ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика в Китае развивалась с глубокой древности более или менее самостоятельно и достигла своего наибольшего развития к XIV в. н. э. Далее в Китай проникает западная математика, принесенная в основном европейскими миссионерами, и^это уже другая эпоха в истории науки Китая. Древняя традиция в математике была таким образом прервана и утеряна. Многие открытия, сделанные раньше, чем в Европе, были забыты, и их вновь повторили западные ученые. Китайские математики, обрабатывая древние и средневековые тексты, сами обнаруживали неожиданно для себя удивительные результаты, полученные их предками.

В этой книге основное внимание уделено математике древнего Китая в период со II в. до н. э. по VII в. н. э. Менее подробно рассмотрены труды китайских математиков XIII——XIV вв. Это связано с тем, что материал изложен непосредственно по сохранившимся источникам, главным образом математическому «Деся- тикнижью», которое автор данной книги переводил и исследовал в течение ряда лет. История математики древнего Китая представлена здесь в виде отдельных глав, каждая из которых является, по существу, независимым друг от друга очерком о наиболее характерной проблеме математики как древнего Китая, так и других древних цивилизаций: Египта, Вавилона, Греции и Индии. Проблемы эти «начальные», свойственные развитию математики с самых древних времен, они касаются развития понятия числа, фигуры и ее площади, тела и его объема, формирования простейших теоретико-числовых понятий среднего арифметического, общего наибольшего делителя, наименьшего общего^фатного, истории теоремы Пифагора и т. д. Мысль написать ^jiyio книгу принадлежала учителю автора в области китайского языка, советскому китаеведу Чжду Сун-юаню, памяти которого автор считает своим долгом посвятить этот труд. Автор глубоко благодарен своему учителю в области истории матема-

тики И. Г. Башмаковой, под влиянием идей которой он постоянно находится. Искреннюю признательность автор приносит А. Н. Колмогорову и А. П. Юшкевичу, побудившим автора заняться в свое время столь увлекательным исследованием. Автор всегда ценил чуткую внимательность С. А. Яновской, проявленную ею в особенно трудном начале этой работы. Автор книги благодарит Б. А. Розенфельда за большую редакторскую работу.

В обсуждении книги принимали участие сотрудники Института истории естествознания и техники Академии наук СССР и участники научно-исследовательского семинара по истории математики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, ——всем им и всем, кто способствовал выходу в свет этой книги, автор приносит искреннюю благодарность.

3. Березкина

Часть первая

ИСТОЧНИКИ

До нас дошел ряд китайских текстов по математике, принадлежащих древним и средневековым авторам. Они резко делятся на две группы не только по языку источников, но и по существу своему. К первой группе относятся в основном анонимные трактаты-руководства, которые были обработаны к VI—VII вв. н. э. и изданы в виде сборника «Десять классических трактатов по математике» (далее всюду — математическое «Десятикнижье» или просто «Десятикнижье») [100]. Главное сочинение «Десяти- книжья», древняя классическая «Математика в девяти книгах», составленная примерно во II в. до н. э., сама является обработкой более древних текстов эпохи Цинь и даже Чжоу (XII——III вв. до н. э.) [50, 156]. Это самый ранний дошедший до нас собственно математический текст, хотя первый в «Десятикнижье» «Математический трактат о чжоу-бй» (чжоу-би ——гномон) составлен раньше «Математики в девяти книгах». Он содержит астрономические рассуждения, но в некоторой своей части касается математических вопросов, например теоремы Пифагора. Другие трактаты «Десятикнижья» принадлежат авторам III——VI вв. н. э., о которых известны только имена (Сунь-цзы, Чжан Цю- цзянь, Сяхоу Ян), или комментаторам и составителям «Десяти- книжья» (Лю Хузй, Чжэнь Луань, Ли Чунь-фэн) или являются анонимными [17, 22, 49, 51, 52]. Все они тесно связаны с «Математикой в девяти книгах», разъясняют и развивают ее идеи и методы.

Ко второй группе источников относятся более поздние сочинения; они индивидуальны: это книги Цинь Цзю-шао, Чжу Ши-цзе, Ли Е, Ян Хуэя и других математиков периода расцвета математической "мысли в 蕈 Китае1 XIII-—XIV вв., составляющих китайскую алгебраическую школу, основным достижением которой было получение численного метода решения уравнений высших степеней [139, 142].— 产

Отсутствие источников "в период VII—XII вв. не дает возможности проследить возникновение этой китайской алгебраической школы. Тем не менее, опираясь на традиции в китайской математической литературе, сохранявшиеся с древних времен (имелись специфические задачи, которыми занимались как древние, так и средневековые ученые), а для более раннего периода привлекая древнеегипетские и древневавилонские тексты, ио

своему стилю весьма близкие к древнекитайским, удается составить довольно стройную картину развития древних математических методов в Китае на протяжении почти двух тысячелетий, от эпохи Конфуция (VI в. до н. э.) вплоть до XIV столетия.

Глава первая

ВВЕДЕНИЕ

Обзор литературы

Интерес к математике Китая у европейцев проявился еще в статье Лейбница 1703 г., где со слов одного миссионера он толковал «триграммы» (см. ниже с. 16 и сноску на с. 16) как цифры двоичной арифметики, утверждая, что в Китае она существовала. Однако это не вполне верно. Во всех существующих древнекитайских текстах по математике употребляется только десятичная система счисления.

В XIX столетии, как было отмечено Дж. Нидемом в [150, с. 1 ], существовали две крайние точки зрения: согласно одной, весьма популярной еще в XVIII в., развитие математики и других наук в Китае считалось весьма ранним; другая, напротив, отрицала какое-либо самостоятельное развитие науки в Китае. Представителем первой точки зрения был Ж. Б. Био [122], второй —— Л. Седийо [162]. В настоящее время обе эти точки зрения отвергнуты, как несостоятельные.

Литература по истории предмета обширна, но большая ее часть написана на китайском и японском языках, потому малодоступна европейцам.

В фундаментальном труде М. Кантора по истории математики [125] 1880 г. сведения о китайской математике устарели. Они базировались на работах Э. Био [122], а также на статье К. Л. Бернацкого [121 ], которая является переводом работы А. Вайли 1852 г. [179]. Если бы перевод К. Л. Бернацкого был более точным, М. Кантор избежал бы многих ошибок. Сами же работы А. Вайли, особенно его глоссарий астрономических и математических терминов, не потеряли своего значения и в наогоящее время.

Среди русских синологов XIX в. историей китайской математики и астрономии интересовались И. А. Гошкевич [31 ] и его последователь К. А. Скачков, занимавшийся исключительно астрономией. Сведения о китайской математике содержались также в книге М. Е. Ващенко-Захарченко [24], являющейся в этой части переложением книги М. Кантора, но с чрезвычайно искаженной транскрипцией. П

Начало XX в. ознаменовалось появлением известных трудов Ф. Кэджори [1231, Д. Е. Смита [164], Дж. Лориа [143] и

,Л. Карпинского [1361, в Которых китайская математика представлена уже в достаточной степени и материал был получен авторами из первых рук. Д. Е. Смит находился в тесном сотрудничестве с И. Миками [165], а работы Дж. Лории [144, 145j написаны на основе переводов миссионера Л. ван Хе, придерживавшегося, правда, подобно Л. Седийо, точки зрения о заимствовании китайцами науки с Запада. Статьи Л. ван Хе посвящены трактатам Лю Хуэя, Ли Е, Сяхоу Яна [130—133]. Самыми фундаментальными исследованиями, несомненно, были работы японского историка математики И. Миками [147, 165], отличавшегося еще и тем, что он одинаково хорошо идеал как по- китайски, так и по-английски. Им написано очень много, и после его смерти в 1950 г. еще не все опубликовано.

Следует отметить также работы нашего дальневосточного ученого А. В. Маракуева [48],' который хорошо знал работы А. Вайли, И. Миками.

История отечественной математики у китайских авторов представлена в книгах Ли Яня [92, 99] и в пятитомнике [95], а также в книге Цянь Бао-цуна [108, НО]. Хотя среди названий указанных книг этих двух крупных историков математики есть почти одинаковые, написаны книги совершенно по-разному. Ли Янь скуп на объяснения, его скрупулезно точное хронологическое изложение, подобно документальному фильму, покоится на богатом собранном им материале. Цянь Бао-цун больше внимания уделяет популяризации темы, он увлеченно повествует о своей реконструкции того или иного метода, сравнивает с современными методами в математике, поясняет древние термины. В периодических изданиях КНР регулярно помещались статьи по истории китайской математики Янь Дунь-цзе [114——116], Сюй Чунь- фана [102], Ли Ди, Ду Ши-жаня [90] и др.

Интерес к истории китайской науки значительно возрос в настоящее время не только в самом Китае. История китайской математики стала предметом пристального внимания целого ряда исследов ателей.

Многотомную «Историю науки и культуры в Китае» издает в Кембридже английский историк науки, известный синолог Дж. Нидем. Вышедший в 1959 г. третий том ее, написанный в сотрудничестве с Ван Лином, специально посвящен истории математики, астрономии и картографии [150]. Это великолепное издание имеет обширнейшую библиографию и много превосходных иллюстраций. История математики здесь изложена по разделам, посвященным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и т. д. Дж. Нидему также принадлежат главы об истории науки в Китае в издании Р. Татона [134].

В 1961 г. в СССР вышла книга А. П. Юшкевича «История математики в средние века» [81 ], первая глава которой посвящена Китаю. Во всех этих трудах история китайской математики рассматривается как часть общей истории науки или как период в общем развитии математики.

Следует указать еще две статьи этих же авторов, появившиеся уже в 1955 г. [79, 172]. Первая из них, обзорная, посвящена достижениям китайских ученых в области математики, вторая —— одному из этих достижений: происхождению метода Горнера.

В это же время уже была начата работа по изучению древних и средневековых текстов. Первым объектом стала классическая «Математика в девяти книгах». В 1956 г. в Англии Ван Лином была представлена диссертация «„Математика в девяти книгахм и история китайской математики эпохи Хань» [173]. В 1957 г. в СССР вышел первый комментированный полный перевод с древнекитайского на современный язык «Математики в девяти книгах», выполненный автором данной книги [7, 50], а в 1968 г. «Математика в девяти книгах» вышла в виде отдельного издания на немецком языке в переводе известного немецкого историка математики К. Фогеля 1156].

Далее приступили к изучению трудов китайских алгебраистов XIII——XIV вв. бельгийский историк математики У. Либ- брехт и Лем Лэй-ян из Сингапура. Первому принадлежит книга о сочинении Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике», в которой подробно освещены теоретико-числовые методы в китайских и особенно индийских гекстах [142]. Лем Лэй-ян посвятила свои( статьи творчеству Ян Хуэя [139; 140]. В сочинениях этого математика XIII в. нашли отражение древние методы, но они изложены Ян Хуэем с позиций своего времени.

За последние десятилетия появился ряд статей по истории китайской математики, как общих, так и посвященных частным вопросам [170]. Статьи обзорного характера принадлежат Д. Стройку, К. Ябуути, М. Адамо, К. Хасимото, Куан Чао-ши, Г. X. Вану [117, 129, 137, 167, 178, 180] и др. Об абаке писали Ли Шу-тянь, П. X. Муун, Дж. М. Пуллан, И. Ямацаки [141, 148, 157, 181 ], о ранней математической астрономии ——В. Гартнер и Н. Сивин [128, 163], о метрологии —— Э. Райфлер [158], о А. Вайли —— Ван Бин [177 ]. В связи с опубликованным переводом «Математики в девяти книгах» появились статьи и главы книг М. Я。Выгодского [29], А. Е. Раик [601, И. А. Апо- кина, Л. Е. Майстрова [1 ], а также статья Фр. Свитца [168]; о магических квадратах сообщается у С. Каммана [124] и т. д.

Развитие математики 6 Китае (краткий очерк)

Чтобы определить место Китая £ Общем развитии науки, представим мысленно электрифицированную карту древних цивилизаций, на которой зажигаются огоньки в периоды расцвета математики. Вначале и почти одновременно осветятся долины Нила, Тигра и Евфрата (начало II тысячелетия до н. э.). Вб второй половине первого тысячелетия (до н. э.) огнями своих талантов засияет Древняя Греция, и примерно в это же время загорится огонек на р. Хуан (Желтой), несколько позже ——на Инде и Ганге. К средине второго тысячелетия восточное зарево охва-

тит страны арабского Востока и затем переместится в Западную Европу через Византию, Сицилию и Пиренейский полуостров. В этой эстафете научных знаний от древних поколений к новой науке Китай участвовал в течение двух тысячелетий, вплоть до XIV в. н. э.

Периодизация является сложным вопросом, который живо дискутируется учеными в самых разных аспектах: и относительно всемирной математики и науки вообще, и относительно китайской истории, и относительно китайской математики. Каждая из предложенных трактовок дает определенную характеристику китайской математики.

Качественное представление об общем развитии математики дает периодизация, предложенная академиком А. Н. Колмогоровым 142]. Согласно этой периодизации (ее придерживаются в основном советские историки математики), выделяются четыре этапа :|1) накопление математических знаний и создание практической математики, 2) период элементарной математики, или математики постоянных величин, 3) создание математики переменных величин и 4) период современной математики.

Как выглядит китайская математика в рамках такого разделения? Она целиком укладывается во второй период развития, период математики постоянных величин. Отмечаются поэтому отдельные наиболее яркие открытия китайских ученых: метод численного решения уравнений тг-й степени (метод Руффини—— Горнера), теоретико-числовые задачи на системы сравнений первой степени с одним неизвестным (сравнения Гаусса), метод решения систем линейных уравнений (метод Гаусса) и вычисления числа 冗.При такой характеристике математики крупным планом, когда развитие науки до XIX в. рассматривается как предварительный этап современной, вклад китайского народа в математику оценивается в качестве любопытного и оригинального. Он как бы взвешивается на весах всемирной истории, и тем самым определяется конечный результат в развитии китайской математики.

В книге А. П. Юшкевича [81, с. 11—18] обосновано выделение математики Китая, Индии, арабских стран, Ирана и Средней Азии, а также средневековой Евроцы в единый цикл «математики средних веков», с характерными для нее вычислительными методами, в отличие от периода становления дедуктивной науки античной Греции, с ее неэлементарными методами (см. [5, 37, 78, с. 9 и след.; 80, с. 350—357]). Это и есть второй период развития элементарной математики, простиравшийся на много столетий: VI в. до н. э.—XIV в. в Китае, V—XII вв. в Индии, IX—XV вв. в странах исламского мира и начиная с XI——XU вв.——в Западной Европе. Он закончился примерно в XV—XVI вв., когда должен был последовать следующий (третий) период развития математики переменных величин. Социальной основой математики средних веков был феодализм, общностью социальных закономерностей которого можно объяс-

нить и общность в развитии математики этого периода в разных странах, хотя в каждой из них были свои отличия, и не только во времени, но и по существу. Особенно велико было различие между математикой Китая, с одной стороны, и математикой стран ислама, Западной Европы ——с другой. Последние испытали сильное влияние греческого и эллинистического наследия, тогда как Китай его ощутил весьма слабо. Индия занимает промежуточное положение: математика в Индии была в тесной связи и родстве с китайской, но в ней было заметнее влияние некоторых греческих идей, способствовавших развитию астрономии и тригонометрии [78, с. И ]. Математика стран ислама и Западной Европы отличалась более отчетливым выделением различных математических дисциплин: алгебры, тригонометрии. В математике европейских стран появились новые идеи: первые построения буквенной алгебры и первые разработки механики неравномерных движений. Именно буквенное исчисленние и математика переменных величин в дальнейшем привели к революции во всем математическом научном мышлении. Математика же средневекового Ктая по своему стилю, по своей структуре ближе к математике древнего Вавилона, хотя и значительно превзошла ее в своем развитии.

Исследователи иногда обращают внимание на застойный характер развития математики Китая, вообще восточной математики в условиях феодализма и религии [62, с. 85; 66, с. 49]. Согласно экспоненциальному закону развития науки математика средних веков действительно развивалась медленно, однако не была застойной. Международные связи, осуществляемые в торговой, политической и культурной сферах, имели большое значение в формировании единой средневековой науки. Хотя они не были регулярными, но имеющие общий интерес задачи и методы переносились на огромные расстояния. Из-за универсальности образования достаточно было одному ученому или одному сочинению энциклопедического характера попасть в ту или другую цивилизацию, как поступала достаточная информация о состоянии науки в стране пришельца. Более известны связи арабско- европейские, арабско-индийские, менее ——индо-китайские, арабокитайские, но что они существовали и в области математики — несомненно. Известно, что метод Горнера решения уравнений высших степеней численным методом, разработанный китайцами в VIII в., возможно, через Индию попал к Кушьяру ибн Лаббану и ан-Насави, применившим его в XI в. к извлечению кубического корня, и к Шараф ад-Дину ат-Туси, применившему его к решению кубических уравнений общего вида в XIII в. с помощью метода, близкого методу Виета. Известно также, что сферическая тригонометрия, принесенная астрономами Марагинской обсерватории в XIII——XIV вв. в Ханбалык (Пекин), использовалась в дальнейшем в китайской математике. У самаркандского математика Али Кушчи (XV в.) появляются отрицательные («ложные») числа, и после его переезда в Стамбул отрицательные

числа в Западной Европе обнаружены у косистов, у Декарта, тогда как впервые отрицательные числа на Востоке появились у китайцев. Отрицательные числа были также у Диофанта. Десятичные дроби, которыми китайские математики владели еще в начале нашей эры, в XV в. представлены в сочинениях ал-Каши и др.

Итак, определяется характер, уровень развития китайской математики, а также ее место в общем развйтии науки. Однако остаются еще как частные, так и общие проблемы. Онй касаются коренных причин, которые обусловили развитие тех, а не иных методов, расцвета и упадка науки, касаются связей Китая с Индией, арабскими странами, Европой.

Для детального исследования требуется такая периодизация, которая бы расчленила ход исторического развития так, чтобы стало ясно, каким образом китайским ученым удалось достигнуть определенного уровня в развитии математики, почему в эпоху средневековья некоторые математические методы получили более раннюю разработку на Востоке, чем в Европе.

Существует много спорных вопросов; например, следует ли считать изолированное от эллинистической культуры развитие китайской науки недостатком или, наоборот, удачным историческим примером оригинальной математической системы? И вообще, так ли это было? Ведь наряду с вычислительными методами в китайской математической литературе обнаружены «прогре- ческие» методы геометрической алгебры, вычисления числа 冗 с понятием предела и др. В ней были некоторые неэлементарные методы, а что касается феодальной социальной основы развития средневековой науки, то китайская математика начала развиваться гораздо ранее, и до сих пор трудно окончательна установить, когда в древнем Китае произошел переход к феодализму. Стоит ли сетовать на замедленный характер развития науки, если это помогает, как на замедленной киноленте, установить происхождение основных математических понятий, проследить развитие математических методов и их происхождение, тем более что количество некитайских источников, до нас дошедших, весьма ограниченно? Какая наука нужна была средневековому обществу и как далеко пошло собственное развитие науки «ради науки»?

При подробном изложении истории китайской математики обычно предлагается более специальная периодизация, с привлечением традиционной китайской хронологии [92, 147 ]. Согласно Ли Яню история китайской математики делится на пять периодов [97]. «Глубокая древность» (以〃w гу) обнимает период со времени легендарного Хуанди до начала Ханьской династии (2700—100 гг. до н. э.). Это первый период. Второй — «древность» (чжун еу)——длился с 100 г. до н. э. до 600 г. н. э., включая династии Хань (206 до н. э.—220 н. э.), Суй (589—619); «Поздняя древность» (цзинь гу) . (600—1367)——это династии Тан (618—907), Сун (960—1279), Юань (1280—1367). «Новое время»

(цзинь ши) (1368—1750)——четвертый период, охватывающий дй- настии Мин (1368—1644), Цин до ее середины (т. е. до 1750 г.). Последний, «новейший», период (цзуй цзинь ши) тянется с 1750 г. вплоть до «освобождения» в 1949 г.

Рассмотрим развитие математики в Китае в рамках периодизации, предложенной Ли Янем. Она, конечно, условна. Сам автор ее, кстати, указывает на условность терминов «древность», «современность». Но эта классификация позволяет хронологически расположить более или менее значительные события в истории математики, нанеся их на историческую《канву».

Первый период ——обычный начальный этап развития науки во всякой древней цивилизации. Здесь мы находим много общего с египетской и вавилонской математикой. Это эпоха накоплеиия знаний в связи с запросами хозяйства и появления первых специальных текстов, руководств-решёбников. Такие тексты, как правило, безымянны и дошли до нас в более поздней обработке, много раз переписанными. О самих древнейших математических знаниях человека до письменных источников судят по данным археологии, этнографии и других наук, представители которых занимаются изучением жизни народов на заре их цивилизации. Складывая вместе предания, цитаты из древних сочинений о еще более древних эпохах, отдельные надписи на памятниках материальной культуры, этимологию слов, выражающих те или иные понятия древних о количественных отношениях и пространственных формах окружающего мира, мы можем составить некоторую картину о первых знаниях по математике.

Сыма Цянь (II в. до н. э.), китайский Геродот, начал свой исторический труд с мифического Хуанди (Желтого императора, предка Желтой Земли), который будто бы правил с 2698 по 2598 гг. до н. э. [34, с. 100 и след. ]. Даосы считали его родоначальником китайцев, основателем их философии. Его министр Ли Шоу ввел «девять чисел» (вероятно, девять цифр десятичного счета), сообщает Сыма Щтнь в своих «Исторических записках». Однако достоверные свидетельства о происхождении десятичной системы счисления дают первые письмена на иньских костях (XIV в. до н. э.) (см. далее подробно п. 5, ч. II). До изобретения письменности для фиксирования чисел древние китайцы, как и многие другие народы, пользовались узелками на веревках и зарубками на деревянных дощечках (см. далее п. 4 ч. II).

К таким незапамятным временам относят употребление циркуля гуй и угольника цзюй. Легендарный Ся Юй «укротил реки с помощью циркуля и линейки». Об этом многократно упоминается в историко-философских сочинениях IV——III вв. до н. э.: «Мо-цзы», «Мэн-цзы», «Чжуан-цзы», «Ханьфэй-цзы» и других, а также у Сыма Цяня. Циркуль и угольник держат в руках мифические Фуси и Нюйва (рис. 1), изображения которых на камне и кирпиче сохранились от эпохи Хань [77, с. 44; 84, 85]. Инструменты символизируют порядок (по-китайски: гуй-цзюи), установленный на земле этими полулюдьми-полузмеями, занимав-

Рис. 1. Изображение мифических^Ф у си с угольником и Нюйва^с циркулем на стене родового xpaMajV в. в Цзясяне, пров. Шаньдун

шимися различными добрыми делами., Иногда их считали возродившими людской род после потопа. Еще в древности они обросли легендями: Фуси научил людей пользоваться^огнем, ловить рыбу и птиц и^создал^музыкальныйдинструмент гусли ——сэ. Он начертал восемь триграмм (сочетание^из двух по три прерывистых и непрерывных черт): небо — цянъ, земля — кунъ, вода — кань, огонь —— 几и, гора ——генъ, гром ——чженъ, ветер ——сюнь, болото ——дуй. С помощью этих разнообразных явлений природы люди могли записывать различные события своей жизни. Эта идея в дальнейшем была воплощена в системе построения «Книги перемен», где из триграмм были составлены 64 гексаграммы и с их помощью построена картина мира (см. далее с. 16 и след.). Что касается Нюйвы, то она также изобрела музыкальный инструмент — губной органчик шэнхуан, а однажды даже починила небосвод, который был разрушен одним чудовищем. Она расплавила камни пяти цветов и залепила дыру, но все же, гласит легенда, небосвод перекосило. С тех пор светила и звезды стали клониться к северо-западу, а на юго-востоке осталась глубокая впадина, к которой стекаются все реки, и там образовались моря и океаны.

Заметим еще, что для древних текстов очень символичным было упоминание о круглом небе и квадратной земле.

Самобытность китайской культуры доказана археологическими находками синантропа (500—600 тыс. до н. э.), хэтаос- ского (400 тыс.) и шаньдиндунского (200 тыс.) человека, а также древнейших культур красной и черной керамики (3 тыс. до н. э.) времен существования древних шумеров. Синантроп уже пользовался огнем, к оседлости же перешли иньцы. В эпоху Инь (18—12 вв. до н. э.) пользовались календарем. Единицей обмена были раковины каури. Судя по текстам, в иньском обществе

существовали различные категории чиновников, связанных с вопросами культуры: предсказатели (бу), летописцы (ши), врачеватели ®), священнослужители (»於〃).В XII в. до н. э. некогда великое царство Инь пало под ударами кочевых племен чжоу, которые восприняли культуру завоеванного народа, но уровень ее снизился, как это видно по бронзе. И если обычно конфуцианцы, идеализировавшие чжоуские времена, приписывали первому чжоускому князю Чжоугун Даню установление этикета, введение музыки, составление математической книги «Цзю чжан» («Девять книг»), то на самом деле было не совсем так: обряды и письменность отчасти чжоусцы заимствовали у иньцев. Чжоугун заставил детей чжоуской знати учиться у иньских учителей. Многие древние книги: «Ли цзи», «История Ранней Хань» и другие ——сообщают, что дети восьми лет поступали в школу, где изучали летоисчисление и вычислительные методы, таблицу умножения «Девятью девять» (цзю цзю). Эта таблица частично приводится в книгах «Сюнь-цзы», «Гуань-цзы», «Хуайнань-цзы» и др. Ее экземпляры, написанные на бамбуковых дощечках, сохранились от эпохи Хань (см. далее ч. II). К сожалению, от этой эпохи не сохранилось ни одного источника по математике.

Вторая половина чжоуской династии, примерно с VIII по III в. до н. э.,——время отдельных рабовладельческих городов- государств ле а。, аналогичное времени полисов Древней Греции [45, с. 202—203]. Если в Греции предшествующим был гомеровский период (XI——IX в. до н. э.), то в Китае ему соответствовала примерно первая половина чжоуской династии. В середине первого тысячелетия (время начала плавки железа) в Китае произошли существенные изменения во всех сферах жизни. К эпохе Конфуция (VI в. до н. э.), как соответственно ко времени Пифагора в Древней Греции, математика оформляется в самостоятельную науку, которая в древности носила название «Искусства вычисления» (суанъ шу) и, подобно другим искусствам (фехтованию, музыке и т. п.), подлежала изучению благородным человеком цзюнъженъ. Это была пора расцвета китайской философской мысли, украшенная именами философа Конфуция, или Кун-цзы (552—497), и Мэн-цзы (372—289), представителей другого философского течения ——даосизма ——Лао-цзы (V в.), материалистов и диалектиков Ле-цзы (IV в.) и Чжуан-цзы (360—— 286), софиста Сюнь-цзы (IV в.) и логика Мо-цзы (III в.), военных деятелей Сунь-цзы (VI—V вв.) и У-цзы (IV в.) [43, 44], экономиста Гуань-цзы (IV в.) и легиста (школа законников) Хань ①зй~цзы (III в.), поэтов Цюй Юаня (340—278) и Сун Юя (III в.) и др. Именно от этого времени памятна фраза о том, что «расцветали сто школ и соперничали все ученые». Развитие математики в этот «золотой век» совсем не исследовано, не сохранилось ни одного специального текста. Возможно, они погибли тогда,

когда сжигали конфуцианские книги по приказу императора Цинь Шихуана, как неугодные и противоречащие идее объединения. Возможно, они просто не сохранились. Однако эти тексты несомненно послужили основой для составления более поздних «Математического трактата о чжоу-би» и классической «Математики в девяти книгах», которые относятся к самому концу данного периода, а их окончательная^редакция лежит уже во втором периоде, что, как увидим далее, совсем не случайно. Впрочем, вообще искусство писать научные трактаты еще только зарождалось, и многие учения древних философов были записаны их учениками и последователями позже, после их смерти. Как полагают некоторые исследователи, до эпохи Хань устная традиция была очень сильна [2]. Часто книги записывались в виде диалогов, притчей (например, «Чжуан-цзы»), так как вначале они передавались устно, а затем были записаны на бамбуковых дощечках, связанных иногда в произвольном порядке. Отсюда относительная независимость глав в позднейших книгах. К основному тексту в дальнейшем писался комментарий, и возникали таким образом различные наслоения (например, трехслойный текст конфуцианской «Книги перемен» [74]).

О математике этого периода, периода ее становления, мы можем судить по отдельным фрагментам из указанных выше двух специальных сочинений, а также на основании нематематической литературы. Последняя дает хотя и отрывочные, но все же некоторые ценные сведения. '

Во-первых, следует упомянуть классическую «Книгу перемен》 («И цзин») (примерно VIII—VII вв. до н. э.), которая «оказала свое влияние в самых разнообразных областях: и в философии, и в математике, и в политике, и в стратегии, и в теории живописи и музыки, и в самом искусство. . .» [74, с. 21], как писал один из самых крупных ицзинистов, советский востоковед Ю. К. Щуцкий. Этот текст хотя и приписывают Кун-цзы, но на самом деле он является результатом многовековой работы поколений, в нем самом (цзине, основе), исключая комментарии («Девять крыльев»), можно выделить три слоя. В ханьском Китае «Книга перемен» была первой книгой конфуцианства, ее признали таковой примерно в 213—168 гг. до и. э., а в эпоху Сун при расцвете неоконфуцианства «Книга перемен» оказалась в центре внимания. Она оказала философское влияние не только на конфуцианское течение в философии, но и на оппозиционный даосизм, которому была свойственна идея переменчивости, перехода. Даже на буддизм, стоящий далеко от конфуцианства и вначале им не принятый совсем, эта книга оказала некоторое влияние тем, что ряд терминов и понятии был заимствован из нее.

Сущность содержания собственного текста книги заключалась в следующем. В основу положены 64 гексаграммы, состоящие из непрерывных и прерывных черт, которым поставлены в соответствие числа 9 и 6:

Как упоминалось выше, составление восьми триграмм приписывалось Фу-си, и ему же иногда приписывалось их удвоение, т. е. образование гексаграмм: ^^ цянъ, творчество;

кунъ, исполнение; ^-= чжунъ, начальная трудность, и т. д.

Гексаграммы «Книги перемен» сопровождались мантической формулировкой и затем афоризмами, которые посвящались каждой черте и гексаграмме в целом. Поэтому эту книгу использовали еще относительно недавно уличные гадальщики колониального Китая, которым, разумеется, было чуждо философское содержание книги. Каждая гексаграмма обозначала динамическую ситуацию, а переходы совершались внутри ситуаций от одной гексаграммы к другой. Расположение черт толковалось определенным образом, так что в системе раскрывалась вся динамика быта, жизни. Такая числовая картина мира была выработана ко времени Конфуция и была весьма созвучна пифагорейскому лозунгу: «Все есть число». (Пифагорейцы считали, что в основе мирового порядка лежат числа. Гармония приводит противоположности к единству, и она заключается в числовых отношениях. Основой учения пифагорейцев была музыка, гармония и числа.) Сам Кун-цзы неоднократно подчеркивал свою непричастность к составлению этого текста, но преклонялся перед ним и посвящал в него лишь очень способных своих учеников. Обычно же обязательная программа обучения в древности состояла из четырех трактатов: «Книга Правил» («Лицзи»), «Книга музыки» («Юэцзин»), «Книга песен» («Шицзин») [71 ], «Книга истории» («Шуцзин»).

Судя по «Книге перемен», математики занимались вопросами комбинаторики, были знакомы с двоичной и троичной системами счисления, хотя в вьпислениях применялась десятичная именованная позиционная система счисления, и только она .

В дальнейшем комбинаторные задачи неоднократно привлекали внимание китайских математиков. Известно, что И. Синь (VII в. н. э.) рассчитал возможные расположения в игре, подобной шахматам, для различного числа рядов и фигур; для 5 рядов и：25 фигур он нашел число сочетаний равным 827 288 699 443. В цериод расцвета алгебры занимались составление^ «треугольника Паскаля», т. е. треугольной таблицы коэффициентов разложения бинома по степеням (Цзя Сянь, Ян Хуэй, Чжу Ши- цзе) [104].

Следующими источниками, на которые следует обратить внимание, будут трактаты Чжуан-цзы и Мо-цзы. С первым именем

связано развитие диалектики в древнем Китае, со вторым —— логики. В «Чжуан-цзы»^мы находим упоминание о софизмах, к сожалению, без доказательств^ и пояснений к ним. Вероятно, некоторые из них имели математическое содержание. Что касается древних китайских софистов, то они были, как и в Древней Греции, необходимыми элементами общества и оказали большое влияние на его развитие. Историческая обстановка в эпоху Чуньцю (722—481) и особенно в эпоху Борющихся царств Чжаньго (403—221 до н. э.), когда между городами-го

сударствами процветала конкуренция за центральное верховное положение, способствовала тому, что типичной фигурой древнего Китая был учитель политической мудрости. Их можно было найти при любом дворе. Некоторые состояли на службе у князя, выступали в роли советников, иногда обладали большим влиянием, чем сам князь. Другие создавали нечто вроде академий, где в беседах с учениками излагали свои взгляды. Третьи странствовали, проповедуя свое мировоззрение тем, кто хотел их слушать. Среди них были политики-государственники, дипломаты, военные деятели, экономисты, социологи, учителя логики и эвристики, софисты [45].

В «Чжуан-цзы» приведены софизмы, высказанные Хой-цзы, о котором здесь же сообщается следующее: «Записей речей у него пять повозок. Его учение противоречиво. Его слова не попадают в цель» [2, с. 320].《Не обладающее толщиной нельзя нагромоздить, а заполняет оно тысячи ли». «Южная сторона и предельна и беспредельна». «Черепаха длиннее змеи». «Угольник не квадратный». «Циркуль не может дать то, что может быть кругом». «Если ежедневно делить пополам палку [длиной ] в один чи, не закончить и через тьму поколений» и др. К последнему софизму

]1

следует добавить, что в это время рассматривали ряд ?+彳+

+ 専-卜 … =1, знали его сумму.

Существуют упоминания и о других логиках-софистах: внуке Кун-цзы Хуань Туане, ученике логика-софиста Гунсун Луна Хань Тане, Хой Ане (IV в. до н. э.).

Что касается трактата Мо-цзы «Моцзин», то в нем рассматриваются вопросы логики, оптики, динамики, а также дан ряд определений и аксиом геометрии [112]. Это удивительное событие для последующей официальной математической литературы древнего и средневекового Китая, среди которой нет ни одного сохранившегося текста, построенного подобно «Началам» Евклида.

Мо-цзы определяет параллельные, центр круга, сферу и ее центр. Он высказывает аксиому о равенстве целого сумме частей его и о совмещении равных фигур при наложении, а также аксиому Архимеда [103; 110, с. 16 и след.].

Эпоха Борющихся царств привела к гегемонии царства Цинь. Процессы, начавшиеся при первом императоре Цин», имели

продолжение и при ханьских правителях. Цинь Шихуанди решительно укреплял централизацию в стране. В первые шесть лет царствования осуществил ряд реформ и начал большое строительство. Из отдельных участков стен покоренных царств была построена Великая китайская стена шириною в 3 чжана^ т. е. примерно 6,9 м. Императорская упряжка могла проскакать по ее верху. Средняя высота стен достигала 7,5 м, средняя ширина равнялась 5,4 м. Как и подобало великому государю, он начал строительство дворца Эфангун и гробницы Циней.

Реформы Цинь Шихуанди были посвящены унификации законодательства, письменности, денежного хозяйства, мер весов и объемов и даже колеи для государственных дорог, поскольку этого требовали лёссовые почвы. Благодаря введению письма сяочжуань вместо дачжуанъ, происходившего еще от иньских времен, когда писали на камне и бронзе, появилась возможность упрощения письма и далее. Действительно, в дальнейшем перешли к еще более простому стилю лиши, который и послужил основой современной китайской письменности. Это последнее письмо было создано будто бы одним юристом для частной переписки. Реформа в области письменности способствовала появлению научных трактатов и литературных сочинений, тогда как ранее преобладало устное творчество.

Сбор налогов потребовал унификации системы мер： и весов. В каждом царстве были свои основные меры, теперь же были изготовлены единые общегосударственные эталоны и разосланы во все округа и уезды. Некоторые экземпляры эталонов сохранились до сих пор. Основной единицей объема был установлен деревянный лян. Для весовой единицы употреблялись бронзовые или железные гири. На них отпечатан текст эдикта в 40 иероглифов следующего содержания: «На 26-м году [правления] Хуанди полностью уничтожил чжухоу [правителей шести царств. — Л. Переломов ]Поднебесной. Черноголовые получили большое спокойствие. [Я, Ин-чжэн] принял титул хуанди [императора ] и тогда же приказал [своим] чэнсянам [Вэй] Чжуану [и] [Ван] Гуаню узаконить [новую систему измерения ] длины и объема. Если же будут встречаться различные [или] сомнительные [меры измерения ]— все их надо четко приводить к единому [эталону]» [58, с. 143].

Была унифицирована также единица площади му. которая при чжоуских князьях равнялась 1Ю0 кв. 6//, или шагам. Вместо нее был взят шанъяновский му, равный 240 кв. бу. тот самый, с которым мы встречаемся на первой странице классической «Математики в девяти книгах». Денежная реформа установила два вида денег, золотые и медные монеты. Последние с тех самых пор просуществовали две с лишним тысячи лет. Они были введены вместо трех видов монет, имевших хождение до реформы. Медная монета банълян, т. е. пол-ляна, имела круглую форму с квадратным отверстием в середине. Яшма, черепашьи панцири, раковины, серебро были объявлены драгоценностями, украшениями,

Царствование династии было недолговременным, поскольку, как пишут древние историки, оно было отмечено жестокостями. Далее следовала Ханьская династия, время правления которой делится на две половины: первую ——Раннюю, или Западную (202 г. до н. э.—9 г. н. э.), и вторую — Позднюю, или Восточную (25— 220 гг. н. э.). По периодизации Ли Яня это время относится ко второму периоду в развитии математики.

Второй период в развитии китайской математики приходится на^иервую половину первого тысячелетия. Это время Ханьской империи и после нее Троецарствия и т. д., по своему характеру напоминающее эпоху эллинизма и время Римской империи. По своему размеру, могущественности и значению Ханьская империя вполне сопоставима с Римским государством, царством парфян, Сасанидов, с которыми она, кстати, имела торговые и другие сношения. В Ханьской империи насчитывалось 59 млн. налогооблагаемого населения (по данным переписи 2 г. до н. э.), налоги стали платить в это время зерном, до этого платили землей. Было продолжено строительство Великой китайской стены, оросительных сооружений, проводились осушение почвы, борьба с разливами рек, устройство дамб, плотин, каналов и т. д. В первые пятьдесят лет правления дома Хань происходит централизация империи, захват земель, вводится монополия на соль и железо, казенная собственность на мастерскиё. Официальной идеологией избирается конфуцианство. С этой целью оно было канонизировано Дун Чжун-шу (II в. до н. э.) и его последователями. Это отразилось на всем развитии науки и искусства. Происходит разделение наук на ортодоксальные и неортодоксальные. Ханьская живопись, например, становится наглядным пособием для проповедывания «истинного пути», а созданная «Музыкальная палата» («Юэ фу»)—— конфуцианцы придавали большое значение гармонии и музыке в управлении Поднебесной ——была призвана собирать и обрабатывать народные песни и готовить к исполнению их во время обрядов и празднеств. Палата насчитывала около 800 образованных и высококультурных чиновников (гуанъ), которые были призваны служить освящению ханьского режима, способствовать духовному единству общества. Из наук астрономия, математика, например, считались официальными науками, все, что было связано с черной магией, считалось неофициальным. Например, та часть медицины, которая опиралась на натурфилософские идеи, считалась ортодоксальной, а другая, которая основывалась на магии,——неортодоксальной [152]. Эпоха Хань породила движение за сбор литературных произведений классической поры. В это время зарождается китайская классическая филология. Появляется первый словарь «Шовэнь», в котором мы находим и слова, относящиеся к математике. В области математики появляются универсальная энциклопедия «Математика в девяти книгах» (или, точнее, «Искусство счета в девяти книгах»), а также «Математический трактат о чжоу-би» (о гномоне), который был написан ранее, чем «Математика». Комментарий к той и другой сохранился от III в. н. э.

Составителями «Математики в девяти книгах» были важные сановники Гэн Чоу-чан (II в. до н. э.) и Чжан Цан (I в. до н. э.).

От этого второго периода в истории математики сохранилось много имен, связанных с математикой: кроме уже упомянутых выше в исторических хрониках встречаются имена Лю Цзо, Чжан Хэна, Сюй Шана, Ду Чжуна, Инь Сяня, Лю Ци, Лю Хуна, Ма Сюя, Чжэнь Сюаня, Цай Юна, Чжао Цзюнь-цина, Сюй Юэ, Цзу Чун- чжи и его сына Цзу Хэна, Чжэнь Луаня, Ли Чунь-фэна и др. Многие из них занимались проблемой числа 兀.Иногда полагают, что этот интерес возник в связи с влиянием, пришедшим из Индии [81, с. 71 ]. Однако буддизм, начавший проникать в Китай в I в. н. э., был враждебно встречен конфуцианцами и не получил распространения вплоть до VIII в. Это с одной стороны, а с другой —■ следует вспомнить о реформах Ван Мана, которые были опять-таки связаны с унификацией системы мер и весов [35]. Именно установленный им эталон единиц длины, веса и емкости, называемый в истории «ванмановский ху», послужил для математиков толчком к вычислению более точного значения числа тс (подробдее об этом см. далее ч. V). В самой математике также устанавливается официальная линия развития, именно ее в основном характеризует сохранившаяся литература. Другие источники, очевидно, не издавались в таких масштабах и на рассылались по библиотекам, поскольку не являлись официальными, каноническими, и потому до нас не дошли. Например, если бы не комментарий в классической «Математике в девяти книгах», мы бы ничего не знали о творчестве Лю Хуэя: его собственных сочинений не осталось. Комментарий же свидетельствует об оригинальном и весьма «прогре- деском» стиле древнего ученого. Трактаты Сунь-цзы, Чжан Цю- цзяня, Сяхоу Яна и других создавались в духе официальной литературы, нужной для обучения будущих чиновников государственной службы. В этих сочинениях проявлен интерес к задачам практической геометрии на измерение расстояний до недоступных предметов, вычислению объемов некоторых нетривальных тел, по существу, введено понятие проекции; определены действия с обыкновенными дробями, с именованными десятичными дробями, введены отрицательные числа и т. д. [19].

Уместно отметить, что в области астрономии продолжались успешные работы по уточнению и расширению звездных каталогов, совершенствованию лунно-солнечного календаря. Появились солнечные часы, ранее были водяные. Чжан Хэн сконструировал небесный глобус и планетарий, учил о сферичности Земли, о безграничности Вселенной в пространстве и времени и т. п. Юй Си вновь открыл прецессию равноденствий. Было очень точно вычислено время звездного обращения Сатурна. Чжан Хэн описал 2500 звезд и сгруппировал их в 320 созвездий.

Конец Ханьской династии ознаменовался восстанием «Желтых повязок». С 192 г. начинается эпоха Троецарствия: северное государство Вэй, юго-восточное У и юго-западное Цюань (Цзянь), а затем время династии Суй. Ли Янь считает, что 600-й год огра-

йичивает второй период сверху, и, вероятно, эта граница условна. К этому времени были написаны почти все трактаты математического «Десятикнижья», но сам этот сборник был составлен в начале следующего, третьего, периода (см. след. ч. II).

Третий период, период расцвета математики в Китае, украшен именами крупных ученых: Цинь Цзю-шао, Чжу Ши-цзе, Шэнь Ко, Го Шоу-цзиня, Ли Е, Ян Хуэя и других, — создавших своими работами своеобразную китайскую алгебраическую школу, основным достижением которой было создание численного метода решения уравнений высших степеней. Этому периоду свойственны широкие связи китайских ученых с учеными других народов: Индии, Кореи, Японии, стран Ближнего Востока.

Четвертый период (1367—1750) — период упадка классической математики и развития, по терминологии Ли Яня, «народных методов» [96]. Наблюдается широкое распространение руководств по правилам вычислений на китайских счетах, рифмованные риторические правила (правила-песенки). Появляются первые западные миссионеры и с ними первые переводы «Начал» Евклида и другой западной литературы.

鼠"В пятый период (1750—1949) работа математиков проходит в двух направлениях: теоретическое обоснование принятых ранее без доказательств западных методов и обработка и развитие старых, традиционных проблем. В области теории чисел был прославлен Ли Шань-лань, работавший с Вайли и издавший в 1859 г. первый курс дифференциального и интегрального исчисления на китайском языке.

Глава вторая

ДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ«ДЕСЯТИКНИЖЬЕ»

Сборник «Суаць цзин ши шу» («Десять классических трактатов по математике», кратко: математическое «Десятикнижье» или просто «Десятикнижье») был составлен в VI столетии Чжэнь Луанем и прокомментирован Ли Чунь-фэном в VII в. Во время династии Тан (VII—IX вв.) это собрание служило пособием при подготовке чиновников к квалификационным экзаменам [70].

Тексты, входящие в «Десятикнижье», были написаны на протяжении III—VI вв. н. э. Самым поздним автором был современник Ли Чунь-фэна Ван Сяо-тун, написавший трактат об уравнениях третьей и четвертой степени «Продолжение древних [методов ]» [22]. В этом же столетии был отредактирован арифметический текст V в., составленный Сяхоу Яном. Современником последнего был, возможно, автор одного из больших трактатов «Десятикнижья» Чжан Цю-цзянь, которого больше интересовали алгебраические вопросы, чем практические или вычислительные,

которые разрабатывал Сяхоу Ян и еще раньше него Сунь-цзы, также оставивший подобное сочинение [10, 11, 15, 49, 51 ]. Быть может, к IV в. относится анонимный ведомственный трактат, небольшой по объему, но содержащий сугубо практические задачи для чиновников [13, 52]. Правда, некоторые исследователи (например, Цянь Бао-цун) считают автором трактата Чжэнь Луаня, которому несомненно принадлежат два текста «Десятикнижья» . Чжэнь Луань, составляя «Десятикнижье», счел необходимым ——дань своему времени ——составить «Искусство счета в Пятикнижье», комментированные цитаты из классических философских, исторических сочинений, а также «Забытые записи по искусству счета», остатки от утерянного полного текста Сюй Юя эпохи Хань от II в. до н. э.

Третье столетие поистине богато событиями. В это время работали, по-видимому, три математика, различные по стилю и интересам. Одним из них был Сунь-цзы, который написал арифметикометрологический трактат, рассматривавший вопросы вычислительного характера [10, И ]. Другим был Лю Хуэй, знаменитый тем, что в его редакции дошла до нас классическая «Математика в девяти книгах» [50]. Ее составителями считаются Чжан Цан (II в. до н. э.) и Гэн Чоу-чан (I в. до н. э.). Из дополнений Лю Хуэя к «Математике в девяти книгах» впоследствии был сделан самостоятельный «Математический трактат о морском острове», содержащий проблемы измерения расстояний до недоступных предметов [17]. Он известен в истории науки как самый ранний текст из области практической геометрии. До нас не дошли, к сожалению, другие сочинения Лю Хуэя, но по его самостоятельному и оригинальному комментарию к «Математике в девяти книгах» видно, что это был китайский математик, мыслящий нетрадиционно, более схожий по своим методам с древнегреческими учеными. Лю Хуэй применял методы геометрической алгебры, в его текстах есть описание чертежей, но они не сохранились, Лю Хуэй почти по-архимедовски вычислял число ^ит. д. Однако, повторяем, к сожалению, нам неизвестны ни его предшественники, ни его собственные сочинения, кроме упомянутых комментариев, которые первоначально будто составляли десять глав. Именно десятая глава «Чжун-ча» и была превращена в самостоятельный трактат «О морском острове».

Третьим известным по «Десятикнижью» ученым был Чжао Цзюнь-цин, снабдивший большими пояснениями самый ранний математико-астрономический текст «Математический трактат о чжоу-бй» (т. е. о гномоне), изложенный в форме диалога между правителем Чжоу-гуном и ученым Шан Гао, а также диалога Чэнь-цзы с учеником Жун Фаном. Чжао принадлежит первое в истории письменное доказательство в геометрическом виде теоремы Пифагора. Согласно тексту зависимость между сторонами прямоугольного треугольника для случая 3, 4, 5 была известна

в Китае еще в XII в. до н. э. В общем случае теорему формулировали в VI в. до н. э. Таковы письменные свидетельства о теореме на древнекитайском языке.

Таким образом, на протяжении пяти столетий были составлены и обработаны все десять трактатов математического «Десяти- книжья)>. Однако на самом деле эти тексты охватывают гораздо более обширный период времени, более чем в тысячу лет. Центральное сочинение «Десятикнижья» «Математика в девяти книгах» само является обработкой более ранних текстов. Задачи на натуральный обмен, об измерении полей, на объем строительных работ и т. п. возникли на самых ранних этапах развития человеческого общества, гораздо более ранних по сравнению с эпохой составления «Математики в девяти книгах». Поэтому тексты «Десятикнижья» на самом деле дают возможность составить представление о математике древнего Китая, начиная со времени образования самостоятельной науки, примерно эпохи Конфуция (VI—V вв. до н. э.), и вплоть до эпохи могущественной средневековой Таиской империи, по оценке академика Н. И. Конрада ——китайского Ренессанса [45]. И далее многие идеи из математического «Десятикнижья» были развиты в более поздних сочинениях X——XIV вв. китайских математиков —видны отчетливые связи, хотя нет, разумеется, прямых ссылок.

Время, в которое были написаны или окончательно оформлены трактаты «Десятикнижья», в истории Китая отмечено как полоса междуцарствия и борьбы с кочевниками. После падения могущественной древней империи Хань (II в. до н. э.—II в. н. э.), эпохи классической древности, по мнению Н. И. Конрада [45], во время которой были составлены два самых ранних и больших сочинения «Десятикнижья»: энциклопедическая «Математика в девяти книгах» и трактат о гномоне, в Китае оспаривают гегемонию три отдельных государства. Победа достается государству Вэй (220—264), в котором работал знаменитый Лю Хуэй. Полководец Цао Цао при императоре Вэй сам становится императором. Недолговечную династию Цзинь сменила эпоха «Смуты восьми князей». На северных границах Китая под натиском кочевников часть земель была утрачена, но на юге еще существовали династии Цзинь (317—420), Сун (420-479), Ци (479-502), Лян (502-557), Чэнь (557-589), пока с севера не пришло объединение. Образовалась династия Суй (589—617), после которой, наконец, установилась трехсотлетняя власть дома Танов (618—907). После Танов столь же долго царствовал дом Сунов (960—1279), правда, между этими двумя большими династиями была чересполосица, которую в истории назвали «эпохой пяти династий» (907—959): Лян, Тан, Цзинь, Хань и Чжоу; во время этих маленьких династий на троне успевало продержаться от двух до четырех ванов.

Для периода составления «Десятикнижья» (VI—VII вв.) характерна канонизация конфуцианства. В VI в. Кун Ин-да дал «Правильное толкование конфуцианского Пятикнижья», что было предметом изучения в учебных заведениях, и конфуцианство ста・

новится схоластикой [45, с. 205]. В области математики, по-видимому, аналогичную роль сыграл Чжэнь Луань. Ведь не случайно ему принадлежит «Искусство счета в Пятикнижье», кусочки текстов из конфуцианских трактатов, связанных с каким-либо вычислением или математическим термином. Этот период характеризуется также усилением влияния буддизма и оформлением даосизма в качестве религии, поскольку даосизм утратил свои позиции в философии. Китай знакомится также с исламом и христианством.

В «Десятикнижье» объединены самые различные тексты, однако они обладают и некоторыми общими свойствами. Все они, по существу, безымянные, хотя некоторые заголовки трактатов содержат имена авторов. Но, как правило, нам ничего или почти ничего не известно о них. Мы не знаем, кто были Сунь-цзы, Чжан Цю-цзянь, Сяхоу Ян, Лю Хуэй. Более того, к составлению трактата, вероятно, предъявлялись вполне определенные требования, какие ставят перед авторами учебных пособий, и потому даже знание биографий авторов мало помогло бы выяснению творческого характера каждого из них. Ин див ид у а л ьна я манера письма, или вкусы автора, свойственные «монографиям», в такого рода текстах малозаметны, их приходится буквально выискивать при самом детальном исследовании. Нам не известны требования, предъявляемые авторам классических трактатов по математике, но их можно было бы сформулировать следующим образом. К условию задачи, снабженной ответом, дается правило решения в виде алгоритма, действия же с числами выполняются на счетной доске. Вывод формул, различные определения, рисунки в таких руководствах не даются. По всей видимости, они объяснялись на уроках устно преподавателями. Никаких описаний до нас не дошло, однако есть намек на подобные обстоятельства: в предисловии к своему трактату Чжан Цю-цзянь пишет, что «методы не сложны, но докучливы многократно, надеюсь их облегчить, поясняя вслух» [51, с. 28]. Если автор имеет целью показать класс задач, он сначала приводит самую четкую, простую, «каноническую», а затем по мере усложнения демонстрирует, насколько широк такой класс задач; затем дает алгоритм сведения других задач к уже решенным, расширяя таким образом указанный класс задач. Именно так построена вся «Математика в девяти книгах», вообще семь трактатов из десяти являются сборниками задач. Задачи идут сплошным текстом (следует еще иметь в виду характер древнекитайского письма: в нем нет знаков препинания), без рисунков, без пояснений, без определений, без доказательств. В трактатах Сунь-цзы, Чжан Цю- цзяня, Сяхоу Яна труднее выделить группы задач, чем в «Математике в девяти книгах». В них каждая задача, максимум две- три, посвящены одному и тому же методу, причем общие и частные правила, которые часто в «Математике в девяти книгах» были даны одновременно, в указанных трактатах исключают друг друга. У Сунь-цзы, например, как правило, даны числовые алгоритмы, которые, однако, выполнены согласно общему правилу. У Чжан Цю-цзяня, напротив, все правила сформулированы общими сло-

вами, а вычисления были дописаны астрономом Лю Сяо-сунем в следующем столетии. У Лю Хуэя и Ван Сяо-туна даны только общие правила, четко выделены классы задач. Случается также, что одни и те же задачи (или весьма схожие) встречаются в различных трактатах. По-видимому, они были или переписаны из одного источника, который нам неизвестен, или заимствованы одни из других в порядке их хронологии. Так, задача о неправильном четырехстороннике содержится как в ведомственном трактате, так и в трактате Сяхоу Яна. В трактате Сунь-цзы и в трактате Сяхоу Яна обнаружены почти дословно повторенные изречения о способе изображения чисел на китайской счетной доске. В трактате Сунь-цзы повторены несколько задач из «Математики в девяти книгах», но, как правило, они даны с упрощенными числовыми данными. Эти задачи нужны были каждому автору всякий раз для своих особых целей.

В математическом «Десятикнижье» три текста не представляют собой собрания задач. Как уже упоминалось, самый ранний трактат о гномоне написан был в виде диалога, что было свойственно манере изложения древних философских учений. Укажем на один из них, «Чжуан-цзы», который является собранием притч, изложенных весьма образно, красочным народным языком [2] (ср. с древнегреческими диалогами Платона). И еще два текста, написанных Чжэнь Луанем, также не содержат задач. О них упоминалось выше. Эти тексты, как каждый из трактатов «Десятикнижья», представляют историческую ценность. Они показывают вместе с ведомственным трактатом, содержащим примитивные задачи, диапазон применения математических знаний в древнем обществе, тогда как другие, такие, как «Математика в девяти книгах» и трактаты Лю Хуэя, Ван Сяо-туна, свидетельствуют о достаточно высоком уровне развития науки. Трактаты Сунь-цзы и Чжан Цю- цзяня показывают различные области математики, развиваемой в то время, а комментарий Лю Хуэя, Чжень Луаня и Ли Чунь- фэна свидетельствуют о различной трактовке одних и тех же понятий, методов в разные эпохи.

Таким было математическое «Десятикнижье» в древнем Китае, и оно было достоянием культурного человека наряду с конфуцианским «Пятикнижьем» и «Четверокнижьем», а также«Семикнижьем» в военном деле, каноном по медицине «Ней цзин» («Трактат о внутреннем»), «Бэнь-цао» («Травники») и др. В каждой области науки были свои классические тексты.

Издание 1963 г. «Десятикнижья» под редакцией Цянь Бао- цуна, которым мы пользовались, выверено редактором по нескольким сохранившимся экземплярам от XV, XVII, XVIII вв. Каждый из них восходит к хранящемуся в Государственной Шанхайской библиотеке экземпляру, изданному при Южных Сунах (XII—XIII вв.).

Первый вариант текста «Десятикнижья», который был в распоряжении Цянь Бао-цуна, взят из собрания《Цянь лу линь цзе», находящемся в Пекинском музее Гугуц. Он был перепечатан в начале Циньской династии (1644—1911) с южносунского. Второй

вариант «Кун ли цзай сяо» является извлечением из собрания 《Сы ку цюань шу» (1773), в которое в свою очередь вошли сочинения из средневековой известной энциклопедии «Юн лэй да цзянь» (1403——1407). Происхождение третьего варианта ——непосредственно от «Юн лэй да цзянь».

Что касается южносунского издания, то оно само было перепечатано с текста 1084 г. эпохи Северных Сунов ——наиболее раннего из известных изданий. Текст 656 г. самого Ли Чунь-фэна, в окончательной редакции которого «Десятикнижье» дошло до нас, не сохранился. После Ли только Се Ча-вэй в эпоху Сун написал свой комментарий к одной известной задаче на неопределенное уравнение из трактата Чжан Цю-цзяня.

Вопросы, представленные в трактатах «Десятикнижья», более всего являются арифметико-алгебраическими, а не геометрическими. Совсем не рассмотрены, например, задачи на построение. И сами геометрические задачи имеют не тот вид, в каком мы их привыкли видеть: в них также производится вычисление, например, площади или объема и т. п. Много вопросов из области оперирования с числами, поскольку решения задач даны в виде алгоритмов для счетной доски. Рассмотрены некоторые вопросы календаря и даже музыкальной гаммы. Самыми излюбленными методами были методы, основанные на идее пропорциональности и среднего арифметического: это простое и сложное тройное правило, вычисление процентов, пропорциональное деление согласно некоторому ряду чисел, формулы измерения площадей различных нестандартных фигур типа барабана с вогнутыми боками и др., приемы решения систем уравнений определенного вида, подобие треугольников. Классы задач, связанных с прогрессиями, показывают, каким образом постепенно осваивались арифметические и геометрические прогрессии, выяснялись свойства их членов, как была получена формула суммы конечного числа членов и как выяснилась бесконечная природа числовых рядов и т. д. Большой цикл задач по решению уравнений второй и третьей степеней, а также биквадратных пополнялся в течение многих веков. Довольно рано был разработан матричный метод решения систем линейных уравнений с введением отрицательных чисел. Во многих случаях наряду с ним пользовались также частными приемами решения систем уравнений. Мощным методом было правило двух ложных положений, характерное для средневековой и вообще элементарной математики. Оно было изобретено в древнем Китае [29, 109]. Процедура извлечения квадратного и кубического корней была тщательно разработана для счета на доске и применена к решению квадратных и кубических уравнений, трехчленных и четырехчленных. В трактате Ван Сяо-туна этим методом решены кубические и биквадратные уравнения. Квадратные уравнения встречаются в «Математике в девяти книгах», в трактате Чжан Цю-цзяня. Отрицательные корни нигде не рассматривались, так как такие ответы не имели смысла для задач. Неопределенные уравнения и системы рассматривались: в этих случаях находились наимень-

шие целочисленные значения неизвестных, удовлетворяющие задаче. Рассмотрены также уравнения (линейные системы) в конечной арифметике, т. е. в арифметике остатков. Встречаются задачи, составленные так, чтобы рассмотреть тройки пифагоровых чисел. Такие задачи есть в девятой книге «Математики в девяти книгах», а также в трактате Ван Сяо-туна.

Классическая «Математика е девяти книгах»

«Математика в девяти книгах» («Цзю чжан суань шу»)—— центральное сочинение математического «Десятикнижья». Самое большое по объему и самое содержательное, оно является одним из замечательных памятников древнего Китая времени династии Ранней Хань (206 г. до н. э.—7 г. н. э.), правившей в одной из обширных и могущественнейших империй древнего мира [8].

Это сочинение ——своеобразная математическая энциклопедия для землемеров, инженеров, астрономов, чиновников различных ведомств и т. д. Мы находим в ней разнообразный и богатый по содержанию математический материал: правила действия с дробями, алгоритм Евклида, пропорции и прогрессии, правила извлечения корней, квадратного и кубического, и обобщение первого на решение полного квадратного уравнения; вычисление различных площадей и объемов, теорему Пифагора и применение подобия прямоугольных треугольников, формулы для пифагоровых чисел, вопросы практической геометрии, решение систем линейных уравнений и др. 一

Уже при первом чтении трактата обращает на себя внимание неоднородность текста, одна часть которого отражает достаточно высокий уровень развития математики, а другая соответствует начальным ступеням развития науки. Будучи обработкой более ранних, не дошедших до нас математических текстов, «Математика в девяти книгах», подобно «Началам» Евклида, содержит значительную часть математических сведений, накопленных ко времени составления трактата. Это сочинение, подобно «Началам», является, вероятно, для Китая того времени лучшей такой обработкой, которой отдавали предпочтение, благодаря чему она и со^ хранилась.^

Исторические сведения о текстах, предшествовавших «Математике в девяти книгах», весьма скудны и иногда сомнительны. В летописях существует упоминание, что еще в XXVII в. до и. э. легендарный император Хуанди (Желтый император) приказал Ли Шоу составить книгу по математике, которая называлась «Цзю шу Хуанди». Совершенно неизвестно, что это была за книга и существовала ли она вообще. Быть может, в этом упоминании лишь отражен факт безусловной давности математической культуры Китая. Следующее летописное свидетельство показывает, что в эпоху Чжоу, в XII в. до н. э., Чжоугун Дань написал «Цзю чжан», по которой дети сановников учились математике. И эта книга не сохранилась, но в позднейших летописях дается ее

оглавление, почти совпадающее с оглавлением «Математики в девяти книгах». Названия заголовков следующие: фан чен, су ми^ ча фэнь, шао гуан, шан еун, цзюнъ шу, 〃从 бу цзу, пан £0, чжун “а, си цзе, дяо гу. При сравнении с заглавиями книг «Математикй в девяти книгах» видно, что первые семь либо совпадают полностью, либо аналогичны по смыслу. Последний, девятый, заголовок «Математики», по предположению многих ученых, объединил в себе материал последних четырех глав книги Чжоугуна. Отсюда, впрочем, не следует, что содержание обоих сочинений' совпадало: в «Математике в девяти книгах» есть материал, свидетельствующий о высоком уровне развития науки, который был, несомненно, достигнут позднее эпохи Чжоу. Но мы уже отметили, что в настоящем трактате встречается и такой материал, который явно должен быть отнесен к более раннему времени и, возможно, содержался в книге Чжоугуна.

При создании единого государства во времена Циньской династии (246——207 гг. до и. э.) по приказу императора Шихуана с целью уничтожения всякой мысли, направленной против централизации страны, были сожжены многие конфуцианские книги, исторические хроники и классические труды. Быть может, это не касалось трудов по математике, но в последующее время реконструкция культурного наследия была распространена и на математические сочинения. Первым, кто во время династии Хань собрал имевшиеся материалы в книгу, был Чжан Цан. О Чжан Цане известно немногое. Он был чиновником в эпоху династии Цинь, а при первом ханьском императоре состоял первым министром, считался выдающимся деятелем, особенно в финансовой сфере, занимался астрономией и астрологией. Умер Чжан Цан в 152 г. до н. э., прожив около ста лет. Вторичной обработке произведение подверг Гэн Чоу-чан, занимавший пост министра при Сюаньди (73——48 гг. до н. з.). Настоящий вид сочинение приобрело после комментирования в 263 г. математиком Лю Хуэем. В дальнейшем «Математику в ^девяти книгах» стремились комментировать многие другие ученые: Чжэнь Луань (VI в.), Ли Чунь-фэн (VII в.) и др. Во времена династии Тан (618——907 гг.) этот трактат стал одним из учебников^при'подготовке^к1 государственным экзаменам на получение звания аи^получил поэтому "широкое^распространение. Во времена династий Сун и Юань (X——XIIГвв.)/когда*математика в^Китае^достигла своего^наибольшего^расцветаЛмногие ученые исходили ^в своих" исследованиях" из ^вопросов/ содержащихся в этом трактате. А 不鬲

Итак, более ранние тексты по математике не дошли""до нас, и «Математика в девяти книгах» "является, по существу,^первым собственно математическим сочинением из ряда классических в"древ- нем Китае, не считая трактата о^чжоу-би» (гномоне), "содержащем теорему Пифагора. ' 『

Прежде чем рассмотреть содержание «Математики в девяти книгах», остановимся на форме и характере изложения материала,

Текст состоит из формулировок условий задач, которые со провождаются ответами. После каждой задачи или группы аналогичных задач обычно следует правило их решения, чаще всего описывающее в общем виде формулу для вычисления искомой величины (например, формулы площадей в книге I, формулы объемов в книге V и др.), или общий алгоритм решения данного типа задач (например, правило «избыток-недостаток» в начале книги VII, правило ^фан-чет в книге VIII и др.). Общее правило может помещаться перед данной группой задач, и тогда^обьтчно, хотя и не всегда, после каждой такой задачи дается^еще «числовое» правило, т. е. указание, в каком порядке и какие производить действия над заданными числами, чтобы получить искомую величину (например, правила к задачам первых половин книг II, III, IV, как видно, более древних частей текста сочинения). Но даже в таких частных правилах видно стремление возможно более общим способом описать решение задачи. В тексте нет объяснений, как получены правила, почему выбирается тот или иной ход решения, нет доказательств, пояснительных чертежей, определений, знаков препинания (рис. 2). Все это осложняет выяснение картины математических знаний, которыми располагали древние китайцы.

Сочинение состоит из девяти довольно самостоятельных книг {чжанов или цзюаней ——свитков). Каждая книга представляла собой отдельный свиток и не была органически связана с другими. Она должна была содержать в себе весь материал, посвященный какой-либо теме, и иметь до известной степени завершенный, законченный характер.

Рассмотрим содержание трактата по книгам.

Книга I «Измерение полей» (《①ан-тянв») содержит задачи на вычисление площадей полей- различной геометрической формы: прямоугольных, треугольных, в виде трапеции, круга, сегмента, сектора и кольца. Площади прямолинейных фигур вычисляются по правилам, совпадающим с общеизвестными. Площади круга, сектора и кольца определяются при 冗=3. Площадь сегмента вычисляется приближенно. Любопытно, что для подобного рода древних текстов (также египетских, ^вавилонских) характерно отсутствие формулы для площади параллелограмма. Видимо, такая форма земельного участка была неестественной. Вряд ли также часто встречается в земледелии кольцеобразное поле. Однако в""обыденной жизни^круг и^его^части^применялись, требовалось вычисление ^площадей таких фигур, и потому эти правила^также были^сформулированы под видом определения площадей «полей» в первой книге сочинения.

^Стороны полей задаются как целыми, так и дробными числами. Поэтому вслед за ^первыми задачами, устанавливающими, по существу, соотношения между основными единицами длины и площади, идут^задачи на действия ""с дробями: их ^сокращение, сложение, вычитание, деление ^и ^умножение; ^только ^затем ^"производится измерение Ъолей. При "сокращении дробей общий "наибольший ^де-

物價五十三

今有共買a人出九盈十一人出六不足十六問人數鷄價各幾何

答日九人

鷄價七十

令有共買81人出半盈四人禹少4不足三間人數璇價各幾何

咨日四十二人

筵價十七 /

算經十書二 九章算術卷七 二十七

九章算術卷七 ^^ tt， 蒙劉徽注

唐朝識太夫行木史令上聲亶臣^^奉初潘 盈不足^言

令有共買物人出人盈三人出七不足四問人数物價爷幾何

答日七人

Рис. 2. Первая страница книги VII «Математики в девяти книгах» из обыч-ного издания, фотоофсетной копии 1937 г. с издания периода Канси

литель числителя и знаменателя находился по алгоритму, совпадающему с евклидовым. Последний описан в «Началах», как известно, в геометрической форме. Китайский алгоритм в отличие от него дан в чисто арифметической формулировке. Деление дробей в книге I производится путем приведения их к общему знаменателю. Заметим, что интерпретация деления отлична от представления других действий (см. об этом подробно в ч. III).

Текст книги I помогает выяснить ряд интересных вопросов, относящихся к формированию и развитию основных математических понятий: числа, площади (см. далее ч. III и V).

, В книге II «Соотношение между различными видами зерновых культур» («Су-ми») помещены задачи, в которых определяется по трем заданным величинам четвертая пропорциональная, т. е. задачи на так называемое тройное правило. Задачи, основанные на пропорциональной зависимости, т. е. задачи на простое и сложное тройное правило, на пропорциональное и обратно пропорциональное деление, занимают значительную часть сочинения, они встречаются и в других его книгах. Что касается книги II, то здесь следует сделать два замечания. Первое относится к первой части книги II, состоящей из задач указанного типа, к их общему и частным правилам решений, из которых следует, что деление на дробь производилось по обычному алгоритму, а не по правилу, изложенному в книге I.

Другое замечание относится ко второй части книги, состоящей из задач 32——36 на определение стоимости покупаемого предмета. Они рассматриваются как задачи на деление: сначала задачи сводятся к делению на целое число, затем на дробное, а далее задача обобщается и сводится, вообще говоря, к системе трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Однако решение ее единственное и находится также делением: подробнее об этом говорится в ч. III. Эти задачи были, вероятно, помещены в книгу II позже, так как они не отвечают ее заголовкам и включены потому, что нахождение искомой величины х делением х=А/п основано на пропорциональности:力：1=4 : п. Действительно, в книге III «Деление по ступеням» («Чуй-фэнь»), которая начинается задачами на деление пропорционально и обратно пропорционально заданным числам, содержатся задачи на простое и сложное тройное правило. В сопровождающих правилах специально указывается случай умножения Л на 1.

Книга IV «Шао-гуан» знакомит нас с древнекитайским методом извлечения квадратных и кубических корней, который возник благодаря применению формулы разложения квадрата и куба на счетной доске, где обычно производились вычисления. В методе содержится возможность обобщения на случай решения полного квадратного и кубического уравнений и, шире, начала так называемого метода Руффини—Горнера (см. подробно об этом в ч. IV).

В начале книги IV находятся задачи, содержащие алгоритм деления на дробь, данные в своеобразной геометрической форме, относительно которых можно сделать различные суждения (см. об этом в ч. III). Здесь же мы встречаемся с «египетскими» аликвотными дробями, долями единицы, но не с египетскими приемами вычислений.

В книге V «Оценка работ» («Шан-гун») вычисляются объемы геометрических тел: параллелепипеда, полных и усеченных пирамиды и конуса, цилиндра, обелиска и некоторых призматических тел. Сферы здесь нет, хотя по последним задачам книги IV и VI

можно видеть, что ее объем вычислять умелй ——еще одна демонстрация независимости книг друг от друга.

Вышеуказанным задачам предшествуют задачи на определение объемов различных гидротехнических сооружений вместе с расчетами рабочей силы, требующейся для выполнения строительства объекта, в зависимости от разного рода условий и т. п. Аналогичные задачи содержатся в вавилонских текстах, сравнение с которыми позволяет отличить и в этой книге более древнюю часть от добавлений, сделанных более поздними составителями.

Книга VI «Пропорциональное распределение» в своей первой части по содержанию перекликается с книгой III: в ней также помещены задачи на пропорциональное деление и простое и сложное тройное правило. Но условия этих задач более сложные, чем в книге III, и требуют иногда довольно больших вычислений. Помимо этого книга VI содержит еще ряд арифметических задач, например так называемые задачи на совместную работу, задачи на прогрессии и др. В последних мы обнаруживаем решение, по идее аналогичное решению одной вавилонской задачи подобного рода. В этой же книге мы встречаемся с примерами округления чисел, которое отчасти применялось еще в книге V.

Книга VII «Избыток—недостаток» и книга VIII «Правило „фан-чени» могут быть названы в противовес предыдущим алгебраическими. Это наиболее красивые книги сочинения. Содержание их математически однородно, вероятно, они относятся1 к более поздним частям трактата. Например, книга VIII содержит задачи, которые сводятся к системам линейных уравнений, решенных с помощью правила «фан-чен», по своей идее довольно близкого к методу Гаусса. Рассматриваются только совместные системы, корни только положительные, и системы составляются не более чем из пяти уравнений. Среди них есть неопределенная система пяти линейных уравнений с шестью неизвестными, причем приводится минимальное положительное целое решение.

В этой же книге мы встречаемся с другим замечательным открытием древности: отрицательными числами, которые получаются уже при приведении системы к каноническому виду, а также при преобразовании первоначальной матрицы к треугольной.

Если книга VIII является вершиной, которой достигла в своем развитии математика Китая к началу нашей эры, то книга VII позволяет взглянуть на сам процесс этого развития: она показывает «лабораторию» древнего китайского математика.

Книгу VII можно разделить на две части, первая из которых посвящена задачам, сводящимся к одному частному виду системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, когда коэффициент при у равен —1. Вторая часть состоит из разнообразных задач, решенных с помощью метода двух ложных положений. В обоих случаях даны правила, конструирующие искомые величины из таблиц, составленных из двух пар чисел, взятых или же полученных из условия задачи.

Разработка^этих двух типов задач в виде некоторого табличного способа, иначе говоря, принцип объяснения разных правил под одним заголовком, показывает характерную особенность и уровень математического мышления древнего китайского математика. Для китайской математики свойственно ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление. Каждый вопрос математик, старался свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов. Для производства вычислений в древнем Китае пользовались счетной доской. Описания ее и правил действий с целыми числами в трактате нет, поскольку, вероятно, доска была широко известна и правила действий на ней объяснялись устно. Числа на доске изображались с помощью счетных палочек по определенным принципам (см. подробно далее ч. II). Таким образом, китайский математик, для которого счетная доска была своеобразной счетной машиной, стремился решение проблемы выразить в виде общего правила, четко определяющего ход конструирования искомой величины.

Укажем, наконец, на книгу IX «Соотношение.между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике» («Гоу-гу»), которая содержит геометрические задачи, решаемые на основании теоремы Пифагора и свойств подобных прямоугольных треугольников. Книга интересна тем, что здесь алгебра систематически применяется к решению геометрических задач.

Китайцам были известны формулы для пифагорейских чисел, т. е. решение уравнения 胃纟十^纟二纟纟 в целых числах. Этой проблеме посвящены задачи 14 и 21 книги IX «Математики. . .». Эта книга интересна еще тем, что в ней решение квадратного уравнения производится не только обычным образом, но и численным методом, являющимся обобщением извлечения квадратного корня на случай нахождения корня полного квадр атного уравнения. Эта идея была затем разработана китайскими математиками далее и наиболее полное развитие получила в трудах математиков XIII — XIV вв. Последние задачи книги IX показывают, что измерением расстояний до недоступных предметов, а также их размеров занимались в древнем Китае еще с давних пор. Это также было излюбленным занятием^средневековых вычислителей.

Обзор содержания трактата свидетельствует о традиционном, практическом принципе расположения материала по книгам: измерение полей, установление эквивалентности между различными видами зерновых культур, распределение доходов, оценка земляных работ и т. д. Происходит это потому, что древние математические тексты предназначались для чиновников различных ведомств, которые должны были уметь распределять и подсчитывать налоги, измерять земельные участки, вести расчеты при строительстве и т. п. Из обзора также видно, каким образом обрабатывался математиками этот материал, дополняясь по принципу единства математического метода задачамгс, не носящими практического характера.

Заметим, дто комментарии Лю Хуэя носят самостоятельный характер и отличаются своей оригинальностью и глубиной от других более поздних комментариев, принадлежащий Ли Чунь- фэну.

Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии

Лю Хуэй, математик III в. н. э., известен как основной комментатор «Математики в девяти книгах». Комментарий Лю Хуэя имеет самостоятельное значение: в нем содержатся оригинальные для китайской математики идеи предела, методы геометрической алгебры, десятичные дроби и т. д. [110, с. 62 и след. ]. «Математический трактат о морском острове» («Хай дао суань цзин») [17,133], вошедший в математическое «Десятикнижье» третьим по порядку вслед за «Математикой в девяти книгах», также был написан в качестве дополнения к «Математике», именно к трем ее последним задачам из области практической геометрии (см. далее ч. V). Он состоял из задач практической геометрии и был оформлен сначала в виде дополнительного десятого цзюаня древнего сочинения. Заголовок этого дополнения Лю Хуэя, подобно другим заглавиям девяти книг «Математики», обозначал метод решения: чжун-ча, т. е. «двухслойная разность» (смысл термина пояснен далее). В дальнейшем, однако, задачи Лю Хуэя были выделены в самостоятельный трактат, который и получил название по первой задаче, составленной Лю Хуэем. В ней измеряется высота морского острова и расстояние от наблюдателя до него. В математическом «Десятикнижье» трактат Лю Хуэя помещен с комментарием Ли Чунь-фэна, который представляет собой вычисления по предложенным автором трактата правилам.

В дошедшем до нас варианте «Математического трактата о морском острове» содержится всего девять задач, каждая из которых снабжена ответом и правилом решения, представляющим собой алгоритм для искомых величин в общем виде. Весьма возможно, что в первоначальном тексте были чертежи, но теперь они отсутствуют. (Хорошую реконструкцию чертежей см. в [133].) По языку текст Лю Хуэя вполне идентичен тексту классической «Математики в девяти книгах», что понятно. Каждая задача начинается с типичного оборота «Имеется. . .» (цзинь то ...), с которого начинаются все задачи «Математики»; терминология вполне аналогична употребляемой в «Математике». Однако Лю Хуэй предлагает еще специальные новые термины, с помощью которых он выражает свой метод решения данного класса задач. Формулировка задач достаточно лаконична, задачи составлены по мере их усложнения.

Для решения задач практической геометрии в «Математике в девяти книгах» используют подобные прямоугольные треугольники. Для решения задач более общего характера Лю Хуэй пользуется подобием произвольных треугольников, которое он вывел

из подобия прямоугольных треугольников, пользуясь при этом алгебраическими методами.

Метод чжун-ча был заимствован из древнекитайской астрономии, где он употреблялся для определения высоты Солнца над горизонтом. Свою первую задачу Лю Хуэй сформулировал подобно астрономическай задаче, как она описана в «Математическом трактате о чжоу-би» (см. о первой задаче Лю Хуэя подробно в ч. V). Древняя астрономическая задача была поставлена так, что решение лишь приближенно давало значения искомых величин. Лю Хуэй поставил задачу точно, и его математическая задача имеет точное решение. Лю Хуэй обобщил такую задачу, рассмотрев различные виды измерений на местности.

В «Математике в девяти книгах», в ее трех последних задачах, представлены три основных вида измерений на местности: при помощи шеста, при помощи угольника и при помощи веревки. Все эти типы измерений проведены и у Лю Хуэя. Из девяти задач трактата в задачах 1 и 2 измерения проводятся с помощью шеста, в задачах 4, 5, 7—9 —— с помощью угольника, в задачах 3 и 6 — с помощью веревки. Кроме того, Лю усложнил задачи, тем, что проводил наблюдения с несколькими измерениями. В его задачах употреблены пара шестов (чжун бянь), пара угольников (с〃 цзюнь) и проведено несколько наблюдений с помощью соединяющей шесты веревки (лянъ eg). Таким образом, производится от двух до четырех наблюдений. Чаще всего проводятся измерения при помощи угольника. Большая часть задач Лю Хуэя с тремя измерениями: два измерения в задачах 1, 3, 4; три измерения в задачах 2, 5, 6, 8, 9; четыре измерения в задаче 7. Эти древнекитайские задачи практической геометрии разделяются также по объектам измерения: вычисляется либо высота (острова, сосны, пагоды), либо ширина (стены города, реки), либо глубина (ущелья, ямы). Чаще всего в задачах трактата Лю Хуэя измеряется ширина. Исходя из указанных параметров, типичной задачей оказывается задача 8: в ней определяется ширина переправы при помощи угольника, при этом производится три измерения. Напомним, что в задачах «Математики в девяти книгах» производится одно измерение при помощи одного инструмента и рассматривается одна пара подобных прямоугольных треугольников, определяется одна неизвестная величина. У Лю Хуэя в первых трех задачах находится две искомых величины, это образцовые задачи на метод чжун-ча в его прямом значении. Но другие задачи, в которых определяется лишь одна величина, свидетельствуют о том, что этот метод понимался более широко. Упомянем, что И. Миками понимал под термином «чжун- ча» двойное отношение пропорциональных сторон, тогда как Цянь

Бао-цун понимает этот термин иначе (см. ч. V). Действительно, отношение пропорциональных сторон в дальнейших задачах уже не фигурирует, и решения задач основаны на подобии произвольных треугольников и пропорциональности их сторон.

Эти девять задач Лю Хуэя сыграли, по-видимому, большую роль в науке. В сочинении Цинь Цзю-шао XIII в. «Девять книг по математике» мы снова находим задачи практической геометрии (свитки 7 и 8 книги Циня, см. о них далее в ч. V), которые средневековый автор посвящает основному своему методу численного решения уравнений высших степеней. Однако больше половины задач Циня решены при помощи метода гоу-гу и чжун-ча, т. е. таким же способом, каким пользовался в свое время Лю Ху эй. У Цинь Цзю-шао сохранена даже древняя терминология. Например, он употребляет в одной из задач выражение «пара шестов», хотя речь идет не о шестах.

Метрологический трактат Сунъ-цзы

После того как было составлено фундаментальное в своей об> ласти сочинение «Математика в девяти книгах», включающее все многообразие математических знаний древних китайцев, которые они положили в дальнейшем каждому грамотному человеку в его научный багаж,——после этого через несколько столетий ——срок достаточно большой по сравнению с жизнью одного поколения —— был составлен трактат Сунь-цзы [10, И, 49].

Достоверная история трактата Сунь-цзы неизвестна. Об авторе его нет никаких сведений. Однако историки точно установили, что это сочинение не принадлежит знаменитому древнекитайскому полководцу V в. до н. э. Сунь-цзы. Датировка сочинения приблизительна. Ориентиром являются задачи 4 и 5 последней книги трактата: в первой из них идет речь о буддийской книге, во второй —— о шашках индийского происхождения, терминология которых связана с буддийской культурой. Начало проникновения последней (I в. н. э. и, возможно, несколько позже)——наиболее ранняя возможная дата сочинения. Однако известно, что буддизм, встреченный враждебно конфуцианцами, широкое распространение получил лишь при Таиской династии (VII——IX вв.). Наиболее поздняя дата трактата Сунь-цзы ——дата «Математического трактата Сяхоу Яна» (примерно V в. н. э.) из того же «Десятикнижья». В предисловии сочинения Сяхоу Яна упоминается имя Сунь-цзы. Большинство историков полагают, что книга Сунь-цзы написана была примерно в III—IV в. н. э. [147, 176].

Трактат Сунь-цзы в ряду сохранившихся древнекитайских текстов представляет собой как по содержаниюГтак и по времени составления непосредственно'следующее за «Математикой в девяти книгах» звено. И это звено находится в общей цепи официального развития науки старинного™ Китая. Ведь со времени составления «Математики в девяти二книгах» прошло'йесколько столетий. Ханьская империя перестала существовать, она распалась на ряд от-

дельных феодальных княжеств. Какие новые проблемы появляются в математике этого периода? Каково дальнейшее развитие методов, изложенных в «Математике»? «Математический трактат Сунь-цзы» до некоторой степени дает ответ на эти вопросы.

Выше (см. п. 3 и 4) уже было написано о комментариях Лю Хуэя к «Математике в девяти книгах». К сожалению, сохранились только эти комментарии, а не все труды названного математика, которые, по всей вероятности, существовали и которые по своим методам, как показывают комментарии, резко отличаются от официальной литературы. Методы Лю Хуэя ближе к греческим, чем к китайским, хотя они и приложены к традиционным древнекитайским задачам. В китайской математике также имела место разработка геометрической аксиоматики, правда, пока об этом мало известно. Можно предположйть, что математическое доказательство в работах древних китайских ученых все же имело место. Другое дело, что в официальных руководствах, предназначенных для обучения будущих чиновников, не полагалось приводить теоретические рассуждения, а требовалось писать их по определенному образцу.

Составитель трактата, который оказался в положении автора —— личности совершенно неизвестной, — имевшего перед глазами высокочтимую «Математику в девяти книгах», должен был придерживаться традиционной проблематики и традиционной формы изложения материала. Действительно, в задачах Сунь-цзы те же пропорции, прогрессии, извлечение корней, линейные уравнения. Те же правила вычисления площадей и объемов и даже то же число 冗=3, хотя к этому времени были найдены другие, более точные значения этого числа. Кажется, что Сунь-цзы не особенно утруждает себя составлением новых задач и ряд задач берет просто из «Математики». Таковы задачи 1—4 на действия с дробями, а также 5——8 на обмен зерна из средней книги трактата и др. [49, с. 28——29]. Заимствуя задачи из «Математики в девяти книгах», Сунь-цзы старается главным образом подробно изложить правило решения данной задачи, записанное в «Математике» лаконично, так как, возможно, со временем текст правила стал без пояснений непонятен. Отметим сразу же, что эти детальные пояснения представляют для исследователя ценный материал, восполняющий пробелы относительно. вычислительной техники древних китайцев, о которой в классической «Математике» специально не говорилось, хотя она была написана как руководство к действию на счетном приборе. Очевидно, такие пояснения либо давались устно, либо содержались в других текстах, но подобные книги до нас не до- шлм»

При первом^сравнении внешнее сходство с «Математикой в девяти книгах» очень большое: все те же книги-цзюани, в которых собраны задачи в сопровождении ответов и рецептурного правила решения, без сообщения каких-либо доказательств. Заметим только, что традиционная манера письма не составляла особен- ность^Сунь-цзы среди других древнекитайских Авторов. Анало

гично написаны трактаты Чжан-цзяня, практический трактат пяти ведомств и т. д.

При детальном исследовании «Математического трактата Сунь- цзы» открываются удивительно красивые идей, а, казалось бы, неинтересные заимствования из «Математики» позволяют выяснить многие новые особенности арифметики и алгебры древнего Китая.

Так, способы решения задач 1——4 отчетливо поясняют технику оперирования с дробями на счетной доске, о чем по «Математике» можно лишь догадываться. Текст Сунь-цзы подтверждает реконструкцию понятия числа в древнем Китае, проведенную автором настоящей работы по тексту «Математики», но вместе с тем существенно уточняет ее [И, с. 9 и след. ]. Дробь у Сунь-цзы понимается как пара равнозначных чисел, над которыми на доске производятся действия, и получается она в результате деления, а не особого «объединения в одно [число]», как об этом говорилось в «Математике в девяти книгах». Таким образом, у Сунь-цзы подчеркивается природа рационального числа, его происхождение: выполнимость операции деления в числовом множестве (поле).

Другая группа заимствованных задач 5—8 на пропорции, возникающих при обмене зерна, по существу, является цепочкой примеров, последовательно вводящих десятичные дроби (см. подробно ч. II). Именно только детальное сравнение текстов решений, помещенных к этим задачам в «Математике в девяти книгах» и в трактате Сунь-цзы, помогло выяснить картину. Ведь подробных пояснений, вообще никаких пояснений на этот счет в древних текстах не имеется. Для объяснения происхождения десятичной дроби Сунь-цзы пользуется, как мы полагаем, также операцией деления.

В композиции трактата Сунь-цзы имеются существенные отличия от «Математики в девяти книгах», хотя, как мы отметили выше, на первый взгляд они текстуально аналогичны. Девять книг «Математики» претендовали на всеобъемлющее содержание. Число «девять» в китайском фольклоре является предельным, означающим «много», подобно русскому «семь». Примерами могут служить девять слоев неба, девятиголовый змей, девять ворот во дворце небесного владыки, девять сыновей мифической Нюйвы и т. д. Употребление в заголовках числа девять в таком смысле было традиционно. Так, у «первого китайского поэта» Цюй Юаня (III в. до н. э.), в творчестве которого нашли отражение многочисленные народные легенды и сказания, есть произведения «Девять напевов», «Девять элегий».

В отличие от «Математики» трактат Сунь-цзы не претендует на такую широту. Цели Сунь-цзы были иными, чем составителей «Математики». Сунь-цзы старался лишь дополрить основное сочинение и объяснить то, что со временем стало непонятным. Если в «Математике» на каждое правило приводилось по нескольку задач и задачи объединялись в книги-цзюани с общим заглавием, характеризующим так или иначе класс задач, то трактат Сунь-цзы построен иначе.

Композиция цроста: три книги-цзюаня содержат 64 задачи, которые целиком размещены во второй и третьей из них. Первая же книга состоит из таблиц разного рода. Книги Сунь-цзы никак не озаглавлены, каждая задача у Сунь-цзы самостоятельна, она представляет собой класс задач, с которыми мы встречались в «Математике» или, напротив, которых не оказалось в ней.,

В качестве дополнения к «Математике» следует назвать задачу на остатки (систему сравнений первой степени с одним неизвестным) ——задачу 26 последней книги (подробно см. в ч. III). Это самая знаменитая задача, которая не только сделала имя Сунь-цзы широкоизвестным, но и представляла на Западе одно из китайских чудес. Весьма вероятно, что эта задача была широко известна и ранее, но она не нашла себе места в четко построенной «Математике в девяти книгах».

Хотя автор трактата ставил перед собой скромные цели, он написал выходящее за пределы простых пояснений и дополнений, вполне самостоятельное сочинение, в котором нашли отражение современные ему математические методы.

Следует отметить новизну в постановке вопроса в задаче 35 последней книги, в которой находится наименьшее общее кратное трех чисел. Происхождение этого понятия теории чисел, как показали задачи 1——11 книги IV «Математики в девяти книгах», тесно связано с приведением дробей к общему знаменателю. В этих задачах изложен оригинальный метод нахождения наименьшего общего кратного ряда чисел на примере отыскания наименьшей общей меры для последовательностей единичных мер {1/〃} (подробно см. ч. III). У Сунь-цзы проблема выделена в чистом виде: по существу, отыскивается наименьшее общее кратное целых чисел. Схема вычислений аналогична приведенной в «Математике», но из-за взаимной простоты чисел она значительно упрощается.

Для трактата Сунь-цзы вообще характерно упрощение условий задач. Из двух задач на определение среднего арифметического трех дробей из «Математики» Сунь-цзы считает нужным выбрать менее сложную. Для демонстрации метода фан-чен решения линейных систем Сунь-цзы берет одну из простейших систем, решенных в «Математике в девяти книгах», и при этом еще упрощает ее тем, что делает решение ее целочисленным. Для этого он несколько изменяет свободные члены. Относительно задачи 28 средней книги трактата Сунь-цзы, представляющей класс задач на «избыток-недостаток» (задачи 1—8 книги VII «Математики»), заметим, что и она предельно проста. Во всех таких случаях решение, однако, проведено полностью, хотя с нашей точки зрения при этом оказываются лишние действия. Эта манера изложения: предельная простота условия и образность, подобранные числовые данные, подробное, полное описание решения согласно общему методу, изложенному в «Математике», — была продиктована, видимо, педагогическими целями. В подавляющем большинстве случаев Сунь-цзы сообщает все промежуточные результаты вычислений. Вообще язык Сунь-цзы по сравнению с лаконичным изложением «Математики»

весьма живой. Некоторые его задачи напоминают нам красочные индийские формулировки: например задача 17 последней книги трактата, построенная в виде диалога между женщиной, моющей посуду, и перевозчиком; задача 34. той же книги, описывающая степени числа 9.

