ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Г л а в а I. Управляемость динамических систем 38

Постановка задачи. Определения. Идея метода приращении в теории управляемости 38

Формула приращения векторной функции ла траекториях динамической системы 39

Исследование управляемости липейных стационарных систем 40

Положительная, относительная, условная управляемость лилейных стационарных систем 51

Управляемость линейных нестационарных систем ,56

Условия управляемости линейных динамических ' систем с нелинейным входом 57

Теорема об управляемости динамических систем по линейному приближению . , 61

Методы функционального анализа в теории управляемости 62

Положительная управляемость динамических систем66

Линейные системы управления с запаздыванием. Определяющее уравнение 70

Относительная управляемость лилейных стационарных систем с постоянным запаздыванием 71

Линейные системы с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. Определяющее уравнение . . . 、76

Относительная управляемость линейных стационарных систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа 78

Линейная стационарная система с несколькими запаздываниями 83

Относительная управляемость линейных нестационарных систем 87

Об относительной управляемости по линейпом)г приближению динамической системы с запаздыванием90

Полпая управляемость динамических систем с запаздыванием. Критерии полной управляемости . .91

Общая схема исследования полной управляемости111

Достаточные условия полной управляемости систем с малым запаздыванием Коммептарпп к главе I

Г лава II. Теория управляемости по направлению ...

Постановка задачи. Определения. Метод исследования

Формула прпращриия по управлению

Управляемость лппепшах снстем

Управляемость по лпнейгюму приближению ....

Линейные системы с пелинейным входом

Об пнвариантлостп it автономности динамических систем Коммептарпп к главе II Глава Ш. Наблюдаемость динамических систем ....

Постановка задачи. Определения. Метод исследования

Формула прпращеипя по начальному- состояппю ..

Наблюдаемость линейлых систем

Наблюдаемость динамической системы и ее управляемость по начальным условиям

Наблюдаемость динамических систем по линейному приближению

Критические случаи наблюдаемости

Об индифферентности и автономности в теории наблюдения

Методы функционального анализа в теории наблюдаемости по Калману

Разрешимость двухточечных краевых задач н управляемость по начальному ус л овию Комментарии к главе III

Глава IV. Теория идентификации динамических систем

Постановка задачи. Определения. Метод псследо- ванпя

Формула приращения по параметру

Идентификация линейных систем

Относительная управляемость динамической системы и ее идентифицируемость

Идентифицируемость нелинейных систем по линейному приближению

Условия идентифицируемости динамических систем в критических случаях

Методы функционального анализа в теории идентификации

Комментарии к главе IV

Глава V. Проблема существования оптимальных управле-

4 5 6 8 9

2 2 2 2 2

di 4X JJ —1 11 Л1 11 fl Л1 JJ fl

^ -.э ^

ет

58

1. Теорема существования оптимальных управлений

для систем с запаздыванием 166

2. Существование оптимальных управлений п теория оптимальных скользящих режимов 174

Доказательство существова!шя онтштлт-ныv уирнв- леппн методом лрпрашенп(1 176

Существование оптимальных управлоииН л непрерывных системах и nj)iniii,nif максимума д.1Я дискретных систем J 77

Доказательство теоре^1ы существования оптимального ^травления с помощью разностной аппрокепмацпп пенрерывпои системы180

Решение проблемы сущестисвания оптгшальных управлений при иснользова}пп1 методов функционального анализа183 Р?оммептарип к главе Y183

ч А С т Ь II■

ПРИНЦИП МАКСИМУМА В ТЕОРИИ

ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Г ;т а в а VI. Необходимые условия оптимальности управлений186

Метод приращении 186

Лрпшцш максимума в системах с запаздыванием193

Новая форма необходимых условии оптимальности201

Тождество для траекторий динамических систем210

Особые управлелпя в задачах оптпмпзашш . . . .212

Прштцпп максимума для экстремалс11 Л. С. Понтрягина225

Задача оптимизации с параметрами 230

Методы функционального анализа в теории прин

ципа максимума 238

Применение теоремы о мишшаксо к пахождепию оптимального л-правлепия 240

Теорема об отделпмостп выпуклых множеств и ее приложение к задачам оптимального управления 248

"проблема моментов в теории оптимальных процессов 279

Применение теоремы существования опорной плоскости к задачам оптимального управления . . .296

Условия погружаемости вып^^клых множеств. Приложения к задачам оптимального управления . . .301

Обобщеппая лемма Непмапа — Пирсона в теории оптимальных процессов 306

Статистические задачи оптимального управления

(подход функционального анализа) 310

О некоторых дифференциальных играх 328

Развитие метода приращений для задач оптимизации в игровых ситуациях 337

Комментарии к главе VI 339

Глава VII. Достаточные условия оптимальности. Единственность оптимальных ^'правлений. Корректность постановки некоторых задач теории оптимальных процессов 345 § 1. Задачи оптимизации с ф^шкцпоналамп, выпуклыми по персмрпньтм состояния 345

Достаточные условия оптпмалыюстп в задачах с вы

пуклыми по уиравлснннм функционалами ....352

Оптимальность управлений. удовлетворяющих

нрншиЕу максимума 354

Об оптимальности особых управлений 357

Достаточные условия оптимальности 359

Достаточность принципа максимума в линейных системах 361

К достаточном условиям оптимальности в задачах

игрового типа 365

Единственность оптимальных управлений в линеп- пых системах 368

Задачп оптимизации с исрархпческо11 системой критериев качества 372

Корректность постановки задачи оптимального управления 375

Колшептарип к главе VII 385

Глава VIII. Проблема вычисления оптимальных управлений 1. . . .387

Два способа улучшения допустимых управлений . .387

Комбинированное улучшение первоначальных управлений395

Доказательство сходимости двух методов приближенного решения задач оптимального управления 398 § 4. Численные алгоритмы решения некоторых задач оптимального управления 403

Обобщение на системы с запаздыванием и нелинейным входо^1 412

Алгоритм вычисления оптимального управления, основанный на теории игр 415

Комментарии к главе VIII 417

Глава IX. К теории оптимальных процессов в дискретных системах 419

Необходимые 5тсловия оптимальности в дискретных системах 419

Выделение класса дискретных систем, для которых выполняется принцип максимума 437

Разные задачи 440

Принцип квазимакепмума 447

Двухпараметрическпе нелинейныесистемы.Принцип

квазимаксимума 451

Применение методов функционального анализа к оптимизации дискретных систем 456

Оптимальные процессы в связанныхсистемахдискретного типа 466

Общая задача оптимального управления связанными системами дискретного типа 478

Комментарии к главе IX 485

Литература 487

Предметный указатель 506

Светлой памяти

Евгения Алексеевича

БАРБАШИНА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теории оптимальных процессов посвящены фундаментальные монографии ведущих специалистов. В данной работе мы старались не повторять известных по этим монографиям методов и результатов. Основной материал книги базируется на исследованиях авторов и их сотрудников, что отразилось как в выборе материала, так и в характере библиографии.

Авторы

Основные проблемы теории оптимальных процессов

Теория оптимальных процессов возникла из задач современной науки и техники. Решающую роль в зарождении новой ветви вариационного исчисления сыграли проблемы автоматического регулирования; богатым источником задач оптимального управления является космическая навигация. В настоящее время, пожалуй, трудно найти область человеческой деятельности, в которой так или иначе не сталкивались бы с вопросами научно обоснованной организации управления.

Для ознакомления с основными проблемами теории оптимальных процессов рассмотрим задачу быстродействия. Имеется некоторый объект, способный изменять свое состояние под воздействием определенных сил. По доступной информации о текущем состоянии объекта требуется организовать воздействия таким образом, чтобы объект из начального состояния перешел в другое, желаемое, состояние за кратчайшее время. Ясно, что прежде, чем приступить к теоретическому исследованию этой задачи, нужно составить ее математическую модель. Вопросы, связанные с математическим описанием объектов, составляют проблему идентификации объектов.

Допустим, что поведение исследуемого объекта можно описать уравнением

穿=/(?,〃，/), 2闯=々. (1)

Здесь 胃—｛化i, . . .?胃几｝——вектор, характеризующий состояние объекта, t ——время, w = ｛〃(， . . .， х「｝——вектор, обозначающий те параметры объекта, которыми можно распоряжаться. Каждому начальному состоянию z0 и выбранной функции и (%), / ^ %, называемой управлением, соответствует единственное решение (/праектория, движение) х (Z), £〉％, уравнения (〕). Обычно функция

片⑺ = {/(%),..., “⑺} недоступна непосредственному измерению. Информация о текущем состоянии объекта заключена в функции £(/) = 也八方)，..z^")}, т К 汽：связанной с x{t) соотношением

z (力 力(/(Е), t) (2)

(в теории автоматического регулирования функции 以1(£), . . ., иТ(Z) называют также входными воздействиями (вводами), а функции Zf«), . . ., zm (?) — функциями выхода (выходами)). Проблема наблюдения состоит в восстановлении текущего (или начального) состояния объекта по известным функциям выхода. Если эти две проблемы решены для изучаемого объекта, то поставленной выше задаче быстродействия можно придать такую форму： заданы два вектора 打 с помощью управления "⑴ требуется за кратчайшее время перевести траекторию /〃)системы (1) из /о в %. Сразу возникает вопрос: существует ли хотя бы одно управление, переводящее траекторию х (/) из начального состояния & в конечное N]? Это основной вопрос проблемы управляемости.

Задача быстродействия свелась, таким образом, к нахождению лучшего управления среди тех, которые порождают траектории системы (1), проходящие через д,勺. При решении этой проблемы (частично и проблемы управляемости) четко оговариваются два условия: 1) класс функций, из которого можно выбирать управления {допустимые управления); 2) критерий качества переходного процесса (в задаче быстродействия это ——время). Проблему существования оптимальных управлений можно сформулировать следующим образом: среди допустимых управлений существует ли оптимальное управление, которое выбранному критерию качества доставляет наименьшее значение?

Следующим шагом в решении задачи быстродействия является проблема сужения множества допустимых управлений с тем, чтобы из этого множества выделить подмножество, содержащее оптимальные управления. Такие подмножества выделяются наложением на допустимые управления новых условий, свойственных оптимальным управлениям. Нахождение условий, которым необходимо удовлетворяют оптимальные управления, входит в круг вопросов проблемы необходимых условий оптимальности.

Если в задаче быстродействия существует оптимальное управление и необходимые условия оптимальности выделяют единственное допустимое управление, то последнее, очевидно, и есть оптимальное управление (единственное). Если же необходимые условия выделяют несколько управлений, то возникает вопрос об их оптимальности, проблема о достаточных условиях оптимальности.

Для окончательного решения задачи быстродействия осталось реализовать способы выделения оптимальных управлений на вычислительных устройствах. Каждая реализация предполагает определенный алгоритм. Решение проблемы вычислительных алгоритмов для задач оиттшизации во многом определяется успешным решением предыдущих проблем.

Таковы в общих чертах основные проблемы, возникающие при оптимизации объектов управления. Каждая из перечисленных проблем содержит в себе много других проблем, о которых мы не упомянули. К ним относятся задачи оптимизации стохастических систем, оптимальные системы с адаптацией, задачи статистического прогноза, проблемы инвариантности, автономности, теория скользящих режимов, проблема синтеза оптимальных управлений, вопросы единственности оптимальных управлений и корректности постановки задач оптюшзации, теория оптимизации дискретных систем. Указанные выше проблемы приобретают много специфических черт при решении задач оптимизации в ситуациях конфликтного типа, когда приходится учитывать несовпадающие интересы нескольких сторон. Этот круг вопросов в последние годы оформился в теорию дифференциальных игр.

Краткий очерк современного состояния теории оптимальных процессов

Теория идентификации ——столь же древняя наука, как и математика. В современном аспекте проблемы идентификации изучаются в [150b, 153. 166, 207]. Наиболее распространенная задача состоит в пар а метрической идентификации объектов, когда уравнения объекта считаются известными с точностью до параметров, которые ищутся таким образом, чтобы движение, генерируемое математической моделью (1), (2), было в определенном

слпясле близко к движению, полученному на выходе изучаемого объекта. При этом возможна детерминированная и стохастическая постановка задачи. В общем виде эти задачи можно рассматривать как некоторые задачи оптимизации с парадгетрами [18Ь]. Для решения подобных вопросов успешно применяются различные методы [18d, 184). “

Теории управляемости и наблюдаелюсти как самостоятельные разделы теории оптимальных процессов оформились после доклада Р. Калмана [58а]. Различные задачи этих теорий решались и ранее [38b, 115].

Согласно Калману, динамическая система

~^ = Азе 亠 Ви、 х (^о) = х^(3)

(Л — п X /г-матрица, В — 〃 х r-матрица) называется вполне управляемой^ если для каждого состояния xQ найдутся число 厶 и кусочно-непрерывное управление 以⑴，力о W 力 W %，такие, что траектория х (方)системы (3) удовлетворяет условию х (厶)—0. Для того чтобы система (3) была вполне управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг {В, АВ, . . ., Ап~1В}二 п. Этот результат для г = i получен в [58а] и в общем случае —— в [185]. Нестационарные линейные систел!Ы

% = А © 久 + В (f) и,，(幻=，о，(4)

с точки зрения управляемости рассматривались в [74j]. Известно [74j, и], что система (4) вполне управляема, если при некотором 力^力о

Ранг {&«), &«),…，&т©}=%

-0。⑶=3 (力Qk⑺=/(力)&T⑴-&T (力(5)

&1, . . •)几—1 .

Необходштьге и достаточные условия управляемости системы (4), выраженные через фундаментальную матрицу, приводятся в |74п]. Уиравляелюсть в малом (для начальных состояний /о из достаточно малой окрестности начала координат) нелинейных систем

Н = f(x, и,力 ％ Vo)=必，/ (0, 0, Z) -= 0,(6)

доказана в [64d, 74с, I] в предположении, что линейная модель (4),总⑴=/ * 丿,6 (方)/》广,этом системы удовлетворяет условию (5). Случаи, когда для (6) ур&вшзния линейного приближения (3), (4) неуправляемы, называются критическими. В 159] изучены критические случаи управляемости системы второго порядка

Вопросы управляемости обыкновенных динамических систем (6) рассматриваются также в [23, 61, 100, 137b, 146, 147, 157, 170, 193, 200а, 208, 215]. Бли?1；айшим обобщением системы (6) является уравнение с запаздывающим аргументом

-^ = /(^(0. x(t-h), u(t), t), ⑺

где h — запаздывание. Начальное состояние xQ (•) этой системы (минимальная информация, однозначно определяющая последующее движение системы) характеризуется вектор-функцией ^0 (•) = {Ф (т), tQ ~ h ^ т ^ /0}- В связи с этим, крохе введенного выше понятия управляемости (которое ни;ке называется относительной управляемостью) ^ особый интерес для (7) представляет свойство полной управляемости, при котором траектория х (方) не только достигает начала координат, но и удерживается там: / (力)三 0,力 W 才久 乙+ 九 Неявные условия уирав- /[яемости системы

^^ = 4⑴?⑴+ 4⑴2 (/ - 3丄3⑺"о (8)

имеют такой же вид, как и для обыкновенных систем (3), (4)» Явные (выраженные через Л, Л1? В) условия относительной управляемости приводятся в [66а, Ь]. Задача о полной управляемости рассматривается в [74п]. В общем случае еще не найдены условия полной управляемости для систем (8). Мало разработаны вопросы управляемости и для других систем, отличных от (6). Здесь известны 口тнь отдельные результаты. В [213, 220] рассматриваются уравнения в частных производных, в [154а, Ь]— уравнение (3) в банаховом пространстве.

Основной результат теории наблюдаемости линейных систем получен в [58а]. Согласно Калману [58а], динамическая система .

/ / (Zo)=况о, (9) называется вполне наблюдаемой ио выходу

z (力)=c x ⑴，方0 W 方 c з (10)

если для любого вектора р значение р х^ в каждой точке /о можно восстановить ио измерениям z «), Хо W 方 W 力・ Необходимое и достаточное условие вполне наблюдаемости системы (9) по выходу (10) состоит в требовании

ранг {% Dfc, , . ., {D'^^c} = п.

Обобщение этого результата на случай нескольких выходов, на нестационарные системы проходит по той же схеме, что и в аналогичной задаче управляемости. Это объясняется принципом двойственности [58а] между управляемостью и наблюдаемостью: система (3) вполне управляема тогда и только тогда, когда система (9), (10), D = — /', с — b, вполне паблюдаелта. Вопросы наблюдаемости нелинейных систем в литературе почти не разрабатывались. Известен лишь результат [3] о наблюдаемости ио линейному приближению (см. также [196]). Эффективных критериев наблюдаемости систем, отличиf^ix от обыкновенных динамических, неизвестно совсем.

Первые результаты по существованию оптимальных управлений в задаче предельного быстродействия для (3) появились в [38а]. В этой работе за множество допустимых управлений принята совокупность измеримых функций со значениями в кубе

I I W 1，/ — 1, . . ., Г. (11)

В [108а] куб (11) заменен на выпуклый многогранник. Обобщение результата [38а] на нестационарные системы (4) и множество допустимых управлений, представляющее шар в стандартном нормированном пространстве, приведено в [74а, Ь]. .

Вопросы существования управлений, оптимальных в смысле быстродействия, в нелинейной системе (1) начали изучаться с работы [125]. Пусть вместо (11) задано ком-

пактное множество U в /пернпх пространстве и、гще- ствует допустилюе улравленпе а (/), % 号 方总 &, переводящее точку -го системы (1) в начало координат за время 乙—/0. Если выполнены условия: 1) траектории х (Z), 1 и 4 £ W tк систелгы (1), соответствующие всевозможным доиустил!ым управлениям, равномерно ограничены; 2) множество / (.г, 亿 0 = {/ (/, & /)： и ^ U} BbinyGho, то существует оптимальное по быстродействию управление. Метод доказательства этого результата нетрудно перенести [221а] на задачи оптимизагцти, в которых критерий качества имеет, например, в ид

J (u) [ /о (‘, и, £)山. (12)

Другая схема получения теорем существования предложена в [205]. Аналогичный результат в частное случае / (瑞 口，方)=g (九 x) -；- h (t,片)〃，где и С U, U — компактное выпуклое множество, идгеется в [187J.

В основе доказательства А. Ф. Филиппова лежит лемма с неявных функциях. Эта лемма в последующих исследованиях [148, 173, 2091 многократно обобщалась. Нетрудно показать, что каждое из основных условий, \7частвующих в формулировке теоремы А. Ф. Филиппова, в общел! случае существенно. Однако для частных случаев системы (1), специальных граничных условий и критериев качества они могут оказаться лигшшми. Действительно, в работе [194b] показано, что теорема существования оптимального ио быстродействию управления справедлива для системы

= < (方)/ 4 6 (〃，方)，и U,

с непрерывными А (方),b (u, t) и компактным множеством U без всяких предположений о выпуклости. Ослаб- нению условий теоремьг А. Ф. Филиппова посвящены также работы [145, 1591. В общем случае задача мииими- зации функционалов на траекториях динамических систем не имеет решения даже тогда, когда множество допустимых управлений расширено до класса излееримых функций. Для справедливости теорем существование

2 Р. Га басов, Ф. К1трил.|тч?г

оптимальных управлений требуется более радикальное расширение класса допустимых управлений. Эта задача решена Р. В. Гамкрелидзе в теории оптимальных скользящих режимов.

Известно, что всегда можно построить последовательность управлений, вдоль которых последовательность значений функционала сходится к нижней грани. Если последовательность соответствующих траекторий равномерно сходится к некоторой кривой, удовлетворяющей граничным условиям, то предельная кривая называется оптимальный! скользящим режимом [26, 38е]. Для изучения оптимальных скользящих режимов Р. В. Гамкрелид- зе предложена, следующая конструкция.

Пусть на траекториях х (Z), tq V t《 力，систелхы (1) рассматривается задача минимизахцт функционала (12) с помощью измеримых функций и (» со значениями в заданнсл! компактном множестве U. Вместо этой задачи рассмотрим задачу минимизации функционала

J(a,a) = j』& (f)/o(z, и”/) 〃(13)

% i=l

на траекториях системы

2 «; (0/(^. «;. 0(14)

г=1

с иолющыо управлений а( (/), ut (t), 2=1, . . ., п -|-2, ^удовлетворяющих условиям

п+2

Если траектории системы (14) равномерно ограничены, то последняя задача удовлетворяет условиям теоремы существования оптимальных управлений, ибо мно;кество

J』& ⑺/о(支，⑷，/) а； (0>о, 2 а; (0 = 1

в (汽-卜 1)-мерном пространстве выпукло. По оптимальным управлениям а? (/), w?(方)в [38е, 190b, 221b] строится последовательность управлений в (1), реализующая опти-

\гал ьный скользящий режидг. Воиросад! существования оптимальных управлений п скользящим режилхам поспя- щепы работы [45b, 74е, f, 78, 222].

1 [еобходпд1ые условия оптимальности являются в настоящее время наиболее разработанным разделом теории оптимальных процессов. Первые результаты для линейных уравнений (релейность оптилшльного управления, теорема об "-интервалах) получены еще в [86, 124а, 142, 169, 211]. Фундамента л ьньгаг событием теории оптимальных процессов, положившим начало новой ветви вариационного исчисления, явилось открытие в 1956 г. Л. С. Понтрягиным, В. Г. Болтянсг;шг? Р. В. Гамкрелидзе прин- “тта макс!шуд[а [19].

Согласно принципу л[аксимул1а оптимальное управление 口。(方)в двухточечной задаче быстродействия для (1) обладает тем свойством, что существует нетривиальное решение 屮(£) системы

на котороА!巾ушщ口я

Я(2。⑶，叩(/),〃，/) L 叩'(力 / (ж° «), W, t) 一 достигает максимума среди элементов и из U:

Я (^0 ⑺，屮(方)，u° (力)，Z) = max Я (不(/),屮⑴，u「力.(15)

Этот результат, доказанный первоначально для линей- пых систем, оптимальных ио быстродействию [38а], получен в общей! случае функционала (12) В. F. Болтянским в [18а]. Основные конструкции, использующие игольчатые вариации и теорему об отделимости выпуклых множеств, позволили преодолеть затруднения методов вариационного исчисления, связанные с зал(кпутостьго мно- /;ества U. Аналогичные конструкции были развиты Р. В. Гамкрелидзе на задачи с ограничениями на фазовые координаты [38с, d]. В дальнейшем А. Я. Дубовицким, А. А. Милютиным, Р. В. Гамкрелидзе, Л. Пейштадтом и др. были предложены [38f, 50b, 77а, b, 156, 194с] новые схемы доказательства принципа максимума, что позволило существенно расширить круг задач, поддающихся решению.

После зюяв^ешгя принципа лтакспмума были предприняты попытки обобщить методы K.iaccnliccj<oro вг^риациои- кого исчисления на задгиш шхтимнзапии систем управления. Оказалось, что т i редпо сыл i; и дл я выполнения этой цели идхелись уже в старых работах ио вариационном^^ исчислению. Трудами Р. 1иигмана, A. IL Лурье, В. А. Троицкого, и др. 187, 92, 91 121, 139а, 1G5, 176, 191) к настоящему времени показана возмоячность сведения большого числа задач к проблемам классического вариационного исчисления.

Использование метода динамического программирования в теории необходимых условий оптимальности затрудняется требованиями гладкости функции Беллмана. Существенный вклад здесь сделан В. Г. Болтянстиш 118с). Эффективное при.менение метод динамического нротрат- дшрования получил в линейной! случае (3) задач ашни- мпзации квадратичного функционала

/ (〃)= } (хМх и Ru) dt, tL W oo, M〉О, и

которые детально исследованы А. М. Летовым [87а]. В теории необходимых усиов玖立 оптимальности плодотворным оказался метод приращений, развитый в работе Л. И. Розоноэра [114b] (см. также [29]).

Совокупность приемов f основанных на некоторых теоремах функционального анализа, применяемых для оптимизации линейных систем зптравления [74а, 1381, получила название «подход функционального анализа . Пионерской работой этого направления явилось псс.тн- дование Р. Беллмана и ого сотрудников [138], где явно используется теорема об отделимости выпуклых miio;kocte. Проблема моментов (в первых работах она называлась Z-нроблемой моментов) введена в арсенал средств теории оптимальных процессов II. Н. Красовским [74а, Ь|.

Усилиями большого отряда ученых (основная масса литературы ио оитидгальным процессам, насчитывающая несколько тысяч натюнований, относится к теории необходимых условий оптимальности) теория необходил1ых условий опти^тальности в об1»[1<новеиных динамических системах (I) доведена до такого состояния, что позволяет

.iHiincjm» принцип максимузда (и.in аналогичные условия) любой задачи оптимизации.

Выше отмечалось, что использование конструкций Р；1боты [38е] позволяет избавиться от забот по существованию оптимальных лшравлений в задаче (1), (12). Следует is место последней задачи рассмотреть задачу (13), (14). < ；дна к о на этол пути встречается одна трудность, которая попностыо лишает информации о виде оптимального управления, обычно доставляелгой принципом максимума. Действительно, принцип ^гаксимз^ма для (13), (14) приводит к ус.товшо

"(?。(方)，屮(方), u: (/),…，瑞+1 (力a:(力 圖+f (方)，%)= max Я(х°(/), ф(/), I小Nf аь ...,④叶力 £)二二

jo, w勺="

= max У a/ max i|/ (/) / (x° (t), Ui，t)

■|. e. функция (15) не зависит от управлений а»,力二=1,

•.『2 十 L Это частный случай ситуации, когда вдоль некоторого управлоних u^(t) функция (15) 一 не зависит от параметров управления. Такие управления 〃*(力) н работе [114b] названы особыми. К особым управлениям нриводит ряд задач космической навигации [89]. Все это носл5тжило толчкоаг для тщательного исследования особых управлений. В простейших случаях особые управ- ■ И'нпя легко находятся из самого определения f!14b|. Для сложных случаев требуются более глубокие иссле- д(жания [17, 24, 45а, 50с, 54, 174： 178а, 214].

Первые результаты по необходизхьш условиям оптимальности особых 5тиравдсиий получены Г. Келли [63а]. -' гот успех во многог\т определился использованием нового типа вариаций управления, отличных от уже ставших I ралиционнылш игольчатых вариаций. Дальнейшие обоб- н^ения. основанные на новых вариациях управления, сделаны Р. ТСопподг, Г. Мойеролг, Г. Роббинсом [71, 113]. 「」уз1ю, когда особых управлений несколько, посвящено нес л едованис IL 1>. Ва]шя])ского I26J.

Ряд задач оптимизации систем управления связан с наилучшим выбором параметров. Задача оптимального управления с паралютрами, рассмотренная В. Г. Болтянским [18b] (c?.i. также [18d, 164, 182, 184： 224!), форму- лпрустся следующим образом. Среди д-мрулых векторов w и r-мерных измеримых функций и (t) со значениями из множества U выбрать такие з°, 〃°(£), ири которых

W J(и, w) ( /0 (х, и, w)"о

если уравнения движения системы управления нмеют вид 尊=/(%&"，)， 7 (0)=2(,.

Для этой задачи получены необходимые условия оптимальности параметра и управления [18d]. Постепенно результаты, полученные в теории необходимых условий оптимальности для обыкновенных диналшческих систем (1), переносятся на объекты, описываемые более сложными уравнениями. В ряде работ [72, 74ш, 104а, 127, 179, 195, 203] псследзчотся системы с запаздыванием. С усложнением систем запись принципа максимума заметно теряет оригинальную компактность. Необходимые условия оптимальности Л. Г. Бутковским, Ю. В. Егоровым, А. И. Егоровым, К. А. Лурье, Т. К. Сиразетдпно- вым и др. [21а, d, 22, 47, 52а, 53а, 93, 118] исследовались в задачах оптимизации систем с распределенными параметрами. Здесь, кроме интегральных уравнений [21d, 30], в основном рассматривались разнообразные уравнения в частных производных [52, 53а]. Имеются работы по перенесению принципа максимума на уравнения в банаховых пространствах [53b, 137а, 151, 158, 160с, 162]. В последнем случае возникают особенности [53b] и принцип максимума не удается доказать в общем виде.

Теория достаточных условий оптимальности развивалась до сих пор в основном через метод динамического программирования или его обобщения (см. работы В. Г. Болтянского, Н. Н. Красовского, В. Ф. Кротова [18с, 74g, h, 77с])* Типичный результат формулируется следующим образом. Если найдется гладкая функция

S （胃,力）,удовлетворяющая уравнению

—дГ~I力」 （16）

“ условию S （е,厶）=屮（/），то управление 〃（芻 力），выбран- н「,е согласно правилу

—囲^^ /（2, и （ж, С）, —/о （叫"（％"）, t）=

=m学OSf，。・ /（/ u, /） --/о （^, и,川， （17） jвставляет минимальное значение S （＜г0, /0） функционалу

J （〃）=屮（к （々））+ j /о （芻 “，/） dt

〃债 траекториях системы （1）, управляемой измеримыми 也унктцш及и и （力）со значениями из некоторого множества U. При этом подходе к задачам оптимального управления основная трудность заключается в решении уравнения （16）, но результат （17）, выражающий оптимальное управление в функции вектора состояния х и времени Z, во многих отношениях оказывается предпочтительнее результата принципа максимума, когда оптимальное управление получается в виде функции времени.

Требование на гладкость функции Беллмана можно ослабить [18с]. С помощью метода динамического программирования В. Г. Болтянским [18d] доказана достаточность принципа максимума при условиях регулярного синтеза.

Другим эффективным методом получения достаточных условий оптимальности для нелинейных систем явился метод приращений [114а, Ь]. В работе JL И. Розо- нозра [114а] доказана оптимальность в локальном смысле управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Метод приращений позволяет непосредственно использовать особенности рассматриваемой задачи （линейность, выпуклость и т. п.）. Достаточность принципа максимума в ряде задач оптимизации линейных систем удается доказать с помощью методов функционального анализа [5Oa/-74d].

Существующие алго])птмы вычисления оптимальных управлений отличаются как разнообразием использованных идей, так и выбором пространства, на котором строятся итерации. В основном это градиентные методы, если в основу ал горптма положеш,! необходимые условия оптим;мьиости. Среди алгоритмов, построенных на итерациях в пространстве управлений, типичными являются алгоритмы, пред.Ю/кенные в работах [ 10, 20, 48а, 49, 63b, 132, 133. 141, 152]. В (7, 31, 84, 197] связи, наложенные на систему управления, учитываются введением множителей Лагранжа (или метода штрафных функций), В [ 133] описывается процедз^ра постепенного уменьшения невязки в связях или улюныпения значения функционала. Алгоритмы этой группы ве«ут, вообще говоря, к точке “oKaubHOFo минимума.

Алгоритмы, основанные на итерациях в пространстве состояний систем управления, исходят в основном из метода динамического программирования. Подобная схема весьма удобна в задачах, где основные ограничения наложены на состояния системы. Среди алгоритмов этого сорта известны дискретная схема динамического программирования [13], метод последовательного анализа вариантов [951, метод трубок и метод локальных вариаций [6, 98b, 130j. Отмечается [13], что алгоритмы, базирующиеся на дишшическом программировании (9, 11b. 14, 37. 98а], приводят к оптимальному управлению, ио требуют при высокой точности решения большой оперативной памяти ЭЦВМ. Известен ряд алгоритмов, использующих итерации в пространстве сопряженных передюнных [5, 43, 57, 67, 79, 101? 150а, 181, 199]. В основном эти алгоритмы прилтенимы к задачам оптимизации линейных по состоянию систем и приводят к нахождению оптимального управления.

Под дискретными систелгаАШ управления понимаются системы, поведение которых можно описать рекуррентными соотнопхениями (или разностными уравнениями) м (к ；- 1) - - / (.г (/£),〃(右)，&).(18)

\гнпве|>са,1Ы1ым методом исч'ледования дискретных систем явлж'тся динамическое программирование. Однако его применение к конкретных! згхдачам [ 122] может оказаться меиее эффективным, нем использование принципа

кансимума. Поэтому теория оптимальных процессов дли дискретных систем является актуальной задачей. Ряд проблем теории оптимальных процессов в непрерывных системах имеет тривиальное решение для дискретного аналога. Однако проблемы, связанные с аналитическим и выкладками, сложны, и их решение уже не имеет столь привлекательного вида, как для непрерывного случая.

Основные работы теории оптимальных процессов в дискретных системах. за редким исключением (f58a] —— управляемость, f21b, d]—— достаточные условия оптимальности), относятся к задаче получения необходимых условий оптимальности. При этом конечная цель этих работ состоит в доказательстве дискретного аналога принципа максимума. Н. Н. Красовским [74Ы для задачи оыстродействия в системе

富(力 + 1) = Ах (左)+ bu (/«;), I I W 1, 2 ⑼ к g, доказан один вариант принципа максимума, в котором сравниваются управления с минимальной нормой. Сформулируем этот результат.

Если управление 〃° (к), | w° |《卩，О М 力 — 1, приводит точку 况о в начало координат за минимальное время N и не суш1cствуен управления 〃* (А), решающего эту задачу при | 辽* (力)| < [i, то оптимальное управление необходимо удовлетворяет условию

巾‘(А) Ьи° (&) = так 屮'(倉)

где 屮(〃‘) —— нетривиальная последовательность zz-векторов, порожденных соотношениями

屮侬-1)=/'屮(川).(19)

Л. И. Розонозрок【114Ь| принцип хаксл^ума доказан 」1я задачи минимизации функциона/га

/(〃)у 尸七(」V)(20)

лдоль траекторий системы

х (к 1) * Л (左)х (")/г), м (())二二勺).

「п свободнылг правым концом и управляемой носледова- Iелыюстью {“ (〃)}, каждый эледгепт }；оторой принимает значения из лгножества U. Этот результат формугшрл^ется

следующим образом: вдоль оптимального управления □° (〃) выполняется условие максимума

4/ (厶)b (u° (fc), 〃)= max 炉(力)b (u, A),

где 屮(A) — решение уравнения (19) с начальным условием 力(N — 1) = с.

А. Г. Бутковским [21b] построен пример дискретной системы, оптимальное управление в которой не удовлетворяет условию максимума. Этим самым было показано, что многочисленные попытки, предпринятые для перенесения принципа максимума на общие дискретные системы, обречены на неудачу. Первоначальная задача теперь могла ставиться лишь в ограниченном виде： найти классы дискретных систем, оптимальные управления в которых можно искать с помощью принципа максимума. В работах 1110, 160b, 161] различными методами показано, что принцип максимума

联(厶)/ (或(及)，〃。(Л),力)-max 中，(厶)/ (/。(左)，u,а)，(21)

2 (〃 一 1)=吧纱("F 0)，厶)屮付) (22)

выполняется в задаче быстродействия (и в задаче минимизации функции (20)) для системы (18), если выпукло множество

{/ (胃，〃，厶)：〃 С U}.(23)

Требование выпуклости (23) можно заменить [110, 167, 168] на условие односторонней выпуклости (выпуклость по направлению [167b]), если рассматривать функционал вида

NT

J(〃)= S /о(0(〃)，必(〃)，А).

о

В этом случае мнонкество

江，电 1

\Ых,и,к)

рассматривается уже в (тг 4- 1)-мерном пространстве.

В силу примера из [21b] многие исследователи направили усилия по пути локализации принципа максимума

巧 дискретных системах. Различные предложения, заме- -яющие условие глобального максимума (21) на условия ^жального максимума н условия стационарности, сфор- м'слированы в 121b, d, J10, 144, 171, 172, 175, 177, 201, 202. 3)4, 210, 216, 223]. Другой подход к необходимым условиям оптимальности, при котором сохраняется в некотором ■ х!ъгсле глобальный характер этих условий, сделан в I34j].

Завершая этот краткий обзор основных результатов г、оршт оптимальных процессов, отметим ряд весьма инте- -'осньтх результатов, относящихся к другим областям этой • ('ории. Прежде всего, это работы по стохастическим задачам управления, по теории оптимальных процессов г адаптацией и, наконец, по дифференциальным играм. 「упомянутыми вопросалги можно ознакомиться по публикациям Ц, Ис, 41, 42, 4 4, 51, 55, 62, 68, 69, 7 0, 7 3, 74i, ；6, 81b, 97а, Ь, 99, 108b, с, 120, 124b, с, 136, 155, 183, 188, 192, 206, 217, 225]. Укая^ем еще на обзоры [88а, 117, 139Ь].

S 3. Содержание моногра({)ии

Основная задача, которую ставили авторы при написа- ”шт книги, состоит в демонстрации возможностей двух методов решения узловых проблем теории оптимальных процессов. Первый метод, который используется система- птчески, называется методом приращений и является развитием аналогичного метода работы [114b] для широкого круга проблем, включающий как частный случай ：еорию необходимых условий оптимальности. В основу ：торого метода исследования оптимальных процессов поло- ■кены некоторые теоремы функционального анализа. Кроче приемов, использованных в [21d, 74п, 80], здесь будут !!ведены новые, а прежние, известные, будут в какой-то “ере развиты. Каждый из используемых методов имеет собственную эффективн^^ю область применения. Грубо говоря, первый метод используется для изучения нелинейных задач, второй же ——для более узкого класса задач, связанных с линейными системами. Чтобы сразу снять возможные вопросы, отметим, что, хотя второй метод имеет йолее узкую область применения, некоторые результаты, полученные методами функционального анализа в зтой области, не могут быть получены более общим первым

лзе^'ододг. Такп,ч обрлзолг. ;)ти aici оды хнк Ст доио.чшпот ДРУГ друга.

Основньши объектами изучения в данной книге являются обыкновенные динамические системы (1) и системы с Зсшаздыванпелг. а также их линейные модели. Палг кажется, что ити два класса chctoai достагочно полно отражают существо многочисленных систем! и, являясь достаточно простьшн, позволяют обойтись при пх исследовании минимальными вычислениями. Чтобы ио загромождать текст утолгительными вычпелониялти, авторы стремились основные идеи иллюстрировать на простых сл>7чаях. Расс^^кдения ведутся так, чтобы обобщение доказываемого результата не вызывало затруднений.【【асто выв оды в общем спутгае приводятся без доказательств.

Каждый из использованных методов мо;кет быть с успехом применен к исследованию задач оптимизации в систе- дгах, отличных от (1). В виде Исключения в главе VI приведены результаты по пршщипзт максимума для более широкого класса систем. Это сделано лишь д.пя иллюстрации эффективности новой формы принципа максимума.

Известно, что библиография по теории оптплгальных процессов пасчитьтвает несколько тысяч наименований. Обстоятельный обзор этой массы трупов требует большой специальной работы. В данной монографии библиография составлена лишь по цитированным работам.

Перейдоя к краткому обзору содерн<ания книпг.

А1онография состоит из двух частей. В первую часть включены вопросы теории управления динампческилги системами, по связанные непосредственно с задачалш оптимизации. но пграюпще подчас решающую роль при исследовании подобных задач.

Первый две главы посвящены проблеме упрпвпяе”。- стп. Если в первой главе исходным понятием является управляемость по Калману, то в следующей исследование отправляется от нового понятия управляемости, которое проще, нем предьтдлчцее. Известные результаты в главе I приводятся по \o，y дела для полноты изложения.

В главе TII наблюдаемость динамической системы определяется как понятие, ст рого двойственное понятию \тиравляедгостп, введенному в главе ТТ. При этом фиг^-рп- ])5гющ[1Й у Калмани торннн «иосоетояштя» мн залгоцпли более прозрачтгыд!, на наш взгляд, словом «иаправ/юние».

[С9Л в виду известную двойственность между «точкой» л ^направлением». Принцип двойственности, сформулиро- жнниМ в этой главе, отличается от аналогичного резуль- 『.та Ркалмана. Как видно из оглавления, круг вопросов, p.iCCAiOTpeHiibix и павкх II — 1\\ один и тот 小с. Это во \( йогом объясняется методом последования, использованный! в этих главах. Новая формулировки проблем из ；」пв II — i\‘ позволила непосредственно и эффективно н])11менпть метод приращений для решения вопросов, до tix пор нигде не рассмотренных. В каждой из этих глав приводятся методы функционального анализа и показываются схемы их применения.

Глава IV тесно смыкается с предь(дущеи как по поста- мевке задач, так и по методу решения. 11о традиции основную задачу этой главы мы назвали проблемой идентификации, хотя это. конечно, проблема наблюдения, но теперь \же не состояния объекта, а его параметров. В главе сформулирован принцип двойственности, доказывающий родственность рассмотренных здесь вопросов с материалом главы I. Задачи из глав II — IV допускают и статкстиче- * hiie формулировки (иногда более естественные, чем иссле- .!()вапные), но эти вопросы тто ряду причин не затронуты и данной монографии.

Связующим элементоАГ между первой и второй частью г:ниги является глава V. Специалистам по прикладньш .мдачал( свойственно не заниматься обищми вопросами существования решений, но подобные проблемы в теории оптимальных процессов играют важную и принщшпаль- цую роль. В этой главе, во атногом основанной на идеях V. Ф. Филиппова и Р. ГЗ. Гамкрелидзе, приводится ряд уегювпй, достаточных для существования оптимальных управлений. Конечно, специфика рассматриваемых задач позволила найти и новые условия и новые методы доказа- 'ельства теорем существования. Здесь же высказана пшо- i еза о наличии связи лгежд^^ вопросами существования оптимальных управлений в непрерывных системах и воз- можпостью распространения принципа лгаксимула на дискретные системы.

Принципу А1аксим57ма в различных его аспектах посвя- ш,ена вторая часть монографии. Зта часть (главы VI — IX) по объему материна превышает первую и содержит тради- “нонные вопросы те(»рин оптпмапьпых процессов.

Глава VI охватывает широкий круг вопросов, связанных с необходимыми условиями олтимальности н в первую очередь со знаменитый! принципом макс工шума Л. С. Понтрягина. Сначала дается подробное доказательство этого результата с помощью метода приращений, затем он переносится на системы с запаздыванием. Анализ метода доказательства обнаруживает, что принципу максимума для большого класса систем можно придать новую форму, которая инвариантна внутри этого класса.

В главе VI много внимания уделяется особъш управлениям, отличающимся от других тем, что вдоль них принцип максимума становится неэффективным. Метод исследования особых управлений основан на дальнейшем развитии метода приращений [ШЪ]. В этой же главе вводятся необходимые условия, определенные на управлениях, удовлетворяющих принципу максимума Л. С. Понтрягина, что дозволяет во многих случаях сузить множество управлений, подозрительных на оптимальность. В качестве второго метода для уменьшения числа претендентов на оптимальное управление предлагается сведение исходной проблемы к задаче оптимизации с параметрами. Последняя задача представляет и самостоятельный интерес, поэтому в главе VI приводятся основные необходимые условия оптимальности для этой задачи. Остальная часть главы посвящена применениям функционального анализа для исследования глобальных свойств оптимальных систедг. Этот вопрос рассматривался уже в монографиях (21d, 74п, 80]. Однако наш путь существенно отличается от изложенного в этих книгах. Отличие прежде всего состоит в том, что в данной монографии сведения, необходимые для доказательства используеиых фактов функционального анализа, не выходят за элементарные рамки анализа и линейной алгебры. Другое отличие связано с тем, что здесь систематически применяется ряд теорем функционального анализа (в toai числе и Z-лроблема моментов, которая в [21d, 74п, 80] положена в основу исследования). За основу исследования в данной монографии взяты теоремы о минилаксе и об отделимости выпуклых множеств. Это позволяет в ряде случаев обойти трудности, связанные с применением L-проблемы.

В главе VII приводятся резз7льтаты, которые удалось получить в вопросах о достаточных условиях оптималь-

ности, о единственности оптимальных управлений, о корректности постановки некоторых задач теории оптимальных процессов. Здесь же, попутно, рассматривается задача оптимизации с иерархической системой критериев качества.

Глава VIII имеет целью лишь иллюстрировать принципиальные возможности применения методов данной монографии к проблеме вычисления оптимальных управлений. Детальное описание алгоритмов, экспериментальная их проверка и другие вопросы, связанные с этим, будут рассмотрены в другом месте.

С материалом главы VIII соприкасается содер?кание главы IX, посвященной дискретным системам и завершающей монографию. Теория оптимизации дискретных систем важна в задачах управления и вне связи с непрерывными системами. В главе IX собраны результаты авторов, относящиеся в основном к необходимым условиям оптимальности.

Эти замечания в совокупности с подробным оглавлением должны дать первое впечатление о содержании монографии.

§ 4. Основные обозначения

Большинство операций работы проводится в конечномерных пространствах. Бесконечномерные пространства привлекаются в основном в связи с удобством некоторых символов. Никаких специальных знаний по функциональному анализу и теории операторов от читателя не требуется. Некоторые тонкие вопросы из теории функций поясняются элементарными средствами, не претендующими на строгость. Не везде четко оговариваются условия типа гладкости функций, а предполагается, что осуществляемые операции законны. Такой способ изложения избавляет от излишних и вполне очевидных в каждом конкретном случае условий, которые лишь загромождали бы текст.

Конечномерное (?г-мерное) векторное пространство [46, 112] обозначается символом Еп. Пространство, сопряженное к Eg обозначается через 历^ Таким образом, элементами Еп являются векторы-столбцы, а векторы-строчки являются элементами Е^ Для обозначения вектора- строчки используется штрих. Например, /,胃 С Еп,——

32321；В；'：Д'^ini'：

32

32

?г-вектор-столбец, х — zz-вектор-строка. Символ g'% означает скалярное произведение векторов g и <г: g'胃一二 』g『6・ Для обозначения длины (нормы) вектора 亡 из Еп используется стшвои II X К， 1<онкретный смысл этого символа может быть разным в различных задачах. Типичные (стандартные) виды норм：

I) "Н =(二用‘ 一евклидова норма,

г — 1

Н % II = max I 芻 I

(последний вид получается из предыдущего при р—> оо). Нормой элемента g из 笈工 согласованной с нормой || х || элемента х из Е/н называется выражение || g ||, полученное по правилу

l|g"= max g".

Нормы II g И, согласованные с приведенными выше нормами 11 х 11, имеют вид (соответственно)

Hg“ = (S"/2,'

^二(£修卩广，卜1=1，一

Если II g|| — норма, согласованная с || х ||, то нетрудно проверить, что

II川=шах g‘况.

Во многих случаях достаточно ограничиться евклидовой нормой. Тогда и согласованная норма будет также евклидовой. Для обозначения линейной системы /г-вектор- ных функций х (/), определенных па ашонтсствс Т, при-

>[(*няется символ Еп (Т). Иногда для той >ке цели используется более простой символ Еп (•); эледгентьг из Еп (•) обозначаются через х (•)• Семейство непрерывных функций, ттеющих п непрерывных производных, обозначается символом Сп; С —— семейство непрерывных функций.

В книге испол ьзуются различные классы допустимых управлений. Через 力 обозначен класс r-векторных кусочно-непрерывных функций со значениял1и в ограниченнол! множестве U из £「； D； — класс r-векторньтх кусочнонепрерывных и кусочно-гладких функций со значениями из U; F 一 класс г-мерных измеримых вектор-функций со значениями из U.

Кусочно-непрерывными называются функции, определенные на некотором множестве и имеющие на каждом ограниченном подмножестве конечное число точек разрыва первого рода. Смысл термина <(измеримая функция» можно лояснить следующий! образом. Функция и (7) измерима на множестве / = Uo,力/ тогда и только тогда, когда для любого £ > 0 можно найти непрерывную функцию и (/) и совокупность о отрезков из Т общей длиной, меньшей г, такие, что и (t) = v (/) при всех 力 из Т, не принадлежащих о. Отсюда ясно, что непрерывная функция измерима, измеримы кусочно-непрерывная функция и ф^шкция, имеющая на Т счетное число точек разрыва.

Для некоторых классов допусттшых управлений в книге используются специальные обозначения:

и上卜)=и七(Т) = {〃⑴：〃«)££ vrai max || w j| <L},

t^(。)=U^(7) = {"⑴："⑺G尸，⑺『"英£},

U (•) —U (Т) —— заданное семейство управлений. Здесь vrai max || и (Z) || вычисляется следующим образок： на Т выделяется множество ① нулевой меры, находится sup || и (^) ||. За vrai шах |； и (/) || берется inf sup || и (^) ||, ，er-sКТО) f£T—s ,

где ① пробегает всевоздюжные множества нулевой меры. Очевидно, для непрерывных и кз^сочно-непрерьтвных функций справедлива формула

vrai max || и (^) || = max || u (力)|l.

3434{“*/(%(•))= у 切必,{“*/(%(•))= у 切必,sup /(#(•)) =U(•比Up(，)sup /(#(•)) =U(•比Up(，)(24)(24)

34

34

{“*/(%(•))= у 切必,

{“*/(%(•))= у 切必,

sup /(#(•)) =

U(•比Up(，)

sup /(#(•)) =

U(•比Up(，)

(24)

(24)

В131^ДЕНИ£

Для заданной функции 片⑴，t£，？二⑺ ££п(Т), выражение

ставящее этой ф^шкции в соответствие число, называется линейным функционалом. Нетрудно проверить, что

причем II х II согласована с || ^ II* В общем случае всякая операция, ставящая в соответствие данной функции некоторое число, называется функционалом (нелинейным). Когда функции ставится в соответствие вектор (или функция) ? то говорят об операторе. Пусть 辽(力),力 £ Т,— функция, / ——вектор. Если указано правило, по которому по каждому и (•) можно найти ж, то пишут х = S (и (•))• Мы будем иметь дело с операторами вида

h

(25)(25)/三 S〃 (•) = j S (九 £)辽⑺ dt,

(25)

(25)

/三 S (〃(•)) = j S (力,t, 〃 «)) d£,

где S (力i, t) есть n X r-матричная функция двух аргументов, S (厶,力 辽)一n-векторная функция трех аргументов (одного векторного). С линейным оператором (25) часто будут использоваться символы g'S)|| gfS 卩：

gs = g‘s(o，

T|g'S||= sup f g'S (%, /)〃(/) dt.

Таким образом, gfS ——совокупность из г функций, полученных умножением слева лг-вектора g на п X г- матричную функцию S (厶，力).Чтобы подчеркнуть, что g'S — функция от 厶 будем иногда писать [g'S] (/). Учиты-

вся (24), можно записать и явное выражение для || g'S |[:

"g'S II =(j II g'S (力4, i)||9^) ^\ если U(-)=UP(-). io

Здесь норма в подынтегральном выражении согласована с II 〃 I!-

Отметим еще некоторые традиционные символы: и (е):岑)-> 0 при е f 0; О ⑻：О(£)W 做；int X — совокупность внутренних точек множества X (точек, принадлежащих X вместе с некоторой окрестностью); X — замыкание множества X (объединение X и всех его предельных точек); conv X — выпуклая оболочка множества X (наименьшее выпуклое множество, содержащее X); del Л ——детерминант (определитель) матрицы Л; Sp А —— след матрицы А (сумма элементов, лежащих иа главной диагонали); Е ——единичная диагональная матрица; 8^ —— символ Кронекера (6仃=0, i,力 j, §n = 1);

[i, a>0, sign cc =〈

IT avo,

sign 0 не определено (если не оговаривается особо); [а] — .целая часть числа а. На протяжении всей книги пропис- !;ыми буквами, как правило, обозначаются матрицы, строчными — векторы. В тех местах, где используется координатная форма записи, принято суммирование по 1 повторяющимся индексам.

Обыкновенная динамическая система в общем случае -сдается уравнением

祭鼻®,自，М),У(%) = Уо = !/о@・(26)

■Здесь у = {уз ..・,у^} — вектор состояния системы, 二二{дь ...,占厂}——вектор внешних воздействий,刀=

{'h，• •^q} — вектор параметров системы, ；= 一 {=” • • •, W「} — вектор параметров начального состояния. Каждому набору, состояще^му из функции 己(Z), лекторов 1], & соответствует единственное решение у (力)， ' ^ £0, уравнения (26). Это движение будем называть ■ (^возмущенным (программным) движением, а порождающие его функции 己(Z), векторы % 白——программным

一3*

ЗВЗВI卄3几HHUM

ЗВ

ЗВ

управлением, прогр<игмнымн векторгши. Как обычно, программные (невозмущенные) характеристики системы будем сравнивать с возмущенными, которые обозначим через у (力)，己(力)，刀，3 Введем величины, представляющие отклонение воза]ущенных характеристик системы от невозмущенных:

%WК力⑴一沙⑴，"(z)I (0 - 5 (力

少=" 一n，ик二一£(27)

①уньщию X (Z), / ^ ^о, назовем управляемым движением^ функцию и (/), £ ^ 力°,——управлением, за 〃‘, и оставим прежние названия. Дифференциальное уравнение управляемого (возмущенного) движения имеет вид

育=/(爲 и,呼 £),/(%) = &"),(28)

где / (% i/,靖，£) = g 仅(/) 芻 占(/)十 〃，1] -I-/)—

-g仅〃)，ё(6斗力)，/ (0, 0, 0,方)=0. g⑵=拠(С丁 u) — —Уо (=),芯о (。)二二 0. В монографии изучается лишь уравнение (28) возмущенного движения, переход к невозмущенному случаю через (27) очевиден.

В дальнейшем часто используется следующая форма уравнения (28) (з = 0):

——二 Л (/) %+ В (Z) и С (/) их -г ~ D ⑴第芯+ ^~ С (力)〃〃 + о.

m⑴心m⑴心9(力)L・”h9(力)L・”hIg (力)MrIg (力)Mr8ft (3 6 /)/ (0,0，f) dxj o〃v 匆(3 3 /)8ft (3 6 /)/ (0,0，f) dxj o〃v 匆(3 3 /)［月⑺爪［月⑺爪,［。（力）］订А =,［。（力）］订А =沥(0, 3 /)沥(0, 3 /)duv/ (0，3，)дх j dx]tduv/ (0，3，)дх j dx]t詳 /, A = 1,.,.,汽；％ 卩=1, .. ., г.詳 /, A = 1,.,.,汽；％ 卩=1, .. ., г.В этой записи использованы обозначения:

m⑴心

m⑴心

9(力)L・”h

9(力)L・”h

Ig (力)Mr

Ig (力)Mr

8ft (3 6 /)

/ (0,0，f) dxj o〃v 匆(3 3 /)

8ft (3 6 /)

/ (0,0，f) dxj o〃v 匆(3 3 /)

［月⑺爪

［月⑺爪

,［。（力）］订А =

,［。（力）］订А =

沥(0, 3 /)

沥(0, 3 /)

duv

/ (0，3，)дх j dx]t

duv

/ (0，3，)дх j dx]t

詳 /, A = 1,.,.,汽；％ 卩=1, .. ., г.

詳 /, A = 1,.,.,汽；％ 卩=1, .. ., г.

[C ⑴ ux]t 2[C ⑴ ux]t 2、[C (力)]小

[C ⑴ ux]t 2

[C ⑴ ux]t 2

Y=1

士 lD(t)\iJh xhxh 3= 1

[G (Z) lill]i > £ [G ⑴卜叩"|X〃V,

。= 0(11?俨 + IWUI "II 十仙，俨)•

В случаях, когда з 考 0, но 〃 = 0, приведенные обозначения сохраняются с заменой и на w.

Стационарными называются системы (28), у которых правая часть не зависит от времени 方；в противном случае говорят о нестационарных системах. Под линейной системой мы будем понимать систему

-^~ = А ⑴ *；- В ⑺ 〃•

11ринил1ая за r-векторолг м название вход (/'-мерный), 6уае\1 говорить о системах с одним входом, если г = 1, о системах с несколькими входами, если ?■ >■ 1, и о линейных системах с нелинейным входом, если

雾= /(/)""(〃，力

Величины

z 二二 h (х, t), h (0, t) — 0, связанные с состоянием 芯 систедил (28) и доступные измерению, называются выходами системы, причем говорят об т выходах, если размерность вектора с равна т.

В монографии принята следующая система ссылок. Формулы, теоремы, лелшы, примеры каждой главы имеют автономную (одинарную) нумерацию. При ссылках на результаты данной главы сохраняется одинарная нумерация. Если же результат относится к другой главе, то используется двойная нумерация, причем первая цифра обозначает нолгер главы.

ЧАСТЬ!

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Глава I

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Постановка задачи. Определения. Идея метода приращений в теории управляемости

Рассмотрим динамическую систему, движение которой на отрезке Т — [Zo, %],厶一力g > 0, можно описать дифференциальным уравнением

雾= /(#, 〃，力)，尤(力0)= &, /(0, 0, /) = 0. (1)

Здесь х = {力 1, . . ,, хп}——вектор, характеризующий состояние системы, и = {〃[, . . ., иг} —— векторное воздействие, t — время.

Пусть некоторому кусочно-непрерывному воздействию м(Е), t ^ Т, соответствует движение х ⑺，t ^ Т. х (f0) = х0, динамической системы (1). Воздействие и ⑴，t £ Т, назовем управлением, движение 胃(力),t £ Т,— управляемым движением.

Задача. Найти управление, при котором управляемое двюх^ение проходит через точки ^0 设况i = 0: 化(方g) 力0, X (方1) 0.

Определения.

Состояние и。динамической системы (1) называется TL-управляемым, если найдется кусочно-непрерывная функция " (£), 1| и «) [I W £， % С Т, такая, что соответствующее ей движение х (“ удовлетворяет усгювшо х (力J = 0.

Динамическая система называется ТL-управляемой, если существует число а = сс (Т, £) такое, что все состояния из {?: II 岁 I] W а} являются Т£-у仃равняемыми.

Если состояние ^0 (динамическая система) TL- управляемо (7£-управляема) при некоторых Т м £, то оно (она) называется управляемым {управляемой).

Динамическая система называется вполне управляемой, если она ZL-управляема при любых Т (力 > ^0) и £ > 0.

Динамическая система называется управляемой (вполне управляемой) е целом, если она управляема (вполне управляема) и sup а (Т,厶)= 8.

Первый подход данной работы к изучению управляемости основан на использовании вспомогательных ф^шк- ций. Идея вспомогательных функций при исследовании управляемости динамических систем состоит в следующем. На 7Т-управляемых начальных состояниях xQ системы (1) определяется векторная функция ф (岁°). С помощью приращений, рассматриваемых на траекториях системы (1), вектор ф (况°) выражается через и ⑺，t € Т, м параметры системы (1). Находятся условия, при которых множество {ф (方д)} является открытым. Если вспомогательная функция ср (岁)задает при этом неособое преобразование 方一> 屮(岁),то найденные условия суть условия управляемости.

Формула приращения векторной функции на траекториях динамической системы

Введем векторную функцию 屮(岁)={cpt (岁)，... ,,屮2 (方)}, ф (0) = 0, допускающую разложение

Ф (方)=I尸й + 0 (方).(2)

Для дифференцируемой п X Аг-матричной функции 4r «) очевидно тождество

户…=*(…⑴娱

Поэтому

屮⑴2(川；=『中⑹方⑴位+ [屮⑴^⑴d" (3)

Пусть х0— Г£-у1хравляеАгое состояние, т. е.胃(厶) = 0. Тогда из (2), (3) имеем

ф (ж0)［屮⑴ x (^) dt ［中(t)⑦(方)d方十 0 (费).

II наоборот, если выполняется это равенство, то 屮(力J 比(％)「-0. 13место 芯(力) подставим его выражение из (1), а флшкцию 屮(力)на Т определим уравнением

屮⑴4—屮⑺」()屮(幻

В результате ногхучим формулу

q，(g)=［屮⑴笈(力и⑴dt 4- n,.⑷

где

П = П1-г 1121］з,% =［屮(/) C (力)①⑴ с ⑴或，

小二［屮(0 0( ), * I'「" z |i II и II t II U \^)dt, 1］з = 0 (д). /о

Исследование управляемости линейных стационарных систем

Системы с одним входом. Рассмотрип систему управнения, «для которой дифференциальное уравнение управляемого двии;ения имеет вид

半/二(5)

где /1 -一 постоянная п X /г-матршцх, b — постоянный /^-вектор, и — скаляр. Если в формуле (4) в качестве функции ф (/) взять тождественное преобразование у (/) = %, то получим следующее представление для управляемых состояний:■

г0 — гУ (Z) bn (Z) dt,'(6)

Здесь функция 屮(方)， 力 С ?1 удовлетворяет уравнению 屮--ТЛ, 屮仇)-—Е・

Проинтегрируем по частям правую часть (6); h"

入=\ u〈t) 〃一[屮⑴ ЛЬ ^ и (т) &т dt,‘0sw

Применим эту операцию ко второму члену последнего выражения, затем ——к последнему члену вновь носунен- ного выражения и т. д. В результате после п шагов получим

&= 2 (—1 严 14% [ A^Lag或十 8=0/о

十(一1厂!屮⑴/T"(：[)；；%⑴位也.(7)

Покажем, что векторная функция р (t) — XF (^) Anb допускает ])азлои<ение

Р ⑴S Ар ⑴ 4%.(8)

Действительно, так как в силу теоремы Кэли [39] каждая квадратная матрица / удовлетворяет своему характеристическому уравнению

то справедливо равенство

An \-a{An^- . . . ；- an^LA anE 0.(9)

Умножая обе части этого равенства слева на 屮(力)и спра- иа на /1” и замечая, что //"«) = ( —1)'屮(力)/1"丁％, получим дифференциальное уравнение для р (力)：

"九「а/……丁(一 1厂&一方丁(一1)n&d = 0. (10)

Допустим, что (8) не имеет места, т. е. существуют момент 力=力 и вектор d такие, что

(Гр (7) ^= 0. d'A^b - 0, р 0, I, .. . ,(11)

Функция V (力=dfр (方)в силу (10) удовлетворяет уравнению 料)一 аре” + .・・+(- 1)”т а*]；十(一 If aw = 0 (12) с начальными условиями v(^)= -d^b, v^^^A^b^«пт)(%) =

=(-1广0221 氏 n~ 1

Ho ^b= W 6/%, и поэтом5^ из (11) следует, что

"(幻=0,；(编=0,(幻Н0.(13)

Однородное уравнение (12) с условиями (13) имеет единственное решение v (t) = 0, что противоречит предположению (11): №(彳)声0・ Справедливость разлоя^ения (8) доказана.

Подставим (8) в (7):

В=。 S.

+ (-1)п J 九в ⑴ ＜；厂胃 ^J и (0dt. (14)

Пусть 卩в, " = 0, . . ., п1,——произвольные числа. Докажем, что при любом 七=£] ― to〉0 существует кусочнонепрерывная функция, удовлетворяющая равенствам 卩尸j [(_]严卫彳必丄(一1)" j猊⑺标笏何以⑴dt.

""(15)

Для этого достаточно показать (см. § 6.11), что функции 也⑴=(-1),3+1 ^^H-(-l)n j 标⑴ ^?^ 七，

0 =0,…，^―1;力 w方W%,линейно независимы. Предположим противное: существуюттасла ge, р = 0,..,,汽一1, ||g|| = 1, такие, что А«) =

=У ^р^(0^°* Тогда А⑹(办十0) = 0, 0H0,...,汽一1.

Однако непосредственное вычисление дает А⑹(办十0)= =^3 (——1)В+* что противоречит предположению о линейной зависимости 巾унк^ий 厶“),力 £?, 0 = 0， ..., п ——1.

Таким образом, при любых 卩⑶ задача (15) имеет решение относительно 〃(£), t Т.

Этот результат в совокупности с (14) позволяет сформулировать следующее предложение.

Теорема 1. Множество управляемых состо兄ний: системы (5), и только оно, имеет вид

Следствие. Для управляемости (вполне управляемости) в целом линейной стационарной динамической системы (5) необходимо и достаточно, чтобы

ранг {仇 Ab, . . ЛП-1Ь} = п.

Системы с несколькими входами. Линейная стацио- нарна兄 система с г входами имеет вид

^ = Ах+Ви,(16)

где Л, В — постоянные 汽 X 汽, п X г-матрицы, 〃 = ={〃з . . ., 〃「} — вектор. Обозначим через &v, v = 1,... ..兀 столбцы матрицы В. Тогда систему (16) можно записать в виде

雾= ,4#+2 6%，

В силу принципа суперпозиции (это можно проверить к непосредственным счетом) для системы (16) получается следующее утверждение.

Теорема 2. Множество управляемых состояний системы (16), и только оно, имеет вид

S Е 區/吁，一.

Следствие. Линейная стационарная система (16) управляема (вполне управляема) в целом тогда и только тогда,

когда

ранг {В, АВ, . . Ап~1В} —- п,

П р 貝 м е р 1. Система управления 4-го порядка с 4 входами

3胃]- & 千 2" -：一 2"2 + ；)"3、

1

dx 9

является вполне

・3

N = 1 - 4

-4/] - 7/一—J

()/-丁 2g

—141rl -一 5/?-

управляемой,

10 О'

一10 0

/?4iz4,

一之3

ибо в это

А ,В=<

-324,

\i случае

‘1 2 0 5、

0 10 4

(17)

А

6

И векторы 外

-12 1

-5 -1 0>

一 {1, 0. 0, 0}

b2 ={2

0 0 13

、()0 0 0>

0},

ь3 =

-{0, 0, 1, 0}, Ab3 - {0. 0, 2,

——1} линейно незав员сипы.

Минимальное число входов управляемой системы.

Пусть в системе управления-.

(18)(18)力一」tи ви

(18)

(18)

/? X /г-.чатрица А фиксирована, а 乂 X /'-матрицу В можно выбират^. 'Imcio г последней матрицы характеризует количество входов системы. При синтезе системы управления дюжет возникнуть задача: каково дшнимальное число г входов, при котором система с заданной матрицей А управляема? Вообще говоря, число г может принимать любое значение от 1 до ".

II р и л! е р 2. Система управления, описываелтая уравнением "「『о порядка

1r丁 апх{П^1} 丁 . . . —。1胃 bu

(九"" b. "，——скаляры).

всегда управляема при одном входе. Действительно, в данном примере после введения Г1е])елюнных 勺=z,

力2 — / ...,胃几 吃⑴口 и перехода к эквивалентной системе

<2% 一— —(7[/[— . . . —■ Q/*九1)11 получаем

ОООb 'Оb 'О1()О

О

О

О

b '

О

b '

О(丿 1 оо

Очевидно, что векторыОчевидно, что векторыО О1

Очевидно, что векторы

Очевидно, что векторы

b

пинейны независимы при любых at н Ь ^ 0.

Пример 3. Если в (18) матрица А имеет вид

旬()О

О ^2 0О

ОО а?— О

ОО а

то очевидно, что для управляе.чости системы (18) необходимо и достаточно, чтобы матрица В илела разлгерьт п X п и была неособой.

Комбинируя эти два примера, можно построить управ- ji兄смке системы с любым числом входов.

Перейдем к исследованию поставленной выше задачи в общем случае. Для этого нам понадобятся некоторые факты из линейной алгебры [39]. Для произвольного 胃 С Еп ряд

才、/三 Л 2.Г,

содержит лингв конечное число р линейно независимых векторов, причем

Многочлен

入紋十+ * • • Jr

называется минималыным многочленом вектора х. Наи- дтеньшее общее кратное минимальны?^ многочленов базиса пространства Еп называете兄 минимальным многочленом пространства Еп. Обозначим его перез 屮工(九)：

也仇)=产1丄田?一+… 丄*一九十*.(19)

Если Pi V 〃, то существует минимальный многочлен

屮2 (入)=九‘2十?彳九"2 1十…• + 科_ 1九+*2

пространства En no mod /% где Ц — подпространство с базисом

^1, Ab\ . . A^b1(20)

и b1 — элемент из 后冷,минимальный многочлен которого совпадает с (19). Всегда существует вектор Ь2, минимальный многочлен которого совпадает с ^1'2 (入).Поэтому векторы

ZA АЪ\ . . ., /「2-必2(21)

линейно независимы. Но поскольку т!：2 (九)является и минимальным многочленом “л兄 b2 по mod 7Ь то р* + р2 векторов из (20), (21) линейно независимы. Если pd 十卩2 V 冗， то существует минимальный многочлен

屮3 (%) = #3 -4- у；УзТ 十一• Т 做「m 十君3

пространства Еп по mod (八 + 厶)，「国^ 厶一подпространство с базисом (21). Этот процесс в силу конечности п остановится на некотором этапе г. В результате получается последовательность

b\ Ab\ . . /%-‘У,庐，/庐，...，/5%2,...

...:Ьг, АЪГ,..厶匕一后 (22)

линейно независимых векторов, причем число г по самому построению минимально. Для получения (22), таким

образом, достаточно построить многочлены 屮”(入)и векторы bv, для которых эти многочлены являются мини

мальными.

В линейной алгебре доказывается, что многочлены 屮1 (X),...,屮г (入)определяются однозначно: они совпадают с нетривиальными (отличными от единицы) инвариантными многочленами матрицы Л. Таким образом,

справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Минимальное число входов управляемой системы (18) равно числу нетривиальных инвариантных многочленов матрицы А.

Инвариантные многочлены 〃 (А),...,力九(л) матрицы определяются по формулам

% R)% R)少总（入）；八、_刀м-1 （а）

% R)

% R)

m丿一（订,

(43) = 1),

где 刀j (入)一 наибольший общий делитель всех миноров /но порядка характеристической матрицы ХЕ — 4 (h _Dj (入) старший коэффициент всегда выбирается равным единице). Для практического вычисления многочленов 厶(入)известно несколько способов. Опишем один из них.

Всегда существуют такие многочленные квадратные матрицы 戶(A), Q (А) с постоянными и отличными от нуля определителями, что матрица

尸(%) [ХЕ ~ A]Q (入)

имеет структуру in. (X) 00О

0九，一1 仇)00

О ОО% (А) О О 卜(23)

О 0О

где 汽'равно рангу матрицы ХЕ — А. Матрица Р (入)равна произведению матриц левых элементарных операций,

необходимых для приведения лппрпцы 入笈 .1 к виду (23). Левые элементарные операции'. 1) умножение какой-нибудь, например 力-it, строки на число с，0; 2) прибавление к г-й строке другой, у-й, умноженной на произвольный многочлен b (九)；3) перестановка любых строк. Аналогичные операции над столбцами называются правыми элементарными операциями. Матрица Q (入)есть произведение матриц правых элементарных операций, необходимых для приведения ХЕ ——А к виду (23).

Из всего сказанного следует правило нахождения инвариантных лгногочленов матрицы /. Составляется матрица %Е — А, к ней последовательно применяются левые и правые элементарные операции. Эти операции всегда можно применить такизт образом, что от ХЕ — Л придем н матрице вида (23).

Пример 4. Найдем инвариантные многочлены дтатрицы А системы (17). Имеем

00Z -2100Z -21

0

0

Z -2

1

0

0

Z -2

1

九一3—104%Т-10()—1л-2九一3—104%Т-10()—1л-214一(疝 5一入 ??-2Л 1-114一(疝 5一入 ??-2Л 1-100-100-1

九一3—10

4%Т-10

()—1л-2

九一3—10

4%Т-10

()—1л-2

14一(疝 5一入 ??-2Л 1-1

14一(疝 5一入 ??-2Л 1-1

0

0

-1

0

0

-1

ОГ-2Х + 1' О、一它+ 2工一1ОГ-2Х + 1' О、一它+ 2工一1-1 о о о-1 о о оОоо九2 —2九+£Ооо九2 —2九+£о о 一1О,о о 一1О,f 0I A2-2X + 1I 0f 0I A2-2X + 1I 01О о о1О о оооо入2 — 2入+ 1ооо入2 — 2入+ 1(Г о1。丿(Г о1。丿После перестановки строкПосле перестановки строкии1lo1loО 1 О ОО 1 О Остолбцов о Остолбцов о О大2-2入+ 10大2-2入+ 10：получаемООо入2一2入+ 1：получаемООо入2一2入+ 1

О

Г-2Х + 1

' О

、一它+ 2工一1

О

Г-2Х + 1

' О

、一它+ 2工一1

-1 о о о

-1 о о о

О

оо九2 —2九+£

О

оо九2 —2九+£

о о 一1

О,

о о 一1

О,

f 0

I A2-2X + 1

I 0

f 0

I A2-2X + 1

I 0

1

О о о

1

О о о

о

о

о

入2 — 2入+ 1

о

о

о

入2 — 2入+ 1

(Г о

1

。丿

(Г о

1

。丿

После перестановки строк

После перестановки строк

и

и

1

lo

1

lo

О 1 О О

О 1 О О

столбцов о О

столбцов о О

大2-2入+ 10

大2-2入+ 10

：получаем

О

О

о入2一2入+ 1

：получаем

О

О

о入2一2入+ 1

Инвариантные многочлены матрицы A:

"=入2 - 2A + 1, 方 2 =入2 - 2入十 1,»3 = 1,%=1 ；

из них нетривиальными являются первые два: i{ (X), % (入)• Вывод: в системе (17) минимальное число входов, обеспечивающих ее управляемость, равно двум.

По известным многочленам 屮* (入)можно построить векторы &v, для которых указанные многочлены являются минимальными. Эту процедуру достаточно показать для 屮！ (X). Разложим 21 (入)на неприводимые в поле действительных чисел множители

5 (九)=[<f1 ")产师2 &)产…件s (工)产，

где (pi (X), . . ., (р$ (入)一различные неприводимые многочлены с единичными старшими коэффициентами. Пусть Е1 — совокупность векторов х, удовлетворяющих уравнению ф! (А) х = 0. Аналогично определяется Е2, . .

В пространстве Е1 рассмотрим базис ^,...,夕左广 Обозначим через е1 тот из этих элементов, минимальный многочлен которого совпадает с (р& (X). Аналогичным образом в Е2 находим элемент е2 и т. д. В результате получим векторы 产， 优. Вектор "= 缜 十 済 + ... -卜 夕 имеет в качестве минимального многочлен 屮！(А).

4 р. Габасов, Ф. Кириллова

Проиллюстрируем эти операции на примере 1. Минимальные многочлены 2t （入）=屮？（入） для этого примера имеют разложение R （入）三 ip2 （九）=（入一I）2. Поскольку 屮 1 （Л） 一二 0, то уравнению 屮工（A） z = 0 удовлетворяет любой вектор из £\. Подсчитаем минимальные многочлены для элементов базиса е^ {1, 0, 0, 0}, е2 =

{0, 1, 0? 0}, & - {0, 0? 1, 0},必二{0, 0, 0, 1}. Минимальный многочлен элемента 々 совпадает с 屮】（А）. Поэтому полагаем Ь1 =外.Минимальным многочленом пространства £*4 по mod Ц является 叩2 （入）二（入一1产 Здесь Ц — подпространство с базисом %, 4出.Все векторы пространства 当 по mod Ц удовлетворяют уравнению 也（4）况=0. Базисом для Е^ по mod Д являются векторы е3= {0, 0, 1,0}, （^ = {0, 0, 0, 1}. Минимальные дгногочлены векторов Q,电 совпадают с 2?（九）• Поэтому можно положить Ь2 = & （или Ь2 二二 ％）.

Системы управления с постоянно действующими возмущениями. Пусть система управления имеет вид

^ = Ах + Ви^у^,（24）

где ?（化）——векторная функция, характеризующая постоянно действующие возмущения. Из формулы （4） при 屮（况）-

х' имеем

人=j屮⑶ви⑺dl 丁 j屮⑴?（方）山. 力О/о

Поэтому в силу выполненных над （6） преобразований получается следующая теорема.

Теорема 4. Множество управляемых состояний системы （24）, и только оно, выражается формулой

现-二 2 2 储/%" + ）屮（О? （0 弘 —оо < р,р < оо. v=l冃=0修

Следствие. Для управляемости （вполне управляемости） в целом системы （24） необходимо и достаточно, чтобы

ранг 仍,45, . . Ап~1В} = п.

;5. Одна задача управления из теории преследования.

Пусть система （18） описывает поведение преследующего

объекта, а уравнение преследуемого объекта имеет вид

dx1dtdx1dt

dx1dt

dx1dt

где х —— 汽-вектор состояния, и ——^-вектор управления, A, D — постоянные п X it-, п X ^-матрицы. Скажем, что задача преследования имеет допустимое решение, если для любых векторов а。，% и кусочно-непрерывной функции и （力），方 С Т, найдется такое кусочно-непрерывное управление u （方），方 6 t, что x （幻--炉（幻.Здесь x （方（））— х1 （方о）—— 吟 x ⑴， 力 € 7,— траектория системы （18）, порожденная управлением и （方）,х1 （方）——траектория преследуемой системы, соответствующая функции и «）.

Из теоремы 2 следует утверждение.

Теорема 5. Задача преследования имеет допустимое решение в том и только в том случае, если пространство, натянутое на векторы

办,.•办,Ad\ . . ., Adr. . .4*1办,.・.,Ап~г 办，

является подпространством пространства, натянутого на векторы

Ь\ . . ., У, 46, . • ЛУ, . . ., Ап~1Ь\ . . ., An^V\

Положительная, относительная, условная управляемость линейных стационарных систем

та же система положительно вполне управляема с 2尸 управлениями. Исследование положительной управляемости можно провести по схеме § 3.

Теорема 6. Если система (25) положительно управляема, то управляемые состояния х0 имеют вид 7。=*3區4%;(-1严1區>。，

v = 1, г; р ^0, 1,..

Введем определение.

Определение 7. Последовательность векторов

...,(2b)

составляет положительный (неотрицательный) б азис ^ если любой /г-вектор / представим в виде

』n)a力Nj。 (Mv>0)"(27)

В силу этого определения и теоремы 6 в положительно управляемых системах последовательность (—l)B+i/6b* v = 1, . . ., г, Р — 0, 1, . . ., образует положительный базис. Нетрудно проверить, что если последовательность (26) образует неотрицательный базис, то она же составляет положительный базис. Действительно, если для некоторого х среди соответствующих ему 卩/ найдется 卩九 = 0, то раскладываем по базису (26) вектор

и добавляем в правую часть разложения (27) тождество °." + S ^aJ ~ 0. В новом разложении, очевидно, коэффициент при。九 будет уже положительным. Для практической проверки того, составляет ли данная последовательность неотрицательный базис, можно воспользоваться следующими леммами.

.Темма 1. Для того чтобы последовательность (26) составляла неотрицательный базис, необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент последовательности

(28)(28)С[, » . ., Cn»,

(28)

(28)

образующий неотрицательный базис, можно было представить в виде

сй= 3 Н?ал ">。.(29)

Лемма 2. Для того чтобы последовательность (26) составляла неотрицательный базис в ЕП1 необходимо и достаточно, чтобы

векторы 生，о N—i образовывали базис в Еп,

— — S a tai, а； >0.(30)

Доказательство лемм 1,2. Необходимость условий леммы 1 следует из определения 7. Пусть выполняется (29), а (28) — неотрицательный базис. Докажем, что (26)——неотрицательный базис. Действительно, для каждого 2 имеем

Подставляя сюда (29), получаем разложение / по элементам (26) с неотрицательными коэффициентами. Лемма 1 доказана.

Необходимость условий леммы 2. Первое условие очевидно. Для доказательства второго условия раскладываем элемент aN по (26):

= — 3 ^iaii 自》0・

Отсюда

NT

&n= 一彳+限2 m&■

Переход от 0力》0 к а； > 0 указан выше.

Достаточностъ. Пусть в разложении

е= N wm(31)

числа 卩％， 加=1, ..., т, отрицательны. Найдем ^i^ih из (30):

出

山々°% = 一【°* + ai^i + •…Т а”-1&厂 1 十

+ 出计 10# 1 + • . . + a21an一11,

и подставим их в (31). В новом разложении при векторах 〃п . . ., 〃n отрицательных коэффициентов уже, очевидно, не будет. Лемма 2 доказана.

Понятно, что каждая положительно управляемая система является и управляемой. Обратное предложение неверно.

П р：и мер 5. Система

х ~ и (% — скаляр)

управляема, но не является положительно управляемой. Состояния /о, которые можно привести в начало координат с помощью неотрицательных управлений, лежат на отрицательной полуоси.

Пример 6. Управляемая система

X ~ и

также не является положительно управляемой. Начальные состояния д = {/ (0), х (0)}, которые можно привести в начало координат с помощью неотрицательных управлений, даются выражением

g = -■卩0ь + 卩]/b,卩0 >0, 卩I > 0,

где b =где b =｛口｛口Таким образом, лишь внутренТаким образом, лишь внутрен

где b =

где b =

｛口

｛口

Таким образом, лишь внутрен

Таким образом, лишь внутрен

ние точки четвертого квадранта положительно управляемы.

Как управляемость, так и положительная управляемость динамической системы основана на свойствах после

довательности

万，АВ, . . Ап~1В, . . .(32)

Если при исследовании управляемости системы достаточно проверить не более п первых членов последовательности (остальные линейно через них выражаются), то при изучении положительной управляемости число первых членов, подлежащих проверке, не меньше п Ц- 1 и может оказаться сколь угодно большим.

Пример 7. В положительно управляемой системе

g =第1 cos 6 + g sin 仇

g = — /[ sin 6 + g c°s 0 + ^.

О V 6展冗色 ~

число первых членов последовательности (32), образующих положительный базис, стремится к оо при 0 -> 0. Необходимые и достаточные условия положительной управляемости с позиций функционального анализа исследуются в § 9. Здесь лишь отметим, что условия теоремы 6 не являются достаточными.胃;

Пример 8. Пусть х = х и. Это уравнение не является положительно управляемым, хотя условия теоремы 6 выполнены: —1, +1, —1, . . .— положительный базис.

Относительная управляемость.

Определение 8. Динамическая система (25) называется управляемой относительно подпространства К \Кх = 0] (относительно управляемой), если для каждого состояния ■г。системы найдутся число 力 t Voo, и кусочно-недрерыв- ное управление и (/).力о《力 W 九 такие, что Кх (力)—0.

Полагая в (4) ср (/) — KF (7) /, получаем в полной аналогии с теоремой 2 представление для относительно управ- /1 яемых' состояний

К户⑦ 3 3 3 嶼С (£)/3

v= 1 3=0

Теорема 7. Динамическая система (25) относительно управляема в целом в том и только в том случае, если [58b]'

ранг {К尻 КАВ一…КАп~1В} - ранг {К}.(33)

Примечание. Вместо «относительная управляемость» можно написать слова «относительная вполне управляемость», «относительная ТA-управляемость» и т. п.. смысл которых вполне ясен.

Условие (33) для случая (п ——1)-мерного подпространства К: Кх = 0 принимает особенно простой вид: не все числа krA^bv, 0 = 0, 1, . . дг — 1, v = 1, 2, ..尸,должны быть равны нулю.

Условная управляемость.

Определение 9. Динамическая система (25) называется управляемой в подпространстве М {условно управляемой) если каждое ее начальное состояние из подпространства М (д = Му, у € Еп) управлнемо.

Из представления управляемых состояний, содержащегося в теореме 2, следует критерий условной управляемости рассматриваемой динамической системы.

Теорема 8. Динамическая система (25) условно управляема тогда и только тогда, когда

ранг {М, R АВ, . . Ап~1В}=

=ранг {6, АВ. . . ., Ап~хВ}.

Пример 9. Пусть в системе (17) начальные возмущения расположены в плоскости х& = 0, ^3 = 0. ■ Требуется определить, является ли эта система условно управляемой отдельно первым управлением.

Подпространство М задается в этоа! случае выражением х = Му, у £ % где

fl 0 0 0^

-_ I 0 0 О 0 I

、о о о о丿

Для вектора 左—{1, 0, 0, 0} имеем АЪ1 = {3,-4, 6,-14}. Условия теоремы 8 выполнены, значит, управление щ каждое состояние из М может перевести в начало координат. Однако все состояния из плоскости xt = 0, g = 0 не могут быть приведены в начало координат с помощью этого управления. Система в этом подпространстве управляема третьим управлением.

Управляемость линейных нестационарных систем

Пусть задано дифференциальное уравнение

-雾=/⑺尤丄3⑴"(34)

с достаточно гладкими матричными функциями A (if), В (%).

Полагая ср (/) — /, из (4) получим

%=J 4r (力)5 (力)u (力)d力，(35)

где 屮(t) удовлетворяет уравнению

5=- WN⑴，|&)= 一兄

Интегрируя по частям правую часть выражения (35) по аналогии с (7), получаем

& =』(一 l)B+i Qb (%) j -~m* и (if) dt +

+ (— 1)" J 屮⑺ Qn ⑴ J 〃 ⑺ dt dt. (36)

Здесь

Qo (力)=5 (力 Сз+i (0 4 (0 Qb (0 — Ов (%),

0 = 0, • •・，n-l. (37)

Из представления (36) вытекает следующее утверждение.

Теорема 9. Пусть А (^) £ Сп-2, В (力)£ Cn_1. Тогда нестационарная динамическая система (34) вполне управляема, если

ранг {0о (力о),.・•，Q…(力о)} = п.(38)

На нестационарные системы переносятся результаты §§ 3, 4, связанные с достаточными условиями управляемости. Это, очевидно, объясняется тем обстоятельством, что при выполнении условия (38) все управляемые состояния системы (34) в силу (36) можно записать в виде

窃=£ S區加(，о)・v=l 6=0

Здесь 嶋(力)一”Л столбец матрицы Qb«)・

Условия управляемости линейных динамических систем с нелинейным входом

В этом параграфе мы расширяем класс допустимых управлений до семейства измеримых функций.

Стационарные системы. Пусть система управления описывается уравнением

警二 A* bg(39)

где А —— постоянная n X /г-матрица, b (乂) —— 孔-векторная функция, непрерывная по r-вектору управления и.

Исследование управляемости систем (39) основано на следующем факте. Множество значений, которые принимает траектория х ⑴ в любой момент % ^ % при всевозможных измеримых функциях 〃 (力),方о W 力 W 力，со значениями из компакта U, компактно и совпадает с множеством значений в момент t = t траектории у (力)，t0 t ^ t, порожденной системой

阴十д⑴，

где q (力)一всевозможные ^-векторные измеримые функции со значениями из выпуклой оболочки Q = conv b (U) множества b (U). Доказательство этого результата приведено в [194b] и основано на одной теореме А. А. Ляпунова [160а] об области значений векторнозначных функций.

Введем число р^:

Pl = max [р: {х: || ^ || < р} A conv {b (〃)： || и || 总乙}и и conv {b (〃)： II 〃 II《乙}1,

равное наибольшему радиусу шара с центром в начале координат, пересечение которого с выпуклой оболочкой множества {Ь (и): || и || ^ L} содержится в последнем множестве. Пусть Ь1, . . ., Ь‘ ——базис минимального подпространства ,содержащего множество

conv {^> (〃)： Н 〃 К С L}.(40)

Обозначим через В матрицу {处...,炉}.

Теорема 10. Если выполнены условия:

при некотором L начало координат принадлежит ядру д!ножества (40),

ранг {В, АВ, . .А^^В} = &

то для любых Т,厶 V 8 динамическая система (39) ГЛ-управляема.

Доказательство этой теоремы достаточно очевидно, ибо управляемые состояния системы

= Ах Ви

с достаточно малым по норме управлением || w || <； сс являются в силу приведенного выше факта и условия 1) теоремы управляемыми и для (39). Условия 1), 2) теоремы

для каждого Т гарантируют (теорема 1) ТА-управляемость любого состояния из некоторой окрестности начала координат. Этих рассуждений достаточно для следующего обращения теоремы 10.

Теорема 11. Если система (39) управляема, то выполняется условие 2) теоремы 10.

Нетрудно проверить справедливость следующего утверждения.

Теорема 12. Если в дополнение к условиям теоремы 10 матрица А асимптотически устойчива (р^ > 0 при 乙 > 0, sup рг — оо), то система (39) управляема (вполне управляема) в целом.

Примечание. Теорема может быть усилена. Система (39) ТА-управляема при любом 力 > 0, если найдутся ненулевые векторы с1, . . ., из (40) такие, что 1) %"十・•・十 ymcm = о, 口 > 0, 2) ранг {С, АС,... ..Ап~1С} — п. Здесь С = {с1, . . ст} — n X т- матрица.

Использование условий по лож ите льной управляемости линейных систем. Выпуклая оболочка множества

{Ь (〃)： и ^ U}

по определению имеет следующее представление：

тг+1n+1

S а^(^г), «г>0, 2 «г = 1, S£U.

Поэтому исследование управляемости системы с помощью управлений со значениями в заданном множестве U эквивалентно исследованию управляемости класса систем

где сг (力)=b (〃》(力))，Ui (Z) — измеримые функции со значениями в Vi = Vi (t) — измеримые управления, удовле

творяющие условиям 匕％(力>0, 』vt (t) = 1. Выразим одно из Vi (для определенности vn+\) ”ерез остальные. Тогда

u『i+i=l— £ и» и исходная система принимает вид

等=4门 /展(心，十心⑴， (41)

где 或«) = с*«) — c"+i(力)и управления i?^ i = 1, . . ., п стеснены только условиями 0 总 ^方 W 】• Выбирая различные постоянные векторы ui из U, получим постоянные векторы cZ\ c^+L Применяя теперь условия положительной управляемости к системе (41), получим достаточные условия управляемости для системы (39).

Хотя второй подход к исследованию управляемости систем (39) представляется менее общим, его ценность состоит в том, что условия управляемости систем (39) с заданным множеством U сводятся к проверке условий управляемости для простых систем (41) с простыми ограничениями на управления.

Нестационарные системы. Динамические системы вида

嘗=/⑺ *"(〃，弘 (42)

где 力(力)，b (〃，if) — непрерывные достаточно гладкие по t функции, изучаются с точки зрения управляемости вполне аналогично предыдущим случаям. Основной факт об эквивалентности системы (42) системе

% = /(力)у+д(/),，⑺ econv{b(“，力 и QU}

имеет место и здесь. Понятно, что различия в форлгули- ровке результатов будут связаны с зависимостью от / функций 力(力)，b(〃，力). Но подобные вопросы уже обсуждены в предыдущем параграфе, и поэтому необходимые в данном случае выкладки представляются элементарными и в силу этого опущены.

Для приложений большой интерес представляют критерии 5гпрявляемости, не использующие производных от 4(力)，b (u,t). К со/калению, результатов исследований по этому вопросу в литературе почти нет.

Теорема об управляемости динамических систем по линейному приближению

Дифференциальное уравнение управляемого движения 穿= /(?,〃，〃 /(О, 0,/)=0,(43)

линеаризуем по х вдоль ^ = 0:

雾一二л⑺х^ь("，o + 月(e, "，0-

Здесь

/⑴="^^^一"，6("")= /(0, "，%

%(Z, % 方)=［丝^L 一 包^二4卜+ 0 (IMI) a ("，力).‘

Пусть 勿(力)，...,拉'(Z) — базис дшнимального подпространства, содержащего множество

◎ (方)=conv {b (m，方)：II m II W £}。

Теорема 13. Пусть выполнены условия：

1)4力)е⑴и = 1,..

функции，"雰L @2f(：;；")непрерывны по 〃；

0 £ int Q ⑴，Z ^ 力°, £ > 0;

при некотором 力 ％ ^ 力о,

ранг {& (7), . . Q…⑴}=忆

где а⑴={从(方)，...，"⑴}, U+1 (方)=%(力Q (%)-

—Qi (0, i = 0, • • •?孔一2.

Тогда динамическая система (43) вполне управляема.

Доказательство. Управляемые состояния системы (43) в силу (4) можно записать следующим образом:

х0 二［4r«) b (",力 dt + j 4r«)月(％ 〃，力)dt.

Рассмотрим управления, стесненные условием || 〃 ||《 W £• При L достаточно малых траектории х (力)，приводимые такими управлениялти, удовлетворяют неравенству

(см. § 6.1)

II 支⑺ II < kL.

где А: не зависит от L, Поэтому по определению функции h можно записать

II h (芻 m，0 И < ^ (厶)厶，

где m (厶)f 0 при £ т 0. С другой стороны, из условий 3), 4) теоремы следует, что множество

{ J 屮⑴ 方 (m，力出：11Mll с L }

содержит шар || % || W р£，где ° не зависит от 厶.Этих фактов достаточно, чтобы получить утверждение теоремы с помощью схемы, изложенной в монографии [18d, стр. 96].

Примечание. Условие 3) теоремы можно ослабить так же, как это сделано в примечании к теореме 12.

Методы функционального анализа в теории управляемости

Применение теоремы о минимаксе. Рассмотрим динамическую систему, у которой изменение во времени совокупности интересующих нас величин — вектора 胃 = ={^i, . . ., хп}——связано с управляющим воздействием м — {^t, . . ., иг} соотношением

/ (%) = s (九 g) + f S (厶 т, ^(т)) d« t £ Т = Т 〃o,力 J

К(44)

Здесь S (Z,七，乂), s (& x) — непрерывные матричные функции. Функции управления и (Z), t & Т, будем считать измеримыми и принимающими значения из компактного множества U(А), зависящего от параметра £, 厶》0. Найдем сначала условия, при которых для каждого начального состояния х (/0)=况о среди введенного класса управляющих функций найдется такая, что траектория 胃(力)системы (44) удовлетворяет условию х (介)= 0. Иначе говоря, будем исследовать свойство управляемости в смысле определений § 1. но с дополнительным условием на функции и (力。

Для тг-вектора 况(友)расстояние точки 况(友)до начала координат можно записать (по свойству нормы) в виде

II 况(幻 II = max gfx (幻.(45)

Множество А векторов x (厶),соответствующих всевозможным допустимым управлениям и (?), и (?) £ U (А), £ £ Т, называется областью достижимости системы (44). При сделанных предположениях множество R является выпуклым и замкнутым. Минимальное расстояние 6 от начала координат до 1? в силу (45) равно

6 (厶)=min max g'c

Пользуясь теоремой о минимаксе (§ 6.9), поменяем места

ми операции min и max：

(46)(46)6 (厶)=max min gfx.

(46)

(46)

I! g IY 1 穴 R

Точки x множества R порождаются управлениями 〃 (t), / 6 T・ и имеют (по определению) вид

z 胃(％) = J S (%, т, " (т)) dx^ 5 (%, д).

5.

Поэтому (46) эквивалентно выражению

6 (七)~ max g's (勿，II 鄧 wi LВведем обозначение6 (七)~ max g's (勿，II 鄧 wi LВведем обозначение&)十 < min g'S (九，т, и (т)) dx |

6 (七)~ max g's (勿，

II 鄧 wi L

Введем обозначение

6 (七)~ max g's (勿，

II 鄧 wi L

Введем обозначение

宀仆)中⑺」

p. (L, g, t, t) min g'S (i, r, u). u£U(L).

