. ?"2 Г11

-^ *х $м. ?"2 Г11

6

6

® Х2 ®

® Х2 ®

Рис. 6.7

Рис. 6.7

Ф

Ф

(2.1.11)-(2.1.15).

(2.1.11)-(2.1.15).

Геометрические дифференциальные и интегральные соотношения

Рассмотрим деформацию прямого бруса при кручении. Для нее характерно, что сечения бруса поворачиваются относительно некоторой продольной оси, а сама эта ось остается прямолинейной. Обозначим угол поворота сечения с координатой х через ф^х\ Будем считать, что он положителен, если на боковой проекции бруса верхняя часть сечения перемещается на нас. Тогда для бруса, левый ко

00нец которого закреплен, положительный угол поворота появляется при возникновении в брусе положительного крутящего момента (рис. 6.8).

0

0

По аналогии с относитель-

ным удлинением бруса е введемРис. 6.8

относительный угол закручива

ния 6 как угол закручивания на единицу длины бруса. Если брус постоянного сечения и длины I нагрузить скручивающими

Рис. 6.9Рис. 6.9моментами, приложенными по концам бруса (рис. 6.9), то его напряженно- деформированное состояние будет постоянно (однородно) по длине. Для такого бруса 6 = <р/1, где у? — угол закручивания бруса, т.е. угол, на который его правый конец повернется относительно левого. Чтобы связать 0 и ср при неоднородном по длине кручении бруса, рас-

Рис. 6.9

Рис. 6.9

смотрим деформацию его элемента между сечениями ж и x + dx. Его левое сечение повернется на угол <Дж), а правое — на угол <p(x + dx) «<р(х) -Vdip (рис. 6.10). Угол поворота правого сечения

относительно левого сечения, как нетрудно понять, равен dip. X это и есть угол закручивания элемента бруса. Чтобы получить относительный угол закру- фМчивания 0, нужно отнести

ФО+dx) = фО) +ФО+dx) = фО) +ФФРис. 6.10Рис. 6.10dip к длине элемента dx. Таким образом,

ФО+dx) = фО) +

ФО+dx) = фО) +

Ф

Ф

Рис. 6.10

Рис. 6.10

^ = 0.(6.2.1)

ах

Получим теперь угол закручивания <^2-1 элемента бруса конечной длины, расположенного между сечениями х\ и х^.

Вычислим его как угол поворота сечения х^ относительно сечения х\\

$2Х2

у?2-1 = <Щг) -= J dtp = J 6 Ах.(6.2.2)

В этом выражении угол закручивания по существу получен как сумма (интеграл) углов закручивания dip = 0 dx бесконечно малых элементов dx, составляющих конечный элемент.

Соотношение (6.2.2) является одной из возможных форм записи общего решения дифференциального уравнения (6.2.1), учитывающей, что по своему физическому содержанию угол поворота ср является непрерывной функцией. Ведь разрыв функции <р (ж) соответствует конечному углу поворота двух бесконечно близких сечений, а это физически означает разрушение бруса (если, конечно, такой поворот не предусмотрен конструкцией). Аналогичные соотношения между перемещением и и относительным удлинением е были получены и подробно разобраны выше, в разд. 4.2 для растяжения-сжатия бруса.

Следует отметить, что статические и геометрические соотношения при растяжении-сжатии (см. разделы 4.1, 4.2) и при кручении (см. разделы 6.1, 6.2) совершенно аналогичны и могут быть получены друг из друга заменой N, q, и, £ на М^, т, ср, 0. Это их свойство можно полезно использовать, в частности, при построении численных алгоритмов решения задач растяжения и кручения на ЭВМ. Однако полной аналогии между растяжением-сжатием и кручением нет. Различие между ними состоит в характере распределения напряжений по сечению, которое, как это будет видно в дальнейшем, при кручении существенно зависит от формы сечения.

Кручение бруса круглого и кольцевого сечений

Рассмотрим кручение бруса, являющегося сплошным

круговым цилиндром и нагруженного скручивающими моментами по концам (рис. 6.11). При таком нагружении деформация бруса будет однородна

Рис. 6.11Рис. 6.11по длине. Кроме того, брус и действующие на него моменты обладают симметрией вращения относительно оси цилиндра х. Поэтому деформированное состояние бруса должно обладать такой же симметрией. Следовательно, при кручении ось бруса останется прямолинейной, а деформированное состояние будет однородно в

Рис. 6.11

Рис. 6.11

окружном направлении,

т.е. не будет зависеть от угловой координаты полярной системы координат с полюсом в центре круга поперечного сечения. Имеется также симметрия бруса и обратная симметрия скручивающего момента относительно продольных сечений бруса плоскостями, содержащими ось х. Всем этим требованиям симметрии деформированного состояния удовлетворяет следующее предположение о характере деформации бруса.

Ось круглого бруса при кручении остается прямолинейной, а поперечные сечения, оставаясь плоскими и нормальными к оси, ведут себя как жесткие диски, т.е. их радиусы поворачиваются, но не деформируются и углы между радиусами не меняются.

Такое предположение о характере деформации бруса определяет форму гипотезы плоских сечений при кручении. Оно под

Рис. 6.12Рис. 6.12тверждается и простыми экспериментами. В них на боковую поверхность цилиндра наносят прямоугольную сетку из продольных полос и поперечных линий, являющихся следами на боковой поверхности поперечных сече-

Рис. 6.12

Рис. 6.12

ний. При кручении цилиндра эта сетка искажается, но так, что поперечные линии остаются окружностями, лежащими в плоскости поперечного сечения (рис. 6.12).

5 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

Рассмотрим теперь деформацию круглого бруса детальнее. Для этого двумя близкими сечениями выделим из бруса элемент dx (рис. 6.13). Его

Рис. 6.13Рис. 6.13правое сечение повернется относительно левого на угол dp. Выбранная произвольно образующая поверхности цилиндра ab займет после деформации положение ab1. Введем в плоскости сечения полярную координату р как расстояние от центра окружности сечения. Двумя продольными цилиндрическими сечениями радиусов р и р + dp выделим из элемента dx кольцо толщиной dp и рассмотрим его деформацию (рис. 6.14). Произвольная образующая cd поверх

Рис. 6.13

Рис. 6.13

ности кольца при деформации повернется и займет положение cd’. Поэтому прямой до деформации угол ecd уменьшится на угол у, который по существу является углом сдвига. Причем в

Рис. 6.14разд. 5.2, рис. 5.6), приходим кРис. 6.14разд. 5.2, рис. 5.6), приходим ксилу гипотезы плоских сечений этот сдвиг однороден (постоянен) в окружном направлении.

Рис. 6.14

разд. 5.2, рис. 5.6), приходим к

Рис. 6.14

разд. 5.2, рис. 5.6), приходим к

В треугольнике odd’ дуга dd' = ^dx. а в секторе Odd1 та же дуга dd’ = р dp. Поэтому ^ dx = pdp. Следовательно,

7=^=* l^3'1)

Сопоставляя теперь деформацию кольца с деформацией чистого сдвига (см. выводу, что такая деформация

кольца должна сопровождаться появлением в плоскости поперечного сечения касательных напряжений т, направленных касательно к окружности поперечного сечения кольца (рис. 6.15). Эти касательные напряжения так же, как и деформации у, однородны в окружном направлении. При линейно-упругих дефор

мациях сдвиг у и соответствующее ему касательное напряжение т, как это следует из экспериментов на чистый сдвиг (см. разд. 3.5), подчиняются закону Гука:

(6.3.2)(6.3.2)т = Gy.

(6.3.2)

(6.3.2)

Тогда, учитывая зависимость (6.3.1), получаем, что

(6.3.3)(6.3.3)т = GpO.

(6.3.3)

(6.3.3)

Рис. 6.15Рис. 6.15Так как модуль при сдвиге G и относительный угол закручивания 0 постоянны для сечения, то из этой формулы следует, что т в сечении меняется пропорционально расстоянию р от центра сечения, как это показано на рис. 6.16.

Рис. 6.15

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Формулой (6.3.3) неудобно пользоваться для определения касательных напряжений. При решении задач мы обычно сначала методом сечений определяем внутренний силовой фактор, а потом уже по нему находим соответствующие напряжения. Такой алгоритм мы уже успешно использовали при анализе растяжения-сжатия бруса в гл. 4. Поэтому необходимо иметь формулу, связывающую т с крутящим моментом М^. Для этого введем в сечение бруса полярные координаты р, а (рис. 6.17). Тогда, по введенному в гл. 2 пра

вилу индексации касательных на

пряжений, т = тха. В и. 2.3.1 кру-Рис- 6-17

тящий момент был подсчитан как интеграл по площади сечения от моментов элементарных касательных усилий тжа dF;

(6.3.4)(6.3.4)— J ртжа dF.

(6.3.4)

(6.3.4)

F

Воспользуемся этим выражением, чтобы связать т = тжа и М^. Подставим (6.3.3) в (6.3.4). Учитывая, что G и 6 не зависят

5*

от положения dF, получим

Mk = G0f р2 dF.(6.3.5)

F

Входящий в это соотношение интеграл зависит только от геометрии сечения. Он называется полярным моментом инерции и обозначается как

Jp = J р2 dF.(6.3.6)

F

Вместе с другими геометрическими характеристиками плоских фигур подробно он будет изучен в гл. 7.

С учетом этого обозначения из формулы (6.3.5) получаем соотношение, связывающее Мк и 0;

6 = Fh_.(6.3.7)

Ст Jp

X теперь из (6.3.3) сразу следует, что

По этой формуле в круглом брусе при кручении можно найти касательные напряжения по известному крутящему моменту. А формула (6.3.7) связывает Мк с относительным углом закручивания. Вместе со статическими и геометрическими дифференциальными зависимости (6.1.1)-(6.1.3), (6.2.1), (6.2.2) формулы (6.3.8) и (6.3.7) позволяют получить полную информацию о напряженно-деформированном состоянии круглого бруса при кручении.

Заметим, что для расчета на прочность нам нужно знать максимальную величину касательных напряжений в сечении, которую мы обозначим через ттах. Из формулы (6.3.8) сразу следует, что в круглом брусе

_ Мк _ Мк D'max — т Ртах — т 9 •JpJp

Эту зависимость принято записывать в виде

, - MiTmax - wk •

Величину Wk называют моментом сопротивления кручению. Как мы увидим в дальнейшем, к такому виду можно привести формулу для определения ттах при кручении бруса любого сечения, только для каждой формы сечения Wk вычисляется по- своему.

В частности, как мы только что установили, для бруса круглого сплошного поперечного сечения

(6.3.9)

Полярный момент инерции Jp для круга вычислим как интеграл:

(6.3.10)(6.3.10)JP= f р2 dF.

(6.3.10)

(6.3.10)

F

В полярных координатах dF можно подсчитать как площадь криволинейного прямоугольника, заштрихованного на рис. 6.17. Пренебрегая малыми высшего порядка, получаем, что dF = = dp • pda. Поэтому двойной интеграл (6.3.10) можно записать в виде

D/2 2тг

Jp = J J p3dpda.(6.3.11)

о о

Подынтегральное выражение и пределы в этом двойном интеграле таковы, что можно разделить переменные и подсчитать его как произведение двух одинарных интегралов:

о о

— to 0,2D3.16’— to 0,2D3.16’В практических расчетах с достаточной степенью точности можно принять Jp^0,lD4. Тогда из (6.3.9) получаем, что W^ =

— to 0,2D3.

16’

— to 0,2D3.

16’

Рис. 6.18Рис. 6.18Рассмотрим теперь кручение бруса в виде круглой цилиндрической трубы. Поперечное сечение такого бруса представляет собой кольцо, наружный диаметр которого обозначим через Р, а внутренний — через d (рис. 6.18).

Рис. 6.18

Рис. 6.18

Брус кольцевого сечения обладает точно такими же свойствами симметрии, что и брус сплошного круглого сечения, показанный на рис. 6.11. Поэтому и для него естествен-

но принять данные в п. 6.3.1 предположения гипотезы плоских

сечений о характере его деформации. На основе этих гипотез,

анализируя деформацию выделенного из бруса элементарного кольца, показанного на рис. 6.13, приходим к выражению (6.3.1) и далее для линейно-упругих деформаций к формуле (6.3.3). Далее, с помощью интеграла (6.3.4) приходим, как и в и. 6.3.3, к формулам:

у = ^, т = ^р'Ст JpJpу = ^, т = ^р'Ст JpJpd ./ D2 < '’ < Td ./ D2 < '’ < T(6.3.12)(6.3.12)

у = ^, т = ^р'Ст JpJp

у = ^, т = ^р'Ст JpJp

d ./ D

2 < '’ < T

d ./ D

2 < '’ < T

(6.3.12)

(6.3.12)

Рис. 6.19бруса в соответствии соРис. 6.19бруса в соответствии соТтах - wk ’Ттах - wk ’

Рис. 6.19

бруса в соответствии со

Рис. 6.19

бруса в соответствии со

Ттах - wk ’

Ттах - wk ’

В этих формулах, как и для сплошного круглого бруса,

Только в этом выражении F — площадь кольцевого поперечного сечения. В полярных координатах этот интеграл имеет вид

D/2 2тг

JP= J $ p3dpda = ^D4-d^ = d/2 О

= ^(1-c4)~0,1D4(1-c4), с=1(6.3.13)

Для подсчета ттах из (6.3.12) с

учетом полученного значения для Jp получаем

и 0/2Z)3(l ~ Щ (6.3.14)

Распределение касательных напряжений по сечению, определяемое формулой (6.3.12), для кольцевого сечения показано на рис. 6.19.

Следует отметить, что

появление касательных напряжений тжа в поперечных сечениях свойством парности обязательно со

провождается появлением равных им касательных напряжениях таж в продольных сечениях бруса (рис. 6.20). Эти напряжения являются причиной появления продольных трещин при кручении бревен, так как дерево легко раскалывается вдоль волокон (рис. 6.21).

В разд. 3.5 мы отмечали, что образцы из хрупких материалов разрушаются, как правило, с образованием винтовых поверхно-

стей, как было показано на рис. 3.28. Такой характер разрушения легко объяснить, рассматривая элементы, выделенные из

поверхностного слоя образца. Если элемент выделить продольным и поперечными сечениями, как это показано на рис. 6.22 а, то видно, что он находится в состоянии чистого сдвига. Если же выделить его винтовыми сечениями под углом 45° к оси (рис. 6.22 5), то, как показано в разд. 5.2, чистый сдвиг для такого элемента будет реализован в виде двухосного растяжения-сжатия с равны

Рис. 6.21Рис. 6.21щие напряжения.щие напряжения.ми по величине напряжениями. Тогда разрушение происходит по плоскостям, где растягивающие напряжения достигнут предельных для данного материала значений, что и происходит в образцах из хрупкого материала, который обычно хуже всего воспринимает растягиваю-

Рис. 6.21

Рис. 6.21

щие напряжения.

щие напряжения.

Кручение брусьев некругового поперечногосечения

Попытки решить задачу о кручении бруса некругового сечения с помощью гипотезы плоских сечений не привели к

успеху. Чем больше сечения отличались от кругового, тем больше результаты таких решений отличались от экспериментальных данных. Причина этого различия особенно ясно видна при

Рис. 6.23Рис. 6.23анализе кручения стержня сплошного прямоугольного сечения. На рис. 6.23 показано деформированное состояние при кручении такого бруса из резины, на боковую поверхность которого в недеформированном состоянии была нанесена прямоугольная сетка. Четко видно, что при деформации по

Рис. 6.23

Рис. 6.23

перечное сечение искривляется сложным образом. Как говорят, сечение депланирует. Простых гипотез, удовлетворительно описывающих такую геометрию деформации бруса, построить не удалось. Точное решение задачи о кручении бруса прямоугольного сплошного сечения, а также эллиптического, треугольного и некоторых других простых по форме поперечных сечений получено методами теории упругости. В частности, решение задачи о кручении бруса прямоугольного сечения дал Б. Сен-Венан в 1855 г. Мы здесь приведем только те результаты этих решений, которые необходимы для инженерных прочностных расчетов.

Рис. 6.24Рис. 6.24ются так, как это показано на рис. 6.24. Максимальные значения касательных напряжений, знание которых необходимо для расчета на прочность, появляются на середине длинной стороны. Формулу для их определения можно представить в таком же структурном виде, что и для круглого сечения:ются так, как это показано на рис. 6.24. Максимальные значения касательных напряжений, знание которых необходимо для расчета на прочность, появляются на середине длинной стороны. Формулу для их определения можно представить в таком же структурном виде, что и для круглого сечения:ЧпахЧпахМк wkМк wk(6.4.1)(6.4.1)Здесь Wk — момент сопроЗдесь Wk — момент сопротивления кручению, который для прямоугольного сечения подтивления кручению, который для прямоугольного сечения подсчитывается каксчитывается какWk = abb? (b^h).Wk = abb? (b^h).(6.4.2)(6.4.2)В поперечном сечении прямоугольного призматического бруса касательные напряжения при кручении распределя

Рис. 6.24

Рис. 6.24

ются так, как это показано на рис. 6.24. Максимальные значения касательных напряжений, знание которых необходимо для расчета на прочность, появляются на середине длинной стороны. Формулу для их определения можно представить в таком же структурном виде, что и для круглого сечения:

ются так, как это показано на рис. 6.24. Максимальные значения касательных напряжений, знание которых необходимо для расчета на прочность, появляются на середине длинной стороны. Формулу для их определения можно представить в таком же структурном виде, что и для круглого сечения:

Чпах

Чпах

Мк wk

Мк wk

(6.4.1)

(6.4.1)

Здесь Wk — момент сопро

Здесь Wk — момент сопро

тивления кручению, который для прямоугольного сечения под

тивления кручению, который для прямоугольного сечения под

считывается как

считывается как

Wk = abb? (b^h).

Wk = abb? (b^h).

(6.4.2)

(6.4.2)

Коэффициент а зависит от отношения b/h, т.е. а = a(b/h), и его значения для различных b/h приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

bjh

1

1,5

1,75

2

3

4

6

8

10

сю

а

0,208

0,231

0,239

0,246

0,267

0,282

0,299

0,307

0,313

0,333

9

0,141

0,196

0,214

0,229

0,263

0,281

0,299

0,307

0,313

0,333

7

1,00

0,859

0,820

0,795

0,753

0,745

0,743

0,742

0,742

0,742

Иногда для расчета на прочность необходимо знать максимальные напряжения на середине короткой стороны сечения тв.

Их можно подсчитать как

Тв = 7Ттах-(6.4.3)

Коэффициент 7 также зависит от отношения b/h ж так как тв ^ ^ Ртах? то ^(b/h) ^ 1 (7 = 1 для квадратного сечения). Величины коэффициента 7 также даны в табл. 6.1.

Для расчета деформаций бруса необходима связь между крутящим моментом М^ и относительным углом закручивания. Эту связь можно представить в форме, сходной с (6.3.7):

6=^-(6.4.4)

Здесь GJ^ — жесткость при кручении, a J^ — геометрический фактор жесткости. Для бруса круглого сечения, как это было показано в разд. 6.3, J^ = Jp. Для бруса прямоугольного сечения JP можно подсчитать как

Jk = рькг (b KY(6.4.5)

Коэффициент р также зависит от b/h и его значения приведены в табл. 6.1.

Коэффициенты а, Р, ^ называют коэффициентами Сен- Венана.

Особо обратим внимание читателя на две особенности распределения касательных напряжений.

Во-первых, касательные напряжения в близких к контуру точках поперечного сечения направлены вдоль контура (касательно к контуру). Это нетрудно объяснить исходя из свойства парности касательных напряжений. Действительно, если в такой точке, например в точке К на рис. 6.25, касательное напряжение тж направлено произвольно, то его можно разложить на составляющие вдоль контура тжг и нормально к нему тжу. Тогда на боковой поверхности бруса должно появиться напряжение т^, и по свойству парности тжу = туж. Но боковая поверхность бруса

свободна от любых напряжений i ет, что и тЖу = 0. Таким образомсвободна от любых напряжений i ет, что и тЖу = 0. Таким образом[ поэтому тух = 0. А это означа- , тж = тжг и потому направлено вдоль контура.

свободна от любых напряжений i ет, что и тЖу = 0. Таким образом

свободна от любых напряжений i ет, что и тЖу = 0. Таким образом

Отсюда сразу становится понятной вторая особенность распределения касательных напряжений, а именно их обращение в нуль в угловых точках сечения. Например, в точке С на рис. 6.25 обращаются в нуль обе составляющие тжг и тЖу касательного напряжения ту,

так как равны нулю парные

Рис. 6.25им напряжения тгж и туж на

свободной от напряжений боковой поверхности бруса.

тах “ ж ’“ gT'тах “ ж ’“ gT'(6.4.6)(6.4.6)Анализ решений о кручении брусьев самых различных поперечных сечений показал, что для всех них сохраняется общая структура формул для определения ттах и 6;

тах “ ж ’“ gT'

тах “ ж ’“ gT'

(6.4.6)

(6.4.6)

Рис. 6.26 подсчитывается по формулеРис. 6.26 подсчитывается по формуле

Рис. 6.26 подсчитывается по формуле

Рис. 6.26 подсчитывается по формуле

Только для каждого вида поперечного сечения величины W^ и Jk определяются по-своему.

Для бруса эллиптического сечения с полуосями эллипса а и b (а ^ Ь) характер распределения касательных напряжений показан на рис. 6.26. Наибольшие касательные напряжения возни

кают в точках А по концам малой оси, и необходимый для их вычисления момент сопротивления кручению

Wk = у. (6.4.7)

Напряжения в точках В по концам большой оси можно найти как

ТВ = -Ттах = -ТА- (6.4.8) а а

Величина геометрического фактора жесткости J^ для бруса эллиптического сечения

Jr =

Для бруса с сечением в виде прямоугольного равностороннего треугольника со сторонами а максимальные касательные на-

пряжения появляются по серединам сторон. Необходимые для расчета такого бруса момент сопротивления кручению W^ и геометрический фактор жесткости J^ можно вычислить как

wk = ё’ Jk = Sa4- (6ЛЛ0)

Точное решение задачи о кручении брусьев более сложного поперечного сечения методами теории упругости требует значительной вычислительной работы. Однако Л. Прандтлем было отмечено совпадение математических формулировок задач о кручении бруса и о деформации под равномерным давлением мембраны, натянутой на плоский контур, одинаковый по форме с контуром поперечного сечения бруса. Не вдаваясь здесь в подробности математической формулировки этих задач, отметим только, что согласно этой аналогии, которая названа мембранной (пленочной) аналогией, касательные напряжения в брусе пропорциональны углам наклона касательных к поверхности мембраны, а крутящий момент пропорционален объему между поверхностью мембраны и плоскостью контура, на который она натянута. Последнее обстоятельство позволяет сравнивать жесткости сечений различных форм. Они, учитывая формулу (6.4.6), будут соотноситься как эти объемы для аналогичных мембран. Таким образом, сравнивая объемы при деформации мембраны на сложном контуре V и круглом контуре Vo (разумеется, при одинаковых усилиях натяжения мембраны и равных величинах давлений), мы можем найти геометрический фактор жесткости сложного сечения:

Имеются специальные приборы, позволяющие быстро измерять объемы И и Vq- Они описаны, например, в учебнике [3]. Более подробно с мембранной аналогией можно ознакомиться в книгах [4, 9].

Кручение брусьев тонкостенного открытого сечения

В различных конструкциях, а особенно в авиационных, широко применяются элементы в виде брусьев тонкостенного сечения, которое бывает открытым (рис. 6.27 а, 5, в) и замкнутым (рис. 6.27 г, д). Оказывается, распределения касательных напряжений при кручении брусьев открытого и замкнутого сечений принципиально различны. Простейшим брусом открытого сечения будет плоская полоса, показанная на рис. 6.28, ко-

гда длина прямоугольного поперечного сечения з значительно больше его толщины 5 (з ^ 5). Из рассмотренного в п. 6.4.2

Рис. 6.27Рис. 6.27

Рис. 6.27

Рис. 6.27

Рис. 6.28Рис. 6.28Ит 7 ГЛ = 0,742.Ит 7 ГЛ = 0,742.ООРис. 6.29Рис. 6.29

Рис. 6.28

Рис. 6.28

Ит 7 ГЛ = 0,742.

Ит 7 ГЛ = 0,742.

О

О

Рис. 6.29

Рис. 6.29

решения Сен-Венана о кручении бруса прямоугольного сечения следует, что с увеличением отношения з/6 коэффициенты Сен-

Венана а и р стремятся к значению, равному 1/3, ад стремится к 0,742:

При больших з/6 касательные напряжения по толщине се

чения изменяются практически линейно, а по длине они практи

чески постоянны, кроме коротких участков вблизи концов сечения (рис. 6.29). Таким образом, для такого

тонкостенного бруса с достаточной точностью можно принять, что

(6.5.2)

Эксперименты показывают, что характер распределения напряжений принципиально не изменится, если из такой полосы изготовить с помощью гибки брус более сложного сечения, как, например, показанный на рис. 6.30. Поэтому и расчетные формулы (6.5.2) не изменяются,

Рис. 6.30Рис. 6.30только в них под s понимается длина средней линии сечения, одинаково отстоящей от длинных сторон его контура. На рис. 6.30 средняя линия показана штрихпунктиром.

Рис. 6.30

Рис. 6.30

Рассмотрим теперь брус сложного сечения, составленного из тонкостенных участков. Пусть длина г-го участка равна s^, а его толщина 8г постоянна в пределах участка (рис. 6.31).

Кручение составного бруса можно рассматривать как совместное кручение составляю

щих его простых брусьев. Обозначим через М^ долю общего для всего сечения крутящего момента М^ которая воспринимается простым брусом, соответствующим г-му участку сечения. Тогда ясно, что

^2,Мгк = Мк.(6.5.3)

г

Кручение каждого составляющего бруса описывается формулами (6.5.2), т.е. для бруса, соответствующего г-му участку

сечения,

Рис. 6.31Рис. 6.31г _ Мгк_

Рис. 6.31

Рис. 6.31

1 max iv

Так как при совместном кручении все участки сечения поворачиваются на один и тот же угол, то все относительные углы закручивания составляющих брусьев 0г равны относительному углу закручивания 6 всего сечения:

№ = 0.(6.5.5)

Здесь

6 =(6.5.6)

где J^ — геометрический фактор жесткости составного сечения. Сравнивая теперь (6.5.6) и (6.5.4), с учетом (6.5.5) легко получить, что

1

Мгк = ^Мк.(6.5.7)

Теперь после подстановки выражения (6.5.7) в равенство (6.5.3) без труда находим, что

(6.5.8)(6.5.8)— 3 52 8^г

(6.5.8)

(6.5.8)

т.е. жесткость при кручении составного бруса равна сумме жесткостей составляющих его простых брусьев. Подставив М^ из (6.5.7) в первую формулу (6.5.4), получим т^ах для г-го участка:

^ах =(6-5.9)

Отсюда видно, что наибольшие касательные напряжения ттах возникнут на том участке сечения, где толщина 6 максимальна. И потому момент сопротивления кручению Wk для составного открытого тонкостенного сечения

wk = —), <5тах = тах(^).(6.5.10)

Отахг

Отметим, что приведенный здесь вывод момента сопротивления кручению Wk и геометрического фактора жесткости Jk

составного сечения по существу является решением статически неопределимой задачи совместного кручения простых брусьев, составляющих брус сложного сечения. В этом решении соотношение (6.5.3) по существу является уравнением равновесия, а равенства (6.5.5) представляют собой уравнения совместности деформаций. Такая постановка не учитывает взаимодействия составляющих простых брусьев вдоль образующих, по которым они соединены. Поэтому формулы (6.5.8), (6.5.10) дают несколь

Рис. 6.32Рис. 6.32ко заниженную величину для геометрического фактора жесткости Jk и завышенную — для момента сопротивления Wk-

Рис. 6.32

Рис. 6.32

Обратим также внимание читателя на то, что в местах соединения элементов составного сечения могут возникнуть повышенные касательные напряжения. На

рис. 6.32 показан простейший составной брус. Рассматривая напряжения в нем с точ-

ки зрения мембранной аналогии, мы замечаем, что в области

внутреннего угла контура сечения угол наклона мембраны оц

а значит, и соответствующие ему касательные напряжения зна-

чительно возрастают. Чтобы избежать этого, внутренние углы сечений прессованных профилей скругляют.

При кручении брусьев тонкостенного открытого се

чения могут возникнуть существенные депланации сечениячения могут возникнуть существенные депланации сечения

чения могут возникнуть существенные депланации сечения

чения могут возникнуть существенные депланации сечения

видна при кручении разрезан-видна при кручении разрезан-Особенно наглядно депланация ной вдоль тонкостенной трубы (рис. 6.33), которое сопровождается значительными продольными смещениями кромок разреза друг относительно друга. Здесь при рассмотрении кручения считается, что продольные смещения точек сечения происходят свободно. На практике же часто продольные смещения в отдельных сечениях бруса стеснены. Так будет, если, напри-

видна при кручении разрезан-

видна при кручении разрезан-

мер, в торцевых сечениях по-Рис g 33

казанного на рис. 6.33 бруса

поставить жесткие диафрагмы и соединить их с брусом так, чтобы они не допускали продольных смещений. Это существенно изменит распределение касательных напряжений по сечению и вызовет появление в нем значительных нормальных напряжений. Кручение бруса в условиях стеснения продольных смещений его сечений называют етеененним кручением. Особенно значителен эффект стеснения депланаций для брусьев открытого тонкостенного сечения. Задача о стесненном кручении подробно разбирается в курсе строительной механики (см., например, [10]).

Кручение брусьев тонкостенного замкнутого сечения

При исследовании тонкостенного замкнутого сечения удобно ввести координату s вдоль средней линии сечения (рис. 6.34). За начало координаты s ввиду замкнутости сечения можно выбрать любую точку этой линии сечения. В общем случае толщина сечения 6 может быть переменна, т.е. 6 = 5(s).

Прежде всего обратим внимание на то, что тонкостенность сечения сказывается на характере распределения касательных напряжений по нему. Как уже было показано в п. 6.4.3, касательные напряжения в точках, близких к контуру сечения, направлены касательно к контуру. Действительно, в таких точках нормальная к контуру составляющая касательного напряжения тжп, которая показана штриховой линией на рис. 6.35, должна

Рис. 6.34Рис. 6.34быть равна напряжениям тпх на боковой поверхности бруса. Но эта поверхность свободна от напряжений, поэтому тпх = 0, а значит, и тхп = 0. Следовательно, тх = тХ8.

Рис. 6.34

Рис. 6.34

Рис. 6.35

В тонкостенных сечениях из-за малости толщины направле

ния касательных к наружному и внутреннему контурам в точках, соответствующих некоторому значению координаты, незначительно отличаются друг от друга и от направления касательной к средней линии (если, конечно, толщина медленно меняется вдоль контура). А если толщина постоянна, то все эти три касательных параллельны. Поэтому естественно допустить, что в тонкостенных сечениях касательные напряжения направлены параллельно касательной к средней линии.

Нам уже известно, что касательные напряжения при кручении в брусе кругового кольцевого сечения распределяются про

порционально расстоянию от центра круга (см. рис. 6.19 и формулу (6.3.12)). Если кольцевое сечение является тонкостенным, то расстояния от центра до его наружного и внутреннего контуров отличаются друг

от друга (рис. 6.36), касательныетакже малоот друга (рис. 6.36), касательныетакже малонезначительно а значит, и напряжения изменяются по

от друга (рис. 6.36), касательные

также мало

от друга (рис. 6.36), касательные

также мало

толщине. Это подсказывание- 6.36ет, чт0 дЛЯ тонкостенных

замкнутых сечений можно предположить постоянство касательных напряжений по толщине.

Суммируя два сформулированных выше допущения, будем предполагать, что в брусе тонкостенного замкнутого сечения при кручении касательные напряснсения направлены по касательной к контуру и постоянны по толщине.

Эпюра тЖ8 по толщине, соответствующая такому предположению, показана справа на рис. 6.35.

Двумя близкими поперечными сечениями и двумя нормальными к средней линии продольными сечениями при произвольных s = 51 и s = 82 (рис. 6.37 а) выделим из бруса элемент, показанный на рис. 6.37 б. В точках поперечного сечения при

Рис. 6.37

s = sihs = S2 действуют касательные к средней линии и посто- (1)(2) о

янные напряжения тЖ8 и тЖ8 . В продольных сечениях появляют- (1)(1)(2)(2)

ся парные им касательные напряжения т8Ж = тЖ8 и т8Ж = тЖ8 . Ввиду малости dx эти напряжения можно считать равномерно распределенными по имеющим форму прямоугольников dx • ф и dx • 62 продольным сечениям. Поэтому результатом действия - (1)(2)

на элемент напряжении т8Ж и т8Ж являются направленные вдоль оси х усилия т8^ dx ф и т8^ dx §2- Для равновесия элемента необходимо, в частности, чтобы была равна нулю сумма проекций на ось х действующих на него сил. Следовательно,

т^ dx ф — т^ dx §2 = 0.(6.6.1)

Отсюда, учитывая парность касательных напряжений, получаем, что

4s^i = 41^2 = о.(6.6.2)

А так как точки §i и S2 выбраны произвольно, то из (6.6.2) следует, что произведение тЖ8(з)6(з) не зависит от координаты s,

т.е. постоянно по контуру сечения:

(6.6.3)(6.6.3)тХ8б = const ПО S.

(6.6.3)

(6.6.3)

Рис. 6.38Рис. 6.38Это замечательное свойство распределения касательных напряжений по тонкостенным замкнутым сечениям при кручении часто называют свойством постоянства потока касательных сил. В основе этого названия лежит гидродинамическая аналогия, согласно которой такое распределение касательных напряжений подобно распределению скоростей в потоке несжимаемой невязкой жидкости, циркулирующей по замкнутой трубке, которая как бы образована внешним и внутренним контурами сечения. В такой трубке из-за несжимаемости жидкости ее поток (произведение ее скорости тХ8 на «площадь» сечения трубки 5) во всех сечениях одинаков.

Рис. 6.38

Рис. 6.38

Теперь можно легко подсчитать крутящий момент М^ как результат действия напряжений тХ8. Для этого разобьем сечение на элементы ds. Один из таких элементов заштрихован на рис. 6.38. Действующие на нем касательные напряжения сводятся к усилию tX8(s)5(s) ds. Выберем в сечении

произвольную точку О и обозначим через h(s) плечо усилия tX8(s)5(s) ds относительно этой точки. Тогда крутящий момент можно получить, суммируя (интегрируя) моменты касательных усилий по всем элементам ds относительно точки О. Таким образом,

(6.6.4)(6.6.4)М^ = ^ TX8(s)6(s)h(s) ds = тЖ86 ^ h(s) ds.

(6.6.4)

(6.6.4)

Поток тЖ86 вынесен за знак интеграла по замкнутому контуру, так как в силу (6.6.3) он постоянен по контуру. Рассмотрим подробнее интеграл ^ h(s)ds. Из рис. 6.38 видно, что ds — это основание ВС треугольника ОВС, a h(s) — его высота. Площадь этого треугольника обозначим через doo и тотчас станет ясно, что doo = |MS) ds. Тогда

(6.6.5)(6.6.5)h(s) ds = 2 ^ |MS) ds = 2 ^ doo = 2cj.

(6.6.5)

(6.6.5)

При вычислении контурного интеграла по мере обхода средней линии, т.е. при последовательном переходе от каждого элемента ds к соседнему, площади doo складываются и при полном обходе

образуют площадь си, заключенную внутри средней линии сечения (рис. 6.39). Таким образом, соотношение (6.6.4) сводится к виду

(6.6.6)(6.6.6)Рис. 6.39Рис. 6.39— тХ86 • 2cj.

(6.6.6)

(6.6.6)

Рис. 6.39

Рис. 6.39

Отсюда сразу получаем

Txs ~

Из свойства (6.6.3) следует, что максимальные напряжения ттах возникают там, где минимальна толщина. Поэтому

Tmax = ^, Wk = 2wdmin. (6.6.7)

Как и ранее, здесь W^ — момент сопротивления кручению.

Перейдем теперь к вычислению геометрического фактора жесткости Д. Воспользуемся энергетическим подходом. Для этого рассмотрим элемент dx бруса (рис. 6.40). Его правое сечение ж + dx повернется за счет

dA = ^Мк dip,(6.6.8)dA = ^Мк dip,(6.6.8)деформаций на угол dp относительно левого. Если деформация линейно-упруга, то на этом угле поворота момент М^ совершит упругую работу:

dA = ^Мк dip,(6.6.8)

dA = ^Мк dip,(6.6.8)

dA = dlL(6.6.9)dA = dlL(6.6.9)которая накопится в элементе в виде потенциальной энергии деформации б/П. т.е.

dA = dlL(6.6.9)

dA = dlL(6.6.9)

Для подсчета с/П разобьем элемент бруса dx Рис- 6.40 (рис. 6.41 а) продольными нормальными к

средней линии сечениями на более мелкие прямоугольные элементы dx • ds. Каждый такой элемент находится в состоянии чистого сдвига (рис. 6.41 б) ив нем накопится потенциальная энергия деформаций, равная линейно-упругой работе деформирующей его силы тХ85 ds на пути ^xs dx. Суммируя потенциальные энергии по элементам вдоль контура средней линии, получаем

ЙП =ЙП =^тХ8д ds^g dx = у j) txs5^xs ds.^тХ8д ds^g dx = у j) txs5^xs ds.(6.6.10)(6.6.10)

ЙП =

ЙП =

^тХ8д ds^g dx = у j) txs5^xs ds.

^тХ8д ds^g dx = у j) txs5^xs ds.

(6.6.10)

(6.6.10)

Но по закону Гука ^Ж8 = txs/G^ поэтомуdn = ^f Txs5 ds-

Помножив и разделив подынтегральное выражение на 5, мы получим возможность вынести ^тЖ85У из-под знака интеграла:

(Ш^^)2^ у-

Но из формулы (6.6.6) следует, что

поэтому

ЙП =ЙП =dx Мк Г ds 2GW J Т*dx Мк Г ds 2GW J Т*(6.6.11)(6.6.11)

ЙП =

ЙП =

dx Мк Г ds 2GW J Т*

dx Мк Г ds 2GW J Т*

(6.6.11)

(6.6.11)

Подставим это выражение вместе с выражением (6.6.8) в энергетический баланс (6.6.9). В итоге легко получим, учитывая, что dip/dx = 0,Подставим это выражение вместе с выражением (6.6.8) в энергетический баланс (6.6.9). В итоге легко получим, учитывая, что dip/dx = 0,а _ ^ _ мк dx GJk ’. _ 4oj2 (6.6.12)Формулы (6.6.7) и (6.6.12) для вычисления W^ и J^ называют формулами Бредта.а _ ^ _ мк dx GJk ’. _ 4oj2 (6.6.12)Формулы (6.6.7) и (6.6.12) для вычисления W^ и J^ называют формулами Бредта.Потенциальная энергия деформации при крученииВыражение для потенциальной энергии деформации при кручении можно получить какПотенциальная энергия деформации при крученииВыражение для потенциальной энергии деформации при кручении можно получить какП = J dn,IП = J dn,I(6.7.1)(6.7.1)где dIY — потенциальная энергия, накопившаяся в элементе бруса dx, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. В и. 6.6.3 для такого элемента было получено (см. выражения (6.6.8), (6.6.9)), что dIY = ^M^dcp. Однако согласно (6.2.1) dp) = 6 dx. Поэтому при линейно-упругой деформациигде dIY — потенциальная энергия, накопившаяся в элементе бруса dx, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. В и. 6.6.3 для такого элемента было получено (см. выражения (6.6.8), (6.6.9)), что dIY = ^M^dcp. Однако согласно (6.2.1) dp) = 6 dx. Поэтому при линейно-упругой деформации

Подставим это выражение вместе с выражением (6.6.8) в энергетический баланс (6.6.9). В итоге легко получим, учитывая, что dip/dx = 0,

Подставим это выражение вместе с выражением (6.6.8) в энергетический баланс (6.6.9). В итоге легко получим, учитывая, что dip/dx = 0,

а _ ^ _ мк dx GJk ’

. _ 4oj2 (6.6.12)

Формулы (6.6.7) и (6.6.12) для вычисления W^ и J^ называют формулами Бредта.

а _ ^ _ мк dx GJk ’

. _ 4oj2 (6.6.12)

Формулы (6.6.7) и (6.6.12) для вычисления W^ и J^ называют формулами Бредта.

Потенциальная энергия деформации при кручении

Выражение для потенциальной энергии деформации при кручении можно получить как

Потенциальная энергия деформации при кручении

Выражение для потенциальной энергии деформации при кручении можно получить как

П = J dn,I

П = J dn,I

(6.7.1)

(6.7.1)

где dIY — потенциальная энергия, накопившаяся в элементе бруса dx, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. В и. 6.6.3 для такого элемента было получено (см. выражения (6.6.8), (6.6.9)), что dIY = ^M^dcp. Однако согласно (6.2.1) dp) = 6 dx. Поэтому при линейно-упругой деформации

где dIY — потенциальная энергия, накопившаяся в элементе бруса dx, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными сечениями. В и. 6.6.3 для такого элемента было получено (см. выражения (6.6.8), (6.6.9)), что dIY = ^M^dcp. Однако согласно (6.2.1) dp) = 6 dx. Поэтому при линейно-упругой деформации

п = | f Mk9dx.iп = | f Mk9dx.i(6.7.2)(6.7.2)

п = | f Mk9dx.i

п = | f Mk9dx.i

(6.7.2)

(6.7.2)

Отсюда, учитывая, что О = M^/GJ^^ получаем еще два выражения для потенциальной энергии деформации:

I

П = 1 J GJ^dx.(6.7.4)

6.7.2К. Впервые кручение рассмотрел, по-видимому, Ш. Кулон (17361806) в связи с известными исследованиями по статическому электричеству. В весах, с помощью которых Кулон измерял силы взаимодействия электрических зарядов, в качестве чувствительного элемента использовалась работающая на кручение проволока, жесткость которой определялась по крутильным колебаниям подвешенного на ней металлического цилиндра. Результаты этих исследований были опубликованы в 1784 г.

Распределение касательных напряжений в сечении круглого бруса получил Т. Юнг (1807).

Б. Сен-Венан на основе подхода теории упругости рассмотрел кручение брусьев некруглого сечения и дал метод определения для них моментов сопротивления и геометрических факторов жесткости (1853).

Теория кручения брусьев замкнутого тонкостенного сечения была создана немецким инженером Р. Бредтом в 1896 г.

6.8. Примеры расчетов

Расчетные формулы для момента сопротивления кручению Wk и геометрического фактора жесткости Jk для наиболее часто встречающихся сечений даны в табл. 6.2. Этими формулами мы будем пользоваться в рассмотренных ниже примерах.

Пример 6.1. Построим эпюры М^ ттах, 0 и у? для бруса, изображенного на рис. 6.42 а, нагруженного сосредоточенным моментом М = 2то1 и погонным моментом интенсивности т(ж), эпюра которого показана на рис. 6.42 б. Сечения участков 0-2 и 2-3 показаны на рис. 6.42 в.

Прежде всего рассмотрим моменты сопротивления Wk и геометрические факторы жесткости Jk для участков бруса.

На участке 0-2 сечение бруса — прямоугольное сплошное. Для него в соответствии с и. 6.4.2 Wk и Jk определяются формулами (6.4.2) и (6.4.5), в которых b = 2а и h = а (Н ^ Ь\.

Wk = а -2а • а2Jk = 3 • 2а • а3.

В этих формулах коэффициенты Сен-Венана для отношения b/h = 2 берем из табл. 6.1: а = 0,246, р = 0,229. Тогда

Щ0"2 = 0,492а3, 7У2 = 0,458а4.(6.8.1)

Таблица 6.2

Сечение

wk

Jк

Сплошные сечения

Круговое

J

с

1

0,2Z)3(l - С4) с ■ D

^х"с^ = = O,1D4(1 - С4)

Прямоугольное

abb2

Pbh3

4

у

b>h

4,

Эллиптическое

а

ь

-rcab2

2

7га3Ь3 а2 -Ь2

[///У

<А

В форме равностороннего треугольника

20

Тонкостенные сечения

Открытый профиль

Составной профиль

51| Ч s3

153

Jк ^тах

1 п

1

,м 4

Замкнутый профиль

5

2w5min

4^ 2

/у

На участке 2-3 сечение тонкостенное замкнутое. Для него расчетными являются формулы Бредта (6.6.7) и (6.6.12):На участке 2-3 сечение тонкостенное замкнутое. Для него расчетными являются формулы Бредта (6.6.7) и (6.6.12):Рис. 6.42Рис. 6.42По условиям задачи толщина 5 = 0,1а, площадь, замкнутая внутри средней линии, си = а • 2а. Так как толщина постоянна поПо условиям задачи толщина 5 = 0,1а, площадь, замкнутая внутри средней линии, си = а • 2а. Так как толщина постоянна поконтуру сечения, токонтуру сечения, торавен периметру сечения, т.е.равен периметру сечения, т.е.6а, де-6а, де-

На участке 2-3 сечение тонкостенное замкнутое. Для него расчетными являются формулы Бредта (6.6.7) и (6.6.12):

На участке 2-3 сечение тонкостенное замкнутое. Для него расчетными являются формулы Бредта (6.6.7) и (6.6.12):

Рис. 6.42

Рис. 6.42

По условиям задачи толщина 5 = 0,1а, площадь, замкнутая внутри средней линии, си = а • 2а. Так как толщина постоянна по

По условиям задачи толщина 5 = 0,1а, площадь, замкнутая внутри средней линии, си = а • 2а. Так как толщина постоянна по

контуру сечения, то

контуру сечения, то

равен периметру сечения, т.е.

равен периметру сечения, т.е.

6а, де-

6а, де-

ленному на толщину 6. Таким образом,

Ж2"3 = 2 ■ 2а20,1а = 0,4а3, J2"3 = ^Д = 0,267а4. (6.8.2)

0,1а

Интересно отметить, что сечение бруса на участке 2-3 по площади в 2/0,6 = 3,3 раза меньше сечения на участке 0-2. В то же время отношение моментов сопротивления этих участков равно всего 1,23, а отношение геометрических факторов жест-

кости — 1,72. Отсюда видно, что тонкостенное сечение выгоднее в весовом отношении, чем сплошное. Это объясняется тем, что

в тонкостенном сечении весь материал работает при напряжениях, равных (или близких) максимальным, а в сплошном — материал внутренней части сечения недогружен.

Определим М^. Для этого необходимо воспользоваться методом сечений. На участке 0-1 распределенного момента нет, т.е. т(х) = 0. Поэтому, в силу статической дифференциальной зависимости dM^/dx = = — т{х\ на этом участке М^-1 постоянен. Рассматривая отсеченную часть, образованную произвольным попе

речным сечением и показанную на рис. 6.43 а схематично, получаем из условия ее равновесия 22 Мх = 0, что

М^ 1 = 2то1 — J m(x)dx.(6.8.3)

1-3

Отметим, что направление М^-1 было выбрано с учетом правила знаков, принятого в начале этой главы. Интеграл в (6.8.3) является равнодействующим моментом распределенного момента m^xY Его легко вычислить как площадь эпюры m^xY показанной на рис. 6.42 б. Поэтому он равен |moZ. Значит, М^-1 = |moZ. Изобразим этот постоянный момент на эпюре М^ (рис. 6.44 а).

На участке 1-2 найдем М^-2. Так как т^ изменяется линейно (рис. 6.44 б), то в соответствии со статической дифференциальной зависимостью М^ меняется по квадратичному закону. Рассматривая равновесие отсеченной части, образованной сечением, бесконечно мало сдвинутым вправо от сечения 1 (рис. 6.43 6Y получаем

М^ = - J m^dx = —|m0Z.

1-3

Точно так же, рассекая брус в точке 2. из условия равновесия

отсеченной части (рис. 6.43 в) получаем

М/^2 = — J т^ dx = —mol.

2—3

аа2тД2тДт(х)т(х)ддб вб ве Фе Ф3,623,62Рис. 6.44Рис. 6.44

а

а

2тД

2тД

т(х)

т(х)

д

д

б в

б в

е Ф

е Ф

3,62

3,62

Рис. 6.44

Рис. 6.44

Строя эпюру М^ на рис. 6.44 в, соединим две полученные точки квадратной параболой, касательная к которой в точке 1 горизонтальна, так как в этой точке т = 0, а значит, и dM^/dx = = 0. Кроме того, так как на эпюре т^ в точке 2 нет скачка, то эпюры М^ на участках 1-2 и 2-3 в точке 2 имеют общую касательную. Но на участке 2-3^ так как т^ = то = const, М^ изменяется линейно. В сечении 2 он уже найден, а в сечении 3, как легко видеть, равен нулю.

Эпюра М^ является основой для построения эпюр ттах и 0, так как

РтахРтахМк А Мк w? gj?Мк А Мк w? gj?

Ртах

Ртах

Мк А Мк w? gj?

Мк А Мк w? gj?

Эти эпюры, полученные после деления М^ на W^ и GJ^. значения которых по участкам даны формулами (6.8.1), (6.8.2), показаны на рис. 6.44 г и д.

Эпюра углов поворота сечений у? построена по эпюре относительных углов закручивания 0 с помощью интегрального соотношения (6.2.2). Это соотношение с учетом того, что угол поворота заделанного сечения О равен нулю, можно записать в виде

Же

ф(хс) = J 9^ dx.(6.8.4)

о

Здесь хс — расстояние от рассматриваемого сечения до заделки. Так же, как и при построении эпюр перемещений и по относительному удлинению е при растяжении (см. пример 4.1, формулу (4.4.10)), эпюру (р(хс) можно построить, вычисляя интеграл (6.8.4) как площадь эпюры 6^ на участке от заделки до сечения хс.

Имея эпюру ттах, легко провести расчет на прочность. Условия прочности при сдвиге имеют вид

kmaxl М-(6.8.5)

Допускаемое напряжение сдвига [т] определяется нормативными документами с учетом тех же соображений, что и при растяжении (см. разд. 4.9). Прочность изотропного материала, конечно, не зависит от направления сдвига, поэтому в условии (6.8.5) взята абсолютная величина ттах. В нашей задаче, как это видно из эпюры ттах на рис. 6.44 г, максимальное значение |ттах| = = 3,O48moZ/a3. Поэтому условие прочности рассматриваемого бруса принимает вид

3,048тд//а3 < [т].

Отсюда, при заданных mo, I и [т] можно найти размер сечения ср т.е. произвести проектировочный расчет на прочность. Например, при то = 1000 Н-м/м, I = 0,5 м, [т] = 80 МПа:

з /3,048moZз/3,048 • 1000 • 0,5

“ = V = V80 . 10.= °'0267

Материал бруса — сталь, тогда G = 8 • 104 МПа. Максимальный угол поворота сечения бруса, как это видно из эпюры ср (рис. 6.44 е), равен

— 3_ q со Ю00 • 0,25_

^тах - 3,02 — - ^^8.104.10в(2;67.10-2)4 -

= 0,022 рад = 1,28°.

Пример 6.2. Брус, показанный на рис. 6.45, нагружен посередине сосредоточенным моментом mg/, а на участке 0-1 — распределенным моментом т^х\ изменяющимся линейно по длине участка. Рассчитаем моменты сопротивления и жест-

Рис. 6.45

кости участков бруса. На участке 0-1 его сечение — сплошное круговое, тогда, как было получено в разд. 6.3 (см. также табл.

6.2):

= 0,2d3, JO"1 = 0,Id4.

На участке 1-2 сечение бруса — тонкостенное и замкнутое, поэтому по формулам Бредта (6.6.7) и (6.6.12) получим

Wk = 2ш5 = 2^0,05d 0,08rf3,

J 5 0,05(7

Оба конца бруса заделаньг Отбросим эти заделки и заменим их действие на брус реакциями — моментами М^ и М2, как это показано на рис. 6.46. Составим уравнение равновесия для такого

бруса:

^2 Мт = 0— Mq — J т^ dx + mol + М-2 = 0.(6.8.6)

0-1

В этом уравнении интеграл, составляющий второе слагаемое, является равнодействующим моментом распределенного момента tyiYxY Вычислив его как площадь эпюры tyiYxY данной на рис. 6.45, получим, что он равен ^т^к Тогда уравнение (6.8.6) сведется к виду

мо - М2 = lm0L (6.8.7)

Больше нетривиальных уравнений равновесия для показанного на рис. 6.46 бруса составить нельзя. А в этом уравнении — два неизвестных Мо и М^. По-

Рис. 6.46Рис. 6.46этому брус является статически неопределимым. Для решения нужно составить уравнение совместности деформаций, которое в данном случае должно отражать тот факт, что концы бруса заделаны. А это значит, что сечения 0 и 2 бруса неподвижны, т.е.

Рис. 6.46

Рис. 6.46

угол поворота сечения 0 относительно сечения 2 равен 0:

W-2 = 0.W-2 = 0.(6.8.8)

W-2 = 0.

W-2 = 0.

Но (^0-2 можно получить как сумму

^0-2 = ^0-1 + ^1-2-

Согласно формуле (6.2.2)

<^о-1= Г 6dx = Г ^dx, <11-2= Г ^1^2 dx. (6.8.9)

0-10-11-2

Рассматривая равновесие отсеченных частей, показанных на рис. 6.47, получаем

М^"1 = М2-^^ тйк ДУ2 = М2.

Момент являющийся равнодействующим приходящейся

на отсеченную часть доли распределенного момента tyiYxY подсчитан как площадь эпюры m^xY данной под отсеченной частью на рис. 6.47.

После подстановки полученных выражений для М^ в формулы (6.8.9) получаем

W-1W-1(m2z _ ^ + то1^,(m2z _ ^ + то1^,, ,ШоЖ27ЛА— h т01, ,ШоЖ27ЛА— h т011(S' - O,lct41(S' - O,lct4Рис. 6.47Рис. 6.47

W-1

W-1

(m2z _ ^ + то1^,

(m2z _ ^ + то1^,

, ,ШоЖ27

ЛА— h т01

, ,ШоЖ27

ЛА— h т01

1

(S' - O,lct4

1

(S' - O,lct4

Рис. 6.47

Рис. 6.47

Тогда уравнение совместности (6.8.6) приводится к виду

f 10М2 + A«oZ + 25М) = 0.

Отсюда получаем

м2 = -^mol = -O,238moZ.

6 • 35

Из уравнения (6.8.7) следует, что

Mq = |^о^ + М2 = О,262то/.

Знак « —» у М2 означает, что его направление противоположно принятому на рис. 6.46. Полученные реактивные моменты М^ и М2 приложим к брусу (рис. 6.48 а). Теперь можно построить эпюры М^ ттах, 0 и у? точно так же, как это сделано в примере 6.1. Предоставим это читателю в качестве упражнения, а для контроля приведем на рис. 6.48 результаты.

Отметим, что для проверки решения этой задачи можно использовать уравнение совместности (6.8.6). Из него ясно, что

Фо-2 = J 0dx = 0.(6.8.10)

0-2

Здесь интеграл является площадью эпюры 6. Подсчитаем ее сначала на участке 0-1:

Мк = М2 - ^ + mol = O,762moZ - ^.

Но так как О = —А-, то 6г Jk

Рис. 6.48

А эта площадь, как видно из эпюры О (рис. 6.48 д\ равна площади на участке 1-2^ и потому условие (6.8.10) выполняется.

Условие прочности для рассмотренного бруса |ттах| ^ [т].

Учитывая эпюру ттах, данную на рис. 6.48 г, это условие запишем в виде

тах|ттах| = 3,81^-[т].

Отсюда сразу следует, что

з / 3,81moZ

Часто для длинных валов, работающих на кручение, определяющей является не прочность, а жесткость. В этом случае при напряжениях, меньших допускаемых, вал закручивается на недопустимый угол. Тогда размеры поперечного сечения такого вала определяют из условия жесткости тах|у?| ^ [у?].

В нашем примере, как это видно из эпюры у? (рис. 6.48 е), это условие имеет вид

тах|у)| = 5,95^ И-

СИСИИз него следует ограничение на размеры поперечного сечения по жесткости:

СИ

СИ

5,95тоР

Рис. 6.49Рис. 6.49Пример 6.3. Рассмотрим два тонкостенных сечения бруса: замкнутую трубу (рис. 6.49 а) и трубу, разрезанную вдоль образующей (рис. 6.49 б). Площади этих сечений одинаковые. Сравним два бруса с такими сечениями по прочности и жесткости.

Рис. 6.49

Рис. 6.49

Для замкнутой трубы по формулам Бредта (6.6.7), (6.6.12) получаем

wg = 2ш6 = 0,5тгФД

J 5

Для разрезанной трубы из формул (6.5.10), (6.5.8) следует

W^ = As2 = М<А jf = As3 = Ms3.k 33’^33

Отношения моментов сопротивления и жесткостей рассмотренных сечений будут:

_ 3 fdV

W^ - 2 5’ Jt - 4 \д) '

Отсюда видно, что, если, например, 6 = O,lcZ, то момент сопротивления разомкнутой трубы в 15 раз меньше замкнутой, а жесткость соответственно в 75 раз меньше. Этот пример показывает, что в конструкции, работающей на кручение, тонкостенный брус следует по возможности выполнять в виде бруса замкнутого сечения. Если же без люков, отверстий и т.п. не удается обойтись, то необходимо их окантовывать. Причем зачастую масса окантовки оказывается больше, чем масса вырезанного из стенки бруса материала. Подробно эти вопросы рассматриваются в курсах строительной механики, например в книге [10].

Контрольные вопросы

Какое правило знаков принимается для крутящего момента?

Как связаны между собой крутящий момент и интенсивность скручивающего погонного момента?

В каких сечениях бруса крутящий момент меняется скачкообразно?

Как связаны между собой относительный и абсолютный углы закручивания?

Какой характер деформации круглого бруса предполагает гипотеза плоских сечений при кручении?

Как направлены и как распределяются касательные напряжения в поперечном сечении при кручении круглого бруса? Как они связаны с крутящим моментом?

Что такое полярный момент инерции сечения бруса?

Что такое момент сопротивления кручению?

Что является причиной появления продольных трещин при кручении бревен? Чем объяснить разрушение по винтовым поверхностям образца из хрупкого материала, подвергнутого деформации кручения?

Почему нельзя решить задачу о кручении бруса некругового поперечного сечения на основании гипотезы плоских сечений?

Как направлены касательные напряжения в точках вблизи контура поперечного сечения?

Каков общий вид формул для ттах и 0? Какая величина в них определяется только формой и размерами поперечного сечения бруса?

В чем суть мембранной аналогии? Как с ее помощью можно найти геометрический фактор жесткости J^ сложного поперечного сечения?

В чем принципиальное различие распределений касательных напряжений при кручении брусьев открытого и замкнутого тонкостенных сечений?

Где возникнут максимальные касательные напряжения в составном открытом сечении?

Что такое стесненное кручение? Когда оно возникает?

Как ведет себя поток касательных сил в замкнутом тонкостенном сечении? Какая аналогия отражает его поведение?

Где возникают максимальные касательные напряжения в замкнутом тонкостенном сечении?

Задачи

3.6.1. Брус замкнутого тонкостенного прямоугольного сече3.6.1. Брус замкнутого тонкостенного прямоугольного сечения скручивается моментами (рис. 6.50). Считая допускаемое напряжение сдвига [г], модуль сдвига G и размеры бруса заданными, определить допускаемые величины скручивающего момента [М] и максимального угла закручивания [^тах]- Во СКОЛЬКО раз уменьшится каждая из этих величин, если брус разрезать по всей длине вдоль образующей?3.6.2. Для бруса, показанного на рис. 6.51, построить эпюры М^ ттах, У. (р и вычислить запас прочно-WA Н " М т 7 ^= 'м= 0,1 м, D = 50 мм, тт = = 160 МПа. Принять с =ния скручивается моментами (рис. 6.50). Считая допускаемое напряжение сдвига [г], модуль сдвига G и размеры бруса заданными, определить допускаемые величины скручивающего момента [М] и максимального угла закручивания [^тах]- Во СКОЛЬКО раз уменьшится каждая из этих величин, если брус разрезать по всей длине вдоль образующей?3.6.2. Для бруса, показанного на рис. 6.51, построить эпюры М^ ттах, У. (р и вычислить запас прочно-WA Н " М т 7 ^= 'м= 0,1 м, D = 50 мм, тт = = 160 МПа. Принять с =М, приложенными к его концамМ, приложенными к его концамРис. 6.51Рис. 6.51= ^ = 0,7, b = 0,879.= ^ = 0,7, b = 0,879.

3.6.1. Брус замкнутого тонкостенного прямоугольного сече

3.6.1. Брус замкнутого тонкостенного прямоугольного сече

ния скручивается моментами (рис. 6.50). Считая допускаемое напряжение сдвига [г], модуль сдвига G и размеры бруса заданными, определить допускаемые величины скручивающего момента [М] и максимального угла закручивания [^тах]- Во СКОЛЬКО раз уменьшится каждая из этих величин, если брус разрезать по всей длине вдоль образующей?

3.6.2. Для бруса, показанного на рис. 6.51, построить эпюры М^ ттах, У. (р и вычислить запас прочно-

WA Н " М т 7 ^= 'м

= 0,1 м, D = 50 мм, тт = = 160 МПа. Принять с =

ния скручивается моментами (рис. 6.50). Считая допускаемое напряжение сдвига [г], модуль сдвига G и размеры бруса заданными, определить допускаемые величины скручивающего момента [М] и максимального угла закручивания [^тах]- Во СКОЛЬКО раз уменьшится каждая из этих величин, если брус разрезать по всей длине вдоль образующей?

3.6.2. Для бруса, показанного на рис. 6.51, построить эпюры М^ ттах, У. (р и вычислить запас прочно-

WA Н " М т 7 ^= 'м

= 0,1 м, D = 50 мм, тт = = 160 МПа. Принять с =

М, приложенными к его концам

М, приложенными к его концам

Рис. 6.51

Рис. 6.51

= ^ = 0,7, b = 0,879.

= ^ = 0,7, b = 0,879.

Рис. 6.52Рис. 6.52

Рис. 6.52

Рис. 6.52

Двухвальная конструкция (рис. 6.52) нагружается скручивающим моментом М, приложенным к диску, жестко соединенному с обоими валами. Показать, что отношение крутящих моментов, действующих в поперечных сечениях этих валов,

6 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

равно отношению их жесткостей, и из условия жесткости определить длину Z, если материал валов одинаковый и G. М, d и [у?] считать заданными.

Рис. 6.53Рис. 6.53

Рис. 6.53

Рис. 6.53

Рис. 6.54Рис. 6.54

Рис. 6.54

Рис. 6.54

Для того чтобы соединить разрезанную вдоль образующей тонкостенную трубу и квадратный стержень (рис. 6.53), потребовалось предварительно закрутить последний на угол фо в месте соединения, так как квадратное гнездо в трубе не совпадало с квадратом правого стержня. Определить напряжения в трубе и стержне после сборки, если материал стержней одинаковый и Фо^ G, РСр, I заданы.

Определить максимальные касательные напряжения в стержне, скручиваемом моментами М по его концам. Считать М, Ь и 5 заданными (рис. 6.54).

ГЛАВА 7

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИСЕЧЕНИЙ

Для расчета напряжений и деформаций при растяжении- сжатии нам понадобилась единственная геометрическая характеристика сечения — его площадь. При кручении мы уже сталкивались с более сложными характеристиками, такими как полярный момент инерции Jp и геометрический фактор жесткости J^. Для изучения наиболее сложного из элементарных напряженных состояний бруса — изгиба — необходимо знать уже целый комплекс взаимосвязанных геометрических характеристик сечений. Этим вопросам и посвящена настоящая глава.

Статические моменты и центр тяжести сечения

Поперечное сечение бруса будем рассматривать как

фигуру F на плоскости, в которой введены декартовы коорди

Рис. 7.1Рис. 7.1наты z^ у (рис. 7.1). Эту фигуру разобьем на элементы d,F. каждый из которых имеет координаты z и у. Тогда хорошо известную нам простейшую геометрическую характеристику сечения площадь F можно найти как

Рис. 7.1

Рис. 7.1

F = f dF (7.1.1)

F

Надеемся, что использование буквы F

для обозначений самой фигуры как области на плоскости zy и для обозначения площади этой фигуры не вызовет недоразумений.

ИнтегралыИнтегралыРис. 7.2Рис. 7.22. Если область F2. Если область FРис. 7.3Рис. 7.3

Интегралы

Интегралы

Рис. 7.2

Рис. 7.2

2. Если область F

2. Если область F

Рис. 7.3

Рис. 7.3

Sz=fydF, Sy=JzdF(7.1.2)

FF

называются статическими моментами сечения.

Рассмотрим простейшие свойства статических мо

ментов, следующие уже из их определения.

1. Как всякие интегралы, статические моменты аддитивны по области интегрирования. Иными словами, если область F

разбить на две (или более) части Fi и F^ (рис. 7.2), то ее статический момент можно подсчитать как сумму статических моментов этих частей:

/ ydF = J ydF + f у dF,F = Fi + F2FiF2

ИЛИ

S^F = ^ + F^ = Sz^ + S№Y

(7.1.3)

расположена в первой координатной чет-

верти (положение /на рис. 7.3), то, как это видно из определения

ее статический момент Sz > 0. Если эта же фигура расположена в четвертой координатной четверти (положение IIна рис. 7.3), то Sz < 0. При перемещении F из положения I в положение II статический момент будет изменяться непрерывно и из положительного станет отрицательным. Поэтому ясно, что найдется такое положение F, при котором ее статический момент равен нулю. На рис. 7.3 это положение показано штриховой линией.

Ось, относительно которой статический момент сечения равен нулю, называется центральной осью сечения.

Точка пересечения центральных осей называется центром тяснсести сечения.

Для определения положения центральной оси рас-

смотрим, как связаны статические моменты сечения относительно двух систем координат, оси которых попарно параллельны. Из рис. 7.4 видно, что координаты элемента dF в этих осях связаны следующими очевидными соотношениями:

У2 = У1 + а, 22 = 21 + Ь. (7.1.4)

Учитывая их, получаем для SZ2;

SZ2 = J У2 dF = J (yi + a) dF = J yi dF + a J dF.

FFFF

Таким образом,

S„ = SZ1+aF(7.1.5)

Аналогично

^2 = ^1 + ^F

Рассмотрим специальный случай, когда оси одной из систем координат являются центральными (рис. 7.5).

Рис. 7.4Рис. 7.5

На рисунке через z^ ус обозначены центральные оси, а через ут и zT — их расстояния до осей z и у соответственно. С учетом таких обозначений формулы (7.1.5) запишутся в виде

Sz = szc + УтС Sy = SyC + 2tF.(7.1.6)

Так как оси zc и ус — центральные, то, по определению, Szc = О и 8^с = 0. Поэтому

Sz = УтС Sy = гтГ.(7.1.7)

Эти формулы позволяют найти статический момент инерции сечения, если известны его площадь и положение центра тяжести.

Но из (7.1.7) сразу следуют и формулы, позволяющие определить положение центра тяжести по известным статическим моментам и площади сечения:

ут = А = А.(7.1.8)

Покажем, что введенное здесь понятие центра тяжести соответствует понятию физического центра масс. Из курса теоретической механики известно, что положение центра масс тела с объемом V и плотностью р в декартовой системе коорди-

нат ж, у, z определится формулами

J xpdVJ ypdVJ zpdV

Жм = TpdV' Ум = TpdV' = 77dV’(7-L9)

VVV

где знаменатель — масса тела.