Трактат Сунь-цзы заслуженно считают наиболее ранним из дошедших до нас метрологических текстов. К метрологии относятся не только таблицы из первой книги трактата, но и, по существу, как выяснилось, геометрические задачи, а также задачи, связанные с употреблением десятичных метрологических дробей. Числовые таблицы, составляющие первую книгу трактата Сунь- цзы, являются отличительной особенностью этого древнекитайского сочинения. Известно, что вавилоняне широко пользовались числовыми таблицами, поскольку основание их системы было весьма велико. Трактат Сунь-цзы показывает, что и в древнем Китае широко их применяли. Заметим, что чисто числовые таблицы даны в описательной форме. Деление, например, представлено как равное распределение некоторого количества Л между 几 людьми.

Содержание первой книги трактата Сунь-цзы следующее.

Прежде всего приводятся канонические таблицы мер длины, веса и емкости. Сообщаются приближенные значения числа 冗=9 и удельный вес некоторых металлов и других веществ. Далее кратко сформулирован позиционный принцип представления чисел на счетной доске при помощи счетных палочек, а также правила умножения и деления целых чисел на счетной доске. Затем следует ряд отношений, применяемых при обмене зерна различных видов. Остальные таблицы можно разделить на три группы. Первая из них описывает по существу переход от шкалы, разделенной на 10, 9, . . ., 5 делений, к шкале с удвоенным количеством делений. Вторую назовем «расширенной таблицей умножения». В ней вычисляются произведения вида 加2〃2 и 加八2, где 几=9, 8, . ...» 1, а т=п, . . ., 1. Третья таблица содержит произведения (32-34).(3.4.3Й) и 2-Зя+1, где 几=4, . . ., 11.

По-видимому, составление таблиц постепенно совершенствовалось, одни таблицы строились на основании других. (Конструкция расширенной таблицы умножения «Девятью девять».) Все эти таблицы содержатся в более поздних математических текстах Дуньхуанских пещер тысячи будд, которые ныне хранятся в Париже [93; 94, с. 22——39].

Некоторые из мер длины, веса и емкости уже встречались в «Математике в девяти книгах», но соотношения между ними можно было восстанавливать лишь по контексту задач. Метрологические таблицы Сунь-цзы не являются простым сводом известных ему соотношений мер, но несут на себе следы специальной обработки. Мы их назвали каноническими, так как в основу таблиц положена десятичная шкала для перехода от одних названий к другим, а для минимальных единиц, которые мы назвали элементарными, были сформулированы определения. Эти таблицы используются как для построения десятичных дробей, так и для

образования систем наименований старших десятичных разрядов, которых у Сунь-цзы две (подробно см. ч. II).

Обильный практический материал, который поставляет метрология, с одной стороны, дал возможность усовершенствовать вычислительную технику. И эти новые достижения, с другой стороны, дали возможность прийти к более совершенным методам, решающим более широкий класс задач. Сама методология изменилась. Если раньше древнекитайские ученые выражали точно результат вычисления (в виде обыкновенных дробей), то теперь точность переносится в область интерпретации. Раньше выбиралась идеальная модель, далекая от реального сооружения, например плотины, но проводились точные вычисления по точной формуле (вплоть до дробной части человека!). Теперь выбирается более точная «физическая» модель, а вычисления могут проводиться приближенно (см. ч. V).

Математический трактат Чжан Цю-цзяня

Трактат Чжан Цю-цзяня, входящий в математическое «Десяти- книжье», был написан примерно через 200 лет после написания «Математического трактата Сунь-цзы» [51 ]. Его автор, так же как и Сунь-цзы, испытал сильное влияние «Математики в девяти книгах», но представил сочинение, имеющее самостоятельное значение. Развивая методы предшествующей математической литературы, Чжан Цю-цзянь уделял в ряде случаев внимание тем из них, которые оставил в стороне Сунь-цзы и которые в дальнейшем стали объектами пристального изучения: ряды, уравнения высших степеней, теоретико-числовые проблемы и др. Таким образом, трактат Чжана существенно восполняет наше представление о развитии математики в Китае за время между древней классической «Математикой в девяти книгах» и работами китайских алгебраистов XIII—XIV вв.

Не сохранилось почти никаких сведений об авторе данного трактата. Подпись под предисловием 《С уважением Чжан Цю- цзянь из Цинхэ» лишь указывает, из какого рода знатных людей он происходил. Большинство математиков относят текст к V в. [15, с. 80; 135; 150, с. 33].

Трактат Чжан Цю-цзяня ——второй по размеру текст в «Деся- тикнижье» после «Математики в девяти книгах»; он состоит йз трех книг: первой, средней и последней (подобно трактату Сунь- цзы). Некоторое количество задач утеряно, так как текст средней книги оборван, а последняя начинается с ответа к задаче, условие которой отсутствует. Вообще средняя книга выделяется наименьшим количеством задач. В ней всего 22 задачи, тогда как в первой их'32, а в последней 38. Тем не менее даже неполный текст сочинения Чжан Цю-цзяня гораздо^больше всех остальных трактатов «Десятикнижвя». Например, в трактате Сунь-цзы всего 64 задачи, в «Математическом трактате пяти ведомств» — 67.

Однако задач в трактате Чжан Цю-цзяня в три раза меньше, чем в «Математике в девяти книгах» (92 против 246), хотя по количеству страниц иероглифического текста они соизмеримы. Значительную часть текста трактата Чжайа составляют вычисления цао, которые помимо правил-алгоритмов шу также сопровождают каждую задачу. Этим трактат отличается от других частей сборника и похож более на сочинения поздних авторов, например на книгу Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике» (XIII в.). Применение правила, описанного в общем виде, к конкретным числам задачи осуществлено не автором трактата, но неким астрономом Лю Сяо-сунем в следующем столетии. Его имя упоминается на титульных листах каждой из книг трактата Чжана вместе с именами Чжэнь Луаня и Ли Чунь-фэна [100, т. И, с. 320]. Сам Чжан Цю-цзянь в предисловии к трактату обещает учащимся устно пояснять методы, которые, по его словам, «не сложны, но докучливы многократно» [51, с. 28]. На самом деле заметна разница в стилях, которыми написаны правила и вычисления. Правила лаконичны, вполне в духе и стиле «Математики в девяти книгах». Вьписления же подробны и сообщают промежуточные результаты (как в книге Сунь-цзы). Иногда они даже явно расходятся с правилами, указывая дополнительно вьписление величины, о которой, вообще говоря, в задаче не спрашивается и которой соответственно нет в ответе (таким образом обстоит дело в задаче 25 первой книги), или избирается несколько отличный от правила ход решения на отдельном этапе (задачи И, 18, 21 первой книги). Указанные примеры подтверждают, что правила и вычисления принадлежат разным лицам. Некоторые исторические хроники приписывают авторство вычислений и правил целиком Чжэнь Луаню. Вероятно, следует согласиться с Цянь Бао-цуном [100, т. II, с. 325], что это мнение ошибочно. Вряд ли текст задач был дан древним автором без правил ——это противоречило бы всем традициям составления трактатов.

Как бы ни был решен вопрос об авторстве отдельных частей сочинения, в основном вычисления проведены очень точно и строго по данным правилам. Таким образом, ими можно пользоваться как теми устными объяснениями автора трактата, которые он обещал давать своим ученикам по ходу вычислений на счетной доске, которой обычно пользовались в древнем Китае.

Комментарий Ли Чунь-фэна к трактату Чжана незначителен и не очень связан с текстом. Он ийтересен лишь в той части, которая относится к многочисленным задачам на тройное правило: (24—25, 27—28, 30-31 первой книги; 16—18, 23, 26-29, 33, 35 последней книги). Ли Чунь-фэн предлагает унифицированную терминологию для такого рода задач. •

Если трактат Сунь-цзы знаменит своей задачей об остатках, то трактат Чжан Цю-цзяня ——задачей н& неопределенное уравнение. Это последняя задача в трактате (38-я последней книги).

«Имеются: 1 петух стоимостью в 5 цяней, 1 курица стоимостью 3 цяня, 3 цыпленка стоимостью в 1 цянь. Всего на 100 цяней ку-

пили 100 птиц. Спрашивается, сколько было каждых в отдельности: петухов, кур, цыплят?» [51, с. 59—60].

Обозначив искомые величины через %, у, z соответственно, можно записать условие задачи в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными

5%+3g+z/3 = 100,/+什2 = 100・

Эта система эквивалентна неопределенному уравнению 7/+4у = 100・

Отсюда,

100—7/7

y = —4— = 23一产

z = 100 -(б + y) = 75 十彳 ⑦.

Если положить 力=級 т. е.

4 = 25 —7队z=75+3汽

то при 衣=1, 2, 3 g, £ — положительные, целые.

Подлинный текст задачи сопровождается комментарием Се Ча- вэя эпохи Сун. Вычисления проводятся по предложенному им правилу, которое, однако, неверно. Задача подробно рассмотрена в работах [130; 135].

Другими характерными для Чжан Цю-цзяня задачами являются задачи на прогрессии. Они также отмечаются историками математики. Действительно, в трактате Чжана впервые в истории китайской математики мы находим формулу суммирования некоторого числа членов арифметической прогрессии, хотя такое правило, вероятно, было известно и ранее. В вавилонских текстах оно встречается задолго до этого времени. Главное значение этих задач заключается в том, что методы их решения в эпоху Чжан Цю-цзяня стали прямыми, алгебраическими в отличие от прежних, косвенных и арифметических. К такому выводу мы приходим, сравнивая задачи на прогрессии, содержащиеся в «Математике в девяти книгах» и в трактате Чжана (см. далее об этом подробно в ч. III). Следует отметить, что задачи, аналогичные задачам на прогрессии «Математики», имеются в немалом количестве в трактате Чжана. Древним автором помещен ряд задач на пропорциональное деление, когда в роли пропорциональных чисел выступали члены прогрессии (например, задача 1 последней книги). Однакй уже в этих задачах заметен усиленный интерес к числовым рядам. В ряде задач на пропорциональное деление в качестве пропорциональных чисел автор избирает то ряд четных чисел (задача 13 средней книга), начиная его с нуля, то ряд чисел, кратных трем (задача 17 первой книги), а то берется последовательность 14, 9, 5, 2, 0, у которой лишь вторые разности постоянны и равны 1 (задача 17 первой книги). Чжан Цю-цзянь приводит задачу, аналогичную задаче 19 книги VI «Математики в девяти книгах», у ко-

торой имеется также вавилонский вариант. Эта задача интересна тем, что в ней взаимодействуют с разностью прогрессии, вычисляемой фактически как тангенс угла наклона прямой, определенной линейной зависимостью членов арифметической прогрессии (см. далее рис. 9). Берется разность некоторых двух усредненных членов прогрессии и находится ее отношение к числу членов, содержащихся в данном промежутке, которое может быть и дробным [50, с. 555——557 ]. Чжан Цю-цзянь владеет подобными методами, он составляет задачу 18 первой книги, несколько изменив условия более древней задачи.

Таким образом, мы убеждаемся, что автор данного трактата, как и Сунь-цзы, активно пользовался материалом классической «Математики в девяти книгах», но в отличие от Сунь-цзы стоял на других методологических позициях. Эти его математические вкусы ярче всего выразились в арифметических вопросах.

Новые задачи Чжана отличаются от прежних тем, что при их решении пользуются вполне отчетливым понятием разности прогрессии, формулой суммы п членов ее и даже понятием SJn «усередненной нормы», которая помогает задачу на определение неизвестного числа членов прогрессии свести к решению не квадратного, а линейного уравнения. Это задачи 22 и 23 первой книги, их форма традиционна (ткачиха работает со^ скоростью, измеряемой прогрессией); задача 1 средней книги и последняя задача первой книги.

В отличие от Сунь-цзы, который строил на метрологической основе систему десятичных дробей, Чжан Цю-цзянь отказался от употребления последних. Он предпочитал рассматривать метрологические величины, которые для Сунь-цзы были десятичными дробями (если, разумеется, шкала мер была десятичной), как обыкновенные дроби. Например, 1 цзинь 9 ланов (задача 29 последней книги) [51, с. 57] — это 25/16 цзин凡,так как 1 цзинь —16 ланам (меры веса). Поэтому при выражении этой величины и аналогичных ей в других задачах Чжан употребляет тот же термин приведения к общим долям (тун фэнь), что и для обыкновенных дробей.

Чжан Цю-цзянь придает большое значение учению об обыкновенных дробях. Его трактат начинается с задачи на умножение и деление дробей. Быть может, к подробному разъяснению этих двух операций его побудил пример Сунь-цзы, который рассмотрел два первых действия, сложение и вычитание дробевг. Напомним, что все операции с дробями были описаны в «Математике в девяти книгах». Однако еще в европейском средневековье эти дайствия считались непреодолимо трудными для обучавшихся математике. Возможно, и в древнекитайской математической литературе также потребовались дополнительные разъяснения, которые и произвели в своих сочинениях Сунь-цзы и Чжан Цю-цзянь. В задачах на дроби Чжан Цю-цзянь производит умножение и деление дробей, гораздо более сложных, нежели в «Математике». Его дроби отвлеченные и правило деления современное, отличное от описанного в «Математике». Он не приводит дроби к общему знаменателю, с тем чтобы

затем делить их числители, но умножает на перевернутую дробь, как в дальнейшем поступали многие средневековые математики в странах ислама и Европы. Поэтому историки математики высоко оценивали примеры деления дробей, приведенные Чжаном, пионером этого усовершенствования. Задачи расположены по мере усложнения, и первые три представляют умножение целого числа и дробного (смешанная дробь) на дробное, в том числе и на сложное дробное число, у которого дробная часть составлена из двух дробей. Следующие три задачи аналогично представляют деление дробного числа, в частности сложного дробного, на целое и дробное число.

О дробях и их природе древний автор рассуждает еще в предисловии. В первых строчках он пишет: «Тот, кто изучает [искусство ] счета, не опасается, что трудными окажутся умножение и деление дробей, но боится, что трудным будет приведение дробей к общим долям». Здесь же Чжан разъясняет, как при делении целых чисел следует «составлять» дробь из имеющихся на счетной доске чисел, если при делении будет остаток. В качестве числителя берется остаток от делимого, в качестве знаменателя — делитель. Это то самое пояснение, которого не хватало читателю «Математики в девяти книгах», когда он в ней встречался с фразой: «Объедини делимое и делитель в одно [число]». Кстати, эта фраза также часто встречается в трактате Чжана, а Сунь-цзы, как было отмечено выше, ее видоизменил. Далее Чжан пересказывает алгоритм попеременного вычитания, так называемый алгоритм Евклида, для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, который был изложен в «Математике». Далее в предисловии сказано о смысле термина тун фэнь ней цзы как обратного процесса превращения

/ Ь Ас Л-Ъ смешанного числа Л у в неправильную дробь ——.

二?Таким образом, после классической «Математики», в которой были представлены две тенденции в развитии древней математической мысли в ее начальной стадии, Чжан Цю-цзянь и Сунь-цзы оказались выразителями каждой из них. Чжан развивал исчисление обыкновенных дробей как пар. Сунь-цзы пытался приблизиться к области действительных чисел с помощью метрологических десятичных дробей. В рамках официальной литературы были выражены два эмпирических подхода к обоснованию числовых областей. Что касается развития вычислительного искусства эпохи автора указанного трактата, то следует заметить, что в тексте мы находим приемы быстрого счета. Например, в задаче 16 средней книги в частном получается дробь и производится ее сокращение так: дробь 135/720 удваивается, а затем сокращается на 10, далее на/ [51, с. 44-45].

Что касается алгебры и геометрии, то и здесь у Чжана отмечается новизна в постановке традиционных задач. Он решает линейные системы и при этом применяет несколько измененный вариант правила «фан-чен». Он заключается в том, что изменяется порядок в преобразовании матрицы системы к треугольному виду.

Этим самым Подчеркнута слабая связь матрицы с уравнением姑, т. е. имеется в виду, что вычислитель действовал с числами матрицы, а не с уравнениями. Однако перехода в полной мере к определителям произойти еще не могло, поскольку равноправия столбцов и строк матрицы не получалось из-за присутствия в ней свободных членов уравнений (см. далее подробно в ч. IV).

В трактате Чжана приводятся также задачи на системы, решенные другими методами (задача 1 последней книги; 21 первой книги, похожая на задачу 15 последней книги трактата Сунь-цзы) [49, с. 35; 51, с. 35, 47].

Квадратные уравнения встречаются в задачах 22 средней книги и 9 последней [51 ]. Чжан, как и составители «Математики», ни разу не описал подробно процедуру нахождения корня квадратного уравнения. Или, быть может, переписчики опустили из-за трудности эту часть текстов? В тех же задачах, где извлекаются квадратные и кубические корни из чисел, формулировка правил несколько отлична от предложенной в «Математике». Терминология более устоявшаяся, более точная (см. далее подробно в ч. IV).

Что касается геометрии, то опять-таки в отличие от Сунь-цзы задачи Чжана не измерительного характера. Они хотя и вычислительные, но в них подчеркивается их геометрическая сущность. Делает это Чжан Цю-цзянь следующим образом, произведя специальный подбор и группировку задач.

Четыре задачи (20, 21 средней книги и 30, 31 последней книги) явно выделяются своей постановкой [51, с. 46, 57——58]. В первой паре извлекается квадратный корень, во второй ——кубический. В этих случаях стандартными были задачи на определение стороны по заданным площади квадрата или объему куба. Чжан Цю-цзянь сначала действительно предлагает вычислить сторону квадрата с заданной площадью, а затем применяет правила извлечения квадратного корня к проблеме преобразования квадрата в круг и наоборот. Задачи ставятся так: круг и квадрат равновелики, и если известна сторона квадрата, то каков «обвод» (т. е. окружность круга); или: если известен обвод, то надо найти сторону квадрата. Задачи 30, 31 последней книги аналогичны: куб преобразуется в сферу, и, наоборот, сфера—в куб. Эти задачи приведены без предварительной задачи на вычисление стороны куба по его объему. Вычисления в этих задачах производятся в предположении числа 冗=3 в планиметрических задачах и 冗=27/8 в стереометрических. Первое значение было общепринятым в канонической литературе, хотя математики знали более точные значения числа 冗. Второе значение было, вероятно, заимствовано Чжаном из правила к задачам 23, 24 на вычисление диаметра сферы по заданному объему в книге IV «Математика в девяти книгах» [50, с. 471]. Это же значение числа 冗 использовано в задаче 20 первой книги, где из глиняного единичного куба делают ядра диаметром, в десять раз меньшим стороны этого куба. Здесь появляются комментарии Ли Чунь-фэна, в которых он уточняет ответ в связи с более точным значением 冗^22/7, вычисленным еще Лю Хуэем в III в.

Отметим также, что во всех этих четырех задачах корни извлекаются приближенно по правилу

дающему значение корня с недостатком, в отличие от Сунь-цзы, который пользовался формулой, дающей корень с избытком:

…务.

Впрочем, обе эти формулы были описаны еще Лю Хуэем в его комментариях к «Математике в девяти книгах».

Другая группа задач составлена так, чтобы показать сечения геометрических фигур и тел (задачи 7—ТО средней книги) [51, с. 41 — 42]. Правильная четырехгранная пирамида усекается в усеченную пирамиду, и, наоборот, правильная усеченная пирамида с квадратными основаниями достраивается до полной. Вычисляются высота усеченной и достроенной частей (это задачи 9 и 10). В предшествующих им задачах произведено сечение трапецоида, сечение имеет, по-видимому, форму прямоугольной трапеции. В этой трапеции произведено сечение отрезком, параллельным основаниям. Отыскивается либо этот отрезок, либо высота отсеченной нижней части.

Следует упомянуть еще задачу 11 средней книги трактата Чжана, так как в ней вычисляется боковая поверхность параллелепипеда, а также задачу 15 первой книги (из серии задач практической геометрии на измерение расстояний до недоступных предметов), в которой фактически вводится понятие проекции, правда, термина еще нет (о последней задаче см. далее подробно в ч. V) [51, с. 42, 32].

И, наконец, задачи 4—11 последней книги, в которых вычисляются емкости зернохранилищ, имеющих форму трапецоида, усеченного конуса, обелиска, усеченной пирамиды, построены попарно: каждая задача дана с обратным ей вариантом [51, с. 48—— 50]. По своему решению это обычные задачи, рассмотренные ранее в «Математике» и у Сунь-цзы. В задаче 19 первой книги Чжан Цю- цзянь принимает отношение диагонали квадрата к его стороне равным, как у Сунь-цзы, 7/5. В： этой задаче рассмотрен квадрат, вписанный в круг [51, с. 35].

Практическое руководстводля чиновников пяти ведомств

Небольшой анонимный «Математический трактат пяти ведомств» («У цао суань цзин») относится приблизительно к IV в. [13, 14, 52].

Известно, что Чжэнь Луань уже работал с текстом трактата пяти ведомств, а Ли Чунь-фэн оставил его без изменения. Текст трактата помещен в «Десятикнижье» без комментариев. С этим текстом работал также некто Хань Янь, современник Чжэня, как об этом сообщается в «Новой танской истории» [110, с. 27]. Но о нем ничего

более неизвестно. Существует более раннее упоминание о данном тексте в предисловии к трактату V в. из того же «Десятикнижья». Автор его Сяхоу Ян даже позаимствовал из «Математического трактата пяти ведомств» одну характерную задачу о четырехстороннике, которую ниже мы рассмотрим особо.

Согласно довольно поздним источникам (циньской энциклопедии «Сы ку ти яо», правда, со ссылкой на «Тан шу)>—«Тайскую историю») [НО, с. 27], рассматриваемое сочинение было составлено одновременно с «Математическим трактатом Сунь-цзы)> (не ранее III в. н. э.), также входящим в «Десятикнижье» [52 ]. Однако в трактате пяти ведомств есть задача, почти дословно совпадающая с задачей о нахождении стороны квадрата по его диагонали, которая весьма характерна для Сунь-цзы и которая, по всей видимости, заимствована у него, а не наоборот. При знакомстве с текстом сочинения достаточно ясно также, что оно, как и трактат Сунь-цзы, было написано под сильным влиянием «Математики в девяти книгах» (II в. дон. э.——II в. н. э.) —— главного по своему значению текста в « Десятикнижье» [50]. Заметим, что эту же датировку принимают Дж. Нидем и Ван Лин [150. с. 33] в отличие от других историков математики [НО, с. 91 ].

«Математическому трактату пяти ведомств» в историко-математической литературе не повезло, его судьба напоминает приключения «гадкого утенка». Трактат был низко оценен И. Миками, а также Дж. Нидемом и Ван Лином [150, с. 36], которые особенно упрекают составителя в использовании «неверных» формул для площадей. После «Математики в девяти книгах», где решаются, например, системы линейных уравнений матричным способом, этот текст кажется исследователям примитивным, и они теряют к нему интерес. Более того, — это отмечено у Дж. Нидема и Ван Лина [150, с. 34], —— некоторые историки (Д. Е. Смит [164, т. I, с. 141], ошибка повторяется у О. Бекера и И. Е. Гофмана [118, с. 134]) вообще сочли, что трактат Сунь-цзы и рассматриваемый ——одна и та же книга.

Что касается китайских авторов (Ли Яня, Цянь Бао-цуна и др.), то у них мы не находим оценки данному тексту. Они почти не останавливаются на нем в своих работах. Исключение составляет книга Цяня [110, с. 91——92]. В книге Цяня сделаны отдельные ссылки на «Математический трактат пяти ведомств», но все же и они не рисуют картины в полной мере. Между тем рассматриваемое сочинение представляет несомненный интерес для исследователя.

Если внимательно прочесть этот^текст, можно обнаружить следующие новые факты.

При решении задач на^ объем груды зерна,гтип которых^был специально рассмотрен еще в «Математике в девяти^книгах^, вводится новый термин: «внешний угол» (saz7 clp兄о)： Он соответствует случаю, когда зерно ссыпано не просто на пол, у стены или в углу («внутреннем углу»,гт. е. ней цзяо), но, например, возле дома. Объем зерна составляет три'четверти" объема полной груды, вычисляемого как объем конуса вращения (при 兀=3). Таким образом, из практических задач на сыпучие* тела^'возникли пред-

ставления о пространственных двугранных углах в 90 и 270°, как очевидно дополняющих друг друга до полного угла.

Среди задач на вычисление площадей появляется еще один новый термин — «центральная» (чжун ян) линия плоской фигуры, относительно которой она симметрична (см. далее рис. 22, а, 6)・ Эта линия является третьей «шириной», существенно отличной от двух других, равных между собой. Их среднее арифметическое входит в формулу площади этих фигур, к которой мы еще вернемся несколько ниже.

Новым является соотношение двух не употреблявшихся ранее в текстах по математике денежных единиц: вэней (грошей) и гуев (связок).

1000 вэней=1 гую.

В «Математике в девяти книгах» и трактате Сунь-цзы было только одно название — цяни^ т. е. монеты, слово, которое в данном сочинении приобретает общее значение для денег. Например, в задаче 7 книги III говорится: «Имеются цяни: 27 гуев 833 взнн» и т. д. [52, с. 89].

Весьма интересным материалом представляются выражения десятичных дробей. В трактате Сунь-цзы названия для десятых долей мер длины присваивались десятичным разрядам любого, даже неметрологического, числа. В «Математическом трактате пяти ведомств» этот способ также применен, но несколько иначе |13, 14]. Здесь употребляются названия не только десятых, но и сотых (儿〃)и тысячных (хао) долей цуня. Таким образом, метод Сунь-цзы как будто развит далее. Но эти названия прилагаются не для выражения десятичных долей частного, а для специального выражения остатка.

Следует отметить еще, что в «Математическом трактате пяти ведомств», как и у Сунь-цзы, свободно обращаются с метрологическими дробями. Здесь также применяются весьма мелкие единицы емкости: десятые, сотые доли самой маленькой на практике единицы —шэна. Например, в ответе к задаче 6 книги III записано: «660 ху 3 доу 3 шэна 3 хэ с остатком 3 шао». В задаче производился обмен 849 ху бобов на кунжут из расчета, что каждые 9 доу бобов равноценны 7 доу кунжута. Следовательно, ответ получается в результате деления произведения 849 • 70=59430 /^ на 90, как об этом сообщается в правиле. Частное является периодической дробью 660,333(3), если за целую единицу принять ху. Здесь остаток выражен в виде трех десятитысячных основной единицы ху, но, по существу, он равен 3 % шао [52, с. 89].

Однако значение «Математического трактата пяти ведомств» определяется не этой информацией о некоторых элементах вычислительной техники и образовании, развитии некоторых понятий. Основная ценность текста заключается в том, что он сильно отли~ чается как от «Математики в девяти книгах», так и от трактата Сунр-цзы своей ярко выраженной практической направленностью. Составитель текста совсем не претендовал на более или менее

полное изложение математических методов, тогда известных, как это сделано в «Математике в девяти книгах». Он даже не преследовал целей Сунь-цзы ——дополнить и развить алгоритмы «Математики», снабдив книгу новыми задачами и изложив достижения вычислительной техники. Он ставил узкопрактическую цель: научить будущих чиновников решать те задачи, которые им непосредственно встретятся при работе в ведомствах. Названия ведомств перечислены в заголовках: земельное, военное, торговое, амбарное, финансовое. Служащим этих учреждений приходилось исчислять площади полей, снаряжение и провиант для армий, проводить расчеты при обмене зерна или покупке вещей, раскладывать налоги, определять объем зернохранилищ или груды зерна, ссыпанной либо у стены, либо на землю, а также производить расчеты с шелком, поставляемым в виде сырца или уже готовой ткани, тафты. Для обороны крепости надо было через каждые три шага расставить охрану и подсчитать число требующихся для этого солдат. При устройстве военного лагеря необходимо было учесть место для установки повозок и т. д. Естественно, что в этом круге чисто деловых задач нет такого разнообразия методов, как, например, в «Математике в девяти книгах». И по количеству их раза в четыре меньше — всего 67. У Сунь-цзы задач примерно столько же, но и у него они охватывают более широкий круг вопросов. Ведь в «Математическом трактате пяти ведомств» нет ни квадратных уравнений, ни извлечения корней, ни линейных систем, ни систем сравнений, нет ничего более сложного, чем умножение и деление. Отсутствуют всякого рода отвлеченные примеры и развлекательные задачи на тренировку учащихся в области математики. Именно эти обстоятельства, отмеченные И. Миками, привели его .и других историков математики к низкой оценке сочинения.

Если же в действительности этот трактат расценивать не как монографию, а как практическое руководство, то мы получаем возможность выявить уровень математической практики в древнем обществе. И он не был таким низким, как кажется на первый взгляд. Конечно, применялась только часть (и, естественно ожидать, наиболее простая) тех знаний, которые., уже были накоплены. Пусть это были только четыре арифметических действия. Но ведь при этом пользовались понятиями и вычислите л ьными методами, которые не были тривиальными, например десятичные дроби или среднее арифметическое.

Прикладной характер текста интересен в общеисторическом плане. В отдельных задачах отражены конкретные стороны социально-экономического уклада древнего общества. Например, мы узнаем, что солдат (бинов) снабжают зерном из расчета 7 шэнов на человека, монетами (по 556 вэнеи), холстом (по 1 чжану 2 чи 3 цуня)^ шелковой тафтой (по 2 чжана 8чи5 цуней). Насколько реальны эти данные, неизвестно, но они любопытны несомненно. Почти вся пятая книга трактата посвящена расчетам, связанным G щелком, которым и занимались в «золотом» ведомстве (цзинъ

цао). Для данной эпохи характерно, что общим эквивалентом обмела служило утке не просо, как это зафиксировано в «Математике в девяти книгах» и трактате Сунь-цзы, а шелк. Налог собирали также главным образом шелком.

Рассмотрим теперь главный вопрос: каким был уровень «прикладной математики», или «математической практики»? Здесь мы подробно рассмотрим первую книгу трактата и ее «неверные» формулы площадей полей.

Девятнадцать задач этой книги, вероятно, обобщают опыт измерения земельных участков, представляя наиболее типичные виды полей. «Математика в девяти книгах» начинается с аналогичной книги. Однако эта книга, носящая название «Измерение полей» (фан тянъ, буквально — «квадрирование» полей), принципиально отличается от рассматриваемой. Прежде всего «Измерение полей» начинается с определения мер площади, сначала основной единицы 1 му = 15x16 кв. бу, а затем 1 кв. ли и соотношения 300 кв. бу = 1 цину. В первой книге ведомственного трактата основная единица площади предполагается известной и кроме нее никаких других производных единиц, вроде «кв. ли», нет. '

Далее, в первой книге «Математики» обстоятельно изложены правила действий с обыкновенными дробями. В «Математическом трактате пяти ведомств» обыкновенных дробей вообще нет, и во всех задачах книги земельного ведомства (тянъ цао) размеры участков выражены целыми единицами длины 6少(двойными шагами, примерно равными 1,8 м), а искомые площади — в «л?/». В стандартном ответе содержится целое число му и «остаток» в несколько бу, разумеется, квадратных.

Наконец, в «Измерении полей» вычисляются площади прямолинейных фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции, в том числе равнобочной, а также круга с его частями (сектором, сегментом) при тс = 3. В первой книге ведомственного трактата значительное внимание уделяется криволинейным фигурам в виде барабана с вогнутыми и выпуклыми боками, в виде змеи, в виде ущербного месяца и рога буйвола, свирели. Это задачи 5, 6, 8, 10, 15, 16 [52, с. 85—87]. Площади первых трех фигур вычислены приближенно по формуле S = 〃 + ； + с 场,где а, Ь, с были, по существу, тремя измерениями «ширины» прямоугольника с его длиной, равной h. Здесь использовалось понятие среднего арифметического трех измерений «ширины» поля в характерных местах ——самом широком (узком) и на концах поля [52, с. 86 ]. Этот же принцип осуществлен при вычислении площади произвольного четырехугольника (задача 14 неркой книги ведомственного трактата) [52, с. 86]. Согласно правилу, приведенному в тексте, площадь такого поля вычислялась

丫 с с b d 7 7

по формуле 3где а,仇 с, d — стороны четырехугольника (см. подробно далее в ч. V). Необычайная популярность и живучесть этой, вообще говоря, неверной формулы, которая обычно не нравится математикам, заключается в ее умелом при-

менОнии. Она не будет давать больших ошибок, если четырехугольное поле не будет значительно отклоняться от прямоугольного. Вероятно, на практике это условие интуитивно, но соблюдалось. И если формулу площади четырехсторонника рассматривать как первую попытку провести приближенное вычисление с привлечением среднего арифметического сначала только двух измерений (при соблюдении некоторых условий 'наименьшего отклонения от точного значения), то эта формула, право, не кажется пугалом. Правда, в китайской задаче приводится фигура, не очень хорошо напоминающая прямоугольник. В зависимости от разного расположения фигуры с заданными сторонами и в случаях наилучшего приближения к прямоугольнику значение площади все же отличается от данного в ответе значительно, так что ошибка составляет 6——7%. Но, может быть, эта погрешность допущена только в учебной задаче, или чиновников удовлетворяла такая точность? Нам, к сожалению, неизвестна точность измерительных инструментов того времени. Однако можно привести косвенные свидетельства. В ведомственном трактате [52, с. 86, задача 7 ] вычислена площадь поля «в виде лука», т. е. сегмента. Сегмент заменили треугольником с тем же основанием и высотой, и этой точности хватило. Тем не менее еще пятьсот лет назад в «Математике в девяти книгах», в первой книге, на вычисление полей были решены аналогичные задачи по более точной формуле [50, с. 446].

Таким образом, все изложенное выше характеризует «Математический трактат пяти ведомств» как практическое руководство к вычислительной работе в учреждениях древнего Китая.

Арифметическое пособие Сяхоу Яна

О «Математическом трактате Сяхоу Яна» («Сяхоу Ян суань цзин») исследователи обычно упоминают в связи с сочинениями Сунь-цзы и Чжан-цзяня [147, с. 39], кратко описывая его содержание, сводящееся к задачам на проценты, к операциям умножения и деления и принципу позиционности [110, с. 34—35; 150, с. 37]. Известно, что в предисловии трактата Чжан Цю-цзяня (V в. н. э.) упоминается о Сунь-цзы и Сяхоу Яне, а в трактате Сяхоу Яна повторяется правило нахождения площади неправильного четырехугольника, употребленное в «Математическом трактате пяти ведомств». Это все, что известно о хронологии текста. Об авторе трактата также нет сведений. Трактат прокомментирован Чжэнь Луанем. Комментария Ли Чунь-фэна здесь нет.

Относительно даты составления трактата можно указать следующее. И. Миками [147] относит текст к середине или второй половине VI в. Дж. Нидем и Ван Лин считают, что Сяхоу Ян жил при династии Северная Вэй, поскольку автор древнего трактата упоминает об эталоне мер и весов V в. Таким образом, трактат Сяхоу Яна был по крайней мере при Чжан Цю-цзяне. Однако Цянь Бао-цун в последнем издании «Десятикнижья» поместил данный трактат последним. Хотя сочинение Сяхоу Яна существовало

в V в., но сохранившийся ныне вид приняло тогда, когда его дополнил к обработал некий Хань Янь (780—804). До него трактат состоял из двух книг, а не из трех, как мы его теперь находим. Действительно, первая книга существенно отличается от двух последних. В трактате Сяхоу Яна содержится, на наш взгляд, значительный процент двусложных слов, особенно в книге первой, тогда как в других трактатах «Десятикнижья» преобладают слова односложные. Некоторые древние термины, например относящиеся к пропорциям, исчезли, и правила описаны несколько иначе, чем в более ранних текстах. Встречается современное слово для обозначения процентов, тогда как ранее оно не употреблялось, хотя задачи подобного рода решались. Книга первая трактата Сяхоу Яна по содержанию весьма схожа с книгой первой твактата Сунь-цзы. В ней также содержится описание принципа позиционности китайской счетной доски, некоторых правил операций (умножение и деление) с целыми числами и дробями, метрологических таблиц и др. Однако в отличие от трактата Сунь-цзы у Сяхоу Яна в первой книге для пояснения некоторых правил приводятся задачи. Их всего девять. У Сунь-цзы задач в первой книге нет. Но в нем большую часть занимают числовые таблицы, которых у Сяхоу Яна нет совсем. Весь материал первой книги трактата Сяхоу Яна разделен на отдельные параграфы. Их насчитывается шесть. Это тоже новшество в манере изложения древних авторов.

Следует отметить еще одну характерную особенность трактата Сяхоу Яна: в первой его книге осуществляется попытка описать историю эталонов мер и веса, четко сформулировать правило умножения и деления на степени 10, которое, правда, употреблялось еще до Сяхоу Яна, например у Сунь-цзы. Все это действительно ставит сочинение Сяхоу Яна в ряд более поздних текстов, чем трактаты «Десятикнижья». Невозможно не заметить разницы при изложении принципа позиционности в трактатах Сунь-цзы и Сяхоу Яна. Если у Сунь-цзы принцип излагался на фоне описания операций умножения и деления целых чисел, то в трактате Сяхоу Яна, наоборот, операции с числами описаны кратко и даже неполно, а сам принцип изложен довольно обстоятельно. Если у Сунь-цзы по имеющейся у него терминологии можно было судить о том, что Сунь-цзы представлял дробь как пару чисел, то в трактате Сяхоу Яна дробь как пара выступает так отчетливо, что порою даже неясно, идет ли речь о паре чисел просто или о паре чисел, составляющих дробь. Во многих вопросах Сяхоу Ян очень близок взглядам Сунь-цзы, но иногда идет и дальше. Особенно это видно в области применения десятичных дробей. В трактате Сяхоу Яна большое внимание уделено действиям с именованными числами. Помещены специальные задачи для этого, более всего они расположены в последней книге. В них занимаются переводом из одних мер в другие или расчетом стоимости определенных единиц мер и весов. Именованные десятичные дроби заданы непосредственно в условии задачи, и выражения эти довольно сложные. Встречаются в ответах периодические десятичные дроби, у которых период повторен два

раза. Такого до сих пор избегали в трактатах «Десятикнижья)>. Иногда Сяхоу Ян специально преобразует именованное число, для единиц которого не существует десятичных соотношений, в именованную десятичную дробь.

Из всех трактатов «Десятикнижья» сочинение Сяхоу Яна выделяется особым стремлением к облегчению производства операций на счетном приборе. Очень часто в задаче дается два способа решения, отличающихся друг от друга тем, что в одном из них специально описан способ быстрого счета. Например, умножение на 16, на 24 Сяхоу Ян заменяет последовательным умножением на 2 и на 8, на 3 и на 8; умножение на число второго десятка ——почленным умножением на вторую цифру и на 10, последнему соответствует на счетной доске движение влево на одну позицию. Для этого он употребляет особый термин, который ранее в математических текстах не встречался. Благодаря этому сочинению китайская вычисли' тельная техника становится еще более ясной.

Что касается содержайия двух других книг трактата Сяхоу Яна, то они состоят, как обычно, из задач, сопровождающихся ответами и правилами решения. В средней книге их 29, в последней—44. Содержание задач вполне характеризуется названием параграфов средней книги трактата, на которые она разбита. Параграфов всего пять. Задачи последней книги плохо поддаются систематизации. Среди них много, задач метрологического плана, как уже было указано выше. Ряд задач посвящен процентам, некоторые из них составлены на тему, уже содержащуюся в средней книге трактата (плата за перевозку), остальные задачи — на покупку, производство или очистку зерна. В двух задачах вычисляется объем земляных работ. Таким образом, по своему содержанию трактат Сяхоу Яна близок трактату Сунь-цзы и ведомственному. G «Математическим трактатом пяти ведомств» трактат Сяхоу Яна сближает ярко выраженный прикладной характер задач, а некоторые заголовки просто совпадают. Не удивительно поэтому, что в нем в разделе о площадях полей, необходимом для чиновников земельного ведомства, повторяются некоторые приближенные формулы вычисления криволинейных фигур, в том числе «неверная» формула площади неправильного четырехугольника. Выше мы уже высказали соображение по поводу такой задачи, оно сохраняет свою силу и в отношении данного сочинения, поскольку назначение его примерно такое же, какое имел ведомственный трактат.

«Математическому трактату Сяхоу Яна» специально посвящена статья Л. ван Хе [132], в которой он цитирует шесть задач из трактата, в том числе пять из них взяты из последней книги трактата. Ван Хе пользовался изданием, хранящимся в Парижской библиотеке. Кроме того, ван Хэ приводит названия для простейших дробей, типа «половина», «одна треть» и т. д., которые называет Сяхоу Ян, и указывает, что они применялись в водяных часах. Ван Хэ, а также Дж. Нидем и Ван Лин оценивают это практическое руководство по арифметике предпочтительно в сравнении с западными книгами в данной области того времени [150, с. 35].

Два трактата Чжэнь Луаня

Чжэнь Луань жил в VI столетии н. э., был астрономом во время династии Северная Чжоу (557——583) и участвовал в составлении календаря Тяньхэ (эра правления Тяньхэ 566—571 гг.). Он изучил буддизм и написал «Трактат о веселом пути» в трех свитках. Чжэнь Луань — составитель и комментатор математического «Десятикнижья», автор одного из трактатов этого сборника: «Искусство счета в Пятикнижье» (« У цзин суань тпу»). Цянь Бао- цун считает Чжэнь. Луаня также автором еще двух трактатов сборника: «Забытые записи по искусству счета» («Шу шу цзи и»), «Математический трактат пяти ведомств» (см. выше п. 7). Впрочем, последний в историко-математической литературе обычно считают анонимным, что не является большой ошибкой по сравнению с утверждением Цянь Бао-цуна, поскольку индивидуальности Чжэнь Луаня как автора этот текст не отражает. Текст мог быть составлен любым знатоком в области математики, который бы воспользовался готовыми текстами, выбирая нужные для чиновничьей практики задачи. Что касается «Забытых записей», то автором их считают математика эпохи Хань Сюй Юя. В действительности от первоначального текста осталось так мало, что образовался набор мало связанных фраз. Основная смысловая нагрузка поэтому приходится на комментарий Чжэнь Луаня.

Аналогичное утверждение можно сделать и относительно трактата «Искусство счета в Пятикнижье». Цитаты взяты из сочинений древних философов, вошедших в знаменитое «Пятикнижье» эпохи Хань («Ушу)»: «Книга истории», или «Книга документов» («Шу- цзин»); «Книга песен» («Шицзин»); «Книга перемен» («Ицзин» или «Чжоуи»); «Книга установлений», или «Книга обрядов», или «Трактат о правилах поведения» («Лицзи»); «Весны и осени» («Чуньцю») [34]. Встречаются цитаты также из других классических текстов. Все эти извлечения, касающиеся метрологии, способа выражения больших чисел и др., Чжэнь Луань подробно поясняет.

Конфуцианское «Пятикнижье» сложилось во второй половине II в. до н. э. Обработку текстов, ранее написанных, осуществил официальный идеолог ханьской династии Дун Чжун-шу (136 г. до н. э.). Вторая редакция канонических текстов была выполнена Ян Ши-гу при Тай-цзуне (627—650), главном организаторе режима империи Тан. Каноническое толкование текстов было установлено Кун Ин-да ——«Пятикнижье в правильном понимании» (641 г.). Изучение «Пятикнижья» было положено в основу преподавания в высшей школе империи Чанъаньском университете. «Так конфуцианство стало школьным просвещением ——схоластикой» [45, с. 205].

Чжэнь Луань был современником Кун Ин-да, не удивительно поэтому, что Чжэнь провел работу по комментированию некоторых мест из классических текстов, имеющих отношение к искусству счета. В области математики он исполнил роль Кун Ин-да: провел канонизацию составленных до него математических текстов,

дал правильное толкование их для использования при обучении математике в той же высшей школе. После Чжэнь Луаня лишь Ли Чунь-фэн в следующем столетии был редактором «Десятикнижья», и только современник последнего Ван Сяо-тун, написавший свой известный трактат «Ци гу суань цзин)> об уравнениях третьей степени (см. далее п. 10), был еще одним, последним из авторов сборника.

Существует мнение, что Чжэнь Луань не сделал ничего нового в области математики [110, с. 92]. Однако этот древний комментарий к еще более древним текстам объединяет различные нематематические тексты и является весьма ценным. По нему можно судить об уровне математического образования у «интеллигенции» того времени, непосредственно не связанной с математикой. Например, сразу же видно, что календарное дело имело первостепенное значение в древнем Китае.

«Искусство счета в Пятикнижье» состоит из двух свитков- цзюаней, содержащих около 45 страниц иероглифического текста. В отличие от подавляющего большинства трактатов «Десятикнижья», построенных по схеме задача ——ответ ——решение или общее правило и группа задач одного класса с ответами (иногда такие задачи сопровождаются еще частными решениями), этот трактат Чжэнь Луаня написан иначе в силу своей специфики.

Первый отрывок, взятый из «Книги истории», касается календарных расчетов. В математических сочинениях «Десятикнижья» аналогичных задач не так много, но все же они есть. С календарной задачи начинается трактат Ван Сяо-туна, она в нем единственная. В трактате Сунь-цзы самая последняя задача относится к области астрологии. Более всего содержит астрономические вопросы «Математический трактат о чжоу-би)>. Однако в средневековых математических сочинениях XIII—XIV вв. астрономические расчеты получили права гражданства. У Цинь Цзю-шао в его «Девяти книгах по математике» задачам, связанным с календарем, с астрономией, отведены целые главы.

Календарь в Китае был с самых древних времен лунно-солнечным, т. е. календарь с лунными месяцами и солнечным годом, причем, так как 12 лунных месяцев на 10 дней короче солнечного года, каждые три года вставляется 13-й месяц для возвращения года к его началу. Путем вставочных месяцев нужно было постоянно его уточнять, что составляло очень важную работу для императорских астрономов и математиков. Считалось, что благополучие царствующего дома зависело от точности календаря. Весьма часто/ как это было с Чжэнь Луанем, математики были прежде всего астрономами, состоящими на службе правителей.

Календарные расчеты, приведенные Чжэнь Луанем, просты. Известна продолжительность солнечного года, равная 365 1/4 сут. Продолжительность месяца (сидерического) принималась равной 29 499/940 сут. Тогда оказывается, что за 19 лет нужно добавить ровно 7 месяцев указанной продолжительности. Все эти расчеты производятся древним комментатором с использованием таких

цифр. Им вводится продолжительность вставки для одного года, равная 10 827/940 сут. Из истории Древней Греции известен «цикл Метона» (который был предложен Метоном, но принят не был; возможно, Метон взял это из календаря древних вавилонян), основанный на соотношении: за 19 лет набегает 7 вставочных месяцев. Цикл равен 235 месяцам [57, с. 22—23]. Тогда 235-29 499/940^19-365 1/4, или с большой точностью: 29,53085 X X 235^365,25-19. При этом мы сталкиваемся, как это бывает довольно часто, с поучительной историей. Казалось бы, неинтересные с точки зрения математика расчеты — все в пределах четырех арифметических действий с целыми и обыкновенными дробями —— дают любопытные детали относительно операции деления. Именно при делении произведения двух чисел на число

(10 827/940.19):29 499/940 = 7 пользуются правилом деления многочлена на многочлен, а не правилом деления дробей, которое было известно и которое мы находим, например, у Чжан Цю-цзяня (V в.) (см. об этом подробнее в ч. II).

Следующие три цитаты, прокомментированные Чжэнь Луанем в его «Искусстве счета в Пятикнижье», связаны с системами построения больших чисел. Чжэнь Луань предлагает три системы, содержащие десять названий, которые были якобы созданы еще при легендарном Хуанди в XXVII в. до н. э. На самом деле на иньских костях встречаются числа не более чем четырехразрядные. (У Сунь-цзы в трактате были даны две системы обозначения больших чисел.) Чжэнь Луань, критикуя древних комментаторов классических текстов за неправильные пояснения названий разрядов, предлагает «младшую» и «среднюю» системы, аналогичные системам Сунь-цзы, а также еще «старшую» систему. Это такая система, в которой каждый раз по исчерпании всех названий новый разряд получает наименование (см. подробно далее в ч. II).

Цитата из «Книги перемен» (здесь она названа «Чжоуи», как ее называли в древности) касается вопросов комбинаторики. Чжэнь Луань поясняет трудный и малопонятный текст с его символикой в числах. Историки математики не упоминают об этой части трактата Чжэнь Луаня, а она весьма примечательна. Многие древние и средневековые математики, по-видимому приверженцы неоконфуцианства, посвящали свои труды числовой символике именно в связи с гадательной практикой по самой древней мантиче- ской части «Книги перемен». Сочинение знаменитого Цинь Цзю-шао «Девять книг по математике» начинается именно с задачи, тематически связанной с «Книгой перемен», с гаданием по стеблям тысячелистник а. У Цинь Цзю-шао составлена задача для арифметики остатков, в ней решается система уравнений первой степени с одним неизвестным. Здесь же Чжэнь Луань просто поясняет сам текст «И цзина» в той его части, где употребляются числа.

Каждой непрерывной черте, соответствующей мужскому началу (или небу), поставлено в соответствие число 9; женскому на-

wany, прерывистой: черте, число 6. Из непрерывных и прерывистых черт составляются триграммы, всего их получается 8:

•^■—■^^•"• »»•■** — ■■«»*—•«ммжммкwmmhbi.ан м» / Mw «^

Из каждых двух триграмм составляются гексаграммы, всего их получается 64. Если в каждой гексаграмме по 6 черт, то всех черт будет 384. Каждая из них представляет собой либо четное, либо нечетное число, их будет по 192. Дощечек с символом ян (мужским началом) было 36, а с инъ (женским началом) — 24. Таким образом, по 192 черты на 36 дощечках ——получается в совокупности 6912 черт; по 192 черты на 24 дощечках — получается всего 4608. В сумме получается 11520 черт, которое называется «множеством вещей в двух связках». '

Кр(ше того, указывается, что для неба брались нечетные числа 1, 3, 5; а для земли — четные числа 2, 4. Им соответствуют два числа: 25 и 30, в сумме они дают «великое расширение» (da янь), равное 55. И для двух категорий щяны и <^куны заданы еще по три числовых характеристики:

цянъ 216 36 дощечек 91 черта,кунь 144 24 дощечки 61 черта.

Два первых числа в двух связках дают в сумме 360. 母 В комментарии к отрывку из «Луньюя» о налоге в 1000 чэн (земля, с которой взимается налог в 1000 повозок, чэн ——повозка) Чжэнь Луань занимается извлечением квадратного корня из числа 9 000 000 000. Результат равен 94 868 бу, а дробная часть корня равна 62576/189737 бу. Она получена по приближенной формуле, которой пользовался как Лю Хуэй, так и Сунь-цзы еще в III веке н. э.

Одна из цитат «Пятикнижья» потребовала пояснений относительно теоремы Пифагора. Чжэнь Луань подробно повторяет алгоритмы вычисления сторон прямоугольного треугольника по двум заданным сторонам и демонстрирует их на примере простейшего треугольника с целыми сторонами, равными 3, 4, 5. Он дает этим числам название «естественных коэффициентов» или «нормальных коэффициентов» (цзы жанъ чжи люи). Оказывается, теорема Пифагора нужна для вычисления покрытия повозок (см. далее 4.V). Здесь же вычислен корень из числа 12, приближенно равный 3 3/7. Он находится также по приближенной формуле.

^Чжэнь Луань комментирует место из «И ли». Этот памятник входил в «Четверокнижье» еще в эпоху Чуньцю (770—403 гг. до н. э.), но в дальнейшем стал называться «И ли». Цитата касается раскроя траурной одежды из пеньки, расчеты сводятся к вычислению части числа и в результате получается прогрессия

4

°' 5 ^ W W (瓦)°'

в тексте она приводится в числах

9； 7%; 5】％5； 476/125；9； 7%; 5】％5； 476/125；а 429 /°/626-а 429 /°/626-

9； 7%; 5】％5； 476/125；

9； 7%; 5】％5； 476/125；

а 429 /

°/626-

а 429 /

°/626-

Вполне понятно, что в своих разъяснениях Чжэнь Луань вынужден уделять значительное внимание вопросам метрологии. Здесь мы встречаем новые единицы измерения площади, которые в математической литературе не были приняты. В самом древнем тексте (цитата из «Луньюя») названа «земля в 1000 чзн», где чэн ——повозка, нагруженная зерном, сданным в качестве налога. Соотношения с принятыми единицами длины и площади чи, бу, му следующие:

6 чи = 1 бу, 100 6у = 1 му, 100 му = 1 фу,3 ФУ = ^ 弘6 чи = 1 бу, 100 6у = 1 му, 100 му = 1 фу,3 ФУ = ^ 弘3 у =1 цзин, 10 цзин = 1 тун, 10 тун = 1 чэн.3 у =1 цзин, 10 цзин = 1 тун, 10 тун = 1 чэн.

6 чи = 1 бу, 100 6у = 1 му, 100 му = 1 фу,

3 ФУ = ^ 弘

6 чи = 1 бу, 100 6у = 1 му, 100 му = 1 фу,

3 ФУ = ^ 弘

3 у =1 цзин, 10 цзин = 1 тун, 10 тун = 1 чэн.

3 у =1 цзин, 10 цзин = 1 тун, 10 тун = 1 чэн.

Еще один пример недесятичных соотношений в метрологии.

Цитаты из «Ли» сопряжены с трудностями перехода от одних единиц к другим. Оценивая горсть риса, которую можно съесть в период траура по родителям, и определяя ее вес, Чжэнь Луань выражает горсть риса в единицах объема. Исходит он из следующих соотношений:

1 ху = 1 дань = 120 цзиней,

1 пригоршня (и) = 20 ланов = 11/24 шэна,

где надо вспомнить, что 16 ланов=1 цзиню, 1 力沙= 100 шэнам.

Другая цитата, о раскрое траурной одежды, содержит своеобразную единицу измерения тканей ——«охапку» (з). Поясняется, что в древнее время «охапка» у среднего человека (так и сказано: чжун жэнъ) составляет обхват в 9 чи.

Огромное количество расчетов потребовалось в последних отрывках, довольно многочисленных, из «Лицзи», относящихся к княжеским землям. Единицами площади занимается Чжэнь Луань и во втором свитке, когда речь идет снова о «Лицзи».

Почти половина второго свитка посвящена вопросам гармонии. Здесь собраны отрывки из «Лицзи», из «Ханьшу» («Книга Хань»), из《Шицзи», т. е. «Исторических записок» Сыма Цяня. Что касается второй половины второго свитка «Искусства счета в Пятикнижье», то она содержит извлечения из «Чуньцю» («Весны и осени») и посвящена астрономическим вопросам, лунным и солнечным затмениям.

Как в Греции, так и в Китае вопросам музыки было уделено достаточно много внимания. В древнем обществе гармония имела общефилософский смысл. Но греческая музыкальная гамма была построена отлично от китайской. Каждый древний народ строил своими средствами теорию музыки.

Кратко о книге «Лицзи», которую комментирует Чжэнь Луань. Она была написана в разное время различными авторами (при-

мерно с IV по I в. до н. э.) и была отредактирована при Ханьской династии Дай Шэном, но его текст не сохранился. Книга состоит из 49 глав, наиболее часто упоминаемый: «Великое учение», «Учение о середине», «Действенность ритуала», «Записки о музыке». Авторство последней части книги приписывают Гунсунь Ни-цзы, или Сюнь-цзы. Текст сохранился от Кун Ин-да (VI в. н. э.) [34].

Китайская октава содержала 12 тонов, высота которых была определена в комментариях Чжэня. Длина свирели для исходного тона, хуан чжунаравна 9 цуням. Следующую длину можно определить, если 9 цуней умножить на 2/3, она получается равной 6 цуням. К следующей длине приходят путем умножения на удвоенную долю, т. е. на 4/3. Тон повышается, длина свирели получается равной 8 цуням. Таким образом, чтобы получить ряд, к которому восходят тона

8, 7%,

или ряд, к которому нисходят тона

, 5%, 42%7，

а также

8】％з, 7%, 6%

и

2%1，5%, 5,

следует умножить исходное число 9 цуней на разность геометрической прогрессии со знаменателем 了~^ ^ 0,943. Чжэнь Луань получает этот ряд по частям, умножая то на 2/3, то на 4/3. Получает близкие к нужным значениям длины для тонов. Весьма примечательно здесь то, что Чжэнь Луань обозначает числовые характеристики тонов порядковыми номерами «лун». Если расположить эти двенадцать его обозначений по кругу (в виде циферблата часов), то, чтобы получить тона в порядке их абсолютных значений, надо отсчитывать деления на этом «циферблате», начиная с 12, против часовой стрелки через пять делений. Получается арифметическая прогрессия с разностью 5 в конечной арифметике с модулем 12:

12,7,2; 9,4; 11,6,1; 8,3; 10,5.

Этот факт, насколько известно, не был отмечен до сих пор ни одним исследователем. Однако позже счет на «циферблате» встречается у ал-Бируни.

Чжэнь Луань приводит извлечения ^из7^«Истории Ханьской династии», где в разделе о календаре сообщается еще и о других пяти октавах. Практически можно построить 10 октав, чтобы охватить все звуки, слышимые человеческим ухом. Но обычно в современной музыке пользуются семью октавами. В древнем Китае было введено пять октав и это тоже достаточно много.

Основной текст другого сочинения Чжэнь Луаня «Шу шу цзи и» относится к эпохе Хань и принадлежит будто бы Сюй Юю. Чжэнь Луань комментирует, по существу, совершенно несвязный, отрывочный текст, который дошел до него, и без его комментария текст был бы непонятен. В самом начале этого текста, который, весьма возможно, сохранился только на бамбуковых дощечках и с пропусками, кроме имени Хань Юя упоминается еще имя Лю Хуна. Последний известен тем, что написал книгу «Лю гуй цзи» и употребил буддийские слова типа «чана» (санскритское ——миг, мгновение). Поскольку в эпоху Хань буддизм еще не был распространен, то некоторые исследователи, например Цянь Бао-цун [100, т. II, с. 531 ], полагают, что текст принадлежит не одному Сюй Юю.

Фрагменты, которые комментирует древний автор, относятся к самым различным темам. Начало, как и в «Искусстве счета в Пятикнижье», посвящено календарю. Древний текст малопонятен. Чжэнь Луань, споря с другими древними комментаторами, полагает, что здесь речь идет о зодиакальных созвездиях. Двадцать восемь созвездий на китайской карте были разбиты на четыре области, каждая из которых специально обозначалась с помощью названий животных. Западная часть из семи созвездий называлась «Белым тигром», его иногда в текстах называли золотым. Календарю и созвездиям посвящены другие фрагменты.

По трактату «Искусство счета в Пятикнижье» видно, что Чжэнь Луань считает необходимым объяснять вопросы комбинаторики, связанные с философской книгой «И цзин», а также системы построения больших чисел. Неспециалисты, по-видимому, путали довольно часто эти системы. В данном трактате Чжэнь Луань вновь вынужден объяснять способы выражения больших чисел. Весьма примечательно, что часть фрагментов касается счетных палочек и счетов. Если эти отрывки принадлежат Сюй Юю, то это самый ранний текст о счетных приборах древнего Китая. Напомним, что в «Математике в девяти книгах» таких упоминаний нет, хотя все сочинение написано с учетом вычислений на счетной доске при помощи счетных палочек. Однако счеты могли еще и не употребляться, они появились, по-видимому, значительно позже. Таким образом, предположения о существовании литературы, помимо ^канонических классических текстов по математике, представляется весьма справедливым.

Встречаютсяг и (отрывки, касающиеся общих философских категорий,^например Дао (понятие «Пути» в даосизме), первоосновы из пяти элементов, а также ориентации по странам света, о повозке, указывающей на юг. В одном фрагменте Чжэнь Луань поясняет известную по трактату Чжан Цю-цзяня задачу о ста птицах, в которой рассматривается неопределенное уравнение. В этом же месте обсуждается проблема об измерении расстояний до недоступных предметов — задачи, которыми интенсивно занимались древнекитайские математики (см. п. 4).

В тексте встречается матрица (одновременно это и магический квадрат по диагоналям, а также ряд натуральных чисел и числовые последовательности с разностью, равной 3!)

9 6 3 сл юань

8 5 2 чжун юань

4 1 шан юань

Трактат Ван Сяо-тунаоб уравнениях третьей' степени

Имя Ван Сяо-туна популярно в истории китайской математики, с ним связано решение уравнений третьей степени численным способом. «Математический трактат о продолжении древних методов» («Ци гу суань цзин»), написанный Ван Сяо-туном, является единственным в своем роде, потому что ни в одном более раннем тексте и ни в одном более позднем нет кубических уравнений. Даже в сочинении Цинь Цзю-шао, содержащем специальные задачи па решение квадратных, четвертой и более высоких степеней уравнений, кубических уравнений нет.

В общей истории математики это древнее сочинение также рассматривается как самое раннее, посвященное решению уравнений алгебраическим способом. Хотя еще древние вавилоняне решали некоторые виды кубических уравнений (древние греки решали уравнения геометрическим способом), до Ван Сяо-туна нет сведений о каких-либо сохранившихся текстах подобного рода. Кубические уравнения в дальнейшем встречаются у О. Хайяма (X в・)，а формула корней была получена в XVI в. европейскими математиками Дж. Кардано, Н. Тарталья и другими.

Ван Сяо-тун жил в самом начале царствования дома Тан (VII——IX вв.). В VI в. возник арабский Халифат на Западе, с которым после нескольких лет военных столкновений был заключен мир и установлена торговля. Торговля велась также с Индией (чай, шелк, соль, фарфор и др.). Бойко шла торговля также внутри большой централизованной империи, был построен Большой китайский канал, соединивший Хуанхэ с Янцыцзян и 11 мелких каналов. В эту эпоху бурного строительства сложился стиль китайской архитектуры, оказавший сильное влияние на окружающие Китай страны Дальнего Востока.

В VI в. при переводе буддийского канона и для его распространения ——буддизм активно развивается в Китае в VIII в.— было изобретено книгопечатание с досок. В VII в. Сюань Цзан (629—645) Совершил путешествие в Индию, а затем написал известное «Описание западного края» («Си юй цзи»). Больших успехов достигла китайская литература и искусство (танская новелла, танская живопись). Таким образом, на Востоке пышно расцвела цивилизация, Запад же в это время только пробуждался. Во Франции правили Меровинги, в V в. было принято христианство, но Карл Великий (Каролинги) еще не появился на исторической

арене. В Испании были вестготы. Англию после 150-летней войны наконец завоевали англосаксы, у которых еще не было письменности. Что касается славян, то их «писанная история» начиналась, но нам пока мало известно о математических знаниях этого времени [39, т. I, с. 47].

Самым примечательным в землях некитайского развития было возведение стен византийского храма София (знаменитая мечеть Айя-София). Культурным очагом на Западе в это время была Византия. Уже в V в. работали такие византийские математики, как Серен Антийский, занимавшийся коническими сечениями, и Теон Александрийский, математик и астроном. У арабов наука еще не получила большого развития, как это было в последующие столетия. Нам пока не известно, какая математика была у народов Согда, Хорезма и Тахара, государств Средней Азии, завоеванных впоследствии арабами. На Кавказе в это время господствовали хазары, но в Армении ——сфере влияния византийской культуры ——именно в это столетие жил и работал известный математик Ананий Ширакаци [28, 36, 59].

Хотя точные даты жизни Ван Сяо-туна указать нельзя, он известное лицо в истории Китая. О нем говорится в «Истории династии Тан»: он имел ученое звание по части календарной науки и преуспевал в государственной службе. Вместе с другими астрономами выяснил недостатки существовавшего календаря и предложил метод устранения ошибок.

Ван Сяо-тун занимался не только астрономией, но и «чистой» математикой. Ему принадлежит «Математический трактат о продолжении древних [методов ]», составивший эпоху в истории развития науки. Полагают, что от сочинения сохранилась небольшая часть, содержащая 20 задач, остальное было утеряно. Название, данное автором, несколько отличалось от официального: «Продолжение древнего искусства вычислений» («Ци гу суань шу»). Иероглиф щзит (канон или математический трактат) был сообщен лицами, утверждавшими учебники для будущих чиновников Таиской империи. Сохранившийся текст сочинения Ван Сяо- туна входит в имеющееся ныне математическое «Десятикнижье».

Содержание задач Ван Сяо-туна следующее. Первая задача астрономическая, родственная календарным задачам более поздних авторов. Но, возможно, и до Ван Сяо-туна занимались такими задачами, например И Синь (VI в.), известный своими работами в области календаря, применявший интерполяционные методы.

Исключая первую задачу, все остальные задачи Ван Сяо-туна легко делятся на три группы, общие по теме и методу решения. И весь трактат в целом посвящен четко одной проблеме — чис* ленному решению уравнений третьей степени, а также биквадратных уравнений [22].

Задачи 2——6 и 8 составляют первую группу. Они наиболее объемные, с громоздкими данными, некоторые из них, по существу, двойные. В этих задачах производится расчет земляных работ при строительстве различного рода сооружений: дамбы,

Плотины, канала и т. п. Задачи сводятся к решению уравнений третьей степени. В них требуется вычислить объем геометрических тел, имеющих форму неправильного трапецоида, обелиска и др. Формулы по большей части приближенные. Из этой группы задач в историко-математической литературе обычно упоминают о задаче 2 (сооружение в виде обелиска) [92, с. 37—38].

В задаче 2 трактата Ван Сяо-туна предлагается рассмотреть тело в виде обелиска, т. е. неправильной усеченной пирамиды с прямоугольными основаниями. Тела такой формы рассматривались еще в задачах «Математики в девяти книгах», и в правилах к ним дана формула вычисления объема таких тел (разумеется, словесная). Как была получена такая формула, остается неизвестным. Обычно предложенное Ван Сяо-туном решение задачи 2 рассматривали как возможную реконструкцию этой формулы древним автором. Эта реконструкция связана с разбиением пирамиды на составные части соответствующим образом [92, с. 37 ]. Однако, как удалось установить, Ван Сяо-тун предлагает алгоритм нахождения искомых величин для обелиска, который не совпадает с такой реконструкцией, и его термины для промежуточных произведений или выражений на самом деле не обозначают объемов частей данного обелиска. Таким образом, Ван Сяо-тун все решение проводит чисто алгебраически, а его терминология — только внешне содержит геометрические образы, как это происходило в геометрической алгебре древних греков [22].

Вторая группа содержит задачи?, 9—14, в которых вычисляется емкость зернохранилищ. Эти задачи также сведены к решению кубических уравнений. По методу решения они собственно принадлежат к первой группе, но условия их гораздо проще и по теме они между собой одинаковы, поэтому они естественно выделяются. В этих задачах также следует подсчитать объем и перевести его в единицы емкости, как этого требовала практика государственных чиновников, ведающих заготовками. Эти задачи, как и задачи первой группы, были традиционными: в «Математике в девяти книгах» они представлены группой задач на груду зерна, имеющей форму конуса. Ведь Ван Сяо-тун и написал свой трактат как «продолжение древних методов». Задача 7 приводится в [110, с. 98].

Третья группа задач в отличие от первых двух содержит совершенно отличные, чисто алгебраические задачи. Это задачи 15—20, особо привлекавшие внимание историков математики. По своим условиям они очень просты и легко переводятся, благодаря четко условному языку. Две из них (задачи 15, 17) приведены в книгах [81, с. 78; 147, с. 34].

В задачах 15—20 рассматривается прямоугольный треугольник и его стороны. Геометрическим образом заданы алгебраические соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, которые надо найти. Решение заданных систем уравнений приводит к уравнениям кубическим и биквадратным, которые, как

указывает Ван Сяо-тун, следует решать, «извлекая квадратный корень делением», т. е. численным способом, как бы мы теперь сказали, по методу Горнера. Никто из исследователей не отмечал, что эти шесть задач могут быть разбиты на пары, которые получаются одна из другой при помощи циклических подстановок. Поистине красивые задачи!

Все правила в трактате Ван Сяо-туна сформулированы в общем виде, как в «Математике в девяти книгах» и в «Математике морского острова» Лю Хуэя. Ван Сяо-тун употребляет специальную терминологию, возможно принадлежащую ему или общеупотребительную в его время. Комментарии весьма незначительны и принадлежат самому автору, т. е. комментария, по существу, нет. В этом смысле трактат отличается от других трактатов «Десяти- книжья».

Трактат о гномоне

«Математический трактат о чжоу-би» («Чжоу-би суань цзинь»)—— самый ранний текст из сохранившихся по истории китайской математики. Время его создания точно неизвестно. Собственный текст трактата о гномоне незначителен, его комментарии гораздо обширнее. Они принадлежат современнику Лю Хуэя (редактор III в. н. э. «Математики. . .») Чжао Цзюнь-цину. У них терминология весьма схожа. Комментарии Чжао Цзюнь-цина известны тем, что в них содержится геометрическое доказательство теоремы Пифагора, самое раннее в истории китайской математики письменное доказательство. Такое же доказательство встречается у древних индийцев в 《Сулвва-сутре» (V в. до н. э.). Кроме примечаний Чжао Цзюнь-цина к «Математическому трактату о чжоу-би», имеются еще комментарии Чжэнь Луаня и Ли Чунь-фэна, составителей всего математического «Десятикнижья» (VI——VII вв. н. э.). Они довольно значительны, поскольку текст, принадлежащий Чжао Цзюнь-цину, лаконичен.

В «Математическом трактате о чжоу-би» два цзюаня (свитка): верхний и нижний. Текст в первом свитке написан в виде диалога в отличие от большинства трактатов «Десятикнижья», которые содержат четко сформулированные задачи. Эта форма изложения, во-первых, сближает математический трактат с философским текстом Чжуан-цзы и, во-вторых, напоминает нам древнегреческие тексты Платона. Изложение в форме диалога свидетельствует, кстати, о более раннем составлении текста, чем те, которые представлены в виде задач с алгоритмами.

Диалогов два. Первый ведется между Чжоугун Данем, регентом при племяннике Чэнване (1115—1078 до н. э.), братом первого чжоуского Увана (1112 до н. э.), вполне историческим лицом, и неким знатным сановйиком Шан Гао, «весьма искусным в счете». Второй диалог происходит шесть веков спустя: ученый Чэнь-цзы ведет беседу с учеником Жун Фаном, подобно тому как Платон беседует с Тимеем. Таково содержание первого цзюаня, что касается второго, то он посвягцен вопросам астрономии. В нем описан

5 Э. И. Березкина5 Э. И. Березкина6565

5 Э. И. Березкина

5 Э. И. Березкина

65

65

иньский календарь, изложена космологическая теория《aail-m凡нь» (буквально «небо-покрывало»). Нас более интересует первый свиток, где*речь ведется о теореме Пифагора и других проблемах, относящихся к математике древнего периода.

Эта часть трактата о гномоне наиболее древняя. Считается, что трактат был составлен до эпохи правления династии Цзинь, (265—420 до н. э.). Это с одной стороны, а с другой — полагают, что трактат появился не ранее Чжань-го (V——III вв. до н. з.), поскольку до этого времени больших связных текстов и не могло появиться. Дж. Нидем указывает, что трактат о гномоне появился за 200 лет до «Математики в девяти книгах», а последний издатель «Десятикнижья» Цянь Бао-цун ——что за 100 лет до нее [110, с. 13; 149, с. 24; 150, с. 19].

Диалог между Чжоугун Данем и Шан Гао естественным образом распадается на два фрагмента. Первый фрагмент посвящен теореме Пифагора. Упоминается случай «египетского треугольника», когда стороны равны 3, 4, 5. Во втором фрагменте обсуждена проблема измерения расстояний до недоступного предмета. Во втором же диалоге, т. е. в объяснениях Чэнь-цзы своему ученику, ставится конкретно эта задача в форме проблемы измерения расстояния до Солнца. Здесь изложена та самая древняя астрономическая задача, которую затем в III в. н. э. Лю Хуэй переделал в математическую, поставленную определенно и имеющую конечное решение (см. выше п. 7).

Первоначальным названием трактата о гномоне было просто «Чжоу-би». В самом тексте памятника в диалоге Чэнь-цзы с Жун Фаном дается объяснение этого термина. Иероглиф <^чжоуъ обозначает столицу чжоуских ванов. Ныне это г. Лоян провинции Хэнань. Иероглиф «би» означал шест для измерения солнечной тени. Позже такой шест обозначался иероглифом《6兄о», например в тексте Лю Хуэя. Таким образом, чжоу-би — это гномон, и все «действие» в трактате развертывается вокруг вопросов измерительной астрономии. Поэтому древнекитайское сочинение о гномоне больше относится к истории китайской астрономии, хотя и содержит интересующие историков математики сведения. Для астрономических измерений потребовались теорема Пифагора, действия с дробями и другие математические знания, которыми обладали к этому времени древние китайцы.

Правитель Чжоугун|Дань спрашивает Шан Гао: «Мы наслышаны, почтенный сановник, о Вашем искусном владении числами. Разрешите спросить Вас. В древности легендарный правитель Фуси учредил календарь, измерения и другое. Но ведь в небе можно и не взвешивать шэнами^ а на земле можно и не мерять длину с помощью чи и цуней. Так скажите, пожалуйста, откуда все же взялись числа [или величины, шу. — Э. Б. ]?»

Вопрос философский и задан для того, чтобы ученый муж дал ответ: откуда, собственно, взялась математика и что это за наука? На это Шан Гао дает также не менее философский ответ : «Числовые [т. е. математические. — 3・ В. ] методы происходят из круга

и прямоугольника, прямоугольник происходит от угольника, угольник исходит от таблицы „девятью девять — восемьдесят один44».

В этом отрывке форма записи чисел древняя, как на иньских костях, в фольклоре и в притчах Чжуан-цзы; таблица «девятью девять — восемьдесят один» — таблица умножения. Далее рассматривается треугольник со сторонами 3, 4, 5 и говорится, что «площади двух квадратов, построенных на катетах гоу и ?沙， в сумме составляют 20 и 5, это и есть площадь квадрата, построенного на гипотенузе треугольника. Вот как Фуси управлял Поднебесной, вот откуда возникли числа».

Здесь изложен древнекитайский принцип точных наук, устанавливается цепочка причин, по которой идет логическое развитие науки. Зачем понадобились числа, откуда они взялись?—— вот основной вопрос, волнующий правителя. Что же отвечает «искусный в числах» важный сановник?

В основе вычислительного искусства, которое понадобилось легендарному Фуси, лежит угольник. С его помощью получают окружность, возможно, как геометрическое место точек вершин прямых углов, опирающихся на диаметр ——общее для них основание. В окружность вписывают прямоугольник, составленный из двух одинаковых угольников. Как видно, древним китайцам, как и древним ионийцам, было известно свойство угла, опирающегося на диаметр, и теорема Пифагора для случая 3, 4, 5. Числа же подчиняются таблице умножения «девятью девять».

Такова попытка «обоснования» вычислительного искусства в соответствии с общим положением о числовой гармонии, наполнявшей мир, напоминающей пифагорейский принцип «все есть число», отраженной в классической «Книге перемен».

Вторая часть диалога Чжоугуна с Шан Гао касается «Дао угольника», т. е. ««Великого Закона» об угольнике. Здесь, в частности, говорится: «Кружа угольником, получают круг; складывая угольники, получают прямоугольник. Прямоугольник —— это земля, круг ——это небо, небо круглое, земля прямоугольная. Для вычисления [площади] прямоугольника есть правило, для круга [надо ] исходить из прямоугольника».

Это место Чжао Цзюнь-цин комментирует весьма подробно. Сначала он замечает, что сущность вещи, называемой угольником, беспредельна. И далее подробно поясняет вторую фразу приведенной нами цитаты: «Вещи либо круглые, либо прямоугольные, числа либо четные, либо нечетные. Небесные движения являются кругами, их числа нечетные. Земной покой является прямоугольником, его число четное. Все это соответствует идее инь-ян и не есть в действительности само тело Небо и Земли. Небо (в действительности) нельзя осмотреть, Землю нельзя наблюдать целиком, как же можно определить их кругом и квадратом?» [100]. «Идея инь-ян)> ——идея двух противоположностей. Мы видим, что Чжао Цзюнь-цин еще в III в. н. э. понимал условность схемы древнего высказывания и хотел это подчеркнуть учащемуся. Разумеется,

в утверждении «вещи либо круглые, либо прямоугольные» слово «круглые» обозначает «закругленные», а «прямоугольные» — «угловатые», но круг и прямоугольник рассматриваются как характерные представители этих двух видов вещей.

Любопытно, как комментирует Чжао Цзюнь-цин последнюю фразу: «Сам прямоугольник измерить просто, круг измерить трудно. Покрытие прямоугольника обычное, круг нужно много изменять. Поэтому установлена данная система правил. Метод [вычисления площади круга ] состоит в том, что полуобвод и полудиаметр, умноженные друг на друга, дают [площадьI прямоугольника, [равновеликую площади данного круга]. Можно также умножить диаметр и обвод и взять четверть. Можно умножить диаметр на себя, разделить на 4 и взять три части. Можно обвод умножить на себя, взять одну 12-ю. Поэтому говорят: „Круг исходит из прямоугольника41» [100].

Такая интерпретация весьма близка к рассуждениям Лю Хуэя в его примечаниях к задачам на вычисление площади круглых полей в книге I «Математики в девяти книгах».

Далее в комментариях Чжао Цзюнь-цина приведено его доказательство теоремы Пифагора, основанное на конфигурации, в которой квадрат построен на диаметре круга как на гипотенузе и равен по площади сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника.

В трактате о гномоне, как мы уже упоминали, изложена древнекитайская космологическая гипотеза гай-тянъ («небо-покрывало»), которую называли также «теорией чжоу-би» [149, с. 24——31]. Гипотеза гай-тянъ также основана на натурфилософском принципе инъ-ян. Такую пару противоположностей составляют небо и земля. Небо круглое, земля квадратная — такова метафора, которая связывает пару «земля—небо» с парой инь——兄％, и небо находится в движении, а земля в покое. Небу соответствуют нечетные числа, земле —^етные. Земля и небо взаимно параллельны — они или плоские, или выпуклые поверхности.

Для учения^гай-тянъ нужно было знать четыре арифметических действия, а также извлечение квадратного корня из любого числа, была нужна теорема Пифагора, хотя бы в том ее частном случае, когда стороны треугольника равны 3, 4, 5 или пропорциональны им, нужно знакомство с подобием треугольников. -

Далее с помощью измерений тении гномона определяется время солнцестояний и равноденствий, причем применяется линейная интерполяция. Здесь используется гипотеза и цунь цянъ ли (буквально Ъдин цунь — 1000 ли); длина тени гномона увеличивается или уменьшается на ]%унь, если от места измерений уйти на север или на юг по меридиану на 1000 ли. В подлиннике говорится весьма лаконично: «Длина гномона 8 чи. В день летнего солнцестояния тень — 1 чи 6 цуней. Шест ——это катет гу, тень ——катет гоу. [Если отойти] прямо на юг на 1000 ли, катет гоу [будет равен] 1 чи 5 цуней. [Если пойти ] прямо на север нр 1000 ли, катет гоу

(будет равен ] 1 чи 7 цуням» [100]. Метод подробно исследован в [153].

Здесь же в разъяснениях «законов Неба» Чэнь-цзы излагает метод определения диаметра Солнца: Солнце наблюдают через бамбуковую трубку длиной в 8 ни=80 цуней и диаметром отверстия в 1 цунь. Диаметр Солнца находится по известным диаметру, длине трубки и расстоянию от наблюдателя до Солнца. Здесь последнее принимается за 100 000 ли. Отсюда из пропорции диаметр солнца равен}!250 ли. Вот соответствующее место трактата: 《Возьми бамбук, пустой внутри, диаметром в 1 цунь, длиной в 8чи. Наблюдай. [Если] внутренность [трубки] полностью совмещается с Солнцем, [то] Солнце соответствует пустоте [трубки]. Исходя из этого наблюдения, коэффициент 80 цуней дает диаметр в 1 цунь.・• От шеста до Солнца по косине 100 000 ли. Взяв коэффициент из расчета: 80 ли дает 1 ли, 100 000 ли дают для диаметра 1250 ли. Поэтому говорят, что диаметр Солнца ——1250 ли» [100].

Для вычисления расстояния от наблюдателя до Солнца «по косине» рассматривается треугольник с вершинами в точках S — Солнце, Р — проекция по вертикали Солнца на Землю, называемая здесь «нижним Солнцем» (жи ся), л М — глаз наблюдателя. Стороны такого треугольника соответственно равны: SP=80 000 ли, РМ=60 000 ли, тогда по теореме Пифагора 5М=100 000 ли. Таким образом, здесь рассматривается треугольник со сторонами, пропорциональными числам 3, 4, 5.

Посмотрим в подлинник: «При солнцестоянии шест в том месте, где Солнце вертикально над головой, тени не имеет. При солнцестоянии по вертикали Солнце [находится] [на расстоянии] 80 000 ли. Если искать косину Солнца при солнцестоянии, то катет гоу — это [расстояние до] „нижнего Солнца44, катет гу — высота Солнца. Гоу и гу, умноженные сами на себя, сложи, извлеки квадратный корень делением, получишь косину при солнцестоянии. От [места, где поставлен] гномон [т. е. «би».——Э. Б. ], до Солнца по косому [направлению ] 100 000 ли» [100].

Часть вторая

ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ

Эта часть посвящена не самим математическим методам, а вопросам, лежащим в основе математики любой древней цивилизации и передающим ее специфику, ее «колорит». Речь идет о технике вычислений. Проблема подробно описана О. Нейгебауером [56, с. 18-19, 56, 96].

От того, насколько хорошо освоены и разработаны действия с числами, зависит развитие математических методов, особенна в древние эпохи. В истории математики достаточно хорошо из- вестны техника вычислений древнего Египта и древней Месоио- тамии — два ярких, сравнимых между собой по времени примера того, как на различных вычислительных основах строилась математика той или другой древневосточной цивилизации. И мало известна техника вычислений древнего Китая, которую иногда совсем не упоминают, хотя она существенным образом дополняет общую картину развития математики в древности ([23; 66] и др.).

Египетская арифметика была основана на десятичной, но непозиционной нумерации и не знала дробей р том смысле, как мы понимаем их теперь: всякую дробь т/п записывали в виде суммы аликвотных дробей 1/к. Эта задача, стоявшая в центре внимания египетского вычислителя, решалась с помощью деления, и это было отнюдь не тривиально, так как в египетской арифметике все действия, в том числе и деление, сводились к удвоению, раздвоению и сложению [23, с. 22 и след. ]. При делении подбирались такие удвоения и раздвоения делителя, которые бы в сумме составили точно делимое. Законченная исторически, как сама древнеегипетская цивилизация, предельно простая в своей основе, но сложная и громоздкая по структуре вычислительная система логически исчерпала себя решением задач, сводящихся к линейным и неполным квадратным уравнениям, которые решались при помощи метода ложного положения, основанного наид ее пропорциональной зависимости. Квадратные уравнения ——удел древних вавилонян.

В древнем Двуречье в отличие от Египта история развивалась не так статично. Одни народы исчезали, другие появлялись, одна культура сменяла другую, и в результате их синтез привел к совсем иному примеру вычислительной техники. Здесь еще в третьем тысячелетии до н. э. шумеры создали клинописное письмо и позиционную нумерацию с основанием 60, которые затем были займ* ствованы многими народами Передней Азии. Вавилоняне, наслед-

ники шумеров, сумели развить математику дальше. В начале второго тысячелетия до н. э. появляются первые ростки алгебры как науки о решении уравнений, уже не связанной непосредственно © расчетными задачами [23, с. 54—58]. Методы решения квадратных уравнений были разработаны благодаря тому, что вавилоняне полностью овладели числовыми процедурами и достигли высокого уровня проведения тождественных преобразований. Вавилонская техника вычислений представляла собой первую в истории позиционную арифметику, шестидесятеричную с шестидесятеричными дробями, которые были легко введены из-за неабсолютности нумерации: в ней не было нуля в конце чисел. Проблемой номер один было отыскание обратных величин для того, чтобы можно было деление заменить умножением на обратное число: a/b=ab~1 [56, с. 41]. Большие затруднения вызывало деление на «неправильные» числа типа 7, 11, 13 и другие, приводящее к бесконечным шестидесятеричным дробям. Клинописной технике вычислений, для которой вообще характерны числовые таблицы (умножения, извлечения корней и др.), были свойственны именно таблицы обратных чисел и обратных постоянных величин.

Третьим примером развития вычислений техники на древнем Востоке, вполне сопоставимым с первыми двумя, хотя и не во времени, но по существу своему, является древний Китай. Любопытно, что древнекитайская техника вычислений имеет много общего с вавилонской, хотя хронологически ее необходимо сравнить с древнеиндийской и древнегреческой.

Китайская техника счета, как египетская, была основана на десятичной нумерации, но, подобно вавилонской,——и это главное—— пользовалась позиционным принципом. Получили развитие как обыкновенные дроби, так и систематические дроби, десятичные. В этом смысле китайская арифметика весьма близка к современной, европейской, однако происходящей от индийской. В древнем Китае большую роль играла счетная доска с осуществленной на ней позиционной системой счисления. Благодаря ей на первое место ставились вопросы алгоритмичности правил, теории операций, что проявилось, пожалуй, еще в большей степени, чем в Вавилоне, в преимущественном развитии алгебраических методов 1150, с. 151, 156].

Китайские источники существенным образом дополняют общую историческую картину развития вычислительных методов в древности. Этот пример из истории науки, несмотря на его специфичность, в совокупности с другими позволяет более полно выяснить различные общие вопросы, например происхождение позиционного принципа и появление нуля, создание современной системы счисления; вопросы введения десятичных дробей в математику, и взаимодействия метрологии и счета; вопросы формирования понятия числа и расширения числовых областей (рациональные, действительные, отрицательные числа) и др. Развившись сравнительно рано до уровня почти современной европейской, древнекитайская арифметика в силу обстоятельств осталась как бы

в стороне от общего хода истории. Вначале прогрессивные вычислительные средства древнего Китая оказались, как это бывает в истории, в дальнейшем консервативными по сравнению с ушедшими вперед в своем развитии европейскими. Это, впрочем, также тесно связано с общей историей Китая. Перед нами удивительные исторические явления того, как при наличии, казалось бы, всех предпосылок для создания современной системы счисления в древнем Китае, в эпоху, более раннюю, чем это произошло в Индии, при раннем открытии позиционного принципа, все же не было сделано последнего, решающего шага ——изобретения нуля. Почему-то развитие вдруг； остановилось и китайцы так и остались у порога величайшего открытия. Аналогично обстояло дело с десятичными дробями. Поняв их принцип, введя их фактически в математику, китайцы не смогли преодолеть традиции именованной нумерации, так и оставив десятичные разряды с индивидуальными наименованиями. Мы постараемся выяснить причины этого.

Глава первая

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

、7. Как считают китайцы?

Китайская нумерация просуществовала тысячелетия и сохранилась до наших дней. Хотя в настоящее время в математической литературе употребляется общепринятая система счисления, в обиходе, на страницах газет мы встречаемся с традиционной нумерацией. Она десятичная ^ непозиционная, с мультипликативным принципом записи чесел. Это значит, что в ней существуют девять 三 цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 3,1-я колонка 络 таблицы). Всякое число может быть записано и произнесена 寄 с помощью этих знаков: сначала — цифра, обозначающая /( число единиц разряда, за ней ——название самого разряда. > Так как китайское письмо не буквенное, а иероглифическое, Г то запись получается компактной. Например, число 38071 七 представляется так (依.рисунок слева). Китайская запись производится сверху вниз справа налево и от послед- I ней страницы нашей книги к первой. Если китайские цифры — заменить современными, а разряды римскими, то эту иероглифическую запись можно передать в виде: 3N 8М 7Х 1, где буквой N мы обозначаем десятки тысяч (вани), для которых в римской системе нет обозначения. Китайскую запись можно передать также в виде 38071=3.10000+8.1000+7«10+1.

У китайской нумерации имеется два характерных отличия от современной европейской. Во-первых, разряды в китайской системе объединяются в классы не по три, как принято у нас, а по

Циерры - палочки

ИВ. ffoH.3.

-ZZ勿〃戻

1 ХШЗ. 〃纟

t|

0к8弋 網

載 44

/

*—<»

—

—

1 —

1—

N

Зр

-

/

三

CRHb

=

=

III =

III =

川

®

СЫ

=

Illi =

1111 X = X

/

五

夕

X

X

Hill 三

нт О = d

6

六

ЛН)

A介

八

T丄

T 丄

7

七

%

+

+

1f丄

t 丄

8

Л

勿7

И

)(

H 土

Tr ±

夕

九

ЦЗЮ

S

屯

喝

ТПГХ i 火

勿

十

勿

百

W

о

7Ш

千

ГЛЯНЬ

I

бань

〃

零

лин

о

Рис. 3

четыре. Впрочем, древнегреческие классы также были четырехразрядными. Если мы говорим: «Тридцать восемь тысяч и т.д.», то китайцы буквально говорят: «Три десять тысяч восемь тысяч и т.дл. Следовательно, ванъ^ равный 104, является «новой единицей», единицей следующего, второго класса. Его разряды: единицы ^анвй, десятки ваней, сотни ваней и тысячи ваней. Вань баней, носящий специальное название и, составляет 108 и является 'единицей следующего, третьего класса. Дальнейшие 4-й, 5-й и т. д. классы строятся аналогично.

Во-вторых, в китайской системе счисления нет нуля. Это отличие от современной системы счисления наиболее существенно.

Без нуля мы не можем обойтись в том случае, если какой-нибудь разряд отсутствует (в нашем примере отсутствуют сотни). Китайской системе нуль не нужен, так как в ней всякий раз указываетсяг к какому разряду принадлежит цифра. Если разряд не назван, значит, у числа его нет.

Таким образом, если в нашей письменной позиционной нуме- рации для каждого разряда нужна одна цифра, а ее значение, принадлежность к разряду определяется в зависимости от ее положения в ряду других цифр, в китайской нужны два знака: цифра и название разряда. Как видим, китайская система счисления с мультипликативным принципом записи очень близка к позиционной. Такого рода нумерацию Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной [23, с. 74]. Стоит только в ней опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

Такой переход был совершен в Индии, являющейся родиной современной системы счисления. Хотя позиционными нумерациями пользовались еще в древней Месопотамии шумеры и вавилоняна в III——II тысячелетиях до н. э. и более поздние народы, перенявшие у них шестидесятеричную нумерацию, а в Центральной Америке майя в самом начале нашей эры, именно в Индии не позже VII в. н. э. десятичная позиционная система окончательно сформировалась и затем распространилась по всему миру [146]. Каким образом произошло изобретение нуля и затем передача системы другим народам, остается не до конца ясным и до сих пор занимает историков науки. По этому поводу существуют различные гипотезы [6; 126]. Однако в имеющейся литературе не отмечено, как относились к индийской системе счисления древние китайцы.

