ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Книга известных американских специалистов в области прикладного анализа случайных процессов посвящена подробному разбору основных практических методов анализа случайных данных, которые могут использоваться для решения очень широкого круга прикладных задач в самых разных областях науки н техники. Последовательно н на высоком научном и методическом уровне излагаются все основные этапы анализа случайных данных: сбор и предварительная обработка, оценивание спектральных характеристик, ковариационных функций и частотных характеристик линейных систем, оценка надежности полученных результатов. Подробно о содержании н целях книги говорится в предисловии авторов, однако некоторые ее разделы заслуживают особого упоминания. Прежде всего отметим итерационные методы вычисления частотных характеристик линейных систем с коррелированными входными процессами, позволяюшие избежать обрашения матриц большой размерности. Несомненный интерес представляют спектральные методы анализа ряда важных классов нестационарных случайных процессов. Отметим, наконец, последнюю главу, посвященную применениям преобразований Гильберта к анализу случайных данных. Этот предмет вообще редко излагается в литературе прикладной направленности, вследствие чего, вероятно, преобразования Гильберта совершенно недостаточно используются на практике.

В книге приводятся основные сведения из теории вероятностей, математической статистики н теории случайных процессов; все главы снабжены задачами, поэтому она может служить прекрасным учебным пособием для первоначального знакомства с предметом. В то же время широта охвата материала и хорошо продуманная структура книги позволяют использовать ее как справочник по данной тематике.

Авторы не стремились дать полное математическое обоснование всех излагаемых ими методов, поэтому изложение порой оказывается поверхностным; иногда без пояснений используются довольно сложные математические понятия. В тех случаях, когда это препятствует пониманию основного текста, такие понятия разъясняются в примечаниях. Заметим, однако, Что на практике по имеющейся реализации случайного процесса обычно не представляется возможным проверить выполнение довольно сложных условий, гарантирующих применимость того или иного метода; это чаше

всего делается по косвенным признакам. Некоторые рекомендации на этот счет приводятся в данной книге.

Авторы не исчерпывают всего многообразия существующих методов анализа случайных данных, да и вряд ли это возможно. Заметим все же, что интенсивно развиваемые в настоящее время параметрические методы, особенно полезные при анализе коротких реализаций, заслуживают хотя бы краткого описания.

Параметрический, особенно авторегрессионный спектральный анализ может служить, по меньшей мере, эффективной заменой описанных в этой книге традиционных непараметрических методов во многих ситуациях, в частности при малой длине реализации и наличии априорной информации о процессе. Таким путем можно анализировать и многомерные линейные системы со случайными процессами на входе и выходе. Одно из важных достоинств этого подхода — возможность получать аналитические выражения для всех оцениваемых спектральных характеристик, одновременно представив анализируемый процесс разностным стохастическим уравнением. Подробная информация о параметрическом спектральном анализе содержится в работе [11.13], а краткое описание метода и его геофизические приложения — в [11.14]. Способы построения доверительных интервалов для авторегрессионных оценок автоспектров описаны в работах [11.14, 11.15], а приближенные результаты для линейной системы с одним входным и одним выходным процессами с относительно гладкими спектральными характеристиками дан в работе [11.16]. При достаточно длинных ре* ализациях точность параметрических и авторегрессионных оценок, по- видимому, одинакова.

Не вызывает сомнений, что эта книга, как и предыдущие монографии тех же авторов, окажется полезной специалистам самого разного профиля, использующим в своей работе методы теории случайных процессов, а также студентам и аспирантам, специализирующимся в этой области, и будет способствовать внедрению эффективных методов прикладного анализа случайных процессов в практику научных и инженерных исследований.

И. Н. Коваленко

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга — четвертая наша работа, опубликованная издательством «Мир» в переводе на русский язык. Ей предшествовали два более ранних варианта, вышедшие на английском языке в 1966 и 1971 гг., и дополняющая их книга по приложениям корреляционного и спектрального анализа (1980 г.). Мы глубоко признательны издательству «Мир» и советским специалистам, которые взяли на себя труд периода и редактирования наших работ. Нам хочется особо отметить вклад сотрудника Института водных проблем АН СССР В. Е. Привальского, участвовавшего в переводе всех четырех книг. Многие его замечания профессионального характера включались в более поздние допечатки англоязычных публикаций наших книг и значительно способствовали их улучшению.

Мы, как и прежде, надеемся, что это издание окажется полезным не только советским, но и другим читающим по-русски ученым и инженерам, которые работают в области измерения и анализа случайных процессов самого различного типа.

Алан Дж. Пирсол,Джулиус С. БендатАлан Дж. Пирсол,Джулиус С. БендатЛос-Анджелес, Калифорния, 1 декабря 1987 г.

Алан Дж. Пирсол,Джулиус С. Бендат

Алан Дж. Пирсол,Джулиус С. Бендат

ВВЕДЕНИЕ

Эта книга представляет собой существенно переработанное и расширенное издание нашей книги, вышедшей в 1971 г.°, которая, в свою очередь, является значительно переработанным вариантом нашей книги «Measurement and Analysis of Random Data», впервые опубликованной в 1966 г.2) В данное издание вошли более совершенные и современные методы измерения и анализа случайных процессов, в которых отражены последние достижения в области построения моделей, оценки статистических ошибок, методов сбора данных и вычислительных алгоритмов. Первые четыре главы содержат основные сведения, необходимые для чтения книги, и охватывают интуитивные предпосылки теории, свойства линейных систем, основы теории вероятностей и математической статистики н в целом совпадают по содержанию с аналогичным материалом, имеющимся в издании 1971 г. В гл. 5 подробно обсуждаются стационарные случайные процессы, причем основные понятия излагаются более полно и включены новые разделы, например раздел, посвященный производным от случайных процессов. В гл. 6 и 7 выводятся и детально анализируются соотношения, связываюшие входные и выходные процессы одномерных и многомерных линейных систем. Особое внимание здесь уделяется современным методам анализа, которые появились за время, прошедшее с момента выхода предыдушего издания книги. Далее в гл. 8 и 9 выводятся формулы для статистических ошибок, присущих разнообразным оценкам параметров, в том числе и тем довольно сложным оценкам, для которых такие формулы в 1971 г. еще не были получены. Гл. 10 и 11 посвящены изложению современных методов сбора и цифровой обработки данных с включением дополнительного материала, относящегося к обработке входных и выходных процессов многомерных линейных систем с помощью эффективных итерационных алгоритмов. Гл. 12, посвященная нестационарным процессам, полностью переработана и значительно расширена. Особое внимание в ней уделяется различным способам спектрального описания нестаииопарных процессов и выво-

D Имеется перевод: Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ.— М.: Мир, 1974.—464 с.— Прим, перев.

2)Имеется перевод: Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ.—М"： Мир, 1971.—408 с.— Прим, перев.

Введение

ду соотношений, связывающих вход и выход линейных систем в случае нестационарных входных процессов и(или) линейных систем с зависящими от времени параметрами. Гл. 13 содержит совершенно новый материал, касающийся преобразования Гильберта и его применений, который вообще отсутствовал в предыдущих изданиях. Для удобства читателя в книгу включены приложения А и Б. В приложении А приводится ряд статистических таблиц, облегчающих пользование книгой, а приложение Б содержит краткие определения основных понятий, относяшихся к области анализа случайных процессов, что может способствовать стандартизации терминологии в этой области.

Как и издание 1971 г., данная книга задумана прежде всего как справочное пособие для практически работающих инженеров и ученых. Кроме того, авторы стремились дать полное теоретическое введение к своей книге «Engineering Applications of Correlation and Spectral Analysis», вышедшей в 1980「J), имеющей прикладную направленность. Вторая наша цель ——дать учебное пособие студентам, специализирующимся в данной области, поэтому в конце каждой главы помещены задачи. Предполагается, что читатель знаком с основами математического анализа и прикладными аспектами теории преобразований Фурье. Желательно также знакомство с основными понятиями теории линейных систем, теории вероятностей и математической статистики, хотя в первых главах книги и дается краткий обзор этих предметов.

Хочется выразить признательность многим нашим коллегам и сотрудникам за помощь в работе над книгой. Мы особенно благодарны Дж. Ричману, просмотревшему часть, рукописи и сделавшему полезные замечания. Мы благодарим также правительственные учреждения и частные компании, оказавшие поддержку нашей работе, а также Калифорнийский университет, Институт повышения квалификации и другие организации, которые поддержали наши семинарские занятия по данной тематике. Наконец, мы признательны Б. Кларк, И. Салазер и Ф. Паррис за их тщательную работу по оформлению рукописи.

Лос-Анджелес, Калифорния, Джулиус С. Бендат, январь 1986 г. Алан Дж. Пирсол

D Имеется перевод: Бендат Дж., Пирсол А. Приложения корреляционного н спектрального анализа: Пер. с англ.— М.: Мир, 1982.—312 с.— Прим, перев.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

с.к.о. ФКИПФ ФБИПФ а, Ь

——среднеквадратичное отклонение

—фильтры с конечной импульсной переходной функцией

—фильтры с бесконечной импульсной переходной функцией

—выборочные коэффициенты регрессии; произвольные постоянные

А Ь[] В с

С % %⑺ %⑺

е(/) 石口 /

—амплитуда; число инверсий

—смешение величины []

—ширина полосы частот в герцах

—затухание механической системы; произвольная постоянная

—электрическая емкость

—ковариация

—корреляционная функция

—взаимная корреляционная функция

—коспектральная плотность (односторонняя)

—разность потенциалов

—математическое ожидание величины []

——циклическая частота

△/

充尸丁 [] Gxx(f) Gm

恥M

—разрешение по частоте

—преобразование Фурье функции []

—спектральная плотность (односторонняя)

—взаимная спектральная плотность (односторонняя)

—условная спектральная плотность (односторонняя)

—условная взаимная спектральная плотность (односторонняя)

—спектральная плотность «энергии»

л (Г) HQ

毋]

/

，(F)

Im[]

J

—импульсная переходная функция

—частотная характеристика

—амплитудная характеристика системы

—преобразование Гильберта функции []

——индекс

--Tок

—мнимая часть []

— V^T; индекс

к К log L

〃7

—коэффициент жесткости пружины; индекс

—следовое волновое число; число интервалов группировки

—натуральный логарифм

—электрическая индуктивность; длина

—условная частотная характеристика

—механическая масса; максимальный сдвиг

—индекс модуляции

N 2")

Р(X J ) Р(Х) р^ у} Prob [ ], Р q 4(1) Q*/)

犷

—число степеней свободы, индекс

—размер выборки

—плотность вероятности

——совместная плотность вероятности

—функция распределения

——совместная функция распределения

—вероятность события []

——число входов; число реализации

—электрический заряд

——квадратурная спектральная плотность (односторонняя)

——число серий, число выходов

——выборочный коэффициент корреляции

—электрическое сопротивление

R**⑺ 仆⑺ 出 （。，?2）， 夂（*，） Re []

S 5 2

W） %口 % "） ◎ /） /（/） 5。1，心），

—ковариационная функция

—взаимная ковариационная функция

——двойная по времени ковариационная функция

——действительная часть [ 1

—выборочное стандартное отклонение

—выборочная дисперсия

—выборочная ковариация

—спектральная плотность (двусторонняя)

——взаимная спектральная плотность (двусторонняя)

—условная спектральная плотность (двусторонняя)

—условная взаимная спектральная плотность (двусторонняя)

——спектральная плотность «энергии» (двусторонняя)

/(A g) S/N

/

——двойная по частоте спектральная плотность (двусторонняя)

—отношение сигнал/шум

—время; случайная величина с [-распределением Стьюдента

△1 Г тг

—интервал дискретности

—длина реализации; период

—суммарная длина реализации

〃«),〃(/) Var [) W

"U, О

—исходные значения случайного процесса

—величины, зависящие от времени

—дисперсия []

—ширина интервала

——нестационарная частотно-временная спектральная плотность» определенная как для отрицательных, так и для положительных частот (двусторонняя)

г Q ),，") 1

X

X(f)

x U，T)

l[H

[1

a

—величины, зависящие от времени

—выборочное среднее л

—амплитуда гармонического процесса х (/)

—преобразование Фурье функции х (/)

—преобразование Фурье реализации х (/ ) длиной Т

——стандартная нормальная случайная величина

—абсолютная величина []

—оиенка []

——малая вероятность, уровень значимости, связанная переменная

8 封)

¥*«) \yxj W) △

£ j e %(『) M p P(7)

a a2

/)

6 x2 十 廿

—вероятность ошибки второго рода; связанная переменная

——функция обычной когерентности

—— функция множественной когерентности

——функция частной когерентности

——дельта-функция

——малое прирашение

—нормированная ошибка

—коэффициент механического затухания

—фазовый угол

—аргумент Gxy (/)

—среднее значение

—коэффициент корреляции

—нормированная корреляционная функция

—стандартное отклонение

——дисперсия

——сдвиг времени

—фазовая характеристика

——произвольный статистический параметр

——случайная величина с распределением хи-квадрат

——среднеквадратичное значение

——средний квадрат

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МОДЕЛИ

Данная глава содержит основные определения и модели детерминированных и случайных процессов и имеет целью описать интуитивные предпосылки теории, составляющей предмет этой книги. Отличительные свойства стационарных, эргодических и нестационарных случайных процессов поясняются с помощью классификации по простым признакам наличия или отсутствия тех или иных свойств. Дается неформальное определение основных статистических характеристик, описывающих обобщенные свойства отдельных реализаций стационарных случайных процессов и пар таких реализаций, а также их свойства во временной и частотной областях. Формулируются основные типы задач анализа линейных систем, решаемых в этой книге, а также основные критерии оценки ошибок, свойственных анализу случайных данных, которые лежат в основе планирования экспериментов и сравнения разных методов анализа.

Детерминированные и случайные процессы

Любые данные, полученные в результате наблюдения реального физического явления, можно отнести, вообще говоря, к детерминированному или недетерминированному типу. Детерминированные процессы — это процессы, которые можно описать явными математическими формулами. Рассмотрим, например, жесткое тело, подвешенное к неподвижной опоре с помощью линейной пружины (рис. 1.1). Пусть т — масса тела (предполагается, что оно неупругое), к — коэффициент жесткости пружины (предполагается, что она не имеет массы). Пусть тело смещено от положения равновесия на расстояние X и освобождается в момент времени / = 0. С помощью основных законов механики или на основе многократных наблюдений можно установить, что имеет место следующая зависимость:

Уравнение (1.1) позволяет точно определять положение тела в любой будущий момент времени. Следовательно, этот процесс, описывающий движение тела, является детерминированным.

На практике часто встречаются физические явления, протекание которых с разумной точностью можно описать явными математическими зависимостями. Например, движение спутника по околоземной орбите, изменение потенциала между обкладками конденсатора по мере его разряда через резистор, колебания несбалансированного вращающегося механизма, изменение температуры воды по мере ее нагревания по сути своей являются детерминированными процессами. Однако многие другие физические явления порождают процессы, которые нельзя считать детерминированными. Например, высота волн при морском ветровом волнении, акустическое давле-

Положен не

1 равновесия

m ，Рис 1 1 Простая система, состоящая из тела и

"x(tjпружины

ние, производимое потоком воздуха при его движении по трубе, и электрический сигнал на выходе генератора шума — это процессы, которые невозможно описать во всех деталях. Совершенно невозможно предсказать точное значение таких процессов в будущие моменты времени. Эти процессы случайны по своей сути, и для их описания требуются вероятностные понятия и статистические характеристики.

Отнесение тех или иных физических процессов к детерминированному или случайному типу зачастую не бесспорно. Например, можно утверждать, что встречаютиеся на практике физические процессы вообще не могут быть в полной мере детерминированными, поскольку никогда нельзя исключить возможности того, что в будущем произойдет какое-нибудь событие, которое повлияет на явление, порождающее процесс, совершенно непредсказуемым образом. С другой стороны, можно утверждать, что нет и истинно случайных процессов, поскольку может оказаться, что при достаточно полном знании основных механизмов явления порождаемый этим явлением процесс удастся описать точными математическими формулами. С практической точки зрения решение о случайности или детерминированности конкретного физического процесса обычно основывается на нашей способности воспроизвести процесс в ходе контролируемого эксперимента. Если многократное повторение эксперимента, в ходе которого получается интересующий нас процесс, приводит к одним и тем же результатам (в пределах ошибок эксперимента), то этот процесс обычно можно считать детерминированным. Если же невозможно указать эксперимент, который давал бы при его повторении идентичные результаты, то такой процесс обычно считается случайным по своей сути.

Сейчас мы обсудим несколько способов классификации детерминированных и случайных процессов. Заметим, что принципы классификации выбирались с точки зрения удобства анализа и не всегда являются наилучшими с других возможных точек зрения. Заметим также, что обычно предполагается, что физические процессы представляют собой функции времени, так что далее для удобства будем пользоваться именно такой интерпретацией. При желании вместо времени можно взять любую другую независимую переменную.

Классификация детерминированных процессов

Процессы, описывающие детерминированные явления, делятся на пе* риодические и непериодические. В свою очередь периодические процессы

Рис. 1.2. Классификация детерминированных процессов.

можно разделить на гармонические и полигармонические. Непериодические процессы делятся на «почти периодические» и переходные. Такая классификация детерминированных процессов схематически представлена на рис. 1.2. Разумеется, может встретиться и любое сочетание этих типов. Перейдем к краткому обзору всех этих типов детерминированных процессов и дадим ряд практических примеров.

2 1 СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПРОЦЕСС

Синусоидальный процесс — это периодический процесс, поведение которого во времени математически выражается следующей формулой:

x(f) = Xsin(2 咖 + е),(1.2)

гдеХ ——амплитуда,/0 — циклическая частота в герцах, 8 ——начальный фазовый угол в радианах, х(/ )——мгновенное значение в момент /.

Синусоидальный процесс, определенный формулой (1.2), обычно называется гармоническим. При практическом анализе гармонических процессов фазовый угол 6 часто игнорируется. В этом случае

xQ)= Xsin277yx.(1.3)

Уравнение (1.3) графически можно изобразить либо в виде зависимости мгновенного значения от времени, либо в виде зависимости амплитуды от частоты (частотного спектра), см. рис. 1.3.

Интервал времени, на котором происходит одно полное колебание или цикл гармонического процесса, называется периодом Тр. Число циклов в единицу времени называется частотой/0. Частота и период связаны соот~ ношением

% =(1-4)

/о

Заметим, что частотный спектр, изображенный на рис. 1.3, состоит из единственной амплитуды, расположенной на определенной частоте, и этим

Рис. 1.3. Реализация и спектр гармонического процесса.

отличается от спектров, задающих непрерывную зависимость амплитуды от частоты. Такие спектры называются дискретными или линейчатыми.

Известно много примеров физических явлений, которые на практике приближенно описываются гармоническими процессами. Примером может служить напряжение на выходе электрического генератора. Другой пример дают колебания несбалансированного вращающегося груза. Гармонические процессы являются с точки зрения анализа простейшим видом процессов, протекающих во времени.

ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

К полигармоническим процессам относятся периодические процессы, которые математически представляются функцией времени, точно повторяющей свои значения через одинаковые интервалы времени, т. е.

х(г) = х(/ ± пТр) 〃 = 1,2,3，…. (1.5)

Как и в случае гармонических процессов, интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Тр. Число циклов в единицу времени называется фундаментальной частотой fx. Гармонические процессы представляют собой частный случай полигармониче- ских процессов при /】=/0.

За редкими на практике исключениями, полигармонические процессы разлагаются в ряд Фурье по формуле

(1.6)(1.6)〃08

(1.6)

(1.6)

Х(г)=彳 + X (〃“cos2"“/ + "sin27r吟г).

где/] = 1/Гр и

м = 0,1,2,...；м = 0,1,2,...；2 /•丁 ап = — ^(^coslTrnf^dt,

м = 0,1,2,...；

м = 0,1,2,...；

2 /

bn = — / Px(r)sin2力裾/dr,胃=1,2,3,... • TpJo

Другое представление полигармонических процессов рядом Фурье дает формула

х〃)= Хо + х x“cos(2"矶f - 必)，(1.7)

"=1

где *о = gp/2 и

爲=&： + 匕3 寿=1, 2, 3,...;

好=arctg』， n = 1, 2, 3,；

иначе говоря, формула (1.7) утверждает, что полигармонический процесс есть сумма постоянной составляющей X ° и бесконечного числа гармонических составляющих, называемых гармониками 恥 имеющих амплитуды Хп и фазы 0п. Все частоты гармонических составляющих кратны фундаментальной частоте/!.

При практическом анализе периодических процессов фазовые углы % часто игнорируются. В этом случае формулу (1.7) можно охарактеризовать дискретным спектром, как показано на рис. 1.4. Иногда полигармонические процессы содержат только конечное число составляющих. В других случаях может отсутствовать фундаментальная составляющая. Например, пусть периодический процесс образован суммой трех гармонических процессов с частотами 60, 75 н 100 Гц. Наибольший общий делитель этих частот равен 5 Гц, т. е. период этого процесса равен 0,2 с. Поэтому при разложении в ряд Фурье все величины Хп равны нулю, кроме соответствующих значениям п = 12, 15 и 20.

Физические явления, описываемые полигармоническими процессами, встречаются намного чаще, чем явления, порождающие простые гармонические процессы. Фактически многие полигармонические процессы рассматриваются как простые только приближенно. Например, детальный анализ напряжения на выходе электрического генератора может выявить небольшие составляющие на высших гармониках. В других случаях физические периодические процессы имеют много мощных гармоник. Например, вибрация многоцилиндрового двигателя внутреннего сгорания обычно содержит значительное число мощных гармоник.

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В разд. 1.2.2 было отмечено, что периодический процесс обычно представляется в виде ряда, состоящего из гармонических процессов с соизмеримыми частотами. И наоборот, любой процесс, образованный суммой двух и более гармонических процессов с соизмеримыми частотами, будет периодическим. Однако если процесс образован суммой двух и более гармонических процессов с произвольными частотами, то он, как правило, не будет периодическим. Точнее говоря, сумма двух и более гармонических процессов будет периодическим процессом тогда и только тогда, когда отношение любых двух частот есть рациональное число. В этом случае существует фундаментальный период, который удовлетворяет уравнению (1.5). Поэтому процесс

x(r) = %sin(2工 + %) + X2sin(3r + %) + X3sin(lt + %)

периодический, так как 2/3, 2/7 и 3/7 ——рациональные числа (фундаментальный период Тр = 1). С другой стороны, процесс

x(f) = XiSin(2l + 仇)+ ^2sin(3/ + %) + gsin(画 t + %) не периодический, так как 2/V56 и 3/V5O не рациональные числа (фундаментальный период бесконечно велик). Реализация такого процесса носит почти периодический характер, но соотношение (1.5) не выполняется ни при каком конечном значении Тр.

На основании этих соображений почти периодические процессы определяются математически как функция времени вида

00

х(г) = X ^„sin(2^Z + 我)，(1.8)

" =1

причем^/fm не для всех значений индексов являются рациональными числами. На практике почти периодические процессы порождаются физическими явлениями, в которых одновременно действуют гармонические процессы, не связанные между собой. Хороший пример дает вибрация многомоторного винтового самолета, в котором двигатели не синхронизированы.

Почти периодические процессы обладают следующим важным свойством. Если исключить из рассмотрения фазовые углы 0п, то -формулу (1.8)

ЛЛЧастотаЧастота

Л

Л

Частота

Частота

Рис. 1.5. Спектр почти периодического процесса.

можно охарактеризовать дискретным спектром, подобным спектру поли- гармонического процесса. Единственное отличие состоит в том, что отношения частот составляющих не являются рациональными числами (рис. 1.5).

ПЕРЕХОДНЫЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

По определению, переходные процессы — это все непериодические процессы, за исключением почти периодических процессов, определенных в разд. 1.2.3. Другими словами, к переходным относятся все процессы, которые можно задать какой-либо функцией времени, за исключением рассмотренных выше.

К переходным процессам приводят многочисленные и самые разнообразные явления. Например, процесс, показанный на рис. 1.6, а, может представлять температуру воды в чайнике (по отношению к температуре помещения) после выключения нагревателя. Процесс, изображенный на рис. 1.6,6, может характеризовать свободные колебания демпфированной механической системы после прекращения действия вынуждающей силы. Процесс, представленный на рис. 1.6,6, может описывать напряжение в тросе с нагруженным концом, который разрывается в момент с.

Важная особенность переходных процессов, отличаюшая их от периодических и почти периодических, состоит в том, что их нельзя охарактеризовать дискретным спектром. В большинстве случаев для переходных процессов можно получить непрерывное спектральное представление, используя преобразование Фурье вида

X(f)=「x(t)eT2""dt. (1.9)

Вообще говоря, преобразование Фурье % (/) является комплексной величиной, которая записывается в полярной форме:

Х(/) = |М/)№.

Рис. 1.6. Примеры переходных процессов.

Здесь \Х (f)\ — модуль X(f), 6(f) — аргумент. На рис. 1.7 приведены модули непрерывных спектров трех переходных процессов, изображенных на рис. 1.6. Современные цифровые методы вычисления рядов Фурье и финитных преобразований Фурье детально изучаются в гл. 11.

Классификация случайных процессов

Как уже говорилось, процесс, описывающий случайное физическое явление, нельзя задать явной математической зависимостью, поскольку каждое наблюдение этого явления дает невоспроизводимый результат. Другими словами, любое наблюдение дает только один вариант из множества возможных. Рассмотрим, например, напряжение на выходе генератора теплового шума как функцию времени. Получим определенную реализацию зависимости напряжения от времени (рис. 1.8,〃). Если одновременно включить второй генератор теплового шума идентичной конструкции, то получим реализацию иного вида (рис. 1.8,6). Более того, сколько бы генераторов теплового шума ни включать, каждый раз получим новую реализацию (рис. 1.8,6). Следовательно, любой генератор порождает только один вариант зависимости напряжения от времени из бесконечно большого числа возможных.

Конкретная реализация процесса, описывающего случайное явление, называется выборочной функцией (или реализацией ь если речь идет о наблюдении конечной длительности). Совокупность всех возможных выборочных функций, которые может дать случайное явление, называется случайным или стохастическим процессом. Следовательно, под реализацией случайно-

Рис. 1.8. Выборочные функции на выходе генератора теплового шума.Рис. 1.8. Выборочные функции на выходе генератора теплового шума.

Рис. 1.8. Выборочные функции на выходе генератора теплового шума.

Рис. 1.8. Выборочные функции на выходе генератора теплового шума.

го физического явления понимается один из возможных исходов случайного процесса.

Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные. В свою очередь стационарные случайные процессы делятся на эргодические и неэргодические. Дальнейшая классификация нестационарных случайных процессов проводится по особенностям их нестационарностей. Классификация случайных процессов схематически показана на рис. 1.9. Рассмотрим

Рис. 1.9. Классификация случайных процессов.Рис. 1.9. Классификация случайных процессов.

Рис. 1.9. Классификация случайных процессов.

Рис. 1.9. Классификация случайных процессов.

более подробно содержание и физический смысл всех этих понятий. Точные определения и соотношения приведены в гл. 5 и 12.

СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Если физическое явление описывается случайным процессом, то свойство этого явления в принципе можно оценить в любой момент времени путем усреднения по совокупности выборочных функций, образующих случайный процесс. Рассмотрим, например, совокупность выборочных функций (называемую также ансамблем), определяющую случайный процесс, изображенный на рис. 1.10. Среднее значение (первый момент) этого случайного процесса в момент времени t ] можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выборочных функций ансамбля в момент времени f〕, сложив эти значения и разделив на число выборочных функций. Аналогичным образом ковариацию (смешанный момент) значений случайного процесса в два различных момента времени (эта величина называется ковариационной функцией) вычисляется путем усреднения по ансамблю произведений мгновенных значений в моменты времени f [ и f [ + т. Следовательно, среднее значение & (Г 】)и ковариационная функция Rxx «】,f [ + т) случайного процесса (х (/ )), где символ [ ) обозначает ансамбль выборочных функций, определяется формулами

(1.10а)(1.10а)Rxx('l，‘1 + т)Rxx('l，‘1 + т)1 gJ吗而 5"6*(g + t),1 gJ吗而 5"6*(g + t),(1.106)(1.106)1 g

(1.10а)

(1.10а)

Rxx('l，‘1 + т)

Rxx('l，‘1 + т)

1 g

J吗而 5"6*(g + t),

1 g

J吗而 5"6*(g + t),

(1.106)

(1.106)

в которых суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций.

В общем случае, когда & (£ ]) и Rxx (，],，] + т), определенные уравнениями (1.10), зависят от момента времени ： 1, случайный процесс {х (г){ называется нестационарным. В том частном случае, когда 股(f ]) м 灭打(，],^ + т) не зависят от момента времени 工】,случайный процесс называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо стационарного процесса постоянно, а ковариационная функция зависит только от сдвига времени т, т. е. ^(f })=厶 и Rxx(/!,厶 + т)= =rМ⑺.

Для определения полного набора функций распределения, задающих структуру случайного процесса [х (/ )J, нужно вычислить бесконечное число моментов и смешанных моментов высших порядков. В том случае, когда все моменты и смешанные моменты инвариантны во времени, случайный процесс 伙(/){ называется строго стационарным или стационарным в уз-

ком смысле^. Во многих приложениях проверка слабой стационарности позволяет обосновать строгую стационарность.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В разд. 1.3.1 было показано, как можно определить характеристики случайного процесса путем усреднения по ансамблю в определенные моменты времени. Однако в большинстве случаев характеристики стационарного случайного процесса можно вычислить, усредняя по времени в пределах отдельных выборочных функций, входящих в ансамбль. Возьмем, например, Ar-к)выборочную функцию ансамбля, изображенного на рис. 1.10. Среднее значение ^(к) 1л ковариационная функция &注(丁,左),вычисленные по А:-й

D Авторы ие рассматривают случай, когда некоторые моменты распределения могут не существовать.— Прим. ред.

реализации, равны

1 "

以А)= lim х4)或，(1.11а)

Т-* оо / 丿0

1 &х(т,幻=lim 亍/ x*(f)x*Q + т) df.(1.116)

гТ 8 1 丿0

Если случайный процесс (х(/)} стационарен, а ^х{к) и 択依(丁,衣)，вычисленные по различным реализациям согласно формулам (1.11), совпадают, то случайный процесс называется эргодическим. Для эргодических процессов средние значения и ковариационные функции, полученные усреднением по времени (как и другие характеристики, вычисленные усреднением по времени), равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по ансамблю, t. ё.以(左)=散 и 我也(7,")=/?^(7). Отметим, что свойством эргодичности могут обладать только стационарные процессы.

Очевидно, что эргодические случайные процессы образуют очень важный класс случа访ннх процессов, поскольку все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. К счастью, на практике стационарные случа访нь【е процессы обычно оказываются эргодическими. Именно по этой причине свойства стационарных случайных явлений часто можно определить по одной наблюдаемой реализации. Подробное изложение свойств эргодических случайных процессов дается в гл. 5.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

К нестационарным процессам относятся все случайные процессы, не удовлетворяющие условиям стационарности, сформулированным в разд. 1.3.1. Если не наложены дополнительные ограничения, то свойства нестационарных случайных процессов обычно зависят от времени и могут быть установлены только путем усреднения в отдельные моменты времени по ансамблю выборочных функций, образующих процесс. На практике часто не удается получить достаточное для точной оценки свойств процесса число реализаций. Этим фактом объясняется отставание в развитий практических методов измерения и анализа нестационарных случайных процессов.

Во многих случаях нестационарные спуча访нь【е процессы, отвечающие реальным физическим явлениям, имеют особенности, упрощающие их анализ и измерение. Например, иногда случайные данные удается представить в виде случа访ного процесса [%(/)], все выборочные функции которого имеют вид х(Г) = a(/)w(Z). Здесь 〃(1) — выборочная функция стационарного случайного процесса [м(/)], a a(t) — детерминированная функция. Другими словами, данные представляются нестационарным случайным процессом, все выборочные функции которого имеют общий детерминированный тренд. Если нестационарный случайный процесс имеет такой вид, то для описания его свойств не всегда требуется усреднение по ансамблю. Иногда

многие важные свойства удается оценить по еданственной выборочной функции, как и в случае эргодических стационарных процессов. Подробно такие задачи изучаются в гл. 12.

СТАЦИОНАРНОСТЬ ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Понятие «стационарность», введенное 恥 рассмотренное в разд. 1.3.1, относится к средним по ансамблю свойствам случа访ного процесса. Однако на практике часто говорят о стационарности или нестационарности данных, представляющих собой единственную реализацию случайного явления. В этом случае стационарность понимается в несколько ином смысле. Если о единственной реализации говорят как о стационарной, то обычно имеют в виду» что ее свойства, определенные на коротких интервалах времени, существенно не изменяются от интервала к интервалу. Слово «существенно» означает здесь, что наблюдаемые колебания превосходят отклонения, которые можно объяснить обычной выборочной изменчивостью статистических оценок.

Чтобы пояснить это соображение, рассмотрим одну реализацию х左(/ ), являющуюся 左■旅 выборочной функцией случа访ного процесса {х(£ )}. Пусть среднее значение и ковариационная функция оценены по небольшому интервалу длиной Г с началом в точке Z,, т. е.

к(А，к) = *『％(斗 dt,(1.12а)

RxxQi，厶 + т，幻=J/"%式/)x5» + т)山. (1.126)

В общем случае, когда выборочные величины, определенные формулами (1.12), сильно изменяются с изменением начального момента Г], выборочная функция называется нестационарной. В том частном случае, когда выборочные свойства величин (1.12) не изменяются существенно с изменением начального момента /(, реализация называется стационарной. Заметим, что реализация эргодического случайного процесса стационарна. В то же время выборочные функции большинства практически интересных нестационарных случа访ных процессов не стационарны. Поэтому при выполнении свойства эргодичности (что справедливо для большинства стационарных физических явлений) проверка стационарности одной реализации является эффективным методом проверки в целом предположения стационарности и эргодичности случа访ного процесса, из которого эта реализация получена. Методы проверки стационарности отдельных реализаций изучаются в гл. 4 и 10.

, Анализ случайных данных

Анализ случайных данных основан на иных соображениях, чем анализ детерминированных данных, описанных в разд. 1.2. В частности, в силу

того что реализацию случайного процесса нельзя задать явной математической формулой, для оценки свойств таких данных должны использоваться статистические методы. Тем не менее случайные процессы удовлетворяют вполне определенным соотношениям, описывающим преобразования этих процессов; эти соотношения играют ключевую роль во многих приложениях. В таких приложениях важно уметь выявлять и учитывать статистические ошибки, связанные с оценками параметров и соотношениями между входными и выходными процессами преобразований.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные статистические характеристики, имеющие важное значение для описания свойств отдельных реализаций стационарных случайных процессов, таковы:

средние значения и средние квадраты;

плотности вероятности;

ковариационные функции;

функции спектральной плотности.

При обсуждении интуитивных предпосылок теории поучительно дать описательные определения этих величин, не прибегая к математическим формулам. Затем в качестве примеров будут рассмотрены некоторые особенно интересные частные случаи.

Среднее значение 以 и дисперсия 麼 стационарной реализации случайного процесса характеризуют соответственно центр рассеяния и величину рассеяния данных. Средний квадрат 必,равный сумме дисперсии и квадрата среднего значения, является мерой того и другого одновременно. Среднее значение оценивается простым усреднением всех значений реализации. Аналогичным усреднением квадратов значений реализации оценивается средний квадрат. Если перед возведением в квадрат из значений реализации вычитать среднее значение, то такое усреднение даст оценку дисперсии.

Плотность вероятности р(х) стационарной реализации задает скорость изменения вероятности в зависимости от значения реализации. Функция p(v ) обычно оценивается путем вычисления вероятности того, что мгновенное значение отдельной реализации заключено в узком интервале, центр которого пробегает область значений процесса, с последующим делением на ширину интервала. Общая площадь, ограниченная графиком плотности вероятности по всей его области определения, равна единице, что просто свидетельствует о достоверности события, заключающегося в том, что значения реализации содержатся между —оо и +8. Часть этой площади, лежащая левее данного значения х, определяет функцию распределения, обозначаемую 尸 R )・ Часть площади, ограниченная графиком плотности между произвольными двумя значениями Х[ их2 и равная 尸3?)—尸 Ri)， задает вероятность того, что значения реализации в наугад выбранный момент времени попадут в этот интервал значений процесса. Плотности вероятности и функции распределения подробно изучаются в гл. 3 и 4.

Ковариационная функция Rxx (т) стационарного процесса задает меру зависимости его значений, сдвинутых относительно друг друга на определен-

Рис. 1.11. Четыре примера реализаций случайных процессов: а ——гармонический процесс; 6 ——гармонический процесс плюс случайный шум; в ——узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум.Рис. 1.11. Четыре примера реализаций случайных процессов: а ——гармонический процесс; 6 ——гармонический процесс плюс случайный шум; в ——узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум.

Рис. 1.11. Четыре примера реализаций случайных процессов: а ——гармонический процесс; 6 ——гармонический процесс плюс случайный шум; в ——узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум.

Рис. 1.11. Четыре примера реализаций случайных процессов: а ——гармонический процесс; 6 ——гармонический процесс плюс случайный шум; в ——узкополосный случайный шум; г — широкополосный случайный шум.

ный интервал времени. Чтобы оценить ковариационную функцию, следует сдвинуть реализацию на время г, перемножить исходную и сдвинутую реализации и усреднить полученные произведения по всей реализации или по некоторому ее отрезку. Эта процедура выполняется для всех требуемых значений сдвига времени.

Спектральная плотность (иначе, спектр мощности) Gxx(f) стационарной реализации задает скорость изменения среднего квадрата в зависимости от частоты. Для оценивания спектра вычисляется средний квадрат в

узкой полосе частот при разных центральных частотах, а затем полученное значение делится на ширину этой полосы. Общая площадь, лежащая под графиком спектральной плотности по всей полосе частот, равна суммарному среднему квадрату реализации. Часть этой площади, заключенная между частотами/j и /2» равна среднему квадрату, сосредоточенному в этой

Рис. 1.12. Плотности вероятности: а — гармонический процесс; 6 — гармонический процесс плюс случайный шум; 6 — узкополосный случайный шум; г ——широкополосный случайный шум.

полосе частот. Ковариационные функции и спектральные плотности изучаются в гл. 5.

На рис. 1.11 показаны типичные реализации гармонического процесса, гармонического процесса в случайном шуме, узкополосного шума и широкополосного шума. На рис. 1.12—1.14 приводятся вычисленные теоретически соответственно плотности вероятности, ковариационные функции и

Рис. 1.13. Ковариационные функции: а ——гармонический процесс; 6 — гармонический процесс плюс случайный шум; 6 ——узкополосный случайный шум; ?——широкополосный случайный шум.

спектральные плотности этих процессов. Формулы, по которым были построены эти графики, выводятся наряду с другими в гл. 5.

Для пар реализаций, принадлежащих двум разным стационарным случайным процессам, важное значение имеют совместные статистические характеристики, а именно:

совместные плотности вероятности;

взаимные ковариационные функции;

в

Рис. 1.14. Спектральные плотности: а ——гармонический процесс; 6 — гармонический процесс плюс случайный шум; 6 ——узкополосный случайный шум; ?——широкополосный случайный шум.

взаимные спектральные плотности;

частотные характеристики;

функции когерентности.

Первые три функции описывают основные свойства пары реализаций по принимаемым ими значениям и по их свойствам во временной и частотной областях. По известным взаимной спектральной плотности и спектральным плотностям реализаций можно теоретически вычислить линейные частотные характеристики (амплитудные и фазовые характеристики), связывающие эти две реализации. В этом случае реализации считаются входом и выходом некоторой линейной системы. Функция когерентности характеризует точность принятой линейной модели и тоже может быть вычислена по измерениям спектральной и взаимной спектральной плотностей. Детально этот предмет рассматривается в гл. 5—7.

Плотности вероятности и функции распределения обычно применяются, помимо описания вероятностной структуры процесса, с целью:

проверки нормальности;

выявления нелинейностей;

анализа экстремальных значений.

Основные применения ковариационных функций охватывают:

выявление периодичностей;

выделение сигналов из шума;

измерение запаздываний;

локализацию источников помех:

идентификацию трактов и скоростей распространения сигналов.

В число типичных применений спектральных плотностей входят:

определение свойств систем по наблюдениям входных и выходных процессов:

предсказание выходных процессов по входным процессам и свойствам системы;

идентификация входных процессов по выходным процессам и свойствам системы;

задание динамических данных для тестовых программ;

идентификация источников энергии и шума;

оптимальный линейный прогноз и фильтрация.

L4.2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВХОДНЫМИ И ВЫХОДНЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Большинство задач преобразования входного процесса в выходной можно сформулировать в виде одной из следующих моделей или их комбинаций:

модель с одним входом и одним выходом;

модель с одним входом и несколькими выходами:

модель с несколькими входами и одним выходом;

модель с несколькими входами и несколькими выходами.

Во всех случаях сигналы от каждого входа к каждому выходу проходят по одному или нескольким параллельным трактам, имеющим разные запаз-

Рис. 1.15. Система с одним входом, одним выходом и шумом на выходе.

дывания. В системах с несколькими входами входные процессы могут коррелировать или не коррелировать между собой. Если процессы не стационарны, то анализ проводится специальными методами, которые рассматриваются в гл. 12.

Простая система с одним входом и одним выходом изображена на рис. 1.15. Здесь х (/ ) и / (/ ) — наблюдаемые входные и выходные реализации стационарных процессов, л (/ )——ненаблюдаемый внешний шум. Величина H^if)——частотная характеристика линейной системы с постоянными параметрами, преобразующей x(F) в у (F )• На рис. 1.16 показана система с одним входом и несколькими выходами, представляющая собой простое обобщение системы, изображенной на рис. 1.15; здесь входной сигнал х(/) вызывает несколько выходных сигналов yi(f) (f = 1, 2, 3, ... , г). Выходной сигнал yi (F ) является результатом преобразования х(/ ) линейной системой с постоянными параметрами, задаваемой частотной характеристикой Hxi(f). Шумовые процессы 勺(f) описывают влияние внешнего шума на соответствующие выходные сигналы. Из рис. 1.16 понятно, что такая система может рассматриваться как комбинация отдельных систем с одним входом и одним выходом.

Методы изучения систем с одним выходом излагаются в гл. 6 в терминах оценок спектральных и взаимных спектральных плотностей. Там же определены функции обычной когерентности, играющие ключевую роль как в задачах идентификации систем, так и в задачах идентификации источников. Для определения амплитудной и фазовой составляющих искомой частотной характеристики необходимо знать взаимную спектральную плотность между входным и выходным процессами. Хорошую опенку только

Рис. 1.16. Система с одним входом и несколькими выходами.

амплитудной характеристики можно построить, зная лишь оценки входной и выходной спектральных плотностей при условии, что внешним шумом на входе и выходе можно пренебречь.

Если в модели с одним входом и одним выходом стационарные входной и выходной сигналы полностью определены, система линейна и имеет постоянные параметры, на входе и выходе отсутствует внешний шум, то функция обычной когерентности тождественно равна единице на всех частотах. Любое отклонение от этих идеальных условий приводит к тому, что значение функции когёрентности будет меньше единицы. На практике оценки функции когерентности часто меньше единицы; эти функции играют важную роль при оценке статистической надежности измерений частотных характеристик.

Все эти понятия можно перенести на более общие системы с несколькими входами и выходами, при этом потребуется определить и соответствующим образом истолковать функции множественной и частной когерентности. Такие обшие схемы представимы в виде комбинации систем с несколькими входами и одним выходом при заданных входных стационарных процессах и различных частотных характеристиках, определяющих системы с постоянными параметрами, как показано на рис. 1.17. Современные методы анализа систем со многими входами и выходами, в которых используются условные (остаточные) процессы, рассматриваются в гл. 7.

Рис. 1.17. Система с несколькими входами и одним выходом.Рис. 1.17. Система с несколькими входами и одним выходом.寸")寸")

Рис. 1.17. Система с несколькими входами и одним выходом.

Рис. 1.17. Система с несколькими входами и одним выходом.

寸")

寸")

Эти методы представляют собой обобщение классических регрессионных методов, описанных в гл. 4. В частности, строится разложение спектральной плотности выходного процесса, показанного на рис. 1.17, которое показывает вклад любого входного сигнала в выходной спектр на данной частоте при некоторых условиях, наложенных на остальные входные сигналы, упорядоченные определенным образом.

Основные понятия математической статистики, используемые при оценке случайных данных, рассмотрены в гл. 4. В гл. 8 и 9 выводятся формулы для систематических и случайных ошибок, присущих различным оценкам, используемым при анализе одномерных и многомерных случайных процессов. В их число входят формулы для случайных ошибок, появляющихся при оценивании частотных характеристик (как амплитудных, так и фазовых) и функций когерентности (обычной, множественной и частной). Эти формулы удобны в вычислительном отношении и безусловно полезны для правильной интерпретации полученных результатов.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОШИБОК

В качестве введения в материал гл. 8 и 9 рассмотрим сейчас некоторые характеристики ошибок оценивания. Оценку величины ф обозначим через $, т. е. с помощью символа (工 Величина 3 — это оценка ф, построенная по наблюдению на конечном интервале времени или по конечному числу выборочных точек.

Предположим, что оценка $ (хотя бы умозрительно) может быть получена многократно путем повторения эксперимента или выполнения определенной программы измерений. Тогда в^ принципе можно оценить математическое ожидание ф, обозначаемое £ [$]. Например, если эксперимент повторяется многократно и дает оценки ^ (/ = 1, 2, ... , N), то

1 N

矶$]=痴 (1.13)

Это математическое ожидание может совпасть или не совпасть с истинным значением ф. В случае совпадения оценка $ называется несмещенной. В противном случае оценка называется смещенной. Смещение оценки, обозначаемое Ь [ф], равно математическому ожиданию оценки минус истинное значение параметра:

М$] = Е[$]-0・ (L14)

Следовательно, смещение оценки — это систематическая ошибка, которая всегда имеет одну и ту же абсолютную величину и один и тот же знак, если измерения проводятся при неизменных условиях.

Дисперсия оценки, обозначаемая Var[$], определяется как математическое ожидание квадрата разности между оценкой и ее средним значением. Формально

Var[$] = Е〔(3 —矶В])?] • (115)

Дисперсия характеризует случайную ошибку оценки, т. е. ту часть общей ошибки, которая не является систематической и может иметь разные знаки и разные абсолютные значения от измерения к измерению.

Суммарная ошибка оценивания характеризуется средним квадратом ошибки, который определяется как математическое ожидание квадрата разности межд% оценкой и ее истинным значением. Средний квадрат ошибки оценки $ равен

£[(ф-ф)2]- (1.16)

Легко проверить, что

е[($ - Ф)2] = Var向 +(&[ф])2. (1.17)

Иначе говоря, средний квадрат ошибки равен сумме дисперсии и квадрата смещения. Если смещение равно нулю или пренебрежимо мало, то средний квадрат ошибки и дисперсия совпадают.

Рис. 1.18 иллюстрирует смысл смещения (систематической ошибки) и дисперсии (случайной ошибки) на примере пристрелки двух винтовок. Рис. 1.18,а показывает, что винтовка А обладает большим смещением и малой случайной ошибкой. Рис. 1.18,6 показывает, что винтовка Б имеет малое смешение, ио большую случайную ошибку. Очевидно, из винтовки А никогда нельзя попасть в цель, в то время как из винтовки Б можно случайно поразить ее. Однако большинство стрелков предпочтет винтовку А, поскольку систематическую ошибку можно исключить (если известно, что она есть) путем регулировки прицела винтовки, а случайную ошибку устранить нельзя. Следовательно, винтовка А потенциально имеет меньший средний квадрат ошибки.

Рис. 1.18. Случайные и систематические ошибки при стрельбе из винтовки по мишени: а — винтовка А, большая систематическая ошибка и малая случайная ошибка; 6 — винтовка Б, малая систематическая ошибка и большая случайная ошибка.Рис. 1.18. Случайные и систематические ошибки при стрельбе из винтовки по мишени: а — винтовка А, большая систематическая ошибка и малая случайная ошибка; 6 — винтовка Б, малая систематическая ошибка и большая случайная ошибка.

Рис. 1.18. Случайные и систематические ошибки при стрельбе из винтовки по мишени: а — винтовка А, большая систематическая ошибка и малая случайная ошибка; 6 — винтовка Б, малая систематическая ошибка и большая случайная ошибка.

Рис. 1.18. Случайные и систематические ошибки при стрельбе из винтовки по мишени: а — винтовка А, большая систематическая ошибка и малая случайная ошибка; 6 — винтовка Б, малая систематическая ошибка и большая случайная ошибка.

Наконец, важной величиной является нормированная среднеквадратичная ошибка оценки, обозначаемая с[ф]. Эта безразмерная ошибка равна квадратному корню из среднего квадрата ошибки, деленному на истинное значение параметра (разумеется, в предположении, что оно не равно нулю). Формально

4ф]=4ф]=而.($ - ф)2而.($ - ф)2оо(1-18)(1-18)

4ф]=

4ф]=

而.($ - ф)2

而.($ - ф)2

о

о

(1-18)

(1-18)

На практике стараются уменьшить нормированную среднеквадратичную ошибку в максимально возможной степени. В этом случае появляется уверенность в том, что произвольная оценка。близка к истинному значению 0.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДАННЫХ

Рекомендуемые методы анализа данных детально обсуждаются в гл. 10—13. В гл. 10 рассматриваются задачи сбора данных, включая их накопление, запись, передачу, подготовку и предварительную оценку. Описываются общие подходы к анализу отдельных реализаций и их совокупностей, которые могут применяться в разнообразных приложениях. Основное внимание уделяется эффективным методам анализа свойств стационарных случайных процессов. Методы анализа цифровых данных обсуждаются в гл. 11, в том числе вычислительные процедуры для исключения тренда и цифровой фильтрации, ряды Фурье, быстрое преобразование Фурье дискретных временных рядов, представляющих реализации стационарных (эргодических) случайных процессов. Выведены численные формулы для построения оценок плотностей вероятности, ковариационных функций н спектральных плотностей по отдельным реализациям н парам реализаций. Кроме того, подробно описаны цифровые процедуры получения оценок всех величин, изученных в гл. 6 и 7 при решении разных задач, связанных с одномерными и многомерными линейными системами. Гл. 12 посвящена специальным методам анализа нестационарных процессов, а в гл. 13 рассматриваются методы преобразования Гильберта."

Задачи

Определите, какие из перечисленных ниже функций являются периодическими, а какие непериодическими:

a)x(f) = 3sinf + 2sin 2f + sin 3 G

6)x(F) = 3sinf + 2sin2f + sinTrf;

B)x(f) = 3sin 4f + 2sin 5 f + sin6f;

r)x (f) = e т sinf •

Определите период функции x (f ) = sin 1H + sin 12f.

В задачах 1.3——1.6 требуется установить, какие из перечисленных свойств всегда справедливы.

Стационарный случайный процесс должен

быть дискретным;

быть непрерывным;

быть эргодическим;

иметь ие зависящие от времени средние по ансамблю характеристики; *

иметь средние по времени характеристики, совпадающие с соответствующими средними по ансамблю.

Эргодический процесс должен

быть дискретным;

быть непрерывным;

быть стационарным;

иметь не зависящие от времени средние по ансамблю характеристики;

иметь средние по времени характеристики, совпадающие с соответствующими средними по ансамблю.

Все статистические свойства случайного процесса можно установить по его единственной реализации, если процесс

детерминированный;

эргодический;

стационарный;.

обладает всеми перечисленными свойствами.

Ковариационная функция стационарного случайного процесса должна

убывать с возрастанием IH;

зависеть только от сдвига времени;

стремиться к постоянной с возрастанием 1т1;

всегда быть неотрицательной.

Как изменятся ответы иа вопросы задачи 1.6, если стационарный случайный процесс не содержит периодической составляющей?

Выведите формулу (1.17).

Известно, что средний квадрат оценки равен 0,25, а смещение равно 0,40. Вычислите дисперсию оценки.

Пусть в условиях задачи 1.9 истинное значение параметра равно ф = 5. Вычислите нормированную среднеквадратичную ошибку оценки.

Глава 2

ЛИНЕЙНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

До детального обсуждения процедур измерения н анализа случайных физических данных желательно пояснить некоторые важные понятия и основные определения, относящиеся к динамике физических систем. В этой главе дается обзор теоретических формул, описывающих характеристики отклика идеальных линейных систем; основные представления иллюстрируются простыми примерами из физики.

Линейные системы с постоянными параметрами

Идеальная система — это система, которая имеет постоянные параметры и в которой две четко определенные фиксированные характеристики, именуемые входными (возбуждение) н выходными (отклик), линейно связаны между собой. Система имеет постоянные параметры, если все ее основные свойства неизменны во времени. Например, простая пассивная электрическая цепь будет системой с постоянными параметрами, если значения сопротивления, емкости и индуктивности всех элементов одинаковы в разные моменты времени. Система линейна, если ее реакция аддитивна и однородна. Термин «аддитивна» означает, что реакция на сумму двух входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности. Термин «однородна» означает, что реакция на произведение постоянной и входного сигнала равна произведению этой постоянной н реакции, вызываемой одним лишь сигналом. Формально, если/(к ) обозначает реакцию на входной сигнал х, то система линейна в том случае, когда для любых двух входных сигналовХр х2 н постоянной с имеют место свойство аддитивности

/(%! + х2) =/(%!)+/(х2)(2.1а)

н свойство однородности

/(сх) = </(х).(2.16)

Предположение о постоянстве параметров на практике выполняется с разумной точностью для многих физических систем. Например, основные свойства электрической цепи или механической конструкции обычно не нс- пытьгвают существенных изменений на протяжении промежутков времени, представляющих практический интерес. Разумеется, есть н исключения. Параметры электрического сопротивления могут измениться под взаимодействием высокой температуры, а жесткость конструкции ——из-за накопления усталости, вызванной постоянной вибрацией. Кроме того, в некоторые физические системы зависимость параметров от времени заложена конструктивно н необходима для выполнения системой ее функций. Очевидный пример дают электронные системы связи. Однако подобные случаи являются скорее исключениями и легко выявляются на практике.

С предположением о линейности дело обстоит сложнее. Все физические

системы становятся нелинейными при экстремальных значениях входных сигналов. Например, в электрическом конденсаторе в конце концов происходит пробой при нарастании напряжения, и, следовательно, проходящий через него ток уже не будет пропорционален приложен ному напряжению; металлический трос в конце концов оборвется при увеличении нагрузки, и> следовательно, напряжение уже не будет пропорционально нагрузке. Трудности усугубляются тем, что обычно нелинейные эффекты проявляются постепенно, начиная с некоторого момента времени. Например, связь между нагрузкой н напряжением в металлическом тросе обычно начинает отклоняться от линейной задолго до момента обрыва. Тем не менее характеристики отклика многих физических систем можно считать линейными, во всяком случае в некоторой ограниченной области значений входных сигналов, не рискуя совершить серьезных ошибок.

ПРИМЕР 2.1. НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА. Рассмотрим простую систему с квадратичной реакцией, в которой выходной сигнал имеет вид

У =/&) = ах2.

Для любых двух входных сигналов X] и х2

/(%! +、2)= 〃(％1 + %2)2 = ах1 + 2axi、2 + ах2 .

а свойство аддитивности из соотношения (2.1а) требует, чтобы

/(%! + %2)= ОХ； + а%2 •

Далее, для произвольной постоянной с

/(сл) = а(сх)2 = с2ал2^

а свойство однородности из соотношения (2.16) требует, чтобы

/(сх) = саМ.

Следовательно, эта система нелинейна, поскольку она не обладает ни свойством аддитивности, ни свойством однородности.

Основные динамические характеристики

Динамические характеристики линейной системы с постоянными параметрами можно описать с помощью весовой функции 〃 (т), иногда называемой импульсной переходной функцией ^ которая определяется как реакция в произвольный момент времени на импульсное воздействие, поступившее

на вход системы за т единиц времени до этого момента. Полезность весовой функции для описания такой системы связана со следующим обстоятельством. Для произвольного входного сигнала х( /) выход системы у( /) задается интегралом свертки

»(£)= / h(r)x(t - т) Jt,(2.2)

8

т. е. значение выходного сигнала У (Е) является взвешенной линейной (бесконечной) суммой по всей реализации входного сигнала х( /).

Для того чтобы линейная система с постоянными параметрами была физически осуи/ествимой (причинно-обусловленной), необходимо, чтобы система реагировала только на прошлые значения входного сигнала. Это означает, что

й(т) = 0, т V 0.(2.3)

Следовательно, в физических системах нижний предел интегрирования в уравнении (2.2) фактически равен нулю, а не —8.

Линейная система с постоянными параметрами называется устойчивой, если любая допустимая ограниченная входная функция приводит к ограниченной выходной функции. Из уравнения (2.2) имеем

|j(r)| = f°° h(T)x(t - т) Jt < f |〃(T)||x(f - T)|df. (2.4)

Если входная функция x (О ограничена, то существует некоторая конечная постоянная / такая, что для всех /

\x(t)\<A.(2.5)

Из соотношения (2.4) следует, что

|j(t)||/г(т)|4т.(2.6)

Поэтому, если весовая функция Л (т) линейной системы с постоянными параметрами абсолютно интегрируема, т. е. если-•

/ \h(T)\dr < оо,(2.7)

00

то выходная функция тоже ограничена, а система устойчива.

ПРИМЕР 2.2. НЕУСТОЙЧИВАЯ СИСТЕМА. Рассмотрим простую систему, импульсная переходная функция которой имеет вид

№)={% ;4

Поскольку 厶(7)= 0 для 7 < 0, то, согласно определению, система физически осуществима. Однако

/ |й(т)| dr = J \Aear\ dr = —(еао° — 1)вJ -8%а皿

Отсюда следует, что система неустойчива при а 》 0 о устойчива при а V 0. В частности, если а = —Ь < 0, то

J

/»ooт4А.

[—f(… f

На этом пример 2.2 заканчивается.

Линейную систему с постоянными параметрами можно охарактеризовать также передаточной функцией Н 3), которая определяется как преобразование Лапласа функции h (т), т. е.

Н(р)=/ h(T)e~pr Jt, р = а + jb.(2.8)

В терминах передаточной функции Н(р) можно придать интересный вид критерию устойчивости линейной системы с постоянными параметрами (в предположении, что она физически осуществима). Именно, если Н(р) не имеет полюсов в правой полуплоскости комплексной плоскости р, включая мнимую ось (отсутствуют полюса с а > 0), то система устойчива. Обратно, если Н (р) имеет хотя бьг один полюс в правой полуплоскости комплексной плоскости р или на ее мнимой оси, то система неустойчива.

Важное свойство линейных систем с постоянными параметрами ——сохранение частот. Более подробно, рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами, имеющую весовую функцию h (т). Уравнение (2.2) показывает, что при произвольной входной функции х (I) й-я производная по времени выходной функции y(t) равна

力М丿-8 ' J力"力М丿-8 ' J力"(2-9)(2-9)

力М丿-8 ' J力"

力М丿-8 ' J力"

(2-9)

(2-9)

Пусть теперь на вход поступает гармоническая функция х (f), т. е.

х") = Xsin(2打力十 6).х") = Xsin(2打力十 6).(2.10)(2.10)

х") = Xsin(2打力十 6).

х") = Xsin(2打力十 6).

(2.10)

(2.10)

Вторая производная х (£) равна

争="х()争="х()(2-11)(2-11)

争="х()

争="х()

(2-11)

(2-11)

d2y(t)~^= -4" / у(。.d2y(t)~^= -4" / у(。.(2-12)(2-12)

d2y(t)

~^= -4" / у(。.

d2y(t)

~^= -4" / у(。.

(2-12)

(2-12)

Из уравнения (2.9) следует, что вторая производная выходной функции^ « ) имеет вид

Следовательно, у (t) — гармоническая функция с той же частотой, что и х (/). Этот результат показывает, что линейная система с постоянными параметрами не меняет частоты, а воздействует только н成 амплитуду и фазу сигнала, подаваемого на вход.

Частотные характеристики

Если линейная система с постоянными параметрами физически осуществима и устойчива, то ее динамические свойства можно описать посредством частотной характеристики //(/*), которая определяется как преобразование Фурье функции Л (т), т. е.

H(f)=户⑺产吁 dT. (2.13)

Отметим, что нижний предел интегрирования равен нулю, а не —8, поскольку Л (т) = 0 при т < 0. По существу, частотная характеристика — это частный случай передаточной функции, когда в показателе экспоненты р = =а + jb величина。= 0, а b = 2тг/. В случае физически осуществимых устойчивых систем частотная характеристика содержит ту же информацию, что и передаточная функция.

Можно получить важное соотношение, содержащее частотную характеристику, взяв преобразование Фурье от обеих частей уравнения (2.2). Пусть X(f) — преобразование Фурье входного сигналах (/), а У(/) — преобразование Фурье соответствующего выходного сигнала у (/ ), при этом предполагается, что оба эти преобразования Фурье существуют; тогда из уравнения (2.2) следует, что

П/) = Н(/)Х(/)・ (2.14)

Итак, в терминах частотной характеристики системы н преобразований Фурье входного н выходного сигналов интегралу свертки из уравнения (2.2) соответствует простое алгебраическое выражение (2.14).

Как правило, частотная характеристика — это комплекснозначная функция, поэтому удобно представить ее через модуль н аргумент. Для этого запишем //(/) в полярной форме:

н(/) = |Н(/)|е^Л (2.15)

Модуль \H(f)\ называется амплитудной характеристикойъ а соответствующий аргумент。(/)——фазовой характеристикой. В этих терминах частотная характеристика интерпретируется следующим образом. Предположим, что входным сигналом системы служит гармоническая функция с частотой / (считаем, что она определена на всей оси времени); эта функция вызывает выходной сигнал, являющийся, как было показано в разд. 2.2, тоже гармонической функцией с той же частотой. Отношение амплитуд выходного н входного сигналов равно амплитудной характеристике системы I//(/)1, а сдвиг фазы между выходным и входным сигналами задается фазовой характеристикой Ф(/) системы.

Из условий физической осуществимости следует, что частотная, амплитудная н фазовая характеристики линейной системы с постоянными параметрами обладают следующими свойствами симметрии:

Н(-/) = Н*(/),

|Н(-/)1 = |Н(/)|,(2.16)

Ф(-/) = -Ф(/).

Далее, если последовательно с системой, описываемой частотной характеристикой //[(/Ь включена вторая система с частотной характеристикой /(О, причем между двумя системами отсутствует обратная связь или связь через нагрузку, то частотная характеристика "(/) новой системы имеет вид

Н(/) = Н1(/)Н2(/),

1h(/)1 = 1%(/)1/2(/儿(2.17)

Ф(/) = Ф1(/) + <>2(/)-

Следовательно, при последовательном соединении двух систем с соблюдением указанных выше условий амплитудные характеристики перемножаются, а фазовые складываются.

Важно помнить, что частотная характеристика H(f) линейной системы с постоянными параметрами зависит только от частоты и не зависит ни от времени, ни от вида входного сигнала. В случае нелинейной системы H(f) может зависеть от входного сигнала системы. Если же параметры системы не постоянны, то H(f) зависит от времени.

Примеры частотных характеристик

Для лучшего понимания частотных характеристик рассмотрим несколько примеров распространенных физических систем. Приводимые ниже примеры относятся к простым механическим и электрическим системам, поскольку они более наглядны. Проводится аналогия между свойствами механических, электрических и ряда других систем.

МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим простую механическую конструкцию, которую можно представить в виде системы с сосредоточенными параметрами, состоящей из массивного тела, пружины и демпфера, причем масса может смешаться только в одном направлении (рис. 2.1). На этом рисунке к ——коэффициент жесткости пружины (Н/м), с — затухание (Н-с/м), а ж — масса (кг).

Рис. 2.L Простая механическая система.

Перед определением частотной характеристики следует выяснить, какие входные н выходные параметры системы нас интересуют. Как будет показано ниже, для системы, изображенной на рис. 2.1, возможно несколько вариантов выбора таких параметров.

Сила как входной процесс н смешение тела как выходной процесс. Допустим, что в качестве входного сигнала нас интересует сила, приложенная к телу, а в качестве выходного сигнала ——вызванное силой смещение тела (рис. 2.2). Здесь 尸(Е)——приложенная сила в ньютонах, y(t) — соответствующее смещение тела в метрах.

Для определения частотной характеристики этой системы в первую очередь следует вывести уравнение движения. Для этого воспользуемся одним из основных положений механнкн, согласно которому сумма всех сил, действующих на массу, должна равняться нулю:

F(t) + Fk(.t) + Fc(t) + Fm(t) = O,(2-18)

где

Fk(t) = —ky(t) — упругая сила пружины,(2.18а)

Fc(t) = ~cy(t) — демпфирующая сила,(2.186)

月＜[)=—my(t) — сила инерции,(2.18в)

夕(Е)скорость.

y(t)

F传)

Рис. 2.2. Механическая система, входом которой служит сила.

/⑺=/⑺=〃у")% 2〃у")% 2——ускорение.——ускорение.

/⑺=

/⑺=

〃у")

% 2

〃у")

% 2

——ускорение.

——ускорение.

Следовательно, уравнение движения Системы имеет вид

my(t) + c/(f) + ky(t)=尸 Q).(2.19)

В разд. 2.3 частотная характеристика системы была определена как преобразование Фурье реакции системы на импульсное воздействие. В данном случае реакция системы — это смешение у (Z); его преобразование Фурье дается формулой

У(/)=广М，)ег2初力= Н(/).У(/)=广М，)ег2初力= Н(/).(2.20)(2.20)

У(/)=广М，)ег2初力= Н(/).

У(/)=广М，)ег2初力= Н(/).

(2.20)

(2.20)

Тогда преобразования Фурье имеют вид

[j(01 =j^fH(f),(2.20а)

[/〃)] = -(2 寸)2/7(/).(2.206)

Переходя к преобразованиям Фурье в обеих частях уравнения (2.19) с учетом того, что преобразование Фурье импульсного воздействия силы F(E) = 6(/) равно единице, получим следующее выражение:

[-(2打)2加+)2伊+ /с]н(/) = 1.(2.21а)

Поэтому

H(/)i= к -(2"/)2m +j2^fc]~\(2.216)

где индекс J^~d указывает, что рассматриваемая функция 〃 (/) связывает силу на входе и смещение на выходе системы.

Уравнение (2.21) целесообразно переписать в другой форме, введя обозначения

(2.22а)

(2.226)

Величина f из формулы (2.22а) безразмерная н называется коэффициентом затухания. Величина fn из формулы (2.226) называется собственной часто-

той незатухающих колебаний н измеряется в герцах. Подставив эти величины в уравнение (2.21), получим следующее выражение:

Н(/)…Н(/)…1А1 - (//Л,)? +用〃£1А1 - (//Л,)? +用〃£(2.23)(2.23)

Н(/)…

Н(/)…

1А

1 - (//Л,)? +用〃£

1А

1 - (//Л,)? +用〃£

(2.23)

(2.23)

Переписав выражение (2.23) в показательной форме, получим выражение для частотной характеристики в терминах амплитудной (1Н(/*)1) и фазовой (0(/*)) характеристик:

H(f) = \H(f)\e~J^,(2.24)

(2.24а)(2.24а)где

(2.24а)

(2.24а)

\H(f)\/~d^ " 彳厂」=

也1-(/〃)] + [2?"]2

e(/)i=arctg ；•(2.246)

Отметим, что размерность \Н(f )\j_d совпадает с размерностью l/左,т. е. измеряется в м/Н. Эта функция иногда называется коэффициентом динамического усиления.

Графики \H(f )l/_j и 6(〃 у, задаваемых выражениями (2.24а) и (2.246), представлены на рис. 2.3. Особый интерес вызывают три свойства этих графиков. Во-первых, при f W 1/V2 амплитудная характеристика имеет максимум на частоте, несколько меньшей собственной частоты fn. Частота, на которой достигается максимум амплитудной характеристики, называется резонансной частотой системы. В частности, минимизируя знаменатель \H(f)\j_d из уравнения (2.24а), можно показать, что резонансная частота (обозначим ее А) равна

力=加1 - 2{,{«0,5,'(2.25)

а максимальное значение амплитудной характеристики, достигаемое на этой частоте, есть

1/А

1"(a)1/7 =,——? ,六《0,5 .(2.26)

2w1 - ]

Во-вторых, если определить ширину полосы пропускания по уровню половинной энергии амплитудной характеристики системы как Вг = /2 — /р где

|M/J『 = I〃(/2)|2=；阳(厶)『,

Фазовая характеристика 0(f)f_d

,Q»°<° = = 81S§

П°°O0 oooo

Линейнне физические системы

Амплитудная характеристика 1"口|手..

-ъ

OTHOEQHAQ U3GTOI 小3

о

PSC，23 Частотная характеристика механическо®системы” входом которое

жит сила- 4 丨 амплитуднаяхарактеристика; 6 ——базовая характеристика*

§

то эта величина для рассматриваемой амплитудной характеристики приближенно выражается в предположении малости затухания через резонансную частоту как

凡之 2" , f < 0,1 .(2.27)

В-третьих, фазовая характеристика меняется от 0° на частотах, много меныпих厶,до 180° на частотах, много больших fn . Вид кривой </>(/) между этими крайними значениями фазового угла зависит от коэффициента затухания f. Однако при/ = fn фаза 0(/»_〃 равна 90° независимо от величины 工

ПРИМЕР 2.3. РЕЗОНАНСНАЯ СИСТЕМА. Простая механическая система, подобная изображенной на рис. 2.1, имеет следующие параметры:

初=1,79 кг, с = 35,72 Н • с/м, к = 17 857,88 Н/м.

Определим собственную частоту незатухающих колебаний, коэффициент затухания, резонансную частоту и максимум амплитудной характеристики системы.

Собственную частоту незатухающих колебаний и коэффициент затухания находим по формулам (2.22):

Резонансная частота определяется по формуле (2.25):

力小-2<2 = 15,7 Гц,

а максимум амплитудной характеристики — по формуле (2.26):

阳")1 =阳")1 =1/А2仔了1/А2仔了0,0003 м/Н.0,0003 м/Н.

阳")1 =

阳")1 =

1/А

2仔了

1/А

2仔了

0,0003 м/Н.

0,0003 м/Н.

На практике принято амплитудную характеристику физических систем представлять в безразмерном виде, умножая ее на коэффициент жесткости:

1

川"⑴"示k = 5°

Эта величина часто называется добротностью системы и обозначается буквой Q. Величина, обратная к Q, обычно называется коэффициентом потерь и обозначается буквой ^. Для рассматриваемой системы Q = 5,0, 刀 = 0,2. На этом пример 2.3 заканчивается.

Возвращаясь к сказанному в разд. 2.3, можно следующим образом интерпретировать частотную характеристику H(f)^_d. Пусть к телу (рис. 2.2) приложена сила, изменяющаяся по гармоническому закону: F(O =膝in 2電ft. Тогда смешение на выходе системы имеет вид

ЯО = F0\H(f)\f_dSin[2^ft - <#>(/)/_,].(2.28)

Эта интерпретация подсказывает иной метод определения частотной характеристики. Именно по гармоническому входному сигналу находим выходной сигнал, тогда частотная характеристика определяется по изменению амплитуды и сдвигу фазы выходного сигнала относительно амплитуды и фазы входного сигнала. Проиллюстрируем этот подход на примере рассматриваемой системы.

Реакция системы» изображенной на рис. 2.2, на гармонический входной сигнал задается решением уравнения (2.19); когда F(/) — гармоническая функция, имеем

my(t) + U(f)斗 ky{t) = Fosin2^ft = Im[州e'"],(2.29)

где Im[ ] обозначает мнимую часть [ ]. Запишем теперь решение уравнения (2.29) в виде выходной гармонической функции общего вида:

y(t) = ysin(2"力-ф) = 1т[Уе〃2"〃-о)].(2.30)

После подстановки выражения (2.30) в уравнение (2.29) получим следующее соотношение:

1т[(-(2"/)2щ + jlirfc + k)Yej^f,-^\ = Im[玲 e 八叫一 (2.31)

Решение уравнения (2.29) находим из уравнений (2.30) и (2.31):

А _(2"/>т +/2吸•

Используя обозначения, введенные в (2.22), и переходя к тригонометрическому представлению, получаем выражение для выходного сигнала у (/):

МО =玲sin[2〃力-©(/)]

k^~U/f^Y ^f/f^

где

"(/…T"

1-(///„)2

Следовательно, выходной сигнал получается путем умножения амплитуды входного сигнала на амплитудную характеристику системы, определенную формулой (2.24а), и сдвига по фазе на величину, равную фазовой характеристике системы, определенной формулой (2.24б)«

Смещение основания как входной процесс и смещение массы как выходной процесс. Рассмотрим теперь другой случай, когда нас интересует воздействие смещения основания на смещение тела (рис. 2.4). Здесь х(/) — исходное смещение основания, измеренное в метрах относительно среднего положения основания, а У 0 ) — результирующее выходное смещение тела, измеренное в метрах относительно положения равновесия.

Как м ранее, исходя из основных законов механики, выводим уравнение движения системы

尸4) + Е⑺ +心⑺=0,(2.34)

где

Fk(t) = —k[y(t) — x(f)]— упругая сила пружины, (2.34а)

£.(£)= —c[/(f) — х(/)] — демпфирующая сила, (2.346)

Fm(t) = —rny(t)—сила инерции.(2.34в)

Следовательно, уравнение движения этой системы имеет вид

盛 〃)+ cy(t) + ky(t) = fcx(f) + cx(/).(2.35)

УП)УП)Как и ранее, частотная характеристика системы определяется преобразованием Фурье смещения у (1)^ вызванного импульсным смещением основания х (t) = 6(/). Беря преобразование Фурье от обеих частей уравнения (2.35) с учетом того, что преобразование Фурье функции 6(/) равно / 2", получим следующее выражение:

УП)

УП)

Рис. 2.4. Механическая система, входом которой служит смещение основания.

[-(2"/)2% +/2"% + л]у(/)=伙 +/2"/с].(2.36а)

Следовательн о,

k + /2崂？

Y(『i⑺……《U (2J66)

где индекс d——d означает, что данная частотная характеристика связывает смещения на входе и выходе системы.

С учетом обозначений, введенных в (2.22), выражения (2.36) можно переписать в следующем виде:

1+Ж/А

/(勿+四〃

В полярных обозначениях формула (2.37) записывается через амплитудную и фазовую характеристики:

гдегдеН(/) = |Н(/)|е^\ .Н(/) = |Н(/)|е^\ .(2.38)(2.38)|Н(/)1 у =|Н(/)1 у =1 +財〃『1 +財〃『1/21/2JIT"了*2 +西〃『厂JIT"了*2 +西〃『厂(2.38а)(2.38а)©(/) j= arctg©(/) j= arctg2<(/〃)32<(/〃)31-(//А)2 + <2(//д)21-(//А)2 + <2(//д)2(2.386)(2.386)

где

где

Н(/) = |Н(/)|е^\ .

Н(/) = |Н(/)|е^\ .

(2.38)

(2.38)

|Н(/)1 у =

|Н(/)1 у =

1 +財〃『

1 +財〃『

1/2

1/2

JIT"了*2 +西〃『厂

JIT"了*2 +西〃『厂

(2.38а)

(2.38а)

©(/) j= arctg

©(/) j= arctg

2<(/〃)3

2<(/〃)3

1-(//А)2 + <2(//д)2

1-(//А)2 + <2(//д)2

(2.386)

(2.386)

Заметим, что 1/7(/)1"_"——безразмерная величина. Эта функция часто называется коэффициентом динамичности. Г рафики \H(f)\d_d и ®{f)d_d представлены на рис. 2.5. Отметим, что амплитудная характеристика имеет один максимум подобно амплитудной характеристике системы, изображенной на рис. 2.3. Однако детальный анализ амплитудной и фазовой характеристик, представленных на рис. 2.5, показывает, что они существенно отличаются от аналогичных характеристик, изображенных на рис. 2.3*

Другие сочетания входных и выходных сигналов. Приведенные выше два примера показывают, что в зависимости от типа исследуемого входного сигнала одна и та же простая механическая система описывается разными частотными характеристиками. На самом деле любое новое сочетание входных и выходных параметров, какое только может встретиться, приводит, как правило, к иной частотной характеристике. Например, в некоторых приложениях интересуются относительным смещением на выходе системы z (I) = У « ) —%(/), вызываемым смещением основания х (Z) на входе, в то время как в других случаях важно знать

100

0,1

1,010

Отношение частот f/fn

P—P-GJK - eHExdB-LHedBX Kroxsbx^E2<

180° !€0° 140° 120° 100° 80° 60° 40° 20°

1,0 Отношение частот f/fn б

10

Рис. 2.5. Частотная характеристика механической системы, входом которой служит смещение основания: а ——амплитудная характеристика; 6 ——фазовая характеристика.

P1PW0 гожхьох^щн^го^й Kraaorts

Таблица 2.1. Амплитудные характеристики механической системы, показанной на рис. 2.1.

Входной процесс —сила (см. модель на рис. 2.2)

Амплитудная характеристика простой механической системы как функция от входных 肘 выходных параметров

Входной процесс ——смещение основания (см. модель на рис. 2.4)

Сила (в единицах смещения), м x(t) = F(t)/k

Смещение X"), м

Скорость 文(Z), м/с

Ускорение £Q), м/с2

Абсолютное смещение y(f)

5

А

А

В терминах смещения на выходе, м

4

2*2

4経尸3

1

Относитель-

А

ное смеще-

/2

/

1

z")=

J(0 - МО

庁2

2"尸2

4"2产2

Абсолютная скорость

У(1)

2"/А

5

А

В терминах скорости на выходе, м/с

А

4

2吟

2 77/

Относительная скорость

Z("=

)厶)-х(/)

2"/з

Г

/

瓦

庁乌

尸4

2“須2

Абсолютное ускорение

ЯО

4ir2f2Dl

2"/А

5

В терминах

4

4

。2

4M/2

ускорения на выходе, м/с2

Относительное ускорение

4М『

2力尸

/2

2

芝（，）=

»"） -40

尸4

尸4

&2

Q =厶 +[2«〃,)]24 =加 1 -(%,)六[2n%,)]2

абсолютное ускорение.}5« ) на выходе в зависимости от скорости смещения основания 文(f) на входе. В каждом случае получится несколько иная частотная характеристика. Для иллюстрации сказанного в табл. 2.1 приведены разнообразные амплитудные характеристики простой механической системы, изображенной на рис. 2.1, соответствующие 21 разному сочетанию входных и выходных параметров.

ПРИМЕР 2.4. РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА УСКОРЕНИЕ ОСНОВАНИЯ. Простая механическая система, подобная показанной на рис. 2.4, подвергается смещению основания, измеряемому в единицах абсолютного ускорения. Полагая, что коэффициент затухания системы равен Г = 0,7, определим смещение массы относительно основания на частотах, меньших частоты собственных незатухающих колебаний.

Соответствующую амплитудную характеристику возьмем из табл. 2.1:

1

1Я(/)| ——=，=Г—^^-.

Значения нормированной естественным образом амплитудной характеристики при///^ & 1 таковы:

/勺00,20,40,60,80,91,0

乙一 -1,00 1,00 0,99 0,95 0,87 0,79 0,72

0,0253

Заметим, что значения амплитудной характеристики примерно постоянны на частотах, существенно более низких, чем частота собственных незатухающих колебаний системы. По этой причине такая система лежит в основе одного из типов датчиков ускорения, называемых сейсмическими акселерометрами, последние будут рассмотрены в гл. 10. .

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим простую электрическую цепь, которая представляется в виде системы с сосредоточенными параметрами, состоящей из индуктивности, сопротивления и конденсатора. Предположим далее, что входом системы служит разность потенциалов, как показано на рис. 2.6. На этом рисунке С — емкость в фарадах, R — сопротивление в омах, L — индуктивность в генри, е(£)——приложенный потенциал в вольтах, /(/)——результирующий ток в амперах. Заметим, что i Q ) = dq (f )/df, где Q (/)——заряд в кулонах.

Предположим, что в качестве входного сигнала нас интересует прило-

а『！\А?><—а『！\А?><—

а『！\А?><—

а『！\А?><—

Рис. 2.6. Электрическая цепь, на вход которой подается напряжение.

жен ное напряжение, а в качестве выходного — результируюшй заряд. Как и при анализе механической системы (разд. 2.4.1), для определения соответствующей частотной характеристики сначала нужно вывести дифференциальное уравнение, описывающее систему. Согласно основным положениям теории электрических цепей, сумма всех разностей потенциалов на элементах цепи должна равняться нулю. Следовательно,

e(f) + ec(f) + eR(r) + ejf) = 0,(2.39)

где

1

气⑺= -pq“)—Разность потенциалов на конденсаторе,(2.39а)

ел(/) = —Rq(t)—разность потенциалов на сопротивлении,(2.39б)

е£(/) = — L@(f)—разность потенциалов на индуктивности.(2.39в)

Поэтому дифференциальное уравнение системы имеет вид

1

Lq(t) + Rq(t) + -q(t) = e(t).(2.40)

Отметим сходство между уравнением (2.40) и уравнением движения механической системы под воздействием силы (2.19). Используя тот же метод анализа, который был описан в разд. 2.4.1, непосредственно получаем, что частотная характеристика этой простой электрической системы имеет вид

"(/),l［不-(2"/))+)2呐,(2.41)

где индекс е—q означает, что данная Н(/) связывает напряжение на входе и заряд на выходе. Заметим, что Н (/ \_q измеряется в кулонах на вольт.

График H(f) е—? идентичен графику частотной характеристики механической системы ”&忆"，представленному на рис. 2.3, если только б качестве коэффициента затухания f и частоты ( собственных незатухающих

RR22HU^^R^fL-^1HU^^R^fL-^1(2.43)(2.43)

R

R

2

2

HU^^R^fL-^1

HU^^R^fL-^1

(2.43)

(2.43)

колебаний электрической цепи взять величины

(2.42а)

(2.426)

Совершенно ясно теперь, что между механической и электрической системами существует прямая аналогия (табл. 2.2).

Обычно для описания электрических систем применяется частотная характеристика, связывающая напряжение на входе и ток на выходе. Эта частотная характеристика имеет вил

где H(f)e_i измеряется в амперах на вольт. Функция, обратная к функции (2.43) (обозначим ее //(/)—)，называется полным сопротивлением (импедансом):

"(/)-=R 砂一•(2.44)

Заметим, что механическим аналогом величины (2.44), согласно табл. 2.2, служит //(/)&_『

HU)v-f= С +•(2.45)

Таблица 2.2. Аналогия между механическими н электрическими системами

Электрическая система с напряжением на входе

Механическая система с силой на входе.

Вход

Напряжение е (/)

Сила F «)

Выход

Заряд q (/)

Ток / (/) = dq/di

Смещение у (г)

Скорость V {1}= 力/或

Постоянные параметры

Индуктивность L

Сопротивление R

Емкость С

Масса w

Затухание с

Податливость 1/к

Таблица 2.3. Аналогия между различными физическими системами

Система

Вход

Выход

Постоянные параметры

Электрическая

Напряжение

Ток

Индуктивность

Сопротивление

Емкость

Механическая (смещение)

Сила

Скорость

Масса

Затухание

Податли

вость

Механическая

Вращающий

Угловая

Момент

Угловое

Угловая

(вращение)

момент

скорость

инерции

затухание

податливость

Акустическая

Давление

Скорость частиц

Акустическая Акустическое Акустическая массазатухание емкость

Тепловая

Температура

Тепловой поток

—

Тепловое сопротивление

Теплоемкость

Магнитная

Магнитодвижущая сила

Магнитный поток

—

Магнитное сопротивление

—

Функция (2.45) часто называется механическим импедансом по аналогии с обычным электрическим импедансом.