Используем эти формулы для определения положения центра масс пластины толщиной h в ее плоскости zy. Для этого объем пластины разобьем на элементы dV = hdF, каждый из которых является столбиком высотой h и площадью основания dF. лежащего в плоскости пластины. Если материал пластины однороден, т.е. его плотность р постоянна по объему пластины, то вторая из формул (7.1.9) преобразуется к виду

fyphdF phJydF

JphdF ph J dF F'

FF

который в точности совпадает с соответствующим выражением (7.1.8). Такое совпадение физического определения центра масс и геометрического определения центра тяжести позволя

ет использовать уже известные

ляется центральной как осьляется центральной как осьсведения о положении центра масс простых и сложных фигур.

ляется центральной как ось

ляется центральной как ось

В частности, очевидно, что всякая ось симметрии сечения является центральной осью.

Рассмотрим теперь несколько примеров определения положения центра тяжести.

Пример 7.1. Найдем положение центра тяжести полукруга. Выберем оси z и у, как

показано на рис. 7.6. Ось у яв- симметрии. Координату ут цен

тра тяжести найдем, как ут = Sz/F. Площадь полукруга F = = l^r2 = l71"^2- Подсчитаем статический момент Sz. Для этого

удобно ввести полярные координаты р, а, как показано на рис. 7.6. Тогда

Г FТF3

Sz = J у dF = J J ps\napdpda = J р2 dp J sin a da = -|-.

F

0 000

Поэтому

Sz 2r3 /ft24л

yT = — = —-- / —-- = — r = 0,425r. F3 / 2Зтг’

Пример 7.2. Найдем центр тяжести фигуры, составленной

из прямоугольника и треугольника. Выберем оси координат, как показано на рис. 7.7. Величины, относящиеся к треугольнику, будем помечать верхним индексом «(1)», а к прямоугольнику — индексом «(2)». Так как ось у — ось симметрии, то она является

Рис. 7.7Рис. 7.7центральной осью. Для определения координаты дт центра тяжести фигуры вычислим ее площадь F и статический момент Sz как для составной фигуры:

Рис. 7.7

Рис. 7.7

F = FW + F^ = 1 • 26 • 36 + 266 = 562;

sz = S^ + s^ = y^F^ + у (2) F^ = = 6 - 362 + (-1) ■ 262 = 263.

Тогда

Ут F 5

Примтяжести поПримтяжести поер 7.3. Определим площадь и положение центра оси х для фигуры, заключенной между осью х иер 7.3. Определим площадь и положение центра оси х для фигуры, заключенной между осью х и

Прим

тяжести по

Прим

тяжести по

ер 7.3. Определим площадь и положение центра оси х для фигуры, заключенной между осью х и

ер 7.3. Определим площадь и положение центра оси х для фигуры, заключенной между осью х и

Ажи(/ж = _Щ.(7.1.11)ann + 1v 7Ажи(/ж = _Щ.(7.1.11)ann + 1v 7кривой у^ = кхп (п = 0,1, 2,...) на участке 0<х<а (рис. 7.8). Пусть также известно, что у (а) = = h. Тогда ко? = h. Следовательно, к= — и у=—хп. Разобьем эту фигуру на столбики dF шириной dx. Тогда

Ажи(/ж = _Щ.(7.1.11)

ann + 1v 7

Ажи(/ж = _Щ.(7.1.11)

ann + 1v 7

dF = ydx = kxn dx = — xn dx.yan

(7.1.10)

Площадь фигуры F найдем как

F0

Для определения координаты хт центра тяжести найдем Sy\

а

Sti = J xdF = J x^x^dx^

F0

Тогда

(7.1.12)

В дальнейшем при решении различных задач мы будем пользоваться формулами (7.1.11), (7.1.12) для вычисления площадей

и координат центров тяжести криволинейных треугольников ти

па данного на рис. 7.8.па данного на рис. 7.8.Рис. 7.9Рис. 7.9Запоминанию этих формул помогает рис. 7.9, на котором первые два рисунка (п = 0, п = 1) соответствуют известным фигурам — прямоугольнику и треугольнику. А последующий рисунок, например, п = 2, можно получить с помощью очевидной индукции.

па данного на рис. 7.8.

па данного на рис. 7.8.

Рис. 7.9

Рис. 7.9

Моменты инерции

2.1. Для показанной на рис. 7.1 фигуры интегралы

Г = J у2 dF, Jy= J z2dF

Fp

(7.2.1) называются осевыми моментами инерции.

Интеграл

Jzy = $ zydF (7.2.2)

называется центробеснсным моментом инерции, интеграл

Jp = J р2 dF(7.2.3)

F

— полярным моментом инерции.

2.2. Рассмотрим сначала простейшие свойства моментов инерции, следующие непосредственно из их определений (7.2.1)(7.2.3).

Как интегралы, моменты инерции обладают свойством аддитивности по области. Поэтому для фигуры F, составленной из двух фигур Fi и F^ (см. рис. 7.2), момент инерции можно подсчитать как сумму моментов инерции фигур F^ и F2, т.е.

ДР = Fi + F2) = J(Fi) + J(F2).(7.2.4)

Так как р2 = z1 + р2 (см. рис. 7.1), то сразу ясно, что

Jp= J р2 dF = J (z2+ y2)dF = J, + Jy, (7.2.5) FF

т.е. полярный момент инерции равен сумме осевых.

Полярный и осевые моменты инерции всегда положительны как интегралы от положительных функций (7.2.1), (7.2.3).

Рис. 7.10Рис. 7.10Как это видно из определения (7.2.2), центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от положения фигуры относительно осей координат. Это проиллюстрировано на рис. 7.10. Рассуждая так же, как и в случае статических моментов, легко приходим к выводу, что существует такое положение осей координат относительно фигуры, при котором Jzy = 0. Такие координатные оси называются глав-

Рис. 7.10

Рис. 7.10

ними осями инерции. Нетрудно показать, что если хотя бы одна из осей фигуры является осью симметрии, то Jzy = 0 и такие оси — главные. Предоставляем читателю доказать это самосто

ятельно.

Более сложные свойства моментов инерции выявляются при исследовании их изменений вследствие изменения положения координатных осей относительно фигуры.

Изменение моментов инерциипри параллельном переносе осей координат

Рассмотрим фигуру F и две системы попарно параллельных координатных осей щ, щ и У2 (см. рис. 7.4). Выразим моменты инерции фигуры F относительно осей ^2, у^ через их значения для осей щ, у^. Для этого учтем, что

г2 = ^1 + 6, У2 = У1 + а-(7.3.1)

Тогда

Л2 = f ^ dF = J (щ + a)2 dF = FF

= J у2 dF + 2а J yi dF + a2 J dF = JZ1 + 2aSZ1 + a2F

FFF

Проделав аналогичные выкладки для J^ и JZ2y2, получим следующие формулы преобразований моментов инерции при па-

раллельном переносе осей координат:

(7.3.2)(7.3.2)J^g — JZ1 + 2aSZ1 + cl F\

(7.3.2)

(7.3.2)

^2^2— Jy^ + 2bSy} + b2 F^— Jy^ + 2bSy} + b2 F^

^2

^2

— Jy^ + 2bSy} + b2 F^

— Jy^ + 2bSy} + b2 F^

^2 У 2^2 У 2— Jziyi + bSZ1 + aSyy + abF.

^2 У 2

^2 У 2

Особый интерес представляет частный случай этих формул, когда одна из пар осей образована центральными осями (см. рис. 7.5). Тогда

Jz — Jzc + ?/Л

Jy = Jyc+?TF,(7.3.3)

Tzy — ^ZcyC + 'Ut^tF

Эти формулы часто называют формулами Штернера. Из них видно, что из всех параллельных координатных осей минимальный осевой момент инерции фигуры будет относительно той оси,

которая проходит через центр тяжести.

Рассмотрим примеры вычисления моментов инерции.

Пример 7.4. Найдем моменты инерции прямоугольника со сторонами В и Н относительно его центральных осей zCl уси осей z, у, совпадающих с его сторонами (рис. 7.11):

+В/2 +Н/2J J у2 dz dy — z-В(2 — Н/2+В/2 +Н/2J J у2 dz dy — z-В(2 — Н/2Точно так жеТочно так жеТ _ НВ3Ус -12Т _ НВ3Ус -12вн312 '(7.3.4)вн312 '(7.3.4)Так как оси zc и ус для прямоугольника являются осями симметрии, то центробежный момент инерции для них равен нулю, т-е- Jzcyc = 0-Перейдем теперь к осям z^ у. Можно было бы снова вычислить J^, Jy, Jzy как интегралы по области 0<z<B,0<y<Так как оси zc и ус для прямоугольника являются осями симметрии, то центробежный момент инерции для них равен нулю, т-е- Jzcyc = 0-Перейдем теперь к осям z^ у. Можно было бы снова вычислить J^, Jy, Jzy как интегралы по области 0<z<B,0<y<< Н. но более просто их можно получить по формулам Штернера (7.3.3):< Н. но более просто их можно получить по формулам Штернера (7.3.3):Лу = ЛсУс + у|т = 0 + ^ЯЯ =Лу = ЛсУс + у|т = 0 + ^ЯЯ =Н2В24Н2В24

+В/2 +Н/2

J J у2 dz dy — z

-В(2 — Н/2

+В/2 +Н/2

J J у2 dz dy — z

-В(2 — Н/2

Точно так же

Точно так же

Т _ НВ3

Ус -12

Т _ НВ3

Ус -12

вн3

12 '

(7.3.4)

вн3

12 '

(7.3.4)

Так как оси zc и ус для прямоугольника являются осями симметрии, то центробежный момент инерции для них равен нулю, т-е- Jzcyc = 0-

Перейдем теперь к осям z^ у. Можно было бы снова вычислить J^, Jy, Jzy как интегралы по области 0<z<B,0<y<

Так как оси zc и ус для прямоугольника являются осями симметрии, то центробежный момент инерции для них равен нулю, т-е- Jzcyc = 0-

Перейдем теперь к осям z^ у. Можно было бы снова вычислить J^, Jy, Jzy как интегралы по области 0<z<B,0<y<

< Н. но более просто их можно получить по формулам Штернера (7.3.3):

< Н. но более просто их можно получить по формулам Штернера (7.3.3):

Лу = ЛсУс + у|т = 0 + ^ЯЯ =

Лу = ЛсУс + у|т = 0 + ^ЯЯ =

Н2В2

4

Н2В2

4

Пример 7.5. Рассмотрим параллелограмм с основанием

В и высотой Н (рис. 7.12). Сравнивая его с имеющим такие же основание и высоту прямоугольником, видим, что каждой

полоске dF параллелограмма соответствует полоска dF прямоугольника равной площади. Поэтому их моменты инерции относительно осей % и zc равны. Следовательно, для параллелограмма

Пример 7.6. Найдем с основанием В и высотой НПример 7.6. Найдем с основанием В и высотой Нмоменты инерции треугольника (рис. 7.13). Дополнив этот тремоменты инерции треугольника (рис. 7.13). Дополнив этот трет _ вн3 т _ вн3

Пример 7.6. Найдем с основанием В и высотой Н

Пример 7.6. Найдем с основанием В и высотой Н

моменты инерции треугольника (рис. 7.13). Дополнив этот тре

моменты инерции треугольника (рис. 7.13). Дополнив этот тре

это показано пунктиром наэто показано пунктиром наРис. 7.13 перейдем от оси щ к цен-Рис. 7.13 перейдем от оси щ к цен-Я2 ВН _ ВН336 2 - 36 ’Я2 ВН _ ВН336 2 - 36 ’

это показано пунктиром на

это показано пунктиром на

Рис. 7.13 перейдем от оси щ к цен-

Рис. 7.13 перейдем от оси щ к цен-

Я2 ВН _ ВН3

36 2 - 36 ’

Я2 ВН _ ВН3

36 2 - 36 ’

угольник до параллелограмма, как рис. 7.13, замечаем, что оба составляющих параллелограмм треугольника одинаково расположены относительно средней оси щ. Поэтому их моменты инерции равны и каждый из них составляет половину момента инерции параллелограмма относительно его центральной оси. Таким образом, для треугольника

т -- ^1

“ 2 12 “ 24 '

По формулам Штернера (7.3.3) тральной оси zc;

А теперь с помощью тех же формул (7.3.3) получим JV.

т _ т_ ВН3 н2 ВН _ вн3

Центробежный момент инерции J^ можно вычислить как двойной интеграл по треугольной области F. Но можно сделать это и следующим образом. Разобьем треугольник на горизонтальные полоски толщиной dy, одна из которых показана на рис. 7.14. Площадь этой полоски dF = ^^ у В dy. Ее центр тяжести ле

жит на медиане ab, а его координата (абсцисса) равна, как это видно из рис. 7.14,

зд = с-,1 = с-^(с-^ = нв*^-в\Н \2 /

Так как форма полоски близка к прямоугольной, то ее центробежный момент инерции относительно ее собственных централь

ных осей, т.е. первое слагаемое в третьей из формул (7.3.3), можно не учитывать по сравнению со вторым слагаемым. Поэтому центробежный момент полоски

dJzy — dF • z^y —

= ^й^\нв^у^с-в^уау.

Момент JZy для всего треугольника получаем, суммируя (интегрируя) моменты dJzy полосок, т.е.

Гу = Г dJzy = f ^^l[HB+y(2C-B)]ydy = ^(B + 2C). оо

Рис. 7.15Рис. 7.15Пример 7.7. Найдем моменты инерции круга относительно осей, проходящих через его центр (рис. 7.15). Полярный момент мы уже вычислили, когда рассматривали кручение бруса сплошного сечения (см. и. 6.3.3): Jp =Но

Рис. 7.15

Рис. 7.15

vу р 232

Jp = JzF Jy ^ для круга Jz = Jy. Поэтому

Пример 7.8. Рассмотрим полукруг и найдем его моментыПример 7.8. Рассмотрим полукруг и найдем его моментыл=jy=\jp=4='4^wV

Пример 7.8. Рассмотрим полукруг и найдем его моменты

Пример 7.8. Рассмотрим полукруг и найдем его моменты

инерции относительно осейинерции относительно осейРис. 7.16Рис. 7.16z^ ус, проходящих через его центр тяжести (рис. 7.16). Моменты Jyc и Jz равны половине моментов инерции целого круга относительно тех же осей:

инерции относительно осей

инерции относительно осей

Рис. 7.16

Рис. 7.16

J= Jz = ^ = ^ ~ 0,025d4.

Ус8128’

От оси z к оси zc перейдем по формуле Штернера, используя известное из примера 7.1 расстояние 4г 2d между этими осями ут = — = —:

Зтг Зтг

Jzc — Jz — Ут^ —Jzc — Jz — Ут^ —7ГГ47ГГ4(Аф ф = о,11г4 = 0,00686с/4.

Jzc — Jz — Ут^ —

Jzc — Jz — Ут^ —

7ГГ4

7ГГ4

кЗтг 72’

Изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положение главных осей инерции

Рассмотрим, как связаны моменты инерции фигуры

Рис. 7.17Рис. 7.17F относительно двух пар осей координат z^ у и щ р с общим началом координат и повернутых друг относительно друга на угол а (рис. 7.17). Как видно из этого рисунка:

Рис. 7.17

Рис. 7.17

и = Od + de = z cos a + у sin a^ p = ас — се = у cos a — z sin a.

(7.4.1) Тогда

Ju = J v2 dF = J (y cos a — z sin a)2 dF =

FF

= cos2 a J y2 dF — 2 sin a cos a J zy dF + sin2 a J z2 dF =FFF

= Jz cos2 a — Jzy • 2 sin a cos a + Jy sin2 a.

Проведя точно такие выкладки для J^ и ,7^. получим формулы преобразования моментов инерции при повороте осей координат:

Ju = Л cos2 а — Jzy • 2 sin a cos а + Jy sin2 а^

Jv = Jz sin2 a + Jzy • 2 sin a cos a + Jy cos2 a, (7.4.2)

Juu = (Л — Л/) sin a cos a + ^^(cos2 a — sin2 a).

Используя известные тригонометрические выражения

cos2 а = |(1 + cos 2а) sin2 а = |(1 — cos 2а)

2 sin a cos а = sin 2а^ cos2 а — sin2 а = cos 2а^

представим (7.4.2) в виде

Ju =+ AlA cos 2a - Jzy sin 2a,

Jy = A±A _ AzA cos 2a + Jzy sin 2a,(7.4.3)

Juu = ^ 9 sin 2a + Jzy cos 2a.

Интересно отметить, что при а = 90° последняя формула (7.4.3) переходит в равенство J^ = — Jzy- Таким образом, при повороте осей координат на 90° центробежный момент инерции меняет знак. Он становится равен нулю, когда оси являются главными. Угол агл, определяющий положение главных осей, найдем из условия J^ = 0:

tg2arjl = AEl_. (7.4.4)

Осевые моменты инерции, как это видно из выражений (7.4.3), являются непрерывными периодическими функциями угла а с периодом тг. Поэтому как всякие периодические функции на своем периоде изменения они должны достичь максимального и минимального значений. Найдем их, используя стандартную процедуру поиска экстремумов функций. Для определения угла c^xt, ПРИ котором достигается экстремум, приравняем к нулю производные от Ju и Ju по а;

(7.4.5)(7.4.5)dJи _ Q dJv _ Qda ” ’ ТУ '

(7.4.5)

(7.4.5)

Дифференцируя выражения (7.4.3) по оц приходим в обоих случаях к уравнению

(Дг Ду) sin 2скех^ 2Jzy cos 2скех^ = 0.

Отсюда сразу следует, что

tg2aext = -^y.(7.4.6)

Сравнивая этот результат с выражением (7.4.4), заключаем, что оси, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений, совпадают с главными осями инерции. Чтобы найти моменты инерции для главных осей, воспользуемся тригонометрическими соотношениями

sin 6 =z, cos 6 =. 1Vi+W а/Г+VОтсюда, учитывая выражение (7.4.4), получаемsin 6 =z, cos 6 =. 1Vi+W а/Г+VОтсюда, учитывая выражение (7.4.4), получаем

sin 6 =z, cos 6 =. 1

Vi+W а/Г+V

Отсюда, учитывая выражение (7.4.4), получаем

sin 6 =z, cos 6 =. 1

Vi+W а/Г+V

Отсюда, учитывая выражение (7.4.4), получаем

После подстановки 8ш2агл и cos2arjI в формулу (7.4.3) придем к выражениям для максимального Jmax и минимального Jmin осевых моментов инерции:

Jext =(7.4.7)

которые и являются осевыми моментами для главных осей.

Заметим, что Jz + Jy = Jp^ а полярный момент определяется только положением начала координат (полюса) и поэтому не зависит от а. Следовательно, когда осевой момент относительно одной из осей достигает максимума, то осевой момент относительно другой оси станет минимальным.

Обычно нет необходимости формально определять, какой именно из главных осей соответствует Jmax и какой Jmin- Это сразу видно по форме фигуры и по ее расположению относительно главных осей. Например, для показанной на рис. 7.18 фигуры видно, что Jz > Jy.

В задачах изгиба бруса важно знать осевые моменты инерции сечений для тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения. Такие оси называются главными центральными осями.

Площади, положения центров тяжести и моменты инерции некоторых часто встречающихся фигур даны в табл. 7.1.

Пример 7.9. Подсчитаем моменты инерции сечения, показанного на рис. 7.19, относительно главных центральных осей. Введем вспомогательные оси yi, щ. Они выбраны так, чтобы было удобно подсчитать моменты инерции составляющих сечение двух прямоугольников 1 и 2 с помощью формул, полученных в примере 7.4:

_ Ц85)3 , 4Ц25)3 _ 544,4

“ з + з “’

_ 8to3 2Ц45)3 _ 136,4 - 3 +3” 3 D ’

^17/1 = ^1^1 + J^iyi =

= b2(N2 _ (2Q2(4Q2 = Q 44*

Рис. 7.19Рис. 7.19Заметим, что оси щ, ц^ являются главными, но не центральными.

Рис. 7.19

Рис. 7.19

Центр тяжести фигуры определяется быстро, если учесть, что площади составляющих ее прямоугольников одинаковы.

Таблица 7.1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ ГЛ.

К центральным осям zc^ ус перейдем с помощью формул Штернера (7.3.3):

Лс = Лх - y^F = ^b4 - (|ф ■ 16 b2 = (181,3 - 36)Р = 145,3 b4,

Jyc = Jyi - FF = ^4 - (|ф ■ 16 b2 = (45,3 - 25)b4 = 20,3 b4, J.=y= = Л1У1 - Ут^Р = 0- |b|b-16b2 = -30 Ъ4.

Вычислим угол наклона агл главных центральных осей щ и к осям %с^ ус;

2а ==2 • 30 64= 0 48

g гл Jyc-Jzc 145,ЗМ — 20,3 64

Тогда 2агл = 25° 40' и агл = 12° 50'. Моменты инерции Ju и Jv найдем по формулам (7.4.7):

Ju = Jmax = ^(145,364 + 20,3b4) +

+ 5 V(145,354 - 20,3b4)2 + 4(30b4)2 = 82,8b4 + 69,3b4 = 152,1Ь4,Jv = Jmin = 82,8b4 - 69,3b4 = 13,5b4.

Контрольные вопросы

Для чего нужно знать геометрические характеристики сечений?

В.7.2. От чего зависят знак и величина статического момента?

Что называется центральной осью сечения? Что такое центр тяжести сечения? Покажите, что ось симметрии является центральной осью.

Как определить положение центра тяжести сечения по известным его статическим моментам и площади?

Как связаны между собой полярный и осевые моменты инерции фигуры?

От чего зависят знак и величина центробежного момента инерции? Какие оси называются главными осями инерции? Покажите, что ось симметрии является одной из главных осей инерции.

Как связаны моменты инерции фигуры относительно параллельных координатных осей? Как упрощается эта связь, если одна из осей центральная?

7ГР4

Полярный момент инерции круга Jp = Чему равен момент инерции круга относительно его центральной оси?

Воспользовавшись выражением момента инерции круга относительно его центральных осей и свойством аддитивности, вычислить момент инерции для кольца с наружным и внутренним диаметром Dud соответственно.

Относительно каких осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения? Чему равны эти значения?

Задачи

Определить координаты центра тяжести трапеции (рис. 7.20). Проанализировать полученные выражения, образуя из трапеции прямоугольник (а = Ь) и треугольник (а = 0, а затем и b = 0).

Показать, что оси z и у являются главными осями инерции для трапеции, показанной на рис. 7.21 (а — произвольный угол).

Рис. 7.20 Рис. 7.21 Рис. 7.22Рис. 7.20 Рис. 7.21 Рис. 7.22

Рис. 7.20 Рис. 7.21 Рис. 7.22

Рис. 7.20 Рис. 7.21 Рис. 7.22

Задаваясь в задаче 7.1 значениями а = 4Ь и h = = 6, найти положение главных центральных осей и вычислить моменты инерции относительно этих осей.

У к а з а и и е: при вычислении центробежного момента инерции относительно центральных осей треугольника следует воспользоваться выражением, полученным в примере 7.6, и теоремой Штернера.

Вычислить осевые моменты инерции четверти круга (рис. 7.22) относительно осей %^ у и ус.

Указание: абсциссу zT центра тяжести четверти круга легко найти, зная положение центра тяжести полукруга, которое определено в примере 7.1.

Для показанной на рис. 7.23 фигуры вычислить моменты инерции относительно ее главных центральных осей.

ааРис. 7.24Рис. 7.24

а

а

Рис. 7.24

Рис. 7.24

Найти положение главных центральных осей и вычислить моменты инерции относительно этих осей для тонкостен-

Швеллер №12Швеллер №12Уголки равнополочные № 4 (J = 5mm)Уголки равнополочные № 4 (J = 5mm)Рис. 7.25Рис. 7.25ных сечений, показанных на рис. 7.24. Толщину стенки 5 для всех сечений считать постоянной. Для сечения на рис. 7.24 б определить также и полярный момент инерции.

Швеллер №12

Швеллер №12

Уголки равнополочные № 4 (J = 5mm)

Уголки равнополочные № 4 (J = 5mm)

Рис. 7.25

Рис. 7.25

Для показанного на рис. 7.25 составного сечения (см. ГОСТы 8240-72 и

8509-72) °) вычислить моменты инерции относительно его главных центральных осей.

°) Таблицы ГОСТов даны в приложении в конце книги.

ГЛАВА 8

ПРЯМОЙ ИЗГИБ

Изгибом называют такое напряженно-деформированное состояние бруса, когда в его поперечных сечениях из шести воз

можных внутренних силовых факторов отличны от нуля только перерезывающие силы и изгибающие моменты.

Брус с прямой осью, находящийся в состоянии изгиба, часто называют балкой. Из условия равновесия отсеченных частей бал

ки легко понять, что ее изгиб вызывают нагрузки, нормальные к оси бруса (поперечные нагрузки) или сосредоточенные моменты, в плоскости действия которых лежит ось балки (рис. 8.1).

Если все изгибающие балку нагрузки лежат в одной плоскости (или их можно свести к такого вида нагрузкам) и деформированная ось балки остается в этой плоскости, то такой изгиб называют прямым.

Общий случай изгиба, как это будет показано в гл. 9, всегда можно предста

вить как суперпозицию двух прямых изгибов. Такой изгиб обыч

но называют косым изгибом. На рис. 8.2 показана деформация

двух балок, один конец которых защемлен, а к другому приложена вертикальная сила Р. Их деформированное состояние показано штриховой кривой. На рис. 8.2 а деформированная ось балки осталась в плоскости ху, в которой действует сила Р. Такой изгиб балки — прямой. А на рис. 8.2 б кроме вертикальных, точки оси балки получили также и горизонтальные смещения. Таким образом, ось балки вышла из плоскости ху и поэтому ее изгиб является косым. Как мы увидим в дальнейшем, прямой изгиб возникает только при вполне определенной взаимной ориентации плоскости действия нагрузки и сечения балки.

Рис. 8.3Рис. 8.3В этой главе мы рассмотрим прямой изгиб балки в плоскости ху (рис. 8.3). В поперечных сечениях такой балки возникают перерезывающая сила Qy и изгибающий момент Mz.

Рис. 8.3

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Правила знаков для Qy и Mz проиллюстрированы на рис. 8.4 для отсеченных частей балки. Как видно из этого рисунка,

ООQy > 0, если она стремится повернуть отсеченную часть, к которой она приложена, по часовой стрелке.

О

О

Из рис. 8.5, на котором деформированное состояние элемента балки показано штриховыми линиями, ясно, что положительный изгибающий момент Mz

вызывает такой изгиб балки, что ее верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.ис‘ '

При Qy = 0 изгиб называют чистым. А если Qy ^ 0, то изгиб поперечный.

Статические дифференциальные и интегральные соотношения при изгибе

Рассмотрим равновесие элемента балки, выделенного сечениями х и х + dx (рис. 8.6). На него действует погонная распределенная нагрузка, интенсивность которой из-за малости dx можно считать постоянной по длине элемента и равной q(x).

Тогда равнодействующая этой нагрузки равна q(x) dx. Со стороны левой отброшенной части балки на элемент dx действуют Qy(x) и Mz^x\ а со стороны правой — Qy(x + dx) ~Qy(x) -VdQy

Рис. 8.6

и Mz(x + dx) ~ Mz^x) + dMz. Запишем условия равновесия элемента. Так как на балку не действуют нагрузки, направленные вдоль оси ж, то условие ^Рж = 0 выполняется. Условие ^ Ру = = 0 запишется в виде

Qy(x) + q^x) dx - (Qy(x) + dQy) = 0.

Отсюда получаем

^ = Щ) T •(8.1.1)

В этом статическом дифференциальном соотношении стрелками показаны принятые при его выводе положительные направления х и q.

Составим теперь для элемента второе условие равновесия как условие равенства нулю суммы моментов относительно какой- либо точки, например точки А;

^мА = о^ -мх^ +-

- (Су(ж) + dQy) dx + q)x) dx^- = 0.

Отбрасывая в этом равенстве слагаемые высшего порядка малости dQy dx и ^q(x)(dx)2, получаем второе статическое дифференциальное соотношение:

= QM(8-1-2)

Рассмотрим теперь элемент балки, выделенный в окрестности точки с координатой хр, где приложена сосредо-

точенная сила Р (рис. 8.7). На рисунке использованы знакомые читателю обозначения:

Qy = Qy(xP - dx), Qy = Qy(xP + dx), ...

Условия равновесия этого элемента запишем в виде

^Py = 0^Q" + Р — Q^ = 0, У2 Мв = 0 —> —М~ — Q~ dx +

+ Mt — Q^ dx = 0.

Во втором из этих соотношений бесконечно малые слагаемые

Qy dx и Q+ dx должны быть от-рис 8 7

брошены в сравнении с конечными

резывающая сила Qy претерпевает скачок на величину этой силы, а изгибающий момент Mz непрерывен: Qt-Q- = p, Mt = м~.(8.1.3) Характер эпюр Qy и Мг в окрестности точки приложения сосредоточенной силы показан на рис. 8.8. Из это-резывающая сила Qy претерпевает скачок на величину этой силы, а изгибающий момент Mz непрерывен: Qt-Q- = p, Mt = м~.(8.1.3) Характер эпюр Qy и Мг в окрестности точки приложения сосредоточенной силы показан на рис. 8.8. Из это-величинами М~ и М^. Окончательно получаем, что в окрестности точки приложения сосредоточенной силы Р пере

резывающая сила Qy претерпевает скачок на величину этой силы, а изгибающий момент Mz непрерывен: Qt-Q- = p, Mt = м~.

(8.1.3) Характер эпюр Qy и Мг в окрестности точки приложения сосредоточенной силы показан на рис. 8.8. Из это-

резывающая сила Qy претерпевает скачок на величину этой силы, а изгибающий момент Mz непрерывен: Qt-Q- = p, Mt = м~.

(8.1.3) Характер эпюр Qy и Мг в окрестности точки приложения сосредоточенной силы показан на рис. 8.8. Из это-

хх го рисунка видно, что скачок

Qy происходит в ту сторону, Рис- 818куда направлена сила (если

смотреть слева направо), а на эпюре Mz образуется согласно (8.1.2) угол, направленный навстречу силе.

Рассмотрим теперь равновесие элемента балки, выделенного около сечения жм, где приложен сосредоточенный момент М (рис. 8.9). Из условий его равновесия нетрудно получить, что

Qt = Q;, Mt -м; = М. (8.1.4) Эти соотношения показывают, что в сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М, перерезывающая сила Qy непрерывна, а изгиба-

ющий момент Mz претерпевает скачок, равный М. Характер эпюр Qy и Mz в окрестности такого сечения показан на рис. 8.10.

Рис. 8.10Рис. 8.10Из него видно, что форма скачка Mz повторяет форму пары сосредоточенного момента М.

Рис. 8.10

Рис. 8.10

Продифференцируем соотношение (8.1.2) по х и учтем (8.1.1). В итоге получим

= (8.1.5) ах;

Вторая производная, как из

направлена вверх, кривизна эпюры Mz положительна, т.е. эта эпюра имеет выпуклость вниз. И наоборот, если q направлена вниз, то у эпюры Mz выпуклость обращена вверх. Таким образом, выпуклость эпюры Mz направлена навстречу распределенной нагрузке q. Это правило проиллюстрировано на рис. 8.11.8.1.4. Чтобы получить интегральные статические соотношения, рассмотрим равновесие конечного элемента балки, расположенного между сечениями х\ и х^ (рис. 8.12). Условия его равновесия имеют виднаправлена вверх, кривизна эпюры Mz положительна, т.е. эта эпюра имеет выпуклость вниз. И наоборот, если q направлена вниз, то у эпюры Mz выпуклость обращена вверх. Таким образом, выпуклость эпюры Mz направлена навстречу распределенной нагрузке q. Это правило проиллюстрировано на рис. 8.11.8.1.4. Чтобы получить интегральные статические соотношения, рассмотрим равновесие конечного элемента балки, расположенного между сечениями х\ и х^ (рис. 8.12). Условия его равновесия имеют видххМ2М2Рис. 8.11Рис. 8.11вестно из курса математики, определяет знак кривизны кривой. Поэтому из (8.1.5) следует, что при q > 0, т.е. когда нагрузка q

направлена вверх, кривизна эпюры Mz положительна, т.е. эта эпюра имеет выпуклость вниз. И наоборот, если q направлена вниз, то у эпюры Mz выпуклость обращена вверх. Таким образом, выпуклость эпюры Mz направлена навстречу распределенной нагрузке q. Это правило проиллюстрировано на рис. 8.11.

8.1.4. Чтобы получить интегральные статические соотношения, рассмотрим равновесие конечного элемента балки, расположенного между сечениями х\ и х^ (рис. 8.12). Условия его равновесия имеют вид

направлена вверх, кривизна эпюры Mz положительна, т.е. эта эпюра имеет выпуклость вниз. И наоборот, если q направлена вниз, то у эпюры Mz выпуклость обращена вверх. Таким образом, выпуклость эпюры Mz направлена навстречу распределенной нагрузке q. Это правило проиллюстрировано на рис. 8.11.

8.1.4. Чтобы получить интегральные статические соотношения, рассмотрим равновесие конечного элемента балки, расположенного между сечениями х\ и х^ (рис. 8.12). Условия его равновесия имеют вид

х

х

М2

М2

Рис. 8.11

Рис. 8.11

Ж 2

У2Ру = о <2Щ1) + J q(x)dx + У Pi-Qy(xz) = 0,Ж1ie[xi,X2]

(8.1.6)

^Ma = 0^-MMH J (х - х^х) dx + У (xPi-xiXi- Ж1гС[ж1,Ж2]

- У Мз - Оу(хЭ(х2 -®1) + Mz(x2) = 0.

Щ[ж1,ж2]

В первом из этих соотношений интеграл является равнодействующей распределенной нагрузки с интенсивностью q^x\ а во втором — ее равнодействующим моментом. Из (8.1.6) получаем

Qy(x2) - QyCi) = f q(x) dx + ^ Р^ (8.1.7)

Ж1ге[ж1,Ж2]

Ж2

МДх^ - М^х^ = - J (ж - Ж1)д(ж) dx + Qy(x2)(x2 - жх)-

- £ (Жр<-Ж1)^ + ^ мг (8-1-8) ге[ж1,ж2]je[xi,x2]

Соотношение (8.1.7) является одной из форм записи общего решения дифференциального уравнения (8.1.1) с учетом скач-

Рис. 8.12

ков Qy вида (8.1.3), вызванных действием сосредоточенных сил Pi. В этом нетрудно убедиться, продифференцировав (8.1.7), например, по Ж2, в результате чего получим dQy/dx2 = ^(^2). Это соотношение совпадает с (8.1.3) с точностью до обозначения аргумента. Чтобы установить связь между выражением (8.1.8) и дифференциальным соотношением (8.1.2), продифференцируем (8.1.8) по Х2- Получим

(

Ж2Ж2\

- Г xq^ dx + Ж1 Г q^ dx | + ^-(ж2 - жх) + J v 7J v 7dX2

Ж1Ж1/

+ ЦЩ) = -X2q(x2) + Ж1д(ж2) + q^^X-l - ®1) + Qy^Y

Здесь учтено, что dQy/dx2 = q^x^Y Первые три слагаемых в правой части взаимно уничтожаются. В результате получаем, что dMz/dx2 = Qy($2Y А это значит, что выражение (8.1.8) является одной из форм записи общего решения дифференциального уравнения (8.1.2), учитывающего скачки вида (8.1.4). Другую более удобную форму общего решения уравнения (8.1.2) можно

построить, интегрируя его непосредственно:

М^х^ - М^х^ = jQydx+ ^ Мр (8.1.9) Ж1 7С[ж1,ж2]

.1.5. Рассмотрим примеры построения эпюр Qy и Mz для статически определимых балок. Заметим сразу, что само по себе построение этих эпюр, так же, как и эпюр N и М^, не является самоцелью, но это необходимый этап для расчета балки на прочность и определения ее перемещений.

Пример 8.1. Рассмотрим балку, один конец которой свободен, а другой закреплен так, что исключены его перемещения и поворот (рис. 8.13). Такое закрепление балки называют заделкой или загцемлением. Со стороны такого закрепления на балку действуют горизонтальная Rx и вертикальная Ry силы, называ-

Рис. 8.13

емые реакциями опоры, а также момент Mr — реактивный момент. Все они показаны на рис. 8.13 штриховыми линиями. Их можно найти из условий равновесия балки. Но при построении эпюр Qy и Mz для консольной балки в этом нет необходимости, так как после рассечения балки для ее левой части можно составить уравнения равновесия, из которых и определяются Qy и Mz.

При построении эпюры Qy прежде всего, исходя из соотношений (8.1.1) и (8.1.3), заметим, что:

скачок Qy будет только в сечении 1, где приложена сосредоточенная сила qa*,

на участке 2-4 Q^ = 0, поэтому Qy = const;

на участках 0-1 и 1-2 q = const, и поэтому Qy меняется по линейному закону.

Эти сведения помогают экономично воспользоваться методом сечений. Для построения эпюры Qy достаточно рассмотреть отсеченные части балки, выделенные сечениями в точке 0, слева и справа от точки 1 и в любой точке на участке 2-4 (рис. 8.14 а-г\ Для определения Qy составим для них условия равновесия ^2 Ру = 0. Например, для рис. 8.14 г такое условие имеет вид

qa — Qy2 — J qdx = 0.(8.1.10)

0—2

Вошедший в это условие интеграл является равнодействующей распределенной нагрузки на участке 0-2. Так как q = const, то

Рис. 8.14

он равен q • 2а. Учитывая это, получаем из (8.1.10) Qy2 = —qa.

Точно так же находим бДо = 0, Q”x = —qa. Q^ = 0.

Обычно такие условия равновесия просты, и при минимальной тренировке нет необходимости их выписывать и решать. Той же цели можно достигнуть, подбирая такую перерезывающую силу, чтобы для отсеченной части выполнялось условие ^Ру = = 0, как это сделано для отсеченных частей на рис. 8.14 е, снс. Знак полученной перерезывающей силы определяется по тому, как она стремится повернуть отсеченную часть. Для отсеченных частей на рис. 8.14 е, снс полученные в сечениях 3 и 4 перерезывающие силы qa стремятся повернуть отсеченную часть против часовой стрелки, поэтому они отрицательны.

По полученным значениям легко построить эпюру Q^, данную на рис. 8.13.

При построении эпюры Mz учтем, что на ней будет скачок в сечении 3, где приложен сосредоточенный момент qa2. Поэтому для определения необходимых для построения значений Mz в точках 1, 2, 3, 4 рассмотрим равновесие отсеченных частей, изображенных на рис. 8.14. Моментные условия равновесия для этих отсеченных частей запишем в виде равенств нулю сумм моментов всех действующих на них нагрузок относительно точек, совпадающих с сечениями. Так, для отсеченной части на рис. 8.14 д это условие имеет вид

^Мс = 0 qa-2a-2qa-2a-М~3 = 0. (8.1.11)

В этом уравнении второе слагаемое является равнодействующим моментом распределенной нагрузки. Он подсчитан как момент равнодействующей этой нагрузки. На рис. 8.14 д эта равнодействующая 2qa показана штриховой прямой. Из (8.1.11) получаем

Щ3 = —2qa?.

Из условий равновесия всех других отсеченных частей получим АД о = 0, АДх = — |ga2, MZ2 = —qa2, М^ = —qa2, Mz^ = —2qa2.

Для определения Mz можно подбирать его величину и направление так, чтобы для отсеченной части выполнялось условие 52 Мс = 0, как это сделано для частей на рис. 8.14 е, снс.

По полученным значениям нетрудно построить эпюру Mz, показанную на рис. 8.13. При этом нужно учесть, что на участках 2-3 и 3-4 Qti = const, поэтому ввиду дифференциального соотношения dMz/dx = Qy Mz меняется линейно. На участках 0-1, 1-2 Qy изменяется линейно, следовательно, Mz здесь меняется по квадратичному закону. Более того, так как Q^o = 0, Qyi = 0, то в этих точках касательные к эпюре Mz горизонтальны.

В точке 2 эпюра Qy непрерывна, поэтому парабола Mz на участке 1-2 касается в точке 2 прямой участка 2-3. В точке 1,

наоборот, Qy изменяется скачком из-за сосредоточенной силы qa и здесь на эпюре Mz образуется угол, направленный навстречу этой силе.

Пример 8.2. Построим эпюры Qy и Mz для двухопорной балки, показанной на рис. 8.15. Левая опора этой балки назы

вается шарнирной опорой. Она не позволяет сечению А балки перемещаться горизонтально и вертикально, но не сопротивляется повороту этого сечения. Поэтому результатом взаимодействия балки с такой опорой бу

Рис. 8.15Рис. 8.15дет появление горизонталь-

Рис. 8.15

Рис. 8.15

ных и вертикальных сил вза

Рис. 8.16Рис. 8.16имодействия — реакций опор Rx и Ry (рис. 8.16 а). Правая опора называется катковой опорой. Она запрещает перемещения сечения В балки только по нормали к плоскости опоры (в дан-

Рис. 8.16

Рис. 8.16

ном случае вертикальные перемещения) и не оказывает сопротивления его перемещениям вдоль плоскости опоры (горизонтальным) и повороту. Поэтому в такой опоре возникает только реакция, нормальная к плоскости опоры. В нашем случае это реакция Ry (рис. 8.16 б). В литературе можно встретиться с различными схематическими изображениями катковой опоры. Некоторые из них показаны на рис. 8.16 б. Первую и третью схему на этом рисунке используют также для изображения односторонних опор — допускающих отрыв катка от опорной плоскости. Мы такие случаи рассматривать не будем.

Определение реакций опор для двухопорной балки необходимо, так как рассечение ее приводит к образованию таких двух частей, которые взаимодействуют с опорой. Для нахождения реакций опор отбросим опоры и заменим их действие на балку ре-

акциями РАх, RAy, Рву (рис. 8.17). Теперь балка как тело на плоскости имеет три степени свободы и поэтому можно составить три независимых уравнения для определения трех реакций. Так как на балку не действуют горизонтальные силы, то из условия равновесия ^ Рж = 0 сразу следует, что Рдх = 0. Реакции Рду и Рву удобно определять из условий ^Мд = 0 и

ЕМв = 0:

Е Мд = 0 —> qa2 + qa • а — 2qa • 2а + Рву • За = 0,

(8.1.12)

Е Мв = 0 qa2 — qa • 2а + 2qa • а — Рду • За = 0.

В этих условиях учтено, что равнодействующая распределенной

нагрузки показананагрузки показанаравна 2qa и приложена посередине участка 1-2. Она пунктиром на рис. 8.17.

нагрузки показана

нагрузки показана

Рис. 8.17Рис. 8.17Использование моментных условий для определения реакций двухопорной балки приводит к тому, что каждое из уравнений (8.1.12) содержит только одну неизвестную реакцию и поэтому реакции определяются независимо. Если при определении одной из них допущена

Рис. 8.17

Рис. 8.17

ошибка, она не скажется на второй. Условие Е Д/ ~ 0 удобно

Рис. 8.18

Из (8.1.12) легко получаем, что Рву = ^qa и Рду = ^qa.

Полученный результат показан на рис. 8.18 а. По нему легко

убедиться, что условие 52 Д/ = 0 выполняется. Эпюры Qy и Mz построены точно так же, как и в предыдущей задаче (см. рис. 8.18 5, в). Более того, для такой балки в качестве отсеченной части можно принимать любую из двух образованных сечением частей балки. Поэтому появившуюся возможность выбора можно использовать для упрощения решения. Необходимые для построения эпюр Qy и Mz отсеченные части показаны на рис. 8.19.

Рис. 8.19Рис. 8.19

Рис. 8.19

Рис. 8.19

Mz maxMz maxРис. 8.20Рис. 8.20

Mz max

Mz max

Рис. 8.20

Рис. 8.20

Максимальное значение Mz на участке 1-2 можно найти двумя способами. Первый из них использует метод сечений непосредственно и определяет Mz max как изгибающий момент из условия равновесия отсеченной части, образованной сечением в точке, где Qy = 0. Эта часть показана на рис. 8.20. Из условия ^Мс = 0 22

легко найти, что M^max = -qa- -а —

Второй способ основан на соотношении (8.1.9). Так как на участке между точками С и В не приложено сосредоточенных моментов, то

Mz(xB) - Mz(xc) = J Qydx.

с-в

хв

Но Mz(xb) = 0, тогда Mz(xq) = — / Qydx, поэтому Mz(xq) =

= M^max равен площади эпюры Qy между точками С и В. Вы- 1 222 2

числяя ее, получаем Vw2max = - • -qa • -а = -qa .

Пример 8.3. Построим эпюры Qy и Mz для балки, показанной на рис. 8.21. Эта балка состоит из двух частей, соединенных между собой шарнирно в точке В. Для определения опорных реакций отбросим опоры и заменим их реакциями, а

также рассечем балку по шарниру в точке В. Так как шарнирное соединение не сопротивляется повороту частей балки друг относительно друга, то в сечении В не возникает изгибающе-

Рис. 8.21

го момента, а будет действовать только перерезывающая сила. Полученные части изображены на рис. 8.22, где учтено, что в шарнирной опоре D из-за отсутствия горизонтальных нагрузок

Рис. 8.22

не появится горизонтальной реакции. Теперь из условий равновесия для части балки АВ легко найти Кд и QyB • При этом равнодействующую распределенной по линейному закону нагрузки и точку ее приложения получим как площадь и центр тяжести треугольной эпюры q(x) на участке АВ. На рис. 8.22 эта равнодействующая, так же, как и равнодействующая постоянной распределенной нагрузки на участке BD, показана штриховой прямой. Из условия ^2 Мд = 0 для части АВ получим QyB = — |^оа? а из условия ^2 М^ = О следует, что Кд = ^q^a. Теперь, зная QyB? найдем, используя для части BD условие ^Мс = 0, что Кв = Т^°а’ а из Условия 52 ^d = 0 определим, что Rc = ~^qoa- Полученные реакции показаны на рис. 8.23 и там же приведены эпюры Qy и Mz. Методика построения этих эпюр по участку BD ничем не отличается от использованной выше в примерах 8.1 и 8.2. Там в силу достаточной простоты этих эпюр мы обо-

шлись без их аналитических выражений, подсчитывая значения Qy и Mz в характерных сечениях и соединяя полученные точки

Рис. 8.23Рис. 8.23

Рис. 8.23

Рис. 8.23

_ _дох3 доах” "12Д + "Т"_ _дох3 доах” "12Д + "Т"Рис. 8.24Рис. 8.24

_ _дох3 доах

” "12Д + "Т"

_ _дох3 доах

” "12Д + "Т"

Рис. 8.24

Рис. 8.24

с учетом дифференциальных зависимостей. Предоставляем читателю возможность попрактиковаться в построении эпюр Qy и Mz этим способом.

Для участка АВ такой подход затруднителен. Qy и Mz здесь найдем из условий равновесия отсеченной части, показанной на рис. 8.24:

( _ др а _ 1 дрх2

,2

Координату сечения, в котором Qy = 0 и Mz достигает максимального значения, найдем из условия Qy = 0:

а дох2 п k

® 5 - — = 0 $1-2 =

= ±4=а «1,15а.

Очевидно, что искомому максимуму Mz соответствует положительное значение корня х\.

7 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

Подставив его в выражение для М^ получим

мхтм = M^xi) = -у^ + ^ А* = т^ада2 « О,2579о«2.iza dy3уЗУуо

Геометрия деформаций и нормальные напряжения при чистом изгибе

Сначала изучим простейший случай изгиба — прямой чистый изгиб балки постоянного сечения. В таком состоя

Рис. 8.25Рис. 8.25нии балка будет находиться, если она изгибается приложенными к ее торцам одинаковыми моментами М и при этом ее деформированная ось остается в плоскости действия моментов (рис. 8.25). Нетрудно методом сечений убедиться, что Mz постоянен по длине балки. Более

Рис. 8.25

Рис. 8.25

того, напряженно-деформированное состояние балки также однородно по длине (кроме, конечно, прилегающих к торцам зон Сен-Венана, где распределение напряжений зависит от конкретного способа приложения моментов М к торцам).

Возьмем произвольное сечение А балки. Двумя симметричными относительно него сечениями С и Ci выделим элемент балки (рис. 8.26). Этот элемент симметричен относительно сече-Я

Рис. 8.26Рис. 8.26ния А и нагружен симметрично, поэтому он должен и деформироваться симметрично. Следовательно, при деформации сечение А как плоскость симметрии

Рис. 8.26

Рис. 8.26

останется плоским и нормальным к деформированной оси бруса. А так так сечение А выбрано про-

извольно, то такие же выводы можно сделать и относительно любого сечения балки. Итак, при чистом изгибе поперечные сечения бруса остаются плоскими и нормальными к деформированной оси балки.

Если балка имеет переменное сечение, то выделенный из нее элемент уже не будет симметричным. Поэтому его деформация будет сложнее. Но эксперименты показывают, что при плавном изменении сечения балки характер ее деформирования мало отличается от картины деформирования балки постоянного сечения. Поэтому можно принять так называемую гипотезу плоских сечений, предполагающую, что при изгибе поперечные сечения

балки остаются плоскими и нормальными к ее деформированной оси.

Автором этой гипотезы является Я. Бернулли (1694).

Выделим из балки двумя поперечными сечениями

элемент длиной dx и рассмотрим деформированное состояние элемента показано штриховыми линиями. Рассматривая балку как состоящую из продольных волокон, замечаем, что верхние ее волокна укоротились, а нижние удлинились. Волокна АВ, которые отделяют сжатые волокна от растянутых, будем называть нейтральными волокнами (на рисунке — штрих-пунктир). После деформации между торцевыми сечениями элемента образуется угол da, а нейтральные волокна искривиляются. Их ра-

его деформации. На рис. 8.27его деформации. На рис. 8.27Рис. 8.27Рис. 8.27диус кривизны обозначен через р. Найдем относительное удлинение еж волокна CD, расположенного на расстоянии у от ней

его деформации. На рис. 8.27

его деформации. На рис. 8.27

Рис. 8.27

Рис. 8.27

тральных волокон:

_ CD— С' D' _ dx — (р — у) da _ pda — (р — у) da _ у жCDdxpdaр

Здесь учтено, что CD = АВ, а АВ = dx = pda. Знак « —» учитывает, что волокно CD укорачивается. Полученное соотношение

(8.2.1) р

является математическим выражением гипотезы плоских сечений при изгибе балки в плоскости ху. Так как изгиб прямой, то все волокна, расположенные на расстоянии у от нейтральных, имеют одинаковую деформацию ех = — у/р.

Теперь, чтобы перейти от деформаций к напряжениям, будем считать, что каждое продольное волокно балки при изгибе находится в состоянии одноосного растяжения. Это равносильно предположению, что в продольных сечениях балки при изгибе не возникает нормальных напряжений, или, как иногда говорят, продольные волокна друг на друга не давят. Поэтому такое предположение называют гипотезой о ненадавливаемости продольных волокон. Фактически нормальные напряжения в продольных сечениях балки возникают, но они малы по сравнению с од и ими можно пренебречь. Принятая гипотеза при линейно-

упругой деформации позволяет связать нормальные напряжения в поперечном сечении ах с деформациями продольных волокон ех соотношением закона Гука для одноосного растяжения:

(8.2.2)(8.2.2)— Ееж.

(8.2.2)

(8.2.2)

Учитывая гипотезу плоских сечений (8.2.1), получаем, что аж

Рис. 8.28Рис. 8.28распределяются по поперечному сечению линейно:

Рис. 8.28

Рис. 8.28

ах = -®У-(8.2.3)

Линейный характер распределения нормальных напряжений в сечении балки показан на рис. 8.28.

Чтобы связать аж и М^, воспользуемся соотношением

Mz = - JyXcdF. (8.2.4)

F

в котором Mz подсчитан как равнодействующий момент относительно оси % элементарных продольных усилий ож dF (рис. 8.29). Подставив в это соотношение аж по (8.2.3), получаем

Mz = ^ f у2 dF = ^. (8.2.5)

Напоминаем, что J р2 dF = Jz —

F осевой момент инерции сечения балки F.

Соотношение (8.2.5) устанавливает связь между кривизной оси

балки 1/р, жесткостью балки на изгиб EJZ и изгибающим моментом Mz:

X после исключения из (8.2.3) 1/р получаем формулу, связывающую аж и Mz:

= -^У-(8.2.7)

С помощью этой формулы мы могли бы найти нормальные напряжения аж в сечении балки по определенному методом сечений изгибающему моменту Mz. Однако нам пока неизвестно положение нейтральных волокон, от которых отсчитывается расстояние у. Найдем его, учитывая, что при чистом изгибе

продольная сила 7V равна нулю. Но 7V можно подсчитать как равнодействующую элементарных продольных усилий аж dF в соответствии с разд. 2.3 (см. рис. 8.29):

N = J axdF.(8.2.8)

F

Подставив сюда (8.2.7) и приняв N = 0, получим

N= Г (J.dF = - Г ^ydF = -^ Г ydF = -^Sz = 0.

FFF

(8.2.9)

Отсюда ясно, что так как статический момент Sz равен нулю, то ось % является центральной осью сечения.

Учтем теперь, что при изгибе в плоскости жу изгибающий момент Му равен нулю . Но в соответствии с разд. 2.3 (см. рис. 8.29)

Му = J axzdF.(8.2.10)

F

Следовательно, с учетом формулы (8.2.7) получаем

Му= Г axzdF=- Г ^yzdF = -^ Г yzdF = -^JZy = 0.

FFF

(8.2.11) Таким образом, при прямом изгибе в плоскости ху оси z и у должны быть такими, чтобы центробежный момент инерции JZy был равен нулю, т.е. главными осями сечения.

Суммируя полученные результаты, приходим к заключению, что прямой чистый изгиб бруса под действием изгибающего момента Mz происходит только тогда, когда оси %^ у являются главными центральными осями сечения. В этом случае нормальные напряжения аж и кривизна нейтральных волокон 1/р определяются выражениями

<тх = F^y, 1 = ±^.(8.2.12)

В этих формулах введены знаки «±», так как знак в них связан с направлением оси у. На практике по направлению изгибающего момента Mz всегда видно, как искривляется ось бруса и какие волокна сечения растянуты, а какие сжаты, и поэтому можно легко установить нужный знак.

Напряжения при поперечном изгибе

При поперечном изгибе балки в плоскости ху перерезывающая сила Qy не равна нулю. Такой изгиб консольной балки вызывает, например, си-

Рис. 8.30Рис. 8.30ла, приложенная к ее концу (рис. 8.30). Рассматривая симметричный относительно сечения А элемент балки, показанный на рис. 8.31, замечаем, что он нагружен несимметрично. Поэтому и деформироваться он будет также несимметрично относительно сечения А,ла, приложенная к ее концу (рис. 8.30). Рассматривая симметричный относительно сечения А элемент балки, показанный на рис. 8.31, замечаем, что он нагружен несимметрично. Поэтому и деформироваться он будет также несимметрично относительно сечения А,и это сечение не останется плоским. Однако опыт показывает, что геометрию деформации длинных балок (l/h ^ 8) при изгибеи это сечение не останется плоским. Однако опыт показывает, что геометрию деформации длинных балок (l/h ^ 8) при изгибес достаточной точностью можно описать гипотезой плоских се-с достаточной точностью можно описать гипотезой плоских се-е/ое/оМДС)МДС)Рис. 8.31Рис. 8.31чений: поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими и нормальными к ее деформированной оси.А такая картина деформаций показана на рис. 8.27 и подробно исследована в предыдущем разделе. Повторяя без изменений рассуждения, проведенные в пн. 8.2.2 и 8.2.3, приходим снова к формулам,чений: поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими и нормальными к ее деформированной оси.А такая картина деформаций показана на рис. 8.27 и подробно исследована в предыдущем разделе. Повторяя без изменений рассуждения, проведенные в пн. 8.2.2 и 8.2.3, приходим снова к формулам,

Рис. 8.30

Рис. 8.30

ла, приложенная к ее концу (рис. 8.30). Рассматривая симметричный относительно сечения А элемент балки, показанный на рис. 8.31, замечаем, что он нагружен несимметрично. Поэтому и деформироваться он будет также несимметрично относительно сечения А,

ла, приложенная к ее концу (рис. 8.30). Рассматривая симметричный относительно сечения А элемент балки, показанный на рис. 8.31, замечаем, что он нагружен несимметрично. Поэтому и деформироваться он будет также несимметрично относительно сечения А,

и это сечение не останется плоским. Однако опыт показывает, что геометрию деформации длинных балок (l/h ^ 8) при изгибе

и это сечение не останется плоским. Однако опыт показывает, что геометрию деформации длинных балок (l/h ^ 8) при изгибе

с достаточной точностью можно описать гипотезой плоских се-

с достаточной точностью можно описать гипотезой плоских се-

е/о

е/о

МДС)

МДС)

Рис. 8.31

Рис. 8.31

чений: поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими и нормальными к ее деформированной оси.

А такая картина деформаций показана на рис. 8.27 и подробно исследована в предыдущем разделе. Повторяя без изменений рассуждения, проведенные в пн. 8.2.2 и 8.2.3, приходим снова к формулам,

чений: поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими и нормальными к ее деформированной оси.

А такая картина деформаций показана на рис. 8.27 и подробно исследована в предыдущем разделе. Повторяя без изменений рассуждения, проведенные в пн. 8.2.2 и 8.2.3, приходим снова к формулам,

1 =рEJz1 =рEJzкоторые определяют нормальные напряжения и кривизну деформированной оси, но теперь уже при поперечном изгибе:

1 =

рEJz

1 =

рEJz

(8.3.1)

Кроме нормальных напряжений, при поперечном изгибе должны возникать и касательные напряжения тХу. Это следует из того, что Qy ^ 0, a Qy является равнодействующей действующих в сечении элементарных касательных усилий:

Qy — J тХу dF 0 тХу ф 0.(8.3.2)

F

Принимая гипотезу плоских сечений, мы предполагаем также, что при деформации каждое продольное волокно остается нормальным к поперечным сечениям, т.е., что угол AC’D* на рис. 8.27 остается прямым. А это значит, что в плоскости хр деформации сдвига ^Ху считаются равными нулю. Поэтому, если мы попытаемся найти тЖу по деформации сдвига ^Жу с помощью

закона Гука так же, как это было сделано для нормальных напряжений при переходе от (8.2.1) к (8.2.3), то мы получим, что ТЖу = G^Xy = 0. Но мы только что пришли к выводу, что если при поперечном изгибе Qy ^ 0, то и тЖу ^ 0. Полученное про

тиворечие, как видно, является следствием гипотезы плоских сечений, которая как раз и пренебрегает сдвигами ^Жу

Вопрос о распределе

Рис. 8.32Рис. 8.32нии напряжений тЖу по сечениям при поперечном изгибе долгое время оставался не решенным, и для приближенной оценки величины тЖу принимали, следуя Л. Навье, что они равномерно распределены по площади поперечного сечения, т.е. что тХу = = Qy/F. Элементарное решение этого вопроса было найдено видным русским инженером Д. Журавским в 1844 г.

Рис. 8.32

Рис. 8.32

Рассмотрим подробнее напряженное состояние элемента балки, выделенного поперечными сечениями х и х + dx (рис. 8.32). В этих сечениях действуют нормальные напряжения

ML

7 У

и

+ dx^ = М^Му = ^(ж) + ^(8.3.3)

а также касательные напряжения тЖу

Рассечем этот элемент продольной плоскостью, нормальной к оси у и проходящей на расстоянии ух от оси z (см. рис. 8.32), и

Рис. 8.33Рис. 8.33рассмотрим верхнюю отсеченную часть (рис. 8.33). В продольном сечении возникнут касательные напряжения Тух^ равные по свойству парности напряжениям тЖу . Для того чтобы образованная продольным сечением отсеченная часть была в равновесии, необходимо выполнение условия ^) Рх = 0 для

Рис. 8.33

Рис. 8.33

действующих на нее сил. Равнодействующие N(x) и N(x + dx) нормальных усилий о"ж(х) dF и аж(х + dx) dF. действующих на

отсеченной части Вотс сечения F, будут

МЦ = Г о^Е = Г ^ydF = ^ Г ydF=^S™ ротеротероте

(8.3.4)

N^x + dx)= J al:(x + dx) dF = Мг YMzS°zTC.

Здесь S°TC — статический момент отсеченной части сечения относительно главной центральной оси %.

Касательные напряжения тху и тух будем считать равномерно распределенными по ширине b(yi) продольного сечения. Тогда действующая вдоль оси х равнодействующая касательных усилий по площади продольного сечения b(yi) dx будет равна Tyxb(yi) dx. Условие ^Рх = 0 для показанной на рис. 8.33 отсеченной части теперь можно записать в виде

N(x) — N(x + dx) + ryxb(yi) dx = 0.(8.3.5)

Подставив в это уравнение (8.3.4), получаем после упрощений и деления на b(yi) dx

dM, S^c

dx Jzb(yi)'

Но, по статической дифференциальной зависимости, dMz/dx = = Qyi а по свойству парности касательных напряжений тух =

= тху. Поэтому

wh)- Хьы "wh)- Хьы "(8.3.6)(8.3.6)

wh)- Хьы "

wh)- Хьы "

(8.3.6)

(8.3.6)

В этой формуле подчеркнута зависимость S^ b и тжу от коВ этой формуле подчеркнута зависимость S^ b и тжу от координаты продольного сеченияординаты продольного сеченияРис. 8.34Рис. 8.34личину S^ подсчитаем как S^личину S^ подсчитаем как S^yi. Саму формулу (8.3.6) часто называют формулой Д. Журавского. Рассмотрим примеры ее использования.Пример 8.4. Найдем распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению балки, в котором результатом их действия является сила Qy (рис. 8.34). Для этого сечения Jz = ВЯ3/12, Ь(щ) = В. Вес = ротс^отс. Здесь роте _ пл0_yi. Саму формулу (8.3.6) часто называют формулой Д. Журавского. Рассмотрим примеры ее использования.Пример 8.4. Найдем распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению балки, в котором результатом их действия является сила Qy (рис. 8.34). Для этого сечения Jz = ВЯ3/12, Ь(щ) = В. Вес = ротс^отс. Здесь роте _ пл0_щадь отсеченной части сечения;щадь отсеченной части сечения;^°тс = У (у - yi) ; уГ ко-^°тс = У (у - yi) ; уГ ко-

В этой формуле подчеркнута зависимость S^ b и тжу от ко

В этой формуле подчеркнута зависимость S^ b и тжу от ко

ординаты продольного сечения

ординаты продольного сечения

Рис. 8.34

Рис. 8.34

личину S^ подсчитаем как S^

личину S^ подсчитаем как S^

yi. Саму формулу (8.3.6) часто называют формулой Д. Журавского. Рассмотрим примеры ее использования.

Пример 8.4. Найдем распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению балки, в котором результатом их действия является сила Qy (рис. 8.34). Для этого сечения Jz = ВЯ3/12, Ь(щ) = В. Вес = ротс^отс. Здесь роте _ пл0_

yi. Саму формулу (8.3.6) часто называют формулой Д. Журавского. Рассмотрим примеры ее использования.

Пример 8.4. Найдем распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению балки, в котором результатом их действия является сила Qy (рис. 8.34). Для этого сечения Jz = ВЯ3/12, Ь(щ) = В. Вес = ротс^отс. Здесь роте _ пл0_

щадь отсеченной части сечения;

щадь отсеченной части сечения;

^°тс = У (у - yi) ; уГ ко-

^°тс = У (у - yi) ; уГ ко-

ордината центра тяжести F0TC: у^ордината центра тяжести F0TC: у^= j (у + У1)- Поэтому= j (у + У1)- Поэтомудоте доте В2В22-У1 ■2-У1 ■После подстановки всех этих величин в формулу (8.3.6) получаемПосле подстановки всех этих величин в формулу (8.3.6) получаемQVST = 6Q^ЛЬ ВЯ3QVST = 6Q^ЛЬ ВЯ32-У1 ■2-У1 ■(8.3.7)(8.3.7)Таким образом, напряжения тху по высоте сечения распределяются по закону квадратичной параболы. Они обращаются в нуль при у^ = ^^, т.е. у верхней и нижней границ сечения. Этот результат находится в соответствии со свойством парности касательных напряжений, так как напряжения тху у верхней и нижней границ сечения должны быть парны напряжениям тух на верхней и нижней поверхностях балки, где тух = 0, поскольку эти поверхности являются наружными.Из (8.3.7) видно, что максимальная величина тху достигается при щ = 0, т.е. в средних по высоте точках сечения:Таким образом, напряжения тху по высоте сечения распределяются по закону квадратичной параболы. Они обращаются в нуль при у^ = ^^, т.е. у верхней и нижней границ сечения. Этот результат находится в соответствии со свойством парности касательных напряжений, так как напряжения тху у верхней и нижней границ сечения должны быть парны напряжениям тух на верхней и нижней поверхностях балки, где тух = 0, поскольку эти поверхности являются наружными.Из (8.3.7) видно, что максимальная величина тху достигается при щ = 0, т.е. в средних по высоте точках сечения:Ртах —Ртах —_ 3 Qy~ 2 ВН_ 3 Qy~ 2 ВНТаким образом, формула Д. Журавского дает, что величина ттах в 1,5 раза больше средних по сечению напряжений Qy/BH. Эпюра Txy(yi) показана справа на рис. 8.34.Пример 8.5. Рассмотрим теперь распределение тху в балке треугольного сечения. Из рис. 8.35 видно, что^отс = ^ЬШ (^Н-иЛТаким образом, формула Д. Журавского дает, что величина ттах в 1,5 раза больше средних по сечению напряжений Qy/BH. Эпюра Txy(yi) показана справа на рис. 8.34.Пример 8.5. Рассмотрим теперь распределение тху в балке треугольного сечения. Из рис. 8.35 видно, что^отс = ^ЬШ (^Н-иЛИИГ = У1 +1Г = У1 +1Рис. 8.35Рис. 8.35Поэтому, учитывая, что JzПоэтому, учитывая, что Jz= ВН3/36, получаем= ВН3/36, получаемQqotc гл троте отсУтХУ — т.ъ — т.ъQqotc гл троте отсУтХУ — т.ъ — т.ъ_2_22\ 2 /1-я-уа.-1-я + у12\ 2 /1-я-уа.-1-я + у1ВН3ВН3b(yi)b(yi)

ордината центра тяжести F0TC: у^

ордината центра тяжести F0TC: у^

= j (у + У1)- Поэтому

= j (у + У1)- Поэтому

доте

доте

В

2

В

2

2-У1 ■

2-У1 ■

После подстановки всех этих величин в формулу (8.3.6) получаем

После подстановки всех этих величин в формулу (8.3.6) получаем

QVST = 6Q^

ЛЬ ВЯ3

QVST = 6Q^

ЛЬ ВЯ3

2-У1 ■

2-У1 ■

(8.3.7)

(8.3.7)

Таким образом, напряжения тху по высоте сечения распределяются по закону квадратичной параболы. Они обращаются в нуль при у^ = ^^, т.е. у верхней и нижней границ сечения. Этот результат находится в соответствии со свойством парности касательных напряжений, так как напряжения тху у верхней и нижней границ сечения должны быть парны напряжениям тух на верхней и нижней поверхностях балки, где тух = 0, поскольку эти поверхности являются наружными.

Из (8.3.7) видно, что максимальная величина тху достигается при щ = 0, т.е. в средних по высоте точках сечения:

Таким образом, напряжения тху по высоте сечения распределяются по закону квадратичной параболы. Они обращаются в нуль при у^ = ^^, т.е. у верхней и нижней границ сечения. Этот результат находится в соответствии со свойством парности касательных напряжений, так как напряжения тху у верхней и нижней границ сечения должны быть парны напряжениям тух на верхней и нижней поверхностях балки, где тух = 0, поскольку эти поверхности являются наружными.