по календарю, которому китайцы на протяжении всей своей истории придавали первостепенное значение. Так, в период Кайюань (713—741 гг.) было издано сочинение 《Кай юань цзянь цзин» индийца Сиддхарта под китаизированным именем Цюйтань Сида. Здесь рекомендовались индийские цифры [95, т. V, с. 47 и след.]. Их изображения в современных изданиях не сохранились, как плохо сохранились «индийский цифры» в западноевропейских переводах трудов среднеазиатского математика IX в. ал-Хорезми, познакомившего арабов с этими цифрами. О нуле ал-Хорезми говорит, что это «маленький кружок» [61 ]. Но из текста Цюйтань Сиды видно, что нуль он изображал точкой.

Индийские цифры не привились в Китае, как не привились алфавиты, предлагаемые учеными того времени. После первой волны чужеземного влияния пятью столетиями позже пришла от арабов вторая и оставила свои несколько более заметные следы. Под влиянием арабских методов в Китае был введен счет на абаке —— пудидин.

В XIII—XIV вв. в Китае появилась арабская литература. Сравнительно недавно в Сиани была обнаружена железная плита тех времен, на которой выгравирован магический квадрат с восточноарабскими цифрами, где нуль обозначен не точкой, а кружком [114]. Тем не менее индийская система счета с арабскими цифрами снова не привилась в Китае. Еще долгое время даже в заимствованных у арабов методах вычислений они заменялись китайскими. Современные цифры и символика (буквенные формулы) начали употребляться в переводной литературе только в XIX столетии, когда китайцы стали знакомиться с западной высшей математикой.

Таким образом, система счисления в Китае оставалась без изменений, так как еще в древности именованная позиционная система счисления была приспособлена к счетному прибору, которым пользовались при выполнении вычислений. Техника вычислений на счетной доске принципиально мало отличалась от современных действий с числами. Китайцам не было особой нужды заимствовать индийскую арифметику, у них была своя, вполне их удовлетворявшая. Там, где непосредственно производились вычисления, китайцы пользовались десятичной позиционной нумерацией, а при письме для фиксирования результатов или записи начальных данных применяли десятичную именованную позиционную систему. Аналогично обстояло дело у древних шумеров и вавилонян, оперировавших с числами в позиционной шестидесятеричной системе счисления, но записывавших условие и ответ в не- позиционных десятичной и шести-десятичной устных нумерациях. Поэтому современная система счисления не была изобретена в Китае, где для нее были те же предпосылки, что и в Индии [81, с. 121 ]. Счет десятками велся с незапамятных времен, и никакого другого, по существу, в математике древнего Китая не было. От группового счета вместе с образованием письменности возник мультипликативный принцип записи чисел ^индивидуальные знаки для чисел

от 1 до 9. Во время вычислений производилось опускание разрядов и для отсутствующих разрядов оставлялось пустое место.

Напомним «индийские условия» возникновения современной системы, которые, конечно, отличались от китайских своими историческими деталями. В конце I тыс. до н. э. и начале I тыс. н. з. в Индии существовало несколько нумераций, все они были с основанием 10. Два вида древнего письма: брахми и кхарошти — дали два способа представления чисел при письме (тексты с начала III в. до н. э.). Судя по всему, система брахми, распространенная на большей части территории Индии и бытовавшая долгое время, сыграла большую роль, хотя в обеих системах в изображении чисел после 100 употреблялся мультипликативный принцип записи. В системе брахми в отличие от кхарошти, в которой применялся аддитивный принцип, имелись индивидуальные знаки для чисел от 1 до 9, а также для 10, 20, . . . , 90. Начертание первых девяти чисел наводит на мысль о том, что наши цифры —— трансформация их, хотя существует и другая точка зрения.

Позиционность была выработана в тех системах, которые употреблялись в астрономических, математических текстах. Впервые позиционный принцип зафиксирован в тексте примерно V в・ н. з. «Сурья-Сиддханта», где таблицы синусов написаны по традиции стихами. Цифр в этой системе нет, вместо них называются словаг обозначающие предметы, всегда встречающиеся по одному, по два и т. д. Например, для цифры 1 употребляются слова «Луна»г «Земля», «Брахма»; для цифры 2 — глаза, руки, близнецы и т.д. Отсутствующие разряды обозначались при этом словом «дыра». Очевидно, эту нумерацию нельзя признать в качестве совершенной позиционной системы, поскольку в ней нет цифр и производить действия в ней было бы весьма затруднительно. Математик и астроном V в. н. э. Ариабхата считал более удобным обозначать числа слогами ——этому способствовал санскритский алфавит. У него числа от 1 до 25, а также 30, 40, 50, 60, , 90, 100, как в алфавитных системах типа греческой, славянской, обозначены со- гласными буквами. Гласные буквы выражают степени 100. Нуль не нужен, потому что гласные буквы в сочетании с согласными (слоги) указывают, к какому разряду принадлежит цифра: еди- ницам и десяткам, сотням и тысячам и т. д. Здесь соблюден принцип именованных разрядов, нет длинных слов — числительных, но позиционного принципа нет. Его вводит в данную систему счета ученик Ариабхаты Бхаскара I. Один и тот же слог у него стал обозначать и единицы, и десятки, и сотни в зависимости от места, занимаемого слогом. Слог для 4 может обозначать 40, 400. Для нуля он ввел особый слог. Запись ведется начиная с единиц.

Обе ситуации, китайская и индийская, логически ничем не отличаются, хотя исторически конкретные условия были различи ными. Анализируя историю позиционных систем у вавилонян^ индийцев и китайцев, можно отметить в первых двух случаях существование нескольких нумераций у одного народа и введение

позиционной для удобства вычислений. В третьем, китайском, случае путь оказался «прямым», но и здесь позиционность была введена вычислителями. И еще одно общее обстоятельство для истории нумераций: нуль был введен довольно поздно. Рассмотрим вопрос о нуле подробнее,

Чей же нуль?

Кому посчастливилось открыть волшебный знак нуля, который занял равное мест® в ряду других цифр, обозначая в отличие от них «ничто»: либо пропуск разряда, либо, на конце, кратность 10. Главное заключалось в том, что нуль стал не только разделительным знаком, но приобрел, выражаясь языком современной алгебры, свое собственное значение нейтрального элемента группы целых чисел по сложению. При помощи девяти цифр и нуля, т. е. сравнительно небольшим числом знаков, стало возможным изображение любого натурального числа в весьма компактном и наглядном виде. Среди высоких оценок этого великого изобретения выделяются образные слова французского математика, механика, астронома XVIII—XIX вв. Лапласа, которые мы здесь приведем:

«Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась сокрытой» [6].

Рассмотрим, когда и для чего был введен нуль в позиционных системах. Подчеркнем одно общее обстоятельство: этот знак обычно вводился на заключительном этапе развития нумерации.

У вавилонян нуль был введен на закате развития их системы счисления. Это можно объяснить как наличием большого основания, так и существованием счетного прибора, когда в нуле не особенно нуждались. Но когда в V в. до н. э. вавилонские астрономы стали проводить вычисления с большими числами, был введен специальный разделительный знак, ставившийся внутри числовой записи. Он обозначал отсутствующий разряд или часть его (в шестидесятеричной системе разряды двузначны), до этого делали просто пропуск в записи. Александрийские астрономы, записывавшие целые числа в греческой алфавитной системе, следуя за вавилонянами, пользовались шестидесятеричными дробями, знаки которых они записывали алфавитными знаками от а=1 до yd=59. Именно для обозначения дробей они ввели для нуля букву о (омикрон), численное значение которого《70» не встречалось при обозначении дробей. Считалось, что выбор буквы о объясняется тем, что это первая буква слова oo8ev — «ничто».

Китайцы повторяют путь вавилонян. В их именованной позиционной системе нуль не нужен, а на счетной доске достаточно было оставить пустую клеточку, равносильную пропуску в поздневавилонской нумерации. Настоящий нуль зафиксирован у Цинь Цзю-шао в XIII в.

Как полагают [114], этот нуль в виде кружка О получился от первоначального его изображения в виде клеточки счетной доски □ , употреблявшегося в календарных разделах «Истории династии Тан» и «Истории династии Сун». Но уже в календаре «Да мин» употребляется кружок.

Словесный нуль в Индии появился в V в. в виде термина «сунья» (ничто). Нуль в виде точки зафиксирован в надписи на каменной стелле 876 г. из Гвалиора (Индия), где изображено число 270 [159]. Однако сравнительно недавно были найдены более ранние свидетельства употребления нуля в виде точки и в виде кружочка на территории Индокитая, относящиеся к 683 и 686 гг.

Вопрос о том, где возник нуль, обсуждался многими историками науки [160]. Г. Фрейденталь [126] и за ним Б. Л. ван дер Варден [23, с. 77] полагают, что нуль был заимствован от греков индийцами, пользовавшимися при составлении «Сурьи-Сиддханты» сочинениями александрийских астрономов. Действительно, в «Сурье-Сиддханте» много греческих терминов (кендра ——расстояние до центра, липта —— минута и др.). В VI в. в трудах Джинабхадро Гани и других индийских астрономов порядок следования цифр в числовой записи изменился. Стали писать, как греки и вавилоняне, от старших разрядов к младшим, тогда как ранее писали, начиная с единиц и десятков; обыкновенные дроби стали изображаться, как в позднегреческих папирусах: числитель под знаменателем, без разделительной черты.

С другой стороны, на основании новых находок Дж. Нидем считает, что нуль пришел в Индию не с запада, а с востока и что он возник на;стыке индийской и китайской культур [150, с. 11 ]. В пользу этой гипотезы говорит то, что в китайской системе счисления число всегда записывалось от старших разрядов к младшим, а дроби располагались на счетной доске так, что числитель оказывался над знаменателем. Отметим также, что VI столетие ——период довольно интенсивного обмена культурными ценностями между Китаем и Индией, который происходит вот уже несколько веков.

Таким образом, всем пунктам гипотезы Г. Фрейденталя можно противопоставить аналогичные пункты, связанные не с греческим, а с китайским влиянием. Тем не менее пока у нас нет достаточных данных, чтобы отдать предпочтение одной из указанных двух гипотез.

Узелки и зарубки

Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.

В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В комментарии «Си цы

чжуань» к знаменитой «Книге перемен» записано:《В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли (государством], а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве» [92, с. 1 ]. Философы Лао-цзы и Чжуан-цзы, жившие в VI— V вв. до н. э., подтверждают эти способы представления чисел. У нас нет оснований сомневаться в таких сообщениях. Многие народы недавнего прошлого, не.имевшие письменности, прибегали к помощи веревки или дерева. Хорошо известны в литературе перуанские квипу — узелки на цветных веревках, фиксировавшие долговые обязательства инков. Существуют свидетельства о древних персах и об индийских племенах прошлого века, обозначавших числа с помощью узелков на веревках [6]; от таких узелков, кстати, произошли четки. В северном^Китае, в Тибете, на островах Рюкю, а также у народности мяо еще в нашем столетии можно было обнаружить квипу у земледельцев [92, с. 1].

В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной дощечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую носили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 4,2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40 (см. с. 82)； В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении первого тысячелетия до н. э. писали на бамбуковых и деревянных дощечках.

Становление китайской системы счета

Как считали первобытные жители бассейна р. Хуанхэ? К сожа-^ лению, приходится ограничиться лишь письменными свидетельствами более позднего времени. В классической литературе старинного Китая введение цифр десятичного счета приписывается Ли Шоу, министру легендарного Хуанди (XXVII в. до н. э.), первого китайского правителя. Имя «Желтого императора» весьма популярно в китайской традиционной истории, мы не первый раз с ним встречаемся. Древним народам было свойственно относить величайшие изобретения к легендарным личностям. Например, в древнегреческой трагедии Эсхила Прометей говорит:

Для них я выдумал Науку чисел, из наук важнейшую, Сложенью букв я научил их [76, с. 36].

Н Но уже от XIV в. до н. э. существуют археологические данные, по которым мы можем вполне реально установить десятичность китайской нумерации, а также принцип числовой записи. Это первые китайские письменные памятники эпохи Инь (XVII——XII вв. до н. э.), с которой начинается достоверная история древнекитайской цивилизации.

В 1899 г. были обнаружены тексты на «драконовых костях» у знахарей главным секретарем императорской Академии наук

Ван И-жуном, которому рекомендовали лечиться от малярии магией. Это были черепашьи панцири и кости животных, на которых были вырезаны гадательные фразы. Кости были предварительно расколоты на пластинки и обточены в виде овала. Фразы содержали пророчества и сообщали о свершении предсказанного. На оборотной стороне в выдолбленной ямке сжигали ритуальные травы или прикладывали раскаленную бронзу. По образовавшимся трещинам формы Д (откуда{-и произошел этот иероглиф 6yl означающий гадание) судили о хороших и плохих предзнаменованиях. Кости были найдены в руинах иньского городища у деревни Сяо-тунь уезда Аньян провинции Хэнань, а также в селе Луншань в огромных количествах. Нашли 161 989 штук костей, содержащих в среднем по 10 знаков. Гадательные надписи относятся к периоду У-дин (1324—1265 гг. до н. э.), когда были еще заметны остатки матриархата. Надписи довольно однообразны, гораздо интереснее фразы, выгравированные на бронзе. Они содержат до 500 иероглифов. Китайская бронза в истории столь же знаменита, как греческий мрамор. Сосудов найдено довольно много (до 10 тыс.), но не все из них надписаны и, как правило, неизвестно место находок. Поэтому датировка бронзы не столь точна, как датировка костей. Очень многие сосуды, считавшиеся иньскими, на самом деле оказались принадлежащими следующей эпохе Чжоу.

Известно, что иньцы пользовались календарем [63]. Сам иероглиф нянь, т. е. год, означал годовой урожай и слагался из трех: женъ фу хэ, что передавало фразу: «человек несет хлеб». Год состоял из 12 месяцев, «високосный» из 13. В «большом месяце» было 30 дней, в «малом^месяце» — 29, употреблялись также декады. Дни считали по шестидесятеричному циклу ганъчжи^ который в дальнейшем лег в основу традиционного китайского летоисчисления. Обнаружены надписи с иероглифами — циклическими знаками цзя цзы [63, 87]. Отмечают, что в столице иньского государства был устроен деревянный водопровод с гор. Единицей обмена была связка раковин-каури, которые, возможно, служили украшениями или тотемами^В иньском обществе существовала целая категория чиновников, связанных с вопросами культуры: предсказатели (бу), летописцы (ши), врачеватели (у), священнослужители (чжу). Они были связующим звеном между верховным небесным владыкой шанди и земным повелителем сяди [86, с. 21—22].

ПЙньские тексты и чжоуская бронза повествуют о становлении китайской системы счисления, которая развивалась, очевидно, вместе с письменность»^ Для развития китайской письменности характерны упрощенные пиктограммы и фонограммы [89].^Именно эпоха Инь является «живой» историей китайской нумерации, потому что впоследствии она, по существу, не менялась.

В иньских текстах обнаружены все цифры десятичной системы (см. рис. 3, четвертую колонку таблицы). Вид некоторых из них весьма напоминает зарубки на дереве. Изменяясь с течением вре- мени, они превратились в современные. Обнаружены также на-

звания степеней десяти (см. там же). Эти знаки также прообразы современных числовых разрядов.

Мы видим, что в иньском обществе проблема нумерации была решена успешно. В это время, пожалуй, только вавилоняне обладали более совершенной системой счисления. У китайцев, как у большинства народов, что зависит, по всей видимости, от пальцевого счета, в основании счета лежало число 10. Выбор основания, впрочем, несуществен для нумерации, он принципиально может быть любым. Технические совершенства нумерации определяются способом представления чисел. Функции нумерации не ограничиваются их фиксированием, а главным образом заключаются в производстве операций с числами.

Иньцы считали десятками и в пределах только первого класса. Самое большое число, встречающееся на костях, 30 000. Среди различных числовых записей много чисел, кратных 10 и его степеням: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 800, 900, 1000, 3000, 4000, 5000, 8000, 10 000, 30 000 [94, с. 3-4]. Эти записи указывают, что счет был десятичным и предельным числом был ванъ ——104; вероятно, этого было вполне достаточно для практических нужд. Возможно, что четырехразрядность классов — дань традиционному, ограниченному владению числовым рядом. У многих древних народов число 4 (от двоичного счета) было священным. Пифагорейцы клялись этим числом.

Представим себе древнего жителя эпохи Инь, которому, например, надо пересчитать какие-нибудь плоды. Ведя счет десятками, счетчик из каждых 10 плодов составляет кучку. Когда таких кучек наберется 10, все плоды, а их 100, инец соберет в одну кучу. В свою очередь каждые 10 таких куч образуют большую кучу, груду, в которой всего 1000 плодов. Десять груд составят, наконец, огромную кучу, больше которой или больше нескольких таких больших куч плодов практически быть не может. В сознании счетчика каждой куче плодов, которые различаются на глаз, соответствует свое число и свое «имя»: 10, 100, 1000,10 000 — десяток, сотня, тысяча, ванъ. Но пока он воспринимает эти кучи больше как совокупности плодов (числа), нежели как новые разрядные единицы (имена). Вот если бы каждой куче из 10 плодов счетчик поставил в соответствие какой-нибудь цветной шар, например красный, тогда 100 плодов представились бы 10 красными шарами. Предположим, что кучу из 100 плодов обозначили зеленым шаром, тогда 1000 плодов отождествилась бы с 10 зелеными шарами. Белый шар обозначал бы груду из 1000 плодов, а черный — 10 белых шаров, т. е. 10000 плодов. В этом случае красный, зеленый, белый, черный шары и есть числа-совокупности в своем новом качестве. Каждый из них не столько обозначает определенное число- груду из 10, 102, 103, 104 плодов, сколько новую единицу, разряд числа. В таких обозначениях числа, кратные 10, будут соответствовать какому-то количеству (в пределах десяти) шаров одного цвета и будут символизировать кучи плодов соответствующего размера.

6 Э. И4 Березкина6 Э. И4 Березкина8181

6 Э. И4 Березкина

6 Э. И4 Березкина

81

81

Мы старались показать формирование мультипликативного принципа (введение цветных шаров). Для чисел, кратных 10, ов применим легко. А как поступали в общем случае при записи числа общего вида? Может быть, на иньских костях нет таких чисел? Напротив, подобных записей немало. Это изображения чисел: И, 12, 13, 14, 15, 25, 33, 37, 41, 56, 157, 164, 199, 299, 348, 350, 659, 2626, 13 081 (сюда же включены числа, выгравированные на иньской бронзе) [94, с. 4].

Для этих записей характерно употребление составных иероглифов и употребление соединительного союза «и» между разрядами. Например, число 659 начертано на бронзовой чаше-треножнике «Даюй^> в виде & 丁 g 力 % (буквально: «шестьсот и пятьдесят и девять») [88, с. 33—34] б. Числа 600 и 50 являются составными иероглифами, а между ними и цифрой 9 стоит союз «и». Такого рода комбинации не были постоянными. Например, для 50 встречаются другие варианты: 攵 или X |. Последнее, раздельное написание характерно для чисел, кратных 10: число 30 встречается в виде =I [94, с. 18], число 5000 — в виде X 乙[88, с. 33—34]. Составные иероглифы указывают на то, что степени десяти еще не осознаются отчетливо в своем новом качестве, именно в качестве названий разрядов, которое уже ясно в более простых числах, как 30, 50, 500. (Для древнего еще кучи плодов, а не цветные шары.) Поэтому потребовался соединительный союз для усвоения компактности, связности, единства числовой записи (соответственно все плоды надо считать в единой куче).

Постепенно, с освоением мультипликативного иртпщ卩а, союз «и» исчезает. Вот пример «чистой» записи:旱倉玄 广(，буквально: «две тысячи шестьсот пятьдесят шесть» [94, с. 33——34]. Другой пример, в котором нерегулярно употребляется и союз, и составные знаки: = ©'t Н-И /\ • Здесь изображено число 348, буквально: «три сотни и сорок восемь» [88, с. 33—34].

Итак, вначале раздельное написание чисел, кратных степеням десяти, комплексная запись составными иероглифами и употребление соединительного союза; затем отказ от соединительных слов, а также переход к раздельному написанию числа общега вида,——вот этапы формирования именованной позиционной системы, ведущей происхождение от группового счета. Иньские тексты свидетельствуют о таком образовании китайской нумерации. Посмотрим, как она развивалась далее.

Большие числа

Как мы видели, для счета древнему китайцу сначала было достаточно четырех разрядов, которые и образовали первый класс. Свидетельством этого служит фраза из «Истории Ранней Хань»》 приписываемая исторической традицией Бань Гу:

。Перевод цитаты полностью см. в книге Го Мо-жо [87,_с. 58].

«Счет ведут единицами, десятками, сотнями, тысячами и ва- нями» [94, с. 18] 6.

Действительно, еа*ь, т. е. 10 000, первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань» (IV в. до н. э.) говорится:

《Ванв есть полное число».

В иньских числовых записях всегда указывалось: один десяток или первый из десяти, одна сотня, одна тысяча, но ванъ писали без слова «один». Современные иероглифы для десятков, сотен, ты- ©яи — комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (см. рис. 4) и в более поздние времена, вань употреблялся для выражения неопределенно больших количеств (ср. даже современное «ваньсуй», десять тысяч лет в смысле «да здравствует»), часто с эпитетами: «большой», «громадный», «огромный». Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится:

«В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет».

В «Истории Ранней Хань» сообщается:

«Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней»,—— 小раза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах. «На работы потратили больших ваней более сотни». /

Иноцца же просто говорили:

«Умершие исчислялись ванями, так что реки не могли течь»,— фраза из «Истории Поздней Хань».

Или там же:

«Клеветники исчислялись ванямп».-

Предельные числа, указывающие границы практической нумерации, в разное время были различными у каждого народа. У славян, например, тьма, несведь сначала обозначали 103, а затем 104, а еще позже так называли 106 (тысячу тысяч), и понимались всегда как очень много, несчетно много, больше и представить нельзя. Сороконожка (поскольку в славянском языке 40 также в свое время означало предельное число, ср. «сорок сороков» церквей и т. п.) называется мириадоножкой от греческого слова «мириада», т. е. 104. Всевидящая египетская богиня Изида по-гречески «мириадоименная», «мириадоглазая». Тысяча египтянами воспринималась как бесконечность, а шумеры изображали ее в виде диска, т. е. полного числа. Подобных примеров в истории очень много.

Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная - со II—III вв. до н. э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, большие а〃н兄.Предлагались различные системы (см. [49, с. 23; 81, с. 23; 98; 101, 150, с. 87]).

Сначала, по-видимому, название давали каждому новому разряду ваня: 105, 106, 107, . . . , 1012 (см. столбец i табл. 1). Иногда это делали, начиная с третьего класса (см. столбец II табл. 1).

Приведенные ниже примеры см. там же.

Таблица 1

Название

I

II

III

IV

V

Вань

104

104

104

104

104

И

105

108

108

108

108

Чжао

106

109

1012

1016

10ie

Цзин

107

1010

1016

1024

1032

Гай

108

1011

1020

1032

1064

Цзи

109

1012

1024

104Q

10128

Сянь

1010

—

1028

二

Цзай

1011

—

1032

—

Цзу

1012

—

1036

—

—

Жан

1013

1048

ю28

1'оу

1014

Ю56

io29

Цзянь

IO15

1064

102"

Чжен

1016

1072

ю2П ；

Цзай

1017

1080

io212

Однако это было неэкономно. Поэтому стали использовать для высоких классов порядок построения первого класса, употребляя названия его разрядов, и тогда каждое новое название надо было давать только единицам очередного нового класса 104, 108, 1012... ...,1036 (см. столбец III табл. 1). Пример такого числа содержится в тексте «Математики в девяти книгах»:

«1 вань 6 тысяч 4 сотни 4 десятка 8 и 6 тысяч 6 сотен 4 десятка 3 ваня 7 тысяч 5 сотен» [100, т. 1, с. 155].

В четвертом классе этого числа новая единица не названа, в третьем ——это 〃, хотя в более ранних текстах она обозначается иероглифом чжао. И и чжао обнаружены в исторических книгах «Лицзи» и «Цзочжуань» (около IV в. до н. э.).

В эпоху Тан (VII—IX вв. н. э.) эти две системы именавали «большим» и «малым» счетом — так называл их Кун Ин-да, комментатор «Лицзи».

Еще более экономный способ построения системы больших чисел состоит- в том, чтобы до 108 поступать, как следует по правилам второго столбца таблицы, а далее в следующих классах использовать всякий раз все названия вплоть до 108. Приведенный выше пример из «Математики в девяти книгах», вероятно, выражен в такой системе. В этом случае новые названия потребуются лишь через восемь разрядов: 108, 1016, 1024, . . . , 1080 (см. столбец IV табл. 1). Самый быстрый рост степеней ——это когда всякий раз удваивается их счет: 104, 108, 101€, 1032, 1064, . . . , 10122 (см. столбец V табл. 1). В математических трактатах указывалось несколько систем, так что пользующийся мог применять любую из них. Например, в «Математическом трактате Сунь-цзы» указаны «обычная система» и «большой счет» (дашу, см. столбцы II и IV табл. 1) 149, с. 22—23]. А в книге «Шу ту цзи и» (VI в. н. э.) указаны три

счета: «нижний», «средний», «верхний», что можно перевести также как «малый», «средний», «большой» (см. столбцы I, III, V таблЛ!) [100, т. II, с. 540]. Это часто поясняет Чжэнь Луань в своих комментариях к древним текстам в трактатах «Десятикнижья».

Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов. В старой русской нумерации также существовал «малый» и «великий» счет: «тьма» означала соответственно 104 и 10002, «легион» — 10б и 10004, «леодр» — 106 и 1000я и т. д. Так же обстоит дело с нашими терминами «миллион», «биллион», «триллион» и т. д., которыми в Америке и во Франции обозначаются разряды 106, IO9,1012, . . . , а в Англии и Германии — разряды 106, 1012, 1018,...

Помимо отмеченных нами чисто китайских систем построения разрядов, в буддийской литературе начиная с IV——V вв. н. э. рекомендуются другие системы, связанные с индийской нумерацией, в которой классы строятся по три разряда, а также по два. Отметим, что в Индии счет больших чисел производился еще в III в. до н. э. После числа «коти», т. е. 107, назывались еще 23 числаг вплоть до Ю7+2*23, что составляло только «первый счет», всего «счетов» было девять, и последним называлось число 107+9# 46 = 10421—— индийцы любили большие числа.

Знаменитый греческий математик Архимед (III в. до н. э.) в «Псаммите» [3] построил систему счисления для больших чисел, где «первыми числами» называются числа до 108, «вторыми» —— числа 108，1°8 и т. д. Все эти числа составляют «числа первого периода». Далее аналогично можно построить «числа второго периода» и т. д. до числа 108-го периода. Аполлоний же считал тетрадами 104. У греков не было специальных названий для разрядов.

Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1).

Глава вторая

АРМ①МЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ^

Счетная доска

Для нас совершенно очевидно, что при вычислениях в именованной позиционной системе удобно опускать названия разрядов, точнее, при оперировании с числами подразумевать их, не обозначая явно, а там, где нет разряда, оставлять пустое место. Однако, когда мы так рассуждаем, следует учитывать, что мы интуитивно предполагаем вычисления на бумаге. И хотя бумага была изобре-

тена в Китае очень рано, вычисления производились не на ней, особенно в древнее время. В 105 г. н. э. Цай Лунем был предложен рецепт производства бумаги из коры деревьев, древесины, старых рыболовных сетей и тряпок. До этого времени начиная примерно с X в. до н. э. для письма пользовались бамбуковыми дощечками, а с IV в. — шелком. На деревянных дощечках или бамбуковых лланках, очищенных от коры и просушенных у огня, вырезали знаки ножом или писали палочкой, которую макали в красящее вещество, вероятно сок лакового дерева; ножом также стирали написанное неверно. На планке помещались всего одна-две строки, лногда писали еще на обороте, таким образом, помещалось от 8 до 30—40 иероглифов. Если текст был длинным и умещался только на нескольких планках, то на их концах делали отверстия и связывали веревкой, ремешком. В «Шицзи» рассказывается о том, как Конфуций, усердно изучая «Ицзин», должен был трижды обновлять ремешки, связывавшие дощечки, на которых она была написана. Известный экономический трактат «Гуань-цзы» (примерно V в. до н. э.) также был первоначально записан на бамбуковых пластинках, как предполагают исследователи, а затем в конце эпохи Хань был переписан на бумажных свитках [72]. Возможно, такова же была судьба некоторых ранних математических текстов, например «Математики в девяти книгах», и именно поэтому они не содержат пространных рассуждений и рисунков.

В III в. до н. э. Мэн Тянь стал писать кисточкой по шелку. Шелк накручивался на палочку в виде свитка (цзюанъ). Шелк был дорог, поэтому продолжали употреблять дощечки. Интересно, что первые книги из бумаги также были в виде свитка. Палочки окрашивались в разные цвета в зависимости от того, к какому отделу относилась книга. Книга могла достигать 10 м длины и более. Один конец такой полосы приклеивался к палке, на другой наклеивалась бумага или ткань, которая образовывала обложку. Свиток завязывался тесемками, 5—10 свитков вкладывались в чехол из ткани, на который наклеивалась этикетка с названиями определенного цвета. Такие книги были распространены в V——VI вв. н. э. Такой вид имело и математическое «Десятикнижье». Впоследствии форма свитка сохранилась только для картин, книги же стали делать по-другому. В эпоху китайского Возрождения Суй и Тан делались книги-гармоники, книги листовые, в эпоху Сун книги-бабочки с двойными согнутыми листами, склеенными бумажным клеем. Начиная с эпохи Мин делали картонные книги, Которые уже приняли современный вид [69].

Отсюда понятно, что в древние эпохи математические тексты были лаконичными, объяснения давались устно, а выкладки производились на счетном приборе. Такой же аргумент в пользу существования счетного прибора у вавилонян приводит И. Н. Веселовский [25, с. 438]: трудно представить себе, чтобы они производили умножение и деление в своей шестидесятеричной системе счисления в уме, в то время как описание этих действий в решениях отсутствует. Правда, в отличие от вавилонских китайские тексты содер-

жат описания правил этих двух операций, но уже довольно поза- ние. Ниже мы их подробно рассмотрим.

В древней математической литературе нет описаний счетных приборов, но их существование можно обосновать помимо приведенных выше соображений также построением правил в виде алгоритмов или указаний типа: «делай так», «затем так》и т. д. Эти правила не просто рецепты отыскания неизвестного, но, по существу, программы для простейшей счетной машины, в которых указана последовательность операций, совершаемых над данными числами по определенным правилам [83, с. 11 ]. Некоторые из этих правил являются специфическими, относящимися только к счетному прибору. На это указывают такие слова, как «сдвинь», «установи», «отступи на разряд, отступи еще», «объедини в одно» и др.

Сведения о счетных приборах содержатся в исторических и других книгах, дающих описание древних эпох. В частности, в первом китайском словаре I в. н. э. «Шовзне» приводится толкование счетных палочек суанъ: «Суань ——прибор из бамбука, длиной в 6 чи, употребляется при вычислениях календаря» [95, т. IV, с. 1—8]. Самое раннее название счетных палочек цзе, широко распространены были также наименования суанъ-цзы^ чоу, чоу-суань^ чоу-цзе, суанъ-чоу [94, с. 139—144]. Длина счетных палочек менялась, со временем они становились короче. Пдлочки делались из бамбука или веточек дерева, позже из слоновой кости, металла, нефрита. С открытием отрицательных чисел стали употреблять две формы палочек: с квадратным сечением (отрицательные) и треугольным? (положительные) или (например, у Лю Хуэя) двух цветов: черные (отрицательные) и красные (положительные). Комплект палочек с треугольным сечением состоял из 216 штук, так что они в сложенном виде в сечении представляли шестиугольник, а квадратные палочки — квадрат, вмещающий 144 штуки.

Полагают, что счетные палочки появились не позже IV в. до н. э., в период расцвета древних наук эпох Чуньцю и Чжаньго ими широко пользовались. В эпоху Тан счетные палочки носили у пояса в чехле, и тогда их делали пустотелыми, цилиндрическими.

Очевидно, в приведенной выше цитате из «Шовэня», которая в той или иной вариации повторяется в более поздней литературе, имеется в виду не только набор счетных палочек, но именно счетный прибор в целом. В самом иероглифе суань (его древнее начертание было несколько иным) в верхней части (того и другого) пишется знак бамбука. Средняя часть старого иероглифа означает «манипулировать». В современном иероглифе можно усмотреть изображение разграфленной доски, на которой располагались счетные палочки. Была ли доска действительно разграфлена так, как показано в иероглифе, или наподобие шахматной доски ——точно не известно. Сначала счетные палочки раскладывались просто на столе или ровной площадке, а затем на специальной разграфленной доске.

Позиционный принцип

Каким образом изображались числа на счетной доске? При помощи единичных палочек по пятеричной системе — отвечают на этот вопрос Сунь-цзы и Сяхоу Ян в своих трактатах:

«Начиная с шести и более пятерка кладется наверху. Шесть не есть [простое] собрание счетных палочек, пять не есть единичная палочка» [49, с. 23; 100, с. 558]. Эта рифмованная песенка- поговорка в негативной форме сообщает о построении чисел от 1 до 5 при помощи простого собрания единичных счетных палочек: в числах же от 5 до 9 первые пять палочек заменяются одной, положенной перпендикулярно остальным (см. две последние колонки на рис. 3). Для представления многозначных чисел на счетной доске пользовались чередованием то вертикального, то горизонтального их положения, поскольку на доске нельзя было иначе обозначить разряды, особенно если доска не была специально разделена на колонки.

Первую письменную формулировку позиционного принципа мы находим в тех же трактатах Сунь-цзы и Сяхоу Яна. Обе формулировки почти не различаются. Сунь-цзы объясняет:

«В методах, которые употребляются при обычном счете. . . [следует] познакомиться с разрядами: единицы вертикальны, десятки горизонтальны; сотни стоят, тысячи лежат; тысячи и десятки выглядят одинаково, десятки тысяч и сотни — тоже» [49, с. 23].

Разумеется, этот принцип был выработан значительно ранее эпохи, когда жили оба автора,——счетная доска применялась уже за много веков до них.

Арифметические операции

Как производились четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление на китайской счетной доске, легко представить. Принципиально они не отличались от современных, но поскольку действия производились не на бумаге, а при помощи счетных палочек, то имелись некоторые технические особенности. Например, при вычислениях использованные цифры снимались с доски, так что проверку произвести уже было нельзя. Действия производились в порядке от старших разрядов к младшим: если написанное на бумаге исправлять неудобно, то положение палочек на доске можно изменить без труда. Расположение на доске чисел не было таким, какое мы применяем ныне: частное от деления двух чисел располагалось над делимым и т・ п. (мы увидим это далее). Конечно, эти детали интересны для более полного и конкретного представления техники вычисления в древнем Китае, однако нам более важно рассмотреть логическую сторону операций, на которую мы постараемся обратить внимание в нашем изложении.

Очевидно, два первых действия на китайской счетной доске не представляли затруднений, чем и объясняется то, что мы не

можем найти их описаний ни в одном древнем сочинении, тогда как умножение и деление вызывало обсуждение у древних авторов математических трактатов. Аддитивный характер представления цифр палочками при выполнении позиционного принципа делает сложение и вычитание простыми. Судя по описанию умножения и деления, при которых производится сложение и вычитание частных произведений, два первых арифметических действия выпол- няются так, как это делается на наших счетах или в вавилонской нумерации, где числа представлялись аддитивно клиньями двух видов [30, с. 105]. Конечно, требуется складывать числа в соответствующих разрядах и знать правило перехода из разряда в разряд, а также учитывать пятеричность в представлении чисел; при этом можно обойтись даже без таблицы сложения, которую мы выучиваем наизусть в начальный период обучения арифметике и потому не замечаем ее применения. Действительно, «два плюс три будет пять» на доске просто означает соединение двух палочек и трех палочек вместе, в результате чего автоматически получается пять палочек. Если же палочек больше пяти, то каждые пять, как мы видели, заменяются одной, расположенной перпендикулярно остальным. Если число палочек более десяти, то каждый десяток их заменяется одной палочкой в соседнем, старшем разряде.

《Как только будут десятки, переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десяти], то [оставь] в собственном [разряде]»,——рекомендует по этому поводу Сунь-цзы [49, с. 23].

Вычисление производится слева направо, а не наоборот, как мы привыкли; и по мере сложения разрядов цифры второго слагаемого исчезают, а на месте первого появляются сумма, она одна и остается на доске в конечном счете. Приведем пример на сложение:

3851+472=4323.

Очевидно, числа располагаются так, чтобы в одной колонке оказались цифры одного одноименного разряда. Последовательность действий схематично можно передать так:

三幵妄 I = К = I ^ III = I = III = Ц[ " 1111 〒" 夕〒 II / II

Первый старший разряд первого слагаемого оставляют в покое —— в этом примере его складывать не с чем (положение а), вторые в сумме дают 12, одна палочка добавляется в первый слева разряд, во втором оставляется две палочки (положение б). Далее аналогично (положения 6 и а). Этот процесс напоминает инструментальный счет, которым, по существу, и теперь пользуются маленькие дети. Еще не зная таблицы сложения, они не могут ответить сразу, сколько будет, если сложить три и четыре, и должны воспользоваться пальцами, чтобы непосредственно сосчитать: 3, 4, 5, 6, 7.

Вычитание производилось аналогично сложению, расположе- 五ие на доске, по-видимому, сохранялось: уменьшаемое на месте суммы ——в верхней строке, вычитаемое ——во второй строке снизу, разность — в пустой строке снизу.

Таким образом, непосредственно на доске можно выполнить одну простую операцию ——прибавление, присоединение единицы, л для двух первых действий большего не требуется. Для двух других, умножения и деления, надо было разработать комплекс таких простейших операций. Тогда сложные операции окажутся своего рода «блоками», из которых составилась бы более сложная машина, решающая сложные задачи. В них умножение и деление уже считались бы простыми операциями. Возникает (первоначально, конечно, интуитивно) теория операций. В сочинении Сунь- цзы приведены правила умножения и деления как «методы, которые употребляются при обычном счете», — автор этого математического трактата, интересы которого лежали в области вычислений, лонимал необходимость определения этих операций [83, с. И ].

Вся сложность умножения заключается в том, как правильно разместить по колонкам вспомогательные произведения, т. е. промежуточные результаты. Остальное обеспечивается таблицей умножения и умением складывать. Так же как сложение и вычитание, умножение начинается со старших разрядов. Умножаемое располагается в верхней строке, множитель в нижней, а частные произведения размещаются в середине, между ними. По мере умножения цифры множителя и умножаемого исчезают одна за другой. Прочтем древнего автора:

«Правило, которое [употребляется] всякий раз при умножении, [следующее]. Установи разряды [чисел] одни под другими [так, чтобы числа] в верхней и нижней [строках] были соответственно расположены. В верхней [строке] разряды суть десятки, за десятками следуют сотни, за сотнями следуют тысячи, за тысячами. ..Нижние [разряды] умножь на верхние. Числа, которые получаются, помести в ряд в средней строке. Как только будут десятки, переходи [в следующий разряд, если] не превышает [десяти], то [оставь] в собственном [разряде]. Ту [цифру] разряда в верхней [строке], которая до конца использована при умножении, убери. Ту [цифру] разряда в нижней [строке], которая до конца использована при умножении, передвинь вместе со всеми остальными вправо. Шесть не состоит из груды палочек, пять не является единичной [палочкой]. Когда в верхней и нижней [строках разряда] перемножишь, то полностью все будет выполнено» [49, с. 23].

Далее в трактате приводится пример:

81-81=6561.

Схема действий представляется следующим образом (в наших цифрах):

Мы видим, что разряды, в которые надо помещать частные произведения, определяются при помощи движения множителя. Это место в правиле описано нечетко, но главное заключается в том, чтобы обратить внимание на расположение множителя в нижней строке. Надо, чтобы его самый младший разряд находился под самым старшим разрядом множимого (положение а). Как только все числа разрядов умножены на первую цифру множимого (положения 6 и б), она убирается (положение б). Множитель передвигается вправо на один разряд (положение г), этим самым произведена подготовка к умножению второй цифры множимого на множитель (положения 0 и е). Вот текст решения этого примера:

«Установи разряды один под другим. В верхней [строке] 8, в нижней — 8. Восемью восемь [дает] 64, т. е. внизу 6400, [это- число ]занимает среднюю строку. В верхней [строке] 8, в нижней 1. Одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 80. Передвинь вправо [цифры] на один разряд, сними в верхней строке 8 десятков. В верхней строке 1, в нижней 8, одиножды восемь дает 8, т. е. в средней строке будет 8 десятков. В верхней [строке] 1, в нижней 1. Одиножды один дает 1, т. е. в средней строке будет 1. Разряды в верхней и нижней строках убраны, и в средней строке получилось 6561» [49, с. 24—25 ].

Что касается деления, то «Правило, которое [употребляется! всякий раз при делении, прямо противоположно умножению: результат умножения находится в центре, результат деления находится в верхней строке》,一сообщает Сунь-цзы вслед за описанием умножения. Это утверждение нетривиально, так как связь этих двух действий была установлена значительно позже, чем сами эти действия. Исторически они возникли независимо друг от друга и получили различные интерпретации: умножение — как задача на нахождение площади земельного участка по заданным сторонам, деление ——как задача на распределение некоторого количества, например денег, между людьми.

Особое внимание при делении также уделялось расположению чисел на доске: делитель размещался так, чтобы он находился под первыми разрядами слева от делимого, в тех колонках, которые

составляют число, делящееся на этот делитель. Поэтому Сунь-цйы далее специально разъясняет на конкретном примере:

«Пусть 6 является делителем, 100 делимым. Чтобы 100 разделить на 6, следует передвинуть его [т. е. делитель ] по разрядам выше на две позиции, так что [делитель] окажется непосредственно под сотнями. Если 1 делить на 6, то делитель больше, а делимое меньше, и деление невозможно. Поэтому [шесть] надо передвинуть влево, в разряд десятков. Делимое дели на делитель, одно [из них] 6, а раздробленное [число] 100 является 10 десятками, поэтому можно производить деление. Если делимое больше, делитель меньше, [цифру] сотен не надо помещать в соседний разряд. Поэтому правило перехода в разряды таково: то, что [обозначает] десятки, устанавливается в разряде десятков; то, что [обозначает] сотни, устанавливается в разряде сотен» [49, с. 23——24].

Пример приводится несколько ниже, он обратен предыдущему:/

6561 : 9=729.

представим его так:представим его так:

представим его так:

представим его так:

Правильность этой последовательности схем, приведенных нами, подтверждается текстом правила:

«Сначала установи 6561 в средней строке, это делимое. [Количество ]„9 человек14 в нижней строке есть делитель. В верхней строке установи 700. В верхней [строке] 7, в нижней 9. Семью девять [дает] 63. Вычти из средней строки 6300, в нижней строке [число] передвинь влево на один разряд. В верхней строке установи 20. В верхней [строке] 2, в нижней [строке] 9. Дважды девять [дает] 18. Вычти из средней строки 180, [число] в нижней строке также передвинь влево на один разряд, тогда в верхней строке установи 9. В верхней [строке] 9, в нижней 9. Девятью девять [дает] 81. Вычти из-средней строки 81. Средняя строка исчерпана полностью. Убери [число] в нижней строке, в верхней строке получится то, сколько получит [каждый] человек» [49, с. 25].

Такие подробности правил (это нам надо иметь в виду при чтении этих цитат) объясняются тем, что на доске не было нуля.

口 поэтому надо было всякий раз напоминать о нуле на конце: «100 является 10 десятками», «установи 700» и т. д. Кроме того, нам следует отметить, что деление демонстрируется древним автором действительно на примере распределения поровну некоторого количества между участниками дележа:

《6561, 9^человек делят это между собой. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек?» [49, с. 25].

Еще одно замечание, которое нам в дальнейшем потребуется, касается деления с остатком. У Сунь-цзы в конце правила деления, процитированного выше, специально оговаривается: «Правило [при делении] с остатком всегда такое: если во время деления делимое имеет излишек, то объяви делитель; делитель возьми в качестве знаменателя, остаток делимого — в качестве числителя» [49, с. 24]. Специальное выражение «объяви делитель» означает, что следует, по-видимому, прочитать это число, «считать» его с^доски именно в качестве знаменателя дробной части остатка, числителем которого будет остаток от делимого. Ниже эта процедура будет рассмотрена особо.

Таблицы

В истории древней математики хорошо известны вавилонские таблицы умножения, обратных значений, квадратных корней и др. У древних китайцев также были числовые» таблицы. Прежде всего необходима была таблица умножения от 1 «1 до 9*9, с применением которой мы уже встречались выше. Составлялись и другие специальные таблицы, свидетельствующие о большом размахе вычислительной деятельности в древнем Китае.

Таблица умножения называлась «Девятью девять» (цзю цзю) по своей первой строке. Это была треугольная таблица с двумя входами, в которой произведения шли в порядке от 9*9 до 1*1:

Таблица 2

9 • 9 = 818 • 8 = 64...2 • 2 = 41 • 1 = 1

9 • 8 = 728 • 7 = 56...2・1 = 2

9-2 = 188-1 = 8“

9-1 = 9

Таблица заканчивалась контрольной фразой: «Всего 1155», т. е. указывалась сумма всех произведений таблицы. При распевании таблицы учеником наизусть и одновременном откладывании результатов на доске или на счетах «накапливается» это известное для контроля число. На счетах оно представляется косточками, расположенными по одной попарно слева и справа.

Предание приписывает изобретение этой таблицы мифическому Фуси, и тогда она была символом вообще счетного искусства. В математическом трактате о гномоне говорится: «Фуси составил для чисел „Девятью девять44 и познал устройство Вселенной» [100, с. 1],

&然力分&然力分р^区%夕入打二ла ^ X 三八卄"е九抄尸，八1m三九计七 А二Л十八 А; ?р^区%夕入打二ла ^ X 三八卄"е九抄尸，八1m三九计七 А二Л十八 А; ?生九六-T;生九六-T;九九/'土九九/'土亠工义X彳亠工义X彳二七十6 二ir- 亠.三卄々 "口十六 л寸疗 三 口工 "六廿G ，口々〈 > ^ + 八 2 =\ 4 九二七十6 二ir- 亠.三卄々 "口十六 л寸疗 三 口工 "六廿G ，口々〈 > ^ + 八 2 =\ 4 九*七什工tc十二 二三而4：8七V人 д A2 .二一而3三七廿一6区廿л-x十区*七什工tc十二 二三而4：8七V人 д A2 .二一而3三七廿一6区廿л-x十区л人千一百一十iл人千一百一十i

&然力分

&然力分

р^区%夕入打二ла ^ X 三八卄"е九抄尸，八1m三九计七 А二Л十八 А; ?

р^区%夕入打二ла ^ X 三八卄"е九抄尸，八1m三九计七 А二Л十八 А; ?

生九六-T;

生九六-T;

九九/'土

九九/'土

亠工义X彳

亠工义X彳

二七十6 二ir- 亠.三卄々 "口十六 л寸疗 三 口工 "六廿G ，口々〈 > ^ + 八 2 =\ 4 九

二七十6 二ir- 亠.三卄々 "口十六 л寸疗 三 口工 "六廿G ，口々〈 > ^ + 八 2 =\ 4 九

*七什工tc十二 二三而4：8七V人 д A2 .二一而3三七廿一6区廿

л-x十区

*七什工tc十二 二三而4：8七V人 д A2 .二一而3三七廿一6区廿

л-x十区

л人千一百一十i

л人千一百一十i

Рис. 4. Бамбуковые дощечки с таблицей умножения из Дунхуанских пещер

Это созвучно высказыванию ассирийского владыки Ашшурба- нипала, постигшего «мудрость Набу, все искусство писцов», толковавшего «явления небес с учеными жрецами», решавшего «сложные задачи с умножением и делением, которые не сразу понятны»...

Очевидно, и китайский автор имеет в виду календарные расчеты, которыми регулировалась жизнь Поднебесной. До нас дошли таблички из Дунхуанских пещер (примерно IX в. н. э.) [93 J. Бамбуковые пластинки еще ханьских времен, на которых лаком написан текст (см. рис. 4). Кроме этой таблицы, которую будем называть обычной, в «Математическом трактате Сунь-цзы»г а также в математических текстах из Дунхуанских пещер [94,

c・ 28—36] содержится более общая таблица умножения, которую назовем в отличие 6т первой расширенной. В ней предложены все произведения вида тп2п2 и тип2, где 八=9, 8, .... 1, а т—п. • • • ...,2,1. В^развернутом виде ближе к тексту ее можно передать так [49, с. 24—27].

Таблица 3

9.9.81=6561

8-9.72 = 5184

6561: 9 == 729.

5184 : 8 == 648.

>..2*2*4 = 16

1 • 2•2 = 4

16 :4 = 4 1 • 1 4:1=4

• 1 = 1

1.9.9 = 81

81:1 = 81

Где применялась такая таблица, неизвестно, но что она была специально составлена по примеру обычной таблицы умножения, подтверждается фразой в конце каждого ее столбца:

«Справа [в столбце ] „Девятью девятьct получается 405, умножь само на себя, получишь 164025 и т. п.».

Заключает таблицу фраза:‘

«Справа от „Девятьюдевять44 до „Одиножды один14 получается всего 1155. Умножь само на себя, получишь 1 334 025. 9 человек делят это, [каждый] человек получит по 148 225» [49, с. 25, 27]. Это значит, находится

1

£ 九•(几+(〃一 1)+ ... +1) = 1155;

”=9

затем квадрат этого числа, а затем производится деление на 9 (в духе всей таблицы).

В «Математическом трактате Сунь-цзы» есть еще другие таблицы, назначение которых пока неясно. В одной из них вычисляются

з”+1(4・з〃), 2・з%+]=з；+1(4・з2,

где 九=1, 2, . . ., 11. В другой серии таблиц трактата Сунь-цзы производится перевод десятых долей в двадцатые, девятых долей в восемнадцатые и т. д., до перевода пятых долей в десятые.

Z7. Счеты

Китайские счеты суань-панъ, буквально «счетное блюдо», получили известность в истории сравнительно недавно как прибор, которым в совершенстве владели китайцы и японцы (рис. 5). В Японии счеты назывались сорабан и имели почти такое же строение, основанное на пятеричной системе, но на проволочках слева у них были не две, а одна косточка. Однажды в Японии провели соревнование между американцем, вооруженным арифмометром, и японцем, владевшим искусством счетов, победил японец [150, с. 75].

Рис. 5Рис. 5На счетах отложено 1 234 567 890 .На счетах отложено 1 234 567 890 .№7 舒A阿 №ШВ№7 舒A阿 №ШВ6.6.Трудно сказать, когда возникли счеты, но они были широко распространены в Китае в XV в. [127 ]. В это время существовало множество арифметических руководств, непременной частью которых было описание проведения операций на счетах [91, 96].

Рис. 5

Рис. 5

На счетах отложено 1 234 567 890 .

На счетах отложено 1 234 567 890 .

№7 舒A阿 №ШВ

№7 舒A阿 №ШВ

6.

6.

Китайские счеты, по-видимому, произошли от счетной доски [141 ]・ Они также основаны на пятеричной системе. Основная рама разделена на две неравные части, в одной из них находится по пять косточек на каждой проволоке, в другой — по две. Каждые пять косточек одной части равносильны одной косточке в другой. Вторая из двух косточек не нужна, и в японских счетах ее не делают: ведь каждые две косточки немедленно заменяются одной на следующей проволоке, означающей более старший разряд (рис. 6).

Количество проволок бывает разным, материал для счетов используется самый различный, от бамбука до слоновой кости, как для рамы, так и для косточек. 二

После распространения бумаги счетная доска перестала, по- видимому, быть необходимой, математики XIII——XIV вв. проводили свои вычисления на бумаге, в их сочинениях появились схемы расчетов, чего не было в трактатах «Десятикнижья». Цифры, которые применяли в расчетах, были, однако, зарисовкой счетных палочек. Быть может, счетная доска применялась еще при обучении в школах, подобно тому как наши первоклассники пользуются счетными палочками или демонстрационными счетами с косточками в классе, но, оставшись достоянием учителей, она стала превращаться в счеты у вычислителей. Сначала раскладывались косточки на блюде, косточки могли быть различных цветов, двух и более. Затем косточки стали нанизывать на проволоку. История китайских счетов по древней литературе, главным образом нематематической, изложена у Лакуперье, Дж. Нидема, Ли Яня, Гудрича [91; 127, 138; 150]. Мы не будем останавливаться на подробностях этой истории, так как нас интересует древняя история, когда счетов еще не было.

Глава третья

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ

Весьма примечательно, что в китайской истории мы находим не только принцип неограниченного построения системы больших чисел, но и распространение этого принципа на область дробных чисел [120, 174]. Как и вавилоняне, китайцы пользовались систематическими дробями: вавилоняне пользовались шестидесятичными дробями, китайцы ——десятичными. Десятичные дроби у китайцев были метрологического происхождения [12, 119, 175]. Поскольку китайская нумерация была именованной позиционной, то и дроби также были именованными, а на счетной доске эти наименования как для целого числа, так и для дробных разрядов опускались, и представленное на доске число оказывалось как бы в современной позиционной записи. В области построения десятичных разрядов иногда, по-видимому, буквально соблюдали принцип образования разрядов для целых чисел. Например, в книге Лю Цзиня «Люй люй чен шу» эпохи Юань число 106368,6312 было записано так [98]:

Десятки Вани 103 100 10 Единицы Тысячи Сотни Десятки Единицы ванейхуфэней

一 丄川丄ТТГ丄III 一 II

7 Э. И. Березкина7 Э. И. Березкина9797

7 Э. И. Березкина

7 Э. И. Березкина

97

97

Здесь в качестве единицы взята мера емкости ху, десятичные доли выражены фэнями. Класс фэней, как и класс для ху (целых), также составили из четырех разрядов: единицы, десятки, сотни и тысячи фэней.

Роль китайских десятичных дробей

6 истории науки

Десятичные дроби, как известно, окончательно вошли в математику лишь в XVII столетии в связи с логарифмами, и произошло это в Европе. Сама обстановка, как отмечают историки математики, уже в конце XVI в. была такой, что идея десятичных дробей «носилась в воздухе». Официальным годом их рождения в истории математики признают 1585 г., когда вышла в свет книга С. Сте- вина (1548—1620)《Десятая», которая была издана в качестве приложения к французскому изданию «Практика арифметики» [166]. После Дж. Непера (1550—1617), родоначальника логарифмов, где десятичные дроби широко применяются, они прочно утвердились в математике вместе с новой десятичной позиционной арифметикой и ныне стали достоянием всякого получившего школьное образо- ванне.

Однако история десятичных дробей начинается задолго до эпохи новой математики и своими корнями уходит в глубокую древность. Хотя еще в средневековой Европе математики в отдельных случаях в разное время приходили к идее десятичных дробей, они лишь повторяли историю. Законченная теория десятичных дробей была создана в трудах среднеазиатского математика XV столетия Джемшида ал-Каши, хотя дроби встречаются еще в X в. у ал-Уклидиси [38, с. 214]. Ал-Каши описал операции над ними в книге «Ключ арифметики» (1427), он пользуется десятичными дробями в «Трактате об окружности» [40].

И ал-Каши, и европейские математики строили десятичные дроби по аналогии с шестидесятеричными, которые по традиции, восходящей к вавилонским и эллинистическим ученым, применялись в астрономии. В «Ключе арифметики» ал-Каши описывает десятичные дроби наряду с шестидесятеричными и дает таблицы перехода от одних к другим и обратно. Шестидесятеричные дроби пришли от вавилонян, от которых греки унаследовали астрономию и первоначальные математические знания. Греки целую часть числа записывали в своей десятичной системе, а дробную ——в шестидесятеричной. По древнегреческим астрономическим сочинениям познакомились в Индии и на арабоязычном Востоке, а также в средневековой ；Европе с шестидесятеричными дробями. Но так как по всему миру постепенно распространилась десятичная позиционная нумерация, то математики пришли со временем к построению десятичных дробей взамен вавилонских. Последние лишь остались в исчислении времени: час, минута, секунда.

История десятичных дробей в древнем Китае отдалена от этой эпохи на полторы тысячи лет и была совсем иной. Здесь понятие

десятичной дроби развивалось в «чистом» виде: ведь в Китае не было шестидесятеричных дробей. Весьма любопытно, каким образом китайские математики уловили преимущества десятичных дробей без логарифмов и тригонометрических функций, на том уровне науки, который был в то время. И еще: не было ли более тесной связи между китайской вычислительной техникой и арабоязычной наукой, чем нам она известна без истории десятичных дробей? Возможно, что ал-Каши ввел десятичные дроби под влиянием китайцев . Форма записи десятичных дробей у ал-Каши на- поминает китайскую. Ал-Каши иногда обозначал десятичные разряды красным цветом, или целую часть числа отделял от дробной вертикальной чертой, или заключал эти две часТи числа в прямоугольники. Ал-Каши обычно обозначал названия разрядов десятичной дроби, но иногда называл только последний разряд. Все эти способы представления применялись и китайцами. Исторм- чески оказались наиболее перспективными последние два способа. Даже С. Стевин пользовался ими с той лишь разницей, что вместо названий разрядов он употреблял их цифровые обозначения.

Но главное родство методов заключается, конечно, не в записи, а в области применения десятичных дробей. Ал-Каши использует их при измерении окружности, вычислении числа 兀,но и китайцы применяли их также в этой области. Рассмотрим, как это делалось..

Метрологические дроби

Неудовлетворенный «грубым» приближением 冗=3, которым пользовались в традиционной математической литературе древнегй Китая, Лю Хуэй в комментариях к «Математике в девяти книгах» вычисляет более «точное» значение при помощи правильных вписанных многоугольников. Он выражает отрезки, которыми оперирует, десятичными долями меры длины чи: цунями^ фэнями («долями»), ли («порядковыми»), хао («шерстинками»), мяо («тончайшими»), ху («паутинками»). Например, «1 цунь 3 доли 8 шерстинок 6 паутинок» у него соответствует числу 0,130806. (Мы намеренно оставляем меры, имевшие хождение на практике, в китайской транскрипции и переводим остальные, чтобы подчеркнуть характер этого выражения.) Если же число не может быть выражено в пределах этих единиц, то остаток представляется обыкновенной дробью. Например, «1 цунь 3 доли 3 порядковых 9 шерстинок 9 тончайших 4 паутинки и 3/5 паутинки». Конечно, можно было бы без труда избежать инородных «хвостов», достаточно было ввести еще одно название для следующего по порядку разряда десятичной дроби. Но Лю Хуэй этого не делает даже в таких выражениях, как《9 цуней 7 долей 7 порядковых 8 шерстинок 5 тончайших 8 паутинок 9/10 паутинки».

На основании этих примеров можно считать, что Лю Хуэй пользуется наименованиями разрядов десятичной дроби, называя их, как следует из другого его комментария, общим термином вэй шу «мельчайшие» в пределах установленных единиц, т. е. до шестого десятичного знака. Такие дроби будем называть метрологическими. Каждый разряд обозначен в них своим названием, которое является названием одной из мер: единицы длины, веса или емкости. В зависимости от выбора целой единицы названия последовательно обозначают десятые, сотые, тысячные и т. д. доли этой единицы. Таким образом, метрологические дроби являются по современной терминологии «дробями с плавающей запятой». Если в выражении Лю Хуэя за основную единицу взять чи, как он и делает, то дробь будет равна 0,130806,- если же за единицу взять цунь, то получится 1,30806.

Как известно, Цзу Чун-чжи через два столетия после Лю еще раз вычислил 冗 с поразительной для его времени точностью. Чтобы записать это число с семью десятичными знаками, Цзу принял за единицу не чи, а чжан — единицу длины, в 10 раз большую, и получил: «3 чжана 1 чи 4 цуня 1 доля 5 порядковых 9 дтерстинок 2 тончайших 7 паутинок».

Очень много метрологических дробей в «Математическом трактате Сунь-цзы». Они применяются всюду: и при формулировке условия задачи, и для выражения постоянных при переходе от одних единиц к другим, и в результатах вычислений. Например, в задаче 16 последней книги говорится:

«Имеется 128940 ху 9 доу 3 гэ проса. [Оно] выдано человеку, [который] покупает шелк [из расчета] 1 пи за 3 ху 5 доу 7 шэнов проса. Спрашивается, сколько [всего он купит] шелка» [49, с. 35]. Метрологической дробью здесь является первое число. Широко- употребляемые единицы емкости ①^, доу^ шэны дополнены еще более мелкими десятыми долями гэ («коробок» емкостью около 0,1 л), которые на практике, по-видимому, не употреблялись. Они появились в вычислениях как разряд метрологической дроби. Что именно так и обстояло дело, доказывает один характерный пример из того же источника. Остановимся на нем подробнее.

Случилось так, что в «Математическом трактате Сунь-цзы» оказались задачи из «Математики в девяти книгах». Попали они, по-видимому, не случайно. Составитель трактата хотел, вероятно, показать образование десятичной дроби.

«Имеется 7 доу 9 шэнов проса. Спрашивается, сколько станет пшена для князей» [49, с. 29]. Решение просто: из специальной таблицы, помещенной в начале книги II «Математики в девяти книгах», которую читатель трактата Сунь-цзы, очевидно, должен был иметь под рукой, берутся численные коэффициенты проса и пшена для князей: они соответственно равны 50 и 21. Искомая величина вычисляется по правилу - '

7 доу 9 шэнов

50 J儿

Так как в «Математике в девяти книгах» всегда пользуются соотношениями

力у =10 доу,

доу —10 шэнам,

широко применяемыми на практике, то в пределах этих единиц у китайского вычислителя получается величина: «3 доу 3 шэна *9/50 шэна». Буквально так и записана она в «Математике в девяти книгах». В «Математическом трактате Сунь-цзы» они представляются как «3 доу 3 шэна 1 гэ 8 шао». Чтобы избежать обыкновенных дробей для выражения «остатка», Сунь-цзы использовал еще более мелкие, чем шэны, десятичные доли основной единицы емкости. Сознательность введения десятичных долей у Сунь-цзы видна из того, что эта задача ——одна из четырех, составляющих единую группу задач, взятых из «Математики в девяти книгах». В трех предшествующих задачах можно усмотреть «подготовку» к выделению десятичной дроби, в них представлены различные случаи деления целых чисел, когда в результате получается целое число, смешанная несократимая и сократимая дроби. Четвертый случай, случай деления с остатком, представляемым конечной десятичной дробью, является как бы завершающим шагом, логически приводящим к новому математическому понятию.

Всем задачам такого класса на обмен зерна и зерновых культур во второй книге «Математики в девяти книгах» предпосылается общее правило, сводящееся к отысканию четвертой пропорциональной; каждая задача имеет, кроме того, отдельное правило. Эти правила весьма кратки, в них даны лишь указания взять соответствующую часть данной величины. Для задач, которые нас интересуют, части выражены дробями 3/5, 27/50, 12/50, 21/50.

У Сунь-цзы общего правила нет, а частные решения к каждой задаче формулируются отлично от частных правил «Математики в девяти книгах». Данные в задачах величины предварительно, в уме, переводятся в шэны: взято соответственно 10 шэнов21 шэн, 45 шэнов и 79 шэнов. Эти количества каждый раз умножаются на соответствующий коэффициент желаемого зерна и делятся на 50. Таким образом, здесь применяется общее правило нахождения четвертой пропорциональной, сформулированное в «Математике в девяти книгах» в общем виде. Расчеты проводятся в шэнах, принимаемых за основную единицу, а в ответе выделяется более крупная единица ——доу. В приведенной выше задаче Сунь-цзы, не переводя числа в шэны, вьшолняет необходимые действия непосредственно над этим числом, принимая его за метрологическую дробь. Будучи последовательным, он и ответ выражает в виде десятичной дроби. Или наоборот, чтобы выразить ответ десятичной дробью, он и заданное число, видя в нем метрологическую дробь, не превращает в целое, как это делал в предыдущих задачах.

Эта же десятичная шкала мер емкостей применяется у Сунь- цзы в ответах к задаче 13 последней книги, где утруска проса, хра-

нящегося в амбаре в течение года, составляет «11099 ху 4 доу 2 шэна 1 гэ», а проса, хранящегося 9 лет, «99894 ху 7 доу 8 шэнов 9 гэ», и во многих других задачах [49, с. 35].

Однако метрологические дроби можно считать лишь крообра- зом настоящих десятичных дробей. Чтобы получить вполне абстрактные десятичные дроби, надо было отказаться от метрологической оболочки, т. е. выйти из той среды, из той области величин, которая «вырастила» самую идею систематической дроби. Совершить этот шаг было для древних нелегко, и он был сделан при весьма специфических обстоятельствах.

Переход 石 абстрактной дроби

Трудность заключалась в том, что древние решали по большей части конкретные задачи. Обычно в них речь шла об измерении площадей полей, объемов плотин, вычислении емкости зернохранилищ, о весе шелка-сырца, о размере шелковых тканей или полотна и др. Следовательно, в задачах из повседневной жизни чаще всего имеют дело с метрологическими величинами или именованными числами.

Выделяя в конкретных задачах общую сущность, математики создают методы для решения класса подобных задач. Более широкий класс сводят к более простому с известным решением, при этом конкретное содержание задачи отодвигается на задний план, на передний план выдвигаются научные проблемы, в результате чего задача формулируется в общем виде, без конкретных величин. В «Математике в девяти книгах» мы встречаем вполне отвлеченные задачи в ее алгебраических VII и VIII книгах.

Предлагая общую трактовку десятичной дроби, Сунь-цзы поступает следующим образом: он берет величину, заведомо не имеющую частей, как, напрлмер, человека. Десятые доли величин подобного рода и демонстрируют десятичную дробь, хотя формально число остается именованным.

Вот эта замечательная задача 2 последней книги «Математического трактата Сунь-цзы», на которую почему-то до сих пор исследователи не обращали внимания:

«Имеется 15000000 тяглых, [требуется] выделить 400000 солдат. Спрашивается, на сколько тяглых приходится один солдат? Ответ: 37 тяглых 5 фэней» [49, с. 34].

Образование десятичной дроби в тексте не поясняется, но дробь «налицо»: «37 и 5 десятых» — так следует понимать ответ к задаче,—ведь не может существовать полчеловекаI Для обозначения десятых долей китайский автор употребил знакомое слова фэнь, т. е. доля ——то же самое, которое указывает одну десятую меры длины цуня. Заимствование слова для обозначения вообще любой десятой наблюдалось в дальнейшем во многих областях. Например, так называли десятую часть стоимости монеты, площади му и др. В трактате Сунь-цзы «долей» названа и 1/10 6«

(шага), который содержал отнюдь не 10, а 6 основных единиц ии, и Сунь-цзы поступает с бу так, как раньше с «человеком».

Присвоение десятым долям любого именованного числа одного конкретного «имени» составляет ту переходную ступень, которая лежит между метрологической и десятичной дробью. Постепенно становятся не нужными три отдельные метрологические шкалы: длины, емкости, веса, достаточно и одной шкалы, как достаточно одного слова «доля» для обозначения десятых долей числа. Затем следовало освободиться и от этой единственной шкалы, перейдя к абстрактному понятию дроби. Можно указать на одну такую попытку из текста Сунь-цзы. В задаче 21 средней книги показано образование десятичной дроби на примере деления «неделимого» на 10 бу; в задаче 16 той же книги, наоборот, Сунь-цзы воздерживается от такого шага. Такое счастливое сопоставление почти одинаковых решений двух задач показывает нам осторожность Сунь-цзы в обращении с новым, только что созданным понятием. Например, в задаче 21:

«Имеется кривое поле. Обвод 639 бу, диаметр 380 бу. Спрашивается, каково поле?» [49, с. 31 ]. Вычисляя площадь сектора согласно правилам, автор делит обвод в 639 6^ пополам, результат таков: «Получишь 319 бу 5 долей», вычислитель получает частное равным 319,5 бу.

Совершенно так же должно было получиться и в задаче 16: «Имеется веревка длиной 5794 бу. Если сделать [из нее] квадрат, то спрашивается, каков [он]?» [49, с. 30].

Легко видеть, что сторона квадрата равна 1448,5 6//. Однако в ответе записано: «1448 бу 3 чи». Откуда такая непоследовательность у одного автора? Ее можно объяснить лишь тем, что в первом случае Сунь-цзы дозволяет себе применить новое понятие десятичной дроби, поскольку он находится в «своей» области, в области вычислений. Далее полученная дробь умножается на 190 и «исчезает». Ее «ввод» обошелся без последствий. Во втором же случае дробь стоит в окончательном ответе, и Сунь-цзы не хочет, а может быть, не имеет права затруднять чиновника земельного ведомства новой искусственной единицей. Здесь Сунь-цзы вынужден отступить от своих правил и оставить старые, привычные меры и тем самым поступиться простотой решения, которое значительно усложняется и из одного действия превращается в три:

«Установи длину веревки 5794 бу, раздели это на 4, получишь 1448 бу с остатком в 2 бу. Умножь это на 6, получишь 1 чжан 2 чи. Раздели это на 4, получишь 3 чи, присчитай и получишь [искомое]» 149].

Итак, десятичные дроби появились в области непосредственных вычислений, как более удобный, совершенный вычислительный аппарат. Но этим, конечно, значение десятичных дробей не ограничивается. Очень скоро интуитивно их создатели почувствовали другие преимущества этого нового понятия.

Основное свойство. Операции

только все усложнялось из-затолько все усложнялось из-заКаким образом производились действия с десятичными дробями? В настоящее время они никого не затрудняют, поскольку принципиально не отличаются от действий с целыми числамиг надо только знать правило расстановки запятой в результатах. Очевидно, с метрологическими дробями оперировали аналогично, формы дробей, в которых не была зафиксирована запятая. Как вы- гляцели конкретно операции с такими дробями, показывает одна характерная задача (задача 25 последней книги) «Математического трактата Сунь-цзы»:

только все усложнялось из-за

только все усложнялось из-за

«Имеется шест неизвестных размеров. Измеряя его тень, получают 1 чжан 5 чи. Отдельно стоит столбик длиной в 1 чи 5 цуней. Тень получается в 5 цуней. Спрашивается, какова длина шеста? Ответ: 4 чжана 5 чи» [49, с. 37].

Катеты двух подобных прямоугольных треугольников (рис. 7) дают пропорцию 况= ^>. Если принять за целую единицу чжан» то решение в нашей записи будет таким:

_1,5 . 0,15 —0,225 — 22,5 —4.况=0,05= 0,05 = 5 = 一

Действительно, в правиле говорится:

«Установи тень шеста в 1 чжан 5 чи. Умножь это на длину столбика в 1 чи 5 цуней. Передвинь влево по разрядам, получишь 22 чжана 5 чи. Раздели это на тень от столбика в 5 цуней и получишь [искомое]».

Схема действий на доске по этому правилу будет такой (табл. 4).

Таблица 4

чжаны

чи

цуни

'[доли]

1

5 1

1

5

множимое множитель частные произведения

2

4

2

5

5

произведение частное

делимое делитель

Напомним, что действия производятся от старших разрядов к младшим и в следующем порядке:

1 чжанЛ чи =1 чи,

5 чи・1 чи=5 цу ням

“ 3) 1 чжан-5 цуней=5 цуням,

4)5 “м・5 цуней=25 десятым цуня=2 цуням 5 долям.

В последнем шаге мы, по существу, дописали за китайского автора, который в правиле не пишет слова «доли», как и не указывает десятков чжанов в крайних столбцах этой схемы. Наша реконструкция основана на центральной фразе правила: «Передвинь влево по разрядам, получишь 22 чжана 5 ин». Если бы она отсутствовала, то было бы неясно, каким образом производилось умножение 1 чжана 5 4〃 на 1 4〃 5 цуней. Решение задачи могло быть и иным:

150 цуней• 15 цуней=2250 кв. цуням,

2250 кв. цуней : 5 цуней=^50 цуней=^ чжана 5 чи,

в этом случае мы имели бы дело с обычными метрологическими, а не с десятичными дробями. Именно то обстоятельство, что площадь в 2250 кв. цуней рассматривается как линейная величина 22 чжана 5 “м, указывает на наличие здесь десятичной дроби, лолучившейся мз 2 “〃 2 цуней 5 долей умножением на 100, а эта последняя в свою очередь могла получиться только от умножения 1,5 чжана на 0,15 чжана^ как показано на схеме. Для этого, как видим, автор должен был знать правило умножения десятичных разрядов, т. е. знать, что, умножая чжаны на “〃, получим та, умножая чи на “〃, получим цуни и т. д.

Умножение двух дробей предполагает поразрядное сложение промежуточных результатов, частных произведений ——мы получаем представление еще об одном действии, впрочем незатруд- нительном. Следующий шаг ——приготовление к делению дробей:

2 “〃 2 цуня 5 долей : 5 цуней.

Для этого число передвигают влево на две колонки, что равносильно умножению на 100 или нашему перенесению запятой влраво на два знака. То же самое надо проделать с делителем. В правиле об этом не говорится, но на доске проводится автоматически. Здесь использовалось основное свойство десятичной дроби: перенос запятой вправо или влево равносилен умножению или делению на степень десяти. Итак, при решении рассмотренной задачи вычислитель должен был применять самые разнообразные операции с десятичными дробями: сложение, умножение, деление и особо умножение на степень десяти.

В китайских текстах часто пользуются основным свойством десятичной дроби. Как на самого раннего автора, в сочинении которого употребляется умножение на степень десяти в качестве особого действия, обычно ссылаются на Сяхоу Яна. Но уже у Сунь-цзы оно применяется много раз. Для этого действия существуют специальные термины. Движение числа по разрядам влево, т. е. умножение на степень 10, выражалось фразой: шан ши чжи, буквально «поднять в десять раз». Любопытно сравнить с названиями шестидесятеричных разрядов у ал-Каши:

«поднятое 1 раз» означает 60, «поднятое дважды» ——602 и т. д。 У ал-Каши «повысить на разряд» означало умножение на 60_ Китайский термин чшан ши чжи》встречается в тексте правил к задачам 9, 22, 25, 32 последней книги трактата Сунь-цзы. В задаче 9 умножение числа на 40 разбивается на два действия: сначала умножают на 10, затем на 4. Выше мы подробно рассмотрели задачу 25, где производилось умножение на 100, тогда как в задаче 32 умножается на 10. Что же касается задачи 22, то в ней надо произвести умножение на 100, в ответе же помещено ошибочное число, полученное от умножения на 10. Следует, вероятно〉 предположить, что там термин не был понят поздним переписи чиком и был прочитан буквально «повысить в десять раз».

Для обозначения деления на степень 10, или движения числа вправо по колонкам, употребляется термин туй, буквальна «пятиться, отступать» ——глагол, обратный движению вперед, цзинь. Этот термин ясен из решения задачи 21 последней книги трактата Сунь-цзы:

«Имеется 1 пи полотна, стоит 18000 цяней. Спрашивается, сколько стоит чжан, чи, цунь каждый в отдельности?

Ответ: чжан — 4500 цяней, чи——450 цяней, цунь ——45 цяней.

Способ: установи 18000 цяней, раздели на 4, получишь стоимость 1 чжана. Передвинь [число] на разряд вправо, еще раз передвинь вправо, получишь стоимость чи и цуня» [49, с. 36].

А в аналогичной задаче 8 книги V «Трактата пяти ведомств» употреблены оба термина:

«Имеется полотно, 1 пи стоит цяни: 8 гуев вэней. Спрашивается, сколько стоит 1 чжан, 1 чи, 1 цунь?

Ответ: 1 чжан —2 гуя ваней;

1 чи — 200 вэней;

цунь ——20 вэней.

Способ: расположи цяни, 8 гуев, раздели на 40 чи, получишь стоимость чи. Сдвинь по разрядам вперед, получишь стоимость чжана. Отступи назад, получишь стоимость цуня» [52, с. 93]. Здесь гуй — связка в тысячу монет и 1 〃м=40 чи.

Здесь применены соответственно цзин вэй ——«двигать по разрядам вперед, т. е. влево, и туй вэй —— «отступить на позицию»г т. е. «передвинуть вправо».

Умножение дробей выполняется в задаче 21 средней книги и в задачах 12 и 13 последней книги трактата Сунь-цзы. О первой из них мы уже упоминали ранее (см. п. 14), когда приводили пример умножения 319,5-190; в двух других производятся следующие действия:

2374-1,03=2445,22 (задача 12), 369980,7.0,03=11099,421»

и также 11099,421.9=99894,789 (задача 13).

Рассмотрим еще одну группу задач, связанную с делением на десятичную метрологическую дробь. В этих задачах вычисляется емкость зернохранилищ для груды ссыпанного на земле у стены в углу зерна — типичные задачи древних, они содержатся почти в каждом древнекитайском трактате. Читатель «Десятикнижья» впервые встречается с ними в книге V «Математики в девяти книгах», где вычисляются объемы разных тел, есть они и у Сунь-цзы. Однако задачи Сунь-цзы и задачи «Математики в девяти книгах» только на первый взгляд кажутся одинаковыми. Если обратить внимание на вычислительную сторону, то мы увидим специальное назначение задач Сунь-цзы. Действительно, в задачах «Математики в девяти книгах» (задачи 23—25 книги V) определяются две величины: объем и емкость ——в ответах названы по два числа. Но главное внимание в соответствии с целями этой книги уделяется вычислению объемов. В ответе объем выражен более или менее «круглым» числом: 8000 чи, 350 чи, 35 5/9 чи\ емкости же—как придется: 2962 26/27 ху, 144 8/243 ху^ 21 691/729 ху.

В задачах Сунь-цзы главное внимание уделено вычислению емкостей. Величины объемов в ответе не сообщаются, о них и не ставится вопрос к задаче. Числовые данные задачи подобраны так, чтобы «круглыми» числами получились емкости, а не объемы. В двух случаях, по крайней мере, числа упрощены до предела: 2700 ху (задача 12 средней книги трактата Сунь-цзы) и 100 ху (задача 3 последней книги того же сочинения).

При переходе от объема к емкости Сунь-цзы берет метрологическую десятичную дробь «1 чи 6 цуней 2 доли» взамен дроби- коэффициента перехода «1 чи 6 1/5 цуня», употребляемого в «Математике в девяти книгах». Таким образом, у Сунь-цзы все подобного рода задачи на исчисление емкости сводятся в конечном счете к делению на этот дробный коэффициент. Обратим внимание на еще одну подробность: из всевозможных коэффициентов для разного вида зерна, употребленных в «Математике в девяти книгах», Сунь-цзы выбирает самый подходящий для него, указанный выше, не обращая внимания на его назначение (для риса, а не для проса). Процитируем для примера наиболее простую из этих задач:

«Имеется куча проса на ровном месте. Нижний обвод 3 чжана 6 чи, высота 4 чи 5 цуней. Спрашивается, сколько проса? Ответ: 100 ху.

Способ: установи обвод в 3 чжана 6 чи； умножь на себя, получишь 1296 чи. Умножь это на высоту в 4 чи 5 цуней, получишь 5832 чи. Раздели это на 36, получишь 162 чи. Выдели ху: раздели на 1 чи 6 цуней 2 доли, получишь [искомое]» [49, с. 34]. В этой задаче 3 последней книги трактата Сунь-цзы мы выделяем последнее действие, оно ясно описано в подробном правиле решения 血 не нуждается в комментарии. Подчеркнем только, что числа действительно подобраны так, чтобы облегчить вычисления и не заслонить тем самым содержание задачи.

Среди таких задач, последнее действие которых есть деление на метрологическую дробь, находятся такие, где получается или должна получиться периодическая дробь. Например, в задаче 11 средней книги трактата Сунь-цзы для определения искомой величины надо разделить:

86940 : 1,62=53666 ху 666 шэнов 1/3 шзна.

Здесь получается бесконечная периодическая дробь. Вероятно^, не зная, как поступить в таком случае, вычислитель записывает результат деления с помощью обыкновенной дроби. В другом случае в задаче подбираются числа более тщательно, чтобы избежать бесконечного деления. Так, в задаче 11 последней книги трактата Сунь-цзы задано «3999 ху 9 доу 6 шэнов проса», так как каждые 9 доу меняются на 1 ху бобов. Ответ: «444 ху 4 доу» [49, с. 35].

В противовес этим вычислениям приведем общий случай деления метрологических дробей, который содержится в задаче 16 последней книги трактата Сунь-цзы, где применяются меры для тканей, не подчиняющиеся десятичным соотношениям. В задаческазано:

«Имеется 128940 ху 9 доу 3 гэ проса. [Оно] выдано человеку^ [который] покупает шелк [из расчета] 1 пи за 3 ху 5 доу 7 шэнов проса. Спрашивается, сколько всего шелка? Ответ: 36117 пит 3 чжана 6 чи» [49, с. 35].

Здесь 1 пи=^чжанам=^) чи^ и правило вычисления усложняется.

Древнекитайское понятие десятичной дроби

Зачем понадобились десятичные дроби древнему китайскому математику, когда в его распоряжении был хорошо разработанный аппарат обыкновенных дробей? Другое дело у вавилонян: из-за неабсолютности системы (из-за отсутствия нуля на конце число читалось неоднозначно, а в зависимости от контекста, и сразу не видно было даже, целое это число или дробь) к систематическим дробям пришли сразу, минуя дроби обыкновенные. Кроме самых простых, типа 1/2, 1/3, 1/6 и некоторых другихг вавилоняне обыкновенными дробями не пользовались.

Систематические дроби, как показывает история, и в Китае» и в Вавилоне, и в эллинистических странах, и в странах ислама, и в Европе были введены для проведения больших вычислений. Их появление всякий раз свидетельствовало о новом этапе развития вычислительной техники. Они удобны тем, что действия: с ними аналогичны операциям с целыми числами.

Однако значение десятичных дробей в математике этим не ограничивается. Десятичные дроби потенциально содержат в себе бесконечность и связанные с нею проблемы, так как обыкновенные дроби выражаются конечными и бесконечными периодическими десятичными дробями, но множество всех десятичных дробей

этим не исчерпывается, и, например, квадратичные иррациональ^ ности дают бесконечные непериодические десятичные дроби. Понятие десятичной дроби гораздно шире, богаче понятия обык- новенной дроби, оно включает в себя интуитивно понятие действительного числа. В самом алгоритме, приводящем к десятичной дроби, не делается различия между числом рациональным и иррациональным. Десятичную дробь можно получить при делении пары чисел (как у Сунь-цзы), можно получить и при извне- чении корня (как у Лю Хуэя), нужно только продолжать процесс по известному алгоритму достаточно долго и, после того как частное или корень вычислены в целых числах, получить последовательно десятые, сотые и т. д. доли результата.

Таким образом, появление десятичной дроби (вообще говоря, бесконечной) знаменовало для древних выход за пределы рационального числа в область действительного числа.

Десятичные дроби связаны с идеей аппроксимации и в дальнейшем привели к бесконечным рядам. Известно, что к разложению функции в ряд И. Ньютон пришел от понятия десятич^ ной дроби как непрерывного ряда, у которого каждый следующий член (знак) дает лучшую степень приближения для данного числа. Этот аналитический характер десятичной дроби придает ей большую привлекательность в области вычислений, в которых нуждаются естествоиспытатели, желающие непосредственно видеть оценку.

В китайской математике десятичные и обыкновенные дроби развивались в равной степени [12]. В этом отношении интересно провести сравнение трех текстов: «Математики в девяти книгах», где имеются в начальном состоянии обе линии, «Математического трактата Сунь-цзы», не раз нами цитировавшегося в связи с де- сятичными дробями, которые в нем нашли более полное освещение, и «Математического трактата Чжан Цю-цзяня», автор которого в противоположность Сунь-цзы занимается предпочтительно обыкновенными дробями. Его вообще не интересуют вычислительные проблемы, ему представляется интересным лишь теория, он имеет в виду по большей части алгебраические методы, о чем он и говорит в своем предисловии к трактату.

Уровень вычислительного исскуства во времена «Математики в девяти книгах» требовал выражения всякого результата точно. Представляя в распоряжение китайского вычислителя рациональные числа, авторы сочинения давали ему возможность выражения любой величины ——измерял ли он ее непосредственно или вычислял по заданным величинам. Иногда даже точный результат звучал нелепо. Например, оказывалось, что для выполнения некоторой работы требуется 258 и 3726/10063 человека (задача 22 книги V «Математики в девяти книгах»), или нужно перенести наполненную землей корзину на некоторое заданное расстояние 57 и 1629/2603 раза (задача 8 книги VI).

У Сунь-цзы в III в. н. э. ничего подобного нет. Числовые данные у него подобраны так, что в ответе получаются круглые числа,

и вычисления негромоздки. Обыкновенные дроби явно вытеснены метрологическими, для выражения которых им применены более полные, широкие системы мер, подчиняющихся десятичным соотношениям, так что дроби оказываются десятичными.

Несколько позже, в V в., было написано сочинение Чжан Цю-цзяня, которое свидетельствует о непрерывности развития линии обыкновенных дробей с алгоритмом Евклида нахождения общего наибольшего делителя, сыгравшим большую роль в развитии теории чисел.

77. Метрологияи происхождение десятичных дробей

Выше мы рассмотрели переход от метрологической дроби к абстрактной. Но как возникли метрологические дроби? Какова основа, представленная метрологией для образования этого понятия?

Различные единицы измерения в разных сферах человеческой деятельности возникали у всех древних народов одновременно и независимо друг от друга. В древнем Китае при помощи пи и дуаней (кусков) измеряли ткани, при помощи бу (двойного шага) измеряли стороны земельных участков, при помощи ли (версты) выражали расстояния до населенных пунктов. Китайский фут —— чи, ныне равный 1/3 ж, применялся для предметов домашнего обихода и в других случаях.

. Когда названные единицы установились, каждая в своей области, потребовалось сравнить их между собой. При этом соотношения между ними оказались приближенными, на самом деле, возникнув в разных областях, они не были обязаны быть кратными друг другу. Соотношения были, конечно, округлены и отнюдь не получились при этом десятичными. Оказалось, например, что 1 6у=6 чи, 1 ли=300 бу и т. п.

Далее происходит образование как более крупных (при счете), так и более мелких (при измерении и вычислении) единиц. Первоначально объединение и дробление производилось произвольно.

10 цуней = 1 чи,. 2 жо = 1 чжану,

8 4〃 = 1сюню,2чжана = 1 дуаню,

10 чи = 1чжану,2дуаня = 1 лану,

, 7 или8 “〃=1чжэню,2лана= Г пи.

чи=1 мо,

В периоды расцвета китайской государственности делались попытки ликвидировать разнобой в метрологии, установить в ней единую систему мер. Тогда и вводится в метрологию десятичный принцип, т. е. метрологию пытаются строить по тому же основанию, по которому построена общепринятая система счета.

Первую унификацию мер в истории китайской метрологии отмечают в III в. до н. э. при императоре Цинь Ши-хуане, осно-

вателе династии Цинь и первом объединителе Китая в единое государство. Он провел целый ряд реформ: ввел единые законы, унифицировал письменность, упорядочил денежные знаки и даже ввел единую колею для всех повозок, чтобы не разрушались дороги [58]. При подготовке реформы мер и весов Фа Ся по поручению императора составил для дробных долей чи, основной меры длины на протяжении всей истории Китая, следующие соотношения:

1 чи= 10 цуням, 1 ли = 10 фа,

1 цунь = 10 фэням («долям»), 1 фа = 10 хао

фэнъ= 10 ли («порядковым»), («шерстинкам»).

К области упорядочения системы единиц, очевидно, относится также определение эталонов для единиц, принимаемых за основные. Здесь на протяжении всей истории Китая эталоны часто менялись.

Размер чи начиная с древних времен постепенно удлиняется от 0,175 до 0,308 м. В разных местах страны чи имел свое значение. Например, в эпоху Хань в различных княжествах он был равен 0,236; 0,251; 0,284 м. Накануне революции 1911 г. в Китае, кроме основного, так называемого «инженерного чш>, употреблялись «плотничий чи», «портняжный чи»,《“〃 у каменщиков» и т. п.——почти в каждом ремесле был свой эталон, и при этом в разных провинциях разной длины [48].

Точно так же существовало несколько разных ланов для определения веса: «казначейский», равный 37,312 г, которым измеряли вес серебра, выплачиваемого в виде налога, зарплаты и т. п.; «шанхайский», равный 36,592 г, применявшийся при взвешивании риса, соли и т. п.; «такелажный», равный 37,78夂г.

Первыми эталонами для основных мер у всех народов были предметы окружающего мира, обладавшие более или менее постоянными размерами. По большей части такими мерами древним народам служили части человеческого тела: кисть руки, пядь, ладонь, локоть и др. В Китае наблюдалось то же самое. В «Лицзи» (IV—I вв. до н. э.) чи приравнивался длине кисти руки. Бу определялся как двойной шаг. В дальнейшем с вводом более мелких единиц определяли не установившуюся единицу, а минимальную меру. В приведенных соотношениях Фа Ся в качестве нее взята мера /〃о『а у Сунь-цзы (см. далее с. ИЗ) взята еще более мелкая единица ху («паутинка»). Часто за минимальную меру-эталон принимали зерно или конский волос, обладавшие примерно постоянными размерами. В «Си цы чжуань», комментариях к «Книге перемен» (VI в. до н. э.), 1 фэнь равен 10 волосам конского хвоста, а в книге II—I вв. до н. э. «Хуайнань-цзы» 1 цунь равен 12 зернам проса. Первые известные нам в настоящее время упорядоченные меры длины, веса и емкости содержатся в «Математическом трактате Сунь-цзы», в его первой книге, посвященной целиком числовым таблицам.

18. Метрологические таблицыСунь-цзы

Свое сочинение Сунь-цзы начинает с перечисления имевшихся в его эпоху мер. Действительно, здесь можно обнаружить все те единицы и соотношения между ними, которые встречаются, например, в более ранней «Математике в девяти книгах», но совершенно не описаны в ней. Современному читателю «Математики в девяти книгах» приходится наводить особые справки о соотношении единиц, которые там упоминаются, или восстанавливать эти соотношения по тексту. Хотел ли Сунь-цзы лишь исправить недостаток «Математики в девяти книгах», поместив свод единиц? Несомненно, что цель таблиц не только в этом. Таблицы Сунь-цзы — систематическое собрание метрологических единиц, носящее следы специальной обработки. Она выполняется по двум основным принципам. '

Первый принцип заключается в выборе и определении элементарной меры, при помощи которой исчисляются все остальные. При измерении длины элементарной мерой служит ху, буквально «шелковичная» нить [49, с. 22]. Для измерения веса взято шу, зерно проса; в качестве эталона меры емкости применяется су, зерно чумизы. Как видим, Сунь-цзы выбирает в качестве элементарных единиц объекты, наиболее привычные и относящиеся к основному производству: самым распространенным древним культурам, шелку, просу и чумизе.

Второй принцип таблиц Сунь-цзы ——десятичность, которую он осуществляет (вслед за Фа Ся) всюду, где только можно. Остаются недесятичными только укоренившиеся на практике соотношения, например, между такими единицами, как су, 6^, ли и др. Следовательно, принцип десятичности проник в китайскую метрологию еще в III в. н. э. О введении принципа десятичности в китайскую систему мер помимо «Математического трактата Сунь-цзы» упоминается в «Истории Поздней Хань» и в «Истории Сунской династии».