ДРУГИЕ СИСТЕМЫ

Аналитические методы, описанные в разд. 2.4.1, позволяют (по крайней мере в принципе) найти частотную характеристику любой четко заданной линейной системы с постоянными параметрами, если она физически осуществима и устойчива. Более того, частотные характеристики разных физических систем часто имеют сходный вид, как мы только что видели в разд. 2.4.2 на примере механической и электрической систем (см. табл. 2.2). В табл. 2.3 дается сводка аналогичных характеристик некоторых распространенных физических систем.

Практические соображения

В разд. 2.4 был продемонстрирован аналитический подход к определению частотных характеристик физических систем. Для простоты выкладок и с целью выявления основных идей в качестве примеров были взяты простые механические и электрические системы. Поэтому на основании этих примеров не следует делать вывода, что определение частотных характеристик физических систем ан ал итическими методами всегда легко выполнимо.

Рассмотрим, например, механическую систему в виде непрерывной

упругой конструкции, в которой различные параметры (масса, затухание и жесткость) распределены, а не сосредоточены, как предполагалось в примерах разд. 2.4.1. У такой механической системы может быть несколько представляющих интерес входных и выходных точек. Кроме того, в отличие от единственной резонансной частоты, свойственной системам из разд. 2.4.1, частотная характеристика для каждого сочетания входов и выходов может иметь несколько максимумов, соответствующих нескольким резонансным частотам. Для относительно простых непрерывных конструкций, таких как балки, плиты и оболочки, частотные характеристики еще можно найти с разумной точностью с помощью аналитических методов [2Л, 2.2]. Для оценки частотных характеристик и других свойств более сложных структур, например жидкостей и других физических систем, можно использовать машинные методы моделирования, такие как метод конечных элементов [2.3]. Если изучаемая физическая система представляет собой готовую конструкцию, с которой можно экспериментировать, то частотную характеристику можно оценить эмпирически. Простейший эмпирический подход заключается в воздействии на систему гармоническим входным сигналом и измерении амплитуды и частоты выходного сигнала для различных частот. Согласно разд. 2.3, отношение амплитуд выходного и входного сигналов на данной частоте равно амплитудной характеристике на этой частоте, а сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к фазе входного сигнала дает значение фазовой характеристики на этой же частоте. Однако такие же результаты можно получить с существенно меньшими затратами времени, если на вход системы подавать случайные или переходные процессы естественного или искусственного происхождения и измерять реакцию системы. Оценивание частотных характеристик по случайным и переходным входным и выходным процессам подробно рассматривается в гл. 6 и 7.

Задачи

Запишите в виде одного уравнения условия, определяющие линейность физических систем.

Какие из перечисленных ниже требований должны выполняться для того, чтобы динамические свойства системы можно было задать весовой функцией 力(т), зависящей только от параметра т? Система должна:

иметь постоянные параметры;

быть линейной;

быть физически осуществимой;

быть устойчивой.

Покажите, что если входной сигнал* (F) вызывает выходной сигналу (/)= =х (/ )1x(/ )1, то вход и выход связаны нелинейно.

Определите весовую функцию механической системы, изображенной на рис. 2.2, «входом» которой служит сила.

Определите частотную характеристику физической системы с весовой функцией 力(т) = А ехр(—а т), где « > 0.

Механическая система, изображенная на рис. 2.2, имеет коэффициент жест-

кости & = 180 Н/м, затухание с = 3,7 Н-с/м и массу т = 1,8 кг. Найдите:

частоту собственных незатухающих колебаний (；

коэффициент затухания f;

резонансную частоту fr;

максимальное значение амплитудной характеристики \H(f)\.

Тело механической системы, изображенной на рис. 2.1, выведено из положения равновесия, а затем освобождено. Покажите, что в результирующих колебаниях последовательные прохождения через положение равновесия происходят с периодом r = (1/2)%\/1 二『］т при『W 1,0.

Покажите, что резонансная частота механической системы, изображенной на рис. 2.2, равна/,=厶山-2『(『W 0,5), в согласии с уравнением (2.25).

Ширина полосы пропускания по уровню половинной энергии резонансной системы определяется как % =力一力，где 1/7伉)卩=I H(f2)\2 = = (1/2) I "/У. Покажите, что в случае механической системы, изображенной на рис. 2.2, Вг * 2爲 при малых f, как утверждается в формуле (2.27).

Начертите электрическую схему, аналогичную механической системе с подвижным основанием, изображенной на рис. 2.4. Определите параметры аналогичной электрической цепи, соответствующие механическим параметрам &, с и т.

Глава 3

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Эта глава содержит обзор основных принципов теории вероятностей, которые в последующих главах используются для введения понятий теории случайных процессов. Материал главы охватывает случайные величины, функции распределения, математические ожидания, замену переменных, производящие функции моментов и характеристические функции одномерных и многомерных случайных величин. Более детальное изложение теории вероятностей с инженерной точки зрения можно найти в книгах [3.1—3.3].

Одномерные случайные величины

В основе теории вероятностей лежит понятие множества, понимаемого как совокупность объектов (именуемых также точками или элементами), причем относительно каждого конкретного объекта можно сказать, принадлежит он этой совокупности или нет. В частности, возможные исходы некоторого эксперимента (или измерения) представляют собой множество точек, которое называется выборочным пространством. Эти точки можно сочетать самыми разными способами; такие сочетания называются событиями. При соответствующих условиях каждому событию можно приписать некоторую вероятность. Вероятность всегда заключена между нулем и единицей, причем вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверного события равна единице. Выборочное пространство может быть конечным или бесконечным.

Рассмотрим точечное выборочное пространство, которое описывает все возможные исходы некоторого эксперимента (или измерения). Случайная величинах(к)——это функция множеств, определенная в точках к выборочного пространства; следовательно, случайная величина — это действительное число, заключенное между — 8 и + 8, которое сопоставляется каждой возможной выборочной точке. Иными словами, случайный исход некоторого эксперимента, отмеченный индексом 左，представляется действительным числом, которое называется случайной величиной. Все события, которые могут произойти в эксперименте, образуют вполне аддитивный класс множеств», и любому из них можно приписать вероятностную меру.

ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть* (左)——некоторая случайная величина. Тогда для любого фиксированного значения х случайное событие х (Аг)《х определяется как множество всех возможных исходов к таких, что х(左)W х. В терминах исходной вероятностной меры, заданной на выборочном пространстве, функция

° Более часто употребляется термин «о-алгебра множеств (событий)». — Прим.

ред.

распределения Р (X) определяется как вероятность, приписанная множеству точек к, удовлетворяющих неравенству х (Ar) W х. Заметим, что множество точек к, удовлетворяющих неравенству х (Лг)《х, является подмножеством совокупности точек, которые удовлетворяют неравенству х (к ) W 8. Формально

Р(х) = Prob[x(A) < х] .(3.1)

Очевидно, что

Р(а) < Р(Ь) при а < b ,(3.2)

Р(-оо) = О, Р(8)= 1 .(3.3)

Если область значений случайной величины непрерывна, что и предполагается в дальнейшем1^, то плотность вероятности (одномерная) р( х) определяется дифференциальным соотношением

Prob[x < х(к) < х + Ах]х) = lim

Следовательно,

Р(х)20,(3.5)

/р(х) dx = 1 ,(3.6)

ОО

кdP(x)、

Р(х) = /р(幻我， —一 = р(х).(3.7)

Для того, чтобы можно было рассматривать дискретные случаи, подобные примеру 3,1, следует допустить наличие в составе плотности вероятности дельта-функций.

ПРИМЕР 3.7. ДИСКРЕТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Допустим, что эксперимент заключается в однократном бросании монеты, причем предполагается, что оба возможных исхода ——герб и решетка — случаются с одинаковой вероятностью (1/2). В этом примере случайная величина х (Аг) принимает только два дискретных значения, х (герб) и х (решетка), в качестве которых можно взять произвольные действительные числа, скажем х (герб) = а и х (решетка) = b, где а иЬ ——действительные числа, причем b > а. При та-

D Как видно из примера 3.1, это предположение соблюдается не всегда.—— Прим, перев.

ком построении случайной величины х 曾)ее функция распределения имеет вид

/ 0 х < а；Р(х) ^ \ 2 а < х <Ь;

\ 1 х > b 9

а плотность вероятности задается формулой

Р(х) = —(х — 〃)+ 評(х — 6)»

где 3(х — а) н 3* — Ь) — дельта-функции (рис. 3.1).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Пусть случайная величина х (к) принимает значения из области от — оо до +оо. Среднее значение (иначе, математическое ожидание или ожидаемое значение) х (к) вычисляется с помощью соответствующего предельного перехода в сумме произведений значений х * ) на вероятности наступления этих событий:

Е[х(А)]=/ хр(х) dx = цх,(3.8)

Р")1/21/2

Р（х）

J，0

QЬX

б

Рис. 3.1. Дискретные плотность вероятности и функция распределения: а ——

плотность вероятности; 6 — функция распределения.

где Е [ ] — математическое ожидание выражения в квадратных скобках по индексу 左.Аналогично определяется математическое ожидание действительной однозначной непрерывной функции g (к) от случайной величины х(«)

E[g(x(左))]=/ g(x)p(x)dx,(3.9)

гдер (к)——плотность вероятности случайной величиных(к). В частности, взяв g (х) = * 2, получим средний квадрат х (к):

Е[х2(к)] = У Мр(х)或=屮；・(3.10)

Дисперсия х (к) определяется как средний квадрат разностих (Аг) и ее среднего значения, т. е. в этом случаеg(v) = (х — &)2ц

е[(х(幻-"J]=广(X - j)2P(х) dx =无—忌=О?. (3.11)

По определению, стандартное отклонение случайной величины х (左)，обозначаемое %, есть положительное значение квадратного корня из дисперсии. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и среднее значение.

ПРИМЕР 3.2. РАВНОМЕРНОЕ (ПРЯМОУГОЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, Допустим, что эксперимент состоит в случайном выборе точки из интервала [а, Ь], включая его конечные точки. В этом примере в качестве значения случайной величины х(左)можно взять числовое значение выбранной точки. Соответствующая функция распределения имеет вид

Р(х)=Р(х)=х V а ;а < х < Ь^х >瓦х V а ;а < х < Ь^х >瓦

Р(х)=

Р(х)=

х V а ;

а < х < Ь^

х >瓦

х V а ;

а < х < Ь^

х >瓦

Поэтому плотность вероятности задается формулой

р(х)=[(Ь-аГ\ а<х<Ь-

[0 ,в остальных случаях.

В данном примере вычисление среднего значения и дисперсии по формулам (3.9) и (3.11) дает

а + b(Ь - а)?

Графики функций 尸(х) ир (к) приводятся на рис. 3.2.

PW

(b-a)

bb彳彳Рис. 3.2. Равномерные плотность вероятности и функция распределения: а —— плотность вероятности; 6 — функция распределения.Рис. 3.2. Равномерные плотность вероятности и функция распределения: а —— плотность вероятности; 6 — функция распределения.

b

b

彳

彳

Рис. 3.2. Равномерные плотность вероятности и функция распределения: а —— плотность вероятности; 6 — функция распределения.

Рис. 3.2. Равномерные плотность вероятности и функция распределения: а —— плотность вероятности; 6 — функция распределения.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть х(£) — случайная величина с плотностью вероятности р(х), и пусть g(x)——однозначная действительная непрерывная функция от х. Рассмотрим сначала случай, когда обратная функция x(g) тоже является действительной однозначной непрерывной функцией от g. Плотность вероятности p(g), соответствующую случайной величине g(x(Ar)) = g(M), можно определить по плотности вероятности р(х) случайной величины х(左)м производной dg/dx в предположении, что производная существует и отлична от нуля, а именно:

Prob[g < g(x(A)) К g + Ag] Prob[x < x(A) < x + Ax]

△gAg

Prob[x < x(k) V x + Ax] Ax

AxAg

(3.12)

Поэтому в пределе при dg/dx 力 О

dx P(x)

P(g)=P(x%=丽而.(3.13)

Используя эту формулу, следует в ее правой части вместо переменной х подставить соответствующее значение g.

Рассмотрим теперь случай, когда обратная функция х/) является действительной л-значной функцией OTg, где п ——целое и все п значений

равновероятны. Тогда

(3.14)(3.14),、”Р(х)P(g)=

(3.14)

(3.14)

|dg/dx|

ПРИМЕР 3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. Гармоническая функция с фиксированными амплитудой X и частотой 益 будет случайной величиной, если ее начальный фазовый угол 0 = 6(左)——случайная величина. В частности, пусть / фиксировано и равно %, и пусть гармоническая случайная величина имеет вид

х(к) = х(6) = X sin[l^fQt0 + 6(k)]・

Предположим, что 6(左)имеет равномерную плотность вероятности р (0) вида

р(0)=卜2тг)-； 04" 2тг;

[°, в остальных случаях.

Найдем плотность вероятности р (х) случайной величины х(к).

2 〃 (6 )dxp(Х)=砌 11PH 浜*°，2 〃 (6 )dxp(Х)=砌 11PH 浜*°，В этом примере прямая функция х (6) однозначна, а обратная функция 0(х) двузначна. Из формулы (3.14), подставив вместо х величину 6, а вместо g величину х, получим

2 〃 (6 )dx

p(Х)=砌 11PH 浜*°，

2 〃 (6 )dx

p(Х)=砌 11PH 浜*°，

где

dx

—=Xcos(2姉％ + 6) = Xjl - sin?。唄"+ 6) = vX2 - x2.

Поэтому

p(x)=p(x)=(W^2 - X2)-1, |x|<X；

p(x)=

p(x)=

0,\x\ > X.

Соответствующая функция распределения имеет вид

{

0,х < -X;

〃1 / 行X \

Р(打我=一 *+arscin三，-Х<х<Х-

х> X.

Графики функций Р (к) мр(х) показаны на рис. 3.3.

3-953

Рис. 3.3. Плотность вероятности и функция распределения гармонической случайной величины: а — плотность вероятности; 6 ——функция распределения.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТОВ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Производящая функция моментов т^) случайной величины х*) определяется формулой (3.9), если положить gR) = exp(sx):

帆(s) = E[esx] = / esxp(x) dx.(3.15)

Тогда

m(0) = / P(x) dx = 1 ・

00

Считая, что все производные существуют, имеем

"(s) = Mf - = /xesxp(x) dx ,

d2m(s)『-朋〃($) = —— = jx2esxp(x) dx

и т. д. Поэтому при 5 = 0

Е[х] = /叩(х) dx =帆'(0)〉

(3.16)

Е[х2] = jx2p(x) dx = ж,л(0)

и т, д. Для любого целого п моменты равны

Е[хп] = Г хпр(х)或=加”)(0),(3.17)

ОО

где /я(")обозначают 〃-ю производную функции /и($)・

Характеристическая функция С(/) случайной величины х (左)определяется формулой (3.9), если положить g(y) = ехр(/ Ъг/х):

С(/) = Е[/2”х]=广 p(x)〃2""dx.(3.18)

Следовательно, С (f) по виду совпадает с обратным преобразованием Фурье р(х), ар(х) есть преобразование Фурье С(f). В предположении, что соответствующие интегралы существуют, имеем

р(х)=广 С(/)ег2”х/.(3.19)

ОО

Если р (х) = 3(х) — дельта-функция, то

с(/)=广 6(x)e&/、dx = 1,

В(х) =广 e-"d『.(3.20)

Заметим, что С (f) совпадает с /и (s), если 5 = j 2тг/:

С(/) = m(j2wf).(3.21)

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Пусть х (左)——произвольная случайная величина с средним значением 也, средним квадратом 武 и дисперсией 才.Предположим, что она имеет плотность р (к), которая может быть и неизвестной1^. Тогда

d2m(s) г 、

帆〃(s) = —=— = lx2esxp(x) dx,as J

】)Это предположение вводится лишь для упрощения записи н не является необходимым.—Прим. ред.

з*

поскольку подынтегральное выражение неотрицательно и х2》£2 во всех точках области интегрирования в правой части. Отсюда следует, что

Prob[|x(fc)| > е] = / Р(х) dx < 后•(3.22а)

Заменим теперь х (左)нах (左)—& • Тогда 必 обратится в 屋 н неравенство (3.22) примет вид

о2

Prob[|x(A)-卩J 之 е| К / ・(3.226)

В частности, при £ = с% имеем

Prob[|x(k)-卩」> с%] К ]，(3.22в)

что эквивалентно

Prob[|x(fc)—卩」4 cq] 2 1 - 戸•(3.22г)

Любое из неравенств (3.22) называется неравенством Чебышева.

ПРИМЕР 3.4. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТЕЙ УКЛОНЕНИЙ. Рассмотрим случайную величину х(Аг) с неизвестной плотностью вероятности. С помощью неравенства Чебышева (3.226) при с = 2 и с = 3 можно сделать следующие вероятностные утверждения:

Prob[|x(k) - 四」> 2oJ < 0,250 ,

Prob—)- “」> 3oJ < 0,111 .

Эти относительно слабые утверждения полезно сравнить с результатами, справедливыми в том случае, когда л* (Аг) имеет гауссово распределение. Из табл. А.2 в гауссовом случае получим более сильное утверждение

Prob[|x(后)-卩J > 2oJ < 0,050.

Prob[|x(女)一八| > 3。」< 0,003.

Следовательно, можно утверждать, что отклонения гауссовой случайной величины от среднего значения в 95% случаев не превышают ± 2а, в то же время относительно случайной величины с произвольным распределением можно утверждать, что доля таких значений составляет лишь 75%.

Двумерные случайные величины

Рассмотрим теперь две случайные величины х(左)н у(«), где к обозначает точки в подходящем выборочном пространстве. Пусть 尸(х) и

Р(у) — две различные функции распределения, задающие соответственно х(к) и у(к). По определению, совместная функция распределения 尸(用 у)— это вероятность, приписанная подмножеству точек к выборочного пространства, одновременно удовлетворяющих неравенствам х(左)W х и у(к) W ，• Совокупность всех точек к удовлетворяет неравенствам х(左)W 8, у(左)w 8. В формальной записи имеем

Р(х, У) = Prob[x(A) < х and у{к} < у].(3.23)

Очевидно, что

Р(—8, у) = 0 = Р(х, — 8), 尸(8,8)= 1.(3.24)

Как и ранее, в предположении непрерывности случайных величин совместная плотность вероятности р(х у) определяется как

р(х, у) = limДх->0 Аут Ор(х, у) = limДх->0 Аут ОProb[x < х(к) < х + △、and у < у(к) w у + Ау]

р(х, у) = lim

Дх->0 Аут О

р(х, у) = lim

Дх->0 Аут О

(3.25)(3.25)(3-26)(3-26)(3.27)(3.27)Aх △У

(3.25)

(3.25)

(3-26)

(3-26)

(3.27)

(3.27)

Следовательно,

р(х,у) 2 О,

00

//р(х, у) dxdy = 1 ,

—ОО

Р(Х丿)= /' /X丿一8 ' — IР(Х丿)= /' /X丿一8 ' — Ip（2可）北四,p（2可）北四,а дР(х, у)а дР(х, у)SySyдхдх=р(х,у).=р(х,у).

Р(Х丿)= /' /X

丿一8 ' — I

Р(Х丿)= /' /X

丿一8 ' — I

p（2可）北四,

p（2可）北四,

а дР(х, у)

а дР(х, у)

Sy

Sy

дх

дх

=р(х,у).

=р(х,у).

(3.28)

Плотности вероятности случайных величин х (左)и у (к) выражаются через совместную плотность по формулам

р(х)=/ р(х, у)4,

J —8

(3.29)

Р(.=/ р(х, y)dx.

Если теперь

р(х, у) = р(х)р(у),(3.30)

то две случайные величины х (左)пу{к) называются статисты чески независимыми. Для статистически независимых случайных величин

р( X V、= Р( QP/ V、р( X V、= Р( QP/ V、С 311С 311

р( X V、= Р( QP/ V、

р( X V、= Р( QP/ V、

С 311

С 311

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Математическое ожидание произвольной однозначной непрерывной функции g (х; у ) от двух случайных величин х (% ) н у (% ) определяется формулой

E[g(x, ♦)] = JJ g(x, у)р(х, у) dxdy.(3.32)

Например, если g (г, у) = 3(%) - 厶)伊你)一 丐)，где 厶 и 丐一средние значениях你)ну (%) соответственно, то получаем определение ковариации Сху случайных величин х *) н у 出)，т. е.

СХу = E[(x(k) - Мх)(у(к) - ％)] = E[x(k)y(k)] - E[x(k)] E[y(k)]=

=ff(x~ %)(> - M^J^C^- У)dxdy .(3.33)

Заметим, что Cxx =吊 ——дисперсия случайной величины х (% ), определенная в (3.11).

Ковариация случайных величин х 你)н у 你)связана с их стандартными отклонениями простым неравенством

IGJ4。円.(3.34)

Следовательно, абсолютная величина ковариации случайных величин х (%) н у (% ) не превышает произведения их стандартных отклонений. Этот факт будет доказан в разд. 5.1.3.

Из приведенного выше неравенства следует, что нормированная величина

Рху = — ,(3.35)

называемая коэффициентом корреляции9 заключена между — 1 и + 1. Случайные величины х % ) н у 你)，коэффициент корреляции которых равен нулю, называются некоррелированными. Это понятие следует отличать от приведенного выше понятия независимости случайных величин. Заметим, что если*你)к у (衣)——независимые случайные величины, то из формул (3.30) и (3.32) имеем

E[x(k)y(&)] = JJхур(х, у) dxdy=

=/ хр(х) dx f ур(у) dy = £[л(Л)]Е[^(Л)].

(3.36)

Следовательно, Сху, а значит, н рху равны нулю; таким образом, независим мые случайные величины не коррелированы^. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. некоррелированные случайные величины не обязательно независимы. Однако в практически важных случаях, где часто встречаются две и более нормально распределенные (гауссовы) случайные величины, взаимная некоррелированность означает и независимость. Доказательство будет дано в разд. 3.3.4.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть*(%) ну(左) —— случайные величины, имеющие совместную плотность вероятности р р, у ). Найдем плотность вероятности суммы случайных величин

z(k) = x(k)+y(k).

При фиксированном х имеем у = z — х. Поэтому

р(х, у) =р(х, Z - х).

При фиксированномz значениях пробегают интервал от —8 до + 8. Поэтому8

P(z)=/ р(л, z - х) dxj(3.37)

откуда видно, что для вычисления искомой плотности суммы нужно знать исходную совместную плотность вероятности. Еслнх(%) ну (%)——независимые случайные величины, имеющие плотностирi (v) ир2(У) соответственно, тор(х, у) = р1рс)р2(у) = p}(x)p2(z - X)и

p(z) = j Pi(x)p2(z - л) dx.(3.38)

J - 00

Пример 3.5. Сумма двух независимых, равномерно распределенных случайных величин. Пусть две независимые случайные величины имеют плотности вида

Р1(х) = — ,0 < л < а；

厶⑺=7 °"m。■

D Точнее, если случайные величины с конечными дисперсиями независимы, то они некоррелирован ы.— Прим. ред.

В остальных случаяхр^) = 〃2&)= °，Найдем плотность вероятности р (г) их суммы z = х + у.

Плотность вероятности р2(У )=夕2& —х) для 0&z — х 《а,т. е. для Z — а & х《Z. Следовательно, х не превышает z. Кроме того, Р j(r) не равно нулю для 0《х ^ а. По формуле (3.38) находим, что

p(z)=p(z)=О < z < а ;-,а < z < 2а у в остальных случаях.О < z < а ;-,а < z < 2а у в остальных случаях.

p(z)=

p(z)=

О < z < а ;

-,а < z < 2а у в остальных случаях.

О < z < а ;

-,а < z < 2а у в остальных случаях.

Графики функций р\^с), Р^) и р (z) показаны на рис. 3.4. Заметим, что сумма двух независимых, равномерно распределенных случайных величин имеет треугольную плотность вероятности. Нетрудно убедиться, что плотность суммы четырех независимых, равномерно распределенных случайных величин близка к нормальной плотности, как н должно быть согласно центральной предельной теореме, которая будет сформулирована в следующем разделе.

Рис. 3,4. Плотность вероятности суммы двух независимых, равномерно распределенных случайных величин.Рис. 3,4. Плотность вероятности суммы двух независимых, равномерно распределенных случайных величин.

Рис. 3,4. Плотность вероятности суммы двух независимых, равномерно распределенных случайных величин.

Рис. 3,4. Плотность вероятности суммы двух независимых, равномерно распределенных случайных величин.

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТОВ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Совместная производящая функция моментов m(s, /) случайных величин x(Z) к у(к) определяется формулой (3.32) при g(x; у) = exp(sx +。)：

m(s, г)=矶产+办]=，esx+typ(x9 у) dxdy .(3.39)

—ос

Очевидно, что8

n?(0,0) = JJР(х, У)dxdy = 1 .

Считая, что все частные производные существуют, имеем dm(s, ,

—^— = //хе$х+"р(х, у) dxdy ,

dm(s, г г

―— = /Jyes、+ "p(x, у) dxdy,

d2m(s, r.

—方—=//x е'、+"р(х, у) dxdy,

—万—=//> е'х+‘>р(х, у) dx办, d2m(s, t) у у

一束厂=/ jxyesx+typ{x.y} dxdy OS ot J J

н т. д. Поэтому при 5 = 0 и / = 0 имеем

“dm(s^ /)

Е[х] = / /хр(х, у) dxdy =—,

(3.40)

E[y] = /Jyp(x, y) dxdy =E[y] = /Jyp(x, y) dxdy =痴(s, t)痴(s, t)dtdtE[x2] = /Jx2p(xf у) dxdyE[x2] = /Jx2p(xf у) dxdyd2m(s, f)d2m(s, f)E\y2} = Ify2P(x, y) dxdyE\y2} = Ify2P(x, y) dxdya2m(s, f)dt2a2m(s, f)dt2(3.41)(3.41)

E[y] = /Jyp(x, y) dxdy =

E[y] = /Jyp(x, y) dxdy =

痴(s, t)

痴(s, t)

dt

dt

E[x2] = /Jx2p(xf у) dxdy

E[x2] = /Jx2p(xf у) dxdy

d2m(s, f)

d2m(s, f)

E\y2} = Ify2P(x, y) dxdy

E\y2} = Ify2P(x, y) dxdy

a2m(s, f)

dt2

a2m(s, f)

dt2

(3.41)

(3.41)

(3-42)(3-42)/ /*加(5, /)

(3-42)

(3-42)

Е[ху] = J jxyp(x,y) dxdy =瓦厂

и т. д. И вообще при $1=0 смешанные моменты

；dr+nm(s,t)

E[xryn] = xrynp(x, y) dxdy = ——— (3.43)

〃OS UI

—oo

Совместная характеристическая функция С(/ g) случайных величин х(%) н у(衣)определяется по формуле (3.32) при g(x; у) = ехр[у 2тг(Д + + gy)]：

С(/, g) = E{e3(/'+g>)] = /р(х, y)e，2”("+g>)dxdy. (3.44)

—ОО

Поэтому С(/ g) является двойным обратным преобразованием Фурье плотности, а р(х, у) есть двойное преобразование Фурье функции C(f, g)・ Если соответствующие интегралы существуют, то

Р(х，У)=力 C(/,g)e-"+g»“dg,(3.45)

Заметим, что С(Х d) совпадает с m(s, /) при $ = у2тг/ н 1 = J2?rg:

с(/, g)=帆(J2w/, J2”g).(3.46)

Гауссово (нормальное) распределение

Будем говорить, что случайная величина х(%) подчинена гауссову (или нормальному) распределению, если ее плотность имеет вид

р(х) = (Ьу/Ът) ехр^ — ,(3.47)

где а ——произвольная постоянная, а b ——произвольная положительная постоянная. Можно убедиться, что а л b представляют собой соответственно среднее значение н стандартное отклонение случайной величины х(%). Действительно,

Е[х(к)]=/ хр(х) dx = а = % ,

Е[(х(к) - а)[ = / (л - а^р(х) dx =^ Ь2 = о^ .

Таблица 5.7. Плотности вероятности, часто используемые в исследовательской работе

Тип

Функция распределения

Дискретная

“ р(х) = Ад(х — а) ^ Вд(х — Л) -}- • • • 4- NS(x — л)^

а Ьлгде >4+A +，*・+N=l

Равномерная (прямоугольная)

“/в остальных k

p(ar) =— 〃尸，a 4 с 4 6;Л

a 6，случаях р = 0

Гармоническая

р(*) =("М*в - *2 ) т, |*| < X; в остальных

*/случаях р = 0

-X X

Гауссова (нормальная)

р(5г) = (cr*V27r ) е~^~^г^^

Рэлея

夕⑺=g 仁丹2* 盟 > о；в остальных

「с*случаях р = 0

0

Максвелла

М%) =胃е上丹2c2 ① >и；в остальных

.八тг，厶，случаях р = 0

0

Усеченная

. Пусть исходная Pj (х) определена иа (—8, оо)

Р[ * Усеченнаяв остальных

?(/)=0其/)." V C 4 6； случаях p = 0

a ЪJ： 8P ⑺ dx = 4% ⑺右=1

Срезка

Пусть исходная /(х) определена на (—8, 8). Срезка

4 В Р⑺=P】Q),a < с < 6;

h 月0胃=A <5(c —a),x = a；

『vj'=В<5(x -Л),i = 6;

J=0,盟< a илиа >6.

j gPQ)"' = J P<")dx ^- A^ В — 1

Таким образом, нормальную плотность вероятности можно переписать в

видевидер(х) = (°、V^) *ехрр(х) = (°、V^) *ехр(х -限 产2。/(х -限 产2。/(3.48а)(3.48а)

виде

виде

р(х) = (°、V^) *ехр

р(х) = (°、V^) *ехр

(х -限 产

2。/

(х -限 产

2。/

(3.48а)

(3.48а)

По определению, нормальная функция распределения есть

Р(х) = (°У^) 1 ( ехрР(х) = (°У^) 1 ( ехр(—.J2。：(—.J2。：我•我•(3.486)(3.486)

Р(х) = (°У^) 1 ( ехр

Р(х) = (°У^) 1 ( ехр

(—.J

2。：

(—.J

2。：

我•

我•

(3.486)

(3.486)

Без потери общности предположим теперь, что все средние значения равны нулю. Для одной случайной величины х(%) нормальная плотность

примет видпримет видp(x) = (o*v^) %хрp(x) = (o*v^) %хр(3.49а)(3.49а)

примет вид

примет вид

p(x) = (o*v^) %хр

p(x) = (o*v^) %хр

(3.49а)

(3.49а)

а соответствующая нормальная функция распределения равна

尸(х)=(仆^^) 了 ехр| —d£ .(3.496)

Более подробное изложение свойств нормального распределения н исторические сведения можно найти в книге [3.4]. Применения нормального распределения в задачах анализа статистических данных кратко рассмотрены в гл. 4. Графики стандартных нормальных плотности вероятности и функции распределения приведены на рис. 4.1. Сводка других часто встречающихся в исследовательской работе плотностей вероятности содержится в табл. 3.1.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Важность нормального распределения в практических задачах частично объясняется центральной предельной теоремой [3.2, 3.5], которая утверждает, что это распределение вполне естественно появляется в результате суммарного действия большого числа независимых случайных величин. Точнее, пусть Х]("),勺(攵),...» xN(k) есть N взаимно независимых случайных величин с произвольными и, возможно, различными функциями распределения. Пусть 〃, и 寸——среднее значение и дисперсия случайной величины х&к) (i = 1, 2, ..., N). Рассмотрим сумму случайных величин

N

х(&) = X 〃/,(&),(3.50)

где ai — произвольные фиксированные постоянные. Тогда среднее значение дх и дисперсия случайной величины 年 имеют вид

"х = E[x(k)] = Е"х = E[x(k)] = ЕL 呐(上) 1=1L 呐(上) 1=1=X。,矶 x,(k)] = Xq“, /=11=1

"х = E[x(k)] = Е

"х = E[x(k)] = Е

L 呐(上) 1=1

L 呐(上) 1=1

4 = e[(x(Q - Mx)2] = E4 = e[(x(Q - Mx)2] = EL %(x,(k) - M,)L %(x,(k) - M,)22^=L両.^=L両.(3-51)

4 = e[(x(Q - Mx)2] = E

4 = e[(x(Q - Mx)2] = E

L %(x,(k) - M,)

L %(x,(k) - M,)

2

2

^

=L両.

^

=L両.

Последнее равенство справедливо в силу взаимной независимости х&к) н х,к) при i 工 /. Центральная предельная теорема утверждает, что при довольно общих условиях распределение суммарной случайной величины х(%) при N — 8 стремится к нормальному распределению с приведенными выше средним а、н дисперсией《.

СОВМЕСТНОЕ ГАУССОВО (НОРМАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Совместная гауссова (нормальная) плотность вероятности случайных величии х(%) и у(к) с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями о； = , = о? определяется формулой

гдегде11р(х, у) = , exp2 疗02Vl — p2р(х, у) = , exp2 疗02Vl — p2*2 — 2рху + у2]*2 — 2рху + у2]2М(1 — Р?)2М(1 — Р?)(3.52)(3.52)Р =Р =E[xy] _ E[外】E[xy] _ E[外】01020 201020 2(3.53)(3.53)

где

где

1

1

р(х, у) = , exp

2 疗02Vl — p2

р(х, у) = , exp

2 疗02Vl — p2

*2 — 2рху + у2]

*2 — 2рху + у2]

2М(1 — Р?)

2М(1 — Р?)

(3.52)

(3.52)

Р =

Р =

E[xy] _ E[外】

E[xy] _ E[外】

01020 2

01020 2

(3.53)

(3.53)

Полезно убедиться с помощью формул (3.29) и (3.52), что плотность вероятности каждой случайной величины в отдельности имеет вид (3.49а). Действительно,

产 1 产 / _[%2 _ 2рХу + у2\ \ Р(х)=и(х，у)力=2“可 17丄尸[2М(1-р2) J 力.

Далее имеем

х2 - 2рху + /2 = (1 — р2)д；2 + (у _ рх)2,

так что экспоненту под интегралом можно записать в виде

/ —卜2 - 2рху +V] ]/*2]-(у_рх)2

eхp[ 一„]J = expf

Поэтому

р(х)=

exp(-x2/202) /8

_(j-px)2 J

2°2(1—р2)]5

Пусть теперь

У - рх ,dy

и = —=-■ - — ,аи = —. ■—.

—2(1 - р2)限(1 - р2)

Тогда

ехр(-х2/2『)8ехр(-х2/2°2)

Р(х) =/ ехр(-”/)成=胃，

атгух 丿-8力

что совпадает с формулой (3.49).

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ МОМЕНТОВ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Согласно формулам (3.15) и (3.49), производящая функция моментов гауссовой случайной величины с нулевым средним есть

m(s) = ехр(о2$2/2).(3.54)

Из формулы (3.17) находим

Е[х2"Т] = о, 〃 =1,2,3,….(3.55)

Е[х2"] = 1 • 3 ■ 5 - • • (2п - I)。？",

Итак, все моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного порядка имеют вид

Е[х2] = а2,Е[х4] = Зо\

(3.56)

Е[х6] = 15* 用炉]=]05°8

И т. д.

По формуле (3.21) характеристическая функция гауссовой случайной величины с нулевым средним значением есть

С(/) = ехр(-2тг2а2/2) .(3.57)

По формуле (3.39) совместная производящая функция двумерной гауссовой случайной величины с нулевым средним и плотностью вида (3.52) равна「2

О

m(s, /) = exp у (^2 + 2pst + /2) .(3.58)

Непосредственно по формуле (3.43) находим

Е[хтуп] = 0,если г + 〃 нечетно,

Е[х2] = Е[у2] = а2, Е[ху] = ро2,(3.59)

Е[х3у] = Е[ху3\ = Зра4,

Е〔Л：2у2] =。4(] + 2P2)

Н Т. Д.

Согласно формуле (3.46), характеристическая функция двумерной гауссовой случайной величины с нулевым средним н плотностью вида (3.52) имеет вид

c(/,g) = ехр{-2力2。2[/2 + 2р花 + g2]} .(3.60)

'-МЕРНОЕ ГАУССОВО (НОРМАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Рассмотрим N случайных величин 占(攵)，х^к), ••・，xN(k)9 возможно, коррелированных. Введем следующие обозначения для средних значений, дисперсий и ковариаций:

内=Е[х,(к)],

of = £[(л,(Л) -м,)2] ,(3.61)

С” = Е[(л,(Л) - М,)(х/(к)-四川，С” = о?.

Будем говорить, что их совместное распределение является N-мерным гауссовым (нормальным), если соответствующая N-мерная плотность вероятности имеет вид

Р(Х[, *2,Хдг)Р(Х[, *2,Хдг)(3.62)(3.62)ехр[(-1/2|С|)£3=1|С,/|(% -色)(Х/ -凡)](2”) z/21cpА

Р(Х[, *2,Хдг)

Р(Х[, *2,Хдг)

(3.62)

(3.62)

где C ——ковариационная матрица, элементы которой Q определены ниже, ICI — определитель С, а 1С»1 ——алгебраическое дополнение Q. В явном виде, если

(3.63)

то алгебраическое дополнение I С^1 произвольного элемента Q есть умноженный на (—1)1+，определитель матрицы порядка N — 1, которая получается из матрицы С путем вычеркивания в ней ьй строки и j-ro столбца.

Замечательная особенность N-мерного нормального распределения заключается в том, что все его свойства определяются исключительно средними значениями /х/ и ковариациями %. При N = 1 эта функция принимает вид

Р(Х1) =(0]阮尸 ехр —(Х\о)'，(3-64)

т. е. представляет собой нормальную плотность, заданную выше формулой (3.48).

При ^ = 2 получаем совместную двумерную нормальную плотность вероятности

(3.65)

где р12 = C12/(^j^2)— коэффициент корреляции случайных величин х】(上) и 々(左).Заметим, что при некоррелированных х】(左)и х?(左)，т. е. при Р12 = °，

P(Xi，X2)=P(xJp(X2),(3-66)

откуда следует, что х】(欠)и х2(^) одновременно независимы. Этот результат не имеет места для произвольных распределений.

Аналогичные формулы можно выписать для распределений высших размерностей (N = 3, 4, 5, ...)• Для произвольного N легко убедиться, что если все различные пары нормально распределенных случайных величин взаимно не коррелированы (т. е. о。= 0, если только / 力 у), то эти случайные величины взаимно независимы в статистическом смысле, т. е.

Р(Х1，Х2….，х“)=p(xJp(X2)••• P(Xn) . (3.67)

Важность N-мерного нормального распределения в практических задачах, как и одномерного нормального распределения, частично объясняется многомерной центральной предельной теоремой (см. работы [3.2, 3.5]). Эта

теорема утверждает, что при довольно общих условиях векторная сумма большого числа взаимно независимых Димерных случайных величин приближенно распределена согласно “мерному нормальному распределению.

Произвольная TV-мерная гауссова плотность, определенная формулой (3.62), удовлетворяет равенству

00

ff''"f Р(*1，*2,…，X/v)或1 dx2 • • • dxN = 1 •(3.68)

—00

Кроме того, математическое ожидание любой однозначной непрерывной действительной функции g(X], х2, ...» х〃)от N случайных величин имеет вид

Е [g(X], *2' • • • ‘ X/V)] = jj ' ' * /g(X], *2’♦ • •' XN)P(X1，*2’• • • ’ X/V)X

—8

х或]或2 ，一dxN .(3.69)

Если g(/, x2, …，砲)= expts/] + s2x2 + ... + s^/, то с учетом (3.62) получаем производящую функцию моментов N-го порядка:

沢($1，$2,…，sj = E[exp($Mi + s2x2 + • • • ~^sNxN)].(3.70)

Рассмотрим случай четырех гауссовых случайных величин хр х2, хз и 々 с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями а? = а2. Их ковариации % имеют вид С^ =勺抉，где

С12 = Е[х/2], С2з = Е[х2Хз],

С1з = Е[х/з],С24 = £[х2х4],(3.71)

С14 = Е[Х1Х」，С34 = £[х3х4].

Пусть р(Х], х2, х3, х4) задана формулой (3.62). Тогда производящая функция моментов четвертого порядка есть

加(％, $2, $3, $4)= E[exp(s/1 + $2无2 + S3X3 + ^4Х4)] =

о2

=exp —(s^ + Sj + S3 + S4 + 2Pl2sls2 + 2p]3sls3 +

+ 2p[4sls4 + 2P23s2s3 + 2P2462s4 + 2рз4s3s4).

Непосредственно можно убедиться, что момент четвертого порядка определяется смешанной частной производной четвертого порядка:

„г,54W(51, 52, 53(54)

(3.72)(3.72)Простые, хотя и утомительные вычисления частных производных при S]= =$2 = $з = $4 = ° дают

(3.72)

(3.72)

e[*1*2*3*4]=G2c34 + G3G4 + G4G3 •

Отсюда следует, что момент четвертого порядка равен сумме 3*1 = 3 различных произведений пар моментов второго порядка (ковариаций).

Аналогичные вычисления момента шестого порядка гауссовых случайных величин с нулевыми средними показывают, что момент шестого порядка есть сумма 5 • 3 Т = 15 произведений троек моментов второго порядка: '

矶修无2无3*4*5无6]=c12[С34c56 + G5c46 +С36С45]+

+ C13【C24c56 + C25c《б + С26c45】+

+ G/C23c56 + C25C36 +。26。35】+

+ C15[C23c46 + C24C36 +026С34]+

+ Сб[С23c45 + C24C35 + C25G4】•(3.73)

В общем случае, если п — четное целое число, то £[XjX2 ...砲】состоит из суммы (N — 1)・(N — 3) ... 3-1 различных произведений, включающих всевозможные Цу.

С другой стороны, все моменты нечетного порядка гауссовых случайных величин с нулевыми средними равны нулю, т. е.

Е[х/2 …Xn] = о, (3.74)

если N — нечетно. Все эти соотношения верны не только для собственно случайных величин 方,но и для любых их линейных преобразований, например преобразований Фурье.

Если средние значения не равны нулю, то аналогичные выражения имеют более сложный вид. Для примера рассмотрим четыре гауссовы случайные величины хр х2, х3, х4 с одинаковыми ненулевыми средними 从 # 0 м одинаковыми дисперсиями о?. Тогда вместо формул (3.71) ковариация % при i # / задается формулой

G尸 е[(х, - М)(Х/ — м)] - (3.75)

Если z = /, то,-

& = Е[(х, - м)2b °2 =屮2 -「.(3.76)

Формула (3.72) верна для четырех случайных величин (х〔一从),(х2 —四)， (*з —从),(х4 一 从).Поэтому из формул (3.72) и (3.74) имеем

e [x^Х2^^Х^ ] =c12c34 +С13c24 +С14c23 + 四4+

+『[012 +С13 +С14 +С23 +°24 十 С34].(3.77)

В частности,

Е[х；х^ =炉 + 2СЗ + 4M2cо .(3.78)

Ковариация

C12 = E[(X1 - M)(X2 - м)] = £[%1%2] -М2 =

=&2 - м2 ,(3.79)

где

&12 =咏/2】.(3.80)

Поэтому формулу (3.78) можно записать в виде

e[X^]=炉 + 2[&；2-川，(3.81)

а формула (3.77) принимает вид

£[х1х2х3х4]=衣 12衣34 + 衣13衣24 + &4衣23 - 2『•(3.82)

Аналогичным образом вычисляются и моменты шестого порядка при 从# 0.

Задачи

Случайная величина х имеет функцию распределения вида

/0, X < 0；

Р(х)= М 0<х<1；

\ 1, х > 1-

Найдите плотность вероятности р(х).

Вычислите среднее значение и дисперсию случайной величины х.

Случайная величина х имеет плотность вероятности вида

р(х)=р(х)=4 只 0 < х < 1;

р(х)=

р(х)=

°，в остальных случаях.

Найдите функцию распределения Р(х).

Вычислите среднее значение и дисперсию случайной величины х.

Случайная величина х распределена равномерно с плотностью

1, 0 < х < 1;

О, в остальных случаях.

Найдите плотность вероятности случайной величины у = 2х + 1.

Случайная величина х имеет нормальное распределение с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Найдите плотность вероятности случайной величины у = *2.

Компьютер генерирует случайные цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) с равными вероятностями. Пусть Т ——случайная величина, равная сумме N цифр. Найдите среднее значение и дисперсию Т.

Предприятие производит оси и подшипники, которые затем поступают на сборку, где подшипник устанавливается на ось： При изготовлении осей их внешний диаметр s имеет нормальное распределение с средним значением % = 25 мм и стандартным отклонением 0s = 0,007 мм. Внутренний диаметр b производимых подшипников тоже имеет нормальное распределение средним значением 叱=25,01 мм и стандартным отклонением % = 0,009 мм. Если сборщик наугад выбирает ось и подшипник, то с какой вероятностью взятая ось не войдет в подшипник (считается, что оси и подшипники имеют идеальную круговую форму и сборка возможна, если s < Ь).

Пусть в условиях задачи 3.6 требуется, чтобы при сборке зазор между осью и подшипником составлял не более 0,05 мм. Стандартное отклонение диаметра оси s изменить нельзя, однако можно менять стандартное отклонение внутреннего диаметра b подшипников. Каким должно быть стандартное отклонение диаметра b для того, чтобы сборка была успешной в 99% случаев.

Случайная величина х подчиняется пуассоновскому распределению, т. е. р(х) = /ехр(—〃)/х!. Найдите среднее значение и дисперсию х, используя производящую функцию моментов.,

11редприятие изготавливает шайбы толщиной d, имеющей среднее значение % = 5 мм и стандартное отклонение % = 0,005. Если выбрать наугад N = 25 шайб и сложить их стопкой, то какова вероятность того, что высота образовавшейся стопки заключена между 120 и 130 мм в предположении, что

толщина d имеет нормальное распределение;

толшина d имеет неизвестную функцию распределения.

Независимые случайные величины хну имеют плотности вида

112

р(х)=産e—“F/4, р(у)=兩е-О+】)2/4 .

Найдите плотности вероятности случайных величин

w = х + j;

f = х — J.

Глава 4

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Наряду с основными понятиями теории вероятностей, введенными в гл. 3, при измерении и анализе случайных данных для определения их достоверности и оценки возможных ошибок используются статистические методы. В этой главе даются обзор и примеры использования основных статистических понятий, широко применяемых во многих задачах анализа данных. Цель главы — дать читателю минимум основных сведений по терминологии и некоторым методам инженерной статистики, существенных для понимания последующих глав. Более детальное изложение прикладной статистики и ее инженерных применений можно найти в книгах [4.1——4.4].

. Выборочные значения и оценивание параметров

Рассмотрим случайную величину х в смысле определения разд. 3.1; аргумент 左,указывающий на принадлежность к исходному выборочному пространству, опущен для упрощения обозначений. Рассмотрим далее две основные характеристики случайной величины х, описывающие ее центр рассеяния и величину рассеяния, а именно среднее значение и дисперсию. Согласно формулам (3.8) и (3.11), среднее значение и дисперсия равны

"х = Е[х]=/ xp(x)dx,(4-1)

'—8

.=е[(х -心1 =广(X - Mx)2P(х) dx,(4.2)

где pU)——плотность вероятности случайной величины х. На практике, разумеется, эти две характеристики величины х нельзя определить точно, поскольку обычно плотность вероятности полностью не известна. Поэтому приходится довольствоваться оценками среднего значения и дисперсии, полученными по конечному числу наблюдений.

Один из возможных методов (есть и другие) оценивания среднего значения и дисперсии случайной величины х noN независимым наблюдениям таков:

1 N

元=瓦=石 X X, ,(4.3)

S。= 6?=斤 £ (x「元)2 .S。= 6?=斤 £ (x「元)2 .(4-4)(4-4)

S。= 6?=斤 £ (x「元)2 .

S。= 6?=斤 £ (x「元)2 .

(4-4)

(4-4)

Здесь x н 吊一выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Знак над 眼 и 多 указывают на то, что эти выборочные значения ис-

пользуются в качестве оценок среднего значения и дисперсии х. Подстрочный индекс в * означает, что это смещенная оценка дисперсии (определение будет дано ниже). Число наблюдений, по которым вычисляются оценки (выборочные значения), называется размером выборки.

Оценки, введенные формулами (4.3) и (4.4), не являются единственно возможными оценками среднего значения и дисперсии случайной величины х. Например, впрлне разумные оценки среднего и дисперсии можно получить, если деление naN сумм в формулах (4.3) и (4.4) заменить делением на N——1. Об оценках никогда нельзя определенно сказать, что они верны или неверны, поскольку они задаются в некотором смысле произвольно. Тем не менее некоторые оценки можно считать “хорошими" или “лучшими" по сравнению с другими.

Для установления качества или иправильности** оценки используются три основных свойства. Во-первых, желательно, чтобы математическое ожидание оценки равнялось оцениваемому параметру, т. е.

Е[ф] = © , (4.5)

где $ — оценка параметра ф. Если это свойство имеет место, то оценка называется несмещенной. Во-вторых, желательно, чтобы среднеквадратичная ошибка данной оценки была наименьшей среди всех возможных оценок,

七[($工-©)[ К е[(В - 中У] ? (4・6)

где 61 — исследуемая оценка, а © — любая другая оценка. Если это свойство имеет место, то оценка называется эффективной. В-третьих, желательно, чтобы оценка сходилась к оцениваемому параметру с вероятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, т. е. для любого £ > О

lim Prcb[|$ - ф| > = 0 . (4.7а)

Если это так, то оценка называется состоятельной. Из неравенства Чебы- шёва (3.22) следует, что достаточным (но не необходимым) для выполнения (4.7а) является условие

^lim Е((ф - ф)2] = 0.(4.76)

Заметим, что условия, задаваемые соотношениями (4.7), представляют собой определения сходимости по вероятности (а) и среднеквадратичной сходимости (б), которые будут даны в разд. 534.

В качестве примера рассмотрим оценку среднего значения по формуле (4.3). Математическое ожидание выборочного среднего х равно

(4-8)(4-8)1 %1 % ] 1

(4-8)

(4-8)

e[元]=e而e>, = —Е e>, =后(mх) = 卩х・

Следовательно, согласно определению （4.5）, оценка 倉=х несмещенная. Среднеквадратичная ошибка выборочного среднего х равна

矶叵一心1矶叵一心1

矶叵一心1

矶叵一心1

Поскольку наблюдения х? независимы, то в силу результатов разд. 3.2.1 математические ожидания членов, содержащих смешанные произведения, равны нулю. Поэтому

Е［（元一四х『］=/Е X（X, - Мх）2 = »（No：）=》（4.9）

Следовательно, согласно определению （4.76）, оценка & = х состоятельна. Можно также показать, что эта оценка эффективна.

Рассмотрим теперь оценку дисперсии, задаваемую формулой （4.4）. Математическое ожидание оценки дисперсии 其 равно

「］ N］1「％

Е国］=Е 五 Х（х,-无УХ（х, Г）?.

Однако

£ （х,-亍）2 = £（X,-卩х + Mx - X）2 =

=11 = 1

^NN

=X（X,-卩x）2 - 2（元-人）E（X, — Mx） + X （M - Mx）2=

=X（X,-卩х）2 - 2（亍-八）N（元-%） + N（彳-心2= 1 = 1

=X（X, - %）2 - N（彳-人）2.（4.10）

Поскольку Е［《-&）2］ = 4 и£© — &沟=上，то

N

1^^ - 1）

Е国］=x（N。/ - о?） = —-—。£ •（4.11）

Следовательно, оценка 年=s力 смещена. Хотя выборочная дисперсия 吊 и является смещенной оценкой, эта оценка состоятельна и эффективна.

Из формулы (4.11) понятно, что для получения несмещенной оценки。& следует взять несколько видоизмененную выборочную дисперсию:

1 N

= % = ]7ТТ 4 (х，_ 元)2 .(4.12)

Величина, определенная формулой (4.12), представляет собой несмещенную оценку ]. По этой причине выборочная дисперсия из формулы (4.12) часто считается "лучшей" оценкой по сравнению с выборочной дисперсией из формулы (4.4). В дальнейшем в качестве оценки дисперсии случайной величины будет использоваться выборочная дисперсия вида (4.12).

. Важнейшие функции распределения

Несколько примеров функций распределения было дано в гл. 3. Важнейшей из них с точки зрения прикладной статистики является гауссова (нормальная) функция распределения. Широкое применение в статистике находят и другие функции распределения, тесно связанные с нормально распределенными случайными величинами. Это х2~Распределение, t -распределение и F-распределение. Сейчас мы определим и обсудим наряду с нормальным каждое из этих трех распределений. Их применение в статистике будет описано в последующих разделах.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Плотность вероятности и функция распределения нормальной случайной величины х определены в разд. 3.3 (формула (3.48)). Удобнее пользоваться стандартной нормальной случайной величиной z вида

(4.13)

Если это выражение подставить в формулу (3.48), то получим стандартные плотность и функцию распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией (& = 0,《=1)：

(4.14a)(4.146)(4.14a)(4.146)p(z)=(期^广「〜

(4.14a)

(4.146)

(4.14a)

(4.146)

P(z) = (近^)т/ e~*/2 d£・

Для дальнейшего удобно обозначить через z а значение z, соответствующее данной вероятности Р (z) = 1 — а, т. е.

P(zl = У ° P(z) dz = Prob[z < za] = 1 ~ а (4.15a)

илиили1 - P(zJ = / P(z)必=Probfz > za] = а ■(4.156)

или

или

Рис. 4.1. Стандартные нормальные плотность вероятности и функция распределения: 。一плотность вероятности; 6 — функция распределения.

Значение z。， удовлетворяющее уравнению (4.15), называется 100а- процентной точкой нормального распределения. Стандартная нормальная плотность вероятности р fe) унимодальна, монотонно изменяется по обе стороны моды1^ и симметрична с точками перегиба ± 1 (рис. 4.1, а). Соответствующая функция распределенияР (г) приведена на рис. 4.1, 6. Небольшая сводка значений стандартной нормальной плотности дана в табл. А.1, а табл. А.2 содержит процентные точки стандартного нормального распределения.

"Модой называется точка максимума плотности вероятности. Унимодальная плотность имеет одну моду. — Прим, перев.

ХИ-КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть ZI,々2 ,•••, Zn есть п независимых случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Определим новую случайную величину вида

X： = z； ； z] + Z. + …+z‘.(4.16)

Случайная величина 斤 называется хи-квадрат случайной величиной с п степенями свободы. Число степеней свободы п определяет число независимых, или мсвободыыхи, квадратов, входящих в сумму. Плотность вероятности 君 имеет вид (4.2]

P(x2) = [2"2r("/2)「a2产21)*/2,х2 > о, (4.17)

где Г(〃/2) — гамма-функция. Соответствующая функция распределения 鰭, равная интегралу от плотности (4.7) по интервалу от — 8 до данного значения 心,называется хи-квадрат распределением с 打 степенями свободы. 1 ООа-процентные точки х2-распределения обозначим через хп;а2, т. е.

P(X?)dx2= Prob[x" X%J = а •(4.18)

Среднее значение и дисперсия 修 равны

£[хи] = Мх2 = « ,(4.19)

е[(х： - ％»[ = ■ = 2" .(4.20)

Небольшая таблица процентных точек хи-квадрат распределения приводится в табл. А.З.

Следует отметить несколько особенностей хи-квадрат распределения. Во-первых, хи-квадрат распределение фактически является частным случаем более общего гамма-распределения. Во-вторых, важную роль играет распределение случайной величины, равной квадратному корню из случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение с двумя степенями свободы (%2)，которое называется распределением Рэлея. Распределение Рэлея широко применяется при решении задач, связанных с попаданием в двумерную мишень; кроме того, оно служит предельным распределением экстремальных значений узкополосного гауссова случайного сигнала при стремлении ширины полосы сигнала к нулю. В-третьих, с ним связано еще одно важное распределение, отвечающее случайной величине, равной квадратному корню из хи-квадрат случайной величины с тремя степенями свободы (Хз), называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла применяется при решении задач, связанных с попаданием в трехмерные мишени. В-четвертых, хи-квадрат распределение приближается к нормальному по мере увеличения числа степеней свободы. Именно,для" > 30 величина

'2х： приближенно нормальна со средним 弘=.2〃 一 1 и дисперсией 扶=1.

/ -РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

Пусть у и z — независимые случайные величины, при этом у имеет Х^-распределение, az — нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Определим новую случайную величину

厶=г-7- ■(4・21)

Случайная величина tn имеет t -распределение Стьюдента с п степенями свободы. Известно [4.2], что плотность вероятности случайной величины tn имеет видСлучайная величина tn имеет t -распределение Стьюдента с п степенями свободы. Известно [4.2], что плотность вероятности случайной величины tn имеет видГ[("+1)/2]p ⑺—耐г 5/2)Г[("+1)/2]p ⑺—耐г 5/2)t21 + — wt21 + — w-(" + 1)/2-(" + 1)/2(4-22)(4-22)

Случайная величина tn имеет t -распределение Стьюдента с п степенями свободы. Известно [4.2], что плотность вероятности случайной величины tn имеет вид

Случайная величина tn имеет t -распределение Стьюдента с п степенями свободы. Известно [4.2], что плотность вероятности случайной величины tn имеет вид

Г[("+1)/2]

p ⑺—耐г 5/2)

Г[("+1)/2]

p ⑺—耐г 5/2)

t2

1 + — w

t2

1 + — w

-(" + 1)/2

-(" + 1)/2

(4-22)

(4-22)

Соответствующая функция распределения вычисляется интегрированием плотности (4.22) от - оо до данного значения tn и называется t -распределением с〃 степенями свободы. 1 ООа-процентная точка f-распределення обозначается tn.a, причем

□⑴…。Ь…7□⑴…。Ь…7а .а .(4.23)(4.23)

□⑴…。Ь…7

□⑴…。Ь…7

а .

а .

(4.23)

(4.23)

Среднее значение и дисперсия tn равны

ЕЕЕ&]=匹=О,Е&]=匹=О,Л > 1 ；Л > 1 ；(4-24)(4-24)[0〃 -氏)[=О,?[0〃 -氏)[=О,?〃 一2〃 一2л > 2.л > 2.(4-25)(4-25)

Е

Е

Е&]=匹=О,

Е&]=匹=О,

Л > 1 ；

Л > 1 ；

(4-24)

(4-24)

[0〃 -氏)[=О,?

[0〃 -氏)[=О,?

〃 一2

〃 一2

л > 2.

л > 2.

(4-25)

(4-25)

Небольшой набор процентных точек t -распределения представлен в табл. А.4. Отметим, что t -распределение стремится к стандартному нормальному распределению с увеличением числа степеней свободы п.

戶-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

(4.26)(4.26)Пусть у J и у 2 — независимые случайные величины такие, что у t имеет X^распределение с пх степенями свободы, a j2 есть х2~Распределение с л 2 степенями свободы. Определим новую случайную величину

(4.26)

(4.26)

У1/〃1 _ Л«2

及/"2y2"1

p（尸）=p（尸）=ииа-процентная точкаа] = а .(4.28)〃2 > 2; (4.29)ииа-процентная точкаа] = а .(4.28)〃2 > 2; (4.29)〃2 > 4 . (4.30)〃2 > 4 . (4.30)

p（尸）=

p（尸）=

ииа-процентная точка

а] = а .(4.28)

〃2 > 2; (4.29)

ииа-процентная точка

а] = а .(4.28)

〃2 > 2; (4.29)

〃2 > 4 . (4.30)

〃2 > 4 . (4.30)

Случайная величина Рп^ — это /^-распределенная случайная величина с 〃】 и /г? степенями свободы. Известно, что плотность вероятности Fn 霜 равна [4.2] S

尸 N 0 . (4.27)尸 N 0 . (4.27)[[("1 + "2)/2](公/“2)"2尸""21r(〃i/2)r("2/2)[l+(〃F/"2)]⑺+9”

尸 N 0 . (4.27)

尸 N 0 . (4.27)

Соответствующая функция распределения 耳連? вычисляется интегрированием плотности (4.27) от —8 до данного значения РП1^2 и называется F-распределением с пх w и2 степенями свободы. Г ~ F-распределения обозначается ^пуп^ причем

, p(F)dF= Prob|/m >5»

Среднее и дисперсия /勿 равны соответственно

Небольшой подбор процентных точек ^-распределения представлен в табл. А.5а——А.5в. Отметим, что статистика 吟，равная квадрату случайной величины, определенной формулой (4.21), имеет ^распределение с 〃〕= 1 и 〃2 = 〃 степенями свободы.

Выборочные распределения и примеры

Рассмотрим случайную величину х с функцией распределения Р 3). Пусть Х|, х2> •••，Х' —выборка нз% наблюдений х. Любая величина, вычисленная по этим выборочным значениям, тоже будет случайной. Рассмотрим, например, среднее значение% выборки. Если взять несколько выборок размеромN из одной и той же случайной величиных, то значениях, вычисленные по разным выборкам, будут, вообще говоря, различными. Следовательно, х тоже случайная величина с некоторой функцией распреле- ления 尸 3). Эта функция распределения называется выборочным распределением х.

Сейчас мы рассмотрим несколько выборочных распределений, часто используемых на практике. Среди них встретятся и функции распределения, определения и некоторые свойства которых были рассмотрены в разд. 4.2. Применение этих выборочных распределений к построению выборочных интервалов и испытанию гипотез описывается в разд. 4.4—4.8.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим выборочное среднее выборки из N независимых наблюдений случайной величины х:

X =X =1 6N^X-1 6N^X-(4.31)(4.31)

X =

X =

1 6

N^X-

1 6

N^X-

(4.31)

(4.31)

Пусть сначала случайная величина х распределена нормально с средним 以 и известной дисперсией 成.Согласно разд. 3.3.1, выборочное распределение выборочного среднего х тоже нормально. Формула (4.8) показывает, что среднее значение выборочного распределения величины х равно

(4.32)(4.32)股一X，

(4.32)

(4.32)

а из формулы (4.9) следует, что дисперсия выборочного распределения величины х есть

。£ =系•(4.33)

Следовательно, в силу (4.13) распределения обеих частей следующего соотношения, содержащего х, совпадают:

(4.34)(4.34)（元一%）屈

(4.34)

(4.34)

Здесь z ——стандартная нормальная случайная величина, описанная в разд. 4.2.1. Поэтому относительно возможных значений выборочного среднего можно утверждать, что

Prob х >Prob х >а.а.(4.35)(4.35)

Prob х >

Prob х >

а.

а.

(4.35)

(4.35)

Пусть теперь распределение случайной величины х отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему, получаем следующий результат. С увеличением размера выборки N выборочное распределение выборочного среднего х стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины х, Практически во многих случаях выборочное распределение х можно считать нормальным уже npuN > 4, а при% > 10 приближение будет очень хорошим. Поэтому при достаточно большом размере выборки формула (4.35) применима к выборочному распределению х, вычисленному для случайной величины с произвольным распределением.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим дисперсию выборки из N независимых наблюдений случайной величины х:

1 Nj2 = FrT,?/x<-^-1 Nj2 = FrT,?/x<-^-(4.36)(4.36)

1 N

j2 = FrT,?/x<-^-

1 N

j2 = FrT,?/x<-^-

(4.36)

(4.36)

Если случайная величина х распределена нормально с средним 以 и дисперсией 4, то, как показано, например, в работе [4.1], распределения правой и левой частей соотношения

X (х, _ >)2 = %： ， " = N Т ,

совпадают. Здесь х，имеет хи-квадрат распределение с 〃 = N — 1 степенями свободы согласно определению разд. 4.2.2. Следовательно, выборочное распределение выборочной дисперсии s2 определяется из соотношения

—=Xn , " = N-1.—=Xn , " = N-1.(4.37)(4.37)

—=Xn , " = N-1.

—=Xn , " = N-1.

(4.37)

(4.37)

Поэтому относительно возможных значений выборочной дисперсии S2 можно утверждать, что

Prob s2 >Prob s2 >о/Х；аПо/Х；аП=Q=Q(4.38)(4.38)

Prob s2 >

Prob s2 >

о/Х；а

П

о/Х；а

П

=Q

=Q

(4.38)

(4.38)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим среднее значение выборки из N независимых наблюдений случайной величины х, определенное формулой (4.31). Еслих распределена нормально с средним & и неизвестной дисперсией, то из соотношений (4.21) и (4.37) следует, что

（元一 mх） =0//病 =Z

s/病 偈改痴/了

где tn имеет t -распределение с 〃 = N — 1 степенями свободы согласно определению разд. 4.2.3. Следовательно, выборочное распределение выборочного среднего х при неизвестной 域 задается соотношением

（元-四X）病（元-四X）病〃 =N — L〃 =N — L(4.39)(4.39)

（元-四X）病

（元-四X）病

〃 =N — L

〃 =N — L

(4.39)

(4.39)

Поэтому относительно возможных значений выборочного среднего% можно сделать следующее вероятностное утверждение:

Prob х >Prob х >而+人而+人=Q .=Q .(4.40)(4.40)

Prob х >

Prob х >

而+人

而+人

=Q .

=Q .

(4.40)

(4.40)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ

Рассмотрим дисперсии двух выборок, одна из которых состоит из Nx независимых наблюдений случайной величины х, а другая изЛ^ независимых наблюдений случайной величины J (см. формулу (4.36)). Если случайная величина х распределена нормально с средним 眼 и дисперсией 吊，а случайная величина ^ распределена нормально с средним 丹 и дисперсией Оу, то из соотношений (4.26) и (4.37) следует, что

S：/。： = о?Х；/"，?

S»N 。:Х；/%。：

где Рп^пу имеет F-распределение с пх = Nx ~ 1 и пу = Ny — 1 степенями свободы согласно определению разд. 4.2.4. Следовательно, выборочное распределение отношения выборочных дисперсий 必 и , задается соотношением

(4.41)(4.41)

(4.41)

(4.41)

Поэтому относительно возможных значений отношения выборочных дисперсий 4 н $ можно сделать следующее вероятностное утверждение:

Prob 4 >=а.(4.42)

Заметим, что если обе выборки сделаны из одной и той же случайной величины х =у, то соотношение (4.41) превращается в следующее:

"i = %-1、,"2 = М Т •"i = %-1、,"2 = М Т •(4.43)(4.43)

"i = %-1、,

"2 = М Т •

"i = %-1、,

"2 = М Т •

(4.43)

(4.43)

Доверительные интервалы

В разд. 4.1 обсуждалось использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров; они не позволяют

судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более содержательны процедуры оценивания параметров, связанные не с получением точечного значения, а с построением интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Пусть, например, выборочное среднее х, вычисленное по N независимым наблюдениям случайной величины х, используется в качестве оценки среднего 仪 Обычно представляет интерес оценить & в терминах некоторого интервалах 士 d, в который & попадает с заданной степенью достоверности. Такие интервалы можно построить, если известны выборочные распределения рассматриваемой оценки.

Продолжим пример оценивания среднего значения. В разд. 4.3 было показано, что относительно значений выборочного среднегох можно сделать следующее вероятностное утверждение：

ProbProbZl — a/2Zl — a/2

Prob

Prob

Zl — a/2

Zl — a/2

Формально это утверждение верно до получения выборки и вычисления х. После получения выборки значениех становится вполне определенным числом, а не случайной величиной. Следовательно, можно сказать, что вероятностное утверждение, содержащееся в формуле (4.44), теряет смысл, поскольку величина (к —网)^/% либо попадает в указанные границы, либо не попадает. Другими словами, после получения выборки формально правильным будет следующее утверждение:

(4-45)(4-45)

(4-45)

(4-45)

Обычно истинное значение вероятности (4.45), равное либо нулю, либо единице, неизвестно. Однако по мере уменьшения а (увеличения интервала, заключенного между Z|_a/2 и Zu^ разумно считать, что эта вероятность скорее равна единице, чем нулю. Иначе говоря, если производится много выборок и для каждой из них вычисляется значение х, то можно ожидать, что участвующая в формуле (4.45) величина будет попадать в указанный интервал с относительной частотой, примерно равной 1 — а. При таком подходе можно утверждать, что существует интервал, в который величина 3 — 网讨№/% попадает с большой степенью достоверности. Такие утверждения называются доверительными. Интервал, относительно которого делается доверительное утверждение, называется доверительным интервалом. Степень доверия, сопоставляемая доверительному утверждению, называется уровнем доверия.

При оценивании среднего значения доверительный интервал для среднего & можно построить по выборочному значению%, перегруппировав чле-

ны в формуле (4.45):

(4.46а)(4.46а)

(4.46а)

(4.46а)

Далее, если ох неизвестна, то доверительный интервал для & можно построить по выборочным значениямх и$, перегруппировав члены в формуле (4.39):

,и = ^- 1.(4.46 б),и = ^- 1.(4.46 б)

,и = ^- 1.(4.46 б)

,и = ^- 1.(4.46 б)

В формулах (4.46) использованы свойства ^i-a/2 = — Z«/2 и '”；1-а/2 H — '”；а/2・ Этим интервалам соответствует уровень доверия 1 — а. Следовательно, доверительное утверждение звучит так: истинное значение & попадает в указанный интервал с доверительной вероятностью 1 — а или (в общепринятых терминах) с доверительной вероятностью 100(1 — а)%. Подобные утверждения можно делать относительно любых оценок параметров, лишь бы были известны соответствующие выборочные распределения. Например, формула (4.37) позволяет построить доверительный интервал с уровнем доверия 1 — а для дисперсии 或 по выборочной дисперсии 52, вычисленной по выборке "размером N:

ns2"Jns2"Jл = N — 1 *л = N — 1 *（4.47）（4.47）

ns2"J

ns2"J

л = N — 1 *

л = N — 1 *

（4.47）

（4.47）

ПРИМЕР 4.L ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ. Пусть выборка содержит N = 31 независимое наблюдение нормально распределенной случайной величины х:

60

61

47

56

61

63

65

69

54

59

43

61

55

61

56

48

67

65

60

58

57

62

57

58

53

59

58

61

67

62

54

Найдем 90%-доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии случайной величины х.

Согласно формуле (4.466), доверительный интервал с уровнем доверия 1 — а для среднего значения & строится по выборочному среднему х и

4-953

дисперсии 52 при размере выборки N = 31:

Из табл. А.4 для а = 0,1 находим / 30;а/2 = Езо；о,О5 = 1,697, поэтому интервал имеет вид

[(х 一 0,3048s) 4 %〈(元 + 0,3048s)].

Согласно формуле (4.47), доверительный интервал для дисперсии d с уровнем доверия 1 — а строится по выборочной дисперсии 52 при размере выборки N = 31:

'30s230s2 '

-г~ W q < — ■

Х30,а/2X30J-&/2

Из табл. А.З для а = 0,1 находим Хзо；а/2 = Хзо；о,О5 = 43,77 и х気]—«/2 = =х；о；о,95 = 18,49, поэтому интервал принимает вид

[о,6854s2 < О^ < 1,622$2].

Остается вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию и подставить эти значения в формулы для доверительных интервалов. Выборочное среднее вычисляем по формуле (4.3):

N

х = — Е xi = 58,61 •

Выборочную дисперсию находим по формуле (4.12):

Итак, доверительные интервалы с уровнем доверия 90% для среднего значения и дисперсии случайной величины х таковы:

[56,85 < мх < 60,37],[22,91 <о^ < 54,22].

Проверка гипотез

Пусть дана некоторая оценка ф, построенная по выборке из% независимых наблюдений случайной величины х. Предположим, что есть основания считать истинное значение оцениваемого параметра равным ф0. Однако даже если истинное значение параметра ф равно ф0, выборочные значения $, вероятно, не будут в точности равняться ф0 из-за выборочной изменчивости, присущей $. Поэтому возникает следующий вопрос. Если предположить, что 6 = 6» то при каком отклонении $ от 0。эта гипотеза должна быть отвергнута как несостоятельная? На этот вопрос ответ можно дать в статистических терминах, вычислив вероятность любого значимого отклонения 6 от % по выборочному распределению $. Если вероятность такого отклонения мала, то отличие следует считать значимым, и гипотеза ф = Фо должна быть отвергнута. Если же вероятность такого отличия велика, то отклонение следует приписать естественной статистической изменчивости, и гипотеза 0 = 0。может быть принята.

Это рассуждение представляет собой простейший вид статистической процедуры, называемой проверкой гипотез. Для уяснения общего подхода предположим, что выборочное значение $, являющееся оценкой параметра 6, имеет плотность вероятностир ($). Теперь, если гипотеза 6 = 6。верна, тор (ф) должна иметь среднее значение 6。(рис. 4.2). Вероятность того, что ф окажется меньше нижней границы б」仪々，равна

Prob[$ < б-а』=广"》($) d$ = 7 ,(4.48а)

J — 82

А

а вероятность того, что ф превзойдет верхнюю границу фа/2, равна

РтоЬ[$ > фа/2] = f р($) d$ = 7 •(4.486)

%/22

Следовательно, вероятность того, что $ окажется вне интервала, заключенного между 6]一《/а и 0a/2, есть 二・ Пусть теперь а настолько мало, что представляется крайне неправдоподобным выход ф за пределы интервала, заключенного между 6[—а/&и фа/2* Если бы выборка была такой, что вычисленное по ней значение ф оказалось вне интервала, заключенного между °1—а/2 и 九/2，то появились бы серьезные основания сомневаться в истинности исходной гипотезы ф = 0°, поскольку в случае ее истинности такое значение ф было бы крайне неправдоподобным. Следовательно, гипотезу 6 = 6о нужно отвергнуть. С другой стороны, если значение ф попадает в интервал, заключенный между 仇 一《〃 и 0a/2, т0 нет никаких серьезных оснований ставить под сомнение истинность исходной гипотезы. Поэтому гипотеза ф = ф0 может быть принята.

Вероятность а, использованная при испытании гипотез, называется уровнем значимости критерия. Область значений ф, при которых гипотеза должна быть отвергнута, называется областью отклонения гипотезы или критической областью. Область значений ф, при которых гипотеза принимается, называется областью принятия гипотезы. Описанный выше простой критерий испытания гипотез называется двусторонним критерием, так как в том случае, когда гипотеза неверна, значение Ф может быть либо больше 6°, либо меньше. Следовательно, нужно проверять значимость отклонений ф от ф0 в обе стороны. В других случаях достаточно бывает односторонних критериев. Например, пусть гипотеза состоит в том, что ф > ф0. В этой ситуации гипотезу будет неверна только тогда, когда ф меньше ф0. Следовательно, в критерии должна использоваться только нижняя граница, определяемая по плотности вероятности р ($).

При проверке гипотез возможны два типа ошибок. Во-первых, гипотеза может быть отклонена, хотя фактически она верна. Такая ошибка называется ошибкой первого рода. Во-вторых, гипотеза может быть принята, хотя фактически она неверна. Такая ошибка называется ошибкой второго рода. Из рис. 4.2 видно, что ошибка первого рода происходит в том случае, когда при справедливости гипотезы ф попадает в область ее отклонения. Следовательно, вероятность ошибки первого рода равна а, т. е. уровню значимости критерия.

Для определения вероятности ошибки второго рода следует уточнить каким-то образом отклонение истинного значения параметра ф от постулируемого гипотезой и подлежащего проверке значения ф0. Предположим, к примеру, что истинный параметр равен либо ф = ф0 + d, либо 。=0о — d, как показано на рис. 4.3. Если гипотеза состоит в том, что 6 = </>0, тогда как на самом деле。= </>0 ± d9 то вероятность того, что $ попадет в область принятия гипотезы, заключенную между 例一“2 и 0a/2, равна /3. Следовательно, вероятность ошибки второго рода равна В при выявлении отклонений величиной 士 d от гипотетического значения 0°.

Вероятность 1 — 6 называется мощностью критерия. Очевидно, что при любом данном размере выборки N вероятность ошибки первого рода может быть сделана как угодно малой за счет уменьшения уровня значимости а. Однако при этом возрастет вероятность В ошибки второго рода

Рис. 4.3. Определение ошибки второго рода при проверке гипотез.

(уменьшится мощность критерия). Единственный способ одновременно уменьшить и а, и /3 состоит в увеличении размера выборки N, используемой для вычисления оценки $. Такие соображения лежат в основе выбора нужного размера выборки в статистических экспериментах.

ПРИМЕР 42. ПОСТРОЕНИЕ КРИТЕРИЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ. Предположим, что есть основания считать, что среднее значение случайной величины х равно & = 10. Предположим далее, что дисперсия х известна и равна 4=4. Найдем размер выборки, позволяющей построить критерий проверки гипотезы 厶= 10 с 5 %-уровнем значимости и 5 %-ошибкой второго рода для выявления 10% -отклонений от гипотетического значения. Построим также область принятия гипотезы для данного критерия.

Выборочное среднее х, определенное формулой (4.3), является несмещенной оценкой &. Соответствующее выборочное распределение х определяется из соотношения (4.34):

где z ——нормальная случайная величина с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Отметим, что такое выборочное распределение х будет точным, еслнх распределена нормально, и приближенным, если рас- ределение х отлично от нормального.

Верхняя и нижняя границы области принятия гипотезы в данном критерии соответственно равны

涼Z./2 + 曲,俞Z] r/2 + / .

Если теперь истинное среднее значение равно на самом деле 視=& ± d, то с вероятностью 0 произойдет ошибка второго рода, если выборочное

значение х окажется меньше верхней границы или больше нижней. В терминах выборочного распределения х с средним у^ ~ iix + d или 心 =眼一d имеем соответственно для верхней и нижней границ

京z—e + % + d,涼ze + %-d.

Итак, справедливы следующие равенства:

凉z“2 + % =京z-e + % + d ,

京Z“2 + / =京Z® + % - d .

Оба эти соотношения дают

%/2 =马-6 +d = _Zr +d .

Отсюда находим требуемый размер выборки

При конкретных значениях, принятых в данном примере @ = 2, z“2 = 1,96, %8 = 1,645, d = 0,1-10 = 1), требуемый размер выборки равен N = 52. Область принятия гипотезы в данном критерии определяется соответственно следующими верхней и нижней границами:

亲Za/2 + % = 10,54，斎Z…/2 + 心=9,46 .

Критерий согласия хи-квадрат

Для проверки эквивалентности плотности вероятности выборочных данных некоторой гипотетической плотности часто используется особый критерий, называемый критерием согласия хи-квадрат. Общая идея критерия заключается в использовании в качестве меры расхождения наблюдаемой плотности вероятности и гипотетической плотности некоторой статистики, приближенно подчиняющейся распределению хи-квадрат (х2-распре- делению). Затем гипотеза относительно их эквивалентности проверяется путем изучения выборочного распределения этой статистики.

(4.49)(4.49)Пусть, например, дана выборка из N независимых наблюдений случайной величины х с плотностьюр (к). Сгруппируем N наблюдений по К интервалам, называемым интервалами группировки9 которые в совокупности образуют гистограмму частот. Число наблюдений, попавших в /-й интервал, называется наблюденной частотой /-го интервала; обозначим ее ft. Число наблюдений, которые могли бы попасть вz-й интервал, если бы истинной плотностью х 6ылар(х), называется ожидаемой частотой f-ro интервала; обозначим ее Fr Далее, расхождение между наблюденной и ожидаемой частотами в каждом интервале равно J\ — F「Для того чтобы измерить общее расхождение по всем интервалам, нормируем квадраты расхождений соответствующими ожидаемыми частотами и просуммируем их: получим выборочную статистику

(4.49)

(4.49)

М £

В работе [4.1] показано, что распределение величины X2 из формулы (4.49) приближенно совпадает с 廃распределением, изученным в разд. 4.2.2. Число степеней свободы п в этом случае равно К минус число различных независимых линейных ограничений, наложенных на наблюдения. Существует одно такое ограничение, связанное с тем, что частота в последнем интервале группировки полностью определяется частотами всех остальных интервалов. Если при сравнении плотностей одновременно подбираются параметры гипотетического распределения с целью достижения наилучшего согласия с гистограммой частот, построенной по выборочным данным, то добавляется по одному ограничению на каждый независимый параметр гипотетической плотности, который будет определяться для достижения этого согласия. Например, если гипотетическая плотность — нормальная, с неизвестными средним значением и дисперсией, то появятся два дополнительных ограничения, поскольку для подбора нормальной плотности придется оценить два параметра (среднее значение и дисперсию). Следовательно, в том обычном случае, когда критерий согласия хи-квадрат применяется для проверки нормальности, число степеней свободы в X2 из формулы (4.49) равно п = К — 3.

После выбора числа степеней свободы величины X? проверка гипотезы проводится следующим образом. Предположим, что случайная величина х имеет плотность р(к). Сгруппировав выборочные значения по К интервалам и вычислив ожидаемую частоту для каждого интервала группировки в предположениир (к ) = 〃о(к), найдем X2 по формуле (4.49). Поскольку любое отклонение р (к ) от р^ ) вызовет увеличение X2, то используем односторонний критерий (по верхней границе). Область принятия гипотезы имеет вид

X2qxL , (4.50) где значение 岔；仪 берется из табл. А.З. Если выборочное значение X2 превышает /；□，то гипотеза о том, чтор(х) = р0(х), отвергается с уровнем

значимости а. Если X2 меньше 琉仪，то гипотеза принимается с тем же уровнем значимости а.

Известны два основных способа применения критерия согласия хи- квадрат. Первый заключается в выборе таких интервалов группировки, которые обеспечивают равенство ожидаемых частот для всех интервалов. За исключением гипотезы о равномерности распределения, такой способ приводит к интервалам группировки различной длины. Второй способ состоит в выборе интервалов одинаковой длины. Опять-таки за исключением гипотезы о равномерности распределения, в этом случае разными окажутся частоты попадания в тот или иной интервал. Для проверки нормальности с помощью критерия согласия хи-квадрат обычно используются интервалы равной длины. Если стандартное отклонение выборочных данных равно s, то часто берут интервалы группировки длиной △% = 0,4 s. Более существенное требование заключается в том, что ожидаемые частоты для каждого интервала группировки должны быть достаточно большими, с тем чтобы с приемлемой точностью приближала величину из формулы (4.49). Обычно рекомендуется добиваться выполнения условия F, > 3 для всех интервалов. При проверке нормальности, когда частоты, соответствующие хвостам распределения, быстро убывают, обычно в качестве первого и последнего интервалов выбирают интервалы, простирающиеся соответствен； но ди — 8 и + 8, причем должно выполняться указанное выше требование FlsFK > 3.