Из (8.3.7) видно, что максимальная величина тху достигается при щ = 0, т.е. в средних по высоте точках сечения:

Ртах —

Ртах —

_ 3 Qy

~ 2 ВН

_ 3 Qy

~ 2 ВН

Таким образом, формула Д. Журавского дает, что величина ттах в 1,5 раза больше средних по сечению напряжений Qy/BH. Эпюра Txy(yi) показана справа на рис. 8.34.

Пример 8.5. Рассмотрим теперь распределение тху в балке треугольного сечения. Из рис. 8.35 видно, что

^отс = ^ЬШ (^Н-иЛ

Таким образом, формула Д. Журавского дает, что величина ттах в 1,5 раза больше средних по сечению напряжений Qy/BH. Эпюра Txy(yi) показана справа на рис. 8.34.

Пример 8.5. Рассмотрим теперь распределение тху в балке треугольного сечения. Из рис. 8.35 видно, что

^отс = ^ЬШ (^Н-иЛ

И

И

Г = У1 +1

Г = У1 +1

Рис. 8.35

Рис. 8.35

Поэтому, учитывая, что Jz

Поэтому, учитывая, что Jz

= ВН3/36, получаем

= ВН3/36, получаем

Qqotc гл троте отс

Ут

ХУ — т.ъ — т.ъ

Qqotc гл троте отс

Ут

ХУ — т.ъ — т.ъ

_2

_2

2\ 2 /1

-я-уа.-1-я + у1

2\ 2 /1

-я-уа.-1-я + у1

ВН3

ВН3

b(yi)

b(yi)

После упрощений имеем

куку(8.3.8)

ку

ку

Таким образом, и в треугольном сечении тжу изменяются по ква-

21

дратичному закону и равны нулю при yi = -Н и щ = — -Н, т.е.

в верхней и нижних точках сечения.

Квадратичная парабола достигает своего максимального

значения в точке, равноудаленной от точек, где она обращает

1 тт максимальны при у± = -Н1 тт максимальны при у± = -Ни равны ттах =и равны ттах =, что снова в 1,5 раза больше их, что снова в 1,5 раза больше ихся в нуль. Поэтому напряжения тжу

1 тт максимальны при у± = -Н

1 тт максимальны при у± = -Н

и равны ттах =

и равны ттах =

, что снова в 1,5 раза больше их

, что снова в 1,5 раза больше их

среднего по площади значения Qy ^-BBj . Эпюра тжу((у^ показана справа на рис. 8.35.

Более подробный анализ распределения касательных напряжений по треугольному сечению показывает приближенность формулы Д. Журавского. В точках вблизи контура сечения, как мы уже показали в пи. 6.4.3 и 6.6.1, вследствие парности касательные напряжения тж должны быть направлены касательно к контуру. А формула Д. Журавского

о одает только их вертикальную составляющую

гИС. о.иО/Q о \

тжу (рис. 8.36).

Еще большее отличие истинного распределения касательных напряжений от даваемых формулой Д. Журавского (8.3.7) будет у балок сложного сечения.

Так, для сечения, данного на рис. 8.37, кривая 1 соответствует формуле Д. Журавского, кривая 2 показывает распределение тжу по оси симметрии сечения АВ, а кривая 3 — по линии CD. Для сложных сечений формула Д. Журавского дает

удовлетворительную оценку величины ттах. В большинстве слу

чаев это верхняя оценка.

. Первые попытки получить распределение напряжений в балках при изгибе были сделаны еще Г. Галилеем в 1638 г. Гипотеза плоских сечений была сформулирована Я. Бернулли (1694). Он пришел ко второму из соотношений (8.3.1), устанавливающему пропорциональность между кривизной оси балки и изгибающим моментом. Правильное решение вопроса о распределении напряжений было найдено, по-видимому, независимо друг от друга Параном (1713) и Ш. Кулоном (1773). Ш. Кулон первым привлек внимание к существованию касательных напряжений. Строгое решение для балки прямоугольного сечения было дано Б. Сен-Венаном. Инженерная теория касательных напряжений в балках была разработана Д. Журавским в

1844-1850 гг. Дмитрий Иванович Журавский (1821-1891) — крупный русский инженер-путеец. Его первые самостоятельные работы были связаны со строительством и проектированием мостов на железнодорожной линии Петербург-Москва. Поскольку в конструкциях мостов тогда широко применялось дерево (а дерево слабо сопротивляется сколу вдоль волокон), то понятно, почему именно вопрос о касательных напряжениях в балках привлек внимание Д.И. Журавского.

Касательные напряжения при изгибе в балках тонкостенного сечения. Центр изгиба

Особый интерес представляет распределение касательных напряжений по тонкостенному сечению при поперечном изгибе. В таких сечениях в точках вблизи контура касательные напряжения направлены касательно к контуру. Это их свойство было подробно разобрано в п. 6.6.1 при анализе кручения брусьев тонкостенного замкнутого сечения. Так же, как и там, будем предполагать, что и при поперечном изгибе касательные напряжения в тонкостенных сечениях постоянны по

толщине и направлены по касательной к средней линии. Учитывая это, несколько изменим рассуждения, которые проводились в предыдущем разделе.

Рассматривая элемент балки тонкостенного сечения, выделенный сечениями х и х + dx. мы рассечем его продольным сечением не нормально к оси у^ а нормально к средней линии сечения, вдоль которой отсчитывается координата s. Этот элемент показан на рис. 8.38. Соста-

Рис. 8.38Рис. 8.38вим для него условие

Рис. 8.38

Рис. 8.38

Гжб — Г5ЖГжб — Г5ЖФО.Л5(ДФО.Л5(Д(8.4.1)(8.4.1)равновесия ^) Рж = 0. Повторив с учетом сделанного изменения все рассуждения разд. 8.33, приходим к формуле Журавского для тонкостенных сечений:

Гжб — Г5Ж

Гжб — Г5Ж

ФО.

Л5(Д

ФО.

Л5(Д

(8.4.1)

(8.4.1)

В отличие от формулы (8.3.6), здесь отсеченная часть сечения ротс выделяется сечением, нормальным к средней линии,

a d(s) — толщина сечения, измеряемая по нормали к средней

линии.

Обратим внимание на то, что для успеха вывода край отсеченной части а, противоположный продольному сечению (см. рис. 8.38), должен быть свободен от напряжений. Для этого достаточно, чтобы сечение было незамкнутым.

Рассмотрим примеры пользования формулой (8.4.1).

Пример показанном наПример показанном наНайдем касательные напряжения в сечении, рис. 8.39. Сначала решим вопрос о направлении

Пример показанном на

Пример показанном на

Рис. 8.39Рис. 8.39тЖ8 по участкам сечения. Обратимся к участку 1-4- Перерезывающая сила Qy является равнодействующей элементарных касательных усилий, действующих как раз на этом участке. Кроме того, максимальное значение тХ8. как это следует из формулы (8.4.1), будет достигаться в тех точках сечения, которым соответствует максимальное значение статического момента 5ДС отсеченной части сечения. А это будет точка 3, где главная центральная ось z пересекает сечение. Учитывая эти два обстоятельства, приходим к выводу, что на участке 1-4 тХ8 направлены

Рис. 8.39

Рис. 8.39

так же, как Q^, т.е. вниз. Чтобы найти направления тХ8 на горизонтальных участках сечения 0-1 и 3-7, выделим из бруса двумя

Рис. 8.40Рис. 8.40поперечными и тремя продольными сечениями Т-образный элемент, показанный на рис. 8.40. Мы уже знаем направ- (!)(2)

Рис. 8.40

Рис. 8.40

ление тХ8 тогда направление тХ8 определится по свойству парности. Напряже- (3)(4)

ния тХ8 и тХ8 должны иметь одинаковое направление ввиду симметрии и такое, чтобы уравновесить усилия от напряжений т^8 (52 Тж = 0!). Направления т^8 (6)„

же рассуждения дляже рассуждения дляи тХ8 определятся по свойству парности (з)(4) т-г

же рассуждения для

же рассуждения для

по направлениям тХ8 и тХ8 . Повторяя те

-L-образного элемента, выделенного около точки 4- приходим

в итоге к показанным стрелками на рис. 8.41 а направлениям напряжений тХ8. Чтобы найти закон изменения тЖ8 по участку 0-1 рассмотрим отсеченную часть сечения, показанную на рис. 8.41 б. В качестве координаты сечения примем расстояние s вдоль средней линии от начала участка, т.е. от точки 0. Тогда

доте = ^отс отс == ^отс = ^s5b,

JzOJzO

Видно, что 5ДС и тЖ8 здесь линейно зависят от s. Их эпюры показаны на рис. 8.41 а. Форма этих эпюр одинакова, только они различаются масштабными множителями, которые даны

ST Ц2б]ST Ц2б]

ST Ц2б]

ST Ц2б]

Рис. 8.41

в квадратных скобках. Эпюры на участке 2-1 построены точно так же. Отсеченная часть для участка 1-4 показана на рис. 8.41 в. Чтобы подсчитать для нее 5ДС, удобно разбить ее на два прямоугольника — горизонтальный от точки 2 до точки 0 и вертикальный, который на рисунке заштрихован. Координату s удобно отсчитывать от точки 1. Тогда

S°TC = S°"2 + sps = ШЬ + sb (b - l) .

Как видно из этого выражения, на участке 1-4 5ДС меняется по квадратичному закону и своего максимума 2,562^ он достигает, когда сечение совпадает с центральной осью ^ т.е. при s = b. Пропорционально 5ДС меняются напряжения тЖ8. Поэтому они, как и для участков 0-1 и 1-2^ изображаются на рис. 8.41 а одной эпюрой с соответствующими множителями. Удобно строить эпюру S^ и тЖ8 так, чтобы она располагалась справа от средней линии, если смотреть по стрелке, определяющей направление тЖ8.

Рассмотрим теперь балку с сечением, показанным на рис. 8.42. Рассуждая так же, как в только что решенном примере, читатель без труда построит для него эпюры 5ДС и тЖ8. данные на этом рисунке. Сравнивая результаты для сечений рисунков 8.41 и 8.42, можно заметить, что в первом случае вопрос о линии действия перерезывающей силы Qy как равнодействующей элементарных касательных усилий от тЖ8 решается легко с учетом симметрии сечения. Для этого сечения сила действует вдоль его вертикальной стенки 1-4-

Для сечения, данного на рис. 8.42, вопрос о линии действия Qy требует специального решения. Воспользуемся тем, что Qy как равнодействующая элементарных касательных уси-

лий должна относительно любой точки на плоскости сечения давать такой же момент, что и составляющие ее касательные

Рис. 8.42Рис. 8.42

Рис. 8.42

Рис. 8.42

усилия. В качестве такой точки удобно выбрать точку 2. Тогда усилия по вертикальному участку не дадут момента относительно этой точки, а моменты от усилий на горизонтальных участках одинаковы. Чтобы подсчитать момент от касательных усилий по участку 0-1^ разобьем его на элементарные участки длиной ds. Тогда усилие на каждом таком участке будет тЖ86 ds (здесь 6 ds = dF — площадь элементарного участка). Плечо этого усилия относительно точки 2 равно 6, поэтому его момент будет равен brX86ds. Момент от элементарных усилий по всему участку 0-1 подсчитаем, суммируя (интегрируя) элементарные моменты по длине участка:

J ЬтХ86 ds = o-iJ ЬтХ86 ds = o-ibQ^zSds = bQ^Jz ЬJzbQ^zSds = bQ^Jz ЬJzds.ds.o-io-i

J ЬтХ86 ds = o-i

J ЬтХ86 ds = o-i

bQ^zSds = bQ^

Jz ЬJz

bQ^zSds = bQ^

Jz ЬJz

ds.

ds.

o-i

o-i

Q-ув —Q-ув —Вошедший в итоговое выражение интеграл можно подсчитать как площадь эпюры S°TC на участке 0-1. Она равна |to5. Приравнивая моменты касательных усилий к моменту Qye их равнодействующей, получаем

Q-ув —

Q-ув —

Момент инерции этого сечения можно подсчитать как

л = Д"3 + 2 Д’1 = Я + 2 (w + b5b^ ~ 1^-A. Ziу 1 Z/ О

з

Окончательно получаем, что е = -Ь.

Рис. 8.43Рис. 8.43Необходимость в определении линии действия Qy становится очевидной при анализе изгиба сечения консольной балки, показанной на рис. 8.43. Пусть эта балка нагружена силой Р, приложенной вдоль вертикальной стенки сечения. Тогда, рассматривая отсеченную часть, мы замечаем, что в сечении должны появиться не только касательные усилия, равнодействующая которых Qy = Р обеспечивает условие равновесия ^2 Ру = 0. Поскольку линии действия Qy и Р не совпадают, то в сечении появляются внутренние силы, которые образуют крутящий момент М^ = Ре,

Рис. 8.43

Рис. 8.43

уравновешивающий момент Ре пары сил Р и Qy. Это значит, что таким образом нагруженная балка будет не только изгибаться, но и закручиваться. А как это было показано в разд. 6.5 и в примере 6.3, брусья с тонкостенными незамкнутыми сечениями очень плохо работают на кручение. Чтобы избежать кручения при изгибе рассмотренной бал-

ки, нужно совместить линии действия Р и Qy так, как показано штриховой линией на рис. 8.43.

Теперь можно решить задачу об определении положения линии действия перерезывающей силы для сечения об-

Рис 8 44 щего вида, данного на рис. 8.44.

Составим условие равенства момента перерезывающей силы Qy относительно некоторой точки О моменту составляющих ее элементарных касательных усилий. Если h^ — плечо относительно точки О усилия тЖ86 ds, действующего на участке ds, то это условие примет вид

Qve= J h(s)rxs(s)S ds.

L

Здесь интегрирование проводится по всей длине L средней линии сечения.

Подставив в это равенство выражение (8.4.1) для тХ8, после простейших преобразований получим

е = 4 Г h^S^^ds.(8.4.3)

L

При вычислении интеграла в этой формуле нужно помнить, что он порожден интегралом (8.4.2), который по своему смыслу является равнодействующим моментом элементарных касательных усилий. Поэтому в (8.4.3) статическому моменту 5ДС необходимо присваивать направление тХ8. а сам интеграл вычислять как «момент» статического момента, т.е. по тем же правилам, что и интеграл в (8.4.2).

Пусть теперь на эту же балку действуют горизонтальные нагрузки, вызывающие появление в ее сечениях таких касательных усилий TX86ds, равнодействующей которых является перерезывающая сила Qz. Тогда, рассуждая точно так же, можно найти линию действия Qz. Точку пересечения линий действия Qy и Qz называют центром изгиба (рис. 8.44). Силы Qy и Qz являются составляющими полной перерезывающей силы Q. Таким образом, Q является равнодействующей возникающих в сечении касательных усилий, а центр изгиба — это точка ее приложения.

Из примера 8.6 видно, что у симметричного сечения центр изгиба лежит на оси симметрии. Доказательство этого утверждения в общем случае предоставляем читателю.

Если бы при составлении уравнения (8.4.2) мы в качестве точки О выбрали центр изгиба, то мы бы получили, что е = 0, а уравнение (8.4.2) приняло вид

J H(s)txs(s)6 ds = 0.(8.4.4)

L

Механический смысл этого равенства позволяет понимать центр изгиба как точку, относительно которой равен нулю суммарный момент возникающих в сечении элементарных касательных усилий. Такое понимание центра изгиба позволяет сразу сделать вывод, что центр изгиба изображенного на рис. 8.45 уголкового сечения находится в вершине уголка.

Центр изгиба также называют центром жесткости, а геометрическое место центров изгиба сечений балки называют ее осью жесткости.

Рассмотрим примеры определения центра изгиба с помощью формулы (8.4.3).

Пример 8.7. Найдем центр изгиба для сечения, показанного на рис. 8.46. Эпюру S°TC, данную на этом рисунке, можно

легко построить так же, как в примере 8.6. На наклонном участке 0-1 отсеченная часть сечения от точки 0 до точки s имеет статический момент

= FOTCyOTC = s§^_(8 4 5)

Входящий в формулу (8.4.3) интеграл найдем как сумму интегралов по участкам, учитывая направления моментов от касательных усилий. Примем положительными моменты, направленные против часовой стрелки. Тогда, если К — точка, относительно

Рис. 8.46Рис. 8.46которой подсчитывается мокоторой подсчитывается момент, получим

Рис. 8.46

Рис. 8.46

которой подсчитывается мо

которой подсчитывается мо

J hTSTWs =

L

= 2( J V2bS”cds+ J bS^ds- J bST ds\ =

Щ-11—23-2'

= 2(х/2Ь J S^ds + b J S^ds-b J ST d s 0-11-23-2■

Первый из этих интегралов вычислим с учетом выражения (8.4.5):

V2b

ds =ds =0-10-1Г —ds = ^b36.

ds =

ds =

0-1

0-1

J 2V23

о

ютеютеds = bds = bГ ST ds = 1б3<5.J22-3Г ST ds = 1б3<5.J22-3Остальные интегралы легко вычислить как площади эпюры S°TC по рис. 8.46:

юте

юте

ds = b

ds = b

Г ST ds = 1б3<5.

J2

2-3

Г ST ds = 1б3<5.

J2

2-3

Тогда

J h^S^ ds = |а/2 64<5 = 2,36бЧ L

Момент инерции Jz сечения можно подсчитать как удвоенный момент инерции его верхней половины:

= 2(Д-4 + Д"1 + Д"1) = 2 (^ + ШЬ2 + ^^) = 5,6Ь35.

Таким образом, е = ^^ = 0,425.

Рис. 8.47Рис. 8.47Пример 8.8. Найдем центр изгиба разрезанной вдоль тонкостенной трубы, сечение которой показано на рис. 8.47. Подсчитаем S^ как статический момент отсеченной части, соответствующей центральному углу 9:

Рис. 8.47

Рис. 8.47

8Т^ = 8Ткте^= f ydF =

о

= J г sinср5т dip = г25(1 — cos 6). о

Взяв центр круга в качестве тельных усилий, получим2тгВзяв центр круга в качестве тельных усилий, получим2тгточки для подсчета момента каеп

Взяв центр круга в качестве тельных усилий, получим

2тг

Взяв центр круга в качестве тельных усилий, получим

2тг

ут hS^Q ds = J rr25(l — cos 0)rd0 = 2тгг45. L0

Момент инерции Jz тонкостенного кругового сечения будет2тг

Jz = J у2 dF = J г2 sin ip 6r dcp = тгг3 5. F0

Тогда

Расчет на прочность при изгибе

Как следует из проведенного выше анализа, в поперечных сечениях балки при изгибе возникают нормальные и касательные напряжения:

М.М._ _ Q.STЖУ ~77_ _ Q.STЖУ ~77^XS^XSQySTF5QySTF5

М.

М.

_ _ Q.ST

ЖУ ~77

_ _ Q.ST

ЖУ ~77

^XS

^XS

QyST

F5

QyST

F5

Рассматривая распределения аж и тху по сечению, замечаем, что они обладают следующей важной особенностью. Нормальные напряжения достигают своих максимальных значений в тех точках сечения, для которых у = ?/тах (т-е. которые максимально удалены от центральной оси z) и где касательные напряжения, как правило, равны нулю или малы. А касательные напряжения максимальны там, где максимально отношение S^e(Ъ^ а это обычно имеет место для точек сечения, лежащих либо на оси z^ либо вблизи нее, т.е. там, где равны нулю или малы нормальные напряжения. Особенно наглядно это свойство видно для балки прямоугольного сечения (рис. 8.48). Поэтому при расчете на прочность балок можно пренебречь взаимным влиянием нор-

Рис. 8.48

мальных и касательных напряжений и сформулировать условия прочности балки отдельно по нормальным и по касательным напряжениям, т.е. считать балку прочной, если выполняются условия

-Ис < Ир, \тху\ [т]. (8.5.2)

Для металлических балок определяющим, как правило, является первое из этих условий, так как в них обычно тах|тж?/| мал по сравнению с max |ст|ж, а [т] « 0,5 4- 0,6[ст].

Для деревянных балок, у которых материал слабо сопротивляется сколу вдоль волокон, т.е. [т] мало в сравнении с [ст], определяющим может оказаться второе из условий (8.5.2). То же самое и по тем же причинам может случиться и для балок, выполненных из волокнистых композиционных материалов. Особенно, если эти балки тонкостенные.

Ниже мы подробно рассмотрим использование для расчета на прочность первого из условий (8.5.2), т.е. условия прочности по нормальным напряжениям.

Рассмотрим балку из материала, который одинаково работает на растяжение и сжатие, т.е. у которого [ст]р = [ст]с = = [ст]. Тогда условие прочности по нормальным напряжениям можно записать в виде

|сг| [сг].(8.5.3)

Имея в виду линейный характер распределения нормальных напряжений по сечению, это условие можно заменить равноценным:

klmax И-(8.5.4)

Щтах — ^max —Щтах — ^max —Здесь

Щтах — ^max —

Щтах — ^max —

j углах 11

гДе Утах — расстояние от центральной оси % сечения до наиболее удаленных от нее волокон, как это имеет место для балки с сечением, показанным на рис. 8.49. Часто эту формулу записывают в виде

Величину Wz. которая по существу является геометрической характеристикой сечения, называют моментом сопротивления изгибу.

Для балки постоянного сечения максимальные в сечении напряжения сттах достигнут своей наибольшей величины там, где действу

ет максимальный по абсолютной величине изгибающий момент Mz. Поэтому условие (8.5.4) можно заменить следующим:

max(<7max) =< [ст]-(8-5.5)

Иногда это условие удобно записывать в виде

^^жгпотр = ^4т^-(8-5-6)

Здесь ИД потр — минимальный потребный момент сопротивления сечения балки. Как видно из (8.5.6), он определяется величиной |М^|тах/[с7], которая зависит только от нагрузки, и материала балки.

Пример 8.9. Для балки, рассмотренной в примере 8.3, считая ее стальной, подберем из условий прочности следующие сечения: сплошное круглое, прямоугольное с отношением высоты Н к основанию В, равным Н/В = 2, и стандартное двутавровое. При этом примем, что а = 1 м, qo = 0,02 Мн/м, [ст] = 200 МПа.

Как видно из эпюры Mz для балки, данной на рис. 8.23,

|M?|max = 1,17да2- Тогда

^Б потр^Б потр1,17д0а2И1,17д0а2И1,17 • 0,02 • 10® ■ I2200 • 10®1,17 • 0,02 • 10® ■ I2200 • 10®= 1,17- КГ4 м3 = 117 см3.= 1,17- КГ4 м3 = 117 см3.

^Б потр

^Б потр

1,17д0а2

И

1,17д0а2

И

1,17 • 0,02 • 10® ■ I2

200 • 10®

1,17 • 0,02 • 10® ■ I2

200 • 10®

= 1,17- КГ4 м3 = 117 см3.

= 1,17- КГ4 м3 = 117 см3.

Момент сопротивления кругового сечения

^ = ^ = ^/^ = ^« О,Id3,^max 64 / 232

Минимальная величина W^ при которой условие прочности еще будет удовлетворено, равна W% Потр- Минимальный диаметр кругового сечения, обеспечивающий прочность балки, найдем из условия: Wz = 0,lcZ3OTp = И4 потр = 117 см3. Отсюда следует, что с/потр = ^1170 = 10,5 см.

Подсчитаем момент сопротивления прямоугольника с учетом того, что Н = 2В:

W.W.Jz вн3 / н—ВН^—В3

W.

W.

Утах 12 / 263

2 Оо

Из условия прочности = -ВдОтр = ИТ^потр = 117 см найдем минимальную величину В;

Впотр = у | И7 = {/175,5 = 5,6 см и Впотр = 2Впотр = 11,2 см.

Балку с двутавровым сечением подберем по ГОСТ 8239-72 (см. приложение, табл. 3) х). Как видно из таблицы, наименьший момент сопротивления, удовлетворяющий условию прочности W% ^ И^потр = 117 см3, имеет профиль № 18, для которого = 143 см3.

Все три рассмотренных нами сечения даны в одном масштабе на рис. 8.50. Сравним массы балок, имеющих круглое, прямоугольное и двутавровое сечения. Так как эти балки имеют одинаковую длину и выполнены из одного материала, то их массы относятся как площади поперечных сечений. Площадь круглого сечения FK = ^тгс/^отр = ^тг • 10,62 = 88 см2. Площадь прямоугольного сечения Вп = ВпотрВпотр = 5,6 • 11,2 = 62,7 см2. Площадь двутаврового сечения берем из табл. 3 приложения F^ = = 23,4 см2. Видно, что двутавровая балка оказывается в Еп/Ед = = 62,7/23,4 = 2,68 раза легче балки с прямоугольным сечением

*) Наша ось z соответствует оси ж ГОСТа.

и в F^/F^ = 88/23,4 = 3,75 раза легче балки круглого сечения. Такая выгодность двутаврового сечения по сравнению с круговым и прямоугольным становится понятной, если рассмотреть распределение нормальных напряжений аж по этим сечениям.

Рис. 8.50

Эпюры аж показаны рядом с сечениями на рис. 8.50. Как видно, форма двутаврового сечения такова, что основная часть материала, сосредоточенная в полках, работает при напряжениях, близких к максимальным. В то же время у балки прямоугольного сечения значительная часть материала, расположенная вблизи нейтральных волокон (вблизи оси z\ испытывает напряжения существенно меньшие, чем допускает материал, т.е. работает с недогрузкой. Еще хуже в этом смысле распределен материал по круговому сечению.

Подсчитаем касательные напряжения в двутавровой балке. Их эпюра, соответствующая формуле Д. Журавского, также показана на рис. 8.50. Найдем ттах. Максимальная величина перерезывающей силы, как это видно из рис. 8.23, равна Q^max = = 1,67^о^. Из табл. 3 приложения берем необходимые для расчета величины для профиля № 18: момент инерции сечения Jz = = 1290 см4, толщина сечения на оси z d = 0,51 см, статический момент верхней половины сечения 5ДС = 81,4 см3. Тогда по формуле (8.3.6)

1,67до«5Дс1,67 • 0,02 • 106 • 1 • 81,4 • 10~6

Т™ = J 4=12д0.10_6.031.10_2= 41,3 МПа,

Максимальные же нормальные напряжения в этой балке

^max = \MZ |тах/Жг = 163 МПа.

Поэтому ясно, что касательные напряжения для рассмотренной балки не определяют ее прочность.

Еще меньше касательные напряжения будут в балке прямоугольного сечения и тем более в балке круглого сечения. Предоставляем читателю самому убедиться в этом.

Следует отметить одно важное свойство двутавровою сечения. Его форма такова, что большая часть нормальных напряжений, а следовательно, основная часть изгибающего момента Mz воспринимается полками. А большая часть касательных напряжений тху и, следовательно, основная доля перерезывающей силы Qy воспринимаются стенкой.

Рассмотрим теперь расчет на прочность при изгибе балки, материал которой по-разному работает на растяжение и сжатие, т.е. когда [сг]р Д [п]с. В этом случае условия прочности сводятся к следующим:

Ох р ИР, |сгж с| Мс- (8.5.7)

Наиболее простая ситуация здесь возникает при расчете балки, поперечное сечение которой симметрично относительно оси z^ так как в этом случае

тах<тг р = max |сгж с| = 1^4"^. (8.5.8)

Поэтому условия прочности (8.5.7) можно заменить одним условием:

(8.5.9)

Это условие отличается от условия (8.5.5) лишь тем, что в его правой части используется минимальное из допускаемых напряжений для материала балки.

Фактически, как это видно из (8.5.8), требование симметрии сечения относительно оси z не обязательно. Достаточно, чтобы были одинаковы расстояния от оси z до наиболее удаленных от нее растянутых и сжатых волокон.

Более сложный случай возникает при расчете балок с несимметричным относительно оси z сечением. Здесь, чтобы избежать ошибок, необходимо рассматривать условия прочности для тех сечений балки, где достигается максимальная и минимальная величины Mz.

Пример 8.10. Для той же балки, изображенной на рис. 8.23, определим размер Ь поперечного сечения, форма которого дана на рис. 8.51. Материал балки — стеклотекстолит, для которого

[сг]р = 75 МПа, [а]с = 120 МПа.

Примем Qo = 0,02 МН/м. Легко подсчитать, что для рассматриваемого сечения Jz = 18,164, щ = 1,756, у2 = 3,256. Обозначим через I — сечение, где действует M^mm = — 1,17^о^2, а через II — сечение, где Mz = М^тах = О,42^о^2- Эпюры ах в этих сечениях показаны на рис. 8.51, причем сжимающие напряжения направлены влево, а растягивающие — вправо. Тогда условия

прочности балки будут выполнены, если

|Л1 Ис, Я Ир, Л7 И?;(8.5.Ю)

НО

Hl = ^у^|у2| = ЫЛТ . 3,256 = 3,80^6, = l^minl |yi| = М^Л _ х 75Ь = 2>о5^Ь,

СТП = МтЛ |У2| = 0,42доа2 . 3 25Ь = 1379оаД.

Сравнивая величины напряжений, приходим вместо условий (8.5.10) уже к двум условиям:

IЛI = 3,80^6[<т]с, Я = 2,05^6[<т]р.

Рис. 8.51Рис. 8.51

Рис. 8.51

Рис. 8.51

Но так как 3,80/2,05 = 1,85, а Ис/Ир = 1,6, окончательно приходим к выводу, что из этих двух условий определяющим является первое:

23,80^6 =23,80^6 =3,80до«218,1533,80до«218,153

2

3,80^6 =

2

3,80^6 =

3,80до«2

18,153

3,80до«2

18,153

Отсюда

з / 3,80до«2V 18,1[сг]сз / 3,80до«2V 18,1[сг]сз/з,80 - 0,02 - 106 • I2У 18,1 • 120 • 106з/з,80 - 0,02 - 106 • I2У 18,1 • 120 • 106= 0,0327 м = 3,27 см.= 0,0327 м = 3,27 см.

з / 3,80до«2

V 18,1[сг]с

з / 3,80до«2

V 18,1[сг]с

з/з,80 - 0,02 - 106 • I2

У 18,1 • 120 • 106

з/з,80 - 0,02 - 106 • I2

У 18,1 • 120 • 106

= 0,0327 м = 3,27 см.

= 0,0327 м = 3,27 см.

Предоставляем читателю убедиться самому, что, если повернуть сечение балки на 180°, то минимальный его характерный размер b окажется больше только что рассчитанного. Нетрудно понять, что это получается потому, что в рассчитанном положении (см. рис. 8.51) в сечении /, где действует тах|М^|, наиболее удаленные от оси волокна расположены в сжатой зоне. А так как

материал балки лучше работает на сжатие, то при таком расположении сечения максимально используется именно это его свойство.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Приступим к изучению перемещений балок при изгибе. Возможность их определения предоставляет соотношение, связывающее кривизну оси балки 1/р с изгибающим моментом Мг (см. разделы 8.2, 8.3):

1 = ±Ау (8.6.1) р Z

Обозначим вертикальные перемещения оси балки, называемые прогибами, через и. Тогда изогнутая ось или, как ее называют, упругая липия балки, представляет собой кривую р(ж) в плоскости ху, где ж — координатная ось, совпадающая с недефор- мированной осью балки (рис. 8.52). Из курса математического

Рис. 8.52Рис. 8.52анализа известно р(ж):1 _Ранализа известно р(ж):1 _Рвыражение для кривизны 1/р плоской кривойвыражение для кривизны 1/р плоской кривойх"/ _ dv и _ d2v[1 + (V)2]3/2 ’ dx1dx2х"/ _ dv и _ d2v[1 + (V)2]3/2 ’ dx1dx2(8.6.2)(8.6.2)Подставив (8.6.2) ние для р(ж):Подставив (8.6.2) ние для р(ж):в (8.6.1), получим дифференциальное уравне-в (8.6.1), получим дифференциальное уравне-[l + OO2]3/2 EJ/[l + OO2]3/2 EJ/(8.6.3)(8.6.3)

Рис. 8.52

Рис. 8.52

анализа известно р(ж):

1 _

Р

анализа известно р(ж):

1 _

Р

выражение для кривизны 1/р плоской кривой

выражение для кривизны 1/р плоской кривой

х"/ _ dv и _ d2v

[1 + (V)2]3/2 ’ dx1dx2

х"/ _ dv и _ d2v

[1 + (V)2]3/2 ’ dx1dx2

(8.6.2)

(8.6.2)

Подставив (8.6.2) ние для р(ж):

Подставив (8.6.2) ние для р(ж):

в (8.6.1), получим дифференциальное уравне-

в (8.6.1), получим дифференциальное уравне-

[l + OO2]3/2 EJ/

[l + OO2]3/2 EJ/

(8.6.3)

(8.6.3)

Решение этого уравнения определяет форму упругой линии балки. Но так как оно нелинейно, то его аналитическое решение может быть получено только для некоторых частных случаев изгиба балок постоянной жесткости, которые были исследованы еще Я. Бернулли, Л. Эйлером, С. Якоби, Ж. Лагранжем. И даже для этих случаев решение связано с преодолением значительных математических трудностей.

Рассмотрим углы а^ между касательными к оси балки и осью ж. Ясно, что в условиях гипотезы плоских сечений эти углы равны углам поворота сечений балки (см. рис. 8.52). В соответствии с геометрическим смыслом производной tga = v'.

Как мы уже отмечали ранее в гл. 1, для большинства конструкций деформированная форма мало отличается от неде- формированной. Это свойство как раз и положено в основу принципа малости деформаций, используемого при составлении уравнений равновесия отсеченных частей конструкции. Для изогнутой балки это предположение равносильно тому, что углы а^ малы настолько, что (tga)2 = (Д)2 1- В таком случае можно пренебречь величиной (Д)2 п0 сравнению с единицей. Тогда 1/р = и", и уравнение (8.6.3) упрощается и становится линейным:

и" = (8.6.4)

Это уравнение называют дифференуиалъним уравнением упругой линии. Знак в нем зависит от выбора положительного направления оси и. Как видно из рис. 8.53 а, если считать прогиб и положительным, когда он происходит вверх, то при положительном изгибающем моменте Mz балка изгибается так, что и" > 0. В таком случае знаки и11 и Mz в уравнении (8.6.4) будут согласованы, если в нем принять знак «+». Противоположная ситуация показана на рис. 8.53 б.

Рис. 8.53Рис. 8.53

Рис. 8.53

Рис. 8.53

В принятом приближении углы наклона а упругой линии к оси ж настолько малы, что а « tga = и1. Поэтому дифференциальное уравнение второго порядка (8.6.4) можно заменить системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:

(8.6.5)(8.6.5)da _ ± Mzdx

(8.6.5)

(8.6.5)

dxEJZ ’ dx

Эти дифференциальные уравнения очень просты, и их общее решение можно выписать, причем в различных формах:

с использованием неопределенных интегралов

Я^-dxdx-VCx-V D,Е J2:Я^-dxdx-VCx-V D,Е J2:(8.6.6)(8.6.6)

Я^-dxdx-VCx-V D,

Е J2:

Я^-dxdx-VCx-V D,

Е J2:

(8.6.6)

(8.6.6)

здесь С и D — постоянные интегрирования, которые определяются из условий закрепления балки;

с использованием определенных интегралов

оД) =-сЛо) ± J

жо

иД) = и(ж0) + J ad^ =(8.6.7)

Здесь переменные ж, £ и ц — координаты сечения, отсчитываемые вдоль одной и той же оси и от одного и того же начала.

Рассмотрим примеры применения общих решений (8.6.6), (8.6.7).

Пример 8.11. Найдем прогибы двухопорной балки постоянной жесткости EJZ. показанной на рис. 8.54 вместе с реакциями опор Rд и Rb- На ее участках 0 ^ ж ^ 21 и 21 ^ х ^ 3Z из условий равновесия отсеченных частей, данных на рис. 8.54, получаем

(8.6.8)(8.6.9)(8.6.8)(8.6.9)М^х)дЦ31-х) (2Z ж 3Z).М^х)дЦ31-х) (2Z ж 3Z).Mz (ж) = ^qlx - |дж2 (0 ж 2Z),

(8.6.8)

(8.6.9)

(8.6.8)

(8.6.9)

М^х)дЦ31-х) (2Z ж 3Z).

М^х)дЦ31-х) (2Z ж 3Z).

Рассмотрим сначала участок между опорами, т.е. участок О < ж < 21. Формулы (8.6.6), (8.6.7) дают следующие выражения для угла а и прогиба ж (при жо = 0):

-(4^6ж3)+<7’-(4^6ж3)+<7’(8.6.10)(8.6.10)

-(4^6ж3)+<7’

-(4^6ж3)+<7’

(8.6.10)

(8.6.10)

о=«л+д ^е - ^з),о=«л+д ^е - ^з),(8.6.11)(8.6.11)

о=«л+д ^е - ^з),

о=«л+д ^е - ^з),

(8.6.11)

(8.6.11)

У О) = ДО) + 7/а(0) + ^- (^h]3 - Ед) .

X/ Jz \ 424 /

Из сравнения этих форм записи видно, что С = о^О), D = ^(0). Найдем их из условий закрепления балки р(0) = 0, р (2Z) = 0.

^А~ 2 ^^А~ 2 ^шпшшпщ'ШИКм,шпшшпщ'ШИКм,вувуIIмД :мД :qiqi31-х31-хд^д^

^А~ 2 ^

^А~ 2 ^

шпшшпщ

'ШИКм,

шпшшпщ

'ШИКм,

ву

ву

I

I

мД :

мД :

qi

qi

31-х

31-х

д^

д^

Рис. 8.54

Первое из этих условий сразу дает, что D = р(0) = 0. Из второго условия легко получаем

21EJZ 424 ] 3EJ/

Таким образом, при 0 < х < 21:

Отсюда при х = 21 получаем, что a(2l) = q? j^EJ^.

Теперь нетрудно построить выражения для а^ и р(ж) на участке 21 х < 3Z. Так как a(2Z) = q? jEJZl a p(2Z) = 0, то форма общего решения (8.6.7) и выражение для Mz (8.6.9) сразу приводят нас к искомому результату:

О = a(2Z) + j ^-(31 - Ж) dx =f-3/2 + З/е - k2) ,

2Z

(8.6.12)

v(?7) = v(2Z) + a(2Z)(?7 - 2Z) +

+ 7 f ^ - ^^^=< (l'3 -з'2’'+^'2 - (’'3) ■

21 21

Общее решение (8.6.6) дает с учетом (8.6.9) следующие выражения для этого участка:

<Щ) = (з/ж - Б2) + С,

^^ = А- (|^2 - Д3) + Сж + D.

al3

Определяя в этих выражениях С и D из условий а(21) =

p(2Z) = 0, без труда приходим к выражениям (8.6.12), если в них заменить ц и £ на идентичную координату ж.

Пример 8.12. Найдем прогиб двухопорной балки, нагруженной сосредоточенной силой (рис. 8.55). Для этой балки

Mz = у ж (0 < ж < 2а); Mz = |р(3а — ж) (2а < ж < За).Mz = у ж (0 < ж < 2а); Mz = |р(3а — ж) (2а < ж < За).

Mz = у ж (0 < ж < 2а); Mz = |р(3а — ж) (2а < ж < За).

Mz = у ж (0 < ж < 2а); Mz = |р(3а — ж) (2а < ж < За).

Воспользуемся формой (8.6.6) общего решения дифференциального уравнения упругой линии. Тогда

(8.6.13)

= ^7 (2“ Д) + С'2'= ^7 (2“ Д) + С'2'(О < ж < 2а);

= ^7 (2“ Д) + С'2'

= ^7 (2“ Д) + С'2'

(8.6.14)

D2 (2а < ж < За).

Для определения четырех постоянных интегрирования Gi, Pi,С2? Р2 используем, кроме условий закрепления концов балки

р(0) = 0, р(3а) = 0, также условия непрерывности а и и на границе участков, т.е. при х = 2а;

а~(2а) = а+(2а), гГ(2а) = и+(2а).

Здесь индексом « —» обозначены значения а и v при х = 2а по выражениям (8.6.13), а индексом «+» — значения а и р по выражениям (8.6.14). Такие условия часто называют условиями сопряжения решений по участкам. Таким образом, получаем систему уравнений

^(0) = 0 Pi = 0,

= а+(2а)= С2 + ^ И " ^] ’

Щ2а) = Л (2а) CY • 2а + Л1М =

И/ J z о

= С-2 • 2а + D2 + -Г- [а(2а)2 - М]

J z LУ J

Ща) = 0С-2 ■ За + D2 + ^- [а(3а)2 - ^] = 0.

th J z LУ J

Решая эту систему уравнений, получаем

4 Ра222 Ра24 Ра3

1 9EJZ 29 EJZ' 23 ЕЗг

Поэтому

(л2 - л2) (° ^ ж <2й)’

= ) Р /1 222 2\ zX

—— ( — -х2 + 2ах — — а2 )(2а ^ х ^ За);

. EJz \ 39/

р ЕЁР ЕЁр ЕЁР ЕЁ(^ж3 - ^а2ж)(0 < ж 2а),

р ЕЁ

Р ЕЁ

р ЕЁ

Р ЕЁ

/ж3222 2 I 4 з\А

I — — + ах — —а х + -a j (2а < х < ба).

Как видно из решения последнего примера, наличие двух участков изменения Mz по длине балки и вызванная этим необходимость сопрягать решения по участкам при х = 2а существенно осложнили решение. А. Клебш в 1862 г. для балок постоянной жесткости обнаружил такую форму представления общего решения дифференциального уравнения упругой линии, которая обеспечивает выполнение условий сопряжения решений по границам участков.

Рассмотрим балку постоянной жесткости, изображенную на рис. 8.56. Эта балка нагружена сосредоточенным моментом М,

сосредоточенной силой Р и погонной нагрузкой постоянной интенсивности q. Запишем выражения для изгибающего момента Mz по участкам балки:

О (0^ж<жм),

(8.6.15)(8.6.15)М {хм < х ^ хр),

(8.6.15)

(8.6.15)

М + Р{х — Хр) {хр < Ж Xq\

М + Р(х — хр) + q——^^- (ж9 < ж).

Для определения а(х) проинтегрируем первое из уравнений (8.6.5), которое с учетом постоянства жесткости можно предста-

Рис. 8.56Рис. 8.56XX

Рис. 8.56

Рис. 8.56

X

X

вить как EJza’ = Mz. Запишем его решение в форме неопределенного интеграла (8.6.6), для чего проинтегрируем выражения (8.6.15):

EJza(x) =

С1 (0 X хм),

С2 + М(х-хм) {хМ<Х^Хр),

= < Сз + М(х - Хм) + Р^ж(xp<x^xq)1

C4-MU-'rHHP^f^Pp^- {xq<x).

(8.6.16)

Интегрирование было проведено без раскрытия скобок. Интеграл от М записан в виде М(х — $м\ чтобы сохранить форму решения, полученную для Р и q. Постоянные СД Cs, Сз, С4 нужно выбирать так, чтобы угол наклона упругой линии а(х) не имел разрывов на границах участков балки, т.е. в сечениях 7, 2, 3. Поэтому в этих сечениях должны выполняться условия

оГ(хм) = а+{хм), а~{хР) = а+{хР),

+( А(8'6Л7)

a {xq) = a^{xq).

Здесь мы использовали принятые раньше, например в гл. 2, обозначения

сГ(хм) = Цхм — dx),a+(xM) = «^м + dx^ ...

Чтобы удовлетворить этим условиям сопряжения, для выражений (8.6.16) должны выполняться соотношения:

Су = С2, С^ + М(хр — хм) = Сз + М(хр — хм)^

(8.6.18)

Сз + M(xq - хм) + Р^"^ =

= С-4 + M(xq - хм) + р^"^.

Отсюда сразу следует, что Ci = С2 = С3 = Сф Если обозначить через «о = «(0) — угол наклона упругой линии в начале координат (точка 0), то из (8.6.16) очевидно, что

Су = EJza0.(8.6.19)

Прогиб балки х найдем из уравнений (8.6.5), для чего используем форму его решения (8.6.6) и полученные выражения (8.6.16) и (8.6.19). Тогда

Dy + EJzaox (0 ^ ж < хм),

X (х) = <

D2 + EJzaox + М^—^еХ рм<х^хрУ

D3 + EJza0x + M^^P + P^^ (xp^x^xq

D\ + EJzaox + M^ElEML + p^Z^T + q^ ^®X

<(Xq X

(8.6.20) Постоянные D^ должны быть выбраны так, чтобы определяющие прогиб балки выражения (8.6.20) не имели разрывов на границах участков, т.е. чтобы были удовлетворены условия

V (хм) = Щжм), V (хр) = Л(жр), V (xq) = V+(xq).

Подставив в эти условия выражения (8.6.20), мы получим для Di уравнения, сходные с выражениями (8.6.18) для Ср Из них очевидно, что Dy = D^ = D3 = D4. Обозначив через xq = f(0) прогиб в начале координат, из первого выражения (8.6.20) получаем, что

Dy = EJzxyy.(8.6.21)

Выражения для а^х) (8.6.16) и х^х) (8.6.20) можно записать в компактной форме, если использовать так называемую функ-

цию Хэвисайда

Д(8.6.22)

[1 (ж > Xi),

график которой показан на рис. 8.57. С помощью этой функции выражения (8.6.16) и (8.6.20) приводятся к форме:

EJza(x) = EJzqq + М^х — хм)Н(хм) +

+ Р^+ q^ "^H^Xq),

, _(8.6.23)

EJzv(x) = EJzv0 + EJzaox + MU p1’ H^xm) +

Последнее из этих выражений называют универсальным уравнением упругой линии. При его выводе мы считали, что погонная нагрузка q действует на участке

балки от xq до правого ее конца.Н^)

Если такая нагрузка действует на

участке от xq до xfql то ее можно -

рассматривать как результат нало-z‘

жения двух нагрузок, показанныхрис $ ^

на рис. 8.58. В этом случае универ-' '

сальное уравнение упругой линии (8.6.23) запишется в форме

EJ^x) = EJzv0 + EJzaox + М^^^Н^хм) +

I D ^p) тт (\ I (^ТТ (\Q^ ТТ ( I \

+ р-- q^-^^H(xq).

(8.6.24)

q

Рис. 8.58

И, наконец, если на балку действуют в сечениях хм% несколько сосредоточенных моментов Мр в сечениях xpj — несколько сосредоточенных сил Pj и несколько погонных нагрузок % на участках между xq^ и x'qk1 то, используя принцип суперпозиции

8 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

нагрузок, можно записать универсальное уравнение упругой линии в форме

EJM^ = EJzv0 + EJzaox + ^ М(Ж ^^ H(xMl^ + г

+ ^Pj{-^^H(xPj) +

ккР ^H(xqk) - qP ^H^)Р ^H(xqk) - qP ^H^)(8.6.25)(8.6.25)

к

к

Р ^H(xqk) - qP ^H^)

Р ^H(xqk) - qP ^H^)

(8.6.25)

(8.6.25)

В этом уравнении положительными считаются такие М^ Р^ %, которые направлены так, как показано на рис. 8.56.

Рассмотрим примеры использования этого уравнения.

Пример 8.13. Найдем прогибы балки, рассмотренной в примере 8.12 (см. рис. 8.55). На эту балку действуют две сосредоточенные силы: ^Р при х = 0 и — Р при ж = 2а. Тогда уравнение (8.6.25) для этой балки примет форму

EJ^ = EJzv0 + EJzaox + ^^-Дя(0) -

_ р1ж H^2ay (8.6.26)

Так как у(0) = 0, то^о = 0. Величину а^ найдем из условия, что v (За) = 0. Тогда

и(3а) = EJza0 ■ За + f ^ - p'^—Ml = о. 3 66

Отсюда «оОтсюда «о4 Ра29 EJZ4 Ра29 EJZТогда из (8.6.26) получаемТогда из (8.6.26) получаем

Отсюда «о

Отсюда «о

4 Ра2

9 EJZ

4 Ра2

9 EJZ

Тогда из (8.6.26) получаем

Тогда из (8.6.26) получаем

р (~Уж + Ъ) (°^ж<2Д

EJzv(x) = <EJzv(x) = <-^Ра^х + ^ - Р^-^ =

EJzv(x) = <

EJzv(x) = <

D / 4 з 22 2,2ж3\ /о /\

= Р I -а — — а х + ах — — 1(2а < х < За).

А этот результат конечно совпадает с решением примера 8.12. Но, как видно, он получен проще и без громоздких вычислений.

Пример 8.14. Для консольной балки, данной на рис. 8.59, запишем универсальное уравнение упругой линии и найдем прогиб конца балки и угол поворота ее среднего сечения. В заделке возникают реактивная сила 2qa и реактивный момент |щх2, по-

казанные штриховой линией. Их необходимо учитывать при написании уравнения упругой линии. Кроме того, в заделке прогиб и угол поворота равны нулю. Поэтому, если начало координаты ж выбрать в заделке, то «о = 0 и гд = 0. Тогда согласно (8.6.25):

Рис. 8.59

EJzv^ = -^^ЛГя(О) + 29аА_Ая(0) -

-+ дЕ^Я(а) - <?аИя(а),

EJ^x) = -^(х - 0)Я(0) + 29а^А^Я(0) -

- 9^^Я(0) + q^-H^ - qa^^H^.

Из этих выражений получаем , х де4 / 5 42 01611 \25 да4 9 .9 да4

!а> = ;ЛчЧ^8-й+24-5.) = -Твл="3'13В7?

а(а) = »А А5 2.1 _ Д = Л зА =67зА.

’ EjA 2267 3EJZ 1 EJZ

Пример 8.15. Запишем выражение для прогиба балки, показанной на рис. 8.60. С учетом реакций опор, которые показаны

Рис. 8.60

8*

штриховой линией, выражение для прогиба примет вид

EJM^ = EJzv0 + EJzaox + ^1^2Гя(0) -

(ж 0) LT fILT / \2ТТ ( \ I

- V 24 Я(°) + ^ 24 Н^ ~ Qa 2 HW +

+ ^1а6 } Н<а\

Так как прогиб левого конца балки р(0) = 0, то гд = 0. Величину угла поворота левого конца а^ найдем из условия, что р(а) = 0. Тогда

EJ^a?) = EJzaoa + у у ~ Q^ = °-

Отсюда «о = -у ту

24 О/ J

Потенциальная энергия изгиба балки

Найдем потенциальную энергию изгиба балки. При поперечном изгибе в балке возникают нормальные ах и каса-

Рис. 8.61Рис. 8.61тельные тжу или тЖ8 напряжения. Выделим из балки поперечными и продольными сечениями элемент (продольное волокно) (рис. 8.61), объем которого dV = = dx • dF, и подсчитаем накопившуюся в нем потенциальную энергию деформации с/П. При линейно-упругой деформации сила аж dF совершит упругую работу на пути еж dx, который она пройдет за счет удли

Рис. 8.61

Рис. 8.61

нения элемента вдоль оси х, а сила rxydF совершит упругую работу на пути ^Xydx, который образуется из-за сдвига ^ху в плоскости ху. Эта работа и накопится в волокне в виде потен

циальной энергии деформации. Поэтому

(8.7.1)(8.7.1)^П = ^аж dF ех dx + ^тжу dF ^жу dx.

(8.7.1)

(8.7.1)

Заметим, что множитель - здесь появился вследствие линейной упругости деформаций (см. и. 4.7.1). Кроме того, при получении (8.7.1) учтено, что сила rxydF не совершает работу на удлинении ех dx, а сила ах dF — на перемещении от сдвига ^Xydx. Потенциальную энергию всего бруса получим, проинте-

грировав выражение (8.7.1) по всему объему V бруса:

П= Jdn= J J |(сгжЕж + TxyZxy) dF dx. (8.7.2) Vl F

Если в этом выражении использовать закон Гука ах = ЕеХ1 тЖу = G^Xy и формулы, определяющие напряжения в сечении,

QQOTCJzbQQOTCJzbния для П:ния для П:"ЧПI F"ЧПI FdF dx =dF dx =, то легко получить следующие выраже

QQOTC

Jzb

QQOTC

Jzb

ния для П:

ния для П:

"ЧП

I F

"ЧП

I F

dF dx =

dF dx =

Так как J у2 dF = Jz и dF = bdy, приходим к выражению F

П =П =ЖЖ1212J ky^dx, IJ ky^dx, I(8.7.3)(8.7.3)

П =

П =

Ж

Ж

1

2

1

2

J ky^dx, I

J ky^dx, I

(8.7.3)

(8.7.3)

где ку — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения балки:

ку —ку —юте \ 2юте \ 2(8.7.4)(8.7.4)

ку —

ку —

юте \ 2

юте \ 2

(8.7.4)

(8.7.4)

н

Интегрирование в (8.7.4) проводится по высоте сечения. Напри

легко можно подлегко можно подмер, для прямоугольного сечения, используя полученное в при

легко можно под

легко можно под

мере 8.4 выражение S^TC(?/) = —

считать, что ку = 6/5.

Если сечение балки тонкостенное, то в нем возникают рав

номерно распределенные по толщине касательные напряжения тХ8 = QyS^^JA a dF = 5 ds.

ь _ гь _ гООВ этом случае

ь _ г

ь _ г

О

О

(8.7.5)

Здесь интегрирование проводится по всей длине L средней линии тонкостенного сечения. Например, для сечения, показанного на рис. 8.39 (пример 8.6), формула (8.7.5) дает ку = 3,38.

8.7.2. Оценим вклад слагаемых в потенциальную энергию деформаций (8.7.3) на примере консольной балки длиной I и8.7.2. Оценим вклад слагаемых в потенциальную энергию деформаций (8.7.3) на примере консольной балки длиной I и1212прямоугольного сечения В х Н, нагруженной силой на конце (рис. 8.62). Если начало координаты х выбрать на левом конце балки, то для нее Qy = Р и Mz = Рх. Кроме того, F = = ВЩ Jz = ВЯ3/12. Материал балки — сталь, для которой коэффициент Пуассона р = 0,3. Тогда G = В/[2(1 + ц)] = Е/2,6. Учитывая это, получимIГ_ 2F2/3J EJZ Х ~ ЕВН3 ’прямоугольного сечения В х Н, нагруженной силой на конце (рис. 8.62). Если начало координаты х выбрать на левом конце балки, то для нее Qy = Р и Mz = Рх. Кроме того, F = = ВЩ Jz = ВЯ3/12. Материал балки — сталь, для которой коэффициент Пуассона р = 0,3. Тогда G = В/[2(1 + ц)] = Е/2,6. Учитывая это, получимIГ_ 2F2/3J EJZ Х ~ ЕВН3 ’Ь Qu _ 1Ь Qu _ 1Р2 dx GFР2 dx GF1212Л -2 6^-5 ^ЕВНЛ -2 6^-5 ^ЕВН1,561,56Р21ЕВН*Р21ЕВН*Тогда потенциальную представить в видеТогда потенциальную представить в видеэнергию деформации (8.7.3) можноэнергию деформации (8.7.3) можноМ:—^- ах EJZМ:—^- ах EJZ2РЧ3ЕВН2РЧ3ЕВН1 + о.78(£)21 + о.78(£)2

8.7.2. Оценим вклад слагаемых в потенциальную энергию деформаций (8.7.3) на примере консольной балки длиной I и

8.7.2. Оценим вклад слагаемых в потенциальную энергию деформаций (8.7.3) на примере консольной балки длиной I и

1

2

1

2

прямоугольного сечения В х Н, нагруженной силой на конце (рис. 8.62). Если начало координаты х выбрать на левом конце балки, то для нее Qy = Р и Mz = Рх. Кроме того, F = = ВЩ Jz = ВЯ3/12. Материал балки — сталь, для которой коэффициент Пуассона р = 0,3. Тогда G = В/[2(1 + ц)] = Е/2,6. Учитывая это, получим

I

Г_ 2F2/3

J EJZ Х ~ ЕВН3 ’

прямоугольного сечения В х Н, нагруженной силой на конце (рис. 8.62). Если начало координаты х выбрать на левом конце балки, то для нее Qy = Р и Mz = Рх. Кроме того, F = = ВЩ Jz = ВЯ3/12. Материал балки — сталь, для которой коэффициент Пуассона р = 0,3. Тогда G = В/[2(1 + ц)] = Е/2,6. Учитывая это, получим

I

Г_ 2F2/3

J EJZ Х ~ ЕВН3 ’

Ь Qu _ 1

Ь Qu _ 1

Р2 dx GF

Р2 dx GF

1

2

1

2

Л -2 6^-5 ^ЕВН

Л -2 6^-5 ^ЕВН

1,56

1,56

Р21ЕВН*

Р21ЕВН*

Тогда потенциальную представить в виде

Тогда потенциальную представить в виде

энергию деформации (8.7.3) можно

энергию деформации (8.7.3) можно

М:

—^- ах EJZ

М:

—^- ах EJZ

2РЧ3

ЕВН

2РЧ3

ЕВН

1 + о.78(£)2

1 + о.78(£)2

Отсюда видно, что для длинной балки (1/Н > 8) второе слагаемое, определяющее долю потенциальной энергии деформации балки от перерезывающих сил Q^, составляет менее 0,78/64 « « 0,0122 = 1,22% от первого слагаемого — потенциальной энергии деформации от изгибающих моментов Mz. Поэтому для длинных балок второе слагаемое в формуле (8.7.3) можно не учитывать и принимать, что при изгибе балки

1122(8.7.6)(8.7.6)

1

1

2

2

(8.7.6)

(8.7.6)

Проведенные здесь расчеты могут быть использованы и для оценки точности гипотезы плоских сечений, которая как раз и построена на пренебрежении сдвиговыми деформациями.

Потенциальную энергию от изгибающих моментов

М^, т.е. первое слагаемое в формуле (8.7.3), можно получить так

Рис. 8.63Рис. 8.63же, как получена потенциальная энергия бруса при центральном растяжении-сжатии в и. 4.7.1. Для этого рассмотрим элемент балки длиной dx. При его деформации под действием изгибающих моментов Mz ось бруса получит кривизну 1/р = MZ/EJZ (см. формулу (8.3.1)), и поэтому правое сечение повернется относительно левого на угол da = dx/р (рис. 8.63). Если условно считать левое сечение неподвижным (т.е. вести рассуждения в системе координат, связанной с левым сечением), то при деформации элемента момент Mz

Рис. 8.63

Рис. 8.63

и накопится в элеи накопится в элесовершит упругую работу ^Mz da^ которая

и накопится в эле

и накопится в эле

менте в виде потенциальной энергии деформации:

= ^Mz da = \mz — = \ELdx.

2 г 2 z р 2 EJZ

Тогда потенциальную энергию всей балки получаем, суммируя (интегрируя) ее по всем элементам, т.е.:

п= = 1 f^dx.

J 2 J EJZII

Получить второе слагаемое выражения (8.7.3) с помощью аналогичных рассуждений невозможно, так как гипотеза плоских сечений пренебрегает сдвиговыми деформациями.

Интеграл Мора для определения перемещений при изгибе

Применим к изгибу балки метод единичной нагрузки Мора, который был подробно разобран в п. 4.7.2 для ферм. Определим прогиб балки хв(Р) в точке В от действия поперечной нагрузки, например, сосредоточенной силы Р, приложенной в точке С (рис. 8.64). Заметим, что при линейно-упругой деформации сила Р совершила на перемещении своей точки приложения иДР) упругую работу Л(Р) = ^Р-искр¥

Эта работа накопилась в балке в виде потенциальной энергии деформации П(Р) = А^Р\ Если через MZ(P) обозначить изги-

бающие моменты, возникающие в балке в результате действия

силы Р, то согласно (8.7.3) П(Р) = f М*dx. Поэтому

2 J J

(8.8.1)(8.8.1)А(Р) = ^РУс(Р) = ^ J ^^dx.

(8.8.1)

(8.8.1)

Рис. 8.64Рис. 8.64vB(P) vc^vB(P) vc^Рассмотрим теперь, как в и. 4.7.2, двухэтапное нагружение балки. На первом этапе нагрузим балку единичной силой в точке В (рис. 8.65 а). При этом точка В получит прогиб хв(^У на котором единичная сила совер

Рис. 8.64

Рис. 8.64

vB(P) vc^

vB(P) vc^

шит работу А(1) = | • 1г>в(1). Эта работа накопится в балке в виде потенциальной энергии деформации П(1), т.е. П(1) = А(1).

Так как в балке в результате действия единичной силы возникли изгибающие моменты М^(1), то

П(1) = 1 Г ^^-dx.v ’2 J EJZ

Таким образом,

Щ) = ^в(1) . 1 =Щ) = ^в(1) . 1 =1212Г м^J EJZIГ м^J EJZIdx.dx.(8.8.2)(8.8.2)

Щ) = ^в(1) . 1 =

Щ) = ^в(1) . 1 =

1

2

1

2

Г м^

J EJZ

I

Г м^

J EJZ

I

dx.

dx.

(8.8.2)

(8.8.2)

Рис. 8.65Рис. 8.65

Рис. 8.65

Рис. 8.65

На втором этапе нагрузим балку в точке С нагрузкой Р, не снимая с нее единичной силы (рис. 8.65 б). На этом этапе сила Р совершит упругую работу ^Рхс(РУ si единичная сила, оставаясь постоянной при изгибе балки на втором этапе, совершит работу 1 -хв(Р) на искомом перемещении хвЦ3)- Всего после двух этапов нагружения единичная сила и сила Р совершат работу

А(1 + Р) = | • 1 ■ Щ1) + ^Pvc(P) + 1 ■ MPY (8-8.3)

В итоге двух этапов нагружения в балке появятся изгибающие моменты МД1 + Р), которые по принципу суперпозиции равны

и накопится потенциальная энергия изгиба

<8-8-4>

Так как при упругой деформации энергия не рассеивается, то П(1 + Р) = А(1 + Р). Сравнивая выражения (8.8.3) и (8.8.4) и учитывая (8.8.1) и (8.8.2), получаем

l-yB(P)= Jdx(8.8.5)

Разделим это равенство на единичную силу и введем МД1) = МД1)/1 как «изгибающий момент» от безразмерного единичного «усилия», т.е. как функцию, которая для приложенного к балке безразмерного единичного вектора строится по тем же правилам, что и МД1) для единичного усилия. Тогда

ив(Р) = Г м*ЮуЛ) Дх.(8.8.6)

I

Эта формула для определения прогибов балки называется интегралом Мора.

Заметим, что при действии на балку более сложной нагрузки все рассуждения можно повторить. И если под MZ(P) понимать изгибающий момент в балке от этой нагрузки, то равенство (8.8.1) не изменится, а в формуле (8.8.3) второе слагаемое заменится на А(Р). В итоге мы снова придем к выражению (8.8.6).

Из приведенных рассуждений ясно, что работа 1 • ив(Р) (8.8.5) будет положительна, если прогиб произошел по направлению единичной нагрузки. Поэтому положительное значение интеграла Мора (8.8.6) означает, что направления прогиба и единичной силы совпадают. Если же вычисления привели к отрицательному значению интеграла Мора, то это значит, что балка получила в рассматриваемой точке прогиб, противоположный направлению единичной силы.

Найдем угол поворота ав(Р) сечения В. Для этого вернемся к только что проведенным рассуждениям и заметим,

что цель двухэтапного нагружения в том, чтобы на втором этапе единичная сила совершила работу на искомом прогибе рв(Р).

IIЧтобы создать аналогичную ситуацию для угла поворота ав(РУ нужно на первом этапе нагрузить ее в точке В единичным моментом (рис. 8.66). Тогда, повторяя все рассуждения, проведенные в п. 8.8.1 при определении прогиба, приходим к выражению

I

I

б(8.8.7)

Только здесь, в отличие от Рис. 8.66(8.8.6), М^(1) — это «изгибаю

щий момент» от безразмерного единичного «момента», приложенного к балке в точке, где нужно найти а.

Сравнивая выражения (8.8.6) и (8.8.7), замечаем, что если через 5 обозначить обобщенное перемещение, а под М^(1) понимать «изгибающий момент» от соответствующего 5 безразмерного единичного обобщенного «усилия», то интеграл Мора для определения 5 примет вид

5 = J (8.8.8) I z

Здесь понятия обобщенного перемещения и обобщенного усилия (обобщенной силы) используются точно в таком же смысле, как и в теоретической механике.

Если в качестве обобщенного перемещения принят прогиб балки, то соответствующее ему обобщенное единичное усилие — это единичная сила. Углу поворота сечения соответствует единичный момент.

Связь между обобщенным перемещением и обобщенным усилием определяется самим выводом интеграла Мора. Единичное обобщенное усилие должно быть таким, чтобы на втором этапе нагружения оно на обобщенном перемещении 5 совершало работу 1 • 5.

Приведем примеры более сложных обобщенных перемещений и усилий. Так, если требуется найти относительный угол поворота ад-в сечений Ли В балки, изображенной на рис. 8.67 а, то в качестве обобщенного единичного усилия нужно принять

два единичных момента, показанных на рис. 8.67 б. В этом легко убедиться, если учесть, что

ola-b = алА-ав =ola-b = алА-ав =dx.dx.Mz<pwt s(i) EJ,Mz<pwt s(i) EJ,

ola-b = алА-ав =

ola-b = алА-ав =

dx.

dx.

Mz<pwt s(i) EJ,

Mz<pwt s(i) EJ,

аа

а

а

Рис. 8.67

jВ

Здесь через Мz (1) и Мz (1) обозначены изгибающие моменты

от единичных моментов, соответствующих углам а а и а в и по

казанных на рис. 8.67 в, г.

Рассмотрим более сложный пример. Пусть необходимо найти площадь, заключенную между недеформированной и деформированной осями балки, заштрихованную на рис. 8.68 а. Предоставляем читателю самому убедиться, что если эту площадь рассматривать в качестве обобщенного

перемещения, то ему соответству-рис $ $$

ет единичное обобщенное усилие в' '

виде распределенной по балке равномерной погонной нагрузки единичной интенсивности (рис. 8.68 б).

Вернемся к выражению (8.8.5). Заметим, что в нем

АЩ dx = - dx = da,(8.8.9)

EJZp

где da — угол, который образовался между торцевыми сечениями элемента dx в результате деформации балки от изгибающего момента MZ(P) (см. рис. 8.63). Поэтому баланс энергий (8.8.5) можно записать в форме

J -Mz(l)dx.IJ -Mz(l)dx.Il-yB(F) = fdaMz(l) = f^Mz(l)dx =

J -Mz(l)dx.

I

J -Mz(l)dx.

I

II

(8.8.10)

Это соотношение означает очевидный факт, что на втором этапе нагружения балки, когда ее сечения под действием внешних нагрузок (или каких-то других воздействий) поворачиваются на углы a^xY возникающие в результате действия единичного усилия изгибающие моменты МД1) совершают в результате деформации элементов балки работу J daM^Y Эта работа

I

необходимо должна быть равна работе единичной силы на перемещении хв ее точки приложения.

Аналогичные по сути рассуждения мы уже проводили в и. 4.7.3 при пояснении физического содержания баланса энергий (4.7.24).

Записывая баланс энергий вида (8.8.10) для обобщенного перемещения 6 и соответствующей ему обобщенной единичной силы, получаем после деления на единичную силу следующее выражение:

J-Mz(l)dx. (8.8.11)IJ-Mz(l)dx. (8.8.11)I5 = J Mz(X)da= J ^Mz^dx =

J-Mz(l)dx. (8.8.11)

I

J-Mz(l)dx. (8.8.11)

I

Здесь МД1) имеет тот же смысл, что и в (8.8.8). Проведенные выше рассуждения показывают, что формула (8.8.11) не изменится, если причиной деформации балки, т.е. причиной поворота на углы а^ ее сечений, будет не внешняя нагрузка, а, например, ее нагрев. Более того, баланс энергий (8.8.10) будет сохраняться и при таких деформациях балки, которые не подчиняются закону Гука (8.8.9), т.е. при нелинейно-упругих и при пластических деформациях. Поэтому формула (8.8.11) является более общей в сравнении с (8.8.8).

