Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач предназначается в качестве учебного пособия по теоретической механике для втузов как дополнение к общеизвестному сборнику задач проф. И. В. Мещерского и охватывает все темы учебной программы, рассчитанной на 200 — 220 часов.
В начале каждой главы (иногда в начале соответствующего параграфа) приводятся основные формулы и уравнения, которые избавляют учащихся от необходимости обращаться к другим источникам. Разумеется, наличие Такого справочного материала не исключает необходимости глубокого изучения теории.
В соответствующих местах сборника даются методические указания к решению задач, приводятся подробные решения 122 типовых задач. Все задачи, за исключением задач по расчету ферм и графическому исследованию плоских механизмов, снабжены ответами.
Авторы благодарны рецензентам профессору Н. В. Бу- тенину и доценту Н. Н. Никитину, кафедрам теоретической механики Московского высшего технического училища им. Баумана, Николаевского кораблестроительного института, Северо-Западного заочного политехнического института, а также Р. И. Шкадову за ряд существенных замечаний и полезных советов, внесенных при рецензировании книги и подготовке ее к печати. Особую признательность авторы выражают доценту А. Ф. Захаревичу за ценные указания, сделанные им при редактировании книги.
Во второе издание книги внесены следующие изменения: условий всех задач (как цифровых, так и буквенных) приведены в соответствие с Международной системой единиц (СИ);
исправлены замеченные опечатки;
уточнены решения ряда задач;
введен новый параграф «Движение материальной точки в центральном силовом поле».
В подготовке книги ко второму изданию активное участие принимала Г. Н. Ушакова. В связи с этим она включена в число авторов второго издания книги.
Авторы выражают глубокую благодарность всем лицам, приславшим свои замечания и рекомендации, которые возникли у них при чтении книги.
Авторы
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧСТАТИКИ НА РАВНОВЕСИЕ
Наиболее общим методом решения задач статики на равновесие является аналитический метод.
Под равновесием твердого тела понимают состояние покоя тела по отношению к окружающим его телам. Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия самого тела. В покое твердое тело будет находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до приложения к нему уравновешенной системы сил.
Применяя аналитический метод решения, полезно придерживаться следующего порядка. Прежде всего надо ясно понять смысл задачи: установить, что задано и что требуется определить. Затем следует иллюстрировать задачу чертежом. После этого необходимо:
выявить объект (тело или точку), равновесие которого следует рассматривать;
показать на чертеже задаваемые силы, приложенные к этому объекту;
установить связи, непосредственно наложенные на тело, освободить тело от связей и изобразить на чертеже реакции отброшенных связей;
проанализировать полученную систему сил (задаваемых и реакций) с точки зрения расположения их линий действия в пространстве, установив тем самым число уравнений равновесия;
выявив число неизвестных в задаче, установить ее статическую определимость;
выбрать оси координат и составить уравнения равновесия рассматриваемого тела под действием всех сил, в том числе и реакций связей;
решить эти уравнения относительно тех неизвестных, которые требуется определить по условиям задачи.
Уравнения равновесия лучше решать в общем виде. Найдя ответ в виде некоторой формулы, выражающей искомую вели-
чину через заданные, следует, не производя числовых расчетов, проверить правильность полученной величины с точки зрения размерности. После пересчета всех данных в какую-нибудь одну систему единиц можно приступить к числовым расчетам. При расчетах рекомендуется пользоваться счетной логарифмической линейкой.
В дальнейшем на конкретных примерах показано, как следует решать задачи статики на равновесие твердых тел.
В большинстве задач статики нельзя заранее указать не только величину, по и направление той или иной реакции связи. В таких случаях неизвестную реакцию разлагают на составляющие, направленные вдоль соответствующих осей координат, и вводят в уравнения равновесия в качестве неизвестных эти составляющие.
Если в результате решения уравнений величина какой-нибудь из составляющих окажется отрицательной, то это означает, что данная составляющая реакции в действительности направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси. В тех случаях, когда истинное направление реакции не вызывает сомнения, лучше, не считаясь с принятым направлением оси, направлять реакцию в ту сторону, в которую она действует.
Если по условию задачи требуется определить действие тела на какую-нибудь связь (давление, наряжение нити, усилие в стержне и т. д.), то в уравнения равновесия следует вводить по- прежнему реакцию связи. Искомая сила будет равна по величине и противоположна по направлению этой реакции.
В статике приходится иногда решать задачи на равновесие нескольких тел, каким-либо образом связанных между собой. В данном случае для каждого тела в отдельности составляются уравнения равновесия с учетом сил, с которыми действуют друг на друга тела, входящие в систему. Эти силы попарно равны по величине и противоположны по направлению.
В некоторых случаях удобно рассматривать равновесие всей системы связанных между собой тел как единого твердого тела (что возможно на основании принципа затвердевания) и равновесие только некоторых из входящих в систему тел.
При определении усилий в стержнях жесткой идеальной конструкции рекомендуется пользоваться методом сечений, предполагая при этом, что перерезанные стержни растянуты. Вследствие этого реакции таких стержней будут, направлены в сторону отброшенной части конструкции. Если в результате решения задачи величина какой-нибудь из реакций окажется отрицательной, то это означает, что соответствующий стержень в действительности сжат.
Иногда при решении задачи требуется знать какую-нибудь величину, не заданную условиями задачи, например угол или длину. В этих случаях данную величину необходимо обозначить 6
какой-нибудь буквой и ввести ее в уравнения равновесия. Если в ходе решения задачи введенная величина не исключается, то ее надо выразить через заданные величины.
В отделе «Статика» приняты следующие основные обозначения:
f, Q, Р, G и др. — силы;'
Fx, Fy, Fz— проекции силы Г на координатные оси Ох, Оу, Or, /— коэффициент трения покоя и скольжения;
к — коэффициент трепня качения;
М, т — момент пары;Мо — главный моментотносительноцентра О;
т0 (F) — алгебраический момент силы F относительно центра О;
т0 М — векторный момент силы F относительно центра О;
N— нормальная реакция;q — интенсивность распределенной нагрузки;R— главный вектор; ЯА— полная реакция опоры А;Sx, Sy — статические моменты площади;5, Т — усилие в стержне, натяжение _троса и др.;Хд, YA, ZA—составляющие полной реакции RA, направленные по осям Ох, Оу, Or, х, у, г — координаты точек приложения силы;.гс, ус, гс — координаты центра тяжести; о — угол трения.N— нормальная реакция;q — интенсивность распределенной нагрузки;R— главный вектор; ЯА— полная реакция опоры А;Sx, Sy — статические моменты площади;5, Т — усилие в стержне, натяжение _троса и др.;Хд, YA, ZA—составляющие полной реакции RA, направленные по осям Ох, Оу, Or, х, у, г — координаты точек приложения силы;.гс, ус, гс — координаты центра тяжести; о — угол трения.тг(Р) — момент силы(Р) относительно оси Or,
N— нормальная реакция;
q — интенсивность распределенной нагрузки;
R— главный вектор; ЯА— полная реакция опоры А;
Sx, Sy — статические моменты площади;
5, Т — усилие в стержне, натяжение _троса и др.;
Хд, YA, ZA—составляющие полной реакции RA, направленные по осям Ох, Оу, Or, х, у, г — координаты точек приложения силы;
.гс, ус, гс — координаты центра тяжести; о — угол трения.
N— нормальная реакция;
q — интенсивность распределенной нагрузки;
R— главный вектор; ЯА— полная реакция опоры А;
Sx, Sy — статические моменты площади;
5, Т — усилие в стержне, натяжение _троса и др.;
Хд, YA, ZA—составляющие полной реакции RA, направленные по осям Ох, Оу, Or, х, у, г — координаты точек приложения силы;
.гс, ус, гс — координаты центра тяжести; о — угол трения.
ГЛАВА I
СИЛЫ, СХОДЯЩИЕСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ
Уравнениями равновесия твердого тела, находящегося под действием сил, сходящихся в одной точке, являются
5^ = 0; 2^ = 0; £^ = 0;(1.1)
6=16=16=1
В (1.1) входят как силы задаваемые, так и реакции связей, наложенных на тело. Если на тело действуют сходящиеся силы, лежащие в одной плоскости, то уравнений равновесия будет два.
При решении некоторых задач можно использовать теорему о трех силах:
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил и линии действия двух из этих сил пересекаются, то линия действия третьей силы проходит через эту точку пересечения, и все три силы лежат в одной плоскости.
Если на покоящееся тело наложены связи с трением, то к уравнениям равновесия с учетом сил трения следует присоединить дополнительное условие
F^N,(1 2)
где / — коэффициент трения скольжения при покое,
N — величина нормальной реакции.
Задачи на равновесие твердого тела под действием системы сходящихся сил можно решать геометрическим и аналитическим методами. Первым методом удобно пользоваться лишь для плоской системы и особенно в тех случаях, когда общее число сил, действующих на тело, равно трем. При равновесии тела треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым.
Аналитическим методом можно пользоваться также и для пространственной системы сил при любом числе сил При этом следует иметь в виду, что общее число неизвестных в задаче должно быть не больше трех для пространственной системы сходящихся сил и не больше двух для плоской системы сходящихся сил.
1. Плоская система сходящихся сил
Задача 1. Груз Mv весом Р (рис 1,а) подвешен на гибком нерастяжимом тросе ОМ, отклоненном от вертикали на угол а, и удерживается в равновесии при помощи другого гибкого нерастяжимого троса МуАМг, охватывающего идеальный блок А и несущего на свободном конце груз М^ Считая, что при равновесии участок троса МХА горизонтален, определить величину Q
веса груза М^ и натяжение троса ОМХ. Размерами груза Mv и весом тросов пренебречь.
Решение. Рассмотрим равновесие груза Мг Задаваемыми силами являются вертикально направленная сила Р и горизонтально направленная сила Т», равная по величине весу груза Q, так как идеальный блок А изменяет только направление силы.
На груз Mv наложена связь, осуществляемая тросом OMt. Освободим его от связи. Реакция связи Тх направлена по тросу вверх. Таким образом, груз Мх находится в равновесии под действием плоской сходящейся системы трех сил Р,ТХ й Т3, причем T\ = Q (рис. 1,6).
Решим эту задачу двумя способами- геометрическим и аналитическим.
Геометрический способ Поскольку гочка Мх находится в равновесии под действием трех сил, то силовой треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым (рис 1,в). Построение силового треугольника следует начинать с заданной силы Р. Изобразив вектор Р, проводим через его начало и конец прямые, параллельные направлениям сил Тх и TV Точка пересечения этих прямых определит третью вершину силового треугольника. Ориентация всех векторов должна быть такова, чтобы силовой треугольник был замкнутым. Это дает возможность проверить правильность направления неизвестных реакций.
Из силового треугольника находим
Таким образом, вес Q груза Мг, равный Т$, будет Q = Ptga,
а натяжение троса ОМ,а натяжение троса ОМ,численно равно
а натяжение троса ОМ,
а натяжение троса ОМ,
Т —1 COS а'
Аналитический следует выбирать так, простейший вид. ЭтогоАналитический следует выбирать так, простейший вид. Этогоспособ. Выберем оси координат. Их- чтобы уравнения равновесия имели наи- можно добиться, проводя оси перпенди-
Аналитический следует выбирать так, простейший вид. Этого
Аналитический следует выбирать так, простейший вид. Этого
кулярно неизвестным силам, при этом оси могут оказаться неор- гогональными (оси Мхуи Мху'). Обычно пользуются ортогональными осями, Проведем ось Мху перпендикулярно неизвестной силе Т», а ось Мхх—горизонтально.
сходящаяся равновесия, задача ста-сходящаяся равновесия, задача ста-Система приложенных сил Р, Ть Тг — плоская система, для которой имеют место два уравнения В задаче две неизвестные величины: Tv и Тъ т. е. тически определима.
сходящаяся равновесия, задача ста-
сходящаяся равновесия, задача ста-
Составим уравнения равновесия в форме (1.1):
"^кх^Тг — Т, sina —0;
^Рку=1\ cosa—Р = 0.
Отсюда находим
Тх=— ; P2=T1sina=Ptga.
COS a *41
Если воспользоваться осями Мху и Mxtf, то получим
^Fkv = Т, cos a — Р = 0;2^ty' — Т» cos a — Р sin а = 0.
В каждое из этих уравнений входит только по одному неизвестному, что упрощает их нахождение.
Задача 2. Однородный цилиндр А весом Р и радиусом г (рис. 2,а) опирается на гладкую поверхность цилиндра В радиу-
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
сом R, и удерживается в равновесии при помощи нити CD длиной I, расположенной в поперечной плоскости симметрии. Определить натяжение нити и реакцию цилиндрической поверхности.
Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра А. На него действует сила Р, направленная вертикально вниз. Связями явля- -ются гладкая цилиндрическая поверхность В и нить CD. Освободимся от связей. Реакция N (рис. 2,6) цилиндрической поверхности направлена по общей нормали к цилиндрам и, следовательно, проходит через точку Oj. Реакция Т направлена по нити CD. Поскольку на цилиндр А действуют три силы, то на основании теоремы о трех силах, их линии действия должны пересекаться в точке Оь Следовательно, цилиндр А при равновесии займет такое положение, при котором нить CD будет являться продолжением его радиуса.
Построим силовой треугольник (рис. 2, в). Этот треугольник подобен ДОО]С. Из подобия треугольников имеем
Т _ Р NCOt СО — 001
илиТ _р _ NI —|- гR R ^ г
Отсюда находим
Т = !-^Р; N=^^P.
Аналитический метод для этой задачи привел бы к более громоздким вычислениям.
Задача 3. Прямоугольная пластина со сторонами АВ = а и ВС = Ь (рис. 3,а) шарнирно закреплена в вершине В, а верши
ной А опирается на гладкую вертикальную стену ЕЕ. Пренебрегая весом пластины, определить реакции стены и шарнира, если к вершине С пластины подвешен груз М весом Р.
Решение. Рассмотрим равновесие пластины. Задаваемой силой является вес груза Р. Связями являются стена ЕЕ и шарнир В.
Реакция NA (рис. 3,6) гладкой стены направлена по нормали к стене, реакция RB шарнира В заранее по направлению не определена. Поскольку пластина находится j равновесии под действием трех непараллельных сил Р, NA, RB, то на основании теоремы о трех силах заключаем, что линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке К — точке пересечения линий действия сил Р и NA. Тем самым вполне определяется линия действия реакции RB. Для нахождения величин реакций следует использовать условия или уравнения равновесия.
Решим задачу геометрическим способом. Составим силовой треугольник (рис. 3,в). Он должен быть замкнутым. Для построения силового треугольника отложим от произвольной точки О вектор Р, из его начала О и конца В проведем прямые, параллельные линиям действия сил RB и NA. Пусть S — точка пересечения этих прямых. Тогда LS — NA, SO — RB. Опустим из точки В перпендикуляр ВТ на прямую АК, получим
К ВТК — ^OLS, следовательно, О/. _LS _SO ВГ”ТК КВ или
ВТ ТК ВК'' ’
Из £\АВТ находим
ВТ = АВ sin и~а sin а,
где а — угол, составленный стороной АВ с горизонтом. Отрезок ТК является проекцией отрезка ВС, следовательно,
ТК = ВС sin a = b sin а.
Далее,
В к = V(ВТУ-НТКУ = У^фУ Sina.
Подставляя эти величины в (а), имеем
Р _
a sin a b sm а уа2 + 6т sm а •
откуда
N д = —Р; R^V-^.p.a Q ’ хв й
Заметим, чю величины реакций не зависят от угла наклона 7.
лить усилия Т дв и Т,лить усилия Т дв и Т,Задача 4 (рис. 4). При съеме крышки корпуса турбины требуется, чтобы она все время находилась в горизонтальном положении. В приспособлении, показанном на рисунке, горизонтальность крышки достигается при помощи винтовых стяжек. Опреде
лить усилия Т дв и Т,
лить усилия Т дв и Т,
св>св>возникающие в стяжках АВ и СВ, если вес крышки турбины 6 к«, а = 20°, 0 = 30°.
св>
св>
Рис. 5Рис. 5Ответ: Тлд —2,68 кн;
Рис. 5
Рис. 5
Тсв = 3,92 кн.
Задача 5 (рис. 5). Пассажирский реактивный самолет движется равно
мерно прямолинейно и поступательно под углом 8 = 25° к горизонту. Сила тяги, равная по величине 100 кн, образует с направлением движения самолета угол а = 5°. Определить величину равнодействующей Q аэродинамических сил и угол у, составляе
мый ею с направлением полета в момент, когда вес самолета равен 200 кн.
Ответ: Q~ 100V 3 = 173,2 кн;
7 = 95°.
Задача 6 (рис. 6). К наивысшей точке гладкого неподвижного шара радиусом г = 6 см прикреплена упругая нить, естественная (ненапряженная) длина которой / = 3 см, а коэффициент жесткости с = 100 н/см (т. е. для удлинения ее на 1 см необходима сила в 100 н). После того как к нити была подвешена тя
желая материальная точка, центральный угол а, соответст
вующий дуге охвата нити, стал равным ~. Найти вес точки и
давление, оказываемое ею на шар.
Ответ: Р — 1^——1 = 28,3 н; sin а’
N = c-^—1=24,5 н.tga’
Задача 7 (рис. 7). Однородная цилиндрическая труба радиусом г и весом 2Р подвешена горизонтально на двух тросах, охватывающих трубу и расположенных в вертикальных параллельных плоскостях симметрично относительно среднего поперечного сечения трубы, как показано на рисунке. Определить усилия
в каждой части троса, если длины хорд, соответствующих дугам охвата троса, равны Ь.
Рг
Ответ. Т — -^-.
Задача 8 (рис, 8). Подъемный кран АВО удерживается в равновесии тросом ВС. Определить натяжение троса, а также вели-
Рис. 7Рис. 7
Рис. 7
Рис. 7
груза М равен Р. Частьгруза М равен Р. ЧастьРис. 10Рис. 10воде равен 2 кн, угол между линии в точке А, и гори-воде равен 2 кн, угол между линии в точке А, и гори-
груза М равен Р. Часть
груза М равен Р. Часть
Рис. 10
Рис. 10
воде равен 2 кн, угол между линии в точке А, и гори-
воде равен 2 кн, угол между линии в точке А, и гори-
чину и направление реакции шарнира О, если вес подвешенного
ОВ стрелы вертикальна, а трос является продолжением АВ. Даны размеры: АВ = а, ОВ = Ь, АО = с. Весом стрелы пренебречь.
Ответ. Т = “-Р; Ro-^ Р.
Реакция Ro направлена по прямой ОД.
Задача 9 (рис. 9). Брусок АВ длиной I, на конце которого прикреплен груз М весом Р, опирается в точке А на гладкую вертикальную плоскость, а в точке С — на уступ. Определить,
пренебрегая весом бруска и трением, реакции опор и расстояние АС при равновесии, если брусок образует с горизонтом угол а.
Ответ-. NA = Pig а; Nc = ^-; AC = lcos4.
Задача 10 (рис. 10). Судно стоит на якоре. В точке А находится скоба якоря, а в точке В — клюз (отверстие в корпусе судна для якорной цепи). Определить натяжения якорной цепи у скобы (Тд) и у клюза (Тд), если вес Р цепи в касательной, проведенной к цепной
зонталью а = 10°, а угол между касательной в точке В и горизонталью р = 45°.
Ответ-. Тд =47 кн-TB = -^L=3,43 кн.
л Sill — а)ь Sin (р — а)
Задача 11 (рис. 11). Судно стоит на якоре. Вес якорной цепи в воде равен Р и действует по прямой, находящейся на расстоянии I от клюза А. Разность высот между точками А и В равна й.
Рис. 11Рис. 11Рис. 12Рис. 12
Рис. 11
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 12
Определить натяжения якорной цепи в точках Л и В, а также угол а, составленный касательной к цепи в точке Л с горизонтом, считая касательную в точке В горизонтальной.
Ответ: a = arctg^; Т д = ^—^^ TH = lhP.
Задача 12 (рис. 12). Определить наименьшую величину горизонтальной силы Q, которую надо приложить к верхней грани кубического ящика весом Р при кантовании его по горизонтальной поверхности. Чему равно давление D на упор в начале кантования?
Указание. В начале кантования на ящик действуют только три
Силы: Q, Р, Кд— — D, которые должны пересекаться в одной точке.
Рис. 13Рис. 13Ответ: Q = ^-D= -у- .
Рис. 13
Рис. 13
Рис 14Рис 14Задача 13 (рис. 13). Воздушный шарик Л с подъемной силой Q
Рис 14
Рис 14
IQУР — а2IQУР — а2удерживается невесомым тросом ОА длиной / и относится ветром на расстояние 0В=а. Определить натяжение Т троса и аилу F ветра, считая ее горизонтальной. Размерами шарика и его весом пренебречь.
IQ
УР — а2
IQ
УР — а2
Ответ: Т =Ответ: Т =F = —
Ответ: Т =
Ответ: Т =
УР — а2
Задача 14 (рис. 14). Теплоход ошвартован у бочки, удерживаемой при помощи якорной цепи. Определить натяжения Тд
швартовного троса и Тв якорной цепи в точках Л и В, если бочка погрузилась в воду до половины и имеет форму цилиндра, диаметр которого 1,2 м, длина 2 м, вес 3 кн. Удетьный вес воды 10 кн/м\ а = 60°, ₽ = 15°.
Ответ: ТА = Т11% кн; Тв = 3\,0 кн.
может свободно вращатьсяможет свободно вращатьсяЗадача 15 (рис. 15). Шарнирный стержневой треугольник АВС
может свободно вращаться
может свободно вращаться
литьлитьусловиях равновесия уси-условиях равновесия уси-Рис 16Рис 16АВ иАВ ивввокруг горизонтальной оси, проходящей через точку Л. На стержне ВС укреплен груз М весом Р. Опреде-
лить
лить
условиях равновесия уси-
условиях равновесия уси-
Рис 16
Рис 16
АВ и
АВ и
в
в
АС в зависимости от угла р, с вертикалью, если угол приАС в зависимости от угла р, с вертикалью, если угол прилия, возникающие в стержнях
АС в зависимости от угла р, с вертикалью, если угол при
АС в зависимости от угла р, с вертикалью, если угол при
образованного перпендикуляром AD ,_
вершине А равен 2а и АВ — АС. Весом стержней пренебречь.
Ответ: Тдв = ь^^-Р; ТДС^^±ПР. sin 2а ’sin 2а
Задача 16 (рис. 16). Точка М весом Р удерживается в равновесии на внутренней гладкой поверхности полусферы с помощью груза весом Q. Определить давление N точки на сферу и угол а, образованный радиусом ОМ с горизонталью. При каком соотношении между величинами сил Р и Q возможно равновесие?
cos а24Р ’ х
Задача 17 (рис. 17). К точке М весом Р, находящейся на шероховатой кривой, уравнение которой y = sinx, приложена сила Q, направленная по касательной к кривой вверх. Определить величину этой силы, если точка находится в равновесии при х=Хц. Коэффициент трения равен /. Считать, что при отсутствии силы Q равновесие не имеет места.
Решение. Возможны два случая: 1) при отсутствии трения точка стремится сдвинуться вверх;
) при отсутствии трения точка стремится сдвинуться вниз. Рассмотрим первый случай. На точку М, находящуюся в равновесии, действуют силы Р и Q. Точка не свободна, связь осу-
ществляется шероховатой кривой. Применяя принцип освобож- даемости, введем реакции отброшенной связи: нормальную реакцию N и касательную реакцию—-силу трения Ftp, направленную по касательной к кривой вниз.
Примем оси п и т за оси координат и напишем уравнения равновесия
ЦРкп = — N + Р COS а = О, £FkT = Q — FTp — P sin а — О, где а — угол наклона касательной к оси Ох, причем . dy I•cos1
tga — —= cosx- Sin a= —cosa =
6=) l|-COsV/1+COS2A0
Присоединяя к полученным уравнениям неравенство
FTp^fN, которое должно иметь место при равновесии, найдем Q^P (sin а-Ц-/ cos а) или
Q (/+rosxj р1^ 1 + COS xa
Во втором случае сила трения FTp направлена по касательной вверх. Уравнениями равновесия будут
N — Pcosa —0;Q + FTp —Psina^O,
откуда
Q 2s Р (sin a — f cos a).
Заменяя sin a и cos a их значениями, получим
(cos х0 — Л pV1 +cos3.r0
Итак, равновесие точки будет при условии
COS АГ0 —/Q COS ,rn + /
j'l + COS-Л 0 Р |Z 1 -j-COS^T,
Задача 18 (рис. 18). Шарик М весом Р находится на внут
ренней поверхности неподвижной полусферы. Определить, прене
Рис. 18Рис. 18брегая размерами шарика, наибольший угол а, образованный вертикалью с прямой, проходящей через центр О и шарик М, при котором последний может находиться в равновесии, если коэффициент трения скольжения равен f. Трение качения не учитывать.
Рис. 18
Рис. 18
Ответ: а = аге tg f.
Задача 19. Судно при спуске на воду движется по наклонным спусковым путям. Определить необходимый угол наклона путей, если коэффициент трения / = 0,087.
Ответ: а 5^5°.
Задача 20. Катер весом 5 кн с железным килем надо передвинуть по деревянному горизонтальному настилу при помощи троса, составляющего угол 15° с горизонтом (коэффициент трения между килем и настилом равен 0,6). Можно ли использовать для этого трос, выдерживающий нагрузку в 2,5 кн?
Ответ: нельзя.
Задача 21 (рис. 19). Тело Л1 весом Р лежит на наклонной шероховатой плоскости, образующей с горизонтом угол а. К телу
прикреплен трос, огибающий идеальный блок О и несущий на своем конце груз весом Q. Определить наибольшее значение Q при условии равновесия тела, если угол трения равен '?('?>«), а участок троса ОМ горизонтальный.
Ответ: Qmax = f tg (® — а).
Задача 22 (рис. 20). Плита Л весом Р удерживается в равновесии на наклонной шероховатой плоскости при помощи двух одинаково нагруженных тросов (один из кор торых показан на рисунке). Определить веса X грузов Qi =Qi = Q, действующих на тросы, если угол трения равен <?, угол наклона плоскости к горизонту равен а., участок троса АВ горизонтален, <р<Са-
1РР
1. Ответ: ^ tg (а — <p)^Q^2-tg(«+<?).
Задача 23 (рис. 21). Определить вели-
Рис. 21 чину силы Р, необходимую для удержания в равновесии тела А весом Q на наклонной плоскости при заданных углах а и р и угле трения <р,
считая а^?.
„sin (а — гр) „ D sin (а-ф?) п
Ответ: —.„- г - -Q^P-< - cos (Р + ¥)ros(p — <р)
Задача 24 (рис.22). На наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, находится груз А весом Q. Определить величину наименьшей силы Р и угол ₽, под которым ее надо приложить,
чтобы сдвинуть груз вверх, если коэффициент трения равен /. Какое при этом давление D будет оказывать груз на плоскость?
Ответ-. p = arctgf; Р .
*° *ПНИу/ । । ya
г)(cos a—/sin а) п
Задача 25 (рис. 23). Ползун А весом Р удерживается в равновесии на вертикальном стержне с помощью нити, перекинутой
через идеальный блок В и натягиваемой грузом. Определить вес груза Q, если коэффициент трения ползуна о стержень равен f, а угол, образованный тросом со стержнем, равен а. Считать, что
при отсутствии груза Q равновесие не имеет места. рр
Ответ-. г-?=с Q. ~—.
COS a-j-/sin аCOS а—/ S1I1 я
Задача 26 (рис. 24). Точка А весом Р находится в равновесии на внутренней шероховатой поверхности полусферы. Определить при данном угле а величину наименьшей
Рис. 24Рис. 24силы Q, которую надо приложить к точке, как указано на рисунке, чтобы привести ёе в движение, если коэффициент трения f = tg<p, причем <?>«. Блоки считать идеальными.
Рис. 24
Рис. 24
Ответ: Q sm(? —“) р
COS1
Задача 27. На шероховатой кривой, расположенной в вертикальной плоскости, находится тяжелая точка. Определить область изменения аргумента х, соответствующую равновесному положению точки, если коэффициент трения / = 0,5, а кривая задана Уравнениями:
у = х — Зх (0 «с х «с 3)
у = х' (хэ=0).
у = 1 — е А (хЗ= 0).
Ответ: 1. ^ ^.х^^. 2. 1,25<х-^ 1,75.
0-<;х^:5 4. О 0,409. и
0-<х^. 6. x2s0,693.
Задача 28. В конструкции, изображенной на рис. 25,а, стержень АВ образует с вертикалью угол а, а стержни DC и ЕС - углы р. Считая все соединения стержней шарнирными и прене
брегая весами стержней, определить усилия в стержнях, если стержень ВС горизонтален, а к узлу В приложена вертикальная сила Р. .
Решение. Рассмотрим равновесие узлов В и С в отдельности; сначала—равновесие узла В (рис. 25,6). На этот узел действует задаваемая сила Р. Связями, наложенными на узел В, являются стержни АВ и ВС. Освобождаем узел от связей. Реакции отброшенных связей, направленные по стержням ЛВ и ВС, обозначим через Твд и Твс. Так как точка В под действием трех сил Р, ТВА и Твс находится в равновесии, треугольник, построенный на этих силах (рис. 25,в), должен быть замкнутым. Из этого прямоугольного треугольника находим
ТВА=^ ТВС = Р1^.
Рассмотрим теперь равновесие узла С (рис. 25,г). На этот узел действуют сила Тсв ——Тцс (причем Тсв — Твс) и реакции стержней CD и СЕ, направленные по этим стержням. Обозначим их соответственно через TCD и ТСЕ и предположим, что стержни растянуты.
Направив координатные оси Сх и Су соответственно по горизонтали вправо и по вертикали вверх, имеем следующие уравнения равновесия узла С:
— Тсв + ^cos’n 44 TCEsm р — 0;
Тсд cos р —ТС£ cos р = 0.
Из второго уравнения получим
^св — ТСЕ„
следовательно,
2TCD s*n ? — ^се s*n ? — Тсв —В tg а.
Отсюда находимОтсюда находимТСв — РСЕТСв — РСЕ= Р^а2 sin Э "= Р^а2 sin Э "
Отсюда находим
Отсюда находим
ТСв — РСЕ
ТСв — РСЕ
= Р^а
2 sin Э "
= Р^а
2 sin Э "
Так как величины всех реакций оказались положительными, то все стержни действительно растянуты.
Усилия в стержнях ВА, ВС, CD иСЕ шэ величине соответственно равны модулям реакций ТВА, Твс, TCD, ТСЕ, но противоположны им по направлению.™
Задача 29 (рис. 26). К узлу А равносторон-Ут
него шарнирного треугольника АВС приложена вертикальная сила Р. Треугольник удерживаетсяAs
в равновесном положении стержнями BE и CD.
Определить усилия во всех стержнях, если / \ стержень АС горизонтален, а стержни BE и /\
CD вертикальны. Весом стержней пренебречь.V»
Ответ: ТВС = ТВА=^Р\"l I
ТТ —
АС—з 1ве — дг>Рис. 26
Тсв-Р.
Задача 30 (рис. 27). Стержневая система A BCD закреплена шарнирно в неподвижных точках A ji D. В узлах В и С действуют вертикальные силы Р и Q. Определить соотношение
между величинами этих сил при равновесии системы и усилия в стержнях, если [3 = 7 = а.
Ответ; ^ = cos 2а; Тдв = Р cos а; Твс = Р sin а; TCD = Pcos а.
Задача 31 (рис. 28). К бочке В, на которую действует горизонтальная сила Е, прикреплен якорь А с помощью троса АВ.
С целью увеличения сопротивления, оказываемого якорем, в некоторой точке М троса подвешивают дополнительный груз. При этом часть троса АМ располагается горизонтально, а угол, составленный с горизонтом касательной в точке М к части троса МВ, равен р. Определить наименьший вес G груза, натяжения троса
в точках М и ной к тросу в
В, угол а, составленный с горизонтом касатель-
точкс В,
а также величину Q силы плавучести, действующей на бочку, если вес части МВ троса в воде равен Р.
Ответ: G = Ftg$-, Q = Р -J-F tgP;
tga=tgp + £; 7^=^; T^VF^^P^Ft^.
Задача 32 (рис. 29). Гладкий шар радиусом R и весом Р, касаясь' верти
кальной стены, покоится на горизонтальном полу. С какой силой F следует прижать к нему брусок высотой h, чтобы шар приподнялся над полом?
Ответ: F^>
PV^Rh — №R — h
(считать h<^RY
Задача 33 (рис. 30). В прессе с приводом от шарнирного че- тырехзвенника определить силу Q, сжимающую тело М в положении, когда звено АВ горизонтально, звенья ВС и BD обра
зуют с вертикалью углы a = 603 и р = 30° соответственно, а вдоль звена АВ от кривошипа ОА действует сила Р. Весом стержней пренебречь.
Ответ: Q=^^-.
Задача 34 (рис. 31). В шарнирной стержневой конструкции, расположенной в вертикальной плоскости, стержень ВС горизонтален, стержень СЕ вертикален, а стержни АВ и CD параллельны друг другу и составляют с горизонтом углы а. Опреде-
лить усилия в стержнях, пренебрегая их весом, если к узлу В подвешен груз М весом Р.
Ответ: ТВА=-^—; Твс = — Рс1а»; sin а°
t=d=™; TtE=-p.
Задача 35 (рис. 32). Стержневой шарнирный прямоугольный треугольник АВС закреплен в точке В, а вершиной С' опирается на подвижную опору. Определить уси
Рис. 32Рис. 32лия в стержнях и давление на опору С, если вес груза D равен Р, угол, составленный тросом и стержнем АВ, равен а, ЕАСВ=у. Весом стержней и тр'ением на блоке пренебречь.
Рис. 32
Рис. 32
Ответ: ТАВ =— Poos а;
™ Р sin « , св cos^ ’
ТАС — Р sin а; Nc — Р sin а tg р.
Задача 36. Определить усилия в Стержнях и реакцию шарнира А в стерж-
невой системе, изображенной на рис. 33, если L DC А = Z. САВ —
= ^, АВ = АС, а на узел В действует вертикальная сила Р. Считать все соединения шарнирными, весом стержней пренебречь.
Ответ: РА = У 2 Р-, ^RA, АВ)—^-, TDC = P;
ТВС = У2 Р; Тдв — Тдс = — Р.
Задача 37. В стержневой системе, изображенной на рис. 34, шарнир С неподвижен, стержни АВ и DC горизонтальны, а стержни AD, ВС и трос АЕ вертикальны АВ — ВС — AD = DC.
На узел В действует горизонтальная сила Р; Определить Усилия в стержнях и тросе, а также величину реакции шарнира С, считая все соединения шарнирными и пренебрегая весом стержней.
Ответ: РС = У2 Р; TAh = TAD = Твс = TtD —Р;
тдв=о; тво=-рУ2.
Задача 38. На узел D фермы, изображенной на рис. 35, действует горизонтальная сила Q. Определить усилия в стержнях и реакции шарнира А и подвижной опоры В, если AC = CB = 2CD Весом стержней пренебречь.
Ответ-. ТДС = Твс = -^,Твп = ЦО_.
1^5 Q ,р Q. р )/17 Q
AD4 ,1 CDи' Рц4 > ЛЛ4~ •
Задача 39. В стержневой шарнирной системе, изображенной на рис. 36, стержни АВ и CD вертикальны, стержень ВС гори
Рис. ЗаРис. Зазонтален, шарниры А и D неподвижны. На узел В действует сила F, параллельная стержню АС. Пренебрегая весом стержней, определить воз-
Рис. За
Рис. За
никающие в них усилия и величину реакции шарнира А, если / ВС А = а.
Ответ1. ТAB=Fsin а; Твс —— Feos а;
^дс ^ ^ср = — F sin а;
^^F^l+Ssin^a.
Рис. 37Рис. 37Задача 40. В прессе, изображенном на рис. 37, найти силу, действующую на тело Т, если к вертикальному штоку АВ при-
Рис. 37
Рис. 37
Рис. 38
ложена сила Р. Углы, образованные одинаковыми распорками DC, СЕ, МК, MN с вертикалью и стержнями ВС, ВМ с горизонталью, равны a = 5°. Весом распорок и штока пренебречь.
Ответ-.
Задача 41 (рис. 38). Узел D шарнирной стержневой конструкции нагружен силой Р, направленной вертикально вниз. Пренебрегая весом стержней, определить реакции шарнира А и подвижной опоры В, а также усилия во всех стержнях, считая их одинаковыми по длине.
„2PJ/3 m рУз т рУз
Ответ: ТDB =—; TDC = ——;тСА = ^—;
т —т — р^з м _ЗР „ __Р
св— з > 1 ав— 62”, Ра — 2"
Реакция RA направлена вертикально вниз.
Задача 42 (рис. 39). На ферму в узлах Си Е действуют силы Р и Q, направленные вертикально вниз. Определить усилия
в стержнях и реакции опор, если /. С A F = 90°, Z.DEF = а. Весом стержней пренебречь.
Ответ: Твс — Qctga; TCF=TDF=0;
TAF=TEF^-Q^a; Tac = -^P^-QY,tcd=tde=^, Ка=УХрТ0Н^г^.
Задача 43 (рис. 40). Шарнирная стержневая конструкция удерживается в равновесии стержнями АВ, CD, СЕ. Узлы L и К нагружены силами Р и Q. Определить усилия в стержнях, пренебрегая их весом.
Ответ: TLK=-^; ТЬА = Ц^. ТКА = Р + QH
т (л I ^ ^ 2 У —q. m Io ' Р ^ 2 У
KFI 21 AF'1 FC2Р
TAC=2PyQV2; TAB = 2Q-y^l.
tcd=-<q-vpV>, ТСЕ=Ц1
Задача 44 (рис. 41). Шарнирная стержневая конструкция ABCED укреплена при помощи неподвижного шарнира Е и троса ВОС, перекинутого через идеальный блок О. Узел А нагружен
вертикальной силой Р. Определить натяжение Т троса и усилия в стержнях, пренебрегая их весом.
Ответ-. T = pV2; Tbc — Tbd = Tdc = 0;
TDE = TAD= Р; Tce — Tab = pV^..
Задача 45 (рис. 42). На звенья А и В пружинного амортизатора, служащего для смягчения толчков, действуют силы" Р\
и Рг, причем Pt = Pi — Р. Определить, какова должна быть жесткость пружины с (сила, потребная для деформации пружины на единицу длины), для того чтобы равновесие имело место при а = 60°, если при а —180° пружина не напряжена. Трением и весом деталей пренебречь. Принять АС = __Z= АО = СВ = Вр = 1.
И *; /р ^Р V Ч
Ответ; с = —.
Задача 46 (рис. 43). Два шарика Л и В весом Pt и Р^, соединенные между собой невесомым жестким стержнем, находятся в Рис. 43положении равновесия внутри гладкой сфе
рической неподвижной чаши радиусом R. Определить давления Nt и N4 шаров на чашу, усилие Т, возникающее в стержне, и угол а, образованный стержнем с горизонтом, если длина стержня 2/. Размерами шаров пренебречь.
л, COS (3® 1 л Л 7 COS а
Ответ; Т =—- Р,; 1\Х = —,РХ;
S1H [3sin?
л, cosap tga = ~7=^=^^,
sin? -—
где cosp = -^.
§ 2. Пространственная система сходящихся сил
Задача 47. Бочка А весом Р=3 кн (рис. 44, и) удерживается от сноса течением при помощи двух якорей В и С, лежащих на одной глубине. Объем подводной части бочки V = 0,33 лр; удель-
пый вес воды 7 = 9,81 кн!м\ Якорные тросы, принимаемые прямолинейными, образуют между собой угол ^ = 90° и лежат в плоскости, наклоненной к горизонту под углом а = 60°. Определить натяжения тросов и величину горизонтальной силы Q, обусловленной течением воды, если эта сила лежит в вертикальной плоскости, делящей угол р пополам.
Решение. Рассмотрим равновесие бочки А. На нее действуют подъемная сила F=V(— 7 = 0,33-9,81— 3 = 0,24 км, направленная вертикально вверх, и горизонтальная сила Q (рис. 44, б). Связями, непосредственно наложенными на бочку, являются тросы. Реакции связей, направленные по тросам, обозначим через 7, и 7,. _ _ __
Силы, F, Q, Tv и 73 можно ввиду малости размеров бочки считать пересекающимися в одной точке А. Поэтому мы имеем дело с равновесием твердого тела под действием пространственной системы сходящихся сил, для которой имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче три: 7,, Т ь Q, т. е. задача статически определимая. Начало координат поместим в точке А — точке пересечения линий действия всех сил. Ось Ах направим параллельно ВС, ось Ау— по линии действия силы Q, ось Az— вертикально вверх.
Составим уравнения равновесия бочки. Имеем *
£7^=7,80145° —73sin45° = 0;■
VFky = 7, cos 45° cos 60° + 72 cos 45° cos 60° — Q = 0;
VFkz = 7 — 7, cos 45° sin 60° — 72 cos 45° sin 60° = 0.
Из первого уравненияИз первого уравнениянайдемТг^Т».найдемТг^Т».В соответствии с этим изВ соответствии с этим изтретьего уравнения получимтретьего уравнения получим
Из первого уравнения
Из первого уравнения
найдем
Тг^Т».
найдем
Тг^Т».
В соответствии с этим из
В соответствии с этим из
третьего уравнения получим
третьего уравнения получим
Т\ = Тг =Т\ = Тг =7i. лпт- = 0,19 кн.
Т\ = Тг =
Т\ = Тг =
2 cos 45 sin 60
Подставив значения Тх и Тг во второе уравнение, имеем
Q = 27 cos 45° cos 60° = F ctg 60° = 0,14 кн.
Натяжения тросов равны по величине найденным реакциям, но направлены противоположно.
живается в подводном С, D, расположенныхживается в подводном С, D, расположенныхЗадача 48 (рис. 45). Шар А весом 5 кн и объемом 0,7 м3 удер-
живается в подводном С, D, расположенных
живается в подводном С, D, расположенных
Задача 50.Задача 50.положении при помощи трех якорей В, на одной глубине на одинаковых расстояниях друг от друга. Определить натяжение каждого троса, если они образуют с вертикалью углы в 45°. Удельный вес воды 10 кн.м3.
Задача 50.
Задача 50.
Ответ; 7 = 0,943 кн.
Задача 49. В условиях задачи 48 тросы АВ и АС расположены в вертикальной плоскости, а трос AD образует с ними равные углы. Найти усилия в каждом тросе, если все они образуют с вертикалью углы, равные 45°.
ЧашаЧашаОтвет; ТАВ = ТАС = 1,414 кн; TAD = 0. весов подвешена на трех нитях равной
Чаша
Чаша
длины I. Точки, в которых нити прикрепляются к чаше, являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиусом 7?. Определить натяжения нитей, если в середину чаши положен груз весом Р. Весом чаши пренебречь.
Ответ; Т = —■
3 //2 — R2 -
Задача 51. В гладкой полусфере радиусом г находится однородный равносторонний треугольник со стороной а и весом Р. Определить давления вершин треугольника на сферу при его горизонтальном равновесном положении.
Ответ; N = —
з узг4 — а1
случае выгодно проектировать на плоскость yz). При этом получим вектор, направленный по биссектрисе угла р и равный по величине TjCos — . Полученный вектор следует спроектировать на ось Ду. Получим Т1у = Тх cos ^ X X cos а = Тх cos 45° cos 60°. Аналогично находятся другие проекции.
Задача 52. К бочке весом 2 кн, стоящей на якоре, прикреплены тросами (швартовами) две шлюпки. Вследствие действия ветра и течения якорная цепь и швартовы натянуты. Якорный трос образует с горизонтом угол 60J и лежит в вертикальной плоскости, которая делит угол между швартовами, равный 60°, пополам. Удельный вес воды равен 10 кн/л’. Определить натяжение Т якорного троса и натяжения Tv и 1\ швартовых, если объем подводной части бочки равен 0,250 м*.
Ответ: Ti = T3=167 н; Т = 577 н.
Задача 53 (рис. 46). К вершинам Л и В однородной квадратной пластины весом Рик середине Е ее стороны CD шарнирно прикреплены невесомые стержни, соединенные в точке О. Принимая, что плоскость О АВ перпендикулярна плоскости пластины, Z ВОА =90° и ОА=ОВ,
определить усилия в стержнях, которые возникнут, если систему подвесить шарнирно в точке О.
„Р/Тбр
Ответ: 1 0Е — 4 , 1 ов — 1 ОА — 4 .
Задача 54 (рис. 47). К вершине С треножника ABCD приложена сила Р — 2 кн, лежащая в вертикальной плоскости CDE и образующая с вертикалью угол а —30°. Определить усилия в ногах треножника, если углы ^ = 45°, 7 = 30°.
Ответ: TDC — —1,153 кн; ТДС = ТВС =— 0,816 кн.
Ходовой конец троса состав-Ходовой конец троса состав-Задача 55 (рис. 48). Крышка паровой турбины весом 15 кн поднимается равномерно лебедкой, ляет с горизонталью угол а = 45°. Оттяжки СВ и DB лежат в горизонтальной плоскости и образуют углы с вертикальной плоскостью
Ходовой конец троса состав-
Ходовой конец троса состав-
АВЕ, равные 45°. Определить усилия в стреле и оттяжках, если угол у между стрелой и свешивающейся частью троса ВК Равен 30°. Блок В считать идеальным.
Ответ: Твд =— 29,6 кн; Т ВГ = Т BD = 2,95 кн.
Задача 56. Груз весом 900 н подвешен на трех одинаковых пружинах, концы которых закреплены в вершинах горизонтального равностороннего треугольника со сторонами, равными 401^3 см. Если груз поместить в центре этого треугольника, то пружины придут в естественное ненапряженное состояние. Какова должна быть жесткость с (см. задачу 45) этих пружин для того, чтобы удержать в равновесии груз, опущенный на 30 см от плоскости треугольника? Размерами груза пренебречь.
Указание. Сила в пружинах выражается формулой
E = c(/-Z0),
где / — длина напряженной пружины;
/0 — ее естественная длина.
Ответ; с = 50 н'см.
Задача 57 (рис. 49). На гладкой наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а = 60°, лежит тело М весом Р=\кн.
От скольжения оно удерживается двумя веревками ЛуИ и ВМ, расположенными вдоль плоскости и образующими с линией наибольшего ската MN углы ^ = 30° и у = 60° соответственно. Найти давление тела на плоскость и натяжения веревок. Размерами тела пренебречь.
Тsm (3 + 7)Тsm (3 + 7)н;н;434 н.434 н.Ответ; ;V = Pcosa = 500 н;
Т
sm (3 + 7)
Т
sm (3 + 7)
н;
н;
434 н.
434 н.
Р sin a sin 3sin (З + д)
Задача 58 (рис. 50). Определить усилия, возникающие в стержнях АВ и ВС и в горизонтальном тросе BE кран-балки АВС, если груз Р весом 10 кн поднимается посредством троса, перекинутого. через блок В и блок D, находящийся на середине отрезка АС; ,/ АВС =/, DBE = 30°. Весом стержней и размерами блоков пренебречь. Блок В считать идеальным.
Ответ; ТВЕ = 17,3 кн;
ТВА = ТВС = — 15,6 кн.
Задача 59 (рис. 51). Электрический заряд пренебрежимо малого веса находится в центре О куба. В двух соседних вершинах А ц В нижнего основания помещены одноименные с ним заряды ех—е и е2 = 2е. Какие одноименные заряды нужно поместить
в двух остальных вершинах нижнего основания и в центре верхнего основания, чтобы силы, действующие на заряд, находящийся в центре, уравновешивались?
Примечание. Силы отталкивания, действующие между зарядами, пропорциональны их величинам, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены по прямой, соединяющей заряды.
Решение. Ребро куба и величина заряда в точке О не даны. Обозначим их соответственно через а и q. Другие неизвестные заряды обозначим через е3, е4, е8. Силы взаимодействия направлены по прямым ОА, ОВ, ОС, 0D, 001- Данная система сил
образует пространственную сходящуюся систему, для которой имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче три: е3, е4, е8, т. е. задача статически определима.
Для удобства проектирования поместим начало координат в О, ось Oz направим по 00 х, а оси Ох и Оу расположим в плоскостях АОС и BOD соответственно. Тогда, обозначив силы взаимодействия между зарядами через Л, Д, F3, F\, Л8, получим, что силы Fx и F3 лежат в плоскости хОг, а силы F\ и F\— в плоскости yOz.
Углы, образованные силами Fv, Ft, F3, F^ с горизонтальной плоскостью, равны между собой. Обозначив их через а, из прямоугольника АА1С1С имеем
АС ЛГЧ . СС. 1
COSa = ^- — I/5Ша = -^Д=-—
АСХ у 3’ACt |/ з •
Величины сил:
р — М _ 4g7.
1 — (ОД)8 “За2’
с ед %eq ,
—~’За8’
р «3? 4^3^.
8~~ (ОС)2 ~" За2 ’р = e»q — 4М.
кОЪ)$ За8 ’ р _ ед 4е59
~ (ОО,)8 а2 ‘
Составим уравнения равновесия заряда, находящегося в точке О:
v R = — Fv COS а F^ COS а — —COS аCOS а = 0;
^Рь = Ft COS а — F^ COS а = COS а —COs а = 0;
*Ла2За2
XFkz = F; sin а-|- F3 sin а 4" F3 sin а 4- Fl sin а — F% =
_ 12^4-4^4-4^9 . 4M n
За2a2
Из первого уравнения получим е3 — е. Из второго уравнения находим е4 = 2е. Подставляя значения щ и е4 в третье уравнение, найдем
2е
Заметим, что величины а и q не вошли в ответ. Поэтому их и не следовало задавать.
Задача 60. В трех вершинах основания правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой наклонены к основанию под углами, равными 60°, помещены одинаковые заряды е. Некоторый четвертый одноименный заряд помещен на высоте пирамиды на расстоянии одной ее трети от основания. Какой пятый заряд нужно поместить в вершине пирамиды, чтобы четвертый заряд находился в равновесии? Весом зарядов пренебречь.
Примечание. Сила взаимодействия одноименных зарядов равна —, где г — расстояние между ними, и направлена вдоль прямом, их соединяющей.
Зе
Ответ; ев = -2.
Задача 61. Решить предыдущую задачу, считая, что боковые ребра пирамиды образуют с основанием углы, равные а, а отрезки, соединяющие вершины основания с зарядом, помещенным внутри пирамиды, образуют с основанием углы, равные 8.
„3 sin 3 ■ sin2 (а —
Ответ; е. =5— е.
“cos- а
Задача 62. Стержневая система состоит из шести шарнирно соединенных между собой стержней, расположенных по ребрам и диагоналям куба, как показано на рис. 52, а. Узел D нагружен силой Q, направленной вдоль диагонали LD. Узел С нагружен вертикальной силой Р. Шарниры L, В, Н закреплены. Определить реакции стержней и опор, считая стержни невесомыми.
Решение. Рассмотрим сначала равновесие узла D, так как в нем сходятся три стержня (рис. 52, б). Применяя метод вырезания узлов и обозначив реакции перерезанных стержней, которые
предполагаются растянутыми, через TDC, TDB1 TDH, будем иметь следующие уравнения равновесия этого узла:
S^x — ^дс ~Н ^db cos 45° Т DH cos 45° = 0;
^F^ = — TDB cos 45° + Q cos 45° = 0;
^F^ = — TDH cos 45° -j- Q cos 45° = 0.
Из этих уравнений получим
Tdh = Т db = Q; Tdc =Q ]/"2.
Составим теперь уравнения равновесия узла С (рис. 52,1 в) в проекциях на те же координатные оси:
XFkx = -TCD-TCLA. = 0;
XFfev = Тсв TCL р=- = 0;
^ = -tch-tclA_-p^o.
При проектировании силы TCL имелось в виду, что
cos (TCL, х) = — cos (£ CLM) = — ^-= — ^ и т. д.
33332 H А. Бражниченко и др
33
33
Учитывая теперь, что TCD = TDC, найдем
TCL = — TCDV3 = QK^tcb=-qV^, Tch=-QV2-P.
Таким образом, стержни СВ и СН сжаты. Реакция опоры L равна по величине TCL, т. е.
Rl=QVX
Для определения реакций опоры В (рис. 52, г) составим уравнения равновесия узла В под действием сил TBD =—TDB, FBc ~ Тсв и RB
XFkx = XB —TBD cos 45° = 0;
EFky = YB + TBD cos 45° + TBC = 0;
Учитывая, что T BD = TDB; TBC = TCB, найдем у Q V 2 , yr Q К 2, „ p лв— 2 ’ 1 B— 2 ’—u'
Следовательно,
RB = V ХЪ + УЬ + Zb = Q.
Для определения направления RB находим cos(^x) = ^ = ^-; cos ^ y^ = ^ = ^L-, cos ^RB, г) = 0.
Следовательно, RB лежит в плоскости ху и составляет с осями х и у углы, равные 45°._
Для определения реакции RH составляем уравнения равновесия узла Н (рис. 52, г):
"51F кх = Хн THD cos 45° = 0;
XFky=YH = 0;
^Fkz = ZH+ Тнс Д- THD cos 45° = 0.
Отсюда
ХН = У^1; YH = 0; ZH = P + ^.
Величина реакции RH будет
Задача 63. Стержневая система состоит из шести шарнирно собой стержней, расположенных, как пока-Задача 63. Стержневая система состоит из шести шарнирно собой стержней, расположенных, как пока-соединенных между
Задача 63. Стержневая система состоит из шести шарнирно собой стержней, расположенных, как пока-
Задача 63. Стержневая система состоит из шести шарнирно собой стержней, расположенных, как пока-
зано на рис. ^3. На узел Л действует сила F, а на узел В — сила Q. Определить усилия в стержнях, пренебрегая их весами, и величины реакций неподвижных шарниров.
Ответ-. TAD=0; ТДЕ= — РУ2; '^ab = F; Тве= Q;
Tbd = -FV2; Tbc = F-,RC = F; РП = РУ2;
Ре^УоЧ^^ТЖ
Pac. 53Pac. 53Задача 64 (рис. 54). Определить усилия в стержнях и величины реакций опор в стержневой конструкции, считая все соединения шарнирными и пренебрегая весами стержней. Узлы Л и В нагружены силами Р и Q = 2P соответственно.
Pac. 53
Pac. 53
Ответ-. ТДС = —РУ2\ ТДВ = РУ2; Тав=-Р; ТВС = Р\Ч ТВЕ=—Р; TDB = P;
Рп = У5Р; RC=P\ RE=P.
Задача 65 (рис. 55). Определить опорные реакции и усилия в стержнях пространственной шарнирной стержневой конструк
ции в виде правильной пирамиды, ребра которой наклонены к основанию под углом а. Верхний узел 4 нагружен вертикальной силой Р, а вершины В, С, D находятся на гладкой горизонтальной плоскости. Весами стержней "пренебречь.
Ответ; Тдв — Тдс— ТAD—3 sm а;
О' — Т Т P_Ctg^ , X, ДТ д, р
во—1 вс— 1 со— з^ , 7Vb —— No— “J-
Задача 66. Шарнирный стержневой треугольник ЛВС удерживается в положении, изображенном на рис. 56, при помощи пяти стержней, соединенных с треугольником и горизонтальным потолком при помощи шарниров. Плоскости равносторонних треугольников DAE и FBG перпендикулярны к плоскости треугольника АВС. К узлу С приложена вертикальная сила Р. Определить усилия в стержнях системы
при равновесии, если Д ВАС = L АВС = 30°. Весами стержней пренебречь.
Ответ; ТДС = ТВС = Р; ТДв = —Ур_;
гр Р V 3 . гр „1 АО1 АЕ1 BF 1 ва§, 1 AFи'
ли с узломли с узломвв5757Рис.Рис.В, причемВ, причемЗадача 67 (рис. 57). В шарнирной стержневой конструкции узлы А, В, С, D находятся в вершинах горизонтально расположенного квадрата,а узел Е — на одной вертика-
ли с узлом
ли с узлом
в
в
57
57
Рис.
Рис.
В, причем
В, причем
ВЕ = АВ. К узлу D приложена вертикальная сила Р. Определить усилия в стержнях, пренебрегая их весами.
Ответ; TDE=PV^‘, Тсд = РДА2; Тсе=Тде = 0;
Тсв — Рва ~ ^da — Pro — Pcl =^
Задача 68 (рис. 58). Шарнирная стержневая конструкция состоит из девяти одинаковых стержней. Узел А укреплен неподвижно, к узлам В, С, D прикреплены горизонтальные тросы, направленные соответственно по сторонам BD, ВС, CD. Определить усилия в стержнях и тросах, если узел Е нагружен вертикальной силой Р.
Ответ-. TBF=TCQ = TDH = 0;
т/р _Р V" 6
BE = 1 СВ1 DE6
гр гр ,р Р V 6
ВА 1 СА 1 DA § i
прт _ тР 6
J ВС 1 CD1 BDQ•
Г Л А В A II
СИЛЫ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ
Уравнения равновесия твердого тела под действием произвольной плоской системы сил можно записать в одной из следующих форм: '
Il Fkx = 0;
а—i
2^ = 0;(2.1)
S то№)=0;
A = 1
причем за центр моментов О принимают любую точку на плоскости;
5^ = 0; a = i
S^(F6) = 0;(2.2)
&=i
S mB(E6) = 0;
a=i
при этом прямая АВ, соединяющая центры моментов Л и В, не должна быть перпендикулярной к оси проекций х;
5 тд(^)=0;
A=1
Smfi(Ft) = 0;(2.3)
A = 1
S mc(Ffe) = 0;
A=I
при этом центры моментов А, В, С не должны лежать на одной прямой.
Если все силы, расположенные в плоскости, взаимно параллельны, то число уравнений равновесия сократится до двух. Эти уравнения можно записать в одной из двух форм:
2 ^=o,
„_*(2.4)
2^o(^)=°;
Л—IJ
где ось у параллельна силам;
S тл(Л)=0,
Л = 1
„(2-5)
S ™B(^) = 0, к = \)
при этом отрезок АВ, соединяющий центры моментов Л и В, не должен быть параллелен силам.
Для получения наиболее простых уравнений равновесия (если это не усложняет ход решения в остальном) следует одну из координатных осей проводить перпендикулярно возможно большему числу неизвестных сил, а за центр моментов брать точку, в которой пересекается возможно большее число неизвестных сил.
При вычислении момента силы удобно иногда разлагать данную силу на составляющие и пользоваться теоремой о моменте равнодействующей (теоремой Вариньона).
Если на тело наряду с силами действуют и пары, лежащие в плоскости сил, то при составлении уравнений равновесия в уравнения проекций пары не войдут, так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях же моментов к моментам сил алгебраически прибавятся моменты пар, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары.
При решении некоторых задач следует учитывать трение качения. Наибольшее значение момента трения качения определяется по формуле
M—kN,(2.6)
где к — коэффициент трения качения,
N — нормальное давление.
Плоская система параллельных сил
Задача 69. Система, состоящая из трех грузов Mlt Ма, Мэ и блоков, как показано на рис. 59, а, находится в равновесии. Определить зависимость между весами грузов Рь Р4, Ра и усилия в тросах, если вес блока 3 равен Q, радиусы блоков гь гъ ra, r4, ra. Блоки 1 и 2, а также 4 и 5 попарно жестко соединены между собой.
Решение. Система состоит из нескольких тел и находится в равновесии, следовательно, находятся в равновесии и блоки 1-2, 3, 4—5.
Рассмотрим равновесие спаренных блоков 1—2 (рис^ 59, б). Непосредственно приложенными силами являются вес Pt груза
Mv и суммарный вес блоков Qt. Связями являются ось блока О] и трос 2—3.
Реакция троса Тта направлена по тросу вертикально вниз. Реакция оси Ni направлена вертикально вверх, так как все остальные силы вертикальны. Поскольку в задаче не требуется определить Nt, то следует составить уравнение равновесия, не со
держащее Nv Таким уравнением является уравнение моментов относительно точки Ор
2 ^oi №) = piri ” Т«А = О, откуда
тР1Г1 1 ад—' - •
_ Рассмотрим равновесие блока 3. Кроме веса груза Р3 и веса Q самого блока, на него действует сила Тм со стороны троса 2—3, направленная вертикально вверх и равная по величине Ti3 в силу аксиомы действия и противодействия. Связью является трос 3—4, реакция которого Т№ направлена вертикально вверх.
Составим уравнения равновесия этого блока (рис. 59, а):
2 р ьу = Т^ -}- T3i — Q — Р3 = 0;
^ пгОа (Fk) = ТнГ3 — Т3ir3 = 0.
Отсюда находим
m m m ^iC,7 34 7 32 7 23 ~ ,
• 2
Q + P3 = 2TM = ^i.(a)
Рассмотрим равновесие спаренных блоков 4—5 (рис. 59, г). На них действуют вес груза Р.^ суммарный вес блоков Q3 и сила
^ со стороны троса 3—4, равная по величине Т№, но направленна^ вертикально вниз. Связью является ось блока О2. Реакция М» этой оси направлена вертикально вверх. Поскольку Д72 не подлежит определению, составим уравнение равновесия, не включающее N^. Таким уравнением будет уравнение моментов относительно точки О»:
2 тО2 (^\) = ^— РчГъ = 0,
отсюда
Соотношения (а) и (6) являются искомыми соотношениями между весами грузов и блока 3 при равновесии.
Задача 70 (рис. 60). При расчете на изгиб поршневой палец рассматривается как балка, свободно лежащая на двух опорах.
Определить реакции опор, принимая нагрузку интенсивностью q равномерно распределенной по длине I и расположенной симметрично относительно опор. Весом пальца пренебречь.
Ответ; RA — RB = ^_
Задача 71 (рис. 61). Определить величину вертикальной силы F, с которой нужно поддерживать тачку, если ее вес Р = 200н, а вес груза Q = 700 н. Размеры указаны на рисунке.
Ответ; F = 153,6 н.
Рис. 62Рис. 62
Рис. 62
Рис. 62
Задача 72 (рис. 62). На однопролетном горизонтальном мосту АВ длиной 20 м находится автомобиль с нагрузкой на переднюю °Сь в Ю кн и на заднюю — в 20 кн. Определить расстояние х От оси заднего колеса автомобиля до опоры А, при котором дав-
ления на опоры Л и В будут одинаковы Расстояние между осями автомобиля равно 2,5 м.
Ответ.-, х = 9 л .
О
Задача 73 (рис. 63). К концу А рычага пресса подвешен груз М весом 300 н. Определить усилие S в штоке CD и давление NB на шарнир В, если а=100 см, 6=10 см.
Ответ: 3 = 3 кн;
jVb = 2,7 кн.
Задача 74 (рис. 64). Вертолет висит неподвижно. Приняв, что подъемная сила хвостового винта составляет 5% от веса верто
лета, найти расстояние d от центра тяжести вертолета до вертикали, проходящей через линию тяги главного винта, если расстояние от главного до хвостового винта 1 = 4 м. Найти также
обе подъемные силы, считая их вертикальными, если вес вертолета Р = 20 кн.
Ответ: d = 0,2 м;
Ех=\ кн;
Рг = 19 кн.
Задача 75 (рис. 65). Поплавковый регулятор состоит из поплавка А, рычага ВО, штока CD и заслонки DE. В горизонтальном положении рычага ВО архимедова сила уравновешивает собственный вес регулятора. На какой уровень должна под-
Рис. 65няться вода в регулируемом сосуде
от номинала, чтобы архимедова сила поплавка могла поднять заслонку DE, если для поднятия ее требуется преодолеть вертикальную силу Р = 49 н? Поплавок считать цилиндрическим телом с поперечным сечением 3 = 100 см4; ВО = 50 см; СО = 5 см. Удельный вес воды принять 7 = 0,0098 njcM4. Ответ: вода должна подняться на 5 см.
Задача 76 (рис. 66). Лестница ОВ длиной I и весом Р, закрепленная шарнирно в точке О, удерживается в равновесии вертикально расположенным тросом АВ. По лестнице перемещается человек, вес кото-
рого Q. В определить тяжение ТОтвет;рого Q. В определить тяжение ТОтвет;зависимости от длины ВС = s реакцию Ro шарнира О и на- троса.
рого Q. В определить тяжение Т
Ответ;
рого Q. В определить тяжение Т
Ответ;
п р । Qs.
ко— 2
Задача 77 (рис. 67). Найти реакцию опор А и В балки АС, нагруженной равномерно на участке ВС. Интенсивность нагрузки равна q. Весом балки пренебречь.
Ответ; Рд^^; ^в^^+У'
Задача 78 (рис. 68). На балку АС действуют силы Рг = 60 кн,
m, = 40 кн • м и т^ = 30 кн • м так,m, = 40 кн • м и т^ = 30 кн • м так,Р3 = 4 кн, и пары с моментами
m, = 40 кн • м и т^ = 30 кн • м так,
m, = 40 кн • м и т^ = 30 кн • м так,
Рис. 68Рис. 68как показано на рисунке. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балки, если а —2 м; ^ = 1 м; 1^ = 0,5 м.Ответ; RA = 24 кн; RB = 40 кн.Задача 79 (рис. 69). На балку АС действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и две парыкак показано на рисунке. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балки, если а —2 м; ^ = 1 м; 1^ = 0,5 м.Ответ; RA = 24 кн; RB = 40 кн.Задача 79 (рис. 69). На балку АС действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и две парыРис. 69Рис. 70Рис. 69Рис. 70Рис. 67
Рис. 68
Рис. 68
как показано на рисунке. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балки, если а —2 м; ^ = 1 м; 1^ = 0,5 м.
Ответ; RA = 24 кн; RB = 40 кн.
Задача 79 (рис. 69). На балку АС действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и две пары
как показано на рисунке. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балки, если а —2 м; ^ = 1 м; 1^ = 0,5 м.
Ответ; RA = 24 кн; RB = 40 кн.
Задача 79 (рис. 69). На балку АС действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и две пары
Рис. 69Рис. 70
Рис. 69Рис. 70
с моментами mt и т^ так, как показано на рисунке. Определить опорные реакции RA, RB, если Р = 10 кн; тх = 5 кн-м; т4 = = 2 кн-м; q = 8 кн/м; а = с = 2 м; 6 = 5 м. Весом балки пренебречь.
Ответ; ^д=11 кн; RB = 39 кн.
Задача 80 (рис. 70). Временный мост свободно опирается на опоры С и D. Вес одного погонного метра покрытия равен 5/3 кн. Определить наибольшую длину I консольной части моста, при которой он не опрокидывался бы при проезде машины с нагрузкой
на переднюю ось в 20 кн и на заднюю — в 40 кн, если расстояние между осями равно 3 м. Расстояние между опорами CD = 2d=6 м.
Ответ-. / = 1 м.
Задача 81. Решить предыдущую задачу, считая, что расстояние между опорами 2d =12 м.
Ответ; 1 = 4,5 м.
Задача 82 (рис. 71). Однородный стержень О А закреплен шарнирно в точке О. В точке В, находящейся на расстоянии ОВ = Ь, подвешен груз весом Q. Стер- ХТ жень удерживается в равновесии в горизонтальном положении посредством 4 груза F. Какова должна быть длина ,,■-в стержня, чтобы вес груза F был наи**меньшим, если вес единицы длины стерж
ня равен 7? Блок считать идеальным.
Рис" 71п
Ответ; /= I/ .
Задача 83 (рис. 72). Однородная балка АВ длиной 200 см и весом 400 н подвешена на двух пружинах. Пружины имеют в ненапряженном состоянии одинако-L
вую длину, но жесткость пружиныf
DL в два раза больше жесткости §W
пружины EF (жесткость пружины « равна силе, потребной для растяже-Ц§
ния пружины на 1 см). Определить вес § груза Р, который надо положить наЦ<
балку в точке К, чтобы балка за ня-,— » РЖЗ
ла горизонтальное положение, еслик
AD = BE = 30 см, DK=2Q см.Рас. 72
Ответ; Р = 350 н.
Задача 84. На балку AD на участке ВС (рис. 73, а) действует нагрузка, распределенная по закону треугольника и достигающая
а)а)6)6)УУРис. 73Рис. 73
а)
а)
6)
6)
У
У
Рис. 73
Рис. 73
наибольшей интенсивности в точке С. Найти реакции опор, пренебрегая весом балки. Размеры указаны на рисунке.
Решение. Предварительно найдем равнодействующую распределенной нагрузки. Поскольку мы имеем дело с параллельными одинаково направленными силами, то их равнодействующая Q параллельна им, направлена в ту же сторону и равна их сумме. Линию ее действия найдем из условия равенства моментов (теорема Вариньона). Поместим начало координат в точку В и направим ось Вх вдоль ВС (рис. 73, б).
Так как
q^ = q W = — у.то6qxdx qb
■ о
Знак «минус» означает, что сила ^направлена вниз.
Расстояние от линии действия силы Q до точки В обозначим через Хх. Тогда момент равнодействующей относительно центра В равен ™й (5) = — Qxx = — ^Хх.
Сумма моментов распределенной нагрузки относительно того же центра составит 66
— х | q (х) | dx = — ^ dx = — q^-.
<г
Приравнивая найденные моменты, находим
Примечание. В случае, если к моменту решения этой задачи соответствующий раздел математического анализа еще не пройден, можно принять без доказательства, что равнодействующая треугольной нагрузки численно равна половине произведения максимальной интенсивности на длину нагруженного участка, а линия ее действия проходит на расстоянии, равном 2/8 длины участка от конца, на котором интенсивность равна нулю.
В рассматриваемой задаче, заменяя распределенную нагрузку ее равнодействующей, приходим к задаче об определении реакций опор при действии на балку одной силы Q (рис. 73, в).
Составим уравнения равновесия балки в форме уравнений моментов относительно точек А и D:
^mA(Fk) = -Q.AE-VRD.AD = O,^1mD(Fk) = Q-ED — RA-AD==0.
Отсюда находим
п _ (За + 26) Q
з(а + & + с) ’
„(6 + 3r)Q
—3(04-6 + +
Складывая равенства, получим RA-\- RD = Q, как и должно быть.
Задача 85 (рис. 74). При упрощенном способе расчета на изгиб шатуна двигателя внутреннего сгорания шатун рассматривается как балка, лежащая на двух опорах и нагруженная нагрузкой, распределенной по закону треугольника. Определить реакции опор, если наибольшая интенсивность нагрузки равна q н]см, а длина шатуна / см. Весом шатуна пренебречь.
Ответ-. Ra=^-h; Rr = ~h.
Рис. 74Рис. 74
Рис. 74
Рис. 74
Задача 86 (рис. 75). Определить опорные реакции для балки АВ весом 4 кн, нагруженной так, как показано на рисунке, если а = Ь = с = 2 м. Максимальная интенсивность нагрузки д=2кн)м.
Ответ: RA = ^A^ кн; RB = 5,56 кн.
Задача 87 (рис. 76). Определить опорные реакции для балки АВ, нагруженной сплошной нагрузкой треугольного вида, до
стигающей наибольшей интенсивности q на расстоянии а от опоры А. Весом балки пренебречь.
Ответ; RA = ~ (а -}- 2Ь);
RB = I (2« + 6).
Задача 88 (рис. 77). Определить опорные реакции для балки длиной 1 = 2 м, нагруженной сплошной трапециевидной нагрузкой интенсивностью qi — 150 н(м на опоре А и ^2 = 300 н[м на опоре В. Весом балки пренебречь.
Ответ: ^д = 200 н; RB = 250 н.
Задача 89 (рис. 78). Однородная балка Л В длиной I и весом Р концом Л заделана в стену, имеющую толщину а<^. Считая, что реакции в заделанном конце распределены по линейному закону,Задача 89 (рис. 78). Однородная балка Л В длиной I и весом Р концом Л заделана в стену, имеющую толщину а<^. Считая, что реакции в заделанном конце распределены по линейному закону,определить наибольшие значения сил qx и qa, приходящихся наопределить наибольшие значения сил qx и qa, приходящихся наединицу длины балки.Ответ: qx=^^;единицу длины балки.Ответ: qx=^^;_(3!-2а)Р—а*_(3!-2а)Р—а*Задача 90 (рис. 79). Определить,Задача 90 (рис. 79). Определить,давит на неподвижный барабан подвешен груз Р = 250 н. Принять АС — 74 см, ВС = 6 см, а = 6 см, й=12 см. Весом стержней пренебречь.Ответ: Q = 5 кн.Задача 91 (рис. 80). Разветвленный механизм распределения давлений устроен так, что ЛВ:ВС=2:1, DE:EF = 3.4; GK : KN — 3:2. Груз Р весомдавит на неподвижный барабан подвешен груз Р = 250 н. Принять АС — 74 см, ВС = 6 см, а = 6 см, й=12 см. Весом стержней пренебречь.Ответ: Q = 5 кн.Задача 91 (рис. 80). Разветвленный механизм распределения давлений устроен так, что ЛВ:ВС=2:1, DE:EF = 3.4; GK : KN — 3:2. Груз Р весомN,N,Рис. 80Рис. 80с какой силой Q барабан М если к концу Л рычага ВАс какой силой Q барабан М если к концу Л рычага ВА21 кн помещен посередине плат-21 кн помещен посередине плат-формы ML. Определить давления колес на грунт. Ответ: ^ = 3,5 кн; N^ — 7 кн;^3 = 6 кн; ^=1,8 кн; 7V6 = 2,7 кн.формы ML. Определить давления колес на грунт. Ответ: ^ = 3,5 кн; N^ — 7 кн;^3 = 6 кн; ^=1,8 кн; 7V6 = 2,7 кн.Рис. 82Рис. 82чтобы выдернуть из земли На каком расстоянии от Ачтобы выдернуть из земли На каком расстоянии от АЗадача 92 (рис. 81). Для того сваю М, сделана система рычагов.
Задача 89 (рис. 78). Однородная балка Л В длиной I и весом Р концом Л заделана в стену, имеющую толщину а<^. Считая, что реакции в заделанном конце распределены по линейному закону,
Задача 89 (рис. 78). Однородная балка Л В длиной I и весом Р концом Л заделана в стену, имеющую толщину а<^. Считая, что реакции в заделанном конце распределены по линейному закону,
определить наибольшие значения сил qx и qa, приходящихся на
определить наибольшие значения сил qx и qa, приходящихся на
единицу длины балки.
Ответ: qx=^^;
единицу длины балки.
Ответ: qx=^^;
_(3!-2а)Р
—а*
_(3!-2а)Р
—а*
Задача 90 (рис. 79). Определить,
Задача 90 (рис. 79). Определить,
давит на неподвижный барабан подвешен груз Р = 250 н. Принять АС — 74 см, ВС = 6 см, а = 6 см, й=12 см. Весом стержней пренебречь.
Ответ: Q = 5 кн.
Задача 91 (рис. 80). Разветвленный механизм распределения давлений устроен так, что ЛВ:ВС=2:1, DE:EF = 3.4; GK : KN — 3:2. Груз Р весом
давит на неподвижный барабан подвешен груз Р = 250 н. Принять АС — 74 см, ВС = 6 см, а = 6 см, й=12 см. Весом стержней пренебречь.
Ответ: Q = 5 кн.
Задача 91 (рис. 80). Разветвленный механизм распределения давлений устроен так, что ЛВ:ВС=2:1, DE:EF = 3.4; GK : KN — 3:2. Груз Р весом
N,
N,
Рис. 80
Рис. 80
с какой силой Q барабан М если к концу Л рычага ВА
с какой силой Q барабан М если к концу Л рычага ВА
21 кн помещен посередине плат-
21 кн помещен посередине плат-
формы ML. Определить давления колес на грунт. Ответ: ^ = 3,5 кн; N^ — 7 кн;
^3 = 6 кн; ^=1,8 кн; 7V6 = 2,7 кн.
формы ML. Определить давления колес на грунт. Ответ: ^ = 3,5 кн; N^ — 7 кн;
^3 = 6 кн; ^=1,8 кн; 7V6 = 2,7 кн.
Рис. 82
Рис. 82
чтобы выдернуть из земли На каком расстоянии от А
чтобы выдернуть из земли На каком расстоянии от А
следует поместить опору О, если к концу В прикладывается вертикальная сила 0,6 кн, сопротивление выдергиванию сваи равно 10 кн, АВ = 4 м, С0х = 2 м, DOi = 0,2 м? Весом рычагов пренебречь.
Ответ; АО ^1,5 м.
Задача 93 (рис. 82). Система состоит из п горизонтальных стержней одинаковой длины весом Р каждый, укрепленных при помощи тросов.
При этом
CiSi^C^^ = С„5„ = 1 ^1^1 ^2^2^П^п 4
Показать, что натяжение троса АХК при п->оо имеет преде- 2 D
лом величину -^Р.
§ 2. Плоская система как угодно расположенных сил
Задача 94. Дана стрела АВ, вес Р которой равен 1,8 кн и приложен к точке С, причем ВС=^ АВ (рис. 83, а). Определить натяжение троса AD, прикрепленного к концу А стрелы, и давление стрелы на шарнир В, если углы а = р = 30°, а вес подвешенного груза Q = 20 кн.
Рис. 83
Решение. Рассмотрим равновесие стрелы АВ. На стрелу действуют силы Р и Q. Связями, наложенными на стрелу, являются шарнир В и трос AD. Реакция троса Т направлена по AD, реакция шарнира Rti неизвестна ни по величине, ни по направлению (рис. 83, б).
Разложим реакцию RB на две взаимно перпендикулярные составляющие — горизонтальную Хв и вертикальную Y в. Направления этих составляющих примем совпадающими с направлениями осей Вх и By. Таким образом, стрела находится в равновесии под действием плоской системы пяти сил Q, Р, Т, Хв, Y в,
для которой имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче три: Т, Хв, Yв, т. е. задача статически определима.
Составим уравнения в форме (2.1). За центр моментов возьмем точку В, так как в ней пересекаются две неизвестные силы: Хв и ^в- Получим
ЦГкх = Хв — Т cos а = 0;(с)
^Fky=YB — P — Q — Т sin а = 0;(d)
SmB(ft) = - Р-ВС — Q-ВА'-^-Т • КВ = 0.(е)
Из рисунка имеем
ВС = у АВ cos 7; В А’ — АВ cos 7; ВК = АВ s\n^, где т = а -|- Р = 60°.
Подставляя эти выражения в (е) и сокращая на АВ, получим
— у- cos 7 — Q cos 7 + Т1 sin 8 = 0,откудагр COS Y рч 1 COS V л огл г*Т = Р 4- Q = 20,6 кн.3 sin ?1 sin’
Из уравнения (с) находим
Хв — Т cos а= 17,8 кн.
Уравнение (of) дает
YB = Р 4- Q 4- Т sina = 32,l кн.
Примечание. Если бы какая-либо из величин Хв, Y в оказалась отрицательной, то это означало бы, что соответствующая сила Хв или Yfi в действительности направлена не так, как показано на рисунке, а в противоположную сторону.
Зная Хв и YB, находим величину реакции RB:
Дд = уТнУП1 = 36,7 кн.
Эта реакция образует с осью Вх угол ф, косинус которого найдем по формуле
откуда ф = 60°55'.
Давление стрелы на шарнир В равно RB, направлено в сторону, противоположную RB, и приложено не к стреле В А, а к шарниру.
Задача 95 (рис. 84). На коленчатый рычаг действуют силы: ^1=100 н, Р3 = 150 н, Pj = 200 н. Определить силу Р, необ-
ходимую для уравновешивания рычага, и величину реакции шарнира А. Весом рычага пренебречь.
Ответ-. Р=110 н; ^л = 266 н.
Задача 96 (рис. 85). Балка АВ закреплена горизонтально при
На балку действует сила Р под углом а к вертикали и пара сил с моментом т. Пренебрегая весом балки и стержня, определить усилие Т в стержне DF. Размеры указаны на рисунке.
„ т Ра cos а — т
Ответ-. 1 =т.
b
Задача 97 (рис. 86). Ломаный рычаг АОВ имеет на конце В противовес весом 100 н. К середине плеча ОВ шарнирно присоединен шток CD, конец которого D закреплен. Определить уси
лие в штоке, если к концу А рычага перпендикулярно приложена сила P = 4t)0 н. Принять а = 30°, 7 = 60°, АО = ОВ. Весом рычага и штока пренебречь.
Ответ". S = 1'2A н.
Задача 98 (рис. 87). Стрела AD весом 3 кн укреплена шарнирно в точке А и поддерживается под углом а = 30° к горизонту тросом ВС, причем ЛВ=ЛС = 0,6ЛО. Определить предельный вес Р груза М, подвешенного к концу стрелы, если трос выдерживает усилие 27,5 кн.
Ответ: Р — 15 кн.
Задача 99 (рис. 88). Клапан двигателя работает от кулачка при помощи рычага АОВ. Определить давление Q кулачка на ролик, если известно, что на клапан действует общее усилие Р = 400 н. Весом рычага пренебречь.
Ответ-. Q — 277 н.
Задача 100 (рис. 89). При испытаниях модель самолета закрепили так, чтобы она могла свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести О. Благодаря отклонению управляемого крыла К на угол р горизонтальный
Рис. 88Рис. 88
Рис. 88
Рис. 88
поток воздуха вызывает поворот самолета в вертикальной плоскости на угол а (возникающие при этом колебания гасятся специальным устройством). Повороту модели препятствуют две одинаковые пружины жесткостью с каждая (см. задачу 45), прикрепленные на расстоянии b от центра тяжести и находившиеся в естественном ненапряженном состоянии при горизонтальном
положении модели.
Пренебрегая отклонением пружин от вертикали и считая, что равнодействующая сил, обусловленных потоком, проходит через центр тяжести, определить силу подъема F, направленную перпендику-
лярно к крылу и приложенную на расстоянии а от центра тяжести. п b'-c sin 2а Ответ; г =.
a cos3
Р2=1000 н,Р2=1000 н,45°. Весом45°. ВесомЗадача 101. Определить усилие Т в стержне АВ и реакцию шарнира С в шарнирной стержневой конструкции, изображенной на рис. 90, если Pt = 500 н,
Р2=1000 н,
Р2=1000 н,
45°. Весом
45°. Весом
стержней пренебречь. Ответ; Т = 1500 н;
Хс=1500 н; Ус = 500 н.
Задача 102 (рис. 91). Определить усилие Т в стержне АВ и реакцию шарнира С для шарнирной стержневой системы, если ^1 = 1 кн, Р2 —0,5 кн, Р3 = 0,5 кн, а = 45°, -^- = ^-.
Ответ; Т=1,25 кн; Хс =—1 кн; Ус = 2,25 кн.
руля, считая, что его вес ра-руля, считая, что его вес ра-
руля, считая, что его вес ра-
руля, считая, что его вес ра-
Задача ЮЗ (рис. 92). Руль судна состоит из баллера ABD и пера П руля. Определить реакции опорного А и упорного В
подшипников в среднем положении вен 6 кн и приложен в точке С на расстоянии s = 40 см от оси баллера, Л5 = 120 см.
Ответ: Хл = 2 кн;
Хв =— 2 кн; Ув = 6 кн.
Задача 104 (рис. 93). На балку АВ, имеющую неподвижный шарнир А и горизонтальную подвижную опору В, в точке С действует сила F, равная по величине 1,5 кн и образующая с вертикалью угол а = 60°. Определить опорные реакции, вызы
ваемые этой силой, если ВС = 2ЛС, а угол, образованный балкой с горизонтом, = 30.
Ответ-. NB = Q,§ кн; Хд =—1,3 кн; Ул = 0,25 кн.
Задача 105 (рис. 94). К треугольному ключу с сечением в виде прямоугольного треугольника с катетами АВ = а и ВС = Ь приложена пара сил с моментом М. Определить давления, производимые вершинами А, В, С на грани гнезда замка. Трением пренебречь. Зазор между ключом и гнездом считать малым.
М .. МаMb
Ответ: пл = ^===; NR =; Nr =.
А Уа^У в aM-F с aay-F
Задача 106 (рис. 95). К концу Е стержня BE, укрепленного в точке В при помощи шарнира, подвешен груз весом 6. В точках С и D к стержню прикреплена гибкая нить, проходящая 52
стержня и трением астержня и трением аРис. 95Рис. 95
стержня и трением а
стержня и трением а
Рис. 95
Рис. 95
через идеальный блок А. Считая BC = DE = CD и AC — AD,
определить реакции нити и шарнира. Весом пренебречь. Углы а и р известны.
лG cos 8
Ответ: Т = ——-;
Sin а ’
Хв — G sin 23;
У в =— Geos 2р.
Задача 107 (рис. 96). Вершина С прямоугольной пластины, расположенной в вертикальной плоскости, закреплена шарнирно, а к вершинам D и В приложены соответственно горизонтальная сила Pi— 10 КЗ н и вертикальная сила Р3=120 н. Пластина
удерживается в равновесии вертикальным
тросом АЕ в положении, при котором ее диагональ BE горизонтальна. Пренебрегая весом пластйны, определить натяжение троса и реакцию шарнира, если £ BED = 60°.
Ответ; Т = 20 н; ХС=П,3 н;Ус=140 н.
Задача 108 (рис. 97). Однородный стержень ОА весом Р, закрепленный шарнирно в точке О, удерживается в положении
равновесия при помощи троса, перекинутого через гладкий блок В и несущего груз Q. Определить угол р, составленный стержнем с горизонтом, и реакцию шарнира О, если Р = 200 н, Q= 100 н, а угол а, образованный частью нити ВА с балкой, равен 60°.
Ответ; р = 30°, Хо = — 50]/3 = — 86,6 н; Уо= 150 н.
Задача 109 (рис. 98). Жесткая рама нагружена на участке CD равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 5 кн/л<. Определить спорные реакции, обусловленные этой нагрузкой если а = 45°, а = 2 м, 6 = 0,3 м, £DBA = №\
Ответ; Хл = 4,35 кн, ¥д — 5,65 кн, ^5 = 6,15 КН.
Задача ПО (рис. 99). Однородная балка АВ весом 3 кн прикреплена к вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается в горизонтальном положении при помощи троса ВС. На балку действует пара сил с моментом т=1,2 кн-м. Опре
делить натяжение троса Т и реакцию шарнира А, если а = 30°, АВ = 2 м. Ответ:Т = 1,4]/3 = 2,42 кн;
Хл = 0,7 У 3=1,212 кн; ¥д = 0,9 кн.
Задачи 111—122 (рис. 100). Балки нагружены и закреплены так, как показано на схемах. Определить реакции связей, пренебрегая весами балок' Числовые данные взять из таблицы.
№ задачи
Схема .
1, м
а, м
b, м
q, кн/м.
F, кн
а, град
т, кн • м
111
4
2
30
112
б
4
2
1
2
—
60
113
в
4
2
.—
2
—
30
2
114
г
4
2
2
—
45
—
115
а
3
2
2
—
30
3
116
е
3
1
2
—
45
—
117
3
1
1
2
4
60
—
118
3
2
1
3
1
30
—
119
U
3
1
—
4
60
6
120
к
4
2
—
4
45
1
121
л
5
2
2
—
60
—.
122
м
4
1
—
2
2
60
—
Ответы:
№ задачи
Хд, кн
Уд, .кн
Кд, кн
Т, кн
111
2,31
4,00
4,62
112
4,76
3,25
5,50
113
0,86
2,50
1,73
114
3,00
1,00
4,24
115
0,33
2,12
4,24
116
—3,33
4,67
4,71
117
—2,00
2,64
2,82
—
118
—0,29
3,50
0,58
—
119
—1,73
3,00
2,00
—
120
—8,50
—4,50
—
12,02
121
—3,08
—1,33
—
6,16
122
1,00
2,09
7,64
—
Задача 123 (рис. 101). Определить опорные реакции для жесткой рамы, возникающие от действия горизонтальной силы Р — 2 кн и сплошной, распределенной по закону треугольника,
Рис. 100
нагрузки, если наибольшая ее интенсивность д = 0,2 кн!м, ^=3,0 м., 1= 1,5 м.
Ответ: Хд = 4,2 кн, Хв =—4,2 кн; Y А =— 2,3 кн.
Задача 124 (рис. 102). В вибрографе, употребляемом для записи вертикальных колебаний, стержень весом Р и длиной
Рис. 104Рис. 104
Рис. 104
Рис. 104
0А = 1 несет на конце А груз весом Q и удерживается в горизонтальном положении спиральной пружиной. При закручивании пружины на один радиан возникает упругий момент, равный с. Определить, на какой угол закручена пружина.
Задача 125 (рис. 103). Однородный куб с ребром а и весом Р одной гранью опирается на гладкую вертикальную плоскость, а одним из своих ребер — на гладкую наклонную плоскость, образующую с вертикальной плоскостью угол а. Найти реакцию
Nx наклонной плоскости, равнодействующую Nt реакций вертикальной плоскости и точку К ее приложения при равновесии куба.
р
Ответ: N,=; N4 = Р ctea.
Sina ’“°
Точка К находится на расстоянии ВК = ^-tga.
Равновесие возможно, если 0^asCarctg2.
Задача 126 (рис. 104). Однородный куб с ребром а и весом Р ребром В упирается в гладкую вертикальную плоскость, а гранью лежит на гладкой наклонной плоскости, образующей с горизонтальной плоскостью угол а. Найти реакцию Nx вертикальной
плоскости, равнодействующую Nt реакций наклонной плоскости и точку К ее приложения при равновесии куба.
Ответ.1. N< = Р tea; N« = -^-.
1° а cos а
Точка К находится на расстоянии
А К = а^- cos a - cos (45° — а).
виде равнобедренноговиде равнобедренногоЗадача 127. На рис. 105 показана мачта, служащая для крепления проводов электрической железной дороги. Верхний провод имеет натяжение Р, а нижний натягивается при помощи груза М и троса ECDK, перекинутого через неподвижный блок С и подвижный блок D. Высота проводов над уровнем опор равна соответственно а и Ь, кратчайшее расстояние от опоры В до свешивающейся части троса СЕ равно с, расстояние между опорами 2d, вес мачты G, вес груза Q. Определить натяжение нижнего троса и вертикальную составляющую реакции в опоре А, если мачта симметрична относительно прямой т — п. Трением и размерами блоков пренебречь.
виде равнобедренного
виде равнобедренного
Ответ1. TDL — 2Q;
V _ Q(c —2»)4-Gd —Ра
А —2d1
Задача 128 (рис. 106). Пластина
ввтреугольника ABD с боковой стороной / и углом а закреплена
в
в
Рис. 106Рис. 106в вертикальной плоскости посредством шарнира в вершине А. На вершину В действует горизонтальная сила Р. Вес пластины приложен в точке пересечения медиан; вес единицы площади пластины равен q. Найти максимальный угол а,
Рис. 106
Рис. 106
при котором не произойдет опрокидывания пластины вокруг шарнира А.
ЪР — Iе q
Ответ; amax = arccos ——-.
При Р з равновесие невозможно.
Задача 129 (рис. 107). Ящик с поперечными равмерами 26 и 2с и весом Р втаскивается по наклонной плоскости, составляю-
Рис. 107пружина, упругая сила которой F = cd, где А —удлинение пружины по сравнению с ее недеформированной длиной, которая имеет место при a =45° (коэффициент с называется жесткостью пружины). Определить наименьшее значение жест-Рис. 107пружина, упругая сила которой F = cd, где А —удлинение пружины по сравнению с ее недеформированной длиной, которая имеет место при a =45° (коэффициент с называется жесткостью пружины). Определить наименьшее значение жест-
Рис. 107пружина, упругая сила кото
рой F = cd, где А —удлинение пружины по сравнению с ее недеформированной длиной, которая имеет место при a =45° (коэффициент с называется жесткостью пружины). Определить наименьшее значение жест-
Рис. 107пружина, упругая сила кото
рой F = cd, где А —удлинение пружины по сравнению с ее недеформированной длиной, которая имеет место при a =45° (коэффициент с называется жесткостью пружины). Определить наименьшее значение жест-
щей с горизонтом угол а, при помощи груза М. Каков должен быть вес Q этого груза, для того чтобы ящик опрокинулся в тот момент, когда вершина А будет находиться на одной горизонтали с блоком В, находящимся выше точки С на величину а? Трением пренебречь.
Ответ: Q ^ —- [6 sin а + + с COS а — actga].
Задача 130 (рис. 108). На колесо с цевками действует пара сил с моментом т. К фиксатору АО прикреплена
Рис. 108
кости с, при котором колесо остается в равновесии, если a = 90°, р = 45°. Размеры указаны на рисунке. Трением пренебречь.
Указание. Считать, что колесо А давит только на правую цевку._ _
Ответ: cmm = ^= 2,21 ("К 3 b ф- d) т.
|/2 —У 2-/2
Задача 131. На однородную балку АВ длиной 2a = 2 м и весом Р=\ кн, вкопанную концом А в землю под углом a = 60° к горизонту (рис. 109, а), действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q — 0,5 кн]м. Определить реакцию в заделке при равновесии балки.
Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ. На балку действуют задаваемые силы: вес балки Р и равномерно распределен- 58
ная нагрузка, равнодействующая которой Q = 2aq (рис. 109, б) приложена в середине балки и направлена перпендикулярно к ней. В точке Л на балку наложена жесткая связь (заделка), препятствующая этой точке перемещаться в горизонтальном и вертикальном направлениях и лишающая балку возможности поворачиваться вокруг точки А. Действие такой связи на балку эквивалентно действию одной силы реакции Рд и некоторой пары, сил — реактивной пары.
Реакцию RA представим в виде двух составляющих сил: Хд и Ya, направленных вдоль соответствующих осей координат в положительном направлении, и учтем, что реактивная пара сил препятствует повороту балки по ходу часовой стрелки. Момент этой пары обозначим через тд. Таким образом, балка находится в равновесии под действием четырех сил Р, Q, Хд, YA и реактивной пары сил с моментом тд. Эти силы образуют плоскую систему произвольно расположенных сил, для которой имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче три: Хд„ Yд, тА, т. е. задача статически определима.
Составим уравнения равновесия балки
^F^ = ^д + Q sin а0;
^рк$ = у д — Р — Qcosa = 0;
VmA {Fk) — тд — Ра cos а — Qa = 0.
Отсюда находим
ХА = — Q sin a = — 2aq sin a;
Y д = P Д- Q cos a = P 4~ ^aq cos a;
mA = a(P cos a4-207).
Знак «минус» у величины Хд указывает на то, что в действительности составляющая ХА действует в направлении, противоположном направлению оси Ах.
Подставив соответствующие числовые данные, получим
ХА =—0,866 кн;
УА = 1,5 кн;
тА = 1,5 кн.
^Д = КХЯГ^=1,73 кн,^Д = КХЯГ^=1,73 кн,причемпричемcos(^x)=^ = —1,cos(^x)=^ = —1,Полная реакция в точке А
^Д = КХЯГ^=1,73 кн,
^Д = КХЯГ^=1,73 кн,
причем
причем
cos(^x)=^ = —1,
cos(^x)=^ = —1,
СО8(#д,у) =
Следовательно, вектор RA составляет с положительным направлением оси Ах угол 120°, а с осью А у — угол 30°.
Задачи 132—134. Консольные балки нагружены так, как показано на рис. ПО. Определить реакции в точке
А, пренебрегая собственным весом балок. Данные взять из следующей таблицы:
№ задачи
Схема
1, м
а, м
q, кн/м.
F, кн
т, кн * м
а, град
132
а
2
2
4
30
133
6
2
1
2
—
134
в
2
1
2
2
2
—
Отаеты:
№ задачи
Хд, кн
ya
, кн
тА-
кн . м
132
-2,00
7,46
10,93
133
0,00
2,00
3,00
134
0,00
4,00
7,00
Задача 135. Две балки АВ и ВС (рис. 111, а) одинаковой длины 2а соединены между собой шарниром В. Конец А балки АВ заделан в горизонтальную плоскость, а конец С балки ВС опи-
рается на горизонтальную подвижную опору. Углы, образованные балками с горизонтом, одинаковы и равны 60°. В середине балки ВС перпендикулярно к ней действует сила Q. Определить реакции опор А и С, а также шарнира В, если вес каждой балки равен Р.
Решение. Система двух балок АВ и ВС находится в равновесии, следовательно, и каждая из них также находится в равновесии.
Рассмотрим равновесие_ балки ВС (рис. 111,6). На нее действуют задаваемые силы Р и Q. Связями являются шарнир В,
Рис. 111
через который передается действие балки АВ на балку ВС, и подвижная опора С.
Реакция подвижной опоры на балку ВС направлена по нормали к поверхности опоры. Обозначим ее через N. Реакция шарнира В не известна ни по величине, ни по направлению. Представим ее в виде двух составляющих Хв, Yв, направленных в сторону положительных направлений выбранных координатных осей. Таким образом, балкер ВСнаходится в равновесии под действием пяти сил Р, Q, X, Хв, Y в, расположенных в одной плоскости.
Составим уравнения равновесия балки ВС:
’LFhx — XB — Q cos 30° = 0;
(g)(g)^ Fks= YB + X — P — Q cos 60° = 0;
(g)
(g)
S mB (,F^ = X2a cos 60° — Qa — Pa cos 60° = 0.
Из этих уравнений можно определить X, Хв, Yв.
Теперь рассмотрим равновесие балки АВ. На нее действует сила Р. Связями являются шарнир В, передающий действие балки ВС, и заделка конца А. Реакцию шарнира В на балку АВ представим в виде двух составляющих Х'в и Ув, которые согласно третьему закону Ньютона равны по величине и противоположны по направлениям соответственно силам Хв, YB, т. е.
Хв = -Хв; Yb = -Yb.
Действие жесткой связи (заделки) в точке Л равносильно действию силы RA и пары сил (см. задачу 131)._
Реакцию RA представим в виде двух составляющих ХА и Y А, а пару сил будем считать действующей против хода часовой стрелки. Момент пары обозначим через тА.
Таким образом, балка ЛД находится в равновесии под действием пяти сил Р, Х'в, 7в, ХА, УА и пары сил с моментом тА. Составим уравнения равновесия балки АВ;
%Fkx = XA-X'B = 0;
£Рку=УА-Р-Ув=О; -
^ тА (Fk) = mA4-X'B2a sin 60° —W
— Y'b-2a cos 60° — Pa cos 60° = 0. .
Решая системы (g), (А) и учитывая, что Хв=Х'в, Yb = Y'b, найдем
—2—’ ” 2—’ AB=As = —2—>у ^P Q. у у.P Q,
* A 2 ’ * ®* ®2 ’
mA=a<P — 2Q\
Так как реакции шарнира В на балки АВ и ВС направлены противоположно друг другу, то окончательно получим
Хв = ±Ув = ±Хв = ±Ув = ±QV3.2 ’P-Q2 1QV3.2 ’P-Q2 1
Хв = ±
Ув = ±
Хв = ±
Ув = ±
QV3.
2 ’
P-Q
2 1
QV3.
2 ’
P-Q
2 1
Примечание. Вместо того чтобы рассматривать равновесие каждой балки в отдельности, можно было бы составить уравнения равновесия лишь для одной из балок и для всей системы в целом, рассматривая ее как единое твердое тело. При составлении последней системы уравнений необходимо иметь в виду, что силы Хв, Хв, Ув, У'в образуют уравновешенную систему внутренних сил и, следовательно, не войдут ни в одно из уравнений равновесия.
Задача 136 * (рис. 112). Балка АВ укреплена шарнирно в точке А и удерживается в горизонтальном положении при помощи 'тросов DE, EK, EF. Определить натяжение троса DE„ если на балку действуют сила Р и пара сил с моментом tn. Весом балки пренебречь. Размеры указаны на рисунке.
Ответ; TDE = P^^JE.
Задача 137 (рис. 113). Балка АВ укреплена шарнирно в точке А и удерживается в горизонтальном положении тро-
сами KE, EF, ED. На балку действуют сила P и две пары сил с моментами тх и т». Определить натяжение троса DE, пренебрегая весом балки. Размеры указаны на рисунке.
Ответ; TDEОтвет; TDEРа sin ot —|— znt —|— m2Ра sin ot —|— znt —|— m2b sin pb sin pPac. 112Pac. 112Pac. 113Pac. 113
Ответ; TDE
Ответ; TDE
Ра sin ot —|— znt —|— m2
Ра sin ot —|— znt —|— m2
b sin p
b sin p
Pac. 112
Pac. 112
Pac. 113
Pac. 113
Задача 138 (рис. 114). На звено ОА шарнирного четырехзвенного механизма действует пара сил с моментом mt. Опреде
лить момент т.2 пары сил, которую надо приложить к звену О,В, для того чтобы механизм находился в равновесии при
а = 90°, ^ = 30°, если ОА = а, ОХВ = Ь. Весом звеньев и трением пренебречь.
Решение. Механизм находится в равновесии, следовательно, и каждое звено находится в равновесии. Рассмотрим равновесие звена АВ (рис. Н4). На него действуют две силы St и S2, передаваемые шарнирами А и В от звеньев ОА и OVB. Так как звено АВ невесомо, то S2 =— Si и обе эти силы направлены вдоль АВ.
Рассмотрим равновесие звеньев О А и ОХВ. На звено О А действуют сила S3 =— S1 = S.2 со стороны стержня АВ, реакция шарнира О ипарасил с моментом mv. На звено ОХВ действуют сила §4 = —5^ = 54 со стороны стержня АВ, реакция шар
нира 01 и пара сил с моментом тг.
Поскольку реакции шарниров О и О[ нас не интересуют, то усилия St и S2 найдем из уравнений моментов относительно центров О и Ох, составленных согласно условиям равновесия звеньев О А и ОХВ.
Имеем:
для звена О A: ^m0(Fk) =— mi 4-S^ ОД =0;
для звена О^В; ^тох (^) = т2 — S2- OiB-sin р = 0.
Так как 51 = 51> находим
т, тг
О А01В • sin 3
ИЛИ
01В • sin р b
т, = т1-^д- = ^гП1.
6 Ответ: т^= ^ т^
Задача 139 (рис. 115). К звенника под прямым углом вЗадача 139 (рис. 115). К звенника под прямым углом взвену АВ шарнирного четырехточке А приложена сила F. Определить величину силы Q, которую надо приложить перпендикулярно к звену CD в точке D для того, чтобы система находилась в равновесии при данных значениях углов а и р. Трением извену АВ шарнирного четырехточке А приложена сила F. Определить величину силы Q, которую надо приложить перпендикулярно к звену CD в точке D для того, чтобы система находилась в равновесии при данных значениях углов а и р. Трением и
Задача 139 (рис. 115). К звенника под прямым углом в
Задача 139 (рис. 115). К звенника под прямым углом в
звену АВ шарнирного четырехточке А приложена сила F. Определить величину силы Q, которую надо приложить перпендикулярно к звену CD в точке D для того, чтобы система находилась в равновесии при данных значениях углов а и р. Трением и
звену АВ шарнирного четырехточке А приложена сила F. Определить величину силы Q, которую надо приложить перпендикулярно к звену CD в точке D для того, чтобы система находилась в равновесии при данных значениях углов а и р. Трением и
весом звеньев пренебречь. Принять: ОА=а; OB = b; OiC=c; OiD=d.
Ответ: Q = — —^ F. ' bd sin а
Задача 140 (рис. 116). В реечном подающем храповом механизме одностороннего действия длины плеч рычага подобраны так, что EC=4DC. Какой величины силу Р следует приложить перпендикулярно к рычагу СЕ в точке Е, чтобы сдвинуть с места рейку, на которую действует горизонтальная сила Q, если Z.FDC = у, ДВОЕ = ^? Опоры А и В гладкие, весом деталей механизма можно пренебречь.
Ответ: РQ.
4 cos (<р — ip)
Задача 141 (рис. 117). В кривошипно-кулисном механизме на кулису с горизонтальными направляющими С и О действует горизонтальная сила Р. Определить в зависимости от угла поворота кривошипа а момент М пары сил, которую надо к нему приложить, чтобы механизм находился в равновесии, если длина
кривошипа ОА=г, ^АВС = ^. Весом частей механизма и трением пренебречь.
Ответ: М = Pr <^s^~a^
sin Р
Задача 142 (рис. 118). На штангу АВ шатунно-балансирного механизма действует сила F. Определить момент т пары сил,
которую следует приложить к балансиру ОЕ для того, чтобы уравновесить механизм в том его положении, когда /_ОЕА = $, /_ЕАВ = а., если длина балансира ЕО равна а. Весом звеньев и трением пренебречь.
a sin В „ Ответ: т =-г.
cos а
Задача 143 (рис. 119). Определить момент mt пары сил, которую надо приложить к кривошипу АВ кривошипно-кулисного
механизма для его равновесия в том положении, когда АВ I АС, если к кулисе CD приложена пара сил с моментом т, Д_АСВ — а, АВ = а. Трением и
весом частей механизма пренебречь. Каковы при этом величины реакций шарниров Л и С?
Ответ: mx = tn sin2 а;
D D т sin а——.
Задача 144 (рис. 120). Передача вращения коромыслу DE от Рукоятки АВС осуществляется при помощи двух шарнирных па-
65653 Н. А, Бражничеико и др.
65
65
Рис. 120Рис. 120раллелограммов ABKL и MNDE со взаимно перпендикулярными сторонами, причем шарниры М, К, L, N образуют квадрат. Определить при условии равновесия системы усилия в тягах ME и ND, если к рукоятке в точке С приложена сила F, ОС —а, ОА = = OB = b, /_ОАЕ = а. Трением и весом звеньев пренебречь.
Рис. 120
Рис. 120
Ответ:Ответ:/р0nF
Ответ:
Ответ:
DN — ^ME — ^b^T-
Задача 145 (рис. 121). На шестерни А и В, находящиеся в зацеплении с шестерней С, действуют пары сил с моментами тх и т». Определить момент тл пары, которую надо приложить к шестерне С, чтобы система находилась в равновесии, если радиусы шестерен А, В и С соответственно равны гь гг и /3. Трением пренебречь.
Ответ: ma_№±2F£ilb.
Задача 146 (рис. 122). Лебедка состоит из барабана диаметром d = 50 мм и двух шестерен диаметрами Dt = 750 мм и D,= = 150 мм. Длина рукоятки / = 400 мм. Какой груз Q может поднять лебедка, если на рукоятку дей
ррв»Рис. 122в»Рис. 122ствовать с силой Р=150 н?
р
р
в»
Рис. 122
в»
Рис. 122
Ответ: Q=12 кн.
Рис. 121Рис. 121Задача 147 (рис. 123). Два одинаковых однородных стержня АВ и CD дли-
Рис. 121
Рис. 121
ной 120 см и весом 0,6 кн каждый шарнирно прикреплены к стене и поддерживаются двумя тросами BE и DG одинаковой длины. Между стержнями и стеной лежит однородный цилиндрический вал весом 4 кн и радиусом г ==-9)^3 см. Определить натяжения тросов, если а = 60°, АВ = АЕ. Трением пренебречь.
Ответ: TBE — TDG = 0,9 кн.
Задача 148. На рис. 124 показана схема испытательного стенда. Динамометр М показывает натяжение троса Т. Определить величину реактивной силы F и реакции опор С и D, считая все крепления шарнирными. Расстояние между опорами С и О
Рис. 124Рис. 124
Рис. 124
Рис. 124
равно 26, расстояние между линией действия силы F и прямой АВ равно a; CL = h, АС —И. Отклонением стоек АС и BD от вертикали и их весом пренебречь. Вес двигателя и стола .V равен Р, причем его линия действия проходит посередине между стойками.
Ответ: F ==Т;
v Р ahT хv _Р .ahT
Задача 149 (рис. 125). В прессе с приводом от шарнирного четырехзвенника определить усилие, сжимающее тело М, в поло-
Рис. 125Рис. 125
Рис. 125
Рис. 125
жении, когда звено АВ горизонтально, звенья ВС и BD образуют с вертикалью углы а = 60° и р —30° соответственно, плечо ОА вертикально, а в точке Е рукоятки рычага перпенди-
кулярно к ОЕ приложена сила Р = 500 н. Плечи рычага: ОЕ = 100 см, 0,4 = 10 см.
Ответ: Q = 4,33 кн. 4
Задача 150 (рис. 126). Найти величину усилия Q, сжимающего тело М в прессе, если к концу В прямоугольного_ рычага О АВ, имеющего неподвижную ось О, приложена сила Р под прямым углом к АВ; ОА=АС, в рассматриваемом положении ось О и точка В лежат на одной горизонтали, а угол а = 30°. Весом частей пресса пренебречь.
Ответ: Q = V3P.
Задача 151 (рис. 127). Однородный куб А с ребром а и весом Q установлен на горизонтальной плоскости, имеющей упор С.
Рис. 127Рис. 128
Другой куб В с ребром b и весом Р положен на гладкую наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтальной плоскостью, причем ребро куба В упирается в грань куба А. Принимая плоскость рисунка за вертикальную плоскость материальной симметрии кубов, определить, при каком весе куба В произойдет опрокидывание куба А. Размерами упора С пренебречь.
Ответ: при— Q.
Задача 152 (рис. 128). На гладкой горизонтальной плоскости, касаясь упора С, покоится однородный куб А с ребром 2а и весом Q, а на гладкой плоскости, наклоненной под углом а к горизонту, находится цилиндр В радиусом R и весом Р, касаясь грани куба так, что плоскость рисунка является вертикальной плоскостью материальной симметрии цилиндра и куба. Определить давление цилиндра на куб и на наклонную плоскость, а также наименьший вес куба, при котором он не опрокидывается вокруг точки С. Размерами упора С пренебречь.
р
Ответ: Nп=; ^ДR = Ptga;
/?tg а Ctg (45° —
Qmin =Ар.
Puc. 129Puc. 129Задача 153 (рис. 129). На двух гладких наклонных плоскостях, образующих с горизонтом углы аир, покоятся два однородных куба А и В весом Р и Q, причем ребро куба А упирается в грань куба В. Приняв плоскость рисунка за вертикальную плоскость материальной симметрии, найти зависимость между величинами Р и Q при равновесии, а также равнодействующие реакций плоскостей и давления кубов друг на друга.
Puc. 129
Puc. 129
Ответ: P_^^HLq. Sina
N a = ^^Lq. A 2 sm 7
Nc = Qcos^; N AB = Qsin^.
Задача 154 (рис. 130). Двуплечий угловой рычаг АВС соединен с рычагом OJD тросом, огибающим идеальный блок К. Определить силу Q, которую следует приложить в точке А параллельно OtD для равновесия рычагов, если в точке D подвешен груз М
весом Р; OK±OiD, ОС±СК, ОВ^ВК, 01К = а, OxD = b, ОК —с, OA — d, /-ОКВ = т, Z_OKC — ^. Весом рычагов, трением и размерами блока К пренебречь.
сб tg
Ответ: Q = P.
хad
Задача 155 (рис. 131). Две однородные балки АВ и ВС соединены шарнирно между собой в точке В, составляя одну прямую, перпендикулярную стене АЕ. Балка АВ прикреплена к стене шарниром А. Система находится в равновесии благодаря двум оттяжкам ED и ЕС, составляющим с балками углы а и р. При-
нпмая AD = DB=^ ВС, а вес каждой балки равным Р, опре
делить реакции шарниров и ^усилия в оттяжках.
~~ Р - 2Р
Ответ; I г = i *п = ~—", L 2 sin 3 и sin а
у _ Р , 2Р . V — Р • YР V Р
■’ 2tg3 1 lg»’ Ya 2’— 2tg3 * Уд — "2 -
Задачи 156 —169. Определить реакции опор А и В и промежуточного шарнира С для балок, изображенных па рис. 132. Весами балок пренебречь. Числовые данные взять из таблицы.
№ задачи
Схема
1, At
b, If
С, И
q, кк/ч
т, кн • и
а. град
F, кн
156
а
2
1
1
3
157
6
2
2
1
—
0,5
—
158
в
2
1
1
1
2
159
г
1
2
1
—
30
2
160
д
6
2
1
—.