Рассмотрим метрологические таблицы Сунь-цзы, каждой из которых автор, по-видимому, отводит свою роль. Всего их три, расположены они в таком порядке: сначала идет таблица мер длины, затем веса и, наконец, емкостей.

В соответствии с этим порядком мы будем их называть под номерами I, II, III.

Таблица II весовых единиц менее всего интересна нам, она демонстрирует возможное многообразие в соотношениях между единицами:

«10 шу = 1 лэю, 1。лэй = 1 чжу、 24 чжу = 1 лану,«10 шу = 1 лэю, 1。лэй = 1 чжу、 24 чжу = 1 лану,16 ланов = 1 цзиню,

«10 шу = 1 лэю, 1。лэй = 1 чжу、 24 чжу = 1 лану,

«10 шу = 1 лэю, 1。лэй = 1 чжу、 24 чжу = 1 лану,

30 цзиней = 1 цзюню^

4 цзюня = 1 даню^ [49, с. 22].

Соотношения не только недесятичные, но и неоднородные. Древние соотношения отличаются от современных, но и вплоть до настоящего времени весовые единицы не были переделаны в десятичные, хотя такие попытки предпринимались. О таких попытках упоминается в «Истории Поздней Хань» и «Истории Сунской династии». Исключение из таблицы составляют два первых равенства, по-видимому добавленных позже. Этот опыт в значительной степени был проведен с таблицей I мер длины, в основном для более мелких делений чи, а с таблицей мер емкостей —— целиком; в последней, кроме первого соотношения, все соотношения десятичные. Не удивительно поэтому, что Сунь-цзы, когда хочет показать десятичные дроби, в своих задачах пользуется преимущественно единицами емкости.

«При определении емкости исходи из су,

6

2夕0

10

шао = 1 аз,

10

гуй = 1

00,

10

еа = 1 шэну,

10

цо = 1

“ао,

10

шэнов = 1 доу,

10

чао = 1

шао,

10

доу— 1 %》[49, с. 22].

Если за целую единицу измерения принять ху, то при помощи зтих наименований можно выразить десятичную дробь с семью знаками. Если же, наоборот, за единицу принять, например, гуй, то можно создать систему для больших чисел. Сунь-цзы так и поступает и строит даже не одну, а две системы. Как он это сделал, было показано в п. 6 этой части.

В области мер длины можно было вычислять с точностью до 5-го или 6-го десятичного знака, как это проведено у Лю Хуэя и Цзу Чун-чжи. Приведем таблицу I полностью.

«При изменении длины исходи из ху. Если хочешь знать 66 этих ху, то нить шелкопряда и есть ху.

10

ху=1 сы,

10

чжанов = 1 пню.

10

сы = 1 хао,

50

чи = 1

дуаню,

10

хао = 1 ли,

40

чи=1

пи,

10

ли = 1 фэню,

6

чи — 1

бу.

10

фэней = 1 цуню,

240

6^ = 1

М，

10

цуней = 1 чи,

300

бу = 1

4〃》

10

4〃=1 чжану,

[49,

с. 22].

Одна мера, названная здесь, относится к площадям, это му. Предпоследнее равенство означает, что 240 кв. бу = 1 九弘 и, как видно из первой задачи «Математики в девяти книгах», первая книга которой посвящена вычислению площадей полей, это ллощадь прямоугольника со сторонами в 15 и 16 бу.

Таблицы Сунь-цзы находят свое продолжение у Канси (1662—— 1722), который пересмотрел и подверг точному определению основные меры «древним способом», которым якобы пользовался ле-

8 Э. И. Березкина

113

гендарный Хуанди, связавший китайские меры с изготовлением бамбуковой свирели ——древнейшего музыкального инструмента. Свирель состояла из 12 трубок одного и того же диаметра, но разных длин, подобранных для хроматической гаммы. За эталон было взято зерно черного проса, имеющее вытянутую форму и обладающее постоянной шириной. В наибольшей трубке свирели хуан чжун укладывается по толщине 100 таких зерен. Их вес был принят за единицу чжу. Если же уложить зерна по длине, то потребуется 81 зерно. Отсюда двоякое деление длины: музыкальный чи, или люй чи, равный 9-9, и обычный чи, равный 10* 10・ Единица емкости юэ определялась также в зависимости от размеров трубки основного тона, в которую помещалось 1200 зерен проса [48].

Таблица мер, определенных, по преданию, этим способом, была издана в «Математической энциклопедии» («Шу ли цзинь юнь»). Дробление мер в ней значительно продолжено: меры длины доведены до 10~ чи, меры емкости — до IO』ШЭНач меры веса ——до 10~16 лана. Соотношения между единицами почти все десятичные, а такие, как 1 6у=6“〃，заменены более удобными: 1 бу=5 чи. .

Следует отметить, что, несмотря на попытки Сунь-цзы ностро- ить абстрактные десятичные дроби, в китайской вычислительной технике укоренились метрологические дроби. Список наименований десятичной шкалы мер рос, например у Чжу Ши-цзе в XIV в. единицы длины продолжены до 10~16 чи, и последовательность названий сохранялась в дальнейшем долгое время. У Канси именно такая последовательность [48].

может мыслиться с любым количеством нулей на конце, осуществляется возможность получать десятичные разряды после запятой при помощи того же самого алгоритма, давшего целую часть частного или корня.

В то же время счетная доска вводила своеобразное ограничение, сказавшееся на всем развитии техники вычислений в старинном Китае. После выкладок, проведенных на доске, резуль- нат «снимался», и позиционность системы утрачивалась. Так как целые числа записывались в именованной системе счисления (назывался каждый разряд числа), то и десятичные разряды дробной части аналогично фиксировались под своими названиями. Вот почему метрологические дроби оказались столь же жи> вучими в китайской практике, сколь неизменной оставалась система счисления в целом. Понятие десятичной дроби в абстрактной форме, Несмотря на попытки Сунь-цзы еще в III в. создать его, так и не было выработано до конца, пока оно не пришло в китайскую культуру вместе с заимствованной с запада современной математикой.

Часть третья

ПОНЯТИЕ ЧИСЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕИ ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Эта часть тесно примыкает к предыдущей, поскольку в ней речь также идет в значительной мере о тех возможностях, которые имели древние математики для решения своих задач. В ч. 1Г представлена арифметика целых чисел и десятичных дробей, здесь ——арифметика дробей обыкновенных. В предыдущей части мы видели, как проблемы измерения заставляли переходить от целых чисел к десятичным дробям, с помощью которых можно приближенно выразить любое действительное число (прагматический подход к построению действительного числа) [20, с. 146].

Здесь мы рассмотрим алгебраический путь перехода от целых чисел к числам рациональным. Действительно, этот путь, принятый в современной алгебре, исходит из того, что требуется выполнимость определенного действия: для рациональных чисел —— деления, для дальнейшего расширения (т. е. алгебраических чисел)——извлечения корней. Как заметил А. Н. Колмогоров, поле действительных чисел при этом расширении не получается [46, с. 4——5 ]. Нас интересует, каким образом древние ввели в математику обыкновенные дроби. Они также исходили из требования выполнимости деления, но, конечно, не аксиоматически. Рассмотрим освоение древними китайцами операции деления и понятия рационального числа: разработку аппарата обыкновенных дробей, связанную с введением методов и понятий теоретикочислового характера — наименьшего общего кратного, наибольшего общего делителя и др.

В нашем распоряжении нет какого-либо систематическога изложения, подобного «Началам» Евклида, по которому мы смогли бы выявить объем понятия числа в древнекитайской математике. Мы пытаемся воссоздать картину развития этого понятия по отдельным вычислениям и алгоритмам. Разрабатывая алгоритмы^ китайские математики активно осваивали одну числовую область за другой, и если при этом не строили теорий, то фактически все же вырабатывали понятие числа в том или ином объеме. Здесь можно более отчетливо, чем, может быть, где-либо, выявить те действительные причины, которые побуждали к введению новых кате^ горий чисел.

Тот исторический процесс, который происходил в древнем Китае при освоении понятия числа, носил достаточно общий характер и имел место во всех древних цивилизациях.

Глава первая

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Дроби в «Десятикнижъе»

Все четыре арифметических действия с обыкновенными дробями были освоены и изложены в трактатах «Десятикнижья». Они прежде всего специально описаны в книге I «Математики в девяти， книгах» об измерении полей. Этим самым древний читатель получал возможность вычислить площадь любого поля указанного там вида, измерялись ли его линейные размеры целыми числами или дробными [9].

В нашей символике правила операций с дробями, содержащиеся в «Математике ... », можно передать следующими формулами^

Е 仰(％ • • • ” jij+i • • • %)

II

1

если 匕1=匕2= ・・• =b%=b, то просто

а с 一 be . а、 с彳_% = ~^-，здесь т>-^；

ас ас 《а Q с Ab a Cd с _(АЬ + а) (Cd с) 万.万=而；4 T京=一6d 一=bd

а . с — ad e cb adb * dbd * bdcb *

Но уже в «Математическом трактате Чжан Цю-цзяня» (V в.》 деление дробей производится по обычному правилу:

а . с — adb * d — be *

Для нас эти алгоритмы почти обычны и не представляют особого интереса (отклонения и ограничения древнекитайских правил будут рассмотрены далее по ходу изложения). Однако древние пришли к ним в результате долгого и трудного пути, поскольку тогда не существовало ни современной символики, ни современного понятия дроби.

Натуральные дроби

Самые первые дроби совсем не были дробями в том смысле, :в каком мы теперь их понимаем. Они появились одновременно с целыми числами, составляли независимое от них понятие и отнюдь не были вторичными, производными от целых чисел, какими стали позже.

На самом деле простейшие дроби 1/2, 1/3, 2/3 давали не столько количественную характеристику предмету, сколько описывали его качественно. Как первые числовые понятия не были еще достаточно абстрагированы и обозначали конкретные числа (например, пять пальцев, пять персиков, пять бревен и т. д.) или числа-качества (кисть руки как живой эталон для числа пять: т. е. конкретное множество, с которым сравниваются все остальные равномощные множества исчисляемых предметов), так и для нашего далекого предка, например, «полполя» воспринималось прежде всего конкретно: это некоторое поле, обладающее новым качеством (пусть поле с менее плодородной почвой или плохими всходами), из-за которого его отделили, отрезали от другой половины первоначального поля. При этом, в частности, выделенная и оставшаяся части оказались одинаковыми по размерам, каждая из них в два раза меньше всего первоначального поля. Части могут оказаться и неравными. Именно поэтому в старом китайском языке 1/3, 2/3 получили названия: «меньшая половина» (шаобанъ), «большая половина» (тайбанъ) по сравнению просто с «половиной» (бань), которые употребляются в задаче 10 книги VIII «Математики в девяти книгах» и и в задаче 14 последней книги трактата Чжана; или «малая половина» (сяобанъ), «большая половина» (За бань) в отличие от «средней половины» (чжунбанъ), которые употребляются в задаче 28 последней книги трактата Сунь-цзы [100, т. I, с. 230, т. II, с. 318, 384]. Других дробей на первых порах не существовало.

После разделения некоторого поля каждая часть приобретает значение самостоятельной величины, меры. В дальнейшем процесс деления как бы забывается, отодвигается на второй план, остается само понятие половины. Вспомним русские «четверть» (мера емкости), «десятину» (мера площади) и другие меры, получившие самостоятельное значение как нечто новое целое. И лишь этимология этих слов напоминает о том, что они происходят от деления.

Таким образом, чтобы осмыслить половину в качестве дроби 1/2, надо было абстрагировать процесс деления поля и мыслить его примерно так: нечто целое (единица) (величины могут быть различной природы, теперь уже неважно, одномерные они или двумерные, либо это вообще некоторое количество предметов, но предметов однородных, и т. п.) делится на две равные части, так что каждая из них в два раза меньше целого. Именно при этом получается не «половина», а «одна вторая». Такое понятие дроби становится уже более общим, оно соответ-

ствует дальнейшему развитию понятия числа. По природе своей оно алгоритмично, так как деление единицы на части может представляться как регулярный процесс: сначала на 2, далее на 3) на 4 и сколько угодно частей. Такое толкование дроби ниже рассмотрено особо.

Исходное «расширение» области целых чисел совершенно одинаково у всех народов. Во всех языках до сих пор существует слово половина» наряду с «одной второй» (см. табл. 5). Всюду обнаружены также индивидуальные названия для третьих долей (см. эту же таблицу). Что касается других простейших дробей, то разные из них получали собственное имя, здесь у каждого народа был свой выбор. Специальные названия дробей давались и позднее, когда уже существовало более общее понятие дроби, это происходило только в том случае, когда путаница по вопросу о том, какие дроби имеются в виду, совершенно исключалась: так обстояло с римскими весовыми унциями.

Таблица 5

Таблица названий простейших дробей

Дробь

Китай

Египет

Вавилон

Греция

Франция

亠 Рим

%

Половина, средняя половина

Половина

Половина

Половина

Половина

Половина

%

Малая, меньшая половина

Одна часть (вышла из употребления)

Специальное название

Третья часть

Третья

2/3

Больптйя, ббльшая половина

Две части

Специальное название

Две части

Специальное название

%

Малая, меньшая

Разламывать

Четвертая часть

3/4

Большая, ббльшая

Три части (позже % 十 ％)

Три части

Специальное название

%

5/б

Иногда употребляется специальное название

10 унций, Т. е. /12

%

*/12

Специальные названия для всех долей

Специальный названия для 1/12> '°/12，"/12

ных 1/3, 1/2, 2/3 (шаобанъ, чжунбанъ, таИбан吩,употреблялись ，еще названия для 1/4, 3/4: «половина с недостатком» (жобанъ), «половина с избытком» (цянбанъ), как сообщает Чжу Ши-цзе в книге《Суанв сюэ ци мен», 1299 г. [95, т. I, с. 20].

Следующий этап развития понятия числа ——это появление 1/〃, для которых существовали также специальные названия. В древности ими наделялись как основная 1/〃, так и дополнительная (八——1)/〃 дроби. Действительно, в словах «третья», «четвертая» для 1/3 и 1/4 подразумевается последняя доля при делении целого на указанное число частей. Так мы говорим при перечислении трех объектов о «третьем человеке», «третьем апельсине» и т. д. Аналогично все остальные п-е доли, которые дополняют (п—1)/п до единицы, обозначались количеством оставшихся долей данного разбиения единицы. Например, для 2/3 термин «две части», для 3/4 —— «три части», для 11/12 непосредственно

Таблица 6

Таблица названий двенадцатых долей

Китайское

Дробь

название

Перевод

Представление

1

12

цян

С избытком

== а

шао жо

Меньшая с недостатком

而

гиао

Меньшая (половина)

11 1

而

шао цян

Меньшая с избытком

Т+ з"

5

11 2

12

бань жо

Половина с недостатком

，т + т-у

6 丄

= E

бань

Половина

7

21

12

бань цян

Половина с избытком

Т+ 12

82

21 2

= Т

тай жо

Большая с недостатком

т+

93

тай

Большая (половина)

ю а

31

тай цян

Большая с избытком

Т+ 12

11

31 2

12

и чень жо

Полный цикл с недостатком

12

12 = 1

цюанъ

Полная

указано «без одной». То, на сколько делится единица, при этом не указывается в названии ——и так известно, о каких долях: ведется речь.

Дробь как мера или именованное число

Несомненно, дробь происходит от деления. Однако не от той： операции в абстрактной форме, которая имеется в виду, когда в теоретической арифметике строится поле рациональных чисел над кольцом целых чисел как такая числовая область, в которой выполнялись бы все четыре арифметических действия. В представлении древних деление было наполнено конкретным содержанием, и потому одно «деление» отличалось от другого: было ли это нахождение четвертой пропорциональной, или задача на распределение некоторого количества между различными объектами, или просто раздробление единицы измерения на более мелкие доли. Каждая из задач определяла свой подход к понятию дроби, хотя с нашей точки зрения задачи не различаются между собой, поскольку все они сводятся к одному действию —— делению.

Разберем сначала последний случай: рассмотрим именно ту задачу, которая является, по существу, частным случаем общего деления А на п, когда / = 1・ Этот класс задач имел самостоятельное значение в формировании понятия дроби. Он находил наиболее яркое истолкование в метрологии, когда в процесса измерения для более точной оценки требуется размельчить основную единицу на более мелкие п частей.

Невозможно указать, когда был совершен переход от деления только на 2 или 3 части к делению единицы на любые п частей. Этот момент был началом качественно нового этапа в развитии дроби. Он знаменовал собой введение дроби не как еще какого-то числа в дополнение к целым числам, но именно как дробного, нецелого, раздробленного числа, части целого.

На этом новом этапе 1/м стала символизировать новое число, в котором деление уже было явным, а не маскировалось под собственным именем натуральной дроби. Она свидетельствовала не о случайном (на 2, 3, 4, 12 частей), а регулярном процессе деления единицы (на 儿=2, 3, 4, . . .), который порождал не ограниченное количество дробей, но бесконечное их множество. Процесс позволял производить действительное или мысленное измерение не «на глазок» (остаток в виде половины или немногим больше, меньше половины), а более точно, при помощи регулярного введения все более мелких мер. Именно в последнем случае появляется вероятность возникновения систематических дробей (если делить на степени основания счета). В результате такого понятия дроби как меры, как доли целого множество целых чисел пополняется множеством дробных долей.

Однако появление одной n-й в виде новой меры означала лишь самое начало (подчеркнем это особо) формирования лоня-

тия дроби в общем виде. Хорошо известно, что в древнем Египте, где знали лишь эти аликвотные дроби l/几, дробей как таковых все же не было.

Главным вычислительным постулатом у египтян было обязательное представление дробного числа суммой основных, аликвотных дробей (обычно обозначают их через 月),конечно, неодинаковых. Поэтому центральной задачей древнеегипетской вычислительной практики была разработка таблицы 2М, разгадке тайны которой посвящено так много исследований [82, 155, 171 и др. ]. Иными словами, древнему египтянину предстояло для этого прийти к простой, но замечательной идее о том, что удвоенное произведение 2月 и есть частное от деления 2 на 八[23, с. 30]. И поскольку действия в древнеегипетской математике были построены в основе своей на бинарной процедуре (удвоение, раздвоение и сложение), то деление сводилось в конечном счете к задаче о дополнении дробного чи疝а, т. е. некоторой суммы дробей вида 冗 до 2. Именно в этой задаче особую роль играли так называемые красные числа (они писались красным лаком в отличие от остальных), в некотором смысле аналоги дополнительных множителей при приведении дробей к общему знаменателю. Красные числа убедительно доказывают отсутствие современного понятия дроби в древнеегипетской математике. Сами красные хиспа могли оказаться дробными (т. е. суммой аликвотных дробей), потому что за общий знаменатель выбиралось не общее кратное, но просто больший знаменатель. Таким образом, эта числовая процедура заменила наше приведение дробей к общему знаменателю представлением разных дробей в масштабе некоторой минимальной доли: n-я была не дробью, а «мелкой монетой» 8. Вот почему древнему египтянину было не просто догадаться о тождестве.

Но вернемся к Китаю, где развитие на аликвотных дробях не задержалось и, более того, наверное, ими фактически не пользовались в том узком, «египетском» смысле; по крайней мере, таких сведений пока обнаружить не удалось. В древнем Двуречье, где обыкновенные дроби не получили развития, так как были вытеснены систематическими, обозначение n-й, близкое к современному, также показывает исключительность египет- ских аликвотных дробей. Осмысление — -й в качестве одной n-й части единицы, которая в сумме с остальными (п——1) частями дает единицу, отразилось в китайском термине «полный», «целый» (цюанъ) (см. в табл. 6 название для ^, долгое время употреблявшемся для обозначения дроби — . По-китайски слово «дробь», «доля» (фэнь) обо-

значает также глагол «делить». В «Началах» Евклида дроби называются «частями» (ср. со старорусским названием «ломаная» для дроби). В нашем чтении ^: «т n-х», также и по-китайски, с той лишь разницей, что в китайской грамматике определение стоит перед определяемым словом и потому в древних текстах дробь- (буквально) записывается по схеме ш-х т. Здесь и выявляется содержательное понятие дроби. Речь идет о целом числе т некоторых новых единиц измерения, количество которых указывается числителем дроби, а их «качество» (т. е. их определение) указывается знаменателем дроби: n-е. Итак, сначала выполняется деление основной единицы на п частей, а затем берется m таковых.

Это толкование дроби во многих случаях помогало китайцам успешно преодолевать трудности в разработке правил действий с дробями. В противоположность египтянам китайцы не только приводили дроби к общему знаменателю «по-настоящему», но находили наименьшее общее кратное в качестве общего знаменателя. Этот метод весьма остроумен, и его интересно сравнить с египетской процедурой «красных чисел». Идея одна и та же, но в разных случаях проявляется по-разному; развитая до конца, она помогает получить новое понятие в математике.

Приведение дробей к общему знаменателю.Наименьшее общее кратное

Здесь мы просим читателя вернуться к п. 1 этой главы и обратить внимание на китайские алгоритмы, представленные для более легкой обозримости формулами. Они отличаются от современных незначительно, но нас интересует пока одна деталь: при сложении и вычитании дробей общий знаменатель находится просто в виде произведения знаменателей. Это непринципиальное отличие, незаметное для небольших знаменателей при малом количестве дробей, в иных случаях может оказаться весьма ощутимым. Здесь мы рассматриваем задачи 1—11 книги IV «Математики в девяти книгах», в которых хотя и оперируют с дробями,- но совсем иначе, чем в специальных задачах книги I этого же сочинения, правила к которым мы представили выше в п. 1 современными формулами. Назначение рассматриваемых задач весьма неясно, но в них дан метод приведения дробей к общему знаменателю, в котором, по существу, пользуются наименьшим общим кратным. Из анализа вычислений видно, как практически вырабатывалось это теоретико-числовое понятие.

Задачи 1——11 однотипны и сводятся к отысканию стороны единичной прямоугольной площади по известной другой стороне,, которая выражается необычно: в виде £^~， где 〃 = 2, 3,...12.

1

Приведем текст одной из них, 7-й:

«Имеется поле шириной 1 с половиной, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 и 1/8 бу. Известно, что поле в 1 му. Спрашивается, какова длина? Ответ: 88 233/761 6驴.[50, с. 466] .

Решения всех таких задач сводятся к делению на дробь: если 力 искомая, то

— 1 — 1 • n 、1 — m

24 1

1

где m определяется равенством последовательно для указанных п. Хотя задачи обратны тем, в которых дано правило умножения дробей [50, с. 443—444, книга I, задачи 19—24], сформулированных в геометрической форме (произведение выступает в них в виде площади прямоугольного поля), однако они, по всей видимости, не считались основными для определения деления дробей. Для сравнения приведем одну задачу на умножение дробей из книги I «Математики в девяти книгах»:

«Имеется другое поле шириною в 7/9 бу, длиною в 9/11 бу. Спрашивается, каково поле? Ответ: 7/11 бу» [50, с. 443, задача 20].

Эти две задачи обратны друг другу, но задачи 1—11 книги IV тем не менее не могут служить примерами, демонстрирующими деление дробей.

Во-первых, в них показано лишь деление целого на дробь, и, конечно, для этого не было необходимости решать одиннадцать однотипных задач ——слишком неэкономно для лаконичных древних текстов. Во-вторых, задачи на деление дробей уже содержатся в книге I «Измерение полей» [50, с. 443, задачи 17——18]. Там они к месту, тогда как книга IV посвящена извлечению корней. В книге I древнего сочинения содержатся все действия с дробями, включая и алгоритм Евклида попеременного вычитания, примененного для сокращения дробей. Правда, задачи на деление отличаются от остальных своими формулировками, но в них полностью рассмотрено как деление целого на дробь (задача 17), так и деление дроби на дробь (задача 18). Деление в них представлено распределением монет между людьми, а не в геометрическом виде (см. п. 6). В-третьих, не случайно оригинальное задание известной стороны в виде суммы аликвотных дробей (в подлиннике буквально пишутся по-современному: «n-я одна», т. е. они по определению не «египетские»). Благодаря такому заданию на первый план выдвигается процедура подсчета суммы этих дробей и отодвигается на второй план операция деления, хотя последняя и представляет собой большой интерес —мы к ней еще вернемся ниже. По существу, в задачах 1 — 11 книги I «Математики в девяти книгах», каково бы ни было

мх специальное назначение п, дан общий метод приведения дробей к общему знаменателю как наименьшему общему кратному знаменателей дробей.

Если бы китайский вычислитель в этих задачах стал находить общий знаменатель обычным способом, т. е. так, как указано в правиле сложения дробей книги I, то вычисления оказались бы чрезвычайно громоздкими. Здесь особенно целесообразно было взять наименьшее общее кратное чисел (1, 2, 3,. . .. 12) вместо JJ j.

Из решений задач, сформулированных словами, ясно, что именно так поступали во всех случаях, кроме задач 5 и И.

Каким образом дроби приводились к общему знаменателю? Прием, которым пользовались китайцы, прост и изящен. Начиная с самого большого знаменателя, последовательно на него умножали числители остальных дробей. По ходу дела проводили сокращение, и общий знаменатель получался равным не произведению всех знаменателей, но их наименьшему общему кратному. Таким образом пришли к новому математическому понятию — понятию наименьшего общего кратного.

Несколько подробнее о реконструкции этого метода 1а.

Описания решений задач 1 —11 недостаточно подробны. Они начинаются (в наших терминах) с представления дополнительных множителей:

«Правило следующее: имеется восемь дробей, взяв 840 за 1, 420 вместо половины, 280 вместо 1/3, 210 вместо 1/4, 168 вместо 1/5, 140 вместо 1/6, 120 вместо 1/7, 105 вместо 1/8, сложи их, получишь 2283, это делитель» [50, с. 466, задача 7].

Как получены эти числа, можно узнать из общего правила к этим задачам под названием «Шао-гуан», сформулированного в виде алгоритма для счетной доски, на которой производились вычисления. Применим его к приведенной выше задаче 7. Правило начинается словами:

«Расположи целый бу, числители и знаменатели дробей». В нашем примере они представляются двумя рядами чисел:

11111111

2 3 4 5 6 7 8

Китайские строки вертикальны, поэтому знаменатель последней дроби будет располагаться в самом низу и справа. Далее: «Чи-

11 Ли Янь рассматривает эти примеры в связи с толкованием специального термина чжун ю фэнь — сложные дроби (см. [95, т. I, с. 28]).

茎.Использование наименьшего общего кратного в качестве общего знаменателя дробей иногда видят в примерах книги I «Математики в девяти книгах». Однако это не так. Выкладки к задачам книги I отсутствуют, а общие правила сложения и вычитания дробей (вместе с комментарием Лю Хуэя к ним) показывают, что значение в ответе, равное наименьшему общему кратному, получалось лишь после сокращения готового результата, т. е. на самом последнем этапе вычислений, и потому данное понятие в этих задачах не применялось (см. [95, т. I]).

умножь один за другим на самыйумножь один за другим на самый8 8 8 82 3 48 8 8 82 3 48 8 8 85 6 7 88 8 8 85 6 7 8

умножь один за другим на самый

умножь один за другим на самый

8 8 8 8

2 3 4

8 8 8 8

2 3 4

8 8 8 8

5 6 7 8

8 8 8 8

5 6 7 8

слители дробей и целый бунижний знаменатель», т. е.

или

8 4 8 238 4 8 238 8 85 6 78 8 85 6 711

8 4 8 2

3

8 4 8 2

3

8 8 8

5 6 7

8 8 8

5 6 7

1

1

Некоторые дроби можно сократить ——это действие обесцечива*ет получение наименьшего общего кратного знаменателей-

8 4 8 2 8 4 8 1

35 3 7

Особенности отступлении от лась дробь 6/4:Особенности отступлении от лась дробь 6/4:задач 5 и 11 ; этого правила.задач 5 и 11 ; этого правила.заключаются именно в некотором ,В задаче 5 не сокращенной оста*заключаются именно в некотором ,В задаче 5 не сокращенной оста*1 121 121313141415151616

Особенности отступлении от лась дробь 6/4:

Особенности отступлении от лась дробь 6/4:

задач 5 и 11 ; этого правила.

задач 5 и 11 ; этого правила.

заключаются именно в некотором ,В задаче 5 не сокращенной оста*

заключаются именно в некотором ,В задаче 5 не сокращенной оста*

1 1

2

1 1

2

1

3

1

3

1

4

1

4

1

5

1

5

1

6

1

6

далее

6 36 3226464656511

6 3

6 3

2

2

6

4

6

4

6

5

6

5

1

1

Возможно, так произошло потому, что эта задача была первой, где надо было произвести сокращение получающихся промежуточных дробей. В предыдущих задачах было достаточным толька деление нацело. Аналогичное упущение в задаче 11, последней из этой группы, объяснить трудно. Оказалась не сокращенной дробь 12/9 в схеме

12 6 4 3 122 12312612 1

57295И

В результате этих отклонений общие знаменатели по сравненик> с наименьшим общим кратным знаменателей увеличились в 2 и в 3 раза. Это, конечно, не очень существенно для вычислений. Эти примеры показывают, что понятие наименьшего кратного еще не окончательно выкристаллизовалось. Следующая фраза правила предлагает: «Если надо сделать приведение к общему знаменателю, то умножить числители один за другим на знаменатели дробей». Очевидно, далее числа верхней строки умножаем последовательно на 7:

56 28 56 14 56 28 8 7

353

на 3 (возможно, сокращение на 3 производится на ходу)

168 84 56 42 168 28 24 21

⑪ на 5:

840 420 280 210 168 140 120 105

Во второй строке все числа исчерпаны, процедура окончена* Первое число строки всегда выражает общий знаменатель, точнее, наименьшее общее кратное знаменателей дробей. В терминах метрологии первое число указывает, на сколько долей надо разделить основную единицу измерения, чтобы все остальные дробные части этой первоначальной меры выразились целыми числами. Остальные числа и являются количествами, выраженными в этой найденной малой мере.

Далее правило описывает собственно решение задачи, здесь мы его приводить не будем.

От египетской процедуры с красными числами китайская отличается тем, что преобразование заданных долей в более мелкие производится не один раз, но до тех пор, пока все они не будут выражены целыми числами, т. е. выбирается не просто мера, а отыскивается общая наименьшая мера. Поэтому «дополнительные множители» в китайских вычислениях в конце концов становятся целыми числами, а египетские красные числа, вообще говоря, остаются дробными и только в частном случае могут быть целыми.

Здесь хорошо виден смысл приведения дробей к общему знаменателю, чтобы разные дроби можно было сравнивать, оценивать, оперировать с ними, надо выразить их в одинаковых долях и все свести к операциям с целыми числами. В конечном счете так поступали древние любой цивилизации, да и мы тоже, но при этом шли разными путями. В древнекитайском алгоритме главным образом фиксируется внимание на толковании дроби как некоторой доли основной единицы или нескольких таких долей, иными словами, дроби как именованного числа.

Нам остается только показать, что в дальнейшем проблема наименьшего общего кратного была выделена в самостоятельную и предлагалась в задачах вне всякой связи с дробями. Через несколько столетий в «Математическом трактате Сунь-цзы» и еще в более общей форме в трактате Чжан Цю-цзяня она нашла отражение в специальных задачах13. Вот условие задачи Сунь-цзы:

«Имеется три сестры: старшая сестра возвращается домой один раз в лять дней, средняя сестра возвращается домой один раз в четыре дня, младшая сестра возвращается домой один раз в три дня. Спрашивается, через сколько дней [эти] три женщины встретятся все вместе? Ответ: [через] 60 дней» [49, с. 39].

Правило к задаче весьма корректно:

В Монголии такие задачи также получили распространение, например задача о посещении учителя четырьмя его учениками соответственно ежедневно, через сутки, двое и 5 дней и о встрече их всех.

«Установи 5 дней для старшей сестры, 4 дня для средней сестры, 3 дня для младшей сестры справа. В каждом ряду слева расположи единичную счетную палочку».

Схема будет следующей:

1 5

4

3

Далее в правиле говорится:

«Взаимно поочередно перемножь это. Число раз, которое будет получено для каждой, [следующее]: старшая сестра через 12 раз, средняя сестра через 15 раз, младшая сестра через 20 раз», т. е. находится наименьшее общее кратное для каждой пары чисел:

12 5

15 4

20 3

И, наконец, в последней фразе объявляется о получении наименьшего общего кратного трех заданных чисел, равного 60, из каждой строчки таблицы.

«Умножь эти числа на [количество ] дней, через которое каждая возвращается домой, и получишь [искомое ]».

Хотя решение этой задачи гораздо проще, чем решение задач 1——11 книги IV «Математики в девяти книгах» (здесь наименьшее общее кратное есть просто произведение простых чисел), но сама проблема обсуждается отдельно и весьма образно. Эта задача соответствует вкусам автора трактата, интересовавшегося теоретико-числовыми задачами.

В задачах 10—11 первой книги трактата Чжан Цю-цзяня оперируют не только с наименьшим общим кратным, но и с общим наибольшим делителем. Рассмотрим их подробно, так как в историко-математической литературе о них упоминают редко и очень кратко [110, с. 81 ]. В обеих задачах снова имеют дело с тройкой чисел 3, 4, 5, хотя они явно и не заданы.

«Имеется насыпная гора с оградой 325 ли. Три человека 4, 万，В одновременно ходят вдоль ограды. 4 за день проходит 150 ли, Б за день проходит 120 ли, В за день проходит 90 ли. Спрашивается, сколько дней и сколько обводов [они] пройдут, пока встретятся» [51, с. 30]. Решение очевидно: если А сделал до встречи а кругов, 6 —蚪，区一^з и Для этого потребовалось х дней, то имеет место

325 •九1 ___ 325 • п2 — 325 • п3

150 = 120 = ~90~~ *

После сокращения, в том числе на наибольший общий делитель, равный 30, становятся ясными наименьшие целые значения л】•— 5,孔2'— 4,八3—3.*

В правиле описано, как при помощи деления получить число дней, нужных для встречи трех пешеходов.

«Установи числа ли, нормы ходьбы для {, 6, В. Найди рай- ное число, это делитель. В качестве делимого возьми число ли ограды. Делимое составь с делителем и получишь единое [число]» [Там же].

На этом правило заканчивается. В вычислениях же еще показано, как найти искомые количества оборотов, совершенных 4,万,8 до встречи. Для этого надо разделить нормы ходьбы на их наибольший общий делитель.

Следующая задача несколько сложнее:

«Обвод военного лагеря внутри 720 бу, обвод военного лагеря в середине 960 бу, обвод военного лагеря вовне 1200 бу. Три человека А, Б, В шли ночью. 4 шел по внутреннему обводу лагеря, Б шел по среднему обводу лагеря, В шел по внешнему обводу лагеря, встретились у южных ворот. Нормы ходьбы для Л 9, для Б 7, для В 5. Спрашивается, по скольку обводов пройдет каждый, пока все они не окажутся у южных ворот [одновременно ]» [51, с. 31, задача И ].

Согласно условию

720 • % — 960 • п2—1200 • n3

—9~7~5；

или, после сокращения на наибольший общий делитель, равный 240:

3九]4九25几3

Здесь не получаются наименьшие целые значения для искомых величин, поэтому последующие члены отношений предлагается увеличить в 4 раза. В вычислениях так и сказано: «Ищи целые числа» [там же], а также указана схема

Правый столбец, который требуется увеличить «дважды в два» раза:

3 36

4 28

5 20

Разделив на соответствующие числа, стоящие слева, получают искомые числа

72-^ —= 12) 九 2 —* 7, 九 з -■^4.

Однако китайское правило отлично как от описанных в тексте, так и от приведенных здесь вычислений. Это один из немногих

9 Э< И± Березкина

N29

в трактате Чжана случаев несовпадения алгоритма с вычислениями. В правиле автор рекомендует применить тот же метод, которым пользовался Сунь-цзы при решении своей задачи: найти число обводов, а не количество дней до встречи.

«Количество бу внутреннего, среднего, внешнего обводов взаимно перемножь с коэффициентами ходьбы А, Б, В. Ищи равное число, сократи, для каждого получишь ходьбу в обводах» ,——вот весь текст правила [51, с. 31 ]. Можно восстановить схему вычислений по этому алгоритму. Составляется таблица

720 9

960 7

1200 5

и производится поочередное перемножение чисел левого столбца на соответствующие числа правого столбца, как это делается при приведении дробей к общему знаменателю, даже термин употреблен тот же, oz/ чет [50, с. 441 ]:

720.7.5 9

960.9.5 7

1200 • 9 • 7 5

Полученные произведения сокращаются на «равное число», т. е. на общий наибольший делитель, равный здесь 3600. В левом столбце остаются числа 7, 12, 21. Искомые величины, очевидно, должны быть такими, чтобы произведение их на полученные числа равнялось наименьшему общему；кратному этих чисел. К сожалению, в правиле не^говорится, как действовать окончательно. Наверное, так же, как в задаче Сунь-цзы: следует искать наименьшее общее кратное чисел 7, 12, 21.

Общий наибольший делитель. Алгоритм Евклида.Основное свойство дроби

Способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел известен в математической литературе как алгоритм Евклида [55, с. 12, книга VII, предл. 2], содержание которого сводится к следующему. Для определения наибольшего общего делителя двух чисел a s b (а〉Ь) надо вычитать b из а последовательно столько раз, чтобы остаток rx—а—д0& был меньше Ь. Далее следует аналогично поступить с парой (&, q)・ Получится остаток 「2=6——,1「1 и т. д. Наконец, получатся остатки гя_2 > гп_^ и такие, что в г%_2 остаток гя_х укладывается целое число раз:

*2 -(% =。)■

Таким образом,「吟工 будет наибольшим общим делителем данных а и &.

Такой же алгоритм описан в древнекитайской «Математике в девяти книгах» в виде правила «Сокращение дробей» (книга I сочинения), предваряющего весь цикл задач на дроби: «То, что

можешь разделить пополам, раздели пополам; если нельзя разделить пополам, то установи количества числителя и знаменателя, из большего вычти меньшее; продолжай взаимно уменьшать до тех пор, пока не получатся равные [числа]; на это равное число и сократи» [50, с. 440].

Хотя древнекитайский алгоритм сформулирован в арифметической форме в отличие от древнегреческого, где речь идет об отрезках, в нем также применено попеременное вычитание вместо современного деления. Вероятно, это диктовалось техникой вычислений на счетной доске, когда числа представлялись счетными палочками. В зависимости от этого сформулировано конечное условие: «пока не получатся равные [числа ]», т. е. rn-2—rn-iQn-v Здесь применен термин для общего наибольшего делителя «равное число» (деншу). Этот термин встречается всюду в математических текстах древнего Китая. В «Математике в девяти книгах» определение алгоритма, по-видимому, довольно древнее. В нем сохранилось упоминание о делении чисел на четные и нечетные ——свойстве, подмеченном древними народами задолго до какого-либо развития теории делимости чисел (древние египтяне должны были столкнуться с ним в алгоритме деления 2 : тг). И, конечно, в древнем алгоритме попеременного вычитания не требовалась единственность разложения на множители, хотя связь с цепными дробями в дальнейшем, вероятно, была установлена. В «Математике в девяти книгах» алгоритм нахождения общего наибольшего делителя выражает основное свойство дробей и, кстати, представляет дробь явно в виде пары чисел. Это свойство дроби, когда величина дроби не изменяется от умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число, было особо отмечено комментатором «Математики в девяти книгах» Лю Хуэем, а также Чжан Цю-цзянем, развившим далее учение о дробях. Лю Хуэй, поясняя заголовок правила «Сокращение дробей» (юэ фэнь), пишет: «Тот, кто сталкивается с сокращением дробей, мерой количеств вещей, не может исследовать полностью, как； надо говорить о дроби. Дробь— это число, сложное по устройству^и трудное в употреблении. Пусть имеется 2/4. Если говорить об усложнении (/а吟,тогда можно получить 4/8, если говорить о сокращении (юэ), то ^будет 1/2. Хотя количества (шу) представлены разными словами, возвращаются к одинаковому значению. Делитель (炉а), делимое (ши) взаимно выделяются, постоянно^имеется разность, поэтому и дается такое правило, которому прежде всего подчиняется каждая дробь» [100, т. 1, с. 94—95].

Понимание Лю Хуэем смысла и значения этого алгоритма весьма глубокое. Вот что он пишет в комментарии к алгоритму:

«Сократить на равное^число ——это значит разделить [на него]. Когда "при взаимном вычитании начинают повторяться равные числа, то берут равное число и сокращают нэ него» [Там же].

Предисловие^трактата Чжан Цю-цзяня посвящено специально учению о дробях, и сам трактат начинается с задач на умножение

и деление дробей. Он кратко излагает алгоритм попеременного вычитания для определения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя (уже без разделения на четные и нечетные), а также упоминает в связи с этим о свойстве дроби быть не только сокращенной, но и увеличенной (тот же термин фанъ).

В «Математике в девяти книгах» общий наибольший делитель употреблялся лишь для сокращения дробей. Кроме задач 5 и 6, где специально производится сокращение 12/18 и 49/91 (эти же примеры приводит и Сунь-цзы (в задачах 1, 2 средней книги)). В «Математике в девяти книгах» отыскивается общий наибольший делитель еще в задачах 8, 15, 19 книги I, где получаются 339/189? 18/108，6З/99, а также в задачах на «уравнение дробей» (лин фэн^). В последних находится среднее арифметическое трех заданных дробей (например, "2, 2/3, 3/5 или 1/2? 3/4? 5/7) и производится их сравнение (по абсолютной величине) с этим «уравненным» значением «На сколько больше, на сколько меньше каждая из них?» [50, с. 442].

Деление дробей. Задачи на распределение

После некоторого отступления, связанного с исследованием теоретико-числовых понятий, рассмотрим другие «типы» деления, которые также послужили источником формирования понятия дроби.

Указанный в заголовке класс задач является обобщением предыдущего случая деления 1 : п, предполагая делимое 4*1. Древние, однако, воспринимали эти"задачи как вполне самостоятельные и трактовали их отличным от первых образом. Если деление единицы на некоторое число частей представлялось главным образом в метрологическом плане, как раздробление единицы измерения на более мелкие доли, то деление 4 : 〃 в общем случае, когда А некратно 八,давало повод осмыслить дробь в качестве результата деления целых чисел. Правда, и в этом случае должно подразумеваться измерение А в однородных единицах. Действительно, в китайских задачах обычно берутся монеты, цяни, конечно, одного достоинства, которые распределяются между людьми, а в задачах Сунь-цзы делимое вообще отвлеченное число, возможно мыслимое, в виде подлежащих дележу монет. Например,《6561, 9 человек делят это между собой. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: 729» [49, с. 25]. Здесь нет ни именованного делимого, ни именованного ответа, колорит задачи на распределение сохраняет лишь делитель. Эта задача из числовой таблицы произведений: 9・9・84 = 6561, 9.8-72=5184 и т. д. (см. п. 10 ч. II). Она сопровождает каждое такое умножение, указывая на обратное действие: 6561/9 = 729 и т. д. Выше мы уже отметили, что здесь Сунь-цзы явно указал на взаимно обратную связь умножения и деления. В отличие от авторов «Математики в девяти книгах» у него лишь деление представлено в традиционной форме. Умножение абстрактно:

«Сколько получится, если перемножить 9, 9, 81? Ответ: 6561» [Там же].

В трактате Чжан - Цю-цзяня оперируют с абстрактными числами, во всех первых шести задачах на умножение и деление дробей.

На практике древним часто приходилось распределять некоторое количество А (имущество, добычу, расходы и т. п.) как между равнозначными, так и неравнозначными объектами. Интерпретация этой четвертой арифметической операции в виде задач на распределение показывает нам, что эта операция возникла независимо от прямой, т. е. от умножения. Связь между ними была, по-видимому, осмыслена позже: в китайской математике- ской литературе впервые у Сунь-цзы. Не удивительно поэтому, что задачи на умножение и деление дробей, помещенные в книге I «Математики в девяти книгах», о которых ранее уже упоми- нали, непохожи друг на друга по форме и расположены не «по лорядку».

Деление дробных чисел, изложенное в задачах 17 и 18, производится в книге I в традиционной форме «распределения» и еще до задач на умножение дробей, которые представлены в геометрическом виде, как отыскание площади прямоугольного поля по заданным сторонам.

Действительно, книга I «Измерение полей» посвящена определению площадей земельных участков различной формы, стороны которых могут быть выражены как целыми, так и дробными числами (иррациональные числа древними китайцами не рассматривались). Но для определения площади хотя бы простейшего, прямоугольного, поля в общем случае надо уметь умножать смешанные дроби. Вероятно, составители «Математики в девяти книгах» при систематизации древних текстов решили поместить перед задачами на измерение полей правила действий с про бями: сокращение их, сложение, вычитание и несколько других задач на вычитание (сравнение и уравнивание дробей). Заметим, что все эти действия производятся над отвлеченными дробями. Далее естественно было перейти, как мы представляем и при* выкли, к умножению дробей, сначала правильных, затем смешанных. Это действие представлено древними авторами в виде определения площади прямоугольного поля, а не с отвлеченными дробями. Поэтому задачи 19—21, помещенные под заголовком «Умножение дробей» чэн фэнъ (но не «измерение полей»; очевидно, размеры сторон, равных дробной части бу, т. е. шага, для реального поля неестественны), являются подготовкой к «Общему измерению нолей» (8。гуанъ тянъ), когда стороны поля выражаются смешанными дробями (задачи 22—24). Далее идут задачи на вычисление площадей треугольников, трапеций, круга и его частей, являющиеся основной темой книги I. Поместить деление дробей после умножения, когда уже начали- излагать основной материал, значило прежде всего нарушить цельность текста книги I. Да и с точки зрения древнихг в атом1

не было необходимости, поскольку деление трактовалось вне связи с умножением.

Чтобы показать деление дробей, авторам пришлось прибегать к явно нереальным, абсурдным величинам. В задаче 17 мы встречаемся с обобщением деления целого на дробь:

«Имеется 7 человек, делится [между ними] 8 1/3 цяня. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: человек получит 1 4/21 цяня» [50, с. 443]. Обобщая деление на дробь на случай деления дроби на дробь, в следующей задаче 18 приходится пользоваться дробной частью человека (!?):

«Имеется 3 1/3 человека, делится [между ними] 6 1/3 и 3/4 цяня. Спрашивается, сколько получит [каждый] человек? Ответ: человек получит 2 1/8 цяня» [Там же].

Все понимали, очевидно, что эти задачи имели лишь видимо практическое значение. На самом же деле они давно стали по существу отвлеченными. В китайской математике мы не раз сталкиваемся с таким обстоятельством, когда в старую конкретную форму вкладывалось новое, абстрактное содержание. Мы уже встречались с ним на примере десятичных дробей. Приведем алгоритм деления дробей:

«Правило: количество людей возьми в качестве делителя, количество цяней ——в качестве делимого. Объедини делимое и делитель. Если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю. Если еще имеются дроби, то таким же образом приведи их к общему знаменателю» [50, с. 443].

Смысл этого правила заключается в сведении деления дробных количеств к делению целых. Для этого дроби приводятся к общему знаменателю. Делается это дважды, поскольку в задачах делимые заданы суммой дробей с разными знаменателями. Такой процесс деления хорошо вяжется с толкованием дроби как именованного числа — еще один пример использования понятия в указанном виде.

Проблема деления дробей, как видим, была достаточно сложной и встречала существенные затруднения. Достаточно напомнить, что тем же вариантом цитированного правила пользовались греки, арабы, византийцы, математики средневековой Европы: Леонардо Пизанский (XIII в.) и Хр. Рудольф (XVI в.). Современным же алгоритмом деления дробей, сводящимся к умножению на перевернутую дробь, стали пользоваться сравнительно недавно. Он изложен у М. Штифеля (XVI в.), но употреблялся и ранее в сочинениях китайских (V в. н. э.) и индийских (VII в. и. э.) авторов. Что касается китайских источников, то здесь можно проследить, как постепенно к нему пришли.

В тех самых задачах 1—11 книги IV, которые были подробно рассмотрены выше в п. 4, фактически осуществляли деление на дробь в виде умножения на перевернутую дробь, хотя прямого указания на такое правило в тексте нет.

Далее, к делению на дробь, по существу, прибегают при решении задач: типа 34—37 книги II и 11—13 книги III, где речь

идет о покупке шелка-сырца или тканей [50, с. 453 и след., с. 461 ]. Казалось бы, в таких задачах, исходя из пропорции 1 единица товара стоит а цяней, N единиц ——А монет, решение сводится либо к умножению A=aN (задачи 11—13), либо к делению N—A/a и a=AIN (задачи 34—37). Но дело в том, что обычно N~mln той основной единицы (几ю论,стоимость которой определяется в задаче, и в последнем случае фактически следует уметь делить на дробь. Внимание вычислителя специально обращается на «Расчет стоимости предмета».

«Правило: норма купленного есть делитель, количество затраченных цяней есть делимое, объедини делимое и делитель, получишь [искомое ]» [50, с. 4531. «Затратили 5785 цяней на покупку 1 ху 6 доу 7 шэнов с большой половиной лака. Спрашивается, сколько стоит 1 доу, если доу ——основная норма?» [50, с. 454].

Действительно, вспомнив соотношения 1 %g=£Q доу=100 тз- ное, получаемт что N=503/30 и a=5785/N.

Таким образом, деление целого на дробь было рассмотрено так или иначе в китайской арифметике, деление же дроби на целое, вероятно, не вызывало дополнительного объяснения. Но тогда можно было бы прийти и к современному правилу деления

a ada . с — c/d — с — ad— b 'b — be *

Современным правилом пользуется уже Чжан Цю-цзянь (V в.). В самом начале трактата он производит умножение и деление дробей. Правда, отдельного правила в общем виде не формулирует (единственный случай в книге). Однако каждая задача снабжена детальным описанием последовательности вычислений. Задачи расположены в порядке усложнения: сначала дробное число умножается и делится на целое, затем на дробное, и, наконец, сложное дробное число — на дробное (дробная часть «сложного» числа составлена из нескольких дробей). Числа, на которых Чжан учит операциям с дробями, отнюдь не такие простые, как в «Математике в девяти книгах». Примеры из «Математики»:

4 31279745 _4

7.5=丽，@5•可=@.

Примеры Чжан Цю-цзяня:

9-21-1=194-1，

214.374=804^,

37^(4呼+书日889盘.

Деление в трактате Чжана представлено та^с:

2561： 12 = 2111,

1768 4:27 { = 64^,(6587^+^):58^=112 第.

Заметим, что Сунь-цзы в своей книге рассматривает только сокращение, сложение и вычитание дробей, а также определение среднего арифметического для трех дробных чисел, заимствуя для этого непосредственно задачи из «Математики в девяти книгах».

Дробь как пара чисел

Так или иначе, операция деления постепенно формализовалась и стала рассматриваться сама по себе как общая и единственная для всех типов задач. К этому ведет вообще накопление опыта в решении задач, когда люди в разных конкретных задачах устанавливают общий математический смысл. Так было и с задачами, в которых производилось деление.

Очень может быть, что в формировании четвертого арифметического действия, а значит, и понятия дроби, немалую роль сыграла китайская счетная доска. Правда, такая формализация носила локальный характер, она имела место только на доске и только во время вычислений.

Действительно, в китайском алгоритме деления предполагается получение частного в любом случае. Если делимое оказывается кратным делителю, то частное будет целым числом, которое и остается единственным в верхней строке, тогда как остальные, заданные, числа убираются с доски в процессе счета. Если же делимое некратно, то на доске под частным во второй строке будет располагаться остаток (вместо делимого), а еще ниже, в третьей строке, — делитель:

частное

остаток делитель

Весьма вероятно, что это обстоятельство способствовало ускорению возникновения той формы представления остатка, которая часто встречается в задачах математических трактатов и о которой подробно написано в п. 6: просто «сняли» результат со счетной доски, назвав целую часть частного и отдельно остаток от делимого. Здесь существенным оказалось то, что неделимые счетные палочки на доске заставляли вычислителя оперировать лишь во множестве целых чисел.

Об операциях с дробями на счетной доске С. А. Яновская пишет следующее:

«Особую роль играло введение в обиход таких операций, которые сами по себе вообще не могли быть выполнены на абаке, а также соответствующих новых математических объектов, как это было, например, в случае, когда требовалось один хлеб разделить на столько-то частей: счетные палочки трудно делить на одинаковые части и еще труднее их склеивать. Но оперирование с дробями люди давно научились заменять оперированием с целыми числами, и исторически весьма по-разному: египтяне не так, как вавилоняне, вавилоняне не так, как китайцы или другие народы. Древность этого открытия не делает его, однако, менее великим, требующим преодоления менее значительных трудностей. Не случайно во всех дошедших до нас первых математических памятниках древних египтян, вавилонян, китайцев столь много внимания уделяется именно оперированию с дробями. Не случайно они наталкивались при этом на трудные задачи теории чисел» [49, с. 5].

Дробь на доске представлялась двумя целыми числами. Числители дробей, с которыми оперировали, размещались в одной строке, знаменатели ——в другой (как следует из текстов, либо вверху и внпау, либо слева и справа соответственно). Для примера рассмотрим правило сложения дробей, формулу которого мы приводили в начале очерка. Прежде чем его процитировать, для наглядности выпишем хоть одну задачу, предшествующую этому правилу, помещенному в книге I «Математики в девяти книгах». Задача 7 книги I, она же выбрана Сунь-цзы для иллюстрации определения суммы дробей:

«Имеется 1/3 и 2/5. Спрашивается, сколько получится, если их сложить?» Ответ: 11/15» [50, с. 440].

Правило озаглавлено: «Сложение дробей» (хэ фэнъ), хэ — буквально «объединять», «складывать вместе» (современный термин цзя фа):

«Числители поочередно умножь на знаменатели, сложи —— это делимое. Перемножь знаменатели — это делитель. Объедини делимое и делитель. Если делитель больше делимого, то обозначь делитель. Если их знаменатели одинаковы, то прямо складывай» [50, с. 441].

Здесь употреблен ряд специальных терминов. Для приведения дробей к общему знаменателю (но не наименьшему) пользуются термином «поочередно умножь» (^ чз% который обозначает нахождение всех чисел вида 〃力匕工・.-b^b.^ . . ,Ъп в отличие, например, от термина сян чэн. буквально «взаимно перемножь», когда отыскивается произведение знаменателей. Сумма этих чисел п ，

£ а^ (& ...力_1"+1 • • • %) называется «делимое» (ши), а произведение 1

IU «делитель» (加)•

Таким образом, ясно, что дробь на доске представлялась парой целых чисел,» и поэтому правило напоминает сложение дробей,

определенных в современной арифметике парой чисел. Следующая фраза в таком случае становится совершенно необходимой: «Объедини делимое и делитель» (ши жу фа эр и), и вслед за ней: «Если делитель больше делимого, то обозначь делитель» (6g манъ фа чжи и фа мин чжи) [100, т. I, с. 70] (см. также [50, с. 517, примеч. 10]).

Все это означает, что после получения двух чисел, делимого а и делителя &, надо «составить» (м//) из них одно число. В процессе «объединения» по мере возможности производится сокращение а, 6. Если а〉6, то выделяется целая часть ^=А ~, так что а = =АЪ-\-а. Но даже при а <6 специально говорится: «Обозначь делитель», т. е. напоминается, что и в том случае, когда никаких дополнительных действий проводить не нужно, ответ следует прочитать в виде числа, у которого числителем является а, а знаменателем Ъ. Вторая фраза, кстати, часто опускается в текстах правил. По-видимому, «объедини делимое и делитель», превратившись в специальный математический термин, в достаточной степени полно обо всем говорила, а последняя фраза только уточняла частный момент.

Первое толкование фразы дал Лю Хуэй в комментариях к ней. Видимо, пятьсот лет спустя после составления «Математики в девяти книгах», в которой почти все правила заканчиваются декларацией «объединения» (если только искомая величина находится в результате деления найденных двух количеств), требовались пояснения к этому специальному термину, связанному со счетом на доске. Но у Лю появляется новая терминология.

«Чтобы найти результат, надо [взять ] „ции за числитель, а „туни за знаменатель. Составить со знаменателем одно [число], остаток сократить на „равное числои, так получить искомое. По так называемому способу „тунм делитель есть знаменатель, остаток от делимого есть числитель, все сдвигается в этот ряд» [50, т. I, с. §5—96].

Лю Хуэй делимое (以〃)определенного указанного выше вида называет ®м, делитель (犷优)—— тун, т. е. общий (имеется в виду знаменатель).

Таким образом, хотя действия с дробями всегда и во всякое время сводились к действиям с целыми числами, на счетной доске у китайцев дробь рассматривалась как пара чисел. Конечно, это не была аксиоматическая пара современной алгебры, так как два ряда чисел из числителей и знаменателей всегда имели свое толкование. Сами правила-алгоритмы подразумевали их различное значение. Тем не менее во время счета для вычислителя эти два ряда чисел были равнозначными, они ничем не отличались друг от друга, разве лишь нумерацией^строк, в которых они находились, или ориентацией последних. Вычислитель видел на доске два ряда чиселг с которыми ему надлежало манипулировать определенным образом согласно предписанному правилу. Иногда можно встретить в терминологии правил намеки на подразумеваемое прямое равноправие чисел, соответствующих числителям и

Знаменателям. Например, сокращая дробь 12/18, Сунь-цзы пишет: «Установи 18 долей в нижней [строке], 12 долей в верхней [строке] •・•» [49, с. 28, задача 1 средней книги трактата].

Эту задачу он заимствовал из «Математики в девяти книгах», где сформулирован алгоритм попеременного вычитания для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, так называемый алгоритм Евклида. У Сунь-цзы и числитель и знаменатель получили одно и то же определение «доли» (фэнь).

Знаменательно, что фраза «Объедини делимое и делитель» у Сунь-цзы почти не употребляется. Термин «объедини» заменен словом «дели» (“у), и лишь в немногих случаях говорится об «объединении» [49, с. 33—35, правила к задачам 27 средней книги; к задачам 2, 6, 8, 11 последней книги трактата]. У Сунь-цзы дробь выступает как пара равнозначных чисел, над которыми на доске производятся действия, и получается она в результате обыкновенного деления, а не какого-то особого «объединения» в одно число делимого и делителя. Благодаря постоянной вычислительной практике, понятие дроби постепенно формализовалось. На доске дробь представлялась парой чисел, над которой производились действия так, как если бы никто их и не объединял в новые математические объекты — дроби. Лишь самым последним шагом было объединение полученных членов пары в одно число.

Отметим значение, которое приобрело числовое множество в результате освоения операции деления хотя бы при локальной формализации, в результате представления дроби «инструментально» парой целых чисел. Уже одно то обстоятельство, что на доске у вьпислителя в результате деления могло получиться и целое число и дробное, придавало этим двум родам чисел одинаковое «происхождение» и тем самым устанавливало их равноправие. Множество рациональных чисел теперь не представлялось древним в качестве собрания натуральных чисел, дополненного дробями. Все множество поглощало как те, так и другие, при этом целые числа представлялись как часть всего числового множества, ——это всего лишь частный случай деления нацело. Кроме того, подчеркивалась (конечно, интуитивно) алгебраическая природа числа: его происхождение в результате разрешимости операции деления в множестве целых чисел.

Глава вторая

ПРОПОРЦИИ И ПРОГРЕССИИ

Пропорциональное деление

Задачи на распределение между неравнозначными объектами, более общие, чем рассмотренные выше в п. 6, в большой степени интересовали древних в связи с вопросами дележа наследства, доходов, расходов. В общем виде задачи такого рода сводятся к де-

лению некоторого количества Л на части g в соответствии с чис

лами 吃，так что

力 —Гр • /У»• /у»•• /У»/

山3 • * * * * "乃,g ■

1

Хотя из решения этих задач операция деления ни коим образом не исключается, поскольку

все же она здесь заслонена общей идеей решения, основанной на оперировании с пропорциональным рядом:

/ _— /3 хk _/

八1 一八2 一几3 一一孔乃-三孔£ .

Тем не менее мы опишем этот класс задан вслед за задачами на деление и тем самым уподобимся в некоторой степени древнему ученому, который по традиции классифицировал задачи обычно не столько по методам, сколько по их темам. Примером могут служить заголовки книг в «Математике в девяти книгах»: «Измерение полей» (книга I), «Оценка работ» (книга V, имеются в виду расчеты при строительстве сооружений), «Пропорциональное деление» (книга VI), «Деление по ступеням» (книга III) и т. п. Две последние из названных содержат задачи, интересующие нас здесь непосредственно.

Специальный разбор задач на пропорциональное деление с историко-математической точки зрения имеет на самом деле более глубокие основания. Это был очень широкий класс задач древней математики, интересовавший в равной степени древних китайцев, египтян, вавилонян, индийцев, не утративший значения в средневековой математике стран ислама, Европы. Пропорциональная зависимость была в полной мере освоена древними и вместе с методами, использующими понятие среднего арифметического, применялась для решения самых разных задач.

Мы не ошибемся, если скажем, что в математике древнего общества в основном рассматривались линейные зависимости. Остальные, нелинейные, сводились по возможности к первым. Например, подход к решению квадратных уравнений был сделан древними впервые в предположении, что для этого годится правило ложного положения, основанное на пропорциональной зависимости истинного и предположенного значений неизвестного. Но этим способом удается решить только неполное квадратное уравнение. Другой пример ——прогрессии, также излюбленный предмет исследования в древней и средневековой математике, оказываются тесно связанными с методами, основанными на пропорциональной зависимости. Первые задачи на прогрессии, как это показано в п. 9, именно сводились к задачам на пропорциональное деление. Это особенно хорошо можно проследить по древнекитайским текстам математического «Десятикнижья» [16].

С задачами на пропорциональное деление в «Десятикнижье>> мы встречаемся впервые в книге III «Деление по ступеням» (чуй фэнь) «Математики в девяти книгах», где пропорциональные числа названы «ступенями» (чуи), очевидно, потому, что почти во всех задачах в качестве них берутся члены прогрессий вида 1, 2, 3, 4, 5 или 1, 2, 4, 8, 16 и т. д.

Правило сформулировано в общем виде следующим образом: «Каждому установи соответствующую ступень, сложи — это делитель. То, что распределяется, умножь на каждую [ступень], еще не сложенную с другими, это делимое. Объедини делимое и делитель. Если делитель больше делимого, то назови делитель» [50, с. 457J . Правило в точности соответствует приведенной выше формуле для искомых пропорциональных долей, на которые разбивается заданное число.

Задачи книги III «Математики в девяти книгах» весьма образны. В самой первой, «канонической», предлагается разделить пять оленей между пятью чиновниками разных рангов: дайфу, бугенъ, цзанъняо, шанцзао, гунши, доходы которых пропорциональны числам 5, 4, 3, 2, 1. «Имеется дайфу, бугень, цзаньняо, шанцзао, гунши ——всего 5 человек. На охоте поймали 5 оленей. Спрашивается, сколько каждый получит, если разделить между ними по рангу? Ответ: дайфу получит 1 2/3 оленя, бугень получит 1 1/3 оленя, цзаньняо получит 1 оленя, шанцзао получит 2/3 оленя, гунши получит 1/3 оленя [50, с. 457 ]. Любопытно, что эти числа- ступени» в задаче не указаны, о них мы узнаем по контексту, и они указаны в комментарии Лю Хуэя к этой задаче. Названные чиновники ——вновь действующие лица задачи 6 этой же книги III, но в этот раз от них требуется выделить из уже распределенного зерна (распределенного согласно указанному ряду) соответственные части, чтобы обеспечить еще одного, опоздавшего чиновника ранга дайфу.

Подбор чисел (пять человек, пять предметов), конечно, не случаен, он оттеняет характер неравнозначного деления. С делением на пять частей количества из пяти предметов мы часто встречаемся в древнекитайских задачах различных трактатов. В задаче 7 книги III «Математики в девяти книгах» теперь уже не чиновники, а простые смертные делят между собой 5 ху зерна в отношении 3 : 3 : 3 : 2 : 2. В задаче 18 книги VI «Математики» А, Б, В, Г, Д делят 5 цяней-монет, но при новых условиях: первые двое получают столько же, сколько последние трое (задача на прогрессии). Наконец, в задаче 4 книги III искусная ткачиха за 5 дней вырабатывает 5 чи ткани, наращивая дневную норму в отношении 1, 2, 4, 8, 16. «Искусная ткачиха ткет в [каждый следующий ] день в 2 раза больше [чем в предыдущий]. За 5 дней наткала 5 чи. Спрашивается, сколько она вырабатывала ткани ежедневно? Ответ: за первый день наткала 1 19/31 цуня, за следующий день наткала

3 7/31 цуня, за третий день наткала 614/31, цуня, за четвертый день наткала 1 чи 2 28/31 цуня, за последний день наткала 2 чи 5 25/31 цуня» [50, с. 458]. В первой задаче последней книги «Математического трактата Чжан Цю-цзяня» также пятеро чиновников делят пресловутых пять оленей, правда, в отношении 6, 5, 4, 3, 2. Текст этой задачи Чжана сохранился неполностью, но легко восстанавливается. Здесь пропорциональные числа названы по-другому —— рангами (“а); правило по существу формулируется как прежде.

Задачи 1—4 книги VI «Математики в девяти книгах» на пропорциональное деление отличаются от задач книги III тем, что в них ni не заданы, а их требуется составить по условию задачи. От этого, конечно, задача усложняется, но будущему чиновнику, очевидно, было полезно научиться устанавливать пропорциональную зависимость между количествами, с которыми ему приходилось сталкиваться при распределении налогов зерном (цзюнъ шу су ——задачи 1, 3, 4 книги VI), поставок людей для общественных работ (цзюнъ фу су — задача 2 той же книги). Ради наглядности, с какой полнотой должно было все учесть, приведем цитату из текста самой сложной задачи 4 книги VI «Математики в девяти книгах»: «Налог в виде зерна пропорционально распределяется между: уездом А, где 42000 суаней, 1 ху зерна [стоит] 20 [цяней], стоимость найма на работу на 1 день 1 цянь, везут зерно в этот уезд; уездом Б, где 34272 суаня, 1 ху зерна [стоит] 18 [цяней], стоимость найма на работу на 1 день 10цяней, до места сдачи 70ли»; и т. д. [50, с. 48].

Но это еще не все:

«Каждые 6 человек имеют [одну] общую повозку. На повозку грузят 25 ху. Груженая повозка за 1 день проходит 50 ли, порожняя повозка за 1 день проходит 70 ли. Каждый [раз] на погрузку и разгрузку отводится по 1 дню» [Там же].

В этих задачах 1——4 пропорциональные числа хотя и не являются членами прогрессий, как, впрочем, еще в задачах 3 и 5 книги III, и даже порою убывают немонотонно, но все же названы «ступенями».

По-видимому, сначала в задачах, которые подвергались систематизации и обработке для педагогических целей, числами пропорционального ряда были члены прогрессии, представлявшиеся наглядно в виде ступеней. Затем этот термин утратил свое буквальное значение, стал обозначать просто числа, пропорционально которым производится деление.

Задачи на пропорциональное деление приводятся и в других трактатах «Десятикнижья» в достаточном количестве. Так, Сунь- цзы, представляя задачи книги III «Математики. . .», переписывает задачу об искусной ткачихе (задача 27 средней книги его трактата), по-видимому, она была популярной. В конце трактата (задача 30 последней книги) он дает задачу, аналогичную задаче 2 книги III «Математики в девяти книгах», о буйволе, лошади и овце, потравившими чужой посев. В задаче Сунь-цзы речь идет о возмещении зерна, которое склевали цыпленок, курица, петух

в том же отношении 1, 2, 4. Теме о налогах посвящена задача 1 последней книги трактата Сунь-цзы, где производится перерасчет ренты девяти семей, которым нужно из своих паев еще уплатить за перевозку. В задаче 24 средней книги следует считать денежные паи участников дележа ——задача, похожая на задачу 3 книги III «Математики в девяти книгах» о таможенном сборе в 100 ц凡не立, который распределяется между тремя лицами в соответствии с наличными деньгами'каждого из них. Все эти^аналогии и перечисления показывают неослабевающее внимание к такого рода задачам со стороны древних и примерно определяют среду, откуда такие задачи черпались, хотя, как видим, многие из них уже утратили свой практический смысл. В задачах Чжан-Цю-цзяня, например, заметное внимание уделяется числовым последовательностям, которыми представлены пропорциональные числа. Приведем лишь одну, но характерную задачу на пропорциональное деление из трактата Чжан Цю-цзяня, в которой использованы сразу два ряда: числа, кратные трем, и числа, вторые разности которых лишь постоянны.

Это задачат17 первой книги трактата:

«Начальник выделил из казначейства золота 59 цзиней 1『лан, одарил им 9 ванов, 12 гунов, 15 хоу, 18 цзы, 21 наня. Каждый ван получил золота на 5 ланов больше, чем [один] гун; каждый гун получил золота на 4 лана больше, чем [один] хоу; каждый хоу получил золота на 3 лана больше, чем [один] цзы; каждый цзы получил золота на 2 лана больше, чем [один] нань. Спрашивается сколько золота получил каждый из ванов, Гунов, хоу, цзы, на- ней? Ответ: ван ——1 цзинь 6 ланов, гун ——1 цзинь 1 л ан, хоу —— 13 ланов, цзы — 10 ланов, нань — 8 ланов» [51, е. 33].

Обратно пропорциональное деление также было рассмотрено в древних текстах, с ним связаны нетривиальные задачи. Еще в книге III «Математики в девяти книгах» сразу после задач на «ступени» приводятся задачи на «обратные ступени» (фанъ чу论, к которым есть указание, сформулированное кратко и неясно. Эта фраза поддается реконструкции, но неоднозначно. Таких задач здесь всего две. В первой из них, по порядку она 8-я в книге, на сцене снова чиновники пяти рангов, но теперь они не получают, а платят, и потому их расходы, как указал в комментарии Лю Хуэй, обратно пропорциональны известному ряду натуральных чисел, характеризующих их доходы (?!), именно пропорциональны ряду обратных чисел:

%，%，%，%，7г

Во второй из них, задаче 9, ^производится «переоценка ценностей» —задача не менее любопытная:

«Имеется 3 шэна проса у Л, 3 шэна грубо обработанного пшена у jB, 3 шэна вареного грубо обработанного пшена у В. Спрашивается, сколько получит каждый, если все сложить и распределить снова?» [50, с. 460].

По данным книги II этого сочинения, нормы-коэффициенты взятых видов зерна соответственно равны 50, 30, 75. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо провести деление обратно пропорционально этим коэффициентам или пропорционально ряду обратных величин:

Укажем, что в задачах 5—6 книги VI «Математики в девяти книгах» также проводится обратно пропорциональное деление, в частности первая из них похожа на приведенную выше задачу 9 книги III:

«Имеется 7 доу проса. Три человека разделили его между собой и очистили: один получил грубо обработанное пшено, другой —— очищенное пшено, третий — хорошо очищенное пшено. Пусть [по- лучившиеся ] количества пшена равны. Спрашивается, сколько каждый взял проса и сколько получил пшена после очистки?» [50, с. 482].

Указание на ход решения в общем правиле выражено [одной фразой:

«Установи по порядку ступени и взаимно перемножь перевернутые ступени» [50, с. 460] (ср. [100, т. I, с. 136]).

Не совсем ясно, как следует проводить вычисления. Одна гипотеза предложена Ли Янем. Приведем правило к задаче 8 книги III «Математики в девяти книгах» о расходах пяти чиновников в, 100 цяней, на примере которого построена расшифровка общего правила:

«Для каждого установи ранговые количества, это ступени. Возьми обратные им ступени, сложи, это делитель. 100 цяней умножь на каждую [ступень ], еще не сложенную с другими, это делимые. Объедини делимые и делитель, получишь [искомые количества ]в цянях» [Там же].

Ли Янь предлагает толковать термин «будун» как «неперевер- нутое» число, так называется «неподвижное» число 3 в ряду 5:4:3:2:1, все остальные числа «дун», т. е. «подвижные». Это предполагает составление обратного ряда, т. е. 1, 2, 3, 4, 5. «Неподвижное» число составляет основу (единицу), по отношению к которой другие «ступени» изменяются так:

3/ 3/ 3/ 3/ 3/

/5， /4， /3， /2， /1*

Чиновник, которому соответствует «неподвижное» число 3, расходует 100/5 = 20 цяней, а остальные соответственно:

-|-.20 = 12, ^・20 = 15, |. 20 = 20,20 = 30, у-20 = 60.

Сумма полученных чисел равна 137, а должна быть равной 100.

Отсюда окончательно по правилу ложного положения получаются:

п.п.искомые числа.искомые числа.Нам представляется, чтоНам представляется, что100100

п.

п.

искомые числа.

искомые числа.

Нам представляется, что

Нам представляется, что

137 * 12, 137 * 15 и т*

вычисления шли иначе. Выложив при помощи счетных палочек на доске ряд из знаменателей заданных пропорциональных чисел

4, 3, 2, 1, вычислитель перемножал их так, как это в древнекитайском языке было принято называть <ибянъ ченк 4・3・2・1 = 24, 5・3・2・4=30, 5・4・2・4=40, 5・4・3・1=60, 5・4・3・2=4 20, или 12, 15, 20, 30, 60, как если бы он приводил заданные дроби, составляющие здесь пропорциональный ряд 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1/1, к общему знаменателю, в качестве которого он взял произведение знаменателей.

Далее, соответственно нашей реконструкции в задаче 9 книги III заданная последовательность заменяется такой:

30・ 75=2250, 50・ 75=3750, 50・30』1500,

или после сокращения на общий наибольший делитель: 450, 750, 300.

Тогда искомые х. будут следующими:

9 . 450279 . 750459 • 30018

1500 — 10 ' 2— 1500 — 10， з— 1500 —10 *

Пропорции.Коэффициент пропорциональности.

Подобие

Очевидно, задачи на пропорциональное деление, использующие производные пропорции, не были самыми древними; ранее появились те, которые возникали в связи с натуральным обменом. Первоначальный качественный обмен со временем был заменен количественным с учетом трудоемкости, вложенной в добытый или изготовленный предмет, подлежащий обмену. В древнекитайской «Математике в девяти книгах» ее книга II «Соотношение между различными видами зерновых культур» (су ми) [50, с. 447 и след.] специально посвящена задачам на обмен. Содержание задач, которые несомненно гораздо древнее, чем эпоха составления трактата, заключается в составлении отношения объемов имеющегося количества а зерна и того зерна 瑞 на которое меняется данное. Обмен производится в соответствии с коэффициентами са и с况,установленными для этих видов зерна. Решение, очевидно, исходит из пропорции 6/a = cjca, откуда /=2■卢.

Эта формула описана в общем правиле к задачам 1—31 книги II трактата:

«Количество имеющегося [вида зерна ] умножь на норму искомого, это делимое. Норма имеющегося [вида зерна ] есть делитель. Объедини делимое и делитель» [50, с. 447]. Последнюю фразу следует понимать как «раздели делимое на делитель», т. е. искомая величина отыскивается как четвертая, пропорциональная к трем заданным. Коэффициенты q вычислитель должен брать из таблицы, которая помещена в самом начале книги II китайского трактата:

[0 Э. И. Березкина145

«Правило соотношения между различными видами зерновых

культуркультурПросо — основная норма .... Грубо обработанное пшено .... Очищенное пшено Хорошо очищенное пшено .... Пшено для князей Мелкая крупа Крупная крупа Вареное грубо обработанное пшено Вареное очищбнное пшено .... Вареное хорошо очищенное пшено Вареное пшено для князей ... Бобы, горох, кунжут, пшеница — каждоеРис неочищенный Приготовленные бобы Каша Вареные бобы ХмельПросо — основная норма .... Грубо обработанное пшено .... Очищенное пшено Хорошо очищенное пшено .... Пшено для князей Мелкая крупа Крупная крупа Вареное грубо обработанное пшено Вареное очищбнное пшено .... Вареное хорошо очищенное пшено Вареное пшено для князей ... Бобы, горох, кунжут, пшеница — каждоеРис неочищенный Приготовленные бобы Каша Вареные бобы Хмель13 с половиной13 с половиной45606390103 с половиной175» [Там же].45606390103 с половиной175» [Там же].

культур

культур

Просо — основная норма .... Грубо обработанное пшено .... Очищенное пшено Хорошо очищенное пшено .... Пшено для князей Мелкая крупа Крупная крупа Вареное грубо обработанное пшено Вареное очищбнное пшено .... Вареное хорошо очищенное пшено Вареное пшено для князей ... Бобы, горох, кунжут, пшеница — каждое

Рис неочищенный Приготовленные бобы Каша Вареные бобы Хмель

Просо — основная норма .... Грубо обработанное пшено .... Очищенное пшено Хорошо очищенное пшено .... Пшено для князей Мелкая крупа Крупная крупа Вареное грубо обработанное пшено Вареное очищбнное пшено .... Вареное хорошо очищенное пшено Вареное пшено для князей ... Бобы, горох, кунжут, пшеница — каждое

Рис неочищенный Приготовленные бобы Каша Вареные бобы Хмель

13 с половиной

13 с половиной

45

60

63

90

103 с половиной175» [Там же].

45

60

63

90

103 с половиной175» [Там же].

Таблица свидетельствует о довольно разнообразном натуральном рынке. Задачи на покупку товара, по-видимому, более поздние: в книге II они составляют вторую часть ее (задачи 32—46). Например, текст задачи 32: «Затратили 160 цяней на покупку 18 черепиц. Спрашивается, сколько стоит штука?» {50, с. 453 и след.]. В задачах на обмен за общий эквивалент «стоимости» принято просо (отметим, что не рис), впрочем, в древнем мире эталоном при обмене часто служили продукты, ткани, шкуры, но не монеты или даже драгоценности. На островах Рюкю вплоть до прошлого столетия таким эквивалентом был рис. Самым дешевым продуктом на древнекитайском рынке согласно этой таблице оказалась винная закваска, хмель, а самым дорогим ——«мелкая крупа», т. е. манная, изготовляемая, как показывает ключ иероглифа, из пшеницы.

Эти значения коэффициентов люй никогда не сообщаются в задачах трактатов «Десятикнижья», по-видимому, вычислитель должен был знать, где их найти. Заметим здесь, что в древнекитай ском языке различались термины «коэффициент» (люи), всегда отвлеченное число, и «количество», «число» (шу), вероятно, перво • начально означавшее только именованное число.

Математическое содержание задач на обмен сводится к следующему. Согласно таблице всякое отношение двух «стоимостей» есть некоторый фиксированный коэффициент、=с；%, которому равны отношения соответствующих объемов (емкостей) зерна двух сортов:

Любопытно, что в таблице содержатся дробные коэффициенты? так как за эталон приняли не 100, а 50. Возможно, это и были самые первые задачи, в которых древние имели дело с пропорциональной зависимостью

йли с обратно пропорциональной^ зависимостью

叮 _ 1

^ = —» ие т = у.

Вычисление в древних задачах на обмен производилось именно по последней формуле. Искомое количество зерна определялось как %=〃/了. Приведем в качестве доказательства первую задачу книги II «Математики в девяти книгах», которую использует также в своем трактате Сунь-цзы,——остальные задачи 1——31 этой группы аналогичны:

«Имеется 1 доу проса. Спрашивается, сколько получится, если хочешь получить грубо обработанное пшено? Ответ: грубо обработанного пшена станет 6 шэнов. Правило: взяв [количество] проса, ищи [количество] грубо обработанного пшена, разделив на 5/3» [50, с. 447].

久 Напомним, что 1 доу=10 шэнам. Задача тривиальна, но все дело в том, что общее правило к этим задачам отличается принципиально от правил, которые следуют за каждой задачей в отдельности. В общем правиле искомую нашли как четвертую, пропорциональную к заданным трем, а в каждом из правил ее находят при помощи деления данной величины на коэффициент, который составлен из с.. Чтобы выразить это, употреблялось специальное выражение: «. . .чжи. . . эр и», означавшее буквально «распять — третьерить», т. е. разделить на 5 частей и взять из них три, т. е. разделить на дробь 5/3. Такое труднопереводимое выражение часто употреблялось в древнекитайской математической литературе для обозначения деления некоторого количества на п частей и передавало смысл математической операции: «взять одну ?г-ю», или соответственно «разделить пополам», «разделить на три части и взять 1» и т. д. Выражение не менялось в случае дробного, отсюда буквальное «распятьтретьерить».

В этих вычислениях правило деления на дробь в явном виде не сформулировано. Здесь мы наблюдаем другое явление, характерное для древней математики: непосредственную зависимость методов от средств вычислений. Существовало определенное выражение для некоторого действия, к нему и обращались при решении задач. Аналогично дело обстояло в древневавилонских текстах. В древнем Двуречье бурная строительная деятельность породила множество различных норм, например, человеко-дни для разных видов работ (копать землю, класть асфальт, перенести кирпичи и т. п.). Кроме того, проводились в хозяйстве подсчеты с использованием норм посевного зерна, урожая (в расчете на единицу площади), настрига шерсти с овец и т. д. Поскольку вычислительная техника вавилонян была связана с тем обстоятельством, что деление в ней заменялось умножением, то таблицы этих «постоянных» состояли именно из обратных постоянных, так же как в рассмотренных древнекитайских задачах предпочитали делить на обратное значение коэффициента у.

Любопытно, что и в геометрии до того, как было выработано понятие подобия, например подобие прямоугольных треугольников, сначала рассматривался коэффициент пропорциональности для их сторон. Это хорошо видно на древневавилонских задачах [21; с. 184].

Тройное правило. Проценты

В дальнейшем задачи на пропорции были объединены под названием задач на тройное правило. В средневековой европейской арифметике оно называлось золотым, ибо с помощью него «совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов», как высказался Ян Видман, автор известного учебника арифметики XVI в. Свое название в истории науки правило получило в древней Индии, где оно было возведено в ранг всеразрешающего метода арифметики. «Трайрашика» (буквально «трехместное») обозначало размещение трех заданных величин в определенном порядке в строке, чтобы вычислитель по определенной схеме мог найти четвертую пропорциональную. В VII в. правило было обобщено Брахмагуптой и другими на случай 5, 7, 9 величин и называлось соответственно «пантарашика», «саптарашика» и т. д. (буквально «пятиместное», «семиместное» и др.). Вслед за индийцами эту линию продолжили математики стран ислама. У ал-Бируни мы находим специальное сочинение «Об индийских рашиках», посвященное обоснованию и дальнейшему обобщению правил индийцев. Правила были впервые обоснованы с помощью общей теории составных отношений со ссылками на Евклида и его комментаторов, хотя у Евклида не было непосредственного вычисления четвертой пропорциональной. Ал-Бируни подробно разъясняет правило на примерах, приводя схемы вычислений с расположением величин в два ряда [41 ]. Вплоть до средины XIX в. тройное правило находилось в центре внимания авторов учебников по арифметике. Европейские авторы пытались классифицировать задачи на тройное правило. Например, известный итальянский математик XVI в. Н. Тарталья выделяет задачи на проценты, учет, сроки, сложные проценты, правило товарищества, обмен и смешение.

История тройного правила в ее раннем периоде может быть существенным образом дополнена китайскими материалами. Стоит только заглянуть в ту же самую «Математику в девяти книгах», в ее книги III, VI, где содержатся арифметические задачи, а также в другие трактаты «Десятикнижья», как мы обнаружим в них, по существу, те же задачи, которые названы у Н. Тартальи. На самом деле, если определять в задачах на «расчет стоимости предмета», которые содержатся в конце книги II «Математики в девяти книгах», саму стоимость 丁 из расчета некоторого количества монет а, на которые куплено было п предметов, то следует найти либо общую стоимость N предметов, либо количество предметов, купленных на А монет. В этом случае задача потребует применения трой-

4九 Na

ногоправила: N= —^―иА= —^― . Особенно четко видно это в задачах 10—19 книги III «Математики в девяти книгах»: «1 цзинь шелка-сырца стоит 240 цяней. Спрашивается, сколько можно купить шелка-сырца на 1328 цяней?» [50, с. 461, задача 10]. Сравним ее с задачей 37 книги II: «Затратили 13 670 цяней на покупку 1 даня 2 цзюней 17 цзиней шелковых ниток. Спрашивается, сколько [стоит] дань, если дань — основная норма?» [50, с. 454]. Еще любопытнее сравнить задачу 10 с задачей 14 той же книги III: «1 пи 1 чжан некрашеного шелка стоят 625 [цяней]. Спрашивается, сколько можно купить некрашеного шелка на 500 цяней? Ответ: можно купить 1 пи некрашеного шелка» [50, с. 462].

Задача обратна первой из приведенных выше и совпадает со второй, в ней определяется опять-таки стоимость единицы для измерения ткани, хотя явно об этом не спрашивается. После всех этих задач в следующих задачах 16—19 книги III переходят явно к тройному правилу: «Человеку дают 14 цзиней шелка-сырца, получают взамен 10 цзиней шелковой ткани. Теперь человеку дают 45 цзиней 8 ланов шелка-сырца. Спрашивается, сколько получат взамен шелковой ткани?» [50, с. 462, задача 15]. Или: «Если взять работника на один год, то стоимость составляет 2500 цяней. Заплатили 1200 цяней. Спрашивается, сколько дней должен работать [работник]?» [50, с. 463, задача 19]. Приводятся также расчеты на усушку, утруску, потерю, припек и т. п., т. е., по существу, предлагается вычислить проценты. Например, в задаче 17 книги III «Математики в девяти книгах» рассчитывается потеря шелка- сырца при сушке, а в «Математическом трактате Сунь-цзы», в задачах 12—14 последней книги, вычисляется фактически 103% в качестве добавки к просу, 3% в качестве утруски проса, хранящегося в амбаре и 1 % ссуды под залог шелковых ниток. «Имеется ссуда: дается человеку 57 цзиней шелковых ниток; за год нарастает 16 цзиней. Спрашивается, каков прирост на [один] цзинь?» [49, с. 34—35].

Комментатор «Десятикнижья» Ли Чунь-фэн к задачам 17—18 последней книги «Математического трактата Чжан Цю-цзяня» применил четкую терминологию: данное а он называет «имеющимся числом» (со ю шу), сх ——«коэффициентом для искомого» (со. цюй люи), са ——«коэффициентом для данного» (со ю люй). В это время и условия задач стали формулироваться более однотипно, например: «Имеется засоренного проса 1 ху 5 доу. Очистив его, получили 7 доу грубо очищенного пшена. Пусть имеется 2 доу засоренного проса. Спрашивается, сколько получится хорошо очищенного пшена?» [51, с. 53, задача 17].

Правило рекомендует: «Установи количество грубо очищенного пшена, ищи число, которое получится для хорошо очищенного пшена. Умножь на [количество] предположенного засоренного проса, это делимое. В качестве делителя возьми первоначальное просо. Объедини делимое и делитель в одно [число]». [Там же].

Далее идут слова комментатора: «Ли Чунь-фэн дает свой комментарий. В этом способе устанавливается 7 доу грубо обработанного пшена, умножается на 9 — коэффициент для хорошо очищенного пшена; берется одна десятая часть, получается 6 3/10 доу. Именно при очистке 15 доу засоренного проса получается 6 3/10 доу хорошо очищенного пшена. Для данного правила имеется: данное число 20 доу засоренного проса, коэффициент для искомого [числа] 6 3/10 доу, коэффициент для данного [числа] 15 доу засоренного проса» [51, с. 79].

Мы специально цитируем древние тексты, чтобы показать, насколько было характерно для китайских задач употребление соотношения зерновых культур, начатое еще в «Математике в десяти книгах». Правда, эти задачи Чжана отличаются от задач на обмен: в них заданы не коэффициенты (儿2汇),но отношения объемов. Отсюда более четкая формулировка задач: «имеется» и «пусть теперь», —стандартные начала фраз для задания двух пар величин, которые, как в таблице, четко разграничиваются: те, которые уже есть, и те, которые предполагаются.

Как могли быть получены задачи на сложное тройное правило? Например, достаточно ввести в задачах на прирост или на проценты третью изменяющуюся временную компоненту. «Человек пустил в рост 1000 цяней, за месяц наросло 30. Человек пустил 750 цяней, через 9 дней возвратил их. Спрашивается, каково наращение?» [50, с. 463]. Подобных задач в математическом «Десяти- книжье» очень много, они содержатся и в книге VI «Математики...», и у Сунь-цзы, и особенно в трактате Чжан Цю-цзяня. К ним относятся также задачи на правило товарищества, совместную работу, на смешение. Вот некоторые из них: «Нанялись нести 2 ху соли на расстояние 100 ли за 40 цяней. Нанялись нести 1 ху 7 доу 3 с малой половиной шэна соли на расстояние 80 ли. Спрашивается, за сколько цяней?» [50, с. 483, задача 7 книги VI]. Или: «Корзину весом в 1 дань 17 цзиней носят 50 раз на расстояние в 76 бу. Корзину весом в 1 дань носят на расстояние 100 бу. Спрашивается, сколько раз?» [Там же]. Решены они обычно.

〃・ Прогрессии в «Десятикнижъе» и ^ Цинь Цзю-шао

Прогрессии, арифметические и геометрические, встречаются в истории математики с самых древних времен у разных народов. Это были задачи-загадки, задачи развлекательного характера, в которых задавалась некая «красивая» последовательность чисел. В древнеегипетских текстах, например, встречается запись, которую можно трактовать как задачу о семи домах, в которых по семь кошек, а каждая кошка съедает семь мышей, и т. д., т. е. как задачу на геометрическую прогрессию со знаменателем 7 [30? с. 59—65]. Ее решение представляется в виде

7+72+73+7《+75=7 (1 + 7+72+73+74).

Задача, близкая этой, содержится в «Математическом трактате Сунь-цзы». Она сформулирована в виде задачи-загадки, но со знаменателем прогрессии, равным 9:

” «[Если] выйдешь за ворота, взору открывается 9 плотин, на [каждой] плотине по 9 деревьев, на [каждом] дереве по 9 ветвей, на [каждой] ветви по 9 гнезд, в [каждом] гнезде по 9 птиц, у [каждой] птицы по 9 птенцов, у [каждого] птенца по 9 перышек, [каждое] перышко 9 расцветок. Спрашивается, сколько каждого?» [49, с. 38]. Здесь каждый член прогрессии 92, 93, 94, 95, 9б, 97, 98 определяется непосредственно умножением. «Способ: установи 9 плотин, умножь это на 9, получишь число деревьев; умножь это еще раз на 9, получишь число ветвей» и т. д. [Там же].

В древневавилонских текстах, относящихся к XVIII в. до н. э., также обнаружены задачи на арифметические прогрессии с нахождением суммы ее п членов по правилу:

С — «1 + «я一 九 2—'，

где а】и 〃“ ——первый и последний ее члены [21, с. 94]. Известна задача на свойства прогрессии, исследованная О. Нейгебауе- ром [56, с. 195——196]. Древние вавилоняне умели суммировать также геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2, и ряд квадратов чисел от 1 до 10 по формуле

1+22 + 3?+・・・+3=G + T)(i+2+.・・+m).

Последние примеры находятся в позднем селевкидском тексте [23, с. 105; 21, с. 94—95)].