Тогда

6(£)= max「g's (力г /) + \ 卩(厶 g,厶，т)

'Гакмм образом, для того чтобы состояние 况° было управляемым, необходимо и достаточно, чтобы при некоторых Т, £, ti—-办 >0, £〉0, выполнялось условие

max |~g's(3, &)+(]!(" g, %, t)dt I =0. (47)L ,J 」

В частном случае S (九工，〃)=S «, т) ", U = {〃： 11^ | 式厶} условие (47) принимает вид

maxmax(48)(48)[g's (厶，Д-Q)- Л j 2 I [g'S (勿，工)]v I 布]=0.to v= 1

max

max

(48)

(48)

Пусть отображение 胃一＞ s (力储 x) неособое. Тогда для того, чтобы это условие выполнялось, необходимо и достаточно, чтобы

[g'S (厶，t)]v 声 0? т £ 7, при некотором v (49) для всех g, II g II = 1. Действительно, пусть (48) выполняется, но при некотором gi справедливы тождества 【g；S (厶,t)]p 0, т g Г, V 1, . . ., г. В силу неосо- бенности преобразования s (勿，х) найдется 胃° такое, что g；s (厶，胃°)〉0, т. е. левая часть в (48) положительна. Противоречие и доказывает необходимость условия (49).

Для доказательства достаточности положим

卩=min Г У I [gz5 (^, r)]v| dr.

Из (49) следует, что 卩〉0. Пусть - А= max g's«и 况J).

Тогда при L〉九/卩 левая часть в (48) становится отрицательной, но поскольку она непрерывна по А и при £ = 0 положительна, то найдется L, 0《 厶《 入/卩 такое, что выполняется (48).

Примечание. Если преобразование s (方，胃 °) особое или если рассматриваются точки д не из всего пространства Еп, то, как следует из предыдущего, условие (49) не является необходимым для управляемости системы (44).

Проблема управляемости и теорема об отделимости выпуклых множеств. Множество RL = {胃：况= =况(力°}, где х (友)——положение в момент % =厶 движущейся по закону (44) точки х (力 является выпуклым и замкнутым, если управления и (力)，力 £ Т, в (44) суть всевозможные измеримые функции со значениями в U (А).

Пусть при некоторых £, Т система (44) неуправляема. Тогда начало координат и множество Rb не имеют общих точек и их можно строго разделить (см. § 6.10) некоторой гиперплоскостью. Теперь уже легко доказать, что условие (48) достаточно для управляемости системы (44).

Действительно, условие (48) означает, что

g's (ti, g) + j м (厶 g,匕，т) dt С °(50)

для всех g, К ^ И = 1. Пусть условие (50) выполнено,' ио система (44) не является вполне управляемой. Тогда множество Rl не содержит начала координат, и, значит, существует вектор g, || g || = 1, такой, что

g's (厶，Zo) + j g'S (友，工，W (t)) di > 0.

Это неравенство должно выполняться для всех допусти- лгых управлений. Поэтому

g's 佑，胃о)十 I min g'S 〃 (r)) ch =

J ueU(D.

=g's (%, &)十 j 卩(A, g, %, t) dx > 0, го

что противоречит (50). Необходимость условия (50) оче-、 видна: из того, что %(幻=0 в (44), следует:

—g's(2, &) = j g'S (勿，t, и (т)) о!т> j 卩(厶 g,勿，т) dx

для любого g, II g II = 1.

Проблема моментов в теории управляелости.

Условие х (匕)=0 в силу (44) эквивалентно системе равенств

[s (%i, &)]» = j [S(%[, т, и (т))] / dx72, (51)

5 p. Габасов, Ф. Кириллова

где символ [ ]z означает 力-ю координату вектора []. Если система (44) линейна по и, т. е.

S (力 т, и) = S (/, т) м,

то (51) можно трактовать как проблему моментов. Для простоты формулировки ограничимся одномерным управлением. Числа [s (勿,况o)L суть «моменты» функции и (/), 力 £ Т, на системе функций [5 (/15 力]订 Необходимые и достаточные условия разрешимости проблемы моментов состоят (см. § 6.11) в линейной независимости функций [S (к г)]；, i ~ 1, . . п, т. е.

/S (^, т) ^ 0, т g Т,

для любого g? If g И l 1, что совппдае]' с (49).

Положительная управляемость динамических систем

Общую схему, изложенную в § 8, используем для исследования положительной управляемости системы

Системы с одним входом. Начнем с простейшего _случая одного входа (/• = 1):*

、成 // +bu, 况(力0) 胃o.(52)

Решения этого линейного неоднородного уравнения выражаются через фундаментальную матрицу решений F (力)соответствующего однородного уравнения следующим образом [102]：

x ⑺:二/ (Е) /I (办)况0 十 j 分⑴耳T (力 bu (r) di. (53)

Здесь матрица 少(力)удовлетворяет уравнению

，⑺，飞。)=£

Формулу (53) можно проверить подстановкой (53) в (52) или доказать по схеме § 2 (ср (况)「二爲 屮 二-尸一」).Полагая

s (九，人)L F (厶)ьt "0) g. S (方小 r, u) = F (з ^t (t) bn, приходим к системе (44). В качестве множества U (А) выберем множество U (£) = {и： О W 〃 W 厶}* При этих условиях имеем

卩("g,厶，т) = min g'S (小 q и)=

虱中(l)=L [gfF (厶)尸口(t)田,

где символом [〃(％)]_ обозначена отрицательная часть функции а ⑴：

[о (01-=[о (01-=а (%), если а ⑴ V О,

[о (01-=

[о (01-=

О, если 〃⑴》0.

Повторяя рассуждения, использованные для доказательства условия (49) управляемости, нетрудно убедиться, что необходимое и достаточное условие положительной управляемости системы (52) заключается в требовании

1g/(幻耳T⑴м-声0, те т (54)

Дифференцируя тождество* =(55)Дифференцируя тождество* =(55)для всех g, II g II — 1. Это условие заведомо не выполняется, если разность ^ ——方° мала. Прообразуем (53) к более удобной форме.

Дифференцируя тождество

* =(55)

Дифференцируя тождество

* =(55)

斤(т) F-1 (т) — Е, получаем

при следующих условиях в точке %:

F-x^ = E吟迎• = (-!)" /"•(56)

Поскольку каждая квадратная матрица Л удовлетворяет своему характеристическому уравнению

/” + 匕/*1 十..・ + ye = о,

то, умножая это тождество слева на (―1)々'歹(幻 F— (т), справа на /)и учитывая (55), получаем дифференциальное уравнение для функции

Ф ⑴=g'尸(幻 F-i ⑴ b '• (57)

в следующем виде:

屮⑺(/) — у 仲 етр) +亠(—I )*%т ф(0 +

卜(-分”評(力=0； (58)

Начальные условия следуют из (56), (57):

屮(幻=g'A市(幻」一g26,г呀〕%)』一^一*'"-"

Возвращаясь к условию (54), заключаем, что для его выполнения необходимо и достаточно, чтобы

векторы b, АЬ, . . ., Ап~гЬ были линейно независимы;

характеристическое уравнение для (58) не имело корней с нулевыми мнимыми частями;

число t = 勿 一 ％。было достаточно большим.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 14. Обыкновенная динамическая система с одним входом (52) не может быть положительно вполне управляемой.

Динамические системы нечетного порядка (п = 2к -\- 1) с одним входом не являются положительно управляемыми.

В положительно управляемой системе (52) существует такое число т0, что для каждого 厶〉0 найдутся состояния 胃°, которые нельзя привести в начало координат за время, меньшее 砧

Для положительной управляемости системы (52) необходимо и достаточно, чтобы она была управляема и все собственные числа матрицы Л имели ненулевые мнимые части.

Примечание. Число т0 выражается через минимальную мнимую часть (omin собственных чисел 尢 + / 一 1例：to - n/Smin.

Системы с несколькими входами. Изучаемую систему запишем в виде

穿~ =力况+ 2 b"k.(59)

V— 1

Введя обозначения

s (/, *)=F (t) 1 g* S (^ t, 乂)= ± 歹⑴尸1 ⑴ b%~,

от системы (59) через (53) перейдем к (44). Пусть множество U (Л) имеет вид

U (£) = {乂1，.・.，乂储 0 W〃v<^£, v= 1, ...» г}.

Т огда

"("g,厶，t)l£e]依'尸(3尸-1任)叫一.

При каждом V, V = 1, . . ., г, по аналогии со случаем одного управления, получаются дифференциальные уравнения

咽一Y 仲厂 d +•..+( 一 1 产 1 7П-Ж + (一 1产 Y氾办二 0

для функций t|\ (力)=g'尸(切歹т «) b“* Начальные условия:

5(厶)Kg'bv, Wi) = — g'/b",吋n-D (勿)=

Необходимое и достаточное условие положительной управляемости в целом для системы (59) принимает вид

2【g了(％)『⑺ Ь”】_睢0, t£T, для всех g£En.

Отсюда следует, что если выполнены условия:

ранг, У,力凡 Abr, . . ., /"т",

для каждого вектора b из линейной оболочки векторов Ь* .. ., Ь「 возможно разложение Ь = — 2 口步‘， «г > 0 (векторы Ь1,.…Ь「образуют положительный базис в собственном подпространстве), то система положительно вполне управляема.

Верно и обратное： если система положительно вполне управляема, то векторы Ь1, . . ., 6 в собственном подпространстве образуют неотрицательный базис (условие 1) очевидно). Из этого замечания следует, что любая управляемая система может быть сделана положительно вполне управляемой добавлением одного управления. Новое управление иг+1 следует добавить с вектором 川+匕 рав

ным 川+i = — 2 &處 修 > 0. Эти результаты сведем г-1

в теорему.

Теорема 15. Для того чтобы система (59) с г входами была положительно вполне управляема, необходимо

и достаточно, чтобы

ранг {此 Ab1,..力办-必* . . br, Abr,...,力二〃 и векторы b1, . . ., If составляли положительный базис в подпространстве, натянутом на них.

Каждая управляемая система может быть сделана положительно вполне управляемой добавлением одного управления иг + 1 с вектором 匕「+工=——工 “Ь\ а^ > 0. Минимальное число входов в положительно вполне управляемой системе (59) на единицу больше числа нетривиальных инвариантных многочленов матрицы А.

Линейные системы управления с запаздыванием. Определяющее уравнение

Пусть движение объекта управления описывается уравнением [15]

d：? = Ах ⑴ + 4况{t — К) + 5〃 ⑴}(60)

где х = {©, . . хп}——"-вектор, и — {汉小..иг}—— г-вектор, h — число, характеризующее запаздывание, Л, 4, 〃 一 постоянные матрицы соответствующих размерностей. Для того чтобы движение системы было определенным для / ^ 0, необходимо задать начальные условия ^о (*) = {胃(土)=①(%),—无《％ V 0, % (0) — &}, (61) где Ф (力)——непрерывная функция,胃°——zz-вектор. Состояние объекта в произвольной момент характеризуется уже не набором конечного числа величин, а целой функцией

{况(方+3)，一无总3 V0}, определенной на отрезке [t ——О, Z). Эта особенность систем с запаздыванием существенно усложняет решение задачи управления.

Можно выделить два вида управляемости. Если для каждого состояния (61) можно указать момент 厶 > 0 и кусочно-непрерывное управление и ⑴，0 W % W %1‘ при которых 胃(勿)=0, то будем говорить, что состояние относительно управляемо, Во многих случаях такого

свойства системы уже недостаточно, ибо «вык；1 ючение» управления в момент 力=厶 (и (/) = 0,力^ 厶) может вывести систему из состояния покоя 况(力)=0 в силу действия запаздывания. Поэтому вводится понятие вполне управляемого состояния (61), когда траектория допустимым управлением приводится в начало координат и удерживается там.

В последующих рассуждениях большую роль играет соотношение

Qk ⑹=^Qh -1 ⑻ + /丄Q/t-I(S —场)，S ^： 0,女=1. 2： • •.、

统⑼=5 Q。(s)三 0, s 片 0,(62)

которое очевидным образом составляется по правой части уравнения (60). Назовем (62) опреде孔咒ющ1£М уравнением системы (60). Ясно, что решение уравнения (62)——последовательность матриц, определенных при А = 1, 2,...; s = 0, h, 2h, . . ., причем для фиксированного 〃： Qk ($) 三 =0 при s =佑 十 1)无，(к + 2)儿 .・. Для каждого а через л；а обозначим совокупность

Па = {& ⑹，/с = 0," — 1; s £ [0, а川}

—решение определяющего уравнения. Определяющее уравнение называется а-невырожденным^ если ранг ла = =п. Если это условие выполняется хотя бы при одном а, а V8, то определяющее уравнение будем называть невырожденным.

Относительная управляемость линейных

стацион арных систем с постоянным запаздыванием

Определение 10. Начальное состояние ^0 (•) системы (60) называется относительно Т-управляемым, если найдется кусочно-непрерывное управление и (/). % £ Т = [0, %], такое, что траектория 式(力)：порожденная начальным состоянием и управлением 〃 (力)：удовлетворяет условию х (力О = 0. Система (60), все начальные состояния которой относительно 7-управляемы, называется относительно Т-управляемой.

Определение 11. Если Начальное состояние 况° (•) (система (60)) относительно Г-управляемо (Г-управляема) хотя при одном 勿，то это состояние (эта система) называется относительно управляемым {управляемой).

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что решение уравнения (60) выражается формулой

胃(力)=s(t, g) + j 尸(L 七)Bu (r) d%

一0

где•

h

s(f： z0) — F (t, 0)胃o +j 尸(力，x) А{Ф (x — h) dr,

a F (t, * — 〃 X n-матричная функция, удовлетворяю^ щая уравнению

"〜?"一=一尸(九x)A - F(t,T+无)4,工忌方，

" 尸色方 - 0) 二月，尸(厶t)-0,工＞方+ 0.

Полагая S (厶 小〃)=尸(力，т) Ви, приходим к (44) при 力о = 0. Значит, в силу результатов § 8 необходимым и достаточным условием относительной 7-управляемости системы (60) является требование:

[g/色，力)8% 壬 0, t^T. И g И = 1,

при некотором v, v = 1, . . ., г. Для упрощения этого условия исследуем функцию

屮(g, Т) = g'歹(厶，X)b = у' (т) Ъ.(63)

Рассмотрим систему операторных уравнений

(64)(64)决九一оператор决九一оператор(рЕ 十 4' + А'^11) у (工)=и (т),® (т) —7 (т) 6 = 0.

(64)

(64)

决九一оператор

决九一оператор

Здесь р-- оператор дифференцирования,

сдвига, т. е.сдвига, т. е.,%‘叫(t)-,%‘叫(t)-^z (T十确^z (T十确

сдвига, т. е.

сдвига, т. е.

,%‘叫(t)-

,%‘叫(t)-

^z (T十确

^z (T十确

v (т) — 一 произвольная «-мерная вектор-функция. Разрешив линейную систему (64) относительно 屮(т), получим

I V (т) рЕД^А' ^A^h I

•а(Т)： К(рЕ+”-：/еРА) •' -(65)

Функции у(т) и 屮(g, т) удовлетворяют системе (64)

с и ⑴三().Полагая в (65) v (т) = 0, получим уравнение иля 屮(g, т):

det(?E +4 T 4d%)屮(g, т) = 0,

мли в дифференциальной форме:

£ 2 Т(66)

2=0 j=0

Здесь

Qo = Sp4=』F = Sp4= £ 初川，

1г— 1

^no ~ det 4, гnn — det 力丄*

Остальные 丁仃 также выражаются через элементы матриц А и Ai (рекуррентные формулы для них см., например, в [39], стр. 77).Начальные условия для (66) следуют из (62), (63):Остальные 丁仃 также выражаются через элементы матриц А и Ai (рекуррентные формулы для них см., например, в [39], стр. 77).Начальные условия для (66) следуют из (62), (63):屮8(g, т)=屮8(g, т)=(-iyg^ (0),0,(-iyg^ (0),0,т — Zj — о, т =厶 + 0,т — Zj — о, т =厶 + 0,(67)(67)

Остальные 丁仃 также выражаются через элементы матриц А и Ai (рекуррентные формулы для них см., например, в [39], стр. 77).

Начальные условия для (66) следуют из (62), (63):

Остальные 丁仃 также выражаются через элементы матриц А и Ai (рекуррентные формулы для них см., например, в [39], стр. 77).

Начальные условия для (66) следуют из (62), (63):

屮8(g, т)=

屮8(g, т)=

(-iyg^ (0),0,

(-iyg^ (0),0,

т — Zj — о, т =厶 + 0,

т — Zj — о, т =厶 + 0,

(67)

(67)

屮⑶(g,工)三 0, т〉％,力=0, 1;...,北一1,(68)

где ,t (s) вычислены в силу уравнения (62) (Qo(O) = =,0 (6) = Ь) •

Из (63) получаем

屮⑷(g, т) = (—l)"g'.N F (t^, r^ih)qk(ih), 4 = 0, 1,

(69)

Действительно, при 左=0 равенство (69) совпадает с (63). Предположим, что (69) имеет место для 左= =0, 1, . . ., р— 1, и покажем, что оно верно и для к = р. Так как

屮⑺(g，т)=觇D = (- 1)7 g'@Wт 储)=

i=0

=(—I)' g'[ S F(〃，工十'")/，рт(/)十

+ 2 歹(％, т + th) 4'рт ((% — 1)厶)」，

то, добавляя справа равные нулю члены g'F (^, т - - ph) / X Адр^ (ph) и g‘尸(厶，工)/]力т( — 3，получаем

屮"”(g，工)=(— l)"g' 3 歹(厶,т +® [▲幻 т("2)

t/WptW—1)无)]= (—」)〃 g' 2 尸(厶，T 十/),?(/).

В силу произвольности числа р равенство (69) справедливо при любых А 左=0, 1, . . . Из (69) с учетом (62) имеем

屮⑹(g，力一АЛ —0)=屮⑴(g, t、一kh「())，'

i 0. 1, • • ■ ■左—1,

屮①(g，%—做一0)=w⑴(g,方1-"无十U)十 - (70) + ( 一 1)七3(砌，

/ — A,左十 1,倉=1, 2,...

Теперь можно доказать следуклцее утверждение.

Теорема 16. Система (60) относительно Г-управляема тогда и только тогда, когда определяющее уравнение этой системы а-невырождено, а = \T/h].

Доказательство.

Случай одного входа. В ~ Ь. Необходимость. Пусть система (60) относительно 7-уггравляема. В силу (49), (63) это значит

屮(g‘ г) ^ 0 для всех 工 С 兀 || g II ，

Покажем, что определяющее уравнение (62) а-невы- рождено. Допустим противное： ранг ла меньше п. Тогда существует вектор g0, || g0|| — 1. для которого

g沁在⑸二二 0;厶二二 0. 1— 1; s C〔()• a用.(71)

Из (66), (67), (68) и (71) имеем

屮(go,工)三0，工6修一h,川.

Пусть.

屮(go, т) 0, t € % — 右无，力 J(72)

где к — произвольное число отрезка [1, а]. Покажем, что 屮(go,t)三0： Tе |厶一(左-r 1)九力一〃川.(73)

Поскольку на 1^ ——(к 」「 1)/г, 厶一kh\ функция 屮(go,工)удовлетворяет однородному уравнению (66) с нулевой начальной функцией (72), то тождество (73) справедливо, если

屮⑴(go・ t^ — kh — 0) = 0, z 0, 1. . . тг — 1.

Но это — следствие равенств (70), (71), (72). Таким образом.

屮(go, т) 0, т е 匕一(u 1) h.川.

что противоречит (49). Необходимость доказана.

Достаточность. Допустим, что (49) не выполняется: существует вектор go, || g0|| = 1, такой, что

Ф (^о， т) = 0, т ^ 71.(74)

Тогда

屮⑴(go，工)三 9 тС， / - 1, 2, . . . ,(75)

т. е.

(go,工十 0)=屮⑵(go,工 一0)=(),^0, 1,, (76)

в каждой внутренней точке отрезка Т. Из (67), (74) и (75): 统力(0) - о, / - 0, 1, . .- 1.(77)

Из (70) и (76) следует:

g°qi (“无)0,； 左，，『，—1;к—-1,ct.

Но по свойству решений 力(左无)уравнения (62)

gM (кК) =0,i= 0左一1;к=i.а.

Объединяя последние соотношения с (77), приходим к равенствам

g沁 t (左期=0. /0, z? — 1; к = 0, . . а. (78)

По условию равенства (78) могут иметь место лишь при нулевом векторе g0- Это противоречит сделанному ранее прецполоядению относительно g0- Утверждение для случая 1 доказано.

Случай нескольких входов. Доказывается аналогично.

Примечание. В случае 厶 W 无 число а = 0 и условие относительной управляемости системы с запаздыванием (60) совпадает с условием вполне управляемости систем без запаздывания:

ранг {В, АВ, . . Ап~гВ} — п,

§ 12. Линейные системы с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. Определяющее уравнение

Пусть дано уравнение

(/)丄 &z (t-h) \-B+ Си ⑴，(79)

где x = {勺,...,хп}, и 二 {〃[, . . ur}, h — постоянное число (запаздывание),无 > О, А,工九 В, С — постоянные матрицы соответствующих размерностей. Зададим начальные условия, положив

%(,(•) = {Ф (т), т е [—瓦 0)； Z (0) = х0},(80)

где Ф (т) — непрерывно дифференцируемая функция, %о ——孔-вектор. Как и при исследовании уравнения (60). здесь можно выделить два вида управляемости: относительную управляемость и полную управляемость. В этом параграфе изучается относительная управляемость стационарной системы (79) в смысле определений 10, И (см. § 11).

Рассмотрим систему

-^- = Ax(t) + Alx(t — h)-^B^^p^-.(81)

Введем п X тг-матричные функции Qk (s), зависящие от двух аргументов к. s. к = 1, 2, , . s = 0,无，2h,.. и установим следующее соответствие между функциями 方(方)И Qh (s):

方(力)f Qk -i (s), % (力一无)f Qi (s — h),

/(力)f Qk (s),%(方 一 h) f & (s -无).

Тогда для уравнения (81) имеем

Qk (s) ~ 4Q&-i (s) 丁 A{Qk _j (s — h) + BQk (s —无)(82) (A; = 0, 1, 2, . . .; s = 0,无，2A,...).

Потребуем для однозначной разрешимости (82): Q。(0)= =Е, Qo (s) = 0, если s V 0. Назовем (82) определяющим уравнением для (79). Для каждого а положим

冗& = {Q点(s) С 左=0, 1,...,孔一1; s 6 О а用}

и введем понятия (см. § 10, стр. 71) а-невырожденного и невырожденного определяющего уравнения.

Прежде чем переходить к изучению относительной управляемости системы (79), получим формулу для решения х (t) (см. [15]). Пусть F (厶 т) — единственная функция, которая удовлетворяет уравнению

号包(力工)/一ь伍盼+咄*也b,

(83)

0V 工 V 厶 x^t-^ nh. /г = 0, 1,.

F (t, t — 0) = Е、尸(厶七)三 0, т》4 +。，(84)

耳(厶工)一耳(厶斤)用(85)

непрерывна по т, r g [0, 力. Умножим обе части (79) на F (/,工)и проинтегрируем от 0 до 力：

j F (i, r) [x (r) — Bx (r —无)]〃т— j 〃(九 r) Ax (r) dr — о0

—j F (力，r)力卢(т — h) dr [ F (九 т) Си (т) dp.

Из （84）, （85） имеем

『［'亿t）一分（力，工十九）8］胃⑴"工%（方） 一，‘«, 0） XQ +

0

+ 少（方，h） Bxq - j 尸（九一工）8山（一工一h） dx -

-j 分（方，七）［方（T） — 8方（工-h） ］ dr.

Поскольку:

j少（厶工）/卢（工一无）公=［分（厶工+月）4方（工）dr十 ，

4 f/'（厶工+无）&①（Р）б/т,

то, учитывая, что /'(厶 т) — решение (83), имеем

x (/) - [F (/, 0) - /‘(九九)8} д -卜 f {耳(力 т -九)4①(工)十

十分(方，-工)8山(一t —力,)}九卄F (t, t) Си (t) dr. (86)

о

§ 13. Относительная управляемость линейных стационарных систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа

Введем обозначения:

s (厶 g) - {尸(力 0) - F (厶无)5} 1Tот'

о

+ j {ь(力，T + h) a^Ф (T)十

+ F (力-T) вФ (- T —无)} dr,

S (t, x, и) = F (厶 т) Си (т).

Мы получили соотношение (44). Поэтому в силу результатов § 8 необходимым и достаточным условием относительной 7—управляемости системы (79) является линейная независимость функций

[F (厶，т) cv]h % = 1,・..，％ 力 С 7； 7 = [0, ^],

при некотором v, v = 1т . . ., г ((^ — v-й (—) столбец С).

Ограничимся для простоты случаем одного входа, С = с.

Введем функции 屮(g, т) = grF (^, т) с, y(ir)= ~ g/ (勿，т) и рассмотрим систему операторных уравнений

(РЕ + А + 幺依八 + Bper，h)彳⑴二 и (т), ® (т) — /'⑴ с = 0.

Найдем 2 (т) и положим v (т) = 0. Тогда получим уравнение для 6 (g, т):'

det (рЕ -к Л + А^)К 4- Bpeph) i|)(g, т) 0, т < ^. (87)

Дифференциальная форма записи этого уравнения совпадает с (66); при этом начальные условия таковы:

1 — W,1十°，1 — W,1十°，W⑴(g,工) = ｛；)W⑴(g,工) = ｛；)(88)(88)'gg(O), I 八

1 — W,

1十°，

1 — W,

1十°，

W⑴(g,工) = ｛；)

W⑴(g,工) = ｛；)

(88)

(88)

屮т) 0, т > /1? Е = 0, 1,..., 〃1.

Функции 屮⑴(g, т) могут терпеть разрыв в точках т【％ — kh. Найдем в этих точках скачки 屮⑴(g, т). Для этого достаточно найти скачки 巾ункхцтй。，｝?； ” ■ Имеем

上5卫=у —1)‘ 2 "回 x 'j^ м^-1(^)п-

十4cl ([/—"初，(89) 工£ Ui —左无，％—("-1)九].

Докажем эту формулу по индукции. В силу (83) формула (89) справедлива для 倉=1 и всех Z. Из (83) следует, что (89) имеет место для I — 1 на отрезке I 厶一АД,力 1 — (к — 1)无].Пусть формула (89) справедлива для 倉=£ и любого i п для i ~ р и любого к. Докажем справедливость формулы (89) для 2 = 〃 十 1 ик~

I -[- 1. На отрезке [/-——(/ -卜 1)无，厶 ——/无]известна p-я производная от F (厶,т), значит,

"+篇 F - i)"6 人壊丁浊)[4&t (加)I

-卜〃(方h p 十(/T 1)九)4 一

—"㈠啖廿必)Bl [4Q— (/力)-'rA.Q^j-^h)^

=(—1产12 尸(5 工丄询[4Qp (%) 4 4Qp (【/ 一 ]]初， т. е. в одну сторону формула (89) верна. Теперь докажем, что если формула (89) верна на 伉一小，厶 ——(I ——1)川, то она верна и на отрезке [厶 (I 十 I)无，厶 --2川.

Из (83) имеем

@W1, D 二 //“，【),1 —

0/良оt?)

Значит, 空^整F = (- 1严1 2尸内，T+jh) [AQ^ah)丄

」.(一1产I》F^x^j^^h) [AQp(jh)+A{Qp{[j^i]h)]B.

Воспользуемся (82) и получим

宜+；%*F = (一 1)7 2 尸(％,工 + 浊)X

X[AQp(jh) +A^([7-1]A)], т. е. формула (89) верпа при любых i и к. Найдем скачки функции 屮(g, т) в точках 工=厶一kh. В силу непрерывности функции (85) имеем

耳(力г 貿一kh 十 0) = F (九,tl—kh — O)~Bk, - 屮⑺(g,工)=

=( — l)ig' 2 歹伯，工 +/力)[4Qi(拋)十4Qi([/ — l]〃)], r”(g, % —做+0) = ( —l)‘g'.2 尸 «I, <1 + (/ — к) h 0) X

X [AQi_l(jh)^A1Qi_1([j-l]h)]='•

■ = (— I)。g‘』尸(勿，t^ — ^k — j^h — O) x

x [4Qi(泣)+4Qi([/— 1]无)]—

一(一疗 g' 2 B^^AQ^jh) T 4Q一 ([/-1]初.

Теперь вычислим 屮⑶（g,厶一〃/2 — 0）. Так как 屮⑴（g, т）=

=（-I）1 gr W ь（方i ,T + ］h） X ［｛Qi （次）一 H 40- （［/ - 1］无）］,

то

屮⑴（g, Zj — № —0） =^ （— 1）г gr £ F （t^ 厶一（左一/）月一0） x

x ［/Q j （浊）+ 4Q _ （［7 - 1］九）］+

+ （1）' g'［40一 （"/2） 一卜 42T （［左 1］无）］• Имеем

屮⑴（g,方 1 -泌 +0） +（ ■- 1）‘ g' W~i （左后）+

+ 4Qt （［左一1］无）］=屮⑴（g, 一一 kh - 0）—

一（一1）屮』砂7［401（/）+40一（［7一1］%）］, или

屮©（g, ti-kh + OU（-tygr E *1［/Q—（泌）十

7 = 0

+ 4Q — （U — 1）］期］=2⑴（g, 勿一电一0）. Но

Qi （kh） = AQi-i （kh） 4Qi （［倉一1］九）

+ b ［/Qi （［左一1］九）+ 40一（［"- 2］九）］

...+ Bh ［4Q—i （。）十 4Qi （-期］• Окончательно:

屮⑴（g,力一左无一0） = 2⑴（g,%一g九十（））十、

+（一l）ig解（询，（90）

-i = 1, 2,; k = 0, 1,,

Теперь можно доказать следующее утверждение.

Теорема 17. Система （79） относительно Г-управляема тогда и только тогда, когда определяющее уравнение （82） а-невырождено, а = f T/h］.

Доказательство. Необходимость. Пусть система （79） относительно управляема. Это означает, что 屮（g, т） ^ 0 для всех 工 6 7 и g, || g || = L

6 р. Габасов, Ф. Кириллова

Покажем, что определяющее уравнение (82) а-невн- рождено. Допустим противное. Тогда существует вектор go, II go II = 1, для которого

g《Qk (s) =0, А: 0, 1, . . ., /г 1; s С【°, а川.(91)

Из (87), (88), (91) получаем

屮(go, т) = 0, т с "1 —瓦 川.(92)

Пусть

W (go, т) = 0, т е [厶一А■瓦厶I,(93)

где к ——произвольное число. Покажем, что

w(go, T) =0， T е [九一з 丁 1) 〃, 匕一 "川.(94)

Ha Iti — (к 1) Д, ti — kh] функция 屮(go, т) удовлетворяет однородному уравнению (87) с нулевой начальной функцией (93)； следовательно, тождество (94) справедливо, если 屮⑴(go, % — kh — 0) = 0, i = 0, 1, . . п—1. Но это следствие равенств (90), (91) и (92). Таким образом, 屮(go, т) = 0 при т С [厶一(а 1) Д,九 1, что противоречит линейной независимости функций \F (厶, т) c]z.

Достаточность. Допустим противное. Тогда существует вектор g0, М go 11 = 1, такой, что 屮(g。，т) = 0, т £ Т. Отсюда

屮⑴(go? T)三0,T€兀 力=1, 2,(95)

X = 0, 1, , (96) [0, ZJ. Из (88), (95) "—1. Условия (90)X = 0, 1, , (96) [0, ZJ. Из (88), (95) "—1. Условия (90)屮⑴(go，七十0)=屮⑴(go,T一0), в каждой внутренней точке отрезка имеем gCQi (0) = 0, Z = 0, 1,.. и (96) дают

X = 0, 1, , (96) [0, ZJ. Из (88), (95) "—1. Условия (90)

X = 0, 1, , (96) [0, ZJ. Из (88), (95) "—1. Условия (90)

g'uQt (kh) = 0, Е = 0, 1,...,汽一1; 〃 = 1, . . ., а.

Объединяя последние соотношения, приходим к равенствам

g(Qt (〃无)=0, Z = 0, 1, . . ., /г ~ 1;左=0, 1, . . а,

что невозможно. Теорема доказана. ■

В случае векторного управления и = {〃“ . . ., иг} матрицу С записываем через ее столбцы с* . . сг. Тогда уравнение (87) распадается на г уравнений

D j=()

(ср. с (66)). Здесь G (g, т) = g/(厶，т)с‘. Каждое из условий (88) даст г равенств

屮;(g, T)M°・ X〉％, г = 0, 1, . . ., n~lt

где Q；(0) —s-血 столбец матрицы 2 (0) (см. уравнение (82)). Условия (90) имеют вид

3* (g, % — kh — 0)=屮f)(g, if — kh 4- 0) + (— 1)" Q： (A无)，к —- 0, 1, . * *) z —■ 1,2,...; s —- 1, . . ., у**

Теперь, используя схему доказательства теоремы 17, нетрудно убедиться, что для относительной 7-управляемости системы (79) необходимо и достаточно, чтобы было а-невырождено определяющее уравнение (82), а = [77矶

Линейная стационарная система с несколькими запаздываниями

Рассмотрим систему

(97)(97)£«)= S А 汕(t —坛)+ Ви (t),力》0,

(97)

(97)

£o(，)={①⑴，Tе[一无тп,0)，£(0) = &},加》2,

где /g—一 n X тг-матрицы, hi — положительные числа, Ао = 0. Определяющее уравнение для (97) имеет вид

S(s)= 2 40T(s —自)，OWs; k=i, 2,...,)

Уравнение (98) называется невырожденным, если ранг冗… ="

口…={Qk (s), /с к 0,— 1; s £ [0, (" — 1) %1}・

Заметим, что при каждом к ~ i, 2,，…решение & (s) уравнения (98) равно тождественно нулю всюду, за исключением, может быть, точек

Sj「灰 н N/办 jp =。，15 J jp-it P 1 j 7o —(99)

Теорема 18. Система (97) относительно управляема в том и только в том случае, если определяющее уравнение (98) этой системы невырождено.

Доказательство теоремы проведем для случая г — 1.

Необходимость. Рассмотрим уравнение

X (/) = t /浊(力i自)+方口(%)，

£(,(•) = {第⑴匸①⑴，—Дт<Т<0； £(О) = £о}.

Решение 第(力)этого уравнения можно найти по формуле Коши [15]. Обозначим через 屮(g, т) скалярную функцию

屮(g, D = g?(%，D 氏

Здесь функция F (^, т) является решением уравнения

也*■勺+初4,

2=0-

т I о,

Функция 屮(g, т) удовлетворяет операторному ■ уравнению

det (рЕ 2 /步р"е)屮(g,=

которому соответствует дифференциальное уравнение г

"绅(g，т) I у у у у— 0

(100)

с начальными условиями

屮⑴(g, т)=屮⑴(g, т)=g4 (0)( 一 1汽0,g4 (0)( 一 1汽0,T =厶一0, т =厶-|- 0,T =厶一0, т =厶-|- 0,叩⑴(g, т) = 0, т〉厶.i『()，...,"―1,叩⑴(g, т) = 0, т〉厶.i『()，...,"―1,(101)(102)(101)(102)

屮⑴(g, т)=

屮⑴(g, т)=

g4 (0)( 一 1汽

0,

g4 (0)( 一 1汽

0,

T =厶一0, т =厶-|- 0,

T =厶一0, т =厶-|- 0,

叩⑴(g, т) = 0, т〉厶.i『()，...,"―1,

叩⑴(g, т) = 0, т〉厶.i『()，...,"―1,

(101)

(102)

(101)

(102)

1,д^ коэффициенты П^^.^., " = 0, 1,.一，力一；p=1,一.

...,/; 2 = 1,...,北；j()= пг, явным образом выражаются через элементы матриц 4, а векторы qt (0) вычислены в силу уравнения

(98a)(98a)0& (s) = 2 4心有_,(5 自)，s 0, /с = 1, 2, %(»={(), s 展 0.

(98a)

(98a)

Пусть исходная система относительно управляема.

В силу теоремы 16 существует 厶，厶 V°°, такое, что

屮(g, т) ^ 0, т £ 7,

для всех g, II g II = 1. Из чисел s” …九，А =1, 2,.. определенных соотношением (99), образуем строго возрастающую последовательность 屈 i = 0, 1, . . .}, считая, что совпадающие числа входят в нее только один раз. Тогда последовательность {厶 ——s” Z = 0, 1, . . .} будет строго убывать. Допустим, что ранг 口…，

冗…=仇(s), a = 0, • •— 1； S £ [0, (" — 1) hm]},

меньше n. В этом случае можно построить вектор g0, II go II = 1, так, чтобы

goQk ⑸=0, s £ [0, А%], к = 0, . . ., п — 1.(103)

Тогда при каждом конечном 力〕имеем

屮(go, т) —0,工 € [厶 S], t\ \,

как для решения однородного уравнения (100) с нулевыми начальными условиями (101) и (102). Вообще, если

2 (go, т) = 0, т С [力一s^ /J,

где 右 ——произвольное целое число, А》1, то 2(go, t)=0,Te [/1 - S丸+储力i - s*].

Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить условие

屮⑴(go,厶 一 sk — 0) = 0, i — Q, п- — 1.(104)

Докажем справедливость (104). По аналогии с (69) имеют место равенства 屮出(g。，т)=

‘0 J1 j/i-lА切

=(一1产 g: N 2 ….2，'(打 Т , е %)0月 (2 矶),

Jo ~ ^:

и, как следствие из них,

屮而(go, %— 2 公―o)= S— 1

k

~ У (go, % — N %s +。)，/ = 0, . . ., к — 1, (105) 8— 1

V(go,力 1— 2] %§—。)=屮⑴(go,勿一巨％s+°)+

+ (— l)°g；0i(2 視)，％ =;

jp=l, . . ., /р-i； P — 1 ? • • • j к; j° = m; /c=l,2,(106)

Равенства (105) получены при следующем предположении: если при каких-либо фиксированных последовательностях номеров /§ и %, s=l, . . ., А】； р=1,自 + %； Z》l, точки s% …近 и 5力…*+/ совпадают, т. е.

阮hl+Z

6=1S—1

то соотношения (105) при к = к^ -\- l ъ указанной точке не рассматриваются. Равенства (106) справедливы в каждой точке s” …加 А^ — 1, 2, Из (105) и (106) с учетом (103) следует (104). В силу произвольности к заключаем, что

屮(g, т)三 0, т С 7,

при g = go для каждого конечного числа 勿.Поскольку

последнее тоя;дество находится в противоречии с (49). то на этом докгзательство необходидгости завершается.

Достаточность. Покажелг, что из невырожденности определяющего уравнения следует относительная управляемость системы. Допустим противное: система не является относительно управляемой. Это значит, что суще- ствуег вектор || g0 II 二 1, такой, что

W (go, D gM (小 т) Ь = 0, т С Т, (107)

каково бы ни было число 力，0 <厶 <оо. Из (107) следуют равенства

屮® (go, т — 0) — i|/k) (go, т -I- 0), т£Т,於=0,—1.

(108)

Полагая 厶〉nhm и рассматривая равенства (108) в точках t =力1 — S&, a — 0, . . AT; s、= nhm, приходим к соотношениям

g@ (%) — 0, fc = 0, . . ., /г — 1; a = 0, . . TV, которые в силу невырожденности определяющего уравнения могут иметь место лишь при g0 = 0. Противоречие доказывает теорему.

Относительная управляемость линейных нестационарных систем

Пусть движение объекта управления задано уравнением

£«) = /(方)第(/)一/1⑴£" 一 无)十6 ⑴й() 力》0，]([09) 0("x{①⑴，Tе[-无，。)、 芯(0)=々}，/

в котором элементы матриц Л (/), /丄(力)и вектора b (%) определены и непрерывны при £)0 вместе с " — 1 производной. Как и раньше, системе (109) поставим в соответствие уравнение

qkS 方)=-/ (力)0叁一](s,方)+4 ⑴0々_](s•一后，t 一无)一

— %产，*>1, s》0, i>0, (110) .(方⑴，s =。，

备6力)=1 0, S展0,

и назовем его определяющим уравнением системы управления (109). Рассмотрим совокупность

(0 =仇(s,力 〃 =0, ■ • п — 1; s 6 [0, а〃]},

составленную из отличных от нуля решений определяющего уравнения (110) на отрезке [0, а川.

Уравнение (ПО) будем называть невырожденным,

если хотя бы при одном 厶,力〉0,

ранг е(%)="，a=[?]

Докажем следующее утверждение.

Теорема 19. Если определяющее уравнение (110) невырождено, то система (109) относительно управляема.

Доказательство. Пусть число 厶,勿〉0, таково, что ранг 冗& (力» = п. Покажем, что для каждого начального состояния 芯о (•) существует кусочно-непрерывное управление и (力)，t R Т, при котором х (厶)=0. Нетрудно проверить, что решение х (%) уравнения (109) в момент 力=厶 можно представить формулой

芯(％) = s (勿，х^ ~ ^ F (九，т) b (т) и (т) йт,

где

h

s (Л Хо) = F (厶 0) Xq -；- j F (厶 т) Ai (т) Ф (т —无)d*

a F (力 т)——решение уравнения

-"'%"匸一歹仏 ^A^-F(t, т十九)4(т+/0，тС力

F (Z, t — 0)=区 尸(厶т)三0, т》/十0.

Поэтому в силу результатов § 10 можно утверждать, что система (109) относительно управляема в том и только в том случае, если

2 (g, т) = g'F 伉，т) Ъ (т) ^ 0, т С ?,

для всех g, II g " = 1. Л1ожно показать, что функция 屮(g, т) удовлетворяет соотношениям

/г

""s‘(g, T) = ( - l)"g' e 少(/储 T + 汲)0有 (汲，T一卜就)，

/£ 二 0, 1, • * ., из которых следуют равенства

屮⑴(g,厶一跳一0)=屮⑴(g, t^-kh+ 0),}

t ~ 0, . •., A ― 1, I 一

^<l>(^> t^kh — O^^^g, 11~кН + 0)+ >(111)

+ ( -1)%或(阮，力)，I

»匚"，Ar4-15； k= 3 2, . . . j

Допустим, что для некоторого g = go, || g° || = 1, имеет место тождество

屮(go, Т)三 0, Т С Т.(112)

Тогда

2⑴(go,厶一0) = g6力(0,力i) = 0, 3 = 0,— 1.

(ИЗ)

Кроме того, из (112) имеем

屮⑴(go, t — 0)=屮⑶(go, т + 0) =。， т С 7,

2 = 0,..., " — 1.(114)

Рассматривая соотношения (114) в точках т =厶一kh, 4 = 1, . . ., а, и учитывая (111), получим

gE ("无，厶)=0, Z = А, — 1; А = 1, . . а. (115)

Присоединяя к равенствам (113) и (115) соотношения

go7z 侬瓦厶)=。，》= 0, • . А — 1; Л = 1, . . а, проверка которых не составляет труда, приходим к выводу：

go7z ("儿力i) = 0, » = 0, . ." — 1; А： — 0, . . ., а.

Поскольку по предположению || go || = 1, то последнее означает линейную зависимость векторов © (kh,幻， i ~ 0, . . ., п — 1; А： — 1, . . ., а} и одновременно системы 気仪(厶)・ Это противоречит условию. Теорема доказана.

Об относительной управляемости по линейному приближению динамической системы с запаздыванием

Пусть дано уравнение движения

■^ = /(2 ⑺，①(力—3, “(/)), /(0, 0, 0) = 0,

0(•) = {力⑴=①⑴，^^<T<0,£(0) = %},

где х — {第储..хп}, и = {〃储..〃「}, / (芻 у, и) определена и непрерывна вместе с первыми производными по всем аргументам.

Определение 12. Нелинейная система называется от- носителъно управляемой, если для любых 厶〉0, 厶 > 0 найдется число а0 (勿，L) такое, что каждая траектория х (/), соответствующая состоянию из области

II 啰0 ( ') 11 '^ CtQ (/],厶)，

может быть переведена в начало координат 第 = 0 с помощью кусочно-непрерывного управления и (/), II 口 ⑺ II < L.

Составим для (116) линейное приближение

М? — Ах (i) /口 (力一h) + Ви ⑺，

где

4 一 df (0, 0, 0) d df (0, 0, 0) о df (0, 0, 0)

Имеет место следующая теорема.-■

Теорема 20. Динамическая система (116) относительно управляема, если относительно управляема ее линейная модель.

Доказательство этой теоремы можно провести по схеме § 7. Необходимые изменения вполне очевидны. В [74с] для аналогичной цели применяется теорема о существовании корня [2]. Теорема 20, содержащая достаточные условия управляемости нелинейных систем, аналогична теоремам об устойчивости по линейному приближению.

Полная управляемость динамических систем с запаздыванием. Критерии полной управляемости

Вернемся к линейной системе

(117)(117)= Лх ⑺ 丁 Aix(t — h) + Ви ⑴,

(117)

(117)

出0()= {方(T) -二①⑴，一力《TV0，£⑼二片0}.

Определение 13. Состояние 胃° (♦) называется управляемым^ если существует момент 厶 <оо, кусочно-непрерывное управление и (/), О W 力 W 厶，такое, что траектория х (/) системы (117) удовлетворяет условию

第(方)=0,厶—万W /式厶.

Определение 14. Динамическая система с запаздыванием вполне управляема, если каждое ее начальное состояние управляемо.

Критерии полной управляемости получены для ряда частных случаев системы (117). Сначала выделим те системы, в которых эти критерии совпадают с условиями относительной управляемости.

Система с п входами. Пусть движение системы описывается уравнением (117), причем ранг матрицы 3 равен п. В этом случае вопрос о полной управляемости решается наиболее просто. Очевидно, при сделанном предположении г ^ п. Не уменьшая общности рассуждений, можно считать, что векторы д1, . . ., Ьп (столбцы матрицы В) линейно независимы. Введем новые управления и (力)—{〃]⑺,..ип ⑴} и 打(力)={wn+1 (/), ...,ur (/)}. Тогда уравнение (117) примет вид

х ⑴=Ах (/) + 4况(t — h) B^v ⑴ + B2w (i),

где Bi ——неособая матрица. На основании теоремы 16 система (117) относительно управляема. Значит, для каждого начального состояния z0 (•) можно указать такое число 九，厶 V8, и функцию 么()что

n (/]—无)0.

Продолжим u (/) на отрезок [厶一h, £ J положив

u (%) = - В^a ix (t -无), w (方)=0.

Таким образом обеспечим условие

х (X)0,力 1 — A t •& 力j.-"

Следовательно, система (117) полностью управляема.

Дифференциальное уравнение n-го порядка с запаздывающим аргументом. Пусть движение системы происходит по закону

Пп)

2⑺⑴+ £ а^п-^ ⑺十 2 ai,s#n-s)(t — 协= ■i=i6=1

тт/1 1Q\

-2 bju^(t), i>0,£ 货>0,

/3)⑴=(!)(A)⑴，工日—九，0],及=0,— 1.

Уравнение (118) вполне управляемо. Действительно, представим его в виде

y(t)=Ay(t) + Aiy (t-h) + b[i (0，I (“9)

%(・) = {(D(r),工曰一九 0]}, J

где 卩(力)=2 bjU^ (^) —новое управление, Ф(т) = {Ф° (т),... ...,Ф(п-1) (т)} — начальная функция,

01о…о

001 оо

,00 1

О0 1о

4=::，b=：

О...0о

Нетрудно проверить, управляема (по ц). ЭтоНетрудно проверить, управляема (по ц). Эточто система значит, чточто система значит, что(119) относительно для каждого 沙о(・)

Нетрудно проверить, управляема (по ц). Это

Нетрудно проверить, управляема (по ц). Это

что система значит, что

что система значит, что

существуют конечное число 厶 и кусочно-непрерывная функция Mi(X), 0忌£'久厶一瓦 такие, что

у (厶一九)=0.

Если при 方 С ［% —九，％］ положить

卩2 (力=S й1, зУп-s+i —力)， то управление

J固(方)，扌е［。，h一九I," I 卩2(x), xe［方 1-一无，方Jприведет систему (119) в состояние у (^) ^ 0,厶 ——h <^t ^t^.Тогда управление

J 〃i(X), XC［°,厶一視

I 〃2(方)，力C［方i -九力］,

』厶以产⑴=卩i() * = 1,2,

обеспечит для траектории уравнения (118) условие /间(X)三 0, t — А,力J, А^ — 0, , , ., 71 — 1.

Значит, рассматриваемое уравнение вполне управляемо.

Система с г (г <п) входами. Уравнение (118) является частным случаем системы (117) с матрицами

о4,о4,00

о

4,

о

4,

〃］；九一r-卜］,1 . . .。1； 71—г+1, 72

^ 1 ； П, П о^ 1 ； П, П о8 =8 =оBiоBidet 8j * 0.det 8j * 0.{ ^1 ； 71, 1 ■о .

^ 1 ； П, П о

^ 1 ； П, П о

8 =

8 =

о

Bi

о

Bi

det 8j * 0.

det 8j * 0.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 21. Для того чтобы система (117) с матрицами Л1 и 5 вида (120) была вполне управляема, необходимо и достаточно, чтобы она была относительно управляема.

В самом деле, управление.

(&]«), / £ [0,厶一h]^

()(^2 (^) ™ ^?1^!, 1^ (^ 一九)，xe[勿-力，厶],

полностью отрабатывает начальное возмущение системы к моменту 力二 ^, если 〃】(Е) и 厶 выбраны из условия х (力1 —— Л) =0. Но такой выбор возможен при каждом & (•) в силу относительной управляемости системы. На этом доказательство теоремы завершается.

Динамическая система с чистым запаздыванием. Рассмотрим уравнение

(121)(121)胃(方)=4/(大一九)+ 8〃(力

(121)

(121)

№(•) = {①⑴，tе[一无，0),比(0) = №},

где 胃 = {/], . . ., %孔}, 〃 = {и^ . . ., иг}. Допустим, что ранг 4] равен тг, ранг В равен ) г. Для полной управляемости системы (121) необходимо, чтобы она была относительно управляемой. Отметим, что система (121) относительно управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы {8, А^В, . . ., Ап~1В} равен п (см. § 13). Покажем, что в относительно управляемой системе (121) существует управление 〃(峭 t ^ Т (% ——достаточно большое конечное число), обеспечивающее условие

х (^ = 0, £ С(А — Л,力L(122)

Наряду с (122) рассмотрим тождество /(龍)(X) 三 0, t ^\tx ——Л,厶J, которое в подробной записи имеет вид

A^x(t - nh) n//〃 5-'T)(方一/)三 0, ХС 也一无，切.

Соотношения (123) можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных 〃产一—(力—®，i = °, •…整—1； j = 1，•・•，几 Из относительной управляемости системы (121) следует, что ранг матрицы системы (123) равен п. Поэтому систему (123) можно разрешить относительно

「(/)={“，-"«), 4*т)«), 涼"У》

положив

m"7_')«一认)三 0,4*点，/ * js, S= 1,…，枕一Г.

(124)

Это решение имеет вид

V (X) = Gx (t — nh), £ € 伉一无，力 J (125)

где G — постоянная неособая матрица. Соотношения (124),

(125) определяют управление и (力 на отрезке [〃 —— 汽瓦 力J・ Из (123) следуют тождества

?⑴三工或戶，

(126)(126)А\х (^ — th) 2 //"d-D (力一j期三

(126)

(126)

Здесь И d()II = 0, a dh i = 1,...,整,—— произвольные постоянные тг-векторы. Для того чтобы было выполнено (122), необходимо и достаточно, чтобы \\ & || = 0, 2 = 1, . . ., п, в (126). Преобразуя (126), приходим к системе относительно неизвестных d», f = 1, . . ., п:

e -^?^厶一尸加⑹伯）,e -^?^厶一尸加⑹伯）,i=sS = 0,.…71— 1.i=sS = 0,.…71— 1.

e -^?^厶一尸加⑹伯）,

e -^?^厶一尸加⑹伯）,

i=s

S = 0,.…71— 1.

i=s

S = 0,.…71— 1.

Определитель этой системы отличен от нуля, так как по предположению матрица 4 неособая. Следовательно,

&2 = 0, % = 1,...,义,тогда и только тогда, когда

и ⑻(力1) =0,s = 0, . . тг — 1.(127)

Из (125) имеем

〃еТ) ") = G我 (/ 一叫, X e [厶一瓦厶],(128) где G] — матрица, состоящая из первых г строк матрицы G. Дифференцируя (128) по t, в силу системы (121) получим

u 0)(方)=G]4胃(t — (тг + 1) h) + G^Bu (t — тI九)，

方6 [厶—瓦厶L(129)

Могут представиться два случая.

Ранг GiB равен г. Тогда система (129) с управляющим воздействием w (t) = и (t —— 整无)вполне управляема. Следовательно, существует ш (力)，力 € [厶 一 瓦 厶] (или, что то же самое, и (力，力 €〔厶一(п + 1) h, ^ —汽川，обеспечивающее равенства (127). При этом управление u (X) на отрезке [0, ^ ——(义 十 1) h] может быть произвольным. Таким образом, если система (121) относительно управляема, то условию (122) можно удовлетворить при всех九》他+ 1) h.

Ранг G]B меньше г. Пусть число к таково, что ранг GiA[B^ 2 = 1, . . ., к — 1, также меньше г, но матрица GiA^B имеет ранг г. Из относительной управляемости системы (121) следует, что такое к существует и не превосходит тг ——1. Полагая

и (%) = 0,£ € [厶—("+ 4)瓦力 1 — т?А],

из (128) и (121) получим

〃5十百)⑴= G/?+‘n (£ —(71 + 4+ 1) 3 十

+ G/：8a« 一(孔 十 田九)，t£ [^-Л,厶].(130)

Уравнение (130) вполне управляемо по воздействию w (t) = и (t —(整 + 4)九)・ Следовательно, условие (127) можно обеспечить за счет подходящего выбора управления w (方)，х e 〃i —瓦 方J (〃(方)，х e 心一(тI + 4 j 1)九 厶 ——(孔 + 小)无1), считая 〃(力 на отрезке [0,介 ——(тг -'- к 十 + 1) Л] произвольным.

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 22・ Система (121) (4工 —— неособая матрица) полностью управляема тогда и только тогда, когда она относительно управляема.

Полная управляемость системы с одним входом. Для системы (121) с одним управляющим воздействием (г = 1) ограничение на ранг матрицы Л j можно снять. Рассмотрим этот случай подробнее.

Пусть система

(131)(131)х ⑺ А^ (X — h) + 6〃(力，

(131)

(131)

0(，)={①⑴，Tе[一加0)，优(0) = %},

где и — скаляр, относительно управляема. Это значит, что векторы Ь, ЛjZ?, . . ., /冷丁叮 линейно независимы. Выбрав их в качестве новых базисных векторов, преобразуем систему (131) к виду [39]•

у (*) = 41y (£一九)十&卫(方)，

Уо(^ = {ф1(т)； т£[ —力，0), У(°) = Уо},

0 .…0 % )

1 0 ... 0 а2

0 ...01 ап>

Допустим, что a/i十[ —— первое отличное от нуля число среди чисел а1т . .., ап. Систему (132) разобьем на две подсистемы относительно векторов v ~ {z/15 . . ., у^} и ш = ~ {Z/a.+ij • • •, Уп} • Имеем

u (方)=刀口(方一无)十 е^ ⑴，(X)= D2w (方一厶)十 е2уh (t - h).

Здесь

7 р. Габасов, Ф. Кириллова

В случае к —0 (%*0) вторая подсистема совпадает с полной системой (132): R = y, D2 =^ц, 电=仇, % (力一无)= 〃«). Покажем, что условие у (/) = 0, ££［厶一 ——力,勿］,будет обеспечено, если к системе (132) приложить управление

'内⑴，方 С W, h — nh\,〃(方)=« 〃2(%)，大e［厶一賣儿厶一左同，

"0,方ё ［片-册，切，

где 〃i ⑺ и 厶 выбраны так? что

У?)(厶一无) =。，％ = 0,I, (133) а 〃2 (力 удовлетворяет тождеству

w^ (^) = 0, i 6 ［i(一加力］, или,*б подробной записи,

Ly (t -儿例十 £° (方-ih)三 0,(134)

方£出一瓦方J

Здесь D\ = E, L — (n — к) >< тг-матрица вида

L^{lu} = {［Drh+i~ie2h}.

Заметим, что при каждом фиксированном 力力 £ ［片——无，^］, решение {и^-^ {t-Щ, ^~^ (t- (к + 1) h), …，〃2 (£—(整一1)期} системы (134) существует в силу линейной независимости векторов 匈，°202, «• •, D^^^e^ и полностью определяется состоянием {у (力)，力 £ ［厶— —(zz —1)瓦 ti — nh^}. Если 〃2«) найдено из (134), то имеют место тождества

D^w (/ - mh) + 2 DiT^^^ « —",)=

pin-m~s

三 2j "sm —gjr，加"=1,孔;*CHi —力，厶1,

8=0

где II "о || = 0, a d〃 z — 1, ...,", — произвольные постоянные векторы. Рассматривая （135） в моменты 力=厶——h и 力=厶,получим для di, f — 1, . . ., n, систему алгебраических уравнений

2 J （Г s 口у? E力- s）!2]%一= e 叫/（力一无），"6）

s 0,— 1,

с определителег*!, отличным от нуля （матрица Р2 неосо- бая）. Если управление %（力），t g [0,厶一тг无],выбрано из условия （133）, то система （136） допускает лишь тривиальное решение: ||或|| 二二 0, % =1, .. ., п. Последнее означает, что

*（*）⑺ 三 0, t g [ti — h, ij, A： = 0,.…汽一1.

Таким образом, управлениеv

Г "i ⑺，t £ [0, ti—nh]^

""）一 （〃2（力 tQ\t、 - r@ ti — kh],

при условии （133） обеспечивает успокоение системы （132） к моменту t ~ ty по п —— 衣 координатам 勾卜十订 ...,уп. Более того, это же самое управление заранее «подготавливает» траекторию системы к тому, чтобы отработка возмущения по остальным А координатам произошла при выключенном управлении

а3 （方）==0,方 C [方]—及九，£]].

Действительно, из （132） следует, что при и ~ и3 （/） у】（力）=const, t С Iti — kh,力J

Кроме того, в силу （132） и （133）

51（厶 - kh） = у2 （^i -伯-1）九）==漬"（厶一九）=0. Поэтому

y1 （X） = 0, X e [方1 —及儿 ％].

Пусть ДЛЯ произвольного r, 1W，W& — 1，

уг （方）三 0, X e 伉—（k -尸+ 1）九 xj Покажем, что тогда

孙*1 （方）=0,力C【方1 -（而一厂）瓦力L

Из уравнения (132) имеем

办+1(X)=const, X e [勿—(无一小 儿£il「

Но поскольку "十1 (厶一(耳一，)九)=

М孙+2(厶3-—1)九)=.…=壮"‘"")， то

Уг+i (х)三。，X C[％ -(及一，)力，厶].

Вследствие произвольности числа г заключаем:

y§+i (力)==0,力 С【％ —侬—s) A,厶],s = 0,..左—J.

Для завершения доказательства остается обосновать возможность выбора управления Uj (X) в соответствии с (133). Разрешим уравнение (134) относительно 乂2 ⑺—左—D {t — №)：

吟a’ (t — kh) = а’У (t — n% 方 £也一无，厶L (137) Здесь 〃 = {〃储...,а71}——некоторый постоянный вектор, причем 〃i= —ak+l. Вычислив в силу системы (132) производную yV1》(力一~ Д), с учетом (137) получим

y”(/ -无)=a'4也(X - (^ 1) h) 一 a"十i〃 (方-『也)，(138)

Так как по предположению аА+1 * 0, то уравнение (138), рассматриваемое на отрезке [% — Л,厶]и потому являющееся уравнением без запаздывания, вполне управляемо. Следовательно, условие (133) можно обеспечить при всех 5 厶》伍 + 1)无，за счет выбора управления и (X) лишь на отрезке [(п + 1) Л,力J считая его до момента 力=(汽 + 1)九 произвольным (например, 〃 (力)=0, X € [0,(汽-卜1)无])・ Таким образом, система (132) полностью управляема на каждом отрезке Т,厶 ^ (孔 + 1) h. А так как уравнение (132) было получено из (131) с помощью неособого преобразования, то из полной управляемости системы (132) следует полная управляемость системы (131).

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 23. Для того чтобы система (131) была полностью управляемой, необходимо и достаточно, чтобы она была относительно управляемой.

В пп. 1—4 настоящего параграфа показано, что в некоторых случаях выполнение условий относительной управляемости гарантирует полную управляемость системы. Однако в общем случае это не так.

II ример 10. Система

片⑴=/7⑴+ Apt (X 一期+ bu (f)

с матрицами

4]=4]=0 0]1 о г0 0]1 о г

4]=

4]=

0 0]

1 о г

0 0]

1 о г

которая, очевидно, относительно управляема, при 九=1 не является полностью управляемой.

Пример И. Система (117) с матрицами

не является полностью управ-не является полностью управ-ни при каких Л,九 > 0, ляемой.

не является полностью управ-

не является полностью управ-

Один вспомогательный результат. Ниже (пп. 7, 8) рассмотрены еще два частных случая системы (117), для которых можно указать достаточные условия полной управляемости, не совпадающие с условиями относительной управляемости.

Предварительно сформулируем один результат, относящийся к относительной управляемости систем с запаздыванием, который будет использован при разборе этих случаев.

Допустим, что требуется привести систему (117):

х (力)=А х ⑺ + 4 ]/ (t ■A) + Ви (£),

2о (•) = {Ф (т), Т С—瓦 0), Z (0) = &},

в положение 富(厶)=0 при условии, что управление и(X) можно выбирать лишь на части [0, ^ — Л] отрезка Т, а на остальной части оно задано в виде

〃(%)= S ViX(t — ih), tW3 — h,片],(139)

2=0

где Vi—некоторые постоянные г х n-матрицы. Тогда на отрезке 也一九 办]имеем

где Do — Л -|- BVо, Dt = А^ BV 1?= В%，к = 2, .. ., s.

Условие 胃｛厶）=0 запишем с помощью формулы Коши в форме ilS、

胃（厶一h） 4- f 尸t （〃 一无一т） V DiX （т — ih） dr — 0,

门二九t=iа （140）

冗=4储，乙（0） = &,

Заменяя 胃（厶一h） и х （т —汲） по формуле Коши, сведем задачу к проблеме моментов: найти функцию u（0 = ｛/（方）,（方）｝,

которая порождает линейный функционал, принимающий на заданных элементах заданные значения：

/1—h

j ur （0）[尸2 （& —瓦 9） B]j dd = Pj, / = 1,…，侬 一

Здесь

& （厶：_勺 Q） = F （h-瓦 0） +

十J %（厶一2无一T）》0/（T一（力一1）加8）呪，（141） "—2£= 1

【尸2 （七，9） B]j —— вектор, составленный из элементов j-й строки матрицы 尸？（七,9） В, а величины Р； определяются начальным состоянием xQ （•） системы （117）. Образуем последовательность матриц Гй （s, о）,友=1, 2, . . ., по правилу

Го（£，6 — Qo （s）,

rft （S, о） = Qh （s） + 储（一 о） £ QQat （s — （i — 1）无）+」

s I｝（伍2）

+ 储（一0十厶）22Qj（s —® + ^4^1,一

加＞1, s》0, о》。，I

где Qk (s)——решение определяющего уравнения (62). Справедлива следующая теорема.

Теорема 24. Если

ранг {1\(а无,无)，а = 0, . . к = п ~ X} = п. то система (117) с заданным на [力一瓦厶]управлением (139) относительно управляема.

Доказательство. Если выполнены условия теоремы и 厶 > nh, то можно указать такой номер А, 1 & 厶&乙 dto соотношение

必(g, 9) = g'【％ (厶一瓦 9) B]k f 0,

0 е [0,厶 一 h], (143)

В.В.будет выполнено для любого вектора g, ||g || = 1. Здесь [力2 (厶一瓦 9) B]k — А-й столбец матрицы F2 (厶一h, 0) Допустим противное. Тогда для некоторого вектора g — go, II go II =1, имеют место равенства

В.

В.

3俨"g。，厶一加一0) = 0,]

w严(go,力-月也一。)-w好(go,厶-ph + 0) — 0, >(144)

zn = 0, . . ., n— 1;夕=2, .. ., n,

где ipT (g, 9) — w-я производная по 0 функции 屮左(g, 0). Преобразуя (144) с учетом (140) — (143), получим

go [Гт (叫 h)]k - 0,

а — 0, . . ., zn; т = 0, . . п — 1; А = 1, . . ., г.

Но последние равенства возможны лишь при || go || — 0. Полученное противоречие доказывает теорему.

Поскольку для полной управляемости системы необходимо, чтобы она была относительно управляема, укажем сначала условия относительной управляемости системы (117), (145).

Ле.мма 3. Для того чтобы система (117), (145) была относительно управляемой, необходимо и достаточно, чтобы

ранг {Б, АВ, /出}=忆 (146)

Доказательство, Достаточность. При условии (146) определяющее уравнение (62) невырождено, и, следовательно, по теореме 16 система (117) относительно управляема.

Необходимости. Допустим, что система (117), (145) относительно управляема, но ранг {В, АВ, А^В} <С ^. Тогда, учитывая специальный вид матрицы Б, имеем

風Н =aiinbj=^O, 7 = 1, 一.，汽一1.(147)

Здесь и ниже принято обозначение: если D = {d订}— 勿 X /-матрица, то ds = {厶㈠.•厶"，dp = {必….dkp}, s = 1, . . A; p = 1, . . Из (147) следует, uto a,订工 0, 。1屮了 = 0, у = 1т . . ., п — 1, поскольку по предположению det 31 抬 0. Но тогда во всех матрицах Qk (s)= =匂仃(к, s)}, Л = 0, 1, . . ., удовлетворяющих (62), векторы 0^(6, s) при каждом фиксированном s С (—оо, оо) нулевые. Следовательно, определяющее уравнение (62) вырождено, а тогда в силу теоремы 16 система (117), (145) не является относительно управляемой, что противоречит условию. Лемма доказана.

В соответствии с леммой 3 рассмотрим две возможности.

Допустим, что

ранг {Б, 45}=儿(148)

Это значит, что || Bfait п || Ф 0, т. е. можно указать к, \.^к^п— 1, такое, что 〃；，八匕互抬。. Если для каждого начального состояния %()(•) существуют 厶，% V оо, и "(•), обеспечивающие условие

х (力—九)=0, (149)

то дальнейшее управление системой по закону

щ (0) = 0, 2?例 〃丸(»=「- Is,沦力胃(8) + )

al,施〉(150)

十。1П力口 (H -%)],8e也一2九厶一矶J

И

〃⑼一B^Ai{x (9 — h), 8 W [厶一/?, ^il, 1

(151)(151)(。1, 11• • • 〃3 in )I

(151)

(151)

(〃i,nTi“-in 丿丿

приводит ее в состояние х (^) = 0, ЕС【％ —瓦 fj. Действительно, равенства (150) получены из условия 〃；,八方(0) = 0, 8 C [力1 一 2斤，乙一川，откуда следует, что ^\,п ^ (9) = const на отрезке [^ — 2九，厶一h\. Но если выполнено условие (149), то а]* (0) = 0, 0 £ [^ — 2小 ti — h]. Последнее тождество вместе с (149) и (151) обеспечивает условие 胃(8) 三 0, 8 e [% 一 无，力J.

Таким образом, система (117), (145) полностью управляема, если существует управление 况⑺，t С [0,厶一2悶， решающее задачу (149) при условии (150). Достаточные условия разрешимости задачи (149), (150) следуют из теоремы 24 в предположении, что в формулах (142) положено

“0 = {&j} = [。£ j7 ~ Oj®, 72仇 1 '

I ai,nbh丿

■ = {或j} = I %, ij-,(152)

I a]；nbk J

Dm == {0}, m>2.

Пусть теперь

ранг {В,力仍} Va(153)

но

ранг {Б, АВ} j п. -(154)

Из (153) имеем а1>п/— 0, / = 1,...,汽一1. Будем считать а]>пп 抬 0, так как в противном случае оказываемся в условиях теоремы 21. В силу (154) норма || В'ап || 抬 0. Следовательно, люжно указать такое число 勿，1《к ^ ^ п — 1, что anbk 方 0. Чтобы обеспечить условие 〃匚r (0) = 0, 8 С 1厶—2瓦 ti —川，положим

Ui (0) = 0, 方*厶，uh (9)尸一{風/胃(8)十

anbk、

十成/口(0-无)十 a1. nn [風X (0-")+ 〃, "z(0- 2月)]}, (155)

8£［厶—2儿％ 一无］.

Тогда для траектории системы (117) будут выполнены тождества

(156)(156)dnx (力—耳)+ a]，7；ж (%—2无)=="，

(156)

(156)

成,n^ (t - ^)三"力十西 方W [厶-儿厶],

где 必，i = 1, 2,— некоторые постоянные величины. Из (156) следуют уравнения

(1 -厶+无)必-厶=^n^ (方i -论)，

厶心+庵=a1,П胃(九一无)，

которые при условии (149) обеспечивают равенство пулю постоянных 心，i = 1, 2. Если на отрезке [厶 —— 瓦 厶I управление определить с помощью (151), то с учетом (149) и (156) (где di = d2 — 0) получим 胃(%)三 0,厶一无 «方 « & 厶.Следовательно, и в этом случае система (117), (145) вполне управляема, если она относительно управляема на [0,厶一川 с управлением и «), t ^[t^ ~ 2 瓦 厶一h] из (155). Последнее имеет место, если для (117), (145) выполнены условия теоремы 24 при

I an^k 丿

полной управляе-рассмотрим систе-полной управляе-рассмотрим систе-△ = ｛曲｝=卜3 "一空[風a,

полной управляе-

рассмотрим систе-

полной управляе-

рассмотрим систе-

02 = ｛嗚｝ =Ff匕氾的，n力

anbh

Dm = ｛0｝, zn>3.

8. К исследованию общего случая мости. Обобщая предыдущий случай, му (117) с матрицами

。3 ii • • •^1, in。3 ii • • •^1, in[0.. . 0[0.. . 0°3 Г• • • °3 rn仪1, r+1 i • • • al, r+1 n0... 0°3 Г• • • °3 rn仪1, r+1 i • • • al, r+1 n0... 000

。3 ii • • •^1, in

。3 ii • • •^1, in

[0.. . 0

[0.. . 0

°3 Г• • • °3 rn

仪1, r+1 i • • • al, r+1 n

0... 0

°3 Г• • • °3 rn

仪1, r+1 i • • • al, r+1 n

0... 0

0

0

(157)

Возможны две ситуации.

Ранг {3}抬 ранг {5, А^В}. При этом предположении исследование полной управляемости системы (117), (157) проводится по схеме п. 7 (случай: ранг {5, АГВ}二二 =п). В результате приходим к соотношениям, аналогичным (150)——(152), с той разницей, что в (150), (152) вектор ®,п заменяется вектором а1>г + 1, а в (151) Лн и]51 — матрицы из (157).

Несколько сложнее исследуется случай ранг {5}= = ранг {5, АХВ}. Будем считать, что || «1>г + 1 || к 0, так как случай ,[ rz1>r+1 || — 0 уже разобран в п. 3.

Предварительно докажем одно вспомогательное предложение, справедливое лишь в случае 2).

Лемма &• Если

。1，Т+1幻("。)=。，7=1, Г；0=0,A*, то

〃〔г” 办(〃+加，加无) = °,, г; zn= 1, 2,...

Здесь '/(?, s) —/-宓 столбец матрицы Qp (s) из (62).

Доказательство проведем по индукции (индукция по двум индексам). Положим сначала р = 0. Тогда из соотношений

а；, г+19; (0, 0) = 0, / = 1, ..г,

следует, что аь г+1； = 0, /=1, .. ., г. Поэтому

様1, r+ 1 Qj (1,^)=^!, г + 14幻(°, °) = "% г+3 r+i。】，г+ 1 幻(°，0) = 0・ Вообще, если

1, i Qj (m, ^^) j =

то

*,T+i 力(加+1，(^+1)无)=a;，Г+14 幻(凡m无)=

=。厶 r+i, r+i^i, r+ 士0/ (^, mKj = 0.

Предположим, что утверждение леммы справедливо для р = 0, . . ., к— 1. Покажем, что оно имеет место и для р^к. Итак, пусть

叶1幻(Р，°) =。，» г； p =。,

Это значит, что [(力‘尸〃九 r+1]s = 0, s=l, . . ., г;夕=0, . ., ^ к. Тогда

a；, r+iG (" + 1, ^)^^'а^т^' qj (*,期+*, r+Mm•的。)= =*, 丫+/2力・伍—1, h)+ai： r+lAA^qj(k— 1, 0)十

+ ai,「+14g/ (〃, o)=「+ м®(1,无)+

+ 2 %, r+ iA^A^j 亿 0)= 2 а；, r+ м J，4而(j, 0)= i — 1i—0

~ £ [(" )' 1 %, r+i]r+ir+ ⑦(i, 0) — 0, 7 — 1»

Допустим теперь, что

«1, r+iQj (k^m, mh)^07 j=l, A

и покажем, что

。〔，r+i 幻(勿十阳 + 1, (^ + 1") =。， 7 =г.

Повторяя предыдущее рассуждение, получим

%, r+i 幻(勿十加+1, (^ + 1)无)=向，r^iAqj^k+m, (m^- 1)Л) + + *, r+Mg(衣十zn, mh^a^ r+i^g； (k + m—1, (m+l)h) + + r+ i^iqj (k^m— 1, тк) + а^ г-мЛ^； (k~ m, mh)=

=...=r+ £力论外(^ 十 1 j (^ + 1)无)十

/ 工 1, . . ., Г.

Лемма доказана.

Следствие. Если система (117), (157) относительно управляема, то существуют числа I и р、1-^l^n—1, 1 ^р^г, такие, что

«1, Г+1?)(*, 0) = 0, 7 = 1, . . ., г; " = 0, ..2—1,)…

_(158)

Т+ 1 蚤(厶。)¥= 0.

Действительно, поскольку по предположению || 〃岂汁]|| 关 关 0, то в силу леммы 4 равенства

а；,宀幻(А 0) =。，/=1,「；〃 = 0, • ■ •, п — 1,

означали бы, что

ранг ｛幻(А 0), 7 = 1, . . ., г; k = U,….，几一1｝

Последнее противоречит относительной управляемости системы (117), (157).

Перейдем теперь непосредственно к вопросу о полной управляемости системы (1J7), (157). Рассмотрим уравнение %,叶便ь(方)= 0,方g[% -2九力一回，

или, что то же самое,.

а； л 3 ^i (^)х (t — ih) 2 «1 т+1幻仏 0)"『«) у °・(159)

Здесь I — число из (158), а Pk (s) — решение определяющего уравнения (98) с начальным условием

(Е, s 二 0,

A(s)= ｛。，s，0.(物)

Положим

北(方)=-5丁4口(方一无)，方W[厶一瓦厶],(161)

Uj (/) — 0, j 关夕，Z g [ti — 2h, t^ — h].(162)

Тогда в силу (159)

"p(")К——；——l〃7、一山，叶1』P^ih^^t-ih), (163)

方w也—2","一矶

Такой выбор управления обеспечит для траектории системы тождества

s2.

г+1 2 Ps(ih) x(t—ih)三 2 dj %?三3 (164)

s — 0, • • • 5 2 — 1, t ^ \t^ — 2瓦厶一h],где dj, 7 = 1, . . ., I — произвольные постоянные интегри-рования. После несложных преобразований соотношений

) приходим к системе алгебраических уравнений относительно d力 / = 1, . . ., I：

)i dj .，/)!「 0:,叶1з(％ 一月)，

'一在 i-k~j 丸.

E dj"Jj: 一力! 一 2 [(/'у "3 计山+i 2 dj-k+i ]； + l/)! н

沁1£=о4在

Нa] Г十]⑷"(％ 一力)，左二1,2-1,

определитель которой

равен

A (A)—

hl~^

..人

(I)!

(/ — 2)!•

*2

"-3

..1

—[&i, r+i]r + l

(2-2)!

(/ — 3)!*

公一4

• • —[。3 r + ilr+l

-[/1a；十 i]r十i

(2-3)!

(f!•

1—仅1，r+llr + 1 •

.一1(/'广3也,+(

41 一О 7。3Г十山+1

Пусть 勿，厶 V ос, и " (•) таковы, что имеет место (149). Если при данном h определитель A (h)关 0, то с?； = 0, / — 1, . . Z, и, значит,

a；, j(t 一无)=0, 方C比一儿 厶L

Последнее условие в совокупности с (161) и (149) дает х (^) = 0, 勿一九 V 力 W 厶・ Таким образом, если h не является корнем уравнения A (h) — 0, то для доказательства полной управляемости системы (117), (157) достаточно обосновать разрешимость задачи (149). Это можно сделать с помощью теоремы 24, полагая в (142)

〃订 ； 一 〃 n\ %，T-HPj 仏 0)r+&(2, °)

■ = {&”} = Ml, ij;h 广aj, r^iPj (Z, h)

I %,叶邑(?，0)

Dk = {&"}匚—I-;J 〃 ai, r+iPj (厶

勿工2,2; Dm = {0}, zn > Z 4 1.

. Общая схема исследования полной управляемости

В предыдущем параграфе на частных примерах была проиллюстрирована возможность сведения функциональной проблемы полной управляемости к конечномерной задаче. Ниже описан способ такого сведения в общем случае.

Рассмотрим систему (117):.

x (z) a x (方)+ ?1 口(6 ■无)+ bit (方)，

Ж0 ( •) = {Ф (т), Т С [—儿 0], 2 (0) = g},

с произвольными матрицами 力,/^ и вектором Ь. Допустим, что она полностью управляема, т. е. для любого х0 (•) существуют такие ^ и w (•) — {u (Z), t С [0, %]}, что

方⑴三0,方c "1 -瓦方J(165)

Не уменьшая общности рассуждений, можно считать 厶 2> 2nh, так как если система полностью управляема на отрезке [0, Z2], t2 < 2/г无,то она полностью управляема и на каждом отрезке [0,厶]о [0, /21- Введем некоторые соотношения, следующие из (165), которые потом используем для нахождения указанных 力 и " (•). Вместе с (165) для рассматривае 1ых 厶 и и (•) должно выполняться тождество

пп—1п—1

工厶(〃2)2« —®+ 2 3 幻(论)(%—® 三 0, (166) i=0i—0 з~г

Здесь qk (5) и Рп (s) — решение определяющего уравнения (62). Из соотношений (166) следуют равенства

г— 1

(167)(167)S8— 1 8— 1

(167)

(167)

2 P§(jh)力(t — th) +22qj (th) 〃2-H)(t — ih)三

匕=0г—0 j—i

n—s.

三 2j dt 7汽.j , S ~ 1 ； . . . , ?^ — 1；力 W1 九一瓦 ％], г=1

где с/%, , = 1,...,汽,一произвольные постоянные тг-век- торы. Рассматривая (167) в моменты 力=厶 ——h и t ~ tt, получим систему алгебраических уравнений относительно dj, % — 1, . . .，zz•

(168)(168)Е ("Li)!心=2(幻, 2=1?)=0

(168)

(168)

=44 (厶)+ 2 Al~lbu(s~l)(力工)，s^l, . . ., n— 1.

Матрица коэффициентов этой системы после несложных преобразований приводится к виду

"（历）=

hn^

Е

а-2 f

hE

Е

("—1)!

(/г-2)!一

九n-2

Е

А"-з р

Е

-A1

(" — 2)!

.(169)

一

无?1-3

Е

（孔一3）!

(п —4)!.

Е

~Ап~2А1

Будем считать, что в уравнении (117) запаздывание h удовлетворяет условию det М (Л) / 0. Это условие выполняется почти для всех 历, так как det М(Д) 声 0. По предположению управление 辽(♦) и число 厶 таковы, что для траектории системы (117) имеет место (165). Это значит, что в соотношениях (167) все d^ % = 1, . . ., п, равны нулю. Последнее возможно в том и только в том случае, если система (168) является однородной. Так как в силу (165) х (勿)—0, то для однородности системы (168) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены равенства

s.

』/"7匕辽3~力(X, = 0, s ~ 1, . . ., 〃 一

и, как следствие из них,

辽⑺(%) = °, % - ()，. 一，"一2.(170)

Таким образом, если управление и (/), t { [0, 厶], обеспечивает для системы (117) условие (165), то оно необходимо удовлетворяет соотношениям (166) и (170).

Преобразуем (166). Вводя обозначение 心 ⑴ 二二{и (/),...

и (t — (п ——I)力)}, имеем интегро-дифференциальное уравнение [25, 96, 103] относительно вектора и (/)：

Е Q"n-I> ⑴十 J R (/, t)w(t) dx = f(t), ££[厶一瓦匂， i—0ti — h

(171)

где

'Si (()) Oil (左)••• Gi ((九 -1)")、

0 = < 公2 (°) 7/2 (^)qi2((n-l)h)

/5(0)公»他)qin^n—^h)^

П— 1

R 3 т) = £ /'〃(/) S (力一应，т),

S (t~ kh. т)=二

f[F (t~kh, т)匕卜,.,[F (t — kh, т —(汽一1) h) b]1 [F (t — kh^ т) &]2 . . . [/' (^ — kh. т — (?z — 1) h) b]2 >

< p1 (t~kh, t) b]n . .. [F (t — kh, т — (n — 1) h) №,

/ (%) = — ^} Pn (7丸)$ (力%)—

-E 厶(论)f 少(方一的 T) bu (t) аT

и s (%), F (/, т) —функции из 巾орпулы Коши. На основании изложенных выше рассуждений заключаем, что если система полностью управляема, то существует решение

8 р. Габасов, Ф. Кириллова

114 УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. I уравнения (171)

г (/) = Df (/)十 J Г (/, т, 〃)/ (т) 〃т,

ЕСЕ —儿 л),(172)

удовлетворяющее граничному условию (170): uf)(厶)=0, % = 0, . . ., п — 2. Соотношения (170)——(172) определяют вид управления и «) на отрезке [厶一咒九 Ej. Управление и «) при Е С [0,厶一nh] найдем из условия / (厶) =0 в предположении, что матрица F (力储 力】 —— nh) неособая. Преобразуя условие / (%) = 0 с учетом (172), получим

J 仍(厶-泌，T) 6? к (T,力)办"(T) ат н ? 九 X=l, .. ., П. о

(173) Здесь

K(j/i) = Qi(〃，〃一M)[ j歹佑，9十期4田(9, т)(Й—

/1-(714-1)^

—j s(h, 0)d2 〃n(m”(e_/, T)de_

-j j S (厶，⑴门力 3 © 2 厶(翊斤(8-i〃，T)d8〃o], ii~h fj.—力i=0

?二厶т (厶，力i —汽力)["(3)0》 Pn (ih) s (т — ih) dx - ti—hi—о

••卜 J j S (jf15 т) Г (т, 6, h) 2 ^n {Щ s (G—ih) </6 dx — h—nh

-■j 7* (厶，T + 力)/]S (t) dt] — s (力]-汽力).

h一(^十1)力

В результате приходим к следующему выводу： управление и (/),力 © [0,力/, обеспечивающее системе (117) условие (165), иа отрезке [0,厶——nh] является решением

задачи (173), а при 力 С I厶——/^,厶 1 удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению (171) и условию (170).

Справедливо и обратное утверждение： если при некотором ",2nh V 力1 V8, задача (170), (171), (173) имеет решение и (/), £ С [0, /J, то траектория / (/) системы (117), порожденная stem управлением, ^удовлетворяет условию (165).

Действительно, если управление и (^), t R Т、найдено из (170), (171), (173), то система (168) однородна, и при условии det 7И (历)/ 0 она допускает единственное тривиальное решение, откуда и следует (165). Таким образом, для того чтобы система (117) с запаздыванием Л, удовлетворяющим условиям det М (Л)0 и det F (力匕 & — nh)卢

声 0, была полностью управляемой, необходимо и достаточно, чтобы существовало решение задачи (170), (171), (173).

Хотя сформулированные в такой форме условия полной управляемости не являются достаточно эффективными, описанная схема дает практический метод исследования на управляемость каждой конкретной системы почти при всех 历.При этом не обязательно находить решение интегро-дифференциального уравнения (171) в явном виде, что связано с определенными трудностями: достаточно выразить управление и (£) в виде некоторого функционала.

Применение описанной схемы проиллюстрируем па примерах.

Пример 12. Пусть дана система третьего порядка

/1 (0 ~ - /1(力)+ U (方), ^2 (力)=-- 1),]

•卜(174)

/ (0 =22 " — 1).J

Требуется установить, является ли данная система полностью управляемой.

Действуя по общей схеме, составим для нее уравнение (166):

-/1 (0 + =⑴一〃(金) +以(力):「0?'

(力—() + 〃(力—1)- и (/ - 1)о,

—1rl (£— 2) + и (Z — 2) - 0.

Решение системы (174), вычисленное по формулам Коши, имеет вид

< g ⑴ > =< g ⑴ > =< 0 a-10 ； О< 0 a-10 ； О■О'< 0 > 7зо +■О'< 0 > 7зо +

< g ⑴ > =

< g ⑴ > =

< 0 a-10 ； О

< 0 a-10 ； О

■О'

< 0 > 7зо +

■О'

< 0 > 7зо +

十]< 1}①I (т — 1) dr + \О*0十]< 1}①I (т — 1) dr + \О*0< 0》①2 (т— 1) dr 十< 0》①2 (т— 1) dr 十

十]< 1}①I (т — 1) dr + \

О*0

十]< 1}①I (т — 1) dr + \

О*0

< 0》①2 (т— 1) dr 十

< 0》①2 (т— 1) dr 十

%(/)'< 化2 (%) > = Нз").%(/)'< 化2 (%) > = Нз").力 a。，i], ‘ О '^10 +1> &0 +力 a。，i], ‘ О '^10 +1> &0 +\ 0 > ^зо +UJ\ 0 > ^зо +UJ

%(/)'

< 化2 (%) > = Нз").

%(/)'

< 化2 (%) > = Нз").

力 a。，i], ‘ О '

^10 +1> &0 +

力 a。，i], ‘ О '

^10 +1> &0 +

\ 0 > ^зо +

UJ

\ 0 > ^зо +

UJ

① 1 (т— 1) 〃Т +① 1 (т— 1) 〃Т +/-1/-1О< 1 > R (T 一 1)"工十 о!О< 1 > R (T 一 1)"工十 о!•О'«0 > Ф2 (т— £)几十 丄•О'«0 > Ф2 (т— £)几十 丄6T十Т十1+1 > и(T) dx^ 06T十Т十1+1 > и(T) dx^ 00000> и (т) &т,> и (т) &т,И[1, 2],И[1, 2],工⑺、"2⑴>口3⑴，工⑺、"2⑴>口3⑴，=< —e~t+1 + 1> -^ю _г=< —e~t+1 + 1> -^ю _г0'+ <。>10'+ <。>1£30 +£30 +

① 1 (т— 1) 〃Т +

① 1 (т— 1) 〃Т +

/-1

/-1

О

< 1 > R (T 一 1)"工十 о!

О

< 1 > R (T 一 1)"工十 о!

•О'

«0 > Ф2 (т— £)几十 丄

•О'

«0 > Ф2 (т— £)几十 丄

6T十Т十1+1 > и(T) dx^ 0

6T十Т十1+1 > и(T) dx^ 0

0

0

0

0

> и (т) &т,

> и (т) &т,

И[1, 2],

И[1, 2],

工⑺、"2⑴>口3⑴，

工⑺、"2⑴>口3⑴，

=< —e~t+1 + 1> -^ю _г

=< —e~t+1 + 1> -^ю _г

0'

+ <。>

1

0'

+ <。>

1

£30 +

£30 +

Р Г О'!广 ГО'

I <1> R (т — 1) "т Т I « 0 > 鱼(т — 1) dx-\-

р p-^-1-T'

и (т) dx \0 и (т) dx,

J I О

£》2.

Считая 厶》4, ]фиходим к системе интегро-дифференци- алвных уравнений (см. (171))

—е」/ю— J е-卄％ (т) &т 4 u(t) — u ⑴一卜〃(力)=О, о

6」+1勺((+ j e-什叶 1〃(т)аT +

°.(175)

十"(力—1) — 〃 (方-1) —0,

—-L+2/0+j 6-'十叶2以⑴dT+以(£— 2) = 0,

0

(176)(177)(176)(177)。Ясно, что функция

(176)

(177)

(176)

(177)

удовлетворяет (175), (17()), если только …十，(т)沂” 0.

Учитывая вид решения системы (174), нетрудно убедиться в том, что условие xt (厶)—0 в предположении

(17()) совпадает с (177), а требование 胃？(厶)=% (九)=О приводит к интегральным соотношениям

1

а'ю-г-^о 1 j Ф1 (т — 1) с?т -| j w (т) dx-Q,

(178)(178)—2/0 — ?3()—『tQ (t — 1) dx -j- ^ Ф2 (т — 1) "т—

(178)

(178)

—『(т + 2) & (т) 〃т = 0.

Линейная независимость функций е* 1, т 十 2 гарантирует разрешимость задачи (177), (178) (в общей схеме (173)) при любых начальных состояниях /()(•) и полную управляемость системы (174), если det М (1) / 0. В справедливости последнего неравенства убеждаемся простым счетом.

Пример 13. Рассмотрим систему

?⑴=的")十以⑴，1d79)

g (0 =一*-片2 (/)十 g -1), i

которая, очевидно, относительно управляема. Покажем, что она не является полностью управляемой. Если 厶 & 2, то необходимые условия удержания траектории системы (179) в начале координат

и (f) ^= 0, 胃I (£ — 1)三 0, £ С "1 — 1,厶1,

не могут быть выполнены при произвольной начальной функции Ф (0), 0 6 [ —1, 0]. Поэтом^7 положим 厶〉2. В соответствии с формулой Коши имеем

^[0, 1], .

+

仃⑴I」

1

е{~х

u^dx-}-

+N

1 / / T , J〃 (T) d%

Запишем условие £(%) = 0:

/io + j (т) &т 0,

1

(180,(180,^20 + j e"I)i (т — 1) &т + о

(180,

(180,

「2「2J (е-h十计1 —标1一 J1)辽(т) dx = 0.

「2

「2

лишьлишьЗадача (180) имеет решение при любых х^ (•)

лишь

лишь

в случае, если и (т) ^ 0, т С [力〕—— 1, %]. Составим теперь (166):

幼(£) + "(方)+ 以⑴=!(181)

Нетрудно видеть, что требованиям (165), (170), (181) ^удовлетворяет единственная функция и (t) ^ 0, £ € [厶— 一 2, £/. Несовместность условий (180), (181), (170) иозна- 叮ает, что система (179) не является полностью управляемой. Заметим, что начальное состояние

★ (') = {⑴(т)，Т с [—1, 0), х10 = Oi (0),

go 二—j СФ] (т 一 1) dx}

системы (179) полностью управляемо.

§ 19. Достаточные условия полной управляемости систем с малым запаздыванием

В предыдущем параграфе задача о полной управляемости систем с з.шаздыванием быгха сведена к некоторой эквивалентной задаче. Покажем, что в случае малого запаздывания условия полной управляемости явным образом выражаются через параметры исходной системы.

Обратимся снова к системе (117). Соответствующее ей интегро-дифферертциальное уравнение (171) можно представить в виде

D (р) V (方)+ j В (/, т) и (т) &т = / (£). (182)

Дифференциальный оператор D (р) определяется формулой

he—172—1

』qii(0)工 公!(")产1 …击Т,]((九一1")

£) (p) = .占?2(0)p"~1 2“2他)? JT…%一1,2((国-1)九)}

S仇力(0)。"1 .』仿"(九)…汽一()力)

или, короче,

ПоЛО/КИМ

。(р) — {^ij} ― {“3 北-j+l}.

Известно [90, 126], что существует матрица £ (〃) с det £ (р)二 const 声 0 такая, что

I oo mnn (p)^

Здесь mik (р) — некоторые полиномы от р, в частности, тпп (р) Е dsp\(183)

S = 1

Заметим, что степени полиномов А (р) = det D (р) и Af (р) = det Di (р) равны и не превосходят —п^~^.

Докажем следующее утверждение.

Теорема 25. Если

ранг {Ь, (/ + 儿)b. {А + A^-^b} = %(184)

A(P)声。，3 嘴 #0,(185)

i=n—2

где % и a丸，〃=汽一2, . . .,，一 числа из (183), то при достаточно малых h система (117) полностью управляема.

Из выводов § 16 заключаем, что для доказательства теоремы 25 достаточно при указанных условиях обосновать разрешимость задачи (170), (171), (173). Итак, пусть h —— достаточно малое число. В этом случае условие А (р)声 0 обеспечивает существование решения и ⑴ системы (182). Требование』谓 /。гарантирует зависи- i—n~ 2

мость компоненты 少工(£) этого решения не менее чем от п — 2 произвольных постоянных, что в свою очередь дает возможность удовлетворить условиям (170). Поскольку det 7И (0) ^ 0 и det F (立，幻 / 0, то при достаточно малых h матрицы М ⑺ м F (厶，勿一h) неособые. Таким образом, вопрос состоит лишь в возможности выбора и (力)на отрезке [0,友一nh\ в соответствии с (173).

Вследствие (184) система (117) вполне управляема при 九 = ° gT0 зНачИТ5 что

grF (t^ т) b 片 0, т € [0,印，

для каждого g, || g || = 1. Из компактности сферы II g И 二二 1 следует, что

min max | grF (厶，т) b | = a〉0. 11^11=1 т£Т

Так как gfF (ti — nh, т) & является непрерывной функ- /цисй аргумента Дна отрезке Г 0,("二то можно указать

такие числа а〕 и /%, 0 V а】< а, 3 >(), что

min max | g/ (厶一『從 т)勿^ с^ (力)(186)

乂丿“I всех "Е [0, Aj]. ^^Тисло // можно уменьшить настолько, чтобы одновременно с (186) имело место неравенство

шах И К (т, h) ^ И < ₽ 31)， 〃 Е [0, h^,

0Vp 电)< ai(自).

