ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Мы получили много писем от читателей книги, изданной на английском языке, и ряд рецензий уже появился в научно-технических журналах. Нам очень понравилась рецензия пр оф. Я. 3. Цыпкина, которая была опубликована в журнале «Автоматика» в 1970 г. Как мы и ожидали, многим читателям понравились примеры и задачи.

Нам доставили большое удовольствие встречи и беседы с проф. А. М. Летовым, который был инициатором русского перевода, и Ю. П. Плотниковым, выполнившим часть перевода. Мы хотим поблагодарить их, а также Э. М. Макашова за этот труд.

Надеемся, что издание нашей книги на русском языке послужит в какой-то степени дальнейшему укреплению дружбы и взаимного уважения между нашими странами и что книга окажется интересной и полезной советским читателям.

28 июля 1971 а.28 июля 1971 а.А. Брайсон Хо Ю-ши

28 июля 1971 а.

28 июля 1971 а.

Схема логической взаимосвязи глав

ВАРИАНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕКЦИОННОГО МАТЕРИАЛА ПО СЕМЕСТРАМ

Семестр

Курс

Содержание

I

Детерминированные задачи оптимального управления

Главы 1—9

II

Стохастические задачи оптимального управления

Главы 10—14

I

Вводный курс

Глава 1, разделы 1.1—1.5

Глава 2, разделы 2.1—2.3

Главы 4,5 (без раздела 5.3)

Глава 7, разделы 7.1 и 7.2

Главы 10—12

II

Специальный курс (курс повышенной трудности)

Остальная часть книги

Глава 1

Задачи минимизации функций конечного числа переменных

LL Задачи без дополнительных ограничений

Простейший класс задач оптимизации связан с нахождением значений m координат вектора управления щ,...,"加，минимизирующих критерий качества

L (〃£, • • • ? ^7П)•

Для удобства будем использовать более компактные векторные обозначения. Пусть 工)

u= J — вектор управления.(1.1.1)

Тогда критерий качества может быть записан в виде

L = £侬).(1.1.2)

Если на возможные значения и не наложены какие-либо ограничения (связи) и если функция L (〃)имеет первые и вторые частные производные для любого и, то необходимыми условиями минимума функции L по и будут

警=0,(1.1.3)

или

и

В

скалярной форме

=0,

d^L

>0.

(1.1.4)

Послед! щая из

iee условие означает, qic вторых производных

「>£@2£@2工-

квадратная матрица х),

состоя-

串L

duf дu1 小д2 …

ди± dum

г 泌L ]Z = 1, 2,

.• . , 〃2,

解

应E関£

d^L

-L dut ди^ J 1 j = l,2,

…不唏.

1) См. приложение А,— Прим, перев.

должна быть по крайней мере положительно полуопределенной 】). Другими словами, собственные значения ) зтой матрицы должны быть неотрицательными. Все значения и, удовлетворяющие условию (1.1.3), называются стационарными точками функции L (и). Достаточные условия локального минимума включают условие (1.1.3) и усиленное условие (1.1.4), т. е.

碧 >0. ' (1-1.5)

Условие (1.1.5) означает, что матрица дЛд僞 должна быть положительно определенной или что ее собственные значения должны быть строго положительными.

Если условие (1.1.3) выполняется в некоторой точке, но определитель матрицы ^也/冷炉 в 3TOg точке равен нулю (это означает, что одно или несколько из ее собственных значений равны нулю), то для того, чтобы установить, является ли данная точка точкой минимума, требуется дополнительная информация. Такие точки называются сингулярными (вырождеиными). Отметим, что если L—линейная функция от и, то все компоненты матрицы д^Ыди^ равны нулю для любых значений и. В этом случае, вообще говоря, минимум не существует ).

Примеры. Типы стационарных точек функций двух переменных

L = L(Ui, 〃2)・

Точка минимума.

Квадратичная форма

Г 1 -11 Г

厶("£，й2)=心1,u2]I _]4 我

имеет стационарную точку [% 吧 =[0, 0]. Оба собственных значения матрицы d^LJdi^ положительны; стационарная точка является точкой минимума. Линии уровня 厶 (⑪丄，u2) = const изображены на фиг. 1.1.1.

Седловая точка,,

ь][：]ь][：]1111Квадратичная форма

ь][：]

ь][：]

1

1

1

1

£2(弘1，%) = [〃],%]

имеет стационарную точку [uj, и®] = [0, 01. Одно собственное значение матрицы 力河以дг^ положительное, другое отрицательное. Необходимое условие (1.1.4) не выполнено. Стационарная точка

Фиг. 1.1.1. Линии уровня функции Ai （и】,乂2）в окрестности точки минимума.Фиг. 1.1.1. Линии уровня функции Ai （и】,乂2）в окрестности точки минимума.Фиг. 1.1.2. Линии уровня функции 厶2 （〃1， 乂2） в окрестности седловой точки.Фиг. 1.1.2. Линии уровня функции 厶2 （〃1， 乂2） в окрестности седловой точки.в этом случае называется седловой точкой. Линии уровня 厶2 （⑪丄, 〃2）= const изображены на фиг. 1.1.2.

Фиг. 1.1.1. Линии уровня функции Ai （и】,乂2）в окрестности точки минимума.

Фиг. 1.1.1. Линии уровня функции Ai （и】,乂2）в окрестности точки минимума.

Фиг. 1.1.2. Линии уровня функции 厶2 （〃1， 乂2） в окрестности седловой точки.

Фиг. 1.1.2. Линии уровня функции 厶2 （〃1， 乂2） в окрестности седловой точки.

С ингулярная точка.

Нелинейная функция х）

厶3a％）=（以[一碱）（乩1 - 3成）

имеет стационарную точку 1% 吗]=[0, 0]. Одно собственное значение матрицы З^Ез/аи®, вычисленной в стационарной точке,

Фиг. 1.1.3. Линин уровня функ-ции £з （^i,卫2）в окрестности сингу-лярной ТОЧКИ.

положительное, другое нулевое. Стационарная точка является Г器鑑鑑F.TJT ЛИНИИ УР0ВНЯ %3,吗=const нзобра-

„„ " Прнмер принадлежит Пеано и интересен тем, что стационарная точка ®™®^ ：очкои минимума, хотя на каждой прямой, проходящей через 旣°堂е™ локальныи минимум в точке （0, 0） （см. книги： Э. Гурса, Курс 器澀黑 еск。^） анализа,1, ч. 1, ГТТИ, 1933 иН. HanckJck, Theory

of Maxima and Minima, Dover, N. Y., I960）.- Прим. перев.

Задачи с ограничениями 6 виде равенству необходимые условия существования стационарной точки

Более общий класс задач оптимизации связан с определением m значений координат вектора управления щ, . . ., um, минимизирующих скалярный критерий качества, который зависит от m + ^ переменных,

L (力 1, • • •» 况п，；^тп)?

причем п координат вектора состояния ^,...,力氾 связаны с координатами вектора управления с помощью соотношений

/1 (/1, • * Г а"；u1, Um)=0，

/n (/1, . .^m) ~ 0.

Введем опять более компактные векторные обозначенияЛ1усть

ии—— вектор управления,—— вектор управления,%п%п—вектор—вектор

и

и

—— вектор управления,

—— вектор управления,

%п

%п

—вектор

—вектор

состояния.

/=: I — вектор ограничений.

В этих обозначениях задача формулируется следующим образом.

Найти вектор управления и, минимизирующий критерий качества '"

£ (伤u),£ (伤u),(1.2.1)

£ (伤u),

£ (伤u),

где вектор состояния х связан с вектором управления и с помощью соотношений

/ (%, и) = 0 (п уравнений).(1.2.2)

Для каждой конкретной задачи оптимизации с ограничениями в виде равенств выбор среди переменных задачи переменных управления не является единственным. Разделение на переменные управления и переменные состояния проводится скорее для удобства. Однако это разделение должно быть таким, чтобы по значению и с помощью соотношений (1.2.2) можно было определить значение х. Если функции 厶 и / линейны как по а, так и по и, то в общем случае минимума не существует. Чтобы и в этом случае задача отыскания минимума имела смысл, необходимо добавить ограничения в виде неравенств на значения х и (или) и. Задачи такого типа рассматриваются в разд. 1.7——1.10лЕсли ограничения в виде неравенств и функция L линейны по а： и по и, то такие задачи называются задачами линейного программирования. Они будут рассматриваться в разд. 1.8 этой главы.

В первой части этой главы будут рассмотрены задачи, в которых выражения (1.2.1) и (1.2.2) содержат некоторые нелинейности. Наличие нелинейности само по себе, конечно, не обеспечивает существования минимума.

Стационарной точкой в задаче оптимизации вектора управления и с ограничениями в виде равенств называется такая точка, для которой @Е = 0 при произвольном значении du, удовлетворяющем равенству @/ = 0 (при этом dx изменяется в зависимости от du так, чтобы не нарушалось условие &/(%, и) = 0).

Дифференциалы функций L и / имеют вид

dL — Lxdx + Ludu,(1.2.3)

df = fxdx + fudu.(1.2.4}

В стационарной точке должно выполняться равенство df = 0; следовательно, соотношение (1.2.4) можно разрешить относительно d况,если матрица /ж невырождена [а это условие должно выполняться, так как соотношение (1.2.2), по предположению, связывает х с и]. Таким образом, получаем

da = — f^fudu.(1.2.5)

&L =(厶乜—Lxf^fu) du.&L =(厶乜—Lxf^fu) du.(1.2.6)(1.2.6)Выражение (1.2.3) теперь можно представить с учетом (1.2.5) в виде「

&L =(厶乜—Lxf^fu) du.

&L =(厶乜—Lxf^fu) du.

(1.2.6)

(1.2.6)

Так как в стационарной точке dL должно быть равно нулю для любого значения du, то необходимо^ чтобы

£乜一£工？九=0 (m уравнений). (1.2.7)

Зти г уравнений вместе с п уравнениями (1.2.2) определяют тзна- чений и и п значений 方 в стационарной точке. Отметим, что выра- жение (127) представляет собой частную производную от Л по и при постоянном значении /, тогда как Lu — частная производная от L по и при постоянном значении е г).

f dh '

1/1刃1 一

@辽1дит

/х =

ШШfu =

或 *

一矶,…дит _

поводу векторно-матричных обозначений см. приложение А.-

Прим. ped

1) Речь идет о частной производной Лх или Лц скалярной функции 厶(力，产)по векторному аргументу х или % представляющей собой соответству- ющии вектор-градиент этой функции 厶=(d〃此，…，加总外 и^ 忆彳(0〃。％, . .九m),皿ли ясе о частной производной /х или /и вектор-

нои ФУнКЦии / (“，")по векторному аргументу х или и, представляющей собой

По

Условие (1.2.7) можно получить и другим (эквивалентным) способом. Заметим, что соотношения (1.2.3) и (1.2.4) при dL = О и @/ = 0 должны образовывать в стационарной точке совмест- ную систему линейных алгебраических уравнений относительно векторов dx и du. Условие совместности этих уравнений означает, что можно определить такую систему п постоянных %ъ %2,・..

Кг 1), ЧТО

』兀^~ = &(1.2.8)

где

У :z=(优I，♦ ♦ 优тг, 〃I，• • • j U?n)T(优T, У’)*(1.2.9)

Уравнение (1.2.8) показывает, что линейная комбинация строк матрицы fy = df/dy должна быть равна вектору Ly 2). '

Для удобства введем векторные обозначения

А =：И 九丁= [%,...,九тг]・

_ 九тг_

В этих обозначениях соотношение (1.2.8) [с учетом (1.2.9)] записывается как

Лх + ^г/х = 05 уравнений),(1.2.10)

Lu + %г/и = 0(т- уравнений).(1.2.11)

Таким образом, линейная комбинация строк матрицы /х должна быть равна вектору Лх, а линейная комбинация строк матрицы 九一вектору Lu. При этом коэффициенты указанных комбинаций должны быть одинаковы.

Уравнение (1.2.10) можно разрешить относительно вектора Хг (поскольку матрица /х должна быть невырожденной)5

九Т = 一厶仇尸.(1.2.12)

Если полученное выражение для А/ подставить в (1.2.11), то получим необходимое условие (1.2.7).

Постоянные 九储 Х2, • • •,九九 ^асто называются неопределенными множителями Лагранжа.

Условие совместности требует, вообще говоря, чтобы 曲нг расширенной матрицы ，* 夕],имеющей размерность (汽 + 1) X (汽+ т), был мень- ше (汽 + 1).

Смысл вектора 九 можно выяснить из соотношений (1.2.3) и (1.2.4), если положить du = 0 л исключить dx:

一九Т = £" (拉尸=(券)口.(1.2.12^)

Таким образом, величины 九^ являются частными производными от от £ по / при постоянном значении и и допустимом изменении х. В задачах оптимизации с нелинейными ограничениями в виде неравенств этот факт имеет важное значение (разд. 1.7).

Еще один (и тоже эквивалентный) подход к рассматриваемой проблеме, неоднократно используемый на протяжении всей книги, состоит в следующем. Образуем вспомогательную функцию Н, «объединив» критерий качества L (/, и) с ограничениями (1.2.2), используя систему п «неопределенных множителей» 九㈠...,九几：

HQ, u,九)= £(/, u)+』Kfi (^, u) = L (x, и) Ц- Хг/ (x, u). (1.2.13)

Предположим, что некоторое номинальное значение и выбрано и соответствующее ему значение х определено из соотношения (1.2.2), так что Н = L. Приращение Н при изменении /им имеет вид

dH = ^dx + ^du.(1.2.14)

Поскольку представляет интерес выяснить, как изменяется величина Н (и, следовательно,厶)при изменении вектора управления и, то удобно выбрать 九 так, чтобы дН/дх = 0, т. е.

откуда

что совпадает с выражением (1.2.12).

Учитывая, что % определяется из соотношения / (/, и) = О, получаем

dL^dH= ~du.(1.2.16)

Таким образом, дН/ди есть градиент Л по и при выполнении условия / (/, и) = 0.

В стационарной точке пространства и значение dL обращается в нуль при произвольном du; это может иметь место только в том случае, если

需三%+好?=°，(1.2.17)

ди ди ' ди、'

2—0102

Таким образом, необходимые условия стационарности функции 厶(力,〃)могут быть представлены в виде

/ (х, и) = 0,(1.2.18)

鴿=о,(1-2-19)

器=0,(1.2.20)

где

Н = L(x, и)十九т/ (力，u).

Эти условия представляют собой систему (2п + т) уравнений с (2тг 十 m) неизвестными величинами а：, % и и.

Пример 1. Найти значение скалярной переменной и, при котором функция

z(瑞")=!■ (5■+*)

принимает стационарное значение при наличии линейного- ограничения

/ (%, и)=力十 mu — с — 0.

Здесь х — скалярный параметр, а @, b, m, с — постоянные величины.

Линиями уровня функции L являются эллипсы, причем L возрастает с увеличением размеров эллипса. Уравнение е + + mu — с = 0 задает определенную прямую линию (фиг. 1.2.1).

Фиг. 1.2.1. Пример минимизации функции при наличии • линейного ограничения в виде равенства.

Очевидно, что минимальное значение £ при удовлетворении указанного ограничения достигается на эллипсе, который касается указанной прямой линии. Получим теперь решение в аналитической форме. Функция Н имеет вид

Я = у 偿 +農)+%(2十m〃一С).

Необходимые условия стационарности записываются в виде

х 十 ти — с = 0,= ~4■十九=°，—-тг + Хт = 0.

дх工 ди 伏

Эти три уравнения с тремя неизвестными 力,и,九 имеют простое и единственное решение

02c_ 檢/ПС^ _С

02+載戸'涵十皿2石万?人=一声+浜ь2 ・

一 mИН一 2(02+m2排)•一 mИН一 2(02+m2排)•Этому решению соответствует минимальное значение £:

一 mИН一 2(02+m2排)•

一 mИН一 2(02+m2排)•

Отметим, что здесь

Пример 2 1). Максимальная скорость набора высоты для самолета 6 установившемся режиме полета. Равнодействующая всех сил, приложенных к самолету, который выдерживает установив-

Ф и г. 1.2.2. Схема сил, действующих на самолет в установившемся режиме набора высоты.Ф и г. 1.2.2. Схема сил, действующих на самолет в установившемся режиме набора высоты.

Ф и г. 1.2.2. Схема сил, действующих на самолет в установившемся режиме набора высоты.

Ф и г. 1.2.2. Схема сил, действующих на самолет в установившемся режиме набора высоты.

шуюся скорость набора высоты, должна равняться нулю. Если разложить действующие силы на компоненты, направленные параллельно и перпендикулярно траектории полета (фиг. 1.2.2),

то это условие заменяется двумя уравнениями:

,/1 (V, 6, а)=尸 cos (а + 屮尸)—Q — mg sin 0 — 0,

/2 (匕仇 а) = P sin (а + 屮「)+ У — mg cos 6 = 0,

где V ——скорость полета, 6 ——угол наклона траектории (угол между направлением вектора скорости и местным горизонтом), а —— угол атаки, m — масса самолета, g —— гравитационное ускорение, фР ——угол между направлением тяги и осью нулевой подъемной силы.

При заданной высоте полета подъемная сила У = У (V, а), лобовое сопротивление Q — Q (V^ а), сила тяги Р = Р (У). Скорость набора высоты определяется простым кинематическим соотношением

警=% = usine,

где h —— высота полета.

Выберем в качестве координат вектора состояния величины V и 6, а в качестве функции управления величину а (поскольку, используя приведенные выше соотношения для равновесия сил, действующих на самолет, по известному значению а на заданной высоте h можно определить V и 0). В этом примере функция Н имеет вид

Н — V sin 6 + 儿［Р cos (а + 屮「)— Q — mg sin 6］ +

+ 九2 IP sin (a + фР) + У — mg cos 0］.

Следовательно, необходимые условия, при которых установившаяся скорость набора высоты Vy принимает стационарное значение, можно записать как

九=р (7) cos (a + Фр) — <2 (匕 a) — mg sin 6 = 0,

/2 = P (V) sin (a + q)p) + Y (V, a) — mg cos 6=0,

4^ = sin 6 + 儿［黑 cos (a + Фр)—祭］+

+ 九2 ［崇 sin (a + Фр) + 亲］0,

= Feos 0 — K^g cos 9 + 九 2mg sin 8 = 0,

I?_ =P Sin (a+ <pP)--§-］ +

+ 九2 P cos (a +(Pp)+ 案^］ = 0.

Эти пять уравнений содержат пять неизвестных величин: V, 6, а,九г 九2； в общем случае для реальных зависимостей Р (У), Q (匕 а), У (К а) эти уравнения следует решать каким-либо численным методом (см. также задачу 7 из разд. 1.3).

33・ Задачи с ограничениями в виде равенств;

”достаточные условия локального

минимума

Приращения функций L (/, и) и / (/, и) при малых отклонениях от номинальной точки (/, и) с точностью до величин второго порядка малости имеют вид

妬=(厶,Lu) О+4(^ g(Й±)園，(131)

-df-^t^^+^d^^. (1.3.2)!)

где

Если умножить выражение (1.3.2) для df на %г, определенное из соотнсГшения (1.2.19), и результат сложить с (1.3.1), то получим

北= (0,%)阈44Mg (吃記)園一"办，(1.3.3) поскольку при таком определении А/ величина Нх = 0. Здесь Н = L (х, и) + АЛ/ (х, и). .(1.3.4)

Предположим теперь, что рассматриваемая номинальная точка (/, и) удовлетворяет ограничению / (/, и) = 0. Исследуем поведение функции L (/, и) с точностью до членов второго порядка в бесконечно малой окрестности этой точки при условии / (瑞 и) — 0. Из соотношения (1.3.2) при условии d/ = 0 получим dx=—f^fudu-^Oz^dx2, du2^ dx3, di^, ...),(1.3.5)

где O2 (彰* du2,...)——слагаемые второго и более высоких порядков относительно dx, du.

Если рассматриваемая номинальная точка (/, и) стационарная у то Ни = 0 и уравнение (1.3.3) с учетом равенства @/ = 0 принимает вид

"川"[—比收尸,矶記窿][T計m+4，(136) F^e °з — слагаемые третьего и более высоких порядков относительно dx и du, а Е ——единичная матрица.

Это уравнение векторное; оно заменяет п уравнений для компонент вектора /.

Отсюда следует

(而)/=о = Нии — Яux/^/u—/^(笈尸 Нхи +

十簷(笈尸Нкк%%・(1-3.7)

Таким образом, достаточные условия локального минимума состоят из необходимых условий стационарности (1.2.18)—(1.2.20) и требования положителъной определенности матрицы (1.3.7). Очевидно, необходимое условие локального минимума состоит в том, что матрица (1.3.7) должна быть положительно полу определенной. Заметим, что соотношение (1.3.6) может быть непосредственно получено из рассмотрения разложения вспомогательного (расширенного) критерия качества Н с точностью до членов второго порядка при учете ограничения / (х, м) = 0 с точностью всего лишь до членов первого порядка. Отметим также, что условие положительной полуопределенности матрицы Нии не является необходимым для минимума в рассматриваемой задаче.

Пример. Найти значение скалярной переменной и, минимизирующее функцию

") = ^ (昌+祭)

при наличии квадратичного ограничения

/ (瑞 м) = с — хи = 0.

Здесь 况—-скалярная переменная; а, Ь, с ——положительные постоянные величины. Линии уровня функции L (n, м)——эллипсы, причем увеличение значения L соответствует росту размеров эл-

Ф и г. 1.3.1. Пример минимизации функции при наличии нелинейного ограничения в виде равенства.

липса. Уравнение с ——/м = 0 является уравнением гиперболы, состоящей из двух ветвей. Функция L достигает минимального

значения при выполнении указанного ограничения в точках касания эллипса и гиперболы (фиг. 1*3.1).

Решим задачу аналитически. Функция Я имеет вид

Необходимые условия, при которых функция L принимает стационарное значение при наличии ограничения / (况,и) = 0, записываются как

с дН 步 с с ОН и п е п

Ста=0, -^--ки^0,而-=标一九比=8

Решая эту систему, получаем

J = ^МИН н ~^ *

Для этой задачи достаточное условие (1.3.7) величинаДля этой задачи достаточное условие (1.3.7) величинасостоит в том, чтосостоит в том, что%1]%1]11к11ab '11к11ab '][-Т]][-Т]4 =庐4 =庐

Для этой задачи достаточное условие (1.3.7) величина

Для этой задачи достаточное условие (1.3.7) величина

состоит в том, что

состоит в том, что

%1]

%1]

1

1

к

1

1

ab '

1

1

к

1

1

ab '

][-Т]

][-Т]

4 =庐

4 =庐

должна быть строго положительной; это условие, очевидно, выполняется. Заметим, что здесь две точки минимума, причем значения функции L в этих точках одинаковы. Отметим далее, что множитель % удовлетворяет соотношению

Задача 1. Найти точку, ближайшую к началу координат и лежащую на прямой, определяемой пересечением плоскостей

况 + 2у + 3z = 10, 况一у 十 2z = 1,где х, у, z — прямоугольные координаты. Другими словами, необ-ходимо минимизировать функцию

£ Н况2十丿十z2

при условии выполнения приведенных выше двух линейных ограничений.

Задача 2・ Найти прямоугольник с максимальным периметром, который может быть вписан в эллипс, т. е. максимизировать функцию

p=4 (况十y) при ограничении

' 京+庐=L

Задача 3. Найти прямоугольный параллелепипед максимального объема, который можно поместить в данный эллипсоид, т. е. максимизировать функцию

V = 8xyzпри условии步 2y2z2

R十七2十掇一丄.

Задача 4. Квадратичный критерий качества с линейными ограничениями. Показать, что вектор управления и, минимизирующий неотрицательную квадратичную форму

£ = -^ xTQx 十"I* uTRu

при наличии линейных ограничений

/ (х, и} = х + Gu + с = О, определяется соотношением

и — (R + GTQGj-'G^Qc.

Показать также, что минимальное значение квадратичной формы L равно

/ = LKm = ^ 产[Q — QG (R 十 G?QG)t GTQ] c

И что

% = [Q — QG (E 十 GTQG尸 GTQ] c 三(Q< 十 GR^G7)- c,

если Q7 существует1); “

x=-[E—G{R + GTQG)~1GTQ]c.

Заметим, что и в этом примере

Задача 5. Оптимизация углов установки паруса и курса для максимизации скорости плавания против ветра. Упрощенная модель сил, действующих на плывущую с постоянной скоростью парусную лодку, показана на фиг. 1.3.2. Скорость парусной лодки относительно воды равна V и составляет угол 屮 с направлением ветра. Скорость ветра относительно воды постоянна и равна W. Парус устанавливается под углом 9 к оси лодки, а создаваемая

им аэродинамическая сила S предполагается направленной перпендикулярно плоскости паруса. Гидродинамические силы, действующие на корпус лодки, разлагаются на компоненты, направленные перпендикулярно (килевая сила К) и параллельно (Сила

Фиг. 1.3.2. Схема равновесия сил, действующих на парусную лодку.

сопротивления Q) оси лодки. Предполагается, что величина силы S пропорциональна произведению квадрата относительной скорости ветра Vr на синус угла атаки паруса а:

S — CjFr sin а,

где Ci ——постоянная величира, а величины 吃 и а определены на фиг. 1.3.2. Сила лобового сопротивления Q пропорциональна квадрату скорости лодки относительно воды

Q = 5,

где 6f2 -- коэффициент пропорциональности. Для равновесия сил, направленных параллельно оси лодки, должно выполняться равенство

Q = S sin 9.

Показать, что

при заданном 生 скорость V достигает максимума при а = 9;

максимальное значение скорости при 屮=180° (плавание п0 ветру) составляет 巾卩/(1 十卩)и достигается при 9 = 90。， здесь 卩2 = a/。2；

максимальное значение скорости плавания против ветра (т. е. величины V cos 屮)равно W|i/4 и достигается при таком выборе углов установки паруса и курса, когда

9a；［(N十2)2十4尸/2,2^45。.

Для решения последнего вопроса следует считать, что углы а и 0 малы, так что sin a q a, sin 9^9, cos а ^ 1, cos 9^1.

Задача 6； Оптимизация углов атаки и крена для получения максимальной боковой дальности план ир ован ия. В соответствии с теорией квазиустановившегося приближения для планирую-

щего разворота нескоростного (дозвукового) планера, совершающего полет при постоянных углах атаки и крена, боковую даль-

УУФиг. 1.3.3. Траектория пространственного бокового разворота.Фиг. 1.3.3. Траектория пространственного бокового разворота.

У

У

Фиг. 1.3.3. Траектория пространственного бокового разворота.

Фиг. 1.3.3. Траектория пространственного бокового разворота.

ность планирования по спирали z& можно определить по формуле2а — г (1 — cos 屮左).

Здесь (фиг. 1.3.3)

I COS? 0 г = ~радиус спирали; a sin у

^Л = д ■ — угол курса в конечной точке планирования;

0 三 arctg { I а +(丄/夂吧к。” ] sec ?} 一угол планирования вдоль спи-

I4а 」 J рали (угол подъема спирали),

положительный наклон——вниз;

а = т)а;

а — угол атаки ]

>—компоненты вектора управле- Y—угол крена J ния.

无о——высота начала планирования;

/ —!характеристическая длина

Р$С； (для типичного планера 2 ^^ 3 л/);

Амане = -|~1/ -^—максимальное аэродинамичес- П“％о кое качество (т. е. максималь-

ное значение отношения подъемной силы к силе сопротивления).

Для типичного планера К^анс ^ 30,刀——коэффициент эффективности поляры (0 < т| < 1). (Остальные обозначения приведены

в замечании 2.) Показать, что максимальное значение z& при заданном у。三 hQ достигается в том случае, когда

唱2 一 1+(4軸/守).

Это соотношение можно рассматривать как трансцендентное уравнение для определения ^ в функции от ^ = hQH. Соответствующие значения а, у и 0 могут быть найдены из формул

а = '/*анс_ tg ? =, 0 = 2а cos у.

2 Vcos 2у зг Е _，

Здесь предполагается, что величины а, 0, 1/Кмакс значительно

меньше единицы.

Замечание 1. В условиях указанного выше приближения максимальное значение продольной дальности 况在 при заданном 无о определяется соотношением

况瓦=^о^макс

и достигается при следующих значениях компонент вектора управления:

а = 1/(2Кмакс), Y = о, откуда следует, что tg 8 = 1/^макс-

Замечание 2・ Обозначения, не поясненные в тексте задачи, имеют следующий смысл:

т — масса планера;

V ——скорость планирования;

р ——плотность атмосферы (в зтой задаче принимается величиной постоянной);

Су = dCylda;

СХо ——коэффициент лобового сопротивления при нулевой подъемной силе;

S ——характерная площадь к которой отнесены аэродинамические коэффициенты;

У = С；а (pV2/2)S ——подъемная сила;

Q = (С$ + 刀圖哨⑦^2⑵ S — лобовое сопротивление.

Задача 7. Максимальная установившаяся скорость набора высоты для самолета. Для задачи, сформулированной в примере 2 разд. 1.2, определить максимальную установившуюся скорость набора высоты на уровне моря, а также на высотах h — 3050, 6100, 9150 и 12 200 ;и для самолета весом mg = 15 000 кГ и площадью крыла S = 50 «и?. Подъемная сила и лобовое сопротивление самолета определяются соотношениями

у = С/ (рН/2) S,Q = (CXq + Т)舊d) (рН/2)s,

где Су, СХо и т) являются функциями числа Маха М = V/a и за- даны графически (фиг. 1.3.4). Скорость звука а и плотность атмосферы р являются функциями высоты h (табл. 1.3.1). Тяга воз-

Число М

Фиг. 1.3.4. Зависимость коэффициентов аэродинамического сопротивления и подъемной силы от числа М.

Высота h, м

Скорость звука а, л«/сек

Плотность воздуха р, к2。се笈2/m4

0

340,2

0,1249

1524

334,4

0,1076

3 048

328,3

0,09223

4 572

322,2

0,07862

6 096

316,1

0,06654

7 620

309,7

0,05597

9144

303,2

0,04674

11000

295,1

0,03711

12192

295,1

0,03075

13 716

295,1

0,02418

15 240

295,1

0,01901

- 16 764

295,1

0,01495

18 288

295,4

0,01176

21 336

295,1

0,007274

24384

295,1

.0,004497

25 000

295,1

0,004080

27 432

300,0

0,002707

30 480

306,0"

0,001649

Таблица 1.3.1

Изменение плотности воздуха и скорости звука в зависимости от высоты х)

1) Здесь приведены (с четырьмя значащими цифрами) значения из таблиц Международной стандартной атмосферы.— Прим, перев.

душно-реактивного двигателя при полностью открытом дросселе является функцией числа М и высоты полета (фиг. 1.3.5). Примите фР = 3°.

Кроме того, требуется определить высоту полета, на которой максимальная скорость набора высоты равна нулю. Эта высота \ называется «статическим потолком» самолета.

* . Задача 8. Минимальный расход топлива для разворота само-

， лета на постоянной высоте. Установившийся разворот (У = О, г =0) на постоянной высоте описывается уравнениями

(Cxo + nC?a2)(p”/2)S = P

Фви г. 1.3.5. Зависимость тяги Р двигателя от чи-сла М и высоты полета h (при полностью откры-том дросселе).

Статическая тнга двигателя на уровне моря РСт 0=10 600 wF.

Удельный расход топлива g^lP==0,29 • 10-3 (кГ топл/сек)/кГ тяги.

mg = С；а (pV2/2) 5 cos 丫

(сила тяги равна силе лобового сопротивления),

(вес самолета равен вертикальной компоненте подъемной силы),

игР屮=С；а (р”/2) S sin 丫 (скорость разворота пропорциональна горизонтальной компоненте подъемной силы, деленной на тпР).

Здесь'

а — угол атаки) 丫 ——угол крена > компоненты вектора управления;

значения остальных величин определены в задаче 6.

Требуется найти такие значения углов а=刀“ и ?, при которых на разворот от -ф = -ф0 до -ф = -ф^ расходуется минимальное количество топлива тт. Расход топлива пропорционален величине 】)

JA \ Pdt= f 上学三 W (以一业).

to X 2一

Таким образом, требуется минимизировать величину

p (%+件2)n^

**C®a sin уC®a sin у

*

*

C®a sin у

C®a sin у

Эти тождества нуждаются в некоторых пояснениях. Авторы, видимо, исходят из следующих предположений: 4. Рассматривается двигатель с постоянным удельным расходом топлива С& = gmJP = const > 0 (такой, например, двигатель рассматривался в задаче 7, его характеристики приведены на фиг. 1.3.5). В этом случае (поскольку по определению тт = CeP/g)

(f СеР dt , Се

^т (力拉=WT 倚)+ J ~g~ — ^To + —^

力0

и справедливо тождество

肾小一肾小一Изменением массы т самолета в процессе разворота можно пренебречь (несмотря на расход топлива), т. е. m = const. Так как из условий установившегося разворота (г — const, V — const, h = const) и кинематического уравнения 屮=V/r следует, что 屮=const, а из второго и третьего уравнений задачи легко вывести соотношение ip — g/7 tg у, то у = const. Теперь из условий m = const, 7 = const и второго уравнения задачи можно заключить, что а = const, а из первого уравнения — что Р = const. Только при

肾小一

肾小一

указанных предположениях справедливо тождество

— ро)・— Прим, перев.

при условии mg — С^а (рУ2/2) 5 cos у.

Ответ.

в = 2^11/Кмакс, Y = arccos (1/]/'3) - 54,7°, где

Заметим, что отсюда следуют соотношения

— оn 2mg маке，-Q 一-市八мане,石謚'

где

7 — 2тт|

Соседние оптимальные решения “ интерпретация множителей Лагранжа

Иногда необходимо определить, как изменяется оптимальное решение, если изменить на небольшую величину некоторые из констант, входящих в уравнения ограничений.

Предположим, что ограничения (1.2.2) увеличены на некоторые достаточно малые величины, т. е. пусть вместо / (况，и) = О имеем / (况，и) = &/, где df ——бесконечно малый постоянный вектор. При этом можно предполагать, что значения 况* и и* оптимального решения исходной задачи с / (况,办) =0 тоже изменились на бесконечно малые величины dx и &м. Исходя из уравнений (1.2.18)—(1.2.20), получим

dHZ = Яхк dx + Яхц du + f^ d厶=0,(1.4.1)

dH^ н Hux dx + Huu du + fl dX = 0,(1.4.2)

df = fxdx + 九 du,(1.4.3)

где частные производные вычислены в точке (况*, и*), соответствующей исходному оптимальному решению.

Система 2п + ^ уравнений (1.4.1)—(1.4,3) определяет 2孔 + 砂 переменных &, &м и dX, относящихся к соседним оптимальным решениям 况* 十 &况,u* + du, X* + d% задачи с измененными уравнениями ограничений / (况,м) = df. Так как матрица /х должна быть невырожденной для того, чтобы по заданному du можно было определить dx、то из формул (1.4.3) и (1.4.1) имеем

(1.4.4)(1.4.5)(1.4.4)(1.4.5)杀=及a/一母九九，以=一(区尸(/%dx +a1m du).

(1.4.4)

(1.4.5)

(1.4.4)

(1.4.5)

Подставив эти значения в уравнение (1.4.2) и решая его относительно du, получим

du = — Cdf,(1.4.6)

где-

e =(器)二闻L总(总尸Я-1爲 (1-4.7)

а величина (^^/^u^/^q-определяется соотношением (1.3.7). Таким образом, существование соседних оптимальных решений гарантируется, если стационарная точка исходной задачи с / = 0 является точкой локального минимума, т. е. если ©L応吟,=q >0.

Далее, подставляя выражение для dx из (1.4.4) в (1.3.3) :и считая Ни = 0, получаем выражение для dL, верное с точностью до величин второго порядка малости. Если, наконец, выражение (1.4.6) для du подставить в (1.3.3), то после некоторых упрощений получим

dL =—产"/ + 区 d/T[(/x )THxxfx — CTLy^} &/+ • • •, (1.4.8) где

几=(4^)з

в вычисляется no (1.3.7).

Таким образом, имеем

智生=一戍(149)1)

词彳/史=(/х )Г Hxxfx —CTLUUC.(1.4.10)

Численное решение задач оптимизации с ограничениями в виде равенств

с помощью градиентного метода первого порядка)

Если выражения для L (况,и) и / (况,и) из разд. 1.2 не являются достаточно простыми, то для определения значения и, минимизирующего Н ), следует использовать численные методы. Од-

ним из прямых численных методов является широко распростра- 广 ненный метод наискорейшего спуска для отыскания минимума г, (или наискорейшего подъема в случае отыскания максимума). X Методы наискорейшего спуска или градиентные методы харак- 專 теризуются итерационным алгоритмом, улучшающим на каждой Т итерации оценку вектора управления и так, чтобы как можно

лучше удовлетворялось условие стационарности дН/ди — 0.

Алгоритм градиентного метода удобно представить в виде следующей последовательности шагов:"

Задается начальное значение вектора и.

Из соотношения / (%, и) = 0 определяют /•

Из соотношения Хт — — {дЫдх) (df/dx)-1 определяют 九.

・ 4. Определяют значение дШди 二(дЫди) + 九工(刃/Au), которое, вообще говоря, не будет равно нулю.

Считая (дН!ди) вектором-градиентом функции Н по и,

изменяют значение и, давая ему некоторое приращение в соответствии с формулой Au =——К (дН/ди)т, здесь К — положительное число-(скаляр). При этом критерий качества L должен измениться на величину AL — — К (дН/ди) (дН/ди)т. (Если отыскивается точка максимума, то знак «—» следует заменить на знак «+».)

Для каждого нового значения вектора управления и повторяют шаги 1—6 до тех пор, пока величина (дН/ди) (дН/ди)т не станет достаточно малой.

Существует много вариантов градиентного метода; один из них будет рассмотрен в следующем разделе. Графически градиентный метод можно представить (в случае отыскания точки максимума) как метод восхождения на вершину холма в пространстве и. Если и ——двумерный вектор, то в плоскости (u「и2) можно построить линии уровня критерия качества L (и1? и?) (фиг. 1.5.1). Исходя из начального значения вектора управления и (начального приближения), величине и даются последовательные приращения Au. На каждом шаге Au направлено вдоль градиента дШди, величина которого характеризует наиболее крутой наклон в данной точке холма. Выбор числа 宜,определяющего величину Au, основывается на оценке степени нелинейности и должен приводить к тому, чтобы линеаризованные предсказания были достаточно точными. С другой стороны, выбор величины К должен предотвращать чрезмерный рост числа итераций. Как правило, К должно меняться от итерации к итерации. Обычно это делается для того, чтобы уменьшить величину Au при приближении к минимуму (или максимуму). Как видно из фиг. 1.5.1, при движении с большим Au легко «проскочить» точку экстремума. В задачах с большим числом перемен

ных такие геометрические представления, как гиперповерхности постоянных значений критерия качества 厶(и) (гиперповерхности уровня) в гиперпространстве и, оказываются весьма ценными, так как облегчают понимание.

£ Tl“t5U 丄

Обычно градиентные методы первого порядка приводят к значительному улучшению критерия качества на нескольких первых итерациях, но обладают плохими характеристиками сходимости при приближении к оптимальному решению. Градиентные методы

Фиг. 1.5.1. Траектория последовательных приближений в численной процедуре максимизации функции с помощью градиентного метода первого порядка.

второго порядка, учитывающие не только «наклон», но и «кривизну» поверхности в номинальной точке, рассматриваются в следующем разделе. Эти методы обладают отличными характеристи- ками сходимости в окрестности оптимального решения, однако при их применении могут возникать затруднения на начальном участке поиска, связанные с выбором «выпуклого» -) начального приближения.

2・6・ Численное решение задач оптимизации с ограничениями 6 виде равенств с помощью град иент ног о мет ода второго порядка

Градиентные методы второго порядка ) используют информацию как о кривизне, так и о наклоне поверхности в рассматривае- м°й точке пространства и. Если 我一скаляр, то наглядное представление о градиентном методе второго порядка можно получить из фиг. 1.6.1. В этом случае можно было бы непосредственно вычислить значения критерия качества в зависимости от вектора управления и и найти точку максимума, однако такой путь решения потребует большого количества вычислений. Для применения градиентного метода второго порядка следует задать некоторое начальное приближение вектора управления и = и^°). Из условия / (/"), м(°)) = Or найдем соответствующее значение %(°)и вычислим L 3°), и(0)). Затем, используя формулы (1.2.6) и (1.3.7), определим первую и вторую производные £ но м [при условии

/(%, 〃)=0]. Аппроксимируем теперь зависимость Е (м) квадратичной параболой

上 ^ 厶 3味叫十(箒)2。 (吁呐+^ (豁?『(-"У

(1.6.1)

и найдем точку максимума на этой параболе; обозначим соответствующий этому максимуму вектор управления через 〃а). Возь- мем это значение а(* за новое приближение и повторим весь описанный процесс. Из фиг. 1.6.1 видно, что уже две итерации дают достаточно хорошее приближение к точке максимума исходной

Фиг. 1.6.1. Схема численного решения задачи максимизации функции с помощью градиентного метода второго порядка.А — действительная кривая L (и) (в процессе решения неизвестна)； Б — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку и(1>; В — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку м(°>.Фиг. 1.6.1. Схема численного решения задачи максимизации функции с помощью градиентного метода второго порядка.А — действительная кривая L (и) (в процессе решения неизвестна)； Б — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку и(1>; В — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку м(°>.

Фиг. 1.6.1. Схема численного решения задачи максимизации функции с помощью градиентного метода второго порядка.

А — действительная кривая L (и) (в процессе решения неизвестна)； Б — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку и(1>; В — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку м(°>.

Фиг. 1.6.1. Схема численного решения задачи максимизации функции с помощью градиентного метода второго порядка.

А — действительная кривая L (и) (в процессе решения неизвестна)； Б — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку и(1>; В — аппроксимирующая парабола, проходящая через точку м(°>.

функции L (и). В более сложных задачах может потребоваться значительно большее количество итераций. Кроме того, если начальное приближение и^ выбрано слишком далеко от точки максимума, то может оказаться, что (。也/。吟?=()>0, т. е. кривизна кривой имеет неправильный знак })• В этом случае метод второго порядка не приведет к решению. Заметим, однако, что в этой ситуации метод первого порядка мог бы все же сходиться.

- На фиг. 1.6.2 показано решение двумерной задачтг максимизации. Нанесены линии уровня критерия качества Е при условии /(%, 〃) = 0 (эти лиции обычно не известны оптимизирующему). В качестве начального приближения принимается точка 0. После вычисления первых и вторых производных от L [формулы (1.2.6) и (1.3.7)] при условии / (х, м) = 0 строится (локально) поверхность второго порядка, соприкасающаяся с поверхностью L

1) В том смысле, что в этом случае аппроксимирующая парабола не имеет , максимума.— Прим, перев.

в окрестности точки 0. Если эта квадратичная поверхность ока- жется эллиптическим параболоидом с точкой максимума (для зтог° матрица вторых производных функции L должна быть отрицательно определенной), то точка максимума принимается за следующее приближение (точка 7) ) Процедура поиска продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие (d£/d〃)/=o = 0,

Фиг. 1.6.2. Траектория последовательных приближений при максимизации функции с помощью градиентного метода второго порядка (двумерная задача).

А — начальное приближение; Б — линии уровня соприкасающейся квадратичной ^поверхности; В —линии уровня функции L (иь 後2)(в npQuecce решения неизвестны).

при этом матрица ©Lid吟『^ должна быть все время отрицательной.. На фиг. 1.6.2 точка максимума была достигнута после шести итераций.

Во многих задачах ограничения / (%, и) = 0 часто оказываются настолько сложными, что для определения значения / по заданному и необходимо использовать численные методы. В этом случае можно применять несколько более общую схему градиентного метода второго порядка. Напомним, что необходимые условия, при которых функция L (х, и) принимает стационарное значение, имеют вид

Нх =0,,(1.6.2)

% 二0,(1.6.3)

/ =0,(1.6.4)

где н (瑞以，九)=Z/(/,明+ 入寸(力, u).

i) Если матрица вторых производных окажется положительно определенной или неопределенной, то изложенная процедура не работает.

Общую схему одной итерации обобщенного градиентного метода второго порядка удобно представить следующим образом:

Задают начальные значения /°, и°,九° переменных “，办，入・

1.

2.

Определяют соответствующие им значения Нх (^, и% Г) = Н^ Ни (法，公，缺)=反工

3. точки

Линеаризуют(鸿公，V):

/ (№, u°) — /°.

соотношения (1.6.2)—(1-6.4) в

(1.6.5)

(1.6.6)

(1.6.7)

окрестности

Hl + Hb dx + H乙 d〃 + (笈)° d九=°,〃以卜 H厶 d/ + 〃Kdu+(汇)°d九=o,/° +Л dx +fl du = 0.

(1,6.8)

(1.6.9)

(1.6.10)

Решают систему линейных уравнений (1.6.8) —(1.6.10) относительно dx, du и d九 и находят их выражения через Н®, Ни и /° ).

Шаги 1——4 повторяют с улучшенными значениями

х1 — х° + dx, u1 u° + du,九 1 =九° + dA.

Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока необходимые условия оптимальности (1.6.2)——(1.6.4) не будут удовлетворены с требуемой степенью точности.

Если этот метод вообще сходится, то в итоге он может сойтись либо к точке минимума, либо к точке максимума, либо к седловой точке. Чтобы определить, какой из этих случаев имеет место, нужно дополнительно исследовать матрицу вторых производных критерия качества £, определяемую уравнением (1.3.7). Если эта матрица положительно определенная, то полученная точка —— минимум, если матрица отрицательно определенная, то полученная точка — максимум, если матрица незнакоопределенная и невырожденная, то полученное решение ——седловая точка. Если же матрица вырождена, то тип этой точки можно установить только с помощью анализа производных более высокого порядка.

Задача. Разработать вычислительную схему такого варианта

градиентного метода второго порядка, в котором задаются началь- и, а 九 определяются из условия Нх = 0.

ные зна чения только / и

2・7・ Задачи с

ограничениями в виде неравенств

Задачи оптимизации

при наличии ограничении в виде нера-.

1венств требуют обобщения методов, рассмотренных в предыдущих разделах. Один из важных классов задач такого типа состоит в ми-

1) Если значения Нх, Яи, /° оказываются такими, что полученные решения d/, d“, d九 слишком велики, то вместо處 Н£, /° следует использовать £〃*， еЯи, е/°, где 0 < £ < 1.

нимизации функции

厶仅)(1-7-1)

при условии

/ (у) С 0,(1.7.2)

где векторы / и у в общем случае имеют различную размерность 工).

Рассмотрим сначала простой случай, когда /му ——скалярные величины. Если у° — оптимальное значение величины у, то это значение может приводить к одному из двух результатов: либо /(У°) V 0, либо / &) — 0. В первом случае ограничение оказывается неэффективным (недействующим), и его можно не учитывать. Таким образом, ситуация в этом случае оказывается такой же, как и при отсутствий ограничений (разд. 1.1). Для рассмотрения второго случая допустим, что значению у° дано некоторое малое приращение dy. Если у° ——точка минимума функции L (у), то соотношение

①=机心。(173)

справедливо для всех допустимых dy, которые должны удовлетворять условию

df = ^dy^O.(1.7.4)

Чтобы уравнения (1.7.3) и (1.7.4) были совместны, очевидно, необходимо, чтобы либо

dL

S驮-sgn

либо дЫду = 0 (в последнем случае безразлично, какой знак и величину имеет df/dy). Эти случаи геометрически иллюстрируются на фиг. 1.7.1, а и б". Оба условия могут быть выражены соотношением

发+ А* =。，(175)

где九》0.

Аналитически можно получить эти условия следующим образом. Присоединим ограничение / (у)《 0 с множителем 九 к минимизируемой функции £ (у). В результате получим

н (у, N = L (у) + %/ (г/).(1.7.6)

Такие задачи, относящиеся к общим забавам нелинейного программирования, широко обсуждаются в технической литературе. В данном разделе дается только их краткое изложение. Здесь не будем различать переменные состояния и переменные управления, как это было сделано в разд. 1.2. Это объясняется тем, что во многих задачах нелинейного программирования размерность вектора / больше размерности вектора у, так что невозможно разделить компоненты вектора у на переменные состояния и переменные управления.

Необходимые условия оптимальности в

этом случае имеют вид

(1.7.7)

и

/ (汾 a 0；

(178)

здесь

九

,если /(g) = 0, !, если / (у) < 0.

(1.7.9)

Когда остаются

у — вектор, асправедливыми,

(1.7.3)-(1.7.5)

/ — скаляр, уравнения если понимать их как запись в вектор-

L仞

/仞=。

「f 仞4。

厶仞

г

二 f 仞<0

I

У

У

6

F Фиг. 1.7.1. Два возможных типа расположения точек минимума функции * одной переменной при наличии ограничений в виде неравенств.

齡: а — ограничение / (у) ^ 0 неэффективно, минимум Е (“) в точке Иду = 0; 6 ——ограничение 力(и)《0 эффективно, минимум L (и) в точке / (у) = 0.

НЫХ обозначениях. Соотношение (1.7.5) означает в этом случае

следующее:

Векторы 而 и - другу, НО в

Необходимость этого тивного. В самом деле,

刃而

направлены параллельно друг

противоположные стороны.

(1.7.10)

условия легко дока зывается от про- пусть условие (1.7.10) не выполняется

Уг

df/dy

L=const

dL/dy

У；

匕 Фиг. 1.7.2. Геометрическая иллюстрация 曇 необходимости условия (1.7.10) в двумер- ^ ном случае.

%

в точке (у®, 國),как это показано для двумерного случая на фиг. 1.7.2. Тогда заштрихованная часть фиг. 1.7.2 представляла бы

собой область допустимых значений вектора у, которым соответствуют значения Л, меньшие чем L (у：, у；). Как эта, так и другая ситуации (а именно когда / (у0) V 0) могут быть объединены общими необходимыми условиями (1.7.7)—(1.7.9).

В более общем случае, когда / ——вектор, можно использовать условия (1.7.4) и (1.7.5), заметив лишь, что на этот раз dfldy —— матрица. Если эффективной (т. е. обращающейся в равенство) окажется только одна компонента вектора /, то получится задача,

Ф п г. 1.7.3. Минимизация при наличии двух ограничений в виде неравенств (двумерный случай).

которая только что была рассмотрена. Если же эффективны две компоненты вектора /, то возникает ситуация, показанная на фиг. 1.7.3.

Легко видеть, что если z/° ——экстремальная точка, лежащая на линиях /1 = 0 и /2 = 0, то вектор дЫду должен находиться между отрицательным направлением градиента /^ и отрицательным направлением градиента 『2丄)・ Аналитически это означает, что вектор дЫду может быть представлен в виде отрицательной линейной комбинации векторов dfjdy и дf2lдy^ В общем случае, когда эффективны q компонент, для граничной оптимальной точки вектор dLldy удовлетворяет соотношению

等十储+儿* = °， (丄7.11)

ИЛИ

гдегде"器=。，"器=。，(1.7.12)(1.7.12)

где

где

"器=。，

"器=。，

(1.7.12)

(1.7.12)

(1.7.13)2)(1.7.13)2)(>0, / 仅) = 0,1 =о，/ (^) < 0.

(1.7.13)2)

(1.7.13)2)

Таким образом, как и в разд. 1.2, можно образовать функцию Н = L 九т/ и выразить условие (1.7.12) в виде дН!ду 工 0.

1) Вектор дЫду можно получить сложением отрицательных градиентов (—dfi/dy) н (—df?历у) по правилу параллелограмма для сложения двух векторов.

Соотношения (1.7.13), разумеется, понимаются сираведливыми покомпонентно.

Соотношения (1.7.12) и (1.7.13) являются необходимыми условиями минимума. Для получения необходимых условий максимума в условии (1.7.13) следует изменить знак 九 иа обратный. Другими словами, градиент функции L по у в точке минимума должен быть направлен таким образом, чтобы уменьшение критерия качества L могло быть достигнуто только з〃 счет нарушения ограничений.

Допустим теперь, что вектор у имеет размерность р и что среди ограничений в виде неравенств п компонент эффективны, т. е. что h 匂)=0, i = 1, 2, . . п.(1714)

«Неэффективные» ограничения 力(у) V 0, X =北十 1，• • •? можно не принимать во внимание. Очевидно, что р》". Далее, " компонент вектора у обозначим через /, а оставшиеся р ——п компонент —через а, т. е.

д

уТ (勺，• • •, %?г； 辽士，• • • 1 UpTi) (%'，U‘)•

Это разделение компонент должно быть таким, чтобы уравнения 厶(芻卫)=0, Z = 1, . .(1.7.15)

определяли х по заданному и '). Тогда достаточные условия локального минимума функции L (力 при условии f (у) ^0 будут состоять из условий, полученных в разд. 1.3, к которым следует добавить требование положительности всех значений 九匕...,九п ?). Последнее условие легко получить из соотношений (1.4.8), (1.4.9), поскольку ——入i = (dLld拎и, а величина {dLldf^)u должна быть отрицательной (т. е. d£ >0 для d% V 0).

Пример. Рассмотрим задачу минимизации критерия качества L (力，沙2)при условии fl (%, У2)& о, Е = 1, 2. Пусть линии уровня критерия L ведут себя так, как показано на фиг. 1.7.4, откуда видно, что условие /2 < 0 «неэффективно» и решение лежит на кривой /1 = 0. В точке минимума должно выполняться условие 糸+大百=。，脑>。，

т. е. градиент L параллелен градиенту /4 и направлен в противоположную сторону. Кроме того, «кривизна» L вдоль /t = 0 такова, что при удалении от точки минимума значение L на кривой /4 = 0

Более точные утверждения даны в работе: G. McCormick, Second Order Sufficient Conditions for Constrained Minimum, SIAM Journal on Appt. Math., 15, № 3 (1967).

Для разрешимости уравнений (1.7.15) no 况 необходимо и достаточно,

вычисленная в иеко-вычисленная в иеко-чтобы существовала невырожденная матрица торой точке (х°, и°).— Прим. ред.

вычисленная в иеко-

вычисленная в иеко-

① л г. 1.7.5. Пример условий Куна ——Таккера регулярности ограничений.① л г. 1.7.5. Пример условий Куна ——Таккера регулярности ограничений.

① л г. 1.7.5. Пример условий Куна ——Таккера регулярности ограничений.

① л г. 1.7.5. Пример условий Куна ——Таккера регулярности ограничений.

возрастает. Получим этот разультат аналитически. Положим уг = =企 и ^2 =比* Теперь по заданному и из условия 力(％, ») = 0 можно определить 企,а из соотношения (1.3.7) можно вычислить

Фиг. 1.7.4. Пример миними-зации при наличии ограниче-ний в виде неравенств.

(8?口8硏f尸g эта величина, как можно видеть из фиг, 1.7.4, положительна.

Формулы (1.7.12) и (1,7.13) выражают основное содержание известной теоремы Куна — Таккера для задач нелинейного программирования 2). Точная формулировка теоремы требует предположения о так называемой регулярности ограничений для

системы f (у) ^： 0 (см. [1.1], стр. 483). Условие регулярности ограничений вводится для того, чтобы исключить геометрические ситуации, подобные изображенной на фиг. 1.7.5. В этом примере минимум L находится в точке 匂匕 у^ — (1, 0), поэтому вектор дЫду не может быть представлен какой-либо конечной линейной комбинацией векторов dfjdy и df2/dy.

1) См., например, книгу Дж. Хедли «Нелинейное и динамическое программирование» (гл. 6), изд-во «Мир», 1967.— Прим, перев.

Другой подход к выводу достаточных условий в задачах нелинейного программирования дается теоремой о седловой точке. Эта теорема более изящна (хотя результаты ее применить обычно труднее), чем рассмотренные выше достаточные условия, так- как она не требует производить произвольное разбиение вектора у на вектор состояния х и вектор управления 比.Теорема о седловой точке состоит в следующем. Рассмотрим функцию Н (弘 X)= =£ + 九т/. Предположим, что можно найти такие у° и Х°, которые образуют,седловую точку для функции Н (g, X), т. е. точку, которая удовлетворяет условиям

Я (/, X) ^Я (/,們 & Я 包們 (1-7.16)

для всех 九》0 и / (у) & 0・ В этом случае можно показать, что точка у。является точкой минимума функции L (^/) при наличии ограничения / (у) & 0 независимо от свойств функций £ и /.

Задача 1. Доказать теорему о седловой точке. Указание. Из левого неравенства (1.7.16) следует, что 務力(严)=0 для всех 九

Задача 2・ Крейсерский режим полета самолета с минимальным расходом топлива. Для самолета, описанного в примере 2 разд. 1.2 и задаче 7 разд. 1.3, определить условия установившегося горизонтального полета (0 = 0) с минимальным расходом топлива на единицу дальности ^). Пусть коэффициент удельного расхода топлива Се = 0,29 • IO」？(玲『 топл1сет^1кГ тяги, так что расход топлива на единицу дальности дается формулой

г СеР где

? Wрмаке (匕无)，

а Рмакс (7, h) задано графически на фиг, 1.3.5 (см. задачу 7 разд. 1.3).

Уравнениями ограничений в этой задаче являются условия равновесия сил, действующих на самолет в устанйвившемся горизонтальном полете:

У — mg + Р sin (а + 中尸)=0, Q — Р cos (а + 屮尸)=0, где величины У = У (匕无，а) и Q = Q (匕加 а) следует взять из задачи 7 разд. 1.3.

Задача 3. Разработать математическое доказательство геометрических соображений, соответствующих фиг. 1.7.2. В частности, доказать, что 入》0.

В динамике полета такой режим называется режимом минимального километрового расхода топлива.—— Прим, перев.

丄8・ Задачи линейного программирования

Если критерий качества и ограничения в виде неравенств линейны относительно у, то задача носит название задачи линейного программирования. Очевидно, в этом случае точка минимума, если она существует, должна находиться на границе допустимой области, поскольку кривизна £ всюду равна нулю. Задача линейного программирования ставится следующим образом. Найти у, минимизирующий

L = Ьту,(1.8.1)

при условии

Ату + с^ 0.(1.8.2)

Здесь у — лг~мерный вектор, с — тп-мерный вектор, m >п. Если матрица А имеет ранг п, а вектор Ът неколлинеарен какой-либо из строк матрицы Ат или некоторой произвольной.отрицательной линейной комбинации (п 十 1) строк матрицы /笨，то минимум, если он существует, находится в точке, определяемой одновременным выполнением п ограничений вида Ату + с = 0. При наличии некоторой геометрической интуиции этот результат не покажется неожиданным; более того, он составляет содержание фундаментальной теоремы линейного программирования.

Пример 1. Минимизировать функцию L =——5% ——у2 c учетом ограничений

/1「—%《0, % = —У2《0, /з = % + Z/2 — 6 W о,

Л — 3% + ^2 — 12 & 0, /5 = % — 2y2 — 2 & 0.

На фиг. 1.8.1 изображена допустимая область и нанесены линии уровня критерия качества L. Из рисунка видно, что минимум достигается в точке А, где /4 = 3yl + z/2 — 12 = 0 и /5 = =% — 2y2—2 = 0. Эта точка имеет координаты у\ = 35/7, у2 ~QI^ а критерий качества принимает в этой точке значение £мин = ———193/7. Градиент L в точке А может быть представлен отрицательной линейной комбинацией 1г [но не (汽 ——1)] строк матрицы Л г (а именно комбинацией векторов grad /4 и grad /5), как следует из фиг. 1.8.1.

Применимость фундаментальной теоремы линейного программирования при численном решении задач линейного программирования в принципе очевидна. Рассмотрим п ограничений, считая их равенствами. Решение этой системы равенств (если оно является допустимым) дает решение, которое может быть либо оптимальным, либо неоптимальным. В последнем случае следует заменить одно из ограничений другим и повторить процесс решения, требуя, чтобы новое решение принадлежало допустимой области и улучша-

ло критерий качества. Так как задано конечное число ограничений, то этот процесс в конце концов приведет к оптимальной комбинации ограничений (если она существует). Метод, который

Фиг. 1.8.1. Решение задачи линейного программирования примера 1*

использует изложенную процедуру, известен под на званием сим- мекс-метода. Он будет разобран более подробно в следующем разделе.

Задача. Показать, что необходимое условие максимума функции

L =严九

при ограничениях

4Х +办=0,九》О,

сводится просто к соотношению (1.8.2) для основной задачи минимизации, обсуждаемой в данном разделе. Эти две задачи назы- ваются двойственными по отношению друг к другу г).

Пример 2. Задача на составление оптимальной смеси. (Задача с смешивании.} Существует много так называемых задач о смешивании, которые состоят в нахождении самой дешевой смеси нескольких материалов, содержащей по меньшей мере определенную часть каждой из заданных компонент. Типичной задачей такого типа является определение наиболее дешевой смеси нескольких различных продуктов питания, которая содержит не менее задаи-

1) Отметим, что поскольку число т ограничений в задаче (1.8.1), (1.8.2) равно числу переменных Ху в двойственной ей задаче, то при решении задач линейного программирования с большим числом ограничений и малым числом переменных часто удобно перейти к решению двойственной задачи.— Прим, перев.

ного количества основных питательных веществ (белков, жиров^ витаминов и т. д.) 1). Предположим, что рассматривается смесь трех различных продуктов питания и имеется три неравенства, определяющие содержание питательных веществ в смеси. В табл. 1.8.1 указано содержание каждого из трех питательных

Таблица 1.8.1

Характеристика продуктов питания

Вид продукта питания 3

Доля питательных веществ ^^ в каждом 7-м продукте питания

Стоимость Лго продукта питания

^l

N2

1

0,06

0,02

0,09

15

2

0,03

0,04

0,05

12

3

0,04

0,01

0,03

8

веществ в каждом из трех продуктов и указана стоимость единицы количества каждого продукта питания.

Задача состоит в том, чтобы найти самую дешевую смесь этих трех продуктов, такую, чтобы доля каждой из питательных компонент в ней была не меньше чем 0,04; 0,02 и 0,07 (для первой, второй, третьей питательных компонент соответственно).

Пусть Fj ——доля /-го продукта в смеси, / — 1, 2, 3; Fj являются величинами, которые надлежит определить (это проектные параметры). Обозначим через N» долю Z-ro питательного вещества в смеси, Z = 1, 2, 3. Величины Ni и Fj связаны соотношением

Nt =々阳+ “2歹2 +々3歹3,

где 汽订——содержание i-ro питательного вещества в /-м продукте (汽订 заданы в табл. 1.8.1). По условию смесь должна быть такой, чтобы удовлетворялись условия: 7V\》0,04,》0,02, N3》0,07.

Пусть С ——стоимость единицы количества смеси и Cj ——соответственно стоимость единицы количества j-ro продукта. (Эта стоимость также задана в табл. 1.8.1.) Тогда справедливо соотношение

с = q 招 + s 歹 2 + сз%・

Очевидно, сумма долей каждого из продуктов в смеси должна равняться единице, т. е.

"十歹2+ь3=1，

D Аналогичные задачи возникают, например, при составлении смесей жидких топлив или удобрений.

Таким образом, требуется найти дее неизвестные величины /\ и F2 (третью величину можно найти из условия F3 = 1 — Fj — — F2), минимизирующие С и удовлетворяющие неравенствам г)

Ni>Nt, 2 = 1, 2, 3,0《巳《1,/ = 1,2,3,

где Nt ——заданная минимальная доля Z-ro питательного вещества в смеси.

Решим задачу графически. Пусть К и & — оси^координат (фиг. 1.8.2). Все неравенства изображаются прямыми линиями,

Фиг. 1.8.2. Решение задачи линейного программирования примера 2.

перпендикуляр к каждой из которых указывает направление в сторону допустимой области. В данной задаче имеются следующие неравенства:

N、= 0,06招 + 0,03^2 + 0,04 (1 一爲一歹J》0,04,или 2Fi — %》0；

%2 = 0,02爲 + 0,04F2 + 0,01 (1 - л -歹2)》0,02,илик+3F2》I；

%з - 0,09招 + 0,05歹2 + 0,03 (1 一招—/)》0,07,

или 3吊十/》2；

F)% = 1 —招一歹2》0, ИЛИ 吊 + / W 1；

Д)0 w招 41；

0)0《歹2 &1・

Заметим, что неравенства 歹3 = 1 —招一歹2 W 1, или 招+歹2》

》0, оказываются избыточными, поскольку они автоматически

Некоторые из этих неравенств в свою очередь могут быть избыточными, т. е. их выполнение следует автоматически из выполнения других неравенств.-

следуют из неравенств /\》0 и %》0. Какие еще из неравенств «а»—«е» являются избыточными (т. е. являются следствием других)? Ответ на этот вопрос можно найти с помощью графика,нафиг. 1.8.2. Та область, в которой удовлетворяются все неравенства, называется допустимой областью (она ограничена, неи^фиг, 1.8.2 жирными линиями и заштрихована).

Нанесем на^-фиг. 1.8.2 также линии постоянной стоимости, т. е. линии уровня функции

С = 15Л + 12/ + 8 (1 - Л - %),или С = 8 十 7招 + 4%.

Из фиг. 1.8.2 видно, что минимальное по стоимости допустимое решение соответствует точке пересечения прямых N乞=N^ 迈 N3 二 —N?・ Это означает (см. неравенства «б» и «в») т что должны одновременно выполняться условия

用+ 3%1，3死十方2 = 2.

Рассматривая их как систему линейных уравнений с двумя неизвестными, находим решение

Из соотношения 尸3 = 1—居一凭 получаем

Соответствующее минимальное значение стоимости единицы количества смеси равно

С =‘5%(2 ・^ + 8・ = 12 春•

В данном случае количество первого питательного вещества в смеси превосходит требуемое минимальное значение

Л^ = 0,06-| + 0,03-| + 0,04•} = 0,05125 >0,04.

Заметим, что для получения допустимого решения самой высокой стоимости в смеси следует использовать только первый продукт (т. е. Fi = 1).

Пример 3. Задача планирования перевозок. Торговец зерном владеет 50 000 бушелей 1) пшеницы в Гранд-Форкс (шт. Северная Дакота) и 40 000 бушелей в Чикаго. Он должен продать 20 000 бушелей в Денвере, 36 000 бушелей в Майами и оставшиеся 34 000 бушелей в Нью-Йорке. Требуется определить

В Бушель — англо-американская мера емкости сыпучих тел, 1 бушель в США равен 35,24 литра.— Пр им. перев.

минимальную по стоимости схему перевозок при следующих ценах (в центах) перевозки одного бушеля зерна (табл. 1.8.2). Из этой

Таблица Z.8.2

Стоимость перевозки одного бушеля зерна

Пункт доставки

Пункт отправления

Денвер

Майами

Нью-Йорк

Гранд-Форкс

42

55

60

Чикаго

36

47

51

таблицы видно, что различные варианты приводят к затратам, которые не пропорциональны расстоянию между городами. Для удобства расчетов все данные сведены в табл. 1.8.3, в которой оставлено место для результатов решения задачи. В правом верхнем углу каждого из квадратов табл. 1.8.3 помещена стоимость перевозки

Таблица 1.8,3

Сводка исходных данных для задачи планирования перевозок

Пункт доставки

Пункт'

отправления

Денвер

Майами

Нью-Йорк

Наличие зерна в пункте отправления (бушели)

Гранд-Форкс

42

55

1 60

50 000

Чикаго

36

47

40 000

Количество зерна, подлежащего доставке (бушели)

20 000

36 000

34 000

одного бушеля зерна между соответствующими двумя городами.

Задача состоит в том, чтобы определить для каждого из шести квадратов табл. 1.8.3 такие неотрицательные величины, которые удовлетворяют следующим требованиям:

Сумма величин, стоящих в первой строке таблицы, должна быть равна 50 000; сумма величин во второй строке должна быть равна 40 000.

4—0102

Суммы величин в первом, втором и третьем столбцах должны быть равны 20 000, 36 000 и 34 000 соответственно.

Общая стоимость перевозок должна быть минимальной. Эта общая стоимость равна сумме попарных произведений искомых для каждого квадрата величин на соответствующую единичную стоимость перевозки (последняя записана в правом верхнем углу каждого квадрата).

Задача эта несколько похожа на разгадывание кроссворда, однако она труднее, так как здесь недостаточно добиться правильных сумм в строках и столбцах (т. е. найти допустимое решение), а нужно, кроме того, минимизировать общую стоимость. Возможно, что методом проб и ошибок можно было бы подобрать нужное решение в данной задаче. Однако для сокращения времени решения желателен систематический метод. Для решения задач с большим количеством пунктов отправления и доставки наличие такого систематического метода (алгоритма) и вычислительной машины является весьма существенным.

Обозначим через 花 количество зерна, перевозимое из Гранд* Форкса в Денвер (в тыс. бушелей). Тогда очевидно, что из Чикаго в Денвер следует перевезти (20 ——胃)тыс. бушелей (табл. 1.8.4).

Таблица Z.8.4

Промежуточный этап решения задачи планирования перевозок

X

42

У

55

50—步

60

— у

50

20-

36

力

36-

47

У

步+у—

51

-16

40

20'

36

34

Аналогично если у ——количество зерна, перевозимого из Гранд- Форкса в Майами, то (36 — z/) — количество зерна, перевозимого из Чикаго в Майами. Следовательно, из Гранд-Форкса в Нью-Йорк нужно перевезти (50 — х — у) 'тыс. бушелей и аналогично из Чикаго в Нью-Йорк надо перевезти 40 — (20 ——花)——(36 ——у)= =花十 у — 16 тыс. бушелей. (Заметим, что требование доставки в Нью-Йорк 34 000 бушелей зерна удовлетворяется автоматически, поскольку использовано условие равенства проданного количества зерна всему имевшемуся в наличии.)

Итак, количество неизвестных сокращено до двух (а и у), которые должны удовлетворять шести неравенствам:

х》0, у》0, 50 — х •— у》0, 20 — х》0,

36 一 у〉0, н + у — 16》0.

Удобно представить все эти неравенства графически в системе координат (胃，у), как показано на фиг. 1.8.3. Так же как и в пре-

Ф и г. 1.8.3. Решение задачи о минимальной стоимости перевозок.

дидущем примере 2, здесь имеется допустимая область, в которой

удовлетворяются все неравенства.

Вычислим теперь общую стоимость перевозок как функцию ему

С = 1000/100 [42欠 + 55g 十 60 (50 - а — g) +

+ 36 (20 - ^) + 47 (36 -力 + 51 Q + g — 16)]=

=45 960 — 30花一10g (в долларах).

Линии постоянной стоимости нанесены на фиг. 1.8.3 пунктиром. Ясно, что допустимое решение, дающее минимальную стоимость, соответствует точке х = 20, у = 30. Результаты решения задачи минимизации стоимости приведены в табл. 1.85

Заметим, что, согласно данным этой таблицы, не следует перевозить зерно из Чикаго в Денвер даже несмотря на то, что стоимость доставки одного бушеля между этими городами самая низкая.

Интересно отметить, что разность между наилучшим (в смысле общей стоимости) и наихудшим решениями составляет всего 740 долл, при минимальной стоимости 45 060 долл. Тем не менее эти 1,6% разницы могут быть значительной частью прибыли, полученной от продажи.

Численное решение задач оптимизации с ограничениями в виде неравенств

Численные методы решения задач оптимизации при наличии ограничений в виде неравенств являются одной из главных тем специальной дисциплины ——математического программирования. Им посвящено большое число работ (см., например, [1.2], [1.4])； здесь мы ограничимся только изложением наиболее важных особенностей метода допустимых направлений, или метода проекции градиента. Алгоритм этого метода включает два отдельных, но тесно связанных между собой этапа.

Этап 1. Поиск допустимого решения. Как указывалось в разд. 1.7, нахождение значения д, удовлетворяющего системе нелинейных неравенств / (у) W 0, тасто оказывается затруднительным. В задачах с ограничениями в виде равенств, подобных рассмотренным в разд. 1.5 и 1.6, допустимое решение найти в принципе довольно просто, поскольку переменных (花 и и) больше, чем заданных ограничений [/ (胃，и) = 0]. В задачах с ограничениями в виде системы неравенств число ограничений (компонент вектора /) часто бывает больше, чем количество переменных (компонент вектора у). Допустимое решение в этом случае можно найти следующим способом. Зададим некоторое начальное значение у и рассмотрим достаточно малое возмущение dy, которому соответствует приращение df вида

d7 =普姒 (1.9.1)

Если некоторые компоненты вектора / (у) в точке у являются положительными, т. е. недопустимыми (так как нарушается условие / ®《0), то выберем dy так, чтобы соответствующие компоненты df были отрицательными. Другими словами, вектор f (у + dy) должен быть «ближе» к допустимому решению, т. е.

F dy 0, (1.9.2)

где F содержит только те строки матрицы dfldy. которые соответствуют недопустимым компонентам вектора ограничений /. Таким

образом, задача поиска допустимого решения для системы нелинейных неравенств сводится к последовательности задач поиска допустимого решения для системы линейных неравенств.

Этап 2. Поиск допустимого улучшения. Если удалось найти допустимое значение г/, то следующий шаг состоит в том, чтобы определить такое приращение dy, для которого решение остается

Фиг. 1.9.1. Решение задачи квадратичного программирования (к примеру из разд. 1.9).

допустимым и при этом еще улучшается значение критерия качества. Другими словами, для такого dy должны выполняться условия

/ 匂十或/) W 0 и L (у + dy) < L (办

Таким образом, приращение dy должно удовлетворять системе линейных неравенств, подобных (1.9.2):

芻 dy = Hdy^0.(1.9.3)

Пример. Кеадратичный критерий качества с линейными ограничениями 6 виде неравенств. Пусть требуется минимизировать функцию

£=处产十仇一1)2

при наличии ограничений

弘 >о, У2 >0.弘 >о, У2 >0.3z/i + 2z/2 一 6 & 0,

弘 >о, У2 >0.

弘 >о, У2 >0.

На фиг. 1.9Л показана допустимая область и нанесены линии постоянных значений критерия качества L, Возьмем начальную

точку с координатами 力=纭=%• В этой точке

Поскольку требуется минимизировать критерий качества, то наи- лучшим направлением движения из этой точки- будет направление вдоль отрицательного градиента^ как показано на графике в точ- ке Z 因2，“2)・ Будем двигаться в этом направлении до тех пор, пока значение критерия качества будет уменьшаться (точка минимума может оказаться и на границе). В данном примере точ- ко贵 минимума (по направлению отрицательного градиента из точ- ки Z) является точка 6, лежащая внутри допустимой области. Двигаясь далее из точки В по направлению отрицательного гра- 口мента из этой точки, достигнем точки С, лежащей на линии 3班 + + 2g2 ——6=0. В этой точке отрицательный градиент направ- “сн за пределы допустимой области, поэтому будем двигаться по направлению компоненты отрицательного градиента, направ- ленной вдоль границы (в данном примере — вверх}. Двигаясь в этом направлении, достигнем точки минимума D, в которой отрицательный градиент направлен за пределы допустимой области и перпендикулярен к границе.

Как было отмечено, в разд. 1.8, в последние годы приобрели большое значение задачи линейного программирования. Поэтому имеет смысл кратко обсудить специальные процедуры, используе- мые при решении этих задач. Рассмотрим снова задачу минимизации критерия качества L вида

L = ЬТ у (1,9.4) при условии

А^у + с^^ (1.9,5)

здесь g—?г-мерный вектор, АТ— матрица размерности т X п, тп >〃• Как известно (разд, 1.8), минимум L должен достигаться в точке пересечения п гиперплоскостей ), нормали к которым имеют направления, определяемые элементами строк матрицы Ат, Исходя из этого, проведем решение по следующей схеме. Из систе- мы (1.9.5) выберем произвольно п условий, приравняем их нулю и решим как систему линейных уравнений. Если полученное реше- ние^является допустимым, то исследуем п «ребер», выходящих из зто箭 точки (каждое из ребер образовано пересечением п выбранных 仇—1)-мерных гиперплоскостей), Обозначим через е， (г = =1,2乙...，п) единичный ?г-ме рный вектор, направленный от полученной точки вдоль г-ro реб ра (в сторону допустимой области). Градиентом функции L является вектор Ьт, поэтому рассмотрим

проекции ребер (т, е. е‘) на вектор Ът , т. е. скалярные произведения ЬТ е\ i = 1, 2,Если все скалярные произведения

положительны, то движением вдоль ребер нельзя добиться улучшения (т, е. уменьшения значения L). В таком случае оптимальное решение уже получено. Если же некоторые из скалярных произведений отрицательны, то следует выбрать из них наибольшее по абсолютной величине и далее двигаться вдоль соответствующего этому произведению ребра до тех пор, пока не встретится какое- либо другое ограничение. Пересечение этого нового ограничения и (п ——1) старых ограничений, которые образовали ребро, определяет новую точку, в которой значение L непременно должно быть меньше (чем в предыдущей точке), так как движение происходило вдоль той проекции градиента, для которой Ьт ег V°・ Описанный процесс следует повторять до тех пор, пока будет получена точка, для которой все Ьт ^ >0, т. е. когда дальнейшее улучшение L будет невозможно. Изложенная процедура лежит в основе сим- плекс-алгоритма, предложенного Данцигом [1.3], который использует в сущности метод допустимых направлений.

Метод штрафных функций

Для решения задач оптимизаций с ограничениями как в виде равенств, так и в виде неравенств применяется еще так называемый метод штрафных функций. Идея этого метода весьма проста. Пусть необходимо минимизировать функцию L (у) при условии / (г/) = о. '(мол)

Вместо того чтобы непосредственно решать поставленную задачу, рассмотрим задачу минимизации вспомогательной функции

L = L{y) +К \\f (у) |р,(1.10.2)

в которой на у не накладывается каких-либо ограничений. Здесь К — достаточно большое число，) ). Если функция L достигает минимума в точке у*, то естественно ожидать, что

/匂*) ^ 0(1.10.3)

Добавление слагаемого К \\ f (у) |]2 к функции L (у) можно рассматривать как введение в задачу на безусловный экстремум L (у) специального «штрафа» за неточное выполнение условия / (у) = 0. Поэтому слагаемое К \\ f (у) ||2 часто называется «штрафной функцией»; отсюда и происходит название рассматриваемого метода. Метод штрафных функций, таким образом, позволяет сводить задачи на условный экстремум к задачам на безусловный экстремум. По-видимому, очевидно, что при конечных значениях К такое сведение будет лишь приближенным. — Пр им. перев.

И

L (户)Ь (/),

(1.10.4)

где z/° — значение И действительно, показать, чтогде z/° — значение И действительно, показать, что(1.10.5)(1.10.5)

где z/° — значение И действительно, показать, что

где z/° — значение И действительно, показать, что

(1.10.5)

(1.10.5)

г/, минимизирующее L при условии / (у) = ,0. в некоторых случаях оказалось возможным

lim 寸=那， lim L (疗)=上 (护). Kf8Kf8

В вычислительной практике к методу штрафных ^ функций обращаются как в случае оптимизации параметров, так и в случае

оптимизации управляющих функций (гл. 2——4). Тем не менее важно отметить, что на практике метод штрафных функций не позволяет иногда подойти достаточно близко к истинному решению [т. е. к пределу, указанному в (1.10.5)]. Одна из причин этого состоит в следующем. Расширенный критерий качества с дополнительным слагаемым (штрафной функцией) при больших значениях К имеет длинный узкий «овраг», а точка минимума у* находится на его дне (фиг. 1.10.1).

Фиг. 1.10.1. Линии уровня, создаваемые штрафной функцией, в примере разд. 1.10.

При применении градиентного метода для поиска точки у* последовательные приближения с одной стороны оврага «перескакивают» на другую (т. е. вдоль «ширины» оврага) вместо того, чтобы опускаться вниз вдоль «длины» оврага. Более того, если К очень велико, «ширина» оврага становится соизмеримой с точностью вычислений и метод градиента совершенно перестает работать.

Другим возможным источником затруднений является появление искусственных точек минимума, котбрые отсутствуют в исходной задаче.

Пример. Найти 弘 и у2, минимизирующие функцию £ =(弘一 2)2 + 磅

при условии z/i = 0. Это очень простая задача, которая имеет очевидное решение 弘=Z/2 = 0. Будем, однако, решать ее с помощью метода штрафных функций. Для этого минимизируем расширенную функцию L со штрафным слагаемым

£=(%一2)2+房+&/； =优+[(%一不%) /т^京 十彳受.

При фиксированном К линиями уровня функции L являются эллипсы с общим центром в точке ух = 2/(1 } К), Z/2 = 0 瓜 отношением полуосей 1 : 1“ 1 + К. На фиг. 1.10.1 показаны линии уровня функции L при К = 35. Отметим появление длинного узкого «оврага», вызванного штрафной функцией.

При решении задач оптимизации с ограничениями 6 виде неравенств тоже может быть использован метод штрафных функций. Пусть вместо равенства (1.10.1) в задаче минимизации должно быть удовлетворено неравенство

f(y) &0・(1.10.6)

В этом случае можно минимизировать расширенную функцию L вида

L = L(y) + Klf {y)V 1 I/ (y)l(1.10.7)'

где 1 (/) —— единичная ступенчатая функция, определенная следующим образом:

.(1, если / > 0.

1⑺=[/7 /(1.10.8)

I 0, если/< 0.

Использованиештрафных функцийоказываетсячастовесьма

полезным на начальной стадии численного решения задач со сложными ограничениями.

Глава 2

Задачи оптимизации динамических систем

2・/・ Дискретные одношаговые системы

Начнем изучение дискретных многошаговых систем с рассмотрения простейшей нетривиальной многошаговой системы ——одношаговой системы.

Начальное состояние системы описывается известным 汽-мерным вектором х (0)——вектором состояния. Выбор некоторого т-мер- ного вектора управления и (0) определяет переход системы

口⑻

。口Фиг. 2.1.1. Блок-схема дискретной одно-

⑴шаговой системы.

в состояние / (1); этот переход описывается соотношением (фиг. 2.1.1)

欠(1)=尸反(0), 〃(0)J.(2.1.1)

Пусть требуется выбрать управление 工)и (0) так, чтобы минимизировать критерий качества, заданный в виде

J =巾反(1)] + D 反(0),比(0)].(2.1.2)

Сформулированная задача является задачей минимизации функции с ограничениями в виде равенств; она вполне аналогична задачам, рассмотренным в разд. 1.2. Для получения необходимых условий оптимальности и в данной задаче будем следовать идеям разд. 1.2, слегка изменив лишь способ формирования функции Н. Образуем расширенный критерий качества J, прибавив к выражению (2.1.2) ограничение (2.1.1) с некоторым неопределенным множителем X (1)：

了=0[花(1)]+七。设(0), w(0)] + %r(l){/° [^ (0), "(0)] 一 胃(1)}・

(2.1,3) Пусть

H^LP [^ (0), u(O)J ^^(i^f^ (0),比(0)],(2.1.4)

Под управлением здесь понимается постоянный вектор и (0).— Пр им.

ред.

тогда,

7=^[х(1)]+Я° [х (0),比(0),九(1)J-#(1”(1). (2.1.5)

Рассмотрим бесконечно малое изменение критерия качества J, соответствующее бесконечно малым изменениям величин и (0), х (1), х (0):*

d了=[晶一产⑴]d”⑴+醫6"(°)+爲如⑼.(246)

Общий вид выражения для dj подсказывает целесообразный выбор величины X (1); чтобы избежать определения dx (1) через du (0) с помощью дифференцирования соотношения (2.1.1), выберем

/(1)=爲(2」.7)

В результате получим

"=爲九(°)+^(°)・(248)

Таким образом, dHQ/du (0)——градиент критерия качества J 】) по и (0) при постоянном значении х (0), удовлетворяющем уравнению (2,1.1), a dHQ/dx (0) — градиент / по 花(0) при постоянном значении и (0), удовлетворяющем тому же уравнению. Если 花(0) задано, то dx (0) = 0.

Очевидно, для получения стационарного значения J и, следовательно, J при заданном 花(0) должно выполняться условие

Заметим, что уравнения (2.1.1), (2.1.7) и (2,1.9) составляют систему п -\- п -\- т уравнений с п п -\- т неизвестными величинами х (1), X (1), м (0).

2・2・ Дискретные многошаговые системы;

оптимизация при ф икс up ованном числе шагов 〃 отсутствии краевых условий на правом конце

Задачи оптимального программирования для дискретных многошаговых систем тоже относятся к задачам минимизации функции. Рассмотрим многошаговую систему, описываемую нелинейными разностными уравнениями

讶(％ + 1)=产匠⑺，北(Oh 方(0) задано, Z = 0, N — 1.

(2.2.1)

Поскольку J = J на- решениях системы (2.1.1).— Пр им, перев.

Эти уравнения представляют собой последовательность условий в виде равенств, где х (%)——последовательность значений п-мер- ного вектора состояния, определяемая в свою очередь выбором

砲丿砲丿«(0)«(0)Фиг. 2.2.1. Блок-схема дискретной многошаговой системы.Фиг. 2.2.1. Блок-схема дискретной многошаговой системы.u(N-i)u(N-i)〉H（N）〉H（N）

砲丿

砲丿

«(0)

«(0)

Фиг. 2.2.1. Блок-схема дискретной многошаговой системы.

Фиг. 2.2.1. Блок-схема дискретной многошаговой системы.

u(N-i)

u(N-i)

〉H（N）

〉H（N）

последовательности значений m-мерного вектора управления и (i). Схема дискретной многошаговой системы показана на фиг. 2.2.1.

Пусть критерий качества задан в виде

N-i

J =巾设(TV)] + £ D 设(力 и ⑴ J.(222)

г=0

Задача состоит в том^ чтобы найти последовательность и (%)> которая минимизирует (или максимизирует) J. Образуем расширенный критерий качества J,-прибавив к величине J систему уравнений (2.2,1) с множителем X (力)

2=0-

+ %TG + 1) {Г к ⑴，u(力)J 一欠(力十 1)}).(2.2.3)

Для удобства введем скалярную последовательность функций Яг 讶= L"/() "⑴J十灯(方+ 1)尸m(力m⑼， 方=0,

(2.2.4)

При этом выражение для J после изменения пределов суммирования в последнем члене (2.2.3) примет вид

NT

J = ф [х (N)] - Хт (N) х (N) + 2 [Н1-^ (i)x(i)] +HQ. (2.2,5)

Рассмотрим теперь дифференциал J, соответствующий приращению u (%)：

@了=[寻_M(N)]也(")+

1 1+瑞壶⑼十端阪(°)，(226)

Чтобы избежать громоздкого определения приращений dx (力)по заданным приращениям 阪(力)，выберем последовательность значений множителя X (力)следующим образом:

АЛ(力)—° /.、=0, т, е. положим 入'(%) = х 7 их (г)

=磊 + m仅+ 1)3， ％ = °，一，，n 一з (227) с граничным * условием

^2 =不端「(2.2.8)

При таком выборе 九(力)уравнение (2,2.6) примет вид

疗П2 ^T 友⑴+ /(°)〃(°)・(229)

Таким образом, дНг1ди (力)является градиентом критерия качества J В по м (Z)при фиксированном (неварьируемом) значении ①(0) и при условии удовлетворения уравнения (2.2.1), а %т (0)= =8Н"8汽(0) является градиентом J по 花(0) при фиксированном (неварьируемом) управлении и (力)и при условии удовлетворения того же уравнения. Если х (0) задано, то dx (0) = 0.

Если J достигает экстремума, то для произвольного du (i) приращение dJ должно равняться нулю 2). Последнее будет иметь место лишь при условии

-冃乂《)= 0,— 0, ...,7V — 1.(2.2.10)

Итак, для того чтобы определить последовательность значений вектора управления u (i), которая соответствует стационарному значению критерия качества J, необходимо решить следующую систему разностных уравнений:

胃(方+1)=『⑵⑴，比(3，(2.2.11)

九昨[器门+ [^Тг(2212)

См. примечание на стр. 59.— Прим, перев.

Здесь авторы неявно предполагают, что, поскольку на значения и (г) не наложены ограничения, экстремум достигается в стационарной точке критерия J, т. е. предполагается непрерывная дифференцируемость функций 产, ф, £i по всем своим аргументам.

Следует заметить, что условия дифференцируемости не оговариваются авторами на протяжении почти всей книги (за исключением нескольких разделов). Поэтому не все из приводимых результатов могут считаться доказанными для самых общих случаев.— Прим, перев.

где вектор u (X) определяется путем нахождения стационарной точки функции Нг

Х = 0,…，7V-1. (2.2.13)Х = 0,…，7V-1. (2.2.13)* = 乐十#(2+1)用=0, ди (е) ди (t) 1\ I / @м ⑴

Х = 0,…，7V-1. (2.2.13)

Х = 0,…，7V-1. (2.2.13)

Граничные условия для уравнений (2.2.11) и (2.2.12) разделены^ т. е. одни из них заданы в начальной точке (при i = 0), другие —— в конечной точке (при i = N):

'х (0) задано,(2.2.14)

入(")= Ь^Г『(2.2.15)

Полученная задача называется двухточечной зрантной задачей^ решить ее иногда бывает весьма сложно даже при использовании быстродействующей вычислительной машины. Заметим, что разностные уравнения (2.2.11) и (2.2.12) взаимосвязаны, так как и (г) связаны с 九(г) соотношением (2.2.13), а коэффициенты в (2.2.12) зависят, вообще говоря, от 况(X) и и (г).

Чтобы критерий качества J достигал локального минимума на некоторой последовательности u (Z), должно не только выполняться условие дН11ди (X) = 0, но дополнительно необходимо, чтобы выражение дифференциала второго порядка от J было неотрицательным при всех бесконечно малых значениях du (/) и при удовлетворении равенства (2.2.1). Таким образом, должно быть @2/》0. Из соотношения (2.2.3) получаем

幽=告谓(n)而备財^(n) +告2皿T(Z),九Т⑼X

i=0、

XX@2片普『dx (i) dx (i) дх (i) ди (j)@2『a必du (i) dx (i) du (i) du (i)@2片普『dx (i) dx (i) дх (i) ди (j)@2『a必du (i) dx (i) du (i) du (i)严叫1^(0 J严叫1^(0 J(2.2.16)(2.2.16)

X

X

@2片普『

dx (i) dx (i) дх (i) ди (j)@2『a必

du (i) dx (i) du (i) du (i)

@2片普『

dx (i) dx (i) дх (i) ди (j)@2『a必

du (i) dx (i) du (i) du (i)

严叫

1^(0 J

严叫

1^(0 J

(2.2.16)

(2.2.16)

Значения величин dx (i) определяются через du (Z) при дифференцировании уравнения (2.2.1):

da： (г +1) = ^}у 彰(%)十加彳斤 &"(力 d^(0) = 0. (2.2.17) Методы проверки вьшолнения этого критерия изложены в гл.6 (разд. 6.11).

Пример. Линейная система уравнений с квадратичным критерием качества. Требуется найти последовательность значений вектора управления и (г),力=0, . . N ——1, минимизирующую

квадратичную форму

J = *T(N)4(N)z(N) +

N-l

+》[}/«)А ⑴ ^(0 + 4以⑴ В(0 必(叨’(2-2.18)

где А (г) и 5 (X)——заданные положительно определенные матрицы, при условии удовлетворения следующей системы линейных уравнений.:

/ (Z + 1)=①(X) / (X) + F (X) м (Z), х (0) задано. (2.2.19)

Решение. Для этой задачи последовательность вспомогательных функций имеет вид

少=万 / G) 4 (г) z @) +十 иТ (i) В (г) и (г)十

+ Хт(г + 1)[ф (j) a：(Z) + r(i) и (i)],(2.2.20)

где

狀⑴=# G+1)① ©+/ ⑴ л (i), 疗(;v)=讲(川)л(7v).

(2.2.21)

Для стационарного значения Нг как функции и (г) должно выполняться условие

^~ = " (j) 5(0 + ^(i + l)r (i) = О,(2.2.22)

откуда

必⑴=-[В ⑴尸「т (i) X(i +1).(2.2.23)

Итак, получаем

"(2 十 1)=①(j)舔)—r(i)[5 ⑴尸 рт ⑴九(% 十 1), (2.2.24)

X (i) = Фт (j) Z (i +1) + Л (j) а: (г), i = 0, ..N—1, (2.2.25)

co следующими граничными условиями: h〈N) = A〈N)電(TV), % (0) задано. Это взаимосвязанная система линейных разностных урав- нен贝й с двухточечными краевыми условиями. Решая эту двухточечную краевую задачу, получаем из (2223) последовательность и (г), минимизирующую критерий качества.