Древнекитайские задачи на прогрессии ценны тем, что по ним можно проследить создание методов их решения. Видно, какие немалые затруднения вызвало, например, освоение понятия разности арифметической прогрессии. Сначала для него не было термина, хотя оно уже употреблялось. Правило суммирования п членов арифметической прогрессии в древнекитайских текстах появляется довольно поздно, только в трактате Чжан Цю-цзяня (V в. н. э.), но, видимо, его знали несколько раньше. В задаче 19 книги VII «Математики в девяти книгах», где нужно просуммировать 15 членов прогрессии [50, с. 497—498], вряд ли это производили непосредственно. _

Первоначально прогрессии играли довольно скромную^роль упомянутых выше «чисел-ступеней», пропорционально которым производилось деление заданного количества. В таких задачах свойства прогрессий оставались, по существу, не использованными. Даже в трактате Чжан Цю-цзяня наряду с «настоящими» задачами на прогрессии приводятся эти задачи на пропорциональное деление. Однако они более сложные, последовательности в них более разнообразные.

В большей степени свойства прогрессий выявлены в задачах книги VII «Математики в девяти книгах» на правило двух ложных

положений, где они употреблены для задания ежедневных скоростей роста или движения. В задаче 11 сравнивается рост тростника (3, 3/2, 3/4, . . .) с ростом гороха (1, 2, 4, . . .); в задаче 12 — эффективность прогрызания стены толщиной в 5 чи двумя крысами: большой (1, 2, 4, . . .) и маленькой (1, 1/2, 1/4, . . .); в задаче 19 —— скорости двух лошадей: рысака, пробегающего по 193, 193——13,..., и клячи, проходящей 97, 97——1/2, . . . (Все данные выражены в соответствующих единицах длины.) По сравнению с задачами на пропорциональное деление, где число членов прогрессии было всегда конечным, в этих задачах оно мыслится продолженным как угодно далеко, — последовательности не оборваны. Здесь также сопоставляются возрастающие и убывающие прогрессии. При небольшом числе членов (八=3, 4) суммирование здесь, возможно, производилось непосредственно, хотя для задачи 19, как уже выше говорилось, это трудно представить.

К первым задачам на прогрессии можно отнести задачи 17——19 книги VI «Математики в девяти книгах», но их решение так или иначе сводилось к пропорциональному делению, при этом пользовались той же идеей числовой модели в виде «чисел-ступеней», что и в задачах на пропорциональное деление. И только гораздо позже в трактате Чжан Цю-цзяня мы находим задачи на прогрессии с «чистыми» методами.

В книге Чжана задачи поставлены четко: в них находится как сумма п членов арифметической прогрессии, так и число п членов по данным задачи. Здесь пользуются отчетливым понятием разности прогрессии, основными ее свойствами. При нахождении числа членов, однако, стараются не получать квадратного уравнения, для этого дают в условии дополнительно S/n. Задачу об определении числа членов арифметической прогрессии в общем виде можно обнаружить лишь в книге Цинь Цзю-шао (XIII в.) «Девять книг по математике». 由

Сравнение задач «Математики в девяти книгах» с задачами Чжан Цю-цзяня выявляет переход от первых задач с прогрессиями к «настоящим» таким задачам.

Задачи 17—19 «Математики в девяти книгах», специально посвященные прогрессиям, различны, решения их кажутся нам искусственными, но для древнего вычислителя они были единственно возможными, сведенными к пропорциональному делению. Наиболее яркой задачей в этом отношении является задача 17 книги VI «Математики в девяти книгах»:

«Имеется золотая трость длиной в 5 чи. Отрубили основание в 1 чи весом в 4 цзиня. Отрубили верхушку в 1 чи весом в 2 цзиня. Спрашивается, каков вес каждого чи?» [50, с. 486].

Подразумевается, что в задаче задана убывающая прогрессия

〃1， 〃2， 〃3， 〃4， 〃5，

ИЛИ

〃，〃—〃，〃—2@, 〃—3d, сь—4〃,

хотя в условии об этом явно не сказано. Решение тривиально： так как

。=4, 。—4d = 2,

то d=l/2, или непосредственно л“1 — “54 — 2 1

0 =4~= 4 =Т・

Однако согласно древнекитайскому правилу следовало поступать иначе. Изложим это правило в нашей символике, оно носит достаточно общий характер.

Следует найти «коэффициент разности»: к=%——〃力=(〃——1) d.

Надо составить «ступени»: а=(〃一1)旬， вообще 〃尸 =(及——l)〃i——(力——1)加=(〃——1) ^, где г=2, ..., п, а к——«коэффициент разности».

Далее надо вычислить искомые: а~— • п.. Действительно,

_ “1 [(п — 1)叫

5 — 1)旬.

В основу решения положена идея пропорциональной зависимости: aja^njn^ специально «конструируются» «ступени» п., В задаче еще не пользуются понятием разности прогрессии а оперируют лишь с общей разностью, или «коэффициентом разности» А. Чтобы найти 〃订 нужно составить «модель» из 〃订 используя свойство прогрессии: а{=а — (г — 1) d. В данном случае к приходится на четыре члена: 旬，&，〃з, 〃4, поэтому все члены прогрессии увеличиваются в четыре раза. Учетверяют 〃i, увеличенный вес 〃？ составляют из разности между увеличенным весом 4al и общей разностью Л и т. д. для остальных а. Эти увели

ченные веса и есть ступени п..

Что касается следующей задачи 18 книги VI «Математики в девяти книгах», то она интересна своим условием: 5 цяней делится между пятью людьми в соответствии с убывающей прогрессией: 〃+5d, 〃+4d, 〃+3d, 〃+2d, 〃+d, на которую накладывается условие:

«Первые 2 получают столько же, сколько последние 3» [50, с. 487], т. е. 2〃+9d=3〃+6d, или a=3d・ Так как по условию 5〃+15d=5, то легко видеть, что d=l/6・ Китайское правило как будто бы предписывает фактически решить эту систему уравнений: «установить цяни в пирамидообразные строки-ступени», т. е. предположим d=l и установим ряд 5, 4, 3, 2, 1. Быть может (в дальнейшем это нам понадобится для ссылки), это надо было сделать с помощью счетных палочек на доске:

11

.11

1'

Далее шло указание: «Сложи первые строки для двух человек, получится 9. Сложи последние строки для трех человек, получится 6. Шесть меньше 9 на 3». Действительно, по схеме это сосчитать просто, и пока решение не отличается от нашей реконструкции. Оно интерпретируется преобразованием первого условия. Но далее вычислителю надлежало поступить совсем иначе: 《3 прибавь ко всем». Под этим подразумевалось получение из первоначального ряда следующего:

7, 6, 5, 4,согласно которому и производится деление заданного числа монет.Именно об этом повествует конец правила. В наших обозначе5.

ниях S=] (3 + %) d = 30d, и каждый член прогрессии =?(菰"，・ i=i

Аналогично решались вавилонские задачи о разделе серебра (59 шекелей) между братьями, например, в отношении 7 : 4 : 3 : 2 : 1 и другие задачи клинописных текстов [21, с. 92——93】.

Как видим, при решении задач на прогрессии упорно обращались к «делению по ступеням», хотя и китайцы и вавилоняне умели решать системы уравнений с двумя неизвестными. Мы видим, что в таких задачах понятие d еще «не работало». Однако оно постепенно выкристаллизовывается. Понятие разности арифметической прогрессии определяется непосредственно и описывается содержательно ——«то, на сколько понижается каждая ступень от соседней» (чуй сян цюй)——как в китайской задаче 19 книги VI «Математики в девяти книгах», так и несколько менее четко в вавилонской задаче, исследованной О. Нейгебауером, в которой 10 братьев делят серебро [56, с. 195].

«Имеется бамбук из девяти колен. Объем трех нижних колен 4 шэна, четырех верхних колен 3 шэна. Спрашивается, каковы [объемы] двух средних колен, если объем каждого [колена 1 отличается от соседних на равную [величину]?» [50, с. 487].

Реконструкция китайского решения следующая. Обозначим члены прогрессии через а^=а + (Z — £) d (t=l, 2, . . ., 9), d — разность прогрессии. Задача сводится к системе

4。+6d=3,За+21d=4.

Откуда а=39/66, d=7/66・ Хотя подобные системы свободно решаются в книгах VII—VIII, в правиле предложен иной способ решения, который в основном сводится к следующей цепочке действий.

Находится разность между «верхним» и «нижним» коэффи- 437

циентами: -g——7=彳Т.

Она является делимым для разности прогрессии.

Делитель составляется так:

о 43 И .

4c = (9一1) 一行4c = (9一1) 一行ИИ

4c = (9一1) 一行

4c = (9一1) 一行

И

И

. Разность прогрессли будет равной

7 h 7

诃："2"=丽=a，

т. е. «на столько отличается каждая ступень от соседней».

Один из членов прогрессии находится так: _ 41

a8 - 3-3.

Решение легко интерпретируется геометрически (рис. 8).

Здесь

=а+叫 0《力V8.

Когда

0 = 0, 1, 2, • •8, у = а,

а d, а 2d,, а -8d.

Находится среднее арифме- ТИЧвСКОв 〃7，〃8， 〃9 И О], 〃2，〃3,

〃4, т. е. BD и AF\ составляется

их разность BC=BD — AF.рис 8

Вычисляется АС между 〃工*

и 〃4 (4 — 1) промежутка, между

〃7 и а9 (3 — 1) промежутка; всего же между 仰 и 两(9 — 1) про

межуток. Следовательно,

Составляется отношение ВС/AC=tga=d.

Для определения величины членов прогрессии указывается, что a8=BD.

Реконструкция О. Нейгебауера также сопровождается геометрической интерпретацией.

Надо полагать, что подобные задачи составляли необходимую часть математической эрудиции того времени. Чжан Цю-цзянь в своем трактате счел возможным также предложить аналогическую задачу (задача 18 первой книги): «Имеется 10 рангов людей, [начиная с] ранга А 10 человек. Ведомство выделяет золото согласно рангам в той последовательности, в которой спускается разность [между ними]. Первыми вошли 3 человека старших [рангов], получили 4 цзиня золота, вышли. Последними вошли 4 человека низших [рангов], получили 3 цзиня золота, вышли. Три человека средних [рангов ] не пришли, но должны были получить согласно рангам. Спрашивается, сколько золота получил каждый, а также сколько золота должны были получить вместе те три человека, которые не пришли?» [51, с. 34].

Однако Чжан Цю-цзянь не ограничивается только такими задачами и переходит от методов, основанных на пропорциональности, к прямым методам, использующим непосредственно свой-

ства прогрессии. Задачи на прогрессии размещены в разных частях его трактата, но все они едины по методу решения. В них применено явно правило суммирования п членов арифметической прогрессии

q — а1 + ап м

где а】 ——первый, ап ——последний ее члены. Этой формулой пользуются как для определения S%, так и d ——разности прогрессии или числа п ее членов, при этом также привлекают выражение а%=〃1+ (тг — 1) d и свойство величины SJn.

Правило суммирования дано к задаче 23 первой книги трактата Чжана. В ней находится сумма 30 членов прогрессии по заданному первому и последнему членам ее. В задаче действует знакомый нам образ ткачихи, но для закона убывания автор объявил ее подростком, так что ее норма выработки ежедневно падает [51, с. 36 ]. По такому же правилу суммируется 100 членов натурального ряда, начатого с 1, в задаче 36 последней книги трактата Чжана, но в варианте, который мы бы записали о а1 + ап так:= ・п.

По закону натурального ряда растет ссуда на пеню:

«Человек записал на себя некоторое количество шелка в долг, усилили чек, по которому [он] будет по прошествии срока платить проценты: 1 чи шелка за первый день, 2 чи за второй день, так что каждый следующий день процент повышается на 1 чи шелка. Пусть прошло после срока 100 дней. Спрашивается, сколько шелка [пришлось бы выплатить в качестве ] процентов?

Ответ: 126 пи 1 чжан.

Способ: сложи проценты за 100 дней и 1 день, умножь на 100 дней, возьми половину, и получишь [искомое] число» [51, с. 59].

Разность прогрессии определяется в задаче 22 первой книги трактата Чжана, которая предшествует задаче о ткачихе-подростке. Здесь задана возрастающая прогрессия и потому речь ведется об искусной ткачихе, которая начала с той же нормы, но наращивала выработку ежедневно в течение месяца, т. е. 30 дней.

«Имеется искусная ткачиха, ежедневная выработка которой резко увеличивается. Сначала за день [она] соткала 5 чи. Пусть за месяц наткала 9 пи 3 чжана. Спрашивается, каково ежедневное увеличение. Ответ: 5 15/29 цуня» [51, с. 35].

Здесь разность прогрессии d определена в качестве ежедневного прироста выработки по правилу

Действительно, в тексте сказано:

«Установи число чи, которое предположили сотканным. Объедини в одно [число] с [количеством] дней в одном месяце. То, что получится, удвой. Удвой также число чи в первый день, вычти;

остаток есть делимое. Вычти один первый день из числа дней в одном месяце, остаток есть делитель. Делимое составь с делителем и получишь одно [число]» [Там же].

Как была получена эта формула? Возможно, путь был таким. Используя формулу суммы и выражение для последнего члена прогрессии, получили

с — 2〃1 + （〃 一 1） d

Отсюда сначала определили величину

今= ^[2 旬+ （〃一l）d],

а затем получили указанное выше выражение для d.

Отметим, что при определении числа членов прогрессии величина SJn, заданная вместо S%, позволяет избежать квадратного уравнения, хотя в Китае уже умели их решать. В трактате Чжан Цю-цзяня приводятся задачи на решение квадратных уравнений, и можно считать, что SJn было им задано специально, чтобы обратить внимание на свойства этой величины. Это есть не что иное, как член прогрессии с номером （п+1）/2, если число взятых членов нечетное, и члены с номерами 三，если число взятых членов четное. Кроме того, величина SJn равна полусумме двух любых равноотстоящих членов, в том числе первого и последнего:

^п —а1 + ап — с ] 5 — 1） d

Это значит

_ 2 偿一 “J + d

В правиле к задаче 1 средней книги описано вычисление по этой формуле:

«Имеется двор, дает [в среднем ] серебра 1 цзинь 8 ланов 12 чжу. Семьи по своей зажиточности неравны. Пусть теперь дворы в соответствии с разницей в рангах сообща производят плавку, [так что ] самый нижний двор выдает 8 ланов серебра, а разница следующего двора [с предыдущим ] каждый раз увеличивает [долю ] на3 3 лана. Спрашивается, сколько дворов?».

«Способ: установи количество цзиней, ланов, чжу в серебре, которое выдает двор, вычти из него количество ланов, чжу в серебре, которое выдает самый нижний двор. Остаток удвой, сложи с количеством ланов, чжу, на которые увеличивается разница; это делимое. Количество ланов, чжу в разности есть делитель. Делимое и делитель объедини в одно [число ]» [51, с. 39].

С этой задачей интересно сравнить предыдущую, которая является последней задачей первой книги трактата.

«Имеются люди, дают цяни. Первый человек дает 3 цяня, следующий человек дает 4 цяня, следующий человек дает 5 цяней, так

что каждый следующий дает на один цянь больше [предыдущего ]. Наконец, собрав со всех, сложили вместе и снова разделили, распределив поровну. Каждый человек получил по 100 цяней. Спрашивается, сколько было всего человек? Ответ: было 195 человек» [51, с. 38—39]. В ней натуральный ряд чисел начат с 3; поскольку здесь d=l, то правило упрощается:

〃= 2(± 一旬)+ 1.

Еще раз встречается «усредненная норма» в задаче 13 средней книги трактата Чжан Цю-цзяня, но эта задача на пропорциональное деление [51, с. 42—43]. Среднее арифметическое в древней математике применялось часто; его свойства были хорошо известны и, так же как линейная зависимость, были универсальным средством для решения 養 многих задач.

В общем виде задачу отыскания числа членов арифметической прогрессии мы находим у математика XIII в. Цинь Цзю-шао в его сочинении «Девять книг по математике». Его задачи на прогрессии содержатся в свитках 15—16 (восьмая книга сочинения «Класс задач на военные построения»). В задаче 3"свитка 15 по данным сумме 5 и ее первому члену 〃】определяется число п членов арифметической прогрессии. Известно, что или

2S = Ei+fl^+m — l)d]%.

Отсюда получается квадратное уравнение относительно п:

”d 饋+[(2〃i — d)孔=2S・

Поскольку Цинь Цзю-шао специализировался на решении уравнений любой степени численным методом, то он занимался и решением квадратных уравнений. Надо полагать, что из различных задач на арифметические прогрессии он специально выбрал такую, которая бы привела к нелинейному ^уравнению.

Прочтем средневекового автора:

«Задача. Идут солдаты, 2600 человек,^в^виде^кругового построения. Каждый человек занимает 9 чи *по обочине круга ... Промежутки между рядами удваивают число чи, которое приходится на одного человека, стоящего на обочине круга. Пусть диаметр внутренней окружности 72 чжана. Делитель круга употребляется в виде коэффициента отношения окружности к диаметру, как 3 к 1. Как узнать число рядов в построении, а также внутреннюю и внешнюю окружности, их общий диаметр, при этом количество людей, стоящих на них?» [105, с. 383].

Таким образом, задано некоторое кольцо с внешней и внутренней окружностями Сие соответственно (рис. 9). Длину их следует определить, и следует подсчитать также число солдат, размещенных на них: Nп и ^1 соответственно. Задан диаметр внутренней окружности d, требуется найти диаметр внешней окружности D, который назван «общим диаметром». Кроме того, надо найти число 〃 рядов (чжун), находящихся в толщине кольца △= (D ——d)/2. Именно эта величина 几(число рядов) является числом членов арифметической прогрессии, которую составляет количество солдат, размещенных на концентрических кругах. Их сумма известна. Легко подсчитывается длина внутренней окружности, поскольку ее диаметр известен (здесь 冗=3), а также число солдат на ней.

С =冗& = 3 • 720 = 2160,7vl = 2160/9 = 240 (солдат).

Далее согласно правилу к задаче находится число 九 из квадратного уравнения

6п2+234п=2600.

Приближенное значение корня 〃=9・ Чтобы он был точно равен этому значению, необходимо иметь свободный член равным 2592. Уравнение было получено,^по-видимому, так. Общее количество солдат на концентрических кругах есть сумма п членов арифметической прогрессии, у которойзИервый^лен найден равным 7Vl= =240. Разностью прогрессии" является число 12=d・ Половина этого числа 〃/2=丫 называется «коэффициентом разности для круглого пучка» (юань су ча люи) или просто «разностью кругов» (юань 4。) (ср. с. числом 冗,которое называется «коэффициентом круга» (юань люй)). Надо полагать, что значение данного коэф-' фициента 丫 общеизвестно, оно не указано в условии задачи, так же как не указано и в следующей задаче, для решения которой этот коэффициент снова потребуется. По формуле суммы для п членов арифметической прогрессии и выражению для n-го члена прогрессии 〃綏=。1+ (〃 ——4)d находится число п:

/п2 + & — 7)п = S.

К этой задаче тесно примыкает по своей теме следующая задача 1 свитка 16, в которой также рассмотрена прогрессия.

«Задача о том, как одна армия строится в виде круга. Для того чтобы расположиться в круглом лагере из 9 рядов, каждому солдату надо уместиться на 6 чи по обочине круга, причем между рядами вдвое больше. Одна четвертая часть [армии] была послана в стан врага для того, чтобы застать его врасплох. Нельзя сузить лагерь меньше указанного. Необходимо допустить, чтобы, как

прежде, лагерь был заполнен оставшимися солдатами. Как узнать внутреннюю и внешнюю окружности первоначального лагеря, а также число людей, в них расположенных; и после убытия каждое количество солдат, число чи для стоянки, число людей во внешней окружности?» [105, с. 387].

Итак, в задаче требуется найти длины окружностей, внутренней и внешней, число солдат на них, а также число солдат на них после отсылки на задание и получившуюся «норму» приходящегося на одного солдата расстояния «по обочине круга».

Таким образом, в нашей символике задано число кругов п, или число членов арифметической прогрессии, которую составляют количество солдат на концентрических кругах лагеря 7Vn • • ., Nn с прежней разностью d=12. Разумеется, известна численность всей армии, хотя в задаче она не названа. Во второй задаче предыдущего свитка указано, что в армии находится 12 500 человек.

Имея формулы для суммы арифметической прогрессии и для Nn: S = ^^-n, N“ = Д\ + (лг — l)d, получаем выражение для первого члена

А〈= S—(及―1)рг

Именно так решает задачу Цинь Цзю-шао. Он предлагает следующий алгоритм:

вычисляется число дуанъ, т. е. число промежутков между рядами

(八一1) =9 一 1=8;

вычисляется число чуй, или длина промежутков в единицах чи

(п — 4)т=8・6=48;

подсчитывается «коэффициент», т. е. вся длина диаметра кольца

(п — 1) утг=48-9=432;

составляется разность

S -5 -1)铝=12 500 - 432=4 2 068;

разность делится на число рядов:

〃1=12068/9;

далее вычисляется длина внутренней окружности с=1340・6=8040 чи.

Интересно отметить, что средневековый автор не пользуется непосредственно формулой для Nn при вычислении последнего члена прогрессии, или внешней окружности, а выбирает иной путь. Он подсчитывает число фань 96*6=576 чи, а затем С=

=8040+576 = 8616 чи, также Nn = 8616/6 == 1436 (человек), т. е. Цинь Цзю-шао сразу получает длину внешней окружности (в мерах длины), а затем подсчитывает, сколько людей на ней разместится. Дальнейшие вычисления в задаче тривиальны и не относятся к прогрессиям, опустим их.

Что касается суммирования рядов, то упомянем лишь несколько имен, отмеченных в истории китайской математики. Шэнь Ко (XI в.) в книге 18 своих «Рассуждений Мэнси» (《Манси битанъ», 4086) вычисляет ступенчатую усеченную пирамиду, состоящую из п слоев, которые имеют форму прямоугольников. Соответствующие стороны этих прямоугольников последовательно увеличиваются сверху вниз на единицу. Пусть в верхнем слое аЪ шаров, тогда искомая сумма ряда

5=而+ (a+1)(6+1)+.. . + [a+ (" - 1) ] • [&~b (" - 1) ]•

Шэнь Ко пользуется правилом:

5 = ^[a(2a+ б)+ n(25+6) + 啰一6)],

где А=а+п — 1, B = b-\-n — 1. Как оно было получено, можно только догадываться. Он не поясняет этого в своем сочинении. Однако существует гипотеза о выводе этой формулы [102].

Ян Хуэй (XIII в.) приводит правила суммирования рядов пп”

2* и 2"2, а также ряда треугольных чисел к=1儿=1

1+3+6+九("+1) = ^九(八+ 1)(" +2).

Особенно много занимался числовыми рядами Чжу Ши-цзе [95, т. I, с. 339—352].

Глава третья

ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ С ОСТАТКОМ

Еще раз о делении

В начале этой главы мы рассмотрели историю деления, перейдем теперь к исследованию самой этой операции и к области ее приложения. Что произошло в результате ее постепенного освоения?

Как мы установили, первым числовым множеством были целые числа и натуральные дроби. Деление в таком множестве выполнимо в относительно редких случаях: когда делимое кратно делителю и когда частное-дробь совпадает с какой-либо натуральной дробью. Составляло ли это существенное ограничение в вычислительной деятельности древних? Оказывается, совсем нет. Вначале древ-

11 Э. И. Березкина11 Э. И. Березкина161161

11 Э. И. Березкина

11 Э. И. Березкина

161

161

ние нецелую часть частного просто выражали как-либо описательно или совсем отбрасывали его, давая округленное значение. Затем стали применять различные способы выражения остатка, каждый из которых характеризовал вычислительную культуру данного периода и был связан с тем или иным представлением о числе.

Как свидетельствует Ли Янь, в исторических хрониках «Хуай- нань-цзы», «Истории династии Цзинь», существуют примеры, в которых нецелое частное заменялось целым числом, вероятно, без какого-либо определения степени его приближения к истинному значению [95, т. I, с. 15]. Иногда эта неточность отмечалась словами: «имеется остаток» (ю ю论,«имеется еще нечто»(2 ци)9 что указывало на нецелостность частного, или строго говоря, на невыполнимость деления в целых числах. В свитке 37 «Истории Ранней Хань» сообщается:

«Чжоу вернулся за 5 с лишним ли отсюда» [Там же]. Или в первой книге «Математического трактата о чжоу-би», самого раннего из трактатов «Десятикнижья», дробное частное записано при помощи второго выражения:

《・・.Расстояние с востока на запад по диаметру 26632 с лишним ли» [100, т. I, с. 21 ].

Весьма любопытно, что число, как это указано в комментарии, было получено в результате арифметической операции:

810 000 — 783 367 с остатком = 26632 с остатком.

Это показывает, что словесное указание на остаток было не только устной традицией (как иногда мы говорим: «Отсюда до ближайшего населенного пункта 23 км с лишком»), но употреблялось в вычислительной литературе в качестве первоначальной попытки фиксирования дробного числа (при измерении, но не при делении). Операция деления стимулировала введение дробей, но в свою очередь, не имея в своем распоряжении дробных чисел, древние не могли выразить частное точно. Получался как бы замкнутый круг, разорвать который надлежало древнему математику.

Можно установить попытки указывать точный остаток при помощи объявления остатка от делимого, когда целая часть уже найдена. Характер такого представления особенно ярко виден при сравнении деления с извлечением корня из неполного квадрата и указания на остаток от подкоренного выражения:

V4+a ^ b (в остатке а), где Ъ^=А.

В подобных примерах представления остатка нет оценки его при помощи неравенств. Возможность дать приближенное значение результата при помощи округления или итерации была обнаружена гораздо позже. Еще в «Математике в девяти книгах» ее составители, зная правила округления, предпочитали тем не менее употреблять такой способ указания остатка, о каком выше было сказано. "

Например, в дополнении к задаче 7 книги V «Математики в девяти книгах» подсчитывается, сколько рабочих потребуется для того, чтобы вырыть канаву объемом в 10074586,6 куб. еди-

ниц, если норма рабочего составляет 300 таких единиц. В ответе указано: 《33^82 человека, не хватит 14 чи 4 цуня», т. е. одному рабочему не хватит до выполнения нормы 14,4 куб. единицы [50, с. 473]. Здесь произведено (и произведено правильно) округление числа 33581^^, но тем не менее точно указано, на сколько это округление дает превышение.

Аналогичные примеры обнаруживаются в ответах к задачам «Математического трактата Сунь-цзы». В задаче 23 средней книги трактата подсчитывается количество рабочих, которое потребуется для того, чтобы выкопать канаву. Ответ гласит: «32645, останется выкопать 69 чи и 6 цуней» [49, с. 32]. Или в ответах к задачам 6 и 7 последней книги трактата записано: «1975 штук, и останется еще 12 ху»,——столько повозок потребуется для доставки налога (по-видимому, зерна); а также: «3950 человек и еще 16 тяглых», — под этим следует понимать количество солдат, которые смогут поставить тяглые из расчета, что 25 тяглых выделяют одного солдата [49, с. 34]. В обоих случаях не указано приближенное значение частного (остаток меньше половины 血 больше половины делителя). Проблема остатка была бы решена, если указанный остаток был оценен по отношению к делителю, именно делением на него. Это было бы измерением его в долях делителя,что означало бы переход к изображению остатка с помощью дробей.

Деление с остатком

Приведем здесь одну иллюстрацию того, насколько хорошо понимали древние невозможность деления в целых числах для любого случая. Рассмотрим за/囈勢®а деление с остатком, которые распаложены в конце книги II «Математики в девяти книгах» [50, с. 454—456]. Они встречаются иногда и в других трактатах «Десятикнижья».

Эта книга в основном посвящена пропорциям (задачи 1—31 на обмен различных зерновых культур). Далее идут задачи 32—37 на расчет стоимости предмета, который закупают на определенную сумму монет, также основанные на пропорциях. Наконец, тема обобщается: на А монет закупают не один, а два рода предметов, общее количество которых в задаче определено как nlm. Здесь может быть тп=1 (задачи 38, 39, 45 и 46) и 〃 > тп, как в предыдущей группе задач на стоимость предметов.

Если через х обозначить количество предметов по стоимости и цяней за штуку, а через у ——количество предметов по и цяней за штуку, то условия задач 38——44 можно записать в наших обозначениях системой

или

Am — uxr +*',〃=力'+%

где 力'=加力，yf =ту. Кроме того, судя по ответам, всегда еще имеется в виду, что V ——〃=1, хотя в условиях задач об этом ничего не сказано. Таким образом, решение задач сводится к системе трех уравнений с четырьмя неизвестными; число неизвестных больше числа уравнений, и, казалось бы, получается неопределенная задача. Но задача имеет единственное решение, деление производили в целых числах:

Ат— ихг Ц- vy' —. yf

П 一 Xf + yf —' n *

Отсюда сразу определяется м как целая часть частного Ат/п и также yf как числитель дробной части, или «сам» • остаток от делимого. Далее легко находятся и=〃+1,力'=% ——沙'•

Приведем в качестве примера задачу 38, первую из этой группы: «Затратили 576 цяней на покупку 78 бамбуков. Среди них есть большие и маленькие; спрашивается, сколько каждых? Ответ: среди них 48 штук по 7 цяней, среди них 30 штук по 8 цяней» [50, с. 454].

Эта задача сводится к системехи-\-уи = 576,力+ ^ = 78,V -辽=1.

Решение находится просто: делим 576 на 78, в частном 7, в остатке 30, т. е. ^=7, у=3б, тогда и=8,力=78—3Q=48・

Здесь хорошо видно, насколько прозрачным является решение при т=1. Следующая задача также не загружена вычислениями. Но этими двумя задачами лишь начинается знакомство с методом. Правило на «Расчет, когда имеются разного рода предметы» сформулировано в общем виде для дробного п!т. В следующих задачах 40—43 (в них 八〉на одну и ту же сумму 13 970 цяней покупают шелковую пряжу одного и того же веса: «1 дань 2 цзюня 28 цзиней 3 лана 5 чжу». Вопросы в задачах, точнее в четырех вариантах одной и той же задачи, ставятся относительно «дорогих и дешевых» даней^ цзюней, цзиней и т. д. В зависимости от того, какая мера принимается за основную, производится пересчет заданного именованного числа в эти единицы. Для древнего вычислителя эта процедура была немаловажной. Во всех видах задач, например в предыдущей группе на расчет стоимости, всегда обращали внимание на эту сторону расчетов. Напомним, что вычисления^здесь значительно усложняются из-за неоднородности и недесятичности весовой шкалы мер: 1 8优从ь=4 цзюням= =4・30 4змшм€=4・30・16 ланам=^. 30 • 16 «24 чжу. Таким образом, 7994979949

п/т последовательно принимает значения: ^而 °。从兄,П525 4^2从w,

79949 、 79949 /Г7ОО/О

• 3弘.цзиня^ . % ' лана (79 949 чжу, которые содержатся в заданном количестве шелка). Тогда решение, например, задачи 40, где оцениваются «дорогие» и «дешевые» дани〉 будет следующим: 13970.46080 643737600 , on

——тйо7а——=7qq7q—=8051 (в остатке 6о 201 чжу9 что состав- ляет 1 дань 27 цзиней 9 ланов 17 чжу). Определены и и у', можно вычислить V и ж\

В правиле совершенно четко преподносится именно такая последовательность действий:

«Каждый раз установи количество даней, цзюней, цзиней, ланов в купленном, это делитель. То, сколько самых мелких единиц содержится в единице, стоимость которой определяется, умножь на количество цяней, это делимое» [50, с. 455——456].

Очевидно, далее надо разделить делимое на делитель, на что и указано в правиле. Его конец посвящен, по всей видимости, проверке задачи.

Последние задачи 44—46, наконец, посвящены «Расчету стоимости предмета каждого вида в отдельности на одну монету», когда система приобретает вид

4=抖丸

九=0+弘

где теперь м, у не стоимость дорогой и дешевой вещи, а их соответ- ствующеэ количество на 1 монету. Решение соответственно будет таким:

2=出土必竺—丄丄!Л xv + иу — v А *

Отсюда легко определяются и и %・

В разряд этих задач попадает тот вариант, когда вес купленной шелковой пряжи выражен в самых мелких мерах чжу (задача 44). Ее решение

п — 79949 _ 5 丄 10099Т ~ 13970 = 3 г 13970 е

Так как

調=^；, 4 = 13970, т. е. f = 10099,

то

V = и+1=6, у = 10099 •6=60594 чжу,

что составляет 1 дань 1 цзюнъ 7 цзиней 12 ланов 18 чжу. Далее легко подсчитать х=п ——у = 19 355.

Системы сравнений первой степени.

Задачи Сунь-цзы и Цинь Цзю-шао

Первая задача на систему сравнений в классах вычетов зафиксирована в «Математическом трактате Сунь-цзы» (III в. н. э.). Современно© решение таких задач имеется в книге И. М. Виногра- дова «Теория чисел» [27, с. 57]. Весьма возможно, задача была более древнего происхождения и в «Математику в девяти книгах» не попала потому, что по своему характеру не подошла ни к одной теме ее разделов. У Сунь-цзы задача «на остатки» помещена в последней книге трактата, она единственная.

«Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей?» [49, с. 37, задача 26].

Таким образом, задана система сравнений первой степени с однйм неизвестным (запись в нашей символике, которой мы обязаны К. Гауссу).

х = 2 (mod 3), /三3 (mod 5), х = 2 (mod 7), где х — неизвестное число «вещей». Модули взаимно просты: (3, 5, 7)=1, наименьшее решение х = 23. Общее решение

力三 23 (mod 105).

Эта задача была широко известна в народе и благодаря совпадению имен служила примером особой мудрости полководца Сунь-цзы.

Каким образом было получено решение системы? Согласно методу, изложенному в [27], составляется ряд произведений модулей т{ на дополнительные до наименьшего общего кратного множители Мр

miMi = 3 • 35 = 5 • 21 = 7 • 15 = mjn初§ = 105.

Далее надо определить вспомогательные числа Mj=2, 陷=1, Mg=l, которые удовлетворяют сравнениям

35〃；三 1 (mod3), 2Ш； = 1 (mod 5), 15М； = 1 (mod 7), или то же самое

2М[ = 1 (mod3),M^i (mod5),必;三 1 (mod 7).

Отсюда очевидны указанные значения М) Тогда решение будет В ВИДеX=XQ (mod 7П17П27П3),

где

Для данной задачи Сунь-цзы

л:0=35.2.2+21.1.3+15.1.2=233

и

х = 233 —105 • 2 = 23.

В правиле к задаче Сунь-цзы сначала называются числа М《М也 и то, как составляется из них искомое число, а затем называются числа MfM[.

Вот русский перевод этого правила:

«Способ: при счете их тройками и остатке 2 установи 140; при счете их пятерками и остатке 3 установи 63; при счете их семерками и остатке 2 установи 30; сложи это, получишь 233. Из этого вычти 210 и получишь [искомое]. Вообще [если] при счете их тройками остаток 1, то установи 70; [если] при счете их пятерками остаток 1, то установи 21; [если] при счете их семерками остаток 1, то установи 15. [Если сумму] больше 106, то вычитай 105 и получишь [искомое]» [49, с. 37].

Общее правило решения таких задач, как, впрочем, для любой его задачи, у Сунь-цзы сформулировано не было. Полное изложение метода для общего случая решения систем сравнений мы находим лишь в XIII столетии у Цинь Цзю-шао в его «Девяти книгах по математике». В первых двух свитках его сочинения, которые носят один общий заголовок «Класс задач на даянь» (да янь лэй) и составляют первую книгу трактата, содержится девять задач на системы сравнений: четыре в первой книге и пять —— во второй [105, с. 1—53].

Термином «большое расширение» (да янь) определяется число 5 М» называемое «большим расширенным числом» (да янь шу).

Сам термин происходит от гадательной терминологии конфуцианской «Книги перемен» («必 цзин») (VIII—VII вв. до н. э.), по тексту которой производилось предсказание судьбы [74]. Самая древняя мантическая часть текста, на основе толкования которой появился более поздний текст «Книги перемен», содержащий древнюю философскую систему взглядов. В основе такого гадания лежало предсказание судьбы по стеблям тысячелистника, которые р ас к л адыв а лись произвольным образом на отдельные груды, и т. п. В результате манипуляций с этими палочками и возникла теоретйко-числовая задача, с которой Цинь Цзю-шао начинает свое сочинение, отдавая дань неоконфуцианству. Терминологию метода решения этой задачи он перенес на остальные задачи, уже не связанные с гаданиями.

Таково происхождение метода янь, янь ту, что означает «способ чисел янь», т. е. способ чисел М「 Напомним, что это дополнительные множители до произведений модулей к каждому из модулей сравнений системы: Пт{=М^, Термин прочно вошел в китайскую математику, таким образом, фразу «способ отыскания единиц по большому расширению» (За янь цю и шу) можно вполне заменить современным эквивалентом: решение

систем сравнений первой степени с одним неизвестным, которым мы и будем пользоваться.

Первая задача сочинения Цинь Цзю-шао по своему математическому содержанию весьма проста. Она представляется с помощью нашей символики в виде системы сравнений

力三 1 (mod 1), ж = 1 (mod 2), ж = 1 (mod 3), ж = 1 (mod 4),

что, очевидно, эквивалентно системе

ж = 1 (mod 3), ж = 1 (mod 4)

со взаимно простыми модулями. Ее решение тривиально:

ж= 1 (mod 12).

Из всех натуральных чисел, дающих в остатке единицы при делении их на 3, выбираются те, которые при делении на 4 также дают в остатке единицы. Это ряд чисел

х=12к+1 = 13, 25, 37, 49, 61,...

По условию задачи подходит £=49 (при 论=4).

Решение системы в наших обозначениях следующее. Первое сравнение обозначает равенство

%=1+3儿 где 为=1, 2,...

Чтобы система была совместной, нужно, чтобы]

1+3及三1 (mod 4) или

&三0 (mod4),

t. е.自=曲2, тогда %=1 + 12自，где 色=1，2, 3,...

В ответе к задаче 1 сочинения Цинь Цзю-шао названы два рода чисел:

12, 8, 6 — янь шу, т. е. числа янь,

24, 4, 9 — юн шу, т. е. числа юк.

Первые в сумме дают 50, т. е. число да янь, вторые — 49, число, которое требуется определить в задаче.

Решение этой первой задачи обстоятельно пояснено: после условия задачи сначала изложено общее правило, а затем решение самой задачи, которое сопровождается схемами вычислений.

В первой схеме выписаны все «основные числа» (юань шу), в наших обозначениях т《

1 1

1 2

1 3

1 4

Следует особо отметить здесь термин «небесный элемент» (тянь юань), который вводится Цинь Цзю-шао именно здесь, при решении сравнений, а не уравнений высших степеней, как это

делали другие математики.

Таким образом, этим термином у Цинь Цзю-шао обозначались единицы левого столбца приведенной выше таблицы, поставленные в соответствие модулям, при отыскании числа М..

В следующей схеме найдены «расширенные числа» (янъ шу) или М{:

24 1

12 2

8 3

6 4

Эти числа и их сумма названы в ответе. Напомним, что произведение чисел-модулей сравнений в правом столбце и произведения двух чисел каждой строки равны

口忆=1 ・2・3・4 = 24・1 = 12・2 = 8・3 = 6・4 = 24 = М{т^

Эта процедура не одинакова с нахождением дополнительных множителей, как если бы дроби 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 складывались, хотя и похожа на нее. Средневековый автор даже называет «небесные единицы» числителями (цзы), а модули тп《(после приведения к взаимной простоте) знаменателями определенных чисел, или определенными знаменателями (^зин му). Напомним, что представление дробей на древнекитайской счетной доске или в схемах вычислений было идентичным: знаменатели записывались в правой строке (иногда в нижней), а числители ——в левой (или соответственно в верхней).

Далее Цинь Цзю-шао излагает решение системы

q三 1 (mod 3),

х= 1 (mod 4),

к которой, как он показывает, сводится заданная система. Делается это, согласно общему правилу, путем перехода ко взаимно простым модулям. Для этого для каждой пары модулей, в терминах средневекового ученого — знаменателей, надо найти общий наибольший делитель, по-китайски «равное число» (ден шу). Этот термин появился еще в древней «Математике в девяти книгах» при описании алгоритма попеременного вычитания для нахождения общего наибольшего делителя (алгоритм Евклида). При этом специально оговаривается, как нужно затем пользоваться этим «равным числом». В данном случае все числа, стоящие в правом столбце, взаимно просты, кроме одной пары: (2, 4). Общий наи- больший делитель равен 2. Таким образом, «сокращается» двойка, а 4 остается без изменений. Иными словами, второе сравнение включает в себя четвертое, и, следовательно, им можно прене-

бречь. Китайская схема оказывается следующей:

Далее, опять-таки согласно общему правилу, хотя решение очевидно, находятся числа Mt так, как это было описано выше. Схема следующая:

12 1

12 1

Очевидно, эта схема заменяется такой:

1 1

1 1

1 3

3 4

при помощи, как говорит Цинь, «полного вычитания (манъ цюй) mt из М《в сравнениях: М{М\ =1 (mod т). Таким образом, остается решить сравнение

3〃 ； = 1 (mod 4).

Решение проводится с помощью непрерывных дробей [27]. Дей- ствительно, здесь тривиально

но решение проведено согласно общему правилу. Таким образом, М：=3 (mod 4).

Остальные задачи на системы сравнений книги Циня посвящены самым разным темам. В задаче 2 первого свитка проведены календарные расчеты; в задаче 3 описывается строительство пло- тины на средства крестьян деревень А, Б, В, Г; задача 4 посвящена денежным расчетам семи казначейств. Следующая задача 5 (в нашей нумерации), т. е. первая задача второго свитка, известна в литературе своим условием [81, с. 89; 147, с. 93] .

Здесь проводится сравнение некоторого количества зерна с местными ценами [142, с. 399—400]. В задачах 6 и 7 взаимодействуют скороходы, в задаче 8 показана конечная арифметика у каменщика, измеряющего кирпичами разного рода ширину и глубину фундамента, которые следует найти. Наконец, последнюю задачу приведем полностью.

В ней «по остаткам зерна вычисляется его количество» (юй ми туй шу).

«Задача. Имеется зерновая лавка. Поступила жалоба, что из нее украли три корзины зерна. Все они были полными, [но] не было зафиксировано точное количествэ зерна. В корзине у левой стены остался 1 гэ [зерна], в корзине, стоящей посредине [лавки], остался 1 шэн 4 гэ, в корзине у правой стены остался 1 гэ. Воров поймали, их было трое: Л, 5, В. Л рассказал, что тогда ночью [он] на- ощупь черпал [зерно] из корзины у левой стены полным лошадиным ковшом, пересыпая в полотняный мешок. Б рассказал, что [он] из корзины, стоящей посредине, перечерпал [зерно] в мешок деревянным башмаком. В рассказал, что [он] из корзины у правой стены наощупь перечерпал [зерно] в мешок пиалой, [покрытой] черным лаком. Вернувшись домой, [они] стали его есть. Сколько дней [они ели] и какое количество съели, неизвестно. Эти три посудины нашли: лошадиный ковш в полном объеме [дает ] 1 шэн 9 гэ, деревянный башмак емкостью в 1 шэн 7 гэ, лакированная пиала емкостью в 1 шэн 2 гэ. Как узнать количество пропавшего зерна и подсчитать, сколько каждый из грабителей утащил [зерна]?

Ответ: всего пропало зерна 9 даней 5 доу 6 шэнов 3 гэ;

зерно Л ——3 дани 1 доу 9 шэнов 2 гэ, зерно Б ——3 даня 1 доу 7 шэнов 9 гэ, зерно В — 3 даня 1 доу 9 шэнов 2 гэ» [105, с. 50—51 ].

В современной записи задана система

+ 三 1 (mod 12), ж = 14 (mod 17), ж = 1 (mod 19)

со ^взаимно простыми модулями тп1=12, тп2=17, тп3=19. Их произведение

11^ = 3876,

а числа Mt (числа янь) в произведении с т, дают

т《％ = 3876 = 12.323 = 17.228 = 19.204.

Следует теперь решить систему

323"；三 1 (mod 12), 228"；三 1 (mod 17), 204 J/；三 1 (mod 19), которая эквивалентна следующей:

ИМ[ = 1 (mod 12), 7加:三1 (mod 17), 14М； = 1 (mod 19), где числа М/ определяются подбором, они равны соответственно 11, 5, 15. Общее число получается в виде

%=323・ 11-1 +228-5.14+204-15-1 =22573,

и решение

x=xQ (mod 3876)=3193 (mod 3876).

Здесь числа юн будут равны 323*11, 228«5, 204-15.

Задача Сунь-цзы обошла весь мир. Она или ей подобные встречаются в «Книге абака» Леонарда Пизанского (1202), в одной византийской рукописи XIV в., в немецких рукописных арифметиках XV в. и в русских арифметических рукописях XVII в. На нее часто ссылаются в современной математической литературе (например, [32]). Теория решения сравнений была разработана Л. Эйлером (публ. 1740) и окончательно К. Ф. Гауссом в его знаменитых «Арифметических исследованиях» (1801).

Что касается других теоретико-числовых задач, то следует упомянуть магические квадраты. Некоторые такие квадраты встречаются в очень древних источниках [150, с. 55—62]. Известно, что магические квадраты рассматривал Ян Хуэй (1275) и другие более поздние авторы Китая и Японии. В истории математики известно, что их рассматривал также во II в. н. э. Теон Смирнский и многие средневековые арабские и византийские ученые.

Существовали и другие неопределенные задачи с не единственным решением. Такова известная «задача о птицах» из трактата Чжан Цю-цзяня, имеющая такую же «всемирную» историю, как задача Сунь-цзы (см. п. 6 ч. I). В древней «Математике в девяти книгах» имеются задачи, в которых используются тройки пифагоровых чисел. Весьма возможно, что древние китайцы, подобно древним вавилонянам, умели решать неопределенное уравнение второй степени

/2 + у2=%2 и находили решения

Д2 一俨0а2 + 俨

где а, 8 ——целые числа.

Часть четвертая

АЛГЕБРА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические методы характерны для китайской математики. Недаром ее считают в противоположность греческой проявлением алгебраического духа китайского математического интеллекта [150, с. 112]. Вычислительно-алгоритмический характер, свойственный китайской математике [80, с. 350——357 ], несомненно стимулировал алгебраизацию методов. Ими пронизаны и геометрические задачи, примером может служить книга IX «Математики в девяти книгах». 、

Достижения китайских алгебраистов ——наиболее известная часть истории математики в Китае, известная, однако, далеко не в полной мере. В этой области мы находим удивительные по своей общности и их раннему возникновению в истории науки результаты — предвосхищение нынешних вычислительно-алгебраических методов.

Неоднократно отмечалось, что в XIII——XVI вв. в Китае был окончательно разработан метод численного решения уравнений высших степеней, который носил название «метода небесного элемента» (тянъ юань шу), а позднее в математической литературе получил название «метода Горнера». Этот метод был создан в работах китайских алгебраистов Цинь Цзю-шао, Ли Е, Чжу Ши-цзе и др. В начале XIX в. итальянец П. Руффини (1804, 1813) и англичанин У. Горнер (1819) независимо друг от друга вновь открыли этот метод.

Каким образом и на какой основе был впервые разработан этот метод? На этот вопрос можно ответить, рассмотрев трактаты «Де- сятикнижья». Историки математики указали истоки метода из процедуры извлечения корней, описанной еще в «Математике в девяти книгах» [172]. В этом же сочинении и в трактате Чжан Цю-цзяня метод применяется для п=2. В VIII в. Ван Сяо-туном он, был применен для тг=3 и т. д.

Но дело не столько в этом правиле извлечения корней и решении. уравнений высших степеней, сколько в общей алгебраизации древнекитайской науки, приведшей к блестящему результату, в формах этой алгебраизации и причинах ее развития. Такие вопросы прежде всего стояли перед автором книги при исследовании древнекитайских текстов. Эти главы ——попытка ответить на них.

«Математика в девяти книгах» весьма насыщена алгебраическими методами. Наиболее значительным из этих методов является общий алгоритм решения систем линейных уравнений в книге

VIII — самой совершенной из книг древнего сочинения, однородной по содержанию, стройной по композиции, лаконичной по изложению [90, 107].

Прежде чем перейти к изложению алгебраических методов древнего и средневекового Китая, необходимо сделать одну оговорку: термина «алгебра» в древнекитайской математике, конечно, не было. На начальных этапах развития математика не разделялась даже на арифметику, геометрию и алгебру. Мы прибегаем к этим терминам при изучении методов древних, так как в различных задачах, часто объединенных в древних текстах только по тематике, но не по методам, мысль древнего ученого все же искала общность не в форме, а в математическом содержании. Мы отбрасываем традиционную форму и обнажаем те пути, которым следовала интуиция древнего математика. Существо алгебраических методов часто приходится улавливать сквозь вычислительную форму, в которой представлены правила решения древних задач. Поэтому мы рассматриваем в этой главе не только книгй VII и VIII из «Математики в девяти книгах» в качестве основных, содержащих задачи на решение линейных систем, что сразу же их определяет как «алгебраические», но и книгу IX, содержащую геометрические задачи, решаемые алгебраическими методами, а также привлекаем методы других, «арифметических» книг трактата и отдельные задачи из других сочинений.

Заметим, что древняя алгебра излагалась словесно, без символики. Специальные термины выражали смысл операций достаточно четко, но основная задача символики, не только краткая запись некоторых выражений, но и возможность оперировать с символами, при этом, конечно, не выполнялась. Китайцы всякий раз производили действия на счетной доске с конкретными числами, но по определенным для каждого типа задач общим алгоритмам, сформулированным в виде правил.

Глава первая

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

丄 Тождественные преобразования

В древнекитайских математических сочинениях шцроко применялись тождественные преобразования. Это свидетельствует в первую очередь о сравнительно высоком уровне развития науки алгебры в древнем Китае, таком же, как в древней Месопотамии.

На самом деле, чтобы проводить тождественные преобразования, необходимо иметь алгебраическое понятие неизвестной, т. е. искомую величину рассматривать как существующую наряду с данными величинами еще до того, как она вычислена. Кроме того, надо

уметь составлять соотношения (уравнения) между ними. После этого можно равноправно оперировать с неизвестными и известными величинами: приводить подобные члены, переносить члены из одной части равенства в другую и т. п., т. е. преобразовывать уравнения с сохранением их эквивалентности. С. А. Яновская писала: «Таким образом, производятся операции по определенным правилам уже не с числами, а с выражениями, содержащими „неизвестные44, и притом именно с такими выражениями, которые имеют вид равенств (с „уравнениямим). Правда, ни термина „уравнения14, ни правил, в явной форме относящихся к оперированию с выражениями, содержащими „неизвестные4*, а не только числами,

Рис. 10А

в „трактате44 нет» [49, с. 21 ]. И далее: «Всегда приходится восстанавливать путь рассуждений древнего математика, позволявших ему преобразовывать одни выражения в другие: сводить последовательно одну задачу к другой вплоть до получения задачи канонического вида, которая уже решается с помощью алгоритма, построенного для решения любой задачи данного класса и состоящего в сведении решения задачи к последовательности шагов, каждый из которых состоит в выполнении некоторой арифметической операции, хотя бы последняя сама по себе и была отнюдь непростой» [Там же].

В самых простых задачах требуется умение проводить тождественные преобразования. Но осознать их и перейти к более сложным для древних было не так просто, как нам может показаться на первый взгляд. Для примера остановимся на одной простой задаче 13 книги VI «Математики в девяти книгах》, которая не является алгебраической, но которая не решается без тождественных преобразований. Приведем ее точную формулировку:

«Медленно идущий проходит сначала 10 ли. Быстро идущий догоняет его, и через 100 ли медленно идущий оказывается отставшим на 20 ли. Спрашивается, сколько ли пройдет быстро идущий, прежде чем догонит (медленно идущего)?

Ответ: * 33 с малой половиной ли» [50, с. 485].

Решение задачи сводится к составлению пропорции (рис. 10)

х —100

% —10 =100 —(10 +20)・

Эту пропорцию можно заменить производной пропорцией

с __ 100

而=10 + 20)

отсюда

(10+20)况=40・100

ии10 . 100 оо 1

и

и

0 =花中=333,

как указано в ответе. На самом деле в правиле рекомендуется именно такой образ действия:

«Тот путь в 10 ли, который прошел медленно идущий, сложи с путем в 20 ли, на который обгоняет его быстро идущий, это делитель. 10 ли пути медленно идущего умножь на 100 ли пути быстро идущего, это делимое. Объедини делимое и делитель, получишь [искомое количество] в ли» [Там же].

Эта и две другие аналогичные задачи (12-я и 14-я) являются «задачами на движение». Они составлены так, что рассмотрены различные случаи движения двух тел с разными скоростями. Для задач такого рода уже в древности, по-видимому, существовал общий метод решения. Устанавливалось соотношение пропорциональных величин

//(力一。) = b/e,

где а, 6, с ——данные или составленные по данным величины, х —— искомая. Хотя правила к задачам числовые, видно, что 力 находится, фактически, по формуле

х=аЫ(Ъ—с).

Как ее вывели, в тексте не поясняется, но для ее получения нужно либо от пропорции перейти к производной пропорции

х/а =6/(6—с),либо, также применяя свойства пропорции, получить сначалахс=хЪ——ab,

а затем

ab = (b—с)力.

В задачах 13, 14, надо полагать, переходят к производным пропорциям, что же касается задачи 12, то в ней этого не требуется, она проще последующих.

Приведенные задачи отличаются от задач 1—31 на пропорции книги II «Математики в девяти книгах», подробно разобранных в §9предыдущей части, именно тем, что в них неизвестная входит и в предыдущий и в последующий члены отношений. Вот почему в тех задачах не требуется тождественных преобразований, точно так же как они не нужны в других арифметических задачах на пропорциональное деление, тройное правило и т. п., как бы сложными они ни были.

Тождественные преобразования были необходимы также при выводе формул площадей и объемов, по которым производятся расчеты в книгах I и V «Математики в девяти книгах». Здесь мы не будем подробно на них останавливаться. Они широко применяются в книге IX, посвященной решению геометрических задач алгебраическими методами.

Нам следует отметить, что для всех этих случаев характерно одно: преобразования проводятся над Такими величинами, которым соответствует некий геометрический образ. Это либо длины отрезков, выражающих пройденный путь (задачи на движение книги VI),

либо линейные размеры плоских, объемных фигур, именно: длины, ширины,' высоты (задачи на определение площадей и объемов в книгах I и V), либо стороны, диагонали и т. п. многоугольников {задачи книги IX). Таким образом, и неизвестная и заданные величины одной природы, разница между ними лишь в том, что одни отрезки уже «измерены» (известны), а длину других предстоит определить.

При проведении преобразований должны быть известны законы операций над числами: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Если в арифметике в каждом конкретном случае могли проверить, например, что 2+3=34-2, непосредственным подсчетом, то с введением неизвестной потребовалось, вообще говоря, уверенность в сохранении подобного рода свойств для любых двух пар величин, т. е. 〃+匕=匕+。・ Таким образом, применение тождественных преобразований означает фактическое интуитивное использование общих законов операций. А это уже область алгебры, определенной таким образом Л. Эйлером в 60-х годах XVIII в. во «Введении в алгебру». И хотя исторически точка зрения на предмет алгебры не оставалась постоянной: в середине XIX в. у Серре алгебра еще определялась как теория решения алгебраического уравнения n-й степени с одним неизвестным, а в XX в. —— уже как аксиоматическая алгебра, теория операций всегда являлась важнейшей принадлежностью алгебры.

2・ Китайская «символика»

Хотя мы упомянули о том, что настоящей символики у китайцев не было, остановимся на этом вопросе несколько подробнее. Во-первых, здесь символику заменяла совокупность терминов и специальных выражений, которые в целом создавали характерный для математической литературы язык. Кстати, он составляет значительные трудности при переводе древних текстов (одна из причин неохотного до последнего времени их исследования синологами). При помощи специальных выражений можно было сформулировать алгоритмы, выразить соотношения, описать операции и т. д., но нам на первый взгляд может показаться непонятным, как без символики представляли уравнение и решали его, — ведь для нас уравнение и есть буквенная запись соотношения известных и неизвестных величин. Все это тем более необходимо рассмотреть, что в настоящее время значения многих терминов утрачены и их приходится восстанавливать. Непонятные места помогает прочитывать логика самого математического решения, и нам еще не приходилось встречать бессмысленных утверждений у древних, если это, конечно, не было явной ошибкой или опиской.

Во-вторых, обсуждение символики у древних необходимо потому, что некоторые исследователи все же склонны были признавать ее наличие и на ранних ступенях развития математики. Например, О. Нейгебауер в своих первых работах по истории вавилонской математики полагал, что общие обозначения неизвест-

ных величин при помощи слов《длина», «ширина» и т. п. были символами, вроде наших % и у. Действительно, эти слова выделялись из текста, написанного по-аккадски, тем, что были написаны на шумерском языке. Но эти зачатки символики все же не дают основания считать их полностью символами, так как только подлинные символы допускают проведение операций над ними, вавилонские же задачи всегда решались в числах. Ни сокращенные обозначения, ни знаки-идеограммы, еще не ставшие полностью символами, т. е. знаками, совершенно утратившими свое семантическое значениег не могут составить настоящую символику. Запись, хотя бы и более краткая, не составляет достаточного условия для символики, но является необходимым условием для нее. Символика применяется не только для зашифровки специального текста, не только ради сокращения записи, но способствует более ясному выяснению содержания. Если величина обозначается, например, символом /, то правило формулируется не только короче, но и яснее. Искомая величина в конечном счете выражается в виде формулы, и результат получается в явном виде. Именно в этом и состоит отличие формул от алгоритмов. Хотя формула тоже является программой для вычисления искомой величины и может быть словесной, она отличается от алгоритма тем, что выражает результат явно. В китайских текстах встречаются формулы, главным образом описывающие словесно площади и объемы. Например, в правиле к задаче 8 книги V, где определяется объем параллелепипеда с квадратным основанием, говорится:

«Умножь сторону на себя, умножь на высоту, это и будет объем в чи» [50, с. 474].

Здесь, как в вавилонских текстах, употребляются «универсальные» обозначения: для «стороны квадрата» — $ан, «высоты» —— гао, «объема» ——цзи,——термины, установившиеся в китайской математической литературе. Правило высказано весьма компактно и является фактически описанием формулы Р=〃2九,Где 〃 一 сторона квадрата,九—высота, а V — объем тела. Хотя это фраза, но она воспринимается прежде всего зрительно, как древние китайские стихи, и потому ее компактный вид делает ее почти формулой. Можно было бы привести для сравнения текст древнего алгоритма, например алгоритма Евклида для нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, но мы этого делать не будем.

Каким образом «записывалось уравнение» в древнекитайских текстах?——вопрос, который нас интересует более всего. Ли Янь считал, что понятие уравнения фактически было: для неизвестных употреблялись специальные обозначения, а свободный член назывался «ши», он как бы включал в себя знак равенства. Как нам представ ляется, дело обстояло все же не совсем так. Древнекитайская алгебра была полностью словесная, и для описания «уравнения» существовала специальная терминология. Вначале она не была универсальной, но постепенно становилась все более четкой и единообразной. Рассмотрим ее несколько подробнее, например, в задаче 15 книги VIII «Математики в девяти книгах» (далее будет

ясно, почему именно в ней): «2 снопа урожая 4, 3 снопа урожая 3, 4 снопа урожая В превышают по весу дань: вес 2 [снопов урожая ] Л [превышает дань] на [вес] 1 [снопа урожая]石,вес 3 [снопов урожая] Б на [вес] 1 [снопа урожая] 5, [вес] 4 [снопов урожая] В на [вес] 1 [снопа урожая] А. Спрашивается, каков вес каждого из снопов урожаев Л, В, 3?》[50, с. 505].

Система в наших обозначениях имеет вид

3 43 4勿羽怎1 1 1勿羽怎1 1 1

3 4

3 4

勿羽怎1 1 1

勿羽怎1 1 1

где %,弘 z ——веса соответственно каждого из снопов урожаев Л, Б, В. Как видим, китайский текст весьма компактен, в переводе мы вынуждены были постоянно добавлять слова для связности. Условие описывает систему в целом, а не отдельно, называя каждое уравнение. Кроме того, в отличие от других задач здесь урожаи обозначены литерами (в китайской письменности они представляются циклическими знаками, к которым принято обращаться и в наше время), а не классифицированы как хороший, средний, плохой урожаи, хотя и в таких обозначениях был свой резон. По-китайски эти категории урожая буквально обозначались словами: «верхний» (шан), «средний» (чжун), «нижний» (ся), так что коэффициенты при неизвестных (если обозначить неизвестные соответственно через х, у, z) в матрице системы займут действительно верхнюю, среднюю, нижнюю строки, поскольку таково китайское классическое письмо. Уравнения будут представлены столбцами в порядке справа налево. Приведем текст задачи 1 книги VIII «Математики в десяти книгах», к которому в дальнейшем мы будем не раз обращаться:

«Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу [зерна]. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу [зерна]. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого получили 26 доу [зерна]. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев?

Ответ: из 1 снопа хорошего урожая 9 1/4 доу, из 1 снопа среднего урожая 4 1/4 доу， из 1 снопа плохого урожая 2 3/4 доу» [5 0, с. 498—499].

Китайский текст гораздо компактнее перевода. Например, первая фраза звучит так: цзинь «?: шан хэ санъ бин, чжун хэ эр бмн, ся хэ м бин, ши санъ ши цзю доу [100, с. 221 ], буквально, «имеется: верхний урожай 3 снопа, средний урожай 2 снопа, нижний урожай 1 сноп, ши составляют 39 доу». Таким образом, в условии представлена система

3力+ 2у十么=39,

2力 + Зу + z = 34,х-[-2у— 26,

которую мы записали в нашей символике, обозначая неизвестные 力, у, z. У древнего китайского вычислителя были, с одной стороны, текст, с другой ——счетная доска, на которой он мог выложить палочками заданные в условии числа. В данном случае согласно правилу, сопровождающему задачу, он это делал так:

12 3 6212 3 622 3 1432 3 143СО ох^ 41 QM3СО ох^ 41 QM3

12 3 6

2

12 3 6

2

2 3 14

3

2 3 14

3

СО ох^ 41 QM

3

СО ох^ 41 QM

3

Эта матрица, расширенная, как принято теперь ее называть, т. е. состоящая из коэффициентов и свободных членов, и представляла китайское уравнение на счетной доске. Древний автор описывает составление такой матрицы следующим образом:

«Расположи 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая, 1 сноп плохого урожая, составляющие [их] 39 доу [зерна] с правой стороны. [Расположи] посередине и слева [количества снопов ] урожаев в таком же порядке, как и с правой стороны» [50, с. 499 ]. Толкование Ли Яня слова ши как свободного члена уравнения весьма соблазнительно, в данном случае оно вполне подходит. Однако этот термин встречается лишь в первых шести задачах книги VIII «Математики в девяти книгах», во всех, где речь идет о снопах и зерне. Даже в задаче 15 на ту же самую тему (мы ее процитировали выше) это слово уже не употребляется. Терминология в ней другая: снопы различаются по весу, а не по емкости содержащегося в них зерна, термина ши в тексте этой задачи нет. В остальных задачах вместо ши употребляются другие выражения эквивалентности одной части уравнения другой. Мы уже видели это в задаче 15. Все они описательного характера. Заметим, что знак равенства, которым мы пользуемся, впервые ввел Рекорд в 1557 г., но общеупотребительным он стал еще позже, в XVIII в.

Кроме того, в том же правиле ши употребляемся в обычном^ принятом в китайской математической литературе значении «делимого». Чтобы вычислитель не перепутал эти два ши, специально отмечено в правиле:

«Верхнее [число ] есть делитель, нижнее есть делимое, делимое для [искомого количества ] снопов плохого урожая》 [50, с. 499]. Свободный же член назван «нижним содержимым», «нижним ши» для определенного вида урожая. Таким образом, терминология создавалась главным образом вокруг табличных чисел (см. о ней подробно далее в § 5). Здесь мы отметим только значение «циклических знаков» в китайском математическом тексте, которые мы переведем буквами 4, Б, В. Обычно в древних задачах пользовались знаками десятеричного, а не двенадцатеричного цикла. В трактатах «Десятикнижья» А, Б, В, , , , это люди, уезды, семьи и, как мы видели, сорта урожая. В дальнейшем циклические знаки употреблялись также для обозначения неизвестных в линейных системах, их применял в XIII в. Ян Хуэй. Однако следует отметить, что иероглифы шан^ чжун и ся, с помощью которых в образ-

цовых задачах книги VIII «Математики в девяти книгах» продемонстрировано правило фан-чен, также часто применялись в дальнейшем. Особенно любопытно их использование в задаче 13 средней книги трактата Чжан Цю-цзяня для представления «двухин- дексной» таблицы (таблицы с двумя входами).

Условие задачи Чжан Цю-цзяня:

«Имеется коэффициентдвор платит налог тафтой [в среднем] по 3 пи. Если же учесть [разное] состояние бедности, расположить согласно 9 рангам, то двор от двора отличается на 4 чжана. Имеется: высшего верхнего [ранга] 39 дворов, высшего среднего 24 двора, высшего нижнего 57 дворов; среднего верхнего 31 двор, среднего среднего 78 дворов, среднего нижнего 43 двора; низшего^зерхнего 25 дворов, низшего среднего 76 дворов, низшего нижнего 13 дворов. Спрашивается, сколько должен выдать тафты каждый двор из девяти рангов» [51, с. 42].

Для обозначения строк и столбцов в подлиннике употребляются одинаковые иероглифы: шан («верхний, высший»), чжун («средний»), с兄(«нижний, низший»).

3・ Классы задач и алгоритмы

Развитие математической науки в древности показывает, как постепенно из частных приемов решения той или иной задачи вырастали общие методы. Конечной целью математика было создание правила, состоящего из некоторого числа шагов, которые необходимо проделать, чтобы «сконструировать» искомую величину из заданных. Иными словами, математик должен был дать вычислителю алгоритм, по которому последний мог автоматически, не задумываясь, решить любую задачу указанного типа независимо от ее числовых данных.

Создание алгоритма требовало проведения исследования в нескольких направлениях. Во-первых, нужно было выделить определенный класс задач, для которого бы работал данный алгоритм, или найти каноническую форму задачи. Чтобы научиться сводить другие задачи к уже решенному классу задач, надо было попытаться расширить класс решаемых задач канонического типа насколько возможно. Естественно, что при этом возникали трудности, разрешение которых иногда требовало введения в математику новых объектов. Именно так были изобретены в европейской математике XVI в. мнимые числа, а в древнекитайской математике —отрицательные.

Подтвердим эти общие положения на примере создания одного из самых красивых методов древней математики: матричного метода решения линейных систем

Линейные системы. Метод Гаусса

Метод решения линейных систем был предложен К. Ф. Гауссом в XIX в. и под этим именем широко известен современным математикам. Существует несколько схем решения систем по этому ме-

тоду, одна из которых, в точности совпадающая с древнекитайской, называется «схемой умножения и вычитания».

В настоящее время этот метод Гаусса относят к точным в отличие от итерационных, поскольку решение задачи получается «при помощи конечного числа элементарных арифметических операций. При этом, если исходные данные, определяющие задачу, заданы точно (например, если они целые или рациональные числа, представленные в виде обыкновенных дробей) и вычисления выполняются точно (например, по правилам действий над обыкновенными дробями), то решение тоже получается точное» [68, с. 137].

В эпоху применения электронных машин область решаемых систем, конечно, сколь угодно большая и она не исчерпывается только теми «хорошими» системами, которые рассматривали древние китайцы, имевшие в своем распоряжении примитивный счетный прибор в виде доски со счетными палочками.

Методу решения линейных систем п уравнений с п неизвестными посвящена книга VIII «Правило фан-чэн» «Математики в девяти книгах». Аналогичные задачи в небольшом числе встречаются и в других трактатах «Десятикнижья». Решают линейные системы также математики средневекового Китая. Восемнадцать различных, но однотипных задач из «Математик^ в девяти книгах» подобраны так, чтобы в полной мере показать, как работает метод. Хотя правило приводится всего лишь однажды, только к первой задаче книги, оно сформулировано достаточно общо. Судя по нему и материалу книги VIII, нельзя не прийти к заключению, что метод решения линейных систем был разработан китайскими математиками к началу н. э. в виде общего алгоритма, применимого к любой задаче данного класса.

Чтобы оценить достижение китайцев в этой области и сделать это быстро в обозримых пределах, изложим содержание китайского алгоритма в современной символике.

Заданная в условии произвольная система уравнений приводится к каноническому виду

a11 优 1 +a12c2 + • • • +a1吊=&，a21电十"a22。2 + • • • + ^2й^я62，

。虹勺+ ”2 +・・・+ ”" = Ьп.

Из коэффициентов этой системы а^, Ь§ составляется расширенная матрица, первая строка которой (но китайская, т. е. по- нашему правый столбец) соответствует 1-му уравнению, 2-я строка (предпоследний столбец)——второму и далее аналогично:

/• ■ • a21011 \

/ ^«2 • • • °22al2 I

。做• • • а2па1пЬп • • • % ®

Таблица приводится к треугольному виду при помощи пре- образований, являющихся по своему характеру элементарнымиt оставляющими систему эквивалентной данной. В результате в левом верхнем углу над диагональю образуются нули:

(

0 .. • 0 ^ц\

^пП • • •22"a1" /6“・・・&

Из полученной треугольной таблицы находится решение системы по рекуррентным формулам последовательно от послед- него неизвестного к первому:

1&%" -力，4+1%+1 - "4，4+2以+2 - • • • - 图,%%

①=.一-9

где

Ui = ^flnn (^ == ^1, • • »> 1),

%=落伍",4 = 6” при i = n.

При этом необходимо помнить, что здесь изложена лишь современная интерпретация древнекитайского правила, а вычислитель эпохи «Математики в девяти книгах» имел дело не с нашими буквен- ными уравнениями, а с набором чисел на счетной доске. Учитывая это обстоятельство, мы покажем конкретно, как применялся китайский метод решения линейных систем, насколько он был общим и одновременно какие ограничения содержал, что, собственно, отличало его от метода решения систем при помощи определителейг предложенного Г. Крамером в 1750 г. в его знаменитом «Введении в анализ кривых линий».

Поправки к современной интерпретации алгоритма, нужные для того, чтобы избежать опасной модернизации метода, введут §нас непосредственно в «мастерскую» китайского математика.

5・ Китайская матрица

Первая поправка заключается в том, что пункт 1 алгоритма в действительности не является первой операцией, проводимой вычислителем на счетной доске. Приведение к каноническому виду происходило в виде специального рассуждения, образно говоря, «на ходу». Первым же актом, который совершал вычислитель, было составление расширенной матрицы системы канонического вида, что входит в пункт 2 алгоритма. Ее коэффициенты, а отнюдь не коэффициенты заданной в условии задачи системы изображал он счетными палочками на доске. Приведение^к каноническому виду содержалось в виде подготовительных действий, которые дополнительно разъяснялись в правилах к задачам, но уже после того, как было сделано основное указание о составлении матрицы.

Действительно, все без исключения правила книги VIII, какими бы они ни были, большими или маленькими, с краткими или длинными пояснениями, — все начинаются с фразы: жу фан чэн.

Теперь трудно определить, что точно означал иероглиф чэнч но в современном языке есть слова, в которые этот иероглиф входит и которые могут помочь понять его значение. Например, кэчэнч где кэ ——«урок», означает «учебный план», «учебную сетку». Вероятно, специальная фраза китайского правила буквально обозначала выстраивание заданных чисел по направлениям фан в определенном порядке, так чтобы получалась таблица, сетка чзн. Еще Лю Хуэй в III в. старался пояснить, что такое чэн. В комментарии к заголовку правила фан-чэн он раскрывает смысл этого термина.

«Пусть в каждом столбце коэффициенты. Число вещей определяет чэн: если две вещи, то чэн [состоит] из двух [столбцов], если три вещи, то чэн из трех [столбцов ]; столбцы примыкают друг к другу рядами, поэтому и называется фан-чэн» [100, с. 221 ].

Детали построения таблицы показывают нам общность китайского метода решения систем линейных уравнений, а также трудности, с которыми сталкивался китайский математик из-за отсутствия символики.

У китайского вычислителя на счетной доске все числа становились отвлеченными. Как же тогда узнать, какое из них является коэффициентом при первой, второй и т. д. неизвестной, какое —— свободным членом, тем более что может оказаться не один член с 力，не один член с у, не один свободный член и т. д. Естественно было определить эти числа, привязав их к определенному месту, т. е. указать порядок их расположения. Для этого нам достаточно сообщить букве-коэффициенту индексы:牝户“・ Китайскому вычислителю приходилось поступать иначе. Надо было разместить числа-палочки по соответствующим рядам и колонкам, как это делаем мы с числами матрицы. Поэтому вычислитель должен был сначала выделить класс задач с системами канонического вида, так чтобы был один член с %, один с у, один свободный член в другой части уравнения.

Как и следовало ожидать, в «образцовой» задаче 1 книги VIII, на которой показан алгоритм, задана именно такая система. Кроме нее, в задачах 7 (п=2), 16 (тг=3), 17 (тг=4), 18 (тг=5) также заданы системы в приведенном виде, выполнения пункта 1 алгоритма не требуется. Во всех остальных задачах, прежде чем представить на доске матрицу системы, вычислитель должен произвести преобразование ее к каноническому виду. Какие виды преобразований применяются при этом, мы рассмотрим отдельно в § 6 этой главы. Таким образом, составляется таблица фан-чэн. Легко видеть, какие «индексы» получают в употребляемых здесь терминах ее «коэффициенты», как назвал Лю Хуэй числа прямоугольной матрицы. Так как дано «три вещи», то образуется три столбца 力за, или три направления 炉〃％, и четыре строки: для снопов хорошего урожая (в подлиннике «верхнего»), среднего и плохого (в подлиннике «нижнего») урожаев, последняя строка отводится для чисел иш, которые вы-

ражают меры зерна, эквивалентные этим снопам. Иными словами, Z-м столбцам ставятся в соответствие уравнения и их свободные члены, а j-м строкам ——неизвестные. Например, число ап описывается так: ю хэн шан /а, т. е. верхний урожай в правом стоблце. Число «22 описывается словами: чжун хэн чжун хз, т. е. средний урожай в среднем столбце. Число а33 описывается: цзя хэн ся 力％ т. е. нижний урожай в левом столбце.

В следующих задачах, не выходящих за пределы 九=3, эта терминология работает без изменения, с поправкой для 九=2 (опускаются средний столбец и средняя строка). Что касается всех остальных задач, то в подлиннике нет подробного текста правил, и потому мы не знаем, какая терминология употреблялась в «Математике в девяти книгах» для матриц более высокого порядка. Математик XIII в. Ян Хуэй, разбирая методы древних, употреблял общую терминологию для чисел таблицы. Столбцы у него обозначаются циклическими знаками: столбец А (®з% хэн)^ столбец Б (и хэн) и т. д., коэффициент при х объявляется первым, головным (шоу ба〃) [150, с. 116]. Однако последний термин применялся гораздо ранее, еще Лю Хуэем в его комментариях к задачам книги VIII. У Лю также уже существует общая терминология: столбцы он нумерует: 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, а Ь《называет коэффициентами (люи) [100, с. 221—222].

Отсюда можно заключить, что метод построения таблицы в общем виде был усвоен во всяком случае не позднее чем во времена Лю Хуэя и, наверное, даже гораздо ранее. Метод был применим для сколь угодно большого п. Не случайно в первой задаче книги VIII «Математики в девяти книгах» взято не два, а три уравнения, хотя около половины систем книги VIII содержали два уравнения. Составители трактата выбрали некий «средний» пример, для наглядности не очень громоздкий и для общности не слишком простой. Заметим, что всякий раз при вводе новых условий (отрицательных чисел, однородного уравнения и т. п.) используется система при 〃 =3 (ср. задачи 3, 8). Последние задачи начиная с 12-й уже имеют дело с системами только из трех, четырех, пяти уравнений. Таким образом, задачи расположены так, что после установления алгоритма для линейных систем канонического типа, затем для различных произвольных систем и т. д. предлагают применить правила и к системам более высокого порядка.

Мы видим, что отсутствие символики компенсировалось специальным техническим языком в применении к некоторой достаточно общей схеме в стандартном примере. Подчеркнем еще раз: достиг жение общности метода облегчалось тем, что вычислитель все время имел дело с отвлеченными числами на счетной доске независимо от терминологии задач. Общее правило существовало, но для его описания в общем виде не хватало средств. Разумеется, рассматривались только совместные системы; рассматривались и неопределенные системы, такова задача 13 (она, правда, единственная) книги VIII «Математики в девяти книгах», содержащая систему из пяти уравнений с шестью неизвестными (см. ниже § 9).

Решение системы

Другая существенная поправка к современной интерпретации правила возникает при анализе пунктов 3 и 4 алгоритма. Здесь мы обнаруживаем специфическую ограниченность табличного метода решения систем линейных уравнений, что объясняет нам, почему китайские математики естественно не перешли к решению задач с помощью определителей, ведь сделал же такой переход от метода фан-чэн японский математик Секи Кова (1642—1708) в своей работе 1683 г.

Поправка заключается в том, что элементарные преобразования, указанные в пункте 3, в расширенной матрице весьма условны уже по самой ее природе. Преобразования производятся только над столбцами (т. е. уравнениями), так что равноправия строк и столбцов не было и не могло быть. Присутствие свободных членов не позволяло перейти к понятию определителя, хотя попытки сделать равноправными строки и столбцы мы обнаруживаем в трактате Чжан Цю-цзяня. Вообще, современная теория определителей была разработана лишь в середине прошлого столетия в трудах Бине, Коши, Якоби, Кэли, Сильвестра, Вронского. Она стала интенсивно разрабатываться в связи с развитием общей теории систем дифференциальных уравнений, играющих большую роль в современном естествознании. В свою очередь теория определителей стимулировала работу комбинаториков и подготовила почву для развития во 2-й половине XJX в. алгебраической теории форм и их инвариантов (Сильвестр, Кэли, Коши, Якоби, Гаусс). Символическое матричное исчисление, вполне современное, создал Кэли (1858), хотя отдельные теоремы содержались еще у Бине, Коши, Якоби. Китайские математики решали системы линейных уравнений при помощи хорошего алгоритма, и этим их запросы были вполне удовлетворены. Уместно напомнить, что даже Лейбниц, с именем которого обычно связывают в истории науки введение определителей, не стал развивать их теории, хотя и сознавал важность своего открытия.

Действия непременно над столбцами (но не над строками) расширенной китайской матрицы подчеркивают неразрывную связь матрицы с системой. Операции со столбцами лучше всего продемонстрировать на той же задаче 1 книги VIII «Математики в девяти книгах».

Прямоугольная матрица заданной системы имеет вид

\26 34 39/.

Правый столбец (т. е. первое уравнение) остается неизменным, и согласно правилу преобразуются средний и левый (т. е. второе и третье уравнения) /

12 3 6< 212 3 6< 20 5 1420 5 1422 1- QM32 1- QM3о 4 839о 4 8390 5 1420 5 1423 2 1933 2 1930036.990036.990 5 1420 5 1423213932139

12 3 6< 2

12 3 6< 2

0 5 14

2

0 5 14

2

2 1- QM

3

2 1- QM

3

о 4 839

о 4 839

0 5 14

2

0 5 14

2

3 2 19

3

3 2 19

3

0036.99

0036.99

0 5 14

2

0 5 14

2

32139

32139

Особенно тесная связь с уравнениями обнаруживается при выполнении пункта 4 алгоритма, когда находится решение системы. Как мы уже видели, в рекуррентные формулы входят найденные значения неизвестных в составе 〃「Собственно, эти формулы означают нахождение неизвестных из ступенчатой системы уравнений, которая соответствует треугольной матрице с нулями, при этом происходит «восхождением от последнего уравнения к первому:

^«Л = В“》

^я-1, т“т + ^я-1, “力％ = 5«-i，

“11% + 〃12“2 + •・• + °1〃％= "•

Единственно, что отличает эти формулы от непосредственно определения х. из ступенчатой системы,——это выделение общего «делителя» @制.Так поступают, по-видимому, даже тогда, когда Ьп делится на апп без остатка. Быть может, в этом сказалась китайская традиция получать на доске отдельно целочисленные делимое и делитель и затем «объединять» их в одно число, т. е. находить их частное, которое, вообще говоря, может быть дробным. Так или иначе, но в терминологии при формулировке действий с таблицей имеет место следующая двойственность.

С одной стороны, при вычислении и{ его делитель, т. е. 〃“, называется «количеством снопов какого-то урожая», т. е. в переводе на наш язык коэффициентом при неизвестном х. в г-м уравнении. Между тем а“ можно было бы назвать числом, стоящим в г-м столбце и в Х-й строке, пользуясь термином для табличного числа, который употреблялся в другом месте правила. С другой стороны, при составлении первого слагаемого ^апп в числителе %力 b. называется матричным термином: «составляющее [количество ]в Х-м столбце».

Кроме того, х{ «составляются» из чисел, являющихся коэффициентами матрицы, которую вычислитель видит непосредственно перед собой на счетной доске, названия же этих чисел содержатся в тексте правила.

Итак, во время преобразования матрицы связь ее с уравнениями все же ослабевает. Но таблица с нулями мобилизует память вычислителя: он должен теперь «вспомнить», что перед ним система уравнений, из которой удобно найти значения неизвестных. Дробные значения корней, вынуждают математика составить рекуррентные формулы общего вида по традиционной форме выделения общего делителя. Отсюда двойственная терминология табличных чисел.

Усовершенствование метода

Особенностью метода фан-чэн является неподвижность столбцов. Порядок действий строго выдержан,国 столбцы не переставляются. Действительно, в приведенном выше примере проще было бы оставить в покое левый столбец, а преобразовывать средний и правый:

0 4 8 90 4 8 93 о- л± 5 003 о- л± 5 000 0 2 31 30 15 812 3 60 0 2 31 30 15 812 3 622

0 4 8 9

0 4 8 9

3 о- л± 5 00

3 о- л± 5 00

0 0 2 3

1 3

0 15 8

12 3 6

0 0 2 3

1 3

0 15 8

12 3 6

2

2

Но в том-то и заключалась специфическая особенность китайского алгоритма, что вычислитель не должен был обращать внимания на частный вид системы, а, владея универсальным методом, решать любую задачу такого типа единообразно. Обратимся снова к задаче 1. Правый столбец первого уравнения остается неизменным с самого начала. Следующий, второй столбец преобразуется так: его числа умножаются на。口, и из них вычитаются числа правого столбца до тех пор, пока, как сказано в правиле, «все не исчерпается», т. е. не получится нуль вместо «21. Таким образом, даже при преобразовании очередного столбца уже «готовый» столбец (столбец, принадлежащий треугольной матрице) не меняется, его не умножают на какое-то число, чтобы потом вычесть из преобразуемого столбца, как это сделали бы мы теперь. Такое многократное вычитание нас не должно удивлять, если мы опять- таки учтем характер китайской вычислительной техники: в ней более удобно раз за разом убавлять нужное число на соответствующее, постепенно изменяя сочетание счетных палочек, изображающих число.

Впрочем, в дальнейшем Лю Хуэй и Сунь-цзы усовершенствовали этот способ, быть может, потому, что в III—IV вв. н. э. бумага уже получила распространение и, вероятно, вычисления стали производиться на бумаге. Оба автора в своих описаниях правила отказались от многократного вычитания и нарушили тем самым «неприкосновенность» столбцов после преобразований. Лю Хуэй показал это на задаче 7 книги VIII, а Сунь-цзы —— на задаче 10, взятой из той же книги «Математики в девяти книгах». Лю Хуэй сделал это непосредственно в комментарии к задаче, Сунь-цзы перенес задачу в свое сочинение, упростив при этом условие задачи. В качестве наиболее яркого примера приведем трактовку правила, которую дает Сунь-цзы. Чтобы не загромождать решение дробными значениями, Сунь-цзы «подправляет» свободные члены, заменив 50 на 48, все внимание уделяя самому методу:

«Имеются два человека А и Б, они получили цяни, количество у каждого неизвестно. Можно дополнить до 48, если А получит среднюю половину цяней Б; можно дополнить также до 48, если Б получит большую половину цяней А. Спрашивается, сколько цяней получил каждый из двух первоначально?

Ответ: / получил 36 цяней, Б ——24 цяня» [49, с. 37, задача 28].

«Средняя половина» означает 1/2, «большая половина» — 2/3.

Следовательно, задана система

0 + 呉=48,

■!十少= 48.,

«В Математике в девяти книгах» нет решения этой задачи, а в комментариях Лю Хуэя указано лишь преобразование заданной системы, к каноническому виду. У Сунь-цзы же мы находим весьма подробное описание, настолько подробное, что по нему стало возможно установить детали, весьма любопытные.

Правило непосредственно начинается с составления матрицы системы:

2

31

144 96/.

Мы не будем цитировать это место. Далее идут преобразования матрицы:

«Числа левой строки умножь на 2 из правой строки. В левой строке: вверху получится 4 для Л, в середине получится 6 для Б, внизу получится 288 цяней. [Числа правой строки] умножь на 2 из левой строки. В правой строке: вверху получится 4 для Л, в середине получится 2 для Б, внизу получится 192 цяня. [Числа] правой строки вычитай из [чисел] левой строки» [49, с. 37]. Правило настолько ясно, что комментарии к нему не нужны. Очевидно, что в данном случае излишни умножения чисел таблицы. Нуль можно было получить, непосредственно вычитая числа правого столбца из соответствующих чисел левого столбца. Термин для многократного вычитания «образуй остатки» (чжи чу) уже не нужен, но потребовался термин для обозначения отсутствующего коэффициента: «пустота» (左дм). При многократном вычитании просто говорили: «вычитай до тех пор, пока ничего не останется».,

* Заметим, что значения хи у Сунь-цзы сделал целыми, и потому он находит их просто из уравнений, а не по рекуррентным формулам. Здесь он отходит от общего алгоритма:

«Слева вверху пусто, в середине остаток 4 для 万,возьми [его] в качестве делителя; внизу остаток 96 цяней, возьми [его] в качестве делимого. Делитель наверху, делимое внизу, получишь 24 цяня, это цяни Б. Вычти [это] из 96, [стоящего] внизу справа, остаток 72 является делимым. Делителем является 2 для Л, [стоящее] вверху справа. Делитель вверху, делимое внизу, получишь 36, это цяни Л>.

Это место любопытно тем, что здесь единственный раз подробно сообщается о нахождении х и у.

Из таблицы

\96 96/

сразу видно, что 沙=96/4=24. Подставляя значения у в первое уравнение, получают, вероятно, таблицу

\072 人

откуда 力=72/2=36. Об этом и говорит последняя фраза правила, подчеркивая, что (внимание, вычислитель!) в отличие от обычного «делимое внизу, делитель наверху».

У Лю Хуэя в задаче 7 таблица заданной системы

5 2 0л±2 5 85 2 0л±2 5 8

5 2 0

л±

2 5 8

5 2 0

л±

2 5 8

претерпевает следующие изменения:

2 5 82 5 810420104200 5 012 40 5 012 4

2 5 8

2 5 8

10420

10420

0 5 0

12 4

0 5 0

12 4

Особенно заметна формализация в решении задач у Чжана Цю-цзяня. Приводится три задачи (12——14) в последней книге трактата на системы линейных уравнений, которые достаточно привычны читателю «Десятикнижья» [51, с. 50—52]. Так, задача 12 тождественна задаче 1 книги VIII «Математики в девяти книгах», изменены лишь свободные члены, чтобы решение системы был» в целых числах. Задача 13, аналогичная 26 средней книги трактата Сунь-цзы, также отличается только свободными членами^ Но у Сунь-цзы такая задача решена не матричным методом. Задача 14 Чжана Цю-цзяня сходна как с задачей 10 книги VIII «Математики в девяти книгах», так и с задачей 28 последней книги трактата Сунь-цзы.

Правило Чжан Цю-цзянь не формулирует. В вычислениях же, не принадлежащих, вообще говоря, автору, несколько иная последовательность, чем та, которая определена правилом фан-чэн из «Математики в девяти книгах». Покажем это на задаче 12 из по- ледней книги трактата Чжан Цю-цзяня, в которой речь идет о парче высшего, среднего и низшего качества и о ее эквиваленте — тафте. Не приводя условия задачи [51, с. 50], укажем, что для отыскания искомых величин /, у, z следует решить систему

3/ + 2^/ + z = 45,2/ + 3^/ + z = 43,% + 2^/ 3z = 35.

В тексте лишь указано на применение матричного метода: «Способ: составь таблицу», т. е.

123

232

311

354345

3 6 905 лх3 6 905 лх6 9 3 926 9 3 920^0 ох^ Л1 540^0 ох^ Л1 540 4 8 060 4 8 06^v Си Л1 QU3^v Си Л1 QU33 2 1543 2 154о о о о2 4 03о о о о2 4 030 5 1930 5 1933 2 1543 2 1540036440036443 2 154Ku 1 Q^33 2 154Ku 1 Q^3Вероятно, далее надо считать так

3 6 905 лх

3 6 905 лх

6 9 3 9

2

6 9 3 9

2

0^0 ох^ Л1 5

4

0^0 ох^ Л1 5

4

0 4 8 0

6

0 4 8 0

6

^v Си Л1 QU

3

^v Си Л1 QU

3

3 2 15

4

3 2 15

4

о о о о

2 4 0

3

о о о о

2 4 0

3

0 5 19

3

0 5 19

3

3 2 15

4

3 2 15

4

003644

003644

3 2 15

4

Ku 1 Q^

3

3 2 15

4

Ku 1 Q^

3

Здесь сначала получают нули только в верхней строке. Для этого преобразуются верхние числа столбца, стоящего рядом с самым правым, затем следующего и т. д. Далее снова возвращаются к третьему слева столбцу от крайнего правого, чтобы получить нули во второй сверху строке, и так до тех пор, пока не получится треугольная матрица с нулями.

Правило, предложенное в трактате Чжан Цю-цзяня, свидетельствует о постепенном отмирании первоначально тесной связи матрицы с уравнениями. Однако полностью равноправными строки и столбцы матрицы сделать было невозможно, поскольку в нее входят свободные члены уравнений. Они связывают свободу действий над числами строк и столбцов независимо от их расположения. Заметим, что свободные члены уравнений в задачах «Десятикнижья» всегда ставились внизу последними. Впоследствии Цинь Цзю-шао в своих «Девяти книгах по математике» поступал иначе.

Таким образом, получается своеобразный круг в развитии метода. В частных приемах решения системы, конечно, не было строгой последовательности действий с уравнениями, как мы далее увидим. Но при разработке общего метода отказались от всех частностей, установив общий порядок действий. На первом этапе это привело, как мы видели, к неподвижности столбцов и запрету производить какие-либо действия над уже преобразованными столбцами. Но далее, совершенствуя способ, снова фактически прибегли к умножению уравнений, освободив столбцы от абсолютной неподвижности.

Неопределенная система

Рассмотрим задачу 13 книги VIII «Математики в девяти книгах», сводящуюся к решению неопределенной системы линейных уравнений. Хотя в нашем распоряжении всего лишь одна з адача такого рода, она показывает, что случай, когда число уравнений меньше числа неизвестных, не оставался без внимания древних математиков.

В условии задачи пять уравнений с шестью неизвестными заданы следующим образом:

«У пяти семей имеется общий колодец. Чтобы достать [до Поверхности воды], 2 веревкам [семьи] А недостает 1 веревки [семьи] Б, 3 веревкам [семьи] Б недостает 1 веревки [семьи] В, 4 веревкам [семьи] В недостает 1 веревки [семьи] Г, 5 веревкам [семьи] Г недостает 1 веревки [семьи] Д, 6 веревкам [семьи] Д недостает 1 веревки [семьи] А. Спрашивается, какова глубина колодца и какова длина каждого куска веревки?» [50, с. 504].