Таблица 4.1. Выборочные значения, упорядоченные по возрастанию

6 9 6 4-21076542-8 64431087 6 6 6~6 6 6 5 5 5 5 5-4 4 4 4 4 4 4 3____________________6 9 6 4-21076542-8 64431087 6 6 6~6 6 6 5 5 5 5 5-4 4 4 4 4 4 4 3____________________8 8-7 6544 4322100999766,,_,,, ,,, ,,,,,,,,, ,,,3 3-3 33333333333222222-z z z Z -----------8 8-7 6544 4322100999766,,_,,, ,,, ,,,,,,,,, ,,,3 3-3 33333333333222222-z z z Z -----------554-3 3322110099888776, , I,,,,,,,.,,,,,,,,2 2 2-2 2222222211111111____________________554-3 3322110099888776, , I,,,,,,,.,,,,,,,,2 2 2-2 2222222211111111____________________666554422211-0 0099887 1 «1 и «1 «1 «1 «1 и «1 11 «1 1- ~и 1 и____________________666554422211-0 0099887 1 «1 и «1 «1 «1 «1 и «1 11 «1 1- ~и 1 и____________________77666544433222100112 ，,,,,,， ,,,,, ,,,,,,,, оооооооооооооооооооо ________________77666544433222100112 ，,,,,,， ,,,,, ,,,,,,,, оооооооооооооооооооо ________________2 2 2-3 3344556678990011 ,,,_,,, ，,,,,,,,,,, ,,， о о 0-0 ОООООООООООО11112 2 2-3 3344556678990011 ,,,_,,, ，,,,,,,,,,, ,,， о о 0-0 ОООООООООООО11111122333455-6 667888990•1 1 -1 1 «1 1 1 1 1 1 ~1 1 1 1 -1 11 1A 1 к Ty^1122333455-6 667888990•1 1 -1 1 «1 1 1 1 1 1 ~1 1 1 1 -1 11 1A 1 к Ty^013334455666788-9 122322222222222222 2 -2 3 3 3 3013334455666788-9 122322222222222222 2 -2 3 3 3 3,4,5J,6,6,6,7,7,7,7,8,8,9,0д-7^,3,3,4Л3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,-4,л^ 4^ 4^- 4^,,4,5J,6,6,6,7,7,7,7,8,8,9,0д-7^,3,3,4Л3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,-4,л^ 4^ 4^- 4^,6 8 8 9 0 2 3 4-6 9 13 3 5-9 12 4 9 04 4 4 4 5 5 5 5-5 5 6 6 6 6-6 7 7 7 7 96 8 8 9 0 2 3 4-6 9 13 3 5-9 12 4 9 04 4 4 4 5 5 5 5-5 5 6 6 6 6-6 7 7 7 7 9

6 9 6 4-21076542-8 6443108

7 6 6 6~6 6 6 5 5 5 5 5-4 4 4 4 4 4 4 3____________________

6 9 6 4-21076542-8 6443108

7 6 6 6~6 6 6 5 5 5 5 5-4 4 4 4 4 4 4 3____________________

8 8-7 6544 4322100999766,,_,,, ,,, ,,,,,,,,, ,,,3 3-3 33333333333222222-z z z Z -----------

8 8-7 6544 4322100999766,,_,,, ,,, ,,,,,,,,, ,,,3 3-3 33333333333222222-z z z Z -----------

554-3 3322110099888776, , I,,,,,,,.,,,,,,,,2 2 2-2 2222222211111111____________________

554-3 3322110099888776, , I,,,,,,,.,,,,,,,,2 2 2-2 2222222211111111____________________

666554422211-0 0099887 1 «1 и «1 «1 «1 «1 и «1 11 «1 1- ~и 1 и

____________________

666554422211-0 0099887 1 «1 и «1 «1 «1 «1 и «1 11 «1 1- ~и 1 и

____________________

77666544433222100112 ，,,,,,， ,,,,, ,,,,,,,, оооооооооооооооооооо ________________

77666544433222100112 ，,,,,,， ,,,,, ,,,,,,,, оооооооооооооооооооо ________________

2 2 2-3 3344556678990011 ,,,_,,, ，,,,,,,,,,, ,,， о о 0-0 ОООООООООООО1111

2 2 2-3 3344556678990011 ,,,_,,, ，,,,,,,,,,, ,,， о о 0-0 ОООООООООООО1111

1122333455-6 667888990

•1 1 -1 1 «1 1 1 1 1 1 ~1 1 1 1 -1 11 1A 1 к Ty^

1122333455-6 667888990

•1 1 -1 1 «1 1 1 1 1 1 ~1 1 1 1 -1 11 1A 1 к Ty^

013334455666788-9 1223

22222222222222 2 -2 3 3 3 3

013334455666788-9 1223

22222222222222 2 -2 3 3 3 3

,4,5J,6,6,6,7,7,7,7,8,8,9,0д-7^,3,3,4Л3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,-4,л^ 4^ 4^- 4^,

,4,5J,6,6,6,7,7,7,7,8,8,9,0д-7^,3,3,4Л3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,-4,л^ 4^ 4^- 4^,

6 8 8 9 0 2 3 4-6 9 13 3 5-9 12 4 9 0

4 4 4 4 5 5 5 5-5 5 6 6 6 6-6 7 7 7 7 9

6 8 8 9 0 2 3 4-6 9 13 3 5-9 12 4 9 0

4 4 4 4 5 5 5 5-5 5 6 6 6 6-6 7 7 7 7 9

Таблица 4.2. Вычисления, выполняемые при построении критерия согласия

Номер интервала

Верхняя граница интервала

尸

F = NP

/

1 戶-/1(J

口 - Л2

х = SJ + F

F

1

-2,0

-6,36

0,0228

4,5

4

0,5

0,06

2

-1,6

-5,04

0,0320

6,4

8

1,6

0,40

3

-1,2

一 3,72

0,0603

12,1

10

2,1

0,36

4

-0,8

—2,40

0,0968

19,4

21

1,6

0,13

5

-0,4

-1,08

0,1327

26,5

29

2,5

0,24

6

0

0,24

0,1554

31,1

31

0,1

0,00

7

0,4

1,56

0,1554

31,1

27

4,1

0,54

8

0,8

2,88

0,1327

26,5

25

1,5

0,08

9

1,2

4,20

0,0968

19,4

20

0,6

0,02

10

1,6

5,52

0,0603

12,1

13

0,9

0,07

11

2,0

6,84

0,0320

6,4

6

0,4

0,03

12

ОО

ОО

0,0228

4,5

6

1,5

0,50

1,000

200

200

2,43

/V = 200

X =

0,24s

=3,30

n = К — 3 =

9

X2 = 2,43

ПРИМЕР 4.3. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ. В табл. 4.1 представлена выборка из% = 200 независимых наблюдений преобразованного к числовому виду выхода генератора теплового шума. Для удобства выборочные значения упорядочены по возрастанию. Проверим выход генератора шума на нормальность с помощью критерия хи-квадрат с уровнем значимости а = =0,05.

Все вычисления, необходимые для построения критерия, сведены в табл. 4.2. При длине интервалов Дх = 0,4 s границы интервалов группировки, определенные по стандартному нормальному распределению, приведены в столбце, отмеченном символом za. Следующий столбец содержит те же величины после преобразования в вольты. По табл. А.2 определим, используя значения za, вероятность Р попадания выборочных значений в каждый из интервалов группировки. Произведение Р на размер выборки N даст ожидаемые частоты для каждого интервала; эти частоты представлены в столбце, отмеченном символом F. Заметим, что первый и последний интервалы выбраны так, что/7 > 3. В результате получилось 12 интервалов. Подсчитаем затем наблюденные частоты, используя границы интервалов (табл. 4.1). После этого вычислим и просуммируем нормированные квадраты расхождений ожидаемых и наблюденных частот; получим X? = 2,43. Отметим, что в данном случае число степеней свободы равно 〃 =К — 3 = 9. Область принятия гипотезы находим из табл. А.З; получа-

ем X2 ^ Х9；О,О5 = 16,92. Следовательно, гипотеза о нормальности принимается с уровнем значимости а = 0,05.

Статистическая независимость и выявление тренда

При анализе случайных данных часто возникают ситуации, когда требуется выяснить, являются ли наблюдения или оценки параметров статистически независимыми или же они подвержены тренду. Особое значение эта задача приобретает при анализе нестационарных данных, изучению которых посвящена гл. 12. Поскольку наблюдения или оценка параметров могут иметь самые разнообразные функции распределения, то удобно такие исследования проводить на основе свободных от распределений или непараметрических методов, в которых относительно функции распределения исследуемых данных не делается никаких предположений. Критерий серий н критерий инверсий дают два примера таких процедур, весьма полезных для установления статистической независимости и выявления тренда.

КРИТЕРИЙ СЕРИЙ

Рассмотрим последовательность N наблюденных значений случайной величины х, причем каждое наблюдение отнесено к одному из двух взаимно исключающих классов, которые можно обозначить просто как (+) или (—).Простейший пример дает последовательность бросаний монеты, в которой каждое наблюдение ——это либо герб (+), либо решетка (—). В качестве второго примера можно привести последовательность измереннных значенийх, (/ = 1, 2, ...,N) с средним значениемх, где каждое наблюдение ——это х?》х (+) или X] V х (—). Третий пример ——последовательность одновременных измерений двух случайных величинх, ну, (/ = 1, 2, …,N), где каждое наблюдение — этох,》.』(+) илих^ < yt (—). В любом случае образуется последовательность вида

+ +—++—+ + + —+4-4-

*—^^—» '~—^—^ •- ■ ^-- '~—^—- j— ЧХ— ' 一、 ^ '—*^—^ '^--^—•* '—-4>——" *^-^-- ■,—»^-— j 4a----

123456789101112

Серией называется последовательность однотипных наблюдений, перед и лосле которой следуют наблюдения противопо ножного типа или же вообще нет никаких наблюдений. В данном примере в последовательности из N = 20 наблюдений имеется г = 12 серий.

Число серий, появившихся в последовательности наблюдений, позволяет выяснить, являются ли отдельные результаты независимыми наблюдениями одной н той же случайной величины. Именно, если последовательность N наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, т. е. если вероятность отдельных исходов ((+) или (—)) не меняется от наблюдения к наблюдению, то выборочное распределение числа серий в последовательности является случайной величиной 尸 со средним значением н дисперсией [4.1]

NN+ 1+ 10.51)0.51)

N

N

+ 1

+ 1

0.51)

0.51)

2MМ(2ММ - ^)^2(^ -1)2MМ(2ММ - ^)^2(^ -1)(4-52)(4-52)

2MМ(2ММ - ^)^2(^ -1)

2MМ(2ММ - ^)^2(^ -1)

(4-52)

(4-52)

Здесь N] — число исходов (+), aN? —— число исходов (—). В частном случае Nj =N? = N/2 выражения (4.51) в (4.52) принимают вид

WW(4-53)(4-53)

W

W

(4-53)

(4-53)

Небольшая табл. А.6 дает 100а-процентные точки функции распределения числа серий.

Вероятно, самое непосредственное применение критерий серий находит в задачах оценки данных, связанных с выявлением тренда в анализируемой последовательности. Предположим, что есть основания подозревать, что в последовательности наблюдений имеется тренд, т. е. есть основания считать, что вероятности появления (+) или (—) меняются от наблюдения к наблюдению. Существование тренда можно проверить следующим образом. Примем в качестве гипотезы, что тренда нет, т. е. предположим, что N наблюдений являются независимыми исходами одной н той же случайной величины. Предположим также, что число исходов (+) равно числу исходов (—)• Тогда число серий в последовательности будет иметь выборочное распределение, протабулированное в табл. А.6. Для проверки гипотезы с любым требуемым уровнем значимости а надо сравнить наблюденное число серий с границами области принятия гипотезы, равными гл<1_а/2 и г寿口/2, гдел = N/2, Если наблюденное число серий окажется вне этой области, то гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости а. В противоположном случае гипотезу можно принять.

ПРИМЕР 4.4 ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СЕРИЙ. Пусть имеется следующая последовательность N = 20 наблюдений некоторой случайной величи-

ны:

1.

5,5

6. 5,7

11. 6,8

16. 5,4

2・

5,1

7. 5,0

12. 6,6

17. 6,8

3.

5,7

8. 6,5

13. 4,9

18. 5,8

4.

5,2

9- 5,4

14. 5,4

19. 6,9

5.

4,8

10. 5,В

15. 5,9

20. 5,5

Проверим независимость наблюдений, подсчитав число серий в последовательности, полученной путем сравнения наблюдений с медианой» исходной последовательности. Применим критерий с уровнем значимости а = 0,05.

Из анализа данных видно» что х = 5,6 является медианой 20 наблюдений. Наблюдения, превышающие 5,6, классифицируем как (+), а наблюдения, меньшие 5,6, классифицируем как (—). В результате получим

D (Выборочная) медиана — это число, правее и левее которого лежит равное число наблюдений.——Прим, перев.

Таким образом, в последовательности из 20 наблюдений имеется 13 серий. Предположим, что наблюдения независимы. Область принятия этой гипотезы имеет вид

1Г10,1-а/2 V，& Г10, а/г]'

Из табл. А.6 для а = 0,05 находим г10;1_а/2 = г10；а975 = 6, г10;а/2 = =「10； 0,025 = 15. Гипотеза принимается, ибо г = 13 попадает в интервал, заключенный между 6 и 15. Это означает, что нет оснований сомневаться в независимости наблюдений, т. е. свидетельства в пользу тренда нет.

КРИТЕРИЙ ИНВЕРСИЙ

Рассмотрим последовательность нзА наблюдений случайной величины х, обозначенныхх, (/ = 1, 2, ...,N). Подсчитаем теперь, сколько раз в последовательности имеют место неравенства xt > Xj при / <j. Каждое такое неравенство называется инверсией. Обозначим через А общее число инверсий.

Формально А вычисляется следующим образом. Определим для множества наблюдений хj, х2, ..., х^ величины

厶=(1，х,>Х/ ；(4.55)

Тогда

工=Е 4，4 = Е % •(4.56, 4.57)

1 = 1у —/4-1

Например,

NNN

4=Е%〃^2= L^2y,/3=Е甸，.・.•

V=2у=3у=4

Для уяснения понятия инверсии рассмотрим такую последовательность из 8 наблюдений:

%1 = 5, %2 = 3, %з = 8, % = 9, х5 = 4, % = 1，大7 = 7,大8 = 5 •

В этой последовательностих! > х?，*】> *5 нх】> х6, т. е. /】=3 — число инверсий дляХр Возьмем теперь х2 н сравним его с последующими наблюдениями (т. е. Z = 2 и / < 7 = 3, 4, .... 8). Обнаруживаем, что только *2 > *6, так что число инверсий длях2 равно Л2 = 1. Продолжив эту процедуру, найдем что Л3 = 4, Л4 = 4, Л5 = 1, Л6 = 0 и Л7 — 1. Следовательно, общее число инверсий равно

Л = >(! + Л2 + ■ • • +7I7 = 3+1 + 4 + 4 + 1 + 0 + 1 = 14.

Если последовательность из N наблюдений состоит из независимых исходов одной и той же случайной величины, то число инверсий является случайной величиной А с средним значением и дисперсией

(4.58)(4.58)(4.59)(4.59)N(N- 1)

(4.58)

(4.58)

(4.59)

(4.59)

X"4—，

2館 + ЗМ - 5N N(2N + 5)(N - 1)

72=72

Небольшая табл. A.7 содержит 100а-процентные точки функции распределения А.

Критерий инверсий применяется примерно так же, как и критерий серий. Вообще говоря, этот критерий более мощный по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений. Однако этот критерий не столь эффективен при выявлении тренда типа флуктуаций.

ПРИМЕР 45 ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ИНВЕРСИЙ, Проверим наличие тренда в последовательности из N = 20 наблюдений из примера 4.4 при уровне значимости а = 0,05. Подсчитаем число инверсий в последовательности

4 = 8

4 = 6

"и

=7

4б =

0

力2 = 3

{7= 1

=6

%7 =

2

4 = 8

”8=8

力13

=0

Л18 =

1

力4 = 3

4 = 1

"14

=0

"19 =

1

Л5 = 0

4о = 4

"15

=3

Общее число инверсий / = 62.

Пусть гипотеза заключается в том, что наблюдения представляют собой независимые исходы случайной величины х, т. е. тренда нет. Область принятия этой гипотезы имеет вид

[^20,1-а/2 < / W ^20,а/2]

Из табл. А.7 при а = 0,05 находим Л20;1_а/2 = Л20;0 975 = 64 и т420;а/2 = =^20-0 025 = 125. Следовательно, гипотеза должна быть отвергнута с уровнем значимости 5%, так как Л = 62 не попадает в интервал, заключенный между 64 и 125. Напомним, что гипотеза о независимости этой же последовательности была принята при использовании критерия серий в примере 4.4. Этот факт иллюстрирует различную чувствительность этих двух методов проверки.

Корреляционные и регрессионные методы

Методы корреляционного и регрессионного анализа играют фундаментальную роль во многих разделах этой книги. Понятие корреляции двух случайных величин было введено в гл. 3 и получит дальнейшее развитие в

гл. 5. Понятие «линейная регрессия» лежит в основе методов оценивания частотной характеристики по входным н выходным данным (см. гл. 6 и 7). Однако материал этих глав излагается в терминах частот, что может "затемнить" его связь с более известными традиционными представлениями. Поэтому краткий обзор понятий «корреляция» н «регрессия» с точки зрения элементарной статистики будет полезным введением в данную тематику.

ЛИНЕЙНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Исключительный интерес для широкого класса задач представляет обнаружение взаимных связей между двумя и более случайными величинами. Например, существует ли связь между курением и ожидаемой продолжительностью жизни или между умственными способностями н успеваемостью. В инженерных применениях такие задачи обычно сводятся к установлению связи между некоторым предполагаемым возбуждением и наблюдаемым откликом изучаемой физической системы. Существование таких взаимосвязей н их относительную силу можно измерить коэффициентом корреляции /э, определенным в разд. 3.2.1. В простом случае двух случайных величия х и j коэффициент корреляции задается формулой (3.35):

Усу叫Усу叫(4.60)

Усу

叫

Усу

叫

где Сху ——ковариациях иу, определенная формулой (3.33).

Пусть теперь из случайных величинх иу получена выборка, состоящая из N пар наблюденных значений. Коэффициент корреляции можно оценить по выборочным данным следующим образом:

g-= Pxv =二g-= Pxv =二E 匕（X, 一 五）（% 一 /）E 匕（X, 一 五）（% 一 /）

g-= Pxv =二

g-= Pxv =二

E 匕（X, 一 五）（% 一 /）

E 匕（X, 一 五）（% 一 /）

(4.61)(4.61)?黄/,m 一 N而

(4.61)

(4.61)

[(次/,2 _ 应2)(e3й2 _缈2)f/2

Как и &у, выборочный коэффициент корреляции лежит между — 1 и + 1 и принимает одно из граничных значений только при наличии идеальной линейной связи между наблюдениями. Нелинейная связь н (или) разброс данных, вызванный ошибками измерения или же неполной коррелированнос- тью случайных величин (рис. 4.4), приводит к уменьшению абсолютного значения г*,.

Для оценки точности выборочного значения гху удобно использовать некоторую функцию от гху:

Рис. 4.4. Различные степени корреляции:。——точная линейная корреляция; 6 —— умеренная линейная корреляция; в ——нелинейная корреляция; г ——отсутствие корреляции.

Г 1 + rYV 1/

w = I In .(4.62)

В работе [4.2] показано, что распределение случайной величины w можно аппроксимировать нормальным распределением с средним значением и дисперсией вида

人=加1樓|'。"e.(4-бз-4-64)

На основе этих соотношений легко построить доверительные интервалы для pvv по выборочной оценке г、у в соответствии с рекомендациями разд. 4.4.

Из-за выборочной изменчивости оценок корреляции обычно приходится проверять, свидетельствует ли ненулевое значение выборочного коэффици-

ента корреляции о существовании статистически значимой корреляции между изучаемыми случайными величинами. Сделать это можно, проверив гипотезу pxv = 0, причем отклонение гипотезы будет говорить о значимости корреляции. Из формул (4.63) и (4.64) следует, что при . = 0 выборочное распределение w будет нормальным с средним /х^ = 0 и дисперсией 4 = 1/~ — 3). Поэтому область принятия гипотезы о нулевой корреляции будет иметь вид

(4.65)(4.65)

(4.65)

(4.65)

где z ——стандартная, нормально распределенная случайная величина. Если значение окажется вне этого интервала, то это будет признаком наличия статистической корреляции с уровнем значимости а.

ПРИМЕР 4.6. ЛИНЕЙНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОНЫЙ АНАЛИЗ. Табл. 4.3 содержит данные о росте и массе ^ = 25 выбранных наугад студентов. Есть ли основания считать, что рост и масса студентов коррелированы при уровне значимости q = 0,05?

Пусть х — рост, а у — масса. По табл. 4.3 вычислим величины, нужные для применения формулы (4.65):

/V

/V/V

L % % = 344 493, £ л,2 = 806 105, £ * = 148 9i8,

7-1

i-if-i

京=—£) /-1

4485_1 尚1916

『，=石=179,4,)=凡七乂= / = 76,64.

Подставив эти значения в формулу (4.61), получим опенку коэффициента

корреляции:

Таблица 4.3 Данные о росте и массе студентов (х — рост в сантиметрах, j — масса в килограммах)

х178188178 165 175185183175183193188183

у6395 67 66 83 757077 79708484

л173178180173 185165185188163183183170185

у751008482 77 617982687775 6677

- _344 493 - 25-179,4*76,64

中_[(806 105 ^25 4 79,^)(148 918 - 25-76,642)]1/2

По формуле (4.62) величина w = 0,460; поэтому w VN — 3 = 2,16. Гипотеза p^ = 0 должна быть отвергнута с уровнем значимости 5%, поскольку w VN — 3 = 2,16 не попадает в область принятия гипотезы, ограниченную величинами ± za/2 = 士 1,96. Следовательно, есть основания считать, что между ростом и массой студентов существует значимая корреляция.

ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Корреляционный анализ позволяет установить степень взаимосвязи двух и более случайных величин. Однако наряду с этим желательно иметь модель этой связи, которая дала бы возможность предсказывать значения одной случайной величины по конкретным значениям другой. Например, корреляционный анализ данных из примера 4.6 установил значимую линейную связь между ростом и массой студентов. Логичен следующий шаг: конкретизировать эту связь так, чтобы по данному росту можно было бы предсказать массу студента. Методы решения подобных задач носят наименование «регрессионный анализ».

Рассмотрим простой случай двух коррелированных случайных величин% и у . В условиях примера 4.6 х может быть ростом, ау — массой студента. Линейная связь между двумя случайными величинами означает, что прогноз значения величины у по данному значению х имеет вид

у = А Л- Вх , (4.66)

где Л иВ ——это соответственно отрезок оси ординат, отсекаемый прямой, и ее наклон. Если данные связаны идеальной линейной зависимостью 卜吋=1)，то предсказанное значение ^, будет в точности равняться наблюденному значению^ при любом данномх,. Однако на практике обычно отсутствует идеальная линейная зависимость между данными. Как правило, внешние случайные воздействия приводят к разбросу данных, и, кроме того, возможны искажения за счет присутствия нелинейных эффектов (см. рис. 4.4). Тем не менее, если все же предположить существование линейной связи и наличие неограниченной выборки, то можно подобрать такие значения Л иВ, которые дадут возможность предсказать ожидаемое значение 匕 для любого данного xf. Это означает, что yt не обязательно совпадает с наблюденным значением у{, соответствующим данному х,, однако оно будет равно среднему значению всех таких наблюденных значений.

Общепринятая процедура определения коэффициентов уравнения (4.66) состоит в выборе таких значений А и В, которые минимизируют сумму квадратов отклонений наблюденных значений от предсказанного значения

у, Эта процедура называется методом наименьших квадратов. Точнее, поскольку отклонения наблюденных значений от предсказанных равны

у,- У^У,-^ + BxJ ,у,- У^У,-^ + BxJ ,(4-67)(4-67)

у,- У^У,-^ + BxJ ,

у,- У^У,-^ + BxJ ,

(4-67)

(4-67)

то сумма квадратов отклонений имеет вид

Q = e(X - 4 -班)”・Q = e(X - 4 -班)”・(4.68)(4.68)

Q = e(X - 4 -班)”・

Q = e(X - 4 -班)”・

(4.68)

(4.68)

(4.69)(4.69)Следовательно, наилучшее согласие в смысле наименьших квадратов обеспечивают значения А и В, для которых

(4.69)

(4.69)

而一西

На практике обычно имеется ограниченная выборка из N пар наблюденных значений х и у. Это означает, что уравнение (4.69) даст всего лишь оценки Л иВ; обозначим их через о и b соответственно. Подставляя (4.68) в уравнение (4.69) и решая его относительно оценок величин А и В, получим

а = у - Ьх , (4.70а)

(4.706)(4.706)e器i(x,-五)/ _ £3与多- N専Е3(х,-无)2 =理】丘二N#

(4.706)

(4.706)

Эти оценки можно теперь использовать для построения модели, позволяющей предсказывать у по данному х:

у = а + Ьх = {у — Ьх) + Ьх =歹 + b(x 一 х).(4.71)

(4.72)(4.73)(4.72)(4.73)Прямая лнння, задаваемая уравнением (4.71), называется прямой линейной регрессии у нах. Поменяв ролями зависимую и независимую переменные в уравнении (4.70), получим прямую регрессии х на у:

(4.72)

(4.73)

(4.72)

(4.73)

х = х 4- "(у -歹),

,=Z3xj, - N号二 L^-Ny2

Сравнение произведения формул (4.706) и (4.73) с формулой (4.61) показывает, чго наклоны прямых регрессии v нах их на v связаны с выборочным

коэффициентом корреляции соотношением

(4.74)(4.74)厶＞ =[bb'F ■

(4.74)

(4.74)

Займемся теперь точностью оценок а н Ь, определенных формулами (4.70). Как показано в книге [4.2], в предположении нормальности распределения у при данном х оценки а иЬ являются несмещенными оценками / н В соответственно. Их выборочные распределения связаны с / -распределением соотношениями

(4.75)(4.75)(4-76)(4-76)

(4.75)

(4.75)

(4-76)

(4-76)

Особый интерес представляет выборочное распределением при конкретном

значении х = х°. Оно имеет вид

(4.77)(4.77)

(4.77)

(4.77)

В формулах (4.75)—(4.77) величина %尻一это выборочное стандартное отклонение наблюденного значения j, от предсказанногоj, = а + bxt, равное

，|х，|хEL5-気У- 2 -EL5-気У- 2 -п — 1〃一2п — 1〃一2г^ ■г^ ■(4.78)(4.78)

，|х

，|х

EL5-気У

- 2 -

EL5-気У

- 2 -

п — 1

〃一2

п — 1

〃一2

г^ ■

г^ ■

(4.78)

(4.78)

Приведенные выше соотношения дают возможность построить доверительные интервалы для А, В и у по оценкам а9 b и у.

ПРИМЕР 4.7. ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Определим по данным, содержащимся в табл. 4.3 из примера 4.6, прямую регрессии, задающую линейный прогноз средней массы студента по его росту. Найдем также 95 %-доверительный интервал для средней массы студентов, имеющих рост 178 см.

Пусть, как и в примере 4.6, х обозначает рост, а у — массу. Величины,

（4.70）, найдем（4.70）, найдемнеобходимые для определения наклона и отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, уже были вычислены в примере 4.6. Подставив н乂 в формулы

（4.70）, найдем

（4.70）, найдем

0,51 ,0,51 ,344 493 一 25-179,4-76,64

0,51 ,

0,51 ,

806 105 ^гбЧ^Л2

〃 =76,64 - 0,51-179,4 = 一 14,854.

Следовательно, прямая регрессии, оценивающая среднюю массу студента по его росту, имеет вид

/ = 一 14,85 + 0,51х,

откуда для ростах = 178 см получаем массу у = 75,9 кг.

Для построения^ доверительного интервала для средней массы у по оценке у = 75,9 есг следует вычислить sy^x по формуле （4.78）. С вычислительной точки зрения удобнее воспользоваться формулой

丨］—1（х,-五）5-»）「

£3（х, -天）2

расчеты по которой можно упростить еше больше, заметив, что

NNNN

Z 9 _ 万）2 = Z U； - N尸，X （х,-君（у - 歹）=£ X/ — Nxy .

/ —1*121i=l

Подставив нужные значения в эти выражения, получим

Тогда по формуле （4.77） 95%-доверительный интервал для средней массы студента, имеющего рост 178 см, имеет следующий вид:

_.1 （Хо ）2

У ± Ww-2；«/2 77 + =

=75,9 ± 8,5 6"23； 0,025=75,9 ± 8,5 6"23； 0,0251（178 - 179,4）2］芯251496 J1（178 - 179,4）2］芯251496 J

=75,9 ± 8,5 6"23； 0,025

=75,9 ± 8,5 6"23； 0,025

1（178 - 179,4）2］芯

251496 J

1（178 - 179,4）2］芯

251496 J

=75,9 土 3,6, т. е. от 72,3 до 79,5 кг.

На этом пример 4.7 заканчивается.

Описанные выше методы корреляционного и регрессионного анализа легко обобщаются на случай более двух случайных величин. Как указывалось ранее, такие обобщения играют фундаментальную роль в задачах анализа систем со многими входными и выходными процессами, изучаемых в

гл. 7. Поэтому дальнейшее обсуждение этого предмета откладывается до этой главы.

Задачи

Пусть плотность вероятности случайной величины х имеет вид

P(X)= -.

2怎

Найдите среднее значение и дисперсию х.

Даны две независимые случайные величиных му с средними значениями 也 и 〜и дисперсиями《м 啖 Найдите:

среднее значение произведения ху;

дисперсию разностих — у.

Дана случайная величина у = сх, где с — постоянная, ах — случайная величина с средним значением 也 и дисперсией《.Докажите справедливость следующих соотношений:

а) % = с/；

6)力=с%；・

Даны четыре независимые стандартные нормально распределенные случайные величины ^ р г 2, Z 3 K/Z, Найдите функции распределения указанных ниже комбинаций этих случайных величин. В каждом случае определите в зависимости от характера распределения либо число степеней свободы, либо среднее значение и дисперсию.

z； + z] + z申 + z：・；

Z] + Z? — Z3 - Z4.；

® ｛后+ Z二用/3产

jz； + z^ + Z 夕/3

Какие функции распределения следует использовать при построении доверительных интервалов для следующих параметров двух независимых нормально распределенных случайных величинх и j?

Интервал для & по выборочному среднему х и известной дисперсии %?

Интервал для《/《по отношению выборочных дисперсий s^A^.

Интервал для《по выборочной дисперсии s^.

Интервал для 丹 по выборочному среднему х и выборочной дисперсии 巧.

Дана временная последовательность из ^ = 100 измерений случайной величины%. Постройте область принятия следующих гипотез с 2%-уровнем значимости:

aj случайная величина содержит тренд；

100 измерений х статистически независимы.

Дана выборка H3N независимых наблюдений случайной величиных с извест-

118118Глава 4

118

118

величинавеличинаным нулевым средним значением. Тогда эффективной оценкой дисперсии % окажется

величина

величина

1 二、

Докажите, что эта оценка не смешена.

Выпишите выражение, связывающее эту оценку со случайной величиной хи- квадрат, выбрав подходящее число степеней свободы.

Какова дисперсия этой оценки? (Указание: дисперсия х； равна 2п.)

Нормированная случайная ошибка (коэффициент вариации) % несмещенной оценки параметра ф определяется как отношение стандартного отклонения оценки к ее математическому ожиданию, т. е.务=，/*©♦ Используя формулу (4.12), найдите нормированную случайную ошибку оценки дисперсии М, вычисленной тю N = 200 выборочным значениям.

Исследуется корреляция выборки из N = 7 пар наблюдений(Х]У~ х^,... ...,刁力).Вычислен коэффициент корреляции 外=0,77. Проверьте гипотезу о том, что pxv больше нуля с уровнем значимости а = 0,01.

Выборочные средние двух коррелированных случайных величин равны х = 1 ” = 2, выборочный коэффициент корреляции 々＞ —0,5. Если прямая регрессии 》на х есть j = 1 + х, то получите:

угол наклона Ъ' прямой регрессии х на j;

уравнение регрессии х на у (£ =。' + b ?)•

Глава 5СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕПРОЦЕССЫ

В этой главе обсуждаются элементарные и более сложные понятия теории стационарных случайных процессов, образующие основу для решения задач измерения и анализа таких процессов; изложение следует книгам [5.1, 5.2]. В главе приводятся формальные определения из теории стационарных случайных процессов, а также основные свойства ковариационных функций и спектральных плотностей. Формулируются результаты, относящиеся к эргодическим случайным процессам и производным от случайных процессов. Нестационарные случайные процессы рассматриваются в гл. 12.

Основные понятия

Случайный процесс (/(£)}, —8 < / < оо (иначе, временной ряд нли стохастический процесс), обозначаемый символом [],——это совокупность действительнозначных (или комплекснозначных) функций, которую можно охарактеризовать ее вероятностной структурой. Для удобства в последующем изложении переменная / будет интерпретироваться как время. Каждая отдельная функция /(F), где / ——переменная, а к фиксировано, называется выборочной функцией. С практической точки зрения выборочную функцию (или некоторый отрезок выборочной функции конечной длины) можно считать наблюдаемым результатом отдельного эксперимента. Возможное число экспериментов определяется выборочным пространством индексов к、 причем последнее может быть счетным или несчетным. Для любого 7V и любых фиксированных моментов времени 厶,弓,...,tN значения процесса х衣(0), /(f?)，•••，与(£川)представляют собой TV случайных величин, зависящих от индекса к. Предполагается, что для любого ^ существует полностью определенная N-мерная плотность вероятности. Пример совокупности выборочных функций, образующих случайный процесс, показан на рис. 1.10.

Отдельная выборочная функция 与(£) случайного процесса, вообще говоря, не характеризует случайный процесс {х£ Z)] в целом. Однако ниже будет показано, что при определенных условиях в особом классе эргодических случайных процессов необходимую статистическую информацию о случайном процессе в целом можно получить с помощью соответствующего анализа единственной выборочной функции. Для двух случайных процессов {/( £)} и [ук{ 0J аналогичная задача заключается в оценке совместных свойств двух случайных процессов путем соответствующего анализа пронз- зольной парьг выборочных функций 々(£) и 双(/).

Рассмотрим два произвольных случайных процесса {叫(f)} и 以(£)}• В первую очередь представляют интерес средние значения по ансамблю в ^осизвольный фиксированный момент времени t, где хК( г) и ,«( F)——слу-

чайные величины от аргумента к. Такие средние значения определяются формулой (3.8):

Мх") = Е【Х"(г)],%(г) = Е[у&(/)].(5.1)

Вообще говоря, эти средние значения зависят от времени и должны оцениваться особо для каждого момента £. Поэтому при 厶 # £? нмеем

m式幻，/(f2)，/(g)，%"2).(5.2)

Следующие важные статистические характеристики ——это корреляционные функции3 определенные для произвольных фиксированных моментов времени ^ = Z и Г2 = Г 4- т：

Qx(f，f + Т)= Е【(Х"(Г)- Мх(/))(Х"(Г + т)-限(f + т))]，

GpQ, f + т) = Е[(玖(。一 ％"))(玖Q + т)-也,(r + т))], (5.3)

C»(f, f + т) = E[(x&(。一 限⑺)(也"+ т) - %(f + т))].

В общем случае эти величины различны для различных комбинаций Zj и tr Заметим, что при 7 = 0(厶=弓=£)

C.x(r, г) = e[(x4) -Mx(f)丹=W

J,,(f, t) = Е((л(<) - Mv,(r))2] = o：(f),(5.4)

%(r, r) = E[(x&(f) - /(/))(”") -/,«))] = Cxy(t).

Следовательно, корреляционные функции『(f; f) м。叩(f, f) совпадают с обычными дисперсиями процессов {与(£)} и [ук( О] в фиксированный момент £, в то время как С^(厶 f) представляет собой ковариацию случайных величин [与(£)} и [yk( Z)}. Как и выше, результат зависит от 九

По ансамблю реализаций можно определить н другие статистические характеристики, зависящие от трех и более моментов времени. Тем самым вероятностная структура случайных процессов1) будет описываться все более летально. Если |х衣(£)} и {ук( Г)] имеют для фиксированного момента f двумерное гауссово распределение, то каждая из величин \хк( /)) и {ук( z)j тоже подчиняется гауссову распределению. В этом случае определенные выше средние значения и ковариационные функции полностью описывают вероятностную структуру процесса. По этой причине в данной главе основ-

ное внимание уделено этим двум статистическим характеристикам и их связи со спектральными плотностями.

Если средние значения 日%(t) и ^ (t) вместе с корреляционными функциями 『(厶，+ 7)，%(厶 £ + 7)н 9(厶，+ 7)принимают одинаковые значения при всех фиксированных значениях £ (т. е. не зависят от выбора начала отсчета), то случайные процессы |与(£)} н [ук( £)} называются слабо стационарными. Если всевозможные распределения, связанные с {/(£)} и [ук( £)}, не зависят от выбора начала отсчета времени, то такие процессы называются строго стационарньшм. Поскольку средние значения и корреляционные функции определяются только одномерными и двумерными функциями распределения, то отсюда следует, что класс строго стационарных случайных процессов входит в класс слабо стационарных случайных процессов1^. Однако в случае гауссовых случайных процессов слабая стационарность влечет строгую, поскольку все характеристики этих процессов определяются средним значением и корреляционной функцией. Следовательно, для гауссовых случайных процессов оба понятия стационарности совпадают.

КОВАРИАЦИОННЫЕ (КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ) ФУНКЦИИ

Для стационарных случайных процессов [хк( Z)) и [ук( £)}, которым посвящена эта глава, средние значения постоянны и не зависят от времени t, т. е. для всех г

Мх=Е—] = / xp(x)dx,

У 一 8,、

8(5.5)

% = £—]=/ yp{y)dy,

где р(х) и 〃(у)——плотности вероятности случайных величин 々(f) и ук( О соответственно. Корреляционные функции стационарных процессов также не зависят от 九

Определим для произвольных фиксированных f и т функции r以T)=矶X"⑺X/Г + T)]，

А»(т) = Е[у&(/)”(/+ т)]，(5.6)

Rxy(T)= E[x&(f)y&(r + T)],

где вместо С используется символ R для того, чтобы отличать эти величины от корреляционных функций, введенных формулами (5.3). При ненулевых средних R отличны от С. Величины &^⑺ и Ryy(r) называются автокорреляционными или ковариационными функциями процессов {/(£)} и

D Предполагается, что существует второй момент процесса.——Прим, перев.

{%(£)} соответствен но, а 択个(7) называется взаимной ковариационной функцией {%(/)} и {%(£)}•

Для того чтобы 灭打(7)была ковариационной функцией слабо стационарного случайного процесса {х^(/)], необходимо и достаточно, чтобы R.(t)=択打(-7)и *хх(т)была неотрицательно определенной функцией. Можно также показать, что 勺丫(丁)一 непрерывная функция от т, если оиа непрерывна в нуле. Аналогично R灯⑺一непрерывная функция во всех точках 7, если 勺工⑺ и 勺歹⑺ непрерывны в нуле [5.3].

Для двух стационарных случайных процессов {与(/)} и {也(/)} совместная плотность вероятности 尸(玉，砲)паРы случайных величин jq = xk( О и х?=与(1 + 7)не зависит от 九 Совместная плотность вероятности p(yv 歹2)，относящаяся к паре случайных величин уг = ук( /) и ^2 = yk( Z + т), тоже не зависит от t. Этим же свойством обладает совместная плотность вероятности р( хр j^), характеризующая случайные величины jq = хк( О и у2 = ук( / + 7). В терминах этих плотностей имеем

&х(т) = )/ X/2P(Xi，Х2)妬厶2 ,

00

r抄⑺二Я hy2P (乃丿2)久功2 ,(5-7)

R-(T)= //" X1%P(X1，刈)厶1 办2 .

—oo

При произвольных 日％ и 从у ковариационные функции связаны с корреляционными функциями соотношениями

Схх(т) = <хх(т)=尺，Суу(т)=氏抄(т)—3(5.8)Схр(т) = R»⑺ - к% •

Следовательно, корреляционные функции совпадают с ковариационными, если средние значения равны нулю. Заметим, что, по определению, два стационарных случайных процесса не коррелированы, если С (т) = 0 для всех 7. В силу формул (5.8) это имеет место, если только R中(了) = %~ лля всех т. Следовательно, если R吋(7)= 0, то два процесса не коррелированы только тогда, когда хотя бы одно из средних 从％ или 勺 равно нулю.

Из предположения стационарности следует, что ковариационные функции 7?^(т) и R» (т) — четные функции от т, т. е.

&хх(-т) = &<т)，А»(-т) = &抄(т)・(5・9)

В то же время взаимная ковариационная функция не обладает свойством

четности или нечетности, но удовлетворяет соотношению

Rx,(-t) = R,x(t).(5.10)

Соотношение (5.10) доказывается следующим образом. По определению,

&ху(-т) = Е[х(г)у(г - т)],

где зависимость от к опущена для простоты обозначений. Поскольку результат не зависит от сдвига начала отсчета, £ можно заменить на Z + т до взятия математического ожидания. Поэтому

Rq(-t) = E[x(f + т)у(/ + т - т)] =

=E[y(r)x(r + т)] = Jx(t),

что завершает доказательство. При х = у получаем

Rxx(-T)= ^хх(т), Ryy(-T)= Ryy(T)，

т. e. формула (5.9)——частный случай формулы (5.10).

Корреляционные свойства стационарных случайных процессов |与(£)} н [ук( Z)) описываются четырьмя функциями 択*貝7), ^(т), Rxy(r) и %(7), которые можно вычислять только для значений 7》6, поскольку из соотношений (5.9) и (5.10) легко получить их значения для 7 Vo.

ПРИМЕРЫ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В табл. 5.1 приведены примеры ковариационных функций, находящих применение в теоретических исследованиях.

ПРИМЕР 5.1. КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА, Пусть {々(f)} = { Xsin [2朽益 f + 6(左)]}——гармонический процесс, причем X и fG ——постоянные, а 6(左)——случайная величина с равномерной плотностью р(е), заданной на (0, 2тг). Найдем его ковариационную функцию勺式7).

Здесь для любого фиксированного t случайные величины имеют вид х&") = Xsin[2嘲/ + 6(A)] = *1(6),

х&" + 丁)= Xsin[2唬(/ + т) + 6(A)]=犬2(6) •

По формуле (5.6) получим

^хх(т) = E[x&(f)xJr + т)] = E[xi(6)X2(0)],

Таблица 5.1. Ковариационные функции, часто используемые в теоретических исследованиях

Тип

Ковариационная функция

Постоянная

Rxx⑴=/ 0

Гармоническая

\^^夫/^ &**(7)=—cos2喷丁

0

Белый шум

Rxx(T)=06(7)

0

Низкочастотный белый шум

〜个/仁⑺…（嗤制

Ограниченный по частоте белый шум

R xx ( 丁 ) = a 8 (冬§丁 j cos 2 姉丁

0

Экспоненциальная

0

Экспоненциальнокосинусоидальная

RXX ( т ) = e- "E COS 2mf^T

0

Экспоненциально- косинусоидальносинусоидальная

1у “ Rxx(t) =叩I(bcos2姉丁 + csin27r/^|T|)

0

где р(6) = (2?г)т при О W 6 W 2тг и /?(0) = 0 в остальных случаях. Поэтому величина

R*x(t) = т / "sin(2”/0f + 0)sin[27r/o(z + г) + 0] d0 =

X2

=—cosZvr/oT

дает ковариационную функцию стационарного случайного гармонического процесса; ее график изображен в табл. 5.1.

ПРИМЕР 5.2. КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ТЕЛЕГРАФНОГО СИГНАЛА. Рассмотрим теперь физический эксперимент, порождающий случайный телеграфный процесс [与(Z)} , представ л я ющий собой совокупность прямоугольных волн, принимающих два значения (с и —с), причем перемены знака внутри интервала (厶 t + 7) происходят в случайные и независимые моменты времени с интенсивностью X. Предположим также, что события внутри интервала (I, f + 7) не зависят от событий, происходящих вне этого интервала. Определим событие /〃:

& = Событие [Внутри интервала (t, t + т) происходит ровно и перемен знака].

Такой физический эксперимент описывается пуассоновским распределением [5.1], в котором вероятность события /〃 равна

(入 1T1)〃 、Р(4) =；—е~№1 .

Найдем ковариационную функцию процесса [хк( ^)}.

Ковариационная функция вычисляется следующим образом. Каждое отдельное произведение х衣(£)/(£ + т) равно либо с2, если 与(£) и хк( Z + т) имеют одинаковые знаки, либо — с2, если их знаки противоположны. Суммарная вероятность того, что это произведение есть с2, равна сумме F(力°) + 尸(力2)+ Р(4)+ …，а суммарная вероятность того, что это произведение есть -с2, равна сумме Р( Л^ + Р( Д3) + Р(Л5) + .... Следовательно,

&х(т) = E[xk(t)xk(t + т)] = с2 自( — 1)"Р(4) = 打=0

=с2е-№1 £= с2е-2№1.

” =о«!

Эта экспоненциальная функция изображена в табл. 5.1 при 〃 = 2Х н с2 = 1.

ПРИМЕР 5.3. КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СУММЫ ДВУХ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ. Пусть случайный процесс {ук( /)] равен сумме двух стационарных процессов {х】 衣(£)} и [々 к^ ^- Любая его выборочная функция имеет вил

打")=a/1,&(Г) +a2*2,*(Г),

где % и &— постоянные. Допустим также, что {х(衣(» н [х2 衣(例 могут коррелировать между собой. Вычислим ковариационную функцию R»(7)・ По формуле (3.44) получим

r別(T)=矶外⑺为"+ t)]

=矶(a1占,4) +a2以4))(a/1,&а + T) +a2X2,4 + T))] =

-=^E[xvk(t)xr k(t + т)] + а^Е^ k(t)x2 k(t + т)] +

+a1a2E[x2k(t)x1Ji(t + т)] +。―凤&⑺我&« + 丁)]=

=a-$&(T) +a運2[仆 以Т) + 必印⑺]+a泣 Jt).

Следовательно, для определения ковариационной функции суммы нужно знать ковариационные функции исходных процессов, а также их взаимную ков明национную функцию.

ПРИМЕР 5,4. НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЕ ЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Пусть х и у ——случайные величины вида х = cos ф и у = sin ф, где 0 ——случайная величина, распределенная равномерно на (0, 2тг). В этом случае существует свяаь между х и у, поскольку у = V1 — х2. Поэтому р(х, у)力 р( х)р(у\ что говорит о статистической зависимости между х и у. Однако ковариация хну равна

сху = Е[ху] - E[x]£[j] =

m E[cos<j>sin(j>] — £[cos ф]Е(8Шф] =

=|E[sin 2ф] = 0.

Следовательно, х и ^ не коррелированы.

НОРМИРОВАННАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Для взаимной ковариационной функции справедливо неравенство

Wxy(T)|2wRxx(O)R»(O),(5.11)

называемое неравенством для взаимных ковариационных функций. Доказать его можно следующим образом. Для любых действительных чисел 〃 и b математическое ожидание

E\(ax(t) + by(l + т))2] > 0 ,

поскольку в нем участвуют только неотрицательные величины. Это неравенство эквивалентно следующему:

MR**®) + 2abRxy(r) + b2Ryy(0) > 0 .

Поэтому в предположении 匕 # О

((『Rxx(O) + 2(^)Rxy(T)+ R»(0) > 0 .

Левая часть этого неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно а/b, не имеющий в силу последнего неравенства различных действительных корней. Поэтому дискриминант этого трехчлена не превосходит нуля, т. е.

Дискриминант = 4衣宴 т) - 4Алх(0)2?уу(0)< 0 •

Следовательно,

——)=1&丁(丁)产4氏一(0)氏"(0),

что завершает доказательство.

Рассматривая х(£) — ^хн у (t + т) — д;, вместо х(/) м y(t + 7), тем же способом получаем неравенство для взаимных корреляционных функций:

О? V Qx(0)5(0).(5.12)

Заметим, что

Зхх(т)| < Rxx(0),|С.х(т)| < Qx(0),(5.13)

поэтому максимальные значения ^хх(т) и Схх(т) достигаются в т = 0 и равны соответственно среднему квадрату и дисперсии процессов, т. е.

択以0)=矶邸⑺]=此，Gx(o)=。/，，、

(5.14)

R”(0) = E[一(r)] = . , 4(0) = o； 一

(5-15)(5-15)Следовательно, неравенство (5.12) можно записать как

(5-15)

(5-15)

Су(т)『< О“.

Определим теперь коэффициент корреляции (нормированную взаимную корреляционную функцию)

Рху(т) = —，(5.16)

который для всех 7 удовлетворяет неравенствам

-1 <рхДт)<1.(5.17)

Если одна из величин 从、или 四丁 равна нулю, то

Рх<т)=色止】，(5.18)

так как в этом случае % (丁)=仆(丁)・ Функция р (т) характеризует степень линейной зависимости между {/(£)} и {%(£)} при данном сдвиге 7 процесса (yk( f)} по отношению к процессу {х衣，f )}・ По сути дела, это — обобщение коэффициента корреляции, используемого в классической статистике и изученного в разд. 3.2.1 и 4.8.1.

ВЗАИМНАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

ПРИ НАЛИЧИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Пусть передаваемый сигнал представляет собой стационарный случайный процесс х(0 с нулевым средним значением. Предположим, что принимаемый сигнал тоже стационарен и имеет нулевое среднее:

MD = ax(f - %) + “(f).(5.19)

Величина a ——это постоянный коэффициент затухания, величина 7。= d/c ——постоянное запаздывание, равное частному от деления расстояния d на скорость распространения сигнала с, а 九(£) — некоррелированный шум на выходе с нулевым средним (рис. 5.1).

В этой задаче взаимные ковариационные функции х( О и у( t) имеют вид

Rxy(T)= E[x(f)y(f + Т)] = E[x(t){ax(r + т - т0) + n(t + т)}] =

=aE [x(t)x(t + т - т0)] = аКт - т0).(5.20)

Следовательно, R勺(т) попросту равна ковариационной функции 厶(丁), сдвинутой на величину запаздывания % и умноженной на коэффициент затухания а. Максимальное значение R吋(7)приходится на 7 = 7°, так что

Rxy(T)peak =氏打(％) = а&х(о) = a。/•(5.21)

п(0п(0Рис. 5.1. Схема распространения сигнала в задаче определения запаздывания.

п(0

п(0

Этот результат иллюстрирует рис. 5.2. Заметим, что, определив значение 70 по положению максимума и зная одну из величин — расстояние d или скорость распространения с — можно найти другую, так как d = а。. Практические примеры задач измерения запаздывания рассматриваются в книге [5.2].

Считая по-прежнему, что х(£)м n(t) имеют нулевые средние значения, определим значение коэффициента корреляции при 7 = % по формуле (5.18)

Р^-^ = ^у-622)

Поэтому, зная 0^(7°), можно найти коэффициент затухания а:

а = РХу(го)[ау/ах]-(5.23)

Рис. 5.2. Типичная взаимная ковариационная функция в задаче определения запаздывания.

Следовательно, дисперсия j( /) при некоррелированных х(1) н к(£) равна 。:=е[/(3 = а2о2 + о2(5.24)

и имеет две составляющие: вклад х(/) в дисперсию y(t) и вклад п(/) в дисперсию j( /), которые соответственно равны

а%? = Р《/, с? = (1 - р0"2(5.25)

Формула (5.24)——частный случай соотношения

R 抄(т) = E[y(r)y(r + т)] = а2Лхх(т) + Л„„(т)(5.26)

при 7 = 0.

Функции спектральной плотности

Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами, которые будут описаны в последующих разделах:

с помощью ковариационных функций;

с помощью финитного преобразования Фурье;

с помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения.

Будут также получены важные соотношения для этих функций, которые используются во многих приложениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ

КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Исторически первый способ определения спектральной плотности появился в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предварительно вычисленной ковариационной функции. После вычитания средних такие (бесконечные) преобразования Фурье обычно существуют, даже если (бесконечное) преобразование Фурье исходного стационарного случайного процесса не существует. Этот подход дает двустороннюю спектральную плотность, обозначаемую S (/) м определенную для / из ( — оо, 8).

Пусть существуют ковариационные и взаимная ковариационная функции "а(т)‘ R抄(7)н 氏吋(丁)，задаваемые формулами (5.6). Предположим дклее, что конечны интегралы от их абсолютных величин:

|7?(т)| "т V 8 .

На практике это условие всегда выполняется для реализиций конечной длины. Тогда преобразования Фурье функций R (г) существуют и определяются формулами

(5-27)(5-27)sjj)=『R,x⑺eBHdT,

(5-27)

(5-27)

syy(n = Г Ryyh)e-^d-r,

J —8

Sx，(/)=/：Rx，(T)e/”'dT.

Такие интегралы по конечным реализациям существуют всегда. Величины 5^(/) и 5 (/) называются функциями спектральной плотности процессов {х*( г力 и [^( О] соответственно или просто спектральными плотностями, а 5^(/) называется взаимной спектральной плотностью {々(£)} н 旧(r)}.

Обратные преобразования Фурье от формул (5.27) дают

RA^-Г SxxU)e^df,

(5.28)(5.28)8

(5.28)

(5.28)

RJ*=『 S”U)ei2吁 df,

R*y⑺=「SJJ”m力.

8

При решении практических задач приходится допускать наличие в R⑺ и 5(/) дельта-функций. Соотношения (5.27) и (5.28) часто называются формулами Винера — Хинчина в честь математиков Н. Винера из США и А. И. Хинчина из СССР, которые в начале ЗО-х годов независимо установили связь между ковариационными функциями м спектральными плотностями через преобразование Фурье.

Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций, описываемых формулами (5.9) и (5.10), следует, что

(5-29)(5.30)(5-29)(5.30)sKT) = s募⑺=sjj), 与(-/)=可(/) = %(/), sxy(-f) = s^(f) = syx(f).

(5-29)

(5.30)

(5-29)

(5.30)

Следовательно, спектральные плотности 5^(/) и S抄(/) — действительные четные функции от £ а взаимная спектральная плотность — комплексная функция от /. Позже будет доказано также, что 5^(/) и Syy(f) неотрицательны для всех /.

Формула (5.30) доказывается следующим образом. По определению,

Sxy(-f)= Г Rxy(r)e^dr,

S*")=/：&>")е“""т，

Sxy(f) = RyOe-Ef，丸

Сразу видно, что %(— /) = 5^(/). Выполним теперь замену переменных в первом интеграле, положив 丁 = —〃, d? = — d〃. Тогда

Sxy(T)=『 Rx,S，“du.

Ho R号(—〃)=R»x( “) согласно формуле (5.10). Поэтому s以一/) = f^RMe-^du- %(/),

что завершает доказательство. Формулы (5.29) — частный случай формулы (5.30) при х") = y(f).

Спектральные соотношения из формул (5.27) можно преобразовать к виду

S*x(/)= / Rxx(t)8s2тт『тс1т = 2 f Rxx(T)cos2TTfTdTt J-00%

88(5.31)

4y(/) = / Ryy(T)cos2irfTdT = 2/ Riy(T)cos2irfTdT.

Обратные преобразования имеют вид

R*x(T)= 2( Sxx(f)cos2irfTdf,

(5.32)

灭抄(丁) = 2厶 Syy(f)cos2irf-rdf.

Односторонние спектральные плотности G//) и Gyy(f)9 где / изменяется только в пределах интервала (0, 8)； определяются формулами

G**(力=2SJJ), 0</< оо;,

(5.33)

G»(/) = 2%(/),0</< оо,

а вне указанной области значений / имеем G^ = Gyy = 0. Именно эти ве-

личины измеряются на практике с помощью прямой фильтрации. Однако использование в математических расчетах функций 5^(/) и %(/), определенных на ( —8, оо), н показательных функций с мнимым аргументом часто упрощает анализ. Большое значение имеет возможность свободно оперировать с обоими представлениями, и оба они будут использоваться в этой книге. Рис. 5.3 иллюстрирует связь между этими функциями.

Односторонние спектральные плотности 6Ax(/) и G抄(/) связаны со стационарными ковариационными функциями ^хх(т) и Ryy(r) соотношениями

G*x(/) = 4( Rxx(T)cos2irfTdT, 0 </< оо ；

(5.34)

G>，(/) = 4厶 Ryy(T)cos2irf7d7 , 0 </< оо .

Обратные преобразования имеют вид

灭以丁) =，G以/)cos2"/t“ ,

(5.35) R»(t)= J：G»U)cos2FfTdf.

В частности, при 7=0 получаем

r以0)=eb2")]=心= /8g,“)/,

(5.36) 灭抄(。)=E[y2(f)] = M = ( G»(/) < .

Односторонняя взаимная спектральная плотность G^(/), где / мзменя-

ется на (0, оо), определяется как

Gxy(f) = 2Sxy(f), о“<8,(5.37)

а в остальных случаях Gxy = 0. Из формулы (5.27) имеем

G*”)= 2/： &,(т)е-/2”"т = %(/) -&»(/),(5.38)

где С^(/) называется коспектральной плотностью (коспектром), а Qxy{f) — квадратурной спектральной плотностью (квадратурным спектром). В терминах %(/) и Qxy(f) взаимная ковариационная функция

имеет вид

Rx>(T)=厶[q>(/)cos2k" + Q»(/)sin2""] df. (5.39)

Заметим, что C^f) и QXy( f) выражаются через GXy{f), а не через 5^(/). Отметим также, что при г = О

&,(О) = E[x(t)y(t)]= f"cxy(f)df.(5.40)

Величину 勺歹(0) можно определить, зная %(/) = &[6刈(/)].

Одностороннюю взаимную спектральную плотность можно представить в комплексной полярной форме:

Gxy(f) = \Gxy{f}\e^f\ 0</< оо ,(5.41)

где модуль и фазовый угол определяются формулами

|G“/)| = «С?,и)+ /“),(5.42)

先(/) = arctg . ⑺•(5.43)

Знаки членов Cxy(f) и Qxy(f) могут быть как положительными, так и отрицательными, и их сочетание определяет квадрант, в котором располагается фазовый угол. Эти знаки определяют также частоты, на которых функция y(f) опережает х( f) или х(£) опережает у( f). Если реализация j( О опережает х( /), то это означает, что y(f) = x(f — т。), где т0 > 0 и Q“(/) = 2тг/70. Связь фазового угла с %(/) и Qxy(f) показана на рис. 5.4. Аналогично двусторонняя взаимная спектральная плотность в комплексной полярной форме имеет вид

+ Qx“)

_ с m

"/2 < Qx>(/) < " y(f) опережает x(£) на частоте /

о < Qx") V "/2 y(E) опережает x(f) на частоте /

+ G”)

^xy\J/ -

-"< Qxy{f) < -"/2 x(f) опережает j(0 на частоте /

~v2<ex//)<o x(f) опережает у") на частоте /

Рис. 5.4. Связь между фазовым углом и составляющими взаимной спектральной плотности.

где 15^(7)! = IGxy(/)l/2, а %(/) то же, что и в формулах (5.41) и (5.43).，

Из формулы (5.38) следует, что

%(/) = 2([尺功⑺ + R，x(T)]cos2k/rdT = Cxy(-f),

(5.45)

Q»(/) = 2( [Лху(т) - Ryx(T)]sin2irfrdT = ~Qxy(~f)-

Поэтому %(/)— действительнозначная четная функция £ a Qxy(f)— действительнозначная нечетная функция /. Итак,

G>(/) = 1[Ч//)+ —)] = |G»(/)|cos %”),

(5.46)

以”)=(〃2)[g*,(/) - G，”)] = |G“(/)|sin%(/).

Спектральные характеристики стационарных случайных процессов 1^(0] и [ук( Г)), описываемые тремя функциями 5注(丿)，5^(/) и 5^(/) или четырьмя функциями 5^(/), S抄(/), %(/) и С (/), достаточно вычислять только для /》0, поскольку соотношения (5.29), (5.30) и (5.45) позволяют вычислить их для / < 0. Очевидно, соответствующие функции G должны вычисляться только для /》0.

При выполнении операций над спектральными плотностями, включающими дельта-функции в / = 0, удобно считать, что нижний предел интегрирования понимается как предел слева в нуле. В частности, если "(7)= с2, то отсюда следует, что G(/) = с26(/). В этой ситуации 5(/) тоже имеет вид 5(/) = с2д(/), т. е. множитель 2 в формуле (5.37) в случае

Таблица 5.2. Функции спектральной плотности, применяемые в теоретических исследованиях

Тип

(Односторонние) спектральные плотности

Постоянная

IG*，/) = c2b(/)

0

Гармоническая

t Схх(/)=^8(/-Л)

0 %"

Белый шум

2al ^

Gx(f) = 2a, / 之 0; в остальных случаях G^ 20

0

Низкочастотный белый шум

а 1

1—«-iGxx{f) = a,0 <f < B\ в остальных случаях

——G = 0

0 Вхх

Ограниченный по частоте белый шум

G„(/) = «- 0<Л-(В/2)</<Л+(В/2);

1Р-в остальных случаях G…=0

0 益м

Экспоненциальная

Qx(/)二 2 и

0I + 4 打

Экспоненциальнокосинусоидальная

1 'jC'")-2七 + 4/(/+/。)2 '公 + 痴气/一行 0

Экспоненциальнокосинусоидально- сннусоидальная

r2。〃 +4?rc(J + -) < 2ab-497c(f-C)

0a + 4M(f + /o)a 十 4M(/-/o)

дельта-функции в / — 0 отсутствует. Это рассуждение не имеет силы для ковариационных функций, содержащих дельта-функцию в 丁 = 0, поскольку ковариационные функции определены для всех г. Поэтому А(т) = 〃В(т) соответствует как плотности 5(/) = а для всех /, так и G(b) = 2а для /》0・

В табл. 5.2 приводятся примеры функций спектральной плотности, применяемых в теоретических исследованиях.

Ограниченный по частоте белый шум. По определению, ограниченный по частоте белый шум ——это стационарный случайный процесс с постоянной спектральной плотностью вида

G*x(/) =卜'° V/о -(8/2) "4/о + (8/2);[О, в остальных случаях.

Здесь 益一центральная частота прямоугольного фильтра с шириной полосы В. Процесс этого вида называется также узкополосным белым шумом. По формуле (5.35) находим, что соответствующая ковариационная функция

(5.48)(5.48)есть.

(5.48)

(5.48)

&хх(т) ^ / acosItt/tJr = аВ\]cos2it

J/o-(B/2)I кВт 丿

(5-49)(5-49)В частном случае R)= 8/2 процесс называется низкочастотным белым шумом и имеет спектральную плотность вида

(5-49)

(5-49)

G以0<f<B；

\ 0, в остальных случаях.

с ковариационной функцией

sin27rBr\

火点т) = аВ火点т) = аВ2 一т /(55。)

火点т) = аВ

火点т) = аВ

Соответствующие графики изображены в табл. 5.1 н 5,2. Узкополосный белый шум, в том числе и низкочастотный, имеет конечный средний квадрат вида

『GjJ)df=aB = RM0).(5.51)

Такими плотностями иногда аппроксимируют спектры реальных процессов.

Предельный случай низкочастотного ограниченного по частоте белого шума, именуемый белым шумом^ по определению, имеет спектр, равный постоянной для всех частот. Такой процесс на практике встретиться не может. Именно в случае белого шума при /》0

(5.52)(5.52)G*x(/) = а-

(5.52)

(5.52)

Поэтому

Zx(/) = (〃/2) для любых значений/, (5.53)

&*(т) = (а/2)6(т),(5.54)

/ G*JJ)df= оо = Rxx(O),(5.55)

откуда видно, что белый шум имеет бесконечный средний квадрат. Такой чисто теоретический белый шум не может быть гауссовым процессом, поскольку для корректного определения гауссова процесса его средний квадрат должен быть конечным.

ПРИМЕР 5.5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА. Ковариационная функция гармонического процесса, описанного в примере 5.1, имеет вид

ГR*x(t) = -y-cos2w/oT.

Подстановка в формулу (5.27) дает двустороннюю спектральную плотность

\х(/)= ^-[5(/-/o) + S(/ + /o)].

состоящую из двух дельта-функций, локализованных в / = У^ и / = —益. Поэтому односторонняя спектральная плотность равна

К?

G.")=彳n/一加.

График этой функции изображен в табл. 5.2. Заметим, наконец, что

GxAf)df= — =/?хх(0).

ПРИМЕР 5.6. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ТЕЛЕГРАФНОГО СИГНАЛА. Телеграфный сигнал, описанный в примере 5.2, имеет ковариациоиную функцию экспоненциального вида

А*х(т) = с2е~2А|т|.

Подстановка в формулу (5.27) дает двустороннюю спектральную плот

ность

S*”)=S*”)=Поэтому односторонняя спектральнаяПоэтому односторонняя спектральнаяG/)=G/)=入C 2入2 + //2 •плотность имеет вид2入一入2 + //2 *入C 2入2 + //2 •плотность имеет вид2入一入2 + //2 *

S*”)=

S*”)=

Поэтому односторонняя спектральная

Поэтому односторонняя спектральная

G/)=

G/)=

入C 2

入2 + //2 •

плотность имеет вид

2入一

入2 + //2 *

入C 2

入2 + //2 •

плотность имеет вид

2入一

入2 + //2 *

Q")…=…Q")…=…График этой функции приведен в табл. 5.2 для а = 2入 и с? = 1. Заметим, что

Q")…=…

Q")…=…

ПРИМЕР 5.7. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ ПРОЦЕССОВ. Ковариационная функция суммы двух стационарных случайных процессов, описанных в примере 5.3, равна

%，(Т)= ■仆具т) + aya^R^-r) + 尺—⑴]+ -Rх2х2(т) •

Подстановка в формулу (5.27) дает двустороннюю спектральную плотность

s»(/)=a泣/")+a№风以/) + Sx&/)] + 依")•

Однако S (/) = S； (/), поэтому

S&x”) + SX2Xi(f) = 2Re[s』W)] = %").

Следовательно, 5^(/) — действительная функция и может быть записана в виде

s»(/)=。落貝/) + —2%“) + a\sxixy).

Соответствующая односторонняя спектральная плотность имеет вид

G»(/)=。笛勺貝/) + 2。冋JX/) + 城G^X/) •

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ ЧЕРЕЗ ФИНИТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Второй способ определения спектральных плотностей по своему характеру тоже является математическим. Он основан на финитном преобразовании Фурье реализаций исходного процесса. Именно этот способ в настоящее время используется для вычисления спектральных плотностей.

Рассмотрим пару реализаций хк{ t) и ук( Г) стационарных случайных процессов {х^( z); и [ук( t)]. Определим на конечном интервале времени 0《f W Т функцию

1

s、, (/，Т，k) = ^(f,T)Yk(f,T),(5-56)

где

(5-57)

YP，T)= 小卜⑺广叩也

Величины *£『，Г) и У^(/, Г) — это финитные преобразования Фурье реализаций х^( г) и ук( Г) соответственно, а Х?(『, Г) — величина, комплексносопряженная Хк($、Т), Такие преобразования Фурье по конечному интервалу существуют для реализаций широкого класса случайных процессов, в то время как преобразования Фурье по бесконечному интервалу обычно не существуют, поскольку теоретически стационарный процесс определен на всей оси времени.

Распространенная ошибка состоит в том, что по аналогии с периодическими процессами взаимную спектральную плотность определяют по формуле

Sx”，к)= /吗Sx”，Т，。(5.58)

Это определение не годится в случае стационарных случайных процессов общего вида, поскольку при стремлении Т к бесконечности оценка 5^(/, Г, к) величины Sxy(ff к) не становится лучше в статистическом смысле, т. е. она не состоятельна (по определению разд. 4.1). Вспомним теперь, что левая часть зависит еще и от индекса к. Правильное определение %(/) дает следующее выражение:

Sxy(f}= \^E[Sxy(f,T,k)]t(5.59)

где £15吋(/, Г,左)]——это, разумеется, математическое ожидание, взятое по множеству индексов к. Спектральные плотности 5^(/) и 5^(/) — это просто частные случаи формулы (5.59). Докажем эквивалентность определений (5.59) и (5.27).

Обозначив во избежание недоразумений переменные интегрирования разными символами, перепишем формулу (5.56) следующим образом:

Sxy(f,T, k) = ¥：Xk(aW da『"(6)e-丿2”乃 d/3 =

=7 ГГхМук^}е-^^ dadB -(5.60)

Преобразуем теперь область интегрирования путем замены переменных (а, 6) на (q, т), где т = 6 — a, dT = dB. Приведенный ниже чертеж показывает, как изменятся пределы интегрирования.

ВВО ТаО Та

В

В

О Та

О Та

(5.61)(5.61)Интегрируя по паре переменных (а, т) вместо пары переменных (а, 0), получим

(5.61)

(5.61)

「「dQdB= Г『dad—『「Га" •

J0J0j_丁j一子J()J0

Легко убедиться, что обе части соотношения (5.61) равны Г? Поэтому такое преобразование области интегрирования позволяет переписать формулу (5.60) в виде

Sxy(/，Т，к) = /；斤 /‘4(а)以(а + т) da St +

+ /т ]/т-'х式°)以(°+ /т ]/т-'х式°)以(°+ т) da е"2”"т. (5.62)+ т) da е"2”"т. (5.62)

+ /т ]/т-'х式°)以(°

+ /т ]/т-'х式°)以(°

+ т) da е"2”"т. (5.62)

+ т) da е"2”"т. (5.62)

По определению, взаимная ковариационная функция 火中(т) равна математическому ожиданию

(5.63)(5.63)Ах,，(т) = Е【Х"(а)以(а + т)].

(5.63)

(5.63)

Взяв математическое ожидание от обеих частей формулы (5.62), получим

E[Sxy(f,T,k)] =

/•о1 ГТ ,、

=/后/宀(Т)

da е"2”" 〃т +

才”以,）厶

е-"”"而=

=I/ - ¥)">⑴е-〃""т.

(5-64)

В пределе, когда Г стремится к бесконечности, имеем

反 Е 岗(/,Т,к)] = /：Еу(т)ее/"т.(5.65)

Зто и есть искомое утверждение (5.59), поскольку правая часть формулы (5・56) равна S号(/) согласно определению (5.27).

Заметим, что замена S(/) на соответствующие G(/) приводит к следующим формулам:

G»(/) = 2 Jm \E[X^f，T)YkU，『)],(5.66)

G**(/) = 2Jim《姉及(/,т)円 G»(/) = 2pm J姉乙(/,7)円.

(5-67)

Для вычислений по этим формулам применяются реализованные на ЭВМ процедуры быстрого преобразования Фурье, описанные в гл. И. На практике длина реализации Т всегда конечна, так как предельный переход Т — 8 осуществим только теоретически. Математическое ожидание Е [] также всегда берется только по конечному ансамблю, поскольку невозможно получить бесконечный набор реальных данных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРАЦИИ

Третий способ вычисления- спектральной плотности подразумевает применение аналоговых устройств и включает следующие операции, схематически представленные на рис. 5.5:

частотную фильтрацию сигнала х(£) с помощью узкополосного фильтра с полосой пропускания Д/и центральной частотой 儿；в результате этой операции получается величина х(% △/,£);

возведение в квадрат мгновенного значения отфильтрованного сигнала;

усреднение квадрата мгновенного значения по реализации длины Т; в результате этой операции образуется оценка среднего квадрата отфильтрованного сигнала;

деление на ширину полосы пропускания фильтра △ /, в результате чего получается оценка скорости изменения среднего квадрата в зависимости от центральной частоты %).

Следовательно, оценка спектральной плотности имеет вид 《、(/)=击芫'■(九",f) dt •(5.68)

Для вычисления взаимной спектральной плотности аналоговыми методами применяется прямое обобщение описанной процедуры на случай двух сигналов х(£)му(£), которое включает следующие операции:

раздельную частотную фильтрацию обоих сигналов с помощью узкополосных фильтров, имеющих одинаковые полосы пропускания А/ и одну

Рис. 5.5. Измерение спектральной плотности аналоговыми методами.

и ту же центральную частоту 外 в результате получаются х(% △ /, f) и у(/о, △/, /);

перемножение мгновенных значений двух отфильтрованных сигналов при отсутствии сдвига фазы между ними с целью получения синфазных членов, необходимых для вычисления коспектра;

перемножение мгновенных значений двух отфильтрованных сигналов, причем »(%△/[) сдвигается по фазе на 90° по отношению к х(瓜△ /, f), с целью получения смещенных по фазе членов, что нужно для вычисления квадратурного спектра;

усреднение каждого из этих произведений по реализации длиной Т с целью построения оценок средних произведений синфазных и смешенных ПО фазе членов;

деление каждого из средних произведений на ширину полосы пропускания △ / для получения оценок Cxy(f^ и (^(益).Тогда оценка взаимной спектральной плотности имеет вид

%(Л)) = 4>(Л>)-jQx)Uo) ,(5.69)

где

Cxy(f0) = (а/," х(Л), △/, <)j(/o, △/, г) dt, _1:(5-70)

Оху(/о) = RJ汙/х(Л), А/, t)y°(fo, V，f) dt .

Здесь y°(R, △ /, /) — сдвинутый по фазе на 90° отфильтрованный сигнал У(% △/, О-

Эквивалентность этого третьего, аналогового определения спектральных плотностей предыдущим двум математическим определениям из разд. 5.2.1 и 5.2.2 не очевидна и требует доказательства. Приведем такое доказательство для автоспектров. Эквивалентность обоих определений взаимной спектральной плотности доказывается аналогично.

Рассмотрим определение спектральной плоскости из формулы (5.67), гдеI

G»(/) = 2』m -£[|А；(/,Т)|2].(5.71)

丁—8 1''

Величина

1及(/，T)/= [/"式1)852啮力 + ^Txk(t)^2irftdt(5.72)

действует как фильтр, выделяющий значение среднего квадрата х^( /) в узкой полосе частот, окружающей центральную частоту /. Чтобы доказать это неочевидное утверждение, определим для любой реализации 与(£) процесса 局(/)] величину

Х«，『) = ■()—с—X(5.73)

'5случаях.

Тогда средний квадрат конкретной реализации xk(t) можно выразить формулой

必(А)= lim笛)力=lim ~ Г x}(t,T)dt. (5.74)

Если 尸(/) — преобразование Фурье ДГ), то по теореме Парсеваля

Г/2(/)Л= Г [F(f)\2df.(5.75)

」—8' ~ 8

Доказательство этого соотношения оставим в качестве простого упражнения. Поскольку 居(/ Г) — это преобразование Фурье 与(f, Г), т. е.

х“ Т) = C(f)e"〃力=/：х《，Т)е"〃力,(5.76)

ТО

七(k)= lim ^f \Xk(f,T)\2df=2 lim 鼻 口 x", T)「df.

8Т~* QQ Z

(5-77)

Тогда, взяв математическое ожидание от 山頁左)по всевозможным реализациям xk(t) процесса {х^(£)], получим уже знакомую формулу

^ = Е\^(к)\= Г GxxU)df,(5.78)

где 6.(/) определено формулой (5.71).

Предположим теперь, что 々(f) проходит через узкополосный фильтр с центральной частотой 启 и полосой пропускания △工 имеющий частотную характеристику Н (/) вида

О^4-(Д//2)</</о + (Д//2);

7(0, в остальных случаях.''

Тогда преобразование Фурье процесса на выходе фильтра равно H(f) Хк(『,Т), где 居(《Л Г) — преобразование Фурье входного процесса. Поэтому вместо формулы (5.77) для среднего квадрата отдельной отфильтрованной реализации 与(f) получим выражение

必(力 А/, к) = 2 lim fX\H(f)e\Xk(f,T)\2df. (5.80) гt 8 / j0

Взяв математическое ожидание от обеих частей формулы (5.80), получим

一(6 △/)=「国⑺也”)"=禽黑：G*”) df. (5.81)

Таким образом, формула (5.81) утверждает, что 6^(/) есть скорость изменения среднего квадрата в зависимости от частоты. Кроме того, оператор \ ХА/, Г)12 действует на реализацию х^( f) как фильтр, который пропускает только те ее составляющие, что лежат в узкой полосе частот, а затем возводит в квадрат значения на выходе до выполнения соответствующих операций усреднения. Именно на таком принципе действуют аналоговые спектральные анализаторы.

ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ

Сейчас мы дадим простое прямое математическое доказательство неравенства для взаимной спектральной плотности:

怎式/)『＜ Gx*(/)G»(/).(5.82)

Этот результат значительно сильнее аналогичного неравенства (5.11) для взаимных ковариационных функций, в котором I /? (т)12 оценивается произведением Куу(0) К ““(О), содержащим значения 兑 丫(丁) и А”*(т) в точке 7=0.

Для любого значения / функцию Oxy(f) можно представить как

G*“) = |G*”)|e—

через модуль I G勲(/)1 и фазу %(/)• Известно также, что

G}Af) = G^n = \Gxy(f)\e^\

Рассмотрим теперь величины 居(/) и 厶(『)exp [/%(『)1, где Xk(f) и 厶(/) — финитные преобразования Фурье реализаций х^( /) и ук( Г) соответственно. Для любых действительных чисел a n b справедливо нера

венство

|аХ"(/) + 6%(/)е〃，，(/)|2 2 0.

Поэтому

a^f^ + ab\x^f)YkU)e^ + XkU)^U)^^^

+ b2\Yk(f)\2>0.

Перейдем в этой формуле к математическому ожиданию по индексу 左；умножив обе ее части на 2/Г и устремив Г к бесконечности, получим

MG//) + 曲[G»(/)e%(/)+ G£/)e 加⑺]+ b2Gyy(f) > 0.

Знесь были использованы определения автоспектров и взаимных спектров (5.66) и (5.67). Согласно формуле (5.41),

Gj/)eM，S+ G,”)e%，")= 2|G»(/)|,

следовательно,

MGxxU) + 2而|Gx,(/)| + Pg»⑺ > о.

В точности повторяя рассуждение, использованное при доказательстве неравенства для взаимных ковариационных функций, убеждаемся в справедливости неравенства (5.82), т. е.

|G»(/)|2qGxx(/)G»,(/).

Отсюда следует одновременно неравенство для двусторонних взаимных спектров: для всех /

l^,(/)|2 < Sxx(f)Syy(f).(5.83)

Теперь можно определить функцию когерентности (называемую иногда квадратом когерентности)

G'(/)|2%(/)『

Gx”)G»(/) - Sx”)S»(/)'

которая для любых / удовлетворяет неравенствам

0 s ^.(/) < 1 .(5.85)

Комплексная функция когерентности 功(」)определяется формулой

厶>(/) = Му⑺,-"*，(/),(5.86)

где

1“(/)1= +m(/) ,(5.87)

а %(『)—фазовый угол Gxy(f). Всюду в этой книге под функцией когерентности будет пониматься действительная функция (5.84), а 1%(/)1 всегда будет пониматься как квадратный корень из y^y(f).

ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

ПРИ НАЛИЧИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Согласно формуле (5.20), взаимная ковариационная функция в задаче определения запаздывания (см. рис. 5.1) равна

Rxy(T)= aR**(T - То) •(5.88)

Подставив в формулу (5.27), получим двустороннюю взаимную спектральную плотность

\//) = aSxxU)e~^ .(5.89)

Соответствующая односторонняя взаимная спектральная плотность имеет вид

^(/)= &G，f)e-".(5.90)

Поэтому в силу формулы (5.41)

G，(/)| = aGx”)，(5.91)

口)，(/) = 2”/%.(5.92)

Следовательно, сдвиг времени % участвует только в фазовом угле 先(/). Измерение %(Ь) позволяет определить сдвиг времени, поскольку 先(/)— линейная функция от / с наклоном, равным 2тгт0 (рис. 5.6). Коэффициент затухания q на всех частотах / равен

а= [|G»(/)|/Gxx(/)].(5.93)

Рис. 5.6. Типичный график зависимости фазового угла от частоты в задаче определения запаздывания.

Односторонние спектральные плотности передаваемого сигнала х(<) н принимаемого сигнала у (f) для схемы, изображенной на рис. 5.1, равны соответственно G^if) и G抄(/), где

G„,(/) = &26、*(/) + G““(/). (5.94)

Этот результат также непосредственно следует из формулы (5.26). Для любого значения 工 согласно формулам (5.84) и (5.91), функция когерентности

равна

*⑺=吉於Ьу—*⑺=吉於Ьу—G/) G»(/)G/) G»(/)(5.95)(5.95)

*⑺=吉於Ьу—

*⑺=吉於Ьу—

G/) G»(/)

G/) G»(/)

(5.95)

(5.95)

Заметим, что Gyy(f) имеет две составляющие— соответственно вклад х(Г) в спектр j(/) и вклад 〃(£) в спектр y(f):

a2G以/) = *“)G"(/), G“G/) = [1 - ■”)％(/)・ (5.96)

Эти результаты более содержательны по сравнению с усредненными по всем частотам результатами, приведенными в (5.25), где отсутствует зависимость от частоты.

С учетом выражения (5.94) для Gyy(f) функция когерентности из формулы (5.95) принимает вид

*(/)=*(/)=a2G以/)a2G以/)

*(/)=

*(/)=

a2G以/)

a2G以/)

где все члены в правой части неотрицательны. Очевидно, что для всех значений / 7^,(/) W 1, поскольку знаменатель не может быть меньше числителя. В эквивалентной форме

GGxx") + G““(/)] 一 G““(/)G»(/) - G““(/)

£，(/)=£，(/)=宗 G*x(/) + G“"(/)=G抄(/)~—

£，(/)=

£，(/)=

= l—[G“”(/)/G»(/)].(5.97)

И здесь очевидно, что 脸(/) < 1 для всех /, так как G加(f)《G抄(/)• Ec- ли Gnn(f) = 0, то 7鼠/) = 1, если же G加(/) = Gyy(f), то 培(/) = 0.

Определение положения максимума. Из формул (5.21) и (5.28) следует, что максимум 勺А) равен

ахУ(T)маКе=r灯(T0)= [ 5、У(/)〃2""。df .(5.98)

Обозначим оценки 仆仇)и %(/) соответственно через 勺(т°)и，(/)• Тогда

-")=闻,(/)1…е-(599)

Уравнение (5.98) перепишем в виде

矣以％) = Г \1у(П\ел2^~6^'—8

=Г \Sxy(f)\^[2^~ ^y(f A df>

8

поскольку 仆(q) принимает только действительные значения. В точке максимума т°

一谓=0 = /：(-2"八图(*Sin3/% -%(/)] df .

По формуле (5.92) %(/) = 2тг/т0, так что

sin[2Tr/T0 - &(/)]= 2"/% - 麻(/)•

Отсюда следует приближенная формула

广(-2*闻,(*[2打% - %(/)]毋=0.

Решив это уравнение относительно %, получим

Г ^f)[sxy(f)\exy(f)df

广(2打)2闻(/)國 "—8

Используя односторонние спектральные плотности G^(/) вместо двусторонних Sxy(f)9 придем к эквивалентной формуле

(5.101)(5.101)/8(2 叨爲 0)1 麻(/)"『(2打)2位,(/)1"

(5.101)

(5.101)

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Рассмотрим стационарный случайный процесс {у( Z)j с нулевым средним значением, ковариационной функцией /?^(т) и соответствующей двусторонней спектральной плотностью 5^(/) согласно определениям (5.6) и

где

%(/)=/ Ryy⑺e-j2”"dT = 2j R (T)cos2irfTdT,

8(5.102)

R»(t) = Г s»(/)e"""“= 2广与(/)cos2#V/.

Известно также, что

R”,(0) > Ry>,(T)для любых 7, (5.103)

S»,(/)N0 для любых /.

Вместо S”(f) можно использовать одностороннюю спектральную плотность Gyy(f\ равную

一)=制"М： 63)

Следовательно,

G»(/}=4( &»(т)8s2я/Мт , Ryy⑺=工 Gyy(f)cos2irfTdf.

(5.105)

Сейчас мы дадим определения эффективной шумовой ширины спектра и эффективного шумового времени корреляции. Для произведения этих величин будет установлено полезное соотношение неопределенности.