1
45
2
161
е
2
2
—
—
2
30
—-
162
ж
6
3
—
—
2
4
30
—
163
3
6
2
2
—
0,5
—
30
—
164
и
6
2
1
2
—
2
45
3
165
к
4
2
—
—
—
3
—
166
л.
6
2
2
-—
0,5
2
60
—
167
м
6
2
2
—
1
—
45
—
168
я
6
2
2
—
1
—
45
—
169
О
6
2
1
—
1
—
30
Ответы:
№ задачи
Хд , кн
YA- к»
тд ,кн-м
X , кн
Yc- кн
Rg, кн
Rq, кн
Т, кн
156
0,00
—3,00
—3,00
0,00
±3,00
6,00
157
0,00
0.37
0,75
0,00
±0,37
1,12
—
—.
15.8
0,00
1,00
0,50
0,00
0,00
4,00
—
-
159
0,58
1,00
2,00
±0,58
±1,00
1,15
—
—
160
0,50
3,50
5,00
±0,50
±1,50
0,71
—
—
161
—0,58
1,00
6,00
±0,58
±1,00
—1,16
—
-
162
3,46
6,00
22,00
±3,47
±6,00
6,93
—
163
0.29
—1,50
—
±0,29
±0,50
2,00
0,58
-
164
1,50
—5,50
—
±1,50
±1,50
7,00
2,12
—
165
0,00
0,75
4,50
0,00
±0,75
—0,75
.—
—
166
■ 1,73
0,50
—
±1,73
±1,00
1,50
2,00
—
167
1,00
—5,00
—
±1,00
±1,00
12,00
1,41
—
168
- 1,00
—3,00
—
±1.00
±1,00
4,00
.—
1,41
169
-0,87
-4,00
—
±0,87
±0,50
10,50
—
1,00
Рис. 132
и образующая с вертикальюи образующая с вертикальюУд-P + Q;Уд-P + Q;тд =тд =2Q-l-3Psin2a6 sin a2Q-l-3Psin2a6 sin a/,/,
и образующая с вертикалью
и образующая с вертикалью
Уд-P + Q;
Уд-P + Q;
тд =
тд =
2Q-l-3Psin2a
6 sin a
2Q-l-3Psin2a
6 sin a
/,
/,
Задача 170 (рис. 133). Однородная горизонтальная балка АВ весом Р прикреплена одним концом к стене шарниром А и опирается на опору С. К другому ее концу В шарнирно прикреплена однородная балка BD весом Q, опирающаяся на выступ Е
>л а. Определить реакции шарнира А и опор С и Е, если АС = ^АВ, BE = ^BD.
оо
Ответ; NE= ~Qbin а;
X4 = -|-Qsin 2а;
VA = |[^-2Q(l-4sin4.)];
Задача 171 (рис. 134). Однородная балка АВ длиной I и весом Р жестко заделана в стену, образуя с ней угол а. На балке лежит однородный диск весом Q, касающийся стены в точке С и балки в точке D. Определить давления Nc и ND диска на стену 2
и балку, а также реакцию заделки, если BD = -^L
Ответ: Nc = Qctga; ND = -^;Хд = — Qctga;
где mA — момент заделки.
Задача 172 (рис. 135). Однородная горизонтальная балка АВ весом 3 кн опирается на гладкую опору Е и имеет шарнирное
крепление в точке А, а однородная балка CD весом 6 кн с шарнирным креплением в точке С опирается на балку АВ в точке В и несет на конце D груз М весом 1,2 кн. Определить реакции
шарниров А и С и опоры Е, если СВ = 3 м, BD = \ м, BE — = м, ДАСВ = 45°:
Ответ1. Хд = 2,80 кн; YA =— 0,65 кн; Хс —— 2,80 кн;
Ус = 4,40 кн; Д7£ = 6,45 кн.
Задача 173 (рис. 136). Две однородные балки АС и СК сое
динены шарнирно. Определить усилие в стержне AD, реакции
опоры В и шарниров С и К, если веса балок АС и СК соответственно равны 500 н и 100 н; АС = 4 м, ВС=1 м.
Ответ1. TAD = 0; NB=\ кн;
Хс = 0; Хк = 0; Ус = ± 0,5 кн; Y к — 0,5 кн.
Задача 174 (рис. 137). Однородная балка АВ весом 500 н опирается
на две гладкие опоры А ина две гладкие опоры А ис балкой BD, вес которой 1с балкой BD, вес которой 1С, а в точке В соединена шарнирно
на две гладкие опоры А и
на две гладкие опоры А и
с балкой BD, вес которой 1
с балкой BD, вес которой 1
Рис. 137Рис. 137кн. В точке Е на балку АВ действует сила Е= \ кн. Определить реакции опор А и С, шарниров В и D, если а —60°, АВ = 4 л, АС — 3 At, Л£=1 At.
Рис. 137
Рис. 137
Ответ: YA —— 411 н;
Х£ = ±500 н; Xd = — 500 н, Yc — 44,7 н; Y B = Q; YD — 1 кн.
Задача 175 (рис. 138). Однородная горизонтальная балка АВ весом 1 кн опирается на гладкую опору С и поддерживает однородную балку DE весом 2 кн. На бал
ку DE в точке Е действует вертикальная сила Q, равная по вели
чине 0,5 кн. Определить реакции шарниров D и В, опоры С и Давление в точке А, если AD = ^DE, АВ — Зм, ВС — 1 лг, а =30°.
Ответ: XD = 1,50]^3 = 2,60 кн; Y D = 1 кн; Хв — — 0,15 ]/*3 = =— 0,26 кн; Yв —— 3,50 кн, Мд = 3 кн; Nc = 6 кн.
Задача 176 (рис. 139). Решить задачу 175 при условии, что
сила Q направлена горизонтально.
Ответ: NA = 3,73 кн; Nг = 7,10 кн; Хв =—3,23 кн;
Уй= —4,23 кн; ХО = 2,73 кн; Yo = 0,134 кн.
Задача 177 (рис. 140). Однородная балка ВС весом 3 кн опирается в точке D на гладкую опору и соединена шарнирно с однородной балкой АВ весом 1,5 кн, на которую действует посред-
Рис 140Рис 140ством нити, перекинутой через идеальный блок, груз F весом 0,9 кн. Определить реакции шарниров В и С, опор А и D, если а = 60°, АЕ = ВЕ, ВС = ^ м, BD—1 м.
Рис 140
Рис 140
Ответ: Хд=1,53 кн;
ND=\,96 кн; Хв = + 0,9 кн;
Уд = ±30 н; Хс = — 0,9 кн;
Ус = 1,01 кн.
Задача 178 (рис. 141). Три однородные балки соединены между собой шарнирами, причем горизонтальная балка АВ весом
Рис. 141Рис. 141500 н опирается точкой К на гладкую опору. Балка CD в ее середине нагружена горизонтальной силой Q, равной по величине 200 н. Каждая из балок ВС и CD весит по 300 н. Определить .реакции всех шарниров и опоры К, если Л5 = 4 At, КВ=1 м.
Рис. 141
Рис. 141
Ответ: ХА = — 200 н; У 4 = 50 н; Хв = ± 200 н; YB = ± 350 н; Хс = ± 200 и; Уг = ±50 н; Хо = 0; УО = 250 н, м к=зоо н. '
Задача 179 (рис. 142). Горизонтальная балка АВ весом Р заделана концом А в стену, а шарниром В соединена с вертикальном балкой ВС того же веса, опирающейся на подвижную вертикальную опору своим концом С. Определить реакции в точках^Д, В, С, если на балку ВС действует пара сил с моментом т, а АВ = ВС = а
Ответ: Хд = - ^ ; Y А = Ж тА = }аР; XB = ^_.
YB = + P; Nc^.
Задача 180 (рис. 143). Две однородные балки — АВ весом Р и СВ весом Q — соединены между собой шарнирно. Балка АВ горизонтальна и концом А заделана. Балка СВ составляет с
балкой АВ угол а и концом С посредством катка свободно опирается на стену. Определить реакции опор, если АВ = 2а.
Ответ: Хл = — ctg a; Y А = Р + Q; тА = (Р + 2Q) а;
ХВ=Т_-^ ctg а; YB = zLQ; Xc = |ctg8.
Задача 181 (рис. 144). Две однородные горизонтальные балки АВ и CD соединены с вертикальной балкой ВС при помощи шарниров. Конец А балки АВ заделан в стену, а конец D балки CD закреплен шарниром. Определить реакции шарниров и заделки,
если вес каждой балки равен Р, а длина 2а.
Ответ: ХА = 0\ YA = — ; тд = ^аР\
Хй = 0; Ув = ±^-; Хс = 0;
= Хо = 0; Yd= .
Задача 182 (рис. 145). Две однородные балки — АВ весом Р и ВС весом Q — шарнирно соединены между собой и закреп
лены на концах при помощи шарнировРис- D5
так, что балка АВ горизонтальна, а ВС _
вертикальна. На шарнир В действует сила F под углом з = 30°
к вертикали. Определить реакции шарниров А, В и С, считая,
что сила F в одном случае приложена непосредственно к балке АВ, в другом — к балке ВС.
Ответ: в обоих случаях:
в первом случае:в первом случае:Хв = 0, УВ = ±1(Р + ^У"3);
в первом случае:
в первом случае:
во втором случае:
коэффициентакоэффициентаРас. 146Рас. 146F = Rc • Sin a —F = Rc • Sin a —Pl cos a sin8 aPl cos a sin8 a
коэффициента
коэффициента
Рас. 146
Рас. 146
F = Rc • Sin a —
F = Rc • Sin a —
Pl cos a sin8 a
Pl cos a sin8 a
Задача 183. Труба АВ длиной I опирается концом А на горизонтальную плоскость, а точкой С — на гладкую вертикальную опору высотой а — -^ (рис. 146, а). Найти наименьшую величину
трения между трубой и плоскостью, при котором возможно равновесие, если угол наклона трубы к горизонту а = 60°.
Решение. Рассмотрим равновесие трубы. На трубу действует задаваемая сила — вес Р. Связями являются опоры в точках Л и С (рис. 146, б). Реакция Rc в точке С направлена. ~ перпендикулярно к АВ. Реакция в точке А имеет две составляющие: нормальную NA и касательную — силу трения F. Выбрав координатные оси, как показано на рисунке, имеем следующие уравнения равновесия трубы:
^Fkx = F — Rc sin a = 0;
'VFkv = NA—P-VRC cos a. = 0;
£тд (Fk) = — P cos a-V- Rc- AC = 0.
Из этих уравнений определим
nPl COS aPl COS a sin a
Kc — "Час- "25;
.. n nn Pl COS8 a Sin a
NA = P — Rccosa. = P^
Напишем условие равновесия при наличии трения
F^fNA.
Следовательно,
Pl cos a sin2 a2aPl cos a sin2 a2a^P/[l —^P/[l —I COS8 a sin al2a J’I COS8 a sin al2a J’
Pl cos a sin2 a2a
Pl cos a sin2 a2a
^P/[l —
^P/[l —
I COS8 a sin al
2a J’
I COS8 a sin al
2a J’
отсюда
I COS a sin2 a2a — I cos2 a sin a ’
Так как а = -^, то
COS a Sin2 а
1 — COS2 s Sin а "
Подставляя численные тренияПодставляя численные трения/5=0,48./5=0,48.значения, найдем искомый коэффициент
Подставляя численные трения
Подставляя численные трения
/5=0,48.
/5=0,48.
Задача 184. Доказать, что балка, прислоненная к вертикальной стене, не может находиться в равновесии, если между ней и полом нет трения, а трение между балкой и стеной существует.
Задача 185. Однородная балка опирается одним концом на гладкий пол, а другим — на негладкую наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол а. Найти, при каком угле а балка будет находиться в равновесии, если коэффициент трения ее о наклонную плоскость равен /.
Ответ1 a^arctg/.
Задача 186. Решить предыдущую задачу, считая, что пол является негладким, а стена — гладкой. Угол, образуемый балкой с полом, равен р.
Ответ: tga^y-j^;
при tgP2>"^y равновесие будет при любом а.
Задача 187 (рис. 147). На эксцентрик кулачкового механизма действует пара сил с моментом т. Определить, какую силу
F надо приложить к штоку (в зависимости от угла ф поворота эксцентрика) для равновесия системы, если коэффициент трения Между эксцентриком и штоком равен /, радиус эксцентрика г, ®ксцентриситет е. Трением между направляющими и штоком и
Рис. 150Рис. 150Рис. 149Рис. 149
Рис. 150
Рис. 150
Рис. 149
Рис. 149
весом частей механизма пренебречь. При каком угле <? сила F имеет наименьшее значение?
Ответ: F =^тт при <p = arctgf е cos ч> + (г +е sin о) / ’г ° '
Задача 188 (рис. 148). Двойной клиновой захват для деталей с отверстиями состоит из трех клиньев А, В и С. Каким должен быть угол а скоса клиньев, чтобы можно было поднимать детали, коэффициент трения которых о клинья А и В равен /? Трением клина С о клинья А и В пренебречь.
Ответ: asSarctg/.
Задача 189 (рис. 149). Определить суммарное усилие в распорках захвата, несущего максимально возможный груз Р, если
распорки параллельны между собой, а детали АВ и CD вертикальны. Коэффициенты трения по плоскостям соприкосновения АВ и CD равны f. Весами деталей захвата пренебречь.
Ответ: суммарное сжимающее усилие во всех распорках равно руг+у 2/•
Задача 190 (рис. 150). Ящик М весом Р удерживается силами трения с помощью клещевого захвата. Определить давления, производимые концами D и Е захвата на ящик, если ширина ящика О£ = 2а; АВ = ВС = 2а; Н = 4а; L О АВ = £ ОСВ = 90°, / АОС= 120°.
Каким должен быть наименьший коэффициент трения? Весом деталей захвата пренебречь.
Ответ: ND=NE=^P; fmm = 0,8.
Задача 191 (рис. 151) Ящик М весом Р удерживается силами трения с помощью клещевого захвата. Определить давления 78
на ящик в точках Е и F, а также сжимающее нительном стержне CD, если расстояние междуна ящик в точках Е и F, а также сжимающее нительном стержне CD, если расстояние междуусилие вусилие вCDCD2а, ширина ящика2а, ширина ящика= DB = h, АО В —60°.= DB = h, АО В —60°.EF = 2c; СА =EF = 2c; СА =^ ОАС=/_ OBD=№; Высота захвата ящика^ ОАС=/_ OBD=№; Высота захвата ящиканад уровнем соединительного стержня равна Ь. Весом деталей захвата и кривизной участков АС и BD пренебречь.над уровнем соединительного стержня равна Ь. Весом деталей захвата и кривизной участков АС и BD пренебречь.Ответ: NF=NОтвет: NF=N26} 3 — 3(а —с)26} 3 — 3(а —с)6Ь6ЬР;Р;s /з (6 -I- 26) — 3 иг- г> р '66'Задача 192 (рис. 152). Клиновой захват состоит из двух клиньев А и В, распираемых цилиндром С. Каким должен быть коэффициент трения клиньев о поднимаемую деталь, чтобы при заданном угле а = 5° скоса клиньев можноs /з (6 -I- 26) — 3 иг- г> р '66'Задача 192 (рис. 152). Клиновой захват состоит из двух клиньев А и В, распираемых цилиндром С. Каким должен быть коэффициент трения клиньев о поднимаемую деталь, чтобы при заданном угле а = 5° скоса клиньев можносоеди-равносоеди-равноосямиосямиРис. 151Рис. 151было ее поднять? Ве-было ее поднять? Ве-сом клиньев, цилиндра, трением скольжения и качения цилиндра пренебречь.Ответ: / 5; tg а = 0,0875.Задача 193 (рис. 153). Два однородных кубических ящика А и В весом Р и Q установлены один на горизонтальной шероховатой плоскости с углом трения ®,сом клиньев, цилиндра, трением скольжения и качения цилиндра пренебречь.Ответ: / 5; tg а = 0,0875.Задача 193 (рис. 153). Два однородных кубических ящика А и В весом Р и Q установлены один на горизонтальной шероховатой плоскости с углом трения ®,Рис 152Рис 152другой — на наклоненнойдругой — на наклоненнойРис 153Рис 153гладкой плоскости, горизонту подгладкой плоскости, горизонту под
на ящик в точках Е и F, а также сжимающее нительном стержне CD, если расстояние между
на ящик в точках Е и F, а также сжимающее нительном стержне CD, если расстояние между
усилие в
усилие в
CD
CD
2а, ширина ящика
2а, ширина ящика
= DB = h, АО В —60°.
= DB = h, АО В —60°.
EF = 2c; СА =
EF = 2c; СА =
^ ОАС=/_ OBD=№; Высота захвата ящика
^ ОАС=/_ OBD=№; Высота захвата ящика
над уровнем соединительного стержня равна Ь. Весом деталей захвата и кривизной участков АС и BD пренебречь.
над уровнем соединительного стержня равна Ь. Весом деталей захвата и кривизной участков АС и BD пренебречь.
Ответ: NF=N
Ответ: NF=N
26} 3 — 3(а —с)
26} 3 — 3(а —с)
6Ь
6Ь
Р;
Р;
s /з (6 -I- 26) — 3 иг- г> р '66'
Задача 192 (рис. 152). Клиновой захват состоит из двух клиньев А и В, распираемых цилиндром С. Каким должен быть коэффициент трения клиньев о поднимаемую деталь, чтобы при заданном угле а = 5° скоса клиньев можно
s /з (6 -I- 26) — 3 иг- г> р '66'
Задача 192 (рис. 152). Клиновой захват состоит из двух клиньев А и В, распираемых цилиндром С. Каким должен быть коэффициент трения клиньев о поднимаемую деталь, чтобы при заданном угле а = 5° скоса клиньев можно
соеди-равно
соеди-равно
осями
осями
Рис. 151
Рис. 151
было ее поднять? Ве-
было ее поднять? Ве-
сом клиньев, цилиндра, трением скольжения и качения цилиндра пренебречь.
Ответ: / 5; tg а = 0,0875.
Задача 193 (рис. 153). Два однородных кубических ящика А и В весом Р и Q установлены один на горизонтальной шероховатой плоскости с углом трения ®,
сом клиньев, цилиндра, трением скольжения и качения цилиндра пренебречь.
Ответ: / 5; tg а = 0,0875.
Задача 193 (рис. 153). Два однородных кубических ящика А и В весом Р и Q установлены один на горизонтальной шероховатой плоскости с углом трения ®,
Рис 152
Рис 152
другой — на наклоненной
другой — на наклоненной
Рис 153
Рис 153
гладкой плоскости, горизонту под
гладкой плоскости, горизонту под
углом а. Ящик В ребром касается грани ящика А, причем плоскость рисунка является вертикальной плоскостью материальной симметрии. Определить зависимость между весами ящиков при равновесии. Где находится точка К приложения равнодействующей нормальных сил реакций горизонтальной плоскости, если ребра ящиков равны а и b соответственно?
Ответ: Q tg as=: Р tg у; ОК = -у
Задача 194 (рис. 154). На барабан ворота намотан трос, к Концу которого подвешен груз весом 4,5 кн. Определить наименьшую величину силы Р, приложенную к рукоятке колодочного
тормоза при равновесии барабана, если коэффициент трения скольжения равен 0,5. Размеры указаны на рисунке. Весом рукоятки пренебречь.
Ответ: Р=150 н. _
коэффициент трениякоэффициент тренияравен 0,2? Раз-равен 0,2? Раз-Задача 195 (рис. 155). Какие равные по величине силы Л и Рг следует приложить к рычагам колодочного тормоза, чтобы удержать в равновесии вал, к которому приложен вращающий
коэффициент трения
коэффициент трения
равен 0,2? Раз-
равен 0,2? Раз-
момент т=160 н-м, если меры указаны на рисунке.
Ответ: Р^800 н.
Задача 196 (рис. 156). Какой силой F надо прижать фрикционный шкив А к шкиву В, чтобы шкив В находился в равновесии, если вес груза Р равен 500 н, коэффициент трения равен 0,5 и ^- =2?
Ответ: F^500 н.
равные по величине прижи-равные по величине прижи-в условиях ведущий ка-в условиях ведущий ка-Задача 197 (рис. 157). На цилиндрические катки, образующие
равные по величине прижи-
равные по величине прижи-
в условиях ведущий ка-
в условиях ведущий ка-
фрикционную передачу, действуют мающие силы Qi и Q^. Определить
величину этих сил равновесия, если на
ток / действует пара между катками равен Ответ: Q^^-.ток / действует пара между катками равен Ответ: Q^^-.сил с моментом Mi, коэффициент трения /, радиус катка / равен Rv
ток / действует пара между катками равен Ответ: Q^^-.
ток / действует пара между катками равен Ответ: Q^^-.
Задача 198 (рис. 158). Колесо тормозится двухколодочным тормозом с уравнительным механизмом нажатия колодок. Определить тормозной момент, если на конец рычага OtB действует перпендикулярно к нему сила Р, равная по величине 200 н. Коэффициент трения колодок о барабан f = 0,5; 2R = OVO> = = KD =DC=OXA =KL = O.L = 50 cm; OxB = 75 см; AC = OxD = = О2К = Ю0 cm; ED = 25 см. Весом деталей тормоза и размерами колодок пренебречь.
Ответ: МТ = зЬ^ н-м.
Рис. 159Рис. 159Задача 199 (рис. 159). В двухколодочном тормозе определить при указанном направлении вращения барабана тормозной момент, приложенный к барабану, если на рычаг CD действует пара сил с моментом ш = 200 н • м. Коэффициент тре-
Рис. 159
Рис. 159
ния колодок о барабан / = 0,5; О А = ОВ = 30 см; AC — AD = = 10 см, радиус барабана 7^=15 см, z_BAC = 60°; C_ADE = = £АСЕ = ЭД:. Весом деталей тормозного устройства и размерами колодок пренебречь.
Ответ: МТ = 173,3 н-м.
Задача 200 (рис. 160). В тормозе с внутренними колодками, прижимаемыми к ободу барабана посредством рычага ОА, определить при указанном направлении вращения барабана тормозной момент, если длина рукоятки ОА=а, стержни BD и СЕ параллельны и образуют с рукояткой О А углы 30°, OK — OF = OL = = ОМ = г, ОВ = ОС = Ь, коэффициент трения колодок о барабан/. Сила, действующая на рычаг, равна Р. Весом деталей и размерами колодок пренебречь.
одинаковыми.одинаковыми.Ответ: МТОтвет: МТ_О/(Г—б/З) рьУзс-\-Л_О/(Г—б/З) рьУзс-\-ЛУказание. Считать усилия в оттяжках BD и СЕ по величине
одинаковыми.
одинаковыми.
Ответ: МТ
Ответ: МТ
_О/(Г—б/З) рьУзс-\-Л
_О/(Г—б/З) рьУзс-\-Л
Задача 201 (рис. 161). В тормозе с внутренними колодками определить при указанном направлении вращения барабана тормозной момент, если на рычаг АОВ действует сила Р = 450 н,
= Z ОВС = 90°, а в точке= Z ОВС = 90°, а в точке4 0»- РРис. 1624 0»- РРис. 162Рис. 163Рис. 163
= Z ОВС = 90°, а в точке
= Z ОВС = 90°, а в точке
4 0»- Р
Рис. 162
4 0»- Р
Рис. 162
Рис. 163
Рис. 163
коэффициент трения колодок отжимающая рычаги OJ) икоэффициент трения колодок отжимающая рычаги OJ) ио барабан f ==0,5, сила пружины, 0>Е при торможении, равна 100 н,
коэффициент трения колодок отжимающая рычаги OJ) и
коэффициент трения колодок отжимающая рычаги OJ) и
ОА = 5Q см, ОВ = 25 см, OXN = = ОД<=О1О2=40слг, 0,М=20см, плечи /г = 60 см, р = 90°, у=а = = 60°. Весом деталей и размерами колодок пренебречь.
Ответ: МТ =1,413 кн-м.
Задача 202 (рис. 162). В тормозе с внутренними колодками К и L, прижимаемыми к ободу барабана посредством рычагов АО В, OVD, ОХЕ и конуса С, длины плеч рычагов ОА и ОВ равны соответственно а и Ь. Угол при вершине конуса 2а, радиус барабана г, коэффициент трения колодок о барабан f. Определить тормозной момент, если Z АОВ = А перпендикулярно О А действует
сила Р. Весом рычагов и размерами конуса пренебречь.
Ответ: МТ = ^ц^^у Р.
Задача 203 (рис. 163). Для торможения вращающегося барабана применяется тормоз с внутренними колодками. При указанном направлении вращения барабана определить силы трения ко-
лодок о барабан, если к концу рычага ACD приложена сила Р = 320 н; сила пружины, отжимающая рычаги ОА и ОВ с колодками Л1 и ^, при торможении равна 100 н. Коэффициент трения колодок о барабан/ = 0,5; АС = ВС = а, CD = 2a, ОК — ^а, OlN = OOt = OxM=2,5a-, Z ВАС = Z ЛВС = 30°, Z ЛСО = 120'. Размерами колодок и весом деталей механизма пренебречь.
Ответ: Ку = 320 н;
Fh = 768 н.
клети равен /, между рычагами ми клети равен =4ЕА4ВКОтвет: Fmm =клети равен /, между рычагами ми клети равен =4ЕА4ВКОтвет: Fmm =Рис. 16+Рис. 16+Рис 166Рис 166
клети равен /, между рычагами ми клети равен =4ЕА4ВК
Ответ: Fmm =
клети равен /, между рычагами ми клети равен =4ЕА4ВК
Ответ: Fmm =
Рис. 16+
Рис. 16+
Рис 166
Рис 166
Задача 204 (рис. 164). Тормозной предохранитель для подъемни
ков работает от пружины L. Канат, на котором подвешена грузовая клеть, прикрепляется в точке С. В случае обрыва каната или поломки лебедки подъемника пружина, разжимаясь, поворачивает вокруг точек Л и В рычаги DXE и ОгК, которые при
жимают колодки к направляющим клети Найти наименьшую величину упругой силы F пру
жины, достаточную для удержания клети в равновесии, если вес ее с грузом равен Р, коэффициент трения колодок о направляющие
а острый угол и направляющи- а, ADi=D>B =
Р (COSа—/sin а)' 4/ sin а "
Задача 205. На рис. 165 показан клиновой зажим для каната. Определить предельный угол скоса клина а, необходимый для защемления каната, если углы трения металла о канат и металла о металл равны соответственно ^ и ф2- Весом зажима пренебречь.
Ответ: а =
Задача 206 (рис. 166). Груз М весом Q поднимается при помощи клиньев Л и В, имеющих угол скоса а. Определить паи-
меньшую силу Р, которую следует приложить к клину А при подъеме груза, если угол трения между клиньями равен ^ь а угол трения между клином А и горизонтальной направляющей равен <р2. Трением в вертикальных направляющих и весом клиньев пренебречь Принять »>?,!.
Ответ: РОтвет: РQ cos о «! ^Аsin (з — =f j
Ответ: Р
Ответ: Р
Задача 207 (рис. 167). Цилиндр радиусом R перемещается по горизонтальной плоскости под действием некоторой силы Q, приложенной в конце его вертикального диаметра. Коэффициент трения качения цилиндра о плоскость равен /г. Определить, каков должен быть коэффициент трения скольжения /, для того чтобы цилиндр под действием данной силы Q катился без скольжения.
Рис. 167Рис. 167
Рис. 167
Рис. 167
Участок нити АВ составляетУчасток нити АВ составляет
Участок нити АВ составляет
Участок нити АВ составляет
Указание. Для того чтобы цилиндр катился без скольжения, необходимо, чтобы Q<^FTP.
Ответ:
Задача 208 (рис. 168). Определить величину горизонтальной силы Р, под действием которой тележка весом G движется равномерно по рельсовому пути, если веса всех колес равны Q, их радиусы R, а коэффициент тре-
ния качения колес о рельсы равен к. Принять АО~ОВ.
Ответ: Р = ——~.
Задача 209 (рис. 169). Катушка радиусом R и весом Р находится в равновесии на горизонтальной плоскости. На среднюю цилиндрическую часть катушки радиусом г намотана нить, переброшенная через идеальный блок А и несущая на своем конце груз D весом Q. с вертикалью угол а. Опреде
лить момент сил трения качения и реакцию плоскости в точке касания С.
Ответ: M—Q^Rsma. — г) (при М^>0 пара трения качения стремится вращать катушку против хода часовой стрелки).
Хс = — QHna; Yc — P — Qcos а.
Расчет плоских ферм
Рассчитать ферму — значит определить реакции опор и усилия во всех стержнях фермы. Для того чтобы ферма была статически определимой, необходимо, чтобы число неизвестных составляющих опорных реакций не превосходило трех, а число стержней s и число шарниров (узлов) и были связаны соотношением s = 2u — 3.
Расчет ферм можно производить графическим и аналитическим методами. На примере решения нижеследующей задачи демонстрируется наиболее распространенный графический метод Максвелла—Кремоны и аналитический метод Риттера.
Задача 210. Дана ферма, изображенная на рис. 170, а. Определить реакции опор и усилия в стержнях, если Pt =2 кн, Рг = — 2 кн, Р3= 1 кн.
Решение.
Графический метод
Установим, является ли данная ферма статически определимой. Число неизвестных составляющих реакций равно 3 (в опоре N неизвестна только величина реакции; в опоре М реакция не известна ни по величине, ни по направлению). Число стержней фермы s=ll, число узлов и = 7. Ферма статически определима.
Определим опорные реакции графически, путем построения силового и веревочного многоугольников. Для этого прежде всего выберем масштаб сил и построим незамкнутый многоугольник задаваемых сил Ps, Рг, Р3, приложенных к ферме (рис. 170, б). Через точку В4 проводим прямую, параллельную линии действия силы RN. Соединим вершины этого многоугольника с произвольной точкой О на плоскости (полюсом) лучами а — 1, 1 — 2,2 — 3, 3 — 4.
В данном случае задаваемые силы непараллельны. Поэтому построение веревочного многоугольника следует начинать с шарнира неподвижной опоры. Из точки М проводим прямую, параллельную лучу а — 1, до пересечения с линией действия силы Pv (точка At на рис. 170, а). Из Ht проводим прямую, параллельную лучу 1 — 2, до пересечения с линией действия силы Р2 (точка Л2), затем проводим прямую, параллельную лучу 2 — 3, до пересечения с линией действия силы Р3 (точка Л8), наконец, проводим прямую, параллельную лучу 3 — 4, до пересечения с линией действия реакции RN (точка Л4). Полученную точку Л4 соединим с точкой М прямой 4 — 5, параллельно которой из полюса О (рис. 170, б) проводим луч 4 — 5 до пересечения с линией действия силы RN в точке В8. Вектор В4В5 в принятом масштабе равен R№ а замыкающий вектор BSBX — RM. Пользуясь масштабом, найдем R^ — 4 кн; RM = 2,25 кн.
Перейдем к построению диаграммы Максвелла — Кремоны.
Разобьем плоскость, в которой расположена ферма, на области, ограниченные стержнями и линиями действия сил (рис. 170, в).
Выберем положительное направление обхода (например, по движению часовой стрелки) и построим замкнутый многоугольник внешних сил (на рис. 170, г он изображен жирными линиями). Начало и конец каждой силы обозначим теми буквами, какими
обозначены две смежные области, разграниченные линией действия этой силы. При этом последовательность букв от начала к концу силы должна соответствовать принятому направлению обхода. Например, сила Pi будет обозначена KL, сила RM — OF и т. д.
Строим силовые многоугольники для каждого из узлов фермы, начиная с того узла, где сходятся два стержня, например с узла OF А. Силовой треугольник для этого узла состоит из силы RM, изображенной отрезком OF, и реакций стержней АО и FA. Для нахождения этих реакций проводим через точку О пря- .мую, параллельную ОА, через F — прямую, параллельную FA. Точка пересечения этих прямых будет А. Длины отрезков ОА и FA в масштабе определяют усилия в соответствующих стержнях.
Перейдем к следующему узлу, где сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями, например к узлу ABLO. Для нахождения точки В на диаграмме надо провести через точку А прямую, параллельную АВ, а через L - прямую, параллельную BL. Точка пересечения этих прямых и будет В. Теперь можно перейти к узлу AFGCB, затем к узлам CDLB, DCGKE. Предпоследний узел KLE является контрольным. Прямая КЕ на диаграмме должна быть параллельна соответствующему стержню.
Из диаграммы найдем величины усилий во всех стержнях фермы Остается определить характер этих усилий. Для этого следует установить направления реакций стержней на узлы. Если данный стержень растянут, то реакции его на узлы направлены от узла по стержню, а при сжатии — в обратную сторону.
Возьмем, например, стержень CD. Если рассматривать узел CDLB, то, обходя его в принятом направлении, перейдем из области С в область D. Направление вектора реакции данного стержня на рассматриваемый узел будет соответствовать направлению перемещения от 'С к D, т. е. стержень CD сжат. Аналогично определяется характер усилий в остальных стержнях. Окончательный результат приведен в следующей таблице (усилия сжатия даны со знаком «минус»).
Стержни
АО |
AF
АВ
81
ВС
со
CD
DE
DI
EL
LK
У силие, кн
-2,0^
1,0
4,5
8,0
10,0
11,2
--11,3
0,0
-2,0
—2,0
2,8
Аналитический расчет
Определим реакции опор. Составим для этого уравнения равновесия фермы как одного твердого тела (рис. 170, д):
^ = ХЛ1-Р2 = 0;
^Fhy = YД1-\-Yfx Р\ -Pi —0;
^тм(,Ек) = Рг2а | Ya а — Р42а - P,3a-=Q.
/0)
Рис. 1716 (продолжение) (10—11)
Схема 10 1112 13 1415 16 17 18 19
Рис. Г71в (продолжение) (20—30)
Схема20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Решая совместно эти уравнения, найдем
Хм = 2 кн; ¥м = 2Ра-\-ЗР1 — 2Р1 = 4кн; У„ = — 1 кн;
отсюда RM = ]/5 = 2,24 кн.
Определим усилия в стержнях фермы по методу Риттера, Мысленно «разрежем» ферму на две части так, чтобы при этом оказались перерезанными не более трех стержней. Рассмотрим затем равновесие одной из частей фермы, причем действие отброшенной части заменим действием реакций перерезанных стержней. Будем условно предполагать, что все стержни растянуты, тогда их реакции будут направлены в сторону отброшенной части. «Разрежем» ферму, например, по стержням GC, CD, DL (рис. 170, с) и рассмотрим равновесие правой части фермы. Для составления уравнений равновесия воспользуемся уравнениями моментов относительно точек пересечения линий действия реакций.
Имеем
Vm01 (Fk) = — TdiQ — Pxa = 0;
^mOi (F^ — TGChx — P?a — Pt 2a = 0;
£mo3 (Л) = — TCDhx — P^a — Px 3a = 0.
Отсюда получим
TDL = Px —2 кн;
Tgc = kPa2PX) pz5=5p 5 кн;
TCD = — (2Р34-ЗР,)К2=-8у'2 кн.
Знаки «минус» означают, что стержни DL и CD сжаты.
Задачи 211—240. Графическим способом определить реакции опор и усилия в стержнях ферм, изображенных вместе с действующими на них силами на рис. 171, 1—30 соответственно номерам задач, если а = 30°, Pi=l кн; Р., = Рл = 2 кн, Р4 = 3 кн, Рй = Р^^кн. Аналитическим методом определить реакции опор и усилия в трех-четырех стержнях фермы.
ГЛАВА HI
СИЛЫ, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Произвольная система сил может быть в общем случае приведена к одной силе R (главному вектору), равной геометрической сумме всех сил и приложенной в произвольном центре приведения — О, и к одной паре, момент которой Мо, называемый главным моментом, равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра:
R= ^Ffe, М0=^т0<Рь\4 = 14=1
При изменении центра приведения главный вектор сохраняет свою величину и направление (первый вариант), главньги же момент изменяется, но так, что скалярное произведение Mo-R сохраняет одно и то же численное значение для всех точек приведения (второй инвариант).
Частные случаи:_
Система приводится к равнодействующей, если Л1о = 0, R 0 или M0_LR._
Система приводится к паре сил, если J? = 0, Мо^0.
Система приводится к динаме, если Мо^0, R Ф 0 и эти векторы не перпендикулярны друг другу. При аналитическом задании сил ось динамы имеет уравнения:
.__ _____д }
R-m0
где р = ——параметр динамы.
Система находится в равновесии, если ^ = 0, (Л1о) = 0. Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы для какого-либо центра приведения О главный вектор R и главный момент Мо были равны нулю.
Эти условия аналитически выражаются шестью уравнениями:
пп(3-2)
^nUF^O; 5Х(^) = 0; ^ mz(Fk^0.
6=16 = 16 = 1.
Если на тело действует пространственная система параллельных сил, то, направив ось Oz параллельно этим силам, будем иметь следующие три уравнения равновесия:
S^ = 0; £ш.Л^) = 0; £ m^Fk) = 0.(3.3)
6=16=i6=i
Примечание. При решении пространственных задач следует имен, в виду, что могут встретиться такие частные случаи расположения сил, что некоторые из уравнений равновесия обратятся в тождества. Это произойдет, например, в случаях, когда все линии действия сил пересекают какую-тибо одну ось, либо все силы перпендикулярны каком-либо оси, и в некоторых других случаях. Число неизвестных в таких задачах при их статической определенности должно быть менее шести (см, например задачи 257 259, 261, 263, 265, 266, 267, 268, 272, 275). ’
Для нахождения момента силы относительно оси следует спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, после чего найти алгебраический момент полученной проекции относительно точки пересечения оси и проведенной плоскости. Момент силы относительно оси считается положительным, если при наблюдении с положительного конца оси кажется, что сила стремится повернуть тело против движения часовой стрелки.
Если сида параллельна оси или ее линия действия пересекает
ось, то момент силы относительно оси равен нулю.
Значительно облегчает нахождение момента силы относительно оси применение теоремы Вариньона, согласно которой момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих. Для применения этой теоремы силу, момент которой требуется определить,
раскладывают на составляющие, одна из которых параллельна данной оси, а другие две перпендикулярны. Нахождение моментов этих составляющих обычно труда не представляет.
Если сила задана аналитически (т. е. заданы ее проекции и координаты точки приложения), то для определения моментов
силы относительно координатных осей пользуются формулами
(3.4)(3.4)mx(F) = yF= — zFn my^F') — zFx — xF,, mz (F) - xFу yF,,
(3.4)
(3.4)
где x, у, z — координаты точки приложения силы.
Задача 241 (рис. 172). На прямоугольный параллелепипед действуют силы Р и Q. Определить моменты этих сил относительно координатных осей, если ОА = Зсм, ОС —4 см, OL — Scm, а величины сил равны 3 н. _
Решение. Найдем тДР), пользуясь определением момента
силы относительно оси. ДляРис. 172
этого проектируем вектор Р на
плоскость ABED, перпендикулярную к оси Ох. Полученная проею дия Рх будет направлена по BE и равна по величине
Рх = Р cos а.
Учитывая, что
BE 5cos я == —= ,
В К /34
получим
Далее имеем
mt(Р) = тд (Pj) = АВ Рх=-^ = 10,28 н см.
Найдем теперь mv (Р) Поскольку сила Р лежиз в плоскости ВЕКС, перпендикулярной оси Оу, то
т, (Р) = тс(Р).
В свою очередь
тс (Р) — — Ph,
где h — длина перпендикуляра, опущенного из точки С на линию действия силы Р.
Для определения h заметим, что
3^квс = 2 KB-h = J КС-ВС,
откуда
Таким образом,
mv(P) = ~= — 7,72 н-см. v'/34
Аналогично найдем
m2 (Р) = m0(Ра)™-|L = 6,18 н-см.
Определим теперь /иДУ). Для этого проектируем силу Q на плоскость LKCO, перпендикулярную к оси Ох. Получим вектор Q, направленный по диагонали LC и равный по величине
3/41/503/41/50н.н.(а)(а)
3/41/50
3/41/50
н.
н.
(а)
(а)
Согласно определению момента, имеем mv (У) = то (О') = — hvQ, су; hx — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы Q.
Для определения /1, заметим, что
S^on^ \hx-LC=\oL ОС, откуда ,20
Пл =см.I 41Таким образом,mAQ) = — 6/2— — 8,49 н см.
Аналогично найдем момент силы Q относительно оси Оу: m/Q) — -у =6,36 н-см.
Что касается mz(Q), то он равен нулю, так как линия действия силы Q пересекает ось Ог
Решим теперь эту задачу, используя теорему Вариньона. Для этого разложим силы на составляющие, параллельные осям. Так как__
Р = Ру \-Р», то___
/Мр) = mx(Pv) 4 т,^
Но тх(Рз) — 0, так как линия действия силы Р» параллельна оси Ох, следовательно,
тх (Р) = тх (Р]) = АВ- Ру — 10,28 н-см. Разложим теперь силу Q на составляющие, направленные параллельно координатным осям:
Q—Q' 4~Qi,
где Qi — составляющая, параллельная оси Ох. Силу Qi, направленную по диагонали LC, разложим на две составляющие: Q^ — по линии LK и Уз — по линии LO.
Таким образом, ^^Qi + ^ + Qo
Величину Qi определим из подобия треугольников:
Qx __ DLQ LB ’
откуда
Q1 = Q^=T= 1-273 н.
Далее найдем
Q,=Q’g.
Пользуясь (а), имеем
„3/4146/2".
= "г— = * ,696 Н ,
/50 /415
х х LC /50/412’
По теореме Вариньона,
тх (Q) = тх (QJ + тх (&) + тх Ш-
Силы Qt и Qj моментов относительно оси Ох не дают, следовательно,
тх (5) — тх (Qy = — OL • Q2 = — 6/2 = — 8,49 н ■ см.
Аналогично определяются моменты относительно других осей.
Эту же задачу можно решить, используя формулы (3.4). Предварительно найдем проекции силы Q:
&=Сь Qy — Q^ Qs — — Qa
и координаты точки ее приложения:
zzРис 173Рис 173^ = 0; yL = 0; zL = 5.
z
z
Рис 173
Рис 173
По (3.4) имеем
tnx (5) = yLQa — zlQi = — 61^2 =
=— 8,49 н-см,
m? (Q) = zlQi — xlQ4 = -^ == 6,38 н-см.
Аналогично находятся остальные моменты.
Задача 242 (рис. 173). Определить моменты сил, приложенных в вершинах
прямоугольного параллелепипеда, относительно координатных осей. Размеры указаны на рисунке.
Ответ:
Момент ситы
Силы
F1
Fs
f4
тх (7/
0
-Fjb
F^b cos а
—F4c cos P
тУ <Тк)
-с/
0
— Fsa cos а
F4c sin p
тг №)
°
0
F4b sma
0
ЗдесьЗдесьcos а —cos а —cos P =cos P =_b ,_b ,sin аsin аu ,W^'u ,W^'Sin PSin PaVa^b1aVa^b1
Здесь
Здесь
cos а —
cos а —
cos P =
cos P =
_b ,
_b ,
sin а
sin а
u ,
W^'
u ,
W^'
Sin P
Sin P
a
Va^b1
a
Va^b1
Задача 243. Две одинаковые по величине силы F и F’ направлены соответственно по двум скрещивающимся осям х и х' Доказать,_ что момент силы F относительно осн х' равен моменту силы F’ относительно оси х.
Задача 244 (рис. 174). Дана треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник Оп
ределить моменты силы F, направленной по диагонали BD грани ABCD, относительно координатных осей, если DL — LC = a; Z BDC = 30°.
Ответ m^AF^^:, my(F) — 0, тДР) —— К1^.
Задача 245 (рис. 175). Дана правильная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной а, а в углы наклона ребер к плоскости основания равны а По ребру ВО действует сила F, а по стороне основания ВС — сила Q. Определить моменты этих сил относительно боковых ребер, сторон и диагоналей основания
Ответ;
Сила
Оси
АО
СО
DO
CD
AD
AC
F
0
0
0
Fa sm ct
— Fa sin a
Fa ^2
2 Sin“
Q
Qa sin о
°
Q и Sin »
0
0
0
4 Н, А. Бражниченко и др
97
Задача 246. На куб со стороной а=~Ю см действуют силы,
показанные на рис. 176. Величины всех сил одинаковы и равны
/7=Юн. Привести эту систему сил к простейшему виду.
Xi — а;У1=<Цz( = 0;хг=а;Уг=О;г2 = а;х^ = а;у4=-0;г( = 0;х4 = 0;у4=-а;z5 = а;х^ = 0;Уъ = 0;г8 = 0.Xi — а;У1=<Цz( = 0;хг=а;Уг=О;г2 = а;х^ = а;у4=-0;г( = 0;х4 = 0;у4=-а;z5 = а;х^ = 0;Уъ = 0;г8 = 0.Решение Задачу будем решать аналитически. Проведем систему осей Ах, Ау, Аг, взяв за начало координат точку А. Определим координаты точек приложения сил:
Xi — а;
У1=<Ц
z( = 0;
хг=а;
Уг=О;
г2 = а;
х^ = а;
у4=-0;
г( = 0;
х4 = 0;
у4=-а;
z5 = а;
х^ = 0;
Уъ = 0;
г8 = 0.
Xi — а;
У1=<Ц
z( = 0;
хг=а;
Уг=О;
г2 = а;
х^ = а;
у4=-0;
г( = 0;
х4 = 0;
у4=-а;
z5 = а;
х^ = 0;
Уъ = 0;
г8 = 0.
Найдем проекции сил Fk на оси координат:
Лг = 0^
F^ = 0; Fu
= F;
= — F~-
2-v2
r 2 ’
^г-=0;
Г р У‘2 .
p — p ^2 .
^- = 0;
Fix = F-,
F^ = 0; F4z =
= 0;
F—F^
F->=Fy--
Ffc==F?3
Для нахождения проекций F^ эту силу разложили предварительно на составляющие вдоль AD и АМ и учли, что
cos а =•sma = ——.
узУз
Найдем проекции главного вектора на координатные оси:
=0,163^*= 1,63 н;
^V=S^=^(^4-^ 4-p=) = L99ir= 19,91 н-,
Нг = Жг = F (1 += 1 £77 F = 15,77 н.
Определим главные моменты системы относительно координатных осей:
Мах = S №г - zhF^ = 0,293^ = 29,3 н • см;
МАу = £ <гкРкх — xkFk^ = — 0,707 Fa = —70,7 н • см;
МАг = £ (xkFky — ykFk^ = 0,414Га = 41,4 н-см.
Таким образом, главный вектор и главный момент оказались отличными от нуля. Составим скалярное произведение главного вектора на главный момент (второй инвариант):
= RXMдх -{— Н^Мду —|- Н2Мдг = — 0,70 /аР = — 707 я2 • см.
Отсюда видно, что векторы R и Мд не перпендикулярны друг другу, следовательно, система сил приводится к динаме. Уравнения оси динамы (3.1):
29,3 —15,77^ + 19,9lz _ — 70,7 — 1,63г4- 15,77г _ 41,4 — 19,91л'+1,63у
1,63—19,91~15,77"
Найдем параметр динамы по формуле
R ■ Мд R- Л1Д
Р ==
Имеем
7071
р = —= — 1,091 см.
Задача 247. Система сил задана проекциями сил и координатами точек их приложения (силы — в килоньютонах, расстояния — в метрах).
I
2
3
4
5
6
Проекции сил
Fkx
0
2
1
2
0
1
Fky
2
0
1
1
—1
—1
^kz
—3
—1
0
1
2
—2
Координаты точек приложения сил
xh
1
1
—1
0
0
—1
Ук
2
2
—1
2
0
1
2k
1
3
0
—1
2
0
Привести систему к простейшему виду.
Ответ: система приводится к динаме, уравнения оси которой:
9x + 3t/ + 20z —25 = 0;
4х — 15р — 2г-ф-19 = 0.
Главный вектор R = 1 кн. Параметр динамы р —— -Ц м.
Задача 248. Система сил задана проекциями сил и координатами точек их приложения (силы — в килоньютонах, расстояния — вмшраху
к
1
2
3
4
Проекции сил
Fkx
0
1
—1
—2
^Av -
1
0
1
— 1
Fkz
2
—1
0
1
Координаты точек приложения сил
хк
1
2
0
—2
Ук
—1
0
1
—1
Zk
0
1
2
0
Определить статические инварианты системы сил. Привести систему сил к простейшему виду.
Ответ: R = 3 кн; R • Мо= 15 кн^-м. Система приводится к динаме, уравнения оси которой:
4х — 2у 4- 5z -[- 5 = 0;х 4- 4// — z 4- 5 — 0.
Параметр динамы Р — ^ м.Параметр динамы Р — ^ м.Задача 249 (рис. 177). По ребрЗадача 249 (рис. 177). По ребрпипеда действуют четыре силы:пипеда действуют четыре силы:ам прямоугольного параллеле- А = 3 кн, Р3 = 4 кн, Р4 = 5 кн. Определить статические инварианты этой системы сил. К какому простейшему виду можно привести эту систему? Размеры указаны на рисунке.Ответ: R = 3,74 кн, R-Mo — 7 кн^-м.Систему можно привести к динаме, уравнения оси которой:6х — Зу 4- 5г — 36 = 0;10x + 2i/4-6z- 39 = 0.Параметр динамы р — -^ м.ам прямоугольного параллеле- А = 3 кн, Р3 = 4 кн, Р4 = 5 кн. Определить статические инварианты этой системы сил. К какому простейшему виду можно привести эту систему? Размеры указаны на рисунке.Ответ: R = 3,74 кн, R-Mo — 7 кн^-м.Систему можно привести к динаме, уравнения оси которой:6х — Зу 4- 5г — 36 = 0;10x + 2i/4-6z- 39 = 0.Параметр динамы р — -^ м.Р.=Р.=2 кн,2 кн,_ Задача 250. Определить, будет ли уравновешена система силРк (^=1; 2; ...; 6), приложенных к центрам мотылевых шеек ко-_ Задача 250. Определить, будет ли уравновешена система силРк (^=1; 2; ...; 6), приложенных к центрам мотылевых шеек ко-
Параметр динамы Р — ^ м.
Параметр динамы Р — ^ м.
Задача 249 (рис. 177). По ребр
Задача 249 (рис. 177). По ребр
пипеда действуют четыре силы:
пипеда действуют четыре силы:
ам прямоугольного параллеле- А = 3 кн, Р3 = 4 кн, Р4 = 5 кн. Определить статические инварианты этой системы сил. К какому простейшему виду можно привести эту систему? Размеры указаны на рисунке.
Ответ: R = 3,74 кн, R-Mo — 7 кн^-м.
Систему можно привести к динаме, уравнения оси которой:
6х — Зу 4- 5г — 36 = 0;
10x + 2i/4-6z- 39 = 0.
Параметр динамы р — -^ м.
ам прямоугольного параллеле- А = 3 кн, Р3 = 4 кн, Р4 = 5 кн. Определить статические инварианты этой системы сил. К какому простейшему виду можно привести эту систему? Размеры указаны на рисунке.
Ответ: R = 3,74 кн, R-Mo — 7 кн^-м.
Систему можно привести к динаме, уравнения оси которой:
6х — Зу 4- 5г — 36 = 0;
10x + 2i/4-6z- 39 = 0.
Параметр динамы р — -^ м.
Р.=
Р.=
2 кн,
2 кн,
_ Задача 250. Определить, будет ли уравновешена система сил
Рк (^=1; 2; ...; 6), приложенных к центрам мотылевых шеек ко-
_ Задача 250. Определить, будет ли уравновешена система сил
Рк (^=1; 2; ...; 6), приложенных к центрам мотылевых шеек ко-
ленчатого вала и направленных от оси вала перпендикулярно к нему, если величины всех сил одинаковы и равны Р, а расстояния между центрами мотылевых шеек равны а. Мотыли расположены так, как показано на рис. 178.
Рис. 178
Решение: Для того чтобы установить, будет ли данная система сил уравновешенной, определим главный вектор и главный момент системы, взяв за центр приведения начало координат.
Найдем проекции главного вектора:
Rx = £Fkx = — Р* cos 30° + Pa cos 30° — Р6 cos 30J +
4" Ps cos 30° = 0; Ry = IFky = 0,
так как все силы перпендикулярны к оси Оу,
Rz = I^Fкг —Р1~Рг cos 60° — Pa cos 60° — Р4 -(- Р8 cos 60° 4-Д-Рв cos 60° = 0.
Таким образом, R — 0.
Далее найдем проекции главного момента (алгебраическую сумму моментов всех сил относительно соответствующих осей):
АД. = Imx (Fk) = — Рш cos 60° — 2Paa cos 60° — ЗР4а -|-
4аР8 cos 60° -f- 5аР6 cos 60° = 0;
^ = Smj> (^4 =0, так как все силы пересекают ось Оу.
М2 = 1т2 (Fk) = Р^а cos 30° — 2Paa cos 30° -)-
4аР$ cos 30° — 5аР6 cos 30° = — PaV3 .
Таким образом, главный момент Мо направлен по оси Ог в отрицательную сторону и имеет величину
М0 = РаКз.
Система данных сил приводится к одной паре.
Задача 251. Решить задачу 250 при условии, что мотыли шестицилиндрового четырехтактного двигателя расположены по схеме, указанной на рис. 179.
Ответ: система уравновешена.
Задача 252. Решить задачу 250 при расположении мотылей по схеме, указанной на рис. 180.
Ответ: система не уравновешена, так как R = 0, M0 = PaV^.
Рис. 182Рис. 182
Рис. 182
Рис. 182
Задача 253. Решить задачу 250 при расположении мотылей
восьмицилиндрового четырехтактного двигателя по схеме, указан
ной на рис. 181._
Ответ: система не уравновешена, так как R — 0, M0 = 2PaV2 .
Задача 254 (рис. 182). Станковый пулемет установлен на треноге ОАВС, причем двугранный угол между плоскостью ОАО и
основанием равен у. Вес пулемета равен Р и приложен в точке О. Ствол пулемета
составляет с горизонтом угол а и повернут по азимуту на угол р<90° (по отношению к плоскости ВОЕ). Определить максимальную силу отдачи F, при которой не происходит опрокидывания пулемета. Весом треноги пренебречь.
Ответ:
max cos a cos Р tg у — sin а
Задача 255. На барабан шпиля весом 1,6 кн намотана якорная цепь, имеющая натяжение 7=^20 кн (рис. 183, а). Барабан удерживается в равновесии силой F, приложенной к шестерне С 102
Рис. 183Рис. 183
Рис. 183
Рис. 183
и направленной по касательной к ней параллельно Т. Определить величину этой силы и реакции подпятника А и подшипника В, если радиус шпилевого барабана rt = 20 см, радиус шестерни г2 =: 40 см, расстояние центра шестерни от подпятника равно 10 см. 4В = 120 см. а линия
действия силы Т отстоит от плоскости шестерни на расстоянии 40 см. Толщиной шестерни пренебречь".
Решение. Рассматриваем равновесие шпиля. На шпиль действуют силы Р, F, Т. Связями являются подшипник В и подпятник А. Освободимся от свя- зш. Цилиндрический подшипник не препятствует перемещению тела вдоль оси Аг, и, следовательно, его реакция лежит в плоскости, перпендикулярной к оси Аг. Разложим эту реакцию на две составляющие,
параллельные осям, Хв и YB
(рис. 183, б). Подпятник препятствует, кроме бокового смещения,
вертикальному перемещению, поэтому его реакцию можно разложить на три составляющие ХА, YA, ZA.
Таким образом, барабан находится в равновесии под действием сил Т, F, Р, ~ХВ, Y в, ХА, YА, ZA. Для этой системы сил, расположенной произвольным образом в пространстве, имеют место шесть уравнений равновесия. Неизвестных в задаче шесть: ХА, Y А, ZA, Хв, Y в, F — задача статически определима
Составим уравнения равновесия. Ось Ау направим параллельно силам F и Т. Имеем
"^Fkx •— ХА Хв — 0;
XF^Ya^Y^T-F^O;
^Ffe2 = ZA-P = 0;
Xmx (F^ = 107 — 507 — 120YB = 0;
JM(7*) = 120Xfi = 0;
£X(7fe) = 207 — 407 = 0.
Решая эту систему, получим
7=10 кн, Хд — 0, УА =— 2,5 кн". ZA— 1,6 кн,Хв = 0, Y в —— 7,5 кн.
Знаки «минус» для реакций УА и YB означают, что действительные направления этих реакций противоположны принятым.
Задача 256. Прямоугольная плита ABCD весом Р укреплена в горизонтальном положении с помощью шарнира А, стержней CN, СК и троса BS (рис. 184, а). Пренебрегая весом стержней и считая все соединения шарнирными, определить реакцию в точке А, усилия в стержнях и тросе, если к точке В подвешен груз М весом О. Точки А, В, С, D, L, Е, F, К расположены в вер
шинах прямоугольного параллелепипеда со сторонами GD — За; СВ = 4а; СЕ = 5а. Точка S крепления троса находится на продолжении линии FD и Z SBD = 45°.
Решение. Рассмотри^ равновесие плиты. На нее действуют задаваемые силы Р и Q. Связями являются шарнир А, стержни CN, СК и трос'ВВ Освободимся от связей. Направление реакции шарнира А заранее не известно. Поэтому разложим R, на три составляющие: Хд, Уд, ZA, направленные по осям, указанным на рис. 184, б (заметим, что от выбора осей существенно зависит простота составления и решения уравнений равновесия).
Поскольку весом стержней пренебрегаем и крепления считаем шарнирными, то реакции стержней направлены вдоль этих стержней, т. е. стержни будут находиться в условиях либо сжатия, либо растяжения (но не изгиба, кручения и пр.). Удобно принять условно, что все стержни, например, растянуты. Принимая это предположение, направим реакции в сторону отброшенных стержней и_ обозначим их через 1\ и Тл. Реакцию троса обозначим через Тг.
Таким образом, плита находится в равновесии под действием пространственной системы сил Р, Q, Хд, Уд, ZA, Ть Ti, Т4> 104
для которой имеют место шесть уравнений равновесия. Неизвестных в задаче шесть: Хд, YA, ZA, Тх, Тъ Тл — задача статически определима. _
Силы Г2 и Та удобно предварительно разложить на составляющие, направленные вдоль выбранных координатных осей. Именно:
причем сила ТХ, направленная по BD, в свою очередь раскладывается на составляющие:
тх = тг^тх.
Замечая,Замечая,4о
Замечая,
Замечая,
что cos DBC = 5 ; cosZDBX=yt буде^м иметь
-Г** m3 3}/2 ™ ,
2 2 ^ 2 ~2*- 1 7 2 1 2 "5 |0 1 2»
т" 4 2^2 гр ,рг2 ™
2 h J —5— '2, 1 9 “2” 1 9'
Tt, направленная по диагонали СЛ, в свою очередьTt, направленная по диагонали СЛ, в свою очередьпричем силапричем силаДалее,
Tt, направленная по диагонали СЛ, в свою очередь
Tt, направленная по диагонали СЛ, в свою очередь
причем сила
причем сила
раскладывается на составляющие:
Т1 = Та^П
Замечая, что
cos 2 АСК = Уг, cos 2 DCA=~, cos 2 АСВ = ^,2 ’о
будем иметьП=т; =будем иметьП=т; =/2/222m . гр' т* 3 ЗУ'2 т _ гр г, гр^ 4 2|^ 2 ™^* 7з — Ь^ — По“ J^ 7з~7з5"-"5” Узm . гр' т* 3 ЗУ'2 т _ гр г, гр^ 4 2|^ 2 ™^* 7з — Ь^ — По“ J^ 7з~7з5"-"5” Уз
будем иметь
П=т; =
будем иметь
П=т; =
/2
/2
2
2
m . гр' т* 3 ЗУ'2 т _ гр г, гр^ 4 2|^ 2 ™
^* 7з — Ь^ — По“ J^ 7з~7з5"-"5” Уз
m . гр' т* 3 ЗУ'2 т _ гр г, гр^ 4 2|^ 2 ™
^* 7з — Ь^ — По“ J^ 7з~7з5"-"5” Уз
(направления составляющих указаны на рисунке).
Составим уравнения равновесия плиты:
S^ = Xa + T.2 + T3 = Xa + ^2 Т3 + 3-^Т3 = 0;
^=уА+Л + т;-^ = уА + л + ^-т1,-^ т3=о
^Fk2 ^-P-Q^TX’-T's-Z^P-Q^
I У^ -гV^ то
^тх (Fk) — ~ Р2а —• Т3'4а = — 2Ра — 2]/2 Та = 0;
^my(Pk) = P^--ZA.3a=^0-
^тг (F^ = YA3a - Т34а = ЗУД а — ^- Т3а — 0.
Рис. 185Рис. 185Решая эту систему уравнении, получим
Рис. 185
Рис. 185
T\ = -^Q; T. = V2Q; Т, = -^ Р;xa=-|q+^Р; Ya — — ^P; za = ^.
Знаки «минус» Тх и Т3 показывают, что соответствующие стержни не растянуты, как это предполагалось, а сжаты.
Задача 257 (рис. 185). Лестница опирается на гладкую стену на высоте /г и концом D упирается в выступ, находящийся на гладком полу и отстоящий от стены на расстоянии а. Определить реакции в точках А, В, С, D, если вес лестницы равен Р и приложен в ее центре.
Ответ; ZA = ^-; Y в=0; Yc = §h
Задача 258 (рис. 186). На токарном станке обтачивается цилиндрическая деталь. Считая вес детали равным 400 н, определить, какой вращательный момент М должен быть приложен к детали, чтобы удержать ее в равновесии, если на нее со стороны резца действует сила F, приложенная в точке К, лежащей на горизонтальном диаметре детали. Эта сила оси Ах, Ау, Аг, равные соответственно
имеет ппоекции наимеет ппоекции наFx =— 3 кн, ^ = 2,4 кн, ^—12 кн. Найти также реакции в точках Л и В в зависимости от координаты х, определяющей
имеет ппоекции на
имеет ппоекции на
положение резца относительно точки А. Трением пренебречь. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: 714 = 480 н-м; Хд = 3 кн; Уд = (30х— 2550) я;
ZA = (—11,8 4-0,15х)кн; Хд4- Хв = 3 кн;
YB = (150— ЗОх) н; ZB = (200 — 150х) н;
х — в сантиметрах.
Задача 259 (рис. 187). Храповое колесо и барабан лебедки жестко насажены на общий вал АВ длиной 80 см. На барабан намотана веревка, несущая груз М весом 3 кн. Опре- 1 г делить опорные реакции подшипников Л и В и усилие в стопорной собачке ED, составляющей с горизонтом угол а —60°, если свешивающаяся часть веревки делит барабан пополам. Радиус барабана 10 см, радиус храпового колеса 20 см, вес барабана с валом 2 кн. Края барабана удалены от подшипников на 10 см. Расстоянием между храповым колесом и барабаном, весом собачки, храпового колеса и веревки пренебречь.
Ответ-. SED = 3 кн; ХА =—1,312 кн; ZA — YT1 кн;
Хв =—0,1875 кн; ZB — 2,82 кн.
Задача 260 (рис. 188). При повороте шлюпки на ее руль действует сила давления воды Q = 400 н, направленная перпендикулярно к плоскости пера руля и приложенная в точке F. Вес руля Р = 100 н и приложен в точке Е. Определить в условиях
равновесия реакции опор Л и В, а также величину силы 5, приложенной к румпелю CD под углом 3 = 120° и лежащей в горизонтальной плоскости, если ЛК = 30сж, АВ = 60 см, СВ — 20 см, CD = 60 см, ЕК=\5 см, ЕЕ = 30 см.
Ответ; 5 = 346 н; Хл = 300 н; Yл = 33 н; ZA — 100 н;
Хв = 400 н; YB = — 206 н.
Задача 261 (рис. 189). Однородная пластина весом 9 кн, имеющая форму равностороннего треугольника, петлями Л и В зак-
реплена на горизонтальной оси, а вершиной С опирается на гладкую вертикальную стенку, параллельную отрезку АВ. Плоскость АВС составляет с горизонтальной плоскостью угол 30°. Определить реакции петель и стенки, зная, что точка приложения веса пластины находится в точке пересечения медиан. Раз
мерами петель пренебречь.
Ответ: Nc — 5,2 кн; YA =— 2,6 кн; 2Д = 4,5 кн;
Yr = — 2,6 кн; ZB = 4,5 кн.
Задача 262 (рис. 190). Тело весом Р, подвешенное к самолету, имеет форму цилиндра и удерживается тремя захватами Л, В, С и стопором D. Захват А удерживает тело только от падения и
Рис. 190Рис. 190бокового смещения и расположен на верхней образующей на расстоянии с от вертикали, проходящей через центр тяжести К. Захват В, имеющий то же назначение, что и Л, и захват С, препятствующий только падению, расположены симметрично верхней образующей на расстоянии d друг от друга в плоскости, отстоящей на расстоянии b от захвата А. Стопор D, препятствующий только продольному смещению, расположен на верхней образующей.
Рис. 190
Рис. 190
Определить реакции захватов
и стопора при равномерном прямолинейном горизонтальном полете самолета, если на тело при этом действует сила лобового сопротивления Т, направленная вдоль его оси, а в точке Е на оси, удаленной на расстояние а от центра тяжести К, приложены вертикальная подъемная сила Q и боковая аэродинамическая сила F. Вертикальным смещением точек В и С от верхней образующей пренебречь. Принять для расчета В = 50 кн; Q = 5 кн, F—Ikh, Т = 0,& кн, г = 8 см, d = 6 см, а=10 см, с = 20 см, Ь = 40 см.
Ответ: YA =— 0,25 кн; 2Д = 23,91 кн; Y в =— 0,75 кн;
ZB = 0,2\2 кн; 2^=11,878 кн, XD — 0,8 кн.
Задача 263 (рис. 191). Однородная прямоугольная крышка люка весом 600 н удерживается в равновесии под углом а = 30° силой F, приложенной перпендикулярно к крышке в точке Е. Определить величину- этой силы и реакции подшипников Л и В, если СЕ —20 см, DC = 60 см.
Ответ: В = 260 н; Хд = 43,3 н; 2Д = 225 н; Xs = 86,6 н; ZB — 150 н.
Задача 264 (рис. 192). Коленчатый вал может вращаться в подшипниках А и В. На конце вала насажена шестерня радиу-
сом 7? = 20 ел. В центре D мотылевой шейки горизонтально расположенного колена приложена сила F, лежащая в плоскости, перпендикулярной к оси вала, под углом а — 30° к вертикали.
Рис . 191Рис . 191
Рис . 191
Рис . 191
Определить величину силы Q, приложенной к шестерне параллельно оси Л у при равновесии вала, и обусловленные силами F и Q реакции подшипников А и В, если В = 20 кн, ED=\5 см, а =15 см, Ь = 20 см, с = 25 см.
Ответ: Q = 12,99 кн, Ул =— 22,9 кн; 2Л = 9,64 кн, У в =—111 н, ZB = 1,TO кн.
Задача 265 (рис. 193). Коленчатый вал может вращаться в подшипниках Л и В. На него действует сила Р, равная по вели
чине 30 кн, направленная под углом а= 10° к вертикали и лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вала. Определить момент М пары сил, которую следует приложить к валу для его равновесия, а также реакции подшипников Л и В, если плоскость
DEGF образует с горизонтальной плоскостью угол <р = 60°, DE = = 20 см, FB = AD=FD = 4Q см. Весом, вала пренебречь.
Ответ-. 714 = 3,86 кн-м; YA = YB =— 2,61 кн;
ZA — ZB — 14,8 кн.
Задача 266 (рис. 194). Симметричный кран весом Р = 20 кн удерживается тросом EF, составляющим с горизонтом угол а = = 30° и имеющим натяжение, равное 28 кн. Вылет крана Ь = 2 м, расстояние от его центра тяжести G до вертикали, проходящей через неподвижный шарнир С, а = 0,6 м. Определить реакции шарнира С и подвижных опор А и В, если АВ = 1,2 м, КС = = 1,5 м, KF = 0,9 м, Q=15 кн.
Ответ-. Хс = 0, Yc = 24,2 кн, Zc = 38,6 кн, NА = Nв = 5,2 кн.
Задача 267 (рис. 195). Мачта О А весом 1,2 кн закреплена в подпятнике А и подшипнике В. К вершине мачты прикреплены
тросы ОС, OD и ОЕ, натяжения которых соответственно равны: Тс = 7^ = 600 н; ТЕ = 300 н. Кроме того, дано: АВ = 0,8 м. ОА = 4 м, углы а=р = 60°, 7 = 30°. Определить опорные реакции.
Ответ-. ХА — 0, Y А = 1,038 кн-, 2Д = 2,39 кн-, Хв = 0;
YB = — 1,298 кн.
Задача 268. Решить задачу 267 при условии, что Тг = 600 н, TD = 800 н.
Ответ-. ХА =— 400 н; Y д = 1,038 кн; 7л = 2,56 кн, Хв = 500 н; Y в =— 1,298 кн.
Задача 269 (рис. 196). Коленчатый стержень ACDE изогнут так, что плоскость колена ACD горизонтальна, а плоскость колена CDE вертикальна. Стержень закреплен в точке А с помощью неподвижного шарнира, в точке В свободно проходит через подшипник, а в точке Е удерживается горизонтальным тросом ЕК, параллельным АС. Определить реакции шарнира А, подшипника
В и натяжение троса, если стержень нагружен вертикальной силой Р и парой сил, лежащей в горизонтальной плоскости и имеющей момент т.
Принять: ЛС = 40 см; ВС = 20 см; CD = 60 см; DE = 40 см; Р=100 н; т = 600 н-см; Z, ACD = 2 CDE = 90°. Весом стержня пренебречь.
Ответ: 7 = 200 н; Хл =— 430 н; Ул = 0; ZA= — 200 н;
Хд = 630 н; Zs = 300 н.
Задача 270 (рис. 197). Коленчатый стержень ADEK укреплен в горизонтальной плоскости в подшипниках А, В, Си нагружен
лить реакции подшипников, если £ ADE — £ DEK — 90°, ЛУ = 20сл», ВО = 10 см, ED — 25 см, ЕС — 20 см, ЕК = 30 см, Р = 200 я, Q = 400 н. Весом стержня пренебречь.
Ответ: Хд —50 h;Za = — 600 н; YB —— 200 я, ZB= 1000 я; Х^ = -50 щ Zc = 0.
Задача 271 (рис. 198). Коленчатый стержень ABCD изогнут так, что плоскость колена АВС горизонтальна, а плоскость колена BCD вертикальна, /, АВС — 2. BCD = 90°. В точке D стержень удерживается неподвижным шарниром, а концом А помещен в подшипник. На стержень действуют три пары сил в плоскостях, соответственно перпендикулярных АВ, ВС и CD. Считая известными величины моментов пар т» и т3, определить величину тх, а также реакции шарнира и подшипника, если АВ=а, BC = b, CD=c. Весом стержня пренебречь.
Ответ: Y, = ^. ZA="h; XD = 0;YD = —m^;
„ пиb . с
а ’1 а - 1 а 5
Задача 272 (рис. 199). Однородная балка АВ весом Р и длиной / = 4& прикреплена к вертикальной стене сферическим шар-
ниром А и удерживается перпендикулярно к стене растяжками DE и CG, причем DE лежит в горизонтальной плоскости, a CG
Рис. 199Рис. 199составляет с этой плоскостью угол а. к концу В балки подвешен груз М весом Q. Определить реакцию шарнира А и натяжения растяжек, если AD = = AE = DC = b, AF — ^b.
Рис. 199
Рис. 199
Ответ; TDE— 2(Р- j-2Q) ctg а; Т _PV2Q. CQ sin а ’
X^-^(P + 2Q)ctg«;.
yA = ^(P + 2Q)ctga;
za=-Q-
Задача 273 (рис. 200). Однородная балка AL весом 1 кн укреплена шарнирно в точке А и удерживается в горизонтальном положении двумя тросами DE н DF, составляющими с горизонтом углы р = 30°. Определить реакции шарнира и натяжения
тросов, если к балке в точке К подвешен груз М, вес которого равен 1,2 кн, AL = 5 м, LK = 1 м, AD = 2 лц Z ADC — at = 45°, Z AD В = <ч = 60°.
Ответ; 7ГО —3,28 кн; TED = 4,02 кн; Хл = 3,18 кн; Ул = 0, ZA —— 1,45 кн.
Задача 274 (рис. 201). Однородная плита АВС весом Р имеет форму прямоугольного треугольника и представляет собой половину квадрата ABCF. Плита прикреплена шарнирно вершиной А к неподвижному основанию и удерживается в горизонтальном положении при помощи невесомых стержней BD, BE и СЕ, укрепленных в точках D и Е, лежащих на одной вертикали с точками А и F соответственно. Определить реакцию шарнира А и усилия в стержнях, если EF = AD = AF.
Указание. Вес Р приложен в точке пересечения медиан треугольника АВС.
Ответ: Т„ = ^.,ТСЕ^-,
Задача 275. Для подъема крышки паровой турбины весом Р использовано приспособление, показанное на рис. 202. Тросы прикреплены к крышке в точках Дь Аг, Д3, Д4 и лежат в вертикальных плоскостях, проходящих соответственно через отрезки AtA$ и А4А4.
Рис. 202Рис. 202
Рис. 202
Рис. 202
Точки Ах, Д9, Дз, А4 лежат в горизонтальной плоскости и образуют прямоугольник со сторонами AtA4 = 2a; А1А3 — 2Ь.
Определить при условии равновесия крышки веса грузов Рь Р2, Рз, ^4 и ординату ус центра тяжести, если известно, что его абсцисса равна хс, тросы, несущие грузы Pj и Р4, наклонены к горизонту под углами, равными а, а два других троса — под углами, равными р.
„п Р /1 ।cos 3
Ответ-. Pv = -н- 1 4- — . . , 0. ;
12 \ 1 a sin (а 4* р) ’
р _ Р (1 ^с\ COS 3.р Р /. . хс\COS а .
2 \а / sin (а 4- 4’32 \ ' а /sin («44) ’
D Р j Ахс\ cos а, 6sin(а — 3)
2 \ а ) sin (а 4“ Р) ’ ^с sin («+ ?) "
Задача 276 (рис. 203). Тетраэдр закреплен петлей Д, сферическим шарниром В и свободно опирается вершиной С на каток. Определить реакции опор, вызванные действием силы F, приложенной в вершине тетраэдра и параллельной стороне АС.
Ответ: У А = -F^ZA = -^. Хц = - ^У в = -^;
ZB = 0;ZB = 0;7 _FV^7 _FV^
ZB = 0;
ZB = 0;
7 _FV^
7 _FV^
Задача 277. Решить задачу 261 при условии, что петля Л заменена сферическим шарниром, петля В снята и пластина опирается непосредственно в точке В на негладкую горизонтальную плоскость. Считая коэффициент трения между пластиной и плоскостью / = 0,1, определить наименьший угол а наклона пластины к горизонту, при котором возможно равновесие, а также реакции опор при этом угле.
Ответ; ctgamin = 0,3; amln = 73°18'; jVc = 900 я;
^ = 4,5 кн.; Хд = 0; ¥д =—450 н, 2Д = 4,5 кн; YB = — 450 н.
Задача 278. На вал I зубчатого редуктора (рис. 204, а) действуй вращающий момент Мр Определить величину момента М4,
Рис. 204
который надо приложить к валу IV для того, чтобы редуктор был в равновесии. Трением в подшипниках пренебречь. Размеры указаны на рисунке.
Решение. Система состоит из трех тел — вала / с колесом /, вала // с колесами 2 и 3 и вала IV с колесом 4. Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности.
Вал / с колесом / (рис. 204, б). На этот вал действуют: вес Рь пара сил с моментом /И,, реакция подшипника Рд и реакция S21 колеса 2. Реакция подшипника, если пренебречь его размерами, приложена в точке Л. Реакция колеса 5М действует в плоскости, перпендикулярной к оси вала I. Разложим эту силу 114
на две составляющие, направленные по касательной к окружности колеса 1 (Т^) и по его радиусу (R^), т е.
521 = Тп -j- R^.
Считаем эти силы приложенными в точке D колеса /.
Поскольку величины реакций подшипников не подлежат определению, следует использовать такие уравнения равновесия, которые этих реакций не содержат. Легко видеть, что таким уравнением будет уравнение моментов относительно оси вала / (ось 2). Таким образом, имеем
Sm3(Pfe) = A41 — Тя ^ = 0, откуда т1
Вал ZZ с колесами 2 и 3 (рис. 204, в). На колесо 2 в точке D действует со стороны колеса Z сила
R»i
причем
Sr2 =— <S21; Ти = —Т^; R^ =—R^.
Реакцию подшипника обозначим RB, вес колес — Р2з, реакцию колеса 4 на колесо 3 — через S«. Эту реакцию разложим на составляющие: по касательной — Ти и по радиусу колеса — R43. Эти силы приложены в точке Е. Из всех уравнений равновесия снова используем только уравнение моментов относительно оси вала ZZ (ОСЬ 21).
Имеем
51mzi (Eh) — Тпг2Т 43r3 = Of
откуда /ттТ 9
^43 2 п — , а так как гр 1 12= 1 21 = — r 1
ТО
m М^Г 2
—
Вал IV с колесом 4 (рис. 204, г). Пусть М4 — искомый момент. Тогда, аналогично ранее рассмотренным случаям, получим
TV4-M4 = 0, откуда окончательно
М4 = Тиг4 = Т^=Л^.
Задача 279 (рис. 205). В зубчатой передаче к ведущему валу Л приложен вращающий момент Мл. Определить величину момента Мв, который следует приложить к ведомому валу В для равновесия системы. Трением пренебречь. Размеры указаны на рисунке.
Ответ;
Задача 280 (рис. 206). Лебедка с двухступенчатой передачей предназначена для подъема груза весом Р. Определить, какой
Рис. 206Рис. 206
Рис. 206
Рис. 206
величины вращающий момент М следует приложить к ведущему валу для удержания груза в равновесии. Задачу решить в двух предположениях: 1) когда ведущим валом является вал Л; 2) когда ведущим валом является вал 5. Радиус барабана R, радиусы колес: ги гг, r3, ц.
Ответ; X^M^^PR 2) = PR; МА = ^МВ.
Задача 281. Решить задачу 279, имея в виду передачу с коническими колесами, изображенную на рис. 207.
Ответ; Мв = у Мд.
Задача 282 (рис. 208). В машине для испытаний на кручение величина крутящего момента измеряется по показаниям динамометра. Определить величину крутящего момента, а также давления на подшипники D и Е, если динамометр показывает усилие F. Весом деталей пренебречь. Стержень ВС считать параллельным валу, ВК — КС, угол а = 90°, KL = a, LD = b, DE = c.
Ответ; M = 2aF; N n = 2F (1 No=—.
Задача 283 (рис. 209). В двухдисковой фрикционной передаче на ведущий вал / действует вращающий момент Mj. Определить необходимую величину сил нажатия & и Q8 (Qt = Q2 = Q) при
равновесии, если коэффициент трения между дисками и роликами равен/, расстояния от оси Л S до точек касания роликов равны at и сц, радиусы роликов г. Какой момент Мг передается при этом на вал IR
Ответ; Q = Mi^?™;=
Задача 284 (рис. 210). Два одинаковых однородных стержня, весом Р каждый, шарнирно соединены между собой в точке В, а концами Л и С шарнирно прикреплены к полу и к стене так, что стержень АВ вертикален, а ВС горизонтален. К середине D стержня АВ приложены сила G, параллельная ВС, и сила Q, перпендикулярная к плоскости АВС. Система удерживается в равновесии тросом ЕЬ, перпендикулярным к плоскости АВС. Определить натяжение троса и реакции шарниров.
Ответ; T = Q; ХА = 0; YA = ^-\ ZA — ^-;
Хв = 0; У5 = ±|; ZB=±5; Хс = 0; Yc=^;
Задача 285 (рис. 211). Два одинаковых однородных стержня АС и СВ, весом Р каждый, соединены между собой под прямым углом шарнирно и прикреплены к стене неподвижными шарнирами А и В. Благодаря наличию невесомого вертикального стержня DE система удерживается в равновесии так, что плоскость треугольника АВС горизонтальна. Определить реакции шарниров А, В, С и усилие в стержне DE, если AD—DC.
Ответ: S = 2P, Хд = 0; Уд = 0; ZA = — ^; Хв = 0;
YB = 0; ZB = ^; Хс = 0; Ус = 0; Zc = + ^.
Задача 286 (рис. 212). Однородная прямоугольная плита весом Р укреплена при помощи петель Л и S и удерживается в го
ризонтальном положении однородным стержнем CD, прикрепленным к плите и к стене шарнирами С и D, причем шарнир С расположен на одной вертикали с петлей В. Вес стержня CD равен Q. Определить реакции петель и шарниров, если 2 BDC = = 2 BCD = 45°. Удостовериться, что при Q = 0 реакции шарниров С и D направлены вдоль CD.
Ответ: Хд = 0; ZA = ^; Хв —— ^у^; ZB = 0;
V ч-О^гР. у о. у -л- В . у Q-pP. лв — — —2 > * D— — —"у» лс— 2 ’
Ус = 0; ZC = Q-V^.
Задача 287. Два однородных стержня АВ и ВС весом Р и Q соответственно закреплены шарнирно в точках Л и С, а соединительным шарниром В свободно опираются на гладкую вертикальную стену, плоскость которой параллельна АС (рис. 213, а).
Определить реакции шарниров Л и С, а также реакцию стены N, если плоскость треугольника АВС наклонена к горизонту под углом 45°, /.В АС = 90°.
Решение. Если рассматривать всю систему как одно твердое тело, то получим статически неопределимую задачу, так как число неизвестных равно семи (шесть составляющих реакций в шар
нирах Л и С и реакция стены). Поэтому следует расчленить систему, рассматривая равновесие отдельных ее частей (АВ и ВС).
Рассмотрим равновесие стержня АВ (рис. 213, б). На этот стержень действует вес Р, приложенный в середине стержня D. Связями являются сферические шарниры Л и В. Реакции этих связей Яд и RB не имеют заранее определенных направлений в пространстве. Поэтому разложим искомые реакции на составляющие вдоль осей: Хд, YA, ZA, Хв, YB, ZB. Стена будет являться связью для стержня АВ только в том случае, когда этот стержень непосредственно ее касается. В зависимости от конкретного устройства шарнира В может оказаться, что реакция стены будет непосредственно приложена только к стержню АВ или только к ВС либо стена будет действовать на оба стержня одновременно. _
Допустим, что реакция стены N приложена только к стержню АВ. Составим уравнения равновесия для стержня АВ.
ИмеемИмеем
Имеем
Имеем
(6)(6)'EiFiex — ^д + Хв — 0; HF„^ya-vyb-vn = o-, ^F^Za-VZb-P = 0;
(6)
(6)
^mAFh^-kNA-YB^h-^^ZAh^Q., ^lm^Ffi') = XBh = 0;
гдегде^mz(Fk) = ~ XAh = 0,
где
где
BO — AO = h.
Рассмотрим равновесие стержня ВС (рис. 213, в). На эТот стержень действуют: вес 5, реакция Rc шарнира С и реакция R'B шарнира В. При этом R’B = — RB, т. е. Хв = —Хв и т. д.
Уравнения равновесия стержня ВС имеют вид
^Fhx = Xc-XB = Xc-XB^0;
£Fky = Yc-YB = 0-
X-F/iz — Zq Zb Q = 0;,.
^mx^F^ = YB.OB-Q-OE-VZc-OA=Q-,v '
vm., (FA = —XB-OB— Q-EL4-Zr-AC = 0;
Хтг (Fk) = - Xc - О A - Yc • AC = 0, причем
OB — OA = 2OE, EL = ~ .
Решая систему уравнений (6) и (с), получим
№№- М = Р±5; Хд = 0; YA = -^^- Za = P^^-, Хв = 0; YB — 0; ZB = -%, Хс = 0; Ус = 0;
№
№
ZC— 2 1
Если теперь принять, что сила N приложена к стержню ВС, то вместо (6) и (с) получим
Хд + Хв = 0; Ya^Yb = 0; Za^Zb-P = 0"A,
YBh — £5-^ZAh = 0; XBh = 0; — XA/t = O;J (&)
Xc-XB = 0; Yc-YB^N = 0;
ZC — ZB — Q = O;’
(F)(F)YB — X) • OB — Q • OE + ZG ■ О A = 0;
(F)
(F)
XB-OB — Q.EL4-Zc-AC = 0;
XCOA — Yc-AC=:0.
Решая эту систему, имеем
N-^; Хл = 0; У^-Ш; 2д = Р_Ц;
Хв = 0; ¥В = Ш; ZB^-^; Хс = 0;
Ус = 0; Zc = ^.
Сравнивая эти ответы с (d), приложения силы N сказывается Итак,
М = Хл —0;ya— ^; za=p-^;Хс —0; У с = 0; Zc = 4-
Задача 288 (рис. 214). Два одинаковых стержня АВ и ВС, весом Р каждый, соединены шарнирно между собой под прямым углом, а шарнирами А и С прикреплены к стене. Стержни удерживаются в равновесии в горизонтальной плоскости при помощи троса DB, составляю
беждаемся, что изменение точки только на реакциях шарнира В.беждаемся, что изменение точки только на реакциях шарнира В.с ней угол 45° и равные.с ней угол 45° и равные.углы со стержнями.
беждаемся, что изменение точки только на реакциях шарнира В.
беждаемся, что изменение точки только на реакциях шарнира В.
с ней угол 45° и равные.
с ней угол 45° и равные.
Определить натяжение троса и реакции шарниров А и С, Решить задачу дважды, считая в первом случае, что реакция троса непосредственно приложена к стержню АВ, во втором — к стержню СВ. Сравнить результаты.
Ответ; в обоих случаях
Т=Р/2; Хл = —; Ул = |; ZA = ^; Хс^;
С— 2 ’ Zc—' 2 1
Задача 289. Решить задачу 288, считая, что трос закреплен в точке D, находящейся на одной вертикали с точкой А, и по- прежнему образует с горизонтальной плоскостью угол 45°
Ответ; Т — Ру2; лл = —; Уд = ^-; ZA — -у;
Хс = 0; Ус = 0; Zc^.
ГЛАВА IVЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Координаты центра тяжести тела определяются по формулам
У ХкРк6 = 1РУ ХкРк6 = 1РпУ -^к^-кк = 1тпУ -^к^-кк = 1тпп
У ХкРк
6 = 1
Р
У ХкРк
6 = 1
Р
п
У -^к^-к
к = 1
т
п
У -^к^-к
к = 1
т
Уд УкРкУ Ук^к
к ■= 1к = 1/ л 1 х
Ус~—^~=—(4J)
пп
У. ZhPhУ, zhmk
„ * = i * = 1
zc — Рт
Суммы, стоящие в числителях, называют статическими моментами веса (массы) относительно плоскостей уОг, хОг, хОу соответственно.
Если тело однородно, то координаты его центра тяжести определяют по формулам
ппп
(4.2)(4.2)У х^ьу y^kУ ^k^k
(4.2)
(4.2)
с — v ' Ус — у ’ с — v
Координаты центра тяжести тонких однородных поверхностей (имеющих постоянный вес единицы площади) определяют по формулам
ппп
У ХкЗкУyk^kУ ^k^k/лох
6 = 1 6=1 6=1
хс — s ’ Ус S ’ гс— s •
Координаты центра тяжести пластины (оси Ох, Оу расположены в плоскости пластины) будут
^с=^; Ус=-8’(4-4)
где Sx = У yhsk, Sy = У xksfe — статические моменты площади 6=16=1
относительно осей Ох и Оу.
Аналогичные формулы применяют для определения координат центров тяжести тонких однородных стержней (имеющих постоянный вес единицы длины).
В формулах (4.2), (4.3) ик, sk — объемы и площади тех частей, на которые разбиваются имеющие сложную форму тела (поверхности), Мк (хк, ук, гь) — центры тяжести этих частей.
При нахождении центра тяжести тела (фигуры) с отверстиями можно применять формулы (4.1), (4.2), (4.3), считая веса, объемы или площади, соответствующие вырезанным частям, отрицатель-
ными. Для криволинейных тел (фигур), разбиваемых на бесконечно малые элементы, суммы в выражениях для статических моментов и масс (объемов, площадей) заменяют интегралами.
Задача 290. Корабль водоизмещением 9000 т имеет центр тяжести в точке с координатами хс =— 4,2 м, ус = 0, zc = 8,4 м (ось Ох направлена в нос, ось Оу— на левый борт, ось Ог — вверх). С корабля снимают часть груза массой 300 т координаты центра тяжести которого: х, = 6 м, ух = 0,8 м, 2t = 6 м. Определить новые координаты центра тяжести корабля.
Решение. Обозначим т^ массу корабля после снятия груза; х2, Уч 2g — искомые координаты центра тяжести.
Используем формулы (4.1)
v хуп^хуп.,. УУ^+ууПц . т ’т ’т •
Отсюда находим
х т — хуп,у т — y1W1
хг — —^—= — 4,55 м;1/2 = —„,= — 0,03 л;
Таким образом, центр тяжести корабля сдвинулся к корме, к правому борту и вверх.
Задача 291. Танкер водоизмещением 20 000 т в результате полученной подводной пробоины принял 600 т забортной воды в танк (отсек) с координатами центра тяжести х, = 20 м, ух = 8 м, z, = 2 м относительно координатных осей с началом в старом центре тяжести танкера. Для частичного выравнивания крена и дифферента (т. е. для устранения поворота судна вокруг продольной и поперечной осей) было принято дополнительно 400 т воды в танк, имеющий координаты центра тяжести х2 = —25 м, у2 ——10 л, z3 = l м. Определить новые координаты центра тяжести танкера.
Ответ; хс = 9,5 см; ус = 3,8 см; zc = 7,6 см.
Задача 292. Судно имеет водоизмещение 1500 т. Определить новые координаты центра тяжести судна при заполнении носовой цистерны забортной водой плотностью р = 1,03 т(м%, если объем цистерны V = 40 м®, а координаты центра тяжести цистерны х = 2 м, у = 30 м, z=l,5 м. До заполнения цистерны центр тяжести судна находился в начале координат.
Ответ; хс = 0,053 м; ус = 0,8 м; гс = 0,04 м.
Задача 293. Как изменится абсцисса хс общего центра тяжести корабля водоизмещением 1500 т, если поменять местами два груза
находящихся в диаметральной плоскости и отстоящих друг от друга по горизонтали на расстояние з= 15 м? Массы грузов равны 10 т и 2 т (ось Ох направлена на нос, более легкий груз был ближе к носу).
Ответ; Дхс = 8 см (к носу).
Задача 294. На какое расстояние по горизонтали в диаметральной плоскости корабля можно переместить груз 60 т, чтобы общий центр тяжести корабля сместился не более чем на 0,1 м? Водоизмещение корабля равно 12000 т.
Ответ; на 20 м.
Задача 295. Определить координаты центра тяжести однородного тела, изображенного на рис. 215.
Рис. 215
Решение, Применим метод «разбиения». «Разобьем» рассматриваемое тело на три части: I — ABD'E', II — EDLF, III—LKHG. Найдем координаты центров тяжести отдельных частей и их объемы.
Данные сведем в следующую таблицу:
Части тела
координаты центров тяжести частей
Объемы частей
хк
Sk
гк
ък
I
а
2"
(1
2
Ь
2
abd
11
а
<1
"2
acd
III
3
4 а
^+4~
d '2'
acd
4
Определим координаты центра тяжести всего тела по формулам (4.2):
а (8&—|—7с)
V — 4(46-|-Зс);
№+)№+)№ 86rf+12crf + 5c2
V —4(4» + Зс)’
„ гл + ^+^з w-y^cdсV ~ 2(46+3с)'
Эту же задачу решим методом «отрицательных» объемов. Для этого представим себе, что тело состоит из трех частей: I — ABD'fc', II—EDKM и III — FGHM— части с «отрицательным» объемом. Имеем
Части тела
Координаты центров тяжести частей
Объемы части
?fe
гк
1
а
~2
d
Т
Ъ
2
abd
II
а
d
2
acd
III
а
d+ 4“ =
d
acd
4
2
4
Найдем координаты центра тяжести всего тела:
Задача 296. Определить координаты центров тяжести стержневых систем, изображенных на рис. 216, а, б, в, г, д (поперечными размерами стержней пренебречь).
„.а363
Ответ; а) хс — 2^_ybV' Ус ~ 2 (аьу
х -= «‘ + "I^W . у =.
с г^ + б + К^Ч-б3) ' Ус 2 (а + 6 + ]/а8 + 62) ’
.„ а аЯ sin ах «1^3
в) xc = acossу; ус=—2-; г) хс = -^-;
а (2 — /3). „ e/Зп
2’ д) *c=V> Ус=0.
Задача 297 (рис. 217). От пластины в виде прямоугольного треугольника О АВ отсечен треугольник CD В. Определить црнтр тяжести оставшейся части OADC, если ОА = ОВ = а; СВ—^-а.
Ъа13а
Ответ. х^ jg, у^ -gg .
Рис. 216Рис. 216
Рис. 216
Рис. 216
Задача 298 (рис. 218). Из однородной пластины в виде квадрата ABCD со стороной а вырезан квадрат ABXCXDX так, что стороны обоих квадратов параллельны. Какова должна быть сто
рона ах меньшего квадрата для того, чтобы центр тяжести оставшейся после выреза части совпал с точкой Q?
Ответ; ах — —о —0,618 а.
Задача 299 (рис. 219). В однородном диске радиусом R = 2a сделан вырез в виде прямоугольного треугольника О АВ. Определить центр тяжести оставшейся части диска, если ОА — ОВ=а.
Ответ:
ХС" Ус~ з (Зп1) =0,0138 а.
Задача 300. Определить статические моменты и координаты центров тяжести изображенных на рис. 220, а, б, в площадей относительно координатных осей Ох и Оу, если а = 90 мм, 6 = 60 мм, d = 10 мм, 6=100 мм.
Ответ: а) 8^ = 43 см3; Sx = 22 см3; хс = 3,07 см; ус — 1,57 см;
Sv = 0; 8Л= 128,5 см3; хс — 0; ус = 5,6 см;
8^ = 62,5 см3; 8Л = 128,5 см3; х(—2,72 см; ус = 5,6 см.
Задача 301 (рис. 221). Балка состоит из прямоугольной полосы
и двух уголков, размеры которыхи двух уголков, размеры которыхв миллиметрах указаны на рисунке. Определить положение центра тяжести сечения.
и двух уголков, размеры которых
и двух уголков, размеры которых
Ответ: хс = 69,5 мм; ус = 10,3 мм.
Рис 221Рис 221Задача 302 (рис. 222). В первом приближении погруженную часть диаметральной плоскости корабля можно принять за трапецию. Определить статические моменты этой площади и координаты ее центра тяжести относительно указанных координатных осей, если а = 50 ж; 6 = 47,9 м; с = 3 м; d = 3 м.
Рис 221
Рис 221
Ответ; Sv = 230,8 м3; хс = 23,7 м; 8^ = 3590 м3; ус=1,53 м.
Задача 303 (рис. 223). Однородное тело состоит из куба с ребром а и четырехгранной пирамиды SABCD, основание которой совпадает с верхней гранью куба, а вершина 8 лежит на продолжении ребра АА*. Найти длину ребра AS пирамиды и поло-
жение центра тяжести всего тела, если известно, что он лежит на верхней грани куба.
Решение. Система состоит из двух тел: 1 — пирамиды SABCD и II — куба. Проведем оси так, как показано на рисунке. Имеем согласно (4.2)
у Л-^^Х^ .УАуНДу. , гА+зд
с »1 + Уа ’• ®i + °s ’ С V, -|- у2 '
где а .и и3— объемы пирамиды и куба соответственно: xlt ух zx—
координаты центра тяжести пирами
ды; хъ у4, г^ — координаты центра тяжести куба.
Определим координаты центра тяжести пирамиды. Для этого рассмотрим элементарный объем, полученный сечением пирамиды плоско-
Рис. 222Рис. 222v
Рис. 222
Рис. 222
стями, параллельными плоскости xSy, на расстояниях г и z-^-dz от вершины. Имеем
dvx — ЬМг,
где b — сторона полученного в сечении квадрата. Очевидно,
duxduxa2z2dz№ *a2z2dz№ *таким образом,
dux
dux
a2z2dz
№ *
a2z2dz
№ *
Объем пирамиды
Далее имеем*Далее имеем*Z1 =
Далее имеем*
Далее имеем*
h§ zdo, оh§ zdo, оПусть х и у — центры тяжести элементарного объема. Из подобия треугольников найдем
h
§ zdo, о
h
§ zdo, о
X Z уZ
аА ’ ah '
откудаТеперьоткудаТеперьХ = У =Х = У =az2А"az2А"а.а.2"2
откуда
Теперь
откуда
Теперь
Х = У =
Х = У =
az
2А"
az
2А"
а.
а.
/ 3
Итак, центр тяжести пирамиды находится в точке Сцуа;
3 ЗАХ г,, (а а , . а \
^-а; -jl. Центр тяжести куба — в точке Qly; -^i " + "2"Ь
Объем куба п2 = а3.
По формулам (4.2) имеем
За (4а А) „ За (4а Д- А)3 (2а2 + 4ah -4- А2)
8(За-(-А) ’ Ус— 3(3a-Vh^ ’2c"4(3a-\-h4'
По условию, общий центр тяжести должен лежать в плоскости
ABCD, т. е. должно быть zc = h.
Отсюда получим
h = а Кб4
При этом условии имеем
хс — Усхс — Ус_ а (6 — Ц 6 )8_ а (6 — Ц 6 )8
хс — Ус
хс — Ус
_ а (6 — Ц 6 )8
_ а (6 — Ц 6 )8
129129Задача 304 (рис. 224). Из однородной правильной треугольной пирамиды SABC высотой h вырезана правильная пирамида 81ЛВС с тем же основанием. Какова должна быть высота этой
129
129
пирамиды, чтобы центр тяжести полученного тела совпадал с вершиной выреза?
Указание. См. сноску на стр. 129.
Ответ: hx = ^.
Задача 305 (рис. 225). Однородное тело состоит из куба с ребром а и прямой трехгранной призмы, одна из боковых гра
Рис. 226Рис. 226
Рис. 226
Рис. 226
ней которой совпадает с верхней гранью куба, а основание представляет прямоугольный треугольник. Найти координаты центра тяжести тела и второй катет b основания призмы, если известно, что центр тяжести тела лежит в плоскости верхней грани куба.
Ответ: b = aV3\ хс—~^
а /з
Ус — -™; гс = а.
Задача 306 (рис. 226). В однородной v сфере с радиусом R = 2a и центром О имеется сферическая полость с радиусом г=а и центром Ot ^0; у; ^. Определить центр тяжести данного тела.
Ответ: хг = 0, ис = —=
Задача 307 (рис. 227). К противоположным концам диаметра основания однородного кругового конуса весом Р и высотой h припаяны два тонких однородных стержня, перпендикулярных основанию и имеющих вес Q каждый. Какова должна быть длина I этих стержней для того, чтобы конус, опертый на вершину, оставался в безразличном равновесии?
Указание. Центр тяжести системы должен совпадать с вершиной конуса.
Ответ: i = h.$24-^\.
Задача 308 (рис. 228). Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной гиперболой ху=-^ и прямыми х — а, у = а.
Решение. Так как фигура АВЕ имеет ось симметрии — биссектрису координатного угла, центр тяжести должен лежать на этой биссектрисе. Таким образом,
хс — Ус-
Для нахождения хс применим формулу
где S — площадь фигуры;
S« — статический момент площади относительно оси у.
Обе величины вычисляют с помощью интегрирования.
Абсциссы крайних точек фигуры суть хв = -^- (пересечение ли- „а$\
нии у=а и ху = -^\ и хд = а.
Имеем а
8 = куг — у^<1х =—■3j-)dx = T(3 —1п4);
ХАа
Sx = x^y1 — yx)dx= ^(а~ У^=95«хвА
4
Таким образом, получим
хс~Ус — 8 (3—Ли 4)"0-697 й.
Задача 309 (рис. 229). Обводы поперечного сечения судна имеют форму половины эллипса, уравнение которого
где В — ширина сечения;
Т — осадка.
Определить статические моменты Sv, Sy изображенной площади.°
Ответ:— S = 0.
У 3
Задача 310 (рис. 230). Носовая часть ватерлинии задана уравнением
У — ± ”4 (1 +cos
причем О^гх^Т. Определить статический момент Sy площади, ограниченной этой частью ватерлинии и осью Оу, относительно
Рис. 229Рис. 229Рис. 230Рис. 230
Рис. 229
Рис. 229
Рис. 230
Рис. 230
оси Оу, если ширина В = 12 м, а длина носовой части ватерлинии А = 64 м.
Ответ: Зу = 0,15В7Т = 7320 я8.
Задача 311. Найти центр тяжести площади, ограниченной линией, уравнение которой у = b cos ^, и осями координат, если а = 80 м, Ь = 9 м.
/2 \
Ответ: хг = а 129 м;
ус = ^3,53 м.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
КИНЕМАТИКА
В «Кинематике» приняты следующие обозначения:
г — радиус-вектор точки;s—дуговая координата;t — время;у— скорость точки;^rt d^, uz— проекции скорости на оси цилиндрических координат;у^, у , у&— проекции скорости на оси 9 сферических координат;уЛ, уv> ^—проекции скорости на* декартовы оси;w —ускорение точки;^i^Cor — ускорение Кориолиса;wn— нормальное ускорение;^вр — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;wu — центростремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;— осестремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;w£ — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;г — радиус-вектор точки;s—дуговая координата;t — время;у— скорость точки;^rt d^, uz— проекции скорости на оси цилиндрических координат;у^, у , у&— проекции скорости на оси 9 сферических координат;уЛ, уv> ^—проекции скорости на* декартовы оси;w —ускорение точки;^i^Cor — ускорение Кориолиса;wn— нормальное ускорение;^вр — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;wu — центростремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;— осестремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;w£ — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;wT— касательное ускорение;— проекции ускорения на оси цилиндрических координат;wR, w^, w&— проекции ускорения на оси сферических координат;w^, Wp w2 — проекции ускорения точки на декартовы оси;г, <р — полярные координаты;г, <р, г — цилиндрические координаты;R, ?» ^ — сферические координаты;иа, wa; Тод — кинематические характеристики абсолютного _ движения;vr, wr, o)r — кинематические характеристики относительного движения;у^ ^, <йе — кинематические характеристики переносного движения;х, у, 2—декартовы координат; е—угловое ускорение;р—радиус кривизны;со—угловая скорость;tp, ^, $ — углы Эйлера.wT— касательное ускорение;— проекции ускорения на оси цилиндрических координат;wR, w^, w&— проекции ускорения на оси сферических координат;w^, Wp w2 — проекции ускорения точки на декартовы оси;г, <р — полярные координаты;г, <р, г — цилиндрические координаты;R, ?» ^ — сферические координаты;иа, wa; Тод — кинематические характеристики абсолютного _ движения;vr, wr, o)r — кинематические характеристики относительного движения;у^ ^, <йе — кинематические характеристики переносного движения;х, у, 2—декартовы координат; е—угловое ускорение;р—радиус кривизны;со—угловая скорость;tp, ^, $ — углы Эйлера.
г — радиус-вектор точки;
s—дуговая координата;
t — время;
у— скорость точки;
^rt d^, uz— проекции скорости на оси цилиндрических координат;
у^, у , у&— проекции скорости на оси 9 сферических координат;
уЛ, уv> ^—проекции скорости на
* декартовы оси;
w —ускорение точки;
^i^Cor — ускорение Кориолиса;
wn— нормальное ускорение;
^вр — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;
wu — центростремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;
— осестремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;
w£ — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;
г — радиус-вектор точки;
s—дуговая координата;
t — время;
у— скорость точки;
^rt d^, uz— проекции скорости на оси цилиндрических координат;
у^, у , у&— проекции скорости на оси 9 сферических координат;
уЛ, уv> ^—проекции скорости на
* декартовы оси;
w —ускорение точки;
^i^Cor — ускорение Кориолиса;
wn— нормальное ускорение;
^вр — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;
wu — центростремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг оси;
— осестремительное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;
w£ — вращательное ускорение точки тела при его вращении вокруг неподвижной точки;
wT— касательное ускорение;
— проекции ускорения на оси цилиндрических координат;
wR, w^, w&— проекции ускорения на оси сферических координат;
w^, Wp w2 — проекции ускорения точки на декартовы оси;
г, <р — полярные координаты;
г, <р, г — цилиндрические координаты;
R, ?» ^ — сферические координаты;
иа, wa; Тод — кинематические характеристики абсолютного _ движения;
vr, wr, o)r — кинематические характеристики относительного движения;
у^ ^, <йе — кинематические характеристики переносного движения;
х, у, 2—декартовы координат; е—угловое ускорение;
р—радиус кривизны;
со—угловая скорость;
tp, ^, $ — углы Эйлера.
wT— касательное ускорение;
— проекции ускорения на оси цилиндрических координат;
wR, w^, w&— проекции ускорения на оси сферических координат;
w^, Wp w2 — проекции ускорения точки на декартовы оси;
г, <р — полярные координаты;
г, <р, г — цилиндрические координаты;
R, ?» ^ — сферические координаты;
иа, wa; Тод — кинематические характеристики абсолютного _ движения;
vr, wr, o)r — кинематические характеристики относительного движения;
у^ ^, <йе — кинематические характеристики переносного движения;
х, у, 2—декартовы координат; е—угловое ускорение;
р—радиус кривизны;
со—угловая скорость;
tp, ^, $ — углы Эйлера.
ГЛАВА V
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 1. Координатный и векторный способы задания движения точки Уравнения движения точки. Траектория
При координатном способе задания движения положение точки в пространстве в любой момент времени t определяется декартовыми координатами :
х = х(/); у = у№; г = х(0.(5.1)
Уравнения (5.1) называют уравнениями движения точки. При векторном способе задания движения положение точки в любой момент времени определяется ее радиусом-вектором:
r = r<t\
Исключив из уравнений (5.1) параметр t, получим непараметрические уравнения кривой, по которой движется точка. Траекторией точки может быть вся полученная кривая или ее часть. Для определения траектории следует установить области изменения координат х, у и г по заданным уравнениям движения, считая время движения / существенно положительной величиной. При известном уравнении кривой, по которой движется точка, траектория во многих случаях может быть выделена заданием области изменения только одной координаты. При исследовании траекторий точек механизмов следует учитывать также конструктивные особенности данного механизма, ограничивающие его движение.
Задача 312 (рис. 231). Движение точки в плоскости хОу задано уравнениями
x = asin/, 1
„„ /(а)
у = 2а cos 2/, J1 7
где а— постоянная (а^>0);
/ — время.
Определить траекторию точки и исследовать ее движение.
Решение. Заданные уравнения движения точки (а) являются уравнениями траектории в параметрической форме. Для получения уравнения кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме следует из этих уравнений исключить параметр t. Имеем
у = 2а cos 2/ = 2а(1 — 2 sin’/).
Из первого уравнения (а) найдем
тогдатогдаSin/ ——,а 1
тогда
тогда
а /12.г2\
ф)ф)У=2а^ — -г).
ф)
ф)
Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке (0,2а), а ветви направлены вниз. Однако не вся полученная парабола является траекторией точки. Действительно, из (а) следует, что | х | ^ а, | у |2а, т. е. траекторией
точки является часть параболы, заключенная внутри прямоугольника со сторонами 2а и 4а. Таким образом, уравнением траектории точки является
у = 2а I I—^J при —а^х^а
Найдем начальное положение точки.
При / = 0 имеем х|м = 0; y|z_0 = 2a, т. е. точка в начальный момент находилась в вершине параболы. При возрастании t от 0 до -у сек абсцисса х увеличивается, а ордината у уменьшается, т. е. точка движется по параболе вправо. При t = tv = ™ сек имеем
4-^ = a; У1<-(1 = —2а.
В промежутке ~ ceK^t s£^ сек точка движется по параболе влево, проходя ее вершину в момент i = /2 = it сек. Начиная с момента / = t3 = у сек, точка снова движется вправо, проходя начальное положение в момент t — tl=2'K сек, и т. д. Таким образом, точка совершает с течением времени колебательное движение вдоль параболы.
Задача 313 (рис. 232). Зубчатое колесо / радиусом г обкатывается внутри неподвижного зубчатого колеса // радиусом R = 2г с помощью кривошипа О1Оа, угол поворота которого <р задан как функция времени: ^ = kt (k— постоянная). Определить уравнения движения и траекторию конца А отрезка АВ длиной /, неизменно связанного с колесом / и расположенного вдоль его радиуса. При / —0 колесо / занимало нижнее положение (показанное на рисунке пунктиром) и точка В совпадала с центром колеса //
Решение. Рассмотрим положение механизма в некоторый текущий момент времени t. Колесо / займет при этом положение, показанное на рисунке.
Пусть С— точка колеса /, которая в начальный момент t = 0 находилась в Со — месте зацепления колес. Из условия отсутствия скольжения (благодаря наличию зубцов) имеем cd=cTd
или
Rc? = п,
Рис. 232Рис. 232где
Рис. 232
Рис. 232
L COJD.
т Имея в виду, что R = 2г, получим у = 2у. Обозначим через 9 острый угол, составленный диаметром СВ с вертикальной осью О^у. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем
т = ф4-^ = 2ф, откуда ф = <р.
Отсюда легко заключить, что точка С в процессе всего движения будет перемещаться вдоль оси Огу.
Обозначим координаты точки А через х и у. Введем радиус- вектор р — 0>А. Из рисунка ясно, что
Р = О.2О1 + OtA.
Проектируя это векторное равенство на оси, получим х= О>О\ sin <р -}“ OyA sin ф = (2г 4-I) sin у, 1 у —— OsOi cos ср 4- OyA cos ф = I cos ср. J
Отсюда следует, что точка В в процессе движения перемещается вдоль оси Огх, так как ув = уА— Zcoscp = Q.
Подставляя в (с) ^ = kt, получим уравнения движения точки А; х = (2г4-1) sin kt, у —I cos kt,
которые одновременно являются и уравнениями траектории точки в параметрической форме. Исключая время t, получим уравнение кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме. Для исключения t перепишем уравнения движения в виде
— = sin^; = cos kt.
2r 4-1I
Пользуясь тождеством
sin2 kt -L cos3 kt — 1, получим
Это эллипс с полуосями a — 2r - I, b = l и центром в начале координат. При изменении t от 0 до сю абсцисса х изменяется в пределах —a<x^tz, а ордината у — в пределах — b^ys^b, и, следовательно, точка в своем движении обходит весь эллипс. Таким образом, в данной задаче вся кривая определяемая уравнением (d), является траекторией точки.
независимо друг от друга вокругнезависимо друг от друга вокругЗадача 314. В инверсоре, изображенном па рис. 233, стержни АС, СВ, BD, DA соединены шарнирно между собой и со стержнями ОС и OD, вращающимися оси О. Шарнир А при помощи ползуна перемещается по прямолинейной направляющей MN. Найти уравнения движения и траекторию точки В механизма, если угол, образованный прямой ОА и перпендикуляром ОЕ к направляющей MN, изменяется по закону 's = kt, АС = СВ — = BD—DA=a, OC — OD — b, ОЕ — l (к = const).
независимо друг от друга вокруг
независимо друг от друга вокруг
Il p и м e ч а н и с. Конструкция механизма такова, что угол ср не может неограниченно увеличиваться, поэтому рассматриваемое движение механизма возможно лишь в течение ci раничениого времени.
Решение. Выберем оси координат, как показано па рисунке. Точку пересечения диагоналей ромба ACBD обозначим О,. Вследствие симметрии точка В лежит па прямой ОА. Кроме того, очевидно, что ВОг — ОхА. Обозначив текущие координаты точки В через х и у, из рисунка найдем
х — ОВ cos ср, у—ОВ sin ср.