Задача 1. Показать, что полученная в предыдущем примере линейная двухточечная краевая задача может быть решена, если положить

九(%) — S (X) х (г)

и определить матрицу S (г) с помощью обратных рекуррентных соотношений

5(0==ФТ (0М(г + 1)Ф(г) + Л (i),

М (i +1) = [5-1 (г +1) + г (0 5-1 (i) Гг (i)]-1, 2 = N-1, ..., О,

ИЛИ

M(i + l) = 5(i + l)-5(i + l)r(i) [В (i) + rT (i)5(i + l)r(i)rxГ 砲 S(—l),

где условие на правом конце для матрицы S (i) имеет вид

S(N) = A(N)・•

Определив из приведенных соотношений матрицу S g t = N — ——1, ..., 0, получим

a:(i + l) = [£；-r(i)B-i (i) Гт (i) 5 (г + l)]'1 Ф (г) ж (г), "(0) задано.

Изложенный способ называется методом прогонки для решения линейной двухточечной краевой задачи. (Более подробно этот метод рассмотрен в разд. 6.10 и 6.11.)

Задача 2. Поставленную в этом разделе задачу можно рассматривать как задачу оптимизации разд. 1.2, где 黑 —— вектор с компонентами z (1), . . ., ^ (7V), и ——вектор с компонентами и (0),... ..и (N — 1), а / — вектор с компонентами х (1) — /°, х (2)— —Z1, . . z (TV) — /nt. Показать, что в этом случае общие необходимые условия, полученные в разд. 1.2, сводятся к уравнениям (2.2.11) — (2.2.15).

2・3, Непрерывные системы;

оптимизация на фиксированном интервале времени при отсутствии краевых условий на правом конце

Задачи оптимального программирования управления и (扌)для непрерывных систем относятся к задачам вариационного исчисления. Их можно рассматривать как предельный случай задач оптимального программирования для дискретных многошаговых систем, когда интервал времени между шагами становится малым по сравнению с общим временем движения. В действительности, однако, в настоящее время чаще используется обратная процедура, когда для решения задач на ЭЦВМ непрерывные системы аппроксимируются дискретными многошаговыми системами.

Рассмотрим систему, описываемую нелинейным векторным дифференциальным уравнением

z = / [z «), и «),打， 方(幻 задано, 办 & % & tf. (2.3.1)

Здесь х (£)——n-мерный вектор состояния, который определяется выбором тп-мерного вектора управления u (i). Введем скалярный критерий качества

J = ф [z (/^), 〃]十)Е [力⑴，u(^), t] dt. (2.3.2) to

Задача состоит в том, чтобы найти вектор-функцию и (力，минимизирующую (или максимизирующую) J. Прибавим к выражению для / систему дифференциальных уравнений (2.3.1) с некоторым множителем 九(%)• В результате получим вспомогательный критерий качества

Г=ф [x(tf), 5+ j[厶й«)，u(t),订十

十九т a) {/[胃(£),泣(力，订一花}]d£•(2.3.3)

Для удобства введем вспомогательную скалярную функцию Н ^гамильтониан}

Н [х ⑺，и (£),九 «),打=厶[х ⑼ и ⑴，t] 4- KT (0 / [х(0, и ⑶，力.

(2.3.4)

Интегрируя по частям последнее слагаемое в правой часта соотношения (2.3.3), получим—

J = ф [z О tf] — Хт (tf) х (力十 Хт (幻况 «о) +

+ f {Я [z p),阻(力)，川十九Т(方)况(力}或.(2.3.5)

Рассмотрим теперь вариацию критерия качества J, соответствующую вариациям вектора управления и (%) (при фиксированных значениях t0 и %):

+ 1[(^- + И ^+^^dt-'(236)

io

Чтобы не определять непосредственно вариации В/ (/), вызванные заданными вариациями би (£) (что было бы довольно громоздко), выберем множитель Л (/) таким образом, чтобы коэффицненты 5—0102

при ба： (0, 8х (Z/) в (2.3.6) обратились в нуль. Тогда

注=一¥=-学一大(2.3.7) дх ox

с граничным условием "(з)=-誤"(2.3.8)

При таком выборе множителя %(£) уравнение (2.3.6) примет вид

67=狀僑)阮(幻十j 需Md/.(2.3.9)

_io

Это выражение для 6J называется первой вариацией критерия качества J. Итак, Хт (办)——это градиент критерия качества J г) по х (£о) при условии, что функция и(£) фиксирована [не варьируется, т. е. би (£) = 0J и удовлетворяет уравнению (2.3.1).

Функция X (£) носит также название функции влияния на критерий J вариаций х (£) (или функции чувствительности критерия J к вариациям ж (^)), поскольку она указывает на изменение критерия при изменениях (вариациях) х (£) в произвольный момент t = %. Компоненты вектор-функции дН/ди называются импульсными переходными (или весовыми) функциями, поскольку каждая компонента dHIdUj представляет собой изменение критерия J при вариации би； (£), равной единичной импульсной функции [функции Дирака 6 (т — £)], приложенной в момент 力 При этом величина х (Zo) считается фиксированной и удовлетворяющей уравнению (2.3.1).

Если J достигает экстремума, то 3/ должно быть нулем для произвольных вариаций би (£); для этого необходимо, чтобы

靄=0,Z0<i<//.(2.3.10)

Уравнения (2.3.7), (2.3.8) и (2.3.10) известны в вариационном исчислении как уравнения Эйлера •— Лагранжа.

Итак, для того чтобы найти вектор управления и (£), при котором критерий качества / достигает стационарного значения, нужно решить систему дифференциальных уравнений

力=/(况，u, £),(2.3.11)

'一(系『"一憲)Т，(2.3.12)

где u(t) определяется из условия

警=0, или傷『九+(器『 = 0.(2.3.13)

')Поскольку J = J на решениях системы (2.3・1)・ Прим, персе.

Граничные условия для уравнений (2.3Л1) и (2.3.12) разделены: одни из них заданы при £ =方，другие — при t — tf：

(2.3.14)(2.3.15)(2.3.14)(2.3.15)北（幻 задано,№）=（碧广

(2.3.14)

(2.3.15)

(2.3.14)

(2.3.15)

Таким образом, здесь так же, как и при решении задач оптимального программирования для дискретных многошаговых систем, мы сталкиваемся с двухточечной краевой задачей.

Если функции L и / явно не зависят от времени 力 то задача имеет первый интеграл. Действительно,

H = Ht +Я^ + 〃£+ 产/ =

=团十 Н&+ (Як+iT)f=Ht + ний.

Если L и / (а следовательно, и Я) не являются явными функциями от 力 а м(£) — оптимальное управление (т. е. условие дН/ди = 0 выполнено), то

方=0 илиН = const(2.3.16)

вдоль оптимальной траектории.

汲2 дх диa2H 52Н汲2 дх диa2H 52Н図図Для того чтобы критерий качества J достигал локального минимума, недостаточно выполнения условия дН/ди = 0; необ- ходимо еще, чтобы слагаемое второго порядка S2J (вторая вариация J) в выражении для dJ (при выполнении условия^—/ (а, и, £)= =0) было неотрицательным для всех (бесконечно малых》 значений би, т. е.

汲2 дх диa2H 52Н

汲2 дх диa2H 52Н

図

図

（Й》0（Й》0(2.3.17)(2.3.17)+ 4 J【3/，3"Т]

（Й》0

（Й》0

(2.3.17)

(2.3.17)

при условии

в(/ 一力=0

или

备(配)=樂6纪令冬3"，6Н (幻=0.(2.3.18)

Уравнение (2.3.18) определяет 8х через би довольно сложным образом.

Более подробно вторая вариация 5?J рассмотрена в гл. 6.

5*

Пример 1 i)・ Принцип Гамильтона в аналитической механике. Согласно принципу Гамильтона, истинное (реально осуществляющееся) движение консервативной механической системы, переводящее ее из фиксированной в момент времени " точки q0 в другую заданную точку 0f в течение заданного промежутка времени “——Z01 отличается от всех возможных (дозволяемых наложенными связями) достаточно близких движений между указанными точками на том же интервале tf ——t0 тем, что интеграл

I ~ ^ L(u, q) dt(2.3.19)

io

имеет стационарное значение, т. е. 6 / =6§厶(泣,д) <Й=0.

Здесь

£ = Т (泣，g)——Р (°) — лагранжиан системы,

Т (и, 0)—— кинетическая энергия системы,

V(0)— потенциальная энергия системы,(2.3.20)

q ——вектор обобщенных координат (вектор состояния системы),

и — q ——вектор обобщенной скорости.

' Выведем из принципа Гамильтона уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. В принятых обозначениях гамильтониан задачи имеет вид ”

H = L(u, q)+XTu2).(2.3.21)

Уравнения Эйлера ——Лагранжа в этом случае таковы:

产=一*=一_(2.3.22) dq dq'7

卓=学 + / = 0.(2.3.23)

ди ди''

备(±)一备(±)一Отсюда (учитывая, что 泣=g, а X =——dL/ди — —dL/dq)

备(±)一

备(±)一

(2.3.24)

Это векторное уравнение Лагранжа, описывающее движение консервативной системы.

Если L не зависит явно от времени, то система имеет первый интеграл Н = const, т. е.

H = L-^u = T-V= const. (2.3.25) ■ диz

!) Формулировка примера 1 несколько уточнена,— Прим, перев.

2)в механике принято называть гамильтонианом выражение — L + + 九丁乂， а вектор 入 обычно обозначается через р, где р ——вектор обобщенного импульса.

Так как Т (泣,д)——однородная квадратичная форма от и, то (по теореме Эйлера для однородных функций) справедливо соотношение

~и = 2Т.(2.3.26)

Следовательно,

—Н = Т + V = const.(2.3.27)

Таким образом, сумма кинетической и потенциальной энергий в процессе движения системы остается постоянной.

Пример 2・《Вариационный принципа для неконсервативных механических систем'). Действительное движение неконсервативной механической системы между фиксированными состояниями q (%) — с。, q (") = q^ на фиксированном интервале времени [^0, tf] таково, что для него выполняется (при сравнении со всеми достаточно близкими возможными движениями между указанными точка ми) соотношение

6 j Т ®, g)成 + j QT (,) 8, dt = 0.(2.3.28)

toto

Здесь q = u. 8, = 8〃，Q(Q — вектор обобщенных сил. (2.3.29) Вектор Q (,) находится из условия, что работа^ производимая этими обобщенными силами, определяется криволинейным интегралом (зависящим от траектории движения, вдоль которой производится интегрирование)

ж= J QT(q)dq.(2.3.30)

Второе слагаемое в выражении (2.3.28) является интегралом по времени от обобщенных сил Q на возможных перемещениях 8q (возможной работой). Заметим, что этот интеграл не равен

В，W dt), что делает невозможным построение гамильтониана

(2.3.29)(2.3.29)〃 для неконсервативных систем. Для вывода уравнений Лагранжа в этом случае можно, однако, поступить следующим

(2.3.29)

(2.3.29)

образом. Добавим к уравнению (2.3.28) ограничение

с векторным множителем Лагранжа:

(2.3.31)(2.3.31)J ［募加+警■80+q7'80 +产(加一80，或=6

(2.3.31)

(2.3.31)

Интегрируя это выражение по частям и учитывая, что 3g (方)= =6q (力=0, получим-

j ［忌+产)加+傷+ QТ+戸)S］成=0.(2332)

£ —QTdq у£ —QTdq уВыберем, как обычно, вектор X (£) так, чтобы коэффициент при 8q обратился в нуль:

£ —QTdq у

£ —QTdq у

(2.3.33)

Поскольку вектор и произволен, то интеграл (2.3.32) может быть равен нулю только при условии

(2.3.34)

Исключая X из выражений (2.3.33) и (2.3.34) и учитывая соотношение q = n, получим векторное уравнение Лагранжа, описывающее движение неконсервативной механической системы:

d(дТ\ дТ птd(дТ\ дТ пт(2.3.35)(2.3.35)

d(дТ\ дТ пт

d(дТ\ дТ пт

(2.3.35)

(2.3.35)

Пример 3. Форма носовой части сплошного тела вращения (без протока), обладающего минимальным сопротивлением s гиперзвуковом потоке г). Сила Qp сопротивления давления, действующая на тело вращения в гиперзвуковом потоке при нулевом угле атаки, с достаточной точностью определяется выражением

(2.3.36)(2.3.36)

(2.3.36)

(2.3.36)

не сводится к обращению в нуль вариации какого-нибудь функционала и не является вариационной. В этом ее принципиальное отличие от формулировки принципа Гамильтона для консервативных систем (см. А. И. Л у* р ь е, Аналитическая механика, ①皿зматг皿з, 1961, разд. 12.2).— Прим, пер ев.

Т) Этот пример является первой решенной задачей вариационного исчисления； она была поставлена и решена Ньютоном в 1686 г.

где , = р02/2—динамическое давление,

х — расстояние от точки максимального радиуса телавращения (от миделевого сечения),

г = г(д：)—радиус тела (ордината точки на верхней ветви профиля тела),

M=-tg8 (фиг. 2.3.1),M=-tg8 (фиг. 2.3.1),(2.3.37)(2.3.37)

M=-tg8 (фиг. 2.3.1),

M=-tg8 (фиг. 2.3.1),

(2.3.37)

(2.3.37)

Ср ='Ср =''2sin29, 9>00,9<0'2sin29, 9>00,9<00 — наклон образующей или местный угол атаки,

Ср ='

Ср ='

'2sin29, 9>0

0,9<0

'2sin29, 9>0

0,9<0

} — местный коэффициент (2.3.38) 丿 сопротивления давления (закон сопротивления Ньютона1),

Z — длина тела,

г (0) = о — максимальный радиус тела.

Фиг. 2.3.1. Схема и обозначения к за- даче о теле вращения с минимальным сопротивлением.

Задача состоит в том, чтобы найти г (а) (профиль тела вращения), м|инимизирующий Qp при заданных значениях ，, 2 瓜 а.

Введем управляющую переменную и следующим образом：

—u =—tg 0 = -^(2.3.39)

Чтобы учесть возможность наличия плоского затупления в носовой части тела, перепишем выражение для Qp в виде (с учетом (2.3.39))

嘉=扌卜⑼2+j受近(2340)

о

Гамильтониан системы

Н-^ + ^(~^(2.3.41)

I) Закон сопротивления (2.3.38), предложенный Ньютоном, оказался хорошим приближением для гиперзвуковых скоростей. В случае дозвуковых скоростей этот закон является слишком грубым.

Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

於=—票(2342)

* =甯譚亠。. QB")

В выражении (2.3.40) первое слагаемое правой части — функция от г (2). Согласно (2.3.8), оптимальное значение г (2) должно быть таким, чтобы

九(2) = г (2).(2.3.44)

Так как значение г (0) = а задано, то X (0) не определено. Таким образом, система двух дифференциальных уравнений первого порядка (2.3.39) и (2.3.42) имеет два граничных условия: (2.3.44) и г (0) = а.

Вместо того чтобы решать уравнение (2.3.43) для определения и как функции от X, подставляя u (X) в (2.3.39) и (2.3.42) и интегрируя, можно использовать тот факт, что гамильтониан (2.3.41) не зависит явно от х, так что система имеет первый интеграл Н = const. Исключая 九 в выражениях (2.3.41) и (2.3.43), получим "=一"_|_乂2)2 = const.(2.3.45)

Далее исключение X(Z) из формул (2.3.43) и (2.3.44) дает

《)口一嘗新］"О.(2.3.46)

Это соотношение удовлетворяется, если г (2) = 0 или если

u (Z) = +1 I).(2.3.47)

Используя (2.3.47) и (2.3.45), получаем, что при 力=2

-Я(/) = -^-.(2.3.48)

Теперь с помощью соотношений (2.3.45)；и：(2348) можно определить радиус тела как функцию коэффициента наклона и:

Г _(1 + 吟2~~'

Далее из формул (2.3.37) и (2.3.39) следует, что

dr и

Т) Значение u (I)= ——1 также удовлетворяет (2.3.46). Оно дает решение для симметричной относительно оси х нижней ветви профиля тела.——Прим, перев.

или

丄萨=(2350}г (2) J4乂3'/

Это уравнение может быть проинтегрировано в элементарных функциях

帚=}(為+4) *(2351)

Таким образом, уравнения (2.3.49) и (2.3.51) являются параметрическими уравнениями, определяющими оптимальный контур

Фиг. 2.3.2. Контуры тел вращения с минимальным сопротивлением в сверхзвуковом потоке (для различных значений относительной толщины а/1).Фиг. 2.3.2. Контуры тел вращения с минимальным сопротивлением в сверхзвуковом потоке (для различных значений относительной толщины а/1).

Фиг. 2.3.2. Контуры тел вращения с минимальным сопротивлением в сверхзвуковом потоке (для различных значений относительной толщины а/1).

Фиг. 2.3.2. Контуры тел вращения с минимальным сопротивлением в сверхзвуковом потоке (для различных значений относительной толщины а/1).

тела вращения. Радиус затупления г (Z) и коэффициент наклона и0 в точке 力=0 можно получить, решая трансцендентные уравнения

(2.3.52)(2.3.53)(2.3.52)(2.3.53)а = а+ 嘀)2

(2.3.52)

(2.3.53)

(2.3.52)

(2.3.53)

Г (0 一 ~，

r(l)<4咻十叫 4 n WO /

Ha фиг. 2.3.2 показано несколько контуров оптимальных тел при заданном значении а и различных значениях Z.

Минимальное значение коэффициента сопротивления определяется выражением

5Р =為"=言帝(3 + I。吟 + 17% + 2说 + 4嗫 1*).(2354)

Легко показать, что при 0

宁广，(2.3.55)

Cxp^^(T)2j 予—°-(2356》

2・4・ Непрерывные системы; оптимизация при фиксированных значениях некоторых переменных состояния в заданный конечный момент времени

Предположим, что в задаче оптимизации, рассмотренной в разд. 2.3, некоторые компоненты вектора состояния х (方)должны лринимать заранее заданные значения при t — tf (такие краевые условия называются иногда терминальными). Тогда выводы разд. 2.3 остаются справедливыми вплоть до уравнения (2.3.7) включительно. Дальше ход рассуждений иной. Так, если xf {г-я компонента вектора х) задана при t =方力 то значение допустимой вариации 6勺(切 в выражении (2.3.6) равно нулю, 6хг (外 = 0. Таким образом, в этом случае условие 1{д^/дх^ ——九?] t=tf = 0 уже не является необходимым. По существу это краевое условие заменяется теперь другим:勺(力力 задано; следовательно, и в этом ■случае имеется 2в граничных условий для задачи (2.3.11)—— (2.3.15).。

Аналогично если величина xk не задана в начальный момент времени t =方°, то отсюда уже не следует равенство 3/左(方°) = 0. В этом случае для xh (灰)существует оптимальное значение 戏(方°), такое, что 6J = 0 для произвольных малых вариаций 8xk (方°) ют значения /在(力。).Чтобы условие 3J = 0 выполнялось, выберем

爲(%о) = 0-(2.4.1)

Такой выбор Xfe (") означает, что влияние малых изменений вели- .чины xk (方°) на значение J равно нулю. И в этом случае одно граничное условие ——花在(方°) задано — заменяется другим, а именно условием (2.4.1). Условия типа (2.4.1) называются иногда «естественными граничными условиями». Указанными различиями в формировании граничных условий и отличаются задачи разд. 2.3 от задач данного раздела.

Однако для задач оптимизации с фиксироваиными значениям^ фазовых координат в конечный момент времени tf необходимость условия (2.3.13), дН/ди = 0, требует дополнительного подтверждения. При выводе этого условия в разд. 2.3 предполагалось, что вариации би (方),〃《力 & %, являются произвольными. В рассматриваемой задаче величины 6u (Z) уже не являются полностью произвольными; допустимые значения би (方)подчинены ограничениям

6勺(％) = 0,% = 1, . .0(242)

(0 ——число фазовых координат, заданных при 方=&)• Таким образом, по определению допустимые вариации би (£) в общем

случае должны удовлетворять всем условиям задачи, в том числе и ограничениям (2.4.2).

В данном случае тем не менее возможно определить функции влияния для критерия качества / точно так же, как это было сделано в разд. 2.3; будем отмечать их в данном разделе верхним индексом J. Однако поскольку g (%) заданы для X = 4, • . д, то справедливо считать член ф, не стоящий под знаком интеграла критерия качества, функцией лишь остальных /» (^), 方—q + 4, • • •) и, т. с*

Ф ф l^g+f? • •*^п^=?у•(2.4.3)

Тогда с помощью формул (2.3.7) и (2.3.9) получаем [для Sx (幻= =0]

6,=f[言 +(2)Т0 ⑺阳(2.4.4)

где

加一闺(2.4.5)

對Г，片什]，(246)

Предположим, что вместо J — ф lx (%；)] + \ £ (瑞 м, %) dt кри- терий качества задан в виде J = g (方力,т. е. равен Z-й компоненте вектора состояния в конечный момент времени 方六 Функции влияния для /» (//) можно определить с помощью приведенных выше соотношений, если положить 巾=勺(%) и L (瑞 и,方)=0. Будем отмечать такие функции влияния верхним индексом X. Аналогично уравнениям (2.4.4), (2.4.5) и (2.4.6) получим

гдегде^i (^/)=J （声）嘴加⑴成，(2-4.7)(2.4.8)Ml) (м=1 /力*7,X = j, j = 1, . •., n.(2.4.9)^i (^/)=J （声）嘴加⑴成，(2-4.7)(2.4.8)Ml) (м=1 /力*7,X = j, j = 1, . •., n.(2.4.9)

где

где

^i (^/)=

J （声）嘴加⑴成，

(2-4.7)

(2.4.8)

Ml) (м=1 /

力*7,

X = j, j = 1, . •., n.

(2.4.9)

^i (^/)=

J （声）嘴加⑴成，

(2-4.7)

(2.4.8)

Ml) (м=1 /

力*7,

X = j, j = 1, . •., n.

(2.4.9)

Разумеется, в действительности следует определить q различных систем таких функций влияния для всех X = 4, . • ., q (см. приложение АЗ).

Предположим теперь, что вектор управления и (£), при котором система удовлетворяет заданным граничным условиям, каким-либо образом определен. Тогда можно построить такие функции времени би (£), которые уменьшают J (т. е. соответствующие им значения 6*7 < 0) и удовлетворяют q ограничениям (2.4.2), заданным в конечный момент времени tf. Для этого умножим каждое из q уравнений (2.4.7) на некоторую константу v^ и прибавим полученные соотношения к выражению для 3J; в результате получим

67+2 "跳(切可｛警+［九⑺+ 2 M⑴了嘉｝加也•(2440) г—1%i=£

Выберем теперь

6仁" ⑶T2+』"•叫+ (警门，(2411)

где к — положительная скалярная величина. Подставим это выражение в (2.4.10), тогда

з j + 2 wig (力=

=一31 傷)T(2 + £W) +備『『"У。*(2412)

Это выражение строго отрицательно, если подынтегральное выра-' жение не обращается тождественно в нуль на всем интервале интегрирования.

Определим теперь значения v^ так, чтобы удовлетворялись краевые условия (2.4.2) при t = 炉 Подставляя (2.4.11) в соотношения (2.4.7) для каждого г, г = 1, 2, . . ., д, получим

или

卜可却却宀（祟门计

+ 2田冲）/係『卢威=。.

亍=1 to

•Полученные соотношения являются системой линейных алгебраических уравнений относительно v；

2 0心 + gi =。，

или в векторной форме

Qw + g = 0・

Целесообразно теперь выбрать v； следующим образом：

V - —QTg.(2.4.13)

Здесь Q — квадратная матрица размерности (g X g);g — 0-мерный вектор. Их элементы определяются соотношениями

Q订=J(*)产九总2)% 工 /=1,…“，(2.4.14)

g，=f(2广机傷)3十隱门也 …•(ZE

Существование обратной матрицы Q7 является условием управляемости системы (см. приложения Б1, Б2 и разд. 5.3). Если QT не существует, то невозможно найти вариацию би (£), с помощью которой можно было бы перевести систему в состояние, удовлетворяющее всем q заданным краевым условиям при £ = £, одновременно (т. е. найдется по крайней мере одно, а может быть, и несколько из q краевых условий, которые удовлетворить в данной задаче невозможно).

Итак, построена функция времени би (£), уменьшающая значение критерия качества и удовлетворяющая терминальным ограничениям (2.4.2); другими словами, вариация би (£) является допустимой и улучшающей (в смысле изменения критерия качества). Из соотношения (2.4.12) вытекает, что единственное условие, при удовлетворении которого дальнейшее уменьшение критерия качества уже невозможно, состоит в следующем:

警 + (九⑺ + £ 屮九⑶『=i0^,t^tf.(2.4.16)

Если это условие выполняется, то полученное решение стационарное и удовлетворяет заданным ограничениям в конечный момент времен成 tf. Так как уравнения для функций влияния (2.4.5), (2.4.6), (2.4.8) и (2.4.9) линейны, то необходимое условие (2.4.16)

может быть записано в виде

гдеH = L(g и, t) + Хт (£)/(/, u, t) иVy,j = 1, . . •, 0,* =九)(") = < gI dj = g + l,гдеH = L(g и, t) + Хт (£)/(/, u, t) иVy,j = 1, . . •, 0,* =九)(") = < gI dj = g + l,(2.4.17)

где

H = L(g и, t) + Хт (£)/(/, u, t) и

Vy,j = 1, . . •, 0,

* =九)(") = < gI d

j = g + l,

где

H = L(g и, t) + Хт (£)/(/, u, t) и

Vy,j = 1, . . •, 0,

* =九)(") = < gI d

j = g + l,

(2.4.18)

(2.4.19)丿

Метод получения необходимых условий оптимальности, изложенный в данном разделе, составляет основу современного подхода к вариационным задачам. В зтом подходе можно указать два ключевых момента. Сначала находится выражение для вариации критерия качества

6J Яи (0 би ⑴成，где Ни (0 = ^, (2.4.20)

а гамильтониан Н определяется с помощью функций 入(力 и множителей V；. Затем доказывается, что если Ни (%) не равно тождественно нулю, то всегда можно (в предположении выполнимости условий управляемости, т. е. существования QT) выбрать такие значения v；, при которых вариация управления би (%), определенная формулой (2.4.11), оказывается допустимой и улучшающей критерий качества J').

Вектор-функцию Ни можно интерпретировать как градиент (в функциональном пространстве) критерия качества J по отношению к переменной управления и (力)при условии, что конечные значения величин g, X = 1, . . ., д, остаются фиксированными и удовлетворяется система дифференциальных уравнений.

Пример. Максимизация скорости в конце участка выведения на прямолинейную траекторию. Рассмотрим материальную точку с массой т, находящуюся под действием силы тяги Р 工 та. Будем считать движение плоским, введем инерциальную систему координат Оху\ компоненты скорости материальной точки обозначим через 〃，V. Угол направления т^г瓜О(£) (фиг. 2.4.1) с осью г для данной системы является управляющей функцией. Движение

Т) Это доказательство необходимости условия (2.4.17), основанное на рассмотрении лишь членов первого порядка (первой вариации J), соответствует целям данного раздела. Более строгое доказательство, рассматривающее члены второго порядка (вторую вариацию), дано в разд. 6.3, где показано, что в действительности необходимо удовлетворение требованию «нормальности», а не «управл яе мости».

точки описывается следующими уравнениями:

—a cos 世—а sin 仆，—a cos 世—а sin 仆，

—a cos 世

—а sin 仆，

—a cos 世

—а sin 仆，

У = 6

Здесь реактивное ускорение а по предположению является известной функцией времени. Уравнения для функций влияния Л в этоле

Фиг. 2.4.1. Схема плоского движения под действием реактивного ускорения а.

примере особенно просты:

兀=一恥 尤 n fy, 几=0, Ху = 0.

Эти уравнения легко интегрируются:

К = —с" + Сз， XD — —С2 力 + с4,Хх = %, Ху = с2т

здесь Сн с?, с?, с《——постоянные величины. Если нужно оптимизировать функцию, зависящую только от конечных условий, то Z = 0 и гамильтониан Н системы имеет вид

Н =統。cos 仆 + 統。sin 仆 + Хжи + Хур.

Гамильтониан оказывается постоянной величиной на оптималь- ,ной траектории, если а постоянно.

Условие оптимальности в этом примере имеет вид

器=—九乜sin О +九d cos仆=0.

Таким образом, оптимальное управление направлением силы ；тяг瓜^опредепнетсн соотношением

tg9=纟=二少#e4,

九 u-с1 于 +С3-

которое часто называется законом дробнолинейного тангенса.

Пусть за заданное время Т необходимо переместить точку на траекторию, параллельную оси х и отстоящую от нее на расстояние 6，так, чтобы достигалось максимальное значение и (Т). При этом предполагается, что конечное значение координаты х не представляет интереса (т. е. / (Т) свободно и, следовательног

6с (Т)看 0) (фиг. 2.4.2). этой задачи имеют вид

граничные условия для

соотношения люжно представить в виде

=0,

з⑺=1,

=0,

〃(T)

=о,

爲(7) = %，

=0,>

h⑺

=0,

=0,

У⑺

=h,

爲(T) = vy

Таким

образом,

(0(0)⑼(о)

uyNy

4%一

2 tg %

1 1П - sec 仇—tg®。

откуда tg^ = tg^0 (1-~).

Очевидно, безразмерная величина hlaT* определяет ^0, по котороймо抵но затем определить с. Максимальная величина скорости

sin "о

sec 仇）+ tg 8（）

Здесь v0 и vy —— постоянные величины, р(П = 0, у(Т)=瓦

определяемые из условий

Так как Хх = 0, то 九乜=1 вдоль оптимальная программа управления ного тангенса

всей траектории, и поэтому становится законом линей-

tg 8 = tg 仇—ct, где tg 仆о

=% + %т,

=V?.

В случае постоянного реактивного ускорения (я = const) дифференциальные уравнения движения можно легко проинтегрировать

Ф п г. 2.4.2. Схема перелета на заданную прямоглх耳е宜нук> траекторию.

Ф и г. 2.4.3. Программы управления углом тяги ^ {t/T) для перелета на прямолинейную траекторию с максимальным значением горизонтальной скорости 乂 (Т) в конце полета.

.切

-切

-90

а

%、 0

&2〃4«648%〃

при управлении по закону линейного тангенса, если вместо независимой переменной / использовать угол *&. Тогда получим

辽=—Inс

tg@o+sec "о

tg 8 十 sec 8 *

d = 2 (sec 仆。一sec *&),

с =翁卜 ес 齿一sec® — tg®In 體餐•

z〃

имакс!а^

口6

0,6

雷

0

90

〃(Т)манс

Зи60

Фиг. 2.4.4. Зависимость максимальной конечной скорости wMaitc от начального угла тяги ®о и зависимость % от безразмерной высоты выведения 4/t/aT2.

阿恭

У

и конечное значение

—jn tg Oo + sec®(q .

tg 存 + sec 8 J *

Величины 鶴 и、c (и, следовательно, vy и vD) определяются из двух граничных условий d (7) = 0， у (Т) — h Эти неявные

Эти соотношения Отметим Ьще, что

北(7)маке _ 2*『

~0г=必

况(？)находятся из уравнения

一msec恆一助杼。/2^%

6—0102

графически представлены на фиг. 2,4.3 и 2.4.4.

tg小，也=等5.

Задача 1. Рассмотрим следующую аппроксимацию программы оптимального управления направлением тяги (для предыд ущего примера):

爲,0 V 方 V

一也，亍v/vT,

здесь 也 = const. Заметим, что такая программа дает и (7) = 0. Требуется найти такое 也，чтобы у (Т)=加 и определить и (Т) и х (Г). Сравните полученное значение u (Т) с имаКс в предыдущем примере для заданного hlaT2.

Ответ.

sin 也=務，и (Т) = аТ cos：O], (Г) = у аГ2 cos 爲・

Задача 2. Определение траектории полета самолета, ограничивающей максимальную площадь, при наличии ветра г). Самолет имеет постоянную скорость V относительно воздуха, скорость

Фиг. 2.4.5. Траектория полета само-лета, охватывающая за заданное времямаксимальную площадь при наличииветра.

ветра и тоже постоянна. Найти замкнутую кривую ——проекцию траектории полета на земную поверхность, чтобы заключенная внутри кривой площадь была максимальной. Время полета Т задано. “

Движение самолета в горизонтальной плоскости Оху описывается уравнениями

х = V cos 屮 + а,х = V cos 屮 + а,у = У sin 屮,у = У sin 屮,

х = V cos 屮 + а,

х = V cos 屮 + а,

у = У sin 屮,

у = У sin 屮,

если ось / выбирается так, чтобы ее направление совпадало с направлением скорости ветра и (фиг. 2.4.5). Здесь 屮—угол курса

1)Задача С. А. Чаплыгина. —Прим, перев.

(управляющая переменная). При полете самолета по замкнутой кривой площадь, ограниченная этой кривой, определяется соотношением

4 = § у dw = j ух dt. о

Ответ* Искомая замкнутая кривая является эллипсом с эксцентриситетом e — u/V. малая ось эллипса параллельна скорости ветра и, величина максимальной площади при этом

^^(1-#)3/2-

Задача 3. Определение минимальной поверхности вращения, связывающей два соосных круговых контура. Даны два соосных круговых контура одинакового радиуса а на расстоянии 21 друг от друга. Найти поверхность вращения, связывающую эти два контура

① у F. 2.4.6. Поверхность вращения минимальной площади, связывающая два соосных круговых контура.

и имеющую минимальную площадь (эту форму примет поверхность мыльной пленки, натянутой между двумя кольцами).

Указание. Следует рассмотреть цилиндрические координаты г,力,как показано на фиг. 2.4.6. Площадь элемента кольцевой поверхности равна

dA = 2лг，田)2 十(汲)2.

Таким образом, задача состоит в определении функции и (х) минимизирующей интеграл' 八

/=2 冗 J г ]/1 + w2 dx\

здесь dr 石=“，краевые условия r(Z) = a, г(―Z) = a.

Ответ. Для 0 <；//«<； 0,528 мини мизирующая кривая задается уравнением

где величина НИ определяется из решения трансцендентного уравнения (a/Z) (〃Я) = ch ИН (фиг. 2.4.7). Это уравнение имеет два решения при 0 之〃а V 0,663 и пе имеет решений при На > 0,663. Для На >0,528 минимизирующая кривая описывается уравнением г = 0, т. е. поверхность распадается на два диска, каждый

Фиг. 2.4.7. Решение задачи о поверхности вращения минимальной площади.

из которых имеет площадь ла2. Минимальная площадь в зависимости от величины На определяется следующим соотношением:

f 2冗a® (th豆"+sh2 方~) , о <С ^/й < 0,528,

4мин = }

I 2冗。2, Z/a >0,528.

Задача 4. Найти минимальную поверхность вращения, связывающую два соосных круговых контура, находящихся на расстоянии I друг от друга, радиус одного из них равен а, а другого 6 <； а. Показать, что для каждой заданной величины отношения 6/а существует предельное значение (2/а)млн, такое, что при На > >(2/а)мин минимальная поверхность описывается уравнением г = 0’ т. е. решением являются два плоских диска, ограниченных круговыми контурами.

2・5・ Непрерывные системы; оптимизацияпри заданных в фиксированный

конечный момент времени значениях функций от фазовых координат

В некоторых задачах представляет интерес сохранение заданных значений некоторых функций от конечного (терминального) состояния системы в заданный конечный момент времени* т. е. долж-

но быть

屮[力(%)，打仁丐=屮[力(学，印=0 (д уравнений). (2.5.1)

Здесь 屮一^-мерный вектор, причем q & п — 1, если 厶=О, м g《九，если Е # 0.

Как и в предыдущих разделах, присоединим систему (2.5.1) к критерию качества, предварительно умножив ее на ^-мерный вектор V； кроме того, с помощью приема, описанного в разд. 2.3, присоединим к критерию и систему уравнений 力=/ (力,〃,方)・ В результате получим

」=岁[力(切，tf]+vT^ [X (^), 5+ J {L [x(t), 〃(%), t]+kT (f — x)}dt.

(2.5.2)

Если определить функцию Ф как

①二e十"T屮，(2.5.3)

то дальнейшие рассуждения и выкладки разд. 2.3 применимы без изменений и в данном случае. Однако окончательные выражения для необходимых условий стационарности функционала 了 при удовдатворении (2.5.1) должны быть истолкованы подобно тому, как это сделано в разд. 2.4; т. е. в данном случае имеется набор параметров vf, Z = 1, •…办 которые следует выбрать так, чтобы удовлетворялись q уравнений (2.5.1)1). Необходимые условия стационарности J имеют вид

(п дифференциальных уравнений),(п дифференциальных уравнений),(2.5.5)(2.5.5)J 一後广九一（票『J 一後广九一（票『力=/(力,и,方)(zz дифференциальных уравнений), (2.5.4)

(п дифференциальных уравнений),

(п дифференциальных уравнений),

(2.5.5)

(2.5.5)

J 一後广九一（票『

J 一後广九一（票『

(т алгебраических уравнений),

(2.5.6) xk 仇)задано или 入丸(%) = 0, 〃 = 1, . .., zz (п начальных условий), • (2.5.7) + vr-^-j (п граничных условий), (2.5.8)

屮[力(力，力，=о (g дополнительных условий). (2.5.9)

Условия стационарности (2.5.6) определяют m-мерный вектор 〃(%). Система 2п дифференциальных уравнений (2.5.4) и (2.5.5) с 2п граничными условиями (2.5.7) и (2.5.8) описывает двухто-

Аналогично тому, как это сделано в разд. 2.4, относительно вариаций 6м (0 должны быть рассмотрены условия управляемости, необходимые для Удовлетворения (2.5.6). [См. текст после формулы (2.4.15).— Перее.]

чечную краевую задачу с q параметрами v, которые должны быть найдены из (2.5.8) так, чтобы были удовлетворены q дополнительных условий (2.5.9).

Пример. Оптимальная траектория перелета на круговую орбиту максимального радиуса за заданное время. Найти программу управления направлением О (%) вектора тяги ракеты для перелета

Фиг. 2.5.1. Перелет на орбиту максимального радиуса за заданное время (или перелет на орбиту заданного- радиуса за минимальное время).Фиг. 2.5.1. Перелет на орбиту максимального радиуса за заданное время (или перелет на орбиту заданного- радиуса за минимальное время).

Фиг. 2.5.1. Перелет на орбиту максимального радиуса за заданное время (или перелет на орбиту заданного- радиуса за минимальное время).

Фиг. 2.5.1. Перелет на орбиту максимального радиуса за заданное время (или перелет на орбиту заданного- радиуса за минимальное время).

с заданной начальной круговой орбиты на круговую орбиту максимально возможного радиуса. Ракетный двигатель развивает постоянную тягу Р, величина которой известна; время работы двигателя 力/ задано. Схема перелета показана на фиг. 2.5.1, где вве дены следующие обозначения:

г —— радиальное расстояние космического корабля от центра притяжения,

и ——радиальная компонента скорости,

V ——тангенциальная компонента скорости, ш — масса космического корабля,

m = const ——массовый расход топлива (величина постоянная), О ——угол направления тяги,

(2,5.10)(2.5.11)(2.5.12)(2,5.10)(2.5.11)(2.5.12)卩 —— гравитационная постоянная притягивающего центра. Используя приведенные обозначения, можно сформулировать задачу следующим образом: найти функцию О (%), максимизирующую г (//) при удовлетворении связей

(2,5.10)

(2.5.11)

(2.5.12)

(2,5.10)

(2.5.11)

(2.5.12)

• 洗 й，尸sin 8

〃 = rH

'UV , P COS 8

U= --r +—

、飞一I m I t

и граничных условиях

г (0) = г(ъ

(2.5.13)

и (0) = 0,

(2.5.14)

0(。)=/^，

(2.5.15)

5 = 〃 (⑺=0,

(2.5.16)

屮2 =。(力—/ у^у^10-

(2.5.17)

Запишем выражения для гамильтониана Н

1 Р cos ^ \

\，7П0—1 TH 1 "\

т()— 1 т 1 “

и функции Ф

①=r (今)+ V心(切+v2[v(小忐4

Общие необходимые условия (2.5.5), (2.5.6) и (2.5.9) для этого примера имеют следующий вид:

к=_% (一•^"+警)_%p(亲)，.(2.5.18)

Xtt =—九尸 +九 i?7，(2.5.19)

\=-%u^+3；,(2.5.20)

(Xucos —九и sin 0)^— = 0, откуда tgO = ”.

询一\m\tи

(2.5.21)

储（々）=1^V2映

(2.5.22)

統仿）=W,

(2,5.23)

九u (%/) = "2.

(2.5.24)

Шесть дифференциальных уравнений (2.5.10), (2.5.11), (2.5.12), (2.5.18), (2.5.19) и (2.5.20) должны решаться с учетом шести краевых условий (2.5.13), (2.5.14), (2.5.15), (2.5.22), (2.5.23) и (2.5.24); при этом ”i и ”2 выбираются так, чтобы удовлетворялись два дополнительных граничных условия (2.5.16) и (2.5.17). Управляющая функция ^ (%) определяется через Хи иХ„ из выражения (2.5.21). Численное решение этой задачи для

鴇 5405,应* = 0,533,局= 3,32

получено Коппом и Макгиллом (см. [6.8]). Если вес космического корабля, покидающего земную орбиту, составляет 4,5 т, то тяга должна быть 〜0,4 к7\ расход топлива 〜5,85 кПсутки, время

Фиг. 2.5.2. Одна дз минимальных по времени траекторий межо рбит ального перелета космического корабля с двигателем малой тяги.

Постоянная тяга Р = 0,385 кГ = const, начальный вес космического корабля 4,5 тп, расход топлива] 5,85 кГ/сутки,^ время перелета £/ — 193 суток, направление тяги показано через каждые 19,3 суток.

перелета 〜193 суток. Оптимальное направление тяги и результирующая траектория показаны на фиг. 2.5.2. Интересно заметить, что приблизительно первую половину пути тяга направлена от Солнца, а вторую половину пути — к Солнцу.

2・6・ Дискрет ные многошаговые системы;

оптимизация при заданных значениях функции от фазовых координат на терминальном шаге

Дискретные многошаговые системы, помимо их самостоятельного значения, особенно важны вследствие использования цифровых вычислительных машин для решения непрерывных задач. Для численного решения на цифровой вычислительной машине задач непрерывной оптимизации, сформулированных в разд. 2.3—— 2.5, необходимо их свести к задачам многошаговой оптимизации. Правильная постановка таких задач оказывает существенное влияние на скорость сходимости итерационных процедур численного решения.

Сформулируем теперь рассмотренную в разд. 2.5 задачу как многошаговую. Она отличается от задачи разд. 2.2 только добавлением ограничений на фазовые координаты в конечный момент времени. Требуется найти последовательность и (0), . . ., и (N — ——1), минимизирующую критерий качества

J = #[/(%)]+』Z?[力⑴，修⑴](2.6.1)

при наличии ограничений.

力(力 + 1)=尸[/(0^й ⑼，(2.6.2)

屮[力(N)]=0; ~(2.6.3)

здесь\r ——n-мерный вектор, и ——m-мерный вектор,屮 ——вектор- функция размерности q, g & 孔.

Так же как и в разд. 2.2, прибавим к выражению для J уравнения (2.6.2) с множителем X (г) и дополнительно уравнения (2.6.3) с множителями (v4, . . vg) 9吋丁：

J ф[х (N)] + “屮[х (N)] +

N-i

+ 3 %"力⑴，"⑴]+#G+n屮设⑴，“(3-力a+i)]}・ (2.6.4)

г=0

Для удобства введем скалярную последовательность Яг и скалярную функцию Ф'

必 =// [力(Z), м ⑴]+ 九т (X + 1) /i [x (i), и (i)]

(力=0, 1, . . ., TV - 1),(2.6.5)

①=,[况(N)] + "屮[x (N)].(2.6.6)

Изменив теперь индексы суммирования в последнем слагаемом выражения (2.6.4), получим

7 =Ф{х (N)] - Хт (N) х (N) +』[?-# ⑴力⑼+班・(2.6.7)

Рассмотрим дифференциальное приращение величины J, соответствующее дифференциальным приращениям последовательности значений координат вектора управления и (X)

疗=[/-"(%)]"力(％)+

+ 2 {[黑⑺]"力⑴+黑""g)} +

+爲"力(°)+端血(0)-(268)

Коэффициенты при dx(i) (Х = 0, ...,/г) обратятся в нуль, если выбрать векторную последовательность множителей X (/) из условий.

#&)—需=3(269)

или

"⑴ н 言i^ +" G +1)謂7р』0,N— 1, (2.6.9а)

при граничных условиях~

产(％)=爲，(2・6」0)

ИЛИ-

V(2.6.10а)

I 丿汲(N) ' дх (N)、'

При таком выборе множителя X (Z) уравнение (2.6.8) примет вид

d『=产(0)初(0)+ 2 譏加(力 (2-6.11)

Таким образом, дНг/ди (X) —— градиент критерия качества / по и (力)при условии х (0) = const и выполнении ограничений (2.6.2), а 九т (0)——градиент / по % (0) при условии u (X) = const (не варьируется) и выполнении тех же ограничений. Если х (0) задано, то dx (0) = 0.

Чтобы значение / было стационарным, необходимо, чтобы для всех допустимых du (X) соответствующее приращение dJ равня；' лось нулю. Пусть управление и (0 неограничено, функция Нг дифференцируема по и (г) и задача «нормальна»1). В этом случае для того, чтобы величина / принимала стационарное значение, необходимо выполнение условия

黑=о(2.6.12)

или”

芸+ 产«十1)黑=0, Z = 0, ..., N-i. (2.6.12a) du(i) v 17 ди (г)*'，'/

Итак, для того чтобы определить последовательность векторов управления и ⑴,которая приводит к стационарному значе- ' нию критерия качества /, нужно решить двухточечную краевую задачу, описываемую уравнениями (2.6.2), (2.6.3), (2.6.9), (2.6.10), (2.6.12).

Эта система содержит (2/г -\- т) N + п -\- q уравнений с (2/г 十 + пг) TV + тг + 7 неизвестными: х (0), . . ., % (N) (где х ——т мерный вектор); и (0), . . ., iz (N —— 1) (где и —— m-мерный вектор); 九(0), . •.,九(TV) (где X ——тг-мерный вектор) и v (где v ——^-мер- ный вектор).

Чтобы решить уравнения (2.6.2) и (2.6.9а) последовательно слева направо, используя (2.6.12а) для определения u (X), необходимо выразить (г + 1) из (2.6.9а) через 九⑴ и 胃(X):

/(e).［/⑴一黑］［备「.(2.6.13)

Условие《нормальности» связано с существованием соседних оптимальных траекторий; см. по этому поводу разд. 5.3 и 6.3.

Обратная матрица для dpldx (X) существует, поскольку она по существу является линеаризованной переходной матрицей 工)；однако вычисление такой обратной матрицы занимает значительное время ). С другой стороны, последовательное решение задачи справа налево не окажется более простым, так как уравнения (2.6.2), (2.6.9а) и (2.6.12а) следовало бы в этом случае рассматривать как систему неявных уравнений для определения 胃(X),九(力)и и (г) по известным значениям х (i + 1),九(Z + 1), u (i + 1).

2・7 Непрерывные системы; оптимизация при заданных значениях некоторых фазовых координат в неопределенный момент окончаиия процесса^ Задачи оптимального быстродействия

Задачи, рассматриваемые в этом разделе, почти совпадают с задачами разд. 2.4; однако важное их отличие состоит в том, что время tf окончания процесса движения не задано. Целесообразно считать в этом случае 力/ некоторым параметром, который должен быть выбран в дополнение к управляющей функции и (%) таким образом, чтобы минимизировать критерий качества и удовлетворить ограничениям. Покажем, что здесь имеют место те же необходимые условия, что и в разд. 2.4; но, кроме этого, путем оптимального выбора 力 должно быть удовлетворено дополнительное условие

(崇十九+厶)1尸0.

Так же как в разд. 2.3, прибавим к исходному критерию качества систему дифференциальных уравнений (2.3.1), умноженную на вектор X (Z):

/ =少［%(&), 5 + I ［L (х, и, Е) +/«)/(%, и,力)一九％］由・(2.7.1)

Приращение /, возникающее при вариации управления и (方)и приращении значения конечного времени 力力 имеет вид

"『=(4г 叨十需 dx) t=tf^^t=tfdti^

十!［偿+ "£j 6c十隱十/嘉)加-/呵dt. (2.7.2)

См. приложение АЗ.

Интегрируя это выражение по частям и группируя нужные члены, получаем

"/=[(_^_+*)% + "^" ""]t 一 [九T6用I/+ [九Т阮]io +

+ f [(■& + "■£■ + *)取十(籌十尸募)加]或•(273)

Здесь величина 8х ——вариация вектора х при фиксированном

① и F. 2.7.1. Соотношение между dx (乡)，Sx (&) и dtp

значении времени Л Тогда полное приращение вектора % в конечный момент времени 力/ имеет вид (фиг. 2.7.1)】)

dx (切=8х (今)+ х (力力 dtf,(2.7.4)

Строго говоря, для вывода соотношения (2.7.4) одной только ссылки на фиг. 2.7.1 недостаточно. Если обозначить через л (£) номинальную, а через xG (£) соседнюю траектории, то из рисунка лишь следует, что

dx 的)=xе (乡 + 近拉一X (⑺=5x (乡)+ Xe 闻 dtf + 0 (d弓)， где по определению 6G (弓)=хс (iy) — х (£拉，а О (d爭一члены порядка выше первого. Поскольку Зе (i) = хс ⑺一х (£), то”

dx (g) = Sx (tf) + £ (乡)旗/ 十 Sx (£/) % + О (山7).

В данном разделе авторы рассматривают (нигде, впрочем, не оговаривая) лишь слабые вариации (разд. 6.9) 6厘(f). Поэтому величина дх (号)является малой и произведением Sx d乡 можно пренебречь как величиной второго порядка малости. Таким образом, получаем в итоге соотношение (2.7.4) dx (iy) = 6/ &) + 力(乡)d%

где x (勺)вычисляется на номинальной траектории [что и необходимо для использования (2.7.4) в выражении (2.7.3)].— Прим, перев.

Отсюда；6% (力力=dx (切 ——x (%) &打 подставив это выражение для 8х (%) в (2.7.3), получим

dJ^^ + L^-^^喝+(需一")彰］f+ "(幻觥+

十J ［偿十/礬+*) 6c+(*+ "堞)加J dt. (2.7.5)

Так же как в разд. 2.4, будем считать, что

勺(“)заданы (ь = 1, . .д)・(2.7.6)

Тогда функцию ф можно считать зависящей только от незаданных фазовых координат, т. е.

少=少［乍(力挑力力 j = q + i, . . ., n. (2.7.7)

Выберем теперь функции 九(力)三 九⑺(力)так, чтобы коэффициенты при Кх (力)и при dx (力力 в (2.7.5) обратились в нульз

W=-(•＞『-(集)R， (278)

［爲)Q79)

Выражение (2.7.5) для dJ (и, следовательно, для dJх)) при таком выборе 九(力 упрощается:

dJ = dJ=(*十厶+尸入⑺：卢+ ［｛警+仇⑺)Т*｝加就, %(2.7.10)

где величина 8х (%) считается равной нулю, так как х (办)задано.

Теперь, как и в разд. 2.4, рассмотрим приращение координаты а» (弓),Z = 1, * . ., g, соответствующее произвольной вариации 6м (Z). Используя метод функций влияния (функций чувствительности, сопряженных функций) (см. приложение АЗ), получим

如闯=［加I, dtf+J w力⑼T必加dt,(2.7.11)

Если х удовлетворяет системе (2.3.1).— Прим, перев.

где

№=_(招(2.7.12) 野(⑺ HI： М： К)

Заметим, что уравнение (2.7.11) можно считать частным случаем уравнения (2.7.10), если положить 巾与勺(切 и Л= 0.

Построим теперь функцию времени 8и (方)и выберем значение dtf так, чтобы приращение dJ было отрицательным и удовлетворялись условия dxi (^) = 0, % = 1, . . ., q. Умножим каждое из q уравнений (2.7.11) на неопределенный постоянный множитель V/ и прибавим полученные выражения к (2.7.10); тогда

d」+ 2 v; dxt(^)= /м+л+^т/ + 2 Щ (=(或什

+，［警+” + X®『齐但或.(2.7.14>

Величины dtf и 6u выберем следующим образом:

喝=-心［■^+l + (九"))Т，+2 "出］=,»(2.7.15)

加=一卷［(筹)Т+傷)Т俨"+ 2 心"))］；(2.7.16)

здесь к& и 厶2 — положительные числа. Подставляя теперь эти величины в (2.7.14), получим

dJ+2 2也(5—-"J］ +厶+ (九6产/+2 "办J］-

一卷川器十”」2М®)Т左『或《。.(2.7.17)

Это выражение отрицательно, если квадратичные формы не равны тождественно нулю.

Выберем теперь у так, чтобы терминальные условия (2.7/1) удовлетворялись при dx? (Q — 0, X = 4, . . ., ?■ Для этого П°Д-

ставим （2.7.15） и （2.7.16） в （2.7.11）. Тогда получим

-自｛力［*十厶十（2）Тf+ S V力4｝-

-& 机）嚟［■隱）Т+尚Т（严十久叫"。，（2・7,8） toj=l

ИЛИ

一自｛"祭+厶十3”0｝.厂

一寸（2尸紀隱厂十闺

一2｛自（力力）f+鱼J （九（炉* （募）Т九（力出卜尸0.

Отсюда ясно, что значение вектора v следует выбирать из условия

v=_［Q + *S「（g +患「），（2749》

где

机節1底广叫阳乙=｛力［需+厶十俨）尸小力

Из （2.7.17） видно, что критерий качества не может быть уменьшен лишь в единственном случае, а именно когда выпол^ няются условия

（粵十厶十俨））〉+*”％）』=0，（2.7.20）

# + 俨"十 2^）Г^ = 0, t0<t<tf. （2.7.21）

Если эти два условия выполняются, то получено стационарное решение, удовлетворяющее терминальным условиям （2.7.6）.

Из уравнений (2.7.20) и (2.7.18) следует, что для стационарного решения величины vz не зависят от kjk2 и определяются соотношением

V = “к (2.7.22)

Здесь, так же как в случае задач с фиксированным конечным временем, требуется существование обратной матрицы Q-工(условие управляемости). Так как уравнения для функций чувствительности линейны, то необходимые условия (2.7.20), (2.7.21) могут быть представлены в виде

(2.7.23)

(2.7.24)

方о V £ V £/；

здесь

H = L + KTf,

;TdHdL % т df

(2.7.25)

(2.7.26)

дх

6%дх '

f Ч/，

储(%) =，( дф \

1 \ dxj / f=f J

j = q 十 1，• • •» 孔，

(2.7.27)

Величины Vi можно считать параметрами, которые выбираться так, чтобы в конечный момент времени 方/

должны фазовые

координаты Xt, X = 1, . . ., q, имели на допустимой траектории заданные значения. Аналогично ^ тоже параметр, который обеспечивает равенство нулю выражения (3少/@£)+ Н для стационар

ного решения.

Согласно другой точке зрения, задача с неопределенным временем окончания процесса может быть заменена последовательностью задач с фиксированным конечным временем. Другими ело- вами, можно рассматривать конечное время tf как дополнит ельный параметр и решать серию одинаковых задач оптимизации из разд. 2.4 для различных значений 方广 То значение ^ из этой серии, при котором критерий качества достигает минимума, и будет реше- ниел! задачи с незаданным конечным временем. При этом следует, очевидно, ожидать, что все необходимые условия, полученные в разд. 2.4, будут выполнены. Но, кроме них, должно быть еще одно дополнительное условие для определения оптимального значения %/, этим условием и является (2.7.23).

Задача 1. Задан критерий качества

/ = Ф[ж (切，5 + J 厶(с, и, t) dt,

где % — некоторый параметр. Требуется определить, какая вариация J соответствует вариации t^ если удовлетворяются все условия оптимальности, полученные в разд. 2.4. Из полученного соотношения нужно вывести также условие

需=T （分

[Указание.

疗=1^合(雾)才严十患%十厶%•]

Задачи оптимального быстродействия. Во многих задачах критерием качества является время, за которое система переходит из начального состояния в заданное конечное состояние. В этом случае можно считать

岁=О, Л - 1,(2.7.28)

J =力一方°.(2.7.29)

Для того чтобы определить программу управления, минимизирующую время перехода, нужно решить следующую двухточечную краевую задачу:

%=/(%, и,方)，胃 «о) задано (zz начальных условий)г), (2.7.30)

(紛气，(2731)

XJ (^/) задано, / = 1, •. ., 7 1 (п условий 九八切=0, j = q + l, zz J на правом конце),

(2.7.32)(2.7.32)(糸) 九=0 (m условий оптимальности),

(2.7.32)

(2.7.32)

Н (切=(九'/)』£/= —1. (2.7.33)

Заметим, что для определения 2п граничных условий имеется 2п дифференциальных уравнений (2.7.30) и (2.7.31), для определения ш управляющих переменных и имеется т условий оптимальности (2.7.32). Условие трансверсальности (2.7.33) служит для определения конечного значения времени 力.Неизвестные значения 九)(方》,/ = 1, . . ., g, которые ранее были обозначены через V；, также определяются в процессе решения.;

Заметим еще, что по крайней мере одна из фазовых координат должна быть задана при 方=灰 и при 方=力,в противном случае задача минимизации времени не имеет смысла.

Пример 1. Траектории минимального времени прохождения области, в которой вектор скорости зависит от фазовых коор-

1) Если ^ (%) не задано, то X； (%) = 0.

7—0102

динат (задача Цермело)工).Корабль должен пройти через область сильных течений. Величина и направление скорости течения задаются как функции фазовых переменных

и = и & у), и = и (怎 у);

здесь (%, у) — прямоугольные координаты, a u, v — компоненты вектора скорости течения в направлении осей % и у соответственно. Величина скорости корабля относительно воды постоянна и равна V. Задача состоит в отыскании такого управления, при котором корабль за минимальное времн пройдет путь от точки 4 до точки В.

Уравнения движения корабля имеют вид

% 三。cos 屮 + и (芻 у),(2.7.34)

у = Р sin 屮 + и (%, у);(2.7.35)

здесь 屮一угол курса, т. е. угол между осью корабля и фиксированной координатной осью (в данном случае осью %), /, у — координаты корабля. Для этой системы гамильтониан

Н = кх (V cos 屮 + iz) + 九寸(Р sin 屮 + и) + 1.(2.7.36)

Уравнения Эйлера ——Лагранжа имеют вид

九L一%17一統后，(2737)

器一篇亲， (2738) _^_ = 0 =。(-統sin2 +九"05屮)，откуда tg屮= ^". (2.7.39) Так как гамильтониан Н не зависит явно от времени, то X = =const = С\ ——первый интеграл системы. Поскольку минимизируется время, постоянная & должна быть нулем ). Уравнения (2.7.36) и (2.7.39) могут быть разрешены относительно Хх и 九寸

h，(2.7.40}

入产f+ "盡*%2(2741)

Теперь, подставив эти выражения в (2.7.37) или в (2.7.38) (или, что то же самое, потребовав непротиворечивости условий Н^ = 0, Н^ = 0), получим

$ = sin2 屮奈+ sin 屮 cos 屮(嘗一芻)—cos?屮器.(2.7.42)

Несколько иной* способ получения оптимального решения (использующий классические векторные обозначения) приведен в примере разд. 3.2, где рассмотрена задача оптимизации пространственного движения самолета при полете через область сильных ветров.

Решение этого уравнения совместно с уравнениями (2.7.34) и (2.7.35) дает требуемую траекторию минимального времени перехода. Чтобы достигнуть заданной точки 笈，двигаясь из начальной точки Л, нужно задать точное значение угла курса 必 в точке А.

Заметим, что в случае, когда и и v ——постоянные величины, из уравнения (2.7.42) следует условие 屮 =const, т. е. траекторией движения с минимальным временем является просто прямая линия.

Аналог закона Снеллиуса. Если 〃 = и (у), v = v (у), то уравнение (2.7.37) принимает вид

Хж = 0, т. е. К = const.(2.7.43)

Теперь из уравнения (2.7.40) следует

'“ ® с£Т*0 (у) sin 屮=const.(2.7.44)

Полученное соотношение является аналогом закона Снеллиуса в оптике, так как оно дает в неявном виде зависимость угла курса 屮 от компонент вектора локальной скорости течения и (у), и(у)・

Частный случай: линейное изменение скорости течения. Пусть и — —V (у/К), и = 0 и нужно найти траекторию минимального времени перехода из заданной точки (/% у® в начало координат (О, 0). Можно использовать уравнение (2.7.44) для того, чтобы выразить оптимальный угол направления движения (курса)屮 как функцию конечного значения 屮了 и текущей координаты у

一 8s 2 8s 2/ _

V-V(y/h) созф V —C°nst，

cos屮=彳工I .(2.7.45)

1 + 匂/6)cos w了

Удобно использовать в качестве независимой переменной вместо Е величину 屮.Из предыдущего соотношения получаем

* = sec 屮 一 sec 屮尸(2.7.46)

Теперь уравнение (2.7.42) преобразуется следующим образом:

■^• = £sec2屮， откуда ~f~~- = tgip — tg^,(2.7.47)

здесь tf — t ——время, оставшееся до завершения перехода из заданной точки в начало координат. Наконец, подставив (2.7.46) и (2.7.47) в (2.7.34), получим

磊=9 峙;/优篇』)=-h (sec 屮 + sec 2/ sec2 屮-sec3 屮)•

(2.7.48)

7*

Это уравнение можно проинтегрировать：

£ = ^ [$ес 切(tg 勃一tg 屮)一tg 屮(sec % —sec 屮)+ In 欝暮*]・ (2.7.49) Пусть мы хотим найти траекторию минимального времени перехода из точки xQlh = 3,66, yjh = —1,86 в начало координат.

Фиг. 2.7.2. Траектория минимального времени передвижения через область с линейно изменяющейся скоростью течения.

Уравнения (2.7.46), (2.7.49)——неявные уравнения относительно 屮о и 屮/ (屮о — начальное значение угла гр):

—1,86 = sec 屮о — sec 屮力(2.7.50)

3,66 = 2 [sec 屮/ (tg ⑵—tg G) — tg 屮о (sec 办一sec 屮°)十

+ Arsh (tg 屮力一Arsh (tg屮°)].(2.7.51)

Решая эти уравнения, получим

屮 о = 105°,屮了 = 240°.'

Из уравнения (2.7.47) можно определить время перехода из начальной точки в начало координат

e任广办)=5,46.

На фиг. 2.7.2 изображена оптимальная траектория, на которой стрелками указаны направления оси корабля, т. е. угол курса 屮, который является в данной задаче управляющей функцией.

Задача 2. Траектории минимального времени прохождения области, 8 которой величина скорости зависит от фазовых координат. Материальная точка должна пересечь область, в которой ее мгновенная скорость V задана как функция фазовых координат

р = р (с, у), с, у — прямоугольные координаты. Требуется определить минимальный по времени путь из некоторой точки в плоскости (с, у) в начало координат. Уравнения движения здесь имеют вид

х = V (х, у) cos 屮， У =卩(怎 У)sin 屮，где 屮 ——угол между осью х и направлением движения (угол кур-са); 屮 является управляющей переменной.

Показать, что вдоль оптимальной по времени траектории угол 2 (力)должен удовлетворять дифференциальному уравнению

•* QV&V

屮=毎6e2一冇cosj

Заметим, что 屮(0) и конечное значение времени 力/ определяются условием х (切 =у (切 =0. Если V = const, то траекториями, минимальными по времени движения, оказываются прямые линии р = 0.

Задача 3. Принцип Ферма в оптике состоит в том, что действительные траектории лучей света являются экстремальными по времени траекториями. Это обычно траектории минимального времени движения, но иногда они соответствуют локальному минимуму (а в некоторых случаях даже просто стационарному значению) длительности перехода.

Показатель преломления п в оптике определяется как отношение скорости света с в вакууме к локальной скорости света V (с, р):

p (瑞 y)

Считая независимой переменной вместо времени t длину дуги траектории s(ds = V dt), показать, что

d / dx \ дп d / dy \ дп

Эти соотношения эквивалентны системе уравнений задачи 2.

Задача 4・ Рассмотрим частный случай задачи 2, в котором скорость является функцией только одной координаты, т. е. V = V (?/). Показать, что в этом случае на оптимальной траектории существует первый интеграл

'cos 屮.

r^TY^u const,p (у)

Это соотношение ——известный в оптике закон Снеллиуса.

Задача 5. Рассмотрим частный случай задачи 4, в котором V ——линейная функция от у:

卩=匕（1+普），卩=匕（1+普），V/, h — константы.V/, h — константы.

卩=匕（1+普），

卩=匕（1+普），

V/, h — константы.

V/, h — константы.

Показать, что траекториями минимального времени движения। направленными в начало координат, являются дуги окружностей, центры которых лежат на прямой у = —Л.

Задача 6. Классическая задача о брахистохроне ')• Бусинка скользит без трения по проволочке между точками 4 и В в постоянном гравитационном поле (фиг. 2.7.3). Начальная скорость

Фиг. 2.7.3. Задача о брахистохроне.

бусинки в точке 4 равна %. Какую форму должна иметь проволочка, чтобы бусинка проходила путь между этими двумя точками за минимальное время?

Две заданные точки и вектор гравитационного ускорения определяют вертикальную плоскость. Пусть ось у направлена вниз, а начало координат совпадает с точкой Л, как показано на фиг. 2.7.3. Так как сила реакции проволоки на бусинку направлена строго под прямым углом к ее скорости, то.система консервативна, т. е. полная энергия системы постоянна

— gy =后，или V=(Vl + 2gy) /2 = V (у). Компоненты скорости удовлетворяют следующим уравнениям：

x = V (у) cos 0, y = V (у) sin 0.

Задача состоит в том, чтобы найти 0 (%), при котором время перехода из точки Л в точку В минимально. Заметим, что задача о брахистохроне является частным случаем задачи 2 (или задачи 4), т. е. проблемы Ферма о траектории минимального времени прохождения через область, в которой скорость зависит от фазовых координат.

Показать, что решением этой задачи являются циклоиды^ т. е. траектории, образованные точкой на окружности колеса, катящегося без пр оскальзыва ния по горизонтальной плоскости, и что 0 = const.

Задача 72). Определить минимальную по времени траекторию, связывающую две точки на поверхности Земли через туннель

Брахистохрона ——кривая наибыстрейшего спуска. Название и саму задачу предложил Иоганн Бернулли в 1696 г.

Задача предложена Т. Эдельбаумом.

в Земле. Предполагается, что воздуха в туннеле нет, материальная точка движется под действием гравитационной силы, а силой тре- ния можно пренебречь. Заметим, что гравитационное ускорение внутри Земли направлено по радиусу к центру Земли, а его величина прямо пропорциональна расстоянию от материальной точки до центра Земли.

Ответ. Оптимальные траектории 一 гипоциклоиды, т. е. кривые, образованные точкой, находящейся на небольшом круге, который катится без проскальзывания по внутренней стороне поверхности Земли.

Задача 8. Оптимальное программирование направления вектора тяги при пренебрежимо малых внешних силахРассматриваемая задача является одной из простейших задач оптимального программирования, имеющих некоторый практический интерес. Поэтому она полезна для закрепления идей вариационных методов I). Пусть частица массы т находится под воздействием силы тяги Р = та. Будем рассматривать плоское движение в инерциальной сис 'еме координат (瑞 у); компоненты скорости частицы обозначим через u, V. Угол направления тяги 仆(/) считается управляющей переменной (фиг. 2.4.1). Уравнения движения имеют вид

• • • ♦м = асов 仆，v — a sin ^, x = u. y = u.

Реактивное ускорение а по предположению является известной функцией времени. Показать, что для оптимизации функции, зависящей только от конечных условий, или для минимизации времени оптимальный закон изменения угла 仆 должен быть таким：

где q, q, q, q — постоянные величины. Этот закон часто называется законом дробнолинейного тангенса.

Задача 9. Выведение на орбиту за минимальное время (g = 0)・ Пусть выполнены условия, сформулированные в задаче 8. Требуется перевести частицу на прямолинейную траекторию, параллельную оси х и находящуюся от нее на расстоянии Л. Время перехода должно быть минимальным, скорость частицы в конце выведения должна равняться заданной величине U и быть параллельной оси х. Значение дальности / в конце выведения интереса не представляем (фиг. 2.4.2). Запишем краевые условия

и (0) = 0, и (7) = U, и (0) = 0, и (7) = 0,/ (0) — 0,

См. пример разд. 24

h (7) — 0, у (0) =0, у (7)=瓦

(九〃а cos 仆 + 九и。sin 仆)£=т =

Поскольку x (7) не задано, то %* = q = 0 и оптимальным законом управления становится закон линейного тангенса

tglg小f鬼观=含，eК(еm. задачу 8).

① и г. 2.7.4. Зависимости начального угла установки тяги (廿。)и минималь- hofo времени (Тмин) от безразмерной высоты4aWt72 для задачи минимизации времени перелета на прямолинейную траекторию.

Длн случая, когда ускорение силы тяги а постоянно, требуется доказать справедливость следующих соотношений (используя вместо t в качестве независимой переменной угол 仆)： " = 好寝。，e京sec小一sec令), Н亲卜ec齿-sec®_tg。In端暮醤),

У =募[(tg 心 L tg ^)sec 必—(sec 齿—sec 仆)tg 仆一In ^好黑° J , Au=_中，統=_乎(]_2 十)，九£ = 0, 力2 sin廿°

М =о?~ •

Постоянные величины 仆°, с и конечное (минимальное) время Т определяются тремя граничными условиями на правом конце:

и (7) = 0, и (Т) = и, у(7) =加 Показать, что эти соотношения могут быть представлены в виде

4a 无 =tg 廿()sec 廿 °—In tg[(n/4)+i/2 廿 о]{In 电[(冗/4)+1/2仇印'

aTtg 廿 о. 亍―lntg[(jT/4) + i/2^o]'

c7 = 2tg 仆°, откуда tg 仆=(1—受)tg仆°.

Очевидно, что одна безразмерная величина 4成/炉 определяет 齿 и, следовательно, aTlU. Эта зависимость показана на фиг. 2.7.4. Программы изменения направления тяги 仆(力/7) для различных значений 仆° представлены на фиг. 2.4.3.

Задача 10. Минимальное время перехвата неманеврирующей цели (g = 0). Рассматривая те же уравнения движения, что и в задаче 8, определите, какой должна быть программа изменения направления тяги ^ (Z), чтобы, двигаясь из начальной точки х0, у0 с начальной скоростью а。，и” достигнуть начала координат за минимальное время. Предполагается, что реактивное ускорение а — постоянная величина. Заметим, что величина конечной скорости не задана, так что поставленные краевые условия соответствуют задаче перехвата цели.

Задача И. Минимальное время встречи с неманеврирующей целью (g = 0). Эта задача подобна предыдущей; отличие состоит в том, что конечная скорость должна равняться нулю, т. е. uf = =Ру = 0. Эти краевые условия соответствуют задаче о встрече с нел1аневрирующей целью. Заметим, что закон дробнолинейного тангенса может быть представлен в форме закона линейного тангенса :

tg (8 — а) = tg (0у — а) + с (7 —力)，

где 0；, а, с — некоторые параметры.

Задача 12. Программирование направления тяги в постоянном гравитационном поле. Если принять, что ось у направлена противоположно силе притяжения, то эта задача отличается от задачи 8 (в которой g = 0) лишь уравнением для вертикальной составляющей ускорения

d = a sin 令一g,

где g — гравитационное ускорение. Показать, что в этом случае уравнения для функций влияния (функций чувствительности) не изменяются, так что закон дробнолинейного тангенса остается оптимальным.

Задача 13. Выведение на орбиту за минимальное время (g = =const). Показать, что единственное отличие от задачи 9, в кото-

рой предполагалось g = 0, состоит в добавлении слагаемого —gt к вертикальной скорости v и слагаемого ——x/2gZ2 к вертикальной координате (высоте) у. В случае если ускорение силы тяги а постоянно, требуется определить три величины: начальный угол направления тяги 仆°, конечный угол направления тяги 仆力 минимальное время Т. Показать, что для определения этих величин могут быть получены следующие три уравнения:

и/ = 0 = ? (sec 鶴一sec 仆力一gT,

yf^h^~^;\^^ ^o —tg 曲)sec 仆 ° — (sec 鶴 一 sec *) tg 办—.

一Ь tg廿o+sec 廿О]一工

tg 廿 j + sec ^y J2 g 1

^_и「一。1tg 必+ sec 廿 0

' ctg 办 +sec 办，

где

с ='官廿o^tg ©7, tg 仆=tg 仆° — ct.

Исключая из этих уравнений с л Т, получим два уравнения 、с двумя неизвестными 仆° и 仆广

0=电廿0 -tg办

g 一 sec 廿0 — sec 廿/ '

餐=卜g小sec办一 tg办sec端一 hi黑;二黑；)X

/] tg廿oT-sec 廿o\-2入\丄丄丄tg办+ sec廿/ ，

при этом

普=(tg必TgM/ln請甯誌•

Очевидно, величины ah!U2 и a/g определяют 仆о,仆力 aTlU, c7.

Численный пример. На фиг. 2.7.5 показаны два примера траекторий взлета с Луны в предположении a/g^ = const = 3, gjj = =const. Гравитационное ускорение на поверхности Луны g^ q

1,615 м/сек2, радиус Луны Нп ^ 1737 км. Оптимальные по времени траектории соответствуют выведению на высоты h^ ~ =185 存型 и %2 = 15,25 кж; скорость в конце выведения равна круговой скорости спутника Луны в первом случае и несколько превышает эту скорость во втором случае. Необходимая характеристическая скорость А匕 для а = const равна аТ. Для сравнения заметим, что импульсное выведение на круговую орбиту высотой Лк#0. = 185 кж (двухимпульсный хомановский переход)

требует суммарной характеристической скорости 厶兀工=厶卩气 + + А兀 1767 м/сек (АУ% = 1725 м/сек на поверхности Луны и 厶匕？ 42 м/сек в аполунии). Скорость в конце выведения на высоту h ^ 15 км такова, что летательный аппарат будет про-

Ф и г. 2.7.5. Минимальные по времени траектории взлета с Луны (или по садки на нее) при постоянном реактивном ускорении а —4,85 м/cei^ (направление тяги показано через каждые 0,1 Т, где Г ——полное время полета)

должать свободный полет и достигнет высоты 185 км над противоположной стороной Луны; в этой точке достаточно импульса 〜142 м/сек для выведения на круговую орбиту высотой 185 кж: таким образом, суммарная характеристическая скорость составляет 厶匕工=2008 м/сек. Заметим, что поверхность Луны была аппроксимирована параболой, что значительно расширяет область применимости предположения о постоянстве гравитационного ускорения.

Очевидно, что минимальная по времени траектория мягкой посадки с круговой орбиты при а — const (если продольная дальность до точки посадки не задата) та же, что и минимальная по вре- мени' траектория выведения на орбиту, однако проходится она в обратном направлении.

Задача 14.

На плоскости (/, Е) найти экстремальную кривую стационарной длины, которая соединяет окружность /? + 产一1=0 и прямую t = Т = 2.

Решить ту же задачу при условии, что искомая кривая имеет конечную точку на прямой ——/ + Е = 2 р^・

Замечание. Сформулированные задачи не должны решаться методом проверки.

2・8・ Не Tip ерывны е системы; оптимизация ”0% задапных значениях функций от фазовыж координат в неопределенный момент окончания процесса. Задачи оптимального быстродействия

Рассмотрим опять критерий качества вида

Ч

斤=# [/ (力力，％/ + j Е [х (%), и (%), t]成.(2.8.1)

to

Прибавим к этому выражению ограничения на терминальное состояние х (%》

屮 к (切，tf] =0 仲一^-мерная вектор-функция) (2.8.2) и систему дифференциальных уравнений

х = f [х (力，и (/), %],力о задано,(2.8.3)

с множителями Лагранжа v и X(Z) соответственно. Тогда получим вспомогательный (расширенный) критерий качества

〃=漳+Мфк=Ь* j {£(/, u, i) + XT [f(x, и, t)—x]} dt. (2.8.4) fo

Гамильтониан H для этой задачи записывается в виде

Н L(X. и, %) + 九т (%) / (瑞 м, %)•(2.8.5)

Приращение критерия качества /, возникающее при вариации би (%) и приращении конечного времени d% имеет вид

打=[偿+e)成+雯甸 j + j (*品+罂加一

—%т&г) dt — £卜=用成°,(2.8.6)

где

(2.8.7)(2.8.7)①=# + У屮.

(2.8.7)

(2.8.7)

Интегрируя по частям и принимая во внимание равенство 6% (力/) = =dx (切一x (切 dtf [см. (2.7.4) и фиг. 2.7.1], получим

+ (好配)i。-E1『。成。+『[(需+/)/+得加]成.(2.8.8)

Выберем теперь функции 九(Е) так, чтобы коэффициенты при 8x(t), dx (tf) и dtf обратились в нуль (если tf не задано), т. е. положим

产一襲一严招Т， (289)

А%)=(需)1「黑+ v号(2.8.10) (架+乙十叫I广鬧十以「，(2811) где

АФ дФ . ^Ф -dt 一力十дx &

В результате такого выбора 九(力)выражение (2.8.8) упрощается:

dJ = ^ "^ 8udt-]-XT (%) dx (%)—Н (力)dtQ, (2.8.12) «о

Очевидно, как и в предыдущих задачах, 九丁(力о) —— вектор функций влияния на критерий J изменений начальных условий $% (用)，тогда как дН/ди ——совокупность импульсных переходных функций, указывающая, как будет изменяться / в результате воздействия единичных импульсных функций (6-функций Дирака), возникающих в вариации управления в некоторый произвольный момент времени Е на интервале t§ & t & tf.

Чтобы величина J принимала стационарное значение, очевидно, должны выполняться соотношения 1)

礬=严祭+欝=。，/。《з・(2.8.13)

Если хк (幻 не задано, то 瓶(曲=0.

i) Отметим, что возможность фактического удовлетворения условия (2.8.13) зависит от существования допустимого управления, т. е. управления, переводящего систему в заданные граничные условия. В локальном смысле понимаемая таким образом допустимость управления связана с наличием у системы свойства полной управляемости. Обоснование полной управляемости проводится с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в разд. 2.7 [см. условие (2.7.18) и далее].— Прим, перев.

В случае когда минимизируется время tf —力о, можно считать, что 力[х (*), tf] = 0 и Е = 1. Таким образом, условие (2.8.11) принимает вид

偿+ 1)р"偿+ 1)р"(2.8.14)(2.8.14)

偿+ 1)р"

偿+ 1)р"

(2.8.14)

(2.8.14)

х = f(X, м, t) (п дифференциальных уравнений),х = f(X, м, t) (п дифференциальных уравнений),(2.8.15)(2.8.16)(2：8.17)(2.8.18)(2.8Л9)(2.8.20)(2.8.21)(2.8.15)(2.8.16)(2：8.17)(2.8.18)(2.8Л9)(2.8.20)(2.8.21)

х = f(X, м, t) (п дифференциальных уравнений),

х = f(X, м, t) (п дифференциальных уравнений),

(2.8.15)

(2.8.16)

(2：8.17)

(2.8.18)

(2.8Л9)

(2.8.20)

(2.8.21)

(2.8.15)

(2.8.16)

(2：8.17)

(2.8.18)

(2.8Л9)

(2.8.20)

(2.8.21)

Так же как в разд. 2.6, q постоянных величин v1T . . ., vg должны быть определены так, чтобы удовлетворялись ограничения (2.8.2) на терминальное состояние объекта управления. Соотношение (2.8.14) — дополнительное условие, необходимое для определения времени & окончания процесса.

В итоге, для того чтобы критерий качества J принимал стационарное значение, должна выполняться следующая система необходимых условий:

(п дифференциальных уравнений),(雾厂=(融户+隱厂=。

(m алгебраических уравнений),

хк (Zo) задано или 九冗(力о)工0 (п граничных условий),入 8力=(壊+ "Т察)二厅(枕 гранияных условий),Q=[>+v号+驚碧"+4「0(одно граничное условие),

屮 К (勺)，5 = 0 (, граничных условий).

Условие оптимальности (2.8.17) определяет ттг-мерный вектор управления и «)• Далее, 2^ + 1 + q граничных условий (2.8.18)— (2.8.21) определяют решение 2п дифференциальных уравнений (2.8.15) и (2.8.16) и ^ + 1 параметров 沁，・・•，％) и 小 Нужно заметить, что такую краевую задачу решить обычно не очень просто.

Отметим еще, что если бы были заданы величины v вместо 屮 и tf вместо Q, то условия (2.8.18) и (2.8.19) представляли бы собой 2п граничных условий для двухточечной краевой задачи порядка 2п с фиксированным конечным временем. Подбором значений v и tf можно было бы обратить в нуль функции 屮 и Q в момент Е = ^ (гл. 7, разд. 3).

Задачи оптимизации динамических систем при наличии ограничений на траекторию

Введение

В гл. 2 рассмотрены задачи оптимизации нелинейных динамических систем при наличии ограничений в конечной точке траектории. В этих задачах в конечный момент времени задавались значения функций от фазовых координат, а в начальный момент — значения всех фазовых координат. В данной главе будут рассмотрены задачи с ограничениями на траекторию] в таких задачах ограничения накладываются на всю траекторию в целом, т. е. при 力о & 力《勺，а не только в конечной точке t =力广 Сначала будут рассмотрены задачи с ограничениями в виде равенств, а затем ——в виде неравенств.

3/. Лwmегралъ^ые ограничениях)

Вернемся к задачам оптимального программирования, рассмотренным в разд. 2.5 и 2.8; добавим к ним еще одно ограничение: потребуем, чтобы некоторый интеграл вдоль оптимальной траектории принимал заранее заданное значение. Таким образом, пусть xn+i (Z/)= j N (/, a, t) d/J(3.1.1)

где N ——заданная скалярная функция, xn+i (切一заданное число.

Естественный подход к решению такой задачи состоит в присоединении к исходной системе уравнений уравнения состояния

/计£ = N (/, м, %)(3.1.2)

с граничными условиями

^п+1 «0)=0 И /研！(小 задано.(3.1.3)

Пусть ц ——функция влияния (множитель Лагранжа, функция чувствительности), соответствующая координате хп+ ]. Гамильтониан расширенной системы имеет вид

Н = L + XTf + 卩忆(3.1.4)

Такие ограничения в вариационном исчислении называются «изопе

риметрическими». Смысл этого названия становится ясным из примера 1, в котором рассматривается одна из первых решенных задач такого типа'

Уравнения Эйлера ——Лагранжа

таковы:

qT 力М dN

(3.1.5)

dL

'дх

дх

дx "d学'

дН dL ,

f 9f -

卜卩= и,

(3.1.6)

ди ди * J

ди

•дНс

откуда ц = const.

(3.1.7)

Таким образом, ц — коэффициент качества J к изменению хп^ т. е.

чувствительности

критерия

叫+J

Уравнения (3.1.6) и (3.1.1) можно рассматривать как систему (т + + 1) уравнений для определения т компонент вектора управления u(i) и постоянной величины ц. Таким образом, в задачах с ограничениями типа (3.1.1) величина 7V (/, м, Z) присоединяется к гамильтониану исходной системы с постоянным множителем Лагранжа ц.

Пример 1. Плоская фигура максимальной площади при заданном периметре. Пусть трос длиной Р привязан к концам прямолинейного стержня длиной 2а V Р・ Определить форму троса,

Фиг. 3.1.1. Максимальная площадь плоской фигуры при заданном периметре.

при которой площадь, заключенная между стержнем и тросом, максимальна. В системе координат, показанной на фиг. 3.1.1, задача состоит в определении такой зависимости 0 (/), при которой интеграл

Л = j у dx (3.1.8)

достигает максимума, а периметр Р кривой у(/) (длина троса) остается постоянным1):

р= j sec9 dx*(3.1.9)

1)Плоские фигуры с одинаковым периметром называются, как известно, изопериметрическими.— Прим, перев.

здесь

(3.1.10)

Гамильтониан системы

Я — г/ + X tg 0 + р, sec 0.

(3.1.11)

Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

dl ' дН.с

石=一откуда 九=_/十力 с = const,

(3.1.12)

~~ ц tg 0 sec 9 + X sec2 9 = 0, откуда sin 9 ————.

(3.1.13)

Исключая X из уравнений (3.1.12) и (3.1.13), получаем

/ =卩 sin 6 + с.

(3.1.14)

Так как Н не зависит от х явным образом, то на оптимальном решении Н = const ——первый интеграл. Исключение 九 из уравнений (3.1.11) и (3.1.13) дает

У = —N cos 9 + Я, Е = const.(3.1.15)

Периметр Р кривой у (/) определяется путем подстановки выражения (3.1.14) в (3.4.9)

Р= j sec® 寫d9『f с/е = ц(ев-еЛ). (3.1.16)

Днн вычисления пяти неизвестных величин с, Н, ц, 0Л и 9jg используем условие (3.1.16) и четыре граничных условия:

(3.1.17)(3.1,18)(3.1.19)(3.1.17)(3.1,18)(3.1.19)/ (8厶)=—а, / (賑)=а, у (0Л) =0, у (%) = 0.

(3.1.17)

(3.1,18)

(3.1.19)

(3.1.17)

(3.1,18)

(3.1.19)

Получим следующее решение:

с —U, Н —2сГ~?^~ ~ 2а *9а^«э6_в=—а,

где а определяется из трансцендентного уравнения

sin а 2а

Таким образом, имеем

/ =—宣 sin仇 У н五(cos8 —cosa),

x) Такая формулировка предполагает, что ——п/2 < 9 < п/2; это условие справедливо лишь при Р v

8—0102

откуда

+•(3」・20>

Оптимальным решением является дуга окружности радиуса Р/2a с центром в точке / = 0，у = —Р cos а/2a.

Пример 2. Форма капли жидкости^ лежащей на горизонтальной плоскости. Капля жидкости на горизонтальной плоскости принимает по предположению осесимметричную форму (относительно оси z; фиг. 3.1.2); при этом ее действительная форма z (г>

Фиг. 3.1.2. Форма капли жидкости, лежащей на горизонтальной поверхности.

отличается от всех возможных форм тем, что она минимизирует сумму потенциальной энергии жидкости в гравитационном поле Земли и энергии поверхностного натяжения

0а

Е=『丫冗产么^力+『а2лг~dr.(3.1.21)

Здесь

у ——сила притяжения на единицу объема,

z = и (г) — уравнение поверхности (фиг. 3.1.2), о — поверхностная энергия на единицу площа-

.ди (поверхностное натяжение),

曲=]/ (血尸』(dr) 2 ——дифференциальный элемент длины дуги. Заданы:

Объем капли жидкости

о

V= J п产备办.(3.1.22)

Т—а

Угол а в точке соприкосновения (фиг. 3.1.2)

僚)』=—tga・(3.1.23)

Найти форму капли z (г).

Гамильтониан для этой задачи

Н= 2лог]Л 1 4- и2 — nyr2zu + Xu 4- цлг2и,(3.1.24)

где

〃 =*(3-1.25)

Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

步=一需=吋产"，(3.1.26)

Исключая 九 из этих друх уравнений и используя (3.1.25), получим дифференциальное уравнение 2-го порядка для определения формы капли

[1 + (Z，)2]3/2 + ； [1 + (z，)2『/2 —善 Z = —%(3/.28)

которое должно решаться совместно с граничными условиями

z‘(0) — 0, z，(а) = —tg а, z (а) = 0.(3.1.29)

Множитель ц определяется так, чтобы объем капли был равен заданному значению. Заметим, что условия (3.1.29) используются для определения неизвестного радиуса а.

Если а < 1, то уравнение (3.1.28) может быть линеаризовано

Z 〃 + ;z，Tz=T・(3.1.30)

В таком виде оно имеет решение

Z =专 + 怎(y^r)+BK0 (/Jr).(3.1.31)

3〃есв Io и Ko — функции Бесселя нулевого порядка с мнимым аргументом, а ц, А, В — постоянные величины, которые должны

быть выбраны так, чтобы удовлетворялись условия (3.1.29) и ограничение на объем (3.1.22).

Задача 1. Максимальный объем при заданной площади поверхности. Дан кусок холста площадью 4 для постройки тента над круглой площадкой радиусом а (ла2 V 4)； нужно определить форму тента, при которой объем под тентом имеет максимальное значение. Предполагается, что форма тента осесимметрична (фиг. 3.1.3).

Ответ. Оптимальной формой тента является сферический сегмент.

3・2・ Ограничения в виде равенствм@ управляющие переменные

Рассмотрим снова общую задачу оптимального программирования (разд. 2.5 и 2.8), но с дополнительным ограничением на управляющие переменные в виде равенства

С 色，力=0,(3.2.1)

где и (%)——m-мерный управляющий вектор, т^2, а С (и,办 —— скалярная функция. Условие т ^>2, очевидно, необходимо для того, чтобы задача оптимизации представляла интерес [при m = 1 ограничение (3.2.1) полностью определяет функцию и (/) и никакой проблемы оптимизации не возникает]. В тех случаях^ когда т ^<2, влияние ограничения (3.2.1) сводится к уменьшению свободы выбора управляющих переменных и. Один из возможных подходов к решению этой задачи состоит в исключении с помощью (3.2.1) одной из управляющих переменных и последующем решении задачи минимизации по отношению к оставшимся управляющим переменным, которые уже не связаны никакими ограничениями. При таком подходе необходимые условия минимизации, выведенные для задач без ограничений, остаются справедливыми и в этом случае. Другой способ состоит в том, что выражение (3.2.1) с множителем Лагранжа 卩(£) прибавляется к гамильтониану вариационной задачи без связи. При этом получается расширенный гамильтониан

Н L + ^f + М・(3.2.2)

Такая форма гамильтониана вносит изменение только в условие оптимальности

絹=品+严祭祭=°•(3.2.3)

Это условие вместе с (3.2.1) определяет т компонент вектора управления и (%) и скалярную функцию р,(儿

Пример. Траектории минимального времени, проходящие через область трехмерного пространства, с которой вектор скорости зависит от фазовых координат '). Самолет должен пересечь область сильных ветров. Величина и направление скорости ветра — известные функции координат, w = w (г), а величина скорости самолета относительно воздуха постоянна и равна V. Задача

состоит в таком программировании направления полета самолета, при котором время перелета из точки 4 в точку В минимально. Скорость самолета относительно Земли удовлетворяет уравнению (фиг. 3.2.1)

г =卩^+w (г)2).(3.2.4)

Здесь г ——радиус-вектор точки, w (г)——вектор скорости ветра, и ——единичный вектор направления оси самолета (вектор управления):

и*и = 1.(3.2.5)

Гамильтониан этой системы

Я=X•(Pй + w) + p,(l-й.й) + l,(3.2.6)

X ——вектор влияния (сопряженный вектор) вектора положения г. Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

不=一察=—V@・w),(3.2.7)

■~= VA. — 2[iu — 0.(3.2.8)

工)Подобная задача для случая плоского движения рассмотрена в примере 1 разд. 2.7 (задача Цермело, или задача о выборе маршрута корабля).

В этом примере и нижеследующих задачах использованы обозначения классического векторного исчисления: точка означает скалярное произведение векторов, V — оператор Гамильтона (в декартовых координатах V = =苏'+ 毫'+ ^")，V'=grad 尸，Ix I — модуль вектора xf X — знак векторного произведения, V X w — rot w — ротор вектора w — Прим, пер ев.

Для удовлетворения условия (3.2.5) множитель р, (Z) следует выбрать так, чтобы

2ц = ± V\Х|, откуда и= ± -т^-г.(3.2.9)

Для данной задачи на минимум времени должно удовлетворяться условие Н(^) = 0 (разд. 2,7); подставляя (3.2.9) в (3.2.6), полупим ,что справедливым в выражении (3.2.9) оказывается знак минус, отсюда，)

и ——兄三 т^т・(3.2.10)

Другими словами, при оптимальном управлении вектор скорости (Fu) должен быть направлен противоположно вектору влияния X.

Если подставить (3.2.10) в (3.2.4), то получим следующие дифференциальные уравнения для определения искомой траектории минимального времени перелета:

f = w —卩兀(3.2.11)

兀=—▽ (X-w)=—仇•▽) w — X X(V X w).(3.2Л2)

Направление вектора 入 в точке А должно быть выбрано так, чтобы траектория проходила через точку В. Модуль вектора 入 должен быть таким, чтобы гамильтониан Н обращался в нуль. Тогда 入 будет вектором влияния на конечный момент времени 力, как указано в (3.2.10). Так как гамильтониан явно не зависит от Е, то он сохраняет постоянное значение Н = Q вдоль оптимальной траектории, поэтому из (3.2.6) и (3.2.10) получаем

(3.2.13)

Это соотношение может служить для проверки решения, полученного из (3.2.11) и (3.2.12).