Дадим примеры вычисления интеграла Мора.

Пример 8.16. Для балки постоянного сечения, показанной на рис. 8.69 а, найдем прогиб в точке В и угол поворота сечения А.

Необходимые для этого аналитические выражения для изгибающего момента MZ(P) по участкам балки найдем из условий

равновесия отсеченных частей, показанных на рис. 8.69 б*.

—qa2 + ^qaxi (0 < xi < а),

М^ = <М^ = <(8.8.12)(8.8.12)—qa2 + ^Qa(a + ж2) - №y =

М^ = <

М^ = <

(8.8.12)

(8.8.12)

=+ -qax2 ~ -qx2 (0 < x2 < 2a).

ггРис. 8.69Рис. 8.69

г

г

Рис. 8.69

Рис. 8.69

Здесь мы для каждого участка взяли удобные для вычислений координаты жх и х2. Для определения прогиба в точке В прило-

жим в этой точке единичную силу (рис. 8.69 в) и для таких же отсеченных частей найдем МД1):

MZW = <MZW = <|®1(0 ^ ®1 ^ а),

MZW = <

MZW = <

|(а + ж2) — 1 ■ ж2 (0 < ж2 2а).

Теперь вычислим интеграл Мора, учитывая, что на участке CD МД1) = 0:Теперь вычислим интеграл Мора, учитывая, что на участке CD МД1) = 0:2а / да2 f V 62а / да2 f V 6

Теперь вычислим интеграл Мора, учитывая, что на участке CD МД1) = 0:

Теперь вычислим интеграл Мора, учитывая, что на участке CD МД1) = 0:

2а / да2 f V 6

2а / да2 f V 6

Отрицательный знак прогиба г) в означает, что точка В сместилась против направления единичного усилия (рис. 8.69 в), т.е. вверх.

Найдем теперь угол поворота сечения в точке А. Для этого нагрузим балку в этой точке единичным моментом, как это показано на рис. 8.69 г. Из условия равновесия отсеченных частей для сечения на участках АВ и ВС получим

Mz^ = ^Mz^ = ^-1 + -Д (0 ^ ®i ^ а), — Г(2а —ж2) (0 ^ ж2 < 2а).

Mz^ = ^

Mz^ = ^

Используя это выражение вместе с выражением (8.8.12) дляMZ(P), получаемИспользуя это выражение вместе с выражением (8.8.12) дляMZ(P), получаем

Используя это выражение вместе с выражением (8.8.12) для

MZ(P), получаем

Используя это выражение вместе с выражением (8.8.12) для

MZ(P), получаем

Как видно из рассмотренных примеров, аналитическое вычисление интеграла Мора требует не меньшей вычислительной работы, чем определение перемещений с помощью универсального уравнения упругой линии, рассмотренного в разд. 8.6. Эти вычисления помогает упростить использование следующего графоаналитического приема.

Прежде всего заметим, что при вычислении прогибов и углов поворота сечений балки изгибающий момент от единичного усилия М^(1) представляет собой функцию, линейную по участкам балки. A MZ(P) в зависимости от характера нагрузки может быть нелинейной функцией с угловыми точками и разрывами. Поэтому для балок постоянной жесткости вычисление интегралов Мора сводится к вычислению по участкам балки интегралов вида

J f(x)(kx + 6) dx.(8.8.13)

где жх, ж2 — координаты границ рассматриваемого участка, в пределах которого М^(1) является линейной функцией кх + Ь. Функция /(ж) в интеграле (8.8.13) представляет MZ(P). Раскроем скобки в (8.8.13). В результате получим

Ж2Ж2Ж2

J /(ж)(&ж + Ь) dx = к J xf(x)dx + b J f(x)dx =

Ж1Ж1= kj xdU + b J dtt = kSf^№.= kj xdU + b J dtt = kSf^№.Ж1Ж1

Ж1

Ж1

= kj xdU + b J dtt = kSf^№.

= kj xdU + b J dtt = kSf^№.

Здесь d?L = f(x)dx — элемент площади Q, заключенной между графиком /(ж) и осью ж (рис. 8.70). Интеграл J d?l является площадью Q,

a J xd?L = Sf — это ста

тический момент площади Q относительно оси /. Но, как установлено в п. 7.1.3, Sj = = жт(2, где жт — координата центра тяжести площади Q.

ПоэтомуРис- 8-70

J f(x)(kx -V b) dx = кхтП + 6Q = Q(A;жт + b) = Q/z, (8.8.14)

где h — значение функции кх + b при ж = жт.

Учитывая представление (8.8.14), вычисление интеграла Мора для балки постоянного сечения —!— J MZ(P)MД1) dx можно

EJz i

свести к вычислению его по участкам 1^ на которых М^(1) яв

ляется линейной функцией, т.е. к ^2/ MZ^P^M z^ dx.

г Ц

Пусть, кроме того, нам удалось представить на участках 1г сложную функцию MZ(P) в виде суперпозиции

mz^ = m^UY + му (р) +... + m^XpY

в которой эпюра, соответствующая каждому из слагаемых, представляет на 1^ такую простую фигуру, что легко найти ее площадь Q^ и положение центра тяжести жЕ. Тогда, определив значения h?^ изгибающего момента МД1), соответствующие жЕ, мы сможем подсчитать интеграл Мора как

Л- JMAPWXVW = Ar5P /Mz(PWzWdx =

Ii к

г к j

= ^ЕЕ/ M^PW^W = ^У>гН- (8.8.15) г j ккз

Такой способ вычисления интеграла Мора называют способом Верещагина.

Задача вычисления интеграла Мора, таким образом, сводится к представлению эпюры Mz (Р) на участках линейности эпюры МД1) в виде суммы простых фигур, для которых легко найти площади и положения центров тяжести. Эту операцию называют расслоением эпюры. Существует два приема расслоения эпюр. Поясним их на примерах.

Пример 8.17. Для балки, рассмотренной в примере 8.16 и показанной на рис. 8.69, найдем прогиб и в точки В. На рис. 8.71 показаны эпюры Q, MZ(P) и М^(1), необходимые для определения ив- На участке АВ эпюра MZ(P) представляет собой трапецию. Поэтому ее можно разбить на прямоугольник Q} и треугольник Qp

На участке ВС эпюра MZ(P) представляет собой сложную фигуру. Покажем, как такую фигуру в общем случае можно разбить на простые. Для этого рассмотрим выделенный из балки двумя сечениями участок длиной Z^, на котором на бал-

ку действует распределенная нагрузка постоянной интенсив-ку действует распределенная нагрузка постоянной интенсив-Рис. 8.71Рис. 8.71изгибающие моменты Mi, М2 и перерезывающие силы Qi, Q2 (рис. 8.72). Тогда эпюра MZ(P) на таком участке может быть

ку действует распределенная нагрузка постоянной интенсив-

ку действует распределенная нагрузка постоянной интенсив-

Рис. 8.71

Рис. 8.71

разбита на прямоугольник Q|, треугольник Q? и сегмент квадратичной параболы Q?. Чтобы понять это, достаточно представить нагружение участка как суперпозицию нагружений, показанных на рис. 8.73. Причем площадь сегмента Q? с основанием /^ и

высотой b = можно 8 1

подсчитать, рассматривая

Рис. 8.72Рис. 8.72его как разность прямоугольника Ц х Ь и двух квадратичных

Рис. 8.72

Рис. 8.72

треугольников, площадь каждого из которых, как мы устано-

вили в примере 7.3, равна т^Ь (см. также рис. 7.9). Поэтому

= ^Л

Учитывая эти рассуждения, сложную фигуру на участке ВС разбиваем на простые, как это показано на рис. 8.71 внизу.

В результате имеем

^Щ^-2а, Ql = - ■-да2 ■ 2а, Q^ = -^ЛМ • 2а.26’22’238

Значения М^(1), соответствующие центрам тяжести площадей Q^, равны h^ = а/3, h^ = 2а/9, h^ = а/3, h^ = 2а(9^ h^ = а/3. Вычисляя теперь интеграл Мора по формуле (8.8.15), замечаем, что знаки MZ(P) и М^(1) для Q|, Q^, Q^ ^2 различны и поэтому соответствующие им интегралы ^Ь?^ в (8.8.15) отрицательны. А для Q2 знаки MZ(P) и Mz(l) совпадают, поэтому Q^2 > О- Таким образом,

«в = A J ?MPW^W = 4t«в = A J ?MPW^W = 4t13 153—6qa --^--^a •13 153—6qa --^--^a •2 9a2 9a

«в = A J ?MPW^W = 4t

«в = A J ?MPW^W = 4t

13 153

—6qa --^--^a •

13 153

—6qa --^--^a •

2 9a

2 9a

qa49EJ/qa49EJ/131132.231

qa4

9EJ/

qa4

9EJ/

— -qa•-a— -qa•-a+-qa •-a

3^33^93^3

Рассмотренный выше способ расслоения эпюры Mz (Р) называют геометрическим расслоением. Покажем на примере этой же балки другой способ расслоения эпюры.

Балку, уравновешенную под действием нагрузки и реакций (см. рис. 8.69), защемим в точке В, которая является границей участков линейности эпюры М^(1). Так как действующие на балку нагрузки и реакции уравновешены, то в защемлении

не возникает никаких реакций, и оно поэтому никак не сказывается на деформациях балки. На полученных консольных балках построим эпюры Mz от каждой из нагрузок отдельно, как это показано на рис. 8.74, причем распределенную нагрузку будем

рассматривать как две нагрузки, каждая из которых действует на соответствующем участке линейности М^(1). Фактически мы здесь пользуемся принципом суперпозиции и поэтому легко убедиться, что сумма эпюр на рис. 8.74 дает эпюру MZ(P), показанную на рис. 8.71.

Нетрудно подсчитать, что

Q} = qa2a^ Q| = | • ^qa2a^ ^2 = | * ^^ft2 *

Q| = bzqa2 -2а, Q^ = ^ ■ 2а, ^^ = ^qa2 ■ 2а

и найти по эпюре 714^(1) соответственно

.1а,2411412113al44

Ai = -. Ai = -а,= -а,= -a,= -а.

3’19’29’22’23’29

Здесь для подсчета площади Q2 и определения положения ее центра тяжести мы использовали формулы для квадратичного треугольника, полученные в примере 7.3 (см. рис. 7.9). Используя полученные значения Q^ и й-, подсчитаем интеграл Мора для рв:

= ^ / mapWWЕ =

Iid

(3 1, 53 4 , 13 3 44 3 1

= ВЛ■ 9° +' 9° +' 9° " 39“ ' 2° "

— qa3 • -а — 2qa3 •.

4349 ) 9EJZ

ДТнтгМДТнтгМРис. 8.75Рис. 8.75Такой прием расслоения эпюры MZ(P) называют силовым расслоением. Он хорош тем, что сводит задачу расслоения к построению эпюр Mz для консольных балок, нагруженных одной из четырех простых нагрузок (рис. 8.75). При этом полученные эпюры являются простыми фигурами, площади и положения центров тяжести которых легко найти.

ДТнтгМ

ДТнтгМ

Рис. 8.75

Рис. 8.75

Этот прием легко обобщить на случай треугольной распределенной нагруз

ки q(x). Предоставляем читателю самому сделать такое обобщение. При этом для подсчета соответствующих площадей и определения их центров тяжести можно воспользоваться результатами примера 7.3.

. С помощью вычисления интеграла Мора способом Верещагина легко вычислять перемещения и углы поворота сечений балок, изгибная жесткость которых различна на участках.

Пример 8.18. На рис. 8.76 представлена балка с двумя участками. Жесткость ее на участке АВ равна 2EJZ^ а на участке ВС — EJZ. Здесь же приведены силовое расслоение эпюры MZ(P) и эпюра Mz^ для определения угла поворота ас сечения С. Используя эти результаты, получаем

1(31 , 3 311 зЗ\ .

ас=1ЁР Vqa 4 + Ца 3 - 6qQ s) +

+ 1 Ща3- - Я^Д = Б 4^1

EJZ \4Ч 36 8732 EJZ"

В этой сумме порядковый номер слагаемого соответствует номеру эпюры М^Р^ данному в кружке на рис. 8.76.

Рис. 8.76

В этой главе мы рассмотрели несколько способов вычисления перемещений при изгибе. Применение их требует определенного навыка, и трудно отдать предпочтение какому-либо из них. Опыт показывает, что обычно наиболее эффективным является тот способ, которым лучше всего владеешь. Однако все эти способы применимы лишь для балок постоянного сечения, нагруженных достаточно простыми нагрузками. В более сложных случаях для облегчения расчетов необходимо привлекать ЭВМ.

К. Основополагающим соотношением для рассмотренных в этой главе способов определения перемещений балок является полученное на основе гипотезы плоских сечений в 1694 г. Яковом Бернулли соотношение (8.2.6) между кривизной деформированной оси балки и изгибающим моментом. Племянник Я. Бернулли Даниил применил это соотношение к анализу малых поперечных колебаний балки. Он же предложил своему ученику Л. Эйлеру заняться задачей об упругих кривых с помощью разрабатываемого последним аппарата вариационного исчисления. Этой задачей с разных позиций Эйлер занимался всю свою жизнь. Он разработал метод реше-

ния нелинейного уравнения (8.6.2) и для больших изгибов балок и колец построил целый ряд решений (эластики Эйлера). Эйлер же проинтегрировал дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний балки, а также поставил и решил задачу об устойчивости стержней, сжатых продольными силами. Практически одновременно с Эйлером задачами об упругих кривых и об устойчивости стержней занимался Ж.Л. Лагранж (1736-1813).

А. Клебш (1833-1872) в своем курсе «Теория упругости твердых тел» (1862) в качестве одной из многочисленных прикладных задач рассмотрел задачу о малых прогибах балки и показал способ построения универсального уравнения упругой линии (8.6.23). О. Мор (1835-1918) в 1868 г. разработал метод единичной нагрузки, применил его для определения прогибов балок и пришел к интегралу (8.8.6). Позже этот метод был использован им для определения перемещений ферм (см. разд. 4.7). Графоаналитический способ вычисления интеграла Мора предложен А.Н. Верещагиным в 1924 г., когда он был студентом Ленинградского института инженеров транспорта. В силу своей простоты этот метод быстро получил широкое распространение, особенно для расчетов статически неопределимых систем.

Контрольные вопросы

Чем отличается прямой изгиб от косого? При каких условиях возникает прямой изгиб?

Чем отличается чистый изгиб от поперечного?

Какими статическими дифференциальными соотношениями связаны между собой интенсивность распределенной нагрузки, перерезывающая сила и изгибающий момент?

В каких точках на своих эпюрах перерезывающая сила и изгибающий момент претерпевают скачки? Какова величина каждого такого скачка?

Как связано направление выпуклости эпюры изгибающих моментов с направлением распределенной нагрузки? Откуда эта связь следует?

8.6. Почему при построении эпюр в консольной балке нет необходимости определять опорные реакции?

Как используются статические дифференциальные соотношения при построении эпюр Qy и Mz в балках?

Как определить равнодействующую распределенной нагрузки? Как вычислить ее равнодействующий момент?

Какие связи наложены на балку соответственно в катковой, шарнирной опорах и в заделке? Какие реакции в них возникают?

Как используются статические интегральные соотношения при построении эпюр в балках?

Какой вид имеет математическое выражение гипотезы плоских сечений при прямом изгибе балки?

На чем основывается предположение о том, что деформация продольных волокон балки подчиняется закону Гука для одноосного растяжения-сжатия?

Как меняются нормальные напряжения по поперечному сечению балки? Как их вычислить по заданному изгибающему моменту?

Как при прямом изгибе связаны между собой кривизна деформированной оси балки и изгибающий момент в данном поперечном сечении?

Какое предположение принято относительно распределения тху по ширине сечения балки? Как определить тху в поперечном сечении балки по действующей в нем перерезывающей силе Qy?

Каким сечением выделяется отсеченная часть F0TC для подсчета 5ДС в формуле для тжу?

В каких точках поперечного сечения действуют максимальные касательные напряжения при изгибе балок прямоугольного и треугольного сечений? Как они отличаются от средних по сечению напряжений?

Какие особенности распределения касательных напряжений по тонкостенному сечению?

В чем сходство и различие формул для определения касательных напряжений в тонкостенном и нетонкостенном сечениях при изгибе балки?

Что такое центр изгиба (центр жесткости) сечения? Для чего необходимо знать положение этой точки в сечении? Что называется осью жесткости балки?

Почему при расчете балки на прочность можно пренебречь взаимным влиянием нормальных и касательных напряжений? Какие напряжения могут быть определяющими при расчете металлических, деревянных и композитных балок?

Что такое момент сопротивления изгибу?

Почему двутавровое сечение выгодно по сравнению с другими сечениями балок, работающих на изгиб?

По каким сечениям балки (балка постоянного сечения) необходимо вести расчет на прочность, если:

материал балки одинаково работает на растяжение и сжатие;

материал балки неодинаково работает на растяжение и сжатие и сечение симметрично относительно нейтральной оси ^;

материал балки неодинаково работает на растяжение и сжатие, но сечение несимметрично относительно оси z?

Какие величины связываются дифференциальным уравнением упругой линии балки? Как выбирается знак в этом уравнении?

Из каких условий определяются произвольные постоянные в общем решении дифференциального уравнения упругой линии балки?

Почему в выражении (8.6.16) интеграл от М можно записать в виде М(х — хм\?

Из каких слагаемых складывается потенциальная энергия деформации балки? Какое из них является преобладающим для длинных балок?

Какова цель двухэтапного нагружения балки при выводе интеграла Мора?

Приведите две формы записи интеграла Мора для обобщенного перемещения. Какая из них является более общей и почему?

К чему сводится задача вычисления интеграла Мора по способу Верещагина?

Какие два приема расслоения эпюр вы знаете? В чем они заключаются?

Задачи

Для шести балок, показанных на рис. 8.77, построить эпюры перерезывающих сил Qy и изгибающих моментов Mz.

Рис. 8.77 а, б, в

Рис. 8.77 г, д, е

Для балки (рис. 8.78) построить эпюры Qy и Мг. Из условия прочности определить размеры показанных на рисунке поперечных сечений и сравнить массы балок этих сечений. Допускаемое напряжение на растяжение [сг]р = 70 МПа, на сжатие [сг]с = 40 МПа, q = 103 Н/м, а = 0,5 м.

Рис. 8.78

Используя для балки в предыдущей задаче поперечное сечение из задачи 7.5 (нагрузка приложена в плоскости сим-

метрии балки на верхней полке), вычислить допускаемую величину интенсивности нагрузки [q], полагая b = 10 м, а материал и размеры участков балки прежними.

Полагая сечение той же самой балки (см. рис. 8.78 к задаче 8.2) составным (см. рис. 7.25 к задаче 7.7) и приложив нагрузку в плоскости наибольшей жесткости балки, определить ее запас прочности. Принять при этом сгт = 240 МПа, q = = 2,5 • 104 Н/м, а = 0,5 м.

Для сечений, показанных на рис. 7.24 а, б, г к задаче 7.6 построить эпюры 5ДС и касательных напряжений. При этом для сечений на рис. 7.24 а, б нагрузку считать приложенной в вертикальной плоскости (Q^ направлена сверху вниз), а для сечения на рис. 7.24 г — как в вертикальной (то же направление Qy\ так и в горизонтальной (Q^ направлена справа налево) плоскостях. Кроме того, для сечений на рис. 7.24 а, г определить положение центра изгиба.

Для балки постоянного сечения, показанной на рис. 8.79, найти прогиб на левом конце и угол поворота сечения, где приложена сила 2qa, используя универсальное уравнение упругой линии.

Рис. 8.79

Используя интеграл Мора, найти прогиб в середине балки, изображенной на рис. 8.77 б к задаче 8.1.

Воспользовавшись способом Верещагина, определить взаимный угол поворота двух сечений, расположенных непосредственно слева и справа от промежуточного шарнира, в балке, изображенной на рис. 8.77 д к задаче 8.1.

ГЛАВА 9

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА

Рассмотренные в главах 4, 6, 8 элементарные состояния бру

са: центральное растяжение-сжатие,

гиб возникают в брусе при соответствующих специальных нагрузках. Так, в прямолинейном брусе центральное растяжение-сжатие вызывают нагрузки, равнодействующие которых действуют по оси бруса. Прямой изгиб создают поперечные нагрузки в плоскости,

кручение и прямой изкручение и прямой изРис. 9.1Рис. 9.1содержащей одну из главных центральных осей поперечного сечения бруса. Кручение бруса возникает под действием таких на-

кручение и прямой из

кручение и прямой из

Рис. 9.1

Рис. 9.1

Рис. 9.2Рис. 9.2грузок, которые сводятся к моментам в плоскости, нормальной к оси бруса.

Рис. 9.2

Рис. 9.2

В общем случае нагружения бруса (рис. 9.1) нагрузка не обладает такими специфическими особенностями. Поэтому в его поперечных сечениях могут возникнуть все шесть внутренних силовых факторов (рис. 9.2), определить которые можно из условий равновесия отсеченных частей, как это сделано в разд. 2.1. Но принцип наложения действия сил, или принцип суперпозиции (см. и. 1.2.6), позволяет нам в общем случае нагружения бруса рассматривать напряженное

состояние в его поперечном сечении как суперпозицию шести состояний, в каждом из которых действует только один из внутренних силовых факторов (рис. 9.3).

Нормальные напряжения в общем случае деформации бруса

В первых трех из показанных на рис. 9.3 шести состояний продольная сила 7V и изгибающие моменты М^, Му явля-

Рис. 9.3Рис. 9.3

Рис. 9.3

Рис. 9.3

ются результатом действия нормальных напряжений. Если оси z^ у — главные центральные оси сечения, то

axW = ^=ох<М^ = ^.(9.1.1)

Знак « —» во второй формуле учитывает, что при показанном на рис. 9.3 направлении Mz в точках с положительной координатой у возникают сжимающие напряжения. При одновременном действии N, Mz и Му нормальные напряжения (9.1.1) складываются алгебраически, так как все они действуют вдоль оси ж:

сх = ах^ + ах^ + (тх^ = ^-Ц^^12.(9.1.2)

Так как направление осей z^ у может не совпадать с указанным на рис. 9.3, то формулу (9.1.2) удобно записывать в виде

N . Mz , Му1 о\

= у ± уД ±I9'1'3)

Конкретные знаки у второго и третьего слагаемых определяются направлением осей. Если оси направить в сторону зон растянутых продольных волокон в сечении (в сторону значка Q на изображениях Mz и Му ), как это показано на рис. 9.4, то в формуле (9.1.3) нужно выбрать оба знака «+». Продольные силы

по-прежнему считаются положительными, если они растягивающие.

Найдем положение нейтральной линии сечения, т.е. линии, которая отделяет сжатую зону сечения от растянутой и на которой лежат нейтральные продольные волокна. Очевидно, что на этой линии ах = 0. Поэтому при взаимной ориентации осей £, у и моментов М^, М^, соответствующих выражению (9.1.2) и показанных на рис. 9.3, получаем следующее выражение для нейтральной линии:

У MzJy M.F*У MzJy M.F*(9.1.4)(9.1.4)Ясно, что на плоскости zy нейтральная линия является прямой линией (рис. 9.5). Более того, в трехмерном пространстве у, z^ ах эта линия является линией пересечения плоскости (9.1.2), определяющей величину ах в зависимости от координат у, z точек сечения (плоскость эпюры ах), с плоскостью zy сечения. Плоскостной закон распределения напряжений позволяет также легко найти те точки сечения, в которых действуют наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Это будут точки растянутой и сжатой зон сечения, которые наиболее удалены от нейтральной линии (точки А и В на рис. 9.5). Тогда необЯсно, что на плоскости zy нейтральная линия является прямой линией (рис. 9.5). Более того, в трехмерном пространстве у, z^ ах эта линия является линией пересечения плоскости (9.1.2), определяющей величину ах в зависимости от координат у, z точек сечения (плоскость эпюры ах), с плоскостью zy сечения. Плоскостной закон распределения напряжений позволяет также легко найти те точки сечения, в которых действуют наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Это будут точки растянутой и сжатой зон сечения, которые наиболее удалены от нейтральной линии (точки А и В на рис. 9.5). Тогда необНейтральная линияНейтральная линияСжатая зонаСжатая зонаNJZУ~ m7fNJZУ~ m7f®МУ®МУРастянутая зонаРастянутая зонаРис. 9.5Рис. 9.5_ NJyВ z~~~mFf_ NJyВ z~~~mFf

У MzJy M.F*

У MzJy M.F*

(9.1.4)

(9.1.4)

Ясно, что на плоскости zy нейтральная линия является прямой линией (рис. 9.5). Более того, в трехмерном пространстве у, z^ ах эта линия является линией пересечения плоскости (9.1.2), определяющей величину ах в зависимости от координат у, z точек сечения (плоскость эпюры ах), с плоскостью zy сечения. Плоскостной закон распределения напряжений позволяет также легко найти те точки сечения, в которых действуют наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Это будут точки растянутой и сжатой зон сечения, которые наиболее удалены от нейтральной линии (точки А и В на рис. 9.5). Тогда необ

Ясно, что на плоскости zy нейтральная линия является прямой линией (рис. 9.5). Более того, в трехмерном пространстве у, z^ ах эта линия является линией пересечения плоскости (9.1.2), определяющей величину ах в зависимости от координат у, z точек сечения (плоскость эпюры ах), с плоскостью zy сечения. Плоскостной закон распределения напряжений позволяет также легко найти те точки сечения, в которых действуют наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Это будут точки растянутой и сжатой зон сечения, которые наиболее удалены от нейтральной линии (точки А и В на рис. 9.5). Тогда необ

Нейтральная линия

Нейтральная линия

Сжатая зона

Сжатая зона

NJZ

У~ m7f

NJZ

У~ m7f

®МУ

®МУ

Растянутая зона

Растянутая зона

Рис. 9.5

Рис. 9.5

_ NJy

В z~~~mFf

_ NJy

В z~~~mFf

ходимые для расчета на прочность наибольшие растягивающие ^ртах и сжимающие бтстах напряжения в сечении определяются выражением (9.1.2), в которое надо подставить координаты этих точек. Так, для случая, показанного на рис. 9.5,

._ NM . My

pmax — pj У A T j %A-

В этой формуле в соответствии с выбранными направлениями осей координаты точки А такие, что уд < 0 и za > 0.

Иногда удобно рассматривать деформацию бруса, привязываясь к осям, которые не являются главными центральными. Деформация бруса, соответствующая закону плоских сечений, при произвольном выборе координатных осей в сечении может быть представлена как наложение (суперпозиция) трех простых деформаций, показанных на рис. 9.6 (недеформирован- ный элемент показан штриховой линией). Деформация 1 соответствует растяжению, когда ось остается прямолинейной и из-

меняется только расстояние между сечениями. Поэтому все во

локна бруса получают такое же удлинение, что и ось бруса, т.е.

Д1) - Е

Деформация 2 соответствует искривлению оси х только в плоскости ху. При этом длина оси не изменяется, а ось приобретает в плоскости ху кривизну 1 /ржу. Эта деформация соответствует рассмотренному в разд. 8.2 прямому изгибу в плоскости ху (см. рис. 8.27). Поэтому деформация е^ продольного волокна бруса, имеющего координату у, определится выражением (8.2.1) и будет 42) = -у/Рху

Деформация 3 соответствует аналогичному прямому изгибу, но только в плоскости xz. И если pxz — радиус кривизны оси бруса в плоскости xz, то е^ = z/pxz (знак плюс здесь соответствует тому, что волокна, у которых z > 0, удлиняются).

При наложении деформаций удлинение ех продольного волокна с координатами z, у складывается из трех слагаемых еж = е(1)+е(2)+е(3)=£_^ + ^.

Рху Pxz

Оставаясь в рамках гипотезы о ненадавливаемости продольных волокон, будем, как в п. 8.2.2, считать, что продольные волокна бруса находятся в состоянии одноосного растяжения. Поэтому в силу закона Гука нормальное напряжение

ах = Егх = eU -(9.1.5)

X рху Pxz /

что соответствует плоскостному закону распределения напряжений по сечению.

Чтобы связать удлинение оси бруса £ и ее кривизн kz = = 1/рху и Ку = У/pxz с внутренними силовыми факторами N, Mz и Му, воспользуемся интегральными выражениями (2.3.1),

которые для показанных на рис. 9.5 направлений осей z^ у и внутренних силовых факторов NMz, Му имеют вид

N = J crxdF Mz = — J yaxdF^ My = J zaxdF (9.1.6)

FFF

Подставим сюда выражение (9.1.5) для ах. В результате придем к трем соотношениям:

N = e(Fe- Sz — + Sy —),

\РхуPxz/

Mz = e(-Sze + Jz — - Jzy — Y(9.1.7)

'PxyPxz /

PxyPxz

Удобна матричная форма записи этих соотношений:

N "

Mz

Му .

= Е

"F-SzSy"

SzJz3zy

_^3zyJ у_

E ^/ pxy _ ^-/pxz _

= EJ

E

Kz

(9.1.8)

Матрица J составлена из геометрических характеристик сечения. Если оси z, у — главные центральные оси сечения, то равны нулю статические моменты Sz и Sy и центробежный момент Jzy и матрица J упрощается, становясь диагональной, а система уравнений (9.1.7) распадается на три известных нам соотношения:

N = EFe, Mz = ЕЦ Му =

PxyPxz

Подставив полученные отсюда выражения для е, 1/рху и 1/pxz в соотношение (9.1.5), мы легко придем к формуле (9.1.2).

Если оси не являются главными центральными, то е, 1/рху и 1/pxz находятся как решения системы (9.1.7). И хотя эта система трех уравнений относительно трех неизвестных е, 1/рху^ \/pxz является линейной и ее решение не представляет принципиальных трудностей, аналитические выражения для решения оказываются громоздкими и запомнить их становится трудно. Поэтому проще перейти к главным центральным осям. При численной же реализации на ЭВМ решение системы (9.1.8) не составляет труда, и оно может быть эффективно использовано. Мы же будем далее считать оси z^ у главными центральными осями сечения.

Если в брусе продольная сила N и крутящий момент М^ равны нулю, а изгибающие моменты Mz и Му не равны нулю, то в соответствии с классификацией форм изгиба, данной в

преамбуле к гл. 8, такой изгиб называется косим. В соответствии с (9.1.3) нормальные напряжения в этом случае определяются выражением

^ = ±^±^2. (9.1.9)

Нейтральная линия (9.1.4) при косом изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения и определяется соотношением

у = ±^г. (9ЛЛО)

Пример 9.1. Рассмотрим изгиб консольного бруса длиной I и прямоугольного сечения а х 2а под действием силы Р, направленной вдоль одной из диагоналей концевого сечения (рис. 9.7 а). Оси % и у являются главными центральными осями, и моменты инерции поперечного сечения равны

т 1 /о \3 2 4 т 1 о 3 1 4Jz — — 6l(2a) — уГ, ’ ^/ — — — О .

Разложив силу Р на составляющие по главным центральным осям, легко получить эпюры изгибающих моментов Mz и Му в главных плоскостях (см. рис. 9.7 б). Определим нормальные

Рис. 9.7Рис. 9.7

Рис. 9.7

Рис. 9.7

напряжения, возникающие в сечении бруса, соответствующем заделке. Оси %^ у направим, как показано на рис. 9.8. Тогда

2FZ 3V5 2а42FZ 3V5 2а4Р1 6

2FZ 3

V5 2а4

2FZ 3

V5 2а4

Из условия ах = 0 следует выражение для нейтральной линии у = —2^, которое показывает, что нейтральная линия совпадает со второй диагональю прямоугольника. Важно отметить, что в отличие от прямого изгиба, при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия нагрузки.

Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения действуют в наиболее удаленных от нейтральной линии точках Л и В:

в точке А

^pmax — ~j~VA 4" —j— % A — в точке В

_ _ 12FZ ^cmax — —7= ”•

Эти напряжения равны по абсолютной величине, потому что точки А и В одинаково удалены от нейтральной линии.

Рис. 9.8на, получим (эпюры М^(1) и М^(1) показаны на рис. 9.9)Рис. 9.8на, получим (эпюры М^(1) и М^(1) показаны на рис. 9.9)mzmaa dx_EJZmzmaa dx_EJZм.м^ dx _EJ-yм.м^ dx _EJ-yЕ- т41Е- 7а46Е- т41Е- 7а461 2FZ, 22 V5 31 2FZ, 22 V5 31PL 22 V5 31PL 22 V5 3Р13 .V5Fa4’Р13 .V5Fa4’2Р1\А) Еа42Р1\А) Еа4Чтобы найти перемещение концевого сечения 5, определим его вертикальную 6у и горизонтальную 5% составляющие. Вычислив интеграл Мора с помощью способа Верещаги-

Рис. 9.8

на, получим (эпюры М^(1) и М^(1) показаны на рис. 9.9)

Рис. 9.8

на, получим (эпюры М^(1) и М^(1) показаны на рис. 9.9)

mzmaa dx_

EJZ

mzmaa dx_

EJZ

м.м^ dx _EJ-y

м.м^ dx _EJ-y

Е- т4

1

Е- 7а46

Е- т4

1

Е- 7а46

1 2FZ, 2

2 V5 3

1 2FZ, 2

2 V5 3

1PL 2

2 V5 3

1PL 2

2 V5 3

Р13 .

V5Fa4’

Р13 .

V5Fa4’

2Р1

\А) Еа4

2Р1

\А) Еа4

Рис. 9.9Рис. 9.9

Рис. 9.9

Рис. 9.9

Складывая геометрически ^ и ^, получаем 5 (см. рис. 9.8).

Замечаем, что вектор 6 здесь нормален к нейтральной линии се

чения и не совпадает по направлению с силой Р, что характерно для косого изгиба.

Напряженное состояние бруса, возникающее под действием продольных нагрузок, приложенных не по оси бруса, называют внецентренним (нецентральным) растяснсением- сжатием. В этом случае пе-

ререзывающие силы Q^, Qx и крутящий момент М^ равны нулю. Поэтому в поперечных сечениях бруса возникают только

нормальные напряжения ах. и они определяются выражением (9.1.3). А уравнение нейтральной линии имеет вид (9.1.4), и она не проходит через центр тяжести сечения.

9 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

Пример 9.2. Рассмотрим растяжение треугольной призмы силами, действующими вдоль одного из ребер (рис. 9.10). Сечение призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой а.Пример 9.2. Рассмотрим растяжение треугольной призмы силами, действующими вдоль одного из ребер (рис. 9.10). Сечение призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой а.Главные центральные оси его обозначим через £ и у, как показано на рис. 9.11. ТогдаГлавные центральные оси его обозначим через £ и у, как показано на рис. 9.11. ТогдаЕ ■ 2аЛ = ^,3618’Е ■ 2аЛ = ^,3618’— 2 аа —— 2 аа —а4"б"а4"б"Подсчитаем ^, Mz и Му изПодсчитаем ^, Mz и Му изусловия равновесия отсечен-Рис. 9.10н0й части: N = Р. Mz = -Ра.Му = Ра. Так как оси z и у направлены в сторону растянутых продольных волокон (в сторону значка Q на изображениях Mz и Му\ в формуле (9.1.3) нужно сохранить знаки «+». Поэтомуусловия равновесия отсечен-Рис. 9.10н0й части: N = Р. Mz = -Ра.Му = Ра. Так как оси z и у направлены в сторону растянутых продольных волокон (в сторону значка Q на изображениях Mz и Му\ в формуле (9.1.3) нужно сохранить знаки «+». ПоэтомуР Ра/3 РаР Ра/3 РаУравнение нейтральной линии получим из условия аж = 0. Оно принимает вид у = — z — ~^а- Таким образом, нейтральная линия проходит вертикально, как показано на рис. 9.11. Поэтому видно, что максиУравнение нейтральной линии получим из условия аж = 0. Оно принимает вид у = — z — ~^а- Таким образом, нейтральная линия проходит вертикально, как показано на рис. 9.11. Поэтому видно, что максиРис. 9.11Рис. 9.11мальные растягивающие намальные растягивающие напряжения возникают в точкепряжения возникают в точкеА (у а =А (у а =1«, % а = а1«, % а = аа максимальные сжимающие — в точкаха максимальные сжимающие — в точкахстороны ВС. например в точке Встороны ВС. например в точке Вzb = О,УВ = -|°) • Ониzb = О,УВ = -|°) • Онирав-рав-

Пример 9.2. Рассмотрим растяжение треугольной призмы силами, действующими вдоль одного из ребер (рис. 9.10). Сечение призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой а.

Пример 9.2. Рассмотрим растяжение треугольной призмы силами, действующими вдоль одного из ребер (рис. 9.10). Сечение призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой а.

Главные центральные оси его обозначим через £ и у, как показано на рис. 9.11. Тогда

Главные центральные оси его обозначим через £ и у, как показано на рис. 9.11. Тогда

Е ■ 2аЛ = ^,3618’

Е ■ 2аЛ = ^,3618’

— 2 аа —

— 2 аа —

а4

"б"

а4

"б"

Подсчитаем ^, Mz и Му из

Подсчитаем ^, Mz и Му из

условия равновесия отсечен-

Рис. 9.10н0й части: N = Р. Mz = -Ра.

Му = Ра. Так как оси z и у направлены в сторону растянутых продольных волокон (в сторону значка Q на изображениях Mz и Му\ в формуле (9.1.3) нужно сохранить знаки «+». Поэтому

условия равновесия отсечен-

Рис. 9.10н0й части: N = Р. Mz = -Ра.

Му = Ра. Так как оси z и у направлены в сторону растянутых продольных волокон (в сторону значка Q на изображениях Mz и Му\ в формуле (9.1.3) нужно сохранить знаки «+». Поэтому

Р Ра/3 Ра

Р Ра/3 Ра

Уравнение нейтральной линии получим из условия аж = 0. Оно принимает вид у = — z — ~^а- Таким образом, нейтральная линия проходит вертикально, как показано на рис. 9.11. Поэтому видно, что макси

Уравнение нейтральной линии получим из условия аж = 0. Оно принимает вид у = — z — ~^а- Таким образом, нейтральная линия проходит вертикально, как показано на рис. 9.11. Поэтому видно, что макси

Рис. 9.11

Рис. 9.11

мальные растягивающие на

мальные растягивающие на

пряжения возникают в точке

пряжения возникают в точке

А (у а =

А (у а =

1«, % а = а

1«, % а = а

а максимальные сжимающие — в точках

а максимальные сжимающие — в точках

стороны ВС. например в точке В

стороны ВС. например в точке В

zb = О,УВ = -|°) • Они

zb = О,УВ = -|°) • Они

рав-

рав-

ны:

/_ рI6Fа,6Р_ 9F

стДА)—стртах—+з ■+3 а— ,

(Л(Л О (Л

__^ । 6Р/2\6Рn _ ЗР

<7z(B) —Устах—2 +з(3« )+з'0 -.

Полезно заметить, что если бы сила Р была приложена вдоль оси бруса, т.е. при центральном растяжении, нормальные на-

пряжения были бы ах = N/F = Р/а2. Таким образом, даже кажущееся небольшим (в пределах сечения) смещение растягивающей нагрузки относительно оси бруса, привело к увеличению напряжений в девять (!) раз. Поэтому при проектировании элементов конструкции, которым предстоит работать на растяжение или сжатие, нужно принимать специальные конструктивные меры, чтобы возможно точнее обеспечить соосность нагрузки и оси бруса.

Касательные напряжения в общем случае деформации бруса

Перерезывающие силы Q^, Qz и крутящий момент М^ в последних трех из данных на рис. 9.3 состояний являются результатом действия касательных напряжений в сечении бруса. При рассмотрении кручения (см. гл. 6) и изгиба (см. гл. 8) было показано, что характер распределения касательных напряжений по сечению существенно зависит от его формы. В этом смысле все сечения можно разбить на две группы: тонкостенные и нетонкостенные. В тонкостенных сечениях направление касательных напряжений близко к направлению касательной к средней линии (см. и. 6.6.1), и с достаточной точностью можно считать, что они направлены вдоль средней линии. Это свойство позволяет в тонкостенных сечениях суммировать касательные напряжения, связанные с различными внутренними силовыми факторами, алгебраически. Таким образом, если s — координата вдоль средней линии, то в каждой точке тонкостенного сечения

TXS = ^XS^Qy^ Т TXS^Q^ "1" ТХ8^М^ . (9.2.1) Здесь следует заметить, что при определении слагаемых в этой сумме по формулам, полученным в главах 6 и 8, необходимо, чтобы оси z, у были главными центральными, но система внутренних силовых факторов Q^, Q^, М^ должна быть приведена к центру изгиба. Иначе говоря, при вычислении крутящего момента М^ из условий равновесия отсеченной части необходимо помнить, что линии действия перерезывающих сил Qy и Qz проходят через центр изгиба сечения. Поэтому, чтобы определить М^ независимо от Qy и Qz. нужно использовать условие равенства нулю моментов, действующих на отсеченную часть сил, относительно оси жесткости бруса (а не относительно оси бруса ж, проходящей через центры тяжести его сечений, как это иногда делают по инерции).

Если сечение не является тонкостенным, то касательные напряжения, связанные с перерезывающими силами Qy и Qz и определяемые формулой Журавского (8.3.6), действуют в направлении Qy и Qz. А касательные напряжения от кручения 9*

бруса могут по направлению не совпадать с осями z, у. Поэтому суммирование касательных напряжений, связанных с различными внутренними силовыми факторами, необходимо здесь проводить геометрически (векторно):

^х = + АЖ) + "^xWkY (9.2.2)

Замечание о необходимости приводить систему внутренних силовых факторов Q^, QZl М^ к центру изгиба сечения здесь также остается в силе. Но для нетонкостенных сечений центр изгиба обычно либо совпадает с центром тяжести (когда у сечения две оси симметрии), либо близок настолько, что без существенной ошибки можно считать Qy и Qz приложенными в центре тяжести сечения.

Пример 9.3. Пусть брус тонкостенного незамкнутого сечения нагружен так, как показано на рис. 9.12. Рассмотрим напряженное состояние в сечении бруса у заделки. Внутренние силовые факторы, вытекающие из условия равновесия отсеченной части, показаны на рис. 9.13. Величина М^ получена

из условия равенства нулю моментов относительно оси жесткости Л-Л (см. пи. 8.4.2, 8.4.3) сил, действующих на отсеченную часть:

Е Ма-а = о Мк = ^РЬ + Р ■ |б = ^РЬ.

Нормальные напряжения легко определяются на основе формулы (9.1.3):

Mz ,ЮРЬ

а у—Ъ35

|Щ а|Щ а3

|Щ а

|Щ а

Здесь учтено, что для рассмотренного сечения Jz =

КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 261 5 ч

^ = 12^^ Величина 3% подсчитана в п. 8.4.2, а величину Jy читатель легко может определить самостоятельно.

Касательные напряжения Txs(Qy) и txs(Qz) равномерно распределены по толщине сечения 6 и направлены касательно к средней линии. Их величины и направления показаны на эпюрах рис. 9.14. Первая из них получена в п. 8.4.1, вторую несложно получить аналогично.

Рассмотренное сечение является тонкостенным незамкнутым сечением. Поэтому, как показано в разд. 6.5, при кручении в нем возникают линейно изменяющиеся по толщине касательные напряжения тХ8(М^. Их величина вдоль средней линии не меняется. На рис. 9.15 тХ8^М^ показаны вблизи точки В средней ли-

[ ^ /.2 s 8 рL А5° °- з ьъ[ ^ /.2 s 8 рL А5° °- з ьъРис. 9.14Рис. 9.14Рис. 9.15Рис. 9.15

[ ^ /.2 s 8 р

L А5° °- з ьъ

[ ^ /.2 s 8 р

L А5° °- з ьъ

Рис. 9.14

Рис. 9.14

Рис. 9.15

Рис. 9.15

нии сечения. Величина ттах(М/с) определяется формулой (6.5.9). Для нашего сечения момент сопротивления кручению (6.5.10)

wk = 5Д53 +ш3 + мэ = 5м2-

Поэтому

PnaxWj -- 8Р6/

Тогда распределение тХ8 по толщине сечения, например, в точке В, можно получить как сумму показанных на рис. 9.16 эпюр. При этом учтено направление Txs(Qy) и тЖ8^%У показанное стрелками на рис. 9.14. Максимальная величина тЖ8 будет в точках внутреннего контура:

_ 8 F 3 F 15 F _ 169 F 15 FTxs max — 3 ^ + 20 М + 32 <52 “ 60 Ь6 + 32 52 "

Например, при 5 = 0,16 получаем

_ 490 Р 1500 Р _ 28 2P+46gP

ТЖ5тах - 15 Ь2 + 32 Ь2 - Z5^b2

Появление тх^М^ вызвано тем, что нагрузка Р приложена не к оси жесткости бруса. Как видно, это привело к увеличению касательных напряжений в брусе в 2,7 раза, что связано с плохой работой на кручение открытых сечений. Чтобы избежать воз- зном брусе, нужно с помощью простых конструктивных мер (например, закрепив в торцевом сечении простейший кронштейн) перенести внешние силы на ось жесткости (в точку А торцевого сечения). При таком нагружении окажется, что М^ = 0 и тх(М^) не возникнет.

При расчете на прочность рассмотренного бруса замечаем, что опасным является сечение в заделке бруса; в нем од

новременно действуют нормальные и касательные напряжения. Например, в точке С (см. рис. 9.13) с координатами у с = — Ь,

1, -

zc = — -о действуют максимальные сжимающие напряжения

^С — ^стах^С — ^стахW । 2Р6 ГА = _Л£ Дз5 Щзд V 47 4 М 3 12

^С — ^стах

^С — ^стах

В этой же точке (при условии, что силы Р приложены к оси жесткости) возникают касательные напряжения

(ГА \(ГА \ 3 Р 3 Р 9 Р

тс - Txs{Qy) - txs<Q^~ 4^-

Рис. 9.17Рис. 9.17Это обстоятельство не позволяет проводить расчет на прочность только по нормальным напряжениям, как это делалось в гл. 8. Вопрос об учете одновременно действующих нормальных и касательных напряжений будет рассмотрен в гл. 11.

Рис. 9.17

Рис. 9.17

Пример 9.4. Рассмотрим брус прямоугольного сечения (рис. 9.17). Эпюры возникающих в его сечениях изгибаю-

щих и крутящих моментов показаны на рис. 9.18. Изгибающие моменты изображены в тех плоскостях, в которых они действу-

ют, со стороны сжатых волокон. Видно, что наиболее нагруженным будет сечение бруса вблизи заделки. Действующие в нем

Рис. 9.18Рис. 9.19Рис. 9.18Рис. 9.19

Рис. 9.18Рис. 9.19

Рис. 9.18Рис. 9.19

внутренние силовые факторы показаны на рис. 9.19. Наибольшие нормальные напряжения возникают в точке С и согласно (9.1.3)

М, Му „ Р1^жтах — ~j~VC ~j~ZC — б — .

Здесь и далее учтено, что Jz = |б4, Jy = ^64, у с = 6, zc = — Касательные напряжения в точке С равны нулю.

В точке А действуют нормальные напряжения

_ Му _ QPl

°xA - "ТАЛ - 3Л’

а также касательные напряжения

= ^ = ^ = 2.03^ (« = 0,246)

a txza(Qz) = 0. Поэтому в точке А

тхА = ВсуА = ^хуА^М^ + Тж^д((2^) = — ^2,03 + Ф^бу) .

Аналогично находим, что в точке В действуют напряжения

охв = ЗИ, txzBW = ^тхуА(Мк) = 0,795 • 2,03^ =

1 Pl\3 QZ 3 Р/23 Р Q О£ Р

= 1,62-, тжгВ(СЭ = -- = -—= -- = 0,38-.

Поэтому в этой точке тхв = txzb = ^ ^1,62 + 0,38у).

Сравним напряженные состояния в точках А, В и С, например при b = 0,П. Тогда ахс = §Pl/b\ тхс = 0, ахд = —3Pl/b\ тхА = 2ДР1/Ъ3, ахВ = 3Pl/b\ тхВ = 1,66Р1/Ь3.

Так как в точках А и В действуют одинаковые нормальные напряжения, но в точке А касательные напряжения больше, то, очевидно, что точка А опаснее точки В. Сравнивая же точки А и С, мы не можем сказать заранее, какая из них опаснее, так как хотя в точке А нормальные напряжения меньше, но они действуют одновременно с касательными напряжениями. Таким образом, мы снова пришли к проблеме, которая возникла в предыдущем примере, т.е. к проблеме расчета на прочность при одновременном действии нормальных и касательных напряжений.

Деформации в общем случае нагружения бруса

Получим потенциальную энергию деформации для общего случая деформации бруса. Для этого найдем сначала потенциальную энергию с/П, накопившуюся в элементе dx бруса. В результате возникновения в брусе шести внутренних силовых факторов элемент деформируется, т.е. ось элемента удлинится на величину edx. а сечение х + dx повернется относительно се

7 dx

чения х в плоскости ху на угол da = —, в плоскости х% — на угол dp = dx/pxz (см. рис. 9.6) и в плоскости zy (относительно оси ж) — на угол dp = 6 dx (6 — относительный угол закручивания бруса). На рис. 9.20 схематично показаны деформации оси

Рис. 9.20

вместе с теми внутренними силовыми факторами, которые совершают на перемещениях, вызванных этими деформациями, работу, накапливающуюся в элементе при его упругой деформации в виде потенциальной энергии деформаций. Левый конец элемента условно считаем неподвижным, т.е. введем оси координат, связанные с левым сечением. Важно отметить, что каждый

внутренний силовой фактор совершает работу только на соответствующем ему перемещении или угле поворота. Тогда при деформациях в пределе закона Гука

с/П = dH^ + d^Mz + dH-My + dA^Mk = 2^^ ^ж + 2^^

+ ^-M1Jdp+^MkdV = dx + dx + X — dx + ^Мк9 dx.

2222 Рху 2 Pxz 2

(9.3.1)

Суммируя по элементам бруса, получаем его потенциальную энергию деформации:

П = Г dn = ^ f M + — + — + MkoAdx =

J2 J X Pxy Pxz/

II

= | J (Ne + Mzkz + My^y + Mk0) dx. (9.3.2) i

Если оси ж, у — главные центральные оси сечения, то, как показано в разд. 9.1:

N1Mz1Му

Е = . = К,7 = , == ~ .

ЕЕрХуEJzpxzEJy

Добавив к этим соотношениям полученную в гл. 6 формулу 0 = = Mk/GJk^ мы можем легко получить одно из следующих выражений для П:

П =П =II■2■2EJz EJyEJz EJy(9.3.3)(9.3.3)

П =

П =

I

I

■2

■2

EJz EJy

EJz EJy

(9.3.3)

(9.3.3)

П = Д (EEs2 + EJzk2 + EJyK2 + GJk92) dx. (9.3.4) I

В проведенных рассуждениях пока не учтена энергия деформаций от напряжений тХу и txz^ связанных с перерезывающими силами Qy и Qz. В разд. 8.7 показано, что для достаточно длинных балок, т.е. для балок, деформацию изгиба которых удовлетворительно представляет гипотеза плоских сечений, перерезывающие силы дают малую в сравнении с изгибающими моментами энергию деформации. Однако в случае необходимости можно учесть и ее, добавив, например, к выражению (9.3.3) слагаемые (см. и. 8.7.3)

(9.3.5)

II

Полученные выражения нетрудно распространить на брус, ось которого в недеформированном состоянии имеет небольшую

кривизну (т.е. когда радиус кривизны велик по сравнению с максимальным размером сечения в плоскости кривизны). Ведь для такого бруса можно, как и ранее, считать, что внутренние силовые факторы совершают работу только на соответствующих им

Рис. 9.21Рис. 9.21перемещениях. Для этого рассмотрим показанную на рис. 9.21 деформацию оси элемента бруса с начальным ради- 1da°

Рис. 9.21

Рис. 9.21

усом кривизны оси — = —— в плос- РхуCIS

1da

кости жц. Если = — — кривиз-

рхуds

на оси бруса в деформированном состоянии, тогда его правое сечение при деформации повернется, относительно левого, на угол

77 о ds ds

da — da = — — ——.

ржуPxy

Поэтому при линейно-упругой деформации изгибающий момент Mz совер

шит на этом угле работу, которая накопится в элементе в виде

потенциальной энергии деформации:

(9.3.6)(9.3.6)(Ш-м, = ^мД—Д ds = ^MzKzds.2 \p$vР%)2

(9.3.6)

(9.3.6)

Здесь k,z — изменение кривизны оси бруса при изгибе в плоскости ху. Рассуждая так же, как в разд. 9.1, можно получить, что для бруса с малой начальной кривизной оси сохраняется пропорциональная зависимость между изгибающим моментом Mz и изменением k,z кривизны оси: k,z = MZ/EJZ. Таким образом, для такого бруса мы снова приходим к формулам (9.3.2)-(9.3.4), только суммирование в них будет производиться вдоль криволинейной оси s. Кстати, так как для прямого бруса кривизны недеформированной оси равны нулю, то для него k,z и ку являются также изменениями кривизны, произошедшим вследствие изгиба бруса.

Чтобы получить интеграл Мора для определения перемещений в общем случае деформации бруса, воспользуемся, как в и разделах 4.7 и 8.8, методом единичной нагрузки. Для это-

Рис. 9.22Рис. 9.22го рассмотрим двухэтапное нагружение бруса. На первом этапе нагрузим брус единичным усилием в направлении искомого перемещения (рис. 9.22 а). При этом точка В получит в направлении единичного усилия перемещение £#(!), на котором

Рис. 9.22

Рис. 9.22

это единичное усилие совершит работу А(1). Эта работа накопится в брусе в виде потенциальной энергии деформации П(1) = = А(1). Так как в результате действия единичного усилия в брусе возникли внутренние силовые факторы 7V(1), М^(1), Му(1), М^(1), то согласно (9.3.3)

таЧЛУ + У + ^ + УУ <9-3-7>

I

На втором этапе нагрузим брус основной нагрузкой, которая на рис. 9.22 б представлена силой Р. При этом сила Р совершит работу

(9.3.8) а единичная сила произведет работу 1 • 6в(Р) на искомом перемещении 5в(Р). Всего же за два этапа нагружения единичная сила и нагрузка Р производят работу

Л(1 + р) = Д(1) + А(Р) + 1 . 5в(ру (9.3.9)

Эта работа накопится в брусе в виде потенциальной энергии деформации П(1 + Ру которую найдем по возникшим в брусе силовым факторам:

Ml + F) = ^(l) + N(Py Mz(l + F) = Mz^ + М^РУ My(l + F) = M^l) + M^Py Мк(Д + F) = Mk^ + Mk(Py Поэтому

П(1 + Р) =

= 1 Г + Mj(l + P) 7^(1 + F) M^l + F)\=

2 J V EEEJZEJyGJk 7

I

2 J \/

I

ЦИЕ^УУР + ^ + УЕ'1^2 J \7

I

+ Г kN(PWW + AFTMT + AFTMW + MPPWkWX ds, v \I^1E) JzJуСт J"^)

(9.3.10)

Так как П(1 + Р) = Л(1 + Р), то из (9.3.8)-(9.3.10) получаем, что ?ЫР) =

= Г rMPWW + M^PW.W + m?pw?? + M^PWkWX dsJ \JEJ Е^EJ J2EJ Jу(j J к/

Разделим это равенство на единичное усилие и введем безразмерные единичные «внутренние силовые факторы» ^(l) = = Mi)/i, Ж(1) = мД1)/1, ЖД1) = м(1)/1, Ж(1) = м,(1)/1 как функции, которые для единичного вектора, совпадающего по направлению с искомым перемещением, строятся по тем же правилам, что и обычные внутренние силовые факторы. В результате приходим к интегралу Мора для общего случая нагружения бруса:

=

= Г (Щ1) + МДР)Ж(1) + M^PW.W + Mk(PWk№\ dgJ \EJ FEJ J2EJ JуGJ^ J

I

(9.3.11)

Так как деформации оси бруса связаны с внутренними силовыми факторами соотношениями

^к Mz Муд Мк

ЕР1 zEJ?у EJ? GJ?

то, рассуждая так же, как в и. 8.8.3, приходим к другой форме интеграла Мора:

8 = J (еХ(1) + кД/Д1) + куМу(1) + 0Mk(l))ds. (9.3.12)

Эта формула используется и в том случае, если деформация бруса вызвана не нагрузками, а какими-либо другими причинами, например нагревом.

Из рассуждений, аналогичных приведенным в пн. 4.7.3 и 8.3.3, ясно, что интеграл Мора в форме (9.3.12) можно применять и при деформациях бруса, которые не подчиняются закону Гука, т.е. при нелинейно-упругих и пластических деформациях.

Плоские статически определимые рамы

Рамами называют составленные из брусьев плоские или пространственные системы (конструкции), элементы которых работают преимущественно на изгиб и кручение. Рамами

являются, например, шпангоуты самолета, рама грузового автомобиля, каркас панельного здания и т.п. Примеры расчетных схем рам показаны на рис. 9.23.

Рис. 9.23Рис. 9.23

Рис. 9.23

Рис. 9.23

Рис. 9.24Рис. 9.24

Рис. 9.24

Рис. 9.24

Если оси жесткости составляющих раму элементов расположены в одной плоскости и в этой плоскости лежат также и дей-

ствующие на раму нагрузки, то такую раму называют плоской. Она изгибается только в своей плоскости. Если же оси жесткости рамы не лежат в одной плоскости, как, например, у составленного из балок швеллерного сечения рамы (рис. 9.24), то она под действием нагрузки в плоскости ху не только изгибается, но и закручивается (см. пример 9.3).

В дальнейшем ограничимся рассмотрением таких плоских рам, у сечений которых имеется

хотя бы одна ось симметрии, лежащая в плоскости рамы. Так как всегда ось симметрии сечения проходит через его центр изгиба, то у такой рамы оси жесткости элементов лежат в плоскости рамы.

Будем вводить такую систему координат, чтобы рама лежала в плоскости ху, а ось z была бы нормальна к плоскости рамы. С помощью метода сечений легко убедиться, что действующие в плоскости рамы нагрузки вызовут в раме появление только тех внутренних силовых факторов, которые лежат в плоскости рамы, т.е. продольной силы N, изгибающего момента Mz и перерезывающей силы Q. Они показаны на рис. 9.25 для рамы, данной на рис. 9.23 а. Для рам удобно вводить координату s вдоль оси брусьев, составляющих раму. Тогда знаки

для Q и Mz логично ввести так, как показано на рис. 9.26. В таком случае при совмещении элемента рамы с элементом бал-

Рис. 9.25Рис. 9.25Рис. 9.26Рис. 9.26

Рис. 9.25

Рис. 9.25

Рис. 9.26

Рис. 9.26

ки (см. рис. 8.5) положительные направления перерезывающих сил и изгибающих моментов для них совпадут. Растягивающая

Рис. 9.27Рис. 9.27Рассуждая точно так же, как вРассуждая точно так же, как впродольная сила по-прежнему считается положительной.Рассмотрим равновесие элемента ds рамы, показанного на рис. 9.27. Радиус кривизны его оси обозначен через ро- Тогда da^ = ds/р^. Кроме внутренних силовых факторов N^ Q. MZl на элементы действует погонная нагрузка интенсивностью q. Составляющие ее по нормали к оси s рамы и вдоль нее обозначены как qn и qs. пн. 4.1.2 и 8.1.1, приходим изпродольная сила по-прежнему считается положительной.Рассмотрим равновесие элемента ds рамы, показанного на рис. 9.27. Радиус кривизны его оси обозначен через ро- Тогда da^ = ds/р^. Кроме внутренних силовых факторов N^ Q. MZl на элементы действует погонная нагрузка интенсивностью q. Составляющие ее по нормали к оси s рамы и вдоль нее обозначены как qn и qs. пн. 4.1.2 и 8.1.1, приходим изусловий равновесия элемента к следующим соотношениям:условий равновесия элемента к следующим соотношениям:

Рис. 9.27

Рис. 9.27

Рассуждая точно так же, как в

Рассуждая точно так же, как в

продольная сила по-прежнему считается положительной.

Рассмотрим равновесие элемента ds рамы, показанного на рис. 9.27. Радиус кривизны его оси обозначен через ро- Тогда da^ = ds/р^. Кроме внутренних силовых факторов N^ Q. MZl на элементы действует погонная нагрузка интенсивностью q. Составляющие ее по нормали к оси s рамы и вдоль нее обозначены как qn и qs. пн. 4.1.2 и 8.1.1, приходим из

продольная сила по-прежнему считается положительной.

Рассмотрим равновесие элемента ds рамы, показанного на рис. 9.27. Радиус кривизны его оси обозначен через ро- Тогда da^ = ds/р^. Кроме внутренних силовых факторов N^ Q. MZl на элементы действует погонная нагрузка интенсивностью q. Составляющие ее по нормали к оси s рамы и вдоль нее обозначены как qn и qs. пн. 4.1.2 и 8.1.1, приходим из

условий равновесия элемента к следующим соотношениям:

условий равновесия элемента к следующим соотношениям:

(9.4.1)

dM, _ dsdM, _ ds(9.4.2)

dM, _ ds

dM, _ ds

(9.4.3)

Соотношение (9.4.1) является аналогом дифференциальной зависимости (4.1.2) и для элементов рамы с прямолинейной осью (1/ро = 0) полностью совпадает с ним. Точно так же соотношение (9.4.2) обобщает зависимость (8.1.1) на криволинейные элементы плоских рам. А равенства (9.4.3) и (8.1.2) совпадают полностью.

Рассматривая равновесие элемента рамы, выделенного около сечения, в котором приложены сосредоточенные силы или моменты, можно без труда получить соотношения, обобщающие на рамы ранее построенные для бруса соотношения (4.1.3) и (8.1.4). Общий вывод здесь, по существу, тот же, что ивпп. 4.1.3и8.1.2: в окрестности сечения, где приложен сосредоточенный внешний силовой фактор, соответствующий внутренний силовой фактор претерпевает скачок, причем на величину, равную сосредоточенному внешнему фактору.

Все это позволяет распространить на рамы те приемы построения эпюр внутренних силовых факторов, которые использовались для бруса (см. гл. 4) и балки (см. гл. 8). Напомним, что в основе этих приемов лежит метод сечений.

Для определения перемещений в плоскости рамы можно воспользоваться интегралом Мора (9.3.11), (9.3.12), с учетом того, что в плоских рамах М^ = 0 и М^ = 0. Поэтому интеграл Мора для плоских рам имеет вид

а = J р^*1’ + d» (9.4.4)

I z

J (sX(l) + KzMz(l))ds. (9.4.5)

I

Первое слагаемое в этих интегралах составляет долю перемещения, образующуюся за счет удлинений и укорочений оси элементов рамы, а второе — долю за счет изгиба оси.

Оценим порядок слагаемых в интеграле (9.4.4). Если b — характерный размер поперечного сечения рамы, то F = 0(62), J7 = = 0(64). При нагружении рамы сосредоточенными силами, величина которых имеет порядок 0(F), порядок MZ(P) будет равен O(FZ), 0(МД1)) = 0(Z), 0^(F)) = 0(F), 0(7V(l)) = 0(1) (Z - характерный размер оси рамы). Учитывая, что порядок произведения равен произведению порядков сомножителей, получим для (9.4.4)

ОМ) = от [+ 2TW01 = 0 (Го 0(1)1

W W [ 50(Ь2) + Е0(М) ] U(M)/ L VZ27 + 4 ‘

Отсюда следует, что так как характерный размер в сечении рамы значительно меньше характерного размера I ее оси, то первое слагаемое в интеграле (9.4.4) мало в сравнении со вторым и его можно не учитывать. Поэтому обычно для плоских рам достаточную точность при определении перемещения обеспечива-

Рис. 9.28Рис. 9.28ет использование интеграла Мора, учитывающего перемещение только от изгиба их элементов:

Рис. 9.28

Рис. 9.28

5 = J ЛЕЧАТ ds;(9.4.6)

5= J KzMz(l)ds.(9.4.7)

I

Исключение составляют только те случаи нагружения рам, когда изгибающие моменты в них либо равны нулю, как для рамы, приведенной на рис. 9.28, либо их появление

вызвано деформациями удлинения оси элементов рамы. Последний случай характерен для некоторых статически неопределимых рам, и мы рассмотрим его в гл. 10.

Пример 9.5. Рассмотрим раму, показанную на рис. 9.23 а. Сначала определим реакции, возникающие в ее опорах. Для этого воспользуемся уравнениями равновесия:

У2 Ма = о : RBy • 3Z - Р • 21 = 0 -А RBy = |р,^ мв = 0 : Р + Р ■ 3Z - RAy • 3Z = 0 -А RAy = |р,Проверка: ^ Ру = 0? ~Р “ Р + ^Р + |Р = 0!>

^ Рх — 0 : Rax — Р•

Эти реакции показаны на рис. 9.25.

Так как на раму не действуют распределенные нагрузки, то на ее прямолинейных участках внутренние силовые факторы либо постоянны, либо меняются линейно. На рис. 9.29 приведены отсеченные части, из условия равновесия которых удобно определить TV, Q и Mz в характерных сечениях. На рисунке показаны положительные направления N, Q и Mz в соответствии с рис. 9.26 и с указанным на рис. 9.25 положительным направлением отсчета координаты s.

На рис. 9.30 дана отсеченная часть для криволинейного участка рамы.

Из условий равновесия легко получить аналитические выра

жения:

2

N = — -Р cos ср — Р sin у?,

2

Q = Р cos у? — -Р sin у?,

Mz = ^Р^ Icos ^) — Р^ siR V- На рис. 9.31 показаны эпюры N^ Q и Mz. Эпюра М^ как и в балках, построена со стороны сжатых волокон. На криволинейном участке Mz

достигает максимального для этого

участка значения. СоответствующийРис- 9,30

ему угол (^о легко найти из условия Q^fp^ = 0. Получаем tg с^о

= -, поэтому у?о = 56 20 .

Если сечение рамы постоянно, то опасным будет сечение вблизи точки С на вертикальном участке, так как в нем максимальный изгибающий момент M^max = -Р1 действует совместно с наибольшим продольным усилием — сжимающей силой N = = — -Р. В этом сечении

3

^pmax -

I I _ М, _ N l^cmaxl -р.

Оценим слагаемые в этих выражениях. Пусть сечение рамы — квадратное, со стороной а. Тогда для него Wz = 1 з г 2 — CL . .Г — CL И 6’

„- ЯР1 _ 4 Р - RPl (1

°рmax — о~т o' —9 — ° —з \ 4

1а5 За2 а6 у

Так как а ^1. то вторым слагаемым в скобках, т.е. напряжениями от продольной силы по сравнению с напряжениями от изгибающего момента, можно пренебречь. Такая ситуация обычна для рам. Исключение составляют те случаи, о которых упоминалось в п. 9.4.3. Поэтому при расчете на прочность плоских

рам обычно учитывают только напряжения от их изгиба и усло

записывают так же, как и для балок

вия прочности для нихвия прочности для нихРис. 9.32Рис. 9.32(см. разд. 8.5), например, в случае, когда материал одинаково работает на растяжение и сжатие, они сводятся к условию

вия прочности для них

вия прочности для них

Рис. 9.32

Рис. 9.32

На основе этого условия можно произвести проектировочный или поверочный расчет точно так же, как это делалось для балок (см. разд. 8.5).

Найдем угол поворота сечения С рассмотренной рамы. Для вычисления интеграла Мора приложим в сечении С единичный момент и найдем МД1). Эпюра МД1) показана на рис. 9.32. Там

же показана отсеченная часть для криволинейного участка, из

условия равновесия которой следует, что

Mjl) = Д(/ - /cos Д = -|(1 - cos Д.