Для определения ОВ рассмотрим произведение ОВ-ОА. Имеем
ОВ ■ ОА = (ОО, - О,В) (00, ~ О,Л) = 001 — ОуВ\ но
001 = № — ОХС\ ОХВ* = а4 — 0,С2, следовательно,
О В • О А = &2 - а2
(это равенство показывает, что произведение расстояний от точек Л и В до точки О постоянно при любом положении механизма и характеризует геометрическое преобразование — инверсию, чем и вызвано название механизма).
Из рисунка видно, что
COS<p ' а тогда
0В = ^=^ cost?.(/)
Принимая во внимание равенство (f) и ^ = kf, из (е) получим х=—j—cos3 kt =—^— (1 + cos 2^);
у = —^Sin kt COS kt = —2)— sm 2^7.
Эти выражения представляют собой уравнения движения точки В. Исключая из них время t с помощью тождества
sin3 2kt -[- cos3 2kt = 1,
получим уравнение кривой, по которой движется точка,
Таким образом, траекторией точки В является дуга окружности, проходящей через начало координат и имеющей радиус
J2 д2
г = —^—• Центр этой окружности лежит на оси Ох и делит пополам расстояние от точки О до положения точки В, отвечающего значению ® = 0 .
Задача 315. По заданным в векторной форме уравнениям движения точки определить ее траекторию:
г = (2/+1)7+(2 —30/;_
г = (2 + 30^+(1 — 20/ + (2 + 0^;
г = t4^- (5 —2/3) к;
r = 3 cos^ 7+f 1+3sm^/;
т = ^2 + sin ^7+^1 4~2cosy^;
г = 6 cos 2/ / + tk\
r — (3 -|- 2 cos 20 7+ (2 — 3 sin 20 j",
r = 3 sin (3J-|-2 cos t3k;
r = ti 4~ t2t — f2) J;
f = cos 2/7+sin/А
Ответы:Ответы:1. Зх4-2у=7; ? = 0(1 <х<оо);
Ответы:
Ответы:
2 Т^^-^(2<х<оо);
2x4-? = 5; у —О(0^х<^оо);
X2-4(у_ 1)2 = 9;г=0;
(х-2)34-^^=1; у = 0;
у = 6со$2г; х = 0(0й5г<оо);
7 <X-3Y I О’-2)2 — у
у — 2х— х2; 2 = 0(0^х<4оо);
Ю. х=1 — 2г2; у = 0(-1-5x^1).
Задача 316. По заданным уравнениям движения точки найти ее траекторию в плоскости хОу и начальное положение.
1.2.3.4.5.67.8.9.10.11.12.1.2.3.4.5.67.8.9.10.11.12.X = 2sin ;х = 3 cos t;x = V 7;x=4j-2;x = 2 cos 2Z;x = 4 sin 24,x = 2tg^ ;-r = 3tg(;x = 34, x — o (sin kt - x = 2sin/2;X = 2sin ;х = 3 cos t;x = V 7;x=4j-2;x = 2 cos 2Z;x = 4 sin 24,x = 2tg^ ;-r = 3tg(;x = 34, x — o (sin kt - x = 2sin/2;у = 3 cos ;y = 3 — 5 sin /;y — eУ = 34;y = 3 sin t;у = 2 cos /;y = 3sin/ (/<4^);y = cos/ (t<^T^;y — 6t — 54;cos kty, y = b (sin kt — cos kty, y = 3cos f-;у = 3 cos ;y = 3 — 5 sin /;y — eУ = 34;y = 3 sin t;у = 2 cos /;y = 3sin/ (/<4^);y = cos/ (t<^T^;y — 6t — 54;cos kty, y = b (sin kt — cos kty, y = 3cos f-;x — a 4- r cos «>t;y = rs\n«>t;x — a 4- r cos «>t;y = rs\n«>t;
1.
2.
3.
4.
5.
6
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1.
2.
3.
4.
5.
6
7.
8.
9.
10.
11.
12.
X = 2sin ;
х = 3 cos t;
x = V 7;
x=4j-2;
x = 2 cos 2Z;
x = 4 sin 24,
x = 2tg^ ;
-r = 3tg(;
x = 34, x — o (sin kt - x = 2sin/2;
X = 2sin ;
х = 3 cos t;
x = V 7;
x=4j-2;
x = 2 cos 2Z;
x = 4 sin 24,
x = 2tg^ ;
-r = 3tg(;
x = 34, x — o (sin kt - x = 2sin/2;
у = 3 cos ;
y = 3 — 5 sin /;
y — e
У = 34;
y = 3 sin t;
у = 2 cos /;
y = 3sin/ (/<4^);
y = cos/ (t<^T^;
y — 6t — 54;
cos kty, y = b (sin kt — cos kty, y = 3cos f-;
у = 3 cos ;
y = 3 — 5 sin /;
y — e
У = 34;
y = 3 sin t;
у = 2 cos /;
y = 3sin/ (/<4^);
y = cos/ (t<^T^;
y — 6t — 54;
cos kty, y = b (sin kt — cos kty, y = 3cos f-;
x — a 4- r cos «>t;y = rs\n«>t;
x — a 4- r cos «>t;y = rs\n«>t;
Ответы:
l-"^ + y=L При / = 0:х„ = 0; yft = 3;
^-;_<y^L=i. При / = О:хо = 3; ye = 3;
y = e^v2 (0^x<oo). При / = О:хо = О; у0=1;
х4~У = 5 (2^Cx<oo). При/ = 0 : х0 = 2; у0 = 3;
у2 = ~(2 — х) (— 2 $5X5^2). При < = О:хо = 2; уо = О;
6 х2 = 4у3 (4 - у3) (—4х4). При / = О:хо = О; у» = 2;
10-сх<осу При / = 0: хо = О; уо = О;
y^l^p (О^х<со\ При / = 0:х« = 0; ув=1;
у = 2х— |х’ (О^хСоо). При / = О:хо —0; у« = 0;
j0" '^'+'^==1- При / = О:хо = а; уй = — Ь;
Н. чр = 1 ■ Г1РИ 1=^:хй = 0; у6 = 3;
12. (х— а)3 + у2 = г3.При £ = 0 : Хо — а-р г; у» = О.
Задача 317. Точка движется по окружности радиусом г против хода часовой стрелки так, что проходимая ею дуга изменяется по закону s = kt. Найти уравнения движения точки по отношению к системе хОу с началом в центре окружности, если горизонтальная ось Ох проходит через начальное положение точки.
kt.kt
Ответ: x = rcosy; y = rsmr.
Задача 318 (рис. 234). Кулиса ОМ длиной I приводится в движение кривошипом 0^, вращающимся по закону <p = kt2. Составить уравнения движения конца кулисы М, если О1О = О1Л.
„. . kt2, kt2
Ответ: x—lstn-^- w = /cos-^-.
*2
Задача 319 (рис. 235). Стержень АВ длиной I движется так, что одна из его точек описывает окружность радиусом г<^у, а сам стержень проходит через неподвижную точку N, лежащую на той же окружности. Составить уравнения движения точки В, если <р = ш/.
Ответ: x = r cos mt -f- I sin ^;
y = r Sin tot — I COS "2 .
Задача 320 (рис. 236). В V-образном двигателе угол между осями цилиндров а = 90°. Коленчатый вал вращается по закону 140
Рис. 236Рис. 236<р = оЦ. Составить уравнения движения пальцев В и С, если длина кривошипа OA = R, а длины шатунов АВ и АС равны L.
Рис. 236
Рис. 236
Ответ:
OB — Rcosо>(Ц-Ь^/" 1 —■ р- sin2 tot;
<9C = 7?sinwj!4-A|/ 1—£ cosM.
Задача 321. В V-образном двигателе угол а между осями цилиндров равен 60°. Коленчатый вал вращается по закону <p = oV. Составить уравнения движения пальцев В и С по направляющим, если длина кривошипа ОА равна R,
а длины шатунов АВ и АС равны 2R. Определить положение пальца поршня В в тот момент, когда поршень С находится в крайнем верхнем положении (рис. 236).
OC = R cosOC = R cos— tot \ + 27?— tot \ + 27?OBV№ = 2,307?.Задача 322 (рис. 237). Стержень АВ длиной около точки В так, что угол ср изменяется поOBV№ = 2,307?.Задача 322 (рис. 237). Стержень АВ длиной около точки В так, что угол ср изменяется поI поворачивается закону ср = ш/, аI поворачивается закону ср = ш/, аОтвет: ОВ = R cos tot -|- 27? р^ 1 ——;
OC = R cos
OC = R cos
— tot \ + 27?
— tot \ + 27?
OBV№ = 2,307?.
Задача 322 (рис. 237). Стержень АВ длиной около точки В так, что угол ср изменяется по
OBV№ = 2,307?.
Задача 322 (рис. 237). Стержень АВ длиной около точки В так, что угол ср изменяется по
I поворачивается закону ср = ш/, а
I поворачивается закону ср = ш/, а
ползун В совершает гармонические колебания согласно уравнению s — a-^b sin u>t. Определить траекторию точки А.
Ответ: ^Т+ ^ = 1 (эллипс). (О + /)■ 1 z- 47
Задача 323 (рис. 238). Стержень АВ длиной I движется так, что конец А скользит по неподвижной прямой Оу, а ось стержня АВ все время проходит через неподвижную точку С, отстоящую
от оси Оу на расстоянии ОС = а. Найти уравнение кривой, по которой движется точка В.
„.2 (х— a)1(Is— х2)
Ответ: у —-
ИИIIРис. 240Рис. 240Задача 324 (рис. 239). Кривошип ОА вращается так, что угол его поворота <p = 20it/. Длина кривошипа ОА = 20 см, длина шатуна АВ = 100 см. Определить уравнения движения точки М шатуна, отстоящей от точки А на расстоянии АМ АВ.
И
И
I
I
Рис. 240
Рис. 240
Ответ: х= 20 cos 20^ + 8^25 — sin220w/ см, у — 12 sin 20я/ см.
Задача 325 (рис. 240). Составить уравнения движения точки N реборды колеса, если оно катится без скольжения по горизонтальной рейке и имеет скорость центра, равную у0. В начальный момент точка N занимает наинизшее положение. Радиус колеса г, радиус реборды R.
Ответ: xN=u6t — Rsin^; yN = r — Reos — .
Задача 326 (рис. 241). Зубчатая рейка АВ обкатывается по неподвижному зубчатому колесу радиусом R так, что угол между
радиусом ON, проведенным в точку касания N, и горизонталью изменяется по закону ^ = kt. Составить уравнения движения точки М рейки, занимавшей в начальный момент положение Ми.
Ответ:
х —R cos kt-^-kRt sin kt", y — Rsmkt — kRt cos kt.
Задача 327. В механизме, изображенном на рис. 242, линейка А В движется так, что ее концы Д и В во все время движения скользят по прямолинейным направляющим, которые образуют между собой угол а. Определить траекторию точки М линейки, если АМ—а, ВМ — Ь.
Ответ: дуга эллипса, уравнение которого
aaa6 CIg Я] 6s 1a6 CIg Я] 6s 1
a
a
a6 CIg Я] 6s 1
a6 CIg Я] 6s 1
(эта кривая второго порядка может быть только эллипсом, так как из уравнения видно, что всегда |t/|^6).
Задача 328 (рис. 243). Кривошип ОД поворачивается вокруг неподвижного шарнира О гак, что ^ = kt, и имеет на конце Д ползун, заставляющий кулису K.L перемещаться в направляющих Е.
При этом ползун С с двумя взаимно перпендикулярными направляющими приводится в движение по прямой KL благодаря стержню ВМ, шарнирно соединенному с кривошипом ОА в точке В. Определить уравнения движения точки С и ее траекторию, если ОА=а, ОВ — Ь.
Ответ: xr = a cos kl\ yr — bsmkt;
траектория — эллипс:*■
Задача 329 (рис. 244). Кривошип ОД длиной а поворачивается вокруг неподвижного шарнира О. На конце А он имеет ползун, заставляющий кулису KL перемещаться в направляющих Е. При этом по прямой KL перемещается ползун D, соединенный шарнирно с кривошипом ОА стержнем BD. Определить траекторию точки D, если BA—BD — b.
V2
Ответ: эллипс ^- 4- ^ „^ьу = *•
Задача 330 (рис. 245). Линейка АВ длиной 2a скользит своими концами Д и В по двум взаимно перпендикулярным направляющим. В середине С линейки, под прямым углом к ней, прикреплен стержень CD, длина которого равна а. Показать, что конец D стержня движется по биссектрисе угла между направляющими.
Задача 331. Считая в задаче 330, что длина стержня CD равна с (причем с Ф а), определить траекторию точки D, отнеся движение к осям, являющимся биссектрисами углов между направляющими.
Указание. Принять за параметр угол, составленный CD с осью Ох.
Ответ: эллипс 7—74- 7——= 1 ■ (а + с)2 1 (а — с)2
Задача 332 (рис. 246). Стержень BCD, изогнутый под прямым углом, перемещается таким образом, что точка В скользит по
прямолинейной направляющей, a CD все время проходит через неподвижную точку А. Считая, что ВС = ОА = а, определить уравнения движения точки С и ее траекторию, если угол у изменяется по закону <р = &/ в пределах 0<<р<^у.
Ответ: x = acos kt\ y = acos kt tgy. Траектория — дуга строфоиды
у2 а — хх1 а х ’
причем О^х^а.
Задача 333 (рис. 247). В механизме Сомова ползуны А и С перемещаются по общей направляющей, а шарнирный четырех
угольник EDBF представляет собой ромб со стороной а. Механизм приводится в движение кривошипом OEF, вращающимся вокруг
точки О так, что /_ АОЕ — ^ = kt. Определить уравнения движения точек В и D и их траектории, если ОГ. = ВС = АВ = Ь.
Ответ: хв = (Ь^- 2а) cos kt; ув = b sin kt. xD— lb^a) cos kt; yD = (b — a) sin kt.
Траектория точки В — эллипс
tbA^W 62
Траектория точки D— эллипс
(b + a)2 । (Ь — аУ
Задача 334. В эллипсографе, изображенном на рис. 248, определить траекторию точки D при вращении кривошипа ОХЛ вокруг
Рис. 248Рис. 248
Рис. 248
Рис. 248
точки 01, если ОМ — а, OtO = 3a, AC = АВ = 4a, АК = АЕ = — KD = DE = a __
Ответ: эллипс ™= [
Задача 335. В гиперболографе, изображенном на рис. 249, ползун А движется по прямолинейной направляющей MN. Найти уравнение кривых, по которым движутся точки Е и D, если OiA = 02А =а, OtE = 0>Е = 0^ — 0>D — Ь, а угол, образованный направляющей MN с осью Ох, равен а.
Ответ: гипербола х1 — ^- — № — а1.
Задача 336. На рис. 250 показан механизм Гершгорина. В точках D и С двух одинаковых зубчатых колес на расстояниях rt и г2 от их центров присоединены одинаковые по длине стержни DF и CF, соединенные между собой шарниром. К серединам этих стержней шарнирно присоединены стержни КМ и ЕМ так, чго фигура KMLF образует ромб. Определить траекторию точки М при движении механизма, если в начальный момент точки D, С и М лежали на прямой, соединяющей центры колес А и В.
Указание. Углы, образованные отрезками DA и СВ с прямой АВ, будут все время равны между собой. Точка М все время находится на середине отрезка DC.
V2
Ответ: эллипс -, ,+ у———?= 1.
\2\2/
Задача 337. В механизме, изображенном на рис. 251, найти уравнение движения точки В, если кулиса ОАВ вращается так.
Рис. 251Рис. 251
Рис. 251
Рис. 251
что угол <р = ш<, а расстояние от точки О до направляющей стержня 00t = b, длина О А равна а. Угол ОАВ — прямой.
Ответ: и = —4- b tg «at.
COS 1°
Скорость и ускорение точки
При задании движения точки в прямоугольных декартовых координатах скорость и ускорение точки определяются по их проекциям на неподвижные оси: dx .dy .dz .
u' = 'dt~x' uv=Tt=y’ yZ=di=r*(5-3)
de- ..de- ..de, ..
^=51=4' w2= d- = z-,(5.4)
и = Ku» + o' + u^;(5.5)
w = V"wxWv-V-w,;(5.6)
cos (u, x) = —; cos (9, у) = 2У;
У -У(5-7)
cos (5, г) —^;
cos x) = —; cos (ay, =
Ю(5-8)
cos (w, г) = —.
Уравнениями годографа скорости в параметрическом виде являются
Х\ = оА — х; yt^Vy—tj; zt — u. = z,(5.9)
где хь yh z,—текущие координаты точки, вычерчивающей годограф, а оси O|Xi, 0vyv, Ovzv соответственно параллельны осям Ох, Оу, Oz.
Задача 338. Даны уравнения движения точки:
х = ^; у = -^Р
(х, у — в сантиметрах; t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) скорость точки в момент t— 1 сек; 3) годограф скорости; 4) ускорение точки при I — 2 сек.
Решение. 1. Исключая t из уравнений движения, получим уравнение кривой, по которой движется точка,
У^^х3
(полукубическая парабола). Траекторией является часть этой параболы, соответствующая х^О.
Находим проекции скорости точки на оси координат по формулам (5.3):
u, = i = 2/; vv — y = P, откуда_
у = /У41- Р.
Следовательно,"
у |<=1 сек= У^ = 2,24 см/сек.
Направление скорости определяется направляющими косинусами (5.7):
cos (у, х) =, 2 ..; cos (у, у) = y-v =.
При /=1 сек имеем
COS (у, х) = —COS (0, «)=-—.
Таким образом, скорость в момент /=1 сек составляет с осями Ох и Оу соответственно углы, равные 26°34' и 63°26'.
Находим уравнения годографа скорости в параметрическом виде по формулам (5.9):
X! —у^ —2С, y^Uy — P.
Исключая /, получим
а?
Годографом скорости точки является часть этой параболы, соответствующа я
О - г Х1 <со.
Находим проекции ускорения на оси координат по формулам (5.4):
dy v л dy у ~,^ = ^ = 2; ^ = ^ = 2/.
Отсюда
w = 2Vl-V-t\ следовательно,_
w\t=2 сек = 2 V5 =4,47 см^сек1.
Направление ускорения определяется направляющими косинусами по формулам (5.8):
cos х) =cos у) = —=£
При / = 2 сек получим
1
cos (w, х) =; cos (70, у) =— .
Гбу о
Таким образом, вектор ® в момент / = 2 сек образует с осями Ох и Оу соответственно углы 63с26' и 26с34'.
вращается вокруг неподвижноговращается вокруг неподвижногоРис. 252Ось этого ползуна закрепленаРис. 252Ось этого ползуна закрепленаЗадача 339. В механизме, показанном на рис. 252, стержень OL шарнира О по закону <p = wZ (w — постоянная) и проходит в точке В через поворотный ползун /, соединенный шарнирно с другим ползуном //, движущимся по вертикальной направляющей СМ, которая может перемещаться лишь поступательно. К ползуну / прикреплен стержень ВК, перпендикулярный к его оси и ’проходящий в точке А через поворотный ползун ///. на стержне CD на расстоянии
вращается вокруг неподвижного
вращается вокруг неподвижного
Рис. 252
Ось этого ползуна закреплена
Рис. 252
Ось этого ползуна закреплена
СА — 2р от точки С.
Найти кривую, по которой движется точка В, а также скорость и ускорение этой точки.
Решение. Выберем оси координат так, как показано на рисунке. Обозначив текущие координаты точки В через х и у, из прямоугольного треугольника АСВ найдем
у = 2/? ctg v, а из треугольника ОС В —
x = r/ctgy = 2pctgac?.
Принимая ния точки В:Принимая ния точки В:во внимание, что <р = «V, получим уравнения движе-
Принимая ния точки В:
Принимая ния точки В:
x = 2pctg2w/, y = 2pctgtot.
Исключая время t, находим уравнение искомой кривой: у2 = 2рх (парабола).
Заметим, что конструктивно угол у не может увеличиваться беспредельно, и потому движение точки В фактически происходит по части параболы. Скорость точки В определим по (5.3):
их = х = — 4р a) ctg oV cosec5 со/; vy — у = — 2р <•> cosec2 wt.
По (5.5) найдем величину скорости:
и = УиГДу, = Kl 4-4ctg2tot.
По (5.7) можно найти направление вектора и. Выразим и так же, как функцию абсциссы х. Имеем
ctg'2 tot = 4-. cosec2 tot = 1 4- t
ь' 2р’
следовательно,
и =(2р + х) У2хД"р-
Vp
Для определения ускорения воспользуемся формулами (5.4k Получим после простых преобразований:
шх = йх = 4р оУ2 cosec'2 tot (1 Ц- 3 ctg2 со/);
ш =f) = 4р иУ2 cosec2 tot • ctg tut.
Проекции ускорения можно выразить и как функции координат.
Рис. 253Рис. 253Получим
Рис. 253
Рис. 253
Шх = j ^Р + Зх) (2/? -| - х);
®v = $ <4У У У) = у (2р + х).
Из этих формул видно, что wA, wv увеличиваются с возрастанием х и у. По (5.6) теперь легко найти величину ускорения, а по (5.8) — направление вектора ®.
Задача 340 (рис. 253). Груз С поднимается по вертикальной направляющей при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок А, отстоящий от направляющей
на расстоянии АО = а. Определить скорость и ускорение груза С в зависимости от расстояния ОС = х, если свободный конец троса
тянут с постоянной скоростью и.
Решение. Из треугольника АОС имеем
х = УХАСУ — аг.
Пусть Со — начальное положение груза. Обозначая АСв = 1, получим
АС = 1 — ut,
и уравнением движения груза С будет
х = У(1 — и^ — а>.(§)
Находим проекцию скорости на ось Ох;
dx и (Z — ut) (I — ut) и
Из (g) найдем
/ — ut — Vx^-^a1, следовательно,
и, = — ^ V^-W.(Л)
Знак «минус» указывает на то, что точка движется в сторону уменьшения абсциссы х, т. е. вверх.
Находим проекцию ускорения точки на ось Ох;
их 1 . иа^Х^== Х =7==. хУх8 + а3] х3Уха + а5их 1 . иа^Х^== Х =7==. хУх8 + а3] х3Уха + а5
их 1 . иа^Х
^== Х =7==. хУх8 + а3] х3Уха + а5
их 1 . иа^Х
^== Х =7==. хУх8 + а3] х3Уха + а5
Так как х = их, то окончательно получим
wwи-а-
w
w
Знак «минус» указывает на то, что ускорение точки направлено также вверх. Таким образом, движение груза является ускоренным.
Задача 341 (рис. 254). Два судна А и В идут взаимно перпендикулярными курсами с постоянными скоростями, равными по ,величине 20 узлам (узел — единица ско-
V6роста, равная миле в час). Определить
/ДОзакон изменения расстояния s между ними,
\если в начальный момент суда занимали по
ложения Ло и Вв, причем ОЛ0 — ОВ6 — 3 °' х.мили.
X. .Ответ: 5 = ]/2(3 + 20/)миль(<— в часах).
-г4> ^Задача 342 (рис. 255). Курсы двух судов
А и В, идущих с постоянными скоростями Рис. 254 ил —25 узлов и ив=15 узлов, пересекаются в точке О под прямым углом. Определить, в какой момент времени tv расстояние s между судами будет наименьшим, а также момент времени ^, когда это рас-
стояние снова станет равным начальному расстоянию Л0В0 = 8(ь если ОЛ0 = 2,2 мили, а ОВе = 2 мили.
Ответ: /1 = 6 мин; /3=12 мин.
моря, нужно попасть в пункт В,моря, нужно попасть в пункт В,Задача 343 (рис. 256). Из пункта А, находящегося на берегу
моря, нужно попасть в пункт В,
моря, нужно попасть в пункт В,
4(? XРис. 2564(? XРис. 256отстоящий от берега на расстоянии 9 км. В каком пункте С нужно высадиться на берег со шлюпки, идущей со скоростью ^ = 1,5 м'сек, чтобы в крат-
4(? X
Рис. 256
4(? X
Рис. 256
чайшее время прибыть в пункт В, если средняя скорость ходьбы иа= 1,2 м}сек, а расстояние АВ = 41 км? Ответ: АС — 28 км.
Задача 344 (рис. 257). Человек получил задание в кратчайшее время добраться из пункта А, находящегося на берегу, на остров В, отстоящий от берега на расстоянии 17,3 кл!. В каком месте С человек _ZZZZZ~
должен пересесть на катер, если ско-—
рость катера 36 км-час, а скорость —
автомобиля, на котором он передви-У ,
гался по участку АС, равна 72 км, час? =-о1
Ответ: DC =10 км.д
Задача 345. Какое минимальноеРис. 257
время потребуется самолету для его
полета на расстояние 1000 км, если горизонтальные составляющие ускорения в начале и в конце движения не должны превосходить (для удобства пассажиров) 1 м^сек1?
Ответ: /тш = 33 -^- мин.
Задача 346. Движение точки М. задано уравнениями x = a(sin fc/-]-cos kt);r/ = a(sin kt — cos kt).
где а и k — постоянные величины.
Определить величины скорости и ускорения точки.
Ответ: u — akyy w — ak^y^.
Задача 347. Движение точки В механизма (см. задачу 319) задано уравнениями
x — r cos w/-|-1 sin -y; z/ = r sin G>/—/cosy, где ш — постоянная.
Определить величины скорости и ускорения точки В*
Ответ: и — и> I/ Д- д— г/ sin у;
9 1 Л 2 I /2 fl . tot+ 16-^-SW Т2-
Задача 348 (рис. 258). Кулиса ОМ длиной / приводится во вращение кривошипом 0vA, угол поворота которого <^^кЦк— постоянная). Определить величины
скорости и ускорения точки М, если
О^-ОА
~tk ik-
Ответ: у= • ф = —. 2 ’4
Задача 349. Даны уравнения движения точки М (см. задачу 326):
х = Д cos kt Д- к Rt sin kt, y = Rsinkt — к Rt cos kt, где к — постоянная.
Определить величины скорости и ускорения точки М как функции времени.
Ответ: v = k4Rt; w = k4R V 1 + кЧЧ
Задача 350 (рис. 259). Два стержня ОА и OtB, соединенные крестообразным ползуном D, могут вращаться вокруг точек О и 01 соответственно, образуя между собой все время угол 90°.
Определить величины скорости и ускорения точки D, если 001 = а, а £ А001 = о = kt, где к — постоянная.
Ответ: v = ak, w = ^.ak1.
Задача 351 (рис. 260). В кулисном механизме штанга АВ движется вверх с постоянной скоростью и. Составить уравнения движения точки С кулисы и определить величину скорости этой
точки в момент, когда у = -, если в начальный моментточки в момент, когда у = -, если в начальный моментср = О,ср = О,длина ОС = а, расстояние 0D — 1.длина ОС = а, расстояние 0D — 1.Ответ: хс =Ответ: хс =alalУс =Ус =aut , аиV"i2 + u2i2"’ °с 'aut , аиV"i2 + u2i2"’ °с 'Задача 352. На рис. 261 показан механизм Антонова. Крестообразный ползун А перемещается вверх по прямолинейной на
точки в момент, когда у = -, если в начальный момент
точки в момент, когда у = -, если в начальный момент
ср = О,
ср = О,
длина ОС = а, расстояние 0D — 1.
длина ОС = а, расстояние 0D — 1.
Ответ: хс =
Ответ: хс =
al
al
Ус =
Ус =
aut , аи
V"i2 + u2i2"’ °с '
aut , аи
V"i2 + u2i2"’ °с '
правляющей QQ с постоянной скоростью и. С центром этого ползуна шарнирно соединена втулка D, через которую проходит изогнутый под прямым углом рычаг LOM, вращающийся вокруг точки О, отстоящей на расстоянии а от направляющей QQ'. Другой стержень
СВ, проходящий через пол-рис. 261
зун А, заканчивается ползу
ном В, скользящим по стороне ОМ рычага LOM. Определить траекторию точки В и величину ее скорости в момент, когда
находился в точке Q.находился в точке Q.QA = a. В начале движения ползун А
находился в точке Q.
находился в точке Q.
Ответ: дуга параболы уг = ах; v = uV 5.
Задача 353 (рис. 262). В механизме проектора ползуны А и С движутся друг от друга со скоростью у каждый. Определить
Рис. 262Рис. 262в момент, когда BDE = y, скорости шарниров В, Е, F, D, если AE = CF = a, BE = BF = ED — = FD = l.
Рис. 262
Рис. 262
Ответ: 0^ = 0;
у№ = 0; u7V = ytg<p;
el
УЕУ У Ey /_ й tg 'f >УЕУ У Ey /_ й tg 'f >uFx — — UEx — — ?_1а
УЕУ У Ey /_ й tg 'f >
УЕУ У Ey /_ й tg 'f >
делить скорость точки D в зависимости от угла ? — Z ВАС, если точка А неподвижна, а точка С движется по прямой, перпендикулярной к BD, со скоростью и.
Ответ: vDx = ^ ;
ио = 2zi^ V"^(Г—а^ cos» ?'-
Задача 355. Даны уравнения движения точки:
:-$ х = 4 + 6/’; у = 3/2—1
Рис. 263(х, у —в сантиметрах, /— в се
кундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) величину скорости точки;
годограф скорости; 4) величину ускорения точки.
Ответ: 1) У = ^—3 (4 <д<^ оо); 2) п = 6/'К 5 слг/сек;
уг = 0,5xi (0 '^х, <^ оо); 4) и1 = бУ 5 см^сек4.
Задача 356. Даны уравнения движения точки:
х = 2 + /3; у = ~ 3/3 + 4
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) величину скорости точки;
годограф скорости; 4) величину ускорения точки.
Ответ: 1) у = — Зх + 10(2s^x<oo); 2) и = 3/1К10 см; сек;
У1 = — 3X1 (0 =Cxt <^ оо); 4) w = 6tV 10 см!сек4.
Задача 357. Даны уравнения движения точки М-.
х = 31; у — Я-
(х, у— в сантиметрах, t— секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) момент времени, когда величина скорости точки равна 5 см[сек; 3) величину скорости точки А, вычерчивающей годограф скорости.
Ответ: 1) У = ~ (tK^x^co); 2) t=^^- сек;
4
uA~wM — ^ см]сек4.
Задача 358. Движение точки задано уравнениями
х = 2/; y = evsin4^.
Определить: 1) уравнение траектории; 2) моменты времени, в которые скорость точки параллельна оси Ох; 3) моменты времени, в которые точка пересекает ось Ох.
Ответ: 1) i/ = e'8-vsin2x(0^x<^oo);
Задача 359. Движение точки происходит в вертикальной плоскости и задано уравнениями
x = t; y = s\x\t1
(х, у — в сантиметрах; t— в секундах).
Определить: 1) величину скорости точки в ближайший после начала движения момент времени, когда точка пересекает ось Ох; 2) величину ускорения точки в этот момент; 3) величину скорости точки в ее наивысшем положении на траектории.
Ответ: 1) и = 3,68 см!сек;
ш = 2 см/сек*.
v = 1 см)сек.
Задача 360. Даны уравнения движения точки:
х = 3<; у = 4< —3<2
(х, у — в сантиметрах, t— в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) моменты времени, в которые точка находится на оси Ох; 3) момент времени, в который величина скорости точки имеет наименьшее значение; 4) угол между направлениями скорости и ускорения точки при t = 1 /6 сек.
Ответ: 1) У=^~^~ (Оз^х^оо);
2) <i = 0; <2= д- сек;
*5^ t = сек; 4) а =135°.
Задача 361. Даны уравнения движения точки:
х = 1<2; у = 1/»
(х, у — в сантиметрах; /— в секундах).
Определить моменты времени, в которые угол между скоростью 3 и ускорением точки a = arccos — .
Ответ: /< = 1 сек; <2=1/2 сек.
Задача 362. Движение точки в интервале 0"/<^ задано уравнениями
x = tg/; r/ = cos4
(х, у — в сантиметрах, t— в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) величину начальной скорости точки и0; 3) уравнение годографа скорости.
Ответ: 1) у = т—^ («локон» Марии Аньези) (0^х<^оо);
о0 = 1 см сек1,
yi^-^-V^T.
Задача 363. Движение точки в интервале 0 ^ t < я задано уравнениями
x = tg-2; у—sin^
(х, у-— в сантиметрах, t— в секундах).
Определить: 1) траекторию точки; 2) уравнение годографа скорости.
Ответ: 1) у — 7;
ух = -1 (гипербола).
Задача 364. Движение двух точек Мх и М4 задано соответственно уравнениями
x = t; у = 2(г; 2) x = t\ у = №
(х, у — в сантиметрах, / — в секундах).
Определить: 1) траектории точек; 2) время Т, по истечении которого одна из точек догонит другую; 3) величины скоростей точек в этот момент; 4) величины ускорений точек в этот момент.
Ответ: 1) y = 2x‘i (0 =^х <" оо);
Г = 1 сек;
их — 4,12 см[сек; о2 = 8,25 см! сек;
шх = 4 см,'сек1; ш3 = 24,1 см]се£.
Задача 365. Брандспойт имеет расход воды q м?!сек. Площадь отверстия брандспойта равна а мг. Под каким углом а следует направить струю, чтобы она падала на расстоянии s метров?
Указание. Считать, что капли воды летят независимо друг от друга с ускорением свободного падения. Начальную скорость определить исходя из расхода.
Ответ: a = ^arcsin^-(g = 9,8 MjceK1^.
Задача 366. Точка движется из начала координат с ускорением w = — al-{-а], имеяначальную скорость 0о = уоЛ
Найти уравнение траектории и величину минимальной скорости точки.
Ответ: (х 4- уУ = ^; ит|п = -^=.
Выбрав новые оси, повернутые на а —45°, можно показать, что полученная кривая является параболой.
Задача 367. Точка движется с постоянной по величине скоростью в плоскости хОу. Вектор скорости и образует с осью Ох переменный угол a = at (а— постоянная). Определить траекторию точки и величину ее ускорения, если в начальный момент точка находилась в начале координат.
Ответ: окружность
о I / V VV2
х--- у=w = av.
а Iа8'
Задача 368 (рис. 264). Шток может свободно перемещаться в направляющих С и D при помощи шатуна АВ длиной /, ко-
Рис. 264Рис. 265
нец А которого, движется по закону ОА = x = asin и>/. Определить скорость штока в зависимости от абсциссы х ползуна А.
_। j/a2 — х8
Ответ: о = w х -4^=.
у Р — X8
Задача 369 (рис. 265). Источник света А опускается по вертикали со скоростью и — const. На столе имеется стойка высотой Л, отстоящая от этой вертикали на расстоянии а. Определить величины скорости и ускорения конца М тени по столу в зависимости от высоты источника света.
-ahu2ahu8
Ответ: и ==
Задача 370 (рис. 266). Гибкая нерастяжимая нить ABCD одним концом закреплена в точке D, а другим перекинута через неподвижный блок В, находящийся на той же высоте, что и точка D, причем расстояние BD — a. В точке С нити закреплен груз М, DC — b.
Определить вертикальную составляющую скорости груза М в зависимости от угла у, образованного частью нити CD с вертикалью, если конец А нити тянут с постоянной скоростью и.
Ответ: vy = *^1 у а* ^ — 2ab sin <р.
Задача 371 (рис. 267). Точка М при помощи стержня АВ, перемещающегося поступательно с постоянной скоростью й, пер-
Рис. 267Рис. 267Рис. 266
Рис. 267
Рис. 267
пендикулярной к оси Оу, приводится в движение по параболической направляющей, уравнение которой у8 = 2рх. Определить величины скорости и ускорения точки в зависимости от величины перемещения стержня.
Ответ: и = и 1/ 1 -4-w = ™ V 1 2л ’ 4х
Задача 372 (рис. 268). Кольцо М приводится в движение по параболической направляющей, уравнение которой у* — 2рх,
при помощи стержня О А, вращающегося вокруг точки О по закону <р —ш/ (ш— постоянная). Определить величину скорости кольца М в зависимости от координаты х.
Ответ: и = ;т= (^ + ^Р) V^x + р.
Задача 373. Точка движется по эллипсу, уравнение которого
Рис. 268
Найти те положения точки, в которых величина ее скорости больше величины проекции скорости на ось Ох в два раза.
а2 У З
Цилиндрические, полярные и сферические координаты
Цилиндрические координаты точки г, ^, г (рис. 269) связаны с декартовыми соотношениями
х — rcos<p; y = rsin<p; z — z.(5.10)
Уравнениями движения точки в цилиндрических координатах являются
г = г^у, ? = ?(<); z = z(/).(5.11)
Если z = 0 во все время движения, то цилиндрические координаты превращаются в полярные на плоскости хОу.
Рис. 269Рис. 270
Уравнениями движения точки в полярных координатах будут r = r<ty v = v(<).(5.12)
Если движение задано в полярных координатах, то скорость и ускорение точки можно определить через их проекции на оси полярных координат (г) и (<р):
Vr = h vs = r^(5-13)
и = ]/ у, Ц- ц^;(5.14)
wr = ? — г^\ ш? = 2?<р4-г^;(5.15)
да=]/"гУг + да?.(5.16)
Если движение задано в цилиндрических координатах, то дополнительно появятся проекции на ось (z), а именно:
и, — ^; wz = 2, и тогда
X) = V ^ + Ут + Уг;
Ш= К^г + ^ + W^.
Сферические координаты /?, <?, & (рис. 270) связаны с декартовыми формулами перехода:
x = 7?sin & cos <р; у = R sin & sin ср; z = 7?cos&.(5.17)
Проекции скорости на оси сферических координат (R), (ср), (&):
(5.18)(5.18)Ут = R sin & -<р; и 8 — 7$;
(5.18)
(5.18)
O=V У^У^^O=V У^У^^(5.19)(5.19)
O=V У^У^^
O=V У^У^^
(5.19)
(5.19)
Проекции ускорения на оси сферических координат:
wr = R — Д&2 — R sin2 & • ср2;
(5.20)(5.20)aiig = 7$ + 2А4— R sin & cos &• <р2;
(5.20)
(5.20)
— Дер sin 6-|-27?cpsin &-ф 27?&cp cos».
Задача 374. Движение точки в плоскости задано параметрическими уравнениями в полярных координатах:
г = а (1^У v = arctgZ
(г в сантиметрах, <р —в радианах, t— в секундах).
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки.
Решение. 1. Найдем кривую, по которой движется точка, для этого исключим / из уравнений движения. Имеем
/ = tgcp; г — а (1 4-tg2 <р) = ^^,
следовательно, уравнением искомой кривой является г = -^^7. Для преобразования этого уравнения к декартовым координатам воспользуемся (5.10). Имеем
г2 cos2 ср = аг или
х2 = а Ух2 -|- у2.
Возводя в квадрат, получим
отсюда
у = ± ^ Ух2 — а2.
Эга кривая состоит из двух ветвей. Точка при движении описывает только правую верхнюю ветвь (так как /5=0), которая и является ее траекторией.
Для определения скорости найдем ее проекции по (5.13) иг = г = 2.0,1, v¥ = r^=a.
Отсюда величина скорости
v = p^UT-W? = ct V1 + 4А
Направление скорости определяется углом а, который она образует с полярным радиусом:
Таким образом, с возрастанием времени скорость растет по величине, а угол, образуемый ею с полярным радиусом, стремится к нулю, т. е. направление скорости приближается к направлению полярного радиуса.
Найдем проекции ускорения по (5.15)
„.0а(1 + 2<2).. ,2at
величина ускорения будет
W = V 14)® + ^ =W = V 14)® + ^ =aV4t4 + №4-laV4t4 + №4-l1+Z21+Z2
W = V 14)® + ^ =
W = V 14)® + ^ =
aV4t4 + №4-l
aV4t4 + №4-l
1+Z2
1+Z2
XXРис. 271Рис. 271
X
X
Рис. 271
Рис. 271
который онокоторый оноНаправление ускорения определяется углом р, образует с полярным радиусом:
который оно
который оно
tgP~ i+2z2 •
Таким образом, вектор ©, как и и, при возрастании t стремится совпасть по направлению с полярным радиусом.
Задача 375. В механизме, изображенном на рис. 271, стержень LG проходит через поворотный ползун в точке А, а в точке В шарнирно закреплен на ползуне,
движущемся по прямолинейной , вертикальной направляющей MN. Найти кривую, по которой движется точка С, а также скорость и ускорение точки, если
MNJlAx,АО —а,
ВС — b, ср = ш/,
где ш — постоянная.
1611616 Н. А. Бражниченко и др.
161
161
Решение. Введем полярную систему координат с полюсом в точке А и полярной осью АО. Тогда полярный радиус точки С будет
г — Ь 4—,
1 COS ф
Это и есть уравнение кривой, по которой движется точка С, в полярных координатах. Эта кривая называется конхоидой Нико- меда.
Подставляя значение
получимполучим(О(/•)(О(/•)ф = о>/,
получим
получим
(О
(/•)
(О
(/•)
г = Ь-\-
1 COS I
Уравнения (О и (/) представляют собой уравнения движения точки С в полярных координатах.
Для нахождения скорости определим ее проекции по (5.13)
. am sin u>t
V =Г =cosW ’
u„ = rep - Ьш -4V T1 COS tot
Отсюда величина скорости по (5.14):
у — —Vа»2ab cos3 ш/ 4- 63 cos4 ш/.
COS2 tot *11
Найдем проекции ускорения по (5.15):
,. о2аш2 sin2 mt, „
w. = ? — г ср2 =J—;6«>3;
так как ф —0.
Отсюда величина ускорения по (5.16):
еу = —V4а3 sin3 uat — 4ab s in3 wt • cos3 tot 4- № cos6 tot.
COS8 tot1
Задача 376. Даны уравнения движения точки в сферических координатах:
R = y = 2Z; 6 = Z
(Д —в сантиметрах; t — в секундах; у, 6 — в радианах).
Найти величины ее скорости и ускорения в момент Z = у сек.
Решение. 1. Определим проекции скорости по (5.18):
uR = R = eh
u^ — R sin 8- $ = 2 sin t -ё\ ya = Rti = ei.
Отсюда величина скорости будет у = е‘ Д/^4 sin^z1 2;
v| к =е^ Кб= 11,8 см!сек.t -g- сек'
Найдем проекции ускорения по (5.20):
wr = R — ^&а — R sin2 8 ■ ср2 = — 4^ sin2 /;
w^ = В& + 2№ — R sin & cos 8 • ср2 = 24 (1 — sin 2/);
цуа = R-» sin 8 -J- 2£<p sin & -4 27?8cp cos 8 = 44 (sin /4" cos 0-
Величина ускорения и.' = 241/*5 4-4 sin / cos 4 sin2 4
zyl „= 6e2 = 28,9 см^сек^.
t=-^-CBK
Задача 377. В механизме, изображенном на рис. 272, линейка ВС, имеющая на концах ползуны В и С, остается все время перпендикулярной к стержню.04, вращающемуся вокруг точки О,
благодаря крестообразному ползуну D. Принимая точку О за полюс полярной системы, а направляющую ползуна С — за полярную ось, определить в полярных координатах траекторию точки D, а также величины ее скорости и ускорения в момент, когда
<? = -£, если стержень О Л вращается так, что <р = kt (к — постоянная), а ВС —2а.
Ответ; г = OD = a sin 2р — четырехлепестковая роза, vl т — ak-, Т — ЪакК
Задача 378 (рис. 273). Конхоидограф представляет собой стержень QQ', шарнирно скрепленный с кривошипом ОЛ и проходящий через неподвижную точку В. На стержне находится точка М, причем расстояние ЛД4 — Ь. Принимая точку В за полюс полярной системы, а прямую ВО — за полярную ось, определить уравнения движения точки М в полярных координатах, уравнение ее траектории, а также скорость и ускорение, если полярный угол ср = ^< (к — постоянная), а ВО= АО = а.
Ответ; уравнения движения
^ = kt; г — b -|- 2а cos kt.
Траектория — конхоида окружности (улитка Паскаля):
r = b~42acoso; и = kV 4аг + № 4~ 4ab cos kt-,w = kW 16a'2 + К + Bab cos kt.
Задача 379 (рис. 274). Два стержня AD и СК соединены между собой под прямым углом и движутся так, что стержень AD все
Рис. 274Рис. 275
время проходит через неподвижную точку О, а стержень СК — через точку В, причем ОВ — 2а. Принимая точку О за полюс полярной системы, ОВ — за полярную ось, определить в полярных координатах траекторию точки D, удаленной от С на расстояние CD— 2а, а также величины ее скорости и ускорения, если полярный угол tj = kt (k — постоянная).
Ответ; траектория — дуга кардиоиды:
г — 0D = 2а (1 + cos у); n = 4afejcosy |;
w = 2ак^ ^5 -)- 4 cos kt.
Задача 380 (рис. 275). Шестеренка радиусом R обкатывается ■без скольжения по неподвижной шестеренке с тем же радиусом при помощи кривошипа OiA. вращающегося так, чтоа = ^(& — постоянная). Найти полярные уравнения движения той точки обода подвижной шестеренки, которая в начальный момент была точкой соприкосновения с неподвижной шестеренкой, принимая начальное положение точки за полюс, а начальное положение диаметра, проходящего через эту точку подвижной шестеренки, — за полярную ось.
Ответ1, г = ^R sin2 -^-; <? = kt.
Задача 381. Движение точки задано в декартовых координатах уравнениями:
■x — at1 cos kt1; у = at1 sin kt1
(a, к — постоянные величины).
Определить проекции скорости и ускорения на оси полярных координат, выбрав за полюс начало декартовых координат, а за полярную ось — ось абсцисс.
Ответ-. vr = 2at; u(? = 2akt\ тг = 2аЦ—2fe2/4); Ws=\0akt\
Задача 382. Точка движется по гиперболической спирали г — — , причем радиальная скорость ее удаления равна и. Найти величину полной скорости точки в зависимости от угла у.
Ответ; и - uV 1 + ®2.
Задача 383. Точка движется в плоскости по логарифмической спирали r = a^i,?, причем у — mt (о) — постоянная). Найти величины скорости и.ускорения точки, выразив их как функции г.
Ответ; v — шгУ"! -ф- к1; . w = <o2r (1 -ф- к1).
Задача 384. Самолет равномерно набирает высоту, поднимаясь на 7000 м за 1 мин 40 сек, и двигается при этом со скоростью 900 км/час по винтовой линии, расположенной на вертикальном цилиндре радиусом 10 км. За самолетом следит луч радиолокатора, помещенного на оси винтовой линии. С какой быстротой ф должен при этом изменяться угол поворота антенны вокруг вертикальной оси?
Указание. Использовать цилиндрическую систему координат.
Ответ; ф —24-10"3 рад/сек.'
Задача 385. Радиолокатор обнаружил на расстоянии 1000 км тело, радиальная скорость которого ^ = 6 км/сек, причем угол 9 луча локатора с вертикалью в этот момент равен 30°. При слежении за телом быстрота изменения угла поворота локатора около вертикальной оси ф = 0,006 рад j сек, а быстрота изменения угла с вертикалью — 9 — 0,002 рад/сек. Найти величину скорости тела.
Ответ; v — 7 км[сек.
Задача 386. Движение точки задано в сферических координатах уравнениями
R = t, ^ = t, 6 = <
(R— В сантиметрах, у, 6 — в радианах, t — в секундах).
Определить величины скорости и ускорения точки в момент / = у сек.
Ответ-, v = j/"Ут.— = 2(44 см/сек-,
U7 = у' к8 -|- 8 = 4,23 см[сек\
Задача 387. Движение судна задано уравнениями Ф = чг — kt-, ^ = kt, где ср — долгота;
ф — широта места, занимаемого судном на земной поверхности; к— постоянная величина.
Определить величины скорости и ускорения судна в любой момент времени.
Указание. Сферическая координата Я будет равна у—ф, так
как широта отсчитывается от экватора.
Ответ; и = kRV 1 + cos3 kt, w = k^R V"4 + sin3 kt, где R — радиус Земли.
Задача 388 (рис. 276). Судно движется равномерно со скоростью у, образующей с географическим меридианом постоянный угол а. Принимая судно за точку, определить величину его ускорения в функции угла 6, заключенного между осью Земли и
радиусом, проведенным из ее центра в точку, занимаемую судном.
Ответ; w = -^ У1 -ф- sin3 a ctg3 8-, где R— радиус Земли.
§ 2. Естественный способ задания движения точки
Уравнение движения точки по траектории. Скорость точки.
Уравнение движения точки по траектории имеет вид
s=s(t),(5.21)
где s — дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала отсчета на траектории.
Знак s определяют в соответствии с выбранным положением •отсчета дуг.
При задании движения точки естественным способом ее скорость находят по формуле
(5.22)
где т — единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений з.
Скорость точки, как алгебраическую величину, определяют по формуле
" =(5.23)
При у^О точка движется в сторону возрастающих, а при и <4 О — в сторону убывающих значений s.
Если известна зависимость у = и (^), то дуговую координату находят по формуле
S = $ V (О dt + з0,(5.24)
о
где s0— значение дуговой координаты при / = 0.
Если начало отсчета дуг совпадает с начальным положением точки, то so = O, и тогда
t
s=^v^t)dt.(5.25)
о
Так как движущаяся точка может изменить направление движения по траектории, то путь П, пройденный точкой за промежуток времени (0, /), определяют как сумму длин дуг отдельных участков, на каждом из которых скорость и сохраняет свой знак.
Таким образом,
П = | Sj — So | —]— ] S2 — 8] |+ I s — 8„ I,(5.26)
где Si, s2 s„ — значения дуговой координаты в моменты времени Zi, /2, ..., tn, в которые скорость изменяет свой знак.
Задача 389 (рис. 277). Нерастяжимый трос сматывается с неподвижного барабана радиусом R, все время оставаясь в натянутом состоянии. Определить уравнение движения по траектории точки троса, находившейся в начальный момент времени на барабане, если угол <?, определяющий положение радиуса, проведенного в точку N схода троса, задан как возрастающая функция времени (?^>0).
Решение. Проведем ось Ох черкез центр барабана и начальное положение рассматриваемой точки М6. В силу нерастяжимости
троса длина смотанного конца равна длине соответствующей дуги барабана, т. е.
NM==NM6=R^.
Из рисунка найдем
х = ON cos ср + NM sin р =
= R cos р 4~ Rtp sin ср;
у = — ON sin <р -|- NM cos у =
— ~R sin ср 4~Я р cos у. (/Д
При сматывании троса угол р = р(/), следовательно, уравнения (А) являются уравнениями движения точки М.
Найдем проекции скорости точки на выбранные оси:
их = х = — R <р sin ср 4- R р sin у -|- R р ср cos р = R срф cos р;uv —$ = — R р cos р 4- Д р cos р — R рр sin р = — R^ sin р,
следовательно,
Считая, что р = 0, s = 0 при t = 0, по формуле (5.25) найдем
s= t t)di = ^3_
Если вместо р подставить известную функцию р = р(^), то имеем
т. е. получим уравнение движения точки по траектории.
Задача 390. Движение точки по траектории задано уравнением
« =12 cos
(s —в метрах, t — в секундах).
Определить значение дуговой координаты s в момент t— 15 сек и путь П, пройденный точкой за первые 15 сек.
Решение. Определим скорость точки
ds п .
и =sin .
Найдем моменты времени tv, t^, ..., в которые скорость точки изменяет свой знак. Имеем
О — тг — 2к sin-^-, О откуда
6»i = (— 1)п + 6 п сек kn — Q; 1; 2; ...).
Следовательно, в течение первых 15 сек скорость изменяет свой знак в моменты времени: 4 = 1 сек, 4 = 5 сек, 4=13 сек.
Определим значения дуговой координаты s в эти моменты времени, а также в момент 4 = 0 и в момент 4=15 сек:
s0 = 12 м;
Si = s|z=i СГО = 1Г^6)/3 м;
S2 S] / = 5 сек 5lt 6 Ф^З М,
S3 = s[/ = 13 сек = 13it -)- 6 V3 м;
84sj/ — 15 сек 15tt М.
Пользуясь формулой (5.26), найдем путь, пройденный точкой за первые 15 сек.:
Л =) U 4-6/3 — 12 I 15tt — 6/з" — 1Г — 6/3 I + |13tt + 6/3—-5^4-6^314-1 15к— 13и — 6/3 1 = 59,7 At.
Задача 391. Определить уравнение движения точки по траектории, если даны ее уравнения движения в декартовых координатах:
х = a (2cos t 4- cos 2/);
у = а (2sin/ — sin2Z).
Дуговую координату отсчитывать от начального положения точки в сторону первоначального движения.
Решение. Заданные уравнения представляют собой параметрические уравнения гипоциклоиды, т. е. линии, которую описывает точка окружности радиусом а, катящейся внутри окружности радиусом За, причем t равно углу поворота линии центров от ее начального положения .•
Для определения s найдем и (z). Имеем
их = х = — 2а (sinZ 4- sin24,
иу = у = 2а (cos^ — cos 2^),
•отсюда v2 = xa + y2= 16а2 sin3 у.
Заметим, что величина о (4 всегда положительна, так как точка не меняет направления своего движения. Это следует из вы-
шеуказанной интерпретации движения. Аналитически в этом можно убедиться, если рассмотреть изменение угла ср, образованного радиусом-вектором точки с осью абсцисс. Имеем
^ = ^; V^arctg^-,
отсюдаотсюдаФ =Ф =ху— У Я х*+у2 •ху— У Я х*+у2 •
отсюда
отсюда
Ф =
Ф =
ху— У Я х*+у2 •
ху— У Я х*+у2 •
Знаменатель и числитель всегда положительны, так как ху — ху = 8а2 sin2 ^-.
Таким образом, точка всегда движется в одном направлении (у растет) и скорость сохраняет постоянный знак, который совпадает с ее первоначальным знаком:
и (^) — 4а sin -^ .
Для 5(0 получим
tt
s{t) = u(Z) dt — 4a ( | sin-^-pt05
Этот интеграл не может быть вычислен в элементарных функциях (для произвольного t). Вычислим его по участкам.
При 0 ^ / =^-^-имеем
|smT| = sin тогда t
s(Z) — 4a \ sin —т cos -=- = -Q- sin2 • (m)
В частности, при <="3- имеем n ( 2л ^ • 16a
Применять формулу (m) при больших t нельзя. Например, при/ = -у- она привела бы к нелепому результату: s = 0. При ~з" ^^имеем
Тогда
2к
5 (/) = ^ 4а | sin ^ | dt = ^ 4а sin -^- dt -j- 4а ^— sin ^-^dt = оОй
16а . 8а 3t 16а , 16а, 3t
_-.+ з cos-2--з +-cos2-4-.
Задача 392. Определить уравнение движения точки по траек- чории, а также значение дуговой координаты s и пройденный путь П к моменту t = 5 сек, если ее скорость задана уравнением:
а =10 см/сек-,
v = 2 см/сек (0^^<3);
и = (5 — /) см) сек (3 ^ t < 5);
у = (2Z + 1) сл/сг/с;
и = (3 — /) см; сек;
-it . 8л<,
u=ysin-p^ см) сек;
и = +-5-cosсм!сек;
у =+ 2тг cos см1сек;
о = (/2— 3/ + 2) см/сек-.
Ответы:
S= lot CM; S |f=5 сек =50 см; П|/=5 „„ = 50 см;
s = 2Z см (О^з^З); s|z=5 „„=8 см;
s= ^5/—у — 4,5^ см (3sct^5); П[/=5 сек = 8 см;
s —(t* —)— /) см; s ^=5 сек =— 30 см;П ^/=5 сек — 30 см;
S =(3/— ^j CM*, S |/=5 сек ~" 2,5CJM\ П ^/=5 сек ~~~ 6,5CM^
r3 /,8tc< \।9 т-r.n I
S —-g- ( I —- COS ~^* j СЛЦ S |/ —5 сек — y^- CM\ 11 (^=5 сек — 2 -^ СЛ1^
s= ^3/-|--A-sin^^ cm; s|<=5ce«=15 cm; П|<=Scw= 15cm;
S _ ^it/ —j— 5 S in —^—^ CM l S [ /=5 сек 5lt CM 1 П11=5 сек —
= (-у-Н-Ю/З^сл»;
o te з;2 ,.85 , .29
S— r-g2 p 2* j CM, Sj/^Sc^w: Q CM, 'l|Z=5c^ — "2” CM.
Задача 393. Определить уравнение движения точки по траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых коорди-
натах. Дуговую координату s отсчитывать от начального положения точки в сторону первоначального движения:
х = 3/34-5; у = 4^ + 3;
х=1—/; y — t—1;
x = 2sin2/; // = 2 cos 2/.
х = а-|-г cos а>/; y = rsinw/;
и — 3cos/3; y = 3sin/3;
x = ^cos/; y = ?sin/; z = ^\
x = 4a cos3 ю/; у = 3a sin3 <o/;
x = acos9/; y = asin8/;
х = аЦ— sin/); y = a(l—cos/);
x = acos/; y — asin/; z — ct.
Ответы:
8 = 5/4
s = K2/;
s = 4/;
s =/"co/;
s = 3/4
в=/3(г—1);
s = 5a sin3 <o/;
s = ~ sin3/^0^ /$5 у (см. задачу 391 )J;
s = 4a^l—cos y^O^t^2^(см. задачу 391)J;
s = / У"а3 4~ c8.
Задача 394. Колесо радиусом R катится без скольжения по горизонтальному рельсу со скоростью центра v0. Определить, уравнение движения по траектории точки обода колеса, находившейся в начальный момент в точке касания с рельсом. Какое расстояние Si будет пройдено точкой по траектории от начала движения до наивысшего положения?
Ответ: s = 8/?sin2-^-; 81 = 4/?.
Выражение для s справедливо только до момента / = -^^ ■ (при котором s = 8R). После него нужно вычислять s так же» как в задаче 391.
Ускорение точки. Равномерное и равнопеременное движение
При естественном способе задания движения ускорение точки определяют формулой
© = w^ -f- wnn.(5.27)
При этом
су=V w + w„,(5.28)
где dv-.
wT = ^ — алгебраическая величина касательного ускорения*, (5.29) а u = s— алгебраическая величина скорости точки;
шп =нормальное ускорение;(5.30)
пл —единичные векторы главной нормали и касательной. Если точка движется равномерно, то
и = const; ayT = O; s = s0 + uZ.(5.31)
При равнопеременном движении zyT=const.
В этом случае
и = и6-\-w.t",(5.32)
s^So + ^4-^,(5.3'3)
а также
s — s0 + ^±^^,(5.34)
^ + ^-(5-35)
Задача 395. При прямолинейном движении судна его скорость в пункте А была 10 узлов, а в пункте В стала 30 узлов. Расстояние между пунктами Л и В равно 2 милям. Считая в первом приближении движение судна равноускоренным, определить время Т движения судна на данном расстоянии, а также величину его ускорения (узел — единица скорости, равная миле в час или 0,5144 м^сек).
Решение. Если взять начало отсчета в начальном положении, то
so = O;с0 = Ю узл.;
о = 30 узл.;s = 2 мили.
По формуле (5.34) найдем
Пользуясь (5.32), получим
щт = —-?0 — 220 уз л. /час.
Так как движение прямолинейное, то wT — w.
Задача 396. Искусственный спутник обращается вокруг Земли на высоте 500 км по круговой орбите. Определить время обращения и скорость спутника, если известно, что его центростремительное ускорение должно быть равно ускорению свободно падающего тела.
На данной высоте g = 8,5 м/сек4, а радиус Земли R ^ 6370 км.
Ответ: и = 7,64 км/сек.
Т = 1,56 час.
Задача 397. Считая движение снаряда в канале ствола рав-' ноускоренным, определить изменение величины скорости снаряда при выходе из канала, если ствол укоротить в п раз.
Ответ: скорость уменьшится в Vп раз.
Задача 398. Ракета, движущаяся вертикально вверх равноускоренно, в момент окончания процесса горения рабочего вещества (активный участок траектории) достигла высоты 30 юи, имея
скорость 7200 км/ч. Считая дальнейшее движение ракеты равно- ускорением, равным по величие 9,2 м/сек4, опре- ~ полную высоту Н подъема ракеты, если в
замедленным с делить время
Т и
начальный момент ее скорость была равна нулю.
Ответ: Н = 247 км; Т = 4 мин 7 сек.
Задача 399 (рис. 278). Скорость катера задана графически. Определить его макси-
Задача 400. ноускоренно из
мальную скорость, если он ние s = 0,5 мили за время 2s
Ответ: итах = ^ = 30
Точка движется по окружности
прошел расстоя- Т = 2 мин.
уз л.
радиусом R рав-
состояния покоя и совершает первый полный обо-
рот за Т сек. Определить величины скорости и ускорения точки в конце этого промежутка времени.
Ответ: v = ^^\ ^ = ^^^14-16^.
Задача-401. Точка движется по окружности равноускоренно из состояния покоя. Определить отношение величины полного ускорения точки после того, как она обойдет всю окружность т раз к ее ускорению, приобретаемому после первого оборота.
Ответ: — г 1—.
w1”/14-16™2
Задача 402. Точка движется равноускоренно- из состояния покоя по окружности. Доказать, что между углом а.составляе- 174
мым полным ускорением точки с касательной к окружности, и центральным углом р, соответствующим пройденной дуге, существует следующая зависимость:'
tga = 2p.
Задача 403 (рис. 279). Точка М, выйдя из положения М6 (0; R), движется по окружности (х — R^ + (у — RY=R^ равноускоренно против хода часовой стрелки с начальной скоростью и0. В то же время из начала координат (х = у = 0) вышла другая точка N, двигаясь по оси Ох равноускоренно без начальной скорости. Каково должно быть касательное ускорение точки М и ускорение точки N, чтобы в пункт К (R; 0) обе точки пришли одновременно с одинаковыми по величине и по направлению скоростями? -
„(4 — п) у^2о§
Ответ-,wN=^^.
Произвольное движение точки
Задача 404. При проворачивании гребного вала угол его поворота пропорционален кубу времени. Зная, что вал за время /* = 4 сек. сделал 7V== 10 полных оборотов, определить уравнение движения точки лопасти винта, отстоящей от оси вращения на расстоянии 7 = 0,4 м, а также скорость и ускорение точки в этот момент времени.
Решение. По условию,
<р кР,
где к — пока неизвестный коэффициент пропорциональности. Тогда
s = l^ = lkt\
К моменту времени t* дуговая координата s = 2~lN, следовательно,
и уравнение движения точки по ее траектории будет / / \3
s=2-kIN { — } .
Найдем скорость точки по (5.23):
Далее по (5.29) и (5.30) получим
w^ = ^tw^ = ^tdy \2uiNtdy \2uiNt/2/2у2 36™WVР t*у2 36™WVР t*
w^ = ^t
w^ = ^t
dy \2uiNt
dy \2uiNt
/2
/2
у2 36™WV
Р t*
у2 36™WV
Р t*
Таким образом, полное ускорение точки
При t — t^
и| 1 = ^ = ^И. = 18,85 Л1/сек;
гф = t, = -^У1+9^ = 888 mW.
Задача 405. При движении точки по окружности радиусом R касательное ускорение пропорционально квадратному корню из нормального ускорения (коэффициент пропорциональности &>0). Найти зависимость величины скорости точки от времени и уравнение ее движения по траектории, если начальная скорость равна v0, а дуговая координата отсчитывается от начального положения точки в направлении ее первоначального движения.
Решение. По условию, имеем
wT = kVwn.(п)
Согласно (5.29) и (5.30)
штштdy .dy .dtdtу2у2
шт
шт
dy .
dy .
dt
dt
у2
у2
Пользуясь (п), получим
(о)(о)dy , Г у2 к
(о)
(о)
dyуdyуИз (п) следует, что twT>0, поэтому в (о) и всегда положительно. Разделяя переменные в (о), имеем
dyу
dyу
dt,
откуда, интегрируя, получим
, у к
1П-- = -—;■
»оVR
и, следовательно,и, следовательно,ки(7) = исе .ки(7) = исе .
и, следовательно,
и, следовательно,
к
и(7) = исе .
к
и(7) = исе .
Пользуясь (5.25), найдем уравнение движения точки по траек
тории:
tt ktkt
s(t) — f v(t)dt = V u6eCR dt^—^—^e^^ —1).
Задача 406. Точка движется по окружности радиусом 10 см согласно уравнению 8=20^см. Определить касательное и нормальное ускорения точки после того, как она один раз обойдет всю окружность.
Ответ,: wT = 4Qs см]секг; wn= 160тса см!сек\
Задача 407 (рис. 280). Угол поворота зубчатого колеса / редук- bt4
тора изменяется по закону ф1 = -^- (6 — постоянная). Найти за
Рис. 280 движутся по одной и той жеРис. 280 движутся по одной и той жекон движения по траектории точки М, находящейся на окружности колеса //, а также определить ее скорость и ускорение. Расстояние s отсчитывать от начального положения точки в направлении ее движения. Радиусы колес соответственно равны гх и г^.
Рис. 280 движутся по одной и той же
Рис. 280 движутся по одной и той же
Ответ: s = ^-; и = гхЫ;
ГI Ь 1[ Я • о I/
iHrJrt*.
Г 2
окружности в одну сторону согласно уравнениямокружности в одну сторону согласно уравнениямЗадача 408. Две точки Мх и М^
окружности в одну сторону согласно уравнениям
окружности в одну сторону согласно уравнениям
s, = 8 -ф- 2^; s» = О
(s— в сантиметрах, t— в секундах), причем начало отсчета расстояний Sj и sa взято в одной точке.
Определить время Т первой встречи обеих точек и величины их скоростей и ускорений в этот момент, если радиус окружности равен 16 см.
Ответ: Т —2 сек, их = & см/сек-, и, = 32 CMjceK-, щ1 = 4У"2 cMjcetO\ ^ = 80 см/сек*.
Задача 409. Точка движется так, что пройденное расстояние s пропорционально разности начальной скорости и скорости в данный момент. Определить зависимость ускорения от скорости, если движение прямолинейное. Коэффициент пропорциональности равен k.
Ответ: w,= — у , где u — s.
Задача 410. Точка совершает криволинейное движение так, что величина скорости ее в зависимости от времени выражается уравнением
о = 1п(1 +0.
Найти зависимость между касательным ускорением точки и ее
скоростью.
Ответ: w^ = e-1>.
Задача 411. При небольшой отрицательной плавучести скорость вертикального погружения подводной лодки выражается уравнением t- = а (1 — е"Ь(), где а и b — некоторые постоянные величины.
Определить закон изменения расстояния, проходимого подводной лодкой, в зависимости от времени и ускорение лодки в зависимости от ее скорости.
Ответ: s = ap—^-(1—e-w)|; w = b(a— и).
Задача 412. Величина скорости судна, движущегося прямолинейно, за 2 мин уменьшилась с 30 до 5 узлов. Считая, что величина ускорения при этом была пропорциональна квадрату скорости, определить величины скорости и ускорения судна к концу четвертой минуты.
Ответ: и = 2,73 узла, а; = 37,1 узл./час
Задача 413. В момент, когда парашют раскрылся, парашютист, летящий по вертикали вниз, имел скорость 40 м/сек, а через 10 сек после раскрытия парашюта его скорость стала 10 м/сек. На какое расстояние s опустился парашютист за это время, если величина ускорения при его падении все время была пропорциональна величине скорости?
Ответ: s = 216 м.
Задача 414. В течение 20 сек скорость судна, совершающего движение по дуге круга радиусом 200 м, падает с 15 м/сек до 12 м/сек. Предполагая, что величина касательного ускорения судна в рассматриваемом промежутке времени пропорциональна квадрату скорости, определить пройденный им путь за первые Юсек.
Ответ: s=141 м.
Задача 415 (рис. 281). Прямоугольный рычаг ДОВ имеет неподвижную ось вращения О. К концам А и В рычага прикреплены тросы, перекинутые через„„,,„,„
блоки С и D. Точки D, О, С
Рис 281Рис. 282
что ОА=ОС = а; OB — OD=b. Определить скорость и груза Р в зависимости от угла ср, образованного плечом ОД с .вертикалью^ если конец троса АС имеет скорость и.
Указание. Выразить расстояния АС и BD через угол <р и найти скорости тросов при помощи дифференцирования.
6 cos -|-
Ответ: и = и.
acosu 1)
Задача 416 (рис. 282). Груз /И поднимается вертикально вверх по направляющей при помощи троса, проходящего через неподвижные блоки А и В, находящиеся на одном уровне,' и подвижный блок С, причем О А = ОВ — а. Концы троса имеют заданные постоянные скорости Uv и й2. Определить скорость груза и в функции от расстояния OM = h и время Т подъема груза на высоту МвО = Н.
Ответ: и =V^-^а\Т = jlД^Z±77^—“L .
§ 3. Определение радиуса кривизны траектории
Радиус кривизны траектории движущейся точки определяют по формуле
У2
Если даны уравнения движения точки в координатной форме: х=х^\ у = у^\ z = z^, то для определения р находят:
их = х; Vy=^Уг = ^и = У"и^4-иу + иг;
dt ’
wx = x; wy=y, 1«г = 2; w = Vтхruy-V wV, r— у2
w„ = V ®2— ^т-5. о — —.
Задача 417, Движение точки задано уравнениями
х — а(3 cos t4- cos 3/), у = а (3 sin/ -J- sin 3/)
(а — постоянная величина).
Определить радиус кривизны траектории как функцию времени в промежутке 0^/^у сек.
Решение. Определим проекции скорости точки на координатные оси:
их = х = — За (sin / 4- sin 3/),
^ = р = За (cos 14- cos 3/),
следовательно,
v2= 18а2(1 4-cos 2/) = 36а2 cos3/, откуда а = 6а cos t.
Касательное ускорение
w. —= — 6а sin t.
т at
Найдем проекции ускорения точки на координатные оси:
®г = 4г = —За (cos / + 3 cos 3/), wy = 'uy =—За (sin /3 sin 3Z),
отсюда
ш2=18а2 (5 4-3 cos 2/).
Определим нормальное ускорение точки:
ау„ — ty2 — йУт = 144a2 cos2t, откуда
wn = 12a cos t.
Искомый радиус кривизны траектории будет
Р =— = 3a cos t.
Наибольший радиус кривизны ртах = 3а.
Задача 418. Точка движется в плоскости хОу с постоянным ускорением ®, равным по величине 2 м)сек^ и направленным параллельно оси Ох. Определить радиус кривизны траектории точки в момент /=1 сек, если в начальный момент точка имела скорость и0, равную по величине 2 м^сек и направленную под углом a =30° к оси Оу.
Решение. Согласно условиям задачи, ускорение © постоянно по величине и направлению. Поэтому в любой момент времени / будут иметь место соотношения
x = wx — 2; у — wy = 0.
Интегрируя эти равенства, получим
x = 2t + <4; у — С^.
Так как при / = 0
Ух!, = 0 = Л = и0 sin a; vy\t = 0 = у6 = v0COS a,
TO
Ci = u0 sin a = 1; C^ = u0 cos a = y"3 .
Следовательно,
ux=x—2/ 4" i; vy=у—1^з.
Теперь найдем величины скорости
V — К^ + и^ = /(2ГПг+Т
и касательного ускорения
w =
т dt y^t + I)2 + 3 ‘
В момент /=1 сек, получим
у|/ = \сек — 2У^м/сек; шт|/ = 1се« = 1/"3 м/сек*.
Так как w — ^ м/сек*, то при /=1 сек имеем
wn\t = i«« = VуГ- — ^ |, = 1 сек = 1 м/сек*.
После этого найдем
р|/= Icex = *ZT~= 12.И,
= 1 сек
Задача 419. Движение точки задано уравнениями
х = 3/; у —М — З/2
(х,у —в сантиметрах, t— в секундах).
Определить радиус кривизны траектории точки в те моменты^
когда она пересекает ось Ох.
Ответ: р = 6,94 см.
Задача 420. Движение точки задано уравнениями x — t*; y — t?
(х, у — в сантиметрах, / — в секундах).
Определить радиус кривизны траектории в точке (1; I).
Ответ: р = 7,81 см.
Задача 421. Движение точки задано уравнениями
x — akt— b sin kt;
у = а— b cos'kt (a<^b).
Определить радиус кривизны траектории точки в момент пересечения ею оси Ox (а, b и к — постоянные величины).
Ответ: р — VЬ* — а*.
Задача 422. Движение точки задано уравнениями (см. задачу 326)
x = /?cos kt-ykRt sin kt,
y = R sin kt — kRt cos kt,
где R и к — постоянные величины.
Определить: 1) радиус кривизны траектории точки в момент t, 2) геометрическое место центров кривизны.
Ответ: 1) р — kRt; 2) окружность радиусом R.
Задача 423. Движение точки в вертикальной плоскости задано уравнениями
X—U6t — г sin , y = R — г cos-^ , где и0, г и R — постоянные величины.
Определить радиус кривизны траектории точки в наивысшем ■ее положении.
_(г + R?
Ответ: р =——.
Задача 424. Движение точки задано уравнениями (см. задачу 319):
X = г cos tot -|-1 sin ^ ;
у = — / COS ^- 4- Г Sin tot,
где r, I, u> — постоянные величины.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t = —.
Ответ: р = ^^-
Задача 425. Движение точки задано уравнениями х — a cos81, у — a sin81, где а — постоянная величина.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.
Ответ: р у а | sin 2<|.
Задача 426. Движение точки задано уравнениями х = 2а cos t — а cos 2/, у = 2а sin t — а sin It, где а — постоянная величина.
Определить наибольший радиус кривизны траектории точки. Ответ: ртаХ = -|-а.
Задача 427. Движение точки задано уравнениями x = t; у = sin /3 (х, у — в сантиметрах, t — в секундах).
Определить радиус кривизны траектории точки в ближайший после начала движения момент времени, в который точка пересекает ось Ох
Ответ, р = 25,1 см.
Задача 428. Движение точки задано уравнениями x = /cos/, у — /sin/, г — Н- 2t,
где постоянная величина Н и х, у, г — в метрах, /— в секундах.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t — 2 сек.
Ответ; р = 3,27 м.
Задача 429. Движение точки задано уравнениями
x = t— sin/;
у = 1 — cos /;
z = 4sm-y
(х, у, г — в сантиметрах, /— в секундах).
Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.
Задача 430. Движение точки задано уравнениями
x = ercos/; у = ^310/, г — ^.
Определить радиус кривизны траектории точки в момент /.
Ответ: ? = ^-^- е(.
Задача 431. Точка движется в пространстве с постоянным ускорением ®, направленным параллельно оси Ох и равным по величине 5 м/сек? В начальный момент точка имела скорость и0, равную по величине 5 м/сек и образующую с осями Ох и Оу соответственно углы а = 60° и 9 = 45° Определить радиус кривизны траектории точки в момент /=1 сек.
Ответ: р — 30 м.
Задача 432. Угол поворота винта судна диаметром 120 см изменяется по закону <р= КМ радиан (/ — в секундах). Судно движется прямым курсом с постоянной скоростью, равной 10 м/сек. Определить радиус кривизны траектории точки винта, наиболее удаленной от оси
Ответ: р = 0,77 м.
Задача 433. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямолинейному рельсу со скоростью центра у0 = const. Определить радиус кривизны траектории точки на ободе колеса в тот момент, когда оно сделает 1/4 оборота, если в начальный момент данная точка совпадала с точкой касания
Ответ: р = 2R ]/2.
Задача 434. Из условий задачи 433 определить радиус кривизны траектории точки при повороте колеса на угол 120°.
Ответ: р = 2R ^3.
Задача 435. Мост имеет форму параболы х2 = 200// (х, у — в метрах). Определить ускорение автомобиля, находящегося в данный момент в середине моста (в вершине параболы) и движущегося с постоянной скоростью и = 36 км.]ч.
Ответ: w = wn=\ м/сек?.
Задача 436. Движение точки по кривой у^х1 задано уравнением
s—1,5/2 —4/
(х, у, s — в метрах, / — в секундах). При ^ = 0 х = у = 0. Определить: 1) характер движения точки в моменты: /О = 0; <1=1 сек и Л = 2 сек-, 2) величины скорости, касательного и нормального ускорений точки в момент / = 0.
Ответ: 1) при / = 0 и /=1 сек движение замедленное, при / = 2сек — ускоренное; 2) и = 4 м/сек', wz = 3 м^сек?; wn = 32 м^сек?.
Задача 437. Движение точки задано уравнениями
x = t; у = 1?
(х,у— в метрах t— в секундах).
Определить скорость и ускорение точки, а также радиус кривизны траектории в момент, когда последний достигает своего наименьшего значения.
Ответ: и = 1 м/сек; т = 2 м^сек?; р = 0,5 м.
v2
Задача 438. Определить радиусы кривизны эллипса + -^ = 1
в его вершинах.
Указание. Представить уравнение эллипса в параметрической форме и принять параметр за фиктивное время.
Ответ: р1 = —; ^=-^-.
Рис. 283Рис. 283Задача 439 (рис. 283). Перемещение грузов по подвесному тросу осуществляется с помощью люльки, подвешенной к под- 'вижному ролику С. Точки А
Рис. 283
Рис. 283
и В крепления троса находятся на одной горизонтали на расстоянии ЛВ = 40 м. Считая части троса АС и ВС прямолинейными, определить радиус кривизны траектории ролика С, если наибольшее провисание троса равно 4 м. Найти также нормальное ускорение ролика
в тот момент, когда он проходит середину троса со скоростью 3 м]сек. Размерами ролика пренебречь.
Ответ: р=100 м;
т„ = 0,0865 м^сек?.
Задача 440. Движение точки задано параметрическими уравнениями в полярных координатах
r = roeat, <р = а/,
где а и г0 — постоянные.
Найти траекторию, радиус кривизны траектории, а также величины скорости и ускорения точки.
Ответ: траектория — логарифмическая спираль
y = ra]/2; № = 0^ = 2га?; р = г]/2.
Задача 441. Движение точки задано динатах уравнениями
вв= 2, v = y;= 2, v = y;Рz 3Рz 3(г, z — в сантиметрах, ср — в радианах, t — в секундах).'
в
в
= 2, v = y;
= 2, v = y;
Р
z 3
Р
z 3
Определить радиус кривизны траектории точки в момент /=1 сек.
Ответ: р —2,28 см.
Задача 442 (рис. 284). Кран имеет вертикальную неподвижную ось вращения, вокруг которой он поворачивается так, что угол поворота <р = ш/(ш = const), а угол между осью вращения и стрелой крана остается постоянным. Одновременно с постоянной скоростью и.
цилиндрических коор-цилиндрических коор-Рис. 284Рис. 284груз Р поднимаетсягруз Р поднимаетсяОпределить траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории центра груза, если в начальный момент груз находился в горизонтальной плоскости хОу на оси Ох, а вылет крана равен I.
цилиндрических коор-
цилиндрических коор-
Рис. 284
Рис. 284
груз Р поднимается
груз Р поднимается
Ответ: траектория — винтовая линия;
и —j/"ZV-|- и2;
= /со2; р = I .
Г Л А В A VI
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
§ 1. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорениетела. Равномерное и равнопеременное вращение тела
Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид
y =(6.1)
где у— угловая координата тела.
Угловая скорость <о и угловое ускорение е соответственно равны
ш = ^ рад/сек,(6.2)
8 = ^ = ^.padjceKV(6 3)
Если в данный момент времени еш^>0, то в этот момент тело вращается ускоренно, если же еш < 0, то вращение замедленное.
При вращении тела в одном и том же направлении угол поворота тела ф за промежуток времени t — te определяют по формуле
Ф = 1СР —=Р»Ь(6 4)
где у и ср0 — значения угловой координаты в моменты t и t0.
Угол <[> поворота тела связан с числом оборотов тела N зависимостью
ф — 2пУ.(6.5)
В технике угловую скорость тела выражают числом оборотов в минуту. Переход от п {об! мин) к ю (рад: сек) осуществляют по формуле
При равномерном вращении тела a> = const, е —О В этом случае уравнение вращения тела имеет вид
ф = ?e Н~ ш^(6 7)
При равнопеременном вращении тела в —const. В этом случае
(6 8)(6 8)to — coq -|— б/,
(6 8)
(6 8)
и уравнение вращения тела принимает вид
?=to+«v+(б 9)
Задача 443 (рис. 285). Крен судна на спокойной воде описывается уравнением
л л/,
? = 1TCOS То<«)
(/ — в секундах, у— в радианах)
Определить моменты времени, в которые судно имеет максимальный крен, и моменты, когда его угловая скорость достигает максимальных значений, а также промежутки времени, когда вращение судна ускоренное и когда замедленное.
Решение. Для исследования движения определим ю и е.
Имеем согласно (6 2) и (6.3)
Л2Tit...
*° = -Wsmto’W
8"i860 C0S ЛсГ-^
Из уравнения (а) видно, что максимальный крен судна равен ^ и имеет место в моменты времени Л=10л сек (л = 0; 1; 2; ...)
В эти моменты времени, как следует из (6) и (с), угловая скорость равна нулю, а угловое ускорение имеет экстремальные значения
Угловая скорость приобретает маки
<р( радиан)
18 О
18
^ 180
О _51г 180 J
Я31 I860'
О
Я31800"
1(секу
Ю 15 ?0 Ь(секу
Рис 285
5 10 15
20 Шек!
значение,
^у рад/сек в моменты времени /т = 5(2т-|- 1) сек (m = 0; 1; 2; .. ).
Рассматриваемое движение имеет периодический характер (период Т = 20 сек), поэтому достаточно провести исследование за время одного периода. Из графиков функций у, со, е следует, что в начальный момент (/ — 0) судно имело крен <р0 = -^-, движение началось без начальной угловой скорости с угловым ускорением Sg = — -уэдо- padjceK*
В интервале 0<7<5 сек угловая координата ср уменьшается, качка судна является ускоренной, так как юе>0 При / = 5 сек угловая скорость достигает экстремального значения, а угловое ускорение равно нулю В интервале 5 сек <^/-\ 10 сек вращение судна замедленно При ^=10 сек угловая скорость равна нулю, затем меняет знак, т. е. происходит изменение направления вращения судна.
В интервале 10 сек<V<45 сек ше^>0, поэтому вращение ускоренное, а в интервале 15 сек <^/<^20 сек ше<^0, и вращение снова замедленное.
При / = 20 сек. судно возвращается в первоначальное положение, и процесс качки повторяется.
Задача 444. Угол поворота диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменяется согласно уравнению
ф = № -|- itf3
(/г — постоянная величина, ф— в радианах, t — в секундах).
Определить угловую скорость и угловое ускорение диска через 4 сек после начала движения, если за первые 2 сек он сделал N = 8 оборотов.
Решение. Вращение диска согласно заданному уравнению происходит в одном и том же направлении. Поэтому можно считать
ср = ф = кР -)- пр.
Согласно (6.5), имеем
16г: = 86 4" 4ir, отсюда найдем
к = ^- рад (сек?, таким образом,
Используя (6.2) и (6.3), получим
b = 9nt 4~ 2ir.
В момент времени / = 4 сек имеем (о1<=4срк==8Отс рад]сек\ е|<=4сго = 38тс рад(сек\
Задача 445. Гребной винт судна, имевший угловую скорость <о0 = 20г рад(сек, останавливается через 20 сек вследствие сопротивления воды и трения в подшипниках. Считая вращение винта равнопеременным, определить угловое ускорение и число оборотов винта до остановки.
Решение. Так как вращение винта является равнопеременным, то пользуемся формулами (6.8) и (6.9)
Приняв сро = О, имеем
СО = (Од 4“ ^Р»
?==tiV-4-
В соответствии с условиями задачи получим О (О0 -ф- еТ,
где Т — время вращения винта до остановки. Отсюда найдем
е = —-™-= — тс рад> сек?;
Ф = ур- = 200т: рад.
Так как в процессе вращения ш и е имеют разные знаки, то вращение является равнозамедленным.
До остановки винт сделал
N — ^ = 100 оборотов.
Задача 446. Колебание маятника задано уравнением
У — в секундах, ср — в радианах).
Исследовать характер движения маятника за период колебания. Построить графики изменения угловой скорости и углового ускорения.
24
Ответ: В интервалах 0<V<y сек и у <7 <2 сек враще-
124п
ние маятника ускоренное, в интервалах у \сек и
t у сек — замедленное.
2
В моменты t = — сек и / = 2 сек угловое ускорение равно нулю, а угловая скорость достигает экстремума.
Задача 447. По заданным уравнениям вращения тела определить угловую скорость, угловое ускорение и характер вращения тела в моменты времени, указанные в следующей таблице.
V = V (П, рад
t, сек
Ответ
Характер вращения
(О ра^
рад
* сек2
? = — 3/
1
—1
2
Замедленное
= ^з — 2/2
2
4
8
Ускоренное
<Р = 2/3 — 9/2 + 12/
0
12
—18
Замедленное
? = 2/3 — 9/2-f-12/
3
12
18
Ускоренное
Ответ
f = у (<), рад
t, сек
m pav
pad
Характер вращения
’ сек
* сек2
<c = 3t—^ (6s£<s£3)
— 1 (0sS«3)
Мгновенная остановка с последую-
0
+ 1(03)
щим вращением в
том же направлении
<f = 2/ — P
1
0
—2
Мгновенная оста-
новка с последующим вращением в противоположном направлении
ф = 2 sin —
т4
4
Л
0
Величина угловой скорости имеет максимальное значение
f = й — 2}s
2
0
0
Мгновенная оста-
новка с последующим вращением в том же направлении
<с = (< — I)1
1
0
0
Мшовенная оста-
новка с последующим вращением в противоположном направлении
Продолжение
Примечание, координаты у»
При <0>О вращение тела происходит в
сторону возрастания угловой
Рис. 286Рис. 286быбыЗадача 448 (рис. 286). Устройство, предназначенное для фотографирования облачного покрова Земли, движется горизонтально со скоростью 7,55 км/сек на высоте 800 км и при этом равномерно вращается вокруг своей оси. Аппарат, оптическая ось которого перпендикулярна к оси устройства, делает автоматически снимок каждый раз в момент, когда его объектив, занимает наи- низшее положение. С какой угловой скоростью должно вращаться устройство вокруг своей оси, что- не перекрывались соседние кадры,
Рис. 286
Рис. 286
бы
бы
если угол съемки а=1°?
Ответ: 3,40 рад/сек = 32,5 об/мин.
Задача 449. На рис. 287 показана кинематическая часть устройства прибора, служащего для изменения длительности посылаемых сигналов. Мотор М вращается с угловой скоростью ш0 и при помощи шестерен I и II с числами зубцов zi и г2 соот- 160
ветственно вращает вал, составленный из двух усеченных цилиндров 51 и 5а разных радиусов, но имеющих общую ось. В зависимости от того, к какому цилиндру прижимается контакт К,
включается генератор частоты Л или /,. Определить время передачи сигнала частоты /2 в зависимости от положения контакта, если АК— х; АС = 1.
Ответ: t4 — —- arccos (1r .
Задача 450. Ротор турбины имел угловую скорость, соответствующую 3600 об/мин. Вращаясь затем равноускоренно, ой удвоил свою угловую скорость за 12 сек. Определить, сколько оборотов сделал ротор за это время.
Ответ: 1080 оборотов.
Задача 451. Компрессор, вращаясь равнозамедлепно, уменьшил угловую скорость с 14000 об/мин до 10000 об)мин, совершив при этом 9000 оборотов. Определить время, в течение которого произошло снижение угловой скорости.
Ответ: Z = 45 сек.
Задача 452. Ротор турбины, вращаясь равноускоренно, в моменты времени /( и ^ имел соответственно «1 = 1300 об/мин и ла = 4000 об/мин. Определить угловое ускорение е и число оборотов N ротора за промежуток времени t — t»— ^ = 30 сек.
Ответ: е = 3л рад)сек\
N =1325 оборотов.
Задача 453. Вал двигателя, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением г = я рад/сек\ за промежуток времени t^— tv = = 10 сек совершил 100 оборотов. Определить число оборотов вала в минуту в моменты времени Ц и 1г.
Ответ: «1 = 450 об/мин;
и2 = 750 об/мин.
гр 4 л/Vре1 “о’гр 4 л/Vре1 “о’4 л N<»о ‘4 л N<»о ‘Ответ:Ответ:Т2 = 2ТТ2 = 2ТЗадача 454. Ротор, имея угловую скорость w0 рад/сек, вращался в течение Tv сек равномерно, затем — равнозамедленно до Остановки в течение Т^ сек. Зная полное время движения Т и Число оборотов N за все это время, определить 7\ и Т4.
гр 4 л/Vре
1 “о’
гр 4 л/Vре
1 “о’
4 л N
<»о ‘
4 л N
<»о ‘
Ответ:
Ответ:
Т2 = 2Т
Т2 = 2Т
Задача 455. Ротор сначала вращался равноускоренно из состояния покоя и, достигнув некоторой угловой скорости, начал вращаться равнозамедленно до остановки. Зная полное время движения Т сек и совершенное число оборотов N, определить максимальную угловую скорость ротора.
Ответ: <»тах = -~-.
Рис. 288 тора возрастает от нуляРис. 288 тора возрастает от нуляЗадача 456 (рис. 288). Разводной мост поворачивается в горизонтальной плоскости на 90°. Считая, что при повороте от 0 до 30° мост вращается равноускоренно, при повороте от 30 до 60° — равномерно и при повороте от 60 до 90° — равнозамедленно, определить время полного поворота, если известно, что максимальная скорость конца В равна 1 м)сек, а длина ОБ = 50 м.
Рис. 288 тора возрастает от нуля
Рис. 288 тора возрастает от нуля
Ответ: Т = 2 мин 10,7 сек.
Задача 457. При пуске в ход гирокомпаса угловое ускорение его ро- пропорционально времени. По про
шествии 5 мин ротор имеет 18000 об(мин. Сколько оборотов сделал ротор за это время?
Ответ: 30000 оборотов.
Задача 458. В период разгона из состояния покоя угловое ускорение ротора турбины за время / равномерно убывает от
начального значения е0 до нуля, после чего ротор вращается равномерно. Определить максимальную угловую скорость ротора.
Ответ: штах=у.
Задача 459. Самолет, летящий с постоянной скоростью и прямолинейным горизонтальным курсом, сопровождается лучом прожектора. С какой угловой скоростью должен поворачиваться
луч прожектора, если кратчайшее'расстояние между прожектором
и курсом самолета равно №
Ответ: ™ cos2 ср, h где у — угол между лучом прожектора и перпендикуляром, восставленным из точки нахождения прожектора на курс самолета.
Задача 460. В кулисном механизме, изображенном на рис. 289, определить угловую скорость и угловое
ускорение кулисы ОС в момент, когда <$ = ^рад, если штанга АВ
движется с постоянной скоростью и. В начальный момент <р = 0.
Ответ: <6=^; е = — ^.
Задача 461 (рис. 290). Движение поршня двигателя задано уравнением s — R sin kt. Определить угловую скорость коленчатого вала двигателя в момент, когда поршень занимает среднее положение, если длина шатуна АВ равна L, а длина кривошипа ОА равна R.
Ответ: ш =\- ,
LV 4L- — R» ’ если L^>R, то ш^й.
Задача 462 (рис. 291). Кулисный механизм приводится в движение кривошипом ОС. Определить угловую скорость и угловое
ускорение кулисы BD, если кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью шив начальный момент занимал вертикальное положение, а отношение расстояния между осями О и В к длине кривошипа у равно X.
1 —I— X Cos tot
Ответ: -ш№=Ю;
_ X(l — X2) sin ю< .
BD(1 4-2Х cos ^4-Xs)2 •
§ 2. Скорости и ускорения точек тела
Величину скорости точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии к, определяют по формуле
(6.10)(6.10)р = | ш| -к.
(6.10)
(6.10)
Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме центростремительного и вращательного ускорений;
гдегде(6.И)(6.12)(6.И)(6.12)193193ТУ . ТУЦ -|- ®вр,суц = ш?к, 'твр = \Ц-к. .
где
где
(6.И)
(6.12)
(6.И)
(6.12)
193
193
7 Н. А. Бражннченко и др,
Вектор ®ц всегда направлен по перпендикуляру к оси вращения (в сторону оси), вектор ®пр направлен по касательной к траектории точки в ту же сторону, что и скорость, если вращение тела ускоренное, и в обратную, если оно замедленное.
Величину ускорения находят по формуле
ш^кУ"®2 4-1»4.(6.13)
Острый угол между та и ©ц будет
а = агс1§Щ.(6.14)
Задача 463. При наличии крутильных колебаний вращение вала описывается уравнением
Фto^t —|— фо sin kt,
где ф0, ш0, к— постоянные.
Определить величины скорости, вращательного и центростремительного ускорений точки вала, если ее расстояние до оси вала равно г.
Решение. Определим угловую скорость и угловое ускорение вала по (6.2) и (6.3):
и> == и»0 4- cos е = ^ =— фоб381пбЛ
Найдем величину скорости точки по формуле (6.10):
у = |ю[г = | <ио-|-фоб cos kt | г.
Максимальная величина этой скорости будет достигаться в те моменты времени, для которых cos 6^=1, т. е.
Umax — (шо фоб) Г •
Найдем величину центростремительного ускорения по (6.12): да» = ш2г = (со0 -(- ^6к cos kty г.
Оно имеет максимум одновременно со скоростью, следовательно,
Определим величину вращательного ускорения:
твр = | s | г — ф0б2г| sin kt |.
Максимальное значение его
тв,Р = ф0гб3.
Задача 464. По проекту Циолковского, для создания искусственной тяжести на обитаемых искусственных спутниках, имеющих форму кольца (тора), предполагается им сообщить вращательное движение вокруг оси симметрии. Определить период
такого вращения, необходимый для того, чтобы находящиеся на нем тела имели земной вес, если их расстояния до оси вращения равны 39,2 м (g = 9,8 л/сек3).
Ответ: Т = 4к сек.
Задача 465. Для безопасной работы» маховика необходимо, чтобы ускорения его точек не превосходили некоторого предельного значения штах. Определить предельное значение угловой скорости, считая ее постоянной, если радиус маховика равен R.
/
датах
Задача 466 (рис. 292). На какое расстояние 8 = Л0Л переместилась муфта А регулятора, если известно, что ускорение центра
О*О*Рис. 293Рис. 293
О*
О*
Рис. 293
Рис. 293
каждого шара В равно 288 м^сек4, угловая скорость регулятора постоянна и равна 60 рад/сек, а Л« — положение муфты при а=0. Длины стержней 10 см. Расстоянием 00^ пренебречь.
Ответ: s = 8 см.
Задача 467 (рис. 293). В центробежном регуляторе при вращении вокруг вертикальной оси ОО рычаги АСВ и А'С'В' поворачиваются вокруг горизонтальных осей С и С' и отжимают муфту М. Зная перемещение муфты s, длины плеч рычагов: ВС=В'С = г; АС=А'С — 1 и угловую скорость регулятора w = const, определить ускорения шаров Л и Л'. При отсутствии вращения ВС и В'С перпендикулярны к оси ОО, а ЛС и А'С параллельны этой оси. Расстояние СС равно 26.
/ /з \
Ответ: w = ш3 (Ь Д- — L
Задача 468. Корабельный зубчатый редуктор, схема которого показана на рис. 294, состоит из трех зубчатых колес. Первое колесо имеет диаметр 20 см и делает 7200 об/мин. Второе колесо
делает 4000 об)мин, а третье, вращающее гребной вал, совершает 600 об[мин. Определить диаметры второго и третьего колес.
Ответ: с?а = 36 см;
Рис. 294Рис. 295
Задача 469, На рис. 295 изображена схема привода управления рулевой машиной. Определить вертикальное перемещение s
рейки АВ при повороте штурвала на 45°, если г, = 20 см, г2 = 10 см, г4 — 15 см.
Ответ: s = 23,6 см.
Задача 470 (рис. 296). В двухступенчатом редукторе ведущее зубчатое колесо 1 делает 3000 об]мин.
Определить число оборотов в минуту ведомого вала, если числа зубцов колес соответственно равны 2, = 20;
Рис. 296^8— ^0; ^3^’ ^4 — ®^’
Ответ: 750 об j мин.
Задача 471 (рис. 297). Определить передаточное число кони
ш, Sin a2 ш2Sin сц 'ш, Sin a2 ш2Sin сц 'Ответ: ix, 2Ответ: ix, 2Рис. 297Рис. 297Рис. 298Рис. 298ческой зубчатой передачи, если углы при вершинах конусов равны соответственно 2at и 2о^.
ш, Sin a2 ш2Sin сц '
ш, Sin a2 ш2Sin сц '
Ответ: ix, 2
Ответ: ix, 2
Рис. 297
Рис. 297
Рис. 298
Рис. 298
Задача 472 (рис. 298). Определить передаточное число редуктора, составленного из конических колес, имеющих общие вершины, если углы при вершинах соответственно равны 2аь 2^, 2оз, 2^.
Ответ:Ответ:nvSin a a Sin а4 П^ Sin а4 sin аа ‘
Ответ:
Ответ:
Задача 473. На рис. 299 показана схема фрикционного вариатора скорости. Конус А приводится во вращение вокруг оси ОД при помощи ролика В, вращающегося вокруг оси OiOj. Определить передаточное число от ролика к конусу, если радиус ролика р, радиусы оснований конуса г и R, а точка сцепления М находится на расстоянии s от меньшего основания конуса. Ось ролика находится в одной плоскости с осью конуса. Длина образующей равна I.
Ответ: iv.2 = — = rZ+sy^ — r^
Задача 474 (рис. 300). Кривошипы К радиусом 2г, вращаясь равномерно с угловой скоростью и>0, приводят в движение зубча-
Рис. 299Рис. 299Рис. 300Рис. 300
Рис. 299
Рис. 299
Рис. 300
Рис. 300
тое колесо / радиусом г через посредство зубчатого колеса //, наглухо скрепленного со спарником АВ. Определить ускорение любой точки внешней окружности колеса /.
Ответ: w = 4r«)y.
Задача 475. Во фрикционном вариаторе скорости, описанном в задаче 473, принять, что ось ОД параллельна образующей конуса и ролик В может перемещаться вдоль этой оси с постоянной скоростью у =18 см/сек. Определить при s = -^ величины ускорений wv и т2 точек ролика и конуса, находящихся в этот момент в соприкосновении, если г = р = 3 см; R = 2r; 1 = 8 г; <о, — 120 рад,1 сек = со п st.
Ответ: су, = 432 м/сек?;
т^ = 288 м/сек?;
щп3р=1,8 м/сек*.
Задача 476. Колесо сепаратора радиусом 80 см, вращающееся в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило за некоторое время 750 оборотов. Зная, что величины скоростей точек на ободе колеса достигли при этом 200 м/сек, определить время разгона.
Ответ: 1 = 81,1 сек.
Задача 477. Ротор турбины вращается равноускоренно из состояния покоя таким образом, что его точка М, отстоящая от оси вращения на расстоянии 0,4 м, имеет в некоторый момент
ускорение ®, равное по величине 40 м/сек1 и направленное под углом 30° к радиусу. Определить уравнение вращения ротора, а также величины скорости и центростремительного ускорения точки в момент / = 5 сек.
Ответ: у = 25^; о =100 м/сек;
mu = 25000 м/сек1.
Задача 478. Ротор турбины делает 6600 об/мин. После прикрытия маневрового клапана он стал делать 3600 об/мин. Промежуток времени, в течение которого произошло уменьшение угловой скорости, равен 8 сек. Считая вращение ротора равно
замедленным, определить скорость, вращательное и центростремительное ускорения точки лопатки ротора, отстоящей от оси вращения на расстоянии 0,5 м, спустя 4 сек после прикрытия клапана.
Ответ: у = 267 м!сек; твр= 19,62 м/сек1; щц= 142,2 км/сек1.
Задача 479 (рис. 301). На барабан А радиусом 7? =15 см одноступенчатого зубчатого редуктора лебедки намотан трос, на конце которого подвешен груз М. В течение 5 сек груз поднимается с постоянным ускорением то = О,2л м/сек1. Определить, сколько оборотов сделает веду
щий вал Bi за этот промежуток времени, если начальная скорость груза о0 = 0,1 тс м/сек, радиус ведущей шестерни rv — 10 см, а ведомой г3 = 20 см.
Ответ: 20 оборотов.
Задача 480. Диск вращается вокруг неподвижной оси в тече
ние некоторого промежутка времени так, что ускорения всех его точек составляют с их скоростями одинаковые углы, равные 45°. Определить угловую скорость диска как функцию времени, если в момент / = 0 она была равна ш0.
Ответ: ш = -° - [для t</ — сек].
1\шо 1
Задача 481. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
задано уравнением
Ф = 1,5^ — 4/
(<р — в радианах, t — в секундах).
Определить: 1) характер вращения тела в моменты ^ = 1 сек и /3 = 2 сек; 2) величины скорости и ускорения точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии 0,2 м, в эти моменты времени.
Ответ: 1) при /=1 сек вращение замедленное; при t — 2 сек вращение ускоренное; 2) Vi = 0,2 м/сек-, ^ = 0,633 м/сек1; о3 = = 0,4 м/сек; т3=1,0 м/сек1.
Задача 482 (рис. 302), Груз М поднимается по наклонной
длинадлинаплоскости при помощи ворота так, что проходимое им расстояние д = 2^3 -см. Определить скорость и ускорение конца рукоятки А после одного оборота, если радиус барабана г = 27 см, а рукоятки / = 54 см.’
длина
длина
Ответ: и = 3,39 м/сек; т = 21,3 м/сек*.
Задача 483. Вращение винта корабля в период пуска задано уравнением
? = 15^4-3070 (e~kt — 1)
— величина постоянная).
Определить наибольшую угловую скорость винта фб/мин\
а также ускорениеа также ускорениеточки, отстоящей от оси винта на расстоянии 0,8 м, в момент ^ = 0, если начальная угловая скорость винта равна нулю. Определить также момент времени Т, когда винт будет делать 270 об1мин.
а также ускорение
а также ускорение
Ответ: птах = 450 об/мин: т|/=а0 = 0,58 м/сек*-,
ки С рычага в СО = 2а.ки С рычага в СО = 2а.Т 60 сек.
ки С рычага в СО = 2а.
ки С рычага в СО = 2а.
Задача 484 (рис. 303). Стержень АВ, двигающийся вниз в вертикальных направляющих с постоянной скоростью и, скользит своим концом В по стороне CD прямоугольного рычага CDO, благодаря чему последний поворачивается вокруг точки О, лежащей на оси направляющей. Определить величины скорости и ускорения точ-
зависимости от угла поворота f, если OD = a;
Ответ: ' ис = и 1^5;
сSin ср ’
wc = 2-^- ctg3 <Р ]/1 + 3 sin3 ср.
ГЛАВА VII
ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры
Уравнениями движения плоской фигуры в неподвижной системе координат являются
(7.1)(7.1)хо = хо(0, ’Уо~Уо ^-
(7.1)
(7.1)
ср = ср (/), .
где х0 и у0 — координаты произвольной точки О, принятой за полюс;
ср — угол между неподвижной осью Otx и осью ОУ, неизменно связанной с фигурой (рис. 304).
Уравнения движения любой точки плоской фигуры имеют вид
(7.2)(7.2)х = х0 -|- У cos ср — t/ sin ср, У=УоА-^ sin ср 4- у' cos ср,
(7.2)
(7.2)
где У, У — координаты этой точки в системе, скрепленной с фигурой.
Скорости двух любых точек плоской фигуры О и Л связаны между собой зависимостью (рис. 305)
гдегдеул— уо+5ло>(7-3)
где
где
5Д0 = (5ХбЛ(7.4)
— вращательная скорость точки Л относительно О, направленная перпендикулярно отрезку ОЛ в сторону вращения фигуры и равная по величине
(7.5)(7.5)уло = ш.ОЛ.
(7.5)
(7.5)
В этих формулах ш есть мгновенная угловая скорость плоской фигуры.
Если за полюс О принять мгновенный центр скоростей Р, т. е. точку, скорость которой в данный момент равна нулю, то скорость любой точки А будет перпендикулярна к отрезку РА, направлена в сторону вращения фигуры и равна по величине
од = о)-РЛ.(7.6)
Таким образом,
5д = шХМ.(7 7)
Для нахождения мгновенного центра скоростей достаточно знать направления скоростей двух каких-либо точек плоской фигуры: мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров, восставленных из данных точек к направлениям их скоростей. Если эти перпендикуляры сливаются в один, то для нахождения мгновенного центра скоростей надо дополнительно знать .величины скоростей Мгновенный центр находится в этом случае в точке пересечения общего перпендикуляра и прямой, соединяющей концы векторов скоростей. Если же перпендикуляры параллельны, то мгновенного центра не существует. В этом случае ш = 0, а скорости всех точек плоской фигуры одинаковы по величине и по направлению.
Если плоская фигура, ограниченная некоторым контуром, катится без скольжения по другому неподвижному контуру, то точка их соприкосновения в данный момент является мгновенным центром скоростей этой фигуры
Имеет место теорема: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой, т. е.
прлвид = прлвг)в.(7.8)
Проекции_вектора и на оси, связанные с фигурой, определяют по формулам"
Vx- = vox' — tot/; 1
+
» |\
, J
Задача 485. Кривошип OA механизма, показанного на рис. 306, вращается с угловой скоростью ш0. Определить скорости точек В и С, угловую скорость звена BD в том положении механизма, когда а = 30°, 8 = 60°, а шатун ВС занимает вертикальное положение Принять ОА = АВ = а; BD — a]/3.
Решение. Механизм совершает плоское движение. Ведущим звеном, движение которого задано, является кривошип ОА, совершающий вращение вокруг оси О. Определим скорость конца кривошипа, т. е. скорость точки А. Имеем
Од —— 0)^ О А 0>y£Z.
Перейдем к звенуПерейдем к звенуоткудаоткудаив = тлв-вр = тоаУ"3.ив = тлв-вр = тоаУ"3.отсюдаотсюдаскорости точки С, если 0^8 = 6,скорости точки С, если 0^8 = 6,
Перейдем к звену
Перейдем к звену
откуда
откуда
ив = тлв-вр = тоаУ"3.
ив = тлв-вр = тоаУ"3.
отсюда
отсюда
скорости точки С, если 0^8 = 6,
скорости точки С, если 0^8 = 6,
Вектор Эд перпендикулярен к (М и направлен в сторону вращения кривошипа. Перейдем к звену ЛВ. Найдем скорость точки В. Вектор ив направлен перпендикулярно BD, так как точка В принадлежит одновременно и звену BD, которое может
вращаться вокруг точки D. Мгновенный центр скоростей звена АВ находится в точке Р пересечения перпендикуляров к Эд и ив.
Из Л А ВР находим
По формуле (7.6) имеемПо формуле (7.6) имеемВР = Ц1- АР = ~.
По формуле (7.6) имеем
По формуле (7.6) имеем
ул— шлв" ^^>
У
ШЛВ = др” ^О"
Пользуясь этой же формулой, определим
BD. Зная скорость точки В, найдем
U>BDууШ0-
Далее рассмотрим движение звена ВС. Используя теорему о проекциях скоростей двух точек, получим
пРвсУв — пРвсус — ус>ос = ив cos 30° = у аш«.
Направления скоростей ив и эс показаны на рисунке. Задача 486 (рис. 307). Стержневой механизм состоит из четы
рех стержней, причем стержень OVA вращается с угловой скоростью шь а стержень О^В — с угловой скоростью ш2 в указанных на рисунке направлениях. В рассматриваемый момент стержень О1Л вертикален, стержни АС и О^В горизонтальны, а стержень ВС образует с вертикалью угол 30°. Определить в этот момент величину ОхА = ьУз.
Решение. Найдем скорости точек А и В Имеем
Од = a)t • О А = ш^Ь 1^3; ив = юг • О^В = t»^b.
Направления скоростей 5Л и ив указаны на рисунке.
Точка С одновременно принадлежит звеньям АС и ВС. Пользуясь (7.3), находим, с одной стороны,
^с = ^ + ®сл.(а)
с другой —
ес = 0д + Усв-(6)
Приравнивая правые части (а) и (6), получим векторное уравнение
Уа + усл = удН-Усв-(с)
Векторы осл и исв перпендикулярны соответственно к СА и к СВ, однако направления и величины их неизвестны. Примем условно, что эти векторы направлены так, как показано на рисунке. Проведем координатные оси и спроектируем на каждую из них обе части равенства (с). Получим
уз,1
Уд^-Усв^; —Усл = -ув + Усву-
Из первого уравнения найдем
2«д
Знак «минус» указывает на то, что вектор исв в действительЗнак «минус» указывает на то, что вектор исв в действительСВ ]/3
Знак «минус» указывает на то, что вектор исв в действитель
Знак «минус» указывает на то, что вектор исв в действитель
ности имеет направление, противоположное принятому.
Из второго уравнения
1
vca — vb~ °св у —ув+^"(wi + ^b-
Так как иА и иСА взаимно перпендикулярны, то согласно (а)
vc=V'5^A-v4caилиvc = b V4u>i -L шт -4- 2о>(<«.2.
Задача 487 (рис. 308). Цилиндр pa- Рис- d0S диусом R обмотан тросом, перекинутым
через блок О. Конец троса тянут со скоростью й1( в то время как центр цилиндра имеет скорость е8. Определить угловую скорость цилиндра, считая участок троса от цилиндра до блока вертикаль-
ным. Найти величины скоростей точки В на горизонтальном диаметре цилиндра и точки С на вертикальном диаметре.
Ответ: ш = W1^W~°; ив = 01 + 2и2; vc = Уо2 4-(ut 4-Ui)2.
Задача 488 (рис. 309). Подъем трубы производится при помощи талевого ступенчатого барабана Л, вал которого делаетЗадача 488 (рис. 309). Подъем трубы производится при помощи талевого ступенчатого барабана Л, вал которого делаетРис. 309Рис. 310Рис. 309Рис. 310
Задача 488 (рис. 309). Подъем трубы производится при помощи талевого ступенчатого барабана Л, вал которого делает
Задача 488 (рис. 309). Подъем трубы производится при помощи талевого ступенчатого барабана Л, вал которого делает
Рис. 309Рис. 310
Рис. 309Рис. 310
Задача 490 (рис. 311). Кривошип ОА = г, вращающийся равномерно вокруг неподвижной ОСИ О С угловой скоростью (1)0>Задача 490 (рис. 311). Кривошип ОА = г, вращающийся равномерно вокруг неподвижной ОСИ О С угловой скоростью (1)0>Рис. 312Рис. 312
Задача 490 (рис. 311). Кривошип ОА = г, вращающийся равномерно вокруг неподвижной ОСИ О С угловой скоростью (1)0>
Задача 490 (рис. 311). Кривошип ОА = г, вращающийся равномерно вокруг неподвижной ОСИ О С угловой скоростью (1)0>
Рис. 312
Рис. 312
10 об}мин. Определить скорость подъема трубы, если г = 5 см, 7?=15 см. Участки тросов BE и DC считать вертикальными.
Ответ: о = 5,24 см{сек.
Задача 489 (рис. 310). Через блок Л радиусом R перекинут трос, к одному концу которого подвешен груз Mi, а к другому — блок В. Через блок В перекинут второй трос, несущий на концах грузы Мг и Мй. Определить скорости грузов Mi и М», если блок Л вращается с угловой скоростью «о, а груз М2 поднимается по отношению к неподвижному основанию со скоростью и8. При каком значении ш0 груз Ма будет опускаться?
Ответ: у, = 7?ш0; у3 = | 2/?ш0 — у21.
Груз Ма будет опускаться при о)0<-~.
Рис. 311
передает через посредство шатуна АВ = 3>г движение ползуну В, который соединен с зубчатым сектором, перемещающимся по не-
подвижной рейке. Определить скорость точки С механизма в момент, когда угол аесли в этот момент 0 = 2arccos—U. Расстояние ВС равно радиусу дуги сектора, величиной зубцов пренебречь.
Ответ.'. ис = у ru>0; ucJ_PC.