Если поле скоростей ветра безвихревое, т. е. если rot w = =▽ X w = 0, то, как известно из векторного анализа, существует такая функция 力(г, i) (потенциал поля скоростей ветра), что w = V^- В этом случае уравнения возмущенного движения для г совпадают, за исключением знака минус, с уравнениями для сопряженного вектора X. Уравнения возмущенного движения такого типа называются самосопряженными2); они

Согласно принципу минимума (см. разд. 4.2, 3.8), оптимальное по времени управление м должно минимизировать Н (м). В данном случае минимум Н достигается при знаке минус в (3.2.9).— Прим, перее.

Отметим, что определение самосопряженной системы для систем дифференциальных уравнений вида 步 = Fx, х — (z1T . . ., х^^ не эквивалентно определению самосопряженного уравнения для одного дифференциального уравнения n-го порядка х^ + а^^-1) + . . . -|- ап^х + апх = 0, хотя понятия сопряженной системы и сопряженного уравнения эквивалентны.

имеют вид

(6г) = (6г.V) V# (г,力(3.2.14)

-(X.V)V^(r,小(3215)

Задача !• Траектории минимального времени прохождения трехмерной области, в которой модуль вектора скорости зависит от фазовых координат 丄).Материальная точка пересекает область, в которой величина мгновенной скорости V движения является заданной функцией положения； т. е. F = F (г), где г — радиус-1- вектор точки. Требуется определить траекторию минимального времени движения от точки А до точки В в трехмерном пространстве. Траектория материальной точки описывается уравнением

Г =卩(F)М,

где 众一единичный вектор, u*и — 1. Показать, что для траектории минимального времени справедливы соотношения

I 入仍)1 =忐，工=| 入 |VU (r(4), г(8) запанн), из которых следует

^儘窑)=-"Г

Задача 2. Траектории минимального времени прохождения трехмерной области^ в которой действующие силы зависят от фазовых координат3). Рассмотрим пространственное движение материальной точки под действием сил, зависящих от вектора положения г и не зависящих от скорости v.

Уравнения движения точки имеют вид

V = а (^) u + F (г, i),

Г = V,

где и — единичный вектор управления, и-и = 1; а (%)——реактивное ускорение (предполагается заданным); F (г,力)一ускорение, возникающее под действием внешних сил, зависящих от положения тела (функция F может явно зависеть от времени t из-за перемещения притягивающихся тел).

Соответствующая задача для плоского случая рассмотрена в разд. 2.7 «задача 2). о

Этот пример является частным случаем задачи, рассмотренной Фрайдом и Бертоном в книге «Космическая техника» под общей редакцией Г. Сейферта, перев. с англ., изд-во《Наука», 1964 (гл. 4).

Показать, что где

工=—(p-v) F — р х(V X F),

Р = f

(―。I Р I + p F + X*v + I)』/ = 0.

Таким образом, в этих соотношениях 入 ——вектор влияния (сопряженный вектор) положения точки г, а р — вектор влияния (сопряженный вектор) скорости точки v.

Заметим, что в консервативном поле сил у X Е = 0, откуда следует существование функции # (г, %), такой, что F = V(p, гДе ф = <р (г, %) —потенциал поля сил. В этом случае уравнения возмущенного движения для 6v и 6г совпадают с уравнениями для ^ и р с точностью до знака в правой части:

(6v)-(6r.V) V^,^■仕)=—(р・у) v#,

£(бг)=6v> ^(р)=-%・

Уравнения возмущенного движения такого типа называются самосопряженными. Интересно отметить, что уравнения второго порядка относительно 6г и р, полученные исключением 3v и 入, оказываются совершенно одинаковыми:

爲(阮)М(阮々)Ve,矗(P)=(P"V) V加

Отсюда следует, что если найдена переходная матрица для 6г и 6v, то тем самым найдена и переходная матрица для р и X. Это обстоятельство полезно при расчете пассивных участков траекторий космических аппаратов.

Задача 3. Рассмотрим самосопряженную линейную динамическую систему1)

х ——Fx + 〃， F = — FT.

Требуется определить такое управление и (%), удовлетворяющее ограничению || w|| 2= 1, которое переводит произвольное начальное состояние %о = % (Zo) в начало координат х (7) = 0 за минимальное время. Найти решение с обратной связью, т. е. выразить управление и в виде явной функции от текущих значений /мА

Указание. См. книгу М. Атане, П. Ф а л б, Оптимальное управление, изд-во «Машиностроение», 1968, гл. 10.

В задаче рассматривается частный случай так называемой системы с инвариантно й нормой [2.6].——Прим, ред.

3・3・ Ограничения в виде равенств ма функции управления и фазовых координат

Рассмотрим опять общую задачу оптимизацииf сформулированную в разд. 2.5 и 2.7, но пусть теперь оптимальное решение х (Z), и (力)должно удовлетворять ограничению

С (瑞 м, %) = 0,(3.3.1)

причем дС/ди = С^，0 для любого м. Следуя методам разд. 3.2, добавим к гамильтониану вариационной задачи без связи (3.3.1)1 это ограничение с множителем 卩(%). В результате получим расширенный гамильтониан

Н = ХТ f + L + [iC.(3.3.2)

Условие оптимальности в этом случае совпадает с приведенным в разд. 3.2

^ =九Т九+九+"以-0,(333>

а уравнения Эйлера ——Лагранжа (в векторной форме) должны быть модифицированы

Все остальные уравнения необходимых условий разд. 2.5, 2.7 остаются без изменений. Необходимое условие (3.3.3) и ограничение (3.3.1) составляют систему m + 1 уравнений с m + 1 неизвестными величинами 卩 и м. Характерным отличием этой задачи от предыдущих является появление в уравнении (3.3.4) слагаемого- [1(дС/дх).

Если С (%, м, %) = 0 является вектор-функцией, число компонент которой меньше числа компонент вектора управления м, то уравнения (3.3.2) — (3.3.4) остаются спр а вед ливыми, если заменить в них [л& Ми, цСх соответственно на ц^С,卩丁以，ц^Сд.. Здесь 卩一вектор множителей Лагранжа, размерность которого* совпадает с размерностью вектора С(/, м,力

3・4・ Ограничения в виде равенств ма функции фазовых координат

Если функция, задающая ограничение, явно не зависит от управляющих переменных, то в этом случае при решении задачи возникают дополнительные осложнения. Пусть задано ограничение в виде следующего равенства:

S (伤 t) = 0. (3.4.1)，

Если оно справедливо для любого значения 力力 & 方 V 力力 то про- изводная по времени от функции S вдоль оптимальной траектории должна обращаться в нуль:

dS dS . dS ' @S ] @S , / 八 n /2 4 9\ 不=而十京a，.)=°. (342)

Выражение (3.4.2) может в свою очередь оказаться либо явно зависящим от 〃, либо снова не зависящим от и. Если это выражение зависит от и явно, то оно играет роль совместного ограничения на управляющие и фазовые переменные, аналогичного равенству (3.3.1). Однако в отличие от задач разд. 3.3 следует либо исключить z одну из компонент вектора 瑞 выразив ее с помощью (3.4.1) через остальные ("——2) компонент, либо присоединить (3.4.1) в качестве граничного условия в точках / = ^ или % = %『')*

Если же выражение (3.4.2) не содержит явно 〃，то его можно еще раз продифференцировать и подставить %=/(%, 〃，％)；・ эта процедура может быть, очевидно, повторена до тех пор, пока полученное выражение не будет явно зависеть от 〃. Если явная зависимость от и получится после ^-кратного дифференцирования S по 力,то соотношение (3.4.1) будем называть ограничением q-го порядка типа равенстваz наложенным на фазовые переменные. В этом случае 力я полная производная по времени от S играет роль ограничения на управляющие и фазовые переменные, аналогичного условию вида (3.3.1):

S^(x, и, 0 = 0, где S"但嘗• (343)

Кроме того, в этой задаче необходимо либо исключить q компонент вектора %, выразив их через остальные (п ——。)компонент -этого вектора с помощью системы q уравнений

(3.4.4)(3.4.4)S （怎力"

(3.4.4)

(3.4.4)

S（I）'（2, >

либо рассматривать систему (3.4.4) как дополнительные граничные условия в точке t = % (или £ = &)• “

При численном решении задачи можно использовать и иной подход, основанный на применении интегральной функции штрафа для приближенного удовлетворения ограничению (3.4.1) (разд. 1.9).

1)Ограничение (3.4.1) можно было бы непосредственно прибавить к гамильтониану системы; полученные при этом необходимые условия окажутся чотличными от выведенных ниже, но эквивалентными им (см. [3.11, 4.3]).

В этом случае следует ввести расширенный критерий качества

J = J4-^ j [S(%,力]2@厶0

где К — достаточно большое число. Эта процедура, однако, может приводить к затруднениям вычислительного характера, на что указывалось в разд. 1.9. Напомним также, что для точного удовлетворения (3.4.1) требуется, чтобы 8.

3・5・ Ограничения, заданные во внутренние точках траектории

Рассмотрим снова общую задачу оптимального программирования (разд. 2.8) и предположим, что в нее введено дополнительное требование в виде граничного условия во внутренних точках

N 位(幻，川=0,(3.5.1)

где 友 ——некоторый промежуточный момент времени, % V 厶 V ", N — вектор-функция размерности q. Таким образом, вместо двухточечной граничной задачи разд. 2.7 в данном случае имеем дело с трехточечной граничной задачей.

Соотношение (3.5.1) представляет собой граничное условие для тасти траектории от £ = % 口。 ％ = t^ Если 片一момент времени непосредственно перед 友(слева от 幻，а " — момент времени сразу же после ^ (справа от 力J, то функцию влияния 入 и гамильтониан Н в точке / = /j можно интерпретировать следующим образом：

"(注)=-~謠У'(3.5.2)

〃傭)=一*•(3.5.3)

Из соотношений (2.8.10), (2.8.11) и уравнений (3.5.2), (3.5.3) следует, что

好(幻=好(中+"展亲(3.5.4)

e(灯)=e(注)一酒黑；(3.5.5)

здесь 冗一^-мерный вектор постоянных множителей Лагранжа, определенный так, чтобы удовлетворялись q условий (3.5.1). Уравнение (3.5.5) определяет момент времени &. Заметим, что из соотношений (3.5.4) и (355) вытекает разрывность функций влияния 九 и гамильтониана Н в точке t =厶.При этом переменные состояния остаются непрерывными в этой точке, т. е. х (斤)=况(件).

Все сказанное непосредственно переносится на более общий случай, когда заданы условия в нескольких внутренних точках； однако решить такую многоточечную краевую задачу, вообще говоря, весьма сложно. Для численного решения такой задачи можно использовать метод скорейшего спуска.

Другой довольно поучительный подход к решению подобных задач предложен В. Денхэмом [3.7]丄).Ограничения (15.1), заданные во внутренних точках, с множителями Лагранжа 冗 прибавляются к критерию качества подобно тому, как это делалось

для терминальных ограничений 屮位(^), %/ (с множителями v) в разд. 2.5. Первая вариация расширенного критерия качества в таком случае имеет вид

б7-6(Ф + я^) + 6 J (Н-九W)山.(3.5.6)

to

Заменим интеграл ) в этом выражении суммой двух интегралов j + J и проинтегрируем {Н——九丁胃)по частям, принимая во внимание возможную разрывность 九 в точке % = ^:

т.т.См. также работы В. А. Троицкого, опубликованные в журнале ПММ, 26, вып. 3, 6 (1962).— Прим. ред.

т.

т.

一 /&e h +(Я-九%阳-(Я-九砲)+ 阳 +

±0『分』什

十j [(行+蚤)6%+a比6m] @九 (3.5.7)

±0

Теперь можно использовать соотношения

聞幻=尸⑹+ *)林(3.5.8)

I 6%(4) + %(4)山1，

геометрический смысл которых (для скалярного 胃)пояснен на фиг. 3.5.1 I).

Исключим с помощью (3.5.8) 6% (%) и 6胃(芬)из (3.5.7); после группировки членов получим

"=(穿一#) 62 1tf + "⑹f Т⑹+"备]汲(幻+

+ h(" +察 №+黑 6 少九(3.5.9)

Выберем теперь значения 九(幻 и 九(注)так, чтобы коэффициенты при dx (勿)и &勿 обратились в нуль; это приводит к соотношениям (3.5.4) и (3.5.5). Множитель л выбирается так, чтобы удовлетворялось условие (3.5.1).

Здесь, так же как в разд. 2.7, при рассмотрении допустимых вариаций следует сделать оговорку относительно предполагаемой управляемости системы. Этим будет оправдана возможность полагать коэффициент при 6〃(%) в (3.5.9) равным нулю, поскольку вариация 8и (%) в данном случае ме произвольна, а должна приводить к вариациям dx (勿)и &友，совместимым с вариацией уравнения связей во внутренних точках

城=黑阳+譌…幻" "0)

Задача 1. Квадратичные функции штрафа, зависящие от значений фазовых координат во внутренних точках. В задачах управления при наличии шумов точное удовлетворение ограничениям, заданном как в。внутренних точках, так и при t = %力 обычно невозможно. В этом случае полезно использовать (в качестве альтер-

В этом случае справедливы замечания, аналогичные тем, которые сделаны по поводу соотношения (2.7.4) (см. примечание на стр. 92).— Прим, перев.

нативы) другой подход, основанный на наложении квадратичного штрафа на отклонения от заданных ограничений во внутренних точках

J =①附"),tf] + 4 (n咕户儿7 + 5(я т喝 出；

здесь Si ——положительно определенная матрица размерности g X д, выбираемая проектировщиком с учетом специфики задачи.

Показать, что при таком методе решения величины 入 и 〃 должны иметь следующие скачки в точке % =厶：

犷(幻=%Т (疗)+ NTS、^y , Я (g=Я (注)-NTS,瑞,

Задача 2. Перехват двух целей одним первхватчиком с мшш- мольными усилиями ').

Определить ускорение а = 〃(£), минимизирующее критерий качества вида

/ =万 I a? dtос учетом связей

х —и, и = аи условий

х (0) = 0, и (0) = 0, х (幻=况!， х 伶)=0.

Здесь 勺，ti и tf заданы, 0 V 勿 V 勺

Задача 3. Минимальное время перехвата при условии прохождения через фиксированную промежуточную точку. Определить программу направления тяги 仆(%), которая минимизирует время перехода из точки % = 0,沙=0 в точку % =力力沙=Ьпри наличии ограничений (уравнений движения)

w — a cos 1Э,% = 〃， u=asini9\ y~v

и граничных условий

х (0) = 0, у (0) = 0, и (0) = 0, и (0) = 0, х (幻=勺，

У (厶)=沙1,/(%)=力力 沙(分)=0.

Величины % 勺 и Xf заданы, 0 V 厶 V 七.

3・6・，Системы уравнении движения с разрывными правыми частями во внутренних точках траекщории

Пусть движение системы описывается векторным уравнением

N =产"(％, 〃，％)(3.6.1>

при 力 V 厶,где 勿 определяется условием

屮"U优(幻，打=0,(3.6.2方

и векторным уравнением 、

力=，⑶(％, 〃，t)(З.б.Зр

при £ > 厶 i)・

Уравнение (3.6.2) представляет собой, как и в разд. 3.5, граничное условие во внутренних точках. Необходимые условие

Фиг. 3.6.1. Оптимизация траектории корабля при разрывном профиле течения.

(3.5.4), (3.5.5) обобщением(3.5.4), (3.5.5) обобщениемостаются справедливыми с некоторым очевидным

(3.5.4), (3.5.5) обобщением

(3.5.4), (3.5.5) обобщением

X(i)(G = X⑵(^)-[v(D]T-^L,(3.6.4)，

где

H^^L + ^fWm2)=厶+ %牙(2).

Если 产“=/⑶ и 屮⑴—скалярная функция, то единственным решением является 夕⑴=0 и, таким образом, точка % =勿 является обычной точкой непрерывности.

Пример. Выбор оптимального маршрута корабля при плавании

6 разрывном течении. Рассмотрим пример 1 разд. 2.7 при допол-

Примером может служить движение самолета до и после взлета или До и после посадки.

нительном предположении, что и=0 и f 87, y>h, 〃 =Z I n7

I о, у Ch,

где V ——скорость корабля относительно воды. Требуется найти минимальную по времени траекторию плавания *от точки % = 0, 沙=0 “о точки х = ah, у = （1 十匕）无（фиг. 3.6.1）.

В данном случае 九％ и Ху постоянны в каждой из областей У <Zh и у > 瓦 но в точке у — 无=产 =0 они разрывны. Из соотношения （3.5.4） следует

入久（友）=h（注）+ 0,入g （%）=Xy （^） + v（1>.

Принимая во внимание （3.6.4）, получаем

1 +ам （汇）0cos2（汇）4- M （汇）V sin2（幻=

=1 + h （4） U cos 屮（力）+ еУ] + Ку 储）V sin 屮（订）=0.

Из условия оптимальности определяем*

統（左）九u闿）

电2（%）=晟7，电2（计）=爲百，

Так как путь корабля непрерывен, то 力（％；） = / （力扌）=力工 и у «；）= =沙（注）=%・ Следовательно, путь состоит из двух прямолинейных отрезков; отсюда

tg 2- = 3二=詼丝h = tg 屮口，

COS 屮 + 十 8a/Z —

где2（注）=2+,2（汇）=2.1）.

Эти уравнения с 8 неизвестными легко решаются. Исключая четыре значения 入歹,入⑦ ”а> и х1т получаем два уравнения с двумя неизвестными 屮_ и 心：

sec R = sec 屮一 + e,ctg 屮一 =。一b （ctg 2+ + e cosec гр+）.

3・7・ Задачи с фазовыми координатами^ разрывными во внутренних точках

В некоторых задачах наряду с нарушением непрерывности правых частей системы уравнений возможна разрывность значений фазовых координат во внутренних точках траектории. Кроме того, критерий качества и ограничения могут быть функциями состояния и （или） времени не в одной, а в нескольких точках.

В В данном примере 屮一угол курса （управляющая переменная）, a Vn — угол пути.

Общая задача такого типа заключается в выборе управления и (0? которое минимизирует критерий качества

J = ^ [х (%),力(^о), , . . , X (方而)？力(块)；%0, . . . "n] +

+ 2 J L^[x(t), u(i), t]dt(3.7.1)

при наличии ограничений в виде уравнений движения

力=/(?)(%,次，力)，力—V % V 〃， г — 1, . . N, (3.7.2) и многоточечных краевых условий

2⑴[%(%)，/(秸)，…，/(标)，/(的；办，..."n1 = 0, j = 0,N.

.(3.7.3)

Здесь х (%f)——значение вектора состояния перед % = 〃 (слева от 厶),а х (^t) — значение вектора состояния сразу же после t = ti (справа от &)•

Для получения необходимых условий минимума критерия J сформируем расширенный критерий качества J. Для этого прибавим выражения (3.7.2) и (3.7.3) к (3.7.1) соответственно с вектор- функциями множителей Лагранжа X (力)и постоянными множителями 唄力

7=ф + 2 И)]г^> + 2 J [L⑴十入叮⑴一入唸山.(3.7.4) 力=0 -i=l 也]

Как и в предыдущих разделах, для удобства введем функции Ф и н⑶：

①= е + 2 "⑺]т*),(3.7.5)

〃⑶=L^ + ^Tp\ i = {N. (3.7.6)

Первая вариация выражения (3.7.4) имеет вид (после обычного интегрирования по частям)

N

d^= 2 [-^Tdti+-d^dx 伍)+ 嗡7 d2 (ф] + 2=0

+ 2 Кe⑴一好小1渺L(H⑵一大理)『,亡，必》] +

9—0102

+ S{（-^）|：L+ J [®+粤）阮+曙6P卜

（3.7.7）

Используя соотношение

dx （冴）=3%传）+N（疔）弘，（378）

исключим 6n （吁）из выражения （3.7.7）. После перегруппировки членов получим

"=2 ［醫+h⑴（幻-歩〜）⑹］%•+i=0一

+ 2［帚一好伍）］切（灯）［备+

十户（中］姦（"）+{ j ［（r+嚟"）也十等;品］成.

（3.7.9）

Здесь следует заметить, что Н^^ =反（'丁 ^0.

Выберем теперь 九（%） так, чтобы удовлетворялись следующие уравнения:

灯=―嘿^、汁2 = 1,（3.7.10）

=（3-7.11）

"（幻=-"^Г，』0,—1；（3・7<2）

厶 определим из условия

翁+ Н⑴（①—Н«+1）（才） = 0,2 = 0,（3.7.13）

Заметим снова, что Я（0） = Я（гУ+1）^0. Если 厶 задано, то соответ- ствующее условие （3.7.13） не является необходимым, поскольку в 9ToM случае &% = 0 в （3.7.9）. Точно так же, если n （蕾）задано, т0 dx （碇）=0 в （3.7.9） и уравнение （3.7.12） при X = 0 не является необходимым..

Неопределенные пока множители у（‘> выбираются таким образом, чтобы удовлетворить ограничениям 屮小=0.

Опять следует сделать оговорку об управляемости системы, чтобы оправдать условие

ан⑴диан⑴ди=0=0(3.7.14)(3.7.14)

ан⑴ди

ан⑴ди

=0

=0

(3.7.14)

(3.7.14)

в (3.7.9), . так как вариация би (^) не является произвольной, а должна приводить к вариациям dx (^), dx (4)^ 山订 совместимым с

即力=W彰(①+谕姦(叨=°,L- c/Х I气丿 ОХ("丿 」

j = 0, ・••”• (3.7.15)

Уравнения (3.7.10) — (3.7.12) и (3.7.14) представляют собой необходимые условия Эйлера —— Лагранжа, а (3.7.13)—— необходимые условия трансверсальности т).

3・8・ Ограничения в виде неравенствма управляющие переменные

Пусть вместо ограничения типа (3.2.1) в виде равенства задано подобное ограничение в виде неравенства

С (и, t) <0.(3.8.1)

Если определить Я* =九7y + L, то, согласно уравнению (2.3.9), получим

3/ = j HZ^U dt= j 6H* (z, X, и, t) dt, (3.8.2) где

仃=一&一九丁启，九Т(七)=力％1力=号；(3.8.3)

предполагается, что конечное время 七 фиксировано, а терминальные ограничения отсутствуют. Если управление 〃(%) минимизи- рует критерий качества, то для всех допустимых значений 6〃 (％) должно быть 3J 參 0. Отсюда следует, что 6Я*》0 для всех t и всех допустимых 8и (%). Таким образом, в каждой точке, удовлетворяющей условию С (〃，％)《0, оптимальное управление и обладает следующими свойствами:

6Я* = Н^8и >0, 6С = Си8и & 0.(3.8.4)

Другими словами, это означает, что величина 8Н* не должна УДучшаться при любой допустимой вариации 8и. В действитель-

')Равенства (3.7.11) —(3.7.13) вытекают из условия трансверсаль- НОСТИ.— Пр им. ред,

-9*

ности справедливо более сильное утверждение, что функция Я* должна быть минимизирована на множестве всех возможных значений а; эта компактная формулировка связана с именами Е. Макшайнат) (1939) и Л. С. Понтрягина (1962) и известна как * «принцип минимума》). Строгое доказательство справедливости приведенного утверждения для задач с сильными вариациями и наличием терминальных ограничений дано Л. С. Понтрягиным (1962). В этом разделе обсуждается лишь частный случай задачи, когда отсутствуют терминальные ограничения и вариации являются слабыми.

Условия (3.8.4) уже были получены в разд. 1.7, но другим способом. Если определить гамильтониан системы следующим образом：

Н =+ L + "С,(3.8.5)

то необходимое условие экстремума Н будет иметь вид

HU=LU + 产九 + ^Си = 0.(3.8.6)

Последнее уравнение совпадает с уравнением (3.2.3), причем в данном случае дополнительно требуется, чтобы

J》0, С — О,П =0, С<0.

Положительный знак множителя р при С = 0 может быть интерпретирован как требование, чтобы градиент Я* = ^fu + Lu был таким, при котором улучшения Я* можно достигнуть только за счет нарушения ограничений.

При решении рассматриваемого класса Задач можно использовать как гамильтониан Н*, так и гамильтониан Н. Переход от одной функции к другой не вызывает затруднений.

Если оптимальная траектория состоит из участков, одни из которых лежат на границе допустимой области (С = 0), а другие ——внутри допустимой области (С < 0), то эти участки должны быть состыкованы так, чтобы были удовлетворены все необходимые условия. В точках стыковки управление и может быть как непрерывным, так и разрывным. Если управление разрывно, то точка стыковки называется угловой. (Такое название возникло из-за разрывности производных по времени нескольких или всех фазовых координат.) Угловой точкой может оказаться любая точка, но более вероятно, что это будет точка соединения участков траектории, а не промежуточная точка, лежащая внутри допустимой области (разд. 3.12). Вообще говоря, не существует метода, с помощью которого можно было бы априори установить существование угловых точек. Если управление 〃(%) непрерывно в точке соединения участков траектории, то из непрерывности 入,дШди и Н следует, что множитель 卩 ⑺ также непрерывен в этой точке.

Пример. Минимизация терминалъной нормы, (нормы конечного состояния) при наличии мягкого и жесткого ограничений 工). Пусть нужно минимизировать критерий качества

(3.8.8)(3.8.8)

(3.8.8)

(3.8.8)

при условиях

х ~ g (t) и [здесь g (%) — заданная функция времени], (3.8.9)

I 4(力 I & 1 (т. е. —1《〃⑺ W 1, или —1 — w & 0,

〃 一 1 & 0)・(3.8.10)

J) D. W. Tufts, D. A. Schnidman, Optimum Waveform Subject Jg both Energy and Scalar Value Constraints, Proc^ IEEE, 52 (Sept. 1964). [Ограничение | 乂 (力 I《1 иногда называют «жестким» в отличие от «мягкого» ограничения вида ^ || w |円 dt《С.— Прим. перев.]

'3gГлаза 3

Гамильтонианы системы имеют вид

н = -^\\u\\2-i-'kTgu + n1 (и — 1) + ц2( — и — 1),(3.8.11)

Я* у [I w И2 + Хт gu;

необх одимые условия:

产=-Яж = 0,厶⑺=九(7)=心X (7);(3.8.12)

/^ = а + a2g (力支(Т).(3.8.13)

Обращаясь к условию (3.8.4), видим, что если 反方>0, то необходимо выбрать 〃。口丁二一1 [для того чтобы было Я^6〃》0 дляОбращаясь к условию (3.8.4), видим, что если 反方>0, то необходимо выбрать 〃。口丁二一1 [для того чтобы было Я^6〃》0 дляФиг. 3.8.1. Типичная программа оптимального управления при наличии ограничения типа насыщения и ограничения на расход энергии.Фиг. 3.8.1. Типичная программа оптимального управления при наличии ограничения типа насыщения и ограничения на расход энергии.

Обращаясь к условию (3.8.4), видим, что если 反方>0, то необходимо выбрать 〃。口丁二一1 [для того чтобы было Я^6〃》0 для

Обращаясь к условию (3.8.4), видим, что если 反方>0, то необходимо выбрать 〃。口丁二一1 [для того чтобы было Я^6〃》0 для

Фиг. 3.8.1. Типичная программа оптимального управления при наличии ограничения типа насыщения и ограничения на расход энергии.

Фиг. 3.8.1. Типичная программа оптимального управления при наличии ограничения типа насыщения и ограничения на расход энергии.

всех допустимых 6〃， удовлетворяющих (3.8.10)]; если 反方=0, то — 1 < z/опт < 1 ； если Я^<0, то wonT + 1- Так как Я* = =u^a^gx (Г), то из приведенных условий вытекает, что

f — 1 при —1 + 〃2g况(т)>о ". е При 〃2g%(7)>]), "(шт={ +1 при l+〃2g^(7)v0(т. е. при a^gx (Т) <—1),

I — 〃2g%(7) при Я^ = 0 и ~l^o^gx{T)^i.

Фиг. 3.8.2. Типичное изменение множителя ц (力)для задачи с ограниченней! типа насыщения и ограничением на расход энергии.Фиг. 3.8.2. Типичное изменение множителя ц (力)для задачи с ограниченней! типа насыщения и ограничением на расход энергии.

Фиг. 3.8.2. Типичное изменение множителя ц (力)для задачи с ограниченней! типа насыщения и ограничением на расход энергии.

Фиг. 3.8.2. Типичное изменение множителя ц (力)для задачи с ограниченней! типа насыщения и ограничением на расход энергии.

Эта интерпретация Я* дает следующее окончательное выражение для оптимального управления:

Монт = —Sat [〃2g ⑺况(Г)],Монт = —Sat [〃2g ⑺况(Г)],(3.8.14)(3.8.14)

Монт = —Sat [〃2g ⑺况(Г)],

Монт = —Sat [〃2g ⑺况(Г)],

(3.8.14)

(3.8.14)

где

Sat(a)—Sat(a)—a,sign a,a,sign a,I a I < 1, la l》l,I a I < 1, la l》l,

Sat(a)—

Sat(a)—

a,sign a,

a,sign a,

I a I < 1, la l》l,

I a I < 1, la l》l,

Задачи оптимизации при наличии оаранмиенм務 на траекторию 135 a n(T) вычисляется из неявного уравнения

%(7) = %о— j g(0 Sat [a^g(t)x(T)] dt. (3.8.15)

Если решение этого уравнения приводит к wonT вида, показанного на фиг. 3.8.1, то получим

囱(%)=№ (%)=囱(%)=№ (%)=—[1 + 〃2g (力)胃(7)],力 1《^W^2,

囱(%)=

№ (%)=

囱(%)=

№ (%)=

О для остальных моментов времени,

[—1 + 〃2g (%) % (7)1，力3W%W%4,

О для остальных моментов времени

+ a2g ⑺ ％ (?) = о при t = h, и % = %2‘

—1 + &2g (t) % (7) = 0 при t =■ t3 и t = t& (фиг. 3.8.2).

3・9・ Л инейные задачи оптимизации; релейное управление

Одной из интересных частных задач оптимального управления является задача, в которой критерий качества, уравнения движения и ограничения являются линейными функциями от фазовых координат и управляющих переменных. В общем случае минимума для подобных задач не существует, если не заданы ограничения типа неравенств на фазовые переменные и/или управляющие переменные. Когда ограничения типа неравенств наложены только на управляющие переменные и эти ограничения линейны, естественно ожидать, что минимизирующее решение, если оно существует, соответствует такому управлению, которое находится в той или иной точке границы области допустимых управлений (см. для сравнения разд. 1.8 о линейном программировании в задачах минимизации функций нескольких переменных). В общем случае на оптимальной траектории происходит одно или несколько переключений управления. Такое управление* называется релейным, поскольку оно мгновенно «перескакивает» из одной точки границы области допустимых управлений в другую точку этой же границы.

В этом разделе будет рассматриваться только задача минимизации времени 1) в самом простом варианте, когда вектор управления имеет только одпу компоненту, т. е. и — скаляр.

Задача па минимум времени перехода из 片(仇)в н (力力 часто называется задачей оптимального быстродействия. — Прим, перев.

Пусть система описывается уравнениями

х = F (t) х + g (t) 〃，(3.9.1)

优(0)=胃0, n — n-мерный вектор,

где величина (скалярного) управления ограничена:

—10〃 (0 & 1.(3.9.2)

Необходимо найти управление 〃(力)，которое переводит систему в состояние

n (tf) = 0(3.9.3)

за минимальное время. Таким образом, в данной задаче минимизируется величина %尸 Поскольку задача линейна, то условие (3.9.3) не представляет собой какого-либо специального случая. Задача перехода системы из произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние n (%) = n, * 0 может быть представлена в рассматриваемой форме, если начало координат перенести в желаемую конечную точку N/ г)・

Используем введенную в разд. 3.8 функцию Н*; для рассматриваемой задачи она имеет вид

Я* =入т (Wn + gw) + 1.(3.9.4)

Для минимизации Я* по и при условии (3.9.2) необходимо, чтобы

〃(%) = <—1〃(%) = <—1при 入TgV0,при 入 Tg>0.при 入TgV0,при 入 Tg>0.(3.9.5)(3.9.5)

〃(%) = <

—1

〃(%) = <

—1

при 入TgV0,при 入 Tg>0.

при 入TgV0,при 入 Tg>0.

(3.9.5)

(3.9.5)

(3.9.в)(3.9.в)Величина 入『g называется (по очевидным причинам) функцией переключения. Условие трансверсальности упрощается:

(3.9.в)

(3.9.в)

[Хт (Fx + gu) + 1卜=加 ~ 0.

Векторное уравнение для функций чувствительности имеет вид

(3.9.7)(3.9.7)饪=—九".

(3.9.7)

(3.9.7)

Для получения решения следует интегрировать совместно уравнения (3.9.1) и (3.9.7), при этом и (%) определяется соотношением (3.9.5); граничные условия: n (0) = х0, n (川 = 0. -Значение tf определяется из условия трансверсальности (3.9.6).

Пример. Простейшая система второго порядка {двойной интегратор). Рассмотрим систему, для которой

N1H N* 胃2 = 〃，一 1《〃 (%)《1・

Если же конечное состояние системы принадлежит некоторой поверхности, а не точке, то для решения задачи применимы методы разд. 3.8, дополненные методами разд. 2.8.

Ввиду простоты этой системы уравнения для функций чувствительности легко решаются:

入 1 = 0, 入1 = const,

一入i,入2 n 入;+ 九1 (%f - %), ^2 ™ const.

Определим функцию переключения

入 Tg =入 2 (%) = * + 储侑一%),

следовательно,

+ 1» 入2 V °，

-1,入2 ＞。.

Из условия трансверсальности (3.9.6) с учетом равенства g (川= =优 2 闯=0 следует

入2 (%f) 〃(%f) ~ —!•

Это соотношение при релейном законе управления 〃 дает

入2 (%) = 1,〃(％) н —1}

ИЛИ

%2 (切=-" u(％) - +l

Так как функция переключения линейна относительно времени (^ ——％), то она может изменить знак не более одного раза. Двигаясь

① и г. 3.9.1. Фазовые траектории и кривые переключения для оптимальной релейной системы второго порядка (типа двойного интегратора).

от tf при и = +1 или и — —1, можно получить кривую переключения в пространстве фазовых переменных. Кривая переключения состоит из двух парабол в пространстве (胃㈠ g) (фиг. 3.9.1):

Управление

Решение

и = + 1

& = tf—t矶=-⑦一力)2/2①1=一碇/2& = tf—t矶=-⑦一力)2/2①1=一碇/2汇i=（方—方/）2/2汇i=（方—方/）2/2勺=碇/2勺=碇/2х2 (i), удовлетворяющее условию 汇2的)工。

& = tf—t

矶=-⑦一力)2/2

①1=一碇/2

& = tf—t

矶=-⑦一力)2/2

①1=一碇/2

汇i=（方—方/）2/2

汇i=（方—方/）2/2

勺=碇/2

勺=碇/2

Xi (i), удовлетворяющее условию Х1 (*/)=。

Фазовая траектория, проходящая через начало координат (линия переключения)“

Если случайно окажется, что начальная точка лежит на кривой переключения, то 〃 = 土 1, причем знаку «+» соответствует %1 > 0, знаку «——» соответствует 力】V 0. Однако в большинстве случаев начальное состояние системы не находится на кривой переключения. В таких случаях значение 〃 = ± 1 нужно выбрать так, чтобы движение системы происходило по направлению к этой кривой. Проверка показывает, что выше кривой переключения 〃=——1, а ниже этой кривой 〃 =十1; типичные траектории (тоже параболы) изображены на фиг. 3.9.1. Закон управления может быть записан в следующем виде:

j 4-1, если Wsgn/zV —2%1 или х^ sgn х2 =—2勺，q>0,

—[——1, если %： sgn 胃2 > — 2胃1 или %； sgn 力2 = 一 2力工,^i<0.

Кривые постоянных значений 力丁 (изохроны) описываются уравнениями

(%2 -切2 = 4 反1 + (存/2)1, если 勺 + %g I 丨 v 0，

(胃2 + 々)2 = 4 [—况！ + (存/2)1, если 3 + %& 丨况2 丨 > 0.

Одна из таких кривых также приведена на фиг. 3.9.1. Отметим, что наклон этой кривой имеет разрыв в точке пересечения с кривой переключения управления. Так как

丄d片2

то вектор 九=(九㈠九2)丁 направлен по нормали к линии 今=const всюду, кроме точки пересечения, с кривой переключения, где направление нормали является неопределенным.

Рассмотрим теперь общий случай задачи оптимального быстродействия. Пусть

入(％) = П， тогда

X (0 =①т (%, 9 п，(3.9.8)

где Ф (力 т)——фундаментальная матрица решений системы (3.9.1)* Подставив это выражение для 入(Zo) в (3.9.5) и (3.9.1), получим

2 (&) = о 尸①(峭力)死一J ①(&, T) g (т) Sgn [/ (г)①丁 偽，T) n]呪 или

& = J ①(力，г) g (г) sgn [gT (г)①T Go, r) n] dx. (3.9.9)

Двухточечная краевая задача по существу состоит в определении п, удовлетворяющего уравнению (3.9.9) для заданного 胃0. Если значение %, фиксировано, а п изменяется, то интеграл (3.9.9) дает такие значения х0, двигаясь из которых можно достичь начала координат за время ^ — /0 с помощью управления, удовлетворяющего всем необходимым условиям оптимальности. Таким образом можно получить кривые постоянных значений tf — t0 в пространстве х (изохроны), аналогичные показанным на фиг. 3.9.1

Численное решение уравнения (3.9.9) проводится следующим образом：

Задается некоторое значение т] и вычисляется 刀丁① 与 刀丁乂

X J ①(耳，T)gsgn[gT①「(％, T)nl dT, при этом интегрирование про- водится до такого значения 方,,при котором интеграл достигает величины 刀丁胃0・ Это значение t^ вообще говоря, должно быть меньше, чем оптимальное значение 当；в противном случае оказалось бы, что существуют такие 淤(/),乡 и 瞰，что для 券 V tf

『J ①伉，T) g (т) sgn [gT (т) Фг «о, T)咱 dT =

■=『J ①(力，T)g(T)sgn[gT(T)(I)T(%, T)n]dT, (3.9.10)

но это равенство не может быть справедливым, поскольку выраже- пие в правой части возрастает с максимальной скоростью.

Значение 刀 изменяется так, чтобы(о приблизилось к 况°; например, можно взять

§П = Е (д — о)),8 >0.

Интегрирование повторяется, как описано в п. «а», до тех пор, пока 6， увеличиваясь, не достигнет 力又

В изложенной схеме реализуется метод последовательных приближений по п，разработанный Нейштадтом [2.8]. Успех при решении зависит от непрерывности т] по х0. Таким образом, следует - ожидать трудностей вычислительного характера, если %° находится на кривой переключения или вблизи этой кривой (фиг. 3.9.1).

Если система (3.9.1) неустойчива при м = 0, то, очевидно, существует область начальных значений х (0), для которой ограниченное управляющее усилие g(t)u, —1 & 辽 &1, недостаточно велико, чтобы превзойти член F(t)x. Это означает, что система не может быть переведена в точку 胃=0 из указанной области начальных значений.

Аналогично, если система п. «а» не является полностью управляемой, то в общем случае невозможно перевести эту систему в точку % = 0.

Задача 1. Сформулировать дискретный вариант линейной задачи на быстродействие (считая для простоты управляющую переменную скаляром) и показать, что предположения об устойчивости и управляемости системы непосредственно связаны с разрешимостью линейного уравнения Аи = Ъ для некоторых заданных Л и & [см. формулу (3.9.9)].

Задача 2. Для дискретной системы

h；:][為卜广卜(力,1^)15 = 0,1,2,...,

определить на плоскости (^,出2)области начальных состояний [%! (0),胃2 (0)], которые могут быть переведены в начало координат соответственно за один, два, три и четыре шага (см. задачу 3),

Задача 3. Для непрерывной системы

"00"00;]["+[;卜小⑴9;]["+[;卜小⑴9方0 = 0,方0 = 0,

"0

0

"0

0

;]["+[;卜小⑴9

;]["+[;卜小⑴9

方0 = 0,

方0 = 0,

определить при ^ = 1, 2, 3, 4 области в пространстве начальных состояний 胃о, из которых возможен переход в начало координат. Полученный результат сравнить с решением задачи 2.

Задача 4. Пусть требуется минимизировать критерий качестваJ = П % (*『

для системы, описываемой уравнением

胃=歹胃 + Gw, х (0) = /о, tf задано,

с учетом ограничения

I 以（方）y 1.

Показать, что критерий качества достигает минимального значения /мин >0 при релейном управлении. Изобразить решение графически [аналогично фиг. (3.9.1)].

Задача 5. Недемпфированный осциллятор с ограниченным управлением [2.9]. Система описывается уравнениями

勺=/2,/2 ——% 1 +-1 wm(%)w!■.

Уравнения для функций чувствительности в этом случае легко решаются:

Zi =九* 入2 ———入i, отсюда 脑=% cos (Г ——％) + 仇 sin (T — %),

入2% sin (T -方)—仇 cos (T -方).

Функция переключения определяется соотношением

产g -入2 (力).

Условие трансверсальности (3.9.6) в этой задаче имеет вид

入 2(Т)〃(Т)+ 1 = 0.

Поскольку на управление и (%) наложено ограничение, то 入2 (Т) 士 1, откуда следует & = ± 1.

Построить в пространстве фазовых переменных (&, &) кривые переключения управления и кривые постоянных значений (力『一力°).

Задача 6. Система второго порядка описывается уравнениями

X = V, U = U,

где х, V — скалярные фазовые переменные, и — скалярная ограниченная управляющая переменная:

—1 & 〃 & 1.

Заданы величины х (0) — х01 и (0) = и。и %; найти управление и (力)，минимизирующее критерий качества

J \\u(t)\dtопри заданных терминальных ограничениях

胃(*) = 0, V (切=0.

Рассмотрите лишь случай, когда и。》0, %о》——^^и；, предполагая, что tf >(^у)Мин, где (^/)Мип ~ минимальное время, за которое система может перейти из состояния (胃°, р0) в состояние (0, 0) при —1 & 立 & 1.

Покажите, что в этом случае управление должно быть релейным с зоной нечувствительности, т. е.

(—1, О W % V

и —0,力i《％ V办

I + 1?力2W%W/，

где моменты переключения 厶 и % определяются соотношением

；｝ = 4" [* + "。干 m 侑一分尸 一 (4g + 2喲]

今》Ug + 丿4况0 4" 2党=(^/)МИН«

3.10. Ограничения в виде неравенств на функции управления и фазовых координат

Пусть вместо ограничения типа равенства (3.3.1) задано соответствующее ограничение в виде неравенства

С 3, и, 0 & 0.(3.10.1)

Эта задача ОпределимЭта задача Определимрешается таким же способом, как гамильтониан системырешается таким же способом, как гамильтониан системызадача взадача вразд. 3.8.разд. 3.8.

Эта задача Определим

Эта задача Определим

решается таким же способом, как гамильтониан системы

решается таким же способом, как гамильтониан системы

задача в

задача в

разд. 3.8.

разд. 3.8.

гдегдеJ >0, с = о,"(=0, с<о.J >0, с = о,"(=0, с<о.(3.10.2)(3.10.2)(3.10.3)(3.10.3)

где

где

J >0, с = о,"(=0, с<о.

J >0, с = о,"(=0, с<о.

(3.10.2)

(3.10.2)

(3.10.3)

(3.10.3)

УравненияУравненияЭйлера — Лагранжа имеют вид• T(一a一九T/先一H^xj九=~HX^\-LX-^Эйлера — Лагранжа имеют вид• T(一a一九T/先一H^xj九=~HX^\-LX-^С = 0, С<0.С = 0, С<0.(3.10.4)(3.10.4)

Уравнения

Уравнения

Эйлера — Лагранжа имеют вид

• T(一a一九T/先一H^xj

九=~HX^\-LX-^

Эйлера — Лагранжа имеют вид

• T(一a一九T/先一H^xj

九=~HX^\-LX-^

С = 0, С<0.

С = 0, С<0.

(3.10.4)

(3.10.4)

Заметим, что здесь появился член fxCx, которого не было в задаче, рассмотренной в разд. 3.8. Управление и (力 определяется из необходимого условия экстремума

Ни = Lu + 产九 + Mu = 0・ (3.10.5)

Если С < 0, то pi = 0 и условие (3.10.5) определяет и (力.Если же С = 0, то уравнения (3.10.1) и (3.10.5) решаются совместно для получения 〃(力 и [х «);卩(/) содержится в выражении (ЗЛО.4).

При решении конкретной задачи оптимальная траектория может состоять из участков, одни из которых лежат на границе допустимой области, а другие ——внутри допустимой области. Эти участки должны быть состыкованы так, чтобы были удовлетворены все необходимые условия оптимальности. Как и в разд. 3.8, точки соединения участков траектории могут оказаться угловыми, т. е. в этих точках может нарушаться непрерывность вектора управления.

3・//・ Ограничения в виде неравенствна функции фазовых координат

Пусть вместо ограничения типа равенства (3.4.1) задано соответствующее ограничение типа неравенства

S (^, D &0.(3.11.1)

Будем считать для простоты, что S и % — скалярные величины.

Так же как в разд. 3.4, возьмем полную производную по времени от выражения (3.11.1) и подставим / (况,и, %) вместо х. Если полученное выражение для S не содержит явно управления и (力， то будем повторять дифференцирование до тех пор, пока получим g-ю производную от S (况，力，которая будет зависеть от и явным образом. В этом случае выражение (3.11.1) называется ограничением q-го порядка типа неравенства на переменные состояния. Функция S«> (况,u, %) — q-я производная от S — играет здесь ту же роль, что и функция С (况,и, %) в разд. 3.10. Гамильтониан системы

где

= 0

Н = L + TJf + fiS ⑺，

на границе допустимой области,

(3.11.2)

т. е. при S = 0,

(3.11.3)

[X = 0

внутри допустимой области, т. е. при S V 0.

(3.11.4)

Уравнения Эйлера -

一 Лагранжа для этой задачи легко

получить

из уравнений (3.10.4), (3.10.5) заменой С на S⑺.

Необходимое условие для функции чувствительности 卩(/), как и в разд. 3.10, определяется неравенством

[х ⑺ > 0 на S = 0 в случае минимизации J. (3.11.5)

Поскольку воздействие на функцию S (况，? может быть получено лишь за счет изменения ее ^-й производной по времени, то не существует конечного управления, которое могло бы удержать систему на границе допустимой области, если траектория при

входе на эту границу не удовлетворяет следующей системе тангенциальных (касательных) ограничений:

~S(£, %) 一

3飞,力 =0. (3.11.6) 一£3%, /).

Очевидно, эти тангенциальные ограничения должны удовлетворяться и при сходе с границы допустимой области.

Уравнения (3.11.6) образуют систему граничных условий во внутренних точках； подобные условия уже рассматривались в разд. 3.5. Следовательно, функции чувствительности % (» в общем случае разрывны в точках соединения участков траектории, одни из которых лежат на границе допустимой области, а другие —— внутри этой области.

Из соображений удобства в качестве точки, удовлетворяющей внутренним граничным условиям, можно выбирать точку входа на границу допустимой области). Таким образом, множители 九(%) и Н разрывны в точке входа на границу допустимой области (при % = %，и непрерывны в точке схода с границы.

Если q величин в (3.11.6) назвать вектором N (花,力,то «условия скачка» в точке входа определяются непосредственно из (3.5.4) и (3.5.5). Как и в разд. 3.8, точки входа на границу допустимой области и схода с нее могут оказаться угловыми, т. е. точками, в которых вектор управления терпит разрыв.

Отметим, что ограничение типа неравенства на управляющие переменные можно рассматривать как частный случай ограничения типа неравенства на фазовые переменные, если ，= 0・ Поскольку при этом вектора N не существует, то множители 九(力， а также гамильтониан Н в точке 力=厶 непрерывны.

Другие способы решения поставленной в данном разделе задачи состоят в том, что: а) число параметров состояния сокращается до п — на участках оптимальной траектории, лежащих на границе допустимой области, или б) само ограничение S (力,力),а не S(P (花,м, %) прибавляется к гамильтониану ).

Пример 1. Задача。брахистохроне с ограничением первого порядка типа неравенства на фазовые координаты. Пусть система описывается уравнениями

х = (2gy)“2 cos 0, yg (2gp)"2 sin 0,花(0) == у (0) = 0,

наклона траекториинаклона траекториигде х ——горизонтальная дальность, р — высота (положительное направление——вниз), g ——гравитационное ускорение, 0 ——угол

наклона траектории

наклона траектории

к горизонту (фиг. 3.11.1).

Фиг. 3.11.1. Задача о брахистохроне при наличии ограничения в виде неравенства на фазовые координаты.

Нужно определить 0 (X), при котором прямая х = I достигается за минимальное время, с учетом ограничения yW K；rtg@-]-无,0 и h ——постоянные величины.

Это ограничение является ограничением первого порядка типа неравенства, так как выражение S = z/ — ^tg0— Д^О не содержит управляющей переменной 0 (/), а М = (2gy)】/2 义 X sec 0sin (0 — 0) уже содержит управляющую переменную. Ясно, что на прямой S = 0 выполняется равенство 6 = 6 (это следует из условия S = 0).

Решение, не содержащее граничных участков (оно имеет место, если h/l > 2/л [1 — (л/2 — 0) tg 0]), имеет вид

9(/) = -^ —И/, где «= (^у)1/2；

I я \2/ I л '

—^ —минимальное значение конечного времени;

К — — s/g, % = — ^ ctg со/, где dtf = %хбх + %6р;

Я =脑花+%y+1 = 0.

Решение, содержащее . граничный участок (т. е. при Л/Z < 2/л х X [1 ——(л/2 —0) tg0]) имеет следующий вид:

^2s曲 0《力《力,

'

< 82 (U - %), %2总力4力力

1/2 и различных значениях hit.1/2 и различных значениях hit.на фазовые координаты при tg 0на фазовые координаты при tg 0О-л/2 + ctgO \1/2О-л/2 + ctgO \1/2,./ ? 9 + ctgO у 网“CtgG丿,./ ? 9 + ctgO у 网“CtgG丿Ф иФ игдегдел/2— 9厶=^：，л/2— 9厶=^：，*12=盛，*12=盛，

1/2 и различных значениях hit.

1/2 и различных значениях hit.

на фазовые координаты при tg 0

на фазовые координаты при tg 0

О-л/2 + ctgO \1/2

О-л/2 + ctgO \1/2

,./ ? 9 + ctgO у 网“CtgG丿

,./ ? 9 + ctgO у 网“CtgG丿

Ф и

Ф и

где

где

л/2— 9

厶=^：，

л/2— 9

厶=^：，

*12=盛，

*12=盛，

今=["I (Z 十九 Ctg 9) (9 + ctg 0)]1/2 — [-у- ctg 0(0 — л/2 + ctg 研”一

минимальное значение конечного времени;

九х (幻 г 九％ 境)=—No tg °，％ (%i)—厶!/ (%；) = No，

где jx0 — (ctg 6/g) (co2 ——si)・ Заметим, что 卩о т 0 и % f /2, если hll -> 2/л [1 一 (л/2 — 9) tg 0]. В этом случае

h =九也+九w +1 = 0 на 0 w力w 小

На фиг. 3.11.2 представлены решения при tg 6=1/2 для нескольких значений 无〃.

Пример 2. Минимизации энергии при наличии оераниченин второго пор凡Ока типа неравенства на фазовые координатых). Пусть система описывается уравнениями

X — V,

Этот пример предложен Дж. В. Бреквэллом.

V (0) = —р ⑴=1, £ (0)=况(1) = 0.

Требуется определить управление а (%)，минимизирующее критерий качества

J —у j a dt,

о

с учетом ограничения 况(％) W Z. Поскольку S = £ —— 2Hs =и не содержат явно а (/), а М = а (力 ——явная функция управляющей переменной, то заданное ограничение 况(力)《Z является ограничением второго порядка типа неравенства на фазовые координаты. .

Решим сначала задачу при 'Отсутствии граничного участка, т. е. при 2》1/4. Введем Е = ^l^^^ £ (0) = 0 и будем минимизировать Е (1). Уравнения Эйлера —— Лагранжа имеют вид

3 =一儿， 員 ~ 0, 除=0, m=-底% + const,九％ const, 九e const —- 1, d ——九и*

Далее задача решается просто:

〃 =—2, " = 1 — 2%, £ = % (1 — %), Откуда 况макс = 1/4, 統=—а = 2, К = 0, J — 2, Н =爲/ + %Dp + 贏力=—2a

При значениях параметра Z, лежащих в диапазоне —1/6 &2&1/4\ решение касается границы 况=2 и имеет следующий вид х):

ОКУ%, %<У 1；ОКУ%, %<У 1；0&У/2, 72<^<1； 0WV/2, ，2<У 1；(S здесь не0&У/2, 72<^<1； 0WV/2, ，2<У 1；(S здесь не(—8(1—32) + 24(1—42)%,

ОКУ%, %<У 1；

ОКУ%, %<У 1；

0&У/2, 72<^<1； 0WV/2, ，2<У 1；

(S здесь не

0&У/2, 72<^<1； 0WV/2, ，2<У 1；

(S здесь не

[—8(1 — 3Z) + 24(1_42)(1 — %),

J 1-8(1 - 32)%+12(1—42)%2,

j -1 + 8(1-3Z) (l-/)-12(l-4Z) (1-Z)2,

_J %_4(1 —32)%2+4(1-42)%3,

£ = j l—W — 4 (1 — 32) (1 —方)2十4(1— 42)(1 _%)з,

%и - -а, откуда м(% - 0) 一 統(% + 0) = 0 используется);

九算—"九算—"24(1 — 42), -24(1-4Z),24(1 — 42), -24(1-4Z),0总% W%, 1/2<^<1-0总% W%, 1/2<^<1-

九算—"

九算—"

24(1 — 42), -24(1-4Z),

24(1 — 42), -24(1-4Z),

0总% W%, 1/2<^<1-

0总% W%, 1/2<^<1-

Отметим еще, что

h(1/2 — 0) — "(％ + о)= 48 (1 - 4Z),J = 2 十 6 (1 - 4Z)2,

H = _8 (1 - 6Z)2.

При значениях l в диапазоне 0 V 2 V 1/6 решение имеет вид

а = ] о,

I о£ \

и = 0?

О&У32, 3Z</<1 —3Z, 1 ―■ 3Z w 力 41 ；

0</<3Z, 32<7W1—32, 1 — 3Z м % w 1;

0</<3Z, 3y。-32, 1 — 31《t V1;

0<^<3Z,

заметим, что 九^(32 —0) — m (32+0) = (%步)(% — 2),

Задачи (ттилшза^ии при наличии оераничений 况а траенторгио 149 с ограничениями второго порядка типа неравенств на фазовые координаты.

Фиг. 3.11.3. Оптимальные траектории в задаче о минимуме энергии при наличии ограничений в виде неравенств на фазовые координаты (при различных значениях Z).

А ——параболы, не выходящие на границу допустимой области (2 > 1/4); В ——кубические параболы, касающиеся границы допустимой области лишь в одной точке (1/6 & 2 W 1/4); В — части кубических парабол, разделенных отрезком прямой х= I = const в точках бифуркации t — 3Z и t=l — 3Z (0 ^ Z ^ 1/6).

% _/2/9卅 0<^e3Z,К一( 一2/諸，3Z<^<1.

Заметим еще, что %ж (3Z — 0) — %х (3Z + 0) — 4/9Z2, J = 4/92, H = 0. На фиг. 3.11.3 представлены решения для различных значений I. Наиболее интересной особенностью этих решений является то, что оптимальная траектория касается границы допустимой области только в одной точке для целого диапазона значений параметра I (1/6 W I《1/4) и что только одна из функций чувствительности, а именно 九冷 претерпевает при этом разрыв. При 0 V 2 V 1/6 траектория находится на границе допустимой области некоторое конечное время, и уже оба множителя %х и 九^ в этом случае разрывны. Такая картина типична для задач

Задача г). Пусть система описывается уравнениями

£1 =£2,^1 (0)> 0]勺(切=0,

.Iзаданы,

£2=U；£2(0)J比2(力)=。，

Iu⑶I W，,一况2 w卩 >。.

Определить управление и (/), минимизирующее %, в предположении, что для заданных начальных условий решение задачи существует.

Предложена В. Денхэмом.

Раздельное определение участков траектории в заОа”а况 с ограничениями в виде неравенств ма фазовые координаты

Пусть в задаче оптимизации заданы ограничения типа неравенств на фазовые координаты, и пусть оптимальная траектория содержит в средней части только один участок, лежащий на границе допустимой области. Если «вклад» этого участка в критерий качества зависит только от значений одной из переменных в точках входа и выхода на границу допустимой области (это может быть либо время 友 либо одна из фазовых координат х；)т то оказывается возможным раздельное (независимое) вычисление участков траектории, не лежащих на границе допустимой области. По определению «вклад» в критерий качества участка траектории, лежащего на границе допустимой области, определяется выражением

土 2

AJ (片，/2) — j Л (х, u, /) dt.(3.12.1)

Если этот интеграл можно представить в виде функции, зависящей только от его конечных точек, т. е. в виде х) ，

А/ (厶，力2)= g 反 «JI — g [支(幻I(3.12.2)

или

AJ (%,力2)= g (方2) — g (力f),(3.12.3)

то два остальных участка траектории, не лежащих на границе допустимой области и соответствующих интервалам времени % V % W % и 力2 W % W 办, могут быть определены независимо друг от друга.

В самом деле, представим критерий качества J в виде

J= ф [£(%力，川 +，£(%, х, %) d% = Ji +厶， (3.12.4) где

乙=J L (x^ u, Z) dt~ g[x{t^\,(3.12.5)

丿2=步[£怡)，&I+ j £ (羽 u, t) dt + g[x (Z2)].(3.12.6)

Или в несколько более общем виде： А/ = g2 [%，忆 〃2)] — gi "i,讶(编] [сепарабельная (разделимая) функция концов интегрирования].— Прим, пер ев.

Критерии качества J「J2 и ограничения во внутренних точках типа (3.11.6) в моменты времени 玄 и ^2 не зависят друг от друга, поэтому соответствующие участки траектории, не лежащие на границе допустимой области, могут определяться раздельно.

Пример 1. Задача о брахистохроне при наличии ограничений на фазовые координаты (см. пример 1, разд. 3.11). В рассматриваемой выше задаче о брахистохроне требовалось минимизировать ". Эту величину можно представить в виде

力=j¥ =厶+ j 半■ + & _5о н & н

На участке траектории, лежащем на границе допустимой области, выполняются равенства 0 = 0 и y = %tg@ +无；следовательно,

k((2)8a2)

dxГ —

cos 0 1/2^ 工)cos 6丿2g (н tg© + 3

cosec 0 [Jn &2)tg© +无—/% ⑷ tg。—司

Jti — J2y (幻/gcosec9,丿2 = " — %2 + U2y (%2)/g cosec0.

Полученное решение, конечно, следует проверить, чтобы убедиться, что у (7)& У (办

Пример 2. Минимизация энергии (см. пример 2, разд. 3.11). В этом примере возможность раздельного вычисления участков траектории совершенно очевидна, поскольку а — 0 на границе допустимой области. Таким образом,

^ \ a?威，，2 =彳 J a2 dt.

О

Полученное решение следует проверить, чтобы убедиться в справедливости неравенства 厶 & 看2・

Более глубокое рассмотрение поставленных в данном разделе вопросов и соответствующий численный пример можно найти в работе [2.21*].

3・/3・ Условия в угловых точках

В задачах оптимального управления, особенно в тех, в которых заданы ограничения типа неравенств на управляющие переменные и/или фазовые координаты, управление и (/) может претерпевать

разрывы. Другими словами, угол наклона фазовых траекторий может изменяться скачком. По этой причине точки разрыва управления и (力 называются угловыми точками. В данном разделе будут сформулированы условия, которые должны выполняться в угловых точках для различных типов задач оптимального управления.,

Будем обозначать через t~ момент времени слева от угловой точки, а через 户一момент времени справа от угловой точки. Справедливы следующие соотношения:

Для задач без ограничений на фазовые координаты и для задач с ограничениями типа неравенств на управляющие переменные

% (Г)=九(户)，(3.13.1)

Я (Г) = Я(^),(3.13.2)

儿(Г) = % (露.(ЗЛЗ.З)

Для задач с ограничениями типа неравенств на фазовые координаты:

в точке входа на границу допустимой области

Ат (г) = V1 (露 + nrNxi(3.13.4)

Я (Г) = Я (户)-л^,(3.13.5)

儿(广)=ни (霜，(3.13.6)

где условие N (花,/) = 0 заменяет q ограничений S (花，力=0, М (花,力= =0. . .S(…)(方，力 0；

в точке выхода с границы допустимой области должны выполняться условия (3.13.1) —— (3.13.3).

Пример. Рассмотрим пример задачи без ограничений типа

неравенств, оптимальное решение которой содержит

угловые

точки. Пусть

9

J = j {—[□(%) — 〃《)]2 + 壮⑺} dt,

(3.13.7)

X = U^X (%) ^ 花0,况(//)=花/；

(3.13.8)

здесь а (力)一

известная функция времени. Для этой

системы

兀=0, откуда 九—const,

(3.13.9)

Н (и, К, t) ~ ^и — [и — а (%)]2 + и4,

(3.13.10)

hu = 0 = 4口3 — 2u + [九 + 2a (力].

(3.13.11)

Ф и г. 3.13.1. Возможные виды зависимости Н от угловой точкой, в угловой точке и послеФ и г. 3.13.1. Возможные виды зависимости Н от угловой точкой, в угловой точке и послеПоследнее уравнение имеет в общем случае три решения для и. Всегда возможно выбрать функцию а (0 так, чтобы зависимость Н от и перед некоторым фиксированным моментом 厶,точно в этот

Ф и г. 3.13.1. Возможные виды зависимости Н от угловой точкой, в угловой точке и после

Ф и г. 3.13.1. Возможные виды зависимости Н от угловой точкой, в угловой точке и после

и непосредственно перед угловой точки.

момент и сразу же после момента 玄 была такой, как показано на фиг. 3.13.1. В этом случае в момент 力 значение управляющей: переменной и изменяется скачком с щ на и2 г). Таким образом, 玄一угловая точка.

Задача 1- Показать, что для задачи минимизации критерия качества вида т

J= f F(x, х, t) dt

(т. e. для простейшего функционала вариационного исчисления) условия в угловых точках (3.13.1) —— (3.13.3) сводятся к условиям Вейерштрасса —— Эрдмана для угловых точек в классических вариационных задачах -

(3.13.12)

① 一^4儿一=（ь 一^r）%① 一^4儿一=（ь 一^r）%(3.13.13)(3.13.13)

① 一^4儿一=（ь 一^r）%

① 一^4儿一=（ь 一^r）%

(3.13.13)

(3.13.13)

Задача 2. Описать ситуацию, когда оптимальная траектория покидает границу допустимой области при непрерывном управлении u⑺.

1) Это заключение непосредственно следует из принципа минимума (разд. 3.8), в соответствии с которым из трех возможных решений уравнения (3.13.11) должно выбираться то, при котором функция Н (м) имеет абсолютный минимум. Поскольку &u=(2i? ——2, то Яии < 0 при —< VuVl/Д/б и Нии > 0 при 1/Д/б С и <—1/"|/б. Таким образом, Н (и) может иметь локальные минимумы на полуинтервалах 1/"1/б《м<?8, и — оо V м & —1/^6, разделенных отрезком — 1/"|/б & м & 1/"|/б. Если функция a (Z) выбрана так, что в момент i = 力 ——0 — 力q абсолютный минимум Я (и) достигается в точке % £ [1/"|/б, оо) (фиг. 3.13.1,а), в момент 力= 厶 一 в двух точках uj £ ["Д/S оо) и & € (— °°, —1/"б] (фиг. 3.13.1,6), а в момент 方=厶 +。= 咛一в точке u2 £ [— оо, —1/~|/б) (фиг. ЗЛЗЛ,в)г то в момент 玄 происходит переключение с % на и2.一 Прим, перев.

Оптимальное управление с обратной связью1)

4・/・ Понятие о поле экстремалей

В предыдущих разделах исследовались задачи программирования оптимальных траекторий, которые в соответствии с терминологией теории автоматического регулирования следует отнести к задачам оптимального управления по разомкнутому контуру 2). В этих задачах требовалось отыскать оптимальную управляющую функцию 3) и (°, которая переводит систему из заданного в момент 力0 начального состояния х (力0) на некоторую заданную терминальную гиперповерхность (гиперповерхность конечных состояний), определяемую общими краевыми условиями (терминальными ограничениями) вида 2 历(切，М — 0.

Обратим теперь внимание на то, что любая точка, лежащая непосредственно на оптимальной траектории между исходной начальной точкой ［优(力°), ^01 и заданной терминальной гиперповерхностью, является возможной начальной точкой для одинаковых оптимальных управляющих функций4); таким образом, каждой точке ［况(力)，Н, расположенной на этой оптимальной

Задачу отыскания оптимального управления с обратной связью в отечественной литературе называют задачей синтеза или же задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов.— Пр им. пер ев.

Такое название по существу оправдывается тем, что при управлении по заданной программе и (£) сигналы о фактическом, реальном движении не используются, и эти сигналы никак не влияют на формирование управляющего воздействия.— Прим, перев.

з)с целью уточнения следует заметить, что ранее были рассмотрены лишь некоторые из необходимых условий первого порядка, с помощью которых можно определить оптимальное u(t); в гл. 6 будут рассматриваться достаточные условия оптимальности и (£)*

4)Авторы, видимо, имеют в виду следующее. Пусть и (爲 ％《£ & 力尸― оптимальное управление, соответствующее траектории, начинающейся в точке £ (%) = £о и заканчивающейся в момент 与 на заданной гиперповерхности конечных состояний. Выделим на этой оптимальной траектории некоторую промежуточную точку /(£‘) = о/, соответствующую моменту времени £‘, %《产& "« Тогда оптимальным управлением 优(*) для траектории, начинающейся в точке (с，, У) и заканчивающейся на той же самой гиперповерхности, будет та часть оптимальной управляющей функции и «), которая соответствует отрезку времени Y《£ & tf. Другими словами, функций и ⑴ и ^ (0 совпадают на отрезке / & £《"• Справедливость этого утверждения легко доказывается от противного; оно является одним из фундаментальных свойств оптимальных управлений.— Прим, ред.

траектории, соответствует значение оптимального управляющего вектора и (力)в этой точке. Если, однако, необходимо найти оптимальную управляющую функцию, которая переводит систему на заданную терминальную гиперповерхность, но уже из точки, не лежащей непосредственно на оптимальной траектории из точки [х (力0),力oL то следует решить другую задачу оптимального про- граммирования, в которой в качестве начальной выбрана эта новая точка. В задачах автоматического управления часто возникает необходимость определения оптимальных управляющих функций и (/), которые переводят большое количество различных начальных точек на заданную терминальную гиперповерхность, поскольку начальные состояния системы или моменты начала движения могут быть заранее неизвестными. Чтобы охватить эту ситуацию, приходится вычислять семейство оптимальных траекторий так, чтобы любая из возможных начальных точек либо находилась на одной из вычисленных оптимальных траекторий, либо лежала в непосредственной близости от нее. В вариационном исчислении такое семейство называется полем экстремалей I).

Вообще говоря, через каждую фиксированную точку [况(/), t] проходит только одна оптимальная траектория, ведущая на заданную терминальную гиперповерхность, и каждой точке в этом •смысле соответствует единственное оптимальное управление и0 (力)纟) Следовательно, можно записать

и0 = и。(况，X). (4.1.1)

Это закон оптимального управления с обратной связью, так как вектор управления теперь задается как функция текущего состояния 优(％) и текущего момента времени t 3) 4). На фиг. 4.1.1 для

*1) В рамках данной вариационной задачи поле экстремалей представ

ляет собой некоторое семейство программ, характеризуемое заданными граничными условиями.— Прим, ред.

В гл. 6 будет показано, что происходит в тех необычных ситуациях, :; когда через заданную точку проходит более одной экстремали (см. разд. 6.3, ；примеры 1—3 и задачи 1, 2).

Такая схема управления с обратной связью часто называется явной схемой управления (наведения),

4)Это определение не является общепринятым в классической теории регулирования. Закон управления с обратной связью, рассматриваемый в этой теории, относится к методам управления по замкнутому контуру ；」 и существенно опирается на информацию как о реальном(£, £), так и о запрограммированном движении ^ир (力，ипр ⑺.Поэтому форма оптимального закона управления с обратной связью, общепринятая в классической теории регулирования, будет такова:

= wnp «) + м； (у，£) = 回 £),(*)

где у = £ — ■Тир (£). Эта разница существенна, ибо задача определения закона (*) требует первоначально применения к исходной вариационной задаче программирования концепции Ляпунова возмущенного-невозмущенного дви-

S

системы с одной фазовой координатой х изображены оптимальные траектории и несколько линий уровня и° — const. Заметим, что

Фиг. 4ЛЛ. Семейство оптимальных траекторий и линии уровня u° = const.

А 一 терминальное ограничение г|? (х, t) — 0; Б — оптимальные траектории; В — линии уровня u°= const.,

в этом случае терминальная гиперповерхность 屮(瑞 /)=0 представляет собой просто кривую в плоскости (况，/).

Фиг. 4.1.2. Семейство оптимальных траекторий и линии уровня оптимального значения критерия качества /°.

А — терминальное ограничение 屮(х, t) = 0； в — оптимальные траектории; В — линии уровня J°—const.

жения и составления дифференциального уравнения возмущенного движения относительно переменной у. Это существенно не только математически, но и физически, поскольку информация о реальном движении £, u, t должна доставляться измерительными приборами, в которых шкала отсчета имеет нулевое деление, отвечающее запрограммированному движению ^пр, ипр.

Закон обратной связи (*) определенно совпадает с (4.1.1) лишь тогда, когда л：пр =我口卩=0, и правая часть уравнений движения обращается тож- дейстенно в нуль при 2rlp = 〃口р = 0.— Пр им. ред.

Если фиксирована некоторая начальная точка (花,办 и определена оптимальная траектория, ведущая из этой точки на терминальную гиперповерхность, то имеется единственное значение критерия качества J°, соответствующее этой траектории. Таким образом, можно рассматривать оптимальное значение J° критерия качества J как функцию одной только начальной точки (花,％), т. е.

j。= J。к，/).(4.1.2)

Функция J。3，%) называется иногда функцией оптимального качества, В одномерном случае кривые постоянных значений 丿° могут быть нанесены на плоскости (х,力，как показано на фиг. 4.1.2. Такие кривые постоянных значений J。подобны «волновым фронтам», а оптимальные траектории ——«лучам». Однако в общем случае эти лучи не ортогональны волновым фронтам; в этом состоит, в частности, отличие от задач оптики, где лучи ортогональны волновым фронтам, поскольку вектор г пропорционален вектору X (см. задачу 2 разд. 2.7 и задачу 1 разд. 3.2).

Один из аспектов классической теории Гамильтона ——Якоби связан с нахождением дифференциального уравнения в частных производных, которому удовлетворяет функция оптимального качества J°. Имеется также (векторное) дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет закон оптимального управления и° (花,力.Беллман обобщил теорию Гамильтона ——Якоби на дискретные многошаговые системы и-комбинаторные задачи и назвал эту обобщенную теорию динамическим программированием. Подход к решению поставленной задачи с позиций этой теории будет обсуждаться в следующем разделе данной главы.

Стационарные системы. Если уравнения, описывающие движение системы, а также ограничения и критерий качества не являются явными функциями времени и если конечное значение времени tf не задано, то закон оптимального управления, оптимальное значение критерия качества и время перехода не зависят в свою очередь явно от времени, т. е.

и0 二 и。(£),(4.1.3)

J° =尸⑴，(4.1.4)

Т° = 7。(»(4.1.5)

Такие системы будем называть стационарными системами г).

Пример. В примере 1 разд. 2.7 рассматривалась простая стационарная система и была найдена траектория минимального

1) В задачах оптимального быстродействия, в которых минимизируется время перехода, функция оптимального качества совпадает со временем перехода, т. е. Q) =「)(£).

ф и г. 4.1.3. Оптимальные по быстродействию траектории корабля, плывущего через область с линей- * но изменяющейся скоростью течения, и линии постоянных значений угла курса гр.

Фиг. 4.1.4. Оптимальные по быстродействию траектории корабля, плывущего через область с линейно изменяющейся скоростью течения, и линии постоянных значений времени, оставшегося до прибытия (изохроны).

времени перехода материальной точки из заданной начальной точки в начало координат в области с линейным изменением скорости течения. Для этой задачи можно довольно просто построить иоле экстремалей, используя полученные выше параметрические уравнения

普=sec 屮一sec 屮力(4.1.6)

今=^ [sec 屮/ (tg 屮/ - tg 屮)-tg 屮(sec 内-sec 屮)+

+ 1口 里力土sec 电](4 17)

У(尸)=tg 屮一tg 屮六(4.1.8)

Строя графики зависимости у (花),полученной на основе уравнений (4.1.6) и (4.1.7) (в которых / и у рассматриваются как функции 屮),при различных значениях 《/ получают оптимальные траектории. После этого кривые постоянных значений критерия качества V (力 一t)/h и кривые постоянных значений управляющего угла 市 могут быть легко получены, если на оптимальные траектории нанести точки одинаковых значений V (/『——力)/无 и 屮 и затем соединить их кривыми (фиг. 4.1.4 и 4.1.3 соответственно).

Задача. Построить графики, подобные приведенным на 巾hf. 4.1.3 и 4.1.4, для задачи 5 из разд. 2.7 на оптимальное быстродействие.

4・2・ Динамическое программирование; дифференциальное уравнение в частных производных

Оля оптимального значения критерия качества

Рассмотрим общую задачу оптимального управления разд. 2.7 для произвольной начальной точки (х, Е). Критерий качества имеет вид

J = # 々(力力可+ j L [x (т), u(t),可肌， (4.2.1) движение системы описывается векторным дифференциальным уравнением

花=/ (⑨ и,力)(4.2.2)

с терминальным граничным условием

屮[x (力)，岁=0.(4.2.3)

Оптимальное значение критерия качества, определенное соотношением (4.1.2), для данной задачи имеет вид

J。(怎 t) = min {# [x(tf), ^]+ g £(/, и, t) dt} , (4.2.4) причем на гиперповерхности -ф (х, t) = 0 должно выполняться граничное условие

J。(2, t) |г|)(х, £)=0 ~ ф (怎 ^)* (4.2.5)

Предположим, что функция J° (七,力)существует, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка во всех представляющих интерес точках пространства (%, Е) •

Пусть система движется из точки (花,力)в течение короткого отрезка времени А力 и при этом управление и (/) не является оптимальным. Тогда, согласно уравнению (4.2.2), система достигнет новой точки

Lr + / Q, и, 0 А力 t + AR. (4.2.6)

Предположим, что при дальнейшем движении из этой точки используется оптимальное управление; тогда функция оптимального качества с точностью до членов первого порядка может быть представлена в форме

J° (х +f (芻 u, 0 A力 t + M) + L (怎 u, 0 A力=J1 9 t). (4.2.7)

Поскольку в интервале от 力 до 力 + А力 использовалось неоптимальное управление, то имеет место неравенство

'J。Q, t) & J1 (花，t).(4.2.8)

Знак равенства в (4.2.8) будет справедлив только в том случае, если в интервале от 力 до /, А力 управление и (力)выбирается так, что оно минимизирует правую часть соотношения (4.2.8)

J。(怎 t) = min {J。1花 + /(£, u, О А厶 t + AR + L (花，u, t) A^}・

〃(4.2.9)

Так как по предположению функция J° (a:, t) непрерывна и дифференцируема, то можно разложить правую часть последнего равенства в ряд Тэйлора г) ло х и t

尸(怎 t) = min { J° (怎力)+ -^- / 3，u, О А/ +

+A力+ 上(/, u, t) A»} .(4.2.10)

i) Для получения функционального уравнения метода динамического программирования достаточно, чтобы функция J。была дифференцируема по х, t«——Прим. ред.

11—0102

丄必丄必/лаваа

丄必

丄必

aj。IFaj。IFПоскольку『° и, следовательно, dJ°ldt не зависят явным образом от 〃, то, переходя к пределу при AZ -> 0 в выражении (4.2.10), получим I)

aj。

IF

aj。

IF

=min [厶(瑞 и,才)-)—万-/("，"，")]，(4.2.11)

В разд. 2.3 было показано, что Ашожители Лагранжа 九(Е) являются функциями чувствительности, т. е. бесконечно малые изменения начальных условий dx и бесконечно малое изменение начального момента времени dt вызывают малые изменения критерия качества dJ° в соответствии с равенством

dJ° =九‘(方)dx 一 Н (/) dt,(4.2.12)

где

h (/,九，〃，力)=厶(伤 Е) + #7 (况，方).(4.2.13)

Из равенства (4.2.12) следует, что на оптимальной траектории

九Т三阴手.(4.2.14)

Учитывая соотношение (4.2.13), уравнение (4.2.11) можно переписать в виде

где

НО (怎 ~^' *)=吗Ц"(瑞察"' . (4.2.16)

Уравнение (4.2.15) [или (4.2.11)] называется уравнением Гамильтона —— Якоби — Беллмана. Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое следует решать с граничным условием (4.2.5) 2).

Уравнение (4.2.16) показывает, что и0 является таким значением управления 〃, которое доставляет глобальный минимум гамильтониану Н (/, @/°/@芻 〃,Е) при постоянных значениях 瑞

По поводу возможности перестановки порядка операций минимизации и взятия предела см. работу [4.2].

Уравнение (4.2.11) является основным функциональным уравнением метода динамического программирования. Оно превращается в уравнение в частных производных типа Гамильтона ——Якоби лишь после проведения операции минимизации по переменной и в его правой части и замены и выражением

доставляющим этот минимум.— Прим. ред.

dJQ!dx и 才；это другая формулировка принципа минимума '). Если на и и не наложено никаких ограничений, то, как следует из принятых выше предположений о дифференцируемости и уравнения (4.2.16), управление 〃 должно удовлетворять соотношениям дН dL I dJ° df n// о л

三h + 生=0,(4217)

ди ди ' дх ди

(4.2.18)

для всех t & &; другими словами, каждая компонента вектора дШди должна обращаться в нуль, а матрица 82111dl^ должна быть положительно полуопределенной. Уравнение (4.2.18) является известным в вариационном исчислении условием Лежандра —Клебша 2).

Одним из самых эффективных способов решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа (4.2.15) считается «метод характеристик» 3)/который эквивалентен нахождению «поля экстремалей» с помощью вариационного исчисления.

Существенным недостатком динамического программирования являются трудности вычислительного характера, которые Беллман назвал «проклятием размерности». Запись решения даже умеренно сложной задачи требует очень большого объема памяти. Если нужно определить только одну оптимальную траекторию, начинающуюся из известной начальной точки, то бессмысленно да и утомительно искать все поле экстремалей 4); если же необ-

В СССР и в большей части классических работ гамильтониан Я определяется выражением с противоположным знаком, так что для минимизации. J необходимо максимизировать Н (принцип максимума Понтрягина). [Эта характеристика принципа максимума довольно поверхностна. Относительна различия между принципом максимума Л. С. Понтрягина и методом динамического программирования см. [2.16, 4.6].——Ред.} В качестве уточнения следует указать, что выведенное выше условие минимума является частью доста- точного условия [т. е. если удается решить (4.2.15) и (4.2.16), то управление и, определенное из (4.2.16), будет оптимальным], тогда как принцип максимума непосредственно получается как необходимое условие с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в гл. 2 и 3. Более подробные сведения о связи динамического программирования и вариационного исчисления можно найти в разд. 6.3 и в книге Дрейфуса [4.3].

Заметим, что соотношения (4.2.17), (4.2.18) являются локальным вариантом глобального в пространстве управлений условия (4.2.16) (см. в разд. 6.9 другой подход к получению условия (4.2.16) через необходимое условие Вейерштрасса).

См. Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математической физики, ГТТИЧ т. 2, гл. 2, 1951 (или Р. Курант, Дифференциальные уравнения в частных производных, изд-во «Мир», 1968).——Пр им. перев.

Как было показ ано в замечании относительно формулы (4.1.1), синтез оптимальных законов обратной связи вида и° = и0 (у,力)，у =方 ——хпр (力) не требует определения всего поля экстремалей в вариационной задаче про- граммировавия. Поэтому содержащаяся здесь критика метода Беллмана не относится к случаю решения задачи синтеза законов обратной связи, типичных для классической теории регулирования.——Прим. ре8.

ходим закон оптимального управления с обратной связью, то можно использовать схемы управления с обратной связью для возмущенного движения, которые оказываются часто удовлетворительными 1) (гл. 6).

Вывод уравнений Эйлера — Лагранжа с помощью уравнения Гамильтона — Якоби. Рассмотрим некоторую оптимальную траекторию и соответствующую ей оптимальную управляющую функцию. Справедливо соотношение [см. (4.2.14)]

岁 (4.2.19)

di dt \ дх I d^2 ' д* dt ' 丿

Дифференцирование уравнения (4.2.15) по х при 〃。= 〃。(力,t) дает

@2 jo8L 8L ди°dx 8方十8方十dx@2 jo8L 8L ди°dx 8方十8方十dx卜产卜产82J。8方282J。8方2djo dxdjo dxdf dxdf dxdf du°du dxdf du°du dx)=)=尹J。dx dt尹J。dx dtdL * 毋 J。 8方十'dx2dL * 毋 J。 8方十'dx2djo dfdx dxdjo dfdx dx(黑+ % 紛警"(4220)(黑+ % 紛警"(4220)

@2 jo8L 8L ди°

dx 8方十8方十dx

@2 jo8L 8L ди°

dx 8方十8方十dx

卜产

卜产

82J。

8方2

82J。

8方2

djo dx

djo dx

df dx

df dx

df du°du dx

df du°du dx

)=

)=

尹J。

dx dt

尹J。

dx dt

dL * 毋 J。 8方十'dx2

dL * 毋 J。 8方十'dx2

djo dfdx dx

djo dfdx dx

(黑+ % 紛警"(4220)

(黑+ % 紛警"(4220)

Согласно (4.2.17), коэффициент при диР/дх в полученном выражении на оптимальной траектории обращается в нуль ). Используя (4.2.20), преобразуем (4.2.19) к виду

@九 Т —九 Т df dLdtдх дх@九 Т —九 Т df dLdtдх дх(4.2.21)(4.2.21)

@九 Т —九 Т df dLdtдх дх

@九 Т —九 Т df dLdtдх дх

(4.2.21)

(4.2.21)

Это векторное уравнение совместно с (4.2.17) образует систему уравнений Эйлера — Лагранжа.

Кроме того, из условия, что J° равно « ha гиперповерхности 屮 ^ 0, следует существование вектора v, удовлетворяющего соотношению

嘗(黑+ N碧)i 2V'(协 (4222)

Таким образом, изменение критерия качества, соответствующее допустимому изменению фазовых координат (dip = 0), определяется линейной комбинацией градиента ф по фазовым координатам и градиентов 2 (ограничений) по фазовым координатам (разд. 1.2).

Комбинаторные задачи. Методы динамического программирования особенно полезны при решении дискретных многодаговых задач оптимизации, в которых на каждом шаге имеется лишь

Фиг. 4.2.1. Комбинаторная задача на минимум времени перехода (числами указано время движения вдоль отрезков сети).Фиг. 4.2.1. Комбинаторная задача на минимум времени перехода (числами указано время движения вдоль отрезков сети).Фиг. 4.2.2. Решение задачи на минимум времени перехода (фиг. 4.2.1) методом динамического прогр аммиров ания.Фиг. 4.2.2. Решение задачи на минимум времени перехода (фиг. 4.2.1) методом динамического прогр аммиров ания.

Фиг. 4.2.1. Комбинаторная задача на минимум времени перехода (числами указано время движения вдоль отрезков сети).

Фиг. 4.2.1. Комбинаторная задача на минимум времени перехода (числами указано время движения вдоль отрезков сети).

Фиг. 4.2.2. Решение задачи на минимум времени перехода (фиг. 4.2.1) методом динамического прогр аммиров ания.

Фиг. 4.2.2. Решение задачи на минимум времени перехода (фиг. 4.2.1) методом динамического прогр аммиров ания.

ограниченный выбор управлений и отсутствует информация о производных. Рассмотрим самый простой пример, когда на каждом шаге возможен выбор только среди двух управлений. Пусть требуется определить траекторию из точки Л в точку В (фиг. 4.2.1) так, чтобы сумма чисел, соответствующих отрезкам этой траектории, была минимальной (при этом разрешается двигаться только

① и г. 4.2.3. Первый шаг решения задачи на минимум перехода (фиг. 4.2.1) методом динамического программирования.

направо из каждого узла, т. е. или направо вниз или направо вверх). Если считать, что каждое из этих чисел представляет собой время движения вдоль соответствующего отрезка, то задача состоит в поиске пути, минимального по времени.

Существует 20 различных путей из точки Л в точку 3, если двигаться только направо. Исследовать все возможные пути довольно утомительно. Вместо того чтобы выходить из точки Л и сравнивать различные пути, ведущие в точку В, будем отправляться из точки В и определим для каждого из 15 узлов сетки минимальный по времени путь до точки В (фиг. 4.2.2).

Первый шаг назад в точку В может быть сделан либо сверху, либо снизу. Как следует из фиг. 4.2.3, этим шагам соответствуют отрезки времени 10 и 11; числа поставлены около двух ближайших к В узлов; возможное направление движения показано стрелками, ведущими в точку В.

Определим теперь минимальное время движения из узла 力 (фиг. 4.2.3) в конечную точку В. Возможны два пути: один —— через узел 10, который в сумме занимает 16 единиц времени (6 + Ю), другой ——через узел 11, который занимает 18 единиц времени (7 + И). Очевидно, более быстрым является путь через узел 10; таким образом, узлу х поставим в соответствие число 16 л стрелку из этой точки направим вверх (к узлу 10).

Эта процедура повторяется для следующих узлов, лежащих слева от тех, для которых уже определен быстрейший путь в точку В. Таким способом для каждого узла (фиг. 4.2.2) определяется минимальное значение времени и оптимальное направление движения.

Траектория наименьшего времени из точки Л в точку В может быть теперь получена, если двигаться из Л все время в направлении, указанном стрелками; этот оптимальный путь отмечен на фиг. 4.2.2 пунктирной линией, он занимает 40 единиц времени. Заметим, что предложенный алгоритм потребовал определения только 15 чисел вместо вычисления времени движения по каждому из 20 возможных путей. Сокращение вычислений становится более заметным при увеличении количества отрезков пути на каждой из сторон квадрата:

Количество отрезков на стороне

3

4

5

6

7

Число возможных путей

20

70

252

724

2632

（2孔）!/孔!孔！

Количество вычислений

15

24

35

48

63

他+ l)2_i

Использование этого алгоритма дает полезную дополнительную информацию, а именно минимальные по времени пути в точку В из любого узла сетки.

Задача 1. Решить задачу о минимальном расстоянии на плоскости методом динамического программирования и указать соответствующую функцию оптимального качества и закон оптимального управления с обратной связью.

Задача 2. Для сети размером 5x5, изображенной на фиг. 4.2.4, найти минимальный по времени путь из точки Л в точ-

ку 8, причем допускается движение только направо. Здесь имеется 70 возможных путей, однако для получения решения достаточно определить только 24 числа.

Ф и г. 4.2.4. Сеть для задачи 2 (чи- сл ами указано время движения вдоль отрезков сети).

Задача 3. Определить максимальный по времени путь из точки Л в точку 3 для сети, изображенной на фиг. 4.2.4; по-прежнему разрешается двигаться только направо.

Фиг. 4.2.5. Сеть для задачи 4 (числами указ ано время движения вдоль отрезков сети).Фиг. 4.2.5. Сеть для задачи 4 (числами указ ано время движения вдоль отрезков сети).Задача 4. Некоторые авиакомпании для определения минимальных по времени траекторий полета реактивных самолетов над Северной Атлантикой используют вычислительные машины.

Фиг. 4.2.5. Сеть для задачи 4 (числами указ ано время движения вдоль отрезков сети).

Фиг. 4.2.5. Сеть для задачи 4 (числами указ ано время движения вдоль отрезков сети).

При этом принимаются во внимание сильные ветры, обычно дующие на высотах крейсерского полета таких самолетов, и ограничения на расположение возможных траекторий, вытекающие из условий управления воздушным движением. Таким путем удается получить экономию порядка 15 мин на каждый номинальный семичасовой рейс. Для расчета выбирается некоторая Сеть контрольных пунктов, а каждая траектория разбивается

на ряд отрезков, соединяющих эти пункты и направленных с востока на запад. Упрощенный пример такой сети изображен на фиг. 4.2.5. Пусть точка А — это Нью-Йорк, а точка М —— Лондон. Контрольные пункты от 3 до 厶 находятся над океаном и определены известными координатами — широтой и долготой. Используя сведения о ветре, собранные «кораблями погоды», диспетчер летной службы вычисляет время полета вдоль каждого из отрезков пути. На практике обычно число пунктов контроля значительно больше, чем изображено на фиг. 4.2.5, поэтому расчет времени полета необходимо осуществлять с помощью ЦВМ.

Используя алгоритм динамического программирования, определить минимальную по времени траекторию, считая, что числа, указанные на фиг. 4.2.5, означают время (в минутах) полета на участках между двумя контрольными пунктами.

Задача 5. Алгоритм динамического программирования для комбинаторных задач, изложенный в этом разделе, можно применить и к нерегулярным сетям, в каждом узле которых имеется

более чем два выбора пути (фиг. 4.2.6). Определить минимальный по времени путь из узла 12 в узел 1; при этом двигаться можно только направо.

Задача 6. Рассмотрим следующую задачу выбора маршрута (фиг. 4.2.7). Пусть требуется перейти последовательными шагами из некоторой точки, расположенной на уровне 0, в точку, расположенную на уровне 4. Затраты на каждом участке пути обозначены цифрами около соответствующего участка, а общие затраты определяются суммой затрат на участках пути с учетом конечных затрат, установленных для каждой из возможных позиций на уровне 4 (см. цифры в кружках на фиг. 4.2.7).

Определить минимальный по стоимости путь от точки Л до уровня 4.

' 2. Определить минимальный по стоимости путь из точки Л в точку 5.

Определить минимальный по стоимости путь от уровня О до уровня 4.

Определить минимальный по стоимости путь от точки Л до поверхности S (фиг. 4.2.7), считая, что конечные затраты на S 4)авны нулю.

1). Решить первую задачу при следующем дополнительном условии: каждый раз, когда изменяется направление движения

Фиг. 4.2.7. Сеть для задачи 6 (числами указана стоимость перехода вдоль отрезков сети).

при переходе через данный уровень, к стоимости, соответствующей следующему участку пути, добавляется единица. В чем состоит отличие этой задачи от предыдущих?

Задача 7. Определить минимальный по времени путь из точки Л в точку В для сети, показанной на фиг. 4.2.8, и найти мини-Задача 7. Определить минимальный по времени путь из точки Л в точку В для сети, показанной на фиг. 4.2.8, и найти мини-(числами указано время движения вдоль(числами указано время движения вдольФ и г. 4.2,8. Сеть для задачи 7Ф и г. 4.2,8. Сеть для задачи 7отрезков сети).отрезков сети).Какие величины в рассматриваемой задаче являются аналогами величин J°(/,力), 〃0 =及(/,力),/,〃,力 f(x, a, %), 0 以0挑 tf], 厶(力，〃,方) h 2 [%(^),司？

Задача 7. Определить минимальный по времени путь из точки Л в точку В для сети, показанной на фиг. 4.2.8, и найти мини-

Задача 7. Определить минимальный по времени путь из точки Л в точку В для сети, показанной на фиг. 4.2.8, и найти мини-

(числами указано время движения вдоль

(числами указано время движения вдоль

Ф и г. 4.2,8. Сеть для задачи 7

Ф и г. 4.2,8. Сеть для задачи 7

отрезков сети).

отрезков сети).

Задача предложена С. Дрейфусом.

мальное время перехода. Движение вдоль отрезков пути разрешается только направо, время перехода между промежуточными точками на фиг. 4.2.8 указано цифрами.

4.3・ Уменъшение размерности фазового пространства ггутем использования безразмерных переменных

Одна из трудностей использования поля экстреА1алей для получения закона оптимального управлениям обратной связью состоит в том, что даже при рассмотрении систем умеренной сложности требуется запоминающее устройство большой емкости. В некоторых задачах объем запоминаемого материала можно уменьшить, если удастся установить, что управление зависит только от некоторых безразмерных группировок фазовых координат. Проиллюстрируем этот прием на примерах.

Пример 1, 3адача 。брахистохроне. Определить закон оптимального управления с обратной связью 0 = 6 (V,力,у), соответ-

Ф и г. 4.3.1. Схема и обозначения к задаче о брахистохроне.