Заметим, что так как при вычислении интеграла Мора необходимо вычислять произведение МДР)М Д1), то в выборе направления МД1) и координаты ср сечения на криволинейном участке мы не вольны. Они должны быть такие же, как и при определении MZ(P) (см. рис. 9.30).

Интеграл Мора для прямолинейных участков можно вычислить по способу Верещагина. В результате получаем

ес , f ".<w<i)& , i К |и/ У У

J EJZEJZ 1 2 33 3

I

- Р^р/ + |р0 I ■ | + ^pu -h + Ц \pu (h + ^+

2 кз 3 73322 3\33 3 7

тг/2

О

PZ2 Г 45.1.5 l/o nJ л nor Pl2

Для вычисления интегралов по криволинейным участкам можно воспользоваться табл. 9.1.

ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ275

1L —

IL

ch£ uis - —— ch uis

' I

ch SOD (ch SOD — x)

0

ch _UISch SOD — T

ch uis (ch sod — x)

г+т

£

c6g uis - + ch uis £ — ch^

b^soa- l)

U

ch uis — ch

ch sod — x

0

s

0

d) —

ch sod ch uis

IL

£

IL

2 U

(ch7 uis - + ch) ) - \' T / I

ch gSOD

IL

5

IL

U

( ch)7 uis - — ch) ) - \' T / I

ch guis

0

I-

0

I

ch uis

ch SOD

0

5

I

(h) SOD —

ch uis

0

^p R/ J

^2

^(г/е)

0

-P W J

^P^f J

0

Гб у h и г g у х

Пространственные статически определимые рамы

Пример пространственной статически определимой рамы показан на рис. 9.23 б. В сечениях такого рода рам могут возникнуть все шесть внутренних силовых факторов.

Так же, как и для плоских, для пространственных рам обычно напряжения и деформации, связанные с действием продольных и перерезывающих сил, малы по сравнению с напряжениями и деформациями от изгиба и кручения. Поэтому в расчете на прочность и при вычислении перемещений учитываются только последние. Исключение составляют лишь те специальные случаи, когда изгиб и кручение рамы происходят лишь вследствие деформаций растяжения-сжатия ее элементов.

Таким образом, для вычисления перемещений достаточно воспользоваться следующими выражениями для интеграла Мора:

Г гмфр)Ж(1) , M^PW.W , mapWAiA^

J L EJZ EJу G Jk J

1 (9.5.1)

6= J [KzMz(i) + KyMy(i) + eMk(i)]ds.

I

Здесь s — координата вдоль оси рамы.

При расчете на прочность пространственных рам необходимо учитывать, что в их сечениях одновременно действуют нормальные и касательные напряжения. Эта проблема уже возникла ранее в примерах 9.3 и 9.4. Способы ее решения будут рассмотрены в гл. 11.

Пример 9.6. Определим угол поворота а свободного конца рамы в плоскости AOD (рис. 9.23 б). Для этого сначала найдем изгибающие и крутящие моменты, возникающие в раме от действия приложенных к ней сил Р. Отсеченные части, из равновесия которых они определяются, изображены на рис. 9.33.

Для определения а нагрузим свободный конец рамы безразмерным единичным моментом в плоскости AOD. Отсеченные части для определения МД1), М^(1) и МД1) изображены на рис. 9.34. Во всех сечениях показаны только те внутренние силовые факторы, которые в них не равны нулю.

На рис. 9.35 представлены эпюры моментов MZ(P^ Му(Р^ М^Р\ Mz(iy Му(1\ МД1). Эпюры изгибающих моментов расположены со стороны сжатых волокон в тех плоскостях, в которых они действуют, а для эпюр М^ использовано введенное в гл. 6 правило знаков: М^ > 0, если со стороны внешней нормали к сечению видно, что этот момент поворачивает отсеченную часть против часовой стрелки.

Для построения аналитических выражений иногда удобно пользоваться проекциями отсеченных частей на плоскость, в которой лежит криволинейная часть рамы. Они показаны на рис. 9.36 а, б. Причем на рис. 9.36 б моменты представлены их векторами. Из этих рисунков следует:

МДР) = Pl sin у?, М^(Р) = Р1(Д — cos у?),МД1) = —1 • sin у?, М^(1) = 1 • cosy?.

Рис. 9.35Рис. 9.35

Рис. 9.35

Рис. 9.35

Таким образом, угол поворота сечения D в плоскости AOD (см. рис. 9.23 5) будет равен

« = До / М2(РЖ(1)^ + М^ J Mk(PWkWd8 + ' CDк CD

+ Дс J М^М^Д J Mk(P)Mk(l)ds = w BCk AB

тг/2

= -Де J Pl sin <p(-sin <p)ld<p +

' о

тг/2

+ Дтт / Pl(l -cos <p) cos <pld<p —Ду • |(2F/ + F/)/ • 1-

3 Pl2 _ 2P122 EJBC GJ*B ‘3 Pl2 _ 2P122 EJBC GJ*B ‘1 2РП • 1 = —+ ^

3 Pl2 _ 2P12

2 EJBC GJ*B ‘

3 Pl2 _ 2P12

2 EJBC GJ*B ‘

l-lcostol-lcostoРис. 9.36Рис. 9.36Gjab ^“1 EJCD 4 GJCD

l-lcosto

l-lcosto

Рис. 9.36

Рис. 9.36

Витые пружины

С помощью разработанных в этой главе методов можно легко решить вопрос о напряжениях и деформациях, возникающих в витых пружинах, которые являются широко распространенным элементом самых различных конструкций. В зависимости от характера работы витые пружины подразделяются на пружины растяжения, сжатия и кручения (рис. 9.37). Если

Рис. 9.37

отвлечься от особенностей конструктивного выполнения концов пружин, то их рабочая часть может быть рассмотрена как про-

Рис. 9.38 странственный стержень, ось которого обычно является винтовой линией. Параметрами винтовой линии, которая на рис. 9.38

изображена на поверхности образующего цилиндра, являются диаметр витка D. угол подъема а и число витков п. Подъем витка можно задать также шагом з, который связан с а очевидным соотношением

(9.6.1)(9.6.1)s = ivD tg а.

(9.6.1)

(9.6.1)

Поперечное сечение проволоки, из которой навита пружина, обычно бывает круглым, но используются также пружины из

ааРис. 9.39Рис. 9.39проволоки с квадратным и прямоугольным сечением.

а

а

Рис. 9.39

Рис. 9.39

Рассмотрим пружины растяжения. Под действием внешней силы Р в поперечном сечении образующего пружину бруса возникает внутренняя сила Р и момент M=PD/2 (рис. 9.39 а^ уравновешивающий образованную

Q = Feos а,М^ = — М cos а = — |FDcosa,Q = Feos а,М^ = — М cos а = — |FDcosa,TV = Р sin а,(9-6.2)Мизг = Msina = -PDsma.TV = Р sin а,(9-6.2)Мизг = Msina = -PDsma.внешней и внутренней силами Р пару сил. Внутренние силовые факторы, действующие в сечении бруса, получим, раскладывая Р и М по осям ху, связанным с этим сечением (рис. 9.39 б);

Q = Feos а,

М^ = — М cos а = — |FDcosa,

Q = Feos а,

М^ = — М cos а = — |FDcosa,

TV = Р sin а,

(9-6.2)

Мизг = Msina = -PDsma.

TV = Р sin а,

(9-6.2)

Мизг = Msina = -PDsma.

Так как нас интересует удлинение пружины в направлении силы Р, то единичной нагрузкой для вычисления этого перемещения с помощью интеграла Мора будет единичная сила, совпадающая по направлению с Р. Поэтому отсеченная часть при единичном нагружении будет выглядеть аналогично показанной на рис. 9.39, но только при Р = 1. Поэтому внутренние силовые факторы единичного состояния будут

(9.6.3)(9.6.3)Q(l) = cos a, TV(1) = sina,Mfe(l) =-^Pcosa, Мизг(1) = ^Psina.

(9.6.3)

(9.6.3)

Перерезывающая сила Q и продольная сила TV вносят малый вклад в общую деформацию пружины. В этом читатель может убедиться самостоятельно, проведя оценки, аналогичные данным в пн. 8.7.2 и 9.4.3. Поэтому в общем выражении интеграла

Мора (9.3.11) остаются только два слагаемых:

д = Г мкмк^ dl + С мизгмизг(1) dlиGJkJ EJZ

II

Угол а для витых пружин обычно мал (менее 10°). Поэтому с достаточной для практических расчетов точностью можно положить, что I = mvD (п — число витков рабочей части), cos2 а ~ 1 и sin2 а^О. Таким образом, видим, что удлинение пружины накапливается практически только за счет кручения образующего ее винтового стержня и равно

5(9.6.4)

Для пружины, навитой из круглой проволоки диаметром cZ, J^ = 7rd4

= Jp = —-- и из (9.6.4) получаем

е 8PnD3г\

< =(9.6.5)

Так как образующий пружину растяжения-сжатия витой стержень работает в основном на кручение, то в нем преобладают касательные напряжения и

_ \Мк\ _ PD

max Wk 2Wk'

Для круглой проволоки И^/г = 7T(Z3/16 и ттах = = 8РР/ТГ(/3.

Для пружины кручения (рис. 9.40 а) наибольший интерес представляет угол поворота одного ее конца относительно другого при нагружении ее моментом М. Как видно из рис. 9.40 5, для

нее Мизг = М cos а, М^ = М sin а. При нагружении ее единичным моментом, совпадающим по направлению с М, появляются Мизг(1) = cos а и МД1) = sin а. Ввиду малости угла а кручение вносит малый вклад в деформацию пружины. Поэтому, полагая cos2 получаем

С М-азрМ(1) ут MtvDtl

~ J ЁЛ “ EJ, ‘

I

Определяющими в пружине кручения являются нормальные напряжения изгиба, и так как Мизг « М, то

^тах — M/Wz.

Рассмотренный здесь подход без принципиальных трудностей можно распространить и на витые нецилиндрические пружины.

Выше мы неявно предполагали, что диаметр проволоки d мал по сравнению с диаметром пружины D. Если это условие не выполнено, то возникает необходимость учета кривизны витого бруса, а иногда и перерезывающей силы Q.

Теоремы взаимности работ и перемещений. Теорема Кастилиано

В разд. 9.3 была получена потенциальная энергия деформации бруса. Она дает нам один из примеров потенциальной энергии деформации упругого тела. Являясь некоторой интегральной характеристикой напряженно-деформированного состояния тела, эта энергия обладает рядом общих свойств, ко-

Рис. 9.41Рис. 9.41торые можно эффективно использовать при изучении состояния тела. Здесь мы остановимся на некоторых из этих свойств.

Рис. 9.41

Рис. 9.41

Рассмотрим линейно-упругую деформацию тела, закрепленного так, что исключены его смещения как жесткого тела, под действием сил Pi, Р-2 приложенных в точках 1 и 2 (рис. 9.41). Обозначим через ф перемещение точки 1 в направлении силы

Р1. Если это перемещение вызвано силой Pi, то запишем его как Ф(Р1). Точно так же, ф(Р2) — перемещение точки 1 в направлении Pi, но от силы Р2. Аналогично £2 (А) и ^2(^2) — перемещения точки 2 в направлении силы Р2, которые образовались в результате действия сил Pi и Р2 соответственно.

Пусть сначала тело нагружается силой Pi. Эта сила совер

шит при своем возрастании от нуля до конечного значения работу |Р1Ф(Р1). Далее приложим к телу силу Р^. Она совершит

работу |Р2^2(Т2). Но по мере роста этой силы точка 1 также получит перемещение 5ДР2), на котором сила Pi произведет работу Р1Ф(Р2). Всего в результате суммарного нагружения силы Р1 и Р2 совершат работу

^ШЩ + ^F2<52(F2) + Р^^ШЩ + ^F2<52(F2) + Р^(9.7.1)(9.7.1)

^ШЩ + ^F2<52(F2) + Р^

^ШЩ + ^F2<52(F2) + Р^

(9.7.1)

(9.7.1)

которая накопится в теле в виде потенциальной энергии деформации.

Изменим порядок нагружения, т.е. приложим сначала силу ?2 , а потом Pi. Тогда они произведут работу

^ЫР^Н ^ШР1Н P-MP1V (9-7.2) которая также перейдет в потенциальную энергию деформации тела.

Так как при упругой деформации конечное напряженно- деформированное состояние не зависит от порядка приложения нагрузок, то два выражения (9.7.1) и (9.7.2) для потенциальной энергии деформации тела в конечном состоянии должны быть равны. Сравнивая их, видим, что

РМР^=РМР1\ (9.7.3)

А это равенство означает, что работа первой силы на перемещении точки ее приложения, вызванном действием второй силы, равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы.

Это утверждение и составляет содержание теоремы взаимности работ. Для случая двух сил эта теорема была доказана в 1864 г. Д. Максвеллом. Но, как следует из самого понятия обобщенных сил и обобщенных перемещений, соотношение (9.7.3) не изменится, если под Pi и Р2 понимать обобщенные силы, а под ф и §2 — соответствующие им обобщенные перемещения. Это было впервые понято итальянским ученым Е. Бетти в 1872 г. Как мы уже отмечали в связи с интегралом Мора, работа Д. Максвелла осталась незамеченной, и Е. Бетти сформулировал теорему взаимности работ независимо. Поэтому ее часто называют теоремой Бетти.

Если силы Pi и Р2 равны по величине, то из (9.7.3) следует, что

5i№) = ЫР1), Щ1| = Щ2|- (9.7.4)

Это соотношение называют теоремой взаимности перемещений*. перемещение точки 7, вызванное силой, приложенной в точке 2, равно перемещению точки 2 под действием такой же по величине силы, приложенной в точке 7.

Напомним, что речь идет о перемещениях точек приложения сил по направлению этих сил.

С помощью теорем взаимности удается достаточно просто разрешить ряд вопросов, которые другими способами решаются громоздко. Примеры применения теорем взаимности даны в разд. 11.3, где доказывается симметрия тензора упругих коэффициентов анизотропного материла, и в разд. 10.2, где из теоремы взаимности перемещений сразу следует симметрия коэффициентов матрицы канонических уравнений метода сил.

Другое общее энергетическое соотношение дал в 1873 г. также итальянский ученый А. Кастилиано.

Рис. 9.42Рис. 9.42п+^№-п+^№-(9.7.5)(9.7.5)Рассмотрим упругое тело, закрепленное от смещений как жесткого тела и нагруженное силами Pi, Р2, ..., Рп (рис. 9.42). Работа этих сил при упругой деформации накопится в теле в виде потенциальной энергии деформации П. Пусть П тем или иным способом удалось выразить как функцию сил Р^ т.е. П = = П(Р1,..., Рпу Дадим одной из сил, например Р^, приращение dPi (см. рис. 9.42). Тогда и энергия деформации тела изменится и станет равной

Рис. 9.42

Рис. 9.42

п+^№-

п+^№-

(9.7.5)

(9.7.5)

Давая силе Р^ приращение dP^ мы по существу сначала нагружаем тело силами Pi, ..., Pn, а потом силой dP^. Изменим порядок нагружения. Сначала приложим силу dPi. При этом в точке приложения силы появится малое пе

ремещение d§i в направлении этой силы, на котором сила dP, совершит упругую работу | dP^ d6i. Приложим затем к телу все

силы Pi, ..., Рп. Эти силы совершат работу, которая накопится в теле в виде потенциальной энергии деформации П(Р1,... ^Рпу Кроме того, при этой деформации тела сила dP^ оставаясь неизменной, переместится вместе со своей точкой приложения на величину ее перемещения 5^ и при этом совершит работу dP^y. которая также перейдет в потенциальную энергию деформаций. Таким образом, при таком нагружении потенциальная энергия деформации тела равна

(9.7.6)(9.7.6)dPi ddi + П + dP, бг. Г)661166

(9.7.6)

(9.7.6)

Заметим, что здесь сила dP^ ведет себя точно так же, как единичная сила при выводе интеграла Мора (см. п. 9.3.2).

апдРг*апдРг*Так как потенциальная энергия деформации упругого тела не зависит от порядка приложения сил, а определяется только его конечным состоянием, то выражения (9.7.5) и (9.7.6) равны. Отсюда, пренебрегая в (9.7.6) первым слагаемым, которое имеет высший порядок малости, получаем

ап

дРг*

ап

дРг*

(9.7.7)

Это и есть теорема Кастилиано: частная производная от потенциальной энергии деформации по внешней силе равна перемещению точки прилоснсения этой силы в направлении самой

силы.

Как и ранее, во всех проведенных рассуждениях силы Pi, ... ... Рп могут пониматься как обобщенные силы, а перемещение их точек приложения ф, ..., 6п — как соответствующие этим силам обобщенные перемещения.

Анализируя вывод теоремы Кастилиано, замечаем, что для ее выполнения достаточно соблюдения двух условий:

Деформированное состояние тела должно однозначно определяться действующими на него нагрузками, тогда потенциальная энергия деформации тела, представленная как функция этих нагрузок, будет однозначной функцией этих нагрузок.

Работа внешних сил при переходе из недеформированного состояния в деформированное не должна зависеть от порядка

приложения этих сил.

Оба этих условия выполняются, если тело линейно-упруго, справедлив принцип малости деформаций и внешние силы консервативны.

Рассмотрим примеры использования теоремы Кастилиано для определения перемещений.

Пример 9.7. Определим про

гиб конца консольной балки, нагру-Рис- 9-43

женной силой Р (рис. 9.43). Ее потенциальная энергия дефор

мации

п И м л 1

П = - I —Д- ах = ———-

J EJZ 2EJZ

Тогда прогиб консоли 5 = ЭП/ЭР = ^Pl3/EJZ. Подсчитав этот прогиб с помощью интеграла Мора, читатель может легко убедиться в совпадении результатов.

Пример 9.8. Теорему Кастилиано можно использовать для вывода интеграла Мора. Чтобы избежать громоздких выкладок, покажем, как это можно сделать, на примере изгиба балки. В примере 9.7 было определено перемещение точки приложения силы. В общем случае, когда нужно найти прогиб произвольной точки, например прогиб 5д точки А на рис. 9.44, введем фиктивную силу Ф, приложенную в этой точке. Идея состоит в том, чтобы найти 5д как функцию Р и Ф. Тогда искомый прогиб будет равен значению этой функции при Ф = 0. По принципу суперпозиции, MZ(P + Ф) = MZ(P) + М^(Ф).

Поэтому потенциальная энергия деформации будет

п = 1 г м = 1 Г мю±ТАЕТАМ±№г

2 Ej Jz2Ej Jz

II

Прогиб 6А(Р,Ф) получим как

W^ = a^W^ = a^Г МЛР^ ЭМА^J ЕР 9ФГ МЛР^ ЭМА^J ЕР 9ФМА^ дМ^ЕР дФМА^ дМ^ЕР дФdx.dx.

W^ = a^

W^ = a^

Г МЛР^ ЭМА^

J ЕР 9Ф

Г МЛР^ ЭМА^

J ЕР 9Ф

МА^ дМ^

ЕР дФ

МА^ дМ^

ЕР дФ

dx.

dx.

— изгибающий момент от единичной силы, приложенной в точке А. Поэтому дМ^/дФ = = 714^(1). Учитывая это, а также то, что М^(Ф = 0) = О, приходим к интегралу Мора:

ЕРЕРdx.dx.SaU^ Ф)|ф=о = 6д =

ЕР

ЕР

dx.

dx.

Рис 9 44Этот способ получения инте' 'грала Мора называется ме

тодом фиктивной нагрузки. Он без труда может быть обобщен на случай произвольно нагруженного бруса.

Контрольные вопросы

С какими внутренними силовыми факторами связаны нормальные напряжения в поперечном сечении бруса?

Как распределяются нормальные напряжения в поперечном сечении бруса в общем случае его деформации? Как при этом определяется нейтральная линия, и в каких точках сечения будут действовать наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения?

Как проходит нейтральная линия в поперечном сечении при косом изгибе?

Как определяются перемещения при косом изгибе?

Как проходит нейтральная линия сечения в случае внецентренного растяжения-сжатия? Почему надо стремиться к соосности нагрузки и оси бруса?

Почему в тонкостенных сечениях касательные напряжения, связанные с различными внутреними силовыми факторами, нужно суммировать алгебраически, а в нетонкостенных — геометрически?

Из каких слагаемых складываются потенциальная энергия деформации прямого бруса в случае общего нагружения?

Какие две формы записи интеграла Мора вы знаете? Какая из них является более общей и может быть применена при нелинейно-упругих и пластических деформациях?

Какие внутренние силовые факторы могут возникнуть в поперечных сечениях плоской рамы? Какое правило знаков принимается для них?

Какие деформации элементов плоской рамы преимущественно учитываются при определении ее перемещений? В какой форме при этом записывается интеграл Мора?

Какие напряжения учитываются обычно при расчете на прочность плоских рам? Как проводится такой расчет?

Какие деформации преимущественно учитывают при расчете перемещений пространственных рам? В какой форме записывается при этом интеграл Мора?

Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении витка пружины? Какие из них вносят основной вклад в общую деформацию пружины?

По каким, в основном, напряжениям ведут расчет на прочность пружин растяжения (сжатия) и кручения соответственно?

В чем заключается содержание теорем взаимности работ и взаимности перемещений?

Сформулируйте теорему Кастилиано. При каких условиях она выполнима? Как она используется для определения перемещений?

Задачи

Шарнирно опертая балка (рис. 9.45) выполнена из равнополочного уголка № 7,5 (d = 5 мм). Найти допускаемое значение силы Р и величину пе

Рис. 9.45Рис. 9.45ремещения ее точки приложения 5, если [сг] = 150 МПа, Е = 2 • 105 МПа, а = 0,5 м.

Рис. 9.45

Рис. 9.45

Для консольной балки (рис. 9.46), нагруженной силой Р в центре тяжести концевого сечения, найти раз-

мер Ь поперечного сечения, имеющего форму четверти круга (см. задачу 7.4). Принять Р = 10 кН, [сг] = 120 МПа, I = 1,5 м.

Равнополочный уголок № 7,5 (см. задачу 9.1) растягивается силой Р, как это показано на рис. 9.47. Определить запас

прочности уголка, если Р = 12,5 кН, щ = 240 МПа. Какой уголок при этом же запасе прочности понадобится, если силу Р

Рис. 9.47Рис. 9.47Рис. 9.46Рис. 9.46приложить вдоль его оси? Какой будет выигрыш в массе при этом?

Рис. 9.47

Рис. 9.47

Рис. 9.46

Рис. 9.46

Для трех плоских рам, показанных на рис. 9.48, построить эпюры N, Q. Mz. Кроме того, определить в буквенных выражениях для рамы на рис. 9.48 а вертикальное перемещение 5а точки А; для рамы на рис. 9.48 б — горизонтальное перемещение 6 в точки В, а для рамы на рис. 9.48 в — угол поворота сечения ад в точке А и размеры поперечного сечения тонкостенной трубы, из которой выполнена эта рама, приняв [ст] = 150 МПа, q = 1 кН/м, а = 0,5 м и отношение среднего диаметра трубы к толщине стенки, равным 20.

Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов в пространственных рамах (рис. 9.49) и определить в буквенных выражениях угол поворота свободного конца рамы на рис. 9.49 а в

плоскости действия распределенной нагрузки, а также горизонтальное перемещение точки А рамы на рис. 9.49 б в плоскости

Рис. 9.49Рис. 9.49

Рис. 9.49

Рис. 9.49

действия сосредоточенного момента. Рамы выполнены из прутка диаметром d. модуль сдвига G принять равным 0,45. Считать, что d ^а.

10 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

ГЛАВА 10

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.

МЕТОД СИЛ

Напомним, что статически неоиределимими системами называются такие, внутренние силовые факторы в которых нельзя определить только с помощью уравнений равновесия (статики). Простейшие такие системы, образованные из элементов, работающих только на растяжение-сжатие, мы уже рассматривали в разд. 4.5, 4.6. Дополнительные уравнения для определения продольных сил в стержнях этих систем были построены из условий совместного деформирования их элементов. То же самое относится и к рассмотренному в примере 6.2 статически неопределимому брусу, работающему на кручение.

Для сложных статически неопределимых систем построение условий совместного деформирования элементов затруднительно. Поэтому были разработаны специальные методы для решения таких систем. Среди них наиболее прозрачным и эффективным является метод сил. С его помощью можно сравнительно легко найти внутренние силовые факторы и деформации для наиболее распространенных не очень сложных конструкций.

В последние годы для сложных конструкций создан ориентированный на использование ЭВМ метод конечных элементов. Этот метод изучается в курсе строительной механики. Он реализован в виде универсальных программ для ЭВМ, которые позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние сложных конструкций. Один из вариантов метода конечных элементов базируется на идеях метода сил.

Степени свободы, связи, степень статическойнеопределимости

Чтобы судить о том, является ли сложная система статически определимой или статически неопределимой, нет

необходимости составлять для нее систему уравнений равновесия. Для этого разработан метод анализа структуры системы, основанный на выработанных теоретической механикой понятиях связей и степеней свободы. Напомним об этих понятиях

на примере стержневых систем, так

как они являются нашим основным объектом изучения.

Степенями свободы называются независимые координаты, определяющие положение системы при ее движении. Например, положение стержня на плоскости (рис. 10.1)

определяется координатами жд, ул

его точки А и углом а с осью ж пря-Рис- 1011

молинейного участка АВ. Поэтому стержни на плоскости имеют три степени свободы. Положение этого же стержня можно определить, задав координаты его точек Л и В, но эти четыре координаты не являются независимыми, так как длина I участка АВ задана. Поэтому между этими координатами имеется зави

симость

Щ - ха)2 + (ув - Уа)2 = I2,

которая позволяет по любым трем координатам найти четвертую. Таким образом, среди координат точек А и В независимы только три. Этот пример демонстрирует очень важный факт: число степеней свободы не зависит от выбора системы координат, описывающей положение системы.

Тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Это сле

дует из того, что произвольное перемещение тела можно рассматривать как результат шести независимых движений: трех

плоско-параллельных движений вдоль координатных осей и трех поворотов относительно этих осей.

Показанная на рис. 10.2 система из двух стержней АВ и

как этикак этив плоскости ж?/, такв плоскости ж?/, такРис. 10.2Рис. 10.2CD имеет шесть степеней свободы стержни между собой не связаны и каждый из них имеет три степени свободы.

как эти

как эти

в плоскости ж?/, так

в плоскости ж?/, так

Рис. 10.2

Рис. 10.2

На рис. 10.2 дана также система EFG из двух стержней, шарнирно связанных друг с другом в точке F. Видно, что положение этой системы определяется координатами точки Е и углами а и р. Поэтому у этой систе-

мы четыре степени свободы. Таким образом, скрепление стержней в точке F с помощью шарнира уменьшило число степеней

свободы на две. В этом случае на систему из двух стержней наложено две связи.

Вообще связью называется устройство, накладывающее такое ограничение на систему, что степень ее свободы уменьшается на единицу.

Мы будем рассматривать обычно такие связи, которые либо запрещают какие-нибудь перемещения точек системы относительно опор (внешние связи), либо запрещают перемещения элементов системы друг относительно друга (внутренние связи). На рис. 10.3 показаны знакомые нам уже опорные устройства.

Рис. 10.3

Катковая опора, четыре схематических изображения которых даны на рис. 10.3 а, запрещает перемещения конца стержня по нормали к опорной плоскости, но не накладывает ограничения на его перемещение вдоль плоскости и на его поворот. Поэтому катковая опора накладывает на стержень одну связь. Шарнирная опора (рис. 10.3 б) накладывает на стержень две связи, так как она запрещает горизонтальные и вертикальные перемещения конца стержня, но не ограничивает его поворот. Жесткое защемление (заделка) (рис. 10.3 в) запрещает все три возможных в плоскости перемещения, поэтому оно накладывает на стержень три связи. Эти опоры реализуют внешние связи. Связи, наложенные на стержни EF и FG в точке F (см. рис. 10.2), являются примером внутренних связей. Эти связи запрещают перемещения концов стержней относительно друг друга, но не ограничивают их взаимный поворот (изменение угла (3).

Мы будем рассматривать идеальные связи, т.е. связи, действия которых на систему сопровождаются возникновением реактивного усилия (реакции связи) в направлении связи. Иными словами, отбрасывая связь, мы будем заменять ее реакцией в направлении перемещения, запрещенного этой связью. На рис. 10.4 показаны связи и заменяющие их реактивные усилия. Для внутренних связей (см. рис. 10.4 г, д, е) реакции, по существу, являются внутренними усилиями или моментами. На этих

рисунках после снятия связей концы стержней для удобства показаны условно раздвинутыми. Поэтому условно также и несовпадение линий действия некоторых реакций, которые являются

Рис. 10.4

силами взаимодействия и поэтому должны действовать вдоль одной линии.

Если система, имеющая степени свободы, не изменяет своего положения и формы под действием внешних сил, то эти силы должны удовлетворять условиям равновесия. Для стержня на плоскости, имеющего три степени свободы, можно составить три независимых уравнения равновесия (например, ^Рх = 0, 52^ = О? ^М = 0). Для стержня в пространстве с шестью степенями свободы имеется шесть независимых условий равновесия. Такое совпадение числа степеней свободы с числом независимых уравнений равновесия не случайно. Каждой степени свободы соответствует одно независимое уравнение равновесия.

Во многих решенных в этой книге задачах мы уже часто пользовались этим фактом для определения реакций опор. Отбрасывая опоры и заменяя их действие реакциями, мы отбрасывали связи и тем самым придавали системам степени свободы, а соответствующие последним уравнения равновесия использовали для определения реакций.

То же самое можно сказать и про метод сечений, применение которого сводится к рассечению тела, т.е. к устранению связывающих отсеченные части связей, замене этих связей соответствующими им реактивными усилиями взаимодействия (внутренними силовыми факторами) и определению этих усилий из

условий равновесия отсеченных частей. Составить эти условия равновесия стало возможным благодаря появлению новых степеней свободы у образовавшейся в результате рассечения систе

мы из двух отсеченных частей.

Система, не имеющая степеней свободы, называется кинематически (геометрически) неизменяемой. Такие системы меняют свое положение или конфигурацию только за счет деформации составляющих

Рис. 10.5Рис. 10.5их элементов.

Рис. 10.5

Рис. 10.5

В противоположность им кинематически изменяемые системы меняют свою форму без деформации элементов. Примерами таких систем являются различного рода механизмы.

На рис. 10.5 а, б, в, г показаны кинематически неизменяемые, а на рис. 10.5 ф е — кинематически изменяемые системы. Заметим, что на системы, изображенные на рис. 10.5 в, г, наложено больше связей по сравнению с системами на рис. 10.5 а, б.

Связи, входящие в тот минимальный набор, который обеспечивает кинематическую неиз

меняемость системы, называются необходимыми. На системы, показанные на рис. 10.5 а, б, наложены только необходимыеменяемость системы, называются необходимыми. На системы, показанные на рис. 10.5 а, б, наложены только необходимыесвязи.

меняемость системы, называются необходимыми. На системы, показанные на рис. 10.5 а, б, наложены только необходимые

меняемость системы, называются необходимыми. На системы, показанные на рис. 10.5 а, б, наложены только необходимые

Связи, наложенные на систему сверх необходимых, называются дополнительными, или лишними. Данные на рис. 10.5 в, г системы получены из показанных на рис. 10.5 а, б наложением лишних связей.

Если нам нужно снять с системы лишние связи и оставить только необходимые, то такая задача решается обычно неоднозначно. Так, все системы с необходимыми связями на рис. 10.6 получены из одной, данной на рис. 10.5 в, системы. В то же время нельзя произвольно делить связи на необходимые и лишние. Сравнивая системы на рис. 10.5 г, б и е, замечаем, что снятие с кинематически неизменяемых систем с лишними связями

(рис. 10.5 г) связей в точках В превращает их в механизмы, показанные на рис. 10.5 е. А если с этих же систем снять связи в

Рис. 10.6Рис. 10.6точках А, то они остаются кинематически неизменяемыми (рис. 10.5 б\

Рис. 10.6

Рис. 10.6

Поэтому, решая вопрос о том, является ли данная связь необходимой или лишней, нужно иметь в виду, что снятие лишней связи оставляет систему кинематически неизменяемой. Если же при снятии связи у системы появляются степени свободы, т.е. она становится кинематически из

меняемой, то такая связь является необходимой.

Снимем с системы необходимые и лишние связи и

заменим их реакциями этих связей. На рис. 10.7 показаны систе

мы, полученные в результате такой операции из систем, данных на рис. 10.5 г. В итоге система получит некоторое число степеней свободы, каждой из которых соответствует независимое уравнение равновесия. Неизвестными в этих уравнениях будут реакции отброшенных связей.

Разность между числом неизвестных реакций отброшенных связей и числом независимых уравнений рав-

Рис. 10.7степеней свободы. У первой изРис. 10.7степеней свободы. У первой изновесия называется степенью статической неопределимости. Например, системы, показанные на рис. 10.7, получены после отбрасывания связей из систем, данных на рис. 10.5 г, и имеют по шесть

Рис. 10.7

степеней свободы. У первой из

Рис. 10.7

степеней свободы. У первой из

них — восемь неизвестных реакций, у второй — семь. Поэтому степень статической неопределимости первой системы равна

двум, а второй — единице.

При отбрасывании каждой необходимой связи система получает одну степень свободы, которой соответствует одно уравнение равновесия. Поэтому число уравнений равновесия соответствует числу отброшенных необходимых связей. Отсюда становится ясно, что степень статической неопределимости равна числу лишних связей. Кроме того, если мы сохраним часть или даже все из необходимых связей, то это не приведет к ошибке при отыскании степени статической неопределимости. Пример этому дан на рис. 10.8 а. Но лишние связи должны быть отброшены обязательно, иначе будет сделана ошибка. Это видно из

примера на рис. 10.8 б, где снята необходимая связь в точке В и не сняты две внутренние связи в точке А.

Рис. 10.8

Пример 10.1. Покажем, что плоская замкнутая рама трижды статически неопределима. Снимем с рамы, показанной на рис. 10.9, внешние связи и рассечем ее на две части, заменив

Рис. 10.9

действие отсеченных частей друг на друга внутренними силовыми факторами. Всего получилось девять неизвестных реакций связей. Каждая из двух отсеченных частей, как тело на плоскости, имеет три степени свободы. Поэтому можно составить шесть уравнений равновесия.

Таким образом, степень статической неопределимости плоской замкнутой рамы равна трем. Предоставляем читателю возможность самостоятельно убедиться в том, что каждый врезанный в замкнутый контур шарнир снижает степень статической неопределимости на единицу.

Пример 10.2. Для определения степени статической неопределимости плоской рамы, показанной на рис. 10.10 а, можно поступить так же, как в предыдущем примере. В результате придем, например, к системе, показанной на рис. 10.10 5, из которой видно, что для определения реакций тринадцати от-

брошенных связей можно составить лишь шесть уравнений рав новесия. Таким образом, система семь раз статически неопреде

лима. Но, имея уже некоторый опыт, можно рассуждать так: на систему в точках А и В наложено пять внешних связей, из которых две лишние; в замкнутом контуре 2 — три лишние связи, а в замкнутом контуре 1 с шарниром С — две. Всего, таким образом, в системе семь лишних связей и поэтому она семь раз статически неопределима.

Рис. 10.10Рис. 10.10Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения метода сил

Рис. 10.10

Рис. 10.10

Рис. 10.11Рис. 10.11Если со статически неопределимой системы снять только лишние связи, то полученная система называется основной. Так как сняты все лишние связи, то основная система статически определима. На рис. 10.11 показаны примеры основных для данных на рисунках 10.5 г и 10.10 систем. Как мы уже от-

Рис. 10.11

Рис. 10.11

мечали, деление связей на необходимые и лишние может быть сделано по-разному, в соответствии с этим и выбор основной системы неоднозначен.

Реакции лишних связей будем называть лишними неизвестными и обозначать через Х^ где г — номер лишней связи.

Для решения нагруженной статически неопределимой исходной системы отбросим у нее лишние связи и заменим их реакциями — лишними неизвестными. Полученная система называется эквивалентной. На рис. 10.12 а показана исходная система — дважды статически неопределимая рама — и один из вариантов

W^W^

абв

Рис. 10.12

соответствующих ей основной (рис. 10.12 б) и эквивалентной (рис. 10.12 в) систем. На примере этой рамы мы и будем проводить все рассуждения, обобщив их потом на общий случай.

Эквивалентная система принципиально отличается от исходной тем, что она статически определима, и поэтому мы можем методом сечений найти для нее внутренние силовые факторы, а по ним — перемещения (например, с помощью интеграла Мора). Это новое качество эквивалентной системы образовалось ценой появления лишних неизвестных реакций Xi и Х2 отброшенных связей. В эквивалентной системе перемещения ф и £2 в направлении отброшенных связей будут определяться как внешней нагрузкой Р, так и лишними неизвестными Xi и Х2, т.е. ф и 82 ЯВЛЯЮТСЯ функциями Р, Х1, Х2

Ф = ф(Р,Х1,Х2), 82 = МР,Х^Х2\ (10.2.1)

Если мы сможем подобрать Xi и Х2 так, чтобы перемещения в направлении отброшенных связей оказались равными нулю, т.е. чтобы

Ф(Р,Х1,Х2) = 0, 52(Р,Х1,Х2) = 0,(10.2.2)

то статически определимая эквивалентная система будет деформироваться так же, как статически неопределимая исходная система. А это значит, что найденные значения Xi и Х2 равны реакциям отброшенных лишних связей. Итак, задача сводится к тому, чтобы найти Xi и Х2, удовлетворяющие условиям (10.2.2). Рассмотрим подробнее первое из этих условий. В нем ф — перемещение в направлении связи 7, т.е. вертикальное перемещение точки 1 (перемещение в направлении Xi). По принципу суперпозиции,

MCMA2) = М-Д+ ММ)+ М-М- (10.2.3) Этот факт иллюстрирует рис. 10.13.

Если 51 (Р) можно определить сразу, то при определении 5i(Xi) и 51(^2) нам неизвестны силы Xi и Х2. Но перемещения пропорциональны вызывающим их силам (мы, как ранее было условлено, ведем рассуждения в рамках закона Гука и принципа малости деформаций). Поэтому (рис. 10.14)

5i(Xi) = 5цХц 5i(X2) = 5цХ2, (10.2.4) где 5ц и 512 — коэффициенты пропорциональности, смысл ко-

Рис. 10.13Рис. 10.13

Рис. 10.13

Рис. 10.13

торых становится очевиден из (10.2.4) при Xi = 1 и Х2 = 1:

5i(Xi = 1) = 511 • 1, 5i(Х2 = 1) = 512 • Г (Ю.2.5)

Рис. 10.14Рис. 10.14Таким образом, 5ц и 512 отнесенные к единице силы перемещения в направлении первой отброшенной связи (в направлении Xi) от единичных усилий, приложенных вместо Xi и Х2.

Рис. 10.14

Рис. 10.14

Если же «приложить» вместо Xi и Х2 безразмерные единичные «усилия», как это делалось в методе единичной нагрузки при вычислении перемещений с помощью интеграла Мора в

пн. 4.7.2, 8.8.1, 9.3.2, то единицы в (10.2.5) становятся безразмерными. А 5ц и 512, принимают смысл перемещений в направлении Xi от безразмерных единичных «усилий», действующих вместо Xi и Х2.

Таким образом, первое из условий (10.2.2) 51 = 0 с учетом соотношений (10.2.3) и (10.2.4) принимает вид

5ю + 5цХ1 + 5i2X2 = 0.(10.2.6)

Здесь обозначено 5щ = 51(F).

Рассуждая точно так же, нетрудно свести и второе условие (10.2.2) 52 = 0 к уравнению

52о + 52iXi + 522Х2 = 0,(10.2.7)

где ^о = ^(Р), а ^21 и 822 — перемещения в направлении Х2 от безразмерных единичных «усилий», приложенных вместо Х^ и Х2.

Уравнения (10.2.6), (10.2.7) составляют систему канонических уравнений метода сил для определения Xi и Х2 в рассмотренной раме (см. рис. 10.12). Коэффициенты 8ij этих канонических уравнений являются перемещениями. Если для их вычисления использовать интеграл Мора, то нужно знать внутренние силовые факторы, возникающие в основной системе от основной нагрузки и от единичных безразмерных «усилий», соответствующих лишним неизвестным. В нашем примере это сводится к задачам (состояниям), изображенным на рис. 10.15. Эти задачи пронумерованы в соответствии с номерами лишних неиз-

Рис. 10.15Рис. 10.15

Рис. 10.15

Рис. 10.15

вестных, а за основной нагрузкой закреплен номер «0». В рамах, как отмечалось выше, при определении перемещений достаточно учитывать только изгиб. Поэтому если М^ — изгибающий момент в раме в г-м состоянии, то коэффициенты канонического уравнения 8ij можно вычислить как интегралы Мора:

(10.2.8)(10.2.8)М^" ds.

(10.2.8)

(10.2.8)

ЕЕ

В рассмотренном примере г = 1,2, j = 0,1, 2.

Если исходная система п раз статически неопределима, то эквивалентная система для нее строится путем отбрасывания п лишних связей и замены их п лишними неизвестными усилиями Хг (г = 1,...,п). Для определения последних условия равенства нулю перемещений 8^ (г = 1,..., п) в направлении отброшенных лишних связей приводят к п каноническим уравнениям метода сил:

(10.2.9)(10.2.9)Фо + ^11^1 + 512^2 + • • • + 81пХп — 0, ^20 + ^21^1 + 822X2 + . . . + 52пХп = 0,

(10.2.9)

(10.2.9)

^п0 + ^1^1 + ^п2^2 + • • • + 8'птгХ'п, — 0.

Математически — это система линейных алгебраических уравнений. Причем, как видно из (10.2.8):

6г j — ^3^6г j — ^3^(10.2.10)

6г j — ^3^

6г j — ^3^

т.е. матрица коэффициентов канонических уравнений симметрична, что существенно снижает объем вычислений при определении Sij. Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в том, что соотношение (10.2.10) также сразу следует и из теоремы взаимности перемещений.

Пример 10.3. Проведем подробно все вычисления для рамы, показанной на рис. 10.16 а. Она дважды статически неопре-

Эквивалентная системаЭквивалентная системаббРис. 10.16Рис. 10.16

Эквивалентная система

Эквивалентная система

б

б

Рис. 10.16

Рис. 10.16

делима. Наиболее очевидная для нее эквивалентная система дана на рис. 10.16 5, а система канонических уравнений имеет вид

Фо + Ф1^1 + ^12^2 = 0,

Фо + 621X1 + 622X2 = 0.

На рис. 10.16 в, г, д даны изгибающие моменты в грузовом и единичных состояниях. При вычислении коэффициентов 6ij будем пользоваться формулой (10.2.8). Так как участки рамы прямолинейны и имеют постоянную жесткость, то можно воспользоваться способом Верещагина, вычисляя интегралы как суммы произведений площадей участков одной эпюры на соответствующие их центрам тяжести значения моментов на другой

(линейной) эпюре. Тогда

<510 = Г М0Му ds = --АДРа -oxa,

I

520 = Г М0М2 ds = --Г-Да -ах ^а,

5ц = Г М\М\ ds =(2а • а х а + ^-аа • а х,

EJZ J 1 1 EJZ к23 /3 EJZ

I

512 = М = Д- f M^ds = Д-Ча ■ 2а х а = ДД

Ц = Г М2М2 ds = Д-Ча • 2а х Ча = ^-AL

22 EJZ J 2 2 EJZ 233 EJZ

I

Система канонических уравнений после сокращений принимает вид

Zx1 + 2X2 = 1p

2Хт + |х2 = |Р.

36

Ее решение: Xi = -Ар = -0,15Р, Х2 = Ер = 0,425Р. Соответствующие этому решению состояние эквивалентной системы и эпюра изгибающих моментов М^ показаны на рис. 10.16 е.

Как видно из только что рассмотренного примера, раскрытие статической неопределимости требует выполнения целого ряда операций и вычислений: построения эквивалентной системы, определения внутренних силовых факторов (изгибающих моментов) в грузовом и единичных состояниях, вычисления коэффициентов 5^j решения системы канонических уравнений и определения внутренних силовых факторов в эквивалентной системе. На каждом из этих этапов не исключены ошибки. Поэтому необходима проверка решения. Она может быть основана на том факте, что при вычисленных значениях лишних неизвестных эквивалентная система должна деформироваться так же, как исходная. В примере 10.3 это означает, что в эквивалентной системе должны быть равны нулю перемещения в направлении отброшенных лишних связей, т.е. что

<51 = f^Mlds = O, <52 = f^^ds = O. (10.2.11)

EJzJ EJz

lI

Однако при такой проверке, если ошибка сделана при построении эпюр М± или М2, она войдет как в решение, так и в проверку и не будет замечена. Чтобы избежать этого, можно воспользоваться тем, что результат решения, т.е. внутренние силовые факторы в эквивалентной системе, не зависят от выбора эквивалентной системы, так как все они эквивалентны одной и той же исходной системе. Поэтому проверку можно производить с более общих позиций: соответствуют ли деформации эквивалентной системы связям, наложенным на исходную систему. Для этого достаточно построить новую эквивалентную систему и проверить равенство нулю перемещений, соответствующих новым отброшенным лишним связям, при уже определенных ранее внутренних силовых факторах. Для рассмотренной в примере 10.3 рамы новая эквивалентная система показана на рис. 10.17 а. На рис. 10.17 б построена единичная эпюра для горизонтальной от-

Рис. 10.17

брошенной связи (реакции опор показаны пунктиром). Соответствующее ей перемещение в эквивалентной системе равно нулю, поэтому

= J

I

Здесь М^ — эпюра, данная на рис. 10.16 е. Читатель может убедиться самостоятельно, что это условие выполняется. При проведении вычислений на вертикальном участке рамы эпюру М^ удобно геометрически расслоить. Один из возможных вариантов расслоения дан на рис. 10.17 в.

При вычислении перемещений отдельных сечений статически неопределимых систем можно воспользоваться тем, что статически определимая эквивалентная система при определенных из канонических уравнений величинах лишних неизвестных Х^ деформируется так же, как исходная система. По-

этому искомые перемещения могут быть определены как перемещения в любой из эквивалентных систем. Так, если для рамы на рис. 10.16 а нужно найти угол поворота в правой катковой опоре, то можно воспользоваться как эквивалентной системой, данной на рис. 10.16 5, так и данной на рис. 10.17 а. Соответствующие единичные эпюры представлены на рис. 10.18 а, б. Проведя вычисления искомого угла поворота 6 как

0 =0 =Г М^Му6J EJZГ М^Му6J EJZи 0 =и 0 =М^М^дEJZМ^М^дEJZds.ds.

0 =

0 =

Г М^Му6

J EJZ

Г М^Му6

J EJZ

и 0 =

и 0 =

М^М^д

EJZ

М^М^д

EJZ

ds.

ds.

можно убедиться, что оба интеграла дают одинаковый результат. Но во втором случае вычисления явно проще и

1Ра2| = —0,025^-.1Ра2| = —0,025^-.

1Ра2

| = —0,025^-.

1Ра2

| = —0,025^-.

Рис. 10.18

Рассмотрим пример раскрытия статической неопределимости.

Пример 10.4. Рама, показанная на рис. 10.19 а, дважды статически неопределима. Одна из возможных эквивалентных систем для нее показана на рис. 10.19 б. Соответствующая ей система канонических уравнений будет

^ю + ^11^1 + ^12^2 = 0,^20 + ^21^1 + ^22^2 = 0.

Эпюры изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях даны на рис. 10.19 в, г, д. В качестве координаты сечения на криволинейном участке возьмем угол у?, показанный на этих рисунках. Тогда изгибающие моменты будут:

на участке АВ

Мо(р) = 0, Mi(<p) = —a sin у?, М^р^ = а(1 — cosy?),

на участке ВС

Мо(ф) = 2Fasin (ip — 90°) = 2Расо$ ip,Mi(cp) = —a sin у?, М2 (ip) = а(1 — cosy?).

Коэффициенты Sij у интеграла Мора на прямолинейном участке вычислим с помощью способа Верещагина, а на кри-

Рис. 10.19

волинейных — с помощью табл. 9.1. Получаем

(

7Г2\

С2* 1 сх ту 2^Р ^2।

— I2Раcos у? sin ера dip — 2Рах-———-х-аI=

а223/

т7

- -ТА

ЗЕВ ’

Г 2Ра2 cos у?(1 — cos ср)а dip + х 2а | =J2/

_ _ 14 + 7Г Ра2

“ ЗЕЕ ~’ РТР

х 1 / Г 2 • 27, а2 2 А Зтг + 2 а3 1 а3

'5ii = ErU“ 8111 *’“^+Тх5“)=—eX551'91^' х о7

^12^12a2 sin у?(1 — cos <р)а dip + у х 2аa2 sin у?(1 — cos <р)а dip + у х 2аEJ?EJ?

^12

^12

a2 sin у?(1 — cos <р)а dip + у х 2а

a2 sin у?(1 — cos <р)а dip + у х 2а

EJ?

EJ?

(

7Г-

Г а2 (1 — cosip)2a dip + 2а2 х 2а

о-

Система канонических уравнений после сокращений принимает вид

l,91Xi - Х2 = Ip, -Xi + 8,71Х2 = 8,57Р

Решив ее, найдем, что Xi = 0,74F, Х2 = 1,08Р.

Эпюра моментов в эквивалентной системе показана на рис. 10.20 а. При ее построении удобно ориентироваться на эпюру перерезывающих сил Q, которая показана на рис. 10.20 б.

Рис. 10.20

Выбор удачной эквивалентной системы иногда позволяет значительно сократить и упростить вычисления. Хороший, наглядный пример тому дает задача о раскрытии статической неопределимости многоопорной балки (рис. 10.21 а). На рис. 10.21 б, в изображены две из возможных для такой балки эквивалентные системы. Сравнивая их, видим, что система на рис. 10.21 в приводит к значительно более простым вычислениям, так как для нее 51з = 514 = ^15 = ^24 = ^25 = ^35 = 0. При этом просматривается простая закономерность 5^j = 0, если \г — j\ ^ 2. А это значит, что система канонических уравнений

Рис. 10.21

имеет трехдиагональную матрицу:

5цХ1

+

^12X2

+

0

+

0

+

0

= —^10,

+

+2X2

+

+3X3

+

0

+

0

= —+о,

0

+

+2X2

+

£33X3

+

+4X4

+

0

= —^30,

0

+

0

+

+3X3

+

844X4

+

845X5

= — ^40,

0

+

0

+

0

+

854X4

+

855X5

= —^50-

Данная структура будет сохраняться, сколько бы пролетов не имела балка. Более того, для такой эквивалентной системы легко получить и стандартные формулы для вычисления коэффициентов 6^j-

= (Ф^х | +Д»+1 х I)= ДгЕ+Гн),

-LJ J % \ ZiО ^О / O-LJ J z

- ЁТЛ^ х з’ - ж21 ш х 3’

X 1гл I^г + lnA

Ог0 — угу Х^Т + шг+1-, ) •

J-j J % X О0 + 1 /

Здесь Шг — площадь эпюры Мд на г-м пролете; тул и г^+Хп ~ Расстояния от ее центра тяжести до левой и правой опоры пролета. Таким образом, типовое уравнение для многопролетной балки с произвольной нагрузкой принимает вид

kXi-l + 2(1г + ^г+1)^г + ^+1^г+1 = б+ ^+1у^

X О0 + 1

и называется 'уравнением трех моментов. Оно значительно упрощает решение многопролетных балок.

Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости методом сил

Конструкции часто являются симметричными. Учет этого обстоятельства позволяет упростить систему канонических уравнений.

Если геометрия системы симметрична относительно какой- либо оси и если эта система нагружена также симметрично, то систему будем называть прямосимметричной. Пример такой системы дан на рис. 10.22 а.

Если же симметричная система нагружена обратносимметрично, как это показано на рис. 10.22 5, то назовем ее обратносимметричной.

Возможны и другие виды симметрии, например центральная симметрия. Но мы здесь ограничимся лишь осевой симметрией, хотя изложенный подход можно распространить и на другие виды симметрии.

Основным свойством прямосимметричной (обратносимметричной) системы является то, что она деформируется симметрично (обратносимметрично). А это значит, что в симметричных ее сечениях внутренние силовые факторы симметричны (обратносимметричны), т.е. равны по величине и направлены так, чтобы сохранялась прямая симметрия (обратная симметрия), как это показано на рис. 10.22.

Ось обратной симетрии

Рис. 10.22

Рассмотрим сечение по оси симметрии прямосимметричной плоской системы (рис. 10.23 а). Как и во всяком другом сечении, возникающие в нем внутренние силовые факторы TV, Q и Mz должны быть взаимны, т.е. попарно равны по величине и противоположны по направлению. В то же время по симметрии они должны быть симметричны. Для N и Mz эти два требования непротиворечивы и поэтому удовлетворяются для любых значе-

ний этих факторов. А для Q они противоречивы, так как взаимность требует для Q обратной симметрии. Но необходимость удовлетворения обоих условий очевидна. А они могут быть удовлетворены одновременно только при Q = 0 в сечении по оси симметрии.

Рис. 10.23Рис. 10.23

Рис. 10.23

Рис. 10.23

Рис. 10.24Рис. 10.24

Рис. 10.24

Рис. 10.24

Рассуждая точно так же для сечения по оси обратной симметрии (рис. 10.23 5), приходим к выводу, что в нем должны быть равны нулю N и М^, так как по взаимности они должны быть симметричны, а из требований симметрии — обратносим

метричны.

Этот результат можно обобщить, заметив, что все шесть внутренних силовых факторов, которые могут возникнуть в брусе, можно разбить на две группы по симметрии относительно плос-

кости сечения: прямосимметричные — это продольная сила ^ и изгибающие моменты Mz и Му и обратносимметричные — перерезывающие силы Qy и Qz и крутящий момент М^ (рис. 10.24).

Общее правило можно сформулировать теперь так: в сечении по оси симметрии прямосимметричной системы равны нулю обратносимметричные внутренние силовые факторы, а в сече

нии по оси симметрии обратносимметричной системы равны нулю прямосимметричные внутренние силовые факторы.

Проведенные рассуждения носят качественный характер. К тому же результату можно прийти на основании количественных рассуждений. Для этого рассмотрим прямосим

метричную трижды статически неопределимую раму, данную

на рис. 10.25 а. Эквивалентную систему построим, разрезав раму по оси симметрии, как показано на рис. 10.25 б. Система трех канонических уравнений имеет вид

^10 + 5ц^1 + ^12^2 + ^13^3 = 0,

^20 + ^21^1 + ^22^2 + ^23^3 = 0,(10.3.1)

<^30 + Mi + ^32^2 + ^33X3 = 0.

Рис. 10.25

Необходимые для подсчета коэффициентов 6ij эпюры в грузовом и единичных состояниях даны на рис. 10.25 в. Заметим, что эпюры Mo, Mi, М2 — прямосимметричны, а эпюра М3 — обрат-

носимметрична. Поэтому коэффициенты

Mi МзEJZMi МзEJZds = 0,ds = 0,530 = f^ds = O, 531=513= Г

Mi Мз

EJZ

Mi Мз

EJZ

ds = 0,

ds = 0,

II

532=523= J ^^ = 0

как произведения симметричных эпюр на обратносимметричные. Это следствие симметрии системы, не зависящее от ее конкретной формы. Тогда система канонических уравнений (10.3.1) упрощается:

Фо + Ф1^1 + 512-^2 = 0,Фо + Ф1^1 + 622X2 = 0,633X3 = 0.

Так как фз = / ds X 0, то из последнего уравнения сле- I

дует, что Х3 = 0, т.е. в сечении по оси симметрии прямосимметричной рамы обратносимметричный внутренний силовой фактор, каким является перерезывающая сила Q, равен нулю.

Аналогичные рассуждения можно провести и для обратносимметричной рамы.

Пример 10.5. Рассмотрим прямосимметричную раму, показанную на рис. 10.26 а. Она трижды статически неопределима. Если при построении эквивалентной системы лишние связи снять, разрезав раму по оси симметрии, то перерезывающая сила в этом сечении равна нулю, как обратносимметричный фактор. Поэтому нужно определить только два лишних неизвестных — продольную силу Xi и изгибающий момент Х2. Это и учтено в эквивалентной системе, данной на рис. 10.26 б. Система канонических уравнений для определения Xi и Х2 имеет вид:

Фо + Ф1Х1 + Ф2-А2 = 0, Фо + Ф1Х1 + Ф2-А2 = 0.

Эпюры изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях показаны на рис. 10.26 в. Учитывая симметрию, они даны только для половины рамы. Перемножая их, получаем коэффициенты ф^-:

<5ю = "XV1 х 5’512 = ^21 = —-А-1// х 1,EJZ 2<5ю = "XV1 х 5’512 = ^21 = —-А-1// х 1,EJZ 2Фо =Фо =1^3 21^3 21 I77EJZ 23 ’522 = 2-1-1 • / X 1,EJZ1 + IgZ2/ х Г = | А )6 EX1 I77EJZ 23 ’522 = 2-1-1 • / X 1,EJZ1 + IgZ2/ х Г = | А )6 EX

<5ю = "XV1 х 5’

512 = ^21 = —-А-1// х 1,

EJZ 2

<5ю = "XV1 х 5’

512 = ^21 = —-А-1// х 1,

EJZ 2

Фо =

Фо =

1^

3 2

1^

3 2

1 I77

EJZ 23 ’

522 = 2-1-1 • / X 1,

EJZ

1 + IgZ2/ х Г = | А )6 EX

1 I77

EJZ 23 ’

522 = 2-1-1 • / X 1,

EJZ

1 + IgZ2/ х Г = | А )6 EX

Канонические уравнения после сокращений принимают вид 1м - |м = Ы2, -1м + 2М = -b-ql\

Решая их, получаем Xi = ^ql = 0,2gZ, Х2 = — |^2 = —0,37gZ2.

Рис. 10.26

На рис. 10.27 показан результат решения. Для его проверки выберем несимметричную эквивалентную систему, данную

Рис. 10.27

на рис. 10.28 а. Перемножим эпюру М^ которая для удобства показана на рис. 10.28 в расслоенной, с единичной эпюрой М^

(рис. 10.28 б). Получим

Г ^^ ^ = ^(1 х 1 + 1 х 1 + 0,5x2-0,37-2x1-

-1 ■ 0,5 ■ 2 х 1 - 0,37 х 2 - 1 ■ 0,2 х 2^ =

= ^ (I + 1 + 1 - °’74 " °’33 " °’74 " °’2) = ^Г^ " 2’01)- rhJz \ О О/

Результат оказался не равным нулю. Это объясняется тем, что вычисления проводились с округлениями. Относительная ошибка составляет 0,01/2 = 0,005 ~ 0,5 %, что соответствует принятой точности вычислений.

11 EJZ11 EJZввРис. 10.28Рис. 10.28Пример 10.6. Рассмотрим трижды статически неопределимую раму, изображенную на рис. 10.29 а. Она обратносимметрична. Чтобы иметь возможность рассечь ее по оси обратной симметрии, отбросим ее статически определимую верхнюю часть и заменим ее действие на оставшуюся часть силой и моментом (рис. 10.29 б). На рис. 10.29 в дана эквивалентная система, учитывающая обратную симметрию, а на рис. 10.29 г показаны эпюры моментов в грузовом и единичном состояниях, необходимых для вычисления коэффициентов канонического уравнения Фо + Фх^ч = 0. Получаем

11 EJZ

11 EJZ

в

в

Рис. 10.28

Рис. 10.28

_ PZ3

4 Z34 Z33S+

4 Z3

4 Z3

Поэтому Xi = —Фо/Фх = |^-

На рис. 10.29 д показана итоговая эпюра изгибающих моментов М^. Как видим, использование обратной симметрии позво-

Рис. 10.29Рис. 10.29

Рис. 10.29

Рис. 10.29

лило свести решение трижды статически неопределимой рамы к решению всего одного канонического уравнения.

Встречаются такие системы, рассечение которых по оси прямой или обратной симметрии невозможно. В этом слу-

Рис. 10.30Рис. 10.30

Рис. 10.30

Рис. 10.30

чае при построении эквивалентной системы отбрасывать связи следует так, чтобы эквивалентная система сохранила свою симметрию.

Пример 10. 7. На рис. 10.30 изображена как раз такая система. Там же даны для нее эквивалентная система, эпюры изгибающих моментов в грузовом и единичном состояниях и результирующая эпюра М^. Интересно отметить, что в качестве лишней неизвестной здесь фигурирует обобщенная сила, состоящая из двух реакций Xi левой и правой опор. А коэффициенты Фо и Ф1 равны алгебраической сумме соответствующих вертикальных перемещений точек А и А' в грузовом и единичном состояниях.

Рассмотрим примеры решения систем с двумя ося

ми симметрии.

Пример 10.8. Кольцевая рама, данная на рис. 10.31 а,

трижды статически неопределима и имеет две оси симметрии.трижды статически неопределима и имеет две оси симметрии.Рис. 10.31Рис. 10.31Для построения эквивалентной системы рассечем ее по горизонтальной оси. Поступая так, мы симметрично отбрасываем связи, но при этом отбрасываем шесть вместо трех лишних связей. Так как сечения А и А’ являются сечениями по оси симметрии (горизонтальной), то в них перерезывающая сила равна нулю. Эти сечения симметричны относительно вертикальной оси, поэтому возникающие в них продольная сила Xi и изгибающий момент Х2 симметричны, что и учтено на рис. 10.31 б.

трижды статически неопределима и имеет две оси симметрии.

трижды статически неопределима и имеет две оси симметрии.

Рис. 10.31

Рис. 10.31

Поскольку кроме лишних связей отброшены также и необходимые, то система, изображенная на рис. 10.31 б, получила степени свободы и поэтому усилия Xi и Х2 должны удовлетворять условиям равновесия. Рассматривая их, по

лучаем, что они будут удовлетворены при Xi = ^Р. А моментлучаем, что они будут удовлетворены при Xi = ^Р. А моментХ2 никак не входит в условия равновесия и может быть определен только из канонического уравнения £20 + ^22^2 = 0. Соответ-

лучаем, что они будут удовлетворены при Xi = ^Р. А момент

лучаем, что они будут удовлетворены при Xi = ^Р. А момент

ствующие грузовое и единичное состояния даны на рис. 10.31 в. Из них получаем

Mq = |РЛ(1 — cos а), 0 < а < ^; М^ = 1.

Тогда

cos а) • 1 • Rda = (тг — ^РВ?cos а) • 1 • Rda = (тг — ^РВ?EJZ52O = jM0M2ds = 4 /Дл(1

cos а) • 1 • Rda = (тг — ^РВ?

cos а) • 1 • Rda = (тг — ^РВ?

Iо

E.RX> = J М2М2 ds = J l-lRda = 2ttR, Iо

X2 = -^ = -^-^PR = -0,18PR.

Результирующая эпюра M^ приведена на рис. 10.31 г.

Пример 10.9. Рама, показанная на рис. 10.32 а, шесть раз статически неопределима, так как она образована двумя замкну-

Рис. 10.32Рис. 10.32

Рис. 10.32

Рис. 10.32

тыми контурами. Нагружена она так, что имеет горизонтальную ось прямой симметрии и вертикальную ось обратной симметрии. Эквивалентную систему образуем, рассекая раму в сечениях А и А' по оси обратной симметрии. В этих сечениях равны нулю продольная сила и изгибающий момент. Так как сечения симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, то и возникающие в них перерезывающие силы также симметричны, поэтому эквивалентная система получает вид, показанный на рис. 10.32 б. И для раскрытия статической неопределимости нужно решить всего лишь одно каноническое уравнение. Дальнейший ход решения читатель может провести самостоятельно. Мы лишь приводим на рис. 10.32 в результирующую эпюру изгибающих моментов.

Пространственные и плоскопространственныесистемы

Раскрытие статической неопределимости пространственных систем принципиально не отличается от рассмотренного подробно случая плоских систем. Только при вычислении коэффициентов канонических уравнений необходимо учитывать те из шести внутренних силовых факторов, которые вносят существенный вклад в деформации системы. Для пространственных рам, примеры которых приведены на рис. 10.33, определяющими деформациями являются изгиб и кручение.

Рис. 10.33Рис. 10.33

Рис. 10.33

Рис. 10.33

4 FZ3 ЗЁ7’4 FZ3 ЗЁ7’Пример 10.10. На рис. 10.34 а дана эквивалентная система для рамы, показанной на рис. 10.33 а. Эпюры изгибающих и крутящих моментов в грузовом и единичном состояниях даны на рис. 10.34 5, в. Вычислим с их помощью коэффициенты канонического уравнения фо + Д1^л = 0. Элементы рамы имеют жесткость на изгиб EJ и жесткость на кручение GJ^. Тогда

4 FZ3 ЗЁ7’

4 FZ3 ЗЁ7’

8№ = АААР12х^-ррх^

cjJ \2а/

Тогда

510 _ 5ц510 _ 5ц223 EJ8GJk3 EJ8GJk

510 _ 5ц

510 _ 5ц

2

2

3 EJ

8GJk

3 EJ

8GJk

Если сеченияЕсли сечениястержней круглые, то J^ = 2J. И так как G =

Если сечения

Если сечения

ЕEJ4

= —-г, то при д = 0,3 получаем, что ——- = 1+д « -. Поэтому

2(1 +GJk3

Xi « ^Р. Результирующая эпюра М^ дана на рис. 10.34 г.

Рис. 10.34Рис. 10.34

Рис. 10.34

Рис. 10.34

Пример 10.11. Рама, приведенная на рис. 10.33 5, имеет две вертикальные плоскости симметрии, проходящие через точки АВ и CD. Это учтено при построении эквивалентной системы, половина которой показана на рис. 10.35 вместе с эпюрами Мо и Му. Из условий равновесия этой части рамы видно, что

Рис. 10.35Рис. 10.35

Рис. 10.35

Рис. 10.35

продольнаяпродольнаямомент в вертикальмомент в вертикальсила N равна 0, а изгибающий

продольная

продольная

момент в вертикаль

момент в вертикаль

ной плоскости равен |^- Поэтому неизвестным остается только

момент в горизонтальной плоскости Xi, который нужно определить из канонического уравнения ^xo + ^ii^i = 0. Однако эпюры Мо и Му таковы, что ^ю = 0. Поэтому Ху = 0.

В конструкциях часто встречаются плоскопространственные рамы — плоские рамы, нагруженные нормальной к их плоскости нагрузкой (рис. 10.36). Напомним, что мы

рассматриваем такие плоские рамы, у которых ось симметрии сечения лежит в плоскости рамы. Для статически определимых плоскопространственных рам из условий равновесия легко показать, что равны нулю все внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы. Если рама статически неопределима, то, рассматривая систему канонических уравнений метода сил для нее, можно убедиться, что она распадается на две независимые системы. Одна из них содержит только лишние неизвестные, действующие в нормальной к раме плоскости, а другая — лежащие в плоскости. Вторая система является однородной и, так как определитель ее ввиду кинематической неизменяемости основной системы не равен нулю, она имеет единственное нулевое решение. Читатель может рассмотреть это на примере си-

аб

Рис. 10.37

стемы, приведенной на рис. 10.37 а. Эквивалентная система для нее дана на рис. 10.37 б как суперпозиция двух систем: в первой из них действуют те лишние неизвестные, плоскость действия

которых нормальна к плоскости рамы, а во второй — лишние неизвестные, лежащие в плоскости рамы.