Задача 491 (рис. 312). В эпициклическом механизме кривошип ОА вращается с угловой скоростью ш0 и приводит в движение колесо 7 радиусом г, которое находится во внешнем зацеплении с колесом 7/ радиусом /? = 2г. С колесом 7 жестко связан диск 77/ радиусом р = 2г. Какова должна быть угловая скорость колеса/7, чтобы точка С диска 7/7, находящаяся на прямой ОА, соединяющей центры колес, имела бы скорость, равную нулю?
Ответ- колесо /7 должно вращаться в том же направлении,
3
ЧТО и Кривошип, с угловой скоростью о) — — О)0.
Задача 492 (рис. 313). В планетарном механизме кривошип ОА вращается с угловой скоростью ш0 и приводит в движение
шестерню 7 радиусом г, которая находится во внутреннем зацеплении с 'шестерней 7/ радиусом R. Определить скорости точек Mi и М3 шестерни 7, находящихся на концах ее диаметра, перпендикулярного кривошипу, если шестерня /7 вращается с угловой скоростью О),. п
Принять: г = -з-; о^ = 3о>0.
Ответ: при противоположных направлениях вращения колеса /7 и кривошипа
5/5 п «мг — «м2 =“>oR.
При одинаковых направлениях вращения
/53 D УМ] = 0л2 = 2~3~ to0R.
Задача 493. Поршень приводится в движение при помощи кривошипного механизма с зубчатой рейкой и зубчатым сегментом.
Определить скорость поршня в положении механизма, указанном на рис 314, если при этом а = 30°, р = 60°, а угловая скорость кривошипа равна ш0. Размеры даны на рисунке
-21/ Заг®„
Ответ: и = - д6—-.
Задача 494. Определить величину скорости точки D шатуна NK в положении механизма, изображенном на рис 315, когда коромысло OtN перпендикулярно к шатуну 1VK и параллельно направляющим ползуна В, а скорость ползуна 5 равна о Принять DK — -NK.
„2
Ответ: vD — -^v.
Задача 495 (рис. 316). В механизме паровой машины кривошип ОД длиной г вращается с угловой скоростью ш0. Опреде
лить угловую скорость звена в тот момент, когда <р = 90°.лить угловую скорость звена в тот момент, когда <р = 90°.
лить угловую скорость звена в тот момент, когда <р = 90°.
лить угловую скорость звена в тот момент, когда <р = 90°.
CD и величину скорости точки С если при этом точки О, В, С, лежат на одной прямой, а отрезок BD перпендикулярен ОВ. Расстояние BD равно Ь, длина CD равна а.
Ответ:—.
DC1 С £
Задача 496. Определить величину скорости точки D и угловую скорость звена CD механизма, изображенного на рис. 317, если в рассматриваемый момент а = 30°, звенья ED и АВ находятся в го-
Рис 317ризошальном положении, а криво
шип ОД, вращающийся с угловой скоростью ш0, занимает вертикальное положение Принять О А = г, DC = 6r Звено ВС жестко скреплено с муфтой Оь
Ответ: uD=. Шдс — ^.
Задача 497 (рис. 318). В механизме инверсора при вращении звена ОС вокруг точки О ползуны А и В движутся вдоль одной направляющей. Принимая АС = СВ, доказать, что в любой момент времени
ид •' ув — СА • ОВ.
Задача 498 (рис. 319). Механизм инверсора занимает в данный момент положение, при котором а — ^ = 60°, у = 30°. Опре
делить величину скорости ползуна В в этот момент, если пол.OD ,
зун А имеет при этом скорость и, а ^ = л.
Ответ: св = 2У.и.
Задача 499 (рис. 320). Ведущее звено О А антипараллелограмма в момент, когда L ЛОО] = 90°, a L ВАО— L 8010 = 45°, имеет
угловую скорость, равную ш0. Определить в этот момент угловую скорость звена BOt, если BOi = AO.
Ответ: ^вог = -^—•
Задача 500 (рис. 321). В механизме Чебышева шатун АВС изогнут под углом 120°, длина кривошипа ОИ = г, АВ = ОВ — ВС. Определить величину скорости точки С в тот момент, когда кривошип имеет угловую скорость ш0 и занимает крайнее правое положение, если при этом а = 45°.
гЮо (1/3-1)
Ответ: vc ——1—-.
Задача 501. В механизме, изображенном на рис. 322, шатун АВМ изогнут под углом в 150°, а кривошип О А вращается с угловой скоростью ш0. Определить величины скоростей то
чек В, М, D и угловую скорость звена DM в тот момент, когда кривошип ОА занимает крайнее правое положение, если в этот момент Z ОАВ = 45°, а точки С, М и D лежат на одной прямой. Принять ОА=а; AB = BM = MD = CB — b. _
Ответ: ив=им = -^—; ир = 0; »-DM =2// •
Задача 502 (рис. 323). В реверсивном парораспределительном механизме угол между направляющими ползунов равен 60°, а кривошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью ш0. Определить величины скоростей ползунов В и D в изображенном на рисунке положении механизма, если при этом шатун АВ занимает горизонтальное, шатун BD — вертикальное положение, 8@Lа кривошип ОА параллелен на
правляющей ВС.
Ответ: =
|гш0 у 3
L~^"~ Задача 503 (рис. 324). Меха
низм Чебышева занимает в дан- Рис 324ный момент такое положение,
при котором а=90°, р = 60°, 7 = 90°. Определить в этот момент величины скоростей точек В и С, если скорость точки А равна о, а ВС = ^ АВ.
vv]/3
Ответ: ив = у; пс — —^—.
Задача 504 (рис 325). Линейка А В длиной а шарнирно соединена с двумя ползунами А и В, которые могут двигаться в направляющих, образующих между собой угол а. Определить центроиды линейки.
Ответ-. неподвижная центроида — окружность с центром в точке О и радиусом Ai = -^j^; подвижная центроида — окружность, проходящая через О, А, В, радиус ее —
Задача 505 (рис. 326). Кривошип ОЛ = ^ реверсивной передачи с качающейся кулисой АВ в виде зубчатой рейки равномерно
Вращается вокруг оси О с угловой скоростью ш0. Определить угловую скорость «о шестерни /
Рис. 326Рис. 326Рас 325
Рис. 326
Рис. 326
радиусом г = ^ в момент, когда угол а — 60°. Размерами зубцов пренебречь.
Ответ: u> = 1^3wo.
Задача 506. При вращении кривошипа ОА механизма, изображенного на рис. 327, стержень АС благодаря наличию поворотной втулки все время проходит через неподвижную точку В С втул-
Рис. 327Рис. 327Рис 328Рис 328
Рис. 327
Рис. 327
Рис 328
Рис 328
кой неизменно связан стержень BD длиной /, перпендикулярный стержню АС. Определить скорость точки D в тот момент, когда / АОВ=90°, Z ЛВО = 30°, а угловая скорость кривошипа равна
Ответ: скорость uD направлена перпендикулярно BD влево и равна по величине уо = ю°-.
Задача 507 (рис. 328). Толкатель АВ, двигающийся со скоростью и, поворачивает благодаря ползуну В стержень ОС вокруг точки О. Со стержнем ОС в точке D шарнирно соединен шатун DE. Определить скорость ползуна Е в том положении механизма, когда L DOE = 60°, a Z_DEO = 30Q, если расстояние между направляющими АВ и ОЕ равно b, a OD = a.
УЗаи
Ответ:—•
Задача 508 (рис. 329). В механизме продольнострогального станка кривошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью u>o.
Рис. 330Рис. 330
Рис. 330
Рис. 330
Определить величину скорости штока BE в момент, когда Ф = 903, ^ = 60°, если при этом DC :ВС = 1:2, а отрезок ОС параллелен штоку BE. Длина шатуна АС равна 2г.
Ответ: у = 3"г<п0
Задача 509. Механизм пилонасекательной машины устроен, как показано на рис. 330, и имеет размеры ОА — r; АВ=а; ВС = 2а; CD = R; DE = R~['3. Определить угловые скорости звеньев и величину скорости точки Е рычага DE в положении механизма, при котором /_ОАВ = 90°, Z AOF = Z BCD = = Z ЛВС = 30°, OiC — OiB, а угловая скорость кривошипа О А равна а>0. Стержень СВ свободно проходит через поворотную втулку Ох.
оюог2to0r2toor
Ответ: yE = W, ^ec = -a-\= «-CDE = Ry^-
Задача 510 (рис. 331). Кривошип О А планетарно-кулисного механизма, вращаясь вокруг оси О с угловой скоростью а>0, приводит в движение сателлит D, связанный шарнирно со стержнем BF. Стержень BF в своем движении все время проходит через неподвижную точку С. Определить величину скорости точки стержня BF, совпадающей в данный момент с точкой С, если в этот момент кривошип ОА занимает вертикальное положение, угол о = 30°, Д ВАО = 90°. Радиус неподвижной шестерни 2г, подвижной — г, АВ = г]/3-
Ответ: oc = 3rV3 ш0.
Задача 511. Определить скорость штока CD механизма, изобра
женного на рис. 332, в тот момент, когда /_ AVOC= Z. А^ОС,
если ОАх — ОАр, АХВХ = А4Вр, вращается вокруг точки О.
ВХС = В2С, а ломаный рычаг Д^ЛдВХС = В2С, а ломаный рычаг Д^ЛдРис 332Рис 332Рис. 331Рис. 331Указание. Доказать сначала, что уВ1 и ив параллельны CD, затем воспользоваться теоремой о проекциях скоростей (7.8).
ВХС = В2С, а ломаный рычаг Д^Лд
ВХС = В2С, а ломаный рычаг Д^Лд
Рис 332
Рис 332
Рис. 331
Рис. 331
Ответ: ис = 0.
Задача 512 (рис. 333). Стержневой механизм занимает в данный момент положение, при котором а = 30°, р = 90°, у —30°.
Зная, что в этот момент величины скоростей шарнира А и ползуна С равны ид = ос = и, определить величину скорости точки В. Направления вращения кривошипа ОА и движения ползуна С указаны на рисунке.
Ответ: ив = и V13.
Рис. 335Рис. 335Задача 513. В механизме, изображенном на рис. 334 («римская передача»), ведущее зубчатое колесо / вращается с угловой скоростью о>0. Определить скорость штока CD в момент, когда
Рис. 335
Рис. 335
а = 90°, если при этом шарниры At и Д2 лежат на прямой, проходящей через центры Of и Ое и параллельной звену ВХВ4. Радиусы колес соответственно равны гх и г3; ОхАх = ах; 0>А2 — ар, CBi = CB4.
Ответ: и = ^- Wri, -j- арч).
Задача 514. Доказать, что отношение скоростей поршней Bt и В2 в механизме компрессора, изображенном на рис. 335, в любой момент времени такое же, как и отношение расстояний от них до центра вращения кривошипа, если ОА1 = ОА1, а Л1В1 = ЛаВ3.
Указание. Использовать равенство углов Z АХВХО и Z. А3В3О.
Задача 515. На рис. 336 изображен механизм газового двигателя. Определить угловые скорости зубчатых колес в момент, когда звено ВгВ3 параллельно линии центров, шток ЕС — гори
зонтален,зонтален,а точки крепления тяг Ах и А3 занимают наинизшиеа точки крепления тяг Ах и А3 занимают наинизшиеположения, если в этот момент скорость поршня равна и. Дано- O^i = at; О3А3 = а3; СВ1 = Ь1; СВ3 = Ь3; радиусы г, и г2положения, если в этот момент скорость поршня равна и. Дано- O^i = at; О3А3 = а3; СВ1 = Ь1; СВ3 = Ь3; радиусы г, и г2(axb>f3 ^ a3bxf i).Ответ1, ш, =(axb>f3 ^ a3bxf i).Ответ1, ш, =(bt-ybaVaO .(bt-ybaVaO .ахГаЬа — а^х 'ахГаЬа — а^х '0)2 avrsba — «а^Ь,0)2 avrsba — «а^Ь,(если знаменатель положителен, то колесо 1 вращается против(если знаменатель положителен, то колесо 1 вращается противдвижения часовой стрелки).Задача 516 (рис. 337). Два катка положены на наклонные плоскости, образующие между собой угол 1, так, что они могут катиться по этим плоскостям без скольжения. Центры катков А и В шарнирно соединены со стержнями АС и ВС, имеющими общий шарнир С. Определить величину скорости точки С в момент,движения часовой стрелки).Задача 516 (рис. 337). Два катка положены на наклонные плоскости, образующие между собой угол 1, так, что они могут катиться по этим плоскостям без скольжения. Центры катков А и В шарнирно соединены со стержнями АС и ВС, имеющими общий шарнир С. Определить величину скорости точки С в момент,когда стержни параллельны соответствующим плоскостям, есликогда стержни параллельны соответствующим плоскостям, еслипри этом центры катков имеют скорости ид и ив соответственно.„—2v.v cos7 I —о. IОтвет: vr = A Bа в /aL.Lsin 7sin 7при этом центры катков имеют скорости ид и ив соответственно.„—2v.v cos7 I —о. IОтвет: vr = A Bа в /aL.Lsin 7sin 7§ 2. Ускорения точек плоокой фигурыУскорения двух любых точек плоской фигуры А и В связаны между собой соотношением (рис. 338)®в = ®а + ®ва + ®вра-(7Л°)где ®^д — центростремительное ускорение точки В — направлено от В к Л по линии ВА и по величине равно§ 2. Ускорения точек плоокой фигурыУскорения двух любых точек плоской фигуры А и В связаны между собой соотношением (рис. 338)®в = ®а + ®ва + ®вра-(7Л°)где ®^д — центростремительное ускорение точки В — направлено от В к Л по линии ВА и по величине равно^вд = ш$' ^Л;^вд = ш$' ^Л;(7-11)(7-11)
зонтален,
зонтален,
а точки крепления тяг Ах и А3 занимают наинизшие
а точки крепления тяг Ах и А3 занимают наинизшие
положения, если в этот момент скорость поршня равна и. Дано- O^i = at; О3А3 = а3; СВ1 = Ь1; СВ3 = Ь3; радиусы г, и г2
положения, если в этот момент скорость поршня равна и. Дано- O^i = at; О3А3 = а3; СВ1 = Ь1; СВ3 = Ь3; радиусы г, и г2
(axb>f3 ^ a3bxf i).
Ответ1, ш, =
(axb>f3 ^ a3bxf i).
Ответ1, ш, =
(bt-ybaVaO .
(bt-ybaVaO .
ахГаЬа — а^х '
ахГаЬа — а^х '
0)2 avrsba — «а^Ь,
0)2 avrsba — «а^Ь,
(если знаменатель положителен, то колесо 1 вращается против
(если знаменатель положителен, то колесо 1 вращается против
движения часовой стрелки).
Задача 516 (рис. 337). Два катка положены на наклонные плоскости, образующие между собой угол 1, так, что они могут катиться по этим плоскостям без скольжения. Центры катков А и В шарнирно соединены со стержнями АС и ВС, имеющими общий шарнир С. Определить величину скорости точки С в момент,
движения часовой стрелки).
Задача 516 (рис. 337). Два катка положены на наклонные плоскости, образующие между собой угол 1, так, что они могут катиться по этим плоскостям без скольжения. Центры катков А и В шарнирно соединены со стержнями АС и ВС, имеющими общий шарнир С. Определить величину скорости точки С в момент,
когда стержни параллельны соответствующим плоскостям, если
когда стержни параллельны соответствующим плоскостям, если
при этом центры катков имеют скорости ид и ив соответственно.
„—2v.v cos7 I —о. I
Ответ: vr = A Bа в /aL.
Lsin 7sin 7
при этом центры катков имеют скорости ид и ив соответственно.
„—2v.v cos7 I —о. I
Ответ: vr = A Bа в /aL.
Lsin 7sin 7
§ 2. Ускорения точек плоокой фигуры
Ускорения двух любых точек плоской фигуры А и В связаны между собой соотношением (рис. 338)
®в = ®а + ®ва + ®вра-(7Л°)
где ®^д — центростремительное ускорение точки В — направлено от В к Л по линии ВА и по величине равно
§ 2. Ускорения точек плоокой фигуры
Ускорения двух любых точек плоской фигуры А и В связаны между собой соотношением (рис. 338)
®в = ®а + ®ва + ®вра-(7Л°)
где ®^д — центростремительное ускорение точки В — направлено от В к Л по линии ВА и по величине равно
^вд = ш$' ^Л;
^вд = ш$' ^Л;
(7-11)
(7-11)
о) — мгновенная угловая скорость плоской фигуры; ©^ — вращательное ускорение точки В по отношению к точке А; он» перпендикулярно к ВА и направлено в сторону вращения фигуры, если это вращение ускоренное, и в обратную сторону, если оно замедленное.
Величину этого ускорения определяют по формуле
^РД = М5Л,(7.12)
где £ — мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.
Если известен мгновенный центр ускорений, т. е. точка Q, ускорение которой в данный момент равно нулю, то ускорение любой точки А находят по формуле
Рис 338на острый угол а, определяемыйРис 338на острый угол а, определяемый^ = «^<2 + ®%,(7ЛЗ)
Рис 338
на острый угол а, определяемый
Рис 338
на острый угол а, определяемый
причем
Шд = ЛфФ^г2 -ф- to4. (7-14)
Если в некоторый момент известно ускорение точки А, а также величины ш и е, то для нахождения Q следует повернуть вектор ®д в направлении вращения фигуры, если оно ускоренное (и в обратном— если замедленное), формулой
(7-15)(7-15)a=arctg-2 .
(7-15)
(7-15)
На полученной полупрямой следует отложить отрезок
(7 16)
Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений в данный момент.
Проекции ускорения © на оси, связанные с фигурой, имеют вид
(7.17)(7.17)WX' = фох' — st/ — to1/,ЗУ у = Woy + EX' — Uptf.
(7.17)
(7.17)
Задачи на определение ускорений точек плоской фигуры можно разделить на четыре основных типа.
Задачи типа I. Известны (или могут быть найдены) ускорение какой-либо точки А и мгновенная угловая скорость ш в любой момент времени. Требуется определить мгновенное угловое ускорение г и ускорение любой другой точки В плоской фигуры.
Поскольку известна зависимость ш от t, то е находят путем простого дифференцирования со. Величины неизвестных составляющих искомого вектора ^в находят согласно (7.11) и (7.12). После этого по (7.10) определяют ®в. Величину ®в удобнее всего находить путем проектирования (7.10) на взаимно ортогональные направления.
Задача 517 (рис. 339). Центр колеса, которое катится по наклонной плоскости без скольжения, движется по закону
5 = 4/3+16
(/ — в секундах, s — в сантиметрах).
Определить ускорение точки касания колеса с плоскостью в момент / = 2 сек, если радиус колеса Я = 16 см.
Решение. Так как центр колеса О движется прямолинейно, то его скорость и ускорение находят по формулам «o = dd>^t- w0^ = 8.
При t = "ZceK п0=16 см;сек; w0 — 8 см^секЧ
Ввиду отсутствия скольжения мгновенный центр скоростей находится в точке касания колеса с плоскостью. Следовательно,
мгновенную угловую скорость о> получим по формуле
«о
— ОР — 2
т. е. она представляет собой известную функцию времени. Дифференцируя по времени ш, найдем
du> 1
8 dt" 2"#
Итак, в рассматриваемый момент
Ш=1^; е=1^.
сек’ 2 сек2
Определим ускорение точки Р. Имеем по (7.10) фр=®о + ®'го + ®рро, где
^“о сек = ш3 ' О/3 = 16 См{сеК?,
I kJ | V — й Сс^1
причем w^q направлено от Р к О, а
^ |f=2 сек = 5'0Р = 8 CM{ceK\
Так как колесо вращается ускоренно (г и ш одного знака), то вращательное ускорение ©“р, направлено перпендикулярно к РО в сторону вращения фигуры вокруг полюса О.
В данном случае
®рро + ®о = °.
следовательно,
®р=^0,
т. е. wp= 16 CMjceK*.
Вектор ©р направлен к центру колеса О.
Замечание. Таким же образом определяют айв случае, когда в некоторый данный момент t* заданы произвольным образом скорость б0 и ускорение ®0 центра. Обозначим переменную скорость центра через и^, его ускорение — w (/), причем в момент I*, рассматриваемый в задаче,
П(/*) = О0; W (t^^Wg.
Тогда в любой момент времени
Отсюда найдем d«> \ du £ df р "df
Ввиду того, что центр движется прямолинейно,
и, следовательно,
•и»
При t — t* получим
Задача 518. Эпициклический механизм состоит из двух одинаковых зубчатых колес II и III радиусом г и колеса У, которое имеет ось вращения, проходящую через центр неподвижного колеса /// (рис. 340, а). Колесо I вращается в данный момент с угловой скоростью оц и угловым ускорением et. Определить величины ускорений точек Л2 и Р колеса //, находящихся в данный момент в зацеплении с колесами I и ///.
Решение. Ведущим является колесо /. Определим скорость точки Л1 как точки, принадлежащей этому колесу. Имеем
VA =3(0^.
Рассмотрим движение колеса //. Оно катится без скольжения по неподвижному колесу ///, поэтому мгновенный центр скоростей этого колеса находится в точке Р соприкосновения колес II и III.
Так как скольжение между колесами / и // также отсутствует, то
°A=VA?
где Д3 —точка колеса II, находящаяся в зацеплении с колесом I. Мгновенная угловая скорость колеса II будет
<о»<о»VA3А3РVA3А3Р3®,г32г — 2 Ш1'3®,г32г — 2 Ш1'
<о»
<о»
VA3
А3Р
VA3
А3Р
3®,г3
2г — 2 Ш1'
3®,г3
2г — 2 Ш1'
Полученное соотношение между угловыми скоростями колес / и II имеет место в любой момент, времени..
Рис. 340Рис. 340
Рис. 340
Рис. 340
Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между угловыми ускорениями
' 3
Примем за полюс центр О3 колеса //. Найдем его скорость и ускорение (рис. 340,6). Имеем
Оо2 = шгО2Р = 4гшь ®о, = ®то®ло,.
где
УО2 9г®?Йо0а Зге,
W,to2 — OA— 8 ’ ^о,— й1 “ 2 •
Определим ускорение точки Р (рис. 340, в). По формуле (7.10) имеем
®р = ®о. + ®го3 + ®%8 = Чо. + ®„о3 + ®го2 + ®ВД, (е) где
^ГО2 = <о1-РО3 = 9-^, ^=в3.РО2=^.
При этом вектор ®“Оа направлен от точки Р к О2, а вектор ©^2 перпендикулярен к ©^ и направлен в сторону вращения колеса // вокруг полюса 02, так как оно вращается ускоренно.
Для удобства перенесем все векторы, находящиеся в правой части (е), в точку Р (рис. 340, в). Так как ттоа =оу^ =^, а векторы ®тОаи ©^р02 направлены противоположно друг другу, то wP=^ -^=4^-4 ш1г=| ^ •
Следовательно, вектор ®р направлен от Р к О, (рис. 340, а). Рассмотрим теперь точку А^. За полюс можно принять не только точку О2, но и точку Р, поскольку ее ускорение уже известно. Имеем
гдегде“’л^^р + ^р + ^р-^,р — Ш8 • А»р = 4 ш*г;
где
где
WB^P=svA2P=3evr.
Направления векторов показаны на рис. 340, г. Вектор ®В£,Р направлен перпендикулярно к А»Р в сторону вращения колеса 7/ вокруг полюса Р, так как вращение этого колеса ускоренное.
Складывая векторы геометри
чески, получим
^л, = V HsP — w^ + (^Р р)2 =
— Зг й Ш1 + е1 •
Заметим, что
юЛ1 = Зг )Ао} + ef,
следовательно,
^л, ^ ^л,-
Задачи 519-529 (рис. 341). С шатуном АВ шатунно-кривошипного механизма жестко связан треугольник ABD. Определить ускорения точек В и D, если кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью u>ft. Данные взять из таблицы; принять ОА — АВ — а.
М задачи
Д ABD
Д BAD
№ задачи
Д ABD
Д BAD
V
519
45°
45”
о
523
30°
90°
0
520
30°
90°
30°
524
60°
60°
30°
521
45°
45°
45°
525
90°
45°
45°
522
60”
90°
60°
526
60°
60°
60°
Указание. Предварительно доказать, чтошдв = и)0 для любого у. Ответы:
К° задачи
™Вх
™Dx
"Dy
ГОД
519
—2йю|
32
— аю»
/То , 2
520
— /Заи^
2/3.
3 Дюо
— асо^
/21.
2<2со0
521
— /2»)
— У 2 аюу
/Тб „
522
— «“1
— /3 аа>|
уТаЦ
523
— 2a®J
/з ,
д- а®»
2/3,
з аю°
524
— УЗ аю»
— УЗ аю.
2ашд
525
— У2 аш®
3/22
2 аю'*
2
|/ 5 асо^
526
g~ «“о
/3 ао>^
527. Диск
Задача
так, что его
движется в своей плоскости
центр О описывает окружность радиусом R с постоянной по величине скоростью ®0, и вращается вокруг своего центра с постоянной угловой скоростью о)0. Найти положение мгновенного центра ускорений диска.
Ответ: мгновенный центр ускорений Q находится на прямой, соединяющей центры окружности и диска, причем OQ=-^-.
Задача 528. В условиях предыдущей задачи центр диска имеет в данный момент то же значение скорости у0 и обладает касательным ускорением wT. Какое угловое ускорение г надо сообщить диску (при прежней угловой скорости ш0), чтобы мгновенный центр ускорений Q находился на прямой, соединяющей центры окружности и диска? На каком расстоянии от центра диска О будет при этом находиться мгновенный центр ускорений?
СО2
Ответ: е =L. При ускоренном движении центра диск должен вращаться ускоренно в ту же сторону, в которую движется центр, или замедленно в обратную сторону. При замедленном движении центра — все наоборот. Расстояние ^Q = - ^4 ■ (сравните с ответом предыдущей задачи).
Задача 529. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямолинейному рельсу, имея в данный момент скорость центра ®о (и произвольную величину ускорения центра). Определить
нормальное ускорение точек на ободе колеса в зависимости от центрального угла ф между радиусами, проведенными в данную точку и точку касания.
Ф
У» sln 2
Ответ • wn =—.
Задача 530. Колесо радиусом R катится без скольжения по неподвижному рельсу. Зная, что ускорение точки касания в данный момент равно ш, определить в этот момент величину скорости диаметрально противоположной точки.
Указание. Предварительно доказать, приняв центр колеса за
направлено к центру колеса.направлено к центру колеса.Рас. 342 находящихся в местах за-Рас. 342 находящихся в местах за-полюс, что ускорение точки касания Использовать также замечание к задаче 517.
направлено к центру колеса.
направлено к центру колеса.
Рас. 342 находящихся в местах за-
Рас. 342 находящихся в местах за-
Ответ: u = 4VwR.
Задача 531 (рис. 342). Суммирующий механизм состоит из зубчатого колеса радиусом г и двух параллельных зубчатых реек, движущихся в одном направлении С ПОСТОЯННЫМИ скоростями Vi и и2. Определить величины ускорений точек Д1 и Л2 зубчатого колеса, цепления с рейкой.
„(о,— У2)2
Ответ: мА1 = шА* = У^-^.
Задача 532. Решить задачу 531, считая, что рейки движутся в противоположных направлениях.
Ответ: тад^Щд^-1-^^ .
Задача 533. Решить задачу 531, считая, что рейки движутся в одну сторону, имея в данный момент скорости yt и у2 и ускорения ®i и ®2 соответственно.
Ответ- ^Л1 = |Л^ + ^=^; ^8 = f/^ т ^ ^г" 1
Задача 534. Доказать, что центры кривизны траекторий различных точек обода колеса, катящегося без скольжения по прямому рельсу, расположены симметрично этим точкам относительно точки ^Касания колеса с рельсом.
г Задача 535. Колесо радиусом г, катящееся без скольжения по неподвижному колесу радиусом R, приводится в движение кривошипом, соединяющим центры колес. Определить угловую скорость кривошипа, если известно, что ускорение точки подвижного колеса, находящейся в данный момент в зацеплении, равно w Хем. указание к задаче 530).
Ответ. = 1/
Задача 536 (рис. 343). Катушка радиусом Д, которая катится без скольжения по горизонтальной плоскости, приводится в движение при помощи груза М. Груз, привязанный к нити, намотанной на барабан катушки, движется вниз, имея в данный мо
мент скорость у и ускорение w. Определить величины ускорений точек С и В катушки, находящихся в рассматриваемый момент на вертикальном диаметре, если радиус барабана г.
Указание. Взять за полюс центр катушки, предварительно найдя его ускорение.
„^R
Ответ: юс = -ГЙ—
L (В —г)- ’
^в=yfer VwXK— г? + у4 .
Задача 537. В условиях задачи 536 определить ускорение точки катушки, совпадающей с точкой схода нити.
Ответ: wD = ]/"+ (р агр •
Задачи типа II. В некоторый момент времени известны величина и направление ускорения какой-либо точки А плоской фигуры, мгновенная угловая скорость ш и прямая, вдоль которой направлено ускорение другой точки В. Определить угловое ускорение г и ускорение точки В (а затем и любой точки фигуры) в рассматри
ваемый момент времени.
Если прямая, по которой направлено ускорение ®в, не перпендикулярна к АВ, то ®д и <о могут быть заданы произвольно. Если ®в_ЕЛВ, то задача может иметь решение лишь только в том случае, когда угол между ®д и АВ не тупой и при наличии определенной зависимости между ®д и со. Для решения задачи типа II следует векторное равенство (7.10) спроектировать на ось, перпендикулярную к ®в. В правой части этого равенства два первых вектора (®л и ^д) известны и по величине, и по направлению. Вектор ®дд перпендикулярен к АВ, но направление этого вектора неизвестно. Оно обычно указывается предположительно. При проектировании (7.10) получим, таким образом, одно скалярное уравнение, из которого находится величина ш^. Если
эта величина окажется отрицательной, то это будет указывать на то, что предполагаемое направление вектора w®^ противопо
ложно действительному. Зная w®^, находим г, а проектированием (7.10) на прямую, по которой направлен вектор ®в, находим величину и направление (по знаку проекции) вектора ®в. Зная ©д, ш и г, можно по (7.10) определить ускорение любой точки С. При этом следует иметь в виду, что вектор ©^д ориентирован по отношению к А так же, как и ©^.
Задача 538. Коленчатый вал (рис. 344, а) в период пуска вращается с угловой скоростью соо и угловым ускорением е0. Определить ускорение поршня В и угловое ускорение шатуна АВ при крайнем верхнем и крайнем правом положениях мотыля ОА, если длина мотыля г, а длина шатуна /.
Рис. 344Рис. 344
Рис. 344
Рис. 344
Решение. Ведущим звеном механизма является мотыль О А. Движение его задано. Определим скорость и ускорение точки А. Имеем
ил = <й0г,
где
аул —«V, шлр = еог.
Направления этих векторов для первого положения механизма указаны на рис. 344, б.
Рассмотрим движение шатуна АВ. За полюс примем точку А, так как ее скорость и ускорение известны. По (7.10) имеем
^В = ®A + Й’ВА + ®ВА — ®^ + @АР + ®Ы + ®д^>(/)
причем по (7.11) и (7.12)
Швл =о)2 • АВ=шЧ; w®ba — £- АВ = d.
где о» и s — угловая скорость и угловое ускорение шатуна АВ.
Вектор ®вд направлен от точки В к полюсу А, а вектор ®^д — перпендикулярно АВ. Направим его предположительно так, как показано на рис. 344, б. Так как мгновенный центр скоро-
стей шатуна в рассматриваемом положении механизма находится в точке В, то
О)О)_"л — “о£ АВ — I_"л — “о£ АВ — I(g)(g)
О)
О)
_"л — “о£ АВ — I
_"л — “о£ АВ — I
(g)
(g)
Формула (g) определяет угловую скорость шатуна только в данный момент времени, соответствующий рассматриваемому положению механизма, поэтому в не может быть получено дифференцированием по времени ю, найденного из (g).
Для определения в воспользуемся тем, что линия действия искомого ускорения точки В известна: ®в направлено по прямой ОВ.
Поэтому, проектируя векторное равенство (/) на ось Вх, перпендикулярную направлению ®в, получим ^=0=-^+®^.
Отсюда
и, следовательно,
Так как ^“^^>0, то предположение о направлении этого вектора верно.
Проектируя равенство (/) на ось By, найдем проекцию ускорения точки В на эту ось
®BJ = ®А WbA = <й0 (1 -j- yj .
Так как wBy^>0, то вектор ®в направлен в положительном направлении оси By.
Величина ускорения точки В в первом положении механизма будет
= wo (1 + у) ■
Рассмотрим теперь крайнее правое положение мотыля (рис. 344, в). Обратимся снова к равенству (/). Так как перпендикуляры к скоростям точек А и В параллельны, то угловая скорость о) шатуна АВ равна нулю и, следовательно, ш^ —о.
Ускорение s^, перпендикулярное АВ, предположительно направим так, как показано на рисунке. Проектируя (/) на ось Вх,. получим
wBX = 0 = ш^ — u^ cos а,отсюда«а Г _ «о ГS = : = —_.
I cos а V г8
Так как Шва>0, то предположение о направлении ®вд верно. Проектируя (/) на ось By, имеем
Если е0Если е0о^ = ^ — ^ sin а = еого^ = ^ — ^ sin а = еоггV Г2 — г2 ’гV Г2 — г2 ’то ©в>>0, т. е. в этом случае хяв направто ©в>>0, т. е. в этом случае хяв направлено вниз.Величина ускорения wB будетлено вниз.Величина ускорения wB будет^в^^в^°0°0м|г \ у 12—г4 /'м|г \ у 12—г4 /'
Если е0
Если е0
о^ = ^ — ^ sin а = еог
о^ = ^ — ^ sin а = еог
г
V Г2 — г2 ’
г
V Г2 — г2 ’
то ©в>>0, т. е. в этом случае хяв направ
то ©в>>0, т. е. в этом случае хяв направ
лено вниз.
Величина ускорения wB будет
лено вниз.
Величина ускорения wB будет
^в^
^в^
°0
°0
м|г \ у 12—г4 /'
м|г \ у 12—г4 /'
В рассматриваемый момент поршень движется ускоренно вниз, так как ®в и vB совпадают по направлению.
Если
-о-о®lrУ р _ ^ ’®lrУ р _ ^ ’
-о
-о
®lr
У р _ ^ ’
®lr
У р _ ^ ’
то ®в направлено вверх и по величине будет равно
В этом случае поршень движется вниз замедленно, так как ^)в и уд имеют противоположные направления.
Задачи 539—547. С шатуном АВ шатунно-кривошипного механизма жестко связан треугольник ABD. Определить угловую скорость и угловое ускорение треугольника, а также ускорения точек В и D, если кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью о)0; ОА — а; АВ = 2а. Данные взять из следующей таблицы (см. рис. 341):
№ задачи
L ABD
L BAD
539
30°
30°
0”
540
30°
90°
90°
541
60°
60°
180°
542
60°
30°
0”
543
60°
60°
90’
544
30°
90°
180’
545
90°
30°
0’
546
90°
30°-
90°
547
90°
30°
180°
Ответы:
задачи
ш
s
юВх
”Dx
®п
539
“о
2
0
3 „ «
—2
— уйши
К3 ,
— 12
Кз? 2
6 atoa
540
0
Кз 2
3 4,0
Кз а
3 а“°
— у й^о
к 7” „
541
“о 2
0
~2~
йюи
542
“о
2
0
3' 3
— 2
11 *
§- й<»о
1?»«!
543
0
Кз „
3
0
4-’
544
0
й“о
Кз , 6 а“5
К39 „
6 а“°
545
ю0 2
0
3 2
3S
—2 ймо
Кз 2 е
К21 8
546
0
КЗ а
3 “°
Кз" 2
-у— «“i
0
уа«3»
з
547
“о
2"
0
1 =
2
-2ti(Oo
Кз „
3 a'“°
Задача 548 (рис. 345). Определить скорости и ускорения поршней двигателя с V-образным расположением цилиндров в момент,
Рис. 345Рис. 345когда <р —90°, если ОД = 10 см, АВ = АС = 10)^2 см и кривошип ОД вращается с постоянной угловой скоростью шо=1О-^-. Угол между осями цилиндров равен 90°.
Рис. 345
Рис. 345
Ответ: vB = 0; ис = 100 см^ек; wc = 1000 см/сек\ wB — 1707 см/сек2.
Задача 549. В кривошипно-ша-
шипа г и длина шатунашипа г и длина шатунадлина криво/ = г]/г3. Оп-длина криво/ = г]/г3. Оп-шатуна в тот угол, если уг-шатуна в тот угол, если уг-тунном механизме / связаны соотношением
шипа г и длина шатуна
шипа г и длина шатуна
длина криво/ = г]/г3. Оп-
длина криво/ = г]/г3. Оп-
шатуна в тот угол, если уг-
шатуна в тот угол, если уг-
ределить угловую скорость и угловое ускорение момент, когда он составляет с кривошипом прямой ловая скорость кривошипа постоянна и равна о)0.
Ответ: ю = • е =
3 ’9/3
Задача 550. В механизме, изображенном на рис. 346, кривошип О А длиной г вращается с постоянной угловой скоростью <а0. Определить проекции ускорений точек В и С на оси в тот момент, когда Z.DOA =^-, если AD = АВ — 2г, ВС —4г.
Ответ: wBX =г<»о; шв> = — 2гю^; шСл = г ]/'з(0®.
Задача 551 (рис. 347). Кривошип О А длиной г парораспре
равномерно вокруг оси О сравномерно вокруг оси О сРис. 347Рис. 347делительного механизма вращается угловой скоростью о)0. Определить скорость и ускорение ползуна С для положения, изображенного на
равномерно вокруг оси О с
равномерно вокруг оси О с
Рис. 347
Рис. 347
рисунке, если при этом у = 60°; -[ = 90°. Принять АВ — 6г;
ВС = 3/Зг._
Ответ: ис = у гш0;.
Вектор vc направлен вниз, вектор ®с — вверх.
Задача 552 (рис. 348). Колесо радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью центра у0 и приводит в движение ползун В при помощи шатуна АВ длиной I. Определить величину ускорения ползуна В при крайнем верхнем и крайнем нижнем положениях точки А, если ОА — -^.
Рис. 348Рис. 348Ответ: в крайнем верхнем положении
Рис. 348
Рис. 348
= —7===;
в 2^4/=— ад2
в крайнем нижнем положении
в 2 у 4Р — R4 ‘
Задача 553 (рис. 349). Со стойкой ОЕ кривошипно-шатунного механизма связано неподвижное колесо I радиусом 2г, по которому без скольжения катится колесо// радиусом г. С колесом // наглухо скреплен поводок BD длиной г, а шатун ВС связывает поводок с ползуном С. Определить ускорение ползуна С и угло-
2252258 Ht А. Бражниченко и др.
225
225
вое чтовое чтоРас. 351Рас. 351
вое что
вое что
Рас. 351
Рас. 351
в этот моментв этот моментускорение шатуна в момент, когда а = 30°, если известно, точки О, А и В находятся на одной горизон
в этот момент
в этот момент
тальной прямой. Кривошип ОА вращается С ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ СКОрОСТЬЮ to0.
Ответ: Wc^lV^ rufo е = ^^- Шд.
Вектор ®с направлен вдоль вертикали вниз.
Задача 554 (рис. 350). Кривошип ОА приводит'в движение тележку на катках.
На общих осях с катками вращаются свободно два ролика, на которые натянут ремень, прикрепленный в точке К к станине. Определить угловые скорости и ускорения катков и роликов в момент, когда кривошип ОА образует с горизонтом угол 60° и /_ВАО = 90°, если ОА = 4г, радиус ролика г, радиус каждого катка 2г, угловая скорость кривошипа ю0 = const.
Ответ:
__4^/£._М. ме
шкат— з » 6кат g , шрол '—3» ^рол g ш0*
Задача 555. На рис. 351 показан механизм, преобразующий вращательное движение в поступательное. Кривошипы ОА и О(В
механизма спарены с шестернями, которые имеют одинаковые радиусы. Кривошип О А соединен шатуном AD с тележкой, перемещающейся по горизонтальной плоскости на катках. На общих осях с катками свободно укреплены ролики с натянутым на них ремнем, некоторая точка Е которого связана с кривошипом OjB посредством шатуна BE. Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью ш0.
Определить угловые скорости катка и ролика и угловое ускорение катка тележки в тот момент, когда кривошипы ОА и 0tB занимают вертикальное нижнее положение, если радиусы роликов равны г, радиусы катков 2г, AD^4r, ОА = г, ОгВ — 2г.
Ответ. ^кат 2 ^0’ ^кат 30 ^0? ^рол OCOp.
Задачи типа III. В некоторый момент времени известны величины и направления ускорений двух точек А и В плоской фигуры. Определить в этот момент мгновенную угловую скорость <и, мгновенное угловое ускорение $ и ускорение любой точки С.
Задачи этого типа разрешимы только в том случае, когда угол между векторами ВА и разностью wB — ®л не является тупым. Решение задачи осуществляют путем проектирования (7.10) на две взаимно перпендикулярные оси (лучше всего на ось, направленную по АВ, и на ось, перпендикулярную АВ-). Из полученных при проектировании двух скалярных уравнений находят неизвестные величины wB^A и w^A, из которых определяют е и ш. При этом величина w^A может быть только положительной, в то время как знак w^A зависит от предположительного направления вектора w^, так как известна лишь прямая, по которой направ
лен этот вектор.
Задача 556. Ползуны А и В, соединенные стержнем длиной Z, движутся вдоль направляющих, которые образуют между собой
угол 60° (рис. 352, а). Определить ускорение середины С стерт ня в момент, когда О А — ОВ, если известно, что в этот момент ускорения точек А и В имеют величины
©л = 3©, wB — w
и показанные на рисунке направления.
Решение. Условия разрешимости задачи выполнены. Для определения ускорения точки С по формуле
®С — ®А + ® СА + ®СА(А)
8*227
необходимо знать угловую скорость ш и угловое ускорение е стержня.
Эти величины найдем из соотношения между ускорениями точек А и В;
®В = ®Л + ®М + ^А,(О
где
Ш“л = <а2.ДВ, ©^ = е-ДВ,
причем УД направлено от В к Д, а Ул перпендикулярно к В А и предположительно направлено так, как показано на рис. 352, а.
Проектируя (г) на выбранные оси Вх и By, получим два скалярных уравнения
— WB COS 60° = — Шл COS 60° + Wba ,
wB cos 30° = — wA cos 30° + Wba.
Отсюда
~ = “5~ УЗ = 2Ш УЗ ,
следовательно,
Так как еД>0, то wba направлено в действительности так, как указано на рисунке. Заметим, что вектор wba «стремится» вращать фигуру вокруг полюса А по движению часовой стрелки.
Обратимся к формуле (/г). Имеем
w^^-AC^;
ш^ = s • АС = © Уз.
Вектор Ул направлен от С к А, а вектор Урл направлен перпендикулярно к АС так, чтобы он, как и вектор УД «стремился» вращать фигуру вокруг полюса А по движению часовой стрелки (рис. 352, б).
Для нахождения wc проектируем равенство (/г) на оси Вх и By. Имеем
wCx — ~wA COS 60° -ф- Ул = — w,
c\f\O I ®Р
wo = — wA COS 30° + ^СА = —.
Величина ускорения ®с равна
/7
Wr — W .
Задача 557 (рис. 353). В эпициклическом дифференциальном механизме кривошип и колесо / вращаются с некоторыми угловыми скоростями и ускорениями. В данный момент известно, что ускорение точки А колеса //, находящейся в месте зацепления, равно по величине wt и направлено к центру колеса //, а ускорение диаметрально противоположной точки В равно по величине w4 и направлено под острым углом р к диаметру ВА. Оп
ределить в этот момент угловые скорости и угловые ускорения кривошипа и колеса //. Установить, при каком угле р колесо / будет в этот момент иметь угловую скорость, равную нулю. Радиусы колес равны соответственно ft и га.
Ответ:
-./'ro2cos₽—го, . wa sin р _ к₽— И2^ + ^)’
/Ю« COS 3 + ГО,ГО > Sin 3
2ra ;62r2 ;
А„ О ГО, О I 2г»'
(л)/= 0 при условии cos ? = ^ (1
Задача 558. Однородный свободно падающий стержень АВ длиной / = 1,5 м вращается в вертикальной плоскости вокруг перпендикулярной к нему оси. Найти величину угловой скорости
и углового ускорения стержня, а также ускорение левого его
конца в тот момент, когда он находится в горизонтальном поло
жении, если в этот момент ускорение его правого конца равно по величине шв = 6 м/сек* и образует со стержнем угол а = 60°, отсчитанный от направления АВ против хода часовой стрелки.
Припять, что середина стержня имеет ускорение g = 9,81 м/сек*.
3 Г 2м COS а
Ответ: ш = у —= 2 рад[сек\
2— ГО „ sin а)
е =^= 6,15 рад/сек*;
© д =К 4g2 -j- w в — 4g WB s i n а— 14,7 м/сек*.
Задача 559 (рис. 354). Определить
положение мгновенного центра ускорений линейки эллипсографа в момент, когда а = 30', если ускорения точек А и В имеют указанные на рисунке направления и
величины, связанные соотношением
и л = К3 6УВ.
Длина линейки равна /.
Ответ: мгновенный центр ускорений Q находится на расстоянии у от точки В и имеет координаты
1з/
XQ — 4 ’ ^Q 4 •
Задача 560. Решить задачу 559, считая, что направление ускорения точки В заменено на противоположное Определить, кроме того, ускорение средней точки С линейки
Ответ: мгновенный центр ускорений находится в точке О; ускорение ®с направлено к точке О и численно равно шв
Задача 561. Ускорения концов А и В стержня длиной / параллельны между собой, направлены в противоположные стороны, составляют острые углы ^ со стержнем и имеют величины wA и шв Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня, а также его мгновенный центр ускорений.
. /"(го+ го Jcosp . (го + ГО ) ЯП Р Ответ: « = у — , е = —=.
Мгновенный центр ускорений находится в точке пересечения прямой АВ и прямой, соединяющей концы векторов ®д и ®в Задача 562. Колесо катится по неподвижному рельсу без скольжения, причем в некоторый момент ускорение его центра равно ю0, а ускорение точки обода, находящейся в этот момент в соприкосновении с рельсом, равно Щр Определить величину ускорения точки, наиболее удаленной от рельса (см. указание к задаче 530).
Ответ. w = V4®о + w^.
Задача 563. Сохранив условия задачи 562 и приняв ©0 = шь определить положение мгновенного центра ускорений.
Ответ: мгновенный центр ускорений Q отстоит от центра и от точки касания на расстоянии г = и расположен так, что (w0, OQ)_45°.
Задачи типа IV. В некоторый момент времени известны мгновенная угловая скорость плоской фигуры I, величина и направление ускорения какой-либо ее точки А. Некоторая точка В этой фигуры одновременно принадлежит и другой фигуре II, движущейся в той же плоскости. При этом ускорение точки О и мгновенная угловая скорость фигуры II известны (в частности, точка О может быть и неподвижной). Определить угловое ускорение фигуры I и ускорение точки В.
До решения задачи данного типа следует согласно (7.10) написать выражение для ускорения точки В как точки, принадлежащей каждой плоской фигуре в отдельности:
®в = ®а + ®м + ®^л; ,
®в —®о + ®ВО +®^о.
Приравнивая правые части этих равенств, получим векторное уравнение, в котором известны величины и направления векторов ®д, ®0, ®ва и ®во (так как известны угловые скорости отдельных фигур). Неизвестными являются величины w^A и w^ прямые же, по которым направлены векторы ®вД и ®во, известны. Проектируя полученное векторное уравнение на выбранные оси, -будем иметь два скалярных уравнения, из которых найдем искомые величины, а затем s, и е3 Для определения ©в воспользуемся одной из формул (/).
Задача 564 (рис. 355) Четырехзвенник расположен в данный момент так, что звено ОД занимает верхнее вертикальное положение, а точки О, В, О, находятся на одной горизонтали. Опре
№to(m)№to(m)
№
to
(m)
№
to
(m)
делить в этом положении ускорение точки В, если угловая скорость звена ОД равна ш0, его угловое ускорение s0 = cog 1^3; OA = r; AB = 2r; ОхВ = 2гУЗ.
Решение. Так как точка В принадлежит шатуну АВ и звену ОХВ, то ее ускорение может быть найдено двояким образом:
^в^д + ^д + ^/д
®В = ®’вО1 + «'^1-
При этом
®д = ®ч Д- w®P.
В этих формулах
= ТШ^; уц^ = Гг^;
ща д = иА ■ АВ = 2гш2; &в^д = 2rs;ц®> _ °й
wBOt — ВО, “гг/З ’
где о» и s — соответственно мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение шатуна.
Ускорение w®^ направлено перпендикулярно к АВ, a ®в^о — перпендикулярно к B0v. Предположим, что эти векторы направлены так, как указано на рисунке.
Так как мгновенный центр скоростей шатуна АВ находится в точке О, то мгновенную угловую скорость ш шатуна АВ определим по формуле
ОА — Мо-
Зная о», найдем скорость точки В:
uB = w- О В = o)0r V"3, а также
Из (&) и (/) имеем
®&1 + ®во1 = ®л + ®^ + ^л + ®врл-(")
В этом векторном равенстве неизвестны величины tw^ и ©®р , которые определим из двух скалярных уравнений, получаемых проектированием (и) на оси Вх, By. Имеем
— ©“ cos30° + ©„р. cos60°;
—-cos 60° + ©“J1, cos 30°,
отсюда
©^д = 5/3 г^;, ^ = -y/V.
Знац «минус» показывает, что вектор те^ в действительности направлен в сторону, противоположную указанной на рисунке.
Зная w“Oi и ®^0 , найдем величину ускорения точки В:
wB = rw26 ]/57.
Задача 565. Шатуны СА и СВ двух кривошипно-шатунных механизмов соединены между собой шарниром С. Кривошипы ОгА и 01В длиной г каждый вращаются в одну сторону с равными постоянными угловыми скоростями о)0. Определить скорость и ускорение точки С в момент, когда кривошипы расположены на одной прямой, как показано на рис. 356, а, если в этот момент 2 САОХ = L CBOi = 4&. Расстояние OxO=i = 2r.
Решение. Определим скорости точек А и В ведущих звеньев. Имеем
Уд = У£=:СО0Г.
Направления векторов ид и ид показаны на рис. 356, б. Поскольку точка С одновременно принадлежит шатунам АС и СВ, то
9С = 5д + 9СА- 9С = 9в+ уСВ' (°)
где усд и дС8 — вращательные скорости точки С относительно А
и В. Приравнивая правые части этих равенств, получим векторное уравнение
8 А + 9СД — ° В + УСВ"
Проектируя это уравнение на оси Сх и Су, найдем два скалярных уравнения:
1/21/2|/2.|/2
ус/у = усгт;уа~уса^ = — ув + усв^--
Отсюда
yCA = yCB = V'2 <v, следовательно,
Для определения скорости точки С проектируем первое из равенств (о) на оси Сх и Су:
/2/2
ус* = уСАиСу = ид —исд^-у — и,
отсюда vc = wor. Вектор vc направлен параллельно O^Oi вправо.
Определим ускорения. Имеем
WA=WB = to26r.
Для определения ускорения точки С воспользуемся (7.10). Имеем
®с^®а + ®са + ®сра: ®с = ®д + ®св + ®& отсюда получим
®а + ®са + ®с'а = ®в + '®св+®$г(Р>
По (7.11) имеем
На рис. 356, в показаны направления векторов ®д, wB, ®«Л и ®сВ. Направления векторов w^ и w^ неизвестны и показаны предположительно. Проектируя (р) на оси Сх, Су, получим
1/2"1/2
®А * ®СА — + ^А Т ~ - WB + ®СВ"Т “ ^В
отсюда найдем
Знак «минус» показывает, что направления векторов ©^ и ®»РВ в действительности противоположны указанным на рисунке. Зная ш^ и ш^, получим
, . “оВСА еСВ Т
(по абсолютной величине).
Для нахождения ®с воспользуемся выражениями
,„.91/2 1/2/2 1/2
шСх—^АхТ^САлТ^САх о2222 —и>
I Iю»г /2 (/2 to|r 1/2 • 1/2 л
®су = ^Av + w%Ay + ®cPAv ="2.2 = °’
следовательно, wc = 0.
Таким образом, точка С является в данный момент мгновенным центром ускорений как для шатуна АС, так и для шатуна ВС. Заметим, что мгновенные центры скоростей шатунов находятся в данный момент в точке 0.
Задача 566 (рис. 357). Определить угловую скорость и угловое ускорение кривошипа О А в момент, когда 9 = у, если в этот момент поршень движется со скоростью v и ускорением w. Длина кривошипа равна г, длина шатуна /.
„УW | У4
Ответ: шд0 —; ед0 = — И; ли Г 'Г ' ГЛ/ р р
(вращение ускоренное).
Задача 567 (рис. 358). Определить ускорение точки А (центра мотылевой шейки) в момент, когда мотыль О А и шатун АВ
взаимно перпендикулярны, а угол а = 30°, если при этом скорость поршня В имеет максимальное значение, равное о0. Длина О А = г.
Ответ: шА — §г •
Задача 568 (рис. 359). Ведущее звено О, А четырехзвенника вращается с постоянной угловой скоростью о)0. Зная, что 0tA =
а5
— ОгВ = а\ ОхОг = -^\ АВ — -^а, определить угловое ускорение ведомого звена О4В в случаях: 1) когда 0хА занимает крайнее правое положение; 2) когда О^В занимает крайнее левое положение.
Ответ: 1) еозВ = -^ (вращение замедленное);
2) $ОдВ —1^ш^ (вращение замедленное).
Задача 569 (рис. 360). Ползун В движется равномерно в прямолинейных горизонтальных направляющих со скоростью у и при-
водит в движение стержень АС и балансир О А. Определить ускорения точек Л и С в тот момент, когда точка В находится на одной вертикали с неподвижной точкой О, если в этот момент £ ОАС = 90°. Длина кривошипа OA=R, расстояние шарнира О до направляющих ползуна равно к, расстояние ВС равно а.
Ответ: ш л == —;==■.
Л h С hVh? — R4
Задача 570 (рис. 361). В четырехшарнирном антипараллелограмме звено ОЛ имеет угловую скорость <d0 и угловое ускорение
so = O в том положении механизма, когда а = р = 45°. Определить величину ускорения точки В в этом положении, если
OA = OvB = V, АВ = ОО1 = -1.
/2
Ответ: wB = Vb 1^.
Задача 571 (рис. 362). В антипараллелограмме ведущее звено ОА вращается с постоянной угловой скоростью <а0. Определить отношение величин ускорений точек В и Л в момент, когда Z ЛОО1 = 90°, L ВАО = = 45°, Z BOVO = 45°, если OA=OVB.
Ответ: — =.
2
Задача 572 (рис. 363). В механизме Чебышева шатун АВС изогнут под углом в 135°. Определить проекции ускорений точек В и С на оси Ох, Оу, если криво- ^ шип ОА длиной г вращается с постоянной угловой скоростью % и занимает в данный момент крайнее правое положение, образуя с АВ угол а = 45°. Где находится в этом положении механизма мгновенный центр ускорений шатуна? Принять АВ = О^В = г 1^2; ВС = 2г.
Ответ: wBx = — |^; wBy = 0; wCx = 0; wcy = — y^r.
Мгновенный центр ускорений находится на продолжении АВ в сторону В на расстоянии г^2 от точки В.
Задача 573 (рис. 364). В кривошипно-шагунном механизме с круговой направляющей кривошип ОА имеет в данный момент угловую скорость о)0, угловое ускорение е0 и составляет с горизонталью угол 60\ При этом /. ОАВ = 90°, /. О,ВА — 30°, где
против хода часовой стрелки:7 .9/3 .часовой стрелки:против хода часовой стрелки:7 .9/3 .часовой стрелки:
против хода часовой стрелки:
7 .9/3 .
часовой стрелки:
против хода часовой стрелки:
7 .9/3 .
часовой стрелки:
0^— центр кривизны направляющей. Определить в этот момент касательное и нормальное ускорения ползуна В, если ОА=а; AB — 2a^r3; 0iB = 2a. _
Ответ: wn = 2awJ; а\ = a (— 2eu -j- «о КЗ) •
Задача 574 (рис. 365). Круговой направляющий механизм Чебышева для самокатного кресла расположен в данный момент так, что стержни АВ и CD занимают соответственно горизонталь
ное и вертикальное положения. Определить проекции ускорений точек В и С на оси Ох, Оу, если в рассматриваемый мо-
2 ТЕ мент =угловая скорость кривошипа ОА равна ш0, а его
К3" ^ угловое ускорение е0 = -——.
Принять: ОА = г; АС = 4г;
СО = Ц^г; СВ = 2г.
Ответ: 1) при вращении О А
1 »з Кз о
wсх = - j; ™су= |(; -;
при вращении ОА по ходу
5 ,3]/3 ,19 „/3 „
®с>="-[б-(и»г; ^вх^зг^;
Задача 575 (рис. 366). Ползуны А и В движутся ускоренно навстречу друг другу по прямолинейным взаимно перпендикуляр-
ним направляющим и шарнирно соединены двумя стержнями — АС длиной а и ВС длиной Ь, имеющими общий шарнир С. Определить величины скорости и ускорения точки С в момент, когда стержни перпендикулярны соответствующим направляющим, если в этот момент ползуны имеют скорости ил и vB и произвольные ускорения.
1 / 10 А
Ответ: vc = 0; wc= у -52+у8 •
Рис 366Рис. 367
Независимо от кривошипа ползун С движется по направляющим в указанном направлении. Определить вращательное и центростремительное ускорения точки В относительно С в момент, когда стержень ВС вертикален, /. ВОА =60°, Д ВАО = 90°, а точки В и О находятся на одной горизонтали, если в этот момент скорость сползуна ис = 2 КЗ см j сек, а его уско
рение шс = 2 см/секК Дано: О А = 6 см;
3^3
==—2 СМ"
Ответ: к>^с — Ц^- см; сек1;
л5m^c = 6 см! сек?.
Рис 365Задача 577 (рис. 368). Механизм
состоит из четырех стержней, из которых АО и ВО длиной г каждый вращаются вокруг общей оси О с одинаковой и постоянной угловой скоростью о)0. Определить мгновенные угловые скорости и угловые ускорения стержней С А и СВ длиной rV^ каждый, а также ускорение соединительного шарнира С в том положении механизма, когда АО и ВО горизонтальны.
Ответ: 1) если вращения стержней АО и О В происходят в разные стороны, то
юдс = <йсв = 0; 8ДС = sCB = со^; wc = ш^г,
причем wc направлено вверх;
) если стержни вращаются в одном направлении, то о)дс = шсв = о)0, $дс = есв = 0, &ус = Mgr;
ускорение чВс направлено вниз.
3. Графическое определение скоростей и ускорений
Графическое определение скоростей и ускорений точек механизмов, совершающих плоскопараллельное движение, осуществляется путем построения планов скоростей и ускорений. Приведенная ниже задача иллюстрирует применение этого метода
Задача 578. Определить скорости и ускорения точек В, С и D механизма в положении, изображенном на рис 369,а, если кривошип ОХА вращается с постоянной угловой скоростью
<а0 — 10 рад (сек;0^=30 мм; АВ — 80 мм, ОхВ = 8>0 мм;
О2С = 60 мм; CD =100 мм; v = 90°; а= ^ ВОаС = 60°.
Решение. Для определения скоростей точек В, С и D построим план скоростей. Прежде всего определим скорость точки А:
vA — u>a- ОХА = 300 мм (сек.
Вектор йА направлен перпендикулярно к кривошипу ОХА в сторону вращения
Выбрав масштаб скоростей, примем произвольную точку S за полюс (рис 369, б) и от нее проведем вектор Sa = oA. Затем из полюса S проводим прямую, параллельную 5В (т. е. перпендикулярную коромыслу ОхВу а из точки а — прямую, перпендикулярную шатуну АВ. Пересечение этих прямых определит вершину b плана скоростей для шатуна АВ. Скорость точки В по величине и по направлению определяется вектором Sb. Пользуясь масштабом, получим
ив = 315 мм/сек.
Вектор ab определяет вращательную скорость точки В вокруг точки А. Пользуясь масштабом, получим
увд = 230 мм (сек.
Поскольку «вл —№лв" АВ, то мгновенная угловая скорость шатуна АВ
№лв — ^ = 2,88 рад/сек.
Перейдем к звену ВОгС. Имея в виду, что это звено совершает только вращательное движение вокруг точки О», найдем скорость точки С из пропорции
°с СО.
vB " ВО.'
откуда vc = 235 мм‘сек. Вектор ис направлен по перпендикуляру к О3С. Угловую скорость звена ВО^С определим по формуле
Рад!сек-
Теперь построим план скоростей для звена CD. Скорость точки D известна по направлению, поэтому из полюса S проведем прямую,
параллельную uD, а из точки с—прямую, перпендикулярную шатуну CD. В пересечении этих прямых получим вершину плана d скоростей шатуна CD.
Вектор Sd определяет по величине и по направлению скорость точки D, а вектор cd — вращательную скорость точки D вокруг С.
Пользуясь масштабом, получим
oD = 340 мм/сек-, uDC = 200 лиг, сек.
Мгновенная угловая скорость шатуна
^cd^c^^2 рад)сек.
Для определения ускорений точек механизма строим план ускорений. Прежде всего определим ускорение точки А. Так как кривошип вращается равномерно, то ®л направлено к точке Ov и равно по величине
1УЛ = <Од. 01Д = 3000 мл^сек4.
Выбрав масштаб ускорений, примем произвольную точку Sj за полюс (рис. 369, в) и от нее проведем вектор S1a1 = wл.
Так как точка В одновременно принадлежит и шатуну АВ и коромыслу О»В, то ее ускорение можно представить с одной стороны в виде
®В = ®д + ^д + ®^,(?)
а с другой стороны — в виде
®в = ^воЛ®воа.(И
где ®^л направлено от В к А и численно равно
W^A = ШдВ- АВ = 665 мм; сек1,
а @^Д направлено перпендикулярно к АВ, но неизвестно по величине;
®^0 — центростремительное ускорение точки В во вращательном движении коромысла вокруг точки О2 — направлено от В к О2 и численно равно
w^Oj = ю^о^ • ВО» = 1235 мм^ек11,
^вот — вращательное ускорение точки В во вращательном движении коромысла вокруг точки О3— направлено перпендикулярно к ВО».
В соответствии с формулой (д) из точки а^ проведем вектор а^п, параллельный и равный вектору w“ д (т. е. направленный параллельно В А от В к Д). Из точки п проведем прямую, параллельную ®ВН?Д (т. е. направленную перпендикулярно к ВД).
На основании (г) из точки St проведем вектор Svm, параллельный и равный ®^0з, а из полученной точки т— прямую, параллельную ®§о , до пересечения с направлением ®^л. Полу-
ценная точка пересечения bt и будет являться искомой вершиной плана ускорений, т. е. TOB=Stbt.
а}6)
Рис 370, а, б, в, г, д, еРис 370, а, б, в, г, д, е
Рис 370, а, б, в, г, д, е
Рис 370, а, б, в, г, д, е
Пользуясь масштабом, получим шв = 2680 мм/сек1.
Вектор nb^=®За, откуда
тм — 710 мм [сек1.
Далее, mbt — w"^, откуда
10^ = 2410 мм/сек^.
Так как точки В и С принадлежат одному звену, вращающемуся вокруг точки (Т, то
wc _ СО»
WB ВО» ’ отсюда найдем
гус = 2010 мм(сек1.
Рис. 370, ж, з, и, к, л, м, к, о
Вектор Siq получен на плане ускорений путем поворота Sxbv на угол а = 60°. Направление этого поворота должно соответствовать направлению поворота отрезка О2В до совмещения с направлением отрезка О2С.
Рис. 370, п, р, с, т, у, ф
Перейдем к определению ускорения точки D. Направление' ускорения этой точки известно. Рассматривая шатун CD, имеем
= ®С + ®DC + ®/Jo(S)
где @“с направлено от О к С и численно равно
w^c = u^q ■ CD = 408 мм]сек4, a да^ направлено по перпендикуляру к CD. Величина этого ускорения неизвестна.
В соответствии с (s) из точки с, проведем вектор Cini = WDC (т. е. направленный параллельно DC от D к С). Из точки nY про- 244
ведем прямую, параллельную а^с (т. е. направленную перпендикулярно к DC), до пересечения с прямой, проведенной из полюса Sj, параллельно ускорению ®о. Полученная точка пересечения dt является вершиной плана ускорений шатуна CD. Вектор ЗД определяет величину и направление ускорения точки D.
I)дШ)
Рис. 370, х, ц, ч, ш, э, ю
Пользуясь масштабом, найдем
шо = 3050 мм^ек11.
Используя планы ускорений, можно определить угловые ускорения звеньев. Имеем
едв=^ = В,88 рад!,сек\ еВО2 = -у^-=30,1 padjce^-,
$CD = W^ = 9,98 рад) сек?.
Задачи 579—604. Для изображенных на рис. 370 механизмов, путем построения планов скоростей и ускорений, определить скорости и
ускорения точек В, С, D, угловые скорости и угловые ускорения всех звеньев, если ведущий кривошип ОИ вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей 30 об/мин, 0^ = 30 мм, ДВ= 150 мм, О^В — 50 мм, 0x0^ = 100 мм. Размеры прочих звеньев взять из таблицы, приведенной ниже. Положение механизмов определяется углом <p = 30°n (n = 0; 1; 2; ...).
№ задачи
Схема
ОгС, мм
CD мм
АС, мм
Z ВОэС, град
А, мм
579
а
30
80
580
б
—
80
20
—
581
в
—
90
130
—
582
г
—
100
130
—
583
д
—
100
20
—
584
е
—
100
140
—
585
(НС
—
80
30
—
586
3
—
100
70
—
587
и
—
100
70
—
588
к
—
120
70
—
589
л
—
80
20
—
590
м
—
90
60
591
н
—
10О
20
—
592
О
—
100
10
—
593
п
30
90
—.
—
594
р
75
130
—
—
595
с
40
150
—
90
596
т
40
100
—
90
597
у
40
120
—
30
598
ф
—
100
40
—
599
X
—
100
70
—.
20
600
Ц
—
100
150
——
100
601
ч
—
120
30
—
20
602
IU
—
100
150
100
603
э
—
110
150
—
—
604
ю
—
ПО
80
—
120
ГЛАВА Mill
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ
Уравнениями вращения тела вокруг неподвижной точки являются
Ф = Ф(О;» = &(О;? = ?(/),(8.1}
где ф, Я, у — углы Эйлера, определяющие положение системы Ох'у'/, скрепленной с телом, по отношению к неподвижной системе Охуг.
Проекции вектора мгновенной угловой скорости ю на неподвижные оси определяют по формулам
(8.2)(8.2)(Од = у sin ф sin & -}- & cos ф, toy = — ф COS ф sin & + & Sin ф, (Dz — ф COS & 4 Ф>
(8.2)
(8.2)
а проекции и на оси, связанные с телом, — по формулам
(Од, = ф sin 9 sin у + li cos ?<
toy =ф sin & cos у— & sin у, У(8.2')
(Dz — ф cos & 4~ ?•I
Величина угловой скорости
(й= ^ф2 4* &а 4" Фа + 2фф cos&.(8.3)
Вектор о) направлен вдоль мгновенной оси, представляющей собой геометрическое место точек, скорости которых в данный момент равны нулю. Если тело представляет собой конус, катящийся без скольжения по другому неподвижному конусу, то мгновенной осью в данный момент является общая образующая этих конусов.
Уравнениями мгновенной оси в неподвижных осях являются
(8.4)(8.4)х v 2
(8.4)
(8.4)
(Од.(0^(0^
Вектор мгновенного углового ускорения е определяют как скорость конца вектора й, т. е
(8-5)(8-5)d«>
(8-5)
(8-5)
S— di-
Если обозначить через о>0 единичный вектор мгновенной оси, то ш = <й<ё0, следовательно,
гдегде® — е, -ф- е8,® — е, -ф- е8,е — р^е? -ф е2-е — р^е? -ф е2-(8-6)(8-7)(8-6)(8-7)Вектор et направлен по мгновенной оси и характеризует скорость изменения вектора ш только по величине. Вектор ё8 характеризует скорость изменения ш только по направлению. Если обозначить через <»i угловую скорость вращения вектора <о, то=(01Хшо Иё2 = «|Хш.(8.8)Вектор et направлен по мгновенной оси и характеризует скорость изменения вектора ш только по величине. Вектор ё8 характеризует скорость изменения ш только по направлению. Если обозначить через <»i угловую скорость вращения вектора <о, то=(01Хшо Иё2 = «|Хш.(8.8)Векторы со и г считаем приложенными в неподвижной точке О. Скорость любой точки Л-1 тела определяют по формулеВекторы со и г считаем приложенными в неподвижной точке О. Скорость любой точки Л-1 тела определяют по формулеи = ш X Г,и = ш X Г,(8.9)(8.9)где Т — радиус-вектор точки /И, проведенный из неподвижной точки тела.Величина вектора и определяется равенствомгде Т — радиус-вектор точки /И, проведенный из неподвижной точки тела.Величина вектора и определяется равенствомо = и>1гт,о = и>1гт,(8.10)(8.10)где <о — величина вектора о>,йю— расстояние от точки М до мгновенной оси.Проекции скорости о на неподвижные оси Oxyz формуламгде <о — величина вектора о>,йю— расстояние от точки М до мгновенной оси.Проекции скорости о на неподвижные оси Oxyz формуламнаходят понаходят поул-= ^v — Ушг, ' У У =— Xto2^^дг?иг = 1^ — ХОу ,ул-= ^v — Ушг, ' У У =— Xto2^^дг?иг = 1^ — ХОу ,(8.11)(8.11)Ускорение любой точки Л1 тела равно геометрической сумме вращательной ®>Е и осестремительной ®„ составляющих:Ускорение любой точки Л1 тела равно геометрической сумме вращательной ®>Е и осестремительной ®„ составляющих:40 = We -|- ®V40 = We -|- ®V(8-12)(8-12)Величины ®ш и w6 находят по формуламВеличины ®ш и w6 находят по формуламws = s/i„ws = s/i„(8.13)(8-14)(8.13)(8-14)где ft, — расстояние от точки /И до прямой, по которой направлен вектор ё.где ft, — расстояние от точки /И до прямой, по которой направлен вектор ё.
где
где
® — е, -ф- е8,
® — е, -ф- е8,
е — р^е? -ф е2-
е — р^е? -ф е2-
(8-6)
(8-7)
(8-6)
(8-7)
Вектор et направлен по мгновенной оси и характеризует скорость изменения вектора ш только по величине. Вектор ё8 характеризует скорость изменения ш только по направлению. Если обозначить через <»i угловую скорость вращения вектора <о, то
=(01Хшо И
ё2 = «|Хш.(8.8)
Вектор et направлен по мгновенной оси и характеризует скорость изменения вектора ш только по величине. Вектор ё8 характеризует скорость изменения ш только по направлению. Если обозначить через <»i угловую скорость вращения вектора <о, то
=(01Хшо И
ё2 = «|Хш.(8.8)
Векторы со и г считаем приложенными в неподвижной точке О. Скорость любой точки Л-1 тела определяют по формуле
Векторы со и г считаем приложенными в неподвижной точке О. Скорость любой точки Л-1 тела определяют по формуле
и = ш X Г,
и = ш X Г,
(8.9)
(8.9)
где Т — радиус-вектор точки /И, проведенный из неподвижной точки тела.
Величина вектора и определяется равенством
где Т — радиус-вектор точки /И, проведенный из неподвижной точки тела.
Величина вектора и определяется равенством
о = и>1гт,
о = и>1гт,
(8.10)
(8.10)
где <о — величина вектора о>,
йю— расстояние от точки М до мгновенной оси.
Проекции скорости о на неподвижные оси Oxyz формулам
где <о — величина вектора о>,
йю— расстояние от точки М до мгновенной оси.
Проекции скорости о на неподвижные оси Oxyz формулам
находят по
находят по
ул-= ^v — Ушг, ' У У =— Xto2^^дг?
иг = 1^ — ХОу ,
ул-= ^v — Ушг, ' У У =— Xto2^^дг?
иг = 1^ — ХОу ,
(8.11)
(8.11)
Ускорение любой точки Л1 тела равно геометрической сумме вращательной ®>Е и осестремительной ®„ составляющих:
Ускорение любой точки Л1 тела равно геометрической сумме вращательной ®>Е и осестремительной ®„ составляющих:
40 = We -|- ®V
40 = We -|- ®V
(8-12)
(8-12)
Величины ®ш и w6 находят по формулам
Величины ®ш и w6 находят по формулам
ws = s/i„
ws = s/i„
(8.13)
(8-14)
(8.13)
(8-14)
где ft, — расстояние от точки /И до прямой, по которой направлен вектор ё.
где ft, — расстояние от точки /И до прямой, по которой направлен вектор ё.
Вектор ®„ направлен перпендикулярно к мгновенной оси из рассматриваемой точки. Величину и направление вектора и\ определяют векторной формулой
и\ = гХт.(8.15)
По аналогии с (8.9) можно утверждать, что ©е направлено так, как была бы направлена скорость точки, если бы тело вращалось вокруг линии действия вектора ё, как вокруг оси. Если
®= ®i + £з> то
^.^чХ^-^Х^Й^ф®.,.(8.16)
Проекции ускорения су на неподвижные оси координат соответственно равны
(8.17)(8.17)аа, = ггу — уег -ф- о>х (хш^ -ф- ушу -ф- гго,) — хш2, Ш^, = xsz — гех -ф- Wy ^х«>х -ф- ушу -ф- Z(oz) — уш1, Wz = уех — хгу -ф- <в2 (ха)Л. -ф- ушу -ф- zo)z) — z<d3.
(8.17)
(8.17)
Аналогичные формулы имеют место для проекций ускорения
на оси, связанные с телом.
Задача 605 (рис. 371). Коническая шестерня / радиусом г.
находящаяся в зацеплении с неподвижной шестерней // радиу.
сом R — ^r, приводится в движение кривошипом III, вращающимся вокруг неподвижной оси по закону р = уХ. Определить величины угловой скорости <» и углового ускорения ё шестерни / в момент t = 1 сек.
Решение. Мгновенной осью шестерни / в данный момент является прямая ОВ. Вектор w направлен вдоль этой прямой.
Обозначим центр подвиж
ной шестерни буквой А. Тогда, рассматривая точку А как точку, принадлежащую кривошийу.
имеем
ид = р • О А = 6rt.
С другой стороны, рассматривая точку А как точку шестерни /, получим по (8.10):
ид = ш/гш = о) ■ АС = 2wr cos а.
Сравнивая, получим
cos а 1
Поскольку
COS а — О ’
то
w = 3 ]А5 Л
В момент / = 1 сек
w|«=i сек = 3 У5 рад/сек.
Для определения ё воспользуемся формулой (8.6):
® = ®1 + ё8.
Вектор et направлен так же, как и вектор <6. По величине он равен:
е, = ^ = 3 /5 рад/сек*.
Для определения ёг воспользуемся (8.8). В данной задаче <0! = $, причем вектор Wj направлен по 0D вниз. Поэтому вектор е2 направлен перпендикулярно к плоскости ОАВ параллельно скорости ил. Величина этого вектора
53 = 0)0)! sin (to,, a>) = pwsma= 18/2.
При t— 1 сек
s8|^i «« = 18 рад/сек*.
Окончательно получим
s |!=i сг„ = У45-(-182 = ЗК41 рад/сек*.
Задача 606 (рис. 372). Прямой круговой конус К' с радиусом основания г = 2 см катится без скольжения по неподвижному конусу К так, что его вершина О остается неподвижной, а центр основания А движется со скоростью иА = 1 см/сек. Определить в момент t = 2 сек величину ускорения точки С— конца вертикального диаметра основания конуса К', если углы при вершинах О обоих конусов одинаковы и равны 2a = у.
Решение. Так как подвижный конус катится по неподвижному без скольжения, то его мгновенной осью в данный момент является образующая ОВ. Мгновенная угловая скорость w направлена вдоль этой образующей в сторону, определяемую направлением скорости точки А.
Величина ш равна;
ту же сторону, что и вектор <».ту же сторону, что и вектор <».яяРис 372 конуса К вниз.Рис 372 конуса К вниз.
ту же сторону, что и вектор <».
ту же сторону, что и вектор <».
я
я
Рис 372 конуса К вниз.
Рис 372 конуса К вниз.
“ = № == 2 Рад1сек-
Поскольку вектор <5 изменяется и по величине и по направлению, то мгновенное угловое ускорение ё определим по (8.6):
S = Sl+s2.
Вектор ^ направлен по ОВ в По величине он равен:
et = ^ = i^- рад!сек1.
Для определения е2 воспользуемся (8.8). В данной задаче
где й = AD — расстояние точки А от оси конуса К. Так как а = ^-, то h — OA. Таким образом,
<ei = ^=4 Рад!сек-
Вектор @! направлен по оси По (8.8) имеем
E2 = o>o>1sin-^- =рад (сек1.
Вектор ч направлен перпендикулярно к плоскости 04В и параллельно вектору уД.
Для определения ускорения точки С воспользуемся (8.12) и (8.16):
Вектор ®et = s1X ОС приложен к точке С, направлен по перпендикуляру к плоскости, проходящей через векторы ^ и ОС, в сторону, определяемую правилом правого винта, т. е. он параллелен вектору ил. Величина вектора ®В1 равна
w61 = si • ОС ■ sin 90° = 2 см j сек1.
Вектор ®ta = 4 • ОС, приложенный в точке С, направлен по перпендикуляру к ОС в плоскости СОВ и по величине равен
®г2 = 6» • ОС =14
Вектор ®ю направлен по образующей конуса СО от точки С к точке О, так как ОС А_ОВ, и по величине равен
1Уш = ОС-ш'2 = /2 14
Так как векторы wm, w:i и ®б2 взаимно ортогональны в данной задаче, то величину ускорения ®с определим по формуле
wc = У"©^ — wi2 -|- Wm = ^"4 ~|—2" т~ 2/*.
В момент ^ = 2 сек. получим
Wc р = 2 сек — 2 К11 см)сек\
Задача 607. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, задано уравнениями
У— в секундах, углы — в радианах).
Определить величины скорости и ускорения точки М тела, координаты которой по отношению к неподвижной системе в данный момент времени равны 0; 0; 32 (в сантиметрах).
Решение. Используя (8.2), определим проекции мгновенной угловой скорости тела «> на неподвижные оси координат Oxyz:
тс УЗ ntтс Уз ntтс
—~g cos "4 > шу" 8 Sln Д’ ^—8 '
Отсюда найдем проекции мгновенного углового ускорения тела в на те же оси:
.л2 ТАЗ. л2 l/З~
Д = шл: =^-sm4'’ eJI = o>J, =v- COS-y; ег = шг = 0.
По формулам (8.11) определим проекции скорости и точки М на оси Oxyz:
их =— 4КЗтс81п^; 0^ = —4УЗтсcos ^-; уг = 0.
Таким образом, величина скорости
у = 4 ^З тс см] сек.
Для определения ускорения точки М воспользуемся формулами (8.17):
3 V3 тс3 ntз Уз тс2 . ntЗтс3
wx —— cos 4 ’ ^v™— sin Д’ ^ = — 2' •
Следовательно, величина ускорения
оу = У®! + Wy + w\ = Зтс5 см]секг.
Задача 608. Твердое тело вращается вокруг точки О, принятой за начало неподвижной системы координат Oxyz. Определить в данный момент времени скорость точки N (у; У^З; 2^ тела,
если мгновенная ось проходит в этот момент через точку М (2; КЗ; 3) и образует с осями координат острые углы, а величина мгновенной угловой скорости равна 8 рад^сек. Координаты точек даны в сантиметрах.
Ответ: 0^ = 8 см^сек; cos (и, x) = — 4-; cos (^ у) =— ^-;
. З^Зcos (у, z) = —•
Задача 609. Ось вращения Земли, образующая с перпендикуляром к плоскости эклиптики (земной орбиты) угол Оо = 23°, описывает вокруг него конус (конус прецессии) в течение Тх = = 25700 лет. Найти угловое ускорение Земли, считая, что период ее вращения вокруг оси Тй = 24 час.
Ответ: $ = ^=^— = 2,20-10 16 рад[секг
(То и Тх выражены в секундах).
Рис. 373Рис. 373Задача 610 (рис. 37.3). Шестерня / радиусом г, находящаяся в зацеплении с неподвижной шестерней II радиусом R = 2r, приводится в движение валом III, вращающимся равноускоренно с угловым ускорением е0 = ^-рад'сек1, имея в начальный момент времени угловую скорость <o0 = ir рад^сек. Определить в момент t — I сек угловую скорость, угловое ускорение и скорость точки В подвижной шестерни._
Рис. 373
Рис. 373
Ответ: «> = ^9 к рад1сек-,
е= уУ^ + 81ха рад!секг; и — 6тг.
Задача 611. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, в некоторый момент времени имеет угловую скорость w = 2 рад^Сек
и угловое ускорение е = 3 рад^ек1, причем векторы й и $ взаимно перпендикулярны. Найти величину ускорения точки тела, отстоящей от неподвижной точки на расстоянии h = 4 см, если линия, соединяющая эту точку с неподвижной точкой, перпендикулярна плоскости, в которой расположены векторы угловой скорости и углового ускорения.
Ответ: w — 2H см! сек1.
Задача 612. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, задано уравнениями
(ф, <р — в радианах, t — в секундах).
Определить величину ускорения точки тела, лежащей в данный момент времени на мгновенной оси на расстоянии от неподвижной точки О, равном 2^3 см.
Ответ: to = у-тс2 см^секЧ
Задача 613. Сохранив условия предыдущей задачи, определить величину скорости точки /И тела, имеющей в данный момент времени координаты: 0; 0; У? (в сантиметрах), а также величину ускорения той точки тела, которая в этот момент совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на мгновенную ось.
„” Г2Т ,я2Уз , о
Ответ: и = —— см]сек\ w =—— см]секг.
Задача 614. Проекции угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, на неподвижные координатные оси Охуг выражаются формулами
ш^ — 2/; о>у = /2; u>z = t4.
Определить в момент /=1 сек величины скорости и ускорения точки тела, имеющей в этот момент координаты: 1; 0; 0 (в сантиметрах).
Ответ: v =1,41 см,сек; to = 6,71 см;секг.
Задача 615 (рис. 374). Прямой круговой конус с углом 2ч при вершине катится без скольжения по горизонтальной пло
скости, имея угловую скорость «щ во вращательном движении вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Через центр Д основания конуса проведена
прямая AD, параллельная образующей ОВ. Определить величину и направление ускорения точки М на этой прямой, зная ее расстояние s от точки Aj — проекции точки А на образующую ОВ.
Ответ: ^ = ^,
®Л лежит в плоскости ОСВ и направлено перпендикулярно к AtM вниз.
Задача 616 (рис. 375). Вал I, вращающийся вокруг неподвижной горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью (оО1 254
приводит в движение шестерню II радиусом 4 см, находящуюся в зацеплении с неподвижной шестерней III. Определить величины ускорений точек В и С шестерни II, если углы при вершинах начальных конусов подвижной и неподвижной шестерен равны соответственно а = 60° и p=120J, а центр А подвижной шестерни движется с постоянной по величине скоростью, равной 4 см/сек.
Ответ: wc = —~— см/сек , wB = 8 см! сек1.
Задача 617. В механизме, рассмотренном в предыдущей задаче, вал 1 вращается с постоянным угловым ускорением е0 = = 0,5 рад/сек1, имея в начальный момент угловую скорость о>0 = = 1 рад /сек. Определить в момент /= I сек ускорения точек С и В подвижной шестерни.
Ответ: wc = 18 V3 см/сек1:
щд = 2)^741 см/сек?.
Задача 618 (рис. 376). Определить величину ускорения точки С подвижной шестерни I радиусом г, находящейся в зацеплении
ссРис. 376Рис. 376
с
с
Рис. 376
Рис. 376
с неподвижной шестерней 11, если вал III имеет в данный момент угловую скорость <о0 и угловое ускорение го = «>о. Углы при вершине О начальных конусов обеих шестерен равны по 60°.
Ответ: шг = 1^30 г<»„.
Задача 619 (рис. 377). Коническое зубчатое колесо радиусом R, катящееся по плоской опорной шестерне, приводится в движение водилом AD, которое соединено с колесом в точке А шаровым шарниром. Водило имеет угловую скорость а>ь а опорная ше- 3
стерня вращается с угловой скоростью ш4 = -^-ц>1 в том же направлении. Считая, что ось колеса проходит через центр О опорной шестерни, определить скорость и ускорение точки С, диамет-
Ускорение ®>с лежит вУскорение ®>с лежит вРис. 378Рис. 378этого колеса, диаметральноэтого колеса, диаметральнов точке О.в точке О.если угол 2а1=120°, угол 2^ —60°, а оси колес пересекаютсяесли угол 2а1=120°, угол 2^ —60°, а оси колес пересекаютсяUc = 2Rmv; wc =- 2"Uc = 2Rmv; wc =- 2"
Ускорение ®>с лежит в
Ускорение ®>с лежит в
Рис. 378
Рис. 378
этого колеса, диаметрально
этого колеса, диаметрально
в точке О.
в точке О.
если угол 2а1=120°, угол 2^ —60°, а оси колес пересекаются
если угол 2а1=120°, угол 2^ —60°, а оси колес пересекаются
Uc = 2Rmv; wc =- 2"
Uc = 2Rmv; wc =- 2"
рально противоположной точке касания В, если OB = OC = R, a Z СОВ = 60°.
Ответ: ис = 0; wc = ^- К«>\.
плоскости рисунка и направлено под прямым углом к ОС вниз.
Задача 620 (рис. 378). Коническое зубчатое колесо / радиусом R вращается с постоянной угловой скоростью ш,. Зубчатое колесо II приводится в движение с помощью кривошипа, имеющего угловую ско- 3
рость o>j = j о>[ и то же направление вращения, что и колесо /. Определить мгновенную угловую скорость и угловое ускорение колеса II, а также скорость и ускорение точки С противоположной точке касания А,
Ответ: ш = у 3 оу, е = —ш;;
ГЛАВА IX
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА
§ 1. Скорость точки в сложном движении
Скорость точки в сложном движении определяют по формуле
Эа = Уг + ^>(9.1)
где уй— скорость точки относительно условно неподвижной системы отсчета (абсолютная скорость);
ог — скорость точки относительно подвижной системы отсчета (относительная скорость);
5е — скорость той точки подвижной системы отсчета, через которую в данный момент проходит рассматриваемая точка (переносная скорость).
Задача 621. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой (рис. 379, а) кривошип ОД длиной г вращается с постоянной угловой скоростью <о0 и приводит в движение
Рис. 379Рис. 379
Рис. 379
Рис. 379
кулису ВВ, прорезь которой образует с направлением ее перемещения постоянный угол, равный 60°. Определить скорость кулисы и скорость скольжения камня А в прорези кулисы, если в начальный момент времени кривршип занимал левое горизонтальное положение.
Решение. Движение камня А можно изучать по отношению к двум системам отсчета: по отношению к неподвижной системе Оху (абсолютное движение) и по отношению к подвижной системе O’x't/, связанной с кулисой (относительное движение). Абсолютным движением камня является его движение по окружности с центром в точке О, и, следовательно, абсолютная скорость уо направлена перпендикулярно к кривошипу ОА и равна по величине <Dor. Относительное движение — это скольжение камня по прорези кулисы, поэтому относительная скорость йг точки А направлена по кулисе.
2572579 Н. А. Бражниченко и др.
257
257
Переносным движением камня Л в данный момент является движение той точки кулисы, с которой в этот момент совпадает камень. Так как кулиса движется поступательно, то переносная скорость ие параллельна прямой СС.
По теореме сложения скоростей (9.1) имеем
эа == ^ + 5е-
Уг г»а уеУг г»а уе2vo cos 2®0r V 3„ и, = —“" = —— cos2vo cos 2®0r V 3„ и, = —“" = —— cos33Из параллелограмма скоростей (рис. 379, б) найдем
Уг г»а уе
Уг г»а уе
2vo cos 2®0r V 3„ и, = —“" = —— cos
2vo cos 2®0r V 3„ и, = —“" = —— cos
3
3
откуда
2®0г V 3 - / я \ Уе= -———SIH
Так. как
У = <V, то
2»v ИЗ ,vr = —— cos «V;
2toor / 3 . / , я \ие =^Sin ^ — —) .
В моменты времени, когда
имеем ус=о,
и, следовательно, в эти моменты кулиса изменяет направление своего движения.
Задача 622. В механизме, изображенном на рис. 380, а, рейка / имеет скорость и, = 20 см! сек, рейка // — скорость у, = 40 см/сек, расстояние между рейками равно 50 см. Определить угловую скорость рейки III, а также скорость рейки IV в тот момент, когда АС=ВС и угол а между рейками III и IV равен 60°.
Решение. Рассмотрим движение точки В. С рейкой /// свяжем подвижную систему координат Dx'i/. С неподвижным основанием механизма свяжем неподвижную систему осей Оху. Точка В движется по отношению к обеим координатным системам. Абсолютным движением этой точки является прямолинейное движение со ско-
ростью Sj вдоль оси Ох. Относительным движением является прямолинейное движение вдоль прорези рейки III. Переносным движением будет движение той
момент совпадает с точкой В.
По теореме сложения скоростей (9.1) имеем (рис. 380, б)
UBa = Va = «В, + ^Ве-
Для определения переносной скорости 0Ве пользуемся формулами кинематики плоского движения (7.3) и (7.5):
иВА = 01Ш' ^^’
где иД = 5) — скорость точки А, принятой за полюс;
У ВА — вращательная скорость вокруг полюса А— точки рейки III, с которой в данный момент совпадает точка В.
точки рейки III, которая в данный
0-1
Д иши
П
в)
40°
Рис. 380
У
в
6)
^СА
х"
30°-
VcrX
Итак,
V2 = 8i + ub, + 5ba- («)
Относительная скорость v№ направлена по прорези рейки III, а скорость и8Д _L АВ. Направления этих скоростей наперед неизвестны. Согласно (а), изобразим все составляющие векторы на рис. 380, б. Направления векторов у^ и уВА указаны предположительно. Векторное равенство (а) равносильно следующим двум скалярным, полученным проектированием (а) на оси Bxf'y”, параллельные осям Оху:
и» = ивг-^
Ь и1 + иВА у-,
ОУВГ 2 UBA ^ •
Отсюда найдем
овд =^^У = 10 см!сек,ивг = У3ивд = 10У 3 см,сек.
Знак «плюс» в ответах указывает на то, что направления векторов йвг и увд выбраны правильно.
Зная о8д, найдем угловую скорость рейки III:
ш/// = ;^ = ^^ Р^сек.
Рассмотрим движение точки G (рис. 380, в). Абсолютная скорость точки С определится векторной суммой
УСа —Усг"¥ У<> = Усг + У А” У С A,W
где вращательная скорость
усд = шш • у А В = 5 сдвоек,
иСг—относительная скорость точки С, направленная вдоль рейки III; ^ = 0!.
Вектор исд перпендикулярен к АС и направлен в ту же сторону, что и вектор ивд. Направление вектора иСг дано предположительно. Векторное равенство (&) равносильно двум скалярным, полученным проектированием (6) на оси Cx'"i/", параллельные осям Оху:
лV 3 ,.1
Усах = 0 = — vCr 4- их + усд т;
1
UCay UCr^ УСА "^7"
В первом равенстве проекция скорости иСих равна нулю потому, что абсолютная скорость точки С, равная скорости рейки IV, направлена вдоль вертикали. Из этих урав- .нений найдем
X,иСг=15УЗ см; сек;
усау — —ЮР 3 см]сек.
X.Знак «минус» указывает на то, что ско-
JM®°Учарость точки С в рассматриваемыймомент
Ч__знаправлена вниз.
Xg Величина абсолютной скорости точки С РисУса =1°Уз CMjceK.
■Задача 623 (рис. 381). Два корабля идут
прямыми расходящимися курсами, образующими между собой угол а. Скорость одного корабля равна у,. Какую скорость у/должен иметь второй корабль, чтобы первый
находился все время у него на траверсе, т. е. на перпендикуляре к его курсу? С какой скоростью и будет увеличиваться при этом расстояние между кораблями?
Ответ; иг = ^ cos а;
u = Vt sin а.
Задача 624. Судно движется на юго-восток со скоростью и. Флюгер на судне составляет угол 90° с его диаметральной плоскостью, причем ветер дует с левого борта. Определить истинную скорость ветра и его направление, если относительная скорость ветра равна скорости судна.
Ответ; ветер дует с севера со скоростью v = uV2.
Задача 625. Тело, запущенное на экваторе вертикально вверх, приобрело скорость 2 км, сек относительно места пуска. Какова его скорость относительно системы координат, поступательно движущейся вместе с Землей по отношению к неподвижным звездам? Движение центра Земли за небольшой промежуток времени считать равномерным и прямолинейным. Высотой тела над поверхностью Земли пренебречь. Радиус Земли У? —6400 км.
Ответ; и = 2,06 км/сек.&
Задача 626 (рис. 382). Призма А дви- жется поступательно со скоростью 3 м/сек, а груз В движется по грани призмы так, что|гцс
расстояние s — OB изменяется по закону6® ш
s = B (t— в секундах, s — в метрах). Опре-/
делить при / = 2 сек величины абсолютных/ А
скоростей грузов В и С, связанных не-/*•
растяжимой нитью.
Ответ; ив — 3,62 м/сек\чгтттттттттттттттттгтт^^
vc = 5 м/сек.
Задача 627. Вращение диска вокругРис- 382
своей оси соответствует закону ср = 1,5Z3 рад.
Вдоль радиуса диска в направлении от центра к его ободу движется точка М. Определить величину абсолютной скорости этой точки в момент /=1 сек, если ее движение относительно диска задано уравнением
s = OM = (1 -Д^) см.
Ответ; 0 = 2^10 см/сек.
Задача 628. Определить величину абсолютной скорости точки ротора паровой турбины, ось которого горизонтальна и лежит в диаметральной (продольной) плоскости судна, идущего со скоростью 40 узлов (узел — единица скорости, равная 1 миле в час, или 0,5144 м/секу Расстояние данной точки до оси вращения равно 60 см. Ротор делает 3000 об/мин.
Ответ; и =189 м/сек.
Задача 629 (рис. 383). Ползун А перемещается по прямолинейным направляющим при помощи рычага, который вращается
Рис. 383Рис. 383Рис. 384Рис. 384Рис. 385Рис. 385Рис. 386Рис. 386
Рис. 383
Рис. 383
Рис. 384
Рис. 384
Рис. 385
Рис. 385
Рис. 386
Рис. 386
вокруг неподвижной оси О. Определить скорость ползуна в зависимости от угла поворота рычага <р, если он имеет в данный момент угловую скорость <о, а расстояние от оси О до направляющих равно к.
Ответ-, и =—s-
Sin2 If
Задача 630 (рис. 384). Кулисный механизм с вращающейся кулисой приводится в движение кривошипом ОС. Определить скорость ползуна С относительно кулисы, в момент времени i=^~t
где со — постоянная угловая скорость кривошипа, если в начальный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение. Принять Ь = аУ^.
Ответ: уг—с№.
Задача 631 (рис. 385). Стержень ОА длиной / может поворачиваться в плоскости рисунка вокруг точки О при помощи толка-
теля, движущегося со скоростью й. Определить величину скорости конца Л стержня в зависимости от расстояния х от толкателя до точки О, если высота стойки равна а.
_tau
Ответ: ид = 3?^-г.
Задача 632 (рис. 386). Стержень О А длиной / приводится во вращательное движение вокруг неподвижной точки О кулачком,
угловую скорость стержня в тот момент, когда он составляет 262
угол <р = 30° с горизонталью, а кулачок движется поступательно со скоростью 6.
-2и
Ответ: ш =—7-7=г-.
I (Кз+0
Задача 633 (рис. 387). Частица М пара попадает на рабочую лопатку колеса осевой турбины со скоростью у, равной по величине 1200 м/сек и образующей с плоскостью ВВ, перпендикулярной к оси вала, угол а = 20°, а с радиусом ротора — угол 90°.
Определить величину относитель-
этом рас- валаэтом рас- валаной скорости частицы пара, если эта скорость образует с плоскостью
этом рас- вала
этом рас- вала
BB угол p = 45°. Каково при число оборотов колеса, если стояние от частицы до оси равно 1,2 Л1?
Задача 634. Флюгер корабля.Задача 634. Флюгер корабля.Ответ-. уг = 581 м]сек;, п = Ы2б об/мин.
Задача 634. Флюгер корабля.
Задача 634. Флюгер корабля.
двигавшегося на север, откло-
няется из-за ветра и составляет с направлением движения корабля угол 135°, отсчитываемый против хода часовой стрелки. При изменении курса корабля на северо-восток угол между направле- ,,. К 2
нием движения корабля и флюгером стал равным ^ = -к — arctg Определить истинное направление ветра, считая, что величина скорости корабля при изменении курса сохранилась прежней.
Указание. Проектировать векторные уравнения на направления северо-восток и северо-запад.
Ответ: ветер дует с юго-востока.
Задача 635. Движение точки в плоскости хОу задано уравнениями
x = r -|- г cos kt, y = r sin kt,
причем сама плоскость хОу вращается по ходу часовой стрелки вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью ш = к. Определить величину абсолютной скорости точки в момент 2 = ^ сек.
Ответ: и —г к.
Задача 636. Точка движется в плоскости хОу по эллипсу согласно уравнениям
x = a-)-acos kt",y = b-\- bsi.nkt,
а сама плоскость вращается против движения часовой стрелки вокруг оси Ог с угловой скоростью ш. Определить величину абсо-
лютной скорости точки в те моменты, когда она находится в вершинах эллипса.
Ответ; ut = Vш2^ -)- (2ао> -j- bk)4;
v2 = V o>V -|- (2&w + ak^;
-е,=ЬУ'ч>! — к-; y4. - a + ^2-
Задача 637. Точка движется в плоскости хОу согласно урав
нениям
x = Z; t/ = 2Z2
(х, у — в метрах, /— в секундах), а сама плоскость вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью с» = 2 рад; сек. Определить величину абсолютной скорости точки в момент времени t = 1 сек.
Ответ; при вращении плоскости против движения часовой стрелки у=6,71 м;сек; при вращении плоскости по ходу часовой стрелки у = 5,39 м'сек.
Задача 638 (рис. 388). Реверсивная передача с зубчатым сектором радиусом R приводится в движение от кривошипа ОА, вращающегося вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью 0>в.
Цапфа А кривошипа скользит в качающейся кулисе. Определить угловую скорость со колеса II радиусом г = ^ в момент, когда а = , если 00! — -л- О А. 6 *2
Ответ; <о = 2,28о>0.
Т.ПГ COS а15 sin 9 'Т.ПГ COS а15 sin 9 'Ответ; оОтвет; оЗадача 639 (рис. 389). В кулисном механизме поперечно-строгального станка кривошип ОА делает п об/мин. Определить скорость перемещения стержня ВС в момент, когда угол между кривошипом ОА и кулисой равен а, а угол между стержнем ВС и кулисой равен р. Принять OA = r, OtA — АВ = 2г.
Т.ПГ COS а
15 sin 9 '
Т.ПГ COS а
15 sin 9 '
Ответ; о
Ответ; о
Задача 640 (рис. 390). В кулисном механизме поперечно-строгального станка кривошип ОД вращается с угловой скоростью гоп. Определить скорость ползуна С и угловую скорость коромысла ОхВ в указанном на рисунке положении механизма, если
ОД=гУЗ, О1К = О1В = г, ВС = 4г.
Ответ-. uc = 3ov; шО1В = Зго0,
Задача 641 (рис. 391). В кулисном механизме поперечно-строгального станка кривошип ОА вращается с угловой скоростью о>0.
Рис. 390Рис. 390Рис. 391Рис. 391
Рис. 390
Рис. 390
Рис. 391
Рис. 391
Найти скорость ползуна С и угловую скорость коромысла ОХВ в тот момент, когда кривошип и коромысло горизонтальны, если расстояние от точки О до направляющей ползуна С равно а, а от точки Ох до той же направляющей —2а, OA—R, ОхВ = г, вс=-р-
Ответ-. ус —о>0/?УЗ; ш01в = -^•
Задача 642. В механизме, изображенном на рис. 392, кривошип ОА вращается с угловой скоростью юп. Определить угловую скорость о) кулисы MN в момент, когда она составляет угол а с горизонтом, если при этом DM = 2a, CD I CO и кривошип ОА занимает правое горизонтальное положение. Кроме того, дано:
ОА=ОС = а; BC = AB = BD = b.
Vb^-tP .Рис. 392
Ответ- ш = шй —^— sin а-
Задача 643 (рис. 393). В шатунно-кривошипном механизме кривошип ОА вращается с угловой скоростью го. Связав с кривошипом подвижную систему отсчета, определить величины пере-
носной, относительной и абсолютной скоростей ползуна В в тот момент, когда ОВ = 2а, ОА = АВ = L
указание. Относительная скорость ползуна В должна быть перпендикулярна к шатуну АВ, так как в относительном движении точка В движется по окружности с центром в точке А.
Ответ: ие = 2аш; иг = 21ш; иа = 2шУ11— я4.
Задача 644 (рис. 394). Шестерня радиусом R, катящаяся по не
приводится в движениеприводится в движениеРис. 394Рис. 394Рис. 393Рис. 393подвижной шестерне с тем же радиусом, кривошипом ОА, вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью ша. Связав с кривошипом подвижную систему отсчета, определить величины перенос-
приводится в движение
приводится в движение
Рис. 394
Рис. 394
Рис. 393
Рис. 393
ной и относительной скоростей точек Мг, Мг, М», УИ^ принадлежащих подвижной шестерне.
Ответ: vei = ^R', уе2=уР4 = <о01?К5.
о,з = 3ш0/?; уГ1 = уГ2 = уг, = уГ4 = <ов/?.
Задача 645 (рис. 395). Круговой конус, радиус основания
которого равен 10 см, а высота 20 У" 2 см, катится без скольже
ния по неподвижной горизонтальной плоскости так, что его вершина О остается неподвижной. Вдоль высоты конуса просверлен канал, по которому в направлении от центра основания А к вершине движется точка М по закону s = = АМ = 10V^21см. Определить в момент времени t = 1 сек величину абсолют
ной скорости точки М, если в этот момент скорость точки В конуса, наиболее удаленной от плоскости, равна 20^2 см[сек.
Ответ: у = 51^10 см[сек.
Задача 646 (рис. 396). Колесо / радиусом 20 см катится без скольжения по внутренней поверхности неподвижного колеса II и приводится в движение кривошипом ОА длиной 30 см, вращающимся вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью, равной
0,5 рад. сек. Вдоль радиуса подвижного колеса в направлении отего центра движется точка М со скоростью 5 см'сек. Определить величину абсолютной скорости точки М в момент, когда она находится на расстоянии 10 см от центра колеса, если в этот момент радиус, вдоль которого движется точка, перпендикулярен к кривошипу.
Ответ: «„=12,5 см[сек.
Задача 647 (рис. 397). Кривошип 0Av суммирующего механизма имеет в данный момент угловую скорость <ot и составляет угол aj с горизонтальной осью Ох. В этот же момент кривошип ОА» имеет угловую скорость о>.2 и со
ставляет с той же осью угол о^. Опре
делить в этот момент величину скорости стержня CD, если прямая, по которой он движется, делит расстояние между направ
ляющими М и N в отношении ^-. Длины кривошипов равны 14 и гд соответственно, их направления вращения указаны на рисунке.
пI nr^ sin <ц — тс./^ sin as I
итвет; у — |
Задача 648 (рис. 398). В множительном механизме рейка / движется со скоростью yt, а рейка II — со скоростью у^ в указанных направлениях. Определить скорость у3 рейки /// и угло-
вую скорость кулисы IV в зависимости от перемещений х и у реек / и II. Расстояние между направляющими реек // и /// равно а.
_ау а — х
Ответ-. у8 — Uj ™ — иг ——
(если у8^>0, то III движется вниз);
шл/шл/■0^ —У2Ххе4-№■0^ —У2Ххе4-№
шл/
шл/
■0^ —У2Х
хе4-№
■0^ —У2Х
хе4-№
(если o>;v)>0, то вращение кулисы происходит против хода часовой стрелки).
Задача 649 (рис. 399). Рейки I и II суммирующего механизма движутся в одном направлении со скоростями 0v и 0^ соот-
Рие. 399Рие. 399
Рие. 399
Рие. 399
ветственно. Определить скорость рейки III, угловую скорость кулисы IV, а также скорости ползунов Л и В относительно
J-i-; СО = COS’ OtJ-i-; СО = COS’ OtОтвет: у8 =Ответ: у8 =кулисы в тот момент, когда угол, составленный прямой АВ с горизонталью, равен а. Расстояния между направляющими стержней / и III, II и III равны соответственно aY и а».
J-i-; СО = COS’ Ot
J-i-; СО = COS’ Ot
Ответ: у8 =
Ответ: у8 =
(при У1)>у3 кулиса вращается по ходу часовой стрелки);
„ (У1 — «в) ui sin а
Ar *ii + а»
(0Дг направлено от Л к О при У1^>у2);
(»! —У3) а3 sin а
У®Г«1 + ае
(0вг направлено от В к О при У1)>па).
Ускорение точки в сложном движении
Ускорение точки в сложном движении определяют по формуле
(9 2)(9 2)
(9 2)
(9 2)
где ®а — ускорение точки относительно условно неподвижной системы отсчета (абсолютное ускорение),
®г — ускорение точки относительно подвижной системы отсчета (относительное ускорение);
®е — ускорение той точки подвижной системы отсчета, через которую в данный момент проходит рассматриваемая точка (переносное ускорение),
®с— поворотное ускорение или ускорение Кориолиса, выражающееся формулой
®с = 2^еХ0г),(9.3)
здесь и>с — мгновенная угловая скорость подвижной системы отсчета;
vr — относительная скорость точки.
Задача 650. Окружность радиусом R — 1 м вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси О против хода часовой стрелки по закону ср = и/ (^ — в секундах; <р— в радианах),
где <р — угол, составляемый диаметром окружности О А с горизонтальной прямой (рис. 400, а). По окружности из точки О движется точка М по ходу часовой стрелки согласно уравнению s = ~t (t— в секундах; s— в метрах). Определить абсолютное ускорение точки в моменты времени 4 =сек и ^=1 сек.
Решение. Точка М совершает сложное движение. Свяжем подвижную систему координат с окружностью. Тогда движение точки М по окружности будет относительным. Переносным движением точки в данный момент является движение той точки окружности, через которую в этот момент проходит точка М.
Найдем положения точки М в указанные условиями задачи моменты времени:
,1It
при t = -^ сек 8! = -^ м;
при /3 = 1 сек 83 = 14 м.
Следовательно, к моменту ^1 = ^- сек точка М пройдет четверть окружности, а к моменту ^=1 сек — половину окружности от начального положения. Для этих моментов времени угол поворота окружности будет равен соответственно у и к (рис. 400, б, в). Согласно (9.2), имеем
®а = ®v + ®'е + ®с.(о)
Определим сначала относительное ускорение @г:
®г = ®гт + ®гл, где касательное ускорение
dv. d$s л
а нормальное
И)Гп = ^ — 1^ MjceK^,
так как относительная скорость
ds ,
Vr = ^ — S MJC8K.
Таким образом, относительное ускорение в любой момент времени направлено к центру окружности и по величине равно
фг — т? MiceK1.
Найдем переносное ускорение точки М. Так как переносное движение вращательное, то, следовательно,
®е = ®”Р + ®е, здесь
О/”Р = 6е • ОМ; £Ур = <4 . ОМ,
где ОМ— расстояние от точки М до оси вращения окружности; <ой и se — угловая скорость и угловое ускорение вращающейся окружности.
Имеем
ОМ |/=^ = К2 м; OM^=ta = 2 м.
Угловая скорость шР и угловое ускорение ее соответственно равны: const; $е=ф = 0, таким образом,
^Р = ^“ = “г • ОМ.
В момент tx = ^ сек wei = ^Y2 м/сек*, в момент /2=1 сек tyC2 = 2ira м/сек*. Ускорения ®ev и ©еч направлены к оси О.
Найдем теперь ускорение Кориолиса по (9.3). Вектор угловой скорости ше перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен к читателю. Относительная скорость уг направлена по касательной к окружности в сторону движения часовой стрелки. Следовательно, угол между векторами юе и уг в любой момент движения равен у. Поэтому в обоих случаях величина ускорения Кориолиса
щ)С1 = ФСг = 2шеиг sin -^- = 2^ м/сек*.
Направления вектора ®с в моменты -tv и ^ показаны на рисунках.
Для определения ®а применим метод проекций. Проектируя правую и левую части векторного равенства (с) на выбранные оси координат, получим для # = ^:
wQX = xBrt — wC1-V wet ^-=^— 2^ 4- ^ = 0;
way = — wet4r = — ^.
Отсюда видно, что
®а|1-=ц = ^ м/сек*
и вектор ©Д^ц направлен вниз.
При t = t4 все векторы ускорений направлены по одной прямой, следовательно,
и>о i/=(a = ХВГ4 + ш^ — ®С3 = тг3 + 2иа — 2т.* = К2 м/сек*.
Вектор ®e|<=<g направлен вправо.
Задача 651. В механизме, изображенном на рис. 401, а, рейка I движется ускоренно вверх, имея в момент, когда а —30°, скорость yv = V3 см/сек и ускорение ^=1^3 см/сек*. В этот же момент конец рейки II удален от направляющей рейки / на расстояние В0 = 3 см, а рейка II имеет скорость у2 = 5 см/сек и замедление ша=1 см/сек*. Определить в этот момент угловое ускорение кулисы III и ускорение камня В относительно кулисы.
Решение. Рассмотрим движение точки В. Эта точка участвует в двух движениях: по отношению к неподвижной системе ху, скрепленной с основанием механизма (абсолютное движение), и по отношению к системе х'у, скрепленной с кулисой (относительное движение). Оба эти движения прямолинейные, поэтому йВа и иВг направлены вдоль прямых ВО и ВА (направление вектора
Увг по прямой В А наперед не известно и показано на рис. 401, б предположительно); uBa = vI. Переносным движением для точки В в данный момент является движение той точки кулисы, с которой совпадает в этот момент точка В. Так как кулиса совершает плоское движение, то по формуле (7.3) получим
0№ = 0д + уВд = У1 + уВл,
где вращательная скорость ивд направлена перпендикулярно АВ (предположительно в сторону, указанную на рис. 401, 6). По теореме сложения скоростей (9.1), имеем
Ува = ^ВгА* ^Вя т. е.
у^уВг + У1 + у5д-(d)
Это векторное уравнение эквивалентно двум скалярным, полученным проектированием (d) на координатные оси (например, В^у.
Ua COS а = — V! sin а -|- иЙЛ;и2 sin а = vBr 4- ot COS а,
отсюда
uba = ^ cos а + У1 sin а — ЗУЗ см[сек\vBr = и2 sin а — Ui cos а = 1 см! сек.
Знаки «плюс» показывают, что направления векторов иВА и уйг выбраны правильно.
Зная иЙЛ, найдем угловую скорость кулисы (переносную угловую скорость)
^ ВА/3
Рад!сек-
В соответствии с полученным направлением иВД заключаем, что вектор X направлен перпендикулярно к плоскости рисунка к читателю. Перейдем к ускорениям (рис. 401, в). По (9.2) имеем
®ВА = ®Вг + ®Ве+®Вс,
где wBa = ws; ®Вг — направлено по В А (предположительно от В к Д). Ускорение Кориолиса
®Вс = ^еХ5вг-
Зная направления векторов а>е и vBr, найдем, что тввс направлено так, как показано на рисунке. Величина ускорения Кориолиса wBc = 2wgvBr sin 90° = "УЗ см/сек^.