ствующий минимальной по времени траектории из произвольного состояния (V,力,у) до прямой ^ — 0. Уравнения движения имеют вид

V - g sin 0,(4.3.1)

-Feos 0,(4.3.2)

у = V sin 0,(4.3.3)

где V — скорость, g — гравитационное ускорение (фиг. 4.3.1) Заметим, что конечное значение координаты у не задано

и г/ не входит в уравнения для V и х. Следовательно, искомый закон управления не зависит от у:

6 = 8 (匕 /).(4.3.4)

Далее, поскольку величина 0 (угол) является безразмерной, то для правой части уравнения (4.3.4) можно найти безразмерную группировку переменных 卩，力 и параметра g. Существует только

одна такая безразмерная группировка, а именно g^/P?； следовательно,

9=九(割，(435)

где % (z) —— некоторая функция одной независимой переменной 2 — gxlV.

Подобным образом получаем общие функциональные соотношения для минимального значения времени перехода (勺——才) и для изменения координаты у, т. е. у ——у/ (где у^ ——конечное значение у):

牛立=力(制，(436)

Т = /з (割，(4.3.7)

где /2 (z), /з ⑵一некоторые функции аргумента z = gxlV2.

Задача 1 х). Используя результаты задачи 6 разд. 2.7, покажите, что функции (4.3.5), (4.3.6) и (4.3.7) примера 1 можно представить неявно в следующей форме:

В = агссо5(3), где V/ — значение конечной скорости;

?(5-力) (n/2)-arcsin (Г/7У).

Здесь отношение Vf/V является решением трансце нден т ного уравнения

署=¥ /1 — Н/吗十(？)传—arcsin 工).

Построить графики зависимости 0, [g (% — Е)/Н н ® —分)/力 от 2g//卩2.

Пример 2. Оптимальное программирование направления тяги 6 задаче встречи двух космических кораблей (g = 0, а = const). Космическому кораблю (КК), имеющему постоянное реактивное ускорение а, необходимо за минимальное время встретиться с другим (неманеврирующим) космическим кораблем; управляющей переменной является направление вектора тяги тр Рассмотрим движение в системе координат, начало которой совпадает с целью (т. е. с неманеврирующим кораблем, совершающим полет с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета,

фиг. 4.3.2). Задача состоит в нахождении закона управления с обратной связью n = n (V,屮，D, q), при котором преследующий корабль достигает выполнения условий встречи D (切 = = V (才力 = 0 за минимальное время 才戶 Движение преследующего

корабль-цель

Фиг. 4.3.2. Схема и обозначения к задаче о встрече за минимальное время.

корабля в относительной полярной системе координат описывается уравнениями

0 = a cos (ф + П),(4.3.8)

■70 V (ф — ^) = —а sin (ср + П),(4.3.9)

力=—у cos <р,(4,3.10)

Dq - V sin ф,(4.3.11)

где V ——модуль вектора относительной скорости, 0 ——угол между вектором относительной скорости и неподвижной линией отсчета (линией горизонта).

Отметим, что конечное значение q не задано, и эта величина ме входит в уравнения движения для V, ф и Ь, поэтому закон управления должен быть независимым от д. Далее, поскольку П (угол)——безразмерная величина, то, следовательно, можно подобрать безразмерную группировку переменных V, D и параметра а (заметим, что угол ф тоже-безразмерная величина). В этом примере, как и в предыдущем, имеется только одна такая безразмерная группировка, а именно aDlV2. Таким образом,

- 忏九(器，<₽)•(4.3.12)

Подобным образом получаем общие функциональные соотношения для минимального значения времени до встречи 乡 ——X н для изме-

8

-SS^SM oft «оо^^вилноо e(2 —-KHawedA

^ккфякм XFHSBOSOn 00H0R0

4 m

Ao

SS&SM ^воыан йниё^иоанозю ОС BmHqlcEWHIno *-'7

w® W

06

§

.J 0 6

AMZ

нения величины 0, т. е. Q/ — q (где qf ——конечное значение q): 当二」％(器3),(4-3.13)

分—, =中)，(4.3.14)

где /[ и，2 — некоторые функции да ух безразмерных аргументов.

Эта задача была решена Брайсоном т), результаты графически

① и i\ 4.3.5. Схема и обозначения к задаче выведения на орбиту за минимальное время.

У

представлены на фиг. 4.3.3 и 4.3.4. Решение не представляет трудностей, однако оказывается довольно утомительным.

Задача 2. Возвращаясь к примеру 1, рассмотрим задачу о брахистохроне с терминальными условиями / = у = 0. (Направление оси у следует изменить на противоположное.) Показать, что закон управления с обратной связью имеет вид

9=0«- 9，

и найти неявные уравнения, решение которых определит эту функцию и безразмерную величину —— время до конца перехода 2 S 一 t)/v.

Задача 3. Возвращаясь к примеру 2, показать, что закон управления с обратной связью, обеспечивающий перехват цели за минимальное время в точке г = 0 при g = 0,优=const, может быть представлен в форме

学,ф) •

Найти неявные уравнения, необходимые для вычисления этой функции, а также безразмерного времени, оставшегося до достижения цели [а (^ --力)/卩]).

Задача 4 】)• Показать, что закон управления с обратной связью для оптимального по быстродействию выведения на орбиту (фиг. 4.3.5) при незакрепленной конечной дальности и у『=О, Vyf = 0 можно представить в форме

Здесь Vxf ——конечная (орбитальная) скорость, р『 ——конечная (орбитальная) высота, 7У/ ——конечная вертикальная скорость. Предполагается, что а = const, g = const.

См. D. Winf i eld, Techn. Report 507, Div. Engineering and A ppi. Physics, Harvard Univ., July 1966.

Линейные системы с квадратичным критерием качества; линейная обратная связь

5/・ Терминальные 】)управляющие устройства 呪 регуляторы; введение

Для нелинейных управляемых систем, представляющих практический интерес, дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка Гамильтона —— Якоби —— Беллмана может быть решено аналитически лишь в редких случаях. Поэтому разработка точных явных схем наведения ) и управления с обратной связью для этих систем в общем случае невозможна. Однако, как уже указывалось в гл. 4, во многих случаях могут быть осуществлены схемы управления возмущенным движением (иногда называемые пертурбационными или возмущенными схемами наведения). В этих схемах используются лишь экстремальные траектории, которые лежат вблизи номинальной экстремальной траектории. В гл. 6 будет показано, что схемы управления возмущенным движением приводят к рассмотрению нестационарных линейных систем с квадратичным критерием качества.

Многие объекты управления достаточно точно описываются линейными динамическими моделями. Путем разумного выбора квадратичных критериев качества и квадратичных ограничений в этом случае удается синтезировать весьма удовлетворительные управляющие устройства с линейной обратной связью.

При дальнейшем изложении будет делаться различие между терминальными управляющими устройствами (устройствами, управляющими конечным состоянием системы) и регуляторами. Терминальное управляющее устройство предназначено для приведения системы в условия, близкие к желаемым, в момент окончания процесса управления (который может быть либо задан, либо может оставаться свободным). При этом одновременно должно быть достигнуто приемлемое поведение системы в течение всего процесса управления. Регулятор предназначен для удерживания отклонений стационарной системы от заданных условий в допустимых пределах путем использования приемлемых значений 一 управляющих воздействий.

5・2・ Терминальные управляющие устройства; квадратичная функция штрафа на величину терминальной ошибки

Пусть система описывается векторным линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами

%=耳(力)力+ G (%) a；(5.2.1)

здесь 力 一 九-мерны宜 вектор; w — m-мерный вектор;尸(%), G (力 一 матрицы размерности 九 X 九 н п X т соответственно. Необходимо перевести систему из некоторого начального состояния х (/0) в заданное конечное состояниэ

胃(切 а 0(5.2.2)

(% ——заданный момент окончания процесса управления), используя допустимые функции управления 〃 ⑺ и не выходя за допустимые пределы по фазовым переменным в процессе движения.

Один из методов решения этой задачи состоит в минимизации критерия качества, представляющего собой сумму квадратичной формы от вектора конечного состояния и интеграла от суммы квадратичных форм вектора состояния и вектора управления г):

J = (%TS*)』t『 + 2 j(X?A化 +11TBii) dt.(5.2.3)

Здесь Sf 瓜 4 (Z)——положительно полуопределенные матрицы, В (力一положительно определенная матрица.

Для получения допустимых уровней величин 力(%),力(方)瓜〃(方) должен быть произведен подбор соответствующих матриц S『, Л, В. Они могут быть выбраны, например, диагональными со следующими элементами:

1/(5у)^ = Максимально допустимое значение [勺(力]?,

1М^ = (tf —— 办)X Максимально допустимое значение [力？(Z)]2, 1/3簿 —(写 — Zo)义 Максимально допустимое значение [и(Z)]2.

Используя методы гл. 2 (или методы гл. 4, которые здесь также применимы; см. по этому поводу конец данного раздела), можно найти управление 〃(Z), минимизирующее (5.2.3), путем совместного решения системы (5.2.1) и уравнений Эйлера — Лагранжа

仃=—^- > 九(%『) = S*(%),(5.2.4)»

' 需=0,(5-2.5)

Более общее выражение для J привэдено в задаче 4 данного раздела.

где

Н =彳 хТАх + 2 итВи + Хт (Fx + G〃).(5.2.6)

Произведя операции дифференцирования в (5.2.4) и (5.2.5), получим

i = -Ах -歹以，(5.2・4‘)

3〃 + G21 九=0,(5.2.5f)

откуда

〃 -—8TG以.(525")

Подстановка (5.2.5") в (5.2.1) и присоединение к полученной системе уравнения (5.2.4') приводят к линейной двухточечной краевой задаче

/］「歹，—GB^GT1\^Л,—川」h/］「歹，—GB^GT1\^Л,—川」h(5.2.7)(5.2.8)(5.2.7)(5.2.8)

/］「歹，—GB^GT1\^Л,—川」h

/］「歹，—GB^GT1\^Л,—川」h

(5.2.7)

(5.2.8)

(5.2.7)

(5.2.8)

где

力(幻 задано,(527)

九⑵)=S/ 闻.(5.2.8)

Поскольку задача является линейной, а ди фференциальные уравнения и терминальные граничные условия однородные, то, очевидно, х (t) л К (%) пропорциональны величине 力(%).

Перейдем теперь к обсуждению двух способов решения изло* женной краевой задачи.

Решение с помощью переходной матрицы. Один из путей решения системы (5.2.7), (5.2.8) состоит в использовании линейной суперпозиции решений. Для этого определяется система п линейна независимых решений указанной системы 2п дифференциальных уравнений, т. е.

方⑴⑴И九⑴(力), i - 1, 2, . . И.

При этом каждое решение удовлетворяет терминальным" граничным условиям, т. е."

九⑴(5=S*⑴(切.

Удобный способ нахождения такого решения состоит в построении так называемого единичного или фундаментального решения Системы (5.2.7), (5.2.8), т. е. решения, удовлетворяющего условиям

2⑴(切=4：吨г，

310 при В/,

入⑴(切= (%)"•

Полученные таким путем для X = 1, 2, . . ., п решения могут быть записаны в виде столбцов, образующих две переходные матрицы, X (%) 1) и А ⑺,размерности n X и каждая с элементами %£ ⑺=齊)⑺，Aj《)=答)(%)•(529)

Эти матрицы в силу способа их построения удовлетворяют условиям

X 侑）=e、X 侑）=e、А伶)А伶)=6尸=6尸(5.2.10)(5.2.10)

X 侑）=e、

X 侑）=e、

А伶)

А伶)

=6尸

=6尸

(5.2.10)

(5.2.10)

где Е —— единичная матрица размерности п X п.

Теперь в силу справедливости для линейных систем принципа суперпозиции решений можно записать общее решение системы при известном х (它)в виде

片⑶=X (%) х (切，(5,2.11)

九(%) = А (%) х (切.(5.2.12)

Поскольку, однако, задано х (%) при t ^ t^ ^ ^х (%), необходимо из уравнения (5.2.11) при 力 = % получить зависимость / (写) от / (%J:

x 侑)=[X 仇)Г1/ 伉).(5.2.13)

Подставив (5.2.13)^ в (5.2.11) и (5.2.12), получим

/ ") = X ⑶[X (才o)L х (才°),(5.2.14)

九⑴=a ⑴[X 仇)]t / (幻.(5.2.15)

Подстановка (5.2.15) в (5.2.5") приводит к выражению

〃(力=—С (力才°) х(Zo),(5.2.16)

где матрица коэффициентов усиления С (力,％。) определяется выражением

С 亿 М) = [В (%)]т G『(Z) Л ⑴[X d)]T.(5.2.17)

В таком случае с учетом (5.2.17) уравнение (5.2.16) может рассма- .триваться как дискретный закон управления с обратной связью^ в котором время %。является значением предыдущего момента дискретизации.

Если производится непрерывное измерение состояния х системы, то значением предыдущего момента дискретизации является текущее время 力 т. е. tQ = t. и (5.2.16) превращается в непрерывный закон управления с обратной связью

〃⑴=—С ⑺ /(%),〃⑴=—С ⑺ /(%),(5.2.18)(5.2.18)

〃⑴=—С ⑺ /(%),

〃⑴=—С ⑺ /(%),

(5.2.18)

(5.2.18)

Переходная матрица X «)——матрица фундаментальных^ решений или фундаментальная матрица.— Прим. ред.

где переменная по времени матрица коэффициентов усиления С (才)имеет вид

С ⑴=IB ⑴尸 GT (Z) Л (О [X ⑻т. (5.2.19)

Решение для 九(力 в этом случае с помощью (5.2.15) может быть записано следующим образом:

九⑴=S (方)x (%)，(5.2.20)

где

S ⑺=А ⑴[X (Z)]-.(5.2.21)

Решение с помощью метода прогонки. В некоторых задачах, особенно в тех, которые связаны с процессами рассеивания, численное определение матриц X (力)н А (%) фундаментальных решений, входящих в формулы (5.2.11), (5.2.12), может быть затруднительным вследствие различных скоростей роста составляющих фундаментальных решений. Другими словами, вычисления могут сопровождаться значительной потерей точности из-за того, что величины элементов матриц X (%) н А (%) изменяются на интервале времени [%。,才/ на разные порядки. В этом случае, как, впрочем, и в некоторых других, может оказаться полезным использование для решения метода прогонки i) (см. также гл. 7 и работу 17.9]).

Идея метода прогонки содержится в соотношениях (5.2.20) и (5.2.21). Вместо того чтобы определять Ататрицы фундаментальных решений X(Z), А(%), непосредственно находится матрица S (力)= =Л (力[X (%)]т. Этот процесс можно рассматривать как формирование для системы (5.2.7), (5.2.8) граничного условия, эквивалентного терминальному условию 九(切=S*(Z/), но для более ранних моментов времени; в действительности коэффициенты терминального условия «прогоняются» (переносятся) назад к начальному времени. Затем, поскольку х (才°) известно,九(才°) может быть вычислено из уравнения 九(Zo) = S (Zo) / (才°) и система (5.2.7) — (5.2.8) может быть проинтегрирована вперед с уже известными начальными условиями (задача Коши).

Подстановка (5.2.20) в (5.2.8) дает

Sx-^Sx^ —Ах — FTSx.(5.2.22)

Далее, подставляя х из (5.2.7) в (5.2.22) и снова используя (5.2.20), получим

(М + S歹 + FTS 一 SGB-^S + A)z = 0.(5.2.23)

■t JbUUU U

Поскольку x (i) =7^=0, то из уравнения (5.2.23) следует, что

总=-SF- FTS + SGB^GTS - А,(5224)

а из терминального граничного условия (5.2.8') очевидно, что ‘ граничное условие для S (方)имеет вид

S (切=S『.(5.2.25)

Уравнение (5.2.24) квадратично относительно матрицы S и называется матричным уравнением Риккати.

Поскольку 5『является силшетричной матрицей, а уравнение (5.2.24) также симметрично, то ясно, что S (/ ——симметричная матрица при всех значениях t.

Уравнение (5.2.24) можно проинтегрировать («прогнать») назад от терминального момента времени 方=方了 к начальному моменту t =力о・ После этого с помощью уравнения (5.2.20) можно получить 九(％)

九(％) = 5 (崎/(%).(5226)

Вектор 九(％) можно рассматривать как эквивалент терминального граничного условия(5.28), перенесенного, однако, на более ран- ние моменты времени. Теперь решения для системы (5.2.7) и (5.2.8) могут быть получены путем интегрирования в «прямом» времени (т. е. от 方° к 方扪 поскольку натальные условия / (扣)и 九(％) уже известны.

Часто, однако, основной интерес представляет сам непрерывный закон управления с обратной связью для задачи терминального управления. Его можно найти из уравнений (5.2.5") и (5.2.20), так как матрица S ⑴ теперь известна:

m ⑴ ~ 一С (方)x (方)，

с (0 = [В «)]Т GT ⑺ S (i).(5.2.27)

Интерпретация с точки зрения динамического программирования. Существует еще и третий подход к решению задач оптимизации для линейных систем с квадратичным критерием качества. Он состоит в рассмотрении дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона ——Якоби ——Беллмана. Применительно к задаче, описываемой формулами (5.2.1), (5.2.3), это уравнение имеет вид

—^~ — min {^~ (尸n + Gu)十 у (rT/n + uTBu) J (5.2.28) с терминальным граничным условием

/°(ж, tf) = ^-xTSfx.(5.2.29)

Минимизация правой части уравнения (5.2.28) по вектору и совпадает с минимизацией гамильтониана Н (5.2.6) и ведет к уравнению (5.2.5) с заменой вектора Хт на вектор dJ0/дх в соответствии с тождеством

которое справедливо на оптимальной траектории. Подставляя в уравнение (5.2.28) вместо и его выражение через dJ°/dx

(翌广， получаем

-帮=警历+ ""2-^(礬)帥它(普(5230)

Итак, найдено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции J。(/). Оно имеет решение вида

J°=^^xTS(t)x.(5.2.31)

Подставив (5.2.31) в (5.2.30), получим соотношение

1жг [S + SF + FTS-SGB-^S十風 2 = 0,(5.2.32)

которое должно быть справедливым при всех значениях х. Отсюда получаем уравнение (5.2.24), а из (5.2.29) легко находим граничное условие для S 〃『)：S (方力 =

Таким образом, метод «прогонки» и метод динамического программирования ведут к одинаковым результатам для случая линейных систем с квадратичным критерием качества. Выражение (5.2.31) при этом дает еще одну интерпретацию матрицы S(£): величина l/2xTS (方)х есть оптимальное значение критерия качества (т. е. минимальное значение J。= min J (и) при начале дви

жения в момент t из состояния /).

Пример 1. Простейшая линейная система первого порядка с квадратичним критерием качества.

Дано

% = м, /(%),方о, tf заданы, ж, и — скалярные переменные,

/ = [力闯产 + 玄 I 饋d厶 c>0 — скалярная постоянная, io

Найти

и (力 ^0)^ которое минимизирует J.

Решение

4

X = 2 u2 + 九江， 九—скаляр,儿=^~=U， Л = const,

дН дидН дим + 九=О,м + 九=О,乂=——九(необходимое условие оптимальности),乂=——九(необходимое условие оптимальности),

дН ди

дН ди

м + 九=О,

м + 九=О,

乂=——九(необходимое условие оптимальности),

乂=——九(необходимое условие оптимальности),

九(％) = ex (&) (граничное условие, вытекающееиз условий трансверсальности).

Оптимальная траектория

第（方）=-[ex （方,）]（方一方0）+ X （方0）,

第（％）=第（％）=第（％）1 + c⑦一办）第（％）1 + c⑦一办）

第（％）=

第（％）=

第（％）

1 + c⑦一办）

第（％）

1 + c⑦一办）

u (力 /0) =. — ■.-, , . _ . ^ (^о) (дискретный закон управления ' ‘一 ос обратной связью).

Если положить tQ =力 то и (/) = —х «)/(1/с 十方了 一方)(непрерывный закон управления с обратной связью). Отметим, что 第(％) т- 0 при с т- оо.

Пример 2. Простейшая задача перехвата (или встречи) х). Дано

и н 0 传)，

С], с?, tf ——заданные постоянные.

Найти

。(％ 弘 方)， которое минимизирует J.

Решение

。(％ у, 0 = —Л„ ⑺ V ⑺一％ (t) у ⑴,д _. ((/з) + (1/С1)(疗一力户 + 1/з «/—炉

(1//)(与一方)+ "2(丐一方)2D 内-t)，

В данном примере рассматривается случай неманеврирующей цели. Обсуждение задачи перехвата с позиций теории дифференциальных игр преследования содержится в разд. 9.3 (пример) и 9.4 (пример). Случайный маневр цели и неточные измерения рассмотрены в примере 2 разд. 14.6.—— Пр им. перев.

гдегде

где

где

-+-3 （^/-оз] [тг + 6 _ 4 _ 石侑—炉

Частные случаи

Если с2 f 0, то у （tf） — неуправляемая величина и

A尸初*户，аy = 0.

Отсюда

Это простейшая форма закона управления, пропорционального скорости （управления по скорости）.

Если ct -> 0, то и （方『）—неуправляемая величина и

д = （叮一炉

” —（1/С2）+ 1/з（〃一 $）3 '

д

l一（1/方）+1/3（〃 一炉•

В этом случае

（1/方）1/3（〃一）3（）71/方）+1/3（丐一）3

Если q->0, c2foо, то у （^/）->0 и

а （/） = — 3а （/） = — 3-X 力）I Р &）

а （/） = — 3

а （/） = — 3

t扌——t（方f——价2

Этот закон управления допускает следующую кинематическую интерпретацию （фиг. 5.2.1）. Пусть g ——угол между линией визирования «снаряд —— цель» и линией отсчета, Л —— цель, у —— угол

① и г. 5.2.1. Кинематическая схема к задаче перехвата и встречи.① и г. 5.2.1. Кинематическая схема к задаче перехвата и встречи.

① и г. 5.2.1. Кинематическая схема к задаче перехвата и встречи.

① и г. 5.2.1. Кинематическая схема к задаче перехвата и встречи.

межДУ скоростью снаряда Vm и линией отсчета, 7С ——скорость- сближения снаряда и цели вдоль линии визирования. Если угол сг мал, то, как следует из фиг. 5.2.1,

К/—）'

Отсюда

九[（丐-上）2丐—上」

Кроме того, из фиг. 5.2.1 при малых у имеем

откуда

и =。二 V 7n『

Таким образом, оптимальный закон。（方）может быть представлен в виде

а = —3匕 о — ^mV，

зто известный закон так называемой пропорциональной навигации （в плоском случае）.

Этот закон наведения приводит к «совершенному» перехвату, т. е. к у （£力=0.

Если с1foо,方 f оо, то и 同 f 0 и у &） f 0. В этом случае получаем

4и（£） бу ⑴ 勺一£（iy—£）2 *

ИЛИ

a = Vmy= —Vc（4o■+ ：：t ） •

Полученный закон соответствует модифицированной форме пропорциональной навигации, ведущей к «совершенной» （одномерной） встрече снаряда и цели, т. е. к выполнению условия

•У （切"（切~。。

Заметим, что если и （勿）и у （切 в выражении для J заменить на ①（力）—и" и [у （切 一yd]7 где 沙山 Jd — заданные значения, то оптимальный закон управления с обратной связью будет мметь вид

а （0 = —А„ （i） [у ⑺一咽—Ay ⑴[у ⑴—г/dl.

Отметим также, что % у и а могут быть заменены трехмерными векторами v, г, а и по приведенной схеме может быть получено решение пространственных задач перехвата или встреч. В этом случае надо лишь ввести для двух компонент ускорения, перпендикулярных линии визирования, с о отв етств ующие угловые переменные （аналогичные углу о в плоском случае）.

Задача 1. Рассмотрим еще один подход к решению общей задачи оптимизации для линейных систем с квадратичным критерием качества. Пусть и = Кх, где К （方）——матрица передаточных

коэффициентов 乃订(%), которые в данном случае играют роль управляющих переменных, подлежащих определению. Используя вариационные методы гл. 2, получить результаты данного раздела. При этом полезно иметь в виду следующие тождества：

Тг (ЛВС) = Тг (САВ) = Тг (ВСЯ),

дС —

здесь Л, В, С — матрицы, Тг (М) — след матрицы М.

Задача 2. Система первого порядка. Дано:

х = —ах + Ъи с начальным условием

%Go)=窃； квадратичный критерий

J = ^c[z(%)]2 + ^ j [u(t)^dt.

Здесь © 〃 一 скалярные переменные; а, b, с — скалярные постоянные.

Показать, что дискретный и непрерывный законы оптимального управления с обратной связью в случае минимизации J имеют следующий вид:

u （方，方О） = 一 Ьu （方，方О） = 一 ЬN (方0),N (方0),exp [ — 2a (Zy—力)]z(£)exp [ — 2a (Zy—力)]z(£)U (^) = — bU (^) = — bexp [ — a(tf — Zq) — a (tf—t)](l/c) + b2/2a{i — exp [ — 2a (〃一％)]}

u （方，方О） = 一 Ь

u （方，方О） = 一 Ь

N (方0),

N (方0),

exp [ — 2a (Zy—力)]z(£)

exp [ — 2a (Zy—力)]z(£)

U (^) = — b

U (^) = — b

(l/c)+&2/2a {1 —exp [一2a (丐一力)]}

Найти также выражения для 力⑶ и 九 «) в дискретном случае и для S (方)一в непрерывном.

Показать, что х (切 f 0 при с f оо.

.Задача 3. Система второго порядка. Дано:

勺=g

с начальными условиями

勺(%)-勺0,

/2仇)~/20；

■/ = У c ki (^/)]2 + y j U2 d九

1OO1OOlла8a 6

1OO

1OO

Показать, что дискретный и непрерывный законы управления с обратной связью, минимизирующие J, имеют вид

// 八— [4ш2 cos (О (i/— io)] ^1 («о)+[4(о sin ш (tf — tQ)] х2 (i0) Q- fn п — “ @—4d/c + 23(t『一t。)一sin23(t, —切SHI3 ©f,

[4w2 cos W (iy - «)] Ж1 («) + [4o sin <0 (ty -«)] Ж2 («).

433/c + 23 & — t) — sin 23 (t/ — t)sm 3 ⑦一Z)

и что значение Xi на правом конце определяется соотношением

(、= /1 (打)cos ①(丐一力)十第2 (%) [sin S (牙一 ％)/①]1"，[ +，/4①3 [2(о (弓―办)—sin 2(0 (£/—%)]*

Заметим, что при с f о01rl (方『)f 0 и коэффициенты усиления неограниченно возрастают при t f 方尸 Отметим также, что коэффициенты усиления непрерывного закона управления с обратной связью, будучи отрицательными вблизи 方—t^ изменяют знак при возрастании величины ⑴(方/ —— /).

Задача 4. Квадратичный критерий качества более общего вида. Линейная система описывается уравнением

х = F (t) х G (t) и.

Критерий качества имеет вид

(”)f+胃而,叫閒)*/仃"

Показать, что непрерывный закон управления с обратной связью, минимизирующий J, имеет вид

м (/) = -В-、N + GTS)纪(/), где

S = —S (F — GB-'N、—(歹一GBTN'TS ++ SGB-^S — (4 一 NB-'N、,

ИЛИ

5 = -SF - FTS + (SG + TV) В-' N + GTS) - A,

S (切=Sf

и, следовательно, предложенная задача эквивалентна задаче оптимизации для системы

X = (F ~ GB^N7) X + Gu по критерию

J ^-^(xTSfx)t=tf + ^ j 必，以][°

to

Задача 5. Симплектический характер переходной матрицы для оптимальных линейных систем с квадратичным критерием качества. Для задачи, описываемой уравнениями （5.2.7） и （5.2.8）, рассмотрим разбитую на блоки переходную матрицу Ф （友方о）：

一第⑺］「①^ （力办）,①^色Ml卜（办）］

Показать, что матрица Ф （/, /0） является симплектической, т. е. обладает свойством

①T⑵方。） /①（力端-7,

где

Г 0 Fl

I =Е 0 '“ — единичная матрица.

Показать далее, что из симплектичности Ф （方，灰）следует

①葭（方,方0）,-①^九（方"0）

ф-1（о）=丁т.

L-①我；Х（方，方0）,①気囂（方，%）一

Заметим, что последнее равенство полезно при проведении численного решения.

Задача 6. Простейшая система первого порядка описывается уравнением

х = и, 0 W 方&方

где 第,и — скалярные переменные. На интервале ［0,方/ производятся непрерывные, но не очень точные измерения величины х （/）. Обозначим эти измерения как z （/）. Имеется предположение, что начальное условие 第（0） было равно нулю и что и （方）также равно нулю, но полной уверенности в этом нет.

Для получения оценки состояния х （方）на отрезке времени О & 方 & U можно произвести обработку результатов измерений методом наименьших квадратов; при этом в качестве оценок истинного состояния выбираются те 第（/）, которые минимизируют следующий квадратичный функционал:

о

где р, б/, г ——скалярные постоянные величины, выбираемые с учетом относительной значимости соответственно оценок х （0）, и （方） и измерений z （方）.

Необходимо разработать процедуру определения значения 胃⑶，которое минимизирует J при заданных z （方），р,夕，г н 方/ «гл. 13）.

5・3・ Терминальные управляющ ие устройства; нулевая терминальная ошибка и управляемость системы

Предположим, что необходимо спроектировать такое терминальное управляющее устройство, которое переводило бы некоторые компоненты вектора х (力力 точно в нуль (в предыдущем разделе требовалось лишь приближенное равенство нулю)工).Таким образом, надо удовлетворить условиям

勺(%/) = 0, X = 1, 2, • . q W ".(5.3.1}

Для этого можно пользоваться методами разд. 5.2, положив.

'0, е/,

S簿传)=< 8, %=/, % W 0，

、0, 2 = j, Z>q.

Тем самым предполагается, что

[ОО при уо,z о при 2 = 0.

Такой прием приводит, однако, к трудностям при интегрировании уравнения (5.2.24), которые связаны с бесконечными значениями в граничных условиях. Эти трудности можно обойти (см. задачу 1); однако есть и другой способ. Сформулируем задачу разд. 5.2 следующим образом: найти управление и «), минимизирующее критерий

/ =玄 J (х^Ах -{- иТВи) dt(5.3.2)

при терминальных условиях (5.3.1) и ограничениях

х = F (t)x + G[t) и,(5.3.3)

/ (力о) = /о, Xq задано.(5.3.4)

Эта задача является частным случаем задачи, рассмотренной в разд. 2.4 и 2.5.

Условия (5.3.1) могут быть присоединены к критерию (5.3.2) с помощью правила множителей для задач на условный экстремум. Введя множители vT =(匕，..., 汽)， критерий (5.3.2)

Более общие терминальные граничные условия рассмотрены в задаче 1 этого раздела.

можно записать в виде

了二 £”&(&)+}『 (хТАх + и^Ви) dt. (5.3.5) 1力 о

Уравнения Эйлера — Лагранжа для рассматриваемой задачи с критерием J имеют вид

% = -Ах — FT,h,(5.3.6)

u= 一斤中九.(5.3.7)

Подставляя (5.3.7) в (5.3.3), получаем двухточечную краевую

задачу

М]_「3 -GB-^Gn pq(5.3.8)

[九~_ _4 一尸Т J X ,(5.3.9)

X (t^ = g, & задано,(5.3.10)

.左(切=0, i^q + i. ^^n.

Решение с помощью переходной матрицы^ Двухточечная краевая задача (5.3.8) — (5.3.11) может быть решена путем нахождения системы " единичных решений уравнений (5.3.8) и (5.3.9)， где все единичные решения удовлетворяют (5.3.11) и, кроме того, г~е единичное решение [力(订(方),九⑴(方)] удовлетворяет условиям

.11 при z,

巾切={о при(5.3.12)

.(1 при г =с

Rj(*/)=|c пи . / •• j(5.3.13)

(и при ]ч

Общее решение теперь может быть записано в виде х)

力⑴=X (i)卩，(5.3.14)

九⑺=a⑴卩，(5.3.15)

где

」Х〃 =玻)(t),(5.3.16)

A〃 = %")«),力，j = l, 2,(5.3.17)

卩 T = W], . . . , Wg, Ng+](方/), • • • , ^п (*/)]・(5.3.18)

Отметим, что входящие в (5.3.14) и (5.3.15) единичные решения X (i), Л (方)не совпадают с единичными решениями разд. 5.2.

Очевидно, что при t =力°, если матрица X (力о) невырождена, уравнение (5.3.14) можно разрешить относительно ц, выразив N через х (%):

卩={X(%)L/(%)・(5.3.19)

Подставив теперь (5.3.19) в (5.3.15), получим выражение для 九⑺ через X (幻 и 力(幻；подстановка этого выражения для 九⑺ в (5.3.7) дает закон управления и (力)

и (方)=—С (&力о) / (%),(5.3.20)

где

С (厶力°) - B~^GT Л (0 [X (方о)]т.(5.3.21)

Соотношения (5.3.20) и (5.3.21) получены таким же образом, как (5.2.16) и (5.2.17), с той лишь разницей, что граничные условия для единичных решений X (%), А (方)отличаются от тех, которые использовались в разд. 5.2.

Если теперь перейти к пределу 方о f 方 для получения непрерывного варианта закона оптимального управления с обратной связью, то возникнут практические затруднения, связанные с тем, что матрица X (方)является вырожденной при t 三 %. Последнее означает, что матрица С (方)коэффициентов усиления обратной связи становится неограниченной, т. е. С (方) f оо при t f ®. Это и понятно, поскольку условие задачи требует, чтобы ошибка конечного состояния была нулевой [см. формулу (5.3.1)]. Как будет показано в последующих главах, при наличии шумов (неопределенностей) в измерительном устройстве или объекте управления неограниченные коэффициенты усиления [С (方)f оо при t f 方/ являются недопустимыми, так как, вообще говоря, требуют неограниченных значений величин управляющих воздействий: 口优)т- оо при t t-方尸

Решение с помощью метода прогонки. Двухточечная краевая задача, описываемая уравнениями (5.3.8) ——(5.3.11), может быть также решена с помощью метода прогонки, который, как указывалось в разд. 5.2, при численном решении задачи обычно имеет преимущества перед методом, основанным на использовании переходной матрицы. Однако в данном случае метод прогонки по сравнению с изложенным в разд. 5.2 должен быть обобщен для учета линейных терминальных условий типа (5.3.11). Для этого удобно заменить " исходных граничных условий (5.3.11) следующими п граничными условиями:

% (力=П ,9 (5.3.22) 0 для I — С + 1 т С + 2, • • •,

и, кроме того, постулировать, что заданные граничные условия к1? . . Nglf=ff являются линейными функциями начальных

условий х (/0) и множителей (vn . . ., vQ):

^ = U 仇)/ 隔)+ Q %) %(5.3.23)

где

屮Т ~Ng]f=t/,(5.3.24)

№『=[九鋒...，九小』『.(5.3.25)

Исходя из линейности уравнений (5.3.8)——(5.3.11), можно сделать вывод, что 九(％) является линейной функцией от х (方°) и 屮, или, что эквивалентно, от х (方°) и v:

九(*о) = S (力°) x (%) + R (力°) v. (5.3.26)

Поскольку любой момент времени 力 W 方丁 может быть принят за начальный, уравнения (5.3.23) и (5.3.26) могут быть записаны 1) в виде

九 «) = S 〃)力⑴ + 笈(t) % (5.3.27)

^(t) = U (方)X (t) + Q © v. ； (5.3.28) Так как эти соотношения должны быть справедливыми при / = 勺， очевидно, должны иметь место соотношения

S (切 0,(5.3.29)

_ 1 при i = j, Z = 1, 2,，

=(0 при 廿九 j = 1, 2,…，内(5.3.30)

Q (切=0.，(5.3.31)

Теперь, как и в разд. 5.2, подставим 九 «) из выражения (5.3.27) в уравнение (5.3.9) (с учетом постоянства вектора v). В результате найдем

豆 + Sn + Av = — 4% —歹т (Sn + 小).(5.3.32)

Подставив х из (5.3.8) и (5.3.32) и используя снова (5.3.27) Для исключения X, получим

豆 + S [Fx 一 GB-GT g + Tfv)] + 力* = —(4 + pTS^ 力 一 FtRv

(5.3.33)

тожде-тожде-Это уравнение должно оставаться справедливым при любых значениях / из; поэтому коэффициенты при ^ и v должны

тожде-

тожде-

5 и 7?5 и 7?Изложенный метод не всегда удовлетворителен, поскольку二黑陶懿霏：喘М审КаК Р-е 32 М"2 еm. П。…

5 и 7?

5 и 7?

ственно обращаться в нуль:,

(5.3.34)(5.3.35)(5.3.34)(5.3.35)S + SF + FTS + А - SGB-^S = О,

(5.3.34)

(5.3.35)

(5.3.34)

(5.3.35)

.6 闯=О,

R + (FT — SGBTG、Е = О,

硝⑺=(碧)F

Наконец, дифференцируя (5.3.28) по времени- и считая 屮 и w постоянными векторами, получим

方 n + Un + 0w = O.(5.3.36)

Подставляя 力 из (5.3.8) в (5.3.36) и используя (5.3.27) для исключения X, найдем

Ux + и [尸2 — GB-pT (Se + Ev)] + & = 0.(5.3.37)

Поскольку уравнение (5.3.37) также должно удовлетворяться при любых значениях ^ и v, то коэффициенты при ^ и v должны тождественно обращаться в нуль:

U -^ U {F — GB^GTS) = 0,(5.3.38)

*- UGB-^R = 0.(5.3.39)

Исследование уравнений (5.3.35) и (5.3.38) и граничных условий (5.3.30) показывает, что

U (0 三 ¥ (力(5.3.40)

Поэтому уравнение (5.3.39) может быть представлено в виде О = RTGBTGTR,

Q (切=0.(5.3.41)

Уравнение (5.3.34) представляет собой то же самое уравнение Риккати, что и уравнение, полученное в разд. 5.2, однако в данном случае граничные условия другие. Уравнение (5.3.35) — линейное матричное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого зависят от S. Уравнение (5.3.41) является простой квадратурой. Все три матричных уравнения (5.3.34), (5.3.35) и (5.3.41) могут быть проинтегрированы в «обратном» времени (от 才/ к %), что даст зависимости S ^), R (方)и Q (£)• Отметим, что Q & 0, поскольку О >0 и Q &) = 0.

При некотором значении начального момента времени 方=方。 матрица Q 优о) оказывается невырожденной, и тогда уравне-

ние (5.3.28) может быть разрешено относительно v

w = IQ (方о)]т [^ — RT 伉)х &)].(5.3.42)

Если же матрица Q (力°) является вырожденной, то задача оптимизации (5.3.1) — (5.3.4) называется анормальной х), что, в частности, означает, что в этом случае не существует соседних (см. гл. 6) минимальных решений.

Если задача не является анормальной, то значения v из (5.3.42) могут быть подставлены в (5.3.27). В результате получается выражение для 九(％).

九(楠=(S - RQTRT)』% 2 优о) + (EQT)ty抻.(5.3.43)

Зная 九(%), можно интегрировать уравнения (5.3.8) и (5.3.9) в прямом времени как задачу с начальными условиями (как задачу Коши). Если же при интегрировании уравнений (5.3.34) и (5.3.35) решения S (t) и В (t) запоминаются, то необходимо интегрировать в прямом времени лишь уравнение (5.3.8), используя (5.3.27) для вычисления 九(Е) и (5.3.42) — для вычисления v. Зная зависимость 九(Е), с помощью (5.3.7) можно определить управление и (方).

Обычно, однако, на практике больший интерес представляет оптимальный закон управления с обратной связью вида (5.3.20), а не программное управление и (方).Такой закон можно получить, либо вычисляя V с помощью (5.3.42) в некоторые промежуточные моменты времени (дискретный закон управления с обратной связью); либо вычисляя V непрерывно (непрерывный закон управления с обратной связью). Из соотношений (525') и (5.3.43) при tQ = t имеем

и «) = -С(0 x(t) ~D (0 2，(5.3.44)

где

• С = В-е (S - RQTRT),(5.3.45)

D = B-、GT EQT.(5.3.46)

В противоположность закону управления (5.3.20) закон управления (5.3.44) явно зависит от заданных терминальных значений вектора состояний Ig &), • •第@ (%)]=屮Если 2 = 0, то получаем закон управления, эквивалентный непрерывному варианту закона управления (5.3.20) [т. е. закону управления (5.3.20), в котором 方о заменено на 打.Обращаясь к (5.3.22), видим, ито случай w = 0 соответствует задаче, в которой не заданы

1) Подробнее смысл анормальности в вариационных задачах изложен в книге： Г. Блисс, Лекции по вариационному исчислению, ИЛ, 1952.— Прим, перев.

какие-либо терминальные условия. Из (5*3.23) и (5.3.40) находим, что значение 屮 при v = 0 дается выражением

G — 7?' (%)况 «о);(5.3.23а)

таким образом, величина RT (力о) х (^0) является предсказанным значением 屮 в том случае, когда J минимизируется без учета каких-либо терминальных условий. Используя эту интерпретацию, закон оптимального управления (5.3.44) можно записать в виде

u(0= - B-^Sx (tj-B-^RQ-1 (i|)- тр). (5.3.44а)

Минимизация интеграла от квадратичной формы, управляющих переменных. Особый интерес представляет частный случай интегрального квадратичного критерия качества (5.3.2) при 4 = 0. В этом случае минимизируется интеграл от квадратичной формы только управляющих переменных, т. е. критерий качества принимает вид

Ч

J = g J (uTBu) dt,(5.3.47)

to

Условия (5.3.1), (5.3.3) и (5.3.4) при этом также должны быть удовлетворены. Уравнение Риккати (5.3.34) при 4=0 имеет тривиальное решение

'S ⑴=0.(5.3.48)

Отсюда следует, что и (力)=0 является решением задачи в том случае, когда не наложены терминальные граничные условия. При этом J = 0. Уравнения (5.3.35) и (5.3.41) упрощаются:

公+严Е = 0,川仿)=(巻)『у(5-3.49)

q(9 = - j (RTGB-^R) di.(5.3.50)

一 Непрерывный закон оптимального управления с обратной связью может быть записан в виде

и ⑴=一。⑴ 3 — RT ⑦ Z(0h(5.3.51)

где

D Q) = B-^RQ-1.(5.3.52)

Заметим, что предсказанное значение 屮 в том случае, когда не используется управление на всем интервале 伉力)，дается

выражением -

《=7?т (力)х (%). (5.3.53)

Поэтому соотношение (5.3.51) может быть представлено также в следующем виде: ・

u (方)=-D (%)[2一g (%)]. (5.3.54)

Управляемость 工)(см. также приложение Б). Можно показать, что минимальное значение критерия качества (5.3.47) удовлетворяет равенству

^мин = ^ [% (0 — W f —Q ⑴尸【6 传)一21 |i=ioJ (5.3.55) где 0 (力)дается выражением (5.3.53). Из (5.3.55) следует, что в случае, когда матрица Q 储)вырождена, величина /мин неогра- ничена (/мин ~ оо)； кроме того, из (5.3.51) вытекает, что в этом случае и (方о) — оо.

Динамическая система называется частично неуправляемой,, если матрица Q (力)вырождена для любого значения t，интерва- ge (方о, %/)•

Динамическая' система, которая управляема при q = % называется полностью управляемой^ так как в этом случае все компоненты конечного (терминального) состояния, какими бы они заранее ни выбирались, могут быть достигнуты с помощью соответствующего управления.

В случае стационарных динамических систем, когда F и G — постоянные матрицы, критерий полной управляемости может быть представлен в виде

Ранг (G, FG.尸G,.・.，尸一唱)=% (5.3.56)

Если матрица F имеет различные собственные значения (дей- ствительные или комплексные) и линейное преобразование у ^= Тх таково, что D = TFT-1 — диагональная матрица, то матричное уравнение (5.3.3) преобразуется к виду

丿 у = Dy + TGu. (5.3.57)

Теперь ясно, что если матрица TG имеет одну или несколько нулевых строк, то соответствующие компоненты нового фазового вектора у не испытывают воздействия какой-либо управляющей компоненты и поэтому система не является полностью управляемой.

Другая причина неуправляемости системы может заключаться в том, что матрица D в (5.3.57) имеет одинаковые диагональные элементы. Рассмотрим для примера систему, описываемую урав-

丄)Понятие управляемости с более формальных алгебраических позиций рассмотрено в приложении Б.— Прим, перев.

нениями

"=切 1 + 口， , y2 -初2十2u，

Линейная комбинация 2yl — у2 не испытывает воздействия управления и, и, следовательно, система не будет полностью управляемой.

На эти заключения об управляемости не влияет выбор матрицы В, если только она является положительно определенной (можно было бы выбрать в качестве В единичную матрицу). Таким образом, управляемость есть свойство, присущее самой динамической системе^ тогда как нормальность (или анормальность) является свойством^ присущим задаче оптимизации. Очевидно, что неуправляемая система приводит к анормальной задаче оптимизации, но обратное не обязательно верно.

Пример. Два математических маятника длиной I соединены пружиной на расстоянии а от точек подвеса (фиг. 5.3.1). Маятники управляются двумя равными и противоположно направленными силами и, которые приложены к маятниковым грузам

Фиг. 5.3.1. Пример неуправляе-мой системы.

массы т каждый. Уравнения движения системы связанных маятников имеют вид

欣2“ =—乃公(» — 02) — WgZOj — u, ml2Q2 =—乃歩(02 — 91) — wgZ02 + u.

Приведение этой системы к диагональному (каноническому) виду может быть осуществлено непосредственно с помощью алгебраических преобразований. Для этого надо просто сложить эти два уравнения, а затем вычесть их друг из друга. В результате получается

刑=一宁%,

就2y2 = - (2液2 + 1ng1) y2 — 2u, где 勿=% + 02, У2 ~ Qi — %.

Очевидно, что в данном случае нет возможности управлять симметричными колебаниями у* * 0; поэтому система не является полностью управляемой.

Отметим, что если одну из сил исключить (или сделать ее не равной другой), то система будет полностью управляемой.

Задача 1. Квадратичный критерий качества и терминальные условия общего вида.

Найти управление и (Z), которое минимизирует критерий

to

при условиях

х = F (t) х + G (t) u,n &) задано,Mx (力)=叭

где 屮一заданный ^--мерный вектор, М ——заданная матрица размерности q X ",夕 & 汽.

Ответ.

〃 =—В-"%' + G‘(S — RQ-^lf)] x - B-^RQ-1^,

или

u= — 5-1 (NT + (fS).^—B-^RQ^ (i|? — Ф), где

5 = —S尸—РУ —A+(SG + N) B"1 (NT + GTS),

S (tf) = 0,

力=—[FT — (sg 十 A') B-^] R,

R 闯=Mt,

0 = RT GB^GTR,

一Q &) = 0.

При этом

/мин=4【"Ss + 佈一2) т ( — QT) (®—屮)]『％,

где 0 = RT (to) х (力°) — предсказанное значение 屮 в случае минимизации J без учета терминальных условий.

Задача 2. Показать, что уравнение Риккати (5.2*24) при 4=0 может быть записано как линейное дифференциальное уравнение для матрицы 5'1:

2 (ST) == FST + S-F _ GB^GT.

200200

200

200

Глава 5

Датке при S (力垃=0 (т. е. при S/f оо) это матричное уравне- ние можно интегрировать в обратном времени. Показать далее, 署，при q ~ п решение может быть записано с помощью матрицы 兄(/), определяемой уравнением (5.3.49), в виде ')

我(力)尸=[RT ⑴尸[S^+ J I^GB-^R 由][R ⑼t.

Задача 3. Пусть F и G — постоянные матрицы. Показать, что условие

S^1 (t) > 0 эквивалентно условию

Panr(G, FG,尸G,..・，F^G) = п.

Указание. Продифференцируйте нужное количество раз переходную матрицу ф (厶 т) и примените теорему Кэли — Гамильтона.

Задача 4. Показать, что предсказанное терминальное состоя- 立ие ip, определяемое уравнением (5.3.53), изменяется при использовании управления согласно уравнению

В = RTGu,

где R определяется из (5.3.49), а

《(办)=RT (力)x (方0).

Задача 5. Для простейшей системы второго порядка

х^х = и,

r“e n л 辽 ——скалярные переменные, найти управление и (0, которое переводит систему из состояния х (0) = ^0,(0) = vQ

в состояние х (&) = х (&) = 0 и минимизирует критерий

о

Указание. Используйте тот факт, что частное решение уравнения х + х = A sin t + В cos t имеет вид

^част =亏 sin % —亏 4% COS 方.

i) См. приложение Б.2 и работу Калмана, Хо, Нарендры, указанную в списке литературы к приложению Б.

Ответ.Ответ.

Ответ.

Ответ.

2

〃工—弓— Sin2 丐［sin «/ — о sin tf — // sin 厶

—cos (力/ —力)sin %/+ 力了 cos 订［；：］

5・4・ Регуляторы и устойчивость

начальный момент действующих воз-начальный момент действующих воз-Регулятор, согласно принятому в данной главе определениюг является управляющим устройством с обратной связью; это устройство предназначено для поддержания в допустимых пределах отклонения состояния стационарной системы от заданного состояния с использованием лишь допустимых величин управляющих воздействий. Возмущения, действующие на систему, часто оказываются случайными, и поэтому их предсказание невозможно. В последующих главах будет исследовано статистическое поведение регулируемых систем при наличии случайных вынуждающих функций. В данном разделе рассматриваются

начальный момент действующих воз-

начальный момент действующих воз-

только детерлшнированные возмущения в ［т. е. х (力о) $ 0］ при отсутствии постоянно

постоянны.постоянны.мущающих сил х).

постоянны.

постоянны.

В случае стационарных систем матрицы F и G

Будем, кроме того, предполагать, что матрицы Л и В в критерии качества (5.2.3) также постоянны, а интервал времени регулирования неограничен (т. е.力/ —— 力о f оо). Рассматривая уравнение Риккати (5.2.24) для матрицы S (%), видим, что возможно существование установившегося конечного решения, если из условия

(5.4.1)(5.4.1)м = о = —SF 一 FTS + SGB^GTS 一 Л следует, что

(5.4.1)

(5.4.1)

S (力)一>-3。 при tf —力о ~■>■ сю.

Здесь S° ——установившееся конечное решение уравнения (5.4.1). В этом случае матрица коэффициентов усиления (5.2.27) также становится постоянной:

С «) -> С° - в-1^0.С «) -> С° - в-1^0.(5.4.2)(5.4.2)

С «) -> С° - в-1^0.

С «) -> С° - в-1^0.

(5.4.2)

(5.4.2)

(5.4.3)(5.4.3)

(5.4.3)

(5.4.3)

Более того, из (5.2.31) следует, что оптимальное значение крите-

рия качества при & ——方° -> оо определяется равенством

/зН = ^/(幻3先(幻

1) Поскольку i0 произвольно, метод, разумеется, применим в случаа любых возмущений в переменных х (£) состояния системы, которые возникают . на интервале регулирования, независимо от вызывающей их причины.

и не зависит от времени. Таким образом, в рассматриваемом случае оказывается, что если существует установившееся конечное решение 5° уравнения (5.4.1) и если оно является, положительно определенным, то %(£)и м (0 ограничены (т. е, никогда не обращаются в бесконечность) и закон управления

% (9 = —с% (9% (9 = —с% (9.1(544).1(544)

% (9 = —с% (9

% (9 = —с% (9

.1(544)

.1(544)

приводит к асимптотически устойчивому регулятору (см. задачу 1).

Следует заметить, что, вообще говоря, квадратичное матричное уравнение (5.4.1) допускает более одного установившегося решения для матрицы 5°. Лишние корни могут быть обычно исключены введением дополнительного требования положительной определенности матрицы 5°, 5° >0. Другой подход состоит в интегрировании уравнения (5.4.1) в обратном времени (£ = —т) с граничным условием S/ = 0 до тех пор, пока не будет выпол

нено условие 5^0. Калман [5.2] показал, что в этом случае S (т) f 5°. Такой метод является ценным практическим приемом синтеза регуляторов 〉

Пример 1. Регулятор Оля системы первого порябЕа. Система описывается уравнением

•1 .

%=一三七十u.

Необходимо синтезировать регулятор, который поддерживает

состояние х в окрестности нуля.

Решение. Если необходимо поддерживать %? ниже заданного значения 嗚=const при использовании управления и2, не превосходящего значения м% — const, то для достижения этой цели можно попытаться использовать критерий качества

J = у ^ (а^3 -]- bt^; d厶 гдеJ = у ^ (а^3 -]- bt^; d厶 где1 ан瀛1 ан瀛

J = у ^ (а^3 -]- bt^; d厶 где

J = у ^ (а^3 -]- bt^; d厶 где

1 ан瀛

1 ан瀛

Соответствующее уравнение Риккати имеет вид

S2S2

S2

S2

В установившемся состоянии (S = 0) имеем 52 +-^-5 — ab = 0,

В нашей стране такой метод решения уравнений Риккати был разработан Ю. М. Репиным и В. Е. Третьяковым [5.10 Прим. ред.

Отсюда

S=，/ 告 + 就.

Поскольку S должно быть положительным, приемлемым является лишь знак « + » перед корнем. Таким образом,

S° = )/'* +曲一 4"，

”)=- [/营+W]c(9・

Пример 2. Рееул晶тор @儿兄 системы третьего "叩兄。役а (регулятор канала стабилизации крена для управляемого снаряда i). Необходимо спроектировать управляющее устройство с обратной связью для управляемого снаряда с гидравлическим приводом

мого снаряда.

для элеронов. Регулятор должен стабилизировать значение угла крена y ^ 0; при этом должны выполняться физические ограничения на угол отклонения элерона 6Э и на скорость его отклонения 6Э. Схема снаряда представлена на фиг. 5.4.1. Уравнения движения имеют вид

63 -辽,

Здесь 7\ — постоянная времени снаряда при движении по крену, Nq — эффективность элеронов, 辽 ——сигнал управления приводом элерона, coxi ——угловая скорость крена. Используя теорию

Присутствие случайных возмущений рассмотрено в примере разд. 14.2 (см. также задачу 1 разд. 14.5).—— Прим, перев.

синтеза регуляторов для линейных систем с квадратичным критерием качества, будем минимизировать функционал

J = lim -|-〈（土/-%）->8?J = lim -|-〈（土/-%）->8?6161++〃2〃2成,成,

J = lim -|-〈

（土/-%）->8?

J = lim -|-〈

（土/-%）->8?

61

61

+

+

〃2

〃2

成,

成,

чение 辽.чение 辽.—SF — FTS + SGB-^S—SF — FTS + SGB-^S-Л - О,-Л - О,

чение 辽.

чение 辽.

—SF — FTS + SGB-^S

—SF — FTS + SGB-^S

-Л - О,

-Л - О,

где ?0 —— желаемое максимальное значение у, 630 —— максимальное допустимое значение бэ, uQ ——максимальное допустимое зна- Установившееся матричное уравнение Риккати

где

尸=尸=00ОО0101NaУ"ОNaУ"ОООООS = ST,B =靑，АS = ST,B =靑，АЗакон управления имеет видЗакон управления имеет вид1О О1О ОSS号~。О О号~。О О• О О• О ОооО1龍О1龍a = - C%= ~B^GTSx^~ul №., S⑵ ％]a = - C%= ~B^GTSx^~ul №., S⑵ ％]FзлаFзлаПодстановка матриц 尸，S, G,民 *4 в уравнениеПодстановка матриц 尸，S, G,民 *4 в уравнениеводит к тестиводит к тестистепени относительно Sстепени относительно SРиккати при- скалярным алгебраическим уравнениям второйРиккати при- скалярным алгебраическим уравнениям второй2S,z强一击+呜競=°'2S,z强一击+呜競=°'2s 221 VS23 _V2s 221 VS23 _V2s2з +若 S『0,2s2з +若 S『0,S33 十磋 5工2s £3 = 0,S33 十磋 5工2s £3 = 0,С помощью непосредственныхС помощью непосредственныхмогут бытьотносительномогут бытьотносительносведены к одному-сведены к одному-f參f參亍^ §22 + 辽衿 11^12= 0,十凜\足3 = 0,亍^ §22 + 辽衿 11^12= 0,十凜\足3 = 0,—飞* + 〃；S；3 = 0.преобразований эти уравнения—飞* + 〃；S；3 = 0.преобразований эти уравненияпеременной g — u^Shпеременной g — u^Shуравнению четвертой степениуравнению четвертой степениi + 4；i + 4；++也2嗫4也2嗫44 / 2%1 \硏1而+隔）4 / 2%1 \硏1而+隔）8N38N36 台06эомо^7 у^и^Т^6 台06эомо^7 у^и^Т^0.0.

尸=

尸=

0

0

О

О

01

01

Na

У"

О

Na

У"

О

О

О

О

О

S = ST,B =靑，А

S = ST,B =靑，А

Закон управления имеет вид

Закон управления имеет вид

1

О О

1

О О

S

S

号~。

О О

号~。

О О

• О О

• О О

о

о

О

1龍

О

1龍

a = - C%= ~B^GTSx^~ul №., S⑵ ％]

a = - C%= ~B^GTSx^~ul №., S⑵ ％]

F

зла

F

зла

Подстановка матриц 尸，S, G,民 *4 в уравнение

Подстановка матриц 尸，S, G,民 *4 в уравнение

водит к тести

водит к тести

степени относительно S

степени относительно S

Риккати при- скалярным алгебраическим уравнениям второй

Риккати при- скалярным алгебраическим уравнениям второй

2S,z强一击+呜競=°'

2S,z强一击+呜競=°'

2s 22

1 VS23 _V

2s 22

1 VS23 _V

2s2з +若 S『0,

2s2з +若 S『0,

S33 十磋 5工2s £3 = 0,

S33 十磋 5工2s £3 = 0,

С помощью непосредственных

С помощью непосредственных

могут быть

относительно

могут быть

относительно

сведены к одному-

сведены к одному-

f參

f參

亍^ §22 + 辽衿 11^12= 0,

十凜\足3 = 0,

亍^ §22 + 辽衿 11^12= 0,

十凜\足3 = 0,

—飞* + 〃；S；3 = 0.

преобразований эти уравнения

—飞* + 〃；S；3 = 0.

преобразований эти уравнения

переменной g — u^Sh

переменной g — u^Sh

уравнению четвертой степени

уравнению четвертой степени

i + 4；

i + 4；

+

+

也2嗫

4

也2嗫

4

4 / 2%1 \

硏1而+隔）

4 / 2%1 \

硏1而+隔）

8N3

8N3

6 台06эомо^7 у^и^Т^

6 台06эомо^7 у^и^Т^

0.

0.

При этом элементы 5订 выражаются через о и другие переменные следующим образом:

S" = *, % =备(02 一蟲)，SL嘉，% =科，

5羽 二 寻(S23 —成S；2)， S33 = ^yQ + ~ Sa

Из решений уравнений четвертой степени представляют интерес только действительные положительные значения о.

Численный пример. Пусть 7\ = 1 се% N& = 10 сек', щ = =л раЗ * сем*, З30 = л/12 рад, у0 = л/180 рад. Соответствующее этим данным уравнение четвертой степени о& 十 1,272а3 ——28,30?—— ——482о + 59,4 = 0 имеет лишь два положительных действительных корня: s = 8,55, о? = 0,12. Использование наименьшего корня о? приводит к условию S33 V 0, поэтому остается лишь корень 5 ')• В результате

a = "。0 = 26,9 се?ri;賓=爵(°2一±)=28,9;

色=^_ = 180 сеж-1; 〃=-(26,93а十28,9%1 + 180у).

Задача 1. Рассмотрим общую задачу данного раздела при дополнительном предположении, что пара (b, G) образует управляемую систему. Покажите, что в этом случае при Л >0 можно указать верхнюю границу для интеграла

./= min ^ (у11ж1|а + у ||^||в) dt

и что существует предел J при «/ ——％) f оо. Покажите далее, что оптимальное значение критерия J = '/2 II % (方。)Hs0 является функцией Ляпунова (см. приложение Б.4), что влечет за собой в свою очередь асимптотическую устойчивость управляемой системы, описываемой уравнением x^{F — GB^G^q) х.

Следует отметить, что оптимальность управления в общем случае не обязательно влечет за собой устойчивость системы. Так, некоторые критерии качества могут привести к тому, что управление будет дестабилизировать систему. Одной из важных проблем качественной теории оптимального управления является выяснение соотношения между критерием качества и свойствами

управляемой системьг 工).В таком направлении можно вести дальнейшую разработку материалов данного раздела [5.1—5.31.

задача 2. Рассмотрим управляемую и устойчивую стационар- ную линейную систему, описываемую уравнением

х Fx + Gu.

Пусть ее управление и (%) подчинено условию || и 112 ^ 1, а V = ~ /г 11 I Is является функцией Ляпунова для приведенной выше системы при и — 0. Выберем теперь закон управления таким образом, чтобы он минимизировал производную функции Ляпу- нова. Показать, что этот закон управления является также оптимальным и для некоторого квадратичного критерия качества типа приведенного в задаче 1.

Задача 3. Автопилот продольного канала самолета для стабилизации малых вертикальных ускорений. Продольное возмущен-

Ф и г. 5.4.2. Схема и обозначения к задаче управления продольным движе» нием самолета.

ное движение самолета относительно горизонтального крейсерского режима полета достаточно точно описывается следующей системой уравнений второго порядка:

包1 =—% (а — Nr3b),

где (фиг. 5.4.2)

а — возмущение угла атаки относительно угла атаки а*р крейсерского режима полета,

0>zl = 6,

仆一возмущение угла тангажа относительно угла тангажа 仆кр=акр на крейсерском режиме полета (отсчитывается от нулевой подъемной силы0力1),

①о①о叫=陪叫=陪%в =%в =ТеТе1/2

①о

①о

叫=陪

叫=陪

%в =

%в =

Те

Те

—недемпфированная собственная частота колебаний по тангажу,

Mzi ——аэродинамический момент относительно оси 方 (момент тангажа),

/21 ——момент инерции самолета, Ж6в

-^эффективность руля высоты,

постоянная времени самолета при изменении угла наклона траектории (подъемной силы), 6В — угол отклонения руля высоты.

Требуется:

определить установившиеся значения коэффициентов уси~ ления Ci и С2 регулятора с законом управления

6В = —— С2о21,

который минимизирует критерий качества

Нанести для данной управляемой системы семейство линий постоянных значений коэффициента демпфирования 匕 на график N в^во/

Отметим, что синтезированный по такому критерию автопилот не поддерживает горизонтальный режим полета [т. е. нуле^ вую вертикальную скорость (0 = 0)].

Задача 4. Автопилот продольного канала самолета для стабилизации малых вертикальных скоростей. Для учета изменения вертикальной скорости к уравнениям продольного возмущенного движения из задачи 3 следует добавить уравнение

6 = 0)zi,что приводит к динамической системе третьего порядка.

Найти уравнения для определения установившихся значений коэффициентов усиления С^ С2, С3 регулятора с законом управления

бв = —С\а — С2szi — СзМ минимизирующим критерий качества

J= lim j dt.

Заметим, что такой автопилот поддерживает почти горизонтальный полет, однако высота при этом не остается постоянной.

Задача 5. Автопилот продольного канала самолета для поддерживания постоянной высоты полета. Для учета изменения высоты полета к уравнениям продольного возмущенного движения из задачи 4 следует добавить уравнение

力=р(8 一 а),где h ——возмущение высоты относительно заданной. Получен-ная при этом динамическая система имеет четвертый порядок.

Найти уравнения для определения коэффициентов усиления °1，°2，С3, С4 стационарного регулятора с законом управления

зB = -аa - e2szi -e3°一■ C儿

минимизирующим функционал

lim [+ dt.

Задача 6. Автопилот канала управления боковым движением самолета, предназначенный для стабилизации направления полета {курса) и угла крена 】).Движения самолета по крену, рысканию и скольжению взаимосвязаны и образуют в совокупности так называемое боковое движение. Это движение почти совсем не связано с изменениями угла тангажа и вертикальными перемещениями самолета, т. е. с его «продольным» движением: Возмущенное боковое движение самолета относительно установившегося горизонтального полета описывается системой уравнений пятого порядка

^yl \ ^Р@&л：1@&gl '* J°h^yl \ ^Р@&л：1@&gl '* J°h•,1/ амх4 о 丄 дМх1дМХ1дМх1 к \

^yl \ ^Р@&л：1@&gl '* J°h

^yl \ ^Р@&л：1@&gl '* J°h

5.4.3) возмущенные переменные имеют следующий5.4.3) возмущенные переменные имеют следующий而=铀1,где (фиг.

5.4.3) возмущенные переменные имеют следующий

5.4.3) возмущенные переменные имеют следующий

смысл: § — угол скольжения, 2 — угол рыскания (курса), соу1 —

1) См. [14.4] и задачу 1 разд. 14.2, где учтены случайные ветровые возмущения.—Прим, перев.

Фиг. 5.4.3. Схема и обозначения к задаче управления боковым движением самолета.

угловая скорость рыскания, у ——угол крена, toxi — угловая скорость крена, 6Н — угол отклонения руля направления, 6Э ——угол

Вывести уравнения для определения десяти коэффициентов усиления (СН1, • • ., Сн5), (C3t, . . ., Сэ5) стационарного регулятора с законом управления

為一

минимизирующим функционал

邛一 ⑴0С1 ⑴力

-屮.

［信离)4(幵+屮」威・

Для самолета, имеющего вес Go = 45 000 кГ, летящего на высоте 无о = 9000 м со скоростью Уо — 800 км/час^ типичны следующие значения коэффициентов системы:

——0,0297 сетГ1,

=—1,17 сек~2,

破

产=0,379 се旷2,

各=0 0438 ceG,

L叫,

У1

磽1

У1

範н

0,379 сек-S 岁= 1,580 ^犷\

—0,790 сек''1,

鸣1厶1

0,129 сект】,

-0,0125 ^'\-^-= -0,0096 сеК,7У1

-0,106.

一0,0423, 4^

Определить величины коэффициентов усиления Сц в цепи обратной связи, используя приведенные выше числовые значения коэффициентов системы и принимая следующие значения весовых множителей в критерии качества

Зно 6эо = £0 = Yo = 1.

Решение можно получить с помощью вычислительной программы для ЦВМ [5.4]. Найти далее также собственные значения и собственные векторы (т・ е. формы собственных колебаний) для случаев управляемой и неуправляемой систем (см. также гл. 14, разд. 14.2, задача 1).

Ответ. Числовые результаты для матрицы С^, полученные Р. К. Мехра, таковы:

*6Н1 ГО,317; 0,069; 1,01; 0,076; 0,551]

3」= -|_0,177; 0,737; 0,388; 1,03; 0,834J，

Задача 7. Линейная обратная связь для оптимального отслеживания заданного выходного сигнала. Выходной сигнал нестационарной линейной системы, описываемой уравнением

х = F (t) х G (t) и,является линейной комбинацией компонент вектора состояния

у = М (9 瑞

где х ——n-мерный вектор состояния, и ——m-мерный вектор управления, у — р-мерный вектор выходного сигнала.

Используя интегральный квадратичный критерий качества (функцию штрафа), найти соотношения, определяющие матрицу С(£) и вектор w (0 в законе управления вида

% =： —С(, % 十〃(,，

который заставит систему с достаточной точностью отслеживать желаемый выходной сигнал у (£)на интервале 扣 М 力 & 今；ПРИ этом величина сигнала управления и должна находиться в разумных пределах.

Ответ. Возьмите критерий качества вида

Тогда

с = B-^S, гр= -B-^g;

S= —SF— FTS + SGB-^S — MTAM,

S优力=0,

；=-(FT - SG^G7) g + MTAy,g (切=0.

Задача 8. Оптимизация неоднородной линейной системы по квадратичному критерию качества (В. Гарбер). Найти управление м(£), которое минимизирует критерий качества

J = ^ (/S尹)土=弓+~^ J (з^Ах + urBu) dt

при условиях「

x = F (t) x + G (t) и -}- C (t),力(如)=%o (%o — заданный вектор).

Ответ. Оптимальный закон управления имеет види (9 = —В-1^ (Sx + *),где 5 и А определяются как решения уравненийS= _-SF-FTS + SGB'^S - А,s (〃) = S/‘

:* = (SGBTGT-FT)k-SC,

k (£/) = 0.

Задача 9. Решение линейной двухточечной краевой задачи общего вида (Г. Рибицкий и П. Ушер). Рассмотрим линейную двуточечную краевую задачу

% =耳(9 % + 〃 (9；Ах (") = а,

%Вх 闯=А'

где、％ ——n-мерный вектор, а — (п — А)-мерный вектор, & ——fc-мер- ный вектор, F (^), w (^), а, &, А, В — заданные величины.

Показать, что решение может быть получено с помощью Л метода прямой прогонки, если положить

Ax (£) = S «) Bx (£) + m «)；

6- sc3s + c2,

m = (Ci — SC J m + (Л — SB)叫

Отметим, что S является ("—乃)X fc-мерной матрицей, a m — (" — /с)-мерным вектором.

Интегрирование дифференциальных уравнений для S и т вперед, т. е. от " до ^, дает семейство решений, удовлетворяющих начальным условиям. При t = t： имеем условия

4%(切=S (&) b + m (切,Вх (&) = Ь,

которые образуют систему " уравнений для определения 力(&)• Определив из этой системы 力(&), можно проинтегрировать исходную систему уравнений назад (т. е. от 々 до 用)для получения искомого решения краевой задачи.

Очевидно, что аналогичная процедура может быть использована и для нахождения решения краевой задачи методом обратной прогонки: для этого нужно лишь положить

Вх «) = QAx (£)+ п (力

Соседние экстремали и вторая вариация

Соседние экстремальные траектории при заданном времени окончания процесса

Пусть найдена некоторая вектор-функция управления м(£), которая удовлетворяет всем необходимым условиям первого порядка для оптимальности управления в задаче Больца 】)(см. разд. 2.5). Другими словами, пусть имеются следующая система уравнений и условия:

(6.1.1)

产——

дх '

(6.1.2)

дн ди

=0,

(6.1.3)

где 2 仇)，m

if заданы,

(6.1.4)

大%)=(需Т

)t=t/

(6.1.5)

屮[/(&)1

=0；

(6.1.6)

критерий качества имеет вид

J ф [х (^)] + j L [д? (/), u(t), t] dt,(6.1.7)

H = L + ?Jf.(6.1.8)

Напомним, что расширенный (вспомогательный) критерий качества для данной системы определяется выражением

J = ф [х ("] + лЛф [х ("] + f [反(力,м,九，方)一九％] dt. (6.1.9)

Управление м (力)，удовлетворяющее соотношениям (6.1.1у—(6.1.6), называется экстремальным управлением, а соответствующая ему траектория называется экстремальной траекторией (экстремалью). Экстремальное управление не обязательно минимизирует (максимизирует) выбранный критерий качества, поскольку оно удовлетворяет лишь необходимым условиям оптимальности. Экстремальные управления важно рассмотреть потому, что оптимальное управление находится среди экстремальных.—Прим, перев.

Рассмотрим теперь малые отклонения от экстремальной траектории, возникающие вследствие малых возмущений в начальном состоянии 8х (幻 и в конечных условиях &|\ Естественно ожидать, что малые возмущения в начальных и конечных условиях приведут к появлению возмущений (вариаций) 3% (£), 3九(0, dv, удовлетворяющих линеаризованным • в окрестности экстремальной траектории уравнениям (6.1.1)——(6.1.6), т. е.

5% = /3% + /иби,(6.1.10)

Н=—Нхх8х — /J6X — Нхи8и, Нхи = -^- (Н^, (6.1.11)

Них6х + 丁步九 + Нии8и = 0,(6.1.12)

8х (幻 задано,(6.1.13)

3九:伶)=К九"+ (/包)*)阮十暇du=屮(6.1.14)

6fф =[屮 3 砒=q задано.(6.1.15)

С другой стороны, можно рассмотреть разложение в ряд исходного критерия качества и ограничений с точностью до членов второго порядка малости по 3%, би [поскольку члены первого порядка малости обращаются в нуль, если траектория удовлетворяет уравнениям (6.1.1)——(6.1.9)]. Как было указано в разд. 1.3, к такому же результату можно прийти, если разложить в ряд расширенный критерий качества с точностью до членов второго порядка, а все ограничения ——с точностью до членов первого порядка малости относительно 8х, Зм. Таким образом,

6V = у В* (力芯 + (/R)*) 3%k=t『+

(6.1.16)(6.1.16)

(6.1.16)

(6.1.16)

при выполнении условий

(6.1.17)(6.1.18)(6.1.19)(6.1.17)(6.1.18)(6.1.19)3n — /芯3力 + /«би,■ 8х (%) задано,

(6.1.17)

(6.1.18)

(6.1.19)

(6.1.17)

(6.1.18)

(6.1.19)

3屮=(屮3%)t=5з屮 задано.

Поскольку нас интересуют соседние экстремальные траектории, то нужно определить би(£)так, чтобы величина 6V достигала минимума при одновременном удовлетворении условий (6.1.17)； (6.1.19). Такая задача относится к задачам оптимизации линейно-квадратичного типа (подробно она рассматривалась в рл・ 5). Введя множители 3九 и dv (такое обозначение для множителей выбирается с очевидной преднамеренностью), получим присоединенную

двухточечную краевую задачу, которая описывается уравнениями (6.1.10) — (6.1.15).

Уравнения (6.1.10)——(6.1.15) определяют линейную двухточечную краевую задачу, поскольку коэффициенты при 8х, би вычисляются на экстремальной траектории. Предполагая, что матрица Нии (0 невырождена для £()&£& 方力 можно разрешить (6.1.12) относительно величины 3“(р и выразить ее через 3九(力 и 8х (0:

би (£) = 一 Я^ (Них8х + 猷九).(6.1.20)

Подстановка полученного выражения для би (£) в (6.1.10) и (6.1.11) дает

гдегде(6.1.21)(6.1.22)(6.1.21)(6.1.22)(6.1.23)(6424)(6.1.25)(6.1.23)(6424)(6.1.25)8х = А (£)3% — 8 (£) 3九，戒=-С «) 8х - АТ (^) 6%,

где

где

(6.1.21)

(6.1.22)

(6.1.21)

(6.1.22)

(6.1.23)

(6424)

(6.1.25)

(6.1.23)

(6424)

(6.1.25)

4 (方)-/х -九五U次几8，В «) = fuH^

С (9 = Нхх — HxitHilliHltX.

爰， В этой задаче можно также считать, что отклонения от экстремальной траектории вызваны возмущениями 8х "°) и dv (вместо 3/ (幻 и &ф); при таком подходе необходимо определить значение dv, которое соответствует желаемому значению &ф.

с6・2・ Определение соседних экстремальных

траектории при заданном времени окончания процесса методом обратной прогонки

Метод прогонки , для решения линейно-квадратичных задач был изложен в разд. 5.2. В том же разделе (см. задачу 4) этот метод был применен к задачам, содержащим под знаком интеграла в критерии качества члены с произведением х на и. Далее в разд. 5.3 метод прогонки был распространен на задачи с линейными терми- Е нальными ограничениями вида (5.3.11). Ниже сделано дальнейшее обобщение — указанный метод применен для решения задачи с линейными терминальными ограничениями в форме (6.1.15)〉 Как и в разд. 5.3, будем искать решения уравнений (6.1.22) и (6.1.19) в виде

3九 «) = S «) 3n (9 + R ⑵ dw,(6.2.1)

8^)RT(£)8x «) + Q «)拠；(622)

'1) См. также задачу 1 разд. 5.3.

здесь dv и 3屮一векторы с постоянными бесконечно малыми компонентами, S «)，R ⑺ и Q «) —' матричные функции. Очевидно, эти матрицы должны быть такими, чтобы удов летв ор я лис ь

соотношения (6.1.14) и (6.1.15), т. е.

s 侑)=[%х + (vWJJtf,(6.2.3)

Е 闻=[喲у,(6.2.4)

Q (切=0.(6.2.5)

Продифференцируемтеперь выражения(6.2.1) и (6.2.2) по

времени, считая dv и &ф постоянными величинами:

5^ = Sbx 十 S3热十公 dv,(6.2.6)

RT8x + RT^ + Qdv = 0.(6.2.7)

Подставляя выражение для 3九 «) из (6.2.1) в (6.1.21), получим

3* = (4 — 3S) 8х 一 BR dm(6.2.8)

Приравняем теперь правые части уравнений (6.2.6) и (6.1.22), исключив из них предварительно 6а; и 6% с помощью соотношений (6.2.1) и (6.2.8):

(-С 一 ATS — S4 十 SBS — M) 3% - [(Лт ~ SB) R + 用 dv=0.

-(6.2.9)

Подобным образом, подставив 8х из (6.2.8) в (6.2.7), получим [RT + RT(A~ BS)]翫十(一 RTBR + 0)" dv = 0.(6.2.10)

Если рассматривать уравнения (6.2.9) и (6.2.10) как тождества, справедливые при произвольных значениях 8х и dv, то очевидно, что коэффициенты при 3% и dv должны обращаться в нуль:

5= -SA-ATS + SBS-C, или S= -S&-我S-HQ

+ (Sfu + HTx)H^(Hux + fTS),(6.2.11)

й= -(AT~SB)R,(6.2.12)

Q = RTBR.(6.2.13)

Соотношения (6.2.3) — (6.2.5) являются граничными условиями дня этих матричных дифференциальных уравнений. Если интегрировать эти дифференциальные уравнения от £ =它 до £ = ^0, то выражения (6.2.1) и (6.2.2) будут представлять собой граничные условия, эквивалентные терминальным граничным условиям

(6.1.15), но заданным в более ранние моменты времени^ таким образом, терминальные граничные условия «переносятся» назад, на более раннее время.

Проинтегрировав уравнения (6.2.11)——(6.2.13) от ^ до ^ =方о, можно разрешить уравнение (6.2.2) в точке ^ = ^0 и получить таким образом необходимое значение dv для обеспечения нужного отклонения 帥：

dv = QT (幻[阿-йГ (幻舐(幻].(6.2.14>

Заметим, что существование dv для всех значений 8^ связано с невырожденностью матрицы Q (") (см. разд. 5.3, условие нормальности).

Если величину dv из (6.2.14) подставить в (6.2.1) при £ = %, то получим

3九(幻=[S (%) — R (%) Q-i (%) RT (%)1 8x (%) +

+ R (幻 QT (幻眦.(6.2.15>

Далее можно найти 3% «) и 3% ") путем интегрирования уравнений (6.1.21) и (6.1.22) «вперед» (т. е. от % к ^), как при решении задачи с заданными начальными условиями, с использованием в качестве начальных значений 3% (") и 3九(％) из (6.2.15).

С другой стороны, если при интегрировании «назад» запомнить матрицы S (i) и Я(£), то можно просто проинтегрировать уравнение (6.2.8) «вперед», используя dv из (6.2.14). Полученное значение 8х «) затем можно подставить в (6.2.1) и определить 3九 «)•

Еще один способ состоит в следующем. Если запомнить матрицы S (£)и 7? (%) при интегрировании в обратном времени, то можно считать соотношение (6.1.20) линейным законом управления с обратной связью. Подстановка 6% (^) из (6.2.1) в (6.1.20) дает

加«)= -Н誌[(Яих + /^) 8x + fTRdv]^ (6.2.16}

Это соотношение совместно с уравнением (6.1.10) и выражением (6.2.14) можно использовать для определения 5况(i).

■ Величина dv в выражении (6.2.14) вычислена при t =". Рассматривая выражение (6.2.16) как закон управления с обратной связью, видим, что величину dv необходимо вычислять либо в нескольких промежуточных точках по времени (подобно тому как это делается в случае дискретного закона управления с обратной связью), либо непрерывно (как в случае непрерывного закона управления с обратной связью). Если dv вычисляется непрерывно с помощью соотношения (6.2.14), в котором tQ заменено на 力 то выражение (6.2.16) примет вид

би «) = - Е誌{[Яих + 汙(S — KQTRT)] 3* + 汙KQTg}=

=一 Ai (^) 8x — Л2 (£)(6.2.17}

Это непрерывный линейный закон управления с обратной связью, при котором терминальные условия имеют требуемые малые отклонения &ф, а критерий качества J (6.1.7) достигает минимума. Поэтому полученный закон управления целесообразно назвать оптимальным законом управления в окрестности номинальной траектории (или оптимальным законом управления по соседним траекториям).

Задача 1. Рассмотрим динамическую систему

/ =(耳 + GK) /, х (0) = /о,тде / —— скалярная переменная, К — скалярное управление.Пусть критерий качества имеет вид

т

J^~z^T)ST + ^ z^t)(Q + KRK)dt,о

тде F, G, St, R, Q — известные скалярные величины. Записать необходимые условия обращения в нуль первой вариации J и решить полученную двухточечную краевую задачу.

Заметим, что эта задача может быть получена из обычной линейно-квадратичной задачи, если предположить, что закон управления имеет вид и = Кх.、

6.3・ Достаточные условия локального минимума при заданном времени -окончания процесса

В этом разделе будет показано, что для существования соседних стационарных i) экстремальных траекторий (экстремальных в слабом смысле, т. е. при малых 6х и 6м) достаточно выполнения следующих условий:.

Нии (£)>0(т. е. матрица Нии положительно

определена) при % & £ & 方力(6.3.1)

Q «) V 0 (т. е. матрица Q отрицательно определена) при

t0 ^ К 办(6.3.2)

Матрица [S «) — R (£)0々(£)RT (£)] ограничена при 如 & £ V tf.

(6.3.3)

В вариационном исчислении каждое из этих трех условий имеет специальное название: (6.3.1) — условие выпуклости (или уси-

Имеются в виду соседние траектории, удовлетворяющие условию -стационарности (6.1.12).— Прим, перев.

ленное условие Лежандра —— Клебша), (6.3.2) —— условие нормальности, (6.3.3) — условие отсутствия сопряженных точек на траектории (условие Якоби).

Условия (6.3.1) — (6.3.3) совместно с необходимыми условиями (6.1.1)——(6.1.9) разд. 6.1 образуют систему достаточных условий локального минимума критерия качества J на рассматриваемой траектории. Для доказательства рассмотрим снова выражение (6.1.16) для второй вариации 6V:

SV =讶[6力(6* + “т屮J# 8x]t^tf +

吃之］園".（6.3.4）

Если будет показано, что самым будет установлено, зирует критерий J.

6V >0 для всех 6м (£)千 0, то темчто исходная траектория') миними-6V >0 для всех 6м (£)千 0, то темчто исходная траектория') миними-Прибавим к выражению (6.3.4) следующее тождественно равное нулю выражение 2):

6V >0 для всех 6м (£)千 0, то темчто исходная траектория') миними-

6V >0 для всех 6м (£)千 0, то темчто исходная траектория') миними-

[3况т屮^— Зрт)dv]t^tf +

+ j ^dvTRT (fx6x + fu8u~6x) +

to

+ ~ 8zTS (fx8z + /U6u — &r)} dt = 0,в котором величины dv =-= const, R = R@), S = S(£)должны бытьопределены. Интегрируя dvTRT8z и 8zTS8z по частям, получим

62J = 4-[舐т (巾花工 + (утра：)% — S) 6%k=% +

+ dvT [(屮“ 一*)阮 一 8^]t=tf +

+ [8zTS 6^]t=to + [8zTR dv]t=t0 +

+ 4~ f 2dvT (йг + Ят/Х) 6^ + 2dvTRTfu8u + to

i) В классической литературе эта минимум. См., например, Г. А. Б л

；ному исчислению, ИЛ, 1950.

* задачей на

задача называется присоединенной

и с с, Лекции по вариацион-

2

!■■ в его

)Метод доказательства принадлежит С. Макрейнольдсу и изложендокторской диссертации (S. R. McReynolds, Ph. D. Thesis, Har-

Й vard Univ., 1966).

十 8xTS &r 十 2 (8xTfx + 8ит/ц^ S 舐 + 心寸口園".(6.3.5)

Распишем подынтегральное выражение более подробно:

万 j [6%т (S + 5倉 + f?S 十 H耍公 6力十 8uTHuu8u +

•+ 8хт (Д + f^R) dv + dvT (Лт + RTf^ 6ж +

+ 6жт (Яжи + 5九)6a + 6мт (Яих + 总S) 8х +

+ dvTRTfu 6а 十 8uTf^R dv] dt.

Выберем теперь матрицы S, R так, чтобы выполнялись соотношения

s+s/黑+£s + Нхх — {Нхи+s/u)н誌(Них+/uS),

S (力)=[^xx + (VTlpx)xh=^J(6.3.6)

^ + /хй - (Яяи + Sfl) H^R = o, R(tf) = ^(6.3.7)

а матрицу Q определим следующим образом:

Q = R^fuH^R, QS) = 0・(6.3.8)

Следовательно, указанные матрицы удовлетворяют уравнениям (6.2.11) — (6.2.13) разд. 6.2. Интеграл в выражении (6.3.4) можно теперь представить в виде полного квадрата')

学7 = ! (舐時翫)J +(&EЧ? dv)『% 一(6旷 dv) + 4 ”T<2 (幻阪 +

+ 4 J II (^uu)- [(Hux + fuS) 6ж + /^ dv] + 6u ||lruu dt. (6.3.9) io

Наконец, выберем dv так, чтобы удовлетворялись уравнения (6.2.14) или (6.2.2). Тогда получим

'67=侍 3/ (S - RQTR т) 6с + 6屮TQTR 6с -

+ 4~ j II (HQT {[%х + 您(S — EQ-IRT)] 8х +

+/^<2-i6ip} + 6M и 九 к dt.(6.3.Ю)

Если сравнить две траектории с одинаковыми начальными и терминальными условиями, т. е. при 3/(%) = 3屮 = 0, то 6V >0 для всех Зм (方),за исключением тех, при которых подынтегральное выражение в (6.3.10) обращается в нуль, т. е. за исключением Зм«), определяемых выражением (для всех 方)

- 8и (0 = -Я^ [Них +fl (S-RQ^RT)] 8х.(6.3.11)

При 6/(%) = 0 и 6屮=0 из (6.3.11) следует, что 6м «) = 0, если выполняются условия (6.3.1) — (6.3.3). Последнее означает, что 627 >0 для всех ненулевых 8и (方)при 3/(%) = &ф = 0; таким образом, исходное управление и «) доставляет локальный минимум критерию качества J.

Далее, если используется закон управления с обратной связью (6.2.17) при 3% (幻唆 0 и 3屮考 0, то в соответствии с (6.3.10) изменение критерия качества с точностью до членов второго порядка определяется выражением

б/ =九т (%) &г (%) — vT 6ip + у [8хТ (tQ), 6ipT] х

XX.S-RQTRT, RTQT]「阮(%)一_ QTR， —QT」[阶・

X

X

dJ°dJ°^ = S—RQTR\^ = S—RQTR\*j。dx d屮*j。dx d屮= RiQT,= RiQT,*j。@屮2*j。@屮2-QT.-QT.Отсюда получаются следующие выражения для частных производных от 7° [х (^0),屮]:

dJ°

dJ°

^ = S—RQTR\

^ = S—RQTR\

*j。

dx d屮

*j。

dx d屮

= RiQT,

= RiQT,

*j。

@屮2

*j。

@屮2

-QT.

-QT.

Можно показать также, что необходимым условием второго порядка для минимума J является ослабленное усдовие (6.3.1) (см. также гл. 4, разд. 2), т. е.

Яии ⑺ >0 для % &方& % (6.3.12) 1)

Смысл условия выпуклости легко понять, основываясь на материале гл. 4, где показано, что м (方)определяется минимизацией гамильтониана Я по и при фиксированных значениях 力，

1) В кл ассическом вариационном исчислении это условие называется необходимым условием первого порядка; см. [6.21].

X и Л Если Н ——гладкая функция и ограничения на управление отсутствуют, то должны выполняться условия

% = о, Яии > 0.

Что касается условия нормальности, то уравнение (6.2.14) позволяет интерпретировать его следующим образом. Малые изменения &ф могут быть получены при малых изменениях dv только в случае невырожденности матрицы Q (力)на 力о & % V

V 力户 Если Яии >0, то из (6.3.8) следует, что Q》0. Поскольку Q (切=0, то, следовательно, Q (Z)W 0.

Если S — RQ~rRT -> оо в точке £ = /, где ^о ^ ^ < 勺，то необходимо, чтобы некоторая линейная комбинация 6% (У) была

СеверныйСеверныйравна нулю; это означает, что система допустимых возмущений

Северный

Северный

Фиг. 6.3.1. Кратчайший путь между точкойи большим кругом на сфере.

0 — географическая широта; 力一географическаядолгота.

имеет размерность меньше, чем п, где п — число переменных состояния. Следовательно, поверхность постоянных значений JQ в окрестности точки t — f имеет излом (разрыв в частных производных), поскольку @2/°/。%2 f 8 при £ = У. Если траектории продолжить от £ = У в сторону t < f, то они уже не будут мини- мизирующими 工)(см. примеры 1 и 2.и задачи 1 и 2 этого раздела). Заметим, что если S —> оо, то это еще не обязательно означает^ что S — RQ-* 11T f оо (см. пример /).

Пример 1. Кратчайшая траектория на сфере между точкой и большим кругом. Чтобы найти кратчайшую траекторию между точкой О и большим кругом, выберем систему координат с началом в этой точке; пусть большой круг соответствует меридиану « = #!* Обозначим через 0 широту точки, а через # — ее долготу (фиг. 6.3.1).

Точнее： участки траекторий и управлений на отрезке времени ［力 £力 где 才 V，，a tj фиксировано, не будут минимизирующими, если S ——RQ—rT f f оо при 才=产.Проверку условия ограниченности матрицы S ——RQ~XRT удобно проводить (при фиксированном 专)начиная с правого конца траектории, поскольку граничные условия для S, R, Q заданы при 才=才尸一 Прим, перев.

Элемент расстояния ds на поверхности сферы определяется равенством

曲=[*(d0)2 + 产 cos2 0 (")2卩/2, где г — радиус сферы. Задача состоит в отыскании 〃(#), минимизирующего критерий качества

/= j (u,2 + cos2 0)1/2 ”， о

где dB/d^ = и, 8 (0) = 0. 「

Легко показать, что траектория и = 0, 8 = 0 удовлетворяет необходимым условиям первого порядка, при этом J = «「Рассмотрим теперь траектории, лежащие в окрестности найденной экстремали (т. е. соседние траектории). Разложение критерия качества с точностью до членов второго порядка дает 】)

6J=J—6 =} J (冰—02)d6 о

Для полученной присоединенной задачи на минимум гамильтониан Н имеет вид

Н = ~2^ — 02) + 九 U；

уравнения Эйлера ——Лагранжа

备=一需=仇九。i) = 0,

ЭН 一 с

Исключая Z и и с помощью соотношения @8/” = и, получаем 黑+е = о, 0(о)(票)=о.

При 9 = Л sin ф удовлетворяется дифференциальное уравнение- и начальное условие 8(0) =。，но еще необходимо, чтобы

t(-4т-) =/cos#i = 0.

岳 Последнее равенство справедливо только при А—0, если «, V л/2г 季 и при любом А, если 必=冗2 Заметим, что в том случает :когда 仪=冗/2,

驚”2

翁6J = £ [ (Л2 cos2 ф — Л2 sin2 ф) аф - 0.

Ниже в присоединенной задаче вместо би, 68, 6@ использованы обозна- чения и, 0, ф соответственно.——Прим, перев.

Точка О называется фокальной, или сопряженной, точкой для точки ф1 = л/2 в данной задаче.

Другой способ решения задачи основан на использовании уравнения Риккати. Принимая во внимание, что в рассматриваемом примере 尸=О, G = 1, Я00 = —1, Я0и = 0, Нии = 1, получим уравнение Риккати

备=52+],5 （^>0 = 0.

Оно легко решается:

S = —tg （加—#）•

Видно, что S—> 8 при #] — #—> л/2. Таким образом, сопряженная точка существует, когда 步^ — # = л/2. Оптимальный закон управления с обратной связью для соседних траекторий имеет вид

6u （t） = [tg （加一0）]60.

Заметим, что коэффициент усиления tg （加 一 #） закона управления 6u положителен для 0 & 加一# 忘冗/2.

Пример 2. Кратчайшая траектория между двумя точками на сфере. Эта задача отличается от предыдущей только терминальными граничными условиями. Пусть вторая точка имеет координаты 8 = 0, # =内；тогда

0 （加）=0, [вместо 九（加）=0].

Так же как и в примере 1, решение 8 = / sin # удовлетворяет уравнениям Эйлера —— Лагранжа для присоединенной задачи на минимум; начальное условие 8 （0） = 0 также удовлетворяется. Требуется еще, чтобы

0 （也）=Л sin 加=0.

Это равенство справедливо только при Л ~ 0 для 加 V 冗 и при любом Л, если #1 = л. Точка О — сопряженная точка для точки 8 = 0, $ = л. Заметим, что для точки 9 = 0, # = л

6J = } J （Л2 Cos2 ф—А2 sin2 ф） d^ - 0. о

Полученное соотношение показывает, что между двумя такими точками на сфере существует бесконечно большое число траекторий （полуокружности больших кругов）, которым соответствуют одинаковые значения критерия качества.