Тогда для произвольного g, || g || = 1, и Д g [0, h^ имеем max I g'F (t^nh, т) b \ grK (r, h)b\^

> max (I g'/『(九一nh, t) ft | — | g'K (t, h)b\) >

T日 H, /[-7m]

> max \ gfF (ti — nh, т)Ь\— max | g' К (т, h) b |

TеП),九一"们.壬口)，九一削口

> min max | g/—孔历 т)力卜一

II g |I=1 T三[и, % —"А]

max I] К (т, h)— P (k^

maxI g；尸(厶—nh, т) b 丄 g；K (т, h)b\^

%口), /1 —『М]

min max| g/ (勿一汽力，т) Ъ г g'K (т, h) b |

II Ш), 〃一"幻

》a1(小)一8(自).

Поскольку & (月1)—В (7ц)二二々2 仅 1) > °, ТО

gfF (ti — nh, т) b gfK (t, h)b^O,工€卩)，％ —几川，Д£[0, h^\. Разрешимость задачи (173) доказана. На этом доказательство теоремы завершается.

Комментарии к главе I

Понятия, близкие к управляемое! п, нс('гда играли большую роль для объектов (систем, процессов), способных изменять свое поведение под целепаправлеппыми воздейств1гямп. Интерес к свойству управляемости динамических систем усилился после зарождения теории оптимальных процессов [19]. В рамках этой теории были найдены [38b] первые условия управляемости линейных стационарных систем. Сам термин «управляемость» и открытие истинного смысла этих условий появились позднее [58а].

Наши оиределеиня (§ 1) отличаются от известтих, хотя п близ- к и ко многим из ннх. Как видно из содержания глав 1, II, термин «управляемость» весьма перегружен; для отражения новых черт управляемых объектов приходится вводить новые понятия, которые, будучи родственными понятию управляемости, перегружают его.

Метод приращений для исследования управляемости введен в [32i]. Для линейных систем он эквивалентен методу неопределенных множителей и приводит к одному из вариантов формулы Коши. Теорема 3 о минимальном числе входов управляемой системы доказана другим методом в [218].

Достаточные условия управляемости линейных нестационарных систем разными методами доказывались неоднократно [74н]. Естественен вопрос об обращаемости этого результата. Конечно, в общем случае ответ отрицателен [74п, 212].

Критические случаи управляемости еще мало исследованы. Здесь можно отметить работу [59] для систем на плоскости. Однако методы этой работы, пожалуй, трудно обобщить на системе большой размерности.

В §§ 11 — 16 исследуется управляемость динамических систем с запаздыванием. Новый взгляд на условия управляемости обыкновенных систем позволил ввести [66b] понятие определяющего уравнения системы управления. Это уравнение в вопросе управляемости играет такую же роль, как характеристическое уравнение в вопросе об устойчивости систем. Относительная управляемость исследовалась и в [143]. Полная управляемость систем с запаздыванием —проблема более трудная, чем относительная управляемость, исследованная в §§ 11 —16. Это свойство рассмотрено в [74п].

Глава fl

ТЕОРИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

§ 1. Постановка задачи. Определения. Метод исследования

Пусть динамическая система описывается уравнением

雾= /(2, "), 2(0) = 0,力С = [0,切，/(0, 0) = 0, (1) где / ——лг-вектор состояния, и ——r-вектор управления. Предположим, что управляющие воздействия 〃⑺，力 С Т, суть кусочно-непрерывные функции. Такие управления будем называть допустимыми. Каждому допустимому управлению и (^), 力 £ 7\ соответствует единственная траектория х (看) системы (1), исходящая из точки 况=0.

3 а д а я а. Найти условия, при которых для каждой точки /1 найдется допустимое управление, переводящее траекторию из / = 0 в / =

Определения.

Начало координат называется ТL-управляемым 8 направлении р,丨| 歹 II = 1， если существует такое число а0 = а0 (%, A, p)>0jrro для каждого а, | а | W а。，найдется допустимое управление и ⑺，|| и ⑴ || 总 L, такое, что р'х «О 工 а.

Динамическая система Т1 ^управляема (в наиалс координат), если начало координат управляемо в любом направлении inf а0 (力，L、р)〉0.

"箝 11= 1

Начало координат называется управляемым в направлении р, (I /? II — 1, если оно Т£-управляемо в этом направлении при некоторых 厶=厶(Р) <g, L = L (р) < < 8 (а0 (乙，乙，Р)> 0).

Динамическая система (1) управляема (в начале координат), если начало координат управляемо в любом направлении (inf а0 (% (р), L (р), р) > 0).

Начало координат называется вполне управляемым 8 направлены и р, если оно в этом шшравлешш 71厶-управ- ляемо с любыми 厶 > (),厶 > 0 (се。(厶，厶，р) > 0 для любых 厶 > 0, £ > 0).

Динамическая система называется вполне управляемой (в начале координат), если начало координат вполне управляемо в любом направлении (inf сц (厶，£,,)> > 0 для любых 厶 > 0, £ > 0).

Начало координат в направлении р управляемо в целом, если оно управляемо в зтом направлении и найдется последовательность 厶丸(р), Lh (р) такая, что

ао (乙а(Р), Lh (р)) -> оо при А： -> оо.

Динамическая система управляема в целом (в начале координат), если для любого направления начало координат управляемо в целом (inf lim а0 (厶丸(р), ||0]1=1 左TОО

Lh(Р),Р)= 8)・

Метод исследования управляемости почти очевидным образом следует из введенных определений. На траекториях системы (1) вводится функционал

/ (и) = р'х (〃).(2)

G помощью формул приращения правая часть выражается через параметры системы. Условия, при которых функционал (2) зависит от управления, суть условия управляемости.

§ 2. Формула приращения по управлению

Сравним функционал (2) на двух управлениях： ui (力= =Q и и = и (I). Поскольку на первом управлении система (1) имеет тривиальное решение х = 0, то приращение △/(〃) = J (〃) 一 J (〃» сведется к выражению (2). Введем zz-векторную функцию яр (力)，屮(厶)=р. Через формулу интегрирования по частям правую часть выражения (2)

можно представить в виде

P,x （幻=屮'（乙）Z （幻=

h j 屮'（f） ,r （/） dt j * （0 片（E） dt. （3）

Па интервале T функцию 屮（看）определим уравнением № = -w⑴，/ =军叱.

Значение 屮«） из этого уравнения, а также х （/） из （1） подставим в （3） и произведем простые преобразования

p'z （力 1） = J 屮‘"） / （。，" ⑴）dt -

J 屮，⑴ FW-^^~] 2 ⑴山十 J о （IIZ （О II） dt. Окончательную формулу запишем следующим образом: J （〃）= р’Х （厶）п

- J 屮'⑴加（0 dt + j 中'（方）2 C^^Uy^dt^ oи w= 1

+ j。（ II % （力）II） 〃 + j。（ II 〃 ⑴ II） d九 ⑷ оо

Здесь

п 一 "（0,0） 厂 吗（0,0）

—ди ， v— dxduv .

Управляемость линейных систем

Ограничимся изучением систем с одним входом. Рассмотрим частный случай для （1）:

dt'-

Из （4） получаем

J（e） = prx （厶）=J 屮‘（£） bu （力）dt.

0

Из этого выражения видно, что если

九(0 =屮'(力)b关。，(5)

то д;гя любого ct0 (вне зависимости от р и 厶)можно найти такое 厶， что на долуст口мом управлении ) 〃(力)二 — 0乙 sign 九(Z) функционал /(〃) принимает все знгше- ния из I ——а0, а01 при изменении параметра 0 в пределах [——1, 1]. 11 наоборот, если /(〃) принимает значения из некоторого отрезка [ — а0? а/, то выполняется (5). Производные ф5гнкции 九(力 имеют вид

；,«) = - ф' (0 АЪ...九Е)(力)=(一1广屮‘(£)/9. (6)

С другой стороны, каждая п X лг-матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению (теорема Гамильтона —Кэли [39])

/九十%/…十.-+ 7吁/ + Упе = 0.

Умножая это равенство слева на 屮'«), а справа на Ь, в силу (5), (6) получим дифференциальное уравнение

公3⑴一%*T⑴+…十Y…(一 1产1 ^⑴十(一/广Y*⑴=0 с начальными условиями

九(方i) = p}, ^(厶)=一02б，…，М一d(%)= (-1产1"4吟儿

Так как однородное линейное дифференциальное уравнение имеет нулевое решение в том и только в том случае, когда равны нулю все начальные условия, то из условия 九(力)看 0 приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Начало координат диналшческой системы (1) ГЛ-управляемо (управляемо, вполне управляемо) в целом по направлению р тогда и только тогда, когда отлично от нуля хотя бы одно из чисел

p'b\ ргАЬ, . . ., pfАп~хЪ,

Следствие. Для ГЛ-управляемости (управляемости, вполне управляемости) в целом динамической системы (1) необходимо и достаточно, чтобы

ранг {А ЛЪ, . . An~rb}

Примечание. Из доказательства теоремы следует, что функция а0 (%, £, р), участвующая в определениях 1——8, может быть выбрана не зависящей от ^, р и неограниченно возрастающей по L.

Управляемость по линейному приближению

Пусть для динамической системы

穿= /(2»), 2(0) = 0,⑺

линейная модель

嘗=4с 十 ба(8)

управляема. Докажем, что в этом случае вполне управляемой является и система (7). Будем выбирать управления и ~ и (t) вида

и (力)=|W «), I У К А,и (力)=|W «), I У К А,(9)(9)

и (力)=|W «), I У К А,

и (力)=|W «), I У К А,

(9)

(9)

где р.——малый параметр. Решение z (Z) уравнения (7) при подстановке (9) непрерывно по р. и имеет по 卩 порядок малости не ниже первого： % «)〜 卩.Форм^^лу (4) в рассматриваемом случае можно записать в виде

J @)=卩]屮'(方) bv (方)dt -|- 0 (n),

где о (卩)непрерывна по р. и имеет по 卩 порядок малости не ниже второго： о (卩)〜рА Управляемость линейной модели (8) означает, что величине ]屮'(力)bv (力)dt с помощью управления (9) можно придать любое значение из отрезка [——М, М], где величина М зависит от L,厶 и параметров системы, но не зависит от р, р., причем для любого 勿£71/f оо, если оо.

Докажем, что для любых ^, L найдется а0 (厶,£) такое, что для каждого а из [ —а0) а0] существует управление u (i), на котором J (〃) = а. Зафиксируем в (9) значение 卩,положив 卩=卩㈠ где рц таково, что | о (卩〃 | = =0, Ijip Пусть для определенности а > 0. Обозначим

через V ⑴ управление из (9), на котором

J 屮'⑴ bv (方)dt = M.

На управлении w (/)仇‘(力 0 W 0 W 1， имеем

j"‘(方)bw⑴山=07И.о

Подставляя управление и (/) = 0卩传(/) в (7), получим, что траектория х ⑴=/亿 Р) и величина о (卩0 = =о (卩 1, Р) непрерывно зависят от 0 и / (厶 0) = 0, о (卩㈠ 0) ~ 0. Значит, непрерывньш по § является функционал J (〃) — /(〃, 0), и при этом его значения на концах отрезка 0总 8《1 равны /(〃，0) = 0, /(〃，1)= 二[\.iM + о (卩i) ^ 0,9卩 17H = а0. Отсюда следует, что найдется такое 0, 0 W В 总 1, при котором / (м, 0) = а. По построению функция а0 (/ъ £, р) не зависит от р. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Начало координат системы (7) вполне управляемо по направлению р, если этим свойством обладает начало координат ее линейной модели (8).

Следствие, Динамическая система (7) вполне управляема, если этим свойством обладает ее линейное приближение (8).

Линейные системы с нелинейным входом

Управляемость в малом. Задачу уп р а в л яемости рассмотрилг для системы

嘗=(Ю)

Из формулы (4) имеем

J (卫)二 р’к (厶)二二

—f巾'⑴方"⑴山—... 一卜j屮'⑴力'?，'(/) dt. (11) оо

Для того чтобы начало координат было вполне управляемым в направлении р, достаточно, чтобы

炉(/)川关0, t W Т,

что в силу теоремы 1 эквивалентно требованию: хотя бы одно из чисел

ргЪ\ ргАЬ\ . . ., рА11-1^(12)

отлично от нуля. Пусть все числа (12) равнм нулю. Тогда первый интеграл в (11) равен нулю. Рассмотрим интеграл

]屮，(方)b也2 (方)dt.0

Поскольку при достаточно малых 厶 функция я|/ (力)ft, 0 W 力 W 九，не меняет своего знака, то отсюда можно сделать вывод: начало координат в направлении р не является вполне управляемым с помощью малых управлений, если

р'А^1 = 0, f = 0,..終一1; 2 |"/6|声0 и 2 мало.

Продолжая эти рассуждения, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. Начало координат в направлении р является вполне управляемым, если первое отличное от нуля число

ргАгъ\ % = 0,..終一1; / = 1,， имеет нечетный индекс j. Когда этот индекс четный, тогда начало координат не является вполне управляемыл! в направлении р.

Следствие. Динамическая система (10) вполне управляема, если является нечетным первый индекс j, при котором

ранг {fe\ Ab\ . ./*1匕'}=叫 j = 1, . . I.

Если указанный индекс четный, то система (10) не может быть вполне управляемой.

вию: I и (^) I ^ Л, где L —— достаточно большое число. В этом случае исследование вполне управляемости естественно начать с рассмотрения интеграла j 屮'(/) blul (/) dt.

о

Нетрудно заметить, что при четном / и достаточно малом 厶 этот интеграл принимает значения одного знака с 屮'(£)〃， при нечетном 2 — противоположного. Из подобных рассмотрений нетрудно установить, что справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Начало координат вполне управляемо в целом по направлению 夕，если первое отличное от нуля число в ряду

ргАгУ. z = 0, . . ., лг — 1; j 4,

имеет нечетный индекс /..

Следствие. Если условие

ранг {〃，АЪ\ . . ., An~rbJ}=汽，1, впервые выполняется при нечетном /, то систелта (10) вполне управляема в целом.

Об инвариантности и автонознюетн динамических систем

Пусть задана система (8).

Определение 9. Начало координат инвариантно к управлению в направлении р, если для любого допустимого управления имеет место тождество ргх «) = 0, / С 7.

Хотя введенное понятие не является отрицанием к понятию управляемости, методы их исследования аналогичны. Из теоремы 1 следует такой результат.

Теорема 5. Начало координат для системы嘗=&十城

инвариантно к управлению в направлении р тогда и только тогда, когда

р'Ь = ргАВ == р An~xb = 0.

Перейдем к динамическим системам с несколькими управлениями

и рассмотрим направления р‘，v ~ 1, . . г.

Определение 10. Начало координат в направлении pv автономно управляемо по отношению к 〃v, если оно в этом направлении управляемо по отношению к zzv и инвариантно к управлениям 〃力 /，w.

Условия автономности получаются из теорем 1, 5.

Теорема 6. Начало координат автономно управляемо по и、в направлении pv, если и только если

1П— 1 Г

i = 02 = 0 1

Комментарии к главе И

Понятия управляемости, использованные в данной главе, эквивалентны аналогичным из главы I лишь для систем, области достижимости которых выпуклы. В частности, это имеет место для линейных систем (с линейным и нелинейным входом).

В основу метода исследования управляемости динамических систем здесь положено понятие, аналогичное относительной управляемости из § 1.4. При таком подходе изучение сложного вопроса управляемости динамической системы заменяется рассмотрением предельно простой задачи управляемости точки по направлению. Результаты решения последней задачи можно непосредственно использовать для изучения задач главы I в случае линейных систем. В общем случае нелинейных систем переход от задач данной главы к аналогичным задачам предыдущей главы можно осуществить через понятие автономно управляемых систем. Конкретнее, если в нелинейной системе с г управлениями начало координат автономно управляемо по г линейно независимым направлениям р*, то любая точка из некоторой окрестности начала координат, лежащая в линейной оболочке векторов pv, у = 1, . . ., г, может быть достигнута из начала координат. Изложенный в данной главе подход и полученные результаты наиболее естественно приложимы в теории необходимых условий управляемости в смысле главы I.

Следующим шагом к исследованию управляемости в смысле определений главы I, которое более сложно, чем рассмотренное в настоящей главе, является введение понятий управляемости по двум, трем и т. д.,八 линейно независимым направлениям. В последнем случае имеем задачу главы I. Этот вопрос в данной монографии не рассматривается. '

В главе II управляемость понимается как свойство систе^ мы, при котором траектория из начала координат может быть переведена в другую точку. Ранее (глава I) ставилась задача о переводе траектории из заданной точки в начало координат. Это сделано лишь для того, чтобы упростить обозначения. Далее, в определения 1—8 главы II внесен несколько иной смысл управляемости, чем в аналогичные определения главы I, что делает эту главу отличной от предыдущей и по существу рассматриваемых вопросов.

Теория инвариантности имеет обширную библиографию. Наш подход наиболее близок к вариационному методу Л. И. Розо- иоэра [104b, 114с]. Там же можно найти некоторые результаты для нелинейных систем. Наряду с полной инвариантностью для нелинейных систем может представить интерес инвариантность некоторого порядка. Смысл последнего понятия можно уяснить по аналогичному понятию индифферентности, введенному в § 3.7 в связи с наблюдаемостью. Грубо говоря, система инвариантна с порядком " по направлению р, если р'х (力)—о (ph) для всех допустимых управлений, стесненных условием ]儿(力)丨 & §. В но^ вом понятии влияние возмущений на функционал учитывается более тонко, чем это имеет место в е-инвариантности [91].

Свойство автономности играет большую роль в теории управления. Как видно из § 6, условия автономности получаются непосредственно из теории управляемости и теории инвариантности.

ГЛАВА 山

НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

・ Постановка задачи. Определения.

Метод исследования

Будем рассматривать динамические системы вида

嘗= /(?), 2(0) = &, /(0) = 0,(1)

где х = {^ь . . ., хп}——вектор состояния.

Пусть информация о неизвестном состоянии 胃° заключена в значениях m-вектора z:

z = h (х), h (0) — 0,(2)

измеряемых в течение времени 7 = [0,勿].Вектор z принято называть выходом системы (1), число т — размерностью выхода.

Задача. Функции f (х), h (胃)заданы. По известному выходу z (/), % С 7, системы (1) найти ее начальное состояние д.

Нам понадобятся следующие определения.

Определения.

Направление р, || /? || = 1 (в начале координат % = 0), называется Т-наблюдаемым по измерениям (2) на Т, если существует такое число а0 = &о (%,')＞。, что любое начальное состояние системы|(1) вида

g = a. I a I W а0,■(3)

можно восстановить по функции 2 (%), % € Т.

Динамическая система (1) называется Т-наблюдаемой (в начале координат), если каждое направление р, И /? И = 1, в точке % = 0 У-наблюдаемо.

Если существует хотя бы один отрезок Т, при котором направление р, || /? || = 1 (в % = 0), Г-наблюдаемо,

то это направление называется наблюдаемым и 胃=О (а0 (t^ р) > 0 при некотором 力 = 厶(卩)).

Динамическая система называется наблюдаемой (в х = 0), если каждое направление р, || р || = 1, в ^ = 0 наблюдаемо ( inf а0 (厶(р), р)〉0)・

Направление р, || р || = 1 (в 胃 = 0), для динамической системы (1) вполне наблюдаемо, если оно Т-наблю- даемо и 胃=0 при любых 勿 > 0 (а0 (匕，р) > 0 при всех 厶 > 0).

Вполне наблюдаемая (и 胃=0) динамическая система — система (1), каждое направление р, || /? || = 1, для которой и 胃=0 вполне наблюдаемо ( inf а0 (〃，р) >

I側=1

〉0 при всех tf >0).

Направление р, || р || = 1 (в 胃 = 0), для динамической системы (1) наблюдаемо в целом, если оно наблюдаемо и существует 厶=勿(/?), при котором а0 (厶(р), Р)= оо.

Динамическая система (в 胃=0) наблюдаема 6 целом, если каждое направление р, || Р II = 1^ в 力=0 наблюдаемо в целом.

Метод исследования наблюдаемости, принятый в §§ 3 —— 6, состоит в следующем. Обозначим через х (/, а) решение системы (1), порожденное начальным условием вида (3). Подстановка 力(/, а) в (2) порождает функцию ) z (厶 а)= = 九(力(厶 а)). Нетрудно заметить, направление р, || р || = —1, системы (1) 7-наблюдаемо тогда и только тогда, когда существует хотя бы один момент t = t такой, что функция z = z (厶 а) в окрестности точки а — 0 допускает обращение а = a (z). Условия обратимости функций легко выражаются через производные. Известно, что функция z = z {t. а) в окрестности а = 0 обратима, если в ряду ее производных

(Е, а)

6М а=0‘

первая отличная от нуля производная имеет нечетный индекс. Если этот индекс четный, то функция в окрестности а = 0 необратима. Для обратимости функции z =

=z 亿 а) при всех а необходимо и достаточно, чтобы она была монотонной (строго) в области определения.

Один из способов вычисления производных (4) состоит в разложении функции z (Z, а) по степеням а. Поскольку 2 (厶 0) = 0? £ С Т, то величину z (方，а) можно трактовать как приращение z (Z, а) — с (厶 0). Таким образом, метод приращений функционалов на траекториях динамических систем находит естественное приложение в теории наблюдаемости.

Формула приращения по начальному состоянию

Из определения функции *) z =九(х) имеем

Z 伍 а) = "У"纪 G，а)十 о (а).(5)

С другой стороны, для любой дифференцируемой функции 屮⑺ и решения 胃(Z, а) уравнения (1) с начальным условием (3) справедливо тождество

t

炉(方)胃(£, a)=屮'(0) pad j . *或"胃(力")成+

+ ju(方)"用；")d九(6)

Определим функцию 屮⑺ 七屮(力，Z) уравнением

*丄=一4，中(力,7),屮亿9 =丝"，▲=粤以.(7)

Подставляя (6), (7), (1) в (5), получим

z (云a)=屮'(0, F) pa - j屮'(力力)//(力a) dJ卜 _0

+ j 屮'(£")[ /(0)十 一4磐"& a)十。(M N(力，a) II) j dt.

Поскольку II х (九 a) || 忘 Aa, t《T, к = const, то окончательно:

z (厶 a) = //屮(0,方)a + о (a).(8)

*) Здесь, как и выше, z — скаляр..

Наблюдаемость линейных систем

Системы с одним выходом. Пусть динамическая система (1) имеет вид

где А — п X /г-матрица. Измерению доступны величины

где с — /г-вектор. В этом случае формула (8) принимает вид z (厶 а) = рг^ (0, t) а,

где 屮亿 t) удовлетворяет уравнению

Отсюда видно, что направление р в системе (9) наблюдаемо в целом тогда и только тогда, когда

р^ (о, о Ф 0^ ^> о.(10)

Выразим это условие через данные задачи. Последовательные производные функции

入(О = ?'w (0, о(11)

имеют вид

i (0 =卩％绅(о, 0,・• •，(0 = р (/)屮 口 0- (12)

С другой стороны, матрица Л' удовлетворяет своему характеристическому уравнению

An + Y館т 十• • • + Тп-А + Уп = °，

'(Лпу + V1 (Ап-у + . . . + Y-i/' + YM = о.

Умножая последнее уравнение слева на рг и справа на 屮(0,力)，получим в силу (11), (12) дифференциальное уравнение для функции 入(力：

W ⑴ + Y的"7 + ... 一+ Ya_A (0 + ?5 ⑴=0(13)

с начальными условиями

X (0) = р'с, X (0) = p'A'c, . .^n-^ (0) = // (4f c.

(14)

Для того чтобы решение однородного уравнения (13) с начальными условиями (14) было отличным от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы среди чисел

р'с, р'А'с, . . ., рг (Лп~1)/ е (15) были отличные от нуля. Сравнивая (10) с (11), убеждаемся, что справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Направление р линейной системы (9) /"-наблюдаемо (наблюдаемо, вполне наблюдаемо) в целом тогда и только тогда, когда не все числа (15) равны нулю.

Линейная динамическая система (9) /"-наблюдаема (наблюдаема, вполне наблюдаема) в целом в том и только в том случае, когда

ранг {е, А'с,...,(幺71」)'с} = п.

Системы с несколькими выходами. Пусть в системе (9) измерению доступны величины

Zj = с]х, 7 = (16)

где С/ ——/г-векторы. Повторяя рассуждения п. 1 для каждого выхода, нетрудно получить следующий результат.

Теорема 2. Направление р для системы (9) с т выходами (16) 7-наблюдаемо (наблюдаемо, вполне наблюдаемо) в целом в том и только в том случае, когда среди чисел

P’Cj, 〃力р' (уГ'Т)’ с力 7 = 1, . . ., m, найдется хотя бы одно, отличное от нуля.

Для /"-наблюдаемости (наблюдаемости, полной наблюдаемости) в целом линейной системы (9) с выходами (16) необходимо и достаточно, чтобы

ранг {С, AfC, . . ., (Ап~У С} = п.

Здесь С есть п х m-матрица, составленная из /г-векторов с力 / = 1, . . ., т.

Наблюдаемые системы с минимальным числом выходов. Пусть в системе (9) матрица Л задана. Требуется указать минимальное число векторов q, . . ., с^, при которых система (9) с выходами (16) наблюдаема. Основываясь на рассуждениях § 1.3, связанных с нахождением минимального числа входов, получаем следующий результат.

Теорема 3. Минимальное число выходов наблюдаемой системы (9) равно числу нетривиальных инвариантных многочленов матрицы

Наблюдаемость динамической системы и ее управляемость по начальным условиям

Рассмотрим динамическую систему

警=2(0) = &,(17)

поведением которой 力(立 力。)можно управлять с помощью выбора начального значения g, || g || 卞 0. Будем говорить, что система имеет вход Й для воздействия по начальным условиямесли допустимые начальные условия представимы в виде

где у —— скаляр, принимающий все значения из интервала (—оо, оо), d —— тг-вектор, характеризующий вход.

Определение 9. Начало координат в направлении р управляемо начальным воздействием^ если для любого а найдутся число 勿 и вектор dy такие, что

ргх (厶，dy) = а.

Определение 10. Динамическая система (17) управляема начальным воздействием, если начало координат управляемо начальным воздействием по всем направлениям.

Для исследования нового типа управляемости используем метод приращений. Приращение функционала

J (g)匚卩‘力(厶，人)

выражается (§ 1.2, § 2.2) через параметры системы (17) следующим образом:

/(人)=炉(0,幻姒(18)

где 屮 亿 幻 一 решение уравнения

吗”)=屮(方，切，2(友，切二Р.

Из формулы (18) видно, что начало координат в направлении р управляемо допустимым вектором 力。,если и только если

九(方)=屮，(0,方)d耍0,方＞ 0.

Это условие эквивалентно (см. § 3) следующему: среди чисел

卩& p'Ad,.・・，ргАп-Ч(19)

найдется отличное от нуля. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 4. Для того чтобы начало координат в направлении р, II р II = 1, было управляемо в целом начальным воздействием, необходимо и достаточно, чтобы не все числа (19) равнялись нулю.

Динамическая систелта управляема в целом начальным воздействием тогда и только тогда, когда

ранг {d, Ad, . An~xd} — п. (20) Сравнивая этот результат с теоремой 1, приходим к выводу, что справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Динамическая система

с входом d для начальных воздействий управляема этими воздействиями тогда и только тогда, когда сопряженная система

наблюдаема по измерениям

2 dfxt

Через условие (20) и следствие теоремы 2.1 приходим к следующему выводу.

Теорема 6. Диналшческая система

с входом d для начальных воздействий управляема этими воздействиями, если управляема динамическая система 嘗=厶/十九

Верно и обратное утверждение.

Наблюдаемость динамических систем

по линейному приближению

Рассмотрим динамическую систему

署= /(2), /(0) = 0,.(21)

С выходом.

z =九(а:)(22)

и линейную модель

令二4"，/=叫(23)

券^.(24)

Докажем, что справедливо утверждение.

Теорема 7. Если направление р, || р || = 1, для линейной модели (23), (24) наблюдаемо, то оно вполне наблюдаемо и для системы (21), (22).

Для полной наблюдаемости нелинейной системы (21), (22) достаточно, чтобы была наблюдаема ее линейная модель (23), (24).

Доказательство. Достаточно доказать лишь первую часть утверждения. Для системы (21), (22) из (8) имеем следующую формулу：

z (/, а)=夕纯(0, /) а + о (а).

В силу теоремы 1 из наблюдаемости направления р в линейной системе (23), (24) следует:

pЧ (0，%)关0，0《 看 W %,

для любого 厶〉0. Поэтому для любого р найдутся числа t, а0 такие, что рг^ (0,力)抬 0, м функция z (Z, а) монотонна по а при I а ] ＜； «о- Последнее означает, что функция z = z 亿 а) при I а I《сц обратима, что равносильно наблюдаемости направления р в системе (21), (22). На этом доказательство теоремы завершается..

Критические случаи наблюдаемости

Определение И. Направление р, || р II = 1, для динамической системы (21) с выходом (22) называется критическим, если оно не является наблюдаемым в линейной модели (23), (24).

Если у системы (21), (22) существует хотя бы одно критическое направление, то будем говорить, что в (21), (22) имеет место критический случай наблюдаемости.

Для исследования критических случаев наблюдаемости необходимо уточнить формулу (8) так, чтобы выписать явно члены, содержащие старшие степени а. С одной стороны,

из (5) имеем

z('，а)к—а)+ 彳“ «, а)—心 ？(力，а) +

十。(ь們.(25)

С другсй стороны, легко проверяется тождество

/'(九 а)屮(%”)е (/, а)(0, а)屮(07 %) х (0, а)

=j [%‘(м a)屮(力力 2 (力 a) т一 x (t, a)屮(九 /) х «, a)] dt +

+f龙‘(九a)中(九方)/(九a) dt.

Матричную функцию 屮(八 %) определим уравнением

^JL= -A'W {t,l)~^ (t,t) А-^^' {t,t)D (26) с начальным условием

屮匕a=^*・(27)

Здесь символом 屮'О обозначено выражение

После подстановки (7), (23), (26), (27) в (25) получаел! искомую формулу:

z (力 а) = ^рг^ (0, 0 + 吟/屮(0,力)卩 + о (а2).(28)

Пусть теперь р ——критическое направление в системе (21), (22). Тогда в силу теоремы 1 имеем

р'^ (0, t) = 0, t £ Т,

и формула (28) принимает вид

z (力 а) = а?//屮(0, i) Р + 0 (а?)・(29)

Отсюда следует, что параметр а на критическом направлении р можно восстановить по значениям z (兀 а) лишь в те моменты t, когда

〃屮(0, %)卩=0,% "

Множество точек 厶 при которых выполняется это равенство, имеет нулевую меру. Чтобы исключить этот особый случай наблюдаемости, введем определение.

Определение 12. Направление р, || р 丨| = 1 (в точке £ = 0) динамической системы называется существенно наблюдаемым, если оно наблюдаемо по значениям z (/), определенным на множестве положительной меры. Динамическая система называется существенно наблюдаемой、 если каждое направление р существенно наблюдаемо.

Нетрудно заметить, что в теоремах 1—7 слова типа «наблюдаемость» можно заменить на слова «существенная наблюдаемость». Мз (29) в силу аналитичности функции 屮(0, t) следует, что для существенной наблюдаемости критического направления р необходимо, чтобы 〃屮(0, t) р = 0, t 6 7.

Дифференцируя это тождество и рассматривая полученные выражения в момент ^ = 0, убеждаемся, что справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Для того чтобы критическое направление р в системе (21), (22) было существенно наблюдаемым, необходимо, чтобы

р‘Ghp = 0, А: = 0, 1, . . .,(30)

где " X «-матрицы Gh получены из рекуррентных соотношений

仇= ° 2，)，G&+4 K/'G『| G^A ^-qhD

泌(0)_ А

‘° 丁， 必十 1 Aq】；

Если динамическая система существенно наблюдаема, то для каждого критического направления выполняются условия (30). Из этой теоремы, в частности, следует, что линейная система

al

С ВЫХОДОМ

2 = С X + XX

нс является существенно наблюдаемой, если

ранг {с, А'с, . . (Лп-1)7 с}

Для нахождения достаточных условий наблюдаемости в критических случаях следует уточнить формулу (29) и выделить в ней члены с а3, а* ... Схема получения таких формул в общем случае описана в § 6.5. Теорема 8 может быть использована и как достаточное условие наблюдаемости, если последнее понимать в ослабленном смысле.

Определение 13. Направление р в (21), (22) называется односторонне Т-наблюдаемым, если существует такое а0 > 0, что по измерениям z (%) на 7 и знанию sign а можно восстановить все начальные состояния вида

外=ар, I а. У %•

Теорема 9. Критическое направление односторонне наблюдаемо, если хотя бы при одном 左,к 0, i,.. нарушаются условия (30).

Об индифферентности и автономности в теории наблюдения

Вернемся к линейной системе

с выходом

z = c'n.(32)

Определение 14, Направление р, II Р II = 1 (в то^- не / = 0) динамической системы (31) называется Т-индиф- ферентным к наблюдению (32), если для всех начальных условий вида

xQ — ар, — оо <； а <； оо, выход z (%) не зависит от а, каково бы ни было число t & Т.

Условие индифферентности к наблюдению есть прямое следствие теоремы 1.

Теорема 10. Направление 卩,|| р || = 1, Г-индифферент- но к наблюдению (32), если и только если

р'с = р'А1 с = . . . = р‘ (An-1)f с = 0.

Введем далее следующее определение.

Определение 15. Совокупность направлениий /<л II /Ъ " = 1, 7 = 1, • • •, ^ (в точке % = 0), динамической

системы (31) с выходами

Zj15 I > .,(33)

автономно Т-наблюдаема, если каждое направление р； /"-наблюдаемо по выходу 学 и 7-индифферентно к наблюдениям по другим выходам.

Объединяя условия теорем 1, 10, приходим к утверж” дению.

Теорема 11. Совокупность направлений р^ || pj || — 1, 7 = 1, . . ., т, динамической системы (31) автономно наблюдаема по выходам (33) тогда и только тогда, когда &；К(4')'С">。，風(/)'力)=。 й—0九=0

при 方声九 Z} / =- 1, . . . , 7n.

Для нелинейных систем люжет оказаться полезным следующее определение.

Определение 16. Направление р, || р || = 1 (в / = 0), динамической системы имеет порядок k Т-индифферентности к наблюдению (22), если для начальных состояний вида

/о = ар выход (22) имеет вид

z (力 а) — о (а“)， t € Т•

'Соответствующим образом можно видоизменить и определение 15. Из самих определений следует, что свойства динамических систем, вводимые в них, можно исследовать методом приращений, а первые результаты содержатся уже в теореме 10. Каждое критическое направление системы имеет порядок 7-индифферентности не менее первого.

Методы функционального анализа в теории наблюдаемости по Калману

Применение теоремы о минимаксе. В этом параграфе используется определение наблюдаемости по Калману [58а1.

Определение 17. Направление р линейной системы

называется наблюдаемым ио выходу

У = *%,(35)

если существует такой отрезок Г = [0, ^], что по функции у (%), % С Т，можно для каждого начального состояния zo системы (34) восстановить значение ргх^.

Определение 18. Если каждое направление системы (34) наблюдаемо, то система называется вполне наблюдаемой.

В своей! доказательстве теоремы о наблюдаемости Кал- ман оперирует с линейными операциями восстановления. Точнее, направление р системы (34) считается наблюдаемым, если найдется измеримая функция 昌(％), t С Т, такая, что

pF = J ^с х (厶 /о) W ⑴ dt -(36)

о

для любого %о・ Здесь 讶(厶 ％()) ——решение системы, соответствующее начальному значению 勺.Поскольку

/ (/, &) = F «) Ед,

где F ⑺一фундаментальная матрица решений (F = AF, F (0) — Е"), то (36) принимает вид

九

pxQ ^ ^ с F (%) W (力 dt g.(37)

о

На функцию 三(£), порождающую операцию восстановления, наложим ограничение

- н ⑴ I С 厶 ％ С т,

с тем, чтобы искать такие числа 厶,при которых задача о наблюдении имеет решение. Равенство (37) для всех xQ имеет место, очевидно, тогда и только тогда, когда при некотором L направление р принадлежит множеству

Q (厶)={g： g = J F' (0 吐(0 ”，I uo I < 厶}• (38) 0

Иначе говоря, задача наблюдения для направления р имеет решение тогда и только тогда, когда расстояние

р (厶)=min И Р — 7 II

q£Q(L)

от направления р до множества Q (厶)при некотором L равно нулю. Поскольку Q (L) при каждом L ——выпуклое замкнутое множество, то можно воспользоваться теоремой о минимаксе. Имеем

р(£) = min max z'(p —?)= max min z'(p —g).q£Q(L) [\Z\\^1\\z\\^lq^Q(L)

Подставим сюда выражение для q из (38), а операцию min по g заменим на операцию min но g, | g | К 厶・ Тогда

р(£)= max (/卩一£ f I⑴ с] &力).

I|Z||G \j/

Для того чтобы для каждого р существовало число 厶, при котором р (L) = 0, необходимо и достаточно,, чтобы

^F1 (0 с ^ 0, 力 G 7,(39)

для всех z, и z “，0.

Действительно, если п^и некотором z имеем г ^z (%) с = 0, то направления р — az ненаблюдаемы: р (Л) = | а | > 0. Если же выполняется (39), то, полагая

min f| z'F' «) c I dl

получим p (厶)C 0, т. e. система наблюдаема. Составляя для функции А ⑴=z'犷⑴ с дифференциальное уравнение (см. § 1.3), приходим к утверждению：

Теорема 12. Система (34), (35) наблюдаема в том и только в том случае, когда

ранг {с, Агс, . . ., (/*1)' с} = п.

Использование теоремы об отделимости выпуклых множеств. Условие (39) разрешимости задачи о наблюдении легко доказать с помощью теоремы об отделимости выпуклых множеств. Необходимость его очевидна: если

р = \ F@)改⑴ &

то

О = z р — j z‘尸(%)忘(/) dt W zfp — L j I z Fr (0 с I dt о0

для всех 2, II 2 К ^； 1. Эти неравенства для всех р возможны (т. е. существуют такие 厶,что они выполняются) лишь в случае, когда выполняется (39). Для доказательства достаточности условия (39) будем рассуждать от противного： пусть (39) выполнено, но система ненаблюдаема, т. е. при любых L множество Q (厶)не содержит вектора р. Тогда по теорепе об отделимости выпуклых лшожеств найдется гиперплоскость, строго разделяющая Q (L) и р. Это означает, что существует вектор z, || 2 || — 1? такой, что

zrp V j z'P (%) eg (%) dtо

для всех I g (%) \ ^, L, t ^ T. Последнее неравенство должно выполняться и для случая, когда правая часть принимает минимальное значение

z р V — 厶 j 丨 z Ff (力 с I dt.(4Q)

о

Пусть

卩=min f I z F' (Z) c\dt.

Минимум в правой части достигается и в силу (39) положителен： 卩三 0. Положим L = I z р |/卩.Тогда из (40) имеем

2> < — I 力 I,

что невозможно. Достаточность условия (39) и потому и теорема 12 с помощью теоремы об отделимости выпуклых множеств доказаны.

Проблема моментов в теории наблюдаемости. Если перейти к координатной записи, то условие

р = j Р (0 eg (0 dt

разрешимости задачи о наблюдении направления р можно трактовать как проблему моментов, и мы снова придем к (39). Усилим этот результат. Для этого правую часть будем последовательно п раз интегрировать по частям. Отсылая за деталями к доказательству теоремы 1.1, сформулируем результат.

Теорема 13. Наблюдаемые направления системы (34), и только они, имеют представгюние

п~ 1

Y 方(』')七—ОО <Mi <°°， ?' = о. • • - , п~~1.

Этот результат можно получить из теоремы 1.1 как следствие принципа дуальности, доказательство которого заключено в теоремах 1.1; 1: для того чтобы система

г = Ах Ъи

бьтла управляема, необходимо и достаточно, чтобы системах = А1 = V х

была наблюдаемой.

Разрешимость двухточечных краевых задач и управляемость по начальному условию

Пусть для динамической систелпд, описываемой уравнением

比к /1% С 7 =〔°, 'J

/(О, . . ., 0) - 0, требуется найти условия, при которых существует решение / (%), % С Г удовлетворяющее условиям

龙(0)= . . .尤s—2}(°)о, *)(幻二二 а.

где 0 ^ к ^ п — 1, а ——заданное число. 九(/,...

•.尤s—D) — скалярная функция.

Непосредственное обобщение этой двухточечной краевой задачи имеет вид

穿= /(* t", /(()) =(),(41)

*尤(0)」0, 7^1, . .., 7? — 1.(42)

с% ⑺丁(43)

где х = {/「...,化"}——тг-вектор фазовых координат, °力 / = 1, 北 ——17——заданные линейно независимые векторы, с ——заданный вектор, а ——заданное число.

Сформулированная задача сводится к проблеме управляемости по начальным условиям следующим образом. Пусть d — единичный вектор, ортогональный векторам 办,j = 1,...,汽一1,

dfdj = 0, j = 1 ? n — 1.

При сделанных предположениях такой вектор существует и единственный. Примем d за вектор, характеризующий вход системы по начальным условиям, т. е. будем считать, что допустимые начальные условия системы (41) имеют вид

No = %， 一 8 vy V8.(44)

Краевая задача (41)——(43) эквивалентна следующей проблеме управляемости: найти число у, ——оо Vy V8, при котором выход

Z С X (幻

системы (41) с начальным условием (42) принимает заданное значение. Исследование последней проблемы начнем с линейного случая：

^ = Ах,R = dy.(45)

Нетрудно показать (§ 1.2, § 2.2), что

e1 x (ZJ =^"(0» ^i) ^，(46)

где 屮(力 力)一решение уравнения

-^^■= 一/'屮(力友)，屮(力，％) = e・ •:

Из (46) заключаем, что для любого а задача (45), (42), (43) имеет решение тогда и только тогда, когда

炉(0,厶)d，0.

Отсюда следует: если среди чисел

с%, cfAd, . . cfAn^d(47)

хотя бы одно отлично от нуля, то задача (45), (43) для любого а имеет решение для всех 力％ кроме конечного яисла точек на каждом ограниченном отрезке. Если же все

числа (47) равны нулю, то задача (45), (42), (43) не имеет решения ни при каком а 考 0 для всех ^.

Для более гибкого применения методов теории управления к двухточечным краевым задачам целесообразно несколько изменить первоначальную формулировку (41)—— (43). Для заданных 厶,с, d力 j = 1, . . ., п — 1, и любого Е > 0 найти условия, при которых существует решение 尤(0 уравнения (41), удовлетворяющее начальному условию (42) и условию с х (%) — а лри некотором / таком, что 丨 А ％ 丨 VJ Эта задача в линейном случае (45) имеет решение тогда и только тогда, когда среди чисел (47) есть отличные от нуля.

В новой формулировке краевая задача может быть исследована так же подробно, как задача о наблюдении в §§ 1——6. Результаты решения задачи р наблюдении непосредственно переформулируются в терминах краевой задачи.

Комментарии к главе ПТ

Определение наблюдаемости из § 1 отличается от оригинального [58а] п эквивалентно последнему в случае линейных систем. Свое определение мы построили строго двойственно к определению управляемости главы II. При этом мы отказались от понятия косо- стояния [58а] в пользу понятия направления. Точка (в определении управляемости') и направление (в определении наблюдаемости) двойственны. Наблюдаемость в смысле § 1, по-видимому, предельно элементарна, интуитивно совершенно прозрачна как для линейных, так и для нелинейных систем. Уже почти само определение указывает н естественный метод исследования. Эффективность такого подхода иллюстрируется в §§ 3—6. Сначала в § 3 элементарно получаются известные условия наблюдаемости линейных систем, доказывается теорема о минимальном числе выходов наблюдаемой системы. Впрочем, последний результат является следствием принципа двойственности [58а]. Этот принцип в § 4 дополняется новым результатом.

Наблюдаемость в смысле Калмана по линейному приближению доказывается в [3]. Критические случаи наблюдаемости в литературе не исследовались. Здесь появляется новое качество наблюдаемых систем (существенно наблюдаемые системы), которое ранее не отмечалось. Теорема 8, конечно, имеет значение 口 для систем, наблюдаемых по Калману.

ГЛАВА IV

ТЕОРИЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Постановка задачи. Определения. Метод исследования

Пусть уравнение возмущенного движения диналшче- ской системы имеет вид

嘗=員瑞《о, 2(о)= о,力£Т = [0/], /(0, 0) = 0, (1)

где 况一n-вектор состояния системы, w — д-вснтор параметров. Будем считать, что функция / (х,必)известна с точностью до параметров w ^ W. Переменными, доступными измерению (выходные переменные системы), пусть являются числа z±, . . ., zm, связанные с состоянием 优 системы (1) соотношением

z =无(/)，无(0) = 0.(2)

Зада ч а. По измерениям z (力),t ^ Т7 найти значение w.

Определения.

Направление s (в точке w = 0 пространства параметров) Т-идентифицируемо по измерениям (2), если существует такое число 仇 厂 р0 (厶，$)〉0, что каждое значение параметра w вида

丨 В 丨 W Во,(3)

можно восстановить по измерениям z (力),t ^ Т.

Динамическая система (1) называется Т-идентифи~ цируемой (в 必=0) по измерениям (2), если любое направление s в пространстве параметров системы Т-идентифицп- руемо по измерениям (2) ( inf р0 (匕，s)〉0).

Направление s (в 2 二—0) идектифицируемо по (2), если существует отрезок Т 二 10,力J 厶不厶($) ＜十8,

§ 1] ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ 153

на котором это направление У'-идентифицируемо (р0 (% ($), s)> 0).

Динамическая система называется идентифицируемой (в w = 0), если каждое направление в пространстве ее параметров идентифицируемо ( inf р0 (力($), $) > 0)・

Направление $ (в ю = 0) вполне wдентифицируемо по измерениям (2), если оно ^-идентифицируемо по измерениям z (/) на любых Т (В。(乙，s) > 0 при всех 乙 > 0).

Динамическая система (1) вполне идентифицируема (в w = 0), если каждое направление в пространстве ее параметров вполне идентифицируемо ( inf р0 (厶，$) > 0 при всех 厶 > 0).

Направление s (в 必=0) идентифицируемо в целом по измерениям (2), если оно идентифицируемо и В。(厶($), $) = оо.

Динамическая система называется идентифицируемой в целом (при 必=0) но измерениям (2), если каждое направление (в 必 = 0) идентифицируемо в целом по (2).

Идею метода, используемого в дальнейшем для исследования идентифицируелюсти динамической системы, поясним на случае одного выхода. Каждому значению параметра р, связанного с направлением s, соответствует траектория 况(力)системы (1), которая порождает функцию z (力)измерительного устройства. Таким образом, совокупность значений z (力)в любой момент t = t измерения является функцией z (力，0) от 0. Направление s, очевидно, идентифицируемо по 2 (厶 0) в том и только в то” случае, когда функция z = z (t, 0) обратима по 0. Условия обратимости, связанные с монотонностью функции z (厶 0), просто выражаются через производные функции z (厶 0). А для вычисления производных от z (厶 §) метод приращений весьма удобен. Для этого достаточно приращение z (厶 Р) — z (厶 0) разложить по степеням 0:

z 広 В) т (£,())= а$ + 争伏十…+ * 尸十 о(|р П- (4)

Если коэффициенты а{, . . ., ап удастся выразить через данные задачи, то получим явные выражения для производных z (/, 0), z (厶 0), . . 2'П)(厶 0), ибо % = z⑺(乙 0).

Если в (4) первый отличный от пуля коз巾фшдюнт имеет нечетный номер, то функция z (厶 0) обратима в окрестности точки В = 0, в противном случае она необратима.

§ 2. Формула приращения по параметру

Будем рассматривать системы (1) с одним выходом (/и = 1). Если в представлении (3) число 0 равно нулю, то значению параметра w^ = 0 в силу (1) соответствует лишь тривиальное решение / (力)三 0, для которого z ⑺= =h (0)三 0. Ненулевому значению 0 соответствует траектория / (厶 В), которая порождает в силу (1) функцию z (厶 Р). Приращение этой функции в любой момент Е равно самой этой функции. Выразим z (厶 0) через условия задачи. С одной стороны, имеем

Z(f, ^ = h(x(t, 6)) = -1°)'2«，₽) +о(||х(г, |3) II). (5) Введем функции 屮(力 £) согласно уравнениям

dip (力,7)dtdip (力,7)dt智1s，屮（小）=当粤•智1s，屮（小）=当粤•

dip (力,7)dt

dip (力,7)dt

智1s，屮（小）=当粤•

智1s，屮（小）=当粤•

Тогда из формулы интегрирования по частям

屮'亿 ％) 2 (厶 В)|； = j ”，“ 2 & P)^+ J U (力 f) ^^ dt 00

с учетом (1), (5)，(6) имеем

z& ₽)= j U«，i)f^(t, B),sp)十 J ^^L”亿 В)成 + О_ О■

0( II 2(7, В)||)=

J 4/ «,?)丄端史Z«, ^dt + j 叩'伍 0 -”S Sp dt +

十卜啾J： 厶 В)山十 j 0(1设4, B)|| + B)W. оо

Поскольку II / «, В) II ~ В， то окончательно:

z&B) = |3 [屮’亿 ％)>^^s勿+ о(В).(7)

Идентификация линейных систем

Системы с одним выходом. Пусть динамическая система описывается уравнением

^^Ax + Bw,(8)

а измерению доступна величина

z = с х.(9)

Для параметров w вида 必 = 0s имеем в силу (7)

з (7, р) = р j s'B'^ (厶 » dt,(10)

о

где 2 (厶 t)——решение уравнения

у" =_/纯(力2),=

Из формулы (10) следует, что направление s Т-иденти- фицируемо в целом тогда и только тогда, когда хотя бы при одном 力 С Т выполняется условие

卩⑴=f srBf^ (厶 t) dt # 0.

Функция

^(0 Iх (0 — sBfc + j s'区'4纯(％ Е) 〃то

имеет следующие производные:

入(力)=srВ1 Afc-\- j sB^A'^^ (т, t) c/т,...,

о.

九⑺⑴=s'B'^yc + j s'B' {A')n+^(r, 0 di.

0. ■

Но поскольку

An + yMn-1 + ■ • • + Y/i-M + ynE = 0, to 九(％) удовлетворяет дифференциальному уравнению ^(О + т^ЧО +・

• • ‘ + Yn-i 工(力)+ Yn 九(力)=。.(11)

с начальными условиями

入(0)=，月4%(0)Ь6'824.2 尸 T)(0)一『方‘(/"1)%.(12)

Дифференциальное уравнение (11) с начальными условиями (12) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда среди чисел (12) имеются ненулевые.

Теорема 1. Направление s в пространстве параметров Т7-идентифицируемо (идентифицируемо, вполне идентифицируемо) в целом по измерению (9) в том и только в том случае, когда среди чисел

s'BZ, sfBfAfc, . . ., /^' (Л^-1)' с

имеются ненулевые. Для того чтобы система (8) была идентифицируемой в целом по измерению (9), необходимо и достаточно, чтобы

ранг {区'с, В1 А'с. . . В' (Л71-1)' с} = q.

Системы с несколькими выходами. Пусть у системы (8) измерению доступны величины

j = с；/, . . zm 二 стх.(13)

Тогда, повторяя приведенные выше рассуждения для каждого выхода 句，приходим к следующему результату.

Теорема 2. Направление s в пространстве параметров Т7-идентифицируемо (идентифицируелю, вполне идентифицируемо) в целом по измерениям (13) в том и только в том случае, если среди чисел

srBrc^ sB'A'cj, . .b月'(/“ту д’，/ = 1： . . т,

найдется хотя бы одно, отличное от нуля.

Для ^-идентифицируемости (идентифицируемости, полной идентифицируемости) системы (8) по измерениям (13) необходимо и достаточно, чтобы

ранг {BfC, ВАК, 一 .，ByAf С}二 q. (14)

Здесь С есть п X m-матрица, составленная из ?г-векторов с：, / = 1, . . ., т.

Относительная управляемость динамической системы и ее идентифицируемость

Если в (14) положить

В，= К, /' = /, С = В,

то приходим к условию (1.33) теоремы 1.7. Значит, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Динамическая система

АхВи

управляема относительно подпространства К (К优(勿)—0) в том и только в том случае, когда система

-A'x-K'w

идентифицируема по измерениям z = В1 х.

Следствие. Динамическая система с г входами dx dt

управляема тогда и только тогда, когда идентифицируема динамическая система

с г выходами

z

Идентифицируемость нелинейных систем по линейному приближению

Нелинейную систему

嘗= /(2, %),2 (0) = 0,

(15)

С выходом

Z =无（/）

(16)

линеаризуем вдоль 必=0. Получим

(17)

Из формулы (7) для нелинейной системы (15) получаем

z (力 В) = р j 屮'(厶 t) Bs dt + о (p).(18)

о

Если направление s в линейной модели (17) идентифицируемо, то из теоремы 1 следует, что существует момент 7 такой, что

j 屮'(力，0 Bs dt 不 0.、

о

В силу (10) это значит, что по значению z (7, §) можно найти число Р из окрестности нуля.

Теорема 4. Нелинейная система (15) идентифицируема по измерениям (16), если является идентифицируемой линейная модель (17).

Условия идентифицируемости динамических систем в критических случаях

Будем говорить, что в задаче идентификации нелинейной системы (15), (16) имеет место критический случай, если неидентифицируема линейная модель (17). Направление s в пространстве параметров динамической системы (15) называется критическим^ если оно неидентифици- руемо по (17).

В критических случаях идентификации всегда существует хотя бы одно критическое направление. Прежде чем искать условия идентифицируемости в критических случаях, получим формулу приращения функции 2 =历(优), уточняющую результат (7). Имеем

Z 伍 Р) = С 2 & В)十 4 2’ G，Р)丄鬻^ 2 広 В) +

+。(1|2色卩)『)■

Введем ?г-векторную функцию р (厶力)и 几 乂 ?г-матричную функцию 4r (厶 t) согласно уравнениям

=一4纯(力母 ^(i,i)= c, (19)

II

必塞2= —屮«, %）4 —衣屮（/, D-^'（t,i）D, （20）

Здесь

喫，件，少卜

1

Из формул интегрирования по частям

屮‘（t）第⑴i j二二j而'⑴/⑴位+ j屮'（力）第传）dt.

xf （/）中⑴况⑴k=J/'⑴屮⑴/（方）dt 4

0

j第'⑴4r«）/⑴"力+ j /'（力中⑴方传）成

'оо

получаем

z区0） = j屮，（厶0况（厶6）或+ j x,（九В）屮（力0 N （厶0） dt 4

十j X （/,0）T （力£）况（力0）成十J屮'（厶£）况（力0） dt +

十J况‘（力B）中亿方）/（力0）成十o（1|n色 0 II2）.

Подставим сюда значения 屮（方，力），中（力 t） из урав股ни血（19）, （20） и значение 况（厶 0）, представленное в виде

况=4优+ Bw + Cwx 4- ~2 Dxx 4- y Gww 4- о.

Смысл повых символов А, В, С, D, G разъясняется во введении. После очевидных преобразований получаем

z （力，0） = 0 j ▽'（力 0 Bs dt —^ J （w‘（厶 £） Csx （力,P） +

十db7 3方）况（力Р） 4 n'（厶0）屮（厶t） Bs + 十三0+‘亿方）Gss） d力十0 （0*

Если s ——критическое направление, то первый член справа равен нулю （теорема 1）, поэтому окончательно имеем

2 （F, Р） = Р j [屮'（力t） Cs第（厶6）+s'区'屮（厶0况（厶P） + 0

+况‘（左6）屮（力，%）乐十"^时'""） Gss]山十0 （e） （21）

Главный член по 卩 траектории 况（厶 |3） можно записать следующим образом:

况（厶卩）=b j F （力）Qi ⑴ Bs dt + о （P）.

о

z«, Bi JJz«, Bi JJПодставим это выражение в （21）：

z«, Bi JJ

z«, Bi JJ

2 （厶 t） CsF （^） *、т （т） Bs +

+ s,BfW（t, t）F（t）F~1（i:）Bs -\-

+ sfBf （F-1 （p）y 犷⑴ 屮（力 £） Bs] йт dt -|-

+ 4" 02 J 屮‘（厶 0 Gss 6Й + 0 （俨）•

0

Если направление s идентифицируемо по значению 2 （厶 Р）, то коэффициент при р2 необходимо равен нулю. В силу аналитичности входящих в этот коэффициент функций он или тождественно по t равен нулю, или может обращаться в нуль лишь на множестве нулевой меры. Чтобы

§ 6] ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ 161 исключить из рассмотрения последний случай, являющийся особым, введем следующее определение.

Определение 9. Направление s, \\ s \\ — 1 (в з = 0), называется существенно идентифицируемым, если значения z (匕 В), на которых оно идентифицируемо, определены на множестве точек t положительной меры. Динамическая система, все направления для которой существенно идентифицируемы, называется существенно идентифицируемой.

Если критическое направление s существенно идентифицируемо, то для 力£Т имеем

[屮'(厶忆)CsF (力)歹т (т) Bs-\-srBty^ (厶 t) F ⑴ F~r (т) Bs + о о

十s‘区'(方-1 (T))' F ⑺ 4r (厶 t) Bs] dt d力-卜^ j 屮'(力 0Gssdt^G,

Дифференцируя это тождество и рассматривая левые части полученных выражений при ?= 0, получим последовательность равенств

々一2冗一2

c'Gss = O, Е 入%С§册-”2Bs 十 s'*E (Ap4『P-2+/

p—0p—о

+ (/‘)克-0-2af)厌 +^瓶+1Gss = 0,力1, (22) где

入0 = с,，喳+i 二/К, Aft+1 = Aa/ + /'A在 + KkD, A。= ±^^・

Теорема 5. Если критическое направление 5, “ s " = 1, в пространстве параметров системы (15) существенно идентифицируемо по измерениям (16), то для него выполняются равенства (22). Для существенной идентифицируемости системы (15) по (16) необходимо, чтобы каждое критическое направление s удовлетворяло условиям (22).

Условия (22) молено использовать для формулировки критериев односторонней идентифицируемости.** Последнее понятие является вполне аналогичным понятию односторонней наблюдаемости (определение 3.13).

Примечание. В теоремах 1—4 «идентифицируемость» можно заменить на «существенную идентифицируемость».

В этой главе мы не останавливаемся на вопросах индифферентности и автономности в теории идентификации. Эти понятия в теории идентификации вводятся так же, как аналогичные понятия в теории наблюдения (определения 3.14——3.16). Поскольку соответствующие критерии получаются из доказанных в данной главе теорем без труда, то их формулировки предоставляем читателю.

Методы функционального анализа в теории идентификации

Для иллюстрации возможностей функционального анализа в теории идентификации удобно пользоваться определениями, отличными от введенных ранее, но им эквивалентных (в случае линейных систем).

Определение 10. Направление s в пространстве параметров динамической системы

嘗■ = {% +成，х (0) = 0,

йазывается идентифицируемым по измерениям •

У = c'n,

если найдется такой момент 厶,что значение у — sw для каждого 7-вектора w можно восстановить по измерениям

Динамическая система называется вполне идентифицируемой, если каждое направление идентифицируемо.

Примечание. В этом определении неявно предполагается, что операция восстановления линейная.

Непосредственно из определения следует, что направление s идентифицируемо тогда и только тогда, когда существует измеримая функция & (/),方 С Т, такая, что

sfw = I ^ (0 у (方)dt для всех 以

о

Подставим сюда значение у (Е) с учетом того, что

/ (力)=J F (£) F*1 (т) Bw dt.

В результате получаем

sw =)&(*)[ °’ (О Р~г (т^) В dx w dt, о и

Последнее равенство для всех w имеет место в том и только в том случае, когда

s' = J 自⑴ J c'F (0 歹т (t) В dt dt. (23) 00

Для решения последней задачи можно воспользоваться различными приемами функционального анализа.

Применение теоремы о минимаксе. Введем множество

Q (Е)=

=S： g = f * f 斤(…(力)‘尸⑴ C dT dt, I g (0 I < £}♦

ооо

о

о

Найдем расстояние от точки s до множества Q (£):

Р (£) = min \\s - q ||.

曲L)

Поскольку множество Q (Е) замкнуто и выпукло, то можйо привлечь теорему о минимаксе. Имеем

p(£)=min max zr (s —g) = max minz'(s —g)=

Hz[|Wlq£Q(L)Hz[|Wlq£Q(L)ggQ(L) Ц2|^1

Hz[|Wlq£Q(L)

Hz[|Wlq£Q(L)

a t

=max 卜餐一A j j j zrBf (b~i (工))‘耳‘ ")c dt | 出],.(24)

Условие (23) эквивалентно, очевидно, следующему: для каждого s найдется такое £, что р(£) = 0. Для выполнения последнего необходимо и достаточно, чтобы

(25)(25)j J z'B' {F-^^F' {t)cdx\^Q, t£T, 0"

(25)

(25)

для всех 2, I! х Н 关 0. Действительно, оно необходимо, ибо в противном случае для s = §z, В〉0, имели бы р (£)= —Р > 0. Условие (25), кроме того, и достаточно^ так как, положив

咼吗 j I j 2旧(L (t)y F' (Z) c t/т I dt

из (24) получим p(L)^||s|| —||s||=：0. Функция

.■X(0= J z'B' (F-^^yF' (t)cdr

0

отлична от тождественного пулл в том и только в том случае, когда отлична от тождественного нуля ее произ- йодная

к (0 = z'B'с + J z'B' (F-1 (r))z Ff (0 Ллс dr.'

о

Вычислив п производных последней функции и используя соотношение Апс = — yiAn~1c — ,.. — ,沱% Получим однородное дифференциальное уравнение тг-го порядка для 入(力)с начальными условиями

К (0) = z'5'q К(0) = ^В(А{с, У (0) - zfBf (Ап^у

(26)

Условие (25) оказалось, таким образом, эквивалентным йетривиальности начальных условий (26). А из того, что z — произвольный йектор, следует теорема 1, в которой идентифицируемость понимается в смысле определения 10*

2$ Использование теоремы об отделимости выпуклых множеств. Условие (25) можно получить и с помощью теоремы об отделимости выпуклых множеств, схема применения которой вполне аналогична той, что описана в § 3.8 при изучении наблюдаемости. Детали доказательства предоставляем читателю.

Проблема моментов. Применение решения этой проблемы функционального анализа к рассматриваемой задаче может быть без труда выполнено читателем по аналогии с § 3.8. Отметим лишь, что из (23) методом из § 1.3 легко получается, что все идентифицируемые направления, и только они, имеют вид

S= 2 山5'(/')'с, — оо V 卜"Voo.

Комментарии к главе IV

Понятие идентифицируемости динамических систем в настоящей главе вводится по аналогии с понятием наблюдаемости: здесь по измерениям выходных сигналов восстанавливаются параметры системы, входящие в уравнение движения, ранее нужно было найти параметры начальных условий. Как следует из определений, в главе рассматривается идентификация в идеальных условиях, без помех. Общий случай задачи (это относится и к наблюдаемости) выходит за рамки книги, хотя многие проблемы этого круга можно сформулировать и решить на базе теории оптимальных процессов с параметрами (§ 6.7). В § 4 доказывается принцип двойственности между идентифицируемостью системы и' ее относительной управляемостью. Если изобразить процесс относительной управляемости системы

х — Ах-^Ви^ Кх (^)_О,

на блочной диаграмме с блоком входа В, блоком объекта Л и блоком выхода К, то процесс идентификации параметра ш в системе

况=—А'х — Krw

ио выходу z — В'x можно получить из построенной диаграммы элементарно: 1) нужно обратить время, 2) во всех блоках заменить матрпцы на им сопряженные. Этот результат нам кажется более симметричным, чем известный принцип двойственности (дуальности) Калмана ([58а]. Сравнение с принципом двойственности из § 4 показывает, что каждой части, фигурирующей в принципе дуальности Калмана, мы нашли более симметричное двойственное понятие и, таким образом, из одного (не вполне симметричного, на наш взгляд) принципа получили два симметричных. Комбинируя разные части в этих принципах, можно получить и другие эквивалентные (но не симметричные) принципы дуальности.

ГЛАВА V

ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

Теорема существования оптимальных управлений для систем с з ап аздыв анием

Постановка задачи. Пусть уравнение управляемого движения имеет вид

噜= 〃2«), 2« — 九(2, 〃"))，〃⑺，力 t^T^i^t^, (1)

и движения происходят во множестве X из тг-мерного пространства, а управления и (Z), t £ Т、выбираются из некоторого множества U у-мерного пространства. Зададим начальные условия:

花⑴=①(工)，T € So,

So = {工：t = T (方)=4 一月(方，y, t) W 方0,

£ С T,方 С X, и G U}* Обозначим через F класс измеримых вектор-функций 〃 “),определенных на Т и принимающих значения из U: 〃⑶£ U,力£ Т・(2)

Элементы 〃卜) из F будем называть допустимыми управлениями класса F. Через D обозначим подмножество из F, состоящее из кусочно-непрерывных функций, через £\ — совокупность функций с кусочно-непрерывными производными, Di и D.

Пусть при некоторых и (•) ^ F существует решение х «) уравнения (1), определенное на Т. На множестве точек х (厶)зададим функционал

J (и)=屮I 3 (<!)),(3)

где ср! (%)——полунепрерывная снизу конечная функция, определенная на замыкании X множества X. Проблема существования оптимальных управлений состоит в установлении условий, при которых среди допустимых управлений класса F найдется такое 〃° (£), t £ Т, что

J (〃°) W J (〃) для всех и (^ ^ F.

Управление 〃° (力),力 С Т, называется оптимальным управлением, соответствующая ему в силу (1) траектория № (力，力 С Т,—— оптимальной траекторией.

Приведем сначала вспомогательные результаты.

Существование допустимых решений.

Лемма 7. Пусть 1) функция /(N, у,辽,力)определена и непрерывна в.^Р~ XxXxUxT вместе с dfldx, df/dy и

II / (", Н 〃，£)—/(/, у, и, 0 || <

W 厶(II 方"一汇 II + М у" — у" U), II / (芻 y,以 0 II < %；

функции h (方，〃，力)，8hl8瓮,дЫди, dhldt определены и непрерывны на Q = X 义。X 7, причем 无(怎 и, t) О и

I 无(方"，〃，方)—无(方，〃，方)I 《 厶 II — / "；

функция Ф (т) определена, непрерывна на 50 вместе с dФ/dx и выполняется неравенство

II Ф (О — Ф ⑴"Л т" — с； _

= /0 + В/£, 6 min \\ х — Ф (幻"， где дХ —

граница множества *、L = max {£仆...,L^. Тогда при и (•) W D на отрезке t0,力*] существует единственное решение х (力)уравнения (1) с данными начальными условиями.

Это утверждение доказывается [36b] методом последовательных приближений, которые строятся по схеме

、fQU),方。Сy片，①]仇)=①闯，

2。⑺①⑺，心。，

2p+i (方)= 0(加 4- j /(/)g), г/p (0,"⑴，力)山，力》如

2P «)=①⑴，tQS0, Ур^^Хр (t — h(xp(t), u(t\ i).

Здесь Ф1 (力)С 涇—произвольная непрерывная функция. Если 汽 «*) W 6Х, то решение можно продолжить.

3・ Ог раниченность решений.

.Темма 2. Пусть 1) функция / (х, у,辽,力)определена на Р и

R» (爲 у, U,力)<：С (И 胃 ||2 + И у ||2 + 1)；

h (n, 〃，t) > 0, функция h (n, 〃, t) определена и дифференцируема по всем аргументам; 3) функция Ф (力) определена и ограничена на So； 4) функция 〃 (Е) определена и дифференцируема на Т, Тогда решение х (/), t ^ Т, уравнения (1) с данными условиями ограничено на Т.

Дополнительные свойства решений уравнения (1) (интегральная непрерывность по функциям 〃 (Е), Ф (力)), важные при конкретных вычислениях оптимальных управлений, доказываются в [36Ь].

Теорема о существовании оптимальных управлений в системах с запаздыванием* Пусть Tt =[力°,力, S± = = SoUTi!・ Обозначим через Xt (•) множество кривых .г (0), определенных на 5力 и удовлетворяющих условиям

II % (1) -^(0) ||<L I 0^- 9 I, 9,『£ 邑，

(т) Ф (т), t С S*

На Xt (*) определим точечное множество

7? (х ()力)=

工{z： z = / (n ⑴，x (t — h (x (i), u, ”，u,力 и £ U}.

Теорема 1. Пусть 1) выполнены условия леммы 1; 2) решения 龙(力)уравнения (1) определены и равномерно (по и (•) £ 歹)ограничены; 3) при каждом х (•) £ X/ (•), t £ Г, множество R(N (•), %) выпукло и замкнуто. Тогда в задаче (1) —— (3) существуют оптимальные управления.

Доказательство. Пусть 〃 (/), t ^ Т,——некоторое допустимое управление, порождающее в силу (1) траекторию 方(力)，t g Т, на которой функционал (3) принимает конечное значение а. Множество решений, удовлетворяющих условию ср!(方(力 1)) 总 а, не пусто. Если оно конечно, то теорема доказана. Пусть это множество бесконечно. Обозначим через Q' последовательность таких

{х (Е), t W Т}, для которых последовательность {5 (/ (力))} является минимизирующей. В силу полунепрерывности снизу функции ср〕(х) н ограниченности множества {ф! (х (%))} существует такое число а, что @ = inf {屮工(胃(匕))} = =q?!(汇(厶)).Теперь покажем, что из Qr можно извлечь подпоследовательность, равномерно сходящуюся к оптимальной траектории.

Множество Q' по условию 2) состоит из равномерно ограниченных ф5тнкций. Кроме того, элементы Q' равностепенно непрерывны, так как для всех 方(•) £ Q，в силу условия 1) производная dx/dt ограничена одним числом: II dxldt К 总 £• Поэтому из Q' можно выбрать подпоследовательность {хр (£)}, равномерно сходящуюся к функции х (£). Осталось показать, что х (t),力 Е Г, порождается уравнением (1) при некотором допустимом управлении 〃 (/), t С Т. Сначала покажем, что почти для всех 力* £ Т существует производная dx (t^)/dt и найдется вектор м* = 〃(Е*) такой, что

•^^ = /(*«*), x(e-h(i(t^, 〃*,产))，〃*,力*).(4)

Функция хр ⑴，力 С Г, абсолютно непрерывна, и для нее почти всюду || dxp (t)!dt || 总 L. Поэтому и предельная функция х (力)абсолютно непрерывна, для нее почти всюду определена функция q (力)—dx (力)АЙ, удовлетворяющая неравенству || q ⑴ || 式 L. Пусть в точке 方* С Т определен вектор 7 (/). Тогда для любого сколь угодно малого &〉О найдется 3〉0 такое, что

^9|^£U?b(.),/*)]e,彳(・)匚％(.)(5)

при IZ — Z* I ＜；6 (здесь [ ]е — замкнутая е-окрестность множества []). Действительно, по построению функ

ции 方(力)

х (Z)—%(£*)-方r(力一"p "东)

一中一二一一.

Далее,

Xp (t) — Xp (t*) J qp (t) dt,9p (力)=■?

и поэтому

2 (')—况(2*)1

冃* = 7=F hm J 9p ⑴"t =

1

-=lim \ qp(t^ -^g (t—t*)) da. (6)

Функция qp (t) удовлетворяет условию: qp (^) g R (^p (•), t), 方p(・)£X/(・), и при достаточно больших номерах р и достаточно малых числах 6 дополнительно

0Р(户 + 0(方_户))Eь(三()戸)储)

3(・)GXf“) 0<a^l, |方一宀总3・ j (

Последнее свойство вытекает из определения функции х (Е) и полунепрерывности сверху относительно включения множества R (х (•), t), х (>) ^ Xt (') (см. лемму 3). По условию 3) множество R (^ (•)» 0, ^ (•) Е -^г (•) выпукло, поэтому из (7) следует:

j Op G* + о « —力*)) de С [灭忘(•)，t*)】e, о_

N ( •) £ Xt* (

Но в силу (6) это равносильно (5).■

Заметим, что.

при достаточно малых 6. Поэтому из (5) имеем '

£)" £ 1a(方(“),戸)]22,方(，)£X/市(•).

В силу произвольности & и замкнутости 7?(方(*), ■*) (условие 3)) имеем

/?(*(•),产)，置火r⑴，

что равносильно (4). Для завершения доказательства теоремы достаточно воспользоваться леммой 4 (см. ыпже), в силу которой значения и (力*) можно выбрать таким образом, чтобы функция 〃 (力*), Е* £ Т, была измеримой.

В заключение обоснуем два утверждения, использованные в доказательстве теоремы. Множество R (方(•), t) назовем полунепрерывным сверху относительно включения, если для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что при

|f-^|<6,

|!"(・)一/(•) ||= max ||Z(9) —л:(9) || <6,605产］П［打，"

R (“)СХ±(・)，方"(・)£X尸，(•)

имеет место включение

',7?("()，)三次 Q()几

Лемма 3・ Пусть / (方,у, u, t) определена и непрерывна на множестве X X X X U X Т,月(爲〃，力) определена^ и непрерывна на X X U 义 Т, причем

I h (/，U,产)-h (瑞〃，力)I总

*(112〃一 2 II +1*一1)

и h (x, u, t) > 0 в каждой точке {х, и, t} X X U X Т. Тогда множество 7?(方(•),力)полунепрерывно сверху относительно включения.

Доказательство. Предположим противное: при заданных t и 方(•) можно указать такое с > 0, что, как бы мало ни было 6 > 0, множество R (/"(•), Е")三 三［R (方(•)，方丸при И方"(，)一X (•) И VB网丨广一方丨V <；6. Это значит, что существует такое й ^ U, что

II / (公(号"(广-h (X (/)，而，门)，"，十)一

/(N (方)，N (方—-后(N ⑴，^,方))，^, E)И > £

при И 方"(•)一方(•) II <5,丨 £"—川 V& Для определенности положим f > 九 Имеел!.

II " (П - / (方)II 《 II "(门一入)II + '

+ II 犷⑴ 一 方 (0 II v£ (十 一 E) + 3 V(£ + 1) 6,

Аналогично

Ц方"（尸-А （况"（公），/，Г））-况e 一无（况（0,力，力）II =

=II Ю -支⑴ II e II " （О -"⑴ II +

+ II X ⑴-"（T）II. Поскольку

II 犷（书一犷⑴ II С L I T，z - T I <

W 上 ［，-方+ I无（宅"（*），后，/）—历（况（方），我，方）11 V v上 3 + L\\\ "（*）一 汽（О II + /一切 <

•CL ［1 彳上“ + 2）］ 6,

то

II 况"（T"）一况（七） 11 V ［上 + Z?（厶+ 2） + 1］ 6.

Таким образом, для указанных и~й и е > 0 неравенство

II / （", y,五，门一/ （爲 //,亢方），II > ё имеет место, если

II胃"-胃II V （乙+1） 6,产一方Vb,

II - y II <1厶+上2 "+2） + U3,

где 6 > 0 сколь угодно мало. Но это противоречит непрерывности функции / （芻 у, 〃，胃）на множестве X X X X X U X Т. Лемма 3 доказана.

Лемма 4 （А. Ф. Филиппов ［125］）. Пусть 1）/（力〃）.一 непрерывная w-вектор-функция аргументов t ^ Т^ и ^ {〃匕 ...,〃「}; 2） Q （胃）一 множество замкнутое, ограниченное, полунепрерывное сверху относительно включения по 胃； 3） / （& Q ⑴）=7?（办；4） у （力 6 -Я （0 — измеримая w-век- тор-функция. Тогда существует такая измеримая г-век- тор-функция и «） = {щ «）, . . ., ur （Z）} ^ Q （%）, что / （& 〃 «）） = у （胃）почти для всех t £ Т.

Доказательство. Пусть сначала г = 1. Функцию 〃 «）, t £ Т, определим следующим образом. Для каждого t £ Т положим 〃（胃）=〃，где 〃 ——наименьшее число, удовлетворяющее равенству / （& "） = у （力 Такое число, очевидно, существует, так как множество {〃： / 亿 и） — у （力} замкнуто в силу непрерывности функции / （& и）. По определению измеримой функций для любого £、0 найдется множество о 三 Т, mes ст > 厶 —— ——$ —— 胃о, на котором функция у （胃）непрерывна. Пока-

ж ем, что для любого а множество {力：〃(力)К а,力 W и} замкнуто. В противном случае существует последовательность 力左 W и такая, что

〃(力)< w (7) — %,% > 0.(8)

Так как | 辽 | 总 const, то из {^} можно извлечь подпоследовательность, по которой 〃 (勿)f и. Из того, что 〃 (九)£ £ Q (胃)，Q (胃)一замкнутое полунепрерывное сверху относительно включения множество, следует: и ^ Q (». Из (8) имеем

— 81,81 > 0.(9)

В тождестве / (九，〃("))=у (勿)перейдем к пределу по выбранной последовательности {胃丸}. Пользуясь непрерывностью / 俏 〃)，получим

f(t,u) = y^(Ю)

Из (9), (10) следует, что 〃 (％) не является наименьшим числом, удовлетворяющим уравнению

/ 伍 〃)=// «)•

Это противоречит определению и (力.Таким образом, множество {胃：и (胃)^ а,胃 £ и} замкнуто при любых а, что равносильно измеримости функции 〃(力)на и, а в силу произвольности £ эта функция измерима и на Т.

В общем случае (г > 1) функцию 〃 ⑴ = {% (胃),...

ur (i)} построим следующим образом. Из решений уравнения / (胃，〃)=// (方)выбираем то, у которого первая координата 〃^ наименьшая; если таких решений несколько, то из них оставляем решение с наименьшей второй координатой 〃2 и т. д. Для каждого 胃 £ 7 полагаем 〃 «)= 〃. Измеримость получившейся функции доказываем по индукции. Измеримость 〃 (胃)при ?‘ = 1 уже доказана; допустим, что и (/) измерима при г — s — 1. Докажем ее измеримость при 尸=s. Для любого £ > 0 найдется и £ 7, mes а > > ti ——t0 — е, такое, что функции у ⑴，〃^ «), . . us^(Z) непрерывны на а. Доказательство замкнутости множества {胃：〃§ (0 ^ а} для любого а повторяет приведенное выше доказательство при г — 1. Таким образом, us (i)——измеримая функция. Лемма доказана.

§ 2. Существование оптимальных управлений и теория оптимальных скользящих режимов

Следуя теории оптимальных скользящих режимов [38е, 221], задачу (1)——(3), h — h (х.方)，заменим на задачу минимизации функционала

j е, S)= <p!(z (幻)(11)

на траекториях системы

п+1

穿=2 % ⑴〃z ⑴，zu —7i(z«),»))，旳⑴，方)(12)

у= 1

С помощью измеримых функций 投丫(方)，fv (i), t£T, удовлетворяющих условиям-

叫(Z)》0,幻仆(方)=1， W(Z)£U,..., n 4-1. (13)

Задача (11)——(13) в силу теоремы 1 имеет решение; оптимальные управления ш^ (i), и\«), % £7, как будет показано в главе VI, удовлетворяют условию максимума

乳+1

2 F ⑺叫⑴ /(2° ⑴，Z^t-h(Z。⑴，0), %(/)")='

=max max 安 g ⑺叫/(z°«), # (Z —九(z° «), %)), pVj 力),

W、=f 泞外=1■.

-(伍)

где ^ (i) —решение системы竺纹=_ 6冗(z£ W，?;0, u?°)dt —6z (；)где ^ (i) —решение системы竺纹=_ 6冗(z£ W，?;0, u?°)dt —6z (；)自（幻=自（幻=dcpi (z° (幻)dzdcpi (z° (幻)dz(15)(15)

где ^ (i) —решение системы竺纹=_ 6冗(z£ W，?;0, u?°)dt —6z (；)

где ^ (i) —решение системы竺纹=_ 6冗(z£ W，?;0, u?°)dt —6z (；)

自（幻=

自（幻=

dcpi (z° (幻)dz

dcpi (z° (幻)dz

(15)

(15)

Здесь -^^^p—^вариационная производная в точке t

по z «) от функционала

Л(2, g, Р, ш)=.-

/1 乳+1

=j 2 F ⑴ w、⑴ /(z (0, z(t — h (z (t), 0)，Dy (t), o 由.

Из (14) следует, что каждая векторная функция 谒(%), £ € Т, удовлетворяет условию

y«)/(z。.)，z。« —丸(z。⑴"))，％,«)") =

= maxgz (0/(z° (0, z°(t — h(z° (i), Z)), 〃，力)，(16) u^U

и поэтому скользящий оптимальный режим (решение задачи (11) — (13) с 0 Vip% ⑴ < 1) заведомо не возникнет, а решение задачи (1) —— (3) будет существовать, если максимум по 〃 выражения

g G) / (z。(Z), z。(£ —九(z。(0,》，и, 9(17)

достигается в единственной точке почти при всех t ^ Т. Используем этот факт для установления критериев существования оптимальных управлений в задаче минимизации функционала-.

J (a) = ф!(Z (厶))+.

+ j /п+1 (« (£), x[t —h[x ⑴，/)), и (/), <) dt (18)

на траекториях системы (1) с Л = Л (方，胃).Задача (1), (2), (18) сводится к задаче (1) —— (3), если ввести переменную

t

得+! (О = j /п + 1 (尤(Т), Х(Т — Л(X (七)，t)), 〃(Т), Т)阮

Из-за специальной структуры вновь полученной системы уравнений сопряженная система (15) имеет решение, в котором £+1 优)三 一1 и функция (17) принимает вид g«)/(z。(0, Z。« —九(z。(О, Z)), a, Z)-

—/п+1 (N (О, Z° (t — h (z° «),力，а, г).

Отсюда следует теорема：

Теорема 2. Пусть в дополнение к условиям леммы 1: 1) /(N, у, и, 0 =产(2, у, 0 十 Ви; 2) функция./п + 1(N, у, и, О при всех х, у ^ X, t £ Т строго выпукла по 〃. Тогда в задаче (1), (2), (18) существуют оптимальные управления.

Перенесение теоремы 2 на общий случай задачи (1), ⑵ (18) выполнено в [36с].

Доказательство существования оптимальных управлений методом приращений

Системы, линейные по состоянию. Идею этого параграфа проиллюстрируем сначала на следующей задаче.

Требуется минимизировать функционал

J (а) = с'х (厶),(19)

на траекториях системы

^^А^)х-'гЬ(и, t), u^U, x(t0)^x0,(20)

где Л (i), b (〃，％) — непрерывные функции. Введем вспомогательную систему

..名= 4")z+》仆⑴6(好《),力 z4o) = z(), 片3(21)

吗⑴》0, 2叫⑴=1, pv (г) с и,

на которой найдем минимум функционала

J (р, ш) = с z (幻.(22)

Оптимальные управления 吟⑴，з\ (胃)в задаче (21), (22) существуют в силу теоремы 1. Система (20) есть частный случай системы (21), и поэтому

J (р°, w°) W inf J (〃)•(23)

Рассмотрим управление 〃* (胃)=о；(办 для системы (20) и управления 吟 ⑴ = 谣(力),必* (力 = {g = 1^ w2 =0,... ...,шп+1 = 0} для системы (21). При этих управлениях траектории систем (20), (21) совпадают и

J (〃*) = J 俨，必*)•(24)

Но приращение AJ (* zM) = J 伍*,必*) — J ”，”)в силу (24) равно

AJ (Pо,以°)=

=-J [^(0 ь(^(0, о - 2 r w ^(0 ^(^(0, o] dt.

Так как подынтегральное выражение в силу свойства (16) тождественно равно нулю, то J (и*, з*) = J (р°,必°). Сравнивая это равенство с (23), (24), заключаем, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Оптимальные управления в задаче (19), (20) существуют.

2・ Системы с запаздыванием. Рассмотрим систему

= 4(方)2 ⑴ + 4 (0 Z " 一 期十6他⑴，力" (0 g "(25) 2 (Т)=①(■€),Тё品， .J

и функционал.

J (〃)=中1(况(勿))+ J /n+i(^(0, ^(t-h), u⑴，大)d力(26)

где ф! (z), /п+t (尤，у, и,力)——непрерывные функции, дифференцируемые и вогнутые по {爲 у} при каждом t £ Т; Л «), А 〃)，Ъ (〃，/) — непрерывные матричные функции. Введем переменную хп+1 согласно уравнению

^^ = fn+l^(t),x(t-h), «.(0, 0> 2』(加二 0. (27)

Тогда задача (25), (26) сведется к задаче минимизации функции

.Ф1 (化(^1)) + ^п+1 (%)

на траекториях уравнений (25), (27). Повторяя в основном рассуждения, предшествующие теореме 3 (необходимая формула приращения получена в [36с]), нетрудно убедиться в справедливости утверждения.

Теорема 4. Задача (25), (26) имеет решение, если

/п+1(2, У, и, 0 = "+I(Z, у)十 /^+1 (a, t)..

Существование оптимальных управлений в непрерывных системах и принцип максимума для дискретных систем

До сих пор (§§ 2, 3) для доказательства теорем существования оптимальных управлений привлекалась теория скользящих режимов, дополненная (§ 3) изучением приращений функционала качества. Ниже предлагается новый

метод установления теорем существования оптимальных управлений, основанный на разностной аппроксимации дифференциальных уравнений.

Пусть требуется с помощью измеримых функций 〃 (/), £ W Т,辽 «) W Т, U {и： I zz I 1}, минимизировать функционал

J (〃) = e'况(幻，

если уравнение двшкения имеет вид‘

令= /(z)卜加，х(") = д, I(28)

/(/)g07, b = const.)

Вместо (28) рассмотрим дискретную систему

；2冬&也7® (噺)丁儿，(碘，

-. 九=0,N, у ^) ^о,}(29)

т? — tQ h 卜t,△力乜；° ,

нн которой бумем лгинимизировать функцию

jN(o)二 dy (德)(3。)

ло конечнолту числу переменных ^ (т^), uR)&U. Задача (29), (30), очевидно, всегда имеет решение у0 (т^). Обозначим через 尸伍)кусочно-постоянную функцию, построенную по и0"»

尸⑴口叫瑰)прит*<:力v瑞_3(31)

Пусть У” 心)—полигон, построенный по траектории у0 (т『), соответствующей в силу (29) последовательности у0 (т^)：

尸(…岗卜(力7)'囁七'(吸,

磋总"V脸一1；'

через К” (力)обозначим полигон

⑺=自储)+0一瑞)$(必不回"，(32)

T?《胃V瑞山

построенный на решении * (甯)системы

自(磅二)7(*)"@。(*))自(磅二)7(*)"@。(*))AtAt0У0У自（喲，自練）=—С.自（喲，自練）=—С.

自(磅二)7(*)"@。(*))

自(磅二)7(*)"@。(*))

At

At

0У

0У

自（喲，自練）=—С.

自（喲，自練）=—С.

Семейства функций YN ⑴，KN ⑴，TV 扌 1, являются, очевидно, компактными и содержат поэтому равномерно сходящиеся подпоследовательности, которые, чтобы не усложнять запись, обозначим снова через YN (胃)，KN (力 Оптимальное управление р° (т*) удовлетворяет [110, 160Ь] принципу максимума

У 绰)6pо (磅)=max 门磋)Ъи.(33)

Из (32) имеем

b'KN喻户(曲》，片储)评+%沪)，

b'K^1 (<+1)尸+1 (*+1) > Ъ'К^ (*+b VN (喲.

Отсюда

Ъ'К^1(嘴力 vN 囿—"Г 储)Г К) <

W Z/F+I(*+】)尸+1 (吟+l) j，RN 闖尸闖 ^b'KN+i (工沪)VN+l (圖+') —，Г(т『)vn+i 間+1).(34)

Пусть t,胃 gT, ——произвольная точка, Л, hx таковы, что 力0十九~дt° W % W % 一卜(九十1) "“"% ,

%丄九1 4工:"胃W力+ (九1 .卜1)大/ • 十 1十 1.

Из (32) следует, что

kn⑴=e(律)+o信)，r+，⑴=自(甯力十о (占)•

Из (34) получаем: ЯЛ (i) bfKN (Z) FN (t) H (^) при N—> оо. А так как

K(*)= lim KN(t), ”

TVfoe

TO

VN (t)—> V (i) при N—> oo,(35) -

во всех точках 厶 где Ь'К (胃)关 0. Заметим, что функция К (/) является решением уравнения

к(幻(зб)

(у ⑴=limyN ⑴).

Пусть mes {胃：Ь'К (力)=0} = 0. Тогда сходимость (35) имеет место почти всюду на Т7 и по теореме Лебега функция V (胃)，力 €?, измерима. Из (29) нетрудно получить, что

Управление Р (%),胃 £7, является допустимым, так как VN (t) £ U и U ——замкнутое множество. Чтобы доказать, наконец, что Р ⑺，t£T, — решение задачи (19), (28), достаточно заметить, что

lim J* (и0) W inf J (〃)

и

С'/(喲 f С’у (幻.

Результат этого параграфа сформулируем в виде теоремы.

Теорема 5. Пусть VN ⑴，^ ^ 1,力 £ Т,— такая последовательность управлений, построенных на решениях задачи (29), (30), что У^ ⑴—> у «) при Nf 8, и вдоль У (力)выполняются условия теоремы 1.9 почти для всех

Тогда VN (力)f V (Z) во всех точках, где VК (%)声 0, К (胃)——решение системы (36), V (/), t ^ Т — оптимальное управление в задаче (19), (28).

Доказательство теоремы существования оптимального управления с помощью разностной аппроксимации непрерывной системы

Пусть минимизируется функционал

j 3)=也(化(幻)(37)

на траекториях системы

图=f(爲*况(幻=3,方G7.(38)

Будем предполагать, что допустимые управления и (胃)， 力 £ Т, суть измеримые функции со значениями из замкнутого ограниченного множества U. Относительно функций 屮 1 (尤)，/ (化，") сделаем следующие предположения:

q^t (尤)——конечная полунепрерывная снизу функция, 2) функция / (尤，〃)непрерывна по обоим аргументам, по 尤 удовлетворяет условию Липшица. Если, кроме того, траектории 化(胃)，t g Т, уравнения (38), соответствующие всевозможным допустимым управлениям, равномерно ограничены, а множество

R (尤)={z: z = / (化，〃)，и U}

выпукло при каждом 化,то задача (3), (2), (38) имеет решение в классе измеримых управлений.

Для доказательства утверждения заменим систему (38) уравнениями

У(М+『(Р)= “у (*, D (陶)，I

f(J怨

у (T0)= ^0,九=0,.…丿

где 工九=用十九 А厶 Ai = 口％“。. Из замкнутости множества U, непрерывности функций / (尤,и) и полунепрерывности снизу функции ф!(尤)следует, что задача минимизации функции ф! (у (七“))по конечному числу переменных V (%) £ U всегда имеет решение。°(马)，которому в силу (39) соответствует последовательность у0 (т^).

Обозначим через YN (胃)，力 £ Т. полигон, построенный по точкам тд, у° (七九). Последовательность полигонов YN ⑴，TV ^ 1, образует семейство равномерно ограниченных функций (в силу аналогичного свойства системы (38) и сходимости решений системы (39) к решениям системы (38) при N f 吟,удовлетворяющих условию Липшица

\\YN(t + M)-YN (t)\\^L\\t\, Z = const. (40)

Поэтому она содержит подпоследовательность полигонов, равномерно сходящуюся к функции У ⑴，tgT、которая также удовлетворяет условию (40). Из последнего свойства следует, что производная dY (£)/d胃 почти всюду на Т определена и является измеримой ф^^нкцией. Пусть точка t* ^Т такова, что производная &У (%*)/&% существует.

Введем числа Л, 9, 0<；8w2： 尸=阮十8△九 Очевидны равенства

yN + 刨)—yN «*)— ° У" (，* + /V)—尸(г% ° 丄

AZ一方*+ а方一1：元+]r

川(T_) - * (尸)

Hl-0) —=8/(yN(立+1)，小(立+/十

十(i-e)/(yw(哨，°。(⑴).(41)

Множество R (У (/*)) полунепрерывно сверху относительно включения, т. е. для любого е>0 можно указать такое 3 > 0, что из

||уа*)_у||<б(42)

следует.

'к (у) u [7?(夕(产))]-(43)

В силу определения функции У (方)существует такое число Ng, TV。》2£(*二｝) , что ПрИ ту》%。имеем

Последнее неравенство в совокупности с (40) позволяет записать:

1旧(力*)一尸(喇产(产)一尸(%,川W6.

Отсюда в силу (42), (43) следует:

/ (^ (明，м (叫)e R (尸(咽)u [П (у (六))储(44)

/ (Yn (т^+1), Уо (т^+1)) е « (^ (т^+1)) с [7? (У (i*))]e.(45)

Множество [7? (У)]е выпукло вместе с R (У). Поэтому из (42), (44), (45) при достаточно больших N имеем

^伫土*尸竺日Е而加

Пусть TV —> оо, тогда At —>0, 8 —^ 0, в силу замкнутости множества R (У (%*)) и определения числа t* получаем —С А (У (严)).Из этого условия и леммы 4 еле-

дует существование такой измеримой функции 〃(£), "⑴ £ U, ^gT, что

* =/(7⑴，方⑴).

Нетрудно показать, что

lim min 恥(у (工田)W inf J(〃)，

Ф1 (У (幻)二 lim ⑺ QF «[)).

Здесь первый факт является следствием того, что (39) аппроксимирует (38), а второй — следствием полунепрерывности снизу функции ф4 (力).Сравнивая эти два факта, получаем / (〃)= inf J("), т. е.斤(力 / £ 7‘,一 оптимальное управление.

Решение проблемы существования оптимальных управлений при использовании методов функционального анализа

В § 1.8 было доказано, что при использовании методов функционального анализа задача нахождения управлений, при которых траектория системы удовлетворяет заданным граничным условиям, сводится к условию обращения в нуль некоторой функции. Если дополнительно на управления наложено требование экстремальности (для определенности ——минимальности), то задача о существовании оптимального управления становится во многих случаях эквивалентной вопросу о непрерывности слева упомянутой функции. Детали доказательств, связанные с этим кругом задач, вынесены в §§ 6.9—6.14, где решается не только проблема существования оптимального управления, но и находится вид оптимального управления.