Переносное ускорение ®йе определим по формулам (7.10), (7.11), (7.12), т. е.
^й^^д + ^йд + ^ВД-
здесь ®д = ®1; ®вд направлено от В к Д и по величине равно = АВ —4,5 см/сек^.
Направление ®^*А указано на рисунке предположительно. Итак,
®з = ®йг + ©14-^д + ®Уд + ®^-(е)
Проектируя (в) на оси 5, щ, получим
— шг COS а = — Wx sin s 4" а)^ — хвВс;
— W^ sin а = wBr 4* ®йд 4" Wx COS a, отсюда
®вд — ^вс + t^i sin a — w^ cos a = "Уз см/сек’1;wBr — —w^ sin a — wY cos a — a'^A — — 6,5 смуек1.
Зная ш^,, по формуле (7.12) найдем
£ =£ =5г=-^ рад/секг.5г=-^ рад/секг.
£ =
£ =
5г=-^ рад/секг.
5г=-^ рад/секг.
противоположные стороны. Задача 652 (рис. 402). типа толкатель с роликомпротивоположные стороны. Задача 652 (рис. 402). типа толкатель с роликомЗнак «плюс» для и^д показывает, что направление этого вектора выбрано правильно. Кулиса III в данный момент имеет ускоренное вращение, так как ©^д имеет то же направление, что и уйд. Точка В вдоль прорези движется замедленно, так как относительное движение прямолинейное и ®Вг и иВг направлены в
противоположные стороны. Задача 652 (рис. 402). типа толкатель с роликом
противоположные стороны. Задача 652 (рис. 402). типа толкатель с роликом
Рис. 402Рис. 402В кулачковом механизме барабанного движется поступательно параллельно оси вращения барабана и благодаря винтовому пазу с шагом h заставляет вращаться барабан. Определить ускорения точек на поверхности барабана, если скорость толкателя у = const и радиус барабана R. Размерами ролика пренебречь.
Рис. 402
Рис. 402
_4л2»2/?
Ответ: w=——.
Задача 653. Поршень горизонтальной паровой машины движется в диаметральной (продольной) плоскости судна, имея в данный момент относительную скорость ог~ 15 м/сек. Определить величину ускорения Кориолиса поршня, если судно совершает круговую циркуляцию за время Т = 3 мин. v
Ответ: wc — -^^ = 1,045 м/сек*
Задача 654. Судно, двигаясь с постоянной скоростью, испытывает бортовую качку, имея в данный момент угловую скорость ше = 0,5 рад/сек. Определить в этот момент ускорение Кориолиса наивысшей точки на окружности диска турбины радиусом 0,8 м, если он делает 3000 об/мин вокруг горизонтальной оси, лежащей в диаметральной (продольной) плоскости судна.
Ответ: ®с направлено по радиусу диска турбины к центру, если вращение турбины и качка судна происходят в одну сторону, и направлено от центра при противоположных вращениях: wc = 251 м/сек3.
Задача 655. Судно испытывает килевую качку согласно уравнению
V—T8 8Ш ТО -
Определить наибольшее значение ускорения Кориолиса точек ротора, совершающего 6000 об/мин, если его ось вращения гори-
зонтальна и лежит в диаметральной плоскости судна. Радиус ротора равен 40 см.
Ответ: wcmax = ^ и8 м/сек1.
Задача 656 (рис. 403). Деталь кулисного механизма состоит из кулисы, вращающейся вокруг оси О, и ползуна А, который может двигаться в направляющих кулисы. Кулиса вращается с постоянной угловой скоростью ш = 2 рад!сек. Движение ползуна
по кулисе соответствует закону
$ = ОД=2 + 3^
(/ — в секундах; s — в сантиметрах).
Определить величину абсолютного ш
ускорения ползуна при ^=1 сек.Рис. 403
Ответ: wa = 27,78 см/сек1.
Задача 657 (рис. 404). Крановая тележка А движется по стреле крана равноускоренно из состояния покоя и, пройдя расстояние ОД = 2 м, имеет скорость 2 м/сек относительно стрелы. Оп-
Рис. 404Рис. 404
Рис. 404
Рис. 404
ределить в этот момент величину абсолютного ускорения тележки, если кран вращается равномерно, делая п=^ об/мин.
Ответ: о)я = 4,12 м/сек1.
Задача 658. Решить задачу 657 при условии, что кран вращается ускоренно, имея в данный момент угловое ускорение е= = 4 рад]сек1.
Ответ: wa = К148 = 12,17 м/сек1.
Задача 659 (рис. 405). В поршневом двигателе с качающимся цилиндром кривошип ОА делает 300 об/мин. Связав подвижную систему координатных осей с цилиндром, определить величину ускорения Кориолиса поршня в тот момент, когда кривошип и цилиндр образуют с горизонталью углы в 30° и 15° соответственно. Длина кривошипа ОА = 10 см.
Ответ: шс = -^^ = 51,1 м/сек1.
с cos 15•'
Рис. 406Рис. 406Рис. 407Рис. 407
Рис. 406
Рис. 406
Рис. 407
Рис. 407
Задача 660 (рис. 406). Квадратная рама со стороной а вращается вокруг ОСИ АВ С ПОСТОЯННОЙ угловой скоростью О),. Вок
руг оси ВС, совпадающей с диагональю рамы, вращается диск
радиусом R =—— с постоянной угловой скоростью ш2 = ш, |/"2. Определить величину абсолютного ускорения точки М диска, лежащей в данный момент в плоскости рамы.
Ответ: wM = ши;.
Задача 661 (рис. 407). В регуляторе числа оборотов турбины грузы At и Лj при заданном предельном числе оборотов ротора занимают положения, указанные на рисунке, а вал регулятора вращается с угловой скоростью ш. При уменьше
нии нагрузки турбины в некоторый момент времени вал регуля
тора приобретает угловое ускорение г, а грузы начинают расходиться, вращаясь вокруг точек О, и О2 с угловыми ускорениями еР
Определить величины абсолютных ускорений точек Cv и С2 грузов в этот момент, если OtCt = O4C4 = a, OtO4 = 2b.
Ответ-. wa = V^b1 -)- (s^ — nr b y1.
Задача 662. Тело поднимается вертикально вверх с пункта, находящегося на северной широте 60°, и имеет относительно Земли постоянную скорость, равную 6000 км)час. Определить величину абсолютного ускорения тела на высоте 500 км по отношению к осям, движущимся поступательно вместе с Землей относительно неподвижных звезд. Считать, что центр Земли движется прямолинейно и равномерно, радиус Земли принять равным 6400 км.
Ответ: шя=1590 км/час^.
Задача 663 (рис. 408). Башенный кран вращается равномерно с угловой скоростью а) = 2 рад, сек. По стреле перемещается 276
крановая тележка А с постоянной скоростью 3 м^сек. Груз В движется вертикально вниз равноускоренно из состояния покоя; пройдя расстояние 2 л<, он имеет скорость, равную 2 м/сек. Определить величину абсолютного ускорения груза В, если в рассматриваемый момент О А = 2 м.
Ответ-. wa— 14,49 м/сек1.
Задача 664. Башенный кран (рис. 408) вращается равномерно с угловой скоростью ш = 2 рад/сек. Тележка А имеет в данный момент скорость ^ = 3 м/сек и ускорение ^ = 4 м/сек1 по отношению к стреле ОС. Груз В опускается равномерно вертикально вниз. Чему равна величина абсолют
ного ускорения груза в тот момент, когда расстояние О А = 3 м?
Ответ; wa — 14,42 м/сек1.
Задача 665 (рис. 409). Кран движется с ускорением Wt по прямолинейным рельсам и одновременно вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью а>. Длина свисающей части троса изменяется по закону / = /0 — —- (/0 и ^ — по
стоянные). Вылет крана О А равен R. Определить величину абсолютного ускорения груза в момент, когда стрела ОА параллельна
рельсам.
Ответ; wa = VX^i — Дю4)4 + а>|.
Задача 666. Плоскость хОу, в которой движется точка соглас
но уравнениям
х = а cos kt,
y—b sin kt,
(a, b, k — постоянные), вращается вокруг осн Oz с постоянной угловой скоростью (о. Определить величины абсолютных ускорений точки в моменты пересечения ею координатных осей Ох и Оу.
Ответ; в точках пересечения оси Ох
wa = a (k1ш4) ± 2кЬш;
в точках пересечения оси Оу
w„^=b (к1 to4) ± 2kaw
(знак «плюс» — при вращении плоскости вокруг оси Oz в положительном направлении).
Задача 667. Плоскость хОу, в которой движется точка согласно уравнениям
х = г-\-г cos kt; у = r sin kt
(г и к— постоянные), вращается равномерно вокруг оси Oz по ходу часовой стрелки с угловой скоростью ш = /г. Определить абсолютное ускорение точки в любой момент t.
Ответ: ®>а = — кгг1,
где I — орт оси Ох.
Задача 668. Плоскость, в которой движется точка согласно уравнениям
,9
x = t, У = Т
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах), вращается вокруг ори Oz против движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ю=1 рад[сек. Определить величину абсолютного ускорения этой точки в тот момент, когда она находится на кратчайшем расстоянии от оси вращения.
Ответ: ша = "— см [сек1.
Задача 669. Плоскость хОу, в которой движется точка согласно уравнениям
х = /а,1
У = ^~^|
(х, у — в сантиметрах, / — в секундах), вращается с постоянной угловой скоростью V2 рад[сек вокруг оси Ог. Найти величину абсолютного ускорения точки, когда она находится на кратчайшем расстоянии от оси вращения.
Ответ: при вращении плоскости по движению часовой стрелки tya=17,2 см [сек1;
при вращении в противоположном направлении
ty„ = 6,325 см [сек1.
Задача 670. Используя условия задачи 637, найти абсолютное ускорение точки, считая, что плоскость вращается по ходу часовой стрелки.
Ответ: шо = 4К 13 см[сек\
Задача 671. Движение центра тяжести снаряда задано уравнениями
х = uet cos а; 1
у = У0/ Sina —J
(yoa, g — постоянные).
Снаряд вращается вокруг оси, совпадающей с касательной к траектории, с постоянной угловой скоростью <о. Определить в наивысшем положении снаряда величины абсолютных ускорений тех
точек на его поверхности, кориолисово ускорение которых максимально, если диаметр снаряда равен 2R. Вращение Земли неточек на его поверхности, кориолисово ускорение которых максимально, если диаметр снаряда равен 2R. Вращение Земли неучитывать.Ответ:учитывать.Ответ:^ = 6 У 1+^«^ = 6 У 1+^«®4Ra g* "®4Ra g* "Задача 672 (рис. 410). По трубке, изогнутой в средней части по полуокружности CD радиусом R, движется точка М с постоянЗадача 672 (рис. 410). По трубке, изогнутой в средней части по полуокружности CD радиусом R, движется точка М с постоянной относительной скоростью ог. Трубка вращается в подшипниках А и В с постоянной угловой скоростью, поворачиваясь на пол-оборота за время, пока точка перемещается из С в D. Определить величину абсолютного ускорения точки в зависимости от угла ф.Ответ: wa =4 —|— sin2 ср.Задача 673. Движение поршня горизонтальной паровой машины катера задано уравнениемной относительной скоростью ог. Трубка вращается в подшипниках А и В с постоянной угловой скоростью, поворачиваясь на пол-оборота за время, пока точка перемещается из С в D. Определить величину абсолютного ускорения точки в зависимости от угла ф.Ответ: wa =4 —|— sin2 ср.Задача 673. Движение поршня горизонтальной паровой машины катера задано уравнениемх = а sin totх = а sin totРис. 410Рис. 410(ось х направлена к носу).Определить абсолютное ускорение поршня в его среднем положении, если катер движется по окружности радиусом R с посто(ось х направлена к носу).Определить абсолютное ускорение поршня в его среднем положении, если катер движется по окружности радиусом R с постоянной скоростью и.янной скоростью и.Ответ:Ответ:®а =®а =и4 [ 2а<»ии4 [ 2а<»и
точек на его поверхности, кориолисово ускорение которых максимально, если диаметр снаряда равен 2R. Вращение Земли не
точек на его поверхности, кориолисово ускорение которых максимально, если диаметр снаряда равен 2R. Вращение Земли не
учитывать.
Ответ:
учитывать.
Ответ:
^ = 6 У 1+^«
^ = 6 У 1+^«
®4Ra g* "
®4Ra g* "
Задача 672 (рис. 410). По трубке, изогнутой в средней части по полуокружности CD радиусом R, движется точка М с постоян
Задача 672 (рис. 410). По трубке, изогнутой в средней части по полуокружности CD радиусом R, движется точка М с постоян
ной относительной скоростью ог. Трубка вращается в подшипниках А и В с постоянной угловой скоростью, поворачиваясь на пол-оборота за время, пока точка перемещается из С в D. Определить величину абсолютного ускорения точки в зависимости от угла ф.
Ответ: wa =4 —|— sin2 ср.
Задача 673. Движение поршня горизонтальной паровой машины катера задано уравнением
ной относительной скоростью ог. Трубка вращается в подшипниках А и В с постоянной угловой скоростью, поворачиваясь на пол-оборота за время, пока точка перемещается из С в D. Определить величину абсолютного ускорения точки в зависимости от угла ф.
Ответ: wa =4 —|— sin2 ср.
Задача 673. Движение поршня горизонтальной паровой машины катера задано уравнением
х = а sin tot
х = а sin tot
Рис. 410
Рис. 410
(ось х направлена к носу).
Определить абсолютное ускорение поршня в его среднем положении, если катер движется по окружности радиусом R с посто
(ось х направлена к носу).
Определить абсолютное ускорение поршня в его среднем положении, если катер движется по окружности радиусом R с посто
янной скоростью и.
янной скоростью и.
Ответ:
Ответ:
®а =
®а =
и4 [ 2а<»и
и4 [ 2а<»и
(знак «плюс» — при совпадении направлений скоростей поршня и катера).
Задача 674 (рис. 411). Диск вращается в своей плоскости вокруг точки О с некоторой постоянной угловой скоростью, а точка М равномерно движется по окружности диска, обходя его два раза за время одного оборота. Зная, что абсолютное уско-
Рис. 411Рис. 411Рис. 412Рис. 412
Рис. 411
Рис. 411
Рис. 412
Рис. 412
рение точки М в момент, когда ср = 90°, равно У"82 м^сек1, определить угловую скорость диска <о, если его радиус равен 1 м. Направления движения точки и вращения диска указаны на рисунке.
Ответ: ю = I рад]сек.
Задача 675 (рис. 412). Диск радиусом г вращается вокруг своего диаметра так, что его угловое ускорение е = ш2 (ш — угло-
вая скорость). По окружности диска движется точка М с переменной относительной скоростью иг = гш. Определить те положения точки М, в которых она имеет абсолютные ускорения, лежащие в плоскости диска. Каковы величины этих ускорений?
Ответ: при a = arctg2; wa = 2,28roA.
Задача 676 (рис. 413). Шестерня /, вращаясь с постоянной угловой скоростью ш, приводит во вращение шестерню II. Шестерни имеют одинаковые радиусы R. Связав с шестерней / под-
Рис. 413Рис. 413
Рис. 413
Рис. 413
вижную систему отсчета, определить величины относительной и переносной скоростей, а также величины переносного, относительного и кориолисова ускорений точки М колеса II в положении,
указанном на рисунке.
Ответ: vr = 4Rw; у^^З^аг, ^^З/?^; шг = 6/?а>2; wc — 8Ru2.
Задача 677 (рис. 414). В шатунно-кривошипном механизме кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью о>. Связав с кривошипом подвижную систему отсчета, определить величины относительного, переносного и кориолисова ускорений ползуна в момент, когда ОВ = 2а, если 0А = АВ = 1.
Указание. В относительном движении скорость точки В перпендикулярна к АВ.
Ответ: wr = ^W2', we = 2au>2-, и)с = 41«?.
Задача 678. Используя условия задачи 644, определить величины переносного, относительного, кориолисова и абсолютного ускорений точек Мх и М^.
X Ответ: wei = о>д/?; wri = wCl = —20)^; wai = 2t4R\ wea = о>о^К5‘, Wr» = «4R-, wC2 = 2togR; wa4 = 2Vr5Rto26.
Задача 679 (рис. 415). Шток AD, двигаясь в направляющих, приводит в ,„„„ , движение стержень АС, который все * waw - " " время проходит через неподвижную точ-
рис. 415ку В. В момент, когда Z-CAD — 30°,
шток имеет скорость 10 см)сек и уско
рение 2 ]/3 см/сек2. Определить в этот момент угловую скорость и угловое ускорение стержня АС, а также относительное ускорение и ускорение Кориолиса точки В, предполагая, что подвижная система отсчета ху связана со стержнем. Расстояние от точки В до направляющей штока равно 5 см.
Указание. Учесть, что абсолютные скорость и ускорение точки В равны нулю. Для йВе, -wBe использовать формулы плоскопараллельного движения.
Ответ: <о=-^ рад^сек; е = У^- padjce^-,
war = ^ см]сек\ гоВс = 5]/3 cMjce^.
Задача 680 (рис. 416). В кулисном механизме поперечно-строгального станка кривошип вращается с постоянной угловой скоростью %. Определить угловую скорость и угловое ускорение
стержня O^D, а также ускорения точек стержня ВС в момент, когда кривошип занимает горизонтальное правое положение. Принять:__
ОЛ = г; ОО^г/3; й = 2гУз.
Указание. Связать подвижную систему отсчета со стержнем OiD.
Ответ: и> = -~; $ ———; w = -^r«>6.
Задача 681 (рис. 417). Кривошип ОА кулисного механизма поперечно-строгального станка вращается с постоянной угловой скоростью о>в. В момент, когда кривошип занимает правое горизонтальное положение, определить скорость ползуна С и ускорение Кориолиса точки А, если подвижная система отсчета связана с кулисой ВС. Принять OA = r; OOi—rjAS; h —2г]/3. Точки О и Oj находятся на одной вертикали.
~2]/з5]/з 2
Ответ: vc = --<oor; wAC = шу.
Задача 682 (рис. 418). В механизме автопилота руль АОВ автоматически перекладывается в нужном направлении при помощи железных тяг AVA и BVB, втягиваемых электромагнитами и име-
ющих на концах А и В ползуны, которые могут скользить в прорезях, сделанных в руле. Определить угловую скорость и угловое ускорение руля при его отклонении от среднего положения
Рис. 418Рис. 418на угол а, если в этот момент магнит втягивает тягу AtA со скоростью и и ускорением w. Расстояние между осями тяг равно 2а.
Рис. 418
Рис. 418
Ответ: <о = — cos2a; а
та »2v8о
е = — cos^a =-cosdasina.
aa2
Задача 683 (рис. 419). В суммирующем механизме оба криво
шипа О Ai и 0Ла имеют одинаковые длины, равные полрвине расстояния между направляющими М nN. В некоторый момент, когда
углы 04 — 02 = 0 = 30°, оба кривошипа имеют одинаковые направ
ления вращения, равные угловые скорости % и угловые ускоре
ния, равные нулю. Определить в этот момент угловую скорость и угловое ускорение звена ЕК.
Указание. При использовании теоремы Кориолиса для точки К переносное ускорение определять по формулам плоского движения
Ответ: | ш | = у <о(|; | е j = гз2 ■ (вращение замедленное). *
Задача 684. Круговой конус с прямым углом при вершине и радиусом основания, равным R, катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что скорость и центра основания постоянна по величине. Вдоль прямолинейного канала, проведенного из вершины конуса в центр его основания, равномерно движется точка со скоростью, величина которой также равна и. Определить величину абсолютного ускорения этой точки в момент, когда она попадает в центр основания.
Ответ: wa — —.
Задача 685 (рис. 420). Круговой конус с неподвижной вершиной О и радиусом основания 8 см катится без скольжения по
плоскости. Центр основания дви-Рис. 420
жется со скоростью 2/ см) сек.
Около центра Л вдоль диаметра основания ВС совершает гармонические колебания точка М по закону s = AM — 2 cos-^ см. Определить величину абсолютного ускорения точки М и величину абсолютного углового ускорения конуса в момент Z=1 сек, если угол при вершине конуса равен — .
Ответ: еа= ^ рад;секг; ®а = у ]А:2 Ц-8m-|- 18 см:сек?.
Сложение вращений
Если тело вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью 6Ц а эта ось в свою очередь вращается вокруг другой (неподвижной) оси с угловой скоростью ше, то абсолютную угловую скорость шо определяют по формуле
4-<о,.(9.4)
Если имеется плоский эпициклический механизм, состоящий из двух колес и водила, то между абсолютными угловыми скоростями колес <0, и о>2 и угловой скоростью водила и>0 существует соотношение (формула Виллиса)
(9.5)(9.5)
(9.5)
(9.5)
где гх и г» — радиусы колес;
21 И 2-4 — числа зубцов.
Знак «плюс» относится к внутреннему зацеплению, знак «минус» — к внешнему, шц, <о2, % — алгебраические значения угловых скоростей. Эти величины следует брать с одинаковыми знаками,
если соответствующие вращения происходят в одном направлении, и с разными — при противоположных направлениях вращения.
В эпициклических механизмах, состоящих из трех и более колес, формулу (9.5) следует применять отдельно к каждой паре зацепленных между собой колес.
же направлении, что иже направлении, что иРис. 421Рис. 421Задача 686 (рис. 421). В дифференциальном эпициклическом механизме колесо VI неподвижно, водило О Л имеет угловую скорость о>0, а колесо IV— угловую скорость ш4 и вращается в том водило. Определить угловую скорость колеса V, если ^=10 см, г4 = 4 см, г8 = 4 см, г4 —8 см.
же направлении, что и
же направлении, что и
Рис. 421
Рис. 421
Решение. Используем формулу (9.5) для пары колес (/, V/). Имеем а1~ mo re,,,
“в —“о ^
(в формуле взят знак «плюс», так как зацепление внутреннее). По условию, <о6 —0, а из рисунка ясно, что
r6 = ra -|- 2rt = 24 см.
Из (/) получим при этих данных
7
= —У^О-
Знак «минус» показывает, что колесо / вращается в сторону, противоположную направлению вращения водила.
Применим (9.5) к паре (I, II):
toi — шо 2л
ш2 юо^1
Подставляя числа, получим
OJg = 7%.
Для системы колес ///, IV, V роль водила играет стержень О^В, вращающийся с угловой скоростью ш2.
Применим формулу (9.5) к паре (III, IV), имеем
м8 ^2^4
здесь ша = 7ш0; ™4 задано. Получим
ш3 = 21о>о — 2wv
Наконец используем (9.5) для пары колес (///, И):
«а —_ Г-,
ю5 Ш3 Г3 ’
Из рисунка следует, что г6 = 2г3 + г4 = 16 см. Подставляя числа, получим
21ton — <о.
шв 2
Если ш4<^21ш0, то колесо V имеет то же направление вращения, что колесо IV и водило О А.
Рис. 423Рис. 423Задача 687. В дифференциальной передаче, изображенной на рис. 422, водило и колесо / с внутренним зацеплением вращаются
Рис. 423
Рис. 423
Рис. 422
в одну сторону и совершают соответственно п0 и п; об/мин. Определить, сколько оборотов в минуту делает колесо III, если гг = — 5 см, г3— 10 см.
Ответ: и3 = Зп0 — 2^
(при п3>0 вращение колеса III происходит в ту же сторону, что и колеса /).
Задача 688. В дифференциальной передаче, изображенной на рис. 423, колесо I неподвижно, радиусы колес равны соответственно: г4 —5 см, г.2= 15 см, г3—10 см, га = 5 см. Водило совершает пй об/мин. Сколько оборотов в минуту делают колеса IV и V/?
Ответ: n[v = -3 п»; nw = ту пй-
Задача 689 (рис. 424). В дифференциальном механизме водило делает 160 об/мин. Сколько оборотов в минуту (и в какую сторону) должно совершать колесо /, чтобы вал колеса IV был бы неподвижным? Радиусы колес: г4=10 см, г, —15 см; г3 — 8 см.
Ответ: п; = 70 об/мин (при этом колесо / должно вращаться в ту же сторону, что и водило).
Задача 690. В зубчатой "передаче вращений, представленной на рис. 425, водило имеет угловую скорость №и, а колесо // обка-
тывается по неподвижному колесу V. Найти угловые скорости зуб
чатых колес I и IV. Радиусы колес соответственно равны гь га, г8. Ответ: №,^Ц\^^ <в/у = % №^^
Задача 691 (рис. 426). Планетарный редуктор авиационного двигателя состоит из двух подвижных колес / и // с числами зубцов zx и za и одного неподвижного колеса /// с числом зубцов z8. Определить отношение числа
Рис. 425Рис. 425оборотов пв винта к числу оборотов п, шестерни /.
Рис. 425
Рис. 425
Рис. 426Рис. 426ИдОтвет: -вni
Рис. 426
Рис. 426
Задача 692. Период обращения искусственного спутника вокруг Земли в плоскости меридиана—1,5 ч. Найти, на сколько процентов относительная угловая скорость спутника больше его абсолютной угловой скорости. Подвижную систему координат связать с Землей, абсолютную — с «неподвижными» звездами.
Ответ: приблизительно на 0,2%.
Задача 693. Искусственный спутник, находящийся от Земли на большом расстоянии, вращается вокруг нее по круговой орбите, плоскость которой наклонена к плоскости экватора под углом а = 45°. Обращаясь в ту же сторону, что и Земля, спутник делает один оборот за 24 ч. Найти отношение угловой скорости шг спутника по отношению к системе координат, вращающейся вместе с Землей, к угловой скорости Земли ша.
Ответ: — = 0,766.
«о
Задача 694. Искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли по круговой орбите, находится в некоторый момент на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и имеет период обращения вокруг Земли, равный Тг. Зная, что период обращения Луны вокруг Земли равен Тг, определить, через какое время Т спутник снова окажется на прямой Земля — Луна, если плоскость его . орбиты совпадает с плоскостью лунной орбиты. Периоды 7\ и Т^ вычислены по отношению к системе, движущейся вместе с центром Земли поступательно относительно звезд.
Ответ: Т = ^ ^^ ~ ПРИ противоположных направлениях движения спутника и Луны относительно Земли; =—ПРИ
одинаковых направлениях их движения.
Задача 695. Период вращения экваториальных солнечных пятен (синодический), наблюдаемый с Земли, равен 26,9 суток. Определить истинный (сидерический) период вращения этих пятен, зная, что Солнце вращается в ту же сторону, в которую обращается вокруг него Земля. Год принять равным 365 суткам. Считать земную ось перпендикулярной к плоскости эклиптики.
Ответ: 25,0 суток.
Задача 696. Искусственный спутник движется вокруг Земли со скоростью иа (по отношению к системе, поступательно перемещающейся вместе с центром Земли относительно «неподвижных» звезд) в направлении вращения земли по круговой орбите, плоскость которой составляет угол р с плоскостью экватора. Определить величину угловой скорости спутника относительно Земли (шг), а также величину его наименьшей относительной линейной скорости иг, если радиус Земли R, высота орбиты Н.
Указание. Определив вектор шг, можно найти йг по формуле vr — Mrh, где h — расстояние спутника от линии действия вектора <5Г.
„Г „ . / V 2to vo cos р
Ответ:r^h--
где % — угловая скорость Земли.
ur min =уо — (R 4- Н) % cos р и имеет место в точках, наиболее удаленных от плоскости экватора.
Задача 697. Сохранив условия предыдущей задачи и имея в виду, что ца = j/~Д-н (вт0Рая космическая скорость), определить, на какой высоте Н должен двигаться спутник, чтобы его скорость относительно Земли (gr) была все время перпендикулярна к плоскости его орбиты. Найти Н при ^ = 60°.
Указание. Необходимо, чтобы вектор 6Г лежал в плоскости орбиты.
Ответ: = У £Ш2 cos2 ₽ ■
При этом скорость vr обращается в нуль в точках, наиболее удаленных от плоскости экватора.
Если р = 60°, то Н = 9,51R.
Задача 698 (рис. 427). Конический каток I с углом при вершине а = 60° катится без скольжения по конической поверхности //, вращающейся вокруг неподвижной оси в направлении, указанном стрелкой, по закону ср = 2/а (/ — в секундах, ср — в радианах). Определить в момент t=l сек величину абсолютной
скорости той точки В катка /, которая в этот момент наиболее удалена от поверхности //, если скорость vr центра А катка по отношению к вращающейся поверхности II имеет указанное на рисунке направление и по величине равна 2/ см{сек, 0А = 16 см.
Ответ: ипа = № см)сек.-
Задача 699 (рис. 428). Коническая шестерня /, высота начального конуса которой ОЛ=8 см, а угол при вершине конуса
« = 60°, находится в зацеплении с конической шестерней //, вращающейся вокруг неподвижной оси в направлении, указанном стрелкой, по закону (/— в секундах, <р — в радианах). Определить в момент / = 1 сек величину абсолютного ускорения точки В шестерни /, наиболее удаленной от шестерни II, если скорость о. центра А шестерни / по отношению к шестерне II имеет указанное на рисунке направление и по величине равна 2/ см]сек.
Ответ: wBa = ]/"3 см/сек*.
Задача 700 (рис. 429). Круговой конус, вершина которого А все время находится в центре колеса / радиусом г, катится без
скольжения по поверхности этого колеса. Образующая конуса равна г, угол при его вершине « = у. Колесо /, приводимое в
движение кривошипом О А, вращающимся вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью <о0, катится без скольжения по неподвижному колесу II с тем же радиусом. Определить абсолютное ускорение точки В конуса в момент, когда точки О, А и С находятся на одной прямой (ОС^>ОД), если центр D основания конуса движется по отношению к колесу / равномерно со скоростью и, = гш(|. Направления вращений указаны па рисунке стрелками.
Ответ:
шва=^2гш=У5.
10 Н. А. Бражниченко и др.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДИНАМИКА
В «Динамике» приняты следующие основные обозначения-
Д — работа
/V— мощность;
с — коэффициент жесткости
Q—количество движения;
(квазиупругий коэффи
Qj — обобщенная сила;
циент);
qj—обобщенная координата;
Jx— момент инерции системы
R^— главный вектор внешних
материальных точек от
сил;
носительно оси Ох;
8 — импульс силы;
] — сила инерции;
Т — кинетическая энергия
]с —сила инерции Кориолиса;
материальной точки; си
je — переносная сила инерции;
стемы материальных то
1г — круговая частота колеба-
чек;
_ния;
« — относительная скорость
IО Lx — момент количества дви
присоединяющихся или
жения системы матери
отделяющихся частиц;
альных точек относитель
хс, Ус, гс — координаты центра инер
но центра О, оси Ох;
ции;
Л4Г — гироскопический момент;
бх, бу, Вер — возможные перемещения;
УИ^ М^— главный момент внешних ’сил относительно центра
х—коэффициент восстанов
ления при ударе;
О, оси Ох;
П — потенциальная энергия;
т, М — масса точки, системы то
т — период колебания;
чек;
Ф—реактивная сила.
ГЛАВ* X
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
§ 1. Первая задача динамики точки
К первой задаче динамики точки относятся задачи, в которых по заданному движению точки требуется определить равнодействующую всех сил, приложенных к точке (в том числе и реакций связей, если точка не свободна). Решение этой задачи сводится к определению ускорения и, следовательно, к дифференцированию по времени заданных уравнений движения точки.
Если движение точки задано уравнением в векторной форме то
Тогда по второму закону Ньютона
в _ d^f г =т= m
Если движение точки задано уравнениями в координатной форме
х^х^у у = у^У z — z^fy
то предварительно находят проекции равнодействующей F всех сил, приложенных к точке, по формулам
(Ю.1)(Ю.1)Fx = mwx = mx, " Fv — mwv — my, Fz = mwz = mz, .
(Ю.1)
(Ю.1)
а затем определяют величину и направление самой равнодействующей по формулам
F^VFl^F^-VF^(10.2)
cosa = — ; cos3=^-T; cosy=^.(10.3)
Если движение точки задано в естественной форме, то нахо- dsв
дят и = -чт и далее проекции F на естественные оси координат:
(Ю.4)(Ю.4)Fx = mwx = m Tt ;
(Ю.4)
(Ю.4)
Fb = 0.)
Решение первой задачи можно осуществить также, используя метод кинетостатики. Для этого вводят силу инерции ] = — т®, которую условно прикладывают к движущейся точке, после чего считают, что геометрическая сумма всех сил; задаваемых, реакций связей и силы инерции — равна нулю:
F-VN-V1 = O,(10.5)
где F — равнодействующая всех задаваемых сил, приложенных _ к точке;
N — равнодействующая реакций связей, наложенных на точку.
Задача 701. Материальная точка массой т = ^ кг совершает движение согласно уравнениям
х = 0,3 cos 3/; y = 0,lsin3/
(х, у — в метрах, t— в секундах).
Определить силу F, под действием которой происходит движение точки, и показать, что она направлена в сторону, прямо противоположную радиусу-вектору г точки._
Решение. Найдем сначала проекции Fx, Fy силы F на координатные оси Ох, Оу. Согласно (10.1), имеем
Fx = nix = — 0,9 cos 3/ = —Зх;
Fy — ту — — 0,3 sin 3/= —Зу, следовательно, по (10.2) и (10.3) найдем
F = VF^F^ = ]/"0,81 cos3 3/4-0,09 sin33/ = зКР+Р = Зг;
cos аcosp=-.^= — —,
F г ’1/• г ’
а так как
F = ?Fx-V]Fy, то
F = — Зхл — Зу/ = — 3 (х/ 4- yZ) = — Зг.
Отсюда видно, что сила F и радиус-вектор г направлены в противоположные стороны.
Задача 702. Движение материальной точки массой т с некоторого момента происходит по окружности радиусом г согласно уравнению
s — a^-2r In t,
где а — постоянное число.
Определить величину равнодействующей F сил, приложенных к точке, как функцию времени t.
Решение. Так как закон движения точки задан в естественной форме, то следует воспользоваться уравнениями (10.4). Имеем
F^m-^ — ms —Fn — т — ==—Fb = Q,
следовательно,
F = VF* + F^ + Fl = ^Р~
Задача 703 (рис. 430). Самолет в период взлета (набора высоты) движется поступательно и прямолинейно с постоянным
получимполучимускорением w, образующим с горизонтом угол р. Определить величину этого ускорения, если известно, что нить ОМ математического маятника, находящегося на самолете, отклонена от вертикали на угол а. Каково при этом натяжение нити? Масса маятника равна т.
получим
получим
Решение.
I способ. На материальную точку М действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. По закону Ньютона
mw = Р -{-Т.
Проектируя это равенство на оси Ох и Оу,
(а)(а)— mw sin £ = Р — Т cos а;mw cos ^ — Т sin а,
(а)
(а)
откуда найдем, учитывая, что P = mg,
g sin а , mg cos р
COS (а 4- Р) ’COS (а + Р) "
II способ. Воспользуемся методом кинетостатики. Условно прикладывая к точке М силу инерции / =— mw, по (10.5) имеем
P-^T^i^O.
Проектируя это векторное равенство на координатные оси, получим
Р + j sin £ — Т cos а = 0;— / cos ^ + Т sin а = 0.
Учитывая, что по величине j = mw, придем к уравнениям (а).
Задача 704. В центробежном тахометре шарик массой m помещен на конце стержня АВ, шарнирно укрепленного на вращаю-
щейся вертикальной оси BE (рис. 431, а). Шарик удерживается упругой нитью ACD, конец которой' D укреплен в трубке CD. Естественная (ненапряженная) длина нити равна длине трубки CD, коэффициент упругости нити (сила, потребная для растяже
ния нити на единицу длины) равен с. Принимая АВ = СВ = 1 и пренебрегая массой стержня, определить зависимость угловой' скорости оси тахометра от угла отклонения а, а также усилие в стержне АВ.
_ Решение. На точку А действуют силы: Р — вес шарика, F— упругая сила нити, S — реакция стержня (рис. 431, 6).
Рассмотрим установившееся вращение тахометра, т. е. предположим, что ш и а — постоянные. Найдем ускорение точки А. Поскольку е —0, то
®^ = 0; №л = ®а.
Таким образом, ускорение точки А направлено перпендикулярно к оси вращения и равно по величине
uda = u? I sin а.
Введем силу инерции j=—m®A. Эта сила направлена противоположно wA, т. е. является центробежной силой. Величина этой силы
j = mwA = пив11 sin а.
Упругая сила направлена по нити и по величине равна
b — с- СА = 2d sin у.
В соответствии с методом кинетостатики имеем
F+p + S4-j=o.№
Проведем через точку А оси Ах и Ау и спроектируем на эти оси векторное равенство (6), получим
/ 4- 5 sin а — Р cos у = 0;S cos а 4- F sin -|- — P = 0.
Подставляя значения j и F, имеем
тшЧ sin a-j-5 sin a — 2с/ sin-|-cos-|- = 0;
S cosa 4* 2с/ sin2 у — P = 0.
Если sin a ^ 0, то из первого уравнения найдем
S = I Qc— mm2).(с)
Из второго имеем
S cos a 4- cl (1 — cos a) — P = 0, или, используя (с),
— muFl cos a 4- cl = mg, откуда
V mt cos a
Такова искомая зависимость угловой скорости от угла а. Так
как cosa<4, то установившееся вращение
„/1 fcl — mgп
Если же I/ тГ"'* т0 а = ^-
Задача 705. Судно движется равноускоренно по спусковой дорожке стапеля, имеющей наклон 1 : 15, и проходит ее за 31 сек. Чему равен коэффициент трения, если длина спусковой дорожки 90 л?
Ответ: f = 0,048.
Задача 706 (рис. 432). Груз М массой т поднимается при
помощи троса, наматывающегося на ворот радиусом R, который вращается с угловым ускорением е. Определить натяжение троса.
Ответ: T = m(g-]-&R).
Задача 707. Используя условия задачи 706, определить допустимое число оборотов в минуту ворота, которое он может иметь в конце первой минуты, если трос выдерживает усилие Т; а ворот
вращается равноускоренно из состояния покоя.
_1800 /Г— mg\ -,
Ответ: п=-п— —~ — ] об мин.
Rk \ т j 1
Задача 708. Мостовой кран движется равноускоренно и достигает скорости 2 м'сек через 1,5 сек после начала движения. Определить в этот момент угол а отклонения троса, несущего груз, от вертикали, пренебрегая весом троса.
Ответ: а = 7°45'.
Задача 709. Для определения ускорения летательного аппа
рата, движущегося равноускоренно вертикально вверх, производится взвешивание груза на пружинных весах. Показание весов на поверхности Земли Р, а в момент взвешивания в аппарате Р^ Определить ускорение аппарата, если на данной высоте ускорение, обусловленное силой тяжести, равно gt, а на поверхности Земли g.
Ответ: w = P^g— gt.
Задача 710. Груз поднимается вертикально вверх равноускоренно при помощи "подъемного крана так, что из состояния покоя за первые / сек он проходит s ло Определить предельную массу ।руза, если разрывное усилие каната Т.
Ответ: т = 2$ st
Задача 711. Пароход, взяв на буксир баржу водоизмещением 1000 т, развивает ход равноускоренно и через 80 сек имеет скорость 16 узлов. Определить натяжение буксирного троса в тот момент, когда сила сопротивления воды движению равна 1200 кн (узел—■ единица скорости, равная 1 миле в час, т. е. 0,5144 м^секу
Ответ: Т= 1303 кн.
Задача 712. Груз массой 2 т поднимается равноускоренно вертикально вверх посредством троса. Определить натяжение . троса, если известно, что за первые 4 сек груз подняли на 8 м.
Ответ: Т — 21,6 кн.
Задача 713. Ленточный подъемник поднимает руду при угле
наклона ленты к горизонту, равном а. Каков должен быть коэф
фициент трения, чтобы руда не соскальзывала с ленты, когда она движется с ускорением да?
Ответ: f ———Г tg а. * g COS а 1 ь
Задача 714 (рис. 433). Груз М массой т поднимается при помощи лебедки по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а. Определить натяжение троса, если барабан лебедки радиусом г вращается по закону ^ = ~аР
(t— в секундах, <р — в радианах), а коэффициент трения груза о плоскость равен f.
Ответ: Т = mg ^sin a -j-f cos я + у) •
Задача 715. Аэростат массой т (с балластом) опускается вертикально с постоянным ускорением w. Определить массу М балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же по величине ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением пренебречь.
Ответ: М =-2”ки .
Задача 716. Судно водоизмещением 1800 т движется прямым курсом с ускорением ю = -~ м/сек*, имея в данный момент скорость 20 узлов. Сопротивление движению корабля пропорционально квадрату скорости и при скорости в 1 м/сек равно 4,9 кн. Определить упорное давление гребных винтов в рассматриваемый момент времени (узел — единица скорости, равная 1 миле в час, т. е. 0,5144 м/сек).
Ответ: F = 3460 кн.
Задача 717 (рис. 434). На шероховатой грани АВ треугольной призмы АВС находится тело М массой т. Призме сообщается -
Рис. 434Рис. 434
Рис. 434
Рис. 434
постоянное ускорение w, направленное горизонтально. Определить величину наибольшего ускорения w, при котором тело будет находиться в покое по отношению к призме, и величину давления тела на призму при этом ускорении, если коэффициент трения равен /, причем /<^ctga.
Ответ: щ =
COS а—/sin а ’ COS а—/ Sin a
Задача 718. На рис. 435 приведена упрощенная схема акселерометра— прибора, предназначенного для измерения ускорений. Определить вертикальное ускорение погружающегося батискафа, если прибор показывает отклонение стрелки от горизонта на угол ®. Пружина имеет жесткость с, расстояние от оси стрелки до груза массой т равно I. Массой стрелки пренебречь. Угол ш считать малым.
Ответ: w = ~.
Задача 719 (рис. 436). Прибор для определения ускорений (акселерометр) состоит из инертной массы т(/), прикрепленной к двум одинаковым пружинам жесткостью с каждая. К потенцио-
метру II, полная длина которого L, подведено постоянное напряжение 6/6. Определить величину ускорения прибора w по снятому напряжению U между движком потенциометра и его средней точкой. Прибор движется поступательно и прямолинейно. Демпфер /// служит для гашения колебаний.„2<7ЛсОтвет:—.Задача 720. Движение материальной точки массой т. по пряметру II, полная длина которого L, подведено постоянное напряжение 6/6. Определить величину ускорения прибора w по снятому напряжению U между движком потенциометра и его средней точкой. Прибор движется поступательно и прямолинейно. Демпфер /// служит для гашения колебаний.„2<7ЛсОтвет:—.Задача 720. Движение материальной точки массой т. по пря11WW?Л Ц?Л ЦРис. 436Рис. 436
метру II, полная длина которого L, подведено постоянное напряжение 6/6. Определить величину ускорения прибора w по снятому напряжению U между движком потенциометра и его средней точкой. Прибор движется поступательно и прямолинейно. Демпфер /// служит для гашения колебаний.
„2<7Лс
Ответ:—.
Задача 720. Движение материальной точки массой т. по пря
метру II, полная длина которого L, подведено постоянное напряжение 6/6. Определить величину ускорения прибора w по снятому напряжению U между движком потенциометра и его средней точкой. Прибор движется поступательно и прямолинейно. Демпфер /// служит для гашения колебаний.
„2<7Лс
Ответ:—.
Задача 720. Движение материальной точки массой т. по пря
1
1
W
W
?Л Ц
?Л Ц
Рис. 436
Рис. 436
мой линии, принятой за ось Ох, задано уравнением
x = oln(l/V
где а и у0 — постоянные.
Определить силу Р, действующую на точку, как функцию времени и как функцию скорости.
Ответ: Р = -
Задача 721. Под действием некоторой силы величина скорости точки, масса которой равна т, меняется по закону o = aln~|- (a, b— постоянные). Найти силу как функцию скорости, считая движение точки происходящим по оси Ох.
Ответ: Р= — ^-еа L
Задача 722. При проникновении снаряда в броню зависимость пройденного расстояния от скорости выражается формулой Дидиона
53\a + po8 Д
где ив — начальная скорость;
и — скорость по прохождении пути $;
г — радиус снаряда;
р — средняя плотность снаряда;
а, ,8 — коэффициенты, зависящие от материала брони;
с — числовой коэффициент.
Найти зависимость величины силы сопротивления от скорости снаряда, если его масса равна т.
Ответ: F = ~^- (а -]- Ри4).
Задача 723. Движение материальной точки массой т задано уравнениями
x = acosu>/; z/ = asinw/; z~bt.
Определить силу F, действующую на точку. Ответ: F = —nior (xl -ф yj).
Задача 724. Движение материальной точки массой т происходит по окружности радиусом г согласно уравнению s = rey. Определить величину равнодействующей сил, приложенных к точке, как функцию времени.
Ответ.: F — Amre^ V1 4“ ^ •
Задача 725. Искусственный спутник выведен со скоростью у# на круговую орбиту вокруг Земли радиусом г = R j- Н, где R — радиус Земли, Н — расстояние от спутника до поверхности Земли. Считая силу притяжения спутника к Земле обратно пропорциональной квадрату расстояния от него до центра Земли, определить высоту Н.
Ответ: Н = sR™^ R
Задача 726. Определить наименьший радиус мертвой петли, совершаемой самолетом, если скорость самолета у = const, а допу
стимая для организма нагрузка равна учетверенному весу летчика.
Ответ: Р = з^-
Задача 727. Определить радиус виража самолета в горизонтальной плоскости, если плоскости крыльев наклонены к гори
зонту под углом а, а величина скорости самолета постоянна и равна у.
Указание. Подъемная сила направлена перпендикулярно к плоскости крыльев.
Ответ: R = ——.
Задача 728 (рис. 437). Шарик М массой т скреплен шарнирно с двумя одинаковыми невесомыми стержнями МА и МВ длиной I каждый. Система вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг вертикальной оси АВ. Определить усилия в стержнях, если расстояние АВ равно 2а.
Ответ: Тдм = - ^а + g); Твм = ^ (^а — g) стержень АМ растянут, стержень ВМ растянут при
Задача 729. Подъемный кран, подняв груз так, что длина свисающего троса равна 3 м, разворачивается вокруг вертикаль- У1ной оси. С какой угловой скоростью должен
J вращаться кран, чтобы отклонение груза от вертикального положения троса не превосходило 1 м, если расстояние точки подвеса троса /"от оси равно 4 м?
qV.—_хОтвет: ш<~0,833 рад сек.
Рис. 438Задача 730 (рис. 438). Материальная точка М
массой т движется равномерно в сторону возрастания х со скоростью у0 по шероховатой кривой, заданной уравнением у = у^х) и расположенной в вертикальной плоскости.
На точку действует сила F, направленная все время по касательной к кривой в сторону движения точки. Определить как функции от х нормальное давление на кривую и величину силы F, если коэффициент трения точки о кривую равен f.На точку действует сила F, направленная все время по касательной к кривой в сторону движения точки. Определить как функции от х нормальное давление на кривую и величину силы F, если коэффициент трения точки о кривую равен f.Ответ: N =Ответ: N =m^fm^fmg С+У2)mg С+У2)|; F=fN|; F=fNmgy'mgy'Задача 731. В условиях предыдущей задачи материальная точка М массой т=1 кг движется равномерно со скоростью и0=1 м1сек по шероховатой кривой у = у х3. Определить нормальную реакцию N кривой и величину силы F в тот момент, когда х=1, если коэффициент трения точки о кривую / = 0,5, а ось Оу направлена вертикально вверх.Ответ: Л/ = 7,29 н; F = 10,58 н.Задача 732 (рис. 439). Груз А массой т поднимается по глад-Задача 731. В условиях предыдущей задачи материальная точка М массой т=1 кг движется равномерно со скоростью и0=1 м1сек по шероховатой кривой у = у х3. Определить нормальную реакцию N кривой и величину силы F в тот момент, когда х=1, если коэффициент трения точки о кривую / = 0,5, а ось Оу направлена вертикально вверх.Ответ: Л/ = 7,29 н; F = 10,58 н.Задача 732 (рис. 439). Груз А массой т поднимается по глад-кому вертикальному стержню при помощи троса, перекинутогокому вертикальному стержню при помощи троса, перекинутогоРис. 439Рис. 439через малый идеальный блок В, отстоящий от стержня на расстоянии I. Определить натяжение Т нити в зависимости от расстояния х, если трос начерез малый идеальный блок В, отстоящий от стержня на расстоянии I. Определить натяжение Т нити в зависимости от расстояния х, если трос на
На точку действует сила F, направленная все время по касательной к кривой в сторону движения точки. Определить как функции от х нормальное давление на кривую и величину силы F, если коэффициент трения точки о кривую равен f.
На точку действует сила F, направленная все время по касательной к кривой в сторону движения точки. Определить как функции от х нормальное давление на кривую и величину силы F, если коэффициент трения точки о кривую равен f.
Ответ: N =
Ответ: N =
m^f
m^f
mg С+У2)
mg С+У2)
|; F=fN
|; F=fN
mgy'
mgy'
Задача 731. В условиях предыдущей задачи материальная точка М массой т=1 кг движется равномерно со скоростью и0=1 м1сек по шероховатой кривой у = у х3. Определить нормальную реакцию N кривой и величину силы F в тот момент, когда х=1, если коэффициент трения точки о кривую / = 0,5, а ось Оу направлена вертикально вверх.
Ответ: Л/ = 7,29 н; F = 10,58 н.
Задача 732 (рис. 439). Груз А массой т поднимается по глад-
Задача 731. В условиях предыдущей задачи материальная точка М массой т=1 кг движется равномерно со скоростью и0=1 м1сек по шероховатой кривой у = у х3. Определить нормальную реакцию N кривой и величину силы F в тот момент, когда х=1, если коэффициент трения точки о кривую / = 0,5, а ось Оу направлена вертикально вверх.
Ответ: Л/ = 7,29 н; F = 10,58 н.
Задача 732 (рис. 439). Груз А массой т поднимается по глад-
кому вертикальному стержню при помощи троса, перекинутого
кому вертикальному стержню при помощи троса, перекинутого
Рис. 439
Рис. 439
через малый идеальный блок В, отстоящий от стержня на расстоянии I. Определить натяжение Т нити в зависимости от расстояния х, если трос на
через малый идеальный блок В, отстоящий от стержня на расстоянии I. Определить натяжение Т нити в зависимости от расстояния х, если трос на
mg VIs А--’с2 Лх \mg VIs А--’с2 Лх \Ответ: ТОтвет: Т1 gx’) ■1 gx’) ■матывается с линейной скоростью о0 на равномерно вращающийся барабан.
mg VIs А--’с2 Л
х \
mg VIs А--’с2 Л
х \
Ответ: Т
Ответ: Т
1 gx’) ■
1 gx’) ■
Задача 733 (рис. 440). Груз А массой т перемещается по прямолинейной направляющей при помощи троса, наматываемого с постоянной угловой скоростью о> на ворот радиусом г. Определить натяжение троса в зависимости от расстояния ОА—х.
Трением пренебречь.
Ответ: 1 =
Вторая задача динамики точки
Ко второй (или обратной) задаче динамики точки относятся те задачи, в которых определяется движение точки по заданным силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоян- 300
ними, так и заданными функциями времени, координат и скорости точки, т. е.
Fx = FxV. х, у, z, х,^, z);Fy=Fs^t, х, у, г, х, у, г);FK = FZ (t, х, у, z, х, у, zy
Решение второй задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме:
(10.6)(10.6)(Ю.7)(Ю.7)тх = Fx,'ту = F$,mz = Fz ,
(10.6)
(10.6)
(Ю.7)
(Ю.7)
или в естественной форме:
ЙО Г
о2 гm-=Fn>
0 = Fb.
В этих уравнениях под F понимают равнодействующую всех сил, действующих на точку, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (10.6) в общем случае появляются шесть произвольных постоянных, которые определяют по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимают значения координат и проекций скорости точки в начальный момент движения, т. е. при / = 0:
х = х6; у=у»; z = ze;х = х6; у=у»; z = ze;их = х6; и у = Л; ^ = ?0-их = х6; и у = Л; ^ = ?0-
х = х6; у=у»; z = ze;
х = х6; у=у»; z = ze;
их = х6; и у = Л; ^ = ?0-
их = х6; и у = Л; ^ = ?0-
Если движение точки происходит в плоскости, то число уравнений (10.6) сокращается до двух, а число начальных условий — до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение и два начальных условия.
При решении задач второго типа полезно придерживаться следующей последовательности:
Составить дифференциальные уравнения движения. Для этого нужно:
выбрать координатные оси, поместив их начало (в большинстве случаев) в начальном положении точки; если движение точки является прямолинейным, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки;
изобразить движущуюся точку в произвольный текущий момент / и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей; при наличии сил, зависящих от скорости, вектор скорости направить предположительно так, чтобы все его проекции на выбранные оси были положительными;
найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить эту сумму в правые части уравнений (10.6) или (10.7).
Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения. Интегрирование производят соответствующими методами, зависящими от вида полученных уравнений.
Установить начальные условия движения материальной точки и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.
Из полученных в результате интегрирования уравнений
определить искомые величины.
При интегрировании дифференциальных уравнений иногда целесообразно определять значения произвольных постоянных по мере их появления. В некоторых случаях удобно при интегрировании дифференциальных уравнений пользоваться определенными
интегралами.
Задача 734 (рис. 441). Телу уИ массой т, принимаемому за
материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной пло
скости, образующей с горизонтом угол а, сообщена начальная скорость и8, направленная под углом р к линии наибольшего уклона. Определить уравнения движения тела по наклонной плоскости.
Решение. Так как точка совершает движение по наклонной плоскости, то для решения задачи достаточно выбрать систему из двух координатных осей, лежащих в этой плоскости. Поме
стим начале) системы осей Оху в начальном положении тела, ось Ох направим по линии наибольшего уклона вниз, а ось Оу — перпендикулярно к ней.
Изобразим тело в произвольном положении. На него действуют две силы:_сила тяжести Р, направленная вертикально вниз, и реакция N наклонной плоскости направленная по перпендикуляру к этой плоскости.
Составив суммы проекций на оси Ох и Оу всех сил, действующих на тело, и подставив их в правые части уравнений (10.6), имеем
тх = mg sin a, my — Q, откуда
J? = gsina; у —0.
Проинтегрировав эти уравнения, получим
x = g/sin a4-Ct; у = С». Интегрируя еще раз, найдем
х = sin а-|- Cvt 4~ С3; y — C^t 4~С4.
Установим начальные условия движения тела. При / = 0: х = хо = О; у = уо = О;
х = хй — u0cosp; у —yo = yosinp.
Следовательно,
Ct=u0 cos р, C2 = u0sinp, С3 = 0, С4 = 0, таким образом,
x = o(/cosp4-§o*sina’> у —Vp/sinp.
Это и есть искомые уравнения движения тела. Видно, что траекторией движения тела является парабола с осью симметрии, параллельной оси Оу.
Задача 735 (рис. 442). Судно водоизмещением т, движущееся
прямым курсом, в момент включения двигателя имело скорость и0. Считая, что величина силы упора винтов Q пропорциональна времени
(Q = &£), а сила сопротивления воды оf^ о~ о х
Т = const, определить путь s, прой-b.Q°*11*
денный судном за время 4, если|р
за это время его скорость увели чи-Рис 442
лась в два раза.
Решение. Примем судно за материальную точку, а направление движения — за ось Ох, взяв начало координат в начальном
положении судна._
На _судно действуют: вес Р, выталкивающая сила (архимедова сила) D, сила упора винтов Q, сила сопротивления Т.
Составим дифференциальное уравнение движения в проекциях на ось Ох. Имеем
илиилиnix = FX = Q — Т,nix = kt — Т.
или
или
Интегрируя, получим
ли = $ (й/ — T^dt-\- С4 или
dx
m di — 2 “‘ Tt + Cb№
Интегрируя еще раз, найдем
ktsTV , г . , ~, .
тх —■ -g2 4“ Cd 4- С».(е)
Установим начальные условия движения: х^_о = О; х1(_0 = у0.
Используя начальные условия, из уравнений (d^ и (е) получим mu^Cf, 0 = С2, таким образом, kt» TV ,, dx №-. .
тх—.т-г7 = ~Tt 4- mu.v
62 1 и ’ at Z। о
Эти формулы определяют пройденный путь и скорость судна в любой момент времени.
Так как при /=/ь и = их — 2у0, то
2ту0 = ^ — ^i + ту^
откуда найдем значение коэффициента к;
k = ^{nw^-1rTii).
Окончательно
.4, Т«
5 ——¥УоЛ—5^-.
Задача 736. Материальной точке, находящейся на поверхности Земли (радиус Земли равен R), сообщена начальная вертикальная скорость 00 = 1/2^7? (вторая космическая скорость). Определить уравнение движения точки, пренебрегая силой сопротивления воздуха.
Решение. Направим ось Ох вдоль линии движения точки. Начало координат поместим в центре Земли (в данной задаче это удобнее). На точку действует лишь сила притяжения к Земле, по величине обратно пропорциональная квадрату расстояния от точки до центра Земли:
Для определения к заметим, что при x = R сила F = mg. Следовательно,
k = mgR\ и тогда
р = mgR1
Составим дифференциальное уравнение движения точки в форме (10.6). Имеем
тх^-М^.Xй
Для интегрирования этого уравнения преобразуем левую часть:
... dx
тх = тх , dx
после чего получим
. dx _ gR-
dx —л2 ■
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
Установим начальные условия движения точки: при 1 = 0x = R, х:—и6 = V^gR-
Подставляя в (/), получим ^ = 0.
Таким образом,
2 х ’ отсюда*
V х dx = J^g Rdt.
Интегрируя, получим
1^2 =V^RH-C».(g)
Пользуясь начальными условиями, найдем
c,=1r^.
Подставляя это значение Сг в (g), имеем
Таково искомое уравнение движения точки.
Задача 737. Свободная материальная точка массой т, имеющая начальную скорость у0, движется_ прямолинейно. На точку действует только сила сопротивления F, направленная в сторону, противоположную скорости, и rto величине равная F = k-^v(k—
постоянное число). Определить время tb прошедшее от начала движения точки до остановки, и путь s, пройденный точкой.
Решение. Примем прямую, вдоль которой происходит движение, за ось Ох, а начало координат выберем в начальном положении точки. На точку действует только одна сила F.
Следовательно, дифференциальным уравнением движения точки будет
mx = Fx =— ку^ и.
Так как точка движется по прямой, то
- dydt *
и уравнение примет вид
dy . «/—
mdymdyЭто дифференциальное уравнение допускает разделение переменных:
mdy
mdy
к dt.
откуда, интегрируя, получим
илиилиtn \ —g/-—' — — kt —I— Ciу у у
или
или
А nw2^ = — kt 4- Ct.
Так как при / = 0 у = о0, то отсюда найдем
С, = |ту4.
Следовательно, имеем
-~ tnv4f' = у mv2^ — kt или
У2/а — у=/а —.(А
0 3mv '
Эта формула определяет скорость точки в любой момент времени.
Так как в момент t^ (остановка точки) и = 0, то из предыдущего равенства
Для того чтобы найти х как функцию I, уравнение (i) перепишем в виде
dx/ 2,2ti\s 2
— = у /з
dtV»Зт
откуда, интегрируя, получим
Зт / .,,2М \ 5/з
*3 **3 *Х==-5Ли»а~Зт)
*3 *
*3 *
Так как при / = 0 х = 0, то
ЗтС»=^,
таким образом,
(/)(/)Зт Зт / 2,Wv/s
(/)
(/)
Л 5k » 5k Г0Зт
Это уравнение определяет закон движения точки вдоль прямой Ох.
В момент остановки / = /ь следовательно, ।Зт „.
x\t_tx = s = ^^.
Таков путь, пройденный точкой до остановки.
Задача 738. В условиях предыдущей задачи определить зависимость скорости от пройденного расстояния, т. е. и = и(х).
Решение. Обратимся к уравнению (й) предыдущей задачи.
Умножая обе части этого равенства на dx, получим mvdv — —к у^и dx.
Разделяя переменные, имеем
mu^adu —— kdx.
Интегрируя, получим
— ти5’» = — кх 4- Cv.
При х = 0 и = ий, следовательно,
Ct = ^ mv^.
Таким образом,
Эта формула и определяет искомую зависимость и от х. В момент остановки р = 0, следовательно,
, Зт
S=xU_o= 5fcUA
т. е. пришли к тому же результату, что и в задаче 737.
mdimdikdt; т D . = dt.P— Rykdt; т D . = dt.P— Ry
mdi
mdi
kdt; т D . = dt.P— Ry
kdt; т D . = dt.P— Ry
Задача 739 (рис. 443). Материальной точке Л4 массой т, находящейся в однородном поле силы тяжести, сообщена начальная скорость й0, направленная горизонтально. Определить уравнения
движения точки, если при ее движении действует сила сопротивления F — — йи, где й — положительный коэффициент.
Решение. Поместим начало О системы координат Оху в начальном положении точки Л4. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох — горизонтально. На точку М действуют две силы: сила тяжести Р и сила сопротивления F. Предполагая, что скорость точки имеет
положительные проекции, составим уравнения движения точки в форме (10.6). Имеем
тх = Рх — FK — — kyx = — кх;ту = Ру + Pv = Р — ку у = Р — ку.
Разделяя переменные, получим
Интегрируя, найдем
mln.v = —й^ + Сь —* In (P —- ку) = ^ + C>.
При / = 0: x = x0 = yn; y=y6 = 0. Следовательно,
C1 = mlnv0, C2 =— xlnP, таким образом,
m In x = — kt 4- tn In y0; — ^ In (P — йу) — t — ™ In P или
У оtil ’P111
Отсюда найдем
x = o0e m; y — ^pX—e mY Интегрируя еще раз, получим
X ^~ g -j- C3; у — Ik ^ + Д2 6 Ч- C4.
При t — 0: х=хв = 0, у = уо = о. Следовательно,
С3г, СС3г, СРотк4 ’Ротк4 ’
С3г, С
С3г, С
Рот
к4 ’
Рот
к4 ’
таким образом,
x^V\-e-^ y = M\t-'»ii ^е^)]_
Примечание. Если в этих уравнениях перейти к пределу при к—» 0, то, раскрывая неопределенности, имеем
х = onm liraг=4^0 кm
_ kt_kt
2m — 2 '2m — 2 'kt — m(l—e m\ .. t — te m у = mghm- = mg-lim y
2m — 2 '
2m — 2 '
4^04^0
Получились известные уравнения движения точки под действием силы тяжести при отсутствии сопротивления воздуха.
Задача 740. Тело движется вниз по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а. Найти время движения тела, .если в начальный момент его скорость равнялась нулю, коэффициент трения равен f = const, а длина пути L.
-1 /"2Z,
Ответ-. I/ —г-
V g(sm«—/COS а)
Задача 741. Поезд общей массой т движется по прямолинейному горизонтальному пути и имеет в момент начала торможения скорость п0- Определить суммарную силу торможения, считая ее постоянной, если длина тормозного участка пути равна s.
Ответ: R = -™.
Задача 742. Груз, сброшенный с пикирующего самолета на высоте /г, имеет начальную скорость ип, направленную под углом а к вертикали. На каком расстоянии (по горизонтали) от точки сбрасывания груз упадет на землю, если пренебречь сопротивлением воздуха?
Ответ: s = ^^^(|-'^— o0cosa).
Задача 743. Показать, что движение материальной точки без начальной скорости вдоль любой из хорд сферы, имеющих общим началом верхнюю точку (полюс), под действием силы тяжести происходит за одно и то же время.
Задача 744. На тело массой т, находящееся на горизонтальной шероховатой плоскости, в течение tv сек действует горизонтальная сила Q — const. Определить расстояние s, пройденное
телом до остановки, если коэффициент трения его о плоскость равен f. Начальная скорость тела равна нулю. 1
лQ (Q—fmg)t-.
Ответ: s =' 1 .
2/tng
Движение возможно, если QJ>fmg.
Задача 745. Для аварийной остановки атомного реактора стержень длиной / падает в канал под действием собственного веса Р и добавочной силы Q, действующей на начальном участке падения lt. Падению стержня препятствует сила трения F, принимаемая постоянной. Найти время полного погружения стержня в канал, длина которого равна длине стержня, если первоначально нижний конец стержня находился у верхнего среза канала и стержень освобождается без начальной скорости. Найти также скорость стержня в момент достижения им дна. Принять массу стержня т = 25 кг; Q = 245 н; F = 49 н; / = 250 см; /, = 30 см.
Ответ: / = 0,622 сек;
v = 6,71 mJ сек.
Задача 746. Найти уравнения движения материальной точки массой т, притягиваемой однородным горизонтальным переменным магнитным полем, если сила этого поля £ = Л5ш<о/, где Л и о) — постоянные. Принять начальное положение точки за начало координат, ось Ох направить по горизонтали, а ось Оу—■ по вертикали вниз. Начальная скорость точки равна нулю.
пА •, । At gt*
Ответ: х = ——sin<o/~;
«Атт® ' 32
Задача 747. Решить задачу 746 для случая вертикального магнитного поля.
Ответ: х = 0;
gt2 , At А .,
у= ЧS— Sin <в/ .
Задача 748. Электрон массой т, имеющий скорость и0, влетает перпендикулярно плоскостям электродов в тормозящее электрическое поле с напряженностью £ = £osinw/. Найти, какой должна быть амплитуда напряженности поля Ев, для того чтобы электрон по истечении полупериода (т. е. к моменту Т= — -^ вернулся в исходное положение. Какое максимальное расстояние / должно быть между плоскостями электродов, чтобы этектрон долетел до второго электрода? Сила, действующая на электрон в поле, есть F — — еЕ.
Ответ: Е# = ^; I = г'".
Задача 749. Частица массой т, несущая заряд q электричества, находится в переменном электрическом поле с затухающим напряжением, которое изменяется по закону £ = Е(1е п! sin pt (£о, а, р— постоянные). Сила, действующая на частицу, равна F — qE и направлена в сторону напряжения Е. Определить дви-
жение частицы, если она находилась в начальный момент в покое в начале координат. Силой тяжести пренебречь, ось Ох направить параллельно вектору Е.
Ответ:
qE6 ( ptlap । eat ,„. ., , „ .a
x — tn ltia 4-jd2 (а2 + р2)2 + (а2+ра)2^а — P )smp/ + 2apcosp/]|.
Задача 750. Принимая силу сопротивления воздуха в свободном полете планера равной F~kv, где k — коэффициент пропорциональности, и — скорость планера, определить расстояние, которое пролетит планер за / сек от момента, когда его скорость была равна и0. Считать, что движение планера происходит по горизонтальной прямой. Масса планера равна т.
Ответ: s=^(l —е т\
Задача 751. Сила тяги винтов вертолета массой т при его вертикальном подъеме в 1,5 раза более его веса. Сопротивление воздуха выражается формулой
R = kSv,
где к— постоянная, S— площадь поперечного сечения.
Какова предельная (максимально возможная) скорость вертолета?
Ответ: «пр=-^.
Задача 752. Парашютист опускается без начальной скорости. Масса парашютиста равна 90 кг, площадь проекции раскрытого парашюта на плоскость, перпендикулярную направлению движения, 5 = 64 л2. Определить предельную (максимальную) скорость опускания парашютиста, если сила сопротивления F = CpSv^, где постоянная С = 0,45, а плотность воздуха р = 1,226 кг[л?.
Ответ: 1^=5 я$сек.
Задача 753. Парашютист массой т совершает прыжок с неподвижного вертолета. Сила сопротивления воздуха равна R = kSv, где k — постоянный коэффициент, aS — площадь проекции раскрытого парашюта на плоскость, перпендикулярную направлению движения Определить величину S, необходимую для того, чтобы
скорость парашютиста не превышала заданной величины ипр.
Ответ: s .
Задача 754. В момент раскрытия парашюта скорость падения парашютиста равна и0. Парашют испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное первой степени скорости. Определить скорость падения парашютиста в зависимости от предельной скорости и времени.gt
Ответ: и = ипр — (ипр — и0)е ""р •
Задача 755. Сила упорного давления винтов судна водоизмещением т равна Q. Определить величину предельной скорости опр, которую может развить судно, а также зависимость величины его скорости от времени и ипр, если сила сопротивления движению по величине равна, mk^. Начальную скорость судна принять равной нулю, а его движение считать прямолинейным.
Ответ: опп = -. I/ - ; и = и - . ■ пр к г т ’ "Р г”'4-1 где a=2A4vnp.
Задача 756. Модель реактивного самолета массой 85 кг развивает силу тяги, равную 9,8 кн, и имеет начальную скорость 150 м[сек. Зная, что предельная скорость при данной тяге равна 250 MjceK, и считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, найти время, по истечении которого скорость модели будет отличаться от предельной на 5 м;сек. Действием силы тяжести и изменением массы модели пренебречь.
Ответ: ( = 3,48 сек.
Задача 757. Батискаф, обладая постоянной отрицательной плавучестью, погружается вертикально, испытывая сопротивление воды, пропорциональное квадрату его скорости. Определить, с какой глубины погружения Л движение аппарата можно считать равномерным с относительной ошибкой у. = —если и — предельная скорость погружения при данной плавучести, а отношение плавучести к весу батискафа равно X. Начальная скорость равна нулю.
Ответ: h = — In (2у. — у.4).
Задача 758. Используя условия предыдущей задачи, определить время-, по истечении которого погружение можно практически считать равномерным.
Ответ: t =1 п -—-.
Задача 759. Материальная точка, двигаясь по горизонтальной прямой, имела в некоторый момент скорость и0- Определить ее скорость по истечении следующих ( сек, а также пройденный ею путь, если сила сопротивления движению равна R = knw\ где 312
/и —масса точки, к — постоянная Остановится ли точка под действием указанной силы?
Ответ: v = 1 ^^ t; s = ^ In (1 kv^ty Точка не остановится (о -> 0 при t -> со).
Задача 760. Автомобиль массой т движется по горизонтальной прямолинейной дороге. Принимая силу тяги мотора постоянной и равной Q, а суммарное сопротивление движению R = ku4 (k - постоянная), определить скорость автомобиля по прошествии им пути s, если в начале этого пути он имел скорость, равную у0.
Ответ: v = j/ IQ — (Q — ки2У) e m ].
Задача 761. Для взлета самолетов с судна применяют специальные катапульты, уменьшающие длину свободного пробега самолета. Считая, что действие катапульты эквивалентно дополнительной тяге, равной 4,9 кн, определить, на сколько сократится длина взлетной дорожки, если масса самолета 3m, тяга винта 14,71 кн, взлетная скорость 130 км’ч, а сопротивление воздуха равно 1,962 и3« (о — люсеку
Ответ: на 90,3 м.
Задача 762. Материальная точка массой т, получив начальную скорость, равную у0, движется затем вдоль горизонтальной прямой, испытывая силу сопротивления, пропорциональную квадратному корню из величины скорости (коэффициент пропорциональности равен ку Определить время движения точки до остановки, пройденный ею путь, а также среднюю скорость за время движения.
Ответ: t = 2 ^-^Ц s^='^uy^ ^=-7 = 3 v8.
Задача 763. Судно, двигаясь прямолинейно со скоростью и0, после остановки двигателей через некоторое время замедлило свой ход до скорости о| = ^ . Определить среднюю скорость судна за это время, если сила сопротивления воды пропорциональна его скорости.
Ответ: оср ^ууу — 0,72о6.
Задача 764. Решить задачу 763 при условии, что сила сопротивления воды пропорциональна квадрату скорости.
Ответ: огр — о(|1п2 = 0,693о0-
Задача 765. Пуля, пробив доску толщиной Н, изменяет свою скорость от значения ^ до значения и8. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости, определить время движения пули в доске.
Ответ: t = -^» —.
y,os In - 1
Задача 766. Две точки Мх и Мг с одинаковыми массами, равными т, находятся на одной вертикали: точка Мх на поверхности Земли, точка М» — на высоте Н. Определить время встречи точек, если точке Мх сообщена начальная скорость у0, направленная вдоль вертикали, а точка М4 падает без начальной скорости. Поле силы тяжести считать однородным, сопротивление воздуха принять пропорциональным скорости (й — коэффициент пропорциональности). При каком значении начальной скорости у0 возможна встреча точек?
Ответ: 1 = т ш -Чтм", встреча возможна- при у0>—.
Задача 767. Самолет массой т в момент приземления имел скорость у0. Определить, какое расстояние он пройдет до остановки при выключенных моторах, если суммарное сопротивление движению выражается формулой
R — kv + ^у3,
где к и kx — постоянные;
у-—скорость самолета.
Ответ; s = ^- In (1 -f-.
Задача 768. Сила, действующая на автомобиль массой т в первое время после начала движения, выражается формулой F = a— by, где а и b— постоянные, и— скорость автомобиля. Выразить силу F как функцию времени.
Ответ: F — ae т.
Задача 769. В момент прекращения работы двигателей судно имело скорость ув. Определить время, прошедшее до остановки судна, если его водоизмещение равно т, а сила сопротивления R = c-'rky (с и к — постоянные), у — скорость судна.
Ответ: T = z" In (1 +")•
Задача 770. Пользуясь условиями предыдущей задачи, определить пройденный судном путь до остановки при известном времени торможения Т (постоянная с считается неизвестной).
-„ ПГОд УдТ
Ответ: s =.
— 1
Задача 771. С поверхности Земли брошено вверх тело со скоростью у0. Определить, с какой скоростью у, тело упадет обратно на землю, если сила сопротивления воздуха R = mku\ где к—постоянная, т— масса тела.
Ответ: vx =—
Задача 772. При измерении заряда электрона изучают падение масляной капли в воздухе. Найти уравнение движения капли^ если на нее действуют сила тяжести, сила сопротивления воздуха, равная блрао (ц — вязкость воздуха, а — радиус капли, и— скорость капли), и постоянная сила со стороны электрического поля, равная qE и направленная вверх (д — заряд капли, Е = const — напряженность поля). Принять, что капля имеет форму шара, плотность р и начальную скорость, равную нулю.
Ответ: х = k [f 4~ b (е ь — 1)], где
^g-qEк= g: 6=-^.
Задача 773. В условиях предыдущей задачи измеряют один раз предельную скорость падения капли при отсутствии электрического поля, а в другой раз, поместив каплю в электрическое поле, подбирают его напряженность так, чтобы капля находилась в равновесии. Считая известными только р, у., ипр, найти q - величину электрического заряда капли.
Задача 774. После достижения судном скорости у0 движение продолжается при постоянной мощности двигателя N, т. е. при силе упора винтов ?=^. Считая силу сопротивления R постоянной, определить величину предельной скорости судна опр и промежуток времени /ь по истечении которого будет достигнута скорость Ор Водоизмещение судна равно т.
лN , ini. N. N—foEl
Ответ: опр = ^; 4 = ро ~ In
Задача 775. В условиях задачи 774 определить путь, Пройденный судном за - время, в течение которого его скорость изменилась ОТ О0 ДО Ор
Ответ:о?) + —а (о0 — Oi) —In•
Задача 776. После достижения поездом скорости о0 движение продолжается при постоянной мощности паровоза N, т. е. принимается, что сила тяги равна ^. Сила сопротивления складывается из силы трения Г, не зависящей от скорости, и других сопротивлений /?, пропорциональных первой степени скорости (,R = ku). Найти предельную скорость опр.
Ответ: ипр =”гк"•
Задача 777 (рис. 444). Точка М массой т движется по горизонтальной хорде окружности радиусом R под действием силы, обратно пропорциональной расстоянию от мточки до центра окружности (коэффициент
с$о ,,пропорциональности ку Кратчайшее расстоя-
ГF\Z\ние от хорды до центра окружности рав-
_1 _о—4—Lно г. Найти скорость точки в момент про-
\Рухождения середины хорды, если в начальный
\/ момент она занимала крайнее положение и
х^ Iбыла отпущена без начальной скорости. Тре-
Гнием пренебречь.
Рис. ^4л1 Л2к , Я
Ответ: и = I/ - In .
V т г
Задача 778. Решить задачу 777 при условии, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра.
-Ответ:
Задача 779. Материальная точка притягивается к неподвижному центру с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними, причем коэффициент пропорциональности равен к. Найти, через сколько времени она попадает в центр притяжения, если ее масса т, начальное расстояние х0, а начальная скорость равна нулю.
Ответ: t = j/~х„.
Задача 780. Материальная точка М притягивается к центру О с силой F~^it где л = 0М, т— масса точки, к — постоянная. В начальный момент расстояние ОМо = Хо и точка не имеет начальной скорости. Определить скорость точки в момент, когда ОМ=^.
Ответ: и = —-——=~—. х0 у Зл-0
Задача 781. На тело массой т, принимаемое за материальную точку, действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности ку Кроме того, на тело действует сила сопротивления /? =— р-о, где р. — постоянная величина. Найти закон изменения величины скорости тела в функции времени, если в начальный момент его скорость была равна нулю. Движение считать происходящим по горизонтальной прямой.
Ответ: v~ ——г (е т — 1).
Задача 782. Тело, принимаемое за материальную точку мае- kt сой т, движется прямолинейно под действием силы ^ = -, где к — постоянный коэффициент, / — время, и — величина скорости 316
точки. Определить в момент t = I сек величину скорости тела, если в начальный момент она была равна о0.
Ответ: и |/ у« + ^ •
Задача 783. Решить предыдущую задачу при условии, что г =-;.
Ответ: и = I/ уо + ™ •
Задача 784. Последней ступени ракеты' массой т сообщили некоторую вертикальную скорость и0 на высоте h над Землей. Определить, какова должна быть величина этой скорости для того, чтобы ракета поднялась на высоту Н от поверхности Земли, если сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квадрату ее скорости и обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли (коэффициент пропорциональности ку Какова должна быть величина и0 для того, чтобы ракета удалилась в бесконечность (Я->со)? Радиус Земли равен R.
Указание. Учесть, что сила притяжения, равная па поверхности Земли mg, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли.
- lAmgR2 , У , 2A(Z/ —А)
Ответ: = у - 1), где Ь =—
Прии0 = 1/ ^^(ет<« + Л>—1).
При к = 0Оо=у ^ qzд— вторая космическая скорость.
Задача 785 (рис. 445). Материальная точка М массой т притягивается к двум центрам Oj и О2 с силами Рх — тк^МОх
и Fi = mk^MOi соответственно (к — постоянная). Определить траекторию точки, если МоО = = ОхО = О2О = а (Мо— начальное положение точки), а начальная скорость точки 50 параллельна оси Ох. Размерами точки и силой тяжести пренебречь.
Ответ: —8—г ' (эллипс).
Задача 786. Материальная точка движется в горизонтальной плоскости под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию от точки до притягивающего центра (коэффициент пропорциональности равен к^т, где к — постоянная, ат — масса точки). Принимая центр притяжения за начало координат, определить уравнение траектории точки, если в начальный момент
она имела координаты х = 0; у = 1 и скорость и0, составляющую угол а с осью Ох.
Ответ: Р—+) =1 (эллипс).
Задача 787. Внутри трубки, расположенной в вертикальной плоскости и изогнутой в виде окружности радиусом R, помещен шарик. В нижнем положении шарику сообщается начальная скорость и0. Найти зависимость скорости шарика от дуговой координаты s, если он испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости с коэффициентом пропорциональности кт, где к — постоянная, а т— масса шарика. Считать отклонения шарика от вертикального положения малыми.
Ответ: и» = ^ - ^) е »s + -^ (^ - а).
Задача 788. Материальной точке, находящейся в неподвижной круглой трубке, занимающей горизонтальное положение, сообщена начальная скорость 80, направленная по касательной к средней окружности трубки. Определить путь s, пройденный точкой до остановки, если радиус трубки г, а коэффициент тренйя точки о трубку равен /.
„г . ti^ + ро^ 4 g2r2
2/gr
Задача 789. Сила, действующая на электрон массой т при его нахождении в электромагнитном поле,
F^-e^X-j^X^)],
где Е — вектор напряженности электрического поля;
Н — вектор напряженности магнитного поля;
е — заряд электрона;
о —скорость электрона;
с — скорость света.
Найти уравнения движения и траекторию электрона, который в начальный момент находился в начале координат и имел ско
рость, равную нулю, если напряженность электрического поля постоянна и направлена по оси Ох, а напряженность магнитного поля постоянна и направлена по оси Ог. Силой тяжести пренебречь .
„тс2Е / еН . Л
Ответ: х = ^/Г- ।cos тс
Траектория — циклоида в плоскости хОу.
Задача 790. На электрон массой т в электромагнитном поле действует сила
f = -ep + ^ №)],
где Е — вектор напряженностиН — вектор напряженностие — заряд электрона;
у — скорость электрона;
электрического поля;
магнитного поля;
с — скорость света.
Найти уравнения движения электрона, если векторы напряженности обоих полей постоянны и направлены по оси Ог. Электрон находился в начальный момент в начале координат и имел скорость и0, направленную по оси Ох.
„о0тс . eHt уатс (. еН лeEt^
Ответ; х — -^-sin—; «=-^7- 1 — cos — t ; z = — —.
eH me ' 3 eH \me / ’2m
Траектория представляет собой винтовую линию с увеличи-
вающимся шагом, находящуюся на цилиндре радиусом ^р од-
ной из образующих которого является ось Ог.
Задача 791 (рис. 446). Электрон влетает в плоское ское поле, образованное двумя наклоненными друг к
углом 2а электродами, с начальной скоростью 0о, направленной по оси симметрии системы. Разность потенциалов между электродами равна U, а напряженность электрического поля направлена перпендикулярно к оси симметрии и равна Е=^, где а— расстояние между пластинами, взятое по перпендикуляру к оси симметрии. Найти угол, на который отклонится электрон после
пролета между пластинами, если на соответствующего пространства на /, а наименьшее расстояние
Указание. Сила, действующая
дли- рав- между
электр и не-другу под
пластинами равно de.
на электрон, равна еЕ. Счи-
тать, что вне пространства между пластинами поля нет.
Ответ: tg ^ = -•*' =—In (1 + -^Х. 61 ух 2о= tg«\1 de ]
Задача 792. В конце пускового участка ракета имеет скорость, величина которой равна о0, а угол наклона к горизонту а0. В дальнейшем движение ракеты регулируется таким образом, что величина скорости остается постоянной. Найти уравнение ее
траектории, считая, что сила тяги направлена по направлению скорости. Поле силы тяжести считать однородным, массу ракеты постоянной; аэродинамической подъемной силой и сопротивлением воздуха пренебречь. Начало координат взять в начальном положении ракеты, ось Ох направить горизонтально, ось Оу — вер
тикально вверх.
, cos I а„J
Ответ: у = — In— 3 gCOS а0
Задача 793. С поверхности цилиндрического провода радиусом а, по которому протекает ток I, вылетает электрон массой т с начальной скоростью б0, перпендикулярной к поверхности провода. Найти, на какое максимальное расстояние он удалится от оси провода, прежде чем повернет обратно под действием магнитного поля тока. Напряженность магнитного поля па расстоянии г „2/„
от оси провода равна Н — ~ и направлена по касательной к окружности с центром па оси провода. Сила, действующая на электрон в магнитном поле, есть F =— у (5X^)1 весом пренебречь.
Указание. Использовать цилиндрическую систему координат. Учесть, что координата у не изменяется. Составить дифференциальные уравнения движения электрона в плоскости (г, г).
Ответ: rmax = aeb, где b = "je .
Задача 794. В магнетроне электрон массой т, вылетающий из цилиндрического провода радиусом а с начальной скоростью ий, перпендикулярной поверхности провода, движется далее в однородном магнитном поле напряженностью И, параллельной оси провода. Сила, действующая па электрон в магнитном поле, Р = =—Ё^уну Действием силы тяжести пренебречь. Определить максимальное расстояние г, на которое может удалиться электрон от оси провода.
Указание. Ввести цилиндрические координаты. Доказать, что z = const. Дифференциальное уравнение, отвечающее координате <р, умножить на г и проинтегрировать. С помощью полученного интеграла исключить ? из уравнения, отвечающего координате г.
Ответ:, где Ь = —.
Задача 795. В условиях предыдущей задачи начальная скорость Оо = 0, но имеется второй цилиндрический электрод радиусом R^>a, к которому приложен потенциал V по отношению к первому электроду, что вызывает появление радиально направленного электрического поля напряженностью Ег —^- — .Сила,
In а действующая на электрон со стороны электрического поля, равна ? —— еЁ. Найти, при какой величине потенциала V электрон долетит до второго электрода. См. указание к предыдущей задаче.
Ответ: V (R1 — а^, где 6 = ^.
ГЛАВА XI
КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1. Собственные колебания
Пусть на точку действует упругая или квазиупругая сила, т. е. сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия и по величине пропорциональная отклонению точки от этого положения. Если движение точки происходит вдоль оси Ох, а О — положение равновесия, то
Fx = — сх, где с — коэффициент упругости (жесткости).
Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае имеет вид тх = — сх или
х^кЧ = О,(11.1)
.где
Решением этого уравнения будет
х = Ci cos kt Д- С» sin kt = a sin (kt Д- a),(11 -2)
где Ci и Сч (или а и a) — произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения;
а — амплитуда колебания;
a •— начальная фаза;
к — круговая частота.
Период колебания определяется формулой
(11.3)
Колебания точки в этом случае являются незатухающими и гармоническими.
Если, кроме упругой (квазиупругой) силы, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная первой степени скорости и направленная противоположно скорости, т. е.
Rx =— bx, то дифференциальное уравнение движения точки тх = — сх — Ьх или
х -ф- 2пх Д- к-х = 0,(11.4)
где
32132111 Н. А Ьражниченко и др.
321
321
При решении этого дифференциального уравнения возможны три случая.
Случай I. n<^k («малое» сопротивление среды). Решение дифференциального уравнения (11.4) имеет вид
х = ае nf sin (^-|- а),(115)
где
h^V^ — n1;(116)
а и а — произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям.
Движение точки в этом случае носит характер затухающего колебания с условным периодом (промежуток времени между двумя последующими наибольшими отклонениями точки в одну сторону)
Величина е 2 характеризует отношение величин двух последовательных экстремальных отклонений (в разные стороны) и называется декрементом, а
8 = ^(118)
— логарифмическим декрементом
Случай II. п2>^ («большое» сопротивление среды). Решением дифференциального уравнения (114) будет
x = C1e-("+^)/ + C2e-("-^)z,(119)
I де Ci и С2— произвольные постоянные, а
В этом случае точка совершает апериодическое затухающее движение, т. е.
Игл х = 0. t —* ОО
Случай III. п = к («предельный» случай). Решение уравнения (11 4) примет вид
x = (C1/ + C2)e-Az,(11.10)
где Ci и Са — произвольные постоянные.
В данном случае имеет место также апериодическое затухающее движение.
Задача 796 (рис 447). На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а = 30°, находится груз М массой т = 1 кг,
которой с = 4,9- 103 н[м.которой с = 4,9- 103 н[м.прикрепленный к пружине, жесткость Определить уравнение колебаний груза, если он отпущен без начальной скорости из положения, при котором пружина не деформирована
которой с = 4,9- 103 н[м.
которой с = 4,9- 103 н[м.
Решение. Направим ось Ох по направлению движения груза вдоль наклонной плоскости Начало координат примем в положении статического равновесия. На груз М действуют силы Р — вес груза, F ■— упругая сила пру-
жины и N-—нормальная реакция плоскости. Дифференциальное
уравнение движения груза имеет вид
тх = —F Д- Р sin а.
Упругая сила пружины
F = cM,
где Ы — удлинение пружины по сравнению с ее естественным (ненапряженным) состоянием, т. е.
М = 1-^х,
где f — удлинение пружины при равновесии,
следовательно,
P = c(f-M
Итак, уравнение движения
тх —— c(f -|-х) Д- Р sin а.(а)
При х = 0 имеет место равновесие, т. е. при этом х = х — 0. Из предыдущего уравнения имеем
0~—cf Д-Р sin а(6)
При учете (6) уравнение (а) упрощается и принимает вид
тх = — сх или
тх -^- сх — 0.
Обозначив k^ — -^, получим уравнение собственных незатухающих колебаний (11.1)
х Д- №х = 0.
Решение уравнения возьмем в виде
Х = С1СО8Й/Д-С251ПЙ/.(с)
Определим произвольные постоянные Ct и С», для чего установим начальные условия движения. Имеем
xV» = — f, так как пружина была при этом не деформирована; ^|/-о = О, так как груз был отпущен без начальной скорости. Подставляя в (с) начальные условия, получим с, = —/. Дифференцируя (с) и снова подставляя начальные условия, имеем
С3 = 0.
Таким образом,
х = — /cos kt,
и, пользуясь (6), получим уравнение движения те sin ап Г с ,
Х =° COS I/ — t.
су т
Подставляя числовые данные, найдем
х = — 0,1 cos 70/ см.
Следовательно, амплитуда колебаний
а = 0,1 см,
а период колебаний по (11.3) будет
t = ™ = 0,0898 сек. к
Задача 797 (рис 448). Тяжелая материальная точка М масЗадача 797 (рис 448). Тяжелая материальная точка М массой т поддерживаетсясой т поддерживаетсяплоскости, a P = mg.плоскости, a P = mg.во взвешенном состоянии над горизонтальной плоскостью отталкивающей силой, обратно пропорциональной расстоянию до плоскости (коэффициент пропорциональности X). Найти период малых вертикальных колебаний точки около положения равновесия.
Задача 797 (рис 448). Тяжелая материальная точка М мас
Задача 797 (рис 448). Тяжелая материальная точка М мас
сой т поддерживается
сой т поддерживается
плоскости, a P = mg.
плоскости, a P = mg.
Решение. Составим дифференциальное уравнение движения точки. Проведем ось Ох вертикально вверх, поместив начало О в положении равновесия На точку действуют сила отталкивания F, направленная вертикально вверх, и вес Р. При этом F = ^, рДе h — расстояние до
тхтх^”mg'^”mg'№№Уравнением движения точки будет
тх
тх
^”mg'
^”mg'
№
№
Так как при равновесии х = х = х = 0, то
l = mg; h»-^,(а)
где h6 — расстояние от точки до плоскости при равновесии.
Поскольку рассматриваются малые перемещения, то разложим величину силы в ряд по степеням малого отклонения и сохраним только член, пропорциональный первой степени х («квазиупру- гий член»). Учитывая (е), имеем
X X Л . х\~1х\
x+h0 — лД + лд ^mgV—hJ-
В соответствии с этим согласно (с?) получим
•• Сmgx...
mx^mg^—^—mg^—-^-(/)
или
я+^=о.
Это уравнение собственных гармонических колебаний (I I. I) имеющих круговую частоту к — j/"у.
Искомый период малых колебаний
к V g g V т
Примечание. Следует иметь в виду, что колебания действительно будут иметь место только в том случае, когда в уравнении (/) справа стоит знак «минус». Наличие знака «плюс» указывало бы на неустойчивость равновесия. Если бы линейные члены сократились, то это указывало бы на существенно нелинейный характер колебаний или на безразличное равновесие (в зависимости от наличия или отсутствия членов высшего порядка по отношению к х)
Задача 798 . К пружине подвешен груз. Статическое удлинение пружины равно /. Определить колебание груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3/, а груз был отпущен без начальной скорости._
Ответ: x = 2f cos "^у I.
Задача 799. Груз массой 100 г подвесили к концу недеформи- рованной пружины и отпустили без начальной скорости. Длина недеформированной пружины равна 65 см, а при равновесии груза
на пружине ее длина равна 85 см. Определить: 1) уравнение движения груза; 2) амплитуду и период колебаний; 3) наибольшую упругую силу пружины.
Ответ: 1) х =— 20 cos 7/ см; 2) а ==20 см; т — ут-сек;
3) JFmax= 1,96 я.
Задача 800. К концу пружины жесткостью 98 н/м подвешен груз массой 2 кг. В начальный момент груз находился в положении равновесия и получил некоторую начальную скорость i^. Зная, что амплитуда колебаний равна 2 см, определить величину начальной скорости.
Ответ: и0=14 см (сек.
Задача 801. Статическое удлинение пружины под действием данного груза равно 20 см. В начальный момент груз, находясь в положении равновесия, получил начальную скорость и стал совершать незатухающие колебания с амплитудой, равной 4 см. Определить величину начальной скорости.
Ответ: и0 = 28 см/сек.
Задача 802. Статические удлинения пружины под действием двух грузов порознь соответственно равны Д и f». Определить частоту свободных незатухающих колебаний, если к концу пружины подвесить оба груза.
Ответ: ^ = 1/ -, Д~, . г fl ~rfz
Задача 803. Пружина расположена вдоль гладкой наклонной плоскости с углом наклона а. К концу недеформированной пружины подвешен груз массой т и отпущен без начальной скорости. Определить наибольшую величину упругой силы пружины
Ответ: Fmax —2 mg sin а.
Задача 804. Груз подвешен к концу недеформированной пружины и получил начальную скорость у0, направленную вверх. Определить, через сколько времени после начала движения груз впервые пройдет через положение равновесия, если статическое удлинение пружины для данного груза равно f.
— hr — arc tg .
Задача 805. На вертикально расположенной пружине подвешены два равных груза, в результате чего она получила статическое удлинение f. После этого один из грузов оборвался. Найти уравнение движения второго груза, пренебрегая массой пружины.
Ответ: ^ = ^ cos "y^yt.
Задача 806. Тело массой М подвешено на вертикально расположенной пружине. Период его колебаний равен т. Если присоединить к нему в положении равновесия массу т, то удлине-
ние пружины увеличится на I. Найти ускорение g свободно падающего тела. Массой пружины пренебречь.
4r? Ml
Ответ: g =.
Задача 807 (рис. 449). Определить период вертикальных ко-
пружинахпружинахРис 449Рис 449лебаний груза М массой т, подвешенного на трех с коэффициентами жесткости с, = с, с2 = 2с и с3 = Зс так, как показано на рисунке.
пружинах
пружинах
Рис 449
Рис 449
Ответ: т = 2™ "^-^-.
Ответ: sОтвет: sЗадача 808. В гладкой трубке, изогнутой в виде окружности радиусом R и занимающей вертикальное положение, помещен тяжелый шарик. Находясь в нижнем положении, он получил начальную скорость иа. Определить колебания шарика в трубке, считая отклонения его от положения статического равновесия малыми.
Ответ: s
Ответ: s
Задача 809. По горизонтальной хорде вертикального круга движется точка массой 4 кё под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от точки до центра, причем коэффициент пропорциональности равен 196 н^м. Определить закон движения точки и ее давление на хорду, если в начальный момент она находилась в крайнем правом положении и была отпущена без начальной скорости. Принять расстояние от центра до хорды равным 30 см, а радиус окружности — 50 см.
Ответ: х = 40 cos It см (от середины хорды);
М = 98 н (const).
Задача 810. Материальная точка массой т, находящаяся под действием упругой силы (коэффициент жесткости с), выводится из состояния равновесия постоянной силой F, действующей в те-
колебаний послеколебаний послечение промежутка времени tv Найти амплитуду прекращения действия силы.
колебаний после
колебаний после
2f
22Ответ: а = —
2
2
С
Задача 811. Однородный конус высотой Н и плотностью ^ погружен в жидкость плотности fa (f8 2> 71) так, чт0 ег0 вершина находится над поверхностью жидкости, а основание — параллельно этой поверхности. Определить период малых вертикальных собственных колебаний конуса, пренебрегая сопротивлением воды.
2чф2 ч Гн
Ответ: ^ = —;г— I/ к-.
Тз/в (Та — Т1) /з ' 3^
Задача 812. При равновесии шара радиусом R в жидкости высота погруженного шарового сегмента равна h. Определить
период малых вертикальных собственных колебаний шара, пренебрегая сопротивлением воды.
Ответ: т^У ^^ -
Задача 813. Материальная точка массой т, несущая электрический заряд q, находится на одной горизонтальной прямой с двумя равными одноименными зарядами q}, посередине между ними. При отклонении вдоль этой прямой точка начинает колебаться. Найти период этих колебаний, считая их малыми. Сила взаимодействия зарядов равна ^‘ (закон Кулона). Расстояние между неподвижными зарядами равно 2L
Ответ: т = тг/1/ -^-.
V qqt
Задача 814. Сосуд объемом Уо, наполненный воздухом при давлении р0, равном наружному давлению, заканчивается цилиндрической трубкой, имеющей площадь сечения S и закрытой поршнем с массой т. Найти период свободных колебаний поршня при его малых смещениях, если давление и объем газа в сосуде связаны соотношением pV7 = const. Массой газа по сравнению с массой поршня и трением пренебречь (см. задачу 823).
Ответ: т = -ЕГ I/ ——. 8 V pot
Задача 815. Материальная точка массой т прикреплена к тонкой горизонтальной нити, имеющей натяжение N и закрепленной на концах. Расстояния от точки до концов нити равны а и Ь. Считая, что натяжение не изменяется в процессе колебаний, найти период малых поперечных колебаний точки.
Ответ: ^^У^^^.
Задача 816. В трубке, изогнутой в виде окружности радиусом 49 см и расположенной в вертикальной плоскости, помещен тяжелый шарик. Из нижнего положения равновесия ему сообщается скорость 20 см/сек. Определить закон движения шарика, учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой -степени скорости (Р— 4шп, где т— масса, и — скорость). Считать отклонения шарика от равновесного положения малыми. Принять g = 980 см) сек*.
Ответ: s= Seisin 4/ см.
Задача 817. Решить задачу 816, если сила сопротивления равна 12 ту.
Ответ: s = у (e"az — е-ш) см.
Задача 818. Статическое удлинение пружины под действием груза массой т равно f. На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (£ = to). Определить наименьшую силу сопротивления, возникающую при ско-
рости, равной единице, при которой процесс движения будет апериодическим.
Ответ: b — 2m у/"у.
Задача 819. Используя условия задачи 818, определить движение груза, если в начальный момент он находился в положении равновесия и имел скорость о0, направленную вниз.
Ответ: x—v^te ’ / ’
Задача 820. По горизонтальной хорде вертикального круга движется точка массой 1 кг. На точку действует упругая сила, пропорциональная расстоянию от нее до центра и направленная все время к центру (коэффициент пропорциональности с = 16 н)м). Кроме того, на точку действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности 7=10 н-сек/м.
Определить закон движения точки, если в начальный момент она находилась в крайнем правом положении и была отпущена без начальной скорости. Принять расстояние от центра до хорды равным 30 см, а радиус круга 50 см.
Ответ: х = у (4^'2< — е-м^ см.
Задача 821. Решить задачу 820, если масса точки 0,5 кг, <с= 12,5 н{м, у = 4 н-сек^м.
Ответ: х = g°e-ti [3cos 3/ 4* 4 sin 3/] см.
§ 2. Вынужденные колебания
Если, кроме квазиупругой силы и силы сопротивления среды, на точку действует внешняя сила, зависящая от времени, — так называемая возмущающая сила Q, проекция которой на ось х есть
Qx = Н sin pt,
где Н — амплитуда силы (ее наибольшее значение), р — круговая частота силы,
то дифференциальным уравнением движения точки будет
тх = — сх — Ы 4- Н sin pt,
или
р 2пх 4- k4 = h s in pt,р 2пх 4- k4 = h s in pt,(11.11)(11.11)
р 2пх 4- k4 = h s in pt,
р 2пх 4- k4 = h s in pt,
(11.11)
(11.11)
где
, НЬС
h = —\ п = ^-- k- = — .
т' 2m’т
Решение этого дифференциального уравнения имеет видX = Х\ —|— х^,
где х, — общее решение однородного уравнения (11.4);
Хч — частное решение уравнения (11.11), которое можно получить в виде
x3 = asin ^pt— Р),x3 = asin ^pt— Р),(11.12)(11.12)
x3 = asin ^pt— Р),
x3 = asin ^pt— Р),
(11.12)
(11.12)
где
hhа = г . - .;V (Й2 —P^Y + 4naj»aа = г . - .;V (Й2 —P^Y + 4naj»a(11.13)(11.13)
h
h
а = г . - .;
V (Й2 —P^Y + 4naj»a
а = г . - .;
V (Й2 —P^Y + 4naj»a
(11.13)
(11.13)
Частное решение хг называют вынужденным колебанием.
Если п Ф 0 (т. е. имеет место сопротивление среды), то х(-^-0 при / -> со, и поэтому интерес представляют только вынужденные колебания.
Если n — Q, то
а == ———;sinp/(11.14)
и
х = a sin ^kt -|- а) 4- ^2 2^sin pt-(11.15)
Если p = k, т. е. частота возмущающей силы совпадает с частотой собственных незатухающих колебаний, то наступает явление резонанса. В этом случае при отсутствии сопротивления
х3 = — ^ooskt,(11.16)
т. е. происходит нарастание амплитуды.
При наличии сопротивления при условии резонанса (р = й) уравнение вынужденных колебаний имеет вид
х3 = —^^Pt-(И.17)
При фиксированных h и п максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при
р^А^-г^.(И18)
.Если ^^1, то при р = к амплитуда близка к максимальной.
Задача 822. При прямолинейных колебаниях точки в сопротивляющейся среде экспериментально найдены: частота kv свободных затухающих колебаний и частота pi возмущающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум. Определить собственную частоту к, коэффициент затухания п и логарифмический декремент 8.
Решение. По (И 6) и (И.18) имеем
к\ = к?— п3, Р1 = ^ —2п2, отсюда
п = Ук\ — pV,к = У 2kf — У.
По (11.8) найдём
Задача 823 (рис. 450). На поршень А, закрывающий сосуд с газом, имеющим давление р6 (равное внешнему), действует избыточное Давление, изменяющееся по закону g = gosinto/ (у» —
максимальное значение давления, ш— круговая частота). Измене
ние состояния газа происходит адиабатно, т. е. ^= const, где
р — давление в сосуде; р — плотность газа; у •— показатель адиабаты
Определить движение поршня, если его масса т, площадь S. Объем сосуда равен 1/0. Трением пренебречь. В начальный момент поршень находился в покое.
Решение. На поршень, выведенный из положения равновесия, действуют горизонтальные силы: ^ = р5, обусловленная -внутренним давлением; F^ = p6S, обусловленная внешним давлением, кроме того, на поршень действует возмущающая сила Fg = qS = = q»S sin o>t, обусловленная избыточным давлением q.
Проведем ось Ох горизонтально, как показано на рис. 450, б, поместив начало координат в равновесном положении поршня. Тогда дифференциальным уравнением движения поршня будет
mx = F1 — Рг - Fa
или
(g)(g)тх = (р — р») S — qttS sin wt.
(g)
(g)
Так какТак какР —Во.Л — Y»
Так как
Так как
Рт РГРо V-
где V — переменный объем газа;
Р = лР= Р»\V) •\V) •р0 — плотность газа при давлении рв, то
Р = Р»
Р = Р»
\V) •
\V) •
Считая, что поршень движется в прямом цилиндре, получим
Таким образом,Таким образом,откудаоткуда
Таким образом,
Таким образом,
откуда
откуда
Считая перемещение х малым, разложим величину ^утр§7 в ряд, ограничиваясь членом первого порядка малости. Имеем
^ + Sx) — у -1"Уо-
следовательно,следовательно,P — Р»P — Р»PqS^xPqS^x
следовательно,
следовательно,
P — Р»
P — Р»
PqS^x
PqS^x
Подставив значение p— p0 в (g), получим
mx + Sx = — q6S s in oV.
Это уравнение можно переписать в виде
X у- k^x = — h sin tot, где
6 = 5^; h = q-^-.
V Vem'm
В соответствии с (11.15), в котором вместо р следует взятью, получим
х — a sin (kt 4-—» sin tot.
Продифференцировав по времени предыдущее равенство, получим
x = ak cos (kt 4"«) — ^г~^ №k ш^
Начальные условия движения
х!/_о = О; л"|<_0 = 0.
В соответствии с начальными условиями имеем 0 = a sin а;
0 = ak cos а — г,
К2 —- СО2 ’
отсюда
а —0; а — -,,5-.
к (к2 — ш2)
Таким образом, имеем следующий закон движения поршня:
X =7 sln SID со/
Если имеется хотя бы очень малое сопротивление, то по (11.14) приближенным уравнением движения поршня будет
X = Т sin со/.
К2 О)-
При этом амплитуда вынужденных колебаний имеет значение
ААq»sт№-\ Vom
А
А
Задача 824. Материальная точка совершает движение вдоль оси Ох. На точку, кроме упругой силы пружины, действуют еще сила сопротивления R = —0,2а и возмущающая сила Q, направленная вдоль оси Ох, проекция которой на эту ось Qt = 4sinp/ (_R, Q— в ньютонах, и — в иссеку Изменяя частоту р возмущающей силы, добиваются появления резонанса при р — 20е Мсек. Определить амплитуду а вынужденных колебаний при резонансе.
Ответ: « = 0,318 м.
Задача 825. Электромотор установлен на упругой балке, причем статический прогиб балки равен f. Ротор мотора имеет смещение центра тяжести по отношению к оси вращения на величину г. Определить амплитуду а вынужденных колебаний электромотора, если ротор мотора имеет массу т и вращается с постоянной угловой скоростью со. Масса мотора вместе с ротором равна М. Массой балки пренебречь. При каком значении угловой скорости может наступить явление резонанса?
Ответ: а — -гГ7-—
М (g —/ю8)
Резонанс наступит при
'=/7-
Задача 826 (рис. 451). Пружина А скреплена со штоком поршня, который находится в камере В. В эту камеру попере-
делить амплитудуделить амплитудуменно сверху и снизу поступает сжатый воздух, вследствие чего сила, действующая на поршень, изменяется по закону F = 2,3 sin 8л/ (/ — в секундах, F — в ньютонах). Определить вынужденные колебания поршня, если его масса равна 0,5 кг, а жесгкость пружины с = 200 н}м.
делить амплитуду
делить амплитуду
Ответ: х = — 1,98 sin 8л/ см.
Задача 827. Точка колеблется на пружине в среде, сопротивление которой R — bv (b — постоянная, о — скорость точки). На точку действует возмущающая сила F — Hsxnpt. Опре- силы по измеренной амплитуде а вынужденных
колебаний при наличии резонанса.
Ответ: Н = Ьра
Задача 828. В условиях предыдущей задачи, изменяя частоту возмущающей силы, добиваются появления максимальной ампли
туды вынужденных колебаний атах при р — р^. Зная, что масса точки равна т, определить амплитуду силы Н.
Ответ: Н = Ьрхатах у 1+^=у.
Задача 829. Показать, что амплитуда скорости вынужденных колебаний имеет максимум при p = k и при наличии сопротивле
ния среды.
Задача 830. Двигатель массой т, установленный на упругом фундаменте, совершает и оборотов в минуту. Вследствие неуравновешенности частей двигателя фундамент совершает вынужденные колебания с амплитудой а. Определить наибольшее значение Н возмущающей силы, если статическая осадка фундамента равна /. Сопротивлением пренебречь.
« uт^п“\
Ответ: п — ат.
Задача 831. Бочка массой 4m находится на поверхности воды, уровень которой в месте нахождения бочки изменяется вследствие волнения по закону
. 3/
= y Sin у
(t — в секундах; s — в метрах).
Считая горизонтальное сечение бочки постоянным по высоте и равным 5 м8, определить ее вертикальные колебания относительно уровня спокойной воды, если плотность воды равна 1 т[м\ В начальный момент бочка находилась на уровне спокойной воды, и ее абсолютная скорость была равна нулю. Сопротивлением воды пренебречь.
_/7 . 7/ , 49
Ответ: х — — sin ч -4-^ sin м.
\ oU Z 1 ии » /
Задача 832. По условиям предыдущей задачи определить установившиеся колебания бочки относительно колеблющегося уровня воды, если сила сопротивления воды пропорциональна первой степени скорости бочки, причем коэффициент пропорциональности равен 16 кн-сек!м.
Ответ: х —0,32 sin — arctg-f-] м.
Ответ: соОтвет: соf(mr— Ma) ‘f(mr— Ma) ‘Задача 833. Электромотор массой М (вместе с ротором) установлен на упругом фундаменте, снабженном демпфером. Статический прогиб фундамента равен f. Ротор мотора имеет массу т, а центр тяжести его смещен по отношению к оси вращения на величину г. Определить угловую скорость со ротора, если амплитуда вынужденных колебаний замерена и равна а. Демпфер обусловливает появление силы сопротивления, пропорциональной скорости, п сконструирован так, что при выключенном моторе имеет место предельное апериодическое движение фундамента.
Ответ: со
Ответ: со
f(mr— Ma) ‘
f(mr— Ma) ‘
Задача 834. На стержне, имеющем при данной температуре То равновесную длину /0, подвешен груз массой т. Температура окружающей среды начинает колебаться по закону Т = То -[- b sinp/. Определить вынужденные колебания груза, если коэффициент расширения стержня равен а, а коэффициент жесткости с не зависит от температуры. Массой стержня пренебречь.
Указание. Упругая сила пропорциональна разности между действительной длиной стержня и его номинальной длиной при данной температуре. За номинальную длину при данной температуре принять
и^/оП + кСГ-Го)].
~cLab Sill pt
Ответ: х = —— с — тра
ГЛАВА XII
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
§ 1. Теоремы о движении центра инерциии об изменении количества движения
Центром инерции (масс) системы материальных точек называют геометрическую точку, положение которой определяется радиусом-вектором
4=О21)
или координатами
2 тьхь
хс~ М ’
2 mk$h
•С” м
п
где М = V mk — масса системы.
6=1
(12.3)(12.3)(12.4)(12.4)Уравнение движения центра инерции имеет вид
(12.3)
(12.3)
(12.4)
(12.4)
или в координатной форме
Мхс = R®\
^Ус = ^\ •
Mzc =R/\
где Rw ■— главный вектор внешних сил.
Таким образом, центр инерции любой системы движется так, как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную массе всей системы, если бы на нее действовала сила, равная главному вектору всех внешних сил, приложенных к данной системе.
Если Rw = 0, то ус = const; если ^' = 0, то иСх = хс — const.
Количеством, движения точки называют вектор, равный тй, а количеством движения системы — геометрическую сумму векторов количеств движения всех точек системы, т. е.
Q= У mhvk = Mvc.(12.5)
/г —I
Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему, т. е.
(12.6)(12.6)Ю_ — р(и
(12.6)
(12.6)
•dt v
Приращение количества движения системы за конечный промежуток времени равно импульсу главного вектора всех внешних сил, действующих на систему, за этот же промежуток времени, т. е.
t
Q—Qe = ^R^dt(12.7)
о
или в проекциях на оси:
О
О
Для материальной точки
t
тй — mve = ^Fdt(12.8)
о
или в проекциях на оси координат t
m^-v^ = \Fxdt,б
t
(12.9)(12.9)т (иу — и0>) = $ Fy dt,6
(12.9)
(12.9)
t
т ^z — u0J = J F, dt,0
где u0 — скорость точки в начальный момент;
й — скорость точки в момент t\
F — равнодействующая всех сил, приложенных к точке.
Задача 835. Скорость судна водоизмещением т = 25 000m за время / = 50 сек после прекращения работы турбины уменьшилась на 5 узлов. Определить среднюю силу сопротивления воды, считая движение корабля прямолинейным (узел — единица скорости, равная 1 миле в час, или 0,5144 м}сек).
Решение. Рассматриваем корабль как материальную точку, движущуюся вдоль оси Ох. По первой формуле (12.9) имеем
m (^ — v0J = ^Fxdt = Fxср/,
откудаFоткудаFо
откуда
F
откуда
F
1282 кн.1282 кн.УУРис. 452Рис. 452^ЧТ^ТТТТТТТТТЬТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТЛ"^ЧТ^ТТТТТТТТТЬТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТЛ"(а)(а) mvxv -j- т2ха + тах. mvxv -j- т2ха + тах.(с)(с), m (vx — Пол) — 25000 • 5 • 0,514
1282 кн.
1282 кн.