Если обозначить через 力，沙，z, 〃， и веревки каждой семьи А, Е, В, Г, Д, а через 〃 一 общую длину этих кусков, то система уравнений в современной записи

бубудодоу Z 〃 и/+ + + ++.力 4LZUи2 3 4 5 6у Z 〃 и/+ + + ++.力 4LZUи2 3 4 5 6с симметричной матрицейс симметричной матрицей2 1 о о о、а0 3 10 0 а0 0 4 10 ао о о 5 1 а1 о о о2 1 о о о、а0 3 10 0 а0 0 4 10 ао о о 5 1 а1 о о о

бу

бу

до

до

у Z 〃 и/+ + + ++.力 4LZUи2 3 4 5 6

у Z 〃 и/+ + + ++.力 4LZUи2 3 4 5 6

с симметричной матрицей

с симметричной матрицей

2 1 о о о、а0 3 10 0 а

0 0 4 10 ао о о 5 1 а

1 о о о

2 1 о о о、а0 3 10 0 а

0 0 4 10 ао о о 5 1 а

1 о о о

Если поступать согласно методу фан-чэн^ на что указано в правиле к задаче, то преобразования приведут матрицу к виду (мы опускаем промежуточные вычисления)

0 0 0 5 1 ао о о о 1 а0 0 0 5 1 ао о о о 1 а2 10 0 0 а 0 3 10 0 а0 0 4 10 а2 10 0 0 а 0 3 10 0 а0 0 4 10 а

0 0 0 5 1 ао о о о 1 а

0 0 0 5 1 ао о о о 1 а

2 10 0 0 а 0 3 10 0 а

0 0 4 10 а

2 10 0 0 а 0 3 10 0 а

0 0 4 10 а

Отсюда

76

тогда

_ 1 721a— 76а _ 129й = 7215=721 й

и т. д. Однако в тексте мы не находим этих общих формул решения, В ответе же приведено лишь минимальное целочисленное решение, которое получается, если положить а=721:

ж=265, у=191, z=148, 〃=129, 〃=76・

Действительно: «Ответ: глубина колодца 7 чжанов 2 чи 1 цунь, длина веревки [семьи] Л 2 чжана 6 чи 5 цуней, длина веревки

[семьи] Б 1 чжан 9 чи 1 цунь, длина веревки [семьи] Б 1 чжан 4 чи 8 цуней, длина веревки [семьи] Г 1 чжан 2 чи 9 цуней, длина веревки [семьи] Д' 7 чи 6 цуней» [50, с. 504].

Отрицательные числа. Приведение уравнений及 каноническому виду

Важнейшим событием в истории древнекитайской математики является открытие отрицательных чисел. Отрицательные числа обнаружены у Диофанта (III в. н. э.), их знали индийцы (Брахмагупта, VII в.); ими пользовались арабские ученые (Абу-л-Вафа, X в.), но впервые они появились в Китае, именно в связи с решением линейных систем по единообразному матричному методу [4, с. 53]. Дело в том, что при преобразовании матрицы системы к треугольному виду может представиться случай, когда из «ничего» (т. е. из нуля) надо вычесть некоторое количество или из меньшего числа большее. Чтобы довести решение до конца и получить положительное решение, пришлось ввести в действие новые математические объекты — отрицательные числа. Именно так произошло при решении задачи 3 книги VIII «Математики в девяти книгах», в которой задана система

2% =吁一:弘 3y=l—z,,

4г = 1 —

е. матрица

4а ^^4 14а ^^4 12 10 10 3 112 10 10 3 11

4а ^^4 1

4а ^^4 1

2 10 1

0 3 11

2 10 1

0 3 11

Вот условие этой задачи:

«2 снопам хорошего урожая, 3 снопам среднего урожая и 4 снопам плохого урожая не хватает до 1 доу соответственно по 1 снопу среднего урожая, плохого урожая, хорошего урожая. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев?» [50, с. 500].

Следует преобразовать левый столбец: умножаем его числа на 2 и вычитаем из полученных произведений числа правого крайнего столбца:

2 0 8 22 0 8 2^м 00 ЛЧА 41^м 00 ЛЧА 412 10 12 10 10 18 10 18 1^^ ОО ЛА ЛА^^ ОО ЛА ЛА2 1 о 12 1 о 1д.т.ид.т.и

2 0 8 2

2 0 8 2

^м 00 ЛЧА 41

^м 00 ЛЧА 41

2 10 1

2 10 1

0 18 1

0 18 1

^^ ОО ЛА ЛА

^^ ОО ЛА ЛА

2 1 о 1

2 1 о 1

д.т.и

д.т.и

13 Э. И. Березкина193

Появилось отрицательное число. а32 =——1. Далее числа левого столбца вновь умножают на 3 и к полученным произведениям прибавляют числа среднего столбца:

О02\/ 002\

-33/0311

241ОI 251О

311/,\ 411/.

Отсюда

4

_ 1 25 . 1 — 4 . 1 _ 7

^ =羽.3=伸，

_ 1 1-3.25 — 0-3.4 + 1.1.4 — 1.1..25_9

力=穿.2Тз= 25 *

Таким образом, здесь производятся следующие операции с отрицательными числами:

О—1 =—1, (—1)・3=—3, —3+3=0.

Для этих новых чисел здесь же, в тексте задачи 3, вводятся правила действий. Они сформулированы так, что их можно передать в алгебраической символике следующим образом:

(土а) —(土Ь)= ± (а —Ь),(±а) —( + &)= ± @ + Ь),0 — (土 b)=干 ь.

Это правило для вычитания. Далее определено сложение:

， (土a) + (干 b)= 土 仅一S,(±^) + (±Ь)= 土 仅 + b)，0+ ( 土 b)=±b.

Само правило гласит:

«Правило „чжен-фум: если одинакового названия, то вычитается, если разного названия, то прибавляется; если положительное без пары, то [становится] отрицательным, если отрицательное без пары, то [становится] положительным. Если разного названия, то вычитается, если одинакового названия, то прибавляется, если положительное без пары, то [становится] положительным, если отрицательное без пары, то [становится] отрицательным» [50, с. 500].

Напомним читателю, что рождение отрицательных чисел в данном случае произошло на счетной доске, где производились вычисления. Числа представлялись счетными палочками. Отрицательные числа, как числа другой природы с определенными над ними операциями, обозначались отличным образом от положительных чисел. Если положительные числа представлялись палочками красного цвета, как показывает Лю Хуэй, то отрицательные —— палочками черного цвета, если первые были представлены палоч-

ками с треугольным сечением, то вторые — с квадратным. В книгах эпохи Сун числа изображались двумя цветами, также соответственно красным и черным; иногда перечеркивалась косой чертой последняя цифра отрицательного числа, как это делал Ли Е (XIII в.). Положительные коэффициенты обозначались иероглифом чжен, т. е. правильный, справедливый, отрицательные — иероглифом фу, т. е. ноша, долг, налог, повинность, горевать. Этим и объясняется название 《правила чжен-фу».

Отрицательные числа были хорошо освоены древнекитайскими математиками, а в книге VIII они последовательно вводятся в обращение. В следующих задачах 4—6 отрицательные коэффициенты появляются в канонических таблицах. Системы уравнений этих задач соответственно имеют вид

5 力-11 = 7% 6 力—18 = 10?/, 36 + 6 = 10川

70——25 = 5у, 15^ - 5 = 5力, 5^+1=2%.

Китайские матрицы этих систем такие:

(一：—Г) (W -io"j (У -1о"| \ 25 11/, \ 5 18/, 1 —6/.

В частности, последняя матрица (задачи 6) описана так: «Правило: составь таблицу фан-чэн. Установи, что 3 снопа хорошего урожая положительны, 10 снопов плохого урожая отрицательны, прибавка в 6 доу отрицательна. Еще установи, что 2 снопа хорошего урожая отрицательны, 5 снопов плохого урожая положительны, прибавка в 1 доу отрицательна. Вычисляй по способу чжен-фу» [50, с. 502]. Истолкование отрицательных чисел мы находим в задаче 8 книги VIII:

«Продали 2 буйволов, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйволов, 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8 свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья?» [50, с. 502].

По поводу последнего уравнения в тексте имеется такое описание его коэффициентов после приведения уравнения к каноническому виду:

«Еще установи, что 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен» [50, с. 502].

Таким образом, отрицательные числа получили толкование долга, недостачи, нехватки в отличие от положительных, свидетельствующих о достатке, избытке, доходе и т. д.

В остальных задачах при решении линейных систем уравнений довольно часто и свободно оперируют с отрицательными числами. Не приводя задач, мы укажем лишь, что в задачах 9, 12—16 нельзя обойтись без отрицательных чисел и знания законов их вычитания, сложения и умножения. В задаче же 6 должно было про-

изводиться и деление отрицательных чисел. Однако отрицательных корней уравнений в древнем Китае не употребляли.

В заключение отметим, что всякий раз отрицательные числа, впрочем как впоследствии и мнимые, появлялись формально . В Китае, как мы выше видели, — при распространении алгоритма решения линейных систем матричным методом на весь класс задач, в Греции — у Диофанта в связи с решением классов уравнений [33, 65], в Индии — для того, чтобы единообразно рассматривать квадратные уравнения, у Абу-л-Вафы (X в.)— при обобщении способа умножения [53]. Али Кушчи (XV в.) называл их «ложными» [38, т. I, с. 218, 338]. В Европе первым подошел к идее отрицательного числа в XIII в, Леонардо Пизанский, в явном виде они были у Н. Шюке (XV в.), и в середине XVI в. их употреблял М. Штифель [54].

Второй матричный метод.Правило двух ложных положений

В книге VII «Математики в девяти книгах» содержатся две группы задач, 1——8 и 9——20, объединенных под одним заголовком «Избыток-недостаток» (〃从 бу цзу).

В первой группе задач речь идет о совместной покупке, их условия могут быть выражены с помощью одного частного вида системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть а】，〃？— количества монет, которые вносят покупатели при первой и второй попытке сообща купить вещь. Стоимость этой вещи обозначим через у, а через х обозначим количество людей. При первой попытке получается некоторый «избыток» монет Ь^, при второй ——«недостаток» 匕2・ Таким образом, получается система вида

02 /一1/ =b2，

для решения которой предложен табличный метод «избыток- недостаток». Рекомендуется составить таблицу

仅1 аЛ

и из нее получить искомые величины.

Правило гласит: 1

«Избыток-недостаток. Правило: расположи избыток, недостаток вместе с нормами, которые вносятся при покупке вещи сообща:

избыток и недостаток, каждый из них, помести под нормами. Перемножь с ними нормы, которые вносятся, крест-накрест, сложи, это ши. Сложи избыток и недостаток, это фа. Если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю. Сопоставь и расположи нормы, которые вносятся, из большей вычти меньшую, на этот остаток раздели ши и фа. Ши дает стоимость вещи, фа — количество людей» [50, с. -491—492].

Это правило изложено в трех вариантах, поскольку рассмотрены также случаи, когда 旬，& взяты так, что “ одинаковых знаков (правило называется «оба избытка, оба недостатка»), и когда взято так, что &2—0 (правило называется «избыток-равновесие», «недостаток-равновесие»). К первому варианту относятся задачи 1——4, ко второму ——задачи 5——6, к третьему ——задачи 7——8.

Здесь не пользуются отрицательными числами, и поэтому можно полагать, что этот табличный метод более раннего происхождения, чем матричный метод решения линейных систем произвольного вида.

Варианты правила «избыток-недостаток» сформулированы вся- киг раз дважды, кроме последнего, когда система упрощается:

〃2% —= 0^

и решение очевидно. Во^второй формулировке правило представляет собой, по существу, решение заданной системы при помощи исключения неизвестной и приведение системы к одному уравнению (см. ниже § 11).

Следует отметить исключительную четкость в построении этой группы задач. Текст их лаконичен, общие правила сформулированы в абстрактном виде. Для примера приведем условие первой, «образцовой» задачи книги VII «Математики в девяти книгах».

«Сообща покупают вещь. Если [каждый] человек внесет по 8, то избыток [равен] 3. Если [каждый] человек внесет по 7, то недостаток [равен] 4. Спрашивается, [каковы] количество людей и стоимость вещи? Ответ: 7 человек, стоимость вещи — 53» [50, с. 491].

Вторая группа самых разных арифметических задач (задачи 9——20) этой же книги VII решена с помощью метода двух ложных положений, который носил такое же название, как и первый.

Пусть по условию задачи

y=f (第)=а%+Ь=0・

Корень заданного уравнения xQ определяется с помощью правила двух ложных положений следующим образом:

если x = xv Tо д1 =a力1 + b,если 力=。2， то у2 = а®2 ~Ь' ^*

Составляется таблица

из которой определяется искомая величина

一力仅2 一%2力

Это формула линейной интерполяции, точная только в применении к уравнению первой степени. Действительно, отсюда % =——Ыа.

Правило двух ложных положений (Regula duorum falsorum positionum) было заимствовано европейцами у арабов, называвших его «правилом двух ошибок» (ал-Хатайм); в Китае, где оно появилось раньше, оно называлось методом избытка-недостатка , поскольку в китайских задачах всегда берется 力1 < %()< %2,「“© / (%о)=О и 勿，z/2 имеют разные знаки, т. е. являются «недостатком» и «избытком». Более того, задачи 1—8 первой группы могут быть решены методом двух ложных положений. В этих задачах у/х=а и может определяться по формуле аналогично:

旬b2 一"2bl

по данным в условии 仰，仇=旬力一沙；％, b^a^x—у. Искомые /, можно найти, если учесть еще, например, Ъг — а^х——弘 О связи одной группы задач с другой авторы «Математики в девяти книгах» хорошо знали. Об этом говорят термины «делимое» (ши) и «делитель» (炉〃)в правиле «избыток-недостаток», сформулированном для первой группы задач [50, с. 560]. Эти термины послужили основой для гипотезы М. Я. Выгодского о происхождении правила двух ложных положений [29]. Дело обстоит не так просто, как кажется на первый взгляд: правило двух ложных положений не описано подробно столь общим образом, как табличный метод «избыток-недостаток». Без всяких пояснений в тексте книги VII за задачами первой группы следуют задачи 9—20, каждая из которых имеет описание своего конкретного решения. Однако все задачи 9—20 решаются по правилу двух ложных положений. Самым наглядным примером служит задача 10, решение которой можно было получить, не применяя правила, непосредственным подсчетом.

«Имеется стена высотою 9 чи. Тыква растет на верху стены, стебель за день вырастает на 7 цуней. Кабачок растет внизу, у стены, стебель за день вырастает на 1 чи. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и какова длина каждого стебля?» [50, с. 493—— 494].

Пусть х ——искомое число дней, тогда получается совсем простое уравнение

(10+7)%=90.

В предыдущей задаче 9, первой из этой группы задач на данное правило, х в точности есть среднее арифметическое между 力 1 и 力2・ По-видимому, эта задача «установочная». Следующая за ней, как видели, совсем простая задача, на ней специально демонстрируется правило. Вообще, в задачах 9, 12, 13, 17, а также 11—18 рассматривается / (%)=с или Д (力)=% (%) и 厶(力)一 линейные функции. Задачи 15, 19, 20 в нашей символике более сложные, но с помощью правила двух ложных положений решаются просто. Таким образом, здесь, как и в других книгах «Математики в девяти книгах», соблюдается принцип расположения задач в порядке усложнения.

Правило двух ложных положений рассмотрено даже в том частном случае, который хорошо знаком нашим школьникам по задачам на покупку сукна, чая и т. д. двух сортов, когда предположения делаются либо в пользу первого сорта, либо в пользу второго. Это задача 16:

«Имеется куб из яшмы со стороной в 1 цунь, весом в 7 ланов и куб из камня со стороной в 1 цунь, весом в 6 ланов. Имеется камень-куб со стороной в 3 цуня, внутри него находится яшма, общий вес 11 цзиней. Спрашивается: каков вес яшмы и каков вес камня?» [50, с. 496].

И правило: «Предположим, что весь [куб] из яшмы, [тогда] превышение составляет 13 ланов; предположим, что весь [куб] из камня, [тогда] недостаток — 14 ланов. Недостаток есть [объем] яшмы, превышение есть [объем] камня. Умножь на это вес каждого цуня, получишь веса объемов яшмы и камня» [50, с. 496].

Среди всех этих разнообразных задач для нас самой интересной (далее мы сравним ее с другой) является задача 14, в которой задана система

5力 + у = 3,力 + 5у = 2.

«Объем 5 больших посудин и 1 малой посудины равен 3 ху. Объем 1 большой посудины и 5 малых посудин равен 2 ху. Спрашивается, каков объем большой и малой посудин в отдельности?» [50, с. 495].

По способу, предложенному в книге, оба уравнения сводятся к одному:

/+5 (3—5%)=2,

и полагается либо /]=0,5, либо 力2=°，55, тогда соответственно либо %=0,5, либо ^2=0,25. Получаем избыток 行=1 и недостаток 纟2=°，2・ Здесь еще нет понятия положительного или отрицательного числа. Знак величины содержится в самом термине. По китайскому правилу двух ложных положений надо составить таблицу в виде

которая для рассматриваемой задачи 14 имеет вид

/55 (2/55 (2

/55 (2

/55 (2

(принимая во внимание, что 1 ху = 10 Ноу = 100 шэнам). Отсюда

J55 . 10 + 50.2650137

°=―ПТ^—=诃 шэнов =^ху, У =廟吗.

Здесь использован тот вариант правила, который называется «избыток-недостаток» (см. с. 196). Правило двух ложных положений в древней и средневековой математике имело огромное значение, как универсальный прием, решающий широкий класс задач.

〃.О происхождении матричного метода.Частные приемы

Что касается происхождения матричного метода, то мы можем только строить догадки, почему в древнем Китае тривиальную идею исключения неизвестных, осуществляемую всеми древними народами при решении простых систем, превратили в регулярный процесс. Нечто подобное впоследствии проделал Леонардо Пизанский (XIII в.) в отношении некоторого класса линейных систем.

По-видимому? созданию регулярного правила способствовала ъ какой-то степени счетная доска: китайская матрица, как мы видели, непосредственно с ней связана.

Можно предположить, что регулярность вычислительного процесса удалось подметить уже при решении небольших систем, наподобие joft, к которой сводятся задачи на «избыток-недостаток»:”

"1/ У ~" b1，у — а2х = % ：

Один метод решения^таких задач был табличным, другой же сводился, по существу, к решению этой системы при помощи исключения одной неизвестной и сведения ее к одному уравнению. Складывая оба уравнения почленно, получали^сначала значение %, а затем 沙：

力=g + ?一, у = a^х —b1 =a2力 + b2.

Эти формулы в книге VII «Математики в девяти нигах» описаны так:

«Еще одно правило: Сложи избыток и недостаток, это делимое. Взяв нормы, которые вносятся, из большей вычти меньшую, остаток является делителем. Объедини делимое и делитель, получится [искомое количество ] людей. Умножь^на это нормы,

которые вносятся, убавь на избыток или добавь недостаток, это и будет стоимость вещи» [50, с. 492].

Решение проводится в уме при помощи простых арифметических рассуждений. Их приводит Лю Ху эй в своем комментарии к этому варианту правила:

《Смысл этого правила, которое называется избыток-недостаток, состоит в том, что берется разница для совокупности людей; из большей нормы, которая вносится^ вычитается меньшая; остаток является разницей для одного человека. Раздели разницу для совокупности людей на разницу для одного человека, получишь число людей» [100, т. I, с. 207].

В этом решении довольно трудно усмотреть «алгебру», оно весьма просто. Мы все же склонны считать, что в данном случае решалась система уравнений. Обратимся теперь к другому примеру из трактата Сунь-цзы, решенному явно как система двух уравнений с двумя неизвестными:

«Имеется столб неизвестных размеров. Его стали измерять при помощи каната, [получился] остаток каната в 4 чи 5 цуней. Если измерить канатом, сложенным вдвое, то не хватит 1 чи. Спрашивается, какова длина столба? Ответ: 6 чи 5 цуней» [49, с. 36, задача 18].

Можно опять-таки в уме подсчитать искомую величину. К остатку каната в 4, 5 чи надо прибавить ровно столько, сколько не достает до земли от обоих концов каната, когда он подвешен за середину к вершине столба, именно 1十1=2・ Значит, высота столба равна 4,5+2 чи. Однако правило к задаче говорит о другом ходе решения:

«Установи остаток каната в 4 чи 5 цуней, прибавь недостаток в 1 чи, всего получится 5 чи 5 цуней. Удвой это, получишь 1 чжан 1 чи. Вычти остаток в 4 чи 5 цуней и получишь искомое» [49, с. 36].

Согласно правилу вводится, по существу, еще одна неизвестная у ——длина каната, и тогда условие задачи может быть представлено системой

у 力—4,5,х — ■!> = 1,

где / — высота столба. Решение получается, если сложить оба уравнения:

子=4,5+%

Отсюда

д=2 (4,5+1), ^=2 (4,5+1)-4,5

в точности по правилу.

В менее простых задачах при замене нескольких уравнений одним приходилось прежде уравнять коэффициенты исключаемых неизвестных. Для этого применяли умножение и деление коэффициентов уравнений, сложение и вычитание частей уравнений и

тому подобные преобразования, оставляющие уравнения эквивалентными.

Здесь нам стоит обратить внимание на две любопытные задачи из «Математического трактата Сунь-цзы», близкие друг к другу, в решениях которых можно обнаружить стремление автора к регулярности в преобразовании коэффициентов. Одна из них —— задача 27 последней книги трактата:

«Имеются звери с 6 головами и 4 ногами и птицы с 4 головами и 2 ногами, всего вверху 76 голов, внизу 46 ног. Спрашивается, сколько птиц и зверей каждых в отдельности? Ответ: 8 зверей, 7 птиц» [49, с. 37 ].

По описанным в подлиннике вычислениям искомые величины находятся так:

46 • 2 — 76 о 46 — 4.8„

Такое решение, очевидно, получается из системы, в которой записывается условие задачи:

6/+切=76,

4/+2g=46,

умножением на 2 второго уравнения и вычитанием из него первого.

Другая задача 31 из этой же книги трактата Сунь-цзы:

«В клетке имеются фазаны и зайцы. Вверху 35 голов, внизу 94 ноги. Спрашивается, сколько фазанов и зайцев каждых в отдельности? Ответ: 23 фазана, 12 зайцев» [49, с. 38].

Правило дает

у = ^ — 35 = 12, х = 35 — у = 23,

что соответствует решению заданной системы

力+^/=35,2/+4g=94

в таком порядке:

—х — у = —35,о 94

94~~

В этом случае предпочитают произвести деление коэффициентов второго уравнения на 2. Почему же это не сделали в первом случае, от этого решение задачи только бы упростилось? Остается предположить, что вычислитель хотел сохранить порядок преобразований: первое уравнение всегда оставлять в первоначальном виде и оперировать со вторым. Первая задача по своему нарочито фантастическому условию ни коим образом не может считаться

практической. Эти задачи, очевидно, составлены специально для обучения решению систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Из опыта решения таких систем, вероятно, и появился матричный метод фан-чэн.

Стоит отметить также, что нерегулярные методы решения систем линейных уравнений не потеряли своего значения после разработки матричного метода. Это особенно хорошо видно по задачам трактата Сунь-цзы. Матричный метод представлен в нем только одной задачей, тогда как вообще решается не одна система линейных уравнений. Преимущество частных методов решения отдельных систем видно на следующем примере:

«Три человека А, Б, В имеют цяни. А говорит В^и В: „Если каждый из нас объединит половину тех цяней, которые имеет в наличии, то, добавив мои цяни, получим 90“・ Б также сказал 4 и 8: „Если каждый из вас объединит вместе половину тех ця- ней, которые имеет, то, добавив мои цяни, получим 70". В также сказал 4 и Б: „Если каждый из вас объединит вместе половину тех цяней, которые он имеет, то, добавив мои цяни, получим 56“・ Спрашивается, сколько цяней было первоначально (у каждого) из трех человек? Ответ: А — 72, Б — 32, В — 4» [49, с. 32].

В современной символике условие можно представить системой

多 + 扮 + z = 56,

где 力,у, z — искомые суммы денег Л, Б, В соответственно. Система приводится к виду

2®+ z = 90 • 2,⑦+2沙+ z = 70 • 2,。+ у 十 2z = 56 • 2.

Уравнения складываются почленно:

Значения неизвестных 力,у, z определяются, если вычесть соответственно из 1-го, 2-го, 3-го уравнений приведенной системы полученное уравнение. Правило гласит:

«Сначала установи в строках те [количества], о которых говорили три человека. Умножь их на 3, для каждого произведения будут [следующие количества]: для А получится 270, для Б получится 210, для В получится 168. Каждое [количество ] раздели пополам: для Л получится 135, для Б получится 105, для В получится 84. Снова установи для А —— 90, для Б —— 70, для В ——56, каждое раздели пополам. [Количество для] А и Б вычти из [количества для] Б; [количество для] / и 力 вычти [из коли-

чества для]万；[количество для] Б и В вычти из [количества для] Л; получишь для каждого его первоначальное количество» [49, с. 32-33].

Поместим эти вычисления в таблицу (см. табл. 7).

Таблица 7

А

вв

90

90 • 3 = 270

90.3…

^—= 135

90

7056

70-3 = 21056.3 = 168

70-3,厂56 ・3

2 — 1052 — 84

7056

В конце правила описано получение искомых величин, причем вычитаемые берутся из 4-й строки, а уменьшаемые из 3-й строки. Таким образом:

90.3705690.3705672,72,

90.37056

90.37056

72,

72,

70.39056

УУp2一彳= 32,

У

У

56 . 39070/

—222 — e

Мы видим, что здесь частный прием решения системы уравнений первой степени предпочли матричному методу, хотя довольно симметричная матрица системы позволила бы легко применить его. (3 М f ПИП h (g ； j \112 140 180/,j \112 100 180/, \44 100 180/, \32 100 180/.

Из последней таблицы!

z=32/8=4, g=32,力=72・

По-видимому, автору древнего учебника хотелось, чтобы учащийся был искусным в преобразовании уравнений, а не только владел одним методом, хотя и универсальным.

Линейные системы в книге Цинь Цзючиао

Весьма любопытно знать, как обстояло дело с решением линейных систем в дальнейшем, после рассмотренных выше задач «Десятикнижья» с вполне разработанным матричным методом. Сравним задачи «Десятикнижья» с аналогичными задачами Цинь

Цзю-шао. Отметим сразу, что Цинь Цзю-шао не совершил перехода к определителям, он значительно отошел от древнего правила в сторону большей связи чисел таблицы с коэффициентами уравнений. Цинь Цзю-шао практически отказался от вычисления корней по таблице и рекуррентным формулам и стал действовать с уравнениями. Кстати, свободные члены он записывает сверху, а не снизу.

В «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао имеются две задачи на линейные системы: 1-я и 2-я свитка 17 в девятой книге, озаглавленной «Класс задач о городском хозяйстве» (ши у лэи). Здесь собраны как алгебраические, так и арифметические задачи, требующие применения тройного правила, правила двух ложных положений и т. д.

В первой задаче решается система трех уравнений с тремя неизвестными, во второй：——система четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Обе они заданы в канонической форме, т. е. свободные члены стоят в одной части уравнения, а члены с неизвестными——в другой, так что приведения заданной системы к канонической форме не требуется. Отрицательные числа применяются только во второй задаче. Правило у Цинь Цзю-шао сформулировано в общем виде, для этого он применил специальную терминологию, свидетельствующую о существовании понятия уравнения.

Условие задачи 1 свитка 17 «Отыскание стоимости товара»: «Задача о расчетах торгового ведомства третьего ранга. Учредили [количество] товара в стандартных цянях: каждое [эквивалентно] 1470000 гуань вэней. Вначале ассигновали 350 ли орлиного дерева, 2200 цзиней черепаховых изделий, 375 тао масличного дерева. Затем ассигновали 2970 ли орлиного дерева, 2130 цзиней черепаховых изделий, 3560 тао масличного дерева. Наконец, ассигновали 3200 ли орлиного дерева, 1500 цзиней черепаховых изделий, 3750 тао масличного дерева. Как узнать, какова стоимость каждого ли, цзиня, тао соответственно орлиного дерева, черепаховых изделий, масличного дерева? Ответ: каждый ли орлиного дерева [стоит] 300 гуань вэней, каждый цзинь черепаховых изделий [стоит ] 64 гуань вэня, каждый тао масличного дерева [стоит ] 180 гуань вэней» [105, с. 155—160].

Здесь задана система:

350^4-2200?/+ 375z = 4.2970ж + 21 ЗОу + 35602 = Д,3200力十 1500у 丄 3750z = 4

где А =1470000.

Во второй задаче задана система:

200力 + 40у = 8,26 旬 + 800z = 8,1670z + 15e = 8,58；力 + 52e=8, где в = 106000.

Цинь Цзю-шао, записав свободные члены сверху, получает нули внизу справа, т. е. первое уравнение приводит к виду 〃%%=Ь； и т. д., так что получается треугольная система

a11"1 -~ 4，

旬展 I +。2川 2 + • • • +。"/"=%

Последнее уравнение остается без изменений. Преобразование столбцов матрицы (соответствующих уравнениям) производит в том порядке, в каком ему удобно [142, с. 161—162].

Цинь Цзю-шао называет «совокупностью» свободный член (цзи), коэффициенты при неизвестных называет «количеством вещей» 仅以у).

Глава вторая

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ

Известно, что уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах, т. е. для корней этих уравнений, вообще говоря, нельзя найти формулу, выраженную иррациональностями, подобную той, с которой знакомятся школьники при решении квадратного уравнения. Этот факт был доказан окончательно лишь в XIX в. Н. X. Абелем и Э. Галуа, создателем теории групп и полей. До тех же пор на протяжении всей истории науки старались разрешить эту проблему, особенно начиная с работ итальянских математиков Ш. дель Ферро, Н. Тарталья, Дж. Кардано, Л. Феррари, которые решили уравнения 3-й и 4-й степеней в радикалах. Не имея возможности непосредственно выразить формулой корень уравнения произвольной степени общего вида, вычислители применяли численные методы, которые разрабатывались наряду с попытками получить формулу или дать доказательство невозможности ее существования. Одним из таких численных методов, позволяющих найти корень уравнения любой степени общего вида (но многочлена), является метод Руффини — Горнера, или просто —— метод Горнера, который был предложен в XIX в. каждым из авторов независимо друг от друга и почти одновременно. Итальянец П. Руффини (1765——1822) поместил заметки о таком методе в работах 1804, 1813 гг. Кстати, Руффини принадлежит первое доказательство теоремы о неразрешимости уравнений выше четвертой степени в радикалах, но доказательство оказалось неполным. Англичанин У. Горнер (1768—1837) опубликовал метод в работе 1819 г., и по его имени известна в алгебре схема вычисления коэффициентов вспомогательных уравнений в данном методе (см. ниже). Эти европейские ученые? конечно, и не подозревали, что

задолго до них таким методом пользовались в древнем и средневековом Китае. Любопытно, что даже для квадратных уравнений, при развитых алгебраических методах китайской математики, мы не находим обычной формулы корней, но обнаруживаем описание или указания относительно решения этих уравнений численным методом (см. далее § 14 данной главы). Источники относятся ко II в. до и. э. и позже. Уравнения 3-й степени, решенные по методу Горнера (мы будем так называть этот метод), содержатся в работе Ван Сяо-туна (VIII в.), а метод в общем виде изложен в сочинении Цинь Цзю-шао, а также у других алгебраистов этого времени (XIII-XIV вв.).

Возможно, под влиянием китайцев этот метод применялся для извлечения кубических корней (т. е. решения уравнений %з=〃) в XI в. Кушьяром ал-Джили и ан-Насави [38]. Этот же метод применялся для извлечения корней любой степени Насир-ад-Дином ат-Туси в XIII в. [38] и ал-Каши в XV в. [40]. В дальнейшем Шараф ад-Дин ат-Туси (XIII в.) обобщил этот метод на произвольные уравнения, именно к нему весьма близок метод Виета (1600), в котором, однако, нет удобной схемы.

Содержание метода следующее: пусть задано уравнение п-й степени

/3)=о,

где / (力)——многочлен: его вещественный корень х ——некоторое А-значное число: ж=сА._110А*_1+.・.+с0, которое можно записать в десятичной системе в виде х=ск_х • • • % (математики стран ислама записывали корень, меньший 1, в виде шестидесятеричной дроби, а корень, больший 1 ——в виде числа в шестидесятеричной системе). Сначала с помощью проб находился первый знак ск_г неизвестного, затем производилась подстановка х=10к~1ск_1-\-у и с помощью «схемы Горнера»

f^ = f^1ck^+y) = ^ 匂)

разлагалось по степеням у. Далее с помощью проб находился первый знак у, равный с^一2, производилась подстановка y=10k'~2ck_2-\-z, с помощью «схемы Горнера» ср 匂)=0(10"%左_2+纟)=屮(z) разлагалось по степеням z, с помощью проб находился первый знак z, равный %_з, и т. д.

Эта процедура повторяется до тех пор, пока корень данного уравнения не будет вычислен точно или приближенно с заданной точностью.

Извлечение квадратных и кубических корней

трактатах математического «Десятикнижъя»

Извлечение квадратных и кубических корней (кай фан, кай ли фан) в древних китайских трактатах производилось по схеме Горнера, а не на основании бинома Ньютона, как мы привыкли это делать теперь. Правило извлечения корней второй и третьей

степеней сформулировано в основном сочинении «Десятикнижья» «Математике в девяти книгах» (книга IV). В трактатах Сунь-цзы и Чжан Цю-цзянь это правило применяется с учетом приближенного значения, соответственно с недостатком у одного и с избытком У другого： -

Чжан Цю-цзянь также дает оценку для кубического корня

В «Математике в девяти книгах» корни вычислены точно, т. е. извлечены только из полных квадратов. Но в комментариях к трактату Лю Хуэя уже содержатся оценки Сунь-цзы и Чжана Цю-цзяня приближенного значения корня, а также указание на извлечение корня (при помощи метода Горнера) с точностью до любого десятичного знака.

Чтобы показать извлечение корней, математик древнего Китая пользовался вполне однотипными, специально выбранными задачами, хотя, разумеется, извлечение корней могло применяться • и в других случаях. Извлечение квадратного корня было равносильно отысканию стороны квадрата с заданной площадью: x=\/S или длины окружности по заданной площади круга C=\J12S (兀^3)・ Извлечение кубического корня демонстрировалось на задачах, в которых находилась сторона куба с заданным объемом: c = fT или диаметр шара с известным объемом： D = /у V (冗=^)・ Так, в книге IV «Математики» задачи 12—16 посвящены определению стороны квадрата, а задачи 17—18 «обвода» заданного круга при 冗=3. Приведем числовые данные (табл. 8, 9).

В задачах 19—22 этой же книги «Математики» вычислена сто-рона куба по данному его объему (табл. 10), а в задачах 23—24 диаметр сферы данного объема (табл. 11). Здесь 冗=27/8, значение, которое во всем трактате больше не встречается.

Заметим, что задачи относительно квадратного корня содержат именованные числа, все данные измерены в единицах длины бу (шагах), применявшихся в древности при измерении полей, тогда как в задачах о кубических корнях оперируют с величинами, измеренными в единицах длины чи (китайские футы). Таким образом, если задачи с квадратами еще можно было оформить по типу древних задач на измерение полей, то задачи с кубами составлены по аналогии совершенно абстрактно.

В трактате Сунь-цзы приведены две задачи этого класса: в 19-й по площади квадрата S определяется его сторона 力，в 20-й по площади круга S определяется длина окружности С данного диаметра при 冗=3 (табл. 12). Значения корней взяты с избытком по указанной выше формуле.

Таблица 8

Номер задачи

Площадь квадрата S

Сторона зс = у/ S

12

55225

235

13

25281

159

14

71824

268

15

564752 1/4

7511/2

16

3972150625

63025

Таблица 10

Номер задачи

Объем куба V

、 Ребро _

黑=声V

19

1860867

123

20

1953 1/8

12 1/2

21

63401447/512

39 7/8

22

193754117/27

124 2/3

Таблица 11

Номер задачи

Площадь круга S

Окружность,

18

1518 3/4

300

135

60

Таблица 9

Номер задачи

Объем сферы V

Диаметр

D =

23

24

4500 1644866437500

20

14300

В трактате Чжан Цю-цзяня правило извлечения квадратного корня для точного значения корня показано в задаче 19 средней книги и приближенно с недостатком в следующих за ней задачах 20 и 21. В первой из них определяется сторона данного квадрата до его площади, а в других последующих задачах производятся преобразования квадрата в круг и наоборот, т. е. для квадрата с известной стороной требуется найти окружность круга, равновеликого данному квадрату, и, наоборот, для круга с известным «обводом» найти сторону квадрата, равновеликого данному кругу. Все эти задачи снабжены подробным описанием вычислений и служат определенным целям: во-первых, применить приближенную формулу для рационального значения корня; во-вторых, показать взаимосвязь квадрата и круга; в-третьих, подвести читателя к задаче, в которой решается полное квадратное уравнение (см. ниже). Кубические корни вполне аналогично применяются в задачах 30 и 31 последней книги трактата. Рассмотрены «преобразования» куба в сферу и наоборот. Приведем данные задач Чжан Цю- цзяня (табл. 13).

Здесь, так же как в «Математике в девяти книгах», в плоских задачах оперируют с бу (шагами) и «полями», а в объемных —

Таблица 12

Номер задачи

Площадь

Искомая» величина

19

20

S = 234567

S = 420000

2 = 484 311/968

С = 648 96/1296

伍 3. И. Березкина

209

Таблица 13

Номер задачи

Дано,

Найти

19

20

21

30

31

Площадь поля 127449

Сторона поля 121

Обвод 396

Ребро куба 95

Диаметр сферы 132

Сторона 357 (точное значение) Обвод 419 131/839 (с избытком) Сторона 114 72/229 (с недостатком)

11968

Диаметр сферы 116 40359 (с недостатком)

34020

Ребро куба 108 3499g (с недостатком)

с чи (футами) и абстрактными фигурами. В последних также 冗=27/8. Значения корней взяты с недостатком или с избытком по указанным выше формулам для квадратных и кубических корней.

Терминологию во всех позднейших сочинениях заимствуют из «Математики в девяти книгах». Извлечение квадратного корня описывалось выражением кай фан («раскрыть сторону [квадрата ]»), извлечение кубического корня ——кай ли фан («раскрыть сторону стоящего [квадрата]», т. е. куба), так озаглавлены правила к задачам. В задачах с кругом и сферой употреблены термины кай юань («извлечение [квадратного корня из площади] круга»), кай ли юань (соответственно «извлечение [кубического корня из объема ] стоящего круга», т. е. сферы), это также заголовки правил к задачам «Математики в девяти книгах». В самих правилах обычно говорится: и кай фан юй чжи или эр кай фан юй чжи (т. е. «извлеки квадратный корень делением»).

Правило, сформулированное в «Десятикнижье», и схема вычислений таковы.

Пусть x=\S. Подкоренное число S, или площадь квадрата, сторона х которого ищется, называется делимым (姒乂).

«Установи площадь [квадрата ] в качестве делимого»,——рекомендуется в правиле извлечения квадратного корня.

Подкоренное число не случайно называется делимым: на счетной доске, где производятся вычисления корня, оно помещается во второй строке сверху, как делимое при делении, тогда как первая строка отводится для корня, как при делении первая строка отводилась для частного.

.Поэтому и говорили: «Извлеки квадратный корень делением». Это число S остается неподвижным на доске в течение всего процесса извлечения корня, тогда как числа в других строках, расположенных ниже, будут передвигаться по разделам согласно правилу.

Если искомое в десятичной системе а；=а1а2а3 (трехзначное число выбираем потому, что в подавляющей части примеров «Де- сятикнижья» оперируют трехзначными корнями), или

(100% + 10出 + a3)2 =c

то

S = [100aJ2 + [2.100ах. 10a2+ lOOa^]十[2 ・ lOOa^ 十 2 ► 10a2a3]十 + 建=(S — 4, + [Мд 十 a 圖 + 区& + G 唸

где

4=s —(ioo%)2,马=2000%, a=ioo,52 = 200% + 20a2, C2 = 1.

Таковы значения коэффициентов Л1? 5订 С^ при а2, а3 и их квадратах.

Согласно китайскому правилу сам процесс извлечения корня состоит из операций двух родов: 1) подбора очередной цифры корня %; 2) преобразования чисел доски к виду, пригодному для подбора следующей цифры корня.

Прежде чем описать эти операции, в древнем правиле указывается:

«Возьми одну счетную палочку и шагай через одну (колонку)». Имеется в виду, что в самой последней строке помещают единичную счетную палочку и сдвигают ее влево, через колонку, начиная с колонки для последней цифры подкоренного числа. Это позволяет определить число цифр в корне. Движение единичной счетной палочки равносильно, таким образом, разбиению подкоренного числа на группы по две цифры, в последней может оказаться и одна цифра. Одновременно также получается число цзе-суанъ, равное 10й-1, если п нечетно, и 10w~2, если п четно, где п —— число цифр в подкоренном числе. Схема такова (табл. 14).

Схема соответствует уравнению

100V2 一 S=0,

где 力=100 %', при этом a:, = a1a2a3.

Между строками делимого и цзе-суанъ размещаются промежуточные результаты, полученные согласно правилу.

Первая цифра ах корня %, как при делении, выбирается как наибольшее из чисел 1, 2, ...» 9, для которого а】< % < а】+1, 4=8 —(100%)2》0.

Здесь число (100ах)2 находится в такой последовательности: (ЮО2^)^,

т. е. число цзе-суанъ (см. схему) умножается на первую цифру корня дважды. В правиле этом говорится так:

«Обсуди co-де. Первую [выбранную цифру корня ] умножь на цзе-суань, это делитель».

После первого умножения, или получения 1002ах, число называется делителем и размещается во второй строке снизу. Схема такова (табл. 15).

Далее следует подготовка чисел доски к выбору второй цифры корня. Для этого в правиле рекомендуется:

«Раздели на [делитель]. После деления удвой делитель, это фиксированный делитель. Возврати его [на одно деление], [полу-

10000корень делимое цзе-суань10000корень делимое цзе-суаньТаблица 14Таблица 14&S 10000/ 10000кореньделимоесо-de, делитель“зе-суа”ь&S 10000/ 10000кореньделимоесо-de, делитель“зе-суа”ьТаблица 15Таблица 15

10000

корень делимое цзе-суань

10000

корень делимое цзе-суань

Таблица 14

Таблица 14

&

S 10000/ 10000

корень

делимое

со-de, делитель

“зе-суа”ь

&

S 10000/ 10000

корень

делимое

со-de, делитель

“зе-суа”ь

Таблица 15

Таблица 15

чишь] урезанный [фиксированный ] делитель. Внизу возврати установленную счетную палочку на шаг» (табл. 16).

Таблица 16

«1

корень

Аг = S—(1002/)% 31 = 2000 /

С = 100

первый остаток

укороченный фиксированный делитель

второе цзе-суань

Эта схема соответствует уравнению <р (г/)=С-^+В^у+А = 0, где ^=々2々3・ При этом по схеме Горнера коэффициенты уравнения получаются именно так:

10000 О —S 10000% (1002%)%

10000 10000%=

10000ах

10000 20000^ = 105!・

Таким образом:

4工=(1002%)% — S = (100ах)2 — S,

а 20000

4=% = 2000%,

В результате доска приготовлена к выбору второй цифры корня. В правиле так и говорится:

«[Продолжай], как и ранее. Одну выбранную [цифру] умножь на это. Go-де прибавь к [урезанному ] фиксированному делителю. И дели, co-де прибавь к фиксированному делителю, укороти возвратом, получишь [урезанный] фиксированный дополненный делитель».二 一，

Для определения второй цифры корня а2 ищется такое наибольшее однозначное число, что

4 -(殳+ &a2)a2》。

или

”[S — (100^)] — (2000% + 100a2)a2 > 0,

5 —(100^+ 10a2)2>0.

Далее числа доски преобразуются, готовятся к выбору третьей цифры. Схема такая (табл. 17).

Таблица 17

«la2 “2

°2

корень

второй остаток

второй укороченный фиксированный

делитель

третье цзе-суанъ

где

Л2 = 5 —(100^4-10а2)2,

马=(% + Cl萨;£吆=200al + 20a2，

7 =需=丄

Эта схема соответствует уравнению 屮(z) = С^+B2z+42=0» т. е.屮(z) = z2 + (2000% + 200aJ 纟 + 0。。％ + Юа2)2 — S = 0,

где 纟=々3・ Коэффициенты уравнения 屮(z)=0 по схеме Горнера вычисляются так:

1002000%一% +(100a1)2

100a2(2000ai--|-100a2)a2

1002000% 十 IO%(100%+10a2)2 -5 = 4

100a2

74・ Квадратные уравнения в «Десятикнижъе»

Как мы видели, правило извлечения квадратных и кубических корней показано на специальных задачах «Десятикнижья». Однако в этих же трактатах «Десятикнижья» встречаются другие задачи, при решении которых необходимо извлекать корни. В «Математике в девяти книгах» это геометрические задачи книги IX, решенные алгебраическими методами с использованием теоремы Пифагора. Первые три задачи этой IX книги и правило к ним ——просто формулировка теоремы Пифагора: с=\/а2, + &2, а=\/* ——"，力=｛合—。2. Теорема применяется в задаче, где находится катет по гипотенузе и другому катету.

Далее в задачах 11,12,19, 20 книги IX извлекаются квадратные корни. Интересно, что с точки зрения древнего автора эти задачи принципиально принадлежат к двум различным типам задач, хотя мы бы все их отнесли просто к задачам на квадратные уравнения.

Задачи 11, 12 «вавилонского типа». В них фактически рассмотрен прямоугольный треугольник с искомыми катетами хну и заданной гипотенузой с, В задаче 11 решается система

力2+g2 =巒，у — x=k

именно так, как, по мнению многих, решались подобные системы в древневавилонской математике. Не приводя системы к квадратному уравнению, а используя свойства полусуммы и полуразности двух величин (что широко применялось в древней математике вообще), вводим неизвестную 力：

x = t—^;

В задаче 12 решена система

х=с — а,沙=e - &,

Z — С, j

где 力,у, z так же, как и в задаче 11, стороны прямоугольного треугольника

Подставляя значения 力,у из системы и добавляя к обеим частям равенства 2аЬ, получим:

[z — (a+Ь)]2=2而.

Как сообщает китайское правило,

х= \J2ab + Ъ y—\J2ab-\~a

z = V^ + @ + b) [50, с. 509].

Таким образом, общей формулы решения квадратного уравнения в древнекитайских трактатах нет.

Задачи 19 и 20 принадлежат к другому типу задач, именно тех, которые в обобщенном виде встречаются и у Цинь Цзю-шао, предложившего общий метод решения уравнений высших степе

ней. Эта группа задач 17——21 «О городе» (все они начинаются словами «имеется город», а точнее, ограда) в форме квадрата (задачи 17, 19—21) или в форме прямоугольника (задача 18), в которых рассматриваются конфигурации о или б (рис. 11). Конфигурация 6 рассматривается в задаче 20, более других нас интересующей. При задании а и 6 (задачи 17, 18; в задаче 18 вместо квадрата взят прямоугольник, что не меняет метода решения) решение обходится без радикалов. В обратной им задаче 19 приходится решать уравнение

а2 — 4Ьс=0,

где не известна а, или, как сказано в правиле: «Извлекать квадрат- ный корень делением»». Решение тривиально: a=yj90000=300. Чтобы получить полное квадратное уравнение, составителям пришлось использовать конфигурацию 6.

В задаче 20 заданы с, d, b; требуется найти а — х.

«Имеется город в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой [стороны] [находятся] ворота. На расстоянии 20 бу от северных ворот имеется столб. Если пройти от южных ворот 14 бу и повернуть на запад, пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается, какова сторона города? Ответ: 250 бу».

Если рассмотреть подобные треугольники АВС и ADE, то уравнение будет следующим:'

/2 + e + 咖—2bd=0.

В правиле рекомендуется решать именно это уравнение.

«Количество бу, [пройденное ] от северных ворот, умножь на удвоенное количество бу, [пройденное ] на запад, это делимое. Сложи с количеством бу, пройденным от южных ворот, это дополненный делитель. Извлеки квадратный корень, это и будет сторона города» [Там же].

Действительно, «делимое» ——это свободный член уравнения; «дополненный делитель» ——коэффициент 6+с при первой степени неизвестной; и разумеется, что при второй степени стоит 1 — об этом в правиле не написано. Схема на счетной доске имела бы вид (табл. 18).

Таблица 18

2 корень

2bd71000делимое

6 + с 34дополненный делитель

1 юй

Схема аналогична схеме извлечения корня, которая лредшест' вует выбору второй цифры, когда уже появились числа в третьей сверху строке. Таким образом, процесс определения корня квадратного уравнения совпадает с процессом извлечения квадратного корня начиная с середины.

В книге Сунь-цзы задач на полные квадратные уравнения нет. Однако в трактате Чжан Цю-цзяня они снова появляются, их две.

Рис. 12Рис. 12

Рис. 12

Рис. 12

В задаче 22 средней книги отыскивается высота h кругового с@г мента по известной площади S и основанию а (рис. 12):

h^+ah 一 2s=0

исходя из формулы

ЗсегмЗсегм咨生五咨生五

Зсегм

Зсегм

咨生五

咨生五

В правиле к задаче описано уравнение, но текст среднего свитка именно здесь обрывается, так что и следующий свиток начинается

неполным условием задачи. Однако сохранившаяся часть правила свидетельствует о том, что при решении данной задачи составляется и решается квадратное уравнение. Величина 2s называется «делимым», а величина а «делителем» (здесь х=К). Схема предполагается следующая (табл. 19).

Таблица 19

X

可

корень

2S

17

1029 褒

делимое

а

3

68 $

делитель

1

коэффициент при %2

Цянь Бао-цун предполагает, что данное уравнение древние решали, предварительно избавившись от дробных значений коэффициентов путем перевода меры бу в другую меру цунъ\ 1^бу = =6。 цуням. В таком случае получается уравнение

力 2+414 6 力=3705760,

и %=760 цунямили, при обратном переходе к бу, %=12 2/3 бу — число, которое названо в ответе к задаче.

Однако решение могло быть проведено и по-другому. Либо дробные коэффициенты просто ставились в таблицу и вычисления велись с такими числами, т. е. решали непосредственно уравнение

ж2 + 68|ж=10292，

либо сначала автор трактата предлагал избавиться от дробных коэффициентов:

45 力2+3087力=46312,

•но тогда следовало уметь решать уравнение квадратное с коэффициентом, отличным от 1, при квадрате неизвестного. К сожалению, текст утерян и мы можем только предполагать, как проводилось решение заданного уравнения. Корень найден точный.

В задаче 9 последней книги трактата Чжан Цю-цзяня вычисляется окружность С нижнего основания усеченного конуса (при 冗=3):

O + cC + G 一哈=0,

где значения букв указаны на рис. 13 (况=С). Схема следующая (табл. 20).

Рис. 13Рис. 13X• 18корень30 с- ПГ594делимоес151делителькоэффициент при ж2X• 18корень30 с- ПГ594делимоес151делителькоэффициент при ж2Таблица 20Таблица 20

Рис. 13

Рис. 13

X

• 18

корень

30 с- ПГ

594

делимое

с

15

1

делитель

коэффициент при ж2

X

• 18

корень

30 с- ПГ

594

делимое

с

15

1

делитель

коэффициент при ж2

Таблица 20

Таблица 20

Или в числах: гг2+15л：=594, где х=18. В нашем переводе схемы вычислений не приводились, приведем здесь их реконструкцию.

Подстановке %=10у соответствует схема (табл. 21) или уравнение 100乎+150y=594.

Первую цифру корня полагаем равной единице и делаем подстановку д=1+р. Тогда уравнение принимает вид

100 (1+^)2+150 (1+р)=594;

затем делаем подстановку р=10к, и уравнение принимает вид 火+35乃=344,、

что соответствует схеме (табл. 22).

корень594делимое150делитель100коэффициент при 丿корень594делимое150делитель100коэффициент при 丿Таблица 21Таблица 22Таблица 21Таблица 221корень344351остаток от делимого делитель коэффициент при к21корень344351остаток от делимого делитель коэффициент при к2

корень

594

делимое

150

делитель

100

коэффициент при 丿

корень

594

делимое

150

делитель

100

коэффициент при 丿

Таблица 21Таблица 22

Таблица 21Таблица 22

1

корень

344

35

1

остаток от делимого делитель коэффициент при к2

1

корень

344

35

1

остаток от делимого делитель коэффициент при к2

Эти числа в таблице получены так, как если бы они были вычислены по схеме Горнера:

В последней строке: -jgg- = 1.

Таблица 23

18

18

18

корень

344

344

(43 • 8 = 344)

0

делимое

35+8

43

43

делитель

1

1

1

коэффициент при ж2

D(100 . 1) . 2 + 150

В строке «делитель»: = 35.

В строке «делимое»: 594 — [(100-1)+150] -1=344.

Далее подбором устанавливается вторая цифра корня, равная 8, и подсчитывается, верно ли сделан выбор. Приведем общую таблицу (табл. 23).

Процесс окончен, корень точный.

Задачи^ приводящие ^ квадратным уравнениям^ 6 сочинении Цинь Цзю-шао

«Девять книг по математике»

В «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао квадратные уравнения встречаются в нескольких местах. Прежде всего в свитках V——VI, VII——VIII, а также в свитках XV——XVI сначала в связи с методом Горнера, а затем в связи с арифметическими прогрессиями. Напомним, что Чжан Цю-цзянь избегал таких задач.

Весь свиток, кроме первой задачи, где метод Горнера подробно описан при решении биквадратного уравнения, посвящен квадратным уравнениям, как неполным, так и полным, в том числе с коэффициентом при квадрате неизвестного, отличном от 1. В задачах 2——4 решены уравнения типа %?—— 卩=0; в задачах 5—6 полные квадратные уравнения, причем корни уравнений находятся приближенно. Рассмотрим эти задачи подробно. Задачи остальных свитков можно затем классифицировать согласно этим задачам свитка V.

Задачи 2—4 тесно связаны между собой, их решение основано на формуле для площади треугольника, определяемой по трем его сторонам (аналог формулы Архимеда ——Герона). Этот алгоритм описан в задаче 2, где рассмотрен непосредственно треугольник с известными сторонами а, Ь, с, причем а〉b〉с; его площадь

В задачах 3——4 этот алгоритм применен для нахождения площадей четырехугольников, разбитых на пары треугольников, один из которых содержит три известных стороны: с, d и z, при этом z〉d > с (рис. 14). Изложим алгоритм решения уравнения

(где %=S, В ——подкоренное выражение), приведенный Цинь Цзю- шао в правилах к указанным задачам 2—4 свитка V. Заметим, что схем вычислений в тексте нет, приведено лишь их словесное описание. Отметим также, что алгоритм для этих задач является решением уравнения по методу Горнера, а не извлечением квадратного корня по формуле бинома. В этом отношении алгоритм Цинь Цзю-шао более последователен, чем алгоритм, предложенный

в «Математике в девяти книгах» для извлечения квадратных корней.

В задаче 2 составляется уравнение

炉 一 7056-0.

В шравиле написано: «Возьми юй и перешагни через разряд, будет одна сотня».

々Тактм образом, определяется число знаков корня, корень будет двузначным числом. Движением единицы образуется число 100 в строке «юй». В методе Горнера это и^есть подстановка %=10勺.

100^ — 7056 = 0,

где 化1 =而力 имеет целую однозначную часть.

Подбираем первую цифру корня: 8 десятков (табл. 25).

«Установи над делимым в частном 8 десятков», — говорится

в правиле.

1000…7056

8

-+800+6400

100800—656

'800

1001600

Получаем уравнение lOOz/2-)- 1600?/ — 656 — 0.

Далее осуществляется подстановка: у=у±/10^ тогда получается уравнение

芻+160% - 656=0，

у которого 勿=力一8 или х =%+8・

Далее подбором находим оставшуюся часть корня. Пусть У] = 4,

Проверяем (табл. 26).'*

Определяем:

1.44-160 = 164,

164.4 = 656.

Корень извлекается точно: %=84.

Таблица 26Таблица 268частное70561делимое юИ8частное70561делимое юИТаблица 25Таблица 2584частное84частное656 делимое164цзун фан1юй656 делимое164цзун фан1юйВ тексте написано: «Далее над делимым продолжай [устанавливать] в частном 4 ли. Умножь на [число] юй, сложи с [числом]

Таблица 26

Таблица 26

8

частное

7056

1

делимое юИ

8

частное

7056

1

делимое юИ

Таблица 25

Таблица 25

84частное

84частное

656 делимое

164цзун фан

1юй

656 делимое

164цзун фан

1юй

цзун фан, получится 164. Итак, объяви частное, раздели делимое, как раз будет без остатка. То, что получилось, 84 ли, будет площадью поля».

В следующих задачах 3 и 4 подобных вычислений корня нет, просто в правилах указано: «Извлеки квадратный корень». В задаче 3 (см. рис. 15) корень извлекается дважды, но числа простые:

0 = «262 —242=10,

где 力一катет прямоугольного треугольника со сторонами q=26,无=24, а также В=17, с=15, d=20. Тогда, применяя формулу для площади, получим S2 - 22500=0, 5=150. 厂 一

В задаче 4 уравнение сложнее: ，二

Рис. 15Рис. 15S2 - 2039184000000=0, 5=1428000.

Рис. 15

Рис. 15

Здесь в тексте ошибочно написано, что 5 = 142800. Это уравнение, несомненно, нуждается в подробных схемах решений, однако Цинь Цзю-шао их не помещает.

В задачах 5 и 6 изложено приближенное определение корней.

«Некоторое поле в виде бананового листа [имеет] длину посередине 576 бу, ширину посередине 34 бу. Обвод его неизвестен. Найти, сколько му содержится в площади [поля] Ответ: Площадь поля 45 му 1 цзяо 11 бу 5213/63070 бу» [105].

В задаче описана фигура, состоящая из двух круговых сегментов с общим основанием (рис. 15). Китайское правило определяет площадь данной фигуры S=a/2, где х — корень уравнения 力2+а%+В=0, и

а = (у)2 —传『=82655,,卩=(Z + d)隼0 = 2269810000.

Цинь Цзю-шао получает х р 21742, приближенное значение корня уравнения:

ж2 + 82655。一 2269810000 = 0.

В следующей задаче 6 свитка V рассматриваются два полных квадратных уравнения с коэффициентом, отличным от 1 при квадрате неизвестного: агг2+р;ж — 丫=0・

В этой задаче решены два уравнения и притом приближенно: 9炉+5100%—322500=0,

где/=无1；亡57;

528381ж2 + .360096600^ — 18933652500 = 0,

где 力=卷弋49, остаток 20276319.

Далее рассмотрим решение уравнений типа

а/2 — 0=0

в работе Цинь Цзю-шао. Корень находится не по формуле: х=、§1 % а с помощью подстановки а/=у приходят к уравнению

十 _ аВ=О,

где у = ,ар и x = ym = \JW]a.

В задаче 2 свитка VI решается шесть неполных квадратных уравнений типа

/2 - /=0

с приближенными корнями и одно уравнение четвертой степени [25]. В задаче 3, последней в данном свитке, также найдено приближенное решение уравнения [25].

Таким образом, задачи свитков V и VI на «Измерение полей», или, как они озаглавлены, «Класс задач на границы полей», в книге Цинь Цзю-шао сводятся к решению либо квадратных, либо биквадратных уравнений..

Далее остановимся на задачах свитков VII и VIII на измерение расстояний до недоступных объектов или их размеров. Эти задачи практической геометрии (не все, но некоторые) приводят к решению уравнений квадратных и более высоких степеней, например, десятой. Здесь мы приведем только те, в которых решаются квадратные уравнения: это задача 2 свитка VII и задача 5 свитка VIII.

В задаче 2 свитка VII снова рассматривается уравнение типа а%2 —. В = 0.

Условие задачи ——«измерить реку с городской башни»:

«Задача о наблюдении за рекой с башни на городской стене. Вертикальная высота 3 чжана. [По отношению ] к ее площадке на верхнем этаже ее основание выступает по ширине на 2 учи. Для обороны внизу в песок забита свая, отстоящая от фундамента на 1 чжан 2 чи. Внешняя [часть ] сваи выступает над землей на 5 чи, по отношению к основанию ниже его уровня. Во время разлива реки вода доходит до самого основания. В настоящее время вода отступила, но насколько, неизвестно. Человек находится наверху у перил площадки, выставил наружу бамбуковый кнут так, чтобы по наклонной была видна граница воды,——получается 4 чи1 цунь 5 фэней, когда конец палки как раз совпадает [с ней]. Глаз человека на высоте 5 чи. Как узнать, на какую глубину убыла вода по вертикали и какова длина наклонной по высохшему берегу от самого основания башни до границы воды? Ответ: Вода отступила

по вертикали на глубину 1 чжан 5 135/157 чи; длина наклонной от самого основания башни до границы воды 4 чжана 1 чи» [105, с. 166].

В задаче приведен рисунок, но иа нем, к сожалению, отмечены не все данные. По нашей реконструкции данной задачи рассмотрена следующая конфигурация (рис. 16). Пусть ОА — человек высотой h2, он видит берег реки по лучу зрения OR; АС — стена, на которой высится башня, ее высота АС^Н; АВ—а — измеренная часть бамбукового кнута, ED=h± — наземная часть оборонительной сваи, отстоящей от основания башни на расстояние CD=b; CL= 8 также известна. Требуется найти расстояние до высоты по откосу CR=y и вертикальную глубину рва, до по

верхности воды LM~CK=x, 夕夕"

К задаче дано правило, вычисления, т. е. как их описание, так иРис. 16

схемы самих вычислений с пояснениями.

В наших обозначениях алгоритм для у следующей: находится число «дуанъ^ (отрезок?)

аЯ=4,15-30-124,5.

Затем три числа «фанък

кд фанъ Ь(аН) = 12-124,5 =1494,

цянъ фанъ 九i(〃E)=5・ 124,5=622,5, юй фанъ 九2ь=5。12=50.

Ищем наибольший общйй делитель этих трех «фаней»: (fiaH, h、aH,九2b)=Y=1,5.

После сокращения на общий делитель числа стали называться «определенными коэффициентами» (цзин той) (вместо чисел «^а^ь»); в том случае, когда наибольший общий делитель равен 1, числа именуются просто «коэффициентами» (люи). Таким образом, в этой задаче «определенный коэффициент 左з» (цзин люй кэ) ЬаН/у=996, «определенный коэффициент цянь» (цзин люй сё)瓦〃Н/?=415, и «определенный коэффициент юй» (цзи凡 люй юи) h2b/y—i0.

Далее составляются такие числа:

квадрат для кэ (Ь〃Н/т)2=992016, квадрат для цянь (h^aH!у)2 = 172225, их сумма составляет квадрат для откоса

門 у + (然 У = 1164241;

и еще величина

В =(暇[然『4-(胃)]=1154945699856,

нужная для образования «делимого», т. е. свободного члена уравнения относительно у.

«Делимое» (ши)

А =Н2В=1038451129870400.

Число 《4〃» составляется для подсчета коэффициента при /2：

—・厶吧•= 413340.

Т7

В таком случае wu», т. е. коэффициент при 胃2, равен разности

А2= н •些•迫—咨・^£ 611305059600.

Снова находится общий наибольший делитель чисел А, А2:

(41Д2)-т1-24800400.

После всех этих вычислений получаются следующие величины: «определенное делимое» (цзин ши) //Т]=/1=41912б76 и «определенное юй» (цзиh юu)△2/T1=24609 = △?，или, в наших терминах, уравнение

△怨2 一 4=0, 24649 严—41912676=0.

Оно решается с помощью подстановки △仅=z, тогда

# - 4]=0, z =山11，у = z/^ = V^iMv

что к сается определения х (глубин), то для него описан следующий алгоритм. Вычисляются:

«фаць» для глубины а = й^ _А — 1047816900, затем

Л2

«юй фань» 冃=(匕2 十屈У 厂=4065681.

Пишется общий наибольший делитель 丫2=(а, р)=169・ После сокращения на него получаются числа-коэффициенты уравнения относительно 力：«определенное делимое» для глубины и «определенное юй» для глубины. Уравнение вида

且力2= 0.'

7272

Оно также решается при помощи подстановки:且 z=T, 72

P2

72 丫272

Тогда

x=V\ —丁 2x=V\ —丁 2

x=V\ —

丁 2

x=V\ —

丁 2

В задаче 5 свитка VIII уравнение такое:

11^-\-2ах — 2〃2=0

илиили1/建2+152% - 11552=0.1/建2+152% - 11552=0.

или

или

1/建2+152% - 11552=0.

1/建2+152% - 11552=0.

Ижтересно, что в нем не делают приведения к уравнению с целыми коэффициентами. Эта задача, как и указанная выше задача 2 ©витка VII, решена при помощи метода шао~гуан, а также метода то ма. В способе сказано: и шао

гуанъ цюй чжи, то ма шу жу Таблица 27

30

частное

115520

делимое

1520

полный фан

5

цзун юй

чжи.

В тексте, описывающем вычисления, сказано, как решать это уравнение. Приведем цитату полностью:

«Извлеки квадратный корень (кай пин фан). Но в способе

указано, что кай то ма пин фан. Установи делимое 11552 наверху, полный фан 152 в средине, цзун юй 5 фэней внизу».

Этому описанию соответствует схема (наша реконструкция по описанию; см. табл. 27).

Заметим, что коэффициент при х2 выражен десятичной дробью 0,5.. «Перешагивай через разряды, сократи полученные сотни, и

300

частное

4-11552

делимое

+ 600

—15200

полный фан

4-15000

положительный фан

5000

юй

Таблица 28Таблица 28тогда сверху от делимого в частном установи 3 сотни цуней. [Числом] фан дважды продвинься по разрядам вперед, будет 15200. [Числом] юй продвинься вперед по разрядам на две [позиции ],будет 5000».

Таблица 28

Таблица 28

Эта часть правила говорит о том, что первой подобранной цифрой корня будет 3. Но прежде подкоренное число разбили на группы, по две цифры в каждой, чтобы определить

значность корня. Далее в строках ниже делимого первоначальные

числа продвинули по возрастающим разрядам, что соответствует подстановке в методе Горнера. Уравнение примет вид

50у2+20ау 一 11552=0.

Далее производится образование чисел-коэффициентов уравнения, получающегося при подстановке:

«Взяв частное, восстанавливай с юй, получишь 15000, это положительный фан. Приведи с полным фан, в этом полном фане останется 200. Далее вместе с частным восстанови, получишь 600, введи в [строку] „делимое", получится 12152». .

Схема такая (та$л. 28). Далее «Снова частное восстанови с юй, получается опять положительный фдн 15000. Приведи с отрицательным фан 200, остаток 14800, эту цзун фан».

15 Э. И. Березкина 225

Таблица 30Таблица 30360частное12152—200 150005000делимоеотрицательный фан п о ложительны й фан юй360частное12152—200 150005000делимоеотрицательный фан п о ложительны й фан юйТаблица 29Таблица 296052805060528050частное делимое фан юйчастное делимое фан юй

Таблица 30

Таблица 30

360

частное

12152

—200 15000

5000

делимое

отрицательный фан п о ложительны й фан юй

360

частное

12152

—200 15000

5000

делимое

отрицательный фан п о ложительны й фан юй

Таблица 29

Таблица 29

60528050

60528050

частное делимое фан юй

частное делимое фан юй

Числа будут в схеме следующими (табл. 29). Снова производится подстановка y=10z, что соответствует движению чисел по разрядам (табл. 30).

«Отступи по разрядам 1 раз, будет 1480. Взяв юй, отступи дважды, будет 50. Тогда выше частного следует далее установить частное 60 цуней».

Таким образом, выбрали вторую цифру корня: 6 десятков. И аналогично производятся преобразования:

«Восстанови вместе с юй, добавь к положительному фан, получится 1780. Теперь объяви розыски дальнейшего частного. Раздели делимое окончательно. Остаток от делимого 1472. Далее, взяв частное, восстанови вместе с юй, дополни положительный фан, будет 208. Отступи [числом] юй дважды, будет 5 фэней. Теперь продолжай [находить] частное следующим образом».

Прежде изобразим схемы (табл. 31, 32).

Г360частное14721780300500делимое фан юйГ360частное14721780300500делимое фан юйТаблица 31Таблица 313661472208 053661472208 05TaGjiitqa 32TaGjiitqa 32

Г360

частное

1472

1780

300

500

делимое фан юй

Г360

частное

1472

1780

300

500

делимое фан юй

Таблица 31

Таблица 31

366

1472

208 0

5

366

1472

208 0

5

TaGjiitqa 32

TaGjiitqa 32

«Снова в частном установи 6 цуней, восстанови вместе с юй, Добавь к положительному фан, будет 211. Тогда объяви частное. Раздели делимое окончательно. В делимом неполностью исчерпается 208 цуней. [Корень в целых числах ] не извлекается, будет дробь».

Квадратные уравнения еще раз встречаются в книге VIII сочинения Циня (свитки 15—16), и методы решения задач, в них размещенных, также называются ^шао-гуат. Это задачи 1 —— 3 свитка XV и задача 1 свитка XVI (правда, последняя, несмотря на название метода, все же обходится без квадратного уравнения). Все указанные задачи касаются арифметических прогрессий, и квадратные уравнения получаются, например, при подсчете числа п членоп прогрессии, если задана их сумма S и первый 口工 член нрогрессии, а также ее разность d・ Действительно,

d峻+(2〃] — G w — 2s=0,

поскольку известно, что

а — 2al + (п — 1) d

В задаче 3 корень п уравнения

6п2+234п=2600

находится приближенно:9.

В задаче 1 свитка XV решено уравнение z?+2么=399, где %=19.

В задаче 2 получается неполное квадратное уравнение

况2-62500=0,

где /=250. Хотя значение корня очевидно, в вычислениях к данной задаче вновь подробно повторена схема нахождения корня уравнения численным методом (методом Горнера).

Ван Сяо^тун. Кубические уравнения

Выше был описан «Математический трактат о продолжении древних [методов ]» Ван Сяо-туна, здесь рассмотрим его методы подробно. В трактате представлены 18 задач на кубические уравнения и две задачи на биквадратные. В задачах 2——14 определяются размеры некоторых сооружений (башни, дамбы, плотины, погребов разной формы), а также скирды сена, сухого русла реки с насыпью. В условии заданы некоторые линейные соотношения. Формулы для вычисления объемов этих призматоидов, или обелисков, такие же, какими пользовались еще в «Математике в девяти книгах». Все указанные задачи приводят к полным уравне» ниям третьей степени вида

Aa?+B^+Cx=D (4 =D・

В остальных задачах 15——20 находятся стороны прямоугольного треугольника по заданным нелинейным соотношениям; они при* водятся к уравнениям вида

力3+3炉=a

力 4 十 Вх2 = D.

Рассмотрим задачу 2, при ее решении хорошо виден метод, которым пользовался древний математик. Задача громоздкая, в ее тексте встречаются неточности, она, по существу, состоит из четырех задач, каждая из которых приводит к кубическому урав* нению [22, 111 ].

Вот ее условие:

«Пусть [чиновник ] тайши строит высокую наблюдательную башню, верхние ширина и длина [которой] меньше, а нижние ширина и длина больше. Разность между нижней и верхней тин

риной [равна ] 2 чжанам, разность между нижней и верхней длиной [равна] 4 чжанам, разность между верхней длиной и шириной [равна ] 3 чжанам, высота больше верхней ширины на 11 чжанов. Из уезда А послано 1418 человек, из уезда Б послано 3222 человека. Летняя норма труда 75 чи стандартного объема. В течение 5 дней отбывали повинность и [строительство ] башни закончили. [Сделали ] дополнительную пристройку, начинающуюся от южной стороны башни. Верхняя ширина [пристройки ] больше нижней ширины на 1 чжан 2 чи, [но] меньше длины на 104 чи. Высота больше длины на 4 чжана. Уезд А [состоит] из 13 деревень, уезд Б ——из 43 деревень. Каждая деревня дополнительно выпол

няет повинность — должна сделать 2700 чи стандартного объема. В течение 5 дней отбывали повинность и дополнительную пристройку закончили. Мобилизованные из обоих уездов прибыли и сообща построили наблюдательную башню. Люди из деревень обоих уездов сообща строили дополни' тельное сооружение. В обоих слу- чаях сначала дали работу для уезда А, а затем для уезда Б. Башня возводилась в высоту от нижнего основания, а при

стройка ——от начала в длину. Спрашивается, каковы ширина, Высота, длина &башни и пристройки, а также высота, ширина, Длина [тех частей сооружений, которые ] задали строить уездам? Ответ: Высота башни 18 чжанов, верхняя ширина 7 чжанов, ниж- йяя ширина 9 чжанов, верхняя длина 10 чжанов, нижняя длина 14 чжанов. Для уезда А задается [часть ] высотой 4 чжана 5 чи, верхняя ширина 8 чжанов 5 чи, нижняя ширина 9 чжанов, верхняя Длина 13 чжанов, нижняя длина 14 чжанов» и т. д.

Введем обозначения, указанные на чертеже （рис. 17）. По условию задачи заданы соотношения между сторонами обелиска

a1 - a2 = a, b*一b2 = 3 匕2 -a2 = 丫，h一a2=',

где。1 и а? — нижняя и верхняя ширина,匕工 目 匕2 — нижняя и верхняя длина, Н — высота сооружения. Пусть «верхняя ширина» 〃2=力,тогда равенства, указанные выше, примут вид

a1=%+（1,b2=力+丫，b1=力+偉+T），Н = XJT S.

В задаче а =20, В =40, у=30, 8=110, все величины выражены в распространенной единице длины то. Напомним, что 1 чжан^ =10 чи. Объем в ычисляется по правилу

?=1/6 ｛（2旬+出） &+（2。2+旬）Ь^Н.,

Это да^т кубическое уравнение

A^+Bx2+Cx=D,

где

Л = 1,

5 = ^± + T +』170,e =（牛+ 小 +等 + 子=7166^,刀=p一（匕+匕）=T一[等扌+多丫8]= 1677666~|.

Названия для коэффициентов, принятые в трактате Ван Сяо-туна: Л — цзун фа, во всех его задачах равен 1, В — лянъ фа^ С — 炉〃м 炉〃,D — ши. В буквальном смысле слова эти названия обозначают соответственно: «прямой делитель», который получается сразу; «связанный делитель», полученный суммированием; «прямоугольный делитель», полученный как сумма произведений; «делимое» в качестве свободного члена уравнения. В задачах Ван Сяо-туна «делимое» всегда является выражением некоторого объема. При «составлении» коэффициентов уравнения Ван Сяо-тун вводит специальные названия для промежуточных результатов, как будет поступать в свое время европейский математик XIII в. И. Немо- рарий. Названия похожи на обозначения объемов ——составных частей неправильной четырехгранной пирамиды. Но на самом деле эти выражения не могут интерпретироваться геометрически.

Китайский алгоритм начинается «с конца». Сначала вычисляют объем башни

卩=75・4640・5=1 740 000 чи3.

Но свободный член уравнения ——этот объем, «усеченный» на сумму двух «объемов»: юй янь и юй шоу:

匕=?.8 =怨.110匕=?.8 =怨.11088000

匕=?.8 =怨.110

匕=?.8 =怨.110

匕=佇・丫）・ 8 = ЗОО・ 110 = 33000,

где 8 — «усеченная высота», т. е. высота башни Н, «усеченная» на величину верхней ширины 〃2；々Р/3 ——произведение юй янь, 多• Т — произведение юй шоу. Таким образом, мы видим, что ^ и 卩2 лишь по внешней форме есть выражения для объемов, а на самом деле это просто названия алгебраических выражений, которые древним заменяли современную символику. На рис. 17 мы не можем указать эти «объемы». Заметим, что в подлиннике 丫 =七2—〃2 названа «отрезанной верхней длиной», т. е. верхняя длина «укорочена» на величину а2. Расшифровав все эти термины, нетрудно прочитать весь алгоритм:

《Способ: взяв число чи для нормы труда, умножь на [количество ]людей двух уездов, умножь также на отведенные [для работы] дни, это будет объемом башни. В другой раз разность между нижней и верхней длиной умножь на разность между нижней и верхней шириной, раздели на 3 и возьми 1 [раз], это будет ироиз-

ведением юй янь. Умножь еще на усеченную высоту, это будет усеченный объем юй янь. Снова половину разности между нижней и верхней шириной умножь на отрезанную верхнюю длину, это будет произведением юй тоу. Умножь на усеченную высоту, это будет усеченным объемом юй тоу. Сложи два объема, вычти из объема башни, остаток и будет делимым. Взяв разность нижней и верхней ширины, сложи с разностью нижней и верхней длины, раздели пополам, это и будет положительным числом. Добавь усеченную верхнюю длину, умножь на усеченную высоту. То, что получится, присоедини к произведению юй янь, прибавь к произведению юй тоу, это и будет квадратным делителем. Снова сложи усеченную высоту башни с усеченной верхней длиной, а также с положительным числом, это будет делителем лянь. Делитель цзун [равен 1 ]. Извлеки кубический корень делением и получишь верхнюю ширину. Каждый [раз], добавляя к разностям, получишь для башни нижнюю ширину, а также верхнюю, нижнюю длину, высоту».

Здесь употреблен еще один термин ——«прямое число» (положительное число)国жзк шу) для среднего арифметического (а+р)/2= =30. Заметим, что Ли Янь [92, с. 40] указал на чжэн шу как на сумму В+С делителей фан и лянъ^ что неверно.

Фраза «Извлеки кубический корень делением и получишь верхнюю ширину» обозначает решение составленного уравнения численным методом на счетной доске, которое мы можем выразить в виде схемы:

1 1707166 А —1677661

70 1 240 239661°

т. е. %=〃2=70. Два других корня уравнения комплексные, значит, они для древних не существовали.

В следующей задаче 3 рассмотрена дамба в виде четырехгранной призмы. Снова задача сложная и состоит из двух частей, каждая из которых приводит к полному кубическому уравнению. Уравнение в задаче 4 вполне обозримо:

犬+6 2%2+696%=3 8 448,

где %=18 — «нижняя ширина» дамбы в виде «хвоста дракона» имеющего форму клина.

Задачи с амбарами и погребами образуют три вполне однородные группы: это задачи 7 и 9, 10——4 2 и 13——14. Амбар в виде усеченных пирамиды и конуса (задачи 7 и 9) относительно искомых стороны или окружности верхних оснований, а также относительно высоты амбаров дают по паре полных кубических уравнений вида

忆』(a + PW +传+а%=Р — ^В，

где а =6, р=9,况=3 — сторона верхнего основания амбара, а Р ——вес зерна, в нем хранящегося (задача 7). Или амбар (несколько амбаров) в виде параллелепипеда приравнен погребу (нескольким погребам) в виде цилиндра, и высота амбара равна глубине погреба —— это задачи 10——12. Относительно искомой высоты (глубины) и составляется кубическое уравнение вида

где а =5, В=10,历=13 — высота амбара, объем которого равен V (задача 11, в которой четыре «квадратных» амбара эквивалентны трем «круглым» погребам). Наконец, в задачах 13 и 14 говорится о равенстве емкостей двух типов погребов: «квадратных» и «круглых», имеющих форму правильных усеченных квадратной пирамиды или кругового конуса. Эти две задачи приводят к вполне одинаковым кубическим уравнениям вида (задача 14)

外 + [(a + 0) + m62 + [色 + 那十^1卜=|| p 一 Ц< В，

где а =7, Р=14, 6=7 ——искомая сторона или диаметр верхних оснований этих амбаров, имеющих объем V. Задачи отличаются лишь коэффициентом при У, зависящим от того, сколько «квадратных» погребов приравниваются по объему к «круглым» погребам.

Задачи 15——20 венчают трактат Ван Сяо-туна и отличаются своей лаконичностью и компактностью, поэтому они всегда привлекали внимание исследователей. Однако до сих пор не была отмечена их цикличность, которую впервые заметил Е. И. Славу тин.

Прежде всего перечислим тройки пифагоровых чисел, которые здесь использованы: 7, 24, 25 (задача 15 и 19); 8, 15, 17 (задача 20); 9, 40, 41 (задача 18); 12, 35, 37 (задача 16); 13, 84, 85 (задача 17). Искомые стороны прямоугольного треугольника пропорциональны указанным тройкам, в задачах 17, 19, 20 коэффициент пропорциональности 丫=1,彳；в задаче 18 у ==1,7, в задаче 15 т=2,05; в задаче 16 丫=3,1. Таким образом, стороны прямоугольного треугольника — рациональные числа.

Пусть стороны прямоугольного треугольника а < b < с и 〃2+匕2=。2 ТоГда условие задачи 15 предстанет системой

ab=m,с ——a = g,

где 771=7061/50，2=36%о； искомые а=147/20, Ь=49/5, c^Sl1^. Система дает уравнение

Если применить подстановку 20 ^: а-> Ь, b f а, с f с, то задача

20 На это интересное обстоятельство обратил внимание автора

45 переводится в задачу 16, 17 —— в 48 и 19 —— в 20. Если применить подстановку & a f с, b f а, с -> b + 2g, то она переведет задачу 15 в задачу 17. Есть подстановки, которые переводят задачи 16 ——в 48, 48 — в 19, 17 ——в 20 и, например, произведеиже нодстановок F* (F2 (№ 15))=№ 48.

В задачах 17 и 18 решают уравнение

' Ь» + 1^ + 2^ = ^—<

или аналогичное ему относительно а. (Здесь m=13371/2oi q=#hq и m=47393/5, 0=542/5 соответственно.)

Задачи 19 и 20 дают биквадратное уравнение, в них заданы системы

Ъс = т,

а = п (задача 19),公十 59 得" = 527076,

где 6=262/5.

Численный метод решения уравненийу Цинь Цзю-шао^ Ли Е и Чжу Ши-цзе

В книге Цинь Цзю-шао к уравнениям четвертой степени и выше приводят задачи на вычисление площадей, а также задачи на измерение расстояний до недоступных предметов.

Мы рассмотрим здесь задачи, посвященные биквадратным уравнениям, которые решены как уравнения четвертой степени. К этим же задачам относится еще одна, расположенная особо, в свитке IV — это задача 1.

Задача 1 свитка V — первая из группы задач на метод численного решения уравнений высших степеней. Задача проста и лаконична по своему условию, решение ее тривиально. Метод детально описан: задача сопровождается правилом, в котором даны алгоритмы коэффициентов уравнений; вычислениями, которые сначала описаны шаг за шагом, а затем представлены схемами и комментариями к ним. Условие задачи снабжено рисунком. Тем не менее в тексте средневекового автора нет пояснений о том, как составлялось само уравнение.

«Определение площади остроугольного поля.

Задача. Имеется некоторое поле с парой пиков. Длина каждого из пиков не одинакова. Пара больших наклонных по 39 бу. Пара малых наклонных по 25 бу. Ширина в середине 30 бу. Как узнать его площадь? Ответ: Площадь поля 840 бу» [105, с. 117].

Итак, задана фигура (рис. 18), составленная из пары равнобедренных треугольников с общим основанием, с площадями S】 и S2, т. е. известны а=39,匕=25, di = 30. Следует определить площадь фигуры

S = Si +S2 =彳 4d2， г^ё 历1十万2 = d2・

Вычисления здесь могли быть простыми:

А1 = 7392 — 152 = 36, 卷=V252 —152 = 20, & = 36 十 20 = 56,

S = 30 • 56 = 840.

В нашихВ нашихОтвет получен однозначно.

В наших

В наших

Однако Цинь Цзю-шао предлагает другое решение, обозначениях оно выглядит следующим образом.

корня уравнениякорня уравненияПусть S=jS\+S2, тогда S2 = a+2S1jS2, где a=S；+S^・

корня уравнения

корня уравнения

Еще раз возведем в квадрат:

(审一a)2=4司现，

или

S& _ 2as2 -4-a2 — 45252 = 0.

Если положить Sl~S^=^, то величина 必一4S涉^ = 02, и тогда

S4—2aS2+俨=о,

где неизвестная величина S является корнем уравнения, наибольшим положительным, т. е. выбранным «дважды с плюсом». Четыре

выражаются формулой:

S= ± 九 土 y^TZji= + /381600 ± V3816002 —201600"=：

=土 V381600 土 324000,S'=±840, S〃=±240・

Отрицательные корни не имеют смысла, меньший положительный корень не подходит по условию задачи. Математики XIII в., насколько известно историкам, полагали, что уравнение любой степени имеет один корень. Имеются сведения, что в Китае множественность корней у нелинейных уравнений впервые отметил лишь математик XV в. У Цзин в книге «Полная классификация математических методов сочинения в девяти книгах» (Цзю чжан суанъ фа би лэй да цюанъ).

Действительно, в тексте описано именно такое уравнение четвертой степени, правда, с противоположными знаками:

-S4+2aS2—R2=o；

Цинь Цзю-шао описал алгоритм коэффициентов этого уравнения и вычислил их. Текст задачи содержит еще подробные схемы вычислений. Схемы снабжены подробными пояснениями каждой операции с числами таблиц, каждая из которых эквивалентна записи уравнения в наших обозначениях.

«Способ: взяв [метод] шао-гуан, ищи это. Примени метод фань. Установи половину ширины, саму на себя умножь, это квадрат половины. Вычти его из квадрата малой наклонной, перемножь^ это малый коэффициент. Квадрат половины вычти из квадрата большой наклонной, перемножь, это большой коэффициент. Вычти один из другого, остаток сам на себя умножь, это делимое. Сложи оба коэффициента, удвой, это цзун шан лянь. В качестве и юй возьми единицу. Извлеки методом^фань трехкратный корень^ получишь площадь».

Указание в первой фразе на метод шао-гуан свидетельствует о том, что автор рекомендует для решения задачи применить метод Горнера. Термин древний употреблялся еще в «Математике в девяти книгах» для названия класса задач на извлечение корней, а также задач на прямоугольники, у которых заданы (одна и та же) площадь, равная 1, и одна из сторон; требуется найти другую сторону, причем заданная сторона постепенно увеличиваете只， а искомая соответственно уменьшается — отсюда его название, которое в переводе обозначает «уменьшение-увеличение». Для численного метода решения уравнений высших степеней Цинь Цзю- шао заимствует именно этот термин, а не общепринятый в дальнейшем термин тянъ юань шу («метод небесного элемента»), хотя название «небесного элемента» встречается в этой же книге, но относится к другому методу.

Последняя фраза правила говорит об «извлечении» корня четвертой степени. К этой фразе сделано примечание: «Если корень извлекается из однопозиционного числа, то метод фань употреблять не надо».

В наших обозначениях алгоритм представляется таким. Сначала вычисляются квадраты площадей S? и S^, они называются соответственно «малым» и «большим» коэффициентами. Мы не будем здесь цитировать вычисления и схемы, приведенные у Цинь Цзю-шао, поскольку текст понятен, а вычисления представляют собой описание последовательных действий: &/2=15, (d1/2)2=225, ^ = 625,傍=400,费=展(厶/2)2=90000 и т. д.

При помощи вычисленных малого и большого коэффициентов далее вычисляются «делимое» Р2 (или свободный член уравнения), цзун шан лянь 2а (коэффициент при квадрате неизвестного) и полагается равным 1 коэффициент при 4-й степени неизвестной:

俨=(52 — 52)2 = 40642560000,2а = 2 (5f +5|) = 763200.

Итак, мы получили такое же уравнение, как в нашей реконструкции, только с|противоположными знаками:

-d+76g200况 2—*642560000 = 0f

где x—S. Относительно знаков Цинь Цзю-mao пишет — это единственное место во всей книге, где он говорит о знаках:

«Схемы положительных, отрипательных [знаков] при извлечении корня четвертой степени.

Способ: частное обычно положительно, делимое обычно отрицательно, „цзун^ обычно положительно, ”〃“ обычно отрицательно».

Таким образом,《цзун》означает здесь и всюду далее положительный знак величины, а «и» ——отрицательный. Исходная схема для составленного уравнения такая (табл. 33).

Здесь знаки мы поставили современные: в тексте же, которым мы пользовались, стоят соответственно иероглифы «цзун» и «и». Но китайский историк Ли То

0

частное

—40642560000 0 763200 0

—1

делимое сторона цзун шан лянь пустой ся лянь и юй

Таблица 33Таблица 33свидетельствует, что в оригинале у Цинь Цзю-шао числа были написаны тушью разного цвета: положительные — красной, отрицательные ——черной.

Таблица 33

Таблица 33

Алгоритм извлечения корня, или нахождения корня уравнения, начинается следующей рекомендацией.

«Способ перешагивания [по

разрядам].

[Числом] цзун лянь перешагни через один разряд, [числом]

и юй перешагни через три разряда, раздели частное, получишь десятки. Теперь вновь перешагни по разрядам влево, и тогда в частном установи сотни. [В строке ] цзун шан【лянь будет 7632000000, [в строке ] и юй будет 100000000. Раздели делимое, установи в частном 8 сотен, это фиксированное частное».

После таких передвижений чисел в два приема по разрядам получается схема (табл. 34).

Заметим, что у Цинь Цзю-шаоТаблица 34

800

частное

—40642560000 00 7632000000

—10000D000

делимое сторона шан лянь

и юй

предыдущая схема отражает движение по разрядам на первом шаге. Движение цифр по разрядам означает подстановку 个=彳00 夕，от которой получается уравнение

-100000000z/4++7632000000z/2—

——40642560000=0.

Такая подстановка производится для того, чтобы корень уравнения можно было представить однозначным числом, которое следует определить подбором из ряда 1, 2, 3, . . ., 9. Таким образом, если заданное уравнение имело трехзначный корень ^=ада2а3, то это уравнение будет иметь корень у=а1,а2,а3, целая часть которого по предположению равна 8. Далее осуществляем подстановку y=8+z и переходим к уравнению

ф (z)=0,коэффициенты которого и находятся по схеме Горнера. А затемснова подстановкой z = 10u переходим к уравнению С (〃)=0, у ко-

торого целая часть корня снова однозначна и опять-таки находится подбором: и = а2,а3.

Теперь изложим задачу, о которой историки науки всегда упоминают, когда говорят о Цинь Цзю-шао. В этой задаче решается уравнение 10-й степени, самой высокой степени, которая встречается у этого автора.

Условие этой задачи является обобщением задачи 20 книги IX «Математики в девяти книгах», о которой выше подробно написано (см. § 15 этой главы).

«Измерение круглой городской стены издалека. Задача о круглой городской стене неизвестного обвода и диаметра. Четверо [eel

Рис. 19Рис. 19ворот просматриваются из центра. За се- верными [воротами] вне [города] в 3 ли [от них] имеется высокое дерево. [Если! выйти из южных ворот и, повернув на восток, пройти 9 ли, [то] тогда можно увидеть дерево. Как узнать обвод и диаметр стены? Ответ: Диаметр 9 ли, обвод 27 ли» [105, с. 183, задача 2 свитка VIII ].