Комментарии к главе V

Если запаздывание h (к, м, t) не зависит от параметров м； то в теореме 1 вместо множества R (с (•), t) достаточно рассмотреть множество

R (‘书，У, £) {z: 2 == f 1 у 1/)■ ^ ^ ^ }i

определенное на векторах % у и числе t.

Теорема 1 остается справедливой, если в задаче (1) —— (3) добавить условие

G (Ж(/), /) <0,(46)

где G (% t) — непрерывная функция. В связи с этим интересно отметить, что теорема 3 с дополнительным условием (46), вообще говоря, неверна.

Пример!.

£[=м, 支2 = £] — 喝 xi (0) — x2 (0)—0,

U = {卫：I I W'}， T = [。，1],门=0,©2 = ", G (瑞 £)=—c仆

Последовательность управлений в примере м"⑴= ~ sign sin Nt, TV》1, является м и ними зир ующе й: J (м“)f — 1 = =inf J (м), однако не существует измеримой функции й (力)，t £ Т, для которой J (〃)=——1.

Хотя условия теоремы 1 довольно жесткие (особенно требование выпуклости R (с (•), %)), ослабить их, вообще говоря, нельзя.

Пример 2.

Xi = и, х2勺(0)(0) = 0,

U =.{w. I и I = 1},Т — [0, 1],(pi (^) =^2*

Нетрудно видеть, что inf J (м) = 0. Однако не существует измеримой функции й (Z), t £ Т, доставляющей минимум функционалу J (м)=窃.

Условия теорем 2, 4 в общем случае ослабить нельзя. Пример 3.

£] = m,fn+i = ^i -*£](0) = 0,

U = {х： I I 忘 1}, Г = [0, 1],$!(£)= &•

Легко видеть, что inf J ®) = — 1, но infimum на измеримых функциях не достигается.

Проблема существования оптимальных управлений в настоящее время имеет обширную библиографию. Первые результаты по существованию оптимальных управлений получены в [38b, 125]. Хотя в общем случае ослабить условия теоремы А. Ф. Филиппова нельзя, представляет интерес выделение классов задач, в которых эти условия допускают ослабление. В этом направлении известны работы [145, 205, 221а]. Результаты §§ 1 — 5 отличаются от известных как методом исследования, так и содержанием. Весьма перспективной является, на наш взгляд, идея доказательства теоремы 5. Эта теорема и многочисленные примеры (см., в частности, главы V, IX) приводят к мысли, что проблема существования оптимальных управлений в непрерывных системах и возможность перенесения принципа максимума Л. С. Понтрягина на дискретные системы тесно связаны. Сформулируем эту мысль в виде следующего предположения.

Гипотеза. Для того чтобы задача оптимального управления в непрерывной системе имела решение в классе измеримых ограниченных управлений/ необходимо и достаточно чтобы при'

достаточно малых интервалах квантования (А力 мало) оптимальные управления дискретной системы, аппроксимирующей непрерывную систему, удовлетворяли принципу максимума Л. С. Понтрягина.

Доказательство этой гипотезы имело бы большое значепие как для непрерывных, так н для дискретных систем. С одной стороны, оно показало бы универсальность принципа максимума Л. С. Понтрягина, с другой — обосновало бы применение этого принципа при расчете оптимальных управлений на цифровых вычислительных устройствах. Последнее обстоятельство является одним из наиболее важных мотивов, в силу которых предлагаемая гипотеза должна быть исследована.

Известно, что динамическое программирование является наиболее универсальным средством исследования дискретных процессов. Однако применение этого метода к расчету оптимальных процессов уже в сравнительно несложных системах наталкивается на непреодолимую (пока) трудность, связанную с ограниченностью оперативной памяти ЭЦВМ. Поэтому [129, 131, 177] предпринимаются настойчивые попытки распространения принципа максимума на дискретные системы. В главе IX этот вопрос будет подробно исследован. Хотя, вообще говоря, принцип максимума для дискретных систем не имеет места, он, будь сформулированная гипотеза справедлива, не теряет своего огромного значения для большого класса дискретных систем, полученных при аппроксимации непрерывных систем.

Если бы приведенная выше гипотеза оказалась справедливой, то появилась бы новая схема доказательства теорем существования оптимальных управлений. Эта схема (частично использованная при доказательстве теоремы 5) проблему сутцествования оптимальных управлений сводит к доказательству принципа максимума для дискретных систем. Последняя задача в ряде случаев (см. главу IX) решается весьма просто.-

В работе [36b] для задачи (1)——(3) доказана теорема существования оптимальных управлений по схеме, предложенной в [56] для обыкновенных динамических систем.

Часть II

ПРИНЦИП МАКСИМУМА В ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

ГЛАВА VI

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ УПРАВЛЕНИЙ

Метод приращений

卜1)卜1)Постановка задачи. Формулы приращения скалярной функции. На классе D допустимых управлений, состоящем из кусочно-непрерывных функций а (£), t ^ Т, со значениями из ограниченного множества U. рассмотрим решения 力(£), t С Т, уравнения

卜1)

卜1)

霄=/ (芻〃⑴，力胃(力。) = g, £ £ ?心,力］，

力={力］,.…，力"}, / {/1 5 * * ' 5 /л} ? EZ 二{〃(，.…，〃r},

где ft (胃,辽,方)——функции, определенные и непрерывные вместе с。九(胃,辽,曾母勺,/ = 1,・•.，汽.Всюду в дальнейшем в точках т разрыва (первого рода) функций е (£) будем полагать и (т)二二 lim и «), £ f q / > т. Пусть управлению и ⑴，t С Т, соответствует некоторое значение функционала

J⑺=屮(力(幻).(2)

Цель настоящего параграфа состоит в нахождении условий (необходимых условий) оптимальности, которым удовлетворяют в задаче (1), (2) оптимальные управления 辽。⑴，t ® Т (предполагается, что они существуют). При доказательстве основных положений будем опираться на формулы приращения скалярной функции

Аф(2 (幻)=学(?(厶)+ Дж (Cl)) -(P(Z (i1)),

определенной на траекториях системы (1). Обозначим через х (力 х (%) + △/ (t) траектории уравнения (1), соот-

/1/1A《=A《=дН Q + Ac, « + △屮，//Ц-Ди, Г）дН Q + Ac, « + △屮，//Ц-Ди, Г）дН（£,屮，и, t）дН（£,屮，и, t）（3）（3）⑷⑷（5）（5）

/1

/1

A《=

A《=

дН Q + Ac, « + △屮，//Ц-Ди, Г）

дН Q + Ac, « + △屮，//Ц-Ди, Г）

дН（£,屮，и, t）

дН（£,屮，и, t）

（3）

（3）

⑷

⑷

（5）

（5）

ветствующие управлениям 辽（方）,и （方）-卜 Ам （£）. Справедливы следующие формулы:

А屮（Z （厶））=-［口 （z⑴，2⑴，a⑴+A"《），力）一

一我（力⑴，2⑴，"⑴，切dt -

d［H'（％ 屮，m + A辽，方） —H' （% 叭a，切 Az （力"力_

.--j °i （II A力 II ） d方 + o4,

A（p （力（%））=-j [Я"（力*△芻屮，а + дгг, t）—

—H （力 f-Az,屮，辽，£）] dt— j о? （И Az 11） dt 卄 04,

A屮（z（厶））=一）［Я （z,w+△屮，辽十A辽，方）-

-н （T,2 + △2，а，/）］ di — j O3 （И Az （］） dt + O4. Здесь

而一丝（衅9.2（幻=_8吗⑷）,

△屮（力1）=。；

величины Oi — о4 определены через разложения -

Н （z + Аг,屮，貝 + Агу, t） — Н （胃，屮，и-\- Au, t）=

h （优 + A优，R u, Z） - Я （z，巾，u，力）=

=а〃 （饗,D A№（UzM）, Я （x卜a优，屮十△2，辽十Au,方）一Я" （z,屮4-a2，u十Aa，方）= =期（叶g吋a屮,叶а",t） A2 + 03 （II A昊И）, （f （z + аT）—屮⑺=3户△工十04 （ m% ）.

Доказательство формул （3） — （5）. Приращения Nx （i）, 八屮（方）траекторий z"）,屮（方） удовлетворяют уравнениям

'а^М）=/（龙一卜A况，a+Au"）-/ （芯，u，方），Az （方o） = O, tQT,

dи （上,屮,（г, ?）

Из формулы интегрирования по частям

j屮，（0 "А况⑴=卡（厶）Az （方i）一屮，仇）А况（办）一 j A比'⑺d^＞（t） toS

после подстановки значений 屮（厶），△况（％） получаем

AJ （a）二 一 j 2’⑴ dA比⑴_[^xf （t） d2（力）十04 （II A比（厶）II ）.

Заменим dAz （方）и d1^ （t） их выражениями. Тогда имеем

AJ（a）= — j [H （x-^ ^x,屮，u-^ ^u,方）一〃（瑞屮，u, /）] dt +

+ j a#初位崇"，/）近+。4.

io

Добавим в правую часть выражение Н （优,屮,辽 十 Аа,方）一 —Н（X, i|）, гг + Au, t）. Заново сгруппировав члены, придем к （3）. Если в правую часть добавить 〃 （况 + А况，屮， 〃，方）一 女（优+ А招 屮，辽，办 и сгруппировать члены, то

получим формулу （4）. Для получения （5） проинтегрируем по частям выражение.

j[屮‘⑺+a2'⑴]dAz （0 =[屮'（%）十А屮'（幻]A况（幻- to

一[屮'（%） + A屮‘（%）] A优（幻 一 j A优‘（0 [d^ （0 + dM（）（切. to

Учтем значения 屮（厶），八屮（厶），八胃（方°） и используем выражения для d/\x （t）, d^ （t）, dA屮（方）.В результате получим

AJ （U）- j [h （比 + a招屮 + a屮，％ + аa, £）—

to

+ J M 0方Q + A”'曳^А5" + a"，0 dt + 04 to

Добавим в правую часть выражение 〃（况，屮 + 厶屮， и + Aa,力一方（瑞 屮 + △屮，и + Au,力，перегруппируем члены, в результате получим формулу （5）.

Специальное приращение управления. Пусть （О,勿<^<3 0+8-С^<^,

& 战⑴= fa*-a«）, 0<i<0 + 8,（6）

где 0, 8 — произвольные числа, 8 С 7, 9 4 в € ^? 8 > О, и* — произвольная точка из U. Подставим приращение Ава"） в （3）. Тогда получим

9+е'.,

Ae6J （m） = - j [Н （支⑴，屮⑺，a*,力一 一

O-f-ej拆驱'（力）O-f-ej拆驱'（力）一"（胃（方），屮⑴，u（方），方）］近一

O-f-e

j拆驱'（力）

O-f-e

j拆驱'（力）

@ ［亙 3 （%），"（£）,m3 D-H （%⑴，" ⑴，m（力才）］成一

-j 5 （II A恥⑺ II） d方+04 （II Me况（厶）II ）•

19()НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ О11ТИМАЯВНОСТИ[ГЛ. VI

Здесь символом Де9 х (/) обозначено приращение траектории 况⑴，вызванное приращениями (6).，

Принцип максимума Л. С. Понтрягина. Приведем сначала три простых утверждения.

Лемма /・ Для любых чисел 0, е, функции h (力 u), непрерывной по J а, ограниченного кусочно-непрерывного управления и ⑴ при достаточно малом е выполняется равенство

辽 «)) dt=^^h (0, и (0)) + о ⑻.

Для доказательства достаточно применить формулу Тейлора:

a(e) = a(0)+^^U + o(e).

Лемма 2・ Если функция а«) неотрицательна при t > t0, то для с>0, L> 0 из неравенства

a (方)式C十上 J a(s) ds,方》％, следует, что

а(£)《сехр 厶(方一％),t0.

Действительно, при условиях леммы выполняется цепочка неравенств

fS

а (%) с + 厶 j「‘千厶 j 仪(°)"° J ds c + cL (t — %) +

+ £2 J (力一s) a (s) ds^c [1 + £ (力一％) ^~——г • • • j —

=c exp厶(方—— ％).

Лемма 3・ Пусть в выражении §&-卜丫(§) величина d постоянна, § стремится к нулю, оставаясь положительной, Р > 0, y(0)—>0 при Р —>0, причем ?(§)/§—>0 при Р->0.

Если Pg? -|-у (Р) > 0 при всех достаточно малых §, то

Действительно, если d V。，то d 丄丄* V。при доста

точно малых р. Поэтому 限一卜？(§) = § ^_(_ J_^j V。，что противоречит условию. Лемма 3 доказана.

Оценим величину |j Дее^(О ||, /£7. Ясно, что 拆腸⑺三0, "总方总仇 Для всех力8<；方之8斗е, имеем

"嘴⑴=/(支▼am,"*, 方)一/(z, ",力)，л£0^(6) = 0.

Отсюда, переходя к интегральной записи, получаем t0+е

:|心6m«)||公£[||А£恥(力114「」.[\\^f(x, u, 0 \\dtее

(Д^/(х, 〃，£)=/(%, ”，力)一/(к?辽”))・

Применим ко второму интегралу лемму 1 и воспользуемся леммой 2. Тогда имеем

II Аа也(0 II W。(е) exp £s = Oi(8).

При 0 + 亡《t •< ti уравнения для 八^胃“)имеют вид ■^^ = /(z +Me爲儿，力)一/(胃，辽，0, \\^е^(^ + в) II<01(£)• Переходя опять к интегральной записи и применяя лемму 2, получаем

II М“ (О II W °1(£)ехр £ « — е — £)= О2 (е),8 十 £ W % W %•

Таким образом, на всем отрезке Т числа Де0.г ⑴ имеют порядок малости, не меньший чем 8：

II Am ⑺ II < о(8), t с т.

Поэтому выражение для Де0/ (и) при достаточных малых е с помощью леммы 1 можно записать в следующем виде:

AeoJ (〃)= —в (Я (z (0),屮(0), 〃*, 0)—

一女(况⑼，2⑼…⑼，»] + 0(ё).(7)

Пусть теперь и (£)=辽° ⑺一оптимальное управление. Тогда для любых е>0 выполняется неравенство Ле0/ (гг°)》0, т. е. к (7) можно применить лемму 3, в силу

которой .

я (况。(0),屮(0),公(0), Q)^H (况。(0), W (0), ^ (0), 0),

причем 辽*, u^ g U, 8 £ 7 ——произвольные числа. Полученный результат известен как принцип максимума, точная формулировка которого такова.

уравнения—力‘3 %史⑴'‘'(%),叩(幻一中^(8)уравнения—力‘3 %史⑴'‘'(%),叩(幻一中^(8)Теорема 1. Пусть и° (X), z° (/),力 £ 7,— оптимальное управление и траектория в задаче (1), (2);屮(X), X С Т,— решение 押(z) dt

уравнения

—力‘3 %史⑴'‘'(%),叩(幻一中^

(8)

уравнения

—力‘3 %史⑴'‘'(%),叩(幻一中^

(8)

Тогда в каждый момент 力力 £ Т, оптимальное управление удовлетворяет условию максимума：

ф' (/) / (№ (力)，辽。(X),力)》ф' (/) / (况° (力 и, /) для всех и ^U.

(9)

Случай выпуклых функционалов. Предположение о выпуклости функции ф (胃)позволяет снять ограничение на ее гладкость. Пусть ср (况)一непрерывная выпуклая функция. Если вектор z° (厶)не является точкой минимума функции ср (况)на тг-мерном пространстве, то, используя теорему об отделимости выпуклых множеств и уравнения в вариациях для (1), приходим к существованию такого вектора с (|| с || 长 0), что

С Ат。(厶)> О(8),■、(Ю)

с'б) < 0.(11)

Здесь & — достаточно малое положительное число, 8 С Т (В 十 & С Т) — произвольная точка, з — любой вектор, направленный из точки № (厶) внутрь множества {况： 屮(况)W 屮(况。(厶))}• С помощью техники, развитой в [18d, 109], нетрудно показать, что вектор с можно выбрать не зависящим от 0Т 8. Ниже (§ 2) при исследовании задач оптимизации в системах с запаздыванием доказывается, что свойство (10) оптимальных управлений ведет к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть на траекториях системы (1) функции 辽；(力)， V = 1, . . ., г, минимизируют функционал (2) с выпуклой функцией ср (况)，причем ф (况° (厶))并 inf ф (况)，

况 С Er. Тогда существует вектор с (|| с \\ Ф 0), удовлетворяющий неравенству (11), такой, что на оптимаггьном управлении z/° (Z), t £ Т, выполняется условие максимума (9) с функцией 屮(У), которая является решением урпв- нения

Принцип максимума в системах с запаздыванием

Основная лемма. Вернемся к системе с запаздыванием [36с]:

^^- = /(ж(о, x(t—h (ж(о, м(0, 0), ^(0, о,力 с, I

> (12)

况(т)「①(т),冗^凡，h (х, и, /) > 0, и (-) QD.丿

Рассмотрим управление u (Z),力 £7, для которого

Обозначим через т (力)выражение.

七(方)=方h(2 (/), u⑴，/),

через 方=尸(т)——решение уравнения 七=七 ⑴* Пусть

я (芻у (况，我，方)，2,E，力"屮了(芻У (方，e，X)，乂，方)，

У (芻江，方)=%(方—h (z, u，力).

Будем говорить, что управление и (0,力 С 7, удовлетворяет условию максимума с функцией 屮⑺，方 £ 7, если

Н (х (/), у (况(0, и (/), /),屮(方)，〃⑺，X) >

> Я (z (0, g (芷(0, 北(£), X),屮(力，辽，0(13)

для всех 〃 C U, t Т.

Лемма 4 (основная). Пусть функции /(/, у, “, /)¥

①(%), °У，初"，“")，

——、大…,——方- ,—^2 определены и непрерывны，

13 р. Габасов, Ф. Кириллова

причем

||/(^, ?, U, ^) —/(^, у. и, /) ||< —一

总"(II 况一况 II + II y - y II )т

il/(况，у, 〃，％) iY%J)嚼"JI^-^2)

I h (z,辽，t)—h (z, u, t) |-^Л3|| z —z (I，

ПА/(况，y (瑞e，/),e，0,|<Gll 〃一e11；

если 0j точка разрыва функции и (X), то

h (况(0!), и (01 — 0),仇)> 无(况(0!), U (0J + 0), 0i)；

Lfi exp [厶(1 + 厶％)(〃 一'力о)】总 L

Тогда каждая кусочно-непрерывная кусочно-дифференцируемая функция и (X)~ {辽1 (/), . . ^ иг (X)}, для которой существует такой вектор с, || с ||，0, что при достаточно малых g, & > 0, и любых 0, 6 С Т, выполняется неравенство

с'&т (厶)> О (е),(14)

удовлетворяет условию максимума (13) с функцией 屮(/):

d中(Е)@〃(厘(£), g(/(£),m⑴，£),少"),汉(2), /)'

dt8忆

_ @HQ (刀，y m(2), 我 (力№,2g),汉(7), 7)I

ду斤=7■⑴ 办 '

.LУ(£(/)，m (/)，力)，2 ⑴，u ⑺，e)厶(s) I 义

dh (ж (/), и (/), t)dh (ж (/), и (/), t)XX1dyds |s=T(/)

dh (ж (/), и (/), t)

dh (ж (/), и (/), t)

X

X

〉(15)〉(15)дх

〉(15)

〉(15)

%0 W^"W"=%"(n(方)E(力1)，方1)；

修屮(£) = 8H 3(2), У 3 (力 м ⑴，Z), 2 (z), u (£),力 dt -dx叶

++w з（£）, у 此（» 辽⑴，2）,屮（£）, м （小 £）姦（S）w з（£）, у 此（» 辽⑴，2）,屮（£）, м （小 £）姦（S）XXдуdh(% (г), и (г), г)дуdh(% (г), и (г), г)dsds

+

+

w з（£）, у 此（» 辽⑴，2）,屮（£）, м （小 £）姦（S）

w з（£）, у 此（» 辽⑴，2）,屮（£）, м （小 £）姦（S）

X

X

ду

dh(% (г), и (г), г)

ду

dh(% (г), и (г), г)

ds

ds

t'《tWh, 屮(片)=—с

Приведем только схему доказательства, отсылая за подробностями к [36с]. По схеме § 1, но с более громозд-

кими выкладками, можно показать, что при достаточно малых & существует постоянная 0 такая, что || △&©% «) ||《 工 Ре. Далее, исходя из тождества

e‘а7 (厶)——1|/ (%)△况(%)=

=j 屮'(X) Az ⑴ dt _ \ 2'(方)Az (0 ("，

по схеме § 2.2 убеждаемся, что

rA况(幻=——]a总н(4:(Х), у (况(力E(方)，力)，屮(X),e(方)")山一

-,a2' (0 ^ A%'(尤(力)，y (尤⑴，a (0,力，屮⑴，и⑴，0小一

-j A况’[七(况(/),e⑴，切X

/о

X所7ь (尤⑺，21T(2e), "«),切，屮«),и«),方)办+

+ JA况'[t (况(方),u (小/)] X

X 器w (尤(0, У(2 (力)，и ⑴，方)，屮⑴，a (0, 0 dt +

+ j*{?(尤⑴，尤[T (尤⑴，口)，/)],屮(方)，/⑴，i)} X

X I 〜 Д尤' (t) (学⑴，D dt ~

as |s=t (冥⑴，u(i),力@2

—j M {?(尤(0, У(2 (t), U (/)"),屮⑺，и (/)")} x

X 学 I竺咎一祖NА尤⑴dt _

ds |s=t 也⑴，观⑴，f)dx、/

—[О ( Н А况(力)II) dt.

ЗдеСь u(t)= 〃⑴ 4-Aw(z), $«) = /&) +A况⑴.

Доказательство завершается выделением в правой части последнего выражения главных членов по 8 и применением леммы 3.

Примечания：

Функция г （力）на отрезке [т （仇一0）, т （国 + 0）] доопределяется условием г （力）=г （8工 ——0）.

Если запаздывание h （况,〃,t） не зависит явно от 貝, то утверждение леммы справедливо для функций и （力） из класса измеримых функций.

Задача со свободным концом. Пусть среди кусочнонепрерывных функций и （/）, и （Z） g U, t ^ Т, с кусочнонепрерывными производными ищется управление и° （力）， / g Т, минимизирующее вдоль （12） функционал

J （e）=屮（况（厶））

с дифференцируемой функцией 屮（况）.Если и° （/）, % £ Т,— оптимальное управление, то при любых 8 > 0, В С Т, и^ U имеем

аее J （ио） = ф （淤（幻+ Ae0Z （幻）一中啰（厶））=

二西（U"" Aem（%） + o （ II AeoK （厶）[I）= С'аёо2 （厶）+0⑻》0,

т. е. выполнено основное условие （14） леммы 4. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть для функций / （х, у, и,力）， Ф （力 h （z,辽,力）выполнены условия леммы 4. Тогда кусочнонепрерывное и кусочно-дифференцируемое оптимальное управление и° （%）,力 £ 7, в задаче （12）, （2） удовлетворяет условию максимума （13） с функцией из （15）, где

@屮（加（%））

Задача с незакрепленным временем. Пусть на траекториях системы （12） минимизируется функционал

/（乂，幻=中（况（幻，幻，（16）

где функция ф （z, t） непрерывна вместе с °屮^ “, °屮^： ”, 力一фиксированное число. Если 力;， m°（力），力 £[%, X:],- оптимальные время и управление, то, очевидно, функция 卫。（%） на 出，力方 должна удовлетворять условию максиму-

ма из теоремы 3. Чтобы получить условия оптимальности для /；, достаточно поэтому рассмотреть процессы разной длительности и положить сначала

=（幻，2

Тогда из неравенства

A J （a。，f；） = ср （% （f；十 е）, /； + е）—屮侬 «；）,片）＞ О след5тет, что

^ф 3° «У），£?）。丄两'3 （/?）, # 丫

К/（况。G）,护（犷（幻，u^t^,幻，加（幻，^）8 + o（8）＞0 （17）

для всех достаточно малых е, £＞0. Применяя к （17） лемму 3, получаем

^^2）＞ h （小 g），y。（2。g）, a。依），外，W 6）,①。吿），外.

Неравенство противоположного смысла получается, если сравнить оптимальные t^ 卫° （力）с 力；——8, 8 ＞ 0, и и （^）= =U° （/）, Z0＜Z —8.

Теорема 4. Пусть выполнены условтл теоремы 3 и %：, 〃。⑺，办《力С《一решение задачи （12）, （16）. Тогда в дополнение к утверждениям теоремы 3 （с= ' £ 丿 выполняется равенство

叫w）,小=8 （叫彳）,y。（尤。（用，a。g），编2（幻，a。（幻，切.

Задача с подвижным концом. Предположим, что на правый конец траектории 况⑴，t ^ Т. уравнение （12） наложено ограничение

g （况（з）＜ 0,（18）

причем скалярная функция g （х） определена и непрерывна вместе с dg （胃）/0况.

Теорема 5. Пусть для функций / （х, у, и, Z）, Д （况，〃，力）, Ф （力）выполнены условия леммы 4 и кусочно-непрерывное и к^^сочно-дифференцируемое управление и° （力）,X G 7, в задаче （12）, （18） таково, что векторы 。屮（胃° （力J）/。况 и dg （z° （%））/。况 неколлинеарны. Тогда найдутся числа X,

卩，九》0,卩^ 0,九+卩=1 (卩=0, если g (况。(厶))V。) такие, что функция и° (%), t ^ Т, удовлетворяет условию максимума (13) с 屮(t) (решением системы (15)) при

e =九 0(p (况。(力))/d况 + 卩 Og (z° (厶))/0/.

Доказательство. Покажем, что если выполнены условия теоремы 5, то существует ненулевой вектор % удовлетворяющий условию основной леммы, т. е. С К^Х (匕)》О(Е); О(£)〜絞，для любых Е* £ U, 8£7, если & достаточно мало. Поскольку все остальные условия этой леммы также предполагаются выполненными, то этим и будет доказано утверждение теоремы 5.

Уравнению

""”)= /(工⑴,7⑴，a⑴，0 -

—/(z(Z), у (i), u(0, o， /》8 + е,

поставим в соответствие уравнение в вариациях

где векторы djddx. dji/dy, i = 1, . . ., /г, dh/dx и скалярная функция t (力) вычислены вдоль траектории 况(力) и управления 辽(力). Учитывая, что и (方) 三〃(力 при ^€ [9 +е,切，имеем

Aeg (0 — бе0х (力)=“m (0 + е) — бе®/ (9 + е) +

+ j [/@(s), 2[T (ж, и, s)], и, S)— ■ 6+е

—/3(S), N [Т(N, М, S)], “，S)]必一

—j (4 (s) б^а况(s) + 4 (s) б^а况[t (s)]) ds = e+е一

=° ⑻ + j [^ Am (s)1^ Aee^ [T(N, U, S)]—

0+e

一皆需L⑷得m“(s)]公十j。(血駿⑶叶

04-е

+ ||Дее^[т(^, и, s)]||)rfs— j (Л(5)6ee^ (s) +

+ Ai (s) 6eez [r(5)]) ds = j Л (s) [Ae0z (s) — 6ee^ (s)] ds -]-

+，4 ⑻[&6力[工(吃品，s)] — Дее^ [т (х, u, s)]] ds +

64-е

+ j -41 (s) [Aee^ [T (s)] — 6ee^ [T (s)]] rfs -|- О(8). 0+e

При доказательстве основной леммы было показано, что

j Л1(5)[Аее^[т (z, u, s)] —Aeez [т (^:,辽，s)]] ds = o(&).

еч-е

Нетрудно видеть, что справедливы неравенства

I j At (s) [Ае6^ [т (s)] — 6ео^ [Т(5)]] rfs |[=

0+е

=II j 4 (г ⑻)[Mm (s) —бее尤⑶]г'(s) ds В С т(е+е)

е+е

《j П 4 (г (s)) IIII Me%(S)М г'(s) I ds +

т (0+е)

+ j И 4t (r (s)) j| К Дееж (s) — 6Е0ж (s) К I r' (s) j c?s<

6+e

e+e

•&! и»(r(s))n 11^^11 ir，(s)\ds+

亠，|4(，(S))H HAem(S)—3eoK(S)M，'(S)|dsW

二° ⑻+扌 j I, AeO^ 6ee^(S)||rfs.

Учитывая это, получим

l!Aee^(O — 5е0х-(О|]< j I) Л (s) II ||Ае6х (s) — 680ж (s) || ds J-

+ 肃 j II &0%(s) - 6eG况⑶ U 加+0(&) W0卜£

W% (电*十4"3)j Mee2(s) -зёО,⑶1[或+0⑻, откуда

I： AeOx(/) —6e0^(Z) |j<

⑻ exp (厶(?^，+ £?厶卜力一Q—g))(20)

для ^ С [0 -г 8, Zi] и всехРешение линейного урав

нения (19) в момент 厶 запишем по формуле Коши:

б^а况(力 1)=尸(％, В + £)А#/ (况(0 + с), у (В + e),

e(8 + 叫 Q + ^) 8.(21)

Из (21) видно, что при фиксированных 0, и* и различных £》0 множество {6e0z (^)) представляет собой некоторый луч П&6, исходящий из точки 况(％).

Обозначим с = "*应，b '空 ^丁1» и рассмотрим два конуса: К] = {3%: azdz<0} и К2 = {6z: 〃3况 W0}・ Пусть Кг = К^ П К2. Из неколлинеарности векторов а ^ Ъ следует, что конус & имеет внутренние точки. Покажем, что луч П®乜* не содержит внутренних точек мноя^ества К» Пусть точка 6еох (^) С Пей* является внутренней для Кз，

Тогда все точки 3g“（％）, oV&<^£, будут внутренними для Кг. В силу （20） при достаточно малых & точки △ее% （厶）также будет внутренними для К3, что противоречит оптимальности

Таким образом, множества Пои* и К3 можно разделить, т. е. существует вектор с（е*, 0） такой, что c'Age% （力 1） АО, причем с （и*, 0） является опорным вектором к Кг в точке 况（力1）.

Следуя [109], можно построить вектор с （и*, В） не зависящим от и* и 0, и* g U^ 0 g Г. Иначе говоря, существует ненулевой вектор с, опорный к Кз в точке 况（％）, такой, что cfbZQX（t^ 0 для всех и* g U1 0 g Г.

Обращаясь к （20）, получаем еат （厶））。⑻.

Выразим с через а и Ь. Но построению с'6况 W°, 6况 £Кз, т. е. с£К£, где Х^ —конус неположительных линейных форм над Кг. Известно, что К^ = （Кл Q К^ 7^7 + ^Ъ「е. каждый элемент с£К^ представим в виде

e = 入a +卩а 入+卩>0,九，卩》0.

Теорема полностью доказана.

Новая форма необходимых условий оптимальности

Вариационные производные первого и второго рода.

Для записи принципа максимума в задачах оптимизации систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями （1）\ весьма удобной оказалась функция

Н （爲屮，e，X） ~屮7 （芻m，力），（22）

с помощью которой уравнения для основной переменной л сопряженной переменной ф можно представить в компактной, легко запоминаемой форме：

dx дНи, %）/02、

，（23）

也-_аh （瑞 з，у，*）（24）

Сам принцип максимума при использовании функции （22） имеет изящный вид:

н（况 。（Х）,屮（力），"。（方），方）=maxa （况。（力，屮（方），e，%）•

После появления принципа максимума различными исследователями предпринимались попытки обобщить этот результат на системы, отличные от (1). К настоящему времени в этом направлении известен ряд работ |21d, 30, 52а, 53а, 104а, 127]. Во всех этих работах форма записи условий оптимальности основана на функциях типа (22). Уравнения для переменных %, р н условия максимума для систем, существенно отличных от (1), носят нерегулярный характер и трудны для запоминания. Для подтверждения этих слов достаточно обратиться к теореме 3. Уравнение (15) для сопряженной переменной i|? чрезвычайно сложно и трудно запоминаемо. Для других систем необычно будет выглядеть и условие максимума, если выражать его в терминах функции (22).

Ниже предлагается новая форма записи необходимых условий оптимальности. Предварительно введем два определения. Пусть на кривых х (t) ^ С, t ^ Т, задан функционал J (%). Если существует суммируемая функция g (力), У Е 7, при которой

h

J (% + An) — J (n) = f g'(力)厶胃⑴ dt -|- о (An (•)).

и о (An (-))/1) An (•) || f 0 при || A^ (•) j| -> 0, to g ⑺ назовем вариационной производной первого рода в момент t от функционала J (汽)по функции % (力)，方 С Т, и обозначим символом 6/ (汽)/&г (力)•

Если функционал J (箱 зависит от 优(力 и ее производных М)(力，方 £ Т, то сохраним определение вариационной производной первого рода, добавив одно условие: о (А/ (•))/"厶汽(•) II f 0 при j]入汽(•) J] f 0 в метрике пространства непрерывных функций % (力)с непрерывными производными %(' ⑴，Z = 1, . . А:

И ж (.)|| = max 2 П%⑴⑺ |1・

Символом 8yJ (%)/&г (力)будем обозначать вариационную производную второго рода в момент t от функционала J (%) по функции N (行，方 С Т, понимая под этим функцию g ⑴，удовлетворяющую условию

J (% + 厶£脾)一J ⑺=eg (0) + о (е),

где

_ J 0,力 oW3V 仇 8 + eW7 V 3

Me◎⑺=⑺，ке*,

и о (е)/е -> 0 при £ f 0. Новую форму необходимых условий оптимальности проиллюстрируем на ряде систем, начиная с простейшей (1).

Обыкновенные динамические системы. На непрерывных кривых % «),屮(办，t JT、и кусочно-непрерывных функциях 〃(力)，力 С Т, определил! функционал

冗(瑞收m) = j U (力)/ (/, m，方)d九

Исходя из введенных выше определений, нетрудно проверить, что уравнения (1), (8) и условие (9) принимают соответственно вид

『 dx (0 — 6n Q. ”，и)内0

d^ (z) 3n (/，2，u)ga、

ДЛЯ всех 力 £7,瓦*£“(27)

В данном случае новая форма записи условий оптимальности не сложнее прежней, традиционной [109].

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Для системы (12) введем функционал п (骂 гр, и)=

=『"’(方)/ (/ (力，"(方一无(比(方)，"(方)，方))，u⑴，t) dt, определенный на непрерывных % (力)，if> (力)и кусочно-непрерывных и (力)，причем х (t) = Ф ⑴，力 С S()и 2 ⑴三 0, t > ^. Тогда уравнения (12), (15) и условие (13) можно записать в форме (25), (26), (27).

Одно обобщение обыкновенных динамических систем. Дифференциальное уравнение (1) представляет частный случай уравнения

〃N(. t)x(t) =f{x, w,力)，、(28)

где

RN(p, t^A^)消十ji⑺川一十…十/n⑴，

,4p)£Cnt, 2 = 0,…，忆P三今.

Если 4° (力)，力 С Т,— неособая матрица (общий случай рассмотрен ниже), то в задаче минимизации функционала (2) на траекториях уравнения (28) (здесь не останавливаемся на вопросе о задании начальных условий) для оптимального управления 〃° (力)，力 С Т, выполняется условие максимума. Введем функционал

冗(瑞 屮，n) = j屮'(力)/ (/⑴，m (0,方)dt

и выражение

限（p,力）屮⑴=2 （一以备［（41⑺）飞⑼.限（p,力）屮⑴=2 （一以备［（41⑺）飞⑼.t=0В новых обозначениях пряженных переменных, принимают вида"(p,力)第⑴=t=0В новых обозначениях пряженных переменных, принимают вида"(p,力)第⑴=уравнения для основных и соа также условия максимумауравнения для основных и соа также условия максимумаE^S，0屮⑴=E^S，0屮⑴=6鱼⑵* 〃）5л （胃，屮，我）6鱼⑵* 〃）5л （胃，屮，我）(29)(29)б^л Q,%й)б^л Q,%й)dz (/)dz (/)(30)(30)Ъи (N)Ъи (N)W。для вс'ех t QT, и* g U. (31)W。для вс'ех t QT, и* g U. (31)Последняя форма принципа максимума более симметрична, чем (25), (26), (27). Конечно, если речь идет лишь об обыкновенных динамических системах, то вместо (29), (30), (31) можно использовать следующую запись:Последняя форма принципа максимума более симметрична, чем (25), (26), (27). Конечно, если речь идет лишь об обыкновенных динамических системах, то вместо (29), (30), (31) можно использовать следующую запись:RN g 0^(0RN g 0^(08H (%, * и, %)8H (%, * и, %)4ь（〃，方）屮⑴=4ь（〃，方）屮⑴=да (方，叭 w, 0да (方，叭 w, 0дхдх

限（p,力）屮⑴=2 （一以备［（41⑺）飞⑼.

限（p,力）屮⑴=2 （一以备［（41⑺）飞⑼.

t=0

В новых обозначениях пряженных переменных, принимают вид

а"(p,力)第⑴=

t=0

В новых обозначениях пряженных переменных, принимают вид

а"(p,力)第⑴=

уравнения для основных и соа также условия максимума

уравнения для основных и соа также условия максимума

E^S，0屮⑴=

E^S，0屮⑴=

6鱼⑵* 〃）

5л （胃，屮，我）

6鱼⑵* 〃）

5л （胃，屮，我）

(29)

(29)

б^л Q,%й)

б^л Q,%й)

dz (/)

dz (/)

(30)

(30)

Ъи (N)

Ъи (N)

W。для вс'ех t QT, и* g U. (31)

W。для вс'ех t QT, и* g U. (31)

Последняя форма принципа максимума более симметрична, чем (25), (26), (27). Конечно, если речь идет лишь об обыкновенных динамических системах, то вместо (29), (30), (31) можно использовать следующую запись:

Последняя форма принципа максимума более симметрична, чем (25), (26), (27). Конечно, если речь идет лишь об обыкновенных динамических системах, то вместо (29), (30), (31) можно использовать следующую запись:

RN g 0^(0

RN g 0^(0

8H (%, * и, %)

8H (%, * и, %)

4ь（〃，方）屮⑴=

4ь（〃，方）屮⑴=

да (方，叭 w, 0

да (方，叭 w, 0

дх

дх

h (x (0,屮⑺，m(方)，力) = maxH(N ⑴，2(力)，m，力)， которая обобщает (23), (24), (22) и более симметрична.

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производных. Рассмотрим систему управлений, описываемую уравнением

RN （p,方）昊（力）=/（汽⑴，昊⑴，昊（*）⑺，〃0，方）， （32） и допустим, что в момент 力=力。для этого уравнения заданы начальные условия так, что каждому набору кусочно-непрерывных функций 〃卄（力），力 £Т, v = 1, . . ., г, соответствует единственная траектория е«）. На этих траекториях определим функционал

J （u） = ^（x （^）,胃（幻川"）（%））.（33）

Будем считать функции /（胃，犷，...,yj\ 〃，/）, Ф （%, у* .. ., у'11） непрерывными вместе с производными /认…，火 0灰Р （/，yi,.…，g771）（方,M，•一，yз z）

дх'дх'dyl'

。屮（Z, М,…，产） ,11 щ посттвим

задачу минимизации функционала （33） на управлениях класса D. Напомним, что D — множество кусочно-непрерывных функций и （0 со значениями из ограниченного множества U. Эта задача решается по схеме § 1. Для формулировки результата, выражающего необходимые условия оптимальности, введем функционал

Л （伤 屮，u） = j屮'（力）/ （/ （力），/⑴，.…，第S）（力），〃（力），力）d力 определенный на функциях ,算（力）£С‘\ 屮（力）£& u（t）QD. Запишем уравнение для 屮（力）：

R'n（P,小屮⑴=6"^（3' "），（34）

и соотношение для 2（%）：

a」20（编，"（，号二•，"了 （"L_ = - Md- W）屮（切 +k.

+ y 2 （一 D ^f^ *

x [@/'（z（*：i），乞（%），.…，万‘出 "1）:汉（%一0）",中（a）]（35）

q — 0, . . m.

Здесь числа а, 0, у зависят от TV, &, m следующим образом：

N > &, т <к: а — 1, 0 = 1, ? = 1, если q =

—0, . . ., m;

а = 0, 6 = 1,? = 1： если q = тк —

а = 0, 0 = 1, у = 0, если g = &, . . ., ;V — 1.

7V>A т^ к', а = 1, 0 = 1, ? = 1, если q = ^31 0, . . ., /f — 1;

а = 1, р = 1, у = 0, если q = к, . , т;

а = 0, 6 = 1, у = 0, если q = m~{~i,...,N~i.

N > т> 0, & = 0: а = 1, § = 1, у = 0, если

q = 0иг;'

а =0,р=1,?=0,если g=тп +1,. .7V—1.

TV с A,mс 7V:а = 1,р= 1,у =2,еслиg =

=0, . .7?г;

а =О,Р=1,?=1,если q~т ~TV—1;

а =0,6=0,丫=1,если q~N, ..к—i.

5)_ZVv/n, & ^N: а = 1, 0 = 1, Y = l, если q = =0, . . ., TV — 1 j

а = 1, p = 0, 丫 = 1, еслиq = N, . .

а — 0, 8 = 0, ? = 1, если q = m— 1.

TV = 0, & > 0, /с > m ^ 0： а = 1, p = 0, у = 1, если g = 0, . ,

а = 0, p = 0, у = 1? если q = m+ i, — 1.

7)N = 6, m <N: a = l, 6 = 1, у = 1, если g = =0, . . m;

а = 0, P — 1, у = 1, если q ~t N — 1.

Будем говорить, что динамическая система (32) вдоль управления и (力 力 С Т, удовлетворяет условию Л в задаче (32), (33), если при всех достаточно малых е > О выполнены условия:

II 厶£限⑺(力)II W В% В = const, 7 = 1,... ..max {例 /п};

система (34), (35) вдоль и ⑴，t £ Т, имеет решение.

Нетрудно проверить, что динамические системы (1), (12) при минимизации функционала (2) обладают свойством Л.

Теорема 6. Пусть и° (0, t ^ Т,——оптимальное управление и вдоль него при минимизации функционала (33) система (32) обладает свойством Л. Тогда функция м° (0 такова, что выполняются условия (29) — (31), (35).

Системы с последействием. Пусть движение динамической системы описывается уравнением

^У^ = Х（汽（・），〃（•），力）三

m j dt j 产（/ 0 % （方-t）, 〃（力），〃（力一6,力* 6 而 +

+ J /2（/ ⑴，% （方-t）,E（方），〃（方-S）,方，T；）dt+ • a

V

+ j 产（昊（力），N （力-口），m（方）,"（力—0）,力 a） da4-,

+ 产（方（方），-Q）, m（方），〃（大一S）,力），（36）

力 £T, p > a> 0, 6>0,

при начальных условиях

и (力)=Ф1 (Z),力о — max {5,。储 j} W 力 W 力о，

% (力)=①(0,力о — max {p, q, b} < ^ < 力о・

Рассмотрим задачу минимизации функционала (2) с помощью управлений 〃(力)：力 С Т, класса D.

Считая функции ф (汽)，产(芻 у, 乂，v,力 т, и), f (%, у, М, V,力，т), f (х, у, 〃，V, t, б), /4 (х, у, и, % 力)，Ф ⑴，Ф1 (0 непрерывными вместе с функциями 3屮/3汽，dfr/dx, df/dy, df/dx, dpldy, df3/dx. dfldy, dj^ldx, df4/dy, нетрудно установить, следуя § 1, необходимые условия оптимальности в рассматриваемой задаче.

Теорема 7. Оптимальное управление 〃° (胃)，力 С Т, задачи (36), (2) удовлетворяет условиям (29)——(31), где

h

n (芻屮，a)=j ip/(力)X (寛(•), u (•), t) dt,

w(幻=-啜迎，中⑴三0, f 厶.

Интегральные уравнения. Рассмотрю! интегральное уравнение

% (力)=j / (汽(т)，〃 ⑴，т，0 &Е Z С Т, (37)

которое зависит от управляющих функций и (^)? и (•) С D, 力 С 7. Если хотя бы при одном и ⑴,t & Т, и (•) ^ D, уравнение (37) допускает непрерывное решение % (力)， 力 С Т, то возникает задача минимизации на таких решениях функционала

/(〃) = ▽(『％(!；) 4т) .(38)

Относительно введенных функций предположим, что / (%, м, т,力),ф (汽)определены и непрерывны вместе с df (%, м, т, t)/dx, Зф (汽)/3汽,и, кроме того, будем считать выполненным одно из следующих свойств：

/ (%, и, т,力)=0, если t 力；

£伯一力)V1, где £= max ||/(^, 〃，小 t) || тег

в окрестности оптимальной траектории 汽° (力),t С Т.

Для формулировки необходимых условий оптимальности введем функционал

R(N, 2，u) = I 2’(力)d力 I /(N(t), u(T)? T,力)dt —

■°°h

—cp ( j %(t) dt) •(39)

Теорема 8. Оптимальные управления w° (力),％ С Т, в задаче (37), (38) удовлетворяют условиям (29), (30), (31) с функционалом (39).

Уравнения в частных производных. Схема § 1 может быть естественно обобщена на задачи оптимизации систем с распределенными параметрами. Не останавливаясь на доказательстве, приведем некоторые результаты в новой форме, существенно облегчающей их обозрение.

Пусть в области Г = {ty s: t0 t 厶，^о}

состояние х (力 s) системы управления описывается уравнением

与黑也=/卜(力s),0"，壮\uз s), s) (40) с граничными условиями

% (%, 5)= Ф(S), X (厶 Sj =①1 (力)，Ф (So)=①1 (力0)・(41)

Будем считать, что определены и непрерывны функции

/ & у, 2, м,力 S), д升д% df/dy, df/dz, Ф (s),①】(力)，

dФ/ds, dФ1/dt.

За класс допустимых управлений и (力 s) возьмем семейство кусочно-непрерывных функций со значениями в заданном ограниченном множестве U r-мерного пространства. Качество процесса % (力，s) оценим функционалом

J (и) = (% (厶，％))(42)

и рассмотрим задачу нахождения среди допустимых управлений оптимального 淤(力 s):

J (m。)W J (m)，

Для формулировки результата по необходимым условиям оптимальности уточним введенные ранее понятия. Вариационные производные от функционала, определенного на функциях двух переменных, вводятся совершенно аналогично случаю одной переменной. Изменения • состоят в замене (при определении вариационных производных первого рода) интеграла двойным интегралом и во введении (при определении вариационной производной второго рода) вместо отрезка [0, 8 + е] площади [仇总方W仇S 02h" £Ь

14 р.Габасов, Ф. Кириллова

На функциях 汽（/, s）,屮（力 s）, и （厶 s） определим функционал

h 3,屮，〃）=j d力 j 屮'（方，s） X 扣 So

- X/（昊（力，s），—"^— , -^2"，e（九 s）, S,方）ds.

Теорема 9. Пусть 〃° （力，s）, {f, s} £ Г\— оптимальное управление в задаче （40）, （42）, порождающее дважды непрерывно дифференцируемое решение 汽。（力 s）, р （力,s） уравнений

02/06）h 6兀 Q0,w，m0）

dt ds8 屮（Z, s），•（）

费屮佑s） f 6n （M,屮，M）

dt ds6% （厶 s）（

с граничными условиями （41） и.

屮（%，

@屮（力"） _ 6n （叫 叭 卫0）0屮（小S）_（胃0,少，e0）

dl —6% （厶 £0， 0s 一 M （%, s） *

"s （力S）三，0 （力S）三一■

Тогда управление 〃° （九 s） удовлетворяет условию максимума:

{力 s}£!>,*£。（45）

Тождество для траекторий динамических систем

В теории существования оптимальных управлений [56] при исследовании необходимых и достаточных условий оптимальности 1105] часто полезны соотношения между решениями систем （1）, （8）.

Пусть функции / （%, w,力）таковы, что

/（厶瑞m，方） = /°（An, w, 方）十三厶叫广（芻"，力

Тогда функция Н （怎 屮，〃，t） обладает свойствами

h （Хx,屮，〃，力）工"。仏怎V, "，力）:工N7Hl （瑞屮，〃，力）， г--Л

"（倡A"，W,方）=a耳 （胃，1р，/力），

где 中（n，屮，m，方）=屮了（芻〃"）,（/,屮，〃，力）=2/（昊，m，0-

Теорема 10. На траекториях 汽（力 2（力），力 £兀 уравнений （1）, （8） выполняется тождество

屮'（力）昊（力）=1]/ （力，昊（切丁

+ J [""）警一"。（?（T），屮"），"（T），T）]dt +

4- 2 （亚 一 1） J 歹（n，屮，〃，t） dt.

Следствие. Если система уравнений （1） однородна по х （/°（^, 〃，0 = °）, то ip' （t）x（t）^^ （^1）^（^） +

4 2（加力—'）j Н» （/ （т）,屮（t）, и （т）, т） dr. г=1t

Доказательство теоремы 10. По формуле Эйле- ра для однородных функций х' ^土 = mg （胃）,если g （厶汽）= 二二厶普窜（％）. Поэтому, используя уравнения （1）, （8）, имеем

[2 а‘（胃，屮，^, т） dr= J 斤（％,屮，"，т） dr

匸j屮'器近=卜屮'寥d*心：『一"穿轰=

■ = ^，x\t -r j @т + 27nt j（胃，屮，"，т） &Е・

Приравнивая крайние члены этого выражения, получим утверждение теоремы.

Особые управления в задачах оптимизации

В этом параграфе из-за большой размерности матриц принята координатная форма записи, причем всюду по повторяющимся индексам ведется суммирование. Область значений индекса указывается при его введении.

Простейшие необходимые условия оптимальности особых управлений.

Первый подход. Теорема 1 при исследовании оптимальных управлений становится неэффективной, если оптимальные траектории № (力 t £ Т, системы (1) таковы, что

■ -£：--— = 0,' (46)

В этом случае сопряженные переменные 也(力)，вычисленные в силу (8), тождественно равны нулю на Т м условие максимума (9) переходит в тривиальное равенство, не несущее никакой информации о функции и0 (力)，力 С Т. Особый случай (46) в данном параграфе исследуется с помощью специального приема.

Сначала получим специальную формулу приращения функционала (2)一 вдоль траектории / (力)，力 С Т, удовлетворяющей условию (46).

Пусть (р (%) С С2. Тогда.

a J (") = 4 眩羽"A^ (厶)ад•(切 +,

+ 0 (II Az(切俨)，， = 1,…，加(47)

С другой стороны, для непрерывных функций А^ (i), 加仃(力 s) с кусочно-непрерывными производными Ах^ (%), дт^ (^, s)/d力 dmtj (^, s)/ds, 627n仃(厶 s)/dtds справедливо тождество

J

omij s)

——— A/j⑻ ds A伤(厶)4-

J —^—Ag (方)山A勺(幻+’

to

+ [ j加订«，5) A2t (方)△心/⑶dt ds —

『pj j s).

-J J -- △伤⑴A乙Sds北 (48.)

Зададим 巾ункинп 加订(九 s) уравнештямп

。2"修・« s)df.(X (Z), и (/), /) Of. (x (s), и (s), &•)

=询/2伶s)亠瓦F，

..(49)

с граничными условиями

^ij (^1» 厶)二^ij (^1» 厶)二1d2中设⑦))2 0勺 dxj1d2中设⑦))2 0勺 dxj

^ij (^1» 厶)二

^ij (^1» 厶)二

1d2中设⑦))

2 0勺 dxj

1d2中设⑦))

2 0勺 dxj

"啥包=一“*（%,5）/紫'九 er・"啥包=一“*（%,5）/紫'九 er・J(50)J(50)

"啥包=一“*（%,5）/紫'九 er・

"啥包=一“*（%,5）/紫'九 er・

J

(50)

J

(50)

Подстазляя эти ус то в и я в (47), (48), посяе обычных преобразований (§ 1) получим

А/(“)= —，j 加"(厶 s) A~/i (z, “，i) A- /j(x,u,s) dsdt + ц,

где〜

a%/2("，"，力)=厶(ё，"，0 一 f i (e，〃, *),

•"=用+刀2 +小，%= o(M A/(%)『)■

Здесь г)2, Лз——остаточные члены, явный вид которых из-за громоздкости выражений опущен. Для дальнейшего важно лишь то, что эти члены на специальном приращении управления имеют порядок малости по параметру 8 более высокий, чем члены в (51), выписанные явно.

Управлению и (0 придадим специальное приращение Аееи 优)，определенное в (16). Из оценки || Аее^ (О II ^ ₽е для специального приращения АеОл:⑴ и определения величин 刀力 刀2， Лз следует, что rj 〜^ на специальном

приращении управления. Поэтому равенство (51) с учетом леммы 1 переходит в следующее：

Дее J (и)= — Е2т/;(е, В)А/М爲〃，8) А&*力(芻〃，В)十 о (吩.

Предположим, что и (力)=7m (力)——оптимальное управление. Тогда А" (〃°) ^ 0 при любых е > О, В £ 7, и через лемму 3 приходим к следующему утверждению.

Теорема 11. Пусть 屮(х) £ С? и управление м° (£), f С Т, доставляет минимум функционалу (2), причем на оптимальной траектории х° «), Z С Т, системы (1) выполняется условие (46). Тогда в каждой точке £€ Т для любых

С。выполняется неравенство

^订(方，力)А仪力田 ")，"0 ⑴，0 Ku^j^(tY 〃。⑴，％)WQ, (52)

где mtj (厶 s) С О? — решение уравнений (49) с условиями (50).

Схему применения теоремы 11 проиллюстрируем па

простом примере.

Пример 1.= w,勺(0) = 2,Т =【°,1],

Ф (х) = sin-^, /, и —скаляры.

Проверим два управления： 1) и (t) ~ 1; 2) и (i) = — 1, которые, как нетрудно подсчитать, удовлетворяют необходимым условиям оптимальности (теорема 1) в силу условия (46), выполняющегося на обоих управлениях.

Траектория z«) = 2+ 厶 z(l) = 3,。簷> =子. Уравнения для m 也 s):

= 阿 1,1)dt ds ，\ ，•/= 阿 1,1)dt ds ，\ ，•/n2 力足(/, 1) en2 力足(/, 1) edm (1, s)dm (1, s)

= 阿 1,1)

dt ds ，\ ，•/

= 阿 1,1)

dt ds ，\ ，•/

n2 力足(/, 1) e

n2 力足(/, 1) e

dm (1, s)

dm (1, s)

Поэтому m (力 s) = — n2/8, Au*/ (/, 〃，力)=〃* — и. Условие (52) имеет вид

_4)2式0,

т. е. управление и (方)=1 подозрительно на оптимальность.

Траектория х (t) — 2 厶 /(1)=1, @北,)=

m (i, s)工-g-. Условие (52) принимает противоречивый вид:

что говорит о неоптимальности управления и (t) = — 1.

Второй подход. Необходимые условна оптимальности, выраженные теоремой Г1, сформулированы с помощью п X 72-матричных функций, зависящих от двух аргументов. В работе [32jj описана схема получения необходимых условий в особом случае (40), которая использует вспомогательные п X /г-матричные функции лишь одного аргумента. В п. 3 развивается более общая схема, поэтому результат работы [32j] по случаю (46) приведем без доказательства.

Теорема 12. Пусть ср ⑺ € С2 и на оптимальном управлении и。(i), t С 7， задачи (1), (2) выполняется условие (46). Тогда в каждый момент 力 £ 7

汽打⑴A/力(/(方)，或(方), 0 ^fj (^0 (方)，公⑴，0 < °

при всех 〃* С。，где функции 門订(力)一решение уравнений

力2订 ") . _ 抄)1 3(上), Z)0力1 (W (6 以0(2), /)

d£dxf吃ii( )qx.

02tp (M(〃))

dxi dxj '

Формула приращения А>го порядка. Пусть двум кусочно-непрерывным функциям и (力)二{〃j (力), ... ...,ur (i)}, 〃 ⑺={乂1 ⑴，...,иг (力)}, заданным на отрезке Т =[力о, ij, соответствуют решения х ⑺-{胃〕⑺，... ..хп (Z)}, х (力)二二 x ⑴ + Дх (力)j^-равнения (1), определенные на Т. Предполагая функции 力(虞，〃，力)，ср (/) достаточно гладкими (точные предположения внесены в формулировки утверждений), найдем формулу для приращения

AT (z (幻)=屮(2 (厶))一屮(z (⑴)• (53)

С одной стороны, из (2) для заданного к имеем

A屮（z （幻）=吗炉A屮（z （幻）=吗炉А/九（厶）+А/九（厶）+

A屮（z （幻）=吗炉

A屮（z （幻）=吗炉

А/九（厶）+

А/九（厶）+

女^* 厶(зА勺。(厶)

Az "(厶)+ ° (I7 (g 11") • (54)

Здесь индекс /$ при каждом s, s=l, . . ., к, принимает значения 1, . . ., п. С другой стороны, интегрируя по частям выражение

[2"…з （0 A/九（0 • • • а賓）_（力）A/力（"）*, 2 = 1, ",

получаем （厶修（办）0） тождество

也1…％ （%）A/九（%） ■ • •А勺J方1）=，电1 ■ ■ ■ ^i（*）А勺1 （方）一、

. . ^Xjl⑴ей卜! 2必…力⑴Az〃⑴•..

• •（力）A/jm （力）A/jm+i （0 • • •厶4 J力）"九（55）

Положим

必出）=一打e .二寸 - （56）

Тогда （53） с учетом （54）. （55） примет вид

Аф （z （力））=—电1...乙⑴ Az” ...

.才0 /=1 7nhi'

-，£ 也L • T ⑴ As."…A% dt + °（II A”（厶）IIй）-

Преобразуем выражение

』 2"• - ?7 （力）A勺1A勺*八勺mA“3m+1 • • • A/%d%,

/о /= 1 团二 1.

учитывая уравнение

аg =% （/⑴+ Ae「〃⑴ + а口，％） 一方 3«）, и （力分 и введя обозначение

Имеем

/1 к /

…A/j?⑴ dt =…A/j?⑴ dt =J£ £山1…j) (力)A勺1 •一A勾吁1A4小A勺小+i •

…A/j?⑴ dt =

…A/j?⑴ dt =

彳01

=[^j^fi ^, u, i) dt +

±0

+ f £』山1..-jm-liim ■ • • jq (*)、Tj (况，〃")A%h •…A/jq "力 + to q= 11

⑴X⑴X^■ f 3 3 2 (, — / + »!山1 … 诟-lH* -^-1

⑴X

⑴X

XXdgT+i方（毋 以，％）dgT+i方（毋 以，％）dx-…dx-dx-…dx-Ам” . Ae% dt-{-Ам” . Ae% dt-{-

X

X

dgT+i方（毋 以，％）

dgT+i方（毋 以，％）

dx-…dx-

dx-…dx-

Ам” . Ae% dt-{-

Ам” . Ae% dt-{-

+ JSS 2to q=l l~ 1 m=l+ JSS 2to q=l l~ 1 m=l1

+ JSS 2

to q=l l~ 1 m=l

+ JSS 2

to q=l l~ 1 m=l

(0 一 /+4)! 4^Л- • dm-ljm- - • 5/_f (0 *

X ~3%；..呵q厶“九dt +

+ j 2 2 屮 ii …％(*)△/"•・•

• * •厶勺％-15m (II А/ II Q+l) ^^'m+l * •'厶々4 "九 Определим функции 屮九…〃⑴ уравнениями 屮九…%(力)=

= ууmU, z)

一 厶(g -2十1)!厶 竹 j JznTM+mT+l …%…,；

(57)

и начальными условиями (56). Тогда выражение (53) принимает вид

A(p(z(%))= —，历4rh(z, 〃")ей—•、

-Js 2山… .jm-ljjm … jq (0 △D力("，〃，力)A/j] .…A/% dt -

一，』』屮八…兀⑴A""・•（心?『T"）A-马，…■ ...（分）『）.

Взедем обозначение, положив

Qu...历（Z, 2, w：工，0-" 2 必•"“-iM%..jq（/）A"j（z，"，力）+

+ E 笈一/十I）! 2 少九• 一3*1 力一方T+ E 笈一/十I）! 2 少九• 一3*1 力一方Tdq-l+i\-^f j （瑞 й，才）⑴一 adq-l+i\-^f j （瑞 й，才）⑴一 aOx-.Ox-.吗g吗g

+ E 笈一/十I）! 2 少九• 一3*1 力一方T

+ E 笈一/十I）! 2 少九• 一3*1 力一方T

dq-l+i\-^f j （瑞 й，才）

⑴一 a

dq-l+i\-^f j （瑞 й，才）

⑴一 a

Ox-.

Ox-.

吗g

吗g

В результате получим формулу приран^ения функции

屮（方（力）：。

A屮（％（%））= — j 4?J （i） ^fj （ж, “，i） dt —

/1j %（0/1j %（0八g了（胃，明 2）八g了（胃，明 2）△勺工dt△勺工dt-J 办⑴。）（II A/ II） eft 十 。 （Il Az （厶川）,-J 办⑴。）（II A/ II） eft 十 。 （Il Az （厶川）,4二二1;4二二1;（58）（58）

/1

j %（0

/1

j %（0

八g了（胃，明 2）

八g了（胃，明 2）

△勺工dt

△勺工dt

-J 办⑴。）（II A/ II） eft 十 。 （Il Az （厶川）,

-J 办⑴。）（II A/ II） eft 十 。 （Il Az （厶川）,

4二二1;

4二二1;

（58）

（58）

A屮（/（%））= — j 办0 A1r力（z, 〃，i） dt— —

-j E°九…2（爲屮，〃，"，0 А^；1…&T沁近一 to g=l

/о q= 1 т — 1i 〈丿

■ • ■ △勺(；! Ac1) А勺…厶矶 dt 4-

I о(|| Az⑷心，/〉2.,

Необходимые условия оптимальности особых управлений первого порядка. Управление и «) = {〃v (i)}, u(t)^U.t^T,v — 1Ч . . ., г, называется особым управлением первого порядка, если

取⑴A〃密 ft (^, 乂，f) = 0(59)

тождественно по % £ Т, и^ ^ U вдоль траекторий х 优), 屮 «), t € Т, уравнений (1), (8), соответствующих управлению и⑴.

В п. 1 рассмотрены особые управления первого порядка для частного случая, когда (59) выполняется в силу 屮,(力)=0, t ^ Т. Для исследования общего случая особых управлений первого порядка воспользуемся формулой (58) при к — 2. Варьированные управления 人• «), t € Т, составим с помощью специальных приращений Aeewv «), t £ Т, определенных в (6). В § 1 было доказано, что приращение Ае0х ⑴，t ^ Т, траектории х (Z), t ^ Т, соответствующее 厶£日乂 ⑺，удовлетворяет оценке

“ Ао/ (片)“ Wb* b = const.

Применяя теорему о среднем (см. лемму 1), нетрудно показать, что

Me勺(0(力一В) А虱*力(/ (В), и (0), 0)十 о? (t — 0)

при В W 力 W 8 十 e. Учитывая эти факты, из (58) непосредственным подсчетом выделяем главный по е член правой части:

Аеа屮(/(〃)) = —е2&(/,屮，辽，〃*, В)Аи*%(/, w,.0)-h o(e2) (60) (коэффициент при г равен нулю в силу (59)). Рассмотрим задачу минимизации функционала (2) на траекториях уравнения (1) и допустим, что и° (/), t £ Т,——оптимальное особое управление первого порядка. Тогда при любых “СТ, е > О, В 十 £ £ 力 ii 〃* С U величин а Ае07 (公)

неотрицательна. Таким образом, из (60) в силу леммы 3 можно сделать следующее заключение.

Теорема 13. Пусть функции / (%, и, /),屮(/) определены и непрерывны вместе с d力(/, 〃，力)/6е力 济力(瑞 m，方)/6/九6勺2, 6屮(方)/6/加 @2屮(x)!dxidxj. Тогда для того, чтобы особое управление первого порядка 展(力 t R Т, было оптимальным в задаче (1), (2), необходимо выполнение условия

№*) + %(%)] A"*力(2° ⑴，"。«)，%)A"*%(2。a),"。⑺，i) -J-

+ 必⑺ "\二一—A„*/y(^(i), 〃。⑴，t)W。 (61)

для всех 力£Т, Здесь 方。(力)，t^T,— траектория системы (1), соответствующая управлению 〃。(力)，％g7； 山(力)，屮订(％), ^ € ^, — решения уравнений

血⑴=一曲竺修^2山⑴，山（厶）=一%9；

•,厶\ %(?”)，"° (t),/),“、

*1(方),*1(方),"九（2。⑴，U。（，），/）1 32/.（2。（，），U。（，），，）

*1(方),

*1(方),

配心"⑺ F近7西

w行（力1）=w行（力1）=1行2屮（忆0（/））2 d勺 dxj1行2屮（忆0（/））2 d勺 dxj

w行（力1）=

w行（力1）=

1行2屮（忆0（/））

2 d勺 dxj

1行2屮（忆0（/））

2 d勺 dxj

Схему применения теоремы 13 проиллюстрируем на двух простых примерах.

Пример 2.勺工〃，g =—/；,勺(0) = g (0) = 0, Т = =[0, 1], О = {〃： I IW 1},屮(/) =

Управление u (i) = 0 является особым первого порядка, так как вдоль него & «) = g (力)=0,屮〕«)三 0 и функция Н {х,屮，〃，力)=也〃一屮2方；не зависит от и. Уравнения для 山(力)，屮仃(力)имеют вид

2「=2Rz, R = 0, lh (1) = 0,也(1)二一I;

曲 1 ^la) _ (0 —2xA ( фh 也2](电1 屮!2] ( 0 0]

w21 屮22)1^21一2/ 0J

-10 0/ > 储2，(1) fe(l)J = 10 0/ •

Отсюда

也2 (力)=4?21⑴屮22 (力)=0, 也1 (力)=1 -九

Необходимое условие оптимальности (61) сводится к неравенству (1 —力)(и* — 〃 (i))2 W 0, которое противоречиво при 力 <1. Таким образом, управление 〃(力)三 О не является оптимальным.

Пример 3. Уравнения вертикального полета ракеты в однородном поле сил тяжести при постоянном сопротивлении имеют вид

** и — 4*1

勺=/2,/2 - g, g =/①,

ь3з

3 (0) = % (0) = 0,/(0)2,

где “ 一 относительная высота, z2 — скорость ракеты, 旳 一 масса ракеты. Пусть требуется найти закон изменения тяги 〃，I 〃 丨 W 10，при котором в момент t — i максимальна величина © (1) + х3 (1).

Полагая 屮(％)=——％з —— 方九 приходим к задаче (1), (2). Управление и (力)=4, как нетрудно подсчитать, является особым первого порядка. Однако оно не является оптимальным из-за того, что необходимое условие (61) здесь

(61), равная(61), равнаяне выполняется (вдоль 〃(力 三 4 левая часть

(61), равная

(61), равная

—喷'("* — 4)2, ■

положительна при t V1).

Управление управлениемУправление управлениемОсобые управления второго порядка.

Управление управлением

Управление управлением

и (力)={〃“(力)}, t & Т, называется особым

второго порядка, если вдоль него выполняются тождественно по t Т. и^ U равенства

山(方)au*/(/"), 北(力方)=0,

Qt (^(0,屮⑴，m(力m*，0A以力(方⑴，"⑺")= 0.

Введем множество V (и*) r-мерных векторов; вектор и* = {у*} £ V (и*), если найдутся дифференцируемые функции u* (t) такие, что и* (0) = и*,成(0)=琥 и {u* (i),办 £{"方}, 0£%We, e достаточно мало. Если и g int U, то множество V (и) содержит шар сколь угодно большого радиуса.

Для получения необходимых условий оптимальности особых управлений второго порядка используем специальные

приращения управления вида-

А80гг (%) —

卜 *(方 一8) —"⑴，0 <^ <0-re, 〃*gU, /wu(巫*),

_ I 0, 办Wtv8, B + eW/WG. (62)

Пусть a (%), tQT, —К5тсочно-непрерывное управление с кусочно-непрерывной производной. В приращении (58), вычисленном на управ^еншт и (%), и специальных приращениях (62) выделим главный член по е. Имеем (0 ——точка гладкости функций “”(力)，方 £ 7‘)

am (") = ЛС0(p (2 (①);

0+e

二一I 2(7 ⑴，屮(力)，以(方), "* (方一8), 方) Me© (方)弘一 b

-J Qtj (第(方)，屮(方)，以⑴，〃*(片一8),方)Me0 (方)Me0•⑴山 丁

一丄。(卢).

Учитывая, что Mug (8) 一二。，получаем

m" W) = 一 ^ [Qi (" (9), 2 ⑼，" (9), 1A 9)「叫号t+。)+

十2 丝"3 (/)，"")，](/)，"*(>—»〃)(…M*%(2 (9), w(9), 9)jx

X S3 —у (>z；(^(9), 1р(0), z/(0), 〃*, В) А,*力(胃(В), z, (В), 0) х

X Au*/j (/ (В), 〃(8), 9)或-И。(ь3).

Подставим сюда значения для "込£6& (8+())/"*, dQt/dt:

d2A£0勺（片0）一 6力（况⑻，户，9）d2A£0勺（片0）一 6力（况⑻，户，9）或2或2dxjdxj。力（£（», "（В）,①。力（£（», "（В）,①dg・dg・力 3 (8), 〃(е), 0) -卜力 3 (8), 〃(е), 0) -卜奶3（%上（修亠大（8）+奶3（%上（修亠大（8）+

d2A£0勺（片0）一 6力（况⑻，户，9）

d2A£0勺（片0）一 6力（况⑻，户，9）

或2

或2

dxj

dxj

。力（£（», "（В）,①

。力（£（», "（В）,①

dg・

dg・

力 3 (8), 〃(е), 0) -卜

力 3 (8), 〃(е), 0) -卜

奶3（%上（修亠大（8）+

奶3（%上（修亠大（8）+

,»u*厶 3 (0), U (0), 0) f© (第(/),屮(£), и (£),〃*(£- 6), £)

'dt，^^占叶0

=｛£［屮订⑼ + 屮T（9） + Wj （⑴ ^_］｝ ^fj （胃（8），〃 ⑼,8）+ 十 m（e）4 %•⑼十心⑼制［也喋3 说一

。力 3 （3）,堂（В）, 0）； ⑼］ Окончательно приращение Ле0/ （и） можно записать следующим образом:

Ме/ （и） = — е3/? （е, яр, и, и*, 8） —

一 а乙（瑞屮，〃，乂*, 9） V* о （е3）,（63）

где

R （芻屮，u, u*, 9）=

= ^Qi（2,w，W, "*, 9），妆久；0）力（爲 a*, 8） — -0%L"力（z, ", 8）］ +%*力（z, ", 0） z 义｛分［屮"⑼+屮八⑼-% （9） "^］ J An*力（2, ", 6）十

+ ^Qi ^,屮，a, a*, 9） ^£^ 】（9） г

Ч-у Ац*Л （^, и, 0）［屮"（8）十屮”⑼十 i|〃 （9） ~^J X

x 肃a（8）o）—卜

十 （储屮，"，"*,（）） A"*力（相"，9）（X, U, 9）,

2% （瑞屮，"，"*, 9） = 'y Qi （^,屮，m, "*, 9）/空/ * + 十^аа*力（芻"，8）「屮"⑼十%，（8） t屮j⑼号^ j ""試'啰。

Пусть u° （力）—оптимальное особое управление второго порядка. Тогда для всех 9^7, £>0, 9 -^е g Г, u* С v^QV （%*） выполняется неравенство A£aJ（〃°）》U, и из （63） в силу леммы 3 получаем следуюп^ее утверждение.

Теорема 14. Пусть функции 厶（/,〃,％）, ср （х） определены и непрерывны вместе с ф^чш^иями "（В '，丄,

d屮⑺ g力（/, 〃，/）0力（/,明 2） d2力（/ e, £）02〃（%, и,j）

dxi ' duv 'dt 1 дх^ дх^ ' dxj dt '

*力（① %方）額屮（£） 加力（£, 〃，2） 加力战，〃，e） @з九（黑, m，7）

dxj duv ' dxi dxj ' дх^ ^2 дх^ ' дх^ дх^ duv ' дх^ дх^ dt ' d3屮（£）

87厶”%3・

Для того чтобы кусочно-непрерывное управление и° ⑺， t g Т, с кусочно-непрерывной производной 口° （力）было оптимальным особым управлением второго порядка в задаче （1）, （2）, необходимо, чтобы для всех t £ Т, %* € U, и* € U （и*） выполнялось неравенство

R （%° （力），屮（0, “° G）, “° G）, 〃*,力 + Pv （/ G）,屮（力，

U° （0，U*, 8 球 W °・

Если U содержит внутренние точки, то дополнительно: Pv（2° （方），屮（力），u° ⑴，"*，力）=0

для всех t W Т、u* € int U.

К необходимым условиям оптимальности особых управлений А>ро порядка. Дальнейшее развитие схемы исследования особых управлений в общем случае наталкивается на трудности, связанные с записью условий оптимальности в компактном виде. Ниже исследуется частный случай особых управлений произвольного порядка, когда необходимые условия оптимальности можно сформулировать в удобной форме.

Пусть оптимальное управление и° （0,力 g Т, в задаче （1）, （2） таково, что тождественно по t £ Т, и* € U выполняются равенства

电（方）аа*力縛（力叫£）,方）= 0,]

QjГ.々（公（力），屮⑺，"°（£），"*，/）=°， z=i,…，加一

Тогда главный член по 8 в приращении AeeJ （и0^ вычисленном на 淤⑺ и Дее^ （Z） из （6）, имеет порядок "中 и может быть записан в форме

АМ（〃°）= — *%*%...九（2°«）,屮«）, “°（力，“*, 0 X

X ди*/h （ж0 （0, "°«）,力）…^U*fjh （жО （if）> 公（方），力 +0（e*1）.

Таким образом, для задачи （1）, （2） справедлива следующая теорема.

§ 6」ПРИНЦИП МАКСИМ ^ KIA ДЛЯ OHCl'PJJMАЛВЙ ПОИТРЯГИП^К 225

Теорема 15. Пусть функции 力(？，〃，力)， 屮(/) определены и непрерывны вместе с функциями 0"/?(2,卫,力)/0?九•.・ ...3?%,0a屮(2)/3?% . . ■ 3%%： a = 1，

Для оптимальности кусочно-непрерывного управления и0 ⑺，才 С 7, удовлетворяющего условиям (64), необходимо, чтобы при всех t Q Т, 〃* 6 〃 выполнялось неравенство

〈丿 j . & (/ (Z), W (力)，"° (/), 〃*, 0 Au*力 1 ("° (0, w° ⑴，0 • • •

A浒/九啰⑺，7小(，)，?)£；()

(функции 0“...々，(瑞 屮，u, u*, t) оп])еделены в и. 2).

§ 6. Принцип максимума для экстремалей Л. С. Понтрягина

Фундаментальный результат теории оптимальных про- “ессов ——принцип максимума Л. С. Понтрягина является мощным средством выделения из всех допустимых управлений более узкого множества (множества экстремалей), среди которого заведомо находятся оптимальные управления, если они существуют. Множество экстремалей может состоять из конечного и бесконечного числа элементов. Поэтому естественно желание на множестве зкстремалей определить дополнительные условия, которые из этого множества выделяли бы более узкое подмножество, содержащее оптимальные управления. Этот процесс желательно продолжить далее с тем, чтобы на каком-то этапе выделить оптимальные управления.

В данном параграфе предпринимается попытка по осуществлению этой программы.

Экстремали Л. С. Понтрягина. Пусть на отрезке Т 二二 I力°,厶 I определен класс допустимых управлений — множество г-мерных кусочно-непрерывных вектор-функ- ций w (力)二二{г% (£), . . ., 口厂(力)} со значениями из заданного множества U:

〃 (/) CQ 力 6 Т.(65)

Рассмотрим следующую задачу оптимизации. С помо- 1л,ью допустимых управлений минимизируем функционал

(66)(66)J (и) ex (/j),

(66)

(66)

определенньп! и， граектирия:< к (4) 二{，门(/). . ./% (/)}

спсте.мьг

* = /(/,〃). * (%)=人，/£7'.(67)

Здесь с г。一 постоянные «-векторы, / (х, и) — функция, непрерывная вместе с (储 и')/дх. Экстремалями Понтрягина в задаче (65)(67) назовем! допустиА1ые управ • ления и (/), X С 7： которые вместе с соответствующидш им фyнкшIя^[и х ⑺，屮(0 - {哈(/)⑺} удовлетворяют УС2ОВНЯМ

"（胃"）.屮（f）, 〃⑴）=二 max "（0 w（f）,〃）,

de — дН (х (/). "-(/)“〃(;))/ ,、

出一門一，才(6

d中~dFd中~dF刁〃 (.г ①，寸(/)•〃(/))刁〃 (.г ①，寸(/)•〃(/))屮（厶）—一 Q屮（厶）—一 Q

d中~dF

d中~dF

刁〃 (.г ①，寸(/)•〃(/))

刁〃 (.г ①，寸(/)•〃(/))

屮（厶）—一 Q

屮（厶）—一 Q

Согласно принципу максимума сиггималхжьте управления в задаче (65) — (67) дол^кньс 1шходиться среди экстрелгалей Понтрягина. При единственности экстремали задача оптимизации закапчивается выделением ее. Ситуация усложняется в тех задачах, которые допускают несколько экстрелгалей. Уже в простейших случаях число экстремалей люжет оказаться бесконечным.

II р и м е р 4. б = u, ,r2 — — xj.尤！ (0) — .г2 (0)二 0, Т「[0, е], J (毘)* — g (е), U 工二{«: I w I 1}.

Нетрудно проверить, что при ка>кдом е > 0 среди экстремалей этого примера находятся управления

(力)± sign(，os二,*賣力， /)- 0, 1....

Принцип максимума для экстремалей Л. С. Понтрягина.

・7>/九照〃 3。Значение функцнопа.ча

J ")…Q (厶)(68)

un траекториях стсстемьг

(仏 r),"(')一 0，，其方式九，

выра /К а е гс я форму л <」п

J (о) = — j 〃 ® (力屮⑴，，^dt +

W (у ⑺，安(/),дхW (у ⑺，安(/),дх^-y(t)或.^-y(t)或.

W (у ⑺，安(/),дх

W (у ⑺，安(/),дх

^-y(t)或.

^-y(t)或.

Лемма 6. Значение функционала (68) равно

J “) = — \ Н (у (%)，W (力 и (力))d力一j I/' (%) x j

X {［屮⑴+屮'（切/a⑴，,,⑴）一且也然心Ж} Л +

i j/(0^(0^^ + ^^1 屮(7) 4 4迫岑"叽卜

Здесь 屮(％) решение системы

孙 a） 一 一 w/М 少（…）_0广（y, ^）屮 八 1 02a（% 小 匕） 一苏——¥ «丿 ^丽- y《丿—1"^

屮(方1) = 0.

Лемма 7. Если на управлениях v (^),力'<；力 V%, из некоторого множества U(・)функционал J (и) при всех достаточно малых е доп>7скает разложение

J(Г)— £® + £%2 Т ■十 £'-%〃_] «- 8%九丁 О (У),(69)

где числа 勾,...,afl_Y не зависят от v^U (•) и, кроме того, числа (7卜...,〃儿 пе зависят от е, то из услотя min J(u) следует:.

“介(r°) - min ah (/')..

Доказательство. Для 卢 6。(•)皿 ^ W。(•), 。关 илтеем

•/ ⑺一/ (N) >(),

что в силу разложения (69) и свойства чисел а,, . . ., 〃/；_ влечет неравенство

J ("а ⑻—ай ”))+ о (е) > 0.

Лемма 7 свелась к лемме 3.；

Множество экстремалей Понтрягина для задачи (65)—— (67) обозначим через Q. Известно, что функция

% (/) = Я (ж (/), 2 ⑴，и «)), вь[чис：1енная вдоль экстремали Понтрягина и соответствующих ей функций 胃(力)，屮(力)，равна постоянной:

几(Х) W const, t e T.(70)

Будем говорить, что экстремаль Понтрягина 〃* (力)) /СТ, удовлетворяет условию максимума, если

8K求⑷= max яи (^).(7])

u( • )£Q

В силу свойства (70) условие (71) мо排но проверять в любой точке / € Т.

Теорема 16 (принцип максимума для экстрел1алей Л. С. Понтрягина). Оптимальное управление 淤(力)，力 С Т, в задаче (65)——(67) с достаточно малой продолжительностью 力 —— /0 удовлетворяет условию максимума для экстремалей Понтрягина.

Доказательство. Из принципа оптимальности следует, что если 乂° (力),t £ Т、— оптимальное управление в задаче (65) — (67), то при любом 尸,fo &，W 厶，будет оптимальным и управление 少° (力) — u° ⑺， У W 力& ^, в задаче минимизации функционала

J (и) = c'z (厶)-

на траекториях системы

石= /(z, d), z(t')v(t)^U.

Введем переменные

y (方)二 2 (0- - %。(L),，总 方 м厶.

Тогда управление v° (力)будет минимизировать функционал

/⑴аС'y (厶)

вдоль траекторий системы

罂= /("/(，), D), у (，) = 0.

Пусть % —『—е, V (t), t^ ^ t ^ ti,— экстремаль Понтрягина. Тогда из леммы 5, свойства (70) и оценки

II ?/ (0 II < ^р, получаем

J (и) = — Hv 仏)£ +。(e),

что в силу леммы 7 дает

(九)К max % (%).

Это свойство равносильно утверждению теоремы, если число 厶 — tQ достаточно мало.

Примечание. Теорема 16 справедлива и для задач типа (65)——(67), в которых время 厶 не закреплено, а на точку 片(厶) наложено ограничение х (3) 6 G, где G — некоторое множество.

^'Применение теоремы 16 к примеру 4 показывает, что управления 口° ⑴,р ^ 1, не дгогут быть оптимальными, если е достаточно мало.

Нестационарные системы. Пусть в задаче (65)— (67) уравнение (67) заменено на нестационарное

〃，Е),第(方0)=々.(72)

Введя дополнительную переменную 胃几十](力)=厶 задачу (65), (66), (72) сведем к задаче (65) 一(6 7) с = 1.

Теорема 17. Если продолжительность процесса 勿 —— 用 в задаче (65), (66) достаточно мала, то оптимальное управление и° 〃),力 £ 7, удовлетворяет условию максимума (71) для экстремалей Понтрягина.

Примечание. В отличие от стационарного случая, условие (71) справедливо, вообще говоря, лишь при力Н厶.

Необходимые условия оптимальности для экстремалей первого порядка. Являясь лишь необходимым условием оптимальности, свойство (71) из экстремалей

230

Ji L()li\()；l,lIMbJ I-： ^■(：Л()Bll^l. OirrjIMA. IbHOCril

IIVI. VI

выделяет не только оптимальные управления. Мначе говоря, среди экстремалей, удовлетворяющих условию (71), могут оказаться и неоптимальные уирпвпення.

Пример 5. а」—“， 胃2「^ 辽 cos 亨，g (0)— —胃2 (。)=0, T =- f0, 1], J ⑺二二胃2 (1)，U = {"： I 丨、W 1 }•

Здесь ^травления и1 (7)三 ——L 『产(/)胃-：-1 являются экстремалями и

Hw (1)二〃展(1)= max /九(1) = 0,

однако управление и2(Z) =1 не оптимально.

Допустимые управления 辽* (力),t £ Т、которые являются экстремалями для задачи (65) —— (67) и удовлетворяют условию (71), назовем экстремалями первого порядка.

Множество экстремалей первого порядка для задачи (65) — (67) обозначим через Q^

Будем говорить, что для экстремали первого порядка выполняется условие максимума, если

三乳*(〃)= max三m(厶)，(73)

где

乙®'(/(外册小"(厶))力2(幻,"(幻).

Теорема 18 (принцип AiaECM、iy”a для экстре.малей первого порядка). Пусть продолжительность 厶 —— /0 в задаче (65) — (67) достаточно мала. Тогда оптилгальное управление и° (力)，％ 6 Т, из класса К5гсочно-постоянных функций и (力)， и (£) 6 U, удовлетворяет условию максимума (73) для экстремалей первого порядка.

Доказательство этой теоремы проходит по схеме доказательства теоремы 16 с использованием леммы 6 (вместо леммы 5).

Применение теоремы 18 к примеру 5 показывает, что управление «2 (力)三 千 1 не может быть оптимальным.

§ 7. Задача оптимизации с параметрами

. Необходимые условия оптимальности. До сих пор оптимальные управления из экстремалей Л. С. Пон- трягшга выделялись введением новых необходимых уело- вий па мложестио Q. Для достижения ；)ткк ；ке целей

можно иостх'тить ло-другому. I；，小二⑺尸 aiiCTpiwia.iг» хаpai;- 'геризуотся iieKOTOpbLM нача. 1 ьттым ус.ювием i|* (/())…二"飞 сопрЯ/KeiiHoif пероменнотг. По：)т()д1у. нсключшз и (/) из уравнений (67) с помощью и рииципа макстгмл-ма

“ (/)二〃(『(Л)).

11 ри ходил! к е.1едующе11 ;п1д<1чр онтимизацтнт с параметрами: найти мини.мз'дг 巾ункнин / (屮и) 「'才(％) вдо/i!> траектории уравнения

—1]'). Т (/(；)^о,

—л (；Г. 1р) ф, 1|- (/0)▽(厶)一

Здесь

〃储 m)7《八中))，•

даннолг параграфе расе Л1 ат ])ива юте я ;j ишь за,ча1ш со свободным правылг концом. Техника иореходг» к задачам с подвижными и фиксированными концевыдш услс- виями описана в [114b].

Итак, пусть заданы ^множества V и W в 〃-верном л ^-мерном векторных пространствах. Средн элементов и 6 Р, з £ 屮 этих мно кеств требуется у к 一 и/ такие оптимальные ггарадгетрьгчто

//)(74)

где I (и, е) — с х (厶)一функция, оттреде.юннгш на траекториях системы

~^~ / (.z\ и), %£兀-卜> 厶1・壮 £l4, •(7.))

с напал ьныдг услови идг

胃 ％)「G (/% /； £「•(76)

Всюд5т, не оговаривая этого особо, б у долг предполагать, что(»унк几пн / (.г. 〃‘)，父(г) пспрермвны влюсте с функцией df (?, u^idx.八，幵 изучения задачи опт филиации с параметрами в данной работе исно.чъзована скеиа §§ 9.1, 9.4. Hur【c приводятся формулировки ссновнмх резу；1ьтатов..

Обозначим через о （z, Z） звездную окрестность точки с относительно множества Z: у С о （z, Z）, если найдется последовательность чисел £订 ％ = 1, 2, . . .; £〔 = 1, £才一> О, » -> оо, такая, что （1 —立）z -卜 匕у G Z при всех f ^ 1. Введем функции

h （г 屮，и）=屮‘/ （/，":），九（ф, r） к W'g （f）.

оптимальным параметрам и°, w^. Выра- W） означает множество{Z： 2 = /（招儲），W g П7}.оптимальным параметрам и°, w^. Выра- W） означает множество{Z： 2 = /（招儲），W g П7}.Через ^° （力）и 屮（%） будем обозначать решения основной системы （75） и сопряженной системы

оптимальным параметрам и°, w^. Выра- W） означает множество

{Z： 2 = /（招儲），W g П7}.

оптимальным параметрам и°, w^. Выра- W） означает множество

{Z： 2 = /（招儲），W g П7}.

соответствующие жение типа / （况,

Теорема 19・ Для задачи （74） — （76） справедливы сле- д^чогцие утверждения:

a） "（/。（方），屮（大），z0）'J_{ \ H （/。（方），屮⑺，"）dt

.Для всех w таких, что при 力 £Т

/（/⑺，w）£a（/ ^（t）,如。），/（z。⑴，W））；-

0）"（w侑），叫:>"（屮（％）,m

для всех и таких, что g （и） g о （g （и。），g （F））.

Принцип максимума. Если при каждом х множества /（芻 W）, g （F） выпуклы, то

a）反（/。（方），屮0，山0）=

• max 1（ Я（^° （Z）, ф （Z）, w） dt; （77）

0）"（屮 *0）, W） = max 似屮（幻，"）.（78）

Если функции /（况,w）, g（u） дифференцируемы по V, Wy то

f竺，（,。约" 〃。）力如。f浊，3（，）,地0、

7 JdwJdw

для всех 壮 £о（【о°, И7）;

W (屮价)，期产、d/J (屮询)，2.

для всех и go (и。，V)..

Если функции /(% w), g(u) дифференцируемы по в, V и множества W, V выпуклы, тс

/о

-max j 色"(?°(?，"⑺，"辺 dtw. (79)

В) = max叱~(80)

Если в дополнение к условиям утверждения 4 функции Я (^,屮，w), Д (ф, и) вогнуты по W\ и, то для wQ, и0 выполняются (77), (78).

Условия данного утверждения реализуются, например, для системы (75), в которой функция /п (况, w) не зависит от хп, функции Д (х, w), . . ., fn^ (况,w), gf (и),...

g”f (6 линейны no w. v, функции fn (况，w?), g〃(и) выпуклы по tv, и, постоянные с/ равны нулю Л за исключением последней с几=1.

Если функции / (х, w), g (и) дифференцируемы по w, % множества W, V открыты, то

а)

tан(м(，)，"⑴，”。)dt : 0. JdwT

(81)

0)

d九件（力），加）= 0 ди'

」（82）

7. Если функции / (况, ”), g (и) дифференцируемы по w, V, то градиенты функции / (и, w) в точке V1, 〃户

равны

а)

2/ （以，g） =[ 0h 位1 优），屮（£）,也9 出.

dwJdw，

.Р)

DI （加，*1） = _ 沥伸（S）,爪）

羽一дv.

где .г1 (/).屮(/) — решения основной и сопряженной систем, соответствующие параметрам и* w1.

Если / (况，【。)=Ах 丄 b (з), то условия (77), (78), необходимы и достаточны для оптимальности и°, i*、

Принцип e-м а к с и м у м а:

а) Я (,г° (/),屮⑺，w?°) >

£77^ [ 〃(m(/)・"(/). 〃，)必一匕，0,(83)

длн всех w C W]

p) h (屮仇)，M) > h (屮(")，订)一 £,,% > 0,(84)

для всех V ^ V. При ограниченных мноихествах F, W для любых *1〉0, £2〉° можно указать такое число т, что выполняются условия (83), (84) в задаче (74)—— (76) с % —力о W Т・

Для уяснения существенности основных условий в приведенных утверждениях рассмотрим

Пример 6.辽‘2。/3 =/；/；，%i (0) — =内，g (0)。2, % (°) = °, 0 W % W 七，臼；& = 0,

Q =

V. W = {uj. "2： ("1 - 1)2 十("9 + 1)2 三 8,

d-2)2 + (〃2 上 2产 > 18}.

Сначала рассмотрим за又auy оптимизации только но параметрам д, ш2, полагая v}=^ v9 =^0. Имеем 胃^ (力)二二 w^Z, 况2(方)二二w；2方，况3(t):(玻十必)^.Отсюда 呢1,鸣=1.

Далее, Н(/，w，w)=屮私「卜w拊？十寸3 (/；T Y),也 = —2勺%, 也=一 2况2屮3,也=0，*⑴=屮2⑴=3 G⑴1，

%：")二=-t,戏⑴=九 心(方)=—1, %(%)=T2 一产， т

屮 2(%)二m—T2, 1 H (^：0 (Z), xp(Z), w) dt ~v^ (w —峪).

Последняя функидя и точке w{；——1, w2 二=1 дости-. гает абсолютного минимудта среди W, Таким образом, условие (77) в данном примере не имеет места. По той же причине нарушается свойство (79). В этом примере не выполняется и свойство (81).

Перейдем к оптимизации по параметрал! 凸, & up】' условии, что 〃乙=w2 = 0. Имеем 修 ⑴=内，况？ (0 = х3 (т) = т 伍；+ 喲. Отсюда и； = — 1, и； = 1.

Проверим необходимые условия оптимальности：

九(中，u)=屮1内，心q.

屮！ — — 2力1 屮 з，屮 2「一2『Мз・ 1]'з —

屮I⑴-也⑴=0,必⑴=一 1,

?；⑺=一 况?e)「]，w3 (0 = 一 1,如(，)=2 ft 一力

心⑴=2 « — T)： h (屮(0), V)= 2т S — r2).

Последняя функция не удовлетворяет ни одному из свойств (78), (80), (82). Из того, что свойства (7 7), (78) нарушаются при любом т〉0, следует, что утверждение 9 в общем случае нельзя улучгпить.

Наблюдение и идентификация динамических систем как задача оптимизации с параметрами. Довольно общая задача о наблюдении и идентификации ложет быть сформулирована следующим образом. На выходе некоторого объекта измеряется величина

У (力 t ^ Т = "о,厶 1「

Относительно объекта и его выхода известно:

дифференциальное уравнение движения

% = f@ 5(85)

с точностью до (/-векторного параметра w из W;

начальное условие

Z %)= g ⑴(86)

с точностью до р-векторного параметра и из F;

выходное устройство

y -= Л ⑺.

Зная множества F, Ж, найти векторы г° g F и ?/;° £ И так, чтобы

/ (叫"叫二min T(G ")，

где .

/ (% 〃，)= J /о (// ⑴，h(2 (0))山， (87) 力

у (/) — известная по измерениям функция, Л (力)~h (况⑺)一 функция траектории х (订 системы (85), соответствующей значениям и, “； /0 (у,九)——некоторая мера близости векторов у, h.

Вводя дополнительную переменную

Но (0 = f /о (у (0，无(С) dt, сформулированную задачу сведем к задаче оптимизации с параметрами.

Теорема 19 позволяет не только проверить оптимальность конкретных значений и, w；, но и построить итеративный процесс уточнения исходных данных по методу спуска (градиенты известны).

Примечания. 1) При сделанных предположениях на оптимальных значениях и°,山。функционал (87) равен нулю. Если же задачу ставить в несколько ином плане, то I (歩，”)^ 0. Конкретнее, если считать уравнения движения объекта неизвестными, а за уравнение (85) принять желаемую (с разных точек зрения, например с точки зрения удобства реализации) форму уравнений движения, то I (и°,必°) > 0 в тех случаях, когда реальное движение у (/) не принадлежит совокупности h (/), порожденной системой (85), (86) при различных и, w. В последней интерпретации сформулированная задача наиболее естественна и широко распространена.