Если @i > 冗,то на траектории и = 0, 0 — 0 ке достигается даже локальный минимум, хотя необходимые условия первого порядка удовлетворяются. Отсутствие локального минимума легко

установить, вычислив значение 6J на соседней траектории вида 8 = / sin л-^-, тогда

6』等j爲с。喑f出吟）"=T闌

Эта величина при увеличении 4 может быть сделана сколь угодно меньшей нуля.

При решении задачи с помощью уравнения Риккати используются вспомогательные величины R т Q, поскольку заданы терминальные граничные условия

爲=即+1, S（g） = 0, * = SR,区（内）=1,器=出，Q90"

Для о&孔一# V 冗/2 эти уравнения легко решаются:

S = -tg （也•一 ф）, R = sec （加一#）, Q = -tg （加一步）, при этом S — HQ-1* = ctg （也一#） и 区丁0-工=cosec （加—,）• Оптимальный закон управления с обратной связью для соседних' траекторий имеет вид

6w （方）=—【ctg（#[ — #）] S0 + [cosec （#i — #）] 60y.

Хотя S, R m Q даже не существуют при #$ — #》л/2, тем не менее S —区。〜】/?‘ существует при 0 & 壮——@ V 竄.Очевидно ,что S — RQfp7 —> оо, если 加一# л; таким образом, сопряженная точка имеет место при 也一? = л. Заметим, что S —> 8 при фЛ — # = л/2, но S — RQ^R1 не стремится к оо при #$ —巾=л/2. Этот же результат можно было бы получить и без введения вспомогательных величин Ей。，если бы при решении уравнения Риккати использовать условие S （加）=оо вместо условия S （加）=0.

Пример 3. Минимальные по времени траектории, проходящие в среде, где скорость движения определяется зависимостью 卩匂）=v.yrnw： в задачах 2—5 разд. 2.7 показано, что для данной задачи минимальные по времени траектории, выходящие из начала координат, описываются уравнениями

x — Vq Wy5仇2 cos & х（°）= о,i = %ME师 sin0,4（0） = 0,°=-*17rfrwcose, e（o）=备.

15—0102

Первый интеграл этой системы получается из закона Снеллиуса (геометрическая оптика)

cos 0cos 0cos 0оcos 0о% Vi+yW %% Vi+yW %=const.=const.

cos 0

cos 0

cos 0о

cos 0о

% Vi+yW %

% Vi+yW %

=const.

=const.

Из первого интеграла можно найти зависимость у/h от 0

у — "СО§2 В 一 со§2 6。

А 一 cos 00

Подставив полученное выражение в уравнения для 胃 и 8, получим

诃=诃=A cos2 0 sec 0оA cos2 0 sec 0о"l/cos2 9 一 cos2 00"l/cos2 9 一 cos2 00毎=毎=Го 1/ cos3 0 — cos2 00Го 1/ cos3 0 — cos2 00

诃=

诃=

A cos2 0 sec 0о

A cos2 0 sec 0о

"l/cos2 9 一 cos2 00

"l/cos2 9 一 cos2 00

毎=

毎=

Го 1/ cos3 0 — cos2 00

Го 1/ cos3 0 — cos2 00

Решения этих уравнений можно выразить через стандартные эллиптические интегралы:

齐=［石伟子）一/财,叱齐=［石伟子）一/财,叱sec 00,sec 00,

齐=［石伟子）一/财,叱

齐=［石伟子）一/财,叱

sec 00,

sec 00,

早=歹回^-F^ ф);

здесь

Р (9о?4)=Р (9о?4)=Д/1 — sin2 0О sin2 аД/1 — sin2 0О sin2 а——неполный эллиптическийинтеграл первого рода,

Р (9о?4)=

Р (9о?4)=

Д/1 — sin2 0О sin2 а

Д/1 — sin2 0О sin2 а

Е (д0, «)= М，—sin2 0О sin2 а da—неполный эллиптический ин

теграл второго рода.

Имеются таблицы этих интеграловх). Можно далее выразить у/无 через 巾

+ = tg®o cos^>.

На фиг. 6.3.2 изображено несколько минимальных по времени траекторий («лучей») и несколько кривых постоянных значений 卩0力无(«волновых фронтов»). Заметим, что сопряженная точка здесь x/h — л, g = 0; прямая g = 0 является минимальной по времени траекторией для 0 V 力『/无 V 冗(но не для х#к > л).

1) См., например, Е. Янке, Ф. Э м д е, Ф. Леш, Специальные функции (формулы, графики, таблицы), изд-во 《Наука», 1964,— Прим, перев.

Заметим, что кривые постоянных значений^ V^t/h (см.

Фиг- 6.3.2) имеют бесконечную кривизну в сопряженной точке

ф и г* 6*32 Минимальные по времени траектории, проходящие в среде, где величина скорости движения определяете^ соотношением Т (у)=

=Уо 1/S + 仅伍)2.

(т..е. д J/ду^ —> оо). Помимо этого, на прямой у = 0 за сопря- 次енной точкой (т. е. при x/h > л) линии уровня VQt/h = const имеют разрывы в наклоне касательных при переходе от у V 0 к у >0. (См. также задачу 3.)

Задала 1. Пусть Q— ") существует для 力о ^ £ V % но S —个Q * -> 8 в точке t ~ ti (т. е. £ =勿一сопряженная точка). Показать, что:

Можно найти некоторую соседнюю траекторию, идущую от 友 к tf, которая удовлетворяет уравнениям

6 屮=必6宠=0, fii = fx6x + 九 6u,豆=—/^6X — Hxx8x — Яяи6и,

6u — • Huh [Hux Ц- fu (S —• RQTRT)] 6%

и условию

6% (幻—0.

Такую траекторию назовем сопряженной (фиг. 6.3.3).

На сопряженной траектории справедливо равенство

J时6g [я：：紀]阂成+年5翊1尸.

Следовательно, «стоимость» пути 工)АВС (фиг. 6.3.3) равна «стоимости» пути ABD. '

Из полученного в п. 2 соотношения вытекает, что «стоимость» пути от Л до D, не проходящего через 8, меньше «стоимости» пути ABD. Таким образом, отсутствие сопряженной точки

Л ЕВ с

Фиг. 6.3.4. Сопряженная траектория и неоптимальность.

на интервале t0 <Z t <Z tf является необходимым условием оптимальности траектории (в данном случае ——в смысле минимума критерия качества). [Указание. Рассмотреть траекторию AEBFD (фиг. 6.3.4), где Е f В, F ВЛ

Задача 2. Какая часть положений, использованных при выводе основного уравнения метода динамического программирования (разд. 4.2), теряет силу, если при t =贸 имеется сопряженная точка. Почему нельзя в этом случае применить для решения задачи метод переходной матрицы разд. 5.3?

В смысле значения принятого критерия качества.— Прим, перев.

Задача 3. Пример 3 данного раздела можно сформулировать как задачу минимизации критерия качества

о при условиях

* = U, У (0) = о, у (") = 0.

Если у《九 и и《1, то этот критерий качества можно аппроксимировать следующим образом:

(史一器)互

Показать, что для такой аппроксимации сопряженной точкой является точка х = лЛ, у = 0.

Задача 4. В условиях примера 2 разд. 6.3 показать, что кратчайшие пути (большие круги), проходящие через точку 8=# = 0, описываются однопараметрическим семейством вида

tg 8 = tg 9m sin 6 где

g±Cos6(^-— 1 产\ cos2 M/

0m — максимальное значение 9 на большом круге.

Задача 5. Найти минимальные по времени траектории, проходящие в среде, где величина скорости движения определяется зависимостью V (х, у) = 1 ~\~ х2 ~\- ^2. Начальная точка % = 1, у = 0. В частности, требуется показать, что точка х = —1, у 尸 0 является сопряженной по отношению к точке % = 1, у = 0. (Указание. Следует использовать полярные. координаты х = =г cos д, у = г sin 9.]

Задача 6. Продольный изгиб балки. При отклонении от состояния равновесия под действием нагрузки балка принимает такую форму, что интеграл

J= j [~^庐一P(l —cos”] dsо

достига ет минимума.

Здесь dB/ds = и — кривизна, Р — нагрузка на балку, Е — модуль упругости, / — момент инерции поперечного сечения бал-

ки относительно нейтральной оси, tg 0 ——наклон нейтральной оси, Z ——длина балки, s ——расстояние вдоль нейтральной оси балки.

Как видно из фиг. 6.3.5, концы балки закреплены так, что е(о)= е(%)= о.

Требуется определить форму прогиба балки, если известно, что EI и Р ——постоянные величины, а длина I ——возрастающий

Фиг. 6.3.5. Схема и обозначения к за- цаче об изгибе балки.

параметр. Отметим, что если у ——отклонение нейтральной оси от прямой линии (ненагруженного состояния), то"

%=sin6.

Показать, в частности, что и = 0 = ^ — 0 является единственным решением до тех пор, пока I не достигнет определенной критической величины ZKp; при больших значениях I (I >"р) минимальному значению интеграла / соответствует 8*0.

Задача 7. Пусть внутри сферы радиусом Я величина скорости определяется зависимостью V = То/ ]/"2 ——г2/7?2.

Показать, что плоская волна, движущаяся в свободном про- странстве со скоростью VOi при падении на сферу преломляется

Фиг. 6.3.6. Линза Люнеберга.

и фокусируется в некоторой точке, расположенной на противоположной стороне поверхности сферы (фиг. 6.3.6).

Такая сфера называется линзой Люнеберга, она используется в оптике и радиолокации.

Задача 8. а) Показать, что задача Штурма ——Лиувилля

[г 优)署]十?(")“ = & 2(0) = 0,aх (切+ Г (а方(切=О

(все величины — скаляры) может быть интерпретирована как задача отыскания минимума интеграла вида

J = ~2~。[“("ОР Ч—2~ J [「(•) и? — 0 (0 №] &力о

где * = м, * (0) = 0.

Для случая, когда гид — положительные постоянные величины и а — 0, показать, что и = 0 — единственное решение, если tf V л/2[/^], и что существует бесчисленное множество решений, если & = л/2 \Уr/q] (всем этим решениям соответствует J = 0).

Задача 9. Проверить выражение для 6/ исходя непосредственно из уравнения (6.3.11).

64 Оптимальное управление с обратной связью для возмущенного движения при заданном времени окончания прогресса

Если состояние системы описывается тремя или более переменными, то объем вычислительной работы, а также объем памяти, необходимые для определения нелинейного оптимального закона управления с обратной связью 工)методами гл. 4, катастрофически возрастают из-за большого количества числового материала, с которым приходится иметь дело. Для практических целей приходится рассматривать управление с обратной связью для возмущенного движения, т. е. управление в окрестности номинальной траектории.

Если номинальная траектория оптимальна, то использование коэффициентов усиления, определенных в разд. 6.2, приводит к соседним оптимальным траекториям. В разд. 6.1 показано, что этот тип управления совпадает с линейным законом управления с обратной связью (гл. 5). При этом весовыми коэффициентами

Этот закон также называется явным законом управления, законом -управления по замкнутому контуру или решением, полученным методом динамического программирования.

в квадратичном критерии качества являются частные производ- ние второго порядка от гамильтониана исходной вариационной задачи [формула (6.1.16)], а линейными уравнениями объекта явля- ются линейные уравнения возмущенного движения относительно

Измененные

Фиг. 6.4.1. Блок-схема системы оптимального управления с обратной связью для возмущенного движения [управление по соседним оптимальным траекториям, би = —А】(£) Ъх — Л2 ⑶ 6屮，см. (6.2.17)].

номинальной оптимальной траектории (уравнение (6.1.17)] х). На фиг. 6.4.1 представлена блок-схема системы оптимального управления для соседних траекторий, основанного на уравнении (6.2.17).

Пример. У правление возмущенным движением для выведения ракеты на орбиту с максимальной горизонтальной скоростью 6 конце выведения. Считая, что гравитационные силы, действующие на единицу массы, постоянны, рассмотрим задачу оптимального программирования направления тяги для выведения ракеты- носителя на заданную высоту в заданное время с нулевой вертикальной и максимальной горизонтальной скоростью. (Обозначения см. на фиг. 6.4.2.) Эта задача оказывается «взаимной» по

1) Эта интерпретация в какой-то степени отвечает критике квадратичных критериев, отмечающей их произвольность и искусственность. [Эти квадратичные критерии не более искусственны, чем критерии типа (6.1.16).— Ред.]

отношению к задаче 13 разд. 2.7, где требовалось минимизировать время при заданной конечной горизонтальной скорости. Номинальное управление определяется из решения первых двух уравнений указанной задачи относительно 令о и 令丁 в предположении^

① и F： 6.4.2. Схема выведения на орбиту.

что конечное время Т известно и а — постоянная величина. Таким образом, получается следующая зависимость для 令(%"

tgO = tgOo+(tg 办一tg 心0)靑・

Траектория описывается уравнениями

£=asin3 — g, р(0) = 0, у = % У(°) = °；

критерий качества

J = < cos 仆 ей..

Соседние экстремали описываются уравнениями (6.2.11)——(6.2.13》 с граничными условиями (623) — (6.2.5).

В рассматриваемом случае имеем

屮1 = 〃22 = й 一瓦 Н — a cos 令 + 九u (a sin 令 一 g)十九/,

統=”1 + ”2 (T — %) = tg 令， Ky = V2)

Hxx = О, Н^х = О, Н^ = —а cos 令一九и а sin 令三一а sec 3

а cos ^ ]「° °]п

0 ] J 打=(_10_] = 4 0 = 0，

「1 0]

В=—а cos3 о。, S = 0.

Отсюда

^u ——R21， e12=一区22, 衣 21 = 0, 衣22 = 0,

招《) = 1 )

& (7) = 0 I

% (7) = 0

& (?) = 1 J

и, следовательно,

,区u=1, 区22 = 7一3 区21H 0,

、7?22 = 1,

показаны коэффициенты усиления в цепи обратной связи для оптимального закона управления, соответствующие соседней траектории при 6р/ = 6у『—0. Для реализации такого управле-

<211= — a cos3 令，Q^ (Г) = 0,

0i2 = — 〃(Т 一 0 cos3 令， Q,2 (Т) = 0,

Q22 = — а (Т — £)2 cos3 令,

Q22 (Т) — 0-

Ф и г. 6.4.3. Траектория выведения на орбиту с максимальной горизонтальной скоростью в конце полета при a7g = 3, 2Л/аТ2 = 0,258.

Далее, поскольку 8=——v2 cos2 ^ ведливы соотношения

и (tg 令一n、E = T —厶 то спра-

dQa = -^-соз^ d^,

此2 =号(tg令一Vi) cos令4令,

&Q* = 4 (tg 令一v^2 cos 令 d令, V2

Qh = -A. (sin 令一sin 令力,

C a 1—cos (^ —杼『) 52 =適 COS а/ '

c 一a「用11" — sin今f।

]tg^ + seca 1 .

十 tg*+§ec办」，

ния необходимы также зависимости р* (/), у* (/),令* (£)для номинальной траектории.

QT =

Г Q22, —Q12〔

L — Q12,Q11」

5

где D = ^11^22一Q%

做7 =

工

_0,

Q22, —Q12

—Q12, Qh5

Q22—(T—£)Q12, (T—£) Qh — Q12 I

_ 一 Q12,Qu _ 刀 *

Итак, получаем следующее выражение для оптимального закона управления (с обратной связью) по соседним траекториям:

6令-С。^ 今[Q2a-(7 - £)Q⑵(T -力)Qh - Q^ X

бру — би"

8yf-[(T-t) 8v + 8y]_

На фиг. 6.4.3 изображена траектория, максимизирующая гори- -зонтальную скорость в конце выведения при следующих числовых -значениях параметров: a/g = 3 и 2九/аТ? = 0,258； на фиг. 6.4.4

Фиг. 6.4.4. Изменение во времени коэффициентов усиления обратной связи при a/g=3, 2九/аТ2= =0,258.

Задача. Минимизация интеграла от квадрата управления (конечное время задано). Номинальная траектория удовлетворяет условиям на конце р [х (^)1 = 0 в заданный конечный момент времени &. Найти закон управления для возмущенного движения, при котором удовлетворяются измененные на малую величину условия на правом конце г|? [% (切]=&2 и минимизируется критерий

= 4 J (^)ТБ8и dt,

где В(£) — положительно определенная матрица.

Ответ.

加 ⑶=-в-^RQ^ (d^ - RT8^t где

公П-以亿 e信)=(碧)工，0 = R"uBT代R, Q(〃)= 0.

6・5. Соседние экстрeмалъные траектории при незаданном времени окончания процесса

В задачах оптимизации время окончания процесса 方/ чаще определяется неявно из терминальных ограничений, как в разд. 2.7. Методы, изложенные в разд. 6.1——6.4, необходимо распространить на зтот случай. Номинальное оптимальное решение должно удовлетворять дополнительному необходимому условию (2.7.23)

R (%, u, V, t) I』,=十厶)I, = &(6-5.1)

где

①匚е(芻"屮(“")，万=方+.

Скалярное уравнение (6.5.1) определяет дополнительную неизвестную величину 方尸

Линеаризация необходимых условий (6.1.5), (6.1.6) и (6.5.1) должна учитывать наличие вариации (возмущения) dtf во времени окончания процесса 夕

W缄度(削%+("dv + ^(禦)%人,(652)

说=[患加+察吻，(6.5.3)

fS^ + ^T5 + ^^l=er01)-(6・5闾

1) Заметим, что (dQ/du)三(дН/ди) = 0.，

Далее, для вычислений потребуются величины 6九(小 и 6/ [а не &九(&) и dx]; поэтому подставим выражения

d入(切=6九信)+ X (切 dtf,(6.5.5)

dx (力力=6% (切 + x (切 dtf(6.5.6)

в (6.5.2), в результате получим

6"(切=需 6"+ (碧)Т加 +[备(■£■『 -R dtf- (657)

С помощью (6.1.2) и (6.1.5) можно установить, что

4«)т-^аг4«)т-^аг(6.5.8)(6.5.8)

4«)т-^аг

4«)т-^аг

(6.5.8)

(6.5.8)

Наконец, подстановка (6.5.8) в (657) и (6.5.6) в (6.5.3) и (6.5.4)

гдегдедает следующее матричное уравнение:

где

где

6九（切

-*①

加2 '

(д^\Т / dQ\T

(石丿，E)

&r(£j)

(659)

0 ,雾

dv

,(6.5.10)

0

-дх *

/ d屮、T dQ

\ di / *dt -

t~tf

dtf

(6.5.11)

dQ — GQ di — dt

十五九

d屮_G屮 dt dt

4

Уравнения (6.1.10) — (6.1.13) и (6.5.9) — (6.5.11) описывают линейную двухточечную краевую задачу для соседних экстремалей при малых изменениях начальных условий 6/ (^0) и/или малых изменениях терминальных условий dp* Эти изменения [6%(£()),d屮]вызовут, вообще говоря, малые приращения 6/(切, dv и dtp Такая задача в принципе может быть решена методом линейной суперпозиции (разд. 5.3). Однако применение обобщенного метода прогонки, рассмотренного в следующем разделе, обеспечивает большую устойчивость при численном решении.

Возможен и другой вывод граничных условий (6.5.9) —— •(6.5.11), основанный на рассмотрении соответствующего разложения расширенного критерия качества [аналогично* тому, как зто •описано в разд. 6.1 после уравнения (6.1.15) для случая фиксированного конечного времени 印 [6.3].

Значительного улучшения эффективности управления возмущенным движением можно достигнуть, если коэффициенты усиления обратной связи считать зависящими от времени, оставшегося .до окончания процесса, а не от текущего момента времени. При .этом требуется, чтобы оценка времени, оставшегося до окончания

процесса, производилась на протяжении всего процесса работы системы. Такая непрерывная оценка может быть осуществлена с помощью уравнения (6.6.15) следующего раздела. Дальнейшее обсуждение этих вопросов и численные примеры можно найти в работе [6.17*]. .

66 Определение соседних экстремалъных траекторий методом обратном прогонки при незаданном времени окончания процесса

Обобщение изложенного в разд. 6.2 метода прогонки на случай

飞九（О"飞九（О"-&r (O'-&r (O'незаданного времени окончания процесса начнем с замечания о симметричности матрицы коэффициентов уравнений (6.5.9) — (6.5.11), относящихся к моменту 力尸 Эта симметричность делает разумным предположение о следующей форме указанных уравнений для произвольного момента t:

飞九（О"

飞九（О"

-&r (O'

-&r (O'

Продифференцируем (6.6.1) —(6.6.3) по времени, считая, что

d屮？ dv и dtf — постоянные величины, а dQ = O. Тогда

Н] р, R. ml ГЬх 1 Г 5 1(6.6.4)

0 — RT, ф, n dv + RT [&г].(6.6.5)

0игт, пт, a dtfигт(6.6.6)

~S(£), E(£), m(0 - # ⑴,Q(0, n(0 _щТ (t), nT (t), a(f)_

(6.6.1)

(6.6.2)

(6.6.3)

Линеаризованные уравнения (6.1.21) — (6.1.25) остаются спра

ведливыми и в данном случае, поэтому можно подставить выражения для 6# и 6Х из (6.1.21) и (6.1.22) в (6.6.4) — (6.6.6), используя при этом (6.6.1) для исключения 6九.В результате получим

叶

~S + SA + ATS — SBS + C, R + (AT—SB)R, m+{ATSB)m

RT+RT(A-BS), m工+ m'(A — BS),RT+RT(A-BS), m工+ m'(A — BS),XXQ-RTBR, nT — m^BR, -&r (0 " dv .Q-RTBR, nT — m^BR, -&r (0 " dv .n—RTВтa — m^Втn—RTВтa — m^Втxx(667)(667)

RT+RT(A-BS), m工+ m'(A — BS),

RT+RT(A-BS), m工+ m'(A — BS),

X

X

Q-RTBR, nT — m^BR, -&r (0 " dv .

Q-RTBR, nT — m^BR, -&r (0 " dv .

n—RTВтa — m^Вт

n—RTВтa — m^Вт

x

x

(667)

(667)

Если матричное уравнение (6.6.7) должно быть тождеством [т. е. если оно должно быть справедливым для любых 6/(力)， dv, dtf] и если уравнения (6.5.9) — (6.5.11) выполняются в точке t=力力 то должны удовлетворяться следующие соотношения:

s= -SA-ATS + SBS-C, Sitf^^)^^(6.6.8>

i{= —yT-SB) R,

E（5=（望）二,

(6.6.9)

Q = rTBR,

Q (切=0,

(6.6.10}

m= -(/*-S5) m,

(6.6.11)

九=RTBm,九(切=(粤)f,

(6.6.12}

a = mTBm, a (力)=(嗚),=“ •

(6.6.13)

Уравнение (6.6.8) является матричным уравнением Риккати, уравнения (6.6.9) и (6.6.11)—— линейными матричными уравнениями, а (6.6.10), (6.6.12) и (6.6.13) — просто квадратурами. Заметим, что уравнения (6.6.8)——(6.6.10) идентичны уравнениям (6.2.11) —(6.2.13).

Если эти уравнения интегрировать от 力/ к /0, то следует использовать уравнения (6.6.2) и (6.6.3) при t0 для определения dv и dtf через 6% (切)и d屮：

здесьздесьdv = [Q-1(d 屮一区%/)]』％,(6.6.14)dv = [Q-1(d 屮一区%/)]』％,(6.6.14)(6.6.15>(6.6.15>nnT a，nnT a，Q = QQ = QR = RR = Rmnamna(6.6.16)(6.6.17}(6.6.16)(6.6.17}

здесь

здесь

dv = [Q-1(d 屮一区%/)]』％,(6.6.14)

dv = [Q-1(d 屮一区%/)]』％,(6.6.14)

(6.6.15>

(6.6.15>

nnT a，

nnT a，

Q = Q

Q = Q

R = R

R = R

mn

a

mn

a

(6.6.16)

(6.6.17}

(6.6.16)

(6.6.17}

Теперь можно определить 6九(％) из уравнения (6.6.1) [с учетом (6.6.14) и (6.6.15)]:

翫(幻=[(耳一歹① 1 耳Т) &r + 反 01 dWLf；(6.6.18)

здесь

S = SS = Smmmmaa(6.6.19)(6.6.19)

S = S

S = S

mm

mm

a

a

(6.6.19)

(6.6.19)

Зная начальные значения Sx (%) и 6九(^0), можно проинтегрировать один раз линеаризованные уравнения (6.1.21), (6.1.22) в прямом времени для определения соседнего оптимального

решения.Если (dQ/d/)i=t/=#O, dtf через 6х (//) и dv2山尸｛(喲1решения.Если (dQ/d/)i=t/=#O, dtf через 6х (//) и dv2山尸｛(喲1ТО с помощью (6.5.11) МОЖНО выразить

решения.

Если (dQ/d/)i=t/=#O, dtf через 6х (//) и dv2

山尸｛(喲1

решения.

Если (dQ/d/)i=t/=#O, dtf через 6х (//) и dv2

山尸｛(喲1

闺同｝J. (6.6.20)

Подставив теперь этот результат в (6.5.9), (6.5.10), получим

L 屮」 L 石一耳Д^Г)质，

(需广-爆『(号门魯门严砌](6.6.21)

-f (f)"(^)T"V J (6.6.22)

(6.6.23)(6.6.24)(6.6.23)(6.6.24)Теперь возможна простая обратная прогонка

(6.6.23)

(6.6.24)

(6.6.23)

(6.6.24)

-62 G)dv-62 G)dv「6九 «)] =「_*(% w«)

-62 G)dv

-62 G)dv

дифферен- уравнени- граничныедифферен- уравнени- граничныеL d屮」-[无7")，0(>

дифферен- уравнени- граничные

дифферен- уравнени- граничные

Легко проверить, что S, К, Q удовлетворяют тем же циальным уравнениям, что и В, Я, Q, а. именно ям (6.6.8) — (6.6.10), но имеют иные терминальные условия. Эти граничные условия могут быть найдены с помощью матрицы, входящей в уравнения (6.6.21) и (6.6.22).

7. Достаточные условия локального минимума n^w незадамюм времени окончания процесса

временемвременемСуществование соседних оптимальных (в смысле минимума критерия качества) траекторий при незаданном времени окончания процесса зависит от выполнения трех условий, аналогичных указанным в разд. 6.3 для задач с фиксироваиным

временем

временем

(6.7.1)(6.7.2)(6.7.1)(6.7.2)方0 W方V 方六(6.7.3)方0 W方V 方六(6.7.3)скончания процесса:

(6.7.1)

(6.7.2)

(6.7.1)

(6.7.2)

方0 W方V 方六

(6.7.3)

方0 W方V 方六

(6.7.3)

Нии (») > 0 для 力 W t & tj.

Q (/) < о, a (0 >0 для ±0&£V 七

Матрица 5 (/) — Д (t) [Q (t^^ (/) ограничена при

Входящие в эти условия величины Q, 7?, S определяются соотношениями (6.6.16), (6.6.17), (6.6.19). Условия (6.7.1) — (6.7.3), как и в разд* 6.3, носят следующие названия： (6.7.1)——условие выпуклости. (6.7.2) — условие нормальности, (6.7.3) — условие отсутствия сопряженных точек.

Достаточным условием слабого 】)локального минимума функционала J является выполнение необходимых условий первого порядка (6.1.1) ——(6.1.6), (6.5.1) и условий второго порядка (6.7.1) —— (6.7.3). Необходимыми условиями второго порядка для минимума являются ослабленные условия (6.7.1) и (6.7.3): za(方)>0,%4力0切(674)2)

Матрица S — R Q~XRT ограничена при %V±V力力 (6.7.5)

Q (0 & 0, а (О W 0.(676)

6・8・ Оптимальное управление с обратной связью для возмущенного движения при незаданном времени окончания процесса

Если подставить выражение для 6Х (/0) из (6.6.18) в (6.1.20), то получится закон управления с обратной связью для соседней оптимальной траектории

6〃(/)= -Н誌{[#“# +灯f 一五@т耳т)]"+/容@Tdw}, (6.8,1)

причем это выражение совпадает с (6.2.17). Часто оказывается желательным предсказать дополнительно изменение времени окончания процесса. Такое предсказание можно осуществить с помощью соотношения (6.6.15)

弱工_(学一^g京)6“ 一号8d屮・(6.8.2)

Если задача не зависит от времени ^ явным образом), то важна лишь величина £『—— 力 т. е. время, оставшееся до окончания процесса. Поэтому при реализации закона управления (6.8.1) коэффициенты усиления обратной связи целесообразно представлять в виде зависимостей от tf ——/, а не от 方.При незаданном времени окончания процесса, однако, требуется непрерывная текущая коррекция

То есть справедливого при малых вариациях 3%, Зи, 3%.— Прим, перев.

См. замечание к уравнению (6.3.12).

величины tf. Эта коррекция в первом приближении может быть осуществлена с помощью(6,8.2)，при этом в большинстве случаев она будет, видимо, достаточной для изменения времени, при котором вычисляются коэффициенты усиления в (6.8.1). Использование коррекции & устраняет трудности, связанные с выходом из временного интервала определения коэффициентов^ усиления, в тех случаях, когда действительное время tf на возмущенной траектории превосходит номинальное значение %•

Пример- Управление возмущенным движением центра масс летательного аппарата (〃/) при входе в атмосферу х).

На фиг. 6.8.1 показан пример задачи управления возмущенным движением. Задача заключается в разработке структуры

Фиг. 6.8.1. Управление планирующим космическим аппаратом для перехода в горизонтальный полет на заданной высоте с использованием оптимальной системы управления возмущенным движением.

а = %om — & (У — Vrom)— G (0 — 0HOM) — Сз (九一 "ном)； запоминается по 7 чисел для 24 моментов времени (через 10 сек),〜1700 бит 】)；номинальное время полета Т — 240 сек.

1) Расчет количества бит запоминаемой информации произведен, видимо, исходя из десятиразрядной ячейки ЦВМ (в такую ячейку можно записывать трехзначные десятичные числа). — Прим, перев.

закона управления движением центра масс планирующего летательного аппарата, совершающего вход в атмосферу. Необходимо перевести планирующий аппарат в режим горизонтального полета (0К = 0), при котором заданная высота (〜76 км в данном примере) достигается при минимальных потерях энергии на аэродинамическое сопротивление (т. е. при максимальной конечной скорости). Для решения задачи прежде всего была вычислена оптимальная номинальная траектория, соответствующая номинальным усло^ виям входа (Vq л; 10 980 м/сек, 0О = —7,5°,无° л; 122 茂九)；значения параметров этой номинальной траектории (Уном (^), 9НОм (^)? 无ном (9) вместе с соответствующими значениями номинального управления аном (%) запоминались через каждые 10 сек (при общем

工)Расчеты для этого примера провел Д. Спейер, они основаны на результатах, приведенных в [6.2].

времени полета 240 сек). Далее вычислялись и запоминались коэффициенты усиления J (%), С2(Z), /") оптимального закона управления с обратной связью для возмущенного движения. Затем с помощью моделирования на ЦВМ было проверено, как

Номинальный угол / входа B(t^ 吁彳5^^

705

4545Кри-щерий качества： минимальнаяКонечные условия: высота Лк =Кри-щерий качества： минимальнаяКонечные условия: высота Лк =&6&6az g,8 Wfi 7〃Скорость 匕 км/секaz g,8 Wfi 7〃Скорость 匕 км/секФиг. 6.8.2. ОптимальныйФиг. 6.8.2. Оптимальный勿 方 匆勿 方 匆режим спуска при возмущениях угла входа в атмосферу.

45

45

Кри-щерий качества： минимальная

Конечные условия: высота Лк =

Кри-щерий качества： минимальная

Конечные условия: высота Лк =

&6

&6

az g,8 Wfi 7〃

Скорость 匕 км/сек

az g,8 Wfi 7〃

Скорость 匕 км/сек

Фиг. 6.8.2. Оптимальный

Фиг. 6.8.2. Оптимальный

勿 方 匆

勿 方 匆

册тера энергии (т. е. максимальная конечная скорость).

45456060&6纟 29,8 1口六 北〃Скорость V, км/сек，&6纟 29,8 1口六 北〃Скорость V, км/сек，加9a乃ЯСУ N OEQS^加9a乃ЯСУ N OEQS^76 тш, угол наклона траектории 0к = о°.

45

45

60

60

&6纟 29,8 1口六 北〃

Скорость V, км/сек，

&6纟 29,8 1口六 北〃

Скорость V, км/сек，

加9a乃

ЯСУ N OEQS^

加9a乃

ЯСУ N OEQS^

ФиГ，6.8・3・ Оптимальный режим спуска при возмущениях в скорости входав атмосферу.

g--- У=：： =T„рязНерГии纵露實嗇體鵰實要睜g

ведет себя схема управления при наличии отклонений в начальных условиях. На фиг. 6.8.2 и 6.8.3 изображены графики зависимости скорости от высоты полета для траекторий, соответствующих управлению по замкнутому контуру, при отклонениях начального значения угла входа ±0,6° и начальной скорости ±300 ж/сек. Полученная схема управления оказалась приемлемой и фактически очень близкой к управлению ЛА вдоль соответствующей соседней оптимальной траектории.

Задача 1. Минимальная нагрузка на управление (время окончания процесса не задано). Пусть управлению и (%) соответствует номинальная траектория 优(％), удовлетворяющая условиям на конце 屮[况(*), ^] = 0 в номинальный конечный момент времени 力 Требуется определить закон управления возмущенным движе-

минимизировать критерии качества, представ- оценку затрат энергии на управлениеЕ = у [ (8u)TB8udt,минимизировать критерии качества, представ- оценку затрат энергии на управлениеЕ = у [ (8u)TB8udt,ляющий собойляющий собойнием, при котором удовлетворяются несколько измененные конечные условия вида 巾[优(力挑 力/ = d^ (己屮 мало) при минимальной нагрузке на управление возмущенным движением. Таким образом, требуется 一 ~ 一工

минимизировать критерии качества, представ- оценку затрат энергии на управление

Е = у [ (8u)TB8udt,

минимизировать критерии качества, представ- оценку затрат энергии на управление

Е = у [ (8u)TB8udt,

ляющий собой

ляющий собой

где В (^) — положительно определенная матрица.

Ответ.

加⑺=_В-^ аT [刚一月气刃一 3T凡吟呢

где

A = —f 三 R, 0 = RTfuB~^R, m= — /х^, n = RT fuB^fu^. a = mT 九 Вт 倍 m,A = —f 三 R, 0 = RTfuB~^R, m= — /х^, n = RT fuB^fu^. a = mT 九 Вт 倍 m,Q 侑） = 0;阿切=（需）Г； 几（切=（雰） 。（切=凿』Q 侑） = 0;阿切=（需）Г； 几（切=（雰） 。（切=凿』

A = —f 三 R, 0 = RTfuB~^R, m= — /х^, n = RT fuB^fu^. a = mT 九 Вт 倍 m,

A = —f 三 R, 0 = RTfuB~^R, m= — /х^, n = RT fuB^fu^. a = mT 九 Вт 倍 m,

Q 侑） = 0;

阿切=（需）Г； 几（切=（雰） 。（切=凿』

Q 侑） = 0;

阿切=（需）Г； 几（切=（雰） 。（切=凿』

ииQ =/嘗，耳=eQ =/嘗，耳=eТттп 方_сппа 1 У 一 УаТттп 方_сппа 1 У 一 Уа

и

и

Q =/嘗，耳=e

Q =/嘗，耳=e

Тт

тп 方_спп

а 1 У 一 Уа

Тт

тп 方_спп

а 1 У 一 Уа

Задача 2. Управление возмущенным движением в случае минимального по времени выведения на орбиту. Найти закон оптимального по быстродействию уиравления с обратной связью для соседних траекторий в задаче выведения на орбиту (см. задачу 13 разд. 2.7). [Указание. Воспользуйтесь примером, рассмотренным в разд. 6.4.]

6.9. Достаточные условия сильного -локального минимума 工)

До сих пор рассматривался следующий вид вариации критерия качества:>

6J= j Hubudt + O^u^, И 6^||2)?(6.9.1)

причем в этом выражении вариация управления 6м является «слабой» вариацией, т. е. такой достаточно малой величиной, что членами || 8优 |卩,116Mli? более высокого порядка по сравнению с 6м можно пренебречь. Однако в тех случаях, когда рассматриваются произвольные по величине вариации управления и(Z), но приводящие к пренебрежимо малым значениям || 6优 ||2, такой вид вариации 67 может оказаться неверным. Вариации управления, при которых можно пренебречь величиной 11 8х 112 (но 、 не 丨丨6乂|产),называются «сильными» 2) вариациями.

Целесообразно получить точную формулу для 6/, непосредственно сравнивая два значения функционала на управлениях м1 (%) и uQ (%). Введем следующие обозначения:

J1 (况,％)——значение критерия качества в том случае, когда система начинает движение из состояния 况 в момент времени t при произвольном управлении 乂七(况，％);

J° (n,方)——значение критерия качества в том случае, когда система начинает движение из состояния 况 в момент времени / при управлении 〃° (%, Z), которое является оптимальным.

Будем предполагать, что оба рассматриваемых управления, и，и у°, являются допустимыми. Метод динамического программирования 3) [4.2] 4)позволяет получить дифференциальные уравнения в частных производных для величин 丿工 и J°:

Jt + J\f (^,筋")+ e(况，解，力=0, J”况⑴)勺=加况(方力 学，

(6.9.2)

)? + /"(重，公，方) + £(瑞公")= 0, J°[/(")5 = ё[/(分),例.

(6.9.3)

])Рейв идет о локальном минимуме, достигаемом во внутренней точке области определения вариационной задачи.— Прим. ред.

)Более точно, сильная вариация ограничивает только величину 6/, тог額а как слабая вариация ограничивает как 6①,так и производную от 6х (т. е. дх).

з)Существование решений уравнений (6.9.2) и (6.9.3) равносильно предположению о существовании поля экстремалей для рассматриваемой задачи оптимизации, а также предположению об отсутствии сопряженных точек на 11 胃^вале (%, ^) (см. также задачу 2 разд. 6.3).

)Приводимый ниже вариант вывода достаточных условий справедлив, если функции J (力，t) и J° (%, 0 обладают непрерывными частными производ- ншш По а: и 九一Прим, перев.

В уравнениях (6.9.2), (6.9.3) для удобства предполагается, что выражение для ф [х (*), %] включает функцию штрафа, с помощью которой учитывается, если это необходимо, наличие терминальных ограничений вида 屮[х (切，tf] = 0. Положим 8J = J1 — J° и вычтем выражение (6.9.3) из (6.9.2):

分一乃十几产一/臣。+£1一£。= 0.

После прибавления к обеим частям этого равенства величины /х/1 — Jxf1 三 0 получим、

^-^ + (几一几)产 + 冏(产一/О) + (7? — £。) = 0, или

*6J= -U貝产一/。) + (少一£。)]= -6h (瑞附,* * 办

(6.9.4) гДе 产=/(况，便，t),产=/(况，公，/), а производная по времени (d/d方)6/ вычисляется на траектории 炉(方),соответствующей управлению 饋(0- Интегрируя обе части равенства (6.9.4) и учитывая, что 6J [х (切，tf] = 0, получим I)

6J (瑞方)= j 6Я (^, J^ 吟 吗 t)或. (6.9.5) траект %т (力

Таким образом, неявно выраженное уравнениями (6.9.2), (6.9.3) достаточное условие сильного локального минимума (в дополнение к другим условиям) состоит в том, что

6h = h (瑞冏，* t)—H(x, J^ 淤, 方)>0 для всех t и u1 =/= u°.

(6.9.6)

Это так называемое усиленное условие Be йерштрасе а; оно требует, ттобы управление и0 минимизировало гамильтониан на оптимальной траектории. Кроме того, используя теорему о среднем значении, можно получить

Ьh - (/x/u° + Luo)(小一^0) + y II 办-U。1亂观1仇 (6.9.7) где Нии вычисляется в некоторой точке 8, м° V 8 V 乂二 Поскольку Ни = /^/uo + L^ = 0 на оптимальной траектории, то можно заменить условие (6.9.6) следующим2):

Нии >0 для всех х, и в окрестности 优°, м°.(6.9.8)

Другими словами, усиленное условие выпуклости (условие

Идея приводимого здесь доказательства принадлежит Р. Калману.

Из условий (6.9.6) и (6.9.7) следует, что дЯ = g || 公一山 || 五弘弘[е〉°・ Положительная определенность квадратичной формы || и1 ——и0 [|я эквива- лентна положительной определенности матрицы Нии.— Прим, перев.

Лежандра — Клебша) должно выполняться не только на оптимальной траектории, но и в окрестности оптимальной траектории. Кроме того, оказывается, что если в условии (6.9.6) или (6.9.8) заменить знак строгого неравенства на знак《》》, то получится необходимое условие оптимальности управления 淤(力(это уже было показано в гл. 4 с помощью метода динамического программирования).

Таким образом, имеются следующие условия оптимальности для вариационной задачи управления [в предположении, что задача нормальна; см. разд. 6.3, формула (6.3.2)].

Необходимое условие I. Уравнения Эйлера ——Лагранжа

V = 一工，爲=。 и соответствующие условия трансверсальности.

Необходимое условие II. Условие Лежандра ——Клебша

Яии 》0 при % «% & tf.

Необходимое условие III. Условие Вейерштрасса

6Я (瑞 J厶饋，淤，％)》° для всех t и и1 =/= и0 на %()《£《 小

Необходимое условие IVх). Отсутствие сопряженных точек на полуинтервале (办，

Условия I, II, IV являются необходимыми условиями слабого локального (относительного) минимума функционала, а условия I, III, IV —— необходимыми условиями сильного локального (относительного) минимума функционала. Если усилить условия II, III путем введения знака строгого неравенства «>» (вместо знака «》》) и усилить условие IV путем замыкания полуинтер- вала «о, tf] (другими словами, если потребовать отсутствия сопряженных точек на отрезке [^0,川)，то усиленные условия I, II, IV будут достаточными условиями слабого локального минимума, а усиленные условия I, III, IV ——достаточными условиями сильного локального минимума 2).

1х=и, х (0) = 0, х (1) = 1, /[“(£)]=) и? dt.о(方)，минимизирующую J [и «)]. Применение необходимых первого порядка даетЯ — Xu + w3, X — 0,九(1) = V =九(力，1х=и, х (0) = 0, х (1) = 1, /[“(£)]=) и? dt.о(方)，минимизирующую J [и «)]. Применение необходимых первого порядка даетЯ — Xu + w3, X — 0,九(1) = V =九(力，Пример. Задача со слабым, но не сильным минимумом [4.3]. Задано

1

х=и, х (0) = 0, х (1) = 1, /[“(£)]=) и? dt.

о

(方)，минимизирующую J [и «)]. Применение необходимых первого порядка дает

Я — Xu + w3, X — 0,九(1) = V =九(力，

1

х=и, х (0) = 0, х (1) = 1, /[“(£)]=) и? dt.

о

(方)，минимизирующую J [и «)]. Применение необходимых первого порядка дает

Я — Xu + w3, X — 0,九(1) = V =九(力，

Найти и условий

Ни =入 + 3 饋=v + 3 饋—0, м = "К—v/3 = const.

Условие Якоби.— Прим, перев, 。

Формулировка достаточных условий при переводе несколько уточнена.—Прим, перев.

Очевидно, прямая линия х ~ t (при v =——3, и = 1) является экстремалью. На ней J = 1. Кроме того, Нии |ц=1 >0 и усло- вие отсутствия сопряженных точек, как легко показать, тоже

выполняется. Таким образом,выполняется. Таким образом,имеется слабый локальный

выполняется. Таким образом,

выполняется. Таким образом,

Фиг. 6.9.1. Задачд со слабым*но не сильным минимумом.

А) кривая сравнения, имеющая сильную вариацию 6 х (t);

石)н (») = » — слабая экстремаль.

минимум. Но, с другой стороны, на оптимальной траектории 8Н = Н (и) — Н (1) = "3 — Зм + 2 = 〃з — 1 — з з — 1)= =(乂 ——I)2 (и + 2); величина 6Н отрицательна при 乂 V ——2, т. е. на этой траектории гамильтониан не достигает абсолютного минимума. Необходимое условие Вейерштрасса нарушается. На фиг. 6.9.1 изображена ломаная линия, на которой значение критерия качества J меньше единицы, но эта линия имеет разрывную производную х (т. е. является сильной вариацией).

Этот пример демонстрирует также необходимость условия Вейерштрасса. В разд. 3.9 (стр. 136) приведен другой пример, иллюстрирующий необходимость рассмотрения минимума Н вместо проверки условия Нии >0.

(Л Дискретный многошаговый вариантметода обратной прогонких)

В этом разделе изложен метод обратной прогонки для определения соседних экстремальных решений в дискретных многошаговых задачах оптимизации (типа тех, которые рассмотрены в разд. 2.6). Предположим, что имеется номинальное решение, которое удовлетворяет всем необходимым условиям первого порядка (2.6.2), (2.6.3), (2.6.9), (2.6.16) и (2.6.12) (см. разд. 2.6), и пусть эти условия линеаризованы относительно номинального решения

d优(力+1)=*d/⑴+九阪⑴，»=0,…，"-1, (6.10.1) dx (0) задано,(6.10.2)

т) Материал этого раздела основан на докторской диссертации С. Мак- рейнольдса (Ph. D. Thesis of S. R. McReynolds, Harvard Univ., 1966).

dip (N)=屮* dx (TV) задано,(6.10.3)

dX (Z) = Hxx dx (г) -|- (/x)T ^ (^ +1) + HxU du (г), Z = 0, ..., "—1, (6.10.4}

d九(W)=①；с* dx(N) +屮^ dv,(6.10.5}

Яии du (г) + Я^х dx (i) + (/t)T dk (j +1) = 0, Z = 0, N —1, (6.10.6> ri8 产田 д^Н^

乜碎而и т・Д-

Уравнения (6.10.1) — (6.10.6) описывают линейную двухточечную краевую задачу относительно dx (i), dX (i), 4以(0 и dv, поскольку коэффициенты этих уравнений вычислены на номинальном решении. В принципе такую задачу можно решить с помощью дискретного варианта метода переходной матрицы (разд. 5.2), однако при его использовании могут возникнуть серьезные вычислительные затруднения, если система является диссипативной.

При использовании дискретного варианта метода обратной прогонки (рассмотренного в разд. 6.2) получается последовательность соотношений, эквивалентных соотношениям (6.10.3), (6.10.5):

d九(0 = S (Z) dx (г) + R (i) dv,(6.10.7)

di|)RT (г) dr (Z) + Q (0 dv.(6.10.8)

Предполагая, что входящие в эти равенства величины известны для % =乃十 1, можно с помощью формул (6.10.1) — (6.10.6) получить соответствующие соотношения для г — Л. Алгоритм метода состоит из следующих этапов (шагов):

Шаг (а). Выражение (6.10.1) при % =乃 подставляют в соотношения (6.10.7) и (6.10.8), в которых 2 = ^ + 1:

d九佑+ " = S (及+ 1)[金d/伯)+及阪(砂]+区伯+ 1)杀， (6.10.9)

d 屮 ^RT(k +1)[片 dx 佑)+ 疗 du (*)] + Q(k + 1) dv.(6.10.10)

Шаг (б). В соотношении (6.10.9) полагают 乃=% 広 подставляют d九(％十1) в (6.10.4) и (6.10.6):

d九(方)=[Hxx + (区)TS (方 +1) A] dx ⑴ +

+ [яk + (fifs (Z + 1)这]阪仅)+ (Л)Г е (z +1) dv, (6.10.11> [яи +(£)『s(z + 1)Л]阪⑴ + [Н%+(由旳(% +1)由 dx ⑴ +

+ (及)S (Z +1) dw = 0.(6.10.12)

Шаг (в). Считая, что матрица, являющаяся коэффициентом при d〃(Z) в (6.10.12), невырождена, разрешают последнее уравнение относительно ⑴：

du ⑶=一図^ (f)]-1 IZUX ⑴ dx (0 + Zuv ⑴ dv], (6.10.13) где

Zuu (Z) = Huu + (A)r5 (% +1)盅(6.10.14)

zu, (O H^x+(fyTs (Z +1) Д = IZXU(0]T,(6.10.15)

zuv ⑴=(尤)S (i + l)^[ZVu ⑼ J(6.10.16)

Шаг (г). С помошью уравнения (6.10.13) исключают du (Z) из (6.10.10) и (6.10.11):'

d九⑴={Zxx ⑴ 一 Zxu ⑴[Zw (Z)尸 Z^ (/)} dx (z) +

+ {Z^ ⑴一z^ G)[Z1m(orzuv ⑴} dv,(6.10.17)

"屮={^vx (j) — Z^H (X) [Zuh (Z)尸 Zux (Z)} dx (Z)十

+ {Q (% +1) —z^H (z) [Zuu (z)] I Zuv(%)} “％(6.Ю.18)

здесь

zxx ⑴=Як+(匸)『S (Z+1)点(6.10.19)

Z.v ⑴=(4)TR (Z+ 1)=氏制⑼т.(6.10.20)

Шаг (д). Для того чтобы соотношения (6.10.17) и (6.10.18) были эквивалентны соотношениям (6.10.7) и (6.10.8) при произвольных значениях dx (Z) и dv, должны быть справедливы следующие равенства:

S ⑴=(舟‘S (% +1) & + Н% — [НиХ + (/：)'$ (% +1) /ж]Т X

X [Н% + £)『S (z + l) А]-1 [Я^ + (flfs (Z +1)齒，(6.10.21) R (%) = {fx — fu [Huu + (fu)T^ (Z + 1) /м]1 [Них +

+ (尤)旳(z + i)fy}TR G+1),(6.10.22)

Q(i) = Q(i + i)-[R(i + i>)]Tfu[Huu +

+ (/i)r5 (z +1)尤尸(由“ (Z +1) • .(6.10.23)

Эти равенства являются дискретными аналогами соотношений (6.2.11) - (6.2.13).

Равенства (6.10.21) — (6.10.23) могут рассматриваться как рекуррентные соотношения; величины S (Z), R ⑴ и Q (i) при этом вычисляются последовательно в порядке убывания индекса i: от Z = ^ — 1 к 2 = 0. Граничные условия при Z = " опреде-

ляются из (6.10.3) и (6.10.5)

S (“)=Фжх(“)，(6.10.24)

R (“)={也[优(W)]}4(6.10.25)

Q (") =0.(6.10.26)

Улучшенные значения величин vи u (Z)можно в этом случае

получить добавлением приращений dv и du (Z) к значениям, соответствующим предыдущему номиналу, причем из (6.10.8) следует, что

dv = [Q (0)尸[d屮-RT (0) dx (0)],(6.10.27)

a du (Z) определяется из (6.10.13) с учетом (6.10.27). По этим улучшенным значениям v и м (力)можно получить новое номинальное решение, которое будет лучше удовлетворять граничным условиям для х (0) и 屮

Улучшенные значения v м м (Z) можно было бы находить на каждом шаге, так же как при построении дискретного закона управления с обратной связью в разд. 6.2:

dv - [Q ⑴尸[d屮-RT ⑴ dx (Z)],(6.10.28)

du (Z) = — [^uu] 1 [{Них-]-(尤)т [S (i +1) /x —

-R(i + 1)QT(Z) #(i)]}dx(Z) + (凡)％(Z +1) Qt ⑴ d屮]• (6.10.29)

Уравнение (6.10.29) представляет собой оптимальный закон управления с обратной связью для соседних траекторий в случае дискретных многошаговых задач. Этот закон обеспечивает требуемые изменения в терминальных условиях на величину dip по известным текущим отклонениям dx (Z) от номинальной оптимальной траектории и одновременно минимизирует критерий качества J.

Задача. Для случая, когда матрица S (Z) невырождена, показать (используя лемму об обращении матрицы; см. разд. 1.3, задача 4 и разд. 12.2, задача 2), что рекуррентные соотношения (6.10.21) — (6.10.23) могут быть представлены в виде

s (О = /т ⑴{〔s (Z + I)]-1 + в «)}Т л(0 + с(0,

R (0 = АТ (Z) [Е + S (i + 1) В ⑴]т R (Z + 1),

Q (” Q (Z + I) — RT G + 1) 8 (О X

X [E + S (i + 1) В (i)]-1 R(i + !)• здесь

A (Z)=底一尤(Н%)ТН%, В (г)=孜(H%)T (由т,

。⑴= H^—HL (H%)TH%・

(Cm. также задачу 1 в разд. 2.2, где рассматривается случай отсутствия терминальных ограничений.)

6Л1. Достаточные условия локального минимума для дискретных многошаговых систем

Как было показано в предыдущем разделе, существование соседней траектории, доставляющей минимум критерию качества, зависит от трех условий:

Матрица ZL = H^+(力，S (Z+l) /u>0 (т.e. положительно

определена),(6.11.1)

Матрица Q (Z) V。(т. е. отрицательно определена), (6.11.2)

Матрица {S (X 十 1)笈—Е (% + 1) Q- (Z) RT (i)}

ограничена при i = 0, . . N — 1.(6.11.3)

Эти условия являются аналогами соответственно условий выпуклости, нормальности и отсутствия сопряженных точек, которые были изложены в разд. 6.3 для систем с непрерывным временем. Следует, однако, отметить, что условие выпуклости (6.11.1) формулируется в данном случае более сложным образом, чем аналогичное условие для систем с непрерывным временем, для которых условие выпуклости сводится к требованию положительной определенности матрицы Нии. Другими словами, для минимальности критерия качества в дискретных системах даже довольно слабое требование локальной минимизации функции Н уже не является необходимым. Дискретный принцип минимума (максимума), таким образом, несправедлив в общем случае х) (если не делать дополнительных предположений). Это объясняется тем, что в дискретных системах конечная величина шага по времени препятствует выполнению варьирований с произвольной амплитудой, а именно такие варьирования необходимы для установления минимальности Н. Кроме того, условия (6.11.3) являются в определенном смысле излишними, поскольку для конечной матрицы Q выражения для 5 и 7? не могут стать неограниченными при конечном числе шагов.

1) По поводу правильной формулировки дискретного принципа максимума см.: А. И. П р о п о й, Условия оптимальности для дискретных процессов, приложение к книге Фан Лянь-цэня и Вань Чу-сена «Дискретный принцип максимума», изд-во «Мир», 1967.— Прим, перев.

Численные методы решения задач оптимального программирования и управления

Введение

За исключением тех случаев, когда система уравнений, критерий качества и ограничения являются весьма простыми, для решения задач оптимального программирования и управления необходимо использование численных методов. Однако объем вычислений, необходимых для решения даже сравнительно несложных задач, слишком велик, чтобы их можно было выполнить вручную. Именно поэтому вариационное исчисление мало использовалось до недавнего времени в технике и прикладных науках1).

Появление в середине пятидесятых годов двадцатого века экономически выгодных быстродействующих вычислительных машин коренным образом изменило это положение. В настоящее время ©называется возможным решать весьма сложные задачи оптимального программирования и управления в течение допустимых отрезков времени и при допустимых затратах.

Современные ЦВМ довольно быстро интегрируют задачи с начальными условиями, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, как было уже показано, задачи оптимального программирования и управления являются по крайней мере двухточечными краевыми задачамиа в некоторых случаях даже многоточечными краевыми задачами (например, в тех случаях, когда заданы ограничения в промежуточных точках или ограничения в виде неравенств на фазовые координаты). Нахождение решений таких нелинейных двухточечных краевых задач является во многих случаях совсем не тривиальным обобщением методов решения задач с начальными условиями (одноточечных краевых задач).

Нелинейная двухточечная краевая задача, которая встречается в широком классе задач оптимального программирования,

1) Вариационное исчисление начало интенсивно использоваться в теории управления после того, как стали известны принцип максимума Л. С. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Беллмана. Ранее вариа- ционное исчисление не находило достаточного применения потому, что до появления принципа максимума не было законченных и строгих постановок вариационных задач теории управления. Появление ЦВМ, а также запросы космической техники создали условия для использования вариационных методов при проектировании систем управления.— Прим. ред.

кратко подытожена в конце разд. 2.8. Эта задача состоит в нахождении

■ а)厶 фазовых переменных n (Z)=[々(Z), . . хп (£)]『；

б)冷 функций влияния (сопряженных переменных)九(%)= =[Xi (Z), . . К (川т；

в) т управляющих переменных и (%) = [щ (Z), . . ., ит (%)]， которые должны одновременно удовлетворять:

системе п дифференциальных уравнений объекта управления (содержащей х и и);

системе п дифференциальных уравнений для функций влияния (сопряженной системе, системе уравнений Эйлера —— Лагранжа), включающей X,瑞 ;

т условиям оптимальности (содержащим 九,优,乂)；

начальным и конечным условиям (включающим ^ и X).

Все численные методы решения таких задач используют либо методы теории поля (или же динамическое программирование), либо итерационные процедуры.、

Методы теории поля применительно к двухточечным краевым задачам могут быть представлены как процесс построения множества решений, удовлетворяющих заданным граничным условиям на одном конце при использовании незаданных граничных условий в качестве параметров. Если выбран правильный диапазон параметров, то некоторые решения будут проходить (или почти проходить) через заданные граничные условия на другом конце.

В настоящее время все предложенные итерационные процедуры используют последовательную линеаризацию. Сначала выбирается номинальное решение, которое удовлетворяет одному, двум или трем из перечисленных выше условий 1——4 либо не удовлетворяет ни одному из них. Затем это номинальное решение модифицируется с помощью последовательной линеаризации так, тто в конце концов удовлетворяются и остальные из четырех условий. Интересно, что только три из возможных пятнадцати подходов к построению вычислительных схем были интенсивно использованы до настоящего времени. Эти три подхода указаны в табл. 7.1.1 х). При использовании методов соседних экстремалей или методов квазилинеаризации необходимо решать последовательность линейных двухточечных краевых задач. Такие задачи могут быть решены:

I) Относительно достоинств и недостатков этих методов применительно, к конкретным классам задач (несмотря на интенсивное их использование) в настоящий момент известно сравнительно немного. Среди немногочисленных работ, посвященных сравнительному анализу вычислительной эффективности некоторых из методов, указанных в табл. 7.1.1, можно отметить серию статей Д. Льюоллена и Б. Тепли [7.15*, 7.23*, 7.27*].— Прим, перев.

путем нахождения переходной матрицы между незаданными граничными условиями на одном конце и заданными граничными условиями на другом; 口

путем переноса («прогонки») граничных условий с одной конечной точки на другую конечную точку, основанного на использовании решения матричного уравнения Риккати (см. разд. 5.2, 5.3, 6.2, 6.6 и задачу 8 разд. 5.4).

Для всех трех классов итерационных процедур возможно удовлетворить терминальные_ ограничения либо путем использования метода проекций градиента (линейных штрафных функций), либо с помощью нелинейных штрафных функций (обычно квадратичных) .

Таблица 7.7.7

Итерационные процедуры

7

Номинальное решение удовлетворяет

системе уравнений

сопряженной системе уравнений

условиям оптимальности

граничным условиям

9Методы соседних экстре-

Да

Да

Да

Нет

малей

Градиентные методы

Да

Да

Нет

Нет

Методы квазилинеари-

Нет

Нет

Да

Да или нет

заций

7・2. Методы, использующие поле экстремалей. Динамическое программирование

Один из методов решения задач оптимального программирования состоит в систематическом варьировании незаданных (свободных) начальных (или конечных) условий и вычислении соответствующих оптимальных решений из начальной (или конечной) точки. Вычисления продолжаются до тех пор, пока часть фазового пространства, находящаяся в окрестности противоположной точки, не будет достаточно густо покрыта оптимальными решениями, после чего желаемое оптимальное решение может быть получено путем интерполяции. Очевидно, описанная процедура является одним из способов решения уравнения Гамильтона ― Якоби — Беллмана (уравнения ГЯБ) в некоторой области фазового пространства. Этот способ решения носит название метода характеристик х) и является полезным для формирования опти-

工)См., например, Р. Курант, Д. Гильберт, Методы математиче- 瑞盘费便❶近 физики, т. 2/ гл. 2, ГТТИ, 1951 или Р. Курант, Дифференциальные ■ - , Уравнения в частных производных, изд-во «Мир», 1968.— Прим, перев.

мального нелинейного закона управления с обратной связью в задачах оптимального терминального управления, если все оптимальные траектории вычисляются в обратном направлении, начиная с терминальной гиперповерхности. Сравнительно простые примеры нелинейных оптимальных законов управления с обрат- ной связью, решенные этим методом, представлены в разд. 4.1 и 4.3.

Другая возможность заключается в непосредственном решении дифференциального уравнения ГЯБ в частных производных; при зтом решение начинают с терминальной гиперповерхности. Эта процедура носит название «динамическое программирование», она рассмотрена в гл. 4. Для задач с числом фазовых координат свыше двух-трех этот метод обычно не может быть реализован даже с помощью современных больших ЦВМ. Запоминание одного только результата решения с тремя или более фазовыми переменными (которым является все вычисленное поле экстремалей) требует обычно практически недоступного объема памяти ЦВМ.

7.3. Алгоритмы, использующие соседние экстремали

Введение

В рассматриваемых методах используются итерационные алгоритмы для последовательного улучшения первоначальных оценок незаданных начальных (или терминальных) условий до тех пор, пока не будут удовлетворены заданные терминальные (или начальные) условия.

Основная трудность, связанная с этими методами, заключается в выборе начального приближения, т. е. в нахождении такой первоначальной оценки незаданных условий на одном конце, которая приводила бы к решению, достаточно близкому к заданным условиям на противоположном конце. Причина указанной трудности состоит в том, что экстремальные решения часто оказываются весьма чувствительными к небольшим изменениям незаданных граничных условий. Эта чрезмерная чувствительность является прямым следствием природы уравнений Эйлера —— Лагранжа, которые, как было показано в гл. 2, представляют собой уравнения для функций влияния. Действительно, уравнения Эйлера — Лагранжа являются дифференциальными уравнениями, сопряженными линейной системе уравнений возмущенного движения, причем линеаризация производится относи- тельно экстремальной траектории. Если фундаментальные решения линейной системы уравнений возмущенного движения уменьшаются (по модулю) с возрастанием времени, то фунда-

ментальные решения сопряженной системы уравнений (уравнений Эйлера ——Лагранжа) увеличиваются (по модулю) с возрастанием времени ').

Таким образом, в процессе интегрирования (в любом направлении) решения ^ (Z) и X (力 дифференциальных уравнений имеют тенденцию становиться величинами, сильно различающимися по своим порядкам. Так как число значащих цифр, с которыми оперируют ЦВМ (безразлично, используют ли они арифметические операции с фиксированной или плавающей запятой), ограничено, то различие в степени роста решений 优(%) м 九(%) существенно сказывается на потере точности ). Одно из проявлений этой трудности заключается в плохой обусловленности переходной матрицы при t > %о, возникающей из-за сильного различия значений величин ее элементов ). Поскольку процедура обращения переходной матрицы является необходимой частью численного метода, то полученная в итоге точность решения оказывается недостаточной. Другой аспект этой же проблемы состоит в том, что небольшие ошибки при задании начальных значений функций влияния при % =扣 могут привести к огромным ошибкам в их конечных значениях (при t =力.Это особенно заметно в сильно диссипативных системах, таких, как системы с трением или сопротивлением. Так как уравнения системы (объекта) и уравнения Эйлера ——Лагранжа взаимосвязаны, то не следует считать необычным, если интегрирование с плохо выбранными начальными условиями приведет к «диким» траекториям в фазовом пространстве. Такие траектории могут быть настолько «дикими», что значения 优(%) и/или 九(%) превзойдут диапазон чисел, с которыми может оперировать ЦВМ!

Ввиду указанной трудности с выбором начальных значений метод непосредственного интегрирования обычно практически при-

годен для нахождения соседних экстремальных решений лишь после того, как одно экстремальное решение уже получено каким- лмбо другим методом (например, градиентным методом).

Задачи, в которых некоторые из фазовых координат заданы в фиксированный терминальный момент времени

Для пояснения основных идей метода рассмотрим сначала сравнительно простой класс задач, исследованных в разд. 2.4. Пусть надо найти управление м (£), минимизирующее

if

/=0 [/("]+，e[况(力), "(f),力阳 где

(7.3.1)

/ = /(£ и, £),

(7.3.2)

况(％о) — /о, /о задано, 飞闻一况｛]

(7.3.3)

屮[#(&)]=：=0, W, ...，W、заданы,

_旳(〃)一％.'

(7.3.4)

S tf заданы.

(7.3.5)

Необходимые условия первого порядка для экстремального решения таковы:

隱)\(7・3.6)

' 册(办)=(誥)屮 7 = ? + 1, ? + 2, п, (7.3.7)

Дифференциальные уравнения (7.3.2) и (7.3.6) должны быть решены при п начальных условиях (7.3.3) и п конечных условиях (7.3.4) и (737), при этом управление 〃(力 определяется из условия (7.3.8). В данном случае имеется п неизвестных (незаданных) начальных условий % (扣)и п незаданных терминальных УСЛОВИИ [九丄(Zy),...,九,(*『)，/q+l(*j), •・・‘ *^n (%/)]•

Алгоритм переходной матрицы. Решение этого класса задач может быть проведено следующим образом:

Шаг (а). Выбирают неизвестные начальные значения 九 «о). (Другой метод состоит в выборе п неизвестных конечных значений и очевидной модификации последующих шагов.)

Шаг (б). Интегрируют (7.3.2) и (7.3.6) от £ = % до £ = / используя (7-.3.8) для определения и (/).

Шаг (в). Запоминают g (^), , . ., xq (力，%g+1 ("),... • • 4 入71 (ff) •

Шаг (г). Находят переходную матрицу 他卩(^)/5% (%)]()• Размерность этой переходной матрицы равна тг X тг, а смысл ее ясен из следующего соотношения:

' 6W

6卩(⑺=

6/(5

6九牡?(6)

=貌經闯

-3九П(%力Я

[Ниже приведены два конкретных метода вычисления переходной матрицы 5(л (Zy)/5X (^0)-1

Шаг (д). Выбирают 6卩(沙 так, чтобы следующее решение было ближе к желаемому значению 卩(£『). Для этого, например, можно выбрать

6卩(切=—е [卩(切—О V e《！•

Шаг (e). При выбранном значении 卩(*) [см. шаг. (口)] обращают переходную матрицу шага (г) для получения 6% (Zo)3

■耿得)=[黯卩闻.

Шаг (ж). Используя соотношение

入(^о)нов =入(^о)стар + 融(％)，

повторяют шаги (б) — (ж) до тех пор, пока 卩(今)не станет равно заданному значению в пределах установленной точности.

Отметим, что если изменения 6(л (川 на шаге (д) выбраны слишком большими, то итерационная процедура может не сходиться. Один из путей проверки «размера» шага 6卩(£》состоит в сравнении [卩(Zy)H0B —卩(切стар】с желаемым 6卩(切：если они отличаются, скажем, более чем на 10—20%, то шаг (д) должен быть повторен с меньшим значением 6卩(切.

Методы вычисления переходной матрицы

Переходная матрица на шаге (г) может быть образована двумя различными путями: 1) непосредственным численным дифференцированием; 2) путем определения единичных решений линейных дифференциальных уравнений возмущенного движения.

Непосредственное численное дифференцирование требует п дополнительных операций интегрирования нелинейных систем (7.3.2) и (7.3.6) с использованием соотношения (7.3.8). При каждом таком интегрировании одна из компонент %» (力о) получает небольшое приращение 6%» (力о) относительно первоначального приближения, выбранного на шаге (а) [или уточненного на шаге (ж)]. Полученные в результате каждого интегрирования п величин 6(л (它)запоминаются и делятся на 6%£ (zo). Таким образом находится переходная матрица [5ц (//)/5% 〃°)j. Трудность, связанная с таким подходом, заключается в следующем: если 6%» (力о) выбрано слишком малым, то ошибка округления при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений приводит к весьма неточному определению величины 6卩(切；если же 6% (力о) выбрано слишком большим, то нарушается предположение о линейности х).

Определение единичных решений основано на ^-кратном интегрировании системы 2汽 линейных уравнений возмущенного движения (6.1.21) и (6.1.22). При каждом таком интегрировании одна из компонент 6入(Zo) принимается равной единице, а остальные —— нулю; при этом всегда 6优(％) — 0. Этот метод более точен, чем непосредственное численное дифференцирование, но требует дополнительного программирования уравнений возмущенного движения. Он может все же приводить к плохо обусловленной переходной матрице, если единичные решения сильно различаются по численным значениям; в этом случае обращение переходной матрицы, необходимое на шаге (е), будет весьма неточным 2).

Алгоритм обратной прогонки. Один из эффективных путей преодоления трудности, связанной с плохой обусловленностью переходной матрицы, состоит в использовании следующей модификации метода обратной лрогонки, изложенного в разд. 6.2:

Шаг (а). Задают начальные приближения для значений q параметров vr = 尻！(切，...， 儿 (力] и (孔 一 q) свободных (незаданных) термшта^вных фазовых переменных [&十＜ (切，,., • • • » 优n ( ^/)]・

Шаг (б). Интегрируют (7.3.2) и (7.3.6) от 今 до Zo, используя заданные на шаге (а) оценки 屮丁 "力 и xq+i (Z/), . . ., хп (切， а также граничные условия (7.3.4) и (彳.3：7). Управление и (Z) находится при этом из (7.3.8).

Шаг (в). Одновременно с выполнением шага (б) интегрируют уравнения (6.2.11) — (6.2.13) в обратном времени с граничными

Это предположение необходимо при выполнении численного дифференцирования по описанной простейшей схеме, основанной на разностной формуле первого порядка.— Прим, перев.

Относительно одного из путей обращения плохо обусловленной матрицы см. задачу 5 разд. 5.2.

условиями (6.2.3) — (6.2.5), которые в данном случае имеют вид

s (%) = фхх『产Q (力=о，

Г 1, если Z = j,力=1, 2,...,汽；К"(切一{ °, если i 斗z j, j = 1，2, . .., q.

Шаг (г). Запоминают значения ^(Zo), % (幻 и (5 — ^Q^Rjt^to» Выбирают шаг 6优(Zo)? на величину которого хотят приблизиться к заданному значению /(%())• После этого по формуле (6.2.15) находят

6% (%о) = (5RTQ-i/?)i=to 6优(％。).

Шаг (д). Интегрируют уравнения возмущенного движения (6.1.21) — (6.1.22) от % до tf с начальными условиями 8х (Zo), 6Х (扣)，полученными на шаге (г). Запоминают значения dvT = —[6脑(tf)} • • • ? 6% (垃]広【6优 q+1 (%/),・•♦, Ьхп (“)]•

Шаг (е). Вычисляют новые значения v sg(&), Z = g + 1,••・ ..re, по формулам

vH0B = vCTap + d»

[g (^/)1hob =【g (小]стар + 6勺(%f), Z = 0 + 1, * •%

и повторяют шаги (б) — (е) до тех пор, пока х (幻 не достигнет заданного значения с желаемой точностью.

Задачи с ограничениями в виде функций от фазовых координат, заданных в нефиксированный терминальный момент времени

Рассмотрим теперь более общую задачу нахождения управления и «), которое минимизирует критерий качества

J= 0 [优(〃)，川 + j £[优(%),北⑺，t] dt (7.3.9)

при наличии ограничений

优=/ (瑞 и,力 (汽 уравнений),(7.3.10)

х (幻 = 优о,力о, g заданы (n начальных условий), (7.3.11) 屮[优(力3 tf] = 0 (q терминальных условий).(7.3.12)

Терминальное время tf (время окончания процесса) определено неявно посредством терминальных граничных условий (7.3.12).

Необходимые условия первого порядка для экстремального решения имеют вид

不=一(馨)т 5 уравнений),吧=0ди и,九т (方力=(雾"кт/ (也 терминальных условий),Q [第,и, v, t]t^tf=(箒+ £)/_厅=0 (одно условие),不=一(馨)т 5 уравнений),吧=0ди и,九т (方力=(雾"кт/ (也 терминальных условий),Q [第,и, v, t]t^tf=(箒+ £)/_厅=0 (одно условие),(7.3.13)(7.3.13)(7.3.14).(7.3.14).(7.3.15)(7.3.15)(7.3.16)(7.3.16)

不=一(馨)т 5 уравнений),

吧=0ди и,

九т (方力=(雾"кт/ (也 терминальных условий),

Q [第,и, v, t]t^tf=(箒+ £)/_厅=0 (одно условие),

不=一(馨)т 5 уравнений),

吧=0ди и,

九т (方力=(雾"кт/ (也 терминальных условий),

Q [第,и, v, t]t^tf=(箒+ £)/_厅=0 (одно условие),

(7.3.13)

(7.3.13)

(7.3.14).

(7.3.14).

(7.3.15)

(7.3.15)

(7.3.16)

(7.3.16)

где

Ф (怎V, 0 = Ф (第，方)+"Т屮(瑞方),

at dt ' d* 」' '''

В этой задаче требуется найти решение системы 2п дифференциальных уравнений (7.3.10), (7.3.13) и определить (q 4- 1) значений неизвестных параметров v и ^ так, чтобы удовлетворялись п начальных условий (7.3.11) и (^ + n + 1) терминальных условий (7.3.12), (7.3.15) и (7.3.16). При этом определение и (方) производится с использованием условия (7.3.14).

Алгоритм переходной матрицы. Решение задачи может быть осуществлено следующим образом:

Шаг (а). Задают начальные приближения для п терминальных условий 第(&), q параметров 屮 и для терминального времени tf._

Шаг (б). Определяют значения 屮[х (切,£儿 九(&) и Q 反(&), 〃(力，v, tf] из условий (7.3.12), (7.3寸5), (7.3.16); и (小 определяют из (7.3.14) при t н 方力 используя 九(小 и х (切.

Шаг (в). Интегрируют уравнения (7.3.10) и (7.3.13) от ^ до 才о, используя (7.3.14) для вычисления 〃«) и терминальные условия 第(⑺ и Х(^), найденные на шагах (а) и (б).

Шаг (г). Запоминают полученное в результате осуществления шага (в) значение х (方。).

Шаг (д). Находят переходную матрицу

(历)，屮，a]

3 [方(方拉，w,万]‘

Размерность этой переходной матрицы равна (n-f-gr-f-l) х Х(^ +，+ 1), а смысл ее ясен из соотношения

飞第（幻一dQ飞第（幻一dQ3心(打)，屮，a]д[x (^), V, tf]3心(打)，屮，a]д[x (^), V, tf]"6x (方力-dv"6x (方力-dv

飞第（幻一

dQ

飞第（幻一

dQ

3心(打)，屮，a]д[x (^), V, tf]

3心(打)，屮，a]д[x (^), V, tf]

"6x (方力-dv

"6x (方力-dv

(Ниже изложены два метода вычисления переходной матрицы — метод численного дифференцирования и метод единичных решений.)

Шаг (е). Выбирают значения 6х (%), &屮 и dQ так, чтобы следующее приближение было ближе к заданным значениям х(^0) = х°,屮=0, Q = 0. Можно, например, выбрать

「加(%)]Г第(方0) —第。一

d屮 =—e屮[第侑)，5 ,一dQ J [q [第(方力,方儿

где 0 < 8 ^ 1.

Шаг (ж). По выбранным на шаге (е) значениям 6х (标)，&屮, dQ путем обращения переходной матрицы [вычисленной на шаге (д)] находят значения 6х (^), dv, dtf.

Шаг (з). Вычисляют новые приближения для х (方『),v, ^ по формуле

и повторяют шаги (б)——(з) до тех пор, пока условия

х (方о)—第о，屮[х (切，tf] = 0 и Q [第侑)，и (&), v, tf] = 0.

не станут выполняться с необходимой точностью. Напомним, что

ах (切=&г (&) + х &) dtf = 6х 侑)+ / [х (方『)，и 仿)，tf] dtf, где 6% (分)выбрано на шаге (ж).

Следует заметить, что если величины 6х (方°), &屮,dQ выбраны на шаге (е) слишком большими, то итерационная процедура может и не сходиться. Один из методов устранения расходимости состоит в сравнении действительных изменений х (方°),屮，Q с желаемыми изменениями. Если разница между этими значениями превышает, например, 10——20%, то шаги (е) — (з) следует повторить с меньшими значениями 6х (方°), &屮,dQ.

Методы вычисления переходной матрицы

Переходная матрица, необходимая на шаге (д), может быть вычислена двумя различными способами: 1) путем непосредственного численного дифференцирования; 2) на основе определения единичных решений для линейных дифференциальных уравнений возмущенного движения.

Непосредственное численное дифференцирование требует (n + g + 1) дополнительных интегрирований в обратном вре-

мени нелинейных уравнений (7.3.10) и (7.3.13) с использованием (7.3.14). При каждом таком интегрировании одна из компонент х (£『),V и ^ изменяется на малую величину относительно начального приближения, выбранного на шаге (а) [или последующих приближений на шаге (б)]. Полученные после каждого интегрирования (тг + g + 1) величин 6х (%), 4屮，dQ всякий раз запоминаются и делятся на соответствующие приращения компонент х (£力，屮 или tf. В результате будет получена переходная матрица, необходимая для шага (д). Возникающие при этом вычислительные трудности аналогичны тем, которые уже обсуждались выше (см. стр. 260).

Определение единичных решений требует (п + ^ + ^-кратного интегрирования в обратном времени линейных уравнений возмущенного движения (6.1.21), (6.1.22). При каждом таком интегрировании одна из компонент вектора [6х (切，d% dtf] принимается равной единице, а все остальные ——нулю. Определение 6Х (&), d^. dQ производится на основе линеаризации терминальных условий (7.3.15), (7.3.12) и (7.3.16) [см. (6.5.9) — (6.5.11)]. Уравнения (6.5.10) и (6.5.11) образуют часть переходной матрицы шага (д), а матрица {дх (辅/@ (х (&), v,切} должна быть найдена путем (п + ^ + 1)-кратного интегрирования в обратном времени уравнений возмущенного движения. При этом 6Х (&) находится из условия (6.5.9) при единичном значении одной из компонент вектора [6第(&), &% dt^^ Хотя данный метод и является более точным, чем непосредственное численное дифференцирование, он, очевидно, требует дополнительных затрат на программирование уравнений возмущенного движения. Кроме того, ему присущи некоторые вычислительные трудности, которые уже упоминались в предыдущем разделе (см. стр. 260).

Отметим, что необходимым условием минимума J по 力/ является соотношение

偿)У产。・ (7317)

Если в условии (7.3.17) имеет место неравенство, то можно разрешить уравнение (6.5.11) относительно d力力 выразив его через 6х (£『)и dv. Если теперь подставить этот результат в (6.5.9) и (6.5.10), то для вычисления переходной матрицы в этом случае потребуется только (n + q) единичных решений.

Алгоритм обратной прогонки. Одно из возможных затруднений алгоритма переходной матрицы заключается в том, что необходимая точность вычисления может не достигаться даже при использовании метода единичных решений уравнений возмущенного движения. По причинам, указанным во введении к разд. 7.3, такая потеря точности, в частности, характерна для диссипативных систем. Обычно эту трудность оказывается воз-

можным обойти, используя следующую модификацию метода обратной прогонки '), рассмотренного в разд. 6.6:

Шаги (а) — (в) те же, что и в алгоритме переходной матрицы. ,

Шаг (г). Одновременно с шагом (в) интегрируют (6.6.8)— (6.6.13) с указанными там же граничными условиями.

Шаг (д). Запоминают значения 爲九,S, Н, Q, т, п, а при t = t0. Выбирают 6х (£о), d^, dQ так же, как и на шаге (е) алгоритма переходной матрицы. Затем с помощью соотношений (6.6.14), (6.6.15) и (6.6.18) определяют dv,陷 и 6九《о). Запоминают dv и dtp

dx (&) = 6х (切 + х (&) dtf = dx (切 + + fix (切，и (tf), tf] dtf.dx (&) = 6х (切 + х (&) dtf = dx (切 + + fix (切，и (tf), tf] dtf.Шаг (е). Интегрируют уравнения возмущенного движения (6.1.21) — (6.1.22) в прямом времени с начальными условиями 6х (^), 6九(£())• Запоминают

dx (&) = 6х (切 + х (&) dtf = dx (切 + + fix (切，и (tf), tf] dtf.

dx (&) = 6х (切 + х (&) dtf = dx (切 + + fix (切，и (tf), tf] dtf.

Q [x 仿)，й (切，%"=0

не будут выполнены с желаемой точностью.

7.4・ Алгоритмы градиентных методов первого порядка2)

Введение

Градиентные методы были разработаны для преодоление затруднения, связанного с выбором «хорошего» начального приближения в методах непосредственного интегрирования (см. введение к разд. 7.3). Они характеризуются итерационными алгоритмами, предназначенными для улучшения предыдущих оценок зависимости u (t) с тем, чтобы на каждой итерации происхо-

Причина этого состоит в меньшей вероятности различной степени роста элементов матрицы 5 ⑺，чем элементов матриц X (力)и А ⑺，используемых в алгоритме переходной матрицы.

См. также [2.5, 7.14*, 7.18*, 7.19*].— Прим, перев.

дило приближение к удовлетворению условий оптимальности и граничных условий.

Градиентные методы первого порядка обычно дают наибольшие улучшения на нескольких первых итерациях, но имеют плохие характеристики сходимости при приближении к оптимальному решению. Градиентные методы второго порядка, излагаемые в следующем разделе, обладают хорошими характеристиками сходимости в окрестности оптимального решения, но могут приводить к затруднениям на начальном (стартовом) участке, связанным с выбором «выпуклого» номинального решения.

Задачи, в которых некоторые из фазовых

, координат заданы в фиксированныйтерминальный момент времени

Вернемся к классу задач, который уже рассматривался под зтрм названием в разд. 7.3. Алгоритм градиентного метода первого порядка для решения данного класса задач сводится к следующим процедурам:

Шаг (а). Задают начальные приближения для м (%)・

" Шаг (б). Интегрируют уравнения объекта 第=/ (怎 u, t) в прямом времени от 爺 до ^ с начальным условием х (i0) ~х0 при управлении, заданном на предыдущем шаге (а). Запоминают х(£), и (%) и 屮［х «/)］.

Шаг (в). Определяют n-мерный вектор р (力)функций влияния и (n X ^-мерную матрицу R (力)функций влияния путем интегрирования в обратном времени от tf до tQ уравнений для функций влияния. Для определения граничных условий используют значение х (£『), полученное на шаге (б).

Упомянутые уравнения и граничные условия имеют вид

О для % 1, 2, • •., ?=-(■£)%—(^)Т，Pi(⑺=((爲)у дляг = ? + 1

Г 1 при / ~— 1» 2, тг,

修j(力)=I n . , . d в

I 0 при г / = 1, 2, . q.

Шаг (г). Одновременно с шагом (в) вычисляются следующие интегралы:

人漳=［片祭巾т (簪)т^а/ (матрица qXq),

，*原76糸+詛睜傷广e威

to

(^-мерный вектор-строка),

.(р嚼+祟)T傷)X備门"зр).

Здесь % ——(тп X тп)-мерная положительно определенная матрица (см. ниже пояснения к алгоритму).

Шаг (д). Выбирают значения 6屮 так, чтобы следующее приближение было ближе к желаемому значению 屮[х (£『)]=0. Например, можно положить

6屮=—叫[х (&)],0 < £ ^ 1.

После этого определяют вектор 屮：

*=-[/w3l(6屮+ /屮)).

Шаг (е). Шаги (6) — (д) повторяют, используя каждый раз улучшенное значение инов (力):

〃нов(£) = "стар (0 + 8〃(£), где

加上)=-[% ⑼T ｛祟+ [p (/) + R (0 旬? 瘵｝ Т.

Вычисления заканчиваются, когда условия 屮[х (£『)]= 0 и ，Ijj——/」1|/^/屮」工0 выполняются с желаемой степенью точности.

Пояснения к алгоритму. Данный алгоритм основывается на использовании функций влияния, введенных в разд. 2.4. Величины р (£) и 7?(力)предсказывают изменения значений критерия качества /ид граничных условий 屮т = [/ (^), . . ., xq (^)] при изменении би (力) управляющего вектора и (力)

.'6J = j(p嚼 + 器)6”)威，(7.4.1)

『6g (f) I ь

6屮=；=\ RT^-8u (t) dt. (7.4.2)

_ 6旳(/)丄=弓%

Вьшолняемое на шаге (в) интегрирование (в обратном времени) •・. уравнений для функций влияния не связано с интегрированием -;\ * уравнений объекта (за исключением определения производных f*[ df/dx и 8LI8吟;это обстоятельство (по причинам, изложенным

в начале разд. 7.3) делает процесс интегрирования вычислительно весьма устойчивым.

Поскольку (7.4.1) и (7.4.2) являются линеаризованными соотношениями, то величина 6/ при наличии ограничений на значения 6屮 не имеет минимума. Математически простой способ образования минимума состоит в добавлении к (7.4.1) интегральной штрафной функции, квадратичной по би:

6乙二 6J + ] (6“)Т W (^) 8и (力)dt,(7.4.3)

где W (方) —— произвольная положительно определенная весовая матрица размерности, m X

Минимизация 6丿£ при наличии ограничений (7.4.2), где значения 6屮 заданы, представляет собой линейно-квадратичную задачу оптимизации, уже рассмотренную в разд. 5.3. Эта задача легко решается присоединением выражения (7.4.2) с постоянными множителями Лагранжа v к критерию 6乙

旷=6乙+ vt[,严思"加(方)山-6屮].(7.4.4)

Если пренебречь изменением коэффициентовг), то первая вариация (7.4.4) дается выражением

s (s7) = J [ -^+(^+^)г ^+w]s (бм)

из которого ясно, что минимум 6J достигается при

加=—[警+(卩+ 4)тДГ(745)

Подставляя (7.4.5) в (7.4.2), находим, что

6^ = -I^j — /33山，(7.4.B)

где I^j и /ф^ определены на шаге (г) основного алгоритма. Если /фф является невырожденной матрицей, то уравнение (7.4.6) можно разрешить относительно искомого значения v

V = 一[Дн尸(g +(7.4.7)

Предсказываемое изменение 6/ можно найти, подставляя (7.4.5) и (7.4.7) в (7.4.1):

6/ = —(/〃 一 /j屮/磕/*j) + Ij^I^^i(7.4.8)

где Ijj определено на шаге (г) основного алгоритма.

"

Изменение коэффициентов учитывается в разд. 7.3 и 7.5.

Из условий (7.4.8), (7.4.7) и (7.4.5) следует, что по мере приближения к оптимальному решению и к 6屮=0 выполняются предельные соотношения

/jj —/」屮/磕/q)jf 0,(7.4.9)

V —> — /磕/屮 j,(7.4.10)

祭•+(p + w嘉 f 0 для %СУ% (7.4.11)

Заметим, что левую часть условия (7.4.11) можно интерпретировать как производную дН/ди, где

Н = L(X、и, £) + Хг/ (х, и,方)，(7.4.12)

九⑺=р ⑶ + R ⑶ v.(7.4.13)

Уравнение (7.4.13)'полезно для оценки начального приближения вектора 九(£) при нахождении решений методами разд. 7.3, 7.5 и 7.6.

' Выбор весовой матрицы W (£) на шаге (г) должен производиться так, чтобы величина первого шага спуска в алгоритме была ограниченной. Этого можно достигнуть путем сравнения действительных значений 6屮 и 6J с предсказанными значениями, найденными из (7.4.6) и (7.4.8). Если между ними имеется слишком большое расхождение, то W следует увеличить, если же расхождение слишком мало, то можно использовать большие шаги спуска и W следует уменьшить. После получения удовлетворительного первого шага матрица W может оставаться неизменной в течение всех последующих итераций. Ввиду условия (6.1.16) вполне удовлетворительным значением для W является величина £ (д^Н/ди2), где 0 < £ ^ 1 (разумеется, если гарантировано условие положительной определенности матрицы д2Н/ди2).

Задачи с ограничениями в виде функций от фазовых координат, заданных в нефиксированный терминальный моменг времени

Рассмотрим класс задач, уже исследовавшихся в разд. 7.3. Последовательность шагов алгоритма градиентного метода первого порядка перечислена ниже:

Шаг (а). Задают начальные приближения для и (方)и терминального времени

Шаг (б). Интегрируют уравнения объекта в прямом времени с заданными начальными условиями, используя м (方)и 方力

заданные на шаге (а):

а = / (瑞 〃，£), а (力)=第о задано.

Запоминают векторы с (方)，и (£),屮［х (方挑"，

［(d〃d£) + £］』号 и (d屮

Шаг (в). Находят n-мерный вектор функций влияния р (力 и (n X ,)-мерную матрицу функций влияния R (方)путем интегрирования в обратном времени уравнений для функций и матриц влияния:

Р —咸『Р-闺т，РМ=(喲F良=一息)T凡Z(5=(需)r •

Шаг (г). Этот шаг аналогичен шагу (г) предыдущего алгоритма.

Шаг (д). Этот шаг аналогичен шагу (д) предыдущего алгоритма, за исключением того, что 6屮 заменяется на 碑 и 屮 определяется соотношением

где Ъ ——скалярный весовой множитель (см. ниже пояснения к алгоритму).

Шаг (е). Повторяют шаги (б)——(д), используя каждый раа улучшенные приближения для и (方)и tf, полученные по фор^ мулам

гдегде应(^)1 нов = ［〃 (^)1 стар + би (^),(&)нов= (^/)стар + 4%

где

где

8u (^) = - ［И7 (方)尸［"!^ + (p + 7?*)Т 黑］,

Процесс вычислений заканчивается после того, как условия 屮［х (^), tf］ == 0, ［(d^/dt) + vT (d^/df) + £］』& = 0 и /〃 一 —— /j屮/爲/中J = ° станут удовлетворяться с желаемой zточностью.

Пояснения к алгоритму. Данный алгоритм основан на использовании функций влияния р (t) и R (£), введенных в разд. 2.7. Изменения в критерии качества 丿 и краевых условиях *ф при варьировании управления и (方)на величину би (方)определяются

соотношениямисоотношениями"=偿+ £)』严+j (罂+ Р嚼)切(方)出，(7414下

соотношениями

соотношениями

2偿)F得+,(我嘉)加(方)北(7.4.15).

Как и в предыдущем алгоритме, добавим к (7.4.14) квадратичную- по 5〃(方)и dtf штрафную функцию и сложим результат с (7.4.15)^ предварительно умноженным на вектор v:

dJ = dJ + ~b (dt^ + ^- J [加 «)『W ⑺加(方)dt +

+ vTl^)^+URT^ ^^^]- (7416〉

Здесь b — произв ольная положительная весовая константа^ а 巾(£) — произвольная положительно определенная весовая матрица размерности т X т.

Если не учитывать изменение коэффициентов 丄)，то выражение для первой вариации dJ можно записать в виде ■

d (")=[魯+ з 标 +b dtf]t^d 画)+ ч

+ J [■^■ +(?+ "V广募 + (加广呼]S (8u) dt. (7.4.17}

Из (7.4.17) следует, что минимум dJ достигается, если

加(方)=-%T [黑(Р十小)Т黑]丁,(7418方

阳=-4■[鲁+ "喘+ £]1，(7.4.19).

Подставив (7.4.18) и (7.4.19) в (7,4.15), получим

"叩=[(需)(要+ 口 曙+z]=「(3-厶/), (7.4.20>

где I^j и 1^ определены на шаге (г). Если матрица [1^ 十 + (1/6)(碑/成)(di|)/d方)т] невырояедена, то уравнение (7.4.20) можно

')Изменение коэффициентов учитывается в разд. 7.3 и 7.5.

разрешить относительно v

▼-除需厂「W+3F偿+厶)(耨］•

(7.4.21)

Предсказанное изменение dJ может быть найдено путем подстановки (7.4.18) и (7.4.19) в (7.4.14); в результате получается

(7.4.22)

где Ijj определено на шаге (г) алгоритма.

Из (7.4.18) и (7.4.19) следует, что при приближении к оптимальному решению выполняются предельные соотношения

• "fir+(Р +А")'1^f ° 3* %oW方,(7.4.23)

(普十广普+ “0.(7.4.24)

Если, кроме того, d-ф — 0, то условие (7.4.24) может быть использовано в (7.4.20), а затем и в (7.4.22), чтобы показать, что

V屮刀(7.4.25)

/jj 一 /j屮/爲/屮 j f 0・(7.4.26)

Заметим, что (7.4.23) и (7.4.24) можно интерпретировать как частную производную дН/ди и Q соответственно, где

Н = L + 九/(7.4.27)

九(方)=р (9 + А (方)v.(7.4.28)

Уравнение (7.4.28) полезно для оценки начального приближения X (方) при нахождении решений методами, изложенными в разд. 7.3, 7.5 и 7.6.