Рис. 19

Рис. 19

Примечание к вопросу в задаче: «Для круга применить древний метод», что означает употребить число 冗=3 (рис. 19).

Уравнение составляется следующим образом:

Упятери [число ]Упятери [число ]«Способ: ищи это с помощью гоу-гу и ча-люй. В качестве цзун юй возьми 1. ли за северными [воротами], это будет

Упятери [число ]

Упятери [число ]

цзун ци лянь. Установи квадрат [числа ] ли возле северных [ворот], увосьмери, это будет цзун у лянь. Квадрат [числа] ли [возле] северных [ворот] будет положительным к о эффициентом. Взяв квадрат ходьбы на восток в качестве отрицательного коэффициента, разность двух коэффициентов учетвери, умножь на [число ] ли у северных ворот, это будет и цзун сашгтгянь. Удвой отрицательный коэффициент, умножь на у лянь, это будет и шан лянь. Северные ли умножь на шан лянь, это будет делимым. Извлеки корень 9-й кратности, получишь число. Умножь его на себя, будет диаметр. Утрой диаметр, получишь обвод» [Там жеЬ_ Сразу же отметим, что здесь делимое вычисляется последним.

Названия коэффициентов уравнения

力i°+15/8+72%6—864及—11664/2_34 992=0,

где корнем является 况=3 и 力2=。, следующие:

цзун юй. коэффициент при 力i°: 1;

цзун ци лянь, коэффициент при х8: 56 = 15,

цзун g лянъ, коэффициент при xQ: 8&2=72,

и санъ лянъ, коэффициент при 况《：4 (6?——а2) 5=864, и шан лянъ, коэффициент при х2: 2а2-8Ь^~——11664, ши, делимое, свободный член 力°: & (16а2&2) =——34992.

Напомним, что здесь цзун ——отрицательное, и ——положительное, величина ——а2 названа отрицательным коэффициентом, &3 — положительным коэффициентом, при вычислениях специально отмечается, что разность Ь2 ——а2 ———72 является отрицательной разностью (фу ча). В схемах возле чисел словами всякий раз пишется иероглиф для знака. Например, в одной из схем: положительное — чжен, отрицательное — фу, пусто — сюй.

Заметим, что в этой задаче схемы вычисления коэффициентов уравнения явно отделены от схем извлечения корня, т. е. нахождения корня уравнения. В тексте сказано: «схемы, указанные выше, связаны с отысканием коэффициентов; схемы, следующие ниже, связаны с извлечением корня».

Название «Метод небесного элемента» (тп兄мь юань шу) закре* пилось в китайской математике за методом численного решения уравнений высших степеней. Впервые мы находим этот термин в сочинениях Ли Е: «Морское зеркало измерений круга» и «И гу янь дуань». Ли Е употребляет термин «тянь-юань» в качестве неизвестного, которое мы теперь обозначаем символом х. Таким образом, в своем первоначальном смысле «тянь-юань шу» обозна* чал метод составления уравнений по данным задачи, а не мето“ получения корня уравнения, который в древней китайской математике назывался шао-гуан. Напомним, что в «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао термин тянъ-юанъ употребляется в части, посвященной решению задач с остатками (системы сравнений по модулю), и имеет там свое значение. В местах, где применяется метод Горнера, этого термина нет и правило названо шао-гуан. Такое название носит книга IV в «Математике в девяти книгах», она посвящена извлечению квадратных и кубических корней.

Мы не можем утверждать, что термин был предложен Ли Е, весьма возможно, что он употреблялся до него. Известно, однако, что Ван Сяо-тун не применял этого термина. Как полагает Цянь Бао-цун, следует считать терминологию установившейся при* мерно за 100 лет до Ли Е.

Историки китайской математики обычно сопоставляют творче* ство Ли Е и Цинь：Цзю-шао, живших в одно время и работавших над одной проблемой. Однако Ли Е основное внимание в своих трактатах уделял составлению уравнений по данным задачи, тогда как Цинь Цзю-шао подробно описывал вычисление корня уравнения. Удачное в истории науки дополнение одного текста другим.

Терминология и символика, применявшиеся Ли Е, были, по* видимому, разработаны им самим независимо от Цинь Цзю-шао, и в первом сочинении Ли Е отличаются от терминологии и символ лики Цинь Цзю-шао. Коэффициенты уравнения Ли Е располагал один под другим, начиная со старшего, так что свободный член помещался внизу. Напомним, что при изображении линейных систем в «Математике в девяти книгах» свободные члены также

йомещались внизу. Строки (т. е. наши столбцы) с коэффициентом при первой степени неизвестного и со свободным членом соответственно помечались иероглифами юань («элемент») и тай («предел»). На самом деле, достаточно отметить одну строку, чтобы можно было ориентироваться среди коэффициентов уравнения. Для отсутствующих коэффициентов, разумеется, использовались пустые места. Например, уравнение

公+15炉+66/—360=0

в книге Ли Е изображалось в таком виде:

1

—

lllll

丄

т

Элемент /тань)

III

X

о

ПреЗел (та立)

Отрицательные числа у Ли Е обозначались не цветом, как у Цинь Цзю-шао, а косой черточкой: перечеркивалась последняя значащая цифра в изображении отрицательного числа.

Если имелись строки ниже строки «предел», то числа в них обозначали отрицательные степени неизвестного.

Однако для решения уравнения удоб

нее было бы пользоваться способом представления уравнения, которым пользовался Цинь Цзю-шао. Вероятно, поэтому Ли Е в более поздней работе перешел к такому способу.

Сам Ли Е писал об употреблении математиками средневекового Китая как той, так и другой формы представления уравнений. Он указывает девятнадцать иероглифов для употребления степеней и отмечает, что если принять иероглиф женъ за обозначение свободного члена, то девять иероглифов до него будут обозначать степени гс, гс2, ж3, . . ., а после него ——отрицательные степени

Дальнейшее развитие «метод небесного элемента» получил й сочинении Чжу Ши-цзе «Яшмовое зеркало четырех элементов».

В начале книги Чжу Ши-цзе дает правило образования коэффициентов разложения бинома, или треугольник Паскаля, не

ссылаясь при этом на предшественников, но и не указывая, что это достижение принадлежит ему самому. Он называет эту диаграмму «Схемой для извлечения корней во все времена» (Цзинъ-гу кай-фан хуэй-яо-чжи ту),

Чжу Ши-цзе применяет тот же порядок расположения коэффициентов уравнения / (%)=0, что и Цинь Цзю-шао, к которому пришел и Ли Е: свободный член находится наверху, ниже его помещаются степени неизвестного в порядке возрастания. Отрицательные коэффициенты в книге Чжу Ши-цзе, как у Ли Е, пере- черкнуты косой чертой.

Самым большим достижением Чжу Ши-цзе было распространение «метода небесного элемента», применяемого до него только к уравнению с одним неизвестным, на линейные системы с несколькими неизвестными (вплоть до четырех,——отсюда название сочинения). Четыре неизвестных он называет: «небесным элементом» (тянъ юань), в наших обозначениях 力,«земным элементом»

(ди юань) — ^, «человеческим элементом» (женъ юань) — z и «вещественным элементом» (у юань) — и. При расположении коэффициентов в схемах в центре помещается свободный член, в случае его отсутствия ставится иероглиф тай («предел»). Мы обозначаем его звездочкой. Вниз от тай расставляют коэффициенты при х и его степенях, вверх ——при и и его степенях, слева ——при у и его степенях, справа — при z и его степенях; в точках внутри полученных углов с целочисленными координатами ставятся коэффициенты при соответственных произведениях степеней ху и az, уи и z〃, а между ними ставили коэффициенты при остальных произведениях. Приведем пример записи Чжу Ши-цзе многочленов;

x+y+z+щ'

ж2+调+纟2+〃2+2切+2z〃+2у〃+2 力z;

17 * I17 * I1

1

7 * I

1

7 * I

2 0 2

1。*01

Z 0 Z

Часть пятая

ГЕОМЕТРИЯ.

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВК ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

Здесь рассмотрены методы, которыми пользовались при решении различных задач прикладного характера. Это задачи на измерение земельных участков, объема работ при строительстве сооружений разного рода (задачи практической геометрии), в которых измеряется расстояние до недоступных предметов, измеряются их размеры. Это проблема, связанная с вычислением числа 冗, которая была выделена древними учеными при решении геометрических задач.

Существует обоснованный взгляд на китайскую математику (а также вообще на восточную) как на вычислительную, для которой характерны алгебраические методы. Отсутствие же сочинений типа евклидовых «Начал» служит основанием для того, чтобы считать, что в древнем Китае геометрии не было. Мы старались показать недостаточность такой характеристики.

Глава первая

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

. «Измерение полей». Древняя классификация фигур

Наше слово «геометрия» происходит от греческих слов «гео» — «земля», «метрео» — «измеряю» и обозначает «землемерие». В древнекитайских источниках аналогом этого термина является выражение фан тянъ ——«измерение полей». Так именуется книга I классической «Математики в девяти книгах», посвященная нахождению площадей различных геометрических фигур [50, с. 445]. Китайский иероглиф тянъ изображает поле, разделенное оросительными каналами, а в математических текстах обозначает плоскую фигуру и ее площадь. Древнекитайские задачи на измерение полей заканчиваются стандартным вопросом: «Спрашивается, каково поле?», не содержащим специального термина «площадь». Происходит это потому, что общего термина «площадь» еще не было; слово «поле» выступало в роли такого термина, но только отчасти. В древнекитайских правилах, описывающих отыскание площади плоской фигуры, употребляется также термин цзи ——«груда,

совокупность», в математическом тексте его можно перевести как «произведение» заданных линейных размеров (сторон, высот и др.), он употребляется также для обозначения объема тел. Заметим кстати, что древнекитайские тексты не фиксировали размерности единиц: ни квадратных, ни кубических. Это показывает, что термин цзи для площади или объема возник среди вычислителей. В дальнейшем им долгое время пользовались, и он вошел в современный язык: «площадь» ——мянъцзи, буквально «плоское произведение», объем — тицзи, буквально «объемное произведение».

Еще в древности термин цзи вызывал различное толкование. Лю Хуэй в комментариях к книге «Измерение полей» «Математики в девяти книгах» писал: «Это цзи означает площадь поля [тянъ ми], если перемножить ширину и длину, то получишь площадь [лш]» [100, т. I, с. 67]. Лю Хуэй предпочитал пользоваться термином ми — «поверхность, покрывало», который впоследствии Ван Сяо-тун применял для квадрата числа.

С площадью фцгуры в древности была связана и классификация 4)игур. Она была проведена на основе вычислительного принципа, хотя названия фигур брались не только из землемерия, но и из других областей жизни (например, по-китайски треугольник назывался «фигурой в виде яшмы», а сегмент круга — «луком для Стрельбы》).

В древней классификации за основную фигуру был принят прямоугольник, у которого было достаточно простое и в то же время общее правило для вычисления площади: произведение его ©Торон, или, в древних терминах (как китайских, так и вавилонских), «ширина», умноженная на «длину». Квадрат рассматривалея как частный случай прямоугольника. В китайских задачах из 《Математики в девяти книгах», где собран наиболее древний материал, как прямоугольное, так и квадратное поле названы просто 《нолем». В трактате V в. н. э., написанном для чиновников-практиков, уже зафиксированы два. разных термина: фан тянъ — «квадратное поле» и чжи тянъ — «прямоугольное поле». Как видно, изучение геометрических свойств фигур потребовало введения более точного их названия. К термину «поле», означавшему плоскую фигуру вообще, прибавляли какое-либо определение, чтобы обозначить тип фигуры. Например, «поле в виде яшмы» (гуй тянъ) означало треугольник, а «косое поле» (се тянъ) — трапецию. Для определения площади треугольника предполагалось перемножить «ширину» и «прямую длину», т. е. высоту, и взять половину этого произведения. Таким образом, треугольник был ориентирован относительно вычислителя: заданная сторона служила основанием. Треугольник мог быть произвольным или прямоугольным, в последнем случае высота оказывалась одной из его сторон. Случай прямоугольного треугольника впоследствии был выделен особо, и для него в древнекитайском языке существовала специальная терминология.

Правило определения площади трапеции выражено в тех же терминах: произведение полусуммы параллельных сторон (осно-

16 Э. И. Березкина

241

N

ваний) на высоту ——фразой со словами «прямая длина» или «прямая ширина» вместо высоты и соответственно две «ширины» или две «длины». Мы видим, что это «поле» также ориентировано относительно вычислителя: если параллельные стороны горизонтальны,, это «ширины», задана «прямая длина», если же параллельные стороны вертикальны, задана «прямая ширина» (рис. 20, а, 6).

Особо рассматривались равнобочные трапеции, называвшиеся «полем в виде совка», с верхним основанием («ширина кончика языка»), гораздо большим нижнего («ширина основания языка»), и высотой, большей верхнего основания. Таким образом, такая трапеция имеет вытянутую форму вдоль своей высоты (рис. 20, б).

Древняя классификация фигур описывала только три вида их: прямоугольники, треугольники, трапеции. Не выделялся, как говорилось выше, квадрат, а также параллелограмм, ромб и другие виды многоугольников. Например, правильные многоугольники были известны довольно рано, однако их нет даже во всеобъемлющей «Математике в девяти книгах», видимо, потому, что они редко применяются в землемерии. На самом деле, если вспомнить самый древний текст с вычислениями площадей — надписи на стенах храма Гора в Эдфу, где перечислены только четырехугольники и треугольники, то следует согласиться, что возможное разбиение какого-то участка земли на поля происходило главным образом на произвольные четырехугольники и треугольники (одна сторона равна нулю), при этом первые не очень отличались от прямоугольников, а вторые — от прямоугольных треугольников. В таком случае «неверные» формулы вычисления площадей таких полей:

где 〃，b, j d ——стороны четырехугольника, следует рассматривать в качестве довольно хороших приближенных значений (рис. 21). Вместо «ширины» и «длины» брались средние арифметические двух противоположных сторон, рассмотренных как пара измерений (а, Р). Такое правило было весьма популярным, его обнаружили у всех древних народов с первоначальным развитием математических значений (см., например, [75]).

Со временем правила измерения площадей становятся точными за счет того, что рассматриваются только такие фигуры, как прямоугольники, треугольники, трапеции, площади которых научились вычислять. Древнекитайская «Математика в девяти книгах» показывает, что к области точных формул относили также вычисление площади круга и его частей: сектора, кольца, причем пользовались значением числа 冗==3. Но площадь сегмента вынуждены были вычислять по приближенной формуле, которая свидетельствовала о том, что сегмент заменялся трапецией с таким же нижним основанием, как у сегмента, и с равными высотой и верхним основанием. В трактате пяти ведомств допускались и другие криволинейное фигуры с приближенными значениями площадей:

山叩ана

на 00H5 конце

Рис. 22

кроме произвольного четырехсторонника, там указаны также «доля» в виде рога, серпа (рис. 22, 0, е), в виде барабанов с выпуклыми и вогнутыми «боками» (рис. 22, а, б), в виде свирели и змеи (рис. 22, в, г). Некоторые из них заданы тремя значениями «ширины»: двумя основаниями и средней линией («талией»); и тогда в качестве ширины бралось среднее арифметическое трех измерений [52, с. 85].

Древнекитайская классификация фигур в качестве «поля» включает также круг, что на практике вряд ли может встретиться. Однако нетрудно представить, что круглой могла быть площадь, клумба, основание зернохранилища, часто имевшего цилиндрическую форму. Следовательно, требовалось правило нахождения площади круга, а также его частей, примыкающих к окружности. Они назывались по-древнекитайски «кривое поле» (ванъ тянъ), т. е. сектор; «поле в виде лука» (гуй тянъ), «дырявое поле» (хуай тянъ), т. е. кольцо. Такие термины прочно вошли в обиход и употребляются до сих пор с той разницей, что вместо иероглифа «иоле», как упоминалось выше, употребляется син. Древние китайцы, как и греки, называли окружность словом «обвод», которое означал также и часть окружности. В определении площади круга самым примечательным было то, что задавались две величины: «обвод» и диаметр. Вниманию вычислителя предлагались четыре

формулы, методически перечисленные в «Математике в девяти книгах». Первой из них было произведение полупериметра круга на половину диаметра. Остальные были вариантами этой формулы. Как указал еще комментатор «Математики в девяти книгах» Лю Хуэй, первая формула устанавливала равенство площади круга с площадью прямоугольника, сторонами которого являются полуокружность и радиус. Древнее задание круглого поля сопровождалось заданием двух величин, хотя было известно, что они зависимы (величины задавались в предположении, что 冗=3). Причиной задания избыточных данных были потребности измерения; с этой точки зрения было безразлично, рассматривать круг или сектор, отсюда один термин «обвод» и для дуги и для окруж- ности. По той же причине первоначально не было понятия радиуса, оно появилось позже и было производным от диаметра. В современном китайском языке радиус и до сих пор называется банъцзин —— «полудиаметр)>. В древних же правилах и задачах говорится только о диаметре, и деление его пополам указывалось особо всякий раз. Отметим, что формула произведения полудиаметра на полуокружность отличалась от формулы четверть произведения диаметра на длину окружности.

Приведем одну задачу из «Математики в девяти книгах»: «Имеется круглое поле, обвод его в 30 бу. Диаметр 10 бу. Спрашивается, каково поле?» [50, с. 445]. Остальные задачи с более сложными дробными числами.

Таким образом, казалось бы, самые простые понятия круга, радиуса, прежде чем стать вполне абстрактными, прошли долгий путь развития. Практические задачи получали математическую обработку, их классифицировали в зависимости от методов решения, и в этом процессе выкристаллизовывались понятия геометрических фигур и тел.

Что касается геометрических тел, рассматриваемых в древности, то их названия были вполне сопоставимы с названиями конкретных сооружений или предметов: «беседка», «сцена-помост», 《шило», «клин» и др. В китайской «Математике в девяти книгах» тела описаны парами: параллелепипед и цилиндр, пирамида и конус, усеченные пирамида и конус, а также различные виды приз- матоидов и, конечно, сфера.

Вычислит ел ьные задачи. Приближения

Самыми древними задачами, которые приводят к рассмотрению геометрических те% являются расчетные задачи древних «инженеров». В древних речных цивилизациях приходилось подсчитывать объемы таких сооружений, как дамбы, плотиныг насыпи, крепостные стены, каналы и рвы. Их представляли в виде некоторого призматоида заданной «длины», у которого в сечении была трапеция, т. е. фигура с «верхней» и «нижней шириной», «высотой» или «глубиной» ——в зависимости от характера соору-

жений. Приведем пример из древнекитайской «Математики в девяти книгах» (задача 6 книги V):

«Имеется крепостной ров. Верхняя ширина 1 чжан 6 чи 3 :цунн, нижняя ширина 1 чжан, глубина 6 чи 3 цуня, длина 13 чжанов 2 чи 1 цунь. Спрашивается, каков объем?» [50, с. 472].

Здесь описано тело, изображенное на рис. 23 с указанными на нем размерами. Объем тела подсчитывается по правилу, эквивалентному формуле

В условиях задач термина для тела нет. Правило сформулировано в общем виде и относится к «крепостной стене, плотине, каналу, крепостному рву, канаве». Такого рода задачи, как правило, даны в сопровождении дополнительных расчетов (см. условия задачи 21 книги V «Математики в девяти книгах»):

«Носят землю на расстояние в 70 бу. Из них 20 бу в гору и под гору. [Каждые] 2 бу в гору и под гору составляют 5 [бу] по ровной дороге. Из-за столкновений на расстояние в 10 [бу] прибавляется 1 [6g]• Транспортировка производится на расстояние в 30 бу. Установленная [норма ] для одного раза туда и обратно [получается равной] 140 бу. Объем [одной] корзины 1 чи 6 цуней земли. Осенью [каждый] человек должен выработать 59 с половиной ли. Спрашивается» какой объем [земли] в чи перенесет [один] человек и сколько потребуется людей, [чтобы перенести вычисленный объем земли]?» [50, с. 476].

Эта задача, рисующая во всей полноте грандиозную картину массовых трудовых работ в древнем Китае, показывает, что порою древнему вычислителю приходилось производить сложные расчеты с учетом многих компонентов. Геометрическое содержание таких задач «тонуло» в море вычислений. Но древнйй математик сумел его выделить и сформулировать в указанном выше виде.

Форма призматоида, конечно, была идеализированной и могла быть далека от физически реального объекта. И, вероятно, более древними задачами были те, в которых применялись приближенные расчеты объема, их аналогом в планиметрии была формула для произвольного четырехсторонника (см. с. 242). Объем тела (рис. 24) вычислен по правилу, равносильному формуле

TT _ I+仇丄a2 +瓦 +力2厶+ 222 I 2~-2 2~•

Здесь иногда 乙尸厶川，может быть 瓦=瓦=无，т. е. размеры тела взяты в среднем. Иногда содержатся и такие расчеты, по которым нельзя восстановить чертеж сооружения: линейные размеры его таковы, что призматоида не получается [21 ].

Таким образом, в древности ставилась своего рода альтернатива: либо геометрическая модель, возможно более близкая к физическому объекту, и пользование приближенной формулой для ее объема: либо точная формула для объема правильного геометрического тела, которое менее точно представляет сам

Рис. 24Рис. 24

Рис. 24

Рис. 24

объект. Понятно, что древних «инженеров» удовлетворяли приближенные формулы, а точные более интересовали «чистых» математиков. Поэтому надо полагать, что в китайских текстах в отличие от вавилонских задачи содержали точное вычисление объемов. Приближение производилось за счет геометрической формы. Расчеты, сопровождающие задачи, с учетом сезонных норм труда и других условий работы были данью традиции, равно как заголовок китайской книги: «Оценка работ». В древнеегипетских и вавилонских|задачах основными были также расчеты рабочей силы, требующейся для производства земляных работ.

Рис. 23

Отметим, что в задачах этого класса сохраняется измерительно-расчетный характер терминологии, аналогичной терминологии задач на измерение полей. Вместо современных терминов «сторона», «высота», «ребро» и т. д. употреблены термины «ширина», «длина», а высота может быть и «глубиной». Названия линейных размеров тела зависят от положения тела относи- тельно вычислителя. Аналогична терминология для других тел: параллелепипеда, цилиндра, пирамиды, конуса и т. д. Здесь также применены термины: ширина, длина, глубина (или высота). Названия, данные телам, не всегда переводятся однозначно, поскольку древних значений этих слов мы не знаем. По-видимому, они обозначали какой-то реальный объект, по форме напоминающий рассматриваемое геометрическое тело.

Объемы

Мы начинаем исследование с объемов и тем самым придерживаемся самой истории: знания человека в своем развитии не соблюдали индукции 〃=2, 3, • • •

Простейшие тела, рассмотренные в книге V «Математики в девяти книгах», наиболее систематическом древнем тексте, в котором вычислены объемы, — это параллелепипед (заметим, что не куб) и цилиндр, пирамида и конус, усеченные правильная пирамида и конус. При этом для тел вращения обычно принимается значение числа 冗=3 и формулы, которыми мы пользуемся

теперь. Пары, образованные таким образом, обусловлены древней терминологией. Параллелепипед и цилиндр ——это «подмостки»г усеченные пирамида и конус ——«беседки», а пирамида и конус —— «шило» (термин сохранился и поныне), соответственно квадратные и круглые, так как в основании лежит либо квадрат, либо круг. В текстах ничего не говорится о том, как были получены формулы для объемов этих тел. По-видимому, объемы тел вращения были получены по аналогии с соответствующими им много- гранниками заменой площадей оснований. Таким образом, классификация тел также основана на потребностях вычислений.

Рис. 25. Тело цзянъ-дуРис. 25. Тело цзянъ-дуРис. 26. Тело чу-мэнРис. 26. Тело чу-мэн

Рис. 25. Тело цзянъ-ду

Рис. 25. Тело цзянъ-ду

Рис. 26. Тело чу-мэн

Рис. 26. Тело чу-мэн

После основных тел приводятся вычисления объемов призм разных видов, которые производились при помощи разбиения на составляющие части. При этом нельзя было обойтись без тождественных преобразований и принимаемого интуитивно постулата о том, что сумма объемов частей равна объему целого.

Например, объем трехгранной призмы—^тела, которое напоминает стену у крепостного рва цзянъ-ду изображенного на рис. 25, вычисляется по формуле %=^а无Z, где значения букв указаны на чертеже. Эта призма разбивается на две пирамиды: ян-ма. т. е. бита из кости рысака (в основании прямоугольник со сторонами л и Z), и бе-нао, т. е. черепашья кость такой формы (в основании треугольник с катетами а и 九).Объемы этих пирамид соответственно даны в предыдущих задачах: %=^〃历，V3=^ ahi. Согласно комментариям Лю Хуэя эти объемы определяются, если дополнить трехгранную призму до параллелепипеда, в частном случае до куба, объем которого указан в задаче 8 книги V «Математики в девяти книгах». Итак,卩1=%+卩3,卩2= 4■卩;匕=

1

V, Уг = у V. Отсюда следует, что тело в виде правильной усеченной пирамиды и вообще тело чу-тун (стог сена) типа обелиска (неправильная усеченная пирамида с основаниями в виде прямоугольника) может быть разделено на параллелепипед, четыре цзянъ-ду (стены), четыре ян-ма (биты) и еще небольшой парал-

лелепипед — брусок. Но возможно, обелиск разбивали по-другому. Для этого достаточно провести плоскость сечения через два противоположных ребра верхнего и нижнего оснований. Объемы таких тел, которые по-китайски называются чу-мен (черепичная крыша), вычислять умели. Правило для него указано в задаче 18 книги V «Математики в девяти книгах»: «Удвой нижнюю длину, присоедини верхнюю длину, умножь на ширину, еще умножь на высоту, разделив на 6, возьми 1 раз». Это правило выражается формулой

р (2%i + %2)ah

Рис. 27. Тело цюй-чиРис. 27. Тело цюй-чиРис. 28. Тело сянь-чуРис. 28. Тело сянь-чу26). Объем этого тела мог быть

Рис. 27. Тело цюй-чи

Рис. 27. Тело цюй-чи

Рис. 28. Тело сянь-чу

Рис. 28. Тело сянь-чу

вычислен и как сумма трех тел: двух ян-ма (биты) и одной цзян-ду (стены) или как сумма двух тел: бе-нао (черепашьей кости) и ян-ма (биты). Следует указать, что в последнем случае вопреки Лю Хуэю надо считать, что у ян-ма (биты) и бе-нао (черепашьей кости) более общий вид: две, а не три грани совместного тела чу-мэн (черепичная крыша) перпендикулярны друг другу.

Что касается тела цюй-чи (изогнутый ров), то оно типа обелиска, но изогнутое. Не нарушая общности предложенной формулы:

昨昨(2"1 + a2)61 + (2优2 + 优1)62

昨

昨

6

приa1 (Cj. + q)/2,么一=厶,:1 a2 (。2 +e2)/2，力2==d2 (рие. 27), можно также полагать, что это — тело, похожее на полый усеченный конус.

Для полноты анализа древнекитайских материалов укажем, что в книге V «Математики в девяти книгах» вычислен объем клинообразного тела сянь-чу (восхитительная ступенька) по формуле

卩=|■历(〃 + ь + *

где линейные размеры указаны на рис. 28. Возможно, что ©та формула^была получена таким образом:

V — ^lhaV — ^lha$ 友a +節血 +^ clh=^ 儿(a+ 6+0).$ 友a +節血 +^ clh=^ 儿(a+ 6+0).

V — ^lha

V — ^lha

$ 友a +節血 +^ clh=^ 儿(a+ 6+0).

$ 友a +節血 +^ clh=^ 儿(a+ 6+0).

Площади

С вычислением площадей дело обстояло аналогично. В книге I

«Математики в девяти книгах» сформулированы правила вычисления площадей для основных фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции, круга и его частей: сектора, сегмента, кольца. Вероятно, предполагалось, что остальные фигуры, в том числе параллелограмм, могут быть составлены из простейших. В основе определения площадей также лежал интуитивный постулат о том, что сумма площадей частей равна площади целого. Правила

вполне совпадали с современными формулами, если только полагать 冗=3・ Исключение составляет формула для площади сегмента: 5==1/2 (А2+аД), где а — основание сегмента, h—его высота (см. рис. 17).

Принимая площадь прямоугольника за постулированную (единица площади определена и установлена в задаче 1 книги I «Математики в девяти книгах»), Лю Хуэй в своих комментариях

приводит вывод формул площади треугольника и трапеции с помощью принципа дополнительности (〃м пу 弘^) («добавить-

66Рис. 29Рис. 29убавить»), т. е. достраивает эти фигуры до прямоугольника, как достраивали — мы видели в предыдущем параграфе — призму или пирамиду до параллелепипеда. Очевидно, произвольные треугольники и трапеции могли быть составлены из прямоугольников, как показано на

6

6

Рис. 29

Рис. 29

треуголь«треуголь«рис. 29. При выводе формул для площадей фигур при этом необходимы тождественные преобразования. Ясно, что для

треуголь«

треуголь«

ника и трапеции нужны дополнительные построения:

Зтреуг = ^ (2S] + 2s2)= ^ (〃 一 N)ь + ^ 励=^ 而,S^ = bh + ^^ = bhr^ + x^^

где х1-{-х2=а—&.

Древние понятия площади и объема

Каковы；6ыли понятия площади и объема в древности? Конечно, они не были основаны на понятиях современного математического анализа, но все же были достаточно абстрактными категориями, связанными с понятием геометрической фигуры или тела, отвлеченными от конкретных объектов, с которыми человек имеет дело. Каким образом это происходило, мы видели в предыдущих параграфах.

По-видимому, первичным понятием, связанным с реально существующими вещами, была емкость, а понятия объема и даже площади были вторичными, производными от первого. Емкость сосуда для сыпучих и жидких тел ——вот что прежде всего интересовало древнего математика. За единицу измерения площадей принимался участок земли, на который высевалась стандартная мера зерна.

ПЛИaZРис. 30ПЛИaZРис. 30С точки зрения древнего математика, интуитивно (явных определений мы, конечно, не найдем) под площадью и объемом понималась некоторая числовая характеристика. Мы уже упоминали, что долгое время для площади и объема существовал один термин. Измерить площадь фигуры / означало вычислить, сколько единиц элементарной площади содержится в ней. Такой процедуре посвящена, например, задача 9 средней книги метрологического трактата Сунь- цзы:

ПЛИ

aZ

Рис. 30

ПЛИ

aZ

Рис. 30

«Имеется фундамент дома, [у которого] с юга на север 3 чжана, с во-

стока на запад 6 чжанов. Если его выложить кирпичом так, что всякий раз на площади в 2 [кв.] чи укладывается 5 штук кирпичей, то спрашивается, сколько всего потребуется?» [49, с. 30].

Площадь прямоугольника ABCD (рис. 30) выражается фактически трижды. Сначала пользуются формулой для прямоугольника S=AD>AB=18 [кв.] чжанов=1800 [кв.] чи. Далее площадь выражается числом малых прямоугольников а# с площадью в 2 кв. чи: 5=900 штук. Полагаясь на другие геометрические задачи, мы считаем, что площадь в 2 кв. чи представляли в виде прямоугольника, подобного данному, одна сторона которого в два раза больше другой, а=20, где ?=1 чи. И в третий раз площадь заданного прямоугольника была выражена следующим образом: 5=4500 штук кирпичей, поскольку на каждых 2 кв. чи умещается 5 кирпичей. Правда, по правилу дается другая по- и „ 6*3» 100 • 5/

следовательность действии: -—4500, но тем не менее по

добные рассуждения о вычислении площади очень вероятны.

Задача 15 этой же книги сочинения Сунь-цзы указывает, что аналогично рассуждали при действиях с объемами:

«Имеется деревянный куб со стороной в 3 чи. Он распиливается на кубики со стороной в 5 цуней. Спрашивается, сколько получится кубиков?» [49, с. 30].

По этим задачам видно, что существовало достаточно развитое представление о квадрировании и кубировании. Следует отметить, что при этом преодолевали большую инерцию других менее абстрактных понятий. Еще во времена Сунь-цзы в III в. н. э. утверждены были единицы емкости и объемы выражались мерами сыпучих тел. Например, следовало определить объем зернохранилища определенного вида, который окончательно выражали не в кубических единицах, а в единицах емкости. В книге V «Математики в девяти книгах» выделена особо группа задач 23——25 на груду зерна, хотя конус уже был представлен до нее. Вот одна из них:

«На земле имеется куча проса. Нижний обвод 12 чи, высота 2 чи. Спрашивается, каков объем и сколько проса [в куче] » [50, с. 447]. Характерны числа в ответе: объем равен 8000 чи (число подобрано), проса в куче будет 2962 26/27 ху. Для перехода от кубических единиц к мерам емкости указан коэффициент: «Емкость [одного ] ху проса 2 чи 7 цуней» [50, с. 478]. По словам комментатора Лю Хуэя, этот коэффициент надо читать так: для проса меры в 1 州 нужен объем параллелепипеда с основанием, в 1 кв. чи и высотой 2 MM 7 цуней. Такова древняя скрытая размерность, которой, как кажется на первый взгляд, древние пренебрегали. На самом деле, обозначая линейными единицами площадь и объем, подразумевали двумерные или трехмерные единицы. Однако они представляли собой не квадраты и кубы, а полоски и бруски, характеризующиеся некоторой длиной и единичной стороной или площадью, на которых они построены. Заметим, что квадратная верста (кв. ли) специально определялась в задаче 3 книги I «Математики в девяти книгах».

Задача, которую мы сейчас приведем, показывает, как древние на первых порах скрупулезно отделяли понятие емкости от понятия объема. Книга V, о которой выше упоминалось много раз в связи с объемами, начинается следующей задачей:

«Имеется земляная яма в 10000 чи. Спрашивается, сколько будет утрамбованной и взрыхленной земли, каждой в отдельности?» [50, с. 471].

Обычный с точки зрения древнего чиновника вопрос, а вот ответ особенно интересен:

«[Объемы ] выкопанной ямы, взрыхленной земли, утрамбованной земли и вынутой земли относятся как 4 : 5 : 3 : 4. Взяв [объем] выкопанной ямы, ищи [объем] взрыхленной земли, разделив на 4/5. . .». [Там же].

Глава вторая

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Прямоугольные треугольники были выделены древними из треугольников вообще. Задолго до Пифагора было известно, что а24-&2 = с2, где а, b ——катеты, с ——гипотенуза прямоугольного треугольника. Хотя в сохранившихся папирусах мы не находим этого соотношения сторон прямоугольного треугольника, древним египтянам, по свидетельству древних греков, был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 ——так называемый египетский треугольник. В клинописных же текстах древнего Вавилона зафиксировано применение этой теоремы в общем виде, стоявшей в центре внимания древневавилонских математиков [57, с. 54; 17].

Древняя формулировка теоремы.Доказательство Чжао Цзюнъ-цина

В историко-математической литературе называют самые разные даты появления теоремы Пифагора в древнем Китае, и часто весьма ранние. Происходит это оттого, что сами тексты датируются по-разному и часто неточно.

Первое письменное свидетельство о теореме Пифагора мы находим в «Математическом трактате о гномоне». Согласно этому тексту еще в XII в. до н. э., а может быть и ранее, древние китайцы знали о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 и по крайней мере к VI в. до н. э. располагали теоремой в общем виде. Вот древний текст:

«Если же в угольнике принять ширину ——катет гоу за 3, и принять длину ——катет гу за 4, то поперечина, [соединяющая концы] угла, будет равной 5» [100, с. 14].

Как свидетельствует трактат, такую древнюю формулировку услышал Чжоугун Дань из уст сановника Шан Гао, который ссылается на еще более древнее время, когда легендарный Фуси (III тыс. до н. э.) «управлял Поднебесной с помощью чисел» [Там же].

Здесь употреблена древняя терминология, сохранившаяся и в дальнейшем. Основной термин древнего «искусства вычислений» ——это «угольник» (цзюи). Плотничий угольник состоит из двух соединенных под прямым углом линеек (рис. 31). Его использовали для измерения расстояний до недоступных предметов. В этом случае он устанавливался так, что вертикальная сторона его была фиксированной и равной h, а на горизонтальной стороне откладывалась проекция наблюдаемой точки на расстоянии, равном а, от угла. В данном тексте термином цзюй обозначен, по существу, прямоугольный треугольник, а его катеты названы терминами гоу и гу. Все эти термины прочно закрепились в древне-

китайской математике и сохранились до наших дней. Если древние авторы хотели указать на соотношение сторон в прямоугольном треугольнике, то они говорили кратко «метод гоу-гу».

Катет гоу (буквально «крюк»)——горизонтальный ——всегда меньший катет. Катет гу (буквально «бедро», берцовая кость)—— вертикальный ——всегда больший катет; в древних текстах не существовало общих терминов «катет» и «сторона», стороны прямоугольника называли «шириной» и «длиной» с учетом ориентации фигуры относительно вычислителя. Гипотенуза здесь называется «поперечной угла» (цзин цзюэ); слово цзин обозначает также диаметр (поперечник) круга. В более поздней «Математике и девяти книгах» уже более четкая терминология: катеты именуются гоу

и zy, гипотенуза ——сянъ ——«тетива». Диаметр круга — г^зин, а употребляется также полудиаметр (радиус) ——бань чжи цзин и бань цзин.

Совпадение названий для гипотенузы и диаметра круга, по- видимому, возникло не случайно. В древнекитайской символической конфигурации (рис. 32), объясняющей, по мнению древних, происхождение чисел, или науки о числах, диаметр круга действительно является одновременно и диагональю прямоугольника и оба они ——«поперечники» этих фигур. Заметим, что греческое слово «диаметров» и арабское слово «кучр» также обозначают и диаметр круга и диагональ прямоугольника.

Далее в трактате о гномоне говорится: «Прямоугольник, вокруг которого описан круг, делится на два угольника со сторонами 3, 4, 5》[100, с. 14]. Как мы видим, Шан Гао, как и Фалесу, было известно свойство угла, опирающегося на диаметр.

В конце этого древнего текста, содержащегося в трактате о гномоне, говорится: «Площади этих двух квадратов, построенных на катетах гоу и гу, в сумме составляют 20 и 5, это и есть площадь квадрата, построенного на гипотезе треугольника». [Там же]. Здесь же в переводе мы ради простоты применили современную терминологию. Древний же термин для круга, ставший частью современного термина, — юань, для прямоугольника — фан. Последний термин может также обозначать и квадрат как частный случай прямоугольника (либо сторону квадрата или куба).

Благодаря рассмотренной выше древней терминологии мы приходим к выводу о том, что понятие прямоугольного треуголь-

ника также происходит из измерительной практики. Сами катеты гоу и гу указывают на ориентацию фигуры относительно измерителя или вычислителя. Весьма возможно, что в древности гномоны изготовлялись из берцовых костей.

В дальнейшем, например у составителя математического . «Десятикнижья» Чжэнь Луаня, пояснявшего древние тексты, встречается специальное выражение для простейшей тройки пифагоровых чисел 3, 4, 5: «нормальные коэффициенты» (цзы жанъ- чжи люи). Он же приводит из «Книги установлений» («Лицзи»^ III в. до н. э. пример вычисления размеров покрытия повозки^ имеющей форму, указанную на рис. 33. Высота h находится

Рис. 33Рис. 33Рис. 34Рис. 34Рис. 35Рис. 35

Рис. 33

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 35

по правилу так: h=\/lQ—^=\/12 ^ 3 3/7, где корень найден по известной древним интерполяционной формуле.

Второй диалог, точнее монолог, Чэнь-цзы, объясняющего своему ученику древнюю астрономию и принципы вычислений, содержит большой материал, а также и большой комментарий Чжао Цзюнь-цина от III в. н. э. Здесь, в частности, описывается чертеж, более общий, чем приведенный нами (рис. 34, 35). Эта обсуждение считают первым письменным доказательством теоремы Пифагора в истории китайской математики; этот же чертеж позже находят у индийских математиков. Терминология, к которой прибегает Чжао Цзюнь-цин, весьма схожа с терминологией, применяемой его современником Лю Хуэем, основным комментатором классической «Математики в девяти книгах».

Обратимся снова к конфигурации «квадрат со вписанным в него кругом» (см. рис. 32). Квадрат, сторона которого равна диаметру круга, равновелик квадрату, описанному около этого круга. Он равен по площади сумме площадей квадратов, построенных на катетах любого из двух прямоугольных треугольников ,для которых диаметр является общей гипотенузой. Этот древний комментарий, рассмотренный в книге Цянь Бао-цуна [110, с. 57—60], мы излагаем в современных терминах по древнекитайскому тексту Чжао Цзюнь-цина.

Чжао Цзюнь-цин дает серию цветных чертежей, которые, ж сожалению, не сохранились. Их можно восстановить по его описанию. Рис. 34 у Чжао назван «чертежом для гипотенузы». На нем площадь четырех прямоугольных треугольников закрашивалась красным цветом, она равна 2 аЪ, и площадь квадратика, находящегося в центре, равная (Ь—а)2, закрашивалась желтым цветом. Обе площади составляют в то же время квадрат, построенный на гипотенузе с. Таким образом, составляется тождество

2曲+(b一〃)2=巒,

из которого и получается известное соотношение между сторонами прямоугольного треугольника, получившее название теоремы Пифагора.,

Далее Чжао Цзюнь-цин дает ~,_.1

геометрическое обоснование 〃？ j

двух симметричных тождеств:卜】z

c2-62 = (c + b)(c-b),

^рис. 36 и 37). Гномонооб-

разная полоска, называемая Рис, 36Рмс. 37

х<угольником из делимого для

гоу» (гоу ши чжи цзюи), имеет площадь, равную а2, и состоит из двух прямоугольников с площадью сх и Ъх, где х—с—Ъ. Следовательно, сх+Ьх~х (с+Ь)=〃2, или

откудаоткуда«2=(с—Ь)(с+6),

откуда

откуда

c+b = c^/(c—b), c—b=a2/(c+b).

Во втором случае гномонообразная полоска, называемая ^угольником из делимого для гу» (гу ши чжи цзюи), имеет площадь, равную &2, и состоит из двух прямоугольников с площадями е/ и 〃宓,где £=с——а. Следовательно,

млнмлнex-\-аx~х (e+a)=b2,

млн

млн

Ь2=(с—а)(с+а),

откудаоткуда叶a=b2/e一a)，С-а=№/e+a).叶a=b2/e一a)，С-а=№/e+a).

откуда

откуда

叶a=b2/e一a)，С-а=№/e+a).

叶a=b2/e一a)，С-а=№/e+a).

Как указывает Цянь Бао-цун, здесь дано геометрическое решение двух квадратных уравнений:

^-\-2Ьх=с?^ х2+2ах=Ь2,

корни которых соответственно равны х=с—^Ъ и х=с—а [110, с. 58—60].

Далее Чжао Цзюнь-цин описывает три рисунка (рис. 38—40), первые два ®з которых устанавливают тождества

2 (с —а) (c — b) = (a + b — c)29(а + Ь)2 = 2с2~ (Ь —а)*

Рис. 38

а последний предназначен для интерпретации корня квадратного уравнения с отрицательным первым коэффициентом

—^-\-кх=А,

к которому численный метод не применяли. Здесь к ——сторона квадрата, равная сумме сторон прямоугольника с площадью А. По существу, в данном случае задана система

х -\-Ь = к,优b = 4

которую привели к квадратному уравнению указанного вида.

«Метод гоу-гу»

Средневековые китайские математики при решении задач часто указывали на применение «метода гоу-гу». В чем состояло содержание этого древнего метода? Рассмотрим задачи последней книги «Математики в девяти книгах», название которой «Гоу-гу». Напомним, что принцип размещения материала по книгам этого древнего сочинения таков, что к первым задачам на определенную тему, имеющим соответствующий заголовок, впоследствии присоединялись другие задачи, имеющие с первыми общность лишь по методу их решения.

Во всех задачах книги IX, кроме трех последних, при решении задач применяется теорема Пифагора; а в последних трех задачах пользуются свойством пропорциональности сторон подобных прямоугольных треугольников. Современное китайское название теоремы Пифагора — гоу-гу динли^ что можно перевести буквально «теорема о прямоугольном треугольнике»; таким образом, книга IX «Математики в девяти книгах» посвящена применению алгебраических методов к геометрическим задачам с применением теоремы Пифагора или подобия прямоугольных треугольников. Что касается вопросов подобия, то, начиная с Лю Хуэя, выделившего и разработавшего далее этот класс задач, известных под названием «метод чжун-ча», они, по-види- мому, не стали относиться к «методу гоу-гу». Следовательно, под классом задач на метод гоу-гу надо понимать те задачи, при решении которых применяется равенство квадрата гипотенузы

сумме квадратов катетов. Некоторые задачи приводят к решению квадратного уравнения или системы, эквивалентной квадратному уравнению. Это задачи уже теоретического плана, и связь с практикой здесь найти трудно. Такие задачи возникали по самым различным причинам, нередко при их составлении пользовались методом обращения. Этот класс задач имеет много задач, сходных с древнеегипетскими, древневавилонскими, древнеиндийскими. По этим задачам, вероятно, можно судить, какая цивилизация раньше достигла этой определенной ступени развития науки.

Интересно, как изложено общее правило решения такого класса задач. В начале книги IX «Математики в девяти книгах» действительно предложены ——вполне в стиле трактата ——три алгоритма для трех сторон прямоугольного треугольника:

с = «аа 十 bb, 6 = у/сс — аа, a = Jcc — Ob,-

составленные на основе теоремы Пифагора. Они продемонстрированы на первых трех задачах на примере простейшей тройки: а=3 чи (еоу), Ь=4 чи (ау), с = 5 чи (сянь).

Благодаря принятой терминологии задачи сформулированы четко, лаконично, в них педантично находится сначала с, затем b и а. «Умножь на себя каждый из катетов, сложи, извлеки из этого квадратный корень», — гласит древнее правило zoy-ay, повторенное для каждого случая отдельно. Видно, что квадрат числа в древней математике именовался «число, умноженное на себя» (цзы чен). Вероятно, это и есть самая древняя часть свитка, к которой затем были дописаны другие задачи. У Чжэнь Луаня в его древних ■ комментариях к нематематическим текстам эти алгоритмы также описаны подробно и тоже на примере простейшей тройки пифагоровых чисел.

Отметим прежде всего те задачи книги IX «Математики в девяти книгах», решение которых непосредственно выполняется по данным выше алгоритмам. Древнему вычислителю следовало в этих задачах лишь правильно установить, какие величины надо было взять в качестве катетов гоу и ау и в качестве гипотенузы (сянъ), одна из них вычислялась.

Самая важная задача в этой группе ——нахождение диагонали прямоугольника или квадрата по их сторонам, которая в древности представляла классическую задачу определения диагонали единичного квадрата (или вычисление корня из 2). Эта задача позволяла древним грекам сделать открытие несоизмеримых величин, получить первое иррациональное число; корень из 2 достаточно точно вычисляли еще древние вавилоняне. В древних китайских текстах для этой величины указывается отношение 7 : 5. Оно содержится в трактатах Сунь-цзы, Сяхоу Яна среди других табличных значений величин, сразу же после приближенного значения числа 冗：«Сторона 5, диагональ 7». Это изречение поясняется алгоритмом: «Дана диагональ, находится сторона: [для этого] раздели [ее] на 7/5 и возьми 1. Дана сторона, нахо-

% 17 3. И. Березкина 257

дится диагональ: [для этого] раздели [ее] на 5/7 и возьми 1» [49, с. 23] (рис. 41). Здесь «диагональ» (се) буквально «косая». Этот термин употреблялся не всегда, по-видимому, он еще не вполне утвердился. «Сторона» обозначена, как обычно, иероглифом фан. Тот и другой термины употреблялись в классической «Математике в девяти книгах» (см., например, в задаче 12 книги IX) [50, с. 509]. Иногда для диагонали пользовались просто описанием: «наибольшее расстояние между углами» (лян сэ сянъ цюи)—— имеется в виду: прямоугольника (см., например, задачу 11 книги IX [50, с. 508—509]). Не называют диагональ словом се и в задаче 14 средней книги трактата Сунь-цзы, где диагональ назы

вается «удвоенным расстоянием от угла квадрата до его центра» ®зу% юэ чжи цао) [49, с. 30].

Рациональное приближение отношения стороны квадрата а к его диагонали d, равное 5 : 7, применялось и у других древних народов. Например, в «Государстве» Платона число 7 называется «рациональной диагональю», соответствующей стороне 5.

Как было получено это приближение в древнем Китае, неизвестно. Поскольку китайцам был известен алгоритм Евклида, то

возможно, что это приближение было найдено при помощи этого алгоритма, примененного к отысканию наибольшей общей меры а и d [57, с. 177]. Однако возможно, что 7/5 было получено просто как значение，2 = «200/10^ 14/10 = 7/5. .

Приведем задачу 14 средней книги трактата Сунь-цзы: «Имеется квадратное поле. В центре его растет тутовое дерево. От угла до тутового дерева 147 бу. Спрашивается, каково поле?» [49, с. 30]. О решении этой задачи говорится: «Установи 147 бу от угла до дерева, удвой это, получишь 294 бу. Умножь это на 5, получишь 1470 бу. Раздели это на 7, получишь 210 бу. . .» [49, с. 30].

Таким способом древний вычислитель находил значение стороны квадратного поля, по которой находил и его площадь.

Более сложные задачи получались при помощи обращения. К ним относятся задачи «о дверях», имеющих вид прямоугольника (рис. 42), помещенные в книге IX «Математики в девяти книгах» (задачи 11 и 12 книги IX [50, с. 508—509]). В первой из них известна диагональ прямоугольника z, определяются его стороны: «ширина» 力,«высота» у. Задача сводится к решению системы уравнений:

么2 =①2+y2,к = у 一①，

так как известна разность к «высоты» и «ширины» двери. Таким образом, обращение задачи сразу же приводит к полному квад-

Рис. 42Рис. 42X = t一工、X = t一工、

Рис. 42

Рис. 42

X = t一工、

X = t一工、

ратному уравнению

2/2+2友方+"2—z2=0,

к которому и сводится данная выше система.

Задача сопровождается общим правилом: «Правило: 1 чжан умножь на себя, это ши, половину избытка умножь саму на себя, удвой, вычти из ши, возьми половину остатка, извлеки квадрат

ный корень из него, из полученного вычти половину избытка,

это и будет ширина двери. Прибавь половину избытка, это и будет высота двери» [50, с.. 509]. В наших обозначениях это правило

представляется формулами

2 — 2 3/2)2 к)=У 2 Т，

где 么2 называется ши — «делимым», а к — «избытком».

Правило, как видим, лаконично и четко сформулировано в общем виде доступным древним способом. Каким способом были

получены такие «формулы»? Возможно, од

ним и тем же приемом, каким пользовались, как полагают многие историки математики, Диофант и задолго

до него древние вавилоняне.

Пусть искомые величины, поскольку задана их разность, выражены с помощью новой неизвестной 力 являющейся их средним арифметическим:

Этот метод часто применялся в древних цивилизациях. По условию задачи

炉+产=2力2 + 2伯/2)2 = *

Отсюда определяется введенная неизвестная

力=(空)2.

как раз по алгоритму для катета по известной гипотенузе и другому катету. Далее легко находятся искомые величины.

Вторая задача о двери книги IX «Математики в девяти книгах» (задача 12) сводится к решению системы (см. рис. 42)

x = z ——а,U = z — b,Z2 = X^^-y2.

Отсюда

z2 =侈—0尸+侈一&)2,

или

[z — (〃+6)]2 = 2〃6.

Отсюда находится величина z, которая в задаче определена очень интересно: это неизвестная длина бамбукового шеста, совпадающего с диагональю двери:

z = \/2аЬ + (。十 6).

Легко видеть, что теперь

х — \J2ab + Ь, у = \j2ab 十 а.

Правило гласит: «Перемножь недостатки длины и ширины, удвой и извлеки квадратный корень. То, что получится, прибавь к недостатку длины, это и будет ширина двери. Прибавь к недостатку ширины, это и будет высота двери. Прибавь к обоим, получишь диагональ двери» [50, с. 509].

Здесь же можно отметить задачи 15——20 из трактата Ван Сяо- туна, содержащего задачи на кубические, квадратные и биквадратные уравнения. Это задачи о сторонах прямоугольного треугольника. Их можно рассматривать как дальнейшее обобщение такого класса задач.

Следующая группа задач на «метод гоу-гу» связана с описанными и вписанными в круг многоугольниками.

В задаче 16 книги IX [50, с. 510] круг вписан в прямоугольный треугольник, диаметр которого следует определить по заданным катетам треугольника. Имеется катет гоу в 8 бу и катет гу в 15 бу. Спрашивается, каков диаметр круга, вписанного в прямоугольный треугольник? [50, с. 510].

«Правило: 8 бу — гоу, 15 бу ——гу, ищи гипотенузу» [50, с. 510].

Искомый диаметр вписанного круга находится по известным периметру и площади треугольника. Теорема Пифагора нужна для вычисления гипотенузы как промежуточной величины.

Решается и обратная задача: прямоугольный треугольник вписан в круг, найти его катет по гипотенузе и другому катету. < Такова задача 4 книги IX «Математики в девяти книгах», в которой определяется катет еу, равный 24 цуням, по гипотенузе и катету гоу, соответственно равным 25 и 7 цуням. Условие задачи гласит: «Имеется бревно диаметром 2 чи 5 цуней. Если выпилить прямоугольный брус толщиной, например, в 7 цуней, то спраши^ вается, какова будет его ширина?» [50, с. 507 ].

Весьма характерную группу задач, решаемых единообразно, составляют задачи о сползающем столбе, прислоненном к стене (аналогичные задачи имеются в вавилонских текстах), о камышег растущем в середине квадратного водоема (подобные задачи имеются в индийских трактатах), о бамбуке, сломанном ветром и вершиной коснувшемся земли (также встречается у индийцев) и др. При решении этих задач рассматривается прямоугольный треугольник, для которого выполняются равенства

a2=c2 - 62 = "+6)修 一 6),

причем известны по условию задачи а, c+匕(или с — Ь). Тогда другие катеты находятся по правилу .

^с + Ъ}-а^(с + Ъ)(с-Ь) + а^1(с~ 6)

°—2' 一2•

К. Фогель предложил следующую реконструкцию получения этих правил. Прежде всего

ТогдаТогдас—Ь = 〃2/(с+Ь), с-^Ъ=с^1(с — &).

Тогда

Тогда

2Ь=(с-\-Ь) — (с — b),

где в правой части (с ——b) заменяется его выражением. Получается Ь, выраженное через данные 〃 и (с+b). Аналогично находим с,

сложив тождества. Получится с, выраженное через заданные 〃 и (с — b). Конечно, во времена Лю Хуэя эти тождественные соотношения могли быть интерпретированы и геометрически, но, судя по текстам древних вавилонян и китайцев, арифметико-алгебраический путь был, по-видимому, более ранним. Эти правила применяются при решении задачи: «Имеется водоем со стороной в 1 чжан. В центре его растет камыш, который выступает

над водой на 1 чи. Если потянуть

камыш к берегу, то он коснется его как раз. Спрашивается, какова глубина воды и какова длина камыша?» (рис. 43) [50,

с. 507].

& Тройки пифагоровых чисел

Решение уравнения

必+廿二發

в целых числах относится к области теоретико-числовых проблем. Такими проблемами занимались древние ученые и в древнем Вавилоне, и в древней Греции, и в древнем Китае.

Закон составления трех пифагоровых чисел ― решений для уравнений Пифагора

р2 — д2 7卢 + d

〃 *—2 ，ь — pq, с *—2 ，

где р、q ——натуральные числа, позволил выделить множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.

В китайских задачах по этим формулам решаются задачи, составляющие отдельный класс. В них катетами являются расстояния, которые проходятся с определенными скоростями, равными р, q. Такова задача 14 в книге IX древней «Математики в девяти книгах»:

«Два человека находятся в одном месте. Норма ходьбы Л есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. Л идет 10 бу на юг, а затем [идет] по косому [направлению] на северо-восток до встречи с В. Спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и £?十[50, с. 509].

Пусть А л Б выходят из точки М (рис. 44) и, пройдя соответственно ML^LN и МN、встречаются в точке N. Треугольник MNL — прямоугольный, надо найти MN и LN. Пусть MN=x, LN』, ML=y = 10 匂.Здесь ^2+Ю2-и2.

В трактате сначала составляются «нормы ходьбы» (син люй\ которым пропорциональны стороны треугольника: 21 : 20 : 29 = =МН : ML : LN. Далее определяются длины этих сторон. По

скольку одна из них ML известна, числа 21, 20, 29 находятся по указанному выше алгоритму:

『• 72 + 32

«норма ходьоы по косому направлению»- ——=

«норма ходьбы на восток»: 7 • 3 = 21,

«норма ходьбы на юг»: 72—^73-^ = 20.

Найденные пифагоровы числа соответствуют наименьшим целым 夕=7, g = 3.

Приведем задачу 21 из группы задач «на город»:

«Имеется город в виде квадрата со стороной в 10 ли, в центре каждой [стороны] [находятся] ворота. 4 и 万,находясь в центре города, начинают двигаться: Б идет на восток, Л — на юг, какое количество он проходит от ворот, неизвестно. [Затем] он [А ] идет по косому направлению так, что проходит возле угла [стороны] восточных ворот, и догоняет Б. Норма ходьбы Л есть 5, Б есть 3. Спрашивается, какие пути пройдут А и Б каждый в отдельности?» [50, с. 512].'

В задаче (рис. 45) требуется определить MN, ML+LN. Известно KF = 5 ли. Напомним, что старинный 1 儿〃 =300 бу. Здесь также находятся сначала пифагоровы числа %,项 z, которым пропорциональны стороны треугольника MNL, причем здесь р = 5, ^=3. Тогда «норма ходьбы по косому направлению» и=(р2+^2)/2 —17, «норма ходьбы на юг» у=р2 — z=8, «норма ходьбы на восток»

/=p.q = 15. Здесь

KL _ ML

откуда

力y

Правило решения этой задачи таково: «5 умножь само на себя, также 3 умножь само на себя, сложи и возьми половину, это норма ходьбы по косине. Норму ходьбы по косине вычти из пяти, умноженного само на себя, остаток есть норма ходьбы на юг. 3 умножь на 5, это норма ходьбы на восток. Возьми половину стороны города, умножь на норму ходьбы на юг, объедини с нормой ходьбы на восток, это и будет количество бу, пройденное от южных ворот. Добавь к половине стороны города, это и будет дорога на юг. Установи [количество] бу по южной дороге [или гипотенузу], умножив на норму ходьбы по косине, ищи [путь] на восток, ум^ ножив на норму ходьбы на восток. Каждый раз это делимое. Объедини делимые с нормой ходьбы на юг, получатся [искомые] количества бу». [Там же].

Глава третья

ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА И ШАРА

Задачей об измерении круга занимались еще в глубокой древности. Во всех древних цивилизациях (по-видимому, эмпирически) было замечено, что длина окружности примерно в три раза больше длины диаметра, т. е. принимали 冗=3. Но и в древнем Египте, древнем Вавилоне, древнем Китае, древней Греции математики старались вычислить это отношение более точно, в частности этой проблеме посвящено «Измерение круга» Архимеда [3, с. 226— 271]. Древнекитайские математики занялись этой задачей в I——V вв. н. э. Математик III в. Лю Хуэй вычислил число к почти по-архимедовски. В V в. Цзу Чун-чжи получил значение числа 冗 с шестью верными десятичными знаками. Сочинения Цзу Чун-чжи, к сожа- лению, не сохранились, но текст Лю Хуэя дошел до нас в виде комментариев к двум задачам книги I «Математики в девяти книгах».

Древние значения числа 冗.Эталон мер Ван Мана

Отношение длины окружности к диаметру выражалось словами: «Обвод 3, диаметр 1» (чжоу санъ. цзин 〃). В дальнейшем это значение числа 冗 называли «древним коэффициентом» (гу люй) в отличие от более точных коэффициентов (ми люй). Термин люй —

«коэффициент» широко применялся в древнекитайской математике для обозначения отвлеченных чисел; для именованных чисел, представляющих конкрэтныэ количества, применялось слово шу.

Как и всюду в древности, в китайской математической литературе долгое время вычислителями широко употреблялось значение числа 冗^3 даже тогда, когда уже были известны «лучшие» приближения этого числа.

В «Математике в девяти книгах» для определения площади круга, кольца и т. д. пользуются приближенными формулами, основанными на значении 冗=3. Только в одном месте при вычислении диаметра сфэры по ее объему пользуются значением 冗=27/8 = = 3,375, по-вицимому более удобный для извлечения кубического корня [50, с. 471, правило к задачам 23 и 24 книги IV]. Самый поздний комментатор Ли Чунь-фэя каждый раз по поводу решения задачи, в котором применяется число 冗,указывает более точное значение 冗=22/7, и так по всему «Десятикнижью». Он часто пересчитывает задачу и дает более точный соответственно ответ. Значит, к VII в. в практику вошто значение 兀=22/7, оттеснив все остальные. Дрэвние жэ тексты нэ перэделывались, а все исправления делались, согласно установившимся правилам, в комментариях.

Такоа жэ значение 冗 применяется в трактате Чжан Цю-цзяна при решэнии задачи 20 первой книги его трактата, где из кубического чи глины требуется сделать ядра диаметром в 1 цунь (1 чи — =10 цуням). К задаче приложены два правила. В первом подсчет проведен при 兀=27/8, а во втором «способе в соответствии с более точным коэффициентом» учитывается, что 冗=22/7; на это значение указывает и Ли Чунь-фэн [51, с. 35, 68].

Кроме этих значений, в дрзвнем: Китае были известны еще несколько приближений числа 兀.Лю Ци (59 г. до н. э.——23 г. н. э.) вычислил 兀#3,15. Астроном Чжан Хэн (76—139 гг. н. э.) предложил 冗=\/10 и 92/29 = 3,1724. . . Ван Фань применял 兀^142/45= =3,1556. И, наконец, Лю Хуэй предложил свой способ вычисления числа 冗=157/50 = 3,14, изложив его в комментариях к задачам книги I «Математики в девяти книгах».

Известный политический деятель и реформатор эпохи Хань, Ван Ман, дал указание своему чиновнику Лю Ци провести стандартизацию мер и весов. В 1—5 гг. н. э. Лю Ци по образцу системы мер в каноне «Чжоу ли» создал медный ху, назвав его «Гармонично прэкрасная мера ху» {Люй цзя лянъ 化у). Это был эталон для пяти мер: юе, гз, шэна, доу и ху. Сверху была сделана надпись и пояснение для кажцой меры. В этом тексте содержится первое в истории дрэвнекитайской математики отличное от 3 значение 兀^3,1547, предложенное Лю Ци для измерения круга.

,Относительно меры емкости ху было высечено следующее: «Гармонично прекрасная мера ху: квадрат [со стороной в один] чи, а около него описан круг, зазор сбоку 9 ли 5 хао, площадь 162цуня, глубина [один] чи, объем 1620 [куб] цуня, емкость 10 доу».

Напомним, что линейные меры имели соотношение: 1 чи—10 цу- ням=100 фэням=1000 ли=10000 хао. Применяемая Лю Ци терминология: «площадь» (九о, как у Лю Хуэя), «объем» (цзи, в «Математике в девяти книгах» термин цзи употреблялся и для объемов и для площадей); «сбоку», «бок)>, иногда «сторона» ——бань и очень важный для данного текста термин «зазор». На основании исследований сосудов древних мер можно восстановить примерный ход вычислений, который, по-видимому, проводил Лю Ци. Смысл термина «зазор» таков: «это то, что является внешним при отсечении от диаметра круга косого диаметра внутреннего квадрата». В наших обозначениях это а (рис. 46). Эта величина а=0,0095, если за единицу, т. е. сторону квадрата, принять 1 чи. Тогда диаметр круга

0“=也十2a=^ + 2 . 0,0095 =

= v/2 +0,019 ^1,4332.

этого круга, равнаяэтого круга, равная畔j,62.畔j,62.Известна площадь 1,62 кв. з〃. Тогда £)2

этого круга, равная

этого круга, равная

畔j,62.

畔j,62.

Отсюда 冗=3,1546645. • .=3,1547.

Чжан Хэн пользовался двумя значениями числа 冗.Одно из них мы находим в календаре «Кай юань цзянь цзин», оно равно 92/29^3,1724... Это значение Чжан Хэн применил для сравнения окружности неба с «шириной» Земли. Другое значение, приписываемое Чжан Хэну, имеется в комментариях к задачам 23— 24 книги IV «Математики в девяти книгах» (冗^\/10^3,1622...). В этих задачах по объему сферы находится ее диаметр и при этом используется значение 冗三27/8.

Для определения объема шара, по-видимому, рассматривали отношение объема шара к объему кругового цилиндра, касающегося шара, а также отношение объема этого цилиндра к объему куба, касающегося этого цилиндра, и устанавливали равенство этих отношений. Но если отношение площади квадрата, построенного на диаметре круга, т. е. квадрата, описанного около круга, к площади круга равно 4/3, то объем куба относится к объему шара, как 42 : З2, т. е. объем шара 卩=花。3, где £> —его диаметр. В указан- з /yg

ных задачах определяется диаметр D—y 可卩• Чжан Хэн исправил это приближенное значение объема шара на более точное:

18 Э. И. Березкина

265

отсюда он получил, что

4г2: т^г2 = \/8 : \/5, т. е.冗= ,10.

Этим значением пользовались Брахмагупта (VI в.) и ал-Хорезми (IX в.).

Метод Лю Хуэя и его понятие предела

Лю Хуэй в своих комментариях к «Математике в девяти книгах», так же как Архимед в первом предложении «Измерения круга», дает формулу площади круга как половину произведения окружности на радиус, но при этом Лю Хуэй говорит не о треугольнике, а о прямоугольнике, являющемся эталоном измерения площадей. У Архимеда предложение сформулировано следующим образом: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр ——основанию треугольника» [3, с. 266]. Во втором предложении Архимеда «Круг к квадрату на диаметре относится, как 11 к 14» [3, с. 267] дается число 兀=22/7. В третьем предложении Архимеда «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых» [3, с. 267] даются более точные неравенства значения 冗：

3 10/71 < ти <3 1/7,что соответствует неравенствам в десятичных дробях:3,14084 < и < 3,14286,

т. е. приближенно 兀=3,14. Архимед показал это предложение при помощи вписанных и описанных правильных п-угольников (八=6, 12, 24, 48, 96), для которых подсчитывает отношения радиуса к периметру, дающие последовательные приближения 1/ти.

При бесконечном увеличении числа сторон периметры вписанных и описанных многоугольников приближаются к длине окружности. Последовательность периметров описанных многоугольников дает верхний предел отношения, а вписанных ——нижний. Лю Хуэй рассматривает последовательность вписанных п-уголь- ников при п=6, 12, 24, 48, 96 и 192. Но для верхней оценки он не прибегает к описанным многоугольникам, а пользуется некоторой многоступенчатой фигурой.

После задач 31—32 книги I «Измерение полей» в «Математике в девяти книгах» следует правило вычисления площади круга в четырех вариантах, которые можно выразить формулами

а С D q_CD 《3》С2

где S ——площадь круга, С ——его «обвод» (чжоу), D ——диаметр круга. Ясно, что здесь принимается 兀=3. Для древних это были разные правила. Первое из них имело вид: «Умножь половину обвода на половину диаметра, получишь площадь в бу»; имелась

в виду площадь поля в виде круга. Именно к этому правилу написан основной комментарий Лю Хуэя, содержащий его вычисления числа 兀.Лю Хуэй сразу же замечает, что первая формула для площади круга, по существу, не что иное, как равенство площади круга площади прямоугольника с «длиной», равной полокружности, и «шириной», равной радиусу.

«Пусть половина обвода будет „длиной41, а половина диаметра будет „шириной*4; тогда „ширина44 и „длина*1, умноженные друг на друга, будут „площадь44 в бу», — пишет Лю Хуэй. Затем он поясняет, что при 兀=3 фактически за площадь круга принимается площадь правильного вписанного в круг шестиугольника: «Предположим, диаметр круга 2 чи; [тогда] сторона вписанного в круг 6-угольника и половина диаметра круга численно равны. Соответственно коэффициент для диаметра 1, а коэффициент для внешнего обвода 3». Здесь сторону многоугольника Лю называет и мянъ — «одна сторона», шестиугольник ——лю гу ——《6 углов», и далее он называет n-угольник п——е^, ставя каждый раз вместо п соответственное число 6, 12, 24, . . . Выражение юань чжун 〃 («внутри круга») означает у Лю Хуэя «вписан в круг», вай чжоу («внешний обвод») применяется здесь для длины окружности, в которую вписан многоугольник. Эта терминология ——новая по отношению к «Математике в девяти книгах». Для площади Лю Хуэй применяет иероглиф ми вместо цзи, применявшегося в «Математике в девяти книгах».

Площадь правильного вписанного 2п-угольника Лю вычисляет по правилу

$2% = °% 冬 у»

где ап — сторона правильного вписанного n-угольника, подобного данному. Вот слова Лю: «Взяв сторону 6-угольника, умножь на полудиаметр, увеличь втрое, получишь площадь 12-угольника. Если снова разделить его, то следующий раз сторона 12-угольника, умноженная на полудиаметр, увеличенная в 6 раз, даст площадь 24-угольника».

Процесс удвоения числа сторон не описан подробно, как у Архимеда. Лю Хуэй применяет здесь термин ге ——«делить, резать». Процесс удвоения сторон предполагает нахождение середины стороны многоугольника, проведение через нее радиуса, соединение последовательно получившихся новых точек на окружности с вершинами рассматриваемого многоугольника. Таким образом, получается новый нужный многоугольник.

Дальше Лю Хуэй излагает основной принцип своего метода: «Дели их все мельче и мельче, и недостаток будет все меньше и меньше. [Если] делить их и делить до тех пор, пока деление не станет невозможным, то будет телесное совпадение периметра е окружностью и недостатка не будет». Это понятие предела древний автор выразил с помощью следующей терминологии. Здесь «недостаток» (以〃)——то же, что и «зазор». При достаточно большом п сторона @2% будет настолько малой, что делить ее «станет невозможно»

(6夕 кэ ге). Периметр многоугольника, как сказал Лю Хуэй, «совпадает телесно», (%з ти) с окружностью, и, таким образом, не будет «зазора» между окружностью и многоугольником.

Верхняя оценка Лю Хуэя такова: он рассматривает величину СЕ ——«остаток от диаметра» (юй цзин) (рис. 47), который надо принять за высоту прямоугольника. Основанием этого прямоугольника служит сторона вписанного в круг n-угольника. Таким образом, на каждой стороне n-угольника строится узкий прямоугольник, «полоска» (бяо). В этих прямоугольничках заключены сегменты, остающиеся от круга при удалении из него %

угольника. Эти прямоугольники Лю Хуэй описывает иероглифами ми "沙 гу бяо («полоска площади, выступающей за многоугольник»). Площадь этих полосок, примыкающих к тг-угольнику, равна 《

Snon —^。“ * СЕ •及•

Лю Хуэй пишет: «С внешней стороны угольника имеется остаток диаметра. Взяв сторону, умножь на остаток диаметра. Образуется полоска площади, выходящей за многоугольник. Если дугу делать все мельче, тогда круг совпадает с многоугольником и в измеряемой полоске не будет остатка диаметра. Полоска не будет иметь остатка диаметра, тогда и измеряемая площадь не будет выступать за пределы».

После этого Лю Хуэй обращается к учащимся и сетует на трудности вычисления площади круга, которая определяется не точно, но только приближенно.

Далее Лю Хуэй проводит свои вычисления сторон 6-, 12-, 24-, 48-, 96-угольников с применением теоремы Пифагора, значения этих сторон были нужны для определения площади многоугольника по приведенной выше формуле: «Способ преобразования 6-угольника в 12-угольник: установи диаметр круга 2 чи, половина его будет равна 1 чи. Этому же [числу] равна сторона вписанного 6-угольника. Пусть полудиаметр 1 чи будет гипотенузой, полстороны 5 цуней будет катетом гоу. Возьми их для отыскания катета гу. Взяв квадрат гоу за 25 цуней, вычти из квадрата гипотенузы, остаток 75 цуней. Извлеки корень делением вплоть

до мяо, ху». В наших терминах Лю Хуэй предлагает произвести извлечение корня до четвертого десятичного знака: он йользуется десятичными дробями ——фэнями (десятыми долями числа), ли (сотыми), мяо (тысячными) и ^(десятитысячными). Дальнейшие десятичные дроби Лю Хуэй называет общим термином вэй —— «мельчайшие».

В предположении Лю Хуэя полудиаметр ОВ=1 чи (рис. 48)—— гипотенуза, полстороны ВЕ=5 цуням ——катет гоу прямоугольного треугольника ОВЕ, тогда другой его катет гу ОЕ будет равен

h=F (т)2 -(导)=4 辰

17・ Цзу Чун-чжи

Цзу Чун-чжи (429——500), пожалуй, самый знаменитый китайский ученый в истории науки ——его изображение помещено среди выдающихся деятелей мировой науки в фойе актового зала Московского университета. Цзу Чун-чжи знаменит главным образом своими вычислениями числа 冗.

Цзу Чун-чжи был профессиональным астрономом; известно, что в 462 г. он исправлял и уточнял календарь того времени. Его календарь《Даминли» весьма известен в истории китайской астрономии. Свой способ вычисления круга он изложил в книге «Цзиши», этот способ так и называли цзи. В историях династий не раз указывается, что Цзу Чун-чжи и его сын Цзу Хэн были авторами книги «Цзищи)>, состоящей из 6 или 5 свитков. Указывается также, что Цзу Чун-чжи комментировал текст «Математики в девяти книгах». О Цзу Чун-чжи упоминают в своем трактате Ван Сяо-тун и Цинь Цзю-шао — математики, занимавшиеся численным решением уравнений высших степеней. Судя по этим упоминаниям, Цзу Чун-чжи уже в V в. рассматривал уравнения третьей степени. Сама книга Цзу Чун-чжи утеряна, и в математическом сборнийе «Ши бу суань цзин» (1084), содержащем десять трактатов, этой книги уже не было.

Так как сочинение Цзу Чун-чжи утеряно, в истории китайской математики существует несколько гипотез относительно его метода вычисления числа 冗.Основой для реконструкций служит единственная большая цитата из «Истории династии Суй», где упоминается, что вслед за Лю Ци, Чжан Хэном, Лю Хуэем занялся задачей измерения круга Цзу Чун-чжи й блестяще разрешил ее. Если принять диаметр круга равным 1 чжану, то «обвод круга» (юань чжоу) будет равен с избытком 3 чжанам 1 чи 4 цуням 1 фэню 5 ли 9 хао 2 мяо 7 ху, с недостатком 3 чжанам 1 чи 4 цуням 1 фэню 5 ли 9 хао 2 мяо 6 ху. Истинное значение лежит между ними. «Точное значение» для диаметра круга равно ИЗ, длина окружности равна 355, их сокращенные значения ——диаметр равен 7, окружность равна 22.

Если предположить, что Цзу Чун-чжи, редактируя «Математику в девяти книгах», следовал за Лю Хуэем и пользовался

его методом, то он должен был

Рис. 49. Цзу Чун-чжи （429-500）Рис. 49. Цзу Чун-чжи （429-500）Результат Цзу Чун-чжи был ским математиком ал-Каши.Результат Цзу Чун-чжи был ским математиком ал-Каши.принять диаметр круга равным 108 чжанам, применить неравенство S2n<^ S <^ S2n+（S2n—S^ и вычислить площади вписанных правильных 12288-, 24576- угольников, и, таким образом, получается неравенство

Рис. 49. Цзу Чун-чжи （429-500）

Рис. 49. Цзу Чун-чжи （429-500）

Результат Цзу Чун-чжи был ским математиком ал-Каши.

Результат Цзу Чун-чжи был ским математиком ал-Каши.

3,1415926 < к< 3,1415927.

Мы уже указывали, что Цзу Чун-чжи дал приближенные значения числа 冗 в простых дробях 22/7 и 355/113. Так как эти дроби являются подходящими дробями для непрерывной дроби, выражающей отношение длины окружности к диаметру, некоторые историки науки считают, что Цзу Чун-чжи пользовался непрерывными дробями.

перекрыт в 1427 г. самарканд-

Мы уже упоминали вычисление Цзу Чун-чжи и его сыном Цзу Хэном объема шара с помощью атомистических £соображе- ний.

В «Истории династии Сун» говорится, что Цзу Чун-чжи занимался «площадями и объемами, находя их по разностям с помощью извлечения корней». Это значит, поясняет Цянь Бао-цун [НО, с. 86], Цзу Чун-чжи находит по площади или объему значение неизвестной «ширины», если известны ее разности с «длиной» и с «высотой». Если 力 ——ширина,力+加 ——длина, %+Z — высота параллелепипеда с объемом F, то 0= ~х （力+及）（力+%）, т. е. получается кубическое уравнение для х. Аналогично для прямоугольника получается квадратное уравнение. Имеется упоминание об отрицательных числах, по-види- мому, Цзу Чун-чжи применял их в качестве коэффициентов уравнений.

Ван Сяо-тун пишет также о задачах Цзу Чун-чжи о шарах и пирамидах и о его задачах «о городе», по-видимому близких к задаче 20 книги IX «Математики в девяти книгах»: эта задача, как известно, составлена специально для численного ^решения квадратного уравнения, когда корень уравнения находится путем «извлечения корня делением». У Цинь Цзю-шао задача такого же класса применяется для численного решения уравнения десятой степени. .

Г лава четвертая

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙДО НЕДОСТУПНЫХ ПРЕДМЕТОВ

Три классические задачи древней «Математики6 девяти книгах»

Три самые последние задачи «Математики в девяти книгах» относятся к практической геометрии. Именно к ним Лю Ху эй написал приложение, которое впоследствии составителями «Десятикнижья» было превращено в самостоятельный «Трактат о морском острове».

В «Математике^ в девяти книгах» представлены все три вида простейших измерений на местности: с помощью веревки, шеста и угольника, которые применялись и в дальнейшем в китайской измерительной практике. В этих простейших случаях производится одно измерение для определения одной неизвестной: находятся расстояние до дерева, высота горы и глубина колодца. Для решения в этих задачах достаточно рассмотреть пару подобных прямоугольных треугольников.

В задаче 22 девятой книги «Математики в девяти книгах» измеряется расстояние y=AD (рис. 50) от наблюдателя до дерева с помощью четырех столбиков А, В, С, О, расставленных по углам квадрата АВСО со стороной, равной 2=1 чжану. Когда человек смотрит на дерево из точки 0, то проекция дерева ——точка Е —— на стороне ВС отсекает отрезок ЕС=友=0,03 чжана (в оригинале десятичных дробей нет, но мы выражаем все величины в одной мере, в чжанах ——китайских саженях). Искомое расстояние находится из пропорции, составленной на основании подобия треугольников AOD и СЕО: ^ = ^~^. Эта задача составлена для того, чтобы продемонстрировать определение расстояния до недоступного предмета с помощью мерной веревки и фиксированной на ней проекции данного предмета. В решении используется подобие двух прямоугольных треугольников.

В следующей задаче 23 этой же книги определяется высота горы PQ=£ (рис. 51). Расстояние BQ=b до нее известно. Наблюдатель пользуется шестом высотой AB=hv Известно расстояние BD=d. Известен также DO=h ——уровень зрения наблюдателя. В этой задаче рассматривается пара подобных и подобно расположенных треугольников АКР и OLA. Искомая величина находится из пропорции

-= ИЛИ /=一一^+自.

Эта задача посвящена измерению высоты недоступного предмета с помощью измерительного шеста. Для решения задачи используется 'пара подобных прямоугольных треугольников.

Рис. 50.«Дерево»Рис. 50.«Дерево»Рис. 51. «Гора»Рис. 51. «Гора»Рис. 52.«Колодец»Рис. 52.«Колодец»

Рис. 50.

«Дерево»

Рис. 50.

«Дерево»

Рис. 51. «Гора»

Рис. 51. «Гора»

Рис. 52.

«Колодец»

Рис. 52.

«Колодец»

Наконец, последняя задача «Математики в девяти книгах», задача 24 книги IX, заключается в том, что в -ней определяется глубина колодца BD =х при помощи измерительного шеста заданной высоты О A =h (рис. 52). Измеряется отрезок АЕ~1, полученный при проектировании «границы воды и стены» — точки D — на диаметр колодца /8=2, когда наблюдатель смотрит из точки О. Искомая величина находится по формуле

牙%(d ~ Z)

в которую входят стороны подобных прямоугольных треугольников ОАЕ и DBE. Эта задача относится к измерениям на местности, когда пользуются угольником^ т. е. двумя линейками, соединенными под прямым углом, при этом вертикальная линейка постоянной «высоты», а на горизонтальной линейке отмеряется отрезок от вершины прямого угла до точки — проекции наблюдаемого объекта. Таким образом, эта задача составлена на измерение глубины с помощью угольника. Снова используется пара подобных прямоугольных треугольников.

Следует заметить, что измерения на местности производятся также в «задачах о городе», имеющихся как в «Математике в девяти книгах》，так и у Цинь Цзю-шао. Мы рассмотрели их выше в связи с численным решением уравнений высших [степеней.

«Метод чжун-ча» у Лю Хуэя.Подобие треугольников

Под таким названием Лю Хуэй поместил свои задачи по практической геометрии, хотя в самом тексте этот термин не употребляется. Термин заимствован из древней астрономии,

как и первая задача, рассмотренная Лю Хуэем. В древней астрономии была предпринята попытка определить* высоту Солнца над горизонтом и расстояние до места падения его вертикальных лучей. Лю Хуэй преобразовал эту задачу в задачу о земных расстояниях: он определил высоту морского острова и расстояние до него.

Первая задача Лю Хуэя такова:

«Наблюдают морской остров. [Для этого ] установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана. Предыдущий [шест ] от последующего удален на 1000 бу. Пусть последующий шест вместе с предыдущим находятся на одной прямой. Если отойти по прямой от предыдущего шеста на 123 бу, то глаз человека,

Рис. 53.«Морской остров»Рис. 53.«Морской остров»

Рис. 53.

«Морской остров»

Рис. 53.

«Морской остров»

[лежащего ] на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Если отойти по прямой от последующего шеста на 127 бу, то глаз человека, {лежащего ] на земле, будет наблюдать верхний конец шеста также совпадающим с вершийой острова. Спрашивается, какова высота острова и его удаленность от шеста? Ответ: Высота острова 4 ли 55 бу, удаленность от шеста 102 ли 150 бу» [17, с. 233].

Пусть PQ=x — высота морского острова (рис. 53) (в астрономической задаче Р — Солнце). АВ и CD — измерите л ьные шесты высотой А, соответственно «предыдущий» и ^последующий».

Ох и О2 — точки, из которых виден пик острова Р. Расстояние от шеста АВ до острова QB обозначим через у. Таким образом, заданы отрезки: NC=d=1000 бу, 3。1=〃1 = 123 勿，DO2 = =“2 = 127 бу, АВ = CD =h=3 чжини.

Для решения следует провести СК || ЛОХ или осуществить параллельный перенос треугольника АВОГ на расстояние d. Как на самом деле это осуществляли древние, неизвестно, чертежи до нас не дошли, мы реконструируем их сами по тексту древних задач и правил к ним. Из подобия прямоугольных треугольников PRA и CDK, а также треугольников РАС и СКО2 следует ряд отношений их сторон

hhх —无 у d ^2 一 а1 *

h

h

откудаоткудагдегде化=斫+%，У = “,化=斫+%，У = “,丫 =恥a2 一旬）；

откуда

откуда

где

где

化=斫+%，У = “,

化=斫+%，У = “,

по названию этого отношения двух разностей метод решения лодобных задач и был назван «двухслойной разностью». Этот метод состоит в том, что на основании подобия прямоугольных треугольников PRC и CDO^ PRA и CD К и пропорциональности их сторон можно прийти к подобию произвольных треугольников РАС и СКО^ стороны которых являются разностями d

Рис. 54. «Сосна»Рис. 54. «Сосна»и @2—。1 сторон рассмотренных ранее прямоугольных треугольников. И это подобие выражено «двухслойной» разностью, причем 丫 一 коэффициент пропорциональности.

Рис. 54. «Сосна»

Рис. 54. «Сосна»

Вторая задача Лю Хуэя,— ее любят цитировать в историкоматематической литературе (см. [81, с. 68, 147 ]), — аналогична первой; в ней определяется высота сосны, растущей

на вершине холма, и расстояние до этого холма. Наблюдатель производит три наблюдения, два из которых такие же, как в первой задаче (при помощи двух шестов одинаковой высоты наблюдается вершина сосны), а третье наблюдение заключается в том, что находится проекция основания сосны на первом шесте (точка Z), (рис. 54). Таким образом, известны расстояния, на которые надо отойти от шестов, чтобы увидеть вершину сосны: ВО*=аз 刀。2=^2，расстояние между шестами d, высота этих шестов Л и отрезок I на первом шесте, который откладывается при наблюдении основания сосны из точки О±. Решение также основано на подобии треугольников РАС и СКО^ PRA и АВО^ PSO* л ALO^ полученных при проведении СК || АО±. Здесь рассматриваются две пары произвольных подобных треугольников и одна пара прямоугольных. Из ряда отношений, составленных из сторон подобных треугольников, получаются формулы для искомых величин: 沙=。1丫， x=ly + l. Здесь также T=d/(a2—-^). Это те же формулы первой задачи, в них лишь для х взята величина 2, а не 无(«сжатие»). Эта задача интересна именно в совокупности с первой, а также с последующими третьей и четвертой, поскольку они демонстрируют единый метод.

«Метод чжун-ча» продемонстрирован древним автором также на задачах 3, 4. Рассмотрим сначала задачу 4. «Наблюдают глубокое ущелье, смотрят вниз по угольнику, [стоя] у края наверху. Пусть высота [катета] гоу 6 чи. На конце [катета] гоу можно видеть [проекцию] дна ущелья, и [при этом] на нижнем [катете ] гу [отсекается! 9 чи 1 цунь. В другой раз установили

второй угольник кверху [от первого], расстояние между угольниками 3 чжана. Теперь на конце [катета] гу можно видеть [проекцию] дна ущелья, и [при этом] на верхнем [катете] гу [отсекается] 8 чи 5 цуней. Спрашивается, какова глубина? Ответ: 41 чжан 9 чи».

Известно I 0工。2=:&, О 工В=。2口 ^^h, А В ^ cl^ 7 CD = а^ (рис. 55). Искомая величина у находится следующим образом. Из подобия треугольников PQO2 и CDO2 следует PQ/CD =O^Q!OJD\ а из подобия треугольников PQOr и АВОг следует пропорция PQIAB=OOOB Но O^^B^h, т. е. CD・Oq=AB・Oq

Рис. 55. «Ущелье»Рис. 55. «Ущелье»или

Рис. 55. «Ущелье»

Рис. 55. «Ущелье»

〃2 3+无+ &)=〃1 @+无).

Поэтому

(旬一〃2)y=a2d—h (旬一&)， откуда

沙=%r一務

где 丁="/(〃]—&)♦

Правило гласит: «Установи промежуток между угольниками и, взяв верхний катет гу, умножь на него, это делимое. Верхний и нижний [катеты] гу вычти один из другого, остаток будет делителем, раздели на него. Из того, что получится, вычти высоту [катета ] гоу, это и будет глубина

ущелья».

Рассмотрим теперь задачу 3. «Наблюдают на юге город с квад^дтной [стеной] неизвестных«размеров. [Для этого ] уста- новилй пару вертикальных шестов на востоке и на западе с расстоянием между ними 6 чжанов и на уровне глаза человека натянули веревку между ними. Пусть восточный шест вместе с юго- восточным углом и северо-восточным углом города находятся на одной прямой. Тогда [если] отойти на север от восточного шеста на 5 бу, то можно наблюдать северо-западный угол города [на расстоянии ] 2 чжана 2 чи 6 цуней с половиной внутри на веревке от восточного ее конца. [Если] в другой раз отойти на север от шеста на 13 бу 2 чи, то северо-западный угол города можно наблюдать в точности совпадающим с западным шестом. Спрашивается, какова сторона города и насколько город удален от шеста? Ответ: Сторона города 3 ли 43 3/4 бу, город удален от шеста на 4 ли 45 бу».

Заданы (рис. 56): длина веревки AB=d, первый отход от шеста АО^а^ второй отход АО^-=а^ отрезок АК = 1, искомые PQ—x и Хом，Для решения проводится KL параллельно РО2. Рассматривается пара прямоугольных треугольников АВО2 и AKL. Отсюда 4厶=~^ = 6. Далее находится отрезок ОгЬ = ^ ——。小 необходимый для пропорции Р0，К0\=«2—aj丨0rL,, вытекающей из подобия треугольников 尸О】。？ и KO^L. Третья пара по-

добных прямоугольных треугольников — это PQO、и КАО工. Они дают пропорцию x[l=PGjКО*. Таким образом, получается у =押 и ж = Z (а2 — aj® — а) а также у —- а± (а2 — 8)/(8 — а^.

Как видно, условия этих первых задач весьма просты, но они не являются повторением классических задач «Математики в девяти книгах», рассмотренных в предыдущем параграфе.

Лю Хуэй развил далее методы измерения на местности. Он учел, что следует измерять обычно не только высоту недоступного предмета, но и расстояние до него. Для этого требуется провести два или более наблюдений. Лю Хуэй посвящает этой проблеме две первые свои задачи. Он занимается также вычисле

нием ширины наблюдаемого объекта при помощи измерительных инструментов (задачи 3, 6, 8, 9). Содержание задач Лю Хуэя таково: в них определяются 1) высота морского острова и расстояние до него; 2) высота сосны на холме и расстояние до нее; 3) размер городской стены в виде квадрата; 4) глубина ущелья; 5) высота пагоды; 6) ширина реки; 7) глубина водоема; 8) ширина переправы; 9) размер городской стены в виде прямоугольника.

С точки зрения вида измерений в «Математическом трактате о морском острове» Лю Хуэя измерениям при помощи мерной

веревки посвящены две задачи (задачи 3, 6), при помохци пары шестов ——две задачи (задачи 1, 2), при помохци пары угольников —остальные пять задач (задачи 4, 5, 7—9). Основным типом

измерений, как видим, являются измерения с помощью угольника. В этих задачах находится как глубина, так и ширина объектов (задачи 4, 7 и 8, 9). Чаще всего в задачах Лю Хуэя производятся три наблюдения, а в одной (задача 7)——даже четыре. Именно:卫 задачах 1, 3, 4 — два наблюдения, в задачах 2, 5, 6, 8, 9 -— три наблюдения. Следовательно, типичной задачей в сочинении Лю Хуэя должна быть та, в которой при помощи трех измерейий угольником определяется ширина недоступного объекта. Такой задачей является задача 8.

Приведем задачу 8 трактата: «Взошли на гору для наблюдения переправы вброд, переправа находится к югу от горы. Смотрят вниз по угольнику, [стоя] наверху на горе, пусть высота катета гоу 1 чжан 2 чи. На конце катета гоу по наклонной можно увидеть южный берег переправы, [при этом] на нижнем катете гу [откладывается] еще 2 чжана 3 чи 1 цунь. Наблюдают северный берег переправы, [при этом] внутри катета гу от предыдущего наблюдения [откладывается] 1 чжан 8 цуней. Поднялись выше на отвесный утес, отошли точно на север на 22 бу, взошли выше на 51 бу, смотрят вниз по угольнику сверху с горы.