Учет случайных помех на измеренные значения не вызывает серьезных затруднений. В этом случае вместо (87) следует взять некоторое усредненное (например, математическое ожидание) значение.

Зацача о понижении порядка дифференциальных уравнений. Исследование сложных "объектов, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка, сопряжено с большими трудностями. Поэтому зачастую, особенно при предварительных иссле-

дованиях, стараются вместо данного объекта найти другой, более простой, динамические характеристики которого отражали бы в существенном интересуемые свойства исходного объекта. Во многих случаях это сводится к замене исходного дифференциального уравнения движения более простым уравнением. При этом руководствуются самыми различными принципами (расположение корней характеристического уравнения, выделение медленных движений и т. п.). Являясь достаточно простыми, эти принципы из-за не вполне строгих формулировок не всегда ведут к цели. Между тем постановка подобных проблем в виде задач теории оптимальных процессов позволяет придать им четкую форму и привлечь для их решения дгощные лтетоды.

В общем случае задача о понижении порядка дифференциальных уравнений состоит в следующем. Дано ?2-мерное уравнение движения

穿= /(2), 2 (%) = %.

Требуется указать параметры и°, ?р°, при которых /цш- >кение ///-мерной системы

罂=8仅，%), Ус。) =。，

наиболее полно отражало бы исходное движение х (Е) в смысле минимума заданного функционала

J = J(V, W),

определенного на движениях 况⑺，у ⑴.В зависимости от конкретного вида критерия возникают различные задачи. Линейный вариант сформулированной задачи обычно выглядит следующим образом.

Дано уравнение

况г (办)=©°,力=0, . . ., 〃 一 1.

Требуется найти коэффициенты bj н начальные условия для уравнения

//"(“)=二沙加А 0,т — 1,

IIKOI.X(V[I1M ГЯ К УС. 1ОВНЯ ОПТ11МАГ1Ы1ОСГГ1ГIIKOI.X(V[I1M ГЯ К УС. 1ОВНЯ ОПТ11МАГ1Ы1ОСГГ1ГL1V1. VIL1V1. VI

IIKOI.X(V[I1M ГЯ К УС. 1ОВНЯ ОПТ11МАГ1Ы1ОСГГ1Г

IIKOI.X(V[I1M ГЯ К УС. 1ОВНЯ ОПТ11МАГ1Ы1ОСГГ1Г

L1V1. VI

L1V1. VI

гак, чтобы, например, среднеквадратичное отклонение меи<ду /⑴ к У (0 было минимальным:

f [况(0 — У ⑺产 dt = min.

Для решения подобных проблем весьма естественно привлечение теории оптимальных процессов (в частности, результатов п. 1) по задачам оптимизации.

§ 8. Методы функционального анализа в теории принципа максимума

Теоремы и факты функционального анализа широко используются во всех современных теориях необходимых условий оптимальности. Однако исторически под функциональным подходом в теории оптимальных процессов стали понимать совокупность таких теорем и схем их применения, которые позволяют (хотя бы для линейных систем) довести решение задачи оптимизации до конца. Под этим понимается преодоление основной трудности принципа .максимума, состоящей в реюение краевых задач. При функционал ьном подходе вариационная задача сводится к операциям над функциями конечного числа перелтенных. Обычно это операции типа вычисления максимума выпуклой функции конечного числа переменных. Можно считать, что последняя задача достаточно хорошо разработана в теоретическом и практическом плане.

В последующих параграфах иллюстрируется применение в теории оптимальных процессов следующих фактов функционального анализа：

теоремы о минимаксе,

теоремы об отделимости выпуклых множеств,

/^-проблемы ЛЮАЮНТОВ,

теоремы о существовании опорной плоскости, " е) теоремы о погружаелгости вниукинх мнс;кеств, [)теоремы (ледглпя) 11еймана ——Пирсона.

Как будет ясно из дальнейшего изложения, 」шнь в случаях с) и f) нам придется прибегать к операциядг в функциональных пространствах. В остальных случаях операи,ии проводятся в конечномерных пространствах. Заметилг. что рез^^льтатьт по с) 口 f) следуют из а) I)).

Приведем некоторые сведения из теории выпуклых множеств и функций. ЛГножество X и Еп называется выпуклым, если наряду с любыми двумя точками 方工 g X, 富2cx елу принадлежит и соединяющий их отрезок, т. е.

入勺丁 （1 —入）g c X

для любого 入,О W 入 W 1・ Примеры выпуклых мно;неств на плоскости： квадрат, круг. Причем последнее множество является строго выпуклым, т. е. для любых 况工 С X, 『2 £ X, О V入 V 1 любая точка 入第^ 丄 （1 一 入）胃？ является внутренней точкой множества X. Под граничными точками понимаются все точки из X, в любой окрестности которых найдутся точки, не принадлежащие X. Точки из X, не являющиеся граничными, называются внутренними. Точка 况 W X называется крайней, если в X не существует точек ^, х^ таких, что 况—入况^ 十（1 ——Z） x2, 0 <九 Vl. Например, граничные точки квадрата и круга —это границы этих фигур： замкнутый полигон и окружность. Крайние точки: в квадрате ——вершины, в круге ——граничная окружность.

Наименьшее выпуклое лшожество, содержащее данное X, называется выпуклой оболочкой X: conv X. Известно, что

п-| 1 п-；-1

conv X к ": /= 2 а；х/, Xi С X, а*》0, £ а尸 1].

Множество X называется выпуклым конусом, если из того, что 爲 у С X, следует: а/ + 0у С X для всех а, Р >0.

Функция / （е）, определенная на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если

/ （入乃+ （1 -入）囂2）W入/ （?i）+（1 -九）/ （尤2）

при всех 芯i,才2 £ X, 0 W 入 W L При 9ToM она строго выпукла, если для всех 入,0 <入 <1, имеет место строгое неравенство. Функция / （讶）называется вогнули ой, если （—/ （,г）） — выпуклая функция.

Выпуклая функция / （/） непрерывна относительно внутренних точек X и в этих точках обладает производной по любому направлению g, т. е. предел

hm 二@十竺）="

существует при всех w^intX, g ^ X. Если / （爲 у）, у g У, множество выпуклых функций, то / （/） = sup / （讶,у）,

у С У,——выпуклая функция на int X. Локальный минимум выпуклой функгцш совпадает с глобальным, причем он достигается в единственной точке, если функция строго выпукла. В последнем случае функция у （况）, х С int X, из определения

/ （爲 У （/））=sup / （芻 у）

является непрерывной. Множество,

X = {/：/ （/）＜ С}-

выпукло, если / （况）——выпуклая функция. Если для любых с это множество выпукло, то / （况）называется квазивыпуклой функцией. Множество X замкнуто, если / （讶）непрерывна или полунепрерывна снизу. Последнее означает, что для любого е〉0 найдется 5 工 5 （黑,е） такое, что

/⑶一/&）》一£

при любых 尤 из множества {.г: || х ——х || 总谷}. Пол,у- непрерывная снизу функция достигает на компакте （ограниченном замкнутом дгножестве） минимума.

§ 9. Применение теоремы о минимаксе

к нахождению оптимального управления

Теорема о минимаксе. Пусть X, Y — выпуклые множества из 斗，причедт X ограничено, У компактно.

Если функция / （况,у） при каждом у С У определена, непрерывна и выпукла на замыкании X множества X, а при каждой!胃 С X определена, непрерывна и вогнута на 匕 то

infmax/（/, у） max inf / （^, у）.（88）

\£Х уЕУ"£У •吒X

Доказательство. Предположим сначала, что / （胃,у） строго выпукла по х для каждого у и строго вогнута по у для каждого х. Для каждого у через 右（у） обозначим точку из X, для которой

/ （z ®）, у） = inf / （芻 у） L "2 匂）・（89）

В снлу неирерывности н строгой выпуклости 《)унм ции / (芻 у), вмпукаостн множества X функции х (у), т (у) непрерывны, т (у) вогнута. Пусть точка у* тако- ва, что

加 仅*) 一 m ах "/(//) - max inf / (.г, у).(U0)

Строгая вогнутость по /у ф^'ницип /(7, у) означает, что для любого у WY и любого 厶()V / <1, па элементе у 二：(1 f) у* ty выполняются неравенства /《Г,/)〉([ — "/(% у*)十疗(.Г, ?/)>

>-(l-t)m (у*) г tf(a:, у). Отсюда для х^~ х(у) имеем

"切=7位力>(1-力)т(у*)t力(е g).]

Но из (90) следует, что "“у*)》『孔(у). Поэтому

/向《) <；"%(7) — ~Ц^"2®*)<^(У*)—二/G®*)，疗)・

Пусть /—>0. Тогда у—ете(у*) = /* и / (.г*, у) W W/(胃*， У*), нт。 в совокупности с (89) означает

/)(91)

для всех n£X, У ^У- По условиям теоремы для любого £〉() и е*£Х найдется эггемент / £Х такой, что

!/(%*」)一/(，у)I

北ih всех ?/ g У. Поэтому из (91) следует, что для каждого £〉0 существуют точки е£Х, у* £ У' такие, что

(93)?/*)_£•(94)(93)?/*)_£•(94)/6，У)久沙*)」£, /(爲 У*)》/(Е У*) —& (92) для всех egX, уС)'・ Из первого неравенства (92) получаем max/(芻 </)■</(% у*)卜* infrnax/(,r, ?/)</(芻 "СteХ ?任上‘

(93)

?/*)_£•

(94)

(93)

?/*)_£•

(94)

Аналогично из второго неравенства имеем inf/(% u*)》/G, 〃*)—« max. inf/(т, y)^f (z, fHEY ,t£X

Из (93), (94) в силу произвольности е > 0 следует утверждение (88) теоремы (для строго выпукло-вогнутых функций / (х, у)).

В общем случае вместо / (/, у) рассмотрим функцию /б (爲 у) = / (爲 у) + Ьхгх — Ьуу.

Для каждого 3 > 0 функция /б (х, у) удовлетворяет условиям, при которых (88) доказано. Устремляя б к нулю, выделим подпоследовательность, для которой y^f У*, пто в силу компактности множества У всегда возможно. Остальное в доказательстве теоремы не требует пояснений.

Примечания. 1) Если в условиях теоремы X — замкнутое множество, то в (88) операция inf заменяется на min.

Теорема верна без предположения ограниченности множества X.

При условиях теоремы существует ситуация £-рав- новесия (92). Если дополнительно X ——замкнутое множество, то функция / (х, у) обладает седловой точкой (91). Последнее утверждение можно получить и непосредственно из (88), если X, Y — компактные множества, а функция / (芻 у) непрерывна по каждому из аргументов.

Из доказательства теоремы (см. (91) и далее) видно, что наличие седловой точки {х*, у*}, х* С X, у* С У・ влечет (88), причем inf можно заменить на min. Однако в общем случае из выполнения (88) не следует существования седловой точки.

'5) Если в (88) определена одна часть, то определена и вторая и они равны.

Минимизация нормы конечного состояния» Пусть /7-мерньтй процесс 况 ⑴,t & Т = [^0, /J, задан выраже-^ нием

北(£)二二 s (f,北0)I S 仏 т) и (т) di, (95)

]де s (/, х), S (/, т) 一 непрерывные функции, управление 〃 (/), t £ Т, выбирается из выпуклого семейства /-мерных функций U (•).

Задача. Среди указанных воздействий (допустимых управлений) найти такое zz° (•) = {〃° (f),方 g 71},

на котором при заданном / 工厶 функциона.п

J (以)=II -^ (幻 II(96)

достигает минимального значения.

С помощью теоремы о минимаксе эта задача решается наиболее просто. Обозначим через R множество достижимости системы (95):

R {x' x = x (厶)=s (厶,?0) +

+ [ s (友，T)и (т) "т, м (•) £ и (•)}.

Из выпуклости семейства U (•) следует выпуклость множества R, На языке этого множества поставленная задача означает поиск вектора * W R, норма || 优 || которого минимальна：

inf J (〃)= inf |j 况 ||.

Но поскольку “优 I]』max g‘方,то, используя теорему с минимаксе (очевидно, в данном случае выполнены все условия теоремы), получим

8。н inf J (и) н inf max grx^ max infg'胃： b£R l@|工 1H用|W1 bER

-max inf | g‘s(%,优o)+fg'S(，i, %)〃«)〃

二 max「g's (j %)二 max「g's (j %)iuf fg'S(3M・)£U(“iuf fg'S(3M・)£U(“X) и (t) dt j.X) и (t) dt j.

二 max「g's (j %)

二 max「g's (j %)

iuf fg'S(3

M・)£U(“

iuf fg'S(3

M・)£U(“

X) и (t) dt j.

X) и (t) dt j.

Задача свелась к исследованию выражения

卩(g)= inf f gfS (^, 0 u(t) dt.(97)

-.〃(・)£U(・)У

Во многих числение (97) нижняя граньВо многих числение (97) нижняя граньтаково, что вы- Если при этом из U (•), то истаково, что вы- Если при этом из U (•), то исзадачах семейство U (•)не представляет труда,достигается на элементе

Во многих числение (97) нижняя грань

Во многих числение (97) нижняя грань

таково, что вы- Если при этом из U (•), то ис

таково, что вы- Если при этом из U (•), то ис

ходная задача имеет решение； в противном случае можно построить последовательность функций {uk (%%)}€〃(，)

таких, что

lira j g'S (^, f)〃'(g, /)〃 —卩(g).(98)

■ Последовательность &" «) назовем обобщенным оптимальным управлением, если lim / (加) = 6°.

Теорема 20. Минимальное значение критерия качества в задаче (95), (96) равно

5° 二 max [g飞(j 丸)十卩(g)L(99)

Задала (95), (96) на U (•) имеет решение, если при любых g, И ^ II ^ 0, линейный функционал (97) на U (•) достигает нижней грани. Оптимальное управление а° (/) удовлетворяет лринхщиу максимума

/14

一 fg；S(5 t)uQ(t) dt ^ max 〔 [ —(^, Z) и (t)] dt,

宀u(，)£U(・)J

(100)

где g0 —вектор, на котором достигается 亚акслму期 в правой части (99). Обобщенное оптимальное управление таково, что

и

lim J g；S (厶，/)公⑴ dt『1 (go).

Стандартные классы допустимых управлений. Чтобы пояснить значение полученного результата, рассмотрим распространенные типы ограничений на управляющие функции. Пусть класс U (•) состоит из г-мерных кусочно-непрерывных вектор-фуикций 〃 (£), / С 7, ограниченных по норме

II 〃(力I < 1,力 G Т・

Тогда |£ (g) из (97), очевидно, равно.

F (g) ' - j М g，S (厶，/) И dl

(нижняя грань достигается при всех g). Пусть, далее, U (•) состоит из /-.мерных измеримых функций ",(力),

t £ 7\-стесненных условием

\ И и (t) IP' dt^ 1,1 Ср <оо.

Тогда нетрудно убедиться, что нижняя грань в (97) достигается и равна

к(g)—1~ J IIg's(厶，/) IF山],> 二 i..

Рассмотрим, наконец, семейство U (•) измерив!ых функций и ⑴，t € Т, удовлетворяющих ограничению

口⑺Н山总1.

В этом случае в U (•) не существует элемента, на котором достигается нижняя грань.

—F (g) = max |l /5 (小 /) ||

функционала. Одна из последовательностей м* (%), обладающая свойством (98)" имеет вид

0 в остальных точках.

Здесь t ― точка, на которой функция || g'S (%, /) || достигает макси期ума (для простоты считаем, что 才一единственная точка).

Резюмируем результаты пунктов 2, 3.

Вариационная задача (95), (96) с помощью теоремы о минимаксе сводится к задаче минимизации вогнутой функции на шаре конечномерного пространства.

Вопрос о существовании оптимального управления сводится к вопросу о существовании минимума линейного функционала (97) на заданном классе допустимых управлений. Решение этого вопроса полностью определяется данными задачи.

Оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума (100), в котором вектор go, играющий здесь роль начального условия 屮 «о), может быть эффективно вычислен.

Оптимизация систем с нелинейным входом. Теорема о минимаксе непосредственно применима и для решения следующей задачи: с помощью г-мерных измеримых функций 口(力)，力 С Т, со значениями в заданном компакте U минимизировать функционал (96), определенный на траекториях системы

九

X (f) = S (九 Х'о) + f S (厶 т, и (т)) &т.(101)

Система (101) нелинейна но □, но основной факт, в силу которого применима теорема о минимаксе, имеет место и здесь. Так как множество достижимости

九

/? = {/：/ = 5 (%，g)十[S (%，力 й ⑴)山，u (t) 6 U}

выпукло и замкнуто (см. § 1.6), то

6о = min И 胃(幻 И = max {心(匕，仇)+ 卩(g)}= "(•)£U(・)||g||Wl

♦ /= g；5 (亿 ％) + 卩(go), (102)

где.

h

Теорема 21. Задача оптимизации (101), (96) сводится к конечномерной задаче (102). Оптимальное управление 以° «) существует и удовлетворяет принципу максимума

—g；S (k t 以。⑴)=max〔一g：S (乙，t, u)].

Обобщения. Применение теоремы о минимаксе не исчерпывается функционалами типа (96). Можно рассмотреть функционал

4("): ф (2 (乙))，

где 屮(胃)一квазивыпуклая полунепрерывная снизу функция. В этом случае вместе с множеством достижимости R следует ввести множество

Q (6) = 3 屮(,)< 6}

и на множестве 尸(6) = Е ——Q (6) определить функцию II z ", z 6 尸(6). Минимальное 6, при котором || z || = О, равно, очевидно, inf I (и). Поэтому сначала находим 厶(6) = inf К z (I сведением этой задачи к конечномерной:

А (6) inf (I z |j 二- inf max g'z = max inf g'z.

Дальнейшие выкладки очевидны.

Конечно, использование изложенной схемы эффективно не только для минимизации функций конечного состояния. Нетрудно видеть (в последующих параграфах на этом остановимся подробнее), что этим методом можно решать задачи оптимального быстродействия с фиксированными и подвижными концевыми условиями, задачи минимизации интегральных критериев качества и др. Кроме того, после сведения вариационной задачи к конечномерной можно продолжить исследование дальше и изучить качественные вопросы оптимального управления (единственность, зависимость от параметров и т. п.). Эти вопросы также рассматриваются в последующих параграфах. -

Заключение. Исходя из разобранных примеров, можно сформулировать основные моменты сведения конкретной задачи оптимизации к теореме о минимаксе. 1) Дать задаче геометрическую формулировку. 2) Если удастся исходную проблему представить как задачу о существовании общих точек двух выпуклых множеств, то ввести расстояние || z || между множествами. 3) Использовать представление || z || = max g'z и применить

теорему о минимаксе.

Каждый из этих этапов имеет различные реализации в конкретных задачах. Для приобретения навыков решения этим методом рекомендуется самостоятельно решить задачи §§ 10, 11 сведением их к теореме о минимаксе. Интересно рассмотреть и вариации этих задач.

§ 10. Теорема об отделимости выпуклых множеств л ее приложение к задачам оптимального управления

13 этом параграфе прежде всего докажем э.юментар- ными средствами теорему об отделшюсти выпуклых множеств, а затем проиллюстрируем эффективность подхода, основанного на этой теореме, при решении задач оптимизации динам1Р1еских сметем.

Теорема об отделимости выпуклых множеств.

Пусть X, У — вьшукике множества, одно из которых ограничено и замыкания X, У которых не имеют общих точек. Тогда существует вектор g, || g || 「1, такой, что для любых х ^ X, и QY выполняется неравенство

Н胃 Vg'y.(ЮЗ)

Доказательство. На множествах X, У определим 巾ункнию р (芻 у)二二(х — уУ (/ — g). Пусть ограничено множество X. Тогда на нем определена и непрерывна функция

р (n) = min р (х, г/) — р (.г, у (ж)) > 0.-

Эта функция достигает минимулга：

р° г min р (т, у (/)) — р (z0. у (х0)) > 0.

I Голожим Z — X —— V. 2° — Хо —— !/л- у о 二 g (т0). Для любых 2 G Z г X — У и всех I.。々力总 4. точка z,「

50/ (z — £°) удовлетворяет неравенству 力引 扌 ^2(l,

откуда

2匕：(笺-？0)「产仁-20)' (z - «о) ^ 0.

Из того, что последнее неравенство должно выпоггняться для всех 九 0《 力《1, следует: 2； (z ——z。) ^ 0, или &；z ^ z(/0 >• 0. Положим g = — Zo/|[ ?о ||. Тогда .

=?(% 一 y) < 0，一

что эквивалентно (103). Теорема доказана.

Схема сведения задач оптимального управления к теореме об отделимости выпуклых множеств всегда содержит основной Момент, котла' исходная задача трактуется

как проблема существования общих точек у двух выпуклых множеств. Остальные детагти довольно стандартны, п их можно усмотреть из приведенных ниже примеров.

Примечание. Если ограничены множества X, У, то теорема об отделимости выпуклых множеств следует из теоремы о минимаксе. Действительно, определил! на множествах Z, G =二{g: || g 11 ^ 1} функцию / (z, g) 不 二—g‘2・ Эта функция удовлетворяет все〉т условиям теоре- мм о минимаксе. Поэтому

inf max g'z — max inf g'z. (104) 比z |[g||wi IlgllWl 花z

Из компактности G следует существование такого g0, тго inf( —g；z)= max inf g'z.

zEZ HgllWl z£Z

Поскольку левая часть (104) положительна (Z не содержит начала координат), то go 片 0. Из (104) получаем ——g：z > 0 для всех z С Z или

g" Vg；y всех / С X, у £Y, (105) что эквивалентно (103) (ес.'ш разделить обе части (105) на И go И).

Из теорелгы об отделилюсти выпуклых дшожеств можно получить теоред1у о минимаксе. Это распространенный способ доказательства последней.

Условия разрешимости одной функциональной задачи. Обозначим через U (•) некоторый класс 巾ункцн证 辽 ⑴， f € Т. Пусть преобразование S каждому элементу и (•) из U (•) ставит в соответствие вектор х конечномерного пространства Еп, при этодх множество

R「" х-二 Su () 〃(•)е U (•)}

вьшукио и ограничено. Зададим, далее： Qi, Q% — линейные преобразования из Еп в £北,полунепрерывные снизу, квазивыпуклые функции ф] (х), ф2 (х), элемент с из £“， неотрицательные числа 6Н б2.

Задача. Найти условия, при которых

S〃(•)+ QiU ~г Q?* 十 с = 0, fPi (и) W 6[, фо (〃')总 6#

(106) “ (•) с и

Теорема 22. Задача (106) имеет обобщенное решение тогда и только тогда, когда max {grc inf grSu (-)4- ||g||=lu(・)2()

丁 min g'Q传厂 min g'Q2"}K°・(107)

叮⑺三61中2(3)&62

Доказательство. Пусть u (•), г, w—решение задачи (106). Тогда

^ [Q^~Q^ +d = -gfSu(-)^ — inf g'S〃(・) U(•曲(•)

д.чя любого g, g££唳 С другой стороны,

gz \Q^ f Q^w--- c^g'cA： min g'Qw+ min g'Qw 01(0)《6102(10)三62

Значит, g'c inf g'Su(，)+ min gfQ^+ min g'(?2^<0

□(•)”'(•)6 ⑺三61(P?(U')<62

(108) для любого g C En. llosioaiy выполняется соотношение (107).

Допустим, что имеет место условие (107). Тогда для любого g, II g II = 1, справедливо неравенство (108). Рассмотрим множества

R = {胃：х — Su с, и (•) £ U (•)}'

Q = 3 % = — Qw — Q2w, ф! (и) М 61,中2 (s) < 62).

А1ножество Q, очевидно, выпукло. Множество R ограничено и выпукло (по предположению). Если задача (106) не имеет обобщенного решения, то множество А Г] Q пусто, и согласно теореме об отделимости выпуклых множеств существует ненулевой вектор g такой, что

min min g' [Qr 千 Q^] > sup g' [ — S〃(•)一 c],

単 1(d)W61 <P2(支)W62u( • )£L/(-)

e.

miu g'Qw+ min g'Q^+ inf g'Su(・)+ g'c <0.

(Pl(v)^diq)2(也)W62u(・)£U(・)

(109)

Неравенство (109) противоречит (108), что и доказывает утверждение.

Предположил/, что преобразование S линейное：

Su (•) — j S (力i, т)以(т) dr.

Положим

(110)(110)u(•) = %(•)= {〃(•)： J II”)『％《:1}, p>I,

(110)

(110)

Ф1 ⑺=II / — c"|,屮2 ⑺=I； / — C‘ li，

где c1, c2 — заданные векторы из En.

Задача. Найти условия, при которых

Se (・)+ Qw +。22夕 + С = 0,〃(”)£%(•)，].

Теорема 23. Задача (111) имеет решение тогда и только тогда, когда

max {gz [c^Q^^-Q^ — Wg^W —

— 6JI/GII-6211g 々2||}W()・ (112)

Утверждение доказывается аналогично теореме 22.

Примечание. Пусть U {*) — такой класс вектор- функций 辽(力,方oW^W厶，что множество SU(・) выпукло и замкнуто. Тогда условия существования решения задачи (111), где u(・)£U (•), имеют вид

■ max {g‘ [c + Qd + Q2c2] + miu grSu (•)— "g|l=ix(・)屮(•)

-Ml^ill-s^ig^^ixo.

Предполо/ким, чти |j g'S \\>0 при всех g, ||g；i 片()• Условие (112) равносильно неравенству 2y 1, где

九=max {gz [с + Qic14- Q^] — 6j [| g'Qt || — 62 j| g'Q2 j|}.

…(113)

Теорема 24. Для того чтобы элемент g = g° был решением задачи (ИЗ), необходимо и достаточно, чтобы для произвольного решения " (•), || 乂 (•) || =儿 и, ш задачи (111)

выполнялись равенства

*m(•)=-||g 庐 |||!"(.)卜二一九，(114)

(И5)

Д и к а з а т e .ч ь с т в о. Необходимость. Пусть g0 — решение задачи (ИЗ) и функция 辽(♦), векторы г, w удовлетворяют соотношениям (111), причем || // (•) || -т д. Очевидно, справедливо неравенство

入匚一g； [Su (')~T Qi(v — * + 02 Q — C”)J 一 61 II g^Qi II —

-б2|| g 值 IKII^II 114-)11-g；u (。一 d)—

— g；02 (a —喲―51H g^Qt у — 62|| g；S ]卜(117)

Отсюда получаем一

g； Qi (v 一 с】)十 g；& Q —發)W

Ho

I g；〔Qi (u —吟 4- Q (儈—炉)1 I C

Поэтому выполняются равенства (115), (116). Теперь из (117) следует соотношение (114).

Достаточностъ. Пусть w (•), и, w — решение задачи (111), К и (•) К = 入.Если для некоторого g, || g || = 1, выполнены условия (114)——(116), то вместо (117) имеем f (С -'г (>1^ -'г Q^ —自 li F^! II 一 62 II F^2 II =—

九 II g'S lb

т. e. элемент g — решение задачи (113), что и доказывает утверждение.

Задача минимизации квазивыпуклой функции конечного состояния. Рассмотрим систему

* = ▲⑺入Ж，力(118)

где Л (Z) — непрерывная 〃 ： /z-матричная функция, b (“，，力)一непрерывная по 〃，f /г-векторная функция,

// 二{//!, . . ., и/ — упргтление. Обозначим перез U (•) класс измеримых /-мерных функций и (/), / £ 7', со значениями из заданного множества U. Пусть даны числа 九 > 厶，61 >* 0 в кв азив ыпук лые, нол^^непрерывные снизу функции ф! (х), ср? (?)• Пусть множества {," epi (х) W %}, {胃：ср2 (?) W а?} ограничены при любы\ a〕* cz2 <8.

Требуется найти ^травление 〃° (/), при котором траектория z ⑺ 二 х (胃(/°). и (•). /) уравнения (I IS) удовлетворяет условиям

6(7(方(用)，/()%))" m出 0(胃(工仇)，"(•)/))；

S(£(G))V3・、(卜19)

В си/iy формулы Коши

2•(幻=仆з尸-"幻7储尸-)，‘(切L⑴外①e丸(120)

Положим

J 歹(厶)Qi (т) b (". т)"工=Sa ()

/?(切灯1伉)二一u, 一笈

Из (120) имеем

5a(") { 一Q1/(力0)+Q2况(力 1)°，

Пусть 62 >- 0. Рассмотрим задачу

S〃()+Q必(%о) — 8右(力i) = °, "(*)£〃(•)，J (121) 化(胃(力o))C3, (p2(x(/1))<62. J

На основании теоремы 22 заключаем: задача (121) имеет решение только тогда, когда

А(Е)= max Л(д2, ^)-=Л(д2, g®))^。，(122)

где

八俨2, g)= min g'S〃(・)+ min ^Q^x min g'Q*・

我(，花U(，)q i(-v)<6i42")m32

.1емма 8. Функция Л (d2) непрерывна справа, не возрастает. Если ф2(х)——непрерывная функция, то

人(32) < a (自)，при д2 < 也.

Доказательство. Непрерывность справа функции А (б2) — следствие полунепрерывности снизу 屮2 (竟)， Докажем монотонность А (62). Ясно, что если б2< 62, то

min g'Q/》min(P2(A')< 62屮2(X)三 62

A (62, g (鼠))》А (В?, g (闻))> A @, g @)).'

Лемма доказана.

Теорема 25. Если существует хотя бы одно управление, удовлетворяющее условию (121), то существует и оптимальное управление, доставляющее функционалу Ф2 (力(尤(％о), 〃 (‘),力 1)) значение 5?, которое является наи* меньшим числом, удовлетворяющим неравенству

А З2) ~ А З2' g З2)) W 6

Для оптимального управления 〃° (♦) и концов оптимальной траектории 力° (力)выполняются соотношения 一g' ◎) F (①尸一1⑺ b " (/), 0 =

=max ［一g'(愧)F (幻 F"(方)b (a，切， (123)

/(曲方(2 耳 Т&)公(办)=min g'(也)尸(厶)'t"。)з、

g'(^)2°(%)h__ min g'(矣)z.I

$2(竇)，6g丿

(124)

Доказательство. Первая часть теоремы следует из леммы 8. Соотношения (123) (принцип максимума), (124) (условия трансверсальности) получаются из условия (122).

Примечание. Функция 屮(£)二一［Т*'」(力)1' X X Fr (力)g (62) удовлетворяет уравнению

醬⑴ W， •(125)

причем

-屮(力)=-g

Пусть W1 ⑺=II z — с1 II,屮2 (纪)=II Z — С2 II， где с-1, с2 —— фиксированные точки в Еп. Исследуем задачу лшиимпзации функционала

J (а) к И х (幻一d И(126)

§ tOj ТЕОРЕМА ОБ ОТДГЗЛИМОСТИ ВЫЙУКЛ±)1Х МНОЖЕСТВ 255 на траекториях уравнения

= A (t) хВ (t) и -k/(^),n(*)SUp()

где начальное состояние 方(Zo) ^удовлетворяет неравенству II 方(力о) С1 II ^ 61. Положим

，尸(九)歹-i(T)3(T)“(T)dT = S〃()Fit^F-^t^Q,, j

f F(G)F-i(T)/(T)rfr = c,— E = Q2・ I

h丿

(127)

При 62^0 рассмотрим уравнение

Su(^) + Qix (Zo) + Q^ (?!)4- c = 0? «(•)€ Up^). (128)

■для которого

II 方 «о) — c1 IK 3, II 尤(勿)一R•

В силу теоремы 23 задача (128) имеет решение только тогда, когда

Л(62,力)=max А®, %, g) = А®,厶，g©,匕))、W°，(129)

где

八(仇，力，g) = g'(c+Q6+Q2c2)—"g§ —

— WQH211gЧМ・

Лемма 仇 Функция Л (d2,/i) непрерывна по д2, % и строго убывает по д2.

Доказательство. Непрерывность Л (包，厶)по М % следует из непрерывности Л(62, t^ g) по д2,厶.Пусть 62 V 召2・ Тогда

А®,乙，g(“ ^1))>Л (闻，乙，g® /j))>

>л(d2, /n自(也，九)).

J]емма доказана.

Теорема 26. Оптимальное управление в задаче (126) существует п доставляет функционалу (р2 = || х (^) — с2||

25() НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ Гл. VI значение

然=max {g' (e 十尸(① Qi (公?-户)一11 g'S，

I 闾 |SU

-3/ g'尸(3 Qi ("川}- g: [Г 一 /'(厶)F-1(M m一叫一 7|g；s|Lbj|gi(3k(5|.(130)

Если b^>0, то для оптимального ^^правлення 〃仆(•) и концов оптимальной траектории ,г° (•) выполняются соотношения

—g；S〃o(・)二 max [ — g；S“(•)]= Tg；S||,(131)

g:/‘ (")尸t(编(支。伍,)一* : 一 b/ g①(⑴/T (九川，(132)

"WM|gj|.(133)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (130) следует из (129) в силу монотонности по 62 функции A (d2, J g). (Соотношения (131) — (133) — следствие теоремы 24.

Задача быстродействия для системы с нелинейным входом. Функцию {辽(/), t Т} ^ U (•) будем называть Т-допустимым управлением некоторой задачи, если она порождает траекторию, удовлетворяющую наложенным ограничениям.

Пусть имеется уравнение

寡二/(方)Ь(〃，方)；/()方)Л.(134)

Заданы непсресекающиеся множества Г1, Г2:

I" = {/: J 尤一с】"W &}， 户={尤：II 尤一科 IУ б2}, где элементы с1, с* числа “ 62 фиксированы, &》0, д3》0. Требуется найти управление 辽(•) С U (•), при котором траектория уравнения (134) с начальным условием 况(£о) £ Г1 достигает Г2 в минимально возможное время.

Условия существования /'-допустимого управления дает неравенство (129). Так как 5? в данной задаче фиксиро- нано, то запишем условна (129) в виде

A (厶) max a (必 /卜 g)三 A (小 g (z]))

11

Теорема 27. Есди существует хотя бы одно Т-доиусти- мое управление, то существует и оптимальное унравленне со временем быстродействия т° 二"—％， 「4© 4 — паи- лтеиьшпй нирснь урпвненн只

А (/ь g (ZJ) - 0.(135)

OnniMiUibHoe управление ^° (•) и концг.г оптимальной траектории х° (•) удовлетворяют условием

—g'(/；)&/<>(•)= max [ —g'«；)S〃(・)],

g'(幻 F 宙)F-^t0)^ (幻一*=-6 J g'g)月(编 Qi з)II,g'G)侬置)一с2) = 3/К(幻Il・

Доказательство. В силу непрерывности А (厶) ио 厶(лемма 9) из существования Г-допустимого управления следует существование оптимального управления. На основании условий (129) время быстродействия т° таково, что величина /； = Zo т° является наименьшим решением уравнения (135). Вторая часть утверждения следует из теоремы 24.

Задача оптимального быстродействия в системе с ограничениями на фазовые координаты. Рассмотрим систему

-^• = Лх 7 Ъи(136)

с начальным условием 尤(％)「&. Пусть

и (-) = {и(0： |гг(01<1,力 €?}•

Зададим область изменений 胃(力)，положив

G 二{х: е'х< 1},(137)

где е — фиксированный элемент из Еп, || е || =^= 0. Пусть требуется найтн управление 辽° (力),力 £Т, переводящее х (^), m«)£G, t QT, в начало координат за минимг1.7ьное время. Обозначим через U(・)множество функций

{〃，(力):I "(/)：< 1, ex (0< 1, / g Т}.

Нс.in //(■) — Г-донустнмое унрав门снмр, то

―片产 卜⑴ 〃(т)А,y(t)- F~} (т)й

17 р. ГаС&ссв, Ф. Кпрн, [.ним.

е'х (/) = е/ (/) j 歹т (т) Ъи (т) dr W，•

тогда, когдаmaxНайдемтогда, когдаmaxНайдемВ силу рез^^льтатов п. 3 настогпцего параграфа 7-допусти- мое управление в этой задаче существует тогда и только

тогда, когда

max

Найдем

тогда, когда

max

Найдем

(138)(139)(138)(139)g'% 十 niiii f g‘Y（T）辽"）近｝ ■< 0

(138)

(139)

(138)

(139)

須（•）犬）j

a= inin \ gfy (t) w (t) dx,篁⑴式()/о

Если и (Z) — решение (139), 胃(力) —— соответствующая траектория (136), то в силу теоремы Куна—Танкера [134] существует неотрицательная мера 〃卩(Z), сосредоточенная на «: е'% «)=1}, такая, что

j g'Y⑴"⑴右+ j传'/⑴一1) d卩⑴W

W J g’Y (т) а (т) &t 十[(e'z (t) — 1)即(т) <

foto

для веех 2R>0,辽(方),для веех 2R>0,辽(方),S'У (т) u (т)йт+ \ (<?zx(t) —1) dfx (t) w (/) I ^ 1. Следовательно,

для веех 2R>0,辽(方),

для веех 2R>0,辽(方),

a — mina — minmaxmax氯（•）£〔/（•）dN（DR0氯（•）£〔/（•）dN（DR0J g'Y (t)"⑴几十J g'Y (t)"⑴几十

a — min

a — min

max

max

氯（•）£〔/（•）dN（DR0

氯（•）£〔/（•）dN（DR0

J g'Y (t)"⑴几十

J g'Y (t)"⑴几十

Так как

fiт

T efF (т) f у (/) и (t) dtd[i(T)—

=—j Y‘ ⑴ j "' «)£‘&卩(т) 〃 (£)阳

n нН творим a oi； от делимости выпуклых множеств 239

то из (140) имеем

а 一二 max Jа 一二 max J

а 一二 max J

а 一二 max J

Итак, Г-доп5тстимое управление существует тогда и только тогда, когда

Ф (方])= шах ①(厶，g, d卩)=、

|!引2 , du>()

二二①(力i, ^(^), f/u/t)<0,

①(4，g,时=一1 (141)

- g^'o— j 卜(f) [g— ^F'(1)6(1.^ (r)J [л 一 pn(i).

Ле雨串a 10. Функция Ф (/) непрерывна слева в точке 九=厶，если①(方i)W°。

Доказательство. Ес/ги ①(厶)w；0, то существует Т-допустимое управление 辽(•) вида

"⑴二一sign у (/) [g — J F' ") e 曲(t)] ,(142)

переводящее траекторию в начало координат за время т =厶 ——％. По определению меры &卩 найдется такое е >> 0, что 〃卩(т) = 0 при Tg"] —% 力].Пусть (厶--% 力J Обозначим через g, d^ и g, &i решения задачи (141), соответствующие моментам времени 厶 и 尸. Положим

一卩（）I 0一卩（）I 0У', 方>厶У', 方>厶

一卩（）

I 0

一卩（）

I 0

У', 方>厶

У', 方>厶

Из (141) имеем

Фj 卜'(“ g— J N(T)ed|/")] j 山—J d|『⑴, S%io

q)(，)〉g'z()—[卜'(")|g—J ^^(T)ef/H(T)] Idt~ J &"(')•

Отсюда

Ф（//）-Ф（^）< j |yz（O[F— J /'"（T）ed^（T）j I dt —

（oio（oio

（oio

（oio

① «'） —①（幻》J 卜'G）[g— j F' （i）ed^（T）j |л —

—j 卜'（'）I g— j F，“）ed卩⑴]回 to

Правые части этих неравенств стремятся к нулю при tf т /Р Утверждение доказано.

Запишем условия （141） в другой форме. Максимум в （141） достигается на элементах g таких, что g'%o》O・ Поэтому

{ J 卜'（力）卜一 j F，（T）е^（t） j wТ J 14t ⑴卜g%尸;>1

для всех g, ф>-0, g'^o》。,т. е. 7-допустимое управление существует тог^а и. только тогда, когда

屮（方min屮（方i, g,你0 =

屮（4, Я （九），公1厶）a L

（443）（443）屮（九，g,41）二

（443）

（443）

「{ j卜' （01 я -[й⑴产小⑴[卜〃|

Лемма 11. Пусть ¥(/!)> 1. Тогда Т (/) непрерывна в точке 力=厶.

Доказательство. Из условия (143) следует существование Г-допустимого управления (142). Пусть 尸 £(厶 —е, %], где £ выбрано, как в доказательстве леммы 10. Если g, dp, g, d卩—решения задачи (143) для моментов времени 力]и t\ то

|W(/') —W(/川 J 灯卜‘⑺ |£—j，"(t)，^(t)]W 厂

[ %i(，)}【g'/"|T— [ j I Yz (0 I R /〃(т)е 〃卩(т) 口必 г

J j办⑴} [ggoL卜

/"⑴ е d|i (т)d"g‘4尸./"⑴ е d|i (т)d"g‘4尸.

/"⑴ е d|i (т)d"g‘4尸.

/"⑴ е d|i (т)d"g‘4尸.

Следовательно? 4f (f)—> 屮(厶)口卩坦 £'—> 乙.

Пусть 厶.Положим

0 力

Тогда

I屮(，')一屮(3YI U卜'⑺[g — j户'⑴,外"⑴]Idl卜

+ j ф"(i) - j 卜'⑴[g-[产'⑴，加⑴J dt -

<0% •/о

— j(4i«)}|g'/o尸卜/о

'< j 卜’(/)卜一 j (5)，，加(т) J j dt |й',.г,||

Поэтому 4r(力”)т 屮(力 1)при f —> 力「'「О. Лемма доказана.

II р п мычание. Если 屮也)》1, то Ф (t() < О. Обратный переход, нроведенньтп выше, нс вполне строг из-за возлтожн(?сти ，.?％ О. Пос.1едняя снтуацпя возникает, когда

卜'⑺ I g — I /" E ""卩 «) j— ”* =()・(И4)

В рассматриваемой задаче соотношение (144) не будет выполняться, если ?；е V1 и определяющее уравнение невырождено в точке 力=力「

Теорема 28. Если с^^ществует хотя бы одно У-допусти- мое управление, то существует оптимгыьное управление со временем быстродействия т° 二二 £； -— /0, где 个 —— наименьший корень уравнения

⑴ 亿，g (乙)，加)=() (屮佑，g (4), “J =1).

Оптимальное управление находится из соотношения

①。(/) = — sign d (/)①-«))'【g (外一j 尸⑴ e 州；(т)].

(145)

Доказательство. Первая часть утверждения следует из лемм 10, 11 и неравенств (141), (143). Из (138), (140) пол5тчаем (145).

Минимизация среднеквадратичной ошибки [10(5]. Пусть движение управляемого объекта описывается уравнением

^^A{t)x+b(t)u, (146)

где х ——/г-вектор,況 ——скалярное управление; элементы матрицы Л (力)，вектора b ⑴ непрерывны по времени t. Зададим числа： 厶 一 момент времени, 5 > 0 и точки д 二％ О %, будем рассматривать на траекториях уравнения (146), исходящих при 力=% из точки 片°, функциона/i

J (u)—[[?'/1//十"2] 力，

где М ——данная диагональная матрица с зависящими от времени неотрицатольньтлги элелгентами — непрерывными функциями времени. Пусть функции 〃(/), i € Т、

Т 二二 Uo,厶]，принадлежат классу U (•) фзтнкций, сумли- руемьгх с квадратом.

Зада ч а. Найти управление w° (f) такое, что 「 J (u°) min J (儿)

и

II/(幻一竹I： W 6.

Как и выше, сначала запишем решение уравнения (146) по формуле Коши:

х (t) = F (X)尸-1 «0) ^го + j -^ (0 F~l (т) b (т)辽(т) йт,

где F (力)一фундаментальная матрица решений уравнения (146) при и (X)三 0. Положим X =匕 и введем обозначения:

6 亿方)匸 F (I) QI 网)胃，s (力力=F (0 Qi (T) b ⑴，

Su (■) = j S(厶,t) 〃()!c

Траектория 方(t) в момент t tf должна удовлетворять условиям

胃(八)~ $ (力 1,胃。)+ 8乂()|| X (幻-Xi II 6. (147)

Пусть £ ——некоторое положительное число. Рассмотрим соотношения (147) на тех функциях 況(/), X Е 7, которые удовлетворяют неравенству

J (м) W £・(148)

Обозначим через Ul (•) и U (•) класс функций и (/), / € Т, для которых выполняется условие (148). Так как множество

Q — {胃：х Su (•), ^ (•) 6 и^ (•)}

выпукло и замкнуто, то, повторяя рассуждения из доказательства теоремы 22 (п. 2), приходим к выводу： соотношения (147) при ограничении (148) имеют место тогда и только тогда, когда

А 二二 max lgs(//j?o) —— b\\ g

十 min g'S〃(・)]W(). (149)

〃(•)£Ui( ■)

Найделг min gfSu (•) при условии (148). Так как этот минимул! достигается на том же элементе, что и безусловный минимум функционала gfSu (•) AJ (и), где число 九 определяется из условия (148)? то поступаем следующим образом. Сначала преобразуем J (w).. Подставим

х (т)=尸(т) Q1 〃о)勺，[s (q /) и (0 dt

в выра'/кение д,'[Я J (") и изменим порядок интегрирования. Тогда выра>кение для J (〃) примет вид

丿⑺"j [ j 公"T , 11 ^^ "⑺"/

+ 2 j и (/) n (/) .r0 d/ 卜[n' (/, z0) Ms^tj ж0) dt, (150) /оS

где

汽⑴=j (#т (%))' Fr (t) MS (t, %) dr,

I [ S'",工)THS (3 力)d 也

т

Обозначим через £(〃)выражение £(〃)= g'S〃( •) +九/(儿) Имеем

£(〃)一 f g'S (厶，t)典⑴ di

:I「| К (т，/)7/(Т)“Т ； 〃 ⑴卜"/)成 +

十2 j & ⑴废(/)&〃— ^ s'(t, xQ) Ms(t, ж0) dt^ .

Первая вариация 6£ функцпона.тн £ (и) имеет вид

-г2л ^п' (t)xQ 1 ^ К (т, f) £；(t)di⑴]} 6w (Z) dt.

Пусть ‘'(・)C〃(・) удов/готв(»])яет условию£(u)= max £(〃)•

Из условия экстремальности фз^нкциона.ча Л (z1)八o/ix;bq быть 3厶 二二()，откуда в силу основной леммы ва|)иал,ион- ного исчисления попугаем

「(/) i j <(т,/) г(т)"т-一 一£ g'，s (厶•/) — "'⑺必，(151)

где А1ножите.т[1> 九 определяется из угповин (148). Таким образом, для нахождения экстремального управления и (/) получено интегральное уравнение (151), где 九 должно вычисляться на основании (148). Ядро К (т, /) уравнения (151) таково, что К (т, £) = К (Z, т) и

f j* I К (т? /) |2 力 dt V оо.

Относительно свойств решения интегрального уравнения могут быть сделаны с.яедующие утверждения.

Решение интегрального уравнения

“(力)[ к (т, £)и (т) "т = /

существует и единственно для .ti юбой (суммируемой с квадратом) (функции / (/)关(I.

Д о к а з а т с л ь с т в о. НредполоИчИм. что нт()нс так.

Тсци согласно a:iьтернативе <Ьредгольма |П6] однороднее уравнение (/ (/)三())имеет ш1 грив пал ьные решения. Пусть 〃 «) 关 0 — одно такое решение. Удгножим обе части этого уравнения, где / (/) ^ 0, на и (/) и проинтегрируем но 力

от /о до 厶：

j [ [ К (т, /) и (т) dx 4-?/ ⑴]“⑴ dt о.

Левая часть полученного соотношения равна 丿(“)при 胃° = 0, что легко следуот из (150) при и 二二 〃 и z0 =(丄 Но всегда J (и) >0, 〃(•)*€). Полученное противоречие доказывает лемму.

Решение уравнения (151) записывается в виде - 。⑴=—^Г「1 ⑴—「2(力 ％(f) = g'z(t)， V2(t) =y' (f)XQ, где векторы 2 (/) н ^/ (t) удовлетворяют соответственно сле- 又ующнм интегральным уравнениям:

九

z ⑴ + j К (т, t) z (т) dx = S (厶，t),

Доказательство этого утверждения следует из принципа суперпозиции, так как уравнение (150) линейно по V. Предполо?кпм, что решения z ⑴，у ⑴ известны. Подставим выражение для и (£) в условие (148) с тем, чтобы получить в явном виде ограничение на величину 九.Это ограничение имеет вид

J (〃) = (^У") +c + dV&2,(152)

где

歩二[I j К (% %) N (т) dt + / ⑴]v^ (t) dt 工

二[g'z(t)g'S (tt, t)dt,

c — j Q ") "' (£) «) 〃丄一j，(/)』"/ ⑺彳0〃，

d= j s' (/, x0) Ms(t, 20) dt.

< 1()! TRCPEMA ОЬ ОТ/и：Л11М0(1Т11 ВЫН >'К-1 Ы \ МНОЖЕСТВ 2()7

М(»жно показать, что

-丿(％) !，vu •/ ( — 5)I 閣)=0, 4Ж н 丿 G~ 五 “)jvo

Очевидно, что решение и задачи

max gfSu (•) = gfSr (•)(153)

существует тогда и только тогда, когда с 十 d V et Выполнение условия (149) необходимо влечет существование решения задачи (153); поэтому, если условие (149) выполнено, то и^геет - место условие с d V еА Тогда “СЕуинем

Действительно,

max gfSu(^= g'Su (・)=—击 /$内(•)一 g'Su?()

g'S%(・)H j gfS (^, t)vx (t)dt^ j g'S (3, t)gfz(t)dt - a2,

g'S& (•) = j g'S (%, t) y' (t) 九

Поэтому

■ g'Su (•x一或一J g's (匕，t)y,⑴皎阳

1де 九 определяется из (152). Таким образом, задача максимизации функционала gfSu (•) по u(-)QU{(-) свелась после нахо?кдения вида г (•) к задаче нахсоь'дения maxg，Su(・) или max( —— 〃2/2入)при условии (152) (член grSu^ (•) от 九 не зависит). Очевидно, шах ( — с? 2入)в ш「у iюложитель- ности а2 достигается в точке 入-入*. '1нк как вторая вариация 62Л функционала Л (и) имеет вид,

§2£ = 2九 j [ j К (т, %) би (т) dt + &，(％)] 6乂(％) dt

или. с учетом (130), §2£=2入丿(8и) |л-о^о； л V 0? / (8и) |л-о^о 2> 0 всегда, если 8и (t) ^ 0, то §2£<о. Следовательно, grSv( •) — max g'Su (*).

虱(•任5(，)

На основе полученных результатов выпишем окончательное выражение для g'Sv (•):

max g'S况(-)=g'Su (•)=

—d)"2 I j g'S(/i, l^g'z^dt^ —

Il p m м e Ti а н и e. Условие c ~\- d <z s2 выделяет в пространстве En множество А тех начальных данных 方山 Пня которых имеет решение задача (153), т. е. класс U^ (*) управлений и (/), удовлетворяющих условию (148), при любом g € А не пуст. При этом J (и) |Х{) = е2, что следует из (152), куда подставлено значение 入东.Величина с 十 d — квадратичная форма от 胃瓦,i — 1, , . ,, п. и так как с d J (— f2)T a J (—内)> 0, [I х0 || 老 0, то условие с 4- d < 82 выделяет в пространстве Еп открытый эллипсоид.

Подставим полученное для grSv (•) выражение в (149). Тогда условие (149) примет вид

A 二二 max 《g's (力，胃о) — g‘/ - 6 || g || 一

—(е2 — с —[ j g'S 伯，％) g'z (%)近] +”

to

十j g'S (力，方)7⑺3近} m0.

/о

Введем обозначения:

m (声一 C—d产2,

一Р—(154)

x = s(t-^ ^o)+ \ Sit^ t) y' (t) xQdt, ,= —/ + %. ' ，

f и I ТЕОРЕМ \ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 269

Тогда

А= max Jg'L§Hg||— ‘

—Ц [ j g'S (%, Dg，z«)d“"~} <0.(155)

Нетрудно показать, что (155) является условием разрешимости задачи (147), (148) при х0 0, ^ — д в классе U^ (•) управлений и (•) таких, что J (и) ^ ц2. Назовем такую задачу задачей Л. Из предыдущего следует, что если условие (149) выполнено, то выполнено и условие (155), где ц, q определяются формулами (154). Очевидно, справедливо и обратное: если условие (155) выполнено и если х0?方〕н е таковы, что имеют место соотношения (154), то условие (149) также выполнено. Таким образом, пришли к следующему утверждению: задача (147)? (148) разрешима тогда и только тогда, когда разрешима задача Л, если х0, хъ е,卩，д связаны формулами (154).

Нетрудно видеть, что задача минимизации среднеквадратичной ошибки при переходе системы (146) из точки 方° в б-окрестность точки xt сводится к задаче минимизации среднеквадратичной ошибки при переходе системы (146) из точки 方 к 0 в б-окрестность точки q.

Перейдем теперь к изучению задачи оптимального управления. Обозначим через 8° минимальное из чисел г, удовлетворяющих (149), через U。(•)——класс допустимых управлений такой, что J (и) е°.

Теорема 29. Минимальное значение г, е 工 8°, существует н единственно. Если g° — решение задачи (149) при £ = 8°, то оптимальное управление 〃° «) определяет

ся из условия

g【S般(•)= max goSu (•)

и равно

「Де

[]№«)g；S(/|. /)阳 У

g；z (Z),%,—

2[(或)2 . J 岗-

^ (幻удовлетворяег условию ^ (胃° (/,)―.沙)二一- 3 || g0 |卜

Доказательство. Задача минимизации £ эквивалентна задаче минимизации [i (см. (154), (155)). Рассмотрим поэтому условие (155), ку^а 卩 входит так же, как и б. Это означаем, что X из (J55) при фиксированных 厶, д, 7 — монотонно убывающая и непрерывная функция р, причем 九 卜尸(} > 0 всегда. Так что минимальное значение 卩 = ц° существует и определяется из условия 九 l^^o = 0. Нетрудно показать, что

卜= [(£。)2 —с一а]"2 = шaх ?" g ",

[，g，S (厶，力)g，z (力)dt\ I/?

На этом доказательство теоремы завершается.

Задача оптимального управления в системах с последействием. Пусть движение объекта описывается дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом

/⑴=/ (/) x ⑴ + Ai ⑴ x (t - h) В ⑴ u о (156)

Здесь х ——/г-вектор, определенный в пространстве Еп; и (/) — 7?-вектор управления — кусочно-непрерывная функция, принадлежащая множеству допустимых управлений U (•); Л ⑴，Ni«) и В (Z) — непрерывные матричные функции, причем В «) — неособая при всех t, t g Т = 二 〃о,厶];九，九 > 0,— постоянное запаздывание. Заданы начальные условия： вектор-функция Ф (%) со значениями в Er, х (/) = Ф (Z) при /0 — h W t Vtg и вектор х0 七

По аналогии с п. 4 определим T-допустимое управление как такую функцию и(£), t € Т, при которой траектория (156) удовлетворяет условию

х (方)^^ 0, t\ —九 W^ 方'^ 厶.(157)

В пространстве Еп рассмотрилг множество G векторов s = s (片——h, т()(•))=

二一 \ F 3 -加T十九)4 (七十九)⑴(t) dt + F (力一九，Z0).r0.

Здесь F (厶 т) — фундаментальная матрица решений однородного уравнения, соответствующего (156), причем

F (т, ^) ^ E, F (/, т) =- 0. если т > 九 Множество Gj, G[ и G. векторов s, образованных с помощью функций 4)(/) н векторов а%, дня которых существуют ^-допустимые управления, есть область достижимости. Обозначим через ■ () °i (•) и U (•), множество 7-допустимых управ~ лений. Множество G выпукло. Действительно, по определению множества G,, если s £ G」，то для него найдется такое и (*) С U{ () что 胃 «)三 ° при 厶一h ^ t ^ 厶， где

3 s (九 Mo (•)) -I j ь(/, D 用⑴"⑴"匸

Рассмотрим два элемента мнои;ества 6丄：=и ^2 ~ и соответствующие им управления ^ (•) и и2 (•). Покажем, что злемент $ =砌 十(1 —乳)玩，0 忘 а《1, также принадлежит мно/кеству G， причем соответствующее ему управление, обеспечивающее выполнение условия (157), имеет вид

и (?) = (л/ (/) + (4 — а) и?(力•

В самом деле,

胃⑴=s (九网(•))十} F (厶 т) В (т) и (т) dt к 'о

=а [^ (力勺о (•)) + j F (力，т)用(т) % (т) dt]卜

+ (1 — «) [s (/, go (•))十 j 歹亿 т) В (т) 〃2 ⑴阳=

=а/ «) -卜(1 — а)胃2 (0-

Но так как 0 (t) = 0 и ^2 (0 三 0 при 友——h -^ t -^ tv, то и х (t) = 0 при 厶 一 方 W 力 W 厶・ Выпуклость множества доказана. Из уравнения (156) и условия (157) следует, что каждое ^-допустимое управление и (t) на интервале 厶无W方W勿имеет вид

u ⑴=—用Т о 41 ")胃(/ -一 h).

Теорема 30. T~допустимое управление существует ) тогда и только тогда, когда

max ]『$(/[—-九 & (・))т

+ inf f g/(厶—九，T)用(T) "⑴ Mr]总(丄(I5X)

Доказательство проведем до схеме п. 2. Необходимость. Пусть управление и = и (/), 〃 (•) £ U (•), при заданных х^, Ф (。, ti я h обеспечивает выполнение услови兄(157). Докажем, что выполнено неравенство (158). По условию (157) траектория, которая порождается управлением и (Z), в момент 力二厶 ——h приходит в начало координат, т. е. х (友 Д) — 0, или

-h

s (厶—厶，尤。 (*))十 j F (厶—Д, t) в (工)и (T) dt = 0.

Умножим скалярно все члены равенства на произвольный вектор g, II g К — 1. Имеем

g's (厶—h, x0 (■)) -I- j g'F (& — h, x) В (т) u ⑴ cZt —().

Рассмотрим функционал

〃(〃)；g's (九一儿 ж0 (•))十 j g'，'(厶一厶，т) В ⑴〃 (т) (h

на множестве функций и (•) С 6 (■). Так как заданное управление w (•) ^ ^ (•) и 2J (и) — 0, то inf Р (“)《

и( • )£U1( •)

W 0. Но последнее неравенство выполнено для произвольного вектора g, 1111 = 1; следовательно,

inax {g's % —几 ^o (•)) +

inf f g'“(八 ~ 儿 т)片(T)〃 (т) t/т)化 г(( ■ )g1/1( ■ ) •*

厶) что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть для заданных т0, Ф (£), 厶 выполнено усиовпе (158). Докажем, что существует хотя бы одно >7правление и «), 〃 (•) g U] (•), обеспечивающее вьтполнение условия (157).

Предположим противное: не существует ни одного управления & «), и (•) € U^ (•), такого, чтобы для траектории, порожденной этим управлением, выполнялось условие (157). Это означает, что вектор § (九一儿 才° (•)) при заданных xQ и Ф (力)не принадлежит замыканию области достижимости G]. Тогда в ciijy выпуклости лхножества G〔 существует такая гиперплоскость и вектор g, || ^ ||1,

нормальный к этой гиперп/юскости. что неравенство

g's (厶一儿？о (•)) > /s

выполнено для всех § £ 夕卜 По тан как s — точка области дости/Кимости, то для нее существует такое управление и (/), и (•) 6 ■ (•), “то

s 丁 j F (厶一h, т) В (т) и (т) dx 二 0.

Отсюда

S L — [ /'(力1 —瓦 т) В (т) U (т) dr.

Тогда

g\(〃一R &(•))，I g/d —历工)Z?(t)辽⑴4т> О.

Поскольку s — произво.：]ьная точка множества С】, то последнее неравенство выполнено для всех 〃(・)gUi(・)； поэтому

g飞⑴一小凡⑴)+I Ilff g/(fi 一耳丁)伙T) "⑴"T>S

ITo ycjtoBnio теоремы д.1я заданных ?;) н ⑴(') выполнено неравенство (158), что означает, что 乂」订 любого

вектора g, || g jj = 1, имеет место неравенство

g'Hi—A q)(・))丁 inf f grF(t^h. t)^(t)w(t)(7t<0.

Однако нап удаюсь построить вектор g, ||g|| = l, для которого выполнено неравенство противоположного смысла. Это противоречие и доказывает теорему.

В дальнейшем будедг считать, что множество U (•) допустил!ых управлений зшеет вид

U (•)二{〃(•)： j и (t) и (/) cZz < 1 ^ .(159)

Зашипел? условие (158) в другой форме:

max {g、(“一 〃/()(・))十卩(g)}W0,

N(g)= inf 卩(g,辽)= 三u(・) ti—h

и—^： t)5(t)u(t)<Zt

疋U(・)X '

при условии

+ !⑴ 4尤{t — »)]' 8T (力)4 (力)x {t一 h)dt-^l.

Преобразуем последнее неравенство, заменив х (t ——h) по формуле Копш (§ 1.15):

/1

j и (^) й (/) dt j [8~1(方)/1(%){s(f -儿◎()(•)) +

十 j F(t — h,x)B(т) и (т) с/тj- ^ B~r (t) Ai(t) ^s(^ —九& 卜))十

+ [ F(t—h, т) ^;t)w (t)(7tJ dt^i.

Раскрыв скобки во втором интеграле и изменив порядок интегрирования, получим f [ — L/1-/(

[公(т) и (т) dT^]r N + 2 j /' (т) и (т) dx +

Го

+ ,[ г/ (т)①(т, 0) и (9) d^

Здесь

8T (方+九)/1a + 力)s (力 % (•)) dt, /(T)= J [B^ (t + ^A^t + ^F^, ^^(тЯ'х

①(q 8)= j [5"1 Jz) Ji (/ h) F (^, т) В (т)]' X

X 月T (方 十九)Ax [t + 6)F (厶 0) в (0) dt.

Вводя Л]но>китель Лагранжа, перейдем к задаче на безусловный экстре.иудг. Еу“ем искать минимум функцпо- нала A (w):

А (и) = J gfF (^ — A, t) В (t) и (т) dx к to h—hh—h

十厶[J 〃'⑴〃⑴ dt 十 TV+ 2 j f (t) u(r) dx +

十 J J uF (т) Ф (r, 0) и (0) d0 t/т J . to to

Вычислим вариацию функционала ”(“)=^^к= i u)z(T)g+

.* 2” (т) I 2辽(т) -j-2/ (т) j К (т, 0) u(0) tZ0j "т,

где

£(т) = [/'(/】一九 т)月(т)]', К (т, 8)=0)(к е)^-Фг (9, т).

Так как вариация функционала ЗА (辽)должна быть равна нулю для ：1тоиых значений вариации функции, то

£⑴g十小2"⑴+2/⑴十J aГ(T, 8)"(3)"()卜().

Решение полученного интегрального уравнения .можно представить в виде сутмы двух решений

辽⑴=2%(f)十 u2 0="4(£) + 丁 -(方) g，

причем вектор "i") и матрица А«) удовлетворяют следующим интегральным уравнени只н:

/1-/г

2〃i(/)+2/(f)十 J K(t, 6) гЧ (6) de - 0(160)

И

2Н(/)+〃(/)+ J К(/, 9)/7(0)^)--- 0.(161)

Множитель 九 найдем из условия, ч тобы найденное у правление принадлежало множеству 沙式)Имеем

J ["i(T)+；E(T)g]["，⑴十;门⑴g卜九+ n +

to 一一

十2 f 广(т) [“1(т)+^7?(т) g] dt 丄

X Ф (t, €)) [〃i ⑼ + ； A (8)g] "0 & = 1.

Отсюда для 入 получаем алгебраическое уравнение

а^-'г2Ъ~(162)

§ lul ТЕОРЕМА ОБ ОТДЕЛИМОС'1'И ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 277

Здесь*。

J g'R' (т) R (t) g dr

+ J J g'£'(T)⑴(t, 0)欠⑼ gdOA-：

=[Z'(T)R(T)gdT,

b= J “；(t) E (t)gdt + j 广(T)R(T)gdt+ - to

丄」[j g1 IV (%) К (t, 0) fz1(0)6/0dr = O,

c= J M ⑴e1(T)八 + n-卜2 J f (t) Ui (t) dx -J-

/ £ — I l /1 -—九

+ j [ ^ (т) Ф(т, 0) Щ (0) t/0 dr — 1 —

二 N — 1 + J f (t) Ut ⑴ dx. to

Из двух корней уравнения (162) конечный минимум функционалу А(〃) доставляет положительный корень. Итак, условие (158) для множества допустимых управлений (159) имеет вид

max [g's (片一历 £()(•)) +

+ f g'F^i — h, и)В(т)и(т, g)c?xJ<0 (163) *0

или, короче,

max 屮(g, iiXO.

Здесь

*g) - "1(Т)I 又尺⑴ ©

причем 〃i (七) и Я (т) — решения интегральных уравнений (160) и (161), а Л—положительный корень уравнения (162).

3 а д а ч а. В классе допустимых управлений найти управление 公⑴，которое для заданных д, Ф ⑴ решает задачу (157) за минимальное время.

Управление и0 (方)будем называть оптимальным, а вре- мя 方;переходного процесса, соответствующего этому управлению,—— временем быстродействия.

Из теоремы 30 следует

Теорема 31. Время быстродействия 力;является наименьшим числом, для которого выполнено неравенство (163). Оптимальное управление и0 传)определяется соотношением

0 J "(厶 go),—

_ В-* (t) A】⑴岔。(t h),彳一九

где g()— элемент, на котором достигается максимум функции 屮(g4幻.

Пример 7.

/(方)二—x (%—1) + m (方),")

①⑴三()，-l<z<0,関(0)=1(),力=3, ! (164)

j "2(X) dt^M.I

о丿

Для упрощения вычислений вместо задачи быстродействия рассмотрим другую задачу, непосредственно связанную с первой. Найти такое управление из класса допустимых, чтобы траектория, соответствующая заданным начальным условиям и выбранному управлению, удовлетворяла условию 胃(方) 三 0, 2 W 方 W 3, а функционал 3

} u2 (力)dt достигал минимума, о

Запишем решение уравнения (164) с помощью формулы Коши, найдем u (Z, g) через интегральные уравнения (160), (161), вычислим множитель 九.В результате убеждаемся,

что оптимальное управление имеет вид

'(2,652 bin 3 — 25115 cos 子)—

(2,3118 Siu专+ 4,6325 cos 力 0<т<1;

e丁工(1,1407 sing— t,0301 cos*

u°(T)= J /3

+ e 2( 12,2625 sin 区十 1,0359со§е) , Кт<2;

(0,490tsin4~0^2WCOS 子)-

一】(17,2647 sin 千一23,6179 cos 等)一

-8,3334т + 19,9980, 2<т<3.

Статистические задачи оптимального управления. Различные применения теоремы об отделимости выпуклых множеств находим при исследовании задач оптимизации систем, поведение которых усложняется действием случайных сил. Эти вопросы подробно рассматриваются в § 15.

Задачи преследования. До сих пор рассматривались ситуации, в которых не предполагалось наличие антагонистических целей, определяющих поведение системы. В теории дифференциальных игр изучаются задачи оптимального управления динамическими системами в тех случаях, когда присутствуют стороны с антагонистическими целями. Развитие методов функционального анализа на этот новый круг вопросов обсуждается в § 16.

§ И. Z-проблема моментов

в теории оптимальных процессов

В этом параграфе для решения некоторых задач теории оптимальных процессов привлекается одна из фундаментальных теорем функционального анализа (теорема Хана ——Банаха о распространении линейной операции

丨46]) в ее конкретном ирнлекении к Л-проблеме моментов |4|, которая сыграла видную роль в первые годы развития теории оптимальных процессов [74п]. Для формулировки и понимания существа L-проблемы треб^^ются опре- /(еленные знания из теории линейных нормированных пространств. Не стоит, однако, преувеличивать трудностей, связанных с новым кругом вопросов. При желании все рассмотренные ниже задачи можно сфорлгулировать и решить в терд]инах конечномерного пространства. Мы так и поступим. Сначала дадим традиционную постановку А-проблемы моментов, затем переформулируем ее в терминах конечномерного пространства и, наконец, решим эту проблему, используя уже доказанные ранее фактьь

Z-проблема моментов и ее решение. В линейном нормированном пространстве Е (•) заданы линейно независимые элементы 伤 (•), . . ., ^п (•). Найти такие необходимые и достаточные условия для чисел Q, . , ., &%,

L (2 说 > 0, 厶 > 0), чтобы существовал линейный функционал / (•), удовлетворяющий соотношениям

/⑵(•))- Q, ll/IK^. i = 1, . • •,加 (165)

Дадим этой проблеме другую формулировку. Числа Q, . . ., сп можно трактовать как компоненты вектора с из гг-лтерного пространства Е几.Тогда значения 尤之= 二=/ (尤2 (・)),Е —二彳,.・孔,которые функционал / (•) принимает на заданных элементах /?(•), i 1, . . ., ni нормированного пространства Е (•), суть компоненты /г-вектора ? € Еп. Разньш линейным функционалам / соответствуют разные векторы х С Е几.Обозначим через 7? (L) множество

/? (L) г {х: х = / (ж (•)), Н / Н W L}

/г-векторов /, норожд(?нных линейными функционалами / (•), / (•) £ Е‘ (■), онределешт(>1.ми на заданном элементе 上(•) = {.z-j () ..…招](•)} и лежащими в шаре ((/(•) ||式 ^ L. Соотношение х 二二 / (/(•)) теперь можно трактовать и как оператор, который функционалы / (•) С £，(•) переводит в векторы 関 £ Еп. Понятно, что Л-проблема момен-

■г о в (165) имеет решение тогда н только тогда, когда множество R (厶)конечномерного пространства Еп содержит вектор с.

Покажем, что R (Л) — выпуклое множество. Действительно, пусть хну — произвольные точки этого множества. т, е, для некоторых линейных функционалов / (•) u g () II / (О II W 厶 М g (*) II < 厶 выполняются равенства / (х (■)) к 尤,？(/(•)) — у. Тогда любая точка 胃九 = 二 大龙 + (1 --入)% 0《入总 2, отрезка, соединяющего точки 尤,у, также принадлежит R (А). В самом деле, функционал 力(•)= 九/ (•) 4- (1 —九)g (•) удовлетворяет неравенству || 力,(•)|| = || 相(•)+ (1 — 入)g (•) || < W 入"/ (•) U + О —入)"g (•) ii W 〃 а его значение на 尤(•) (в силу линейности операции) /九(尤(•))=[入/ (•)-卜 一卜(1 —— 九)g (♦)1 (/(，))=入方 T_ (1 -- 入)у， что равносильно сделанному нами утверждению.

В качестве множества Q, фигурирующего в §§ 9, 10, примем множество, состоящее из одной точки с. Теперь у;ке очевидно, что к проблеме (165) в новой трактовке можно применить теорему о минимаксе или теорему об отделимости выпуклых множеств. Множество R (厶)будет содержать точку с тогда и только тогда, когда его расстояние до точки с

р= inf j] с — х j]

*WR(L)

равно нулю. Вспоминая, что “尤“= max g'/, и исполь- 11^11^1

зуя теорему о минимаксе, имеем

p= inf max g‘传一/)4 max inf g'(c 一力)=

kER(L) 1@Ю||g||Wl .花正(工)

= max inf g‘(c —/(尤(•)))= max [g'c— sup g7(^( '))1 ~

IlgHWl "川WL' "g瞌 1II川二E

max [g'c— sup /&/(•))]• (166)

1融w1"川WL

По определению величина sup / (z (•)) есть норма элемента /(，)£方()

"'3"Н诵咼‘①》

(167)

Выражение g'x (•) ^ £gHt(・) представляет элемент из 笈(•). Поэтому (и в силу .линейности функционала)

sup /仁/(.))=持1八(.)||.(168)

Подставляя это выражение в (166), получим необходимое и достаточное условие разрешимости Л-проблел!ы моментов:

p (厶= max {gZ - L I| 5式■)" }=0.

Если элементы %](•), . . ., /北(・) линейно независимьт (что предполагается в формулировке Л-проблемы), то || gfx (.) II ^= 0 для всех II g II ^= 0. Из этого усновмн и из того, что gZ — L j( gfx (■) Л монотонно убывает no L, нетрудно показать, что минимальное L, при котором р(£) = 0, равно

A max f 广.

Из однородности по g числителя и знаменателя следует, что

А = max f= max g c,

или

min ||g‘2(・)||.(169)

Основное предложение теории L- проблемы моментов. Задача (165) имеет решение тогда и только тогда, когда £》А, где величина 九 определяется из решения конечномерной задачи (169).

Из метода доказательства находятся и те функционалы (экстремальные) / (), при которых задача (165) имеет решение с минимальным Л = Z. Экстремальные функционалы удовлетворяют равенству *) (168), где g — решение задачи (166). Резюмируем： для того чтобы некоторую задачу оптимального управления решить с помощью Л-проблемы, нужно: 1) сформулировать ее в виде задачи (165), 2) решить задачу (169), 3) из (168) найти искомые оптимальные величины.

/1口尤(•川==j \x(t)\d.t;to ||%(・)||e/1口尤(•川==j \x(t)\d.t;to ||%(・)||eЭта общая схема ниже будет конкретизирована на раз- /шчных задачах оптимального управления. В соотношениях (165) функционал / (•) не всегда представляет управление, иногда полезно в него вкладывать более широкий смысл (п. 4). Ограничение на / (•), || / (•) || -^ L, вытекает из условия задачи. В некоторых задачах вид нормы II / (•) И весьма сложен. Это обстоятельство является главным препятствием для решения задачи (169), ибо справа записана норма элемента 况(•)，которая должна быть согласована по (167) с заданной нормой 11 / (•) 0. В стандартных случаях, конечно, вычисление || 况(•) || по !,/(•) И не составляет труда. Например, если

/1

口尤(•川==j \x(t)\d.t;

to ||%(・)||e

/1

口尤(•川==j \x(t)\d.t;

to ||%(・)||e

М/(•川= supvrai|/⑴ I，то

l|/(-)l|=(J\f^dt]U(l, io

=([丨况(£)『山)"\ X= 1,1 < 7 < oo.

В более сложных случаях нахождение || ^ (■) || представляет самостоятельную задачу.

Примечания. 1) Выше мы доказали лишь выпуклость множества R (£). При условиях задачи (165) оно и замкнуто. Это является следствием определения пространства Е，(•) функционалов над Е (•). Короче говоря, пространство 才‘ (•) определяется так,叮то задача (167) вычисления нормы || 况(•) || всегда имеет решение в этом пространстве. Это обстоятельство в конкретных задачах часто приводит к необходимости расширять заданный класс функций (см. примечание на стр. 286).

Условие (169) разрешимости Л-проблемы моментов получено при дополнительном предположении о линейной независимости элементов (•),..,,况几(•). Ситуация, когда эти элементы линейно зависимы, обсуждается в § 9.6. Оказывается, что если элементы 况(•), . . ., хп (•)

связаны соотношениями 2 Et兑况兑(•) — 0, i = 1т . . N, то числа Cf, при которых L-проблема моментов имеет

решение, также должны быть связаны соотношениями У 立с力 у (), i 1, . . N. В переводе на язык задачи оптимального быстродействия это означает, что при линейной зависимости элементов 忑《•),...,胃卩(•) этой задачи начальные состояния z0, которые хо;кно привести в нуль, лежат в некотором подпространстве фазового пространства.

Двухточечная задача линейного быстродействия. Пуств дана система

~^~ = / (力况 + b (力)〃 + / ⑴，t^T^ [tg, /1], (170) где 况 W 总几；элементы матрицы Л ⑴，векторов b (力)，/ (力) непрерывны по времени t.

Задача. Среди измеримых управлений и «), / £ 7\ I 辽(力)I W £， требуется найти такое 〃° «), что

况(％) = 况(")=0,力;= min {力j：况(厶)=0}.

也(％)|《L

Здесь х0 ——заданное начальное условие. Далее символ Pi означает i-ю строку матрицы Р.

Записав решение неоднородного уравнения (170) через формулу Коши, нетрудно видеть, что управление 辽(力), t W Т, переводит n。 в начало координат тогда и только тогда, когда .

q = j Fi1 (т) b (т) и (т) d-c = j у» (т) и (т) dt = / (g (•)).

(172) Здесь

Q = {- 20 - J 歹Т (工)/ (力 肌2，

色(•)=旧(*, т с ?}, /(•)= {“ ⑴，t e ?},

F (力)一 фундаментальная матрица решений для (170) (乂 ⑴=/ (^) = 0). Если норму функционала / (•) определить по формуле,

，II / И = vrai max | и (力)|,

то ограничения на управление в исходной задаче можно записать в виде

11/(-)11С^(172，)

Объединяя (172) и (172'), видим, что задача линейного быстродействия (171) свелась к поиску минимального 厶， при котором Z-проблема моментов (165) имеет решение. Теперь очевиден и путь решения. Л-проблему решаем для фиксированного 厶,затем из этих чисел выбираем лшни- малъное.

Предположим, что функции

В С)=歹戸 «)ъ ⑺，Z е Т,(173)

линейно независимьг, т. е. не существует вектора g, II g II =1, такого, что /у (力)0 почти всюду на Т.

Примечание. Функции (173) линейно независимы, если определяющее уравнение системы (170) невырождено при некотором t Т.

В силу (169) заключаем: Т-допустимое управление существует тогда и только тогда, когда 厶(с,乙)> L"1, где

% (с, min А (с,厶，g)=T(c,厶.g&)),]

¥•(174)

九(J小幻-} |g'『(/)K〃・

Лемма 一72・ Функция 九(с, /J непрерывна по с. 1{ и 厶(％ /0) = 0.

Непрерывность функции 厶(с,厶)но аргументам является непосредственньгл! следствиелг непрерывности по тел1 же аргументам: функции 九(с, t{, g), которая, очевидно, обладает этим свойством.

Теорема 32. Если существует хотя бы одно 7-допусти- мое управление, то существует и оптимальное управление со временем быстродействия т°, равным наименьшему корню уравнения

厶(& Zo + т) =(173)

Оптимальное управление1 〃° (/) определяется соотношением

〃。(0 -刀 sign g' т°) F-1 (/) b (/)почти всюду на ⑴у": g'(乙)! т°)尸一】(f) 〃 (/) W()}•

Доказательство. Из леммы 12 и условия (169) получаем соотношение (175). Пусть g (厶)—решение задачи (174), Тогда функция 之(力)二二 F (力i) ?«),%€?, является экстремальным элементом (см. (168)) для любого решения системы (165) с нормой, равной X"1 (с,力". Поэтому

I j g，(厶)Y⑴"⑴山卜аT(e,з[]g'&)Y⑴|d九(176) io方0

Нетрудно видеть, что соотношение (176) имеет место только в том случае, если

и «)X"1 (с,幻 sign g，(幻 丫 ⑴ почти всюду на о 炉

На этом доказательство теоремы заканчивается. Примечание. Соотношение (176) определяет управление 辽° (力) лишь в точках, где gf (厶)丫 (/)，0. Можно показать (§ 7.9), что и в остальных точках функцию 辽° (力)возможно доопределить так, чтобы она оказалась кусочно-постоянной на Т. Таким образом, искали оптимальное управление в классе измеримых функций, нашли — в более узком классе кусочно-постоянных управлений. «Предвидя» такой результат, задачу линейного быстродействия можно формулировать в более узком классе управлений. В этом случае, переходя от задачи быстродействия к Л-проблеме, пришлось бы сначала расширить класс допустимых управлений. Результат оказался бы, конечно, прежним. Вложение первоначальной задачи в более общую задачу, которая имеет решение и зачастую решается проще, извлечение из решения последней решения исходной задачи — это довольно распространенный прием. При этол! попутно решается вопрос о существовании решения исходной задачи в заданном классе допустимых управлений.

Рассмотрим систему (170) при / (力)三 0. Соотношения (172) теперь имеют вид

一龙山=)?£⑴m (扌)山,..

функция а(e,?1)=入(3,/1)：

厶(&,力 1) = min \ I gfy (^) I dt..

Лемма 13. Функция 入(胃 1b 厶)непрерывна по ^0,厶 и не убывает по 小

Доказательство. Непрерывность 厶(^0, 〃) очевидна (см. лемму 12). Докажем, что 厶(人，力"не убывает по 厶.Пусть 厶 V#. Тогда имеем

九 м0,乙，g (厶))、W 大("’0, &, g (力))e 九(人，力，g (八))， что и дот^азывает утверждение.

Примечание. Для стационарной системы (136) лемма 13 может быть усилена. В этом случае функция

九(&,切二 min f I g'F"1 (^) b I dt

• g入J

£0

——тождественный нуль или строго возрастает по 厶.В самом деле, рассмотрим функцию 己(厶 g) = g'^T (%) b. Из § 1.3 следует, что 己(力 g) является решением уравнения РР, g) = 3 а, (― 1)岭+i(厶勤 口 & И 方 0,力 £ T.

s= 1

Поэтому, есяи 己(出 g) = 0 при некотором t 工 #, то Е (力,g) 三 0. Теперь из определения функции 厶(况о,乙) следует, что 厶(况“ ^) = 0 или строго возрастает по 厶.

Будем говорить, что функции (173) вполне линейно независимы, если ни при каком g, || g || = 1, функция 甘(0 = g’Y (/), Л) W 力 V ℃, не обращается в нуль на множестве точек t положительной меры.

Лемма 14. Если функции (173) вполне линейно независимы, то 厶(况0,力i) строго возрастает по 力仆

Доказательство аналогично доказательству леммы 13.

Ясно, что для системы (170), /三 0, из существования Т-допустимого управления следует существование оптимального управления. Однако теорема 32 для (170), / = 0? может быть усилена.

Теорема 33. Оптимальное быстродействие т° определяется соотношением

Т° = max т (g) = t 信)，g

где т (g) — наименьший корень уравнения

j I g'F-1 (0 ъ (0 \dt = ^.(177)

Оптимальное управление определяется, как в теореме 32.

Примечание. Если функции (173) вполне линейно независимы, то т° 厂 так т (g), где т (g) — корень уравнения (177).

Полученные результаты можно перенести на систему

A\t) х (Z)」At (/) х {t — h) — В (/) и (%) ,/(/)•

Пусть требуется найти управление и (/), Z £ Т* и(-)QU^), такое, что

龙(г；)=0, 力:h min 仏：况(方]) = ()}.

口 ( )1 之 i

Формула Коши (§ 1.15) является исходным пунктом для прилунения А-проблемы.

Для удобства формулировок, как и в пп. 4, 5, 7 § 10, введем определение 7-относительно допустимого управления. Назовем функцию 〃(％),%€ Т, 7-относительно допустимым управлением, если она порождает траекторию х (力)со свойством х (厶)=0. В силу теоремы 31 заключаем： У-относительно допустимое управление существует тогда и только тогда, когда

А (e, max 仅£一 £ 卩 f?( .*- A (/「g(厶))(仇 l|A(l|-l、

Здесь

Y(•) = {»(•)，力=1,…，“}.『(•)「{»(/). /£?}, ' 陋(方)=£(厶，"&⑴，

c—/'(力 1,友)/。— j (^1, т г ^)^1 (т г ^) х } (178)

X ①(т) dT—j "(厶，т) £?(T)/(t)dT.

Для функции А (с,厶)справедлива лемма 12. Поэтому можно доказать утверждение, аналогичное теореме 32.

Теорема 34. Если существует хотя бы одно %относи- теиьно допустимое управление, то существует и оптимальное управление со временелг быстродействия т° /；/0,

где %； — наименьший корень уравнения А (/ь К (人))0.

Оптимальное управление 〃° «) определяется соотношением

公⑴=L sign g‘ 俏)7 (0

почти всюду на ⑦,二二{Z: g，(Z；) у (Z)，0}.

П p и л! e ч а н и e. Можно показать, что в стационарном случае функция 厶(力)二 g'F (厶，t) 6, \\ g \\ ^= 0, почти всюду отлична от нуля или тождественно равна нулю.

Оптимальные процессы с ограничением по циклам. Пусть поведение системы управления описывается уравнением

х (t) = А⑴况⑴十b⑴"， (179) где % = {右,..хП} -- вектор, А - {a〃‘} - П 义 n- матрица, b = {办，...,bn} — вектор, и = и (t) — управляющая функция. Задачи оптимального управления, о которых ниже пойдет речь, заключаются в следующем. Задано начальное условие х (0). Требуется найти функцию и (力)такую, чтобы точка 方(力,двигаясь по траектории уравнения (179), попала в начало координат за наименьшее время %；. При этом управляющие функции должны удовлетворять следующему ограничению: зададим число со > 0, определим число N из условия No)V%；《(N + f)①, положим и (/) = 0 при « W % W (" + 1) s； пусть

max ( f I u(t) lp^) (180)

Задача (179), (180) отличается от обычных задач оптимального быстродействия тем, что ограничения на управляющие функции носят циклический характер (① —— длительность цикла). Возможна такая физическая трактовка рассматриваемой задачи при 夕=1. Некоторый процесс регулируется количеством подаваемого топлива. Непосредственно в процесс топливо подается из бункера, который периодически (через ① единиц времени) заполняется из другого резервуара, запасы которого практически не ограничены. При таких условиях нужно указать оптимальный с точки зрения быстродействия системы расход топлива. Если допустить, что изучаемый процесс может быть описан уравнением типа (179), то, очевидно, имеем задачу (179), (180).

Количество задач типа (179), (180) можно увеличить, но мы ограничимся данной и покажем метой ее решения, который без существенных изменений может быть применен и к другим задачам. То, что всякая задача быстродействия с неподвижными концевыми условиями эквивалентна проблеме моментов, показано в п. 2. Поскольку выражение

шах ( f I и (Z) |р dt \1； Р

удовлетворяет всем условиям нормы || 〃(♦)“： 1) || 〃(•)“> > 0, если 〃(•)к °；2) II Ам (•) I]=丨 А I Н м (J II；

3) II "1 (•) + и2 (•) II < II щ (.) II + II 〃2 (•) II， т。огра- ничение (180) можно записать в виде || / (•) || ^ L, /(•) = 〃 (*).

Таким образом, задача оптимального управления с ограничением по цикл ап сведена к A-проблеме моментов. Для ее эффективного решения нужно уметь вычислять норму элемента || 况(•) || (см. (167)). В нашем случае эта задача выполняется легко：

N (к~Н)(о

^■(•)11=3 ( i"⑴卩山片，^十^=1・

А—0 f=Ao)

Осталось показать, что поставленная выше задача быстродействия эквивалентна проблеме моментов (165). Но в задаче быстродействия это уже сделано в п. 2 с помощью формулы Коши.

Задача линейного быстродействия при подвижных концевых условиях. Для простоты ограничимся лишь случаем подвижного правого конца. Итак, требуется за минимальное время перевести траекторию системы (179) из точки z0 на куб

I g —或丨-^ А, t — 1,...,汽， (181)

используя при этол! кусочно-непрерывные управления и (力)，力 С Т, стесненные ограничением

Из формулы Коши получаем

况(幻=ь(厶)ь-i仇)人十jь(幻Qi⑴b⑴м(T)轰.(183) Положим

-1 (也也也仇 м 二二+м ) \1/ \1/ / к 、• • •-1 (也也也仇 м 二二+м ) \1/ \1/ / к 、• • •力0)g一厶丫(z) 方(方1)耳一1⑴b (7), 0,71 (力)> £ 6 7},

-1 (也也也仇 м 二二

+м ) \1/ \1/ / к 、• • •

-1 (也也也仇 м 二二

+м ) \1/ \1/ / к 、• • •

1, 0, . .0;也(0，力 £ 7},…

• • 0， 1；招％ ⑴/ 6 7}；

九；/(0,力 C 7},

ft三色(打)一必，/ (力)三m⑴.

Тогда равенство (183), записанное в координатной форме, можно интерпретировать как значения с» функционала / (•) на элементах 勺(•)：

/ (/(•)) = Q, i = i, . . ., п.(184)

Введем норму функционала / (■) следующим образом: ||/(-) || = max -Jmax^-L, s：p|/«)|}.

Тогда ограничения (181), (182) на управление и правый конец траектории принимают вид || / (•) || ^ L. Это условие в совокупности с (184) показывает, что исходная задача сведена к Е-проблеме моментов. Норма элемента n (•) = {修，...,黒R； х (%), t £ Т}. Легко подсчитать, что nh

心(•)"=年 2 I 0 1+ j I 2⑴ I 丸1=1to

Оптимальные быстродействия в связанных системах. Даны уравнения

警" = ▲⑴支+ 3(t)w(t),2伉)=&,(185)

祭=%)什е⑴"⑴，y优) = %,(186)

где непрерывные матрицы А ⑴，В ⑴，С ⑺，D ⑴ имеют размеры пХп.пХ г, rX г, гХг соответственно, матрица С (力)一неособая при t》t0. Системы (185), (186) назовем связанными.

Допустим, что кусочно-непрерывные управления 〃 (/) из (185), (186) в отдельные моменты времени могут быть дельта-функциями. Пусть требуется найти управление, при котором точка х ⑺ траектории (185) попадает в начало координат в минимально возможное время, причем

I 勿⑶ Kt z = 1, •…几'(187)

Из (185), (186) имеем

% (/) = F(0 £Т %) 2。十 В (力)СТ (/) у ⑴一

一 F (0ь仇)5 (幻СТ(幻у仇)十

+ j 歹⑴歹т (т) [4 (т) 5 (т) СТ ⑴ 一 5 (т) С-1 (т) D (т)-

一^ (&⑴S(T))] у ⑴狂(188)

Пусть u (•) — ^-допустимое управление. Обозначая

F (幻 Qi «о) ^о ——書 一F (厶)F (Zo) В (力°) C~i 仇)—U(力о), 区(幻01(幻=П2 (幻，

F (幻耳7 ⑺[4 ⑴ В (т) С-1 (т) 一 5 (т) С-1 (т) D (т) 一 Т(В ⑴ Ст(т))] = Пз (", из (188) получаем

с = 口(幻 У (力о) + П3 (幻 у (幻 + j П3 回 т) у (т) dr, "°(189)

где у (Е) — решение (186) при и = и (t). Положим /[(•) = {П1( ц (^i)T • • •)П1( lr (Zj)j II2, и (^1), • ■ ■, П2,1г (^i)j

口 з, и (%,£),П3,什(方i, £), t g ?1},

^n ( ' ) — {口 3 ni (^1)7 • ■ • ? П^ nr (Zj)； П2, "1 (%) • • •, 1工2,"(*i)；

П3, ni (^17 0? • • ■, П3] ”(£曾力 £ £ T}, / ( * ) ^ {/11? • ■ • ： /1г； /?Ь • • • 7 %； /з1 (0j • • ■)/зг (%), % € Т}, 九1 П勿也)，％ =勿(幻，/32(/) =%(Е),$0</<Е1.

Тогда равенство (189) в координатной форме есть не что иное, как значения q, % = 1, . . ., п, функционала / (•), которые он принимает на элементах 勺(•), % = 1, . . ., п Введение нормы

II/(•)], = max {max|/1;|, max]/2i|, vrai sup； | /3i (^ |} (190)

позволяет записать ограничение (187) следующим образом: 11/(') II ^ 1- Исходная задача сведена, таким образом, к L-проблеме моментов. Для ее решения осталось записать норму элемента /(•) = {胃ii, • . /卜；^2ь ・•・,％2r； %з1(力),.• 化зг (0}- Она легко получается из (167), /190):

П * (•) II = Е I 才川 +1 I 砒⑴ I dt.

Решив ^-проблему моментов, найдем функцию у° (Е), t W Т. Обращаясь к уравнениям (185), (186), нетрудно вычислить 胃。(Е) и оптимальное управление м° (£). В точках гладкости у。(力)управление и° (Е) непрерывно, в точках разрыва у° (Z) управление 〃° (Е) представляет собой 6-функцию.

Задача оптимального управления с учетом фазовых ограничений. Опять рассмотрим связанные системы (185), (186). Пусть х (力°) = /о, у (力о) = 0; управление 以(力)，траектория у (Е) удовлетворяют условиям:

I UJ (?) I < 1; / = 1, . . ., г; t е Т, (191)

I yj (%) У 1，以 V 以+1, * = 1, . - ., N； (192) / = 1, . . г.

Здесь т友——заданные моменты времени. Требуется найти управление u (Z), при котором траектория 力(力)достигает точки 化=0 в минимально возможное время. Если 〃(•) —— Г-допустимое управление, то

—g = j 歹7 ⑴月(t) м (т) dt, . (193)

и наоборот. Обозначим через ①(Е) фундаментальную матрицу решений для (186),辽(・)= 0. Имеем

"xk

y(s)= j ①(％)①т(т)С(т)м") dt= j Ф(Тй, T)C(T)z/(T)dT.

一 (194)

Положим

J=-%0cn=~xnO* cn+l=0c^г+n==0^ %(・)={0,0；…；0,…，0； [HT(f) В(£)]]/, /=1 f£T},

xn(-)~{0, ...» 0；0, ...» 0； [FT(f)B(f)%j, j=l,…，r;疋丁},

={1, 0, ...» 0; 0, ..., 0; ...; 0, ...» 0; a】【①(q)①T(f) C (£)]]户 j=l,…，г； /£Г},

xn+r('^

= {0, ...» 0, 1； 0, ...» 0; ...; 0, ..., 0； %【①(％)①T(f)C ⑴；|「尸沁 1,…，r； IQT}, "n+r+N)=

= {0,...>0；l,0,...,0；0,...,0；...；()，…，0：初①0咁⑴С⑴切,1,…，?'； t^T},

“2r+"(*)=

={0,...,0；0,...,0, l;0,,..,0;...;0,..., О; а2[Ф(т2)ф-1(ОС(О]гу, j=l,…,r；七T},

“(N-l)r+n(・)=

= {0,..., 0; ...； 0, .... 0； 1, 0,..., 0; a»【①(工№)①т(')° ⑴厶户沁 1,…，r；七Т},

^r+n(，^ =

={0,...,0;...；00； 0,1; а^Ф(х^ф-Щ) C(f)]r；>r； t^T},

% =出") = 1,力oW方Wg； ®(%) = 0, qW力Wk, .…；

®^ н ®^ (力)=1 ,

力力*^Tn； a^ (力)==0, т^у -^^t-^^tj

/(*)~{/11j •••»/lr?/21) • * ' j fir j •••^/^l^ 『Nr，

fii = У1 (Tl)» • • • ? fNi = У1 (tN)j 力⑴三 Ui (C^

/ = 1, ...，r; % g T,

!)/(•) II =-max {max|/lf|, ..., max|^(|; vraisupj/^ (t)\}.