Выбор весовой константы & и весовой матрицы W (/) на шаге (г) должен производиться так, чтобы величина первого шага спуска в алгоритме была ограниченной. Для этого можно сравнивать действительные значения &屮 и dJ с предсказанными значениями, найденными из (7.4.20), (7.4.22). Если между ними имеется слишком большое различие, то & и РУ следует увеличить, если же различие слишком мало, то представляется возможным использовать в процессе счета большие шаги. В этом случае b a W следует уменьшить.

Алгоритмы, использующие минимизацию гамильтониана (min ZT-алгоритмы). Было предложено несколько алгоритмов градиентных методов первого порядка, испо льзующих минимиза-

I

Численные методы273

цию гамильтониана Н '). Одна из сравнительно недавних публикаций по этому вопросу принадлежит Готтлибу2); (см. также статью Н. Halkin, Method of Convex Ascent, в сборнике [6.81). В min Я-алгоритмах управление находится путем минимизации гамильтониана Н [определенного соотношениями (7.4.27) и (7.4.28)] по управляющему вектору и; при этом 化 и К считаются фиксированными. Благодаря применению этой процедуры оказывается возможным использовать большие изменения в и, что, видимо, ускоряет сходимость алгоритма вблизи оптимума.

Задача. Рассмотрим систему

х = f (х, 3),

力储)=задано, критерий качества

/=巾[х (7), С+ j £@ ",力)或，Т фиксировано.

Пусть дано управление 〃⑴(方)，относительно которого утверждается, что оно минимизирует J (по крайней мере в смысле относительного минимума).

Требуется составить (без вывода) детальную пошаговую блок-схему программы, включающей все необходимые вычислительные шаги, которым должен следовать человек или ЦВМ, чтобы, доказать или опровергнуть это утверждение. Если некоторые процедуры неизвестны в литературе, то это следует отметить.

Пусть

% (0) = 2, х, и — скаляры.

J = у а:3 + у j u2(t) dt, if ⑴(/)=—2, 0<^Z= 1.

Является ли управление u(1) (^) оптимальным? Если нет, то нужно найти лучшее управление и<2) (^), используя один шаг градиентного метода первого порядка или любого другого метода, изложенного в данной главе.

Один из таких алгоритмов рассматривался в работе： И. А. К р н - лов, Ф.Л.Черноусько,О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления, ЖВМ и МФ, № 6, стр. 1132—1139, /1962.— Прим, перев.

R. G. Gottlieb, Rapid Convergence to Optimum Solution using a Min-H Strategy, AIAA J., 5, № 2 (1967); русский перевод: Готтлиб, Ускорение сходимости к оптимальному решению с помощью min Я-стратегии, Ракетная техника и космонавтика, № 2, 1967.

丄 8—0102

Найти такое управление и0 (£), которое будет для задачи «б» по крайней мере слабо минимизирующим (т. е. оно должно удовлетворять почти всем проверочным тестам блок-схемы «а»).

7・5・ Алгоритмы градиентных методов второго雅婚兄©霹Q

Введение

Как отмечалось во введении к разд. 7.4, алгоритмы градиентных методов первого порядка дают существенное улучшение управления на нескольких первых итерациях, но имеют плохие характеристики сходимости при приближении к оптимальному решению. Рассматриваемые ниже алгоритмы градиентных методов второго порядка обладают хорошими характеристиками сходимости в окрестности оптимального решения, но треоуют выбора «выпуклого» начального (номинального) приближения (т. е. матрица д^Н/ди? должна быть положительно определенной на всем интервале времени в задачах минимизации и отрицательно определенной —в задачах максимизации). Иногда бывает трудно найти выпуклое начальное приближение, в этих случаях можно использовать градиентные методы первого порядка для улучшения исходного начального приближения до тех пор, пока оно не станет выпуклым. Заметим, что для рассмотренного в предыдущем разделе алгоритма градиентного метода первого порядка в задачах минимизации выпуклость обеспечивается за счет выбора положительно определенной весовой матрицы W и положительной весовой константы Ь. (В задачах максимизации выпуклость достигается за счет отрицательно определенной матрицы W и отрицательной константы 瓦)

Задачи с ограничениями в виде функций от фазовых координат, заданных в нефиксированный терминальный момент времени (включая задачи оптимального быстродействия)

Вернемся снова к классу задач, описанных в разд. 7.3. Здесь также будут изложены два метода решения: метод переходной матрицы и метод обратной прогонки.

Алгоритм Лпереходной матрицы 工).Этот алгоритм состоит из следующей последовательности шагов:

См. работу： Н. G. К е 1 1 е у, R. К о р р. G. М о у е г, A Trajectory Optimization Technique Based on the Second Variation, Progress in Astronautics, Vol. 14, Academic Press, N. У., 1964.

Шаг (а). Задают начальные приближения для и (X) и терминального времени %

Шаг (б). Интегрируют уравнения объекта х — / (х, u, t) в прямом времени от tQ до 力 при заданном начальном условии а (力)==х0, используй начальные приближения для и (£) и 才力 заданные на шаге (а). Запоминают х (£), u (%) и 屮[х (&), &]•

Шаг (в). Задают начальное приближение для вектора множителей V, удовлетворяющего условию

(學)=0，

\ ди / t=tf

где

Q = ^ + v嚼+ 〃

Запоминают Q 闯.

Шаг (г). Путем интегрирования в обратном времени уравнения

0L ,Т df

дх дх

с граничным условием

产⑺7学+ "礬底“

7 ШагП + q + 1 уравнений7 ШагП + q + 1 уравненийопределяют n-мерный вектор функций влияния 九(£)・ Запоминают ни⑶=%+九%.

7 Шаг

П + q + 1 уравнений

7 Шаг

П + q + 1 уравнений

-6х1 Vv(ty_6Х_ + -W (0.-6х1 Vv(ty_6Х_ + -W (0.(д). Одновременно с выполнением шага (г) находят однородных решений и одно частное решение системы возмущенного движения

-6х1 Vv(ty

_6Х_ + -W (0.

-6х1 Vv(ty

_6Х_ + -W (0.

(7.5.1)

(7.5.2)

£ где матрицы А, 3,。определяются соотношениями (6.1.23) — (6.1.25), а_

少(%) = — fuHuu§H^,(7.5.3)

и；⑦= HxgBH\(7.5.4)

Вектор 6Hu выбирается так, чтобы величина Ни (%) была возможно ближе к нулю; можно, например, положить

6% ——必，0 < 8 ^ 1

” 虐 孤 + 0 + 1 единичных решений однородной системы должны .，быть получены при условии 8Ни «) = 0. Частное решение должно

18*

быть вычислено при 8Ни(£)声 0 и 8х (切=0, dv = O, d弓=0. Таким образом,

品（方）_日 [/ （力），%（切 бх⑴J _ "汇（勺,"可品（方）_日 [/ （力），%（切 бх⑴J _ "汇（勺,"可"舐⑦厂dv 4~"舐⑦厂dv 4~3必办⑴]一秋。）」3必办⑴]一秋。）」(7.5.5)(7.5.5)

品（方）_日 [/ （力），%（切 бх⑴J _ "汇（勺,"可

品（方）_日 [/ （力），%（切 бх⑴J _ "汇（勺,"可

"舐⑦厂

dv 4~

"舐⑦厂

dv 4~

3必办⑴]一秋。）」

3必办⑴]一秋。）」

(7.5.5)

(7.5.5)

где 6%⑦〉(方)，6Х(Р> (方)一частное решение.

Шаг (е). Выбирают значения 8х (力°), dp и dQ так, чтобы приблизить следующее решение к заданным значениям х (力°) = х^ 屮=0 и Q = 0. Можно, например, положить

一阮(幻-dipdQ一阮(幻-dipdQ=-8=-8"n （幻一g ' 屮[%（&）,切，/m（⑺，切一"n （幻一g ' 屮[%（&）,切，/m（⑺，切一0V&WL (7.5.6)0V&WL (7.5.6)

一阮(幻-dipdQ

一阮(幻-dipdQ

=-8

=-8

"n （幻一g ' 屮[%（&）,切，

/m（⑺，切一

"n （幻一g ' 屮[%（&）,切，

/m（⑺，切一

0V&WL (7.5.6)

0V&WL (7.5.6)

J Шаг (ж). Используя выбранные на предыдущем шаге значения 8х (%), dip и dQ, выражение для 6% (方°) из (7.5.5), а также выражения для &屮 и dQ, полученные из терминальных граничных условий I), определяют значения 6% (方拼 dv и d&, решая систему

&T (幻

w =

3汇(%)дх (iy)dipдх (iy)@Qdx (力拉3汇(%)дх (iy)dipдх (iy)@Qdx (力拉蚤(％) dv蚤(％) dv0方(力)dijdipdtfdQd£『0方(力)dijdipdtfdQd£『&r (&)dvdtf&r (&)dvdtf&m (切+00&m (切+00(7.5.7)(7.5.8)(7.5.9)(7.5.7)(7.5.8)(7.5.9)

3汇(%)дх (iy)dipдх (iy)@Qdx (力拉

3汇(%)дх (iy)dipдх (iy)@Qdx (力拉

蚤(％) dv

蚤(％) dv

0方(力)dijdipdtfdQd£『

0方(力)dijdipdtfdQd£『

&r (&)dvdtf

&r (&)dvdtf

&m (切

+0

0

&m (切

+0

0

(7.5.7)

(7.5.8)

(7.5.9)

(7.5.7)

(7.5.8)

(7.5.9)

Шаг (з). Используя 8x (方)и 6Х (方),полученные на шаге (д), с помощью значений 6% (^), dv и dtf [последние определены на шаге (ж)] находят необходимые изменения 8и (力)управляющего вектора и (方)

m ⑴=一(器尸[一 8成 ⑴ + %& + %画].(7.5.10)

Необходимые изменения & и и находятся с помощью dtf и dv, определенных на шаге (ж).

Ш а г (и). Процедуры (б) — (з) повторяются (с постепенно увеличивающимся значением е, стремящимся к единице) до тех

После их линеарйзации.——Hr им. перев.

пор, пока условия

笠 =0,屮［n（绪，可=0, e［力（方挑5 = 0, n仇）=&

не будут выполняться с желаемой точностью.

Пояснения к алгоритму. Изложенный алгоритм может интерпретироваться как результат решения следующей линейно-квадратичной задачи: .

j 8Hu8udt + ^ j [8хТ8иТ]$0土0j 8Hu8udt + ^ j [8хТ8иТ]$0土0

j 8Hu8udt + ^ j [8хТ8иТ]

$0土0

j 8Hu8udt + ^ j [8хТ8иТ]

$0土0

卜号(8x^Фхх8х)4 + (①+ £儿 阳

8х (力°) задано, dip задано, dQ задано.8х (力°) задано, dip задано, dQ задано.при условиях

8х (力°) задано, dip задано, dQ задано.

8х (力°) задано, dip задано, dQ задано.

Sa: = /0% + fu8u, d1^ = ^х dx + ^t dtb dQ = dx Qt d%

Здесь 8HU является заданным изменением Hu- Если положить ——6Нм = Ни, то выражение для 6J будет представлять собой разложение (вдоль номинальной траектории) исходного критерия качества 丿 с точностью до членов второго порядка.

Алгоритм обратной прогонки. Этот алгоритм почти полностью совпадает с алгоритмом переходной матрицы, за исключением шагов (д) и (ж). Вместо нахождения п + д» + 1 однородных решений и одного частного решения для уравнений функций влияния второго порядка производится «прогонка» (перенос) терминальных граничных условий для зтих уравнений с правого конца на левый (т. е. от момента tf обратно к моменту 方°). При этом принимается во внимание, что упомянутые дифференциальные уравнения являются неоднородными, т. е. 8Ни (方) 声 0. Для учета этого обстоятельства вводится неоднородный вариант уравнений (6.6.1) — (6.6.3), т. е.

времени,времени,(7.5.14)(7.5.14)(7.5.15)(7.5.15)(7.5.16)(7.5.16)(7.5.11)(7.5.12)(7.5.13)(7.5.11)(7.5.12)(7.5.13)

времени,

времени,

(7.5.14)

(7.5.14)

(7.5.15)

(7.5.15)

(7.5.16)

(7.5.16)

(7.5.11)

(7.5.12)

(7.5.13)

(7.5.11)

(7.5.12)

(7.5.13)

Теперь можно исключить 6х и 6Х из (7.5.14) — (7.5.16) с помощьюуравнений возмущенного движения (7.5.1) и (7.5.2), а 6Х можноисключить с помощью уравнения (7.5.11). В результате получим' о -

О

о

« + 54 + 4丁5 —S8S + C,方+({Т —S8)凡 m+(AT-SB)m

Q — RTBR , n — RTBm x

a — mTBm _

6x （方）

h + (Ат — SB) h + Sv -]- iv

,(7.5.17)

X

dv

+

g — В7 (Bh — u)

•(7.5.18)

_ dtf _

一 В — {Bh — p)_

(7.5.19)

Если уравнения (7.5.17) —— (7.5.19) должны быть тождествами, справедливыми для любых 6х (方)，dv,成门 и если уравнения (7.5.11)—— (7.5.13) должны удовлетворяться при t = ^, то должны иметь место соотношения (6.6.8) —— (6.6.13) и еще следующие дополнительные соотношения:*

h = —({т SB) h — Sv — ip, h (切=0, (7.5.20)

£ = RT (Bh 一 办g(切 н 0, (7.5.21)

р = тг (矶一v),卩(切 =0. (7.5.22)

Систему уравнений для S, Q, R, m, n, a, fe, g и 卩 следует интегрировать в обратном времени от t = tf до ^ = tQ. После это* го уравнения (7.5.12) и (7.5.13) при t = tQ можно использовать для определения dv и dt^ через значения 6% (才°),。屮 и dQ

九=0-1[(4屮_g)一耳%第一^(源—0)]=/(7.5.23)

dt^ -^[(確Т +経①1反Т)6第+経0工(外—g) 一

_"中)(源一M1(7.5.24)

Матрицы Q и 7? определены соотношениями (6.6.16), (6.6.17).

Найденные значения dv и dtf можно подставить в уравнение (7.5.11) для получения зависимости В九(^0) от 6х (%), а затем

снова проинтегрировать дифференциальные уравнения (7.5.1), (7.5.2), но уже в прямом времени. В результате будут получены би ⑺ и 6х 侑)，так как

十■^•施十^^臥卜(7.5.25)

Это соотношение вновь возвращает нас к шагу (з) предыдущего алгоритма [см. (7.5.10)].

Одно из преимуществ метода прогонки перед методом переходной матрицы заключается в большей вычислительной точности. Единичные решения уравнений второго порядка для функций влияния могут различаться порядками величин, что приводит к плохой обусловленности переходной матрицы. В результате величины 6х (&), dv и 山/ из уравнений (7.5.7) — (7.5.9) определяются недостаточно точно. Обычно указанные трудности не встречаются при применении метода обратной прогонки. Другое преимущество этого метода заключается в простоте получения коэффициентов усиления обратной связи оптимального управления для соседних оптимальных траекторий. Кроме того, при выполнении обратной прогонки предоставляется возможность неявной проверки условий выпуклости, нормальности и наличия сопряженных точек (см. разд. 6.3). 、

Дифференциалwoe динамическое программирование. Еще один вариант метода обратной прогонки был предложен Джекобсоном'), который назвал его дифференциальным динамическим программированием (ДДП). В ДДП гамильтониан Н сначала минимизируется по и при фиксированных х и X; это дает улучшенное управ- ление и*. Затем рассматриваются вариации по х и X, а также соответствующие им дальнейшие вариации и относительно м*. Разложение функционала, содержащее члены второго порядка относительно 6% и 6м, минимизируется по 6м, что приводит к линейному закону управления с обратной связью вида 6〃= ——С (t)&x. В качестве нового управления на следующей итерации берется величина 〃* — С (力 6第.Этот метод является усовершенствованием алгоритмов, основанных на минимизации гамильтониана Н (min /^-алгоритмов, изложенных в разд. 7.4). В нем допускается использование больших изменений по и (больших шагов спуска) и преодолевается затруднение, связанное с невыпуклыми номинальными решениями (это затруднение может иметь место в алгоритме обратной прогонки).

Алгоритм Джекобсона включает в себя также метод регулирования длины интервала варьирования управления, который представляется весьма заманчивым. Метод регулирования длины

D. Н. J а с о b s о п, New Second Order and First Order Algorithms for Determining Optimal Control: A Differential Dynamic Programming Approach, J. Optimization Theory and Application (Dec. 1-968).

интервала варьирования заключается в следующем. Если какая- либо итерация не дает улучшения критерия качества （или приводит к слишком большим отклонениям х от номинала）, то она повторяется, но при этом «улучшенное» управление используется только на интервале 〃忘方甚方力 где 厶 > 方°. В ходе повторных итераций значение 厶 постепенно увеличивается до тех пор, пока не будет достигнуто улучшение критерия 丿（или пока изменения 第 не станут достаточно малыми）. Затем, на последующих итерациях, величина 勿 постепенно уменьшается, пока не станет равной 方°.

Задача 1. Требуется показать, что в задачах с фиксированным конечным временем & алгоритм градиентного метода первого порядка оказывается частным случаем алгоритма градиентного метода второго порядка, если проделать следующие операции:

приближенно положить

НхХ = 0, Них = 0, Яии — W, фЛЖ 卜=号=必芯 k=tj = °；

в качестве номинальлого значения выбрать v^= 0;

отождествить 九⑺ с р（£）, а [ — 8HU （t）] с номинальным значением

/ дй 1 ди

В частности, показать, что

S«） = 0, А （力） для этих методов совпадают,w （方）=0,力（%） = 0,

Q （^） = /屮屮（方），g⑴-一i^）j （方）.

Задача 2. Показать, что алгоритм метода прогонки, изложенный в разд. 7.5, может быть использован для получения оптимального решения за одну итерацию, если имеющееся допустимое номинальное решение очень близко к оптимальному. При этом следует взять в качестве предварительной оценки v = 0. Заметим, что это приводит к следующим соотношениям:

6%（力）=-（"必十票），/（力）=然）』/

S （切=（需）Г、

кнов= -1Q（幻尸gQo）, I九（5нов =九（方）+e（方）"ов+力（方）+S （方）&T （2）,8u （方）=-Huu [fu^ + 上工 + Hux8x + /： （S8x + 7?山h08+ 力）]=

=—Нии [^игб^ + /и 九нов 十 £^]

Если номинальное решение является оптимальным, то

（■flZ）HOB=九九нов+厶北=0,力0式方«方f,

откуда при Sx (^0)工 0 следует, что

8u (方)=0 на 方oW 方

Алгоритле квазилинеаризации

Введение

Как уже указывалось в разд. 7.1, один из вариантов метода квазилинеаризации состоит в выборе таких номинальных функций 第(方)и X (力)，которые удовлетворяют возможно большему числу краевых условий. Затем из условий оптимальности определяется номинальный вектор управления 〃(£)• Уравнения объекта и уравнения для функций влияния (сопряженная система) линеаризуются' относительно номинала, после чего решается последовательность неоднородных линейных двухточечных краевых задач. При этом решение улучшается до тех пор, пока оно не станет (с желаемой точностью) удовлетворять уравнениям объекта и уравнениям для функций влияния.

Методы квазилинеаризации привлекательны с нескольких точек зрения. Во-первых, номинальное изменение фазовых переменных во времени часто легче задать, чем номинальную программу управления и (/). Во-вторых, эти методы быстро сходятся в окрестности оптимального решения (точно так же, как градиентные методы второго порядка).

Задачи с заданными значениями некоторых фазовых координат в фиксированный терминальный момент времени

Для пояснения деталей метода вернемся к задачам, уже обсуждавшимся в разд. 7.3. Для невырожденных задач управление и (力 определяется по значениям 第(方)и 九(才)с помощью условия (7*3.8)

= откуда и — и(х, X,方).(7.6.1)

С учетом этого соотношения уравнения объекта и уравнения для функций влияния могут быть записаны в виде

・ х = / (х, X, t) (п уравнений),(7.6.2)

X = g (第，儿 0 (п уравнений).(7.6.3)

Граничные условия (7.3.3), (7.3.4) и (7.3.7) принимают вид

第(幻 задано (п уравнений),(7.6.4)

h [х (&), X (右)]=0(п уравнений).(7.6.5)

Соотношения (7.6.2)——(7.6.5) опясывают нелинейную двух- точечную краевую задачу для n (力 口九(力)・

Пусть 力‘(力)и А/ (%) — значения n (力)，九(%), полученные на t-й итерации. Предположим, что 'они не удовлетворяют любому из соотношений (7.6.2) — (7.6.5). Тогда необходимо отыскать такие функции 况'+】(%) и 九'+】(％), которые бы лучше удовлетворяли условиям (7.6.2)——(7.6.5). Другими словами, нужно, чтобы имели место соотношения

"+1 —/(戸+1, v+1, t)

一 ？一/（炉,V）'

(7.6.6)

订+i—gC?+i, V+1,力)

= (1 —e)

小一g （戸，户）

,(7-6.7)

/"1 (20)一%(Хo)

戸（办）一" （%）

(7.6.8)

九必（切，户（力］.

(7.6.9)

где 0＜；е《1・ Чтобы условия (7.6.6) — (7.6.9) были достигнуты, линеаризуем их левые части относительно 炉(%) и *(%), т. е. положим

(X)=公⑴ + &г ⑴，(7,6.10)

AЛ1⑴=九也)+6X⑶.(7.6.11)

Подставляя (7.6.10) в разложении левых порядка, получимПодставляя (7.6.10) в разложении левых порядка, получими (7.6.11) в (7.6.6) — (7.6.9) и сохраняя частей в ряд Тэйлора лишь члены первого

Подставляя (7.6.10) в разложении левых порядка, получим

Подставляя (7.6.10) в разложении левых порядка, получим

伞（也）-察飯一要m

"炉，戸）-

(7.6.12)

条©a-黑也-箓6人

-£

戸一g（c‘，V）

(7.6.13)

62 (幻

2‘（幻一C （力0）

(7.6.14)

_ (■£■6“+费缺)f _

力囱（中，》（切］

(7.6.15)

Уравнения (7.6.12)——(7.6.15) описывают неоднородную линейную двухточечную краевую задачу для 8х (%), 8к (%), которая может быть решена либо методом переходной матрицы, либо методом прогонки (см. разд. 7.5).

По мере выполнения последовательных приближений величина s должна постепенно увеличиваться, стремясь к единице. Если метод сходится, то сходимость, как и в других методах второго порядка, оказывается квадратичной.

Задачи с функциями от фазовых координат, заданными в нефиксированный терминальный момент времени (включая задачи на оптимальное быстродействие)

В этих задачах необходимо задавать не только функции n (力) и 九 «), но и значения v и 力尸 Улучшающие поправки dv и dtf могут быть найдены в данном случае с помощью метода, подобного изложенному в разд. 7.5.

7・7・ Алгоритм градиентного метода.

второго порядка для дискрет ных многошаговых систем

Как указано в разд. 2,6, путем надлежащего представления исходной непрерывной задачи в виде дискретной многошаговой можно достичь значительного ускорения сходимости итерационных процессов. В данном разделе представлен алгоритм обратной прогонки для дискретных систем, аналогичный алгоритму, .изложенному в разд. 7.5 для непрерывных систем. Иногда и в дискретных задачах может быть использован алгоритм, основанный на переходной матрице, однако здесь он не рассматривается. Как и в разд. 2.6 и 6.10, будем предполагать, что число шагов (стадий дискретности) фиксировано. Отличие материала данного раздела от изложенного в разд. 6.10 состоит в том, что начальное (номинальное) приближение не обязано удовлетворять условиям оптимальности

Алгоритм обратной прогонки. Рассмотрим класс задач, описанных в разд. 2.6. Алгоритм обратной прогонки состоит из следующих шагов：

Шаг (а). Задают последовательность управляющих векторов u (t), Z = 0, 1, . . 2V ——1, и решают систему уравнений|

N (%+ 1)=『［N (力 〃(%)］,力(0) задано, t = 0, 1, • N ——1, последовательно в порядке возрастания индекса Z・ Запоминают значения х (i + 1), и {i + i) и 屮［ж (N)L

Шаг (б). Задают значения множителей v и решают систему уравнений для функций влияния первого порядка

九т (%) = &+入т G + £)/3, t = N—1, N—-2, • •., 0,九 Т (N)=版 + uT心］*=*(N),

последовательно в порядке убывания индекса X. При этом коэффициенты уравнений вычисляются на номинальной траектории шага (а). Запоминаются значения Я^ = £；十 (X + 1) Одновременно решается следующая систем уравнений для функций

влияния второго порядка (последовательно в порядке убывания индекса Z):

S (Z) = Zxx ⑴— Zxu (г) Z^ (г) Zux (г),

S (") Н [флх + йТ2常贫]8=玳N)，

五⑴=久员U + i)- ZxU⑴z誌⑴企五C + I),

* (N)=[峡]ж(№).

Q⑴=Q g + "一五7 а + 1)(九)72爲⑴九R g+1)；

Q(N)=0,

h ⑴=/泌(% +1) — Zxu (i) Z^ (i) [f^h (Z + 1) — dH£],

九(N) = 0,

g ⑴=g a+4)—# (叶分 шТг^(0 [f^h«+1)— dH^, g(N) = 0,-

где Zxx, Zux, Zuu определены соотношениями (6.10.19), (6.10.15) и (6.10.14), a dHu ——гНи, OveWl* Запоминают значения z曲⑴ZD Z^f^Rii + l), Z^ [fih(i+i)-dHi], Q(Q) Kg(Q).

Шаг (в). Выбирают dp так, чтобы приблизить следующее номинальное решение к желаемому значению^ [х (2V)] = 0. Можно например, положить

d^ = —&ф [% (TV)],0 V в & 1・

После этого определяют (и запоминают) значение du

du = [-Q (0)『 H-g(0)].

Шаг (г). Повторяют шаги (а) 一 (в), используя улучшенные значения для и (г) и v, полученные путем сложения и (г) и v предыдущего цикла со значениями поправок du (г) и dv, при этом du (i)— Z誌⑴[Zux (i) dx (i) + f^R « + 1) dv + fuh @十 1) —&5乙

где dx (г) = [x (г)1нов — 1疗(Z)】ciap・ Процесс итераций прекращается, когда 屮[/ (TV)] и Н^ становятся близкими к нулю с заданной точностью.

Пояснения к алгоритму. Единственная часть алгоритма, требующая дополнительных пояснений (кроме тех, которые уже даны в разд. 6.10), заключается в методе вычисления неоднородных выражений, содержащих dA^. Для их вычисления необходимы следующие неоднородные варианты выражений (6.10.7) и (6.10.8) для d九(%) и dip:

-d入⑴--d入⑴-「6⑴， 一ь⑴,「6⑴， 一ь⑴,五⑴]「责⑴一<?(0J L dv 一五⑴]「责⑴一<?(0J L dv 一++/⑴一-g(9_/⑴一-g(9_

-d入⑴-

-d入⑴-

「6⑴， 一ь⑴,

「6⑴， 一ь⑴,

五⑴]「责⑴一

<?(0J L dv 一

五⑴]「责⑴一

<?(0J L dv 一

+

+

/⑴一

-g(9_

/⑴一

-g(9_

Учитывая эти соотношения и проведя рассуждения, аналогичные изложенным в- разд. 6.10, можно непосредственно показать, что последовательности 无(Z) и g (i) определяются рекуррентными соотношениями, приведенными на шаге (б). Заметим, что А (г + 1) входит в выражение для du (г) на шаге (г), a g (0) входит в выражение для dv, используемое на шаге (в).

7・8・ Алгоритм мопоОа сопряженных градиентов

Пусть и будет вектором параметров или функций, которые должны выбираться из условия оптимизации критерия J (и), а 五J)——значением и на Х-й итерации. Алгоритмы, изложенные в предыдущих разделах, могут быть отнесены к одной из следующих двух категорий:

Методы первого порядка, в которых улучшающие изменения управления строятся по схеме

Aw⑴1以计"一以"=-e(J„)u=u(i)

и где в выбирается в соответствии с каким-либо ограничением на величину шага Au.

Методы второго порядка, в которых

АМ) = и(Ж)_ 加)=-([J„„]-i J^u(i)

Некоторые преимущества и недостатки алгоритмов этих двух категорий указаны в табл. 7.8.1.

Метод сопряженных градиентов является попыткой объединить преимущества двух методов, указанных в табл. 7.8.1, при одновременном устранении их недостатков 】). На начальных

Методы сопряженных градиентов представляются весьма многообещающими. В настоящий момент известно несколько их модификаций, предназначенных либо для решения задач минимизации функций конечного числа переменных [7.16*, 7.20*, 7*25*], либо для решения задач оптимального управления [7.11, 7.24*, 7.26*].

Методы сопряженных градиентов для решения конечномерных задач на безусловный минимум (т. е. при отсутствии ограничений на значения переменных) интенсивно используются при решении прикладных задач. Они прошли экспериментальную проверку на системе специально подобранных тест-функций и в большинстве случаев оказались примерно на порядок более эффективными (по количеству вычислений значений минимизируемой функции, необходимых для достижения заданной точности решения), чем градиентные методы первого порядка. При этом одним из самых эффективных оказался метод Давидона [его модификация изложена в работе: R. F 1 et- c h е г, М. Р о w е 1 1, A Rapidly Convergent Descent Method for Minimization, The Computer Journal, 6. № 2 (1963)]. Следует отметить, что реализация методов сопряженных градиентов на ЦВМ требует несколько больших затрат времени на программирование по сравнению с градиентными методами первого

Таблица 7.8.1

Типы алгоритмов

Методы

Преимущества

Недостатки

Первого порядка

Простота вычисления градиента Jn

Отсутствие затруднений при начале счета из далекого приближения

Медленная сходимость в окрестности оптимума

Второго порядка

Быстрая сходимость в окрестности оптимума

Необходимость вычисления матрицы вторых производных Juu и ее обращения, что весьма затруднительно, особенно если и—функция (т. е. имеет размерность 8)

В начальной точке (особенно если она далека от оптимума)- /^ может не существовать или не быть в какой-либо связи с ее значением в окрестности оптимума; в результате может иметь место расходимость алгоритма

итерациях этот алгоритм ведет себя как метод первого порядка, однако по мере увеличения числа итераций его поведение становится все более похожим на метод второго порядка. В то же время в этом алгоритме не нужно вычислять //%. Имеется несколько вариантов этого алгоритма, но все они построены на двух ключе- вых идеях. Первая идея состоит в формировании последовательности направлений спуска 】) 〃勿 р^т которая хобла- дает свойством сопряженности (обобщенной ортогональности) относительно Juu. Это свойство означает, что

Ip^JuuP^ = 0 для всех Z * j, t = 0, 1, • • • • (7.8.1)

Вторая идея заключается в проведении последовательных одномерных поисков оптимума J вдоль каждого из сопряженных направлений. Точка оптимума 五(办 вдоль р^т-ро сопряженного направления используется в качестве начальной точки для поиска

порядка. Кроме того, необходимо более точно вычислять частные производные и более точно производить одномерную минимизацию вдоль направления спуска.— Прим, перев,

Здесь Pi — n-мерный вектор, р» = (р^, р?»，Pni)^ i = 0, 1, ••., n — —1.— Пр им. nepee.

Фиг. 7.8.1. Направления сопряженных градиентов в двумерной задаче минимизации квадратичной формы.

7 — линии постоянных значений критерия качества; 2 — направление спуска из точки В в методе сопряженных градиентов; 3 — направление антиградиента в точке В (это направление перпендикулярно АВ).

Фиг. 7.8.2. Блок-схема алгоритма сопряженных градиентов.

оптимума вдоль следующего сопряженного направления 卩订 т. е.

'и^^ = и^ — dipt,(7.8.2)

где 1)

心—arg min J (五⑴一dp»・(7.8.3)

Графически этот процесс представлен на фиг. 7.8.1.

Если критерий оптимальности квадратичен, то вторая производная Juu в (7.8.1) постоянна, и если она при этом положительно определена, то направления р% р「. . .，р^т образуют систему п ортогональных линейно независимых базисных векторов в пространстве оптимизируемых параметров (здесь предполагается, что и — тг-мерный вектор, и £ 7Г\ где Rn —— тг-мерное векторное пространство). В этом случае после г итераций (г & п) имеем

г—1

= и^ — 2 心“・(7.8.4)

i=0

Можно показать, что вследствие обобщенной ортогональности векторов pi раздельное определение &芝,％ = 0, 1, . . ., п —— 1, эквивалентно их совместному определению 2). Другими словами, это означает, что 以® дает точный минимум J (и), если J (и)—— положительно определенная квадратичная форма. (Подробное доказательство этих утверждений содержится в работе [6.10L) Блок-схема одного из вариантов метода сопряженных градиентов показана на фиг. 7.8.2.

При применении алгоритма к нелинейным критериям, отличным от квадратичных, сходимость за конечное число шагов уже не может быть гарантирована. Однако если критерий в окрестно-

1)必一скалярная величина, индекс i относится к номеру итерации, arg min J ®) — значение аргумента, при котором достигает минимума функ- d今0

ция / (d).— Прим, перев.

Легко показать, что если направления р^, р； попарно ортогональны относительно матрицы А (т. е. если р//р『—0 для всех i 片 /), то квадратич- 1

ная форма Q (и) = 乂丁力乂 + Вти + С при 乂⑺—u(°)— £ 山卩,принимает

ВИД г- 1

Q®e)= Q (曲尸 3 {齊Р『力血一心宦(2Au^ + b)} + Q(u^y).

Вследствие попарной ортогональности (сопряженности) векторов 卩订 刁 относительно матрицы А произведения 心芍，i ^ /, не входят в выражение для Q (df). Следовательно, минимизация Q (d() по d» может производиться независимо от остальных %, у 声 i. Поэтому последовательная минимизация по каждому из п направлений р» приводит к абсолютному минимуму квадратичной формы Q (и) на всем пространстве Un = Rn (если такой минимум существует).— Пр им. перев.

сти оптимума достаточно хорошо аппроксимируется квадратичной формой, то следует ожидать быстрой сходимости. Обобщение этого метода на задачи оптимального управления можно найти в работе [6.11].

Задача. Требуется проверить выполнимость уравнения (7.8.1) для описанного выше алгоритма в случае J (и)= = 1/2 (五 — 五)'/ (五 一 и) и показать, что

心=((办)pdp：Apt.

7・9・ Задачи с ограничениями 6 виденеравенств на фазовые wуправляющие переменные

Все ранее рассмотренные в данной главе алгоритмы применимы к задачам, в которых отсутствуют ограничения в виде неравенств, содержащих управляющие и?или фазовые переменные. Таким образом, эти алгоритмы применимы только в тех случаях, когда критерий качества и/или уравнения системы являются нелинейными. Задачи линейного оптимального программирования при правильной постановке непременно должны содержать ограничения на управляющие и/или фазовые переменные. В таких задачах решение всегда лежит на границе допустимой области, и вычислительная задача сводится к определению момента переключения с одной границы ограничения на другую, а также того, с какой именно границы производить переключение и на' какую (при числе границ ограничений больше двух). В нелинейных задачах с ограничениями на управляющие и/или фазовые переменные часть решения может лежать на границе допустимой области (граничный участок решения), а часть ——внутри допустимой области (участок свободного, нестесненного решения).

Интегральные штрафные функции. Простейший, но не обязательно наиболее эффективный подход к решению задач с ограничениями состоит в использовании интегральных функций штрафа. Если ограничение в виде неравенства

CQ,电力)&0(7.9.1)

задано на интервале 力о & 力 & 力力 то критерий качества J может быть преобразован путем введения дополнительного слагаемого (штрафа) к виду

JuJ+pJ [С(^, u, t)]2E(C) dt,(7.9.2)

где

F f 0 при С < О,

при С>0.亿仇3)

19—0102

Соответствующим выбором постоянной ц (положительной, если J минимизируется, и отрицательной, если J максимизируется) ограничение (7.9.1) может быть приближенно удовлетворено. Вообще говоря, чем больше выбранное значение | ц |, тем меньше будет значение интеграла в (7.9.2). Однако если | ц | взято слишком большим, то итерационные алгоритмы, рассмотренные в разд. 7.3——7.8, будут в основном стремиться удовлетворять ограничение, а не минимизировать (или максимизировать) исходный критерий качества 丿.В результате сходимость к удовлетворительному решению будет весьма медленной (см. разд. 1.10 относительно аналогичной ситуации в задачах оптимизации параметров).

Метод сопряжения граничных и свободных участков решения. Более эффективный подход к решению задач с ограничениями состоит в сопряжении друг с другом граничных и свободных участков решения. Он основан на использовании необходимых условий, описанных в разд. 3.10 и 3.11. В противоположность методу интегральных штрафных функций такой подход способен обеспечить нахождение точного решения и требует меньших затрат машинного времени. Однако при его использовании необходимо предварительно задавать последовательность граничных и свободных участков. Кроме того, программирование этого метода на ЦВМ оказывается более сложным.、

Для описания метода рассмотрим довольно общий пример, состоящий в определении управления и (%), минимизирующего критерий качества

J ф [х (%『)] +〔£(/, и, t) dt(7.9.4)

при условиях

% = / (瑞 五，t), x (方о) задано, tf задано (7.9.5) и

С 3,五，力)< 0.(7.9.6)

Здесь Сим ——скалярные функции. Допустим, что есть основание предполагать, что оптимальная траектория состоит из трех следующих участков:

свободного участка(С V0)для力° & 力& 厶，

граничного участка(С =0)для〃& 方& t^

свободного участка(С V0)дляt? &t &t广

однако значения 力(^),厶，力(^2),力2 априори неизвестны. Предположим, что можно найти номинальную (неоптимальную) траекторию, которая удовлетворяет условиям (7.9.5) и (7.9.6). Далее можно попытаться найти такие малые изменения 6五(力)номинальной программы управления, которые уменьшают J и одно-

временно удовлетворяют тем же условиям. Для этой цели можно использовать алгоритм градиентного метода первого порядка, аналогичный рассмотренному в разд. 7.3, но с модификациями, учитывающими, что при С (%, и, ^) — О

и (%, t) определяется из этого условия (С = 0), (7.9.7)

/=-Lx - # jК -n0北，(7.9.8)

ц = —Cu (£弘 +九(7.9.9)

Время 立 определяется как момент, когда впервые выполнится условие С = 0, а время t2 определяется как момент обращения в нуль 卩(далее ц отрицательно) ^). Заметим, что неравенство ц > 0 на ограничении С = 0 является* необходимым условием. Управление и (方)может быть разрывным в точке 厶 и/или в точке 方2, если гамильтониан Н имеет два или более минимума по щ однако сам гамильтониан Н должен быть непрерывным в точках 厶 и %2・ Общий алгоритм работает по-разному на разных интервалах. На свободных участках вычисляется поправка би = ——еЯи, а на граничном участке используются уравнения (7.9.8) и (7.9.9) для вычисления 九(力)при движении вдоль ограничения, при этом 九(%) остается непрерывным в точках 厶 и ^2. Дальнейшие детали метода можно найти в работах [2.10] и [6.7].

7Л0. Задачи с ограничениями 6 виденеравенств на фазовые переменные

Для задач с ограничениями на фазовые переменные применим метод интегральных штрафных функций и справедливы соответствующие рассуждения из разд. 7.9. Однако метод сопряжения граничных и свободных участков решения, использующий алгоритм градиентного метода первого порядка, более сложен, поскольку в общем случае, для любого граничного участка функции 九(力)разрывны в точках входа на границу и схода с нее. Нарушение непрерывности происходит вследствие того, что решения, соответствующие свободным участкам, должны касаться решений, соответствующих граничным участкам, в точках их соединения; это требование приводит к появлению так называемых ограничений для внутренних точек (разд. 3.11).

Если ограничение имеет вид

S & 力)<0,(7.10.1)

х) Эта ситуация обычна. Однако в точке /2 (схода с ограничения) в более сложных случаях может быть 卩(%) #= 0 (см., например, разд. 8.6).

то на граничном участке (S = 0) уравнения (7.9.7) — (7.9.9) будут применимы, если заменить в них С (%, и,力)на 5(幻(％, w, t) г). Как и в разд. 7.9, общий алгоритм работает различным образом на граничных и свободных участках, но при этом дополнительное усложнение состоит в решении возникающей здесь многоточечной краевой задачи. Дальнейшее обсуждение этих вопросов можно найти в работах [2.10] и [6.7].

Некоторые задачи с ограничениями в виде неравенств на фазовые переменные могут быть разделены на две полностью не связанные друг с другом двухточечные краевые задачи. Эта возможность является большим упрощением, она исследована Спейером, Мехра и Брайсоном2) (см. также разд. 3.12).

Применение методов математического программирования

Если принять во внимание, что большинство задач оптимального управления должно решаться численно с помощью ЦВМ, то всегда можно рассматривать задачу определения и (力)на интервале tg&t Wk как эквивалентную задаче нахождения последовательности м (0), и (1), . . м(N — 1) [т. е. некоторого дискретного эквивалента м ⑼.Рассмотрим систему

(г + 1) Г к ⑺，м (i)l, n (0) задано, (7.11.1) с огра ничениями

С* [х ⑴，м ⑴]& 0, 2 = 0, 1,.…N — 1, N задано; (7.11.2) критерий качества

'/ 工步口(%)]十斗力口(以五⑼.(7.11.3)

Положим теперь (согласно разд. 1.7)

уТ = [х (1), • •・，N (2V); М (0), . . ., U〈N — 1)], Z (у) = J

1)S@ (%, 〃，i) — полная производная ?-го порядка по времени -от S (х, i), в которой 方 последовательно заменяется правой частью уравнения х = f (х, м, i). Порядок g ——наименьший, при котором управление и явно входит в (разд. 3.11).— Пр им. пер ев.

J L. Speyer, R. К. М е h г а, А. Е. В г у s о n, The Separate Computation of Arc of Optimal Flight Path with State Variable Inequality Constraints, in «Advanced Problems and Methods for Space Flight Optimization», Ed. by в. Fraeijs de Veubeke, Pergamon Press, Oxford, 1969.— Прим, nepee.

и введем

• N(l) 一产口(0), m(0)] 一

n(N) —/NT[n(N—1), u(N-l)]'

八勿一C“n(O), q(0)]・

Итак, задача свелась к уже рассмотренной задаче разд. 1.7, т. е. к определению вектора у, который минимизирует £ (у) при ограничении / (у) & 0. Если применить необходимые условия (1.7.12) и (1.7.13) к введенным уравнениям, то будут получены обычные необходимые условия для дискретных по времени задач оптимального управления. Очевидно также, что и более сложные дискретные задачи оптимизации могут быть преобразованы аналогичным образом и соответствующие им необходимые условия могут быть выведены из основных условий (1.7.12) и (1.7.13). После того как эти условия определены, . численное решение заключается в итерационном нахождении последовательности u (г), которая удовлетворяет необходимым условиям. Степень сложности осуществления двух этапов итерационного процесса, описанных в общих чертах в разд. 1.9 (т. е. нахождение допустимого решения и допустимого направления улучшения этого решения), в большой степени определяется характером конкретной задачи и принятым методом дискретизации или параметризации.

Пример. Управление^ минимизирующее терминальную ошибку. Пусть система описывается уравнением

N« + 1)=①(Z) n (i) + d ⑴ м ⑴，Z = о, 1,.・.，N - 1, (7.11.4) с ограничением

1% (z)丨w &

или

М (0 — 1 W °, с

(7.11.5)

критерий

/ =讶|m冲)色(7.11.6)

Так как любая последовательность 〃(％), удовлетворяющая (7.11.5), является допустимой, то первый этап (первый шаг) численного

решения достаточно прост. Определим теперь функции

Я* (г)=产(％ + 1) [ф (г) х (i) + d (г) и (г)],(7.11.7)

九т (г)=产(X + 1)①т (力九т (N) = / (N).(7.11.8)

Путем обычных рассуждений можно установить, что если не учитывать ограничение (7.11.5), то一

端臬=产（»+ 1）"（以 ‘ （7.U9）

Следовательно, допустимое улучшение и (г) будет определяться вектором

(1 —м(%), если :Н：《о

”)=^(7.И.10)

I — 1 —м«), если д >0.

Vди (г)

Вектор и (г) просто указывает направление на вершину гиперкуба I % (%)丨 & 1 в пространстве управляющих параметров, которая лежит в том же квадранте, где и градиент дН*/ди (г). Это направление всегда является допустимым, так как допустимое решение должно лежать либо внутри, либо на границе гиперкуба. Как далеко следует идти вдоль допустимого направления для получения максимального улучшения, можно определить либо с помощью одномерного поиска, либо аналитически. В последнем случае

6五(г)6五(г)аи (г),аи (г),(7.11.11)(7.11.11)

6五(г)

6五(г)

аи (г),

аи (г),

(7.11.11)

(7.11.11)

где

а = Satа = SatxT(N)Kv(i) ~/(i)『Ku (i)xT(N)Kv(i) ~/(i)『Ku (i)

а = Sat

а = Sat

xT(N)Kv(i) ~/(i)『Ku (i)

xT(N)Kv(i) ~/(i)『Ku (i)

к =[①(N 一 1),ф ⑷ d (0),...①(N - 1) d (N — 2), d(N — 1)1.

Отметим, что в данном случае, поскольку компоненты ограничения [формулы (7.11.5)] не связаны друг с другом [т. е. выбор м (г) не влияет на выбор u (j) при г 声 j], направление допустимого улучшения находится легко. В задачах, где ограничение содержит фазовые переменные, независимость компонент уже не имеет места. В этом случае определить нужное направление значительно труднее.

Особые решения в задачах оптимизации управления

Введение

В некоторых задачах оптимизации управления встречаются участки экстремалей (Яи = 0), на которых матрица Яаи оказывается вырожденной. Такие участки называются особыми] они удовлетворяют необходимому условию выпуклости (6.3.12), но не удовлетворяют усиленному условию (6.3.1); другими словами, матрица Нии является только полу определенной. Для того чтобы установить, является ли особый участок оптимальным, необходимы дополнительные исследования. Ниже рассматривается только случай особых участков, наиболее часто встречающихся в приложениях, когда гамильтониан линеен по одной или нескольким управляющим переменным (но является нелинейным по одной или нескольким фазовым переменным). Для таких систем на особом участке в гамильтониане Н коэффициент в члене, линейном по управлению, равен нулю; поэтому необходимое условие экстремума Ни — 0 (или условие минимума Н по и) не позволяет определить управление вдоль особого участка как функцию фазовых и сопряженных переменных n и 九.Вместо этого управление находится из условия, что на особом участке коэффициент при этом линейном члене остается равным нулю; другими словами, производная Ни по времени должна равняться нулю [(d/dt) Ни = 0 на особом участке].

Недавно для особых участков было получено дополнительное необходимое условие, аналогичное условию выпуклости (6.3.12)'). Так, для задачи на минимум с одной управляющей переменной (м —— скаляр) можно легко показать, что на особом участке

一 (一1尸^[(与广%]>°， Q°，1, 2, • (8.1.1)

Вывод этого неравенства для случая к = 1 приведен в разд. 8.4. Для особых участков до сих пор не разработаны условия, аналогичные условию отсутствия сопряженной точки (6.3.3); поэтому отсутствуют и достаточные условия оптимальности особых участков.

1) См. работы [8.1—8.3].

8・2・ Особые решения в задачах оптимизации линейные динамических систем с квадратичным критерием качества

Рассмотрим задачу терминального управления разд. 5.2, когда В ⑴ =0. В - этом случае критерий качества J является квадратичной формой фазовых переменных % и не зависит от управления 五：

J = у ж^ (tf) Stx (^) +1-\хт^а (I) х (i) dt. (8.2.1)

Предположим, что матрицы Sf и A (t) положительно полуопре- делены, система уравнений линейная, т. е.

.х = F (t) х + G(t) и. n (%),力°, tf заданы. (8.2.2)

Отсюда следует, что гамильтониан Н линеен по и:

Я = у хтАх + 九т (Fx + Gu)(823)

и

при этом

兀=一方'九 一 AX,九(切=SfX (力.(8.2.4)

Если и ограничено, то минимум Я по и может достигаться на границе (как это и имеет место в задачах, линейных по переменным управления и фазовым переменным; см. разд. 3.9). В этом случае необходимое условие сводится к тому, что для всех допустимых вариаций 6五

九％6比 > 0.(8.2.5)

Однако может случиться, что найдутся интервалы времени, где функции и (%), значения которой не лежат на границах, соответствуют такие 九(%), что

筹= /G = 0,(8.2.6)

другими словами, этим и (力)соответствует стационарное решение. Участки траектории, соответствующие этим интервалам, называются особыми, минимум на них может как достигаться, так и не достигаться.

Если и не ограничено, то с помощью управления, содержащего импульсы, систему (8.2.2) можно мгновенно перевести в любые другие состояния. Такие импульсы не изменяют величину критерия качества. Таким образом, если с помощью импульса можно

перевести систему в состояние n = 0, то это и будет минимизацией J, поскольку при этом J — 0! Если такая возможность отсутствует, то импульс можно использовать для перемещения системы на минимизирующий особый участок и далее двигаться по этому участку до тех пор, пока не будет достигнуто состояние, иэ которого другим импульсом система переведется в точку х = О (или в состояние n (切，где хт (力)S* (力)= 0, что менее сложно, когда матрица S『является полуопределейной). Отметим, что в любом случае условие (8.2.6) не дает непосредственной информации для определения таких управлений.

Пример 1. Автономная линейная система второго порядка с одной управляющей переменной и критерием качества, содержащим квадратичную форму только от фазовых переменныхг). Частным случаем такой системы является система с двумя фазовыми и одной управляющей переменными, где

J = y j ^ dt, (8.2.7)

Nt =n2 + 五,/2 ^ -五；n1，n2， 五-скалярные функции, (8.2.8)Ni (0), g (0), tf заданы,旳(切=х2 (力)=0.

Эта задача линейна по и, но нелинейна по n】в силу выбранного критерия качества. Гамильтониан задачи

h =储(N2 + 五)十九2 (—五)+ ^"理(8.2.9)

причем

^=_黑=一勺，％=—鴿=一脑■(8.2.10)

Особыми участками должны быть такие, где на конечном интервале времени

需=脑一近=0.(8.2.11)

На этом интервале

■^ (需)=3 —〃 = о,(8.2.12)

ИЛИ

—Nf + 九］=0.

Поскольку гамильтониан Н явно не зависит от 厶 то на оптимальном решении он должен быть постоянным:

H = ；N：+ 九口2十(九1 —九2)Е = const.(8.2.13)

Пример 1 аналогичен примеру, рассмотренному К. Джонсоном и Дж. Гибсоном в работе «Singular Solutions in Problems of Optimal Control», IEEE Trans, A utomatic Control (Jan. 1963).

Учитывая, что на особом участке дН/ди = (d/dt) (дН/ди) = О, получаем соотношение

〃工扌端 + 胃演2H const,(8.2.14)

которое на плоскости (勺，g) соответствует однопараметрическому семейству особые участков (гипербол) (фиг. 8.2.1).

Фиг. 8.2.1. Оптимальная траектория примера 1, включающая. особый участок.

Если воспользоваться тем, что

~dfl (k) = — g + 儿=°，(8.2.15)

то получим

/2 五%]==0,*

т. е. что закон управления на особом участке

五——(力1 + g)(8.2.16)

является линейным. Отметим, что

一畫鳥(需)=1＞。■(8217)

Таким образом, упомянутое в разд. 8.1 обобщенное условие выпуклости выполняется.

Если и не ограничено, то ясно, что, используя в управлении импульсы типа 6-функции Дирака, можно мгновенно изменять состояние системы вдоль прямых ^i + ^2 = const; положительные импульсы переводят состояние вниз и вправо (фиг. 8.2.1), а отрицательные — вверх и влево. Такие перемещения не изменяют критерий качества, поскольку и не входит в его выражение.

На особом участке, используя (8.2.16), получаем

Q =胃2 (“1 + “2),“1 + “1 == °,

g = Nj + д’胃2 —' 胃2 = Nl，

откуда N] — се~* где с = const,(8.2.18)

т. е. величина g уменьшается со временем по экспоненте; направление движёния вдоль обеих ветвей особого участка показано на фиг. 8.2.1 стрелками. Таким образом, типичное экстремальное решение включает (фиг. 8.2.1) начальный импульс, переводящий начальное состояние на особый участок (в момент t = 0+)7 дальнейшее движение вдоль особого участка до прямой N] + %2 = 0 и второй импульс, переводящий состояние в начало координат. Значение постоянной Н, которое выделяет конкретный особый участок из однопараметрического семейства возможных, определяется из условия, что в момент % =力 состояние должно стать таким, чтобы 勺 + g = 0 i). Непосредственно проверяется, что

(8.2.19)(8.2.20)(8.2.21)(8.2.19)(8.2.20)(8.2.21)Е=_2…2о,

(8.2.19)

(8.2.20)

(8.2.21)

(8.2.19)

(8.2.20)

(8.2.21)

где с = 勺(0) + а? (0) 2). Также можно показать, что

3(。+ ) = — ^Г^，%2 (0 + ) = %hif '

0 (%)=勺(0 + ) e，д (%)=0 (0 + ) sh % + N2 (0 + )丸

Далее, если и ограничено, то для того чтобы попасть на особый участок и затем сойти с него, нужно вместо импульсов типа б-функции Дирака пользоваться максимальными или минимальными значениями и; такая задача для случая t, f со исследовалась Джонсоном и Гибсоном. Итак, оптимальное решение представляет собой комбинацию управления на упорах и линейного закона управления (особые участки).

Пример 2. Автономная линейная система общего вида с критерием качества, содержащим только квадратичную форму от

箏 1) Конечно, для того чтобы доказать оптимальность такого решения, нужно сравнить его с другими комбинациями особых и импульсных участков,

реализуемыми другими импульсами, которые приходят в начало координат и остаются в нем до момента 土广 В последнем случае величина х будет больше, но она будет интегрироваться на меньшем интервале времени. См. задачу этого раздела. '

' 2) В задаче Гибсона и Джонсона 与-> 8, так что Я -> 0. В этом случае f особыми участками являются вырожденные гиперболы, а именно две прямые： |г 呀 + 2g = 0 и g = 0.

фазовых переменных

/С х^Ах dt.(8.2.22)

x = Fx + Ga, x (0) и tf заданы, (8.2.23) A, F, G — постоянные матрицы, n — тг-мерный вектор,

и m-мерный вектор.

На оптимальном решении

Н =彳 хТАх + Кт (Fx + Gu) = const (одно уравнение), (8.2.24)

仃=—炉F — xrAj 九(切=：Sfx (tf).(8.2.25)

На особых участках

■^~ = #G = 0 (m уравнений),(8.2.26)

等("^)=—注G= —(А77?+『/)G = 0 (m уравнений),

(8.2.27)

崇(争)=_ 九*6一?^ =

成 2 \ du J

=(^ + xTA) FG 一 (^FT + uTGT) AG - 0, откуда

五=-(GTAG)~1 GT [(AF~FtA)x- FtFt\](8.2.28)

и матрица GTAG должна быть невырожденной. Системы (8.2.24), (8.2.26) и (8.2.27) содержат 2m + 1 уравнений для 九 и N, которые в 2тг-мерном пространстве(N,九)определяют семейство возможных особых участков. Соотношение (8.2.28) задает линейный закон управления, имеющий место на особом участке. Если матрица Л является положительно определенной, то выполняется обобщенное условие выпуклости

-簿鳥图门= 3%.(8.2.29)

Более подробное исследование этой проблемы можно найти в работе [8.4].

Задача. Система в примере 1 является полностью управляемой, и поэтому с помощью достаточно большого управления ее можно за достаточно малое время перевести в начало координат; так, например, управление

五(0), 0С^< А,

u(t) ~ < и (A), AK%v2A,

、0,2А<^<^,

переводит систему в начало координат за время 2А, где A f 0. Покажите, что, несмотря на то что критерий не содержит и, такое управление хуже особого.

8・3・ Особые решения в задачах оптимизации нелинейных динамических систем

В предыдущем разделе рассматривались лишь случаи, когда гамильтониан Н был линейным по управляющим переменным и квадратичным по фазовым переменным. В этом разделе ограничение на тип нелинейности гамильтониана по фазовым переменным будет ослаблено, но предположение о линейности Н по управляющим переменным будет сохранено '• Исследуем проблему минимизации функции

ф {х (&)］(8.3.1)

при ограничениях

力=/ (n) + g (n)五，％ & % & 力，n (%) задано, (8.3.2)

屮［х (切］=0,(8.3.3)

где n — тг-мерный вектор, и — скаляр 2) и 屮一g-мерный вектор. Гамильтониан является линейным по и, и предполагается, что он нелинеен по 化：

Н = " If ⑺ + g (幼办(8.3.4)

Необходимые условия стационарности решения включают соотношение

% = Ng = 0,(8.3.5)

где

注=—［九т (/* +g*E)］,九т (⑺=(拆 + М屮Qi,.(8.3.6)

Управление и (九,n)・ непосредственно из формулы (8.3.5) определить нельзя, так как она не содержит и, тем не менее может оказаться возможным найти на конечном интервале времени такое м (%), что соотношение (8.3.5) будет выполнено; тогда как следствие

爰爰(Hq)=九Tg + 1Tg =(九『gw) N + 1Tg = б(Hq)=九Tg + 1Tg =(九『gw) N + 1Tg = б(8.3.7)(8.3.7)

爰

爰

(Hq)=九Tg + 1Tg =(九『gw) N + 1Tg = б

(Hq)=九Tg + 1Tg =(九『gw) N + 1Tg = б

(8.3.7)

(8.3.7)

Данный пример не является наиболее общим, но он включает большинство тех важных случаев, которые встречаются в современных приложениях.

Это не является серьезным ограничением, так как в векторном случае выкладки этого и следующего разделов проводятся для каждой компоненты ,вектора и.

Подстановка (8.3.2) и (8.3.6) в (8.3.7) дает

■^ (Нм)=(九7花)(/ + g")—[九т (/х % g%〃)] g=九% (^) = 0,(8.3.8)

где

q ⑺=gxf — %g・

Заметим, что в (8.3.8) члены, содержащие и, взаимно уничтожаются, так что это соотношение определяет и (花，九)не в большей степени, чем соотношение (8.3.5). Вследствие этого, снова дифференцируя (8.3.8) по времени, попытаемся получить выражения, определяющие и:

-^ (Яи) = ^q + 饪'=九％ (/ + g〃)一九т (/х 十 g俐，=

厂九т一 /х?) + 九т ®g — gQ 〃 = 0.(8.3.9)

Теперь, если только ^ (qxg — g%。)#。[см. (8.1.1)], уравнение (8.3.9) действительно определяет и

и= — 入吧L.(8.3.10)

В том случае, если соотношения (8.3.5) и (8.3.8) выполнялись в начале (или в конце) особого участка, закон управления (8.3.10) реализует условие стационарности (8.3.5). Все это напоминает ограничения типа неравенств на фазовые переменные из разд. 3.1.1. Итак, особые участки (со скалярным управлением) для всех точек 2/г-мерного пространства (瑞 九)невозможны; в силу (8.3.5) и (8.3.7) они ограничены гиперповерхностью размерности 2п ——2, которая называется особой поверхностью. Для стационарных систем со свободным временем размерность особой поверхности равна 2汽 ——3, поскольку гамильтониан равен нулю на всем промежутке времени

〃 = #(/ + gu) = 0, или с учетом (8.3.5)

Н =九= 0.(8.3.11)

Для стационарных систем со свободным временем и тг = 3 уравнения (8.3.5), (8.3.8) и (8.3.11) являются линейными и однородными по 九 1,九2,九з・ Совместность этих трех уравнений требует равенства нулю определителя из коэффициентов при 九占 Х2 и Х3. Это приводит к соотношению, определяющему особую поверхность 6 пространстве фазовых координат (см. ниже пример с зондирующей ракетой).

Пример. Определение программы тяги для максимизации высоты подъема зондирующей ракеты 丄).Простой вариант задачи можно сформулировать следующим образом. Дана одноступенчатая ракета с фиксированным запасом топлива. Как следует программировать тягу с тем, чтобы высота подъема была максимальной? Уравнениями движения являются

р = (1/тп) [Р ⑶ 一 Q (办 h)] 一 g,(8.3.12)

h = v,(8.3.13)

тА = -(1/c) P (力，(8.3.14)

где v ——вертикальная скорость; h ——высота; т ——масса ракеты; Р —— тяга, управляющая переменная; Q —— лобовое сопротивление, заданная функция 无 и % g ——ускорение силы тяжести (взятое здесь для простоты постоянным); с ——удельный импульс (импульс, отнесенный к единице массы сжигаемого топлива).

Задача заключается в нахождении тяги Р (力),максимизирующей высоту h (^), когда

V (0) =0, h ⑼ =0, m (0) и тп (切 заданы, (8.3.15)

0 &Р ⑺ /макс.(8.3.16)

Так как максимизируется h (切 и v (切 не задано, то

г航(切=1, 統(切=0.(8.3.17)

Гамильтониан

" =統(0壮 Q - g)十九成一九?n§(8.3.18)

линеен по управляющей переменной Р (力.Задача является авто- номной, поэтому на оптимальной траектории гамильтониан Н постоянен; поскольку конечное время не задано, то

Н (0 = 0.(8.3.19)

Эта знаменитая задача была предложена Р. Годдардом в 1919 г. и строго сформул ирована Г. Гамелем (G. Hamel, Uber eine mit dem Problem der Rakete, Zusammenhangende Aufgabe der Variationsrechnung, ZAMM, 7, № 6, p. 451 (1927). Русский перевод： Г. Г а м e л ь, Об одной задаче вариационного исчисления, связанной с движением ракеты, сб. «Исследование оптимальных режимов движения ракет», Оборонгиз, 1959). Важное частное решение получено С. Тзяном и Р. Эвансом (Н. S. Т s i е h, R. С. Evans, Optimum Thrust Programming for a Sounding Rocket, Amer. Rocket Soc. J., 21, № 5 (1951). Русский перевод: С. T з я н и Р. Эванс, Оптимальное программирование тяги высотной ракеты-зонда, см. упомянутый выше сборник). Полное решение проблемы получено Б. Гарфинкелем (В. Garfin- k е 1, A Solution of the Goddard Problem, SIA M J. on Control, 1, № 3, pp. 349—368 (1963)).

Уравнения для функций влияния имеют вид

% =統;号一歳，(8.3.20)

3 =爲丄冬，(8.3.21)

Мг =統卅萨.(8.3.22)

Максимум 〃 no 〃 определяется при максимизации выражения

/ % ^т、л.

г) Q

при этом получаются три возможных решения:

Р = Амане,

если 亙一丛>0, mс

(8.3.23)

0<е<Рмакс, если 普

—§1 = 0 (особый участок),

(8.3.24)

Р = 0*

если 亙一显 <0. mс

(8.3.25)

На особом участке

I =

с 九 ь ——ткт = 0.

(8.3.26)

Если / = 0, то ясно, что на особом участке и / = 0. Дифференцируя (8.3.26) и подставляя в полученный результат выражения (8.3.14), (8.3.20), (8.3.22) и (8.3.26), получаем

(第十^)統一加入"=°.(8-3.27)

Точно так же на особом участке 7 = 0. Дифференцируя (8.3.27) и подставляя в результат соотношения (8.3.12)——(8.3.14), (8.3.20) — (8.3.22), (8.3.26) и (8.3.27), получаем выражение для тяги

Р = 0 + ^g + Q + 2c (呎灰)+。2 (@2Q/d吟 X

x[ —g(Q+c 瑞)+c(c-〃)票一必 2 為](8.3.28)

Таким образом, выражение (8.3.28) является нелинейным законом изменения тяги на особых участках.

Семейство возможных особых участков в пространстве фазовых координат определяется условием совместности системы уравнений (8.3.19), (8.3.26) и (8.3.27)

0,—т =0

илиилиQ + mg — ^Q — u ~- = 0,Q + mg — ^Q — u ~- = 0,(8.3.29)(8.3.29)

или

или

Q + mg — ^Q — u ~- = 0,

Q + mg — ^Q — u ~- = 0,

(8.3.29)

(8.3.29)

что соответствует поверхности в пространстве фазовых координат, т. е. в пространстве (% 无，/п).

Если Q (р, h) монотонна как по % так и по ^ (что обычно и имеет место), то, как правило, решение задачи содержит только три участка:

А = Тумаке до тех пор, пока не удовлетворяется условие (8.3.29);

особый участок с законом управления (8.3.28) до того момента, когда т = т (力力；

-Р — 0 до тех пор, пока и не станет равным нулю. Структура решения имеет вид «ограничение —— особый участок —— ограничение», что совпадает с результатом примера 1 разд. 8.2. Отметим, что значение т = т (力力 могло бы быть достигнуто на участке «а» с максимальной тягой еще до того, как выполнится условие (8.3.29), в этом случае решение не содержало бы особого участка. Так и происходит, когда Q = 0 (нет атмосферы), поскольку в этом случае условие (8.3.29) сводится к m = 0.

В задаче, которую рассматривали Тзян 〃 Эванс.

Q = ^P/2C*Se-叱 поэтому

约 一 2Q 02Q 2Q dQ '@2Qq

而一丁，声一正，粛=-PQ，v (8330) Далее, особая поверхность есть

?ng=(l 十 £)Q.(8.3.31)

Нелинейный закон управления на особом участке имеет вид

p = Q + ^g +『TW牌 2 (с2/叫［哈(1+曾)-1-2习.(8.3.32)

Тзян и Эванс также не накладывали ограничений на Р, т. е.

'макс оо. Следствием этого является наличие в момент 力= 0 импульса достаточной величины (мгновенное сжигание части топлива), переводящего корабль на особую поверхность (8.3.31). Отметим, что за время действия импульса величина zne"* остается постоянной. Далее, до тех пор пока не израсходуется топливо, = пользуются уравнением (8.3.32), после чего начинается участок свободного полета вплоть до максимальной высоты.

Задача 1. Другой подход к проблеме особых участков состоит 異 в исключении управляющей переменной и такой замене фазовых $ переменных, при которой одна из исходных фазовых переменных £ 20-0102

становится управляющей. Уравнениями движения в примере с зондирующей ракетой этого раздела являются

V - — [p (t) _ 0(/攵)]一 g, % = % 加=一 P ①.

Исключите управляющую переменную Р ⑴ и выберите h и пге”/с в качестве новых фазовых переменных.

Используя эти новые переменные, сформулируйте необходимые условия первого порядка максимума высоты.

Пользуясь новыми переменными, сформулируйте условие выпуклости (Лежандра — Клебша).

Обсудите, как в случае 0 & 夕 ⑴ W ^макс, по вашему мнению, следует пользоваться этим подходом для определения всей траектории.

Задача 2. Рассмотрите задачу-

j =步反(^)], ^ = Er + Gu， ] u (力)I W 1； ^ задано. Покажите, что особые участки не существуют, когда система (F, G) управляема и фх(£/> ^ 0. [Указание. См. приложение Б2.]

Задача 3. Определение программы изменения т/и, углов атаки и крена, минимизирующих расход топлива на разворот реактивного (или ракетного) самолета^ летящего на постоянной высоте. (Обозначения и квазиустановившийся случай этой задачи см” в разд. 1.3, задача 8.) Уравнения движения имеют вид

mF = —CXfiqS — x^a?qS + 夕 «), mg = C^aqS cos y,mV^) = CyaqS sin

加=加=Р«)Р«)

加=

加=

Р«)

Р«)

гдегдеq = i/zpp2s.

где

где

При заданных значениях 屮(切一屮仇)и т 伉)требуется найти зависимости 夕⑺，а (力)и 丫 «), максимизирующие величину щ (%『). Покажите, что на оптимальном особом участке у и У определяются уравнениями

tg2?=l +(卧，(六)‘(3+吒)/(…片)=5

где.

一1一1И 8 ——«И 8 ——«

一1

一1

И 8 ——«

И 8 ——«

Отметим, что выражения для а и 夕 определяются затем из уравнений движения.

8・4・ Обобщенное условие выпуклостидля особые участковх)

Полученное в разд. 6.3 необходимое условие минимума

(8.4.1)(8.4.1)%Q0

(8.4.1)

(8.4.1)

является условием выпуклости. На особых участках Нии = 0, поэтому условие (8.4.1) выполняется, но информация, даваемая этим условием, невелика. Можно получить более полезное необходимое условие, упомянутое во введении к этой главе, которое очень похоже на соотношение (8.4.1), а именно

（7机（舒А（罂）］》。■（842）

Дадим вывод условия (8.4.2) для случая 儿=1. Для этого обратимся к разд. 6.1, где было получено выражение для второй вариации критерия качества -

»J=^[6/①^6%/+^ J [6/, 6"]»J=^[6/①^6%/+^ J [6/, 6"]4"]「也一Huu」L6u_4"]「也一Huu」L6u_dtdt(8.4.3)(8.4.3)

»J=^[6/①^6%/+^ J [6/, 6"]

»J=^[6/①^6%/+^ J [6/, 6"]

4"]「也一

Huu」L6u_

4"]「也一

Huu」L6u_

dt

dt

(8.4.3)

(8.4.3)

с ограничениями

.8x = H^x8x + HkuSu, 8x (才°) = 0,(8.4.4)

6兀=—Hxi8X — Hxx8x — Нхи8и, 6九(切=I①^6叫/•(8.4.5)

Рассмотрим следующий интеграл, полученный интегрированием уравнения (8.4.5) и тождественно равный нулю:

■у j (6饪 + В"卜 + 8иНих + 8хТНх^ 6л;或=0.

才0

Интегрирование первого члена по частям дает

Г [6九'&?;* + }■ J I — 6Хт6л; 4~ (^Тfx + 8иНих + 8хтНхх) &г] dt — 0.

Подставляя вместо 6а его выражение (8.4.4) и учитывая, что 6а 侑) = 0, 6ХТ (tf) = [8хтФхх]1^ получаем

■у [6花‘①久久&г]±/+ } J [ — 8XTHiu8u 4- 8uHux8x + 8xTHxx8x] dt = 0.

■(8.4.6)

工)Этот раздел основан на работе [8.1].

Вычтем (8.4.6) из (8.4.3)：

ч

&J = 4" j gT/u + ^ны + ЬиНи^ 6w 成. (8.4.7)

Непосредственно дифференцируя и используя уравнения (8.4.4) и (8.4.5), можно показать, что

4 但т&" + §#Н^ + 切〃мм)=

=6z^ (Ни)х + 6九 т (瓦J 九 + 6u (Hu)Ui(8.4.8)

■^ (6况丁〃侬 + 6ХгЯхи + 5wHuu) ~

=8x^(Hu)x + 6 严(瓦)九十协(冗К(8.4.9)

Далее, интегрируя по частям (8.4.7) с учетом (8.4.8), получаем

5" = - 4" j [6"(丸卜 + 6/(Huh + e (瓦)"1 М (£)威 + to

+ 4 [(翫т〃з + ^Ны + 8иНии) 6%]#,(8.4.10)

где

6% «) = j 6〃《)：或.(8.4.11)

Точно так же, если проинтегрировать по частям (8.4.10) и воспользоваться равенствами (8.4.8) и (8.4.9), то можно получить

ч

6* = } j [6/ (冗卜+ 6/ (兑)入+加(冗扇加2 e)或+

+ ~2 [ (8xTHxu 6Х H^u -J- 8иНии) Suj]^ —

一十[(6以(%)重+ 6/(%)九+也(%九)恥脸(8 4.12)

где

6u2 传)=J 6〃2 (方)d九(8.4.13)

to

Заметим, что подынтегральное выражение в (8.4.12) очень похоже на подынтегральное выражение в (8.4.7). Аналогом слагаемого 8иНии8и здесь является би(Ни)и8и2. В не ос об ом случае условие выпуклости Нии》0 является необходимым для наличия минимума ,так как, выбрав 8и в виде пары положительного и отрицательного импульсов большой величины, это слагаемое всегда можно сделать доминирующим. Этой же специальной вариацией 6〃 воспользуемся в случае особого участка, когда Ни = Нии = 0.

分勺

加2

Фиг. 8.4.1. Специальные вариацииуправления и ⑴,используемые привыводе обобщенного условия выпукло-сти (к = 1).

Ясно, что в выражении (8.4.10) всеми

А

членами можно снова пре-

небречь, ибо все 8х и 6九 из-за выбора такой пары импульсов практически равны нулю, а (方辽)以=0, согласно (8.3.7). С другой стороны, для 6w1? 6%2 и 8и имеет место ситуация, представленная на фиг. 841. Если считать (冗)* в период изменения 8и (фиг. 8.4.1) постоянной, то ясно, что

(6〃 би?) d力 <0.

(8.4.14)

Таким образом, для того чтобы в случае этой специальной вариации выполнялось соотношение 62J》0, необходимо, чтобы

(瓦)"&0・(8.4.15)

Может оказаться, что Ни не зависит от и или, в более общем случае, что

(^~) 〃现=°，2 = 0, 1, т — 1,

(8.4.16)

(备『(еm) = a 8九)+6(况,九)儿

(8.4.17)

Процедура, которой следует придерживаться при решении такой проблемы, в принципе та же, что и в рассмотренном выше случае с тп = 2. Можно доказать следующее (см. работы [8.1—-8.31).

Переменная т всегда четная. Назовем задачу вырожденной порядка т, если выполняются условия (8.4.16) и (8.4.17).

При выполнении условия п. 1 особая поверхность в пространстве (步,%) имеет размерность 2п —— т.

Обобщением условия (8.4.15) является неравенство

(一，〃^■(备儿)》。。(8418)

Отметим, что свойство вырожденности инвариантно по отношению к взаимно однозначному преобразованию управляющей переменной. Предположим, что м = 无(и); тогда для преобразованной системы получаем

、*Н[2,儿 h (у)] = HuhB = 0,

轰НЕ 九，hiv^H^^H^^Q

и, кроме того,

%2 "° = Hyhj) + Huh0 + ^u^d + Huhj)— HuuhOi

и поэтому

屛京总)= ^7(比)，

то есть

sgn後备砌=sgn後备砌•

Задача. Пусть u = h(u) у, где v — новая управляющая переменная, и

J =少[е (&), 〃] + j £ (и) dt.

о

Покажите, что это преобразование не изменяет характера вырожденной задачи.

8・5・ Условия в точкам сопряжения участков

При рассмотрении сопряжения неособого участка с особым и наоборот можно получить дополнительное необходимое условие, по виду аналогичное (8Л.18).

Предположим, что оптимальная траектория % (%) попадает на особую поверхность в момент t = Z2; тогда из предшествующих выкладок (разд. 8.3) получаем

(%) = & Ни (%) ~ О

瓦伍)Н%Т (，工一%，)+入Т伉g - g№)u・

Для i ＜ ^2 и мЬлых t? — t величину Hu можно разложить в ряд Тэйлора

нu (方)=ни (切一方U (方2)(力2 一方)+彳"u (方2)«2 一方)2 -...=

=4" 1^Г(4xf — fxq) + ^ {qxg — gxq) и] (^ — ^)2 — • • • •

Так как в момент t траектория по определению не является особой, то и «) равно своему предельному значению и Ни (/) #= 0. Если и (力 равно наибольшему значению wB [тем самым Ни (力 ＜；0], то 队т (дК —厶д) + ¥ gg — g*g) “в】＜ 0.(8.5.1)

Аналогично, если и равняется своему наименьшему значению uHt то

【/ (gj — /闻 + / (qxg — g*。)〃H】＞0.(8.5.2)

Вычитая из первого неравенства второе, приходим к условию, необходимому для того, чтобы был возможным сход с обеих границ управления:

#3g—g/) = 4(豹 ＜0.(8.5.3)

'Kb be Qu 或2 \/в момент 、

сопряжения участков

Если порядок вырожденности т больше двух, то, продолжая выкладки и учитывая (8.4.17), находим

乒W。， m = 4, 6,. (8.5.4)

\/ |в момент сопряжения

В вырожденных задачах явление сопряжения довольно сложно. С другой возможной формой соединения неособых и особых участков, когда решение «вибрирует» с бесконечной частотой на особом участке, можно познакомиться по работам [8.2 и 8.6].

Глава 8

Задача. Покажите, что:

Если т!2 нечетно, то в момент перехода Z — ^2 от иеособого оптимального участка к особому допустим разрыв в управлении.

Если т/2 четно, то разрыв в управлении в точке сопряжения недопустим. [Указание. Сравните, (8.5.4) с (8.4.18).]

8・6・ Задача распределения ресурсов с ограничениями типа неравенств и особыми участками i)

После обсуждения ограничений типа неравенств в гл. 3 и особых участков в этой главе целесообразно рассмотреть пример, полностью использующий ‘рассмотренные теоретические результаты.

Формулировка задачи. В упрощенной модели планирования ресурсов национальной экономики имеются две основные фазовые переменные:

г — отношение суммарных капитальных затрат к общему числу рабочих (измеряется числом зданий, машин, площадью земельных участков и т. д.);

ш ——отношение числа работающих рабочих к общему числу рабочих (коэффициент занятости).

Выработка (общий национальный продукт) на одного работающего / есть функция величины rlw, суммарных капитальных затрату приходящихся на одного работающего,

/ (r)w) —— отношение общего национального продукта к числу работающих.

Эта функция обладает следующими свойствами:

/ (а) >0, (df/da) >0,(吗修仪)V 0 при а》0.

Выбором двух управляющих переменных, s и 2, выработка на одного рабочего wf разделяется на три части, при этом s есть доля wf, выделяемая на капитальные вложения, I — доля wf, отводимая на обучение рабочих (образование), 1 —— s —— 2 —— доля wf, предназначаемая на потребление.-

Между r.w.l^s имеется следующая связь:

г = swj (r/w) — (n + 6) r? r (Zo) = r0,(8.6.1)

w = -^wf(rlw) — (« + И)3(%) = So, (8.6.2)

где n — коэффициент прироста рабочей силы, 6 — коэффициент амортизационных отчислений,卩 ——коэффициент смертности и выхода рабочих на пенсию, d — стоимость обучения одного рабочего.

Эта задача представляет собой весьма элегантный пример математической экономики.— Прим, ред.

Имеются следующие ограничения типа неравенств на фазовые и управляющие переменные для всех 十

l》s + 2,(8.6.3)

s>0, 2>0,(8.6.4)

必 W 1，(8.6.5)

w ^Q.(8.6.6)

Оказывается, что в рассматриваемой ниже задаче 如 >0, поэтому условие (8.6.6) будет опущено.

Разумным критерием качества может быть

f(1 — s — /)у；/ (r/w) exp (— yZ) dt,(8.6.7》

где у ——норма процента (процентная ставка); иными словами, желательно максимизировать общее потребление за планируемый промежуток времени от 灰 до' &. Член ехр (―丫力 означает, что сезодняшнее потребление оценивается более высоко, чем потребление 6 будущем •

Эта задача является задачей с ограничениями типа неравенств на управляющие и фазовые переменные, в которой управляющие переменные входят в систему уравнений и критерий качества линейно (обусловливая возможность особых участков).

Решение и анализ. Как и в предшествующих главах, определим гамильтониан 1) в виде

Я (г,吗九г,九з s, Z, Q 力= (1—s —2)必/ехр ( —y£) +

+ 九广[sip/ — (м + 6) r] + (九hj + П)[~^~ 加/—(孔 + N)з]， (8.6.8) где

(《0,必Н1,' n= i . 0, I,

и условие u? — 1 & 0 есть условие вида S (况,％)《0 (гл. 3), которое в данном случае является ограничением типа неравенства первого порядка. Сначала рассмотрим случай в V 1, затем 如=1.

Случай, когда о? V 1* Так как гамильтониан линеен по s и Z, то исследование его на максимум можно свести к исследованию

Мы могли бы определить гамильтониан, присоединяя ограничение на управление типа неравенств (8.6.3) и (8.6.4); тогда можно было бы полагать % = 0 даже в том случае, когда фазовые координаты находятся на границе (8.6.5). Однако оказалось, что непосредственная максимизация гамильтониана (8.6.8) быстрее приводит к цели.

mo градиента (Н^ Hj

exp ( —vi)],exp ( —vi)],Hs ^ wf-[kr - exp (一?方)].Hs ^ wf-[kr - exp (一?方)].(8.6.10)(8.6.11)(8.6.10)(8.6.11)

exp ( —vi)],

exp ( —vi)],

Hs ^ wf-[kr - exp (一?方)].

Hs ^ wf-[kr - exp (一?方)].

(8.6.10)

(8.6.11)

(8.6.10)

(8.6.11)

Из геометрических соображений следует, что в зависимости от направления grad Н в пространстве координат управления могут представиться семь подслучаев (фиг. 8.6.1):

Случай A: Hi >Н§, т. е.(入力/d) >b・ Ясно, что максимум гамильтониана соответствует выбору 2 = 1 и s = 0. Получающиеся

Прямая s+Z=/Прямая s+Z=/ЕЕgradHgradHОбласть допустимых изменений координат управления, задаваемая неравенствами (8.6.3) иОбласть допустимых изменений координат управления, задаваемая неравенствами (8.6.3) иФиг. 8.6.1. Ограничения и воз-можные направления grad Н впространстве управлений приip < 1.Фиг. 8.6.1. Ограничения и воз-можные направления grad Н впространстве управлений приip < 1.

Прямая s+Z=/

Прямая s+Z=/

Е

Е

gradH

gradH

Область допустимых изменений координат управления, задаваемая неравенствами (8.6.3) и

Область допустимых изменений координат управления, задаваемая неравенствами (8.6.3) и

Фиг. 8.6.1. Ограничения и воз-можные направления grad Н впространстве управлений приip < 1.

Фиг. 8.6.1. Ограничения и воз-можные направления grad Н впространстве управлений приip < 1.

при этом уравнения системы и уравнения Эйлера таковы:

Г=一(九 + 6)Г， w= [-^-- (m + [Л)] w, ^r= — HT =g 入з + (九 + 6) А.г,

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу.

Случай В: Hs > Hi, т. е.入「> (入力/d). При этом s = 1 и Z = 0 и по аналогии с предыдущим можно записать уравнения соответствующей системы и уравнения Эйлера.

Случай С: Hs < 0, Яг < 0, т. е. Хг < ехр (―丫方)，(入力/d) V V ехр (——丫9・ Отсюда следует, что s = 0, 2 = 0 и получаются соответствующие им уравнения процесса.

Случай D: Hs ~ Hi ^> 0, т. е. (M/d) = ХГт откуда s + Z = = 1. Это интересный случай вырожденности. Максимизация Н дает одно уравнение для двух управляющих переменных s и Z. Следуя правилу, установленному в первых разделах этой главы, продифференцируем дважды по времени характеристическое урав-

нение вырожденности 入尸 ——(九出/①=0. В результате получим

[/ 一 ①喲 f] -df + (8-ii) d=^ 0,(8.6.12)

f [sw — I (r/d)] — (6 —卩)r = 0.(8.6.13)

Решая совместно уравнения (8.6.13) и s + 2 = 1, находим выражения для s и 2

(8.6.14)(8.6.14)Ц7—(6—卩)厂 , = /(〃&)+ (6—卩)г/®十(r/d)] 'f[w + (r/d)]~

(8.6.14)

(8.6.14)

с помощью которых можно определить результирующий процесс. Легко можно проверить, что в этом случае особый участок есть прямая, проходящая через начало координат фазового пространства.

Случай Е: Hs < 0, Hi = 0, отсюда s = 0 и 入力= = dexp (―丫方).Этот случай является вырожденным для управляющей переменной Z. Дважды дифференцируя равенство 入力 一 ——d exp (―丫方) =0, получаем

(8.6.15)(8.6.16)(8.6.15)(8.6.16)[/ — (r/如)/Ч = (n + Н + Y)&，

(8.6.15)

(8.6.16)

(8.6.15)

(8.6.16)

2 —d(从一6)

Случай F: % = 0 и Н, V 0, отсюда Z = 0, b = exp (—yt).

Для этого случая вырождения получаем

f = (^ + б + ?),(8.6.17)

S= “7#。，(8.6.18)

Отметим, что в зависимости от относительных величин 卩 и 6 один из двух вышеупомянутых случаев в силу ограничений (8.6.4) не может иметь места. Однако в любом случае результирующие движения происходят вдоль прямых, проходящих через начало фазового пространства. Будем предполагать, что 卩 >6.

Случай G: & = 0, % = 0, т. е.九「= exp (―丫方)и 入力= = d exp (―丫方). Дифференцирование этих соотношений приводит к выражениям (8.6.15) и (8.6.17), которым в общем случае удовлетворяют разные значения r/w. Поэтому приходим к выводу, что этот случай двойного вырождения не может иметь места.

Случай, когда w = I. Ecjm на траектории сохраняется значение и? — 1, то ясно, что должно быть и? = 0, что приводит к

(8.6.19)(8.6.20)(8.6.19)(8.6.20)5 +卩)d

(8.6.19)

(8.6.20)

(8.6.19)

(8.6.20)

Кроме того, имеем равенство

Hl = ”n -exp (-yt) = 0,

из которого не только определяется п, но и получается (поскольку nV °) неравенство

^■ 一eхр （一同》0,^■ 一eхр （一同》0,(8.6.21)(8.6.21)

^■ 一eхр （一同》0,

^■ 一eхр （一同》0,

(8.6.21)

(8.6.21)

означающее, что дальнейшие улучшения возможны, если было бы снято ограничение ш ^ 1. Значение s находится в соответствии со знаком величины Hs. Имеются три подслучая, которые представлены на фиг. 8.6.2.

Случай I:及 >0, т. е. s = 1,— % = [/ 一(汽 + 卩)&//].

Случай II: Hs < 0, поэтому s = 0.

Случай III: Hs = 0. Это другой случай вырождения, приводящий к выражению для управления

s = 15 + н) r^f^(8.6.22)

которое совместно с (8.6.19) дает точку равновесия г = 0,如=0- Этим завершается перечень возможных случаев.

Условия в узловых точках^ условия на конце и последовательности переходов. Оставшаяся проблема заключается в определении последовательности возможных случаев (т. е. в построении

俄沙М俄沙МФиг. 8.6.2. Ограничения и возможные направления gradE в пространстве управлений приФиг. 8.6.2. Ограничения и возможные направления gradE в пространстве управлений при

俄沙М

俄沙М

Фиг. 8.6.2. Ограничения и возможные направления gradE в пространстве управлений при

Фиг. 8.6.2. Ограничения и возможные направления gradE в пространстве управлений при

траектории в фазовом пространстве), которая удовлетворяет заданным начальным условиям

г (°) =「о,如⑼=如о,(8.6.23)

промежуточным условиям в угловых точках и терминальным условиям. Условия в угловых точках имеют место в момент 友 выхода на ограничение. w = 1. Они имеют вид [см. (3.13.4) и (3.13.5)1

如(幻=1 и Н (幻=Я (*),(8.6.24)

МД左)= ^6) +叫(8.6.25)

b(G =脑(4).(8.6.26)

Рассмотрим две совокупности терминальных условий.

Промежуток времени и терминальные условия заданы. Здесь имеем

г (%) = rTl w (&) = к(8.6.27)

что приводит к

九Г (&) = ”?• —— постоянная, которую нужно определить,Хш (%) = постоянная, которую нужно определить.

(8.6.28)

Бесконечный промежуток времени и свободные терминальные условия. В этом случае

簿(8)= О, Xw (оо) = 0.(8.6.29)

Легко проверяется, что в силу того, что уравнения для Хг и Xw однородны и асимптотически устойчивы, это может быть реализовано только в равновесном случае III. Подобный результат типичен для моделей, оптимальных по экономичности.

Следует, наконец, рассмотреть возможные переходы от одного случая к другому. Исключить некоторые последовательности переходов помогает тот факт, что как Нь так и Н$ являются непрерывными (за исключением момента выхода 厶)функциями времени.

Фиг. 8.6.3. Схема возможных переходов.Фиг. 8.6.3. Схема возможных переходов.

Фиг. 8.6.3. Схема возможных переходов.

Фиг. 8.6.3. Схема возможных переходов.

号I号IВозможные переходы показаны на фиг. 8.6.3. Дальнейшего обсуждения заслуживает тип переходов, который связан со сходом с границы w = i. Вновь обращаясь к фиг. 8.6.2, отметим, что переход от случая I к случаю В происходит всякий раз, когда

号I

号I

九г —ехр ( —— ？力)>

это означает, что в момент схода возможен разрыв множителя тр С другой стороны, переход от случаев II и III к случаям Е

Глава 8

и G может иметь место только тогда, когда величина

П (0 = ^ ехр (—» —統,⑺

становится положительной.

Для задачи с бесконечным временем и свободными терминальными условиями экономически выгодными и удовлетворяющими всем условиям последовательностями являются

В —> D —I —III или А —I ―II

Аили Л II III

или 4 III

Траектории в фазовом пространстве показаны на фиг. 8.6.4.

Оптимальность экстремалей и численные результаты. Для установления того, являются ли рассмотренные выше экстремали

Фиг. 8.6.4. Пример планирования экономики. Траектории в фазовом пространстве.Фиг. 8.6.4. Пример планирования экономики. Траектории в фазовом пространстве.

Фиг. 8.6.4. Пример планирования экономики. Траектории в фазовом пространстве.

Фиг. 8.6.4. Пример планирования экономики. Траектории в фазовом пространстве.

оптималями, имеются три подхода. При одном подходе обычно используется свойство выпуклости системы и критерия качества и показывается, что стационарные экстремали являются макси- малями. Второй подход включает проверку вдоль экстремали условий Якоби (сопряженной точки) и Вейерштрасса. Третий подход заключается в численном решении задачи, использующем метод, динамического программирования. Для этой задачи ввиду ее двумерной природы и сложности аналитических выражений выбран последний подход.

Непосредственное решение по методу динамического программирования проводилось для

/ (r/w)(Мр)"; а = 0,3; п = 0,03;卩=0,15; 6 = 0,05;

у = 0,05; d == 2.

Пределы изменения и дискретизации рассматриваемых переменных таковы:

WWW 5 0 5WWW 5 0 5如(力 & 1 (10 делений), 0,8 & w (切 & 1, г «) & 4 (40 делений), г (%) = 4, 力& 15 = tf (30 делений).

WWW 5 0 5

WWW 5 0 5

Вместо системы дифференциальных уравнений использовалась ее разностная аппроксимация первого порядка. На фиг. 8.6.5

Фиг. 8.6.5. Численный пример нахождения оптимальной траектории для задачи планирования экономики.

показана типичная траектория. Видно, что она хорошо согласуется ■ с траекторией на фиг. 8.6.4.

Задача 1. Полагая f >0,产 >0 м /" V 0, покажите, что для случаев D, Е и F выполняется обобщенное условие Лежандра — Клебша (d/du^fP/dtP) Ни] >0.

[Указание. В случае D, исключив Z с помощью уравнения s 十 + 2 = 1, можно перейти к одной переменной.]

Задача 2. Пусть хиУхпх

и

J = max j (1—и)]/"况血，|〃|V1, х, 〃一скаляры.

Покажите# что эта задача имеет особое решение.

Положив и = и, где и — управляющая переменная, и

покажите, что несмотря на то, что Hvv V 0, эта задача сохраняет вырожденность.

Одной из возможных интерпретаций этой задачи является следующая:况 ——отношение основного капитала к численности населения; /况 —— отношение величины национального дохода к основному капиталу; и ——доля национального дохода, отводимая на увеличение основного капитала; (1 ——и) Ух ——отношение расходов на потребление к числу населения; и —— скорость изменения м; л —— амортизационная постоянная для переменной 况.

Дифференциальные игры

9 J ・ Дискретные игры

В элементарной теории игр рассматриваются дискретные задачи оптимизации таких ситуаций, в которых имеются два участника (игрока) со строго противоположными (конфликтными) интересами. В типичной, так называемой матричной, игре имеется два игрока U и V, каждый из которых обладает набором стратегий и», Z = 1, 2, . . ., тп, и и力 / = 1, 2, . . ., п, соответственно. Для каждой пары стратегий 口厶 刀 задан выигрыш J = L (uh 刁)=乙订 (ставящий в соответствие стратегиям ut и р； число 厶» Числа 厶『 удобно расположить в виде матрицы с т строками и п столбцами. Игрок U пытается минимизировать выигрыш, а игрок V ——максимизировать его. Такая игра называется «игрой с полной информацией» в том смысле, что каждому игроку известна вся вышеперечисленная информация об игре (т. е. 〃普 г — 1, 2, . . ., тп; и力 /=1,2, . . .. п\ Lt^ а также то, какую стратегию выбирает другой игрок. В такой ситуации, если V (максимизирующий игрок) играет первым, то он должен, очевидно, выбрать столбец с наибольшим минимумом, поскольку ему известно, что потом игрок U выберет строку с минимумом. Аналогично, если первым играет U (минимизирующий игрок), то он должен выбрать строку с наименьшим максимумод!, поскольку он знает, что V выберет столбец с максимумом. Пример игры с матрицей размерности 2x2 показан на фиг. 9.1.1.