П р и м е р 10.12. Рассмотрим раму, показанную на рис. 10.36 а. Отбрасывая ее статически определимую часть, приходим к раме, данной на рис. 10.38 а, которая имеет вертикальную плоскость прямой симметрии. Построенные с учетом этого эквивалентная система и соответствующие ей эпюры моментов в грузовом и единичном состояниях приведены на рис. 10.38 5, в, г.

Рис. 10.38Рис. 10.38

Рис. 10.38

Рис. 10.38

Каноническое уравнение — простейшее: ^ю + ^цХ1 = 0. Если составляющие раму стержни имеют жесткость на изгиб EJ и кручение GJ^. то

^10 = —^10 = —1 PZ2EJ 41 PZ2EJ 4X 1 -X 1 -1 Р12GJk 21 Р12GJk 2X 1,X 1,5И = Щ х 1 + -Щ х 1.5И = Щ х 1 + -Щ х 1.

^10 = —

^10 = —

1 PZ2

EJ 4

1 PZ2

EJ 4

X 1 -

X 1 -

1 Р12

GJk 2

1 Р12

GJk 2

X 1,

X 1,

5И = Щ х 1 + -Щ х 1.

5И = Щ х 1 + -Щ х 1.

Поэтому

Xi = -Xi = -5105ц5105цGJk Pl EJ 4 'GJkGJk Pl EJ 4 'GJk

Xi = -

Xi = -

510

5ц

510

5ц

GJk Pl EJ 4 '

GJk

GJk Pl EJ 4 '

GJk

Если, как и в примере 10.11, рама образована брусьями круглого сечения и ц = 0,3, то EJ/GJ^ = 1 + р = 1,3. Тогда Xi « 0,4FZ. Соответствующая эпюра моментов дана на рис. 10.38 д.

11 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

Комбинированные, или смешанные системы

Системы, составленные из элементов, испытывающих различные напряженные состояния, называются комбини-

Рис. 10.39 учитывать. Поэтому для систем,Рис. 10.39 учитывать. Поэтому для систем,рованными, или смешанни- ми. Чаще всего такие системы состоят из элементов, работающих на изгиб или растяжение-сжатие (рис. 10.39). На рисунке элементы I работают на изгиб, а элементы II— на растяжение. При расчете перемещений для таких систем, в том числе и при вычислении коэффициентов канонических уравнений, это необходимо

Рис. 10.39 учитывать. Поэтому для систем,

Рис. 10.39 учитывать. Поэтому для систем,

IпIп(10.5.1)(10.5.1)Пример ная, грузовая иПример ная, грузовая и10.13. На рис. 10.40 приведены эквивалент- единичная системы для системы, данной на10.13. На рис. 10.40 приведены эквивалент- единичная системы для системы, данной наРис. 10.40Рис. 10.40показанных на рис. 10.39,

Iп

Iп

(10.5.1)

(10.5.1)

Пример ная, грузовая и

Пример ная, грузовая и

10.13. На рис. 10.40 приведены эквивалент- единичная системы для системы, данной на

10.13. На рис. 10.40 приведены эквивалент- единичная системы для системы, данной на

Рис. 10.40

Рис. 10.40

рис. 10.39 а. Для нее в соответствии с (10.5.1)

Фо = - х -к Ф1 = —2Z х —Z + —2Z х 1;

EJ 23 ’EJ 3 EJ 1

5

А1 -Ej Р-

3 EFE

Как видно, результат зависит от величины отношения EJj^EFl^Y Поэтому, чтобы проконтролировать правильность

решения, удобно рассматривать предельные случаи. Один из них возникает при F -А 0, т.е. когда жесткость на растяжение стержня II становится бесконечно малой. Тогда, как следует из решения, Xi -А 0. Это согласуется с механическим пониманием работы системы, которая при F -А 0 в пределе обращается в консольную балку. Второй предельный случай возникает при F -А сю. Тогда в пределе стержень II становится абсолютно жестким на растяжение-сжатие и по своему действию на балку становится равносилен катковой опоре, а в пределе Xi принимает значение т^Р. Предоставляем читателю возможность самому убедиться, что в этом случае вертикальное перемещение правого конца балки / равно нулю.

Рассмотрим раму, изображенную на рис. 10.41 а. Эквивалентная система для нее приведена на рис. 10.41 б. При ее построении учтено, что рама имеет горизонтальную ось

р

Рис. 10.41

прямой симметрии и вертикальную обратной симметрии. На рис. 10.41 в, г даны изгибающие моменты и продольные силы в грузовом и единичном состояниях.

Если, как это мы делали для рам во всех предыдущих примерах, считать определяющей деформацию изгиба, т.е. подсчитывать коэффициенты 5^j как

~ J EJ '

I

то мы легко получаем, что фо = —Pl^j^EJ^ 5ц = 2l3/3EJ. Тог

да Xi = —= -Р. Но в этом случае, как видно из рис. 10.41 5,

Он 2

усилие, являющееся результатом действия сил |р и Xi = |р, будет направлено как раз вдоль того участка рамы, к которому оно приложено. А это значит, что участки рамы будут не изгибаться, а соответственно растягиваться и сжиматься. Таким образом, мы пришли к результату, который находится в противоречии с начальным предположением о преимущественном изгибе элементов данной рамы. Поэтому для правильной оценки напряженно-деформированного состояния такой рамы необходимо учитывать как изгиб, так и растяжение-сжатие ее элементов, т.е. подсчитывать 5^j как

§гз= f^ds + №ds.гз JEJ J ЕЕ

II

Поступая так, мы получаем, что

X _ Pl3 Р1с _ 2 Z3 , 2/

10 “ 3EJ + ЕЕ'11 “ 3 EJ ЕЕ*

Тогда

Р1 — к , 3J

Х1~^ТТк' к"ЕЁ*

Для длинных балок к <С 1, поэтому, раскладывая Xi в ряд Тейлора по степеням к и сохраняя в этом разложении первые два слагаемых, получаем, с точностью до величин порядка к2. что Х1«1-Р(1-2к) = ^Р-кР.

Это учтено в результирующем состоянии, показанном на рис. 10.41 д.

Оценим полученный результат с точки зрения возникающих в раме максимальных нормальных напряжений. Для примера рассмотрим раму прямоугольного сечения шириной b и высотой 1

h. Тогда F = bh, J = "^h. Учитывая, что « ^^' подсчитаем максимальные напряжения в раме как сумму напряжений от растяжения-сжатия и от изгиба:

_max _ Р | Д2

тах -+ ЗЕЛ “ ИЛ +

6

Но

к = ZJ/Fi2 = 1(/Д)2-

Тогда

_ Р 3 Pl h _ Р А 3 7АCTmax - V^bh 2V2bhl ~ V^bh V + 2 Z Л

При I = ЮН дополнительные напряжения, вызванные изгибом, составляют всего 15% от напряжений растяжения или сжатия.

Вообще видно, что появление изгиба в элементах такой рамы вызвано растяжением или сжатием ее элементов. Поэтому такой изгиб называют вторичним.

В любой плоской раме, элементы которой образуют треугольники (рис. 10.42 а^ при ее нагружении силами в узлах определяющим является растяжение или сжатие элементов, а из

гиб является вторичным. В связи с этим одной из расчетных схем для такой конструкции может быть принята схема фермы, в которой все элементы соединены шарнирно (рис. 10.42 б). Такая система становится, как правило, статически определимой (статическая неопределимость может сохраниться только за счет опорных устройств), так как в каждом из замкнутых треугольных контуров появляется три шарнира. А это существенно упрощает расчет. Вторичный изгиб в такой расчетной схеме не учитывается. Его принимают во внимание на этапе расчета на прочность при назначении нормированного коэффициента запаса прочности.

В.10. Контрольные вопросы

В. 10.1. Чем определяется число степеней свободы системы? Зависит ли это число от выбора системы координат?

В. 10.2. Сколько степеней свободы имеет стержень на плоскости и в пространстве?

В. 10.3. Что такое связь? Как изменяется степень свободы системы при наложении на нее одной связи?

В. 10.4. Сколько связей накладывают на стержень катковая опора, шарнирная опора, заделка?

В. 10.5. Что такое реакции связей? Как они направлены?

Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для системы с п степенями свободы?

В. 10.7. Что такое кинематически неизменяемые и изменяемые системы?

10.8. Какой (кинематически изменяемой или неизменяемой) является система, на которую наложены только необходимые связи? Что такое лишние связи? Можно ли произвольно делить связи на необходимые и лишние?

10.9. Как определяется степень статической неопределимости системы?

10.10. Обязательно ли отбрасывать все лишние связи при определении степени статической неопределимости системы?

10.11. Сколько рассечений нужно сделать в плоском замкнутом контуре, чтобы он стал статически определимым?

10.12. Как получить из статически неопределимой системы основную? Однозначен ли выбор основной системы?

10.13. Почему основная система статически определима?

10.14. Что такое эквивалентная система? В чем принципиальное отличие ее от исходной?

10.15. При каком условии эквивалентная система будет деформироваться так же, как и исходная?

0.16. Каков смысл коэффициентов 5ij канонических уравнений метода сил? Что необходимо знать для их вычисления?

10.17. Сколько канонических уравнений нужно записать для п раз статически неопределимой системы и почему?

В. 10.18. Почему для проверки решения, как правило, выбирается новая эквивалентная система? В чем смысл такой проверки?

10.19. Почему проще определять перемещения не в исходной, а в эквивалентной системе?

10.20. Как удобнее раскрыть статическую неопределимость многопролетной балки?

10.21. В чем сходство и различие прямосимметричной и обратносимметричной систем? Каковы их основные свойства?

10.22. В каких сечениях прямосимметричной плоской системы перерезывающие силы Q всегда равны нулю?

10.23. В каких сечениях обратносимметричной плоской системы продольные силы N и изгибающие моменты Mz всегда равны нулю?

10.24. Как следует выбирать эквивалентную систему для рам, рассечение которых по оси плоской симметрии невозможно?

10.25. Как выбирается эквивалентная система для рам, имеющих две оси плоской симметрии?

10.26. Какие внутренние силовые факторы определяют деформацию пространственной системы и учитываются при вычислении коэффициентов канонических уравнений?

10.27. Чему равны все внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы плоскопространственной системы?

В.10.28. В чем особенность расчета перемещений (в том числе и коэффициентов канонических уравнений) в комбинированных системах, работающих на изгиб и растяжение?

В.10.29. Что такое вторичный изгиб?

3.10. Задачи

Рис. 10.43Рис. 10.43Для рамы (рис. 10.43) раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил, сделать проверку и определить перемещение точки приложения момента М. Полагая сечение круглым с диаметром d. найти d из условия прочности, если М = 75 Н-м, [а] = 150 МПа.

Рис. 10.43

Рис. 10.43

Рис. 10.44

Используя уравнение трех моментов, раскрыть статическую неопределимость балки (рис. 10.44) и построить эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил.

Рис. 10.45Рис. 10.45Для рамы, показанной на рис. 10.45, раскрыть статическую неопределимость, используя ее симметрию, построить эпюру изгибающих моментов и определить взаимный угол поворота 0др поперечных сечений в точках А и В.

Рис. 10.45

Рис. 10.45

Рис. 10.46

Для показанной на рис. 10.46 самоуравновешенной рамы раскрыть статическую неопределимость, построить эпюру изгибающих моментов и определить взаимное перемещение 5дв точек А и В.

Используя симметрию плоскопространственной рамы кольцевого тонкостенного сечения (рис. 10.47), раскрыть ее

Рис. 10.47Рис. 10.47статическую неопределимость, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов и определить угол поворота Од в точке А в плоскости, перпендикулярной плоскости рамы и проходящей через точки А и В. При-

Рис. 10.47

Рис. 10.47

пять модуль сдвига материала 2

рамы G = -Е.

Для самоуравновешенной плоскопространственной рамы (рис. 10.48) раскрыть статическую неопределимость и по

Рис. 10.48Рис. 10.48строить эпюры изгибающих и крутящих моментов. Отношение изгибной жесткости рамы EJ к жесткости на кручение GJ^ принять равным -.

Рис. 10.48

Рис. 10.48

Раскрыть статическую неопределимость комбинированной системы (рис. 10.49) и

построить эпюру продольных сил для ферменного элемента и

эпюры изгибающих моментов для остальных участков. Принять

EF = 2^.

Рис. 10.49Рис. 10.49Рис. 10.50Рис. 10.50

Рис. 10.49

Рис. 10.49

Рис. 10.50

Рис. 10.50

Используя симметрию системы (рис. 10.50), определить реакции ее опор и показать, что в горизонтальном элементе системы (тяге) никаких усилий не возникает.

ГЛАВА 11

РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМНАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

В гл. 9 в примерах 9.3, 9.4 мы столкнулись с напряженными состояниями, которые отличаются от простых состояний растяжения-сжатия и чистого сдвига, воспроизводимых в стандартных экспериментах по определению механических свойств материалов. В этой главе будут рассмотрены вопросы расчета на прочность при таких сложных напряженных состояниях.

Анализ напряженного состояния в точке

11.1.1.ную точку11.1.1.ную точкуЕще в гл. 2 (и. 2.2.2) было отмечено, что через дан- тела можно провести сколько угодно сечений и на

11.1.1.

ную точку

11.1.1.

ную точку

каждом из них в этой точке действует свое напряжение. Напомним, что совокупность напряжений в точке на всевозможных проходящих через нее сечениях называется напряженным состоянием в этой точке. На рис. 11.1 показаны нормальные и касательные напряжения на гранях элементарного кубика, выделенного в окрестности точки О тела координатными плоскостями системы координат ж, у, z. Как и в п. 2.2.2,

первый индекс у касательно

го напряжения — это индексРис' 11,1

нормали к сечению (площадке), на котором оно действует, а второй — индекс оси, вдоль которой оно направлено. Напряжения,

показанные на рис. 11.1, в том числе и данные для невидимых граней штриховой линией, положительны. Таким образом, нормальные напряжения положительны, если они растягивающие. Положительные направления касательных напряжений на тех гранях, внешняя нормаль к которым совпадает с положительным направлением оси, совпадают с положительными направлениями двух других осей. На рис. 11.1 — это видимые грани кубика. Если же внешняя нормаль к площадке противоположна направлению координатной оси, как это имеет место для невидимых на рис. 11.1 граней кубика, то положительные касательные напряжения направлены противоположно соответствующим координатным осям. Они показаны пунктиром.

Девять составляющих напряжений аж. тху. тжг. сг^ тух. ryz. а^, т^, Tzy. действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, называют компонентами напряженного состояния. В п. 2.2.3 было доказано свойство парности касательных напряжений:

Тху = Дж, Tyz = Tzy. Tzx = Txz. (11.1.1) Оно следовало из тех условий равновесия элементарного кубика, которые требуют, чтобы были равны нулю суммы моментов действующих на него сил относительно осей ж, у, z.

Свойство парности касательных напряжений показывает, что из девяти компонентов напряженного состояния независимыми являются только шесть.

Покажем, что компоненты напряженного состояния полностью определяют напряженное состояние в точке. Иными

словами, если мы знаем компоненты напряженного состояния в данной точке, то мы можем найти напряжения на любой площадке, проходящей через эту точку.

Для этого рассмотрим равновесие показанного на рис. 11.2 элементарного тетраэдра, три грани которого ОЛВ, ОВС и ОАС лежат в координатных плоскостях, а четвертая АВС является произвольной площадкой с нормалью V. Обо-

''значим через Ц т^ п напра

вляющие косинусы нормали v в осях ж, у, z, т.е.

Z = cos (v, ж), m = cos(v, у), n = cos(v,^).(11.1.2)

Пусть F — площадь грани ABC, a Fx, Fy, Fz — площади координатных граней ОВС, О АС, О АВ. Тогда

Fx = Fl, Fy = Fm, Fz = Fn. (11.1.3)

Для того чтобы определить полное напряжение р^ на площадке АВС, достаточно найти его составляющие рх, ру, pz по координатным осям. Проецируя действующие на тетраэдр силы на координатные оси, получаем условия его равновесия в виде

^ Рх = 0 : РхР — ^хРх — ТухРу — Fx^Z = О,

^ Ру = 0 : РуР — тхуРх — ^уРу — TzyFz = О,

Pz = 0 : pzF — txzFx — TyZFy — czFz = 0.

Отсюда с учетом выражений (11.1.3), после сокращения на F, приходим к соотношениям, позволяющим определить рх, ру, pz и, следовательно, полное напряжение р^, через компоненты напряженного состояния

Рх = ^х^ Т ТуХГП Т T^^TZ,

Ру = ТХу1 + ПуШ + TZyH,(11.1.4)

Pz = Txzl + TyZm + (Jzn.

По составляющим px, py, pz полного напряжения на площадке АВС легко найти нормальное напряжение crv на этой площадке как

av = Pxl + РуТП + pzn.(11.1.5)

Тогда в соответствии с соотношениями (11.1.4) получаем, учитывая парность касательных напряжений:

av = <7Д2 + (Тут2 + crzn2 + 2тХу1т + 2TyZmn + 2tzxtiL (11.1.6)

Величину касательного напряжения tv на площадке АВС можем найти как

Tv =Д2 + ^2 + ^2 _ ^2.

С точки зрения оценки прочности, нас прежде всего должны заинтересовать площадки, на которых действуют экстремальные по величине нормальные напряжения. Такие площадки называются главными. Так как направляющие косинусы удовлетворяют соотношению

Z2 + m2 + n2 = l,(11.1.7)

то задача поиска главных площадок заключаются в отыскании соответствующих величин I, т и п, при которых функция (jv (11.1.6) принимает экстремальные значения при условии

(11.1.7). Математически это задача на условный экстремум, которая сводится к отысканию экстремума функции Лагранжа:

Ф = аж12 + аут2 + azn2 + 2тху1т + 2ryzmn +

+ 2azxnl + ст(1 — I2 — т2 — п2). (11.1.8)

Здесь а — неопределенный множитель Лагранжа. Условия экстремума функции Лагранжа дФ/dZ = 0, дФ/дт = 0, дФ/дп = О приводят нас к соотношениям, которые удобно записать в виде

(11.1.9)(11.1.9)бт/ — аж1 + Тужт + rzxn,am = тху1 + aym + rzyn,an = txzI + Tyzm + azn.

(11.1.9)

(11.1.9)

Сравнивая эти соотношения с выражениями (11.1.4), видим, что для главных площадок

Рх = ^Рх = ^ру = am, pz = стп,ру = am, pz = стп,(11.1.10)(11.1.10)

Рх = ^

Рх = ^

ру = am, pz = стп,

ру = am, pz = стп,

(11.1.10)

(11.1.10)

т.е. al, ат, ап являются составляющими по координатным осям полного напряжения на главной площадке. Более того, они пропорциональны с коэффициентом пропорциональности ст направляющим косинусам Z, т, п, которые фактически являются составляющими по координатным осям вектора единичной нормали v к искомой главной площадке. Поэтому вектор полного напряжения р^ на главной площадке направлен вдоль нормали v и является, таким образом, нормальным напряжением. А коль скоро на главной площадке нормальное напряжение и является полным напряжением, то касательное напряжение на такой площадке равно нулю.

На рис. 11.3 показано полное напряжение р^ на главной (рис. 11.3 а) и неглавной (рис. 11.3 б) площадках.

Множитель Лагранжа ст является величиной напряжения на главной площадке. Действительно, р = ^р2 "V Ру + Р2- Но для главной площадки рх,ру, pz определены выражениями (11.1.10), поэтому

р = V ^212 + а2т2 + а2п2 = a\/l2 + т2 + п2 =

Направляющие косинусы главной площадки определяются из уравнений (11.1.9), которые запишем в виде

(Щс -+ тухт + т^п = О,

тХу1 + (сгу — <т)т + т^уП = 0,(11.1.11)

txJ + TyZm + (az - <т)п = 0.

Для неизвестных I, т, п эти уравнения являются системой линейных однородных уравнений. Так как Z2 + т2 + п2 = 1, то эта система должна иметь ненулевое решение. А это возможно только тогда, когда ее определитель равен нулю:

СГЖ (УТжуСГЖ (УТжуТукСГу — СТТухТукСГу — СТТух= 0.= 0.(11.1.12)(11.1.12)

СГЖ (У

Тжу

СГЖ (У

Тжу

Тук

СГу — СТ

Тух

Тук

СГу — СТ

Тух

= 0.

= 0.

(11.1.12)

(11.1.12)

Раскрывая этот определитель, приходим к следующему кубическому уравнению:

ст3 - J^2 + J^o - J3 = 0.(11.1.13)

Здесь

Д =

J2 = С^Х^у Т ^y^Z Т ^Z^X Тху — Tyz Tzx^(11.1.14)

(Т хТуЖTzx

J3 =ТЖу(УуTZy.

TxzTyz(У z

Все три корня уравнения (11.1.13) вещественны. Действительно, по математической классификации задача (11.1.11) является задачей на собственные значения для системы линейных уравнений, матрица которой в силу парности касательных напряжений — симметрическая. А собственные значения симметрической матрицы, являющиеся корнями ее характеристического (векового) уравнения (11.1.13), всегда вещественны. Каждому из них соответствует собственный вектор, являющийся в нашем случае решением систем (11.1.11) и определяющий единичный вектор нормали к главной площадке. Если корни различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и поэтому три главные площадки взаимно перпендикулярны.

Сами же корни уравнения (11.1.13) являются напряжениями на главных площадках. Они называются главными напряжениями. Их принято обозначать через од, 02, сгз и располагать в таком порядке, что од ^ 0*2 ^ ^з-

Заметим, что напряженное состояние в точке тела определяется действующими на него нагрузками и поэтому оно не зависит от того, какая система координат выбрана для его описания. Соответственно, и главные напряжения не зависят от выбранной системы координат. Но они являются корнями уравнения (11.1.13). Следовательно, и его коэффициенты Ji, J2, J3 также не зависят от выбора системы координат, хотя компоненты

напряженного состояния ах. о^ az. тху. Tyz. rzx конечно определяются системой координат. Поэтому главные напряжения ai, а?, 03 и коэффициенты характеристического уравнения Ji, J2, J3 называют инвариантами напряженного состояния.

Если элементарный кубик в окрестности точки тела выделить так, чтобы его грани совпадали с главными площадками,

то напряженное состояние можно рассма- назтривать как трехосное растяжение-сжатие

(рис. 11.4). А это значительно упрощает анализ напряженного состояния.

Для определения положения главных \площадок, например, той площадки, на ко

торой действует главное напряжение cti, 1нужно задать в системе (11.1.11) а =

рис п 4= сп, тогда определитель системы стано

вится равным нулю, и следовательно, ее уравнения линейно зависимы, т.е. одно из уравнений является линейной комбинацией двух других. Выразив из этих двух уравнений два неизвестных (например, I и т) через третье (п) и подставив полученные выражения в условие Z2 + т2 + п2 = 1, найдем последнее неизвестное (п). А его уже используем для вычисления двух оставшихся косинусов (Z и т) первой главной

площадки.

Для дальнейшего, однако, знание положения главных пло

щадок не существенно.

Пример 11.1. Найдем главные напряжения для напряженного состояния, показанного слева на рис. 11.5. Для него стж = <7у = ^z = 0, тху = Tyz = tzx = т. Поэтому характеристическое уравнение (11.1.12) имеет вид

= 0.

Раскрыв этот определитель, получаем кубическое уравнение (11.1.13): ст3 —Зт2ст —2т3 = 0. Непосредственной проверкой убеждаемся, что один из корней этого уравнения равен ст = — т. Теперь, разделив кубическое уравнение на ст + т, сведем его к ква-

дратному и определим его корни:

СД = 2т,(7 2 = од = —т.

Это же решение можно получить, заметив, что площадка АВС равнонаклонена к боковым граням и одинаково ориентирована к действующим на них касательным напряжениям. Поэтому она будет главной площадкой. Учитывая, что для нее I = m = п = = 1/д/З, легко получаем по формуле (11.1.6) действующее на ней нормальное напряжение ст = 2т, которое является одним из корней характеристического кубического уравнения.

Таким образом, это напряженное состояние сведется к показанному справа на рис. 11.5 трехосному растяжению-сжатию.

Полученные в этом разделе соотношения допускают удобную векторно-матричную формулировку. Для этого введем векторы v — единичной нормали к площадке и р^ — полного напряжения на этой площадке, а также матрицу Т^ — тензора напряжений, составленную из компонентов напряженного состояния:

т-у$

Тху СГу Т^уТху СГу Т^у(11.1.15)(11.1.15)

Тху СГу Т^у

Тху СГу Т^у

(11.1.15)

(11.1.15)

Тогда соотношение (11.1.4) примет вид р^ = Т^ч. Выражение (11.1.5) определяет оу = (p^,v) как скалярное произведение векторов Ру и V. Систему (11.1.9) можно записать в форме Т^ = crv, которая с точностью до обозначений совпадает с алгебраической задачей на собственные значения, имеющей в традиционных для линейной алгебры обозначениях вид: Ах = Хх (А — матрица, х — вектор, А — собственное значение).

Отметим, что напряженное состояние в точке относится к таким объектам, которые в математике называются тензорами и

являются развитием понятия вектор. Не вдаваясь в подробности, заметим, что вектор имеет один инвариант преобразования координат, т.е. одну величину, а именно — длину вектора, которая не зависит от выбора системы координат. У тензора второго ранга, каковым является тензор напряжений Т^-, есть уже три инварианта Ji, J2, J3.

Круговая диаграмма Мора

Если для векторов разработаны простые и наглядные геометрические образы, то для тензоров в силу их большей сложности такого пока не удалось добиться. Из известных геометрических представлений тензора напряжений наиболее удачное, на наш взгляд, разработал О. Мор (1882). Он предложил каждой площадке, проходящей через заданную точку тела и определенной нормалью V, сопоставлять точку на плоскости avTv с координатами, равными дей- vy ствующим на этой площадке нор/ мальному ор и касательному tv на- tvavZпряжениям. Это соответствие пока-

,—зан0 на Рис- И.6. Плоскость (Jvtv мы Г/ далее будем называть плоскостью

/ Мора.

Найдем сначала, какие же точ-

Tv1 Туки соответствуют площадкам, нор

мальным к той главной площад-

^* ке, на которой действует оу. Эти площадки параллельны оу и вме- рис п бсте с площадками действия оу и оу

''они выделяют элементарную приз

му, показанную на рис. 11.7 а. На рис. 11.7 б показан вид на нее вдоль оси z. Проецируя силы, действующие на эту призму, на направления оу и ту, получаем условия ее равновесия в форме

av ds dz — op dy dz cos a — a3dx dz sin a = 0,tv ds dz — oy dy dz sin a + 03 dx dz cos a = 0.

Так как dx = ds sin a, dy = ds cos a, то из этих соотношений после сокращения на dz ds получаем

(11.2.1)(11.2.1)op = ^i cos2 a + 03 sin2 a,Ту = (од — 03) sin a cos a.

(11.2.1)

(11.2.1)

Перейдем в этих соотношениях к тригонометрическим функци-

ям угла 2а, имея в виду, что

cos2 а = |(1 + cos 2а),sin2 а = |(1 — cos 2а), sin а cos а = | sin 2а.

Тогда

<7, = ^±^ + ^^со8 2а,

Рис. 11.7Рис. 11.7

Рис. 11.7

Рис. 11.7

(11.2.3)(11.2.3)Рис. 11.8Рис. 11.8

(11.2.3)

(11.2.3)

Рис. 11.8

Рис. 11.8

Исключим из этих соотношений 2а. Для этого в первом из них перенесем первое слагаемое из правой части в левую, возведем оба соотношения в квадрат и сложим. В результате получим

а <71 + <7зр ,

Сравним это выражение с уравнением окружности (ж — жд)2 + + (у — у о)2 = г2, которое на плоскости ху определяет окружность радиусом г с центром в точке жо, уо- Видно, что уравнению (11.2.3) соответствует на плоскости Мора окружность с центром на оси dp и радиусом 1(^1 — оз). На

рис. 11.8 это окружность, проходящая через точки, соответствующие площадкам действия главных напряжений од и 03. Рассматривая точно так же площадки, параллельные главным

напряжениям од и од, можно убедиться, что соответствующие им точки на плоскости Мора лежат на окружностях, проходящих соответственно через точки а^. аз и ai, а? на оси av. Все три эти окружности показаны на рис. 11.9 и образуют круговую диаграмму Мора напряженного состояния в точке. Можно показать, что произвольно ориентированным площадкам соответствуют точки, которые лежат в области, заключенной между окружностями круговой диаграммы. На рис. 11.9 эта область заштрихована.

Рис. 11.9

Из изложенного наиболее важны два следующих заключения:

Площадкам, параллельным одному из главных напряжений, соответствуют точки, лежащие на той окружности круговой диаграммы, которая проходит через два других главных напряжения.

Максимальное касательное напряжение

Ттах =(И.2.4)

Это напряжение действует на площадке, которой соответствует точка А плоскости Мора. Так как эта точка лежит на большой окружности круговой диаграммы, то площадка действия Ртах параллельна а^. Обратим внимание также на то, что углу а между такими площадками и первой главной площадкой (см. рис. 11.7) соответствует угол ^а на диаграмме Мора (см. рис. 11.8). Следовательно, так как для точки А (см. рис. 11.8)

2а = 90°, площадка действия ттах равнонаклонена к площадкам, где действуют а\ и аз, т.е. образует с этими площадками угол 45°.

Построим диаграммы Мора для некоторых характерных состояний.

Центральное растяжение—сжатие бруса. Выделим из бруса, находящегося в состоянии центрального растяжения или сжатия, элементарный кубик так, чтобы две его грани совпадали с поперечными сечениями. В этих гранях действует напряжение аж. В четырех остальных гранях, которые являются продольными сечениями бруса, в силу гипотезы о ненадавливаемости продольных волокон бруса нормальные напряжения не возникают. Поэтому главные напряжения будут: для растяжения (аж > 0) — ^1 = сгж? ^2 = 0, аз = 0, а для сжатия (аж < 0) — ai = а% = 0,

Рис. 11.10Рис. 11.10

Рис. 11.10

Рис. 11.10

Рис. 11.11Рис. 11.11

Рис. 11.11

Рис. 11.11

сг3 = аж. Соответствующие диаграммы показаны на рис. 11.10. Из них сразу следует известный из разд. 4.8 результат: для цен

трального растяжения-сжа- 1

тия ттах — 2^'

Двухосное растяжение. Для кубика, находящегося в состоянии двухосного растяжения, если аж > ау, то а^ = —? ^2 — & у ч з — О* Иа

рис. 11.11 показано это напряженное состояние и соответствующая ему диаграмма Мора, на которой помечены точки, соответствующие площадкам Л, В, С.

Чистый сдвиг. На рис. 11.12 показано напряженное состояние чистого сдвига и эквивалентное ему двухосное растяжение-

сжатие, а также соответствующая этим состояниям диаграмма

Мора.

Общий случай нагружения бруса.

В подавляющем большинстве случаев при анализе напряженного состояния можно так выделить элементарный кубик, чтобы одна из его площадок оказалась главной. Так, в общем случае нагружения бруса в точках его поперечного сечения всегда можно найти нормальное ах и касательное тх напряжения. Причем ах будет связано с действием продольной силы N и изгибающих моментов Mz и М^ а тх — с перерезывающими силами Q^, Qz и крутящим моментом М^. Подробно этот вопрос обсуждался в разделах 9.1, 9.2.

Выделим около точки А поперечного сечения бруса элементарный кубик так, как это показано на рис. 11.13. Две грани кубика должны лежать в поперечных сечениях.

/Из оставшихся четырех

/X.^xkQy.Qz, и граней, которые соот-

// ^xvOxXветствуют продольным

/сечениям бруса, две вы//берем так, чтобы они бы-

\ <3x(N,Mz,My) ли нормальны тЖ1 а две — параллельны. Получен-

Рис.11.13ное напряженное со

стояние показано на рис. 11.14 а. При этом учтено свойство парности касательных напряжений и то, что в продольных сечениях бруса //и Анормальные напряжения отсутствуют, так как предполагается, что продольные волокна бруса друг на друга не давят. Диаграмма Мора для этого состояния показана на рис. 11.14 б. Она ностро-

ена по трем точкам /, II, III, соответствующим трем граням элементарного кубика. Так как на грани III нет касательных

напряжений, то она является главной площадкой. Тогда площадки /и IIнормальны к главной площадке. А это значит, что соответствующие им точки лежат на одной из окружностей диаграммы Мора. Центром этой окруж-

1 ности является точка av = -аж

на оси av, а ее радиус R =

Точки пересечения этой окружности с осью av соот

ветствуют еще двум главным площадкам. При этом одно из действующих на них главных напряжений будет обязательно положительным, а другое —

Рис. 11.14Рис. 11.14отрицательным. Имея в виду, что главное напряжение на

Рис. 11.14

Рис. 11.14

площадке III равно нулю, получаем, что в общем случае нагру

жения брусажения брусаТеперь, чтобыТеперь, чтобы6Т2 = 0.

жения бруса

жения бруса

Теперь, чтобы

Теперь, чтобы

(11.2.5)

полно

стью построить круговуюстью построить круговуюдиаграмму, остается только провести окружности через точки СТ1 и ст2, а также ст2 и (Tg ОСИ СГр.

стью построить круговую

стью построить круговую

Общий случай напряженного состояния с одной известной главной площадкой показан на рис. 11.15 а. На рис. 11.15 б дана соответствующая этому случаю круговая диаграмма. Она построена с

Рис. 11.15Рис. 11.15помощью рассуждений, ана-

Рис. 11.15

Рис. 11.15

логичных проведенным в п. 11.2.3, для следующих соотношений между нормальными напряжениями:

Из рисунка видно, что

^3 = ^-

При других соотношениях между ах. ау и oz индексы у главных напряжений в (11.2.6) могут измениться. Диаграммы Мора для двух других возможных случаев, когда первое из равенств (11.2.6) определит главные напряжения а\ и аз или ст2 и од, читатель может легко воспроизвести самостоятельно.

Закон Гука и потенциальная энергия деформации при сложном напряженном состоянии

В разд. 5.3 для получения соотношения закона Гука при двухосном растяжении-сжатии был использован принцип суперпозиции. Воспользуемся этим же принципом в общем случае напряженного состояния. Для кубика с единичными ребрами оно может быть представлено как наложение трех одноосных состояний растяжения-сжатия вдоль координатных осей и трех состояний чистого сдвига в координатных плоскостях (рис. 11.16).

Рис. 11.16

В первых трех из этих состояний ребра кубика удлиняются (или укорачиваются) вдоль координатных осей, а углы между ребрами не меняются. Так как длины ребер равны 1, то их удлинения равны относительным удлинениям еж Еу и ez. Ограничимся изотропным материалом и рассмотрим подробно удлинение ребра, направленного вдоль оси ж. При действии аж оно в пределах закона Гука равно ^. При действии а у и oz вследствие

эффекта Пуассона это ребро получает удлинения —уеу = — ц^ и —p,Ez = — Ц^- Для растягивающих од и ау эти удлинения отрицательны, т.е. являются укорочениями. При одновременном действии аЖ1 ау и ог удлинения суммируются:

Ех =ИЛИ+сг2)].

Аналогичные рассуждения для ребер, направленных вдоль осей у и z^ приводят в итоге к трем соотношениям закона Гука:

Ех = ^\Ох ~ Р^у + О^

Ey = ^[°y-p(°z + Ox)\,(11.3.1)

£2 = ^[<72 - Ц<ТЖ + <Ту)].

(11.3.2)(11.3.2)В последних из трех показанных на рис. 11.16 элементарных состояний происходят только деформации сдвига в одной из координатных плоскостей. И при линейно-упругих деформациях им соответствуют соотношения закона Гука (см. разд. 5.2):

(11.3.2)

(11.3.2)

^ху — ~q~i ^yz — -Qi ^zx — -Q'

Закону Гука (11.3.1), (11.3.2) легко придать матричную форму, если ввести векторы, составленные из компонентов напряженного и деформированного состояний. Эта форма имеет вид

(11.3.3)(11.3.3)Ех ер Ez

(11.3.3)

(11.3.3)

^yz ^zx

Заметим, что для любого материала, в том числе и для анизотропного, закон Гука означает линейную связь между компонентами деформаций и напряжений. Поэтому для анизотропно-

го материала соотношения закона Гука должны иметь форму

Ех

An

Л12

Л13

Л14

Л15

Л16

О ж

А21

^22

^23

Л24

Л25

Л26

°" У

Е%

—

А31

Л32

Л33

Л34

Л35

Лзб

(?z

. (11.3.4)

^ху

А41

^42

Л43

А44

Л45

Л46

тху

^yz

Л51

Л52

Л53

Л54

Л55

Л56

Tyz

^zx

Лб1

Лб2

Л-63

Лб4

Лб5

Лее

Tzx

Коэффициенты А^, составляющие матрицу упругих характеристик, называются коэффициентами податливости. Отметим, что матрица упругих характеристик симметрическая, т.е. А^ = = ^kv

Проще всего это свойство доказать на основе теоремы о взаимности работ (см. разд. 9.7). Так, например, для кубика с ребрами dx, dy, dz работа силы ах dydz на перемещении АузДу dz, вызванном действием силы ау dx dz, равна работе силы ау dx dz на перемещении A^axdy, вызванном силой axdxdz, т.е.

аж dy dz • И12сг^ dz = сг^ dx dz • A2iax dy.

Отсюда сразу следует, что А12 = А21.

Этот же факт можно понять и из других соображений. Так же, как и для напряженного состояния, можно ввести тензор деформаций, составленный из компонент деформированного состояния:

Ех^ух^zx

^хуЕу^zy

^xz^yzEz

Он так же, как и Та — симметричен. Тогда соотношения закона Гука (11.3.4) можно записать в форме Т£ = АТ^, где А — тензор упругих характеристик. Он должен иметь более высокий ранг, чем Т£ и Та. Но так как Т£ и Т^ симметричны, то и 4 также симметричен.

Заметим, что для изотропного материала коэффициенты А^ не зависят от выбора осей координат. Но не трудно понять, что для анизотропного материала такая зависимость должна появиться. Это обстоятельство подчеркивает тензорный характер совокупности коэффициентов податливости.

Рассмотрим потенциальную энергию деформаций б/П. накопившуюся в элементарном кубике объемом dV с ребрами dx, dy, dz. Под действием напряжений стх,сгу,... ,tzx он получает относительные деформации ех,еу,... ^х- В процессе деформаций сила аж dy dz совершает упругую работу на пути

еж dx^ сила тХу dy dz — на пути ^Ху dx. сила ау dx dz — на пути Еу dy и т.д. Эта работа в силу закона сохранения энергии, который соблюдается при упругой деформации, аккумулируется в объеме dV в виде с/П. Поэтому

^П = ^(ахЕх + СГуЕу + ОгЕг +

4“ ^ху^ху 4“ ^yz^yz 4“ ^zx^zx^ dx dy dz.

Тогда удельная потенциальная энергия деформаций (энергия в единице объема) будет

U —— — ^СГХ£Х + (ХуЕу + ОгЕг + + ^ТХу^Ху + ^Ту^у^ + Зт^жД^ж).

(11.3.5)

Если материал изотропный, то, подставив сюда соотношения (11.3.1), (11.3.2), получим выражение удельной потенциальной энергии деформации через напряжения:

и = А р2 + д.2 + д.2 _ 2/z(CryCrz + а2(Ух + <7^)] +

+ ТС™ + Tvz + eLY (ii-З.б)

•)( 1 ' wUУ ^А^ tAJ /X/

Если напряженное состояние приведено к главным осям, то по координатным площадкам действуют только главные напряжения ОД, СТ2, ОД. Тогда

и = А [д-2 + д.2 + д.2 _ 2д(сг1Сг2 + СГ2СГ3 + СГ3(Т1)] . (11.3.7)

При анализе условий перехода материала в пластическое состояние оказывается удобным рассматривать напряженное состояние как суперпозицию двух состояний, первое из которых

является равномерным

Рис. 11.17Рис. 11.17всесторонним растяжением, а второе дополняет его до заданного состояния. Это разделение показано на рис. 11.17 для кубика с единичными ребрами. Напряжение а подбирается так, чтобы изме-

Рис. 11.17

Рис. 11.17

нения объемов первого А То и исходного АУ состояний совпада

ли. Если рассмотреть кубик с единичными ребрами, то для него

АУ = (1 + ^1)(1 + ^2)(1 + £3) — 1 * 1 * 1 =

= £1 + £2 + £3 + ^1^2 + ^2^3 + ^3^1 + £У2£3-

Так как наш анализ касается конструкционных материалов, для которых относительные деформации малы (£^ ^ 1, г = 1, 2, 3), то

с достаточной точностью ДУ = ед +£2 + ^3- После подстановки в это выражение соотношений закона Гука (11.3.1) получаем, что ду — 1 ^^(сТ! 4- ОД + Пз).(11.3.8)

В первом напряженном состоянии все главные напряжения равны ст. Поэтому формула (11.3.8) для него дает

△Vb =. За.(11.3.9)

Тогда из условия ДУ = ДУд имеем

(Т=|(бТ1+бТ2+(Тз).(11.3.10)

Потенциальная энергия первого состояния — энергия изменения объема по (11.3.7) равна

[/0 = ^-ЗЛ = 1-^(<71+<72 + <7з)2.(11.3.11)

Во втором напряженном состоянии объем не изменяется, а меняется форма — кубик вследствие деформации становится параллелепипедом того же объема. Тогда потенциальная энергия этого состояния — энергия изменения формы [/ф подсчитывается как разность U и Uq. С учетом выражений (11.3.7) и (11.3.11) после простых преобразований получим

Пф = и - и0 = ^^ki + Л + Л - ^1^2 - сг2о-з - o-3(7i] =

=[01 — О-2)2 + (о-2 — СГ3)2 + (/73 — О-1)2] . (11.3.12)

Эту же формулу можно получить, если учесть, что силы напряженного состояния изменения объема не совершают работы на деформациях состояния изменения формы и наоборот. Поэтому взаимные работы отсутствуют, и [/ф можно подсчитать, подставив в формулу (11.3.7) выражения для главных напряжений второго СОСТОЯНИЯ ОДф = Оу — СГ, ОДф = ОД — СТ, ОДф = СТ3 — СТ. Однако выкладки в этом случае более громоздки.

Гипотезы прочности

Расчет на прочность при одноосных напряженных состояниях растяжения или сжатия основывается на том, что именно такие состояния моделируются в стандартных экспериментах при определении механических характеристик материала, рассмотренных в гл. 3. Совпадение расчетного и экспериментального напряженных состояний позволяет, исходя из результатов эксперимента, прогнозировать поведение материала в рассчитываемой конструкции.

Перенесение такого подхода на сложные напряженные состояния потребует исследования поведения материала по меньшей мере в условиях трехосного растяжения-сжатия, к которому сводится любое сложное напряженное состояние. Здесь мы попадаем в качественно новую ситуацию, связанную с неодно- осностью напряженного состояния. Так, для получения механических характеристик материала при одноосном растяжении- сжатии минимально необходимо испытать только два образца — один на растяжение, а другой на сжатие. Для получения полной информации о поведении материала при трехосном растяжении-сжатии нужны испытания при всевозможных сочетаниях напряжений по разным направлениям. А таких сочетаний бесконечное множество.

Главное, что нас интересует с точки зрения прочности, это напряжения, при которых в материале наступают качественные изменения механических свойств, т.е. когда в пластичном материале наступает текучесть, а в хрупком — разрушение. Такие напряженные состояния мы будем называть пределъиыми. При внешнем разнообразии наблюдаемых в эксперименте видов предельных состояний все они, по существу, могут быть сведены к трем видам. Первый из них наблюдается при испытаниях образцов из хрупких материалов на растяжение. Это разрушение отрыва по плоскости, нормальной по отношению к растягивающим напряжениям. Будем называть такое предельное состояние хрупким отрывом. Второй вид предельного состояния соответствует разрушению по плоскостям действия максимальных касательных напряжений хрупких образцов при сжатии, т.е. по плоскостям максимальных сдвигов. Это предельное состояние хрупкого сдвига. И, наконец, предельное состояние текучести, которое возникает при испытаниях образцов из пластичного материала и сопровождается пластическими деформациями за счет скольжения по плоскостям действия максимальных касательных напряжений.

Следует помнить, что хрупкий материал при определенных напряженных состояниях может демонстрировать пластические свойства. Так, например, при испытаниях чугуна и мрамора на растяжение и сжатие в условиях высокого всестороннего давления наблюдается хорошо выраженная текучесть. А при испытаниях на растяжение пластичного образца наблюдаются последовательно все три вида предельных состояний. Сначала наступает текучесть, сопровождающаяся появлением на поверхности образца линий Людерса-Чернова, которые указывают на поверхности скольжения. Далее, после образования шейки в ее узкой части происходит хрупкий отрыв с появлением около оси образца концентрической линзообразной трещины. Это вызвано тем, что около оси образца образуется состояние трехосного ра-

стяжения. И, наконец, по периферии шейки происходит хрупкий сдвиг по конической поверхности под углом 45° к оси образца. Эти этапы показаны последовательно на рис. 11.18. Все это еще

раз демонстрирует услов

ность деления материалов на хрупкие и пластичные.

Проведем мысленно следующий эксперимент. Создадим по граням кубика некоторые напряжения 6j0,6j0 и 6j0 и будем, сохраняя постоянными отношения между ними, увеличивать их, пока в кубике не наступит пре-

пред

рдельное состояние 6У.Г ,

гис. ii.ioпред пред

, стz• Пели процесс

такого эксперимента изобразить в пространстве 6УЖ, бУ^, az. то ему будет соответствовать продвижение вдоль выходящего из

начала координат луча от точки А0 с координатами бУ^, бУ^ и бУ^ до точки Апред с координатами бУжРед, бУ^ред, бУ^ред (рис. 11.19). Задаваясь для различных образцов различными сочетаниями

начальных напряжений, можно получить в пространстве 6УЖ, бУ^,

Рис. 11.19Рис. 11.19az другие точки, соответствующие предельным напряженным состояниям. Геометрическое место таких точек называется поверхностью предельных состояний. Эта поверхность дает полную информацию о прочностных свойствах материала, т.е. зная ее, можно для любого напряженного состояния судить о том, допустимо или недопустимо оно для данного материала.

Рис. 11.19

Рис. 11.19

Используя предоставляемые математикой методы аппроксимации (приближенного построения), можно с достаточной точностью по

строить поверхность предельных состояний по конечному числу ее точек, т.е. по результатам конечного числа испытаний. Но даже такое приближенное построение потребует значительного

числа экспериментов. Кроме того, имеются чисто технические трудности в создании трехосных напряженных состояний. Единственным из них, которое можно создать достаточно легко, является состояние всестороннего равномерного сжатия. Чтобы его реализовать, достаточно погрузить кубический, сферический или цилиндрический образец в жидкость и создать в ней высокое давление, которое и явится напряжением равномерного сжатия. Испытывая образцы на одноосное растяжение в условиях всестороннего сжатия р, можно реализовать предельное напряженное состояние, у которого од = од = —р, о"1 = O’O. Такие испытания уже достаточно сложно технически осуществить. При попытке же реализовать предельное напряженное состояние со всеми тремя растягивающими главными напряжениями мы сталкиваемся уже с такими сложностями, которые пока не удалось преодолеть. Таким образом, пытаясь экспериментально установить поверхность предельных состояний, мы сможем в результате значительного числа сложных экспериментов построить лишь некоторые ее участки.

Выход из создавшегося положения был найден на пути создания гипотез о механизмах, причинах или условиях возникновения предельного состояния — так называемых гипотез (теорий) прочности.

Обобщим на случай сложного напряженного состояния понятие запаса прочности. Для напряженного состояния а^, а^ и о^, соответствующего точке А0 на рис. 11.19, запасом прочности п назовем отношение отрезков ОАпред и О А0. Поэтому

ОАпред сг^редОАпред сг^редП ОА°П ОА°• О• О-пред<7°-пред<7°.пред.пред(11.4.1)(11.4.1)

ОАпред сг^ред

ОАпред сг^ред

П ОА°

П ОА°

• О

• О

-пред

<7°

-пред

<7°

.пред

.пред

(11.4.1)

(11.4.1)

В дальнейшем все напряженные состояния, соответствующие в пространстве стж, а у, ог точкам на луче, который выходит из начала координат, будем называть подобными. Подобными, например, являются все напряженные состояния, соответствующие точкам на луче ОА°Апред на рис. 11.19. Таким образом, (1)(1)(1)(2)(2)(2)

напряженные состояния щ. , а у , и а^ , ау , од подобны,

РСЛИ = —-— =

СГЖСУ уСУ -

Два напряженных состояния назовем равноопасными, если у них одинаковый запас прочности.

Подчеркнем, что равноопасными являются неподобные состояния. Поэтому, если имеется критерий равноопасности, то появляется возможность перейти от сложного напряженного состояния к равноопасному состоянию одноосного растяжения. А для одноосного растяжения из эксперимента известно предельное состояние, поэтому легко подсчитать его запас прочности,

который в силу равноопасности равен запасу прочности также и для сложного состояния.

Таким образом, гипотезы прочности должны устанавливать критерий равноопасности. Поэтому их обычно удобно формулировать в виде критерия равноопасности сложного и одноосного напряженных состояний, при этом последнее называют эквивалентным напряженным состоянием^ а отличное от нуля главное напряжение одноосного состояния называют эквивалентным напряжением и обозначают стэкв.

Теория максимальных нормальных напряжений (первая теория) использует следующий критерий равноопасности: два напряженных состояния равноопасны, если у них равны максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения. Поэтому для сложного напряженного состояния с главными напряжениями oi, од. 03 равноопасными будут: при преимущественном растяжении (од > |о"з|) — одноосное растяжение с стэкв = oi, а при преимущественном сжатии (|оз| > од) — одноосное сжатие с стэкв = сгз. Таким образом, в этой теории прочности

^экв^экв<71При<71 > |<73|,<73При|СГ3| > <71-<71При<71 > |<73|,<73При|СГ3| > <71-(11.4.2)(11.4.2)

^экв

^экв

<71При<71 > |<73|,

<73При|СГ3| > <71-

<71При<71 > |<73|,

<73При|СГ3| > <71-

(11.4.2)

(11.4.2)

Сама формулировка критерия равноопасности построена здесь так, чтобы использовать условие прочности для одноосного растяжения-сжатия (см. разд. 4.9):

^пред-с! < ^экв < ^пред.р-

Теория максимальных нормальных напряжений отражает с современной точки зрения те инженерные подходы к расчету на прочность, которые были предложены еще Г. Галилеем и использовались до конца XIX века преимущественно английскими инженерами, когда недостаточно были еще разработаны вопросы прочности и анализа сложных напряженных состояний. В этой теории учитывается только наибольшее из главных напряжений, а влияние двух остальных главных напряжений полностью игнорируется. Поэтому трудно ожидать от нее хороших результатов в случаях, когда напряженное состояние существенно отличается от одноосного. Это и подтвердили эксперименты. Так, для состояния чистого сдвига, которое реализуется в эксперименте, например при кручении тонкостенных труб, предельное состояние достигается значительно раньше, чем предсказывает первая теория. В испытаниях же на равномерное всестороннее сжатие, когда од = од = од = —р, для большинства материалов не удается достичь предельного состояния даже при очень высоких напряжениях. А первая теория здесь предсказывает, что

предельное состояние достигается при р = сгтс для пластичных или при р = ствс для хрупких материалов. Ввиду этого первой теории придавалось обычно историческое значение.

МатрицаМатрицаВолокнаВолокнаРис. 11.20Рис. 11.20позволяет при расчете волокон игнорироватьпозволяет при расчете волокон игнорироватьОднако в последние годы эта теория прочности получила применение для расчета прочности композитных материалов, подобных ориентированным стеклопластикам. Эти материалы называются материалами условно. По существу они представляют собой конструкцию, образованную двумя семействами высокопрочных волокон, которые ортогональны друг другу. Положение этих волокон друг относительно друга зафиксировано путем погружения их в значительно менее прочную и жесткую среду, так называемую матрицу (рис. 11.20). У стеклопластиков, например, матрицей, фиксирующей стекловолокна, является затвердевшая эпоксидная смола. В таком материале прочность при растяжении напряжениями аж определяется, в основном, прочностью волокон, расположенных вдоль оси х и практически не зависит от волокон по оси у и наоборот. Таким образом, сама конструкция матер прочности вдоль одного из семе

Матрица

Матрица

Волокна

Волокна

Рис. 11.20

Рис. 11.20

позволяет при расчете волокон игнорировать

позволяет при расчете волокон игнорировать

напряжения в ортогональном направлении. Разумеется, сказанное верно для напряженных состояний, главные напряжения у которых направлены вдоль волокон. А выполнение именно этого условия позволяет наиболее эффективно использовать прочностные свойства ориентированных композитных материалов.

Для бруса (см. и. 11.2.3) ai^ = | ^сгж ± уЛт^ + 4т^. Учитывая это, формулу (11.4.2) для сгэкв при расчете бруса можно свести к следующей:

(11.4.3)(11.4.3)

(11.4.3)

(11.4.3)

Здесь знак « —» берется в случае преимущественного сжатия, т.е. при аж < 0.

Теория наибольших деформаций (вторая теория) связывает переход в предельное состояние с моментом, когда наибольшая деформация достигает определенного предельного значения, которое устанавливается из испытаний на растяжение (или сжатие). Поэтому в ней формулируется следующий критерий равноопасности: два напряженных состояния

равноопасны, если у них равны наибольшие относительные деформации.

Для сложного напряженного состояния с главными напряжениями од, од, од, когда а\ > Дз| (преимущественное растяжение) наибольшая деформация, как следует из разд. 11.3, определяется формулой (11.3.1) и равна £i = ^[оц — /Дод + ^з)]- По этой же формуле для равноопасного эквивалентного состояния простого растяжения £^кв = -^^экв- По критерию равноопасно- СТИ £1 = £|КВ, поэтому

Лкв = Cl - Л°"2 + сг3).(11.4.4)

А условие прочности здесь имеет вид

^экв < ^пред.р-

При преимущественном сжатии, т.е. когда |о"з | > ^1, условие равноопасности требует, чтобы £3 = £|кв. Тогда условие прочности принимает вид

til = кз -+ cr2)| < кпред.с|-(11.4.5)

Вторая теория прочности также слабо соответствует экспериментальным данным. Единственная область, где она удовлетворительно совпадает с экспериментом, это разрушение хрупких материалов при сложных напряженных состояниях преимущественного растяжения.

Для бруса, в котором оцд = | ^ах ± V67^ + ^т^), од = 0 формула (11.4.4) приводит к следующему условию прочности:

"экв =±+ 4Д < Стпред.р.(11.4.6)

Вторая теория прочности развивает предложение Ф. Мариотта, высказанное им еще в XVII веке. Наибольшее распространение под влиянием трудов Ж. Понселе и Б. Сен-Венана она получила во второй половине XIX века в работах французских инженеров.

Теория максимальных касательных напряжений (третья теория) отражает тот наблюдаемый в эксперименте факт, что пластическое течение является результатом скольжения материала по плоскостям действия максимальных касательных напряжений. В пи. 3.2.5, 4.7.2 мы уже обращали внимание читателя на это обстоятельство и отмечали также, что линии Чернова-Людерса являются следами поверхностей скольжения на поверхности образца. С учетом этого третья теория строится на следующем критерии равноопасно-

сти: два напряженных состояния равноопасны, если у них равны максимальные касательные напряжения.

Для сложного напряженного состояния ттах = -(од — 03). По этой же формуле для равноопасного эквивалентного состояния одноосного растяжения (од = стэкв, од = од = 0) имеем т^^ = = ^экв- По критерию равноопасности, т^^ = ттах- Поэтому

Чкв = °"1 - ^3-(11.4.7)

Состояние текучести, по этой теории, не наступит, пока

(П.4.8) и возникнет при

°экв —

Заметим, что о^в всегда положительно, и поэтому его сравнивают с пределом текучести при растяжении сгтр. Но для большинства пластичных материалов пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы и для них третья теория достаточно надежно предсказывает наступление текучести.

Исключение составляют напряженные состояния, которые близки к всестороннему растяжению-сжатию, когда пластичный материал начинает вести себя как хрупкий. К сожалению, экспериментальное определение границ этого перехода наталкивается на такие технические трудности, которые пока не удалось преодолеть.

Определенным утешением служит то, что такого рода напряженные состояния в конструкциях возникают крайне редко.

Следует заметить, что эта теория прочности дает удовлетворительные результаты и для описания разрушения хрупких материалов в тех случаях, когда разрушение путем отрыва невозможно и оно происходит за счет сдвига по плоскостям действия Ттах- Так разрушаются образцы из хрупких материалов при сжатии (см. и. 3.2.5, рис. 3.15 5). Таким образом, третья теория прочности позволяет рассматривать предельные состояния хрупкого сдвига и текучести с единой точки зрения.

Для бруса сгрз = | (^ ± ДДГ+4Д), о"2 = 0, и для него получаем из (11.4.7)

Чкв =+ 4т^.(11.4.9)

Впервые роль касательных напряжений при разрушении отметил Ш. Кулон (1776). Связь пластического течения материалов с максимальными касательными напряжениями была экспериментально установлена французским инженером Треска

12 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

(Tresca, 1869). На основе его исследований Б. Сен-Венан сформулировал условие (11.4.9) как условие пластичности и построил основные уравнения теории пластичности. Поэтому третью теорию прочности часто называют теорией Треска-Сен-Венана.

Энергетическая теория (четвертая теория). Эксперименты показывают, что при пластическом течении материала коэффициент Пуассона ц становится равным 0,5. А это значит, что при деформации течения объем материала не меняется, а меняется только форма. Это, в свою очередь, наводит на мысль, что при энергетическом анализе пластического течения определяющим фактором должна быть та часть потенциальной энергии деформации, которая связана с изменением формы. Отсюда и возник энергетический критерий рав- ноопасности: два напряженных состояния равноопасны, если у них равны потенциальные энергии изменения формы.

Для сложного напряженного состояния эта энергия определяется формулой (11.3.12)

^ф = Щ1 - С2)2 + (сГ2 - Оз)2 + (О"з - СТ1)2] .

По этой же формуле для простого растяжения с од = стэкв, а-2 = = од = 0 получаем, что Ц|кв = ^^2cTgKB. По критерию равно- опасности, Иф = Ц|кв, откуда сразу следует, что

V(о-1 - о-2)2 + (о-2 - СГ3)2 + (сг3 - О"1)2.(11.4.10)

Состояние текучести не наступит, пока

< <гт,(11.4.11)

и возникнет, когда

°экв —

Так же, как и третья теория, энергетическая теория прочности хорошо предсказывает появление пластического течения для материалов с одинаковыми пределами текучести при растяжении и сжатии, т.е. когда сгтр = сгтс = сгт. Но выражение для ^экв (И-4.10) в сравнении с а^ (11.4.7) имеет определенное преимущество, которое состоит в том, что все главные напряжения входят в него равноправно. Это позволяет отказаться от строгой их расстановки в порядке убывания и связать их с направлением координатных осей. Если координатные оси ж, у сориентированы так, что они совпадают с главными осями напряженного состояния, то ст^ можно записать в виде

Акв = ^Д7® “ СГу)2 + («Ту - <Т2)2 + (<Т2 - Ста;)2.(11.4.12)

Для бруса, у которого сг^з = -аж ± Ы + тг- формула (11.4.10) после несложных преобразований сводится к следующей:

ЧГ = V^ + 3t2. (11.4.13)

Сравнивая с ст^ (11.4.9), видим, что для бруса третья и четвертая теории дают близкие значения для эквивалентного напряжения.

Первую попытку подойти к анализу предельного состояния с энергетической точки зрения предпринял Е. Бельтрами (1885), который предложил в качестве критерия равноопасности использовать энергию деформации. Но такой подход противоречил опытам, согласно которым при всестороннем равномерном сжатии в материале может накапливаться значительная потенциальная энергия деформации, но предельное состояние при этом не наступает. Поэтому польский ученый М.Т. Губер в 1904 г. предложил исключить из рассмотрения энергию изменения объема и использовать в качестве критерия текучести только ту часть энергии деформации, которая связана с изменением формы. Немецкий ученый Р. Мизес подошел к этому вопросу с другой точки зрения. Он предпринял поиск такого аналитического выражения для аЭКв, которое было бы близко к третьей теории, но было бы равноправно по отношению ко всем главным напряжениям. В результате Р. Мизес пришел к выражению (11.4.12).

Энергетическую теорию прочности часто называют теорией Губера-Мизеса.

Теория предельных состояний (пятая теория). Рассмотренные выше четыре теории прочности демонстрируют единый с методологической точки зрения подход к решению проблемы: выдвигается гипотеза о причине возникновения предельного состояния, которая в дальнейшем проверяется экспериментами. Не менее, а часто и более эффективным является так называемый феноменологический подход, когда теория строится на основе экспериментальных данных так, чтобы она не только могла бы охватить все возможные случаи, но и находилась бы в лучшем соответствии с этими данными. При построении теорий прочности впервые такой подход был использован О. Мором (1900). Он исходил из допущения, что из всех площадок с одинаковым по величине нормальным напряжением наиболее вероятно разрушение или текучесть на той, где окажется наибольшим касательное напряжение. А на плоскости Мора точки, соответствующие этим слабейшим площадкам, лежат на большой главной окружности круговой диаграммы Мора (см. рис. 11.9). Поэтому можно рассматривать только эту окружность и считать, что а^ никак не влияет на предельное состояние.

По результатам экспериментов при различных сочетаниях од и од можно построить на плоскости Мора большие круги, соответствующие достигнутым в экспериментах предельным состояниям. Их огибающую, показанную на рис. 11.21, будем и азы-

Рис. 11.21Рис. 11.21

Рис. 11.21

Рис. 11.21

вать границей допустимых состояний. Можно предположить, что для всех других неиспытанных напряженных состояний предельное состояние будет достигнуто, когда большой круг диаграммы Мора коснется границы допустимых состояний.

Наиболее просто можно приближенно построить границу допустимых состояний как касательную к диаграммам предельных состояний при растяжении и сжатии, как это показано на

рис. 11.22. Тогда для предельного состояния с о-^ и о^. главный круг которого имеет центр в точке О и касается границы допустимых состояний в точке С можно записать соотношение, следующее из подобия треугольников А СЕ и ABD:

(11.4.14)(11.4.14)СЕ = ОрО

(11.4.14)

(11.4.14)

BD ОРОС *

Но

СЕ = ОС - ОЕ = 1(Л - <т|) - |апред.р,— 2<7Пред.с 2б7пРеД-Р’

Ор О = -бТпред.р - 2 ^1 + ^З^

ОрОс = —бТпредф + 2^пРеД-с'

Тогда из (11.4.14) после простых преобразований получаем, что в этом предельном состоянии

(11.4.15)(11.4.15)* _ £предф * _

(11.4.15)

(11.4.15)

671” а3 — ^пред.р-

О пред.с

Во всех ранее рассмотренных теориях прочности предельное состояние достигалось при стэкв = (тпред.р- Единообразие будет сохранено, если и в этой теории ввести эквивалентное напряжение

о пред.со пред.с(11.4.16)

о пред.с

о пред.с

Тогда предельное состояние достигается при а^кв = пПред.р, а условие прочности примет вид ст^в < сгпред.р- Запас прочности подобно остальным теориям прочности можно подсчитать как п = ^пред.р/^экв •

Наилучшие результаты теория Мора в рассмотренном приближении дает для таких напряженных состояний, предельные диаграммы для которых находятся между предельными кругами для растяжения и сжатия. Для этих состояний од > 0, а ^з < 0.

Для частного случая материалов, у которых пПред.р = ^пред.о формула (11.4.16) дает для стэкв то же, что и третья теория. Для бруса главные напряжения определяются формулами (11.2.5). Поэтому для него получаем из (11.4.16)

Ткв = Д^ж + МТД^+4^-(11.4.17)

Рассмотрим теперь примеры использования теорий прочности.

Пример 11.2. Завершим расчет на прочность брусьев, рассмотренных в примерах 9.3 и 9.4. В примере 9.3 рассмотрен брус открытого тонкостенного сечения (см. рис. 9.12). Как там отмечено, чтобы избежать появления вызванных кручением больших касательных напряжений, необходимо, чтобы нагрузки были приложены к оси жесткости (в точке А торцевого сечения). Тогда в опасном сечении вблизи заделки будут действовать Mz = ЮРЬ и Му = ^Pb, Qz = ^Р и Qy = Р (см. рис. 9.13). Нормальные напряжения при выбранных направлениях осей координат определяются выражением

ММмгмгЮРЬ^№5ЮРЬ^№5Vb 42 = 12^Vb 42 = 12^

М

М

мг

мг

ЮРЬ^№5

ЮРЬ^№5

Vb 42 = 12^

Vb 42 = 12^

Нейтральную линию найдем из условия аж = 0. Это прямая у = — |^ = —1,6^. Распределение нормальных напряжений по сечению показано на рис. 11.23 а. Касательные напряжения, возникающие от действия перерезывающих сил Qy и QZl были получены в примере 9.3 и показаны здесь на рис. 11.23 5, в.

Рис. 11.23Рис. 11.23у = - l,6z

Рис. 11.23

Рис. 11.23

Для расчета на прочность используем третью теорию прочности, по которой для бруса а^ = V67^ + ^Т1 • Опасной точкой сечения будет та, в которой максимальна величина сг^. Анализируя показанные на рис. 11.23 распределения по сечению аж и тХ81 приходим к выводу, что тахбтэкв может быть достигнут в точках Р, С, В. Е.

3

В точке D с координатами у = 6, % = -6 действует нормальное напряжение

а касательное напряжение в ней

Txs(D) — 0.

Поэтому

<№ = ax(D) = 8,25^.

В точке С с координатами у = —6, z = — ^6:

U = 0,225g, № = ^(С + 4т^С) = Г V(-5,25)2 + 4 ■ 0,2252 = 5,27g.

В точке В с координатами у = b, z = — ^6:

^В) = ^(^ + 6НЬ))=2^т^В) = TxAQy) + TXAQA = §^ + — ^ = 0,525—,= ^С2,252 +4-0,5252 = 2,48g.

В точке Е с координатами у = 0, z = — ^6:

=6 Н^) £ =

Тх^Е) = Txs(Qy) = ^^— = 0,563—,<№ = g Д-1,5)2 + 4- 0,5632 = 1,88g.

Таким образом, опасной будет точка D и условие прочности примет вид тахсг^кв = 8^5Р/Ьб < [ст]. На основе этого условия, как и ранее, можно произвести проверочный или проектировочный (например, определить потребную величину 5) расчеты на прочность или найти допустимую величину нагрузки.

Обратимся теперь к примеру 9.4. Проведенный там анализ напряжений в сечении у заделки бруса, показанного на рис. 9.17, можно

свести к распределению напряжений для этого сечения, данному на рис. 11.24. Тогда в точках С и А

MUO = МО = б^- и

= ОМО+ММ = V32 + 4-2,032^ = 5,05^.

Поэтому для этого бруса опасной оказывается точка С. Условием прочности для него будет

тах<тэкв = 6— ^ [ст].

Пример 11.3. Рассмотрим брус кольцевого сечения. Пусть в его сечении действуют изгибающие моменты М^,

Му и крутящий момент Мр (рис. 11.25). Для кольцевого сечения любая пара центральных осей является главной. Поэтому изгиб в двух плоскостях моментами Mz и Му можно заменить изгибом в плоскости действия момента Ми^ который представляет собой векторную сумму Mz и Му. Тогда Ми = у/М^ + М^, а плоскость его действия опреде

лится углом оц таким, что

Рис. 11.25cos Q = Mz/^М^ + М^.