В этих обозначениях соотношения (193). (194) с ограничениями (191), (192) можно трактовать как Л-проблему моментов

/(“/•))=%， V = 1, . . ., TVr + тг. (195)

Норма элемента х (•) ^^ {第“,• • • ； ©「； . • •； ％ni,・.”,/n「； 方1 (E), . . g (E),力 C 7} имеет вид

Nrh

心(•川=22g/+j包(力i= 1 j= 1/о

Решив при этих условиях (Nr + тг)-мерную Е-ироблему моментов, получим оптимальное управление м° (t) и значения / (Е) в точках ri, . . .,

Примечания. 1) Исходную задачу мы свели к (7V> + п)-мерной Л-проблеме моментов (195). Размерность Л-проблемы моментов можно сделать равной 汽, если найти норму элемента / (•) = {勺 «),・・.,£「(%)； % С 7}, согласованную с нормой функционала / (•) ~ ={Л G),…，办(0； / € ?}：

II / (•) II = max {vrai sup； | /； (Z) |, max | 仇•(q) [}. (196)

Здесь у (т左)——значение решения у (Е) уравнения (186), 〃(%)=/ (%)，в момент 方=以. То, что выражение (196) действительно задает норму, проверяется непосредственно. Таким путем задача этого пункта решается в [21d].

Можно обобщить сформулированную выше задачу, потребовав, вместо (192), выполнение условия

I次«)丨W 1,力=1,・・•，片％ С Т・

Тогда выражение

II / (•) II = max {vrai sup"厶⑴ |, max" у； «) |}

опять задает норму. Однако в этом случае вычисление нормы II £ (•) И затруднительно. Вид нормы || / (•) || можно найти, пользуясь результатами § 6.10. Соответствующая формула приведена в [21d]. Эта формула содержит операцию максимизации по мере, что по трудности представляет задачу в общем случае того же порядка, что и исходная.

Оптимальные быстродействия в системах с параметрами. Дано уравнение

警=4 (e)月(Е) " + e (力)必，方仇)=&,(197)

где и = и (Е)——управление, стесненное условием (191), значения 必=必(Е) могут изменяться в заданные моменты 窃，以 V*+i, к =、，…，N, причем | ш； (rft) |< 1, у — 1, . . ., q. Требуется с помощью 辽(Е), w (%) перевести траекторию системы (197) в начало координат в минимально возможное время. В этой задаче ^-допустимое управление и (•) удовлетворяет уравнению

门^+l

—%o=j П (т) м (т) dt + £ 冗(友)必(友)，П (т) — F-1 (т) В (т),

冗(")=j ^1-1 (т) С (т) dr, А^ 1, .. ., N1；工0 = %0.

Поэтому определение функции 〃 (Е) сводится к Л-проблеме моментов (по схеме п. 4).

§ 12. Применение теоремы существования опорной плоскости к задачам оптимального управления

Существование опорной плоскости к выпуклой поверхности. Из теоремы об отделимости выпуклых множеств следует утверждение：

Пусть у =屮(/), /СЕ", у £ Ен— выпуклая поверхность, {/, у} — точка на этой поверхности. Тогда существует опорная гиперплоскость, проходящая через {/, у}, т. е. существует такой вектор g, || g || = 1,且 число / ^ О, что

—inf _ [gfx 千方]=g’R + 力.

x^En,力=(р(£)

Оптимизация выпуклых функционалов на траекториях линейных систем. Рассмотрим уравнения

^ = А^у + 鬲(/) Z + & ⑴ “ + 厶(/),(198)

^^A2(t)y + B2(t)z+Cs(t)u + f2(t),(199)

где у — р-вектор, z — q-вектор, у g Ер, zg^g； непрерывные матрицы 4«), 4(%),月 1(力)，&(%), а (%),。2(力)имеют размеры р X p,qx р, Р X q, q X q, р X r,q X г соответственно; " = {"i, . . ., и^ — управление;亢⑴={九(/),...,九〃(力)}, 为(％) = {/21 (力)，.…,/2Q (%)} — известные функции. Заданы числа %。,匕，s% Lj (〃〉%，Sk>sk^,左= 3,4, . . ., ^― 1; 必=力0, s*iC〃； /=1, •.•，^; 乙)0, ]ф 1), непрерывный ПО "(•),力 1, вьшуклый по и(・) функционал ср (гг (•), %), определенный на функциях 〃 (•) g Up (•). В пространстве Eq дана кривая 丫(力),t QT, в Ер зафиксированы точки у()и 办. Потребуем, чтобы

中("，幻其厶，I®(幻一%||总£2, ]「00)

II У (^i)-y1||《上3, II s (sk) - Y (吃)厶. j 1

Пусть операторы F^ (Z, т) при каждом фиксированной! t составляют фундаментальную матрицу F (Z, т) решений однородной системы для (198), (199):

т) К，т)卜

F (厶 t) = Е

и

у (t)= Fh (t,幻 у (£0)+ /2 ("，幻 Z (力0)+

+ j {^11 (^, т) [С, (т) и (т) + А (т)] +

+ 歹 12 (厶 т) [С2 (т) и (т) + /2 (т)]}吃

Z (t) = F21 (力，т) У (%о)十尸22 (力 т) Z (%о) +

+ j {尸 2i«,工)[а(T)"⑴+九(工)]+

+ 斤22 ",工)[7(工)"(工)+ 府(工)DdT.

Положим

办，y (幻一у0 = * у (%)一山=m3, z ⑸)—丫 隔)=必+% 加=s&+3, fc = 0, 1, ..., m — i,

S]M= j 团11 (%, т) G (т) +^12 (^, т) С2 (т)] и1 (т) dr,

8]2 =乙1("1，"0)，S]3 = -*,必4 =方12(?1,力0),

Si,4+i=0，»》1， 无1 = - y1 +招1 (厶，力。) уо +储2 (力，力0)Y (方0)+

.(202).(202)+ j [夕"(%,工)九⑴十 歹12(方1, T)/2 (r)] dr,

.(202)

.(202)

$2+% £办=j yF21 (方友+], т) С\ (т) + io

十 方22 (加+1, T)°2 (T)]解(T)dT,邑+左,2 =及21 %+储幻，

S2+^,3 = °, S?+在，4 =耳22 係+1，力0)，$2十在，4+t =

= —£*3 = 2 — 1), S2+k, 4+г ~ 0 (小抬力―1), 胪+"= — Y依+1) +尸21 (力在+1，%0)%+ь22隔十㈠幻Y (方0)+

5+1

+ j [^21 (^+Ь т) /i (т) + F22 (tk+i1 т) /2 (т)] dr. io

Величины z/, j = l, . .., m, назовем управлениями、 Управления u?0, у — 1, . . ., тп, будем называть оптимальными управлениями, если одно из чисел £力 厶 минимально (при условии, что остальные фиксированы). В силу (200)— (202) решения t? задачи (200) удовлетворяют соотношениям

(203)(203)Е Si/' + 胪=0,, т — 3,

(203)

(203)

解=解(.)£%(.), " 解 IYJ />!..

Здесь и^, j，l, —элементы конечномерных пространств Ept Eq, линейные операторы 5гу, j > 1, действуют из Ер, Eq

В Ер, Eq. Положим т—3

2 山&•財⑴+/¥”(•)，厶)=H(g,/,便(•))，/>0,

А (-^1) • • •)厶п,力 1, g, /)=

m—3mm—3

=£gW—£%|| £g5/|—厶/+ min 修(g,/,办(•)).

г—1j=2г—1ul( • )£Up( •)

Теорема 35. Задача (203) имеет решение тогда и только тогда, когда

max А(ЛП . .Лт, Zn ^, /)<：0.(204)

Доказательство. Пусть величины и\ и^- ^)QUP('^ M〃［|W£j, — решение задачи (203). Тогда тп —3mm—3

£ g；［ 2s"总+公］=0= 2 g岱"办(•)+

+/屮(爲(•)，厶)+ 2 £ giSijU^—/ф (iZ1 ( • ), tx) + j=2 i=l

+ 2 gW» min H(g, /, ^(-))—

』1回(•花Up(.)

m3m—3

—2 £j|l 2 Si^ij If .£ gih1 j=2 i—1i—1

при любых gi Ep, f — 1, . .., m — 3; /> 0. Значит, справедливо соотношение (204).

Пусть выполнено условие (204). Покажем, что существует решение задачи (203). В силу (204) т—3mm —3

£ g|勿—2 £j|| £ giSij W — LJ+ '

+ min H(g, Л ^(-))<0 (205) 山(•花Up(・)

для любых giQEpj Eq, i = 1, ..., m—3; /> 0. Рассмотрим множество

x (Л2, . . ., Lm) = {f： i; = {* …，严г}, рг = 2

爲(*)£Up(・)，||彼11《£力 / = 2,, m}.

Это множество выпукло, компактно. Если следовать далее схеме § 10, то нужно ввести множество

Q(*...，片『 *-2)=

={公=£ 5订储，1, . .?п -3;卢f =屮(分().

Но поскольку это множество не является в общем случае выпуклым, то в данной задаче нельзя использовать теорему об отделимости выпуклых множеств. На х (七2, • • •, Lm) определим поверхность д = 8 (г;1, . . ., vm~3), положив

6 (г;1, ..., vm^3) min 屮”(・)，力)(206)

我 1(•花

при условии (203). Поверхность 3 = 6 (и* . . ., г/“-з)выпукла ио {г;1, .. ., У~з}. Если бы задача (203) не mieaa решения, то пересечение множеств

% = k：С={一饅，…，一胪T*},自W4},

e2={甘：甘二們…，卢T,中"(.)，编},步=2 S/,

было бы пусто. В силу теоремы о существовании опорной плоскости к выпуклой поверхности (206) при некоторых gtgEp, /> 0, £ имели бы

3mm—3

min{ 2 gf』Stju3 + ^^(-), Zj)}>e> — ± g^ + 厶f.

г— 1з—lг—1

Это означает:

min 修(g,/,办(•))一£%『£ 班％口一

(•足〃(•)j=2 i=t

3- gW,

что противоречит неравенству (205). Теорема доказана.

Теорема 35 допускает обобщение на случай нескольких ограничений типа (pf (и (•)，勿)& £订 X = 1, • • •, а, где 屮工(и (•),友) непрерывны и выпуклы по 辽(•)•

〃емм。/5・ Функция A (Zj, . . ., Lm,厶)непрерывна по £力 厶，не возрастает по ，

Доказательство проводится совершенно аналогично доказательству леммы 13.

Положим 厶=Ло. Управление {〃'} назовем £耳-国опу- стимым, если оно удовлетворяет условиям (200) при

二二厶a，Lj v^ оо, у 5^ к.〜

Теорема 36. Если существует хотя бы одно ЛА-допустп- мое управление, то существует и оптимальное управне- ние {辽河} со значением L^ минимизируемой величины £丸, являющимся наименьшим корнем уравнения

max Л (%,...,g, /)=

Hg,/}IWt, /NO

=Л (厶，.…，Lm：厶，go, /0)=。.

Оптимальное управление определяется соотношениями

Н(go, %, ^10min Н&, %, 〃"•))，

⑴(，九.

тп —3m—3

£ gioSijU^ —Lj\\ E g2；SiJ|, j 关 I, i= 1i= 1

где Lk =厶纟.Это утверждение следует из леммы 15 и теоремы 35.

Условия погружаемости выпуклых множеств. Приложения к задачам оптимального управления

Мы говорим, что выпуклое множество % погружаемо в другое выпуклое множество х2, если % и int х2.

Условия разрешимости одной функциональной задачи. Пусть линейный оператор S преобразует r-мерные измеримые функции 乂⑴，力 С Т, в векторы / конечномерного пространства 后入 Заданы Qi, Q2 ——линейные невырожденные преобразования, действующие из Еп в 笈几,элементы с, Q, % G Eg числа А〕, А2,厶 Aj > 0, А?》。*

Задача. Найти условия, при которых

(207)(207)Su (•) + Qw 4- Q^ -卜 с = 0, u (• )£U^ (•), II — Cj II ^ Aj,II W — C2 II > 八2・

(207)

(207)

Теорема 37. Задача (207) имеет решение тогда и только тогда, когда

min {/ [ — с —Qg — QzQ]―川 grS || — & || g@ || +

+ A2k，(?2llK0- (208)

Доказательство. Пусть и (■), " (•) G U匕 и, w — некоторое решение задачи (207). Тогда существует gC£〃, для которого

△2 II g'Qz II < II ^ — & II II /<?2 li = g@ (С2 — 3)=

=g‘ 1Sm ( *) + QiV + Q2c2 + с] К

W £ U g'S II + △【II g'Ql II + g' lc 十 QlCi + Q2c2】・

Значит, выполняется неравенство (208). Пусть имеет место (208). Тогда существует по крайней мере один элемент g Еп такой, что

—g‘ [с + 0iQ + Q2c2】一£ " g'S II —

-Ai II g爲 II 十 д2 II g@ II < 0.(209)

Допустим, что задача (207) не имеет решения. Рассмотрим множества

b。2)= {①：%=-02呼 Н 投-" II W 品}，

В (厶 AJ = {/:% = Sm (•) + QiV +

+ с, и (-) ^Up II и —，II 茗 A—.

Эти множества выпуклы, компактны. Так как задача (207) не имеет решения, то 0 (厶 А0 погружаемо в 卩(Д2). Поэтому для каждого f W Е^ н числа Д2 найдется такой элемент У С 后几，что И у II = △?， fy =厶2 U / II， и для каждого у, II у II W Д2, будет выполнено неравенство /'у《 Д2 || /||.

Пусть / = Gg， У = & 一 以 Тогда g‘Q^(Q —必)= =11/^2 II А2 при II 投 一 C2 11nA2 H g'% = II g'Q II A2 — —gQ2c2 при 花=—02必，II ш — C2 II = Д2. Если 花 £ £ В (厶 А) то grx = gf [Su (•) + Qw + cl V II g'02 II 八2 — —g'Q2c2 И

max g"S〃(・)+ Qe+c]=

虱(，)，D

二 g' (c + Q&) + LII g'S 11 +Ai II g'Q J v II g'Qz II A2- g'Q3

§ 131 условия погружаемости вЬгПуклЬтх МНОЖЕСТВ 303

Последнее неравенство справедливо для всех g С Еп, что противоречит (209). Теорема доказана.

Пусть II g'5 II ^> 0 для всех g, || g || * 0・ Условие (208) равносильно неравенству L ^ %, где

入 L min { — g，[c -г Qg + Q2c2】一А[ j| g'Qi || + 蟲"g'Qz »}•

(210)

Теорема 38. Для того чтобы элемент g go был решением задачи (210), необходимо и достаточно, чтобы для произвольного решения и (•), || и (•) || =九【,и, w задачи (207) выполнялись равенства

g削(•)= ||g» II II 〃(•)II =儿，(211)

g；8。- Q) = Al II gg II,(212)

g值{w - c2) = - A2 II 奴2 II-(213)

Доказательство. Необходимость. Пусть go — решение задачи (210); u (•), || u (•) || = 九匕 v, w — решение (207). Имеем

儿=—g；[c + Qici + Q2c2】一^1 II g；Qi " +

+ 厶2 II g；® II = g； [*^^ (•) + Qi S — C, + 02 (必—&)] ~

—Al II g；Ql II + ^2 II g；& II 茗w и g；s и и u(•)и +—+

+ g值(必-Q) — Al II gg II + A2 II g机 II. (214) Отсюда

g；【Qi (u — 2)+ Q2 (必一G)1》Ai II SoQi H —

-A2 11g 值 ||・(215)

Ясно, что g^Qi (p —(?i) <； Ai И g^i II. Если бы выполнялось неравенство g；& 纱 一 &) < —禺 II 8依2 卜 то из (215) сразу имели бы, что g；® (и —白)〉△】|| g；Qi ||・ Поэтому положим g；02 (必 一 &)=—厶2 II g；Qz U + £， £〉0. Нетрудно убедиться, что существует решение и (•), и, w такое, что || и (•) || V九仆 Это невозможно. Значит, выполняется условие (213). Из (215) получаем равенство (212). Используя (214), имеем (211).

Достаточность. Пусть и (•), || и (•) || — 九储 р, w — решение задачи (207) и для некоторого g W Е^ выполнены

условия (211) — (213). Тогда

—g' [с 十 Qg + Q2c^ — Ai II g'Q”| 十 A2 II g'Q? || =

—g' [S〃 (•)十 & (u — q) + Q? (〃，— c2)] — Ai II g'Ql || + + A2 И g'Q, И「儿 И g，S ||.

Значит, g ——решение задачи (210). Теорема доказана.

Задача максимизации нормы конечного состоя

ния. Пусть в фазовом пространстве уравнения 嘗=4 G"十 В ⑴〃(216)

заданы точки Q, &• Для данных чисел t», А, А1;厶〉Zo, △1^0,厶〉0 требуется найти управление 〃° (方)，方 С ?', II и° (•) || W 厶 которое обеспечивает условия

IE(力)一c/厂 max 1|/出) 一 %", Wo) 一q]|CA「(217) I他(，川wl

Эта задача в принятых ранее обозначениях (см. (127)) эквивалентна требованиям

Sm (•) + Q口 (%о) + Qzx (厶)+ с =。，

II х (幻一& II = max, II N 仇)一仃 II C Ai.

Рассмотрим вспомогательную задачу:

S〃 (*)十 QtV +。2必 + с = °, "и — с】U W △储(218) II W — C2 II ' ^ A2,

где 02 ~ —后，u (•) C U^ (•),厶2 — неотрицательное число. В силу теоремы 37 задача (218) имеет решение тогда и только тогда, когда

Aj (Аз, ^i) — min А】 (△?, %, g)=

(219)(219)=a[ (&,勿，g (a2，%))W。,

(219)

(219)

Ai (厶2,厶，g) = — g' [c + QiQ + Q2c2】一

-L\\gfS\\^Ai\\grQi\\ + ^\\gfQ2\\-

Лемма N6・ Функция Aj (A2, %) непрерывна no △?，厶， строго возрастает по Д2-

Доказательство. Непрерывность функции Ai (А?.厶)очевидна. Покажем, что А/А?，厶)строго воз-

растает по А2. Пусть A2VA^・ Имеем

А/&, 〃，g(A^, %))> А】。?，％, g(A；,厶))》

Ai (Д2,厶，g。2, %))• Лемма доказана.

Теорема 39. Оптимальное управление в задаче (217) существует и доставляет функционалу 屮2KH х(%)——с2 ]| значение

А； = max {L\\ g'S || + A/| (尸伉))，F'(厶)g || +

-I- g' [с + 尸(％)尸(幻勺一C2]}匸=厶[図"十，||*(幻…д川十

十 g:[c +户(厶)广1(%)，1一31・(220)

Если А；>0, то для оптимального управления w° (•) и концов оптимальной траектории х° (■) выполняются соотношения

■*叫•尸 max g»〃(•)= 〃〔蹤 ％(221)

乜(♦ )£Up( ■)

(222)(222)gZ (幻 L (灰)[渡(M -31 = Alli g* (幻反"(% 川，g；[叫切一61= AR] go |卜

(222)

(222)

~ Доказательство. Соотношение (220) получается из (219), если учесть, что А】 (Д2, 幻 монотонна по Д2. Равенства (221), (222) следуют из теоредты 38.

Задача оптимального быстродействия. Рассмотрим множества

Г1 = {х: И ^ — ^i Н < △/， Г2 口 {/： II 尤—с2 II > Д2}， где Q, & — фиксированные точки, 厶储 Д2 — заданные неотрицательные числа такие, что множество Г1 П Г3 пусто. Требуется определить управление 〃。⑺ С U^ () при котором траектория уравнения (216) с начальным условием № «о) С Г1 достигает Г2 в минимально возможное время.

В силу изложенного выше Z-допустимое управление в данной задаче существует лишь в случае, если выполнено неравенство (219). Положим

Ai (厶，g (厶))=min Ai (A?,九，g)・

Теорема 40. Если существует хотя бы одно Т-доиу- стимое управление, то существует и оптимальное управление со временем быстродействия т° — ^ — %, где 方;—— наименьший корень уравнения

Ai (力，g (幻)~ 0.

Оптимальное управление и0 (•) и концы оптимальной траектории х° (•) удовлетворяют условиям

g'^)Su^.) = L\\g'(tl)S\\,

g，(幻尸(幻不仇)[z。(幻一3]=A]II g'(幻ь闿方(幻II， g‘g)[公(心)一報]=a2・.

Утверждение доказывается аналогично теореме 27. \

Обобщенная лемма Неймана ——Пирсона в теории оптимальных процессов

Как указывалось в §§ 9, 10, вариационные задачи оптимального управления можно считать сведенными к конечномерным задачам, если вычисление

卩(g)= inf f gfS {t^x,u{r))dx.

to

достаточно просто осуществляется для заданного семейства U (•) допустимых управлений. До сих пор эту задачу удавалось решить или непосредственным счетом (§ 9), или с помощью множителей Лагранжа (§ 10), или с помощью теоремы Куна — Танкера (§ 10). В этом параграфе мы изложим еще один способ вычисления (223) для случая, когда семейство U (•) имеет специальный вид.

Пусть требуется найти

卩(g) = inf f g‘ S (厶，т) u (t) dr 二

u(・)EUL) У

= inf ，。‘(Ё)以⑴或，(223)u( ♦)£□(♦) J-

u (■)=««)： 3«)|У,力 €?,

j 2也⑴〃«)—叼⑴FdY研 (224)

Здесь % (力 fj (£), j = 1,.・.，г；方 £ Т,— заданные кусочно-непрерывные функции, р, А, р 1, А： > 0,— заданные числа. Подобная задача рассматривается в [12], где интегральное ограничение имеет вид J ，⑴ и ⑴ dt К 厶. Решение последней задачи дает лемма Неймана — Пирсона. Ниже используются аналогичные рассуждения.

Вначале будем считать р > 1. Задача, очевидно, имеет решение, если первое неравенство (224) выполняется при

MgSat缥，г- t^T, (225)

где

I —1,1.

В противпод! случае неравенства из (224) не могут быть удовлетворены одновременно, ибо при и (力，определенном по (225), интеграл в (224) имеет минимальное значение. Введем функции 屮》(т, Z)：

функционал (223), определяются по формуле

『产⑴二 〃 (т.九°).(228)

Приведем схему доказательства. Справедливость леммы при 九? = 0 очевидна. При убывании 九 от 一卜 ос до 0 величина j $ I 仇(土)山(九 入)一£/(%) |"d力 монотонно возрастает

от своею минимального значения j 工 j 少⑺ Sa「学；：；—— —фг (Z) ^ dt. Поэтому

j 2 I九⑺〃MM儿)一例⑺f近=方при Х0>0.

Для любого управления 〃 (•) £ U (•) имеем

九о [ J 2 I ^i (t) и* (t)—(p； (t) |p dt —

S 2=1

(229)(229)一 j 工也(*) 〃t«)—例(%) F 山J》o,

(229)

(229)

A= j 2 ai(0 ^ui «)—浦⑼ dt >

fl rfl r% i— 1% i— 1

fl r

fl r

% i— 1

% i— 1

+入0 [(力⑴〃Z (方) 一伙⑺r - Iь⑺说(方)一Tг⑴Fl} dt.

Если функции 〃^⑴，方 С Т, % 二二 1, . . •，人 определены по (228), (227), (226), то выражение в фигурных скобках в (229) неотрицательно при любых 〃 (•) С U (■). Поэтому А ^ 0, причем знак равенства имеет место только при 〃卜)= 〃* (•)• Этим завершается доказательство.

Предельным переходов! из леммы получается решение для р = 1. При этом “* (/) = и 亿 Zo),

/分 亿 л)=

'—signal (I),g(Z)|>| 入仇⑴ j;

f|&2⑴|V卩缶⑴I，ИЛИ

Sat^,(小= 3，V)!，| 黑 A，

|signai«)= -sign|^ ;

произвольная

= функция Zj (力)，

』一signa«) S⑴1=1入仇⑴I，J詁患|v£； произвольная...

функция yt (Z), .[^(^[^^bi^t^,>1,

团(/)YLsign 生・(力)=sign ^.

Число 入о определяется как точная нижняя грань неотрицательных А, для которых во множестве соответствующих ф^шкцпй 〃/ (厶 九)имеются функции, удовлетворяющие условию

Укажем одну из возможных интерпретаций задачи с ограничениями (224). Пусть bt (Z) = 1,力 = 1, . . ., г. Предположим, что функции 屮？⑴，i — 1, . . ,, г; t G 7\ означают управления, вычисленные для системы из некоторых соображений (например, из оптимальности системы в каком-либо смысле). Тогда задачу с ограничениями (224) можно рассматривать как нахождение такого управления 〃° (%), | 〃¥ (Z) I W 1, которое, мало отличаясь в среднем от программного управления 屮 «), минимизирует длину вектора конечного состояния.

Статистические задачи оптимального управления （подход функционального анализа）

В последние годы в теории оптимальных процессов видное место занимают проблемы управления в стохастических системах. Наиболее общие результаты в этом направлении получены Л. С. Понтрягиным, Е. Ф. Мищенко [97а], Р. Беллманом [11с], А. А. Фельдбаумом [124с1, Н. Н. Красовскилг [74h]T Р. Л. Стратоновичем [120]. Ниже для построения оптимальных управлений в системах, подверженных действию случайных факторов, используются методы функционального анализа. Статистические задачи сводятся к эквивалентным детерминированным; исследуются свойства оптимальных решений.

Задача минимизации математического ожидания функций конечного состояния （дискретный тип распределения вероятностей）.

1） Постановка задачи. Пусть ?г-мерный случайный процесс х ⑺ в момент времени 力二％ задается соотношением

（幻=s （厶，20, / （幻）+ f S （厶，0 "（方）dt, X （幻=g,

где элементы вектора s（2Ь &，2з）? матрицы S （&, %） непрерывны по всем аргументам, / «） — функция, описывающая внешние случайные помехи, 〃 （方）= =｛乂1 （%）,••・，〃厂 «）｝——управляющее воздействие, стесненное условием

/1 г

Последнее ограничение запишем в виде 〃.（•）€%（•）. Положим

s （方 1, g, / （幻）н Q j S （*i，*）〃（力）"* = S〃 （*） j

2 （幻===x.

Тогда имеем

х ~ Su (•) + с-(230)

Здесь х — элемент тг-мерного пространства Еп. Это уравнение и будем изучать в дальнейшем. Предположим, что матрица S (%, t) такова, что функции [S (友，方)】炉，方= —1, . . ., п, линейно независимы хотя бы при одном j — =1, . . ., г. Тогда, как нетрудно убедиться, || g'S || > 0 Для всех g, \\ g \\¥= 0.

Обозначим через Mf математическое ожидание случайной величины /. Пусть дана положительная функция Ф (/). Требуется найти управление и0 ⑴，力 С 7, при котором

М (х (с, и°(-), %)) = min М 屮(/ (с, и(-),厶))=S.

u(-)e^p(-)

(231)

Назовем е средним значением (средним) случайного вектора с, число d ^ мерой рассеялш凳(рассеянием}, если

d = М屮(с — е) = min М^ (с — ^).

Допустим, ЧТО

屮⑺= ||2||『(£|© 卩产，方> 1.(232)

Сначала рассмотрим случай, когда с принимает конечное число значений j, j = 1, т, || Cj || •< oo. Пусть вероятность события с~с； равна р； (〃>0, £卩/=1)・

Оптимальные управления. Обозначим через Епт прямую сулму из тп пространств Еп, каждое из которых /z-мерно. Пусть

|| 2II — 2 Р> II IN么 G Er1ml xj En.

Если ^―значение /, обусловленное реализацией Cj вектора с, то из (230) имеем

z = Р〃( •)+刀：二 Р = {S,…，S}, г] = {%,・••《%}•

氐出m

Значит, задача (231), (232) сведена к определению величины 6= min |：纟]卜 Ясно, что

〃(• )£Up( ■)

/'/)= .£/», / G ЕПту 力£后八，|| / j] = max； {j| /； ||/р；}.

Uo3ToMу

б = max {/^ — L\\f'P\\} = шах { g pjfjCj — L\\ PjfjS ||}=

"川=1maxjl/J!^! 3=1i=l

= ^Pjfi^-L^Pjri0Sl (233)

EpMqSuX・)= min J Pjf^Su^. (234)

Экстрелтальные элементы /；0 задачи (233) можно однозначно отнести к одному из двух случаев:

«)力о = £, 1101 = 1, 7=- 1, • •—

т

В) II 2л-Ъо11<1- 11Ло|| = 1-

Лемма /7. Для того чтобы 力o = g, / = 1, ..., m, необходимо и достаточно, чтобы一

max {g'Cj - L || g'S ||} = g'cj — L || ^5 ||, ; = 1,

(235)

Доказательство. Необходимость. Пусть /；0 — g,

у ~ 1, . . ., m. Тогда 6=2 PjS'cj — L\\grS ||. Если

max {g& — dg'S||} = g£%-£||g^Sn，'gh*e，

TO

g 疝-乜 II g 務 II >/&—“？£ II,

и поэтому■

t Pjg'cj -г PhghCk—L^ £ pjg'S +?Ag^||>

当 S Pi \g'ci—LII g's I!] + Phgk<：k — Ph II ghS II >

что невозможно. Значит, выполняется условие (235).

Достаточность. Если экстремальные элементы в задаче (235) при всех у равны между собой, то в силу теоремы 26 система (230) может быть приведена в ближайшее к точке % = 0 состояние ^0 для каждого Cj с помощью одного и того же управления. Но

min ,S Р；И ^и (-)4'CJ II> .S Pi min II2川.

“「)£%•/j3=1 a(•冗и 枭)

Следовательно, не существует элелшнта /用,при котором

Значит, /；0 — g,, т, и лемма доказана.

Лемма /8・ Пусть выполнено условие §)• Существует вектор 入,К 7v j| Ф 0, X g Е71, такой, что

max { £； Pji'fij — L^ W Pj/S 仙= llfjll^i a3=1

(236)(236)=S/MG-MI + gS — ^g'"，

(236)

(236)

仁1

Доказательство. В (?г+ 1)-мерном пространстве {也 Vn+i} рассмотрим множество G — {-^: и 三 g Pjfj^ yn+i = ==£ 卩俏-z|| £ 凸承山，П川Y"・ Множество G

компактно. Задача, сформулированная в условиях леммы, состоит в нахождении точки из G, у которой и = g, и注+1 = max. Рассмотрим вогнутую функцию

z(/i，. •— 3 Pjf；Cj — L II』pjf]S ||,

определенную на выпуклом множестве о = {{%, . . ., /т}: II fj II -^ 1}* Так как g ― внутренняя точка о, то существует такой вектор {Z, ln+i}, ^+. >■ 0, что

—-2 g + 2建 + " (/]0,…，//я。)=

=max { —2’ .£+ ^+i[^Р^-Ь\\^8\\]},

z (/10，• • • , /mo) = g‘l/，n+i — L II gfS |] +

+ max 2〃"+1)='

^g^-LW^sw+^pjWcj-^w.

Здесь

九=〃％1, g = 3 Mo, 3 Pjfio (c；—^)= 3 Pj I! c — •

Утверждение доказано.

Лемма /9・ Вектор 九 удовлетворяет соотношениям (236) тогда и только тогда, когда

min{g，z+ 3 P/G —c||}=g'大+ 2 卩/|0-九小(237) H;=1沁1

Доказательство. Так как

Sg 力 li

ДЛЯ любого N££*n, ТО

тm

2 Pj%oCj《g'%+ 3 Pj IIQ 一 片 ll・-

5=1—

С другой стороны, в силу (23G) имеет место равенство£ 卩財oG = g'A + S PjWcj-x^.

Значит, справедливо условие (237). Допустим, что равенство (237) выполнено. Тогда

min ig^— max 2〃力 9 一况)

=—=2 pj II cj — 1Ь

т. e. выполняется второе соотношение из (236). Очевидно, справедливы равенства

тm

g'大 + S Pjfjo (Q•—九)=min {g'2 + 3 Pj/j0(0 — » =

=min {c」g — 3 Pjfjo\ + S PjfjoCj}-

Поэтому необходшю, чтобы g = g 力力u・ Лемма доказана. Теорема 41・ Оптимальное управление в задаче (230)— (232) существует.

Если выполнены условия (235), то

8= max {gfMc- L || grS ||} = grMc^ L || ?5 ||. (238)

При 5〉0 оптимальное управление 〃° (•) определяется соотношением

/S〃o(・)= min £'Su(・)=一〃| 或S||・(239)

Если условия (235) не выполнены, то

8=maxmin I р川 G —z|| + g，2 —£||g，S|| }= g 課 j=l

=£川心一2叫十启。一川儲S1h(240)

При 6 > 0 оптимальное управление определяется соотношениел! (239), где g = g0.

Доказательство. Форм\тлы (238), (239) следуют из (233), (234), если учесть, что выполнены условия (235). Вторая часть утверждения также получается из соотношений (233)，(234), так как в случае §) справедливы леммы 18, 19.

Таким образом, если выполнены условия а), оптимальное управление в статистической задаче (230) —— (232) совпадает с ретенпем задачи минимизации нормы конечного состояния системы

х Su Мс.

В случае §) функция 口。(•) такова же, как в задаче минимизации нормы конечного состояния для системы

х —(•) + 不*

Здесь 炉 一 элемент седловой точки игры (240).

Некоторые свойства решений. 1) Из опре- деления седловой точки игры (240) имеем

S Pi li Q - ж0 g'x° - Л |j g'S I; <'

.<3 pjilcj-^0II + ^o^°-LJ

W 2 Pj I! Cj —胃 il 丁 G — L |( g；S (I (241)

для всех 况,g£E". Пусть 化= м°. Тогда первое неравенство в (241) приводит к соотношению

gX-Z||.g^||= max {g'X°-L\\^S\\}.(242)

II g "三 II go II

Положив g = g©, из второго неравенства (241) имеем

2^14-2°" + g；2° = min { 2 “• II Cj-x\\+ g岡• (243)

Наоборот, если векторы 力°, g0 удовлетворяют соотношениям (242), (243), то они являются элементами седловой точки игры (240).

Точка {go,胃°} з^довлетворяет условию

^0 一 £ II g" II - в (go,不)-0.(244)

В сапом деле, из первого неравенства (241) видно, что неравенство § (go,片°) V° невозможно. Положив g = go川 go !h убеждаемся, что р (g°, £°) не может быть и положительной величиной.

Элемент g° седловой точки {^0, х°} ^-довлетворяет условию

min g：% = так(245)

窜£Gix£G2

”7”7(246)(246)где

”7

”7

(246)

(246)

仇二{/：寫=一一 s〃( •), ^(-)C^p(-)}- Действительно, из (240) пмесм

= min [*加心一力:[+ max [gfx — L\\gf S \\]\.

Учитывая (244), получаем

'8= min £ 打 ||s —久 II(247)

при условии

Д ⑺=max {grx — L\\ gfS j|} <0.(248)

11 g II 三 II go !1

Но множество 0 = {力：厶(况)<10} совпадает c G2, что и доказывает утверждение.

Пусть е среднее, d— -рассеяние случайного вектора 以 Существует число q, 0《q~<l, такое, что

8 = d A q { max [g'e —£ |【g'S “ ]}.(249)

w Ugoll

В самом деле,

б>min 2 Pj\\cj—x\\^ 勺 Pj<\cj~el = d. (250)

В силу (241), (243) имеем

У, PjWcj — eW— max [gfe —L\\gfS \\].

что вместе с (250) означает справедливость (249). '

Если Д (е) V。，то S =或 力。=/ go = 0.

Это утверждение — следствие условия (247). Оптимальное управление в случае 5) может быть определено одним из следующих способов： 1) уменьшением L до L 工 £f, пока не выполнится равенство Д (е) = 0; 2) определением (при фиксированном £) момента 力！, когда А (е) = 0. Минимальное значение 6 достигается с помощью управления, доставляющего решение одной из следующих детерминированных задач:

况=5u(♦)一卜% min \[x\\ — 0,

况= Su(.) + % 比心=0, min {方：力卜=0}.

Ниже предполагается, что А ® > 0.

Седловая точка {g°,比°} такова, что выполняются неравенства

g粒° > 0,& > 0.(251)

Первое неравенство следует из (244). Докажем справедливость второго неравенства. Допустим, что g；e V 0. Тогда

g'^ + 3 Л II Cj — x^> g；e -I- S Pj II & 一 e H， j=£j=l

что противоречит (243). Утверждение доказано.

Если 汽=1, то оптимальное управление полностью определяется средним е. Действительно, утверждение очевидно, если выполнены условия (235). В противном случае утверждение следует из неравенств (251).

Пусть 汽 > 1. Если тт

min{ £ Pj^Cj~x\\+g'x} = £ p.|G — e"g“

X j=lj=l、

при условии {g：gb>0, Hg|i = 2} и maxZ^：||g0||, то 一

8= 〃 + ；| go II max {g'e—L || g'S || }.

В этом случае оптимальное управление полностью определяется средним е.

Задача минимизации. Функционал Му{х)-^

= (.£ Р“心囂j)田С% Р>1・ Пусть р = 2.

Теорема 42. Оптимальное управление w° (•) существует и доставляет функционалу Му (х) такое значение 8, что 禎匸0 +田⑺広)，(252)

где

Ai (Ж) - maxL\\gfS\\}^ gfMc^ L || gfS ||. (253)

Оптимальное управление w° (•) определяется соотношением (239) при g = g, т. е. полностью характеризуется величиной Мс.

Доказательство.' Найдем среднее и рассеяние. Имеем

^{^Pj{Cj — ^' {с j- ж))1/2 -'

=[£円传厂а汕伍)一m戸吟 (254)

Значит, е = Мс. Из (254) имеем

(Р ^McQ—[Mc]rМс,

т. е. рассеяние равно дисперсии случайного вектора с. Если выполнены условия (235), то в силу формулы (233) можно сделать вывод： экстремальный элемент g задачи (233) определяется величиной Мс. т. е. g = g. Нетруд но убедиться, что г — d. *

Пусть gh 不 g* Докажем, что справедливо соотношение (252). Положим

min {』円[3〃(.)+冴[5u(.)+内]}"2 = £. 以.)ё咪(.)』

В силу (247), (248) имеем

е2 = max min』力(勺一力)'(с『一о)

при условии g‘片——厶 |j g'S И — 0. Найдем минимум по а с помощью правила множителей Лагранжа. Пусть

〃（％）= S Pj（s —?）'（д—才）丁入（g'z —£ 卩 g'S||）.

Тогда

grad 77 ⑺=2 E 夕（% 一 g卜丁入丸 Mc — —g.

Следовательно,_

£2= max I 2 Pj 心一 Mc — （g,AIc — L\\ g'S j|） x

I闾E

乂（g'g）TgI'[ 一（『"行一匕 И 炉 S Q （g'g 尸 g 十 ej-Mc]^= ■

=d2 + [ max {gfMc~L ；| g'S |l}]2.

Теорема доказана.

Пусть p = 4. Из （245） получаем

min gfx — max g'/.

ma（.Y）三0

У Pj[（Cj~X），（Cj-.^]2^64

Положим

Wg'xAf S 円—圖2.

Тогда

grad 月（况）=g — 4入』Pj [C/J _ 2"cj + xrx] （c； —x）.（255）

Разложим векторы j・ по элементам 乙 некоторого базиса 乙,...,Zn в En. Из （255） имеем

grad h （比）=

—g-U-4X^ { 2 Masak （Klk） — 2』Ма^х^- x x}—

—4九{3 Ma^ail'Ai^i — 2 』Mata^xl^A- 2 Ma^'x],

cj 、^jdi' .

Видно, что х из условия равенства нулю grad Д (力) найдется как функция 九,g, Mas, Masakl Ма^^^ Значит, величина go в общем случае будет зависеть от Ма§, Masah, Masaka^ s, Л, i = 1, . . ., п. Таким образом, оптимальное управление при р = 4 полностью характеризуется величинами Mas, Masahl 7Иа$а冗仪上；s, Л, i ~ 1, . . ., n.

Если не 'производить разложения Cj по элементалг базиса, то получаем, что оптимальное управление характеризуется величинами Мс, Мс’с, Мсс'с, Мсс^ где Cjk —— 加-й компонент /-й реализации.

Примечание. При произвольном задании нормы в Еп нельзя, вообще говоря, найти характеристики случайного вектора, число которых было бы меньше числа реализаций: можно построить примеры, когда оптимальное управление зависит от вероятности каждой реализации.

Системы с о случайными параметрами. Пусть дано уравнение

^ = A(t)x + a(t)b(t)u(t) + r(t), (256) где х С Еп] Ь «), г (i) — известные непрерывные вектор- функции; А (力)一заданная непрерывная матрица. Предполагается, что скалярная функция а (力)описывает случайный процесс следующего типа： смена значений а «) возможна в моменты т^ (加=1, . . ., s), q =右,причем на каждом отрезке [以一i, R) функция а ⑴ принимает одно из заданных значений а», X = 1, . . ., т.

Обозначим через р (%,...,厶)вероятность события, состоящего в реализации для первого отрезка значения aix, для второго щ2 и т. д. Требуется определить управление ь° (・)£ U^ (•), минимизирующее функционал (231), (232).

Фундаментальная матрица решений F (力)однородной системы, соответствующей (256), определяет операторы S”

Sh^h (•) = j F (^i) F~y (^) b (т) и (т) dx,后=1,s.

Положим

尸(九)耳7 (力)人 +，ь(%)方t(0 Г(T)d工=以 (257)

Пусть

min 丨 』 р (ц, ■ . ^)||с — У； at vk II }二

= > P (方储.…，％s) I! c - N 0 介 II，

鹏=仍丸：max [ 2 gkVk — L\\ gkSk || ] <°}-

Теорема 43. Оптимальное управление в задаче (230)— —(232) существует.

Если ek 乏 int 刀冗,то

б = max min { 』р(ц, . . ., ^Цс— 2 ак2й II+

Sh {ZQ；狐=峭

+ S ISkZk — L И g£S/i II ])=

-.3 卩(必• • /|с— » %z% |j+ » [g^—L II g'h0Sk ||J.

При i〉0 оптимальное управление 〃&(•) удовлетворяет соотношениям

，3 ^0^4(•)= min 2 g焉Sa"a(・)・

I"(•毋(一)i

Утверждение доказывается аналогично теореме 41.

Примечания. 1) Результаты, относящиеся к системам (256), где 况о — слз^чайная величина,尸(力)，а (力) 一 случайные функции, опускаем из-за громоздкости соответствующих формул. Методика исследования таких систем строится по схеме, описанной в подпунктах (1)——(4).

Задача определения векторов g瓦 упрощается для

Мф(ж) = ( 2 〃(2团))"2 • Если в этом случае s = 2, то

62 m [⑴7a (力0)三-卜a (力)r! —3产crc—

— max [orV (Egi + ng?) —〃|g；S/| —ZES/U 力尸丫，

где

со и ?Иа? %) Ма (幻-Мa %)а (幻，

т е Л7а а0) 4/a2 (厶)Ma (〃)，7a (^0) a (厶)，

х\ = Ma (勿)Ma2 (/0) — Ma (Zo) Mu (力°) а (乙)，

¥ = [а (幻 gi — а «о) g2]z [а (厶)g【一а 网)g2] й"1.

Вычисление элементов gh0 можно более упростить, если на случайный процесс а (£) наложить ограничения.

Допустим, что значения, которые принимает случайная ф>тнкция а «) в разных интервалах, независимы и, кроме того, Ма (^) = 0,方 € [僚т, 丁京衣》2・ Тогда, например, для случая s = г имеем

б2 — _D2a ①)М^а2 (力о) с с + max {Ма (力)〃^壮(％) g；c —

-A II g；S J — LDa (厶)[1 一 g,lglM^ (外产2 [j S2 卄, F2|!= max ||g'S2 H = || 叁S2II

(Dx — Mx( xMlxMxV■

Статистическ^^ю задачу из п. 1 можно интерпретировать как следующую детерминированную. Пусть в Еп задано множество о, состоящее из m точек сь . . ., ст, Требуется перевести траекторию уравнения (216) за время т =厶 ——^о из точки х (力°)=优0 в такую точку х = а, что

min

£加|心一我：|= min 2p1|巧一况(胃。, "()力)!1.

определенный на элементах 囂(•), назовем кеазиеогнутым, если множество

{Z： / (С (•) — z) е}

выпукло при каждом е. Пусть / (况(•)) —— квазивогнутый полунепрерывный сверху функционал.

Задача. Найти функцию 〃° (•) €。^ (•) такую, что

/ (Е (•)) = шах / (% (■)),宏° (•) - S淤(•)十 с (.). (259)

Положим у = с (・)一况(•). Тогда из (258), (259) имеем

/(/(•))= max /(с(・)一у)=

y=-Su( ), "(•)吟(•)

= /(，(•)一/) = е。. (260)

Обозначим через е, d вектор и число, удовлетворяющие условию

m ах / (с (•) — у) = / (с (•) — е)=國

и предположим, что

А(е)= max {gZ— 〃|g'SU}》0)・(261)

Так как множество

G(y) = {у： 〃с (•) — //)》吗

выпукло и замкнуто, то у° есть элемент границы множества (см. (246)). Из (248) следует, что точки границы удовлетворяют условию

А/у)= max {g'y —厶 口 g'S || } = — min {厶 || g'S || — g'y}.

||g||wi11^11^1

Поэтому из (260) имеем

〃2。(・))=max/("•) —y)・(262)

Д1(у)=о

Теорема 44. Максимум (262) достигается на элементе седловой точки у = у° игры

max min {/ (с (•) — у) — gry + £ ;| g'S |)}二

у g

=min max {f (с—gfy + L\\ gf S \\} = e°. (263)

g у

Существует число 6>0 такое, что

£° = d —左& (е).(264)

Доказательство. Если {g0, у°}——седловая точка игры (263), то

/ (С (•) — у) - g'(,y + L\\g'l>S\\^f(c(-)- Л — g；y° +

+ L II g；S ||</(с(')-Л-g'/ + 乙 II g'S h (265)

для любых g, у. Из (265) следует неравенство

-g'^ + LWg'SW^-g'y^ + LWg'SW， справедливое для любых g. Но последнее возможно только при УСН0ВШ1

min{ —8?。+ 乙 II g，S И } = 0.(266)

Поэтому из левого неравенства (265) имеем

/ (с (D — у°)》/ (с (•) — //) —g® + £ II g；s II >

>/(，(■) —У〉+ min {厶 ||g'S||-g'g}, g

что равносильно соотношению (262). Докажем, что выполняется ус貝овке (264). Из (265), (266) и определения величин е, d имеем

/ (с (•) 一 У°) — g；Z/° + £ II g；S II》/ (с (•) — £)— g；e + £ II g；S II》

》〃一 max {g'e — L^g'S^}.

Но ясно, что /伍(・)一y°) Vd. На этом доказательство теоремы з：1вершается.

П р ：1 м е ч а н и е. Справедливы неравенства

g'oy° > °，g；e>0.

Первое свойство седловой точки {g0, у°} следует из (266), ибо И g；S “，0 ио условию. Второе доказывается от противного, как второе неравенство (251).

) Задача минимизации м а т е м а т и - че с к о г о о ;к идани я функции конечного состояния. Непрерывный тип распределения вероятностей. Пусть Ф~ (s), s€ Er,——функция распределения случайного вектора 2 из (230). Требуется найти управление 〃° (•), порождающее

решение (230), при котором минимальна величина

М\\х\\ = j ||§|МФг(5)-(267)

Найдем среднее и рассеяние:

min М \\ с — х \\ ^ М \\ с — е \\(1.

Пусть среднее е таково, что выполнено условие (264). Так как функция (267) выпукла, то в силу результатов п. (1) имеем

minM |j 况(%,〃(•)，/{) (I ：

=§ = max min {М z || -厂g'z — L j| g'S j }・(268)

Оптимальное управление u° (•) определяется из >7сло- вия (239), где g ——элемент седловой точки {g, х} игры (268). Из (268) получается следующая оценка для 6：

d 其 6 范 d -卜 Д{ (е).

Примечание. Имеют место неравенства

gZ > 0,鼠拼 > 0.

Формула (268) приниАгает более кодшактный вид. если минимизируется величина

[s，sdg(s).(269)

Можно показать, что в с.757чае (269) справедлива теорема 42.

Задача максимизации вероятности попадания в заданную окрестность. Пусть в уравнении (256) ф^-нкция у (力)описывает случайный процесс,胃(^0) — х0 является случайным вектороль а (/)三 1 (см. (230), (257)). Зададим точку 尤i С Еп и ее окрестность || х ——^ || ^ е. При каждом управлении 〃(•)£。匕(“)уравнение (256) определяет случайный процесс к(£), £》力о Сечение случайного процесса 况«) в фиксированный момент задает случайную

величину 况，для которой будем считать известной

вероятность ]|] х — Xi || ^ е] = Р (|| 况一胃i || W е)-

Требуется найти отравление 〃 (・)С U& (・), доставляющее макскнуп функционалу

J (и) Р (II X (五，и (■), з) — Х( II < Е).(270)

Будем говорить, что выполнено условие А, если вероятностные свойства £(), г (^), t ^ Т, таковы, что для заданного е 0 и любого р, 0 W В К 1， х【но;кество

Q (% 0) = {z;尸(I! 7 — z !| 总 f)》0，а = с ~ х^

выпукло и замкнуто. Пусть

шахР ([I о —况小《е)=尸(П а — Се) = d V оо

и справедливо неравенство (261).

Теорема 45. Если выполнено условие Л, то оптимальное управление доставляет функционалу (270) значение

₽° = min max {Р (z £)— g'z 丄乙 II g'S 11}=

二p(|旧一叫式8)—g:z。十上【碌5||.

Оптимальное управление "°(・) определяется соотношением (239) с g = g>

Утверждение следует из теоремы 44.

П р и м е ч а н и я. 1) В силу теоремы 44 имеем

d — Aj ® W Р° 其 &

Из (266) следует, что g；e > 0.

Для того чтобы множества Q(£,卩)были выпуклы для любых 8^0, 0 £ [0, 1], необходимо, чтобы функция плотности вероятностей случайного вектора а была унимодальна (одновершинна). Для одномерного вектора а свойство унимодальности является необходимым и достаточным условием выпуклости (односвязности) множеств Q(£, Р) при £ > 0, р 6 [0, 1].〜

Если плотность вероятностей вектора 。 не является унимодальной, но множество вершин ограничено, то для

каждого Р，0《0 W 1, существует такое е0, что множества Q (е, Р) выпуклы при е》е0.

Множества Q (е, 0) замкнуты, если плотность вероятностей непрерывна.

Если условие Л не выполнено, то возможны два пути решения： 1) минимизировать М || х || и применить неравенство Чебышева; 2) функцию плотности вероятностей для а заменить на другую, при которой условие Л выполняется.

Из других статистических задач, изученных с позиций функционального анализа, отметим задачу минимизации математического ожидания времени попадания траектории в начало координат [74g].

§ 16. О некоторых дифференциальных играх

Ниже с позиций функционального анализа исследуются задачи преследования [1, 108Ь] в линейных системах.

Сведение задач программного преследования к функциональным проблемам.

Постановка задач. Пусть в тг-мерном пространстве Еп заданы уравнения

切(271)

而=/2 (X)y +82 (力)"十九⑴，.

где «(•), d(・)一управления, стесненные условиями "(・)g。^(・)，m・)川 ").(272)

На матрицы Лг (%), 8? (%), векторные функции 厶 ⑴ накладываются условия, которые обеспечивают представление решений в виде формулы Коши. Назовем х преследующей точкой, у ——преследуемой. Положения точек 芻 у в момент 5, если они с момента / принимают управление 〃(力 0), и (厶 0), t ^ В ^ s, соответственно обозначим символами 立(& s, u (•)), у (左 s, v (•)). Пусть

久(厶 /, " (•)) = N (%), у 伍 Z, У (•)) = ' «)•

Задача Л. Найти наименьший момент времени s = 厶 и соответствующие управления 〃】(・), 优(•), при которых

II 比亿厶，U1 (•))—//(%,厶，！？(•))" =

—min max min )| x(t, s, w(-)) — у (t, s, v(-)) ||. (273) 日。(•比以：(・)11(・)£叫⑴

Задача В. Определить наименьший момент $ = % и соответствующие управления 辽？(•), ^2 (■), когда

I!况亿力，/(Г —у(/,力，u2(.))|| =

=min min max |；况(厶 s, 〃 (•)) 一 у (力,s, и (•)) |卜(274) "(・)三吟(・)仪.)£若(.)

Решения этих задач ——функции 加(•卜 ^1 (•) будем называть оптимальными управлениями. Введем множества Q；v (力 s) = {况：况= %(£, 5, u(-))/z(t, t, 〃(•))=

=2 ⑴，"(.)£%(.)},

Qy(厶 s)=^{y：y = y(t, S, D(.))/y(力，t, y(-)) =

= y(*。(.)£片()}. Положим

||2«, S, "(•)) — //«, S, >(・))H = Ps(2, y),

B(s) = |3s(Qu，Qk)-= sup inf ps(z, y), 期E%@, S)吒9t(f, S)

%(£)= Slip p§ (况，力

Величина 卩(5)есть полуотклонение множества Q^ (厶 s) от множества ◎霁(厶 s). Величина 8Х(5)— полуотклонение множества Qy (力，s) от точки х. Следовательно, задача Л есть задача определения наименьшего момента времени, когда минимально полуотклонение множества Q?/ (厶 s) от множества Q^ (Л 5). Задача В ——это задача отыскания наименьшего момента времени и функции и (•), когда минимально полуотклоненпе множества Qy «, 5) от точки х.

Ниже предполагается, что системы (271), 九(％) — =/2 (力)三 0 таковы, что определяющие уравнения (110) для них невырождены почти при всех t на рассматривав-

мых интервалах времени. Это предположение (см. § 7.8) гарантирует единственность оптимальных управлений 疗(•)， z? (•)

Оптимальные управления. Введем фундаментальные матрицы решений F (当 т), Ф(5, т) однородных уравнений, соответствующих (271), и положим

f 尸(邑 т)吕(т) 〃 (т) dt ^Su(-),

—]①(s, т) В2 (т) V (т) dx Pv.

С = ^(邑 ^)^(0 —Ф(5; t) у (/)—

—j [歹(s, t)九(т)—①(S, т) % (т)1 〃Т.

Нетрудно видеть, что вектор z — х — у в момент s удовлетворяет соотношению

z = S〃 (.) + Pv (•) + &(275)

Теорема 46. Минимальное полуотклонение множества

◎у (& s) от множества Qx (厶 s) равно

卩。(幻=min max {g'c + 仿 || g'P —匂| g〔S ||}=

=g'(幻 c+Z2|| g'(厶)P 11-^1 II g'(幻 S II- (276)

Если 俨(力)>0, то функции w1 (■),讲(・)，на которых полуотклонение 0 (s) минимально, определяются соотношениями

g，(〃)6V(•)= min gf (t^Su^-^

虱(・)£U^(・)厂

'8'(力)歹昂(・)= max g'(厶)尸入) (277)

。⑺6*(，)

Доказательство. Зафиксируем и(・) и найдем

卩3 火•))= min ps(x, у).

^xU, s)

В силу теоремы 26, равенства (27 5) и ограничений (2 72) имеем

B(s, и(・)\= max {gZ + g'A(・)一2J|g'"}・

Теперь из (273) следует, что в каждый фиксированный момент s полу отклонение 0 (s) равно

в (s) max {gZ 丄％ П g'P il-^ll g'S || }•(278)

Значит, справедлива форй1ула (276). Соотношения (277) сае^угот из теоремы 26 и равенства (278).

Введелх множества

QS 力一代:自」—s〃(.)— c, s>/, M(-)G^(-)}-

Пусть

'-max П〃и(・)ТТ(О(279)

◎(，)£*(•)

И

min 屮(s,己)=屮(5, e) = d.(280)

Теорема 47. Если e ^ int <2 (5,厶) при всех s》力，то минимальное пол у отк л онени е множества Qy (力 s) от точки 况 равно

3； (%)工 min min max {屮 ® g) + gf [r + g]— "U g'S || }不

-I! /3 (— 占(甸 N 丄 g' 6)【с + 占色)]一 Zill g'(⑨ S ||- (281) Справе^ливгг оценка

Л min dx (s) <Ld^ max (gf [с-ге] — Ц || grS || }. (282)

а)унн_цнн zi2 (■) определяется соотношением

g'(勾”/(•)亡min g'(%)S〃(.)，

функция (；(•) удовлетворяет условию

Н/V(•) — &(/川二屮(з自⑷).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим полуотклонение 6久(s) в фикгпроваипый люмент s = t. Имеем

酿⑴= max i：S&(・)一 А(・)+ с||・

Положим Su (')^с е^—z. Согласно (279) имеем m⑴…T, Z).

Очевидно, 4r(к z) выпукла по z. Поэтому, применяя теорему 44, имеем

min 6.v(T)= maxmin{4l，(T, z) + g'伍+z] — ZJ| g'S ||}. 笈£外(乙工)g z

В силу (274) из последнего соотношения получаем (281).

Докажем справедливость (282). Имеем

min 6x(r)=：min max {屮'(т, z) }g'【с 丄 z]—川| g'S ||} W x£Q«, т)z |@〕W1

C max {屮(t, e) + g‘[c+e] —川|g'S |j}= =屮(r, e) + max {^ [c + e]—厶 || g'S ||}.

Следовательно, справедливо правое неравенство из (282). Левое неравенство (282) следует из (280). Соотношения для и2 (•),沙2 (♦) получаем из (279)? (281). Утверждение доказано.

Примечание. Случай е С int Q исслед^^ется в 5), п. 1 (3), § 15.

Сформулируем задачи, которые тесно связаны с предыдущими. Пусть заданы числа 齿，82.

Задача Л1( Определить наименьший момент времени 勿(％), функции 乂1 (•), V1 (•), когда полуотклонение 6⑻—£加

Задача 5(. Определить наименьший момент времени 力2 (%)，функции w2 (•), и? (•), когда полуотклонение 5%(£)~ £2*

Ясно, что решения задач /储 5^ существуют лишь при условии % ^ Р° (幻，％ ^ бх (%)• Из теоремы 46 следует, что решение задачи Ai дает наименьшее число s = т°, удовлетворяющее неравенству

max {gZ + 勾 "g'C М — 厶 II g'S И— % Н ^ll}<0. (283) H gm

Если g — решение задачи (283) при s = т°, то оптимальные управления в этой задаче определяются из соотношений (277) с g = g. Способ решения задачи Bi дается теоремой 47.

Задача Л! при $〕= 0 рассматривалась в [42]. В [74i] последний вариант задачи Л t назван задачей поглощения. Ниже мы будем придерживаться последнего названия. В п. (3) устанавливается связь задачи поглощения с задачей из [62]. Сформулируем последнюю задачу.

Задача С. Пусть Т (辽, и) — время, за которое точка х (厶 s, 乂(•))догоняет у (力 s, v (•)), использовавшую управление v (•). Требуется определить 尻°() ^° (•), при которых

Т (м°, и。)= 7。= max min Т (〃，и).仅吃哈(•)观(•%吗(•)

Условия совпадения решений задач Л, 5 и А^ С. Нетрудно видеть, что справедливы неравенства

а)卩о(〃)С欧(幻，В)小0)・(284)

Пусть значения 廿(力)，限(力)полуотклонений ^ (s)7 бх (s) для момента времени $=力 достигаются на функциях 吗i(・), и；/。) и 辽/1(・),建](•) (соответственно).

Теорема 48. Если

maxph (况(力 %(•)), 力，и(・)))= р(%),，

то в (厶)=6上(%)и

Pti(纪(/,九，山1(・))，у«,々，у (•)))<

WPs(纪«,勿，谓i(・))，У(力厶，<(•)))<

WPti(x«, %, "(•)), У«, ",%(•)))(285)

для всех допустимых 〃(■), у (•). Если

minp,K纪(力 %, "(•))，Ус,厶，以(•)))= 6*(%)， 吒出

TO 6工(力)=b(切II

Р"(纪(厶力 1，«?!(•)), У (厶乙，У (•)))<

WPh (纪(方，%，«(!(•)), y (力九，^! (•)))<

MPs(纪(力厶，〃(•))，у(£, &%(■)))(286)

для всех допустимых 〃(•)，v(•).

Доказательство. Нетрудно видеть, что

max min р^ (、瑞 у)式 min max p^ (x, y)

Отсюда имеем

min max (招沙)Wp(%), 此外(f,⑴如冉小，⑴

что означает

max min р”(爲 у)工 min max Ps (虞，У), д£Су(£,(1) гг£%(/,⑴买QN3 ⑴ UEQ：/H，h)

т. e. 6(力1) = 3笈(厶), и справедливы неравенства (285).

Докажем вторую часть утверждения. Так как

min max pZ1 (^, z/) ^maxmin p(1 (^,沙)》

>mjnp(1(a:(^ 九，«(•)), y(t,力，v^ (•))), то имеем

K«i)》maxminpfi(/,沙)》酿(力)・

Значит, В勺(厶)=р (%), и справедливы неравенства (286). Теорема доказана.

Обозначим через и (*), и(・) решение задачи поглощения.

Теорема 49. Пусть tt (0) V 十 8 и

A (s, и (•)) = max {gr [с + Pv (•)}A (s, и (•)) = max {gr [с + Pv (•)}一4 II g'S II }>0,

A (s, и (•)) = max {gr [с + Pv (•)}

A (s, и (•)) = max {gr [с + Pv (•)}

s V〃 (0).

Тогда 厶(0) = Т° и 乂(厶 s) = u° 亿 s), p (Z, s) = u° (力 s),

Доказательство. По условию 九(0)——первый нуль функции Л(5, ^(•)) и Л(5, ^(-))>0 при sC",厶(°))・ Следовательно, Т° ^ 厶(0). Но в силу (284), 0) возмо?кно только обратное неравенство. Значит,九(0) = Z°.

Так как функции ^° (•), и° (•), и (•), v (•) в силу)тсло- вий задачи (см. п. (1)) определяются единственным образом, то и (為 s) = uQ (厶 s), v (/, s) ~ v° (厶 s). Утверждение доказано.

Теорема 50. Если Т° V 8 乳

л (Т。) = max {g，c + Z21| g'P || —川| g'S ||} W 0,

то 7。=九(0) и м。(力，s) = m(力 s),评(力 s) = u(方，s), s》九 Если0—наименьший момент, для которого Л (0, и (•))＜；

W°, 9 ＜8 и A(T)W° при некотором 力 €"，9], то 0 — Т° и м(力 s)= 淤(力 s), u (力 s) = u° (厶 s) при sg [力，9].

Доказательство. В силу условия теоремы ^ (0)《 ＜；Т°. Но из (284), В) следует, что возможно только равенство 力(0) = Т°. Тогда и 以(力 s) = zz (力，s), v° (t, s) = v (t, s) при s《[厶 T°]・ Вторая часть утверждения очевидна.

Оптимальное преследование групповой цели. Пусть в пространстве Еп движется группа из m точек г/1?... ...,ут, положения которых в момент s = 厶 определяются уравнениями

Уг — SiVi (•) + сг,内(•)£ U/ (•).(287)

Здесь преобразования S^ векторы ct имеют тот Же смысл, что S, с в соотношениях (275). Назовем точки у^ преследуемыми. Отнесем термин «преследующая точка» к точке 况,движущейся в пространстве согласно уравнению (230), где с — фиксированный вектор в Е^ и (•) £ U； (•). Пусть заданы числа а厶 af ^ 0. Величину 8Z = af || ж — — 勿 II будем называть защищенностью точки у». Естественно, величина

£&心一力 П(288)

2=1

характеризует защищенность группы. Пусть требуется найти управления и° (•),费(•), число 6° такие, что

S aм|况(力力，濟(，))一办(力，力，啾，)川=

= max min E a j| 况一勿 || = В。.(289)

Примечание. Здесь не приводятся другие задачи преследования групповой цели (см. [65]).

Пусть

min 3—ct—Swz(・)一z|| =

21

-2 a2 u c一g 一 8储(.)e|| = d

И

max {gfe— g"S |l} = A (?j>0.

Теорема 51. Оптимальные управления 乂°(・), v?(•) доставляют функционалу (288) значение

6° = max max min {』а» (底［с—g — z］十旬| 底& ||)十 g |］力11=1 z i=l

+ g'z — Z (I grS |口 = E a? (y：o ［c— & — z。］十 2t j| у；о& 口) +

十8宕一|1踹Н.(290)

Функции 厶。(♦), ^?(■) определяются равенствами g；Si?(・)二 min g；S〃(・)，

虱(•龙成(・)

，се \(291)

Доказательство. Зафиксируем функции Vi (•) и найдем

6(力，u田= min S ^i\\x - yi\\*

Из (287), (230) и теореяы 44 следует, что

3(内，.• .，％ =

=maxmin (』％ || с —勺一Sm — z +g'z—Z|| g'S 巾. g 2

(292) Ho

||c —g — SiS(・)一z||= max * ［c — g —$*“•)一z］.

Поэтому

3 (% , • • • , ^т)=..

max min { ± а^| [c—ct—SiVil-) — z]+g，z — l И g，S ||}.

Из (289) след5тет, что *

5。= max min. [ E а, (у； [с —& — zj 十-

g, |匕"=1 2『1

+ max WSj%(・)) + g，z —Z||g，S|[}, ®г(')£^р(-)

т. e. справедливо равенство (290). Соотношения (291) получаем из (290), (292). Теорема доказана.

Развитие метода приращений для задач оптимизации в игровых ситуациях

Введение в процесс управления двух (и более) сторон с противоположными (несовпадающими) интересами заметно обогащает теорию оптимальных процессов, делая ее вместе с тем существенно сложней обычных задач с одним участником. Хотя при постановке задач оптимизации в игровых ситуациях требование на управления быть управлениями типа обратной связи подчеркивается еще более настойчиво, чем раньше, тем не менее каждое решение задачи и в виде программного управления является ценным. Понятно, что программные управления сторон можно использовать для построения их стратегий (управлений типа обратной связи).

Ниже мы укажем, как применить метод приращений для получения необходимых условий оптимальности в задачах с конфликтной ситуацией.

Пусть на движение объекта, описываемое уравнением 警…,方),纪⑼ = &,力g?=[0,切，(293) воздействуют два участника с помощью управлений и (力), w (%). Эти управления выбираются из класса кусочнонепрерывных функций (для и —— р-мернмх, для w —— q- мерных) со значениями в U ——ограниченном множестве

(р 十 д)-мерного пространства：

辽二 в(%), w(/))е и, %■(294)

Предположил!, что свое поведение ^^частники оценивают величиной функционала

J (и) = J (% 必)—ср (况(勿))，(295)

где ср (况)——заданная непрерывная дифференцируемая функция. Управления и。(％), wQ (力)называются оптимальными, если они удовлетворяют условию (294) и

для всех пар {u° (%), w (Z)} £ U, {u (%), ш° (Z)} £ U. Применяя к каждому из неравенств

J (此 WQ) & J (% 川)， J (v°, IV0)》J (l?°, w)

метод приращений (§ 1), получим следующий результат.

Теорема 52. Для оптимальных управлений и。(％), w° (/), t ^ Т, и соответствующей им траектории 不 ⑺ в задаче (293) — (295) в каждый момент выполняются условия

н (不(力 Ф ⑴，U。(О, W)^H 3。(0,屮(%), U。(£),5 ⑴)>

> я (^ (0,屮(力 и, ”⑼，力 е Т, (296)

для всех и, ш таких, что {歩(Е), w} € U, {% w° (%)} С U. Здесь Н Q,屮，и, w) = т|/『(％, V, ш), а 屮 ⑺一решение уравнения

屮⑷——^^.屮⑷——^^.^屮 一 ^Я (а：0 (/), ф (^), f° (t), wo (；)) dt —дх

屮⑷——^^.

屮⑷——^^.

Следствие. Если ограничения на и«), w(t) имеют вид

и(力)£Кw(t)^W,

где V, W — ограниченные множества р, ^-мерных пространств, то необходимые условия оптимальности (296) можно записать следующим образом:

Н 3 (士)，屮(力)，i?° (i), wQ ⑴)=maxH (*°«),屮 Q), S d (%)), Я(^°(^),屮(方),加⑴，必。(%))=min 反(花。e),屮(力)，加(方)，").

Комментарии к гяаве VI

Основными в доказательстве теоремы 1 являются два обстоятельства: формула приращения функционала (3) и использование специального приращения управления (6). Идея такого подхода в теории оптимальных процессов впервые применена в [114ат Ь], хотя и в классическом вариационном исчислении [16] условия BeiiepmTpacca получаются методом приращений, а «игольчатые» вариации (6) использовались еще в {190а]. В [114Ь] результат, аналогичный теореме 1, получен при более жестких предположениях.

В [32d] дан анализ доказательства теоремы 1, из которого следует, что использованная в § 1 схема позволяет доказать принцип максимума для случая, когда функции / (力,乂,力),df (⑦,乂, t)/dx непрерывны по /, 乂 и измеримы по 力,а за класс допустимых управлений взят класс измеримых функций. Допускают ослабления и условия, наложенные на функцию 中(х). Дифференцируемость этой функции можно заменить условием существования производной по направлению.

Говорят, что функция 屮(％) имеет в точке х производную Bqldg по направлению g, если

lim 中 Q + ag) —中包)a—0, a>0a

существует п равен d^ldg. Выпуклые функции дифференцируемы по любому направлению [111]. В работе [48b] задана дифференцируемость по любому направлению функций 屮(⑦，—max / (^, у), где / (/, у) — функция, непрерывная вместе с df (/, y)/d,, Й — замкнутое множество. Существование производной по направлению позволяет записать:

<Р 口 十 3g)—屮(工)=3 %,)+ О (а).

Это равенство можно положить в основу тех преобразований, которые в § 1 были произведены с разложением

ср (厘 + А厘)—中⑺=A/ d)f)+ 0 (II A/II).

В результате получается принцип максимума, в котором вектор 屮(&) будет определяться не однозначно, а в форме, аналогичной теореме 2. Кстати, последняя теорема может быть доказана этим методом. Детали доказательств и формулировки соответствующих результатов в данной монографии опущены, ибо они представляют интерес для узкого класса специалистов, которым эти факты достаточно ясны.

В работе [32d] приведены также необходимые условия оптимальности, полученные из формул (4), (5). Однако эти результаты громоздко формулируются, а для особых управлений можно получить (см. § 5) более сильные результаты. Тем не менее формулы (4), (5) в силу их компактности могут оказаться полезными для других

целей, в частности при установлении достаточных условий оптимальности.

Теорема 1 сформулирована для задачи минимизации функционала (2). К задаче (1), (2) легко сводится задача минимизации пад (1) функционала

J (")=(“(厶))+[ %+1 (片(/), " (/), D 山.

Для :)того достаточно к (1) добавить уравнение

"；；：'=筛+2 (% ”，О，胃田(%) =0, (297)

и рассмотреть задачу мпнпмизацшт величины

9 3(〃))十词+ i (① - (298) для системы (1), (297). Нетрудно проверить: из специального вида (1), (297) следует, что ф^+1 ⑺ 三 0, а пз (298) в силу теоремы 1 имеем 屮〃+1 (")-—1, т. e. "n+i (力)三一1, t T.

Лемма 4 может быть доказана без условий (2), (3).

Теорема 5 может быть обобщена в нескольких направлениях. Во-первых, условия гладкости функций 中(е), g (е) можно заменить условиями квазивьшуклости и полунепрерывности снизу. Во-вторых, можно рассмотреть несколько ограничений типа (18). В-третьих, ограничения типа (18) можно накладывать в промежуточных точках отрезка Т.

Название «вариационная производная второго рода» не вполне удачно, однако, несмотря иа это, мы сохраняем его в дальнейшем ради краткости письма.

В работе [32е] новая форма необходимых условий оптимальности развивается на линейные динамические системы, зависящие от управлений и их пропзводных. Представляет интерес исследование нелинейного случая.

Формулировка задач оптимального управления на языке интегральных уравнений обладает преимуществом по отношению к аналогичной формулировке в терминах дифференциальных уравнений по той причине, что уравнения (29), (30) полностью задают движения х (Z),屮⑺ и отпадает необходимость выписывания граничных условий. Частный вид критерия (38) не является, очевидно, ограничением.

Анализируя теоремы § 3, можно заключить, что форма (28) — (31) необходимых условий оптимальности инвариантна по отношению к широкому классу систем, описываемых функциями одно1т независимой переменной. Теорема 9 показывает, что аналогичная форма необходимых условий имеет место и для систем, описываемых уравнениями математической физики. Можно доказать, что форма (43) — (45) сохраняется для весьма общих систем интегральных уравнений относительно функций двух независимых переменных.

Переход от оператора левой части выражения (43) к оператору левой части выражения (44) соответствует правилу, данному

в (29), (30) для случая функций одной переменной и распространенному здесь по известным рецептам [119] на функции двух переменных.

Метод доказательства, основанный на изучении приращений функционалов, позволяет весьма просто получить другие условия оптимальности, отличные от принципа максимума. Для простоты рассуждении ограничимся задачей (1), (2) и предположим в дополнение к условиям теоремы 1, что функция / (к. и,力) дифференцируема по и, а множество U выпуклое. Тогда из (9) непосредственно следует, что оптимальное управление и° «), t ® Т、 удовлетворяет условию

ан，（皿 а）, 2（/）〃。（%）, 土）ан，（皿 а）, 2（/）〃。（%）, 土）〃о (/) = max〃о (/) = maxair（洒（）屮⑴，辽0⑺,/）air（洒（）屮⑴，辽0⑺,/）

ан，（皿 а）, 2（/）〃。（%）, 土）

ан，（皿 а）, 2（/）〃。（%）, 土）

〃о (/) = max

〃о (/) = max

air（洒（）屮⑴，辽0⑺,/）

air（洒（）屮⑴，辽0⑺,/）

(299)

Отсюда получается необходимое условие оптимальности вида

@Н(М«),屮(/), 〃о(/), %)@Н(М«),屮(/), 〃о(/), %)(300)(300)

@Н(М«),屮(/), 〃о(/), %)

@Н(М«),屮(/), 〃о(/), %)

(300)

(300)

d/f# （仆（力，"（2）,以0（/）, /）d/f# （仆（力，"（2）,以0（/）, /）〃(/) dt〃(/) dt

d/f# （仆（力，"（2）,以0（/）, /）

d/f# （仆（力，"（2）,以0（/）, /）

〃(/) dt

〃(/) dt

если 〃° (£) £ int U, t ^ Т. Формула (3) позволяет иайтп условия максимума в задаче (1), (2) н в том случае, когда класс допустимых управлений — выпуклое множество кусочно-непрерывных г-мер- ных вектор-функцпй 〃(£), определенных иа Т. Сохраняя предио- ложенпе о непрерывности df/du, пз (3) вместо (299) получаем

u° «) dt》u° «) dt》@Н' (М (f),屮(z), &。(£), z)

u° «) dt》

u° «) dt》

для всех 〃(•)C U (•). В случае u° (•) £ int U (•) получаются условия (300). Подобные условия можно получить для всех задач, рассмотренных в этой главе.

(1), (8).(1), (8).Теорема 10 в [36с] доказана для систем с запаздыванием. Следует отметить, что в [105] условия, получающиеся пз теоремы 10, названы необходимыми условиями оптимальности, хотя, очевидно, эти условия выполняются для любых траектории систем

(1), (8).

(1), (8).

勿屮（М （〃））勿屮（М （〃））d(p&+iq (/0 (%))d(p&+iq (/0 (%))Методика, развитая в § 5, легко обобщается на случай, когда

勿屮（М （〃））

勿屮（М （〃））

d(p&+iq (/0 (%))

d(p&+iq (/0 (%))

При этом повышается размерность н число аргументов вспомогательных функций my-t …j[(tjl...力，)，а также порядок уравнений для этих функций.

Если предположить выпуклость множества U и дифференцируемость по и функции / （с, и,力），то из условия （52） следует:

dfi （хО （/）, &о ⑺，力 吻（叫，），〃”）—）

х（時一%①）（吨一唯（力）＜ 0, 2 £ 7\ u* ^ U, V = 1, .. ., г; ц = 1, ..г.

Если Е （力）£ int U （力），力 £ Т, то на оптимальном управ- лешш u° （力）неположительна квадратичная форма с матрицей

dft （zo （/）, uo（/）, /）。力（М«）, 〃°（z）, 0

Случаи выпуклого н открытого множества U в теореме 12 исследуются так же, как это сделано в примечаниях к теореме 11.

Понятие особого оптимального управления впервые появилось в работе [114Ь]. Там же на простом примере показывалось, как найти особое управление, исходя из его определения. Способы нахождения особых управлений, основанные на непосредственном использовании определения таких управлений, в дальнейшем были рассмотрены в ряде работ. Исследование [63а], по-видимому, оказалось первым, в котором получены необходимые условия оптимальности особых управлений. Эта работа интересна н в связи с введением в арсенал средств теории оптимальных процессов новых вариаций управления. Общеизвестна роль «игольчатых» вариаций （6） в теории необходимых условий оптимальности. Если «игольчатые» вариации можно рассматривать как аналоги ё-функций Дирака, то вариации, использованные в [63а], аналогичны производным от ё-функций. Метод работы [63а] был развит в [26, 71, ИЗ].

Придавая большое значение необходимым условиям оптимальности особых управлений, * полученным в упомянутых работах, следует отметить, что теория необходимых условий в особом случае оказалась в положении, аналогичном тому, которое возникло в классическом вариационном исчислении при исследовании задач оптимального быстродействия в системах автоматического управления [109, 124а]. Вариации функций, используемые в обоих случаях, предполагают открытость области значений этих функций. Для преодоления этого ограничения, существенного при рассмотрении задач оптимизации систем автоматического регулирования, была развита теория принципа максимума, основанная па непосредственном изучении задач оптимизации с произвольными множествами для значений варьируемых функций. Впоследствии для некоторых задач нового круга удалось развить и технику классического вариационного исчисления [92, 176].

В данной главе метод исследования особых управлений не стеснен предположением открытости множества U. Схема основных доказательств базируется на формулах приращении скалярных функций, полученных в § 5, и использует вариации （6）, типичные в теории неособых случаев оптимального управления.

Интерес к особым управлениям можно объяснить несколькими причинами. Во-первых, в теории оптимизации летательных

аппаратов нередко встречаются особые режимы. Первый нетрп- виальный пример особого управления найден в [89], дополнительные примеры приведены в [26]. Во-вторых, оптимальные особые режимы в некотором смысле являются непосредственными спутниками оптимальных скользящих режимов. Действптельно, согласно [38е] любая задача оптимизации, относительно которой неизвестно, что она имеет решение, заменяется на вспомогательную. Для примера рассмотрим задачу (5.1)——(5.3). От этой задачи следует перейти к задаче (5.11) —— (5.13), которая заведомо (теорема 5.1) имеет решение. Однако для нахождения оптимальных управлений v^ (£), 【о：,(力)，力 С Т, принцип максимума оказывается неэффективным, пбо управления w^ (/), £ £ Т, в силу их свойства (5.16) всегда особые. Поэтому при рассмотрении любой сколько-нибудь сложной задачи оптимизации приходится сталкиваться с особыми управлениями.

Условия оптимальности для неособых управлений формулируются обычно с помощью вспомогательной векторной функции 2 (力)(импульсы, сопряженная переменная, множитель Лагранжа). В теореме 13 для формулировки необходимых условий оптимальности особых управлений первого порядка вводится дополнительно матричная функция 屮⑴.Если характерной чертой переменной 屮(» является свойство

1|/") z (Z)三 const, t £ Т,

где z ⑺一решение уравнения в вариациях

•— 8/Q (£), и (Z), £) :

то для 4f «) выполняется тождество

二'(£)屮(£)z (£)= — 2 4r' (£) "—^^~—~~ 二(%) z (Z)+ const, £ £ 7\ которое для линейных по х систем п для особых управлений с 屮 ⑺三 0 переходит в простое свойство:

_ z，(Z)屮(z) Z (Z)三 const, t^T.

Формула приращений (3) позволяет получить необходимые условия оптимальности особых управлений первого порядка, выраженные лишь через переменные 屮(力).Идея этого подхода состоит в использовании таких приращений Ди (力 управлений, при которых II 厶£ (力)II 〜£2 при / >- 0 + е и Ag (X)三 0 при 力о & 力&立 Если множество U открытое, то для этой цели пригодны приращения, использованные в [63а]. Для произвольного множества U требуемые приращения могут не существовать.

Выпуклость п открытость множества U в теореме 13 можно учесть так же, как это сделано в комментариях 15, 16 к теореме 11.

Теорема 14 накладыва ет довольно сильные ограничения на класс допустимых управленш^. Этого недостатка лишена теорема 15, которая, однако, более грубо, чем теорема 14, исследует особые управления.

・ Задача оптимизации с параметрами рассматривается в книге [18d].

Фундаментальные исследования задачи управления линейными объектами с позиций функционального анализа проводятся в монографиях [21d, 74п, 80]. Во всех этих работах исходным пунктом является "проблема моментов. Нами избран другой путь решения задач оптимального управления.

Теорема о минимаксе, теоремы об отделимости выпуклых множеств, о существовании опорной плоскости к выпуклой поверхности, использованные в монографии, позволяют обойтись элементарными сведениями из линейной алгебры. Следует отметить, что в ряде случаев применение последних избавляет от громоздких преобразовании, свойственных подходу, основанному на проблеме моментов.

Теорема о минимаксе (в ее доказательстве мы следуем [60]) привлечена к изучению задач теории оптимальных процессов в [33]. Также указана связь между теорией игр и теорией оптимальных процессов. Другой подход к этому вопросу сделан в [741].

Теорема об отделимости выпуклых множеств (наше доказательство следует [60]) явилась первым результатом функционального анализа (линейной алгебры), который нашел эффективное применение в теории оптимизации линейных систем [12, 138]. В дальнейшем этот подход развивался в работах [83, 88b, 101, 135,194а]. Наиболее общая схема приводится в [34f], Отметим, что доклад [34d] и работы [34е, f] базировались на одном результате на теории линейных неравенств.

Проблема моментов в теорию оптимальных процессоп впервые привлечена в [74а, Ь]. Это направление пол^^чнло развитие в работах [8Ь, с, 21с, 64а, 140, 189]. Долгое время здесь рассматривались лишь двухточечные задачи быстродействия со стандартными ограничениями на управляющие воздействия. Начиная с [32b], в серии работ [32с, 34a—с, 81а] "проблема была развита для более широкого круга задач. Некоторые п;з этих задач рассмотрены в пп. 3—7 § 11. Интересно отметить, что в первых работах постоянно участвовало условие типа JiiiiieiiHoii незавлспмостп элементов 勺(•),.. ., g (*)• Ситуация, когда это условие не выполняется, исследована в [32а]. '

Теорема о существовании опорной плоскости к выпуклой функции для решения задачи оптимизации выпуклого функционала использована в [34g].

Условия погружаемости выпуклых множеств доказаны в [34f]. Там же даны приложения этого результата к задачам оптимального управления.

Лемма Неймана ——Пирсона [12] в обобщенном виде для задач оптимизации с двумя ограничениями на управляющие функции привлекается в [33]. Подобные задачи другим методом решаются в [74к].

На возможности перенесения метода приращений на задачи игрового типа указывалось в докладе [65].

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ. КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

Задачи оптимизации с функционалами, выпуклыми по переменным состояния

Неравенство для приращения функционала. Пусть на траекториях системы

f, %£Е“，u^Er,

*(1)

х(/) -= Ф (/),方 £So, h ~ h(x. u, 0> 0, w (•) QD{,

минимизируется функционал

J (u)=屮(£ (厶))十 /1

+ J fn+i (% «),%(/—〃 (© u,切，“(力力)dt ⑵ при дополнительном ограничении на переменную х (力)：

g(£ (0，о < о,力 с О и Т.(3)

Относительно введенных функций будем предполагать, что 1) функции / (%，у.辽，方)，ф(£), /n+1 (/，y, и，X),九(徹，"，力)， g (招 方)，Ф (0 определены и непрерывны вместе с функциями д"дх, 8，/8у, ^ф/^, 8力?+丿方居 dfn+ildy, dhldx, dhldu, dhidt, dgldx, d<I"山；2)厶(芻 儿，力)》0; 3) вдоль исследуемых траектории х ⑴ и управления u (X) функция т ⑺= =X —— 无(虞 ⑴， u ⑴，/) строго возрастает, причем

—~~~-》a > U в точках, где производная существует.

Обозначим через AJ （乂） приращение AJ （u） = J （〃 +

Ди）——J （и） функционала （2） на управлении и （■） g D、, порожденное приращениями Ди ⑴，£ С 7, из этого же класса D「 Траектории уравнений, соответствующие управлениям и ⑺，〃（£） = 〃（力）+ Au （f）, обозначим через / （£）, x （力）=/ （力）+ А/ （力. Пусть d卩⑴一некоторая неотрицательная мера, сосредоточенная на множестве Qi = ={力 g （/ ⑴，t） = Q, t ^ а}. Введем функцию 屮（力），力 С 7, согласно уравнениям

d屮（z）— ан （芻 и,屮，乂，力）—ан Q（s）, у （s）,屮（s）,弘（s）, s） I

dl —dxdy|s=T（/） X

XXdh （д:, 〃，Z）］dh （д:, 〃，Z）］力⑴ 丄 0五'（瑞 у, 2, ", f） . d£ （s） I

X

X

dh （д:, 〃，Z）］

dh （д:, 〃，Z）］

dl 'dyds|s=i；⑴

8g （瑞 方）dx8g （瑞 方）dx即（方）dt即（方）dt力 € ［^0：力 1,力 € ［^0：力 1,

8g （瑞 方）dx

8g （瑞 方）dx

即（方）dt

即（方）dt

力 € ［^0：力 1,

力 € ［^0：力 1,

d^⑴dtd^⑴dtдН （с, у,屮，〃,дН （с, у,屮，〃,4 г ан，5 у, 2, ", %）.欧（s） I xT dy * ds !$=т（/） X4 г ан，5 у, 2, ", %）.欧（s） I xT dy * ds !$=т（/） X

d^⑴dt

d^⑴dt

дН （с, у,屮，〃,

дН （с, у,屮，〃,

4 г ан，5 у, 2, ", %）.欧（s） I x

T dy * ds !$=т（/） X

4 г ан，5 у, 2, ", %）.欧（s） I x

T dy * ds !$=т（/） X

XX0九（瑞〃,Z）0九（瑞〃,Z）dg（% 力）4A ⑺1 dx dtdg（% 力）4A ⑺1 dx dt力CH,九1,W（力）=力CH,九1,W（力）=灰P（£（%））дх灰P（£（%））дх

X

X

0九（瑞〃,Z）

0九（瑞〃,Z）

dg（% 力）4A ⑺

1 dx dt

dg（% 力）4A ⑺

1 dx dt

力CH,九1,W（力）=

力CH,九1,W（力）=

灰P（£（%））дх

灰P（£（%））дх

Здесь Н （芻 у,屮，и,力）=屮'/ （© у, ", /） — /п + 1 （%, у, и, Z）, г （力）一решение уравнения £ = т （?-）, tr — tY — А （/ （幻, "（%）， 幻，y = / （力 -- 无），Если обе траектории х （力），х ⑴， порожденные управлениями 〃⑴， и «）, удовлетворяют условию （3）, то для приращения функционала （2） выполняется неравенство

AJ（〃）宀 一 J a"? （© y,屮，"，方）d方一

/о

—j A"⑺-^ A/# （瑞 У,取"，t）dt —

+ J А，［т（2, и, /）］而〃（瑞 у,屮，出 i） dt 十

de叭к"мяde叭к"мяah弋广 t) А/«)〃_ah弋广 t) А/«)〃_+ J * 〃(伤 В [七(/, u, /)],屮，u, t) J -^^I f 〜7 X

de叭к"мя

de叭к"мя

ah弋广 t) А/«)〃_

ah弋广 t) А/«)〃_

o2 (Il Ax ⑴ 11 + 11 A% *(%，①，01II)近 +

J 灰 к=т(士 & 0— h(x, G /)10

^X tZ0o3 (II Дж (i) II) df— [ o4 (Il Ax (i) II+ || Дж [t(J, u, «)] ||)^^ +

' + j о5(||Аж(0|Нн(0- (4)

Здесь величины Oj ——05 удовлетворяют соотношениям

/〃+力(£,方[七(伤 U,力],"") 一 %”(/, /[七(瑞"，/)],"，方)=

+ U"(…"/)1,力).(/[T (~ 2 切—z [T (瑞 u, 01)4-

+ o2(|| Aj?(0||4力)]II),

九(云 и, t)~h(x, 〃，t) = d" (^；我'・ S A/+ 0з (II А/ lj),

Я (/，ж [T (芻 w,切，屮，〃，f) - Я (/，/ [T (瑞 и, f)],屮，u, t)=

4加—32(2[t(£, “，力一2 [t (%, “，01) +% 04(1| Аж (0 II+ 11 А* [т (/, 〃，01II),g (* ， а2,力 一 g (力，£) = -% g)A才 + o5 (П а? n),

h (ж, y,屮，"，力)=屮'/ (瑞 y, и,力.

Доказательство неравенства (4) аналогично схеме получения формул приращения скалярных ф^шкций, изложенной в § 6.1 и приведено в [36е]. Частный случай неравенства (4), когда т (х,也 t) ~t 无(力：

AJ (u) 一 JА7笈3仇陋"，0北一

-J 石7 A/"(爲 % 取 u， 0 a/ (方)位一

-j * a/〃'(瑞仇收"，力A/ (*-耳⑴)千°i (I! А2 (幻II)+

十 "2 (|1 Az (川叶 |1 a* (/ — "(?)) И)山一

-J °4 (!i A片 (方)II + II Ax (t 一 h ⑴)II) dt 十

- j о3(|| Дж(0||)^(0-

Достаточные условия оптимальности. Пусть снсте- va (1) имеет вид

当*=厶(z⑴，—无⑺)，加丁 力("⑴，注

х(1) = ф{1), X0S”二依力一无⑴式匕££Т}・

На траекториях системы （5） рассмотрим функционал

J （〃）=中（?（匕））」一

一[[/i,/^1（^（0^ -r^ - ^^））^ 0一厶小（"（方）,力出.（6）

①унА1Д1ю a （力）назовем сильно выпуклой с постоянной TV, если она дифференцируема и ве’шинна 。31|） в раз;гоженпи

a {/ + Ах） — a （片）二 ^^色 A.r + о （11 Ax I j）

удовлетворяет неравенству

A>0.A>0.

A>0.

A>0.

Теорема 1. Пусть выполнены условия: 1） функция /1（"十t （力,у,力） сильно выпукла по совокупности {/, у} с постоянной N; 2） функции 屮（е）, g （瑞 力） выпуклы по /; 3）

d/1 （优，y,方）дхd/1 （优，y,方）дх刃i （瑞У, £）刃i （瑞У, £）II 《厶,II 《厶,8/1, П+1 （储弘 £）8/1, П+1 （储弘 £）『屮（优）『屮（优）加71 + 1（/弘力（V4 修卜"，加71 + 1（/弘力（V4 修卜"，

d/1 （优，y,方）дх

d/1 （优，y,方）дх

刃i （瑞У, £）

刃i （瑞У, £）

II 《厶,

II 《厶,

8/1, П+1 （储弘 £）

8/1, П+1 （储弘 £）

『屮（优）

『屮（优）

加71 + 1（/弘力（V4 修卜"，

加71 + 1（/弘力（V4 修卜"，

||^^|心,11^^||5,1 警 V-a,。。.

Тогда в задаче （5）, （6）, （3） при N^Mъ

М1=^_/з ［厶（厶一办）（（+｝） +£2" + 厶］X

X exp ｛£］ （1 +w）（% —力）｝，

каждое допустимое управление 〃（力）,t QT, из класса D оптимально, если g（/（力）,力）式0, % £о, и и （f） удовлетворяет условию

Я（^（Л, /（方一力⑴），屮⑴，7,⑺，方）=

=шахЯ（X,/（方—厶（%））,屮（%）,方），

где функция р(%),方 £Т,——решение уравнений

小D《）小D《）d^y^u^t)d^y^u^t)дх8Н (片(s)・？/ (s), W(5), 〃 (s), s) I . 卄(力),加伍0)") 恤⑴ £g［而力］дх8Н (片(s)・？/ (s), W(5), 〃 (s), s) I . 卄(力),加伍0)") 恤⑴ £g［而力］ОуОу' дхd屮⑴— ен (优,y,中,产,D I成дx 十' дхd屮⑴— ен (优,y,中,产,D I成дx 十⑺⑺++屮（刀）=屮（刀）=dgQ«), Z).修卩⑴дх dt.@<P Q(〃))dgQ«), Z).修卩⑴дх dt.@<P Q(〃))

小D《）

小D《）

d^y^u^t)

d^y^u^t)

дх

8Н (片(s)・？/ (s), W(5), 〃 (s), s) I . 卄(力),

加伍0)") 恤⑴ £g［而力］

дх

8Н (片(s)・？/ (s), W(5), 〃 (s), s) I . 卄(力),

加伍0)") 恤⑴ £g［而力］

Оу

Оу

' дх

d屮⑴— ен (优,y,中,产,D I成дx 十

' дх

d屮⑴— ен (优,y,中,产,D I成дx 十

⑺

⑺

+

+

屮（刀）=

屮（刀）=

dgQ«), Z).修卩⑴дх dt

.@<P Q(〃))

dgQ«), Z).修卩⑴дх dt

.@<P Q(〃))

卩(力)такова, что卩(力)такова, что(5), (6), (3) нера-(5), (6), (3) нера-По условиям теоремыПо условиям теоремыtoto

卩(力)такова, что

卩(力)такова, что

(5), (6), (3) нера-

(5), (6), (3) нера-

По условиям теоремы

По условиям теоремы

to

to

и функция ограниченной вариации

,d卩(%) С^4・

Доказательство. Для задачи венство (4) принимает вид

A J (u) > - j A-Я (瑞沙，屮，U,方)也 + 01 (II А/ (九))［) +

kk+ J o2(II Дж (011 + II ^(t - h (^) II) dt - /о

k

k

А^Я (x, % 屮，и, i)<0, 0101A/(%) I»》0, %(心⑺ II) >0,

O2：(|| Az (/) j|+ll ^(t-h (0)11) > АЧ11 厶窜⑴叶II Аж (t-h(o)||l2- Величина o4 удовлетворяет неравенству

。4<4II 屮⑺ II 厶［|| А支《川 + II A" <t-h(W.