Эффективная шумовая ширина спектра по определению равна

В” =『G»(/) "g»(/)| №= ^(0)^(/)|макс. (5.106)

Эффективное шумовое время корреляции определяется как

тп= /：|К»(т)|4%у(т)1макс=2「％(т)|《%>(0). (5.107)

Из этих соотношений следует, что

=2fjRyy(T)\dTlGn.(f)\M3Kc.(5.108)=2fjRyy(T)\dTlGn.(f)\M3Kc.(5.108)

=2fjRyy(T)\dTlGn.(f)\M3Kc.(5.108)

=2fjRyy(T)\dTlGn.(f)\M3Kc.(5.108)

Оценка этого произведения и дает соотношение неопределенности: для любой 氏抄(7)и соответствующей Gyy(f) произведение Вп и Тп удовлетво-

ряет неравенствуряет неравенствуВпТ„>^ •(5.109)

ряет неравенству

ряет неравенству

Следовательно, с уменьшением Вп величина Тп растет и, наоборот, с уменьшением Тп растет 纥.

Доказывается соотношение неопределенности следующим образом. Из формулы (5.105) имеем для любого /

GyyU) < 4『®>(T)cos2"/T|dT < 4^\Ryy^)\dr . (5.110)

Поэтому

G»⑺『百4厶 \Ryy^)\dr.(5-111)

Подставив неравенство (5.111) в формулу (5.108), немедленно получаем соотношение (5.109). Заметим, что в этом доказательстве неравенство Коши — Буняковского — Шварца не используется.

ПРИМЕР 5.8. НИЗКОЧАСТОТНЫЙ БЕЛЫЙ ШУМ. В случае низкочастотного белого шума имеем

%，(/) =a/2, -B<f<B； в остальных случаях S^ = 0;

Gvv(f) = 〃, 0 < / < В; в остальных случаях Gyy = 0;

火叩(丁) = аВ {sin(2 тгВ т )/(2 ттВ т ) }.

Для этого процесса эффективная шумовая ширина спектра равна

в„ = ^(0)/GVJ(/)|MaKC=B,

а эффективное шумовое время корреляции равно

КО"' 1 产 sin и

Т =—= — / du = 8.

”火沙(0)"〃

Следовательно, Вп Тп = 8, что, конечно, удовлетворяет соотношению неопределенности (5.109). Форма 灭抄(7)подсказывает, что в этом случае удобнее задать Тп как ширину главного максимума, в котором сосредоточена основная часть энергии, а именно Тп = 1/8. Тогда Вп Тп = 1, т. е. соотношение неопределенности выполняется и в этом случае.

「84厶 \R^d^^^「84厶 \R^d^^^/>0；/>0；

「84

厶 \R^d^^^

「84

厶 \R^d^^^

/>0；

/>0；

ПРИМЕР 5.9. СПЕКТР ГАУССОВА ШУМА, Для этого процесса имеем

仆（Т）= ае—；

^(/) = (a/о后)е「『/叫-оо </< оо；

Gyy(f) = (а 立/о 正)е-Г/2',

В этом случае эффективная шумовая ширина спектра равна

а折纥=-^ = 1，25о.

Тогда

Gyy{Bn) = G»(0)e-"/4 в 0,456G»(0).

Эффективное шумовое время корреляции есть

10,40•

71 = ―^= = -~— ,иУ^ о

поэтому

Ryy(Tn) = R"(0)e-” = 0,043贝》(0).

Заметим, что в случае гауссова шума соотношение неопределенности превращается в равенство 纥北 =1/2.

ПРИМЕР 5.10. ШУМ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ. Для шума с экспоненциальной ковариационной функцией имеем

及》(7)=衣一咐,a>0；

SyyU) = 2Аа/{аг Л-iliTf^} , -оо </< оо ；

G»(/) = 4Za/{a2+(24)2},/> О；

/8|К»(т)|4т

Gyy(Bn) = G»(O)[1/{1 +("/—}]= 0,288G»,(0)-

Эффективное шумовое время корреляции есть 厶=2/а. Следовательно,

尺》(北)=А»®"" = 0,10А»(0).

В этом случае соотношение неопределенности тоже превращается в равенство B/貝=1/2. Другие примеры, иллюстрирующие соотношение неопределенности, можно построить, используя 択秒(7)и 6封(/) из табл. 5.1 и 5.2.

Эргодические и гауссовы случайные процессы

С практической точки зрения важнейшими классами стационарных случайных процессов являются:

эргодические процессы с произвольной вероятностной структурой;

гауссовы процессы, эргодические или неэргодические.

Сейчас мы изучим эти два класса случайных процессов, а также линейные преобразования случайных процессов.

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рассмотрим два слабо стационарных случайных процесса {〃(£)} и [7^.( /)] и две их произвольные выборочные функции 与(I) и ук{ /). Эти стационарные случайные процессы называются слабо эргодическими, если их средние значения и ковариационные (корреляционные) функции, которые в разд. 5.1.1 были определены путем усреднения по ансамблю, можно вычислить с помощью усреднения по времени любой пары выборочных функций. Таким образом, исходная вероятностная структура таких слабо стационарных случайных процессов легко определяется по любой паре реализаций, и, следовательно, отпадает необходимость накопления большого числа данных.

Например, средние значения конкретных выборочных функций х^( /) и yk{ Z), вычисленные путем усреднения по времени, можно представить как

Мх(^) = lim — fTxk(t) dt,

Т-»8 /

(5.112)

N(k)=俄斤「Ук ⑴ dt.

Заметим, что результат уже не зависит от £, поскольку по / было выполнено усреднение. Однако в общем случае результат зависит от выбора конкретной выборочной функдии, что отмечено индексом к.

Взаимные корреляционная и ковариационная функции реализаций /( £) и ук{ / + т), вычисленные путем усреднения по времени, определяются вы-

ряжением

GyS，幻=関^厶[x&(f) - МА)]伉"+ т) -/iy(k)]或=

=Hm - / xk(t)yk(t + T)dt- цх(к)ц (к)=

(5.113)(5.113)Ттоо /

(5.113)

(5.113)

=尺》(т，к) _ Mx(k)/S(江

Ковариационная и корреляционная функции имеют вид

Qx(T,k)= Hm \ Г[лДг) - мЛ(^)] [хД/ + т) -(ix(k)] dt =

T->oo /」О

…(丁一沁)，(5Л14)

%(т, %) = ^-f^[yk(t)-P-y(k)][yk(t + т) -“")] dt =

=—С，.-点幻•

Сравним теперь эти величины с ранее определенными средними значениями &, ", и корреляционными функциями 以(丁), %(7)，%(7)，вычисленными путем усреднения по ансамблю в предположении стационарности соответствующих процессов (см. разд. 5.1.1). Если окажется, что независимо от значения к

%(к) = % ,

」.(&) =.，

Gx(T,k) = Gx(T),(5.115)

Jy(T,k) = 1(т),

%(т，k) = Cxy(^)>

то случайные процессы {x^( /)} и {也(£)} называются слабо эргодическими, Если все статистические характеристики [хк( £)} и {歹衣(£)}, определенные путем усреднения по ансамблю (а не только средние значения и ковариационные функции) совпадают с соответствующими величинами, полученными с помощью усреднения по времени, то такие случайные процессы называются строго эргодическими. Следовательно, строгая эргодичность

влечет слабую1^, но не наоборот. Для гауссовых случайных процессов оба понятия совпадают.

Для эргодичности некоторого процесса прежде всего требуется, чтобы он был стационарным. Каждая выборочная функция в равной степени представляет весь процесс в указанном выше смысле, так что выбор какой- либо конкретной реализации для выполнения усреднения по времени не имеет никакого значения. В случае эргодических процессов x(t) и y(t) для определения их ковариационной и взаимной ковариационной функций вме- сто формулы (5.6) можно использовать следующие формулы:

&*(т)= Hm - [Tx(t)x(t + т) Л,

Г-» 8 1 *о

А»(т)= J吗下厶 у")у〃 + т)小， (5.116)

R—(t)= lim — fTx(t)y(l + 7)dt.

гT 8 / j0

ПРИМЕР 5.11. НЕЭРГОДИЧЕСКИЙ СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. Приведем простой пример неэргодического стационарного случайного процесса. Рассмотрим случайный процесс 1/(/)}, состоящий из гармонических выборочных функций вида

—4)} = {X*sin[2"# + %]}.

Пусть амплитуды Хк и фазовые углы 6k — случайные величины, принима- ющие разные значения в разных реализациях (рис. 5.7). Если 6к распределены равномерно, то характеристики процесса, вычисленные путем усреднения по ансамблю в фиксированные моменты времени, не зависят от времени; следовательно, процесс стационарен. Однако характеристики, вычисленные усреднением по времени отдельных выборочных функций, могут и не совпасть. Например, ковариационная (или корреляционная) функция, вычисленная по произвольной выборочной функции, равна

Q(t, к) = — sin27r/r .

Поскольку Хк зависит от к, то 0Ax(% *) # GS)・ Следовательно, этот случайный процесс не эргодичен.

Предположим теперь, что вместо случайных амплитуд {*} в определении процесса взяты неслучайные амплитуды, т. е. не зависящие от к. Тог-

Если существует момент второго порядка.——Прим, перев.

Рис. 5.7. Пример неэргодического стационарного гармонического процесса.

да случайный процесс будет состоять из выборочных функций вида

{х&(。} = {Xsin(2"# + 〃)}-

Такой случайный процесс эргодичен, каждая его реализация статистически эквивалентна любой другой реализации с точки зрения операции усреднения по времени, что иллюстрирует рис. 5.8. На этом пример 5.11 заканчивается.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭРГОДИЧНОСТИ

Известны два важных класса заведомо эргодических случайных процессов. Первый класс состоит из стационарных гауссовых процессов с абсолютно непрерывными спектральными плотностями, т. е. в их спектре нет дельта-функций, соответствующих бесконечным значениям плотности среднего квадрата на фиксированных частотах. Второй класс эргодических процессов (входящий в первый)——это стационарные гауссовы марковские про- пессы; марковский процесс — это процесс, будущие значения которого зависят только от одного непосредственно предшествующего значения. Можно показать, что ковариационная функция стационарного гауссова марковского процесса имеет простой экспоненциальный вид [5.3].

Достаточные условия эргодичности произвольного случайного процесса таковы.

Для слабой эргодичности произвольного случайного процесса достаточно, чтобы процесс был слабо стационарным и его %(к) и С^т, А), вычисленные усреднением по времени, были одинаковыми для всех выборочных функций к.

Докажем это утверждение. По определению,

M*(k)= lim fTxk(t)dt.

Г Т 8 I

По предположению 从*(А) не зависит от к. Следовательно, математическое ожидание по к совпадает с оценкой по одной реализации, а именно £[〃х(欠)]= 四*(攵)・ Ниже будет показано, что математическое ожидание перестановочно с линейными операциями. Следовательно,

1

矶四x(k)] = Jim -/ E[x*(f)]或=

=/心成=/.

Г — 8 / %

В силу предположения о слабой стационарности Е[ x^( Z)]=从*. Поэтому 〃*( 4) = 〃*• Аналогично %(丁，左)= С^(7), поскольку предположение независимости Схх(т, А) от к влечет за собой равенство £ [Схх(т^

左)]= Gx(t，攵)，в то время как из предположения стационарности следует, ЧТО Е 0x(7,巾=Gx(7)・ Утверждение доказано.

И. Для эргодичности гауссова случайного процесса достаточно, чтобы он был слабо стационарным, а его ковариационная функдия %(7)обладала следующими четырьмя свойствами интегрируемости:

丄 JC以 т)1"т<8,，8©х(т)"т<8，

в(5.117)

/ |т@(т)|4т < 8 ,/ |т| 喝(т)4т<8.

Четыре условия (5.117) можно заменить единственным требованием

IGx(T)|dTfO， Тт8.(5-118)

Это утверждение будет доказано в разд. 8.2.1 и 8.2.2, где показано, что оценки среднего значения и ковариационной функции, полученные усреднением по времени, при выполнении условия (5.117) не зависят от выбора конкретной реализации. Поэтому утверждение II следует из утверждения I. Эти условия часто выполняются на практике, оправдывая предположение эргодичности.

ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Дадим формальное определение гауссова случайного процесса. Случайный процесс ｛犬衣(/)] называется гауссовым, если для любого набора фиксированных моментов времени [ t^ случайные величины х衣(f〃) подчиняются многомерному нормальному распределению, определенному формулой (3.62). Гауссовы случайные процессы преобладают в практических задачах; часто наличие гауссова свойства можно предсказать на основании многомерной центральной предельной теоремы. Можно показать также, что в результате линейного преобразования гауссова процесса снова получается гауссов процесс. Это свойство играет важную роль во многих практических и теоретических применениях теории случайных процессов.

Рассмотрим реализацию x(f) эргодического гауссова процесса с нулевым средним значением. Заметим, что индекс 攵 можно уже не указывать, поскольку свойства любой выборочной функции характеризуют все остальные выборочные функции. В силу эргодического свойства поведение х(£) на большом временном интервале обладает теми же статистическими свойствами, что и аналогичные средние по ансамблю в фиксированные моменты времени. В качестве следствия получаем, что плотность вероятности, связанная с мгновенными значениями х( 0 на большом интервале времени, является гауссовой с нулевым средним значением:

Р(Х)= (“^)7-"б 唉Р(Х)= (“^)7-"б 唉(5.119)(5.119)

Р(Х)= (“^)7-"б 唉

Р(Х)= (“^)7-"б 唉

(5.119)

(5.119)

Когда x(t) имеет нулевое среднее, дисперсия равна

-=狼(川=二/№)厶

и не зависит от £. Для больших Т

年=[/42a)或=

=/8 5ЛЛ(/)^=2Г5ЛХ(/)<=『GjJ)df. (5.120)

Следовательно, гауссова плотность р(х) полностью характеризуется функциями S/f) или G*x(/), так как по каждой из них можно определить 磋. Это важное свойство выдвигает определение 5注(/) или Gxx(f) в число первостепенных задач анализа случайных процессов. Заметим, что на вид спектральных плотностей или соответствующих ковариационных функций не накладывается никаких ограничений.

Если среднее значение х( t) не равно нулю, то исходная плотность является гауссовой общего вида:

p(X) = (% 后)7-(-"х)2/2喝(5.121)

где среднее значение равно

/хЛ = £[x(Z)] = f xp(x)dx

и не зависит от /. Для больших Т

^= - fTx(t) dt,(5.122)

а дисперсия равна

.=e[(x") - ％)[ = £卜2(川—四] (5.123)

Пусть л( /)——стационарный гауссов случайный процесс (индекс 攵 опущен для простоты обозначений). Рассмотрим две случайные величины * = х( / ) м 巧=%( £ + 7)Для Двух произвольных фиксированных моментов времени f я г 十 т. Предположим, что х】и 々 подчиняются двумерному (совместному) гауссову распределению с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями ". Тогда, по определению,

с/ = Е(х2(/)] = E[x2(t + т)] = / х2р{х) dx ,(5.124)

8

&х(т) = E[x(f)x(r + Т( = Рхх(т)о/= ff х1х2р(х1,х2) dxrdx2.

(5.125)

Величина р^т) — это коэффициент корреляции из формулы (5.16) при

G|X2(7)= R^ И %| = % = %：

Рхх(т)=Рхх(т)=(5.126)(5.126)

Рхх(т)=

Рхх(т)=

(5.126)

(5.126)

Если положить р = Р»(т) и д = 0, то совместная гауссова плотность вероятности есть

Р&1，*2)= (2т阳 1 _ р2)Р&1，*2)= (2т阳 1 _ р2)-1ехр-1ехр-1

Р&1，*2)= (2т阳 1 _ р2)

Р&1，*2)= (2т阳 1 _ р2)

-1

ехр

-1

ехр

ГТ(х： — 2Pxi*2 + 裾)-

2仮(1 - Р )

(5.127)

Все свойства, перечисленные в гл. 3, справедливы для гауссовых случайных процессов, рассматриваемых на наборе фиксированных моментов времени.

Рассмотрим четыре случайные величины хр х2» 七，х4 с нулевыми средними значениями, которые имеют четырехмерное гауссово распределение. По формуле (3.72)

ё屏/2Х3必1 =

=Е[х，2]Е[хзХ4] + Е[Х1х3]Е[х2х4] + Е[Х1х4]Е[х2х3]. (5.128)

В частности, пусть х】=x(w), х2 = у(〃 + т),勺=x(v), % = y(v + т), а /?^(т)——стационарная взаимная ковариационная функция вида

&*(Т)= E[x{t)y(t + т)].(5.129)

Из формулы (5.128) непосредственно следует, что

Е[х(〃)у(“ + т)х(и)у(и + т)] = А；у(т) + &хх(и - ”)Ау*(и - 〃)+

+ Rxy(v - ы + T)Ryx(v - и - т).

(5.130)

Этот результат используется в гл. 8 (формула (8.94)).

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Динамическое поведение типичных линейных физических систем было проанализировано на примерах в гл. 2. Полезно очень кратко рассмотреть

сейчас математические свойства линейных преобразований случайных процессов. Эти сведения используются в гл. 6 и 7 при выводе важных соотношений, связывающих вход и выход линейных систем, на вход которых поступают случайные процессы.

Рассмотрим произвольный случайный процесс [х^(/)]. Оператор Л, преобразующий выборочную функцию xk(t) в другую выборочную функцию Ук (V), можно записать как

及(d)="[丸(切， (5.131)

где Л обозначает функциональную операцию над членом, заключенным в квадратные скобки. Аргумент v может совпадать или не совпадать с £. Например, если рассматривается операция дифференцирования, то г = / и ，衣(£ ) будет выборочной функцией производной \хк (£)} случайного процесса при условии, разумеется, что эта производная существует. Иной пример дает операция интегрирования с конечными пределами интегрирования. В этом случае v /『и /^ (г)——случайная величина, зависящая от индекса к и определяемая реализацией х衣(£) и конечными пределами интегрирования. Оператор А может иметь самый разнообразный вид. В дальнейшем индекс к, указывающий на выборочное пространство, будет опускаться для простоты обозначений.

Оператор Л называется линейным, если для любого набора допустимых значений хр х2, ...» xN и любых постоянных 〃】，а^ ..., aN имеет место соотношение

■ N N

Z L aixt =x《川%]. (5.132)

./=1 J 1=1

Иначе говоря, такая операция одновременно аддитивна и однородна. Допустимыми значениями могут быть значения разных выборочных функций в один и тот же момент времени t или же значения одной и той же выборочной функции в разные моменты времени £.

Оператор Л называется инвариантным во времени9 если любой сдвиг /0, переводящий входной процесс х( /) в процесс х( Е + /0), вызывает такой же сдвиг выходного процесса, переводящий у [t) ву(£ + I。). В формальной записи для любого £°

j(z + /0) = ^[x(z + z0)]. (5.133)

Если не будет сказано противное, то в дальнейшем все линейные системы будут считаться инвариантными во времени. Такие системы представляют собой линейные системы с постоянными параметрами в смысле определения гл. 2.

Операция взятия математического ожидания от случайных величин перестановочна с любой линейной операцией, если только все участвующие величины существуют, т. е. для фиксированных г и и имеем

Е-(/ = Е[/[х")]] = МЕ[х")]]. (5.134)

Это соотношение легко доказывается следующим образом. Пусть х(£) принимает N дискретных значений хь х2, ..., xNt ау(〃) принимает соответствующие им N дискретных значений у】，у?，…，，n，гДе 乂 =力 仅力 Тогда

N ] NJ N

Е一(/ =方 Х% =元 X 川X，], E[x(f)] = - L •

i=l1 = 1i=l

Поскольку Л ——линейный оператор, то

N「1 %]

—Ё ^[^,1 = А 五 X% ="[Е[х(。]].

Поэтому

E[y(D)]=ME[x(f)]].(5.135)

В непрерывном случае утверждение доказывается путем устремления N к бесконечности с использованием того или иного понятия сходимости, например приведенного ниже определения (5.138). Доказательство закончено.

Основной результат, справедливость которого непосредственно следует из определений, гласит: если х(£)——выборочная функция слабо (строго) стационарного случайного процесса, а оператор / линейный и инвариантный во бремени, то у (〃) = / [г (г)] является слабо (строго) стационарным случайным процессом. Очень важен еще один результат [5.4]: если х(О имеет гауссово распределение, 〃 оператор Л линейныйt то у(V)= А 仅(£)] тоже подчиняется гауссову распределению.

Интегральное преобразование любой выборочной функции х (£) произвольного случайного процесса 卜(/)} по определению есть

I = fxg⑺ dt,(5.136)

где 0(f)——произвольная заданная функция, для которой этот интеграл существует. При данных 0(f) м пределах интегрирования (〃，b) величина / случайна и зависит от выбора реализации * (/). Для изучения статистических свойств случайной величины / обычно интервал интегрирования (а, b) разбивают на подынтервалы △『и рассматривают приближение интеграла линейной суммой

N

。=X x(N)e(，A) А/.(5.137)

Сходимость j к / можно определять по-разному. Говорят, что последовательность {/%} СХОДИТСЯ к /

в среднеквадратичном, если

lim E[\IN- Ц2] = 0 ；(5.138)

N— 8

по вероятности, если для любого с > О

lira Prob[|/N - /| 之 е] = 0.

N— оо

Из неравенства Чебышева (3.22) немедленно следует, что сходимость в среднеквадратичном влечет сходимость по вероятности. На практике большинство интегральных выражений, содержащих случайные величины, существуют в смысле среднеквадратичной сходимости.

Производные случайных процессов

(5.139)(5.139)Производная любой данной выборочной функции х(£) произвольного случайного процесса {х(г)] определяется как

(5.139)

(5.139)

爪)= "=lim [生上3

dt£ — 0£

Существование этого предела можно понимать по-разному. Говорят, что производная х (£) существует

в обычном смысле, если предел сушествует для всех реализаций х( /) процесса к(£ )}；

в среднеквадратичном смысле, если

Х(£ + е) — х(£) Ilim£ ——-i(z)=0.(5.140)

с-*0f

Для стационарных случайных процессов х (£) существует в среднеквадратичном смысле тогда и только тогда, когда ковариационная функция R» (т) имеет производные первого и второго порядков, т. е. существуют Rid⑺【5.4].

КОВАРИАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим следующие производные, предполагая, что они существуют

и непрерывны:”&хх(т)и непрерывны:”&хх(т)敷 х(т)=敷 х(т)=”2&xx(T)Jt2”2&xx(T)Jt2

и непрерывны:

”&хх(т)

и непрерывны:

”&хх(т)

敷 х(т)=

敷 х(т)=

”2&xx(T)

Jt2

”2&xx(T)

Jt2

dxQ)/、 d2x(t)

戈(f) = —— ,'")= —^~ •(5.141)

По определению, для стационарных случайных процессов

&хх(т) = E[x(f)x(f + т)] = E[x(f - т)х(/)],

&以т) = E[x(t)x(t + г)] = E[x(t - —)],(5.142)

R戈戈(T)=矶対Г)双Г + ?)] = E[x(t - T)文(祝.

Тогда

&；х(т) = 丁E[x(f)x(f + т)] = £[х(/)х(/ + т)] = &хМт),(5.143)

поэтому

&х(т) = 7E[x(t - т)х(/)] = -E[x(t - т)х(/)] = _&х(т).

Следовательно,

必(0) = &以0) = -&.(0) = 0 ,(5.144)

поскольку 火卜(0) должна одновременно быть и положительной, и отрицательной. Соответствующее значение 火山(0) = max &»(『)• Отсюда следует, что для стационарных случайных процессов

Е[х(/)х(/)] = 0.(5.145)

Иначе говоря, формула (5.145) указывает, что в любой момент t производная [х(/)) случайного процесса (х(£)} с равной вероятностью принимает по лежите льн ые и отрицательные значения. Из формулы (5.143) следует, что производная ^^(т) ковариационной функции R^ (т) по г совпадает со взаимной ковариационной функцией [%(/)] и (х(£)}. Максимум ковариационной функции 灭》(丁)соответствует пересечению оси абсцисс функцией /?Ь(т), т. е. взаимной ковариационной функцией процессов [х(г)] и |£(/)}. Пересечение оси абсцисс функцией 尺卜(丁) происходит с отрицательным наклоном (рис. 5.9), т. е.

&以0一)>0，/(0+)<0.(5.146)

На практике определять положение точки пересечения обычно проще, чем определять положение максимума.

Покажем теперь, что ^^(т)— нечетная функция от т； напомним, что Rxx (т) — четная функция т. По определению,

&хх(-т) = E[x(t)x(t - т)] = £[х(/ + т)х(/)],(5.147)

поэтому

&х(-т)=』E[x(f + т)х(/)] = E[x(t + т)х(/)] = &х(т). (5.148)

Но по формуле (5.143) &丘⑺=—火卜(丁). Поэтому соотношение (5.148) принимает вид

&；х( — т)= —&；'(，)•(5-149)

Отсюда следует, что 火卜(丁) — нечетная функция от т.

ция; 6 — первая производная; в ——вторая производная.

Вторая производная равна

R 以 т) = у-^хх(т) = 丁 К、л(т) = J-E[x(t - т)戈(f)]= «т4T

=-E[S« - т)х(/)] = -К以т),(5.150)

поэтому

&1х(т) = ^R-^ = ±R£t)=《E[x(f)sa + т)] =

=E[x(/)x(z + т) = RxX(t).(5.151)

Непосредственная проверка показывает, что火農(т) — четная функция от т, а именно

R?x(-t)= RM(t)・(5.152)

При т = 0 имеем

£[^2(0]=k緑(0)= 一尺、式 0)= 一尺泰(0).(5.153)

Ранее было показано, что

Ах式 т) = 7&хх(т) = &1х(т)・(5-154)

Типичные графики R^ (т), R^ (т) мК[(7)показаны на рис. 5.9 для гармонического процесса" где

Ахх(т) = Xcos2/oT,

А；х(т) = -Х(2 抽)sin2 班 т,(5.155)

致х(т) = -X(27/o)2cos2呜Т .

Полученные результаты обобщаются на производные высших порядков. Например,

R^) = ~R^)= -&М(т),(5-156)

ат

RM = -，R鼠* = КМ'(т) •(5-157)

При т=0 имеем

E 匡 2(川=火鼠 0)=砍?(0).(5-158)

Таким образом, зная 灭打(丁) и ее последовательные производные, можно делать выводы о свойствах ковариационных и взаимных ковариационных функций процесса [х (()] и его последовательных производных [х(/)], [х (/)} и т. д.

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ

Несложно установить аналогичные свойства спектральных и взаимных спектральных плотностей процесса {х«)} и его последовательных производных [х(О] и (х(/)]. Обозначим преобразование Фурье [х(/)]:

m/)=亥Ь(。].(5.159)

Тогда

亥卜(f)] = (J2〃)X(/),(5.160)

亥次⑺]=一(2"/)2х(/).(5.161)

Из формул (5.66) и (5.67) сразу следует, что

G以/)=_/(2"/)G、x(/),(5.162)

G以/) = (2〃)2Gx”)，(5.163)

G鼠/)=№"/)&”)，(5.164)

G鼠/) = 3/)七以/)(5.165)

и т. д. Точно такие же формулы имеют место для двусторонних спектральных плотностей.

Эти результаты можно получить и с помощью соотношения Винера —— Хинчина (5.28). Возьмем в качестве исходного соотношение

&хх(т) = / /хх(/)еП”『，df.(5.166)

Последовательно дифференцируя, получим

&以Т)=//°° (2疗)%(/)/2听/(5.167)

&?х(т) = -(2〃)2%(/)〃2"，df,(5.168)

J一8

&M(T)= - 〃：(24)3%(/)/2"，/,(5.169)

&M'(T)=/(2疗)4%(/)"2"，/.(5.170)

Из соотношений Винера ——Хинчина и формул предыдущего разд. 5.4.1 следует, что эти четыре производные равны

&1х(т) = &х 式 т) = /：%(/)〃2吁力，(5.171)

&М(т) = -&貝丁)= 一/°° S^^df,(5.172)

&м(т) = -R締(т) = 一/°° 邑式/)〃2吁力，(5.173)

致?(T) = 公式，) = Г 邑式/)"2+ df .(5.174)

J一8

Сравнивая аналогичные члены в последних восьми формулах, приходим к формулам (5.162) — (5.165).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ЧИСЛА ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ОСИ АБСЦИСС

Рассмотрим реализацию стационарного случайного шума x(t), имеющего производную х (г). Пусть/? (а, 6)——совместная плотность х (£) м 文(Z) при x(f) = а я 文 «) = /3. По определению, для всех f

夕(а, 8) Да А£ ^ Prob [а < х(/) < +а + Да, j8 < х(/) < Д + ДД]、

(5.175)

Иначе говоря, р (а, /?)△«△ 6 оценивает вероятность того, что в тот момент, когда х(£) лежит в интервале [а, а + Да], ее производная х(/) заключена между 6 м 6 + А«. Эта вероятность равна доле единичного интервала времени, которую х(/) проводит внутри интервала [а, а + Да], причем значение производной заключено между 6 м 5 + "б. Если △/? пренебрежимо мало по сравнению с /3, то последнее означает, что производная просто равна /3.

Для определения математического ожидания числа пересечений реализацией х«) интервала [о, а + Да] надо время, проведенное х(t) внутри этого интервала, разделить на время, нужное для пересечения этого интервала. Если ^ — время пересечения интервала при данном значении производной Ь, то

% = Да/1/31, (5.176)

где ст；оит абсолютное значение 仇 так как время пересечения — положительная величина. Следовательно, математическое ожидание числа прохождений х(/) через интервал [а, а + Аа] в единицу времени при данном значении 文« ) = 8 равно

р(а, Д) Да ДД/、

-~;^ 网Р®, 6) АА .(5.177)

В пределе при А/З — 0 получаем, что математическое ожидание обшего числа пересечений в единицу времени реализацией х (£) линии х (£) = а при всех возможных значениях 6 есть

凡= 网р(а,£)邙.(5-178)

Эта величина задает математическое ожидание числа пересечений уровня а в единицу времени как снизу вверх, так и сверху вниз. Предполагая, что половина пересечений уровня а реализацией х (f) происходит снизу вверх, а половина ——сверху вниз, получим, что реализация х(/) пересекает уровень а снизу вверх в среднем N/2 раз в единицу времени.

Математическое ожидание числа нулей реализации х( t) на единичном интервале времени равно общему числу пересечен咆 уровня х( Z) = 0 как снизу вверх, так и сверху вниз. Эта величина равна & при а = 0, т. е.

风=Г \{i\p^^d^-J —8风=Г \{i\p^^d^-J —8(5.179)(5.179)

风=Г \{i\p^^d^-

J —8

风=Г \{i\p^^d^-

J —8

(5.179)

(5.179)

Значение 凡° можно истолковать как удвоенную «кажущуюся» частоту реализации шума. Например, если бы реализация представляла собой идеальный гармонический процесс с частотой f。герц, то 2Vo равнялось бы 2 益 нулей в секунду (скажем, гармонический процесс с частотой 60 Гц имеет 120 нуль/с). Для случайного шума ситуация более сложная, тем не менее знание N。и ряда других величин дает возможность охарактеризовать шумовой процесс.

Для произвольной реализации х(О стационарного случайного процесса

с нулевым средним и ее производной х(/) имеем из формул (5.145) и

(5.150):г、1,

о/= E[x2(f)] = &以0),

о。= £[х2(/)] = &緑(0) = -R?x(0),

% = E[x(f)_i(f)] = 0.

(5.180)

(5.181)

(5.182)

Из формул (5.166) и (5.168) следует также, что

с?=/ $хх(/)"=/ Gxx(/)df,

(5.183)

。" /：(2寸)&式/)"=/(2")2G以/)或.

(5.184)

Предположим теперь, что х (f) и х(Г) имеют нулевое среднее и подчиняются двумерному нормальному распределению с указанными выше дисперсиями и нулевой ковариацией. Тогда

р(а,8)=р(а)р(8), (5.185)

]

Р(а)= ° 怎 ехр( а2/2а^),

(5.186)

Р(8)=о 怎 ехр( f/2 碎)，

(5.187)

Подставляя выражение (5.185) в формулу (5.178), находим, что

—ехр(-а2/2а^)产

М- °/ |8|ехр( ^2/2碎)d£ =

=一(」卜xp( 一a2/20/).

(5.188)

В частности, при а = 0 имеем

J rtl^G^f) df7r J Gxx(f)dfJ rtl^G^f) df7r J Gxx(f)df1/2■(5.189)1/2■(5.189)

J rtl^G^f) df

7r J Gxx(f)df

J rtl^G^f) df

7r J Gxx(f)df

1/2

■(5.189)

1/2

■(5.189)

(5.190)(5.190)Используя N。，можно записать

(5.190)

(5.190)

№ = ^ехр(-а2/2о?)

Эти результаты заимствованы из книги [5.1J, впервые они были получены Райсом [5.5J, который пользовался другим методом доказательства.

ПРИМЕР 5.12. ЧИСЛО ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ОСИ АБСЦИСС НИЗКОЧАСТОТНЫМ БЕЛЫМ ШУМОМ. Для иллюстрации приведенных выше формул рассмотрим низкочастотный белый шум, сосредоточенный в полосе частот от 0 nо 8 герц, т. е. G*x(/)=K при 0 ^/ ^ В, в остальных случаях G» = 0. Тогда2

о/= / Kdf= КВ ,碎=/ (2тг/) /Cdf= —КВ3 .

По формуле (5.189) имеем _2、

.乂 =吞方=2(0,585).

Детерминированный гармонический процесс с частотой В герц имел бы N。=25 нуль/с. Поэтому можно заключить, что низкочастотный белый шум с полосой частот, ограниченной В герц, имеет кажущуюся частоту, составляющую примерно 0,58 граничного значения В.

Задачи

Корреляционная функция случайного процесса равна К*х(?)= 2”一 4m cos 4тг7 + 16. Найдите:

среднее значение и дисперсию процесса;

соответствующую одностороннюю спектральную плотность.

Какие из перечисленных ниже свойств всегда справедливы для ковариационной функции стационарного случайного процесса:

эта функция четная;

неотрицательная;

ограничена значением в нуле;

позволяет найти среднее значение процесса;

позволяет найти дисперсию процесса.

Какие из свойств, перечисленных в задаче 5.2, всегда справедливы для взаимной ковариаиионной функции стационарных случайных процессов?

Двусторонняя спектральная плотность случайного процесса равна

邑") = 卜(/)+ 2。(】一" "］。；

【 о，|/| > 10.

Вычислите:

среднее значение и дисперсию процесса;

соответствующую ковариационную функцию.

Какие из свойств, перечисленных в задаче 5.2, всегда справедливы для следующих двусторонних величин:

спектральной плотности;

взаимной спектральной плотности.

Какие из следующих свойств всегда справедливы для пары эргодических процессов:

a)火灯(8)=以帆；

Rxv (0) = 0, если 耿=0 или 珍=0;

Rxy (г) = 0, если/?А.Л.(т) = 0 или Ryy (z) = 0;

1R.>(7)|2/出皿(7)&"(7)；

Gj^fO) = °, если 臥=0 или 丐=0;

I G*>(/)|2《Gm(0)G»(0);

G*//) = 0, если G»(/) = 0 или Gy^f)= 0.

Односторонняя взаимная спектральная плотность двух случайных процессов равна Gxy(f ) = 6//2 + j (8//3). Вычислите двустороннюю взаимную спектральную плотность %(/) через

действительную и мнимую части;

модуль и фазовый угол.

Реализациях (/) эргодического случайного процесса имеет ковариационную функцию вида Rxx (т) = ^一“丨"cos 2тг/от при а > 0. Найдите ковариационную функцию первой производной по времени x(t) процесса X0).

Реализация х«) эргодического процесса имеет одностороннюю спектральную плотность вида

1

GJ/) = 25 +戸 7 0 < / < 25 .

В остальных случаях G** = 0. Определите среднее число пересечений оси абсцисс в секунду реализацией х (f ).

Выведите соотношение (5.30) из формулы (5.59).

Глава 6

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХСИСТЕМ С ОДНИМ ВХОДНЫМ

ПРОЦЕССОМ

Эта глава посвящена теории систем с одним входом и ее применениям. Предполагается, что на вход системы поступают реализации стационарного случайного процесса с нулевым средним, а система линейная и имеет постоянные параметры. Рассматриваются модели с одним входом и одним выходом, а также модели с одним входом и несколькими выходами. Для этих моделей определяется функция обычной когерентности. Системы с несколькими входами изучаются в гл. 7.

Системы с одним входом и одним выходом

Пусть линейная система с постоянными параметрами задается весовой функцией h (г) и частотной характеристикой Н (f), которые были определены и исследованы в гл. 2. Предположим, что воздействие на систему одного вполне определенного входного сигнала х (г), являющегося реализацией стационарного случайного процесса 卜«)}, вызывает один вполне определенный выходной сигналу (Г) (рис. 6.1). Этот выходной сигнал представляет собой реализацию стационарного случайного процесса »«)}.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

При идеальных условиях выходной сигнал системы, изображенной на рис. 6.1, задается сверткой

，⑺=厶 〃(т)х" - т) "т，(6.1)

где 力(丁) = 0 при г < 0, если система физически осуществима. Произведение у (t)y (t + т) равно

y(t)y(t + т) = / 力(а)力(£)x(l - 6)x(F + 質一a) dadR . (6.2)

Взяв математическое ожидание от обеих частей этого равенства, получим соотношение, устанавливающее связь между ковариационными функциями выходного и входного процессов:

凡О = Яh(a)从位R-(T + 8 - a) dadB .(6.3)

О

Аналогично определяется произведение x{t)y(t + т):

Х(1)У(1 + т) = f h(a)x(t)x(t + г — a) da .(6.4)

J。

*倒^ " H(f) а у⑴

Рис. 6.1. Идеальная система с одним входом и одним выходом.

Взяв математическое ожидание от обеих частей этого равенства, получим взаимную ковариационную функцию входного 〃 выходного процессов:

А*у(т)=厶 〃(а)—а) "а •(6.5)

Заметим, что свертка в формуле (6.5) имеет тот же вид, что и в (6.1).

Применение преобразования Фурье к соотношениям (6.3) и (6.5) после ряда алгебраических преобразований позволяет показать, что двусторонние спектральные плотности Sxx (/*), S抄(/*) и Sxy(f) удовлетворяют следующим важным соотношениям:

s»(/) = 1"(/)附以/), Sx”)= M/)SJ/) •(6.6, 6.7)

Здесь частота / может быть как положительной, так и отрицательной. Заметим, что выражение (6.6) действительное и содержит только амплитудную характеристику системы \Н (f)\. В то же время выражение (6.7) комплексное и может быть разбито на две формулы, содержащие соответственно амплитудную \H(f)\ и фазовую ф(/) характеристики системы. Формула (6.6) называется соотношением между спектрами входного 〃 выходного процессов» а формула (6.7)——соотношением для взаимного спектра входного и выходного процессов. Эти формулы применимы только в идеальном случае — при отсутствии шума на входе и выходе, когда характеристики системы линейны и не меняются во времени. Интерпретировать эти спектральные соотношения в частотной области значительно проще, чем соответствующие корреляционные соотношения во временной области.

Соотношения (6.6) и (6.7) можно записать через физически измеримые односторонние спектральные плотности Gxx(f)t 〜(/) и Gxy(f)t где G (f) = 2s(/*) при/》0 и G(f) = 0 в остальных случаях. Соотношения (6.6) и (6.7) принимают вид

G»(/)=血(/)也“),G//) = H(/)Gx”).(6.8, 6.9)

Пусть

G.(/) = |G» ⑺ |e-〃*"), Я(/) = \HU)\e^f\ (6.10,6.11)

Тогда уравнение (6.9) эквивалентно следующим двум

G(/)i = iM/)|Gx”)，％(/) = е(/).(6.12,6.13)

На этих результатах основаны многочисленные инженерные применения функций спектральной плотности. Практические примеры можно найти в

Вход Gx』)Вход Gx』)Bb】xo〃G加。Bb】xo〃G加。

Вход Gx』)

Вход Gx』)

Bb】xo〃G加。

Bb】xo〃G加。

Рис. 6.2. Соотношения между спектрами входных и выходных процессов линейных систем: а — спектры; 6 — взаимные спектры.

книге [6.1]. На рис. 6.2 показано изменение спектра входного процесса Gxx (f) после прохождения через линейную систему с частотной характеристикой//^).

Формула (6.8) дает возможность вычислить средний квадрат выходного процесса:

丑=』％»(/) df= j"\H(f^Gxx(n df- (6.14)

Формула (6.8), кроме того, позволяет определить Gxx(f) по известным Оуу (/) и \H(f)\ или же \H[f)\ по известным Gxx(f) и Gyy (/), но из формулы (6.8) нельзя найти полностью частотную характеристику H(f) системы, так как эта формула не содержит информации о фазе. Полностью восстановить амплитудную и фазовую характеристики системы можно из формул (6.9)—(6.13), когда известны как G^ (/), так и Gxx(f).

Формулы (6.8) и (6.9) можно вывести и без предварительного нахождения корреляционных соотношений (6.3) и (6.5). Для любой пары достаточ-

но больших, но конечных реализаций длины Т соотношение (6.1) эквивалентно следующему равенству:

У(/) = "(/)Х(/),(6.15)

гдеХ^) и У (/) — финитные преобразования Фурьех р) м у (f) соответственно. Тогда

У*(/) = Н*(/)Х*(/), |У(/)|2 = |Н(/)|2|Х(/)|2,

Х*(/)У(/) = "(/)|Х(/)|2 .

Если теперь последние два равенства усреднить по ансамблю реализаций, умножить на 2/Г и устремить Т к бесконечности, то из соотношений (5.66) и (5.67) получим, что

G»(/) = \H{f)\2Gxx(f), G—/) = H(f)Gxx(f) -(6.16, 6.17)

Обратим внимание на простоту непосредственного вывода этих соотношений. Этот метод будет использован в разд. 6.1.4 и гл. 7.

Переходя в формуле (6.17) к комплексно-сопряженным величинам, получим

G^(/) = G产(/) = H^f)Gxx(f),(6.18)

где

Gy”)= |G»(/)|/，，S, н*(/) = |H(/)|〃S (6.19,6.20)

Следовательно, для определения фазовой характеристики можно использо

вать формулувать формулу(6.21)(6.21)G.”)Я(/)

вать формулу

вать формулу

(6.21)

(6.21)

丿—/=0一户6(/)

Gyx(f) "*(/)•

Имея целью определение полной частотной характеристики, заметим, что из формул (6.16) и (6.18) следует соотношение

^(/) = H(f)[H*(f)Gxx(f)] = H(/)G产(/).(6.22)

Поэтому для идеальной системы с одним входом и одним выходом Н (f) можно найти из соотношения (6.17):

G/)

(6.23)

а формула (6.22) дает

Я(/) = ^ЦД-

Gy”)

(6.24)

Следовательно,

G、y(/)G»(/)

(6-25)

Gx”)GJ)

что эквивалентно

\Gxy(f)\2 = Gxx(f)Gyy(f).

(6.26)

При анализе переходных процессов, изучаемых в гл. 12, вместо спектральных плотностей «мощности», определенных в гл. 5 и 6, используются спектральные плотности «энергии». Эти два типа спектров связаны соотношением 田吋(/) = ТGxy (/), где ・9 (f) описывает взаимную спектральную плотность «энергии». Предполагается, что переходные процессы х р) “У «) существуют только в интервале О W F 《Г. Полученные в этой главе и гл. 7 соотношения между входными и выходными процессами верны и для таких переходных процессов после простой замены спектральных плотностей «мощности» спектральными плотностями «энергии».

ПРИМЕР 6.L РЕАКЦИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА НА БЕЛЫЙ ШУМ. Предположим, что на вход низкочастотного 7?С-фильтра с постоянной времени К = RC поступает белый шум. Найдем спектральную плотность, средний квадрат и ковариационную функцию выходного процесса.

Частотная характеристика этого низкочастотного фильтра имеет вид

Я(/) = (1 +j2^)-* = |Н(/)|е-а ⑺， причем ей соответствует весовая функция

〃 \…；

力(т) = { К

\0 , т < 0 •

ЗДеСЬ |Я(/)|= [1 +(2”以丹 г" , ф(/) = arctg (2^).

ЕслиGxx(f) — спектральная плотность белого шума (т. е. Gxx(f) = Л ) и постоянна для всех/》0, то

^={4(/)#=f^={4(/)#=f6,Л/) = \H{fWGxx(n = т - - -,з，

^={4(/)#=f

^={4(/)#=f

г df =— 1+(2"V> 4K

А»(т)= /： G»( f)cos2wfT 可=《е-Е/к

ПРИМЕР 6.2. РЕАКЦИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА НА ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС. Предположим, что на вход низкочастотного RC- фильтра, описанного в примере 6.1, поступает гармонический процесс с спектральной плотностью

Gx”)= (X2/2)6(/-/o).

Найдем спектральную плотность, средний квадрат и ковариационную

функцию выходного процесса. В данном случае

G»(/) = \H(f)\2Gxx(f)=G»(/) = \H(f)\2Gxx(f)=К/ам/м)1 +(2w)2К/ам/м)1 +(2w)2# =「G»(/)/ =# =「G»(/)/ =Х2/21 +(2 咽'УХ2/21 +(2 咽'У尺抄(Т) = J：Gyy (/ )cos 2t7/t< =尺抄(Т) = J：Gyy (/ )cos 2t7/t< =X2/21 +(2”№)2X2/21 +(2”№)2COS 2^7.COS 2^7.

G»(/) = \H(f)\2Gxx(f)=

G»(/) = \H(f)\2Gxx(f)=

К/ам/м)

1 +(2w)2

К/ам/м)

1 +(2w)2

# =「G»(/)/ =

# =「G»(/)/ =

Х2/2

1 +(2 咽'У

Х2/2

1 +(2 咽'У

尺抄(Т) = J：Gyy (/ )cos 2t7/t< =

尺抄(Т) = J：Gyy (/ )cos 2t7/t< =

X2/2

1 +(2”№)2

X2/2

1 +(2”№)2

COS 2^7.

COS 2^7.

ПРИМЕР 6.3. СИСТЕМА С СИЛОЙ НА ВХОДЕ И СМЕЩЕНИЕМ НА ВЫХОДЕ. Вычислим спектральную плотность, ковариационную функцию и средний квадрат выходного процесса системы, изображенной на рис. 2.2, в предположении, что на ее вход поступает белый шум. Результаты справедливы и для других аналогичных систем, как указывалось в гл. 2.

Пусть Gxx (/) = G, где G — постоянная. Тогда по формуле (2.24а) или табл. 2.1 в предположении, что сила выражена в единицах смещения, т. е. х (f)=戶(f )/к, находим спектральную плотность выходного процесса:

G»(/) = |H(/)&dG±G»(/) = |H(/)&dG±G[1-(ж)Т+(2ш)2G[1-(ж)Т+(2ш)2О < / < оо .О < / < оо .

G»(/) = |H(/)&dG±

G»(/) = |H(/)&dG±

G[1-(ж)Т+(2ш)2

G[1-(ж)Т+(2ш)2

О < / < оо .

О < / < оо .

Соответствующая ковариационная функция выходного процесса равна

Средний квадрат выходного процесса есть

吋= {Ч(/)“=%(0)=嚟.

Следовательно, если на вход поступает белый шум, то средний квадрат 近 обратно пропорционален f.

Если входной процесс гармонический, то, как мы сейчас увидим, максимальное значение 確 обратно пропорционально f2. Пусть сигнал

F(f) = kx(t) = kXcos2^rf0t, ^ = (1/Т),

проходит через систему, задаваемую частотной характеристикой //(/) (рис. 2.2). Тогда выходной процесс у") есть

причемпричемМО = kX\H(f0)^os[17rf0t - ф(/о)],疗=J/3(Г)& = 1(Х2/2)|М/о)|2 .

причем

причем

По формуле (2.26) для малых f

1max|H(/0)| = |H(/r)| ==—,

следовательно,следовательно,тах^"矛.тах^"矛.

следовательно,

следовательно,

тах^"矛.

тах^"矛.

что и утверждалось.

ПРИМЕР 6.4. СИСТЕМА СО СМЕЩЕНИЕМ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ, Вычислим спектральную плотность, ковариационную функцию и средний квадрат выходного процесса в том случае, когда на вход системы, изображенной на рис. 2.4, поступает белый шум. Эти результаты справедливы и для других аналогичных систем, как указывалось в гл. 2.

Пусть Gxx(f) = G, где G ——постоянная. Тогда по формуле (2.38а) или табл. 2Л спектральная плотность выходного процесса есть

Gyy{f) = \H{n^dG =Gyy{f) = \H{n^dG =G[1 +(2?/力)2][1-(M)T+(WA)2G[1 +(2?/力)2][1-(M)T+(WA)2

Gyy{f) = \H{n^dG =

Gyy{f) = \H{n^dG =

G[1 +(2?/力)2][1-(M)T+(WA)2

G[1 +(2?/力)2][1-(M)T+(WA)2

Соответствующая ковариационная функция выходного процесса равна

Средний квадрат выходного процесса есть ,G%(1 + *2)

М = / GjJ)df=凡у(0) =— •

Последние два примера показывают важность экспоненциальнокосинусоидальной и экспоненциально-синусоидальной ковариационных функций для многих практических задач. Если * w 1, то можно обойтись только экспоненциально-косинусоидальными ковариационными функциями.

ФУНКЦИИ ОБЫЧНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Еслй Gxx(f) и Gyy (/) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то функция когерентности входного процесса х (f) м выходного процесса y(t) — действительная величина вида

2IQ”)/ 一 |%(/)|2

—Gxx{hGyy(n ~ SxxU)SyyU) ( ■)

гдеG — односторонние спектры, aS — двусторонние теоретические спектры, определенные выше. Из формулы (5.85) следует, что для всех / функция когерентности удовлетворяет неравенствам

0<у^(/)<1.(6.28)

Для исключения дельта-функций на нулевой частоте перед использованием последних двух формул из случайных процессов следует вычесть их ненулевые средние. Заметим, что функция когерентности аналогична квадрату коэффициента корреляции 确(丁) из формулы (5.16).

Линейные системы с постоянными параметрами удовлетворяют формулам (6.16) и (6.17); после подстановки в формулу (6.27) получаем

2出(/)可)(6 29)

Gxx(fWf)\2Gxx(f) •

Следовательно, в идеальном случае линейной системы с постоянными параметрами и полностью определенными входом и выходом функция когерентности равна единице. Еслмх (f) му « ) совершенно не связаны, то функция когерентности равна нулю. Если же функция когерентности больше нуля, но меньше единицы, то на практике возможны следующие три ситуации:

в измерениях присутствует внешний шум;

система, связывающая х (f) м у (f), не является строго линейной;

выход у 0) зависит помимо х « ) м от других входных процессов.

Для линейных систем функцию 吃 U) можно интерпретировать как относительный вклад входного процесса х«) в средний квадрат выходного процесса у Ц) на частоте /. С другой стороны, величина 1 — 7^(/) задает долю среднего квадрата у (f) на частоте /, не связанную с х (г )•

ПРИМЕР 6.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ. Рассмотрим самолет, пролетающий через зону атмосферной турбулентности (рис. 6.3). Пусть входной процесс х (f)——это вертикальные пульсации скорости потока в метрах в секунду, измеряемые датчиком, который расположен в носовой части самолета, а выходной процесс у (f)——вертикальное ускорение в долях g, измеряемое акселерометром, расположенным в центре тяжести самолета. Результирующая функция когерентности и спектральные плотности реальных данных показаны на рис. 6.4 и 6.5. В данном слу-

Выход :yfv" вертикальное ускорение ЦТВыход :yfv" вертикальное ускорение ЦТВход:л^^ - вертикальные пульсации потокаВход:л^^ - вертикальные пульсации потокаРис. 6.3. Пролет самолета через зону атмосферной турбулентности.Рис. 6.3. Пролет самолета через зону атмосферной турбулентности.чае спектры вычислялись в полосе частот от 0,1 до 4,0 Гц с разрешением 0,05 Гц при длине реализации около 10 мин.

Выход :yfv" вертикальное ускорение ЦТ

Выход :yfv" вертикальное ускорение ЦТ

Вход:л^^ - вертикальные пульсации потока

Вход:л^^ - вертикальные пульсации потока

Рис. 6.3. Пролет самолета через зону атмосферной турбулентности.

Рис. 6.3. Пролет самолета через зону атмосферной турбулентности.

Рис. 6.4. показывает, что скорость пульсаций на входе и ускорение самолета на выходе обладают относительно большой когерентностью, равной 0,8...0,9 в полосе частот примерно от 0,3 до 2,0 Гц. Однако правее и левее этой полосы функция когерентности убывает. На низких частотах вертикальное ускорение самолета в основном определяется нагрузками, вы-

1,01,0°/0,20,40,6 0,8 1.02,04,0Частота,Гц°/0,20,40,6 0,8 1.02,04,0Частота,Гцf оох^-т^аЕО^f оох^-т^аЕО^Q9 0,8 0,7 0,6 0,5 ОН 0,3 0,2 0,1 01

1,0

1,0

°/0,20,40,6 0,8 1.02,04,0

Частота,Гц

°/0,20,40,6 0,8 1.02,04,0

Частота,Гц

f оох^-т^аЕО^

f оох^-т^аЕО^

Рис. 6.4. Функция когерентности между скоростью пульсаций воздуха и результирующим ускорением. Эти данные были получены в исследованиях, проведенных в исследовательском центре NASA в Лэнгли (Хэмптон, Вирджиния) по контракту NAS-I-8538.

званными действиями пилота, управляющего самолетом, а не влиянием атмосферной турбулентности. Поэтому убывание функции когерентности на низких частотах отражает, вероятно, вклад в выходной процесс у (f) других входных процессов, отличных от наблюдаемого входного процесса x(f). На высоких частотах выходной спектр резко убывает за счет характера реакции самолета, подобной действию низкочастотного фильтра, а также из-за убывания в этой полосе частот спектра входного процесса, как видно из рис. 6.5. С другой стороны, фоновый шум оборудования сбора и регистрации данных обычно не уменьшается с ростом частоты. Поэтому уменьшение функции когерентности на высоких частотах определяется, вероятно, наличием в наблюдениях постороннего шума. На этом пример 6.5 заканчивается.

По любым двум реализациям х《)и j р) всегда можно вычислить функцию обычной когерентности, используя Gxx (f\Gyy (/*) и Gxy (/*). Значения этой функции указывают на степень линейной зависимости одной реализации от другой. Однако это не обязательно означает, что между двумя реализациями существует причинно-следственная связь. О причинности будет сказано в разд. 6.2.1.

В применениях функции когерентности к задачам оценки линейных частотных характеристик ее можно рассматривать как отношение двух различных оценок квадрата амплитудной характеристики системы. Одна из них задается формулой (6.16):

同/后=器2 (6.30)

а другая ——формулой (6.17):

|G»(/)『G^(f)

Их отношение и равно функции когерентности

(6.32)(6.32)IM/)份|G»(/)|2

(6.32)

(6.32)

|"(/)Т - Gxx(/)G»(/)

На практике вычисленные по формуле (6.32) значения всегда будут лежать между нулем и единицей. Оценка амплитудной характеристики по формуле (6.30), использующая значения автоспектров выходного и входного процессов, всегда смещена, за исключением того случая, когда функция когерентности равна единице. В то же время оценка амплитудной характеристики по формуле (6.31), использующая значения спектра входного процесса и взаимного спектра входного и выходного процессов, смещена только при воздействии постороннего шума на входной процесс, однако если посторонний шум воздействует только на выходной процесс, то эта оценка несмещенная. В частности, формула (6.31) дает несмещенную оценку ам-

-г£н авннвана 聞 ox-qB ен ЬИНЙОМЗА лйохно^с KBHqug-L工2UQ

W-3

10 5

0,1

0.20,4 0,6 0,8 1,02,04,0

Частота,Гц

煙“外仙2-0， ^ад ад ^о-2， W ^ ^ ^ ^ ?^^^2 ко^о X ГОХОНОЕ KnneuqlMU ntodoxj qj/JOHioGH KS^S^SWEO

0,01

Рис. 6.5. Спектральные плотности скорости пульсаций потока и результирующего ускорения. Эти данные были получены в исследованиях, проведенных в исследовательском центре NASA в Лэнгли (Хэмптон, Вирджиния) по контракту NAS-I-8538.

плитудных характеристик системы с несколькими входами, если, входные процессы не коррелированы. Такие задачи рассматриваются в гл. 9, где также показано, что точность оценок частотных характеристик увеличивается по мере приближения значения функции когерентности к единице.

Функции когерентности сохраняются при линейных преобразованиях. Именно, предположим, что требуется вычислить функцию когерентности процессов х(/) и j (/), причем эти процессы непосредственно не наблюдаются. Допустим, однако, что наблюдаются два других процесса х i (f) и у 1 (f), относительно которых на основании физических соображений можно утверждать, что х ]«) связан точной линейной зависимостью с х(/), а У 1«) — с j (/). Тогда функция когерентности между х j (/)丛丿途)равна исходной функции когерентности между х« ) и/ (/). Докажем это.

Наличие точной линейной связи означает, что существуют такие гипотетические частотные характеристики Л (f) н 8(f), возможно, неизвестные, что X [(f) = A (f)X (f)9 У)= ^(f)^(f)* Тогда при любом значении / имеем Gv v= \А l2Gvr, Gv v =15 12G

G*仍 = A * BGxy. Следовательно,

|G,/\A^\Gxy\2|G,『

，Л G„G,5\A\2Gxx\B\2Gyy GxxGyy

Этот результат важен для многих приложений [6.1].

МОДЕЛИ С ПОСТОРОННИМ ШУМОМ

Рассмотрим модели линейных систем с частотной характеристикой Н (f), на вход и выход которых воздействует посторонний шум. Пусть “(f) н V(Z)——истинные сигналы, am (t) н〃«)——шумы, воздействующие соответственно на 〃(f) и г (/) (рис. 6.6). Предположим, что через систему проходит только w (Г) и вызывает выходной сигнал г (г), однако наблюдаются реализации вида

X(r) = u(t) + m(t), J(r) = v(t) + и(г).(6.33)

При произвольной корреляции между сигналами н шумами спектральные и взаимные спектральные плотности процессов х (t) и j (/) равны

G,”) = G„B(/) +Gm^f) + G“//) + G_(/),

G»(/) = G„„(/) + G„n(/) + G』/) + G”“(/),(6.34)

G»(/) = G„„(/) + G„„(/) + Gmv(f) + Стп(П,

Рис. 6.6. Система с одним входом и одним выходом прн наличии постороннего шума.

гдегдеGU/) = l^(/)|2Guu(/),GJ/) = ^(/)G„u(/).

где

где

(6.35)(6.36)(6.35)(6.36)В зависимости от степени коррелированности 相(£) н 〃 Q) между собой и с сигналами возможны самые разные ситуации. Особый интерес представляют три из них.

(6.35)

(6.36)

(6.35)

(6.36)

Случай 1. Шум на входе отсутствует; на выход воздействует некоррелированный шум.

Случай 2. Шум на выходе отсутствует; на вход воздействует некоррелированный шум.

Случай 3. Шумы воздействуют и на вход, н на выход, причем они не коррелированы как между собой, так м с сигналами.

СЛУЧАЙ 1. ШУМ НА ВХОДЕ ОТСУТСТВУЕТ; НА ВЫХОД ВОЗДЕЙСТВУЕТ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЙ ШУМ:

П(1)

啲t н6)I•兩)〉 ②^/)

x(t) = "(г),

У”)= "(f) + "⑺，Glin(/) = О,

G以/) = G““(/),

G»(/) = G°”) + G„„(/),

G»(/) = G“”) = H^G^f),

G“(/)

~ GxAfV

&”)= I呂⑺ 12G ““(/) = ^^・(6.38)

Заметим, что Gvv (f) можно оценить по x (/) и j (Г), даже если г (/) не наблюдается. Следовательно, можно определить и Gnn (f), не наблюдая я (/). В практических применениях это, несомненно, важнейший случай, поскольку часто удается точно определить входной сигнал и минимизировать влия-

ние шума на входе. Однако о шуме на выходе этого сказать обычно нельзя, поскольку он может быть вызван нелинейностью системы или воздействием каких-либо ненаблюдаемых входных сигналов.

В случае 1 функция обычной когерентности равна

|G、”)『1Gq)『

Gj)G»(/) — G“”)瓜(/) + Gj川

(6.39)(6.39)1

(6.39)

(6.39)

1 + G“<f)/G,，V)

поскольку

北⑺、白紹L，

Заметим, что 7^(/) < 1，если Gnn (f) > 0 и

&”)= *，(/)%‘(/)•(6.40)

Это произведение 由(/*) на Gyy (/) называется когерентным спектром выходного процесса. Заметим также, что спектр шума на выходе равен

G„„(/) = [1 -Y^(/)]^(/).(6-41)

Следовательно, в этом случае 時 V) можно интерпретировать как относительный вклад х (f) в Gyy (/*) на частоте/, а 1 — ^(/)——как относительный вклад в Gyy (/*) отличных отх (/) процессов на частоте/. Следовательно, функция обычной когерентности разбивает наблюдаемый спектр выходного процесса на некоррелированные составляющие, соответствующие входному сигналу м постороннему шуму. Формула (6.40) лежит в основе решения многих задач идентификации источника, в которых используются функции обычной когерентности [6.1].

СЛУЧАЙ 2. ШУМ НА ВЫХОДЕ ОТСУТСТВУЕТ; НА ВХОД ВОЗДЕЙСТВУЕТ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЙ ШУМ:

皿-Ц马阳d—^ "“

m(t)^@^加

x(f) = "(f) + m(f) ,G“m(/) = O, y(t) = v(t),

Gxx(/) = G““(/) + G“(/),

G»(/) = &〃)= |〃2(/)『G““(/) = H2(f)[H^(f)Guu(f)],

Gxy(f)-Guv(f) = ti2(f)Guu(f),

G»(/) = "N/)G““(/),

%(/) =%(/) =G»(/) M?)G»(/) M?)(6.42)(6.42)

%(/) =

%(/) =

G»(/) M?)

G»(/) M?)

(6.42)

(6.42)

(6.43)(6.43)&“(/) КМ/" |G_(/)|2_ 因2(/)12 一 G"")- %.(/)

(6.43)

(6.43)

В этом случае Gnn (f) и G^切(f) можно определить no x (f) и j (Г). Такая ситуация встречается в некоторых специфических приложениях [6.2]. Однако эти соотношения нельзя использовать, если выход подвержен воздействию шума, связанного с нелинейностью системы, вкладом других входных сигналов и (или) инструментальным шумом на выходе. В этих ситуациях предпочтительнее использовать результаты, полученные при анализе случая 1.

В случае 2 функция обычной когерентности равна

诡(/)=诡(/)=G(/)|2G以/)G»(/)G(/)|2G以/)G»(/)|G』/)『

诡(/)=

诡(/)=

G(/)|2G以/)G»(/)

G(/)|2G以/)G»(/)

[Guu(f) + Gmm(f)]Gvv(n

(6.44)(6.44)1l+[G“m(/)/G““(/)]

(6.44)

(6.44)

Следовательно, t^V) V 1, если Gmm (f) > 0 и

G“”) = Y$(/)G以/),(6.45)

GmJ/)= [1-Y$(/)]Gx、(/)・(6.46)

Поэтому в случае 2 функция обычной когерентности разбивает наблюдаемый спектр входа на некоррелированные составляющие, соответствующие сигналу и шуму.

Если разделить частотную характеристику "](/), определенную в сиу-

(6.47)(6.47)чае 1 формулой (6.37), на частотную характеристику Н^), определенную в случае 2 формулой (6.42), то в результате получим функцию когерентности

(6.47)

(6.47)

НАП _ Gxy(f)/Gxx(f)

而7一 g.(/)/g.(/) 一ь扒)).

СЛУЧАЙ 3. НА ВХОД “ ВЫХОД ВОЗДЕЙСТВУЮТ ШУМЫ, НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ “ С СИГНАЛОМ-.

x(f) = "(f) + Mf), G„m(/) = Gvn(f} = о,

y(r) = "(r) + "(t),Gm„(/) = О,

G、”)= G““(/) + Gmm(/), G»(/) = G°”)+ G“")，

Gxy(f) = Gul.(f) = H(f)Guu(f),

a”) = ih(/)|2g“”).В этом случае H(/*) нельзя определить неизвестен или не наблюдается шум наa”) = ih(/)|2g“”).В этом случае H(/*) нельзя определить неизвестен или не наблюдается шум на(6.48)по наблюдениям x (f) н у (f), если(6.48)по наблюдениям x (f) н у (f), еслия(/) = —У，， G““(/)|я(/)12 =伉夕?я(/) = —У，， G““(/)|я(/)12 =伉夕?входе- Точнее,G/f)входе- Точнее,G/f)G/) - G“m(/)'G/) - G“m(/)'(6.49)(6.49)GyyU) - Gnn(/)G、、(/) 一 Ge(介GyyU) - Gnn(/)G、、(/) 一 Ge(介(6.50)(6.50)

a”) = ih(/)|2g“”).

В этом случае H(/*) нельзя определить неизвестен или не наблюдается шум на

a”) = ih(/)|2g“”).

В этом случае H(/*) нельзя определить неизвестен или не наблюдается шум на

(6.48)

по наблюдениям x (f) н у (f), если

(6.48)

по наблюдениям x (f) н у (f), если

я(/) = —У，， G““(/)

|я(/)12 =伉夕?

я(/) = —У，， G““(/)

|я(/)12 =伉夕?

входе- Точнее,G/f)

входе- Точнее,G/f)

G/) - G“m(/)'

G/) - G“m(/)'

(6.49)

(6.49)

GyyU) - Gnn(/)

G、、(/) 一 Ge(介

GyyU) - Gnn(/)

G、、(/) 一 Ge(介

(6.50)

(6.50)

Заметим, что, согласно формуле (6.49), Н [f) зависит от Gmm (/), но не зависит otG(f). Формула (6.50) для определения IH (/)|2 показывает, что \Н(f)\2 зависит как от Gmm (/*), так и от Gnn (f).

В случае 3 функция обычной когерентности равна

%>(/) =%>(/) =_^££^ =&,(/)『

%>(/) =

%>(/) =

GxAhGyy(f) ~ [Сии{П + Gmm(/)][G(,t,(/) + G„„(/)]

(6.51)(6.51)1

(6.51)

(6.51)

l + a(/) + A(/) + M/)A(/)

где a(f ) н P(f ) — отношения шума к сигналу, равные

«(/)= [Gmm{f)/Guu(f)]， 6(/) = &〃(/)/&,,(/)]. (6.52)

Очевидно, что 培(/) V 1, если только a(f) > 0 или §(/*) > 0. В этом случае невозможно разложить Gxx (f ) или G^ (f) на отдельные составляющие, соответствующие сигналу и шуму, если известны только х (/) и у (/ ).

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Вернемся к исходной системе с одним входом и одним выходом, в которой шум воздействует только на выход (случай 1, рис. 6.7). Откажемся теперь от предположения о некоррелированности л (/) и г (Г), и пусть Н (f)—— произвольная линейная частотная характеристика, задающая преобразование х (f). Найдем такую Н (f), которая минимизирует шум на выходе, при этом оптимальность оценки //(/) понимается в среднеквадратичном смысле. Заметим, что если между выходным сигналом и шумом есть корреляция, например если выход содержит зависящий от сигнала инструментальный шум или вклад ряда других входных сигналов, коррелированных с наблюдаемым сигналом х (/), то результирующая оптимальная H(f) вовсе не будет описывать фактически имеющийся тракт между точками, в которых наблюдаются х (/) и j (/). Кроме того, преобразование входного сигнала в выходной может быть нелинейным. В любом случае Н (f) просто является функцией, которая формально задает наилучшую в среднеквадратичном смысле линейную свя^ь между х (/) и у (£).

Для любого набора реализаций достаточно большой длины 丁 поведение системы, изображенной на рис. 6.7, описывается соотношениями

Y(f)^H(f)X(f) + N(f),(6.53)

где прописными буквами обозначены финитные преобразования Фурье соответствующих реализаций во временной области. Очевидно, что

'(/) = У(/) - H(f)X(f),N*(/)=『(/) - 〃*(/)Х*(/).

Следовательно,

|N(/)|2 = |У(/)|2- ”(/)У*(/)Х(/)-

-H^f)X^f)Y(f) + Н(/)〃*(/)|Х(/)|2.(6.54)

Взяв математическое ожидание от обеих частей равенства (6.54), умножив их на 2/Г и устремив Г к бесконечности, получим

птптнана

пт

пт

на

на

выходе.

(6.55)

=G»(/) - H(f)Gyx(f) - ”*(/)G»(/) + H(/)"*(/)G,x(/).

Это выражение для Gnn (f) справедливо при произвольной H(f). По определению, оптимальная частотная характеристика //(/) это такая частотная характеристика, которая минимизирует Gnn (/*) по всем возможным Н(/). Эта оценка называется оценкой 〃о методу наименьших квадратов (см. разд. 4.8.2).

Минимизируем теперь Gnn (f) как функцию от Н (/)• Для упрощения обозначений зависимость от / указываться не будет. Таким образом,

G„„ = G» - HGyx- ”*G,> + HW*G„ -(6.56)

Представим комплексные величины через их действительные и мнимые части:

н = Hr- jH[， Н* = Hr+ jHr,

G» = Gr - jG" Gy* = Gr + jGr

Тогда

G„„ = Gyy-{HR-jHt)Gyx-{HR +jHt)Gxy+(Hl + 叩)С,,.

Для нахождения вида частотной характеристики Н, минимизирующей Gnn , нужно приравнять нулю частные производные Gnn по HR н "； и решить полученную таким образом систему уравнений. Имеем при этом

崇2 = -G/ - Gxy + 2%Gxx = 0 ,

SG

另^ = JG" -jGxy+2H]Gxx = 0 ,

откуда

〃 Gxy + Gyx GrJ(G» - Gyx) Gj

-2二-=可•

Следовательно, оптимальная характеристика Н равна

С» 一

H = HR-jH, =—-—=六.(6.57)

Оптимальная характеристика Н, вычисляемая по произвольным реализациям согласно формуле (6.57), носит теоретический характер и не обязательно физически осуществима.

Подстановка оптимальной частотной характеристики H(f) из (6.57) в

формулу (6.55) позволяет обнаружить еще одно ее важное свойство. Именно, спектр шума на выходе равен

G„„(/)=[l-Y^(/)lM/)>(658)

откуда получаем выражение для когерентного спектра на выходе:

&,,(/) = G*(/) - G„n(f) = y^(f)Gyy(f).(6.59)

Кроме того, для оптимальной частотной характеристики Н J ) справедливы соотношения

G、”) = H(f)Gxx(f),

GJJ) = G»(f) - H(f)GxAf) = 0 .(6.60)

Следовательно,

&”(/) = H*(/)G、“(/) = 0 .(6.61)

Таким образом, если для оценки линейной системы (рис. 6.7) используется оптимальная частотная характеристика " (^), то 〃 Q ) и ^ (/) автоматически не коррелированы.

Заметим также, что специальный вид уравнений (6.56) позволяет просто найти ту же оптимальную Н путем приравнивания нулю или частной производной Gnn по Н (при фиксированном Н *) или частной производной Gnn по Н * (при фиксированном Н ). Этим способом получаем

此" „△

-^-= -G -^ H^GXX = 0,

СП

н* =当，Н =(6.62)

Gxx Gxx

Обоснуем этот метод. Уравнение (6.56) показывает, что Gnn ——действительная функция от (HR, %) или от (Я, Н *>. Обозначим ее как

G“”=/(”R,%) = g(H，"*),

причем эта функция имеет вид

g(H, Я*) = АН + А^Н* + ВЯЯ* + С,(6.63)

где А ——комплексная величина, а В, С — действительные. Величина HrU) — это действительная часть 〃(/), а Н7(/) — мнимая часть Я(/), причем выполняются следующие соотношения: Н = HR — jHJ9 Н* = =% + jH「Далее,'

3GWW 一 dg dH 8g НН* — 8g 8g ,吗=丽？й^ + ^7"^-丽 + ^7'

(6.64)(6.64)hg”” ag ан I 3g ан* _ ag ag ]7^7~~dH~dH, + ая* днг = 一4丽一 ан*)

(6.64)

(6.64)

Следовательно, условия минимума, состоящие в том, что соотношения

-^ = 0, а%孤〃=0dHjэквивалентны условиям ag=0,8g=Л + вя* =—0дНаа*-^ = 0, а%孤〃=0dHjэквивалентны условиям ag=0,8g=Л + вя* =—0дНаа*(6.65)(6.66)(6.65)(6.66)

-^ = 0, а%

孤〃

=0

dHj

эквивалентны условиям ag

=0,

8g

=Л + вя* =

—0

дН

аа*

-^ = 0, а%

孤〃

=0

dHj

эквивалентны условиям ag

=0,

8g

=Л + вя* =

—0

дН

аа*

(6.65)

(6.66)

(6.65)

(6.66)

Согласно формуле (6.63), эти равенства имеют место, если

5gА

(6.67)(6.67)=力 + ВН* = 0, откуда имеем R* =;

(6.67)

(6.67)

дН5

8gА*

~ Л* + ВН = 0, откуда имеем // =•

Поэтому оба условия (6.66) выполняются, если

(6.68)

Заметим, что это решение получено либо из равенства dg/дН = 0 (при Н * фиксированной), либо dg/дН * = 0 (при Н фиксированной) без использования Hr н///・ Из соотношения (6.56) находим, что Л = — Gyx (f) и В = Gxx(/)・ Поэтому

Н(/) = М4，(6.69)

что совпадает с выражением (6.57).

Системы с одним входом и несколькими выходами

Опишем теперь модели, полезные при изучении свойств систем передачи сигналов по нескольким трактам, соединяющим один источник с несколькими точками на выходе. Предполагается, что системы, описывающие передачу сигналов по таким трактам, линейны н имеют постоянные параметры и что все неизвестные отклонения от этого идеального случая включены в некоррелированный шум на выходе.

МОДЕЛЬ С ОДНИМ ВХОДОМ И ДВУМЯ ВЫХОДАМИ

Рассмотрим частный случай, когда система имеет один вход н два выхода (рис. 6・8)・ Если предположить, что шумы 〃 ](£ ) ил2(Г) не когерентны

X(t)

Рис. 6.8. Система с одним входом и двумя выходами.

(не коррелированы) между собой и с входным процессом х (Z), то получим приведенные ниже спектральные соотношения (зависимость от частоты f не указывается для простоты обозначений):

G*% = 6。迅=Gx„2 = Gq”2 = G“g = 0 ,

G>. = G”。，+ G”g = |"iFGxx + 6“如,(6.70)

G>5 = G”z + б”. = |H2「Gxx + б”/?，

G»丁 GXV1 = Hfixx , Gxyi = G* = I!% ,(6.71)

G>s = G»2 = H^H2Gxx •(6.72)

Функция когерентности между двумя выходными процессами в этом

случае равнаслучае равна(6.73)(6.73)

случае равна

случае равна

(6.73)

(6.73)

Последнее равенство следует из того, что

|G«『=附二丹产=(阳『Gxx)(用 2G*x) = G«&2“z，

2伍"2|吠|2乜皿,

”GxSy、“GxxGmmGyiyi

У 2 = Jfij =也旦』=&1.(6.74)

"GxxG%>2 GxxGy/z Суд

Применение этих результатов зависит от возможности измерения входного сигналах") одновременно с измерениями двух выходных сигналов —jJZ) Нy2(‘).

СЛУЧАЙ 丄 xQ),門«) 〃 艺«)НАБЛЮДАЮТСЯ ОДНОВРЕМЕННО.

В этом случае формула (6.71) дает следующие выражения для Н^ и Н2：

Gx% = -^Gx% = -^Gx 也=q GxxGx 也=q Gxx

Gx

% = -^

Gx

% = -^

Gx 也=q Gxx

Gx 也=q Gxx

Тогда из формул (6.70) и (6.74) можно определить величины

Gw「闻2G*x = 4 化切,G“|A = (1 — *,)G",G~z = |%|2G*x = 4化小,G“2“2 = (1 - *2)G.2・

Следовательно, все величины, входящие в формулы (6.70)—(6.74), могут быть вычислены.

СЛУЧАЙ 2. ОДНОВРЕМЕННО НАБЛЮДАЮТСЯ ТОЛЬКО J)(/ )Иy2(t). В этом случае Н j мН? нельзя найти по формуле (6.71). Однако если Н j и Н2 известны из других соображений, скажем теоретических, то можно воспользоваться формулой (6.72) для определения Gxx, т. е. Gxx = =Gy^^Qri ；打2). П° известным H j и Н2 и вычисленной G^ определяются все остальные величины, входящие в формулы (6.70)—(6.74).

Если неизвестные //】и Н? нельзя определить из других соображений, то все же можно вычислить G1} , , G、… и G、，，，，а затем воспользоваться

У\У\' У2У2 >1>2 2

формулой (6.73) и найти функцию когерентности 短р?* Еольтме значения 疗卩2 указывают на то, что У《г) и y2(f ), возможно, представляют собой неизвестные линейные преобразования ненаблюдаемого общего источника х(г), при этом посторонний шум на выходе мал по сравнению с сигналами. Следует подчеркнуть, что большие значения когерентности не означают, что между y^it) и j2(r) существует причинная связь. Действительно, в рассмотренной модели между выходными процессами нет причинной связи. Применение модели с двумя выходами к задаче локализации источника энергии подробно рассмотрено в книге [6.1].

МОДЕЛЬ С ОДНИМ ВХОДОМ И НЕСКОЛЬКИМИ ВЫХОДАМИ

Рассмотрим систему (рис. 6.9), на единственный вход которой поступает стационарный случайный сигнал x(t), а на г выходах наблюдаются выходные сигналыyi(t) (i = 1, ... , г). В данном случае спектральные соотношения для i = 1, ... , г имеют вид

Yi(n = Hi(f)X(f) + Ni(f), (6.75)

где прописными буквами обозначены финитные преобразования Фурье соответствующих реализаций во временной области, обозначенных строчными буквами. Для простоты и без потери общности предположим, что средние значения всех реализаций равны нулю. Предположим также, что каж-

У2а)У2а)yr(t)yr(t)，附，附

У2а)

У2а)

yr(t)

yr(t)

，附

，附

дый шумовой процесс на выходе 〃,(，) не коррелирован сх(г )м что все они не коррелированы между собой.

СЛУЧАЙ 丄 ОДНОВРЕМЕННО НАБЛЮДАЮТСЯ ВХОДНОЙ “ ВСЕ ВЫХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ. По одновременным наблюдениям х «) и всех выходных процессовУ1 (Z )(i = 1, 2, ... ,г) можно определить

G»,(/) = $/)Gx”).G»,(/) = $/)Gx”).(6.76)(6.76)

G»,(/) = $/)Gx”).

G»,(/) = $/)Gx”).

(6.76)

(6.76)

Эти формулы совпадают с аналогичными формулами для рассмотренных ранее моделей с одним входом и одним выходом. Тогда любую Hi (/) можно вычислить по формуле

(6-77)

Иначе говоря, Н«〉равна взаимной спектральной плотности входного процесса х (F) и соответствующего выходного процесса у{ (£ ), деленной на спектральную плотность входного процесса. Функция обычной когерентности междух g ) н% 0 ) есть

琉(/)=琉(/)=\Gxyi{fWGxx(/)G%£/)\Gxyi{fWGxx(/)G%£/)(6.78)(6.78)

琉(/)=

琉(/)=

\Gxyi{fW

Gxx(/)G%£/)

\Gxyi{fW

Gxx(/)G%£/)

(6.78)

(6.78)

Любой выходной процесс легко разбивается на составляющие, соответствующие сигналу и шуму.

Во временной области взаимная ковариационная функциях 0) ну,« ) задается формулой

(6.79)(6.79)&х»(т)=厶儿(т)&хх(т - а) "а,

(6.79)

(6.79)

где йДт)——обратные преобразования Фурье Hi (^), т. е. импульсные переходные функции / -го тракта.

СЛУЧАЙ 2. НАБЛЮДАЮТСЯ ТОЛЬКО ВЫХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Рассмотрим теперь случай, когда наблюдаются только выходные процессы y^t). Для каждого i = 1, 2, ... , г можно вычислить автоспектры

G%%(/) = |Я,(/)|Чх(/) + G“,“,(/).(6.80)

Соответствующие ковариационные функции равны оо

%,у,(т)= 〃瓦(аМ(8)&хх(т + а - 8) "а"8 + А„„ (т). (6.81)

Для любых пар различных выходных процессов можно также найти взаимные спектральные плотности и взаимные ковариационные функции. При i * j в силу того, что R小八(力=0 и G, 〃 О) = 0, взаимная ковариационная функция задается 力ор山лой

Ry,yj(T^ = £【%()%( + т)]=

оо

=,儿(а)%,(6)Е[х(/ — a)x(z + т — В)] dad.=

(6.82)(6.82)8

(6.82)

(6.82)

=〃儿(а)%(6)&хх(т + а - В) dadB ,

так как математические ожидания всех остальных членов равны нулю. С другой стороны, взаимную спектральную плотность любых двух выходных процессов можно представить в виде

G.(/)=司 *(/)%(/)G“)(6-83)

Из этого результата следует, что при известных Н^) и Н- (/) и наблюдаемой Gyy (f) с помощью простых алгебраических операций легко найти G%x(/), если Gxx (/) не наблюдается непосредственно.

Из формул (6.80) и (6.83) следует, что функция когерентности для любых двух выходных процессов равна

Gȣ/)G.(/)

二 岡(/)『岡(/)『Gxx(/)

_[岡⑺也式/) + G",(/)][固(/『GJ/) + G少，(川

(6.84)

Различные частные случаи формулы (6.84), представляющие практический интерес, исследуются в гл. 7 книги [6.1].

ИСКЛЮЧЕНИЕ ПОСТОРОННЕГО ШУМА

Предположим, что три или более наблюдаемых выходных процесса, скажем у i« ), у ^ ) и у^Ц ), суть искаженные шумом измерения исследуемых выходных сигналов v ^)9 v2(t) и r3(f) (рис. 6.9). Предположим также, что шумы 勺«),九2“)и 九з(£) не коррелированы между собой и с 打⑴， %(£) и г3(0- Основываясь на идеях работы [6.3], покажем, что свойства спектральных плотностей истинных выходных процессов %(£) можно установить, анализируя наблюдения y^t).

Величины, входящие во все последующие соотношения, зависят от частоты /, однако для простоты обозначений эта зависимость не указывается. Автоспектры наблюдаемых выходных процессов имеют вид

G“ = Gy. = G^ + G„iHi = G”伸(1 + q),

G22 = G.2 = &2“2 + Gw? = &2“2(1 + fj,(6.85)

G33 = G》％ = G°3“3 + G“3“3 = GrJl + C3),

где q》0 обозначают отношение шума к сигналу на выходе i:

°】—G勺勺/G”],с】=仃程刃/仃外南 С3 = ^n3n3/^v3vy (6.86)

Наблюдаемые взаимные спектры выходных процессов таковы:

G12 = G„ = G3 G13 =

Предполагается, что ь 】(£), даемым источником x(f) (см. рентности между парами %«)

2爪г

返“2 =「г - =L 九“з =

Поэтому

52『=IGqj = %厌2

IG23I2 = К

G. = G® G23 = G,. = Gw (6.87)

沙2«) и г3(/) порождаются общим ненаблю- рис. 6.9). Поэтому функция обычной коге- лолжна равняться единице, т. е.