Максимальные нормальные напряжения действуют в точках А и А* и равны бттах = Ми /Wu. где Wu — момент сопротивления изгибу: Wu — Зи j (|^) • Максимальные касательные напряже

ния действуют в точках сечения, прилегающих к его наружному контуру, в том числе и в точке А; ттах = Mk/wk, где ИД — момент сопротивления кручению: ИД = Зр j (|^) * Для Л1°бого сечения Зр = Зи + Д. а для кольцевого, кроме того, Зи = Jv. Поэтому для него ИД = 2 ИД. Если для расчета на прочность использовать теорию максимальных касательных напряжений,

то замечаем, что максимум а^ достигается в точке А;

max = С^УТ4ДУ = J(^ + 4(^) =

= [м^м^ ,м^_ ум^ + м^ + м^ _ м^\ w» w^ wu w„ •

Отсюда видно, что опасным сечением такого бруса, т.е. сечением, где а^ достигает наибольшего значения, будет такое, где максимальна величина М^ = ^М^ + М^ + М^ (если, конечно, сечение бруса не меняется по его длине).

Если для расчета применить энергетическую теорию, для которой а^в = V67^ + ^тх 1 т0 после аналогичных выкладок снова придем к выражению, которое можно записать в виде

тахДХ = ^, М^ = Jm^ + М^ + -М^.

Заметим, что полученные здесь соотношения справедливы и для брусьев сплошного круглого и кругового замкнутого тонкостенного сечений, так как для этих сечений также W^ = 2ИД.

О прочности и разрушении

В предыдущем разделе сформулированы критерии прочности. Для их правильного применения необходимо разобраться в самих понятиях «прочность» и «разрушение». Обычно считается, что конструкция утратила прочность, если за счет частичного или полного разрушения ее элементов или вследствие недопустимой деформации она перестала выполнять свои функции. В этом смысле прочность является интегральным свойством конструкции. Но критерии прочности связаны с напряженным состоянием в точке конструкции и поэтому определяют локальные свойства как напряженного состояния, так и материала. Чтобы понять соотношение между интегральным и локальным в прочности, рассмотрим сначала такие конструкции, у которых напряженное состояние во всех точках или в существенной части конструкции одинаково (однородно). Простейшим примером такой конструкции является стержень постоянного сечения, находящийся в состоянии центрального растяжения под действием приложенных к его концам сил. Во всех его поперечных сечениях возникают только постоянные по сечению напряжения аж. Именно такое напряженное состояние и создается в образце при испытаниях на растяжение. Если этот стержень выполнен из пластичного материала, то при аж = сгт насту-

пит состояние текучести, которое будет сопровождаться значительными необратимыми деформациями. А хрупкий стержень при аж = бтвр разрушится. И в том, и в другом случаях локальное напряженное состояние, оговоренное критериями прочности

Рис. 11.26Рис. 11.26как предельное, наступает одновременно во всех точках стержня и потому интегральная и локальная сторона прочности здесь неразличимы.

Рис. 11.26

Рис. 11.26

Рассмотрим теперь балку, нагруженную сосредоточенной си

лой (рис. 11.26). Если материал балки пластичный, то момент, когда максимальные напряжения в ее опасном сечении достигли предела текучести, т.е. когда бттах = бгт и напряженное состояние в точке А стало предельным, для балки в целом не

сопровождается появлением недопустимых необратимых деформаций и тем более разрушением. Здесь локальное наступление предельного состояния не сказывается на интегральной прочности балки. Этот и другие подобные случаи будут рассмотрены в гл. 13, где будет показано, что для появления недопустимых деформаций нагрузка должна быть значительно увеличена.

Если же балка выполнена из хрупкого материала, то достижение в точке А предельного состояния, когда сттах = ствр, будет сопровождаться катастрофическим ее разрушением — разделением на части по опасному сечению. Таким образом, здесь локальное невыполнение условий прочности приводит к исчерпанию общей (интегральной) прочности всей балки.

Из сказанного следует, что невыполнение локальных условий прочности является только необходимым условием потери прочности конструкции. В то же время выполнение локальных условий прочности — это достаточное условие прочности всей

конструкции.

Из проведенного рассуждения следует, что понятия прочности конструкции и прочности материала хотя и связаны, но различны. И сформулированные в разд. 11.4 критерии прочности фактически являются критериями прочности материала, устанавливаемыми экспериментально на основе малого количества простых испытаний материала. В то же время прочность материала интегрально характеризует связи, действующие между частицами материала — кристаллами, молекулами, атомами. Поэтому ее можно оценить, рассматривая, например, взаимо-

действие между двумя слоями атомов. Такие оценки были проделаны и получено, что теоретический предел прочности материала а8 составляет величину порядка 5/2тг ~ 0,15. Получаемые же в экспериментах пределы прочности материала в десятки, а иногда в сотни раз меньше теоретических. В этом можно убедиться, обратившись к табл. 3.1 (с. 50). Снижение прочности объясняется неоднородностью реального материала — наличием дефектов его кристаллической решетки, микропор и микротрещин, неизбежных при кристаллической структуре, инородных включений и т.п.

Впервые разрушение материала при наличии в нем трещин рассмотрел А. Гриффитс (1920). Он использовал энергетический подход. Разберем подход А. Гриффитса на примере упругой пластины, растянутой однородными напряжениями ау = а (рис. 11.27). Если в пластине нет трещины, то потенциальная энергия ее деформации с учетом однородности напряженного состояния

(11.5.1)(11.5.1)По -

(11.5.1)

(11.5.1)

V

Здесь У, F — объем и площадь пластины, a t — ее толщина. Возьмем теперь пластину с трещиной, имеющей длину 2Z и расположенной вдоль оси х. Будем рас

Рис. 11.27Рис. 11.27сматривать такие трещины, у которых длина существенно меньше размеров пластины, так чтобы можно было пренебречь влиянием краев пластины на напряженное состояние в районе трещины. Потенциальная энергия деформации П пластины с трещиной будет меньше, чем у пластины без трещины. Это следует из того, что для восстановления целостности пластины необходимо затратить работу на стягивание краев трещины. Оценим разницу энергий По и П. Она образуется за счет изменения напряжений в некоторой приле-

Рис. 11.27

Рис. 11.27

гающей к трещине области Fy (см. рис. 11.27). В силу эффекта Сен-Венана размеры этой области малы. В вершине трещины образуется местный пик напряжений, а вблизи поверхности трещины ау = 0. Заметим, что для малых трещин, т.е. при от

сутствии влияния краев пластины на напряжения в окрестности трещины, размеры области F^ пропорциональны длине трещины, а форма области Fi не зависит от длины трещины. Более

того, и характер распределения напряжений внутри Fi также не зависит от длины трещины. Математически это значит, что если в функциях а^^х^у), ^(х^у^ определяющих главные напряжения, перейти к безразмерным координатам х = ж/Z, у = у/1, то ст i (ж, у), (J2 (х, у^ от I зависеть не будут, а величина и форма соответствующей Fi области Fi в координатах ж, у также не будут зависеть от I. Кроме того, вследствие упругости деформаций главные напряжения стх и ст2 пропорциональны ау = ст. Все это можно записать в виде следующих соотношений:

Fy=l2FYl ai(x,y) = ст/1Цу), <т2(ж,у) = <т/2(ж,у). (11.5.2)

Здесь /Дж, у), /2(ж, у) — функции, определяющие характер распределения напряжений в области Fу и не зависящие от Z и ст. Тогда в соответствии с (11.5.1) получим для области Fp

П0 = 1^ = 1у^.(11.5.3)

Учитывая, что напряжения в сечениях, параллельных плоскости пластины, равны нулю, т.е. стз = 0, подсчитаем П как

П=М (□"!£! + a^E^tdxdy = 1Г(<71 + Л - 2y<JiCT2)tdxdy.

2 J2 J Л

FiFi

Использовав безразмерные координаты х = ж/Z, у = у/I и соотношения (11.5.2), получим

n = |^-Z2i J [ДЦу) + F(x,y) - 2/V1/2] dxdy. (11.5.4) Fi

Вошедший в это соотношение интеграл не зависит ни от длины трещины 2Z, ни от уровня напряжений ст и является константой, интегрально отражающей неравномерность напряжений в области Fx. Для пластины без трещины напряженное состояние равномерно и /1 = 1, /2 = 0. Поэтому этот интеграл для нее равен Fx. Для пластины с трещиной из-за неравномерности напряженного состояния он равен aF-^ где а — величина, меньшая единицы.

Таким образом, уменьшение энергии деформации пластины за счет образования в ней трещины

АП = По - П = 1a^Z2Z.(11.5.5)

Здесь А = Fi(l — а) — безразмерная константа, которая в случае малой трещины не зависит ни от ст, ни от Z.

Появление трещины сопровождается образованием у пластины новой поверхности — поверхности трещины, площадь которой равна 2-211. Двойка здесь учитывает, что трещина имеет две стороны. Так же, как и жидкости, твердые тела обладают поверхностным натяжением. Поэтому для образования новой поверхности необходимо затратить энергию, равную энергии поверхностного натяжения этой поверхности. Пусть 7 — энергия поверхностного натяжения, приходящаяся на единицу площади поверхности. Тогда

^W = -у-4И(11.5.6)

— энергия, необходимая для образования поверхности трещины.

Рассмотрим теперь поведение трещины в пластине при возрастании напряжений а. Эксперименты показывают, что при малых ст трещина практически не изменяется, а при достижении некоторой критической величины напряжений ас трещина начинает стремительно расти, что приводит к разрушению пластины. Чтобы разобраться в этой ситуации, произведем ее энергетический анализ, рассмотрев энергетический баланс при подрастании длины трещины от I до I + dl. При таком росте трещины выделится энергия деформации, которая в соответствии с (11.5.5) будет

^ДП) = ^51 dl = A^lt dl.(11.5.7)

На образование новой поверхности 41 dl необходимо затратить энергию

d^W) = ^^idl = 4^1.(11.5.8)

При малых величинах ст

й(ДП) < d(AlK),(11.5.9)

т.е. при подрастании трещины выделилось упругой энергии с/(ДП) меньше, чем необходимо затратить энергии d(AW) на образование новой поверхности. На подрастание трещины, таким образом, нужна какая-то внешняя энергия. Поэтому трещина в этих условиях без внешних причин не растет. Говорят, что она стационарна.

Критическое состояние наступает, когда при подрастании трещины выделяется ровно столько энергии деформации, сколько необходимо затратить энергии на образование новой поверхности, т.е. когда

й(АП) = d^W).(11.5.10)

Отсюда, учитывая выражения (11.5.7), (11.5.8), (11.5.10), легко получим связь между длиной трещины I и тем критическим

напряжением стс, ционарной:напряжением стс, ционарной:при котором трещина перестанет быть ста-

напряжением стс, ционарной:

напряжением стс, ционарной:

(11.5.11)

видевидест < ас.ст < ас.(11.5.12)(11.5.12)А условие стационарности трещины (11.5.9) можно записать в

виде

виде

ст < ас.

ст < ас.

(11.5.12)

(11.5.12)

Это же условие можно использовать и для определения критического размера трещины 1С при данном уровне напряжений а;

к 1с = ^.(11.5.13)

Для подсчета величины А, зависящей только от характера распределения напряжений в зоне ГД ослабленной трещиной, А. Гриффитс представил трещину как вытянутое эллиптическое отверстие в пластине. Воспользовавшись известным решением теории упругости, он получил, что А = 2тг.

Эксперименты, в которых А. Гриффитс разрушал внутренним давлением тонкостенные трубки с прорезанными в них алмазом продольными трещинами, с удовлетворительной точностью подтвердили зависимость (11.5.11).

Другое подтверждение предположения о том, что дефекты

структуры материала существенно сказываются на его прочности, А. Гриффитс получил, определяя предел прочности тонких стеклянных волокон. Он оказался в 50 раз выше, чем у массивных образцов, и приближался к теоретической прочности. Это легко объясняется тем, что при вытягивании тонкого волокна исключается возможность образования в нем трещин, перпен

дикулярных его длине.

Экспериментальные исследования разрушения выполненных из пластичных материалов образцов с трещинами также подтвердили зависимость (11.5.11). Но при этом величина энергии, которую необходимо затратить на

подрастание трещины, оказалась значительно больше энергии, потребной для образования новой поверхности. Это связано с тем, что вблизи вершин трещины образуются зоны пластического деформирования материала РПл- Они показаны на рис. 11.28. При продвижении трещины они продвигаются и

увеличиваются в размерах.

При пластическом деформировании энергия необратимо рассеивается. В этом она подобна энергии поверхностного натяжения, необходимой для образования новой поверхности трещины.

Обозначим через Gc все энергетические затраты, необходимые для образования трещины единичной длины в пластине единичной толщины. В Gc входит энергия 2у, затрачиваемая на создание двух единиц новой поверхности, и энергия произошедшего при этом пластического деформирования. В этом случае

^W = Gc-2lt.(11.5.14)

Тогда из баланса энергий (11.5.10) получаем аналогичную (11.5.11) зависимость:

<тс = А/^ (Л = 2тг).(11.5.15)

У 7Г/

Величину Gc удобно определять из эксперимента по длине трещины 21 и напряжению аС1 при котором трещина начинает лавинообразно развиваться:

Gc = ^.(11.5.16)

Эта величина зависит от материала и характеризует его вязкость как способность противостоять развитию трещин.

Часто вместо Gc используют показатель вязкости кс (трещи- ностойкость), который связан с Gc соотношением

кс = a/G^E-(11.5.17)

По результатам эксперимента кс можно подсчитать по формуле

кс — ^скс — ^с7г/.7г/.(11.5.18)(11.5.18)

кс — ^с

кс — ^с

7г/.

7г/.

(11.5.18)

(11.5.18)

Удобство в использовании кс связано с тем, что он пропорционален ас.

Кроме энергетического подхода, при исследовании поведения трещин используются и другие подходы. Среди них наиболее распространенными является так называемый силовой подход, основанный на анализе распределения напряжений в окрестности вершин трещины. Этот анализ показал, что для пластин напряжения в малой окрестности трещины распределяются следующим образом:

kiV^TTTkiV^TTTcos - 1 — sin - sin —9

kiV^TTT

kiV^TTT

2 \22.

(11.5.19)(11.5.19)ki 9 Л , . 9 . 3Z

(11.5.19)

(11.5.19)

УУcos - 1 + sin - sin

У

У

2 V 22

ki 9.93 q

= ,COS - Sin - COS -9.

Здесь г — расстояние от вершины трещины; 9 — полярный угол, отсчитываемый от оси х.

Был обнаружен интересный и очень важный факт, что характер распределения напряжений (11.5.19) не зависит от размеров трещины и пластины и от вида действующей на пластину нагрузки. Все эти факторы сказываются только на величине коэффициента интенсивности напряжений kj. Так, для рассмотренного случая растянутой напряжениями неограниченной пластины с трещиной 2Z коэффициент интенсивности kj оказался равным

kj = aV7l.(11.5.20)

Сравнивая его с показателем вязкости кс (11.5.18), замечаем, что трещина начинает лавинообразно развиваться как раз тогда, когда

kj = кс.(11.5.21)

Это условие и является силовым критерием критического состояния трещины.

Независимость характера распределения напряжений (11.5.19) от вида нагрузки позволяет подсчитывать коэффициент интенсивности напряжений для сложной нагрузки как сумму коэффициентов для отдельных ее составляющих. Так, например, если на неограниченную пластину с трещиной 2Z одновременно действуют растягивающие напряжения а, для которых kj = cta/ttZ и приложенные по центру пластины силы, величина которых на единицу толщины равна Р, и для которых к^ = P/Wl (рис. 11.29), то

к^р = kj + кр = ctVttZ + P/V^L

Это свойство коэффициентов интенсивности напряжений существенно облегчает их использование и во многом объясняет популярность их в расчетной практике.

Кроме рассмотренного вида трещины, которая называется треьциной нормального отрыва, были исследованы также и другие возможные виды развития трещины в пластине: за счет сдвига берегов трещины в плоскости и путем сдвига из плоскости (антиплоская деформация). Все три этих случая показаны на рис. 11.30. Для них характерно, что напряжения в малой окрестности вершины трещины распределяются по закону

^j = гт—fij(&Y

Поэтому для сдвига и антиплоской деформации также удобно пользоваться коэффициентами интенсивности напряжений, которые принято соответственно обозначать через к и и кш.

Рис. 11.30Рис. 11.30

Рис. 11.30

Рис. 11.30

Рис. 11.31Рис. 11.31

Рис. 11.31

Рис. 11.31

11.5.5.11.5.5.Проведенный выше анализ поведения трещины в

11.5.5.

11.5.5.

пластине основан все-таки на модели материала как сплошного и однородного. Реальные же материалы имеют неоднородную структуру, и неоднородности могут как способствовать разви

тию трещины, так и мешать ему. Так, например, трещина может

перестать расти, если она дойдет до гладкого отверстия (рис. 11.31). Это объясняется тем, что в этот момент резко уменьшается концентрация напряжений. На практике часто для того, чтобы увеличить критические напряжения конструкции, в которой появились трещины, засверливают концы трещины.

Неоднородность композитных материалов существенно сказывается на их трещиностой- кости. Например, эпоксидная смола и углеродные волокна имеют очень низкую вязкость. В то же время углепластик, представляющий собой композицию из армирующих углеродных

волокон в матрице из эпоксидной смолы, может при распространении трещины поперек волокон иметь вязкость, близкую к мартенситной стали, которая относится к вязким материалам. Это объясняется тем, что трещины, развивающиеся в эпоксидной смоле, тормозятся на границах между смолой и волокнами. Но вязкость углепластика на развитие трещин вдоль волокон остается низкой. Вообще у волокнистых материалов с однонаправленной структурой вязкость вдоль волокон существенно ниже, чем поперек. Общеизвестный пример этого — дерево, ко

торое легко колется вдоль волокон и с трудом — поперек.

Для изделий из композитных материалов, как уже отмечалось, характерно то, что их структура формируется одновременно с изготовлением самой детали. Это открывает среди прочих

еще и возможность формировать структуру изделия, обеспечивающую его высокую трещиностойкость.

Контрольные вопросы

11.1. Что такое компоненты напряженного состояния? Сколько их? Сколько из них независимых? Как определяются их знаки?

В. 11.2. Как понимать утверждение, что компоненты напряженного состояния полностью определяют напряженное состояние в данной точке?

11.3. Что такое главные площадки? Сколько их? Как они взаимно ориентированы? Чему равны касательные напряжения на этих площадках? Какие напряжения называются главными? Как они обозначаются и соотносятся между собой?

11.4. Почему главные напряжения называются инвариантами напряженного состояния?

В. 11.5. Как ориентированы площадки, которым на плоскости Мора соответствуют точки окружностей, проходящих через точки 671 и од, 672 и од, од и ^2 соответственно?

В. 11.6. Каким площадкам соответствуют точки, лежащие в области, заключенной между окружностями круговой диаграммы Мора?

В. 11.7. В какой площадке из всех, проходящих через данную точку, действуют максимальные касательные напряжения?

В. 11.8. Как определить главные напряжения 671, 672 и 67 3 в точке бруса в общем случае его нагружения?

В. 11.9. Какие величины связаны шестью соотношениями закона Гука?

Что такое удельная потенциальная энергия изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения формы?

Что такое предельные для материала напряженные состояния? К каким трем видам они сводятся?

11.12. Что такое поверхность предельных состояний? Что она отражает? В чем трудности ее построения?

11.13. Какие напряженные состояния называются подобными?

11.14. Какие напряженные состояния называются равноопасными? Почему таковыми могут быть только неподобные состояния?

11.15. Что положено в основу сравнения двух напряженных состояний в гипотезах прочности? Почему сложное напряженное состояние обычно сравнивается с одноосным?

11.16. Что такое эквивалентное напряженное состояние?

11.17. Какой критерий равноопасности положен в основу теории максимальных нормальных напряжений? В каких случаях находит применение эта теория?

11.18. Какой критерий равноопасности устанавливается в теории наибольших деформаций? В каких случаях она дает удовлетворительные результаты?

11.19. На основе какого критерия строится теория максимальных касательных напряжений? Для каких материалов она нашла широкое применение в расчетах?

11.20. Какой критерий равноопасности положен в основу энергетической теории прочности? Для каких материалов она используется?

11.21. Какой подход положен в основу теории предельных состояний? Как для заданного напряженного состояния здесь определяется предельное состояние? Для каких материалов и напряженных состояний эта теория дает наилучшие результаты?

11.22. Что такое локальная или интегральная прочность? Как невыполнение или выполнение локальных условий прочности соотносится с прочностью всей конструкции?

11.23. Почему прочность реального материала во много раз меньше его теоретической прочности?

11.24. Почему при малых напряжениях трещина практически не растет? При каком условии наступает критическое состояние, т.е. стремительный рост трещины при энергетическом подходе к проблеме?

11.25. При каком условии наступает критическое состояние трещины при силовом подходе к проблеме?

3.11. Задачи

Рис. 11.32Рис. 11.32Определить запас прочности в точке нагруженного тела, напряженное состояние в которой, заданное его компонентами, показано на рис. 11.32. Материал тела пластичный, пределы текучести на растяжение и сжатие: сгтр = = 280 МПа, сгтс = 220 МПа.

Рис. 11.32

Рис. 11.32

Выбрав соответствующие теории прочности, проверить, выполняется или нет условие прочности в точке нагруженного тела, напряженное состояние в которой показано на рис. 11.33, если материал тела пластичный и имеет одинаковые преде

лы текучести на растяжение и сжатие: сгтр = сгтс = сгт = = 280 МПа; запас прочности п принять равным двум.

Рис. 11.33Рис. 11.33Для бруса прямоугольного сечения, показанного на рис. 11.34, найти размер b из расчета напряжений только по изгибающим и крутящему моментам. Расчет сделать по третьей теории прочности. Принять [сг]р = [ст]с = = [ст] = 120 МПа, Р = 0,6 кН.

Рис. 11.33

Рис. 11.33

Полагая сечение рамы в задаче 10.5 тонкостенным кольцевым со средним диаметром cZcp и толщиной 5 = O,lcZcp, найти ее запас прочности. Расчет сделать по четвертой теории прочности. Принять стт = = 240 МПа, Р = 320 Н, I = 0,25 м, ^ср — 20 мм.

Рис. 11.34Рис. 11.34Рис. 11.35Рис. 11.35Вычислить тахстэкв по третьей теории прочности в тонкостенном брусе, показанном на рис. 11.35. На сколько про-

Рис. 11.34

Рис. 11.34

Рис. 11.35

Рис. 11.35

центов увеличится запас прочности бруса, если силу Р перенести в центр изгиба того же сечения, где она приложена. Касательные напряжения, образующие перерезывающую силу, в расчетах не учитывать. Положение центра изгиба и величины осевых моментов инерции взять из примера 9.3 гл. 9.

ГЛАВА 12

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

В этой главе будут рассмотрены особенности поведения стержней под действием продольных сжимающих сил. Как показывает опыт, сжатие стержня, даже если приняты все возможные меры, чтобы сила действовала строго вдоль его оси, сопровождается изгибом и (рис. 12.1), который сначала незначителен. Однако fl при увеличении силы наступает момент, когда из-'\\

гиб начинает резко возрастать, и именно он приво-\ц

дит к разрушению или недопустимым деформаци-|(«

ям стержня, хотя напряжения от сжимающей силы;||

(если считать стержень прямолинейным) далекиW

от предельных. Решение этой задачи дал в 1744 г. Ill Л. Эйлер в своей знаменитой книге «Методы на- ’Ц хождения кривых линий...» Это исследование Эй-7/

лера оказало значительное влияние на формирова- ^ k ние в механике и математике понятия устойчивости и легло в основу обширного раздела механики твердого деформируемого тела — устойчивости де- Рис 12 1 формируемых систем, методы и результаты кото- ''

рого особенно важны для расчета тонкостенных конструкций.

Общее понятие об устойчивости состояния равновесия

Понятие устойчивости в механике многогранно и может быть детально определено только в зависимости от объекта, к которому оно применяется, и от методов исследования этого объекта. Но все же в его основе лежит наша практическая деятельность. Например, чтобы на практике убедиться в том, что положение равновесия какого-то предмета устойчиво, мы испытаем его. Для этого мы можем слегка потолкать предмет в разные стороны или как-то по-другому вызовем отклонение

его из положения равновесия. Как говорят, дадим возмущение. И если предмет не отклонится сильно, мы придем к выводу, что его равновесие устойчиво. А если предмет в результате сильно

отклонится от положения равновесия, например, упадет, то мы скажем, что оно неустойчиво.

Таким образом, устойчивость положения равновесия системы определяется реакцией системы на возмущение. Подчеркнем, что нельзя исследовать устойчивость какой-либо системы, не возмутив ее!

Остановимся подробнее на возмущениях. Положение стоящего на полу стула, с нашей точки зрения, безусловно устойчиво. Но ведь стул можно толкнуть (возмутить) так, что он упадет. Этот простой пример показывает, что всегда можно найти настолько сильное (большое) возмущение, что система перейдет совсем в другое положение равновесия или станет качественно другой, например, сломается. Поэтому при исследовании устойчивости возмущения должны быть малыми, такими, чтобы они

вызывали малые отклонения от положения равновесия.

Есть еще одна сторона вопроса, о которой иногда забывают. Обязательно нужно исследовать реакцию системы на все

возможные возмущения, так как при

Рис. 12.2Рис. 12.2в этой плоскости. Поэтому, если при исследовании устойчивостив этой плоскости. Поэтому, если при исследовании устойчивостиодних возмущениях отклонения могут оказаться незначительными, а по отношению к другим система окажется неустойчивой. Это видно на примере стержня, закрепленного на оси вращения АВ (рис. 12.2). Его положение равновесия неустойчиво, так как любое малое отклонение стержня в направлении его возможного вращения приведет к тому, что он повернется вокруг оси АВ и в итоге займет нижнее положение равновесия. Если же возмущение происходит в плоскости АВ С. то оно не приведет к значительным отклонениям

Рис. 12.2

Рис. 12.2

в этой плоскости. Поэтому, если при исследовании устойчивости

в этой плоскости. Поэтому, если при исследовании устойчивости

положения равновесия стержня мы ограничимся только последними возмущениями, то придем к неверному выводу об устойчивости этого положения.

Все сказанное подводит нас к следующему определению: положение равновесия системы устойчиво^ если любые малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этого положения.

По смыслу это определение совпадает с известным в математике определением устойчивости, данным А.М. Ляпуновым

(1892), только в последнем конкретизированы критерии малости возмущений и отклонений. В нашем случае эти критерии могут быть установлены в зависимости от конкретных свойств исследуемой системы.

Исследуем с помощью принятого определения положения равновесия шарика, показанные на рис. 12.3.

аб

Рис. 12.3

Положение А на рис. 12.3 а устойчиво, так как при незначительном отклонении от него представленный самому себе шарик будет колебаться около точки А, оставаясь вблизи нее. Если возмущение будет таким, что шарик перевалит через точку В, то это не будет свидетельствовать о неустойчивости положения А, так как такое возмущение нельзя считать малым.

Положение шарика на вершине С бугорка (рис. 12.3 5) неустойчиво, так как любое малое смещение шарика из этого положения приведет к его скатыванию с бугорка, т.е. к большому отклонению от точки С. Положение шарика в точке D на плоскости на первый взгляд кажется устойчивым, так как если возмутить шарик, переставив его в точку, близкую к точке В, он в этой новой точке и останется. Но ограничившись только таким возмущением, мы придем к неверному выводу, поскольку не исследовали все возмущения. Действительно, если мы придадим шарику даже малую начальную скорость, то за достаточное время он далеко откатится от точки D (трение, конечно, не учитывается). Таким образом, положение равновесия шарика на плоскости неустойчиво, но оно имеет характерную особенность: рядом с ним, сколь угодно близко к нему есть сколь угодно много других (смежных) положений равновесия. Такого рода положения равновесия выделяют среди неустойчивых и называют полоснсениями безразличного равновесия.

Метод Эйлера

Следуя Эйлеру, рассмотрим сжатый стержень, концы которого шарнирно закреплены (рис. 12.4 а). Такой стержень называют стойкой Эйлера. Если он идеально прямой и сила Р приложена строго вдоль оси стержня, то прямолинейное состо-

яние стержня является состоянием его равновесия. Попробуем найти такую величину сжимающей силы, при которой изогнуяние стержня является состоянием его равновесия. Попробуем найти такую величину сжимающей силы, при которой изогнуааР крР крVVи(х)и(х)XXббРис. 12.4условие равновесия ^ МсРис. 12.4условие равновесия ^ Мстое состояние стержня (рис. 12.4 5) также является состоянием его равновесия. Такую силу (если она, конечно, найдется) назовем критической и обозначим через Ркр. Введем показанную на рис. 12.4 б систему координат, тогда функция р(ж) окажется прогибом стержня. Отбросим опоры, заменим их реакциями и рассмотрим равновесие данной на рис. 12.5 отсеченной части стержня. Из уело- вий УРЖ = 0 и 52 Ру = ° следует, что в сечении С возникают такая продольная N и перерезывающая Q силы, что вертикальная составляющая их равнодействующей равна Ркр, а горизонтальная — нулю. Последнее = 0 имеет видтое состояние стержня (рис. 12.4 5) также является состоянием его равновесия. Такую силу (если она, конечно, найдется) назовем критической и обозначим через Ркр. Введем показанную на рис. 12.4 б систему координат, тогда функция р(ж) окажется прогибом стержня. Отбросим опоры, заменим их реакциями и рассмотрим равновесие данной на рис. 12.5 отсеченной части стержня. Из уело- вий УРЖ = 0 и 52 Ру = ° следует, что в сечении С возникают такая продольная N и перерезывающая Q силы, что вертикальная составляющая их равнодействующей равна Ркр, а горизонтальная — нулю. Последнее = 0 имеет вид^ Мс — 0 : Mz Ркр— 0.^ Мс — 0 : Mz Ркр— 0.(12.2.1)(12.2.1)Рассматривая изогнутое состояние стойки, мы фактически исследуем ее возмущенное состояние. А возмущения должны

яние стержня является состоянием его равновесия. Попробуем найти такую величину сжимающей силы, при которой изогну

яние стержня является состоянием его равновесия. Попробуем найти такую величину сжимающей силы, при которой изогну

а

а

Р кр

Р кр

V

V

и(х)

и(х)

X

X

б

б

Рис. 12.4

условие равновесия ^ Мс

Рис. 12.4

условие равновесия ^ Мс

тое состояние стержня (рис. 12.4 5) также является состоянием его равновесия. Такую силу (если она, конечно, найдется) назовем критической и обозначим через Ркр. Введем показанную на рис. 12.4 б систему координат, тогда функция р(ж) окажется прогибом стержня. Отбросим опоры, заменим их реакциями и рассмотрим равновесие данной на рис. 12.5 отсеченной части стержня. Из уело- вий УРЖ = 0 и 52 Ру = ° следует, что в сечении С возникают такая продольная N и перерезывающая Q силы, что вертикальная составляющая их равнодействующей равна Ркр, а горизонтальная — нулю. Последнее = 0 имеет вид

тое состояние стержня (рис. 12.4 5) также является состоянием его равновесия. Такую силу (если она, конечно, найдется) назовем критической и обозначим через Ркр. Введем показанную на рис. 12.4 б систему координат, тогда функция р(ж) окажется прогибом стержня. Отбросим опоры, заменим их реакциями и рассмотрим равновесие данной на рис. 12.5 отсеченной части стержня. Из уело- вий УРЖ = 0 и 52 Ру = ° следует, что в сечении С возникают такая продольная N и перерезывающая Q силы, что вертикальная составляющая их равнодействующей равна Ркр, а горизонтальная — нулю. Последнее = 0 имеет вид

^ Мс — 0 : Mz Ркр— 0.

^ Мс — 0 : Mz Ркр— 0.

(12.2.1)

(12.2.1)

быть малы, следовательно, прогибы и(х) будем считать малыми. Поэтому можно воспользоваться известным из теории изгиба (и. 8.6.1) соотношением закона Гука

(Pl) Ц=dx2(Pl) Ц=dx2. Знак в EJZ. Знак в EJZнем определяется принятой системой координат и правилом знаков для Mz. Как видно из рис. 12.6, изгиба-

(Pl) Ц

=

dx2

(Pl) Ц

=

dx2

. Знак в EJZ

. Знак в EJZ

гющие моменты, принятые

Рис. 12.5Рис. 12.6

положительными при состав

лении уравнения равновесия

приводят к такому изгибу балки, что им < 0. Поэтому

VмVмм, ЕЛ/м, ЕЛ/(12.2.2)(12.2.2)в рассматриваемом случае

Vм

Vм

м, ЕЛ/

м, ЕЛ/

(12.2.2)

(12.2.2)

Исключив с помощью этого соотношения Мг из уравнения (12.2.1), придем к следующему линейному дифференциальному

уравнению с постоянными коэффициентами:

и" + k2v= О,к2 =(12.2.3)

ЕЕх 7

Корнисоответствующего емухарактеристическогоуравнения чистомнимыеи равны±ifc.Поэтому общеерешение урав

нения (12.2.3) имеет вид

р = Gi sin кх + С2 cos кх.(12.2.4)

Произвольные постоянные Ci и С2 должны быть определены из граничных условий, которые соответствуют условиям закрепления концов балки:

р(0) = 0, х^ = 0.(12.2.5)

Подставив в эти условия решение (12.2.4), приходим к двум уравнениям

С1 • 0 + С2 • 1 = О, Cl sin kl + С2 cos kl = 0.(12.2.6)

Отсюда следует, что С2 = 0 и

GisinH = 0.(12.2.7)

Это уравнение имеет два принципиально различных решения.

Ci = 0. Этот случай, учитывая, что и С2 = 0, приводит нас к решению р = 0. Так как разыскиваются равновесные состояния балки, то это решение соответствует уже известному нам факту, что прямолинейное (неизогнутое) состояние стойки является состоянием равновесия. А то, что равен нулю прогиб х^ который здесь играет роль возмущений, лишает нас возможности высказать какие-либо суждения об устойчивости этого состояния.

Ci ф 0. Но тогда для выполнения условия (12.2.7) необходимо, чтобы

sinH = 0.(12.2.8)

А это возможно, если

kl = ня, п = 1, 2,...(12.2.9)

Отсюда, так как к2 = P^/EJZ^ следует, что

р И = :ДДЩ v = Cisin ДУ п = 1,2,...(12.2.10)

Чтобы понять механический смысл полученного результата, рассмотрим случай, когда п = 1.

Так как разыскиваются состояния равновесия стойки, то этот случай означает, что при PKp = Р^ = t^EJ^I2 изогнутое (возмущенное) состояние стойки

= Gisin^(12.2.11)

является состоянием равновесия при любых Ст ^ 0. Ясно, что Ci — максимальный прогиб стойки, равный в рассматриваемом случае прогибу ее средней точки. Поэтому все показанные на рис. 12.7 изогнутые состояния стойки наряду с ее прямолинейным состоянием также являются состояниями ее равновесия. Поскольку Ci — любое неравное нулю число, то приходим к выводу, что при Ркр = Ркр У стойки, кроме прямолинейного состояния равновесия, появилось сколь угодно много сколь угодно близких к прямолинейному смежных изогнутых состояний равновесия. Таким образом, прямолинейное состояние равновесия стойки при Ркр = Р$ стало безразличным, т.е. механически эквивалентным состоянию шарика на плоско

сти. А безразличное состояние равновесия, как было установлено ранее, относится к неустойчивым.

Примененный здесь метод исследования называют методом Эйлера. Чтобы избежать ошибок при его использовании и при толковании полученных с его помощью результатов, необходимо четко понять, что он устанавливает только следующее.

При Р Д Р$ уравнение (12.2.3) при условиях (12.2.5) допускает единственное решение v = 0. Это означает, что в этих случаях у стойки есть единственное состояние равновесия — прямолинейное.

При Р = Р^ у уравнения (12.2.3) кроме тривиального

решения у = 0 появляется множество решении у = Gisin ——

где Ci — любое не равное нулю число. То есть у стойки, кроме прямолинейного состояния равновесия, появляются смежные

изогнутые состояния.

Никаких сведений о том, является ли прямолинейное СОСТОЯЛА

ние стойки при Р Д Ркр7 устойчивым или неустойчивым, метод Эйлера не дает. Об этом можно судить, опираясь на результаты эксперимента. Простейшие эксперименты показывают, что при малых сжимающих силах Р < Р^ стойка устойчива. Для того чтобы в эксперименте сделать силу Р большей, чем Р^ придется принять какие-то меры, чтобы не дать ей изогнуться, например, поставить промежуточную опору (рис. 12.8). Но, как

только эта опора будет убрана, стойка сразу же начнет сильно изгибаться. Такое поведение свидетельствует о неустойчивости ее прямолинейного состояния при Р > Р^р и позволяет заключить, что реальной критической силой, при кото

рой прямолинейное состояние стойки становится неустойчивым или, другими словами, теряет устойчивость, является сила

Ркр = (12.2.12)

Следует заметить, что проведенный здесь анализ основан на использовании соотношения закона Гука Р’ = ±М^/EJZ. которое справедливо только при малых прогибах. Поэтому Ci ^ Z, т.е. возмущения малы. Если взять точное выражение для кривизны (8.6.2), то вместо уравнения (12.2.3) мы придем к нелинейному дифференциальному уравнению

Рис. 12.8Рис. 12.8[1 + (у')2]3/2 + к V 0-[1 + (у')2]3/2 + к V 0-(12.2.13)(12.2.13)О ^тахРис. 12.9 прямых ЛИНИЙ (Р = Ркр\О ^тахРис. 12.9 прямых ЛИНИЙ (Р = Ркр\Решение этого уравнения можно свести к эллиптическим функциям Якоби. Представление о множестве решений уравнения (12.2.13) дает диаграмма на плоскости Fornax (рис. 12.9), где ^тах — максимальный прогиб стойки. Прямая ОАВЕ, совпадающая с осью Р, соответствует множеству прямолинейных состояний стойки. Кривая CAD определяет множество состояний стойки, упругая линия которых имеет одну полуволну, кривая GBF — две полуволны и т.д. Если на этой же диаграмме показать множество, соответствующее решениям уравнения (12.2.3), то оно, кроме прямой ОАВЕ, будет состоять из показанных пунктиром р = рД,...).

Рис. 12.8

Рис. 12.8

[1 + (у')2]3/2 + к V 0-

[1 + (у')2]3/2 + к V 0-

(12.2.13)

(12.2.13)

О ^тах

Рис. 12.9 прямых ЛИНИЙ (Р = Ркр\

О ^тах

Рис. 12.9 прямых ЛИНИЙ (Р = Ркр\

Как видим, точное и приближенное решения вблизи точек А, В, .. .близки как кривая с касательной вблизи точки касания. Поэтому уравнение (12.2.3) при малых прогибах ymax <С I с достаточной точностью отражает поведение идеальной стойки при сжатии. Особенности поведения неидеальных (реальных) стоек

подробно будут обсуждены в разд. 12.6. Здесь же мы, забегая вперед, укажем, что у реальных стоек при приближении сжи-

Рис. 12.10к совпадающему с (12.2.3)Рис. 12.10к совпадающему с (12.2.3)мающей силы к критическому значению начинают резко нарастать прогибы, что и наблюдается в эксперименте.

Рис. 12.10

к совпадающему с (12.2.3)

Рис. 12.10

к совпадающему с (12.2.3)

Рассмотрим стойки, по-другому закрепленные. Для стойки, один конец которой защемлен, а другой — свободен (рис. 12.10 аУ введем систему координат, связанную со свободным концом. Тогда отсеченная часть (рис. 12.10 5), из условий равновесия которой исходим, зеркально совпадет с отсеченной частью для стойки Эйлера, показанной на рис. 12.5. Поэтому после аналогичных рассуждений мы придем уравнению

и" + к2^ = 0, к2 = P^/EJZ с тем же общим решением

р = G1 sin кх + С2 cos кх.

Различие здесь в условиях закрепления стойки, из которых разыскиваются постоянные интегрирования Ст, С2. Система координат на рис. 12.10 выбрана так, что

и(0) = 0, V^ = 0.(12.2.14)

Последнее условие отражает то, что стойка защемлена и поэтому касательная к ее упругой линии при х = I всегда параллельна оси х. Эти условия приводят к двум уравнениям

G1 • 0 + С2 • 1 = 0, ОД cos И - C2ksmkl = 0.(12.2.15)

Из них следует, что изогнутые формы равновесия стойки (Ст Д Д 0) существуют при cos kl = 0, т.е. при

М = ^,...,^Дтг, п = 1,2,...(12.2.16)

Отсюда получаем, что

pn-i\2

Ркр = У, V = (71 sin 2Z тгж, n = l,2,...

(12.2.17)

Так же, как и ранее, стойка фактически теряет устойчивость (равновесие стойки становится безразличным) при наименьшей

из Ркр\ т.е. при силе (п = 1):

(12.2.18)(12.2.18)Р _ тУЕЕ _ тУЕЕкр “ 4Z2 “ ^iy *

(12.2.18)

(12.2.18)

При этом у стойки, кроме прямолинейной, появляются смежные изогнутые равновесные формы, определяемые выражением

р(ж) = Cisin—, Ст ^ 0.

(12.2.19) Рассмотрим стойку, показанную на рис. 12.11 а. Один конец ее защемлен, другой — шарнирно оперт. При рассмотрении равновесия ее отсеченной части (рис. 12.11 5) необходимо учесть реакцию R ее верхней опоры, возникновение которой легко объяснить, если, рассматривая равновесие отсеченной части АВ стойки, учесть, что кривизна упругой линии в точке В, а значит, и изгибающий момент в этом сечении стойки равны нулю. Тогда условие

Mz - Р^ = Rx.(12.2.20)

Так как при выбранной системе координат и положительном направлении Mz имеет место Р* = —MZ/EJZ^ приходим к уравнению

v" + k2v = -rx, k2 = PKV/EJz, r = R/EJz. (12.2.21)

В отличие от (12.2.3) это уравнение неоднородное, и его общее решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Поэтому его можно записать в виде

v = С\ sin кх + С^ cos кх —(12.2.22)

В этом решении, кроме постоянных интегрирования Ст, С2, неизвестна также величина г (так как неизвестна реакция В). Поэтому необходимо поставить три условия, отражающие условия закрепления стойки:

^(0) = 0, х^ = 0, х^ = 0.(12.2.23)

Из первого условия следует, что С2 = 0, а два оставшихся условия приводят к системе линейных алгебраических уравнений

для Ст и г:для Ст и г:

для Ст и г:

для Ст и г:

(12.2.24)(12.2.24)С\ s\nkl — ^1 = 0^к2

(12.2.24)

(12.2.24)

Сук cos kl —= 0.

Так как система однородна, то возможны два случая.

Определитель системы не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение Ci = 0, г = О, которое означает, что р = 0, т.е. что стойка имеет в этом случае единственное прямолинейное состояние равновесия.

Определитель системы равен нулю. В этом случае система имеет ненулевые решения, а ее уравнения линейно зависимы, и, например, из первого уравнения (12.2.24) следует, что

7 2 sin klri / п

г = Сукгде С1 / 0.

С учетом этого, а также имея в виду, что С^ = 0, получаем из (12.2.22) изогнутую равновесную форму стойки:

v = C^smkx - s-^x^(12.2.25)

Критическая сила определяется из условия равенства нулю определителя системы (12.2.24):

(12.2.26)(12.2.26)sin kl — I/к2к cos kl — г/к2

(12.2.26)

(12.2.26)

Раскрывая этот определитель, приходим к уравнению sinfcZ — — kl coski = 0. Отсюда получаем для определения kl трансцендентное уравнение

tgfcZ = kl.(12.2.27)

Чтобы получить представление о множестве решений этого уравнения, заметим, что оно состоит из множества точек пересечения графиков двух функций аргумента kl

h = ^kl, h = kl,

которые показаны на рис. 12.12. Из рисунка видно, что наименьший положительный корень уравнения (12.2.27) немного меньше

|тг«4,71.

Задав его приближенное значение, например (kl)o = 4, можно далее уточнить его с помощью одного из итерационных методов. Чтобы успешно применить метод простой итерации, достаточно преобразовать уравнение (12.2.27) к виду

kl = тг + arctg kl.

Тогда итерационный процесс принимает вид

(kl)0 = 4, (kl)i = тг + arctg (kl)i-i, г = 1, 2,...

Его можно легко реализовать даже на микрокалькуляторе. В результате быстро придем к искомому решению kl = 4,49. Тогда, учитывая, что к2 = P^/EJZ, получаем

р = (4,49)2^Л = тг2ЕЛ кр Z2 (0,7/)2'

(12.2.28)

Сравнивая выражения (12.2.12), (12.2.18)

и (12.2.28) для критических сил различным образом закрепленных стоек, замечаем, что их можно записать в виде

Ркр = ^.(12.2.29)

Формы потерь устойчивости этих стоек показаны на

Рис. 12.13Рис. 12.13еж зеж зрис. 12.13 а, 5, в. Видно, что длина pl, называемая приведенной длиной, соответствует длине полуволны синусоиды на форме по-

Рис. 12.13

Рис. 12.13

еж з

еж з

терн устойчивости стойки. Это подтверждается также анализом критических сил и форм потери устойчивости стоек с промежуточными опорами, показанных на рис. 12.13 г, д. Опоры поставлены так, что могут реализоваться только формы потери устойчивости (12.2.10) при п = 2 и п = 3. При этом приведенная длина pl равна соответственно |z и |z.

Таким образом, знание приведенной длины pl, т.е. длины полуволны синусоиды на форме потери устойчивости стойки, позволяет подсчитать критическую силу по формуле (12.2.29). Рассматривая с этой точки зрения стойки, показанные на рис. 12.13 е, э/с, з легко найти для них приведенные длины.

Формула (12.2.29) называется обобщенной формулой Эйлера. Входящий в нее коэффициент приведения длины ц определяется условиями закрепления стойки.

Рис. 12.14Рис. 12.1412.3. Энергетический метод

Рис. 12.14

Рис. 12.14

Еще Торричелли (1644) установил, что положение системы тел под действием сил тяжести будет устойчивым, если центр тяжести этой системы занимает наинизшее положение. Использование понятия энергии позволило Лагранжу обобщить принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных сил и сформулировать следующий критерий устойчивости состояния равновесия консервативной системы.

Если в некотором состоянии системы ее потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это состояние является состоянием устойчивого равновесия системы.

Состояния равновесия, в которых потенциальная энергия системы имеет строгий максимум, являются неустойчивыми. Это было доказано А.М. Ляпуновым и Н.Г. Четаевым.

Промежуточный случай, когда потенциальная энергия системы в состоянии равновесия имеет экстремум, не являющийся ни строгим минимумом, ни строгим максимумом, пока исчерпывающе не исследован. Но в нашем случае, когда переход стержня из состояния устойчивого равновесия в неустойчивое определяется одним параметром — сжимающей силой, такое промежуточное состояние будет критическим, а сила, при которой оно возникает, явится критической силой.

Проанализируем с точки зрения критерия Лагранжа прямолинейное состояние стойки Эйлера. Потенциальную энергию в этом состоянии обозначим через Эо- Сравним прямолинейное состояние со смежным

изогнутым состоянием, в котором стойка получила прогиб и^х) (рис. 12.14).

Энергию стойки в изогнутом состоянии обозначим через Эх. Прямолинейное состояние стойки будет устойчивым, если для

любых Дж) его энергия Эо строго меньше Э1, т.е. если

АЭ = Э1-Э0>0.(12.3.1)

По сравнению с прямолинейным состоянием в изогнутой стойке накопилась потенциальная энергия изгиба П. Но за счет изгиба стойки точка приложения сжимающей силы Р опустилась на величину А. И так как сила Р совершила при этом работу А = РА, то ее потенциальная энергия уменьшилась на величину А. Поэтому изменение потенциальной энергии системы стойка-сила равно

АЭ = П — Л.(12.3.2)

Таким образом, прямолинейное состояние стойки устойчиво, если для любых малых прогибов ж (ж), определяющих смежное состояние, выполняется условие

АЭ = П — Л > 0(12.3.3)

или, что равнозначно, условие

П > А.(12.3.4)

Найдем, как связаны П и А с прогибом Дж). Потенциальная энергия деформации равна (п. 8.7.6)

Чтобы перейти в этом выражении к прогибам ж (ж), вспомним (и. 8.6.1), что при малых прогибах при изгибе имеет место соотношение закона Гука Р* = ±MZ/EJZ. Поэтому

П = iJsj^u")2^.(12.3.5)

Для определения работы А необходимо найти укорочение стойки А, которое образуется за счет того, что при изгибе стойки каждый ее элемент dx поворачивается на угол а (см. рис. 12.14) и поэтому его проекция на ось х станет короче на величину dX = dx — dx cos a.

Так как угол а мал, то cos а « 1 — |а2, tg а « а. Но tg а = Р, поэтому dX = | Д')2 ^ж-

Тогда

А = J dA = ^ J ^'У dx.(12.3.6)

II

13 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

Таким образом,

ДЭ = |у EXyfdx -U (V)dx. (12.3.7)

Величина АЭ определяется формой функции ж (ж) и математически является функционалом. Для решения вопроса об устойчивости состояния необходимо рассмотреть всевозможные формы ж (ж), т.е. всевозможные смежные (возмущенные) состояния стойки. Ясно, что АЭ больше нуля, когда больше нуля его минимальное значение. Так как минимум необходимо искать на множестве всевозможных функций ж (ж), то мы приходим к стандартной задаче вариационного исчисления о поиске стационарного значения функционала АЭ, которая сводится к условию 5(ДЭ) = 0, где 5 означает вариацию.

Мы здесь не предполагаем рассматривать полную вариационную формулировку задачи об устойчивости, но читатель самостоятельно может убедиться, что уравнение Эйлера для функционала (12.3.7) сводится к дифференциальному уравнению (12.2.3) с граничными условиями (12.2.5). Таким образом, энергетический метод приводит к тем же результатам, что и метод Эйлера. Но он позволяет судить об устойчивости прямолинейного состояния стойки. Непосредственной проверкой можно убедиться, что при х(х) = С8т(тгж//) и при Р < Ркр = ^EJz/l2 имеет место АЭ > 0, т.е. состояние стойки устойчиво, а случаю Р > -Др соответствует АЭ < 0, и поэтому ее состояние неустойчиво.

Возможен и другой ход рассуждений, основанный на том, что признаком критического состояния является условие АЭ = 0. Из него с учетом (12.3.7) получаем

^ЕЕ^'Т^х

Это свойство позволяет получать на основе выражения (12.3.8) приближенные значения РКр? задаваясь функциями т(ж), близкими по форме к той функции и (ж), которой соответствует Ркр = = min (Р). Причем по самому смыслу минимума приближенные значения критической силы окажутся несколько больше точного значения. Это можно объяснить также и из физических соображений. Ведь при потере устойчивости форма р(ж) изогнутой оси стойки образуется в условиях, когда изгиб ее ничем не стеснен. Изгиб же стойки по другой форме р(ж) уже не будет свободным, для его реализации на стойку необходимо наложить дополнительные связи, за счет которых жесткость стойки повышается и критическая сила увеличивается.

Если для стойки Эйлера (стойки с шарнирно закрепленными краями) задать в качестве х(х) полученную методом Эйлера форму потери устойчивости ^х) = С sin (тгж/Z), то формула (12.3.8) даст после несложных вычислений точное значение Ркр = ^EJz/l2. Зададим теперь форму потери устойчивости приближенно в виде отрезка квадратичной параболы х(х) = = Сх(1 — х\ выбранного так, чтобы удовлетворялись условия закрепления у(0) = ?7(Z) = 0. Формула (12.3.8) даст нам приближенное значение Ркр = 125J^/Z2. Ошибка около 20% является следствием довольно грубого приближения, не учитывающего, что из-за шарнирного закрепления стойки изгибающие моменты на ее концах также обращаются в нуль. Чтобы учесть это, зададим функцию х(х) так, чтобы она удовлетворяла условиям д(0) = х(Ц = 0, Mz(0) = Мг^ = 0.

Последние условия, учитывая, что Mz = ±EJzv", равносильны условиям

^(0) =^(Z) =0.

Чтобы последние условия были удовлетворены, зададим^"(ж) = Сх(1 — х\

Отсюда после двукратного интегрирования получаем

Щ) = С (I®3 - Ел + С1Ж + с^ _(12.3.9)

Постоянные интегрирования Ci и С2 определим из условий у(0) = ?7(Z) = 0. Первое из них дает, что С2 = 0. Из второго условия получим Ci = — ^3- С учетом этого после подстановки выражения (12.3.9) в формулу (12.3.8) находим Ркр = :^^- = EJ

= 9,88 —-, что отличается от точного значения только в третьем знаке.

Разобранный пример подтверждает, что при удачной аппроксимации формы потери устойчивости стойки формула (12.3.8) позволяет достаточно точно оценить критическую силу. Это особенно важно для тех случаев, когда метод Эйлера приводит к громоздким вычислениям или к дифференциальному уравнению, не имеющему точного решения.

Среди связей, которые накладывают опорные устройства, наиболее распространены следующие.

Запрещается прогиб сечения ж = жд, т.е.

ж(ж0) = 0.(12.3.10)

Запрещается поворот сечения ж = жд, т.е.

ж'(ж0) = 0.(12.3.11)

Альтернативными этим условиям являются соответственно такие:

Разрешается свободный прогиб сечения, т.е. отсутствует поперечная сила, равная реакции связи,

Q^o) = 0.(12.3.12)

Так как dMz/dx = Q^, a Mz = ±EJzv", то это условие при Е Jz = const равносильно условию

^"(жд) = 0.(12.3.13)

Разрешается свободный поворот сечения ж = жд, т.е.

МДжд) = 0,(12.3.14)

что равносильно условию

^(жд) = 0.(12.3.15)

ЗащемлениеЗащемлениеШарнирноеШарнирноеСвободныйСвободныйзакрепление конецзакрепление конецх—12(0) = 0L>'(0) = 0х—12(0) = 0L>'(0) = 0Скользящее защемлениеX"Скользящее защемлениеX"12(0) = 0Mz(0) = 0(v"(0)=0)12(0) = 0Mz(0) = 0(v"(0)=0)12AG(0)=0Ф"(0) = 0) б/ОМ (l2'"(0) = 0)12AG(0)=0Ф"(0) = 0) б/ОМ (l2'"(0) = 0)VVL>'(0) = 0 е/о)=о (l2"'(0) = 0)L>'(0) = 0 е/о)=о (l2"'(0) = 0)

Защемление

Защемление

Шарнирное

Шарнирное

Свободный

Свободный

закрепление конец

закрепление конец

х

—

12(0) = 0

L>'(0) = 0

х

—

12(0) = 0

L>'(0) = 0

Скользящее защемление

X"

Скользящее защемление

X"

12(0) = 0

Mz(0) = 0

(v"(0)=0)

12(0) = 0

Mz(0) = 0

(v"(0)=0)

12

AG(0)=0

Ф"(0) = 0) б/ОМ (l2'"(0) = 0)

12

AG(0)=0

Ф"(0) = 0) б/ОМ (l2'"(0) = 0)

V

V

L>'(0) = 0 е/о)=о (l2"'(0) = 0)

L>'(0) = 0 е/о)=о (l2"'(0) = 0)

Рис. 12.15

Условия ж(жд) = 0, ^(жд) = 0 часто называют кинематическими^ а условия М^(жд) = 0, Q^(^g) = 0 и следующие из них:

жДжд) = 0, ДДж0) = 0 называют статическими (т.е. силовыми). На рис. 12.15 показаны различные варианты закрепления

конца стойки и соответству

Рис. 12.16Рис. 12.16ющие им условия.

Рис. 12.16

Рис. 12.16

= Q^(0), а для выбранных осей направлений Qy и Mz дифферен= Q^(0), а для выбранных осей направлений Qy и Mz дифференВозможны и более сложные опорные устройства. Например, на рис. 12.16 показано упругое опирание конца стойки на пружину жесткости к. Тогда прогиб и конца стойки сопровождается появлением упругой реакции R = ко. Но R координат и положительных

= Q^(0), а для выбранных осей направлений Qy и Mz дифферен

= Q^(0), а для выбранных осей направлений Qy и Mz дифферен

циальное соотношение и закон Гука имеют вид dMz/dx = —Qy и Mz = EJzvn. Поэтому это условие сводится к следующему:

ku^^EJzuH^ = 0.

Удовлетворительную для практики оценку критической силы для стойки можно получить, если в качестве функции, аппроксимирующей форму потери устойчивости стойки, выбрать удовлетворяющий кинематическим и статическим условиям закрепления многочлен х минимальной степени. Рассмотрим пример^

определения Ркр с помощью такого многочле- u ^ на.т

Пример 12.1. Для стержня, показанного

на рис. 12.17, условиями закрепления будут

Рис. 12.17Рис. 12.17v(0) = 0, ДО) = 0, ^ = 0, Mz(l)=0, Qy^ = 0.(12.3.16)

Рис. 12.17

Рис. 12.17

Последние два из этих условий являются статическими и сводятся к следующим:

и^Г) = 0, и"\1) = 0.(12.3.17)

Поскольку форма потери устойчивости определяется только с точностью до постоянно

го множителя, многочлен, удовлетворяющий этим пяти условиям, должен содержать по крайней мере шесть коэффициентов, т.е. это будет многочлен пятой степени:

ж(ж) = ао + ^хж + а2$2 + адж3 + а4Ж4 + а^хъ.

Условия закрепления дают следующие уравнения для определения коэффициентов этого многочлена:

ДО) = 0 : по = 0,

Д(0) = 0 : «1 = 0,

ДЬ) = 0 : а^Ь2 + азЬ3 + a4b4 + a^b3 = 0, ^^(Z) = 0 : 2а2 4" 6аз1 + 12a4Z2 + ^ОазР = 0, ДД;) = 0 : баз + 24а4/ + 60аз/2 = 0.

Последние три уравнения составляют систему трех линейных уравнений для четырех коэффициентов а2, аз, а4, аз. Она позволяет три из этих коэффициентов, например, аз, а4, аз, выразить через четвертый — а^. Для этого систему запишем в виде

азЬ + а4&2 + азб3 = —а2,

Заз/ -И 6а4/2 -И Юаз/3 = —а^аз1 -И 4а4/2 4- Юаз/3 = 0.

Последнее уравнение для упрощения вычислений домножено на I. Дальнейшие вычисления проведем для b = |z. По правилу Крамера получаем

Ai Д2 Дз^3=^2^"? ^4 = ^2^", «5=^2^-,

где А — определитель системы, а определители Ai, А2 и A3 имеют вид

Д1 = /5

I 6

-1 6 10 04 10

, A2=z4

1 -1 1

3 -1 10

1010

, А3 = /3

3 6-1

1 40

Подсчеты дают: А = ^Z6, Ai = — 18Z5, А2 = ~|“^4> A3 =

После простых преобразований получаем многочлен

ДД = c(46Z3x2 — 144Z2x3 + 121Zx4 — 34ж5), с = |А.

Легко проверить, что он удовлетворяет всем условиям закрепления (12.3Л6), (12.3.17). Использовав этот многочлен для

оценки по формуле (12.3.8), получаем

= 7,26^Т.= 7,26^Т.EJ^E'^dxр = 1КР f(v')2dx

= 7,26^Т.

= 7,26^Т.

Точное значение критической силы: Ркр = 6^22EJZ/I2. Вычисления в этом примере можно упростить, задав много

член так, чтобы он сразу удовлетворял первым трем условиям (12.3.16):

р(ж) = сх2(х — Ь)(1 + ах + рх2\

Здесь учтено, что при х = 0 и х = b многочлен должен обратиться в нуль, т.е. эти точки являются корнями многочлена. Легко проверить и что возведение в квадрат первого сомножителя обеспечивает также выполнение условия Р(0) = 0.

Коэффициенты а и р определяются из условий (12.3.17).

Пример 12.2. Эффективность энергетического подхода становится особенно за

метна для стоек с непостоянной жесткостью _ °“Рис. 12.18

и сложной нагрузкой. Рассмотрим стоику, показанную на рис. 12.18. Если задано возмущение х(х^ то приращение потенциальной энергии изгиба этой стойки равно

ьI

П = 1 J EJ^’^dx = ^J EJ^"? dx + ^ J EX^'^dx.

I0b

Обозначим через Ai и A2 опускания при возмущении точек приложения сил Pi и Р2. Тогда эти силы совершают работу

А = Р1А1 + Р2А2.

Но Ai образуется за счет поворота при возмущении ^х) всех элементов dx стойки, а Л2 — только элементов на участке от заделки до промежуточной опоры, т.е.

Iь

Ai = jj (Д2(/ж, Л2 = | J (Г)2 dx.оо

В критическом состоянии П = А, поэтому

ЬI

/ EJ^'p dx + J ЕЕ (Р')2 dx

Л кр =■(12.3.18)

j(y)2dx + jp(v')2dx

О

Для приближенного задания формы потери устойчивости можно принять многочлен, удовлетворяющий условиям закрепления стойки

^(0) = 0, Д(0) = 0, ж(Ь) = 0, p(Z) = 0, ^(Z) = 0.

Используя прием, указанный в конце предыдущего примера, такой многочлен можно выписать сразу:

ж(ж) = сх2^ — Ъ^х — Z)2.

Рис. 12.19Рис. 12.19Если задать b = 0,5Z, Pi = Р2, ^2 = 2Ji, то после подстановки ж (ж) в (12.3.18) и вычислений получим

Рис. 12.19

Рис. 12.19

FiKp = 90SJi/Z2.

Пример 12 .3. Рассмотрим устойчивость стержня постоянного сечения под действием собственного веса. Эта задача сводится к определению критического значения интенсивности q равномерно распределенной сжимающей продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение этой задачи методом Эйлера приводит к дифференциальному уравнению с переменными

коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью бесселевых функций. В результате придем к решению:

9кр = T^EJ/l1.

При использовании энергетического подхода учтем, что потенциальная энергия изгиба стойки при возмущенном прогибе ^х) равна

п = 1 J* FJ(v")2 dx.

I

Нагрузка q совершает при возмущении стойки работу, для подсчета которой рас-

Рис. 12.20смотрим эту нагрузку как совокупность

сил, действующих на элементах dx. Одна из таких сил, действующая на элементе с координатой х (рис. 12.20), совершает работу dA на укорочении А(ж) длины стойки ж, образовавшемся за счет поворота ее элементов на этой длине. Поэтому

dA = qdx • А(ж) = qdx • | J (,r/(^))2cZ^.

о

Тогда работа всей нагрузки будет

II / X\

л= J dA=^ J q( J (VO2dn dx.

00^0'

Зададим аппроксимирующую функцию возмущенного прогиба в форме

Щ) = с (1 - cos ^) .

Нетрудно видеть, что эта функция удовлетворяет условиям ДО) =0, Д(0) =0, ин^ =0.

Условие Q(Z) = 0 не удовлетворяется, так как ^^(Z) ^ 0. Но, несмотря на это, из условия, что в критическом состоянии П = = Л, получаем после простых вычислений

$EJ^ydx

9кр = ту;у- = 8^9^-

f JWlPdlA dx

О \0/

Читатель может в качестве упражнения подобрать многочлен, удовлетворяющий всем кинематическим и статическим условиям на концах стойки. Использование такого полинома приводит к результату gKp = 8,035J/Z3.

12.4. Расчеты на устойчивость за пределами пропорциональности

При получении критических нагрузок как методом Эйлера, так и энергетическим методом предполагалось, что деформации стойки удовлетворяют закону Гука. К сожалению, большинство реальных стоек имеют такие размеры, что критические напряжения сткр, соответствующие подсчитанным по формуле Эйлера (12.2.29) критическим нагрузкам Ркр = = тг2ЕJ/(рГ)2, превышают предел пропорциональности материала сгпц, т.е. сгкр > сгПц. Поэтому для таких стоек формула Эйлера неприменима. Для дальнейшего удобно пользоваться формулой для критических напряжений, которая получается после деления формулы Эйлера на площадь поперечного сечения стойки:

<7кр = ^, где <ткр = ^; А =(12.4.1)

Введенный здесь безразмерный параметр А зависит только от геометрических размеров стойки и условий ее закрепления.

Он называется гибкостью стойки, так как чем он больше, тем легче изогнуть стойку. Необходимо заметить, что, вообще говоря, гибкость стойки при изгибе ее в главных плоскостях ху и ж;? различна, так как могут быть различны главные центральные моменты инерции Jz и Jy и условия закрепления при изгибе в разных плоскостях. Так, для стойки, показанной на рис. 12.21, Jz > Jy-) в то же время при изгибе в плоскости ху концы стойки закреплены шарнирно и поэтому ц = 1; при изгибе же в плос-Он называется гибкостью стойки, так как чем он больше, тем легче изогнуть стойку. Необходимо заметить, что, вообще говоря, гибкость стойки при изгибе ее в главных плоскостях ху и ж;? различна, так как могут быть различны главные центральные моменты инерции Jz и Jy и условия закрепления при изгибе в разных плоскостях. Так, для стойки, показанной на рис. 12.21, Jz > Jy-) в то же время при изгибе в плоскости ху концы стойки закреплены шарнирно и поэтому ц = 1; при изгибе же в плос-концы стойки защемлены, поэтому ц = 0,5. Стойка потеряет устойчивость, изгибаясь в той плоскости, где гибкость больше. Поэтому в формуле (12.4.1) нужно в качестве параметра гибкости принимать наибольшую из двух величин 1 • ly/F / Jz и 0,5Формулу (12.4.1) также называют обобщенной формулой Эйлера. Она применима, есликонцы стойки защемлены, поэтому ц = 0,5. Стойка потеряет устойчивость, изгибаясь в той плоскости, где гибкость больше. Поэтому в формуле (12.4.1) нужно в качестве параметра гибкости принимать наибольшую из двух величин 1 • ly/F / Jz и 0,5Формулу (12.4.1) также называют обобщенной формулой Эйлера. Она применима, еслиКОСТИ XZКОСТИ XZРис.Рис.12.2112.21кр ^пц*кр ^пц*(12.4.2)(12.4.2)Это условие более подробно можно записать в видеЭто условие более подробно можно записать в виде— ^ ^ш-— ^ ^ш-(12.4.3)(12.4.3)Поэтому условие условиемПоэтому условие условием(12.4.2) можно заменить равносильным(12.4.2) можно заменить равносильным(12.4.4)(12.4.4)

Он называется гибкостью стойки, так как чем он больше, тем легче изогнуть стойку. Необходимо заметить, что, вообще говоря, гибкость стойки при изгибе ее в главных плоскостях ху и ж;? различна, так как могут быть различны главные центральные моменты инерции Jz и Jy и условия закрепления при изгибе в разных плоскостях. Так, для стойки, показанной на рис. 12.21, Jz > Jy-) в то же время при изгибе в плоскости ху концы стойки закреплены шарнирно и поэтому ц = 1; при изгибе же в плос-

Он называется гибкостью стойки, так как чем он больше, тем легче изогнуть стойку. Необходимо заметить, что, вообще говоря, гибкость стойки при изгибе ее в главных плоскостях ху и ж;? различна, так как могут быть различны главные центральные моменты инерции Jz и Jy и условия закрепления при изгибе в разных плоскостях. Так, для стойки, показанной на рис. 12.21, Jz > Jy-) в то же время при изгибе в плоскости ху концы стойки закреплены шарнирно и поэтому ц = 1; при изгибе же в плос-

концы стойки защемлены, поэтому ц = 0,5. Стойка потеряет устойчивость, изгибаясь в той плоскости, где гибкость больше. Поэтому в формуле (12.4.1) нужно в качестве параметра гибкости принимать наибольшую из двух величин 1 • ly/F / Jz и 0,5

Формулу (12.4.1) также называют обобщенной формулой Эйлера. Она применима, если

концы стойки защемлены, поэтому ц = 0,5. Стойка потеряет устойчивость, изгибаясь в той плоскости, где гибкость больше. Поэтому в формуле (12.4.1) нужно в качестве параметра гибкости принимать наибольшую из двух величин 1 • ly/F / Jz и 0,5

Формулу (12.4.1) также называют обобщенной формулой Эйлера. Она применима, если

КОСТИ XZ

КОСТИ XZ

Рис.