Из уравнений для 屮⑴ получается оценка для |［屮 «)||：

II 屮(О IY ［厶(厶一％)(工 ++ 厶乙 + £i］ х

'X exp「厶(1^o)J ■

Подставляя эти оценки в выражение для AJ (и) и учитывая неравенство N ^Мполучаем, что AJ (и) > 0, т. е. 〃(力),力 gT,——оптимальное управление.

Линейные ио состоянию системы. Рассмотрим частный случай системы (5)：

J^L = A(t)x{l) + A^x(t-h^)^b(u{t), i), 或(8)

х (^) = Ф (Z), t QSq..

По аналогии с теоремой 1 получается следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть функции(р(^),九，"+1(/, у,力),g (力,力), ①(力 f2,n+i(ut t\ h(t)t 4(力 410 b(〃，％) определены и непрерывны вместе с функциями d(p/d/, ^/ь n+i/dx, В%,九+i/dy, dg/dx и, кроме того, функции 屮(％), /1(n+1(^, у,力), g (х, t) выпуклы по совокупности {/, у} и I dh (t)/dt | ^ <；1—а, а>0. Тогда каждое кусочно-непрерывное управление 〃(％), и (^) ^ U, в задаче (8), (6), (3) является опти- пальным, если g(/(力)，力)W° и u(Z),力£T, удовлетворяет условию максимума

屮'(方)ь (〃⑴")一/21+1 ("a)")=

二 max [屮'(力)b(〃，t) — f2>n+i(u,切

с функцией 屮(力)一решением системы

屮=一，⑺屮⑴一/亿⑺)屮(Г (切穹"十

I "1,71+13(2), £ « 一无⑼，力 I "1,n+1(£(?),/(彳一/2(»),力v

十0£十dy三t(qX

办«) I d“(Z) 8g(£«)")dt1dz дх '

"2（方）= 一 /，⑴屮⑺ + d/1,九+1（£«）, £（力一无（力，2） j

I 即 Q) dgQ(Z), %)1 成дхI 即 Q) dgQ(Z), %)1 成дх力h，切，屮（%）=一空評力h，切，屮（%）=一空評

I 即 Q) dgQ(Z), %)

1 成дх

I 即 Q) dgQ(Z), %)

1 成дх

力h，切，屮（%）=一空評

力h，切，屮（%）=一空評

Единственность оптимальной [траектории. Пусть в теореме 1 выполняется строгое неравенство: N > М、. Тогда, повторяя схему доказательства этой теоремы, убеждаемся, что приращение функционала AJ (и) положительно, если А①(力)展 0. Таким образом, если в

условиях теоремы 1 выполняется неравенство N > Мг, то оптимальная траектория единственна. Будет единственным и оптимальное управление, если вдоль оптимальной траектории система уравнений (5) относительно параметров uv имеет единственное репгенпе в каждой точке % С Т・

При условиях теоремы 2 для единственности оптимальной траектории достаточно потребовать строгую выпуклость по совокупности переменных {х, у} функции /1,п+1 (胃,У 5 •

Достаточные условия оптимальности в задачах с выпуклыми по управлениям функционалами

В этом параграфе класс допустимых управлений определяется как совокупность кусочно-непрерывных функций и (Z), % С Т, со значениями из ограниченного выпуклого множества U.

Нелинейные системы. Рассмотрим систему

勺g = /(2 (0, ” — 〃 ⑴)，

切?(9)

"x①⑴，心0,J

и функционал

J (〃)=屮(x (%)) + j %十£ (x ⑴，x(t — h(t)), и ⑺，t) dt. (10) io

Теорема 3. Пусть в дополнение к условиям 2), 3) теоремы 1 выполняются условия: 1) функция fn+l (胃，у, 〃,力) сильно выпукла но 〃 с постоянной TVp

^2/n+1 (方,У,辽,Z

。2/几+± (方,^, W, t 孙2

II @2/3, у,以 Z

IIдх ди

d2fn+l (^, D, w, £

寸5,|U)|"，

//Q, 沙，％) II уг

Тогда в задаче (9), (10), (3) при.

N±》2M2 十 2Л?з 十 Л/4,(11)

где

"2 =厶上6 {1+[厶十厶(九一办)(1 + ^) + ""] } X

, 义(力一%)exp £w(3 + ^)(力一%)?

"厶Г 2厶& [%+乙(九一力0) (1十^)+%"]X

X exp L](5 +^)(九一办)，

/% = ^"厶[厶+厶(力-％) (1 +"^)+£2人]X

*X expLi (1+ ^)(左一%)，

каждое допустимое управление и (力) является оптималь^ ным, если

Q (£), у (Z), 2 (О, W (/),方)小

一(算(以 "(*)? "(%)，%) . /л n\

IlldA万7辽, (丄乙)

〃(怎 у,电 и,方)=.屮了(怎 川 m，t) - fw(*y, 北")，

=—(13)

и функция 屮⑺ удовлетворяет системе (7) с Н из (13).

Доказательство теоремы проходит по схеме доказательства теоремы 1 и состоит в сведении неравенства (4) к виду

△ J (〃)》一} 0"'卫九屮'-‘5(0 dt^rN2 j II А" (0 fdt.

Sio

Первый интеграл неположителен в силу условия (12). Коэффициент TV? при втором интеграле равен числу N、— 2М2 — 2М3 — М&, которое по (И) неотрицательно. Таким образом, AJ (〃)^> 0, что и доказывает оптимальность управления и (Z).

'54ДО(：ТАГГОЧ1[Г>1!< >^СЛ0В1ГЯ O'iTHMATbllOL： ГН[Г,'I. VII

2・ Линейные системы. Если уравнение (9) имеет вид

—т (/) А{ (i) х (t — 〃)+ "«)&

где A (Z), 」i (/). b (/)——кусочно-непрерывнг.ге функции, в ф^шкционало (10) функции ф (.г), /*+! (.г, у, 〃，/) непрерывны вл1есте с 0(р/0/, djn+Jdx, dfn + Jdy, 5rl*，ди и. кроме того, функции ср (/), /" + | (х, у, 〃，力)вьшукл* по совокупности {х\ у, //}, то каждое управление "(力),％ С 7, удовлетворяющее условию (12), является оптимальным.

Единственность оптимального управления. Если при условиях: теоремы 3 в (11) имеет .место строгое неравенство, то опти.мальное управление zz° (力)в задаче (9), (10), (3) единственно.

Оптимальность управлений, удовлетворяющих принципу максимума

Недостаточность в общем случае условий макспмудш для оптимальности управлений видна из следующего примера.

П р и м е р 1. х и, х (0) =0,。二{〃： I I 总 1},

7’ = [0, 1], J ⑺丁 一 f 炉⑺ dt.

Условие дтаксимума и данном с口yqae имеет вид

屮⑴ и 伍)=max 2 ⑺ и,(14)

где 屮(方)一 решение уравнения 屮：一2/, 屮(1) = 0. Управление и (^) — 0. / g 7, удовлетворяет условию (14), х)тя, очевидно, не является оптимальныл!. Кроме тривиаль- I)го управления и (/) 三 0 з^словп^о (14) удовлетворяет еще счетное число нетривиальных управлений (см. § 6.6). Эгот пример показывает также, что у;ке в простейших cqy叮няк оптимальные траектории и управления могут оказаться неединстиенны.ми.

Идою исследования достаточности принципа ^макси- кума проиллюстрируем на простейшей задаче (().!), (6.2). Этот вопрос для задатг^ (6.12), (6.2) по той же схеме подробно исследован в [*36о|.

Итак, пусть при минимизации функционала ./(〃)= т(2(h))(15)

на т))аекторлях системы

^=j 8 К, t), X (t^ хп,(16)

найдена кусочно-непрерывная ф>-нкция 〃卄),乂 (％) g U, tgT, для которой

гр" (£) / (/ (Z), и (Z),= max 屮’⑴ / (觉(力)，w, /)

2疋U

с ф)тнки;иеп 屮(力)一решениел! уравнения

己屮己屮0广（无（2）,沙（%方）0广（无（2）,沙（%方）不屮（%）=不屮（%）=*「3 (片))дх*「3 (片))дх

己屮

己屮

0广（无（2）,沙（%方）

0广（无（2）,沙（%方）

不屮（%）=

不屮（%）=

*「3 (片))дх

*「3 (片))дх

Пусть функция Д~Я (х (0, “(％), 〃(％),力) на множестве

t^G ~ [01; 02], 〃£U, U — колшакт, отлична от нуля и найдется постоянная 0£〉“ при которой

А -//(2 (力),屮⑴，" (?)") W - 瓦 II △//(X (0,"⑴,川I，? £ 6 (17)

/Анализируя способ получения оценки для || Аее^ (^) || (см. главу VI), аюишо заметить, что

02

||A?(“Y02 I || А^/(х(т), и(т), r)\\dr,夭 7,02 = const, (18) если

八辽(Е)= 〃(力一u (%) = 0,(19)

Приращение функл,ионала (15) на приращениях упра- нпеннл (19) в ск” (17) удовлетворяет неравенству

02、

△/(〃)》“]||А 才(£«), 〃•⑺，t) II。

-j。，（心"（方）1|）" +。4（||△2（幻II）. （20）

"уств Il'S IIW，М 屮(川УЕ, ”(a) w a2a2, о4 (а)<АГ3а2. Тогда.―一

<2(02 —e^/fjAjPa J (I Д~/ (ж (т), и(т), т) || dr,

J J °i(M2(方川)山k/

W (厶一幻及2復[J II Аa/(2 ⑴,"(T), T)|| dr ?, 61

1。4 (II A2(力)II) IW 及3俄[j II A力(2 (T), и (т), T) II d工了.

и неравенство (20) принимает вид

02

AJ®)》也一2(82 — 8» K^L^ j |]А"3(т),"(叫，工川 dt —

62

-0红色一加及2 +及31[口|八"(2(吟"⑺，t)||dT了. (21)

Будем говорить, что на множестве а= [01? 02] управление и (^),力 £Т, удовлетворяет усиленному условию максимума с постоянной Pi, если неравенство (17) выполняется при всех U&U、力£о. Управление 〃(力), 〃(方)£U,方 €?, назовем оптимальным относительно возмущений, малых в среднем на о, если существует такое число е > 0, что /(〃 + △〃)——/ (и) > 0 для всех таких А〃(％), что и (t) -j-

62

+ Au(^) g U, А〃⑴=0 при 力"о и ) II / (^ (0> 〃(力 + 十 А〃⑺，力)一/(%«), и (Z), t) i| dt^z.

Управление и (Z), 〃(％)€〃,力 С ?', называется оптимальным относительно возмущений, сосредоточенных на о, если J (и + А〃) 一 J (и) ^ Q для всех таких А〃 ⑴，что "⑺-卜 An (%) U и А"(方)=0 при t q а.

Теорема 4, Пусть функции / (х, и, Z),屮(胃)определены и непрерывны вместе с функциями д/ (方，〃,t)/dx, д^/дх, (У-f (爲 〃，％)/。胃2, >(р/А/2. Тогда в задаче (16), (15) при 瓦 > 2 (02 — 也)КГЬ^2 каждое допустимое управление 〃(看)класса D, удовлетворяющее на о = [8九 02] усиленному условию максимума с постоянной р15 является опти- лшльным по отношению к возмущениям, малым в среднем на о. Указанное управление будет оптимальным и относительно возмущений, сосредоточенных на 三。，если дополнительно 02 —也 достаточно мало, а множество U ограничено.

Об оптимальности особых управлений

Хотя принцип максимума в общем случае не является достаточным условием оптимальности, но для линейных по состоянию систем он содержит все условия, обеспечивающие оптимальность управлений (теорема 2). Из примера 1 следует, что и не каждое особое управление является оптимальным. Для нахождения достаточных условий оптимальности особых управлений использование формул приращений функционалов k-vo порядка естественно в той же степени, как оно естественно при исследовании неособых управлений (§§ 1—3). Не затрагивая в общем случае этого вопроса, в данном параграфе укажем на задачи, в которых из существования особых управлений следует их оптимальность.

Пусть дано уравнение 二

. ^- = А{и, t)x + b(u, 0 (22) с непрерывными функциями / (〃, Z)T Ъ (〃, Z). Допустим, что среди управлений класса D минимизируется функционал

J (〃)= ф(2 (厶))，

где 屮(/)——выпуклая дифференцируемая функция. На формулы приращения функционала (6.3) следует

неравенство

AJ (〃)》—，ip (看)А/ [-<4 (〃(£), f) х (f) b (廿(力)，％)] dt —

—[屮'(力 Д^Л (" (Z), t) A/(方)成.

Поэтому, если управление 〃(£),方 £ 7二 таково, что

(23)(23)U a)a^ [4(〃 ⑴")②⑴丄b(〃⑺，切三0,力 i^ C U.

(23)

(23)

i|/ ⑴ A#/ (〃(%)，Z)三 0,

то оно оптимально. Покажедг, что условия (23) выполняются для особых управлений первого порядка, если система (22) эквивалентна уравнению

В данном зтунае ^матрица А имеет ]зид

0 1 о ...о

0 010...о

и принцип макси>!5тма приводит к усаовню

屮"⑺[一 S生("。(t)，方)抬(方)一м(w°⑴，力]J，

，'max 4« (0 [― 2 fli(w> t) ：i't (t)b (и, 0],

где 胃t (力)—川一 1)(%), 必(7) — компонента вектор-функции W(/) = {w1(力，….，w〃«)}， удовлетворяющей уравнению

j⑴=一/，("。⑴，介屮(勿 屮⑷=-g屮(力("2.

Типичным для практики систем (24) случаем особого управления является тождество

必(?)三 0. t g Т.(25)

Нетрудно подсчитать, что из (25) следует тождество в (23).

Теорема 5. В задаче (24), (15) каждое особое управление, для которого выполняется (25), является оптимальным.

Сведениелг к задаче (24), (15) можно получить и следующий результат.

Теорема 6. Пусть на траекториях уравнения (24) мини визируется функционал

J ® = ф(X (厶))+ j 九+1(7 ⑴，〃 «), 0 山，

где ф(X),力?tt(X, и, /)——непрерывные функции вместе с А屮(х)/дх, 3/鹿+£ (х, и, %)/А/, причем 中(/),力+i (胃，〃，％) выпуклы по х. Кусочно-непрерывное управление и (Z), % £ Т, является оптимальным, если вдоль него выполняются условия：.

j (0 = 一 /«" ⑴，n 中⑴ + %+1("职3,

"n (0 = 0, /几+1(X (Z), U (力方)V

＜九+£ (/«),% о,力 с т, и с и.

Достаточные условия оптимальности

Управления, порождающие оптимальную траекторию. Пусть на допустимых управлениях и (f) ^U и параметрах V £ V мттнимизируется функционал

'J (“，и) = j /п+1(2 «),〃(£))山，

определенный на траекториях системы.',

с начальными условиями х (力°) = g (и). Обозначим через М множество допустимых управлений “* (/) и параметров и* £ V, порождающих оптимальную траекторию х° (/)•

Пусть

я(2.屮，")=2'/ (%, ") — /,1+1(7, X),万仲，力=w'g (у), и 巾ункння 少(力)определена уравнением

^Ф G)— 8H (/(£),”(£), u (f))

Теорема 7. Для того чтобы

достаточно, чтобы и (t), t £Т, и удовлетворяли условиям

Я侬(力，屮⑴，uо)=max H (不⑴，W(方)，北)，(26)

九(屮伉)，u) = max h^(tu), и).(27)

Доказательство. Обобщая лемму 6.5 на рассматриваемую задачу, получим

j(〃，少)二一w'%)g(s— [ и(x(t^ w(o)dt^

Го

j⑴山.(28)

Допустим, что среди М найдутся оптимальные 〃°(f), и°:

-J(4°, и。)V J (〃，и).(29)

Но из условия {〃°, и°}£Л/, {и, v} QM следует, что / (%о “)，〃° ⑴)=/ (е。⑴，〃⑴)，и, кроме того, из принципа максимума для "° (/) и усновон (26) имеем /几十](%° ⑴，w° (Z))= =/几十I (况° «), & «)). Подставляя эти равенства и уравнения для 屮(力)，гю/55г4аем

.屮(/) |унО(・)，г о = W (力)|g 五(.)，行，

что совместно с (27) и (28) дает /(〃, v)^J(uQ, и。) в противоречии с (29). Теорелта доказана.

Однородные функционалы.

Теорема 8. Пусть вдоль траекторий системы

§ 6] ПРИНЦИП максимума в линейных системах 361

Аши ил I изир j? е тся функционал

где

%+[(?% й,提)=妇/十1(.瑞 u,必)，иг> — 1.

Тогда для оптимальности управления 〃° (力,tgT, и параметров и°, № необходиАю и достаточно, чтобы

"3()w⑺，公(7),館。)=)

—max/Z (x°(Z),屮(力)，и,

卜(30)

а*u(%)一("-外8?此方0(匕)=

= max ж «оН-(厶一外厶,〃)(％)]• {и, S£Q丿，

Здесь

上九,^«) = 2' (£)f (⑪⑴，з)—%_мЗ«), u(i), w), 刨(Z) = W'«)g(u),

Q ——множество управлений 〃(%), t W T, и параметров v, 〃‘,удовлетворяющих условию (30).

Доказательство. При условиях теоремы имеем

Поэтому из (28) и (30) следует

J 3, а 0)=一屮‘仇)g (")一(厶-z0)巩,ш (%)-

что и доказывает теорему.

В силу этой теоремы управления "° (力=土 1 в примере 1 из § 6.6 оптимальны.

Достаточность принципа максимума в линейных системах

Будем говорить, что функция 五(％),力 £ Т, является экстремальным управлением для уравнения

穿=4⑺z + 8⑴"⑴.(31)

где управление 〃(力)стеснено условием | их (/) | ＜：^, если

屮'(X) В ⑺ и ⑴—max 屮‘⑺ 5 ")辽，v - 1. . . ., г. (32) I мV

Здесь ip (^) — некоторое нетрпвиа. гьн ое решение уравнения

Рассмотрим решение 6?, 〃° (/), ГС Т, задачи лиипмп- зации нормы К х (厶)一々 II конечного состояния уравнения (31) при условии К х (力°) — Ci К ^ б], где Q, & —— заданные точки в фазовом пространстве (31), 61 — фиксированное, неотрицательное число. Справедливо утверждение:

Теорема 9. Пусть 〃(力)一экстремальное управление.

Если траектория х (^0, й (•), t) удовлетворяет условиям

2'(幻險仇)一Ql = m Н 2 匾)N,

炉佑)а—2(%(而),й(.), ^1)]=б2||1р(^)н,

то 辽 ⑴ ——оптимальное управление. Утверждение следует из теоремы 6.24.

Теперь допустим, что система (31) стационарна. Рассмотрим для нее задачу оптимального быстродействия (6.171) с фиксированными концевыдги условиями, х (厶)二一 —0,厶一конечный момент времени. Справедлива

Теорема 10. Если Г-допустимое управление и (•) экстремально, то 五(•) 一 оптилтальное управление.

Доказательство. В силу примечания к лем- Aie 6.13 экстремальное управление единственно. Т1о 乂° (•) —— экстремальное управление. Значит,几(•) = 辽。(•) почти всюду при t 》力о. Теорема доказана.

Единственность оптимального управления в задаче (6.171), (31) связана уя^е с определенными свойствами определяющего уравнения (1.110), Д = 0, /^ = 0.

Теорема 11. Пусть Т-допустимое управление й (•) в задаче (6.171), (31) экстремально. Если определяющее уравнение системы (1.110), Ах = 0, невырождено при t = t^ то и (*)——оптимальное управление.

Доказательство. Достаточно убедиться, что 厶一наименьший корень уравнения (6.175).

Так как определяющее уравнение системы невътрожде- но в точке 片=厶，то при некотором е справедливо неравенство

入(％ О <А (胃0, 3， t С & —* 力).

13 силу леммы 6.13 и полученного неравенства заклю- чаелх: 厶 一 лшнимальный корень для (6.175). Утверждение доказано.

II р и 乂 е q а н н е. Утверждения, аналогичные теоре- AuiM 9——11, справедливы в задачах лшнимизации нормы конечного состояния и оптимального быстродействия для системы с запаздыванием (6.156), при этом функция W (力)в определении экстремального управления ——нетривиальное решение уравнения

*=一.4* (?)屮⑺一г! (0窗(方:A)屮(方+期，

刀(方)tcWt44* - h, T](%)= 0,刀一力 W方W 厶.

Пусть дана система (6.136).

Область изменения 胃⑺ в (6.137)

G(e) = {e: e'z Vl}, e=4 07

при 3tsi управление и (t) стеснено ^^словием | 辽(力)|《1.

Рассмотрим задачу опти.\та,：[ьного быстродействия(6.17 j). В определении экстремального управления (см. (32)) функция 2(%) удовлетворяет уравнению

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 12. Пусть Т-допустимое управление 〃(•) в задаче (6.171), (6.136), (6.137) экстремально м 屮(力，Y 0. Тогда 五(•)一 оптимальное управление.

Утверждение доказывается как теорема 11, ибо функция (6.141) обладает следующими свойствами.

・7&w・w〃丄 Пусть Ф (力I) = 0. Тогда Ф (f) <： Ф (幻 для всех 力'〉厶；существует такое г 〉0, что Ф (产)> 〉Ф (幻 при всек f е (介 — ？，厶).

Доказательство. Первая часть утверждения вытекает из того факта, что траекторию системы можно удержать в начале координат. Докажем вторую часть.

Пусть е определено, как в доказательстве леммы 6.10. Тогда

①(％) = g'g— j |yz (0 [g— J 尸'(T)edp(T)H&— J dw(X

W max [g%一 [Iy' (力) I"g-[ь'(T)ё2卩“)]1d力一

io«0

—J dp ⑴} — f 卜’⑴[g - J 尸'(т) e d\i ⑴ J 山「 h

= Ф(Г)—[卜'⑴ I g— J 歹'(T)edp(T)J 卜九 Г/о

Последний интеграл равен нулю лишь в случае, если g— J 7^' (т) ed\i (т),力■<%. Но это равенство невозможно, так как

屮(幻=—(/T(3)[g— J 尸⑺ ed卩⑺]*0.

Лемма доказана.

Теорема 13. Пусть У-допустимое управление и (•) в задаче (6.171), (31), (6.136) экстремально и 屮(幻 f 0. Если определяющее уравнение (1.110), At = 0, невырождено, то N (•) — оптимальное управление.

Утверждение доказывается аналогично теореме 11.

Примечание. Предположение 屮(幻 声 0 в теоремах 12, 13 становится излишним, если существует Т-допустимое управление, при котором

е х (力)V 1, t € Т.

В этом можно убедиться, исследуя функцию Ф (力) Или используя рассуждения из [50а1.

К достаточным условиям оптимальности в задачах игрового типа

Сначала рассмотрим задачу терминального управления. Пусть рассматривается дви/кение

■^=--Ax+b(v, w),2(0)=g,力6?=[0,厶],(33)，

управляемое функциями и(力)gT7,恵諸)£力，t^T. Допустим, что найдены ^травления d«), w (t) такие, что

^г (Л b (и (%), w «))二 тахт/ ⑴ Ъ (〃 w (力))，

^'(t) b (и ⑺，w (力))=min ^r (Z) b (u ⑺，w),、

方⑴=胃(力U() U>(。))，' '

где ^(/) —решение уравнения (33) при » = u, 必=叫 a 屮⑴一решение уравнения

空一/纯，w(%)=_ *

Тогда {у (•), ip (•)} — седловая точка функционала

J 传,w) =de (幻，、

т. е. для всех v (^) g V, w(t)QW

J(〃 w)^J (v, w)^J (у, w).

Доказательство этого предложения полностью аналогично доказательству из § 1.

Пусть даны уравнения преследующего

票二/什席，y(0) = %,(34)

и преследуемого

无=+2 (0)=2°,(35)

объектов. Будем считать, что система (34) управляема и что кусочно-непрерывные управления у (Z),投(力)стеснены условиями

Допустим, что найдены такие ^'правления и (%), 力 £ Т, что соответствующие им траектории у«), z(£) систем (34), (35) удовлетворяют условию у (力。二么(厶)п

W'⑴ &u (力)-max W' (%)(36)

ф7 (^ b^w (Z) — min 屮(力)W"・(37)

Здесь ^)(t) — нетривиальное решение уравнение 雾(38)

Тогда функции v (Z),切(力 Z g Т — элементы седловой точки функционала момента встречи

% e(.)i(・))W厶 0()苏(•))《%((•), G(・))・ (39)

Для доказательства этого утверждения воспользуемся тождеством из § 6.4. Фунция е (%) = у (%)——z «) удовлетворяет дифференциальному уравнению

= Ах bkv 一 仇少， x (0) = % —纟0.

Поэтому вдоль траекторий х (Z) и 屮(力)из (38) выполняется тождество

屮，(％"(%) — ip' ^0)^(0)—『屮‘⑴仇 u«)&力一『х|/ (Z) b^w (/) dt. оо

Докажем сначала справедливость второго неравенства в (39). Допустим, что оно не выпо.чняется, т. е. существует управление и«), 0<；力总6， | ^ (Z) j <； 1, при котором преследующий объект достигает цели за время 0 < ^. По условию.-

屮'(力)6他⑺?屮'(方)，心⑴.■

Поэтому

ip^ (0)^(9)^.

=[屮'(0)工(0) 一 屮у0)之(0)]—[屮'(6)胃(9)—屮'(())X (0)]=

о0

ии二 j 屮'(方)，传(?)dt —「屮'(£)仇и (力 d方 > 0.(40)

и

и

0

С другой стороны,.

^f (t) &и (Z) = max 屮'(%) b*u =:屮'(%)仇 | 关。，(41)

2'(方)дОШ ⑺=min w'⑴ &e ~ I 屮'(方)ь？ I <0*(42)

Поэтому,

屮，(6) X (0)—屮'(8)2(0)—屮‘(厶)2(%)=

=—j 1|/ (0 b传(Л a力+ [屮'(方)，2恵(方)或 V 0, оё

что противоречит (40). Первое неравенство в 《39) доказывается аналогично. Пусть при управлении 切(％), \w\^l, 0<；力 Мо, преследуемый объект избегает встречи до момента о>〃. Управления и (%), w (t) на отрезок [厶,о] продолжим согласно условиям (41), (42). Тогда

屮’(?)b?w ") WW，(%) b2w (/),0 .式力总0,-

и поэтому (化(力)=^(%)-z(%))

屮'(o) x (o)=[屮'(o) x (a) — “(0)胃(0)]—'

—屮(о) e (о)—炉(0) e (0)]=

=j屮‘«) b2w⑴dt —『屮'(方)卽"(方)山W 0 ， (43) 00

Но поскольку свойства (41),(42) сохраняются для

ОС力式о, то

W' (0) / (0)=屮‘(0) x (0)一w'(厶)2(")=

二二J屮'⑴bxv⑴山一j屮'(方)方义(力)山>0，

что противоречит (43). Справедливость (39) доказана.

Примечания. 1) Предположение об управляемости преследующего объекта можно отбросить.

Если объекты считать нестационарными, то дополнительно следует предположить, что в момент % =力 выполнено условие теоремы 1.19, /工= 0, для преследующего объекта.

Существование управлений и (力)，^ (£), удовлетворяющих сформулированным условиям, доказывается в § 6.16. Там же указывается способ их вычисления.

§ 8. Единственность оптимальных управлений в линейных системах

Ниже исследуются управления задачи оптимального быстродействия (6.171). Сначала рассмотрим решение 以° (力)задачи оптимального быстродействия для стационарных систем

二 Ах Ьи.

Теорема 14. Если оптимальное управление 辽° (■) существует, то оно единственно.

Доказательство. Для оптимального управления и0 ⑴ справедливо равенство

壮(0 — L sign 自(力 g (外).(44)

Из существования w° (•) следует, что функция Е (厶 g (方紡=g' (%；)耳-1 (t) b не может обращаться в нуль на множестве положительной меры (см. примечание к лемме 6.13). Значит, соотношение (44) определяет функцию 以。(・)однозначно. Утверждение доказано.

Теорема 15. Пусть система (6.170)”

雾=N⑺2十碎

такова, что определяющее уравнение (1.110), Л А = 0, невырождено почти при всех t, t ^ Т. Если оптимальное управление в задаче оптимального быстродействия (6.171), (6.170) существует, то оно единственно. Утверждение следует из соотношения (44) и примечания к лемме 6.13.

Пусть дано уравнение с запаздыванием (6.156)

^― = 胃⑴ +/必« 一耳)丁 bu (/).

Теорема 16. Если оптимальное управление в задаче (6.171), (6.156) существует, то оно единственно.

В самом деле, функция g'(看)F (介，/) b не может обращаться в нуль на множестве положительной меры (см.

примечание к теореме 6.34). Значит, соотношение теоре- л1ы 6.34 определяет м° (%) однозначно, что и требовалось доказать.

Теорема 17. Пусть система (6.156) такова, что определяющее уравнение (1.110) невырождено почти при всех /,%€『• Если оптимальное управление в задаче оптимального быстродействия (6.171), (6.136) существует, то оно единственно.

Зто утверждение - -следствие примечания 【；теореме (),34.'

Теоремы 14—17 устанавливают единственность оптимальных управлений во всей их области определения. Если условия теорем 15, 17 не выполнены, то для некоторых начальных состояний оптимальные управления могут определяться теоремами 6.32, 6.34 все же однозначно. Выясним этот вопрос для простейшей задачи оптимального быстродействия [40Ь].

Дана система

票= А б # + ь g "、2%)一 人.

с помощью К5тсочно-непрерывньтх управлений и (/),

требуется за минимальное время，； 一 /0 перевести траекторию х (力)из точки 1rо в начало координат. Из результатов § 6.10 следует, что эта задача разрешима, если при некотором 八 неположительна функция

Л (Л, g) -：g'^ (it- f |g'S (小川 d/.

Наименьшее ", при котором p (") W 0，соответствует времени 力:——力° оптимального быстродействия. Оптимально е управление /4° (Z) удовлетворяет соотношению

△(力)h一£ sign 爲5 " /),которое однозначно определяет и0 (/) на множестве ■

Oi 二{力：g；S (", Z)，0,力 С 7}

Введем ^шравлепие

,八」小，

力е о»

t Q Т — о I.

Это управление переводит точку х0 в точку xi — S «；,制。)" 十 j S (匕 Z)f“(t)〃. По определению управления ui (t) для точек 胃°, ^! выполняется равенство g； [^j — ^0] = 0, т. e. точка xQ лежит в гиперплоскости ，： g；z=g；勺.Поэтому исходная задача свелась к нахождению управления и«), \u{t)\ <Л,力 £Т—о「при котором ‘

(45)(45)0 =々-н j S "：,力)и (%) 〃•Г—ci

(45)

(45)

Но поскольку мно>кествоI 口 (%)|《£}целиком лежит вНо поскольку мно>кествоI 口 (%)|《£}целиком лежит в{胃:е「j S (%；, t) и (/) dt, Т —Ci4, то задача имеет размер{胃:е「j S (%；, t) и (/) dt, Т —Ci4, то задача имеет размер

Но поскольку мно>кество

I 口 (%)|《£}целиком лежит в

Но поскольку мно>кество

I 口 (%)|《£}целиком лежит в

{胃:е「j S (%；, t) и (/) dt, Т —Ci

4, то задача имеет размер

{胃:е「j S (%；, t) и (/) dt, Т —Ci

4, то задача имеет размер

ность на единицу меньитую, чем исхсдная. Найдем

Pi (", а)匚九1 G，a, g2)= max 儿(％, а, g),]

脑(当 a, g) = g'勺一“ [|g'S«：, £)|d九I (4"

Очевидно, p工(％：, £)总入(力；，g/ = °・ Поэтодгу найдется такое 厶,ОС厶其厶 что р±(£；,厶)=0. Тогда одно из управлений, разрешающих задачу (45), имеет вид

口:⑺=一厶 sign g；S (制力，力 £ 7 - s, (47)

где g2 — вектор, разрешающий задачу (46) при а = L： Соотношение (47) определяет 辽;(力)однозначно на множестве 色={力：g；S (%；")声 °, % £ 7 —о} Положим

'/()力 £%,

e2 (方) — < e：(力)," £ a2>

Это управление переводит точку 1ro в точку 3 = S(力;，&)十 + j S 9,讣乜2 6dt. Нетрудно проверить, что мно/Ке- |-(7“

ство {%:况= J S (t^, t) u(t) dt, |?/(/)|-<^| лежи г T - (Ji -02

в (^―2)~мерной гиперплоскости 厶：g[x = ^^1? g；% = g；4・

Исходная задача теперь свелась к решению задачи

0 = & + j S (^, t) и (Z) dt.(48)

Т-СГ1-П2

Составим функцию

P?(内 a)-入2 G，a, g3)二 max 入2 (足 a, g),

g'gig'AO(49)

入2$, a, g) = g'g—a J \^S{t^t}\(lt.

Ясно, что рз(%；, £i)W°・ Поэтому найдется число Л2, 0< ■<£2总£匕 такое, что Р2(力;，上2)= °・ Одно из управлений, разрешающих задачу (48), имеет вид

—厶signg；S(普，力)，tQT —-0,

где вектор g3 — решение задачи (49) при a 二二&• Продолжая этот процесс, встретимся с одним из следующих сл^^чаев.

mes £ s=mes Т при некотором к^п. Тогда управление

„ 小,":")，酸6,(方)=7

以1(力力ебе，, однозначно определенное на Г, будет решать исходную задачу.

mes у Gj VmesT. Управление

"⑺，t^T - .E 6]"⑺，t^T - .E 6]

"⑺，t^T - .E 6]

"⑺，t^T - .E 6]

где u«), I и (t) \ ^.L — произвольная функция ua Т - —£ о», решает исходную задачу приведения точки /」 в начало координат.

Из построения ^шравлений %々(£) следует утвер;кдение: задача оптимального быстродействия для точки х0 имеет единственное решение тогда и только тогда, когда выпо i- нены условия:

при некотором к, 1 ^к^п, mes 2б-=Т,

2)厶=厶 X = 1,.・・，А: — 1.

Примечание. Изложенная схема допускает очевидное обобщение на случай нескольких входов.①орма же изложения никак не использовала частный вид исходной системы. Поэтому эти выводы справедливы и для системы (6.156). Перенесение схемы на системы с нелинейным входом проводится непосредственно, если учесть, что на каждом этапе мы выделяли множества о, на которых управления и?⑴ однозначно определяются вектором ①+八 Эта ситуация имеет место и в общем случае.

Задачи оптимизации с иерархической системой критериев качества

При пояснении существа рассматриваемых в этом пункте вопросов ограничимся задачей предыдущего параграфа.

Понятно, что если задачу оптимизации решает не одно управление, то естественно из этого множества выбрать такое, при котором система оптимальна в смысле дополнительного критерия. Если и в новой задаче несколько решений, то вводится третий критерий и так далее.

В общем случае имеется система критериев [219]

J1 ("), /2(")’***

и требуется найти допустимое управление 〃° (Z), при котором выполняются граничные условия и

/](〃)= min /[(〃)， J2 (辽)二 mi” 丿？(〃)， 虱(，)£5(-)"h(-)eg2(-)-

Здесь U] (•) — U (■) —— заданный класс допустимых управлений, U2 (•)工｛и (•): J](〃)二 Ji (^0),〃 (•) С

6 U1 (•)}, и т. д. Эту задачу с иерархической системой критериев можно обобщить таким образов, чтобы она имела смысл в тех случаях, когда задача оптимизации с одним критерием имеет единственное решение. Действительно, пусть задана система управления, граничные условия, класс допустимых управлений, упорядоченная система функционалов

J1 (〃)，，2 (〃)‘ • • •，，т (")，^m + i (〃)

и совокупность чисел %, . . ., 8Ш.

Задача. Среди доп^^стимых управлений, удовлетворяющих граничным условиям, найти такое 〃° «), что

J；(zW)V min J](u) + q,

«(■)£П1(.)

A (w°) < min /2®) + % •.., 口(，龙u2(，)

丿 m ("°) miu Jm (zz) 丁

虱(■ )£^m( •)

J"计](〃°) =73mmJm+L (^) •

U(・)£U^+1(・)

Здесь L\(・) = U(・)——заданный класс допустимых управлений,

С‘2(・)= {а(・)： "(•)€〃(•)，

min J/и) + %},

'U(・)£5(・)

0炽1(，)={u(，)：e(，)gи力г(・)，

Jm(〃)C minJm (w) -；- e7n}.

我(。)丝加。)

4исла e{, . . ., 8m могут задаваться заранее или выбираться по ходу решения (в зависимости от результатов предыдущих этапов). Покажем, как использовать схему § 8 для лшнимизации системы функционалов

J】®)=力—办，J2 (〃) = j。2«) u (0 dt,...,

“(〃)二丁 I (方)E (%) dt.

Найдем и/力)，О], х1? g〔 по описанной в § 8 схеме.

Далее, вместо задачи (45) рассмотрим задачу

Ок/十 f 5 (Zp t) и (0 dt, 0——6+ j a2 (t) и (Z) dt. (50)

Составим ф^шкцию

Pi(B)=L(3g2,/2)= max % © g,/), 川十I囿INI, g'gL=O

储(3 g,/)二 g'zi —『卩一乙 J |g'S«；")T-/a2(6)|d/.

Если в задаче (45) £〕＜£, то найдем лхинилхагхьное 卩㈠ при котором Pi (Pi) 0. Ясно, что 5тправленис

"；«)= — £sign[g；S(q,力)+ 厶出(力

Ашпимизирует функционал 厶(〃)・ Пусть

02 = (/: g；sa:, 04-/2a2(^)¥:0, t^T - Положил!

"(方)，方2,

u28)="式力)，力

、 0, 力 G? ——•

Далее, вместо задачи (48) решаем задачу

(54)(54)0=& + J S (^, t) u{t) dt.

(54)

(54)

§ +[ a3 (t) и (t) dt,

T —01—02

Если в задаче (48) окажется, что £2 V 厶 т。найдед! по описанной схеме min J3 (〃)н т. д. Если уже на первом этапе 厶匚 £, то соотношение (5()) ставим вместо (51) и находим 丿2 (卫). Дальнейшие выкладки очевидны. В результате пол^^чим релейное управление, оптимизирующее иерархическую систему функционалов.

Примечание. В § 8 оптимальное управление, переводящее точку х0 в начало координат, получилось К5тсочно-постоянным, имеющим уровни £ь £?, . . . Из результатов этого параграфа следует, что в ли-нейной системе всегда существует релейное управление (и 〃)= ± 厶)，

переводящее точку за минимальное время в начало коор- дин ат. Чтобы найти это управление, нужно решить задачу быстродействия с какой-нибх^дь иерархической системой критериев.

Решение общей задачи оптимизации иерархической системой критериев в тех случаях, когда эти критерии типа критериев из §§ 6.9—6.11, проходит по схеме, что описана в этих параграфах. Здесь не возникает принципиальных трудностей.

Корректность постановки задач оптимального управления

В этом параграфе исследуются свойства решений некоторых задач оптимального управления в зависимости от начальных данных и параметра. Ограничимся случаем, когда функции управления 〃 （方）в исследуемых задачах суть измеримые, почти всюду ограниченные функции, удовлетворяющие неравенству

vrai sup I wv （t） \ L, p=L . . ., r; L const.

Пусть J （z°,卩o） — значение оптимизируемого функционала для начального состояния z0 С £几 и значения 卩。 параметра 卩 С A, Q — область в пространстве состояний и значений параметра, для точек {z°,卩} которой определены оптимальное управление и — w° （z0, ц,力） и функция J （z0，卩）.

Определение 1. Оптима.чьное решение {7 （z0, ji）. u° ⑸，卩，方）} назовем непрерывным в точке {s0,卩}, если для любых е> 0, о〉0 существует такое 5〉0, что неравенства

\J 卩）一 J （z（）,卩）I <p, mes Ед <8,

、 8fe = {T： I 或（Z0，卩，力）一或⑸，卩，/） I > 0}

выполняются, как только |j z0— z。；： | 卩一卩 | V 8.

Будем говорить, что задача оптимального управления поставлена корректно, если оптимальное управление единственно при «о,卩} G ° и решение J（20, В）,公 Go, ",力） непрерывно по {^0, ц}.

Применение методов функционального анализа.

Линейные с и с т е ai ы. Задача м н н и- мизаци и нормы конечного с о сто япи я. Пусть правая часть уравнения (31) зависит от числового параметра 卩，т. е.

——Л (Z, р) х В (/, ц) и (^) f (t, и),(、)2)

|'де 卩 £、，八『｛卩：卩iV 卩 V 卩 J, o^ieAieirrin мггтриц А (/, ц). *(方,卩)неп])ерывны по /,卩,имеют по f непрерывные производные «，1)~го гюрядьа, функл,ия / (九卩) непрерывна по /,卩.Зафиксируем 卩.Для удобства фо омули ровок в веде?*! определение.

Определение 2。 Еслп определяющее уравнение (1.110),

办⑴二一4 (/, ") ^7 ⑴一第一](力)，窕 ")= 〃(厶")，

Z 1 , . . . ? Г,力厶) где Ьг (I,卩)一2-宓 столбец матрицы В (/,卩)системы

^ = A(t, |i)x + 5(i,(1) u(t),(53)

невырождено для каждого Z =- 1, . . г почти при всех t ^ /0, то систему (53) назовем нормальной.

Пусть система (53) нормальна. Пусть требуется мини- дшзировать норму 〃 х (厶)一/ |1 при условии, что

I и、.(Z) I11 / (力о) 3 М、М 谷1‘ * =儿

Здесь 厶一фиксированный момент, 6] — заданное чис；(о, Ci, & ——заданные точки. Обозначим через 6° (q： &，卩)， 〃° (/, &,卩，t) решение этой задачи.

Теорема 18. Функции uQ (q, &, ц, t), 6° (%, q,卩)непрерывны по %, &, 卩 в каждой точке Еп X Еп X А, если (5° > 0.

Доказательство. В рассматриваемом случае величина с, преобразование 5, матрица F из (6.127) зависят от 卩.Поэтому будем далее писать их с индексом： Q，Sr,耳乩・ В силу теоремы 6.26 величина 6° 厂 6° (q, &,卩) определяется условием

3°(Q, Q?，ji)： так A(q, j, p, g) —A(Q, &,山 go), (54)

A(Q, &,卩* g)二=g'心 + FЦ (九)F(f (Zo) Ci 一 &]—

一〃]『又:|一自|!/乙亿)/^](公｝ (55)

Непрерывность б° (q, с2, r) по Q, с2, 科一следствие непрерывности функции (55) по этим переменным. В силу теоремы 15 функции “，(q, &,卩，力)однозначно определяются соотношением

“°(Q, &,卜I,力)=—乙 sign g风.(56)

Докажем сходимость по мере 〃。(q, &，卩,0- Пусть {q, q,卩}住 f {q, &,卩} при 左一> 8. Ясно, что совокупность векторов {g^}, определяющих оптимальные управления w° (clk, с?互,卩互,力)， ограничена равномерно по к. Если glti^ —a g, то

g'[4,一ь回 (厶)%1 (力0) Q - Q] - £ II g'凡 II -

~ II ?'/](%) /‘/ (，0) II Mg: [% + % (%)时I (%) Q -m —

一 〃也%!： —5/"以(力"Т(仙(57)

С другой стороны,.

以7氾库储北Ja%九(厶)47力(幻C^'m~C2hm] -

一 L И 或"5m J| 一 6, И g'hmF^im (幻同,闯 II >

十/%小(力)分口力(力0)3方"L3"」一

一£ U(力)%;(%)II- (58)

Переходя к пределу в (58) и сравнивая с (57), 5гбеждаемся, что g‘ [Си + & (九)Л^1 (^о) Q ——丄 II g'Sjx 1| ■

(^)11 = 6°.

В силу нормальности системы (53) имеем signg；Sjx 二 =signg'Sjj почти всюду на Т. Таким образом, каждая последовательность управлений 〃匕(Q&,办九,卩儿，力),определяемая соотношением (56), содержит подпоследовательность 或 Cmm с2Am 卩方巾，0, которая сходится к U%(Q, 3,卩") почти всходу7- Это значит [112], что функции 或 伍庄,方目,卩我") сходятся к 〃&(Q, с?, ц,力 ло мере. Утверждение доказано.

Линейные системы. Задача оптимального быстродействия (6.171). Обозначим через Т (х0, ц), и° (х0, ц, t)——решение задачи (6.171) (здесь и ниже Т (笈“ ц) — оптимальное быстродействие). Пусть дана система (52)...

” Теорема 19・ Для того чтобы функция Т （胃о,卩）была непрерывна по 力°, |i, необходимо и достаточно, чтобы для каждого сколь угодно малого о > 0 существовала окрестность Ад точки {0,卩} такая, что все точки {% ji7} £ До имеют （力о + а）-допустимые управления.

Доказательство. Необходимость очевидна.

Достаточность, Пусть

М = {{^о» 卩'}： II ^о 一 宠о М + I К — 卩 I W 6}・

Рассмотрим совокупность траекторий для （52） при {/；,卩，} С Рз, порожденную управлением и = и° （况о, |лт t）. Пусть 己（/；,科'）——сечение этой совокупности гиперплоскостью 力=力。Т— Т （х0,卩）. Зафиксируем о, выберем 5' W 5 так, чтобы 占闻，卩）£ А『Это возможно на основании непрерывной зависимости реитения х （^0,卩, W° （хо,科,力）,t） ОТ/0 И 卩.Если 忆三（/0,卩,t） --（力0 + 0） -допустимое управление для точки {况（）,卩} £ 占（宠；,卩'）,то, полагая

,,、J 〃。（方0，n，力），力0 W力W%+/（/0，卩），

“（%, м，% 力-?（&,① у 力，

получим Г-доп5^стил1ые управления （Т = t° + T（х0?卩） + о） для точек {/；, н'}Сбб‘・ В силу теоремы 6.32 для этих точек существуют и оптимальные управления и°（е；,卩'：t）. По построению

7（%, М） WT（2o, т + о.（59）

Допустим, что

inf 7（/：, ^^Tf <Т {xQ, ц）.（60）

Выделим из множества {〃。（/；,卩',力）,{况;，卩‘}СВв’} слабо сходящуюся （в смысле £? （%,方。+ Т'）） подпоследовательность U。（* 卩A, Z） и положим 窃=* 卩=岡， w — ="。（胃3,卩片,0 в （52）. Нетрудно видеть （переходя к пределу при к оо в （52））, что точку {况°,卩} люжно перевести в / = 0 за время т < 71 （х0?）_i）. Это невозможно. Следовательно, Т = Т （宠°,卩）.

В силу произвольности о заключаем： функция Т （宠。卩） непрерывна в точке {х0,卩}. Теорема доказана.

Теорема 20. Задана оптимального быстродействия (6.171) в системе

警=Ax+bu поставлена корректно.

Доказательство. Если система управления нормальна, то для каждого о существует окрестность Да точки 片 = 0, удовлетворяющая условиям теоремы 19. Поэтому функция Т (况°) непрерывна по 宠°. Из теоремы 14 следует, что управление u° (х0? t) единственно во всей области Q

Если определяющее уравнение этой системы (см. (1.110), 4 = 0) вырождено, то функция Т (х0) определена в области ◎丸 из А：-мерного подпространства, и, очевидно, непрерывна в Q丸.В силу теоремы 14 управления w° (х0, t) в Q总 определяются однозначно. Непрерывность функций w° (片о,力)доказывается, как в теореме 18.

Из теоремы 19 следует утверждение. Задача (6.171) в стационарной системе

雾—Ах + Ви

с граничными условиями: х (Zo)=宠(),х (厶)=а, \\ а \\ =^= 0, поставленна корректно тогда и только тогда, когда множество

{и： и = Аа + Ви, I uv I Л, V = 1, . . г} содержит точку и = 0.

Теорема 21. Если система (53) нормальна, то задача оптимального быстродействия (6.171)т (53) поставлена корректно.

Доказательство. Непрерывность функций Т (х0,卩)следует из теоремы 19 (см. § 1.15).

В силу теоремы 15 функции и° (х0, ц,力)определяются в Q единственным образом. В непрерывности и° (宠о, ц, t) убеждаемся, как при доказательстве теоремы 18.

Нелинейные системы. Задача (6.171). Пусть дано уравненке

-^ / (х, и. ц,方)，(Gt)

где х g Еп, ug Е『卩 £A, 〃(・)£。±(・)・ Предположим, что функции / (胃,и, ji.力).〃/ Q『,df ди непрерывны в Еп х

380 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ (ЛГП1МА.'!ЬН()(/П1 [ГЛ. \1Т

М Er Е, х £\, удовлетво[)яют условиям Липшица равномерно ио 卩 в Еп, / (0, 0, ц, t)二 О,

Пусть х (х0, ).1, 〃(•)/) — непрерывное ppiueHmz уравнения (61), порожденное управлением w (•) € U^ (•). Обозначим матрицы df/dx, df/du соответственно через А (勺，р,方) Ри (х0.卩,0 и запишем уравнение в вариациях д;гя (61) вдоль траектории x(t) =х (^0? ц, 〃(•),力)• Имеем

~ Р (х0,卩，t) 8,jc-\- Ри (j：Oj 卩，力)&/. (62)

Обозначим через 尸(х0, ц, %) фундаментальную матрицу решений системы (62) при 8и = 0. Будем говорить, что выполнено условие Л, если, какова бы ни была непрерывная кривая, являющаяся решением (62) при и (•) 6 U^ (■) или пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных решений (61), также порожденных управлениями из U±(・), функции

1 (/0,卩，方)九(/0, Ц, /)],/

вполне линейно независимы при всех / = 1, . . ., г.

Условие Л равносильно требованию: систедга (62) нормальна на всех непрерывных решениях (61) и пределах равномерно сходящихся последовательностей траекторий (61). Пусть во всем пространстве Еп X А выполнено условие А,

Теорема 22. Если в точке {х0,卩} существует решение 辽。(胃(),卩,力)задачи (6.171), (61), то можно указать 6-окрестность точки {х0? |л}, для которой задача также имеет решение. Функция Т (②°, м) непрерывна в точке {胃°,卩}.

Дока зательство. Так как выполнено условие А, то для данных т° = /0 + Т (х0, ц), о〉т°, как показано в [64е], существует окрестность А。точки {人，卩} такая, что для {/；, ц7} £ ^^ можно построить сг-допусти- пое управление и。(/；, ц', t).

Рассуждая, как в доказательстве достаточности теоремы 19, убеждаемся в существовании окрестности 0》 точки {х0?卩} такой, что выполняется неравенство (59), где о —— сколь угодно малое число. Так как семейство траекторий

{胃(力о, |1,卫(•), 0, {^о, ц} С В”，〃 (•) G 〃匕(•)}

равномерно по х0, ^, и (•) ограничено и равностепенно по t непрерывно (§ 5.1), то неравенство (60) невозможно. Теорема доказана.

Следствие. Множество Q чочек ｛胃°,卩｝, для которых задача оптимального бьтстродействия (6.4 71) имеет решение, открыто.

П р и м е ч а и и е. Если выполнены некоторые условия, обеспечивающие единственность оптимальных траекторий для (61), то можно доказать непрерывность функций "0 (х0, р, t).

2・ Дифференцируемость функции Беллмана 1. О существовании гладкой функции Беллмана. Пусть матрица В (厶 卩)в системе (53) имеет размеры п X п, является неособой при 方》方о, N С А； управление и (•) удовлетворяет условию

〃(•)£〃•)」〃(•)： У 满⑺W/Д IQT]. (63)

Рассмотрим следующую задачу. Определить >шравле- ние u'] (•), при которо.ч

||z(4),小"<’(•),厶)||=： min [[*(芻,卩,7，(，)"]川=6(g,"),

Предположить что матрицы Л (力 ц), В (力卩)непрерывно дифференцируемы по 卩 до k-】o порядка (включительно).

Теорема 23. Функция б (х0,卩)имеет непрерывные производные любого порядка по х0, непрерывные производные 左-ro порядка по 卩.

Доказательство. Пусть 5 ——некоторое положительное число. Найдем условия, при которых траектория уравнения (53) удовлетворяет соотношениям

?(%) =外，II ?(马，…/ (•),九)IV& 3>(),"⑺e方()(64)

Так как в силу формулы Коши

/ (义。，卩，" (• )- / j)二二，& (厶)/ 乩(方0)&1 丁

二，尸"(乙)%‘ (T) 8(T, Q "(T)也

то (сх・ § 6.10) условия (64) выполняются только тогда, когда

maX] {g%“ (&) —Z j ||g，S(厶，^)||Л —6||g||J <0. (65)

Здесь

0卩(0)= 4沫(力i)尸J (幻力o， S (力1，t)=方卩(厶)/ J (T) з (T，卩)， Положим

入◎厶，邑 g) = ”gH+£ j \\g'S (t^ t)\\dt.(66)

Условие (65) эквивалентно неравенству

min X (6,厶，卩，g) = A(6,刀，p, go)N 1(67)

при

g"u (&) = ].(68)

Нетрудно убедиться, что Z (6, “, х0,卩,gj непрерывна по переменным б,厶,力°,卩.Итак, ф^шкция б (^0,卩)есть решение задачи

min入(б,厶…，g)工入(6,厶，小g# = 1(69)

при условии (68). Допустим, ЧТО [Cr (况0)]]声 0, и исключим переменную gi = [gh в (67), (68). Тогда

入(3 ^i,卩，g)=入(6,力i，卩，g),

?= {(1 — W g"“(&)b) [%(&)『，g2,

Величины go% i> 2, определяются из условия

Pi (6,乙,м，g, g2,…,gn)='入 ®^；“ 合=°-(7。)

Используя (66), нетрудно убедиться, что функциональный определитель для системы (70) отличен от нуля. А так как функции Pi (•), » = 2, . . ., п, имеют непрерывные производные по xiQ (произвольного порядка), по 卩 (左-го порядка), то такие же производные имеют функции go = go (^о, |i). Из (69) имеем。入/06 = || g II > 0・ Функ-

ция 入(6, %,况о, fi, go) непрерывно дифференцируема по д, 卩 (как и функции pt (

Значит, как и выше, в силу известных теорем о свойствах неявных функций заключаел!： функция 6 (力°,卩) имеет непрерывные производные любого порядка по 力° и непрерывные производные А-го порядка (включительно) по 卩.Утверждение доказано.

Теорема о существовании кусочно-гладкой функции Беллмана. Для нормальной системы

где 辽(•) С 〃± (•), исследуем решение и0 (况°, 0, Т (力()) задачи оптимального быстродействия (6.171). Пусть л (况，力)一поверхность в пространстве Е^ X %, % W 力о Т-

Т (况°), где и0 (力о,力)меняет знак.

Теорема 24. Функция Т (力°) непрерывно дифференцируема (произвольное число раз) по 力о, || 优° || 0, за исключением точек {力°,力°} Е л (力,t).

Доказательство. Пусть в (53) неособая матрица В (厶卩)имеет вид

'仇1«)卩仇2 ⑴ * • * И^1п (0 '

5(3 卩卩 1 V 卩 V 卩2, A1(£)卩з2") 畋^⑴.

卩串 2<°，u(-)QU (•). Решение задачи (6.171), (63) обозначил! через Т (况°,卩),и (^0, р, f). Функция Т (^0,卩)в силу соотношения (67) и непрерывности функции (65) по 九 удовлетворяет условию

入 «1,况о,卩)=£ % Ei = ±o 寸 Т (况о，卩),

X (厶，力0,卩)= mingь卩(*0)= _1X (厶，力0,卩)= mingь卩(*0)= _1J ||g‘s(3,川| 山.toJ ||g‘s(3,川| 山.to(71)(71)

X (厶，力0,卩)= min

gь卩(*0)= _1

X (厶，力0,卩)= min

gь卩(*0)= _1

J ||g‘s(3,川| 山.

to

J ||g‘s(3,川| 山.

to

(71)

(71)

limf (&,卩)=7 (&).ц->0limf (&,卩)=7 (&).ц->0(72)(72)

limf (&,卩)=7 (&).

ц->0

limf (&,卩)=7 (&).

ц->0

(72)

(72)

Из неособенности матрицы В (厶卩)следует, что рассматриваемая система нормальна, поэтому, применяя теорему 21, имеем

Так как функция Т (力°,卩)имеет [74f] непрерывные производные любого порядка по z0, || ^0 || ^ 0, то

必(.算» 口) _ m (小 0 n)/ 〃小力，/5 e)(7?)

дхдх /(〃 1*

Пусть А；“)一такая окрестность точки 7c. что множество АхоПл^,办)нусто. Из (71), (73) видно, что фунь- ”Ш1 (73) ограничены равномерно по 卩，四 ^С|丄^卩》

Так как функции

равномерно по 况山 卩 ограничены, то ф\нЕ<цип (73) непрерывны равностепенно по ^0,况° £ А仙.Пусть

lim学产=0(必).

Из (72), (73) имеем сг(д) = ^У^, х'о £ z\,Vu. Ясно, что функция a (z0) непрерывна. Можно убедиться, что в А由｝ равномерно по 卩 ограничены и равностепенно по % непрерывны производные любого порядка для Т (х'о,卩).

На этом доказательство завершается.

любого G > %о существует окрестность AG нуля х (•) =0, для точек которой можно построить а ——относительно допустимое управление. Как в доказательстве теоремы 19, убеждаемся, что Т (^0 (•)) непрерывна по ^0 (•)*

В силу теоремы 17 оптимальное управление определяется теоремой 6.34 единственным образом. Непрерывность функций 乂。(况о (•), t) доказывается, как в теореме 18.

Примечание. Задача (6.171) для стационарной системы (6.156) поставлена корректно. Утверждение доказывается аналогично теореме 20.

Рассмотрим систему (74). Справедлива

Теорема 26. Если линейная модель системы (74) нормальна, то функция Т (^о (•)) в задаче (6.171), (74) непрерывна по 圮о (•"

Для системы (74) справедлива теорема, аналогичная теореме 19, поэтому доказательство можно провести, как доказательство достаточности теоремы 19.

Комментарии к главе VII

Как уже отмечалось во введении, аппарат исследования приращений функционалов традиционно используется в вариационном исчислении при установлении достаточных условий экстремума. Этот метод в теории оптимальных процессов впервые использован в работе [И4а], где получен ряд результатов об оптимальности управлений, удовлетворяющих принципу максимума. Достаточность условий максимума для задачи оптимизации линейных по состоянию систем показана в [114b, 77с].

Другой метод получения достаточных условий оптимальности основан на динамическом программировании. При этом задача сводится к исследованию функционального уравнения Беллмана [11b] или его обобщения [77с]. Ряд результатов в этом направлении получен в [18d], где сформулированы также условия, при которых принцип максимума выступает как достаточный признак оптимальности.

Проблема достаточных условий оптимальности всгзнпкает всякий раз, когда оптимальные управления ищутся, исходя из необходимых условий оптимальности. Одна схема доказательства оптимальности управления, удовлетворяющего необходимому условию оптимальности, состоит в проверке двух свойств рассматриваемой задачи: 1) задача имеет решение, 2) решение задачи един? ственно. Оба эти свойства трудно проверяемы в общем случае. Поэтому возникает задача поиска других условии, гарантирующих оптимальность конкретных управлений.

Функции, участвующие в формулировке теоремы 1, считаются определенными и непрерывными. Неравенства, фигурирующие в условии 3) теоремы 1, предполагаются выполненными в некоторой окрестности траектории х (£) ирп t £ Т, которая

(окрестность) содержит все траектории уравнений (5), порожденные всевозможными допустимыми управлениями.

Теорема 2 для систем обыкновенных дифференциальных уравнений н для функционала (1) с 屮⑷ = с'н, /п+1 Q, у, u, Z) = О доказывалась неоднократно [И4Ь, 77с].

В работе [36е] доказаны более общие достаточные условия оптимальности, основанные на формуле (4).

Так же как в теореме 1, все функции, участвующие в формулировке теоремы 3, считаются определенными и непрерывными. Условия 1), 2) предполагаются выполняющимися при t £ Т, u С U н при всех с, у, принадлежащих области возможных значений х (Z),力 £ Т, порожденных допустимыми управлениями.

Число £, характеризующее в теореме 4 оптимальность управления относительно возмущений малых в среднем на о, удовлетворяет в силу (21) неравенству

Bi - 2 (0? - e" K江他'&—ВМК2(£1-%)+Кз] •

Для оценки величины 02 ——8储 при которой допустимое управление из теоремы 4 является оптимальным относительно возмущений, сосредоточенных на о, поступаем следующим образом.

02

Пусть G= sup И (х (Z), и ⑴，Е) ||. Тогда \ |] А〜/ (х (Е), &£U,花т u /1 "

м (Z),力)\\ dt -^ G (02 — 91), и пз (2() следует искомая оценка

'2 7 2勺l]§2+网/2 (九一%)+k3]g"

Постоянные, участвующие в формулировке теоремы 4, легко выражаются через характеристики системы (9) н функционала (10):

/< II ，西體"(exp4("一加，/ 《K"] 一"空产"I， &《||^^||，阮 W exp 厶丄("一").

Неравенство (17), лежащее в основе доказательства теоремы 4, является естественным в силу определения функции А〜Н (н；屮, u, Z) и_ свойства (18) для приращений траектории. В [114а] при доказательстве достаточных условий оптимальности наложены дополнительные ограничения на управления м (£), t £ Т, которые обусловлены методом доказательства.

Достаточность принципа максимума в задачах быстродействия для линейных стационарных систем доказана в [18d, 38b, 186] в предположении, что система управляема. Без этого предположения в более общем случае (с учетом фазовых ограничений) достаточность принципа максимума показана в [50а].

И. Единственность оптимального управления в задаче быстродействия для управляемых систем доказана в [38b, 163]. Различные условия единственности оптимальных управлений получены в работах [64а, 74а* п].

Глава Vlll

ПРОБЛЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ

Два способа улучшения допустимых управлений

Первый способ. Пусть дана система

多，=/(况 a), X(t-h(x, u, 0), u ⑦,力)，力 £7；瓦，3，(1)

и требуется минимизировать функционал

J 3) = ф (/ (幻) ' (2) на траекториях 力(%),力 С Т, порожденных начальными условиями 况⑺ 工①(%), t £ S。，и функциями 乂 «) класса 〃八 Будем считать моменты ^0,九 фиксированными. Допустим, что на траекторию 力(%) наложено ограничение

g (力(％)) < 0. (3)

Относительно функций / (力,у： и, t), Д (优,м, %),屮(力),g (优), Ф (力)предположим, что они удовлетворяют условиям теоремы 6.5. В § 6.2 показано, что если минимум функционала (2) достигается на кусочно-гладком допустимом управлении и (%), то оптимальное управление zz° (t) в каждый момент t ^ Т удовлетворяет условию максимума

⑷⑷А“* А (ж0 (0, у0 (厶 w° (/)),屮⑴，и (Z),力)《。

⑷

⑷

при всех 〃* С 〃，где 修(优，y,屮，при всех 〃* С 〃，где 修(优，y,屮，力）=屮'/（2, У, U,力）,力）=屮'/（2, У, U,力）,

при всех 〃* С 〃，где 修(优，y,屮，

при всех 〃* С 〃，где 修(优，y,屮，

力）=屮'/（2, У, U,力）,

力）=屮'/（2, У, U,力）,

у（力 〃） = /（力一％（芻〃，力））,у（力 〃） = /（力一％（芻〃，力））,d屮 (%)_ 6h (/,屮，m)成—6/ (t)d屮 (%)_ 6h (/,屮，m)成—6/ (t)

у（力 〃） = /（力一％（芻〃，力））,

у（力 〃） = /（力一％（芻〃，力））,

d屮 (%)_ 6h (/,屮，m)

成—6/ (t)

d屮 (%)_ 6h (/,屮，m)

成—6/ (t)

以力）=一h注继一九也萨",九，М»0,з屮=1,

冗（瑞屮，m）= ' u‘/（优，y, 〃，0 dt.

力

Пусть 〃 ⑺ ——допустимое кусочно-гладкое управление, порождающее траекторию 力 〃),которая удовлетворяет условию (3) и доставляет функционалу (2) значение J (м). Если 乂 (％) не удовлетворяет условию максимума (4), то оно, очевидно, не является оптимальным управлением.

Поставим задачу улучшения управления 乂 (0, т. е. нахождения такого допустимого управления Wj ⑴，t £ Т, для которого J (и) V J (м) и g Qi (力 1)) W 0. Из результатов § 7.1 следует, что приращение функционала

А/ (zz) = J (и, — J (м)на траекториях х (%) и 勺 «), удовлетворяющих условиямg(2 (厶))< 0, g (勺(乙))W 0,

имеет вид

A/ 3) = - j А北"(优，y，屮，"，0 山—

-j Ah‘⑴芯~ Au/(况，y,屮，"，方)成一X

—J A" [T (纪I, W1, 01 而 H H X [т(2, 〃!，i)],屮，〃1, 0 dt 十 /о

十 f А比‘[T (况，й，切备 J7 (况，力[T(优，u, 0],屮7 u, t) dt^

十j备夕(7, 2[T (比，"],力，屮，"1,力)J甯k篇看件X

M.0-伏叫"1, F)J8

x de‘"(；『'')A?⑴ dt 一

x必(：/,Z)A比⑴出+01(1“(%)||)丄■■

:+ [ 0 (II a/ ⑺ II + II Az [T (勺，"],0] II) "，(6)

где функция 屮(％) удовлетворяет уравнению (5) со следующим условием на правом конце:

大邀空迎大》0.

Y〃дх班，

По управлению 乂(力)подсчитаем в силу (1) траекторию 优(％). По значению 屮(%)二—?¥..(?*")вычислим решение 屮(力)уравнения (5) и найдем функции

H(t) = H(x(t), у (%, 〃(/)), @«), ".«), t),

方1(力)二歹("")，г/(力^⑴)，而⑴，")0 =

= max/f (比(力 //(詳 m)，0(力)，"，t).

Положим(；1=[T1у-, T± + 等],где т2--точка макси* мума функции NH (t) = Н«) — Н (t), %£Т, a 6j — 6j (Р) таково, что

△左 ©》0 |&/(z«), у(厶 〃《)), « (0,川I，

Вычислим ЧИСЛО £! = £](§)：

_ 2伴一阳也 + 3厶(Н) + 〃2 (6|)]} e-25(2+M5)(，L%)

1/2+传亚乙3"8十"，("一M)e-E2+ML7)«ii)+%也

Определение постоянных, входящих в последнюю формулу, дано в [36с, е]. Допустим, что р — M86i — Мх (6J — —М2 (^i) > 0. В противном случае уменьшаем 6丄 настолько, чтобы это неравенство имело место. Поскольку Mi (6j) и ”2 (б, стремятся к нулю при 5(—>0, то это возможно. Подберем 0 таким, чтобы

j||A~/||A<ei.

Управление

уменьшает значение функционала /(〃)• Если g(q(%))M£2,

где е2—заданная точность, то на этом операция улучшения управления 〃(力 заканчивается. Если последнее неравенство не выполняется, то при вычислении и{ (%) надо учесть возможность нарушения граничного условия g (х (^)) <0. В этом случае можно поступить следующим образом. Подсчитаем функции 屮,Н, Нх, NH、вычисляем функции 屮，Н, a” NH:

гр (^) — решение уравнения (5) с условием 屮(幻=

一 ag (七(%)).

H (t)^H {x (0, y(t, m(方))，^(力)，m⑴，0；

"1 ⑴=maxH(比«), у (^, и)，u(方)，m，%)=

=h y(t, й(方))，屯⑴，u(t) ^);

АН (%) = //[«) — Я ⑺.

Не приводя громоздких в общем случае оценок, отметим, что в силу результатов работы [36е] существует такое число 6, что при каждом специальном приращении управления Ае0 и с & = 8 приращение функционала А/ (м) определяется значением 厶观* Н (优,у,《,м, t). По управлениям м «) и и ⑺ подсчитаем функции

Gi (%)=："(况⑺，у (力己(力))，屮 "), £(力), 2) - " ⑴，/

g2 (0= 〃(才«), y«, ^⑺)，布⑴,工《)") 一方⑴.

Зададим число 6j >> 0. Вычислим функции

/",自)=J [aЯ(0) + x61(6)1 0?9,

一 乙(厶3)=[厶方⑼h + G?⑼]也

где X ——некоторый положительный весовой коэффициент, значение которого зависит от степени нарушения гранич-

ных условий, величины функционала на траектории 况（力， а также от значений предыдущих улучшений Аф （胃（厶））, △g （况（%））， если они были проведены. Вообще говоря, х тем меньше, чем меньше g （况（勿））,причем оно равно нулю, если величина g （况（力，）отрицательна. Найдем т】（8 J и т2 （80 из условий

尸 i（G, M） = max%（厶 8，， F9 （t2? §i） = max 耳 2（厶 §i）・

Пусть В（ достаточно мало- Тогда управление и{ （/） выбирается по следующему правилу:

^1（0=，

если Л（t1т 自）＞方2（T2, 6/ И

J М（方）,力 ^[T2^",T2+年]，

V m《）, / £ [⑦—% ,迎 + ?],

если 尸八巧，61）＜：月2（T2, 51）.

Улучшение допустимых управлений в линейноИ системе. Пусть на траекториях систел!Ы

^.^A^x^ + A.^x^-h^ + b^, 0, 1 上（/）

a（方）工①（方）, tQSg*丿

стесненных условием

g（2（Q）《0,

минимизируется функционал

J 3）=中（优（幻），

где g（/） и ф （х） — дифференцируел1ые вогнутые функции. В этом случае алгоритм улучшения, описанный в предыдущем пункте, существенно упрощается.

Пусть 〃（%）, z g 71, — допустимое управление, х （t） — соответствующая траектория. Подсчитаем функции 屮,Н, Н^

АН, ", Н, Ни АН, Gj, G?. Найдем числа

/； = j [АЯ (0 十 ％Gj (力 dt, 〃2 = j [%A反(0 + Go (0J dt.

Если %>%, то полагаем

Wi (力)=u о，Z e T,

если же F{ F2, то

% «) = е ⑴，t Т.*

Аналогичный алгоритм глобального улучшения допустимого управления получается и для задачи минимизации на системе (7) функционала h

J 3) = j [ [ Л, n+i (% ⑺，x(t — h ⑴)，/)十

/о_

+ /2, 71 +1 (u(")，")]dt.

Такой же алгоритм улучшения допустимого управления можно использовать и в тех задачах, где система (7) слабо нелинейна по /, у, и функция %,也+i (/, У,力)сильно вогнута по {/, у}. Если функция /】，п + 1 (/, у, t) произвольна, то описанное глобальное изменение управления не приводит к его 5глучшению даже для линейных систем.

Пример 1. Требуется минимизировать функционал

J (辽)—j хх dt

и на траекториях уравнения

х = // + bu, I w I ^； 1, х (0) = 0.

Если и (力)一допустимое управление, то, полагая ^!⑴=sign ^f ⑴ b, где 屮 ⑴一решение уравнения 屮= =—屮十 2招 j (1) = 0, получим

AJ (卫)=—j 屮’(%) b [u{ (t) 一 и (/)] dt^^ A/'⑴ А/ (力)〃厶 I) и

где А/ ⑺—приращение траектории / ⑴， вызванное управлением и{⑴.Поскольку второе слагаемое неотрицательно, то не исключена возможность Д/ (w) > 0.

Действительно, пусть^ х — и, / (0) = О, I 卫 I W 1,

J (u) = j /2 ⑺成.

0

Попытаемся улучшить допустимое управление 'и (^) = а, t g [0. 1], I а I <С 1- Имеем

х (/) at, J(zz)=g,屮⑺= а«2—[),辽]«)=—sign а,

[а,2

/«)=—sign а, J(w1) = y> —(и),-

т. е. управление 卫1 (力)«хуже», чем и (力)・

Второй способ. Для системы (1) снова рассмотрим задачу минимизации функционала (2) на траекториях / (/), стесненных условием (3). Предположим, что, кроме отмеченных в п. 1 свойств, функция / (/, у,卫，力)дифференцируема по 〃，а множество U выпукло. Из общей формулы (6.3) приращения функционала имеем

A J (е) 一 j А/ ^~ Н (况(/), у (力)，屮(0, и (/), f) dt +

+ o(|| Aw(-)||), j (8)

o(|| Aw (-)11) <a [ II Aw (Oli2 山，

где функция 屮(%) вычислена в силу уравнения (5) с

▽(厶)=_书(‘边—入"学3),go.

y、i丿dx

Пусть и (t)——допустимое управление, не удовлетворяющее необходимому условию оптимальности

U⑴U⑴e⑴=e⑴=8f (方⑴，у 他，и⑴)，〃 «), 方)ди

U⑴

U⑴

e⑴=

e⑴=

=max i|Z «)2。=max i|Z «)2。"(■г(£)* р (厶 u (力)，u(£), E)"(■г(£)* р (厶 u (力)，u(£), E)4.4.

=max i|Z «)

2。

=max i|Z «)

2。

"(■г(£)* р (厶 u (力)，u(£), E)

"(■г(£)* р (厶 u (力)，u(£), E)

4.

4.

Найдем управление 卫⑴ из условия

炉"）炉"）刃(厘⑴，y仏〃他)), 〃⑴，方)三(j)刃(厘⑴，y仏〃他)), 〃⑴，方)三(j)диди

炉"）

炉"）

刃(厘⑴，y仏〃他)), 〃⑴，方)三(j)

刃(厘⑴，y仏〃他)), 〃⑴，方)三(j)

ди

ди

=max J （/） 5a处人端头й⑴,.

где @ （力）一решение уравнения （5） с

$ （幻=$ （幻="3 （%））дх"3 （%））дх

$ （幻=

$ （幻=

"3 （%））дх

"3 （%））дх

Из （8） следует, что при достаточно малом 8 на допустимом управлении 〃工（力）= 〃«） + &[〃（力）一и ⑴]выполняется неравенство J （и^ V J （〃）• Если g （况】（厶））& е2, где е2 — заданная точность выполнения граничного условия, то улучшение управления достигнуто.

В общем случае процесс улучшения проводится по следующей схеме. Как и выше, находим и （力，屮（力.Вычисляем 2 （方），wо：

炉（力）一решение уравнения （5） с

управление и （Е） таково, что

=m管& （0 ag），у?"⑴，" Подсчитываем числа

邑=j 而⑴ + %® （切'"3 6, "（£"））'"（，），“ 区⑴一①（/）] ”, 力0

现=j仔（0 + %可⑴]，""L一?"£））'上"）,"成（力）一"（川山.

（Весовой коэффициент 乂 зависит от величин 屮（2 （勿））， g 3 （友））И предыдущих улучшений Дф Q （厶）），Ag （2 〃 jj, если они были получены.） Пусть ^ > «2， тогда полагаем 山 ⑴=и ⑴ 十 £[〃 ⑺一〃（力）],в противном случае и｛（Z） - и «） + £ [и （力）一и （/）].

Комбинированное улучшение первоначальных управлений

В работах [20, 133] для улучшения управлений в задачах оптимизации без ограничений на управляющие воздействия используется оригинальный метод комбинированного улучшения. Аналогичную идею можно применить и в задачах с ограничениями на управления без предварительного перехода к открытым областям управлений.

Использование локальных вариаций. Пусть рассматривается задача из § 1. Следуя схеме § 1, найдем управления и (/), и (/), функции 反⑺，Н (Z), Я1 (%), 〃i (/). Обозначим через 8】и 92 точки, в которых функции А方(0 = 瓦 ⑴一方(力и а豆(0 - Hi⑴一 H (/)дости- гают максимальных значений.

Построим управление ) 〃工 ⑴：

〃i(Z)=кх(9)

〃⑺，于g [仇—, “ 十年]，

где 6n 62 — некоторые положительные числа. Линейные по 6j и 62 члены приращения функции g(^(")), порожденные управлениями (9), имеют вид

—哈一Ь",(10)

где

а = & (财)[/(2(3),у(%,%(6)),^(3), &)—

& = 6' (02)[/ (% (02), У (02,五(％)), Й (02), 92) —

(%), У (%, 〃 (02)), U (02), 02)].

Аналогично из (6.3) пол>7чаем, что линейные по 山 и 62 члены приращения функционала J (〃) можно записать в виде

一屯一我2,(n)

где

с = "(М)[/(МЗ), У(М,》(М)),%(8) М) —

一/(虞(8) у(3, 〃(&)), 〃(“)，91)],-

d =皆‘(％) [/ (? (9о), у (%,迎(8?))，〃 (％), %)—

一/(7他)，У^ 〃(％)), 〃(®，&)]•

Из определения управлений w(0, u(t), функцйи ^ (0， 屮(力)и чисел М, 92 следует, что коэффициенты % b, с, d в выражениях (10), (11) удовлетворяют условиям

^ ^ 0,方 ^ а, с ^ 0, с ^ &(12)

Допустим, что на управлении 〃(力)，Z g 7, ни один из функционалов g (胃(力))，ф (/ (力))не достигает стационарного значения. Тогда b > 0, с > 0 и неравенства。3 + Jr Ьб? ^ 0, сЗ] + d§2 ^ 0 в силу условий (12) имеют положительные решения относительно 6储 62, за исключением случая

dvO, eV。，(13)

Примечание. Если допускать нарушение граничных условий на е, то для любого £ > 0 можно найти 3 и 62, ведущие к уменьшению критерия качества вне зависимости от (13).

Улучшение допустимого управления с помощью малых вариаций. Пусть функция g (/) на траектории ^ (力) принимает значение g (n (力»)• Для данного е построим управление щ ⑴， на котором ф (力丄(厶))Vy (/ (幻) и g (0(方I) W g (/ (幻)+ 8， Положим

〃2(力)=〃(力)+ 8!83(U ⑴—U ⑴)+ 62 (1 - 63)3 ⑴一u(方))，(14)

где 0 Ve3 V 4, а числа е? ^ 0, е2 ^ 0 находятся так. Для главной части приращения функционала g (/ (匕))

потребуем, чтобы выполнялось неравенство

j屮⑴"也⑴'""'/⑼'"⑴'"鬲办@⑴一 « (力)+

"T e2 (1 '— £3) 3 (力)一〃(力))]dt E. (15)

Если управление и (£) не доставляет стационарного значения функционалу g (/ (幻)，то

*=j屮'⑴处设()"3胪b"①工')[й⑴-u(0]山＞ 0.

Поэтодту из неравенства (15) можно найти е2:

丄一上34 一力3

где

Q 厂 j 屮'(/)•%£.()•*：⑼，2()° 0 G) 一 "(川山*

Допустим, что с[£声3 + 加＞0. Пpи е＞0 последнее неравенство выполняется, если величина е^з достаточно мала. Главная часть приращения функционала 屮(/(〃)) имеет вид

_ё們 j g ^妙丄唯⑼，"⑴，")R(/)_a⑼山_

-e2(l - e3) ] & ⑴讨8 m уз/©), и©, t)-⑶一 〃⑼ dt

и является отрицательной, если е2 достаточно мало. Отсюда следует, что управление (14) при достаточно малых 8^3 и е2 уменьшает значение функционала ф (/ (厶))，не увеличивая при атом g (/](力О) по сравнению с g (啰(")) более чем на е. Поэтому можно улучшить управление и (%) как в направлении уменьшения ф (/ (厶)),так и в направлении уменьшения g (胃(力,). Изменения в рассуждениях, которые в последнем случае необходимо ввести, очевидны.

О задачах оптимизации с незакрепленным временем. Все способы улучшения управления, предложенные выше, относились к процессам оптимизации с фиксированным временем регулирования. Пусть рассматривается задача § 1 и момент ti не закреплен. Известно （§ 6.2）, что в этом случае к необходимым условиям оптимальности добавляется новое соотношение

h （/（〃），х［九一诊（》（幻，й（厶），厶）］,2（九），卫佑），方i）=

Изменения в схемах улучшения допустимого управления, вызванные этим обстоятельством, состоят в следующем. Если ［力о,力/ — отрезок, на котором задано допустимое управление и （/）, то вычисляем величину

T 、 。屮（方（力），%）

-4■（瑞（厶），片也一九（/（厶），以（厶），/1）］,"（方0, "（九）, G）.

Если Г\ （力）*0， то определяем новый интервал ［/0,斗］, где 色二力「卜 А 厶 sign 1\ （%）, А%>0. Если 1\（幻 >0, то полагаем 〃］«） = 〃（〃），才汉力「 При достаточно малых А厶 имеем

屮（々（4）, 4） V（p（》（〃），八）・■

§ 3. Доказательство сходимости двух методов приближенного решения задач оптимального управления

О предельном переходе в решении одной задачи с интегральным ограничением. Для системы

^ = А©НЬ"и（16）

при ограничении на управление”

j I u（f）『&<ЛР,£ = const > 0,（17）

исследуем решение 〃。（卩，力），Г° （р） задачи оптимального быстродействия （6.171）. Пусть система （16） нормальна. Из результатов § 6.9 следует, что функция 〃。（р,力）

однозначно определяется соотношением

W° (卩，0 = ^1 g' (g) Y ⑺ I" Sign g' (g) Y (/), (рТ-卜厂=!)• (18)

Здесь 丫 ⑴ 一 функция (6.173), g (д) - решение задачи 入(& д) = "\

大(九,q)= min ((^，(力f山尸二

」(J |g'(g)Y«)F〃)" при ii = to+To(P). (19)

Лемма /. Ф^^нкция 厶(厶,夕)непрерывна, строго возрастает по 〃.

Утверждение доказывается аналогично лемме 6.14.

Ниже через 入(3) обозначена функция

min ( \g,y(t)\dt,

соответствующая системе (16) с начальным условием 片(％)^о •

Лемма 2・ Если lim力®—>%, то lim入(产)，q)=入(％)・ q-H+0

Доказательство. Пусть 蚤>1,蚤―>1・ Положим 九

入⑷工 j I g：丫 (/) W3

^^\qs,g)={ J |g，Y ⑴产山广，

九(仆),qs, g (s)) = min X (华),g$, g).g・*0=T

4(J0 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ _ [ГЛ. УШ

В силу определения 入(九,g) mieen

入(俨* 柒，g(s))O«H),备，g°).(20)

Будем считать (что не ограничивает общности рассуждений) последовательность g (s) сходящейся： g (s) f g при s —> oo. Ясно, что

入佑，1,2)^ 九佑，1, g)(21)

Переходя к пределу при 1 十 0 в (20) и учитывая неравенство (21), получаем

■ 入(m i, g)=入(厶，1〉gu) ~ 九(％)♦

Такие рассуждения справедливы для любой последовательности qs. Значит, лемма доказана..

Пусть ограничение на управление 〃 (Z) в уравнении (16) имеет вид： | и (力)| <： L, Обозначим через 公(•)，7。решение задачи оптимального быстродействия (6.171) для этого случая.

Теорема 1. Если существует решение 〃° (•), Т°, то для любых £>0,о>0 найдется рА > 1 такое, что при р>“ задача (6.171), (16), (17) имеет решение и справедливы неравенства

I 7。(р)——7° I V % mes {£： | 〃。(р")——〃。⑴ | ^ и}

(22)

Доказательство. Сначала убедимся в справедливости первого неравенства. В силу леммы 1 функция 入(勿,7)строго возрастает по 力「Поэтому для любого £ > 0 существует такое 0 > 0, что выполняются неравенства

九(力一8, 7)V厶T - 0,九(%十8, 0)> £7十0•

Из леммы 2 следует существование такого 6 > 0, что

I 入("± £, д)—九(力士 £)I V §

при q— 1 <c 6. Следовательно, можно указать моменты времени 厶=力0 т (/>), когда

九仇十T (0)，0)=厶一*7 - 1 V 3.

Ясно, что I т (р) — 7° I V £• Но в силу леммы 1 и соотношения (19) величина т (р) —— оптимальное быстродействие в задаче (6.171), (16), (17). Первая часть утверждения доказана.

Рассмотрим функции (19). При доказательстве леммы 2 установлено, что если g§ -> 1 十 0 и g (q$) f g, то вектор g дает решение задачи при вычислении 九(厶).В силу непрерывности функции 7° (р) по р и леммы 2 для произвольного £ >0 можно указать такое 夕储 что при д Vs нули функции и0 (р, £) попадут в е-окрестность нулей функции и0 (力).Так как величина q』p$ может быть сделана сколь угодно малой, то из (18) следует существование такого 夕2 范 ％，что при q V 火 имеет место второе неравенство из (22). Теорема доказана.

Теорема 1 может быть обобщена на нелинейные системы.

Об одном способе приближенного построения оптимальных управлений в нелинейных системах. Пусть дана система

令="爲0+硝…m⑴， (23)

где х С 后几,непрерывная матрица В (力,р,) имеет порядок п и неособая при 力^力о, (л】 V pt V ^2- Предполагается, что функция /(2,力)непрерывна по 厶 имеет непрерывные ограниченные производные по л：, и / (0,力)=0.

Для такой системы рассмотрим задачу оптимального быстродействия (6.171). Пусть ограничение на управление и (力)имеет вид

办(方)u (力)W £?。 . (24)

Обозначим через и (р,,力)， Т (卩)решение задачи (6.171), (23), (24). Так как матрица В & |л) неосрбая, то в силу результатов § 1.7 для каждого о > tQ можно построить окрестность начала координат 力 = 0, для точек которой существует а-допустимые управления. Приведем без доказательства одну теорему существования оптимальных управлений.

Теорема 2, Пусть в задаче (6.171), (23), (24) существует /"-допустимое управление. Тогда существует и оптимальное управление.

Если 胃°(|i, /) — соответствующая оптимальная траектория, то оптимальное управление имеет вид

」- ^(林，0 ^В1(/, (1)m/3(小5川|8' (t，林)(尸就N))'g。irP，

где Fx0(.)(/)——фундаментальная матрица решений системы 庄"(z。(.), t) z『一也竺奥小 L Z,

g0 — решение задачи (7.71) щш 尸二-&八.).Обозначим через 乂и (%), Т° решение задачи (6.171) для уравнения (23) со скалярным управлением и. (t):

~- / (л.-, О + Ъ (^) и (Z), j л (t) I(25)

Пусть bj(f, |l)f 0, /*1, &«, |l)f b ⑴ прм 卩 т“о, 同 €(通，"2)，и для системы

名二0("(),力)z + "办"⑺

выполнено условие Л (см. § 7.10).

Теорема 3. Если существует решение задачи (6.171), (23), (24), то задача (6.171), (25) также имеет решение и lim Т (|i) = 7°.

卩—No

Доказательство. Функция а (•) = {и0 (•), 0, . . ., 0} является (/0 Z°)-flonycTHMbJM управлением для задачи (6.171), (23), (24). В силу теорелш 2 для этой задачи при всех |1 существует оптимальное управление и (ц, t). Очевидно,

牙屮)(26)

Пусть Т1 inf {7 (р,)}. Выделим из лшожества {и (ц, i),

Hi V 卩 V 卩2} последовательность и (卩々，亠力,которая обладает такими свойствами:

lim 辽(卩々，$) = 〃⑴ слабо (в смысле £2(%。，灰十丁丄))，

lim x (x0,卩々,и (fife, i), t) = x (?) равномерно no 方,％■<

lim T (|1й) = Г1.

Такой выбор и (@左,t) возможен на основании ограниченности функций 〃(|i, 土)，df/дх it неравенства (26).

Если бы имело место неравенство Т'уТ。, то из а), Ь), с) следовало бы, что управление 〃(•) порождает траекторию ?() системы (25), для которой ^(旨十？4)^。, что невозможно. Итак, lim 7 (固,二 Т。.

Примечание. Если в (25) оптимальное управление единственно, то lim 〃(卩，力=〃° (%) по мере.

ц->цо

Численные алгоритмы решения некоторых задач оптимального управления

Ниже описываются общие вычислительные схемы, основанные на результатах §§ 6.9—6.13, проводится детальное описание приемов для наиболее распространенных задач; обсуждаются проблемы построения первого приближения и выбора шага.

Общие схемы вычисления оптимальных управлений. Рассмотрим задачи из § 6.12. Как следует из теоремы 6.37, оптимальные управления определяются вектором {go, /о} — решением конечномерной задачи (6.204). Будем считать, что имеется способ определения максимума Н (g,力 乂 (•)), и опишем некоторые из возможных вычислительных схем.

Аи Пусть минимизируется время Т.

Выбирается Т (0)〉0. Если A (Lu . . ., Lm, 0) > 0, то находим нулевое приближение {g (0), / (0)} из условия

А (厶，…，£т, Т(о), g(0), 〃0)) =

= шах Л (£],.・•，Lm, Т (0), g, /) = А (0).

H{g,公11=1,/力0

Если Т (0) достаточно мало, то Л (0) ^ 0 и А (厶，... ..Lm, Т) > 0 при Т <Т (0). Если Л (0) = 0, то задача решена и Т (0) — /0 — оптимальное быстродействие. Пусть Л (0) > 0. За первое приближение Т (1) берется число Т (1) = Т (0) + АТ7 (0), где АТ (0) ^ 0 — малое приращение. Величины {g (1), / (1)} определяются

из условия

А (厶，...，力m, Т (I), g ( I), / (1))=-

= шах А(£”Т(1), g, /) = А(1).

11В,尸"=i,少р

Если не существует такого АТ (0) > 0, что А (1) > 0, то Т° = Т (1). В противном случае при достаточно малом АТ (0) имеем Л (1) ^ 0, Л (厶,...,Lm? Т) > 0, если Т V 7 (1). Число т = Т (1) — %о — оптимальное быстродействие, когда Л (1) = 0. При Л (1) > 0 процесс продолжается.

Функция Л (£储...,Lm, 7, g, /) не имеет локальных максимумов. Величины Л 他)могут быть определены методом наискорейшего подъема.

А2. Пусть функция Л (厶，..Lm, Т) строго убывает п о Z, причем Л (L±,... • • •, Lm, 0) > 0.

Рассмотрим задачу оптимального быстродействия. За нулевое приближение берем произвольные числа {g (0), / (0)}, / (0) > 0, II {g (0), / (0)} II = 1. Вычисляем Т (0) из уравнения

A(£t, • •刀m, 7(0), g(0), /(0)) = 0..

Первое приближение находим из условия .

А (厶，・.・，£m, 7(0), g(l), / (1))=

max Л (£i, • • •,厶g T (0), g, /) = Л (0). II {g,『} H = i，

Если Л (0) = 0, то T (0) — оптимальное время и go = =g (°), /о = / (0). Если Л (0) > 0, то процесс продолжается, т. е. находим Т (1) из уравнения

Л (Л, . ./ 7(1), g(l), /(1)) - 0

и т. д. Ясно, что Т (А + 1) Т (Л).

А3. Время Т=Т° в случае А2 удовлетворяет условию

7。= max {Т： Л (L^ . . ., £m, ?, g,力=0}.

На основании этого нахождение go, /0 можно провести, как в [21d]. В этой работе рассмотрена задача (6.171).

А&. Способы At, А2 годны при минимизации величин Lj.

m —3

Если 2 SiSik ^ о при всех g» * 0, то 2= 1

3т笛 2 — 3

^ = max〔&: J g府一厶/_ .£ L7.|| J 纟^/丁 ё ；, f i= 1:i=2 i= I

3

十 min Я (g-, /, u(-)l/il 2 gls浦I」L /：>0, A* L

Значит, в последнем случае приемлема схема А3.

Задача минимизации нормы конечного состояния. Пусть требуется найти управление и (•) ^ U^ (•), которое на траекториях системы (16), х (Zo)= 讶。,минимизирует функционал

J (а) = II 2 (х0, и (•),幻 II, J (а。)= 6°, И х ||2 = хх, где /1 ——фиксированный момент времени,讶。——заданная точка.

В силу теоремы 6.26 имеем

6。= max gc — L || g'S ||｝二 g" — L || g"卜二

二 g；尸(/1) Qi «0)才0 — Z j I g仍(厶)『(т) b ⑴ I di.

Допустим, что 6° > 0. Тогда для определения оптимального управления 〃° (•) имеем (см. теорем^^ 6.26) следующее соотношение：

g:夕虫)ьТ ⑴ b (0 u。(0 = min g；歹(幻歹一1 ⑺ b (0 й.

Следовательно,

w° (/) = —£ sign g；歹(幻歹-i (力)b (/).(27)

Ниже предполагается, что система (16) нормальна. В противном случае при вычис；［ении 〃° (•) следует использовать результаты § 7.8. Итак, для вычисления функции 乂° (•) необходимо найти максимум вогнутой функции

A(g) =gfc~L\\gfS ||.(28)

Введем множество

G = {х: х = Su (•) -\- F (厶)歹一1 (%) /о, w (•) E Ut (•)}.

Пусть g(такой вектор, что

g；c>0,A(g">0, II ?1 И = 1.(29)

Величина A (gQ равна шшималыюй проекции множества G на gi, поэтому множество точек

П1 -- A (g) g, II g II = 1, Л (g) > 0}

есть часть подэры [116] границы G. Пусть 宓=Л (gj g【С ^ Пр Найдем и{ (•) из условия

g{Sui (•) — min g；S〃(・)(30)

и определим

况[=Su^ •)十 с.(31)

Ясно, что (况一х^1 gt = 0. Поэтому Л (g, W II ^i II (равенство A (gj = || /^ |i возможно лишь при условии Л (%) gi 二二 勺). Рассмотрим точку

尤(а) - (1 — а) А ®) gi + а/,0 < а < 1.

Существует единственное а*, при котором 力(а*) С ПР По определению 宓(а*) = Л (g2) g2 и g； (Л (g0 gt — —Л (g2) g2)= 0- Значит, A (gi) = Л 伍)g；g2・ Если g2，gi，T。

A (g2) > A (g).(32)

Имеет место неравенство”

A(3"t^T)>min[A(g，),A(g2)]・(33)

Неравенства (32), (33) и лежат в основе предлагаемых ниже алгоритмов.