У
У
Рис. 452
Рис. 452
^ЧТ^ТТТТТТТТТЬТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТЛ"
^ЧТ^ТТТТТТТТТЬТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТЛ"
(а)
(а)
mvxv -j- т2ха + тах.
mvxv -j- т2ха + тах.
(с)
(с)
Подставляя эти абсциссы в формулу (6), получим
№ 4- т2 4- т^ х, + mJ + тЛ — "hr cos mt — 2m2 cos «tM
= x3= x3I mi 4~ ms / i" мI mi 4~ ms / i" мШ^-^-COS^.Ш^-^-COS^.Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (а), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (а), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:Мх% = Р^$ — (mt 4- 2m3) гог cos о>/.Мх% = Р^$ — (mt 4- 2m3) гог cos о>/.(d)(d)В данной задаче R^ — Q, так как при выбранных осях все внешние силы параллельны оси Оху. Уравнение (d) примет видВ данной задаче R^ — Q, так как при выбранных осях все внешние силы параллельны оси Оху. Уравнение (d) примет видх’зх’зЧ-2/лЧ rm2 , т—— COS wLССЦ 4“ ^з Ч- "’зЧ-2/лЧ rm2 , т—— COS wLССЦ 4“ ^з Ч- "’зИнтегрируя, найдемИнтегрируя, найдем^з^зх3 =х3 =(т.А-2тХ г«2., .г со s ш о>/ Ч- Cj(m1+2;n2) rcos ^ ,,(т.А-2тХ г«2., .г со s ш о>/ Ч- Cj(m1+2;n2) rcos ^ ,,Учитывая начальные условия движения корпуса (х3 \£ ,0 = х^, 43 |f о = О), получимУчитывая начальные условия движения корпуса (х3 \£ ,0 = х^, 43 |f о = О), получимCi = 0;Ci = 0;„ _ „о »ц + 2т6„23 Mj Д- ;па 4- тд ' ’„ _ „о »ц + 2т6„23 Mj Д- ;па 4- тд ' ’где Хз — начальная абсцисса корпуса двигателя. Итак,где Хз — начальная абсцисса корпуса двигателя. Итак,Это и есть искомое уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудойЭто и есть искомое уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудойт, 4- 2т„Q i—!± /•рц 4- тз 4- "'зи с круговой частотой со.Задача 837. Используя условия предыдущей задачи и полагая, что корпус двигателя закреплен при помощи болтов, определить суммарное горизонтальное усилие на болты и давление на фундамент.Решение. Воспользуемся уравнениями (12.4):Mxc = R^-, Мус = ^\т, 4- 2т„Q i—!± /•рц 4- тз 4- "'зи с круговой частотой со.Задача 837. Используя условия предыдущей задачи и полагая, что корпус двигателя закреплен при помощи болтов, определить суммарное горизонтальное усилие на болты и давление на фундамент.Решение. Воспользуемся уравнениями (12.4):Mxc = R^-, Мус = ^\
= x3
= x3
I mi 4~ ms / i" м
I mi 4~ ms / i" м
Ш^-^-COS^.
Ш^-^-COS^.
Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (а), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:
Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (а), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:
Мх% = Р^$ — (mt 4- 2m3) гог cos о>/.
Мх% = Р^$ — (mt 4- 2m3) гог cos о>/.
(d)
(d)
В данной задаче R^ — Q, так как при выбранных осях все внешние силы параллельны оси Оху. Уравнение (d) примет вид
В данной задаче R^ — Q, так как при выбранных осях все внешние силы параллельны оси Оху. Уравнение (d) примет вид
х’з
х’з
Ч-2/лЧ rm2 , т—— COS wL
ССЦ 4“ ^з Ч- "’з
Ч-2/лЧ rm2 , т—— COS wL
ССЦ 4“ ^з Ч- "’з
Интегрируя, найдем
Интегрируя, найдем
^з
^з
х3 =
х3 =
(т.А-2тХ г«2., .
г со s ш о>/ Ч- Cj
(m1+2;n2) rcos ^ ,,
(т.А-2тХ г«2., .
г со s ш о>/ Ч- Cj
(m1+2;n2) rcos ^ ,,
Учитывая начальные условия движения корпуса (х3 \£ ,0 = х^, 43 |f о = О), получим
Учитывая начальные условия движения корпуса (х3 \£ ,0 = х^, 43 |f о = О), получим
Ci = 0;
Ci = 0;
„ _ „о »ц + 2т6„
23 Mj Д- ;па 4- тд ' ’
„ _ „о »ц + 2т6„
23 Mj Д- ;па 4- тд ' ’
где Хз — начальная абсцисса корпуса двигателя. Итак,
где Хз — начальная абсцисса корпуса двигателя. Итак,
Это и есть искомое уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой
Это и есть искомое уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой
т, 4- 2т„Q i—!± /•
рц 4- тз 4- "'з
и с круговой частотой со.
Задача 837. Используя условия предыдущей задачи и полагая, что корпус двигателя закреплен при помощи болтов, определить суммарное горизонтальное усилие на болты и давление на фундамент.
Решение. Воспользуемся уравнениями (12.4):
Mxc = R^-, Мус = ^\
т, 4- 2т„Q i—!± /•
рц 4- тз 4- "'з
и с круговой частотой со.
Задача 837. Используя условия предыдущей задачи и полагая, что корпус двигателя закреплен при помощи болтов, определить суммарное горизонтальное усилие на болты и давление на фундамент.
Решение. Воспользуемся уравнениями (12.4):
Mxc = R^-, Мус = ^\
Так как
v xtm, -Vx^tna + xAyitnt+yams+y.4m3
м .Ус— M
TO? Ami + ^mg + ^m, — мИмеемTO? Ami + ^mg + ^m, — мИмеем9c —9c —З^+у^+^з/П;З^+у^+^з/П;MM
TO
? Ami + ^mg + ^m, — м
Имеем
TO
? Ami + ^mg + ^m, — м
Имеем
9c —
9c —
З^+у^+^з/П;
З^+у^+^з/П;
M
M
У1 = y? + r sin <0/;Уа = Уз = const;Уз = Уз = const.У1 = y? + r sin <0/;Уа = Уз = const;Уз = Уз = const.%! = X? 4~ r '— ^ cos co/;
У1 = y? + r sin <0/;
Уа = Уз = const;
Уз = Уз = const.
У1 = y? + r sin <0/;
Уа = Уз = const;
Уз = Уз = const.
x2 = Xg + 2r — 2r cos u>t;
x3 = x, = const;
Следовательно,
^С =COS tot; УС =^ sin со/.
Таким образом,
Rx’ = (mj -J- 2m2) rco2 cos tot; R1^ = — m^rto1 sin co/.
Поскольку, с другой стороны,
R^ = N — (mi ma m3) g,
то давление на фундамент будет
N = (mj + m2 4~ тз) g — rriirto^ sin о>/. Суммарное усилие, срезывающее болты,
Т = | Rx I = (mt -|- Sm^ гео21 cos со/ j.
Задача 838. На покоящейся непривязанной шлюпке массой т находятся два человека, массы которых равны тх и т4. Что произойдет со шлюпкой, если первый человек переместится по направлению к корме на расстояние /ь а второй — к носу на расстояние /4? Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: шлюпка переместится на расстояние
2_ \mJv — m2L2\т1 + т2 4“ т "
Задача 839. Лодка с находящимся на ней человеком имеет скорость и0. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, перемещение s лодки вследствие движения по ней человека с относительной скоростью и по направлению к носу, если масса человека т, а масса лодки М. При каком значении и лодка не будет перемещаться?
Ответ:w 4-Л1^> л°Дка не бУДет перемещаться
(тЦ-М-) при1 —-.
Задача 840 (рис. 453). Эллиптический маятник состоит из тела Л массой ть которое может перемещаться поступательно по гладкой горизонтальной плоскости, и груза В массой т», свя-' занного с телом стержнем длиной /. В на- v чальный момент стержень отклонен на угол|
Фо и отпущен без начальной скорости. Пре- ^z .ал небрегая весом стержня, определить смеще- vA//wL/zw/A^7)// * -г ние тела А в зависимости от угла отклонения ф.I Р О
Ответ: =^
«1 + т4
Задача 841. Однородный прямой конус высотой h, имеющий угол 2а при вершине, поставлен вершиной на гладкую горизонтальную плоскость. Найти расстояние s, на которое переместится
вершина конуса к моменту его падения на плоскость.
Ответ: s = -rh cos а.
4
Рис. 454Рис. 454Задача 842 (рис. 454). В полом цилиндре радиусом R и массой М находится тяжелый шарик массой т. Цилиндр может поступательно перемещаться по гладкой горизонтальной плоскости.
Рис. 454
Рис. 454
А
/7777777777Ж7777777Ж?ЬЖ^^
Рис. 455
Определить уравнение движения центра тяжести цилиндра. Размерами шарика пренебречь. В начальный момент ф = 0, скорость шарика равна у0, а цилиндр находится в покое.
Ответ: S==^^M).
Задача 843 (рис. 455). К тележке А массой М подвешен маятник, который колеблется по закону ф = ф0 sinti. Определить уравнение движения тележки, если масса маятника т, а длина стержня маятника равна I. Трением скольжения и массой стержня пренебречь. В начальный момент тележка находилась в покое.
Ответ:
Задача 844. Используя условия предыдущей задачи, определить давление N тележки на горизонтальный фундамент.
Ответ: N = (М -\- т) g -\- тЦ6к* [cos (ф0 sin к0 • ф0 cos3 kt — — sin (ф0 sin kf) sin kf\.
Задача 845 (рис. 456). Тяжелый круглый цилиндр В массой т посередине обмотан тонким гибким тросом, конец которого за-
креплен в неподвижной точке Л. Цилиндр падает так, что ускорение его оси равно w. Найти натяжение нити Т.
Ответ: Т = m(g— и/).
Задача 846 (рис. 457). На однородный цилиндр А, могущий свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос,
Рис. 456Рис. 456Рис. 458Рис. 458Рис 457Рис 457
Рис. 456
Рис. 456
Рис. 458
Рис. 458
Рис 457
Рис 457
на свободном конце которого подвешен груз В массой т. Опре
делить давление на ось цилиндра, если груз опускается с ускорением w, масса цилиндра равна М.
Ответ: N = (M^-m)g— тш.'
Задача 847 (рис. 458). Грузы Mv и М» массами mv и т^ (Шх^тА подвешены к концам троса, перекинутого через невесомый блок А. Определить давление блока на ось /////////////г
Л А ПРИ Движении грузов, если ускорения грузов равны ф. Ответ: N = (т{ + т^ g — (mY — mA ф.
< У J Задача 848 (рис. 459). Груз Mv массой mY поднимается при помощи блочного приспособления. Цмг Определить величину реакции оси блока I, если груз Л43 массой т^ опускается с ускорением w. Тре- <~> нием и массой блоков пренебречь.
Ответ: N = ^mY-VtnAg— ^m2— ^' w.
®MfЗадача 849. Горизонтальная паровая машина
Рис. 459 установлена на неподвижном фундаменте. Масса мо
тыля mY, масса шатуна тг, масса поршня т3. Найти
максимальное горизонтальное давление машины на крепления при ее работе, если мотыль вращается с постоянной угловой скоростью <о0, а отношение у I, где г — длина мотыля, t— длина шатуна. Мотыль и шатун считать однородными стержнями.
Ответ: Nmax = ф [«i + 2 (ша Ц- т3) + у (т2 Ц- 2m3) j.
Задача 850. Железнодорожный состав массой 1000 т передвигается равномерно по горизонтальному пути со скоростью 36 км;ч паровозом массой 100 т. После разрыва сцепки между паровозом и составом вагоны прокатились на 95 м за 10 сек. Считая, что
ни сила тяги, ни сйла трения при разрыве не изменились, найти, на каком расстоянии от вагонов находится в тот же момент
паровоз.
Ответ: х = 55 м.
тхт^/ (ткЦ-тг) 1тхт^/ (ткЦ-тг) 1Ответ: ТОтвет: ТЗадача 851. Две массы тх и тг связаны нерастяжимой нитью длиной / и лежат на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Массе тх сообщается скорость щ, перпендикулярная нити. Найти натяжение нити.
тхт^
/ (ткЦ-тг) 1
тхт^
/ (ткЦ-тг) 1
Ответ: Т
Ответ: Т
Задача 852 (рис. 460). Однородная квадратная рама ABDC со стороной а вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой
Рис. 460Рис. 460
Рис. 460
Рис. 460
скоростью w. Вокруг оси СВ, совпадающей с диагональю рамы, вращается однородный диск массой тх. Определить количество
движения системы, если масса рамы равна тг. Ответ:
Вектор Q направлен по перпендикуляру к плоскости рамы в сторону ее вращения.
, Задача 853 (рис. 461). Однородная шестерня / радиусом г катится по неподвижной шестерне II с таким же радиусом при помощи кривошипа ОА, вращающегося с по-~
стоянной угловой'скоростью w0.
Определить количество движения системы, если масса шестерни I равна тх, а кривошипJglc
представляет собой однородный стержень массой т2._ // П
Ответ: Q = rw0(2m1-j-т*), Q1.OA.Н
Задача 854. Кулисный механизм, пока-П
занный на рис. 462, приводится в движение кривошипом ОС, вращающимся с постоянной рис угловой скоростью w0 вокруг оси О. Определить количество движения механизма в момент t =сек, если
й начальный момент кривошип занимал крайнее правое положе-
ние. Массы кривошипа, ползуна и кулисы соответственно равны т^ m2 и m3. Расстояния: ОВ = а; ОС = аУ 2; АВ — 2а. Кривошип и кулису считать однородными стержнями.
Ответ: Q = ш(|а j/"т/ 4- 2 (у + т^ 4- 2m31 у 4~ mi V
Задача 855. Точка массой т движется по окружности с постоянной по величине скоростью и. Определить величину импульса силы за четверть и пол-оборота.
Ответ: за 1/4 оборота S = тиУ2; за 1/2 оборота S = 2mu.
Задача 856. Точка массой т брошена с начальной скоростью уе под углом а к горизонту. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха, полный импульс силы тяжести за время движения точки.
Ответ S = 2mvesma.
Задача 857. Точка массой т движется в плоскости хОу согласно уравнениям
х = a cos kt; у = b sin kt.
Определить импульс силы за время, в течение которого точка находится в положительном квадранте.
Ответ • S = тк УсА-^- У.
Задача 858. По настилу, наклоненному под углом 30° к горизонту, опускается груз без начальной скорости. Определить скорость груза по истечении 3 сек, если коэффициент трения скольжения равен 0,5
Ответ: и — 1,97 MjceK.
Задача 859. Телу, находящемуся на наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол 45°, сообщена начальная скорость, параллельная плоскости, равная 9,81 м/сек и направленная вверх. Определить время движения тела до остановки, если коэффициент трения равен 0,2.
Ответ. 1 = 1,18 сек.
Задача 860 (рис. 463). Тяжелая точка помещена на наклонную плоскость I с углом наклона а, и отпускается без началь-
Рис 463Рис 463Рис 464Рис 464
Рис 463
Рис 463
Рис 464
Рис 464
ной скорости. Дойдя до наинизшего положения, она поднимается затем по наклонной плоскости II с углом наклона а2. Зная время спуска tb определить время подъема t4, пренебрегая трением.
Ответ: t^ — ti . а 1 Sill
Задача 861 (рис. 464) Тело А массой 10 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы Q, об-
разующей с плоскостью угол а = 30°. Определить величину силы Q, если за 5 сек скорость тела возросла с 2 М/сек до 4 лрсек, а коэффициент трения / = 0,15.
Ответ: Q = 20 н.
Задача 862. Под каким углом а должна быть приложена к телу сила Q, чтобы она была минимальней, если все прочие данные задачи 861 остаются неизменными? Какова при этом величина силы Q?
Ответ: а = arctg / = 8°32'; Qmin= 18,52 н.
Задача. 863 (рис. 465). Ползун Л1 массой 20 кг перемещается вдоль вертикального стержня АВ под действием силы Q = 700 н.
863 при условии, что р = 30°, а с вектором863 при условии, что р = 30°, а с векторомРис 467Рис 467. (hut — fmgY2ka. (hut — fmgY2kaприF ka ’приF ka ’
863 при условии, что р = 30°, а с вектором
863 при условии, что р = 30°, а с вектором
Рис 467
Рис 467
. (hut — fmgY2ka
. (hut — fmgY2ka
при
F ka ’
при
F ka ’
направленной под углом а = 60° к стержню. Определить время/.
в течение которого скорость ползуна увеличится на 2 м]сек, если коэффициент трения / = 0,2.
Ответ: /= 1,227 сек.
Задача 864 (рис. 466). Решить задачу стержень ДВ образует с горизонтом угол Q — угол а = 45°.
Ответ: / = 0,12 сек.
Задача 865 (рис. 467). На тело М массой т, лежащее на шероховатой горизонтальной плоскости, действует сила Q, направленная под углом а к горизонту. Определить скорость тела по
истечении / сек, если величина силы
изменяется по закону Q = at, где а — постоянная величина. Коэффициент трения скольжения равен /.
Ответ: у = 0 для 0=^/^-^,
где k = cosa — / sin a.
Задача 866. Электрон массой m влетает в переменное электрическое поле, изменяющееся по закону Е = E6sm wt, и летит в на-
правлении поля. Найти изменение его скорости за половину периода ^0 ^< ^v) • Сила, действующая на электрон, равна еЕ.
Ответ: to = —.
Задача 867. На покоящейся лодке массой М находится человек, масса которого равна т. С какой скоростью у будет перемещаться лодка, если человек начнет двигаться по ней с относительной скоростью й? Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: у =
Задача 868. Матрос весом P = mg перемещается по шлюпке массой М с относительной скоростью и. Определить скорость шлюпки в зависимости от времени, считая сопротивление воды постоянным и равным R. В начальный момент матрос и шлюпка находились в покое.
Задача 869. Считая в условиях предыдущей задачи, что шлюпка получила в начальный момент скорость у0, определить, через сколько времени ее скорость станет равной нулю? Какому условию должна отвечать длина шлюпки I, чтобы задача имела решение при любом значении относительной скорости и?
Ответ:
R '4mR
Задача 870. Корабль водоизмещением 10 000 т, двигающийся со скоростью. 36 км!ч, производит залп из шести орудий по направлению, образующему с направлением движения угол 30°. Определить, на сколько процентов изменится скорость корабля в первый момент после выстрела, если считать, что поперечная составляющая отдачи уничтожается сопротивлением воды. Масса каждого снаряда 250 кг, а его начальная скорость равна 800 MjceK.
Огпвет: Скорости корабля уменьшится на 1,04%.
Задача 871. Снаряд противотанковой пушки, имеющий массу 6 кг, ударившись о лобовую броню танка, масса которого равна 30 т под углом к ней 30°, рикошетирует. Найти изменение скорости танка, если скорость снаряда равна 500 м{сек.
Ответ: Скорость танка изменится на 0,1 м]сек.
§ 2. Теорема об изменении кинетического момента.Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
Кинетическим моментом системы называют главный момент количеств движения всех точек системы:
(12.10) 4=1
Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси его вращения определяют формулой
L2 = JA(12.11)
где Д.— момент инерции тела относительно оси вращения; и> = ф — алгебраическая величина угловой скорости.
Производная по времени от кинетического момента системы материальных точек относительно неподвижного центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.
d^ = ^.(12.12)
Производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил относительно той же оси, т. е.
=(12.13)
Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ог, последняя формула примет вид
J^^M^,(12.14)
где е= «> = ф.
Если Л4^=0, то из (12.12) имеем закон сохранения кинетического момента:
Lo = const.(12.15)
Если Л4^ = 0, то Lx — const.
Теорема об изменении кинетического момента справедлива и для случая относительного движения точек системы по отношению к поступательно движущимся осям с началом в центре масс (центре инерции) системы, т. е.
=(12-16)
Задача 872 (рис. 468). В экспериментальной установке для определения моментов инерции испытуемая деталь укрепляется на шпинделе АВ, на котором насажен барабан радиусом R. На барабан намотана нить, к концу которой прикреплен груз массой т. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить момент инерции детали, если груз, будучи отпущен без начальной скорости, проходит расстояние h за время t. Момент инерции вала с барабаном равен J6. Принять, что центр тяжести С детали находится на оси шпинделя.
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из детали, барабана с валом и груза. Воспользуемся третьим уравнением (12.13). Имеем
dt1
Кинетический момент системы равен сумме кинетических моментов детали, вала с барабаном и груза, т. е.
Ьг = Lz -{- 1}г -|- Lz'.
Поскольку
L\ = Jw, L1} = J^w; L™ — muR,
где J — искомый момент инерции детали; u = u>R — скорость груза, то
L^U^J^-mR1')^.
Внешними силами (рис. 468,6), действующими на систему, являются вес Р_ падающего груза; вес Q детали, вала и барабана; реакции NA и 1VB подшипников А и В.
Пренебрегая трением в подшипниках и их размерами, получим__
мл^-м^-о.
Поскольку центр тяжести вращающихся тел лежит на оси, то
AMQ) = 0, следовательно,
М^ = PR.
откудаоткудаПодставляя полученные величины в уравнение (ct), имеем(J + Л + mR^ ^ = mgR,
откуда
откуда
= const.
Интегрируя дважды это выражение и учитывая начальные условия получим
ь , mgRV
откуда
Задача 873. Винт судна имеет момент инерции J и приводится во вращение из состояния покоя вращающим моментом М. Винт испытывает силы сопротивления воды, момент которых пропорционален квадрату угловой скорости, т. е. Afconp = W, где к — постоянный коэффициент. Определить среднюю угловую скорость винта за промежуток времени, по истечении которого угловая скорость его станет равной a>j.
Решение. Применим дифференциальное уравнение вращения твердого тела (12.14):
Ле = мТ.
Внешними моментами являются вращающий момент М и момент Л4сопр. Таким образом,
j^ — M — №.(е)
Искомая средняя угловая скорость может быть найдена по формуле
Wcp=J.(О
Для нахождения ср и t проинтегрируем уравнение (г). Разделяя переменные, получим
Обозначим
тогда
Jdu>к (es_„S)
Интегрируя, будем иметь
откудаоткудаJ2ak
откуда
откуда
t— 2 |п ° + Mi
2аки а — йР
Найдем <р как функцию w. Для этого умножим (е) на d^, получим Ju)du> =ЦМ — few2) d^.
Разделяя переменные, имеем
Интегрируя, найдем / .=
2fc v '|ш = 0 т’отсюдаУ . а2
? —2А Па2—юр Согласно (Д, имеем
Задача 874. Ротор гироскопа массой 30 кг в момент выключения делал 12 000 об’мин. Определить момент относительно оси вращения сил сопротивления, приложенных к ротору, считая их постоянными, если ротор остановился ор через 30 мин. Осевой радиус инерции
6I ротора равен 10 см.
Ответ: М2 = ^ = 0,209 нм.
( А^ )Задача 875 (рис. 469). Шкив ЛД
х^хвращающийся с угловой скоростью w0,
Рис. 469тормозится при помощи ручного тор
моза. С какой силой Р надо прижать рукоятку, чтобы шкив остановился через t сек, если коэффициент трения Д длина рукоятки а, ОК — b, момент инерции шкива J, а его радиус г.
Ответ: P = J^.
Задача 876. Используя условия задачи 875, определить число оборотов, совершенных шкивом до его остановки.
Ответ.- ^ = 4^ = ^ •
Задача 877. Однородному стержню длиной 21, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщена угловая скорость w0 вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр. Определить время вращения стержня до остановки, считйя его давление на плоскость равномерным, а коэффициент трения о плоскость равным Д
Ответ: t =
Задача 878. Однородный диск радиусом R, вращающийся с угловой скоростью w0 вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, помещен на шероховатую горизонтальную плоскость. Найти время, прошедшее до остановки диска, считая давление диска на плоскость равномерным, а коэффициент трения скольжения равным Д
Ответ:
Задача 879. Маховик, момент инерции которого J, в начале торможения имел угловую скорость w0. Определить, через сколько времени его угловая скорость уменьшится в два раза, если момент сил сопротивления пропорционален квадрату угловой скорости (коэффициент пропорциональности равен fe).
Ответ: t = ™.
Задача 880. Используя условия предыдущей задачи, определить число оборотов, совершенных маховиком за указанный промежуток времени. Какова при этом средняя угловая скорость?
Ответ: N = ^J" -; w = о^ In 2.
Задача 881. Винт судна имеет момент инерции / и приводится во вращение из состояния покоя постоянным вращающим моментом М, встречая при этом сопротивление воды, пропорциональное его угловой скорости. Зная предельную угловую скорость wnp, определить, через сколько времени после начала движения вращение винта можно считать равномерным с относительной ошибкой не более ).= ^Р—
шлр
Ответ: через / = -^р In у.
Задача 882. Маховик, имеющий угловую скорость ю0, тормозится силами, момент сопротивления которых пропорционален корню квадратному из угловой скорости. Определить среднюю угловую скорость за время торможения.
Ответ: шср = ^.
Задача 883. Движущий момент сериесного электродвигателя в некоторых условиях обратно пропорционален квадрату угловой скорости вращения вала. Принимая момент сил сопротивления постоянным и равным уИ, определить, через сколько времени угловая скорость мотора утроится, если начальная угловая скорость w0 вчетверо меньше предельной. Момент инерции ротора равен J.
Ответ: / = 0,87;^0.
Задача 884. При работе дизеля с отключенным винтом и без регулятора движущий момент Мд =— Л -ф Вт (Л ф>0; В">0;
0 — угловая скорость). Определить закон изменения угловой скорости с течением времени, если приведенный момент инерции равен J.
Начальная угловая скорость — _
А , / А \ —г
Ответ: w = у- +1 w0 — "g )6 •
Задача 885. На тормозящийся вал действуют постоянный момент NYX сил трения подшипников и момент сил сопротивления М8, вызываемый электромагнитной муфтой и изменяющийся по закону
Л12 = МТ(1 —е-м\
где МТ — наибольшее значение момента сопротивления, к — постоянная, зависящая от параметров муфты.
Определить угловую скорость вала как функцию времени, если его начальная угловая скорость равна w0, а момент инерции равен J.
Ответ. о> = w0 — (——-1 / — 7£w — *)•
Задача 886. Для уменьшения ошибок в показаниях гироскопических приборов, вызванных движением судна, приборы конструируют так, чтобы период собственных колебаний был равен периоду колебаний математического маятника, имеющего длину, равную радиусу Земли (£ = 6400 кму Определить этот период.
Ответ: т№84 мин
Задача 887. Однородный диск радиусом R подвешен так, что может совершать колебания в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку на его окружности. Определить период малых колебаний диска.
Ответ: т = 2к 1/
Задача 888 (рис. 470). В сейсмографе однородный стержень массой т удерживается в горизонтальном положении при помощи вертикальной пружины с жесткостью с, Уприкрепленной в точке М к стержню
на расстоянии 0М = а. Определить пе-
риод собственных колебаний стержня
в вертикальной плоскости, если длина
О гмего Равна I.
|р^—Ответ: т = 2тг — 1/"у.
Рис. 470Задача 889. Однородный стержень
длиной 2/ может колебаться в вертикальной плоскости около одной из своих точек, как физический маятник. Найти, где должна быть расположена точка подвеса, чтобы период колебаний был наименьшим.
Ответ: расстояние от точки подвеса до серёдины стержня равно -L
.Задача 890 (рис. 471). Однородный диск массой Л4 может вращаться вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси О. К точке А диска прикреплена пружина с жесткостью с, как ука-
Рис. 471Рис. 471
Рис. 471
Рис. 471
колебаний диска, если при ОА пружина ненапряжена.колебаний диска, если при ОА пружина ненапряжена.с вертикалью. Центр тяжестис вертикалью. Центр тяжестиРис. 473Рис 474Рис. 473Рис 474
колебаний диска, если при ОА пружина ненапряжена.
колебаний диска, если при ОА пружина ненапряжена.
с вертикалью. Центр тяжести
с вертикалью. Центр тяжести
Рис. 473Рис 474
Рис. 473Рис 474
зано на рисунке. Определить период горизонтальном положении радиуса _ Ответ: т = 2гс 1/
Задача 891 (рис. 472). Тонкий стержень, изогнутый по дуге окружности радиусом .R, подвешен на нитях так, что он может колебаться в своей плоскости вокруг горизонтальной оси, совпадающей с центром окружности. Определить период малых колебаний стержня, если Z.AOB = 2а.
Ответ: т 2гс .
V gsma
Задача 892 (рис. 473). В горизонтальном сейсмографе ось АВ
составляет весьма малый угол а груза Л4 отстоит от оси вращения на расстоянии I. Определить период малых собственных колебаний сейсмографа. Массами стержней пренебречь.
Ответ: т = 2тг 1/ —.
Задача 893 (рис. 474). Тонкая однородная пластина A BCD массой 1 кг может колебаться вокруг оси АВ, составляющей с вертикалью угол а= arcsin 0,2. Каждый
элемент площади dS при этом испытывает силу сопротивления среды, равную hydS, где и — скорость, а к = 200 н • сек)м'\ Найти условный период затухающих колебаний пластины при малых начальных возмущениях, если ЛВ = Ь = 20 см, AD — а — 10 см.
Ответ: т = 1,25 сек.
35335312 Н. А Бражниченко и др.
353
353
Задача 894 (рис. 475). Прибор Рэлея для измерения звукового давления состоит из тонкого диска радиусом а и массой т, подвешенного на кварцевой нити При воздействии на диск звуковой волны появляется момент
М = ^ра'и‘1
(р — плотность воздуха, и = и» sin ю/ — скорость волны), вызывающий крутильные колебания нити. Определить амплитуду вынужденных колебаний диска, считая упругий коэффициент нити при кручении равным с, а момент сил трения равным »ф (а — постоянная).
Ответ: А =—-==4==- , ]/16Ха«>2+(«2 —4м2)2 где
и та2’ та2 ’ Зт
Задача 895 (рис. 476). Груз М массой тх прикреплен к тросу, намотанному на сплошной цилиндрический барабан, который мо-
Рис 477Рис 477
Рис 477
Рис 477
жет вращаться вокруг горизонтальной оси. Определить ускорение груза при его падении, а также суммарное давление барабана на подшипники, если масса барабана равна т2. Массой троса и трением пренебречь.
л гЗт.т24-т1
Ответ: w — 5—; N = -г—- е.
2т1 m2 ’т2 6
Задача 896 (рис. 477). Четыре одинаковых точечных груза массой Ш| каждый вращаются на крестовине в вертикальной пло
скости. Расстояния от грузов до оси вращения одинаковы и равны I. Крестовина приводится во вращение при помощи груза массой т^, прикрепленного к нити, намотанной на барабан. Определить натяжение Т троса, если радиус барабана, на который он намотан, равен г. Массой барабана, крестовины и троса, а также трением пренебречь.
Ответ: Т = .7
4т ХР + т^-ь
Задача 897 (рис 478). Груз М массой mv поднимается приЗадача 897 (рис 478). Груз М массой mv поднимается припомощи ворота. Масса барабана ворота бана R, длина рукоятки ОД = I. Считая силу G, приложенную перпендикулярно к рукоятке барабана, постоянной по величине, определить закон движения груза М и натяжение Т троса, если в начальный момент скорость груза была равна нулю. Барабан считать сплошным однородным цилиндром. Массой рукоятки пренебречь.
Задача 897 (рис 478). Груз М массой mv поднимается при
Задача 897 (рис 478). Груз М массой mv поднимается при
n(GZ — t1
Ответ: s = -,,;
m(^2^*7? Д— 2GL)
(ша + гтДТ? ’
равна m2, радиус бара-равна m2, радиус бара-Задача 898 (рис 479). На однородный сплошной цилиндр радиусом г и массой ть который может вращаться вокруг непод-
равна m2, радиус бара-
равна m2, радиус бара-
Рис 479Рис 479при условии, Ответ: е =при условии, Ответ: е =вижпой горизонтальной оси, намотан в один ряд трос длиной I и массой т2. Определить угловое
Рис 479
Рис 479
при условии, Ответ: е =
при условии, Ответ: е =
ускорение цилиндра в зависимости от длины свешивающейся части троса х. Трением в подшипниках и толщиной троса пренебречь. Считать, что центр тяжести намотанной части совпадает с центром барабана.
Ответ:ЗадачаОтвет:Задача__ 2xmagгЦт^Чт^1
Ответ:
Задача
Ответ:
Задача
899. Используя условия предыдущей
задачи, определить угловое ускорение цилиндра что к концу троса подвешен груз массой т$.
_ 2g (т3/ 4- тгх)
г2 (т2 -)- w3)J
Задача 900. Тонкий однородный диск массой 20 кг и радиусом 0,8 м вращается в горизонтальной плоскости вокруг закрепленной точки О, отстоящей от его центра на расстоянии 0,4 м. Опредёлить величину горизонтальной составляющей реакции в закрепленной точке через 1 сек после начала движения, если к диску приложен вращающий момент, равный 30 н • м. В начальный момент диск находился в покое.
Указание. После определения е и <в использовать теорему
о движении центра инерции.
Ответ: R = S2 н.
Задача 901 (рис. 480). Однородный сплошной цилиндр радиусом г и массой т может свободно вращаться вокруг неподвижной оси АВ. На цилиндр намотан нерастяжимый трос, к концам которого прикреплены грузы Alt и МЦ. Определить закон изменения угловой скорости и угла поворота цилиндра как функции
от t, если в начальный момент цилиндр был в покое. Масса
груза Mi равна тх, масса груза ЛЦ равна т». Трением в подшипниках и массой троса пренебречь.
Рис. 480Рис. 480Принять т1'^>тх.
Рис. 480
Рис. 480
Ответ- ш — ^^-m^gt .
Ответ.(2mv + 2m2+т) г’
” (2тг 4- 2zh2 + m) г "
Задача 902. Цилиндр радиусом R и массой М, имеющий радиус инерции р,
приводится во вращение вокруг горизонтальной оси при помощи навитого
на него троса, на конце которого прикреплен груз массой т. Вращению цилиндра препятствует спиральная пружина, для закручивания которой на 1 радиан необходимо приложить момент, равный с. Определить закон вращения цилиндра и наибольший угол его поворота, если в начальный момент система была в по
кор, а пружина не деформирована
Ответ1 у —-^§5(1—cos 6/); <pmas = ^^-, где
/г — 1 f с
Задача 903 (рис. 481). Однородная тяжелая прямоугольная пластина шириной 26 и высотой а вращается без трения вокруг вертикальной оси АВ На этой оси закреплен шкив радиусом г с намотанной на него нитью, которая переброшена через идеальный блок Е) и несет на конце груз Е. Считая, что каждый элемент пластины dS испытывает перпендикулярную к нему силу сопротивления R = kudS (6 — коэф
фициент пропорциональности, у — скорость элемента), определить
массу т груза Е, при которой предельная угловая скорость пластины равна w0. Массой шкива и блока пренебречь.
Ответ: т =——.
3rg
Задача 904. В задаче 903 определить закон изменения угловой скорости с течением времени, если в начальный момент скорость груза Е была гравна нулю, а масса пластины равна М.
Ответ: ^^t-e^), где p = ^J^_.
Задача 905. Снаряд, имеющий осевой момент инерции, равный 15 кг-м1, выходит из ствола орудия с угловой скоростью 200 радIсек. Считая, что снаряд движется в канале ствола равноускоренно в течение 0,02 сек, найти внешний момент М,
действующий на снаряд Определить разность давлений на колеса орудия, если расстояние между ними 1,5 я, а ствол составляет с горизонтом угол 60°.
Ответ М = 150 кн-м; Nx— ДГа=100 кн.
Задача 906 (рис. 482). Полому кольцу радиусом R сообщена некоторая угловая скорость вокруг вертикального диаметра. Внутри кольца из наивысшей точки движется шарик М массой т. Найти отношение наибольшей угловой скорости кольца к наименьшей, если момент инерции кольца относительно оси вращения равен J.
штах I I tnR2
Ответ: = 14
“тт
Задача 907 (рис. 483). Однородный горизонтальный диск радиусом г и массой тх может вращаться вокруг неподвижной
Рис 482Рис 482
Рис 482
Рис 482
вертикальной оси АВ, проходящей через его центр О. По ободу диска движется материальная гочка М массой т» по закону
at2
на-на-s = М6М = -у. Определить угловое ускорение г диска, если в чальный момент диск был неподвижен. Трением пренебречь.
на-
на-
ра-tog.ра-tog.Ответ: е ,, ■.
ра-tog.
ра-tog.
Задача 908 (рис. 484). Однородный диск массой тх и диусом г вращается вокруг оси АВ с угловой скоростью
В некоторый момент от центра диска по его радиусу начинает двигаться материальная точка М массой та с постоянной скоростью и. Определить угловую скорость ю диска по истечении времени t после выхода точки из центра, а гакже в момент tx, когда точка дойдет до конца диска. Трением пренебречь.
тхг2ша
Ответ: Ю1=—
,2стоянии h = -r,2стоянии h = -rЗадача 909. Однородный диск радиусом г и массой тх может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске в точке, отстоящей от оси вращения на рас-
,2
стоянии h = -r
,2
стоянии h = -r
находится человек массой та. Определить
угол у поворота диска при перемещении человека вдоль концентрической окружности радиусом h на половину ее длины. Трением пренебречь.
Ответ: у — а 8—.
Задача 910 (рис. 485). По горизонтально расположенной плоской пластинке, которая может вращаться вокруг вертикальной оси, движется по окружности с постоянной по величине скоростью и» материальная точка М с массой т. Центр этой окружности Ot расположен на расстоянии I от оси вращения, радиус ее равен г.
Рис. 485Рис. 485Рис 486Рис 486
Рис. 485
Рис. 485
Рис 486
Рис 486
Найти зависимость угловой скорости пластинки ю от угла у, определяющего положение точки /И на плоскости, если момент инерции пластинки равен J, а ее угловая скорость в момент.
когда точка дальше всего отстоит от оси вращения, равна нулю. Трением в осях и сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ- ® =
ответ, w m (/з 4-r2 + 2/r cos у) ’
равна тх.Ответ: wравна тх.Ответ: w6 mvy0I (4m-(-3m,)"6 mvy0I (4m-(-3m,)"Задача 911 (рис. 486). Деревянная доска длиной I и массой т может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси ООХ. В середине доски застревает пуля, летевшая перпендикулярно к доске со скоростью v0. Определить угловую скорость, которую приобретает доска в момент попадания пули, если масса пули
равна тх.
Ответ: w
равна тх.
Ответ: w
6 mvy0
I (4m-(-3m,)"
6 mvy0
I (4m-(-3m,)"
§ 3. Теорема об изменении кинетической энергии
Кинетическую энергию материальной системы определяют формулой
Т = ^^.(12.17)
Для систем, совершающих сложное движение, кинетическую энергию определяют по формуле Кёнига:
Му>.
Т^-^Д-Г,(12.18)
где Т — кинетическая энергия системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре инерции.
Для твердого тела, движущегося поступательно,
Т =(12.19)
где М — масса тела;
ус — скорость центра инерции (или любой друюй точки). Для твердого тела, вращающегося вокруг оси,
Т = ^,(12.20)
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения, w — угловая скорость.
Для общего случая движения твердого тела (в том числе и для плоского движения)
где Jc — момент инерции тела относительно мгновенной оси, проходящей через центр инерции (для плоского движения эта ось перпендикулярна плоскости движения);
ю — мгновенная угловая скорость.
Элементарную работу силы, приложенной к материальной точке, на бесконечно малом перемещении определяют формулой
М = F ■ dr — Fds cos (F, ^ = Fxdx-Y-FNdy-VFzdz. (12.22)
Работа силы на конечном перемещении материальной точки
Д = ^F-dr$ FTds = ^ (F х dx Д- Fу dy Д- F z dzY(12.23)
lLL
Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути s
A = Fs cos (Д, s).(12.24)
Работа сил тяжести любой системы
A»^ = P^Ci-zc),(12.25)
где Р— вес всей системы;
гс и zc — аппликаты центра инерции в начальном и конечном положениях системы.
Работа упругой силы Fx= — cx при прямолинейном перемещении точки
Элементарную работу сил, приложенных к твердому телу, перемещающемуся произвольно, определяют по формуле
М = [Я-Эо + ^о“1^.(12.26)
где R и М6 — главный вектор и главный момент приложенных к телу сил;
О — произвольная точка тела.
Работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг оси, fa
M=Mzd<p; А19 = $Мгд<р,(12.27)
fl
где Мг — главный момент всех сил относительно оси вращения Ог.
Сумма работ всех внутренних сил в твердом теле равна нулю. Мощность силы, приложенной к точке,
N = ^ = F-v = F.v = F^-}-Fyy^ Fzz. (12.28)
Мощность сил, приложенных к твердому телу,
N = R.v0-VM0.^.(12.29)
Для сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси,
N = Mzw.(12.30)
В общем случае работа силы на криволинейном участке пути зависит от формы кривой L, по которой перемещается точка. Если силы, действующие на точку, таковы, что
6Fx_dFs dFx_dFz dFy _dFz ду дх ’ dz дх 1 dz dy ’ то работа не зависит от формы траектории точки, и поле сил называют потенциальным. В этом случае
8Л = —йТТ; Ли^П! — П2,(12.31)
где П (х, у, 2) — потенциальная энергия точки;
П1 и П2— значения П(х, у, г) в начальном и конечном положениях точки.
Потенциальная энергия поля силы тяжести
П = Ргс + const.(12.32)
Если выбрана нулевая поверхность уровня, то получим
П = ±РЛ,(12.33)
где h — высота центра тяжести относительно нулевой поверхности, причем знак «плюс» имеет место в случае, когда центр тяжести расположен выше этой поверхности.
Потенциальную энергию пружины (линейной и спиральной) выражают формулой
гА2
П=-2-,(12.34)
где для линейной пружины:
с —жесткость, равная величине силы, вызывающей изменение длины пружины на единицу длины;
Д — изменение длины пружины по сравнению с ее недефор- мированной длиной;
для спиральной пружины:
с —жесткость, равная величине момента силы, вызывающего закручивание пружины на 1 радиан;
Д — угол закручивания от недеформированного состояния.
Приращение кинетической энергии системы при перемещении ее из одного положения в другое равно сумме работ, произведенных на этом перемещении всеми силами, приложенными к системе, т. е.
Тг — Т1 = АН.(12.35)
Если система неизменяемая, то
Т4 — Т1 = А<8,(12.36)
где А ^ — сумма работ внешних сил.
Производная от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех сил, действующих на эту систему, т. е.
S = N.(12.37)
сумме кинетической и по-сумме кинетической и по-Рис. 487Рис. 487Если система движется в потенциальном силовом поле, то полная механическая энергия, ; тенциальной энергий, остается постоянной, т. е.
сумме кинетической и по-
сумме кинетической и по-
Рис. 487
Рис. 487
Т 4- П = const. (12.38)
Задача 912 (рис. 487). Груз М массой т помещен на негладкую наклонную плоскость, образующую с горизонтом угол а, м прикреплен к концу пружины с жесткостью с, другой конец которой закреплен неподвижно.
Определить максимальное растяжение s пружины, если в начальный момент пружина была недеформирована, а груз отпущен без начальной скорости. Коэффициент трения тела о плоскость равен f, причем f<4ga.
Решение. Согласно (12.35), имеем
ту^ my'i Л ~22~
На груз М действует вес Р, упругая сила F, нормальная реакция плоскости N и сила трения FTp, направленная как F.
Так как
и1 — иг = 0, то Л12 = 0, т. е____
Л12 = Л1а (Р) 4- Д12 (Ртр) + Лв (Р) + А12 W = 0.
Здесь
Ртр =^ /Р cos a, F — cx, Р = mg.
Далее найдем
Л12 (Р) = Ps sin а; Л12 (Ртр) = — PTps = — fPs cos у;
Аа(Р) = — cxdx =— ^-; Лн(/V) = 0.
Следовательно,
Ps sin а — Ps/ cos а — ^ = 0, откуда
2mg ( sin а — / COS а)с*
Задача 913 (рис. 488). Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес /, II и III радиусами гх = г^ — г, г3 —Зг Первое колесо насажено на ведущий вал, второе свободно насажено на раму, связанную с ведомым валом В, третье неподвижно.
Принимая колеса I и II за однородные
сплошные диски массами mt и т2 соответственно, определить зависимость между угловой скоростью ведомого вала и углом поворота ведущего вала, если к ведущему валу приложен момент Мд, а к ведомому— момент сопротивления Мд В начальный момент система находилась в покое, а центр колеса II занимал верхнее положение Трением и массой рамы пренебречь.
Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы (12 35), имеем
Т4-Л = Дп (g)
Так как в начальный момент система была в покое, то 71 = 0.
Найдем Т3
Т^Т^Т,,,
где Т7 и Тп—кинетические энергии колес I и II. Согласно (12.20) и (12 21)
122 *
12 + 2 1
Установим зависимость между угловыми скоростями. Для точки D имеем
ис = ш1г1 = 2о)2г2, отсюда
о>| ■— 2(0$
Найдем скорость точки С и угловую скорость вала в:
ис^Ш1г4 = ^г, шв = 7гфтг=у, отсюда
а>л = <о1 = 4<од;(А)
ш2 = 2<од; ис=2и>вг.
Поскольку колеса принимаются за однородные диски, то
, jntr^mzr2 г m2rl т8гг
Таким образом,
Т$ = (4mj 4- Зт2) rVB.
Вычислим работу. Так как система состоит из твердых тел и трение отсутствует, то
Л12 = Л13 (А4Л) 4- Л12 (Д4д) 4" Ли №)■
Имеем
Л1$ (Мл) = Мл<рл;
Ли (Р^ — m^gh = 2migr (1 — cos фд).
Найдем зависимость между рд и рл. Из (/i) получим
?д = 4?в>
таким образом,
Л13 = Млсрл — Мв ^ 4- 2magr(l — cos ^.
(4МЛ~Мд) Тл + 8т3§Ц1—cos ‘^ _(4МЛ~Мд) Тл + 8т3§Ц1—cos ‘^ _Пользуясь (g), найдем
(4МЛ~Мд) Тл + 8т3§Ц1—cos ‘^ _
(4МЛ~Мд) Тл + 8т3§Ц1—cos ‘^ _
откудаоткуда(4mt + 3ma) rVB =
откуда
откуда
Задача 914. Тело, принимаемое за материальную точку, движется прямолинейно по закону x = kj\ где кх— постоянная величина. Сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости тела, причем коэффициент пропорциональности равен кг. Найти работу силы сопротивления при перемещении точки из положения х = 0 в положение х = а.
Ответ: А = — у а^к^ д/у.
Задача 915. Материальная точка подвешена на невесомом стержне длиной /. Какую начальную скорость следует сообщить точке, чтобы при прохождении ее через верхнее вертикальное положение стержень не испытывал бы усилий растяжения или сжатия?
Ответ: с —l/*5g/.
Задача 916. Шлюпка вместе с гребцами имеет массу 800 кг. Считая, что каждый гребец прикладывает к рукоятке весла
силу 100 н, перемещая ее при этом на 1 м, найти, какую скорость сообщают шлюпке восемь гребцов после пяти размахов. Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: у —3,16 «.(сек.
Задача 917 (рис. 489). Тело скользит по наклонной плоско
сти I без начальной скорости и, пройдя путь st до точки С, под
Рис. 489Рис. 489нимается по наклонной плоскости II. Считая, что в точке С вследствие небольшого закругления не происходит потери скорости, определить, какое расстояние s3 по плоскости II пройдет
Рис. 489
Рис. 489
тело до остановки, если углы наклона плоскостей соответственно равны at
<«1.<«1.?1?1Ответ:Ответ:&$1&$1и ад, а углы трения тела о плоскости равны ^i и ср3, причем
<«1.
<«1.
?1
?1
Ответ:
Ответ:
&$1
&$1
COS <f2 SIH («! — Oj) cos<?i sin («s + fa)1
Задача 918 (рис. 490). В трубке, изогнутой в виде окружности радиусом R и расположенной в вертикальной плоскости, помещен гладкий весомый шарик. Найти скорость шарика в зависимости от угла ср, образованного нижним вертикальным радиусом и ра-
диусом, проведенным в точку, соответствующую положению шарика в данный момент времени, если в начальный момент шарик был отклонен на уюл ©0 и отпущен без начальной скорости. Размерами шарика пренебречь.
Ответ: v = V^gR (cos ср — cos <р0).
Задача 919 (рис. 491). Точка М может скользить без трения по вертикально расположенной параболической направляющей,
Рис. 490Рис. 491Рис. 490Рис. 491
Рис. 490Рис. 491
Рис. 490Рис. 491
уравнение которой у = ~. В некоторый момент точку помещают в положение Л(хл —— 2х0) и отпускают без начальной скорости. Дойдя до конца направляющей В (хв = х0), точка далее летит свободно под действием силы тяжести. Определить наибольшую высоту утах, на которую поднимается точка.
Ответ: у max— 4 ушах 2р (х^-\-р2^
Задача 920. Судно должно спускаться со стапеля на воду по наклонным спусковым путям длиной s. Определить угол а наклона путей к горизонту так, чтобы скорость судна в конце спуска не превосходила и, если угол трения <р = const.
„,. У2 COS to
Ответ: а< о 4- arc sin—
Решение возможно, если
_ У2 COS ?
Vig •
Задача 921. Телу, находящемуся на наклонной плоскости, сообщена начальная скорость и0, направленная вдоль плоскости вверх. Определить, с какой скоростью тело вернется в исходное положение, если угол трения скольжения © = const, а угол наклона плоскости а, причем а^>у.
„-.Asin (а—z.
Ответ: и = иоу .|™wv Г^)
Задача 922 (рис. 492). Тело М массой т
лежит на шероховатой горизонтальной плос
кости (коэффициент трения скольжения ра- Рис. 492 вен f) и прикреплено к недеформиров ан ной
пружине с жесткостью с. Затем тело отводят вправо, растягивая пружину на длину I, и отпускают без начальной скорости.
Какова должна быть величина коэффициента жесткости с, чтобы тело, двигаясь сначала влево, затем изменило направление своего движения?
Ответ: с;> £ .
Задача 923 (рис. 493). К ползуну М, который может перемещаться в горизонтальных направляющих, прикреплена пружина, имеющая естественную (ненапряженную) длину 16 = АВ. В некоторый момент ползун помещают в положение М6 так, что пружина при этом имеет длину 2/0, и отпускают без начальной скорости. Определить, при каком коэффициенте трения ползун остановится в точке В, если пружина такова, что под действием силы, равной весу ползуна, она имеет статичес удлинение, равное /0.
Ответ: f = 0,5.
Рае. 493Рае. 493Задача 924 (рис. 494). Груз М массой т может свободно скользить по стержню АВ, жесткость которого на растяжение
Рае. 493
Рае. 493
равна Ср Конец стержня В упирается в пружину жесткости с». Пренебрегая массой стержня и пружины, определить наибольшее удлинение 8 стержня при падении груза без начальной скорости с высоты /г, если в начальный момент пружина и стержень находятся в педеформированном состоянии.
Ответ: 8 = А-Гi + -|/TkWB1.
Задача 925. Груз падает с высоты h на горизонтальную упругую балку и остается в дальнейшем на ней. При этом наибольший прогиб балки оказывается равным s. Пренебрегая сопротив-
~ млением и массой балки, определить пе
риод собственных колебаний груза на ; Ч,балке, если упругая реакция балки
।пропорциональна ее прогибу.
у IАа п2tcs
a v Iч Ответ : т = —==.
।Задача 926 (рис. 495). Ползун А
Рис. 495массой т может двигаться без трения
по горизонтальной направляющей A0D под действием пружины жесткостью с, закрепленной в точке М. Определить, с какой скоростью ползун придет в точку D, если
в начальный момент он не имел скорости и находился в положении Ло, причем A6D=a. Принять, что, когда ползун находится в положении D, пружина не деформирована и ее длина равна I
Ответ: и — (УР-[~а^—Oj/^-
Задача 927. К концу недеформированной упругой нити, которая может выдержать максимальное натяжение Q, подвешивается груз массой m и отпускается без начальной скорости. Найти, при каком значении m нить оборвется и какова будет скорость груза в момент разрыва. Коэффициент жесткости нити равен с.
л \ Q 1 Го (2mg — Q)
Ответ: т>Г, v= V ——-——. / У ст
Задача 928. Определить, какую скорость необходимо сообщить ракете на высоте Н над Землей, чтобы она удалилась в бесконечность. Сопротивлением среды и притяжением других космических тел пренебречь. Радиус Земли равен R.
Ответ: и=у ^_^_/у (вторая космическая скорость).
При Н = 0 и — УГрР-^ 11,16 км/сек.
Задача 929. На материальную точку массой т действует сила отталкивания от неподвижного центра О, обратно пропорциональная кубу расстояния между ними (коэффициент пропорциональности равен /г). Найти наименьшее расстояние между точкой и центрам, если точке, помещенной от центра О на расстоянии х0, сообщена начальная скорость у0, направленная к этому центру.
Ответ: xmln = , Г~.
у к + т«айх2
Задача 930 (рис. 496). В установке для получения высоких давлений поршень сжимает газ в замкнутом цилиндрическом объеме. На поршень действует в течение всего процесса постоянное внешнее давление pv. Какова должна быть величина рь чтобы газ был сжат
Рис. 496Рис. 496Рис. 497Рис. 497
Рис. 496
Рис. 496
Рис. 497
Рис. 497
до максимального давления ршах? Принять, что давление газа обратно пропорционально его объему (т. е. процесс сжатия является изотермическим). Начальная скорость поршня равна нулю, начальное давление в цилиндре ре. Трением и утечкой газа пренебречь.
Ответ: pv =Ответ: pv =РоРтах j^^maxАпах —Ро Р»
Ответ: pv =
Ответ: pv =
Задача 931 (рис. 497). В условиях предыдущей задачи принять, что внешнее давление равно рх только в начале движения (когда начинает двигаться поршень), в дальнейшем оно убывает из-за расширения занимаемого газом объема /. Найти необходимую начальную величину рх для достижения требуемого ртах в объеме //. Давления считать обратно пропорциональными объемам. При давлениях, равных р^ и р6, длины занятых газом объемов равны соответственно ZOi и 1№.
Ответ:Ответ:рх = рйкрх = рйк
Ответ:
Ответ:
рх = рйк
рх = рйк
где
Задача 932. В условиях задачи 930 сжатие газа (вследствие быстроты протекания процесса) происходит не изотермически, а адиабатически. Поэтому зависимость давления р от объема газа V имеет вид
p—pAW
где у — показатель адиабаты;
р# — начальное давление;
Vo — начальный объем.
Найти искомую величину pi при следующих данных:
р0=Ю5 Мм1: ртах= Ю8 н^м4; х=1,4.
х-1
(/’max) X .J
Ответ: р1 = ^—^ • р” — = 3,47 • 106 н^м1.
! / ^» W
\PmaxJ
Задача 933. (рис. 498). Точка М массой т удерживается в вертикальной плоскости при помощи невесомого стержня ДМ и троса МВ. Определить величину усилия N в стержне в момент, когда трос будет оборван, и в момент прохождения стержнем вертикального положения. В начальный момент стержень образует с вертикалью угол а.
Ответ: A^ = mg cos а; N^ = mg (3 + 2 cos а).
Задача 934. Сплошной однородный шар радиусом R и плотностью 71 помещен в жидкость, плотность которой равна у (?)>Ti), так, что его центр в начальный момент находится на глубине Н (H^R), и затем отпущен без начальной скорости. Определить, при каком условии шар полностью поднимется над поверхностью
жидкости и какова будет при этом наибольшая высота подъема 1г его центра. Силой сопротивления жидкости пренебречь.
Ответ: h^R при 5= 1 + §; h=liU- — 1V 'н\Ti У
Задача 935. Решить предыдущую задачу, считая шар пустотелым и тонкостенным с толщиной стенки 8. При решении пренебречь членами, содержащими 8а и 83.
Ответ: h^R при -Г--8h —
*RH '\зв71;
Задача 936. Система, изображенная на рис. 499, находится в равновесии при x = h. Определить изменение потенциальной
Рис. 499Рис. 499
Рис. 499
Рис. 499
энергии системы при отклонении груза в положение, при котором х = 0. Груз М и блок А имеют одинаковые массы, жесткость пружины равна с.
ch*-
Ответ: ДП — у.
Задача 937. Пята вертикального вала радиусом г и массой т упирается в плоский подпятник. Принимая, что вес вала распределяется равномерно на всю поверхность опоры, определить работу сил трения при одном обороте вала, если коэффициент трения вала об опору равен f.
Ответ: А = —^ fr-^mg.
Задача 938. В троллейбусе с инерционным двигателем на каждой промежуточной стоянке маховик разгоняется в течение трех минут от 1500 до 3000 об/мин, после чего, вращаясь по инерции, он приводит в движение троллейбус. Масса маховика 1,5 т, диаметр 1,6 л. Считая маховик однородным диском, найти среднюю мощность двигателя, разгоняющего маховик. Сопротивлением пренебречь.
Ответ: Мср = 98,7 кет.
Задача 939. Принимая в условиях предыдущей задачи, что после полного разгона маховика троллейбус может двигаться 6 км, определить среднюю величину силы сопротивления.
Ответ: /*" — 3,92 кн.
Задача 940. В некоторых проектах «центробежного» пулемета предполагалось сообщить пуле, расположенной на ободе быстро вращающегося диска, скорость 900 м/сек. Считая диск однородным, имеющим массу 20 кг и радиус 0,5 м, найти, какова должна быть средняя мощность двигателя, чтобы разогнать диск из состояния покоя в течение одной минуты до указанной скорости. Трением пренебречь.
Ответ: 7Vrp = 67,7 кет.
Задача 941. Искусственная межпланетная станция спроектирована в виде диска диаметром 40 м, вращающегося для создания искусственной тяжести с угловой скоростью ш — 0,5 рад'сек. Считая, что масса М станции распределена по ободу диска, найти среднюю мощность двигателя, который должен сообщить станции соответствующее вращение в течение 1 час, если 44 = 10 000 т.
Ответ: Л7ср= 139 кет.
Задача 942. Однородный цилиндр, получив начальную скорость центра, равную и0, катится без скольжения вверх по наклонной плоскости. Пренебрегая трением качения и сопротивлением воздуха, определить, на какую высоту поднимается центр цилиндра.
Ответ: h=
Задача 943. На наклонной плоскости помещены цилиндр (таким образом, что его ось перпендикулярна линиям наибольшего ската) и шар, массы которых одинаковы. Центру шара и оси цилиндра сообщены одинаковые скорости, направленные вверх по наклонной плоскости. Сравнить расстояния, пройденные ими до остановки, если качение тел происходит без скольжения. Тела считать однородными, трением качения пренебречь.
Ответ: ^у = ™. 5ц 1а
Рис. 500конца меньшего стержняРис. 500конца меньшего стержняЗадача 944 (рис. 500). Два тяжелых однородных стержня длиной 1Х и U, имеющие одинаковую плотность и одинаковое поперечное сечение, жестко связаны между собой под прямым углом. Эти стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг перпендикулярной к ним горизонтальной оси О, проходящей через точку их соединения. В начальный момент больший стержень расположен горизонтально и отпущен без начальной скорости. Найти скорость в момент, когда он займет горизонталь
Рис. 500
конца меньшего стержня
Рис. 500
конца меньшего стержня
ное положение. Трением пренебречь.
Ответ: и4 = U 1/"•
Задача 945 (рис. 501). Прямоугольная дверь шириной а и массой М закрывается при помощи груза массой т, веревки и идеального блока Определить угловую скорость двери в момент закрытия, если в момент, когда она была открыта на угол о = 60’, груз был отпущен без начальной скорости. Принять АВ = АС, трением пренебречь.
Ответ: и = дГ .
Задача 946 (рис. 502). По рельсам, образующим в вертикальной плоскости петлю в виде кругового кольца радиусом /?, скатывается вагонетка массой М. Определить, как изменится начальная высота h центра тяжести вагонетки, необходимая для того, чтобы она обошла всю петлю, не отделяясь от нее,
в двух случаях: если учитывать и если не учитывать вращение колес. Масса каждого из четырех колес равна т. Колеса считать однородными дисками, сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: при учете вращения колес начальная высота должна быть больше на величину
Rm
М (-4m"
Задача 947 (рис 503) Колесо / массой mv может катиться без скольжения в вертикальной плоскости внутри неподвижной шестерни //и приводится в движение кривошипом АВ, длиной I
и массой т. В начальный момент кривошип составлял угол а=60° с вертикалью и был отпущен без начальной скорости. Определить его угловую скорость в момент прохождения через равновесное положение. Кривошип считать однородным стержнем, колесо I — однородным диском. Трением пренебречь.
Ответ- ^^^L+J^i)
итвет. ш у z ^-(-.д,^) •
Задача 948. Тело, имеющее форму цилиндра радиусом г, имеет массу М и момент инерции относительно оси цилиндра J. Центр тяжести цилиндра смещен на величину а от его оси. Цилиндр положен на горизонтальную плоскость так, что его центр тяжести занимает наивысшее положение. Вследствие небольшого толчка цилиндр катится по плоскости без скольжения. Определить скорость оси цилиндра в момент, когда его центр тяжести занимает наинизшее положение.
Ответ: у = 2r j/-,^^^ .
Задача 949. На однородный сплошной цилиндр массой т и радиусом г, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, намотан в один ряд трос длиной L и массой М. В начальный момент цилиндр находится в покое, а длина свешивающейся части троса равна 19. Определить угловую скорость цилиндра в момент, когда конец троса опустится на длину 2кг. Трением пренебречь.
Ответ- ш — 2(zq + ^)
ответ. г'
Задача 950. Решить задачу 949, считая, что свешивающийся конец троса опустился на длину, равную кг, и что в начальный момент длина намотанной части троса была кратна длине окружности цилиндра. Принять /0 = 2г. '
Ответ: ш =.
Задача 951. В кривошипно-шатунном механизме к кривошипу длиной г приложен постоянный вращающий момент NL Определить, какую угловую скорость приобретет кривошип после одного оборота, если в начальный момент система находилась в покое, а кривошип занимал горизонтальное положение. Кривошип и шатун считать однородными стержнями с массами тх и пч соответственно, трением и массой ползуна пренебречь.
Ответ: ш —— 1/".
г V т, + т2
Задача 952. Решить задачу 951 при условии, что в начальный момент кривошип занимал вертикальное положение.
Ответ: <о =— I/ г--—.
Задача 953 (рис. 504). На кривошип О А кривошипно-кулисного механизма действует постоянный вращающий момент М. В начальный момент механизм находился в покое, причем Z. АОВ = ^0. Какую угловую скорость приобретет кривошип после одного оборота, если его длина г, момент инерции относительно оси вращения J, а масса кулисы т. Принять, что сила трения в направляющих постоянна и равна F, массой камня А пренебречь.
Ответ: (о = 2 I/а—.
У J-j-mr2 sirr cf0
Задача 954 (рис. 505). Шатунно-кривошипный механизм расположен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа ОА массой mv и шатуна АВ массой т», принимаемых за однородные
Рис. 505Рис. 505
Рис. 505
Рис. 505
стержни. В момент, когда /, ВО А = 90°, точка А имеет скоростью. Определить ее скорость в момент, когда ползун занимает крайнее правое положение, если к кривошипу приложен постоянный момент М. Трением и массой ползуна пренебречь.
Ответ: Ол = у^+^+^.
Задача 955 (рис. 506). Шатунно-кривошипный механизм расположен в вертикальной плоскости и состоит из кривошипа ОА длиной г и шатуна АВ длиной /, которые можно принять за однородные стержни. В момент, когда кривошип занимает верхнее вертикальное положение, точке А сообщают ничтожно малую скорость вправо. Определить скорость
этой шип еслиэтой шип еслиточки в тот момент, когда криво- займет горизонтальное положение, на ползун В действует постоянная
этой шип если
этой шип если
сила торможения F, равная по величине 1/4 суммы весов кривошипа и шатуна. Массой ползуна и трением пренебречь.
Ответ: ид = —^—1- g.
Задача 956. Шатунно-кривошипный механизм расположен в вертикальной плоскости. Определить, какую угловую скорость о)6 (против движения часовой стрелки) следует сообщить кривошипу при его горизонтальном правом положении для того, чтобы он дошел до вертикального положения. Шатун и кривошип считать однородными стержнями; массой ползуна и трением пренебречь. Длина кривошипа равна г.
Ответ: ш05= j/"у.
Задача 957. Сплошной однородный шар радиусом г и массой т катится без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а. Его центр, пройдя путь I, приобретает
скорость и Определить момент сил трения качения, если шар в начальный момент был в покое.
Ответ: М = ™ (g/ sin а — 0,7уа).
Задача 958 (рис. 507). На однородный сплошной цилиндр массой М навит трос, к концу которого подвешен груз массой т.
_Груз соединен с неподвижным основанием пружи- Xх "X ной с жесткостью с. Поворачивая цилиндр, груз поднимают до положения, при котором пружина I , растянута на длину s, и отпускают без начальной ^/ скорости. Определить скорость груза в том его пп положении, при котором упругое усилие в пружине отсутствует. Массой троса пренебречь.
IОтвет-и==1/Е(£Е+^3
<итвет.и у МА-2т '
гЗадача959 (рис. 508). Однородныйстержень
АВ длиной2а может вращатьсябезтрениявокруг
Рис 507 горизонтальной оси А. К стержню прикреплена спиральная пружина, жесткость которой подобрана так, что стержень может находиться в равновесии в горизонтальном положении; при вертикальном же положении стержня пружина не напряжена. Определить, с какой угловой скоростью
Рис 508Рис 508
Рис 508
Рис 508
стержень пройдет через горизонтальное положение, если в начальном вертикальном положении ему была сообщена ничтожно малая угловая скорость.
Ответ: ш = 0,567 j/ ^.
Задача 960. Используя условия предыдущей задачи, определить, какую угловую скорость следует сообщить стержню в верхнем вертикальном положении, чтобы он повернулся на пол-оборота.
Ответ: и>0= 1,308 j/ ^.
Задача 961 (рис. 509). Сплошной однородный цилиндр массой т катится без скольжения по цилиндрической поверхности из положения, определяемого углом <р0. Найти величину нормального давления цилиндра на поверхность как функцию угла <р, если 374
в начальный момент цилиндр был в покое. Трением качения пренебречь.
Ответ: N = ^ (7 cos <? — 4 cos -z0)
Задача 962 (рис. 510) По двум параллельным горизонтальным рейкам катится без скольжения тонкостенный цилиндр массой М при помощи груза, подвешенного на нити, намотанной на цилиндр.
Гис. 510Гис. 510
Гис. 510
Гис. 510
Рис. 512Рис. 512
Рис. 512
Рис. 512
Определить скорость оси цилиндра в момент, когда груз опустится на расстояние h, если масса груза равна т, а система в начальный момент находилась в покое. Во все время движения нить с помощью особого устройства удерживается вертикальной.
Ответ у^^-^.
Задача 963 (рис 511). В условиях задачи 962 принять, что рейки наклонены к горизонту под углом а. Определить, при каком значении угла а цилиндр будет двигаться вверх. Найти при этом
условии зависимость между скоростью оси цилиндра и пройденным путем.
Ответ: sma<1T^;
и= 1/"S3 [т — (УИ -|- т) sin а) Г М + т — т sin а '
Задача 964 (рис. 512). Редуктор судового турбозубчатого агрегата состоит из трех колес, радиусы которых соответственно равны гь г3, г3. На ведущие колеса I и II от турбин
передаются моменты Mi и М2. Определить угловое ускорение гребного вала, если на винт действует момент сопротивления М4. Принять моменты инерции ведущих колес равными ^ и J2l а момент инерции колеса Н1с валом и винтом J4.
^1 di^1 di= N.= N.Решение. Воспользуемся формулой (12.37)
^1 di
^1 di
= N.
= N.
Определим кинетическую энергию системы. Имеем
Т= g-M + ^ + W
Так как
то или
ш1г1 = о>2Г2 = и)3Гз,ш1г1 = о>2Г2 = и)3Гз,где приведенный момент инерции
ш1г1 = о>2Г2 = и)3Гз,
ш1г1 = о>2Г2 = и)3Гз,
Найдем мощность N:
N —: М i*ti 1Al2^2 "— Al3Ш3 = (Alj "—|— AI2 — AIз ] o>3
\'1'2/
Из выражения для T находим
<7Г,
Следовательно,
Jпршзез —Н~ М4 ~ — А1^\ ш3,
отсюда
Задача 965. Для регулирования ядерного реактора нужно сообщить управляющему стержню массой 50 кг колебательное
Рис. 513Рис. 513движение вдоль горизонтальной прямой с амплитудой а = 30 см и периодом т = 0,5 сек. Какова потребная максимальная мощность двигателя, приводящего в движение стержень?
Рис. 513
Рис. 513
Ответ: Nmax — 4,46 кет.
Задача 966 (рис. 513). Однородный диск радиусом R и массой т насажен на цилиндрический вал радиусом г и поддерживается двумя нитями, намотанными на вал (маятник Максвелла). '
Определить ускорение центра диска и натяжение каждой нити при его опускании. Массой вала пренебречь.
Ответ * w———— * N —Щ?5
итеет.w 2 (^ + 2г2) ’
1 + 2г2
Задача 967. Тележка, имеющая четыре колеса массой т каждое, находится под действием постоянной силы F, направленной параллельно рельсам. Найти ускорение тележки, считая колеса однородными дисками, катящимися без скольжения. Масса тележки (без колес) равна М. Трением качения пренебречь.
Р
Ответ: w — c—
би 4-М
Задача 968 (рис. 514). На однородный сплошной цилиндр, который может вращаться вокруг вертикальной оси Лй, намотан
Рис. 514Рис. 514
Рис. 514
Рис. 514
канат, переброшенный через идеальный блок С. К концу каната подвешен груз М. Определить предельную массу mt груза, если канат может выдержать натяжение, равное Q (масса цилиндра равна т).
Ответ: тх = .
Задача 969 (рис. 515). Груз М, падая по вертикали, посредством невесомой и нерастяжимой нити, переброшенной через идеальный неподвижный блок В, заставляет катиться без скольжения
однородный цилиндрический каток Л, масса которого в 5 раз более массы груза. Пренебрегая массой блока и нити, определить ускорение оси катка, если коэффициент трения качения k = 0,02г, где г — радиус катка, а участок нити АВ горизонтален.
„9
Ответ: w — ^g.
Задача 970 (рис. 516). Нить, один конец которой закреплен неподвижно, огибает подвижный блок с массой М, радиусом г и момен
том инерции J и неподвижный блок с тем же рис. 516 радиусом и моментом инерции Jv На свобод
ном конце нити подвешен груз с массой т. Найти ускорение груза; считая, что свободные участки нити вертикальны.
Ответ: wОтвет: w2r2 g (2m — Af)J + 444-г2 (4m 4-М)’
Ответ: w
Ответ: w
Задача 971 (рис. 517). Груз Л посредством бесконечного ремня
и ворота поднимается при помощи мотора, на валу которого развивается постоянный момент М. Пренебрегая массой ремня,
Рис. 517Рис. 517Рис. 518Рис. 518определить ускорение груза, если его масса т, радиус барабана ворота .г, радиус шкива R, радиус приводного колеса мо-
Рис. 517
Рис. 517
Рис. 518
Рис. 518
тора р, момент инерции вращающихся частей мотора Jv, момент инерции ворота и барабана J^.
f— — mg. r2p8
Ответ:
Задача 972 (рис. 518). Доска АВ, к которой прикреплены две одинаковые пружины жесткостью с каждая, лежит на двух одинаковых тонкостенных цилиндрах. Считая, что скольжение между доской и цилиндрами, а также между цилиндрами и горизонтальной плоскостью отсутствует, определить период колебаний системы, если масса каждого цилиндра равна т, а масса доски М.
Ответ: т = 2к 1/^^-^-.
у Лс
§ 4. Движение материальной точки в центральном силовом поле
Задачи на движение материальной точки в центральном силовом поле решают, используя первую и вторую формулы Бинэ:
.(12.39)
—mcv(^"4-u),(12.40)
а также формулы
А^С,(12.41)
rv sin а = С,(12.42)
где С — произвольная постоянная;
1
а — угол между направлением полярного радиуса-вектора г и скоростью у точки М;
Fr— проекция центральной силы F, приложенной к гочке М, на направление полярного радиуса;
<р — полярный угол.
Задача 973. Л1атериальная точка Л! массой т под действием центральной силы F описывает эллипс с полуосями а и Ь, центр которого совпадает с центром силы О. Определить зависимость величины силы F от расстояния г точки М до центра силы, если в начальный момент точка имеет координаты х6 = а, у6 — 0 и начальную скорость 50, параллельную оси Оу.
Решение. Уравнение эллипса в координатной системе Оху:
й3 Т 624 '
Найдем уравнение эллипса в полярных координатах, поместив полюс в центре. Так как
x = rcostp, t/ = rsincp, то
Г2 COS2 tp ! Г2 Sin2 tp .
Следовательно,
V1 — е2 cos8 ф
/а2 — &3
где е = -—-эксцентриситет эллипса.
Замечая, что
1 V1 — е8 cos8 tp
U гb ' ’
найдем
=—е9 cos3 ср) 2 sin
dtp lbхт/т*
^^-=2^ [2 cos 2tp (1 — е2 cos2 ср) 2—ysin22cp(l—еа cos2 ср) 2].
Согласно второй формуле Бинэ (12.40) имеем
гг=-тех-е\Т^гг=-тех-е\Т^(1 —е2 cos2 tp) 2з(1 —е2 cos2 tp) 2зе2 cos 2cp (1 — e2 cos2 tp)2bе2 cos 2cp (1 — e2 cos2 tp)2b
гг=-тех-е\Т^
гг=-тех-е\Т^
(1 —е2 cos2 tp) 2
з
(1 —е2 cos2 tp) 2
з
е2 cos 2cp (1 — e2 cos2 tp)2
b
е2 cos 2cp (1 — e2 cos2 tp)2
b
e4 sin2 2tp (1 — e2 cos8 tp) 21 mC2 (1 — e2 cos8 tp) 4
46J —б8X
'(1 — ea cos2 <p) 2 (1—e2 cos3 <p-|-e2 cos 2=p) e4 sin8 2<? (1—e8 cos2 tp) 2 6~ 4b
— m^ t1—— [4 (1 — e2 cos2 <p) (1 — e2 sin2 tp) — e4 sin2 2tp] =
mC2 (1 — e8 cos8 tp)46»mC2 (1 — e8 cos8 tp)46»2- (4 — 4e2)2- (4 — 4e2)_ mC8(l— es)r b4_ mC8(l— es)r b4(0(0
mC2 (1 — e8 cos8 tp)46»
mC2 (1 — e8 cos8 tp)46»
2
- (4 — 4e2)
2
- (4 — 4e2)
_ mC8(l— es)r b4
_ mC8(l— es)r b4
(0
(0
Постоянную С определим, используя начальные условия движения точки М. Так как при Z = 0 г = а, и = и6, а = у, то согласно (12.42) С = аи».
Подставив его в равенство (/), получим
Р masy^ (1 — е8) г
откуда
р _ । р, । т«2у0(1 —е2)г
Это и есть искомая зависимость величины силы F от расстояния г.
Задача 974. Период обращения первого советского искусственного спутника Земли в первый день его движения составлял Т~ 96,2 мин. Считая траекторию спутника близкой к круговой, определить среднюю высоту Нср спутника над поверхностью Земли. Радиус Земли принять равным 6370 км, сопротивлением пренебречь. *
Ответ: /7ср = 672 км.
Задача 975. Точка М под действием центральной силы описывает окружность радиусом R, причем центр притяжения О находится на этой окружности. В момент, когда точка находится на расстоянии 2R от центра притяжения, ее скорость равна и0. Определить скорость точки как функцию расстояния г = 0М.
л4«2у0
Ответ: у = —^—.
Задача 976. В условии предыдущей задачи определить силу, действующую на точку, как функцию радиуса-вектора г, если масса точки равна т.
Ответ: F —^—-г.
Задача 977. Материальная точка Л4 массой т движется под действием центральной силы F—-^~, направленной к неподвижному центру О, где г — расстояние точки М от центра О, а — постоянный коэффициент. В начальный момент г = гЙ, и — ие = 0. Определить промежуток времени t — /0, по истечении которого точка М достигнет центра О.
Ответ: /—= — . ” а
Задача 978. Точка движется по кривой, уравнение которой в полярных координатах имеет вид r — ^ (а = const), под действием центральной силы с центром в начале координат. Зная, что при г = а скорость точки и0, определить ее скорость для произвольного г.
«оУт2 4-«а
Ответ: у = ————.
г р2
Задача 979. В условии предыдущей задачи определить силу, действующую на точку, если масса точки равна т и та2»?. _
Ответ: F =2r^F-
Задача 980. Комета движется по эллипсу, эксцентриситет которого е. В перигее (точке, ближайшей к притягивающему центру— фокусу эллипса) скорость кометы равна по величине и0 и перпендикулярна к прямой, соединяющей эту точку с Солнцем. Найти скорость кометы как функцию полярного угла у.
Ответ: и =1 + 2е cos с? 4- е4.
Задача 981. В условии предыдущей задачи найти силу притяжения кометы к Солнцу, зная, что параметр эллипса равен р, а масса кометы т.
Ответ: F = ~ -^^p-T.
Задача 982. Комета движется по параболической траектории, параметр которой равен р, а фокус совпадает с Солнцем. В перигее (ближайшей к Солнцу точке) скорость кометы равна и0. Определить модуль скорости кометы как функцию расстояния от Солнца.
Ответ: у = у0"|/'-£- .
Задача 983. Период обращения второго советского искусственного спутника Земли Т = 103,75 мин. Наибольшая высота его подъема над поверхностью Земли Н = 1670 км. Определить траекторию и модуль начальной скорости спутника, считая, что его начальная скорость и0 ортогональна к начальному полярному радиусу г0. Радиус Земли принять равным 6370 км, сопротивлением пренебречь.
Ответ: траекторией спутника является эллипс с полуосями а = 7320 км, Ь = 7260 км; и0 = 8,17 км]сек.
Задача 984. Материальная точка М массой т движется под действием центральной силы притяжения F, модуль которой обратно пропорционален кубу расстояния от движущейся точки до центра притяжения О, причем коэффициент пропорциональности равен ти2#аг, где а — начальное расстояние точки М от центра О, Уо— начальная скорость точки, направленная под углом а = = arctg-^- (к — постоянная величина) к прямой, соединяющей центр О с начальным положением Л40 точки М. Приняв центр притяжения О за полюс и проведя полярную ось через начальное положение точки, определить траекторию точки М.
Ответ: траекторией точки М является логарифмическая спираль, определяемая Уравнением г — аек'*.
§ 5. Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости
Дифференциальными уравнениями плоскопараллельного движения тела (параллельно плоскости хОу) являются:
(12.43)(12.43)Mxc = R;\
(12.43)
(12.43)
Мус = ^\
где М — масса тела;
хс, Ус — координаты центра масс;
с? — угловая координата;
R^\ R^ — проекции главного вектора внешних сил на оси координат;
Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости движения тела хОу;
М^— главный момент внешних сил относительно той же оси.
Задача 985 (рис. 519). Однородному диску, поставленному ребром на горизонтальную шероховатую плоскость, сообщено
поступательное движение со скоростью 50, параллельной плоскости. Определить скорость центра диска в тот момент, когда начнется качение без скольжения.
Решение. На диск действуют силы: вес Q, равный по величине_т§, нормальная реакция плоскости N и сила трения F. Напишем уравнения движе
ния диска в форме (12.43) непосредственно после толчка:
тхс = — F; тус Qтхс = — F; тус QN;N;т Г12т Г12
тхс = — F; тус Q
тхс = — F; тус Q
N;
N;
т Г1
2
т Г1
2
где -^момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно к его плоскости.
Так как ус = 0, то Q = N. Следовательно, сила тренияF = fQ,
где f— коэффициент трения диска о плоскость.
Таким образом, уравнения движения диска принимают вид
Хс = — fg,Хс = — fg,dv> didv> diWg г *Wg г *
Хс = — fg,
Хс = — fg,
dv> di
dv> di
Wg г *
Wg г *
Интегрируя, найдем
^с = —fe^ + Уо; » = — ^/ + ш0>№
где у0 — начальная скорость центра диска;
шо = О— начальная угловая скорость диска.
Качение без скольжения характеризуется тем условием, что скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю. Следовательно,
иРх = хс -|- юг = 0 или
— Igt-t-Vo — 2fgt = 0.
Отсюда найдем время, по истечении которого начнется качение без скольжения:
, У
1 —W
Зная tlf из (6) определим скорость центра диска в момент, когда начнется качение без скольжения:
ис к = б = ^с к = fi —fe^i + уо = з" у»-
Задача 986. К пластине, лежащей в покое на горизонтальном гладком столе, приложена пара сил с постоянным моментом М Зная, что центральный момент инерции равен Jc, определить перемещение пластины за время t.
Ответ: центр инерции пластины останется на месте; пластина повернется вокруг центра инерции на угол
Задача 987. Однородный стержень длиной I и массой т движется в плоскости хОу. На стержень действуют постоянный момент М и сила F, приложенная в его середине, величина которой пропорциональна угловой скорости стержня (коэффициент пропорциональности 6), а направление параллельно оси Ох. Найти уравнения движения стержня, если его середина С находилась в начальный момент в начале координат и имела скорость и„, направленную по оси Оу. Начальная угловая скорость стержня равна нулю.
Ответ: = ус = ивО
Задача 988. Однородный стержень длиной I и массой т движется в плоскости хОу. На стержень действует постоянная сила F, параллельная оси Ох и приложенная в его середине, и момент, пропорциональный абсциссе хс середины стержня (коэффициент
пропорциональности равен й). Найти уравнения движения стержня, если в начальный момент стержень находился в покое и был расположен вдоль оси Ох так, что его середина совпадала с началом координат.
kFt*Ft2А
Ответ: s = -^p\ хс = ^ Ус = 0.
Задача 989. Однородная равносторонняя треугольная пластинка массой т движется в плоскости хОу под действием шести
F/3’F/3’сил, три из которых, равные по величине F, параллельны оси Ох и приложены в серединах сторон. Остальные три, равные
F/3’
F/3’
приложены в вершинах и параллельны противоположным сто
ронам, при этом они стремятся вращать треугольник против хода часовой стрелки. Найти уравнения движения треугольника, если его сторона равна а. В начальный момент пластина находилась в покое, центр тяжести совпадал с началом координат, а ось у
направлена по высоте треугольника.
та2та2Ответ: хс=-^-; ус = 0; v =
та2
та2
Задача 990 (рис. 520). Однородная тонкостенная труба массой т поднимается при помощи идеальных блоков, как показано на рисунке. Определить угловое ускорение трубы и время ее подъема на высоту й, если к концам тросов приложены силы Рх и Р^. Радйус трубы равен г. Массами блоков пренебречь.
АIF2—FP .2inh
Ответ: в = -1—5—; t~ I/ -А—г-s•
mr ’ V FX-VF» —mg
Задача 991 (рис. 521). Однородная круглая катушка радиусом R и массой т в средней части барабана радиусом г обмотана
Рис. 521Рис. 521нитью так, что концы нити расходятся в разные стороны и натягиваются постоянными горизонтальными силами Рх и Р^.
Рис. 521
Рис. 521
С каким ускорением будет двигаться ось катушки, если момент инерции катушки относительно ее оси равен J? Считать, что катушка катится без скольжения.
Ответ: w =R.
Задача 992. Однородный стержень длиной 2/ и массой т находится на горизонтальной плоскости. В начальный момент стер-
жню сообщена угловая скорость <d0, а центр масс получил скорость v0. При своем движении каждый элемент dx стержня испытывает силу сопротивления dF =— vbdx, где b— постоянный коэффициент пропорциональности; и — абсолютная скорость элемента dx. Определить, как будут изменяться со временем величина скорости центра масс и угловая скорость стержня.
Ответ: vc = v6e'ot; ш = шйе~а1, где а = —~.
ЗР . у —5Р8 ’ УА 8ЗР . у —5Р8 ’ УА 8Ответ: ХдОтвет: ХдЗадача 993 (рис. 522). Однородная тонкая пластина, имеющая форму квадрата, закреплена шарниром А и удерживается упором В так, что сторона АВ вертикальна. Определить реакцию шарнира А сразу после того, как убран упор В. Вес пластины равен Р.
ЗР . у —5Р8 ’ УА 8
ЗР . у —5Р8 ’ УА 8
Ответ: Хд
Ответ: Хд
Задача 994. Один конец однородного стержня весом Р закреплен шарнирно, а другой опирается на упор. В некоторый момент упор убирают. Определить в этот момент величину полной реакции шарнира, если в начальный момент стержень составлял с горизонтом угол а.
Ответ: R = PОтвет: R = P152
Ответ: R = P
Ответ: R = P
cos2 а.
16
Рис. 523Рис. 523Задача 995 (рис. 523). Центру С однородного сплошного цилиндра радиусом г, находящегося на шероховатой плоскости, сообщена начальная скорость и0, параллельная плоскости; одновременно самому цилиндру сообщено вращение в направлении, указанном стрелкой, с начальной угловой скоростью ш0. Принимая, что «й6г<С.ий, определить момент времени t, начиная с которого центр С будет двигаться с постоянной скоростью (т. е. качение будет происходить без скольжения). Найти также величину этой скорости, если
Рис. 523
Рис. 523
коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью равен f.
Ответ:ус = 2-^±^о.
Задача 996. Решить задачу 995 при условии, что ю6г^>ий.
Ответ: t =Uc = ^^.
Задача 997. Решить задачу 995 при условии, что в начальный момент цилиндру сообщено вращение с угловой скоростью а>а в направлении, противоположном указанному на рис. 523.
Ответ:у^2^^^.
38538513 Н. А Бражмиченко и др.
385
385
Задача 998. При движении реактивного аппарата его поворот происходит вследствие вращения камер двигателей Принимая, что это вращение происходит с постоянной угловой скоростью ш^ определить закон изменения угла поворота аппарата, если его центральный момент инерции J скорость истечения и, и секундный расход массы р. считаются постоянными. Движущей силой аппарата является реактивная сила Р =— риг, приложенная в точке на оси симметрии, отстоящей от центра инерции на расстоянии /г.
„y.v-hsin 01V \
Ответ: =— .
ГЛАВА XIII
МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. ДАВЛЕНИЕ НА ОСЬВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА
§ 1. Метод кинетостатики для системы
При движении системы в любой данный момент времени геометрическая сумма задаваемых сил, действующих на каждую точку системы, реакций связей, наложенных на эту точку, и силы инерции точки равна нулю, т. е.
Ffc-VN^^O (/5=1; 2; ... ; п), (13.1)
где Fb— равнодействующая задаваемых сил, действующих на _ точку Мь системы;
Nb — равнодействующая реакций связей, наложенных на эту точку;
]к — сила инерции точки Мь.
Если все силы, действующие на систему, в том числе и реакции связей, разделить на силы внешние и внутренние (будем обозначать их соответственно индексами е и i), то, используя свойства внутренних сил, из (13.1) получим
2 (Ае)+Ме, + ь)=о,п_(13 2)
2 1^(^>) + ^(М)) + ^оШ1=о
или в проекциях на оси:
2 та+^+и=о,
6=1
2 (^ + ^ + ^)=0,
6 = 1
2 та+^+ш-о,
(13.3)(13.3)А=1,
(13.3)
(13.3)
2 ^Ш^ЖЖ О = О, 6=1
2 (mx lFT + my tN^) 4- my (JJ] = 0,
2 [^№)+^№+тго=о, л=1/
Где суммирование произведено по всем точкам системы.
Уравнения (13.3), называемые уравнениями кинетостатики, упрощают процесс решения динамических задач, так как они не содержат внутренних сил. Эти уравнения подобны уравнениям равновесия, полученным в статике.
Если все силы расположены в одной плоскости, параллельны или сходятся в одной точке, то число уравнений (13.3) соответственно уменьшается. Заметим, что, как и в статике, может встретиться необходимость рассмотрения кинетостатического «равновесия» не только всей системы в целом, но и отдельных ее частей. В частности, так следует поступать для определения внутренних сил, а также в тех случаях, когда число уравнений оказывается недостаточным для определения всех неизвестных величин. При этом, как и в статике, могут встретиться «кинетостатически» неопределимые системы.
Задача 999. Буксир А водоизмещением т^ тянет две баржи В и С, водоизмещения которых соответственно равны т2 и т3 (рис. 524, а). Определить силу упора винтов буксира Q, если он движется прямолинейным курсом с ускорением @. Общая сила сопротивления движению системы равна R.
Рис. 524
Решение. Система состоит из трех тел, которые примем за материальные точки. Внешними силами являются силы тяжести Рь Ра, Рз, силы выталкивания (архимедовы силы) Db D^, D3, сила сопротивления R и сила упора винтов Q (рис. 524, б). Приложим к точкам силы инерции ]к =— /Лй@й.
Используя уравнение (13.3) в проекциях на горизонтальную ось Ох, направленную в сторону движения системы, получим
з
Q — R —5 /» = 0,k = 1
отсюда найдем
Q = R-V S к-h = \
Буксир и баржи движутся прямолинейно и поступательно с одним и тем же ускорением да, поэтому
jk = mkw,
следовательно,
<2 = R + (тх + т» + m3) w.
Задача 1000. Три груза Мь М4 и М3 с массами ть пц и т3 соединены невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный неподвижный блок А (рис. 525, а). Два груза лежат на гладкой горизонтальной плоскости, а третий подвешен вертикально. Определить величину ускорения грузов и натяжение нити, соединяющей грузы Мх и Л43, если блок представляет собой однородный диск массой т.
Рис. 525
Решение. Система состоит из трех грузов и блока. .Внешними силами являются силы тяжести Рь Р», Р3 грузов и Р блока реакции Л^, W2 плоскости и реакция N3 закрепленной точки О блока А (рис. 525, б). Присоединим к силам, действующим на каждый груз, силы инерции ]х, ]г, j3. Рассмотрим сначала груз Mi (рис. 525, в), т. е. мысленно разрежем нить, соединяющую грузы Мх и 7Иа. Реакция Ту этой нити, являясь внутренней силой для всей системы, по отношению к грузу Aft является силой внешней. Воспользуемся вторым из уравнений (13.3). Получим
Ni — Pv = 0,
откуда NX = PX. Аналогично, рассматривая груз Л4», получим, что N2~ Р2.
Рассмотрим теперь всю систему в целом и воспользуемся уравнением моментов относительно оси Oz, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через ось блока А. Тогда, учитывая, что для всех сил tnz (^F) = т» (^F), имеем
mo (Рз) + m0 (/i) + m0 Ц^ + m0 (/3) + M^ = 0,(a)
где /14*/'= Ут0 (Jj— главный момент сил инерции частиц Mt блока А относительно центра_ О; при составлении этого уравнения учтено, что тв (Nt) Агт6(Р1') — 0,
m0(vV2) + mo(P2) = O, mo(P) = O
и mo(^j) = O.
Имея в виду, что /г равна геометрической сумме центробежной силы инерции Jin и касательной силы инерции Jix =— т^г^ (рис. 525, г), а также замечая, что силы jin не дают момента относительно точки О, получим
Так как ®JP = |e|r;, то
М',/' = S riml I s I I I 1 ^
где Jz— момент инерции блока относительно оси Ог.
Подставляя в (а), получим
— ^V + r (ji + 7з + /з) + Jz I s I — 0.
Заменяя здесь |е| на у, а /6 на mhw, имеем
~ gW + rw (пи + т3 + т3) + ^ = 0, отсюда найдем
Л + 0”1 + тз+т«)г2'
Так как Jz —~^. то окончательно получим
m-F‘^(m1 + т2-\-т8У
Для определения натяжения нити, соединяющей грузы Мг и М3, мысленно разрежем эту нить и рассмотрим отдельно груз Л4.1 (рис. 525, д). Внешними силами, действующими на этот груз, будут вес Р3 и реакция нити 7'и, направленная вверх.
Присоединим силу инерции J3 и воспользуемся вторым из уравнений (13.3). Получим
Т»з — Рз -)~ /з — 0, откуда
Ti3 = Р3 — /з — Шз (g — w).
Подставив сюда полученное выше значение w, найдем
ЛзЛзgins[m + 2(m14-m8)jт + 2 (т, + та + ms)
Лз
Лз
Искомое натяжение нити по величине_равно реакции Тм, но направлено в сторону, противоположную Тй, ’
Задача 1001. Однородный стержень АВ длиной / и массой m прикреплен шарниром А к горизонтальному стержню С А, жестко •связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой скоростью ш0 (рис. 526, а). Определить величину натяжения Т нити BD, удерживающей стержень АВ под углом а к вертикали, если угол ₽ = у, а СА = а.
Решение. Пользуясь методом кинетостатики, присоединим к действующим на стержень АВ силам Р, Т, Хд, Уд центробежные силы инерции djn элементов стержня (так как вращение равномерное, то касательных сил инерции не будет). Проведем вдоль стержня АВ ось Л£ (рис. 526, б). Тогда величина центробежной силы инерции будет определяться выражением
\d]n\ = (а 4- £ sin a) ™dL
Взяв за центр моментов точку А, имеем
sin а -)- Л — \ (а 4* 5 sin а) —^^ — о, отсюда
/ ~ j g sin а cos а -| .
При а —0 получим
Рис. 527Рис. 527Задача 1002 (рис. 527). Груз ЛГ массой тх находится на шероховатой горизонтальной плоскости. К нему прикреплена нерастяжимая нить, перекинутая через идеальный блок А, на другом конце которой прикреплен груз М» массой тг. Пренебрегая массой блока и нити, определить коэффициент трения / груза Mt о плоскость, считая его постоянным, если грузы движутся с ускорением, равным по величине ty.
Рис. 527
Рис. 527
Ответ: f =
Задача 1003. Решить задачу 1002 при условии, что масса блока А равна т и распределена равномерно по его ободу.
Ответ:
Рис. 528Рис. 528Задача 1004. Грузовик массой tn (кг) движется вместе с прицепом массой mi (кг) из состояния покоя равноускоренно с ускорением ю (м/сек1). Определить мощность мотора грузовика в момент, когда грузовик имеет скорость у (м/сек), если движение системы происходит прямолинейно. Общая сила сопротивления при движении равна R (н).
Рис. 528
Рис. 528
Ответ: N = (R-Jr(m-/-m1)w)u вт.
Задача 1005 (рис. 528). Электромотор массой М установлен на горизонтальном фундаменте. Центр тяжести ротора С смещен от оси вращения О на расстояние г. Определить максимальное
и минимальное давления мотора на фундамент, если ротор вращается с постоянной угловой скоростью ш и имеет массу т.
Ответ: Nmax = Mg -ф- m^r; Nmm = Mg — mw1r.
Задача 1006. На рис. 529 представлена схема моментного центробежного вибратора. Две одинаковые неуравновешенные
шестерни А и В массой т каждая вращаются вокруг своих осей с одинаковой угловой скоростью « в одном направлении. Центры тяжести их удалены от осей на расстояние г и в начальный
момент расположены на одной горизонтали по разные стороны от соответствующих осей. Расстояние между осями равно а. Определить момент пары, образуемой силами инерции.
Ответ: М = amuAr sin ш/.
Задача 1007. Три материальные точки А, В, С массой т каждая расположены на гладкой горизонтальной плоскости и соединены тремя одинаковыми пружинами жесткостью с. Система вращается с постоянной угловой скоростью ш0 вокруг вертикальной оси, проходящей через центр треугольника АВС. Найти расстояния I между точками в положении относительного равновесия, если при отсутствии вращения эти расстояния были равны /0.
Ответ: I =——;.
Зс — ют;
При ш0>]/ — относительное равновесие невозможно.
Задача 1008. Шарнирно-стержневой ромб A BCD с поперечным стержнем BD вращается с постоянной угловой скоростью а>0 вокруг оси, проходящей через вершину А и перпендикулярной к его плоскости. В вершинах В, С и D находятся равные точеч
ные массы т. Найти натяжения в стержнях, вызываемые вращением, пренебрегая силой тяжести и массой стержней, если AB = BC = BD = CD = DA = l.
Ответ: TBC=TCD—mwgl; TAB=TAD= = ^^1', SRD = mtoU (сжатие).
Задача 1009. На рис. 530 показана схема регулятора, состоящего из жесткого равнобочного угольника AOB(Z.AOB = = 90°), на концах которого укреплены грузы Л и В массами тх и гп, соответственно ^^тз). Угольник может поворачиваться вокруг горизонтальной оси О и вместе с нею вокруг вертикальной оси CD. Определить угловую скорость ш
установившегося вращения, если при этом L AOD = <? = const;
OA = OB = L Массой угольника и трением пренебречь.
Ответ:
\mv —/ sin 2<f
Задача 1010. Упрощенная схема одного из типов тахометров {прибора для измерения угловой скорости) показана на рис. 531. Груз Д массой т укреплен на конце стержня АВ длиной /, который может поворачиваться вокруг горизонтальной оси В. К стержню в точке С, находящейся на расстоянии 1Х от точки В, прикреплена пружина CD, имеющая естественную длину х0 и коэффициент жесткости с. При вращении прибора вокруг вертикальной оси стержень отклоняется от вертикали на угол а. Определить угловую скорость тахометра при установившемся вращении,
считая пружину расположенной горизонтально и пренебрегая:
массой стержня АВ.
Ответ: ^Ответ: ^2 [mgZ sin а -|- с (Zt sin а — х0) Z, cosmZ2 sin 2а
Ответ: ^
Ответ: ^
Рис. 531Рис. 531
Рис. 531
Рис. 531
Задача 1011 (рис. 532). Однородный стержень АВ длиной / и массой т вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг вертикальной оси, проходящей через конец А, образуя с этой осью неизменный угол а. Определить равнодействующую сил
инерции.
Ответ: равнодействующая сил инерции равна по величине ,т«>4 sin а,
J = — и проходит через точку, отстоящую от конца А
2 , на расстоянии, равном у/.
Задача 1012. Используя условия предыдущей задачи, определить изгибающий момент в месте соединения стержня с осью вращения, считая это соединение жестким. При какой угловой скорости вращения а>± изгибающий момент будет равен нулю?
Ответ: /И[3g— 2/о>‘3 cos a];=.
6°Г cos а
Задача 1013. Решить задачу № 1010 при условии, что стержень АВ имеет массу тх и является однородным.
— 361 ^т + m*) sin а + 6с1г (zi sm а — -Vo) cos а
итвет. ш —(3m + mg Z3 sin 2а'
Задача 1014. Однородный стержень массой т и длиной I вращается с постоянной угловой скоростью о) в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Определить усилия в сечениях стержня в зависимости от расстояния х от этих сечений до оси вращения.
Ответ: Т = ^ (Г2 — х1).
Задача 1015 (рис. 533). Однородный стержень АВС согнут под углом а и равномерно вращается вокруг вертикальной оси
010» так, что участок его ВС остается в скости. Определить, при какой угловой отсутствовать изгибающий момент в точке В. Принять ВС = а и AD=-^.010» так, что участок его ВС остается в скости. Определить, при какой угловой отсутствовать изгибающий момент в точке В. Принять ВС = а и AD=-^.горизонтальной пло- скорости «J будетгоризонтальной пло- скорости «J будетОтвет: фОтвет: фtg«"tg«"Задача 1016 (рис. 534). ОднородныйЗадача 1016 (рис. 534). Однородныйжень АВ длиной / ижень АВ длиной / истер-стер-массой т концом Амассой т концом Априкреплен шарниром к горизонтальному стержню СА длиной а, жестко связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой скоростью ф0. Конец В стержня АВ связан с пружиной DB, имеющей естественную длину,прикреплен шарниром к горизонтальному стержню СА длиной а, жестко связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой скоростью ф0. Конец В стержня АВ связан с пружиной DB, имеющей естественную длину,88Рис. 533Рис. 533равную а. Определить, какова должна жесткость пружины с, чтобы стержень АВ скорости отклонился от вертикали на угол расположенной горизонтально.равную а. Определить, какова должна жесткость пружины с, чтобы стержень АВ скорости отклонился от вертикали на угол расположенной горизонтально.бытьпри данной угловой а. Пружину считатьбытьпри данной угловой а. Пружину считатьОтвет: с =Ответ: с =т [cos (За + 11 sin a) cos а — 3g sin а]т [cos (За + 11 sin a) cos а — 3g sin а]3/ sin 2а3/ sin 2а
010» так, что участок его ВС остается в скости. Определить, при какой угловой отсутствовать изгибающий момент в точке В. Принять ВС = а и AD=-^.
010» так, что участок его ВС остается в скости. Определить, при какой угловой отсутствовать изгибающий момент в точке В. Принять ВС = а и AD=-^.
горизонтальной пло- скорости «J будет
горизонтальной пло- скорости «J будет
Ответ: ф
Ответ: ф
tg«"
tg«"
Задача 1016 (рис. 534). Однородный
Задача 1016 (рис. 534). Однородный
жень АВ длиной / и
жень АВ длиной / и
стер-
стер-
массой т концом А
массой т концом А
прикреплен шарниром к горизонтальному стержню СА длиной а, жестко связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой скоростью ф0. Конец В стержня АВ связан с пружиной DB, имеющей естественную длину,
прикреплен шарниром к горизонтальному стержню СА длиной а, жестко связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной угловой скоростью ф0. Конец В стержня АВ связан с пружиной DB, имеющей естественную длину,
8
8
Рис. 533
Рис. 533
равную а. Определить, какова должна жесткость пружины с, чтобы стержень АВ скорости отклонился от вертикали на угол расположенной горизонтально.
равную а. Определить, какова должна жесткость пружины с, чтобы стержень АВ скорости отклонился от вертикали на угол расположенной горизонтально.
быть
при данной угловой а. Пружину считать
быть
при данной угловой а. Пружину считать
Ответ: с =
Ответ: с =
т [cos (За + 11 sin a) cos а — 3g sin а]
т [cos (За + 11 sin a) cos а — 3g sin а]
3/ sin 2а
3/ sin 2а
Задача 1017 (рис. 535). Однородный стержень АВ длиной / и массой т прикреплен концом А с помощью цилиндрического шарнира к горизонтальному стержню ОА, который вращается около вертикальной оси, проходящей через точку О. Второй конец В стержня связан пружиной с точкой О. Пружина имеет в нерастянутом состоянии длину а0, ее жесткость равна с. Найти, с какой постоянной угловой скоростью следует вращать эту систему, чтобы стержни ОА и АВ были бы взаимно перпендикулярными. Определить также усилие в стержне ОА, если его длина равна 3/4 L Считать
1 Г 1с (51 — 4a0)3m/u>e
Ответ: ф = |/ТА0 = —^—.
Задача 1018 (рис. 536). На гладкой горизонтальной плоскости, вращающейся с угловой скоростью ф вокруг вертикальной
оси, проходящей через точку О, помещен составной стержень АВС, состоящий из двух жестко связанных между собой однородных стержней АВ и ВС одинаковой длины I. Массы стержней равны m и 2m соответственно. Стержень АВС может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг шарнира В и удерживается нитью ОС в положении, при котором Z ОВС = 90°, a Z ВСО = 60°. Определить натяжение нити и реакцию шарнира, обусловленную вращением.
Ответ: Тос — тиАВ, RB — -|- ти>4 рЗ.
Рис. 538Рис. 538
Рис. 538
Рис. 538
Задача 1019 (рис. 537). Пластина, имеющая форму равнобедренного треугольника высотой h и массой т равномерно вращается вокруг оси АВ, совпадающей с основанием упомянутого треугольника. Определить равнодействующую усилий в сечении пластины, параллельном ее основанию и отстоящем от него на расстоянии х.
Ответ: T = l^(h-^-2x')t.h.— х)2.
Задача 1020 (рис. 538). В вертикальном двигателе мотыль ОА вращается равномерно с угловой скоростью w. Определить усилие в штоке ВС поршня, когда последний находится в верхнем «мертвом» положении, если масса поршня равна т, давление газов на поршень F, длина мотыля ОА равна г, а шатун АВ имеет длину L
Указание. Определить ускорение поршня по формулам плоского движения.
Ответ: T = mg4-F — muAr ^ 1 Ц-у^.
ЗадачаЗадачаРешить предыдущую задачу в случае горизон
Задача
Задача
тального положения мотыля.
fP — r3 'fP — r3 'Ответ: T — mgv-F4-
fP — r3 '
fP — r3 '
Задача 1022. Диск укреплен на конце упругого вала, другой конец которого закреплен неподвижно. С целью создания вынужденных крутильных колебаний на диске установлен моментный вибратор, описанный в задаче 1006. Пренебрегая массой вала и сопротивлениями, а также моментом инерции вибратора, опре
Л==.ИЛ==.ИРис. 539Рис. 539делить предельную амплитуду <р0 вынужденных колебаний при очень большой угловой скорости о>, если момент инерции диска равен J. Данные взять из задачи 1006.
Л==.
И
Л==.
И
Рис. 539
Рис. 539
„таг
Ответ: ср0=—
сил инерциисил инерцииЗадача 1023 (рис. 539). Однородная прямоугольная пластина со сторонами а и b вершиной А укреплена на валу АК с помощью цилиндрического шарнира, ось которого перпендикулярна плоскости пластины. Вал АК вращается с постоянной угловой скоростью о>, а вершина D удерживается в наиниз- шем положении с помощью сферического шарнира. Определить угловое ускорение s пластины в ее относительном вращении вокруг оси шарнира А в тот момент, когда сферический шарнир убирают.
сил инерции
сил инерции
Указание. Предварительно найти сумму моментов
относительно оси А, пользуясь формулой МА (j) = m2y Jxyj где 7—плотность, ось Ах направлена по АО.
„ы2 ab (я2—
Ответ: е = ., , ,.
4 (а2-)-® )
§ 2. Давление на ось вращающегося тела
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси могут возникнуть дополнительные давления, обусловленные силами инер
ции точек тела.
Свяжем оси координат Охуг с телом так, чтобы ось Ог была осью вращения тела. Пусть А и В — закрепленные точки тела. Тогда проекции на координатные оси дополнительных динамических реакций МА и Мв определяются из уравнений:
(13.4)(13.4)КАх + NBX = — «АМ хс — sM ус, К Ду “Ь К ву “ — 0)3 ^Ус 4“ £Мхс, К az-V КBZ = 0, тх (КА) 4- тх (Кв) = toV^ — Uxz, ту (Кд) 4~ ту (Кв) =о> Jxz sjyZ! .
(13.4)
(13.4)
где <й и e—угловая скорость и угловое ускорение тела; хс, Ус — абсцисса и ордината центра масс тела;
М — масса тела;
Jxz, Jyz — центробежные моменты инерции тела.
Если в точке Л имеется цилиндрический подшипник, то NAZ = 0, а тогда и NBz = 0
Для того чтобы найти полные реакции в закрепленных точках тела, следует к найденным величинам добавить статические реакции, обусловленные приложенными внешними силами. Дополнительные динамические реакции не возникают только тогда, когда главный вектор и главный момент всех сил инерции равны нулю, или, что равносильно этомух в том случае, когда ось вращения является главной центральной осью инерции, т. е., когда
хс — Ус — ^>хс — Ус — ^>хгJуг0 •хгJуг0 •(13.5)(13.5)
хс — Ус — ^>
хс — Ус — ^>
хгJуг0 •
хгJуг0 •
(13.5)
(13.5)
Замечание. При решении ряда задач вместо уравнений (13М) удобнее использовать метод кинетостатики непосредственно.
Задача 1024 (рис. 540). Маховое колесо, насаженное посередине вала с небольшим перекосом а= 1° ^~ рп^ к поперечной оси, вращается с постоянной угловой скоростью ш (и = 3000 об/мин). Определить добавочные динамические давления на подшипники
вала, считая массу маховика т — 100 кг, центр тяжести расположенным на оси вращения вала, радиус маховика 7? = 1 ж, расстояние между подшипниками а—1 м. Массу считать равномерно распределенной по ободу.
Решение. Воспользуемся уравнениями (13.4). Выбрав оси координат Охуг, как указано на рисунке, и учитывая, что ма
ховое колесо вращается равномерно, а центр тяжести его нахо
дится на оси вращения вала, получим
^ ах + N вх — 0;
_^ду + N^ = 0;
тх (Мд) + тх (NB) = ti4vz;
niv (Nд) Д- т^ (Nв) =^Jхг
или
Ах “Г ^ВХ = О;
(а)(а)ау + Ву = 0;
(а)
(а)
"2 ^ ву^ Ay)= ш2^у21
|(Мд,-МвД = -шу
отсюдаотсюдаАх л Их~ ,ну ду а )Ах л Их~ ,ну ду а )
отсюда
отсюда
Ах л Их~ ,
ну ду а )
Ах л Их~ ,
ну ду а )
Для вычисления центробежных моментов инерции Jxz и Jvz введем в рассмотрение главные оси инерции Oxxyxzx (рис. 540).
По известным формулам геометрии масс имеем
Jxz = 0,
так как ось Ох, совпадающая с Охх, есть главная ось инерции,
JXZ ^ (^zxJух^ ^^ 2 а,
где Jv , JZ1 — моменты инерции колеса относительно указанных главных осей.
Поскольку
то
Jyz = — sin 2а.
Подставляя значения центробежных моментов инерции в формулы (6), получим окончательные выражения для добавочных динамических реакций подшипников:
Ал ~ ^вх = 0;
sin 2а.
"Если а мало, то
NBy = -NAy^^=№,2 кн.
Полученные результаты показывают, что в данной задаче вследствие неуравновешенности система реакций эквивалентна одной паре, стремящейся повернуть колесо так, чтобы угол а стал равным нулю.
Динамические давления на подшипники численно равны найденным реакциям и противоположны по направлениям.
Задача 1025. Однородный тонкий стержень массой М, имеющий форму дуги одной четверти окружности радиусом R, одним концом неизменно связан с валом, находящимся с ним в одной плоскости (рис. 541, а). Вал вращается с постоянной угловой
скоростью co. Определить координаты хь ух добавочной массы ть с присоединением которой устраняются добавочные динамические давления на подшипники.
°;
Рис. 541
Решение. Воспользуемся методом кинетостатики. К каждому эпементу стержня и к добавочной массе приложим силы инерции.
Для того чтобы подшипники не испытывали добавочных динамических реакций, необходимо и достаточно, чтобы совокупность всех сил инерции представляла собой уравновешенную систему сил.
Выделим элемент длины стержня ds = Rda.. Элементарная сила инерции d] (центробежная, так как вращение равномерное) равна по величине
| dj | = to^h dm, где h = R cos а — расстояние от элемента до оси;
Таким образом,
.2Мт-р ,
di\ =cos a da,1,1 я
Вектор dj направлен от оси вращения перпендикулярно к ней. Сила инерции jt присоединенной массы тх параллельна dj и по величине равна
ji = mito4\x1\.
Составим уравнения равновесия полученной системы параллельных сил инерции:
тт
Sh« = — ji-V \ ^/i=0, s m0 (Д) =/1У1 — $Р^/1 = 0,о6
где р = Д$ша.
Подставляя в эти равенства значение dj и интегрируя, получим
— mvw-1 х, | -|— = 0;
гПу^Хх^ух— =0.
Отсюда найдем требуемые величины:
S*ilS*il_2MRпт, ’_2MRпт, ’m2MRЯ
S*il
S*il
_2MR
пт, ’
_2MR
пт, ’
т. е. Хх =, ух —
Задача 1026 (рис. 542). Однородный тонкий стержень ОС длиной / и массой т соединен с вертикальным валом посредством цилиндрического шарнира. Определить полные реакции подшипников А и В при установившемся 11
Рис. 542Рис. 542относительном равновесии стержня, если вал вращается с постоянной угловой скоростью <о, а расстояния от шарнира О до подшипников одинаковы. Ось Ог выбрать совпадающей с осью вращения, а ось Ох лежащей в плоскости, которая проходит через стержень и ось вращения.