也 '也 ч— У максимизирует

щ

七m=2

£12 = 7

•ч— Строка с наименьшим максимумом

乂 2

£215

厶2 = 9

I1Столбец с наибольшим минимумом

U минимизирует

Фиг. 9.1.1. Простая дискретная игра.

В данной игре оптимальными стратегиями независимо от того, кто играет первым, являются щ и v2> а соответствующий выигрыш 21—0102

равен 7, поскольку имеет место соотношение max min Ltj = 7= min max 七订

(первым играет У)(первым играет U)

ИЛИ

L (〃i, и,) < Z (%, %) < L ®, v2)-

Стратегии щ и v2 называются минимаксным решением данной игры1).

内р2 ч— Г максимизирует -

U минимизирует

Фиг. 9.1.2. Дискретная игра, в которой имеет значение порядок игры.

Однако выбор стратегий не всегда столь прост. Предположим, например, что значение Zu изменено с 2 на 11, как показано на фиг. 9.1.2. В этом случае имеем

maxmin工订=7《 min шах 工订=9.

門 uiui vj

z^/•4

(первым играет V)(первым играет U)■

Если V (максимизирующий игрок) играет первым, то он должен выбрать %, поскольку с о ответств ующий столбец содержит наибольший минимум, равный 7. Если же играет первым U (минимизирующий игрок), то он должен выбрать и2, поскольку это соответствует строке с наименьшим максимумом, равным 9. Таким образом, результат получается различным в зависимости от того, кто начинает первым. Это противоречие можно разрешить, если каждая сторона будет выбирать стратегию случайным образом в соответствии с некотдрой определенной вероятностью 2). В этом

В теории игр величина max min 工订 носит название максиминной

(нижней) цены игры, а величина min max L^ — минимаксной (верхней) цены 力

игры.—— Пр им. перев.

2)Такие стратегии в теории игр называются смешанными.— Прим, перев.

случае, если V выбирает фиксированную стратегию, в то время как U играет случайным образом, то математическое ожидание выигрыша для U при различных вероятностях выбора и^ и 〃2 имеет вид, представленный на фиг. 9.1.3, а (аналогичная ситуация для V показана на фиг. 9.1.3, б).

Фиг. 9.1.3. Пояснения кФиг. 9.1.3. Пояснения крешению дискретной игрырешению дискретной игрыКак видно из фиг. 9.1.3, а, если U играет с любыми значениями вероятностей выбора u1? и2, отличными от тех, когда в половине случаев выбирается и^ а в другой половине ——u2, то V может получить большую величину среднего выигрыша, если выберет

Фиг. 9.1.3. Пояснения к

Фиг. 9.1.3. Пояснения к

решению дискретной игры

решению дискретной игры

минимаксномуфиг. 9.1.2.

фиксированную стратегию, указанную над соответствующим участ~ ком жирной линии. Точно так же убеждаемся (фиг. 9.1.3, 0, что, для того чтобы реализовать максимальный средний выигрыш, V должен играть с такими значениями вероятностей выбора стратегий Vi и v2, при которых в одной четверти случаев выбирается v^ а в трех четвертях — %.

Равенство

Е [min max 工订]—8 — [max min 工幫],P q P q

где операции взятия математического ожидания Е и оптимизации (min max, max min) проводятся по двум возможным значениям вероятностей ри, выбора стратегий 〃熊 Vj соответственно, не является случайным. Это равенство выражает суть знаменитого минимаксного принципа Неймана и Моргенштерна, согласно которому с помощью рандомизации (случайного выбора) стратегий и рассмотрения математического ожидания выигрыша можно избежать разницы между минимаксом и максимином.

Задача 1. Найдите минимаксное решение для платежной мат- рицы, представленной на фиг. 9.1.4, где U минимизирует, а V мак- симизирует выигрыш.

巧 %%巧 %%

巧 %%

巧 %%

Фиг. 9.1.4. Платежная матрица в задаче 1.

Задача 2.

Рассмотрим типичную для динамического программирования задачу о выборе наивыгоднейшего пути (гл. 4, разд. 4.2). Пусть игрок U (минимизирующий) принимает решения на шаге 2,

Ф и г. 9.1.5. Траекторная сеть для задачи 2.

а игрок V (максимизирующий) контролирует 1-й шаг. Вычислите минимаксную цену игры, соответствующую тому случаю, когда U объявляет выбранную стратегию своей игры первым. Подсчитайте также максиминную цену и покажите, что она меньше минимаксной.

Сведите эту двухшаговую игру к матричной игре того типа, который описан в этом разделе.

Задача 3.

Рассмотрите задачу о выборе пути, показанную на фиг. 9.1.6. Два игрока А л В попеременно принимают решения, на каждом

Фиг. 9.1.6. Траекторная сеть для задачи 3.

шаге выбирая отрезки пути. Игрок А контролирует выбор пути на 1-м и 3-м шагах и хочет максимизировать общие затраты на весь

путь, тогда как игрок В контролирует выбор пути на 2-м и 4-м шагах и стремится к минимизации затрат. Определите оптимальные затраты и стратегию для всех узловых точек, в частности для начальной точки.

Решите ту же задачу, но со следующим усложнением: в каждой точке, где принимается решение, у игрока имеются две возможности:

Выбрать путь детерминированным способом, но при этом заплатить дополнительно 2 единицы (т. е. для игрока А две единицы должны вычитаться из его оптимальных затрат; для игрока 8 две единицы должны прибавляться к его оптимальным затратам).

Выбрать путь случайно, для чего подбросить монету и принять решение в зависимости от того, на какую сторону она упадет.

Определите оптимальное математическое ожидание затрат и стратегию (детерминированную или случайную) в каждой точке.

9・2・ Непрерывные игры

Если выбор стратегий мни проводится игроками U и V непрерывно, а не дискретно, то вместо платежной матрицы Е订 должна быть задана непрерывная функция выигрыша £ (м, и). Будем рассматривать пару стратегий и0, г°, таких, что

L (* и)《七(u°, у0) & L (и, у0) для всех и, у. (9.2.1)

Следуя разд. 1.1, можно утверждать, что необходимыми условиями для м° и и° являются

*0,警=0’(922)

発》о,賢(9.2.3)

а достаточными условиями —— соотношение (9.2.2) и условие (9.2.3), в котором сохранено лишь строгое неравенство. Любые 淤，р°, удовлетворяющие достаточным условиям, называются теоретикоигровой седловой точкой. Следует отметить, что, как показывают нижеследующие примеры, условия (9.2.2) и (9.2.3) не эквивалент^ ны обычным условиям для седлово й точки в дифференциальном исчислении, которые имеют вид

半=0,等=aди,ov

ди2 dv^ \ ди ди 丿

(9.22)(9.2.3')(9.22)(9.2.3')Пример 1・ Рассмотрим функцию выигрыша J (〃，и)=占(炉 一 №),

(9.22)

(9.2.3')

(9.22)

(9.2.3')

заданную на квадрате —1&〃&1, —1 ^ у ^ 1, и найдем ее седловую точку. Из (9.2.2) имеем

尹工 ди2尹工 ди21>°，礬—— У,1>°，礬—— У,Отсюда 3 = 0, р° — 0, при этом

尹工 ди2

尹工 ди2

1>°，礬—— У,

1>°，礬—— У,

¥工g2工/徜Е\2

而"毎\ ди dv ) =TVU・

3咤 точка является как теоретико-игровой, так и дифференциальной седловой точкой (фиг. 9.2.1).

условияусловияПример 2. Рассмотрим функцию выигрыща £ =炉—3〃^ 十 + 2卢，заданную на квадрате —1&〃&1, —1&D&1. Для нее

условия

условия

筹=0 дают 〃° = 0, и° = 0, при этом

小2工 >工(徜Е\2

Таким образомТаким образом(^77)=—1・

Таким образом

Таким образом

〃°, р° — дифференциальная седловая точка

Фиг. 9.2.1. Геометрия окрестности седловой точки в примере 1.Фиг. 9.2.1. Геометрия окрестности седловой точки в примере 1.ииФиг. 9.2.2. Геометрия окрестное сти седловой точки в примере 2.Фиг. 9.2.2. Геометрия окрестное сти седловой точки в примере 2.ии

Фиг. 9.2.1. Геометрия окрестности седловой точки в примере 1.

Фиг. 9.2.1. Геометрия окрестности седловой точки в примере 1.

и

и

Фиг. 9.2.2. Геометрия окрестное сти седловой точки в примере 2.

Фиг. 9.2.2. Геометрия окрестное сти седловой точки в примере 2.

и

и

при и =при и =о,о,

при и =

при и =

о,

о,

(фиг- 9.2.2). Однако ^Ыд^ = 4 >0, поэтому эта точка не является теоретико-седловой точкой. Можно проверить, что

max [min L (〃，у)] = max [ — — у2 при и = %и] = 0 при и = 0,

min [max L (и, и)] = min [u2 + 31 u | + 2 при и = — sgn и] =2

т. е.

max min L V min max L,

С другой стороны, если записать L (и, у) в виде

£ =公一3up 十 2№ =彳(2m 一 3u)2一z 吟

то 〃。= 0, и。= 0 можно рассматривать как теоретико-игровую седловую точку в системе координат [(2и — 3叫 d- Разница между двумя типами седловых точек обусловлена смешанными членами в функции выигрыша L (% р). Если cPLldudv = 0，то два типа седловых точек совпадают. Такие задачи называют разделимыми (сепарабельными); для них всегда

,min max L (и,力=max min L {u, u).

и D1? U

В последующих разделах этой главы всегда предполагается, что при минимаксимизации функций двух групп переменных условие разделимости выполнено. Поэтому здесь не рассматривается возможность использования смешанных или случайных стратегий при уравнивании разницы между минимаксом и максимином.

Задача. Проверьте, что функция L = uv имеет как теоретикоигровую, так и дифференциальную седловую точку.

93 Дифференциалъные игры 工)

Естественным обобщением материала разд. 9.1 и 9.2 на дина^ мический случай являются задачи, известные под названием дифференциальных игр ). Такая задача может быть сформулирована следующим образом.

Дана динамическая система

с = / (瑞 и, у, %), х (幻—х0,(9.3.1)

граничные условия

屮[х (办 tf] = 0,(9.3.2)

критерий качества

J = ф [х (tf), tf\ + [ £(н, 乂，4 t) dt,(9.3.3)

Требуется найти такие u° и и°, чтобы

J (и0, и) & J ", р°) & J 3 и。).(9.3.4)

Если просмотреть выкладки гл. 2, то можно обнаружить, что вывод необходимых условий первого порядка определяется только соображениями стационарности, а не максимизации или минимизации функционала /. Естественно ожидать поэтому, что необходимые условия сформулированной выше задачи на минимакс можно получить аналогичным образом; в результате будем иметь

・ Я - %т/ + 厶(9.3.5)

"т九'(&)=①叫卜(9.3.6)

% =0, Hv = 0,(9.3.7)

или

Я0 ~ max min Я.(9.37)

D U,

Несмотря на то что непосредственное применение соотношений (9.3.5)—(9.3.7') часто дает полезные результаты (разд. 9.4), следует саблюдать некоторые предосторожности. Прежде всего, уравнения (9.3.7) или (9.3.7') содержат минимаксимизацию функ- Ции Н от переменных и и р. В общем случае теоретико-игровая седловая точка не существует, если явно не предполагать, что функция Н разделима (разд. 9.2). К счастью, в большинстве прикладных задач

/ 三 /1 3，",力 + % (瑞"，/) И

乙三厶(瑞U, t) +£2 (况，U,方)；

ПРИ этом функция Я разделима. В дальнейшем предполагается, ит。функции / и L имеют указанный вид. Однако стоит отметить, что разделимость функции Н, вообще говоря, не означает разделимости функционала J, а именно это нас и интересует. Справедливость разделимости функционала J проверить трудно, в большинстве случаев она просто не имеет места. Например, пусть

2

J =炉(3)+ 2【〃⑴2 —U ⑴ 2]2=0

и динамическими уравнениями будут

况 G + 1) = 2 (0 + М ⑴ + и (0.

Непосредственная подстановка показывает, что в данной задаче функционал J не является разделимым [есть члены с произведениями и (Z)u (г)], а функция Н разделима. В общем случае это означает, что стратегии, полученные из решения двухточечной краевой задачи (9.3.5)——(9.3.7), могут не удовлетворять условию седловой точки (9.3.4). Однако это не снижает ценности вариационного подхода, поскольку во многих управляемых ситуациях бывает

Ди 巾巾 ерен^иальн1ble 112Plл 32守 желательным встать на точку зрения, согласно которой одна из сторон всегда будет играть первой. Например, в расчетах на «наихудший случай» мы предполагаем; что природа достаточно умна, чтобы определить наихудшее р (0; однако мы не предполагаем, что природа настолько сообразительна, чтобы изменить у (±), после того как игра началась. Другими словами, рассчитывая на наихудший случай, мы неявно предполагаем, что природа играет первой, заранее объявляя о и°(£). Таким образом, сведения о максимине- или минимаксе, даже если они не равны, все же могут быть полезными.

Второе соображение относится к интерпретации и0 и р° в уравнении (9.3.4) как стратегий в разомкнутых или замкнутых системах.

Ф и г. 9.3.1. Простая двумерная

. игра преследования.^он UВрак 夕，

；А = %，УА =勺，ХВ = %，"в = %•产二千28

В обычной детерминированной задаче управления разницы между разомкнутой и замкнутой схемами управления нет; в случае игры ситуация иная. Это утверждение можно пояснить на простом примере.

Рассмотрим двумерную задачу преследования с простой кинематикой, критерием качества которой является квадрат промаха в фиксированный конечный момент времени t『(фиг. 9.3.1). Ограничения: \\и ||2 ^ 1 и И р ||2 < 工/堂 Проверкой убеждаемся, что

叫 2 [::Н；]‘(9-з-8)

И

j (吗 и。) = [〃 — (^В (0) + у j J ♦

В форме управления с обратной связью имеем

乂。«)=ув — уа(瑞 0(9.3.8 )

.y3 一方厶)2 十®方一 y厶)21.

л аналогично

川（%）=（°）=禽估，力i）・

(9・39)

Очевидно, что при условии ув (0) — ^А (0) =0 и хв (0)—

立厶(0) >0 управление р° (^) = ° является оптимальным независимо от того, определяется ли и° (力 выражениями (9.3.8) или (9.3.8') или каким-либо иным путем 2). С другой стороны, совершенно неясно, будет ли при тех же начальных условиях 〃°(%)= ° оптимальным, если р° (^) определяется с помощью ^формулы (9.3.9')，включающей обратную связь. Действительно,

простым рассуждением можно показать, что 〃°«) =

「11

0

гаран-

тарует значение J & 历一(хв (0) + 工厶切产 только в том случае, если ^ ^ хв (0) — хА (0). Более того, значение критерия при

. ru

〃°(0 -

0

• будет больше того значения, которое можно было бы

получить, если бы управление (9.3.8‘) использовалось тогда, когда V играет неоптимальным образом.

Математически это объясняется тем, что второе неравенство в (9.3.4) можно рассматривать двояко:

min J Е,讲 «)] — / [u° (^;窃，％); p° «)],(9.3.10)

min J E, kv (w, 0] = J E° «； x0, %)； kv (x, %)]・ (9.3.10z) U(f)

С точки зрения игрока U, соотношения (9.3.10) и (9.3.10') описывают две различные задачи обычного («одностороннего») управления. Соотношение (9.3.10') представляет более сильный случай оптимальности. Оно означает, что 〃° должно быть оптимальным, несмотря на действия противоположного игрока, чье управление вырабатывается по типу обратной связи; иными словами, игрок V может немедленно воспользоваться любым неоптимальным шагом, сделанным игроком U. Оптимальные управления 〃° "), полученные по (9.3.10) и (9,3.10‘), вообще говоря, будут разными (более - точные результаты см. в разд. 9.4).

Итак, общая процедура решения задач дифференциальных игр состоит в основном из двух этапов:

Предполагается/ что в момент tf перехвата не происходит.

Нетрудно убедиться, что утверждение об оптимальности р° (力)= =[I/?，。]’ при произвольном и не является справедливым.— Пр им. перев.

Определение и0 и у° либо путем решения двухточечной краевой задачи [формулы (9.3.1), (9.3.2), (9.3.5) — (9.3.7)], либо с помощью метода динамического программирования (см. задачу этого раздела).

Раздельная проверка неравенств (9.3.4) путем решения двух обычных задач управления с использованием и0 и р° в разомкнутой или замкнутой форме.

Следует подчеркнуть, что проверка 2 необходима при установлении седлового свойства решения. Существование решения 1, как видно из предшествующих рассуждений, вообще говоря, не означает, что седловая точка достижима. Проверочный зтап 2, как это и следовало ожидать, приводит к различным необходимым условиям второго порядка. Эти условия имеют вид

илиилиЯ«и>0,"厶《0,Я«и>0,"厶《0,(9.3.11)(9.3.11)" (% 九，Z) — min max H (x.九，u, U,方)，" (% 九，Z) — min max H (x.九，u, U,方)，(9.3.1Г)(9.3.1Г)отсутствует сопряженная точка для задачиотсутствует сопряженная точка для задачи/ (叫 川)=min J 3，v°),/ (叫 川)=min J 3，v°),гдегдеj u。（%；人，加）, I禽（自方），j u。（%；人，加）, I禽（自方），(9,3.12)(9,3.12)отсутствует сопряженная точка для задачи J (吗 и。)= max J (叫 р),отсутствует сопряженная точка для задачи J (吗 и。)= max J (叫 р),гдегде[u° (才；Wo, %), [宓a Q,方).[u° (才；Wo, %), [宓a Q,方).(9.3.13)(9.3.13)Таким образом, чтобы установить наличие седловой точки, нужно показать, что в (9.3.12) и (9.3.13) и0 и р° одинаковы.Пример. Минимаксный конечный промах при ограниченном ускорении. В игре преследования управлением преследователя является его ускорение 〃「«), нормальное к начальному направлению линии визирования на преследуемую цель. У правлением преследуемого также является его ускорение ае «), нормальное к начальному направлению линии визирования. Относительная скорость вдоль начального направления линий визирования такова,Таким образом, чтобы установить наличие седловой точки, нужно показать, что в (9.3.12) и (9.3.13) и0 и р° одинаковы.Пример. Минимаксный конечный промах при ограниченном ускорении. В игре преследования управлением преследователя является его ускорение 〃「«), нормальное к начальному направлению линии визирования на преследуемую цель. У правлением преследуемого также является его ускорение ае «), нормальное к начальному направлению линии визирования. Относительная скорость вдоль начального направления линий визирования такова,

или

или

Я«и>0,"厶《0,

Я«и>0,"厶《0,

(9.3.11)

(9.3.11)

" (% 九，Z) — min max H (x.九，u, U,方)，

" (% 九，Z) — min max H (x.九，u, U,方)，

(9.3.1Г)

(9.3.1Г)

отсутствует сопряженная точка для задачи

отсутствует сопряженная точка для задачи

/ (叫 川)=min J 3，v°),

/ (叫 川)=min J 3，v°),

где

где

j u。（%；人，加）, I禽（自方），

j u。（%；人，加）, I禽（自方），

(9,3.12)

(9,3.12)

отсутствует сопряженная точка для задачи J (吗 и。)= max J (叫 р),

отсутствует сопряженная точка для задачи J (吗 и。)= max J (叫 р),

где

где

[u° (才；Wo, %), [宓a Q,方).

[u° (才；Wo, %), [宓a Q,方).

(9.3.13)

(9.3.13)

Таким образом, чтобы установить наличие седловой точки, нужно показать, что в (9.3.12) и (9.3.13) и0 и р° одинаковы.

Пример. Минимаксный конечный промах при ограниченном ускорении. В игре преследования управлением преследователя является его ускорение 〃「«), нормальное к начальному направлению линии визирования на преследуемую цель. У правлением преследуемого также является его ускорение ае «), нормальное к начальному направлению линии визирования. Относительная скорость вдоль начального направления линий визирования такова,

Таким образом, чтобы установить наличие седловой точки, нужно показать, что в (9.3.12) и (9.3.13) и0 и р° одинаковы.

Пример. Минимаксный конечный промах при ограниченном ускорении. В игре преследования управлением преследователя является его ускорение 〃「«), нормальное к начальному направлению линии визирования на преследуемую цель. У правлением преследуемого также является его ускорение ае «), нормальное к начальному направлению линии визирования. Относительная скорость вдоль начального направления линий визирования такова,

что среднее время до наибольшего сближения равно ". Если 〃 (力 есть относительная скорость, перпендикулярная начальной линии визирования, а у (%) — относительное смещение, перпендикулярное той же линии, то уравнениями движения будут 工)

и — ар — и (力о) — и。，(9.3.14)

У = и,у (%) = 0.(9.3,15)

Преследователь стремится минимизировать конечный промах I у (%) I, тогда как преследуемый хочет его максимизировать. Таким образом, за критерий качества можно взять

•j = 以(⑺ F(9.3.16)

Ускорения преследователя и преследуемого ограничены:

1aР1总a；)m1(9.3.17)

卜 ГДе 研＞5.(9.3.18)

Решение начинается с построения гамильтониана

Н ~ kv (ctp — &) + 九/.(9.3.19)

Сопряженными уравнениями будут

Ху = —Хут 統(&) = 0,(9.3.20)

麻 ~ 0,九у (切 ~ У (%),(9.3.21)

а условиями оптимальности —

а「⑺=—арт sgn 統，(9.3.22)

а© (方)~~ —(Zem sgn 九°.(9.3.23)

Сопряженные уравнения легко интегрируются

統(力=(% -力 y (切,(9.3.24)

«)二 у (切=const,(9.3.25〉

и поэтому понятно, что

sgn Ху (if)——sgn у (&) = const.(9.3.26)

Подставляя (9.3.26) в (9.3.22) и (9.3.23) и далее в (9.3.14) и (9.3.15), получаем простую систему дифференциальных уравнений, решение которой можно записать в виде

У "/) = uо(& 一幻^ Em 一。f旧)(力一％)2 sgn у (切，

(9.3.27)

Это игровой вариант примера 2 разд. 5.2, в котором квадратичный штраф для ускорения заменен на ограниченное ускорение.

откуда и определяется у (%)• Итак, имеем

(9.3.28)(9.3.28)(9.3.29)(9.3.29)4 (力_幻2 ［力竺。—(°pm 一 &m)］，еСЛИ (if —瓦)(〃pm-'

(9.3.28)

(9.3.28)

(9.3.29)

(9.3.29)

еслиW—； V -丄.

IV/ 一 ^0)\apm — aem)

Дла

(方/ 一方0)("pm - аeт)

решение уравнения (9.3.27) не существует. Действительно, для зтой совокупности начальных условий преследователь всегда может свести промах к нулю. т. е. получить у (&) = 0. Например, зто можно сделать, выбрав ар (±) так, чтобы

^(方)=价g) +啰，(9.3.30)

Задача 1. В рассмотренном примере проверьте седловое свойство решения (9.3.22), (9.3.23) и (9.3.28).

Задача 2. Докажите справедливость равенства

—J? — min max Н (х, J^ 也 и,方)，

которое является аналогом равенства (4.2.15).

Линейные игры преследования

с квадратичным функционалом ［仇4］工)

Пусть имеются две динамические системы:

£р н FрХр + GpUjХр (%) задано,(9.4.1)

хе = Fexe + Ge%况е (%о) задано;(942)

здесь индексы р и е обозначают соответственно преследователя и преследуемого, а матрицы Fp, Fe^ Gp и Ge определяются обычным для линейных систем общего вида образом. При перехвате цели преследователь пользуется управлением 〃 «)； стремясь уйти от погони, преследуемый использует управление и(£).

Т) См. также М. Ю. Гаджиев, Лвтоматика и телемеханика, 23, № 8, 9 (1962).— Прим, перев.

Для такой линейной системы игра получается особенно простой, если целью ее является минимизация преследователем конечного промаха и максимизация этого промаха преследуемым, причем промах определяется как взвешенная квадратичная форма

II Ср 伶)一хе (^/) НатА-(9.4.3)

Однако, чтобы игра имела смысл, нужно наложить также некоторое ограничение на управляющие переменные. Например,

[||u|^ dt^Ep,(9.4.4)

J \\v\^edt<Ee,(9.4.5>

где Rp >0,瓦 >0, а Ер и Ее— положительные числа. Для простоты будем также считать время конца игры tf фиксироваиным.

Ясно, что в случае конечной величины минимакса промаха в конце как преследователь, так и преследуемый будут использовать все имеющееся в их распоряжении управление, так что ограничения (9.4.4) и (9.4.5) будут равенствами. Добавление зтих ограничений к критерию качества (9.4.3) дает

/=等 112P (力一2ё 伶)償 J + 等 f UI mI同-IIu I检J 阳(946)

где Rp = CpRpi Re = %凡，a Cpii ce — положительные константы, которые нужно определить так, чтобы удовлетворить равенствам в (9.4.4) и (9.4.5). Отметим, что, поскольку преследуемый стремится максимизировать (9.4.3), второе ограничение (9.4.5) вычитается из (9.4.3).

Вводя следующие определения:

"^) = ФР (tf,方)叁«),(9.4.7)

Се «) =Фе(^, 0 & «),(9.4.8)

z(t)=A [хр ⑴一全 ⑼，(9.4.9)

где ①р (&, t) и ①& (&,方)一фундаментальные матрицы для Fp и Fe соответственно, находим, что задачу можно записать более компактно

J = min max{4l|2(^) II2+ 4 J [l^ll^-II^IU dt} , (9.4.10)

где

z =仔心)北一宮(方)и(9.4.11)

и、

杯 «) = АФр (&, t)仇(%),宮 «) = АФе (% t) Ge (0?

Z (%) = 20 = А [фр (方力 ±0)Xp «0)—①e (tf, ±o) Xe (用)].

(9.4.12V

Необходимыми условиями стационарного решения являются следующие:'

又二0,九(切=z 侑)，(9.4.13}

% = 0 или м= - 7?才坏以=一R/杯%(⑺，(9.4.14) Hv — 0 или и=-AU 窮九=-r^崂乙色)，(9.4.15}

где

Я = у (uTRpu- vTRev) + 好[价(Z)w-g (t) и].

Двухточечная краевая задача, описываемая уравнениями (9.4.11) и (9.4.13) — (9.4.15), получается линейной и очень простой. Рекомендуемый способ ее решения состоит в использовании метода обратной прогонки, который уже обсуждался в разд. 6.2 и 6.3» Определим матрицу S (方)из условия

九 «)= S (方)z «)•(9.4.16)

Так как в этой задаче, согласно (9.4.13),九=0, то из (9.4.11) следует, что

Sz + S l^ (t) и ~ ^ ⑶回=0.(9.4.17)

С помощью (9.4.14), (9.4.15) и (9.4.16) ии v можно выразить через z;

乂= -R『尹Sz, и= -TV 窮⑹ Sz・(9.4.18),

После подстановки (9.4.18) в (9.4.17) видно, что матрица S«) должна удовлетворять уравнению

S = S [呢笈丁⑶т-宮7^嚙T] S(9.4.19)

или

伞(s-1)= _砂7?汐т—智左峭q.

Из (9.4.13) следует, что граничное условие для S есть

S (切=Е.(9.4.20)

Интегрирование (9.4.19) с условием (9.4.20) дает

S-* (Е)=刃 + Мр (亏力 一 Me (小 t),(9.4.21)

中0

Мр 出，方)=j 孤(О К/ G)仔т &)山， (9.4.22)

Me (力，i)= p ⑴左T ⑴宮T (i) dt.(9.4.23)

Уравнения (9.4.18) описывают стратегии с обратной связью для игроков U 0 V как функции текущего состояния. Матрицы в выражениях (9.4.22) и (9.4.23) характеризуют частичную управляемость системы с преследователем и преследуемым (см. в разд. 5.3 случай с матрицей А — 0). Для проверки условия седловой точки (этап 2 разд. 9.3) рассмотрим две вспомогательные задачи:

max ｛告1|z (力)J(IW梅p一心1瓦)山｝]

"£。,(P.1)

при условиях z = »«)u——^«)u

h u=—R才⑶TSz,.

где S определяется с помощью (9.4.19);

min ｛等 II z (力)『+ 三 J (II u 係p - II u I瓦)叫 I

к屮(Р.2)

при условиях z =⑶(力)m——富(力)u

и —R^Sz.,

где S определяется с помощью (9.4.19). После подстановки выражений и = —R^#TSz 以 и = —К；噌‘Sz в критерии качества задач (Р.1) и (Р.2) соответственно обе задачи сводятся к стандартным неигровым линейным задачам с квадратичным критерием качества, рассмотренным в гл. 5. Для задачи (Р.1) находим, что

Р= 一冗崎Т£Т% •

где

相n = S⑴⑶К”⑶咕+ S⑶К^环Т£Т ~S^R^TS —

— S⑴富KU富ТSТ；S⑴(切=E.

Для задачи (Р.2) получаем, что

м= -R^s^Zl

где

М ⑵=—S 宮 К^т 宮 TS ⑵一S^R^^S + S ⑵仔 K/»TS ⑵ +十S宮К^т宮『S, S

Отметим, что S《D = S⑵=S [уравнение (9.4.19)1, поскольку S" (®) = SO(3)= S (&). Итак, установлено, что стратегии с обратной связью (9.4.18) действительно соответствуют седловой точке задачи на минимакс.

Теперь мо田но попытаться также проверить оптимальность управлений и0 и р°, рассматриваемых как стратегии разомкнутого тапа. В этом случае приходим к задачам (Р.З) и (Р.4):

m：x {|||Z (tf) |P + 4 j (Il u 瓦 T > I瓦)山}

”：，} (P・3)

при условиях Z = Q^ (t) u — S (t)vI

n 乂 = — R才⑶т (f) S (if0) z «о) — функция времени 丿

吧n {j и z 伶[p +4 j di w 膜p—и > 同)山} I

”.“•} (P・4)

при условиях Z = Q^ (t) и—S (t)vI

и u= —/?計宮т (力)S (%) z(用)一巾ункцш1 времени J

Задачи (Р.З) и (Р.4) являются обычными линейными задачами на оптимум квадратичного критерия с тем дополнительным осложнением. что теперь критерии качества и уравнения системы содержат известные функции времени 乂。(力 и и。(0. Задачи решаются так же просто, как и ранее. Для задачи (Р.З) имеем

и «) = — R^T(t) [S⑶⑴ z «)+〃«)], где

a - S^^R^S (%) z (公 一 S⑶富隽嘲%,a(切=0,京3)= -S⑶富к2崎TS⑶，s⑺(学=及

Для задачи (Р.4)

〃⑴=一 К/仔T⑴岱⑷z⑴+ b (办 где

才二一3(4嚼応崎咕伉"(幻+S4沙氏/杯好，b(tf) = O1

M⑷=S⑷⑶KBt鋁tS⑷，S⑷出)=笈

22—0102

Отметим, что S⑶，S(" и S⑷，S&>. Последние соотношения являются частными случаями уравнений (9.3.10) и (9.3.10'), которые обсуждались в разд. 9.3. Опираясь на уже известные свойства решения уравнения Риккати (разд. 6.3), приходим к следующим утверждениям:

Если 以工》=S(2> = S конечна при % &方& 小 то стратегии с обратной связью (9.4.14) и (9.4.15) соответствуют седловой точке J, при этом J° = % || z (幻〔慳(®・

Стратегия разомкнутого типа 〃° (%)=——К/⑶'(％) S (%) z() оптимальна только в том случае, когда матрица S^} остается конечной. Для достаточно больших значений %——& и 宮区計宮'>0 матрица S(3> будет всегда стремиться к бесконечности.

Стратегия разомкнутого типа и。(方)——区”宮丁(方)S (%) z всегда является оптимальной, поскольку всегда S^ V °°-

Для широкого класса линейных задач с квадратичным критерием утверждения 2 и 3 аналогичны тем, которые были сделаны в простом примере разд. 9.3. Утверждению 1 можно дать дальнейшую интерпретацию. Из (9.4.21) видно, что если матрица S конечна, то

[Е 十 Мр (小方)一мё (&，£)] >0,方0 《方《 务 (9.4.24)

Так как Мр и Ме ——матрицы, характеризующие управляемость систем преследователя и преследуемого соответственно, то из формулы (9.4.24) видно, что седловая точка имеет место, если Мр > >〃е, т. е. когда преследователь более управляем, чем преследуемый.

Поведение промаха в конце интересно исследовать в том случае, когда величина энергии, отводимой на управление [формулы (9.4.4) и (9.4.5)], становится очень большой. Ясно, что по мере того, как Ер и Ее стремятся к бесконечности, константы ср и се приближаются к нулю [см. (9.4.6)]. Это в свою очередь приводит к тому, что Мр — 8, Me f 8； если при этом Мр — Ме оо, т。S ") т

0 при t tf [см. (9.4.21)]. Из соотношений J0 =% ||z(%o) ||s(i0)> (9.4.10) и того, что се и ср ^ 0, следует, что промах в конце стремится к нулю. Таким образом, для того чтобы произошел перехват, преследователь должен быть более управляемым, чем преследуемый. Такой вывод представляется довольно разумным.

Пример. Закон наведения для перехвата цели. Частным случаем 1) рассмотренных выше задач является следующая.

Данный пример представляет собой дифференциально-игровой аналог примера 2 из разд. 5.2. Здесь используется классическое векторное обозначение для трехмерного пространства, не зависящее от выбора системы координат.

Уравнения пространственного движения перехватчика и цели имеют вид

Vp = fp + а「，Гр = Vp, Ve =汽十必，Гс = Vc,

(9.4.25) где v ——скорость тела в пространстве трех измерений; г ——вектор положения в том же пространстве; f ——отнесенная к единице массы сила притяжения, действующая на тело; а ——управляющее ускорение тела. Предполагаем, что расстояние между преследователем и преследуемым достаточно мало, так что fp^fg. Следовательно, если интерес представляет лишь разность Гр (力(方)， то влиянием внешних сил можно пренебречь. В качестве критерия рассмотрим

J =0[гp (切一гё (切1 • [гР (切一区 (切 1 +

)[仿"如.*/ - W (%•%)]山，(9.4.26)

где ср и се ——постоянные, связанные соответственно с энергией пр есл ед овател я и преследуемого. Используя результаты этого раздела, можно непосредственно проверить, что в этом случае уравнения (9.4.14) и (9.4.15) сводятся к

_ 一еРе/一上) {叮⑴一匕(方)+ [力(方)一壮(方)]勿一9}

Р =(1/切+ ®一分)[(与一炉/3]，(9.4.27)

% =(9.4.28)

Сразу отметим, что:

4) Если ср >%, то знак коэффициента обратной связи не меняется.

Если ср V Сеч то при достаточно большом tf коэффициент обратной связи изменит знак в момент 方，для которого

•у+(ср —%) [(tf — 03/3] = 0.(9.4.29)

Но (9.4.29) еЬть просто конкретизированное для этой задачи условие (9.4.24) наличия сопряженной точки. Поэтому для больших tf в случае 2 соотношение (9.4.27) уже не является оптимальным. Отметим, что этот факт очевиден, в частности, когда 6 = 8. В этом случае при ср < се (сравните с 〃「V MQ перехват невозможен. Если рассматривать случай 1 и положить 匕=оо, то стра- 1*егия управления для преследователя упростится

=比二(%喝)](弓一炉 Sp ")-彩(0 + [Vp G) - Ve (切侑一方)}•

(9.4.30)

Пусть преследователь и цель находятся на номинальной траектории встречи на расстоянии R и скорость сближения

22*

厂=区/(“一%). Обозначим через ур—уе боковое отклонение от траектории встречи (фиг. 9.4.1). Тогда боковое управляющее ускорение, которое нужно сообщить преследователю, согласно (9.4.30), будет равно

а(боковое) = [1_力圖]°6 (9.4.31) т. е. это просто пропорциональное наведение с эффективной навигационной постоянной Ке 二 3/[1 ——(cJcp)L На практике установлено, что наилучшее значение Ке лежит в пределах от 3 до 5 工).

Преследуемый ①:и г. 9.4.1. Метод пропорциональной навигации.Преследуемый ①:и г. 9.4.1. Метод пропорциональной навигации.

Преследуемый ①:и г. 9.4.1. Метод пропорциональной навигации.

Преследуемый ①:и г. 9.4.1. Метод пропорциональной навигации.

Из формулы (9.4.28) видно, что Ке = 3 соответствует случаю, когда цель не маневрирует (% = 0), тогда как Ке— 5 имеет место при (се/ср) = 2/5.

Задача 1. Проверьте результаты задач (Р.1) и (Р.2).

Задача 2. Проверьте результаты задач (Р.З) и (Р.4).

Задача 3. Рассмотрите более общую линейную задачу на минимакс с квадратичным функционалом

XW dt,VXW dt,Vtf г л о о

X

W dt,

V

X

W dt,

V

J^^(xTSfx)t^if+^ f [x^vT] 030

2『J[°0

立=尸立 + Gu + D% R尹(〃)=0.

Предполагая, что В >0 и С >0, получите условия анормальности и наличия сопряженной точки.

Ответ. Матрица 【S — RQTRT] ограничена;

О V 0 или Q >0;用& £ & 力力

где

5 = —SF — F^S — А + S (GB^GT — DC^D7) S,S (&) — Sr

力t = —RT尸 + RT (G5"GT — DC'D' S,

К (力=々；

Q R^ (Gg-G - DC^DT)凡 Q (&) = 0.

Cm. S. R a m о, A. P u c k e t, Guided Missile Engineering, McGraw- Hill, N. Y., pp. 176—180, 1959. Русский перевод: С. P а м о, А- П а к к e т, Конструирование управляемых снарядов, Воениздат МО, 1963.

9・5・ Задача на минимакс времени перехвата с ограничениями ма управления

Рассматриваемая здесь задача является игровым аналогом задачи разд. 3.9, в которой управление находится на «упорах». Имеются две системы с ограниченными управлениями:

£р ― Рр^р +'gp〃， J 〃 I 4 1,(9.5.1)

您=FeXe + g&, I у I <1.. (9.5.2)

Система p (преследователь) стремится за минимальное время перехватить систему е (преследуемого^, в то же время система е пытается максимизировать время перехвата. Пусть условием перехвата будет

Ахр (&) = /底(&),、(9.5.3)

здесь / ——вектор-строка. Это скалярное условие перехвата неявно определяет время окончания перехвата &. Поступая так же, как в разд. 9.4.1, определим скалярную величину z:

z £4 [Фр (%, О 2P (力一①& (&忠)工")L(9.5.4)

Тогда системы (9.5.1) и (9.5.2) сведутся к скалярному уравнению

z = р (t) и — е (t) V,(9.5.5)

где

р (%) = А Фр 侑 J) gp, е (力)=АФе (k t) ge・

(9.5.6) / Если ввести гамильтониан

Я ⑵ и, q %, ^) = % [р (力 u — e(t) v] + 1,(9.5.7)

то, согласно изложенному в разд. 9.3, необходимые условия 工) стационарности примут вид

% = ~HZ - 0,(9.5.8)

九(川=v,(9.5.9)

Я ⑵ u°, р°,九，方)=min max H (z, 〃，q 入，％)?

I U| w 1 I V I < 1

(9.5.10) откуда следует, что

w° (t) = —sgn：【Yp (%)],(9.5.11)

‘p° ⑶=—sgn]we «)].(9.5.12)

т) Имеется еще одно условие стационарности Н (力/=——(1\= 0, которое, однако, будет лишним, поскольку важен только знак величины % (£/)•,

Подставляя (9.5.11) и (9.5.12) в (9.5.5) и учитывая, что z (%) = О, получаем

z (力，切—sgn v j Q 回方)d力 где Q回 力)=1 p (方)] - ] e Q) ,.

°(9.5.13)

Наименьшее значение &, которое удовлетворяет уравнению (9.5.13), называется возможным минимаксным временем перехвата. Поскольку каждый член скалярного уравнения (9.5.13) либо известен, либо может быть вычислен, величину 力/ и знак v можно определить сразу. Таким образом, для систем р и е оптимальные стратегии управления и0 (力)и и° (力)могут быть найдены как функции z (幻.Соотношения (9.5.11) и (9.5.12) фактически являются стратегиями с обратной связью. Если необходим многомерный перехват, то по существу ничего не меняется, однако для нахождения 力/ и знаков координат вектора v требуется решить не одно уравнение (9.5.13), а большее их число. Итак, на данную игровую задачу можно распространить большую часть результатов разд. 3.9, полученных для неигровой задачи.

Задача 1. Рассмотрите задачу на минимакс времени встречи с некооперирующим участником для системы

х = и, I u I & а,

У = S I и I & 仇 а > 瓦

Для U и Р найдите минимаксные стратегии с обратной связью.

Задача 2 [9.4]. Рассмотрите следующую задачу преследования: х = и — V (/ — вычисляемый промах),

I ^|<1, I У |<1,) 〃2 山 <>Р， J У3Й<Се,

ОО

Ясно, что

max ,価 &t = max j u& dt=(力『一力°) = В, оо

Поэтому предположим, что ср а се ^ В.

В случае, когда перехват невозможен, покажите, что при оптимальной игре

\ и? dt~ ср и \ и2 dt = се.

оо

Покажите, что если % V 3/3, то для всех 力 при оптимальной игре и ⑵ V 1.

Определите оптимальные стратегии и и р, а также поверхность, разделяющую области перехвата и промаха в пространстве переменных 况（力°）, % %, когда х （力）方 0, 5/3 & Ср & А, % & В/3・ Условимся, что преследователь будет использовать при перехвате

только минимальную величину \ t^ dt, （Это приводит к единствен- о

ности оптимальной стратегии и.）

Ответ для п. 3. Уравнение поверхности перехвата

«一詈）=^口-2 （轰+ /击）]'

и равно линейному управлению, когда 备十）^3^~《g，

и равно управлению на упорах, когда + у "^〉言，

〃=-sat {3 [1-2 （產+ /矗）]} •

Задача 3. （Предложена Е. Гильбертом, Мичиганский университет.） Пусть уравнениями движения преследователя и пресле^ дуемого будут

况 el （力0）= 1 ? 况e2 （方0）— 0, |D1貝1.%2 （%） = °"况 el （力0）= 1 ? 况e2 （方0）— 0, |D1貝1.%2 （%） = °"况硏="，"pl （方0）~ 一■"，

况 el （力0）= 1 ? 况e2 （方0）— 0, |D1貝1.

%2 （%） = °"

况 el （力0）= 1 ? 况e2 （方0）— 0, |D1貝1.

%2 （%） = °"

况el =%2，

з2 =一况e1 + V, где I u I ^ 1, Условие окончания перехвата:

况pi （力）=况"（方），

Докажите, что минимаксного времени перехвата не существует, но само время перехвата может быть сделано сколь угодно близким к 2冗.

Задача 4 [9.1]. В плоской задаче перехвата с минимаксным временем скорости Vp и Ve преследователя и преследуемого являются постоянными величинами, причем Vp > Ve. Преследуемый может

Фиг. 9.5.1. Фазовые траектории задачи 3.

непосредственно управлять направлением своей скорости, а у преследователя есть возможность регулировать свое боковое ускорение, которое ограничено по величине. Таким образом, у преследователя имеется минимальный радиус поворота R.

при этомпри этомВ связанной с преследователем системе координат, ось у которой всегда параллельна вектору скорости преследователя (фиг.9.5.2),.

при этом

при этом

2= UeSin% —卩р 靑〃，y = Vecos% — VP + Vp-^-u, —1С〃式 1. Здесь % есть управление преследуемого (неограниченное), а 口 —— управление преследователя (ограниченное, | и | & 1). Время перехвата tf определяется из условия

(炉 + y^tf = 〃，

начальные условия х (0), у (0) заданы. Покажите, что (при определенных условиях) минимаксными стратегиями являются

"=—sgn(ri —%), где T] = arctg-y , % = -^-sgn (П~ %), и что эти стратегии порождают однопараметрическое семейства экстремалей с параметром %力 параметрические уравнения которых

с аргументом % имеют вид

к = [" — I 笈(％ — %° ] sin % + % К — cos (% — %) 1,

(X 一 爲)」cos % + К sin (% — X/),

z『一z = ^(x-期).

[Указаниео Обратите внимание на то, что 九^十 ％； = const J

9・6・ Общие замечания 覚 теориидифференциальных игр

В предыдущих разделах было показано, что для решения игровых задач оптимизации (т. е. задач с двумя участниками) можно пользоваться обычными вариационными методами. Приведем некоторые общие соображения, относящиеся к таким задачам.

В задаче на оптимум с неизвестной возмущающей силой или параметром естественной является попытка моделировать неизвестное как случайный процесс, а затем, как это будет сделано в гл. 14, отыскивать управление, минимизирующее математическое ожидание критерия качества. Однако может оказаться, что о статистических характеристиках возмущающей силы или параметра известно так мало, что соответствующая вероятностная формулировка задачи невозможна. В этом случае можно воспользоваться традиционным методом построения управления, взяв в качестве возмущающей силы наихудшую из всех возможных; при этом предполагается, что возмущающая сила находится в распоряжении разумного противника, который стремится максимизировать все, что мы пытаемся минимизировать. Таков другой способ замены ^стохастической задачи детерминированной. (Обычный способ, изложенный в гл. 11—14, использует средние и вторые моменты фазовых координат, связь между которыми детерминированная. Например, задачи в предыдущих разделах можно сформулировать как стохастические, в которых действие преследуемого рассматривается как случайный процесс.)

Имеется другая особенность дифференциальных игр, которая делает их отличными от обычных задач оптимального управления. Рассмотрим, например, обычную задачу оптимального управления, в которой первая координата линейной динамической системы сводится к нулю за минимальное время. Такая задача решается просто, и она не очень интересна. Однако значительный интерес может представлять ее дифференциально-игровой аналог, причем, как было показано, решение его не оказывается труднее. Большинство задач на дифференциальные игры более легкие, поскольку обычно они связаны с пространством меньшей размерности (один, два или три). Главным образом по этой причине Айзексу

[9.1] удалось решить много интересных задач и графически изобразить их стратегии с обратной связью.

С другой стороны, введение противодействующей управляющей переменной также приводит к осложнениям. Прежде всего в игровых задачах нужно рассматривать стратегии с обратной связью1) или, что эквивалентно, непрерывно получаемые в реальном масштабе времени стратегии разомкнутого типа. С практической точки зрения задачи на дифференциальные игры со стратегиями разомкнутого типа не очень полезны2) (см., например, обсуждение в разд. 9.3). Поэтому задачи либо решают полностью, либо не решают совсем. Также может быть неразумно (в противоположность задачам обычного управления) рассматривать стратегии с обратной связью, линеаризованные относительно некоторой разомкнутой номинальной. Это объясняется тем, что противоположная сторона может выбрать такую стратегию (замкнутую или разомкнутую, не обязательно оптимальную), которая приведет к тому, что наша линеаризованная стратегия с обратной связью уведет нас далеко от номинала. В этом случае нельзя уже утверждать о каком-либо локальном минимаксном свойстве регулятора.

Наличие противодействующего управления также приводит к большому разнообразию в поведении систем, находящихся под действием минимаксного управления. Так, в разд. 9.4 было обнаружено, каким естественным путем появляются сопряженные точки. Фактически в дифференциальных играх скорее как правило, а не исключение встречаются вопросы существования (см. задачу 3 разд. 9.5), единственности (две различные стратегии приводят к одному и тому же значению критерия качества), вырожденности решений (Ни тождественно равен нулю). При решении игровых задач значительная часть усилий направляется на отыскание областей и поверхностей, определяющих эти ситуации (см. 19.1] и задачу 2 разд. 9.5). “

Наконец, можно рассматривать очень естественные и интересные обобщения задач этой главы на случаи, где имеются случайные воздействия и/или где интересы игроков не совсем противоположны; это стохастические дифференциальные игры и дифференциальные игры с ненулевой суммой. В настоящее время о таких задачах известно сравнительно мало, и поэтому у нас нет возможности останавливаться на них 3). <

Имеется в виду обратная связь того же типа, какая ранее была представлена формулой (4.1.1).—— Прим. ред.

Если не производить непрерывного вычисления таких стратегий в реальном масштабе времени.——Пр им. перев.

з)См. Y. С. Н о, Optimal Terminal Maneuver and Evasion Strategy, SIAM J. Control, 4, № 3 (1966); Y. С. H o, R. В e h n, On a Class of Stochastic Differential Games, Trans, A utomatic Control IEEE (June 1968); A. Starr, Y. С. H o, Nonzero Sum Differential Games, J. Optimization Theory and Application, (1969). '

Некоторые понятия из теории вероятностей

Дискретные случайные скалярные величины

Почти у каждого имеются некоторые интуитивные понятия о случайной скалярной величине и связанных с ней вероятностях. Обычный пример — результат бросания кости. Вероятности выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 одинаковы для каждого из возможных результатов бросания, называемых элементарними ийи непере- секающимися событиями. Для «неправильной» кости некоторые результаты более правдоподобны, чем другие. Если кость бросается N раз и N/ обозначает, сколько раз выпало число /, то интуитивно оправдано определение вероятности события / как

р ⑺= lim 帚.(Ю.1.1)

Часто представляет интерес сложное событие:《при данном бро7 сании кости выпадает либо j, либо fo>; с ним связана вероятность

p (j 辺涯0 加)=lim (也与竺•) .(10.1.2)

Из приведенных определений ясно, что вероятностная функция р (/) удовлетворяет следующим условиям:

0 & Р (力 & 1， 河(力=1, Р(7 или к)=.

一=7。)+ Р (*)•(Ю.1.3)

Дискретная случайная скалярная величина х определяется как функция с дискретными значениями х (/), причем вероятность jro значения х равна р (/). Функция р (/) называется распределением вероятностей случайной величины х. Обозначение х (/) обычно не применяется. Там, где это не приведет к недоразумению, мы будем писать х п р (х). Таким образом, для характеристики дискретной случайной величины х следует задать распределение вероятностей р (/). Приближенно случайную величину х можно характеризовать, задавая конечное число моментов распределения р (/). Первыми двумя моментами являются:

среднее значение 况[первый момент р (况)]

/=2况(力Р(力；(10.1.4)

дисперсия 况[второй центральный момент р (х)]

<72=3 к (Я — ^]2р(/),(10-1-5)

где о известна также под названием среднего квадратического отклонения х.

Математическое ожидание функции от 况 определяется как

Elf (^)]= £/[况(j)lp(j)・(10・l・6)i)

Из (10.1.4) и (10.1.5) следует, что среднее есть математическое ожидание 瑞 в дисперсия — математическое ожидание (/ —况产 Отметим, что оператор математического ожидания является линейным.

Дискретные елуча^иые векторы

Случайный вектор ——это вектор, компонентами которого являются описанные в разд. 10.1 скалярные случайные величины. Рассмотрим случайный вектор х с компонентами х^ / — 1, 2,... • •". Если каждая компонента вектора может принимать дис

кретное множество значенийхг (力)，где 力= 1, 2, . • ., тг, то ясно, что имеется т^п2- •:加几 возможных векторов. Для полной характеристики случайного вектора нужно задать совместное распределение вероятностей р (九，/2, . . ., /п). Здесь р (九，;2,... • •・，/п)—вероятность того, что случайная величина х{ принимает /ре значение и случайная величина ж2принимает /2*е значение,... ...,и хп принимает /п-е значение. Часто, когда это не приводит к недоразумению, функцию р (/i, /2,・• •, %) записывают в виде Р (况 I,况 2, • •・,^n). Если интересуются только одной компонентой случайного вектора, например /「то безусловное распределение вероятностей случайной величины /【определяют как

他2тп

Р(71) — 2 • ■ • 2 |р (%，/2, • • • > /п)-(10.2.1)

于2=1片=1

Здесь р (/])——вероятность такого сложного события, в котором 况丄 принимает свое /ге значение, а случайные величины 胃2, • •-,况九 принимают любые возможные значения. Итак, в зависимости от исходного пространства элементарных событий значение случайной величины может соответствовать результату либо одного элементарного, либо сложного событий. В общем случае имеем

〃(九…，力)=.£ •・・*£ pOi,涼jQ・(10.2.2)

E — начальная буква английского слова «expectation»—ожидание.— Пр им. ред.

Для характеристики отдельных компонент вектора х достаточно знать их безусловное распределение вероятностей. Однако для полного описания 况 нужно задавать распределение р (ж1?...

♦ • •，①7l) *

Как и в скалярном случае, вектор х можно приближенно характеризовать с помощью моментов распределения р (/)•

1) Вектор средних значений 况

- △ / =- △ / =-况1 (") ■

- △ / =

- △ / =

； Pd，Л0・(1023)

也71 (7几)"

Вторые моменты вектора х. В отличие от единственной дисперсии случайной скалярной величины случайному вектору соответствует п дисперсий и п (п ——1)/2 величкн, называемых смешанными моментами второго порядка. Матрица ковариаций Р определяется как

—(勺况 1)2, . •.,(况］况I)(/71况71)

Р — Е{(х — х) (х — х)Т］ =Е •：=

一(况几一况几)(况1 一况I), • •.,(况几一况Q2.

"=1加=1"=1加=1(况 1 (九)一勺产，• • •，(0 (%)一况 1)(况几(%)一况Q "

"=1加=1

"=1加=1

(10.2.4)(10.2.4)(况 71 (/n) — ^n) (^ (；!)— X^.^.^Xn (/〃)一况 n)2_

(10.2.4)

(10.2.4)

x P (71，J2, • • ‘ /п)"

Здесь предполагается, что оператор математического ожидания Е применяется к каждому элементу матрицы. Диагональные члены матрицы Р являются дисперсиями компонент вектора; элементы, стоящие вне диагонали, есть смешанные моменты второго порядка. Отметим, что матрица Р симметричная, так что имеется только 孔(/г + 1)/2 различных элементов.

Пример. Рассмотрим вектор с двумя компонентами х = ［；；］• Первая компонента принимает два значения:况i (1) = 3,况i (2) = 4. Вторая компонента имеет три возможных значения: х2 (1) — 0, 况2 (2) = —1, %2 (3) = 2. Таким образом, имеется шесть возможных элементарных событий или векторов. Предположим, что вероятности этих векторов равны

р(1,3) =0,3; р(2, 3) -0,1.р(1,3) =0,3; р(2, 3) -0,1.р (1, 1) =(М；Р (1, 2) = 0,2;

р(1,3) =0,3; р(2, 3) -0,1.

р(1,3) =0,3; р(2, 3) -0,1.

р (2, 1) ~ 0,2;р (2, 2) = 0,1;

Математическим ожиданием вектора будет

叱W [:»。,3用 + 0,2 团 +

+ 0,l[J] + 0,l[^,

или

^1 「3,4^1 「3,4

^1 「3,4

^1 「3,4

Дисперсии и смешанные моменты второго порядка определяются так:

ЕЕ04_ — 0,5_04_ — 0,5_一（况 1 一况 1）2,（况 1一况 1）（况2 - ^2）一一（况2-况2）（况 1 一况 1）,（况2 - ^2）2 -「一!04[-0,4； -0,5]+0,2一（况 1 一况 1）2,（况 1一况 1）（况2 - ^2）一一（况2-况2）（况 1 一况 1）,（况2 - ^2）2 -「一!04[-0,4； -0,5]+0,2[—0,4;—1,5]-}-[—0,4;—1,5]-}-

Е

Е

04

_ — 0,5_

04

_ — 0,5_

一（况 1 一况 1）2,（况 1一况 1）（况2 - ^2）一

一（况2-况2）（况 1 一况 1）,（况2 - ^2）2 -

「一!04

[-0,4； -0,5]+0,2

一（况 1 一况 1）2,（况 1一况 1）（况2 - ^2）一

一（况2-况2）（况 1 一况 1）,（况2 - ^2）2 -

「一!04

[-0,4； -0,5]+0,2

[—0,4;—1,5]-}-

[—0,4;—1,5]-}-

Г-0,41Г 0,6]

+ 0,3[ 1j5J[-0,4; l,5]+0,2l05 [0,6; —0,5] +

Г 0,6]「0,6]

+ 0,1 _] 5 [0,6; —1,5] +0,1 J § [0,6; 1,5], или

Г 0,24; -0,Ю"

尸=[-0,10;l,65j*

Можно непосредственно проверить, что в данном случае мат

рица Р положительно определенная.

Задача. Покажите, что любая матрица ковариаций по крайней мере положительно полуопр ед елена. [Указание. См. приложение АЗ.]

Корреляция, независимостьи условные вероятности

В предыдущем разделе было отмечено, что если одновременно имеется более одной случайной величины, то недостаточно знать только безусловные распределения вероятностей отдельных случайных величин. Приближенно характеризуя случайные величины, пользуются, в частности, недиагональными ковариационными

членами матрицы Р. Если P»j 声 0 при » #= /, то говорят, что случайные величины 况》и 况『коррелированы. В более общем случае говорят, что случайные величины 方厶• •.，况厶 зависимы, если знание распределений р （况",р （况2）, • • •，Р （况九）полностью не определяет распределение р （况九・• •,况九）・ С другой стороны, если

р （况 1,.・•，况九）=р （况О р （^2），• • Р W （Ю.3.1）＞

для всех возможных значений х^ ...,况九,то случайные величины называются независимыми. Заметим, что попарная независимость 况I,...,况九 не означает независимости. В то же время попарная независимость является достаточной для некоррелированности, т. е. достаточна для того, чтобы матрица Р была диагональной* Отметим также, что отсутствие корреляции не означает независимости 1）.

Пусть два случайных вектора 况 и у зависимы. Если бы было известно, что 汽 принял конкретное значение, то значение у можно было бы предсказать более точно, чем при отсутствии этой информации. В связи с этим полезно ввести понятие условного распределения вероятностей

Р团况）=尸爲，一Дляр（优）*0. （10.3.2）

Здесь р （у| 况）есть вероятность у при условии, что задано значение 况. Условное среднее и условный второй момент определяются формул лами, аналогичными （10.2.3） и （10.2.4）. Совместное распределение вероятностей просто заменяется на условное распределение вероятностей. Заметим, однако, что поскольку математическое ожидание и второй момент есть функции случайной величины 瑞 на которую- накладывается условие, то они являются уже не постоянными,

а случайными величинами. Так как р （у,况）= р （况］沙）р （у）, то

PW况）=p（［黑⑼. （10.3.3）

Это известная формула Бейеса. В выражении （10.3.3） р （у） можно считать априорной вероятностью у без знания значений 况， а р （у］况）—апостериорной вероятностью у, если задано, что 况 принимает определенное значение. Когда 况 и у независимы, то выражение （10.3.3） приводит к равенству р （у | 况）=р （у）, означающему, что, зная 况,нельзя предсказать у. Это, конечно, является интуитивным основанием для независимости.

1） См., например, ［10.1］.

Непрерывно распределе иные случайные величины

Для целей, преследуемых этой книгой, приведенные в разд. 10.1——10.3 понятия можно непосредственно обобщить на случайные векторы с непрерывным множеством значений D. Функция ，(况г . . ., хп) становится плотностью распределения вероятностей, причем р (况1, . . ., хп) d况 1 . . . dxn есть вероятность того, что случайный вектор 况 будет находиться в элементарном объеме ^1 • • • dxn с центром в точке (况九....,хп). Таким образом, имеем

(10.4.1)(10.4.1)р (况 1, .. ., хп) dxi dxn = 1.

(10.4.1)

(10.4.1)

Математическое ожидание вектора определяется как

(10.4.2)(10.4.2)Дисперсии и смешанные моменты второго порядка вектора определяются какДисперсии и смешанные моменты второго порядка вектора определяются какp^e [(况一况)(况一况)I =p^e [(况一况)(况一况)I =

(10.4.2)

(10.4.2)

Дисперсии и смешанные моменты второго порядка вектора определяются как

Дисперсии и смешанные моменты второго порядка вектора определяются как

p^e [(况一况)(况一况)I =

p^e [(况一况)(况一况)I =

(况1 -况J2,….，(况1 一勺)(胃办一％) 一

：__ X

(况九一况九)(况1一况1),...,(况九一况Q2_

X p (况 1, .. xn) dxr dxn.(10.4.3)

Короче, для того чтобы найти математические ожидания дискретных (непрерывно распределенных) случайных величин, пользуются распределением вероятностей (плотностью распределения вероятностей) и производят суммирование (интегрирование) по всем возможным значениям случайных величин.

С помощью 6-функции Дирака распределение можно заменить плотностью распределения

(10.4.4)(10.4.4)Рпп(2)= [ррасп (々))1 6 (К — К О»

(10.4.4)

(10.4.4)

Чтобы переход к непрерывному случаю был строгим, нужно учесть различные специальные условия и дополнительные допущения. Хорошим пособием могут служить книги [Ю.2, 10.3].

Преобразования плотности распределения. Если 况 ——случайный вектор с плотностью распределения р (х) п у = f (^) — всюду дифференцируемое взаимно однозначное преобразование '), то можно показать, что плотность распределения у задается выражением

Р (у) = Р(2)II J I」，где к =尸 Q) (10.4.5) и ] J I —— определитель матрицы Якоби J, элементы которой

.J氾=器・(1°46)

Это легко показать, если рассмотреть два элементарных объема пространств векторов 况 и у.

Функция распределения. Другой полезной вероятностной функцией является функция распределения Р (况)).

Р (修,...,况沦)=Вероятность того, что случайно выбранное значение первой компоненты меньше или равно 况九 и случайно выбранное значение п-й (компоненты меньше или равно хп.

Очевидные свойства функции распределения:

1) Р (-оо) - 0,

Р( + оо) = 1,

Р (况)при возрастании любой компоненты не убывает,

Р (况)может быть разрывной.

Когда Р (况)непрерывна и дифференцируема, то

ад 工 f)汲“ =Р 的％(10.4.7)

И xi хп

J • • • J p (Ei,…，^n) "Ei • • - ^^n =尸(^i? • • • i ^n)- (10.4.8)

Часто встречаться с функцией распределения в этой книге нам не придется.

Задача 1. Пусть 况——двумерный вектор с плотностью распределения р (况I,况2), а у = / (况г 况2)— однозначное преобразование пространства (况匕 况2)в скалярное пространство у (т. е. на чис-

ловую прямую). Покажите, что плотность распределения у равна

P (У) — P (况 1，羯(行仰 1)2 + (。〃近2)2，

г

где J — интеграл по контуру у — const в пространстве (况匕 况2)・

Задача 2. Пусть х ——случайная скалярная величина, такая, что у = в况2 (обратите внимание на то, что обратное отображение у f х двузначно).

Если

Р ⑺= 7WexP「FJ‘

покажите, что плотность вероятности у определяется формулой

о, yvO.

Покажите также, что

EtyjA^y^ao2,笈[(у —у)2] = 2а2(Д

а

erf 尸(У)=〈erf 尸(У)=〈y>0,у vo,y>0,у vo,

erf 尸(У)=〈

erf 尸(У)=〈

y>0,

у vo,

y>0,

у vo,

является функцией распределения.

Задача 3. Пусть 况 ——случайная скалярная переменная, а у —— такой скаляр, что

У = @况+友隱.

Если

Р ⑺а 74^"хp[一蠢],.

покажите, что плотность вероятности у определяется формулой

。"2,+ 4物{exP [ — 嘉(f + w + f Ji■ + 爲)]+ р(у)= +eхp[ 一 嘉(■!■ 十 磊 _专|/4十 备)]}, у>-^ ；

Совместные распределениявероятност ей'

Равномерное распределение. Равномерное распределение, когда все возможные значения равновероятны, является простейшим распределением случайного скаляра. Если имеется N возможных значений 瑞 а именно х (1), • . •，况(TV), то

「(/)=%，/ = 1, ..., TV.(10.5.1)

Очевидно, что

2p(j) = l,(Ю.5.2)

х = Е[х] £ 况⑺，(Ю.5.3)

总[(况一卧円工备2 [况⑺一%产(Ю.5.4)

Биномиальное распределение. Пусть р——вероятность появ

ления определенного события в каждом опыте； 1 —— р есть вероятность непоявления этого события. Вероятность того, что в п последовательных опытах событие не произойдет ни в одном из опытов, равна

Ро = (1 — Р)п・(Ю.5.5)

Вероятность того, что в п опытах событие произойдет точно один раз, есть

〃 ="Р (1 — р)п-1,(10.5.6)

поскольку это событие может произойти в каждом из п опытов, и вероятность того, что это случится в любом конкретном опыте, а не во всех остальных, равна р (1 ——р)п-1. Аналогично вероятность того, что событие произойдет ровно А раз в п опытах, равна 加Н而/"(1 一切3，d°57)

так как п\!к\ (п — к)\ есть число способов, какими из п различных элементов можно выбрать 加 элементов. Непосредственным вычислением получают среднее и дисперсию случайной величины & (числа появлений определенного события в п опытах)

Е \к} = 2 крк = пр1(10.5.8)

Е[(к — прУ] = 2 (k — np)2ph = np(l—p). (10.5.9)

Для того чтобы быстро получить эти результаты, полезно определить производящую функцию случайной величины 加 следующим образом:.

G0 = (pt + ?Г=3 м(乜"(Р炉尸，g = 4 — Р・(10.5.10) 々=0

Коэффициент при 严 равен pk. Производящая функция G (力)случайной величины 加 имеет следующие свойства, часто дающие возможность быстро подсчитать среднее и дисперсию:

±G(t)\l=1^E[k],

G" (1) + G' (1) - [G‘(I)]? = Дисперсия к.

Пример 1. Вероятность появления 1 при каждом бросании кости равна 工/仆 Вероятность появления 1 ровно 加 раз в п последовательных бросаниях есть

п! / 1 \ ^ / 5 \ п»к\ (п — к)\ kT/ XT/'

Положим " = 6, тогда

Ро = 0,335; pi = 0,401; р2 = 0,201; р3 = 0,053;

р& = 0,008; р5 = 0,0006; & = 0,00002 и

Е [к] = 1, Е [(* - I)2] = 5/6.

Распределение Пуассона. Рассмотрим биномиальное распределение, когда " очень велико, а р очень мало, например пусть р = ^ ц/п, где 世 есть среднее число появлений события в п попытках. Производящая функция

При "f 8 это выражение стремится к величина е貝d-i), которую можно представить как

L X 喏.(10.5.12)

左=0'

Отсюда следует, что вероятность того, что событие произойдет ровно к раз в большом числе опытов, когда в среднем оно происходит ц раз, равна

Ра =罂 ef.(10.5.13).

Вместо того чтобы рассматривать события, происходящие во время большого числа опытов, можно рассматривать события,

Некоторые понятия из теории вероятностей 357 случающиеся на отрезке времени заданной длины. Тогда вышеупомянутое pk будет вероятностью того, что в течение заданного интервала времени некоторое событие произойдет ровно 加 раз, причем в среднем на этом интервале оно происходит 卩 раз.

Пример 2. Пусть 卩 есть среднее число автомобилей, пересекающих некоторый пункт в единицу времени; вероятность того, что ровно к автомобилей пересечет этот пункт за время 友 равна (卩9〜-m/加

Упомянутую вероятность р^ можно также представлять как вероятность того, что ровно к объектов будут занимать определенное пространство, когда в среднем это пространство занимают 卩 объектов.

Пример 3. При севе травы на единицу площади попадает 卩 семян; (卩幺产 е~^А/к\ есть вероятность того, что ровно к семян попадут на площадь А. ，

Задача 1. Покажите, что среднее значение распределения Пуассона есть 世 и что дисперсия тоже равна 卩.

Задача 2. Каким можно было бы выбрать наименьший объем воздуха (при давлении в одну атмосферу и температуре 20° С), чтобы среднее квадратическое отклонение плотности воздуха не превышало одной тысячной средней плотности, если можно было бы подсчитать число молекул в данном объеме? Считайте, что число частиц в объеме V есть случайная величина с распределением Пуассона; иными словами,

равна вероятности нахождения ровно 加 частиц в объеме 卩,где в единице объема в среднем имеется 世 частиц. Для воздуха при температуре 20° С и давлении в одну атмосферу 卩==2,7-10э ча- стиц/с^.

Ответ. Выбираемый объем должен быть кубиком с ребром равным 3?3-Ю-5 см.

Совместные плотности распределения вероятностей

Равномерная плотность распределения. Равномерная плотность есть простейшая плотность распределения случайного скаляра

Р 他)=《 с с (10.6.1) 0,况可,况Vb-—.

b 吆

〃с

с/2

Ф и г. 10.6.1. Плотность равномерного нраспределения.

Очевидно, что

ООJ р (х) dx=i,—0ОE[x]^=b,丄4ООJ р (х) dx=i,—0ОE[x]^=b,丄4(10.6.2)(10.6.2)(10.6.3)(10.6.4)(10.6.3)(10.6.4)Плотность гауссовского распределения случайного скаляра. Гауссовское распределение, вероятно, является наиболееПлотность гауссовского распределения случайного скаляра. Гауссовское распределение, вероятно, является наиболеепределением случайного скалярапределением случайного скаляраобщим рас-общим рас-

ОО

J р (х) dx=i,

—0О

E[x]^=b,

丄4

ОО

J р (х) dx=i,

—0О

E[x]^=b,

丄4

(10.6.2)

(10.6.2)

(10.6.3)

(10.6.4)

(10.6.3)

(10.6.4)

Плотность гауссовского распределения случайного скаляра. Гауссовское распределение, вероятно, является наиболее

Плотность гауссовского распределения случайного скаляра. Гауссовское распределение, вероятно, является наиболее

пределением случайного скаляра

пределением случайного скаляра

общим рас-

общим рас-

Р(^) =Р(^) =Легко показать, чтоЛегко показать, что—i exi) r —(~一办2 ](2冗尸/20 P[ 2(y2 J—i exi) r —(~一办2 ](2冗尸/20 P[ 2(y2 J(10.6.5)(10.6.5)

Р(^) =

Р(^) =

Легко показать, что

Легко показать, что

—i exi) r —(~一办2 ](2冗尸/20 P[ 2(y2 J

—i exi) r —(~一办2 ](2冗尸/20 P[ 2(y2 J

(10.6.5)

(10.6.5)

(10.6.7)(10.6.7)

(10.6.7)

(10.6.7)

8

(10.6.6)(10.6.6)(P (况)@况=1,

(10.6.6)

(10.6.6)

—8

Е [х]=况,

J Оправданием для представления многих сложных явлений с помощью плотности гауссовского распределения служит центральная предельная теорема г), согласно которой, если 歩 есть сумма N 弋 / i) См., например, [10.4].

независимых величин с неодинаковыми плотностями распределения, то при 72 f 8 плотность р а спр ед ел ения 况 стремится к гауссовской (см. задачи 1 и 2). Вероятность того, что х лежит между х —— 三 и 汽 + 三, определяется как

=^~ J e-n2dn^eri (?//2a). (10.6.9)

Таблицы этого интеграла вероятностей или функции ошибки имеются во многих книгах. Ниже приведены представляющие особый интерес значения итеграла при 三=и, 2и и Зи

三 Значение интеграла и0,683

2 а0,955'

'Зи0,997

Так как вероятность того, что 况 лежит между 况 ——Зи и 况 + Зи, равна 0,997, то величина Зи часто используется в практических задачах в качестве верхней границы отклонений от среднего. Аналогично понятию производящей функции распределения определяется характеристическая функция для плотности распределения случайной величины

оо

Мх (/у)^^^]- J ^хр (^) dx, 7 = /^Т, (10.6.10)

являющаяся преобразованием Фурье плотности распределения. Можно легко проверить, что

砌叫=（Т广整豊■ i・（10-6.11）

Задача 1. Пользуясь результатами задачи 1 разд. 10.4, рассмотрите случай, в котором 况и х2 ——независимые случайные

Фиг. 10.6.3. Плотность распределения суммы двух равномерно распределенных случайных величин.

величины, распределенные равномерно на интервале (—丄厶，丄厶)。 Покажите, что для у =况1 + 方2

Р（У）=Р（У）=j1 —I八团<Х10,|р|>1・j1 —I八团<Х10,|р|>1・

Р（У）=

Р（У）=

j1 —I八团<Х

10,|р|>1・

j1 —I八团<Х

10,|р|>1・

Задача 2. Используя результаты задачи 1 (и, кроме того, задачи 1 разд. 10.4), рассмотрите случай, в котором 况「хг и х3 —— независимые случайные скаляры, равномерно распределенные на интервале (——г/2, г/2)- Покажите, что для у = 况】 + 况2 + 况з

0<|^|Су,

1/3\ 2]3

S(y)^ 1 (у_1^1) ' e《WI《N，

0，\у\>^

Обратите внимание на то, что р (//) стремится к плотности гауссовского ра спр ед ел ения, что указано в центральной предельной теореме.

Фиг. 10.6.4. Плотность распределения суммы трех равномерно распределенных случайных величии.Фиг. 10.6.4. Плотность распределения суммы трех равномерно распределенных случайных величии.

Фиг. 10.6.4. Плотность распределения суммы трех равномерно распределенных случайных величии.

Фиг. 10.6.4. Плотность распределения суммы трех равномерно распределенных случайных величии.

Задача 3. Покажите, что

Мх (jy) = exp [/и^—

есть характеристическая функция гауссовской случайной величины.

_Z0・7・ Плотность гауссовского распределения случайного вектора

Если 况一случайный n-мерный вектор, компоненты которого могут принимать непрерывное множество значений, то плотностью вероятности, чаще всего встречающейся на практике и, конечно, наиболее важной в этой книге, является плотность гауссовского^

или нормального, распределения ')

Р （比）=（2冗了；］Р产0冲［一兵一力产0-13一吁（1070

(10.7.2}(10.7.2}Можно показать, чтоа)

(10.7.2}

(10.7.2}

〃 (a) d况 1 • • • dxn = 1,

Е [х] = х (математическое ожидание вектора), «^

Е [(况一X)(力一％)т] = Р (матрица ковариаций вектора).

(10.7.4)

Здесь I Р I ——определитель матрицы Р, Р'1 ——матрица, обратная к 尸.Отметим, что р (况)полностью определяется заданием только х и Р.

Если Р ——диагональная матрица, то компоненты х — х статистически независимы, поскольку в этом случае р (况) можно представить в виде произведения п плотностей нормальных распределений скаляров. Другими словами, если компоненты гауссовского случайного вектора не коррелированы, то они статистически независимы. В силу своего определения Р является неотрицательно определенной матрицей, т. е. ее собственные значения положительны (либо равны нулю). Поэтому с помощью ортогонального преобразования S

(10.7.5}(10.7.5}р = S(况—а)

(10.7.5}

(10.7.5}

матрицу Р всегда можно привести к диагональной форме. Другой способ доказательства этого утверждения основан на том, что гиперповерхностями постоянного правдоподобия (постоянных значений плотности распределения) в пространстве 况 являются гиперэллипсоиды и после поворота системы координат главные оси этих гиперэллипсоидов можно использовать в качестве координатных осей*

(10.7.6).(10.7.6).Часто интересуются вероятностью того, что 况 лежит внутри гипер эллипс оида

(10.7.6).

(10.7.6).

1) Удобное сокращенное обозначение этого вектора: % есть N (х, Р" 2) См. работу [10.5].

где Z —число. После преобразования к главным осям (10.7.6) принимает вид

吗~+*+…+居=产(Ю.7.7)

Это выражение с помощью другого преобразования z» = yd^i переходит в уравнение гиперсферы га измерений

z： + z； + • • • + * = ?2.(Ю.7.8)

Вероятность нахождения z внутри этой гиперсферы равна

уу3；/2 吋{—4"[z； + z；+ ・.• + 碌]}必纟• • . dzn, (10.7.9)

у

у

причем интегрирование проводится по объему V гиперсферы радиусом г.

严=纟：+ 建+ ... +W.(10.7.10)

В пространстве переменных z» определитель | Р | = 1, так как все дисперсии равны единице, а смешанные вторые моменты —— нулю. Итак, вероятность нахождения / внутри гиперэллипсоида {х —х)т Р^ {х — х)= Z2 равна

exp (―疗)/⑺办，(Ю-7.11)

где / (r) dr есть сферически симметричный элемент объема в п- мерном пространстве. Для n = 1, 2, 3 эта вероятность равна

n= 1:72= 2：n= 1:72= 2：У2/л J ехр (-^产)公=eм 0/у2), о

n= 1:

72= 2：

n= 1:

72= 2：

(10.7.12)(10.7.12),ехр ( — ^ 2)"г = 1 — exp ( — у ^2), b

(10.7.12)

(10.7.12)

* = 3: |Л 2/л jexp ( —у 产)广 2 力=erf (z ]Л2)— М 2/冗 I exp ( — ^ %)•

Особый интерес представляют значения Z = 1, 2, 3:

1

2

3

1

0,683

0,955

0,997

2

0,394

0,865

0,989

3

0,200

0,739

0,971

Эти величины часто называют вероятностями одной, двух и трех сигм.

Пример. Рассмотрим нормально распределенный двумерный вектор, у которого / = 0 и

Р =Р =4 Г

Р =

Р =

丄1_ *

4一* 11, 1 — сг24一* 11, 1 — сг2О,О,Собственные значения матрицы ковариации находятся из уравнения

4一* 1

1, 1 — сг2

4一* 1

1, 1 — сг2

О,

О,

или

о 4 — 5а2 + 3 = о, откуда о： = 4,3;

и собственные векторы пропорциональны векторам

На фиг. 10.7.1 для Z = 1, 2, 3 показаны эллипсы правдоподобия

Г4, 1]5，%2)]]Г4, 1]5，%2)]]*2_*2_

Г4, 1]

5，%2)]]

Г4, 1]

5，%2)]]

*2_

*2_

Вероятность нахождения х внутри эллипса с Z = 1 равна 0,394, внутри эллипса с Z = 2 составляет 0,865 и внутри эллипса с Z = 3 равна 0,989.

吗4--吗4--Фиг. 10.7.1. Эллипсы правдоподобия. Пример двумерного гауссовского случайного вектора.Фиг. 10.7.1. Эллипсы правдоподобия. Пример двумерного гауссовского случайного вектора.

吗

4--

吗

4--

Фиг. 10.7.1. Эллипсы правдоподобия. Пример двумерного гауссовского случайного вектора.

Фиг. 10.7.1. Эллипсы правдоподобия. Пример двумерного гауссовского случайного вектора.

Важное свойство гауссовских случайных векторов, В дальнейшем часто используется важное свойство гауссовских случайных векторов, а именно: линейная комбинация

гауссовских случайных векторов также является гауссовским случайным вектором. Его аналитическое выражение: если х ——гауссовский случайный вектор со средним х и ковариационной матрицей Рх, а у = 4n + b, где А ——постоянная матрица, Ъ ——постоянный вектор, то у есть гауссовский случайный вектор со средним у и ковариационной матрицей Ру, причем

у =力胃 + 仇(10.7.13)

尸沙=APXAT.(10.7.14)

Соотношения (10.7.13) и (10.7.14) сразу следуют из определения математических ожиданий:

оооо

у = Е[у]^= J ... j (/n -rb) р ⑺壶dxn =

•оооо

=4 j • • • J хр (х) dxi , .. dxn + OQ— OQ

оооо

+ b J f р (х) d^t . . . dxn = Ах + Ь, -

-0о-оо

Ру^Е[(у — у) (у~у)Т] =

ООоо

А (х — х) (х--х)т Атр (n) dxi • • • dxn = АРХАТ^

—оо— оо.

Если матрица А невырожденная, то также очень просто показать, 4то у есть гауссовский случайный вектор ^). Вероятность того, тго точка у лежит в определенной области Ry пространства г/-ов, равна вероятности того, что точка n находится в соответствующей области Rx пространства n-gb, т. е.

J • • • J Р ®) &У1 • • • ^Уп = J • • • j Р Ю dxi ... dxn. (10.7.15)

Если изменить переменные интегрирования и учесть, что

&! •・•出方=I ААТ |一山2初].dyn, (10.7.16) то придем к следующему результату:

I Р(у) = \ААт1~1/2р(х)^

= 张既^ё冲{_^仅一7产(47产%必7匂_7)},

где N匂一位，

Чтобы провести доказательство в случае, когда матрица 4 вырожденная, рассмотрите задачу 2 или см. [10.4].

или

p(У)= З产2:方产ёхp ｛一^仅一7产办1@一力｝， (10717) который и нужно было доказать.

Задача 1. Пользуясь многомерным преобразованием Фурье, определите аналогично (10.6.10) совместную характеристическую функцию случайного вектора и покажите, что для гауссовского вектора n (см. [10.10*1)

Мх (/г) = ехр (川丁胃—1/2”Ри)・

Задача 2. Используя результат задали 1 (см. [10.4]), докажите равенства (10.7.13) и (10.7.14) для случая произвольной матрицы А.

Задача 3. Покажите, что если Ъ ——гауссовский случайный вектор, независимый от 况，со средним Ъ и ковариационной матрицей Рь, то уравнения (10.7.13) и (10.7.14) переходят в

Е [у] = Ах + 仇 cov (у)三乙=АРХАТ + Рь.

(Указание. Рассмотрите вектор ^ .)

Задача 4. Пусть и — трехмерный гауссовский случайный вектор с ортогональными компонентами 少士, и?, v3 и нулевым средним и предполагается, что компоненты его не коррелированы и имеют одинаковые дисперсии сг2. Покажите, что плотность распределения вероятностей длины вектора и есть

где величина и =(少：+ 场 + 喲“2 по определению неотрицательна. (Указание. Перейдите к сферическим координатам.) В кинетической теории газов, где и ——величина скорости молекул и о =kT!m, Т — температура, к — постоянная Больцмана, ш — масса молекулы, р (г) называется плотностью распределения Максвелла —— Больцмана. В статистике р (и) называют плотностью распределения %2 с 冷=3.

Введение в теорию случайных процессов

Случайные последовательности и марковское свойство

Случайной последовательностью называется совокупность непрерывно распределенных случайных величин (скалярных или векторных), помеченных дискретным параметром, как, например,

х (0), х (1), а? (2), . . ., х (N).

Обычно для удобства значения параметра берутся целыми, а в приложениях они часто соответствуют единицам времени или длины ').

Примеры последовательностей случайных векторов весьма распространены: а) скорость ветра (величина и направление) в какой-либо фиксированной точке пространства в последовательные моменты времени; б) положение и скорость центра масс летательного аппарата в равно отстоящие друг от друга моменты времени; в) крутящий и изгибающий моменты, тангенс угла наклона и смещение в последовательности точек вдоль балки в заданный момент времени; г) амплитуда и фаза радиоволны в различные моменты времени.

Для полного описания случайной последовательности нужно задать плотность совместного распределения вероятностей

р [/ (N), / (N — 1),・•・,/ (0)]

всех элементов последовательности. Обычно это требует огромного количества информации. К счастью, большинство встречающихся на практике случайных последовательностей обладает специальным свойством, которое позволяет определять их проще, чем случайную последовательность общего вида; таким свойством является свойство марковости.

Марковские последовательности. Говорят, что случайная последовательность £ (k), к = 0, 0, N, является марковской, если для всех к

р [х (к + 1) \ х (Л), х (к — 1), • • ., / (0)]='

р [х (к + i) I х (初，(11.1.1)

К сожалению, вышеупомянутые обозначения совпадают с обозначениями N значений дискретного случайного вектора. Однако по смыслу изложения, где встречаются эти символы, обычно ясно, что имеется в виду.

т. е. если плотность распределения вероятностей для а; (Л + 1) зависит только от знания / (Л) и не зависит от х (к — Z), Z = 1, 2, . . . . Информация о / (к) может быть либо детерминированной [известно точное значение /(加)],либо вероятностной (известно р [х (Л)]). Короче говоря, марковское свойство означает, что знание настоящего отделяет прошедшее от будущего.

Плотность совместного распределения вероятностей случайной марковской последовательности может быть полностью описана заданием начальной плотности распределения р [х (0)] и плотностей вероятностей перехода р [х (к -{- 1) | х (Л)]. Это легко видеть из следующего:

р 位(TV), % (N — 1), . . ., % (0)] = р [/ (TV) I a? (TV — 1),...

•…％ (0)1 p lx (TV — 1), . • ., / (0)]==p lx (N) \ x (N — 1), . . .. x (0)] xX p [/ (N — 1) I % (N — 2), • • ., / (0)]...

.t . p [x (1) \ x (0)] p [/ (0)].(11.1.2)

С помощью (11.1.1) последнее выражение можно упростить до

р [х (TV), . . ., X (0)]=

=р lx (N) I / (N — 1)] р 应(N — 1) I / (N — 2)]...

• •・ р [/ (1) I / (0)] р 位(0)],(11.1.3)

иными словами, плотность совместного распределения вероятностей равна произведению плотностей вероятностей перехода и начальной плотности распределения.

Чисто случайные пос几едовательности. Говорят, что последовательность является чисто случайной, если для всевозможных значений 加

р [х (к + 1) I х (Л)] = р [х (к^[毋.

Чисто случайную последовательность образуют результаты последовательного вращения уравновешенного колеса, постепенно тормозящегося трением. Результатом вращения считается расстояние от линии отсчета, связанной с колесом, до линии, не связанной с ним, измеренное по часовой стрелке вдоль периметра колеса (фиг. 11.1.1). Плотность распределения вероятностей результата является равномерной и не зависит от предшествующих вращений. Если все время пользоваться одним и тем же колесом, то последовательные результаты образуют стационарную чисто случайную последовательность. Предположим, что имеется много колес с различными диаметрами и после каждого вращения колесо заменяют другим； теперь последовательные результаты образуют

нестационарную чисто случайную последовательность 丄).Для каждого вращения плотность распределения вероятностей результата остается равномерной, однако константы плотностей для каждого вращения различны. -

Результаты, накопленные в игре с вращением колеса, не образуют чисто случайной последовательности, так как они зависят

Фиг. 11.1.1. Пример чисто случайной последовательности. Вращающееся колесо.

от предшествующих результатов; в действительности накопленные результаты образуют марковскую последовательность. Скалярная марковская последовательность

//(加)=e (舟£1他)+彤(田，(11.1.4)

где w (")——скалярная чисто случайная последовательность, а с (к) ~ известная числовая последовательность, является лишь обобщением призера с накопленным результатом (где с = 1).

Большая распространенность марковских последовательностей. Марковское свойство по тому, как оно было введено выше, может показаться ограничением. Например, если уравнение (11.1.4) заменить скалярным разностным уравнением второго порядка

g (加+ 1) = Q (Л)/2(及)+ Q (舟々(而一1) +形(Л),

(11.1.5)

тельности с вектором-g体］/2 (期 J-^(*+1)' 一22(加+1);тельности с вектором-g体］/2 (期 J-^(*+1)' 一22(加+1);где w (")——чисто случайная последовательность, a Q (Л) и с2 (加)—— известные последовательности чисел, то станет ясно, что последовательность 胃纟(&) не является марковской- Однако ее можно рассматривать как компоненту векторной марковской последова- состояния

тельности с вектором

-g体］

/2 (期 J

-^(*+1)' 一22(加+1);

тельности с вектором

-g体］

/2 (期 J

-^(*+1)' 一22(加+1);

где g (加+1) =/工(加)， так ято

=.i, о砧

i) Вместо этого можно пользоваться одним колесом, но после каждого вращения изменять единицу измеряемой вдоль периметра длины.

таким образом, двухкомпонентный вектор

W加 + 1)1/7зависит值/+ 1)JW加 + 1)1/7зависит值/+ 1)Jтолько от знания предшествующего элемента последовательности 工(加)"|

W加 + 1)1

/7зависит

值/+ 1)J

W加 + 1)1

/7зависит

值/+ 1)J

и от чисто случайной последовательности w (к).

一 д (^) J

Обобщая вышесказанное, заметим, что если задана любая случайная последовательность, которая зависит от конечного прошлого в смысле- (11.1.5), то соответствующим расширением вектора состояния всегда можно превратить ее в эквивалентную марковскую случайную последовательность. Итак, случайные марковские последовательности с конечномерными векторами состояния включают в этом смысле все случайные последовательности, находящиеся между двумя крайними случаями, а именно чисто случайной последовательностью и случайной последовательностью, зависящей от бесконечного прошлого. Следовательно, марковские случайные последовательности могут быть использованы для описания большого числа физических явлений. По этой причине наше исследование случайных последовательностей будет ограничено случайными марковскими последовательностями.

Марковские цепи. Если в марковской последовательности / является дискретным случайным вектором с конечным числом возможных значений, то такая последовательность обычно называется марковской цепью. Для марковских цепей справедлива большая часть изложенного выше с тем исключением, что вместо плотности вероятности перехода требуется переходная матрица вероятностей, а другие плотности распределения вероятностей

заменяются на распределения вероятностей.

Марковскую цепь можно использовать в качестве аппроксимации марковской последовательности непрерывно р аспр ед еле иных случайных величин. Переходная матрица вероятностей (см. задачу 3 этого раздела) является дискретной аппроксимацией плотности вероятностей перехода р {х (t ^- 1) | х(Z)], зависящей от двух переменных / (力 + 1) и х (力.Дискретной аппроксимацией

р [т (力]в каждый момент времени служит

плот-плот-ности распределения вектор вероятностей.ности распределения вектор вероятностей.Примером чисто случайнойПримером чисто случайноймарковской цепи служит после-

плот-

плот-

ности распределения вектор вероятностей.

ности распределения вектор вероятностей.

Примером чисто случайной

Примером чисто случайной

Задача 1. Рассмотрите марковскуюЗадача 1. Рассмотрите марковскуюзованную накопленнымзованную накопленнымпоследовательность, обра-последовательность, обра-результатом игры типа вращения колесарезультатом игры типа вращения колесадовательное вращение колеса, окружность которого разделена на конечное число N равных дуг; каждой дуге приписывается целое число от 1 до N. Результатом вращения является одно из этих чисел. Распределение вероятностей равномерное, равно UN и не зависит от предыдущих вращений.

Задача 1. Рассмотрите марковскую

Задача 1. Рассмотрите марковскую

зованную накопленным

зованную накопленным

последовательность, обра-

последовательность, обра-

результатом игры типа вращения колеса

результатом игры типа вращения колеса

s (加 + 1) = s (© + m (加)，s (0) = 0,

где s (Л) есть результат Л-го вращения, a m (加)——чисто случайная последовательность с плотностью равномерного распределения, равной 1/N на отрезке (0, N). Покажите, что

s(A；) =加等 и Е [(s (© —s (加))2]=加%

есть среднее и дисперсия результата. Покажите также, что при увеличении 加 плотность распределения s (Л) стремится к плотности гауссовского распределения.

Задача 2. Рассмотрите марковскую цепь, образованную, как и в задаче 1, накоплением результата игры типа вращения колеса с тем исключением, что w (Л) есть чисто случайная цепь с возможными значениями 1, 2, ...,7V, имеющими равномерное распределение, равное UN, Покажите, что среднее и дисперсия равны соответственно

s 3)=加"尸‘ ,Е [(s (Л) — s (Л))2]=加 %£2丄*

Задача 3. Предположим, что в некотором лесу погода характеризуется только тремя состояниями: состояние 1 — облачно, состояние 2 — дождь и состояние 3 — солнечно. Тогда суточная

погода образует марковскую цепь. На фиг. 11.1.2 представлена схема вероятностей перехода, полученных наблюдениями за долгий период времени. С ее помощью определяется матрица вероятностей перехода

~Р1 (* + !)'?2(加+1)=_Рз 3+ 1)_~Р1 (* + !)'?2(加+1)=_Рз 3+ 1)_'0,6 0,3 0,2] Г 0,3 0,7 0,5 _0,1 0,0 0,3」L'0,6 0,3 0,2] Г 0,3 0,7 0,5 _0,1 0,0 0,3」L厂 >)J^同®厂 >)J^同®

~Р1 (* + !)'

?2(加+1)=

_Рз 3+ 1)_

~Р1 (* + !)'

?2(加+1)=

_Рз 3+ 1)_

'0,6 0,3 0,2] Г 0,3 0,7 0,5 _0,1 0,0 0,3」L

'0,6 0,3 0,2] Г 0,3 0,7 0,5 _0,1 0,0 0,3」L

厂 >)J

^同®

厂 >)J

^同®

Покажите, что для этой системы существует стационарное (при 加 f оо) распределение вероятностей с р^ = 0,42; р^ = 0,52; р = 0,06.

Предскажите погоду на несколько дней вперед, если дано, что конкретный день ——солнечный (Рз = 1,夕纟=р? = 0).

Задача 4. Симметричная монета подбрасывается много раз. Найти вероятность выпадения герба в шестом и седьмом бросании и отсутствия в предшествующих бросках двух гербов подряд.

ние 1 — решетка, состояние 2 — герб, состояние 3 — второй герб подряд и отсутствие в предшествующих бросках двух гербов подряд.)

Схема вероятностей перехода представлена на фиг. 11.1.3, начальное'распределение таково: р^ (1)=匹⑴=1/2, р3 (1) = 0. Требуется определить р3 (7). Заметим, что для этой системы не существует стационарного распределения вероятностей. Почему?