1°. Пусть gi — вектор, удовлетворяющий условию (29). Находим функцию 〃( (J из условия (30) и определяем 宓1 согласно (31). Решаел! уравнение

g； (Л (gi) gi — A (g (a)) g (а)) = 0,

g (а) = (1 — а) Л (gj gi 十 <m.(34)

Пусть а* — «мешение (34). За второе приближение берется вектор g2 = g (а东)/|| g (а*) ||. Процесс продол-

?кается. В результате получаются последовательности g走, A (gQ, uk (*),宓左・ Последовательность Л (gft) монотонно возрастает (см. (32)), ограничена сверху. Предположим, что

lim Л (痂巾丿二 Л* 老 max A (g) = Л (g) М一ОО|闾卜=1

Тогда существует g，g°, при котором Л (g) = А*. Возьмем g за первое приближение. Из (30), (31), (34) находим g，g, при этом А 而)> A (g), что противоречит определению Л*. Итак, А* = Л (go). Поскольку go единственный экстремальный элемент задачи, то g" -> go при 乃->8, mA(•)f或(。)пе мере,

31f 力(&,公(•)，厶)•

2°. Первое и второе приближения gi, g2 строим, как описано выше. Полагаем

g3 =【A (gi) gi 十 Л 包)g3]/|| A (gi) g]十 A (g2)g2 II-

Далее можно пойти по одному из двух путей: а) найти g^ из уравнения (32), Р) положить

g4 = [Л &) g2 + Л (g3)g3]/|| Л (g2)g2 十 A (g3)g3 ih

На последующих этапах можно усреднять по нескольким предыдущим g” Усреднение целесообразно проводить до тех пор, пока не нарушится неравенство

Л> max {Л (gi), A 闻+力.

\|| A(g;)g;4-A(gi+1) gi+1 И /I®+i〃

Нетрудно видеть, что этот процесс будет сходиться для систем второго порядка. Для систем более высокого порядка в конце процесса последующие g^ следует находить из уравнения (34). Таким образом, уравнение (34) служит здесь тестом. Приведенный метод особенно удобен в конце процесса.

Примечание. Если в последовательности Л (gQ встретятся два одинаковых^ члена Л (g^) = Л (g» + ]), то gh = go и процесс закончен.

Метод наискорейшего подъема. Снова исследуем задачу минимизации нормы конечного состояния. Пусть

Ai (g) = [g'c - L И g'S |"/|| g И，

Нетрудно убедиться, что

grad At (g) I |也卜1 = g — A 儡)gi,

где точка 宓^ удовлетворяет соотношениям (31), (30). Метод наискорейшего подъема строим по известной схеме. Пусть II gi И = 1. Находим ih (•),宓(по правилам п. 2. Строим элемент g (а) = g^ + а (勺一A (g, gj. Определяем а( из условия L (g (aj) = max Ai (g (а)). Полагаем g?=

=g (ai) и т. д.

Возможен и другой вариант метода наискорейшего подъема. Из (28) имеем

grad Л (g)| Ц giu』=с + Зщ (•) = д,

где функция 乂！ (•) удовлетворяет условию (30). Положимg (a) = [agi + (1 — a) ^i]/|| agi + (1 一 a)力i ||

и вычислим at из условия A (g (a.) = max A (g (a)). Полагаем g^ = g (办)и т. д.

Задача максимизации нормы конечного состояния. Пусть дано начальное состояние х «о) — xQ системы (16), зафиксирован момент времени 厶.Требуется найти для (16) функцию м° (.), при которой

и 况(/, /(•),厶)11 = max 卜(况о, 〃(•)，力)|| = А°.u( • )£U±( ‘)

В силу теоремы 6.39 имеем

厶。=max [gZ + £||g§|] =國,十£|庇S||・(35)

Оптимальное управление м° (•) задается соотношением (27) с go = — go* Очевидно, что А0 > 0. Функция

Л2 (g) gfc + L И 5s И

выпукла по g, что может затруднить вычисление go из (35). В этом случае уже нельзя гарантировать совпадения локального максимума с глобальным. Пусть g — g^

II g( II =1. Величина Л2 (gi) равна максимальной проекции точек множества достижимости G на g(. Поэтому множество

口2 = {宓：宓=Л2 (g) g, I] g " = 1}

составляет часть подэры границы множества G. Луч, направленный в полупространство Г = {g: g'c > 0}, всегда пересекает множество П2. Значит, для одного из векторов gr —g( всегда имеем А2 (g) > 0, т. е. проблемы выбора первого приближения здесь не возникает.

Последовательные приближения строим по следующей схеме. Первое приближение ——вектор g(, || gt || = 1, принадлежащий Г. Находим 乂1 (•) из условия

g；S〃t (•)二 max g^Sui■).以,)屮七(■)

Вычисляем 力I = с 十 Su( (•) и полагаем

g (а) = [(1 — а) Л2 (gi) gt + ад]/|| (1 一 а) Л2 (gi) & + а^Ц. Существует единственное а*, при котором

g； [Л2 (gi) gi — Л2 (g (а)) g (а)] - 0.(36)

За второе приближение берем g2 = ^ (а*)・ Если g2，gi，то из (36) следует неравенство Л2 (&) < Л2 (g2). Если g2 = gi， т° gi доставляет максимум для Л2 (g). В"случае g?，g( процесс продолжается. Нетрудно убедиться, что Л2 (gQ -> Л2 (g*j при g^ f g*・ Также имеем Л2 (g*) > Л2 做)при к > 自，

Последовательные приближения в задаче оптимального быстродействия. Для уравнения (16), где управление и (i) стеснено условием | и (/) |《£, рассмотрим задачу оптимального быстродействия (6.171). В силу теоремы 6.32 оптимальное управление задается релейной функцией

и。«) = L sign g；^T (力)b ⑴，

где go — решение задачи (6.175). Так как условие (6.175) эквивалентно равенству

то вектор go 二 一gg можно искать по следующей схеме (см. также п. 1). Зададим малое число е > 0, которое определяется заданной точностью вычислений. Пусть 片——величина, близкая к /0. Положим g^ = xj\\ ^0 ||. Тогда

A (gi, 4) ~ g；%o — £ “ g：S II

Найдем U[ (•). Имеем

得:3口] (•)= min g；3E()u(-)£U^(.)

и положим 的—宓()十 Silt (•). Строим элемент g (а)=

=[(1 — а) А 儡，4)gi十 а^]/ Н(1 ― а) А 儡，叶)gi + aai |j и находим а* из уравнения

g；[A @, 4) gi — Л (g (а), /；) g (а)] = 0.

Вектор g (а*) берем за второе приближение g2- За 芹 принимаем наибольшее 勿，при котором A (g?, 2) 2 £•

Построенные таким образов! последовательности g在，£《 удовлетворяют условиям

g总f go,呼f空.

Нахождение первого приближения. В некоторых случаях нахождение вектора g17 удовлетворяющего условиям (29), превращается в самостоятельного задачу. В задаче минимизации нормы || 宓(厶)|| можно рекомендовать следующие пробные шаги выбора g(.

Положим G = с/|| с II (при таком выборе g( первый член в (28) достигает максимума) и будем решать задачу (26) при £：, достаточно близком к t0. Найдем min || х (£) R с некоторой точностью. Положим gi =宓(斗)/|| 力(耳)|| и решим задачу (26) при 看 > 7； и т. д. Через конечное число шагов получим g], удовлетворяющий условиям (29).

Полагаем g{ = с/|! с || и решаем задачу (26) с достаточно малым L. Находим приближенно min || х (介)||. Полагаем gi = 宓(厶)川 犷(力)II и увелпчпвггем 工. После конечного числа шагов найдем первое приближение g仆 удовлетворяющее условиям (29).

Некоторые рекомендации по выбору шага в методе наискорейшего подъема. Допустим, что процесс построения gi находится на к-м шаге. Полагаем g^ — gi (北在一1) и находилг uk (•), хк согласно (30), (31). Вводим элемент

gk (а) = (1 — а) gft + wh

и строил! функцию ^ (а) = А 信友(。))/|| #丄(&) ||. Обозначим хк!\\ ^д |j через g* и найдем uk (•), xh из (30), (31) с gi = Легко подсчитать

На (0) н gd,На (0) н gd,da |a=oda |a=o= 2%% — [g£ 况 kH= 2%% — [g£ 况 kH卩走(1) ~/卜/川| ^h II，dRk Ig毎左砒一//%?&da |a=l ”[汇缶 J/?卩走(1) ~/卜/川| ^h II，dRk Ig毎左砒一//%?&da |a=l ”[汇缶 J/?

На (0) н gd,

На (0) н gd,

da |a=o

da |a=o

= 2%% — [g£ 况 kH

= 2%% — [g£ 况 kH

卩走(1) ~/卜/川| ^h II，

dRk Ig毎左砒一//%?&

da |a=l ”[汇缶 J/?

卩走(1) ~/卜/川| ^h II，

dRk Ig毎左砒一//%?&

da |a=l ”[汇缶 J/?

Аппроксимируем функцию 卩友(a) по значениям pft (0), |i/i (1), d|ik/da]a=o； i некоторой функцией 卩丸(a)・ Вычи- сляед! ад： |i^(aQ= max 卩左(а). Полагаем gA+1 = gk (a£・ Итак, величина шага определяется значением。方.

Примечания. 1) Приведенных чисел 况友,况у gk, g^ достаточно для определения вторых производных c^M/da2 1a=о；

) Нетрудно видеть, что оптимальное значение 6° удовлетворяет неравенствам

А (以)<6° <|| ^ft||, А (以)< 6° < II 容",

что позволяет предложить критерий «останова» в соответствии с величиной

= II ^А II — А 做)(или 61 = || %" II — A (gA))・

Пусть £ ——заданная точность вычислений. Критерий «останова» проверяется в начале следующего шага： находим 乂走+ 1 () / + 1 К еА + 1 — II 宓左 + 1 II 一 gZ + l宓电十！•

Если sft + i W £, процесс останавливается. В способе, основанном на решении уравнения (34), можно аппроксимировать фумкцию

ф (a) = g：[A (g) gi — A (g (a)) g (а)].

За начало слепуюгцей итерации принимается вектор (34)

при а = а*: ср （а*） 二 0, где ＜р （а） —— аппроксимирующая функция.

При решении конкретных примеров использовались квадратичная, кубическая и кусочно-линейная аппроксимации.

§ 5. Обобщение на системы с запаздыванием и нелинейным входом

Рассмотрим задачу минимизации функционала

/ （u） = （р （/ （厶））

（＜р （%） —— непрерывная, квазивыпуклая функция） на траекториях линейной системы

-d? / （力）/ （力）+ At （力）x （t -力（力））+ b （u （力）,力），

n⑴=①（力 方g So = "： Ё -无（方）＜：f0}.

Здесь и （%） — r-мерные кусочно-непрерывные управления со значениями из компактного множества U. Следуя §§ 6.9, 6.10, можно показать, что оптимальное управление %。（力）удовлетворяет условию

屮'⑴ b （uQ （Z）, /） = max 屮’（/） Ъ （〃，/）,•

где p （t）——решение уравнений

齊=—/'⑴屮⑴一 4 （г⑼屮（《））「'（/）, ££%,门，

需 =一4'（力屮⑴，力€口'，力]，屮⑴=一g。，

/，=力一h （%）.

Для вектора g（）имеем соотношение、

g；s（",才0）十 I ming：S（厶〃）由一 max g^ =

У u^U5（*）a6。

=max g's （厶，？c） + I min g'S （/,辽）山一 max g'/ ,

где

s(ti, x^=F(ti, ^о)Ф(<о)-г j ^(<1, Г (т))4j (г (т))Ф(т) dr, Sf о)

S (力，〃)=夕(偌，方)Ь (〃，力)，

^^ =-/(з t) /⑴一b (九，Г ⑺)4 (г ⑴)у (t),

"(力，厶)=笈，户(勿，t) = 0 при t〉％, 6° —корень уравнения 九(厶，6) = max 九 @ 厶，6)=

打

=max [g's(〃，x0)+ \ min g'S (厶 и) dt— max g*] = 0. (37) ||g||=lJ u£U$(h)&6

Таким образом, определение оптимального управления свелось к нахождению вектора go из (37). Схема последовательных приближений для решения аналогичных задач предложена в [34i] и развита в работах [27? 40а].

Из результатов § 6.10 следует, что минимальное значение функционала J (и) можно найти из условия

6° = max {6(g)：九(g,力，5(g)) = 0}・

Поскольку функция 九(g, 6) монотонно убывает по 6, то возможна следующая схема вычисления 6° и g0. Пусть вектор gi, I] gi I] = 1, удовлетворяет условию

九隔，0) > 0.

Найдем 6р 九(gi, 6j) = 0. Пусть g2? || g2 || = 1, таковы, что Z (g2)8j > 0. Найдем 62： Z (g2J 62) — 0 и т. д. Таким образом, получим неубывающую последовательность Si V §2 <• ■ •, которая сходится к оптимальному 6°. Определение 6「на каждом шаге во многих случаях пред* ставляет простую операцию. Например, если ср (е) = =II N II，то

^p = gfpS(tu з)+ f ming^s(九 w) dt.

Если считать, что операция вычисления min gfS (力 ％) для каждого g известна, то основная трудность предлагав-

мой схемы состоит в определении элементов последовательности 旦口 р = 1，2, . . . Определение первого элемента gt можно произвести с помощью разбиения множества U или последовательным увеличением интервала регулирования от нуля до заданного. Конкретная схема зависит от вида множества。豆 в частных случаях описана в [31i].

Пусть gj, . . ., gpf найдены. Для определенен gp применим метод градиента. Введем дополнительные предположения. Будем считать, что для каждого g задачи

min g'S(£, u), max g'/

имеют единственные решения 辽 «,g) и х (g). Поло;ким g (а) = gp-卜 a (g——g「)，где g— произвольный вектор. Значение 九(g, 6) на g (а) обозначим через v (а). Имеем

V (а) = g‘(а) s(九，&) + I ming' (а) 5 (t, 〃)山一max gr (а) J u£U(p(x)^fe

Wg' (a)s(/j, &) + J g' (a)S(/,以(厶 g))山一g' (a)?(g)c

Wv(0)十a(g—g>y [s(力i，&)+ j S «, u(t, gp)) dt~x(g^y

С другой стороны,

v(a)》g$s(%, &)+а(?—gp)'s(%, &)十-

-+ f g^S (力 и (/, gp))dt+ .

+ а j (g —gp)' S & u(t, gi^dt — g^x^gp) —

—а伍一gp)，？(g (а)) = v(0)+a(N —gp)，x

flflXX

fl

fl

X

X

В силу сделанных предположений

j s （厶辽& g 3）））（〃— j S （力，и （if, g〃））山，

胃（g（仪））т胃（g「）при >0,

关 |』= （g — gp）[s«|, &）十[S（力，〃（力,g^dt

Значит,

d九（gp, 6）f

-迈—= s（〃，0）十 J 5 （力配（力 gp））由一况（gp）.

Следовательно, при достаточно 期алых а на элементе

g〃+「= g （a）二 g〃十 a （s （厶，％） + J S （/, и （7, gp）） di-x （gQ） выполняется условие

A （gp + 1, 6） > 九（gp, 6）.

Более точные рекомендации по выбору а приводятся в работах [27, 40а, 64i], где также указаны критерии «останова» процесса. В заключение отметим, что функция X （g, 6） является вогнутой по g, поэтому опасность появления локальных максимумов в процессе вычисления g0 исключена.

§ 6. Алгоритм вычисления оптимального управления, основанный на теории игр

Теорема о минимаксе в применении к теории оптимальных процессов трактует каждую задачу оптимального управления как некоторую игру. Поэтому можно обратиться к численным алгоритмам теории игр. Ниже будет описан лишь один, типичный алгоритм.

Пусть требуется минимизировать норму конечного состояния К х （厶）К вдоль траекторий системы

порожденных измеримыми функциями и (力)，力 g 71 = [0,厶1, из выпуклого множества U (•) допустимых управлений. Из результатов § 6.9 следует, что

6。= min \\ х (^i) II — min. max g'/= max min grx. (38) 2()EU(・)x^R IlglWl IlgllWl t£R

Здесь E = {/： % = / (力° = s (力㈠ x^ + Su (■),以(•) € € U (•)}. Поэтому выражение 6 (%, g) = g'a можно рассматривать как плательную функцию игры, участники которой имеют стратегии g и / (九)—х (и (■)). В этой «игре» одна из сторон выбирает функцию и (■) € U (•), имея целью минимизировать платеж, другая ——вектор g， II g II《1, который дает максимальное значение функции платежа. Оптимальные стратегии сторон w° (■) и go должны удовлетворять неравенствам 6 (u°? g) ^ 6 (%。, g0) < <：В (%, go) при любых 以(•) € U (•)，II g II 'С 1- Величина 5° = 6 (%°, g°) является ценой игры.

Для решения задачи (38) применим итеративный метод Брауна — Робинсон, который распространим на непрерывные игры. Опишем этот метод применительно к задаче (37). Решение задачи проводится поэтапно.

Выбираем произвольную допустимую функцию %2 (%), % € Т, %1 (•) С U (•)• (Если имеются какие-либо априорные сведения о характере оптимального управления, их надо использовать при выборе первого приближения, так как от удачного выбора во многом зависит скорость сходимости процесса. При отсутствии таких сведений можно принять 〃1 (•) =0.)

Б. Находим gi из соотношения

gXSMD+s(力，&)]= max g1 [Su^^ + s^t^ x^].

Ilgliwi

Определим промежуточное значение u2(•) функций управления, дающее минимум выражению g；S〃(・)：

g[Su2 (•) = min g；S%(・)以，)汕.)

Г. Второе приближенное значение 〃z(*) находим, по формуле

他(.)= ”(・)^"2(・).

Продо/гжаем аналогичным образом строить последовательности {wm (■)} n {ga}, пользуясь рекуррентными формулами

(У 〃&(，)+ 辽m+I ( * ))， 41

(39)

где 〃m+i(・)таково, что

gmSum+i ( •)—

min gmS〃()

(40)

虱（•）£〃•）

н(£ g『t +gm + l) ,(41)

где

[S»mi(・)+$S，才o)]「max gf [5z/m+1 (-)—5(^, z0)].

(42)

Можно доказать, что любые сходяицтеся подпоследовательности построенных таким образом последовательностей сходятся к оптимальным стратегиям w° (•) и g0. При этом

lim^ 2 gMS〃M・)+ s(5 &)] = 6。.

Описанная схема может быть запрограммирована для решения на вычислительных машинах. На каждом шаге итеративного процесса решаются задачи (39) — (42). Задача (41) состоит в нахождении экстремального элемента с единичной нормой в сопряженном пространстве Еп. Это известная операция функционального анализа. В случае, когда К х К — эвклидова норма, вектор g^+i находится нормированием вектора S%m+t (•) + s (厶,/о), т. е.

丁 二 S〃m+? (•) + $ (4，旳)

一 ]1 S〃m+i(。) + s(小 g)|| -

Комментарии к главе VIII

Проблема построения алгоритмов численного нахождения оптимальных управлений в теории оптимальных процессов является одной из наиболее актуальных. Ввиду чрезвычайной сложности задачи в общем случае различными авторами предложены разно-

418 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПТИМлЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ [ГЛ. YTH образные методы улучшения первоначальных зтправлений [20, 48а, 49, 63b, 132, 133]. Решение последней задачи имеет огромпое значение при оптимизации конкретных процессов, ибо в качестве первоначальных управлений обычно берутся управления, найденные из обобщеппя опыта многих операторов и людей, занятых управлением объекта. Улучшение таких управлений на 10——15% может дать огромный аффект.

На каждом шаге значение коэффициента х в § 1 можно задать в зависимости от значения g (①(厶)}. Выбор этой зависимости определяется конкретной задачей.

Значение З〕， при котором предложенный в § I алгоритм заведомо улучшает управление, зависит от степени нелинейности задачи по /, у и структуры функций 屮(£), g (n). Оценки для 6t можно получить, исходя из результатов § 6.1. В общем случае эти оцепки громоздки и грубы, поэтому они здесь опущены.

При решении конкретных задач функции 尸】н F2 口3 § 1 могут вычисляться при разных значениях 6储 что может лишь улучшить результат.

Величина 8 в § 1 оценивается через константу а, которая зависит от степени нелинейности (от величины вторых производных) задачи по переменным х, у,必 Априорные оценки вторых производных в ходе вычисления могут улучшаться. При оценке г полезно учитывать структуру функционала.

В § 2 при ci > 0 можно взять £ < 0, т. с. управление (14) при достаточно малых q* и е2 одновременно уменьшает ф Q (〃)) и g (步(％))・ Вообще говоря, выбор £ зависит от конкретной задачи п предыдущих этапов улучшения управления. '

Принципиальное отличие схем, описанных в §§ 3—5, от схем §§4,2 состоит в том, что в §§ 3 —— 5 операция улучшения управления проводится в пространстве импульсов (переменных р, g), в то время как ранее аналогичные операцпи проводились в пространстве управлений. Схемы последовательных приближений в пространстве импульсов можно найти также в работах [67, 79].

Глава IX

К ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Данная глава представляет собой самостоятельную часть с собственными определениялги и обозначениями.

§ 1, Необходимые условия оптимальности , в дискретных системах

Введение. Трудности определения оптимальных управлений в серьезных задачах оптимизации приводят к использованию вычислительных устройств дискретного действия. С другой стороны, существуют задачи оптил!иза- ции систем, процессы в которых описываются соотношениями типа

■/ (力 + 1) = / (/ (力)，и (/), t).

Исследованию оптимальных процессов в дискретных системах посвящен ряд работ. Наиболее общий подход содержится в работе Г11Ь], где задача оптимизации решается с помощью динамического программирования. Имея ряд преимуществ перед другими методами, этот подход, однако, не позволяет в общем случае сформулировать явно те условия, которым необходимо удовлетворяют оптимальные управления. Поэтому, начиная с работы [74Ь], ведутся поиски необходимых условий оптимальности в форме, аналогичной принципу максимума [109].

Для задачи со свободным правым концом в работе [114b] показано, что оптимальное управление удовлетворяет условию максимума, если дискретная система имеет вид

花(％ + 1) = 4 (/)胃⑴ + b (%").

Сомнение о возможности распространения принципа максимума на дискретные системы общего вида, высказанное в [114Ы, было подтверждено в [21b] примером.

Результаты многочисленных работ по теории оптимальных процессов в дискретных системах мо不но разбить на две группьт. Результаты первой группы относятся к попыткам полуиенпх необходимых условий оптимальности в общем случае. Был предложен ряд необходимых условий, основная особенность которых состояла в замене глобальной характеристики, даваемой принципом максимума, локальными характеристиками оптимального управления. Соответствующую литературу по работам этой группы можно найти в [122, 124с]. Результаты второй группы относятся к выделению систем, для которых справедлив принцип максимума. Основной результат [110, 160b] этого направления состоит в доказательстве принципа максимума для дискретных систем, у которых множество {/ (х, 〃, ％), и ^ U} обладает определенной выпуклостью. Ниже исследуются как вопросы получения необходимых условий для дискретных систем, так и вопросы выделения дискретных систем, оптимальные управления которых удовлетворяют условию максимума.

Обозначения, определения. Пусть изменение вектора / (力)，/ (%) С Er, описывающего процесс в дискретной системе, происходит согласно уравнению

gg(1)(1)/(方 + 1)= /(/ (力，u (0,方)，方 隔)=/ 门=%, % + 1, ..% _ 1],

g

g

(1)

(1)

где u (力)6 邑一вектор управления, t — номер текущего шага (дискретное время), / (х, 〃,力)——функция, непрерывная по 芻〃，厶 дифференцируемая по х. Обозначим через U (0,力 С Т, заданное ограниченное замкнутое множество из Ег.

Пусть Uj——элемелты из U (0, а； — числа, а；＞0,

2 勾=1，/ n 1,.…，孔 + 1，V (t) — множество (г х (孔十 1) 4

w + 1)-мерных векторов v с компонентами и^ а；:

V (t) = [и j, а/ Uj^U ⑴，а『》0, 2 电=1,1,...,兀十 1 j.

Через W (i) обозначидг выпуклую оболочку множества U «): 疹⑶=

一 t 士 卩j"j： "j € U ⑴，卩j*》0, ± 卩)=1, / н 1, • • •, г + 1 j・

Введем системы

沙(力丁 l)=g(y«), D Z), 2«о) = % = А), у ⑴ ЕЕ”，力£7; ⑵

g"一 “吧吟产J)七⑴,三&一 «7,

g{y，3 /)二 S aj 仅，"j, 0> 〃 ⑺ € Y (力)；

z«+D = /(z(/), 0«), %),纟(幻=片0, z (/)££,力£T; (4)

；(一)="0仁/),"⑴,w(厶-i)=-c,"⑺ €%(少

(5)

Обозначим через ◎(力)и ①⑴ множества 2лг-векторов, порожденных уравнениями (2), (3) и (4), (5) соответственно при всевозможных 少⑶门⑹，w (s) g И7 (s)? s£T:

Q ⑴={У (/)，自(方)：〃(s) € 0 (s), s 6 T},

3 (0 =卜⑴/ ⑴：w{s)^W (s), s £ ?}.

Пусть х^Еп,屮 €后冷.Положим

Uj (招 取?)={辽：小‘/(/, 口，0 = max 屮'/(爲"，力)，u^U ⑴},

H (乙取 方) = {/(/ "，力)：〃g0《% 屮，力)},

Q (二，取 以，£) = { u:屮'0/(方扌/"，= max w' 广 " u } ■

Звездной окрестностью точки / в множестве X назовем множество о (%, X), отнеся к нему все точки у ^ X, обладающие свойством： для каждого у существует последовательность чисел £j, &t > 0, &2 f 0, таких, что при достаточно большом 加 все у (&J С X, / ^ w, где у (е() =• =(1 — &) / + 匕у. Если X — выпуклое множество, то о (%, X) = X для любой точки х ^ X. Если множество X е-выпукло *) [167b], то все точки (1 —卩)/十卩沙十 Be С С X, для которых В (%, у) — max, имеют звездные окрестности, совпадающие с X. Нетрудно построить примеры множеств, точки которых имеют о (%, X), состоящую лишь

из одного элемента х. Например： на прямой —— X — ={力：％ = 1, % = —1}, на плоскости — X = {力,у： ж2 + ?/2 — 1}.

Пусть 〃（力），〃i （力）С U （£）, % С Т,— два управления; вектор А〃（方）=Ui ⑴一〃 （Z） назовем приращением управления 〃 «）・ Приращение А〃 （胃）назовем специальным и обозначим его символом 厶仇乜歩 〃 «）, если

（0,£，仇

△а ⑺〃⑼，〃歩 gU（H）.

Управлениям 〃（力），〃i （胃）в силу （1） соответствуют траектории х （Л）,的 ⑴. Вектор An "）寫上（力）一х （力） называется приращением траектории 力（％）, соответствующим приращению А〃 （力.Специальному приращению Ае,и* 〃（力 соответствует специальное приращение А仇设*力 ⑴' которое, очевидно, имеет вид

А«, к*况（?）= °,力о W力 W 0?

△e, 〃*胃（® + 】）=/（% ⑼，z产，0） — / （况（0）, и （9）, 0）,

A0i 視*胃 " + I）Н / （工⑴ + д0, ^胃（0, 〃 ⑴，0 -

-/ （算（力），e⑴，力），8+1 W方W力- 1 .

Для сокращения письма введем обозначение

^u^f （х, 〃，力）=/ （芻 /） — / （力，〃，力）.’

Аналогично определяются At;. А% Агг, Az и т. д.

Основные леммы.

Лемма 1. Пусть управление и ⑴ С 卩（力） и соответствующая траектория у （t + 1）, t ^ Т, таковы, что существует ненулевой вектор с С 月冷,при котором для всех и* Е V （0）, ®СТ, выполняется неравенство

"А® »咽（厶）> о （II Ле, т*у （厶）II）, о （сх）总左启，*> 0.（6）

Если множество R （© 屮，力）выпукло на Q （力），t ^ Т, то существуют управление и （t） ^ U ⑴，t ^ Т, и соответствующая траектория 力 «） уравнения （1）, для которых вместе с вектором 屮（t） С Еп из соотношений

冲（/_1） =空•（"（??'上D 屮⑺,屮（厶一1）=—с, （7） при всех и^ ^ U （Z）, t ^ Т, выполняется неравенство

屮'«） / （% ⑴，и «）, £） > W' （£）/ （ж （0, U*,力.•⑻

Лемма 之 Пусть управление 〃(£)€〃 (/),力 С Т, и траектория х (力 уравнения (1) таковы, что существует ненулевой вектор с С Er, при котором для всех 〃* С ° (9), НС，，выполняется неравенство

с'Ае. ^况(厶)》。(Н Ае, и*/ (厶)||).(9)

Тогда для 〃 ⑴，胃(力)и 屮(£) из (7) справедливы утверждения：

выполняется неравенство (8) для всех % С Т 貝 таких 〃*, что

/ 3 «), 〃*,力 С о (/ (% (Z), 〃(Z),办，/ (% (%), U ⑴，/));

если

/ (瑞 и, t) = А (〃，/) х 十匕(〃，力)

и величина о (а) в (9) неотрицательна, то для всех 〃* { С U (£), % С Г выполняется неравенство (8);

выполняется неравенство (8) для всех и* Q U (/), если t ~ tr — 1 и величина о (а) в (9) неотрицательна.

Лемма 3・ Пусть / (片,〃,力)дифференцируема по 〃, управление 必(力)С 巾 ⑴，t ^ Т, vl соответствующая траектория z (力)уравнения (4) таковы, что существует ненулевой вектор с С Еп, при котором для всех 必 С W (0), ®СТ, выполняется неравенство

сАд…歩纟(力)> Oj (||1b* — w (0) II), о； (a) 偽aj &》0.(10)

Если

Q(z⑴乂⑴，m⑴，f)uU⑺ щш 空**J©』N 什 0.

з⑵①⑴при "' G綜3白«) = 0,

то существует управление u(t)^U (Z), t QT, для которого вместе c 况(£) из (1) и 屮⑴ из (7) выполняется при всех g U (力 £gT, неравенство

m①空("叱"6，Du⑴)и⑺/("」)"*. (11)

Лемма /・ Пусть / (瑞 〃,t) дифференцируема по 〃, управление и (力 и траектория % (力)таковы, что существует ненулевой вектор с Е Еп, при котором для всех

〃* Е С7 （9）, НСТ, выполняется неравенство

с'Ае,奴胃（厶）＞ 5（II — и ⑼ II）..

Тогда для 〃（力），％ （力）и 屮（0 из （7） справедливы утвертк- дения:

выполняется （11） для 〃* С о （〃 ⑴，U ⑴），t Т,

выполняется соотношение

屮，⑴也（Z （/）；：（，），，）=о,

если и （t） — внутренняя точка множества U （力

Доказательство леммы 1. Из очевидного тождества

Е Е“）Ау"1） =

=Е F«—l）Ay（/） + F 仏一QAy（幻一F 仇一1）Ау（幻

в силу Ад（力0）= О, Е （力！一 1）=—с имеем

С % （幻=—2 F ⑴ W « 十 1） + 2 F с — 1） Ay （/）• f=Sf=±o

Подставим сюда значения Ay （t + 1）, E«——l） из определяющих их уравнений

с'№ «j = — £ У ⑴ g （打⑴，5 «）, i）

— 1

+ 2 E'⑴ g（U ⑴，。⑴，方）+£ g，⑴型Z"j（f），/）旬⑴. f=Si—/о'

В правую часть добавим выражение ^ （t） g （у （/）,内（力 £） —

—Е‘⑴g®G）,少1〃），О и используем разложение

e （t）lg（s⑴,内⑴，方） -g仅⑴，内（力切=

=鼻，⑶喧@笑£少']Ay （0 +。2 （II Ay （川I），

"02（a）《&吟 &》0,

В результате получим

с'Ау(〃)= — 2 & ©，1⑴g® ⑴,。«), О —

- &!⑴〜'弋'')aУ ⑴ - £ 。? (II a, (О II)• (12)

/ —^0f = fo

Пусть Av (t) — специальное приращение. Тогда с учетом (6) получим для всех f* £ F (0), ®£Т:

— F(e)&*gQ/ (0), р(0), 8) —

-/ I。2(II A* 少歩y⑴ II)) 0(II Ао, му (а)П).(13)

Используем оценки для о2 (а), о (а). Имеем

V^)^g (у(0), и ⑼，0) <

II Aq, v^y (^i) ||2 !-鱼 > j] ^e, v^y (0 ||2.

Из уравнения для А^, ^у (方)нетрудно получить оценку

II Ае»*у a)||C&IA*g®e), и 価 0) II， / > о + 1.

Поэтому для всех и* g Р (” HgT, имеем

F(e)&*g(y(e), 5(н), h)ca：j&歩g®⑼，p(e), 0)ip, (14) 自=g+自优(力一^o)-

Множество {Ar*g (v (0), v (0), 0): v* g V (0)} по определению выпукло и содерялит начало координат. Отсюда следует, что

^^^g(y^Yv^)^)^Q(15)

при всех у* g У (0), 8 g Т. Действительно, допустим противное, и пусть t) — люмент из Т, и*—- управление из V (0), при которых У ⑼ &*g (у (8), и (8), В) = п〉0. Построим управление %:

A%g(z/(e)‘ и(9), o)= £&*g(y(a), v(0), о), £>о.

Очевидно, v£QV (0) и У (8) A%g ® (8), и (8), 8)工 5 > 0.

Подставим 正 в (14). Имеем

er]^k^2\\^g (у (0), и (8), 0)||2.

Последнее неравенство 口о“;кно выполняться для всех' 6, О ^е < 1, что невозможно. Из (15) имеем

自'⑻为电⑻/勿⑼，з(о), 8)=

二 £ %(е)max F(e)〃y(e),⑷，0).

Таким образом, каа;дое Uj (0),力=1,氾-+-1, удовлетворяет условию

? (8丿 〃у (0), % (8), 8) = max 三'(0) / @ ⑼，⑷ 0)

и, следовательно, принадлежит множеству Uх (у (0), ^ (0), 0). По предположению множество Л (у (0), ^ (0), 0) выпукло. 714-1

1103ToMу .Е 4 (8)/(у (8), / ⑼，9) £R (у (8),己⑼，В), т. е. существует такой вектор 〃(8)£。(8), что

/匂(О), и (8), 9)= S & (0) / ①(0), Ui (8), 0).

Управление u(0), 0 g Г, по|)ождает траекторию .г (9)= 工 у (В) и удовлст}зоряет в силу (15) условию

У (8)/(况⑼，a(9), 0)= шах f(0)/(力(8), 4 0), 8".

Лемма 1 доказана.

Доказательство л ем л1 ы 2. Неравенство (14) доказано для (2), (3), поэтому оно справедливо и для частного случая (1), (7):

仪(8) Ам*/(% (8),辽(8), В)其自 И 八^/(『(8), 〃(Н), 0)||2,

и^и^), HgT. (16)

Пусть 〃* таково, что / (х (0), и^, 0) g а (/ (^ (0), и (9), 0), / (х (0), U (0), 0)). Докажем, что

屮‘(9) А&*/ (况⑼，w (0), 0)<0.

В противном случае найдется последовательность 6t ―>0, 8( >0 и число т такие, что，(①(8), 〃®), 8)。(/(8), U (0), 0) при i^-m, ф7 (0) Аи(ер/ (^ (0), 〃(Н), Н) = 6〃]・ Здесь 〃(⑺ таковы, что / (七(0), 〃(&力，0) = (f —£t) / (r (0), и (0), 0) Ц- 十 “/ (上出)，此 U)，Л」W'⑻ Au" (/ (。)，m ⑼，0) > S 。4供

видно, w(8f) g U (0) при Z > т. Подставляя "(々)в (16) вместо 〃*, получим неравенство е^т] k^t || А«ф/ (0) ||2, которое дол/кно выполняться для всех е；, f> т. Последнее невозможно, ибо е； 0. Утверждение 1) доказано.

Утверждение 2) следует из (13), если последнее переписать для системы (1), (7) и учесть, что 5 (|| 厶仇 况⑴ ||)三。 в силу линейности по 况 функции / (况,□, Z); о (|| До)乜*胃(厶)||) > > 0 по предположению.

Утверждение 3) также следует из (13), если положить 0 = /1 ~ 1 и учесть, что о (|| Ае,复* % 〃i) II) ^ 0. Лемма 2 полностью доказана.

Доказательство леммы 3. Нетрудно проверить, что тождество (12) сохранится, если заменить % 2, и на 2, & w соответственно. Введем специальное приращение управления w «). Тогда с учетом (10) имеем

-и ⑼ Ам/(z ⑼，^(0), 0)~

—』о2(||Де,»*2 (Z)||)>o1(||w*-w||)

для всех w^ ^W (0), 0 g Z. В силу дифференцируемости по 〃 функции / (2, 〃，t) получаем

7 ⑼ 5/(z(2 ⑼，0)=

=7 (0) *(若(也))(“ 一 w (0)) + O3 (II W--W ⑼ II),

II Aw*/(z(0), 0(8), 0)||<A：5||ip* —w(0)||, o3 (a)<7i6a2.

Поэтому

广(0)^5^IM傍* 一 w⑻)w质II以一如⑼俨，(17)

где 方7 二二厶1 + &6T一a2&；左；(% ——％)， a 次3 таково, что

II Ao, w*z(0ll<*3||Aw*/(z (0), ^(0), 0) ||.

Отсюда, как при доказательстве (15) в ггедгме 1, получаем

^~^^-е)，~ [г^* — № (0)] <0.(18)

По условию леммы 3 切(0) £ U (0), если

7(8)%1^:(①丿)亠 ои Q(z(e)/(e), и；⑻，е) и и(е),

「，/с\ 分(z (8)，?〃(е)・ 9) z п ГТх

если С (Н)'еJ ~^^U. Поэтолгу существует функ

ция и (0) ^U (0), которой соответствуют траектории х (/), ф (/) и которая, согласно (18), удовлетворяет требуемому неравенству (11). Лемма 3 доказана.

Доказательство леммы 4. Утверждение 1) доказывается по той же схеме, что и утверждение 1) леммы 2. Утверждение 2) является непосредственным следствием утверждения 1).

Необходимые условия оптимальности в задаче со свободным концом (задача Л). Введем скалярные функции

我(芻屮，口，力)「3'/(胃，口，胃)，Hj (% E, U,力)= gg®, u, 7).

Тогда уравнения (1), (7), (2), (3), (4), (5) можно записать

в следующем в:

иде:

龙（方+1）=

8H Q «),巾⑴,我(£), £)

叫，

x(t0) = x0,

(19)

2 (方 一 1)=

dh (片，"，u, /)

дх'

w(方1) = -

(20)

川十1）=

8% (У, 力 2)

比'

У «0)= %,

(21)

Л)=

ду'

Е (力 1 — 1) = —&

(22)

дН (г, & ш, 2)

Z仇)-况0:

(23)

4 1"十丄丿

白(/一1)=

8Н (z, W，呼 ％) dz'

工（厶—1）二一以

(24)

Пусть ср (%)——скалярная функция, определенная и непрерывная на Еп вместе с grad ср (力).Управление и (力(у ⑴，w (力))будем называть допустимым, если 〃(力)С С U (力)(соответственно з (力)С 卩(力),w (t) ^ W (/)).

Под задачей А оптимизации системы (19) в дальнейшем понимается задача определения допустимого (оптимального) управления 〃 (Z), t ^ Т, при котором критерий качества

/(〃)= $(2 (幻)

системы (19) принимает наименьшее значение, т. е.

J (и) ^ J 伍)， и ⑺ € 〃(%), t Е т.

Первой обобщенной задачей А (задача ЮЛ) назовем задачу минимизации функции ср (у (乙))на траекториях уравнения (21), порожденных управлениями v (t) ^ V (力)， t g Т.

Минимизацию функции ф (z (厶))на траекториях уравнения (23), порожденных управлениями w (力)С W ⑺， t W Т, назовем второй обобщенной задачей А (задача 204).

Задачу Л назовем невырожденной, если на оптимальной траектории % «) выполняется условие grad ф (х (厶))， ，0. Аналогично определяется невырожденность задач ЮЛ, 20А.

Определения.

Управление 〃⑺,力 Е 7, удовлетворяет первому условию максимума, если для него совместно с х (力)，屮(力) из (19), (20) при всех и^ U (力)，力 С Т, выполняется неравенство

h (力(力,屮⑴，u (方)，/) ^ Я (х⑴，屮⑴，〃*,方).(25)

Управление 〃 ⑴,力 Е Т, удовлетворяет второму условию максимума, если для него и соответствующих ему w (%),屮⑴ из (19), (20) при всех u* С U ⑴，匕 £ Т, выполняется неравенство

/ ① 日h (胃⑴，屮(4), a ⑴，t)不2(£),辽(2), Q ?6)

Управление 〃 (力,t £ Т, удовлетворяет первому условию локального максимума, если для него и соответствующих ему 力(力，屮(力)из (19), (20) выполняется неравенство (25) при %С 力 и 〃* таких, что / (х (力)，t) С € о (/ (« ⑴，u (力，方)，/ (а:⑺，U (t), i)).

Управление 〃(力，％ С Т, удовлетворяет второму условию локального максимума, если для него и соответствующих ему х (/),屮(力)из (19), (20) выполняется неравенство (26) при t £ Т, 〃歩 С о (〃 ⑴，U (力)).

Пусть теперь 〃 (/), t { Т,— оптимальное управление. Тогда для любого 〃⑴，％ С Т, имеем

屮(Ж (厶))一屮(2 (厶))> 0

и из разложения

屮(点(幻)=Ф(а：(幻)+

△z'(厶)grad <р (х (幻)> 0 (II Az (厶)||).△z'(厶)grad <р (х (幻)> 0 (II Az (厶)||).+ △/ (幻 grad ср (с (幻)—о (И А х (厶)||) следует

△z'(厶)grad <р (х (幻)> 0 (II Az (厶)||).

△z'(厶)grad <р (х (幻)> 0 (II Az (厶)||).

Если задача А невырождена, то при специальном приращении управления 〃 (力)отсюда получается неравенство (9). Аналогично из оптимальности управления и (/), % С Т, следует неравенство (6) при с ~ grad ср (у (力))： причем с ——ненулевой вектор, если задача 10А невырождена. Наконец, считая w (力),t R Т, оптидгальньш, нетрудно получить (10), где с = grad ср (z (%)), и с，0 в невырожденной задаче 204.

Исходя из этих замечаний и лемм 1—4, сформулируем следующие теоремы, содержащие необходимые условия оптимальности управлений задачи А для дискретной системы (1).

Теорема 1. Пусть задача ЮА невырождена и множество В (瑞 屮，力)выпукло на Q (力)，t ^ Т. Тогда существует оптимальное управление 辽(力)，力 С Т, задачи А, которое удовлетворяет первому условию максимума; с — =grad ср (% (幻).

Теорема 2. Если задача Л невырождена, то оптимальное управление 〃 (/),力 С 7Т, удовлетворяет： 1) первому условию локального максимума, 2) первому условию максимума, если

/ (瑞 〃，％)=/ (辽，t) х -г Ъ (〃，О

и функция ср (%) вогнута, 3) условию

Н 3⑴，W(方)，"⑴，Z) > Я (^⑴，2⑴，"，方)，

% =厶1, и* ^ U (^ — 1), если функция ср (%) вогнута.

Теорема 3. Пусть / (胃，〃，力)дифференцируема по 〃， задача 2ОА невырождена и выполнены условия 1), 2) леммы 3. Тогда существует оптимальное управление 〃 (/), 力 С Т, задачи А? которое удовлетворяет второму условию максимума.

Теорема 4. Если функция / (%, u, t) дифференцируема по 〃, задача Л невырождена, то оптимальное управление удовлетворяет: 1) второму условию локального максимума, с = grad ср (% (幻)；2) равенству

ан (片⑴，屮 R), u «), 0 n

если и (力)——внутренняя точка множества U (/), с — н grad ср(2 (力!)).

Обсуждение теорем 1——4. Примеры, а) Необходимое условие оптимальности в форме первого условия максимума в задаче Л для уравнения

% (力 + i) = / ⑺ х (/) 丁 b (〃，/)

и критерия качества ср (х) - сх получено впервые в [ 114Ь]. В работе [ПО] показано, что первое зтсловпе максимума имеет место для дискретных систем (1). если множество / (%, U,力)выпукло, ограничено, замкнуто. Эти результаты следуют из теоремы 2.

Из приведенных в теоремах 1—4 необходимых условий оптимальности наиболее сильным является первое условие максимума. Наличие у данной системы этого свойства позволяет первоначальную задачу минимизации размерности [力 ——％] X г свести I{力j —— 力о задачам максимизации размерности г. В общем случае для дискретных систем первое условие максимума не выполняется. Это было показано в [21b] построением довольно сложного примера. Следующий пример достигает той же цели проще.

Пример 1.

7 (方十 1)=三〃(方)，У " + 1) = y (方)+ 炉а) 一便⑺，方=0,],

/; (0) ~ у ((J)二二 0, I IVI, Ф (爲沙)二=У» ^о 二 °,厶 к 2.

Имеем

J (W)= -^U1 (())-筋(1).

Управление {u(0)= l, 〃(】)= ]} оптимально. Для него: 5(1)= -I, $2(0): -1，w1(1) =。，W1 (0)= -1, "(?(0), У (°)，屮(°)，〃，°) = — 2〃十靖， Точка 〃厂1 не является точкой максимума последней функции.

Первое условие максимума не выполняется в общем случае и для дискретных систем, которые являются разностной аппроксимацией непрерывных систем.

Пример 2.

方a + 1) = *⑴+ e 〃(£), y(t + l) = y⑴十方2⑴一便⑴.

При условиях примера 1 получается картина, тождественная с предыдущей.

В работе [21Ы в качестве основного необходимого условия оптилтльности для дискретных систем предложен принцип локального максимума, по которому функция Н (/,屮，〃，t) на оптимальном управлении достигает локального максимума. В примерах 1, 2 это условие выполняется. Однако, в общем случае этот принцип не имеет места.

Пример 3.

/ (力 + 1) = 2〃(2), у (/ 十 1)二二 у ⑺十龙2 (0 —歩(£),/ (0) ~ у (。)=。， \u I W1,屮(芻 у) к У•> ^о ~' °,厶 h 2.Имеем

J (и) = у (2)二二 Зе” (0) — и2 (1), I 〃 1Kl.

Для оптимального управления {〃(0) = 0, "(1) = 1} полу> чаем

Н (龙(0),屮(0), "? 0)二便.

Эта ф5тнкция в точке и - 0, соответствзгюш;ей оптимальному управлению, достигает абсолютного минимума.

П р и i\i е р 4.

х (方 +1) и (力)sin у и ⑴，у (t-'r 1) = и (力)cos ~ 〃 0),z (力 + 1) = Z (力)+方2 (方)+ Z/2(Z) - "2 (力)，

黑(0)=y(0)=z(0)一。，1〃 丨久 1,中(%%z) = z,办=0,%=2.

Нетрудно подсчитать, что управление {и (0) 0, zz (1) 1} оптимально, и функция Н(『(0), у (0), z (0), 屮 1 (0), ip2 (0),叩з(0), 〃，0) й1 достигает в топке 〃，= 0 абсолютного минимума.

Пример 5.

X (/ 4 1) = V ⑴ silly IZ (/), у (力十 1) = и (力)cos ； 〃⑴，

Z " T I ) = Z (0十炉(/) J-疗⑴丄й2⑴一户⑺， 况(0) = У(0)к%(0) = 0, j"|Wl, I ^|<1,屮(况，仇 z)=z, 力 о =(),力]=2. Подсчитаем J (〃)： J (〃)= z (2) = и2 (0) + и2 (1) — № ⑴* Для оптимального управления {и (0) = 0, v (0) = 0, и (1) = 0, г； (1) — 1} имеем Н (/ (0), “ (0), 〃，0) = и2 —风 Последняя функция в точке % = 0, г; = 0 имеет седловую точку.

Иногда принцип локального лгаксимулга заменяют на другое основное необходимое условие оптимальности, из которого, в частности, делают вывод, что среди точек, где функция Н (芻 ф, 〃，方)не дифференцируема по и, заведомо не оптимальны те, в которых функция Н достигает локального минимума. Это не всегда верно.

Пример 6.

с (力十 1) = 2 J| 〃 ⑴ I , y(t+ 1) = У «)十炉⑴一I 〃 ⑴ I，

^ (°) = У (0) = 0, I w I < 1, ф (ж, y) = y,

% = 0,厶=2.,

Получаем

J (") = У (?) = 3 丨"(0) I I и ⑴ |.

Для оптимального управления {" (0) — 0, и (1) — 1} имеем"

Н (/,叫 и, 0) = j и |.

Функция Н в точке 〃 二 0, соответствующей оптилгальнолгу управлению, не дифференцируема, достигает там абсолютного минимума. Аналогичная ситуация возникает, если расслютреть

Пример 7.

x^^l^y \u(t) \ silly гг(/)? у (力十 1) =，| 〃 (力 coSy zz(Z),

Z (力 + 1) = Z ⑴十 /2 ⑺ + y2 ⑺-I u (/) I,

'2 (0)= y (0)= Z (0)=。，I I < 1,

中(瑞 y,z)~ 2, t()= 0,厶—2.

В некоторых работах основное необходимое условие оптимальности для дискретных систем формулируется следующим образом： функция Н на оптимальных и (Z) стационарна или достигает локального максимума. Предыдущие примеры не противоречат этому выводу. Однако в общем случае он неверен.

Пример 8.

况(方+ 1)="(力，y (力十1) = y (方)+况2 (力，

况(0) — у (0) — 0, " = ± 1,屮(况，у) = у,

% = 0,厶=2.

Нолучаел!

j(") = у (2)"2 (0)..

Для оптимального управления и (0)二二 1 имеем

/ (1) L 1,屮 2 ⑴=—1’ 屮2 (0) = —4,

5 ⑴;一 0, Wi (0) ~ -2,

Н (/ (0), у (0),屮 1 (0),屮2 (°)，", 0) = —2".

Последняя функция в точке и —二 1, соответствующей оптимальному управлению, не имеет стационарного значения и не достигает локального максимума.

Такой же вывод мы получим, если рассмотрим Пример 9.

/ (方十 1) = 比 (0， У (力 T 1)二二 U (£),Z (力+ 1) = Z⑴+炉(力)+ *⑴，

% (0) = у (0) - Z (0) = 0, (" — 1)2 十 е 十 1)2》8,

(辽-2)2 +(少+ 2)2 < 18, ф (芻 % Z)=羽,

%о ~ 0, ti — 2.

На примере 8 можно убедиться, что необходимые условия оптимальности в дискретных системах с квантованными по уровню управлениями имеют свои особенности.

Второе условие максимума, как показывают примеры 8, 9, выполняется не для всех дискретных систем.

Первое и второе условия локального максимума теряют содержательное значение, если звездные окрестности состоят лишь из оптимальных управлений (примеры 3—9).

Утверждение 2) теоремы 4 может выполняться и для 〃，лежащих на границе множества U (/).

Об одной частной задаче (задача В). Под задачей 3 в дальнейшем понимается частный случай задачи А, когда: 1) правые части первых п — 1 уравнений системы (1) не содержат координаты хп, 2) функция /п (力,и, t) имеет вид

/n ("瑞我，力)-/n 十 /1?2 (勺，• • • 1 况", £),

Функция ф 3)二 хп 丄也(4, 一 •，岡一1)・

При рассмотрение задачи В условимся "-вектор обозначать символом 况,(冷 —— 1)-вектор, составленный из первых " — 1 компонент вектора 况,一символом 况. При этих условиях нетрудно проверить, что 屮九(/) = —1, t ^ Т. Поэтому уравнения для 屮(方)имеют вид

屮 I —，(27)

屮(% -1)= -grad 仪(况(①)，

窕(z,也比，E)=屮了(力，u, i)—九 3, u, t).(28)

В задаче В множества Q (£), з (/), состоят лишь из таких 屮, для которых 屮冷=—1. Поэтому проверку условий теоремы 1, 3 достаточно провести для 屮 с 屮冷二一1. Отсюда сразу следует, что первое условие максимума выполняется для систем, у которых： 1) функция / (力,и, t) линейна по и, 2) функция /1П (瑞 〃,t) выпукла по %, 3) множество U выпукло.

Назовем функцию сс (力)сильно выпуклой с коэффициентом 厶 если она дифференцируема и величина о3 (|| А力 ||) в разложении

а (/ + А%) — а (%) = АВ grad а (力)+ о3 (|| А% ||) удовлетворяет условию

оз (II Ах II)》2 II А / |р.

Теорема 5. Пусть： 1) функция / (力,и, /) дифференцируема по и и величина о4 (|| А〃 ||) в разложении ^f^, it + Ait, t)—屮'/(，，it, £)=屮，"(；j，')Au,十 O& (II Alt II) удовлетворяет неравенству

О4 (II Ам II) < к II А〃 II2；

функция /т (瑞 и, /) сильно выпукла по и с коэффициентом /; 3) множество U выпукло. Тогда в задаче В с I ^ Ц оптимальное управление удовлетворяет первому условию максимума.

Доказательство. При условиях теоремы функция Н (瑞屮，％,看)вогнута по и, позтому второе условие максимума, которому в силу теоремы 4 удовлетворяет оптимальное управление, совпадает с первым условием максимума.

Примечания. 1. Оценку величины 乙 нетрудно пол>тчить из оценок для 屮 и вторых производных d^f/du1, если последние существуют.

Предположение о дифференцируемости по и функций / (况,〃,力),九几(瑞 и, t) можно снять (см. ниже), если понятие сильной выпуклости и нелинейности функций ввести по [107].

Другая общая схема выделения дискретных систем, в которых выполняется первое условие максимума, получается из рассмотрения задачи 10А, При доказательстве леммы 1 было показано, что каждое оптимальное управление ut (^), i = 1, . . ., " + 1；力 С 7, этой задачи удовлетворяет условию максимума

Г (0 / (力(%),⑷⑴，0 = max F (Z) / ⑵ 〃，％). .

Поэтому в дискретных системах, для которых функция У/ (芻 и, %), ｛况，自｝ С Q ⑴， достигает максимума по % в единственной точке, оптимальное управление удовлетворяет первому условию максимума. Отсюда сразу следует теорема 5 при I > 〃, так как рассматриваемая функция 册 при этих условиях сильно вогнута и достигает максимума в единственной точке. Кстати, при этих условиях предположение об ограниченности множества U (/) является лишним.

При исследовании задачи В нетрудно выделить дискретные системы, для которых второе условие максимума выполняется и при невыпуклых U (力).Введен множества

М ZEQ⑴，зЕУ)｝,

01"2, 9 =依："*車)'访=max (v+M)”*, vЕ加，||m||<Л｝， w*GW(0

Теорема 6. Пусть: 1) задача 2ОВ невырождена;

функции /(况,〃,力),/1П(X', u, f) дифференцируемы по “；

I 7 °弋£ 力 II 式厶；4) Qi (%, %) и и (0. Тогда при Z?》厶 оптимальное управление в задаче В удовлетворяет второму условию максимума.

Доказательство. Утверждение непосредственно следует из теоремы 3, так как при сделанных предположениях выполняются условия последней теоремы.

Примечание. Оценки в теореме 6 значительно упрощаются, если

/ш (瑞 W, 0 = /2 (с, 0 十 Ъи, / (с, и, 0 = /3 (爲力)十 Ви. В этом случае множество Nt состоит из одного элемента 6, условие 3) имеет вид： || g，6 “ W Ч' Грубо говоря, условия теоремы 6 будут выполнены, если U (力)обладает е-вьшук- лостью, где е — ;iюбой вектор из окрестности элемента Ь.

§ 2. Выделение класса дискретных систем, для которых выполняется принцип максимума

Из формулы (12) для задачи ЮЛ получаем

AJ(>)= — 2【〃(％ ?, f{, t) — H(y,占，* OJ —

v А /「8H ®, g,叫，力) 8H (g, g, % /) I

2 ⑴丽J —

-2。2(11Ay(z)N)一。(||Ag(%)N).

Для задачи 1。8 формула приращения функции J(u) имеет вид

AJ(>)=_£ [^ (у,三，©, /)—旅(у,三，匕 t)] —

_》⑺ [@能(У,卜 ％, 2) 8旣& 自,и, х)]

fl-1fi-1

一e 02(IIaHOII)4- X。；(1 闻⑴11)一。(|因伉)11), t=tot=/o

где величины о； и о； находятся из разложений

F[g® + Ay,刁，力一g®,内，/)] = g **：""A沙 +。；, n+1

U а? [/ш 传 + A% ^ii» 0 — f т {уу ^ii?力)1 =

% & 包嘰产± Ay+。；.

Пусть функция /1П (х, и,方)сильно вогнута по х с коэффициентом 〃，т. е. о； (|| Ay || j М —乙 || Ау ||2, Z4 = const, D°, функция /(况,u, t) слабо нелинейна по 况,т. е. о；(U Ay [I) W%5 U Ау 俨，厶 мало. Тогда при 厶‘乙 выраже- 九一1

ние 2 о；+。； оказывается отрицательньш. Считая, кроме того, функцию ср (^) вогнутой fo (II &у II )>0], соответственно получаем

AJ(и) W ■~ 2 1 泓(勿三，，"，t)一泓(y，2, u,川一 t=£o

2 Ay «)[°% ®，2,也，') 。鸵("'己，/ ')](29)

В качестве управления % (看)возьмем одно из управлений {и( (/), at (0}. Точнее, полагаем

f Uj ⑶，а") = 1, если

〃(/)=〈〃(/)=〈〃£ ⑴，а()=1, I ~ любое из〃£ ⑴，а()=1, I ~ любое из1,…，汽 + 1, если1,…，汽 + 1, если

〃(/)=〈

〃(/)=〈

〃£ ⑴，а()=1, I ~ любое из

〃£ ⑴，а()=1, I ~ любое из

1,…，汽 + 1, если

1,…，汽 + 1, если

А,⑺必R^^ = 0, Ul{tKU^.

Для каждого ££Т найдется индекс /=/«), при котором указанный выбор и〕(%) возможен. Действительно,

Г。薮(у, Е, е在,仪在=1, %)—。咏(4, Е,内 x)〕=

L 蓊 - ду 」一

一 Ay ⑴[叶 ®,"在'*) g 8"n 仅,"在:*)

n十 in+ i

У 宀"仅，"i，0 t 1 Р ~ dfin (у,龙i, 0 ]•

—步-s + 2 &而卜

Улшожил} эти равенства на 寬左（£） и просуммируем по к от 1 до " + 1. Справа, очевидно, получится нуль. Поэтому при

средисредиД/（0绛业自，論生="方（I

среди

среди

Г丸/ "/,己，44%为=丄e） _日宛（U,之宀 ，）

厶 h2 1, . . * ,"十］,

найдутся как положительные, так и отрицательные величины.

〃сшустмм, что V （方），/ С 7,— оптимальное управление. Тогда （см. доказательство леммы 1） каждое и^ ⑺，％ С Т, 4 = 1,...,"十1, удовлетворяет условию максимума и поэтому

礎匂，自, uA? aй - 1,方）方能（%自, 4力，t e T.

Подставляя управление щ （%）, а； （^） ^ 1 в неравенство （29）, получим AJ （0 W 0, что указывает на оптимальность построенного управления 〃『 ⑺， а；（方）= 1 в задаче В. Этот результат сформулируем в виде утверждения.

Теорема 7. Пусть задача 1ОВ не вырождена, функция /т （况，м,方）сильно вогнута по / с коэффициентом 〃， функция 屮（况）вогнута, функция / （芻 u, t） слабо нелинейна （%5W〃）・ Тогда существует оптимальное управление задачи В, удовлетворяющее первому условию максимума .

Теорема 7 усиливает результат утверждения 2） из теоремы 2. Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что в задаче В для системы описываемой выражением

况"十1）=［力（0 Г Su田（方）］金 （力）4而（辽，力

существует оптимальное управление, удовлетворяющее второму условию максимума, если фп （〃, t） сильно вогнута по %, а нелинейность по и функции ср （以，力 достаточно мала （ср （и,方）дифференцируема по и）.

Разные задачи

Задача с подвижными концевыми условиями （задача С）. Под задачей АС в дальнейшем понимается задача / с дополнительным условием, содержащим ограничение на правый конец траектории уравнения （1）：

Р （，（厶））< 0,（30）

где р （况）—дифференцируелтая функция. Введем в рассмотрение вектор Зо, и* 况（0, вычисленный согласно уравнениям

6团我*£（%） = 0, 看 = Ь 6; бо, "胃（0+1）=

= zV/（N（H）,〃（H）, 0）,

6е,«^g + 1）=必（禦⑴，"5仇 "*e⑴，9 + 10其厶一1.

Сравнивая этот вектор с А®, 〃密况（方）,убеждаемся, что

||А仇乜密/（力）一B6,M*%（£）||wj О5 （II ^0, и*^ （0 II） dt^ 力 £7\ （31） to

Пусть множество {/ （笈，U ⑴，方）} выпукло, q, %=-1,... ...,/, — ；[юбые （не обязательно различные） точки из Т, zz*, Z 1, . . ., Z,——/побью （не обязательно различные） элементы из U （q）. Каждой паре q, uf соответствует вектор 0%,虱产（幻：

°%”е产（'l）Q‘Vh 勺）△谭/G（q）,辽（G），勺）7

尸（5尸（5h-2s）= пh-2s）= п0/（况（~+1）,以⑴十1）, 口十1）0/（况（~+1）,以⑴十1）, 口十1）где

尸（5

尸（5

h-2

s）= п

h-2

s）= п

0/（况（~+1）,以⑴十1）, 口十1）

0/（况（~+1）,以⑴十1）, 口十1）

дх

Построим вектор и* （е；）, 0久立 <11, зависящий от параметра 立：

*?（%了（"（（），a（勺），勺）=£4w/（.算（勺），以（小），勺）.

В силу выпуклости {/（爲 U （/）, £）},力 £Т, каждый вектор и^ （е；）, 0<е；<1, принадлежит множеству U （勺）.Очевидно, %,谑（%产（%）=立〃（5 /）МХ（虞 S），"S3 G），

Введем управление

建（方）=建（方）="（/），* （？"（/），* （？

建（方）=

建（方）=

"（/），* （？

"（/），* （？

Этому ^шравлению соответствует вектор 6^（/1）=g3+磽"（厶）=

ё力尸（力，口）A戏/（/（j），"（口），t方），

Л1ножество векторов 及=3城伯）：0＜^班总1,%=1, ..., Z}, очевидно, выпукло, ограничено и замкнуто. Если 〃«）, ££Т,—оптимальное управление и р （况（厶）） V。, то множество К не может иметь общих внутренних точек с множеством & = {&г： &/ grad 屮（况（力J） ^ 0}. Поэтому

B# （幻 grad 中（x （幻）＞ 0, 5口（厶）C（

Если при оптимальном % （£）, £ С Т, имеет место равенство р （х О — 0, то множество К не может иметь общих внутренних точек с пересечением множеств 芻 и К2 H ={&г： 5犷 grad р （宓（厶））W 0}. Это означает, что существуют постоянные X,卩，入》0,卩》0,入十卩=1 такие, что

3战'（幻［X grad ф （力（"））+ 付 grad p （况（厶））］》0 при grad ср （啰（厶））f к grad p （z （“））. Учитывая （31）, movk- но утверждать, что если в задаче АС управление 〃 （%） оптимально, то существуют такие постоянные 九，卩，九》0, 卩 ＞0,九+ 代=1, что

Ae,虱歩.力‘（3爪grad中（%（厶））+卩grad p （况（%））］＞

2。（IIA0,乳歩况（厶）||）, （grad ср （力（勿））声 к grad p （力（厶））），

причем 卩=0, если р （力（厶））＜0.

Обращаясь к лемме 2 （утверждение 1）, убеждаемся, что справедлива

Теорема 8. Пусть множество / （况，〃（力），方），t £ Т、 выпукло. Тогда для оптимального управления и （力 и оптимальной траектории 况（力 задачи АС с grad ср （宓（厶））次 声 х grad p （啰（厶））, ——oo v乂 V 8, существуют такие

неотрицательные числа 入,卩，入 + 卩=1, что управление и （力）,力 Е 7， удовлетворяет первому условию максимума с 屮（Е） из （7）, где

с =入 grad ср {х （〃））4-卩 grad р （胃（力0）.

При р （胃（力i）） V。можно положить 卩 = 0.

Примечание. Теорема 8 приведена лишь для иллюстрации метода. Более точные результаты получаются из лемм 1, 2 по той же схеме, что и теоремы 1, 2. Подробности опускаем.

Задачу 8 с дополнительным условием （30） назовем задачей ВС и сохраним прежние соглашения относительно обозначений %, х. Кроме того, будем считать, что р （%） не зависит от хп. Нетрудно проверить, что 屮北（力） 三 一入], 才 Е Т, и уравнение для 屮（力）имеет вид

,, 八 不能九d①⑴，"（/），辽⑴，£）

w1）石，

W （%-I）= 一 入 grad（P （/（幻）一卩 grad p （①（厶）），

能期（爲叭〃，方）=屮7（①〃，力一入（招w, z）,卩p（胃（刀））=。，儿卩＞0, ^ + pi - 1.

В задаче ВС уже нельзя использовать сильную выпуклость по и функции /1П （爲〃，力），так как коэффициент 九〔 заранее неизвестен. Однако результаты по первому условию максимума для задачи В （§ 2） переносятся и на задачу ВС, если 力也（瑞 〃，t） выпукла по 〃, функция / （%,我，t） линейна по 〃.

Опишем теперь схему получения второго условия максимума в задаче АС. Пусть функция / （%, 〃,力）дифференцируема по 〃. Введем вектор 6@,乜东 х «） по формулам

6仇虱** （方） =^ 0,方 ^^ ^Q1 • • • ? 6 ,

бе,（0 + 1） =丝（R嚮）也（“*一 “ （0））,

说,"*2 传十 1）=也位自氤"卫）'’）阮,a*2 （/）,9 + 1 W / С % - 1.

Сравнивая с 厶仇乜*胃«）, получаем

IIA 仇（方）-3 仇虱吨"） II＜。6 II 〃东-u （9） II-

Пусть U«),力 £Т, выпукло. Введем 口，w*, как и при доказательстве теоремы 8. Вектор 〃式“)， 0<Ei < 1, построим по правилу

建(勺)=(1 —£t) 〃 (0) +EjZZ*.

Дальнейшие построения очевидны. В результате получим утверждение, формулирующееся аналогично теореме 8 с двумя изменениями: 1) вместо выпуклости / (胃(力), U «), £),力 С Т, требуется выпуклость U (力)и дифференцируемость по и функции / (%, 〃, Е); 2) первое условие максимума заменяется на второе условие максимума.

Задача на минимакс. Оптимальные процессы при ограничениях на состояния дискретной системы. Введем задачу D, которая понимается как задача минимизации на траекториях системы (1) величины

丿(〃)= тах?(①(力+1), /-L 1),,(32)

где ?(£, ^) — дифференцируемая функция. Выражение (32) можно представить в виде

丿(〃)= max J s(£)g(*«), Е).

Поэтому если 〃«), Z ^ Г, — оптимальное управление, 胃(£)——оптимальная траектория, то им соответствует функция со«), сосредоточенная на множестве о = {£:?(* (力 +1), /+l) = maxg(z(s + l), sf 1)},』8«) = 1, co")g(z 优十 i), sgTо

%+l)》0・ Из оптимальности управления и (t) следует, что

3 6)(方)g3(方)，方)w

C S 8⑴g@⑴，力)，^«)€〃«), /£7, f = fo+l

где * (力)——траектория, порожденная допустимьш управлением 〃⑴.Задача D сводится к задаче 5, если координату zn определить по правилу

Tn (Z)=』s(s)g(?(s), s), s (幻

Последнее уравнение системы (1) теперь имеет вид /(方 + 1) = ^п (t)+ со ⑴ 0 (£ «),方)，£ С t,

з %) = 0, хп (%) = 05 функция 單丄(*) = g (z (&),厶)со (厶)・ Выпишем уравнения для 屮(/), Н® (隼，屮，и, Z), соответствующие задаче:

Hs(芻屮，〃，力)=屮"(爲"，力)一做(爲方)，

屮(% 一 1)吗(招/」2,(33)

屮(乙一/)=_3(幻也哪」(34)

Результаты, полученные выше для задачи Б, переносятся на задачу D, за исключением тех результатов, где используется понятие сильной вогнутости по х функции /1п (瑞〃，力 Однако и в этом случае теорема 7 переносится на задачу £>, если / (%, 〃, £)——линейная по z функция, q (*) ^ 0, q (%) — вогнутая функция. Сформулируем один результат.

Теорема 9. Ilycib / R, U «), Е),力 С Т,— выпуклое множество. Тогда для оптимального управления и (%), t ^ Т, оптимальной траектории 胃(力)(grad q (隼 〃)，t) 关 0) найдется такая функция со (方)，сосредоточенная на о, что управление и «), t《Т、удовлетворяет условию максимума (25) с функцией 屮(Z) из (34).

Примечание. Для определения функции з (£) используется неравенство

3 3(力0(2(%)，i)> 2 O>(t)q(x(t), t),

справедливое для всех co (%),2 «(*) = !.

От задачи на минимакс перейдем к задаче оптимизации дискретных систем с учетом ограничений на состояния. Задачей AD назовем задачу А с дополнительным условием

71 (£⑴，^) < 0, t g t.

Рассмотрим задачу на минимакс с функцией q (伤 t) вида

f 7i (爲力 t£T,

"I，丿 [中(胃)—V, t = t^ — сю C V <； о0 .

А1инимальное vf при котором решение задачи на минимакс удовлетворяет условию J （и）《0, является минимальным значением функции ф （%） в задаче AD. Оптимальные управления в задаче AD совпадают с аналогичными в задаче D. Такова схема решения и получения необходимых условий оптимальности для задачи AD, Точные формулировки теорем получаются легко и поэтому опущены.

Примечание. Если требуется дополнительно обе- спечить условие q （隼（勿），勿）《0, то необходимо знать решение задачи на минимакс с подвижным правым концом.

Одна форма необходимых условий оптимальности. Пусть рассматривается задача А с дифференцируемой по 我 функцией / （况,〃,£） и множеством U （力）,заданным в форме

U «） = {и： q （辽，力）《0} % С Т,

где q （〃, £）——дифференцируемая по 〃 функция （задача Л i）. Введем систему

寫 1（Z 十 1） =/1 （勺，胃2，*）‘）

,q«TT） = %（A, % 力办（幻=&，I %）T2（%）Н 〃佈），Г

，％€?, ^1 € ^n? ?2 & 刃门丿

где *1 — ?г-вектор, /2, g — r-векторы, 力（胃储 &"）= —/ （隼匕 к?，％）， ,2 （%2> V, %） ~ функция, непрерывная по всем аргументам вместе с О% （&，v> £）/@第2，& — управление, v I Ет. Область S «） допустимых значений вектора v и функцию /2 （隼2, V, £） выбираем так, чтобы множество /2 （*2, s «），％） было ограничено, выпукло, замкнуто. На траекториях системы （35）, стесненных ограничением q （胃2, ％） & 0, % С 7, рассмотрим задачу минимизации величины

J W）=屮（◎（右））•

Эту задачу назовем третьей обобщенной задачей / （задача ЗОЛ）. В силу сделанных предположений оптимйеНь- ное управление v（£）, £ С Т, задачи 304 удовлетворяет первому условию максимума. Пусть управление и （/0） в задаче А не варьируется. Тогда для ограниченных множеств U （%） можно так подобрать функцию /2 （旳，％ %） и множества Е «）, что для каждого 〃（%） С U ⑺，力 С Т, существует v （^） Е Е «）, при котором 旳（力）=〃 «）,方 С 九

При этих условиях в задаче Л за оптимальное управление и ⑴ мо;кно взять & (%), порояеденное оптимальным управлением V ⑴ задачи ЗОЛ.

Остановимся подробнее на двух простейших способах задания /2 и В (Z). Пусть:

4 (%十 1) = * (力(36)

三⑴= |v： 2 (vTc^j；

x2 (t J~ 1) x2 (t) -j- v (?).(37)

Обозначим через

d= maxt (u —u)y (u — u)1^(38)

u, u^U{t)

наибольший диаметр множеств U «) и положим L ^ d. В этом случае для каждого и (力)，t ^ Т^ найдется такое V (t), t JT, в (36), (37), что & (Н = и {t). Сформулируем теперь необходимые условия оптимальности в задаче А^

Теорема 10. Пусть / (%,弘,t) дифференцируема по и. Для оптимального управления и (Z), Z £ Т, найдется функция со (£), сосредоточенная на множестве а = {t: q (u (£)， i) = 0), такая, что』со (£) = 1,

Использование уравнения (37) для получения необходимых условий оптимальности в задаче А опускаем. Полученное в теореме 10 условие максимума по вид1y аналогично второму условию максимума. Это объясняется конкретным заданием уравнение (36) и множества 日(£).

Иногда может оказаться полезным получение необходимых условий оптимальности через четвертую обобщенную задачу Л (задача 40А), под которой понимается задача минимизации функции 屮(隼工(厶))на траекториях системы (35) при условии, что множество В «) выпукло. Схема перехода от задачи 4ОЛ к задаче Л в свете изложенного вполне очевидна.

§ 4. Принцип квазимаксимума

При операциях с непрерывной системой

"^ = g(% 力 s), Sq^s^st,(42)

на цифровых вычислительных устройствах оператор dy/ds в простейшем случае заменяют на разность у (s 4* 历)一 — У (s)他 где h — шаг квантования времени. Естественно, чем меньше 历,тем точнее в данном случае аппроксимация. Полагая 力=s/h,花(£) = y (笈)，к ⑦=u «期，/ (%，〃，» = =g(У, и, /历)，приходим к дискретной системе

% « + 1) = % «)十 hf (g 〃，力)，(43)

зависящей от параметра h. В общем случае дискретная система с параметром имеет вид

% (方十 1) = / (%, % 力 Л),(44)

где h может быть и вектором. В дальнейшем величинам и понятиям, связанным с дискретными системами с параметром, будем приписывать индекс h. Выпишем соотношения, связанные с получением необходимых условий оптимальности в задаче Ah для уравнения (44). Оптимальное управление： 〃(厶历),££ Th. Траектория уравнения (44) х (^, й-), t — 1 E %：

屮(力一1,九)=包上齐9屮(厶九)，叩也一1,期二

•= — grad(p(e(〃，Л)),(45)

?7(片,屮，〃，九人)=屮'/(贫，u, f, /1),^o,(方，/?) =。，7 =力0, .…，仇

Ag,观*% (8+1，心= Z*j3 m, 0, /г),

A仇〃來/*十1,协=〃，厶期一八胃，〃，力无)，

^e)u^jh^)=—屮'田，h) Au*f (/ 〃，0,也)一

— 2 o(||Ae,u*a：(i, /г)||) + о1(||Де,и*^(^, Л<) || )，伍6)

о (II Az ||) w 川I Аж II2, 0[ (II Дж II) с А, II Ах ||2.

Пусть е, £>0, —некоторое число. Введелт множество

"(仇无)={〃*： Qi (II 乂來/(方 1) Ц )-

—3 0(|| Ae,u«(i)||iXe, iz*gf7(0)}.

Теорема 11. Оптимальное управление u(t, h) в задаче 力五 для (44) удовлетворяет условию квазимаксимума

Н (囂(力 А),屮(力 А), и (厶 A), t, h)》Н 国(厶 А),屮(f, /z), и*,厶 А)—е

для всех и* g UQ (^ Л), £>0, ££Т九.

В самом деле, пусть 〃(厶 h)QU (Z), £СТ”，一оптимальное управление, но существуют А £ Th, £〉0,炉'G / (О, Л), при которых

Н (/(В,无)，屮(0,无)，и (0, /г), 0, h) V

V 〃(胃(В, /г), гр (0, /)炉，О, Л) —е.

Из (46) тогда имеем А°, □*/(〃)< — 8 + 8 — 0, что противоречит оптимальности управления 辽(£,九).Если 8, h таковы, что при всех 8 £

0%(仇 h)^U (0),

то вдоль оптимального управления необходимо выполняется условие (условие £-максимума)

h (x亿明2(厶无)，и (力初t,历))

)H (第(厶端 屮(力乃)，lt h) — e [(47)

для всех 〃* С。(£), t С 7”. Условие переходит в первое условие максимума, если h таково, что

“ (0, П) п U (0) при £ f 0 и всех 0 £ Th.

Применение условия квазимаксимума для конкретного определения оптимального управления не всегда удобно из-за неэффективного способа определения множества Z7e (0,无). Поэтому введем множество

U\ (0, h) {^: В (0, u*, /z)<；£, e*£U (0)}, где функция В (0,"來,Л) выбрана из ус.ювия

01(11 ^^^(l^^W) - Y 0(11 Ao,"*? (/,厶川)《3(仇"*,/г).

Вид функции В (9, и^. /г) зависит от конкретных 5^сло- вий. Рассмотрим, например, cjj^iaii" дискретной системы (43). Пусть решения уравнения (42) ограничены для всех измеримых v (s) ^ U (s). Тогда для достаточно малого hQ можно указать такое число М, что при всех h, О W 历 W 也山 решения уравнения (43) удовлетворяют неравенству

■ II 第(Л Л) II < м, £ с Th・

Для упрощения оценок предположим, что функции / (芻 〃，£), ф (*) дваяхды дифференцируемы по 囂 н

в области II х II <М,忆£ (J U&), ££Т 厶，6<；屈・ Тогда из определения величин О] (|| А.2-1|), о (|| Ат ||) имеем

|о(||Лт G，无)11)卜《^11 屮(力，h)\\M2\\^x{t, h)f,

I 01 (II Az (厶，")||) Y 2 M,

Из (45) получим оценку

где M5 не зависит от h, h^h^ и определяется величинами М^ %, х, М3. Оценка для || Ag, -^х (t, Л) || имеет вид II А0>и^т(/,九)П с也Мб НА"*/а (о, 3，〃(0, 3，6) lh %£「九, где MQ не зависит от h. В результате за В (0, u*, h)

можно взять функцию

5(9, и*, h)=、

=[學：依一无)当&-同沁|m*/(?(仇用，"(8, h), 0)|I2.

Отсюда видно, что если мни>кества U (9), HgT, ограничены, то д:тя любого е можно найти такое число Д (е), что

U\ (6, /г) U (9) при ВС 7%, h &h (&).

Наоборот, при ограниченных U (0) для каждого h найдется такое & (无)，при котором выполняется последнее равенство. Из определения В (0, 〃*, h) следует, что е (历)〜 历2. Эффективность применения условия £-макси~ мума зависит от соотношения между Н и величиной 8. Если е^2 I Д |т то условие е-максимума не может выделить из U (0) собственного подмножества подозрительных на оптимальность управлений. В общем случае оценить снизу порядок по h функции Н затруднительно. Однако для задачи Bh функция 變 при малых А имеет по h порядок малости не выше первого, если | /и (胃(厶 /г), и (力 % t) |》 》М7 при t Е Th, h^hQ. Можно указать и другие критерии (например, соотношение между | /1п | и || А#/||), при которых 變 〜h. Если функция 礎 обладает указанным свойством, то эффективность условий е-максимума с уменьшением h в системе (43) возрастает. Эти результаты сформулируем в виде теоремы.

Теорема 12. Если и (厶 力,),力 С Т”,—— оптимальное управление для задачи Ah в системе (43), то для каждого £〉0 найдется такое число Л (е), что управление и (厶 历)при h ^h (г) удовлетворяет условию е-максимума.

В задаче Bh для системы (43) эффективность условия 8-максимума возрастает с уменьшением h. Теорему 12 в общем случае нельзя улучшить. Другими словами, существуют дискретные системы вида (43), оптимальные управления в которых не удовлетворяют первому условию максимума ни при каком 历,无〉0./

П р и м е р 10.

隼(t 1)=胃 «) + hu (力，

y " + 1) — У «) + h 反2 ⑺—必⑺],

2 (0)三=y ⑼=0,丨 u I W 1，屮(瑞沙)=力 ％ Н °，厶=2.

Имеем Jh (w) = — [h — /г3]炉(0)—九〃？ (1). При любом h, О V历 W 1，управление {и (0, h) = 1, 〃(1,历)=1} является оптимальным. Для него

〃о = — 2№и — /г/, Hq = Н 国(0,期，屮(0, h), 〃，0, h). Последняя функция в точке 我=1, соответствующей оптимальному 辽(0,历)=1, не достигает максимума ни при каком 历，О V 历 1.

Пусть 历 > 1. Тогда управление {и (0,7г) = 0, u (1,7г) — 1} является оптимальным, и для него Яо =无〃？. Эта функция при 历 > 1 в точке 〃 = 0 не достигает максимума.

Двухпараметрические нелинейные системы. Принцип квазимаксимума

Постановка задачи. Пусть в узлах {mh, пт} прямоугольника D = {mh^ пт: /те = 0，. . ., М; п = 0, 1,... ..N\ связь между ^-вектором х = х (тп, п) и г-векто- ром управления и ~ и (т, п) задана уравнением

Ehi (% (皿，孔))н / (招 Eh,凡，弘 W n) (48) и начальными условиями

②(0,孔)=* 孔 г 0,…，TV；

Т(772, 0) = В< 772 = 0, 1,..…/И,(4 9)

где

h力i(a(zn况))_方(^+1'孔+ D-方(^ + 1，也)一胃5，也+1)+方(%也)

Rh=Rh(2⑺，初=产(吧a，？』」也,

rx=&(2 m 初二支(…+尸⑵,吃,

а функция / (%, Rh, 〃i, 〃, m, n) однозначно определена и непрерывна на Qi = Eq X Eq X Eq X Er X Ei X E* и имеет на Q^ непрерывные вторые производные по /, Rh, 〃i・ Предположим, что допустимы управления

u (?72,九)Е J7 u ег.

На траекториях (48), (49) определим функционал

J (〃)= crx (М N).

Здесь с — заданный вектор.

Задача. Требуется определить и (m, п) £ U, 0 & т М ~ 1, OW^KN —彳，такое, что

J (u) = min J(u).(50)

и{т, n)^U

Формула приращения функционала. Пусть управлению и (т, п) соответствует решение 第(m, п), управлению и (т, п)十 Ам (т,汽)一решение 第(m, п) + А第(т^п),

小式Mg,心)=、

/ (方，"八，еf, 72)，(51)

A^ (m, 0)二二 A^* (0, 〃丿二 0,

АТ? у R Qt (m, “) + Ат (m,北))一〃(/ (m, “))二二

工 R (Ат (m,")).,

Для произвольной последовательности ^-векторов р (т, п) имеем

м-1N-1

2 2 Р‘ («г,九)Rhx (Аж (m, n))hx = m—0 n=0

M-1N-i_.

=22 △修0电几)％Т(，О,а))断一

m—0 п—G

—』Ах, (m, N)Rh(p(m, N—^h —

—2 м ” 汽)Rx (p (M — 1, ")) T +

N-\^x(M, N), (52)

гдб m = — 1; 0^ • • • ■ ^^ — 1 ；『z 二二—1, 0, • ♦ •, N — 4, Rh (p (m 7Z)) — P m “)— p (^-1, n) — p (zn,汽-1)十P (zn —I, гг-1)

Rh 5 (m, «)) = 9 —I，心,

凡6(m, 70)一上(""")二六"，"一攵.,

Положим

H (.r, Rh,兄，P 小"，几)-"'("：")/(/, /厶，心，u，人孔)

и выберем р (тт п) из уравнений

4工(?(m, 〃))4工(?(m, 〃))дН (z, /",公，р, и, tn, 〃)дН (z, /",公，р, и, tn, 〃)дхдх° IdRx° IdRx(53)(53)

4工(?(m, 〃))

4工(?(m, 〃))

дН (z, /",公，р, и, tn, 〃)

дН (z, /",公，р, и, tn, 〃)

дх

дх

° IdRx

° IdRx

(53)

(53)

с граничными условиями

р(М— 1, N — 1)р(М— 1, N — 1)Rh(Р («г, N — 1))Rh(Р («г, N — 1))Rx (卩(М — 1，"))=Rx (卩(М — 1，"))=dH (方,修“ %, 〃, и, т, /V —1)d/T (伤片九，р, и, М —1, п)dH (方,修“ %, 〃, и, т, /V —1)d/T (伤片九，р, и, М —1, п)(54)(54)

р(М— 1, N — 1)

р(М— 1, N — 1)

Rh(Р («г, N — 1))

Rh(Р («г, N — 1))

Rx (卩(М — 1，"))=

Rx (卩(М — 1，"))=

dH (方,修“ %, 〃, и, т, /V —1)

d/T (伤片九，р, и, М —1, п)

dH (方,修“ %, 〃, и, т, /V —1)

d/T (伤片九，р, и, М —1, п)

(54)

(54)

Из (51) — (54) получаем cr\x(M,N)=■

М~1N—1

=— W W Е[Н 6, Rh, Rt, Р,к±А乜，砌一 m=0 九=0

—H (x, 7?力，凡，р, 〃，т, тг)] —

—2 2 滇[Я (% 十 Az, Rh + A&, Rx + A& 7"=0 ?2—0

p, 〃 + △〃，m, n) —Я(芻 /?力，Rx, p, 〃十 Au, m, ?г)] +

+ 2 2[a『(m，n)包(瑞丛'^' с +

0 九=0

Отсюда

AJ = с'А况(M, N) = — £ X 无т [Н(2, р, и + Au,п)—

—〃 (z, p, w, m,兀)]一小"=% 4 Tb

М~1N-1

Л1 = 2 2力tAz，(/п, п) х

т—0 ?2=0

Г дН (】，р, & + А", т, п) дН (z, р, », m., п) 1

112 = ^ 2 2 Az'(电 п)丝色±势了广 + A"% “) AZ (m, a), 0 О

Здесь z = {况,Rh, Rx}——З^-мерный вектор. Для приращения {и* — и (Л, Z), т =倉，孔=Z,

О, т^к, е

Имеем

А*/ = —hx[H(z, р, и*, Л, Z) —Я(2, р, и, к, %) — “*],

П* = 4 22 立⑺，期°也(/%:产空"上)Az飙 办

Нетрудно показать, что

1п*|<2-(阮)2 II 〃z, и*, к, Z) — / (z, и, к, Z) ||2 X

М— 1 N— 1

X》 2 A(m, п) II4^-II' £("Z, w) = consl. (55)

7П=кД- 1 ?2—?4-1

Принцип квазимаксимума. Пусть /(z, и, т, ") дифференцируема по м. Введем множество а (幺 厶 а):

a(z, р, п(т, п), . . ., и(М — 1, N~ 1), к,厶 а)=

|т|*|Са}

и величину б^Н:

Н (z, /?,观 + Ам, т, п) — Н (z,夕,и, т, п)—

611Hg р, и, т, /?)十о(Н Ам||).

Будем говорить, что управление w в узле {к, 1} удовлетворяет условию квазимаксимума с числом 卩(右，％) и множеством з (Л, %), если: 1) Н(2, р,比，6, 2) X (z, р, и*, Л, Z) — ц (Л, Z) на всех и* € з 3, %), 2) “8《0, если U выпукло, 3) 6иЯ ~ 0 во внутренних точках U.

ТеоремЕа 13. Оптимальное управление и — {乂(也 〃)} в задаче *5°) удовлетворяет условиям：

кваз .^максимума с 卩(自 2) = а, s 的 а) = а 饱 厶 а)八

П U,倉=0? 1, М — 2; Z — 0, 1, . . N — 2;

.衣(z, p,辽，k、I) ^ H (z, р, 乂*,左，Z),(56)

心号 U,依=М — 1; Z = 0, • • N —1 },

{к = 0, . . М — i; I = N ~ 1}.

Утверя«<дение доказывается аналогично теореме 11.

При лиг е ч а и и е. Множество а (Л, Z, а) можно заменить на мнэ:ожество а1 (Л, Z, а) = {〃*: | “ | & а}, где “ —— некоторая оценка сверху для т|*, например (55). Из определения '^множества а (Л,厶 а) следует, что принцип локальногсо максимума справедлив в узле 他 2}, если множество а (Л, Z, 0) содержит точки, отличные от и (Л, Z).

Таким образом, условие квазимаксимума выделяет некоторое множество U* точек и (4, Z), подозрительных на оптималт ьность. Сужение мно?1>ества U* осуществляется вариацией а и локальными условиями： 6иЯ & 0, 5&8 = 0.

Сист-^емы частного вида. Условия оптимальности.

Для линейного варианта

Мт (х (ттг, ^*г)) = Л (т,孔)х (тп,喻 + В (m, n) Rh (方(m,砌亠

-r C (m, п) Rx (化(m.,初 十 6 (辽(m,汽)，m, n) (57) уравнения: (48) имеем т] — 0. Поэтому справедливо следующее утверг>1^дение.

Теоремеа 14. Для того чтобы управление.w С U для (57) было оптитналЕннм, необходимо и достаточно, чтобы условие (56) выгполнялось в узлах {т, /г}, m — 0, . . ., М —— 1: Z? = 0, . ._, N — 1.

Для: случая

Rhx (胃(〃'， 九))=4 (u (m, /г), m, n} x (m, n)十

5 (u (m, n), m, n) Rh (第(m? /г))十

+ С (и (m, /г), m? /г) 7?工(х (m, /г)) + 6 (u (m, n), m, /г) нетрудно убедиться, что — 0.

Теорем;^ 15. Если и ~ {и (т, /г)}——оптимальное управление, то・ в каждом узле {Л, Z}, А = 0, . . ., М — 1; Z ~ 0, . . _, 7V — 彳，выполняется неравенство (56).

Пусть U выпукло и уравнение (48) имеет вид

Rhx (胃(m, 〃))=

二‘ t /i (/, ^h-> Ep,^) 〃t (^5 〃)-卜 g (/, А/г, "2,几)*

Теорема 16. На оптимальном управлении условие (56) выполняется во всех узлах прямоугольника D.

Теоремы 15, 16 следуют из формулы для AJ.

Применение методов функционального анализа к оптимизации дискретных систем

Сведение задачи быстродействия к Z-проблеме. Пусть поведение системы регулирования описывается разностным уравнением [99, 128, 149, 223]

第(?г + 1) = Ах ⑺十 bu (п), 第={^i,...,第J, (58)b — {仇，• • •，bi}

где x (n) — вектор в фазовол! пространстве, Л — постоянная неособая матрица, b — некоторый заданный вектор, и (п)——скалярная функция дискретного аргумента п. Задача оптимального по быстродействию управления состоит в следующем. Дана начальная точка 第(0)= = {& (0), . . ., Xj (0)}. Требуется найти набор управляющих величии 〃° (n), п = Q, 1, . . ., Х° — 1, таких, что траектория системы (58) «приходит» в начало координат за наименьшее возможное число шагов К°. При зтом допускаются значения и (п), стесненные условием

\ и (п) I <： 1, /г = 0, • • ., К° — 1.(59)

По схеме § 6.11 сведем нашу задачу к "проблеме в конечномерном пространстве. Решение системы (58) можно записать по формуле (аналог формулы Коши)

片(汽)—F 仇)方(0) +』F (n — i— 1) bu (2)，(60)

где F (汽)一фундаментальная матрица решений однородной части системы (58). Пусть в некоторый момент времени К траектория системы (58) попадает в начало

координат:寫(К) = 0. Тогда из (60) следует

—z(0)二 W 歹(一，)姒0一I).(61)

Вводя обозначения

h {n) — F (一磔 b, 刀(花)=u(孔一 1)(62)

и учитывая равенства (61), (62), первоначальную задачу можно сформулировать так: найти наименьшее число К° и линейный функционал / (•) (в данном случае это линейная форма) такие, что

/ 3) = W 暁⑺ Г]⑺=—"а (。)，(63)

а = 1,Z,力仪={/га (1), . . ., Ла (К。)},

||/(•)||-max|тl(^Жl•(64)

Будем предполагать, что векторы Ла линейно независимы, причем К° > I. Согласно основному предложению § 6.11, решение (63) — (64) существует только в том случае, если

九(К)1,(65)

где 九(К) определяется из условия

厶(К) = min 2 I а也(刁)+ ■ • • + а?% (/?) |(66)

I

при 2 а^0 (0) =——1. Оптимальное время регулирования К° определяется как наименьшее число К, удовлетворяющее условию (65). Оптимальное управление ищется следующим образом. Пусть а0 = {а；, . . ., а，} — решение задачи (66); элемент {胪(叫=2 a/小)} назовем минимизирующим. Если для данного функционала / (•) существует элемент h (•)

\Ш\ = 11/(-) II II ^(-) II,(67)

то этот элемент называется экстремалышм. Элемент h (•) называется нормальным, если функционал / (•) определяется равенством (67) с точностью до скалярного множи-

теля. Оптимальное управление находится из условия, что минимизирующий элемент является экстрел!альным для какого-либо произвольно выбранного минимального по норме решения системы (63) — (64). Если минимизирующий знемент {无。(孔)} задачи (66) нормален, то оптимальное управление определяется однозначно. Вектор {耳° (汽)} нормален только в ^том случае, когда

力。⑺片 0, n - 1, . . ., К°.(68)

В тех точках, где выполнено условие (68), оптимальное управление (минимальное по модулю) вычисляется по формуле

W° ("—])=必。鼠 sign 勿伍).(69)

Ниже рассмотрим случаи, когда условие (68) выполняется не везде.

Теорема о единственности оптимального управления- Введем несколько критериев для оценки числа нулевых координат вектора {九° (тг)},孔=1, . .К°. Рассмо

трим совокупность векторов

Ь,АЬ, . . А^'Ь, А1Ь, . . AK°-lh. (70)

Оптимальную задачу будем называть невырожденной, если первые I векторов линейно независимы. Справедливо такое утверждение： в невырожденной оптимальной задаче вектор {力° (?г)} не может иметь более Z ——1 последовательных нулевых координат.

В самом деле, допустим противное. Пусть существует число Л, при котором

九0(例=眇出 + 1)=...=力。依 + 2 一 1) = 0.

Тогда по определению {力。(北)} имеем

(a。)' h ①=0, Z = Zf, . . ., Л + Z — 1-

или? учитывая равенство (62), получаем

WF1 (—Z) а0 = 0, i — к^ . . ., к I — 1.

Нетрудно показать, что F (Т) — F (—力一1) 4 Поэтому