。w3『2。2为『

=G 七—1'У"?。，— с / — 1・

иивуизиз"。2。产。3。3

(6.88)

°?，伉3『=Пор = GViVGV}V}, 兀“J? = GViVGV}V} .(6-89)

2 =伉2『=]2 = Оз]=]

匕2 = G1& — (1 + q)(l + C2)，Хз - G1& - (1 + cj(l + C3)，

,IG— 1(6加)

G22G33(1 +。2)(1 + Сз)

Разумно считать, что ни одна из наблюдаемых функций когерентности в формуле (6.90) не обращается в нуль, поэтому

111

(1 + G)=岔(1 + С2)，(1 + С2)= Y(1 + Сз)，(1 + Сз)=岔(1 + q) •

Отсюда получаем(1 + G)=Отсюда получаем(1 + G)=風 1 + е3)Yu風 1 + е3)YuУпУвС1 + S)УпУвС1 + S)(6.91)(6.92)(6.91)(6.92)

Отсюда получаем

(1 + G)=

Отсюда получаем

(1 + G)=

風 1 + е3)Yu

風 1 + е3)Yu

УпУвС1 + S)

УпУвС1 + S)

(6.91)

(6.92)

(6.91)

(6.92)

Аналогичные формулы справедливы и для 1 + с2, 1 + с3. Следовательно,

(1 + q)=(1 + q)=1>2з1|У12| |У1з11>2з1|У12| |У1з1,(1 + С2)=,(1 + С2)=Мз1IyuI |Угз1Мз1IyuI |Угз1厶 \ M2I厶 \ M2I.(6.93).(6.93)

(1 + q)=

(1 + q)=

1>2з1

|У12| |У1з1

1>2з1

|У12| |У1з1

,(1 + С2)=

,(1 + С2)=

Мз1

IyuI |Угз1

Мз1

IyuI |Угз1

厶 \ M2I

厶 \ M2I

.(6.93)

.(6.93)

Из уравнений (6.85) получаем требуемый результат:

_ G"_ |Y!2l |Ув1_ |G]211Glз| .

G^ = T^ = ^ГGl^~^，

QG22_|У12||У231r _|G1211G23I

八 G33|У1з1 |У2з1 厂|G1311G2з I

=(TT7J ==

Поскольку G“j《Gn, б”#?《G22 и G^q《G33, то для функций когерентности справедливы неравенства

靖•靖4自；名協4靖；?в?гз ^ yA.(6-95)

Уравнения (6.85) и (6.94) позволяют определить также и G^],], Gn^^

ПРИМЕР 6.6. ИСКАЖЕННЫЕ ШУМОМ НАБЛЮДЕНИЯ. Вычисления показали, что спектральные плотности трех выходных наблюдаемых процессов

равны G п (^) = G22(/)二 G33(/) = G, где G —— постоянная, а функции когерентности между выходными процессами равны у|2 = 0,5,呢=0,5 и 723 = 0,4- Определим отношения сигнала к шуму и спектральные плотности сигналов, содержащихся в наблюдаемых выходных процессах.

Отношения шума к сигналу находим по формуле (6.93):

0,40,5

丽丽=‘2 =丽两Т = 1'5°；

0,5

Q =砌而т = 1，50・

Следовательно, отношения сигнала к шуму в наблюдаемых выходных процессах равны

(S/N)i = l,67；(S/N)2 = 0,67；(S/N)3 = 0,67,

а спектральные плотности сигналов, содержащихся в наблюдаемых выходных процессах, таковы:

G. = 0,625G ； GV2V2 = 0,40G ； G》,=0,40G ♦

Модели линейных решеток

Интересный частный случай системы с одним входом и несколькими выходами дает модель, изображенную на рис. 6.9, если под входом х(0 понимать точечный источник, излучающий энергию (например, акустический шум) в однородной среде (например, в воздухе или воде), а под выходами

Рис. 6.10. Линейная дискретная решетка.

у,«) (i = 1, 2, ... , г) — точечные приемники излучения, расположенные в этой среде. В простейшем варианте такой модели приемники излучения расположены на прямой линии, удаленной от источника (рис. 6.10). Конфигурация приемников излучения, изображенная на рис. 6.10, обычно называется линейной дискретной решеткой, а приемники излучения называются элементами решетки. В простой модели такой решетки предполагается, что частотные характеристики Н^) Ц = 1, 2, ... , г) (рис. 6.9) практически одинаковы с точностью до сдвига времени. Суммирование выходных измерений дает два преимущества: а) увеличение отношения сигнала к шуму на выходе (усиление) и б) направленность, которая позволяет выделять отдельные источники, имеющие разные углы падения В по отношению к решетке (8 = 0, если источник находится на нормали к оси решетки).

КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ РЕШЕТКИ

Возвращаясь к модели с одним входом и несколькими выходами, изображенной на рис. 6.9, предположим, что импульсные переходные функции, задающие преобразование входного процесса x(Z) в выходные процессы у,(£) (/ = 1, 2, ... , г) одинаковы, т. е.

%(т) = 〃(т)) i=l,2,…，г・ (6.96)

Линейная дискретная решетка, изображенная на рис. 6.10, будет довольно точно отвечать этому предположению, если: а) источник находится достаточно далеко от решетки, так что падаюшую на решетку волну можно считать плоской; б) источник находится на нормали к оси решетки 0 = 0°); в) среда однородна. Предположим также, что шумы, присутствующие в наблюдениях выходных процессов, имеют нулевые средние значения и равные дисперсии; кроме того, будем считать, что они статистически независимы между собой и не зависят от входного сигнала, так что

£【"&)] = о.

(6-97)(6-97)£[«?(0] = °Л. '，J = 1,2,…，，,

(6-97)

(6-97)

£[n,(z)x(r)| =。“产=0, £[И,(0«；(0] = %〃=0, / /).

Следовательно, выходные наблюдения равны

К⑺=(“T)xQ -К⑺=(“T)xQ -т) dT + 〃》(Е)=т) dT + 〃》(Е)=

К⑺=(“T)xQ -

К⑺=(“T)xQ -

т) dT + 〃》(Е)=

т) dT + 〃》(Е)=

(6.98)(6.98)=u(r) + 勺(Оi = 1,2,..., г.

(6.98)

(6.98)

Среднее значение наблюдаемых выходных процессов есть

歹=_ £ [и") + %(£)]= и") + - Е %")•(699)

Согласно формуле (4.33), дисперсия суммарного выходного процесса равна

岁=竭+(叱").(6.100)

Следовательно, если определить отношение сигнала к шуму на входе как

")п = Q4，(б」。】)

то на выходе решетки отношение сигнала к шуму будет равно

(S/N)°ut =『。〃吊=г (S/NLб©)

Формула (6.102) показывает, что отношение сигнала к шуму на выходе решетки прямо пропорционально числу отдельных наблюдений на выходе (числу элементов решетки). Поэтому это число обычно называют коэффициентом усиления решетки. Коэффициент усиления решетки часто выражается в децибелах, т. е. коэффициент усиления в децибелах равен lOlgr.

НАПРАВЛЕННОСТЬ РЕШЕТКИ

Если источник (рис. 6.10) смещается по отношению к нормали к оси решетки, то сигналы 与(г), содержащиеся в выходных наблюдениях yi(f)

решетки.

(，= 1, 2, ... , г ), уже не будут синфазны, и, следовательно, чувствительность решетки к сигналу источника будет уменьшаться с ростом угла падения; это означает, что решетка обладает направленностью. Для опенки направленности предположим, что скорость распространения энергии в среде равна с, шаг решетки (расстояние между соседними элементами) равен d, а угол падения энергии от источника равен В (рис. 6.11). Заметим, что для удобства выбрано нечетное число элементов решетки, положение элементов по отношению к центру решетки определяется величинами nd 0 = 0, ±1, ±2, ... , ±相)，так что г = 2w + 1. Кроме того, пусть по-прежнему выполняются все предположения, обеспечивающие справедливость формул (6.97).

Предположим, что на центральный элемент решетки от источника падает гармонический сигнал с единичной амплитудой, т. е.

%Q) = sin 2哂.(6.103)

Из рис. 6.11 легко видеть, что на другие элементы решетки сигналы от источника попадают с запаздыванием тп = (nd/с) sin6 (« = 0, ± 1, ±2, ...，士相).Поэтому

v„(t) = sin(2w/r + Knd),(6.104)

где величина К, именуемая следовым волновым числом, равна

К= (2#/c)sin 仇(6.105)

Суммарный выход решетки тогда равен

Т = £ sin(2Tr/i + Knd)=

жsin 2 斤力 X 8sKxdжsin 2 斤力 X 8sKxd+ cos 2 77# Z sin Knd.n^ —m+ cos 2 77# Z sin Knd.n^ —m(6.106)(6.106)

ж

sin 2 斤力 X 8sKxd

ж

sin 2 斤力 X 8sKxd

+ cos 2 77# Z sin Knd.n^ —m

+ cos 2 77# Z sin Knd.n^ —m

(6.106)

(6.106)

Поскольку фаза суммарного выхода особого интереса не представляет, то найдем модуль выражения (6.106):

П = О(К)П = О(К)\ L"= —m\ L"= —m'2cos Knd +'2cos Knd +w£ sin Kndw£ sin Knd2、2、1/21/2(6.107)(6.107)

П = О(К)

П = О(К)

\ L"= —m

\ L"= —m

'2

cos Knd +

'2

cos Knd +

w

£ sin Knd

w

£ sin Knd

2、

2、

1/2

1/2

(6.107)

(6.107)

Однако в силу симметрии относительно центрального элемента решетки второй член в формуле (6.107) равен нулю, так' что

mD(K)= £ cosK”d =л= — wmD(K)= £ cosK”d =л= — wsin(r№/2) sin(M/2)sin(r№/2) sin(M/2)r = 2m + 1. (6.108)r = 2m + 1. (6.108)

m

D(K)= £ cosK”d =л= — w

m

D(K)= £ cosK”d =л= — w

sin(r№/2) sin(M/2)

sin(r№/2) sin(M/2)

r = 2m + 1. (6.108)

r = 2m + 1. (6.108)

Последнее равенство получено с помощью известной формулы для суммы

конечного числа косинусов [6.4]

т£ COS ПХ =и™0т£ COS ПХ =и™0cos[wx/2]sin[(w + 1)х/2]cos[wx/2]sin[(w + 1)х/2]sin(x/2)sin(x/2)(6.109)(6.109)

т

£ COS ПХ =

и™0

т

£ COS ПХ =

и™0

cos[wx/2]sin[(w + 1)х/2]

cos[wx/2]sin[(w + 1)х/2]

sin(x/2)

sin(x/2)

(6.109)

(6.109)

и тригонометрического тождества

2 cos a sin b = sin(〃 + b) + sin(6 — а)・(6.110)

Величина D (К) из формулы (6.108) называется характеристикой направленности и представляет собой зависимость коэффициента усиления решетки от числа элементов решетки г и, следовательно, от волнового числа К, которое в свою очередь зависит от частоты / и угла падения 6. Нормированная характеристика направленности, максимальное значение которой равно единице, определяется формулой

А(к) =А(к) =sin(水J/2)г sin(Kd/2)sin(水J/2)г sin(Kd/2)г = 2т + 1 .г = 2т + 1 .(6.Ш)(6.Ш)

А(к) =

А(к) =

sin(水J/2)г sin(Kd/2)

sin(水J/2)г sin(Kd/2)

г = 2т + 1 .

г = 2т + 1 .

(6.Ш)

(6.Ш)

Величина 101g D ° (К) называется коэффициентом направленного действия.

Г рафик типичной О°(К) линейной дискретной решетки в полярных координатах изображен на рис. 6.12. Главный лепесток характеристики направленности называется лучом решетки. Заметим, что на характеристике направленности видны несколько боковых лепестков, которые тесно связаны с боковыми максимумами, свойственными спектральным окнам финитных преобразований Фурье реализаций случайных процессов, о чем подробно говорится в гл. 11. Действительно, формула (6.107) определяет модуль дискретного преобразования Фурье в пространстве волновых чисел. Поэто-

Рис. 6.12. Характеристика направленности линейной дискретной решетки.Рис. 6.12. Характеристика направленности линейной дискретной решетки.

Рис. 6.12. Характеристика направленности линейной дискретной решетки.

Рис. 6.12. Характеристика направленности линейной дискретной решетки.

му многие процедуры и проблемы, изучаемые в гл. 10 и 11, в том числе эффекты маскировки частот и применение сглаживания для подавления боковых максимумов, имеют прямое отношение к линейным решеткам.

ПРИМЕР 6.7. ШИРИНА ЛУЧА ДИСКРЕТНОЙ РЕШЕТКИ ПО УРОВНЮ ПОЛОВИННОЙ МОЩНОСТИ. Ширина луча решетка иногда характеризуется углом между прямыми, исходящими из центра решетки и проходящими через точки половинной мощности характеристики направленности решетки, т. е. через точки характеристики направленности, в которых коэффициент усиления составляет 50% его максимального значения. При фиксированном расстоянии от источника угловая мера (ширина луча) может быть выражена в линейных единицах. Для примера рассмотрим акустическую линейную дискретную решетку в воздухе (с = 341 м/с), состоящую из г = 50 элементов с шагом d = 0,03 м. Найдем ширину луча решетки по уровню половинной мощности в случае акустического источника с частотой 1000 Гц, расположенного на расстоянии 300 м от решетки.

При указанных значениях параметров Kd /2 = 0,28sin^. Следовательно, по формуле (6.111) угловая ширина луча решетки по уровню половинной мощности равна удвоенному углу, удовлетворяющему уравнению

е■ sin(14,0sin 0)

4(6) = 0,5 =——

05Osin(O,28sine)

Решая это уравнение методом последовательных приближений, получим В = 5,70°, поэтому угловая ширина луча решетки по уровню половинной мощности равна 29 = 11,4°. Тогда при расстоянии источника от решетки 300 м ширина луча по уровню половинной мощности в метрах составляет 2* 300 tgB = 82 м.

Задачи

Рассмотрим простую механическую систему, изображенную на рис. 2.2, частотная характеристика которой, связывающая силу в единицах смещения на входе х (£)=尸« )/攵 и смещение у ^ ) на выходе, имеет вид

Я(/) =5 •

1-(広)+门3

Пусть fn = 10 Гц и f = 0,01; найдите среднеквадратичное значение результирующего смещения, вызванного белым шумом на входе, имеющим нулевое среднее значение и спектральную плотность G» (f) = 0,1 для всех частот.

Для механической системы из задачи 6.1 найдите максимум среднеквадратичного значения смешения на выходе, вызванного гармоническил4 процессом х & ) = 2sin(20?rZ) на входе.

Предположим, что в условиях задачи 6.1 на выходной процесс воздействует посторонний шум с спектральной плотностью Оии (f) = 0,1 для всех частот. Опре-

делите функцию когерентности между х & ) и j (/) на частотах:

а) / = 0 Гц;

б)7 = ю Гн；

в) J = 100 Гц.

В условиях задачи 6.3 определите частотную характеристику по формулам (без учета ошибок оценивания)

^H^y^G^ify/G^if);

б)Н2«) = %(/)/%*(О.

Входной сигнал физической системы имеет спектральную плотность G^b) = 2/f2. Взаимная спектральная плотность входного и выходного процессов равна Gxy(f) = 4/f3 - j (4//2). Определите

амплитудную характеристику системы;

фазовую характеристику системы;

величину запаздывания, вызываемого системой.

На вход трех идентичных физических систем с равномерной амплитудной характеристикой \Н (f)\ = 10 поступают статистически независимые процессы типа белого шума с спектральными плотностями G (/*) = 1, G (/) = 2 и G% (/) = 3. Системы имеют общий выход, на который накладывается внешний шум с спектральной плотностью G(У) = 100. Определите функцию когерентности между каждым входным процессом и выходом.

Даны две физические системы с частотными характеристиками

%(/) = (1 +J4/)T,Я2(/) = (1 +/8/)T,

имеющие общий входной сигнал с спектральной плотностью Gxx(f) = 10, а на выходные сигналы систем накладываются посторонние шумы с одинаковыми спектральными плотностями G“ “ (/*) = G“ “ (f) = 0,1. Определите для частоты 1 Гц:

функцию когерентности между входным процессом и каждым из выходных процессов;

функцию когерентности между выходными процессами.

Требуется построить решетку для обнаружения удаленных акустических источников. Предположим, что для надежного обнаружения сигнала требуется отношение сигнала к шуму (S/N )out = 1,5, а ожидаемое отношение сигнала к шуму в отдельном измерении (S/N)in = 0,1. Определите:

сколько элементов должна иметь решетка;

функцию когерентности между выходными процессами любых двух элементов.

Подводная линейная дискретная решетка состоит мз『 = 100 элементов и имеет шаг d = 0,3 м. Чему равен коэффициент усиления решетки для удаленного акустического источника, расположенного под углом 10° по отношению к нормали к оси решетки на частоте / = 1000 Гн? (Скорость звука в воде принять равной с = =1500 м/с.)

Подводная линейная дискретная решетка должна иметь ширину луча по уровню половинной мощности 6 0 м на частоте 5000 Гц, источник удален на 300 м, шаг решетки равен d = 0,06 м. Сколько элементов должна иметь решетка?

Глава 7

МНОГОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

В этой главе результаты гл. 6 обобщаются на системы с несколькими входами. Как м ранее, предполагается, что все реализации принадлежат стационарным случайным процессам с нулевыми средними значениями, а системы линейны и имеют постоянные параметры. Изучаются системы с несколькими входными процессами и одним или несколькими процессами на выходе. Для этих систем определяются функции множественной и частной когерентности. Приводятся итерационные вычислительные методы, обладающие большей эффективностью по сравнению с матричными методами и позволяющие естественным образом раскладывать такие системы на элементарные подсистемы. Разнообразные системы, изученные в гл. 6 и 7, образуют набор элементарных моделей, дающий возможность сводить анализ сложных реальных систем к анализу комбинаций элементарных подсистем.

Системы с несколькими входами и одним выходом

Этот раздел основан на работах [7.1—7.3] и посвящен выводу основных соотношений для систем с несколькими входами и одним выходом. Ниже предлагается ряд подходов к анализу таких систем и интерпретируются полученные результаты. Рассмотрим q линейных систем с постоянными параметрами, задаваемых частотными характеристиками Н〃)С = = 1, 2, ... , q )• На входы систем поступают полностью определенные наблюдаемые входные процессых； р) (/ = 1, 2, ... ,^ ), которые преобразуются в один наблюдаемый выходной процесс уЦ) (рис. 7.1). Относительно коррелированности входных процессов не делается никаких предположений. В шум на выходе п (t) включены все отклонения от этой идеальной модели, в том числе ненаблюдаемые входные процессы, нелинейные и нестационарные эффекты и инструментальный шум. Предполагается, что наблюдаются реализации стационарных (эргодических) случайных процессов, из которых предварительно исключены ненулевые средние значения и периодические составляющие. Системы с несколькими входами и несколькими выходами сводятся к комбинации систем с несколькими входами, но с одним выходом типа изображенной на рис. 7.1.

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Для корректного определения системы с несколькими входами, изображенной на рис. 7.1, нужно потребовать выполнения следующих условий:

функция обычной когерентности для любой пары входных процессов не равна единице; в противном случае такие два входных процесса несут избыточную информацию и один из них следует исключить из модели; это условие позволяет сводить изучение систем с распределенным входом к анализу систем с дискретными входами;

Рис. 7.1. Система с несколькими входными и одним выходным процессами.

функция обычной когерентности любого входного процесса и процесса на выходе не равна единице; в противном случае остальные входные процессы не влияют на выходной процесс и систему можно считать простой системой с одним входом и одним выходом;

функция множественной когерентности между любым входным процессом и остальными процессами не равна единице; в противном случае этот входной процесс является линейной комбинацией остальных входных процессов; такой входной процесс не несет новой информации и должен быть исключен из модели;

значение функции множественной когерентности между выходным процессом и данными входными процессами должно быть достаточно большим, скажем более 0,5, для того чтобы выполнялись теоретические предпосылки и вытекающие из них выводы; в противном случае может оказаться, что не учтены какие-то существенные входные процессы или нелинейные эффекты; порог 0,5 выбран произвольно, практически он должен выбираться исходя из инженерного и статистического анализа конкретных условий и всего объема имеющихся данных.

Предположим, что в данной системе можно одновременно наблюдать реализации входных и выходного процессов. Предположим также, что все ошибки выбора модели и статистические ошибки, присущие вычисляемым величинам, минимизированы с помощью тшательной калибровки и выбора

параметров процедур обработки данных. В частности, требуются хорошие оценки действительных спектральных плотностей всех процессов и комплекснозначных взаимных спектральных плотностей для любых пар процессов. Эти спектральные величины используются для решения таких задач:

разложения спектра выходного процесса на составляющие, имеющие физический смысл и задающие вклад наблюдаемых входных процессов;

определения оптимальных линейных систем с постоянными параметрами, связывающих каждый входной процесс с выходным и минимизирующих долю спектра выходного процесса, не обусловленную линейными операциями над наблюдаемыми входными процессами»

Выходной процесс у (t) представляется в виде суммы q ненаблюдаемых выходных процессов J, (Z ) 0 = 1, 2, ... , ^ ) и шума "(f):

g

夕⑺=£%(，) + "⑺•(7」)

/=1

В терминах финитных преобразований Фурье имеем g

ПП= Е Y^n + Nif).(7.2)

= 1, 2, ... ,q соотно-(7.3)= 1, 2, ... ,q соотно-(7.3)шениюшению¥(/) = ",(/)%(/)•¥(/) = ",(/)%(/)•Каждая выходная функция У^) удовлетворяет при

= 1, 2, ... ,q соотно-

(7.3)

= 1, 2, ... ,q соотно-

(7.3)

шению

шению

¥(/) = ",(/)%(/)•

¥(/) = ",(/)%(/)•

(7-4)(7-4)Следовательно, для системы, изображенной на рис. 7.1, основное соотношение в частотной области имеет вид

(7-4)

(7-4)

У(/)= X ",(/)%(/)+ Х(/),

i=l

где любые』(/) и У(/) можно вычислить по наблюдениям х,«) и у (t). По этим данным требуется вычислить частотные характеристики систем Н^) и другие их параметры, причем все операции выполняются в частотной области.

Финитные преобразования Фурье Х〃) и У(/) отдельных реализаций Xj(t) м у « ) длины Г равны

%•(/)=启()6-户"〃 ％,у(/)= ■⑴ eg" "(7.5)

Согласно формулам (5.66) и (5.67), односторонние спектральные и взаимные спектральные плотности определяются как

(7.6)(7.6)&,(/) = G、,x,(/)= lim "[|Х,(/)『],

(7.6)

(7.6)

г-*оо /*

2 г,

%(/) = G»“) = lim -£ V(/)^(/) ,'/-» оо Z

2

(7.7)(7.7)G,,(/)=黑^川卜⑺作

(7.7)

(7.7)

2

G“(/) = Gj/) = lim -£[V(/)n/)].

/-»oo /

Вместо односторонних спектров G (f ), для которых G (f) = 0 при / < 0, можно использовать двусторонние спектры S (/〉(см. разд. 5.2.1). Все формулы, приведенные в этой главе, верны как для G (/)，так и для 5 (/). Отношение двух величин типа G (/) совпадает с аналогичным отношением двух величин типа 5(/). Ниже, как и в гл. 6, используются односторонние спектры G{f).

На практике приходится иметь дело с оценками величины (7.6) и (7.7), поскольку Т конечно, а математическое ожидание Е [} вычисляется по конечному набору реализаций. Далее, при цифровой обработке реализаций (см. гл. 10 и 11) вычисления дают результаты только для определенных дискретных частот. Для любой такой частоты / оценка величины G^ (f) (обозначим ее Gxy(f}) обычно вычисляется по формуле

2 ■

«“)=▼ х ■(/)%(/), os)

丸=1

где ".——число различных (непересекающихся) реализаций хif ) иу Ц) длиной Т каждая, так что общая длина реализации равна Tr = «^Т. В гл. 8 доказывается, что для уменьшения систематической ошибки значение Г должно быть по возможности большим, а для уменьшения случайной ошибки следует увеличивать 〃.. Поэтому при фиксированном Тг приходится искать компромисс между этими двумя ошибками.

В случае необходимости можно выписать аналогичные соотношения во временной области через свертки весовых функций %(т) (f = 1, 2,…，д), соответствующих величинам Н^). Вместо уравнения (7.3) будем иметь

用⑺=(儿(т)х』г 一 т) 4т ,(7.9)

где нижний предел интегрирования равен нулю, если только системы физически осуществимы. Такие свертки и их аналоги для ковариационных функций значительно сложнее соответствующих спектральных соотношений и поэтому в дальнейшем использоваться не будут. Ковариационные соотношения не содержат в явном виде информации о зависимости искомых характеристик от частоты. Хотя такая информация неявно присутствует в ковариационных функциях, вряд ли будет оправдано вычисление их без особой на то необходимости, тем более что прямое вычисление спектральных характеристик гораздо эффективнее.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим общий случай произвольных входных процессов. Из урав-

нения (7.4), заменив индекс суммирования i на j, имеем

П/)= X 耳(/)%(/) + N(/) .(7.10)

Умножив обе части этого уравнения наX *(/) при z = 1, 2, ... ,q, получим

%*(— = X 耳(/)%*(/)%(/) + %*(/)№/).

Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого равенства:

矶％*(/)у(/)] = X %(/)£[%*(/)%(/)] +E[%*(/)N(/)L

/=1

Умножив обе части на 2/Т и устремив Г к бесконечности, получим, согласно формулам (7.6) и (7.7),

&「(/)= X 耳(/)G"(/) + G,”(/), i = l,2,_,q ,

где взаимные спектральные плотности Gin (f) равны нулю, если "(f) не коррелирован ни с одним из х；« ). При этом предположении получаем систему уравненийq

%(/)= X4(/)G〃O)，i = l，2,...,q.(7.11)

В этой системе q уравнений с q неизвестными Н^) (f = 1, 2, ... ,，)все спектральные плотности можно вычислить по реализациям входных и выходного процессов. Если модель выбрана правильно, то систему можно решить относительно //,(/) с помощью правила Крамера или любыми другими матричными методами.

Суммарная спектральная плотность выходного процесса Gyy (f) выражается через Hj(f), найденные из системы (7.11), и имеет вид

G»(/) = X X U*(/)耳(/)G“(/) + G""(/)(7.12)

i=l/=1

в предположении, что "(I), как и ранее, не коррелирован ни с одним хД/). Формула (7.12) получена из соотношений

g

y*(/)= X ■*(/)%*(/)+ N*(/)；

i=l

У*(/)У(/)=[力",*(/)%*(/) + ^*(/)]力 ％(/)%(/) + М/) /=1/-1

=12 Н,*(/)Я,(/)Х,*(/)Л(/) + N*(/)M/) +

i = l J=1

+ X %*(/)%*(/)№/)+ E—(/)n*(/)x“)・

I •/=i

Если обе части последнего равенства умножить на 2/Г и перейти к пределу, то получим

Gy”)= X X -*(/)E(/)G〃(/) + G„„(/) +

i=lJ=1

+ X H*(/)G,,,(/)+ X%(/)G”(/).

i=l丿=1

Отсюда следует формула (7.12), если взаимные спектральные плотности G加(/) = 。для всех / и /. При q различных входах, если G炉(/) ± 0 для i 力 у, спектр выходного процесса G (/) из формулы (7.12) содержит q2 + 1 составляющих. Разложение Gyy(f) на эти составляющие и их интерпретацию оставляем в качестве полезного упражнения.

ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ПОПАРНО НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим важный частный случай, когда не только л (Z) не коррелирован ни с одним из хД/), но и входные процессы попарно не коррелирова- ны. В этом частном случае уравнения (7.11) и (7.12) приводятся к виду

G,”)= H(/)G“(/),i=l,2,...,q；(7.13)

G「”) = X 闺(/)| G，/) + G,,“(/).(7.14)

i=l

Эти соотношения имеют очень простой смысл: исходная модель распалась на совокупность отдельных моделей с одним входом и одним выходом. Для определения HQ) решать систему уравнений не надо. По формуле (7.13) любая HjS задается отношением

乜(/) = ^^，i=12 …，q・(7.15)

Спектр выходного процесса Gyy (f) из формулы (7.14) в отличие от спектра из формулы (7.12) содержит теперь только q + 1 составляющих. Любая из Q составляющих представляет собой когерентный спектр выходного процесса отдельной системы с одним входом и одним выходом:

闺(/) I&C)=―必⑺•(7-16)

Эти величины задают вклад реализацииxz(/ ) входного процесса ву«), при этом х； (/) проходят только через систему с частотной характеристикой 修 4). Никакая часть х^) не проходит через другие системы с частотными характеристиками Hj(f)9 поскольку xz(/) не коррелирован с 耳« ) при i Ф j.

В общем случае входных процессов с произвольными корреляционными

соотношениями между ними любая входная реализация х,«) может попасть на выход У Q) через любую из систем с частотными характеристиками %(/) (f = 1, 2, ... , q)・ В этом случае довольно трудно определить вклад в Gyy (/) каждой из входных реализаций, если для решения этой задачи использовать «грубые» матричные методы. Кроме того, матричные методы ничего не говорят о физическом смысле проводимых преобразований, что не позволяет судить о согласии математических результатов с практическим положением дел. В этой главе показано, что для решения этих и многих других задач существуют более эффективные методы.

Системы с двумя входами и одним выходом

Для того чтобы лучше понять основные этапы анализа систем с произвольным числом входных процессов, рассмотрим частные случаи систем с двумя и тремя входами. Общий случай исследуется аналогично с очевидными изменениями. В этом разделе подробно изучены системы с двумя входами. Соотношения для систем с тремя входами и одним выходом будут выведены в разд. 7.3.

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим систему с двумя входами и одним выходом (рис. 7.2), в которой входные процессы могут быть коррелированы. Предположим, что Х1С ),、2(工)"У 0 ) доступны наблюдению. Такая система описывается следующим соотношением в терминах преобразований Фурье:

П/) = %(/)%(/) + %(/)並(/) + W).(7-17)

При произвольном "(I), которое может коррелировать с Х](£) и(или) х2(/ ), односторонняя спектральная плотность процесса у « ), вычисляемая согласно формулам (7.5)——(7.8) по достаточно длинной реализации конечной длины Г, равна

2

Gw(/) = GKV = -£[y*y] =

2

=-Е[(Н^ + Н^ + N^iH.X. + Я2Х2 + N}], (7.18)

玉⑴玉⑴y(t)y(t)痴力）痴力）Рис. 7.2. Система с двумя входными и одним выходным процессами.Рис. 7.2. Система с двумя входными и одним выходным процессами.

玉⑴

玉⑴

y(t)

y(t)

痴力）

痴力）

Рис. 7.2. Система с двумя входными и одним выходным процессами.

Рис. 7.2. Система с двумя входными и одним выходным процессами.

где зависимость от / и предельный переход по Г не указаны для упрощения обозначений. Из (7.18) имеем

G» =岡 12GH + %*%Gi2 + %H*2l + 四 12G22 + G„„ +

+ H*Gln + H&1 + 金 G2” + H"”2，(7.19)

где последние четыре слагаемых в правой части присутствуют только в том случае, когда и(/) коррелирован с xt(Z) hx?"

При произвольном п (Г) взаимные спектральные плотности хг(/) иу ^ ), как и х2(^) “У (1), вычисляются аналогично:

22 гт

Giy =亍矶 Х]*У] = -Е^Н^ + Я2У2 + N)] =

=Н& + Н2G12 + Gi" ;(7.20)

22 ,

G2, = ~E[X^Y] = -£[^(ЯЛ + %又2 + N)] =

= Hfi2l + Hfi22 + G2„.(7.21)

Здесь зависимость от / и предельный переход по Т тоже не указаны для простоты обозначений. Члены Gin и G^ присутствуют только тогда, когда « (/) коррелирован с %i(O и х2(/ ).

По известным х jр ), х2(/) ну(1) можно найти следующие односторонние спектральные характеристики:

G" = С.) = Спектр к*),G22 = G22V) = Спектр х2(Г),

б]? = Gб]? = G% = %")= Спектру«),

б]? = G

б]? = G

12(/) = Взаимньгй спектр *停)и х2(/ ),

12-12-G [, = G и (/) = Взаимный спектр xjr ) и j (/), 6?)= G»(/) = Взаимный спектр х2(/) и j(/), G21 = G i2(/) = Величина, комплексно-сопряженная G

12-

12-

Все спектральные характеристики, связанные с〃 (/), неизвестны. В частности, уравнения (7.20) и (7.21) нельзя решить относительно Н] и Н2, за исключением случая, когда G 1л = 0 и G^ = 0, где

О1и = G Xn(f) = Взаимный спектр х 】(f ) и л (Г),G^ = G^ (/) = Взаимный спектр х2(/) и л (Г).

Если "«) не коррелирован схt(/) их2(/ ), то уравнения (7.20) и (7.21) принимают вид

GW) = *)Gu(/) + H2{f)G^n ,

G2”)=丛(/№2”) + H2(/)G22(/) •(7・22)

Решив эти уравнения относительно Н^) и //2(/) в предположении 片2s * к получим

「G^hG^n

где величинагде величинаH《f)H《f)&(/)&(/)G“(/)「- Y弘/)]G“(/)「- Y弘/)]「5 1G—(/)2”)[Gu(/)G2”)「5 1G—(/)2”)[Gu(/)G2”)G22(/)[l 一 Y》(/)]G22(/)[l 一 Y》(/)]IM/) I2"2 ⑺ Gn(/)G22(/)IM/) I2"2 ⑺ Gn(/)G22(/)(7.23)(7.23)(7-24)(7-24)

где величина

где величина

H《f)

H《f)

&(/)

&(/)

G“(/)「- Y弘/)]

G“(/)「- Y弘/)]

「5 1G—(/)

2”)[Gu(/)G2”)

「5 1G—(/)

2”)[Gu(/)G2”)

G22(/)[l 一 Y》(/)]

G22(/)[l 一 Y》(/)]

IM/) I2

"2 ⑺ Gn(/)G22(/)

IM/) I2

"2 ⑺ Gn(/)G22(/)

(7.23)

(7.23)

(7-24)

(7-24)

является обычной функцией когерентности. В частном случае некоррелированных входных процессов, когда 胃?(/) = 0, члены G]2(O и G21(f ) равны нулю и формулы (7.23) сводятся к формулам для систем с одним входом и

одним выходом:

〃,八 GW) "”)= Е‘〃,八 GW) "”)= Е‘н^п-^~G22U )н^п-^~G22U )(7.25)(7.25)

〃,八 GW) "”)= Е‘

〃,八 GW) "”)= Е‘

н^п-^~

G22U )

н^п-^~

G22U )

(7.25)

(7.25)

Случай 了；2(/) = 1 требует осдбого рассмотрения. Если функция когерентности равна единице, то отсюда следует, что между Х]«) и х2(/) существует строго линейная зависимость. Поэтому должна существовать линейная система, связывающая эти процессы (рис. 7.3). Следовательно, первый входной процесс х】« ) фактически поступает на выход у^) по двум разным трактам. В этом случае преобразование %!(О ву(£) описывается одной частотной характеристикой Н (f):

Н(/) = %(/) + %(/)Нз(/).

Если л (/) не коррелирует с Xj(/) и х2₽), но Oi2(f)力 0, то формула (7.19) принимает вид

G»(/) =|%(/)『Gu(/) + H^f)H2(f)Gl2(n +

+ H^(/)H1(/)G21(/)+|H2(/)|2G22(/) + G„„(/). (7.26)

Перепишем ее иначе:

G»(/) = а”) + G„„(/) = G,,：”) + G…⑺,(7.27)

где Gnn ff) = Gy:n (/) — вклад шума в автоспектр выходного процесса, а

Рис. 7.3. Система с двумя полностью коррелированными входными процессами.

Gvv(f) = Gy:x (f) — идеальный спектр на выходе системы, определяемый первыми четырьмя членами формулы (7.26), зависящими от двух входных процессов. Точнее говоря, Gw (/) вычисляется по известным GH (/), G]2(O，^22(/), а также по Н") и 我？" ), найденным по общей формуле (7.23). Наконец, даже если "(f) не наблюдается, спектральную плотность G%打(/) можно найти по формуле

G””(/) = G»(/) - &。(/) .(7.28)

В частном случае некоррелированных входных процессов, когда G12(/) = 0, идеальный спектр выходного процесса равен

&”) = |H1(/)|2G11(/) +|H2(/)|2G22(/),(7.29)

где Нx(f) и H2(f) задаются формулами (7.25),

|Hi(/)『Gu(/) = K(/)G»(/),

(7.30)

|H2(/)『G22(/) = y*/)g»(/).

Здесь 7^ (f) и 7^,(/) — функции обычной когерентности:

2 m |G“⑺『隔⑺|2

出(/)一 Gu(/)G»(/)'纭”)-G22(/)G»(/) •(731)

Для некоррелированных входных процессов имеем

&”)=[尤⑺ + y^f)]G,y(f) ,(7.32)

G”,〃)= [1 — YtU) — У*/)]%") .(7.33)

Величина IH 】12Gli задает спектральную плотность выходного процесса системы с частотной характеристикой Н 】,входом которой служит только Х[. Аналогично \Н2\2Ои задает спектральную плотность выходного про-

цесса системы с частотной характеристикой Н?、входом которой служит только процесс х 2. Эти две величины представляют собой обычные когерентные спектры выходного процесса 7ivGyy и y^yGyv соответственно для входного процессах] и выходного процессаj и входного процессах2 и выходного процесса у •

ОПТИМАЛЬНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Уравнения (7.22) и (7.26) выведены в предположении некоррелированности 〃 0 ) с X](f) и х2Р )• Если отказаться от этого предположения, то при прохождениихг(/) их2(О через произвольную пару линейных систем с постоянными параметрами и частотными характеристиками %(/) и H2(f) соответственно имеет место соотношение (7Л 7), утверждающее, что

М/)= У(/) - %(/)%(/) — я2(/)%2(/)-

Следовательно, для произвольных H{(f) и H2(f) спектр шума на выходе равен

2

G””(/) = ^E[N*(/)N(/)]=

=%(/) - H^nG^f) - H2(f)Gy2(f)~

-Hi*(/)Ga(/) + 片*(/)片⑺ GM/) + H*(/)H2(/)G12(/)~

-H^f)G2yU) + Н^ПН^ПС^/) + &(/)段(/№22(/).

Оптимальными частотными характеристиками называются такие частотные характеристики Hx(f) и Н2(^)» которые минимизируют G„w(f) для всех/ по всем возможным парам Н^) и 丑2(/)・ Такие функции задают оптимальный в среднеквадратичном смысле прогноз у (t) no х 】(f) и Х2")■

статочно приравнять нулю呀⑺-此"(/) —статочно приравнять нулю呀⑺-此"(/) —Как указывалось в гл. 6, для получения оптимальных Н ^) и H2(f) доследующие частные производные:

статочно приравнять нулю

呀⑺-

此"(/) —

статочно приравнять нулю

呀⑺-

此"(/) —

при фиксированном H^f)*

при фиксированном H2(f)>

Эти равенства приводят к системе уравнений

-Gly(f) + ^(/)Gn(/) + %(/)Gi2(/) = О,

-G2”) + %(/)G2i(/) + H2{f)G^n = О, идентичной системе (7.22).

Для любой пары //[(/) и 々(/) взаимные спектральные плотности ^1„(/) и G2n(f) равны

2 Gi”(/) = ^Mx*(/)M/)] =

二 GW) - Hdf^f)- %—/)；

2

G2”(/) = ^e[右(/)№/)]=

=G2”) - Bi(/)G2i(/) - H2(f)G^(f).

Если H[(f) и H2(f)——оптимальное решение, удовлетворяющее уравнени

ям (7.22), то эти взаимные спектральные плотности тождественно равны

*掩)их2(Г):*掩)их2(Г):Gi”(/) = 0， GiAf) = 0 •Gi”(/) = 0， GiAf) = 0 •нулю для всех/. Следовательно, оптимальные Нx[f) и Н^), минимизирующие Gnn {f ), автоматически обеспечивают некоррелированность л (/) с

*掩)их2(Г):

*掩)их2(Г):

Gi”(/) = 0， GiAf) = 0 •

Gi”(/) = 0， GiAf) = 0 •

Следует отметить, что оптимальные H{(f) и Н长)、удовлетворяющие уравнениям (7.22), не обязательно физически осуществимы. Это означает, что соответствующие весовые функции 〃[⑺ и Л2(т) могут отличаться от нуля при т < 0. В самом деле, если реальные системы нелинейны, то такое оптимальное решение представляет собой всего лишь численное оптимальное линейное приближение и соответствующие линейные системы никогда не совпадут с истинными нелинейными системами. Разумеется, если реальные системы ——это физически осуществимые линейные системы с постоянными параметрами, в которых учтены все входные сигналы, влияющие на выходной сигнал, то теоретические результаты будут отвечать реальным условиям, если только шум на выходе не коррелирован со всеми входными процессами, а шумом на входе можно пренебречь. В дальнейшем будем считать, что Н{[f) и Н途、определены по формулам (7.23). Эти результаты следуют либо а) из предположения о некоррелированности л (г) с х ^ (Z) и *2« )> либо б) из требования, чтоН^[f) и Н^) задают оптимальные линейные системы с постоянными параметрами, оптимизирующие Gnt} (f), при этом л (Г) автоматически не коррелирован с х【0 ) их2(О-

ФУНКЦИИ ОБЫЧНОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Вернемся к общему случаю коррелированных входных процессов, когда 丁；2仃)—любое положительное число, меньшее единицы. Функции обычной когерентности между каждым входным процессом и выходным про

цессом равныцессом равны2= I%(/)Gii(/) + G2(/Gi2(/)『GП ⑺ G.(/)2= I%(/)Gii(/) + G2(/Gi2(/)『GП ⑺ G.(/)丿，、l^(/)G21(/) + H2(/)G22(/)|2У/⑺=丿，、l^(/)G21(/) + H2(/)G22(/)|2У/⑺=(7-34)(7-34)G22(/)G抄(/)G22(/)G抄(/),,

цессом равны

цессом равны

2= I%(/)Gii(/) + G2(/Gi2(/)『

GП ⑺ G.(/)

2= I%(/)Gii(/) + G2(/Gi2(/)『

GП ⑺ G.(/)

丿，、l^(/)G21(/) + H2(/)G22(/)|2

У/⑺=

丿，、l^(/)G21(/) + H2(/)G22(/)|2

У/⑺=

(7-34)

(7-34)

G22(/)G抄(/)

G22(/)G抄(/)

,

,

где числители — это G»。)и G勿/), определенные из уравнений (7.22). Произведение 玲。抄 задает когерентный спектр выходного процесса, равный вкладу х I в выходной процессу. Однако х { влияет на выход не только через систему с частотной характеристикой Н 】.В силу того что 丫；2 工。， часть х I влияет на выход и через систему с частотной характеристикой Н 2. Аналогично х 2 попадает на выход как через систему с частотной характеристикой Н], так и через систему с частотной характеристикой Н2, если 7^2 * 0； обычный когерентный спектр выходного процесса T^G抄 учитывает все способы, какими 々 влияет на выходной процесс у. Вообще говоря, при малой Gnn(f) сумма 7^(/) и 7^(/) превосходит единицу, если входные процессы коррелированы.

Функция множественной когерентности — это сравнительно простое понятие, непосредственно обобщающее функцию обычной когерентности. По определению, функция множественной когерентности равна отношению идеального спектра выходного процесса, обусловленного наблюдаемыми входными процессами при отсутствии шума, к суммарному спектру выходного процесса, включая вклад шума. Формально функция множественной когерентности есть

2G。。") \Gnn(f)]

поскольку Gvv[f) - Gyy (A) — Gnn (f). Для системы с двумя входами общего вида Gvv (f) определяется формулой (7.26). Множественный когерентный спектр выходного процесса определяется как произведение функции множественной когерентности и спектра выходного процесса:

G°”)= *：”)G»(/).(7.36)

Очевидно, из формулы (7.35) следует, что для любых/

0<уДх(/)<1.(7.37)

Эта функция равна 1, если Gnn (f) = 0, что - соответствует идеальной линейной системе, и равна нулю, если Gyy (f) = Gnn (f). Последнее равенство означает, что выходной процесс не обусловлен какими-либо линейными операциями над наблюдаемыми входными процессами.

Для системы с одним входом и одним выходом, когда х2(О = 0 и Н?(/)> идеальный спектр выходного процесса, как показывает формула (6.59), равен

/(/) =|H(/)『Gxx(/) = y^f)Gyy(f\(7.38)

где 占«) = x(F) и H(f) = Gxy(f)/Gxx(f). Тогда

*：、")=='鼠‘).'a分

Следовательно, функция множественной когерентности в этом случае совпадает с функцией обычной когерентности.

Для системы с двумя входами и одним выходом при некоррелированных входных процессах идеальный спектр выходного процесса в соответствии с формулой (7.32) имеет вид

— =—/)+¥*/)] G,“).

В этом случае функция множественной когерентности равна

Уу-.Af) = тА.(/) + У*/).(7.40)

Это означает, что при некоррелированных входных процессах функция множественной когерентности равна сумме функций обычной когерентности между каждым входным процессом и выходным процессом. Для коррелированных входных процессов такой простой зависимости нет.

ПРИМЕР 7.1. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ ДЛЯ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. Рассмотрим пример системы с двумя некоррелированными процессами на входе и одним выходным процессом; действием шума на выходе можно пренебречь. Предположим, что эти два входных процесса порождают одинаковые спектры на выходе. В данном случае

*：”) = ¥$(/)+¥*/) = 1,0 ；

К(/)=埼(/) = 0,50 .

Здесь каждый вход и выход соединены линейными системами с постоянными параметрами и частотными характеристиками Hx(f) и %(/)； У\у^ = =0,5 в силу наличия второго входного процесса. Если бы он не наблюдался и система рассматривалась как система с одним входом и одним выходом, то это привело бы к ложным выводам.

УСЛОВНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ

Если некоторая пара входных процессов коррелирована, то для правильного математического описания реальных систем следует по возможности выяснить степень влияния одного процесса на другой. Если это можно сделать, то исключение первого процесса приведет к вычитанию из второго процесса вклада первого за счет корреляции, так что останется только та часть второго процесса, которая никак не связана с первым. Более точно, если исходя из инженерных соображений можно утверждать, что корреляция между х j (/) их2(О заключается во влиянии х j (/) нах2(/), то следует определить оптимальный линейный вклад Xj (г) вх2(/)； обозначим его х2：1(/). Вычтя его НЗХ2О)» получим условный (иначе говоря, остаточный) процесс、2・1(工)，представляющий часть х2(/), не связанную с X](Z). Формально х2(/) раскладывается в сумму двух некоррелированных членов (рнс. 7.4):X2(f) = X2：iQ) + a() •(7-41)

Переходя к преобразованиям Фурье, получим

#2.1&)#2.1&)大附大附X2(t)X2(t)Рис. 7.4. Выделение вкладах j(/) в *2(' )•Рис. 7.4. Выделение вкладах j(/) в *2(' )•

#2.1&)

#2.1&)

大附

大附

X2(t)

X2(t)

Рис. 7.4. Выделение вкладах j(/) в *2(' )•

Рис. 7.4. Выделение вкладах j(/) в *2(' )•

%(/)=Х2：1(/) + %.1(/),(7.42)

где

%：1(/)=上12(/)*(/).(7.43)

Последнее соотношение определяет оптимальный в среднеквадратичном смысле линейный прогноз х2^ ) noX](f). Преобразование Фурье х2. j(r) равно

ММ/) = %(/) - ^(ПХ^/).(7-44)

Линейная система с постоянными параметрами и частотной характеристикой/, 12U)— это оптимальная линейная система, прогнозирующая х2Ц ) по Х](Г), взятым именно в этом порядке. Как показано в гл. 6,£]2&)задается отношением взаимной спектральной плотности входного и выходного процессов к спектральной плотности входного процесса:

—Gi2( —=G]“)

Формула (6.61) показывает также, что такой выбор обеспечивает некорре- лированностьх2.i(^) нХ]^) и приводит к разложению спектрах2(^):

С22(/) = Gz2：i(/) + ^22 1(/)»(7.46)

где G 22： i(f) — когерентный спектр выходного процесса:

G22M/) = I厶2(/)『Gu(/) = y：2(/)G22(/),(7.47)

a G22. i(/) — спектр шума на выходе:

G22-i(/) = [1 - yA(/)]G22(/).(7.48)

Отметим, что следует строго различать индексы 22:1 и 22-1.

ПРИМЕР 7.2. ЛОЖНАЯ СИЛЬНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ. На рис. 7.5 приводится пример ложной сильной когерентности. Предположим, что функция обычной когерентности процессов х 】Q ) и j (/) близка к единице. Отсюда можно было бы заключить, что существует реальная линейная система, которая связывает эти два процесса как входной и выходной. Пусть, однако, имеется третий процесс х2(/), сильно когерентный СХ]@), который преобразуется линейной системой в у (Г). Тогда сильная когерентность Xj(Z) н

Рис. 7.5. Пример ложной сильной когерентности.

у (Е) отражает только тот факт, чтохДг) их2(О сильно когерентны их2(О связан линейной системой су (/). В действительности может оказаться, что X[Q) и j(Z) вообще не связаны никакой реальной системой. Вычисление функции частной когерентности (которая будет определена ниже) показало бы, что ее значение очень мало и близко к нулю. На этом пример 7.2 заканчивается.

В тех случаях, когда причинно-следственные связи между входными процессами не ясны, следует вычислять взаимную ковариационную функцию этих двух процессов для определения относительного запаздывания, которое покажет, какой из процессов опережает другой. Как отмечалось в разд. 6.2.1, между двумя процессами, вызванными общим источником, может существовать сильная взаимная корреляция и сильная когерентность, хотя ни один из процессов не является причиной другого.

Если нет естественных причин для упорядочения процессов, а относительное запаздывание, определенное по взаимной ковариационной функции, незначительно, то рекомендуется вычислять функции обычной когерентности между каждым входным процессом и выходом. Процессы следует упорядочивать в соответствии со значениями функции обычной когерентности на особо важных частотах, скажем соответствующих максимумам спектра выходного процесса, где передается большая часть мощности или энергии. Например, если на некоторой частоте 力 значения функции обычной когерентности для входных процессов X[(F) и х2(/) равны 丁；^/) и 玲5), то в качестве первого следует выбирать процесс с большим значением функции обычной когерентности. Аналогичное сравнение значений функций обычной когерентности Y^(f2) и ＞躍〃2)на другой частоте /2 может привести к иному упорядочению входных процессов. Таким образом, на разных частотах могут быть выбраны разные модели.

Для определенности будем считать, что процесс х 連)предшествует х?С ). Вместо рис. 7.2 следует взять соответствующий ему рис. 7*6, на ко- торомН] = Л/» и Н2 = Н& • Рис. 7.6 показывает, что входной процесс х 19) проходит на выход по двум параллельным трактам, в то время как условный входной процесс 巧1(，)проходит по одному тракту. В явном виде эта ситуация изображена на рис. 7.7.

На исходном рис. 7.2 два наблюдаемых входных процессах】« ) iax^ ) коррелированы, полученные линейным преобразованием выходные процес-

Рис. 7.6. Система, эквивалентная системе, изображенной на рис. 72

сы j j (Z) 口歹2(‘)тоже коррелированы. На эквивалентном рис. 7.7 входные процессы Xj^ ) их2. i(O уже не коррелированы, что следует из способа их построения. Выходные процессы f j(Z) п“2(‘)，полученные линейным преобразованием входных процессов, тоже не коррелированы. Рисунок 7.7 эквивалентен рис. 7.8, если в качестве частотных характеристик взять L^^) h£2v(/*) вида

Lly(f) = Hly(f) + L12(f)H2y(f)t

丄 2y(/) = %,(/)•(7-49)

На рис. 7.8 изображена система с двумя входами и одним выходом, причем выходной процессор) и шумn(f) те же, что и на рис. 7.2. Однако входные процессы теперь не коррелированы, так что система, показанная на рис. 7.8, эквивалентна двум отдельным системам с одним входом и одним выходом, которые сейчас будут описаны. Линейная система с постоянными параметрами и частотной характеристикой £ » ——это оптимальная линейная система, осуществляющая прогноз j (/) лох】"),а линейная система с постоянными параметрами и частотной характеристикой 丄勿 ——оптимальная линейная система, осуществляющая прогноз у (I) по х?・]«)•

Рис. 7.7. Система, эквивалентная системе, изображенной на рис. 7.6.

Рис. 7.8. Система, эквивалентная системе, изображенной на рис. 7.7.

В формальной записи основное соотношение в частотной области, описывающее систему, изображенную на рис. 7.8, для стационарных случайных процессов имеет вид

一⑺=厶,(/)%(/) + М/)^2 !(/)+ N(/),(7.50)

где

,，八 GW)G2 y.i(/)

Здесь GXy(f) — взаимный спектр х!(/) н y(f); GnC) — спектр х】。); G^.^) — взаимный спектрх2. j(/) и j (Г); G22. ^) — спектрх2-1₽ )•

Величина G&.](f) называется условной (остаточной) взаимной спектральной плотностью, а величина ^221(/) — условной (остаточной) спектральной плотностью.

Эти условные спектральные плотности можно вычислить по заранее определенным спектральным плотностям исходных наблюдаемых процессов с помощью простых алгебраических операций. Никакого усреднения условных преобразований Фурье не требуется, разве что для вывода соответствующих алгебраических соотношений. По определению, после взятия математических ожиданий для конечного Т имеем

22

G2N(/) = 5；е[х^(/)у(/)] , G224(/)= -е[х^(пх21(П] •

Согласно формулам (7.43) и (7.45)

X2」(/) = X2(/)—&2(/)Xl(/),

где £ к4) = G i2(A)/G “仃).Следовательно, для любых трех реализаций хI(' ), *2〃)07 (')имеем

2 гF

G2 y.l(/) = -£[{^(/)-£?2(/)^*(/)}r(/)] =

=^Е[Х^тП\ 一 &2(/){、[Х*(/)У(/)]}=

=G2</) - [G2i(/)/Gu(/)]Giy(/).(7.52)

В частности, подставляя л*2(^)вместо у (f), получаем

с221(/) = g22(/)-[g21(/)/g11(/)]g12(/)=

=[1-Yn(/)]G22(/),(7.53)

т. е. G22. j(A) — спектр шума на выходе для системы с одним входным процессом х J (/ )и одним выходным процессом x2(f) (см. рис. 7.4). Аналогично замена、2。)нау«) дает

G».i(/) = [1 - Yij(/)]G»(/), (7.54)

что определяет спектр шума на выходе системы с одним входным пронес- сом、]" )м одним выходным процессом у « )♦ Формулы (7.52)—(7.54) — это алгебраические уравнения, позволяющие вычислить условные спектральные и взаимные спектральные плотности по спектрам исходных процессов.

Модель, изображенная на рис. 7.9, иллюстрирует формулу (7.54) и показывает разложение 歹(Z) на сумму двух некоррелированных членов, представляющих часть у « ), линейно обусловленную оптимальным линейным преобразованием входного процесса х i (Г ), н часть у (/), не связанную с х! (г). В частотной области эта модель описывается соотношением

У(/)=%1(/)+厶.](/),(7.55)

где

4：”)= 4”)Х1(/),(756)

Lly(f) = [g“(/)/G"(/)] ,(7-57)

>；.!(/)= П/)-Ч(/)Хг(/)_(7-58)

勿3勿3%仞%仞Рис. 7.9. Выделение вклада х} (/) в j(/).Рис. 7.9. Выделение вклада х} (/) в j(/).-У⑴-У⑴

勿3

勿3

%仞

%仞

Рис. 7.9. Выделение вклада х} (/) в j(/).

Рис. 7.9. Выделение вклада х} (/) в j(/).

-У⑴

-У⑴

Отметим, что по сути дела эти формулы совпадают с формулами (7.42)—(7.45).

ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Вернемся к рис. 7.8. Поскольку выходные процессы "】@ ), и ?0 ) н 打(Z) не коррелированы, то наблюдаемый спектр выходного процесса Gyy (/*) равен сумме спектральных плотностей этих трех процессов, причем в этой сумме не участвуют взаимные спектры, а именно

G»(/) = G。皿⑺ + G/。") + G"“) .(7.59)

Здесь

G〃《)=|4 ⑺ I”"),(7.60)

6晩")=心式川％22」(/),(7-61)

Gj/) = G”72(/)・(7.62)

Символом Gyy. 1>2(f) обозначена часть спектра^ (Z ), не связанная ни cXj^ ), ни сх2(/). Заметим также, что первый выходной процесс "]@) на рис. 7.8 совпадает с выходным процессом 厶：i (f) на рис. 7.9. Первая спектральная плотность

G.(/)=Gu⑺=鳩⑺G»⑺(7.63)

есть обычный когерентный спектр выходного процесса системы с одним входным процессом х*) и одним выходным процессом y(t) (рис. 7.9).

Здесь

2- |G.(/)|z 久

”⑺-G“⑺G»(/)(7.64)

есть функция обычной когерентности между х^/)丛川). Вторая составляющая спектральной плотности

G°m(/)= '：；事 G^f) = Т^ i(/)^ i(/),(765)

гдегде治1(/)=治1(/)=&h⑺「G22l(/)G”1(/)&h⑺「G22l(/)G”1(/)(7.66)(7.66)

где

где

治1(/)=

治1(/)=

&h⑺「G22l(/)G”1(/)

&h⑺「G22l(/)G”1(/)

(7.66)

(7.66)

называется функцией частной когерентности условных процессовх2.1(/) и 7y.iС), показанных соответственно на рис. 7.4 и 7.9. ПоэтомуGv^^f) на-

*2.避)*2.避)Уу・1,2«)Уу・1,2«)勿附勿附Рис. 7.10. Система с одним условным входным процессом и условным процессом на выходе.Рис. 7.10. Система с одним условным входным процессом и условным процессом на выходе.

*2.避)

*2.避)

Уу・1,2«)

Уу・1,2«)

勿附

勿附

Рис. 7.10. Система с одним условным входным процессом и условным процессом на выходе.

Рис. 7.10. Система с одним условным входным процессом и условным процессом на выходе.

зывается частным когерентным спектром выхода системы с условным входным процессом x2.\[t) и условным выходным процессом^. j(/) (рис. 7.10), гдеУу.]/) соответствует л (/) (рис. 7.8).

Рис. 7.10 полностью совпадает с рис. 7.9, за исключением того, что:

исходные процессы х,(/) и j (/) заменены условными процессами Х2тС)м〃тС)；

исходные спектральные плотности Gjj (f), Gyy (f) н G» (/*) заменены условными спектральными плотностями G22.1V), ^yy i(f) и G^. ^if)]

функция обычной когерентности 7^,(7) заменена функцией частной когерентности 7^.,(/*).

Это сопоставление показывает, что функции частной когерентности играют такую же роль, как и функции обычной когерентности с тем только отличием, что первые определяются по условным процессам, а вторые ——по исходным. Из неравенства для взаимных спектральных плотностей (5.82) следует, что для всех /

о < У&1(/) < 1.(7.67)

Система с двумя входами, на которые поступают некоррелированные процессых j(/ ) их2-1(/), и одним выходом, изображенная на рис. 7.8, эквивалентна двум отдельным системам с одним входом и одним выходом, показанным на рис. 7.9 и 7.10. Заметим, в частности, что входной процесс Х[(Е) (рис. 7.9) преобразуется в выходной процессу {t), а условный входной процессх2. j(/) (рис. 7.10) преобразуется в выходной процессу. j(/). Этот входной процесс не влияет на выходной процесс у (/). Еще одно важное замечание заключается в том, что взаимный спектр x2.j(Z) и j (/) совпадает с взаимным спектром х2.!(О и ^Л.,(/). Другими словами, если изх2(/) исключен вклад *](/) за счет корреляции, что дает процесс 工2・1(/), то при определении G^y.^if) не обязательно исключать вклад х】")в j(/) за счет корреляции, т. е. не обязательно строить процесс 〃.【(Z). Для того чтобы убедиться в этом, докажем соотношение

Е[Х『・14.1]=Е[Х/У].(7.68)

Из соотношений (7.44) и (7.58) имеем

Х『1 =右一(G21/G1JX1*,“ y-(GiJGn)X.

Н-954

Тогда

Е[Х『Е/ = Е[х^] - Е[х徐(GiJGu)xJ •

Однако

E[X『」XJ = £[{^-(G21/G11)X1*)X1] =

=矶右XJ - (G21/G11)£[X1*X1] =

=2TG21 - (Gzi/Gu)2TGu = 0.

Этим соотношение (7.68) доказано.

Выведем формулу для спектра шума на выходе системы, изображенной на рис. 7.10, совпадающего с искомым спектром шума G门门(/) на выходе системы, показанной на рис. 7.8. Этот спектр имеет вид

G».l,2(/) = G»」(/) 一|厶,(川2G22」(/)=

=[1-总 ”)]g»」(/).(7.69)

Подставив вместо G抄.](/) его выражение из формулы (7.54), получим

G»・l,2 = h -哈(/)][1 -喘 1(/)]G»(/) •(7.70)

Функция множественной когерентности Уу：х(/), определенная формулой (7.35), для двух коррелированных входных процессов равна

=1-—/)][】-Y張(/)]•(7.71)

Эта формула устанавливает связь функции множественной когерентности с функциями обычной н частной когерентности при данном упорядочении двух процессов, т. е. если х j (f) предшествует x2(f).

Описанный подход будет обобщен на системы с тремя произвольными коррелированными процессами на входе и одним процессом на выходе, причем аналогичные процедуры можно построить для анализа общих систем с несколькими входами и одним выходом. Следует отличать исходные модели с неупорядоченными входами от условных моделей с упорядоченными входами, которые строятся при обработке данных. В примерах 7.3 н 7.4 анализируются результаты наблюдений системы с тремя входами н одним выходом. Соответствующие формулы выводятся в разд. 7.3.

ПРИМЕР 7.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ. Рассмотрим систему с тремя входами н одним выходом, на который на-

кладывается шум. Тракты системы представляют собой низкочастотные RC-фмльтры (рис. 7.11). Заметим, что входной процесс х2(/) коррелирован как с Х](£), так н с х3(0. В какой степени входной процесс х2(0 когерентен с выходным процессом y(t) по своему тракту?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, в полосе частот примерно от О до 1000 Гц были вычислены функции обычной и частной когерентности между входным процессом х2р) и выходным процессом j (f) с разрешением 32 Гц по реализации длиной 1 с. Результаты этих вычислений представлены на рис. 7.12. Рис. 7.12,〃 показывает, что когерентность междух2(^) н у (£) довольно высокая по всей полосе частот, она близка к единице на низких частотах, а на высоких частотах равна примерно 0,95. Однако частично это связано с тем, что нх】(£), и x3(f) когерентны с х2р) н вносят свой вклад в выходной процесс y(t) непосредственно по своим собственным трактам. Функция частной когерентности х2(О ну(£) указывает на меньшую когерентность (до 0,75), как видно из рис. 7.12,6.

ПРИМЕР 7.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ. Рассмотрим снова систему с тремя входами н одним выходом, описанную в примере 7.3 н показанную на рис. 7.11. На рис. 7.13 изображена функция множественной когерентности, вычисленная для выходного процесса у(£) и трех входных процессов хДг) (z — 1, 2, 3). Заметим, что функция множественной когерентности принимает большие значения (более 0,96) во всей полосе частот, но с ростом частоты несколько уменьшается. Единственная причина, по которой функция множественной когерентности не равна единице во всей полосе частот,— наличие инструментального шума на выходе. Поскольку инструментальный шум имеет равномерный спектр, а входные процессы проходят через фильтры низких частот, то относительный вклад инструментального шума в суммарный выходной сигнал растет с увеличением частоты. Об этом отчетливо свидетельствует уменьшение функции множественной когерентности по мере увеличения частоты.

Рис. 7.11. Система с тремя входными и одним выходным процессами и шумом на выходе.

200

400600

Частота, ГЦ

8001000

0,90,8

*30HlH2d3」0x HeHh-qs

7 а

200400600

8001000

Частота, Гц 6

Рис. 7.12. Функции когерентности между входным процессом х2(/) и выходом системы, изображенной на рис. 7.11: 〃 ——функция обычной когерентности; 6 — функция частной когерентности. '

».00,90,8 fuorbrw^sox BBHIUEh

ОБЩИЕ И УСЛОВНЫЕ МОДЕЛИ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ

Модель обшей системы с несколькими входами и одним выходом с произвольными входными процессами изображена на рис. 7.14, где Х?) (/ = = 1 , 2, ... , q) обозначают финитные преобразования Фурье, вычисленные по входным реализациям 弔(£). Финитное преобразование Фурье выходного процесса y(t) обозначено через У(/)=与+“)・ Подлежащие определению частотные характеристики линейных систем с постоянными параметрами обозначены ”)(/) (i = 1, 2, ... , q), причем индекс, указывающий входной процесс, предшествует индексу, обозначающему выход. Все отклонения от суммарной идеальной модели включены в финитное преобразование Фурье N (А) неизвестного независимого шума на выходе. Аналогичные

Лноохнхи^^ох ьенновьз关OHZ

■

Q9

200

400600

Частота,Гц

8001000

Рис. 7.13. Функция множественной когерентвости между тремя входными про

цессами и выходным процессом системы, изображенной на рис. 7.11.

модели можно строить, меняя порядок входных процессов или выбирая другой выходной процесс. Предполагается, что входные н выходной процессы наблюдаются одновременно в единой системе отсчета времени. Предполагается также, что ненулевые средние значения вычтены, а возможные систематические ошибки, связанные с запаздыванием сигналов, исправлены до вычисления X, (/) н У (/).

На рис. 7.15 изображена альтернативная условная модель с несколькими входами и одним выходом, где исходные процессы (рис. 7.14) заменены

Рис. 7.14. Система с несколькими входами в случае произвольных входных процессов.Рис. 7.14. Система с несколькими входами в случае произвольных входных процессов.

Рис. 7.14. Система с несколькими входами в случае произвольных входных процессов.

Рис. 7.14. Система с несколькими входами в случае произвольных входных процессов.

W)W)Рис. 7.15. Система с несколькими входами в случае упорядоченных условных входных процессов.Рис. 7.15. Система с несколькими входами в случае упорядоченных условных входных процессов.

W)

W)

Рис. 7.15. Система с несколькими входами в случае упорядоченных условных входных процессов.

Рис. 7.15. Система с несколькими входами в случае упорядоченных условных входных процессов.

упорядоченным набором условных входных процессов; У (f) н N (^) оставлены без изменения. После этого вычисляются финитные преобразования Фурье %."_])! (/ = 1, 2, •・・,°), упорядоченные согласно рис. 7.15* При произвольном i подстрочный индекс /•(/ — 1)! означает, что г-й входной процесс обусловлен предшествующими i — 1 процессами, т. е. линейные вклады Х](£),马(£), ... вплоть до х；_](£) исключены из xz(f)c помощью оптимального в среднеквадратичном смысле линейного прогноза. Такие упорядоченные условные входные процессы оказываются попарно некоррелированными; последнее свойство, вообще говоря, не имеет места для исходных процессов. Определяемые при этом частотные характеристики линейных систем с постоянными параметрами обозначены L)V) (/ = 1, 2, ... q), где индекс, обозначающий вход, предшествует индексу, указывающему выход.

При q входных процессах всего можно построить q ! различных упорядоченных условных моделей с несколькими входами н одним выходом, поскольку любой из q исходных процессов можно взять в качестве первого, любой нз q — 1 оставшихся ——в качестве второго, любой нз q — 2 оставшихся —в качестве третьего н т. д. Невозможно, да н нет смысла анализировать все q! вариантов, если q — достаточно большое число. Например, при。= 5 возможно 120 различных моделей. К счастью, на практике лишь немногие варианты упорядочения имеют физический смысл, о чем говорилось в разд. 7.2.4. Там же даны рекомендации относительно того, как упорядочивать входные процессы.

Отметим, что при данном наборе входных процессов системы {"»} или {£»} применимы только к одному конкретному выходному процессу. Для

разных выходных процессов потребуются разные наборы [Hiy} н \Liy}. Поэтому для упрощения представления уравнений для систем с несколькими входами н несколькими выходами полезны матричные обозначения. Однако при рассмотрении систем с несколькими входами н одним выходом матричные обозначения не нужны и пока использоваться не будут.

Из сказанного в разд. 7.1 понятно, что анализ систем с частотными характеристиками {")}, изображенных на рис. 7.14, существенно сложнее анализа систем с частотными характеристиками 上祝](рис. 7.15). Из уравнений (7.12) и (7.14) ясно также, что выражение для спектра выходного процесса Gyy (/) системы, изображенной на рис. 7.14, содержит^ 2 + 1 слагаемых, в то время как выражение для спектра выходного спектра системы, показанной на рис. 7.15, состоит всего лишь нз q + 1 слагаемых.

В дальнейшем преобразования Фурье исходных н условных процессов будут обозначаться прописными буквами, а зависимость от частоты не указывается. Будут построены оптимальные частотные характеристики {%,] н [£^], показанные как на рис. 7.14, так и на рис. 7.15, а также установлена связь между ними. Для этого нужно уметь вычислять условные преобразования Фурье и условные спектральные плотности; об этом н пойдет речь в следующих разделах.

УСЛОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Система, изображенная на рис. 7.15, определяется соотношением в частотной областиq

у= EGXw + N.(7.72)

1=1

Если выходной процесс У рассматривать как (д + 1)-й процессХ^ + ц, а шум N — как (д + 1)-員 процесс, обусловленный предыдущими q процессами, то N = X& + i).q! н уравнение (7.32) преобразуется к виду

q

X(q$】)=X 4(q+l)% a-l)! + X(g+l)・q!・(7.73)

Здесь Х& + ]).д! рассматривается как (q + 1)-й процесс, обусловленный всеми предшествующими q процессами.

Важное значение имеют различные подмножества условий. Для первых г условных входных процессов при г W 4 можно написать

X(q+1)= X 厶(q+l)Xi・(i-l)! + X(q+l) r!・(7 74)

i=1

Здесь Лг^? + р.г! есть (q + 1)-й процесс, обусловленный первыми г процессами, где г = 1, 2, ... , q. Подставив вместо 々“+口 произвольный процесс Xj (j > г), получим более общее соотношение

% = £ 厶/%•"—】)! + %•，!•(7.75)

Здесь вместо частотных характеристик [£ц^+]^] использованы частотные характеристики ｛£/• Если теперь г заменить наг — 1, то соотношение (7.75) примет вид】

% = £厶/(7)! +(7.76) 7=1

Последние два соотношения дают алгоритм вычисления условного преобразования Фурье

Xj・r = %.(r—i)! — 4%.(г-1)! •(7.77)

Следовательно, pQ.r!j можно вычислить по известным PQ.,_])!｝ и частотным характеристикам 山疗｝ для/ > г. В частности, соотношение (7.77) показывает, что \Xj. j ] можно найти по известным pQ j и частотным характеристикам [Лу]. Затем %.2!〕вычисляются по известным PQ.J и частотным характеристикам ｛丄庁｝ и т. д.

УСЛОВНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ

Исходные спектральные и взаимные спектральные плотности определяются по исходным реализациям 因尸)(i = 1, 2, ... ,q) и У =乙十]следующим образом:

22

Gl^EUJXJ, Си = -Е[х*х],

(7.78) 2 ,2

Giy = -E[X*Y],С>> = -£[У*У].

Аналогично по условным реализациям ^j.r\ (J > г) определяются условные спектральные плотности \

2

Gjj—L^E [%*“％./.(7.79)

Условные взаимные спектральные плотности реализаций Хц и ^j.r\, когда i Ф] и одновременно i > г н / > г, определяются формулой

2

Girr, = ^E[X*r,Xj rl] .(7.80)

Формулы (7.78) — частный случай формул (7.79) и (7.80) при г = 0. Заметим также, что

22

G,『"=-Е\Х^ = -E[x-Xj r] .(7.81)

Для вычисления условных спектральных плотностей по исходным спектральным плотностям воспользуемся рекуррентной формулой (7.77). Умножим обе части этой формулы на XД возьмем математическое ожидание и умножим на масштабный коэффициент 2/7. После перехода к пределу от Т получим алгоритм вычисления условных спектров:

С”！ = Gjj." °!—丄"С】/...])!.(7.82)

Следовательно, [G^.r,j можно вычислить по известным [G^.^._ц,] н частотным характеристикам |£疗} для всех/ > г и/ > г・

Соотношение (7.82) лежит в основе алгоритма анализа систем с несколькими входами н одним выходом. В частности, соотношение (7.82) показывает, что {Gj.]d определяются по известным {G^} м частотным характеристикам 比Далее, [Gy -2!)вычисляются по известным [G^.p] и частотным характеристикам 山方} и т. д. Применение этого алгоритма в решающей степени зависит от умения определять частотные характеристики [Г/ для всех г = 1, 2, ... , 4 и всех/ > г. Об этом сейчас и пойдет речь.

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ УСЛОВНЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Системы с частотными характеристиками 山祝} (i = 1, 2, ... , q), показанные на рис. 7.15, оптимальны в классе линейных систем с одним входом и одним выходом, поскольку входные процессы этих систем попарно не коррелированы. Следовательно, как было показано в гл. 6, каждая частотная характеристика Liy равна отношению взаимной спектральной плотности входного и выходного процессов к спектральной плотности соответствующего входного процесса. Если Ljy вычисляются таким образом, что шум л (f) автоматически не коррелирован ни с одним из входных процессов, поэтому это свойство можно не включать в число предположений. Следовательно, для условных входных процессов имеем

Liy =, i=l,2,..,q.(7-83)

"小(i-1)!

Формулу (7.83) можно вывести прямо из соотношения (7.72), если предварительно предположить, что n(f) не коррелирован ни с одним из входных процессов системы, изображенной на рис. 7.15. Для этого перепишем соотношение (7.72), изменив индекс суммирования:

У= g丄介%+ м

Умножим обе части на i)t 0 = 1, 2, ... ,q). Получим

%%-1产НX 丄"-%-1)!%1)1 + %*0-1)!m

К

Взяв математическое ожидание от обеих частей этого соотношения и умно-

жив на 2/Т, получим формулу (7.83), т. е.

Gjy.(i-i)! — ^ifiii. (i—1)1 j

поскольку

£[^*((-1)!^,.(7-1)!] = 0 , ДЛЯ/ ^ j；

Е[%)«-i)d] =。,^ля любого /.

Выпишем частные случаи формулы (7.83):

G"G2y.i6зу2

l" = x，厶尸7—,L3У=7~-(7.84)

GilG22 1G33 2!

и т. д. Частотная характеристика последней системы, т. е. при i = 4, имеет вид

4 =卜—•(7.85)

5?д«т)!

Каковы отдельные подсистемы с одним входом н одним выходом, образующие систему, изображенную на рис. 7.15? Для того чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что спектр выходного процесса, полученного преобразованием процесса Xh^_^ системой с частотной характеристикой Liy при / = 1, 2, ... , 4, задается формулой

I厶『G'c =博ут)С沙 о! ,(7.86)

где G万.”i)!где G万.”i)!—спектр входного процесса, а

где G万.”i)!

где G万.”i)!

(7.87)(7.87)2_ g尸^—以『

(7.87)

(7.87)

%.0-1)! — 0г

D"(" 1 严w(i—l)!

есть функция частной когерентности мемслу "(一)！ и 厶,.”).Далее из формулы (7.82) при / = / = у и г = / имеем

Gy,"»! 一 G»，(i-】)！丄iyGy».(j —1)!

[1 — тД(1-1)!]^ (/-1)! •[1 — тД(1-1)!]^ (/-1)! •(7.88)(7.88)

[1 — тД(1-1)!]^ (/-1)! •

[1 — тД(1-1)!]^ (/-1)! •

(7.88)

(7.88)

厶,.“.Далее(7.89)厶,.“.Далее(7.89)Здесь ^уу.ц ——спектральная плотность условной реализации имеем2

厶,.“.Далее

(7.89)

厶,.“.Далее

(7.89)

I^iyI Gjj.(i—1)! + Gyy.〃 一 Gyy(i-1)!・

Отсюда следует, что система с одним условным входным процессом н одним выходом для любой условной реализации Xj.о_ ])! должна иметь вид, показанный на рис. 7.16.

Набор оптимальных систем с одним входом н одним выходом, эквивалентный системе, изображенной на рис. 7.15, показан на рис. 7.17. Заметим, что входная реализация Xj преобразуется в выходную реализацию У, условная входная реализация X?. 1 преобразуется в условную выходную реа-

及•《-1)!及•《-1)!Рис. 7.16. Оптимальная система с одним условным входным процессом и одним условным выходным процессом.Рис. 7.16. Оптимальная система с одним условным входным процессом и одним условным выходным процессом.

及•《-1)!

及•《-1)!

Рис. 7.16. Оптимальная система с одним условным входным процессом и одним условным выходным процессом.

Рис. 7.16. Оптимальная система с одним условным входным процессом и одним условным выходным процессом.

лизацию 厶・i，условная входная реализация ^3.2! преобразуется в условную выходную реализацию 厶.？！ н т. д. Было бы ошибкой считать, что какой-либо из этих условных процессов влияет на суммарный выходной процесс У.

Рис. 7.17. Системы с одним входом и одним выходом, эквивалентные системе, изображенной на рис. 7.15.

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ УСЛОВНЫХ СПЕКТРОВ

Алгоритм вычисления условных спектров содержится в формуле (7.82), в которой частотные характеристики 山庁} пока не определены. Сейчас эти характеристики будут найдены путем обобщения оптимальных характеристик ^iy}, заданных формулой (7.83) для входных реализаций Xj, ^21^ Х3.2! вплоть ДоХд・д_1)! н Выходного процесса. Возьмем вместо У в качестве выходной реализации любую реализацию %(j= 1, 2, ... , ^ + 1). Пусть входными процессами будут X】，占1，*з・2! вплоть Д° Х・(1)!，где г — любое целое число такое, что г < у, т. е. г = 1, 2, ... ,j - 1. Формально это означает, что строятся новые модели с несколькими условными входными процессами и одним выходным процессом, оптимальные линейные характеристики 山疗 j которых определяются по той же схеме, что и оптимальные характеристики \Liy} с заменой7 на/ и / наг, т. е.

丄—G</”T)!Г =1,2,...

”G“.(lD!j = 1,2,...

"D(7 90)

,S+i).()

Заметим, что В частности,

LrJ определяются по условным процессам порядка & — 1)!. при г = 1, 2, 3 нмеем

г

=1 ■ 4 = k，J

= 2,3,.

...,g, g + 1 ；(7.91)

г

= 3,4,-

..,g, g + 1 ；(7.92)

г

=3:j=班，j. 丿G332 '丿

=4,5,.

..,g, g+1(7.93)

и т. д. Если r=qn/=q+l,TO Lq^ + 】)=丄办，как и в формуле (7.85).

Вернемся к итерационному алгоритму вычисления спектра (7.82) и вместо L「j подставим выражение для нее (7.90). Получим окончательную формулуI

= G〃.(—i)! —-(- ^ir (r-l)!,(7-94)

1)?

которая полностью задает способ вычисления спектральных величин порядка г! по ранее вычисленным условным спектральным величинам порядка (г — 1)! для любых г = 1, 2,…，q и любых /, j вплоть “oq + 1, где / > г и J > г・

Для лучшего понимания этого результата рассмотрим частные случаи при г = 1, 2, 3. Для г = 1 из формулы (7.94) получаем

G"】 = G，厂像卜IG"】 = G，厂像卜I(7-95)(7-95)

G"】 = G，厂像卜I

G"】 = G，厂像卜I

(7-95)

(7-95)

В правой части этой формулы стоят только исходные спектральные и взаимные спектральные плотности, вычисленные по данным реализациям входных и выходного процессов. Условные спектры G».】 определяются по формуле (7.95) с помощью алгебраических операций, при этом не требуется выбирать разрешение по частоте или прибегать к усреднению. При i 术 j получаем действительные условные спектры G^.】，а при i 黄 j — комплексные условные взаимные спектры G).]. Индексы i и j обязательно больше 1.

При г = 2 по формуле (7.94) находим

G2

б"? = G".i - -—G,2i- (7.96)

В этом случае все величины в правой части являются условными спектрами, вычисленными на предыдущем шаге. Формула (7.96) позволяет определить условные спектры [G^.2!} с помощью алгебраических операций, при этом не требуется выбирать разрешение по частоте или прибегать к усреднению. При / = у получаем действительные условные спектры G» 2!, а при i Ф j — комплексные условные взаимные спектры. Теперь индексы i и j должны быть больше 2.

При г = 3 формула (7.94) дает возможность алгебраическим путем вычислить условные спектры [О^.3!} по ранее вычисленным условным спектрам [G^.2!} н т. д. Эта итерационная процедура изображена на рис. 7.18, где Lrj ——величины, определенные формулой (7.90). В этой процедуре сначала выполняется внутренний цикл, а затем последовательно выполняются остальные циклы. Изображенная на рис. 7.18 схема вычислений в равной

Рис. 7.18. Алгоритм вычисления условных спектральных плотностей (алгоритм обобщается на любое число входов).

Рис. 7.19. Частный случай вычисления условных спектральных плотностей (алгоритм обобщается на любое число входов).

степени применима как к условным автоспектрам, если г = у, так и к условным взаимным спектрам, если i W /. Однако при вычислении условных автоспектров можно использовать несколько видоизмененный алгоритм. При i = j формула (7.94) сводится к виду

Gjj.f= Gjj."T)! — 1厶/1%".“_以•(7.97)

Эта процедура изображена на рис. 7.19.

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ ИСХОДНЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Оптимальные частотные характеристики \Hiy] линейной системы, изображенной на рис. 7.14, для исходных входных процессов вычисляются сложнее, чем оптимальные характеристики Q»} системы, показанной на рис. 7.15. Эти {Н》} удовлетворяют системе уравнений (7.11) q уравнений с q неизвестными. Однако не представляет труда вывести соотношение, связывающее частотные характеристики \Hiy] и Q»j・ Покажем это.

Основное соотношение для системы, изображенной на рис. 7.14, имеет ВИДq

у= fHjyXj +М(7.98)

Умножим обе части наХАд—" для ? = 1, 2, ... ,q и возьмем математическое ожидание от обеих частей. Умножив затем это равенство на масштабный множитель 2/Ги перейдя к пределу, получим q

a…一屮= Е 勺G,『(,r,(7.99)

где индекс/ пробегает значения, начиная с j = i, поскольку G^,^^ = О для J < i. Разделив обе части на Gih^_^, получим соотношение

L” 工 HjyLq； i=l,2,...,g; j > i, (7.100)

где в силу формулы (7.83)

丄“ =, £;.=纱У" .(7.101)

Формула (7.100) и дает искомое соотношение между частотными характеристиками %J и \Liy}.

Для лучшего понимания формулы (7.100) рассмотрим несколько част

(7.102) и в формуле(7.103)(7.102) и в формуле(7.103)ных случаев. Поскольку £^ = 1, при i = / = q имеем

(7.102) и в формуле

(7.103)

(7.102) и в формуле

(7.103)

丄О = НЧУЬЯЧ= НЧУ

Поэтому оптимальная частотная характеристика Hqy, как (7.85), равна

Ugg(q-I)!"qq・12.…(q-1)

Оптимальная частотная характеристика Н» теперь получается простой заменой Xq на Xi н равна

/ =

Gj 尸 1,2(<-l),(i + l),..