Рис. 542
Рис. 542
Ответ: N R2 = mg; N Av = N Bx = 0;
Nav = NBx = - ^W-9g^ .
Задача 1027 (рис. 543). Однородный тонкий стержень длиной 2/ и массой 2m посредине изогнут под прямым углом и одним концом прикреплен
жестко к вертикальному валу так, что его
плоскость составляет с этим валом прямой угол. Вал вращается с постоянной угловой скоростью и> в подшипниках А и В, от
стоящих на расстояниях а от точки крепления стержня. Определить полные реакции подшипников, считая верхний подшипник цилиндрическим.
Ответ: NАх = — ^ (g + а^);
NAy=-^(g + ^ NBx =
= £(g-^); NBy = ^(g — a«4);
NB2 — 2mg.
Задача 1028 (рис. 544). Однородная тонкая прямоугольная пластина со сторонами 2а и 26 и массой т закреп
лена на валу, проходящем через ее центр, так, что составляет с валом неизменный угол а. Вал вращается с постоянной угловой скоростью <о в подшипниках А и В,
удаленных от точки крепления пластины к валу на расстояния L Определить добавочные динамические реакции подшипников.
Ответ: Nдх^NBx = 0; NBy = -NAy = ^^^^ .
Задача 1029 (рис. 545). Однородный тонкий стержень ОС массой т и длиной I приварен концом О под углом а к валу, вращающемуся в подшипниках А и В под действием внешнего момента М. Определить добавочные динамические реакции подшип-
Рис. 544Рис. 544
Рис. 544
Рис. 544
ников в момент, когда угловая скорость вала станет равной ш, если расстояния от подшипников до точки крепления стержня равны а.
Указание. Определить е из уравнения eJz = Mg\
Ответ:=NBx = -№^W.
4al sin а ’4al sin а ’
.,sin а /п,п х . 7sin а /п,. п .
NAy = —^— (2/ cos а — Say, Nву =^— (2; cos а + За).
Задача 1030. Однородная тонкая пластинка, имеющая форму прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, вращается вокруг оси, расположенной в ее плоскости. Как должна быть расположена эта ось, чтобы динамические давления на подшипники отсутствовали?
Ответ: ось должна проходить через центр тяжести треугольника и составлять с катетом а угол
1. ab
а Т агс'
Задача 1031 (рис. 546). Однородная тонкая пластина массой М, имеющая форму кругового сектора радиусом R с центральным углом 90°, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной уг- 402
левой скоростью. Определить положение добавочной массы т, присоединение которой устраняет добавочные динамические давления на подшипники.
АARM3 п
Ответ: х =5; у~ „ R.
Зит ’ 38
Задача 1032 (рис. 547). Однородная тонкая пластина массой М, имеющая форму прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, вращается равномерно вокруг оси, совпадающей с катетом Ь. Определить положение добавочной массы т, присоединение которой устраняет добавочные динамические давления пластины на подшипники.
Рис 549Рис 549равномерно вращаетсяравномерно вращается
Рис 549
Рис 549
равномерно вращается
равномерно вращается
Ответ: масса должна быть присоединена в точке с коордипа- Ма 1 , тами: х = — у — Ь.
Зт ’ 34
Задача 1033 (рис. 548). Однородный стержень АВ жестко прикреплен к вертикальному валу ОО, под некоторым углом и вращается вместе с ним с постоянной угловой скоростью. Для динамического уравновешивания к валу присоединены на одинаковых от него расстояниях две точечные массы С и D, расположенные в одной плоскости с валом и стержнем, так что СВ I OOi и DA OOi. Определить отношение величин этих масс.
Ответ: -- = 2.
Задача 1034 (рис. 549). Три невесомых стержня скреплены своими концами в одной точке и находятся в одной плоскости. К другим концам стержней прикреплены точечные массы тх, т^ и т3. Система
вокруг оси, лежащей в плоскости стержней и проходящей через точку их пересечения, причем массы тх и т2 находятся по одну сторону от оси, а масса т3—по другую. Каковы должны быть отношения масс тх и т^ к массе т^, чтобы подшипники не испытывали динамических давлений? Длины стержней соответственно
равны A, к к, а углы, образованные ими с осью вращения, равны сщ og, «з (причем углы а, и а, острые).
Ответ:
т, /8 sin а8 (Z2 COS а5— Z8 COS а3)т, /8 sin а8 (Z2 COS а5— Z8 COS а3)m2 ia sin а3 (Zt COS a J 4- Z3 cos a8)m2 ia sin а3 (Zt COS a J 4- Z3 cos a8)»la Ц sin a, (lL COS at 4- 4 Cos a2) ’»la Ц sin a, (lL COS at 4- 4 Cos a2) ’m3 Z2 sin a2 (/, COS a, 4" 4 COS a2) *m3 Z2 sin a2 (/, COS a, 4" 4 COS a2) *
т, /8 sin а8 (Z2 COS а5— Z8 COS а3)
т, /8 sin а8 (Z2 COS а5— Z8 COS а3)
m2 ia sin а3 (Zt COS a J 4- Z3 cos a8)
m2 ia sin а3 (Zt COS a J 4- Z3 cos a8)
»la Ц sin a, (lL COS at 4- 4 Cos a2) ’
»la Ц sin a, (lL COS at 4- 4 Cos a2) ’
m3 Z2 sin a2 (/, COS a, 4" 4 COS a2) *
m3 Z2 sin a2 (/, COS a, 4" 4 COS a2) *
Решение невозможно в случае острого угла а3, если Z3cosa32B ^Z2cosa2, и в случае тупого угла а3, если Z3cosa3^— /jcosap
Задача 1035 (рис. 550). Два тонких однородных стержня / и // длиной I каждый, имеющие массы Мх и Мг, скреплены под
прямым углом в точке О, делящей каждый из стержней в отношении 1 :2. На коротком конце первого стержня находится точечная масса mt, а вдоль короткого конца второго может передвигаться точечная масса т2. Какими должны быть массы т, и т2 и расстояние h до второй массы от точки пересечения стержней О, чтобы при враще
чтобы решение задачи было возмож- не оказалась за пределами короткогочтобы решение задачи было возмож- не оказалась за пределами короткогонии системы вокруг любой оси, проходящей через эту точку и лежащей в плоскости стержней, подшипники не испытывали динамических давлений? В каких границах должно находиться
чтобы решение задачи было возмож- не оказалась за пределами короткого
чтобы решение задачи было возмож- не оказалась за пределами короткого
М.М|mt— 2 ; т» — 2 (зл^ — 2Л! 2) 1 при выполнении условияМ.М|mt— 2 ; т» — 2 (зл^ — 2Л! 2) 1 при выполнении условияотношение масс стержней, ным (т. е. чтобы масса т2 конца второго стержня)?
М.М|
mt— 2 ; т» — 2 (зл^ — 2Л! 2) 1 при выполнении условия
М.М|
mt— 2 ; т» — 2 (зл^ — 2Л! 2) 1 при выполнении условия
Ответ: п =— -5- Z;
2
Решение задачи возможно
2М i / !
3=
Г Л А В A XIV
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
§ 1. Принцип возможных перемещений
Возможными перемещениями называют воображаемые бесконечно малые перемещения, которые могут быть у точек системы в данный фиксируемый момент времени без нарушения связей, наложенных на систему.
Если данное положение системы, подчиненной идеальным стационарным и удерживающим связям, является ее положением равновесия, то сумма работ всех задаваемых сил на любом возможном перемещении равна нулю, т. е.
M(f) = 2 ЕкХгк=^ (F.MA-F^-VF.M^O. (14.1) к — 1к = 1
Наоборот, если сумма работ всех задаваемых сил на любом возможном перемещении равна нулю и начальные скорости всех ее точек равны нулю, то система с указанными связями находится в равновесии.
В обобщенных координатах элементарная работа на возможном перемещении системы
^A=^QX-(14-2)
7=1
Принцип возможных перемещений в независимых обобщенных координатах (при голономных связях) выражается следующим образом:
Qj = O (/ = 1; 2; ...; s),(14.3)
где Qj — обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате У);
s — число степеней свободы системы.
Обобщенные силы определяют как коэффициенты при ^q, в выражении (14.2) или по одной из следующих формул:
^=2 F‘Cl=2 ^-1§+г*А5+к/ХГ' <14.4> А—11
(14-5)
где Му— элементарная работа всех задаваемых сил, действующих на систему, па таком возможном перемещении системы, при КОТО-
ром изменяется только данная обобщенная координата q/, а для консервативных систем
где П — потенциальная энергия системы.
Если ввести понятие возможных скоростей
то вместо (14.1) получим
2Л'^ = 0.(14.7)
к = 1
ваетсяваетсяЗадача 1036 (рис. 551). В винтовом зажиме тело D сдавли- которая перемещается винтом В Определить давление Q на тело, если к штурвалу винта приложена пара сил с моментом М =120 н-м, передаточное число конического зубчатого зацепления к =г- = 4, шаг винта h = 20 мм. Трением пренебречь.Решение. Рассмотрим систему, состоящую из штурвала, зубчатых колес,_ винта и губки. Введем в рассмотрение силу Р —— Q, с которой сжимаемое тело D действует на губку. Величину этой силы определим из условия равновесия системы. Таким образом, задаваемыми силами, действующими на систему, будут сила Р и пара сил с моментом М. Система имеет теперь одну степень свободы. Сообщим ей возможное перемещение, мысленно повернув штурвал на угол Вф в сторону действия момента. При этом губка опустится на некоторую величину За. считаются идеальными в силу отсутствия тренияЗадача 1036 (рис. 551). В винтовом зажиме тело D сдавли- которая перемещается винтом В Определить давление Q на тело, если к штурвалу винта приложена пара сил с моментом М =120 н-м, передаточное число конического зубчатого зацепления к =г- = 4, шаг винта h = 20 мм. Трением пренебречь.Решение. Рассмотрим систему, состоящую из штурвала, зубчатых колес,_ винта и губки. Введем в рассмотрение силу Р —— Q, с которой сжимаемое тело D действует на губку. Величину этой силы определим из условия равновесия системы. Таким образом, задаваемыми силами, действующими на систему, будут сила Р и пара сил с моментом М. Система имеет теперь одну степень свободы. Сообщим ей возможное перемещение, мысленно повернув штурвал на угол Вф в сторону действия момента. При этом губка опустится на некоторую величину За. считаются идеальными в силу отсутствия тренияммВВВВшшРис. 551Рис. 551Так как связиТак как связи
вается
вается
Задача 1036 (рис. 551). В винтовом зажиме тело D сдавли- которая перемещается винтом В Определить давление Q на тело, если к штурвалу винта приложена пара сил с моментом М =120 н-м, передаточное число конического зубчатого зацепления к =г- = 4, шаг винта h = 20 мм. Трением пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из штурвала, зубчатых колес,_ винта и губки. Введем в рассмотрение силу Р —— Q, с которой сжимаемое тело D действует на губку. Величину этой силы определим из условия равновесия системы. Таким образом, задаваемыми силами, действующими на систему, будут сила Р и пара сил с моментом М. Система имеет теперь одну степень свободы. Сообщим ей возможное перемещение, мысленно повернув штурвал на угол Вф в сторону действия момента. При этом губка опустится на некоторую величину За. считаются идеальными в силу отсутствия трения
Задача 1036 (рис. 551). В винтовом зажиме тело D сдавли- которая перемещается винтом В Определить давление Q на тело, если к штурвалу винта приложена пара сил с моментом М =120 н-м, передаточное число конического зубчатого зацепления к =г- = 4, шаг винта h = 20 мм. Трением пренебречь.
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из штурвала, зубчатых колес,_ винта и губки. Введем в рассмотрение силу Р —— Q, с которой сжимаемое тело D действует на губку. Величину этой силы определим из условия равновесия системы. Таким образом, задаваемыми силами, действующими на систему, будут сила Р и пара сил с моментом М. Система имеет теперь одну степень свободы. Сообщим ей возможное перемещение, мысленно повернув штурвал на угол Вф в сторону действия момента. При этом губка опустится на некоторую величину За. считаются идеальными в силу отсутствия трения
м
м
В
В
В
В
ш
ш
Рис. 551
Рис. 551
Так как связи
Так как связи
и твердости тел системы, а также стационарными и удерживающими, то, согласно принципу возможных перемещений (14.1),
3/4 (/И) + ЗЛ (Р) = 0,
где 8Д (Л4) — элементарная работа пары сил;
8Л (Р)— элементарная работа силы Р.
Очевидно,
ЗД(Л1)=Л18ф; 8Л(Р) = —РЗй, таким образом,
Л48ф — Р8й = 0.(й)
Так как система имеет одну степень свободы, то величины За- и Зр связаны между собой некоторой зависимостью. Установим ее.
При повороте штурвала на угол В? шестерня I получит угловое перемещение
8'pi = Зу.
Угловое перемещение 8<р2 шестерни II найдем из соотношения = ^2 г. ’
откуда
8?з = у 8Vl = -18<p.
Такое же угловое перемещение будет иметь и винт.
При повороте винта на угол 2л губка опускается на величину шага винта к. При повороте винта на угол 8<р3 губка опустится на величину
8а=^/г.
Таким образом,
8а = 2^3?
Подставляя это значение За в (а), имеем М8Т-pAsT=o.
В силу произвольности 8у получим Л1 — ^ = 0, 2л/г ’
откуда
р 2лАЛ4
Подставляя числовые данные, найдем Р = 150,8 кн.
Следовательно, Q = P = 150,8 кн.
Задача 1037 (рис. 552). Пресс состоит из шести одинаковых стержней и винта АВ с гайкой А, укрепленной па корпусе. Определить при равновесии силу давления пресса, если на винт действует пара сил с моментом М = 80 н-м, а = Р —10°, шаг винта h =12 мм. Весом стержней и плиты, а также трением пренебречь.
г Решение. Рассмотрим систему, со- $ стоящую из винта, стержней и плиты.
Введем в рассмотрение силу Р, с которой сжимаемый предмет действует на плиту. Величину этой силы следует определить из условия равновесия системы.
Таким образом, задаваемыми силами являются пара сил с моментом М и введенная сила Р. Система имеет теперь одну степень свободы. Принимая, что все стержни абсолютно твердые, и учитывая отсутствие трения, связи можем считать идеальными (кроме того, эти связи стационарные, удерживающие).
Введем оси координат, показанные на рисунке. Дадим системе возможное перемещение, мысленно повернув винт в направлении действия пары на угол 8?. При этом плита получит вертикальное смещение 8уА„ Согласно принципу возможных перемещений,
8 Л (М) + 8Л(Р) = 0 или
М8? — Р%ук = 0.(6)
При этомПри этомработа силы Р определена по формуле
При этом
При этом
8Л (Р) = Р>к + Р^ук + Р£гк = - Р^ук.
Ввиду того, что система имеет одну степень свободы, заключаем, что величины Вер и йук взаимно связаны. Найдем эту зависимость. Для этого определим координаты точек В и К. Обозначив длины стержней через /, имеем
yB = icoSa — Z sin Р; ук = yE = 2l COS а.
Углы а и р в свою очередь связаны между собой соотношением
/ cos р Д- / sin а = EK = const.
Варьируя полученные соотношения, найдем
йув = — Z sin аВа — / COS р8р;
йук= — 2/ sin аЗа;
— I sin рВр Д-1 COS аВа = 0.
Из последнего равенства найдем зависимость между 8а и 8^:
1 sin р
Подставляя это значение 8р в ^ув, получим
$, ■ „ $/ cos р COS а <ч/ COS (а — В) .
8м„ = — I sin аоас-т— оа =Ц" 8а.
sin рsin р
С другой стороны, був связано с углом поворота винта 8<р. При повороте на угол 2л винт опускается на величину шага винта h, а при повороте на угол 8ф — на величину ^ув, следовательно,
» 2п -2л/ COS (а — Р) «
6ф = -г 6110 =оа.
r h УВh sin р
Подставляя полученные выражения для 8ф и Ьук в (Ь), получим
_ М 2л/с°8.(а-="-^8а -Р- 2Р1 sin аЗа = 0.
Л sin р1
В силу произвольности 8а
р Мт COS (а — Р)
h sin Р sin а ‘
Подставив численные данные, найдем
Р = 694 кн.
непод-непод-вокруг общейвокруг общейшшРис. 553Рис. 553до, Mtдо, MtЗадача 1038 (рис. 553). Дифференциальная передача состоит
непод-
непод-
вокруг общей
вокруг общей
ш
ш
Рис. 553
Рис. 553
до, Mt
до, Mt
из двух шестерен / и III, вращающихся вижной оси О, и бегающей шестерни II, приводимой в движение водилом О А. К водилу приложена пара сил с моментом Мо.
Пренебрегая трением, определить моменты М, и М3 пар сил, которые надо приложить к шестерням I и III, чтобы уравновесить механизм. Радиусы колес 1 и /// равны соответственно гх и г3. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.
с моментамис моментамиРешение. Система имеет две степени свободы и находится в равновесии под действием трех пар сил (задаваемые силы)
с моментами
с моментами
и Мз- Примем за обобщенные координаты $0— угол поворота водила и ф! — угол поворота шестерни I.
Дадим системе возможные перемещения 8<р0 и 8<pt в сторону, определяемую действием пары с моментом Л1«. При этом шестерня II получит угловое перемещение Зф21 а шестерня III — угловое пере
■мещение 8<p3. Направления этих перемещений зависят от 3<р0 и Вф,. Согласно принципу возможных перемещений, имеем
М (М^ + 34 (Mt) + М (М3) = 0
или
(с)(с)МоЗфз -|~ M]8<p1 -|- ЛТ38ф3 — 0.
(с)
(с)
При этом предполагается, что пары сил с моментами Mt и М» стремятся повернуть соответствующие шестерни в направлении угловых перемещений Вер, и 8ср3.
Введем в рассмотрение возможные угловые скорости ^ ~-^- (i=0; 1; 2; 3).
Тогда вместо (с) получим
Л^ + М^ + Мзо^О.(d)
Угловая скорость «^ зависит от «о и ш*. Установим эту зависимость, пользуясь формулой (9.5):
™* юо _ Г2 .4 — ш^ _ Гз
to* to*Fv ’to^ to* f a
Перемножая эти равенства, найдем
ю* — m* _rs
to* —to*rv’
отсюда
<»3 =<<»3 =<
<»3 =<
<»3 =<
Подставляя это значение в (d), получим
|МО + Me (1 + £ ll <4 +-М3^1 ш* =0.
Здесь wo и о)* — взаимно независимые величины в силу независимости Зфо и Зер,.
Поэтому можно положить: 1) ш* ^ 0; wf = 0 и 2) ш£ = 0;
«ф 0. Тогда получим
Мо + Мз(1 + ^ = О;М1-М8^ = 0,
\г8/'8
отсюда найдем
Знаки «минус» указывают на то, что при равновесии системы действия пар, приложенных к шестерням / и ///, имеют противоположные направления действию пары, приложенной к водилу.
Рас. 554Рас. 554Задача 1039 (рис. 554). Два однородных стержня /БВ; и AB^, веса которых равны соответственно Рх и Рг, опираются концами А и Аг на гладкие вертикальные стенки, а концами Вх и Bj — на гладкую горизонтальную плоскость. Определить зависимость между углами наклона стержней ®, и ф9 при равновесии системы.
Рас. 554
Рас. 554
Решение. Система состоит из двух стержней._ Задаваемыми силами являются веса Р, и Р2.' В силу отсутствия трения связи будут идеальными. Будем считать, что изображенное на рисунке положение системы есть положение равновесия. Дадим системе
возможное перемещение и воспользуемся принципом возможных перемещений, выраженным в виде равенства (14.1):
2 (^кх^хк + Вку^ук -(- Fks^Zk)~^-(е)
к = \
В нашем случае п = 2; Ркх = Рку = 0; Fkz —— Рк.
Согласно (е), имеем
-PM — PM = 0,(J)
где гх и z2-—аппликаты точек приложения сил Р, и Р2.
Так как
z, = Z1sin<p1; z2 = Z2sin<p2,
ТО
8zi = ^ 8^ = lx cos cpt ■ 8^;
§2g= /д COS (pg * 8cpg.,
Здесь 2Zj и 2Za — длины стержней.
Установим зависимость между Вер, и 8<ра. Имея в виду-, что расстояние между стенками постоянно, получим
2Z, cos ^ 4- 2Za cos фа = const, отсюда имеем
■— 2Zj sin <Р18у! — 2/3 sin фа • 8у2 = 0, следовательно,
»I, sin <р( »
Далее найдем
8za = — Z] ^-^ cos <ра • йфрsin <ра ’ г
Подставляя в (/) значения 82, и 8z2, получим
- Pxh COS ?18?1 + P4v COS ?28?1 = О,bill
откуда
Такова искомая зависимость между углами <р, и у» при равновесии системы.
Задача 1040. Определить при условии равновесия величины моментов Mi и Мг, приложенных к барабанам I и II подъемного механизма, изображенного на рис. 555, а. Вес груза А равен Рд, вес подвижного блока В равен Рв, коэффициент трения между грузом А и наклонной плоскостью, образующей угол а с горизонтом, равен f. Радиусы барабанов равны гх и г», трением в осях пренебречь.
Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем углы поворотов барабанов ^ и %. Определим предварительно обобщенные силы как функции обобщенных координат. Для этого составим выражение для элементарной работы задаваемых сил на возможном перемещении:
814 — Qi8<pi -ф- Qg^^^.
Задаваемыми силами являются веса Рд и Рв и пары сил с моментами Mi и Мг. Следует рассмотреть два случая.
Первый случай. Предположим, что при отсутствии трения груз А стремится двигаться вверх. В этом случае при наличии трения сила трения будет направлена вниз вдоль наклонной плоскости (рис. 595, б). Включая силу трения в число задаваемых сил, имеем
8Л = MtS^t -ф- Л138уа -ф- Ps8sj -ф- P48s2 sin а -ф- PTp8s.2,где Si — расстояние от оси неподвижного блока С до оси блока В;
s4 — расстояние от оси неподвижного блока D до груза А.
Выразим 8s, и 8s3 через приращения независимых обобщенных координат 8^] и Вср2. Для этого напишем уравнения связей. Обозначив длину нити BGI через Lx, получим (рис. 555, в)
sx -ф- й -ф- лгq -ф- г2ф1 = Lx или
8, 4-^ = Const.(g)
Если длина второй нити равна Ц, то (рис. 555, а)
s2 Ь — 8, -ф- С — 8, -ф- 'КГ в -ф- Г^% -ф- lD = Ьг, где lD — длина участка нити, охватывающего блок D.
Таким образом,
83 — 28! -f - Га<р2 = Const.(/l)
Варьируя полученные соотношения (g) и (/г), получим
8sj —|— Г|8<р1 ■— 0; 8s2— 28S| 4- г 28^р2 -— О, отсюда
8Sj = — г^ср^ 3s2 —— га8ср3 — 2r18y1.
Подставив эти величины в выражение для 8Д, имеем
М = (Mj — PBrv — 2PArx sin a — 2rvF^ 8V1 4
+ (Afe — ггРА sin a — ггР.^ 8?ъ таким образом.
Qi = Mt — PBrt — 2PAr. sin a — SrJ^;Q^ — M^ — РАгг sin a — ггРЛр.
При равновесии FTp ^ fN = fPA cos a и, согласно (14.3), Qj = = Qa = 0, следовательно,
Afi < PBrv + ^PArx sin a 4- 2rxfPA cos a;
Al3 < PAr% sin a г^Рд cos a-
Во втором случае предположим, что при отсутствии трения груз опускается (рис. 455, д). После аналогичных выкладок получим
А!, ^ Рвгх 4- 2Р Ar х sin a — 2rJPA cos a;
M2 2s PAr. sin a — rJPA COS a.
Итак, при равновесии системы
PBt\ 4" 2РЛГ1 sin a — 2PArxf cos a =5 Alt ^ PBrv 4" 4- 2PArx sin a 4" 2PArxf cos a;
PAr4 sina — PAr4 cos a ^ Al2 ^ PAr4 sin a 4-4" PAr^ COS a.
Задача 1041 (рис. 556). Лебедка состоит из барабана, зубчатой шестерни /, жестко скрепленной с барабаном, зубчатой шестерни II, находящейся в зацеплении с шестерней /, и рукоятки ОА, приваренной к шестерне //. Опре. - делить минимальную величину силы F, ко- ///-х i^^X р торую надо приложить перпендикулярно 6к КОНЦУ рукоятки О А, чтобы поднять груз Af
V /Рх^у весом Р, подвешенный к тросу, если числа зубцов шестерен соответственно равны гх и z9, длина рукоятки равна I, радиус бара- цгл]^бана равен г. Трением пренебречь.
г>Ответ: F =
Рис. 556lzt *
Задача 1042 (рис. 557). К штурвалу рулевой машины приложена пара сил, величины которых F1 = Fi = 80 н. Определить величину вертикального усилия S, передаваемого на рейку АВ, если радиус штурвала R = 45 см, а радиусы барабанов 1 и 2 и шестерни 5 соответственно равны: Г]= 16 см, г3= 10 см, г3=15см. Трением пренебречь.
Ответ: S = 300 н.
Задача 1043 (рис. 558). Редуктор составлен из четырех конических колес, имеющих общую вершину начальных конусов, углы
Рис. 557Рис. 558Рис. 557Рис. 558
Рис. 557Рис. 558
Рис. 557Рис. 558
при которых соответственно равны 2аь 2^, 2а3, 2а4. К ведущему валу / приложен вращающий момент МР Определить момент, передаваемый на вал //, пренебрегая трением.
“1 stn а3 ■ sin $а
Задача 1044. В гидравлическом прессе, изображенном на рис. 559, перпендикулярно к рычагу ОА в точке А действует
сила F. Площадь левого поршняравна Si, площадь правого — Sa. Определить величину усилия Q, сжимающего тело М, если О А—а; ОВ = Ь. Трением пренебречь.
Ответ: Q —
Задача 1045 (рис. 560). Два горизонтальных стержня шарнирно закреплены в точках А и В, а их свободные концы соединены тросом, перекинутым через блок С. Длины стержней равны Л и /8.
На расстояниях ах и аа от закрепленных концов к стержням подвешены грузы весом Рх и Рг соответственно. Пренебрегая трением и весом стержней, найти соотношение между величинами ах и а», если система находится в равновесии.
Ответ: — = -нт1" •«2 Pda
Задача 1046. Решить предыдущую задачу, учитывая веса стержней Qi и Засчитать стержни однородными.
8 СОтвет: 2Рх1гах — 2PJ1a8 = (Q8 — Q,) l^.
к 561Задача 1047 (рис. 561). В двухколо-
‘дочном тормозе с уравнительным механиз
мом определить давления колодок на колесо, если к рычагу ОА приложена горизонтальная сила Q. Весом частей механизма пренебречь. Принять: ОА—а; ОВ = Ь; DC —с, DE — d. Найти, при каком условии ось Oj не испытывает
давления.
Ответ: No = 5ti±L ND = ^^d).
Ось Oj не испытывает давления при ас = bd.
Задача 1048 (рис. 562). В двухколодочном тормозе определить
давления колодок на колесо,давления колодок на колесо,если к рычагу приложена верти-
давления колодок на колесо,
давления колодок на колесо,
Рис. 562Рис. 562
Рис. 562
Рис. 562
кальная сила Q, BC — BD — c, KL = AO = a, LE = OD—b. Весом частей механизма пренебречь.
Ответ: NK = ^- NA=tiq.
Задача 1049 (рис. 563). Для распора параллельных плоскостей с — с и d — d используются встречные клинья Лив, которые приводятся в движение звездочкой О радиусом г. Определить величины сил Qi и Q2, с которыми производится распор, если со звездочкой скреплена рукоятка длиной /, к концу которой приложена вертикальная сила F, а угол скоса клиньев равен <?. Угол поворота звездочки считать настолько малым, что сцепление между звездочкой и клиньями не нарушается. Размерами зубьев и трением пренебречь.
Считать Qj^Q^.
IF
Ответ: Q1 = Q1 =—.
2r tg щ
Задача 1050 (рис. 564). Четыре одинаковых однородных
стержня, соединенных между собой шарнирно, расположены в вертикальной плоскости. Противоположные вершины А и В полученного ромба связаны между собой нитью. Нижняя
вершина С закреплена при помощи неподвижного шарнира, а верхний шарнир D может свободно перемещаться . по вертикальной направляющей. Определить натяжение нити, если острые углы при вершинах ромба равны 2у, а вес каждого стержня равен Р. Весом ползуна О и трением пренебречь.
Ответ: T = 2Ptg <р.
Задача 1051. В условиях предыдущей задачи, заменив нить пружиной, естественная длина которой равна длине стержня /, определить жесткость с пружины, если при равновесии острые углы при вершинах ромба равны 2?, причем ?>30°.
Рис. 564Рис. 564Ответ:Ответ: 2Р tg <р
Рис. 564
Рис. 564
Ответ:
Ответ:
Задача 1052 (рис. 565). Однородный стержень АОВ весом Р изогнут под прямым углом так, что ОА = 11, ОВ = Ц. Стержень подвешен в точке сгиба О и может вращаться около нее в вертикальной плоскости, опираясь концом В на горизонтальный однородный стержень CD, шарнирно закрепленный в точке С иЗадача 1052 (рис. 565). Однородный стержень АОВ весом Р изогнут под прямым углом так, что ОА = 11, ОВ = Ц. Стержень подвешен в точке сгиба О и может вращаться около нее в вертикальной плоскости, опираясь концом В на горизонтальный однородный стержень CD, шарнирно закрепленный в точке С иРис. 565Рис. 566Рис. 565Рис. 566С / (2 sin <р— 1) ‘
Задача 1052 (рис. 565). Однородный стержень АОВ весом Р изогнут под прямым углом так, что ОА = 11, ОВ = Ц. Стержень подвешен в точке сгиба О и может вращаться около нее в вертикальной плоскости, опираясь концом В на горизонтальный однородный стержень CD, шарнирно закрепленный в точке С и
Задача 1052 (рис. 565). Однородный стержень АОВ весом Р изогнут под прямым углом так, что ОА = 11, ОВ = Ц. Стержень подвешен в точке сгиба О и может вращаться около нее в вертикальной плоскости, опираясь концом В на горизонтальный однородный стержень CD, шарнирно закрепленный в точке С и
Рис. 565Рис. 566
Рис. 565Рис. 566
удерживаемый пружиной в точке D. Найти натяжение пружины, если вес стержня CD равен Q, СВ =^CD, а = 45°. Трением пренебречь.
Ответ. F "2"+ д/а •
Задача 1053. В механизме, показанном на рис. 566, ползун D весом Q может скользить вдоль гладкой неподвижной направляющей АВ, образующей с горизонтом угол а = 30°. Кривошип АС и шатун CD имеют одинаковые длины и веса, в два раза большие
41741714 н. А. Бражниченко и др.
417
417
веса ползуна. Определить при равновесии системы угол у, образованный кривошипом с направляющей АВ. Трением пренебречь.
Ответ: <s = 30°.
Задача 1054 (рис. 567). Система состоит из двух одинаковых одно
родных шарнирно скрепленных стержней АВ и ВС весом Р каждый.
Стержень АВ шарнирно закреплен в точке А и к середине его подвешен груз М весом Q. Стержень ВС опирается на гладкий горизонтальный пол. Какую горизонтальную силу F следует приложить в точке С, чтобы сисгема находилась в равновесии, если / О А В = 2_ ОСВ = 60°? Трением пренебречь.
Ответ: F = ^^ (Q + 2Р).
Задача 1055 (рис. 568). Два одинаковых однородных стержня АВ и ВС соединены между собой шарниром В. К концу С
стержня ВС приложена горизонтальная сила F, равная по величине половине веса стержня. Определить в положении равновесия системы углы аир, пренебрегая трением.
Ответ: а = arc t g 1 /3 = 18°25'; Р = 45°.
Задача 1056. В стержневой системе, изображенной на рис. 569, стержни АВ, ВС, CD соединены шарнирно друг с другом и с неподвижными опорами. Определить зависимость между величинами сил Q и F при
= Y- Весом стержней пренебречь.
Ответ: F = Qtgt?.
Рис. 569Рис. 569Задача 1057 (рис. 570). В кулисном механизме, расположенном в горизонтальной плоскости, определить соотношение, имею-
Рис. 569
Рис. 569
щее место при равновесии, между моментами, приложенными к кривошипу и к колесу //, если длина кривошипа г, а радиус колеса II равен г2. Трением пренебречь.
Ответ:
Задача 1058 (рис. 571). Редуктор скоростей состоит из непод-
1»1»вижной шестерни I радиусом г. бегающих шестерен 2 и 3 с радиусами л, и га и шестерни 4, сидящей на ведомом валу IV. К ведущему валу / приложен вращающий момент Мр Прене-
1»
1»
двух спаренных между собойдвух спаренных между собоймо-мо-брегая трением, определитьбрегая трением, определитьмент М3 сил полезного сопротивления, приложенных к валу IV,
двух спаренных между собой
двух спаренных между собой
мо-
мо-
брегая трением, определить
брегая трением, определить
при условии равномерного вращения механизма.
Ответ: Л13 =МХ 7^7^773 ~ ГгТ •
Задача 1059 (рис. 572). В блоке системы «Триплекс» на валу
а — а жестко насажен цепной блок А; на том же валу заклинена шестерня I. При вращении шестерни / бегающие шестерни III катятся по неподвижной шестерне IV и посредством водила В приводят во вращение цепной блок С. Числа зубцов шестерен соответственно равны: Z! = 12; z3 —28; г3=14; z4 —54. Определить массу поднимаемого груза т, если на цепь, надетую на блок А, действует сила /7= 100 н, а радиус R блока А в 10 раз больше радиуса г блока С. Связи считать идеальными.
Ответ: т — — ——^l^dzfsL = j 02 т. gr
Задача 1060 (рис. 573). Кривошипно-шатунный механизм расположен в вертикальной плоскости. Определить, какой вращающий момент М пере-
дается на кривошип, когда он образует угол у с вертикалью, если результирующее давление пара в цилиндре равно F. Кривошип и шатун считать однородными стержнями равной длины / и весом Р каждый. Трением и весом поршня пренебречь.
Ответ: М — 21 (F Р) sin у.
Задача 1061. На поршень двигателя действует сила F. Определить в зависимости от углов у и ф вращающий момент М на коленчатом валу,если длина
Zw*^\кривошипа г. Весом частейпренебречь
((Рис- 573)'
...Ответ: М = sin ТТ77ТТ?№ггТГТ77Т777ТТ7-ГГCOS У
Рис. 574Рис. 574Задача 1062 (рис. 574). Колесо радиусом R равномерно катится без скольжения по горизонтальному рельсу под
Рис. 574
Рис. 574
действием пары с моментом М. С центром колеса шарнирно связан стержень, другой конец когорого скользит по направляющим, параллельным рельсу. Определить силу трения F в направляющих. Трением качения пренебречь.
Ответ: F = -^.
Задача 1063 (рис. 575). На кривошип ОХА кулисного механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, действует
Рис. 575Рис. 575Рис. 576Рис. 576
Рис. 575
Рис. 575
Рис. 576
Рис. 576
вращающий момент М^ Определить, какой момент ЛТ2 следует приложить к кулисе, чтобы уравновесить механизм в момент, когда Z. АО1О» = ^; Z.0AA = ^. Трением пренебречь.
Ответ: М» = —Л . 2 sin2 <р
Задача 1064 (рис. 576). К коромыслу ОгА четырехзвенного механизма приложен вращающий момент Mv Определить момент М^ передаваемый на коромысло О^В, в положении механизма, изобра-
женном_ па рисунке, если 0^4 = 6 см, OA = V^ см, 0гВ = = 1V 3 см, Д A0Y0\ = 90°, z В0101= 120°.
Ответ: М,=^М,.
Задача 1065 (рис. 577). Пресс приводится в действие при помощи кулисного механизма, причем к кривошипу ОА приложен
Рис. 577Рис. 577Рис. 578Рис. 578
Рис. 577
Рис. 577
Рис. 578
Рис. 578
момент М. Найти давление, оказываемое прессом в зависимости от угла у, если длина кривошипа равна /. Трением и весом частей пренебречь.
Ответ: F —
I sin у
Задача 1066 (рис. 578). Для перемещения ползуна А по направляющим применяется рычаг, длина которого I, расстояние оси вращения до направляющих равно h. К концу рычага перпендикулярно к нему приложена сила F. Определить величину горизонтальной силы R, которую следует приложить к ползуну, чтобы уравновесить механизм. Весом частей механизма и трением пренебречь.
Ответ: R=-r
Задача 1067 (рис. 579). Две тяжелые точки Рис- 579
Мг и М^, соединенные между собой невесомым
жестким стержнем длиной I, находятся внутри гладкой сферы радиусом R=l. Определить при равновесии угол а, образованный стержнем с горизонтом если вес точки Mt равен Р, а вес точки Мг равен 2Р."
Ответ: а = arc tg = 10°53'.
вшиРис. 581вшиРис. 581
вши
Рис. 581
вши
Рис. 581
Задача 1968. В кратных полиспастах, изображенных на рис. 580, определить зависимость между величиной силы Q и весом груза Р при равновесии, если число блоков с подвижными осями равно п. Весом блоков и трением в осях пренебречь. Считать все части тросов между блоками параллельными.
Ответ: a) 0=^\ б) <?=2^Гг
Задача 1069. В дифференциальном полиспасте, изображенном на рис. 581, определить зависимость между величиной силы Q
и весом Р груза М при равновесии, если радиус большого блока равен R, а радиус верхнего малого блока г. Весом блоков и трением в осях пренебречь.
Ответ: Q — ^-^~P.
Задача 1070 (рис. 582). Однородная стремянка с шарниром С стоит на горизонтальной шероховатой плоскости. При каком пре
дельном угле наклона а стремянка будет находиться в равновесии, если коэффициент трения ее о плоскость равен /?
Ответ. a=arctg^.
Задача 1071 (рис. 583). С какой силой сжимают тиски обрабатываемую деталь, если к концу В рукоятки приложена пер- 422
Рис. 584Рис. 584С в мС в мРис. 585Рис. 586Рис. 585Рис. 586
Рис. 584
Рис. 584
С в м
С в м
Рис. 585Рис. 586
Рис. 585Рис. 586
пендикулярная к ней сила F, шаг винта равен к, а длина рукоятки /?
Ответ: Q —
Задача 1072. Для подъема легкового автомобиля применяется домкрат, изображенный на рис. 584. Считая, что АО = ОВ — = CE=ED—a; СВ —AD —2а и угол а = 60°, определить не
обходимый шаг винта, если усилие, приложенное к рукоятке, равно 80 н, а масса поднимаемого груза равна 1 т. Расстояние от рукоятки до оси винта равно 20 см. Трением пренебречь. Стержни СВ и AD шарнирно скреплены посередине.
Ответ: й = 4,44 мм.
Задача 1073 (рис. 585). В винтовом рулевом приводе силовой мотор развивает на своем валу вращающий момент Мй. Пренебрегая трением, определить момент Мъ передаваемый на руль, в зависимости от углов а и <р, показанных на рисунке, если шаг винта равен к, длина О А = г. Крепления в точках А иВ шарнирные. Передаточное число, т. е. отношение углов поворота вала мотора и винта, равно к.
,., 2itrfe sin. .
Ответ: Мх =;— Мй.
1h COS а“
Задача 1074. В прессе, показанном на рис. 586, на маховичок А действует пара сил с моментом М. Благодаря различным нарезкам гайки В и С одновременно сходятся или расходятся.
в том с вер- и тре-в том с вер- и тре-
в том с вер- и тре-
в том с вер- и тре-
Определить сжимающее усилие S, развиваемое прессом, положении механизма, когда стержни BD и OD образуют
тикалью углы 6 и а соответственно. Весом частей пресса нием пренебречь. Шаг винта равен к. Ответ: S =
h sin у COS а
Задача 1075 (рис. 587). Пресс состоит из двух рычагов, соединенных в точке Л шарнирно, и из винта с правой и левой резьбой, который может ввинчиваться в гайки В и С. Определить величину усилия F, создаваемого прессом, если к рукоятке винта приложен вращающий момент М. Шаг винта равен h, длины плеч
Рис. 587Рис 588Рис. 587Рис 588рычагов соответственно равнырычагов соответственно равныа и b; L BЛO=Z СЛО! = 90°;а и b; L BЛO=Z СЛО! = 90°;/ Л001 = У- Весом частей пресса и трением пренебречь.Ответ: F = -гт—. ah tg tpЗадача 1076 (рис. 588). К рукоятке ОВ домкрата приложена перпендикулярная к ней сила Р. При вращении рукоятки ше/ Л001 = У- Весом частей пресса и трением пренебречь.Ответ: F = -гт—. ah tg tpЗадача 1076 (рис. 588). К рукоятке ОВ домкрата приложена перпендикулярная к ней сила Р. При вращении рукоятки шестерня I, закрепленная на ее оси, приводит во вращение шестерню //; через шестерню // проходит ходовой винт, которомустерня I, закрепленная на ее оси, приводит во вращение шестерню //; через шестерню // проходит ходовой винт, которомуона сообщаетона сообщаетA2RVРис. 589A2RVРис. 589продольное поступательное перемещение вверх. Шестерня ///, скрепленная с шестерней /, находится в зацеплении с шестерней IV, которая может поворачивать винт, не препятствуя его продольному перемещению, благодаря наличию на ней пальца, скользящего в прорези. При этом винт, ввинчиваясь в неподвижную гайку Л, опускается. Определить вес поднимаемого груза Q, если шаг винта к, а радиусы шестерен соответственно равны r1; гч> гз> rv Длина рукоятки ОА равна R.продольное поступательное перемещение вверх. Шестерня ///, скрепленная с шестерней /, находится в зацеплении с шестерней IV, которая может поворачивать винт, не препятствуя его продольному перемещению, благодаря наличию на ней пальца, скользящего в прорези. При этом винт, ввинчиваясь в неподвижную гайку Л, опускается. Определить вес поднимаемого груза Q, если шаг винта к, а радиусы шестерен соответственно равны r1; гч> гз> rv Длина рукоятки ОА равна R.Ответ: QОтвет: Q2T.PR2T.PRи соотношениеи соотношениеЗадача 1077. Определить момент М пары сил, которую необходимо приложить к вороту А, между весами грузов для того, чтобы система, изоЗадача 1077. Определить момент М пары сил, которую необходимо приложить к вороту А, между весами грузов для того, чтобы система, изображенная на рис. 589, находилась в равновесии, если радиус ворота равен R. Весом блоков и трением пренебречь.Ответ: М = P^R; Pi = 4Р».браженная на рис. 589, находилась в равновесии, если радиус ворота равен R. Весом блоков и трением пренебречь.Ответ: М = P^R; Pi = 4Р».
Рис. 587Рис 588
Рис. 587Рис 588
рычагов соответственно равны
рычагов соответственно равны
а и b; L BЛO=Z СЛО! = 90°;
а и b; L BЛO=Z СЛО! = 90°;
/ Л001 = У- Весом частей пресса и трением пренебречь.
Ответ: F = -гт—. ah tg tp
Задача 1076 (рис. 588). К рукоятке ОВ домкрата приложена перпендикулярная к ней сила Р. При вращении рукоятки ше
/ Л001 = У- Весом частей пресса и трением пренебречь.
Ответ: F = -гт—. ah tg tp
Задача 1076 (рис. 588). К рукоятке ОВ домкрата приложена перпендикулярная к ней сила Р. При вращении рукоятки ше
стерня I, закрепленная на ее оси, приводит во вращение шестерню //; через шестерню // проходит ходовой винт, которому
стерня I, закрепленная на ее оси, приводит во вращение шестерню //; через шестерню // проходит ходовой винт, которому
она сообщает
она сообщает
A2RV
Рис. 589
A2RV
Рис. 589
продольное поступательное перемещение вверх. Шестерня ///, скрепленная с шестерней /, находится в зацеплении с шестерней IV, которая может поворачивать винт, не препятствуя его продольному перемещению, благодаря наличию на ней пальца, скользящего в прорези. При этом винт, ввинчиваясь в неподвижную гайку Л, опускается. Определить вес поднимаемого груза Q, если шаг винта к, а радиусы шестерен соответственно равны r1; гч> гз> rv Длина рукоятки ОА равна R.
продольное поступательное перемещение вверх. Шестерня ///, скрепленная с шестерней /, находится в зацеплении с шестерней IV, которая может поворачивать винт, не препятствуя его продольному перемещению, благодаря наличию на ней пальца, скользящего в прорези. При этом винт, ввинчиваясь в неподвижную гайку Л, опускается. Определить вес поднимаемого груза Q, если шаг винта к, а радиусы шестерен соответственно равны r1; гч> гз> rv Длина рукоятки ОА равна R.
Ответ: Q
Ответ: Q
2T.PR
2T.PR
и соотношение
и соотношение
Задача 1077. Определить момент М пары сил, которую необходимо приложить к вороту А, между весами грузов для того, чтобы система, изо
Задача 1077. Определить момент М пары сил, которую необходимо приложить к вороту А, между весами грузов для того, чтобы система, изо
браженная на рис. 589, находилась в равновесии, если радиус ворота равен R. Весом блоков и трением пренебречь.
Ответ: М = P^R; Pi = 4Р».
браженная на рис. 589, находилась в равновесии, если радиус ворота равен R. Весом блоков и трением пренебречь.
Ответ: М = P^R; Pi = 4Р».
, как ука-, как ука-Рис. 590Рис. 590Задача 1078 (рис. 590). Система состоит из двух невесомых блоков: неподвижного А и подвижного В, и из трех грузов Мь М», М3, подвешенных с помощью нерастяжимых нит " зано на рисунке. Определить соотношение между весами грузов в условиях равновесия системы. Весом блоков и трением пренебречь.
, как ука-
, как ука-
Рис. 590
Рис. 590
Ответ: Р, = 2Р3 = 2Р3.
Задача 1079. В системе, изображенной на рис. 591, определить соотношение между весами грузов Р^ и Ра при их равновесии. Весом блоков и трением пренебречь.
Ответ- Р^ = ^Рг.
Задача 1080. Четыре груза Л!,, Мг, М3, М4, подвешенные посредством системы блоков, изображенной на рис. 592, находятся в равновесии. Определить зависимость между весами грузов, пренебрегая весом блоков и трением.
Ответ: 2Pt = Р» = 2Р4 = Р3.
и момент /И,и момент /И,Задача 1081 (рис. 593). Определить вес Р груза А
и момент /И,
и момент /И,
Рис 591Рис 591Рис. 593Рис. 593пары, который необходимо приложить к вороту // для того, чтобы система находилась в равновесии, если к вороту I прило-
Рис 591
Рис 591
Рис. 593
Рис. 593
жена пара с моментом МР Вес подвижного блока равен Q, а радиусы воротов одинаковы и равны R. Весом блоков и трением пре
М»М»_М4- QR2_М4- QR2небречь.
М»
М»
_М4- QR
2
_М4- QR
2
„ D M4 — QR
Ответ: Р~ 2р — ’
§ 2. Общее уравнение динамики системы
При идеальных удерживающих связях, наложенных на систему, имеет место общее уравнение динамики:
У (тА®А —^й)8гй = 0 fc=iУ (тА®А —^й)8гй = 0 fc=i(U8)(U8)
У (тА®А —^й)8гй = 0 fc=i
У (тА®А —^й)8гй = 0 fc=i
(U8)
(U8)
илиили
или
или
2 ЦтА — F^) 8xt 4- (mfcyh — F^ byk + fe=l
-H™ Л — ^) B^l = 0.-H™ Л — ^) B^l = 0.(14.9)(14.9)
-H™ Л — ^) B^l = 0.
-H™ Л — ^) B^l = 0.
(14.9)
(14.9)
Уравнение (14.8) можно переписать в виде
М^Ц-МЦ^-О,(14.10)
т. е. при движении системы, с идеальными удерживающими связями сумма элементарных работ задаваемых сил и сил инерции равна нулю на всяком возможном перемещении системы из любого ее положения.
Работу сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, при элементарном повороте 8<р вокруг оси вращения определяют формулой
(14.11)(14.11)М (/) = — гд2Ц,
(14.11)
(14.11)
где Jz— момент инерции тела относительно оси вращения; s — угловое ускорение.
В случае наличия сил трения их нужно причислять к задаваемым силам..
Задача 1082 (рис. 594). двух точечных масс А и В,Задача 1082 (рис. 594). двух точечных масс А и В,Рис. 594Рис. 594Центробежный тахометр состоит из соединенных между собой стержнем, муфты С, скрепленной с массой А при помощи стержня АС, и спиральной пружины. Стержень АВ может поворачиваться вокруг оси О, перпендикулярной к оси тахометра ОгОг. При отсутствии вращения стержень АВ образует с осью тахометра угол у0. Определить зависимость угловой скорости вращения тахометра от угла у, если масса тА = тв = т, а масса муфты равна mv Жесткость спиральной пружины принять равной с и считать О А = О В = А С = I. Весом стержней и трением пренебречь.
Задача 1082 (рис. 594). двух точечных масс А и В,
Задача 1082 (рис. 594). двух точечных масс А и В,
Рис. 594
Рис. 594
ваемыми силами являютсяваемыми силами являютсяРешение. Система состоит из точечных масс А и В и муфты С. Зада- ,еса и упругие силы пружины, момент
ваемыми силами являются
ваемыми силами являются
последних Мупр = с(ф — <р0). Приложим условно к точкам системы силы инерции:
1а = — т®А,1в = — »1®в.
Так как
ВУЛ = W' -}- щр"Р,
а &увр = О в силу равномерности вращения, то ®л = тц, т. е.
wA = ш2/ sin ф.
Таким образом,
/л —/в = т<н^8‘п ф.
При этом силы инерции являются центробежными и направлены перпендикулярно к оси вращения.
Если не пренебрегать размерами муфты, то к каждой частице муфты будет приложена сила инерции /„ также являющаяся центробежной. Приложив силы инерции, сообщим системе возможное перемещение 8у, повернув мысленно стержень АВ вокруг точки О в плоскости рисунка. Определим элементарную работу задаваемых сил и сил инерции.
При повороте твердого тела
ВЛ = тг (F) Вер.
Обозначая РА — Рв — Р — mg — веса грузов, имеем
ВЛ (Рл) = — Р/ sin срВср;
ВЛ (Pfi) = Р/ sin cpBtp;
84 Qa^Ia1 COS ср Вер;
8Л (JB) = jBZcos v 8ф.
Работа упругих сил
84 (Рупр) = —с (ср — <р0) By.
Работу веса Pi муфты С найдем по формуле
ВЛ (?!) = №
где Bz— изменение расстояния муфты от точки О.
Так как
г = 2/ cos гр, то
8г = ^ 8V = — 2Zsinv8v
и, следовательно,
ВЛ (Р^ — — 2/Р, sin р 8ф.
Работа сил инерции /; на возможном перемещении равна нулю, так как эти силы перпендикулярны к элементарным перемещениям.'
Таким образом, согласно (14.10), имеем
ВЛ (Р) -|- ВЛ (j) = /л/ COS Ф Вер 4- jBl COS ср Вер —
— 21PV sin ср Вер с (у — р0) 8*р = 0.
Подставив найденные значения, получим
2/я<1)^ sin ср cos у 8 у — 2/Pt sin <р Sep — с (ф — ф0) 8ф = О, отсюда
V m/2 sin 2у 1
Задача 1083. Система состоит из четырех масс ть т2, т3, т4,
соединенных попарно и подвешенных при помощи блоков А, В,
С, как показано на рис. 595. Определить, при каком соотношении масс груз с массой т4 будет оставаться на месте, если в начальный момент система находилась в покое. Весом блоков, нитей и трением пренебречь.
Решение. Система имеет три степени свободы. Обозначим абсолютные координаты грузов через i/i, уч, уз, у^. Задаваемыми силами являются веса. Согласно уравнению (14.9), имеем
(m^i — m,g) ^yt + (m<№ — m^g) 8у4 +
+ (m3W3 — m3g) 8//3 + (m4cw4 — m^ 8y4 = 0. (f)
Puc. 595Установим зависимость между перемеще
ниями byv, byt, ^уз, bylt для чего составим уравнения связей. Так как все нити предполагаются нерастяжимыми, то, обозначая через Ll, L^, L3 длины нитей, получим
У1 — $1 + уч — Si + кг А — Ьг;
si + saт:г в = Z.2;
УЗ S1 + У 4, S‘2 Ч~ ^с ~ ^з-
Умножая второе уравнение на 2 и складывая все три уравнения (чтобы исключить st и s3), имеем
У1 4~ Уз 4~ Уз 4~ У4 = 2L2 —■ 2кгдЦ-Lj — кг А -}- й3 — кгс = const
(поскольку система имеет три степени свободы, это единственное уравнение связи). Варьируя, найдем
Nt4~ ^Уг 4~ ^Уз ^У1 — 0 >(/)
а дважды дифференцируя по времени, получим
Wi 4"т» + да3 -|- ®4 = 0.(й)
/ I/ IРис. 596Рис. 596Заменяя в (i)8y4 его выражением через 8gt, Ъу^, Ьу3 из (/), имеем [т( (г^ — g) — щ4 (^ _ g)] gy, 4- [m, (^ — g) — m4 (ty4 — g)] 3y, 44- [m3 (®3 — g) — m4 (^ — g)] 8y3 = 0.
/ I
/ I
Рис. 596
Рис. 596
Так как вариации 8щ, 8g,, 8у3 взаимно независимы, то коэффициенты при них должны быть равны нулю, отсюда
mt (te/! — g) = т4 (ty4 — g);
m, (m, — g) = m4 ^w4 — g);
m3 (w, — g^ — m^ (w4 — g).
Умножая эти равенства соответственно на m,m3, тхт3, тхтг и складывая, а также учитывая 4), получим
т4 (inxtn4-\-mxma-V-тапг^ — 3mim2m3™5,//z1m2m3 + тхт4т4-\-тхт8т4-^ тат8т4 &'
Для того чтобы груз массой т4 при от< скорости не двигался, необходимо, чтобы щ4 = 0, т. е.
т4 (тугц 4* тхт3 4- m,m3) = Зтхтчт^.
Разделив обе части этого соотношения на тхтгт^, можем представить его в виде m4 . m4 . т4з тх ' т2 ' пц '„
Это и есть искомая зависимость между 2Г массами грузов.■
Задача 1084 (рис. 596). К ведущему барабану / радиусом R подъемного механизма приложен постоянный вращающий момент М.
Не учитывая масс вращающихся частей и тросов и пренебрегая трением в осях, определить ускорение поднимаемого
груза Л, если радиусы барабанов // и /// соответственно равны г, и г3, передаточное число — — k, а масса груза равна т.
Ответ: w = —~а. mRr8 6
Задача 1085. Решить предыдущую задачу с учетом масс вращающихся частей механизма, приняв моменты инерции: ведущего барабана Jx, барабана II с зубчатым колесом J„ барабана /// с зубчатым колесом Ja.
Ответ:
, (Мг2к — mgRrJ Rrs
— mR^X 4- (Ari 4- JaR^ № 4 JaR^1
Задача 1086 (рис. 597). На трех сплошных однородных валах, к каждому из которых приложен вращающий момент М, нахо-
Рис. 598Рис. 598Рис. 597Рис. 597Рис. 599Рис. 599
Рис. 598
Рис. 598
Рис. 597
Рис. 597
Рис. 599
Рис. 599
дится балка массой пц. Определить ускорение балки, если масса
каждого вала равна mi, а радиус равен г, считая, что между
валами и балкой скольжение отсутствует. Трением в осях пренебречь.
Ответ: w = ———-—.
-|-2т2) г
Задача 1087 (рис. 598). Зубчатый редуктор состоит из двух зубчатых
колес I и II, массы которых равны mt и т^, а радиусы г и R соответственно. На первое колесо действует момент М, приводящий его в движение, а на второе колесо — тормозной момент L = -^ М. Определить угловые ускорения et и еэ колес, считая их однородными дисками, если /?=12 г. Трением в подшипниках пренебречь.
Ответ: е. — -о ,г-; е» = - „ . .:
18r-(m1 + ms) 32r2 (m1 + ms)
Задача 1088 (рис. 599). На транспортере находится труз Л массой т. К ведущему шкиву приложен вращающий момент М.
Ведомый и ведущий шкивы имеют одинаковые массы, распределенные по ободу, и радиусы, равные г. Лента транспортера считается однородной, имеет массу т, и натягивается роликом С, массой которого пренебрегаем. Определить ускорение груза А, если масса каждого шкива равна т», а угол наклона ленты к горизонту равен а.
Трением в осях пренебречь.
М — mgr sin а Ответ: w = —,—г—.
Задача 1089 (рис. 600). Два сплошных однородных вала I и II массами тх и т^ вращаются без трения около параллельных 430
осей при помощи бесконечного ремня так, что скольжение отсутствует. К первому валу приложен вращающий момент М, а на
второй вал наматывается трос, к концу которого привязан груз массой т3. Определить ускорение груза, пренебрегая массой ремня
Ответ:Ответ:и троса. Радиус вала I равен г. 2 (М — т8^г)
Ответ:
Ответ:
Задача 1090. В регуляторе, показанном на рис. 601, определить угол раствора а при установившемся вращении с угловой
скоростью ш, если масса каждого шара равна т, масса муфты Е равна М, ОС — ЕС = АС = а. Массой стержней, размерами шаров и муфты, а также трением пренебречь.
„Mg1 , Г
Ответ: cosa = -;—если toj> — I/ —г-
Аят®-'/ 2 у та'
a=0, если
Задача 1091. В центробежном регуляторе, изображенном на рис. 602, каждый из грузов А и В имеет массу т, а муфта С — массу М. Пренебрегая массой стержней, определить, на какую высоту поднимется муфта, если регулятор равномерно вращается с угловой скоростью о>. Считать, что при отсутствии вращения <р = 0. Найти также, при какой угловой скорости <», муфта вовсе не поднимается. Трением и размерами муфты пренебречь.
Ответ: х = 2a 1 — ^^г^ ё)
ш1 S(ml + Ma)
I г т *
Задача 1092. В регуляторе, изображенном на рис. 603, грузы А
и В имеют массы по 1 кг каждый, масса муфты 3 кг, длины
стержней 10 см. Определить число оборотов в минуту, которое совершает регулятор, если муфта С поднялась при этом на рас
стояние s = 2 см, а при отсутствии вращения угол а равен нулю. Размерами грузов и муфты, а также трением пренебречь.
Ответ: и =129 об!мин.
Задача 1093 (рис. 604). Косинусный регулятор представляет собой угловой рычаг, на концах которого прикреплены два точечных груза А и В с одинаковыми массами. Длины плеч рычага равны соответственно 1г и к (lv=# k), причем угол, под которым согнут рычаг, равен 90°. Пренебрегая массой рычага и трением
в оси, определить, при какой угловой
скорости регулятора прямая, соединяющая центры грузов, будет горизонтальной.
Ответ:а.
4*2
Задача 1094. Определить угловую скорость, с которой вращается регулятор, изображенный на рис. 605, если при установив
Массами стержней и ползуна В, а также трением пренебречь.Массами стержней и ползуна В, а также трением пренебречь.шемся вращении ф = 30°; <р = 60°. Масса каждого груза D равна т, масса муфты А равна М (М <3т); AB = CD = l; BC = -i^\ Z BCD = 90°.
Массами стержней и ползуна В, а также трением пренебречь.
Массами стержней и ползуна В, а также трением пренебречь.
Ответ:Ответ:1 ]/"2(3m — !9_? з г V atm
Ответ:
Ответ:
Задача 1095. При вращении регулятора, показанного на рис. 606, шары Л и В, расходясь, сжимают при помощи рычагов ДОС и BOYD пружину, жесткость которой равна с. Установить
зависимость угловой скорости w от угла а отклонения рычагов, если массы грузов равны т, А0 = ВО1 = 1, расстояния центров
Рис. 606Рис. 606вращения рычагов О и Ot от оси регулятора равны г, а расстояния от этих центров до роликов равны Ь. При а = 0 пружина не напряжена, при этом центры вращения рычагов и ролики находятся на одной горизонтали. Массой рычагов и трением пренебречь.
Рис. 606
Рис. 606
Ответ:
2ml (r-j-l sin а)
Задача 1096. При вращении центробежного регулятора, изображенного на рис. 607, прямоугольные рычаги АСВ и А'С’В' поворачивают
ся вокруг горизонтальных осей С и С' и отжимают муфту М. При отсутствии вращения плечи рычагов ВС и В'С перпенди
кулярны к оси вращения, О'кулярны к оси вращения, О'Рис. 607Рис. 607пружина при этом недеформирована. Зная массы т грузов и пренебрегая массой рычагов, муфты и пружины, а также трением, определить, какова должна быть жесткость пружины с,
кулярны к оси вращения, О'
кулярны к оси вращения, О'
Рис. 607
Рис. 607
для того чтобы рычаги регулятора при заданной угловой скорости ш отклонялись на заданный угол а, если СС = 2а, ВС = — В'С' = г, АС = А'С' = 1.
Ответ:
2ml [g sin а -р- «2 cos а (а + / sin а)]
Г2 sin а COS а■
Задача 1097 (рис. 608). Шарнирный четырехзвенник ABCD, расположенный в вертикальной плоскости, имеет неподвижное звено AD. Каждое подвижное звено представляет собой однородный стержень длиной Z, причем все стержни имеют одинаковые
массы. Определить период колебаний системы при малых откло
нениях от равновесного положения.
Ответ: т = 2л лГ.
V 6g
Задача 1098. Определить период малых крутильных колеба
ний системы, изображенной на рис. 609, считая колеса однород-
Рис. 609Рис. 609а другой прикреплена другой прикрепленными дисками с массами тх и тг. Пружины имеют жесткости сх, с» и при горизонтальных положениях радиусов OVA и О=В не напряжены.
Рис. 609
Рис. 609
а другой прикреплен
а другой прикреплен
Ответ: т = 2л 1/".
V 2(С1 + с2)
Задача 1099 (рис. 610). Однородный сплошной цилиндр массой М может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О. Через цилиндр перекинут трос, один конец которого несет груз А массой т, к пружине с жесткостью с. Считая, что
трос не проскальзывает по цилиндру, определить период малых вертикальных колебаний системы.
Ответ: т = 2л "|/"~4?~'
Рис. 610Рис. 610Задача 1100 (рис. 611). Два ползуна А иВ массой m каждый шарнирно скреплены с двумя одинаковыми стержнями, которые
Рис. 610
Рис. 610
соединены шарниром в точке С. Ползуны могут скользить по горизонтальным направляющим без трения. К точке соединения стержней подвешен груз D массой М и отпущен без начальной скорости. Каково будет ускорение груза D в начальный момент движения, если стержни образуют в этот момент угол а с горизонтом и движутся в вертикальной плоскости? Массой стержней пренебречь.
Ответ: w М = м+?^«
Задача 1101 (рис. 612). К концам горизонтального рычага АВ прикреплены два вертикальных каната, перекинутых через блоки С и D. К свободным концам канатов подвешены грузы F и Е с массами mv и т2 соответственно, которые отпущены без началь
ной скорости. Найти начальное ускорение груза F, если отношение плеч рычага АО :ОВ = к. Массами рычага, блоков и трением
kg(mxk— ma)tnvk- —(- tn^kg(mxk— ma)tnvk- —(- tn^пренебречь.
kg(mxk— ma)tnvk- —(- tn^
kg(mxk— ma)tnvk- —(- tn^
Ответ: wF\ i=0
Задача 1102 (рис. 613). Стержень, на середине которого укреплен груз М массой mlt одним концом может скользить по глад
кой вертикальной стене, а другим шарнирно прикреплен к ползуну В с массой т», который может двигаться без трения в горизонтальных направляющих. Найти ускорение ползуна в начальный момент движения из состояния покоя, если стержень образует в этот момент с горизонтом угол а. Массой стержня и размерами груза пренебречь.
Ответ:
, тх sin 2а
™Bij==O ' иц COS2 аЦ-4/Па sin2 a ^‘
Задача 1103 (рис. 614). Груз А с массой т Рис. 614 поднимается при помощи воротов I и //, имеющих равные радиусы R и равные моменты инерции J. Опре
делить ускорение груза, если к воротам приложены пары с моментами Mi и Mi соответственно. Массами блоков и трением пренебречь.
Ответ- w
итвет. wA•
При wA^>0 груз поднимается.
Задача 1104. Система, изображенная на рис. 615, находилась в начальный момент в покое, а затем была предоставлена действию сил тяжести. Считая свободные участки тросов вертикальными
и пренебрегая массами блоков и трением, определить, какова должна 'быть масса т3, для того чтобы она оставалась во все
Задача 1106.Задача 1106.время движения системы в покое (по отношению к неподвижной системе отсчета), если тх — = 21 кг, т2 = 14 кг.
Задача 1106.
Задача 1106.
Ответ: та = 6 кг.
Задача 1105. В системе, изображенной на рис. 616, определить натяжение Т троса CD и величины ускорений грузов Мх и М^, массы которых соответственно равны тх и т^, считая свободные участки тросов вертикальными и пренебрегая массами блоков, а также трением.
Ответ- Т — 5mimag • № —
итвет. i CD—— т1д_1бт2 ,
_4(4ma — m1)g
" Mi -|- 16m2 1
В системе, изображенной на рис. 617, опреде
Рис. 616Рис. 616Рис. 618Рис. 618лить величины абсолютных ускорений грузов Мх и Ма, массы которых связаны соотношением тх = 4т1, если к вороту Л, представляющему собой однородный цилиндр массой тг и радиусом R,
Рис. 616
Рис. 616
Рис. 618
Рис. 618
приложена пара сил с моментом М. Массами блоков, тросов и 1рением пренебречь.
Ответ: wx — wi = -•
Задача 1107 (рис. 618). К вороту Л, представляющему собой цилиндр с моментом инерции J и радиусом R, приложен вращающий момент М. Определить угловое ускорение е ворота, если массы грузов Мх и М2 соответственно равны тх и тг. Массами блоков, тросов и трением пренебречь.
Ответ- s = M ('«а + 4м1)-3^^м1м2
J (т2 4- 4mj) -|- Ратхта "
ГЛАВА XV
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
Для системы с голономными идеальными и удерживающими связями уравнения Лагранжа имеют вид
d / дТ\дТ пх
dt XdqJdqs — ^i ^"I> 2-s)>(I511)
где qt, q^, ..., qs — обобщенные координаты системы;
s — число степеней свободы системы;
qb 4ч, • ■ •> 4 $— обобщенные скорости;
Т — кинетическая энергия системы;
Qi, Qi, ■■■, Q$ — обобщенные силы.
Для систем, движущихся в потенциальном силовом поле, уравнения Лагранжа будут:
■А —4^=0,(15.2)
dt \dq,) dq; ’'’
где L = T — П — функция Лагранжа.
Для составления уравнений Лагранжа следует:
установить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты;
предположив, что система движется так, что все обобщенные координаты увеличиваются, составить выражения для кинетической энергии системы, при этом все переменные величины, входящие в Т, должны быть выражены через обобщенные координаты и обобщенные скорости, т. е.
Т = Т^Ь q^, .... qs, 4Ь fa, ..., fa; f) (15.3)
/ не входит в выражение Л); дТ-уг; определить производ-?дТ .входящие В -уг, функциями/ не входит в выражение Л); дТ-уг; определить производ-?дТ .входящие В -уг, функциями(в случае стационарных связей время определить частные производные
/ не входит в выражение Л); дТ
-уг; определить производ-
?дТ .
входящие В -уг, функциями
/ не входит в выражение Л); дТ
-уг; определить производ-
?дТ .
входящие В -уг, функциями
d / дТ\
ные dt Ip- ;, считая все переменные,
времени /; найти обобщенные силы по (14.4), (14.5), (14.6); под-
ставить все найденные величины в (15.1).
Задача 1108. Прямоугольная призма А может скользить по гладкой горизонтальной плоскости. На наклонной гладкой грани призмы помещен однородный цилиндр В, на который намотана нерастяжимая нить, перекинутая через идеальный блок С. К концу нити прикреплен груз D массой т. Принимая массу цилиндра равной 2т, а массу призмы 3m, определить движение системы, если в начальный момент она находилась в покое, а угол а=30°. Размерами и массой блока пренебречь.
Решение. Система имеет три степени свободы. Выберем обобщенные координаты (рис. 619, о):
qx — x — расстояние от оси блока С до центра тяжести груза D; q^ — y— расстояние между осями блока С и цилиндра В;
qa=z — перемещение призмы.
Предполагаем, что все обобщенные координаты изменяются в сторону их увеличения.
Определим кинетическую энергию системы. Имеем
T = Ta-VTb4-TD1
где Тд — кинетическая энергия призмы;
Тв — кинетическая энергия цилиндра;
TD—кинетическая энергия груза.
Призма движется поступательно со скоростью иа~г, следовательно,
Груз D участвует в двух поступательных движениях: относительном (по отношению к призме) со скоростью и^ — х и переносном (вместе с призмой) со скоростью ua = z. Поэтому абсолютное движение груза является также поступательным со скоростью, равной геометрической сумме указанных скоростей (рис. 619, б), т. е.
Уд = У1 + Уз, следовательно,
Таким образом,
Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическую энергию определим по формуле Кёнига:
У «А
1 в1 вО В
1 в
1 в
2
где ой — абсолютная скорость оси цилиндра;
wB — угловая скорость цилиндра;
Jtt — момент инерции цилиндра относительно его оси О.
Скорость точки О согласно теореме Сложения скоростей равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей (рис. 619, в), т. е.
Уо = Уз Уз,
где ya=j>— относительная скорость оси цилиндра, следовательно, Vo = и» + У;| — 2у3У3 COS а =уг 4- ?а — 2j>Z COS а.
Определим шв. Так как движение призмы А является поступательным, то угловую скорость шд следует определить лишь в относительном движении цилиндра по отношению к призме А. Известны относительные скорости двух точек цилиндра О и Е (рис. 619, г):
УЕг = Х\ t)Or=^.
Относительный мгновенный центр скоростей цилиндра В находится в точке К, поэтому
в~ QK~ EJC
Составляя производную пропорцию, получим
... — "ог + ^Ег _ 5>А-*в ОКА-ЕК В ’где R — радиус цилиндра.
Момент инерции цилиндра
J0 = -^- = mR\следовательно,Тв^т^А-^ — 2yzcosa)4-™ (х4~у)а.
Кинетическая энергия всей системы
Т = ^^^]1 (^+^) + m(^ + ^-2^cosa)+f(x + y)\
Найдем частные производные:
55 = mx + m(^ + y); ^ = 2m(y — 5 cos a) 4-m (% 4-у);
= 3/nz -|- mi 4* 2m (z — у cos a).
Так как обобщенные координаты х, у, г непосредственно не входят в выражение для Т, то
дт_ ОТ _ дТ _ п
дх — ду “ да ~ U’
далее
d /дТ\п ।••
~ (4^) = 2m (у — 2 cos а) 4* m (х 4- у) = тх 4~ Зту — 2m? cos а;
= 3mz 4- mz 4- 2m (z — и cos a) = — 2my cos a -+- timz.
Определим обобщенные силы.
Для нахождения Qx воспользуемся формулой
где Mi — элементарная работа задаваемых сил в предположении, что Вх^О; 8y = 8z = O, следовательно,'
ЗЛи = PD lx = mg 8х,
откуда
Qx=mg.
Аналогично найдем
О
где 8А3 — элементарная работа задаваемых сил при перемещении
Sy^O; 8х = 8г = О.
Очевидно,
8Д3 = Рв by sin a = 2mg sin a8y, тогда
Qv = 2mg sin a.
Если же
8х = 8у = О; 8z Ф О,
то
Мз = 0,
и, следовательно,
Замечание. Обобщенные силы можно легко определить и по формуле
В нашей задаче
П = — PDx — Рв у sin а-ф- const, следовательно,
9х = — ух = Рп = т^ Qy = — ^ = Рв sma = 2mg sin a;
Q, = — ^ = 0.
dz
Подставляя все найденные величины в уравнения Лагранжа, получим
2тх-^ ту — mg\ тх-^Зту— 2m2 cos a = 2mg sin а;— 2my cos а-ф- 6m2 = 0.
Принимая во внимание, что a = 30°, найдем
2XJry = g; x-\- 3y — V"3z=g; — V3 у-ф 62 = 0.
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах.
Умножая второе уравнение на 2 и вычитая из него первое, получим
5i/ —2]/32 —g.
Решая это уравнение совместно с третьим, найдем
х = ^§> У=^
Интегрируя, получим
X— "§"^ + /15 У — f^+^i2— "24^ + Са.
Постоянные Сь С2, С3 равны нулю, так как в начальный моментх = y = z = O.
Интегрируя еще раз и отбрасывая несущественные постоянные, получим искомые уравнения движения системы:
х=4^;2=it-g^-
Задача 1109. Однородный стержень АВ длиной / движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести так, что его конец А скользит без трения по наклонной плоскости, состав-
ляющей с горизонтом угол а (рис. 620, а). Составить дифференциальные уравнения движения стержня и установить, может ли он двигаться таким образом, чтобы угол у отклонения стержня от вертикали был постоянным.
Решение. Система имеет две степени свободы. Примем за обобщенные координаты: qi = x— смещение точки А по наклонной плоскости; q4 = ^— угол отклонения стержня от вертикали.
Уравнения Лагранжа имеют вид
d (дТ\ дТd (д7\ дТ п,,
dt \дХ) дх ’ dt \<)5>) ду ^г''
Предполагая, что х и у увеличиваются, составим выражение для кинетической энергии системы Т:
T = lMvac^ljcm\
о, МГ-
Здесь <u = y; Jc = —, М — масса стержня.
Для определения ис воспользуемся теоремой сложения скоростей (рис. 620, б). Имеем
5с = Осг + 9Сг, где относительная скорость 9Сг есть скорость центра инерции стержня в его относительном вращении вокруг точки А; она направлена перпендикулярно стержню и по величине равна
Переносная скорость уСе направлена параллельно плоскости и равна
исе = х.
Из параллелограмма скоростей найдем
«с = + т Ф* — Ф со8 (® ~ ф). таким образом,
Т =2 |х2 + -у — /ху cos (а — у)] + -й у2.
Вычислим производные, входящие в уравнения (о), 6T-My М/£ cos (« — <р) .
Ox-"и' дЛ—МХ2’
^ = Ml^x sm (а — ср);
(Ь)(Ь)дТЛ4/аф МП cos (а—<с) . Л4/2ф,
(Ь)
(Ь)
<?У ~2' 12 ’
"57~— к М/^ c0S — Т ^^ sin (a —У)’-
Mix® sin (а — <p) . МР®—2VTMix® sin (а — <p) . МР®—2VTd (дТ\ МР „ 1 ..... , . — кт- =—-® — — Mix cos 1ч.— <р) dt \д^ 4 1 2 х т/
Mix® sin (а — <p) . МР®
—2VT
Mix® sin (а — <p) . МР®
—2VT
Определим обобщенные силы по формулам
О = — I Q | 41 б.г|г<р=о’ 42 61р|гл = о'
Р 4^ sin <p SepSoР 4^ sin <p SepSoPl .-у sln ?>Pl .-у sln ?>Имеем
Р 4^ sin <p SepSo
Р 4^ sin <p SepSo
Pl .
-у sln ?>
Pl .
-у sln ?>
Р sin а п •
Qt =^— = Psma; Q3 =
где P = Mg— вес стержня.
Подставив все найденные величины в (а), после упрощений получим
/ip х cos (а — ср) , g sin ср п
3212
Щ/ср2'^
хi3- cos (а — ср)l- sin (а — ср) — g sin а — 0.
Таковы дифференциальные уравнения движения стержня. Исключая х, найдем дифференциальное уравнение для координаты ср: /В cos (я — Г Г® cos (я — ®) . /В2 sin (а — <р). I . g .. .
уI 2 + Л5 + S sln а] + у sln V=0• (d)
Определим теперь, может ли стержень двигаться так, чтобы угол <р оставался постоянным. Положив в уравнении (d) ф и у равными нулю, получим
COS (а — ср) . IЛ
2 g Sin а |- sin <р = 0,
откуда
ср = а = const.
При этом из (с) следует, что x = gsina.
Исследуем характер движения стержня вблизи положения относительного равновесия ср = а. Положим в уравнении (d) а — ср = = 3, где р--малый угол. Тогда, имея в виду, что
COS (а—ср)=: cos Р ^ 1; sin (а — ф)^р; sin ср ^ sin а — pCOSa,
и пренебрегая малыми второго и высших порядков, после упрощений получим
Zp +6g^ cosa = 0.
Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с
периодом
t = 2 т: l/" д—-
V 6g COS a
Задача 1110 (рис. 621). Тележка скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а.
Рис. 621Рис. 621Масса тележки без колес равна М, масса всех колес т. Считая колеса сплошными однородными дисками, определить ускорение тележки. Трением качения, а также трением в осях пренебречь.
Рис. 621
Рис. 621
„2 (М -4- in) g sin а
Ответ: w= ,.
2М + Зт
Задача 1111 (рис. 622). Груз Мх массой ть спускаясь вниз по гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей угол a
с горизонтом, приводит в движение посредством невесомой и нерастяжимой нити идеальный блок А, имеющий массу т3 и радиус г, и груз Ms массой тг. Определить угловое ускорение е
блока, считая его сплошным диском.
Ответ:Ответ: 2(m, sina—m^g
Ответ:
Ответ:
"г (2mj + 2тг + от,)'
Задача 1112 (рис. 623). К ведущему шкиву I ременной передачи приложен вращающий момент М, а на ведомый шкив //
Рис 623Рис 623действует момент сопротивления Мс. Натяжение ремня осуществляется роликом III. Определить угловое ускорение ведущего шкива, если моменты инерции шкивов /,= 10/, Jn=5>J, радиу-
Рис 623
Рис 623
сы l?1 = 6r, R^ = 3r, где J, г — момент инерции и радиус ролика. Массой ремня пренебречь.
„М —2М,
Ответ: е, = ——-.
Задача 1113 (рис. 624). В редукторе скоростей колесо I радиусом г насажено на ведущий вал А; два колеса II с тем же радиусом свободно насажены на раму, жестко связанную с ведо-
мым валом В; колесо /// с внутренним зацеплением неподвижно К ведущему валу приложен вращающий момент Мд, а к ведомому— момент сопротивления Мв. Колеса / и //считать одно-
Рис. 625Рис. 625
Рис. 625
Рис. 625
Рис. 626Рис. 626
Рис. 626
Рис. 626
родными дисками с массами т, и т» соответственно. Определить угловые ускорения валов, пренебрегая массой рамы.
4М —М4М,—М_
Ответ: гд =: ®в = ^(гт^з^г51
Задача 1114 (рис. 625). В полиспасте, состоящем из п идеаль
ных блоков с подвижными осями, груз Mt массой т^ поднимается
при помощи падающего груза Л42 массой тг. Определить ускорения грузов, пренебрегая массой блоков и тросов. Участки све
шивающихся частей тросов считать вертикальными.
2пта — т,2" (т, — 2"т2)
Ответ: wt =—— g
(если ДО,-> О, то вектор ш2 направлен вверх).
Задача 1115. В предыдущей задаче определить ускорение груза Мь полагая, что вместо груза М^ на трос действует вертикальная сила F.
Ответ: ш1 = 2п g.
Задача 1116 (рис. 626). Груз Mv массой 2 кг поднимается дифференциальным полиспастом с помощью падающего груза Мг массой 3 кг. Определить уско-
рение поднимаемого груза, если радиусы спаренных
блоков, вращающихся вокруг неподвижной оси О, соответственно равны 15 см и 5 см, а участки свешивающихся частей троса вертикальны. Масса малого блока равна 1 кг, масса блока с подвижной осью — 2 кг, масса наибольшего блока — 3 кг. Все блоки считать однородными дисками.
Ответ: wv = -^g.
Вектор ®! направлен вверх.
Задача 1117. Решить предыдущую задачу, заменив вес груза
Мг силой F — 3g н. Сравнить результаты.
О тает: wl = ^g-,О тает: wl = ^g-,w[w[toi-toi-Задача 1118 (рис. 627). В полиспасте, состоящем из п блоковЗадача 1118 (рис. 627). В полиспасте, состоящем из п блоковс подвижнымис подвижнымиРис. 627Рис. 627осями, груз Mj массой тг поднимается при помощи падающего груза М^ массой т2. Полагая, что все блоки имеют одинаковые радиусы и одинаковые массы т, равномерно распределенные по ободам, определить ускорения грузов. Участки свешивающихся частей троса считать вертикальными. Массой троса пренебречь. Исследовать ответ при П-—СО.Ответ- w —итвет. wMi — 3 ^ппч_ 2) • 3^2" [2" (m2—m)-[-m— mJосями, груз Mj массой тг поднимается при помощи падающего груза М^ массой т2. Полагая, что все блоки имеют одинаковые радиусы и одинаковые массы т, равномерно распределенные по ободам, определить ускорения грузов. Участки свешивающихся частей троса считать вертикальными. Массой троса пренебречь. Исследовать ответ при П-—СО.Ответ- w —итвет. wMi — 3 ^ппч_ 2) • 3^2" [2" (m2—m)-[-m— mJпри п -> со ^->0, wMjпри п -> со ^->0, wMj. 3g (т2 — т)3m2-[-5m ’. 3g (т2 — т)3m2-[-5m ’Задача 1119 (рис. 628). В механизме фрикционной передачи колесо II приводится во вращение колесом I, имеющим горизонтальную ось вращения, продолжение которой проходит через ось колеса //. К ведущему колесу / приложен вращающий момент Ми а на ведомое колесо II действует момент сопротивления Мг.Задача 1119 (рис. 628). В механизме фрикционной передачи колесо II приводится во вращение колесом I, имеющим горизонтальную ось вращения, продолжение которой проходит через ось колеса //. К ведущему колесу / приложен вращающий момент Ми а на ведомое колесо II действует момент сопротивления Мг.Рис. 629Рис. 629
О тает: wl = ^g-,
О тает: wl = ^g-,
w[
w[
toi-
toi-
Задача 1118 (рис. 627). В полиспасте, состоящем из п блоков
Задача 1118 (рис. 627). В полиспасте, состоящем из п блоков
с подвижными
с подвижными
Рис. 627
Рис. 627
осями, груз Mj массой тг поднимается при помощи падающего груза М^ массой т2. Полагая, что все блоки имеют одинаковые радиусы и одинаковые массы т, равномерно распределенные по ободам, определить ускорения грузов. Участки свешивающихся частей троса считать вертикальными. Массой троса пренебречь. Исследовать ответ при П-—СО.
Ответ- w —
итвет. wMi — 3 ^ппч_ 2) •
3^2" [2" (m2—m)-[-m— mJ
осями, груз Mj массой тг поднимается при помощи падающего груза М^ массой т2. Полагая, что все блоки имеют одинаковые радиусы и одинаковые массы т, равномерно распределенные по ободам, определить ускорения грузов. Участки свешивающихся частей троса считать вертикальными. Массой троса пренебречь. Исследовать ответ при П-—СО.
Ответ- w —
итвет. wMi — 3 ^ппч_ 2) •
3^2" [2" (m2—m)-[-m— mJ
при п -> со ^->0, wMj
при п -> со ^->0, wMj
. 3g (т2 — т)3m2-[-5m ’
. 3g (т2 — т)3m2-[-5m ’
Задача 1119 (рис. 628). В механизме фрикционной передачи колесо II приводится во вращение колесом I, имеющим горизонтальную ось вращения, продолжение которой проходит через ось колеса //. К ведущему колесу / приложен вращающий момент Ми а на ведомое колесо II действует момент сопротивления Мг.
Задача 1119 (рис. 628). В механизме фрикционной передачи колесо II приводится во вращение колесом I, имеющим горизонтальную ось вращения, продолжение которой проходит через ось колеса //. К ведущему колесу / приложен вращающий момент Ми а на ведомое колесо II действует момент сопротивления Мг.
Рис. 629
Рис. 629
Радиус колеса / равен г, момент инерции Jt, момент инерции колеса // равен J^, а расстояние от его центра до точки касания колес равно г0. Определить уравнение вращения колеса //, если в начальный момент механизм находился в покое.
„Г^Го — M2r)tS
Ответ: ср^-^^-^-.
Задача 1120 (рис. 629). Механизм стрелочного индикатора расположен в горизонтальной плоскости. Движение зубчатой рей-
ки мерительного штифта 1 передается шестерне 2, на оси которой укреплена шестерня 3, сцепленная с шестерней 4, несущей стрелку. Штифт имеет массу т и к нему приложена сила F~Hs\nkt (Н и к — постоянные). Шестерни считать однородными дисками с одинаковыми толщинами и удельными весами, их массы т4 = — 2т; та — 6т; т^т. Радиус шестерни 2 равен г. Определить движение стрелки, пренебрегая ее массой и трением в осях. Считать, что в начальный момент система была в покое.
„]/2 Н L sin kt\
Ответ:
Задача 1121 (рис. 630). На конце В рычага АВ, длины плеч которого ОА = 1Х и OB = U, подвешен груз М с массой т. Ры
чаг удерживается с помощью нерастяжимой нити, намотанной на барабан радиусом г. К барабану прикреплена спиральная пружина, дающая при повороте на один радиан упругий момент с.
Зная, что равновесие имеет место при горизонтальном положении
рычага, найти период малых колебаний груза. Момент инерции барабана равен J, массой рычага и трением пренебречь.
Ап .Г т№А-№у
Ответ: т = 2тс
Задача 1122 (рис 631). Тяжелый однородный стержень длиной 2/ может скользить концами по гладкой внутренней поверхности неподвижного цилиндра радиусом R, оставаясь во все время движения в одной и той же вертикальной плоскости. Определить период малых колебаний стержня около его положения равновесия.
Ответ: т —2/2
V 3g 1
Задача 1123 (рис. 632). Однородный стержень длиной 2/, двигаясь под действием силы
тяжести, скользит одним концом по винтовым направляющим, параметрические уравнения которых: x = 2/cosp; y = 2/sin<p; z = h^, а другим — по оси г, оставаясь все время к ней перпен-
дикулярным. Найти расстояние, на которое опустится стержень за время Л если в начальный момент он находится в покое. Трением пренебречь.
Ответ: ^ = 2фзл^+4?У'
Задача 1124 (рис. 633). Два ползуна Л и В с равными массами, соединенные стержнем длиной /, движутся один по вертикальной, другой по горизонтальной на' ।правляющим. Составить дифференциальное
ЙМуравнение для угла у, образуемого стерж
нем с горизонтом, пренебрегая массой Встержня и трением.
I 'Ответ: у + -у cos у = 0.
IЗадача 1125 (рис. 634). Однородный
стержень О А длиной Z, шарнирно закрепленный на одном конце, опирается на прямоугольный ящик, который может Рис. 633скользить по горизонтальной плоскости.
Написать дифференциальное уравнение для углу у, если масса стержня равна т, масса ящика т-^ а высота h. Трением пренебречь.
Ответ: 2 ^тР sin4 у -ф- Зт^3) у — Ит^У ctg у +
-ф- 3mgl cos у sin4 у = 0.
Задача 1126 (рис. 635). Кривошипно-шатунный механизм расположен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа
Рис. 634Рис. 635
и шатуна, представляющих собой однородные стержни с одинаковыми длинами / и массами т. На ползун В действует сила F. Момент сил сопротивления, приложенных к кривошипу, равен М. Составить дифференциальное уравнение для угла у поворота кривошипа, пренебрегая массой ползуна В.
Ответ: -у (1 + 3 sin3 у) т/"2у -ф тР-^ sin 2у = 21F sin у — М.
Задача 1127 (рис. 636). Гладкая призма с массой М может скользить по горизонтальной плоскости. Два груза Л и В с оди-
М„
наковыми массами, равными -у, соединены нерастяжимои нитью
и скользят один по наклонной, а другой по вертикальной грани призмы. Определить ускорение призмы, относительные ускорения грузов, а также давление ipysa Л на наклонную грань призмы. В начальный момент система была в покое.
Рис. 636Рис. 637Рис. 636Рис. 637
Рис. 636Рис. 637
Рис. 636Рис. 637
Ответ: призма движется вправо с ускорением(1 — sin a) cos а^ЧР 8 —COS2 а 8‘
Груз В опускается, а груз А поднимается с относительным ускорением
4 (1 — sin а) '
л 2 (8 — cos2 а) 6
Задача 1128 (рис. 637). В теле А с массой тх сделан паз, образующий угол а с горизонтальными направляющими, по которым тело движется под действием некоторой силы, параллельной этим направляющим. По пазу может перемещаться ползун В с массой пц. Определить отношение величины ускорения Ш1 тела А
при застопоренном ползуне к величине его ускорения ш.2 в случае, когда ползун может свободно перемещаться в пазу. Трением и действием силы тяжести пренебречь._.
Ответ: ^=1-М^;О
w2 m, + m2 ’—
tot < to2.777277^/2Z72777??//2z)77^7
Задача 1129 (рис. 638). На
гладкой горизонтальной плоскостиРис. 638
находится доска массой mv, а на
доске — тонкостенный цилиндр массой тг. Предполагая, что скольжение между цилиндром и доской отсутствует, определить абсолютные ускорение доски to2 и оси цилиндра ьу2, если к доске приложена сила G.
п2GО
Ответ: ш, = ^;; to2 = x;.
44944915 Н. А. Браждиченко и др.
449
449
Задача ИЗО (рис. 639). Однородный цилиндр с массой М катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом. На цилиндр намотана нить, перекинутая через блок Л и заканчивающаяся блоком В. Через блок также перекинута нить, к концам которой привязаны грузы С и D с массами тс и mD соответственно. Пренебрегая массами
нитей и блоков, а также трением в осях, определить ускорения грузов и оси цилиндра, если система была в начальный момент в покое. Принять:
mc = p,; mD=^; M = 2u..
Ответ: цилиндр движется вверх с ускорением осиwo=0,2g;
груз С движется вниз с ускорением wc = 0,6g;
груз D движется вниз с ускорением mD = 6,2g.
Задача 1131 (рис. 640). Цилиндр Л обмотан нитью, конец которой навит на цилиндр В, жестко связанный с цилиндром С. На цилиндр С в свою очередь намотана нить, конец которой закреплен в точке D. Радиус цилиндра С равен R, радиус инерции п
его вместе с цилиндром В равен у; радиус цилиндра В равен у. Считая, что цилиндр Л тонкостенный, а масса его в два раза меньше массы цилиндров В и С, вместе взятых, определить абсолютные ускорения осей цилиндров, если система предоставлена самой себе.
„65
Ответ: wB = 7g; wA = -^g.
Рис. 641Рис. 641Задача 1132 (рис. 641). Решить предыдущую задачу, считая, что цилиндр В отсутствует, а нить, обмотанная вокруг цилиндра Л, закреплена на оси
Рис. 641
Рис. 641
цилиндра С. Масса цилиндра А в два раза меньше массы цилиндра С. Радиус инерции цилиндра С равен ф
л511
Ответ: wc = Tg;wA=^g.
Задача 1133 (рис. 642). Два цилиндра с радиусами R об
3) натяжение Т троса.3) натяжение Т троса.мотаны нерастяжимым тросом, перекинутым через идеальный блок. Масса первого цилиндра равна т, и распределена по его поверхности. Второй цилиндр сплошной, масса его равна т2. Первый цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости, второй падает вертикально вниз. Определить: 1) ускорения осей обоих цилиндров; 2) угловые ускорения цилиндров;
3) натяжение Т троса.
3) натяжение Т троса.
Ответ1 1) a>i = ъ—Ф5 9—;шг =■ ;
1 1^(3m14-2m2)’ 2 Я^т^^пчУ
Т - ^УИз§— З/я^ -1— 2ц1з
Задача 1134 (рис. 643). На сплошной однородный цилиндр А
радиусом г и массой тг намотан трос, перекинутый через идеальный блок. Конец этого троса прикреплен к грузу В массой т2, который находится на негладкой горизонтальной плоскости (коэффициент трения равен / = const). Считая, что в начальный момент система находилась в покое, определить: 1) коэффициент трения,
будет двигаться; 3) ускорение оси натяжение тросабудет двигаться; 3) ускорение оси натяжение тросапри котором груз
будет двигаться; 3) ускорение оси натяжение троса
будет двигаться; 3) ускорение оси натяжение троса
2) ускорение груза; цилиндра; 4) угловое ускорение цилиндра; 5)
Ответ: 1)3)4)5)Ответ: 1)3)4)5)при движении груза В.
Ответ: 1)
3)
4)
5)
Ответ: 1)
3)
4)
5)
' Зт2 ’'5 т1А-Зта ’
°ith-\- Зта ’
c_ 2m2 (l+/)g .
(т^Зта) г ’^_ т^иц (l+/)gт^ЗМз "
Задача 1135 (рис. 644). Два одинаковых сплошных однородных цилиндра А и В массой т и радиусом г каждый обмотаны
тросом, перекинутым через идеальный блок С. Цилиндр А имеет неподвижную ось вращения и находится под действием пары сил
с моментом М. Определить ускорение w оси цилиндра В и натя
жение Т троса. Найти также, при каких условиях ось этого цилиндра будет подниматься, если в начальный момент система находилась в покое. Массой блока С пренебречь.
Ответ: w = ; Т = . ’ 5r
Цилиндр В будет подниматься при М > ^>2mgr.
Задача 1136 (рис. 645). Два одинаковых сплошных однородных цилиндра А и В радиусом R и массой т, каждый обмотаны тросом, несущим на свободном конце груз С массой пц. Цилиндр А имеет неподвижную ось, а ци-
Рас 644 линдр В падает под действием силы тяжести. Определить ускорение груза С и натяжение Т участка троса CD. При каком соотношении масс цилиндров груз С
будет оставаться на месте, если его начальная скорость равна нулю? Доказать, что как бы велика ни была масса груза С, ось
цилиндра В будет опускаться.
5mt -р- 6т2 85mt -р- 6т2 8Ответ: wc = 2g;
5mt -р- 6т2 8
5mt -р- 6т2 8
Груз С будет оставаться на месте, если тг = 3т4.
Задача 1137 (рис. 646). Сохранив условия предыдущей задачи, заменить вес груза С силой F. Найти ускорение оси цилиндра В
и определить, при какой величине силы F эта ось будет подниматься, если в начальный момент система была в покое.
Ответ: ускорение оси цилиндра
4т^—2F
w=—4•
Ось будет подниматься при F'j>2mvg.
Задача 1138 (рис. 647). Дифференциальный механизм с внешним зацеплением расположен в горизонтальной плоскости и
состоит из шестерни / радиусом rY и массой ть шестерни // радиусом г2=у и кривошипа О А. Шестерни принять за однородные диски одинаковой толщины и плотности. К кривошипу приложен вращающий момент Д43, а к шестерне / — вращающий момент Mv противоположного направления. Определить угловые
ускорения небречь.Ответ:Задачаускорения небречь.Ответ:Задачакривошипа и шестерни /. Массой кривошипа пре
ускорения небречь.
Ответ:
Задача
ускорения небречь.
Ответ:
Задача
8(10^2 — 341!) 8М2 —36М1
£к₽ —63™,^’S1~21^? 1
1139 (рис. 648). Система состоит из призмы А и тонкостенного цилиндра В, масса которого в 3 раза меньше массы
призмы. Цилиндр обмотан гибкой нерастяжимой нитью, закрепленной на призме так, что участок нити ВС параллелен линии
наибольшего ската наклонной грани призмы. Определить ускорение wY призмы и ускорение а>8 оси цилиндра по отношению к призме, если угол наклона грани к горизонту у — 45°. Трение между призмой и горизонтальной плоскостью, а также между цилиндром и призмой отсутствует.
а 1 4/2
Ответ: wt=^g', wi=-^-g.
Задача 1140 (рис. 649). Тонкостенный цилиндр, обмотанный гибкой нерастяжимой нитью, и груз 44, привязанный к другому ее концу, положены на грани гладкой равносторонней неподвижной призмы с углами при основании а = 30° так, что соответствующие части нити параллельны линиям наибольшего ската. Считая блок А идеальным, определить движение груза М и оси цилиндра, если масса цилиндра в два раза больше массы груза, а система в начальный момент находилась в покое. Массой блока пренебречь.
Ответ: груз М останется неподвижным, а ось цилиндра будет опускаться с ускорением ay = -ig.
Задача 1141 (рис. 650). Тонкостенный цилиндр А массой т и груз В массой тА, соединенные между собой посредством нити, конец которой намотан на цилиндр, положены на стороны неподвижной гладкой призмы, как указано на рисунке. Найти ускорения груза и оси цилиндра, пренебрегая массой блока С, если углы, образуемые гранями призмы с горизонтом, соответственно
Рис. 650Рис. 650Рис. 651Рис. 651
Рис. 650
Рис. 650
Рис. 651
Рис. 651
равны а и р. При каком соотношении масс цилиндр будет вращаться, оставаясь на месте, если в начальный момент система была в покое? Трением в блоке пренебречь.
Л „2от, sin а — m sin 8
Ответ: wR = —г——- о в2т i + m6
(при гув)>0 груз будет опускаться);
(т -)- mj sin р — m, sin я
А2rnv-\-m 8
(при £Ул)>0 ось цилиндра будет опускаться). Ось не будет перемещаться, если
т, sin ₽ тsin а — sin 8 "
Задача 1142 (рис. 651). Зубчатая шестерня радиусом г и массой т, распределенной по ободу, находится между двумя параллельными зубчатыми рейками с массой mv каждая. К рейкам приложены силы Р и Q, направленные в противоположные стороны вдоль реек. Найти ускорение оси шестерни ш0, угловое ускорение шестерни и ускорения реек. Трением между рейками и направляющими пренебречь.
„Р — Q
Ответ: wn — —;
P+Q2Р
е = -——■ ш/ =г-;
(т 2т,) г ’т -f- 2т, '
_ 2Q
W*1"
Задача 1143. Решить задачу 1142 в предположении, что силы действуют в одном направлении.
Ответ: w0=-; г =S
2Р2Q
W1 m-|-2m1 ’ Wn zn-f-Sm] ‘
Задача 1144. В механизме, описанном в задаче 1142, к оси зубчатого колеса приложена сила F, направленная параллельно рейкам. Найти движение реек, если их массы равны т, и ти, а начальные скорости равны нулю. Трением пренебречь. Колесо -т
заменить однородным диском с массой т, причем т,=-^; ти=т.
~5FF 3Ft-
Ответ:xn=~zz~.
119m’ 1119m
Задача 1145 (рис. 652). На гладкой призме, помещенной на гладкой горизонтальной плоскости, находится тонкостенный цилиндр А с намотанной на него нитью, к концу которой привязан груз М, как ука-у©\
зано на рисунке. Считая, что массы ци- А/ лицдра и груза равны между собой, определить ускорение призмы, если угол а=45°.
В начальный момент система была в покое.
Указание. Цилиндр катится со скольжением.Рис. 652
Ответ: призма будет оставаться на месте, ось цилиндра и груз будут опускаться с равными ускорениями:
Задача 1146. Решить задачу ИЗО, считая, что между цилиндром и наклонной плоскостью отсутствует трение, так что цилиндр по отношению к плоскости проскальзывает.
Ответ: цилиндр опускается с ускорением оси
^0=-lg;
груз С опускается с абсолютным ускорением
2
груз D опускается с абсолютным ускорением
Задача 1147 (рис. 653). Два цилиндра, обмотанные гибкой
нерастяжимой нитью, перекинутойнерастяжимой нитью, перекинутойчерез блок Л, положены на стороны неподвижной равнобедренной гладкой призмы с углом наклона а = 30° так, что соответствующие части нитей параллельны линиям наибольшего ската. Считая, что блок Л приводится во вращение нитью без скольжения и без трения в оси, определить ускорения осей цилиндров, если массы ци
нерастяжимой нитью, перекинутой
нерастяжимой нитью, перекинутой
линдров и блока распределены по ободам, причем массы цилиндров соответственно больше массы блока в два-три раза. Радиусы цилиндров и блока одинаковы, массой нити пренебречь.
Ответ: оси цилиндров имеют ускорения
32
^1=Т4§;^=yg-
Задача 1148 (рис. 654). Через блок Л перекинута нить, один конец которой прикреплен к блоку В, а другой навит на тонкостенный цилиндр С с массой т3, имеющий свободную ось Через
блок В также перекинута нить, несущая грузы М, и Мч с массами, равными mi и пи соответственно. Определить ускорения грузов и оси цилиндра (по отношению к неподвижному основанию прибора), если mi = 2 кг; т2=1 кг; т3 = 2 кг. Массами блоков и нитей, а также трением в осях пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
Ответ: грузы и ось цилиндра опускаются с ускорениями^1=^;^ = ng:S'-
Задача 1149 (рис. 655). На гладких гранях призмы, которая может скользить без трения по горизонтальной поверхности, нахо-
дятся груз Л и тонкостенный цилиндр В, связанные между собой посредством нити, перекинутой через идеальный блок, конец которой намотан на цилиндр В так, что участки нити во все время движения системы остаются параллельными линиям наибольшего ската соответствующих граней призмы. Найти ускорение призмы, относительные ускорения груза и оси цилиндра, если массы груза, цилиндра и призмы относятся как 2:1:3. Массой блока С пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.
Ответ: призма движется вправо с ускорением
®np=^-g;
цилиндр скатывается вниз с относительным ускорением оси
^Ог^Ог45 «’45 «’
^Ог
^Ог
45 «’
45 «’
груз опускается с относительным ускорением
^Аг^Аг16 К216 К24545g-g-
^Аг
^Аг
16 К2
16 К2
45
45
g-
g-
Задача 1150 (рис. 656). Груз Л массой т прикреплен пружиной с жесткостью с к платформе, по которой он может двигаться без трения. Платформа имеет четыре колеса, принимаемых
Рис. 656Рис. 656
Рис. 656
Рис. 656
за однородные диски радиусом г. Масса платформы равна 8 т, масса каждого колеса у. Считая, что колеса катятся без скольжения, определить движение платформы, если груз в начальный момент был отклонен от положения равновесия на расстояние s и отпущен без начальной скорости. При 7 = 0 х = 0, х — 0. Трением качения пренебречь.
Ответ:
Задача 1151 (рис. 657). Полый цилиндр / установлен на подставке, которая может поступательно перемещаться по гладкой горизонтальной плоскости. Внутри этого цилиндра может кататься
без скольжения тонкостенный цилиндр //. Определить зависимость ускорения цилиндра / от угла ® (при малых у), а также амплитуду а и период т малых колебаний этого цилиндра около положения равновесия, если расстояние между осями цилиндров равно I, масса цилиндра / (с подставкой) равна ть а масса цилиндра // равна т2. В начальный момент система была в покое, а цилиндр // отклонен так, что <р = ¥о-
wlxwlxОтвет:
wlx
wlx
m2-]-2m1т1Д-т2’
г g (mi + т2)
Задача 1152 (рис. 658). Два сплошных однородных цилиндра, оси которых связаны упругой нитью, лежат на гранях призмы, составляющих с горизонтом углы наклона соответственно 30° и
□ 8Рис. 659□ 8Рис. 659Рис. 658Рис. 65845°. Нить перекинута через неподвижный идеальный блок. Считая, что цилиндры катятся без скольжения, и пренебрегая трением нити о блок, найти
□ 8
Рис. 659
□ 8
Рис. 659
Рис. 658
Рис. 658
уравнения движения осей цилиндров. В начальный момент нить не была растянута, а система находилась в покое. Массы цилиндров соответственно равны 5 кг и 7 кг, коэффициент жесткости нити равен 70 н]м, g = 9,8 м[сек\
Ответ: Xi = 0,288(1 —cos4Z) — 0,67Z2;
x2 = 0,202(1 — cos 4Z) + 0,67/2
(xb x2— в метрах, t — в секундах).
Задача 1153 (рис. 659). Материальная точка Л массой ть движущаяся по гладкой горизонтальной плоскости, связаца нерастяжимой нитью, пропущенной через отверстие в плоскости, с грузом В. Груз имеет массу тг и может двигаться только вертикально. Найти дифференциальные уравнения движения системы, приняв за обобщенные координаты г и ср. Трением пренебречь.-
Ответ: (пц ~f- m2) Р — mYr^ = — m2g;
4 W^O,
откуда
т,г2ф — m^^o = const, где г0 и ё0 — начальные значения гиф.
Задача 1154. Сохраняя данные предыдущей задачи, удостовериться что при начальных условиях Л> —О и <р0 = I/ -^- точка А описывает окружность радиусом г0. Найти период малых колебаний точки А около этой окружности.
Указание. Исключив ф в уравнениях предыдущей задачи, положить л = л0 + р. Считая р малым, в уравнении пренебречь членами второго порядка.
Ответ: т =
То Г 3mj
ГЛАВА XVI
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Малые колебания системы с одной степенью свободы
В положениях равновесия потенциальная энергия консервативной системы П (^1, 92, •••, 9s) имеет экстремальное значение, т е. если при q, = aj консервативная система находится в равновесии, то
=0 (j=l, 2, ..., s).(16 1)
Равновесное положение консервативной системы с голономными идеальными и стационарными связями является устойчивым, если потенциальная энергия системы имеет в этом положении изолированный минимум (теорема Лагранжа — Дирихле).
Для системы с одной степенью свободы условиями устойчивости положения равновесия будут
W =0->0
\dq )q=a\
Приближенное выражение потенциальной энергии консервативной системы с одной степенью свободы (вблизи положения равновесия 9 = а) с точностью до малых второго порядка имеет вид
П^1С(9-«Л(16.2)
причем при условии устойчивости положения равновесия
Если на систему с одной степенью свободы наложены стационарные связи, то ее кинетическая энергия имеет вид
Г =4 А (9) q\(16.4)
Для 9, близких к положению равновесия (9 = а),
T^^aq\(16.5)
где
а=Л(а).(16.6)
Уравнения Лагранжа дают (вблизи положения равновесия, соответствующего q = a)
aq-)-c(q — а) = 0,(16.7)
а при а = 0; aq -|-С9 = 0.
При с^>0 система совершает незатухающие гармонические колебания с периодом
^ = 2^^.(16.8)
При наличии сил сопротивления среды
Fh = — v-кУк(16.9)
обобщенная сила сопротивления при малых q и q имеет вид
QconP=-^=-W(16.10)
где функция рассеяния
фЛлпЦ^-(16-и)
Уравнения Лагранжа дают в этом случае
a9-Vy.q^rcq = 0.(16.12)
При решении задач на определение положения устойчивого равновесия консервативных систем с "одной степенью свободы полезно придерживаться такой последовательности:
Выбрать обобщенную координату системы.
Составить выражение для потенциальной энергии системы.
Найти положения равновесия системы. Для этого следует приравнять нулю первую производную от потенциальной энергии системы по обобщенной координате и найти корни полученного уравнения.
Пользуясь теоремой Лагранжа — Дирихле, исследовать найденные положения равновесия на устойчивость. В положении устойчивого равновесия системы (7 = а) должно выполняться условие
Если с<0, то, по теореме Ляпунова, равновесие неустойчиво.
Если по условиям задачи требуется, кроме того, найти период собственных колебаний системы вблизи положения устойчивого равновесия, то далее необходимо:
Определить значение инерционного коэффициента а. Он равен множителю, стоящему при у ^2 в приближенном выражении кинетической энергии системы (16.5).
Пользуясь формулой (16.8), найти значение периода т.
Задача 1155 (рис. 660). Однородный стержень АВ длиной I и массой тх концом А укреплен шарнирно. К концу В стержня прикреплен нерастяжимый трос, перекинутый через блок С и несу-Задача 1155 (рис. 660). Однородный стержень АВ длиной I и массой тх концом А укреплен шарнирно. К концу В стержня прикреплен нерастяжимый трос, перекинутый через блок С и несу-Решение. СистемаРешение. Системаnitnitщий груз массой т» —,- .е2 у 3Принимая, что АС = АВ,щий груз массой т» —,- .е2 у 3Принимая, что АС = АВ,иипренебрегая трением, определить угол у в интервале (0; тс), при котором стержень будет находиться в положении устойчивого равновесия, а также период его малых колебаний около этого положения, имеет одну степень свободы. За обобщен-пренебрегая трением, определить угол у в интервале (0; тс), при котором стержень будет находиться в положении устойчивого равновесия, а также период его малых колебаний около этого положения, имеет одну степень свободы. За обобщен-ную координату примем угол у. Найдем потенциальную энергиюную координату примем угол у. Найдем потенциальную энергиюсистемы.системы.ИмеемИмеем0 = ^ + ^,0 = ^ + ^,гдегдеР, = m,gР, = m,gТак какТак какП[ = — Рхух + const = — Рх 4 siny -|- const,FL = — Р«уг const,и Рг = m^g — веса стержня и груза.П[ = — Рхух + const = — Рх 4 siny -|- const,FL = — Р«уг const,и Рг = m^g — веса стержня и груза.
Задача 1155 (рис. 660). Однородный стержень АВ длиной I и массой тх концом А укреплен шарнирно. К концу В стержня прикреплен нерастяжимый трос, перекинутый через блок С и несу-
Задача 1155 (рис. 660). Однородный стержень АВ длиной I и массой тх концом А укреплен шарнирно. К концу В стержня прикреплен нерастяжимый трос, перекинутый через блок С и несу-
Решение. Система
Решение. Система
nit
nit
щий груз массой т» —,- .
е2 у 3
Принимая, что АС = АВ,
щий груз массой т» —,- .
е2 у 3
Принимая, что АС = АВ,
и
и
пренебрегая трением, определить угол у в интервале (0; тс), при котором стержень будет находиться в положении устойчивого равновесия, а также период его малых колебаний около этого положения, имеет одну степень свободы. За обобщен-
пренебрегая трением, определить угол у в интервале (0; тс), при котором стержень будет находиться в положении устойчивого равновесия, а также период его малых колебаний около этого положения, имеет одну степень свободы. За обобщен-
ную координату примем угол у. Найдем потенциальную энергию
ную координату примем угол у. Найдем потенциальную энергию
системы.
системы.
Имеем
Имеем
0 = ^ + ^,
0 = ^ + ^,
где
где
Р, = m,g
Р, = m,g
Так как
Так как
П[ = — Рхух + const = — Рх 4 siny -|- const,FL = — Р«уг const,и Рг = m^g — веса стержня и груза.
П[ = — Рхух + const = — Рх 4 siny -|- const,FL = — Р«уг const,и Рг = m^g — веса стержня и груза.
y» = L— 2/ sin у,
где L — длина троса, то
П = — Л у sin у -|- 21Р^ sin у -)- const.
Найдем угол у, при котором система находится в равновесии. В соответствии с (16.1) имеем
^ = — Pi 4 cos у 4- !Рг cos 4-=0.
Учитывая условия задачи, получим
]/3 cosy — cosy =0.
Решая это уравнение, найдем
Исследуем устойчивость найденного положения равновесия. Имеем
5/Р,5/Р,/д8П \ nt. 1Ра . у I
5/Р,
5/Р,
С—\ду24=у— Pi 2 sin у 2 sln 2 |fei- т. е. данное положение равновесия устойчиво. 462
Вычислим кинетическую энергию системы. Имеем гр । т Д^Т | ТПдУ а
Здесь
+ =^; Ш1 = ^, и2 = у2 = —/ф cos-|, таким образом,
Т = ^Кз + 3c0S2 ?).12/3 \12/
Сравнивая это выражение с (16.4), найдем
А (?)А (?)^(2/3 + 3cos2^.>/3 \1^(2/3 + 3cos2^.>/3 \1Согласно (16.6)Согласно (16.6)а = Л ^ jа = Л ^ jmJ8 (8/3 + 9)—24 /3mJ8 (8/3 + 9)—24 /3
А (?)
А (?)
^(2/3 + 3cos2^.
>/3 \1
^(2/3 + 3cos2^.