На конце катета гоу по наклонной можно увидеть южный берег лереправы, [при этом] внутри на верхнем катете гу [откладывается ]2 чжана 2 чи. Спрашивается, какова ширина переправы? Ответ: 2 ли 102 бу.

Способ: взяв высоту катета гоу, умножь на нижний катет гу, составь в одно [число] с верхним катетом гу. Из того, что получится, вычти высоту катета гу, остаток есть делитель. Установи [то, на сколько] отошли на север, умножь на высоту катета гоу, составь в одно [число ] с верхним катетом гу. То, что получится, вычти из восхождения вверх. Остаток умножь на [то, сколько отложилось 1 внутри катета гу. Делимое и делитель объедини в одно [число ] и получишь ширину переправы».

Рис. 57. «Переправа»Рис. 57. «Переправа»

Рис. 57. «Переправа»

Рис. 57. «Переправа»

Заданы (рис. 57): ОгА =O2Q~h = l чжан 2 чщ при первом наблюдении АВ=а1=2 чжана 3 ч^ 1 цунь, BL = l = i чжан 8 цуней; при втором CD'=a2 = 2 чжана 2 чи, при этом AR=d1=22 бу; CR=d2=51 бу; надо найти PQ=x・

В древнем правиле, по существу, описана формула

ж =ж =(-8)(-8)五一 一h五一 一h

ж =

ж =

(-8)

(-8)

五

一 一h

五

一 一h

Наша реконструкция решения следующая. Из подобия треуголь- ников О^Р и O-.AL следует = г, что дает SP = —~ -. Но из подобия O^D и “TQ вытекает

А &2 + О工S"^" = % + 心 + SP；подставляя сюда SP, получим

(力+心)无+QS (〃1一Z)=〃2 (dz+QS),

a2d2 -%(% + di)a2d2 -%(% + di)O\S =O\S =("1 - l) — a2("1 - l) — a2что дает значение

a2d2 -%(% + di)

a2d2 -%(% + di)

O\S =

O\S =

("1 - l) — a2

("1 - l) — a2

С другой стороны, значение QS можно выразить из пропорции xll=O1PIO1L (в силу подобия треугольников O、PQ и O*LB) и из пропорции ОуР/O^L=O^S/h (в силу подобия треугольников OrSP и OyAL). Таким образом,

xh (%-Z-〃2)= 2〃2d2-应(%+厶)， откуда и получается формула для искомой величины, эквивалентная предложенному правилом алгоритму. Комментатор Ли Чунь-фэн подсчитал, что действительно /=702 6g = 2 ли 102仇/・

. Задачи на измерение расстояний

других трактатах «Десятикнижъя»

В трактате Сунь-цзы встречается всего лишь одна задача этого типа: задача 25 третьей книги трактата. В ней измеряются тени от вертикальных столбов ВС=а, В^С^а^ высота одного из них известна, A^B^h^ высоту другого требуется найти: x^ah^a^ В задаче рассмотрена пара подобных и подобно расположенных треугольников с прямыми углами АВС и А1В1С1 (рис. 58). Напомним, что Сунь-цзы специально интересовался операциями с именованными десятичными дробями, которым он и посвятил свой трактат. И здесь для него, по-видимому, была важна не сама задача, но вычисления, которые следует производить при ее решении.广

Рис. 58 Рис. 59

В отличие от Сунь-цзы Чжан Цю-цзянь поместил в свой трактат задачи для всех трех видов измерительных инструментов (веревки, шеста, угольника). Это еще раз подтверждает нашу реконструкцию относительно древней классификации задач на измерение расстояний до недоступных предметов. Классификация первоначально была основана на внешних признаках: какие инструменты применялись. Однако довольно скоро древние поняли, что, как и в других случаях, основным является метод решения. Здесь рассматриваются подобные треугольники, сначала прямоугольные, а затем произвольные. И если обращать внимание на существо метода, то внешние признаки станут несущественными .

В трактате Чжан Цю-цзяня три измерительных задачи. Одна из них ——задача 12 первой книги трактата. В ней определяется неизвестная ширина реки х наблюдателем, которому известна высота берега 饱 и который отошел от него на некоторое расстояние а. Высота уровня зрения человека 无.Искомая %= ^h^lh. В задачах рассматривается пара подобных и подобно расположенных треугольников (рис. 59).

В задаче 14 этой же книги трактата Чжан Цю-цзяня следует определить уже две величины: высоту дерева х и расстояние у от наблюдателя до дерева с помощью измерительного шеста высоты h. Для нaxoждeнияJ неизвестных наблюдатель производит два наблюдения, как в задачах Лю Хуэя. Стоя на некотором

расстоянии d] от шеста, он видит вершину шеста совпадающей с основанием дерева (тест ниже человека); лежа наблюдает с земли вершину шеста совпадающей с вершиной дерева (рис. 60). Решение этой задачи основано на подобии прямоугольных треугольников AQB и О±АК, APL и 02AB. Из первой пары треуголь^ ников находится расстояние от шеста до дерева по формуле: y=hd1/(h1——Л). Из второй пары треугольников находится высота дерева

旨+瓦

Задачи, аналогичные задаче 15 первой книги трактата Чжан Цю-цзяня, которую мы теперь рассмотрим, много раз встречаются у Цинь Цзю-inao. Такая задача есть и у Лю Хуэя. В этой задаче требуется найти размеры стены «города» (рис. 61) MN=Х\, LN=x2, находясь на некотором расстоянии NC~y от нее, также подлежащем определению, при помощи четырех измерительных столбиков О, А, Е, С, расставленных, как в задаче 22 «Математики в девяти книгах» (см. выше), по углам квадрата с заданной стороной а. Наблюдатель находится

в точке О и получает при наблюдении объекта некоторые проекции, фиксируемые на сторонах квадрата. При решении данной задачи также требуется рассмотреть пары подобных прямоугольных треугольников. Согласно древнему правилу сначала находится у. Для этого рассматриваются прямоугольные треуголь

ники OCN и ВАО: у = —j—ники OCN и ВАО: у = —j—Затем находится отрезок 力「ДляЗатем находится отрезок 力「Для

ники OCN и ВАО: у = —j—

ники OCN и ВАО: у = —j—

Затем находится отрезок 力「Для

Затем находится отрезок 力「Для

этого рассматривают треугольники ОСМ и DAO: хг = -г—У- Наконец, третья искомая, отрезок ^2, находится по правилу, которое можно выразить формулой ①? = ?也”氢 в принятых обозначениях, где y—l3=KN и LN/ОС—KN/KC, пропорция, полученная из подобия треугольников LNK и ОСК.

15.《Измерения и наблюденияму Цинъ Цзю-шао

В свитках 7—8 (четвертая книга) «Класс задач на измерения и наблюдения» (〃е ван лэи) трактата Цинь Цзю-шао содержатся девять задач, как в трактате Лю Хуэя. Однако они отличаются от древних тем, что они более<разнообразны и служат не только тому, чтобы показать метод «чжун-ча», рассматривавшийся Лю Хуэем. У Цинь Цзю-шао имеются как простые (см., например, задачу 4 свитка 8), так и сложные задачи, но почти все они включают в свои условия весьма реальное описание измерений на местности. Древнюю терминологию средневековый автор применял по мере надобности. Во всех задачах, не связанных с уравнениями высших степеней, с нелинейными уравнениями, в правилах рекомендуется применять методы «гоу-гу» и «чжун-ча». Начальная фраза во всех этих правилах: «Ищи это при помощи гоу-гу, введи чжун-ча».

В задачах Цинь Цзю-шао определяются: 1) высота горы и расстояние до нее, 2) глубина рва и расстояние до воды, 3) ширина реки, 4) (или задача 1 свитка 8) размеры стены квадратного города, 5) диаметр стены круглого города, 6) диаметр круглого вражеского лагеря, 7) расстояние до вражеского лагеря, 8) диаметр круглого озера, 9) высота пагоды и некоторые другие параметры ее.

Задача 1 Цинь Цзю-щдо такова: «Наблюдение высоты горы и расстояния [до нее]. Задача о знаменитой горе неизвестной высоты и удаленной на неизвестное расстояние от городской стены. За городской стеной на ровном месте имеется некий столб высотой в 2 чжана 3 чи. Пусть [он] будет предыдущим шестом, и тогда установи последующий шест одинаковой высоты со столбом, так что они будут удалены друг от друга на 164 бу. Если сначала отойти от предыдущего шеста на 3 чжана 9 цуней, а затем отойти от последующего шеста на 3 чжана 1 чи 3 цуня, то горный пик будет наблюдаться по наклонной вровень с верхними концами шестов. Уровень зрения человека 5 чи. Делитель

для ли 360, делитель для бу 5 чи. Как узнать высоту горы и расстояние до нее? Ответ: Высота горы 20*с половиной ли 3 3/5 бу, расстояние до нее 27 ли'|328 67/575 бу» [105, с. 161].

Пусть вершина Р высоты PR=x и расстояние до нее RO2=y подлежат определению (рис. 62). Известны высота измерительных шестов /31 = С7)1=%,¥расстоян0е二между ними AC=d, отрезки 。1笈=〃1 и OJD—a^ наУкоторые^оледует отойти, чтобы наблюдать оба раза пик Р^совпадающим^точками Л, С. Высота уровня зрения 0^=0^=^. “ ‘

Задача вполне стандартна, она аналогична задаче 1 |из трактата Лю Хуэя. Разница заключается в том, что наблюдатель производит измерения стоя, а не с земли лежа. Таким образом,

в формулы для искомых величин войдет не Л, а разность А%==刃一％. Кроме того, здесь искомые 况 и 沙 являются не PQ и QE,a PR и НО2. Отсюда трансформация формул для х и у. Согласнометоду «чжун-ча» для решения задачи необходимо провестиСК IIАОГ. Из подобия прямоугольных треугольников PRO2и Ct)。? следует ряд отношений соответствующих сторон xlNh==у/а2=РО2/СО2. Из подобия треугольников POQ и С КО 2 следуетРО^ d + (“2 — fli)0。2a2 - a1в формулы для искомых величин войдет не Л, а разность А%==刃一％. Кроме того, здесь искомые 况 и 沙 являются не PQ и QE,a PR и НО2. Отсюда трансформация формул для х и у. Согласнометоду «чжун-ча» для решения задачи необходимо провестиСК IIАОГ. Из подобия прямоугольных треугольников PRO2и Ct)。? следует ряд отношений соответствующих сторон xlNh==у/а2=РО2/СО2. Из подобия треугольников POQ и С КО 2 следуетРО^ d + (“2 — fli)0。2a2 - a1Таким образом, искомые величины находятся по формуламТаким образом, искомые величины находятся по формулам力力A% [d -{-(做一fli)]A% [d -{-(做一fli)]〃 ={A% [" + (a2 -的)]} "24 一 A% (a2 — «!)〃 ={A% [" + (a2 -的)]} "24 一 A% (a2 — «!)Действительно, алгоритм, приведенный Цинь Цзю-шао, в на-Действительно, алгоритм, приведенный Цинь Цзю-шао, в на-ших1)2)3)4)5)6)ших1)2)3)4)5)6)обозначениях можно передать следующим образом: делитель для х равен («2—@i),涔обозначениях можно передать следующим образом: делитель для х равен («2—@i),涔составляется《верхнее число»: d+(&—〃，, делимое для х равно A% [d+(〃2—〃i)】, формула для а：力=a%['„)一a1",составляется《верхнее число»: d+(&—〃，, делимое для х равно A% [d+(〃2—〃i)】, формула для а：力=a%['„)一a1",делитель для у равен (〃?——〃i)厶九, делимое для у равно «2 {д^ [d+(〃2——〃i)]}.делитель для у равен (〃?——〃i)厶九, делимое для у равно «2 {д^ [d+(〃2——〃i)]}.7) формула для г/: ^7) формула для г/: ^{А方[d -|- (@2 — «1)1 } «2AZt (@2 —，i){А方[d -|- (@2 — «1)1 } «2AZt (@2 —，i)19 Э. И. Березкина19 Э. И. Березкина281281

в формулы для искомых величин войдет не Л, а разность А%==刃一％. Кроме того, здесь искомые 况 и 沙 являются не PQ и QE,a PR и НО2. Отсюда трансформация формул для х и у. Согласнометоду «чжун-ча» для решения задачи необходимо провестиСК IIАОГ. Из подобия прямоугольных треугольников PRO2и Ct)。? следует ряд отношений соответствующих сторон xlNh==у/а2=РО2/СО2. Из подобия треугольников POQ и С КО 2 следуетРО^ d + (“2 — fli)0。2a2 - a1

в формулы для искомых величин войдет не Л, а разность А%==刃一％. Кроме того, здесь искомые 况 и 沙 являются не PQ и QE,a PR и НО2. Отсюда трансформация формул для х и у. Согласнометоду «чжун-ча» для решения задачи необходимо провестиСК IIАОГ. Из подобия прямоугольных треугольников PRO2и Ct)。? следует ряд отношений соответствующих сторон xlNh==у/а2=РО2/СО2. Из подобия треугольников POQ и С КО 2 следуетРО^ d + (“2 — fli)0。2a2 - a1

Таким образом, искомые величины находятся по формулам

Таким образом, искомые величины находятся по формулам

力

力

A% [d -{-(做一fli)]

A% [d -{-(做一fli)]

〃 ={A% [" + (a2 -的)]} "2

4 一 A% (a2 — «!)

〃 ={A% [" + (a2 -的)]} "2

4 一 A% (a2 — «!)

Действительно, алгоритм, приведенный Цинь Цзю-шао, в на-

Действительно, алгоритм, приведенный Цинь Цзю-шао, в на-

ших

1)

2)

3)

4)

5)

6)

ших

1)

2)

3)

4)

5)

6)

обозначениях можно передать следующим образом: делитель для х равен («2—@i),涔

обозначениях можно передать следующим образом: делитель для х равен («2—@i),涔

составляется《верхнее число»: d+(&—〃，, делимое для х равно A% [d+(〃2—〃i)】, формула для а：力=a%['„)一a1",

составляется《верхнее число»: d+(&—〃，, делимое для х равно A% [d+(〃2—〃i)】, формула для а：力=a%['„)一a1",

делитель для у равен (〃?——〃i)厶九, делимое для у равно «2 {д^ [d+(〃2——〃i)]}.

делитель для у равен (〃?——〃i)厶九, делимое для у равно «2 {д^ [d+(〃2——〃i)]}.

7) формула для г/: ^

7) формула для г/: ^

{А方[d -|- (@2 — «1)1 } «2AZt (@2 —，i)

{А方[d -|- (@2 — «1)1 } «2AZt (@2 —，i)

19 Э. И. Березкина

19 Э. И. Березкина

281

281

Таким образом, эта задача является типичной задачей измерения на местности при помощи двух шестов. Производятся два

измерения, определяются две величины: высота и расстояние до объекта. Приведенные Цинь Цзю-шао формулы отличаются от формул Лю Хуэя тем, что в данной задаче искомая у опреде-

ляется несколько иначе.

Следующая задача на метод «чжун-ча^ — довольно простая задача 3 того*же свитка VII. В ней говорится о том, как путе

шествующий чиновник встретил на своем пути реку и решил

измерить ее ширину PQ—x (рис. 63). При помощи отвеса он измерил крутой берег реки, вы-

〃〃Рис. 63. «Река»Рис. 63. «Река»сота которого оказалась равной NK=hz=3 чжанам. Далее наблюдатель пользуется бамбуко

〃

〃

Рис. 63. «Река»

Рис. 63. «Река»

вой тростью длинойЬВ=а=6чи1

доржит ее горизонтально, осно

вание трости лежит на уровне подбородка на расстоянии 无=5 цуням от глаза. Чинов

ник видит противоположный берег реки, песчаную отмель QP так, что при этом на трости

откладывается внутрь АВ=1=

=3 чи 4 цуням. Уровень зре

ния ON=h工=5 чи. В результате вычислений наблюдатель полу

чает ширину реки

u = Z伍2 +坛)

Для решения задачи следует рассмотреть пару произвольных подобных треугольников ОАВ и OPQ, а также пару прямоугольных подобных треугольников OLA и ОКР. Отсюда хЦ= =ОР[OA=OK1OL、где。反=卷+无i (вместо OK в подлиннике почему-то указан LK).

Прежде чем перейти к задачам свитка VIII, отметим, что три задачи данного свитка VII представляют все виды измерений на местности: в первой задаче с помощью шеста, во второй (здесь опущенной) — с помощью угольников, в третьей, по существу, с помощью веревки, хотя можно также считать, что применяемая здесь трость могла служить угольником. Из них первую задачу можно оценить как типичную стандартную задачу, аналогичную задачам Лю Хуэя; вторая, наоборот, нестандартная, а третья также обычная задача практической геометрии.

Из следующего свитка VIII книги Цинь Цзю-шао рассмотрим задачи 1, 4 и, наконец, последнюю ——6. Эти задачи совсем простые. Задача 4 похожа на задачу 15 книги I трактата Чжан Цю- цзяня, которая в свою очередь базируется на задаче 22 книги IX «Математики в девяти книгах». Вот ее условие: в«Измерение квадратной городской стены [с помощью] шестов. Задача о неприя-

тельской городской стене, [которая имеет] неизвестную ширину, и расстояние до нее также неизвестно. Ее наблюдают из леса, [растущего] на равнине возле стены на юг от города. На окраине леса имеется два дерева, отстоящих друг от друга с юга на север на 160 бу, находящихся на продолжении прямой восточной стороны стены. К востоку от двух столбов ставятся напротив два вертикальных шеста. Промежутки между шестами и столбами [образуют] четыре равных стороны. Глаз человека [находится на уровне] веревок, связывающих их. От восточного заднего шеста по направлению на запад человек проходит 10 бу и наблюдает северо-восточный угол стены на 15 бу внутрь от перед

него восточного шеста, . а также наблюдает юго-восточный угол стены на 48 бу с цань и половиной бу внутрь от восточного переднего шеста. Делитель для ли 360 бу. Как узнать ширину стороны стены и расстояние до нее? Ответ: Ширина стороны стены каждая 12 ли 320 бу, стена отстоит от дерева на 9 ли 320 бу».

Пусть сторона города PQ=x、а расстояние до нее KQ=y (рис. 64). Здесь К и £ — два дерева, a 7V и М — измерительные столбики, расставленные по углам квадрата KLMN со стороной KN—d =160 бу. KN — веревка на уровне глаз наблюдателя, на которой точками проекции 5 и С отмечаются отрезки NB = l* и NC=l2, когда наблюдатель находится в точке О, причем ОМ=1 (у Чжана точкой наблюдений является точка М).

Рис. 64・ «Городская стена»Рис. 64・ «Городская стена»d (d — %)d (d — %)Правила вычислений искомых величин можно выразить в наших обозначениях формулами

Рис. 64・ «Городская стена»

Рис. 64・ «Городская стена»

d (d — %)

d (d — %)

Эти формулы получаются, если рассматривать пары подобных треугольников ОАВ и РКВ, QKC и О АС. Из подобия первой пары следует отношение Q+g)/(d—幻=勿&—2) и находится %+у; из подобия второй пары следует y/(d—l^=d/(l2^l) и находится у.

Задача 7 еще проще. Она похожа на задачу 23 книги IX «Математики в девяти книгах》, но определяется расстояние от шеста до точки Q, а не высота наблюдаемого объекта, находящегося на расстоянии QB (рис. 65). Задача аналогична задаче 12 первой книги трактата Чжана Цю-цзяня. Здесь шест АВ высотой Л,

наблюдение производится из точки О, находящейся на уровне Лх и на расстоянии АК=а. Следует определить расстояние х. Из подобия треугольников (прямоугольных) ОКА и ABQ следует a/^h=x/h, где △А=А1—А.

Приведем условие задачи, она называется «Определение расстояния до противника». «Задача о войске противника, расположенном за горой на северном склоне, на неизвестном расстоянии от равнины. Тогда на ровной площадке ставят шест высотой в 4 чи. Человек отошел от шеста на 900 бу. [Делитель для бу 5 »〃] и наблюдает основание горы вдали совпадающим с концом шеста. Глаз человека на высоте 4 чи 8 цуней. Как узнать, насколько далеко вражеское 〃войско? Ответ: 12 с полови

ной ли».

Наконец, последняя задача 9 свитка VIII из книги Цинь Цзю- шао — вполне стандартная задача практической геометрии. В задаче определяется высота пагоды PQ=H при помощи шеста (рис. 66). Глаз наблюдателя находится в точке О на высоте 九 1 от земли. Известны расстояния ВС=а и BQ—b. В качестве шеста используется

некая бамбуковая мачта с нанесенными на нее делениями. В задаче находится высота ее А. Высота пагоды в целом определяется просто: из подобия^прямоугольных треугольников PLA и АКО. из пропорции (Н—期/匕=厶力/〃，где △力=h—h^ В задаче еще требуется найти высоту крыши пагоды PR—x^ при этом наблюдатель фиксирует основание крыши на том же бамбуковом шесте в точке D (известно некоторое количество делений на нем, так что AD = l). После вычисления этого

отрезка I на шесте, полученного при проектировании высоты крыши, из подобия произвольных треугольников PRO и ADO, а также прямоугольных РМО и АКО следует ряд отношений: х/1 = OPIOA = (а + 右)/。・ Отсюда х = "«广© • Тогда собственная высота пагоды будет равной Я—ж, а высота центральной колонны пагоды, которую требуется заменить (что является конечной целью вычислений), получается, если к собственной высоте пагоды добавить некоторую величину, данную в условии задачи. Заметим, что еще одна задача практической геометрии находится в свитке XVI (задача 2) книги Цинь Цзю-шао. Задача эта простая, типичная для измерений на местности. Надо найти диаметр d (рис. 67) неприятельского лагеря, находящегося за рекой, наблюдая из точки О с горы. Наблюдатель видит диаметр, который при этом проектируется на шесте AB=h, отстоящем на расстоянии DC=a, в виде отрезка AD = l,。。=区・

Решение, очевидно, основано на способе «чжун-ча», хотя он здесь и не назван, а указан лишь способ «гоу-гу», т. е. указано только на прямоугольные треугольники. Здесь следует рассмотреть ХРАВ 〜 △/。£; пусть BQ=y, тогда jd+y)/6= =а/(&—2). Из &QDB 〜/\DOC следует 〃九二口偽，y=ah/h1, а 〃=成/(%—2)—у. Китайская приближенная формула выражена проще: d=@Z/无1 (она бу^ет точной, если h1=h+l).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате многолетней работы над переводом сохранившихся древнекитайских математических трактатов автор постарался представить более или менее полно развитие математики в Китае со II в. до н. э. по VII в. н. э. Иногда приходилось обращаться к более древнему времени, иногда, наоборот, к более поздним XIII—XIV вв. Первый случай имел место, например, при поисках древнейшей классификации фигур и тел, проистекавших из необходимости измерения полей, дамб, плотин. Второй случай, например, при изучении проблемы решения систем сравнений по модулю в задачах с остатками. При этом мы не раз наблюдали, что метод обращения задач, взятых непосредственно из практики, приводил к более сложным, чисто математическим задачам, над решением которых работали древние математики.

Зарождение группового десятичного счета и мультипликативного принципа фиксирования чисел еще в эпоху Инь (позиционная именованная система), изобретение в дальнейшем счетной доски для проведения на ней вычислений привело к появлению позиционной системы счисления (но только на доске во время вычислений!) вместе с десятичными дробями, которые на доске выглядели как дроби с «плавающей запятой». Знака нуля при этом не существовало, поскольку пустая клеточка означала пропуск разряда. Знаменатели и числители обыкновенных дробей располагались в определенных строках и столбцах, и на счетной доске дроби были представлены как пары чисел. Для действий со всеми этими числами были разработаны правила, очень похожие на современные; это были алгоритмы для счетной доски. •

В дальнейшем интенсивно разрабатывались алгоритмы для многих классов задач: был создан общий матричный способ решения систем линейных уравнений, способ извлечения квадратных и кубических корней, обобщенный в дальнейшем на любой случай корней n-й степени; табличный вариант правила двух ложных положений и многие другие.

В создании исчислений обыкновенных、и десятичных дробей в дальнейшем проявились два различных направления в развитии математики. Первое направление — аналитическое — связано с десятичными дробями, метрологическое происхождение которых в древнекитайской математике находит объяснение в про-

цедуре деления, а также извлечения корней. Десятичные дроби потенциально содержат бесконечность и связанные с нею проблемы. Они дали основание для обобщения идеи приближения в области рядов, которые также часто составляли предмет размышлений для китайских математиков. Идея предела была применена при вычислении числа 冗 методом удвоения числа сторон правильного вписанного 6-угольника, в вычислениях объема пирамиды, сферы, приближенных корней уравнений высших степеней и т. д. ‘

Второе направление — алгебраическое — связано с обыкновенными дробями и теоретико-числовыми проблемами. Дробь как пара послужила в дальнейшем развитии науки основанием для обобщения понятия числа, уже для построения поля отношений абстрактного коммутативного кольца (так строятся в современной алгебре все числовые поля). С такими дробями связана разработка понятия наименьшего общего кратного, про- исхожденйе которого также хорошо видно из примеров, рассмотренных в книге; наибольшего общего делителя и ^алгоритма Евклида для его нахождения, который в точности совпадает с греческим правилом, но дан в арифметической форме.

Были хорошо известны среднее арифметическое двух или нескольких чисел, свойства арифметической и геометрической прогрессий, учение о четных и нечетных, а также о числах «другой природы» (об отрицательных числах и правилах действий с ними). Арифметика остатков (сравнения по модулю), теорема Пифагора и тройки пифагоровых чисел, конечные числовые последов ательности с первыми, вторыми разностями, магические квадраты с их трансформациями, группы подстановок в задачах на прямоугольные треугольники (системы уравнений), неопределенные уравнения в целых числах и т. д.—— все это свидетельствует об огромной практике в решении теоретико-числовых задач.

Что касается общей модели древней математики, то следует отметить ее «линейность» как основу многих методов. Задачи натурального обмена прежде всего породили понятие коэффициента пропорциональности, который выражал величину отношения ценности одного продукта к другому. Точно так же и в геометрии первоначальным был коэффициент пропорциональности, который способствовал введению пропорциональности сторон прямоугольного и вообще произвольного треугольника. В сочетании со средним арифметическим, а также с установлением теоремы Пифагора и комплекса понятий, из нее проистекающих, линейная зависимость практически давала возможность изыскивать метод решения почти любой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

Лпокин И. Л., Майстров Л, Е. Развитие вычислительных машин. М.: Наука, 1974.

Атеисты, материалисты, диалектики древнего Китая Ян Чжу, Лецзы, Чжуанцы (VI—IV вв. до н. э.)/Пер., вступ. статья и коммент. Л. Д. Позднеевой. М.: Наука, 1967.

Архимед. Сочинения/Пер., вступ. статья и коммент. И. Н. Весе- ^ловского; Пер. араб, текста.

Б. А. Розенфельда. М.:^Физмат- гиз, 1962.

Башмакова И, Г. Диофант и диофантовы упавнения. М.: Наука, 4972.可

Башмакова И» Г, Лекции по истории математики в древней Греции. —"Ист.-мат.исслед.,

1958, вып. XI, с. 225—438.

Башмакова И, Г., Юшкевич 4 ・ П. Происхождение систем счисления. — Энциклопедия элемен- Ттарно近 математики. Т. 1/Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. М.;Л.: Гостехиздат, 1951,

11-74.

Березкина^Э, Я. О «Математике в девяти книгах». — Ист.-мат. исслед., 1957, вып. X, с. 427— 438.

Березкина 3・ Я. Трактат «Математика в4"девяти книгах» и его значение в истории китайской науки. — Советское китаеведение, 1958, № 3, с. 133—135.

Березкина 5. Я/Арифметические вопросы в древнекитайском трактате «Математика в девяти кни- гах»・‘一*Из истории науки и техники в странах Востока, 1960, 『выл. I, с. 34—55.

Березкина^Э. Я. О математическом трактате Сунь-цзы.— Ист.-мат. исслед., 1960, вып. XIIL с. 219—230.

Березкина Э, И, О математическом труде Сунь-цзы. — Из истории науки и техники в странах Востока, 1963, вып. III, с. 5—21.

Березкина Э. И. Из истории десятичных дробей в Китае.—— Математика в школе, 1963, № 3, с. 9—17.

Березкина Э. И. Об одном древнекитайском трактате. — Ист,- ”ат・ исслед., 1966, вып. XVII, с. 261-271.

Березкина 3・ И. «О «Математическом трактате пяти ведомств». —Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 82-84.

Березкина^Э. Я. О трактате ЧжанЦю-цзяня по математике.— Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 48— 27.

Березкина Э. И. О математических методах древних. — История и методол. естеств. наук, 1971, вып. XI, с. 172—185.

Березкина Э. И. Два текста Лю Хуэя по геометрии (публика- ^ция).—— Ист.-мат. исслед., 1974, вып. XIX, с/ 231-273.

Березкина ЭЖИ. О математических методах древних (буквальная геометрия и теорема Пифагора). — История и методол. естеств. наук, 1974, вып. XVII, с. 36—50.

Березкина Э. И. Математика {древнего Китая/— Proceedings

XIVth Intern. Congress of the History of Science. Tokyo 尸 and Kyoto. Japan, 1974. Science Concil of Japan. Tokyo, 1975, Fp・ 99-102.

Бурбаки Я. Очерки по истории

二 математики/Пер. с франц. И. Г.В^Башмаковой: Под ред. К. А. Рыбникова. М.: Изд-во иностр, лит., 1963.

Вайман 4. 4・ Шумеро-вавилонская математика. М・？ 1961.

Ван Сяо-тун. Математический трактат о продолжении древних (методов)/Пер. с древнекит. и примеч. Э. И. Березкиной.—— Ист.-мат. исслед., 1975, вып. XX. с. 329—371.

Ван дер^Варден J5. 〃・ Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Гре- ции/Пер. с голланд. И. Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959.

В а щенко-3ахарченко М. Е. Истории математики. Киев, 1883.

25・ Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. — Труды ИИЕ, 1948, т. II, с. 426-498.

Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Физматгиз, I960.

Виноградов И. М. Теория чисел. М・； Л.: Гостехиздат, 1949.

Вопросы и решения вардапета Анания Ширакаци, армянского математика VII века/Пер. И. А. Орбели. Пб., 1918.

Выгодский М. Я. Происхождение правила двух ложных положений. ——Ист.-мат. исслед., 1960, вып. XIII, с. 231—252.

Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М・： Наука, 1967.

Гошкевич И, А, О китайских счетах. —Труды членов Российской Духовной миссии в Пекине, т. II. СПб., 1853, с. 169—194. Uber das chinesische Rechenbrett. Berlin, 1858. Bd. 1.

Tyd T. X・，Макол R 3. Системотехника. Введение в проектирование больших систем. М・：Сов. радио, 1962.

Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах/Пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского; Ред. и коммент., вступ. статья И. Г. Башмаковой. М.: Наука, 1974.

Древнекитайскаяфилософия,

т. I—II. М・：Наука, 1972—1974.

Думая Л. И. Реформы Ван Мана.——Вестник древней истории, 1940, № 1, с. 82—98.

Е&анян 4・ М・ Математика в Армении в V—VII вв・— G6. научн. трудов Арм. гос. заочн. пед. ин-та, 1967, № 6, ч. 2, с. 1—80.

37・ Зубов В. 〃” Розенфельд 瓦 Л., Юшкевич А. П. Об исследованиях до истории математики средних веков. — Ист.-мат. исслед., 1963, вып. XV, с. 51— 72.

История математики (с древнейших времен до начала XIX столетия)/Под ред. А. П. Юшкевича, т. I—III. М.: Наука, 1970-1972.

История отечественной матема- тики/Под ред. И. 3. Штокало, т. I—IV. Киев: Наукова думка, 1966.

Ал-Каши Джемшид Гиясэддин. Ключ арифметики. Трактат об окружности/Пер. с араб. Б. А. "Розенфельда; Ред. В. G. Сегаля и А. П. Юшкевича; Коммент. А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда. М.: Гостехиздат, 1956.

Книга Абу-р-Рейхана Мухаммада ибн Ахмада ал-Бируни об индийских рашиках/Примеч. Б. А. Розенфельда. — Из исто

рии науки и техники в странах Востока, 1963, вып. III, с. 148— 17Р.

Колмогоров 4 • Н・ Математика.— Большая советская энциклопедия. 2-е изд», 1954, т. XXVI.

Конрад Я. Я. Сунь-цзы. Трактат о военном искусстве. М・； Л.» 1950.

Конрад Я. Я. У-цзы. Трактат о военном искусстве: Пер. и коммент. М・,1958.

Конрад Н. И. Восток и запад. М.: Наука, 1966.

Лебег А. Об измерении величин/

Пер. под ред. А. Н. Колмогорова.

М・：Учпедгиз, 1938.

Ли Янь, К вопросу о древнекитайской математике. Труды третьего всесоюзного математического съезда (Москва, 1956), 1959, 246-248.

Маракуев А. В. Меры и весы в Китае. Владивосток, 1930.

49・ Математический трактат Сунь- цзы: Пер. с древнекит., примеч. Э. И. Березкиной. — Из истории науки и техники в * странах Востока, 1963, вып. III, с. 22— 70.

Математика в девяти книгах/Пер. и примеч. Э. И. Березкиной.-^ Ист.-мат. исслед., 1957, вып. X, с. 439-584.

Математический трактат Чжан Цю-цзяня/Пер. с древнекит. Э. И. Березкиной. — Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 27—81.

Математический трактат пяти ве- домств/Пер. с древнекит. Э. И. Березкиной. ——Физ.-мат. науки в странах Востока, 1969, вып. II (V), с. 85—97.

Медовой М. И. Об одном случае применения отрицательных чисел у Абу-л-Вафы. — Ист.-мат. исслед., 1958, вып. XI, с. 593— 598.

Молодший В, Н, Основы учения о числе в XVIII веке. М.: Учпедгиз, 1953.

Начала Евклида/Пер. с греч. и коммент. Д. Д. Мордухай- Болтовского и И. Н. Веселов- скаго, т. I—III. М.; Л.: Гостех- издат, 1948—1950.

Нейгебауер 〃.&Лекции по истории античных математических наук/Пер., предисл., примеч. G. Я. Лурье. М・；Л., 1937.

Нейгебауер О. Точные науки в древности/Пер. Е. В. Гохман; Под ред., с предисл. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1968.

Переломов Л. С. Империя Цииь— первое централизованное государство в Китае (221—202 гг. до н. з.). М., 1962.

Петросян Г. Б, Математика в Армении в древние и средние века. Ереван, 1959.

Раик А. Е, О вычислении некоторых объемов в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах». — Ист.-мат. ис- след., 1961, вып. XIV, с. 467— 472.

Розенфельд Б, Л., Копелевич Ю. X, Мухаммед ал-Хорезми. Математические трактаты. Ташкент, 1964.

Рыбников К. Л. История математики, т. I—II, М.: изд-во МГУ, 1960.

Серкина А. А. Опыт дешифровки древнейшего китайского письма. М・，1973.

Скачков И. Е. История русского китаеведения. М.: Наука, 1977.

Славутин Е, И. Алгебраические методы в древности. Автореф. канд. дис. М., ИИЕиТ, 1973.

Стройк Д. Я, Краткий очерк истории математики/Пер. и доп.

И. Б. Погребысского. М., 1964, 1969.

Сыма Цянь. Исторические записки («Ши цзи»)/Пер. с кит. и коммент. Р. В. Вяткина и~В. G.

Таскина, т. I—IL М.: Наука, 1972, 1975.

Фаддеев Д, Я., Фаддеева В, Я. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960.

Флуг 笈.К, История китайской печатной книги Сунской эпохи X—XIII вв. М・；Л., 1959.

Хуа Ло-гэн. Предисловие к русскому изданию «Математики в девяти книгах».——Ист.-мат. исслед., 1957, вып. X, с. 425— 426.

Шицзин (Избранные песни)/Пер. А. А. Штукина: Под ред. Н. И. Конрада. М., 1957.

Штейн 氏 М. Гуань-цзы. М., 1959.

Штейн В. М. Экономические иШтейн В. М. Экономические и73.74.75.76.77.78.73.74.75.76.77.78.культурные связи между Китаем и Индией в древности (до III в. н. э.) /Под. ред. Ю. П. Рериха. М., 1960.

Штейн В. М. Экономические и

Штейн В. М. Экономические и

73.

74.

75.

76.

77.

78.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

Щуцкий Ю, К, Китайская классическая «Книга перемен». М・, 1960.

Шридхара, Патиганита/Пер. с санскр. О. Волковой и А. Володарского. —Физ.-мат. науки в странах Востока, 1966, вып. I (IV). / Эсхил, Прометей прикованный/ Пер. под ред. С. К. Апта. М., 1956.

Юань Кз. Мифы древнего Ки- тая/Пер. Е. И. Лубо-Лесни- ченко, Е. В. Пузицкого, В.①. Сорокина; Под ред. и с послесл. Б. Л. Рифтина. М・：Наука, 1965. Юшкевич^А • П. Исследования

по истории математики в_ странах Востока в средние二века. Итоги и перспективы.二Физ.- мат. науки в странах Востока. 1969, вып. II (V), с. 5—17.

Юшкевич А. П. О достижениях китайских ученых в области ма* тематики. — Ист.-мат. исслед., 1955, вып. VIII. См. также в кн.: Из истории науки и техники Китая. М., 1955.

Юшкевич Л. Я., Розенфельд В. А. Математика в странах Востока в средние века. — Из истории науки и техники в странах Востока, 1960, т. I, с. 349—421.

Юшкевич А, П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961.

Яновская С. 4. К теории египетских дробей. — Труды ИИЕ, 1947, т. I, с. 269—282.

Яновская С. А. — В кн.: Из истории науки и техники в странах Востока, т. III. М., 1963, с. 11 — 12.

Яншина Э. М, О некоторых изображениях на рельефах ханьских погребений.——Вестник древней истории, 1961, № 3, с. 70—78.

Яншина 3. М. Каталог гор и морей. Шаньхай цзин. М.: Наука, 1977.

Ян Юн-го. История древнекитайской идеологии/Под ред. и с вступ. статьей Ян Хин-шуна. М., 1957.

Го Мо-жо. Исследования надписей на костях и черепашьих панцирях (Цзягу вэньцзы янь- цзю). Пекин, 1952.

Гуань Се-чу, Иньские надписи (Цзягу вэнь). Пекин, 1952.

Дун Цзо-бинъ. Исследование периодизации надписей на черепашьих панцирях и костях. Пекин, 1958.

Ду Ши-жань. Достижения в методе решения систем фан-чэн из «Математики в девяти книгах». (Цзю чжан суань шу чжун сяньюй ф анчэн Цзефады чэн- цзю). — Шусюэ тунбао, 1956, № 11.

Ли Янь. О системе счета на суань- пане (Чжусуань чжиду као). — Яньцзин сюэбао, 1931.

Ли Янь, История китайской математики (Чжунго суаньсюэ ши). Шанхай, 1955.

Ли Янь. Математические трактаты, открытые в Дунхуанских пещерах (Дунхуан ши ши ли- чэн суаньцзин).—— Голи Бэй- пин тушугуань ку ан. Пекин, 1935, № 9; Тушу чжикуан, 1939, № 1.

Ли Янъ. Материалы по истории древнекитайской математики. (Чжунго гудай шусюэ шиляо). Шанхай, 1954.

Ли Янь. Собрание исследований по истории китайской математики (Чжунсуаньши луньцун). Пекин, т. I—V, 1954—1955.,

Ли Янь. Народная математика в Китае с XIII по XIV вв. (Шисань - шисы шицзе миндянь шусюэ). Пекин, 1957.

Ли Янь. О развитии китайской математики (Чжунго шусюэ фач- жан цинсин). — Шусюэ тунбао, 1955, № 7.

Ли Янь. Способы числовых записей у китайских математиков (Чжунсуань цзяды цзишу фа).— Шусюэ тунбао, 1958, № 6.

Ли Янь. Очерки истории древней китайской математики.

(Чжунго гудай шусюэ цзянь ши), т. I—II. Пекин, 1963— 1964.

Суань цзин ши шу. (Десять математических трактатов). Де- сятикнижье/Под ред. Цянь Бао- цуна. Пекин, 1963.

Суй Чи-фанъ. Древнекитайские четыре системы счета. (Чжунго гудайды сычжун цзиши суаньфа).——Шусюэ дяосюэ, 1956, № 1.

Сюй Чунь-фан. Древнекитайские методы суммирования рядов. —Кэсюэ дачжун, 1956, № 6.

Хуа Шэн-у. Геометрические знания у Мо-цзы (Моцзыды цзи- хэсюэ чжиши).——Шусюэ цзяо- сюэ, 1957, № 8.

Хуа 〃。-23儿.О треугольнике Паскаля в истории китайской математики. Пекин, 1959.

Цинь Цзю-шао. Девять книг по математике (Шу шу цзю чжан). Шанхай, 1937.

Цзи Сянь-линь. Очерки по истории культурных связей Китая и Индии. (Чжун-инь вэньхуа ляньси ши лунь цзун). Пекин, 1957.'

Цянь Бао-цун, Метод решения уравнений фанчэн в «Математике в девяти книгах» (Цзю чжан суань шу фанчэшпу цзяо ли цзи). — Шусюэ тунбао, 1955, № 6.

Цянь Бао-цун. Об истоках древней математики (Гу суань као- юань). Шанхай, 1930.

Цянь Бао-цун. О заимствовании правила 2-х ложных положений из «Математики в девяти книгах» европейцами. (Цзю чжан суань шу ин-бу-цзу шу люйчжуань оу-чжоу као).— Кэсюэ. 1927, № 12.

НО. Цянь Бао-цун. История китайской математики (Чжунго iny- сюэ ши). Пекин, 1964. — Кю- сюэ чубаньшэ, 1964.

Цянъ Бао-цун. Комментарии к методу задач 2 и 3 трактата «Цигу суань шу» Ван Сяо-туна. (Ци гу суань шу диэрти ди- саньти гшу вэньчучжэн).— Кюсюэ цзиган, 1966, № 9.

Цянъ Линъ-чжао. Китайское научное произведение периода ранней Цинь—Моцзин (У ого сяньцинь шидайды кэсюэ чже- цзо—Моцзин). — Кэсюэ дач- жун, 1954, № 12.

ИЗ. Юань Юань. Биографии (китайских) математиков и астрономов (Чоу жэнь чжуань). Пекин, 1799.

Янь Дунь-цзе. История распространения арабских цифр в Китае (Алобо шумацзы чжуаньдао лайды лиши).——Шу- сюэ тунбао, 1957, № 10.

Янь Дунь-цзе. Влияние на математику эпохи Сун, Юань (Сун юань суань сюэ цункао).— Кюсюэ, 1947, № 29.

Янь Дунь-цзе. Успехи древнекитайской математики (Чжунго гудай шусюэ ды ченцзю). Пекин, 1956.

Adamo М, La matematica nellz- antika China. — Osiris, 1968, 15, p. 175—195.

Becker 0., Hoffman 7. E. Ge- schichte der Mathematik. Bonn. 1951.

Berezkina E, I. On the early history of desimal frection.— In: Actes du XI-е Congr. Intern. d'Hist, des Sciences (Varsovie— Gracovie), 1965. Varsovie, 1968, 3, p. 157—159.

Bhandarkar A. S. The decimal notation. — J. Bombay Branch Roy. Asiat. Soc., 1954, 29, N 1, p. 94-95.

Biernatzki K. L. Die Arithmetik der Chinesen. — J. reine und angew. Math., 1856, 52, S.[59— 94.一

Biot E. Traduction et Examen d'un ancien Ouvrage intitule Tcheou—Pei, litteralment «Style ou signal dans une cir- conf^rence». — J. asiat., 1841, N 11; 1842, N 13. Comment, by J. B. Biot. J. des savants,

Cajory 尸.A history of mathematics. N. Y., 1893.

Camman S. The evolution of magic squares in China. — J. Americ. Orient. Soc., 1960, 80, p. 116-124.

Cantor M. Vorlesungen iiber die Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1907—1913, Bd. 4—4.

Freudental H. 5000 jaren inter、 nazionale wetenschap. Groningen (Noordhoff),"946.

Goodrich L. C. The Abacus in China. — Isis, 1948, N 39.

Hartner W. Classicism et Dec- lin Culturel dans la Civilisa- tion^Chinoise. — In: Symposium de” Bordeaux: Cl. et D. C. dans FHistoire d'Islam； 1957, p. 367— 375.

. Hashimoto K. Some recent Japanese books on the history of science and technologie in China. — Arch, intern, hist, sci., 1974, 24, p. 161—163.

430、Hee L. van. Les cent volailles ou Fanalyse indeterminee en China. T'oung Pao, 14, p. 203— 210.

Нёе L. van. Le z6ro en China.— Tzoung Pao, 1914, 15, p. 181 — 192.

Ше L. van. The arithmetic classic of Hsia-Hou Yang. — Amer. Math. Mon., 1924, 31, p. 235— 237.

Нёе L. van. Le classique de rile^maritime, ouvrage chinois du III siecle. — In: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik. Astronomie und Physik. 1933, Abt. B, Bd. 2, S. 255—280.

Histoire generale des sciences, sous la direction de R. Taton. Paris, 1957—1964. Vol. I—IV.

Ho Peng-Yoke. The lost problems of the Chang Ch'iu-chien Soan Ching, a fifth-century Chinese mathematical manuel. — Oriens Extremus, 1965, 2, p. 37—53.

Karpinski L. C. History of arithmetic. N. Y., 1925.

Kwan Chao-chin. History of mathematics in ancient China.— People's China, 1956, N 20, p. 34-35.三隅融

Lacouperie "T. — Numismatic, 1883, 3 ser., p. 297.

Lam Lay Yong. The geometrical basis of the ancient Chinese

square-toot method. — Isis, 1969, 61, p. 96—4 02.

Lam Lay Yong. A critical study . of the Yang Hui Su an Fa, 13 th centure Chinese mathematish treatise. Singapore, 1977.

Li Shu-T'ien. Origin and development of the Chinese Abacus. —J. Assoc. Comput. Mach., 1959, 6, N 1, 102—110.

Libbrecht U. Chinese mathematics in the thirteenth century. The Shu-shu chiu-chang of Ch'in Chiu-shao. Cambridge (Mass.), London, MIT Press, 1973.

Loria G. Storia delle Matema- tiche. Torino, 1929, vol. I, p. 264—295. Milano, 1950, Ch. L'Enigma Cinese.

Loria &. Chinese mathematics.— Sci. Mon., 1921, N 12.

Loria G. Che cosa debbono le matematica dei Cinesi. — Boll. Math., 1920, N 12.

Menninger K. Z ahi wort und Ziffer. Gottingen, 1957, Bd. 1/2.

Mikami J. The development of mathematics in China and Japan. Leipzig, 1913.

Moon P. H. The abacus: Its history, its design, its possibilities in the modern world. NY., 1971.

Nakayama S. A history of Japanese astronomy. Chinese background and Western impact. Cambridge (Mass.): Harvard Univ. Press, 1969.

Needham J. Science and Civilisation in China/With the collaboration of Wang Ling. Cambridge, 1959. Vol. 3. Mathematics and the Science of the Earth.

Needham J. Mathematics and science in China and the West. Sience and society. N. Y., 1956, p. 20.

Needham J. The social position of scientific men and physicians in medieval China. — In: XIVth International Congress of the History of Science. Proc. N 4, Tokyo; Kyoto, 1974. Tokyo, 1975, p. 19-34.

Needham J., Beer A., Ho Ping- y% Zm Gwei—djen, Dalleyblank E, G. and Thompson G. /. An eighth-century meridian line: I-Hsing's chain of gnomons and the prehistory of the metric

system. Vistas in astronomy. Oxford, 1964.

Neugebauer O. Mathematische Keilschrift-Texte. Quellen und Studien zur Geschichte der Ma- thematik, Astronomie und Physik. Berlin, 1935-1937. Abt. A, Bd. 3.

Neug£bauer O. Die grundlagen der agyptische Briichenrechnung. Berlin: Springer, 1926.

Neun Bucher arithmetischer Te- chnik/Hrsg. K. Vogel. Munchen, 1968.

Pullan J. M. The history of the Abacus. New York; Washington, 1969.

Reiffler E. The philological and mathematical problems of the Wang Mang's standard grain measures. 1965, p. 387—402.

Renou L. and Filliozat Y. L'lnde classique, manuel des etudes Indiennes. Paris, 1947, vol. 1; 1953, vol. 2.

RippsD. L. The origin of zero.— Cornell Eng., 1958, 24, N 2, p. 15-17.

Sarton G, Introduction to the history of science. Washington; Baltimore, 1927—1948, vol. 1—5.

Sedillot L. P. E. A. De lzastronomie et des mathematiques ches les Chinois. — Boll, bibliogr. e storia delle sci. mat. e fis・，1868, N 1.

Sivin TV. Cosmos and computation in early Chinese mathematics. Astronomy, Leiden, 1969.

Smith D. E. History of mathematics. Boston, 1923—1925. vol. I-IL

Smith D. E., Mikami J. A history of Japanese mathematics. Chicago, 1914...

Stevin S. De Thende/Uber und erlaut. von H. Geri eke, K. Vogel. Frankfurt a. M., 1965.

Struik D. J. On ancient Chinese mathematics. — Euklides, 1965/65, 40, p. 65—79.

Swetz Fr. The amazing Chiu Chang Suan Shu. — Mathematical Teacher, 1972, vol. 65, p. 425—430.

Vogel K. Vorgriechische Mathe- matik. Hannover: Padeiibom,、 1959. Bd. I, Vorgeschichte und Agypten. Bd. II, Die Mathema- tik der Babylonier.

Vogel K. Bericht iiber Neuere, in westlichen SFfachen erschie-

nene Arbeiten zur Mathematik der Ghinesen. Prismata. Wiesbaden, 1977.

Waerden van der. Die Entste- hiingsgeschichte der aegyptischen Bruchrechnung. — In:Quel-

len und Studien zur Geschichte der Mathematik, 1937. Ser. B.

Wang Ling — Needhem J. Horner's method in Chinese mathematics; its origins in the rootextraction procedures of the Han dynasty. — Thoung Pao, 1955, 43, p. 345—401.

Wang Ling. The «Chiu Chang Suan Shu» and the history of Chinese mathematics during the Han Dynasty. Diss. Cambridge, 1956.

Wang Ling. The decimal placevalue system in the notation of numbers in China. — In: Communication to the XXIIIrd Intern. Congress of Orientalists. Cambridge, 1954.

Wang Ling. The development of decimal fractions in China.— In: Proc. VUIth Intern. Gongr. of the History of Science. Florence, 1956, p. 13.

Wang Ling. The Date of the Sun-Tzu Suan Ching and the .Chinese Remainder Problem.— In: Proc. 10th Intern. Congr. of The History of Science (Ithaca, 1962), 1964, vol. 1, p. 489-492.

Wang Ping. Alexander Wylie's influence on Chinese mathematics. —In: Intern. Assoc, of Historians of Asia, Proceed. Second Biennial Conference, Taipei 1962, p. 777.

Wong G. H. Some aspects of Chinese science before the arrival of the Jesuits. — Chung Chi J., 1963, 2, p. 4 69—4 80.

Wylie A. Jottings on the science of the Chinese arithmetic.— North China Herald, August — Novemberausgabe 1852.

Yabuuchi K. Thg development of the sciences in China from the 4th to the end of the 12th century. — J. World Hist., 1958, 4, p. 330—348.

Yamazaki У. History of instrumental multiplication and division in China from the reconing blocks to the abacus. — Mem. Res. Dept Toyo Bunko, 1962, 21, p. 425—14&

Приложение

СПИСОКДРЕВНЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ,ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КНИГЕ

半半半半ж 半少小太大驚幷半半半半ж 半少小太大驚幷БаньПоловина

半半半半ж 半少小太大驚幷

半半半半ж 半少小太大驚幷

шао баньМеньшая половина, т. е. %

сяо баньМалая половина, т. е. %

тай баньБольшая половина, т. е. 2/3

да баньБольшая половина, т. е. 2/3

бе наоПризма с треугольным

основанием бинОбъединить, сложить

буМера длины, букв, шаг 步

(двойной)

«бу мань фа чжи, и фа мин чжи» «Если делитель больше де- 不滿法者，以

лимого, то обозначь дели- тель» (термин для счетной доски), т. е. со счетной доски снимается остаток и составляется дробь в частном

бяо

Шест (измерительный), по-表 лоска

ми чу гу бяо Полоска, выступающая за 幕出弧表 многоугольник (из вычислений числа 久)

вань

Десять тысяч (название 萬 разряда)

вэй

Позиция, место (в пози-位 ционной системе счисления)

вэй фэнь

Мельчайшие доли (о раз- 微分

рядах десятичной дроби)

гай тянь

(Теория) гай-тянь, букв.蓋天 небо-покрывало

ге

Букв, резать, т. е. делить 割 (при увеличении числа сторон правильного вписанного многоугольника)

бу кэ ге

Станет невозможно делить

，不叮割

гоу

Букв, крюк, катет гоу, горизонтальный, меньший

句

ГУ

Букв, берцовая кость, катет гу, вертикальный, больший

股

«гоу-гу»

Назв.: 1) зависимости сторон прямоугольного треугольника (теорема Пифагора); 2) кн. IX «Математики в девяти книгах»

句股

гуй

，Связка (монет), денежная единица

R

гуй ВЭНЬ

Связка вэней (грошей), де- неж. единица

貴文

да янь

Большое расширение (спец, термин для сравнений по модулю)

大衍

да янь шу

Большое расширенное число

大衍數

да янь цю и

шу Способ отыскания единиц по большому расширению, т. е. решение системы сравнений по модулю

大衍求一彳店

«Да янь лэй»

«Класс задач на большое расширение» (из кн. Цинь Цзю-шао)

大衍類

ден шу

Равное число, т. е. общий наибольший делитель (двух или нескольких чисел)

等數

ДУН

Подвижный (спец, термин для обратно пропорциональных чисел)

動

бу дун

Неподвижный

不動

жи ся

Вуке. нижнее Солнце, термин для проекции точки

日下

жо

Недостаток, с недостатком (ср. цян)'

弱

и чень жо

Назв. для дроби вида 11/12, букв, одной (доли) не достает до полного комплекта

一辰弱

жу

Составить (термин для счетной доски)

如

жу фан-чэн

Составить фан-чэн, т. е.如方程 матрицу для системы линейных уравнений

«И цунь ЦЯНЬ ли»

Назв. метода измерения —*寸千里

«Ин бу цзу»

«один цунь, тысяча ли»

«Избыток—недостаток»盈不足

кай фан

(назв. кн. VII «Математики

б девяти книгах»)

Букв, раскрытие стороны 開方

кай ли фан

(квадрата), т. е. извлечение квадратного корня Извлечение кубического 開立方

кун

корня

Пустота, пустой空

«Ло шу»

Назв. древнего магиче-洛書

люй

ского квадрата

Коэффициент, т. е. отвле-率

со цюй люй

ченное число в отличие от именованного (шу); основная норма, основная единица

Коэффициент для искомого 所求率

со ю люй

(правило четвертого пропорционального числа)

Коэффициент для данного 所有率

(правило четвертого пропорционального числа) цзы жань чжи Натуральные коэффициен-自然之率

люй

юань люй

ты, т. е. числа 3, 4, 5 для сторон прямоугольного треугольника

Коэффициент круга, т. е.圓率

гу люй

6,28

Древний коэффициент, 古率

ми люй

т. е.冗=3

Точный коэффициент, т. е.密率

юань су ча

более точное значение те, чем 3

люй Коэффициент разности для 圓朿差率

«Люй цзя лянь ху»

круглого пучка

«Гармонично прекрасная 律嘉量肥

ми

мера ху», назв. для эталона мер

Букв, покрывало, пло-察

20 3. И. Березкина

щадь, квадрат (числа)

297

му

Му, мера площади

畝

му

Знаменатель (дроби)

母

се

Букв, косая (линия), диагональ (прямоугольника, квадрата)

邪

ЛЯН ЮЙ СЯН

цюй (Наибольшее) расстояние между углами, т. е. диагональ (квадрата)

兩隅相去

су

Зернышко (чумизы), минимальная мера веса

粟

«Суми»

суань

«Соотношение между различными видами зерновых культур», назв. кн. II «Ма. тематики в девяти книгах» Считать, счет

粟米

суань-цзы

Счетные палочки

算子

суань-шу

Искусство счета, т. е. математика (древний термин)

算術

суань-пань

Счеты (кит,)

算盤

Суань цзин «Суань цзин ши «Десять классических книг шу»по математике» («Десяти-

книжье»)

算經十書

«Сунь-цзы суань цзин»

«Математический трактат Сунь-цзы»

孫子算經

«Ся Хоуян суань цзин»

«Математический трактат Сяхоу Яна»

夏侯陽算經

СЯНЬ

Букв, тетива, гипотенуза

弦

СЯНЬ чу

Клин, геометрическое тело в виде клина

羨0壬

туй вэй

Отступить по разрядам, т. е. на счетной доске сдвинуть число вправо, значит уменьшить его в десять и более раз

退位

ТЯНЬ

Поле, плоская фигура, площадь

田

«Фан тянь»

«Измерение поле血» (назв. кн. I «Математики в девяти книгах»), ректангулиро* ванне (но не квадрирова- ' ние!), более поздний тер

мин: квадратное поле

298

方田

«Да гуань тянь»

ЧЖИ ТЯНЬ гуй ТЯНЬ се тянь цзи тянь сы бу ден тянь юань тянь вань тянь гуй тянь хуай тянь тянъ юань тянь юань шу

«Общее измерение полей» 大廣田 (назв. правила), т. е. когда стороны поля—рациональг ные числа

Прямоуго)1ьник直田

Треугольник圭田

Трапеция邪亩

Трапеция-совок箕田

Четырехугольник произ- 四 不等田 вольного вида

КpУr圓田

Сектор宛田

Сегмент弧田

Кольцо環田

Буке, небесный элемент, 天元 неизвестное в уравнении высшей степени

Букв. метод небесного 天元循 элемента, т. е. численный

元元元土人的元元元土人的Букв, не переводится,五之三而―*означает разделить на 3/5 и взять одну долюБукв, не переводится,五之三而―*означает разделить на 3/5 и взять одну долю«Искусство счета в Пяти-五經算循 книжье»«Искусство счета в Пяти-五經算循 книжье»

元元元土人的

元元元土人的

Букв, не переводится,五之三而―*

означает разделить на 3/5 и взять одну долю

Букв, не переводится,五之三而―*

означает разделить на 3/5 и взять одну долю

«Искусство счета в Пяти-五經算循 книжье»

«Искусство счета в Пяти-五經算循 книжье»

ди юань жень юань у юань

у чжй сань эр и

«У цзин суань*ту»

метод решения уравнения высшей степени, эквивалентный методу Руффини— Горнера

Элемент-земля

Элемент-человек

Элемент-вещь

«У цао суань цзин»фафан«У цао суань цзин»фафан

«У цао суань цзин»

фа

фан

«У цао суань цзин»

фа

фан

«Математический трак攀т 五曹算經 пяти ведомств»

Делитель法

Прямоугольник (частный 方 случай—квадрат), сторона квадрата, куба; направление, т. е. наша горизонтальная строка (китайская строка—хэн ——вертикальна)

«Правило Фан-чэн» (назв.方程 кн. IX «Математики в де・ зяти книгах»); букв, вы-

страивание по направлениям в прямоугольную таблицу коэффициентов системы линейных уравне

ний

жу фан-чэн

Составить прямоугольную 如方程 матрицу из коэффициентов системы линейных уравнений

Фу фэнь

Отрицательное (число) 負 Дробь, доля, десятые доли 分 (у десятичной дроби)

юэ фэнь чун фэнь

Сокращение дробей約分

Сложные дроби, т. е. чис-重分 лите ль и знаменатель сами являются дробями

хэ фэнь ЦЗЯН фэнь пин фэнь

Сложение дробей合分

Вычитание дробей減分

Уравнивание дробей, т. е.平分 найти среднее арифметическое дробей

ЧЭН фэнь

Умножение дробей (пр а-乘分 вильных)

ЦЗИН фэнь

«Хай дао суань цзин»

Деление дробей經芬

«Математический трактат 海島算經 о морском острове»

хэ ти

Совпадает телесно (с окруж-合體 ностью; из вычислений к)

хэн

Столбец (по-китайски стро- 行 ка, так как она верти

«Це ван лэй»

кальна)

«Класс задач на измерение 測］望類 и наблюдение» (в кн. Цинь Цзю-шао)

ЦЗН

Площадь, объем (совокуп-積 ность единиц без указания размерности), произведение (сторон)

ЦЗИН

Поперечник (угла), гипо- 徑 тенуза, диагональ (в прямоугольнике), поперечник

баньцзин

(круга), т. е. диаметр

Радиус半徑

300

ЦЗИН вэйЦЗИН вэйбавь чжи цзин юй цзинбавь чжи цзин юй цзин«Цзин ю .・・》«Цзин ю .・・》Цзун цзюэ чжиЦзун цзюэ чжиЦЗЫ«Цзю цзю»«Цзю чжан суань шу»цзюаньцзюаньцзюй«Цзюнь ту»ЦЗЯНЬ дуцзяовай цзяо ней цзяо«Ци гу суань цзин»цюй чицянЦЯНЬЦЗЫ«Цзю цзю»«Цзю чжан суань шу»цзюаньцзюаньцзюй«Цзюнь ту»ЦЗЯНЬ дуцзяовай цзяо ней цзяо«Ци гу суань цзин»цюй чицянЦЯНЬ堵 角角古BJ角外內緝堵 角角古BJ角外內緝

ЦЗИН вэй

ЦЗИН вэй

бавь чжи цзин юй цзин

бавь чжи цзин юй цзин

«Цзин ю .・・》

«Цзин ю .・・》

Цзун цзюэ чжи

Цзун цзюэ чжи

ЦЗЫ

«Цзю цзю»

«Цзю чжан суань шу»

цзюань

цзюань

цзюй

«Цзюнь ту»

ЦЗЯНЬ ду

цзяо

вай цзяо ней цзяо

«Ци гу суань цзин»

цюй чи

цян

ЦЯНЬ

ЦЗЫ

«Цзю цзю»

«Цзю чжан суань шу»

цзюань

цзюань

цзюй

«Цзюнь ту»

ЦЗЯНЬ ду

цзяо

вай цзяо ней цзяо

«Ци гу суань цзин»

цюй чи

цян

ЦЯНЬ

堵 角角古

BJ角外內緝

堵 角角古

BJ角外內緝

Полдиаметра半之徑

Остаток от диаметра (в вы-餘徑 числении 冗)

Букв, пройти вперед на 進位 позицию, т. е. передвинуть влево по разрядам (число) или увеличить в 10 раз и более

«Имеется. . .» (обычное на-今有 чало любой задачи в «Математике в девяти книгах»)

Расстояние от угла (квад- 從角豆 рата) до (его центра), 一 т. е. полудиагональ квадрата

Числитель (дроби)子

«Девятью девять» (Китай-九九 ская таблица умножения)

«Математика в девяти кни- 九章算術 гах»

Свиток-книга卷

Целая, т. е. дробь вида 全 n/n=l

Угольник, прямоуголь- 矩 ный треугольник (древний термин)

«Равномерное распределе-均輸 ние» (назв. кн. VI «Математики в девяти книгах»)

Трехгранная призма Угол Внешний угол Внутренний угол «Математический трактат о продолжении древних [методов]» Геометрическая фигура 曲池 в виде изогнутого обелиска Избыток, с избытком,強 с превышением Монета, единица денеж-錢 ного исчисления, деньги

чжоу-би«Чжоу-би суань цзин»чжоучжоу саньцзин ивай чжоу«Чжан Цю-цзянь суань цзин»чжун-чачжичжэнЧЖЭН фу шучоу чоу-суаш» чоу-цзе суань-чоучу тунчжоу-би«Чжоу-би суань цзин»чжоучжоу саньцзин ивай чжоу«Чжан Цю-цзянь суань цзин»чжун-чачжичжэнЧЖЭН фу шучоу чоу-суаш» чоу-цзе суань-чоучу тунчу мэнчу мэн算第籌童一員 籌籌籌算昂働算第籌童一員 籌籌籌算昂働чуйчуйчжи чучжи чу«Чуй фэнь»«Чуй фэнь»фань чуйфань чуйчуй сян цюйчуй сян цюйГномон, шест周髀

чжоу-би

«Чжоу-би суань цзин»

чжоу

чжоу сань

цзин и

вай чжоу

«Чжан Цю-цзянь суань цзин»

чжун-ча

чжи

чжэн

ЧЖЭН фу шу

чоу чоу-суаш» чоу-цзе суань-чоу

чу тун

чжоу-би

«Чжоу-би суань цзин»

чжоу

чжоу сань

цзин и

вай чжоу

«Чжан Цю-цзянь суань цзин»

чжун-ча

чжи

чжэн

ЧЖЭН фу шу

чоу чоу-суаш» чоу-цзе суань-чоу

чу тун

чу мэн

чу мэн

算第籌童一員 籌籌籌算昂働

算第籌童一員 籌籌籌算昂働

чуй

чуй

чжи чу

чжи чу

«Чуй фэнь»

«Чуй фэнь»

фань чуй

фань чуй

чуй сян цюй

чуй сян цюй

«Математический трактат 周髀算經 о Чжоу-би»

Обвод, окружность, дуга 周 Окружность — 3, диа-周三徑• метр — 1, т. е. соотношение диаметра с окружностью, равное 1 : 3

Внешняя окружность (опи- 外周 санная)

«Математический трактат 張邱建 Чжан Цю-цзяня»算聽

Двухслойная разность 重差 (спец, термин)

Установить, т. е. располо-直 жить на счетной доске

Положительное (число) 正 Правило знаков для поло-正負術 жительных и отрицательных чисел

Счетная палочка (для счетной доски)

Геометрическое тело в виде обелиска

Геометрическое тело в виде призмы с прямоугольным основанием

Делить除

Образовать остатки直除

Ступени, т. е. члены про- 衰 грессии «Деление по ступеням», 衰分 т. е. «Пропорциональное деление» (назв. кн. III) Обратные ступени, т. е. 返衰 обратно пропорциональные числа

То, на сколько понижается 衰相去 каждая ступень от сосед-

ЧЭН

«Шан гун» шан ши чжи

«Шао гуан»

ши

«Ши жу фа

шу

«Шу шу цзи

шу

юань

ней, т. е. разность арифметической прогрессии

Умножить乘

СЯН ЧЭН

Перемножить взаимно, т. е.木 g乘 умножить друг на друга

ху ЧЭН

Поочередно умножить (это 互乘 определенный алгоритм при вычислениях с дробями)

ЦЗЫ ЧЭН

Умножить (число) само на 自乘 себя, т. е. квадрат числа

«Объем работ» (назв. кн. V 商功 «Математики в девяти книгах»)

Поднять по разрядам, т. е. 上十之 подвинуть влево (число) значит увеличить число в 10 раз

Назв. кн. IV «Матема-少廣 тики в девяти книгах»

Делимое, подкоренное實

(число)

эр и»

«Объединить делимое и де-實如法而一 литель в одно число» (термин для счетной доски)

Величина, число (имено-婁攵

ванное)

Да шу

Букв, большое число, т. е. 大要攵 большой счет, система наименований (для разрядов больших чисел)

со ю шу

Имеющееся число (4-е про-所有數 порциональное)

«Забытые записи по искус-數備記谓 ству счета»

Просинка, зернышко (про-黍 со), минимальная мера емкости

Круг圓

юань чжоу

Периметр круга, т. е. 圓周 окружность

юань чжун и

Внутри круга, т. е. в口и・圓中以 санный в круг

«Юй ми туй ту》

«По остаткам зерна вы-餘米推婁攵 числить его количество»

(назв. задачи из кн. Цинь

Цзю-шао)

ян ма

Геометрическое тело в ви-陽馬 де пирамиды е прямоуголь

ным основанием

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН

Абель Н. X. 206

Абу-л-Вафа Мухаммед ибн Мухаммед ал-Бузджани 193, 196, 290

Адамо М. 8, 292

Александров П. С. 288

Апокин И. А. 8, 288

Аполлоний 77, 85

Апт G. К. 290

Ариабхата 76

Архимед 17, 77, 85, 219, 263, 266, 267,1288

Ашшурбанипал 94

Бань Гу 82

Башмакова И. Г. 3, 288, 289

Бекер О. 48, 292

Березкина Э. И. 4, 288—290, 292

Бернацкий К. Л. 6, 292

Бтае Ж. Ф. М. 186

Био Ж. Б. 6, 292

Био Э. 6, 292

Бир А. 293

ал-Бируни Абу-р-Рейхан Мухаммед ибн Ахмад 60, 148, 289

Брахмагупта 148, 193, 266

Бурбаки Н. 288

Бхандаркар A. G. 292

Бхаскара I 76

Вайли А. 6—8, 21, 294

Вайман А. А. 289

Ван Бин 8

Ван Г. X. 8

Ван Гуань 18

Ван дер Варден Б. Л. 74, 78, 289, 294

Ван И-жун 80

Ван Лин 7, 8, 48, 52, 54, 293, 294

Ван Мая 20, 263, 289

Ван Пин 294

Ван Сяо-тун 21, 25—27, 56, 62—65, 173, 207, 227, 229, 231, 237, 241, 260, 269, 270, 289, 292

Ван Фань 264

Вайценко-Захарченко М. Е. 6, 289

Веселовский И. Н. 86, 288—290

Видман Я. 148

Виет Ф. 10, 207

Вилейтнер Г. 289

Виноградов И. М. 166, 289

Волкова О. 290

Володарский А. И. 290

Вонг Г. X. 294

Вронский И. (Гёне-Вронский) 186

Выгодский М. Я. 8, 198, 289, 290

Вэй Чжуан 18, 23

Вяткин Р. В. 290

Галуа Э. 206

Гартнер В. 8, 292

Гаусс К. Ф. 9, 32, 166, 172, 181, 182, 186

Герике Г. 293

Геродот 12

Герои 219

Го Пен-яй 292

Го Пин-юй 293

Го Шоу-цзинь 21

Горнер В. Г. 8—10, 3(, 65, (73, 206— 208, 212, 213, 218-220, 225, 227, 234, 235, 237, 299

Гофман И. Е. 48, 292

Гохман Е. В. 290

Гошкевич И. А. 6, 289

Гуань Се-чу 291

Гуань-цзы 14, 290

Гуд Г. X. 289

Гудрич Л. 97, 292

Гунсун Лун 17

Гунсунь Ни-цзы 60

Гэн Чоу-чан 20, 22, 28

Дай Шэн 60

Даллейбланк Е. Г. 293

Декарт Р. 11, 289

Джинабхадро Гани 78

Диофант 11, 193, 196, 259, 288, 289

Ду Чжун 20

Ду Ши-жань 7, 291

Думай Л. И. 289

Дун Цзо-бинь 291

Дун Чжун-шу 19, 55

Евклид 17, 21, 27, 45, 110, 116, 124, 130, 139, 148, 169, 178, 258, 287, 290

Еганян А. М. 289

Жун Фан 22, 65, 66

Зубов В. П. 289

И Синь 63, 293

Инь Сянь 20

Камман С. 8, 292

Канси 113, 114

Кантор М. 6, 292

Кардано Дж. 62, 206

Карл Великий 62

Карпинский Л. 7, 292

Каун Чао-ши 8, 292

ал-Каши Гийас ад-Дин Джемшид

98, 99, 105, 106, 207, 270, 289

Колмогоров А. Н. 3, 9, 116, 289

Крнрад Н. И. 23, 289, 290

Кон&уций (Кун-цзы) 6, 14—17, 23, 86

Копелевич Ю. X. 290

Коши О. 186

Крамар Г. 183

Кун Ин-да 23, 55, 60, 84

ал-Кушчи Али ал-Дин Али ибн

Мухаммед 10, 99, 196

Кушьяр ибн Лаббан ал-Джилли 10, 207

Кэджори Ф. 6, 292

Кэли А. 186

Лакуперьё Т. 97, 292

Лам Ля-юнь 292, 293

Лао-цзы 14, 79

Лаплас П. С. 77

Лебег А. 289*

Лейбниц Г. В. 6, 16, 186

Лем Лэй-ян 8

Леонардо Пизанский 134, 172, 196, 200

Ле-цзы 14, 288

Ли Ди 7

Ли Е 5, 7, 173, 195, 232, 237, 238

Ли То 235

Ли Чунь-фэн 5, 20, 21, 25, 26, 28, 34, 42, 46, 47, 52, 56, 65, 149, 150, 264, 278

Ли Шань-лань 21

Ли Шоу 12, 27, 79

Ли Шу-Тянь 8, 293

Ли Янь 7, 11, 12, 49—21, 48, 97, 114, 125, 144, 162, 178, 180, 230, 289, 291

Либбрехт У. 8, 158, 293 Ломоносов М. В. 4

Лориа Дж. 6, 7, 293

Лубо-Лесниченко Е. И. 290

Лурье С. Я. 290

Лю. Сяо-сунь 25, 42

Лю Хун 20, 61

Лю Хуэй 5, 7, 20, 22—25, 28, 34—37, 47, 58, 65, 66, 68, 87, 99, 100, 109, 113, 125, 131, 138, 141, 143, 184, 185, 188—190, 194, 201, 241, 247—249, 251, 254, 256, 261, 263—269, 271—274, 276, 279, 280, 282, 288

Лю Цзинь 97

Лю Цзо 20

Лю Ци 20, 264, 265, 269

Ма Сюй 20

Майстров Л. Е. 8, 288

Макол Р. Э. 289

Маракуев А. В. 7, 289

Маркушевич А. И. 288

Медовой М. И. 290

Меннингер К. 293

Метон 57

Миками И. 7, 35, 48, 50, 293

Молодший В. Н. 290

Мордухай-Б олтовской Д. Д. 290 Мо-цзы 14, 16, 17, 291

Муун П. X. 8, 293

Мэн Тянь 86

Мэн-цзы 14

Накаяма С. 293

ан-Насави Абу-л-Хасан Али ибн Ахмед 10, 207

Нейгебауер О. 70, 151, 154, 155, 177, 290, 293

Неморарий И. 229

Непер Дж. 98

Нидем Дж. 6, 7, 48, 52, 54, 66, 78, 97, 293

Ньютон И. 109, 207

Орбели И. А. 289

Паскаль Б. 16, 238, 291

Переломов Л. С. 18, 290

Петросян Г. Б. 290

Пифагор 3, 5, 14, 22, 27, 28, 33, 58, 65—68,. 214, 252, 254—257, 260, 261, 268, 287, 288, 296

Платон 25, 65, 122, 258

Погребысский И. Б. 290

Позднеева Л. Д. 288

Пузицкий Е. В. 290

Пуллан Дж. М. 8, 293

Раик А. Е. 8, 290

Райфлер Э. 8, 293

Рекорд Р. 180

Рено Л. 293

Рерих Ю. П. 290

Риррс Д. Л. 293

Рифтин Б. Л. 290

Розенфельд Б. А. 4, 288—290

Рудольф Хр. 134

Руффини П. 9, 31, 173, 206, 299

Рыбников К. А. 288, 290

Сартон Дж. 293

Свитц Ф. 8, 293

Се Ча-вэй 26, 43

Сегаль В. G. 289

Седийо Л. 6, 7, 293

Секи Кова 186

Серен Антийский 63*

Серкина А. А. 290

Серре Ж. А. 177

Сивин Н. 8, 293

Сиддхарта 75

Сильвестр Д. Д. 186

Синь И 16

Скачков К. А. 6

Скачков П. Е. 290

Славутин Е. И. 231, 290

Смит Д. Е. 6, 7, 48, 293

Сорокин В. Ф. 290

Стевин С. 98, 99, 293

Стройк Д. 8, 290, 293

Суй Чи-фань 291

Сун Юй 14

Сунь-цзы 14, 20, 36, 166

Сунь-цзы (III-IV в.) 5, 22, 24, 25, 36—42, 44-54, 56-58, 60, 84, 88—95, 100-109, 111-115, 118, 127, 130, 132, 133, 136- 139, 142, 143, 147, 149—151, 163, 166, 167, 172, 188—190, 201- 203, 208, 216, 250, 251, 257, 258, 278, 288, 289, 298

Сыма Цень 12, 59, 83, 290

Сю Юй 55, 61

Сюань Цзян 62

Сюанди 28

Сюй Чунь-фан 7, 291

Сюй Шан 20

Сюй Юй 22

Сюй Юэ 20

Сюнь-цзы 14

Ся Юй 12

Сяхоу Ян 5, 7, 20—22, 24, 25, 36, 48, 52—54, 88, 105, 257, 298

Тай-цзун 55

Тарталья Н. 62, 148, 206

Таскин В. С. 290

Татон Р. 7, 292

Теон Алексайдрийский 63

Теон Смирнский 172

Тимей 65

Томсон Г. И. 293

ат-Туси Насир ад-Дин Абу Джафар

Мухаммед ибн Мухаммед 207

ат-Туси Шараф ад-Дин 10, 207

Уван 65

ал-Уклидиси Абу-л-Хасан Ахмад 98

Улугбек Мирза Мухаммед ибн Шах- рух ибн Тимур 99

У-цзы 14, 289

Фа Ся 111, 112

Фаддеев Д. К. 290

Фаддеева В. Н. 290

Фалес 253

Феррари Л. 206

дель Ферро Ш. 206

Флуг К. 290

Филлиоза И. 293

Фогель К. 8, 261, 293

Фрейденталь Г. 78, 292

Хайям Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим 62

Хань Тан 17

Хань Фей-цзы 14

Хань Юй 61

Хань Янь (VI в. до н. э.) 22, 47

Хань Янь (780-804) 53

Хасимото К. 8, 292 ал-Хатайм 198 ван Хе Л. 7, 54, 292 Хинчин А. Я. 288 Хой Ан 17 ал-Хорезми Абу Абдаллах Мухаммед ибн Муса ал-Маджуси 75, 266, 290

Хуа Ло-гэн 290, 291

Хуа Шэн-у 291

Хуанди 11, 12, 18, 27, 57, 79, 114

Хуань Туан 17

Цай Лунь 86

Цай Юн 20

Цао Цао 23

Цзи Сянь-линь 291

Цзу Хэн 20, 269, 270

Цзу Чун-чжи 20, 100, 113, 263, 269, 270

Цзя Сянь 16

Цинь Цзю-шао 5, 8, 21, 36, 42, 57, 62, 77, 150, 152, 158, 160, 161, 166-170, 172, 173, 191, 204— —207, 215, 219, 221, 222, 226, 232— 238, 269, 270, 272, 279—282, 284, 285, 291, 293, 296, 300, 304

Цинь Ши-хуан 15, 110

Цинь Шихуанди 18

Цюй Юань 14, 38

Цюйтань Сид 75

Цянь Бао-цун 7, 22, 25, 35, 42, 48, 52, 55, 61, 66, 217, 237, 254, 270, 291, 292

Цянь Линь-чжао 292

Чжан Хэн 20, 264, 265, 269

Чжан Цан 20, 22, 28

Чжан-цзянь 38, 52

Чжан Цю-цзянь 5, 20, 21, 24—26, 41—47, 52, 57, 61, 109, НО, 117, 118, 127, 128, 131, 133, 135, 142, 143, 149—152, 155-158, 173, 181, 186, 190, 191, 208, 209, 216, 217, 219, 264, 278, 279, 282, 283, 288, 290

Чжао Цзюнь-цин 20, 22, 65, 67, 68, 252, 254, 255

Чжень Сюань 20

Чжоу Сун-юань 3

Чжоу-гун 14, 22

Чжоугун Дань 27, 28, 65—67, 252

Чжу Ши-цзе 5, 16, 21, 114, 120, 161, 173, 232, 238, 239

Чжуан-цзы 14, 16, 65, 67, 79, 288 Чжэнь Луань 5, 20—22, 24, 25, 28, 42, 47, 52, 55—61, 65, 85, 254, 257

Чэнь-цзы 22, 65, 66, 69, 254

Шан Гао 22, 65-67, 252, 253.

Ширакаци Ананий 63, 289

Шихуан 28

Шридхара 290

Штейн В. М. 290

Штифель М. 134, 196

Штокало И. 3. 289

Штукин А. А. 290

Шэнь Ко 21, 161

Шюке Н. 196

Щуцкий Ю. К. 45, 290

Эйлер Л. 172, 177

Эсхил 79, 290

Юань Кэ 290

Юань Юань 292

Юй Си 20

Юшкевич А. П. 3, 7, 9, 288—291

Ябуути К. 8, 294

Якоби К. Г. Я. 186

Ямацаки И. 8, 294

Ян Хин-шун 291

Ян Хуэй 5, 8, 16, 21, 161, 172, 180,

Ян Чжу 288

Ян Ши-гу 55

Ян Юн-го 291

Яновская С. А. 3, 136, 175, 291

Яншина Э. М. 291

Янь Дунь-цзе 7, 292

Глава перваяВВЕДЕНИЕОбзор литературы ・• •Развитие математики в Китае fкраткий очерк)Глава втораяДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ «ДЕСЯТИКНИЖЬЕ»Классическая ^Математика в девяти книгах^ •.・4・ Сочинение Лю Хуэя по практической геометрииГлава перваяВВЕДЕНИЕОбзор литературы ・• •Развитие математики в Китае fкраткий очерк)Глава втораяДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ «ДЕСЯТИКНИЖЬЕ»Классическая ^Математика в девяти книгах^ •.・4・ Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии

Глава первая

ВВЕДЕНИЕ

Обзор литературы ・• •

Развитие математики в Китае fкраткий очерк)

Глава вторая

ДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ «ДЕСЯТИКНИЖЬЕ»

Классическая ^Математика в девяти книгах^ •.・

4・ Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии

Глава первая

ВВЕДЕНИЕ

Обзор литературы ・• •

Развитие математики в Китае fкраткий очерк)

Глава вторая

ДРЕВНЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ «ДЕСЯТИКНИЖЬЕ»

Классическая ^Математика в девяти книгах^ •.・

4・ Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 3

Часть первая ИСТОЧНИКИ

Метрологический трак~ тат Сунъ~цзы 36

Математический трак-

6тат Чжан Цю-цзяня . .41

Практическое руководство

8@4% чиновников пяти ведомств 47

Лрифметическое пособие Сяхоу Яна .......52

Два трактатаЧжэнь

Луаня. • • з . •• •・・55

Трактат Ван Сяо~туна об уравнениях третьей 27 степени 62

Трактат о гномоне . . .65

34

Часть вторая

ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ

Глава первая

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Как считают китайцы^ 72

О месте китайского счета в общей истории современной системы счисления . .74

Чей же нуль? 77

Узелки и зарубки . . . .78

5・ Становление китайской системы счета 79

Большие числа 82

Глава вторая

АРИФМЕТИКА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Счетная доска • • •.・85

Позиционный принцип . .88

Арифметические оперог ции . . . 88

Таблицы. >93

Счет自.； 95

Глава третья

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ 12. Роль китайских десятичных дробей в истории мауки 98

43・ Метрологическиедроби99

Переход к абстрактной дроби 102

Основное свойство. Операции 104

Древнекитайское понятие десятичнойдроби .. ..108

Часть

Метрология и происхождение десятичных дробей . .110

Метрологические таблицы Сунь-цзы 112

Роль счетной доски 6 преобразовании метрологии114

третья

ПОНЯТИЕ ЧИСЛА.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕПРОБЛЕМЫ

Глава первая ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Дроби в «Десятикнижье^117

2・ Натуральнее дроби . . .118

3・ Дробь как мера или именованное число 121

Приведение дробей к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное ・.123

Общий наибольший делитель. Алгоритм Евклида, Основное свойство дроби 130

Деление дробей. Задачи на распределение 132

Дробь как пара чисел ・'・136

Глава вторая

ПРОПОРЦИИ И ПРОГРЕССИИ

Пропорциональное деление 139

Пропорции. Коэффициент пропорциональности. Подобие 145

Тройное правило. Проценты148

Прогрессии в а.Десяти- книжьеъ и у Цинь Цзю- шао 150

Глава третья

ПРОБЛЕМА ДЕЛЕНИЯ

С ОСТАТКОМ

Еще раз。делении . . . .161

Деление с остатком . . .163

Системы сравнений первой степени. Задачи Сунь- цаы и Цинь Цзю-шао . .166

Часть четвертая

АЛГЕБРА. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Глава первая ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

• Тождественные преобразования 174

Китайская ^символика^177

3・ Класси задач и алгоритмы181

Линейные системы. Ме

тод Гаусса 181

Китайская матрица . . .183

Решение системы . . . .186

Усовершенствование метода 188

Неопределенная система191

Отрицательные числа. Приведение уравнений к каноническому виду . .193

%0・ Второй матричный метод. Правило двух ложных положений 196

О происхождении матричного метода. Частные приемы 200

Линейные системы 8 книге Цинь Цзю-шао 204

Глава вторая

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ 13, Извлечение квадратных и кубических корней е трак^ татах математического «Десятикнижья^ 207

Квадратные уравнения

6 чДесятикнижье^ . . .214

ЗаНач% приводящие 尤 квадратным уравнениям, е сочинении Цинь Цзю-шао ^Девять книг по матема- тикеъ 219

Ван Сяо-тун, Кубические уравнения 227

Численный метод решения уравнений у Цинь Цзю・ шао, Ли Е и Чжу Ши-цзе 232

Часть пятаяГЕОМЕТРИЯ. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХМЕТОДОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

Глава первая

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

И ОБЪЕМОВ

1,《Измерение полей». Дре” няя классификация фигур 240

Вычислительные задачи. Приближения 244

Объемы 246

Площади 249

Древние понятия площади и объема 250

Глава вторая

ТЕОРЕМА НИ①АГОРА

Древняя формулировка теоремы, Доказательство Чжао Цзюнь-цина ....252

Метод гоу-гуъ 256

Тройки пифагоровых чисел 261

Глава третья ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА И ШАРА

Древние значения числа

冗.Эталон мер Ван Мана 263

Метод Лю Хуэя и его

понятие предела . . . .266

Цзу Чун-чжи 269

Глава четвертая

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ

ДО НЕДОСТУПНЫХ ПРЕДМЕТОВ

Три классические задачи древней ^Математики в девяти книгах^ ....271

《Метод чжун-ча^ у Лю Хуэя. Подобие треугольников : 272

Задачи на измерение рае- стояний в других тракта^ max «Десятикнижьяъ . .278

^Измерения и наблюдениям у Цинь Цзю-шао ....280

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 286

ЛИТЕРАТУРА 288

Приложение

СПИСОК ДРЕВНЕМАТЕМА

ТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ J

ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В КНИГЕ 295

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН .・•・305

Эльвира Ивановна Березкина

МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ

Утверждено к печатиИнститутом истории естествознания и техникиАкадемии наук СССР

Редактор А. Ф. Лапко

Редактор издательства 9. С. ПавлиноваХудожник И. Е. СайкоХудожественный редактор Т. П. ПоленоваТехнический редактор Л. И. КуприяноваКорректоры Н. И Казарцна$ В. Г. Петрова

ИБ № 16112

Сдано в набор 29.02.80. Подписано к печати 13.10.80.Т-16350. Формат 6 0х9 0%б・ Бумага типографская № 2.Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл.печ. л. 19,5. Уч.-изд. л. 20,4. Тираж 4100 экз.Тип. зак. 1358. Цена 2 р. 40 к.

Издательство «Наука»

117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул.» 90

Ордена Трудового Красного ЗнамениПервая типография издательства «Наука»199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12

2. О месте китайского счета в общей историисовременной системы счисления

Широкая волна распространения индийской системы счисления по всему миру не могла не достигнуть Китая, у которого с Индией, «белой страной», как иногда называли ее китайцы в древности» к этому времени были достаточно тесные контакты. Полагают, что китайцы начинают знакомиться с буддизмом еще в I в. н. а., хотя поначалу эта философская доктрина, близкая учению даосистов, была встречена весьма неодобрительно со стороны конфуцианцев [73, с. 150; 106 L Однако начиная с IV—V вв. и особенно в эпоху Тан (618—912 гг.) буддизм, приспособленный конфуцианцами для своих целей и поддержанный правительственными кругами, становится в Китае одной из официальных религий. К VIII в. буддийские монастыри в Китае, владевшие землей и рабами, занимавшиеся ростовщичеством, настолько усиливаются, что правительство было вынуждено предпринять против них ряд репрессий. ,

19. Роль счетной доски 6 преобразовании метрологии.

Мы видим, что к идее десятичных дробей пришли в резуль

тате опыта измерения и вычисления. Для более. точных измере

ний требовался большой набор мер, который особенно просто

расширять при расчетах, ведь при вычислениях можно получать

сколь угодно малые меры. Но для оперирования с метрологи

ческими величинами следовало упорядочить образование единиц.

В этом процессе упорядочения метрологии, несомненно, не по

следнюю роль сыграла счетная доска. Именно она со своим по

зиционным принципом способствовала введению десятичных дробей. Ли Янь специально подчеркивает, что десятичные раз

ряды появились потому, что деление и извлечение корней про

водились по алгоритмам, разработанным для доски [98]. Доска

В древнем Китае дроби со знаменателем 12 также имели особые наименования, которыми обозначались деления на зодиаке

в календарях V——VI вв. династийных историй [95, т. I, с. 23]

8 [23, с. 148, примеч. 1]. Платон высмеивает вычислителей, «которые разменивают единицу на мелкую монету», и говорит, что там, где они делят, ученые умножают,——намек на теорйю отношений.

1 000? 2000% 十 200a2 = 1052

Как видим, эти коэффициенты подсчитаны так же и по китайскому правилу:

X2 = (100ai4-10a2)2 —5,

鬲=里叫书？0a2 = 200%+20a2，

C 一师一1

Далее аналогично выбирается третья цифра корня а3. В правиле только указано: «Делай, как раньше». Это значит, а3 должно удовлетворять условиям -

Э. И. Березкина

МАТЕМАТИКАДРЕВНЕГОКИТАЯ

木

АКАДЕМИЯ НАУК СССРИнститут истории естествознания и техники

Э. И. Березкина

МАТЕМАТИКАДРЕВНЕГОКИТАЯ

УДК 51(091)

Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М.： Наука,

Настоящая монография — это первая книга на русском языке, посвященная развитию математики 6 Китае. Она написана на основе изучения подлинников, часть которых уже была опубликована автором данной книги 6 качестве первых переводов древних источников на современный язык. Каждая часть независима от другой и посвящена наиболее характерным проблемам математики древнего Китая', технике вычислений на счетной доске и выработке позиционной арифметики] развитию понятия числа и созданию аппарата дробей как пар； алгебраическим вопросам решения систем уравнений табличным методом и уравнений высших степеней численным методом с изобретением отрицательных чисел впервые в истории математики^ а также некоторым вопросам геометрии и приложения алгебраических методов к геометрическим задачам.

Книга рассчитана на историков математики^ синологов и читателей. интересующихся историей нау笈〃.

Табл, 34. Ил. 67. Библиогр. 181 назв.

Ответственный редактордоктор физико-математических наукБ. А. РОЗЕН①ЕЛЬД

055(02)—80055(02)—80Е 2°2°‘~^- БЗ—93—75—79 2602020000 © Издательство «Наука», 1980 г.

055(02)—80

055(02)—80