• ,q

(7.104)

В частности,

^nl,2,...,(i-l),(i+l),..

门С1у-2,3...

g2 尸 1,3.4,q 口

—G3y・l,2.4,5,..

—(7.105)

• • q

51.2,3 …

•，q

「，Нзу

=22・l,3,4q

G33 1.2,4.5 …

и т. л. Сравнение формул (7.84) с формулами (7.105) показывает, что частотные характеристики [L)} всегда имеют более простой вид, чем соответствующие характеристики {Hiy] для всех / = 1, 2, ... , q — 1, за ислюче- нием случая i =。, когда L处 = Hqy.

Для системы с двумя входами и одним выходом, изображенной на рис. 7.2, где Н]у н Н2y задаются формулами (7.23), формула (7.105) позволяет записать эти характеристики в более кратком виде:

Н'уН'уG]y. 2 ^11-2G]y. 2 ^11-2(7.106)(7.106)

Н'у

Н'у

G]y. 2 ^11-2

G]y. 2 ^11-2

(7.106)

(7.106)

Соответствующие характеристики 七注。七 勿 задаются формулами (7.51). Заметим, что связь между этими L и Н 9 выраженная формулой (7.49), находится в согласии с формулой (7.100).

Формула (7.100) дает общий метод вычисления частотных характери-

стик W по частотным характеристикам “》} путем их последовательного вычисления в обратном порядке:

Hqy = Lqy ' H»y - 厶F —Hqy = Lqy ' H»y - 厶F —qZ LqHjy , = i + lqZ LqHjy , = i + l(7.107)(7.107)где i = q — 1, ^ — 2 , ...» 2, 1. Например, если q = 3, тогде i = q — 1, ^ — 2 , ...» 2, 1. Например, если q = 3, то“3y H 厶歹，％7 = ^ly *^ £23X3—“3y H 厶歹，％7 = ^ly *^ £23X3—直"=L" 一L12%f一L13"3歹•直"=L" 一L12%f一L13"3歹•(7.108)(7.108)На практике для нахождения частотных характеристик [Hiy\ вместо прямого вычисления их удобнее определять в два этапа, т. е. сначала найти частотные характеристики ^iy}, а затем уже по формуле (7.107) вычислять соответствующие частотные характеристики [Hiy}.На практике для нахождения частотных характеристик [Hiy\ вместо прямого вычисления их удобнее определять в два этапа, т. е. сначала найти частотные характеристики ^iy}, а затем уже по формуле (7.107) вычислять соответствующие частотные характеристики [Hiy}.7,3.6. ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ7,3.6. ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИФункции обычной когерентности для произвольного входного процесса xf (/ = 1, 2, ... , q) и выходного процесса у задаются формулойФункции обычной когерентности для произвольного входного процесса xf (/ = 1, 2, ... , q) и выходного процесса у задаются формулойС』GiiGyyС』GiiGyy(7.109)(7.109)Функции частной когерентности для произвольного условного входного процесса х,. j (i = 2, 3, ... , q ) и выходного процесса у определяются фор-Функции частной когерентности для произвольного условного входного процесса х,. j (i = 2, 3, ... , q ) и выходного процесса у определяются фор-мулоймулой21Ggi2• I у • 1 「 「5i "尸121Ggi2• I у • 1 「 「5i "尸1(7.110)(7.110)Функции частной когерентности для условного входного процесса 弔.？！ прн i = 3, 4, ... , q и выходного процесса у имеют видФункции частной когерентности для условного входного процесса 弔.？！ прн i = 3, 4, ... , q и выходного процесса у имеют вид2— |G»2『S = G—!*!2— |G»2『S = G—!*!(7-111)(7-111)и т. д. вплоть дои т. д. вплоть до2_ I 叱(g-i)Jlqy^q-V^ —^яяЛч-^-уу^-^2_ I 叱(g-i)Jlqy^q-V^ —^яяЛч-^-уу^-^(7.112)(7.112)Спектр шума на выходе системы с одним входом и одним выходом определяется выражениемСпектр шума на выходе системы с одним входом и одним выходом определяется выражениемG»，.i = G»(l - yj),G»，.i = G»(l - yj),(7.113)(7.113)

Hqy = Lqy ' H»y - 厶F —

Hqy = Lqy ' H»y - 厶F —

q

Z LqHjy , = i + l

q

Z LqHjy , = i + l

(7.107)

(7.107)

где i = q — 1, ^ — 2 , ...» 2, 1. Например, если q = 3, то

где i = q — 1, ^ — 2 , ...» 2, 1. Например, если q = 3, то

“3y H 厶歹，％7 = ^ly *^ £23X3—

“3y H 厶歹，％7 = ^ly *^ £23X3—

直"=L" 一L12%f一L13"3歹•

直"=L" 一L12%f一L13"3歹•

(7.108)

(7.108)

На практике для нахождения частотных характеристик [Hiy\ вместо прямого вычисления их удобнее определять в два этапа, т. е. сначала найти частотные характеристики ^iy}, а затем уже по формуле (7.107) вычислять соответствующие частотные характеристики [Hiy}.

На практике для нахождения частотных характеристик [Hiy\ вместо прямого вычисления их удобнее определять в два этапа, т. е. сначала найти частотные характеристики ^iy}, а затем уже по формуле (7.107) вычислять соответствующие частотные характеристики [Hiy}.

7,3.6. ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

7,3.6. ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Функции обычной когерентности для произвольного входного процесса xf (/ = 1, 2, ... , q) и выходного процесса у задаются формулой

Функции обычной когерентности для произвольного входного процесса xf (/ = 1, 2, ... , q) и выходного процесса у задаются формулой

С』

GiiGyy

С』

GiiGyy

(7.109)

(7.109)

Функции частной когерентности для произвольного условного входного процесса х,. j (i = 2, 3, ... , q ) и выходного процесса у определяются фор-

Функции частной когерентности для произвольного условного входного процесса х,. j (i = 2, 3, ... , q ) и выходного процесса у определяются фор-

мулой

мулой

21Ggi2

• I у • 1 「 「

5i "尸1

21Ggi2

• I у • 1 「 「

5i "尸1

(7.110)

(7.110)

Функции частной когерентности для условного входного процесса 弔.？！ прн i = 3, 4, ... , q и выходного процесса у имеют вид

Функции частной когерентности для условного входного процесса 弔.？！ прн i = 3, 4, ... , q и выходного процесса у имеют вид

2— |G»2『

S = G—!*!

2— |G»2『

S = G—!*!

(7-111)

(7-111)

и т. д. вплоть до

и т. д. вплоть до

2_ I 叱(g-i)J

lqy^q-V^ —

^яяЛч-^-уу^-^

2_ I 叱(g-i)J

lqy^q-V^ —

^яяЛч-^-уу^-^

(7.112)

(7.112)

Спектр шума на выходе системы с одним входом и одним выходом определяется выражением

Спектр шума на выходе системы с одним входом и одним выходом определяется выражением

G»，.i = G»(l - yj),

G»，.i = G»(l - yj),

(7.113)

(7.113)

в системе с двумя входами и одним выходом

G»・2! = G沙1(1 -埼.J = g£1 - у"(1 一 41),(7-114)

в системе с тремя входами и одним выходом

G».3! = G» 2!(l -尼 2!)= G»(l - Y幻(1 -協.)(1 -吟.2!)

(7.115)

и т. д. Спектр шума на выходе системы с q входами и одним выходом есть«

G»y = G»，n(l -*g)!)•(7」16)

Эти результаты обобщают формулу (7.88).

На основании формулы (7.35) легко теперь найти соответствующие функции множественнбй когерентности для произвольной системы с несколькими входами и одним выходом. Для системы с одним входом и одним выходом имеем

*：1 = 1-]^2■卜 1-(1 - Ю =泣，(7.117)

для системы с двумя входами и одним выходом

Yv：2. = 1-| 冊)= 1-(1-у^)(1-^„J, (7.118)

для системы с тремя входами и одним выходом

"=1 -(島m=1 一(1 一崎2 -心J(1 一脸，х)(7.119) и т. д. Для системы с q входами и одним выходом функция множественной когерентности имеет вид

4「1 —笠=1-П(1-唾…丿 (7.120)

Изящные формулы (7.117)—(7.120) верны для произвольных входных коррелированных процессов, поступающих на вход системы со многими входами и одним выходом. Эти формулы устанавливают связь функций множественной когерентности с соответствующими функциями обычной и частной когерентности. Отметим, что эти формулы зависят от способа упорядочения входных процессов. В частном случае взаимно некоррелированных входных процессов формула (7.120) сводится к уже известной простой формуле

片:,(7-121)

i=l

т. е. в этом случае функция множественной когерентности равна сумме

функций обычной когерентности между каждым из входных процессов и процессом на выходе.

МАТРИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим теперь общие системы с несколькими входами и несколькими выходами, причем число входов равно числу выходов. Приводимые результаты легко обобщаются на тот случай, когда число входных процессов не равно числу выходных процессов. Для лучшего понимания физической сути этих задач рекомендуется разбивать такие системы на подсистемы с несколькими входами и одним выходом и анализировать их алгебраическими методами, описанными в разд. 7.2 и 7.3. При желании системы с несколькими входами и несколькими выходами можно исследовать и матричными методами, на этот случай в данном разделе приводятся все необходимые определениями формулы. Матричные методы не позволяют раскладывать естественным образом наблюдаемые спектры выходных процессов на составляющие, соответствующие наблюдаемым входным процессам. Кроме того, анализ ошибок по матричным формулам значительно сложнее анализа ошибок по формулам, приведенным в разд. 7.3, где система с несколькими входами и одним выходом преобразуется в совокупность упорядоченных условных систем с одним входом и одним выходом. Относительно простые оценки ошибок для таких условных систем выводятся в гл. 8.

СИСТЕМА СО МНОГИМИ ВХОДАМИ И МНОГИМИ ВЫХОДАМИ

Пусть X ——вектор-столбец, представляющий преобразования Фурье q входных процессов $ = %(/) " = 1, 2,…，q), a Y — вектор-столбец, представляющий преобразования Фурье q выходных процессов У〃 = У衣(/) (左=1, 2, ... , q),

X*, Y*——векторы, комплексно-сопряженные к X, Y; X', Y'——транспонированные векторы (строки) для X, Y.

Входная матричная спектральная плотность равна

2、

Gxx = ^E{X*X'}.(7.123)

Выходная матричная спектральная плотность равна

2,、

G* = /{Y*Y，}.(7.124)

Взаимная матричная спектральная плотность между входными и выходны

(7.125)(7.125)ми процессами равна2

(7.125)

(7.125)

G- = -£{Х*¥3,

Строго говоря, в формулах (7.123)——(7.125) должен стоять предельный переход по Г — оо, но для упрощения обозначений этот предельный переход, как и зависимость от частоты,*не указывается. На практике этот предельный переход никогда не выполняется в силу конечности имеющихся реализаций.

Определим теперь основные матричные величины:

2

% =萨[%%],(7.126)

2

G%「尹[上%，(7.127)

G叨=,E [%*"],(7.128)

(7.129)(7.129)GqG«2•••GqqGqG«2•••Gqq““

(7.129)

(7.129)

GqG«2•••Gqq

GqG«2•••Gqq

“

“

GiiG。• • •G。

G2IG22• • 'G]q

(7.130)(7.130)

(7.130)

(7.130)

GG• • •(j

juiJ1J2"刃为

GG• • ♦G

У2У1У2У2У2УЯ

GG• • •G

甩刃и%»2УчУд

Отметим, что 0Kx и G^ ——эрмитовы матрицы, т. е. G^ = Gj лля всех? и у. Для эрмитовых матриц Gj* = G[ и G$ = Gj,. Имеем

(7.131)(7.131)

(7.131)

(7.131)

Во всех этих выражениях Giy = Gx у,, причем индекс, обозначаюший входной процесс, предшествует индексу, обозначающему выходной процесс.

Обозначим матричную частотную характеристику, задающую преобразование X в Y, через Н^ = Н灯(/), где, как и выше, индекс, обозначающий вход, предшествует индексу, обозначающему выход. Элементы матрицы Н〔 = Н . Тогда

-%

“1 乃•••

叫一

% =

叫

н飙

•(7.132)

НЧУ2•••

"；电

Из этого определения следует, что

¥

= н.х,

(7.133)

где % — матрица, транспонированная по отношению к матрице %. Поэтому

汇 厶

%н

也

%» •

%力•

•Н "

•Н

ЦУ1.

一汇 &

•(7.134)

一叫

• н q% .

л.

Заметим, что в алгебраической форме это эквивалентно формуле

%=Х%%, & =1,2,…,g%=Х%%, & =1,2,…,g(7.135)(7.135)

%=Х%%, & =1,2,…,g

%=Х%%, & =1,2,…,g

(7.135)

(7.135)

Эта формула естественным образом устанавливает связь между выходным процессом Yk н входными процессами 因｝, причем / проходит через Н" , Х2 проходит через %吸 н т. д. вплоть до Xq, которое проходит через tiqyk ・ Схематически это можно представить так:

Используя эти определения, выведем теперь матричные формулы для систем общего вида с несколькими входами и несколькими выходами в том случае, когда число выходов равно числу входов. Предполагается, что все требуемые обратные матрицы существуют.

Определение % м %:

Y = Н*Х ,(7.136)

Y，= (Н'Х)' = X Нх? ,(7.137)

X*Y，= Х*Х，Н» .(7.138)

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего соотношения и умножив на 2/Г, получим

G*,, = GxxHx, .(7-139)

Эта формула выражает G^ через 0fx и %. Умножив обе части формулы (7.139) на G*, получим

G"Gx,, = G"(GxxHx)(7.140)

где

G。一 матрица, обратная по отношению к，工・(7.141)

(7.142)(7.142)Формула (7.140) эквивалентна формуле

(7.142)

(7.142)

Н%у = G二1Gxy

и выражает % через G^ и G^. Формула (7.139) показывает, что матрица 包 равна произведению матриц G*% и % размерностью q х q.

е G»

Н G^:

Y

=Н*Х,(7.143)

Yz

=(Н.ХУ = X，％(7.144)

Y*

=(Н.Х)* = Н［；Х*,(7.145)

Y*y，

=(Н ⑦ Х*)(Х，Н»).(7.146)

(7-147)(7.148)(7-147)(7.148)Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего соотношения и умножив на 2/7\ получим

(7-147)

(7.148)

(7-147)

(7.148)

Следовательно,Следовательно,G,, = H；：G“H“.

Следовательно,

Следовательно,

G« =(H；*)-1Gy/Hj-1

при условии, что соответствующие обратные матрицы существуют. Формула (7.147) показывает, что G^ равна произведению трех матриц размерностью q х，： WXy , Gxx и %. Комплексно-сопряженная транспонирован-

ная матрица имеет вид

Н* =

Н* 一

处1

я*

ЧУ 2

•(7.149)

—恤

• н*

"q _

Соотношения (7.139), (7.142), (7.147) и (7.148) — это основные матричные формулы, используемые при анализе систем со многими входами и выходами.

Выведем теперь матричные формулы для системы общего вида со многими входами и одним выходом. Как и выше, входные процессы не упорядочены и не обусловлены.

СИСТЕМА С МНОГИМИ ВХОДАМИ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

Система с многими входами и одним выходом имеет вид

х =

&

，Н*у =

NJ

，Y = V,

(7.150)

Л.

У = Н：>Х=[Н1> “2>••• HgJ • ，（7.151）

л.

У』У=Х，Нху=[Х % … Xj 叫，（7.152）

x*= . , X，=[x & ••• X/.（7.153）

В данном случае входная матричная спектральная плотность равна

2GxL/{X*X，}2GxL/{X*X，}G12G22G12G22（7.154）（7.154）

2

GxL/{X*X，}

2

GxL/{X*X，}

G12

G22

G12

G22

（7.154）

（7.154）

Ggg

Вектор-столбец взаимных спектральных плотностей входа и выхода имеет вид

2G2y

Gx> = /{X*Y}= J •（7.155）

Выходная матричная спектральная плотность есть

2222Суу-ТЕ[Г*Г，}=ТЕ^Х^，И^}=И，^И^-（7Л56）Суу-ТЕ[Г*Г，}=ТЕ^Х^，И^}=И，^И^-（7Л56）

2

2

2

2

Суу-ТЕ[Г*Г，}=ТЕ^Х^，И^}=И，^И^-（7Л56）

Суу-ТЕ[Г*Г，}=ТЕ^Х^，И^}=И，^И^-（7Л56）

Формула (7.156) эквивалентна формуле

G»=[理%G»=[理%G12 •• G]gн* 1ЯУ\G21G22*•G2gG°2 •• Ggg_G12 •• G]gн* 1ЯУ\G21G22*•G2gG°2 •• Ggg_

G»=[理%

G»=[理%

G12 •

• G]g

н* 1

ЯУ\

G21

G22*

•G2g

G°2 •

• Ggg_

G12 •

• G]g

н* 1

ЯУ\

G21

G22*

•G2g

G°2 •

• Ggg_

Gi/ G2y='GiiG21G12*G22 *'б]"♦ G2g•(7.164)G叽Gq2 'Gi/ G2y='GiiG21G12*G22 *'б]"♦ G2g•(7.164)G叽Gq2 'эквивалентно формулеэквивалентно формуле(7.165)(7.165)

Gi/ G2y

=

'Gii

G21

G12*

G22 *

'б]"

♦ G2g

•(7.164)

G叽

Gq2 '

Gi/ G2y

=

'Gii

G21

G12*

G22 *

'б]"

♦ G2g

•(7.164)

G叽

Gq2 '

эквивалентно формуле

эквивалентно формуле

(7.165)

(7.165)

(7-157)

Далее

(7.158)

G^ = G&

(7.159)

Для системы с несколькими входами и одним выходом

Gyp = G*y = Gyy，

(7.160)

G工=(H\)Tg»(H3)-；

(7.161)

g^=伽劣厂%万伊功厂:

(7.162)

G、尸 GxxHxy.

(7.163)

Соотношение (7.163)

Заметим также, что равенство

Hxy = G^Gxy

следует непосредственно из формулы (7.163), где G* ——матрица, обратная по отношению к матрице G^. Здесь предполагается также, что система определена корректно и что все обратные матрицы существуют.

СИСТЕМЫ С ШУМОМ НА ВЫХОДЕ

Рассмотрим теперь более реалистическую модель системы с несколькими входами и одним выходом, в которой учитывается наличие постороннего некоррелированного шума на выходе системы. Вместо идеального соотношения (7.151) для Y имеет место формула

У = Н.Х + N,(7.166)

где% = N(f )——преобразование Фурье шума на выходе л (Z). Вместо формулы (7.156) получаем

G» = H^GxxH。4- G„„ .(7.167)

Формула (7.163) не изменяется, так что G秒 и при наличии шума имеет вид

G" = Gx/H" .(7.168)

Следовательно, Gyy можно представить как

G” = HQG^ + G„„.(7.169)

Входная матричная спектральная плотность G^ из формулы (7.154) есть эрмитова матрица размерностью q х q. Определим расширенную матричную спектральную плотность выходного процесса У (Z) при входных процессах xi (t) как эрмитову матрицу размерностью (q + 1)x(7 + 1)

Gyxx =

G,y Gy G2>

G以 Gu G21

G>2 •

G12 *

G22'

• G,q • Gig • G2g

•(7.170)

%

Gg2 •

• Ggg

Покажем, что определитель

Gp』

этой расширенной матрицы равен нулю

для всех / в идеальном случае отсутствия шума, т. е. при G^ = 0 в фор

муле (7.169).

Для / — 1, 2, ... , q элементы Giy первого столбца (стоящие под элементом Gyy) представляют собой линейные комбинации элементов G^, стоящих в соответствующей строке, т. е. в силу формулы (7.164)

g

%=X/G” i=l,2,…，g.(7.171)

В идеальном случае отсутствия шума спектр выходного процесса есть

G»’ = H；*G^ = H.G. ,(7.172)

(7.173)(7.173)причем последнее равенство следует из равенств Gyy = G*y и % = 0汗. Формула (7.172) эквивалентна формуле

(7.173)

(7.173)

G» = X HiyGy,.

Следовательно, Gyy — линейная комбинация элементов Gyi первой строки 0хх・ Поэтому в матрице G^. весь первый столбец состоит из линейных комбинаций элементов соответствующих строк. По известной теореме (см., например, работу [7.4]) определитель такой матрицы равен нулю, т. е.

£х」=0，еспн G““ = 0・ (7.174)

Вернемся теперь к модели, учитывающей шум, в которой Gyy задается формулой (7.169) при Оия # 0. Как уже отмечалось, формула (7.163) имеет одинаковый вид как при наличии шума, так и при его отсутствии. Поэтому в силу результатов, справедливых при отсутствии цгума, определитель I матрицы Gvvv для любого / выражается формулой

(7.175)(7.175)£х」= G“MGJ,

(7.175)

(7.175)

где 16奴 I ——определитель матрицы G^.. Заметим: из этой формулы следует, что I Gy** I = 0, если Gnn = 0.

Функция множественной когерентности, задаваемая формулой (7.35), может быть выражена через определители:

(7.176)(7.176)

(7.176)

(7.176)

Проверим эту формулу при q = 1 т. е. ним выходом. ИмеемПроверим эту формулу при q = 1 т. е. ним выходом. Имеемдля системы с одним входом и од-для системы с одним входом и од-

Проверим эту формулу при q = 1 т. е. ним выходом. Имеем

Проверим эту формулу при q = 1 т. е. ним выходом. Имеем

для системы с одним входом и од-

для системы с одним входом и од-

^УУGxy^УУGxyGy.G*xGy.G*x(7.177)(7.177)

^УУ

Gxy

^УУ

Gxy

Gy.

G*x

Gy.

G*x

(7.177)

(7.177)

(7.178)(7.178)

(7.178)

(7.178)

В данном случае, определители равны

|G»xl = GxHy — Cy|： |Gx」= Gxx.

Подставив эти выражения в формулу (7.176), получаем

т. е. выражение для функции обычной когерентности такой системы.

7.4,4. СИСТЕМА С ОДНИМ ВХОДОМ И ОДНИМ ВЫХОДОМ

В этом случае

Х = Х，=Х, Y = Y=y,

(7.180)

н「н. = н.

(7.181)

У=ЯЛ,

(7.182)

2

Gxx = -E[X*X] = G*x,

(7.183)

2

Gyy = -E[Y*Y] = G*,

(7.184)

2

Gxy = -E[X*Y], G*y = Gyx.

(7.185)

Из формул (7.182)—(7.185) следует, что

Gxy = HGXX ,

(7.186)

где

Н=三，Gyy^H^GxxH=\H\2Gxxf (7.187, 7.188)

причемГ

&「笳.(7.189)

Приведенные выше соотношения уже были получены в гл. 6 при изучении систем с одним входом и одним выходом. Они представляют собой частные случаи матричных формул, выведенных в разд. 7.4.1 и 7.4.2, и показывают, что использованные там определения пригодны для анализа систем со многими входами и одним или многими выходами.

Задачи

7.1. Рассмотрим следующую систему с двумя входами и одним выходом при наличии некоррелированного шума на выходе:

Найдите спектральную плотность Gyy выходного процесса. Какова будет спектральная плотность выходного процесса для некоррелированных входных процессов (Н]2 = 0)?

В условиях задачи 7.1 вычислите когерентность)》входных процессов, а также когерентности 喙 и 玲 каждого из входных процессов и процесса на выходе.

В условиях задачи 7.1 вычислите функцию множественной когерентности между двумя входными процессами и выходным процессом.

Рассмотрим систему с двумя входами и одним выходом, а которой значения спектральных плотностей на некоторой частоте таковы:

11 = 3,。22 = 2, %у = 10,

@2 = 1 + и，о» = 4 + 1 丿，G2y = 3 - I J.

Найдите условные спектральные плотности:

а) ^22-1 ； 6。2广1 * в) °»т ♦

Вычислите также оценку частотной характеристики Н2.

Используя данные задачи 7.4, вычислите функцию множественной когерентности между двумя входными процессами и выходным процессом.

Идеальная система с двумя входами и одним выходом имеет следующие частотные характеристики:

23

%(/)“，％(/)“•

Пусть

&1(т) = 36(т),G22(/) = 12,Gi2(/) = 8・

Вычислите следующие величины:

а)崔⑺；б)勺⑺ и G»(/)； в) 4y (г) и %(/);嗫(/).

Рассмотрим линейную систему с несколькими входами, в которой q входных процессов ие коррелированы, однако имеют ненулевые средние значения. Выведите следующие формулы:

формулу для взаимной спектральной плотности i-го входного и выходного процессов, аналогичную формуле (7.13);

формулу для спектральной плотности выходного процесса, аналогичную формуле (7.14).

Используя данные задачи 7.1, найдите частотные характеристики £^ и L2y9 задающие преобразование некоррелированных входных процессов с спектральными плотностями G] и G22. j , в выходной процесс на основе формулы (7.51).

В системе с трепля входами и одним выходом на некоторой частоте были измерены следующие величины:

Ou = 10,。22 = 8，G33 = 6,

G】2 = 2 + V» G32 =1-2/,б" = 3 + 3/.

Упорядочите три входных процесса таким образом, чтобы анализ с использованием условных процессов по схеме, изображенной на рис. 7Л5, дал результаты, в наибольшей степени согласующиеся с физическим смыслом задачи.

Предположим, что в задаче 7.1 HJ2 = 0.2 +。⑵ на некоторой частоте. Вычислите спектральную плотность G^ в том случае, когда спектральная плотность второго процесса G?? = 0.

Глава 8

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ ПРИ

ОЦЕНИВАНИИ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Как отмечено в гл.4, точно определить характеристики случайных величин по выборочным данным невозможно. По выборке конечной длины можно найти лишь оценки интересующих исследователя параметров. В гл .4 приведены сведения о точности определения ряда основных параметров случайного процесса по выборке независимых измеренных значений этого процесса. В настоящей главе рассматривается вопрос о точности оценок параметров для непрерывной реализации процесса длиной Т. Предполагается, что анализируемые реализации принадлежат стационарному (эргодическому) случайному процессу с непрерывным временем и произвольными средними значениями. Получены формулы для статистических ошибок следующих параметров:

среднее значение, средний квадрат, плотность вероятности, ковариационная функция, функция спектральной плотности.

Основное внимание в этой и следующей главах уделено ошибкам, которые возникают по причинам чисто статистического характера. Ошибки, связанные с получением н обработкой данных, рассмотрены в гл. 10.

Понятие о статистических ошибках

Точность оценки некоторого параметра случайного процесса, полученной на основании выборки, характеризуется, как указано в разд.4.1, средним квадратом ошибки, равным

£[(ф - ф)2]?(8.1)

где $ — оценка параметра ф. Равенство (8.1) можно представить в виде

М($ - Ф)2]=后[($ - Е【$] + Е[$] - ф)2]=

=е[($ -矶$])[ + 2Е[(3 -矶$])(矶$] - ф)] +

+ Е[(£[ф] - Ф)2] •

Заметим, что среднее слагаемое приведенного выражения содержит множитель, равный нулю

Е[$ - £[ф]] = Е[$] - Е[$] = 0 -

Следовательно, средний квадрат ошибки равен

е[($ - Е[$])[ + е[(Е[$] - ф)2].(8.2)

Таким образом, средний квадрат ошибки состоит из двух частей. Первая часть ——это дисперсия опенки, характеризующая долю «случайности» в величине ошибки

Var[$] = е[($ - Е[$])2]=矶$2] - Е2[$] .(8.3)

Вторая часть есть квадрат смещения оценки, характеризующий ее систематическое отклонение:

й2[ф]=e斤画]=矶(矶3] - Ф)2] ■(8.4)

Итак, средний квадрат ошибки равен сумме дисперсии оценки и квадрата смещения оценки:

е[($ - 力У] = Var[4>] + Ь2[ф] .(8.5)

На практике удобнее представить ошибку оценки в тех же единицах измерения, что и оцениваемый параметр. Для этого можно вычислить положительное значение корня квадратного из величин ошибок, описываемых формулами (8.3)—(8.5). Квадратный корень из величины (8.3) определяет среднеквадратичное отклонение оценки, называемое стандартной (или случайной) ошибкой

о[$] = ^[ф2] - £2[ф] ■(8.6)

Квадратный корень из суммы квадратов ошибок (8.5) определяет ошибку смещения:

Ь[$] = Е[$] — Ф *(8.7)

Квадратный корень из суммы квадратов ошибок (8.5) определяет среднеквадратичную ошибку:

— [($ -巾)[=而2[$] + ■[$] •(8.8)

Для удобства желательно представить ошибку в долях от оцениваемого параметра. Для этого ошибку делят на величину оцениваемого парметра и получают нормированную ошибку. При。Н 0 нормированные стандартная ошибка, ошибка смещения и среднеквадратичная ошибка выражаются соответственно формулами

。向-附一e2■ £, ==,

е* = —1 ，(8.96)

9

Ь[$] + -2[$] 西($ - ф)2e =—:

(8.9в)(8.9в)。ф

(8.9в)

(8.9в)

Заметим, что нормированную стандартную ошибку % часто называют коэффициентом вариации.人

В случаях, когда сг мало, можно положить ф2 == ф2(1 + ег) , так что

Ф = Ф(1 + 耳)1"=屮(1 土 yj； таким образом, имеем

述小2£,向.Bl。)

Иными словами, при малом ег нормированная случайная ошибка оценки квадрата параметра。примерно равна удвоенной нормированной ошибке

оценки самого параметра ф.人

Если смешение оценки $ пренебрежимо мало, т. е. Ъ [$] = 0, и нормированная среднеквадратичная ошибка £ = £[$] = а[ф]/ф также мала, скажем

с 《0,2, то плотность вероятности этой^оценки можно приближенно считать гауссовой со средним значением Е[ф] = ф и среднеквадратичным отклонением о[$] = £0：

■(•)= *Q~exp —二7—с • (8-11) ефу2тг 2( еф)

Отсюда следуют такие утверждения относительно вероятности получения других значений того же параметра:

РгоЬ[ф(1 - е) < ф < Ф(1 + е)] * 0,68 ；

。(812)

РгоЬ[ф(1 - 2е) < ф < ф(1 + 2е)] = 0,95.

При этом доверительный интервал для неизвестного истинного значения параметра ф, определенный по любой индивидуальной оценке ф, принимает вид

< 6 < с доверительной вероятностью 68%;

1 + е —1 - е J

< 小 Vс доверительной вероятностью 95%.

]+ 2е -屮-]-2е

При малом с, скажем е《0,1, эти выражения сводятся к виду

с доверительной вероятностью 68%;с доверительной вероятностью 68%;(8.14)(8.14)[ф(1 - е) < ф < ф(1 + £)]

с доверительной вероятностью 68%;

с доверительной вероятностью 68%;

(8.14)

(8.14)

[$(1 — 2е) < 巾 < $(1 + 2е)] с доверительной вероятностью 95%.

Эти утверждения остаются справедливыми при малом £ даже в тех случаях, когда неизвестное истинное распределение оценки $ есть хи-квадрат, F или любое другое, более сложное распределение из тех, что описаны в гл. 4.

Доверительные интервалы для оценок можно построить и в случаях, когда нормированную среднеквадратичную ошибку нельзя считать малой (см.разд.4.4). В данной главе подобная задача будет рассмотрена для оценок спектральной плотности. Помимо вывода формул для ошибок здесь будет обсужден и вопрос о состоятельности оценок (см.формулы (4.7)).

ПРИМЕР 8.丄 ПРИБЛИЖЕННЫЕ 95% ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ОЦЕНОК СРЕДНЕГО КВАДРАТА Я СРЕДНЕКВАДРА ТИЧНОГО ЗНА ЧЕНИ Я. Пусть оценка среднего квадрата сигнала x(f) есть 綏=4, а ее нормированная среднеквадратичная ошибка £「= 0,05. Определим приближенные 95 %・ доверительные интервалы для среднего квадрата 総 и среднеквадратичного значения 公.

Согласно формуле (8.14), приближенный 95 % -доверительный интервал для 贬 есть

[4(0,90) <^< 4(1,10)] = [3,6 <^< 4,4].

Из формулы (8.10) следует, что для оценки 良= 2 величина ег = 0,025, так что приближенный 95 % -доверительный интервал для 也 есть

[2(0,95) 4 必 4 2(1,05)] = [1,9 <^х< 2,1].

А

Заметим, что значения границ доверительного интервала для оценки 必 примерно равны корню квадратному из значений границ доверительного интервала для оценки 袱

8・2・ Оценки среднего значения и среднего квадрата

L СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

Предположим, что отдельная реализация х (£), принадлежащая стационарному (эргодическому) случайному процессу {х (/ )J , определена на конечном интервале времени длиной Т, Выборочное среднее значение можно вычислить по формуле

丸=亍『⑺"-(8.15)

Истинное среднее значение

Мх = Е[х(。](8.16)

не зависит от времени /, если процесс &(£)} стационарен. Математическое ожидание оценки 也 равно

矶А/ = Е 亍『x(t) dt = - fTE[x(t)] dt = - fTp.xdt = ц (8.17)

поскольку оператор математического ожидания коммутативен с линейными операторами. Следовательно, независимо от длины реализации 公 есть несмещенная оценка величины 以.Так как 応——несмещенная оценка, то средний квадрат ошибки оценки /?丫 равен дисперсии

Var®] = Е[(М -小丹=Е底]-尺，(8.18)

где из формулы (8.15) следует, что

ЕШ=今//е[х(£)х(力對遥.(8.19)

Автокорреляционная функция Rxx(t) стационарного случайного процесса 1x(/)}, определяемая формулой (5.6), есть

灭 хх(т) = E[xQ)x" + т)].(8.20)

Согласно гипотезе о стационарности, /?хх(т) не зависит от времени/ и является четной функцией аргумента 丁 с максимумом в точке 丁 = 0. Будем считать, что функция 灭也(丁) непрерывна и ограничена при всех значениях 丁 и что все периодические составляющие функции ^хх(т) заранее исключены. Автокорреляционная функция Схх(т), определяемая формулой (5.8), имеет вид■

Gx(t) = R、x(t)-^ •(8.21)

Оказывается, что в случае, когда 做 f 0, удобнее пользоваться функцией Схх(т), а не Rxx(t). Будем полагать, что функция Cxx(r) интегрируема (см.формулу (5.117)) и, следовательно, процесс {х (/)} обладает свойством эргодичности.

Дисперсию оценки (средний квадрат ошибки), определяемую соотношениями (8.18) и (8.19), можно выразить через автокорреляционнцую функЦИЮ Схх(т)： ]]7 ?_

Var[p J =戸/夕Gx(tj Т) ■「=戸厶 / J©。d"£ =

=—/：(1 - 貝G*(t) "т ■(8.22)

Последнее выражение получено изменением порядка интегрирования по переменным т, ^ и интегрированием по переменной《.По этой причине меняются пределы интегрирования по переменным т и ^, как показано на схеме

Т

Г I

。 7 T

и поэтому

「/；&⑴…/： J：C“) —т + /广4⑴遥 dT =

=/：尸 + t)Q(t) " +，(f)Gx("

^ Г/Т~ \Г^СхЛГ) dT ■

Устремляя теперь Т к бесконечности, можно переписать формулу (8.22) в виде8

lim Т Var&] = / G、(t) 4т < 8 •(8.23)

丁ТООJ—8

Здесь использованы соотношения (5.117), из которых следует, что функции С*х(7)и тСхх(т) абсолютно интегрируемы на интервале (—8, 8), и поэтому можно перейти к пределу под знаком интеграла. Равенство (8.23) показывает, в частности, что при больших Т, когда IT Y Т, дисперсия равна

Var[p』=Qx(t) 4т.(8.24)

/ J — 8

Следовательно, в тех случаях, когда интеграл сходится, дисперсия Var[&] стремится к нулю при стремлении Т к бесконечности. Это значит, что &• есть состоятельная оценка параметра 厶.

Рассмотрим важный частный случай, когда процесс {х (/)} есть ограниченный по частоте белый шум, имеющий среднее значение & W 0 м дисперсию %. Предположим, что спектральная плотность имеет вид

4(/)=「+ 阐"0 4/4%(8.25)

\0, в остальных случаях,

где В — ширина полосы частот. Соответствующая корреляционная функция равна

г / sin 2тгВт \

Схх(т) =厶 Gxx(f)cos2irfTdT - цх =―匕蒜丁-卜 (8.26)

Заметим, что C^fO)=成 и Схх(т) = 0 при т = п /(25), где п — целое число. Таким образом, значения процесса в точках, разделенных промежутками 1/(25), некоррелированы. В случае гауссова процесса {x(Z)} они будут статистически независимыми. В этом случае из формулы (8.24) следует приближенная формула при ВТ》5:

2

Var[&」=~; •(8.27)

При 囚 f 0 нормированная среднеквадратическая ошибка равна

Заметим, что, согласно (8.3),

Е 底］=Var［a」+ 尺.

(8.28)(8.29)(8.28)(8.29)Следовательно, в соответствии с равенством (8.27) для ограниченного по частоте белого шума имеем

(8.28)

(8.29)

(8.28)

(8.29)

2

Е 底］=+ 尺，(8.30)

В гауссовом случае и при 以 W 0 четвертый момент, согласно формуле

(3.82), равен

贝篦］=3{ё同}2-2從.(8.31)

Var庆卜用尺］-｛同阙｝2 =嚼.Var庆卜用尺］-｛同阙｝2 =嚼.(8.32)(8.32)Пренебрегая членами порядка 1/(вТ)2, получаем

Var庆卜用尺］-｛同阙｝2 =嚼.

Var庆卜用尺］-｛同阙｝2 =嚼.

(8.32)

(8.32)

Таким образом, нормированная среднеквадратическая ошибка оценки зада

ется выражением劇阳=ется выражением劇阳=Var岡Var岡

ется выражением

劇阳=

ется выражением

劇阳=

Var岡

Var岡

Сопоставление с уравнением (8.28) показывает, что

餌回=4/心］,与岡=2亜」。鲁修），（8.33）

что согласуется с общим соотношением (8.10)

ПРИМЕР 8.2. СЛУЧАЙНАЯ ОШИБКА ОЦЕНКИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ. Рассмотрим ограниченный по частоте белый шум х(£) со спектральной шириной В = 100 Гц, средним значением 从、=° н стандартным отклонением % = 2. Пусть среднее значение оценивается усреднением по реализации длиной Г = 2 с. Определим ширину доверительного интервала, в пределах которого оценка среднего значения окажется с вероятностью около 95%.

Согласно формуле (8.27), случайная ошибка оценки & имеет среднеквадратическое отклонение

2m」=丽而=°'1°.

При этом из соотношений (8.12) следует, что с вероятностью около 95% оценка 也 окажется внутри интервала [ —0,2 < Д¥ < 0,2] •

СРЕДНИЙ КВАДРАТ

Пусть, как и в разд.8.2.1,х(/) есть отдельная реализация стационарного эргодического случайного процесса (х(/)] . Средний квадрат процесса {х(/)) можно найти путем осреднения в пределах конечного интервала времени Т следующим образом:

上=》/х2")力.(8.34)

Истинный средний квадрат

^ = £[л2(/)](8.35)

не зависит от времени Z, так как процесс (х(/)} стационарен. Математическое ожидание оценки 必 составляет

Е[巧]=；уГ£[х2(/)] dt =亍J：W]dt =无. (8.36) Следовательно, независимо от длины реализации Т величина 卄 есть несмещенная оценка величины 廿.

Средний квадрат ошибки этой оценки равен дисперсии

Var[阅=e[(浜-出)[=e[肥]一屮？=

=J「「(E[x2(&)x2(ij)]-屮?) dndW. (8.37) Предположим теперь, что (х(/)} — гауссов случайный процесс со средним значением 以 f 0. В этом случае математическое ожидание в формуле (8.37) запишется с учетом соотношения (3.81) в ином виде

Е[х2(£)х2®] = 2(昭、(п — Е) — 対)+ U. (8.38) Из основного соотношения (8.21) следует, что

■(W Y) - — = СЛ(Ч -0 + 2也x(N Т)・(8.39)

Таким образом,

Var[— = .//(&С Т)-尺)附國=

IC/ -界注、2-只)"Т =

=/(I - 2)(從⑴ + 2依⑴)J,.(8 40)

При больших Т, когда 1т1 Y 7\ дисперсия становится равной

28

Var[^] ~ — [ (С£(т) + 2/i：Gx(t)) 4т .(8.41)

Следовательно, величина 及 есть состоятельная оценка параметра 必，так как дисперсия Var[綏]стремится к нулю при Т — 8 и при условии, что функции С^.(7)и Схх(т) абсолютно интегрируемы на интервале (—8, оо), как это устанавливается соотношениями (5.117).

Рассмотрим важный частный случай ограниченного по частоте гауссова белого шума, определенного формулой (8.25). Тогда, согласно (8.26),

Схх(т)=Схх(т)=8ш2тгВт2ттВт8ш2тгВт2ттВт(8.42)(8.42)Из формулы (8.41) видно, чтоИз формулы (8.41) видно, что042Var[£M =俞 + 正応4 •042Var[£M =俞 + 正応4 •(8.43)(8.43)

Схх(т)=

Схх(т)=

8ш2тгВт

2ттВт

8ш2тгВт

2ттВт

(8.42)

(8.42)

Из формулы (8.41) видно, что

Из формулы (8.41) видно, что

042

Var[£M =俞 + 正応4 •

042

Var[£M =俞 + 正応4 •

(8.43)

(8.43)

Эта величина представляет собой дисперсию оценки среднего квадрата, причем В есть полная спектральная ширина процесса, а Г ——полная длина реализации. В обшем случае при 丛、工 0 нормированная среднеквадратич-

1,001,00Рис. 8.1. Нормированная случайная ошибка оценок среднего квадрата и среднеквадратично го значения.Рис. 8.1. Нормированная случайная ошибка оценок среднего квадрата и среднеквадратично го значения.50,201005Q о Q QЕН9иа0 ВВНЗАУЗ ^roxxromo^ss^ox50,201005Q о Q QЕН9иа0 ВВНЗАУЗ ^roxxromo^ss^ox0000о 20 00о 20 00оо

1,00

1,00

Рис. 8.1. Нормированная случайная ошибка оценок среднего квадрата и среднеквадратично го значения.

Рис. 8.1. Нормированная случайная ошибка оценок среднего квадрата и среднеквадратично го значения.

50,201005

Q о Q Q

ЕН9иа0 ВВНЗАУЗ ^roxxromo^ss^ox

50,201005

Q о Q Q

ЕН9иа0 ВВНЗАУЗ ^roxxromo^ss^ox

00

00

о 20 00

о 20 00

о

о

ная ошибка естьная ошибка есть(8.44)(8.44)При 以=0 величина 必=成 иПри 以=0 величина 必=成 ипоследнее равенство сводится к видупоследнее равенство сводится к видутак чтотак что%照噜=幣塗]=i/Vbt.%照噜=幣塗]=i/Vbt.(8.45)(8.46)(8.45)(8.46)

ная ошибка есть

ная ошибка есть

(8.44)

(8.44)

При 以=0 величина 必=成 и

При 以=0 величина 必=成 и

последнее равенство сводится к виду

последнее равенство сводится к виду

так что

так что

%照噜=幣塗]=i/Vbt.

%照噜=幣塗]=i/Vbt.

(8.45)

(8.46)

(8.45)

(8.46)

При 以=0 соответствующий результат для среднеквадратичной ошибки оценки 也，а не 必 есть, согласно равенству (8.10),

е[^] = l/(2vGB7).(8.47)

Графики, отвечающие формулам (8.46) и (8.47) при различных значениях ВТ, представлены на рис.8 Л.

8.2.3. ДИСПЕРСИЯ

Оценка дисперсии может быть получена как

(8.48)

Очевидно, что

Var[6?] = £[5/] -(Е⑶]У,

(8.49)

где

e照=e回一ё岡，

(8.50)

e岡= e[—溶+篦]=

= Е[^]-2Е[^]+Е[^].(8.51)

Поэтому

Var[G?] = Var[喝 +Var底]-2(Е[。紀]-Е[阅Е屁]).(8.52)

В отличие от оценок среднего значения и среднего квадрата, оценки дисперсии, полученные в виде (8.48), будут смещены. В частности, в случае ограниченного по частоте гауссова белого шума подстановка уравнений (8.36) и (8.30) в (8.50) показывает, что

e[6?]=心-(券+ //

Следовательно, систематическая ошибка равна

“芸］=Е［6?］—о? =詣.(8.54)

Этот результат согласуется с формулой (4.11) при N = 2ВТ.

Вернемся теперь к важному частному случаю ограниченного по частоте гауссова белого шума, для которого дисперсии оценок ^ м 保 определены формулами (8.43) и (8.32) соответственно. В гауссовом случае при & # О выражение для четвертого момента имеет, согласно (3.82), вид

£［£］：］=矶园川齒 + 2(Е底］)2 - 2対. (8.55)

При этом принято, что Е就愈］=Е咸］.Пренебрегая членами порядка величины 1/(ВТ)2, из формулы (8.30) получаем, что

(e［片］『=I券+月)=舞+他. (8.56)

\У Di Следовательно,)2 2

e［£冗］-川£浜岡=若•(8.57)

Подстановка формул (8.32), (8.43) и (8.57) в (8.52) дает

4

Var岡=~ •(8-58)

Этот результат не зависит от &.

Нормированная случайная ошибка есть

Этот результат справедлив и при & # 0, в то время как формулой (8.46) для оценки среднего квадрата можно пользоваться лишь при 以 装 0. Оба утверждения справедливы для процессов типа ограниченного по частоте гауссова белого шума. Из соотношения (8.10) можно теперь получить соответствующий результат для оценки среднеквадратичного отклонения 戰,а не дисперсии 硬

£/&］ = 1/(2浄7) (8.60)

Заметим, что рис.8.1 отвечает также формулам (8.59) и (8.60) для нормированных случайных ошибок оценок дисперсии и среднеквадратичного отклонения при произвольном &.

Плотность вероятности

Рассмотрим задачу оценивания плотности вероятности отдельной реализации х(/ )стационарного эргодического случайного процесса (х(/)) . Be-

роятность того, что ордината х(/) примет некоторое значение в интервале от х — %/2 до х + %/2 за время Г, можно оценить выражением

(8.61)(8.61)А[х, Ж] =Prob^x -4 x(f) 4 (х + yjj =

(8.61)

(8.61)

т] , т

где Тх — промежуток времени, в течение которого ординаты х (/) находятся в пределах указанного интервала при /-м попадании в этот интервал; Тх = £ ДГр Отношение Тх/Т представляет собой суммарную долю времени, в течение которого ординаты х(£) находятся в интервале [г —%/2, х + %/2]. Следует отметить, что величина Тх обычно зависит от ординаты х. Оценка вероятностиF [х; W} стремится к истинной вероятностиР [х W} при Т -* 8. Кроме того, она является несмещенной оценкой истинной вероятности. Следовательно,

(8.62)(8.62)Р[х, W} = E[P[x,W]\ = lim P[x,W} = lim

(8.62)

(8.62)

-Г—8r—oo T

Одномерная плотность вероятности равна, по определению.

гдегдер(х) = lim w—oр(х) = lim w—oР[х,%]Р[х,%]WWlimГ— ооW—0limГ— ооW—0Р[х,%]Р[х,%]WWlim /(х),Г— 00W—0lim /(х),Г— 00W—0(8.63)(8.63)/(х)/(х)P[x,W]P[x,W]WWTWTW(8.64)(8.64)есть выборочная оценка величины р(х).есть выборочная оценка величины р(х).Вероятность того, чтоВероятность того, чтоординатаордината

где

где

р(х) = lim w—o

р(х) = lim w—o

Р[х,%]

Р[х,%]

W

W

lim

Г— оо

W—0

lim

Г— оо

W—0

Р[х,%]

Р[х,%]

W

W

lim /(х),

Г— 00

W—0

lim /(х),

Г— 00

W—0

(8.63)

(8.63)

/(х)

/(х)

P[x,W]

P[x,W]

W

W

TW

TW

(8.64)

(8.64)

есть выборочная оценка величины р(х).

есть выборочная оценка величины р(х).

Вероятность того, что

Вероятность того, что

ордината

ордината

реализации x(Z) попадает в интервал между %】 их2, можно выразить через плотность вероятности р 3 ) следующим образом:

Prob [%! < XProb [%! < X⑺ < Х2] =/〉(х) dx.X]⑺ < Х2] =/〉(х) dx.X](8.65)(8.65)

Prob [%! < X

Prob [%! < X

⑺ < Х2] =/〉(х) dx.X]

⑺ < Х2] =/〉(х) dx.X]

(8.65)

(8.65)

В частности,

Р[х, %] = ProbР[х, %] = ProbWWх - у < Х(Г)< X + уWWх - у < Х(Г)< X + у=「+ (W/2)p(灯怨(8.66) Л-(И</2)=「+ (W/2)p(灯怨(8.66) Л-(И</2)

Р[х, %] = Prob

Р[х, %] = Prob

WW

х - у < Х(Г)< X + у

WW

х - у < Х(Г)< X + у

=「+ (W/2)p(灯怨(8.66) Л-(И</2)

=「+ (W/2)p(灯怨(8.66) Л-(И</2)

Тогда из формулы (8.64) следует, что

Е[р(х)]=Е[р(х)]=E[P[x,W]\Р[х,%]E[P[x,W]\Р[х,%]WWWW⑹ £(8.67)沙厶-(w/2)⑹ £(8.67)沙厶-(w/2)

Е[р(х)]=

Е[р(х)]=

E[P[x,W]\Р[х,%]

E[P[x,W]\Р[х,%]

W

W

W

W

⑹ £(8.67)

沙厶-(w/2)

⑹ £(8.67)

沙厶-(w/2)

Таким образом, вообще говоря,

(8.68)(8.68)Е[/(х)] 4P(х),

(8.68)

(8.68)

и, следовательно, £(v) в общем случае представляет собой смещенную оценку функции р(х).

Средний квадрат ошибки оценкир(х) находят по формуле (8.5):

Е[(/(х) -р(х))2] = Var[/(x)] + b2[p(x)],(8.69)

где Var[p(x)] — дисперсия оценки, определяемая формулой

Var[/(x)] = е[(/(х) - Е[/(х)])[,(8.70)

(8.71)(8.71)а Ь 傍(х )] — смещение оценки, определяемое формулой Ь[р(х)] = Е[/(х)] -р(х).

(8.71)

(8.71)

СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНКИ

Найдем теперь выражение для ошибки смещения, входящей в соотношение (8.71). С учетом истинной плотности вероятности из формулы (8.67) находим» что

Е[/(х)] = J/'—.(£)缘(8.72)

W4-(%/2)

Разложим pg) в ряд Тейлора в точке g = х и оставим только три первых члена:о

(Г — х)

р(£) = р(х) +(( - Х)“(х) +р"(х)・(8.73)

Последние два соотношения дают

广"& — Х)戏=0, Jx -(W/2)

(8-74)

224 *

(8.75)

Следовательно,

物2

E[/(x)] = p(x) + 牙 P"(x)・

(8.76)

Таким образом, в первом приближении ошибка смещения равна

兄/(х)] = н"'(х).

(8.77)

гдер° *) — вторая производная функциир(г) по аргументух.

ПРИМЕР 8.3. СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ГАУССОВА СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. Оценки плотности вероятности обычно ищут при ширине коридора W & 0,2%. Рассмотрим все же случай построе-

ния грубой оценки плотности вероятности при ширине коридора % = %. Пусть анализируемые данные принадлежат гауссову случайному шуму с нулевым средним и единичной дисперсией. Согласно формуле (8.67), математическое ожидание оценки есть

Е[/(х)] = -i-广咦-3/2 dx.V27r 4-0,5

Значения интеграла приведены в табл.А.2. Например, в точке, совпадающей со средним значением (х = 0), Е[р(0)] = 0,3830. Однако, согласно табл. А.1,р(0) = 0,3989. Следовательно, смещение такой оценки гауссовой плотности вероятности в точке, совпадающей со средним значением, согласно формуле (8.71), равно

兄/(о)] = 0,3830 - 0,3989 = -0,0159,

а знак минус означает, что оценка плотности вероятности оказывается ниже истинного значения.

Рассмотрим теперь в первом приближении систематическую ошибку, определенную равенством (8.77). Для гауссова процесса с нулевым средним и единичной дисперсией имеем

-(IT)

Следовательно, в точке х = 0 смещение приближенно задается формулой

-1

—7== -0,0166, 24%，

что всего на 5% отличается от истинного смещения, подсчитанного выше.

ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ

Для того чтобы найти дисперсию оценкир(х), необходимо знать статистические свойства промежутков времени △", которые в сумме дают интервал Тх. К сожалению, получить такую временную статистику для случайного процесса очень трудно. Однако соответствующее выражение для дисперсии величины р(х) в общем виде все же можно получить, исходя из следующих эвристических соображений.

Как видно из соотношения (8.64), дисперсия оценки равна

Var[/(x)]=痴五Var[力(х, %)] ,(8.78)

гдеР[х, W}——оценка величиныР[х,物].Дисперсия оценки этой доли времени, полученной по выборке объемом N независимых значений случайной величины, имеет вид [8.3]

Р(Х, %)[1 -Р(Х,%)]/

Var[P(x, Ж)] = . -(8.79)

Подставляя выражение (8.79) в (8.78) и полагая, что Wp(x)《1, можно получить приближенную формулу для дисперсии опенки плотности вероятностиz)

Var[/(x)]=今今，(8.80)

где число N должно быть определено. Далее, как следует из доказанной в разд. 10.3.1 теоремы о дискретном представлении процесса во временной области, реализацию х(/) случайного процесса с полосой частот В, заданную на интервале времени Т, можно полностью описать N = 2ВТ дискретными значениями. 3tmN дискретных значений не обязательно, разумеется, будут статистически независимы. Тем не менее для любого данного стационарного случайного процесса, обладающего свойствами эргодичности, каждая его реализация содержит « = N/с2 независимых выборочных значений (степеней свободы), где с ——постоянная. Таким образом, из формулы (8.80) следует, что

Var[/(x)]=五而.(8.81)

Постоянная с зависит от вида ковариационной функции процесса и от величины интервала дискретности. Для ограниченного по частоте непрерывного белого шума, как показывают результаты расчетов, с = 0,3- Если из ограниченного по частоте белого шума производится выборка N = 23Т дискретных значений, то результаты расчетов дают для этого случая постоянную с = 1, как это и следовало ожидать на основании соотношения (8.26).

НОРМИРОВАННАЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА

Суммарный средний квадрат ошибки для оценкир(к) плотности вероятности р(х) получается как сумма дисперсии (8.81) и квадрата смешения (8.77):

е[(^х) - р(х))]=森而 +(8.82)

Следовательно, нормированный средний квадрат ошибки равен

“с2仍Чр，，(х)]2

€ [/(X)= о /、+ 声•(&83)

2BTWp(x) 576 р(х)

Корень квадратный из выражения (8.83) дает нормированную среднеквадратичную ошибку £.

Как следует из соотношения (8.83), при измерении плотности вероятности к ширине коридора W предъявляются противоречащие друг другу требования. С одной стороны, для уменьшения случайной ошибки желательно задаваться большими значениями %. С другой стороны, чтобы снизить ошибку смещения, необходимо сузить интервал %. Однако при Т — 8 сум-

марная ошибка стремится к нулю, если величина W ограничена таким образом, что И" — 0, a WT — оо. На практике при W & 0,20A. нормированная ошибка смещения не превышает 1%. Это утверждение справедливо потому, что выражение для этой ошибки (8.83) содежит производнуюp,f (х), а плотности вероятности обычных (приблизительно гауссовых) случайных процессов не содержит крутых и острых пучков, которым соответствуют большие числовые значения второй производной.

ОЦЕНКИ СОВМЕСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ

Оценки совместной плотности вероятности двух реализаций х(/ ) н у (Г) стационарных эргодических случайных процессов (х(/)) и (^(/)) можно найти следующим образом. Аналогично соотношению (8.61) положим, что величина

*X,弘丿，叫]=今 (8.84)

дает оценку вероятности того, что ординаты x(z) попадают в интервал Wx с центром в точке х и ординаты y(t) одновременно попадают в интервал % с центром в точке у. Эта оценка определяется отношением 7^ у/Т, где Тх у — суммарное время, в течение которого эти два события наблюдаются одновременно в пределах интервала Т. Очевидно, что величина 々》в общем случае зависит м отх, и от у. Эта оценка совместной вероятности приближается к истинной, вероятности P[r, Wx; у, Wy} при стремлении времени Т к бесконечности, т.е.

Р[х,匕夕,w} = lim /[х, wx-у,叫]=lim (8.85)

Г-*8 Т-+8 1

Совместную плотность вероятностир(х, у) можно теперь определить как

величину

р(х, у)=р(х, у)=..Р^-у^nш 弘一0也唯叫一0..Р^-у^nш 弘一0也唯叫一0limГ—8也一0叫一 0limГ—8也一0叫一 0? [X,匕;7,也]? [X,匕;7,也]lim /(х, j),Г~* 8弘一 0叫70(8.86)lim /(х, j),Г~* 8弘一 0叫70(8.86)гдегде/(X, у)=/(X, у)=耳X,凡丿,叫］^耳X,凡丿,叫］^ТхуТху(8.87)(8.87)

р(х, у)=

р(х, у)=

..Р^-у^

nш

弘一0也唯

叫一0

..Р^-у^

nш

弘一0也唯

叫一0

limГ—8也一0叫一 0

limГ—8也一0叫一 0

? [X,匕;7,也]

? [X,匕;7,也]

lim /(х, j),

Г~* 8

弘一 0

叫70

(8.86)

lim /(х, j),

Г~* 8

弘一 0

叫70

(8.86)

где

где

/(X, у)=

/(X, у)=

耳X,凡丿,叫］^

耳X,凡丿,叫］^

Тху

Тху

(8.87)

(8.87)

Предположим, что интервалы 匕 и Wy настолько малы, что ошибками смещения можно пренебречь. Тогда средний квадрат ошибки, связанной с оценкойр(х, у), определяется дисперсией оценки. Как и в случае оценки одномерной плотности вероятности, найти точное значение дисперсии, пользуясь лишь теоретическими соображениями, весьма трудно. Однако с помощью эвристических рассуждений, которые позволили получить соотношение (8.81), можно приближенно найти обший вид дисперсии. А именно в

частном случае, когда нх«) ну«) представляют собой белый шум с ограниченной полосой частот шириной В, дисперсия равна

Var[/(x,力]=Var[/(x,力]=С2P(х,у)С2P(х,у)2BTWJ¥y2BTWJ¥y(8.88)(8.88)

Var[/(x,力]=

Var[/(x,力]=

С2P(х,у)

С2P(х,у)

2BTWJ¥y

2BTWJ¥y

(8.88)

(8.88)

где с — неизвестная постоянная

Оценки ковариационных функций

Рассмотрим теперь две реализации x(f) и y(t) стационарных эргодических случайных процессов {х(。} и {/(О)- Определим другие характеристики процессов — стационарные автоковариационные функции 灭以丁)и 勺歹⑺ и взаимную ковариационную функцию 勺式丁). Чтобы упростить последующие выкладки, примем, что средние значения 从* и 从,равны нулю. Оценку взаимной ковариационной функции /? (т), связывающей заданные на конечном интервале Т реализации х(£) и y{t) с непрерывным временем, можно записать в виде

О <т< Г；

(8.89)

-Г < т < 0.

Чтобы избежать использования знака модуля, будем в дальнейшем считать величину т положительной, так как для отрицательных значений т справедливы те же выводы. Оценки ковариационных функций 択»(丁) и 勺歹(丁) представляют собой частные случаи оценки взаимной ковариационной функции, когда обе реализации совпадают, т.е. при。& 丁 V Т

瓦х(т)=亍"x(r)x(f + т) dt,

(8.90)

表处(Т) =3(‘)7(' + T)dt，

Таким образом, путем анализа оценки взаимной ковариационной функции можно получить результаты, применимые к оценкам автоковариационной функции.

Если процессы заданы на интервале Т + т, а не Т, то можно дать другое определение функции Rx у(т):

人1 сТ

^J(T) =/ х(^у({ + т) dt, 0 < т < Г. (8.91)

В эту формулу входит фиксированный интервал интегрирования Т вместо переменного интервала интегрирования в формуле (8.89). Именно в таком виде выше было дано определение ковариационных функпий. Отметим, что оценки средних значений квадратов функций х(£) или y(t) представляют собой просто частные случаи соотношения (8.89) или (8.91) при т = 0. Для упрощения обозначений в последующих выкладках вместо формулы (8.89) будет использоваться формула (8.91). В обоих случаях окончательные результаты будут одинаковы, если считать, что процессы заданы на интервале Т + т.

Математическое ожидание оценки

£[^xj(t)] = -f^E[x(t)y(t + т)]力=亍 j：R»⑺ dt = R"⑺.

и°(8.92)

Следовательно, независимо от длины реализации Т величина ^^(т) есть несмещенная оценка функции 灭枕(т). Средний квадрат ошибки определяется дисперсией

Var[R*>(T)] = е[(А*р(т) - Rxy(T))[=矶祀р(т)] - R*(t)= =丸7(矶х(加(“+ т)х(и)夕(и + т)]-

-^j(t)) dvdu.(8.93)

Чтобы упростить последующие преобразования и согласовать результаты со многими физическими приложениями, представляющими наибольший интерес, будем считать, что совместная плотность распределения случайных процессов {%«)} н {>«)} для любой совокупности фиксированных моментов времени есть функция Гаусса. Этого ограничения можно избежать, вводя некоторые условия интегрируемости для негауссовых частей случайных процессов и не меняя при этом существенным образом окончательные выводы. В случае, когда совместная плотность вероятности процессов {%«)} н {у")} нормальна, сами процессы [х(/)) и (^(/)) порознь также подчиняются нормальному распределению.

Для гауссовых стационарных случайных процессов с нулевыми средними значениями формула (5.130) дает следующее выражение для четвертого смешенного момента:

Е[х(и)у(и + т)х(и)夕(и + т)] = К；у(т) +Rxx(D - u)Ryy(v - и) + + Rxy(V — 〃 + T)Ryx(u - W - т).

(8.94)

Следовательно, дисперсия

Var[^XJ(T)] = ~ J\Rxx(v - u)Ryy(v - и) +

+ Rxy(v - 〃 + т)Л^х(г — 〃 - т)) dvdu =

=)口1 -.—幻+

+ Rxy^ + r)Ryx^~^di.(8.95)

Второе равенство можно получить из первого, используя подстановку 《=V — u,d^ = dv и меняя затем порядок интегрирования по переменным ^ им. Если считать, что произведения択封收建抄位)“火疗收述冲伐)абсолютно интегрируемы в промежутке (—оо, оо), то

lim Т Var[^ (т)] =

=(&*(£)&"(幻 + Rxy(^ + т)勺證—Т))遊 < 8. (8.96)

'—8

Этим доказывается, что величина ^^(т) представляет собой состоятельную оценку функции 勺式т). При больших Г оценка имеет дисперсию

Var[瓦>(т)] =|Г(Rxx^)Ryy(i) + &,仁 + т)%*(£ - г))度.

(8.97)

Заслуживают внимания несколько частных случаев соотношения (8.97). Дисперсия оценки ковариационной функции равна

Var 依以 т)]8 d幻 + 七證 + t)R,x(£ -г))遊.(8.98)

При нулевом сдвиге (т = 0)

Var[%,(0)]=亍/ &*(灯或.(8.99)

丄J — 8

Из предположения, что при больших значениях т функция 灭心(丁) стремится к нулю, следует неравенство

R^)^RxAi + r)Rxx^~^-

Таким образом, при больших т

Var 伊以 т)]=)/8&,⑶必，(8.100)

/ J— 8

что составляет половину величины (8.99).

ОГРАНИЧЕННЫЙ ПО ЧАСТОТЕ БЕЛЫЙ ШУМ

Для ограниченного по частоте гауссова белого шума с полосой частот В, имеющего среднее значение 做=0 и наблюдаемого на интервале Т [см. формулы (8.25) и (8.26)], дисперсия при всех значениях г не превышает, согласно (8.98), величины

Var伙以т)] * 心[崔,(0) + 崔х(т)]. (8-101)

При 7 = 0 это соотношение переходит в равенство (8.45). Аналогично в случае, когдаx(z) ну(£)——реализации длины Г ограниченного по частоте белого шума, имеющие средние значения ixx = ^ — Q и одинаковую ширину полосы частот В, из формулы (8.97) следует, что дисперсия равна

Var伊,,(т)]=詣[&х(0)尺抄(0)+ 程式т)] •(8-Ю2)

Соотношение (8.102) справедливо при достаточно большом Т, таком, что

формулой (8.97) можно пользоваться вместо (8.95). Практически это условие удовлетворяется при Т》101 ?1 и ВТ > 5.

При & =丹=0 и Rxy 装 0 нормированный средний квадрат ошибки равен

饪他秒⑴]饪他秒⑴]Var 他》(т)]1叱,(T)"而Var 他》(т)]1叱,(T)"而&式0)r抄(0) + —Rg—&式0)r抄(0) + —Rg—.(8.103).(8.103)

饪他秒⑴]

饪他秒⑴]

Var 他》(т)]1

叱,(T)"而

Var 他》(т)]1

叱,(T)"而

&式0)r抄(0) + —Rg—

&式0)r抄(0) + —Rg—

.(8.103)

.(8.103)

Корень квадратный из выражения (&103) дает нормированную среднеквадратичную ошибку £, которая включает в себя только случайную ошибку, так как при длине реализации более Г + 丁 смещение равно нулю.

Таким образом, для оценок взаимной ковариационной функции имеем

е[」т)] = ^=[1 + Р^2(т)]1/2>(8.104)

где

-⑴;論瑞(81°5)

есть нормированная взаимная корреляционная функция. Заметим, что К*у(7)= С*у 6) при (л^ = fjLy = Q, Если х (Г ) = ^ (/), то в точке 丁 = 0 имеем Егх(。)=必 м %(0) = 1，так что

Н&х(°)] = 4 旬卜宝彳，(8.106)

что согласуется с формулой (8.46). В общем случае оценивания ковариационной функции ошибка равна

0,02 50,02 5К) 20К) 2050100200500ВТ50100200500ВТ1.00^ ^0,l°°-053 ехди3。кенивтАУЭ ^roxxraffio^xs^ox1.00^ ^0,l°°-053 ехди3。кенивтАУЭ ^roxxraffio^xs^ox

0,02 5

0,02 5

К) 20

К) 20

50100200500

ВТ

50100200500

ВТ

1.00^ ^0,l°°-05

3 ехди3。кенивтАУЭ ^roxxraffio^xs^ox

1.00^ ^0,l°°-05

3 ехди3。кенивтАУЭ ^roxxraffio^xs^ox

Рис. 8.2. Нормированная случайная ошибка оценок ковариационной функции.

гдегде£依以Т)]"[1 + pг(T)]"；£依以Т)]"[1 + pг(T)]"；(8.107)(8.107)Рхх(т)=Рхх(т)=— (т)ю— (т)ю(8.108)(8.108)

где

где

£依以Т)]"[1 + pг(T)]"；

£依以Т)]"[1 + pг(T)]"；

(8.107)

(8.107)

Рхх(т)=

Рхх(т)=

— (т)ю

— (т)ю

(8.108)

(8.108)

График, отвечающий уравнению (8.107), приведен на рис.8.2.

ОБ ОТНОШЕНИИ СИГНАЛ/ШУМ

Отметим некоторые приложения формулы (8.104). Пусть x(Z) ну (Г) задаются в виде

x(f) = s(f) + 吹(f),

У(0 = s(f) + "(f),(8.109)

где s(f), m (f) и 〃(f) попарно некоррелированы. Тогда

R-(t) = &s(t) = &s(0)Pss(t) = SPssS)，

Rxx(0) = Ss(0) + Rmm(0) = S + M,(8-110)

R»(0) = &s(0) + Лии(0) = S + N.

Из уравнения (8.104) следует, что нормированная среднеквадратичная ошибка равна

ГЛ 11 (S + M)(S + N)'

『[氏刈⑴]в 斯~—]•(8111)

Учитывая, что 冬(0) = 1, имеем при 丁 = 0:

『伊》(0)]=义【2+(M/S)+(N/S)+(M/S)(N/S)].(8.112)

Эти соотношения полезны для анализа систем с двумя детекторами, на выходе которых наблюдаются заданные формулами (8.109) последовательности х (Г) ну (Г), содержащие один и тот же сигнал s(f) и некоррелированные помехи m(t) и 〃 (f).

Случай 1.

М = 0 при ^/S > 1

』®(о)]=鳥(J(8-113)

Случай 2.

М н N при N /S » 1:

…】1 (N\2

£ "勺(°)]=而(8]14)

Эти два случая могут иметь важные физические приложения. Например, в случае 1 x(f) может быть опорным сигналом, для которого строится взаимная корреляция с последовательностью У (t), представляющей собой смесь принятого сигнала помехи. Во втором случае строится корреляция искаженного помехой сигнала у [t) с самим собой. При любом отношении N/S 齢 1 получение одной и той же заданной среднеквадратичной ошибки требует во втором случае гораздо большей величины ВТ.

Дальнейшее осуждение этих вопросов содержится в работе [8.1]. Приложения формул, приведенных в этом разделе, даны в книге [8.2].

ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭКСТРЕМУМОВ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Результаты, приведенные выше в разд.8.4, содержат формулы для определения случайных ошибок при оценивании эстремальных значений функций ^^(т) и Rxx(7)・ Однако при этом остается пока нерешенной важная проблема точной локализации таких экстремальных значений ковариационных функций. Предположим для определенности, что ковариационная функция имеет форму, отвечающую ограниченному по частоте белому шуму, т.е.

/ sin27rB7\

尺以 т) = Ех(0)(^(8115)

Максимальное значение R»(丁)наблюдается в точке т = 0. Разлагая ^хх(т) в ряд в окрестности 丁 = 0, имеем

(2 疗 5T У

sin2773T « (2勿5丁).(8.116)

6

Таким образом, вблизи т = 0 оценка Rxx(r) имеет вид

а2(勿 Вт)?

Ахх(т) = 1 ——з— Rxx(O),(8117)

и ее математическое ожидание

Е 依 хх(О)] =贝 хх(0).(8.118)

Следовательно,灭鼠0) есть несмещенная оценка 訳欢(0). Ее дисперсия

Var伍以0)]=耳{々以0) — R以О)}] * ^B)4RIx(Q)E[ta],(8.119)

Поэтому нормированная среднеквадратичная ошибка равна

m伙以0)] = V?篇。"" 式如8)4矶Т4](8.120)

Предположим теперь1^, что значения т описываются гауссовым распределением с нулевым средним значением и диперсией <7；(丁)：

〃1(т) = Е[т] = о， о；(т) = Е[т2].(8.121)

В этом случае четвертый момент распределения, входящий в формулу (8.120), равен

Е[〃] = Зо：(т) ,(8.122)

следовательно,

小保"(0)]之式"8)% 式 Т).(8.123)

Таким образом, имеем

0 93

°i(T)e-^-{£[^(0)]}1/2.(8.124)

95%-доверительный интервал для оценки местоположения экстремума ковариационной функции есть

[-2%(т)мт 42%(т)] .(8.125)

° Это можно сделать, поскольку речь идет о локализации случайного положения экстремума ковариационной функции. — Прим. трее.

ПРИМЕР 8.4. ОЦЕНКА ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПО ВЗАИМНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ. Пусть наблюдаемые реализации х") и y(f) содержат общий сигнал s(f) и некоррелированные помехи m(t) и "(f)：

x(f) = s(f) + w(f), y(t) = s(t + %) + w(f).

Согласно разд.5.1.4, максимальное значение взаимной ковариационной функции /?^(7)= &式7 —〜)будет наблюдаться при сдвиге 7 = т0, определяющем относительное запаздывание в поступлении сигналам (Г) в реализации х (f) ну(£). Предположим теперь, что 5 (О — ограниченный по частоте белый шум со спектральной шириной В = 100 Гц, а отношения шума к сигналу в х (f) и j(f) суть M/S = N /S = 10. Имея реализации х (f) н у (f) длиной Г = 5 с, определим точность оценивания запаздывания 7。по оценке положения максимума ковариационной функции K/了).

Согласно уравнению (8.114), нормированная случайная ошибка оценки максимума ковариационной функции дается приближенным соотношением

"xySo)] = 4 瓦 s(。)]="xySo)] = 4 瓦 s(。)]=102]1/2⑵(100)(5)102]1/2⑵(100)(5)

"xySo)] = 4 瓦 s(。)]=

"xySo)] = 4 瓦 s(。)]=

102]1/2

⑵(100)(5)

102]1/2

⑵(100)(5)

Заметим, что из формулы (8.112) следует более точная оценка £ = 0,35. В соответствии с формулой (8.124) приближенное значение для среднеквадратичного отклонения оценки * есть

0,93(0,35)1/2

°】⑴'-^П"。'00".

Из соотношения (8.125) следует, что приближенный 95 % -доверительны й интервал для оценки т0 (в секундах) есть

[% - 0,0034 < т0 < f0 + 0,0034].

Оценки спектральных плотностей

Блок-схема стандартного фильтрующего устройства для оценивания спектральной плотности реализациих(г) приведена на рис.8.3. Предполагается, что подаваемая на вход фильтра реализация x(Z) характеризует стационарный (эргодический) случайный процесс с нулевым средним значением, а усреднение производится в пределах интервала времени Т. Считается далее, что настраиваемый узкополосный фильтр имеет постоянную полосу пропускания В^, отличную от нуля, с центральной частотой /, которую можно изменять в исследуемом диапазоне частот. Эту полосу пропускания частот Ве не следует путать с полной полосой частот, содержащихся в реализации х (f). Оказывается, что для получения состоятельной оценки функции Gxx(f) необходимо осуществить операцию фильтрации, позволяющую проводить усреднение в пределах некоторой полосы частот. Окончательная

Xft)Xft)G*x'f)G*x'f)Рис. 8.3. Полосовой фильтр с постоянной полосой пропускания для измерения спектральной плотности.Рис. 8.3. Полосовой фильтр с постоянной полосой пропускания для измерения спектральной плотности.

Xft)

Xft)

G*x'f)

G*x'f)

Рис. 8.3. Полосовой фильтр с постоянной полосой пропускания для измерения спектральной плотности.

Рис. 8.3. Полосовой фильтр с постоянной полосой пропускания для измерения спектральной плотности.

оценка Gxx(f) характеризует усредненную по времени величину /(f), которая содержит составляющие с частотами в полосе от / —约/2 до / + 纥/2 и отнесена к ширине полосы Ве. Отметим следующее обстоятельство. Так как отличное от нуля среднее значение соответствует наличию дикретной состав ля ющей с нулевой частотой, то предположение о равенстве среднего значения нулю существенно в дальнейшем лишь в том случае, когда полоса Ве содержит частоту/ = 0. Во всех дргуих случаях, когда Ве не включает в себя частоту/ = 0, полученные ниже выводы применимы ко всем процессам с произвольным средним значением.

Средний квадрат функции х (I) в пределах полосы частот Ве с центральной частотой / определяется выражением

七(/，叫)x2(",生)力，(8.126)

гдех(厶 £ Ве) — реализация на выходе узкополосного фильтра, а Т — интервал усреднения. В разд.8.2.2 показано, что величина (8.126) представляет собой несмещенную и состоятельную оценку истинного среднего квадрата при Т, стремящемся к бесконечности. Это означает, что

必(/,凡)=矶由(/，凡)]=lim - x%,/,Be)dt, (8.127) 丁一*8 /

где &(f, Be) — средний квадрат реализациих(/) на выходе фильтра с полосой пропускания Ве и центральной частотой /.

По определению, спектральная плотность

Gxx(/)= lim 屮式?凡)=lirn (TX2(t,f, Bj dt = lim 以(/), e纥_0 e线一0

(8.128)

где величина

&х(/)=厶/}2(f, /, В,) dt =叱凡) (8.129)

представляет собой оценку функции Gxx(t), определяемую методом, который поясняется на рис.8.1. Средний квадрат функциих(Г) в полосе частот

от/j до/2 можно выразить через истинную спектральную плотность Gxx(f) в виде“

^,/2)= j^Gxx(f)df.(8.130)

В частности,

^(f，纥)=丑.(8.131)

% (线/2)

Из формул (8.129) и (8.131) следует, что

矶а”)] = ^^ = У 尸"&х(幻丑.(8.132)

ве 纥(七/2)

Таким образом, для большинства значений 0^(/)

E[Gxx(f)] ^ Gxx(f) ,(8.133)

т.е. Gxx(f) в общем случае представляет собой смещенную оценку функции

Средний квадрат ошибки оценки Gxx{f) вычисляют из соотношения (8.5)：

Е[(懿(/) - G以/))[ = Var[Gxx(/)] + b2[Gxx(f)] , (8.134)

где дисперсия оценки равна

Var®(/)] = E[(Gxx(f) - E[Gxx(f)])2\,(8.135)

а смещение оценки равно.

”«х(/)] = Е[«</)] - Gxx(/).(8-136)

СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНКИ

Выражение для ошибки смешения (8.136) можно получить тем же способом, что и при оценивании плотности вероятности в разд.8.3.1. Разлагая величину G^G) в ряд Тейлора в точке《 =/ н оставляя только три первых члена, из формулы (8.132) можно найти, что

§2

E[Gxx(f)] « GJ/) + 弍G；；(/).(8.137)

Таким образом, ошибка смещения равна

А в2

"GJ/)卜弍 G；”)，(8.138)

где G；x(/) — вторая производная функциии 0^(/) по аргументу f9 связанная с ковариационной функцией 区以丁) соотношением

GN(・/)=-8/f r2Rxx(T)e-J2^T dr.(8.139)

Рис. 8.4. Пример ошибки смещения при сглаживании оценок спектральной плотности по частоте.

Следует подчеркнуть, что формула (8.138) дает только первое приближение для ошибки смещения, которое применимо в тех случаях, когда 用G^(/)< Gxx(/)・ Так как на практике спектры зачастую содержат острые пики, которым соответствуют большие числовые значения второй производной, то использование формулы (8.138) может привести к получению неверных представлений об ошибке смещения. Соотношение (8.138) будет давать завышенные значения ошибки смещения, если произведение 3, G義(/) велико.

Уравнение для ошибки смещения (8.138) получено в предположении, что оценка спектральной плотности найдена, как показано на рис.8.4, при использовании идеального прямоугольного спектрального окна, заданного формулой (8.131). В разд. 11.5 будет показано, что практические методы спектрального оценивания предполагают использование спектральных окон, форма которых существенно отличается от точного прямоугольника. Тем не менее формула (8.138) представляет собой полезное первое приближение, дающее верные и важные качественные результаты. В частности, ошибка смешения возрастает при фиксированном Ве с ростом G^/) или с ростом Ве при фиксированном значении G以/). Кроме того, из рис.8.4 ясно видно, что ошибка смещения всегда ведет к уменьшению размаха значений спектральной плотности: ее максимумы занижаются, а провалы завышаются.

ПРИМЕР 8.5. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ. Пусть на вход системы с одной степенью свободы, описанной в разд. 2.4.1, поступает белый шум. Согласно примеру 6.3, функция спектральной плотности смещения массы задается в этом случае формулой

= [1-(〃/严+[2w〃],

где G — выраженная в единицах смещения массы спектральная плотность

возмущения, поступающего в систему,/^ ——собственная частота незатухающих колебаний, f ——коэффициент затухания системы. Согласно уравнению (2.25), максимальное значение G„(/) достигается на резонансной частоте fr =厶VT二 2*. При 2f2《1 вторая производная функции Gyy{f) в точке / = А есть

G以厶)n(-8/*)G»"),

где Вг — полоса пропускания по уровню половинной энергии в области резонансного максимума спектра, задаваемая формулой (2.27), т.е. Вг = 2。. В соответствии с равенством (8.138) нормированная систематическая ошиб

ка есть теперька есть теперь^h[Gyy(fr)]=^h[Gyy(fr)]=”<Ш)]G»(力)”<Ш)]G»(力)

ка есть теперь

ка есть теперь

^h[Gyy(fr)]=

^h[Gyy(fr)]=

”<Ш)]G»(力)

”<Ш)]G»(力)

Этот результат часто используется для оценивания максимального смещения оценок спектральной плотности процессов на выходе механических и электрических систем с небольшим затуханием. Очевидно, что для получения небольшого смещения разрешение по частоте Ве должно быть меньше полосы пропускания Вг. Обычно принимают Ве =约/4, что дает пренебрежимо малую систематическую ошибку % ® —2%.

ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ

Для того чтобы непосредственно получить выражение для дисперсии оценки спектральной плотности, воспользуемся выводами разд.8.2.2. Как следует из соотношения (8.129), величина

Зх") = $”，£)(8-140)

есть несмещенная оценка, характеризующая средний квадрат функции x(Z) в полосе частот Ве с центральной частотой /. Если спектральная плотность Gxx(f) постоянна в пределах полосы частот Ве, то истинный средний квадрат равен 於(£ 约)=BeGxx{f), Это условие выполняется приближенно при достаточно малых значениях Ве. Теперь можно использовать формулу (8.45), положив в ней RXX(P) = BeGxx(f):

¥аг[вДЛ(/)]。纥♦(8.141)

Так как Ве — постоянная, то

Var[靖式/)]=肥Var[«x(/)].(8-142)

Отсюда можно получить дисперсию оценки

Var[《x(/)]N 喇)•(8.143)

Другие сведения о дисперсии оценок спектральной плотности приведены в разд.8.54.

Соотношение (8.143) получено в предположении, что отфильтрованный процесс ведет себя как ограниченный по частоте белый шум. На практике такое предположение вполне приемлемо при узкой полосе пропускания фильтра Ве. Согласно центральной предельной теореме, процесс на выходе фильтра должен быть ближе к гауссову, чем входной процесс, и тот факт, что ширина Ве мала, означает, что спектр выходного процесса должен, по существу, почти не зависеть от частоты °. Следовательно, при малой ширине Ве можно с большой степенью уверенности утверждать, что нормированная случайная ошибка оценки есть

£」&”)]£」&”)]11(8.144)(8.144)

£」&”)]

£」&”)]

1

1

(8.144)

(8.144)

Заметим, что эта величина не зависит от частоты.

НОРМИРОВАННАЯ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ОШИБКА

Суммарный средний квадрат ошибки, характеризующий оценку Gxx(f), равен сумме выражения (8.143) и квадрата выражения (8.138):

E\(GxAf)-Gxx(f))2]^~Y~ +E\(GxAf)-Gxx(f))2]^~Y~ +死G<(/)『24~死G<(/)『24~(8.145)(8.145)

E\(GxAf)-Gxx(f))2]^~Y~ +

E\(GxAf)-Gxx(f))2]^~Y~ +

死G<(/)『24~

死G<(/)『24~

(8.145)

(8.145)

Следовательно, нормированный средний квадрат ошибки можно приближенно представить в виде

G；”)T G/)G；”)T G/)2【户 /Ml E[(a“)-Gxx(/))2]] В：

G；”)T G/)

G；”)T G/)

”％(/)]=^、呪 + 市

(8.146)

Квадратный корень из величины (8.146) дает нормированную среднеквадратичную ошибку £.

Следует отметить две важные особенности выражения для ошибки, характеризующей оценку спектральной плотности. Во-первых, к разрешающей способности Ве предъявляются два противоречащих друг другу требования: для уменьшения ошибки смещения необходимо задаваться малым значением Ве, тогда как для уменьшения случайной ошибки разрешающую способность следует увеличивать. Это противоречие аналогично описанной

D Имеется в виду область частот вне полосы пропускания фильтра. Более подробно вопрос о приближенной нормализации процесса на выходе узкополосного фильтра рассмотрен, например, в книге: Б.Р.Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. Т.1.—М.: Сов.радио, 1974, с.241. — Прим.перев.