IL2* Гауссовские марковские случайные последовательности

Случайная марковская последовательность, у которой для всех к плотности р к (Л)] и к (Л + 1) | х (Л)] являются плотностями гауссовского распределения вероятностей, называется случайной гауссовской марковской последовательностью.

Плотность распределения р {х (Л)] случайной гауссовской марковской последовательности полностью описывается заданием двух детерминированных последовательностей: векторов средних значений х (Л) — Е [х (Л)] и матриц ковариаций

X (k) = e {k (*) 一 х 依)][х 伍)一х 体)]t}.

С помощью гауссовской марковской случайной последовательности можно довольно точно аппроксимировать многие динамиче- ские явления как в природе, так и те, которые созданы руками человека. Более того, часто из-за ограниченности статистических данных о действительной последовательности целесообразно аппроксимировать негауссовскую марковскую случайную последовательность гауссовской.

Так как линейные преобразования гауссовского вектора сохраняют его гауссовское свойство (см. разд. 10.7), то гауссовская марковская случайная последовательность всегда может быть представлена в виде вектора состояния многомерной линейной динамической системы, возбуждаемой чисто случайной гауссовской последовательностью и имеющей гауссовское начальное состояние

/依+ 1)=①%)2优)+ r (田形(舟. (И.2.1)

Здесь / — /г-лгерный вектор, w — тп-мерный вектор, Е [w，(砌=w (Л),

X(6), k=l,

0,为方z,

E [/ (0)] = x (0),

E {[n (0) — / (0)] [n (0) — x (O)]71} = X (0),

(11.2.2)(11.2.3)(11.2.4)(11.2.5)(11.2.6)11.2.1.(11.2.2)(11.2.3)(11.2.4)(11.2.5)(11.2.6)11.2.1.н (0) - гауссовский векторн (0) - гауссовский векторФиг. 11.2.1. Блок-схема представления гауссовской марковской последовательности.Фиг. 11.2.1. Блок-схема представления гауссовской марковской последовательности.E {" (0) — / (0)1 Iw (» — w (加)]71} = 0. Блок-схема такого представления показана на фиг.

(11.2.2)

(11.2.3)

(11.2.4)

(11.2.5)

(11.2.6)

11.2.1.

(11.2.2)

(11.2.3)

(11.2.4)

(11.2.5)

(11.2.6)

11.2.1.

н (0) - гауссовский вектор

н (0) - гауссовский вектор

Фиг. 11.2.1. Блок-схема представления гауссовской марковской последовательности.

Фиг. 11.2.1. Блок-схема представления гауссовской марковской последовательности.

Начальное состояние х (0) является гауссовским со средним значением х (0) и матрицей ковариаций X (0). Гауссовской со средним Ф (舟 方依)+ F (6) w (力) и корреляционной матрицей Г (Л)Х (舟 Гг (Л) является и плотность вероятности р [х (к + + 1) I % (舟]1)

р К (加 + 1) I /(期]=

♦ = (2.yh出j ("产(»)产exp { 一 ^[2 (加+1)— 一①(加)2 (期 一 Г (© 加(初Т [г(*) % (*) гГ (初Т 旧(加 + 1) 一

Если матрица Г/Гг вырожденная, то при заданном 片(&) точно известны значения некоторых линейных комбинаций компонент 工(友+ !)•

Из уравнений (11.2.1) —(11.2.6) легко находятся соотношения для определения последовательностей / (舟 и X (舟.Беря математическое ожидание выражения (11.2.1), получаем

/ (加 + 1)=①(© / (Л) + Г (衣)m (Л),

х (0) и必依)заданы.(11.2.7)

Вычтем (11.2.7) из (11.2.1), тогда

./依+ 1) —元依+ 1)=①3)应(舟一 ^ (舟]+

+「(")位(")—石(砌.(11.2.8)

Умножив (11.2.8) на результат его транспонирования и взяв затем математические ожидания обеих сторон равенства, придем к соотношению

Х(к + 1) =^Ф(к) X (田①т(期 + Г (*) х (舟「т (舟，

X (0) и % (Л) заданы.(11.2.9)

Здесь принято во внимание, что в силу чисто случайного характера последовательности w (Л)

Е {[х (к) -х (*)] [^ (舟一w 仅)]т} = 0. (11.2.10)

Уравнения (11.2.7) и (11.2.9) являются линейными разностными уравнениями для вектора математического ожидания и корреляционной матрицы. Обратим внимание на то, что эти уравнения друг с другом не связаны, так что последовательности х (к) и X (Л) можно вычислять раздельно. Они полностью определяют эволюцию плотности распределения р [х (Л)]. Одномерный случай графически показан на фиг. 11.2.2 [см. формулы СИ.2.20)]. Количественное описание фиг. 11.2.2, например уравнениями (11.2.7) и (11.2.9), составляет основной результат исследования стохастических процессов.

Корреляционная матрица гауссовской марковской случайной последовательности. Корреляционная матрица случайной гауссовской марковской последовательности х (Л) определяется как 】)

С 体，Z) = Е {历依)一元的]匠(Z) _*(z)]T}.(Ц.2.11)

Эта детерминированная последовательность матриц является двумерной, так как она зависит от двух параметров Ли/. Последовательность матриц ковариаций есть частный случай (11.2.11)

X (к) ^ С 出舟.(11.2.12)

) Иногда корреляционную матрицу определяют как £ [% (&) хТ (Z)]= =С°. Ясно, что С = С° — х (к)片丁(2).

Пользуясь уравнениями (11.2.1) и переходной матрицей ①(加 + + Z,加)=①(加 + Z — 1) • •. Ф (Zr), вектор n (加 + 力) можно выразить через х (fc) и последовательность w (п), п = к、. . ., к + + Z — 1:

N (勃十 2)=①体 + Z,份 N ⑹ + 2 Ф(^ + /, 72 + 1) Г(72)IP(72),

(11.2.13)

где Ф (тп, тп) = Е ——единичная матрица. Вычитая из (11.2.13) средние значения, умножая затем на [х (%)——n (厶)]丁 н беря мате-

Р財叨卩%力

±W)

Фиг. 11.2.2. Эволюция плотности вероятности случайной последовательности.

.матическое ожидание результата, получаем

С(加+ Z, © =(D(加+ Z, %)Х 的十 2 Ф(Л + /, n + l)r(n) X n=k

X E{[w ⑻—Ш ⑺][/ (©—%(©『}•

Так как w (тг) есть чисто случайная последовательность, то

Е {[ip ⑺一w ⑺][n 他)一^ (舟产} = 0 при тг =而，..

加 ¥ 21. Поэтому корреляционная матрица случайной гауссов

ской марковской последовательности просто равна

С (к + I, к) = Ф (к + I,舟 X (Л), Z = 1, 2, . . ., (11.2.14)

где X (%) можно определить из (11.2.9).

Из уравнения (11.2.14) для С (к + I, к) следует, что

С 体 к + 0 ='Х (舟 Фг (к +，©, Z = 1, 2, • • • • (11.2.15)

Вычитая средние значения из (11.2.13), умножая затем на [ш (Л)— —w (fc)]rrr(fc) и беря математическое ожидание результата, получаем взаимно корреляционную матрицу между входом и выходом случайной гауссовской марковской последовательности

(11.2.16)(11.2.16)Е {[х (Л + Z) — ^ (Л + Z)] [w (к) — w(k)]TTT (Л)}=Ф(к + 1, fc+l)r(fc)X(fc) Гг(/с), Z = l, 2,[ О,Z = 0, —1, —2,.

(11.2.16)

(11.2.16)

Соотношения (11.2.16) или (11.2.15) можно использовать для экспериментального нахождения элементов переходной матрицы неизвестной линейной системы г). Чтобы найти все компоненты Ф в (11.2.16), необходимо, чтобы существовала матрица (Г^Г7)-1.

Ст(ш1истически стационарные последовательности. Если ①("+ Z, © =①(Z), а Г (Z) — Г и % (向=% — постоянные матрицы, то возможно, что X (Zr) f X, где X — постоянная матрица, при к f g (см. задачу 2 в приложении Б.4). В этом случае становятся стационарными корреляционная и взаимно корреля^ ционная матрицы, т. е. С (Zr + Z, К) С (Z). При Z = 0, 1, 2, из (11.2.14)— (11.2.16) следует, что

(11.2.17)(11.2.18)(11.2.17)(11.2.18)(11.2.19)(11.2.19)С (Z)=①(Z) X,С (-Z) = х①T(Z),

(11.2.17)

(11.2.18)

(11.2.17)

(11.2.18)

(11.2.19)

(11.2.19)

Е {[x(k-{-l)~x(k^rl)][w (А) — w (%)]叮丁 (©}->

(Z-1)Г辽r，i = i, 2,

I 0, Z = 0, —1, —2,....

Г ауссовская марковская последователь нос тъ первого порядка. Рассмотрим частный случай уравнения (11.2.1), когда n (к)—— скаляр, Ф = а = const и Г = 1

-а (兀+ 1) = az (к) + w (场E [w (©]三 О,

{

о, k = I,

С(11.2.20)

Е [х (0)] = 0, Е [х (О)]2 = Хо (все величины — скаляры).

(11.2.21)

D Это один из подходов к задаче «идентификации». Существуют более совершенные методы, однако в этой книге они не будут рассматриваться.

Скалярной является и переходная матрица ①(加十 Z, Zr) = аг, поэтому

X (k + i) - а2Х (田 + ,, X (0) = Хо. (11.2.22)

Решение этого разностного уравнения равно

X(© = a№X° + g 三礬.X(© = a№X° + g 三礬.(11.2.23)(11.2.23)

X(© = a№X° + g 三礬.

X(© = a№X° + g 三礬.

(11.2.23)

(11.2.23)

Далее, из (11.2.14) — (11.2.16) получаем

С (加十 Z, к) = *С (加十 Z, к) = *аг[^%+?±^], %>о,a- [aZS+DXo+gf^” J,аг[^%+?±^], %>о,a- [aZS+DXo+gf^” J,Zvo,Zvo,n{ а、％,Z=1E[x(k + l)w(k)]^^° z = on{ а、％,Z=1E[x(k + l)w(k)]^^° z = o(11.2.24)(11.2.25)(11.2.24)(11.2.25)

С (加十 Z, к) = *

С (加十 Z, к) = *

аг[^%+?±^], %>о,a- [aZS+DXo+gf^” J,

аг[^%+?±^], %>о,a- [aZS+DXo+gf^” J,

Zvo,

Zvo,

n{ а、％,Z=1

E[x(k + l)w(k)]^^° z = o

n{ а、％,Z=1

E[x(k + l)w(k)]^^° z = o

(11.2.24)

(11.2.25)

(11.2.24)

(11.2.25)

Если O^a< 1, то при Zr->oo приходим к статистически стационарной последовательности

X®f』，(11.2.26)

C(k + l, © -» С (Z) = у^ cd".(11.2.27)

Заметим, что если бы Хо было равно , (1 — а2), т. е. начало совпадало бы со статистически стационарным состояниел!, то X (Л) осталось бы постоянным.

Задача 1. Покажите, что вектор средних значений и матрицу ковариаций можно представить с помощью переходной матрицы Ф (Л, %) следующим образом:

/ (及)=①(加，0) 2 (0) 十 三①(加，n+ 1) r(72)^(72),n—0

- XR) =①(a0)X(0)①7的0)+

十三 ①(%，n + l)r(n)X(n) Г?⑺①?他 72 +1), 71=0

где'

Ф (к, I) = Ф (к. к - i) Ф (к - 1, к - 2) . . . Ф (I + 1, I) и

①依，加)=Е — единичная матрица.

Задача 2. Рассмотрите стационарную корреляцию [соотношение (11.2.27)] для гауссовской марковской последовательности первого порядка в том случае, когда последовательность состоит из N шагов. В этом случае корреляционная матрица [соотношение

(11.2.27)] есть матрица

размерности

(N X N)

J 1 — а2

Покажите, что матрица,

1,а,а2,

а,1,

а2,а,

обратная к

…а“「

1, а

а, 1

корреляционной, является

тридиагоналъной

С~г = -

1, —а, 0, — а, 1 + а2, —а, 0,—а, 1 + а2,

...0,0

...0,0

...0,0

0，.

-а, 1 +«2? —а

0, —а, 1

Задача 3. Объем воды в резервуаре замеряется каждый год в одно и то же время. Пусть х (fc) есть объем воды в fc-м году, и пусть 況(加 ——1) н y (加 ——1) равны соответственно поступлению и расходу воды за предыдущий год. Замеры показывают, что при поддержании расхода воды постоянным, равным среднему поступлению воды, т. е. при v (к) = и для всех Л, и (Л) можно хорошо аппроксимировать статистически стационарной гауссовской марковской последовательностью со средним значением 弘 и корреляционным моментом

矶33)—历(”)一〃)] = d^al”n, 0< а< 1.

Покажите, что при увеличении к дисперсия объема возрастает неограниченно. [Указание. Образуйте векторный гауссовский марковский процесс с вектором состояния [х (Л), и (Л) — и} и покажите, что при 加一> оо

Хм” (及十 1) = Ххх (加)+ «Г @)2 ,

где - Ххх — дисперсия объема.]

.3. Случайные процессы 〃 марковское свойство

Случайным процессом называется однопараметрическое семейство непрерывно распределенных случайных величин / (%) с непрерывным параметром 力力о W 力 W 力户 В приложениях непрерывный параметр (или независимая переменная) t часто является мерой времени или расстояния.

Вследствие того что никогда нельзя точно узнать состояние систем в природе или созданных руками человека, то все происходящие s таких системах непрерывные динамические процессы являются случайными. Примерами векторных случайных процессов служат: а) скорость ветра (величина и направление) в фиксированной точке пространства как функция времени; б) положение и скорость летатеЛЕнога аппарата как функции времени; в) крутящий и изгибающий моменты, тангенс угла наклона и смещение вдоль балки в заданный момент времени как функции расстояния); г) амплитуда и фаза радиоволны в различные моменты времени.

Полное описание случайного процесса общего вида потребовало бы знания всех возможных плотностей совместных распределений

P 近(幻，/ (办)，• • •，方(公)] (11.3.1)

для всех 玄,力2， .一， % из интервала (力°, %), где N есть любое целое число между 1 и оо. Вообще говоря, количество информации, которое требуется для данного процесса, является недоступным. К счастью, большинство встречающихся на практике случайных процессов являются марковскими, а марковский процесс полностью определяется заданием плотности совместного распределения §

р [х (力)，х (т)] для всех 力 т ， в интервале (%, %). (11.3.2)

Так как р [х (力)，х (т)] = р [х (%) | х (т)] р " (т)], то марковский лроцесс также полностью определяется заданием плотностей распределения

р [х (力)I / (т)] и р [х (т)] для всех t, т

в интервале (力°,切. (11.3.3)

Для марковского процесса знание (11.3.2) позволяет в принципе находить все плотности совместных распределений (11.3.1) [см. разд. 11.1, уравнения (11.1.1) — (11.1.3), где х {N) заменены на х (如)и т. д.].

Чисто случайные процессы. Если для всех 厶 т из (用，％) Р 应(%) I x (T)] = P 反(方)],то x (方) называют чисто случайным процессом (или процессом белого шума). Так как в любом реальном процессе при достаточно малых | 力т | величины х (力) и / (т) зависят друг от друга, то данный процесс является воображаемым и должен рассматриваться только как предельный случай. Как мы увидим, процесс белого шума есть удобная абстракция 1). Если имеется случайное силовое воздействие и (» на систему, для которого р [и «) | и (т)] ^р 山 «)] при | 力一т | > 7, и Т много меньше постоянных времени системы, то по отношению к этой системе и (力)может рассматриваться как белый шум.

Тяга ракетного двигателя Р (力)есть пример процесса белого шума; мгновенные отклонения тяги от среднего значения Р (力) от одной миллисекунды к другой предсказать нельзя. В то же время запаздывания в ракете измеряются секундами или, возможно, десятками секунд, так что по сравнению с динамикой летательного аппарата отклонение тяги от среднего значения можно считать белым шумом.

Другим примером процесса белого шума служит ток в проводнике или электронном луче; мгновенные колебания тока относительно номинального установившегося значения от одной микросекунды к другой предугадать нельзя. Поэтому, если ток является входным сигналом системы с постоянными времени, большими чем микросекунда, то колебания тока относительно среднего значения можно считать процессом белого шума.

Если ток в последнем примере определяется величиной заряда А, (%), проходящего через данное поперечное сечение электронного луча в последовательные моменты времени, кратные микросекунде, tj+i — ^ — 1 мксек, то △, образуют чисто случайную последовательность. Предположим теперь, что наблюдается суммарный заряд q (t) в данном поперечном сечении электронного луча; эта величина является скалярным марковским, а не чисто случайным процессом. Имеем

Z = “必 用忘力W м (и.3.4) где i (力)есть ток, чисто случайный процесс.

Скалярный марковский процесс ^ (^), у которого

/ = с (0 х{ + w (力)， (11.3.5) где w (力)—скалярный чисто случайный процесс, а с (%)——известная функция времени, является небольшим обобщением случая с суммарным зарядом.

Сравните с удобной, но фиктивной частицей массы в ньютоновской механике, имеющей конечную массу и нулевой объем.

Большая распространенность марковских процессов. Марковское свойство не является таким ограничением, каким оно может показаться. Предположим, что для скаляра ^ (%) уравнение (11.3.5) заменено дифференциальным уравнением второго порядка

g н Q (0 g + Q (0 g + (儿(11.3.6)

где w «)——скалярный чисто случайный процесс, а 勺(办 и с2 (0 —— известные функции времени. Тогда 优纟(力)не является марковским процессом. Однако Xi можно рассматривать как компоненту векторного марковского процесса е вектором состояния , где g = 2], так как

MF”：⑴]ЕМ："©，”3・7)

Обобщая это, заметим, что, если задан любой случайный процесс, описываемый конечным числом производных, то соответствующим расширением вектора состояния всегда можно превратить его в эквивалентный марковский случайный процесс. По этой причине исследование случайных процессов будет ограничено ниже марковскими процессами.

114、Гауссовские марковские случайные процессы

Марковский случайный процесс, у которого для всех 厶 т в интервале (如 %) функции р [х (т)] и р [优(%) | х (т)] являются плотностями гауссовского распределения, называется гауссовским марковским случайным процессом. —

Плотность распределения р [х (t)] гауссовского марковского процесса полностью описывается заданием двух детерминированных функций, вектором средних значений n (%) = Е [х (%)1 и матрицей ковариаций X (t) = Е {U (%) — х (^)1 [х ⑶一优(力)1 '}•

С помощью гауссовского марковского случайного процесса можно довольно точно аппроксимировать многие динамические явления как в природе, так и те, которые созданы руками человека. Более того, часто из-за ограниченности статистических данных о действительном процессе целесообразно аппроксимировать негауссовский марковский случайный процесс гауссовским.

Так как линейные преобразования гауссовского вектора сохраняют его гауссовское свойство (см. разд. 10.7), то гауссовский марковский случайный процесс всегда может быть представлен как вектор состояния непрерывной линейной динамической системы.

возбуждаемой гауссовским чисто случайным процессом и имеющей гауссовский вектор начального состояния

热=方⑺优+ G(力)防⑶，(И.4.1)

где n ——тг-мерный вектор, w ——тп-мерный вектор,

e [优(幻]=优(幻，(11.4.2)

E {[n (幻一X (%。)] [x (幻-n (幻]В = X (幻 (И.4.3) и w «) есть гауссовский чисто случайный процесс с

Е国⑺]=石⑺.(Н.4.4)

Блок-схема такого представления показана на фиг. 11.4.1.

a;f 0) - гауссовский вектор

Фиг. 11.4.1. Блок-схема представления гауссовского марковского процесса.

В формулах (11.4.1) — (11.4.4) чисто случайный процесс w (t) был задан не полностью. Из определения чисто случайного процесса, данного в разд. 11.3, следует, что w (^) — w (^) очень разрывная случайная функция, значения которой от момента времени t до следующего 力+ △力 непредсказуемы даже при A%f 0. Посмотрим, каким образом при наличии w (力)определяется матрица ковариаций

x(力)= {笈 近⑺—*⑺]阮⑺一&(力円. (11.4.5)

Среднее значение х (力 определяется математическим ожиданием соотношения (11.4.1)

—[х (Z)] ^F (t) х (t) -^G(t)w (Z),优佐)задано. (11.4.6)

Вычитая (11.4.6) из (11.4.1) и умножая затем результат на {х (t) — /(力т, получаем

{^ I优(力)—W⑴]} I优⑶一* (of = F⑴也(0-

—疗(力[优(t) — x (t)]T + G(t) {w (t) — ^ (^)] [X (t) — x(t)]T.(11.4.7)

Если к уравнению (11.4.7) добавить результат его транспонирования, то придем к

^ {[七⑶一％(%)][/(%) —^(力)]'}=、

= F (t) [x (方)一方(方)][/ (方)一X (方)]T+[/(£)-/ (%)][/ (方)-% (方)]TьТ ") + + GQ) [w(t) — w(t)} [x (t) — x «)]'+[%(方)一讶(力]X

X [w (t) — w (t)]T GT (Z).(11.4.8)

Взяв математическое ожидание (т. е. среднее по ансамблю) уравнения (11.4.8) и используя определение (11.4.5), найдем, что

X^F(t)X + XFT (t) + G ⑴笈{[ш (Z)-^(Z)] [х (方)—房(切 В +

+ Е {[X (t)-x(t)] [w; (Z) ~w (t)]T} GT (t).(11.4.9)

Используя переходную матрицу ①(方，工)линейной динамической системы (11.4.1), получаем

x(t)~x(t) =Ф(^,方0)[/(%)—/(%)]+ j ф(^, ^[w (т) —ш (т)] dt.

(11.4.10) Предположим, что

Е {[х (方о) — х (幻][ip (力一w «)]т }= 0,(11.4.11)

е. случайные отклонения начальных условий не кор желированы со случайными колебаниями возмущающей силы. Перемножая (11.4.10) и \w (力)— w (方)]『,взяв математическое ожидание результата и учитывая (11.4.11), получаем

£ {[% (力)一2(^)] 1^ (方)一苏(方)]'}=

=j <D(厶 т) G (т) E{[w(x)^w (т)] \ia (方)一石(力'} dx. (11.4.12)

Из соотношений (11.4.9) и (11.4.12) видно, что вся информация о процессе ш(Z)— w (t), нужная для определения матрицы ковариаций X (方),сводится к знанию взвешенного интеграла от автокорреляционной матрицы

Е {[ш ⑵一ш (t)] {w (т) — w (工)円.(11.4.13)

Чисто случайный процесс нужно рассматривать как предельный случай случайного процесса с малым временем корреляции (разд. 11.3). Поэтому в качестве (11.4.13) выберем простую корре-

ляционную функцию, которая позволит совершить эту предельную операцию

Е {[z^ (Z) — w (Z)] [w (т) — w (т)]т} - z (z) ехр ( —•!~^~L) , (Н.4.14)

где Т — постоянное число, значительно меньшее, чем постоянные времени переходной матрицы Ф (Z, т), а X (力)——матрица ковариаций w (t)

%(%)=£* {価(方)一w (办]M (力—w (%)]т}・(11.4.15)

Для случая скалярного w (力)эта корреляционная функция показана на фиг. 11.4.2.

Так как корреляция быстро уменьшается после того, как величина | t — т | превысит Т, то при подстановке (11.4.14)

Фиг. 11.4.2. Экспоненциальная корреляционная функция.

в (11.4.12) приближенно можно считать Ф (力 т)=笈 единичной матрицей и заменить 力 на ——оо; тогда

Е {[х (i) — х (01 [^ (0 一 s ⑼ В =

^G«)%⑴ j exp(-l^)d—7G«)x(力(И.4.16)

—ОО

Подставляя выражение (11.4.16) и результат его транспонирования в (11.4.9), получаем

文=ЬХ + X* + GQG4 Х(力)задана, (11.4.17) где

Q ⑶=2软⑺.(11.4.18)

Итак, Q (力)есть неотрицательно определенная матрица, представляющая интеграл от корреляционной матрицы гауссовского чисто случайного процесса w (t).

Поскольку речь идет об уравнении (11.4.17), то (11.4.14) можно записать в виде

Е {[ш (t) — w (t)] [w (т) — ш (т)]т} =： ^(Z) 6(Z —т), (11.4.19) где 6 {t ——т) — дельта-функция Дирака, определяемая как

6 (方)=lim 6е (方)，

О

°，丨力(11.4.20)

6е (t) =1,,

Это определение означает, что

%2j 6 (t — т) ЙТ —%2j 6 (t — т) ЙТ —fl,10,fl,10,力V方V5%> 方 ИЛИ 方2 V t.力V方V5%> 方 ИЛИ 方2 V t.(11.4.21)(11.4.21)

%2

j 6 (t — т) ЙТ —

%2

j 6 (t — т) ЙТ —

fl,10,

fl,10,

力V方V5

%> 方 ИЛИ 方2 V t.

力V方V5

%> 方 ИЛИ 方2 V t.

(11.4.21)

(11.4.21)

Фиг. 11.4.3. Определение функции де (^).

Из соотношений (11.4.19) и (11.4.14) видно, что величину Q (方) можно рассматривать как

Q ⑶=lim [27% ⑺],(11.4.22)

где T — время корреляции случайного процесса и % (方)——его второй момент. Ясно, что при 7fo

% (2 8(И.4.23)

таким образом, что предел (11.4.22) конечен.

Итак, гауссовский чисто случайный процесс есть предел гауссовского марковского процесса с очень большим вторым моментом и очень малым временем корреляции.

Когда Q постоянна, то w (方)называют стационарным чисто случайным процессом. Преобразование Фурье по (t ——т) корреляционной матрицы (11.4.19) равно Q, т. е. спектр процесса —— белый. По этой причине гауссовский чисто случайный процесс часто называют белым шумом.

Уравнения (11.4.6) и (11.4.17) являются линейными дифференциальными уравнениями для вектора средних значений х (方)

и матрицы ковариаций X (%). Эти уравнения друг с другом не связаны, и поэтому % (%) и X (方)могут быть вычислены раздельно.

Корреляционная матрица гауссовского марковского случайного процесса. Корреляционная матрица случайного процесса х «) определяется как

e (力 T)与豆{反(方)-х(^)] [x (T) 一三(工)口}. (Ц.4.24) Это детерминированная функция двух переменных Хит. Матрица ковариаций, определенная соотношением (11.4.5), является частным случаем (11.4.24)

Х«) = С (力圾(11.4.25)

С помощью (11.4.11), (11.4.6) и переходной матрицы ①(方 + 工，У) величину %(方 + 工)一/(》+工) можно выразить через х(Z) — х (Z) и ip (У)—如(方')，方《/<；% +工，

x (^ + T) — x(Z + t) = Ф(^ + t,力[/,(方)一算⑴J +

+ J ①(方 + 工，y)G(Q[s(，)一石(门]出一 (11.4.26)

Умножая (11.4.26) на [%(力一％(方)广 и беря математическое ожидание, получаем

。(方+工，方)=①(方+工，方)X (方)+ f①(方+ T,方‘)G (y) Е {[ш (方‘)-

一如(*)] [%(方)一/«)]‘}&%'.(11.4.27)

При т >0 подынтегральное выражение в (11.4.27) равно нулю, поскольку w (方)есть чисто случайный процесс и не коррелирован с /(方). Отсюда следует, что при 工》0

С (t + т, t) = Ф (t + т, t) X (机 (11.4.28)

Из определения корреляционной матрицы (11.4.24) видно, что

e (力方 + 工)=ct (^ + T,方).e (力方 + 工)=ct (^ + T,方).(11.4.29)(11.4.29)

e (力方 + 工)=ct (^ + T,方).

e (力方 + 工)=ct (^ + T,方).

(11.4.29)

(11.4.29)

Используя (11.4.28) и (11.4.29), получаем

С (t, t + т) X ⑺ Фт (^ + т, t) при т > 0. (11.4.30) Умножая (11.4.26) на [ip (方)一w (方)]牙 G「(方)и беря ■ математическое ожидание, получаем взаимную корреляционную функцию между входным сигналом G (方)w «) и выходным х (^) 1

(11.4.31)(11.4.31)Е {[х «十工)一％ (方 + т)] [w (t) — w(t)]TGT (力)}= ='ф(^ + т, t)G(t)Q{t)GT(t), т>0, —.0,т<0.

(11.4.31)

(11.4.31)

25—0102

Соотношения (11.4.31) или (11.4.28) можно использовать для экспериментального определения элементов переходной матрицы неизвестной линейной системы. Для того чтобы с помощью (11.4.31) найти все компоненты Ф, необходимо, чтобы матрица GQGT была невырожденной. ,

Статистически стационарные процессы. Если в (11.4.1) F(Z) равна постоянной матрице F, то Ф (^ + т, t) зависит только от т; назовем эту матрицу Ф (т) стационарной переходной матрицей. Если, кроме того, G 〃) = G, a Q (%) Q、где G и Q — постоянные матрицы, то при %f оо может случиться, что X (%) f X, где X — постоянная матрица (см. задачу 2 в приложении Б.4). Если это так, то X f 0, и поэтому X можно найти из линейного соотношения

FX + XFT + GQGf = 0. (11.4.32)

Такой процесс называют статистически стационарным} здесь просто случайная возмущающая сила уравновешивается демпфированием системы, которое характеризуется матрицей F.

Корреляционные функции статистически стационарного процесса являются также стационарными; так, С (% + 工,％) является только функцией т, поэтому ее можно записать как С (т). Таким образом, при т》0

С (т) = Ф (т) X, (11.4.33)

0(—力-ХФТ (т) (11.4.34) и

e {[/ (方 + T) - / (方 + T)] \w (%)-以方)]T GT (方)}=

(11.4.35)(11.4.35)Ф (т) GQG『，т>0,О, т <； 0.

(11.4.35)

(11.4.35)

Гауссовский марковский процесс первого порядка. Рассмотрим частный случай уравнения (11.4.1), когда х — скаляр и 歹= = —G — —a, 〃 一 постоянное число,

/ (Л)) =0, X (方о) = Xo, w; (%) = 0, Q (%) = q,q — постоянная,

/ = —a (胃—ip).(11.4.36)

Переходная матрица- является стационарной, ①(％ 十 工,％)= =①(工)=exp (—ат), и

X = —2ax + ci^q, X (方°) = X口,(11.4.37)

где X «) есть дисперсия % (%)• Решением (11.4.37) будет

X (力= Х()е*"2a(I。)+}qa [1 — е~2а ^-^].(11.4.38)

ВыражениеВыражение" + *"一(产х (方 + 工)，工V0," + *"一(产х (方 + 工)，工V0,(11.4.39)(11.4.39)

Выражение

Выражение

" + *"一(产х (方 + 工)，工V0,

" + *"一(产х (方 + 工)，工V0,

(11.4.39)

(11.4.39)

определяет автокорреляционную функцию процесса х (Z); взаимно корреляционная функция процессов % (方)и s (方)имеет вид

(11.4.40)(11.4.40)(qae~axt т> О,砌 WM)】 = {о, т<0.

(11.4.40)

(11.4.40)

При a (t —方о)—> оо процесс становится статистически стационарным

X (方)■~> ~ qa,(11.4.41)

С (т) —>g qae~a 旧.(11.4.42)

Результат (11.4.42) служит оправданием выбора экспоненциальной корреляции в выражении (11.4.14). Отметим, что в этом процессе время корреляции Т = 1/〃 (фиг. 11.4.2). Если а становится очень большим (7 — 1/〃 становится очень малым), то % (%) f гг (方), т. е. процесс х (方)с большой дисперсией ^厶？〃 и малым временем корреляции 1/〃 приобретает черты гауссовского процесса типа белого шума.

Гауссовский марковский процесс второго порядка ')• Рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка с возмущающей функцией, являющейся белым шумом:

х 十 2自(0/ + оЛг = о% (%),(11.4.43)

Е 価 ⑼=0, Е [w «) w; ©)]=式(％ — У).(11.4.44)

В векторных обозначениях (11.4.43) можно записать как

Пред пол агается, что случайные начальные условия имеют вид

笈岡(0)]=Е [& (°)] = 0,(И.4.46)

(11.4.47)(11.4.47)(11.4.48)(11.4.48)Р 唸 /g]JX"(O),妈2(0)一

(11.4.47)

(11.4.47)

(11.4.48)

(11.4.48)

LX1X2j X2 /=0_Xf2(0), X22 (0)

Переходная матрица для (11.4.45) определяется легко:

Ф (方)=eт3£Ф (方)=eт3£cos卽+ 患sin削，™ sin削

Ф (方)=eт3£

Ф (方)=eт3£

—早 sin卩厶 cos *一吊ship%

где § = <о ]А —巳

i) См. работу М. С. Wang, G. Е. UhlenbeckB [10.6].

388

Глава 11

Введение в теорию случайных процессов

389

Из решения задачи 1 этого раздела и уравнения (23) приложения А.4 следует, что

X ⑴=①(X) X (0) Фт 传)+ R ①(t — т) ggg?①т (i —т) М,

О где

g=［炉｝(11-4.49)

После подстановки (11.4.48) в (11.4.49) и интегрирования получается

Х^ «) = е-2&叫(cos 卩才 + 吊 sin В)? X^ (0) +

+ 上 sin卩方(cos 做 + ~^sin 卩方)X,2 (0)十-^ siM p^X22 (0)］ +

+ 器［'—e~^(炉一仔炉 cos 2仇 + 自呻 sin 2阳］,(11.4.50) 爲2 (方)=6毋3上 ［一mSё削(cos0方+患sin削)Хн (0)+

+ (c°s2削一舞sin2§0 X,2(0) +

+ J sinW (cos版一吊sin版)X22 (0)］ + w(；了亭)厂2酌匕m2%

(11.4.51)

X22 (方)=та ［siM 削第,(0)--

—普sin0 (cos设一詈sin0)Xi2(0) +

+ 卜OS 0方^~sinp方)x22(0)］十

+ 需［‘一± 6： "("一f"？ cos 2削一侬0 sin 昵)］.(11.4.52)

При со方一> оо и Е >0 корреляционный момент Х^ (%) -> 0, а

Х±± «) —> (дз/4Е), X22 (力)-(дз*/4Е).(11.4.53)

На фиг. 11.4.4 представлены графики Хи, Х22 и Х12, соответствующие § = 0,2; Хи (0) = Х±2 (0) = Х22 (0) = 0. На фиг. 11.4.5 для различных значений t показаны эллипсы, соответствующие вероятности 2а, которые наложены на среднюю траекторию системы, на чина ющуюся в известном состоянии xt (0) = 1,0; д (0) = 0.

Отметим, что в этом случае эллипс, соответствующий вероятности 2су, вначале сильно вытянут в направлении х2. Это объяс-

Ф и г. 11.4.5. Фазовая траектория х (^) и математическое ожидание 方(才) гауссовского маркоеского процесса второго порядка с малым демпфированием.

:丑яется тем, что вначале Х22 растет быстрее Хц (это отражает то физическое обстоятельство, что скорость более чувствительна

к шуму в ускорении, чем положение). По мере роста времени размеры эллипса увсличив а ются, он становится более круглым и поворачивается. В момент t = л/р эллипс переходит в окружность, затем опять поворачивается до тех пор, пока при t = 2л/р снова не станет окружностью. И так продолжается до тех пор, пока в конце концов не будут достигнуты стационарные значения Xfi, Х22 瓜 Х[2」

Можно ожидать, что в установившемся состоянии траектория динамической системы остается внутри круга 87% времени. На фиг. 11.4.5 показана действительная траектория этой системы, полученная с помощью аналогового моделирования. Вид траектории подтверждает справедливость аналитического результата.

Случайные возмущающие функции, отличные от белого шума. Результат (11.4.42) свидетельствует о том, что выходной сигнал стационарного гауссовского марковского процесса первого порядка имеет экспоненциальную корреляционную функцию с постоянной времени, равной 1/〃. Это указывает путь исследования задач, в которых шум на входе является случайным, но не белым.

вектора . возмущений

Фиг. 11.4.6. Коррелированное по времени возмущение, полученное с homo- “ щью формирующего фильтра.

Используя формирующие фильтры первого или высшего порядков (стационарные или нестационарные). с белым шумом на входе, получаем в качестве выходных сигналов коррелированный во времени или окрашенный шум, т. е. гауссовский марковский процесс. Почти любую корреляционную функцию шума достаточно хорошо для практических целей можно аппроксимировать соответствующим выбором коэффициентов в формирующем фильтре. Это иллюстрируется схемой на фиг. 11.4.6. Ясно, что анализ систем типа показанной на фиг. 11.4.6 не представляет дополнительной принципиальной трудности. Здесь требуется лишь определить состоя- ние всей системы как х — . Расширенный вектор состоя-

ния х является гауссовским марковским процессом.

Задача 1. Покажите, что вектор средних значений и матрицу ковариаций с помощью переходной матрицы Ф (力 т) можно представить следующим образом:

х(Z)= Ф 亿 0) х (0) + J ①(厶 т) G(T)w (т) dq

X ⑴=①仇 0) X (0) Фг «, 0)+ j Ф(t,r)G(^:)Q (r) G? (t)①丁 (厶 т) rfr, о

где

备(1)т«, т)= —^Т(т) ФТ (tj т), Ф (t, t) = Е — единичная матрица.

Задача 2. Покажите, что среднее значение и дисперсию скалярной величины у (%), являющейся линейной функцией векторной величины 胃⑺，

У ") = aз (方)

можно найти из выражений

у G) = %г (0) X (0) + j 产(т) G (т)齿(т) ©то

и

Е他(t)-ym =产(0) х (0) % (0) +

+ j 产(т) G (т) Q (т) G‘(工)% (т) dT,о

где

需=一尸(工)九⑴，九(" = a,

&. х, F, G, iv и Q совпадают с теми, что уже были определены в этом разделе ранее. Заметим, что если х есть n-мерный вектор, то для отыскания % (т) требуется 孔 интегрирований, для определения X (%) по соотношению (11.4.17) нужно х/2 ①(孔 + 1)1 интегрирований, нахождение матрицы Ф (厶 т) требует п2 интегрирований.

Задача 3. Пуассоновский процесс. Скалярный сигнал и (t) равен либо +^о> либо —u0 со случайными временными интервалами между моментами изменения сигнала. Среднее число перемен (от а。до —а。и обратно) за единицу времени равно v. Вероятность иметь ровно п перемен за время t «

PPsin рт, （o2 cos p I т Isin рт, （o2 cos p I т I押押PPsin p I т Isin p I т I"「勺（力+工）2 （"■、 =-胃24 +工）2 （力一Покажите также, что"「勺（力+工）2 （"■、 =-胃24 +工）2 （力一Покажите также, что"（1/Р） sin Ртcos Рт — （&з/Р） sin рт т<0."（1/Р） sin Ртcos Рт — （&з/Р） sin рт т<0.т>0,т>0,

P

P

sin рт, （o2 cos p I т I

sin рт, （o2 cos p I т I

押

押

P

P

sin p I т I

sin p I т I

"「勺（力+工）2 （"

■、 =

-胃24 +工）2 （力一

Покажите также, что

"「勺（力+工）2 （"

■、 =

-胃24 +工）2 （力一

Покажите также, что

"（1/Р） sin Рт

cos Рт — （&з/Р） sin рт т<0.

"（1/Р） sin Рт

cos Рт — （&з/Р） sin рт т<0.

т>0,

т>0,

Среднее значение и （%）, очевидно, равно нулю. Покажите, что корреляционная функция является стационарной и равняется

e [и G +工）й（切=喝6-2V 同.

Заметим, что этот процесс является марковским, но не гаус- совским.

Задача 4. Часто имеется возможность измерять только линей- ные комбинации компонент вектора состояния, засоренные аддитивным белым шумом

z «） = Н "） х （力）+ и （%）,

Е [и ⑼=О, Е [v （%）關（т）1 = Е （方）5 （方一т）. Покажите, что автокорреляционная матрица процесса z Elz（t + T） / （力]=h （方 + 工）e （方 + 工，方）нт⑺ 于 е （方）5 （T）. Пусть 胃（方）и и （方）являются независимыми случайными процессами. Будет ли процесс z （方）марковским?

Задача 5工）.Рассмотрите систему уравнений второго порядка с д емпфировани ем （11.4.43） и （11.4.44）. Покажите, что в статистически стационарном случае матрицы корреляций имеют вид

С,, 4] £ е 产£（% +工）勺（%）, ^i （t + ^）x2 （^）.e2£,e22」1_胃2g +工）々（%），胃2（方+工）胃24）

cogeT03 旧cogeT03 旧cos§ I工|+居 sin§"|, -у-sin Pt

cogeT03 旧

cogeT03 旧

Е {[/2 （方+工）+ 3勺（方+工）Н之2 （方）+ 3々⑴]}=^qe~^ 旧 ft| .

=2g一~: COSp|M

Для случая I = 0,2 элементы корреляционной матрицы Си, С12 и /2 показаны на фвд. 11.4.7.

Задача 6. В 1905 г. Эйнштейн получил решение задачи о броуновском движении （см. работу Uhlenbeck and Ornstein в [10.6]）. Он предположил, что видимые глазом частицы велики по сравнению

1） См. примечание на стр. 387.

со средним свободным пробегом молекул жидкости, так что уравнения движения такой частицы хорошо аппроксимируются уравнениями

mv = —cv + / (%), х = и,

где т ——масса частицы; и ——ее скорость; с — коэффициент вязкости Стокса (постоянная); / — случайная сила, обусловленная столкновениями с молекулами; х — положение частицы.

Фиг. 11.4.7. Статистически стационарная корреляционная функция7гаус- совского марковского процесса второго порядка с малым демпфированием.Фиг. 11.4.7. Статистически стационарная корреляционная функция7гаус- совского марковского процесса второго порядка с малым демпфированием.Три таких уравнения можно записать для трех взаимно перпендикулярных направлений; из изотропности (жидкости) ясно, что они статистически независимы.

Фиг. 11.4.7. Статистически стационарная корреляционная функция7гаус- совского марковского процесса второго порядка с малым демпфированием.

Фиг. 11.4.7. Статистически стационарная корреляционная функция7гаус- совского марковского процесса второго порядка с малым демпфированием.

Среднее время между столкновениями очень мало, и / (方〉 хорошо аппроксимируется гауссовским белым шумом, т. е. имеем

Е [/(%)] = 0, £*"(%)/(*)] = К (方一％'), q — const. Предполагая, что Е [/ (0)] = Е [v (0)] = £ [^ (0)] — Е [i^ (0)]= =Е [х (0) V (0)] = 0, покажите, что

找G (切=备(1-ё72以叫力

Е [v (t) X (切="^" (1 — e-(c/m)t)2,,

E[x2 ^-i~^r (3_ е-ct/m)(I _e・ct/m).

Отметим, как и Эйнштейн, что для t》тс величина Е [炉(力] стремится к qtlc^, не зависящей от массы частицы.

Задача 7. Большую ракету запускают по вертикали. Интересующее нас изменение высоты мало по сравнению с радиусов

Земли, поэтому приближенно гравитационную силу на единицу массы g можно считать постоянной. Вес намного превышает величину аэродинамического сопротивления, поэтому последним будем пренебрегать. Таким образом, приближенными уравнениями движения будут

т = —Р/% mv = Р — mg, % = и, где т — масса ракеты, и — ее скорость, Р — тяга, с — удельный импульс (постоянный), X.——положение,ракеты. Найдите средние значения и вторые моменты и, т, х как функции времени, если дано, что

Е [и (0)] Е [х (0)] = 0, Е [т (0)1 = т0,

Е [р2 (0)], Е [х2 (0)1, Е {[т (0)—叫卩} заданы,

Е [и ⑼ х (0)] = Е [v (0) (т ⑼一恤)]=笈[% (0) (m (0) — /nJ] = 0,E [P (切=几=const, E [(P (力 一 Г。)(P (*) - /)]-支(%—Q,q = const.

Задача 8. Другим распространенным типом случайной возмущающей функции является случайная постоянная, которую можно рассматривать как возмущающую функцию с бесконечным временем корреляции. Исследуйте влияние такой функции на систему второго порядка с демпфированием

х + 2自3% + (D% =加(%),

Е {w (Z)] = 0, Е [и?2 «)] = q = const, g < 1,

Е [х (0)] = Е[х (0)1 = 0,

Е [х2 (0)1 и Е [(х (О))2] заданы,Е [х (0) i (0)1 = 0.

[Указание. Примите w за другую переменную состояния, описываемую уравнением и? = 0 со случайными начальными условиями Е [w (0)] = 0,笈[ш2 (0)] = q」

//・5・ Л ппроксимация гауссовского марковского процесса с помощью гауссовской марковской последовательности

В приложениях обычно бывает необходимо путем численного интегрирования на вычислит ел ь ных машинах найти вектор средних значений х (%) и матрицу ковариаций X (%). Если используется цифровая машина, то фактически в численной процедуре яепрерывный процесс аппроксимируется многошаговым.

Если интервал времени (办 “)разделен на N подынтервалов длины А% =(右一t&IN、то полагают

/(%) |z_Zo=ftAt ^ х (Л) для Л = 0, 1, 2, . . ., N. (Н.5.1) Простой аппроксимацией уравнения % =歹(%) % + G (%)加(%) является

x(t + M) = [E + F ⑺ АН x(t) + G ⑺加(Z) At (H.5.2) Для того чтобы это соответствовало схеме многошаговой аппроксимации

х(к + 1) = Ф (к) х 佑)+T(k)w (初 (И.5.3) нужно положить

①(А)三[笈 + 歹(%) AHt_%iAt,(11.5.4)

Г (Л) = G (方)A% IffAt、(11.5.5)

и считать w (力 кусочно-постоянной функцией (ступенчатой функцией)

ip (%)=加(Л) для RA% &方一％()V (及 + 1) А%. (11.5⑹

Однако не столь очевидно, что следует брать за матрицу ковариаций х(^) ступенчатого процесса w (Л) при аппроксимации непрерывного процесса белого шума w (%) с заданной матрицей Q (%). Здесь—

Е {[ip (%) w (t)] [w (т) — w (工)1? = Q (%) 3 (% —工)，(11・5.7)

E {[ip (70 — ip (Л)] [ip (%)—加(Ob} = %(舟 ％(1158)

и

k = I

及耍 / (функции Кронекера).

и

Очевидно, что выбор % (厶)сильно зависит от величины А* обусловлен нашим желанием иметь

X (方)I io=st 4 X 3), А; = 0, 1, 2, . . М (11.5.9)

Простой аппроксимацией уравнения X = FX + XFT + GQGT является

X « + AZ) — X ⑴=F ⑦ X ⑺ A% +

+ X (力 FT ⑺ A^ + G(t) Q ⑶◎⑵ A%・(H.5.10)

Соответствующее выражение для X (Л Ц- 1), согласно уравнению (11.2.9), равно

х 佐 + 1)=①(期 X (期 ФГ (加)+ г (*) X (加)й (向•(11.5.11)

Подставляя (11.5.4), (11.5.5) и (11.5.9) в (11.5.11), получа^л

X (£ + А力 一 X (Z)=尸⑺ X ⑵ M + X ⑺ FT (i) AZ +

+ 尸⑺ X (Z) FT («) (Ai)2 + G «) [% ©) AH GT (i) At (H.5.12)

Далее ясно, что, для того чтобы (11.5.12) соответствовало (11.5.10) до членов первого порядка по А力 необходимо, чтобы

Q (力 lt-f0=kAt — % (舟 А%・(11.5.13)

Другими словами, % (Л) обратно пропорционально приращению времени AL

Сравнивая (11.5.13) с уравнением (11.4.18), замечаем, что они различаются множителем 2. Это объясняется наличием острого пика у экспоненциальной корреляционной функции, используемой в разд. 11.5, в противоположность плоскому характеру кусочно-постоянной функции, входящей в выражение (11.5.6).

厶・6・ Координаты состояния системы и марковское свойстве

Между понятием состояния детерминированных процессов и понятием марковости стохастических процессов имеется большое сходство. Это видно из следующего:

Стохастический процессСтохастический процессДетерминированный процесс

Стохастический процесс

Стохастический процесс

1. В любой момент времени 力 существует конечномерный вектор х, который, будучи заданным, определяет будущее развитие процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это свойство состояния системы. Координатами состояния является совокупность чисел1. В любой момент времени 力 существует конечномерный вектор х, который, будучи заданным, определяет будущее развитие процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это свойство состояния системы. Координатами состояния является совокупность чиселЗависимость будущего от настоящего определяется заданием разностного (дифференциального) уравнения, которое описывает переход (дифференциальный переход) от одного состояния к другому, т. е. имеем力 «+1) = /(%«), 0и начальное состояние х (0)Зависимость будущего от настоящего определяется заданием разностного (дифференциального) уравнения, которое описывает переход (дифференциальный переход) от одного состояния к другому, т. е. имеем力 «+1) = /(%«), 0и начальное состояние х (0)Частным, но важным случаем является такой, когда уравнения линейныЧастным, но важным случаем является такой, когда уравнения линейныВ любой момент времени t существует плотность распределения вероятностей, являющаяся функцией конечномерного вектора с, который, будучи заданным, определяет будущее вероятностное поведение процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это марковское свойство. Состоянием случайного процесса является плотность распределенияЗависимость вероятностного поведения в будущем от плотности распределения в настоящем определяется заданием механизма перехода (дифференциального механизма перехода)Р (~ «+1))==gp 3 (力+ 1)/力(0)-р (ж(0) W и начальной плотности распределения р {х (0))В любой момент времени t существует плотность распределения вероятностей, являющаяся функцией конечномерного вектора с, который, будучи заданным, определяет будущее вероятностное поведение процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это марковское свойство. Состоянием случайного процесса является плотность распределенияЗависимость вероятностного поведения в будущем от плотности распределения в настоящем определяется заданием механизма перехода (дифференциального механизма перехода)Р (~ «+1))==gp 3 (力+ 1)/力(0)-р (ж(0) W и начальной плотности распределения р {х (0))Частным, но важным случаем является такой, когда механизм перехода и начальная плотность гауссовскиеЧастным, но важным случаем является такой, когда механизм перехода и начальная плотность гауссовские

1. В любой момент времени 力 существует конечномерный вектор х, который, будучи заданным, определяет будущее развитие процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это свойство состояния системы. Координатами состояния является совокупность чисел

1. В любой момент времени 力 существует конечномерный вектор х, который, будучи заданным, определяет будущее развитие процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это свойство состояния системы. Координатами состояния является совокупность чисел

Зависимость будущего от настоящего определяется заданием разностного (дифференциального) уравнения, которое описывает переход (дифференциальный переход) от одного состояния к другому, т. е. имеем

力 «+1) = /(%«), 0

и начальное состояние х (0)

Зависимость будущего от настоящего определяется заданием разностного (дифференциального) уравнения, которое описывает переход (дифференциальный переход) от одного состояния к другому, т. е. имеем

力 «+1) = /(%«), 0

и начальное состояние х (0)

Частным, но важным случаем является такой, когда уравнения линейны

Частным, но важным случаем является такой, когда уравнения линейны

В любой момент времени t существует плотность распределения вероятностей, являющаяся функцией конечномерного вектора с, который, будучи заданным, определяет будущее вероятностное поведение процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это марковское свойство. Состоянием случайного процесса является плотность распределения

Зависимость вероятностного поведения в будущем от плотности распределения в настоящем определяется заданием механизма перехода (дифференциального механизма перехода)

Р (~ «+1))=

=gp 3 (力+ 1)/力(0)-р (ж(0) W и начальной плотности распределения р {х (0))

В любой момент времени t существует плотность распределения вероятностей, являющаяся функцией конечномерного вектора с, который, будучи заданным, определяет будущее вероятностное поведение процесса независимо от того, каким было прошлое, и наоборот. Это марковское свойство. Состоянием случайного процесса является плотность распределения

Зависимость вероятностного поведения в будущем от плотности распределения в настоящем определяется заданием механизма перехода (дифференциального механизма перехода)

Р (~ «+1))=

=gp 3 (力+ 1)/力(0)-р (ж(0) W и начальной плотности распределения р {х (0))

Частным, но важным случаем является такой, когда механизм перехода и начальная плотность гауссовские

Частным, но важным случаем является такой, когда механизм перехода и начальная плотность гауссовские

Гауссовскую марковскую последовательность (процесс) можно представить с помощью белой гауссовской случайной последовательности (процесса), действующей на линейную дискретную (непрерывную) динамическую систему, имеющую гауссовское начальное состояние. Состояния процесса в будущем и настоящем можно связать дифференциальным механизмом перехода, а не вышеупомянутым интегральным соотношением общего вида. С вычислительной точки зрения первое представление более удобно. Более того, состояние процесса является только конечномерным, так как для его описания необходимы лишь среднее и матрица ковариаций. Подчеркиваем, что уравнения (11.4.6) и (11.4.17), которые описывают процесс в пространстве состояний, являются детерминированными и поэтому доступны детерминированному исследованию. В этом ключ к анализу стохасти- ческих процессов: характеризоватъ их с помощью величин, которые связаны между собой детерминированным образом, и 6 последующем использовать только эти величины.

Задача 1. Укажите правильный ответ* Случайный процесс может быть：

гауссовским, но не обязательно марковским;

марковским, но не обязательно гауссовским;

стационарным, но не обязательно гауссовским;

4)гауссовским марковским, но тогда обязательно нестационарным.,

Возможные ответы:

\17\17 \17\|/ \|/ а б в г д\17\17 \17\|/ \|/ а б в г двсе утверждения верны;

\17\17 \17\|/ \|/ а б в г д

\17\17 \17\|/ \|/ а б в г д

правильны 1, 2 и 3, а 4 неверно;

правильны 1 и 2, а 3 и 4 неверны;

все утверждения ложны;

правильно только утверждение 1.

Задача 2. Укажите система

правильный ответ. Рассматриваетсяправильный ответ. Рассматриваетсях = Fx -[- w,

правильный ответ. Рассматривается

правильный ответ. Рассматривается

гдегдеЕ [ш (%)] — О, Е [ш (力 w^ (т)] = QB (方一т)

где

где

и w (t) —— гауссовский процесс.

ПустьПусть1 О-О 11 О-О 1Тогда при 方 тоо матрица ковариаций процесса % (0

Пусть

Пусть

1 О-

О 1

1 О-

О 1

бесконечна；

нулевая；

конечна и положительно определена;

конечна и полуопределена.

Задача 3. Укажите правильный ответ. Рассматриваются две динамические системы, изображенные на фиг. 11.6.1, где w — белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием. Тогда уравнения для матрицы ковариаций процесса х (办

Фиг. 11.6.1. Гауссовские марковские процессы, различающиеся знаками при одинаковых случайных возмущающих функциях.Фиг. 11.6.1. Гауссовские марковские процессы, различающиеся знаками при одинаковых случайных возмущающих функциях.

Фиг. 11.6.1. Гауссовские марковские процессы, различающиеся знаками при одинаковых случайных возмущающих функциях.

Фиг. 11.6.1. Гауссовские марковские процессы, различающиеся знаками при одинаковых случайных возмущающих функциях.

t—/}/ tl/г—/12 3 4t—/}/ tl/г—/12 3 4идентичны для обеих систем;

t—/}/ tl/г—/

12 3 4

t—/}/ tl/г—/

12 3 4

отличаются знаком;

различаются только внедиагональными членами; совершенно различны.

Задача 4・ Укажите правильный ответ. Рассматривается та же задача 3 [т. е. задача о матрице ковариаций для х (0], только теперь w является коррелированным гауссовским марковским процессом с известной корреляционной матрицей. Вначале- Е {w (0) х (0)т] = 0. Выберите ответ из указанных в задаче 3-

Задача 5. Рассматривается скалярный марковский процесс xz; покажите, что

р (g I д+2, g+工，勺т, 3-2)= р (д I з+「力i)；

в общем случае

Р (勺 I %f+N，• •■ ч 4 + £, ^t-i» • • • 5 ^t~M) — Р(3 1 勺勺Т)-

Задача 6. Рассматривается уравнение х = Fx -\~ gw и z = =无т瑞 где w есть белый шум с Е [w] = 0 и 笈[w2] = 1. Определи-

теЕ [z (t + т) и) «)]• Что такое f (^ + т, %)?

Задача 7. Пусть в задаче 6 歹=[о —2 '目=[1]； определите установившееся состояние С (т) корреляционной функции процесса % (%).

Задача 8. Пусть дано /±+1 = Фxt + 加匕 wt — белый шумг но не гауссовский. Напишите уравнения для среднего и матрицы ковариаций процесса xt.

Процессы с независимыми пр ирагц е ниями

Проведенное обсуждение естественно подводит к предположению, что более общий класс стохастических процессов можно представить выходными сигналами нелинейной динамической системы, возбуждаемой каким-либо шумом. Для описания таких процессов удобно ввести понятие процесса с независимыми приращениями. Процесс т](力)называется процессом с независимыми приращениями, если

p h (切-П (垃，т)(幻-n(%)，T)伍)一П (%)，. . •]= =P[n ,(切-n (幻]P h](公一n (%)]P h 他)一n g5)1 . • •

(11.7.1>

для всех 方6 > % > 厶 > % > 友 > 厶.

Двумя основными процессами с независимыми приращениями являются：

Винеровский процесс (или процесс броуновского движения)^ Он определяется как гауссовский процесс 刀(%), у которого

Е [х\ (t + 近)—г)⑼=Е 1询(t)] = 0,后[dxf (>)] = Q (方)dt.

С помощью обозначений, используемых в этой главе ранее, т) (%) можно представить как

П = ^>

где w — 6訥ый гауссовский шум с нулевым средним и корреляционной функцией Q (^) 6 (t ——т).

Пуассоновский процесс. Он определяется условием, что вероятность того, что произойдет одно событие за время dt. равна adtH не зависит от любого предшествующего события. Если событие произошло, то значение, принимаемое процессом, определяется плотностью распределения р (刀).

Сложные стохастические процессы можно представить в виде dx = f (х) dt + g (力)d%(11.7.2)

где г)(看)есть процесс с независимыми приращениями, определенный либо в п. «а», либо в п. «б» '). К счастью, можно получить еще одно дифференциальное соотношение (аналогичное уравнению для среднего и вторых моментов), которое является детерминированным и описывает эволюцию плотности вероятности процесса. При определенных условиях это оказывается практически выполнимым.

1) Если требовать, чтобы (11.7.2) имело вид %=/(%,$) + ? (х, i) {dx\ldt)v то необходимо было бы определить много разных белых шумов, соответствую' щих различным процессам с независимыми приращениями.

Например, если определить р (х, £ | х0,幻 как плотность вероятности пребывания в состоянии х в момент 力 когда известно, что в момент ^0 система находится в состоянии х0, то при определенных условиях 1) для винеровского процесса получаем уравнение

黑=2詮(^а)+T2号訴7 (pg沿力，

42(11.7.3)

P (瑞?o I /о, *o) = § (/ 3)， известное под названием прямого уравнения Колмогорова или уравнения Фоккера ——Планка.

В принципе дифференциальные уравнения в частных производных для плотности вероятности р (х^ t \ х0, ^0) можно построить и ддя других процессов 刀(力 вида (11.7.2). Когда число компонент вектора / превышает два или три, то получить какие- либо числовые результаты трудно.

См. W. М. Wonh a m, Stochastic Problems in Optimal Control, IEEE Convention Records (1963).

Оптимальные фильтрация и прогнозирование

/2」・ Введение

В предшествующих главах было установлено, что для оптимального управления динамической системой необходимо знать состояние этой системы. На практике часто с помощью непосредственных измерений отдельные переменные состояния точно определить нельзя; обычно оказывается, что измерения, которые можно осуществлять, представляют собой функции переменных состояния и содержат случайные ошибки. Сама система может быть также подвержена действию случайных возмущений. Во многих случаях для того, чтобы сделать заключение о значениях переменных состояния, соответствующих данному моменту времени, число измерений в этот момент оказывается недостаточным, если даже измерения выполняются совершенно точно. Иногда измерений' бывает больше, чем необходимо, так что переменные состояния получаются переопределенными. Таким образом, учитывая, что на саму систему действуют случайные возмущения, возникает проблема получения хороших оценок переменных состояния либо по слишком малому, либо по слишком большому числу измерений, которые сами являются неточными и представляют собой только функции переменных состояния.

Если динамика идеальной системы (с точными и полными измерениями и без случайных возмущений) известна, а также имеется некоторая информация о степедц^неточности измерений и интенсивности случайных воздействий на систему, то можно, основываясь на измерениях, которые имеются к данному моменту времени, определить наиболее правдоподобные значения переменных состояния. Процесс определения этих наиболее правдоподобных значений в зависимости от того, ищутся ли прошлые, настоящие или будущие значения переменны気 ％60卞6^№；语風- вается соответственно (ТТ^ТИЖ®ваше^Т5шили прогно-

— этой главе рассмаТрЬваются вопросы фильтраций и прогнозирования. Ее результаты непосредственно приложимы к стохастическим задачам управления. Проблема сглаживания рассматривается в гл. 13.

Оценивание параметров методом взвешенных наименьших квадратов

Пусть требуется оценить вектор состояния статической системы %, состоящий из п компонент, используя измерение вектора 石 из р компонент, содержащее случайные ошибки q которые не зависят от состояния 胃：

z = Нх + и,(12.2.1)

Н — известная матрица размерности (р X п),

£ М = 0,(12.2.2)

Е [vvT] = R — известная положительно определенная

матрица размерности (р X р).(12.2.3)

Допустим, что до измерения мы имели оценку вектора состояния, которую обозначим через 瑞

Е [(胃一х) (х —力)〈=М, где М — известнаяположительно определенная матрица размерности (п X п), (12.2.4)

Оценка по методу наименьших квадратов, которую будем обозначать как х, является одной из весьма оправданных оценок случайного вектора 瑞 использующих измерения вектора 2； в этом методе £ выбирается таким образом, чтобы минимизировать величину квадратичной формы 丄)

J = g [(/_X)t М-1 (z _%)+ (z —我力)t аt (z _ 〃%)]• (12.2.5) Заметим, что весовые матрицы М-1 и A~i ——это матрицы, обратные априорным математическим ожиданиям матриц (力一х) X X (花 一 х)т и (z — Hx)(z — Нх)т соответственно. При таком выборе весовых матриц оценка, полученная методом наименьших квадратов, в случае гауссовских распределений для 花 н и совпадает с оценкой, равной условному математическому ожиданию, т. е. х ^ Е [х \ г], что в свою очередь совпадает с оценкой, получаемой методами максимума правдоподобия или минимума дисперсии (см. задачи 1——6 в конце этого раздела).

Чтобы определить 胃，рассмотрим дифференциал выраже-- ния (12.2.5) )

dJ = dxT [М~г (х — x) — HTR~r (г — H力)]•(12.2.6)

Для того чтобы dJ = 0 при произвольном dxT, коэффициент при dxT в (12.2.6) должен равняться нулю:

(Л/"1 + 守斤工党热=М~Ч + HTRF =

=(AS + ^^H) x + HTR-1 (г - Hx), ■ т. е.

х = х + PITRT (z - Н我(12.2.7)

где'

/>т = Л/т + HTR-4I.(12.2.8)

В уравнении (12.2.8) величина Р есть матрица ковариаций ошибки оценки х

Р=Е[(х — х) (^ —а：)т].(12.2.9)

Чтобы показать это, положим ошибку оценки

х—^ = е.

Тогда

е =花一％+ % — х — х — х + К ® — Н (х — х)], или

е = (Е - КН) (х-х) + Kv,(12.2.10>

где

К = PRtr-l

Поскольку z — z н о независимы, то из (12.2.10) следует, что

Е [еег] = (Е - КН) М (Е — ВДГ 十 KRKT. (12.2.11)

Умножая (12.2.8) слева на Р н справа на М, получаем

М = Р + PHTRfHM ИЛИ

(Е — КН) М = Р.(12.2.12)

Подстановка (12.2.12) в (12.2.11) дает

Е [eer] = Р _ РНТКТ + KRKT =

=Р — PHTRTHP 十 PHTR-^HP, т. е.

Е [箔叮=Р(12,2.13)

Так как М есть матрица ковариаций ошибки, имевшейся do измерения, то из (12.2.8) следует, что Р, матрица ковариаций ошибки после измерения, никогда не больше М 】), поскольку

')Говорят, что матрица Р меньше, чем матрица М, если для всех ненулевых векторов 胃 скалярная величина хтРх < з^Мх.

матрица HTR^H по крайней мере положительно полуопределена. Таким образом, проведение измерения уменьшает (более точно, никогда не увеличивает) е среднем неточность наших знаний о состоянии х.

Другое важное свойство оценки состоит в том, что

Е [6尸]=£{[(£- КН) (х-内 + Ku][疗一 КН (£-%) + Kv] т}=

=—(Е — КН) МНТКТ + KRKT = — РНТКТ + KRKT = 0, (12.2.14)

т. е. оценка и ошибка оценки не коррелированы. В том случае, когда 花 н и гауссовы, это означает, что хне независимы (см. гл. 10). Равенство (12.2.14) можно рассматривать как определение оценки, оптимальной в том смысле, что в ней содержится вся информация из z, так что знание х или z не улучшает ошибку е.

Из (12.2.5) следует, что априорное математическое ожидание J равно р/2. Это легко показать, если записать (12.2.5) в виде

J = ^ Тг [Л?т (况一况)(％ — %)『] + — Tr [RT (z — Hx) (z — Нх)т], где Тг обозначает «след матрицы», т. е. сумму элементов ее главной диагонали. Далее

Е [J] = Тг {М^Е [(花一花)(况 _%)『]} +

+ 4Тг 伊一吻[(z — Hx) (z 一 Hxf]\ =yTr {M-W} Н-АТг {R^R}.

Ho M~rM есть единичная матрица размерности (п X n), R^R — единичная матрица размерности (р X р), поэтому Тг (М~ГМ) = п, Tr (RTR) = р. Отсюда.

E[J]^^p.

Иногда априорное знание матриц М и R является неточным. Чтобы проверить это, следовало бы после получения оценки вычислить по уравнению (12.2.5) при х = х фактическое значение J； обозначим его через J» Априорное математическое ожи- дание величины J。 может быть вычислено; найдено, что. Е (J。) = р/2. Если фактическое J。намного отличается от р/2, то элементы матриц М и R следует умножить на Jo/(p/2). Тогда среднее значение J станет равным р/2. Отметим, что при этом матрица Р также умножается на ту же величину [см. формулу (12.2.8)], однако это не изменит % [в равенстве (12.2.7) указанная величина входн里 как в Р, так и в 7? и поэтому сокращается]. По этой причине необходимо устанавливать только относительную величину элементов в М л R; множитель J0/(р/2) затем можно

учесть, с тем чтобы получить значения Р, М r R, согласующиеся с разбросом данных.

Многие задачи получения оценок часто являются нелинейными. другими словами, вместо соотношения (12.2.1) имеется

z =无⑺+ /

где 无(胃)——известная нелинейная функция х. В этом случае изложенное выше можно применить к линеаризованному варианту выражения z =无位)十 и

dz= z — z ^ — ^_(x — x) + v = -^dx + v.

Как это сделать, показано в двух нижеследующих примерах.

В некоторых задачах оценивания известна только неявная зависимость между оцениваемыми параметрами и имеющимися измерениями, т. е. явно записать выражение z (力)= 无(胃，и,力) нельзя. Однако здесь все же можно непосредственно установить дифференциальное соотношение dz = (dh/dx) dz + и и решить линеаризованную задачу оценивания.

Отметим также, что некоторые динамические задачи оценивания при соответствующей их постановке можно свести к задачам оценивания параметров (см. пример 2).

Пример 1. Определение местоположения по угловым измерениям. Требуется оценить положение (胃，у) точки Л, лежащей в плоскости, по измерениям углов z；, производимым из нескольких точек

Фиг. 12.2.1. Оценка положения с помощью измерения углов от линии отсчета.

В» (力=1， 2, . . ., п), которые расположены на линии отсчета (фиг. 12.2.1).

С положением точек А л Bj угловые измерения z^ связаны нелинейными уравнениями

&• =arctg^^ + g・，(12.2.15)

где vt — случайная ошибка, сделанная при измерении угла. Предположим, что

E[vi] = Q. E{vtVj\^^ Г^ :二：(12.2.16)

Далее линеаризуем выражение (12.2.15) в окрестности априорной оценки положения (伤 у), которую обозначим как (瑞 у)

По приближенному чертежу (фиг. 12.2.2) выбираем в качестве оценки 石=369 м,万=213,5 ли Отсюда следует, что

где

_x--h

Zj -"zё" [hц^ _Й金] - -4~3,

「0,05 -| dz= 0,40

_0,29_

град,

「一0,067

Н= —0,132

_-0,246

0,115-

0,134 град/м^

0,077.

z； = arctg—

P^lHTR^H]-1^

Полагая матрицу ковариаций ошибки бесконечной, М -^ оо или Л?т = 0, будем считать оценку (胃，у) не зависящей от априорных данных. Пусть

Г4,08

K = PHTRf=…

dx = К. dz =

'1,045

_0,967

-0,95

3?23

'-1,525_

一 0,576_

м,

0,967]

1,18з] ”，

-4,66「

3,69.

м/град,

寸1「370,5 一

ли

分一Z1

\c ——X -

dz =

_zn ——Zn_

：：1 , dx^

-Hin^力2也」

-У — У -

一^也-

Тогда

dz = Н dx-\-v;

при этом

. . . 0 -

%= ： • •, P=(HTRTH『.

-0 . . . гп~

Если dx значительно отличается от нуля, процедуру следует повторить, проведя линеаризацию относительно (花，у) = (% + d%, у 十 dy). В принципе эту процедуру следует повторять до тех пор, пока dx 4 0. Собственные значения и собственные векторы матрицы Р определяют эллипс 39% правдоподобия с центром b (云办

Численный пример. Пусть п = 3 и заданы следующие данные:

Находим следующие собственные значения и собственные векторы матрицы Р:

Собственное значение

Направление собственного вектора

2,106 Л£2

0,154 於2

47,0。

-43,0°

Взяв в качестве полуосей эллипса (отложенных вдоль собственных векторов) квадратный корень из собственных значений (1,493 и 0,393 м), пдлучим эллипс 39% правдоподобия с центром в (花,^) (фиг. 12.2.2). Линейные размеры эллипса 99% правдоподобия в три раза больше соответствующих размеров эллипса 39% правдоподобия. На фиг. 12.2.2 показаны также линии визирования из точек 笈 1,笈2 瓜笈з・ Заметим, что

@1 -Z02 =(зо,22 - 30,1)2 - (0,12)2 = 0,0144,爲-Z2)2 - (44,88 一 45,0)2 = (0,12)2 = 0,0144,Ез — Z3)2 = (73,73 一 73,6)2 - (0,13)2 = 0,0169.

г

1

2

3

Единица измерения

h

0

152,5

305

метр

zi

30,1

45,0

73,6

градус

0,01

0,01

0,04

граду(?

Поэтому

3 入

1 у ⑶一Z0 2 _ 1,44+1,44 4-0,423,30

~ Z ~~-22-

Априорное математическое ожидание этой величины равно 3,00/2, поэтому, основываясь на ограниченной выборке из трех

Иаилучшая оценка положения А 做近Иаилучшая оценка положения А 做近J57 360 363 弓ииJ57 360 363 弓ииФиг. 12.2.2. Численный пример оценки положения с помощью угловых измерений.Фиг. 12.2.2. Численный пример оценки положения с помощью угловых измерений.归2归2Wb 2Wb 2

Иаилучшая оценка положения А 做近

Иаилучшая оценка положения А 做近

J57 360 363 弓ии

J57 360 363 弓ии

Фиг. 12.2.2. Численный пример оценки положения с помощью угловых измерений.

Фиг. 12.2.2. Численный пример оценки положения с помощью угловых измерений.

归

2

归

2

Wb 2

Wb 2

измерений, дисперсии углов следовало бы увеличить в 3,30/3 = =1,10 раза. Это привело бы к увеличению линейных размеров эллипса 39% правдоподобия в ]Zl,10 = 1,05 раза.

линия визирования

из точки В3

Линия визированияиз точки 砲

/ Линия визирования

-из точки В〕

/ Эллипс 39 % правдой/ nodo5usif полеченныйпо априорным oUfBH-\ кам дисперсий узловЭллипс 99% правдоподобия

Пример 2. Опре деле ние параметров орбиты по измерениям датчика горизонта. Эллиптическая орбита в своей плоскости задается следующими четырьмя параметрами (фиг. 12.2.3): а —— главная полуось эллипса, е — эксцентриситет эллипса, Го — время прохождения через перигей, 00 —— угол между перигеем и линией отсчета.

На спутнике установлена измерительная система, которая состоит из: а) цилиндра, вращающегося относительно оси, перпендикулярной к плоскости орбиты, с постоянной угловой скоростью (о, величина которой поддерживается как можно более близкой к 2冗/7, где Т —— период обращения по орбите; б) установленного на цилиндре датчика горизонта, измеряющего угол а (» между линией визирования центра Земли и линией отсчета на вращающемся цилиндре. Эта линия отсчета выбрана так, чтобы a (Zq) ^ 0, т. е. а ^ 0 в перигее. При отсутствии ошибок измерения а (方)является периодической функцией, полностью определяемой параметрами е, а, Го, о)и а (7°); так, если орбита кру-

говая, то а (力=0 при со, в точности равной 2п/Т. Любое отклонение орбиты от круговой приведет к периодическим колебаниям вращающейся линии отсчета относительно линии визирования. Задача состоит в том, чтобы, основываясь на засоренных шумами

Фиг. 12.2.3. Определение параметров орбиты по измерениям датчиков горизонта.

измерениях угла а (0, улучшить оценки параметров е, а, Го,① и а ®).

Соотношение между величиной а в момент t и параметрами 〃,е, То, з и а (^0) неявно задается следующим образом г):

а = # —тп, со$#=-：Г£^7 , М = Е —esinE,

加=2" (力丁7()) , mugG—T苏 _ a伪 ％三a(北)，

Здесь углы ф, М и Е известны соответственно под названиями: истинной, средней и эксцентрической аномалий, g ——ускорение силы тяжести на поверхности Земли, R — радиус Земли. Отметим, что если ①=2冗 7 и а。= 0, то т = М. Дифференцируя вышеупомянутые соотношения и исключая d«, dM, dE, dm и dT, можно получить следующее выражение:

"Г。+ 7° do * da。， где

da Зп?1。(1 — е^) sin Е da(1 — е^^ gfn2 ^

da — aTsine (二 ecos 总尸，—sin 力(1 —ecos 总尸， da — 2л(1 — e2) sin E

Mo ① T &in 力(1—e cos Е)3 *

')・§"•，например, J. М. A. D а n b у, Fundamental of Celestial Mechanics,. Macmillan, N. Y., 1962.

Эти частные производные вычислены по наилучшим для момента измерения текущим оценкам параметров а, е， Го, со, а»

Предполагается, что измерение величины z (%) содержит случайную ошибку и

z (力=a (t) + %

где Е [d = 0, Е [f2] = R r R известно. Пусть а (£)——результат измерения, предсказанный на момент t с использованием наи- лучших текущих оценок а, е, Г。，со, а0. Тогда

z(t) — а (%) а da (力)+ p,

илиили

или

или

zg)一a")4[警'凜'院一' 7。, 1]zg)一a")4[警'凜'院一' 7。, 1]dadedTQdsda。dadedTQdsda。+ и.+ и.

zg)一a")4[警'凜'院一' 7。, 1]

zg)一a")4[警'凜'院一' 7。, 1]

dadedTQdsda。

dadedTQdsda。

+ и.

+ и.

Далее это линейное выражение можно использовать для оценки величин da, 曲，dT^ ds и da。по измерению z (力 一 a (力).

Задача 1. Пусть л: и f из уравнения (12.2.1) являются независимыми случайными векторами с гауссовскими плотностями распределения. Покажите, что совместная плотность распределения р (胃,и) пропорциональна ехр (——J), где величина J определяется уравнением (12.2.5). Таким образом, величины % = % ц и = —z ——Нх доставляют максимум функции р (花，и), оправдывая название «оценка по методу максимального правдоподобия».

Задача 2. Выведите уравнения

Р = М — МНТ (НМН^ + 冗尸 НМ,(а)

К = PHTRf = МНт(НМНТ + К)?(б)

Отметим, что если размерность R меньше размерности Р, т. е. если ~ j9 V 汽,то в данных соотношениях, определяющих Р 皿 К, содержатся обратные матрицы меньшей, чем в уравнении (12.2.8), размерности. Правые части уравнений (а) и (12.2.8) образуют пару обратных матриц, удовлетворяющих лемме об обращении матриц 1) [см. задачу 4 разд. 1.3 и уравнения (12.7.20), (12.7.21)].

Другой вариант леммы об обращении матриц состоит в утверждении, что

(% + ХУ)Т = % — X (% + УХ)ту,

где 笈”,Е1П — единичные матрицы размерности пит соответственно; X — матрица размерности п 乂 т; К — матрица размерности т X п.— Прим, перее.

Задача 3. Раскрывая скобки в формуле (12.2.5), покажите, что

J = -[x-x — PHTRT(z-女元)产尸T [%一^一

— PHTR-1 (z — Hx)] +

+^^z-Hx)T ВТ1 (Я - HPHT) RT& — H办

Отсюда уже видно, что минимум J соответствует выбору х~х, где—

i = x + PHTR^ (z^Hx),

что совпадает с выражением (12.2.7).

Задача 4. Пусть заданы два коррелированных гауссовских случайных вектора 胃 л z со средними 胃 л z, матрицами ковариаций Рхх и 尸zz соответственно и корреляционной матрицей Рхг = =Е [(х —花)(z — z)". Покажите, что условная плотность распределения p(x\z) является гауссовской с

Е [x\z] = x + PxzPzz (z — z)=胃，

£*[((% — i) (x —財)T)/z] = Pxx — PxzP^Pxz^

Задача 5・ Пусть в задаче 4 z = Нх + 沙，〃 —— известная матрица, и не зависит от 胃,математическое ожидание х равно 0, матрица ковариаций Я, Рхх = М. Покажите, что

Pzz = R + НМН\ 厶 z = МНТ. F = Нх.

Используя эти соотношения в задаче 4, проверьте равенства (12.2.7) и (12.2.8). (Воспользуйтесь результатами задачи 2.) Заметьте, что наиболее разумный ответ: К =尸^尸力！

Задача 6. Покажите, что в задаче 4 гауссовские случайные векторы е — Е {х \z\ и z — z независимы, т. е.

Е [е (z — z)I = 0.

Задача 7. Предположим, что число соотношений между измеряемыми переменными z и фазовыми переменными х меньше числа измеряемых переменных. Пусть, например,

4z = Нх + 4и;

4 — матрица размерности (q X р), q <Z р, Н — матрица размерности (^ X n), Е [и] = 0, Е [vvT] = R — матрица размерности (р X Р)・ Покажите, что здесь применима развитая в этом разделе процедура оценивания, где z заменено на 4z, a R — на ARA

Задача 8. Рассмотрите обычную задачу аппроксимации методом наименьших квадратов, т. е. задачу отыскания 况,минимизирующего

Покажите, что ошибка аппроксимации е = z — Нх ортогональна аппроксимирующей величине z = Нх в том смысле, что eTz — 0.

Задача 9. Пусть в задаче 2 начальные оценки элементов орбиты равны: а — 9650 км, е — 1/6, 7()= 0, со — 2п/7\ а。= 0. Полагая R = 6565 км и g = 9,62 м/се段2, с помощью одного измерения z (力 —16,7° в момент t = 1357 сек получите улучшенные оценки величины а, % Го, со и а» Здесь

Е 岳2] — 10~2 град2, Е [(а — я)2] = 2,59・10~4 段恥2,

— Е [(е -7)2] - 10^,

Е [(7 — Т0)21 = IB %吃 е [((о 一 翁]_ iq-^ 处弋

Е [(а0 — а0)2] = 10-2 叩仪@2,

а все смешанные моменты второго порядка равны нулю. [Указание. Для нахождения Р пользуйтесь соотношением задачи 2, а не формулой (12.2.8).]

22・3・ Оптималъная фильтрация для линейных одношаговых переходов

Рассмотрим систему, дискретный переход которой из состояния 0 в состояние 1 происходит согласно линейному уравнению

々=①“о + Г。少о，(12.3.1)

где Фо —— известная переходная матрица размерности (n X п)т Го — известная матрица размерности 仇 X г);

Е [少о】=少о, Е [(少о —少о)(少о —少о)2! = Qo・(12.3.2)

Таким образом, вектор возмущений wQ есть случайный вектор с。средним wQ и матрицей ковариаций Q& Состояние 况о также является случайным вектором со средним z0 и матрицей ковариаций 尸о, т. е.

Е 反°]=况о， Е [(况о —况о)(况о — Xq)г] = Рq.(12.3.3)

Кроме того,况о и wQ независимы. Из этих данных следует, что 况！ есть также случайный вектор, и, согласно соотношениям

— (11.2.9), его математическое ожидание 况£ и матрица ковариаций М^ таковы:

zi =① о%о+ Г0М70,(12.3.4)

MiuOWl^+FoQo 邙.(12.3.5)

Поскольку в силу (12.3.2) матрица FoQoT^ является неотрицательной, то из (12.3.5) следует, что в среднем в процессе перехода тапа (12.3.1) неопределенность в величине 少о приводит к увеличению не о пре деленност и наших знаний о состоянии 胃^ i). Это должно противоречить результату (12.2.8), из которого видно, что в среднем измерения уменьшают неопределенность наших знаний о состоянии системы ).

Предположим, что после перехода в состояние 1 проводятся измерения, аналогичные рассмотренным в разд. 12.2. Тогда из формул (12.2.7) и (12.2.8) получаем, что наилучшая оценка вектора 况i есть 况！, где

Zi — zi + PJI^R^1 (zi —反1勺)，(12.3.6)

Pl(mu+hwhjt =

-Mi-Mi* (H.MiHl+R^1 HM・ (12.3.7)

Здесь Zt и Mt задаются выражениями (12.3.4) и (12.3.5). Отметим, что Zi есть оценка вектора 况f перед измерением, тогда как 力丄 есть оценка 力！ после измерения. Аналогично Mi есть матрица ковариаций ошибки до измерения, a Pi —— матрица ковариаций ошибки после измерения. Символически этот процесс можно описать следующим образом:

среднее:среднее:2121матрица ковариаций:матрица ковариаций:

среднее:

среднее:

21

21

матрица ковариаций:

матрица ковариаций:

/2・4・ Оптимальные фильтрация и прогнозирование линейных многошаговых процессов

Рассмотрим линейный стохастический многошаговый процесс,

описываемый уравнениями

勺м =①网 +i == 0, . . ., TV — 1;(12.4.1)

E [xQ]=胃o，(12.4.2)

E [wil = /,(12.4.3)

E [(%()—胃о) (%o —3。)" ~ "o’(12.4.4)

E [(例一例)_(仍-%r] = Q心力(12.4.5)

E [(例一s) (%o —花о)" = 0.(12.4.6)

Когда система находится в состоянии г, проводятся измерения zz. Они линейно связаны с состоянием 勺

勺=Нгхг + 内，力=0, . . ., N,(12.4.7)

E [q] = 0,(12.4.8)

E必丝卩=R筛〃(12.4.9)

E [(wi —欣)叩=0 1) и Е [(%о —花о)叩=0.(12.4.10)

Естественно ожидать (см. вывод в разд. 12.7 или в гл. 13)? что оценку состояния g по методу наименьших взвешенных квадратов или по методу максимума правдоподобия, использующую только измерения z0, . . ., z^, можно получить последовательно, применяя одношаговую процедуру оценки предшествующего раздела

£ =々 + 畐 Z - H网)，X = 0, . . .，幺 后 0 N, (12.4.11) где一_

%〃1 =①网 + Г"加窃 задано, (12.4.12) 2)

Ki = PtH：Rw\(12.4.13)

尸尸例計+笛后5•尸=此一 MiH： (MMiH?+R尸HiMi, (12.4.14)

+「Qzlf ・(12.4.15)

Это и есть фильтр Калмана для линейных многошаговых процессов [12.2]. Отметим, что фильтр (12.4.11) и (12.4.12) является

В гл. 13 рассматривается случай, когда wi и 看 коррелированы.

Конечно, в (12.4.12) член- ^+i следует понимать как Е [勺十^ | 々，

,.zj, а не как Е [勺

моделью системы (12.4.1), содержащей поправочный член, пропорциональный разности между действительным измерением z» и его предсказанным значением Н^^ В выражении (12.4.13/ матрица пропорциональности К» фактически характеризует соотношение между неопределенностью состояния R и неопределенностью в измерениях К»; в (12.4.7) матрица Н； является простоматрицей преобразования вектора состояния в вектор измерения. Отметим, что:

Эволюция матрицы ковариаций ошибки оценки [формулы (12.4.14) и (12.4.15)] 乂е зависит от измерений z». Таким образом^ если заданы параметры уравнений системы и процесса наблюдений, то матрицу ковариаций можно вычислить заранее и запомнить.

Вычисление улучшенной оценки [уравнения (12.4.11^ и (12.4.12)] производится только по текущим измерениям и матрице ковариаций ошибки. Поэтому оценку можно легко получить- в реальном времени.

Прогнозирование состояния на этапе, следующем за тем, для которого имеется текущее измерение, например на этапе т, можно сделать только путем повторного применения выражения (12.4.12), т. е.

勺+1①z*g + ГtWi^ / = т, т + 1, . • •, (12.4.16}

где оценка 財巾 получена из уравнений фильтра (12.4.11)—— (12.4.15). Другими словами, для наилучшего прогнозирования пользуются уравнениями перехода (12.4.1) с математическим ожиданием 必订 а именно 必力,начиная с оценки хт, полученной с помощью фильтрации. Другой способ получения соответствующих уравнений состоит в том, что для i =^ т, т + 1, пола- раютК» — оо. В этом случае (12.4.11), (12.4.12), (12.4.14), (12.4.15)' сводятся к соотношениям

Ам =①/Р①？ + TtQtTt(12.4.17)

хш =① g + 1\少蒔(12.4.18)'

ко^ВЗ,协е были полУчены в разд. 11.2 [см. формулы (11.2.9)1 Ошибка оценки состояния многошагового процесса / = =办 6 удовлетворяет уравнению, которое можно получить ИЗ (12.4.1) и (12.4.11). Имеем

G+i (Ф — К^НФ) / + (及厶山!1 — Г)伤 + к〃必

ео — ^о —花о・(12.4.19а)；

"ля „Удобства здесь опущены индексы у Ф, Г, ^ и Я и считается, 口то 忆=0. Поскольку Е 历。吟]=0, то непосредственное вычис-

ление индукцией по i показывает, что для всех i

Е [^z+ieM-i] = Е {(①g —К1+1НФе^ Ki^HVwi +

丄 &+必+。[(①-к^ПФ)t 4 一 (К^+1hГ - r) wi + &*仍+1]Т}==-Ki^H [①в (Ф-^+1НФ)Г] + г<? (Kt^HV-ту + KMRKl+i =

=Ki^HM^i {НТК^1 — Е) + Ki+1RKi^-i =

=-Ki+iHPt+1 + KulRKl+1 = 0.(12.4.196)

Этот результат аналогичен соотношению (12.2.14).

Статистически стационарные процессы. Если все А1атрицы Фг, Гг, Ef, Н», Qt постоянны, то процесс фильтрации может стремиться к установившемуся состоянию в том смысле, что 以 и р становятся постоянными матрицами М и Р при 力 т оо. Матрицы М и _Р определяются из уравнений

рт = M-i + HTR-'H или Р = М - МНТ (Я + ИМН】尸 НМ.

(12.4.20а)

М = ФРФГ + FQTT.(12.4.206)

Уменьшение информации Г^ГГ уравновешивается поступлением информации HTR~lH в условиях демпфирования, которое может иметь система (последнее определяется матрицей Ф).

Простой процесс первого порядка. Стационарная многошаговая -система первого порядка возбуждается белой случайной последовательностью, и на каждом шаге производится одно измерение, содержащее ошибку. Эти ошибки образуют другую (независимую дт первой) белую случайную последовательность

々■и = $吃 + S, Е MJ = 0, Е [少”/] = q8iv (12.4.21) zt =勺 + 内，£ [%] = 0,

Е IviVj] = г5订，X = 1, 2, . .(12.4.22)

Е [宏0〕=花о, Е [(%()胃о)?】~ Ро・

Фильтр, работающий по методу максимума правдоподобия, описывается уравнениями

伤+1=岁g+-^-(&+1-еg), д задано, (12.4.23)

2+1 一 、 r е2т+g2+1 一 、 r е2т+g尸，А)задано.尸，А)задано.(12.4.24)(12.4.24)В статистически установившемся состоянии имеем Из (12.4.24) при i -> оо получаемВ статистически установившемся состоянии имеем Из (12.4.24) при i -> оо получаемРлн=” = Р・Рлн=” = Р・f f费f f费+ 1 - *『+学歹 一(}+1 一(12.4.25)+ 1 - *『+学歹 一(}+1 一(12.4.25)(12.4.26)(12.4.26)

2+1 一 、 r е2т+g

2+1 一 、 r е2т+g

尸，А)задано.

尸，А)задано.

(12.4.24)

(12.4.24)

В статистически установившемся состоянии имеем Из (12.4.24) при i -> оо получаем

В статистически установившемся состоянии имеем Из (12.4.24) при i -> оо получаем

Рлн=” = Р・

Рлн=” = Р・

f f费

f f费

+ 1 - *『+学歹 一(}+1 一

(12.4.25)

+ 1 - *『+学歹 一(}+1 一

(12.4.25)

(12.4.26)

(12.4.26)

Закон больших чисел. Интересный частный случай системы (12.4.21) получается при $ = 1 и g = 0:

勺+i =勺,(12.4.27)

z» =勺 + %,(12.4.28)

т. е. с помощью последовательных измерений нужно определить некоторую постоянную величину х. В этом случае уравнения (12.4.23) и (12.4.24) принимают следующий простой вид:

g+i= %t + ~^ (zz+i—苏)， xQ задано, (12.4.29)

q—， Ро задано.(12.4.30)

Последнее рекуррентное соотношение легко решается:

—,или Pz — 1 м ■(12.4.31)

Piг 1 Ро *I 1 + П(Ро")]''

Подставляя (12.4.31) в (12.4.29), можно выразить 方方 через z0, Ро и измерения

ii —^о +[(阴伸+平)] (21 — Хо) = (/о + ~- Zi)件十用， 员2=云+[(牛)/(中⑺)] d)E

三[/。十乡(zi 十 Z2)]/ [1 + 2 (0) ] * (12.4.32)

г

При г -> оо уравнения (12,4.31) и (12.4.32) принимают следующий вид：

Pt 0,(12.4.33)

г

g -> "^― 2 句，(12.4.34)

т. e. наилучшая оценка стремится к среднему арифметическому всех измерений, а дисперсия стремится к нулю; в этом и заключается закон больших чисел. Для любого конечного г начальная оценка 胃о влияет, согласно (12.4.32), на наилучшую текущую оценку纟广

Другой интересный частный случай (12.4.21) соответствует g -> оо; при этом величина xt от одного шага к другому изменяется непредеказуемым образом. Не удивительно, что из урав- 27foi02、

нения (12.4.24) следует, что для всех Z при gоо

р» т г.(12.4.35)

Подставляя это в уравнение (12.4.23), получаем

Xi = Z”

т. е. наилучшей оценкой является последнее измерение.

Задача. Матрица ковариаций 尸》определяется либо как

?=妬一 MX (Н.м^ + 凡尸 2M, либо как

?=(E 一e%)m<e 一К小尸+ &凡及『.

Почему с вычислительной точки зрения следует предпочесть последнее соотношение [Указание. Рассмотрите случай, когда разность М — Р мала по сравнению с Р.]

工2・5・ О птималъная фильтрация непрерывных линейных динамических систем с не пр ер ы вными измерениями

Результаты предыдущего раздела, относящиеся к многошаговым процессам, можно формально распространить на непрерывные динамические процессы, если положить интервал времени между ступенями стремящимся к нулю. Заменим g на 况(力) и введем обозначение А =力十^ ——力.Разностные уравнения (12.4.1) можно записать в виде

"(力飞二冬_①(力弋e2况⑹+冬覆(切.(12.5.1)

При А->0 эти уравнения становятся дифференциальными

х F (t) х + G (t) tv 〃)；(12.5.2)

здесь

歹⑺―匕(12.5.3)

г.

G(%)= lim-^.(12.5.4)

Разностные уравнения (12.4.11) — (12.4.15) можно представить как

Xi — xt = PtHi (凡厶尸⑵一Eg) A,(12.5.5)

%」.=国产 五+阜苏+ P+ih厶1 (凡.，公尸(z. — h小高+3

，(12.5.6)