Рис.

12.21

12.21

кр ^пц*

кр ^пц*

(12.4.2)

(12.4.2)

Это условие более подробно можно записать в виде

Это условие более подробно можно записать в виде

— ^ ^ш-

— ^ ^ш-

(12.4.3)

(12.4.3)

Поэтому условие условием

Поэтому условие условием

(12.4.2) можно заменить равносильным

(12.4.2) можно заменить равносильным

(12.4.4)

(12.4.4)

Здесь Апц — минимальная гибкость, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера.

Условием (12.4.4) удобно пользоваться при практических расчетах, так как гибкость А = pl^F) J определяется конструктивными параметрами стойки и может быть легко подсчитана. Стержни, гибкость А которых больше Апц, т.е. для расчета которых можно использовать формулу Эйлера (12.4.1), называют стойками большой гибкости.

Методы расчета на устойчивость стержней, гибкость которых А меньше, чем Апц (т.е. стержней, к которым неприменима формула Эйлера), развивались, начиная с последней четверти XIX века, по двум направлениям. Первое направление — назовем его эмпирическим — основывалось на обобщении экспериментальных данных. Второе направление — теоретическое — составили попытки обобщить на неупругие деформации метод

Эйлера. Нам кажется интересным проследить, как оба этих направления объединились, наконец, в едином подходе.

Первые корректные опыты по определению критических нагрузок сжатых стержней были проведены И. Баушингером в 1886 г. В этих опытах впервые особое внимание было обращено на реализацию шарнирного закрепления концов стойки и совпадение линии действия сжимающей силы с осью образца. Эти опыты были дополнены и обобщены Л. Тетмайером в 1890 г. Эксперименты проводились над образцами из малоуглеродистой стали. Нанося результаты экспериментов на плоскость бтКрА, Тетмайер приходит к следующим выводам.

Для большой гибкости, т.е. при А ^ Акр, формула Эйлера

удовлетворительно согласуется с экспериментальными данны

ми. На рис. 12.22 это участок АВ квадратичной гиперболы Эйлера бткр = = ^Е/)?^ показанный сплошной линией. Пунктиром показан тот участок АС гиперболы Эйлера, который не согласуется с экспериментом.

стичного материла критические напряжения сткрРис- 12.22ограничены сверху пределом текучести материала, т.е. сткр ^ сгт.На рис. 12.22 этой границей является прямая сткр = ат. Пристичного материла критические напряжения сткрРис- 12.22ограничены сверху пределом текучести материала, т.е. сткр ^ сгт.На рис. 12.22 этой границей является прямая сткр = ат. ПриДля стоек из пла

стичного материла кри

тические напряжения сткрРис- 12.22

ограничены сверху пределом текучести материала, т.е. сткр ^ сгт.

На рис. 12.22 этой границей является прямая сткр = ат. При

стичного материла кри

тические напряжения сткрРис- 12.22

ограничены сверху пределом текучести материала, т.е. сткр ^ сгт.

На рис. 12.22 этой границей является прямая сткр = ат. При

чем бткр = бгт для очень коротких стоек, т.е. для стоек с очень малой гибкостью. Это наблюдается при испытании на сжатие коротких цилиндрических образцов, в процессе текучести которых не происходит изгиба образца, а он в результате пластических деформаций принимает бочкообразную формулу (п. 3.2.4, рис. 3.12). Из экспериментов установлено, что такая деформация характерна для стальных стоек, гибкость которых не превышает величины Ат~0,2Апц (участок DF на рис. 12.22). Такие стойки будем далее называть стойками малой гибкости. Как показали дальнейшие эксперименты со стойками из других пластичных металлов, величина Ат вполне укладывается в пределы 0,2 4- 0,4Апц. При отсутствии точных экспериментальных данных при расчетах обычно принимают Ат = 0,2Апц, обеспечивая, таким образом, некоторый запас по устойчивости.

На участке между точками F и А для стоек средней гибкости (Ат < А < 0,2Апц) Тетмайер предложил аппроксимировать зависимость сткр(А) прямой линией FA;

(12.4.5)(12.4.5)сткр = а — ЬХ.

(12.4.5)

(12.4.5)

Коэффициенты а и b в этой зависимости можно получить с помощью выражения для прямой линии, проходящей через точки F и А, с координатами (Ат^т) и (Апц^пц)

(У кр СУ т А Ат

(7 Пц <7ТАПц Ат

Это соотношение сразу следует и из подобия треугольников FGI и F АК. Приведя его к форме (12.4.5), получим

Ь = <7т-<7а ==+ ДтЬ =+ Лпц6.

АПц АтАПц Ат

Таким образом, предложение Тетмайера по определению критических напряжений сводится к тому, что зависимость бткр(А) определяется ломаной линией DFGAB, или, что одно и то же, эмпирической формулой

при А Ат,

а — ЬХ при 7Г2Ечг ПРИа — ЬХ при 7Г2Ечг ПРИ(12.4.6)(12.4.6)

а — ЬХ при 7Г2Е

чг ПРИ

а — ЬХ при 7Г2Е

чг ПРИ

(12.4.6)

(12.4.6)

Рис. 12.23Рис. 12.23

Рис. 12.23

Рис. 12.23

При практических расчетах удобно изобразить диаграмму (ткр(А), определяемую формулой (12.4.6), на миллиметровой бумаге.

Обратим внимание на тот факт, что для построения этой

диаграммы нужно знать только следующие характеристики материала стойки: Е. бтПц, сгт.

При наличии диаграммы сткр(А) расчет критических напряжений для конкретной стойки сводится к определению ее гиб

кости А = pl^FfJ по конструктив-

ным параметрам стойки и к снятию с графика критических напряжений бткр, соответствующих подсчитанной гибкости А.

Теоретические исследования устойчивости сжатых стержней за пределами пропорциональности развивались по пути учета в рассуждениях метода Эйлера реальной диаграммы напряжений сг(е) материала. Напомним, что при напряжениях выше бтпц зависимость деформаций от напряжений определяется тем, растут эти деформации или убывают. На рис. 12.23 показана диаграм

ма сг(е) при сжатии. Если при напряжениях, соответствующих точке А, деформация растет, т.е. происходит догрузка, то напря-

жения растут по кривой АВ. При малом увеличении деформаций As изменение напряжений Ап в этом случае можно описать с помощью так называемого касательного или тангенциального модуля

Ет =(12.4.7)

de

Тогда Дет = 5TAs.

Если же деформации убывают, то напряжения изменяются по закону разгрузки АС. Тогда, учитывая, что разгрузка происходит по закону упругого модуля (участок АС параллелен участку закона Гука OD\ имеет место связь

Ает = Е/Хг.

ВВРис. 12.24Рис. 12.24Ф. Энгессер (1889), рассматривая неупругое поведение стойки методом Эйлера, предположил, что все продольные волокна при возмущениях работают по закону касательного модуля. Так он пришел к формуле

В

В

Рис. 12.24

Рис. 12.24

(12.4.8)(12.4.8)__ 7Г2Ет

(12.4.8)

(12.4.8)

КР Д2 ’

которая отличается от формулы Эйлера только тем, что в ней упругий модуль Е заменен касательным Ет.

Ознакомившись с работой Ф. Энгессера, крупный русский инженер и ученый Ф.С. Ясинский (1895) обратил внимание на имеющиеся в ней неточности. Он указал, что при возмущении, так как сжимающая сила постоянна (!), рост напряжений за счет изгиба в волокнах на вогнутой стороне стержня (волокна В на рис. 12.24) неизбежно должен сопровождаться их уменьшением на вы-

пуклой стороне (волокна С). Таким образом, часть волокон будет испытывать догрузку и их поведение при этом подчиняется

закону касательного модуля, а часть волокон — разгружается и подчиняется закону упругого модуля. Распределение напряжений по сечению в возмущенном состоянии для этого случая показано на рис. 12.25 а. Энгессер, ознакомившись с этими замечаниями, учел их и пришел (1898) к формуле

^кр = (12.4.9)

Здесь 5пр — приведенный модуль — осредненный по сечению модуль упругости.

Так как Ет < 5пр < Е. то формула (12.4.9) дает завышенные по сравнению с формулой касательного модуля (12.4.8) критические напряжения. При этом сложилась парадоксальная ситуация, когда казалось бы необоснованная формула (12.4.8) лучше

согласовывалась с экспериментальными данными, чем формула (12.4.9). Причина этого была объяснена в 1946 г. американским инженером Шенли. Критически пересмотрев рассуждения Эйлера, Шенли обратил внимание на то, что в них не учитывается возможность возмущений АР продольной силы. Если считать, что поперечное возмущение сопровождается одновременным ростом продольной силы, то становится возможным такое возмущение стойки, при котором все ее продольные волокна догружаются (рис. 12.25 5). Тогда получает обоснование формула касательного модуля

Эта ситуация очень убедительно показывает инерционность человеческого мышления. Почти полвека оказалось необхо

димо, чтобы расширить традиционный для метода Эйлера класс возмущений и, кроме изгибных возмущений при постоянной сжимающей силе, рассмотреть те же изгибные возмущения, но с переменной силой.

Формула касательного модуля (12.4.8) фактически является уравнением, т.е. касательный модуль Ет является функцией критических напряжений сткр. Поэтому ее для большей наглядности можно записать в форме

7Г -Ет(Акр)

<ТКр'

При практических расчетах, чтобы избежать решения этого уравнения, строят, исходя из диаграммы ст(е) материала, диаграмму сткр(А). Предварительно на основе диаграммы ст(е) (рис. 12.26 а) строят диаграмму Ет(сг) (рис. 12.26 б). Для этого в точке А диаграммы ст(е) определяют Ет = da (de = = Аст/As и строят соответствующую точке А точку А’ на диаграмме Ет(а). Затем определяют координаты соответствующей точки А" на диаграмме сткр(А) (рис. 12.26 в): сткр = ст(А), А = = it^E^A^Iсткр (А). Таким путем можно для каждой точки на диаграмме ст (в) найти соответствующую точку на диаграмме сткр(А). Если же диаграмма сткр(А) построена, то определение критических напряжений сводится к подсчету гибкости стойки

А = ц1у/Е / J и нахождению для нее по диаграмме (ткр(А) соответствующей величины бткр.

Читатель уже, по-видимому, заметил, что для построения диаграммы бткр(А) нужна только диаграмма cr(s) материала, из которого выполнена стойка. Таким образом, ситуация принципиально та же, что и при построении диаграммы сткр(А) по Тет- майеру (см. рис. 12.22), только здесь мы используем информацию обо всей кривой n(s), а не об отдельных ее точках и участках.

Рис. 12.26Рис. 12.26

Рис. 12.26

Рис. 12.26

£кр £крПо аналогии с запасом прочности при расчетах стержней на устойчивость вычисляют или задают запас устойчивости

£кр

£кр

(12.4.10)

здесь Р — сила, сжимающая стержень; ст = P/F — напряжения ОТ этой силы.

Если запас устойчивости п^ задан, то допускаемую сжимающую нагрузку и напряжение от нее вычисляют как

[F1 =Пу[F1 =Пу[п] =Пу[п] =Пу(12.4.11)(12.4.11)

[F1 =

Пу

[F1 =

Пу

[п] =

Пу

[п] =

Пу

(12.4.11)

(12.4.11)

Пример 12.4. Для стоек, один конец которых защемлен, а другой — шарнирно оперт (см. рис. 12.13 в), определить допускаемую сжимающую силу, принимая запас устойчивости п^ = 2,5. Стойки выполнены из двутавра № 12. Материал стоек — малоуглеродистая конструкционная сталь со следующими характеристиками: Е = 2,1 • 105 МПа, стпц = 210 МПа, сгт = = 240 МПа. Рассмотрим две стойки, одну длиной I = 2,3 м, а другую — Z = 1,5 м. Сечение стойки по сортаменту (с. 529) имеет следующие геометрические характеристики: F = 14,7 см2, Jmin = Jy = 27,9 см4, iy = у/Jy/F = 1,38 см.

Гибкость первой стойки А = til^F)Jy = ^l/iy = 0,7 х х 230/1,38 = 117; гибкость второй стойки А = 0,7• 150/1,38 = 76. Минимальная гибкость, при которой можно применять формулу Эйлера, равна Апц = тг^^/^пц = 3,14^/2,! • 105/210 « 100. Поэтому критическую силу для первой стойки можно подсчитать по формуле Эйлера

= 71 • 103 Н = 71 кН.= 71 • 103 Н = 71 кН.р _ т?ЕЛ _ 3,14 • 2,1 • 105 • 106 • 27,9 • 10-8 кр “ W ~(0,7 -2,3)2

= 71 • 103 Н = 71 кН.

= 71 • 103 Н = 71 кН.

Тогда [F] = Р^/пу = 71/2,5 = 28,4 кН.

Для второй стойки А < Апц, поэтому формула Эйлера для нее неприменима. Данные для материала позволяют провести расчет по линейной формуле Тетмайера (12.4.5). Приняв Ат = = 0,ЗАпц = 30, получаем для нее (п. 12.4.2):

_ УтАпц — упцАт _ 240 • 100 — 210 • 30 _ 2 g о ]\4Па

° ~ Апц - Ат ~ ЮО - 30 “ а’

Ъ = ат - <7нЦ = 30 = 0 43 МПаАпц - Ат 70 ’

Тогда для второй стойки: сгкр = а—ЬХ = 253—0,43-76 = 220 МПа; Ркр = СТкрР = 220 • 106 • 14,7 • 10"4 = 323 кН; [F] = Р^/пу = = 323/2,5 = 129 кН.

Проведенный расчет по своей структуре аналогичен расчету допускаемой нагрузки из условия прочности. Дадим пример проектировочного расчета на устойчивость.

Пример 12.5. Стойка с защемленными концами, выполненная из той же стали, что и в предыдущем примере, имеет длину 1 м и нагружена силой 30 кН. Определить размер С квадратного сечения, обеспечивающего запас устойчивости пу = 3.

Основная трудность такого расчета в том, что неизвестно, какой из трех расчетных формул (12.4.6) нужно пользоваться. Оценим С по первой из них: сткр = ат. Тогда

F = С2 = Рпу/<^ = 30-103-3/(240-106) = 0,375-103 м2 = 3,75 см2.

Гибкость стойки А = pl^Fj J = 0,5 • 100 • 1,79 = 90. Так как А > Ат, то такой расчет неверен. Поэтому воспользуемся формулой Тетмайера сткр = а — ЬХ. Для материала стойки, как подсчитано в предыдущем примере, сгкр = (253 — 0,43А) МПа. Поскольку

А = y,lVFp = 0,5 • 1Д12/С2 = 1,73/С,

а °кр = Рпу/Р = Рпу/Ф = 30 • 3/С2 кН, то приходим к уравнению

“ . ю= = (253 - °'43;1'73') . 10^

Решая это квадратичное уравнение, получим С = 2,05 см. Соответствующая гибкость равна Л = 84,5. Это удовлетворяет условию применимости линейной формулы Тетмайера (Ат < А < < Апц). Значит, расчет верен.

При использовании в проектировочном расчете диаграммы сгкр(А), построенной в соответствии с формулой касательного модуля, приходится вычислять несколько приближений, так как аналитическое выражение (ткр(А) отсутствует. Можно также получить решение графически, подобно тому, как это сделано ниже, в примере 12.6.

При расчете строительных конструкций допускаемые напряжения [сг]с для стержневых элементов, работающих на сжатие, рассчитывают с помощью коэффициента снижения допускаемого напряжения ср по формуле

[(т]с = (р^2^±. (12.4.12)

Здесь п — запас прочности, а сгпред.с ~ предельное напряжение для материала стойки при сжатии. Для пластичных материалов оно равно пределу текучести сгтс. Значения ср в зависимости от материала и гибкости А задаются в Строительных нормах и правилах (СНИП) таблицами. На рис. 12.27 на основе этих таблиц построены графики у? (А) для некоторых металлов. Величины ф(Х) определяются на основе диаграмм сткр(А).

Пример 12.6. Проведем проектировочный расчет стойки круглого сечения, два конца которой защемлены. Стойка нагружена силой Р = 20 кН, ее длина Z = 1 м, и выполнена она из дюралюминия Д16Т (сгт = 314 МПа). При расчете обеспечим запас устойчивости п^ = 2.

Расчет удобно производить графически. Для этого, учитывая, что [сг]с = P/F = 4Р/(тгс/2), получим из формулы (12.4.12) d = уОб/ЖМ- В то же время гибкость А = ply/F / J = 2/cZ, так как р = |, I = 1, J = тгс/4/64. Из этих двух соотношений исключим d и получим <р = (А/158)2. График этой зависимости

показан на рис. 12.27 штриховой линией. Точка его пересечения с заданным СНИП графиком зависимости (ДА) для Д16Т

Рис. 12.27Рис. 12.27

Рис. 12.27

Рис. 12.27

Рис. 12.28Рис. 12.28

Рис. 12.28

Рис. 12.28

и определит гибкость А = 82 искомой стойки. Диаметр сечения стойки равен d = 2/А = 0,0244 м = 24,4 мм.

Об устойчивости деформированного состояния

Рассмотренные задачи об устойчивости являются простейшими. В них исследован простейший по форме объект —

прямолинейный стержень, находящийся под действием нагрузок в простейшем напряженно-деформированном состоянии — центральном сжатии. Само же явление потери устойчивости деформированного состояния относится к числу самых сложных в механике и может проявиться при работе конструкции самым

неожиданным образом. Ниже дадим понятие о некоторых более сложных случаях потери устойчивости.

Консольный стержень, который изгибается приложенной к его концу силой, также может потерять устойчивость. Это выразится в том, что с какого-то момента изгиб в плоскости действия нагрузки (прямой изгиб) начнет сопровождаться изгибом в другой плос-

кости и кручением. Особенно наглядно это явление можно наблю

дать на примере изгиба плоской полосы (рис. 12.28). Читатель

вполне может самостоятельно провести такой эксперимент, пытаясь изогнуть плоскую металлическую (слесарную) линейку

«на ребро», т.е. в плоскости наибольшей жесткости. Для этого

один конец линейки можно закрепить в тисках. В этом случае происходит потеря устойчивости прямого изгиба в плоскости ху (см. рис. 12.28), в результате чего и появляется изгиб в плоскости х% и кручение. Многочисленные примеры подобной потери устойчивости стержней рассмотрены, например, в книгах [3, 11, 12, 9, 13].

Для бруса, образующего круговое кольцо, можно наблюдать потерю устойчивости при сжатии его равномерной нагрузкой. Причем он может терять устойчи

вость, изгибаясь в плоскости кольца, как пока- \ и 1 / зано пунктирной линией на рис. 12.29. Но если жесткость кольца на изгиб в его плоскости велика по сравнению с жесткостью на изгиб из плоскости (кольцо по форме близко к плос

кой шайбе), то такое кольцо может потерять ' * '

устойчивость, прогнувшись из плоскости, т.е.

перестав быть плоским кольцом (рис. 12.30). ис‘ '

Длинная тонкостенная труба (цилиндрическая оболочка) под

внешним давлением может потерять устойчивость так же, как

кольцевой стержень на рис. 12.29. Если длина трубы значительно больше ее радиуса, то можно не учитывать влияние ее концов на деформацию средней части, и тогда деформация средней части будет однородна по длине. Поэтому в качестве модели для определения критического давления можно взять вырезанное из трубы кольцо единичной ширины и рассмотреть его потерю устойчивости как для кольцевого бруса. Здесь нужно учесть, что для трубы деформация вдоль ее оси равна нулю, что равносильно рассмотрению деформаций

Рис 12 30 в плоскости поперечного сечения с несколько * * увеличенным модулем упругости.

Более сложная задача возникает для цилиндрической оболочки, длина и диаметр которой имеют один порядок. Если торцы оболочки закреплены от радиальных смещений, то ее потеря устойчивости имеет более сложный характер (рис. 12.31). В этом случае нужна более сложная модель.

При осевом сжатии цилиндрическая оболочка также может потерять устойчивость, но не изгибаясь как стержень, а с появлением на ее поверхности периодической системы вмятин (рис. 12.32).

Для потери устойчивости оболочек характерна существенная зависимость критической нагрузки от незначительных отклонений их формы от идеальной. Так, при осевом сжатии цилиндри-

ческой оболочки критические напряжения за счет этого могут снизиться в 3-4 раза.

Рис. 12.31Рис. 12.31Рис. 12.32Рис. 12.32

Рис. 12.31

Рис. 12.31

Рис. 12.32

Рис. 12.32

Рис. 12.33Рис. 12.33Во всех рассмотренных случаях деформированная форма в момент непосредственно перед потерей устойчивости незначительно отличается от недеформированной формы, и это отличие можно не учитывать. Но для некоторых систем неучет деформации системы до ее потери устойчивости может привести к существенной

Рис. 12.33

Рис. 12.33

ошибке. Одной из простейших систем такого рода является двухстержневая ферма (ферма Мизеса), показанная на рис. 12.33. Пунктиром дано ее

недеформированное состояние. При больших углах а^ потеря устойчивости такой фермы происходит за счет потери устойчи- Р

вости ее стержней, в которых сжимающие усилия N = —— достигают критической эйлеровой силы. Но если угол а^ мал и усилия в стержнях, даже когда все три шарнира окажутся на одной линии ^а = 0), не достигают критических, такая ферма также теряет устойчивость. Читатель легко может убедиться, что зависимость между силой Р и углом а в равновесных состояниях фермы при прямолинейных стержнях имеет характер, показанный на рис. 12.34. По мере увеличения деформации фермы происходит уменьшение угла а, что соответствует движению из точки А на кривой Р(а) (см. рис. 12.34) к точке В. В точке В равновесие перестает быть устойчивым в том смысле, что рядом

с основным состоянием появляются смежные формы равновесия. В результате происходит перескок из точки В в точку Е.

где равновесное состояние устой

чиво.

В данной системе особенно интересно то обстоятельство, что для нагрузки Р, которая находится в пределах между Pi и — —Р1, у системы имеется три состояния равновесия, соответству

ющие точкам 1, 2 и 3. Исследо-12 34

вание этих состояний показывает,ис‘ '

что два из них (точки 1 и 3) устойчивы, а одно (точка 3) — неустойчиво (рис. 12.35).

Примерами технического использования систем, обладающих подобными свойствами, являются, например, хлопающие мембраны (рис. 12.36), применяемые в предохранительных и переключающих устройствах.

Рис. 12.35 Рис. 12.36Рис. 12.35 Рис. 12.36

Рис. 12.35 Рис. 12.36

Рис. 12.35 Рис. 12.36

Примером другой сложной ситуации, связанной с потерей устойчивости, является стержень, нагруженный следящей силой, т.е. силой, которая сохраняет направление конца стержня, к которому она приложена (рис. 12.37). Исследования показывают, что при такой нагрузке у стержня имеется единственное состояние равновесия — прямолинейное. Так как по критерию Эйлера (см. 12.2) в критическом состоянии должны появляться смежные состояния равновесия, то казалось бы, прямолинейное состояние такого стержня можно считать устойчивым всегда. Но такое заключение ошибочно, поскольку появление смежных форм равновесия — лишь один из возможных признаков потери устойчивости. Исследование движения стержня, нагруженного следящей сжимающей силой, показывает, что существует такая сила, при превышении которой малые возмущения приводят к колебаниям стержня с нарастающей амплитудой. Причиной такого поведения является неконсервативность следящей силы. Напомним, что консервативной силой называ-

Рис. 12.37Рис. 12.37ют такую, работа которой определяется только начальным и конечным состоянием. Работа же неконсервативной силы зависит от пути, каким система пришла из начального в конечное состояние. В нашем примере при превышении силой критической величины колебания стержня происходят таким образом, что на каждом цикле колебаний сила совершает положительную работу, которая идет на увеличение потенциальной энергии деформаций (ведь рассеивание энергии не учитывается). Потому-то и начинают нарастать деформации.

Рис. 12.37

Рис. 12.37

К подобного рода явлениям относится и флаттер крыла самолета. Как известно, он выражается в том, что при достижении некоторой скорости возникают колебания крыла с нарастающей амплитудой. Известен также случай разрушения

металлического моста от флаттера (Токомская катастрофа).

Потеря устойчивости деформированного состояния системы — явление интересное и многообразное. Мы здесь остановились лишь на некоторых ее примерах и аспектах. По этому вопросу имеется обширная литература, из которой для начального чтения можно порекомендовать книги [11-13].

Продольный изгиб реальных (неидеальных) стержней

До сих пор мы рассматривали поведение идеально прямых стержней (стоек) под действием сжимающих сил, действующих строго по их оси. Реальные стойки слегка искривлены и сжаты силами, приложенными не строго центрально, а с эксцентриситетом. Рассмотрим на примерах, насколько поведение таких стоек отличается от идеальных.

Сначала оценим роль эксцентриситета сжимающих сил. На рис. 12.38 показан такой стержень и его

отсеченная часть в деформированном состоянии. Условие равновесия отсеченной части:

^MC = Q-. Mz - F(u + е) = 0.

При выбранных направлениях координат жир

Mz = -EJ^M.

Поэтому приходим к неоднородному дифференциальному соотношению

и" + к2и = —к2е, к2 = P/EJZ.(12.6.1)

Общее решение этого уравнения

р = Ci sin кх + С2 cos кх — е

в силу выбора осей координат должно удовлетворять граничным условиям

р(0) = 0, p(Z) = 0.

Из этих условий получаем, что С^ = е, Ci = е(1 — cosfcZ)/ sinfcZ. Поэтому

р(ж) = ер(ж) = е1 — cos klsin kl1 — cos klsin klsin kx — (1 — cos kxsin kx — (1 — cos kx

р(ж) = е

р(ж) = е

1 — cos klsin kl

1 — cos klsin kl

sin kx — (1 — cos kx

sin kx — (1 — cos kx

Максимальный прогиб будет в центре балки. После несложных преобразований получим

Ртах — ГРтах — Г12/612/6klC0S 2klC0S 2kl c°s 2kl c°s 2

Ртах — Г

Ртах — Г

1

2/6

1

2/6

kl

C0S 2

kl

C0S 2

kl c°s 2

kl c°s 2

Из этого выражения видно, что при kl -А тг, т.е. при приближении Р к критической силе Ркр = ^EJz/l2 знаменатель cos у

стремится к нулю и поэтому ртах неограниченно возрастает. На

рис. 12.39 показаны кривые изменения ртах в зависимости от Р для двух разных величин эксцентриситета и таких, что ci > в2. Чем меньше эксцентриситет, тем ближе кривая ртах(Р) к ломаной О АВ, которая характеризует поведение идеально прямой стойки, сжатой без эксцентриситета.

Рассмотрим теперь

сжатие слегка искривленного

стержня. Начальное искривлениеРис- 12.39

стержня обозначим через Ро(ж), а его прогиб — через р(ж) (рис. 12.40). Согласно условию равновесия данной на рис. 12.40 отсеченной части

^2МС = О: Mz - F(y + v0) = 0,

но по закону Гука Mz = —EJzvn. В итоге приходим к неоднородному дифференциальному уравнению

^ + к2х = -к2^, к2 = P/EJZ. (12.6.2)

Соответствующее ему однородное решение имеет вид С\ sin кх + + C^cosfcr, а частное решение для любой правой части р(ж) может быть построено, например, методом вариации произвольных постоянных. Мы же здесь рассмотрим простейшую начальную искривленную форму в ц/х)виде полуволны синусоиды

Рис. 12.40удовлетворяющее условиям р(0) что функция V = J Sin — при JРис. 12.40удовлетворяющее условиям р(0) что функция V = J Sin — при Jуравнению (12.6.3), и условиям iвыражение для /:уравнению (12.6.3), и условиям iвыражение для /:^о = /osin^. Тогда уравнение (12.6.2) принимает видv + к v = —к /о sin —.(12.6.3)Стержень закреплен так, что прогибы его концов равны нулю. Поэтому нужно найти решение уравнения (12.6.3), = х(1) = 0. Легко проверить, к2 Jo= удовлетворяет и(т)у(0) = х(1) = 0. Преобразуем^о = /osin^. Тогда уравнение (12.6.2) принимает видv + к v = —к /о sin —.(12.6.3)Стержень закреплен так, что прогибы его концов равны нулю. Поэтому нужно найти решение уравнения (12.6.3), = х(1) = 0. Легко проверить, к2 Jo= удовлетворяет и(т)у(0) = х(1) = 0. Преобразуем

Рис. 12.40

удовлетворяющее условиям р(0) что функция V = J Sin — при J

Рис. 12.40

удовлетворяющее условиям р(0) что функция V = J Sin — при J

уравнению (12.6.3), и условиям i

выражение для /:

уравнению (12.6.3), и условиям i

выражение для /:

^о = /osin^. Тогда уравнение (12.6.2) принимает вид

v + к v = —к /о sin —.

(12.6.3)

Стержень закреплен так, что прогибы его концов равны нулю. Поэтому нужно найти решение уравнения (12.6.3), = х(1) = 0. Легко проверить, к2 Jo

= удовлетворяет и

(т)

у(0) = х(1) = 0. Преобразуем

^о = /osin^. Тогда уравнение (12.6.2) принимает вид

v + к v = —к /о sin —.

(12.6.3)

Стержень закреплен так, что прогибы его концов равны нулю. Поэтому нужно найти решение уравнения (12.6.3), = х(1) = 0. Легко проверить, к2 Jo

= удовлетворяет и

(т)

у(0) = х(1) = 0. Преобразуем

Рис. 12.41Рис. 12.41

Рис. 12.41

Рис. 12.41

к2!2 Е = Р/о= Р/Ркр

тг2 1 l2k2 tPEJz / / tPEJz \1 - Р,Р^

Но / является как раз максимальным прогибом стержня ^тах- На рис. 12.41 показана зависимость ртах = / от сжимающих сил для двух значений параметра начального искривления, таких, что /0(1) > /д2^. Видно, что чем меньше /о, тем ближе зависимость рШах(Н) к ломаной ОАВ, которая характеризует изгиб идеальности прямой стойки. Ситуация аналогична эксцентрично сжатой стойке.

Общий вывод из рассмотрения влияния двух видов неидеальности — экс

центриситета сжимающей силы и начального искривления — следующий: по мере роста сжимающей силы неидеальные стойки изгибаются. Но пока сжимающая сила Р далека от Ркр, про-

гибы незначительны. Когда же сила Р приближается к своему критическому значению, прогибы начинают возрастать, и тем сильнее, чем ближе Р к Ркр . Это и наблюдается обычно в экспериментах, так как даже при очень тщательном изготовлении реальные стойки далеко не идеальны.

Продольно-поперечный изгиб

Напряженно-деформированное состояние, возникающее в брусе при одновременном действии поперечных нагрузок

и продольной сжимаю

дифференциальное уравнение длядифференциальное уравнение длящей силы, называют продольно-поперечным изгибом. Как будет видно из дальнейшего, наличие продольной сжимающей силы может существенно увеличить прогибы и напряжения по сравнению с теми, которые возникают в брусе от действия только поперечной нагрузки.

дифференциальное уравнение для

дифференциальное уравнение для

На рис. 12.42 а показано деформированное состояние балки. Составим

ее деформированной оси. Прогиб балки обозначим через и^хУ

Для отсеченной части, данной на рис. 12.42 б, потребуем ра

венства нулю моментов действующих на нее сил относительно сечения С:

^2МС = О: M.^Sn- Мпоп = 0.(12.7.1)

Здесь Мпоп — момент относительно сечения С действующих на отсеченную часть поперечных нагрузок, включая реакцию R1 левой опоры. Этот момент принят положительным, если он направлен противоположно Mz, т.е. для рассматриваемой отсеченной части — по часовой стрелке. Если бы продольная сила S была равна нулю, то это уравнение приняло бы простейший вид Mz = Мпоп и означало очевидный факт, что изгибающий момент уравновешивает момент действующих на отсеченную часть поперечных нагрузок. Поэтому мы иногда будем обозначать Мпоп = Mz поп, рассматривая его как изгибающий момент поперечных нагрузок. При малых прогибах в пределах закона Гука (п. 8.2.3)

и” = ±MZ/EJZ. (12.7.2)

и">0и">0Рис. 12.43Пример 12.7.Рис. 12.43Пример 12.7.При принятых на рис. 12.42 положительных направлениях Mz и ж, как это видно из рис. 12.43, в формуле (12.7.2) нужно принять знак «+». Тогда уравнение (12.7.1) после исключения из него Mz сведется к виду

и">0

и">0

Рис. 12.43

Пример 12.7.

Рис. 12.43

Пример 12.7.

EJzxr4 Sx = Mz поп. (12.7.3) Это и есть дифференциальное уравнение деформированной оси балки при продольно-поперечном изгибе. Рассмотрим примеры его применения. Найдем прогибы балки, показанной на

рис. 12.44 а. Ее отсеченная часть для ж ^ ^Z дана на рис. 12.44 б.

Рис. 12.44Тогда оно сведется кРис. 12.44Тогда оно сведется кP/EJZ.P/EJZ.Уравнение равновесия для нее принимает вид ^2 Мс = = 0 :

Рис. 12.44

Тогда оно сведется к

Рис. 12.44

Тогда оно сведется к

P/EJZ.

P/EJZ.

Mz - Sv = 1рж (ж ^ 1/) .

EJzv'4Sv = -^Px ^УуEJzv'4Sv = -^Px ^УуПринимая положительным направление ж вниз, получаем, что Е1 = —MZ/EJZ. Поэтому уравнение деформированной оси балки будет

EJzv'4Sv = -^Px ^Уу

EJzv'4Sv = -^Px ^Уу

Разделим его на EJZ и обозначим к2 = S/EJ^ р =

виду

х” + fc2p = — |рж (ж < |/) .(12.7.4)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее ему однородное уравнение совпадает с уравнением (12.2.3), и его решение нам известно. Так как корни характеристического уравнения мнимые, то однородное решение равно Cisinfcx + C^coskx. Частное решение для (12.7.4) можно легко подобрать, оно равно — |^ж- Поэтому общее решение уравнения (12.7.4) будет

ж = Ci sinкх + С2 cos кх — |^-ж.(12.7.5)

Одно условие для определения постоянных интегрирования Ci и С2 получим, учитывая, что прогиб при х = 0 равен нулю:

у(0) = 0 : Су ■ 0 + С2 ■ 1 -■ 0 = 0 С2 = 0.

2 к2

Использовать условие ^(Z) = 0 мы не можем, так как все полученные выше выражения, в том числе и (12.7.5), справедливы только при х ^ |z. Но так как сила Р приложена посередине балки, то ее деформированная ось будет симметрична относительно середины и в середине окажется максимальный прогиб. Поэтому Р ^|^ = 0. Используя это условие, получаем из (12.7.5)

Cifccos у - ^fcsiiiy -= 0.

Отсюда, учитывая, что С2 = 0, получаем Ст = - ——.

Z К COS J

Таким образом, выражение для прогиба балки принимает вид

/ х 1 Р / sinA:x \1Р/ sinA:x \

W (fecos (Ы/2) ” Д “ 28 (fecos (Ы/2) ” Д'

Видно, что прогиб неограниченно растет, когда kl/2 стремится к тг/2. Но так как А;2 = S/EJZ. то последнее равносильно тому, что сжимающая сила S стремится к значению tt25J^/Z2, а это значение и есть эйлерова критическая сила SKp для рассматриваемой балки. Физически это означает, что балка при S = SKp потеряет устойчивость независимо от того, действует на нее поперечная нагрузка или нет.

Рис. 12.45

На рис. 12.45 а показан график изменения прогиба в средней точке балки p(Z/2) в зависимости от продольной силы S при двух постоянных значениях поперечной нагрузки Р = Ру и Р = = Р2 >Ь).

Следует заметить, что, вообще говоря, прогиб не может превысить величину Z/2, так как его максимум будет достигнут в

использования приближенного выражения для кривизны балиспользования приближенного выражения для кривизны балмомент, когда концы балки соединятся (рис. 12.46). Полученное неограниченное возрастание прогиба является следствием

использования приближенного выражения для кривизны бал

использования приближенного выражения для кривизны бал

Рис. 12.46Рис. 12.46ки 1/p^v". Поэтому уравнение продольнопоперечного изгиба (12.7.3) применимо лишь при малых прогибах ((Д)2 ^ !)•

Рис. 12.46

Рис. 12.46

На рис. 12.45 б даны зависимости прогиба в центре балки от поперечной нагрузки при постоянных значениях продольной силы S = Si и S = S2 (S2 > Si). Пунктиром показан график для случая поперечного изгиба (S = 0). Видно, что с уве-

личением продольной нагрузки возрастает податливость (падает жесткость) балки на

поперечную нагрузку.

Сравнение графиков 12.45 а и б приводит нас к важному

заключению, что пропорциональная зависимость между нагрузкой и прогибом (а значит, и принцип суперпозиции) имеет место только для поперечной нагрузки!

Для расчета на прочность необходимо знать изгибающий момент Mz. При продольно-поперечном изгибе для вычисления Mz можно воспользоваться двумя выражениями. Первое из них следует из (12.7.2):

(12.7.7)(12.7.8)(12.7.7)(12.7.8)Mz = ^EJ^H.

(12.7.7)

(12.7.8)

(12.7.7)

(12.7.8)

Второе — из уравнения (12.7.1):

Мг = Mz поп Sd.

Для балки, рассмотренной в примере 12.7, получаем с учетом (12.7.6)

Mz = —EJzv" = ^РMz = —EJzv" = ^Рsin кхк cos (А4/2) ’sin кхк cos (А4/2) ’

Mz = —EJzv" = ^Р

Mz = —EJzv" = ^Р

sin кхк cos (А4/2) ’

sin кхк cos (А4/2) ’

1 p sin kx2 к cos (kl/2) ’1 p sin kx2 к cos (kl/2) ’Mz = Mznon + Sy = ^Px + Ы sin^

1 p sin kx

2 к cos (kl/2) ’

1 p sin kx

2 к cos (kl/2) ’

22\ к cos (kl/2)

Результаты, разумеется, совпадают. Максимальное значение

Mz достигается в середине балки (ж = Z/2) и равно

(12.7.9)(12.7.9)д _ Р , klMz max — — tg —.

(12.7.9)

(12.7.9)

Пример 12.8. Рассмотрим балку, нагруженную поперечной равномерно распределенной нагрузкой q и сжимающей силой S (рис. 12.47). Из условия равновесия отсеченной части,

которая дана на рис. 12.47 в деформированном состоянии, имеем^2 Мс = 0 : Mz + Sp = |дж2 — ^qlx.

Так как Mz = А-ЕЛ^х” то приходим к дифференциальному уравнению

у" +&2и = ^-(ж2-/ж),= ^Т'

Его общее решение

и = Cl sinкх + С*2 cos кх - Д--4 ( ^ + /ж - ж2 ) .

Рис. 12.47Рис. 12.47

Рис. 12.47

Рис. 12.47

Учитывая условия закрепления балки (р(0) = 0, p(Z) = 0), определяем постоянные Ci и С2 и получаем

q Г1 — coski .77 х к22\1

р = _—:——— sin кх — I — cos кх — — цх — х .

EJZ№ L sin Иv72 v7 J

Изгибающий момент любым из двух возможных способов вычисления получим в виде

М, = EJzv" = 1^ж2 - 1^ж - Sv =

q Г1 — cos kl . 77 \1

= —:—77— Sin кх — (1 — COS кх) .

к2 V sin klJ

Ясно, что максимальный изгибающий момент действует в середине балки и равен

^fzmax — Mz ^2) —^fzmax — Mz ^2) —q 1 — cos (A4/2) V “cos (И/2)q 1 — cos (A4/2) V “cos (И/2)(12.7.10)(12.7.10)

^fzmax — Mz ^2) —

^fzmax — Mz ^2) —

q 1 — cos (A4/2) V “cos (И/2)

q 1 — cos (A4/2) V “cos (И/2)

(12.7.10)

(12.7.10)

tv2 E J

Видно, что при S ^ SKn = —74^ имеет место к ^ тг, поэто- .kl

му sinfeZ 0 и cos —0. Иными словами, при приближении

сжимающей силы к критической прогиб и изгибающий момент неограничено возрастают.

В рассмотренном только что примере изгибающий момент Mz можно найти, не определяя сначала прогиб р. Для этого продифференцируем дважды уравнение (12.7.1) и учтем, что Е* = MZ/EJZ и d2Mz nQ^/dx2 = q. В результате придем к уравнению

< + k2Mz = q, /-. (12.7.11)

Такого вида уравнение при продольно-поперечном изгибе называют дифференуиалъним уравнением изгибающих моментов. Его общее решение

Mz = Ci sin кх + С2 cos кх + Mz частн-

Вид частного решения зависит от характера распределенной на-

грузки q(x). В нашем случае q = const, поэтому Mz частн = р-. Постоянные Ci и С2 найдем, учитывая равенство нулю изгибающих моментов по концам балки (М(0) = 0, Mz(l) = 0), что является следствием ее шарнирного опирания. В результате придем к выражению (12.7.10).

Важно отметить, что переход к уравнению (12.7.11) связан с двукратным дифференцированием уравнения равновесия (12.7.1), а это требует, чтобы на участке балки, где применяется уравнение (12.7.11), изгибающий момент был дважды дифференцируемой функцией, т.е. не испытывал скачков и не имел угловых точек. Это равносильно требованию, чтобы на этом

Рис. 12.48Рис. 12.48участке балки к ней не прикладывались сосредоточенные моменты и силы.

Рис. 12.48

Рис. 12.48

Если же таковые имеют место, как, например, для балки, показанной на рис. 12.48, то приходится записывать уравнение вида (12.7.11) для каждого из участков и стыковать решения на границе участков с учетом

скачков перерезывающей силы и изгибающего момента. Для примера приведем полную систему уравнений и условий для данной на рис. 12.48 балки и уравнения моментов по участкам:

М" + к^М, = 91 (0 ж к\ М" + к^М, = qiX ж Z).

Их решения

(0 < х < Zi), (к < х < Z).(0 < х < Zi), (к < х < Z).Mz = Ci sin кх + С2 cos кх + ^

(0 < х < Zi), (к < х < Z).

(0 < х < Zi), (к < х < Z).

Mz = С3 sin кх + С4 cos кх +

Граничные условия и условия сопряжения:

МД0)=0: С1-0 + С2- 1 + ^ = 0,

М+^-М^^к^М: C3sin^i+ C4cosA:i-

— Ci sin kli — C2 cos kli = M,

- QyM = P : ЩИМГ - (М^ЛГ = P :

Сзк cos kli — C^k sin kli — Cik cos kli + C^k sin kli = P,

Mz (0 = 0 : C3 sin kl + C4 cos kl = 0.

Внимательный тил, что мы ограничились нирно-опертой балки. Не более сложна задача продольно-поперечного изгиба консольной балки, показанной на рис. 12.49, на котором защемление левого конца заменено реакциями. Уравнение деформированной оси такой балки, полученное из условия равновесия участка от сечения в заделке (ж = 0) до сечения ж, имеет вид

читатель, по-видимому, уже заме- пока рассмотрением только шар-читатель, по-видимому, уже заме- пока рассмотрением только шар-EJzv" + Sv = - (м + ^ - Ft) - 1g®2 - (F - ql>.

читатель, по-видимому, уже заме- пока рассмотрением только шар-

читатель, по-видимому, уже заме- пока рассмотрением только шар-

Общее решение этого уравнения

С2 — —+ьк2С2 — —+ьк2М+^у - PlМ+^у - PlSSCi =Ci =Р — qlkSР — qlkSv = Cl sin кх + С2 cos кх|Р ~ql х + -^ - -^х2. Из условий в заделке ж(0) = 0, ^'(0) = 0 следует, что

С2 — —+

ьк2

С2 — —+

ьк2

М+^у - Pl

М+^у - Pl

S

S

Ci =

Ci =

Р — qlkS

Р — qlkS

Изгибающий момент в этой задаче можно подсчитать по одному из следующих выражений:

М, = Mz поп - 8НП - уЩ, Mz = -EJzv". Уравнение изгибающих моментов здесь имеет вид

X' + kMz = q.

При формулировке граничных условий для него необходимо учитывать первое из приведенных выражений для Mz. В соответствии с ним:

МДО) =мгпоп(0)-5у(/),

Qy(0) = М» = QznonW + S-v’^ = Р — ql,Mz(l) = Mznon(l) = M,Qy(l) = M’W = Qynro(lH Su’W-

Отсюда видно, что получить Mz независимо от прогибов позволяют только следующие два граничных условия:

М» =Qy№ = Р — ql, MZ^=M.

Более сложная ситуация возникает, когда балка закреплена так, что она статически неопределима (рис. 12.50). В этом случае неизвестны опорные реакции, а от них зависит Mz поп, который составляет правую часть уравнения деформированной оси балки (12.7.3):

EJ^l) + Sx = Мгпоп.

Продифференцируем это урав-

_. гпнение два раза по ж и учтем, что

РИС. 12.50м„ =

поп

В итоге получим уравнение для прогибов балки четвертого порядка

(EJ^T + Sx" = q.

При Е Jz = const оно сводится к виду

vIV + к2!)" = -5-, к2 = -А.(12.7.12)

EJZ ’EJZ'’

Общее решение этого уравнения имеет вид

х = Су sin кх + С^ cos кх + С^х + С4 + ж *,где ж* — частное решение, определяемое видом нагрузки q^xYПри q = const имеем ж* = ——-ж2.

2 А?

Для определения четырех постоянных Ci, С2, С3, С4 используются условия закрепления балки

ж(0) = 0, Д(0) = 0, х^ = 0, МД/) = EJzxH^ = М,

которые приводят к следующей системе линейных алгебраических уравнений (рассмотрен случай q = const):

Ci • 0 + С2 • 1 + Сз • 0 + С4 = О,

Cik + С2 • 0 + Сз = О, (71 sin kl + (72 cos kl + (73/ + <74 =

—Cik2 sinkl — 02k2 cos kl = — -—7— + к E J 2E J 2

Решение этой системы хотя и громоздко, но может быть полу

чено сравнительно легко.

Точное решение задачи о продольно-поперечном изгибе балки на основе уравнения деформированной оси (12.7.3), или (12.7.12), или уравнения изгибающих моментов (12.7.11)

Рис. 12.51Рис. 12.51обычно связано с громоздкими вычислениями. Рассмотрим один из приближенных способов решения этой задачи, основанный на энергетическом подходе, который по смыслу близок к энергетическому подходу в задачах устойчивости (разд. 12.3).

Рис. 12.51

Рис. 12.51

Сначала рассмотрим энергетический баланс при линейно-упругой деформации балки под действием только поперечной нагрузки (рис. 12.51 а). Прогиб в этом случае обозна-

1 т

чим через ^п- Работа внешних сил Р^ будет равна А = - ^ Рг^п^ 2 2=1

Она полностью перейдет в потенциальную энергию изгиба бал

ки

П = 1 J EJM?^-

I

Поэтому энергетический баланс в этом случае имеет вид

т

= 1 J EJM?^. (12.7.13)

2 = 1I

Рассматривая продольно-поперечный изгиб (рис. 12.51 б), будем считать, что сначала балка нагружена продольной силой S, а затем поперечными нагрузками Р^. Тогда в энергетическом балансе необходимо учесть работу SX силы S на укорочении А,

14 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин

которое балка приобретает при изгибе ее силами Р^. Но, как это показано в разд. 12.3 (см. (12.3.6)), А = | f(v')2dx.

Поэтому энергетический баланс примет вид т

| У2 р№ + ^SJ У)2 dx = H dx.

г=1II

Разделим это равенство на интеграл, стоящий в его правой ча

сти. При этом второе слагаемое левой части можно представить

в форме

(12.7.14)(12.7.14)S_ S

(12.7.14)

(12.7.14)

$ EJ^'Ydxl ^E^dx "" SKp'

Его знаменатель совпадает с энергетическим выражением для критической силы (12.3.8), которая здесь обозначена через SKp.

При преобразовании первого слагаемого будем предполагать, что упругие линии балки при поперечном и продольнопоперечном изгибах подобны, т.е.

х(х) = ахп(х).(12.7.15)

Это предположение основано на интуитивном представлении о том, что наличие продольной силы не приводит к существенному изменению формы деформированной оси балки. С его учетом первое слагаемое принимает форму

A? Pi^iCL 'р PiVni

г = 1 г = 1 £

J Ed^E')2 dx a2 f EJz(v")2 dx a ii

Последнее равенство получено с учетом (12.7.13).

Таким образом, после деления на правую часть равенство (12.7.3) сведется к следующему:

а SKp

Отсюда получаем, что

_1

° “ 1 - S/SKP ■

Таким образом, в соответствии с предположением (12.7.15) прогиб при продольно-поперечном изгибе можно получить как

(12.7.16)(12.7.16)X = .

(12.7.16)

(12.7.16)

1 - S/SKP

Для вычисления приближенного значения изгибающего момента имеются две возможности, которые предоставляют формулы (12.7.7), (12.7.8). Но так как полученное по (12.7.16) выражение для прогиба является приближенным, а всякая ошибка

при дифференцировании возрастает, то предпочтительно пользоваться формулой (12.7.8), которая в нашем случае принимает вид

Mz = Mz поп +(12.7.17)

1 о J оКр

Однако и формула, следующая из (12.7.7),

Mz = 7^7^’(12.7.18)

1Окр

дает удовлетворительные результаты в тех случаях, когда деформированная форма балки не слишком сильно отличается от формы потери устойчивости.

Например, для равномерно нагруженной балки (пример 12.8) при S = 0,5SKp формула (12.7.18) дает для М^тах

j^j max поп _ 0,125^Z2 _ n ,2

^тах- х_5/5кр -W *

Вычисления по точной формуле (12.7.10) с учетом того, что

^ = ^^0^ = ^/077777^ = ^, 5кр = Д

приводят к значению M^max = 0,254gZ2.

При продольно-поперечном изгибе нормальные на

пряжения в поперечных сечениях возникают как вследствие дей

ствия продольной силы S, так и от изгибающего момента Mz. Для сечения, показанного на рис. 12.52, их значения в точках А и В подсчитываются по формуле

$_ Mz max

И min — —— Ч"jУ А*

max rJzВ

(12.7.19) Если сечение симметрично относительно оси z^ то

<7min=-|7^. (12.7.20) max

Далее мы ограничимся рассмо-Рис. 12.52

трением только таких балок.

По сравнению с ранее рассмотренными случаями расчета на

прочность здесь возникает принципиально новая ситуация, связанная с тем, что Мгтах, а следовательно, и crmin нелинейно max

зависят от продольной нагрузки S. Эту нелинейную зависимость наиболее наглядно демонстрируют приближенные формулы (12.7.17) и (12.7.18). Поэтому необходимо более детально

разобраться с понятием «запас прочности». Для конструктора удобно понимать запас прочности как число, на которое нужно умножить нагрузку, чтобы в опасных точках сечений конструкции были достигнуты предельные напряжения. До сих пор, пока напряжения были пропорциональны нагрузкам, это число можно было подсчитать как отношение предельного напряжения к максимальному действующему, т.е. п = (Тпред/Дтах- Но при продольно-поперечном изгибе нелинейная зависимость напряжений от продольной силы не позволяет поступить так же. В связи с этим при продольно-поперечном изгибе, как правило,

Рис. 12.53Рис. 12.53возможен только поверочный расчет, который сводится к двум основным случаям.

Рис. 12.53

Рис. 12.53

Продольная нагрузка S на балку остается постоянной, а могут изменяться только поперечные нагрузки. Так нагружена, например, стойка (рис. 12.53 а), продольная сила в которой создается весом груза S. В таких случаях под запасом прочности обычно понима

ют число, на которое нужно умножить поперечную нагрузку, чтобы напряжения достигли предельных. Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то из (12.7.20) получаем

^пред —^пред —Sn\Mz max |F ЖSn\Mz max |F Журавнение для определения п:

^пред —

^пред —

Sn\Mz max |

F Ж

Sn\Mz max |

F Ж

Здесь учтено, что Mz пропорционален поперечной нагрузке. Если для подсчета М^тах использовать приближенную формулу (12.7.18), то придем к уравнению

._ S ,n\Mz поп max |

пред - р + Wz (1 _ 5/5кр) ■

Более точное значение получим при использовании формулы (12.7.17), но при этом нужно учесть, что сечение, в котором максимально значение М^, может не совпасть с сечением, где действует максимальный момент от поперечной нагрузки Мг поп max- Поэтому получаем уравнение

^пред —^пред —S . пf + w; тахS . пf + w; тахMz поп +Mz поп +1 - s/s^1 - s/s^

^пред —

^пред —

S . п

f + w; тах

S . п

f + w; тах

Mz поп +

Mz поп +

1 - s/s^

1 - s/s^

Продольная сила и поперечная нагрузка на балку меняются одновременно и пропорционально. Так, например, нагружена стойка в конструкции, которая показана на рис. 12.53 б. Для определения ее запаса прочности получаем уравнение

»<-D। max

СТпред -'

Для определения M^max, возникающего при увеличении нагрузки в п раз, воспользуемся точным решением (12.7.9), в которой учтем, что к = дщжм = V^TWjTy

Тогда приходим к трансцендентному уравнению для п:

_ пР 1 Р , / / пР I \

^РеД - 2F + Жg \ у "

2V 2ЕЛ

Это уравнение можно упростить, если воспользоваться приближенным решением (12.7.17) или (12.7.18). В последнем случае приходим к сравнительно простому уравнению

Это уравнение, в свою очередь, сводится к квадратному уравнению для и.

В. 12. Контрольные вопросы

12.1. Чем определяется устойчивость состояния равновесия системы?

В. 12.2. Какими должны быть возмущения при исследовании устойчивости системы: малыми или большими? Достаточно ли при этом ограничиваться всего одним возмущением? Что является критерием устойчивости состояния равновесия системы?

В. 12.3. Сформулируйте условия устойчивого, неустойчивого и безразличного положения равновесия системы.

В. 12.4. Какое состояние центрально-сжатого прямого стержня называется критическим?

12.5. В каком смысле метод Эйлера дает ответ на вопрос об устойчивости прямолинейного состояния равновесия системы?

12.6. Какие выводы позволяет сделать метод Эйлера при р

12.7. При каких прогибах дифференциальное уравнение (12.2.3) упругой линии стойки с достаточной точностью отражает поведение идеальной стойки при сжатии?

12.8. Какова структура обобщенной формулы Эйлера для стоек с различным закреплением? Что такое приведенная длина стойки? Чем определяется коэффициент приведения длины ц?

12.9. При каком энергетическом условии состояние равновесия системы будет устойчивым (критерий Лагранжа)?

12.10. Как формулируется энергетическое условие устойчивости прямолинейного состояния стойки?

12.11. Признаком какого состояния стойки является условие АЭ = П — А = 0? Как определяется соответствующая этому условию сжимающая стойку сила Р? Как при этом определяется критическая сила — Ркр?

2.12. При каком условии значение критической силы — Ркр, полученное энергетическим методом, будет совпадать с точным значением этой силы, полученным методом Эйлера?

12.13. От чего зависит точность определения Ркр энергетическим методом?

12.14. Каким статическим (силовым) условиям соответствуют следующие способы закрепления стойки: а) шарнир; б) свободный конец; в) скользящее защемление?

2.15. Что такое критическое напряжение стойки — (ткр? Чему оно равно согласно обобщенной формуле Эйлера?

2.16. Что такое гибкость стойки? От чего она зависит? В какой плоскости изогнется стойка при потере устойчивости?

12.17. Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

12.18. Как аппроксимируется диаграмма (ткр(А) согласно Тетмайеру? Зависит ли диаграмма (ткр(А) от конструктивных параметров стойки или определяется диаграммой сг(е) ее материала?

12.19. Какие две формулы предложил Энгессер для определения сгкр за пределами пропорциональности?

12.20. Чем принципиально отличаются подходы Энгессера и Шенли, приводящие к формулам приведенного и касательного модулей?

12.21. Как выбирается допускаемое напряжение для сжатых элементов при расчете строительных конструкций? От чего зависит значение коэффициента снижения допускаемых напряжений у??

В. 12.22. Какое влияние на поведение сжатой стойки оказывает эксцентриситет сжимающей силы и начальное ее искривление?

В.12.23. При каких нагрузках возникает продольно-поперечный изгиб?

В. 12.24. Почему уравнение продольно-поперечного изгиба (12.7.3) применимо только при малых прогибах?

В. 12.25. Почему принцип суперпозиции при продольно-поперечном изгибе применим только для поперечной нагрузки?

В. 12.26. Как найти изгибающий момент при продольно-поперечном изгибе, не определяя прогибов в балке?

В. 12.27. Как определяется прогиб при продольно-поперечном изгибе при энергетическом подходе к решению задачи?

В. 12.28. Как определяется изгибающий момент при том же подходе?

В. 12.29. Как определяются нормальные напряжения при продольно-поперечном изгибе?

В. 12.30. Почему запас прочности при продольно-поперечном изгибе не может быть подсчитан так, как это делалось ранее, т.е. п = ^^7

СТ max

12.31. Какие два случая поверочного расчета (определения запаса прочности) возможны при продольно-поперечном изгибе?

3.12. Задачи

Четыре стойки из одного и того же пластичного материала и одинаково закрепленные по концам имеют одну и ту же длину и площадь поперечного сечения, но разные формы этого сечения, а именно: круг, кольцо (с/Вн/^нар = 0,5), квадрат и прямоугольник (h/b = 2). В какой последовательности стойки должны терять устойчивость при одинаковых условиях нагружения их продольными силами, если гибкость каждой из них превышает Ат?

При какой температуре Ткр равномерно нагреваемый стержень постоянного сечения (рис. 12.54) теряет устойчивость, если: начальная температура То? длина, форма и размеры поперечного сечения, а также материал стержня заданы? Поведение материала считать линейно упругим.

Применив метод Эйлера, определить критическую силу для ступенчатого стержня, показанного на рис. 12.55.

Для стойки, показанной на рис. 12.56, определить критическую силу и коэффициент приведения длины энергетическим методом, задавшись приближенной формой потери устойчивости сразу в виде многочлена, удовлетворяющего условиям закрепления стойки.

Задаваясь полиномом соответствующей степени с неопределенными коэффициентами, найти критическую силу

и коэффициент приведения длины для стойки, показанной на рис. 12.57.

Рис. 12.54Рис. 12.54Рис. 12.55Рис. 12.56Рис. 12.57

Рис. 12.54

Рис. 12.54

Рис. 12.58Рис. 12.58Для консольной балки постоянной жесткости EJZ в плоскости изгиба составить дифференциальное уравнение ее оси (рис. 12.58), найти функцию ее прогибов, определить максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент.

Рис. 12.58

Рис. 12.58

Пользуясь приближенным выражением для прогиба, вычислить максимальные нормальные напряжения и запас

Рис. 12.59Рис. 12.59прочности для балки прямоугольного сечения, показанной на рис. 12.59. Принять Р = 0,5 кН, S = 2 кН, Е = 2 • 105 МПа,

Рис. 12.59

Рис. 12.59

сгт = 240 МПа, I = 1 м, b = 10 мм, h = 30 мм. При решении задачи учесть, что поперечные и продольная силы возрастают одновременно и пропорционально.

ГЛАВА 13

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

Прочность является интегральным свойством конструкции и для конструкций из пластичного материала достижение предельных напряженных состояний в отдельных ее точках или даже частях еще не означает, что она недопустимо сдеформиро- валась или потеряла способность воспринимать возрастающие нагрузки (см. и. 11.5.1).

В этой главе мы рассмотрим методы расчета конструкций с учетом пластических деформаций их частей и оценки предельных для конструкций нагрузок, или, как принято говорить, предельной несущей способности конструкций.

Схематизация диаграмм напряжений

Как видно из рисунков 3.5, 3.8, экспериментально получаемые диаграммы напряжения сг(е) для пластичных материалов являются довольно сложными зависимостями, особенно если учесть поведение материала при разгрузке (см. рис. 3.7). И хотя расчет деформаций таких простых стержневых конструкций, как фермы, балки и рамы с учетом реальных зависимостей сг(е) принципиальных трудностей не содержит, обычно он сводится к громоздким вычислениям. Поэтому рационально упростить расчет, схематизировав диаграмму сг(е) простой зависимостью. Вносимая при этом небольшая ошибка может быть легко оценена и вполне окупается простотой вычислений.

Одной из самых простых и в то же время позволяющих достаточно точно аппроксимировать реальную диаграмму сг(е) является модель упругопластичного материала с упрочнением (рис. 13.1 а). В ней участки реальной диаграммы заменены прямыми линиями. Соответствующие такой схематизации уравне-

ния по участкам будут

— 67Т + Е1(е + £т) при £ < —£т,

при

k СГт + 51(£ — £т) при Е > £т.

Здесь Е^ — модуль упрочнения, который является угловым коэффициентом прямых АВ и А' В'.

При развитых пластических деформациях можно принять модель жесткопластичного материала с упрочнением (рис. 13.1 б). Простейшей является диаграмма сг(е), реализующая модель жестко-пластичного материала (рис. 13.1 в).

Рис. 13.1Рис. 13.1

Рис. 13.1

Рис. 13.1

Для основных конструкционных материалов максимальная упругая деформация составляет доли процента. Так, для стали с стПц = 200 МПа, Е = 2 • 105 МПа

£пц = ^100% = |т^100% = 0,1%.

В дальнейшем при расчетах ограничимся упругопластическими деформациями, лежащими в пределах 2%, т.е. |£| < 2%. В этом случае пластические деформации сильно развиты и существенно превышают упругие. Но так как максимальные деформации остаются все же малыми в сравнении с единицей, то это позволяет рассматривать исследуемые системы в рамках принципа малости деформаций, т.е. при составлении уравнений равновесия для систем и их частей не учитывать изменение их размеров и формы за счет деформаций.

Одним из необходимых условий выполнения принципа независимости действия сил является деформация в пре-

делах закона Гука. При упругопластических деформациях это условие не выполняется, и поэтому принцип независимости действия сил не действует. Это демонстрирует пример, представленный на рис. 13.2. Пусть действующие на стержень силы Pi и Р2 такие, что сила Pi вызывает в стержне пластические деформации, а Р2 их не вызывает. Тогда при нагружении стержня силой Pi деформация стержня будет соответствовать участку О А диаграммы нагружения, данной на рис. 13.2 а. Если теперь,

Рис. 13.2

не снимая силы Pi, нагрузить стержень силой Р2, то его деформация в соответствии с законом разгрузки будет происходить по участку АВ. Если изменить порядок приложения сил и сначала нагрузить его силой Р2, а потом Pi (рис. 13.2 5), то деформации останутся в пределах закона Гука и итоговое удлинение стержня окажется меньше, чем в первом случае. А одним из следствий принципа независимости действия сил является независимость результата от порядка приложения сил.

Расчет предельных нагрузок для статически определимых систем

Ограничимся рассмотрением конструкций из идеального упругопластичного материла без упрочнения, диаграмма сг(е) которого показана на рис. 13.3. Главное внимание уделим предельным нагрузкам для таких конструкций, среди которых рассмотрим сначала статически определимые. Простейшими среди них являются статически определимые фермы, т.е. системы, составленные из стержней, работающих только на растяжение или сжатие.

Самой простой фермой является стержень, нагруженный растягивающей силой (рис. 13.4). Из условия равновесия пока-

занной на рис. 13.4 отсеченной части сразу видно, что N = Р. Но продольная сила, которая может возникнуть в стержне, ограничена его текучестью и ее максимальная (предельная) величина равна 7УПред = aTF^ где F — площадь поперечного сечения. Поэтому предельная величина нагрузки Рпред = crTF-

Рис. 13.3Рис. 13.3Рис. 13.4Рис. 13.4

Рис. 13.3

Рис. 13.3

Рис. 13.4

Рис. 13.4

Рассмотрим двухстержневую ферму, данную на рис. 13.5. Предельное значение нагрузки Р будет достигнуто, когда напряжения хотя бы в одном из стержней станут равными ат. Из

Рис. 13.5Рис. 13.5условий равновесия узла легко получить, что TVi = = f/А n2 = P/V2. Площади поперечных сечений стержней равны соответственно 2F и F. Поэтому ay = М/Щ) = Pf^FY <т2 = N^F = P^FY Предельная нагрузка будет достигнута, когда напряже

Рис. 13.5

Рис. 13.5

ния во втором стержне станут равными сгт, т.е. когда а^ = — -^пред/(а/2 F) — 67Т. Отсюда -Рпред — V^aTF.

Анализируя эти два решения, можно отметить два определяющих обстоятельства.

Продольная сила в г-м стержне N^ ограничена предельным значением ^пред, которое достигается при возникновении в этом стержне напряжений сгт. Поэтому |7\^пред| = aTFi. Здесь учтено, что усилие в стержне может быть и сжимающим.

Так как ферма статически определима, возникающие в ней продольные силы определяются только внешней нагрузкой и пропорциональны ей (конечно, в условиях действия принципа малости деформаций), т.е. Nt = к^Р^ где к^ — коэффициент пропорциональности между усилием в г-м стержне и нагрузкой.

Таким образом, нагрузка на ферму может возрастать до тех пор, пока хотя бы в одном из ее стержней напряжения не достигнут предела текучести ат, т.е. пока выполняются условия

(13.2.1)(13.2.1)

(13.2.1)

(13.2.1)

(13.2.2)(13.2.2)Отсюда ясно, что предельная нагрузка будет достигнута, когда напряжение станет равным сгт в том стержне, где оно максимально, т.е. когда

(13.2.2)

(13.2.2)

max |сч| = бгт.

Пример 13.1. Определим предельную нагрузку на ферму, рассмотренную в примере 4.2 (рис. 4.18). Если площади всех

стержней одинаковы, то максимальное напряжение возникает в том стержне, где усилие максимально, т.е. в 5-м стержне. Тогда условие (13.2.2) принимает вид РПред V5/E = сгт. Отсюда РПред = = атЕ( V5.

Что же произойдет с фермой, когда нагрузка достигнет предельного значения, т.е. когда напряжения хотя бы в одном из стержней достигли сгт? В этот момент этот стержень перестает работать как связь, так как его дефор- X.у'

мация е становится неопределенной.^-^ р

То есть его действие на системуПРСД Т

фактически сводится к действиюу

на нее неизменной нагрузки, рав-1

ной предельному усилию в стержнепред

(рис. 13.6). Но так как на статиче-~

ски определимую систему наложены только необходимые связи, то устранение хотя бы одной из

связей превращает ее в кинематически изменяемую — говорят, что система превратилась в пластический механизм.

Сжатые стержни могут потерять устойчивость, поэтому для них продольная сила ограничена также и критической силой. С учетом этого условия (13.2.1) по сжатым стержням должны быть дополнены условиями

^zl ^кр г — Р^г/Рг-

Таким образом, для сжатых стержней условия (13.2.1) можно записать так:

|^г | ^ ^пред г •

Здесь стПред г — минимальное напряжение из двух: стт и сткр^. Ясно, что учет этого уточнения при расчете не вызовет принципиальных трудностей.

Обратимся теперь к статически определимым системам, элементы которых работают на изгиб, т.е. к балкам и рамам. Ограничимся случаем прямого изгиба.

Сначала рассмотрим простейший случай — чистый изгиб

балки прямоугольного сечениябалки прямоугольного сеченияРис. 13.7Рис. 13.7и определим для него предельный момент (рис. 13.7).

балки прямоугольного сечения

балки прямоугольного сечения

Рис. 13.7