>/3 \1
Согласно (16.6)
Согласно (16.6)
а = Л ^ j
а = Л ^ j
mJ8 (8/3 + 9)
—24 /3
mJ8 (8/3 + 9)
—24 /3
Рис. 661Рис. 661
Рис. 661
Рис. 661
По (16.8) определим искомый период колебаний:
т = 2тг 1/"— — 2тс+ 92 — у 75 V L.
V с г 15 g ’ V g
Задача 1156 (рис. 661). Тонкий однородный стержень АВ длиной / и массой m шарнирно закреплен в точке А и удержи
вается в вертикальном положении горизонтальной пружиной с жесткостью сь прикрепленной в точке О, причем АО — ~. Другой конец пружины закреплен неподвижно. Когда стержень находится в вертикальном положении, пружина не напряжена. При движении стержня на каждый его_элемент ds действует сила сопротивления dF = — $dsu. Считая коэффициент р постоянным, определить значение жесткости съ при котором вертикальное положение стержня будет положением устойчивого равновесия. Найти также значение коэффициента р, при котором стержень будет совершать малые затухающие
колебания около вертикального положения.
Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную
координату системы примем угол р отклонения стержня от вертикали. Составим выражение для потенциальной энергии системы:
П = П, + П2,
где П, — потенциальная энергия системы в поле силы тяжести; П.2 — потенциальная энергия системы в поле упругих сил.
Приняв за нулевую эквипотенциальную поверхность горизонтальную плоскость, проходящую через точку А, имеем П( = Plп
= cos ср, где P = mg— вес стержня, далее,
н2 —-2-,
где А — изменение длины пружины по сравнению с ее недефор- мированной длиной, следовательно,
n Pl ™ t ciA2
n = Tcoscp + -ir.
Ограничиваясь малыми второго порядка, примем COS ср № 1 —Д^-^-ср.
.2.2В соответствии с этим получим
.2
.2
П — W
18
Приравняв произвольную ^ нулю, имеем дП с^Р® Pl n
Отсюда видно, что при ср —0 стержень находится в положении равновесия. Чтобы это положение было положением устойчи-
условиеусловиевого равновесия, необходимо, чтобы выполнялось
условие
условие
с
<р =0
с,Р Pl
92
стержень будет еслистержень будет еслиТаким образом, при вертикальном положении находиться в положении устойчивого равновесия,
стержень будет если
стержень будет если
, ЭРСР> 21'
Составим выражение для кинетической энергии стержня:
1 Г • Э HlP . л 1 .а
откудаоткудаТ=-6-=? =уас?,
откуда
откуда
тР а = -^-.
Определим функцию рассеяния. Согласно (16.9) p.k = ^ds. По (16.11), заменяя суммирование интегрированием, получим
Ф = у \ и3 ds.
Так как
У = 8ф,
то
Ф = у \ s4s = ’-^-.
Сравнивая с (16.11), найдем
bz3
По (16 12) получим
тР м , ^Р . , 2с Ja — 9mglтР м , ^Р . , 2с Ja — 9mglф = 0.ф = 0.(а)(а)
тР м , ^Р . , 2с Ja — 9mgl
тР м , ^Р . , 2с Ja — 9mgl
ф = 0.
ф = 0.
(а)
(а)
Вводя обозначения
2н = ^-- м^2^^9^т ’6ml
вместо (а) имеем
с? + 2пф + ^V = О-
Это дифференциальное уравнение движения стержня вблизи вертикального положения равновесия. Движение будет носить колебательный (не апериодический) характер, если
п <&
Подставив в это неравенство значения п и к, получим
1 1/"2m(2c1Z —9mg) Р \ Z V 31
Задача 1157 (рис.
. Однородный ци
линдр радиусом г иРис 662
массой т, который мо
жет вращаться вокруг вертикальной оси ООЬ охватывает невесомая нить. Концы нити связаны с концами А и С горизонтальных пружин АВ и CD, имеющих одинаковую жесткость, равную с,. Конец В пружины АВ закреплен неподвижно, а конец D пружины CD связан с ползуном, совершающим прямолинейное движение по закону s = & sin «)/, где b— малая величина. В начальный момент пружины находятся в недеформированном состоянии,
а цилиндр — в покое. Пренебрегая сопротивлением, определить амплитуду вынужденных колебаний цилиндра.
Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угловую координату у цилиндра. Составим выражение для кинетической энергии цилиндра:
T = — J = 124 '
Потенциальная энергия пружины будет определяться выражением
П = ^1+^1 = ^(Д* + Д=),
где Дг — приращения длин пружин Л В и CD по сравнению с их недеформированной длиной.
Ограничиваясь в П малыми второго порядка, имеем
Д,^/-®; Д.2^5— ry = 6sin<»^— гу, и, следовательно,
П = у [г2у2 -ф- (6 sin tot — гу)2].
Подставив значения Т и П в уравнение Лагранжа £(дТ\_дТ_ _5П dt \dy) бу ду * получим
^Д = — Зс^ -ф-cvrb sin wt или
^ + 2ctry = cvb sin tot.
Обозначив
имеем следующее дифференциальное уравнение движения цилиндра:у -ф- №у = h sin wt.
Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний равна [см. (11.14)]
Vo — Д2_Ш2 — Т^ — т^ ■
Задача 1158 (рис. 663). На шероховатой поверхности неподвижного цилиндра радиусом R, ось которого горизонтальна, симметрично расположена однородная доска толщиной а. Определить соотношение между R и а, при котором доска в ука-
Рис. 664Рис. 664
Рис. 664
Рис. 664
занном на рисунке положении будет находиться в устойчивом равновесии. Считать, что трение достаточно для предотвращения скольжения доски.
Ответ: R^>^.
Задача 1159 (рис. 664). Однородная полусфера радиусом г расположена на неподвижной шероховатой полусфере радиусом R. Считая трение достаточным для предотвращения скольжения, определить критерий устойчивости полусферы для показанного на рисунке положения.
Указание. Центр тяжести полусферы находится на расстоянии у г от центра 01-
Ответ: R^>-^.
Задача 1160 (рис. 665). Три одина
ковых однородных стержня длиной / иРис. 665
массой т каждый соединены шарнирно
и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на расстоянии lv от неподвижной точки Л, а к стержню CD на расстоянии /2 от неподвижной точки С прикреплены пружины жесткостью Ci каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, определить величину clf при которой вертикальное положение стержней АВ и CD будет положением устойчивого равновесия, если при этом пружины не напряжены. Найти также период малых колебаний системы около этого положения.
Ответ: сх>-^^\ т = Ы У^ ^^.^„^у
Задача 1161. Четыре стержня длиной / и массой т каждый, находящиеся в вертикальной плоскости, образуют систему, пока-
занную на рис. 666. Система удерживается в вертикальном положении при помощи двух спиральных пружин. Пренебрегая трением и считая все соединения шарнирными, определить, при каком значении жесткости с» второй пружины вертикальное положение системы будет положением устойчивого равновесия,
Рис. 666
5 D
Рис. 667
а также период малых колебаний системы вблизи этого положения, если жесткость первой пружины равна сх и при вертикальном положении системы пружины не напряжены.
Ответ: с»
5 mg/
Cf, т = 4kZ
2(c1Jrca)—5mgl '
Задача 1162 (рис. 667). Однородный стержень массой m и длиной 2Z концами А и В может скользить по гладким взаимноперпендикулярным направляющим. В точке В к стержню прикреплена пружина BD жесткостью сх, естественная длина которой равна OD. Определить углы а, при которых стержень будет находиться в положении равновесия, и период его малых коле
Рис. 668
баний около устойчивого положения равновесия. Массой ползунов и пружины, а также трением пренебречь.
иди вое);
а = у(устойчивое при
т = 2тс ^/":
4ml
S^cJ — mgy
Задача 1163 (рис. 668). Однородный стержень АВ массой mv и дли
ной 2Z концами А и В может скользить по гладким взаимноперпендикулярным направляющим. В точке В к стержню прикреплена нить, перекинутая через идеальный блок, другой конец которой несет груз М массой /п2 = У2т1. Определить угол а0, при котором система находится в" положении устойчивого равно-
весия, и период малых колебаний около этого положения. Массами ползунов и блока пренебречь.
Ответ: «о = arctg^-; т = 5,08 "|/ —.
Задача 1164 (рис. 669). U-образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов.
Трубка содержит две несжимаемых и несме- шивающихся жидкости с плотностями pt и р2. Определить период собственных колебаний системы около положения устойчивого равновесия, после того как она была выведена из этого положения, если длина части трубки, занимаемой жидкостью плотности рь равна /ь а длина части, занимаемой жидкостью плотности р2, равна Ц. Трением пренебречь.
Ответ: т = 2 тс 1/"fi^ztf^.
Задача 1165. Однородный сплошной цилиндр радиусом г может катиться без скольжения внутри полого неподвижного цилиндра радиусом R. Найти период малых колебаний оси цилиндра.
Ответ: т = 2тс 1/ 3 ,
скреплен цилиндр Лскреплен цилиндр ЛЗадача 1166 (рис. 670). С физическим маятником неизменно
скреплен цилиндр Л
скреплен цилиндр Л
радиусом г, который может катиться, без
Рис. 671Рис. 671скольжения внутри неподвижного цилиндрического подшипника, В радиусом R, причем оси обоих цилиндров параллельны и горизонтальны. Зная, что расстояние от центра тяжести маят-
Рис. 671
Рис. 671
ника до геометрической оси цилиндра А равно s, а центральный
радиус инерции маятника равен рс, определить период его малых колебаний.
ло Г Рс + (г — s)a
Ответ: т = 2тс цL
V । г2 V
Задача 1167 (рис. 671). Два одинаковых однородных стержня длиной I каждый соединены между собой в точке А шарнирно,
а концами В и С могут скользить без трения по горизонтальной направляющей. К шарниру Л присоединена вертикальная пружина, длина которой в недеформированном состоянии равна /, а жесткость такова, что равновесие системы имеет место при у = 30°. Определить период малых колебаний системы около этого положения равновесия, пренебрегая массами ползунов.
Ответ: т = -3 у —.
Задача 1168 (рис. 672). Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из однородного стержня АО массой ть однородного стержня АВ длиной / и массой т» и штока ВС массой т3, который может перемещаться лишь поступательно. В положении, когда стержень АО горизонтален, а стержень АВ вер-
Рис 672Рис 672Рис 673Рис 673
Рис 672
Рис 672
Рис 673
Рис 673
тикален, пружина CD не напряжена. Определить, какова должна быть жесткость пружины е\, для того чтобы указанное положение системы было положением устойчивого равновесия. Чему равен период малых колебаний системы около этого положения? Трением пренебречь.
Ответ ■ ет2Z(m$ + 3m3)
Ответ. сх >2; g, t — у 3 [2^ _ ^ т^ ^ .
Задача 1169 (рис. 673). Два одинаковых однородных стержня ОА и АВ длиной 6 каждый соединены между собой шарнирно и могут перемещаться в вертикальной плоскости. Конец О стержня О А закреплен шарнирно, а конец В стержня АВ поддерживается нитью ВС длиной /, закрепленной в точке С. Определить, при каком соотношении длин b и I положение системы, показанное на рисунке, будет устойчивым. Найти также период малых колебаний системы около этого положения равновесия.
Ответ: при у>2.
4тт|/
Задача 1170. При расчете боковой качки судна для учета инерционных сил воды момент инерции судна принимают равным •f + Po где J — собственный момент инерции судна, а р — так называемый присоединенный момент инерции. Для определения р. динамически подобную модель судна подвергают воздействию внешнего гармонического момента A40sinp£ (Л40— постоянная). Изменяя частоту р, добиваются появления максимальных амплитуд (при p = pi максимальная амплитуда равна а). Принимая, что восстанавливающий момент равен mghy (т — масса судна, h — так называемая метацентрическая высота) и что момент сопротивления пропорционален угловой скорости судна при качке, определить присоединенный момент инерции р..
-.у m2g2№aa— М2.
Ответ: и. = 1—-—» —J.
"Pl
Задача 1171 (рис. 674). Определить период собственных колебаний сейсмографа Голицына, если угол между вертикалью и осью вращения АВ равен а, а расстояние от инертной массы М до
оси АВ равно I. Масса стержня CD равна т, момент инерции относительно оси вращения равен J, а расстояние от центра тяжести до этой оси равно а. Размерами массы М и трением пренебречь.
Ответ: т = 2к 1/"
г (м1та) gsm а
Задача 1172. Маятниковый вертикальный сейсмограф устроен так, как показано на рис. 675. Определить период собственных колебаний сейсмографа, если масса инертного груза А равна т, жесткость пружины равна сп ОА=1, ООХ = ОВ = Ь, в положении равновесия /. OfiB равен р0, а стержень О А горизонтален Массой рычагов ОВ и ОА пренебречь.
Ответ.Ответ.2m *
Ответ.
Ответ.
262с, cos2 ^- — mgl tg ^
Задача 1173 (рис. 676). Усеченный конус с весьма малой высотой (его .можно принять за однородный диск радиусом г) подвешен на нити, прикрепленной к центру основания, причем другой конец нити совпадает с вершиной конуса и закреплен на вертикальной стене. Считая, что при отклонении от равновес-
Рис. 676Рис. 676
Рис. 676
Рис. 676
ного положения конус катится по стене без скольжения, определить период его малых колебаний. Угол при вершине конуса равен 2а.
Ответ: т — л 1/ _ V g Sin «
Задача 1174 (рис. 677). Однородный стержень АВ длиной I и массой т, один конец которого закреплен при помощи шарнира, удерживается в вертикальном положении спиральной пружиной, жесткость которой равна Cj. На каждый элемент длины стержня ds при его вращении действует сила сопротивления, пропорциональная скорости этого элемента и его длине и направленная в сторону, противоположную скорости этого элемента, т. е. dP~ — ^vds. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии. Принимая р = const, определить, при каком значении жесткости c?i вертикальное положение стержня будет положением устойчивого равновесия. Найти также значение коэффициента ^, при котором стержень будет совершать малые затухающие колебания вблизи вертикального положения.
Ответ: cp>^-; ^<^У"бт (2ct — mgl).
Задача 1175 (рис. 678). Однородный стержень АВ массой т закреплен при помощи шарнира в точке С, отстоящей от точки А на расстоянии, равном у его длины. В конце А стержня прикреплена пружина с жесткостью сь а к концу В прикреплен трос, переброшенный через блок и несущий железный стержень М, помещенный в катушку соленоида. В положении равновесия стержень АВ горизонтален, пружина находится в неде- 472
формированном состоянии и ток в соленоиде отсутствует. При протекании по катушке соленоида переменного тока на стержень М действует вертикальная сила F, величина которой изменяется по закону F = 6sinwZ (b— малая величина). Определить ампли
туду вынужденных колебаний стержня М, пренебрегая массой пружины, троса и блока и сопротивлениями.
Ответ1 а — с, —
Задача 1176 (рис. 679). Диск радиусом г и массой т насажен на свободный конец вала, другой конец которого закреплен неподвижно. К точке А обода диска, лежащей на горизонтальном диаметре, прикреплена длинная пружина с жесткостью ср Другим концом В она прикреплена эксцентрично к валу электромотора в точке, отстоящей от оси вала Oi на малом расстоянии е.
Считая, что мотор вращается с угловой скоростью и и что при горизонтальном положении отрезка О^В пружина АВ находится в недефбрмированном состоянии, определить амплитуду вынужденных колебаний диска, если на него действуют силы сопротивления, момент которых относительно оси вращения пропорционален угловой скорости диска (и. — коэффициент пропорциональности). Массой вала и отклонением пружины от вертикали пренебречь; коэффициент жесткости вала на кручение
принять равным с2.
Ответ: а =
У [2 (Са + е^2) — №<о2р 4- 4р.2012
Задача 1177 (рис. 680). На сейсмограмме, записанной сейсмографа, помещенным в точке В, амплитуда колебаний
чилась равной Н, а частота р. Определить амплитуду а истинных вертикальных колебаний почвы, если длина стержня АВ равна /, инертная масса в точке В равна М, жесткость пружины Ci, AD = b.
пером
полу-
8
Рис, 680
Массой
Ответ:
Задача
стержня А В пренебречь *.
а =
Н ^^ — М/ф2)
М1грг
1178 (рис. 681). Горизонтальный сейсмограф Голицына записал при землетрясении пером D колебания с амплитудой Н и частотой р. Найти амплитуду а колебаний земной коры, считая их проис- 5 ходящими в горизонтальной плоскости так, что перемещения точек Земли перпендикулярны равновесному положению стержня CD, если расстояние МС равно г, угол наклона оси вращения АВ к вертикали равен а, длина CD — 1. Массой стержня и размерами инертной
массы пренебречь.
Ответ: a=
Н (g Sina — rpa COS2 a)
IP4
Задача 1179. Решить задачу 1177 при наличии в точке В силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (коэффициент пропорциональности равен р.).
Ответ: a = ^V^ — р^ + Ап^р1; /?
с№ . р.
w"' n~^‘
§ 2. Малые колебания консервативной системыс несколькими степенями свободы
Исследование малых колебаний консервативной системы с несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа второго рода.
При нахождении кинетической энергии системы следует пользоваться приближенной формулой
S а^’(16.!2)
/ = 1
где коэффициенты аи-— постоянные величины, удовлетворяющие соотношениям: аи-=ад при j, i = l; 2; ...; s.
Если в положении- равновесия системы ^у = 0, то потенциальная энергия с точностью до малых второго порядка может быть
представлена в виде
$
2 ЭДь /-1
(16.13)
где коэффициенты
/ ^п \
(16.14)
Для системы с двумя степенями свободы имеем ^ ^ *2" (au4i Н- 201^x41 + °82<?»)>
(16.15)
где
«И > 0;
П^1(си<7Н
0ц Ощ Ogi О<й - 2сх1Д\(
>0;
•2 -j-Cgg^),
(16.16)
(16.17)
при условии устойчивости поле сп > 0;
ужения сп сн Cgi Сад
равновесия
>о.
(16.18)
При решении задач на малые колебания системы с двумя степенями свободы полезно придерживаться такой последовательности:
Выбрать обобщенные координаты системы.
Составить выражение для потенциальной энергии системы и дать ее приближенное значение с точностью до малых величин второго порядка (16.17).
Составить выражение для кинетической Энергии системы и дать ее приближенное значение с точностью до малых величин второго порядка (16.15).
Составить уравнение Лагранжа второго рода.
Найти частное решение полученной системы дифференциальных уравнений в форме
qх = A sin (kt-\-a); q^ = В sin (^ + а),(16.19)
где А, В, a, k — постоянные, подлежащие определению.
При этом будет получена система уравнений
А (сп — ^ап) + В (си — ^а^ = 0, 1
А (с12 — ^а^ 4- В (с^ — /г^) = 0, j'
которая имеет нетривиальное решение относительно неизвестных А и В только тогда, когда определитель системы равен нулю, т. е.
Д(^) =
Си — k^axx ^и — k^ctxi с12 — кгаи Сц — k^a^
= 0.
(16.21)
Уравнение (16.21) называется уравнением частот. *
Найти, используя (16.21), главные частоты ^ и £а.
Найти коэффициенты распределения:
(16.22)(16.22)| SjГ12^1^12 . О ^2^12 ^2^12
(16.22)
(16.22)
^1^22^1^22*AgС22^2^22*
где At, Bt — значения постоянных, соответствующих частоте А^; Аг, В»— значения постоянных, соответствующих частоте кг.
Написать закон изменения каждой обобщенной координаты в виде
(16.23)(16.23)^1 —: А г sin ^k\t —j— ctj) —J— Аг sin (й2/ —|— cc^);
(16.23)
(16.23)
q»== Pi^i sin (k\t -(- aj) -|- р2Л2 sin (й27 -)— a2).
Определить, используя начальные условия движения, постоянные А^, A2, «!, а2.
Исследовать, если требуется условиями задачи, формы главных колебаний.
Задача 1180. Два груза Л1, и М» с одинаковыми массами tn образуют систему, показанную на рис. 682. Определить частоты главных вертикальных колебаний грузов, если пружины имеют одинаковую жесткость, равную с. Массой блока, пружин и нити, а также сопротивлением пренебречь. Найти уравнения движения грузов, если из положения равновесия грузу М2 была сообщена начальная скорость у0, направленная вниз.
Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем абсолютные вертикальные перемещения st и s2 грузов из положения статического равновесия. Составим выражение для потенциальной энергии системы:
П — mgst — mgs» + £11д±М_ _|_
+_U const;
где Ai, Д2 — статические удлинения пружин, отсюда найдем§^ = mg Ч~ с (si -)- At) — с (s2 — Si -ф- Д2),g = — mg + c(s2 — s^A,).
В положении равновесия Si = s2 = 0.В положении равновесия Si = s2 = 0.Согласно (16.1), Д1 = 0; A3 = f.Согласно (16.1), Д1 = 0; A3 = f.дП АА^ = 0 при S! = S2 = 0.дП АА^ = 0 при S! = S2 = 0.Отсюда получимОтсюда получим
В положении равновесия Si = s2 = 0.
В положении равновесия Si = s2 = 0.
Согласно (16.1), Д1 = 0; A3 = f.
Согласно (16.1), Д1 = 0; A3 = f.
дП АА
^ = 0 при S! = S2 = 0.
дП АА
^ = 0 при S! = S2 = 0.
Отсюда получим
Отсюда получим
Далее найдем
ds{ ,5=оdst dsa |s=ods| |s=o
Составим выражение для кинетической энергии системы:ms? , m’s|1 — 2' "2-1
Сравнивая это выражение с (16.15), найдем аи = т; а12 = 0; aM = m.
Таким образом, согласно (16.21), уравнением частот будет
А (й2) = (2с — £2т) (с — й2т) — с2 = 0
или
^-З^дЛИ^о.т 1 \ т/
Отсюда найдем квадраты частот главных колебаний:
А? = 3~^ — = 0,382 -;
2 m ’ m ’
fel = 3+0^- = 2,618-,
2 mm ’
следовательно,
^ = 0,618 1/^; ^=1,618]/-^.(6)
f UVу III
По (16.22) определим коэффициенты распределения амплитуд:
р2 = =-= — 0,618.
с — 2,618 — т
В соответствии с (16.23)
Si = А1 sin (Aq/ ~j— cq) —|— А^ sin (^^Z —|- о!^)',
Sa= ?i^4i sin ^k\t -]— cij) Ц- P^A^ sin (J^ Ч~аз)* При / = 0; Si = s2 = 0; si=0; s8 = u0, следовательно, 0 = Ai sin cq -|” A^ sin o^;
0 = Pl-^41 sin Cq —j— ^2^2 sin Olg^ 0 —Ai&i COS cq —j— A^U^ COS cq^ Уо = v4ipi^i COS cq —j— /4з^2^2 COS tqj отсюда_
1 = а, = 0; Л, = $?(^Г) = 0,725»./2;
Л'=МЯ)=-°'276-/'-
Таким образом, уравнения движения грузов примут вид 5[ = О,725ио ~|/ ™ sin kxt — О,276ио j/"у sin &2/;
s9 = 1,1 7у0 |/"у sin ^4~O,17uo j/"у sin k^t,
где кх и кх определяются по (6).
Задача 1181. Материальная точка массой т находится на гладкой неподвижной горизонтальной плоскости и прикреплена к двум пружинам, концы которых закреплены неподвижно. В положении равновесия обе пружины не напряжены и образуют между собой прямой угол. Определить частоты малых колебаний точки, если жесткости пружин равны соответственно с, и са.
Ответ: kx = V°^ ^=V у II»у II»
Задача 1182 (рис. 683). К середине упругой невесомой балки с коэффициентом жесткости с присоединен математический маят-
88Рис. 684Рис. 684
8
8
Рис. 684
Рис. 684
ник массой т и длиной I. Определить малые колебания системы. Трением и сопротивлением пренебречь.
Ответ: «; = Ах sin (д/^у ^ + aij; х = А» sin ^^/"у t —о^^, где А1Т А», сц, оз — произвольные постоянные.
Задача 1183. Используя условия задачи 1180, определить частоты главных колебаний системы с учетом массы блока тх = — ■^, считая ее равномерно распределенной по ободу блока.
Ответ: ^ = 0,60 Д^у; Аа = 1,52 "j/"-^.
Задача 1184 (рис. 684). К однородному цилиндру А с моментом инерции J и радиусом г, имеющему неподвижную горизон- 478
тальную ось вращения О прикреплены с двух сторон две вертикальные упругие нити с коэффициентами жесткости с, и с2. Конец первой нити закреплен неподвижно в точке В, а на конце второй нити висит груз М с массой т. Найти частоты собственных колебаний системы около положения равновесия, пренебрегая трением. Принять ct = 2c.2; J — 2тА
Ответ: кх = ]/^; .
Задача 1185. Решить задачу 1181, если в положении равновесия пружины образуют между собой угол 60° и имеют одинаковые жесткости с.
Ответ: £i = |/^;Ответ: £i = |/^;кгкгV 2т'V 2т'
Ответ: £i = |/^;
Ответ: £i = |/^;
кг
кг
V 2т'
V 2т'
Рис. 685Рис. 685Рис. 686Рис. 686
Рис. 685
Рис. 685
Рис. 686
Рис. 686
Задача 1186 (рис. 685). Система состоит из трех грузов, массы которых тх = тг = М\ та = 2М. К грузам прикреплены верти
кальные пружины с жесткостями соответственно с1 = с2 = с; с3 = 4с, причем в положении равновесия системы пружины не деформированы. Определить
частоты вертикальных колебаний грузов с массами тх и т2 и коэффициенты распределения амплитуд этих колебаний, пренебрегая массами блоков, тросов и сопротивлениями.
Ответ: кх = У^\ ^=У ^-, ^ = — 1; ^=1.
Задача 1187 (рис. 686). Стержень О А на одном конце имеет горизонтальную ось вращения О, а на другом — точечную массу т, к которой при помощи пружины подвешена такая же масса. Стержень удерживается в горизонтальном положении вертикальной пружиной, прикрепленной к его середине. Определить частоты главных колебаний системы, считая жесткости пружин одинаковыми и равными с. Массой стержня пренебречь.
Ответ: ^ = 1,46 l/"—; ^ = 0,34 тЛ—.
1’ V тpm
Задача 1188. Однородная балка массой т подвешена горизонтально на двух вертикальных пружинах жесткостью с каждая, прикрепленных к ее концам. Определить частоты главных колебаний балки в вертикальной плоскости, принимая, что ее центр масс движется по вертикали.
Ответ: ki — 1/^; у tie" lie
Задача 1189 (рис. 687). Частица массой т, имеющая электрический заряд q, расположена в центре квадрата со стороной 2а,
в вершинах которого расположены четыре неподвижных заряда того же знака, два из которых имеют величину qv а два других — величину qt, причем одинако- г вые заряды расположены в несмежных вершинах. Частица может совершать колебания около центра квадрата в его плоскости. Найти частоты и направления глав,„17
ных колебании частицы, если q»=-gqv Весом частицы пренебречь.
Указание. Сила взаимодействия зарядов q и q^ равна
Ответ: kv — b\ k^-Sb, где № =—441.
Эта8 у 2
Главные колебания направлены по диагоналям квадрата.
Задача 1190 (рис. 688). Две материальные точки с одинаковыми массами т и зарядами q могут колебаться без сопротивления вдоль отрезка прямой, на ^ концах которого неподвижно закреплены одноименные заряды qt = у J=—kOО^ j = — q. Длина отрезка равна За. »w/977т
Показать, что если все зарядыРис. 688
находятся на равных расстояниях, то имеет место положение равновесия. Найти частоты главных колебаний при отклонениях средних зарядов от положения равновесия. Найти типы движения, соответствующие главным колебаниям.
-Ответ: ^ = 1/3 b; h! = VTb, где Ь8 = ^.
Главные колебания соответствуют движению синфазно (т. е. оба заряда движутся в одну сторону, сохраняя постоянное расстояние) и противофазно (т. е. оба заряда движутся в противоположные стороны, отклоняясь одинаково от своих положений равновесия в разные стороны).
Задача 1191. Три материальные точки, массы которых соответственно равны m, 2m, т, связаны между собой одинаковыми пружинами жесткостью с, как показано на рис. 689. Определить
Рис. 689Рис. 689
Рис. 689
Рис. 689
частоты главных колебаний системы, пренебрегая сопротивлениями
и массами пружин.
Ответ: ^, = 1/ — • кг = 1У■ 1 у tn' 2т
вращающемся валувращающемся валуЗадача 1192 (рис. 690). На свободно укреплены три маховика, моменты инерции которых соответственно равны Jv J^, J8. Определить главные частоты крутильных колебаний, если коэффициент жесткости на
вращающемся валу
вращающемся валу
кручение на участке между маховиками / и 2 равен съ а на участке между маховиками 2 и 3 равен сг.
/
Ь + V № — 4ас ,
где Ct = JxJ»J'2, Ь =С1У1 -]- Д) Jз -[- Cg(Jg-|- J 8) Ji!
С = CjCj (Jt -j- J % -|- J8).
Задача 1193 (рис. 691). Диск радиусом R укреплен на конце упругого горизонтального вала, заделанного на другом конце, и совершает вынужденные крутильные колебания под действием возмущающего момента М — Hsin pt. К диску в его верхней точке шарнирно прикреплен астатический маятник с точечной массой m и длиной /, удерживаемый спиральной пружиной, не показанной на рисунке. Считая, что при вертикальном положении маятника пружина не напряжена, и пренебрегая трением, определить жесткость пружины, необходимую для того, чтобы маятник служил динамическим гасителем (т. е. чтобы амплитуда вынужденных колебаний диска была равна нулю). Найти также наибольший угол отклонения маятника относительно диска.
Ответ: c = ml(g4- рЧ); ашах = —•
481481*/415 Н, А. Бражниченко и др.
481
481
ГЛАВА XVII
ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
По отношению к системе отсчета Охуг, движущейся произвольным образом относительно инерциальной системы OXy'z', уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
mwr=F-He-Hc,mwr=F-He-Hc,(17.1)(17.1)
mwr=F-He-Hc,
mwr=F-He-Hc,
(17.1)
(17.1)
гдеm — масса точки;
®г — ускорение точки по отношению к системе Охуг;
F — равнодействующая приложенных к точке сил (задаваемых и реакций связей);
Je = — mwe — переносная сила инерции;
]с = — т®с = — 2т(®еХйг) — кориолисова сила инерции.
Условие относительного равновесия материальной точки можно записать так:
(17.2)
Если система, состоящая из п материальных точек, движется по отношению к системе Охуг, которая равномерно вращается вокруг оси Ог, совпадающей с неподвижной осью О'г', то переносные силы инерции всех точек системы обладают потенциалом
П(е) = —(17.3)
где Jz— момент инерции системы относительно оси Ог.
Для консервативной системы-с потенциалом П в этом случае имеет место закон сохранения энергии в относительном движении
Т^ + П1^ const,(17.4)
где
rw=^^k(17.5)
— кинетическая энергия системы в относительном движении;
nlH^n + nle).(17.6)
Если положение системы точек в относительном движении определяется координатами q^, q^, ..., qs и при qj-v-j система находится в положении относительного равновесия, то условия относительного равновесия приобретают вид
=0 (/ = 1; 2; ...; s).(17.7)
dq^ \ЧГ ;1
Положение относительного равновесия системы является устойчивым, если функция П(,,) имеет в этом положении изолированный минимум.
Для систем с одной степенью свободы это условие устойчивости имеет вид
>П,'->dq4>П,'->dq4I >0.|g = aI >0.|g = a(17-8)(17-8)
>П,'->
dq4
>П,'->
dq4
I >0.
|g = a
I >0.
|g = a
(17-8)
(17-8)
Йгц дд/‘Йгц дд/‘постоянной скоростью уг=1 см]сек.постоянной скоростью уг=1 см]сек.
Йгц дд/‘
Йгц дд/‘
постоянной скоростью уг=1 см]сек.
постоянной скоростью уг=1 см]сек.
Для консервативной системы в рассматриваемом случае уравнения Лагранжа в относительном движении имеют вид
dt \ dq; / dq; dq, 1x '
где обобщенная сила Кориолиса Qjc> определяется выражением
а
Qj^ —2 ^ mft (® X УкгУ»=1
Замечание. Сила QW для стационарных связей обращается в нуль в следующих частных случаях:
для систем с одной степенью свободы;
для систем, каждая из точек которых имеет одну степень свободы;
для систем, относительные траектории точек которых лежат в одной плоскости с осью Ог.
Во всех этих случаях кориолисовы силы инерции перпенди
кулярны к возможным относительным перемещениям.
Задача 1194 (рис. 692). Внутри прямолинейной гладкой трубки, вращающейся в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной
оси, проходящей через ее конец, находится шарик массой т = 0,2 кг. К шарику прикреплена пружина, другой конец которой закреплен в начале трубки. Жесткость пружины с = 4 кн[м, ее ненапряженная длина а = 3 см. Определить, по какому закону должна изменяться угловая скорость О) трубки, чтобы шарик двигался относительно нее с
если он в начальный момент находился на расстоянии b = 5 см от начала трубки. Найти также боковое давление шарика на трубку в момент / = 1 сек.
Решение. Свяжем с вращающейся трубкой систему отсчета Охуг, как показано на рисунке Относительным движением шарика является прямолинейное движение его вдоль оси Ох. Напишем уравнение динамики относительного движения (17.1)-
mw^P + F + vV + M + j^ + ^P v]c,(а)
гдеР — вес точки;
Р — упругая сила пружины;
N — вертикальная составляющая реакции труб- _ ки;
Nt — горизонтальная (боковая) составляющая реакции трубки;
/« =—тй>« — центробежная переносная сила инерции;
j“P = — mw“P — вращательная переносная сила инерции;
Р =— ^т^еХ^Р— сила инерции Кориолиса;
®г— ускорение точки в относительном движении, направленное по оси Ох.
Проектируем (а) на оси Ох и Оу Получим
тх = Fx 4- /^; 0 = Nv + J^ + Uy.(b)
Далее,
Fx = — ex; j^x = mw^ = тш- (х 4~ л);
/“р = — т= (х + а); jcy = — 2тшиг.
Подставляя полученные выше выражения в (Ь), имеем
тх =— сх 4- ти»1 (х 4- aV 1
?(с)
О = Nt — ms (х 4~ а) — 2тадг. J
По условию задачи,
X = Xg —j— Urt,
где хй = Ь — а — начальная абсцисса шарика.
Рассмотрим первое уравнение (с). Так как Jc — O, ибо иг — = const, то
г т(^-Ьа + «гО"
Таков искомый закон изменения угловой скорости. Используя второе уравнение (с), найдем
Nms (х 4~ о) 4— Зшши^.
Определим угловое ускорение s:
,oraV"—
<1шr V т
^^2 (а4-Ло4~ иР)И(хо + иР) (й + х04- VrO
Подставляя в выражение для Л^ значения <о, s и х, после простых преобразований получим
Л7 ... УгУст [4 (.Гр + «^ + о | _
В момент t = 1 сек имеем
^ = 0,5 н.
Задача 1195. Плоскость S равномерно вращается с угловой скоростью о) вокруг вертикальной оси Ог, образуя с ней прямой угол (рис. 693, а). К точке Л плоскости, отстоящей от оси вращения на расстоянии а, шарнирно прикреплен стержень длиной Ь, несущий на своем конце материальную точку М массой т.
Определить период малых колебаний точки вблизи ее положения устойчивого относительного равновесия, пренебрегая трением. Определить также усилие в стержне при прохождении этого положения, если в момент, когда стержень был отклонен на угол <рв от линии ОА, его угловая скорость была равна нулю. Массой стержня пренебречь.
Решение. Рассмотрим относительное движение точки М в плоскости S. Согласно (17.1), имеем
mwr = Р -j- Nt -j- N -j- ]e -j- jc,(d)
где $\— нормальная реакция плоскости;
N — реакция стержня, направленная вдоль стержня;
/с — кориолисова сила инерции, причем
/с = —2m(w Xvr);
эта сила направлена также вдоль стержня, так как вектор о> перпендикулярен к плоскости S, а вектор относительной скорости Уг лежит в этой плоскости и перпендикулярен АМ (рис. 693, б);
/е — переносная сила инерции; она является центробежной и направлена от центра вращения по прямой ОМ, величина ее
/е = Г№а ■ ОМ = П№?Г.
За обобщенную координату примем угол <р, составленный стержнем с продолжением линии О А.
Спроектируем (d) на касательную (т) к относительной траектории, имея в виду, что
^гт —6г —6S; ^, = 0; /4 = 0; jn = — je sin а, где
а= Д ОМА,получимmb"^ — m^r sin а.
Из Л ОАМ найдем г sin а —а sin ср, следовательно,
b^-^aw4 sin ф — 0.(е)
Как известно, решение этого уравнения дается в эллиптических интегралах.
Для того чтобы найти положение равновесия, достаточно положить в этом уравнении <р = 0. Получим siny = 0, откуда ®i = 0; сра = к.
Для малых <р уравнение (е) приближенно примет вид
6ф ao/S = 0,(/)
а для ср, близких к и, полагая ф = -— ср, получим
— bi -{- аогф = 0.(g)
Общие решения уравнений (/) и (g) имеют соответственно вид
Ф = Л1 sin kt -(- Bi cos kt\ Ф — A 2 sh kt 4- Ba ch kt, где к = <» j/"y - .
Первое из этих уравнений отвечает гармоническим колебаниям около положения ф = 0, во втором же уравнении при t-*co ф —> ОО,
Таким образом, при ф = 0 стержень находится в положении устойчивого относительного равновесия, а при ф = 0 (ф = и) — в неустойчивом.
Период малых колебаний около положения устойчивого равновесия будет
Для нахождения усилия N спроектируем (d) на нормаль п к относительной траектории, получим
m^b ±=N — jc — je cos a.
Ho
jc = 2mb$a>; ^ cos a = mu^r cos a = m^ ^b-\-acos a), следовательно,
N = m^b + 2mb«t<s> + me? (b -j- a cos <p).(A)
Для нахождения ф обратимся к уравнению (е). Умножая его на ф и интегрируя, получим
Д2b ^аш4со§щ = С.Д2b ^аш4со§щ = С.(О(О
Д2
b ^аш4со§щ = С.
Д2
b ^аш4со§щ = С.
(О
(О
Из условия, что ф = 0 при <р = фо, найдем С — — aw2 cos «0.
Решая (i) относительно ^ в момент, когда <р = О, имеем H=o = 2wj/'^ sin-™.
Подставляя это значение в (/г), после преобразований получим
N |¥=o=ma>2^a-|-(2yasin ^-Ч-V6) ]•
Задача 1196 (рис. 694). Линейка АВ длиной I и массой т
своим концом А может скользить вдоль вертикальной оси Oz, а концом В — вдоль горизонтальной оси Ох, вращающейся вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью со. Перемещению конца В препятствует пружина, которая при вертикальном положении стержня не напряжена. Определить положения относительного равновесия линейки и исследовать их на устойчивость. Найти также период малых колебаний около положения устойчивого равновесия.
Решение. За обобщенную координату возьмем угол а. Опре
делим потенциальную энергию системы
т-т сД2 . mgl
П ——21COS a,
где Д = / sin a — деформация пружины.
Вычислим П(е) по (17.3). Имеем
П(е) = — 2 .
Для вычисления J, выделим элемент стержня ds на расстоянии s от А. Имеем
dJ, = у ds • s2 sin2 а,
где т — масса единицы длины стержня.
Интегрируя, получим' i
J,= \TS2 sin2acis = 7 Sin2a~5- = —- sin2a. о о
О
Таким образом,
№> = —№> = —tnl2^-дрtnl2^-дрsin2 а.sin2 а.
№> = —
№> = —
tnl2^
-др
tnl2^
-др
sin2 а.
sin2 а.
Составим выражение (17.6):
। ГТ(е)cl2 sin2 а , mgl cos а т!2ыг sin2 а
„дПот
Определим
дП(г|/ cZ2 mlW \ о .mgl sin а,..
Н2 sin а cos а —• о)
Приравнивая это выражение нулю согласно (17.7), считая а<у, найдем
А
at = 0; cos а2 = —,(^)
где
А = ^. В = СР-^,
далее,
д2П(Г|
д 2 = В cos 2а — A cos а.
При а = й! = 0
и, следовательно, вертикальное положение равновесия стержня согласно (17.8) будет устойчивым, если В>Л, т. е. при
(О(Оmg । m<»2 2Z + 3 ’
(О
(О
и неустойчивым, если B<^_A.
Исследуем теперь положение равновесия а = а2, найдем д2П1л I
даа |= В COS 2og — A COS Х2 — В (^COS1^ — 1) — Л COS а2.
(m)(m)Согласно (£), угол о^ существует лишь при условии А <В.
(m)
(m)
Поэтому
^П- I _ А А2да2 к=Ч \ В*^П- I _ А А2да2 к=Ч \ В*А3 А2 — В2/пВ ~ В <^-U-А3 А2 — В2/пВ ~ В <^-U-
^П- I _ А А2да2 к=Ч \ В*
^П- I _ А А2да2 к=Ч \ В*
А3 А2 — В2/пВ ~ В <^-U-
А3 А2 — В2/пВ ~ В <^-U-
Таким образом, положение относительного равновесия о. = аг является неустойчивым.
Составим теперь дифференциальное уравнение относительного движения в форме (17.9). Найдем сначала Tw. По теореме Кёнига имеем
jV) —AC,
где С — центр масс стержня.
Далее,
шг = а; vCr = wr • PC == —,
таким образом,
Т^ = 1- т1Ч\
Так как система имеет одну степень свободы, то обобщенная сила Кориолиса равна нулю, и уравнение (17.9) с учетом (/) принимает вид
1,2../ ci2ml2«? \ . о । mgl .
-^•тга =— l-g-—j sin 2asin a.
При малых a (вблизи положения устойчивого равновесия) имеем
При условии (/) это уравнение гармонических колебаний с периодом
и "xf* 21П1Т ~ г 6Zc — 2т1<й2—3tng "
Задача 1197, На шероховатую горизонтальную плоскость, вращающуюся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о), помещена тяжелая точка. Где может находиться эта точка в положении относительного равновесия, если коэффициент трения равен f?
Ответ: в пределах круга радиусом г = ^ с центром на оси вращения.
Задача 1198 (рис. 695). Гладкий стержень АВ равномерно вращается вокруг вертикальной оси, составляя с ней неизменный угол а. Определить наибольшую величину угловой скорости стержня <о, при которой колечко М, надетое на стержень, будет находиться в относительном равновесии в наинизшем положении А, если при этом его расстояние до оси вращения равно а.
Ответ: wmM = j/" —^ga .
Задача 1199. Сохранив условия предыдущей задачи, определить, каков должен быть закон изменения угловой скорости стержня АВ, чтобы колечко М перемещалось по стержню с постоянным по отношению к этому стержню ускорением ®„ если начальная относительная скорость была равна нулю.
Ответ:
Г sin а (2а -|- ^r^ sin а)
Задача 1200 (рис. 696). Трубка вращается с постоянной угловой скоростью о) вокруг вертикальной оси, составляя с ней все
время прямой угол. В трубке находится шарик массой т, скрепленный с ней посредством пружины жесткостью с. В начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси трубки и был отпущен без начальной скорости; пружина при этом была не деформирована. Определить последующее движение шарика вдоль трубки, совместив начало координат с начальным положением шарика. Трением пренебречь.
Ответ: если «хС]/"— > т0 х = -“г^— cosfe/),
где k = V -т — и?-.
если
<»> ]Z" , то x=™(chfcYt — 1),
где /г, = j/"»)3 —;
если
1 Л сe^at2
to —— , ТО Х =—К—.
V т2
Рис. 697Рис. 697Задача 1201 (рис. 697). Точка М может двигаться по гладкому стержню ОЛ, который вращается с постоянной угловой скоростью to вокруг вертикальной оси, составляя с ней неизменный угол а. В начальный момент точка находилась на расстоянии и от точки О и не имела относительной скорости. Определить
Рис. 697
Рис. 697
Рис. 698
закон движения точки по стержню. При каком значении го точка будет двигаться вверх и при каком вниз?
„geos а I / g COS а \, ..
Ответ: ОМ = ., . ,—Н а| . „ 1 ch (ю/ sin а).
го- sin2 а 1 \ ш2 sin2 ау ''
„V«g COS аV ug COS а
При и _> a\ g точка будет двигаться вверх, при ш ~~" - а■ вниз.
Задача 1202 (рис. 698). По гладкой трубке, изогнутой в виде полуокружности радиусом R и вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о), может двигаться тяжелая точка М массой т. Определить относительную скорость точки в зависимости от угла ср, составленного радиусом ОМ с осью вращения, если в начальный момент <р =?= <р0, фо = О.
Ответ: ur = R "Уш3 (sin3 ср — sin3 ср0) -}- ^ (cos ®0 — cos ср).
Задача 1203 (рис. 699). В диске, вращающемся с постоянной угловрй скоростью и вокруг вертикальной оси О, перпендику-
лярнои к его окружности,лярнои к его окружности,Рис. 699Рис. 699Указание. Спроектировать (17.1) на касательную и нормальУказание. Спроектировать (17.1) на касательную и нормальааг ^г др 2а)г ^г др 2а)
лярнои к его окружности,
лярнои к его окружности,
Рис. 699
Рис. 699
Указание. Спроектировать (17.1) на касательную и нормаль
Указание. Спроектировать (17.1) на касательную и нормаль
а
а
г ^г др 2а)
г ^г др 2а)
плоскости, сделана криволинейная канавка в виде проходящей через центр диска и имеющей диаметр а. Вдоль канавки может без трения двигаться материальная точка М массой т, которая в начальный момент находится на конце Л диаметра окружности АВ, перпендикулярного к ОО], и имеет в этот момент относительную скорость уг = -р=-. Определить в дальнейшем движении точки ее относительную скорость, а также давление на стенки канавки, как функции расстояния ОМ = г.
к окружности.
Ответ: иг = шг;
(знак «минус» имеет место при указанном направлении вращения, знак «плюс» — при противоположном).
Задача 1204 (рис. 700). По диску, вращающемуся вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ш, может скользить без трения вдоль хорды АВ материальная точка М
Рис. 701Рис. 701
Рис. 701
Рис. 701
массой т. Точка М скреплена с точками А и В хорды двумя пружинами с одинаковой жесткостью с. Определить период колебаний точки М в ее относительном движении, если она в средней точке хорды находится в положении относительного равновесия.
Ответ: независимо от расстояния между хордой и центром диска
V 2с — meV ’ у т
Задача 1205 (рис. 701). Круглая трубка радиусом г вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг своего вертикаль-
ного диаметра. Внутри трубки находится шарик М. Определить
положения устойчивого относительного равновесия шарика по
отношению к трубке, пренебрегая трением и раз-
мерами шарика.
а —arcsin —f- (в ниж-а —arcsin —f- (в ниж-Ответ: при <о
а —arcsin —f- (в ниж-
а —arcsin —f- (в ниж-
ней половине трубки), при ш
Задача 1206 (рис. 702). Направляющая в виде полу параболы n-го порядка (y = kxn) вращается с постоянной угловой скоростью <о вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью Оу. По направляющей может двигаться без трения колечко М. Определить, при каких п существует положение устойчивого относительного равновесия колечка, отличное от начала координат, и найти это положение.
Ответ: при п^>2 х0= —т—| /\ gkn)
Задача 1207. Сохранив условия задачи 1205, определить период' малых колебаний шарика вблизи положения устойчивого относительного равновесия.
Ответ: если, то т — ——-2яГ<л — •
если о) <Г 1/, то т = 2л 1/ —.
' г гу g — '^r
Задача 1208. В условиях задачи 1206 определить период малых колебаний колечка вблизи положения устойчивого относительного равновесия.
„2 л-, Г 1 4- №п?х1п—2
Ответ: т = — I/ "о “ V п — Ч
ной угловойной угловойРис. 703Рис. 703Задача 1209. Регулятор Уатта вращается с некоторой постоян
ной угловой
ной угловой
Рис. 703
Рис. 703
скоростью так, что в относительном равновесии углы отклонения всех стержней от вертикали равны а. В результате возмущений возникают относительные колебания шаров регулятора в вертикальных плоскостях. Определить период этих колебаний, считая их малыми. Длины всех стержней равны /. Массой стержней, муфты и трением пренебречь.
2л Г I cos а
Ответ: т=——I/ —-—. sin а у g
Задача 1210 (рис. 703). Центробежный регулятор состоит из четырех одинаковых шарнирно соединенных стержней длиной / каждый. Определить угол отклонения стержней от оси вращения,
а = 0;а — агссозтт-^.а = 0;а — агссозтт-^.WWРис. 705Рис. 705
а = 0;
а — агссозтт-^.
а = 0;
а — агссозтт-^.
W
W
Рис. 705
Рис. 705
если угловая скорость ш = const. Массой, размерами муфты С, а также трением пренебречь.
Ответ: при ш ^ "|/ -^
при о>
Задача 1211 (рис. 704). Точка подвеса маятника, имеющего вид однородного стержня длиной /, движется горизонтально с постоянным ускорением ©. Определить угол отклонения стержня
в относительном равновесии и период малых колебаний стержня около этого положения.
Ответ: tg а = —; т — 2л 1/ —.
Задача 1212 (рис. 705). Плоскость вращается с постоянной угловой скоростью <0 вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. К плоскости в точке А, отстоящей от оси вращения на расстоянии OA = R, шарнирно прикреплен однородный стержень длиной I. Пренебрегая трением, определить период малых колебаний стержня около положения устойчивого относительного равновесия.
Ответ: положение относительного устойчивого равновесия будет при <р = 0:
2л Ч/"2Гт — V 3R •
Задача 1213. На рис. 706 изображена ракета.
Из бака А по направлению к соплу движется газовая струя с постоянным секундным расходом p = puS (р— пло1нос1ь, и — 494
относительная скорость частиц газа, S— площадь сечения). В не который момент на ракету начинает действовать постоянный вра щающий момент М. _
Составив дифференциальное уравнение вращения ракеты в ее относительном движении по отношению к центру инерции, найти угловую скорость ракеты как функцию времени. Момент инерции ракеты относительно центральной
оси принять постоянным и рав
ным J, экстремальные расстояния частиц газа от центра инерции равны а и Ь. Сопротивлением среды пренебречь.
Указание. Учесть силы инерции Кориолиса частиц газа, возникающие вследствие вращения ракеты.
„м
Ответ:[1 -е J ].
(18.1)(18.1)Рис. 707Рис. 707гХГ = Л(ю1 Xй), (а)гХГ = Л(ю1 Xй), (а)
(18.1)
(18.1)
Рис. 707
Рис. 707
гХГ = Л(ю1 Xй), (а)
гХГ = Л(ю1 Xй), (а)
глав* xvn:
ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ
В приближенной теории гироскопов вектор Lo кинетического момента относительно неподвижного центра О предполагается направленным по оси гироскопа и равным
ЕО = ЛШ,
где Jz— момент инерции относительно собственной оси гироскопа;
6 — собственная угловая скорость гироскопа.
Движение оси гироскопа определяется движением конца вектора Lo. Согласно теореме Резаля,
бд = М^\(18.2)
где»л — скорость конца А вектора Zo;
М^— главный момент внешних сил относительно неподвижного центра.
Гироскопический момент определяют по формуле
Мг' = —(18.3)
где «,— угловая скорость прецессии.
Задача 1214 (рис. 707). Уравновешенный гироскоп в карда-
новом подвесе имеет собственную угловую скорость <о и момент инерции Jz. Он установлен так, что его внутренняя рамка составляет с горизонтальной плоскостью угол а. Определить угловую скорость прецессии, если к оси гироскопа на расстоянии г от центра подвешен груз М массой т. Трением и массой рамок пренебречь.
Решение. По (18.3), имеем
— м^=л(м х ш,)
или
где P = mg— вес гироскопа.
Вектор <» направлен по оси гироскопа, вектор «j — по неподвижной оси Ог'. Согласно (а), имеем
Pr cos l = j2 ОКО, cos У,
откуда
«д
mgrJz«>
Такова угловая скорость прецессии. Из полученной формулы следует, что эта угловая скорость не зависит от угла наклона а.
Задача 1215 (рис. 708). Ротор турбины, ось которого расположена в диаметральной плоскости судна и параллельна продольной его оси, вращается со
Рис. 708Рис. 708скоростью /1 = 3000 об; мин. Масса ротора т = 4000 кг, его радиус инерции относительно оси вращения р = 0,6 м, расстояние I между подшипниками А и В равно 2 м. Судно имеет килевую качку с амплитудой <р0= = ~ и периодом - = 8 сек. Опре-
Рис. 708
Рис. 708
делить величины максимальных гироскопических давлений на подшипники.
Решение. В данной задаче осью собственного вращения является ось ротора. Собственная угловая скорость <6 равна по величине
о/ = ^ = 100* рад/сек
и направлена по оси ротора.
Прецессией является килевая качка. Согласно условию, угловая координата ®, характеризующая килевую качку, изменяется по закону
2тт^2тт^? = ?osin — .? = ?osin — .
2тт^
2тт^
? = ?osin — .
? = ?osin — .
Угловая скорость качки (угловая скорость прецессии) по величине равна
I ш1! = I ? II ш1! = I ? I2?окт2?октI 2л/1COS —I 2л/1COS —Kt cos7Kt cos7
I ш1! = I ? I
I ш1! = I ? I
2?окт
2?окт
I 2л/1
COS —
I 2л/1
COS —
Kt cos7
Kt cos7
Вектор ®i направлен по оси вращения судна Огх так, как показано на рисунке, если в рассматриваемый момент судно поворачивается вокруг этой оси против движения часовой стрелки. При изменении направления качки вектор ^ изменяет свое направление на противоположное. "
Вычислим гироскопический момент. По (18.3), имеем
Вектор Л^ направлен так, как показано на рисунке, т. е. по перпендикуляру к плоскости, проходящей через векторы «> и ®ь в сторону, определяемую векторным произведением.
Так как ш и ш, взаимно перпендикулярны, то величина вектора ТЙ'1’ равна
Л1(11 — Jг
Имея в виду, что
Jг = Л1р'2= 1440 кг-л^.
получим
Л1’г' = 1200^^ I cos I нм.I 4 I
Гироскопический момент ЛГГ| обусловливаем появление давлений на подшипники А и В. Реакции Л^ и NB этих подшипников, численно равные давлениям, но противоположно им направленные, образуют пару, момент которой уравновешивает гироскопический момент. Следовательно, величины реакций Лл и NB будут:
М<Г)II
Na = NB =600-31 cos н.
В моменты Z, для которых cos^ = ±l, эти величины получат максимальные значения, равные
ЛУЛтах = А^втах = 600я3 = 18,61 КН.
Задача 1216. Ротор турбины, вращающийся вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью <о0= 1000 рад(сек и имеющий
момент инерции относительно оси вращения J = 750 кг ■ мт установлен на широте г. Ленинграда. Определить величину гироскопического момента ротора, возникающего вследствие вращения Земли, если вектор угловой скорости ротора направлен точно на север.
Ответл М.^ == 47,4 нм.
Этот момент уменьшает давление на подшипник, расположенный ближе к северу.
Задача 1217 (рис. 709). Угловая скорость прецессии волчка, имеющего форму прямого
кругового конуса, опирающегося своей вершиной на плоскость, равна «ц. Определить собственную угловую
скорость о) волчка, если радиус основания конуса равен г, а высота h.
Ответ; ш =
Задача 1218 (рис. 710). Однородный тонкий стержень длиной 2/ за середину подвешен на нити. На один из концов стержня надет однородный сплошной диск, который вращается вокруг стержня с большой ПОСТОЯННОЙ угловой CKO-Z/zzzzzzz
ростью to. Определить угловую скорость прецессии стержня с диском, если радиус диска равен г. Сопротивлением нити на кручение пренебречь.
Ответ; Ш1=^.
Задача 1219 (рис. 711). Ротор гирогори- / зонта представляет собой турбинку, вращающуюся вокруг вертикальной оси струей воздуха, Рис. 710 который выходит затем через отверстия Л, наполовину прикрытые маятниковыми заслонками В. При отклонении оси ротора от вертикали (вследствие возникающих моментов сил трения в подшипниках) одна из двух противоположно расположен
ных заслонок полностью открывается, другая же полностью закрывается, в то время как остальные две не смещаются. При этом возникает реактивный момент, обусловленный действием струи воздуха и направленный противоположно скорости струи.
Рас. 711Рас. 711Рис. 712Рис. 712
Рас. 711
Рас. 711
Рис. 712
Рис. 712
Пользуясь теоремой Резаля, показать, что ось гироскопа будет восстанавливать свое вертикальное положение.
Задача 1220 (рис. 712). Квадратная рама ABDC вращается вокруг вертикальной оси АВ с постоянной угловой скоростью «j. Вокруг диагонали рамы ВС с постоянной угловой скоростью « вращается ротор, представляющий собой сплошной диск радиусом г и массой т. Определить гироскопические давления на подшипник Е и подпятник F, если сторона рамы равна а,.
„toto.r2m
Ответ: NP — NF=—1—7.
Ответ: NA = NBОтвет: NA = NBтРи^2атРи^2аРис. 715Рис. 715
Ответ: NA = NB
Ответ: NA = NB
тРи^2а
тРи^2а
Рис. 715
Рис. 715
Задача 1221 (рис. 713). В полом кольце радиусом R с малым поперечным сечением движется жидкость с большой постоянной
по величине скоростью и, а само кольцо вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью top Считая массу жидкости
в трубке равной т, определить гироскопические давления на подшипники Д и В, обусловленные движением жидкости н вращением кольца, если АС = ВС = а.
Задача 1222 (рис. 714). Вал, вращающийся вокруг вертикальной оси 001 с угловой скоростью <оь приводит в движение каток А массой т
и радиусом R. Приняв каток за одно
родный диск и считая, что он по горизонтальной плоскости не скользит, определить усилие S, возникающее в валу от действия
гироскопического момента. Ответ: S =
Задача 1223 (рис. 715). Между статором однофазного генератора переменного тока и фундаментом установлены четыре пружины по две с каждой стороны, имеющие одинаковую жесткость,
равную с. Определить деформации А пружин, вызванные действием гироскопического момента ротора, вращающегося вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью со, если в рассматриваемый момент времени платформа, на которой находится генератор, вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью toj. Момент инерции ротора относительно его оси равен J, осевое расстояние между пружинами равно /.
Ответ: k =
Задача 1224 (рис. 716). Ось ротора гироскопического указателя поворотов совпадает с направлением горизонтального полета 500
самолета. Определить угловую скорость «1 виража самолета, если момент инерции ротора равен J, его собственная угловая скорость равна <о, жесткость каждой из пружин равна с, а изме-
Рис. 71bРис. 71bРис. 717Рис. 717
Рис. 71b
Рис. 71b
Рис. 717
Рис. 717
ренный угол отклонения оси ротора от горизонтали равен а (считать этот угол малым). Расстояние между пружинами равно а.
Ответ1,
Рис. 718Рис. 718Задача 1225 (рис. 717). Однородный диск радиусом г и массой т вращается с большой угловой скоростью со = const вокруг стержня ОА, имеющего в точке О сферический шарнир, и в то же время прецессирует вследствие наличия момента силы тяжести. Определить приближенное значение горизонтальной составляющей реакции шарнира О, если расстояние от него до центра диска равно I, а угол между стержнем и вертикалью равен а. Массой стержня ОЛ пренебречь.
Рис. 718
Рис. 718
Указание. Найдя угловую скорость прецессии, применить теорему о движении центра инерции.
Ответ". Дгор = ^т^- sin а.
Задача 1226. Для определения скорости летательного аппарата в период старта (по вертикали) используется интегратор, схема которого показана на рис. 718.
Ротор гироскопа помещен в кожухе А, который может вращаться вокруг горизонтальной оси 00. В момент старта конец В оси гироскопа освобождается от опоры и кожух оказывается висящим на оси 00. При этом моменты веса и силы инерции создают прецессию относительно вертикальной оси 0t0v
Зная угол поворота ф вокруг этой оси за время t, определить скорость подъема в этот момент, если масса ротора с кожухом равна т, расстояние от их общего центра тяжести до оси 00 равно а, момент инерции ротора J, а его собственная угловая скорость равна <о.
50150117 Н. А. Бражничеико и др.
501
501
Указание. Проинтегрировать ф, учитывая, что$®Л = и. о
Ответ: и — — — at. та 6
Задача 1227 (рис. 719). Невесомый стержень АВ длиной I, ^уна конце которого находится точечная масса т,
anyзакреплен с помощью цилиндрического шарнира
Пяна вертикальной оси, вращающейся с угловой
д-/\ скоростью ш. При отклонении стержня АВ на
X ^ малый угол фо от положения относительного \ \ равновесия он начинает колебаться около этого
-^\„\ положения с круговой частотой, равной wsina,
Cj 8 гДе а — угол, при котором имеет место относительное равновесие (см. задачу 1209).
Найти добавочные гироскопические давления на подшипники при прохождении стержнем поло-
Рис. 719 жения относительного равновесия, если расстояние между подшипниками равно I.
Указание. Определить угол а из условия относительного равновесия.
Ответ: N =.
Решение возможно при
l^>g-
ГЛАВА XIXТЕОРИЯ УДАРА
Приращение количества движения системы за время удара равно главному вектору всех внешних ударных импульсов, действующих на систему , т. е
=(19.1)
Приращение за время удара кинетического момента относительно неподвижного центра (или центра инерции') равно главному моменту всех внешних ударных импульсов, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.
Т-оа-Ч = МоЧЗ^.(19.2)
В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси имеем
—(19.3)
При ударе точки о неподвижную поверхность связь между углом падения »! и углом отражения аг устанавливается формулой tg«3 = ^tga1,(19.4)
где х — коэффициент восстановления, равный отношению абсолютных величин нормальных проекций скоростей точки после удара и до удара, т. е.
Х = 1^1(19.5)
Зависимость между величинами скоростей точки до удара и после удара такова
Ug^zUiCOSajlA^-j-tg8^.(19.6)
При прямом центральном ударе двух тел А и В, центры тяжести которых движутся вдоль оси Ох, проекции скоростей тел АВ„
после удара щх, щх связаны с проекциями скоростей этих тел до удара иД, uf, (при отсутствии внешних ударных импульсов) следующими соотношениями:’‘
А _ (тл —1тв) Um+ mB (’ + Х> У°
;(19.7)
ув = (тв — х"«л) е® + mл (1 + х) У^
1—X1+х1—X1+хИмеет место теорема Карно1, кинетическая энергия, теряемая
1—X
1+х
1—X
1+х
при ударе, равнапри ударе, равнадоле кинетической энергии, соответствую
при ударе, равна
при ударе, равна
щей потерянным скоростям, т. е.
ДТ = Т1 — т2 = |^Т*,(19.8)
где
Т* = ^ тА ^х - ^х? + ^тв ^х - ^Л (19.9)
Если удар является абсолютно упругим, то х=1 и ДТ = 0. Если удар является абсолютно неупругим, то х = 0 и \Т = Т*\ при этом следует иметь в виду, что у^х = и°х.
Уравнения Лагранжа для случая удара имеют вид
(1910)
(/=1; 2; Л ; s),
где Ry — обобщенные импульсы ударных сил, которые можно найти по формуле
(19-п)
Задача 1228 (рис. 720). На гладком горизонтальном столе покоится мяч М массой т. В некоторый момент по мячу производится удар, импульс которого 3 направлен горизонтально.
Рис. 720Рис. 720
Рис. 720
Рис. 720
Определить расстояние между двумя первыми точками падения мяча на пол, если высота стола равна h, а коэффициент восстановления равен х. Сопротивлением воздуха и размерами мяча пренебречь.
Решение. Определим скорость й0, приобретаемую мячом в результате удара. Пользуясь (19.1), имеем
Qi — Q^ — S.
Учитывая, что Qi=0; Q4 = mve, получим
8v0 = -.in
Скорость Vo направлена так же, как и вектор S. Найдем скорость падения vt. Для этого составим уравнения движения мяча как точки, движущейся под действием силы тяжести,
x — vaf,
В момент падения у = Н, т. е. 4= |/ у, и скорость ut найдем по формуле
Vj = К X1 ^-у^\(==(1 = V^ghA-uV,
направление скорости vt Так какнаправление скорости vt Так какопределяется углом at.определяется углом at.
направление скорости vt Так как
направление скорости vt Так как
определяется углом at.
определяется углом at.
tg«!=J
то
tg«l =tg«l =VWVW
tg«l =
tg«l =
VW
VW
Пользуясь (19.6) и мяча после удара о полПользуясь (19.6) и мяча после удара о пол19.4), найдем скорость 02 отражения и угол отражения:
Пользуясь (19.6) и мяча после удара о пол
Пользуясь (19.6) и мяча после удара о пол
и2 = U, cos ац Ух3 -|- tg2a, = vy Ух2 4- tg'a, =
= У^]Л2 + ^ = У^^+2^.
^-VW
Уравнениями движения мяча на участке АВ будут
х' = и^ cos р2; у = v^ sin ^j —.
В момент падения (в точке В) // = 0, откуда / = ^Ек^Ь, и> следовательно,
д п «г sin 23а _ «2 sin 2д3 2vg tg a2 _ ^ У ,
gg ^(l+tg2^) ” °Z Г ^g1
Задача 1229. Боек молота массой тл = 10 т падает со скоростью v = 5 м/сек на наковальню, масса которой вместе с отковываемым металлом игв = 240 т. Определить коэффициент полезного действия молота, считая удар упругим с коэффициентом восстановления х = 0,3.
Решение. Удар считаем прямым и центральным. Соударяющимися телами являются боек молота (тело Д) и наковальня с отковываемым металлом (тело В). Направим ось Ох в сторону движения бойка, т. е. вниз. Согласно принятым обозначениям, vfx— скорость бойка до удара, т. е. vfx = v; и^— скорость наковальни до удара; так как наковальня была неподвижна, и®. = (). Определим по формулам (19.7) скорости и^ и оД после удара:
А _ (тд—хт^ ^х _ ^а "хтв^'°.
У2Х— тл+„,в — тд + тЙ ■’
тА + тВ тА + !ПВ '
Найдем по (19.9) кинетическую энергию, соответствующую потерянным скоростям:
™тлГ<'"л-^г' J3 ! ^рд^*)^
; U -Тj I =
2 L тд + пгв J - 2 L тд + тв |
тд vhn% (1 Д-x)2 , твт^А (1 4-х)2 v2(14-х)2 тдтв Vs
™ 2" (тл4-тй)2 1 Ч(тд-^тву ~' 2(тд4-тв) ‘
Потеря кинетической энергии при ударе согласно (19.8) будет
АТАТ109 кдж.109 кдж.(1 — х2) тдтв«22(мл4-тд)
АТ
АТ
109 кдж.
109 кдж.
В этой задаче полезной является потерянная кинетическая энергия АТ, затрачиваемая на деформацию отковываемого металла. Следовательно, коэффициентом полезного действия молота будет
где Тх = -^вся затраченная энергия, равная кинетической энергии бойка молота.
Подставляя численные значения, получим
_(1—х2) тв — тА+тв_(1—х2) тв — тА+тв= 0,874.= 0,874.
_(1—х2) тв — тА+тв
_(1—х2) тв — тА+тв
= 0,874.
= 0,874.
Задача 1230 (рис. 721). Однородный диск радиусом R находится в покое на гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент по ободу диска наносится удар, импульс которого лежит в плоскости диска и направлен вдоль прямой, отстоящей на расстоянии а от его центра. Определить положение мгновенного центра скоростей в момент окончания удара.
Решение. Воспользуемся (19.1). Учитывая, что Qt = 0, получим
Q^ = MyCa = S,
где М — масса диска.
Следовательно, скорость центра масс непосредственно после удара направлена параллельно импульсу S и равна по величине
S ис,~М-
(а)
Применим формулу (19.2) по отношению к оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости диска. Учитывая, что
Lc =0, получим
Lc = Sa •
или
J с^з — Sa.
Отсюда угловая скорость диска непосредственно после удара
равна
Sa 2Sa
Пользуясь (а) и (Ь), найдем, что мгновенный центр скоростей Р сразу после удара находится от центра С на расстоянии
СР = -^ = У-.
<о2 2а
Задача 1231. Эллиптический маятник состоит из ползуна массой М, который может скользить вдоль горизонтальной направляющей, и однородного стержня АВ массой т и длиной /,
Рис. 722
скрепленного с ползуном посредством цилиндрического шарнира (рис. 722,а). В некоторый момент, когда система находится в равновесии, по ползуну производится удар с импульсом 3. Определить скорость ползуна уа и угловую скорость стержня <оа непосредственно после удара.
Решение. Исподьзуем уравнения Лагранжа (19.10):m _(дт\ =RWХЭДрк \d4jjt! v •
Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем: qv = х — перемещение ползуна; q4 = ^— угол поворота стержня (рис. 722,6), отсчитываемый против движения часовой стрелки.
Определим кинетическую энергию системы:
T-т -J- Т 1 1 полз 1 стT-т -J- Т 1 1 полз 1 стЛ1^2 , myg . 7с»22+2+2Л1^2 , myg . 7с»22+2+2
T-т -J- Т 1 1 полз 1 ст
T-т -J- Т 1 1 полз 1 ст
Л1^2 , myg . 7с»22+2+2
Л1^2 , myg . 7с»22+2+2
(кинетическая энергия стержня определена по формуле Кёнига). По теореме сложения скоростей имеем
Ус = Осг-гУСе-
Относительная скорость уСг перпендикулярна к ЛС и по величине равна
/со ЬЪ
УСг = ^=^-
Переносная скорость бСе параллельна оси Ох и по величине равна
УСе = Х.
Таким образом,
и2с =-(- X1 -(- Н^ COS ср.
Учитывая, что = получим
гр Мх2 . ml2 . о , т!12^2 । -я I 1. •\
Т = -у- + 24 ?8 + 2 I + + + Их cos у).
ЯУД^^.ЯУД^^.S Их^#8? = О8*’S Их^#8? = О8*’Найдем обобщенные ударные импульсы Ry.
ЯУД^^.
ЯУД^^.
S Их^#
8? = О8*’
S Их^#
8? = О8*’
/?уд = ^=0.
20«р18^ = 0
Вычислим Ц при ф = 0; х = 0.
Имеем
11=^+.). + ?; У = 1Т + '?.
Учитывая, что при t = tt, ^ = х = 0, пользуясь (19.10), получим
(М -{- т) и3 -(- ^ 1юг — S,
2т/и)а-(-Зти2 = 0,
_ 6Sш,2—/(4Af + m)-_ 6Sш,2—/(4Af + m)-откуда найдем
_ 6S
ш,2—/(4Af + m)-
_ 6S
ш,2—/(4Af + m)-
_ 45 .и-4-М + т’
Знак «минус» показывает, что стержень в результате удара начнет вращаться по направлению движения часовой стрелки.
Задача 1232. Шар падает из состояния покоя с высоты Л, ударяется о пол, подпрыгивает, снова падает и т. д. Принимая коэффициент восстановления равным х, определить время, по истечении которого шар остановится.
Ответ: ( = -У^1/ — .
Г g
Задача 1233. Шарик ударяется в вертикальную стенку, двигаясь в нормальной к ней плоскости так, что его скорость в момент удара составляет угол 30° с вертикалью, направлена снизу вверх и по величине равна v0. Определить, на каком расстоянии от стенки шарик упадет на горизонтальную плоскость, если коэффициент восстановления при ударе равен х, а высота места удара над горизонтом равна /г.
xv0 (v0 V 3 + /Зуо + ^gh)
Ответ: х =—
40-
Задача 1234. Ядро атома, имеющее массу т и скорость й0, ударяется в другое неподвижное ядро атома, имеющее ту же массу п находящееся в возбужденном состоянии. При ударе выделяется энергия Ей (удар второго рода). Найти скорость обоих ядер после соударения.
,.V уо + 4а — и„Ku; + 4а -I- -уР
Ответ:l’j = —-, Va = -—гдеа=~".
Скорость Р( направлена противоположно ув, скорость й3 совпадает по направлению с пв.
Задача 1235. Неподвижное ядро атома массой М обстреливается частицами массой т, имеющими кинетическую энергию Те. При слиянии частицы с ядром образуется новая частица, однако реакция будет происходить только при условии, что внутренняя энергия, равная потере кинетической энергии при ударе, возрастет не менее чем на величину Ев (порог реакции). Определить, какова должна быть кинетическая энергия Тв.
Ответ: Т6 3=Е 0.
Задача 1236. п материальных точек с массами т^, тг,...,тп находятся на одной прямой. Первой из них сообщается скорость vL вдоль этой прямой. Считая удары точек абсолютно неупругими, определить скорость точек после последнего удара.
Ответ:ип =—-т—.
Задача 1237. Определить, с какой высоты h должен падать без начальной скорости боек молота массой 0,5 т, чтобы при ковке детали ее толщина после каждого удара уменьшалась на 5 мм. Считать, что среднее усилие, потребное для этой деформации детали, равно 980 кн, а коэффициент полезного действия
молота равен 0,8. Найти также коэффициент х восстановления при ударе. Массу наковальни считать весьма большой по сравнению с массой бойка.
Ответ: h = 1,25 л<, х = 0,45.
Задача 1238. Паровая баба двойного действия массой 0,6 m опускается без начальной скорости с высоты 2 ле, испытывая среднюю суммарную силу давления пара, равную 9 кн. Определить перемещение а забиваемой сваи при ударе, считая среднюю силу сопротивления грунта равной 900 кн. Коэффициент полез-
Т
ного действия бабы т} = -?г = 0,6. Удар считать абсолютно неупругим.
Ответ: а ^2 см.
Задача 1239. Два тела, получив встречные ударные импульсы S, и З3, соударяются. Считая удар абсолютно неупругим, прямым и центральным, определить скорости тел после удара, если их общая масса равна М. Трением и сопротивлением пренебречь.
Ответ: vt = и2 = -1 ,
Задача 1240. Два тела I и II с массами тх и т3 соответственно лежат в покое на горизонтальном негладком столе на расстоянии 1Х друг от друга. В некоторый момент к телу / прикладывают ударный импульс S, направленный вдоль прямой, у//// соединяющей центры тяжести тел. Определить, на какое расстояние /2 переместится тело // после удара °о него тела I, если коэффициент восстановления равен х,
а коэффициент трения скольжения равен /. Размерами
тел пРене^Речь-
Ответ: U= „ Л ।—;— ЗуД, .
Задача 1241 (рис. 723). Стержню АВ массой М и д длиной а, подвешенному на шарнире А и занимающему в начальный момент нижнее вертикальное положение, । , сообщена начальная угловая скорость <о0. Проходя через верхнее вертикальное положение, он ударяет
J груз С массой т = -^, подвешенный на невесомом Рис. 723а ,
жестком стержне ОС длиной у, сообщая ему вращательное движение вокруг шарнира О. Считая удар абсолютно неупругим, определить, какова должна быть величина угловой скорости <о0, чтобы стержень ОС сделал четверть оборота.
Ответ: <о0 = "|/ ^ .
Задача 1242. Доска длиной I положена на стол так, что ее конец длиной b свободно свешивается. На конце доски, лежа-
щем на столе, находится груз массой т, а к свободному концу прикладывается ударный импульс S, направленный вертикально вниз. Определить высоту, на которую подскочит груз в результате удара, пренебрегая массой доски и сопротивлением воздуха.
^252
Ответ: H — 2gms у—ьу
Задача 1243. Однородный стержень АВ лежит на гладком горизонтальном столе. В некоторый момент по его концу А перпендикулярно к стержню в плоскости стола производят удар. Где будет находиться мгновенный центр скоростей Р стержня непосредственно после удара? Каково соотношение между величинами скоростей точек А и В в этот момент?
Ответ-. АР = -^АВ; vB — -^.
Задача 1244. Микрометеорит, массой которого можно пренебречь, ударяет в искусственный спутник Земли, имеющий форму тонкостенного однородного шара радиусом R и массой М, центр которого движется со скоростью йь сам шар вращается с угловой скоростью о», вокруг центральной оси, перпендикулярной к скорости. Найти скорость 5$ центра шара, направление оси вращения и угловую скорость <о2 непосредственно после удара, если количество движения микрометеорита равно q и направлено противоположно Рр Считать, что удар приходится в точку пересечения оси вращения с поверхностью шара и является абсолютно неупругим.
Указание. Момент инерции тонкостенного шара относительно 2
диаметра равен ^MR1.
Ответ: y.t = uv — ^\ ша = "|/"<о= -|- ^^ .
Новая ось вращения находится в плоскости, перпендикулярной к направлению движения, и образует со старой осью угол a = arctgl^.
Задача 1245. Кривошипно-шатунный механизм состоит из кривошипа и шатуна, принимаемых за однородные стержни с общей массой т. В момент, когда кривошип находится в покое в крайнем правом положении, на него действует ударный импульс, момент которого относительно оси вращения кривошипа равен М (S). Определить угловую скорость, которую приобретет кривошип сразу после удара, если его длина равна г.
Задача 1246. В кривошипно-шатунном механизме кривошип и шатун представляют собой однородные стержни, длины I и массы т которых одинаковы; масса ползуна равна М. В момент, когда
угол, составленный кривошипом с направляющими ползуна, равен 30°, по ползуну производится удар, имеющий импульс S, направленный противоположно скорости ползуна. Найти угловую скорость кривошипа непосредственно после удара, если в момент удара она равна top
Ответ-. <^ = ^-7^.
Рис. 724Рис. 724Рис. 725Рис. 725Задача 1247 (рис. 724). Стержень АВ длиной / и массой т концом А закреплен при помощи цилиндрического шарнира. Повороту стержня препятствует спиральная пружина с жесткостью с, которая при вертикальном положении стержня не напряжена. В некоторый <у
Рис. 724
Рис. 724
Рис. 725
Рис. 725
Рис 726
момент по стержню в точке В наносится удар, импульс которого перпендикулярен к стержню. Определить величину этого импульса, если известно, что стержень после удара отклонился от вертикали на угол а.
Г 777 '
Ответ: 5=1/ 7
Задача 1248 (рис. 725). Два маятника в виде однородных стержней длиной I и массой т каждый соединены шарнирно таким же стержнем. Когда система находится в равновесии, по шарниру А производится удар, импульс которого 5 направлен вдоль стержня АВ. Определить, на какой угол ф отклонятся стержни.
Ответ: s 1 п = = — 2 2т К10g/ 1
Задача 1249 (рис. 726). Система, состоящая из трех железных масс, подвешенных при помощи нитей и блоков, находится в равновесии. В некоторый момент включается на очень малое 512
время мощный электромагнит Л, помещенный снизу, в резуль- татечего на каждую массу в этот момент действуют импульсы Sb S2, Sa, направленные вертикально вниз. Какую начальную скорость приобретут грузы, если их массы соответственно равны т, = 2Л1; т2 = т3 = УЙ? Массами блоков и нитей пренебречь.
л. Sj — S2—S3 .3S2— Sj — S3
Ответ-. х, = -±-^Ч =ь
• 3S8 St S2
Лз— 4М
ГЛАВА XX
ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
Движение точки переменной массы описывается уравнением И. В. Мещерского:
mg = 7- + ®,(20.1)
где т — масса точки в данный момент;
F— равнодействующая сил, приложенных к точке;
Ф — реактивная сила, определяемая формулой
Ф = ^й;(20.2)
й — относительная скорость присоединяющихся или отделяющихся частиц по отношению к движущейся точке.
Если масса точки убывает вследствие отделения частиц, то — <_0, и, следовательно, реактивная сила направлена при этом в сторону, противоположную относительной скорости отделяемых частиц й.
При увеличении массы точки вследствие присоединения частиц -^->0 и реактивная сила направлена в ту же сторону, что и относительная скорость присоединяющихся частиц.
Если одновременно происходит и присоединение, и отделение частиц, то
m = т0 — mi —|— ^з>
где т6 — начальная масса;
mt— масса частиц, отделенных к данному моменту;
т2 — масса присоединенных частиц (к этому же моменту времени).
В этом случае
5=5,4-®,,(20.3)
где
^ = — -5^—(20.4)
й, и й2 — соответственно относительные скорости отделяющихся и присоединяющихся частиц.
Если внешние силы отсутствуют и точка, получив начальную скорость у0, движется прямолинейно при постоянной относительной скорости отделяющихся частиц й, то величина ее конечной скорости щ определяется по формуле Циолковского:
у, = у04~й Inz,(20.5)
где число Циолковского г равно отношению начальной и конечной масс, т. е.
(20-6)
»1 — То»1 — ТоИз (20.5) следует, что
»1 — То
»1 — То
(20.7)
Задача 1250. Для исследования верхних слоев атмосферы употребляется трехступенчатая ракета. Принимая отношение полезного груза данной ступени к оставшейся массе ракеты без топлива этой ступени s = 1/2 и относительную скорость истечения газов и = 2500 м)сек, найти полную начальную массу ракеты, если конечная скорость ее должна быть у$ = 8000 м^сек, а масса аппаратуры т = 60 кг. Сопротивлением воздуха и действием силы тяжести пренебречь.
Указание. Под полезным грузом данной ступени понимается начальная масса всех последующих ступеней, а для последней ступени — масса спутника.
Решение. Введем следующие обозначения:
т —масса аппаратуры (полезный груз третьей ступени);
та — масса ракеты без первой и второй ступеней н без топлива третьей ступени;
т30— начальная масса третьей ступени с аппаратурой (полезный груз второй ступени);
тг — масса ракеты без первой ступени и без топлива второй ступени;
тм — сумма начальных масс второй и третьей ступени и аппаратуры (полезный груз первой ступени);
т, — масса ракеты без топлива первой ступени;
тм— начальная масса ракеты;
и3 — конечная скорость третьей ступени;
иг — скорость, достигнутая второй ступенью;
У] —скорость, достигнутая первой ступенью.
В соответствии с данными задачи имеем
Согласно определению числа Циолковского,
»h1 .'«10Z, ’»h1 .'«10Z, ’т2'«20т2'«201 .z2 ’1 .z2 ’т з^0 ^зт з^0 ^з(Ь)(Ь)
»h1 .
'«10Z, ’
»h1 .
'«10Z, ’
т2
'«20
т2
'«20
1 .
z2 ’
1 .
z2 ’
т з
^0 ^з
т з
^0 ^з
(Ь)
(Ь)
где 2Ь Zj, z3 — соответственно числа Циолковского для первой, второй и третьей ступеней.
отсюдаотсюда№10№10mztz2Z3Е3mztz2Z3Е3(с)(с)
отсюда
отсюда
№10
№10
mztz2Z3
Е3
mztz2Z3
Е3
(с)
(с)
Перемножая все равенства (а) и (Ь), получим
тл Е3
/Лю^i^a^s
Поскольку конечная скорость первой ступени является начальной скоростью для второй, а конечная скорость второй ступени — начальной скоростью для третьей, то по (20.7) имеем
7Цv» — 7'1Г$ — D>
zt=e " ; z2 = e “; za = e u .
Согласно (с) и (d),
eumto = m-r.
Подставив в правую часть этого равенства численные данные, получим
№18 = 1 1 ,8 /77.
Задача 1251. Космическая четырехступенчатая ракета, предназначенная для исследования ионосферы, стартует с Земли вертикально. Необходимая конечная скорость и4=11500 м[сек. Считая полезный груз четвертой ступени т=100кг, относительную скорость и истечения газов во всех ступенях одинаковой и равной 2500 м{сек, найти начальную массу ракеты, если отношение массы полезного груза каждой ступени к массе полного груза е= у (см. предыдущую задачу), а время горения топлива во всех ступенях /=102 сек. Сопротивлением воздуха, изменением силы тяжести с изменением высоты и вращением Земли пренебречь. Найти также массу топлива, если числа Циолковского для всех ступеней одинаковы.
Решение. Вводя те же обозначения, что и в предыдущей задаче, имеем
ттю тх(1 т20 т, 1 _
т4 ’ т, °’ т2 ’«1/»10 zt ’
та 1 .т> 1 .т, 1
"т^Vmi0z2 ’m10zL '10
Рассмотрим движение одной из ступеней. Проектируя уравнение /Мещерского на ось, направленную вертикально вверх, получим
откудаоткудаdu = — и ^gdt.du = — и ^gdt.
откуда
откуда
du = — и ^gdt.
du = — и ^gdt.
Интегрируя от te до t, имеем
V — V6 = — U In-™ —gr (< — /„).
Вводя число Циолковского г и время горения т, получим у — у0 = и In г — gt, отсюда и — 'л» + gx
г — е и .(Ц
Перемножая эти числа для всех ступеней, найдем
Pi + g (Т1 4 Ч +т8 +-t4)Р4 + gt
г1?2г3г4 = е”"е “ ,(g)
где t—полное время горения топлива во всех ступенях.
Перемножая выражения (е), получимт е*/Л10Z1232SZ1
Отсюда согласно (g) найдем Pj + gt = -т- е “ .
Подставляя численные значения, имеем т10 = 237,5 т.
Масса всего топлива равна сумме масс топлива во всех ступенях, следовательно,
ттопл — ?Пу> — ml Ч~ ^20 — Wj ~F m30 — ^3 H~ mio — ^4*
Так как число г для всех ступеней одно и то же, то из выражений (е) имеем:
1Z „Z.Z
m4 = ™m; mto =т =--т; т^ — -^ т=^т;
z^Zt z2z.z. z2
тзд^-у-т^-^т; т4=^т=-Гт;
ZeZ.Z.ZsZYZ.,Z.Z$
тм = m = ^m; mY = m = m;
ZXZ»ZSZX z’mio= -tn.
Таким образом, тТОЯд = 7(г— l)m + ^-(2— l)m+™ (г-1)т4-^ ^—\^m =
Согласно (g), при г1 = 23 = 2:1 = г4 —z имеем г* = е “ или ^'4 — gt
г — е 4" .
Подставив заданные величины, получим z=3,490, следовательно,
тТ011л = 197,6 т.
Задача 1252 (рис. 727). Как должна изменяться масса тела, для того чтобы оно двигалось вертикально вверх с постоянной скоростью 0О, если относительная скорость истечения газов постоянна и равна «. Учесть изменение с высотой силы притяжения Земли (радиус R). Силой сопротивления воздуха пренебречь, начальная масса тела равна тв.
Решение. Поместим начало координат в центре Земли. Сила притяжения к Земле п Мт
Рис. 727Рис. 727где -[ —всемирная постоянная тяготения;
Рис. 727
Рис. 727
М — масса Земли;
т —масса тела,
z —расстояние от тела до центра Земли.
При т = т8 F = mag, где g— ускорение свободно
падающего Отсюдападающего Отсюдатела на поверхности Земли, имеем‘
падающего Отсюда
падающего Отсюда
Мпи m»g—
и, следовательно,
Таким образом,
Т/И = gR\р gR2m2=Т/И = gR\р gR2m2=Воспользуемся (20.1) и (20.2):
Т/И = gR\
р gR2m
2=
Т/И = gR\
р gR2m
2=
do Е , dm -tn —г- = г -н и.dt 1 dt
Проектируя на ось г это векторное уравнение и учитывая, что ™ = 0, a S и F направлены вниз, получим
n gR2m dm
° =u"dT
илн
dm gR2mdtuza *
Умножая обе части этого уравнения на dz и разделяя переменные, найдем
dmgR1 dz
и = °
т и
dz так как dt
Интегрируя, имеем
ImgR» 1 и
и In m = , m0 U z |r ’
откуда
g№ p i \m = moe “ь U r).
Таков закон изменения массы с высотой.
Если учесть, что z = 7?-]- vt, то получим закон изменения массы в функции времени:
т = т6е uR(R+«t^ .
Задача 1253. По какому закону должна изменяться масса тела, чтобы оно двигалось горизонтально с постоянным ускорением ®, если относительная скорость истечения газов й = const, а начальная масса равна т0? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: т = т^е " .
Задача 1254. Решить предыдущую задачу при вертикальном подъеме тела в однородном поле силы тяжести, т. е. не учитывая изменения силы тяжести с высотой.
Ответ: т = тйе " .
Задача 1255. Ракета движется вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением ® = 3g\ Определить, через сколько времени масса ракеты уменьшится вдвое, если относительная скорость истечения газов равна 2000 М:сек.
Ответ; через 35,4 сек.
Задача 1256. Ракета массой 12 700 кг выпущена при помощи вертикальной катапульты. В момент остановки ракеты начинается истечение газов, происходящее с относительной скоростью, равной 2000 м)сек. Сколько топлива потребуется для того, чтобы ракета висела в пространстве в течение 10 сек?
Ответ: 607 кг.
Задача 1257. Воображаемая ракета состоит из двух ступеней. Число Циолковского для второй ступени za = 3,3, а относительные скорости истечения газов из первой и второй ступеней соответственно равны и, = 2000 м]сек, иа = 2400 лк сек. Определить общую массу топлива, необходимого для обеспечения скорости второй ступени и3 = 5060 мксек, если масса корпуса второй ступени вместе с научными приборами равна М, а масса
корпуса первой ступени Л41 = 2М. Сопротивлением среды и влиянием силы тяжести пренебречь: начальную скорость ракеты при
нять равной нулю. Ответ: т = 12,9 М.
Задача 1528 (рис. 728). В трехступенчатой ракете массы корпусов соответствующих ступеней равны Л4Ь Л1а = 0,5Л1ь
Л43 = 0,5М4, аЛ43 = 0,5М4, аРис. 728Рис. 728числа Циолковского zv и г^ для первой и в горой ступеней одинаковы и равны 4. Определить общую массу т топлива, необходимого для обеспечения скорости третьей ступени и3 = 8 км[сек, если относительная скорость истечения газов в каждой ступени и~ 2000 м^сек. Сопротивлением воздуха и влиянием силы тяжести пренебречь; начальную скорость ракеты считать равной нулю.
Л43 = 0,5М4, а
Л43 = 0,5М4, а
Рис. 728
Рис. 728
Ответ: m = 23,9 М,.
Задача 1259. Сохранив условия задачи 1250 и считая, что первая ступень достигает скорости г.4 = 2000 м!сек, вторая — иг = 5000 м^сек и третья — окончательной скорости и4 = 8000 м^сек, найти общую массу топлива.
Ответ: общая масса топлива равна 8,62 т.
Задача 1260. На активном участке траектории ракеты расходуется большое количество топлива на преодоление силы тяжести. Для исключения влияния силы тяжести в некоторых фантастиче
ских проектах предложено разгон одноступенчатой ракеты осуществлять по горизонтальным направляющим. Каковы должны быть длина L этих направляющих и число Циолковского, для того чтобы сообщить ракете параболическую скорость о = 11,2 км/сек, если она при разгоне имеет постоянное ускорение ш=100 л«,сек2? Скорость истечения газов считать постоянной и равной 2000 м/сек. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Землю считать неподвижной.
Ответ: £ = 627 км; г = е5'6^270.
Задача 1261. Ракета запущена с поверхности Земли верти
кально вверх из состояния покоя так, что ее масса изменяется по закону т = т6е~at, где а — постоянная. Скорость истечения газов постоянна и равна и. Определить зависимость скорости от расстояния х между ракетой и центром Земли, учитывая изменение силы притяжения с изменением высоты и пренебрегая сопротивлением воздуха. Радиус Земли равен R.
Ответ: и = "|/ 2ш (х — R) -4- ZgR* ^ —- ^ .
Задача 1262. По одному из проектов, межпланетный пассажирский корабль с атомным двигателем стартует вертикально. Считая конечную массу корабля равной 10 т, скорость истечения газов равной 100 км/сек, найти начальную массу корабля, если
в целях безопасности пассажиров его ускорение во все время старта поддерживается ,равным 12,8 м)сек*, а конечная скорость равна 12,8 км [сек . Учесть изменение силы тяжести с изменением высоты (радиус Земли равен 6400 км\ Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: начальная масса равна 12,1 т.
Задача 1263. Решить предыдущую задачу, не учитывая изменения силы тяжести с изменением высоты, т. е. считая поле тяготения однородным.
Ответ: начальная масса равна 12,54 т.
Задача 1264. Считая, что в условиях предыдущей задачи корабль стартует без людей, благодаря чему допускаемое ускорение увеличивается в 25 раз, найти начальную массу корабля.
Ответ: начальная масса 11,41 т.
Задача 1265. Материальная точка, масса которой изменяется вследствие отделения от нее материальных частиц, движется в безвоздушном пространстве без воздействия внешних сил. Считая, что частицы отделяются с постоянной скоростью й, определить скорость точки в момент t и путь, пройденный ею с начала движения, если масса отделяющихся частиц в единицу времени постоянна и равна q. Начальная масса равна т0, а начальная скорость Уо направлена противоположно й.
Ответ: у = у0 + ы In —-° , ;
" 1тй — qt ’
S = (и + УО) t -]П
qm6 — qt
Задача 1266. Ракета, масса которой изменяется по закону m = m6e-at, где т6 и а — постоянные, движется вертикально вверх в однородном поле силы тяжести. Определить полную высоту подъема ракеты Н, если относительная скорость отделяющихся частиц равна и и направлена вниз, масса запасенного горючего равна т^, а начальная скорость уо = О. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать au^g.
Ответ: Н — In5— .
т0 — m, J v g а )
Задача 1267. Используя условия предыдущей задачи, найти, при каком значении коэффициента а длина Нх активного участка траектории ракеты будет наибольшей и определить эту длину.
Ответ: a = -g • Нх =Г In——— ] .
Задача 1268. Свободная материальная точка переменной массы движется вследствие отделения частиц так, что относительная скорость отделяемых частиц имеет постоянную величину и и постоянное направление. Определить, по какому закону должна изменяться масса точки и каким должно быть направление от- носительндй скорости, чтобы точка двигалась с постоянным ус-
корением по прямой, составляющей угол а с горизонтом. Поле силы тяжести считать однородным.
aw/ cos a
Ответ: масса должна изменяться по закону т = т6е и , где тй— начальная масса;
ааg + 1» Sin a\2 I «1 COS a /g + 1» Sin a\2 I «1 COS a /
а
а
g + 1» Sin a\2 I «1 COS a /
g + 1» Sin a\2 I «1 COS a /
Относительная скорость и должна составлять с горизонтом угол
8 = arccos—.
га
Задача 1269. Свободная материальная точка, масса которой изменяется вследствие отделения от нее материальных частиц, движется в однородном поле силы тяжести согласно уравнениям
6 , у— 2 , z — 2 .
Как должна изменяться масса точки со временем и каким должно быть направление реактивной силы, чтобы обеспечить заданное движение точки, если скорость отделяющихся частиц и = const?
Ответ: т = тае 3“ ;
cos (Ф,; cos (Ф, tA =•
/118/118 ’
cos (Ф, z) =.
/118
Задача 1270. Ящик, опускаясь по шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, наполняется песчинками, имеющими абсолютную скорость, равную нулю. По какому закону должна изменяться масса ящика для того, чтобы он двигался равномерно со скоростью и, если коэффициент трения / = const?
g (sin В — / cos Р) /
Ответ: т = тйе у
Задача 1271. По шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол р с горизонтом, спускается тело без начальной скорости. Масса тела уменьшается по закону m = m0(l — а/ где a — постоянная величина. Определить скорость тела в момент ^<4-, если абсолютная скорость отделяющихся частиц равна нулю. Коэффициент трения равен Д причем tg^^f.
at
Ответ: y = g(sinp— /cos^) X—at '
Задача 1272. По какому закону должна изменяться масса горизонтально движущегося ракетного автомобиля, чтобы^движение
происходило из состояния покоя с постоянным ускорением ш, если на него действует сила сопротивления, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности й)? Скорость истечения газов постоянна и равна и, а начальная масса автомобиля равна т».
wt
Ответ: т = \тй— е —w-*
Задача 1273. Ракета движется вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускорением w. Найти разницу в расходах массы топлива за одно и то же время при наличии и отсутствии сопротивления, если сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости. Относительная скорость истечения газов постоянна и равна и. Начальная скорость ракеты равна нулю.
„. kwu_ 5^f£( kwt
(W + gl LJ (W + g)
Задача 1274. Определить закон изменения массы ракеты за счет отделения от нее материальных частиц с постоянной относительной скоростью и, если она движется с постоянным ускорением w в сопротивляющейся среде. Силу сопротивления среды принять пропорциональной квадрату скорости (коэффициент пропорциональности равен К). Считать, что, кроме реактивной силы и силы сопротивления, на ракету никакие другие силы не действуют. Начальная скорость ракеты уо = О.
„/. 2 киа \ ~ v ь п । о 2 киа
Ответ. т = [та не “ — kwr -4- 2 kut \1 от /1от
движение ракеты возможно лишь в течение определенного промежутка времени, так как при больших t величина т становится отрицательной, что невозможно.
Задача 1275. Ракетный автомобиль движется по горизонтальному пути. Считая суммарное сопротивление движению пропорциональным нормальному давлению (коэффициент пропорциональности равен f), найти: 1) расход горючего, необходимый для того, чтобы при постоянном ускорении we автомобиль мог достигнуть скорости уь если начальная скорость была равна нулю; 2) расход горючего, необходимый для того, чтобы, двигаясь затем равномерно с этой скоростью п15 автомобиль мог пройти путь s. Начальная масса автомобиля равна т6, скорость истечения газов u=const. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 1) Ьтх=тй\Д— е ®»/];
Задача 1276. В сильный снегопад от железнодорожного состава, идущего со скоростью у0, оторвалась платформа. Считая, что на платформу выпадает за единицу времени q кг снега, определить время, прошедшее до полной остановки платформы, если ее начальная масса равна т0, а сила сопротивления движению равна fP, где P = mg— вес платформы в данный момент.
Ответ:
/gq
Задача 1277. На судне установлен реактивный двигатель, выбрасывающий q единиц массы в 1 сек с относительной скоростью и. Сила сопротивления воды F = ku\ Найти скорость судна через / сек после начала движения из состояния покоя, если его начальная масса вместе с горючим равна Мй. Движение считать прямолинейным.
26а
Ответ: v — a-—2— ■ 26"> где а— V к
(_М<>_\Т \M0-qt)
Задача 1278. Решить предыдущую задачу при условии, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, т. е. F = kv. к
Ответ: v =1 —9 I.
Задача 1279. Самолет с воздушно-реактивным двигателем совершает прямолинейный горизонтальный полет. Определить скорость самолета как функцию времени, считая, что масса q отбрасываемых частиц в единицу времени равна массе присоединяющихся частиц воздуха (т. е. пренебрегая массой впрыскиваемого топлива). Принять абсолютную скорость присоединяющихся частиц воздуха равной нулю, а относительную скорость отбрасываемых частиц— постоянной и равной и. Начальная масса самолета т0. Силами сопротивления пренебречь.
Ответ: и = и (1—е m»Y
Задача 1280. Считать в предыдущей задаче двигатель прямоточным и принять в связи с этим, что относительная скорость отбрасываемых частиц и=с-^и, где у — скорость потока воздуха в двигателе, равная скорости самолета, a c = const — добавочная скорость, создаваемая за счет сгорания топлива. Определить скорость самолета как функцию времени.
Ответ: и = -^-.
т0
Задача 1281. Точка пере'менной массы движется прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости. Относительная скорость
отделяющихся частиц пропорциональна израсходованной в данный момент массе (коэффициент пропорциональности ку Определить скорость точки в моменты, когда ее общая масса уменьшится в два и в четыре раза по сравнению с начальной массой, равной mn.
Ответ: 1) у = 0,193 кт6; 2) и = 0,636 кт6.
Задача 1282. Тепло переменной массы движется поступательно и прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости и состоит из неизменяемого корпуса массой т^ и отделяемой массы, равной 4 mi. Относительная скорость отделяемых частиц в каждый момент времени прямо пропорциональна количеству оставшейся отделяемой массы (коэффициент пропорциональности ку Определить скорость тела в момент, когда его полная масса будет равна половине первоначальной.
Ответ: и=\,81ктх.
Задача 1283. Ракета состоит из неизменяемого корпуса массой Щ] и отделяемой массы, равной в начальный момент 5 ть Относительная скорость отделяемых частиц в каждый момент времени прямо пропорциональна количеству оставшейся отделяемой массы (коэффициент пропорциональности ку Определить, через какое время масса ракеты уменьшится в два раза по сравнению с начальной, если ракета движется в однородном поле силы тяжести по вертикали вверх с постоянным ускорением w = 3g. Какова будет скорость ракеты в этот момент?"
Ответ: / = 0,576 -^-; и =1,728 kmt.
Задача 1284. Падение капли воды происходит в неподвижной среде без сопротивления. Скорость увеличения массы капли вследствие конденсации паров подчиняется закону ^- = kr, где к — постоянное число, г — радиус капли. Определить закон изменения величины скорости капли в функции ее радиуса, если в начальный момент величина ее скорости равна у0, начальный радиус равен г0, а начальная масса равна т6.
Ответ: и = -Ц «о г о3 + ^- (г6 — г08)].
Задача 1285. Решить предыдущую задачу, считая, что скорость увеличения массы пропорциональна площади поверхности ' dm , „ капли, т. е. ——= кт. at
Ответ: у =у, [ у0 г03 -ф- ^^ ^ _ r(4)j.
Задача 1286. Кольцо радиусом R с равномерно распределенными по внешнему ободу отверстиями заполнено жидкостью. Оно вращается из состояния покоя под действием постоянного момента Л4г вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии, в результате чего жидкость радиально выбрасывается из отверстий. Момент инерции кольца с жидкостью в начальный
момент равен /0. Считая секундный расход массы постоянным и равным р., определить закон изменения угловой скорости кольца, пренебрегая его поперечными размерами. Перейти к пределу при р. -> 0, т. е. пренебречь изменением массы.
Ответ: Ш = ^1п ^^ .
При р->0—что и должно быть для тела постоянной
массы.
Задача 1287. Межпланетная станция имеет форму кольца с внешним радиусом R. Для создания искусственного поля тяжести станция приводится во вращение вокруг оси симметрии. С этой целью на внешнем ободе кольца на противоположных концах диаметра установлены два реактивных двигателя. Относительная скорость й истечения газов в двигателе направлена по касательной к кольцу и постоянна по величине. Считая, что общий секундный расход массы р = const, определить, через сколько времени t тела на станции преобретут искусственный вес, равный земному, если начальный момент инерции станции вместе с горючим равен /0.*
Ответ: / = -^-(1—е “ ).
Задача 1288. Материальная точка М, находящаяся под действием квазиупругой силы, совершает движение вдоль оси Ох. Определить уравнение движения этой точки, если ее масса вследствие отделения от нее материальных частиц с относительной скоростью, равной нулю, изменяется по закону m = m0(l—.а/), где т0 и а — постоянные величины. Считать, что при / = 0, начальная скорость точки М равна нулю, а х = х6.
Ответ: x = -bVs х0 {Уо (26) /1 (26)^s) — /0 (26) У t (26}^s )}, где 6 = ^-1/"----, s=l—и^;
/0, Л. ^о> ^i — функции Бесселя;
с — квазиупругий коэффициент.
Задача 1289. Решить предыдущую задачу при условии, что масса точки М изменяется по закону m = mae~at , где т0 и а— постоянные величины.
Ответ:
/е, Л. r„ Yi — функции Бесселя;
с — квазиупругий коэффициент.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Международная система единиц (СИ) и соотношения единиц международной и технической систем
№ n. п.№ n. п.1Массакилограмм (кг)тонна (т)1 т= 1000 кг грамм (г)1 г = 0,001 кг2СилаНЬЮТОН 00килоньютон (кн)1 кя = 1000 я3Работаджоуль , (дж)килоджоуль (кдж)1 кдж — 1000 дж ватт-час (вт • ч)1 вт ■ ч = 3,6 ■ Ю3 дж4Мощностьватт (вт)киловатт (кет)1 кет = 1000 вт5Давлениен^м2бар (бар)1 бар = 105 н[м2 100 khIm1Массакилограмм (кг)тонна (т)1 т= 1000 кг грамм (г)1 г = 0,001 кг2СилаНЬЮТОН 00килоньютон (кн)1 кя = 1000 я3Работаджоуль , (дж)килоджоуль (кдж)1 кдж — 1000 дж ватт-час (вт • ч)1 вт ■ ч = 3,6 ■ Ю3 дж4Мощностьватт (вт)киловатт (кет)1 кет = 1000 вт5Давлениен^м2бар (бар)1 бар = 105 н[м2 100 khImюю„Единицапанмено-измеренияванне в системе величиныой„Единицапанмено-измеренияванне в системе величиныойКратные и дольные единицыКратные и дольные единицы
№ n. п.
№ n. п.
1
Масса
килограмм (кг)
тонна (т)
1 т= 1000 кг грамм (г)
1 г = 0,001 кг
2
Сила
НЬЮТОН 00
килоньютон (кн)
1 кя = 1000 я
3
Работа
джоуль , (дж)
килоджоуль (кдж)
1 кдж — 1000 дж ватт-час (вт • ч)
1 вт ■ ч = 3,6 ■ Ю3 дж
4
Мощность
ватт (вт)
киловатт (кет)
1 кет = 1000 вт
5
Давление
н^м2
бар (бар)
1 бар = 105 н[м2 100 khIm
1
Масса
килограмм (кг)
тонна (т)
1 т= 1000 кг грамм (г)
1 г = 0,001 кг
2
Сила
НЬЮТОН 00
килоньютон (кн)
1 кя = 1000 я
3
Работа
джоуль , (дж)
килоджоуль (кдж)
1 кдж — 1000 дж ватт-час (вт • ч)
1 вт ■ ч = 3,6 ■ Ю3 дж
4
Мощность
ватт (вт)
киловатт (кет)
1 кет = 1000 вт
5
Давление
н^м2
бар (бар)
1 бар = 105 н[м2 100 khIm
ю
ю
„Единица
панмено-измерения
ванне в системе величиныой
„Единица
панмено-измерения
ванне в системе величиныой
Кратные и дольные единицы
Кратные и дольные единицы
Соотношения единиц
1 кг = 0,102 т. е. м.
1 т. е. м. = 9,81 кг
1 к = 0,102 кг
1 кГ = 9,81 н
1 дж = 0,102 кГм
1 кГм = 9,81 дж
1 вт = 0,102 кГм$сек == 0,00136 л. с.
1 кГя!сек = 9,81 вт,
1 л. с. = 735,5 вт
Определение основной единицы
ньютон — сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение 1 я1сек8
джоуль — работа постоянной силы в 1 я на перемещении в 1 .и, направление которого совпадает с направлением силы
ватт — мощность, при которой за 1 сек совершается работа в 1 дж
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Статика твердого тела
Общие методические указания к решению задач статики на равновесие 5
Глава 1. Силы, сходящиеся в одной точке 8
Плоская система сходящихся сил . .8
Пространственная система сходящихся сил 26
Глава П. Силы, расположенные в одной плоскости 38
Плоская система параллельных сил 39
Плоская система как угодно расположенных сил 48
Расчет плоских ферм 85
Глава 111. Силы, как угодно расположенные в пространстве 92
Г л а в а IV. Центр тяжести122
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Кинематика
Глава V. Кинематика точки 134
Координатный и векторный способы задания движения точки . 134
Естественный способ задания движения точки166
Определение радиуса кривизны траектории179
Глава VI. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси186
Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Равномерное и равнопеременное вращения тела186
Скорости и ускорения точек тела193
Глава VII. Плоскопараллельное движение твердого тела200
Уравнения движения и скорости точек плоской фш уры200
Ускорения точек плоской фигуры212
Графическое определение скоростей и ускорений239
Г лае а VIII. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки . . . . 247
Глава IX. Сложное движение точки и тела257
Скорость точки в сложном движении•257
Ускорение точки в сложном движении269
Сложное вращение283
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯДинамика
Глава X. Основные задачи динамики точки291
Первая задача динамики точки291
Вторая задача динамики точки300
Глава XI. Колебания материальной точки321
Собственные колебания321
Вынужденные колебания329
Глава XII. Общие теоремы динамики336
Теоремы о движении центра инерции и об изменении количества движения336
Теорема об изменении кинетическою момента. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела346
Теорема об изменении кинетической энергии358
Движение материальной точки в центральном силовом поле . . 378
Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости . 382
Глава XIII. Метод кинетостатики для материальной системы. Давление на ось вращающегося тела387
Метод кинетостатики для системы387
Давление на ось вращающегося тела397
Глава XIV. Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики системы405
Принцип возможных перемещений405
Общее уравнение динамики системы425
ГлаваXV. Уравнение Лагранжа второго рода 437
Г лa J3 аXVI. Малые колебания механической системы460
Малые колебания системы с одной степенью свободы460
Малые колебания консервативной системы с несколькими степенями свободы474
Глава XVII. Динамика относительного движения482
Глава XVIII. Приближеннаятеория гироскопов496
Глава XIX. Теория удара503
Глава XX. Динамика точкипеременной массы514
Приложение527
Н. А. Бражниченко, В. Л. Кан,Б. П. Минцберг, В. И. Морозов,Г. Н. Ушакова
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Художественный редактор Н К. ГуторовРедактор Ю. Ф. БочароваХудожник В. К. ВасильевТехнический редактор Э М. Чижевский' Корректор Л И. Гурычева
Т-02827. Сдано в набор 8/1X66'г. Поди,к печати 10/11-67 г Формат бОХЭО’М. Объем33,25 печ. л. Уч -изд, л. 27,3. Изд.№ ОТ-8/6 5. Тираж 25 000 экз. Цена 86 коп.Зак. № 581.
Тематический план издательства«Высшая школа» (вузы и техникумы)на 1967. Позиция № 72
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14.
Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Ле-нинградская типография № 1 «ПечатныйДвор» имени А. М. Горького Главлоли-графпрома Комитета по печати при СоветеМинистров СССР, г. Ленинград, Гат^чинская ул.. 26.
*) Этот же результат имеет место для любой пирамиды, т. е. центр тяжести пирамиды находится на расстоянии, равном 1/4 высоты пирамиды, от соответствующего основания
5 Н, А. Бражниченко и др
УЕ = VF= V I1 + П2 tg2 V-
Задача 354 (рис. 263). Проектор Делоне состоит из двух шарнирно соединенных между собой стержней АВ и ВС длиной /
каждый, с которыми шарнирно соединены два других стержня ED и DF так, что фигура BEDF образует ромб со стороной а. Опре-
* СР/50
Задача 836. Горизонтальный поршневой двигатель установлен без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рис. 452).
Кривошип ОД длиной г вращается с постоянной угловой скоростью со. Принимая длину шатуна равной длине кривошипа и считая, что массы движущихся частей приведены к двум массам тх и та, сосредото- j? ченным в пальце кривошипа и в центре поршня, определить горизонтальное движение корпуса двигателя, если его масса равна т3. В началь-
ный момент поршень занимал крайнее левое положение, а корпус находился в покое.
Решение. Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из трех_ масс т3, тг, т3. На нее действуют внешние силы:
Рь Ра, Рз — силы тяжести;
N — нормальная реакция гладкого фундамента.
Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса, воспользуемся первым уравнением (12.4):
МХС = ^\
Пусть хь х2, х3 — абсциссы масс системы в текущий момент Л Тогда абсцисса центра масс системы будет
М*
Выразим все абсциссы через искомую х3, имеем хх = х3 -ф- / — г cos wt, I хг = х3-'г1 — 2r cos od, J
где / — const— разность абсцисс точки О и массы т3. 338
*) В задачах 1177—1179 принять, что колебания почвы происходят по закону з = a sin pt. Приложив к инертной массе силу инерции Ms’, считать далее, что основание прибора неподвижно.
Н. А. БРАЖНИЧЕНКО, В. Л. КАН,Б. Л. МИНЦБЕРГ, В. И. МОРОЗОВ,Г. Н. УШАКОВА
Сборник задачпо теоретическоймеханике
Издание второе,переработанное и дополненное
ДопущеноМинистерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля студентов высших техническихучебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
М о с к в а — 1967
УДК 531 ( 531 С—232
Рецензенткафедра теоретической механики МВТУим. Баумана.
2-4-272-67