в разд.8.3.3 ситуации, связанной с выбором ширины коридора W при измерении плотности вероятности. Однако в данном случае вопрос стоит еще более остро, так как на практике кривая спектральной плотности зачастую содержит резко выраженные пики (которым соответствуют большие числовые значения второй производной), что делает затруднительным снижение ошибки смешения. Во-вторых, случайная ошибка включает в себя только полосу пропускания Ве, а не всю полосу частот В, присутствующих в процессе. Следовательно, случайная ошибка в большей степени зависит от параметров схемы анализа, чем от неизвестных параметров процесса. Это обстоятельство еще раз подчеркивает практическое значение формулы (8.146) для планирования эксперимента и анализа процессов. Затронутые здесь вопросы рассматриваются также в разд.8.6.

ОЦЕНКИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ, ПОЛУЧЕННЫЕ ФИНИТНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ

В разд.8.5.2 приведено выражение для дисперсии оценок спектральной плотности, которые получают путем фильтрации, возведения в квадрат и усреднения. Эти операции обычно осуществляются с помощью аналоговой аппаратуры. Можно найти также выражение для дисперсии оценок спектральной плотности, полученные путем непосредственного преобразования Фурье. Эту операцию осуществляют с помощью цифровых вычислительных машин, используя описанный в гл. 11 алгоритм быстрого преобразования Фурье. Краткое описание второго способа вычисления спектра может облегчить задачу определения ошибок, характеризующих оценки спектраль^ ной плотности.

Рассмотрим вычисляемую по формуле (5.67) спектральную плотность стационарного (эргодического) гауссова случайного процесса х« ). В частном случае реализации неограниченной длины Г спектр имеет вид

Gxx(/) = 2 lim ~E[\X(f,T)\2],(8.147)

7一8 1

где X(/； Т)——финитное преобразование Фурье функции х(/):

Х(/, Т)=『x(t)eT2""dt.(8.148)

«Несглаженную» оценку величины Gxx(t) можно теперь получить, просто опуская в формуле (8.147) знаки предела и математического ожидания:

Gxx(/) = NX(/,T)|2.(8.149)

При этом обеспечивается максимально высокая разрешающая способность К = 1/Т.

Для того чтобы найти дисперсию этой оценки, заметим, что финитное

преобразование Фурье Х(Х Г) дает ряд составляющих с частотами / = к /7, где Л = 1, 2, 3 и т.д. Отметим также, чтоХ (4 Г) есть комплексная величина, действительная XR(ft Т) и мнимая Х]@ Т) части которой представляют собой, как можно показать, некоррелированные случайные величины с нулевыми средними- значениями и одинаковыми дисперсиями. Так как преобразование Фурье есть линейная операция, то очевидно, что в том случае, когда процесс х(О подчиняется нормальному распределению, функции Х^(А Т) sX[(f, Т) будут нормальными случайными величинами. Отсюда можно заключить, что величина

1X(/, Т)|2 = ^(/,г) + Х；(/, Т)(8.150)

(8.151)(8.151)есть сумма квадратов двух независимых величин. Следовательно, как вытекает из определения (4.16) с учетом выражения (4.37), каждая частотная составляющая оценки G^lf) имеет выборочное распределение

(8.151)

(8.151)

GU/). х；gZU)=T

где х,——величина, подчиняющаяся х2-распределению с л = 2 степенями свободы.

Необходимо подчеркнуть, что величина (8.151) не зависит от длины реализации Т. Поэтому при увеличении длины реализации функция распределения, которая описываег случайную ошибку полученной оценки, не меняется, а только возрастает число частотных составляющих оценки. Если длину реализации интерпретировать как меру объема выборки, характеризующего данную оценку, то отсюда следует, что формула (8.149) дает несостоятельную оценку спектральной плотности (что отмечалось еще в разд.5.2.2). Кроме того, случайная ошибка такой оценки достаточно велика. Обращаясь к соотношениям (4.19) и (4.20), можно видеть, что среднее значение и дисперсия величины, подчиняющейся х2-распределению, составляют л и 2л соответственно. Поэтому нормированная стандартная ошибка, определяющая случайную погрешность полученной оценки, будет иметь вид〜

4。”)] = *律=F = /I •(&152)

В рассматриваемом случае л = 2 и £г = 1, т.е. среднеквадратичная ошибка оценки равна оцениваемой величине. В большинстве случаев такая ошибка неприемлема.

На практике случайную ошибку спектральной оценки, получаемой по уравнению (8.149), уменьшают путем вычисления оценок по% различным (неперекрывающимся, отдельным) участкам реализаций длиной Т каждая и их последующего усреднения, что приводит к «сглаженной» оценке

2 nd自")=斤3%(订)匕2 nd自")=斤3%(订)匕(8.153)(8.153)

2 nd

自")=斤3%(订)匕

2 nd

自")=斤3%(订)匕

(8.153)

(8.153)

Поскольку каждое слагаемое в правой части равенства (8.153) дает две статистические степени свободы, сглаженная оценка имеет ошибку

£偃")]="^ =靑•(8154)

Очевидно, что минимальная общая длина реализаиии, необхолимая для получения оценки спектра, есть

Tr=ndT,(8.155)

а разрешение спектральной оценки по частоте задается приближенным равенством

纥= А/=1/Т.(8.156)

Таким образом, nd = Тг/Т и формула (8.154) эквивалентна соотношению

£值")卜馬，(8.157)

что совпадает с (8.144) при замене Т на Тг.

Возвращаясь к формуле (8.151), заметим, что выборочное распределение оценки спектральной плотности можно теперь записать в виде

自")Gj)自")Gj)xWxWнн" 2"小" 2"小(8.158)(8.158)В соответствии с равенством (4.47) доверительный интервал лля спектральной плотности Gxx(f), основанный на оценке GXX(J), с вероятностью 1 — а естьВ соответствии с равенством (4.47) доверительный интервал лля спектральной плотности Gxx(f), основанный на оценке GXX(J), с вероятностью 1 — а есть危”)他х".「——< G*x(/) < -г，危”)他х".「——< G*x(/) < -г，X叫 л/2Хи； 1 — а/2X叫 л/2Хи； 1 — а/2и = 2nd. (8.159)и = 2nd. (8.159)Как и прежде, при сравнительно небольшой случайной ошибке £ (скажем, с & 0,1) приближенный 95 % -доверительный интервал для спектральной плотности может быть получен в соотвегствии с формулами (8.14) и (8.154) в виде(8.160)Как и прежде, при сравнительно небольшой случайной ошибке £ (скажем, с & 0,1) приближенный 95 % -доверительный интервал для спектральной плотности может быть получен в соотвегствии с формулами (8.14) и (8.154) в виде(8.160)G„(/) < G*”)£G„(/) < G*”)£。")。")Следует отметить, что случайные ошибки при вычислении спектральных плотностей будут в действительности несколько больше в зависимости от детальных особенностей метода. Этот вопрос рассмотрен в разд. 11.5.1.Следует отметить, что случайные ошибки при вычислении спектральных плотностей будут в действительности несколько больше в зависимости от детальных особенностей метода. Этот вопрос рассмотрен в разд. 11.5.1.

自")

Gj)

自")

Gj)

xW

xW

н

н

" 2"小

" 2"小

(8.158)

(8.158)

В соответствии с равенством (4.47) доверительный интервал лля спектральной плотности Gxx(f), основанный на оценке GXX(J), с вероятностью 1 — а есть

В соответствии с равенством (4.47) доверительный интервал лля спектральной плотности Gxx(f), основанный на оценке GXX(J), с вероятностью 1 — а есть

危”)他х".

「——< G*x(/) < -г，

危”)他х".

「——< G*x(/) < -г，

X叫 л/2Хи； 1 — а/2

X叫 л/2Хи； 1 — а/2

и = 2nd. (8.159)

и = 2nd. (8.159)

Как и прежде, при сравнительно небольшой случайной ошибке £ (скажем, с & 0,1) приближенный 95 % -доверительный интервал для спектральной плотности может быть получен в соотвегствии с формулами (8.14) и (8.154) в виде

(8.160)

Как и прежде, при сравнительно небольшой случайной ошибке £ (скажем, с & 0,1) приближенный 95 % -доверительный интервал для спектральной плотности может быть получен в соотвегствии с формулами (8.14) и (8.154) в виде

(8.160)

G„(/) < G*”)£

G„(/) < G*”)£

。")

。")

Следует отметить, что случайные ошибки при вычислении спектральных плотностей будут в действительности несколько больше в зависимости от детальных особенностей метода. Этот вопрос рассмотрен в разд. 11.5.1.

Следует отметить, что случайные ошибки при вычислении спектральных плотностей будут в действительности несколько больше в зависимости от детальных особенностей метода. Этот вопрос рассмотрен в разд. 11.5.1.

Выбор длины реализации

Выражения для ошибок, приведенные в разд.8.2—8.5, позволяют оценить статистическую точность оценок различных параметров, полученных после завершения эксперимента. Желательно также уметь использовать эти формулы для предсказания точности оценок, которые предполагается получить в планируемых экспериментах, % в частности, для того, чтобы выбрать длину реализации, необходимую для получения оценки с заданной степенью точности. Действительно, приведенные выше формулы связывают длину реализации с ошибкой оценки каждого параметра. Однако они содержат обычно и другие величины, которые до завершения эксперимента остаются неизвестными. Поэтому непосредственное использование этих формул как основы для выбора длины реализаии неоправданно. Придется сделать некоторые допущения, основанные на априорном знании свойств процессов и (или) на инженерной интуиции.

Например, дисперсия оценки среднего квадрата гауссова процесса связана формулой (8.41) с длиной реализации Т через ковариационную функцию и среднее значение процесса. Если бы можно было допустить, что все наши процессы ведут себя как ограниченный по частоте белый шум со спектральной шириной В и нулевым средним значением, то длина реализации, необходимая для получения оценки с заданной нормированной среднеквадратичной ошибкой определялась бы по формуле (8.46) в виде Г =伊/厂】 к сожалению, такое допущение практически мало пригодно даже в качестве первого приближения.

Все же существует один параметр, при оценивании которого можно зачастую сделать разумные допущения и получить практически приемлемую формулу, связывающую длину реализации и ошибку оценки. Это ——оценка спектральной плотности. Из формулы (8.146) видно, что случайная часть нормированной среднеквадратичной ошибки спектральных оценок зависит лишь от длины реализациии Г и от разрешения по частоте Ве (в предположении, что спектральная плотность мало меняется в пределах полосы частот шириной Ве и что процесс является гауссовым). Это означает, что длина реализации, требуемая для получения такой спектральной оценки с заданной нормированной случайной ошибкой, определяется в виде т = (Bed)T, гце 纥——известный параметр расчетного метода, а не подлежащий определению параметр процесса. Остается лишь правильно выбрать разрешение по частоте В^.

Возвращаясь к формуле (8.146), видим, что систематическая часть ошибки спектральной оценки зависит в первую очередь от разрешения по частоте Ве. Однако существенную роль в определении смещения играег и величина G以/), определяющая «изрезанность» спектра в пределах полосы Ве. Поэтому можно выбрать некоторое предельное значение производной G氯/) к затем связать ошибку смещения с шириной полосы В?. Это делают обычно на основе общих физических соображений относительно ре-

шаемой задачи. Рассмотрим, например, частный случай процесса, представляющего собой реакцию некоторой резонирующей физической системы при условии, что каждое решение, даюшее резонанс, можно описать простой системой второго порядка, заданной уравнением (2.19). Если предположить, что в пределах полосы шириной Ве относительно каждой резонансной частоты спектр входного процесса почти постоянен, то следует ожидать, что спектр реакции системы вблизи каждой резонансной частоты будет иметь вид Gxx{f) = с 1//(/)12, глее ——некоторая постоянная, а//(/) задается в механических единицах формулой (2.24). Ошибку смещения оценки спектральной плотности на резонансных частотах можно тогда вычислить, как показано в примере 8.5, через отношение разрешения по частоте 纥 к полосе пропускания по уровню половинной энергии ” частотной характеристики //(/).

Приведенное выше обсуждение вопроса о выборе длины реализации при оценивании функции спектральной плотности особенно важно по двум причинам. Во-первых, во многих инженерных приложениях спектр представляет собой наиболее важный параметр случайного проиесса. Во-вторых, в сравнении с оценками других параметров, рассмотренными в этой главе,

Таблица 8」.Длина реализации и число усреднений для основных оценок

Необходимая

Необходимое

Оценка

длина реализации

число усреднений

幻

Tr

N

т

А>

t

=5(力

N

т

4，心

t

1

二瓦7

N

1

学忠

Tr

1

N

_ 2

/(х)

1

N

2

4

WBp(x)^

Wp{x)^

幻 ><т)

(

1.

=赤口 +啞（项

N

н/口 + p7/(t)j

6")

0

1

=亜

刃

_1

получение спектральной оценки с заданной величиной ошибки предъявляет наиболее жесткие требования к длине реализации. Это последнее обстоятельство легко проверить, сопоставив выражения для ошибок, относящиеся к оценкам спектральной плотности и к оценкам других параметров. Легко видеть, что знаменатели формул, определяющих ошибки оценок других параметров, обычно содержат множители, превышающие величину Ве, необходимую для получения спектральной оценки с приемлемым разрешением.

Различные формулы для ошибок оценок, приведенные в этой главе, содержат либо произведение 8乙，либо произведение 纥「，где Тг (вместо Г) — общая длина реализации, В — общая спектральная ширина процесса (по аналогии с ограниченным по частоте белым шумом с заданной дисперсией), а 纥——разрешение мо частоте при вычислении оценки спектра. Вместо использования произведения ВеТг оценки функций частоты можно характеризовать числом усреднений nd =约乙，что и сделано при описании методов вычисления в гл.11. Используя числовой параметр N = ВТ, для числа независимых оценок, можно переписать и другие формулы, приведенные в этой главе.

В табл. 8Л даны выражения для минимальной длины реализации Тг или минимального числа независимых усреднений N = ВТГ или nd = ВеТг9 необходимые для получения оценок с заданной ошибкой £, выраженные через другие параметры самого процесса или метода анализа. Предполагается, что ошибки смещения пренебрежимо малы, так что нормированная случайная ошибка совпадает с нормированной среднеквадратичной ошибкой, приводимой в табл. 8.1.

Задачи

Какая из указанных ниже оценок параметров содержит обычно как случайную, так и систематическую ошибку:

среднее значение;

средний квадрат;

плотность вероятности; г) кавариационная функция; д) функция спектральной ппотиости.

Среднее значение ограниченного по частоте белого шума x(Z) оценивается по реализации длиной Г. Пусть среднеквадратичное отклонение процесса x(f) есть % = 1, а среднеквадратичная ошибка оценки среднего значения 姉收］=0,1. Определите нормированную случайную ошибку оценок следующих параметров, получаемых по данной реализации:

средвий квадрат

среднеквадратичное значение

среднеквадратичное отклонение.

Пусть xQ) — реализация ограниченного по частоте гауссова белого шума, н пусть "* = 0,1, % = 0,2, В = 200 Гц, Т = 2 c. Вычислите нормированную среднеквадратичную ошибку для оценок:

среднего значения

среднего квадрата.

Оценка плотности вероятности гауссова процесса 双f) ищется при ширине коридора W = 0,25%. Определите нормированную ошибку смешения оценки р(х) в точке х = % + 2,5%•:

точным расчетом,

в первом приближении по формуле (8.77).

Оценка функции распределения (а не плотности вероятности) гауссова случайного процесса {*(£)} вычисляется путем усреднения по ансамблю, состоящему из N = 100 независимых реализаций. Определите нормированную случайную ошибку оценки 户(х) в точке х = д. Смещена ли эта оценка?

Рассмотрим две реализации длиной Т ограниченных по частоте белых шумов xQ) и yQ) с шириной полосы частот В:

х") = s(。+ "W) , у") = s(。+ и2(/).

Пусть s(f), 〃](f), 〃2(f)— попарно некоррелированные процессы с нулевыми средними и средними квадратами《=S,《【=М，鳩？ = М・ Определите:

нормированную среднеквадратичную ошибку оценок ковариационных функций 凡收)，^уу^ в точке 7 = 0;

нормированную среднеквадратичную ошибку оценки взаимной ковариационной функции 区灯⑺ в точке т = 0;

то же, что в пункте б), но при Nf > S и Л^ > S;

то же, что в пункте б), ио при N、= 0 и Л^ > S.

Для двух ограниченных по частоте белых шумов из задачи 8.6 определите приближенный 95 %-доверительный интервал для оценки запаздывания т, отвечающей максимальному значению оценки взаимной ковариационной функции К砂(т).

Пусть Х(/) = 1GxД/)/6^(/)俨,а 入叨一максимальное значение функции

Пусть N/) = I G^f)/ G^{f}\V1, а「一максимальное значение функции 入(/). Определите требования, предъявляемые к параметрам Ве и Т как функциям 入切 при условии, что нормированные систематическая и случайная ошибки опенки спектральной плотности не должны превышать 5%.

Рассмотрим оценку функции спектральной плотности, вычисляемую, как описано в разд. 8.5.4, путем финитного преобразования Фурье и последующего усреднения по ансамблю. Исходная реализация длиной Г = 60 с разделяется на 12 смежных отрезков. Найдите 95%-доверительный интервал для истинного значения 4(/) при 亀(/) = 0,3 (Условная единица)2/Гц. Какова нормированная случайная ошибка этой оценки?

Функция спектральной плотности случайного процесса имеет вид

-[1 一(〃100h2+[0,1"100]2 ■

Определите разрешение по частоте 纥 и общую длину реализации「, необходимые для получения выборочной оценки такого спектра, имеющей нормированную систематическую ошибку еь & 0,05 и нормированную случайную ошибку ег = 0,1.

Глава 9

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОШИБКИПРИ ОЦЕНИВАНИИ БОЛЕЕСЛОЖНЫХ ПАРАМЕТРОВ

В этой главе продолжается начатое в гл. 8 обсуждение ошибок, возникающих при анализе случайных процессов. Основное внимание уделено здесь функциям частоты, характеризующим зависимости между двумя стационарными (эргодическими) случайными процессами. К числу рассматриваемых здесь оценок сравнительно сложных параметров относятся оценки модуля и аргумента функций взаимной спектральной плотности, а также характеристики, возникающие при анализе систем с одним или многими входными и выходными процессами (гл. 6 и 7). В частности, получены формулы для статистических ошибок опенок следующих параметров:

частотная характеристика (амплитудная и фазовая);

функция когерентности;

когерентный спектр выходного процесса;

функция множествен ной когерентности;

функция частной когерентности.

Оценки взаимной спектральной плотности

Рассмотрим определенную формулой (5.66) функцию взаимной спектральной плотности, связывающую два стационарных (эргодических) гауссовых случайных процесса {х« )} и [у (f)}. Если реализации х (F) и у (Г) имеют неограниченную длину Г, то односторонний взаимный спектр задается в виде

2

Gxy{f) = Hm -E[X*(f,T)Y(f,T)].(9.1)

8 1

где X (/, T ) и У (/, Г ) — финитные преобразования Фурье последовательностей х"), У")：

х(/) = х(/, 7) = [х(г)е"л,

Y(f,T) = fJy(t)e-^dt.Y(f,T) = fJy(t)e-^dt.У(/) =

Y(f,T) = fJy(t)e-^dt.

Y(f,T) = fJy(t)e-^dt.

Таким образом, «несглаженная» (т. е. без усреднения) оценка взаимного спектра, получаемая по реализациям конечной длительности Г, есть

2

GxyU) = ^{^nnn\(9.3)

а ее разрешение по частоте имеет вид

£ = А/=(1").(9.4)

Это означает, что спектральные компоненты оцениваются только на дискретных частотах

fk = (к/Т), к = 0,1,2,... .(9.5)

Как указано в разд. 8.5.1, разрешение по частоте 纥=1/Г в формуле (9.4) определяет потенциальную ошибку смещения спектральной оценки. Однако в дальнейшем в этой главе будет предполагаться, что длина реализации Г достаточно велика, так что возможной ошибкой смещения можно пренебречь.

Как и в случае оценивания автоспектра (разд. 8.5.4), «несглаженная» оценка взаимного спектра обладает в большинстве реальных ситуаций неприемлемо большой случайной ошибкой. На практике эту случайную ошибку уменьшают путем вычисления ансамбля оценок по "^ различным (неперекрывающимся, несовместным) реализациям длиной Т каждая и последующим усреднением результатов. Это дает окончательную сглаженную оценку:

2 nd

сху(П- — ^тПЧП.(9.6)

/=1

Таким образом, минимальная общая длина реализации, необходимая для получения оценки взаимного спектра, есть Тг = 〃"• Оценки автоспектров Gxx (/ ), Gyy (/ ) получаются из выражения (9.6) при х(О = y(t).

Функции X(f) и У(/), входящие в формулу (9.6), можно записать через их действительные и мнимые части:

гдегдех(/)=芻(/)一/,(/),X夾(/)= fTx(t)cos2^ft dt,х(/)=芻(/)一/,(/),X夾(/)= fTx(t)cos2^ft dt,У(/)=厶(/)"%(/),%(/)= [Tx(t)sin2^rfidt,丿0У(/)=厶(/)"%(/),%(/)= [Tx(t)sin2^rfidt,丿0(9-7)(9-7)(9-8)(9-8)

где

где

х(/)=芻(/)一/,(/),

X夾(/)= fTx(t)cos2^ft dt,

х(/)=芻(/)一/,(/),

X夾(/)= fTx(t)cos2^ft dt,

У(/)=厶(/)"%(/),

%(/)= [Tx(t)sin2^rfidt,

丿0

У(/)=厶(/)"%(/),

%(/)= [Tx(t)sin2^rfidt,

丿0

(9-7)

(9-7)

(9-8)

(9-8)

厶⑺=(%⑺COS 2"力力,厶⑺=(%⑺COS 2"力力,Yr(f) = Jjy(t)sin24rftdt.Yr(f) = Jjy(t)sin24rftdt.(9.9)(9.9)

厶⑺=(%⑺COS 2"力力,

厶⑺=(%⑺COS 2"力力,

Yr(f) = Jjy(t)sin24rftdt.

Yr(f) = Jjy(t)sin24rftdt.

(9.9)

(9.9)

Если последовательности х (f) ^ у (t) распределены нормально и имеют нулевые средние значения, то функции, заданные формулами (9.8) и (9.9), также будут иметь нормальные распределения с нулевыми средними значениями. Опуская для упрощения обозначений индекс / и зависимость от частоты /, можно записать «несглаженные» оценки спектральной плотности (9.3) в виде

22

Gx = ^(х| + х?),爲=-(^ + 冶，(9.10)

% = Cxy-jQxy =位諸-風，(9.11)

где

22

Cxy = j(XRYR + X!Y!),0" = ^(XrL-X/%),(9.12)

位/=嗚 +园， tg %=%/&•(9J3)

Нетрудно убедиться, что для частот / = 厶,определяемых формулой (9.5), из соотношений (9.8) и (9.9) следует, что

E[XrX/ = £[ВД] = 0, E[xl] = E[x^] = (T/4)G„ ,

Е[4] = Е財]=(T/^Gyy , £[ад] = E[X,Yr] = (7/4)4，

£[ВД]= ~E[X,Yr] = {T/^Qxy .(9.14)

Поэтому Е[Сху] = Сху , E[Qxy] = Qxy и

E[GJ = Gxx, E[Gyy] = G^ ,(9-15)

E值J = E[Cxy] ~jE[Qxy] = Cxy-jQxy- Gxy .(9.16)

Согласно соотношению (3.72), мз предположения о гауссовости пля любых четырех случайных величин 〃 i，弓 〃3 и °4 следует, что

Е[а1а2а3а4] = Е[а1а2]Е[а3а4] + Е[а1а3]Е[а2аА] + Е[а1«4]Е[а2а3]#

(9.17)

Применяя эту формулу, находим, что

Е©」= /[(Х| + \)2] =

4

= ^E[£ + 2XfX| + ¥]=2GR(9.18)

Этот результат полууен с учетом равенств

Е阂]=3(E 因]『 = 3(7/4汴&

е[х/Х^] = Е 図]Е[Х|] = (Т/4*&(9.19)

Е[Х* =.3(Е 図])2 = 3(T/4)2g&

Действуя подобным образом, можно убедиться, что

(9.20)(9.20)Е®]=2%,

(9.20)

(9.20)

(9-21)(9.22)(9-21)(9.22)Е [程J = MGx*G» + 3Cl—e)

(9-21)

(9.22)

(9-21)

(9.22)

e[蹲卜 Xg,*G» + 3心一唱).

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ ОЦЕНОК

Получим теперь основные формулы для дисперсии оценок. По определению (8.3), дисперсия любой несмещенной (Е[А ] = Л ) «несглаженной» оценки параметра А есть

Уаг[Л] = Е[/2] -/2

Следовательно,

(9.23)

Var 危」=G& Var [伉J = G.,

(9.24)

Var[&] = XGx,G» + С/, -。"，

(9-25)

Var[0 J = H^A, + 2爲-喝).

(9.26)

Заметим,

что из формул (9.13), (9.21) и (9.22) следует, что

Е[彌」]=Е[сЦ + 矶送 J = Gxfiyy + |G」|2.

(9.27)

Поэтому

Var[|QJ] = Gxfiyy =号-'

(9.28)

где *,—

обычная когерентность, задаваемая уравнением

2 |Gj у» =•

(9.29)

В соответствии с формулой (4.9) дисперсия ошибки «сглаженных» оценок, полученных усреднением по п~ статистически независимым «несгла- женным» оценкам, уменьшится в nd раз:

Var向」=G/Jq , Var[。」=明/刃，(9.30)

Var[|G^|] = \Gxy^/ylynd .(9.31)

Согласно (8.9), нормированные среднеквадратичные ошибки (совпадающие в этой главе с нормированными случайными ошибками) имеют вид

(9.32)(9.32)

(9.32)

(9.32)

叔]=厶. (9-33)

Здесь 1 уху I есть квадратный корень из 備.Заметим, что для оценки модуля взаимного спектра I <5^1 ошибка изменяется обратно пропорционально \уху I и с приближением к единице стремится к 1 /V^J. Эти результаты и некоторые другие формулы, приведенные в этой главе, содержатся в работе [9.1].

В табл. 9.1 дана сводка основных формул, определяющих нормированные случайные ошибки оценок спектральных плотностей. Число усреднений 〃d означает число различных (неперекрывающихся) реализаций, которые, как предполагается, содержат статистически независимую информацию. Эти реализации можно получить, разбивая длинную реализацию стационарного эргодического процесса нак^ частей или повторяя эксперимент nd раз при одинаковых условиях. Ошибки оценок всех характеристик, кроме автоспектра, представляют собой функции частоты. При использовании этих формул для определения случайных ошибок реальных оценок неизвестные истинные значения характеристик, входящие в формулы, заменяются соответствующими оценками.

Таблица 9.1. Нормированные среднеквадратичные ошибки спектральных оценок"

Оценка

Нормированная среднеквадратичная ошибка £

《、（/）, «＞（/）

1

何

1 為（/）i

1

|h,(/)|何

&（/）

[g,”)％(/) + Gj”) - Qly(f)[/2

如.（/）

&(/)%(/) + %(/) - <^,,(/)]1/2

以>‘(/)阿J

D Заметим, что эти формулы не пригодны в случае некоррелированных последовательностей %(/) и y(f). Для дисперсий оценок Cxy(f) и Qx (f) справедливы соотношения Var [ (?(/)] с G»(/)G»(/)/% Var [ & } W G»(/)冬(/)/苗 (см. также [9.2] и Бендат Дж. и Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ. ■— М.: Мир, 1974. ■— 464 с,). Это же замечание относится и к оценкам функции когерентности и частотной характеристики. — Прим, перев.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОВАРИАЦИЙ ОЦЕНОК

Получим теперь некоторые основные формулы для ковариаций оценок. По определению (3.33), ковариация двух несмещенных (£ [ Л] = Л и £ [ В] = В) «несглаженных» оценок параметров А и В есть

Cov(4, В) = Е[(А/)(А5)] = Е[(А 一 А)(В - 5)] =

=Е[АВ} - АВ.(9.34)

Приращения Л и В равны △▲ = А — А, ДВ = В — В. Оценки А и В называются некоррелированными, если Cov (А,百)=0. Применяя формулу (9.17), получаем

4

Е[&0»]=而E[(Xr4 + ад)(ад-вд)] = 2CxyQxy. (9.35)

Следовательно, согласно (9.34), на каждой частоте

Cov(Cxy,Qxy)-CxyQxy.(9-36)

Подобным же образом нетрудно убедиться, что

Cov(6*x，С ) = Gx*C Cov(Gxx, 0 ) = GXXQ , (9.37)

Cov(4,,弓)=G, J , Cov(G,, & J = G»Q» .

Кроме того,

4

E[&£J =戸E[(藍 + X；)(聆 + 斤)]=G.G» + |G»|2. (9.38)

Следовательно,

Cov(&x，%) = |G j = 丫/此夕抄.(9.39)

Докажем теперь следующие формулы для ковариаций:

Cov ⑥ х&) = 0,Cov(4,&) = 0,(9.40)

Cov(|%|,&) = 0.(9.41)

Иными словами, оценка % некоррелирована с .G江 G и I Gxy I на любой частоте /. Для доказательства формул (9.40) заметим, что tg % = Qxy/Cxy. Аппроксимируя производные обеих частей этого равенства конечными разностями, получаем

sec?% А% =

% А。》-О» А%

где

sec 4y —♦

^

Таким образом,

=GM» - 匹，.(9.42)

Положив〜

А% = & - % ,厶以尸恥-。吋，AQ, = M - G> и пользуясь формулой (9.37), получим, что

Cov(M，&) = E[(AGx』A%)卜

。蒜 Cov®,彌)-像iCov®, &) = 0.

Очевидно и величина Cov (G^,吼)=0. Формула (9.40) доказана.

Для доказательства соотношения (9.41) заметим, что

I 弓吋 I2 = С 々у + Q^・ Аппроксимация производных конечными разностями дает

\Gxy\^\Gxy\^ CxyLCxy + QKyLQxy.

Таким образом,Таким образом,A|Gx,| =A|Gx,| =% А% + 以у AZ,.i^i% А% + 以у AZ,.i^i(9.43)(9.43)

Таким образом,

Таким образом,

A|Gx,| =

A|Gx,| =

% А% + 以у AZ,.i^i

% А% + 以у AZ,.i^i

(9.43)

(9.43)

Из формул (9.42) и (9.43) следует, что

Cov(图 |,&) = E[(A|G»|)(A%)卜

之磊E[(4 А% + Qxv A0G( % LQXV - eAV AQ J卜

=3 {(C：y 一 Q；)Cov(《「0,,,) +

+ 4Q»(Var©J - Var[Cxv])) = 0.

Соотношение (9.41) доказано.

Пользуясь равенством (9.43), можно получить также следующие формулы для ковариаций:

Cov(索，|&J)= E[(AGxx)(C|G")卜 G/J ,

(9.44)

Cov(“ 应,|) = E[(AG“)(A|GJ)卜 G,JG",

Cov(C^, \Gxy\) = E[(ACj(A|Gx加Cov(C^, \Gxy\) = E[(ACj(A|Gx加-GJG、g + Y以)-GJG、g + Y以)2Y$2Y$Cov©，,|%|) = E[(AQ»)(A|G»|)]Cov©，,|%|) = E[(AQ»)(A|G»|)](9-45)GJG「(1 + Y切(9-45)GJG「(1 + Y切Формула (9.43) позволяет получить следующий приближенный результат для дисперсии Var [I Gxy\ ] оценки %:Формула (9.43) позволяет получить следующий приближенный результат для дисперсии Var [I Gxy\ ] оценки %:Var 暇 J]== e[(A|Gx,iHVar 暇 J]== e[(A|Gx,iH〜 1〜 1E[(CxyhCxy + Qxy£,Qxy)2]E[(CxyhCxy + Qxy£,Qxy)2]11{% Var(&)+ 2Q,2,Cov(以,2,) + 僚' Var(2“)}“{% Var(&)+ 2Q,2,Cov(以,2,) + 僚' Var(2“)}“Gxfiyy +Gxfiyy +JGj(l + 丫？JGj(l + 丫？2%2%(9-46)(9-46)

Cov(C^, \Gxy\) = E[(ACj(A|Gx加

Cov(C^, \Gxy\) = E[(ACj(A|Gx加

-GJG、g + Y以)

-GJG、g + Y以)

2Y$

2Y$

Cov©，,|%|) = E[(AQ»)(A|G»|)]

Cov©，,|%|) = E[(AQ»)(A|G»|)]

(9-45)

GJG「(1 + Y切

(9-45)

GJG「(1 + Y切

Формула (9.43) позволяет получить следующий приближенный результат для дисперсии Var [I Gxy\ ] оценки %:

Формула (9.43) позволяет получить следующий приближенный результат для дисперсии Var [I Gxy\ ] оценки %:

Var 暇 J]=

= e[(A|Gx,iH

Var 暇 J]=

= e[(A|Gx,iH

〜 1

〜 1

E[(CxyhCxy + Qxy£,Qxy)2]

E[(CxyhCxy + Qxy£,Qxy)2]

1

1

{% Var(&)+ 2Q,2,Cov(以,2,) + 僚' Var(2“)}“

{% Var(&)+ 2Q,2,Cov(以,2,) + 僚' Var(2“)}“

Gxfiyy +

Gxfiyy +

JGj(l + 丫？

JGj(l + 丫？

2%

2%

(9-46)

(9-46)

Эта приближенная формула, полученная в работе (9.2) путем аппроксимации производной конечной разностью, уступает более точной формуле (9.28), полученной прямым путем:

Var[|%|]=制•(9.47)

Посколькуху

11 + у2

У2

厶 1Ху

при всех 田 < 1, дисперсия, задаваемая формулой (9.47), всегда превышает дисперсию, определяемую по формуле (9.46).

Рассмотрим функцию когерентности

|G I2

a二码.(948)

После логарифмирования имеем

log Y$ = 2 logical - log Gxx - log Gyy, а конечно-разностная аппроксимация производных дает приближенное равенство

где

A 倡 2A|GJ|G,,|

AY嘉=曾y - Y；y ,

AGx” = lx — Gxx )

Таким образом,

/ AG» , G*x Gyy

A|G»| = |GX>.| -|GJ,

△G» = &厂 Gyy.

2A|G"狙久 AG»

|Gx,| Gxx Gyy

(9.49)

С учетом соотношений (9.40) и (9.41) отсюда сразу следует, что

Cov(^,^) = 0.

Таблица 9.2. Формулы для ковариаций различных оценок

(9.50)

Соу(&,, 2,)= G®

Cov@, Qr) = GXXCXV

Cov(Gx，2,,) = GXXQKV

Cov&, G,,) = IQ/ =匕,G**G,,

Cov(0 心)=0

Cov(位』,^J = 0

Cov(片,/,) = 0

Cov(Gvv, |GVV|) = GJG、J

= G」G、rl(l + 片.)

CoV(G「, IGrJ) -2y2

Cov(0x,,位,I) =〈'〃'〈；+匕)

ОЦЕНКИ ФАЗОВОГО УГЛА

Формула для дисперсии «несглаженной» оценки 麻(выраженной в радианах) может быть получена из равенства (9.42) следующим образом:

VarRJ = е[(А%)[ = -l^E^Cx^Qxy- Qxy/iCxy)2] =

=苏{片 Var®) - 2C»Qjov(&, ",) + Q?, Var(Q)} =

|G»|" 2 G"|G»|" 2 G"1 - уД. 一2y?,1 - уД. 一2y?,(9.51)(9.51)

|G»|" 2 G"

|G»|" 2 G"

1 - уД. 一2y?,

1 - уД. 一2y?,

(9.51)

(9.51)

Для «сглаженной» оценки, полученной усреднением по"^ величинам, среднеквадратичная ошибка равна

WdMyl 仞W

Эта формула задает среднеквадратичное отклонение оценки 纵 фазового угла. Нормирован ной случайной ошибкой в этом случае пользоваться не следует, поскольку величина % может быть равна нулю. Как и ошибка оценки абсолютного значения взаимного спектра, заданная формулой (9.33), ошибка оценки его фазы (9.52) зависит от частоты. Заметим, что при любом nd > 1 величина с. к. о.电J стремится к нулю при 吟一1.

ПРИМЕР 9.1. СЛУЧАЙНЫЕ ОШИБКИ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ. Рассмотрим пару реализаций х (f), у Q ), представляющих гауссовы стационарные случайные процессы с нулевыми средними значениями. Пусть значение функции когерентности между этими процессами на некоторой частоте 7^ = 0,25. Определим нормированную случайную ошибку оценки абсолютного значения и с. к. о. оценки фазы взаимного спектра, полученной при nd = 100.

Согласно формуле (9.33), нормированная случайная ошибка опенки модуля взаимной спектральной плотности есть

1

ё値/=ё値/=丁/— = 0,20 .

ё値/=

ё値/=

0,5/100，

автоспектра, заданной формулой (9.32). Среднеквадратичное отклонение оценки фазового угла определяется по формуле (9.52):

(О 75)1"

скс[&1 = ?б^ж=°'12 рад-

9.2. Оценки для моделей с одним входом и одним выходом

Рассмотрим показанную на рис. 9.1 модель системы с одним процессом на входе и одним процессом на выходе. Здесь

Х(」) 一преобразование Фурье измеренного входного сигнала х( Z), который, как предполагается, не содержит помехи;

Y ( /) — преобразование Фурье измеренного на выходе сигнала у( О = Ю + 〃( г);

К ( / ) — преобразование Фурье расчетного выходного сигнала ь( Е)；

N ( / ) — преобразование Фурье расчетного шума на выходе л( Z);

Нху (/)— частотная характеристика оптимальной линейной системы с постоянными параметрами, связывающей у( t) с х( Е).

Пусть для анализа имеется лишь одна пара реализаций х(Е) и у (/), с достаточной полнотой описывающая свойства соответствующих гауссовых случайных процессов с нулевыми средними значениями. Эти процессы могут быть как стационарными, так и переходными. Для определенности будем считать их стационарными, а результаты выразим через односторонние спектры. Формулы для нормированных случайных ошибок одинаковы для односторонних и двусторонних спектров.

Искомые оценки параметров модели, представленной на рис. 9.1, определяются, согласно разд. 6.1.4, приводимыми ниже формулами. Оценка оптимальной частотной характеристики есть

瓦")=綜'(9-53)

Рис. 9.1. Модель системы с одним входом и одним выходом.

где Gxx (/ ) и Gxy (/)——«сглаженные» оценки функций спектральной плотности входного процесса и взаимной спектральной плотности входного и выходного процессов соответственно. Оценка функции обычной когерентности имеет вид

— ■(/)«"(9'54)

где Gyy(f)— «сглаженная» оценка спектра процесса на выходе системы. Оценка когерентного спектра выходного процесса Gvv (/) есть

—=I瓦＞(/)&(/) = ^yU)Gyy(f) ,(9.55)

а оценка спектра шума на выходе имеет вид

。” (/)=『-%“)］爺(/)•(9.56)

Из формулы (6.61) следует также, что

亂(/)=储(/)+ %(/),(9.57)

поскольку при расчете 7/^(/) по соотношению (9.53) и при некоррелированных процессах х( Z) и 〃( Е) взаимный спектр Gvn(f) = 0.

При записи в полярных координатах частотная характеристика имеет вид

瓦式/) = 1 瓦y(/)|e~J% ⑺(9.58)

где оценка амплитудной характеристики системы равна

也⑺户争偿(9-59)

а оценка фазовой характеристики системы представлена в форме

痴…続］"6。)

Функция 麻(/) совпадает с фазовым углом %(/) взаимного спектра, а также с фазой, которая в дальнейшем будет отвечать комплексной функции ^ (/), определенной в полярных координатах в виде

幻")=1£”)|е"%6 = + 闵(/) е"&，(？(9.61)

Заметим, что все приведенные здесь «сглаженные» оценки можно вычислить по «сглаженным» оценкам функций Gxx(/), Gyy(/) и Gxy(f).

Формулы для случайных ошибок оценок всех этих характеристик будут содержать неизвестную истинную функцию когерентности 谓(/) и число независимых опенок 〃., по которым производится усреднение. Для их при-

менения к реальным данным нужно заменить 7^,(/) ее оценкой 7^,(/) при соответствующем значении числа независимых слагаемых 〃』.

Это даст практически приемлемые результаты, особенно в случаях, когда полученная таким путем нормированная случайная ошибка не превышает 20 %.

СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНОК ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Оценки частотной характеристики и функции когерентности обычно содержат систематическую ошибку, источником которой могут быть указанные ниже факторы:

Смещение, свойственное методу оценивания;

Смещение, связанное с запаздыванием при распространении входного

процесса в системе.

Нелинейность системы и (или) зависимость ее параметров от вре

мени.

Смещение оценок спектральной и взаимной спектральной плотностей.

Измерительные шумы на входе (присутствие некоррелированного шума на выходе не создает смещения оценок).

Наличие других входных процессов, коррелированных с измеряемым (наличие других некоррелированных с данным входных процессов не со

здает смещения, поскольку по отношению к измеряемому входу их можно

рассматривать как дополнительный некоррелированный шум на выходе). Первый источник смещения обязан своим существованием тому факту.

(9.62)(9.62)[ад；] e传:同战[ад；] e传:同战что, вообще говоря,

(9.62)

(9.62)

[ад；] e传:同战

[ад；] e传:同战

他]

Е闾

Следовательно, Е[Нху] / Н^ £[7^] Н 丁泰 Эти ошибки смещения обычно малы сравнительно с другими типами ошибок, возникающими при практическом анализе, и в этих случаях, когда сочетание величин % и Уху таково, что соответствующая нормированная случайная ошибка мала, ими можно пренебречь. При 〃』一 8 или 位 一1 эти систематические ошибки стремятся к нулю.

Второй источник ошибки смещения связан с тем, что при измерении х(/) ну(Е) в одной системе отсчета времени необходимо вводить поправку на запаздывание 丁】при преобраз овании системой процесса x(f) в，(1); это нужно делать в случаях, когда задержку 丁】нельзя считать пренебрежимо малой по сравнению с длиной реализации Т. Пусть

х") = х(г),0 < Г < Т ；х") = х(г),0 < Г < Т ；У（Г）=У（Г）=Произвольная функция, 0 < t < ^ ； x(r - Т1), тг < Г < Т.Произвольная функция, 0 < t < ^ ； x(r - Т1), тг < Г < Т.(9.63)(9.63)

х") = х(г),0 < Г < Т ；

х") = х(г),0 < Г < Т ；

У（Г）=

У（Г）=

Произвольная функция, 0 < t < ^ ； x(r - Т1), тг < Г < Т.

Произвольная функция, 0 < t < ^ ； x(r - Т1), тг < Г < Т.

(9.63)

(9.63)

В этом случае оценку Йху (г) взаимной ковариационной функции можно записать в первом приближении в виде

余ху(т) =(I-引&у(т), (9.64) откуда видно, чтоЕ [^ (т)]工 Rxy (т) и, таким образом,戶吋⑺一смещенная оценка. Следовательно,

%(/) = (1 一 ]"■/),

瓦 ”)= (1-"%(/)， (9.65) 片＞(/) = (1 - у) Ух//)-

Поэтому оценки Gxy (/ ), Hxy(f) и 制(/) также смешены. Для того чтобы избавиться от возможной ошибки смещения, сигнал y(t) следует сдвинуть по времени на Т)так, чтобы сдвиг по времени между ними стал равным нулю. Запаздывание 7〕можно оценить либо из физических соображений, зная скорость распространения сигнала в системе, либо оценивая функцию Rxy (т) и локализуя ее первый экстремум [9.3] °.

Третья причина, вызывающая ошибку смещения, это нарушение основных допущений о линейности системы и независимости ее параметров от времени. Даже в тех случаях, когда предположение о постоянстве параметров в достаточной степени оправданно, свойство линейности зачастую оказывается нарушенным, если диапазон изменений процессов достаточно широк. Следует, однако, отметить, что применение формул (9.53) к нелинейным системам даст при заданных условиях на входе и выходе системы наилучшее (в смысле метода наименьших квадратов) линейное приближение для частотной характеристики системы. Это обстоятельство составляет важное преимущество прямого способа оценивания частотной характеристики по реальным данным, а не по результатам лабораторных экспериментов или искусственным данным, которые не способны воспроизвести действительные условия на входе реальной системы.

Четвертый источник ошибок смещения связан со смещенностью оценок спектральной плотности. Как показано в разд. 8.5.1, эта ошибка может быть довольно значительной на частотах максимумов спектральной плотности. Ошибку этого рода можно уменьшить, правильно подбирая разрешающую способность оценок спектра и взаимного спектра, т. е. принимая Ве достаточно малым, так чтобы правильно локализовать спектральные максимумы. Количественная формула приведена в примере 8.5 для спектральных оценок, описывающих резонирующую систему.

D Точнее, не первый, а главный экстремум (см. также: Неппап Е., Tompson Р., Estimating group delay, Biometrika, 60, 2, 241—253 (1973)). — Прим, nepee.

Измерительный шум т (Z), наблюдающийся на входе системы, но не проходящий через нее, представляет собой пятый источник ошибок смещения. Если истинный процесс на входе есть 〃«), то спектр измеренного входного процесса имеет вид Gxx = 6〃〃 + Gmm. Равенства (9.53) и (9.54) принимают теперь вил

彌У“(飢 + Gmm)Gyy彌У“(飢 + Gmm)Gyy(9.66)(9.66)

彌У

“(飢 + Gmm)Gyy

彌У

“(飢 + Gmm)Gyy

(9.66)

(9.66)

(зависимость от частоты опущена для сокращения записи). При отсутствии прочих ошибок смешения имеем Е ［G^ J = Guy и

(9.67)(9.67)E圈］E圈］G+ GmmG+ Gmm(9.68)(9.68)

(9.67)

(9.67)

E圈］

E圈］

G+ Gmm

G+ Gmm

(9.68)

(9.68)

Поскольку Gmn > 0, все эти математические ожидания будут занижены сравнительно с истинными значениями, т. е. оценки имеют отрицательное смещение. Нормированная ошибка смещения (8.96) принимает в этом случае вид

〃［瓦J ="片j = -「穿 • (9.69)

Например, при Gww = 0,1 G〃〃 отрицательное смешение получаемых оценок составит 0,1/1,1 = 9 %.

Шестой источник систематической ошибки, указанный выше, связан с присутствием других входных процессов, коррелированных с измеряемым входом. Появление этой ошибки легко видеть, добавляя в разд. 7.2 еще один входной процесс, коррелированной с первым входом. В частности, можно показать, что при аккуратном решении этой задачи частотная характеристика Н j (/ ) будет определяться формулой (7.23). С другой стороны, если считать, что система имеет по одному процессу на входе и выходе, то опенку Н^(f ) следует искать с помощью формулы (9.53). Ее математическое ожидание не совпадает с истинным значением Ht (/ ), т. е. оценка смещена. Далее, оценку функции когерентности между 玉 и выходным процессом у при наличии коррелированного сх〕входа х2 следует искать в виде (7.34). Если же считать, что на входе присутствует только х】, то оценка 唸(/ ) определяется формулой (9.54). Математическое ожидание этой оценки также не дает верного результата.

Рассмотренные здесь ошибки смещения появляются и в более общем случае систем со многими входными и выходными процессами, и их оценивание требует более сложных формул.

ОЦЕНКИ КОГЕРЕНТНОГО СПЕКТРА ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА

Считая оценки Gvv и Gnn статистически независимыми, из соотношения (9.57) можно получить, что

Var[%] = Var [©J + Var[G„„],(9.70)

где зависимость от частоты / опушена для упрощения обозначений. Согласно соотношению (9.30), дисперсии оценок равны

(9.71)(9.71)имеемимеемг 2

(9.71)

(9.71)

имеем

имеем

Var[«J = — > Var[G„„] = — •

ndnd

Отсюда после подстановки 6界〃 =(1 - >己)6抄 и GVv =埼 Gyy

Var&]=名也=与衿” ddVar&]=名也=与衿” dd(9.72)(9.72)

Var&]=名也=与衿

” dd

Var&]=名也=与衿

” dd

(9.72)

(9.72)

Окончательно нормированная случайная ошибка равна

Конечно-разностная аппроксимация при этом выводе не используется. Заметим, что £(&』=£[6抄1 = 1/而7 при 嗚一1. Кроме того,

MGJ > 4^] •(9.74)

Г рафик зависимости ошибки (9.73) от 補у при nd = 100 представлен на рис. 9.2. На рис. 9.3 ошибка (9.73) дана для различных значений nd и 抬.В табл. 9.3 приведены соответствующие формуле (9.73) соотношения между 7^, и л^, необходимые для получения ошибки £[(5^] = 0,1.

ПРИМЕР 9,2. СИСТЕМА ТИЧЕСКАЯ И СЛУЧАЙНАЯ ОШИБКИ ОЦЕНКИ КОГЕРЕНТНОГО СПЕКТРА ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА. Рассмотрим случай, когда несколько независимых источников акустического шума в воздухе создают в приемнике акустического давления сигнал у(£). Когерентный спектр выхода оценивается на основе измеренного входа х (Z), представляющего собой источник, удаленный от приемного устройства на 10 м. Пусть число усреднений nd = 400, а длина участков, на которые разбивается запись, есть Т = 0,1 с (Ве = 10 Гц). Предположим также, что x(Z) и у (I) регистрируются и анализируются одновременно, т. е. предполагается, что запаздывание отсутствует. Считая, что истинные значения функции когерентности и спектра выходного процесса суть 7m = 0,4 и Gyy = 10, найдем основную систематическую и случайную ошибки оценки когерентного спектра выходного процесса.

£446】3 Bvssmo Еенпе^нз ZEHHeHodHW&H£446】3 Bvssmo Еенпе^нз ZEHHeHodHW&H0,20,40,60,81,0Функция когерентности 皆⑺0,20,40,60,81,0Функция когерентности 皆⑺ОО

£446】3 Bvssmo Еенпе^нз ZEHHeHodHW&H

£446】3 Bvssmo Еенпе^нз ZEHHeHodHW&H

0,20,40,60,81,0

Функция когерентности 皆⑺

0,20,40,60,81,0

Функция когерентности 皆⑺

О

О

Рис. 9.2. Нормированная случайная ошибка оценок когерентного спектра выходного процесса при w. = 100.

Рис. 9.3. Нормированная случайная ошибка оценки когерентного спектра выходного процесса как функция числа усреднений.Рис. 9.3. Нормированная случайная ошибка оценки когерентного спектра выходного процесса как функция числа усреднений.

Рис. 9.3. Нормированная случайная ошибка оценки когерентного спектра выходного процесса как функция числа усреднений.

Рис. 9.3. Нормированная случайная ошибка оценки когерентного спектра выходного процесса как функция числа усреднений.

Таблица 9.3.

Условия, необходимые для достижения ошибки £[6。。] = 0,1

偽。，3

0,40,50,60,70,80,91,0

〃"567

400300234186156123100

Обращаясь вначале к систематической ошибке, заметим, что время 丁卜 необходимое для распространения акустического шума в воздухе на расстояние 10 м (при скорости звука с 笈 330 м/с), составляет около 0,03 с. Согласно (9.65), оценка когерентности будет смешена и составит в среднем

,/0,03\2

М> = (1 - ~6т](°')= 0,2，

что отличается от правильного значения)爲=0,4; средняя оценка когерентного спектра выхода Gvv = 0,2ТО = 2 при истинном значении Gvv = 4. В рассмотренном случае ошибка смещения, связанная с запаздыванием, приходит к занижению когерентного спектра выходного процесса на 50 %.

Обращаясь теперь к случайной ошибке, заметим, что ее величина определяется в первую очередь систематической ошибкой оценки когерентности. Из соотношения (9.73) следует, что нормированная случайная ошибка оценки когерентности спектра выходного процесса на интересующей нас частоте есть

[2 - 0,2]1/2

4G" = (0,45)(20) = 0,15 '

ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ

Приближенная формула для систематической ошибки оценки функции когерентности получена в работе [9.4]. Она имеет вид

M%J *(1 т『M%J *(1 т『（9.75）（9.75）

M%J *(1 т『

M%J *(1 т『

（9.75）

（9.75）

Например, при часто встречающемся в практике случае nd = 100 имеем, что при всех значениях смешение равно

"%>] < 0,01.

Ошибка смещения стремится к нулю при “^ — 8 или 7^ — 1. Вывод формулы для случайной ошибки начнем с равенства

а”а”(9.76)(9.76)

а”

а”

(9.76)

(9.76)

Строя конечные разности для обеих частей этой формулы, получаем

AGLG、jGyX・(9.77)

где

^Gvl=Gvv-Gvv, LGyy = Gyy - Gw,, △* = %「*‘(9.78) и имеются в виду «сглаженные» оценки. Для несмешенных оценок имеем, по определению,

VarGJ = Е^,^,], Var[%] = E[AG»2G,J,

Г 1 г1(9.79)

Var[%J = Е[Ау/>А*,].

Кроме того,

Cov(G“,, 6») = Е [AG,“, AG»] = Var[G(,J,(9.80)

поскольку

AG抄=△%, + AG““,矶A%, AG””] = 0.

Решая уравнение (9.77) относительно GyyAy^y9 находим

Gyy A域产 AG。。一 喘? AG»,.

Возводя обе части в квадрат и находя математические ожидания, получаем

G/ar陷]=Var[G(,J - 2y^Cov(Gvl„ Gvy) + —*,]

Подставляя сюда формулы (9.71), (9.72) и (9.80), имеем

Var[治]=生?(: "J •(9.81)

Окончательно имеем

■】*官.-)

При малом £ формула (9.82) дает тот же результат, что и соответствующая формула в работе [9.4]. Заметим, что £[7^,] стремится к нулю при ".—8 или 嗚—1. Если значение 礎 близко к единице, то при любом nd > 1 оценки функции когерентности могут оказаться более точными, чем используемые для их расчета оценки спектра и взаимного спектра. Ограничение /?. > 1 очевидно, поскольку при 〃. = 1 значения 珞=1 на всех частотах, т. е. соответствующие этому случаю оценки когерентности бессмысленны.

График зависимости ошибки (9.82) от 届у при". = 100 представлена на рис. 9.4. На рис. 9.5 ошибка (9.82) дана для различных значенийnd н J. В табл. 9.4 приведены соответствующие формуле (9.82) соотношения между 〃.и 噂,необходимые для получения ошибки £ [制]=0,1.

ПРИМЕР 9.3. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ. Пусть оценка функции когерентности случайных сигна-

0,2 ОД 0,60,81,0Функция когерентности 产⑺0,2 ОД 0,60,81,0Функция когерентности 产⑺Рис. 9.4. Нормированная случайная ошибка оценок функции когерентности при 勿=100.Рис. 9.4. Нормированная случайная ошибка оценок функции когерентности при 勿=100.0,40,4〔<7)践匕3 BMgMmoKeHHBhAS KEHHegcdlAwdoH〔<7)践匕3 BMgMmoKeHHBhAS KEHHegcdlAwdoH

0,2 ОД 0,60,81,0

Функция когерентности 产⑺

0,2 ОД 0,60,81,0

Функция когерентности 产⑺

Рис. 9.4. Нормированная случайная ошибка оценок функции когерентности при 勿=100.

Рис. 9.4. Нормированная случайная ошибка оценок функции когерентности при 勿=100.

0,4

0,4

〔<7)践匕3 BMgMmoKeHHBhAS KEHHegcdlAwdoH

〔<7)践匕3 BMgMmoKeHHBhAS KEHHegcdlAwdoH

лов х( Е) и у( Е) ищется при п^ = 100. Требуется найти приближенный 95 %-интервал для истинной когерентности 唾 при условии, что ее оценка на соответствующей частоте 蘇=0,5.

Приближенное значение нормированной случайной ошибки для оценки функции когерентности находится из соотношения (9.82) при подстановке в него оценки 编 вместо неизвестного истинного значения /• В рассматриваемом случае получаем

［修頁 (0,71)Л00 ，•

Поэтому в соответствии с формулой (8.14) приближенный 95 %-доверительный интервал для истинного значения когерентности на данной частоте есть

［о,4 < *у < 0,б］.

Таблица 9.4. Условия, необходимые для достижения ошибки £［札］=0,1

Рис. 9.5. Нормированная случайная ошибка оиеиок функции когерентности как функция числа усреднений.

ОЦЕНКИ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Поскольку мы уже знаем, как находить случайные ошибки для оценок параметров Gxx и G^, построение формул для случайной ошибки оценок амплитудной характеристики можно начать с соотношения

Gvv=\Hxy\^Gxx.(9.83)

Вычисляя конечные разности для обеих частей этого 'равенства, имеем

△G。。= |乩』AG*x + Gxx Al»"'(9-84)

Величины △ Gxx и △ Gvv заданы формулами (9.78), а

А%|2 = |-』— |%『

Считая оценки несмещенными, имеем

Var[| 瓦丿 2]=е[а®』А|%|2]

Кроме того, поскольку I Gxv I2 = GxxGvvi согласно формуле (9.39) находим

Cov(%,Gj =典《х 迅/ = ^^ .(9.85)

Решая уравнение (9.84) относительно О^Д I Нху I2, получаем

GxxAiajnAG^-IHjAGxx .

Математическое ожидание квадрата обеих частей последнего равенства имеет вид

Var[|瓦』卜 Varf^J - 2\Hxy\2Cov(Gxx,心)+ |%叫偃」,

и подстановка дает

Va巾瓦』卜史二.(9.86)

Yx/d

Для любой оценки Л имеем в первом приближении △/?= 2Л Д Л , гдела

LA = А - А ^А4?=力2 -力2 ,

E{LA\ - О, £[ДЛ2] = 0.

Нетрудно заметить, что

(A/)2 = 442"4)2,

Е[“а42]=《/Ed△川，

что эквивалентно ураинению

Var]》]=4〃Var[/]・(9.87)

Поделив обе его части на / '，получаем

Var[/2]4Var[/] 人

炉⑷=丁= 4e2⑷，

следовательно,

е【/2] = 2е【/].(9.88)

Этот полезный результат позволяет сопоставлять случайные ошибки оценок среднего квадрата и среднеквадратичного значения, что было показано ранее уравнением (8.10).

Имея в виду соотношение (9.87), получаем из выражения (9.86)

Окончательно

蜘瓦тy貢

d®l]

С.К.О.0 瓦 J] = (1 — y/ J/2

1%11%西^

(9.89)

(9.90)

О0,20,40,60,81,0

Функция когерентности y2ff；

Рис. 9.6. Нормированная случайная ошибка оценок амплитудной характеристики при % = 100.

Заметим, что этот результат оказывается таким же, как и в формуле (9.52). Видно, что при 塚—1 ошибка е[ I Нху I ] стремится к нулю независимо от ndi а с ростом wj она стремится к нулю независимо от 抬".Эти результаты в принципе согласуются с полученными в работе [9.5] более сложными формулами, в которых ошибки оценок связаны с параметрами F -распределения.

Г рафик зависимости ошибки (9.30) от 7m при Wj = 100 представлен на рис. 9.6. На рис. 9.7 ошибка (9.30) дана для различных значений nd и у^у.

Таблица 9.5. Условия, необходимые для достижения ошибки f[l Нху I ] = 0,1

В табл. 9.5 приведены соответствующие уравнению (9.30) соотношения между 禮 и nd, необходимые для получения ошибки £(| Нху I ] = 0,1.

° Следует помнить, что эта и подобные ей формулы — приближенные, и ими вряд ли можно пользоваться при)丫卩—0. — Прим, перев.

Оценки 爆(/) фазовой характеристики, заданные формулой (9.60), совпадают с оценками фазового угла 麻(/), среднеквадратичное отклонение которых находится из равенства (9.52). Поэтому

Сопоставление сСопоставление сс.к.о. [4J =с.к.о. [4J =--MJi^7MJi^7(9.91)(9.91)формулой (9.30) показывает, чтоформулой (9.30) показывает, чтос.к.о.с.к.о.同1同1"叫JL"叫JL(9.92)(9.92)

Сопоставление с

Сопоставление с

с.к.о. [4J =

с.к.о. [4J =

-

-

MJi^7

MJi^7

(9.91)

(9.91)

формулой (9.30) показывает, что

формулой (9.30) показывает, что

с.к.о.

с.к.о.

同1

同1

"叫JL

"叫JL

(9.92)

(9.92)

Иными словами, среднеквадратичное отклонение оценки фазовой характеристики 6ху (/), измеряемой в радианах, оказывается примерно таким же, как и нормированная случайная ошибка оценки амплитудной характеристики I Нху I. Как показано в работе [9.6], это утверждение можно считать приемлемым во всех случаях, когда ошибка с[1 Нху I ] мала, скажем £《0,2. Поэтому можно считать, что на рис. 9.6 представлена зависимость, связывающая выраженное в радианах среднеквадратичное отклонение с. к. о」％] с функцией 俏 приnd = 100, а табл. 9.5 содержит примеры соотношений между 脸 и nd, которые должны быть выполнены для получения с. к. о.[%] = 0,1 рад.

0,100,050,020"0120 ^^^^^ е-ишо ве 工江 BHAU。artxxrtmo^x2^ox0,100,050,020"0120 ^^^^^ е-ишо ве 工江 BHAU。artxxrtmo^x2^ox0200205050ООООо20о2000100010200200ООО 00 500ООО 00 500

0,100,050,020"0120 ^^^^^ е-ишо ве 工江 BHAU。artxxrtmo^x2^ox

0,100,050,020"0120 ^^^^^ е-ишо ве 工江 BHAU。artxxrtmo^x2^ox

020

020

50

50

ОО

ОО

о20

о20

00

10

00

10

200

200

ООО 00 500

ООО 00 500

Рис. 9.7. Нормированная случайная ошибка оценок амплитудной характеристики как функция числа усреднений.

ПРИМЕР 94 СЛУЧАЙНАЯ ОШИБКА ОЦЕНКИ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ. Пусть оценка частотной характеристики системы, связывающей сигналы х(£) и у(£), ищется при nd = 50, а значения функции когерентности на двух интересующих нас частотах суть 7^, (/j) = 0,1 и 嗚(『2)= 0,9. Требуется определить случайные ошибки оценок амплитудной и фазовой характеристики на этих частотах.

Согласно формуле (9.90), нормированные случайные ошибки оценок амплитудной характеристики на частотах /( и /2 равны

d…:喘篤…，

М隔⑴心*需二。吵

Как следует из выражения (9.91), эти равенства дают также приближенные значения среднеквадратичного отклонения (не нормированного) для оценки фазовой характеристики:

с к.о.[鎊(/1)]CKO.[电(В)]Как видно, оценка, получаемая прис к.о.[鎊(/1)]CKO.[电(В)]Как видно, оценка, получаемая прирад = 17°,рад = 169°,когерентности 晶(/2) = 0,9, почти врад = 17°,рад = 169°,когерентности 晶(/2) = 0,9, почти в

с к.о.[鎊(/1)]

CKO.[电(В)]

Как видно, оценка, получаемая при

с к.о.[鎊(/1)]

CKO.[电(В)]

Как видно, оценка, получаемая при

рад = 17°,

рад = 169°,

когерентности 晶(/2) = 0,9, почти в

рад = 17°,

рад = 169°,

когерентности 晶(/2) = 0,9, почти в

Таблица 9.6. Случайные ошибки оценок для системы с одним входным и одним выходным процессами

Оцениваемая функция

Нормирован ная случайная ошибка £

У")

-[1-—(/)] Гу»(/)1 何

«,〃)=吐(/)©»(/)

[2-*.(/『 1%，(/)1 何

凤(/)1

[—■(/)『" M「(/)lV^

&,.(/)

ск"О,(/)]~ н“)|声；

десять раз точнее оценки, которой отвечает когерентность 情(厶)=0,1. Это замечание завершает пример.

В табл. 9.6 приведена сводка основных формул для нормированных случайных ошибок, отвечающих оценкам параметров моделей с одним входным и одним выходным процессом. Некоторые инженерные приложения описаны в работах [9.6, 9.7], а общая теория систематических ошибок, зависящих от выбора разрешения по частоте, развита в работе [9.8].

9.3. Оценки для моделей с многими входными процессами

Рассмотрим более сложную модель с многими входными процессами и одним процессом на выходе (рис. 9.8). Все реализации должны измеряться одновременно в единой системе отсчета времени. На первом этапе анализа следует заменить эту модель показанной на рис. 9.9 моделью с условными входными процессами (см. гл. 7). Соответствующие итерационные вычислительные алгоритмы описаны в разд. 7.3. Операция усреднения необходима только для расчета «сглаженных» оценок спектров и взаимных спектров Gjj (/) по исходным данным. Все прочие характеристики вычисляются по описанному ниже алгоритму (для простоты обозначений зависимость от частоты / в дальнейшем опущена).

Вначале вычислим исходный набор оценок условных спектральных плотностей

%.1 =亀 - 3/,1,(9 93)

Рис. 9.8. Многомерная система с произвольными входными процессами и одним процессом на выходе.

где

Рис. 9.9. Многомерная система с условными входными процессами и одним процессом на выходе.

丄"

与

(9.94)

Исходные оценки 6豆 нужны только на этом этапе. Полученные результаты используем для вычисления второго набора оценок спектральных плотностей 6».2!，которые находятся тем же способом, что и ранее:

ЗдесьЗдесьGj・2! = Gjl — Е?/©.? 1・Gj・2! = Gjl — Е?/©.? 1・(9.95)(9.95)e2/e2/久1^22-1久1^22-1(9.96)(9.96)

Здесь

Здесь

Gj・2! = Gjl — Е?/©.? 1・

Gj・2! = Gjl — Е?/©.? 1・

(9.95)

(9.95)

e2/

e2/

久1^22-1

久1^22-1

(9.96)

(9.96)

Оценки б».?! используются для получения аналогичным способом третьего набора оценок спектральных плотностей ^у.2! н операция повторяется до тех пор, пока не будут найдены все нужные оценки спектральных плотностей. Оценки функций частной и множественной когерентности и связанных с ними характеристик ищутся путем алгебраических операций над оценками спектров.

Оценку функции множественной когерентности можно искать в виде

(9.97)

Здесь символом х обозначены все входные процессы от х 】до xq. Спектр шума на выходе системы есть

О” = ©沙д! = —О - %2j(l - ■」)…(1 - ■(g—1)!)•(9.98) Он содержит вычисленные ранее оценки обычной и частной когерентности. Следовательно,

環 х = 1 - [(1 -泣乂 1 -帰，1)…(1 - Y^.(,-!).)] -(9.99)

Оценка множественного когерентного спектра выходного процесса определяется как сумма процессов, поступающих на выход системы (см. рис. 9.9): Gvv = %：& = %『《】+ 匹』義.】+…+\Lqy\2Gqq.(q_ir, . (9.100) Заметим, что эта формула дает еще один способ оценивания у^.у^

型「产-•(9.101)

Значение Gvv задается здесь правой частью формулы (9.100).

ОЦЕНКИ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Оценка %：* функции множественной когерентности #.* описывает обе системы, представленные на рис. 9.8 и 9.9. Если сглаженные оценки автоспектров и взаимных спектров вычисляются по исходным данным при числе усреднений, равном wj, то по аналогии с уравнением (9.82) имеем

£卜；]=х](9.102)

Эта формула отличается от (9.82) лишь заменой обычной функции когерентности 抬 на 域* н % на 〃 + 1 - q.

ОЦЕНКИ МНОЖЕСТВЕННОГО КОГЕРЕНТНОГО СПЕКТРА ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА

Пусть 6,,,,=管“6況——оценка множественного когерентного спектра выходного процесса, вычисленная либо как произведение на G^, либо в соответствии с формулой (9.100). По аналогии с (9.73) имеем

(9.103)

МОДЕЛИ С ОДНИМ УСЛОВНЫМ ВХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ и ОДНИМ ВЫХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ

Модель, показанную на рис. 9.9, можно разбить на последовательность простых моделей с одним условным входным процессом и одним выходным процессом. Спектральная интерпретация такого представления дана на рис. 9.10. Первая модель на этом рисунке совпадает с моделью с одним входом и одним выходом, рассмотренной в разд. 9.2. Последующие системы представляют собой ее непосредственное развитие, причем их связь с первой системой очевидна. Вычисление «сглаженных» оценок условных характеристик на каждом последующем этапе требует вычитания оценок, полученных на предыдущем этапе, так что число независимых усреднений пj на каждом последующем шаге уменьшается на единицу. Таким образом, если оценка Gyy находится при числе усреднений и^, то оценкам Gyy. j и 4y. 2! отвечают числа усреднений nd — 1 и wrf — 2, и вообще, оценке ^уу (i-1)! соответствует nd + 1 — ' усреднений. Ниже приведены формулы

Gyy"

Gzm-ij! а *£уGzm-ij! а *£уТ,Ст 川 G““-i)!Т,Ст 川 G““-i)!Gyy・(i-1)!Gyy・(i-1)!

Gzm-ij! а *£у

Gzm-ij! а *£у

Т,Ст 川 G““-i)!

Т,Ст 川 G““-i)!

Gyy・(i-1)!

Gyy・(i-1)!

Рис. 9.10. Системы с одним условным входным процессом и одним процессом иа выходе.

для случайных ошибок, отвечающих оценкам параметров простых систем с условными процессами на входе и выходе при таком уменьшении числа усреднений.

ОЦЕНКИ ФУНКЦИЙ ЧАСТНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

По аналогии с соотношением (9.82) имеем

姓］姓］冲一泣1мУ匹冲一泣1мУ匹(9.104)(9.104)女［1 -达2］m「2!曲4一 2女［1 -达2］m「2!曲4一 2

姓］

姓］

冲一泣1мУ匹

冲一泣1мУ匹

(9.104)

(9.104)

女［1 -达2］m「2!曲4一 2

女［1 -达2］m「2!曲4一 2

В общем случае при 7 = 1, 2, ... , q

*[%у (j-i)J*[%у (j-i)J叵 I i X； 0~i)JI i)!lj"d + 1 — i叵 I i X； 0~i)JI i)!lj"d + 1 — i(9.105)(9.105)

*[%у (j-i)J

*[%у (j-i)J

叵 I i X； 0~i)J

I i)!lj"d + 1 — i

叵 I i X； 0~i)J

I i)!lj"d + 1 — i

(9.105)

(9.105)

ОЦЕНКИ ЧАСТНЫХ КОГЕРЕНТНЫХ СПЕКТРОВ ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА

Формулы, подобные (9.73), описывают и ошибки оценок частных когерентных спектров выходного процесса, изображенных на рис. 9.10. В частности,

他陶…瓶3*書，

е[広2『©22.J = £(培.1©沙1) = ^~^~Y，(9.106)

电勾*g]=e(皖.2a⑵)" g^T

и т. д.

ОЦЕНКИ АМПЛИТУДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ УСЛОВНЫХ МОДЕЛЕЙ

По аналогии с соотношением (9.90) можно получить следующие результаты:

叫厶』=叫厶』=If]If]

叫厶』=

叫厶』=

If]

If]

(9.107)(9.107)

(9.107)

(9.107)

и т.д.

ОЦЕНКИ ФАЗОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ УСЛОВНЫХ МОДЕЛЕЙ

Приводимые ниже формулы, построенные на аналогии с (9.92), определяют погрешности выраженных в радианах оценок фазовых характеристик, отвечающих показанным на рис. 9.10 системам:

С.К.О. [$ij « e[|£J],

(9.108)

С.К.О. [82j=e[也J]

и т. д. В общем случае при / = 1, ... , q имеем

С.К.О.悶=е[%|]・(9.109)

Заметим, что эти оценки не нормированы и что ошибки будут малы при малых е[\ Ljy \ ].

Задачи

Рассмотрим два случайных*сигналах(£) и j(/), описывающие стационарные случайные процессы. Пусть оценки их автоспектров н взаимных спектров вычислены при "^ = 100. Считая, что значение функции когерентности (связывающей х(£) и V (/) на заданной частоте)吟=0,5, определите нормированные ошибки оценок следующих параметров:

автоспектров Gxx и 心方；

модуля взаимного спектра I Gxy I.

Значения автоспектров случайных сигналов х( О и у( /) на заданной частоте суть G = (5 = 1, а коспектра и квадратурного спектра —=。门,=0,5. Опре

делите нормированные случайные ошибки оценок коспектра и квадратурного спектра плотностей при % = 100.

Определитедляслучайныхсигналовиззадачи9.2приближенный

95 % - доверительный интервал для оценки фазы на той же частоте.

Определитедляслучайныхсигналовнззадачи9.2приближенный

95 % -доверительный интервал для оценок:

функции когерентности 幻；

когерентного спектра выходного процесса Gvv = y^G^, на той же частоте.

Рассмотрим два ограниченных по частоте белых шума:

х(г) = "(г) + м(г), У(г) = 10w(z -勺)+ "(f),

где w( /) и п{ /) — статистически независимые помехи. Пусть для входного процесса спектральные плотности сигнала н шума на заданной частоте одинаковы, т. е. Guu = G析析,а запаздывание 丁］ = 0,1 с. Укажите основные источники ошибок смешения и определите величины этих ошибок для оценки частотной характеристики, связывающей х(/) и y{t\ считая, что она вычисляется при некотором большом числе усреднений и при длине индивидуальных реализаций Т = 0,5 с.

Ограниченные по частоте белые шумы из задачи 9.5 имеют на заданной частоте спектральные плотности Gmm = 0 нб= 100 GWK. Считая, что спектральная плотность выходного процесса на этой частоте Gyy = 1, определите:

истинное значение когерентного спектра выходного процесса 6叨=7m G炉

систематическую ошибку оценки Gw;

случайную ошибку оценки Gw при nd = 400.

Рассмотрим систему с одним процессом на входе н одним процессом на выходе, которой на заданной частоте отвечает значение функции когерентности, связьь вающей вход х(Z) и выход)(£), равное 0,75. Спектры входного и выходного процессов суть соответственно Gxx =2,1, G = 0,8. Каково минимальное число усреднений "^，нужное для получения оценки 1 Нху I амплитудной характеристики, гарантирующей отклонение от истинного значения I Нху I не более чем на 士 10% с вероятностью 95眺？

Какое значение функции когерентности необходимо в случае системы с одним входом и одним выходом (задача 9.7) для получения оценок амплитудной характеристики и автоспектров с одной н той же нормированной случайной ошибкой?

Рассмотрим показанную на рис. 7.2 систему с входными процессамих^(t) и х?") и выходным процессом у (t). На некоторой частоте н при% = 100 получены следующие оценки: 心〃 =20,《22 = 25, Gyy = 40,G12 = 15 н

G Ху = G = 16 — 12j. Определите 95 %-доверительный интервал для оценок амплитудной и фазовой характеристик функции Н“，связывающей процессы х2( /) н 7(1).

Используя данные из задачи 9.9, определите математическое ожидание и нормированную случайную ошибку оценки функции множественной когерентности *.*, связывающей процессы на входе н выходе системы.

Глава 10

СБОР И ОБРАБОТКА ДАННЫХ

Выбор методов сбора и обработки данных наблюдений над случайными процессами в значительной степени зависит от того, какое физическое явление представляет изучаемый процесс, и от целей, которые достигаются обработкой. Однако в самом общем виде можно выделить пять основных этапов, связанных с этой процедурой:

сбор данных;

регистрация (в том числе передача);

подготовка;

оценивание основных свойств； д) анализ.

Каждый из этих этапов требует выполнения ряда последовательных операций, схематически изображенных на рис. 10.1. Цель главы состоит в кратком изложении основных соображений во всех перечисленных ключевых этапах анализа. При этом особое внимание уделяется вероятным источникам ошибок (помимо статистических ошибок, рассмотренных в гл. 8 и 9). Алгоритмы численного анализа данных наблюдений обсуждаются в гл. 11.

Сбор данных

Первым шагом при сборе данных является преобразование исследуемого процесса с помощью специального устройства. Вообще говоря, преобразователем следует считать любое устройство, преобразующее энергию из одной формы в другую. Однако в технике под преобразователем понимают устройство, позволяющее количественно оценить изучаемый физический процесс путем преобразования его в аналоговый1^ сигнал с взаимно однозначным соответствием между входными и выходными величинами. Согласно рис. 10.1,с, это преобразование может потребовать выполнения трех операций: 1) механического преобразования изучаемой физической величины в некоторую промежуточную механическую величину; 2) преобразования промежуточной механической величины в промежуточную электрическую величину; 3) промежуточной электрической — в электрическую величину, обычно в напряжение. Некоторые преобразователи могут выполнять две или все три описанные операции в зависимости от того, какая физическая величина измеряется с их помощью, в зависимости от конструкции н принципа действия самого преобразователя. Например, широко известный преобразователь температуры — термопара — производит непосредственно преобразование разности температур в электрическое напряжение без каких-либо промежуточных операций. С другой стороны, такой широко применяемый преобразователь, как термометр сопротивления, вначале производит преобразование изменения температуры в изменение электриче-

】)Существуют и преобразователи иеэлектрических величии в цифровые сигналы. — Прим. Г,Я. Мирского.

Регистрация

Оценивание свойств

Анализ

Рис. 10.1. Основные этапы сбора и обработки данных.

ского сопротивления, которое затем преобразуется в изменение электрического напряжения. В этом случае имеет место двухступенчатая операиня без промежуточного преобразования в механические величины. Преобразователи типа сейсмометров, которые часто применяются для измерения смещения, скоростей и ускорений, требуют выполнения всех трех операций, указанных на рис. 10.1,а. Движение на входе преобразуется в относительное смещение, которое при помощи чувствительного элемента преобразуется в промежуточную электрическую величину, например в изменение сопротивления. Наконец, изменение сопротивления преобразуется в изменение электрического напряжения, величина которого пропорциональна интенсивности входного процесса.

В идеальном случае перечисленные выше операции должны выполняться без каких-либо искажений измеряемой величины как функции времени. Иными словами, если реализация входного процесса есть %(/)» а выходного — j(/)> т° в случае идеального преобразователя зависимость между ними имеет вид j(/) = cx(t\ где с — постоянная калибровки. К сожалению, такая ситуация практически недостижима. При работе преобразователей происходят, как правило, изменения амплитуд и фаз, а также и другие искажения, приводящие к нелинейным эффектам. Это обстоятельство делает преобразователь потенциальным источником ошибок при любом способе сбора и обработки данных.

тВходное ускорение ~р~+ с』ВлтВходное ускорение ~р~+ с』ВлПРИМЕР ЮЛ. СЕЙСМИЧЕСКИЙ АКСЕЛЕРОМЕТР БЕЗ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Рассмотрим цдеальный сейсмический акселерометр без обратной связи, схема которого изображена на рис. 10.2,а. В этом устройстве механическое преобразование осуществляется при помощи массивного тела, амортизированного пружиной,——входное ускорение у основания преобразуется в относительное смещение тела. В качестве чувствительного элемента используется потенциометр. Окончательное электрическое преобразование осуществляется путем измерения напряжения на потенциометре. Используя описанные в разд. 2.4.1 методы, легко показать, что частотная характеристика

т

Входное ускорение ~р~

+ с』Вл

т

Входное ускорение ~р~

+ с』Вл

0

Напряжение на выходе

0

Безразмерная частота f/fn

6

Рис. 10.2. Схема и частотные характеристики сейсмического акселерометра без обратной связи: а ——упрощенная схема; 6 ——амплитудная характеристика; в ——фазовая характеристика.

0,51,02,04,0

Безразмерная частота f/fn

8

о) о) о о о о о о ю 000000^-0 о 18WW^W86^2

BKH-LNda-L工edex вевоееб

и*

этой системы, связывающая напряжение на выходе с ускорением на входе, описывается выражением

"")= 4"27n2[1 -(/〃)2 +/2加4]， (101) где с — постоянная калибровки, a J* м/ — соответственно коэффициент затухания и частота собственных незатухающих колебаний (см. формулу (2.22)). Заметим, что в данном случае амплитудная и фазовая характеристики совпадают по форме с соответствующими величинами для простой механической системы с вынуждающей силой на входе (рис. 2.3).

Рассмотрим сначала изображенную на рис. 10.2,仇 в амплитудную характеристику. Как видно из рисунка, на частотах, существенно более низких, чем частота собственных колебаний системы, акселерометр обладает довольно постоянной амплитудной характеристикой. С приближением к частоте собственных колебаний амплитудная характеристика в зависимости от коэффициента затухания либо возрастает до пиковых значений и потом убывает, либо сразу убывает. Постоянство амплитудной характеристики в наиболее широком диапазоне частот достигается при коэффициенте затухания f = 0,7. Показанные на рис. 10.2,6 характеристики имеют верхнюю границу частотного диапазона сейсмического акселерометра несколько ниже частоты собственных колебаний системы, а более точно положе* ние этой границы определяется допустимой ошибкой (т. е. отклонением амплитудной характеристики от постоянного уровня). Показанные на рис. 10.2,6 величины ошибок для различных условий могут быть либо уменьшены путем калибровки, либо просто полагаться допустимыми. Во всяком случае, чтобы избежать неопределенных и, возможно, больших ошибок при окончательной обработке данных, необходимо иметь достаточно четкое представление о величинах ошибок.

Рассмотрим теперь фазовую характеристику, изображенную на рис. 10.2, в. Акселерометр сдвигает регистрируемый сигнал по фазе, причем сдвиг изменяется от 0° на нулевой частоте до 180° на очень высоких частотах. Точное значение фазового сдвига зависит от величины коэффициента затухания. Здесь важно подчеркнуть, что на каждой данной частоте фазовый сдвиг соответствует запаздыванию м, следовательно, может привести к искажению распределения фаз в результирующем процессе. Эти искажения обусловливают ошибки при анализе одномерных процессов, имеющих полигармоническую или переходную форму, а также любых многомерных процессов, для которых ищут различные совместные характеристики. Ошибки в случае одномерного процесса могут быть сведены к минимуму путем выбрра преобразователя, обладающего фазовой характеристикой вида </>(/) « 0. Для рассматриваемого сейсмического акселерометра это условие выполняется, если частота fn гораздо выше максимальной частоты исследуемого диапазона. В многоканальной системе, предназначенной для сбора данных о многомерных процессах, можно уменьшить ошибки, используя преобразователи с соответствующим образом подобранными фазовыми характеристиками. На этом пример 10.1 заканчивается.

Подводя итог сказанному, можно утверждать, что выбор и использование преобразователей для сбора данных требуют осторожного подхода. Преобразователи промышленного изготовления обычно снабжаются описанием, в котором указана область возможного применения данного устройства. Как правило, эти спецификации достаточно точны, но следует помнить, что фирмы-изготовители вряд ли относятся к своей продукции пессимистично. Поэтому неразумно пользоваться промышленно изготовленным преобразователем вне пределов, указанных в его спецификации, если допустимость использования прибора не подтверждается соответствующими исследованиями. Более детально различные системы преобразователей и вопросы сбора данных рассмотрены в работах [10.1, 10.2].

Регистрация данных

В некоторых практических приложениях можно выполнять всю необходимую обработку данных, используя непосредственно сигналы преобразователя, поступающие в реальном масштабе времени. Однако в большинстве случаев такой подход непрактичен, и поэтому требуется запоминание в той или иной форме или, возможно, передача сигналов, поступающих с преобразователя. Наиболее желательный и удобный тип системы для запоминания данных — магнитофон. Можно пользоваться и другими запоминающими устройствами, но преимущество магнитофона состоит в возможности запоминания данных в форме электрического сигнала. Предпочтительный способ передачи данных ——по электрическому кабелю. Существуют, очевидно, и ситуации, когда это нереализуемо, например при передаче данных с находящегося на орбите искусственного спутника Земли. Обычно в таких случаях необходима передача по радио сигналов, поступающих с преобразователя (телеметрия).

Запись данных на магнитную ленту и радиотелеметрия сами по себе представляют предметы большого специального исследования, которое, вообще говоря, лежит вне пределов данной книги. Фундаментальные сведения по этим вопросам содержатся в работах [10.3——10.5]. Однако два этапа применения этих методов следует рассмотреть, поскольку они непосредственно связаны с основными положениями обработки данных. Как показано на рис. 10.1,6, эти этапы представляют собой: 1) операцию записи сигнала на магнитную ленту и его воспроизведение при использовании магнитофона и 2) операцию модуляции и демодуляции сигнала при магнитной записи его и телеметрии.

ЗАПИСЬ СИГНАЛОВ НА МАГНИТНУЮ ЛЕНТУ

И ИХ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ

П ос л едовательн ость операций при регистрации и воспроизведения данных на магнитной ленте для большинства магнитофонов серийного типа показана на рис. 10.3,а. Пластмассовая пленка с магнитным покрытием перемешается относительно головки записи. При прохождении электрического тока через эту головку в ней возникает магнитный поток, намагничива-

Пластмассовая пленка 上^Магнитное покрытие

Направление^ движения ленты

Рис. 10.3. Принципы и характеристики записи на магнитную ленту: а — принцип действия магнитофона; 6 — частотная характеристика записи; в ——затухание в зазоре воспроизводящей головки, ф (/) — изменение магнитного потока во времени, W ——ширина зазора, e(F) — изменение напряжения во времени,入一длина волны, i(f) — изменение силы тока во времени, % ——фактическое напряжение на выходе, q, q — константы, ei — идеальное напряжение на выходе.

юший покрытие. При движении пленки относительно головки воспроизведения появляется электрический сигнал, интенсивность которого пропорциональна скорости изменения потока.

Использование системы регистрации и воспроизведения такого типа связано с некоторыми трудностями, к числу которых относятся принципиально нелинейный характер процесса намагничивания, обрывы ленты и другие побочные эффекты, вызванные конструктивными недостатками магнитной ленты. Однако, имея в виду основные свойства регистрирующего устройства, следует учитывать два важных обстоятельства. Во-первых, головка воспроизведения реагирует на скорость изменения магнитного потока и поэтому воспроизводит сигнал скорее в продифференцированной форме, чем в его истинном виде. Во-вторых, головка воспроизведения ос- редняет изменение потока по ширине зазора. Первое обстоятельство ведет к ухудшению частотной характеристики регистратора на низких частотах, как показано на рис. 10.3, а, 6, второе приводит к ухудшению частотной ха-

рактеристики на высоких частотах (рис. 10.3,6). Заметим, что частотная характеристика регистратора на высоких частотах может быть улучшена путем уменьшения зазора головки воспроизведения, однако такое решение приводит к уменьшению чувствительности головки. Чтобы добиться прежнего уровня чувствительности, можно уменьшить зазор между головкой и магнитной лентой, но это приводит к сокращению срока службы головки воспроизведения. Чувствительность можно повысить также, увеличив число витков обмотки на головке воспроизведения, но это ведет к ухудшению частотной характеристики на высоких частотах.

В серийно выпускаемых магнитофонах эти две трудности устраняются применением корректирующего контура, выравниваюшего частотную характеристику в пределах возможно более широкой полосы частот. Серийные магнитофоны со скоростью движения ленты 3 м/с имеют постоянную с точностью до ±3 дБ частотную характеристику в диапазоне частот от 400 Гц до 2 МГц. Однако отношение сигнал/шум на выходе составляет всего около 28 дБ. Такие свойства регистрирующего и воспроизводящего устройств, как правило, неудовлетворительны для аппаратурного анализа по двум причинам: во-первых, регистрирующее устройство не реагирует на постоянный ток; во-вторых, отношение сигнал/шум в нем недостаточно велико. С другой стороны, регистрирующее устройство все же обеспечивает получение записи в достаточно широком частотном диапазоне. Таким образом, задача состоит в том, чтобы за счет сужения полосы пропускания добиться желаемой реакции на постоянный ток и улучшить отношение сигнал/шум. Это достигается при помощи модуляции и демодуляции записываемого сигнала.

МОДУЛЯЦИЯ И ДЕМОДУЛЯЦИЯ

Для передачи и (или) записи данных наблюдений наиболее широко используются два метода модуляции и демодуляции: частотная и кодово-импульсная.

Частотная модуляция (ЧМ) чаще всего применяется при аналоговой телеметрии и записи сигнала на магнитную ленту. Принципиальная сущность ЧМ состоит в том, что частота несущего сигнала превращается в аналог амплитуды входного сигнала, как это показано на рис. 10.4,〃. Когда модулирующее напряжение отсутствует, модулированный сигнал просто представляет собой колебание с несущей частотой. При наличии на входе строго постоянного тока (постоянная составляющая) модулированный сигнал есть сигнал чистого тона, частота которого выше несущей на величину девиации, вызываемой постоянной составляющей. Если модуляпия осуществляется синусоидальным сигналом, то модулированный сигнал теоретически выглядит как синусоида переменной частоты. В случае записи на магнитную ленту модулированный сигнал напоминает скорее прямоугольную волну переменной ширины, поскольку ЧМ-сигнал записывается обычно при уровне насыщения. Важный параметр ЧМ ——отношение девиации частоты Д/ к частоте модуляции fd. Это отношение называется индексом модуля-

ЧМ-сигнал аЧМ-сигнал аРис. 10.4. Основные методы модуляции: а — частотная модуляция (ЧМ); 6 — кодово-импульсная модуляция (КИМ).Рис. 10.4. Основные методы модуляции: а — частотная модуляция (ЧМ); 6 — кодово-импульсная модуляция (КИМ).JJ

ЧМ-сигнал а

ЧМ-сигнал а

Рис. 10.4. Основные методы модуляции: а — частотная модуляция (ЧМ); 6 — кодово-импульсная модуляция (КИМ).

Рис. 10.4. Основные методы модуляции: а — частотная модуляция (ЧМ); 6 — кодово-импульсная модуляция (КИМ).

КИМ ^сигнал б

нии т, и тесно связано как с полосой пропускания, так и с отношением сиг- нал/шум, которые обеспечиваются при ЧМ-передаче и записи сигнала. Соответствующие зависимости приведены в табл. 10.1, где указаны также основные достоинства и недостатки ЧМ.

Из рассмотрения табл. 10.1 видно, что ЧМ особенно чувствительна к изменениям скорости движения магнитной ленты (временные ошибки), поскольку эти искажения немедленно переходят в ошибки регистрации амплитуд. Особенно важную роль играют динамические временные ошибки. Чаще всего рассматривается динамическая временная ошибка в одноканальной системе, называемая флаттером. Флаттер можно определить как отклонение скорости движения магнитной ленты от нормы ^. Он играет особенно важную роль при частотной модуляции, когда аналогом амплитуды сигнала является масштаб времени или частота. Интеграл от флаттера и есть динамическая временная ошибка. Величина флаттера у высококачест-

D В отечественной терминологии английскому термину flutter соответствует термин коэффициент колебания скорости и в частном случае для звукозаписывающей аппаратурь! термин коэффициент детонации. Коэффициент колебания скорости представляет собой отношение отклонения от средней скорости к значению средней скорости и выражается в процентах. Если скорость записи непостоянна, то шкала времени сигналограммы по сравнению с реальным временем, в течение которого происходило изменение регистрируемого сигнала, имеет мгновенную временную ошибку. Более подробно см., например: Дэвис Г.Л. Применение точной магнитной записи.——М.: Энергия, 1967, или Атей С. Устройства записи на магнитную ленту. —М.: Энергия, 1969. — Прим. Г.Я. Мирского.

Таблица 10J. Основные характеристики методов модуляции

Вг — требуемая полоса пропускания магнитофона и пере「 дающего устройства, Гц;

с — число мультиплексируемых каналов;

fd — наибольшая частота сигнала, Гц;

勿一индекс модуляции;

л — число импульсов на группу кодов при КИМ;

S/М — исходное отношение сигнал/шум;

SyN。— отношение сигнал/шум после модуляции.

Характеристика

Частотная модуляция

Кодово-импульсная модуляция

Требования к полосе про- Вг = 2/^(1 + т, пускания

纥=ncfd

Отношение сигнал/шум

Sq/N。« 6/И2丹/%

S°/N。= 22"

Достоинства

Возможность передачи сигналов постоянного тока, существенный рост отношения сигнал/шум

Возможность передачи сигналов постоянного тока, очень сильный рост отношения сигнал/шум, легко осуществить мультиплексирование каналов

Недостатки

Большая чувствительность к изменению скорости магнитной ленты, уменьшение полосы пропускания

Сильное уменьшение полосы пропускания

венных магнитофонов промышленного производства составляет ~ 0,25%. Как правило, спектр флаттера практически постоянен на всех частотах до некоторой граничной частоты, которая при высокой скорости движения ленты равна обычно примерно 100 Гц. Наиболее неприятная динамическая временная ошибка между каналами появляется вследствие динамического перекоса, определяемого как изменение угла, под которым лента проходит магнитную головку. Это явление, очевидно, влияет на результаты взаимного анализа сигналов в многоканальных системах, например на взаимные корреляционные и спектральные функции. Динамический перекос можно минимизировать, по возможности записывая предназначенные для взаимного анализа данные через различные головки.

При кодово-импульсной модуляции (КИМ) аналоговый сигнал на входе немедленно преобразуется в цифровой и затем записывается (рис. 10.4,6). Поскольку цифровой код состоит из последовательности импульсов, при его снятии с магнитной ленты с частотами вплоть до постоянной составляющей не возникает никаких трудностей. Существует верхний предел частоты регистрируемых данных, который определяется частотой съема во

входном аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Вопрос о предельной частоте рассмотрен в разд. 10.3.2. Требования к ширине полосы пропускания и к отношению сигнал/шум указаны наряду с основными достоинствами и недостатками записи и передачи информации с помощью КИМ в табл. 10.1.

Из табл. 10.1 видно, что отношение сигнал/шум при КИМ зависит лишь от числа бит в принятом цифровом коде и никак не связано с непосредственным отношением сигнал/шум в записи. Это обстоятельство служит основным преимуществом КИМ сравнительно с методами аналоговой модуляции, в том числе ЧМ. Кроме того, мультиплексирование нескольких каналов, по которым поступают данные, в единый канал осуществляется при КИМ особенно легко, поскольку кодированные сигналы разных преобразователей нетрудно передавать одновременно в общей системе отсчета времени. При ЧМ такое уплотнение достигается лишь за счет того, что различным сигналам отводятся неперекрывающиеся полосы частот, представляющие собой участки общей полосы пропускания канала телеметрии или записи на магнитную ленту. Более подробное обсуждение этих вопросов содержится в работе [10.5].

ПРИМЕР 10.2. ПАРАМЕТРЫ СТАНДАРТНОЙ ЗАПИСИ С ЧМ. Как правило, передача и регистрация научной информации с ЧМ осуществляется по стандартам, разработанным Inter-Range Instrumentation Group (IRIG) и подробно описанным в работе [10.6]. В соответствии с этими стандартами значение индекса модуляции /лу принимается равным 2,16, а выраженная в процентах девиация несущей частоты сигнала во всем диапазоне его изменений составляет ±40%. Одна из многих стандартных центральных несущих частот сигнала равна 108 кГц. Определим максимальную частоту сигнала /中 которую можно зарегистрировать на ЧМ-магнитофоне при несущей частоте 108 кГц. Найдем также получаемое при этом отношение сигнал/шум в записи.

При относительной девиации ±40% максимальное отклонение несущей частоты сигнала △/ = 43,2 кГц. По определению максимальная частота регистрируемого сигнала 力=Д//^ = 20 кГц. Из табл. 10.1 следует, что отношение сигнал/шум SG/NQ = 2旣/、・ Принимая характерное значение отношения сигнал/шум в прямой записи Si/Ni = 630 (28 дБ), получим, что отношение сигнал/шум в выходной записи SQ/NQ = 17 640 (42,5 дБ). В реальной ситуащш магнитофоны с ЧМ способны обеспечить в зависимости от их устройства отношения сигнал/шум, превышающие указанное значение на величину до 6 дБ.

Подготовка данных

Следующая важнейшая фаза сбора и обработки данных заключается в подготовке собранного материала к детальному анализу. Исходные данные обычно представляют собой непрерывные изменения электрического напряжения, снимаемые с датчиков или поступающие с магнитной ленты, на которую они были предварительно записаны. На этой стадии необходимо

произвести ряд операций, с помощью которых сигналы с датчиков переводятся в форму, удобную для дальнейшего анализа (см. рис. 10.1).

Первая из этих операций называется редактированием. Этот термин относится к последовательности операций, применяемых до начала анализа с целью выявить и исключить аномальные и (или) искаженные сигналы, которые могли возникдуть при сборе н регистрации данных, например, за счет высокого уровня помех, снижения уровня сигнала и его исчезновения при плохой работе датчика. Редактирование обычно сводится к визуальному анализу реализаций сигнала опытным специалистом до перевода данных в цифровую форму.

Следующая и наиболее важная стадия подготовки данных заключается в преобразовании аналогового сигнала в цифровую форму (дискретизация). Процесс дискретизации состоит из двух отдельных и не связанных друг с другом операций: а) собственно дискретизации; 6) квантования. Собственно дискретизация есть процесс определения моментов времени, в которые должны быть произведены отсчеты; квантование есть перевод этих отсчетов в цифровую форму. Прежде чем переходить к обсуждению практических проблем дискретизации, полезно обратиться к теоремам о дискретном представлении случайных процессов. После этого будут обсуждаться вопросы, связанные с аналого-цифровыми преобразователями и с методами предварительной обработки данных.

ТЕОРЕМЫ О ДИСКРЕТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Пусть реализация х(/) случайного процесса задана в интервале времени от 0 до Т. Преобразование Фурье этой реализации имеет вид

X(f)=匸x(t)ef""澄.X(f)=匸x(t)ef""澄.(Ю.2)(Ю.2)

X(f)=匸x(t)ef""澄.

X(f)=匸x(t)ef""澄.

(Ю.2)

(Ю.2)

Для того чтобы получить пцэиодическую функцию времени с периодом Т, положим, что реализация x(f) непрерывно повторяется. Основное приращение частоты / = 1/Т. Разлагая функцию в ряд Фурье, находим

оо'

x(f) = X 4/2""" ,(10.3)

где-8

4 = )#(""/〃.(10.4)

Из формулы (10.2) следует, что

X信卜 J：x(t)e-j2"n，/Tdt = ТА„ .(10.5)

Таким образом, величина Х(п/Т) определяет значения коэффициентов Ап и, следовательно, ординаты х(/) при всех /. Вид функции х(£) в свою очередь определяет величины X{f) при всех значениях /. Этот вывод состав ля-

ет содержание теоремы о дискретном представлении процесса в частотной области. Основное приращение частоты 1/Т называется коинтерва- лом Найквиста.

Пусть преобразование Фурье %(/) некоторой реализации х(0 задано в интервале частот от — В до В Гц и равно нулю вне этого интервала. Интервал физически осуществимых частот составляет 0...5 Гц. Обратное преобразование Фурье имеет вид

x(t) = fBX(f)ej2^df .x(t) = fBX(f)ej2^df .(10.6)(10.6)

x(t) = fBX(f)ej2^df .

x(t) = fBX(f)ej2^df .

(10.6)

(10.6)

Для того чтобы получить периодическую функцию частоты с периодом W Гц, положим, что функция X(f) непрерывно повторяется. Основное приращение времени составляет t = 1/(2В). Теперь

х(/) = f &е»/в.(Ю.7)

гдеI

= X(J)eidf.(10.8)

Из формулы (10.6) следует, что

х(А) = fB XU)e^f/B df = 2ВС”.(10.9)

Таким образом, величина х(〃/28) определяет значения коэффициентов Сп и, следовательно, функцию X(f) при всех значениях f. Вид этой функции в свою очередь определяет ординаты х(£) при всех значениях t. Этот вывод составляет содержание теоремы о дискретном представлении процесса во временной области. Основное приращение времени 1/(28) называется интервалом Найквиста.

Предположим теперь, что реализация х(£) задана только в интервале времени от 0 до Г, а ее преобразование Фурье X(f) — в интервале частот —В...ВГц. Это двойственное предположение теоретически невозможно в силу принципа неопределенности [10.7]. В действительности, однако, оно может быть приближенно справедливым для конечных интервалов времени и для полосовых фильтров. Полагая, что на функции x(f) и X(f) наложены ограничения, касающиеся интервалов времени и частот, можно установить теперь число дискретных значений, нужное для того, чтобы установить вид функции х(£) при всех значениях £.

Согласно формуле (10.5), снимая дискретные значения функции X(f) в точках, разделенных на шкале частот коинтервалом Найквиста \/Т в промежутке от —В по В, можно найти число дискретных значений, необходимое для описания функции х(£):

N = 25/(1/Т) = 2 8T. (10.10)

Снимая дискретные значения х(£) в точках, разделенных на шкале времени

интервалом Найквиста 1/(2В) в промежутке от 0 до Т, можно найти, что

N = Т/(1/28) = 2 ВТ. (10.11)

Таким образом, требуется одинаковое число дискретных значений при выборке их через коинтервал Найквиста по шкале частот и при выборке через интервал Найквиста по шкале времени.

МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И ОШИБКИ МАСКИРОВКИ ЧАСТОТ

Перевод аналогового сигнала в дискретную форму для численного анализа производится обычно через равные интервалы времени, как показано на рис. 10.5. Задача заключается в правильном выборе величины интервала дискретности △£. Согласно формуле (10.11), минимальное число отсчетов, нужное для описания реализации длиной Т при ширине спектра В, есть N = 2ВТ. Поэтому при постоянном шаге по времени максимальный интервал дискретности △£ = 1/(23). С одной стороны, при выборках (отсчетах) в точках, отстоящих друг от друга менее чем на 1/(2В), будут получаться коррелированные данные, число которых будет избыточно велико, что неизбежно вызовет увеличение как объема, так и стоимости расчетов. С другой стороны, при выборках в точках, отстоящих друг от друга более чем на 1/(2В), возможно перепутывание низко- и высокочастотных составляющих исходного процесса. Это явление называется маскировкой (подменой) частот. Оно представляет собой источник ошибок, которые отсутствуют при обработке аналогового сигнала; при цифровой обработке, когда сигнал предварительно преобразуется из аналоговой формы в дискретную, проблемы, связанные с маскировкой частот, могут играть важную роль. Так, например, все, кто видел классические фильмы «вестерны», обращал, несомненно, внимание на то, что при изменении скорости кареты кажется, что меняется и направление вращения ее колес. Это и есть простейший пример ошибок маскировки, вызванных преобразованием непрерывного процесса в дискретный, которое осуществляется съемочной камерой.

Чтобы пояснить явление подмены частот, рассмотрим иллюстрируемый рис. 10.5 случай преобразования непрерывного сигнала в дискретную форму; интервал времени между последовательны ми отсчетами составляет △ Г секунд. Следовательно, скорость дискретизации равна 1/Д/ отсчетов в

Рис. 10.5. Дискретное представление непрерывной реализации.

(10.12)(10.12)секунду. Для того чтобы дискретная реализация содержала все те же частоты, что и исходный непрерывный сигнал, на каждый цикл соответствующего колебания должно приходиться по меньшей мере два отсчета. Поэтому наиболее высокая частота, которая может быть выделена при дискретизации со скоростью 1/Д/ отсчетов в секунду, равна 1/(2Д/) Гн. Содержащиеся в исходном сигнале более высокие частоты будут свернуты в диапазон О...1/(2Д/) Гц и будут неотличимы от более низких частот этого диапазона (рис. 10.6). Граничная частота

(10.12)

(10.12)

厶=1/（飴1）

называется частотой Найквиста или частотой свертывания (наложения). Свертывание составляющих исходного процесса в диапазоне частот [0,,] представляет собой нечто вроде гофрирования частот, как показано на рис. 10.7. В частности, для любой частоты /, принадлежащей диапазону °S/W£，замаскированными под частоту / являются высокие частоты

(10.13)(10.14)(10.13)(10.14)(2/с±/),(4/с±/),..., (2и/с±/),....

(10.13)

(10.14)

(10.13)

(10.14)

Для доказательства этого факта заметим, что при f = 1/(孫)

cos2тгft = cos2?r(2吼 士 /)— = cos—.

Таким образом, при снятии отсчетов с интервалами 1/(纥)значения косинуса для частот/ и 2nfc±f одинаковы. Например, если/ = 100 Гц, то составляющие с частотой 30 Гц будут неотличимы от составляющих с частотами 170, 230, 370, 430 Гц и т, д. Аналогичным образом энергия колебаний

Рис. 10.6. Пример маскировки частот.Рис. 10.6. Пример маскировки частот.

Рис. 10.6. Пример маскировки частот.

Рис. 10.6. Пример маскировки частот.

О fc 2%3%4%5%6 生74Исходные частотыО fc 2%3%4%5%6 生74Исходные частотыРис. 10.7. Свертывание частот относительно частоты Найквиста 厶.Рис. 10.7. Свертывание частот относительно частоты Найквиста 厶.

О fc 2%3%4%5%6 生74

Исходные частоты

О fc 2%3%4%5%6 生74

Исходные частоты

Рис. 10.7. Свертывание частот относительно частоты Найквиста 厶.

Рис. 10.7. Свертывание частот относительно частоты Найквиста 厶.

с такими высокими маскирующими частотами будет неотличима от энергии колебаний с более низкими частотами. Это объясняется тем, что при t = 1/(2^) характеризующие энергию величины sin2(2”#) и cos2(2ir/Z) одинаковы для частот / и 2和士/. Следовательно, если граничная частота fc такая, как показано на рис. 10.8, то истинная спектральная плотность (рис. 10.8,。)будет искажена (рис. 10.8,6).

Единственный практический способ избавиться от ошибок маскировки частот при цифровом анализе данных заключается в том, чтобы еще до аналого-цифрового преобразования информации подавить в исходной аналоговой записи ту ее часть, которая может содержать частоты, превышающие частоты Найквиста fc. Это делают, ограничивая диапазон частот исходных данных с помощью аналогового низкочастотного фильтра, устанавливаемого перед аналого-цифровым преобразователем. Такие низкочастотные фильтры, применяемые на АЦП, называются противоподменны- мм. Поскольку ни один низкочастотный фильтр не может иметь вертикально спадающую частотную характеристику, принято задавать вырезывающую частоту фильтра равной примерно 0,7...0,8 частоты fe Этот прием обеспечивает сильное подавление всех колебаний с частотами, превышающими fe

Рис. 10.8. Искажение спектральной плотности при свертывании частот: а ——истинный спектр; б ——искаженный спектр.

Рассмотрим теперь операцию квантования. Поскольку числовое значение каждого отсчета должно быть выражено некоторым конечным числом цифр, континуум значений непрерывного процесса можно описать с помощью конечного числа уровней квантования лишь приближенно. Как бы ни была точна шкала, необходимо сделать выбор между двумя ее соседними значениями (рис. 10.9). Если квантование выполнено верно, то истинным значениям исходного непрерывного сигнала будут соответствовать наиболее близкие к ним уровни квантования. Точность приближения к непрерывному процессу зависит от числа уровней квантования. Поскольку в большинстве современных аналого-цифровых преобразователей сигнал на выходе дается в двоичном коде, что позволяет непосредственно вводить его в ЭВМ, число уровней квантования также удобно представлять в двоичном коде. Типичные преобразователи аналогового сигнала в цифровой дают от 6 до 16 бит информации, что соответствует диапазону от 64 до 65 536 уровней квантования. При идеальном преобразовании ошибка квантования распределена равномерно со стандартным отклонением, приближенно равным 0,2%х, где Ах — шаг квантования. В этом легко убедиться.

Пусть р(х) — плотность вероятности ошибки квантования:

( 1,_0,50 < х < 0,50 ；

\ 0, в остальных случаях.

Очевидно, что среднее значение /х* ошибки равно нулю, поскольку кривая зависимости р(х) симметрична относительно х = 0. Дисперсия ошибки равна8]

O? = f 8(Х - 〃х)2P(x)dx =/°：x2dx =—.

так что среднеквадратичное отклонение равно

ах = /1/12 = 0,29 цены деления.(10.15)

Рис. 10.9. Ошибка квантования.

Это и есть среднеквадратичное значение ошибки квантования, которое можно рассматривать как среднеквадратичное значение помехи, наложенной на полезный сигнал. Предположим, например, что весь диапазон значений сигнала разбит на 256 уровней (8 бит). В этом случае отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи составит 256Ах/(0,29Ах) ~ 1000, т. е. около 60 дБ.

На практике ошибка квантования обычно пренебрежимо мала по сравнению с другими ошибками, возникающими в процессе сбора и обработки данных. Однако следует всегда стремиться к тому, чтобы диапазон изменений исходного непрерывного процесса занимал возможно большую часть шкалы квантования. В противном случае разрешающая способность окажется малой, а ошибка квантования ——существенной.

АНАЛОГО-ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ

Аналого-цифровые преобразователи (АЦП) промышленного производства обычно представляют собой двоичные либо двоично-десятичные (ДД) системы. Двоичная система преобразует непрерывные изменения электрического напряжения в двоичный цифровой код, а ДД-система ——в цифровой код, который может быть представлен десятью различными цифрами. Конструкция двоичной системы сравнительно проще, но для обработки данных приходится составлять, как правило, программы в машинном коде. Двоично-десятичная система сложнее и относительно менее надежна, но она позволяет производить непосредственно обработку данных наблюдений по программам, написанным на обычном алгоритмическом языке, например на Фортране. Кроме того, ДД-системы могут непосредственно взаимодействовать с терминалом или дисплеем.

Помимо уже рассмотренных ошибок дискретизации и квантования необходимо указать еще и другие наиболее существенные ошибки, возникающие в системах АЦП. К ним относятся:

апертурная ошибка, которая возникает за счет того, что каждый отсчет выполняется на протяжении некоторого отрезка времени, а не мгновенно;

дребезжание или неустойчивая синхронизация ——ошибка, возникающая в результате того, что интервал времени между соседними отсчетами может меняться случайным образом;

нелинейные эффекты, которые появляются в результате самых различных причин, например плохой подгонки деталей системы, неточной градуировки, разрыва в нуле и т. д.

Как правило, скорость преобразования в существующих АЦП составляет до 108 отсчетов в секунду при 8-битном слове и до 107 отсчетов при 12битном слове. Однако на практике ограничения, налагаемые цифровыми магнитными устройствами и требуемой разрешающей способностью, приводят к уменьшению скорости квантования. Кроме того, скорость снятия отсчетов в АЦП следует уменьшить во столько раз, сколько каналов опра-

шивается одновременно, и этот результат даст истинную скорость снятия отсчетов для каждого канала.

Необходимо отметить еще одно обстоятельство, касающееся аналогоцифровых преобразователей. При одновременном преобразовании в нескольких каналах наличие интервала времени между опросами в различных каналах приводит к появлению межканальной временнбй ошибки в отсчетах, которая для быстро меняющихся сигналов может оказаться весьма заметной. Ее появления можно избежать, используя в системах АЦП запоминающие схемы, в которые данные из всех каналов поступают одновременно и хранятся там до момента опроса соответствующего канала коммутатором.

ПРИМЕР 10.3. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ДАННЫХ. Случайные вибрации конструкции измеряются датчиком, который преобразует механическое ускорение в аналоговую форму колебаний электрического напряжения. Получаемую запись предполагается перевести в цифровую форму для последующего анализа в диапазоне частот от 0 до 2СЮ0 Гц при отношении сигнал/шум не менее 80 дБ. Требуется определить частоту опроса и число бит на один отсчет, необходимые для аналого-цифрового преобразования сигнала.

Прежде всего для получения данных в диапазоне частот до 2000 Гц без ошибок маскировки частот аналоговый сигнал следует пропустить через фильтр низких частот с вырезывающей частотой 2000 Гц. Поскольку частотные характеристики противоподменных фильтров не могут спадать строго вертикально, следует принять несколько более высокую частоту Найквиста, скажем 2500 Гц. В соответствии с формулой (10.12) необходимый для этого интервал дискретности △/ = 1/(2£) = 0,2 мс, так что частота съема должна составить 5000 отсчетов в секунду.

Для получения максимальной величины отношения сигнала к среднеквадратичному уровню шума около 80 дБ (104 по амплитуде) необходимо в со> ответствии с формулой (10.15), чтобы выполнялось условие 2"/0,289 = 104, где л — чисп。бит на один отсчет. Логарифмируя обе части этого равенства по основанию 10, получаем равенство 0,301/1 = 3,46. Следовательно, 拉=11,5, так что нужное при преобразовании число бит на один отсчет равно 12.

Оценивание основных свойств процесса

Корректность методов анализа случайных процессов, а также интерпретации результатов анализа в значительной степени зависят от некоторых основных свойств анализируемого процесса. К их числу в первую очередь относятся стационарность, присутствие периодических составляющих и нормальность процесса. Стационарность процесса играет важную роль потому, что методы анализа нестационарных процессов существенно более громоздки, чем в стационарном случае. Если установлено, что в процессе содержатся периодические составляющие, то это позволяет избежать в дальнейшем ошибок при интерпретации результатов анализа. Предположе-

ние о нормальности позволяет существенно упростить аналитическое исследование свойств случайного процесса (не содержащего периодических составляющих), поэтому желательна проверка этой гипотезы. На рис. 10.1 оценивание основных свойств процесса, т. е. этих трех фундаментальных характеристик, указывается как отдельная операция, выполняемая до начала детального анализа. Однако на практике она зачастую осуществляется как составная часть общего анализа. Ниже рассмотрены практические соображения, касающиеся оценивания основных свойств процесса.

ПРОВЕРКА СТАЦИОНАРНОСТИ

По-видимому, наиболее простой способ оценивания стационарности реализации заключается в рассмотрении физической природы процесса, которому эта реализация принадлежит. Если основные физические факторы, определяющие процесс, не зависят от времени, то можно без дальнейшего исследования полагать изучаемый процесс стационарным. Рассмотрим, например, случайный процесс изменения давления в турбулентном пограничном слое, возникающем при полете самолета с большой скоростью. Если очертания самолета, его высота и скорость остаются во время полета неизменными, то справедливо допустить, что рассматриваемый случайный процесс обладает свойством стационарности. С другой стороны, если высота, скорость и (или) конфигурация самолета быстро изменяются, то следует ожидать, что колебания давления в пограничном слое нестационарны.

На практике такие простые соображения, позволяющие проверить справедливость гипотезы о стационарности, обычно отсутствуют. В подобных случаях эта гипотеза должна быть проверена путем анализа имеющихся реализаций. Способы проверки могут быть различными — от визуального просмотра реализаций опытным специалистом до детального статистического оценивания различных параметров процесса. Во всяком случае, если исследователь намеревается установить стационарность процесса по его отдельной реализации, необходимо сделать существенные допущения. Во- первых, следует предположить, что любая реализация правильно отражает нестационарный характер изучаемого процесса. Это допущение вполне приемлемо для нестационарных процессов, содержащих детерминированный тренд (см. гл. 12). Во-вторых, нужно допустить, что длина данной реализации существенно больше периода самой низкочастотной составляющей процесса. Иными словами, длина реализации должна быть настолько большой, чтобы можно было разделить нестационарный тренд и низкочастотные случайные колебания1^.

Помимо этих допущений, удобно (но не обязательно) предположить, что любые представляющие интерес нестационарные свойства процесса полностью описываются медленными изменениями во времени среднего квадрата процесса. Нетрудно, конечно, построить нестационарный процесс со стационарным средним квадратом. Примером может служить синусои-

')Строго говоря, в общем случае эта задача неразрешима, поскольку процесс может содержать составляющие со сколь угодно низкой частотой. — Прим, перев.

дальнее колебание постоянной амплитуды, но с непрерывно возрастающей частотой и со случайной начальной фазой. Все же на практике такие случаи встречаются редко, поэтому маловероятно, чтобы нестационарный случайный процесс обладал ковариационной функцией, зависящей от времени 丁 при всех значениях т, кроме 7 = 0. Поскольку R(0) = ^2, то переменный средний квадрат случайного процесса обычно означает, что его ковариационная функция зависит от времени. Аналогичные рассуждения справедливы и для моментов более высокого порядка.

Имея в виду эти допущения, можно предложить такую последовательность действий для проверки стационарности случайного процесса по отдельной его реализации х").

Реализация разделяется на ^ равных интервалов, причем наблюдения в различных интервалах полагаются независимыми.

Вычисляются оценки среднего квадрата (или отдельно средних значений и дисперсий) для каждого интервала, и эти оценки располагаются в порядке возрастания номера интервала:

二文3，...,xn •

Эта последовательность оценок среднего квадрата проверяется на наличие тренда или других изменений во времени, которые не могут быть объяснены только выборочной изменчивостью оценок.

Окончательная проверка реализаций на наличие трендов может быть выполнена различными способами. Если известно выборочное распределение оценок, то можно воспользоваться статистическими критериями, описанными в гл. 4. Однако, как отмечалось в разд. 8.2.2, знание выборочного распределения оценок среднего квадрата требует знания частотной структуры процесса. Обычно при проверке стационарности эти сведения отсутствуют. Поэтому более желательно применение непараметрических критериев, при использовании которых не требуется знать выборочные распределения оценок. Два таких непараметрических критерия, которыми можно воспользоваться для решения данной задачи, описаны в разд. 4.7. Это критерий серий и критерий инверсий. Последний представляет собой более мощное средство для обнаружения монотонных трендов в данных наблюдений. Критерий инверсий может быть непосредственно использован для проверки гипотезы о стационарности следующим образом.

Предположим, что последовательность оценок среднего квадрата (х^, х^,..., х}) есть выборка, составленная из независимых наблюдений над стационарной случайной последовательностью со средним значением 心. Если эта гипотеза верна, то изменения последовательности средних значений будут носить случайный характер и не будут содержать тренда. Следовательно, вероятное число инверсий будет таким же, как и для последовательности независимых наблюдений над рассматриваемой случайной величиной, т. е. будет определяться формулой (4.56). Если же число инверсий окажется существенно иным, то гипотеза стационарности должна быть отвергнута. В противном случае гипотезу можно принять. Заметим, что опи-

санный метод проверки стационарности не требует знания спектральной ширины рассматриваемого процесса или длины интервала усреднения, по которому определены оценки среднего квадрата. Понятно, что его применение не ограничено оценками среднего квадрата. Метод будет работать столь же эффективно и для оценок среднего или среднеквадратичного значения, среднеквадратичного отклонения, среднего абсолютного значения или любых других оценок. Более того, анализируемые данные не обязательно должны быть свободны от вклада периодических компонент. Полезные выводы могут быть получены и при наличии периодичностей, если только их максимальный период мал по сравнению с интервалом усреднения, по которому получают выборочные оценки параметров.

ПРИМЕР 10.4. ПРОВЕРКА СТАЦИОНАРНОСТИ. Для того чтобы показать применение критерия инверсий для проверки гипотезы стационарности, рассмотрим показанную на рис. 10.10 последовательность из 20 оценок среднего квадрата. Измерения производились на выходе аналогового генератора случайного шума при постепенном повышении усиления примерно на 20%. Число инверсий, определенное для этой последовательности в со~ ответствии с разд. 4.7.2, оказалось следующим:

7 2 6 2=一一 ==4 4 4 47 2 6 2=一一 ==4 4 4 4Л44Л44厶厶=44】=74б = °=0"12 = 6"17 = 2=84з = з"18 = °=0414 = 0419 = 1・=44】=74б = °=0"12 = 6"17 = 2=84з = з"18 = °=0414 = 0419 = 1・

7 2 6 2=一一 ==4 4 4 4

7 2 6 2=一一 ==4 4 4 4

Л44

Л44

厶

厶

=4

4】=7

4б = °

=0

"12 = 6

"17 = 2

=8

4з = з

"18 = °

=0

414 = 0

419 = 1・

=4

4】=7

4б = °

=0

"12 = 6

"17 = 2

=8

4з = з

"18 = °

=0

414 = 0

419 = 1・

厶=° 4о = 2 б = 2

Общее число инверсий А = 52.

Предположим теперь, что эта выборка принадлежит стационарному процессу. Согласно табл. А.7, эта гипотеза была бы принята при уровне значимости а = 0,01, если бы последовательность, состоящая из ^ = 20 измерений, содержала не менее ^2o；oooi = 59 инверсий. Поскольку в дейст-

5vxxoxrox^ 20書авхен5vxxoxrox^ 20書авхен515Номер измерения515Номер измерения2020

5

vxxoxrox^ 20書авхен

5

vxxoxrox^ 20書авхен

515

Номер измерения

515

Номер измерения

20

20

Рис. 10.10. Последовательность измерений среднего квадрата.

вительности выборка содержит / = 52 инверсий, гипотеза стационарности должна быть отвергнута при 1%-ном уровне значимости; иными словами, эту выборку следует признать нестационарной. На этом пример 10.4 заканчивается.

Заметим в загшючение, что предположение о стационарности может быть зачастую подтверждено (или опровергнуто) при помощи простого непараметрического критерия среднего квадрата (или других связанных с ним оценок характеристик), рассчитываемых по отдельным отрезкам имеющейся реализации. Однако если исследователь не считает постоянство во времени среднего квадрата достаточным доказательством стационарности автокорреляционной функции, то следует использовать и другие методы проверки, при которых производится разбиение процесса по отдельным диапазонам частот. В частности, можно разделить процесс на несколько смежных частотных диапазонов при помощи полосового фильтра и отдельно проверить на стационарность оценки среднего квадрата в каждом интервале частот. Поскольку спектральная плотность и автокорреляционная функция представляют собой пару преобразований Фурье, постоянство во времени одной функции означает, что и другая функция обладает тем же свойством1^.

ПРОВЕРКА ПЕРИОДИЧНОСТИ

Теоретически наличие периодических и (или) почти периодических составляющих в случайном процессе проявляется в виде дельта-функций в его спектральной плотности. На практике оказывается, что спектральная плотность содержит острые пики, которые можно ошибочно приписать узкополосному случайному шуму. Желательно поэтому установить наличие периодических составляющих, чтобы не путать их с узкополосным случайным шумом, спектральная плотность которого конечна. Если периодические составляющие имеют большие амплитуды, то их наличие совершенно очевидно. Однако при малых амплитудах периодические компоненты не проявляются столь отчетливо. Их присутствие устанавливается наиболее эффективно при помощи методов, тесно связанных с методами анализа чисто случайных процессов. Поэтому практически методы выделения скрытых периодичностей представляют собой развитие методов анализа случайных процессов. В частности, периодические составляющие можно зачастую обнаружить в случайном процессе в результате визуального анализа оценок спектральной плотности, плотности распределения и (или) ковариационной функции, рассчитанных по данным наблюдений над стационарным процессом. Для решения этой задачи чаще всего используют оценки автоспектра.

Делают это таким образом. В оценке спектральной плотности, вычисленной при высоком разрешении по частоте, периодические составляющие даже небольшой амплитуды проявятся в виде острых максимумов. Однако

I)Следует все же помнить, что проверка гипотезы никогда не может ее доказать: результаты проверки либо не противоречат гипотезе, либо указывают на то, что ее следует отвергнуть. — Прим, перев.

острый максимум оценки автоспектра может отвечать и узкополосному случайному шуму. Различить эти две ситуации можно, строя оценки автоспектра с все более высоким разрешением по частоте. Если максимум отвечает гармоническому колебанию, то его ширина всегда будет совпадать с шириной полосы пропускания используемого для построения оценки фильтра, сколь бы малой она ни была. Кроме того, высота максимума будет расти всегда пропорционально уменьшению полосы пропускания. Очевидно, что такой метод детектирования даст иные результаты, если ширина элементарной полосы частот при спектральном анализе меньше возможной ширины спектра узкополосного случайного процесса1^.

ПРИМЕР IQ5 СПЕКТР СМЕСИ ШУМА И ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ. Чтобы показать, как по энергетическому спектру можно обнаружить наличие периодической составляющей в случайном процессе, обратимся к рис. 10.11. В этом примере процесс на выходе генератора случайного шума смешивается с гармоническим сигналом. Среднеквадратичное значение амплитуды гармонического сигнала задано равным 1/20 соответствующего среднеквадратичного значения случайного сигнала. На графике рис. 10.11,。， полученном при использовании фильтра с относительно широкой полосой пропускания, наличие синусоиды почти незаметно. График на рис. 10.11,6, построенный при использовании фильтра с шириной полосы пропускания, составляющей 1/5 ширины предыдущего фильтра, показывает, что периодическая составляющая, по-видимому, присутствует. График на рис. 10.12,в, полученный при использовании фильтра, ширина полосы пропускания которого еще в 5 раз меньше, достаточно четко свидетельствует о наличии синусоидальной составляющей.

ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ

Наиболее просто проверить, подчиняются ли реализации стационарного случайного процесса нормальному закону, можно, измерив плотность вероятности значений процесса и сравнив ее с теоретическим нормальным распределением. Если длина реализации достаточно велика и ошибки измерения малы по сравнению с отклонениями функции от нормальной кривой, то несоответствие ее нормальному распределению будет очевидно. Если выборочное распределение оценки плотности вероятности известно, можно применить критерии нормальности даже в том случае, когда статистические ошибки велики. Однако, как и в случае проверки стационарности (см. разд. 10.4.2), при нахождении выборочного распределения оценки плотности вероятности необходимо знать частотную структуру процесса. Такого рода сведения на практике получить трудно. Следовательно, более желательно применять непараметрические критерии. Один из наиболее

D Строго говоря, никакие статистические методы анализа не позволяют с полной уверенностью доказать наличие периодических компонент в конечной реализации случайного процесса. Поэтому тесты целесообразно сочетать с априорными данными к физическими соображениями.——Прим, перев.

£UOX§G beHql/B&MSU。

Be=50「U

Частота, Гц

Q

ЛНООГ5_^С HEHqi/Edl工2匚3

Лйохё^с KEHqGEdJ-Hau。

в

Реализация может принадлежать стационарному процессу

Реализация может принадлежать нестационарному или неслучайном/ процессу

Г

реализация

но^мальноёти

Реализация стационара

Периодическая или почти

Реализация не принадлежит U 「Зуссову процессу

Рис. 10.12. Обшая схема анализа отдельных реализаций.

Оценивание свойств

Проверкапериод ич>«>стй

нест нара

изация ацио-

Айализ реали>а#^нестацио

后 )^ййиие 唸?睡哄酒 揭而算侵етн

Стационарный случайный процесс (периодические составляющие идентифи ци рованы и исключены)

периодическая .

удобных непараметрических критериев нормальности распределения — это критерий согласия хи-квадрат, описанный в разд. 4.6.

Анализ данных

Методы, при помощи которых изучаются свойства случайных процессов, логично разделить на две группы: методы анализа отдельных реализаций и методы анализа ансамбля реализаций при известных статистических свойствах каждой отдельной реализации. Ниже описьшаются практические приемы анализа для каждой группы.

АНАЛИЗ ОТДЕЛЬНЫХ РЕАЛИЗАЦИЙ

Схема оценивания статистических характеристик отдельных реализаций представлена на рис. 10.12. Заметим, что многие из рекомендуемых этапов обработки могут быть при необходимости исключены; возможно также осуществление дополнительных операций» Отметим еще, что в приводимую здесь схему включены этапы определения основных свойств процессов, рассмотренные в разд. 10.4; это поможет лучше понять связь обеих стадий анализа данных. Обратимся теперь к рассмотрению блоков схемы, приведенной на рис. 10.12.

Определение среднего значения и среднего квадрата (блок А). Первый этап заключается в вычислении среднего значения и среднего квадрата (или дисперсии). Необходимость этих вычислений практически во всех случаях диктуется следующими важными соображениями. Во-первых, среднее значение и средний квадрат определяют некоторый средний уровень и дисперсию процесса; поэтому вычисление этих величин необходимо для решения даже самых простых прикладных задач. Во-вторых, вычисление средних значений и среднего квадрата по коротким интервалам времени позволяет проверить стационарность процесса (см. рис. 10.12 и разд. 10.4.1). Вычисление среднего значения и среднего квадрата рассмотрено в разд. 11.1, а статистическая точность соответствующих оценок — в разд. 8.2.

Оценивание ковариационной функции (блок Б). Ковариационная функция стационарного процесса представляет собой обратное преобразование Фурье его спектральной плотности и потому не содержит никакой дополнительной информации о процессе, помимо той, что дает его автоспектр. Однако оценку спектра легче вычислить и, как правило, проще интерпретировать, и потому оценивание ковариационных функций часто пропускают. Могут, однако, существовать ситуации, когда эта оценка представляет интерес. В таких случаях ее обычно вычисляют по оценке спектральной плотности, как описано в разд. 11.4.2. Статистическая точность оценивания ковариационных функций рассмотрена в разд. 8.4.

плотность, описывающая частотный состав процесса. Для линейных физических систем с постоянными параметрами спектр выходного процесса может быть найден как произведение спектра процесса на входе на квадрат амплитудной характеристики системы. Результаты измерения спектра да* ют информацию о динамических характеристиках системы. Общая площадь для кривой спектральной плотности как функция частоты равна среднему квадрату 年.В более общей формулировке среднее значение квадрата процесса в некотором рассматриваемом интервале частот определяется площадью под кривой спектра в пределах этого интервала. Очевидно, что данные измерений спектральной плотности представляют значительную ценность для большинства приложений анализа.

В гл. 6 и 7 было показано, насколько велико физическое значение функции спектральной плотности при анализе соотношений на входе и выходе линейной системы. Другие инженерные приложения этой характеристики рассмотрены в работе [10.8]. Способ вычисления оценки спектральной плотности описан в разд. 11.5, а ее статистическая точность ——в разд. 8.5.

Оценивание плотности вероятности (блок Г), Последний основной этап рассматриваемой процедуры анализа заключается в определении плотности вероятности. При анализе процессов плотность вероятности часто не оценивают, так как принято считать, что все случайные явления подчиняются нормальному закону. Все же в некоторых случаях распределение процесса может существенно отличаться от гауссова. Это бывает прежде всего, когда рассматриваемый процесс представляет собой результат нелинейного преобразования некоторого другого процесса. Способ вычисления опенки плотности вероятности рассмотрен в разд. 11.3, а ее статистическая точность — в разд. 83

Анализ реализаций нестационарных и переходных процессов (блок Д). Все рассмотренные до сих пор методы могут быть применены только для анализа реализаций стационарных процессов. Если в результате оценивания основных свойств процесса установлено, что рассматриваемая реализация принадлежит некоторому нестационарному процессу, то для ее анализа необходимо использовать специальные методы. Задача анализа нестационарных и переходных процессов рассмотрена в гл. 12. Заметим, что для анализа некоторых классов нестационарных процессов можно иногда использовать ту же аппаратуру или программное обеспечение, что и в стационарном случае. Однако интерпретация результатов такого анализа требует особой осторожности (см. разд. 12.5 и 12.6).

Анализ реализаций периодыческого или почти периодического процесса (блок Е). Если в результате оценивания основных свойств процесса установлено, что рассматриваемая реализация содержит периодические или почти периодические составляющие, то анализ несколько усложняется. В частности, для решения задачи можно воспользоваться одним из двух описанных ниже приемов. Во-первых, можно разделить случайную и периода-

ческую части путем фильтрации и рассматривать их раздельно. Во-вторых, можно совместно анализировать периодическую и случайную части процесса, учитывая присутствие периодических составляющих при интерпретации результатов. Например, если построен спектр процесса, содержащего гармонические колебания, то около максимумов спектральной плотности на соответствующих этим гармоникам частотах можно изобразить символ дельта-функции и указать значение среднего квадрата гармоники. Последняя опенка находится как произведение спектральной плотности на частоте соответствующего гармонического колебания на разрешение по частоте. Если этого не сделать, то можно, как уже отмечалось в разд. 10.4.2, дать неверную физическую интерпретацию таким максимумам спектральной плотности.

Специальные методы анализа (блок Ж). В зависимости от конкретных целей исследования возможно применение различных специальных приемов анализа отдельных реализаций. Например, как показано в работе [10.9], при исследовании усталости различных механических конструкций приходится строить оценки плотности распределения вероятности экстремальных значений нагрузки. Некоторые вопросы теории связи, касающиеся проблемы шумов, требуют исследования пересечений нулевого или некоторого другого произвольного уровня (см. разд. 5.4.3 и работу [10.7]). Для решения некоторых специальных задач может потребоваться преобразование Гильберта, описанное в гл. 13. Необходимость проведения специальных видов анализа, указанных в блоке Ж, устанавливается при решении конкретных инженерных задач.

АНАЛИЗ СОВОКУПНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙ

В предыдущем разделе были описаны методы анализа отдельных реализаций, полученных в результате эксперимента. Процедура определения наиболее важных статистических характеристик совокупности реализаций изображена схематически на рис. 10.13. Как и в случае анализа отдельных реализаций (рис. 10.12), при решении конкретных физических задач некоторые из рекомендованных на рис. 10.13 этапов обработки могут быть исключены и заменены при необходимости дополнительными видами обработки. Следует иметь в виду, что описываемые ниже приемы выполняются в предположении стационарности отдельных реализаций. Рассмотрим теперь каждый из блоков, показанных на рис. 10.13.

Анализ отдельных реализаций (блок А). Этот первый этап заключается в анализе необходимых статистических свойств отдельных реализаций (рис. 10.12). Поэтому блок А на рис. 10.13 должен содержать соответствующую часть схемы, изображенной на рис. 10.12.

Проверка коррелированности реализаций (блок Б). На следующем этапе анализа выясняется вопрос о существовании корреляции между отдель-

АБВ

Рис. 10.13. Общая схема анализа совокупности реализаций.

ными реализациями совокупности. Во многих случаях для решения этой задачи достаточно беглого оценивания основных физических свойств процессов. Например, если ансамбль реализаций образован в результате наблюдений некоторых физических явлений и интервалы времени между получением отдельных реализаций достаточно велики, то можно без дальнейшего исследования считать эти реализации некоррелированными. С другой стороны, если совокупность представлена результатами одновременных измерений процессов на входе и выходе некоторой физической системы, то следует ожидать, что корреляция между реализациями существует. В тех случаях, когда отсутствие связи не вытекает с очевидностью из элементарных физических соображений, необходимо проведение специальной проверки, состоящей в вычислении взаимных корреляционных функций или функций когерентности (рис. 10.13).

Проверка эквивалентности некоррелированных реализаций (блок В). Если реализации признаны некоррелированны ми (блок Б), то следует проверить эквивалентность их статистических свойств. На этот важный этап анализа случайных процессов часто не обращают внимания. Нередко приходится встречать такие случаи, когда результаты анализа большой совокупности реализаций представляют в виде отдельных графиков, тогда как в действительности различия в результатах, полученных для отдельных реализаций, полностью можно объяснить дисперсией оценок. Формальное представление таких избыточных сведений обычно не приносит никакой пользы; оно скорее даже вредит исследованию. Действительно, излишне большой объем анализированного материала может без всякой необходимости усложнить интерпретацию результатов. Кроме того, неопытный исследователь может ошибочно придать физический смысл случайному разбросу отдельных оценок. Наконец, если результаты анализа статистически эквивалентных данных объединены до стадии интерпретации, то, как показано ниже, точность полученных оценок возрастает. Заметим, что для большинства прикладных задач эквивалентность оценок спектров может служить достаточным критерием эквивалентности реализаций, по которым построены эти оценки. Способ проверки эквивалентности спектральных оценок описан в разд. 10.5.3.

Объединение эквивалентных некоррелированных реализаций (блок Г). Результаты анализа отдельных реализаций, для которых установлена статистическая эквивалентность, должны быть объединены. Это делают путем расчета соответствующих средних взвешенных величин из оценок, полученных при анализе отдельных реализаций. Пусть, например, по двум некоррелированным реализациям получены оценки спектральной плотности, которые представляют статистически эквивалентные процессы. Если исходным оценкам G^f) и G^f) соответствуют nd} и nd2 усреднений, то новая, объединенная оценка спектральной плотности находится в виде 户 "4向(/) + "d2&(/)

Gp(/) =,(10.16)

nd\ + "d2

причем число усреднений для этой оценки составит ndp = 〃启]+ %?. Равенство (10.16) легко распространить на случай q оценок некоррелированных, но эквивалентных выборок:

%"/&(/)

Функции 6夕(/) отвечает теперь эквивалентное число усреднений "d= £"di • (10-18)

Согласно разд. 8.5.4, приближенное значение случайной ошибки оценки спектральной плотности есть £ = 1/V«d, и потому из формулы (10.18) следует, что операция объединения приводит к оценке автоспектра, обладающей меньшей случайной ошибкой.

Однако нужно также отметить, что операция объединения не приводит к уменьшению систематических ошибок (смещения) при оценке спектральной плотности (определение и анализ этих ошибок даны в разд. 8.5.1). Это обстоятельство зачастую вынуждает производить новую обработку реализаций, обладающих статистически эквивалентными свойствами, причем способы обработки строятся таким образом, чтобы уменьшить ошибки смещения. Для оценок спектральной плотности такая новая обработка может заключаться в пересчете оценок спектральной плотности по исходной реализации, но со значительно увеличенной разрешающей способностью по частоте. Это приводит к росту дисперсии оценки и уменьшению ошибки смещения. Последующее усреднение позволяет уменьшить дисперсию оценки.

Оценивание взаимных ковариационных функций (блок Д). Подобно ав- токовариационной функции и спектральной плотности, взаимная ковариационная функция и взаимная спектральная плотность представляют собой пару преобразований Фурье. Следовательно, получение взаимной ковариационной функции фактически не дает никакой новой информации о процессе, кроме той, которую содержит взаимный спектр. Однако эта функция позволяет иногда получить требуемую информацию в более удобной форме. В качестве примера можно привести определение задержки по времени между процессами, измеряемыми в двух точках. Такие измерения лежат в основе многих применений, описанных в работе [10.8]. Измерение взаимной ковариационной функции как отдельная стадия анализа представлено блоком Д. Заметим, что оценка взаимной ковариационной функции может служить показателем коррелированности двух отдельных реализаций; ее вычисление является иногда промежуточным этапом при расчете взаимной спектральной плотности.

Оценку взаимной ковариационной функции ищут обычно как обратное преобразование Фурье оценки взаимной спектральной плотности (см. разд. 11.6.2). Их статистическая точность рассмотрена в разд. 8.4.

Оценивание взаимных спектральных плотностей (блок Е), Наиболее важная часть анализа совместных характеристик совокупности коррелированных реализаций ——это измерение взаимной спектральной плотности. Взаимная спектральная плотность содержит сведения о линейных зависимостях, которые могут наблюдаться между отдельными реализациями, принадлежащими данной совокупности. Физическая интерпретация этой информации часто непосредственно ведет к решению поставленных задач (см. гл. 6 и 7 и работу [10.8]).

Вычисление оценок взаимной спектральной плотности рассмотрено в разд. 11.6.3, а их статистическая точность — в разд. 9.1.

Оценивание функций когерентности (блок Ж). Оценки функций когерентности находят косвенным путем ——по оценкам спектральной и взаимной спектральной плотностей. Различные типы этой функции (обычная, множественная и частная) применяются для разных целей. Во-первых, функции когерентности могут быть использованы как показатели коррели- рованности отдельных реализаций. Во-вторых, они играют весьма существенную роль при определении точности оценок частотных характеристик. И, во-вторых, с их помощью возможно иногда непосредственно решить некоторые задачи.

Вычисление функций когерентности рассмотрено в разд. 11.6.6, а их статистическая точность — в разд. 11.7. Примеры использования функции когерентности при решении инженерных задач содержатся в работе [10.8], а статистической точности ее оценок посвящены разд. 9.2.3 и 9.3.

Оценивание частотных характеристик (блок 刃.Часто конечной целью анализа совокупности является установление линейных зависимостей между процессами, к которым принадлежат рассматриваемые реализации. Существование таких линейных соотношений может быть установлено по оценкам взаимных корреляционных функций, спектральных плотностей или функций когерентности. Однако вычисление частотных характеристик позволяет наилучшим образом описать линейные зависимости.

Формулы для вычисления частотных характеристик и их применения рассмотрены в разд. 11.4 и 11.7, а статистическая точность оценок этих функций — в разд. 9.2.4, 9.2.5 и 9.3.

Другие методы анализа совокупности реализаций (блок И). При совместном анализе совокупности реализаций в зависимости от целей конкретного исследования вычисляют н другие совместные характеристики. Сюда относятся такие более сложные спектральные характеристики, как обобщенные спектры, которые используются при анализе нестационарных процессов (см. гл. 12), а также преобразования Гильберта (см. гл. 13).

ПРОВЕРКА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СПЕКТРОВ

В предыдущем разделе отмечалось, что при расчете оценок спектральной плотности по двум или более статистически независимым реализациям

следует проверять эквивалентность этих оценок. Ниже показано, каким образом может быть выполнена эта проверка.

(10.19)(10.19)Если число усреднений nd достаточно велико, например %》30, то оценка G(f) спектральной плотности G(/) имеет приблизительно нормальное распределение. В разд. 8.5 показано, что среднее значение оценки и ее дисперсия соответственно равны

(10.19)

(10.19)

E[G(f)]^G(f),

•©川弓G”)・•©川弓G”)・(10.20)(10.20)

•©川弓G”)・

•©川弓G”)・

(10.20)

(10.20)

Следовательно, соответствующий доверительный интервал для функции G(/) с уровнем доверия 1 — а, который можно найти при измерении величины G(f), приближенно выражается в виде

6(/) —а/26(/) —а/2G(/) < G(/) 1 + za/2G(/) < G(/) 1 + za/2

6(/) —а/2

6(/) —а/2

G(/) < G(/) 1 + za/2

G(/) < G(/) 1 + za/2

(10.21)

где %/2 — 100а/2 %-ная точка нормированного гауссова распределения. При выводе соотношения (10.21) предполагалось, что %/277nd《1, и поэтому

(10.22)(10.22)

(10.22)

(10.22)

Логарифмическое преобразование оценки G(/), т. е. величина log6(/) имеет распределение, более близкое к нормальному, чем исходное распределение. Среднее значение и дисперсия величины log (5(/) составляют

£[logG(/)] =logG(/),£[logG(/)] =logG(/),(10.23)(10.23)

£[logG(/)] =logG(/),

£[logG(/)] =logG(/),

(10.23)

(10.23)

(10.24)(10.24)Var[logG(/)]=—

(10.24)

(10.24)

Таким образом, дисперсия в этой формуле не зависит от частоты. Теперь доверительный интервал для величины log 6(/), соответствующий уровню доверия 1 — а, приближенно можно выразить в виде

logG(/) -za/2logG(/) -za/2bgG(/)< logG(/) +bgG(/)< logG(/) +Z&/2Z&/2

logG(/) -za/2

logG(/) -za/2

bgG(/)< logG(/) +

bgG(/)< logG(/) +

Z&/2

Z&/2

(10.25)

Это соотношение можно получить непосредственно из формулы (10.21) и найти таким образом эвристическое объяснение зависимостей (10.23) и (10.2%При выводе неравенства (10.25) предполагалось, что %а/2 巾可《1，肘 ПОЭТОМУ

1 土 Z“2

Рассмотрим теперь две различные оценки спектральной плотности G[(/)，G2S，полученные при различных условиях, например по двум разным реализациям или по двум разным участкам одной и той же реализации. Требуется определить, эквивалентны ли в статистическом смысле эти два спектра в одной и той же полосе частот 伉，$) шириной В — fb — fa.

Предположим, что каждая из двух оценок спектральной плотности получена при разрешающей способности △/, так что ширина спектра В делится на N$ полос, т. е.

N, = 8/А/.(10.27)

Будем считать далее, что число усреднений для этих оценок равно соот- ветствеино 几.】и п。？，причем время усреднения (длина записи) для каждой оценки может быть различным, хотя разрешение по частоте будет одним и тем же. С учетом соотношений (10.23) и (10.24) выборочные распределения логарифмов оценок в г-й полосе частот можно приближенно выразить с помощью формулI -

logGi(Z) =У logGjC/),——,

(10.28)

logG2(/,) = j logG2(/；),—,

где у[д, о2] — нормально распределенная случайная величина со средним значением д и дисперсией ст2. Теперь если две исследуемые реализации обладают одинаковой спектральной плотностью G(/) = G[(/) = G2(/), то из формулы (10.28) следует, что

,а（/）,а（/）1о, — + ."dl1о, — + ."dlСледовательно, статистикаСледовательно, статистика(10.29)(10.30)(10.29)(10.30)

,а（/）

,а（/）

1

о, — + ."dl

1

о, — + ."dl

Следовательно, статистика

Следовательно, статистика

(10.29)

(10.30)

(10.29)

(10.30)

подчиняется х2-распределению с лу степенями свободы, т. е.

х2 = хЗ ” =耳•

(10.31)

Используя формулу (10.30), можно проверить гипотезу о том, что G](/) = G2(/). Область принятия гипотезы есть

х? МхЗ，" = М・(10.32)

где а — уровень значимости коитеоия (см. разд. 4.6).

СООБРАЖЕНИЯ О МЕТОДАХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

До 1950 г. практически все задачи, связанные с анализом временнь1х рядов, решались с помощью специальной аналоговой аппаратуры. С развитием вычислительной техники произошел сдвиг в сторону цифровых методов анализа. Первыми переход на численные методы осуществляли, как правило, специалисты, интересующиеся относительно низкими частотами; сюда, в частности, относятся некоторые типы экономических и биологических исследований, анализ океанографических данных и исследования атмосферной турбулентности. Анализ высокочастотных явлений (на акустических частотах и выше) по-прежнему осуществлялся в основном с помощью аналоговой аппаратуры, что было связано с необходимостью обеспечить очень высокую частоту съема данных и с относительно высокой стоимостью операций фильтрации данных на цифровых ЭВМ. В 1965 г. ситуация изменилась радикальным образом благодаря появлению одного нового приема ——алгоритмов быстрого вычисления коэффициентов Фурье на цифровой ЭВМ. Эти алгоритмы, называемые обычно методами быстрого преобразования Фурье (БПФ), обеспечили разительное снижение затрат времени и стоимости операций фильтрации, необходимых для вычисления спектральных плотностей.

Сегодня практически весь анализ случайных процессов до частот не менее 100 кГц осуществляется численными методами. Для анализа в области ниже 25 кГц существует, в частности, широкий набор стандартно выпускаемой цифровой аппаратуры, которая позволяет чрезвычайно быстро осуществлять различного типа вычисления, основанные на использовании БПФ. Имея в виду эти соображения, авторы сочли целесообразным исключить из этой главы детальное рассмотрение аналоговых методов анализа, содержавшееся в первом ее издании1). Современные численные методы анализа случайных процессов рассмотрены в гл.11.

Задачи

Произведены измерения ускорения при помощи сейсмического акселерометра (см. рис. 10.2), причем j = 0,7,^ = 100 Гц. По результатам измерений рассчитана оценка спектральной плотности для диапазона частот 0...100 Гц. Определите ошибку смещения в оценке спектральной плотности на частоте 100 Гц, возникающую за счет отличия частотной характеристики акселерометра от П-образной формы.

D См.Бендат Дж.» Пнрсол А. Измерение и анализ случайных процессов. Гл. 8.: Пер .с англ. — М.: Мнр, 1974. — 464 с. — Прим, перев.

По данным предыдущей задачи получена также оценка автоковариационной функции. Возникают ли и здесь ошибки за счет отличия частотной характеристики акселерометра от П-образной формы н, если да, то какие?

Предполагается запись 10 реализаций случайного процесса в частотном диапазоне 0...1000 Гц с использованием кодово-импульсной модуляции при 12 импульсах на кодовую группу. Если требуется передавать все 10 сигналов по одному регистрирующему каналу, то

каким должен быть частотный диапазон регистрирующего устройства;

чему равно отношение сигнал/шум?

Если приходится производить запись случайного сигнала магнитофоном с сильной детонацией, то какой тип модуляции следует предпочесть — ЧМ или КИМ?

Требуется найти цифровым методом оценку спектральной плотности реализации. Известно, что спектральная плотность отлична от нуля только в диапазоне частот ниже 500 Гц. Установите:

какова наименьшая скорость дискретизации при обработке исходной реализации;

чему равна эта величина при расчете ковариационной функции;

чему равна эта величина при расчете плотности вероятности?

Сколько нужно задать уровней квантования при преобразовании аналогового сигнала в цифровой, если известно, что в результирующей дискретной последовательности потенциальный динамический диапазон (отношение пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению шума) должен быть 100:1 (т.е. 40 дБ)?

1С.7. В случайном процессе содержится гармоническое колебание со среднеквадратичным значением I В. Измерена спектральная плотность этого процесса при разрешающей способности Ве = 10 Гц. Какова (в среднем) оценка спектральной плотности на частоте гармонического колебания, если известно, что вблизи этой частоты оценка спектральной плотности случайной части процесса равна G = 0,1 В2/Гц?

Какая потребуется разрешающая способность по частоте, если при оценке спектральной плотности той же суммы случайного и гармонического сигналов, что н в задаче 10.7, необходимо получить спектральную плотность на частоте гармонического сигнала в среднем в 10 раз большую, чем на других частотах?

Воспользовавшись представленной на рис. 10.12 общей схемой анализа отдельных реализаций, объясните, почему проверка стационарности осуществляется прежде, чем проверка периодичности н (или) нормальности.

Воспользовавшись представленной на рис.10.13 обшей схемой анализа совокупности реализаций, объясните, почему при расчете частотной характеристики всегда необходимо находить и опенку функции когерентности.

Глава 11

ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

В этой главе дано подробное описание методов, необходимых для вычисления различного рода характеристик при анализе временных рядов. При этом предполагается, что анализируемые данные представляют собой дискретные по времени выборки из стационарных (эргодических) случайных процессов. Методы анализа нестационарных процессов рассмотрены в гл. 12, а преобразование Гильберта —— в гл. 13.

Подготовка данных

В ряде случаев изучаемое физическое явление имеет дискретное время по самой своей природе. Примерами могут служить эмиссия нейтронов или многие типы экономических данных. Однако в большинстве случаев процесс имеет непрерывное время, и его следует вначале преобразовать во временной ряд, сделав это с учетом соображений относительно дискретизации и маскировки частот, детально рассмотренных в разд. 10.3. Во всяком случае, предполагается, что дискретные данные состоят из N равноотстоящих отсчетов с интервалом дискретности △/ секунд, как было показано ранее на рис. 10.5. Пусть величины

{"力7" = 1,2,…，N,⑴ 1)

отвечают моментам времени

£“ = %+〃△& п = 1,2,..., ^ .(11.2)

причем момент /0 выбирается произвольно и в случае стационарного процесса в дальнейшие формулы не входит. Таким образом

〃" = 〃(％+也 A。，" = 1,2,...,N・(11.3)

Общая длина реализации есть, очевидно, Tr = NX. Согласно разд. 10.3, частота Найквиста, отвечающая этой выборке, есть

Как указано в разд. 10.3, исходные данные должны быть подвергнуты различного рода предварительной обработке. При этом наиболее часто выполняются следующие операции: а) приведение к нулевому среднему значению и единичной дисперсии; б) удаление тренда; в) фильтрация.

ПРИВЕДЕНИЕ К НУЛЕВОМУ СРЕДНЕМУ ЗНАЧЕНИЮ И ЕДИНИЧНОЙ ДИСПЕРСИИ

Выборочное среднее значение последовательности отсчетов (wwj (п = 1, 2, ..., N) определяется в виде

1巴

« = — Е w„-(1L5)

N И = 1

В случае стационарного и эргодического процесса величина и представляет собой несмещенную оценку среднего значения 丛(см. разд. 4.1). Для последующих расчетов удобно преобразовать последовательность {〃〃} в новую последовательность {х〃}, имеющую нулевое выборочное среднее заначение:

к” = х(% + 也 А。= 〃“ 一瓦，也=1,2,..., М (11.6)

Все последующие формулы относятся к преобразованным таким образом данным 仅 J для которых х = 0.

Среднеквадратичное отклонение преобразованной выборки {х〃} имеет видг

1 N 1/2

s= 7；―7 Е"・(11.7)

Величины sus? представляют собой несмещенные оценки среднеквадратичного отклонения ох и дисперсии 吊 соответственно (см. разд. 4.1). Если дальнейшие расчеты предполагается вести на ЭВМ с фиксированной, а не плавающей запятой, то 仅“]следует преобразовать в новую последовательность {zj определенную в виде

z〃 =包 Л = 1, 2, ...,М(11.8)

УДАЛЕНИЕ ТРЕНДА

В некоторых случаях исходные данные могут содержать посторонние случайные тренды или низкочастотные компоненты, период которых превышает длину реализации Тг = ^△^. Обычными источниками таких случайных трендов служат дрейф нуля регистрирующей аппаратуры и операции интегрирования сигнала. Если такие тренды не исключить из исходных данных, то при их последующем анализе могут возникнуть значительные искажения оценок плотности вероятности, ковариационных и спектральных характеристик. Однако здесь нужно проявлять известную осторожность и удалять тренд лишь в том случае, если его присутствие очевидно или следует из априорных физических соображений.

Наиболее распространеныый способ удаления тренда заключается в подгонке к данным многочлена невысокого порядка с помощью метода наименьших квадратов (см. разд. 4.8.2). Пусть исходный ряд наблюдений {〃〃} приближается многочленом степени К ：

к

Й„ = Е bk(n^t)k," = 1,2,...,М(11.9)

& = 0

В рамках метода наименьших квадратов подгонка осуществляется путем минимизации квадрата разностей исходной последовательности и значений многочлена:

NN「 К]2

2 = £ (%- А”)？ = £ 瓦(“Аг)& . (ii.io)

w== 1w = l女=0_

Искомая последовательность коэффициентов 匕衣* = 0, 1, ..., К) получается путем приравнивания нулю частных производных функции Q по переменным Ьк. Это дает систему из К 4- 1 уравнений

К NN

£_£ (痴产"=£%("△，)”, m = 0,1,2,...,к.(11.11)

А=0 〃=1〃=1

В частности, при К = 0 уравнение (11.11) принимает вид

NN

坛 X (" Аг)° = Е "“(〃 Af)°,(11.12)

откуда имеем

1 g%=元g：”=，.(11.13)

При К = 1 уравнение (11.11) запишется в виде

NNN

坛 X (" А。" + 瓦 X (〃 А。"” = Е %("Ае)7 ж = 0,1. (11.14)

п=1W— 1п= 1

Имея в виду, что

Л N(N + 1) S 2 N(N+1)(2N+1)厶…、

= —~—， £М =,(11.15)

«=1'力=1“

получим решение

2(2N + 1&!«„ - 6^nun

坛 丽F，(1116а)

人 12eз步"" _6(N + 1)E，=1"“

Ьл ；с; (11.166)

1AzN(N— 1)(N + 1)

Формулы (11.16) определяют линейную регрессию со свободным членом Ь^ и углом наклона ЬР Величины, отвечающие этой прямой, следует вычесть из исходных данных |〃/. Заметим, что при 〃〃=%,〃△, = % bG = А и 力］=В равенства (11.16) эквивалентны равенствам (4.70). Пример исключения линейного тренда показан на рис. 11.1. Тренды более сложной формы удаляются подгонкой многочленов более высокого порядка, однако принимать значение К > 3, как правило, не рекомендуется.

ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Фильтрация данных, предшествующая их детальному анализу, может выполняться для различных целей, например для выделения периодических компонент, как основной элемент «наплывающего» преобразования Фурье (см. разд. 11.5.4) или для исключения ошибок маскировки частот до «прореживания» исходных данных. Последнее приложение особенно важно, поскольку операция прореживания выполняется во многих случаях для уменьшения объема данных, подлежащих дальнейшему анализу. По определению, прореживание порядка d заключается в сохранении в исходной последовательности каждого J-ro наблюдения при игнорировании всех прочих. Таким образом, последовательность, имевшая прежде интервал дискретности Д/, преобразуется в последовательность с интервалом дискретности d△九 При этом новая частота Найквиста равна/ = 1/(2JA/), а составляющие с более высокими частотами преобразуются (маскируются) переходом в диапазон частот от 0 до l/(2d&). Чтобы избежать ошибок маскировки

Рис. 11.1. Удаление линейного тренда.Рис. 11.1. Удаление линейного тренда.

Рис. 11.1. Удаление линейного тренда.

Рис. 11.1. Удаление линейного тренда.

частот, исходные данные следует предварительно пропустить через низкочастотный фильтр, подавляющий компоненты с частотами выше 1/(2"АЕ).Заметнм, что эта операция не исключает необходимости -фильтрации из исходного ряда составляющих с частотами выше fc = 1/(2Д/) при помощи низкочастотного аналогового фильтра.

Цифровым фильтром можно пользоваться как во временной, так и в частотной области. Фильтрация в частотной области соответствует умножению преобразования Фурье исходной реализации х«) на частотную характеристику фильтра 77(f) и выполнению затем обратного преобразования Фурье. Если x(f)——исходный ряд, то отфильтрованная последовательность есть

у") = IFT[H(/)X(/)] ,(11.17)

где IFT означает обратное преобразование Фурье, aX(f) — преобразование Фурье реализации *(£). Такой способ фильтрации обладает рядом достоинств, к числу которых относятся простота понимания и отсутствие необходимости задавать аналитическое выражение для частотной характеристики фильтра. Однако он может оказаться громоздким и неэкономичным в вычислительном отношении, если, как это часто бывает, длина исходного временного ряда настолько велика, что его неудобно держать полностью в памяти ЭВМ. В этих случаях фильтрацию приходится осуществлять поэтапно для отдельных смежных отрезков исходного ряда.

Фильтры, применяемые во временной области, можно разбить на два типа:

нерекурсивные фильтры, или фильтры с конечной импульсной переходной функцией (ФКИПФ)1).

рекурсивные фильтры, или фильтры с бесконечной импульсной переходной функцией (ФБИПФ).

Нерекурсивные фильтры (ФКИПФ) имеют вид

л/

Yi = ZhkX—k.(1L18)

А = 0

Эта формула представляет собой дискретный аналог уравнения свертки (6.1)8

P(£)=J h(r)x(t - т) Jr,(11.19)

где h(r)——импульсная переходная (весовая) функция фильтра. Подобным же образом \hk] есть импульсная переходная функция цифрового фильтра. Примерами ФКИПФ могут служить классические приемы сглаживания, ин> терполяции, экстраполяции, дифференцирования и интегрирования временных рядов.

Рекурсивным (ФБИПФ) называется цифровой фильтр, для которого значение последовательности на выходе определяется не только конечным числом прошлых значений исходного ряда, но также и предшествующими

】)Имеется в виду длина интервала, на котором импульсная переходная функция отлична от нуля. — Прим, перев.

значениями выходного процесса, которые также рассматриваются как вход фильтра (в технике это называется обратной связью). Простейшая запись рекурсивного фильтра имеет вид

(11.20)(11.20)Л/

(11.20)

(11.20)

Л = сх“ + X hkyn_k,

衣=1

т. е. фильтр использует М значений выходного процесса и только одно входного. В более общем случае число значений выходного процесса не меняется, а число значений входного процесса возрастает. Формула (11.20) ил л юстрируется рис. 11.2, где треугольники обозначают операцию умноже~ ния на соответствующие величины, квадраты ——задержку по времени на △/ между смежными точками и, наконец, окружность соответствует операции суммирования.

Преобразование Фурье равенства (11.20) дает

м

У(/) = сХ(/)+У(/) £%-"”&△，，(11.21)

衣=1

причем сумма содержит многочлен по степеням экспоненты ехр(—/ 2炉&). Обозначая последнее выражение символом z, можно воспользоваться для изучения свойств цифровых фильтров теорией г -преобразований. Как следует из формулы (11.21), частотная характеристика всей системы имеет ВИДУ(/)с

"⑺=而7 =/f巨产而 ,⑴•")

Таким образом, изучение свойств частотной характеристики H{f) сводится к определению положения и характера полюсов в знаменателе последнего выражения.

Рассмотрим в качестве примера рекурсивный цифровой фильтр

Рис. 11.2. Схема простого рекурсивного фильтра.

где а = ехр(— △/质С). В непрерывном случае это выражение эквивалентно низкочастотному RC-фильтру. Чтобы убедиться в этом, заметим, что, со

гласно формуле (11.22),

(11.24)(11.24)(11.25)(11.25)1 — 〃

(11.24)

(11.24)

(11.25)

(11.25)

Здесь квадрат амплитудной характеристики равен

(1 — 〃『

IW = (1 + М) - 2a cos2"/Af，

Отметим, что если RC А △/, то а = ехр(—△E/RC)餐 1 — △f/KC и 1 — а = М/RC. Если, кроме того, 2тг/△/ « 1, то справедливо приближенное равенство ехр(—У2тг/Д/) = 1 — /2江△九 В этом случае

U 丿 l+/2"/RC' 1 + (2tt/RC)2

что соответствует обычному низкочастотному RC -фильтру.

Синтез рекурсивных цифровых фильтров, дающих хорошее приближение к фильтрам Баттерворта, может быть выполнен при помощи формулы (11.22) путем нахождения последовательности весов \hk] и коэффициента с, таких, что соответствующая им величина \Hif)\2 имеет вид

、11

|Н(/)|2 =——;而， 0 </<--• (11.27)

1 + (sinTr/Ar/sinTr/o Дг)2 Az

Заметим, что при/ = 0 значение \H{f)\2 = 1, а при/ =/0 квадрат модуля частотной характеристики равен 1/2. На частоте Найквиста/ = 1/(2А1) величина Htf) при больших М стремится к единице. Таким образом, в интервале (О, 1/2AZ), наиболее важном в дискретном случае, фильтр, описываемый уравнением (11.27), ведет себя как низкочастотный фильтр Баттерворта: р

1 + ("/о)к

где /0 — частота, соответствующая половинной энергии, а величина К определяет наклон кривой lH(f)]2. Более детальное описание математических основ синтеза рекурсивных цифровых фильтров содержится в работах [11.1 — 11.4].

ПРИМЕР 〃」.РЕКУРСИВНЫЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР. Пусть исходный временной ряд получен при скорости дискретизации, равной 1000 отсчетов в секунду. Предпо латается выполнить его низкочастотную фильтрацию с помощью простого 1?С-фильтра с частотой пропускания по уровню половинной энергии, равной/0 = 10 Гц. Требуется построить необходимый для этой цели рекурсивный цифровой фильтр.

Согласно соотношению (11.26), частота пропускания по уровню половинной энергии соответствует значению частотной характеристики I H(f/2 = maxУг I H(f)12 =力丨/f(10)|2 = о,5. Поскольку в этом случае RC > △/ = 10~з, имеем

|Я(Ю)|2 =|Я(Ю)|2 =11 +(20тт&С)211 +(20тт&С)20,5.0,5.

|Я(Ю)|2 =

|Я(Ю)|2 =

1

1 +(20тт&С)2

1

1 +(20тт&С)2

0,5.

0,5.

Таким образом, RC = 0,016 я а = ехр(—0,063) = 0,94. Этот результат можно проверить подстановкой а = 0,94 в выражение (11.25), что дает 1Н(10)12 = 0,5. В соответствии с формулой (11.23) искомый низкочастотный фильтр задается уравнением

К = 0,06х〃 + 0,94 吊-i・

11.2. Ряд Фурье и быстрое преобразование Фурье

Построение ряда и преобразования Фурье теоретически представляют собой различные операции, но в большинстве практических приложений численная реализация этих операций осуществляется одинаковым образом. Это объясняется тем, что для дискретной реализации можно построить ряд или преобразование Фурье только в конечном диапазоне частот, и этот диапазон определяется значением периода при вычислении соответствующего ряда Фурье. Как уже отмечалось в разд. 5.2.2, одна из основных причин использования быстрого преобразования Фурье состоит в том, что оно позволяет получить оценки спектральной плотности и ковариационной функции. Прежде чем излагать алгоритм быстрого преобразования Фурье, полезно рассмотреть, каким образом вычисляется обычный ряд Фурье.

РЯД ФУРЬЕ

Если предположить, что реапизациия х(£)——периодическая с периодом Тр и фундаментальной частотой /\ = 1/7^, то ее можно представить рядом Фурье

x(f)=T+ £ (〃/os2力"/+ %sin2azi)(11.29)

где

2 "

% =不 / x(f)cos27rq/ir力，q = 0,l,2,…；

%=号£x(t)s'n2"qfitdt, q = 1,2,3,....

Пусть реализация х(/) имеет конечную длину Тг = Тр9 равную фундаментальному периоду. Предположим также, что она состоит из четного числа N эквидистантных наблюдений с интервалом дискретности △/, кото-

рый выбран таким образом, что частота Найквиста fc = l/(2Af) достаточно высока. Будем считать, что начальный момент реализации равен нулю, и обозначим, как и прежде, преобразованную последовательность следующим образом:

хп = х(п Д/) , 〃 = 1,2,…，N.(11.30)

Вычислим теперь по всем N значениям реализации конечный ряд Фурье. Для любой точки £, принадлежащей интервалу (0, Тр), этот ряд имеет вид

、2/ 2 77*][2*

Х“)= 4 + £ 4cos +£ BgSin -—.

9=1\ % /9=1\。/

В точках f = пМ (л = 1, 2, .... 7V) где 々=〃△厶 получим

丝2 / 2万初\

X” = x("Af) = 4 + £"〃s(—^-)+£ BgSin(-^-). (11.32)

КоэффициентыAqиBqопределяются выражениями

g一

"0=元Xx"= m = 03

'q=\,2,...,- - 1；(11.33)'q=\,2,...,- - 1；(11.33),2g2 咿

'q=\,2,...,- - 1；

(11.33)

'q=\,2,...,- - 1；

(11.33)

=——> x“cos 〃 N

%N/2 =靑 E X^OSHTT,

g 2irqnN

3。= — £ x“sin夕 q = 1,2,— 1 •

N £ “ N V2

Программа для расчета величин Aq и Bq должна содержать следующие операции:

определение величины 6 = •qn/N при фиксированных значениях q м 〃;

вычисление cos8, sin 8;

вычисление xwcos0, xwsin^;

вычисление суммы для каждого из этих выражений при л = 1, 2, ..., N;

приращение аргумента q на единицу и повторение всех перечисленных действий.

Такой способ требует выполнения примерно № операций умножения и сложения действительных чисел.

Поскольку затраты машинного времени и стоимость расчетов зависят

от N2, при больших N такой стандартный метод вычисления коэффициентов Aq s Вд может оказаться дорогостоящим и потребовать значительного времени. Чтобы существенно снизить затраты машинного времени, были разработаны и введены в практику другие способы расчета, получившие название «быстрое преобразование Фурье» (БПФ). Рассмотрим детально эти важные методы, применяемые для цифрового анализа случайных процессов.

11.2.2. БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Преобразование Фурье действительной или комплексной функции х(/), заданной на бесконечном интервале, представляет собой комплексную величину

/«8

Х(/)= / x(t) e-j2^dt .(11.34)

8

Если область интегрирования не ограничена, то, как уже отмечалось ранее, преобразование Х(/) не существует, когда реализация х(/) обладает всеми свойствами стационарного случайного процесса. Ограничив интервал задания функции х(£), скажем приняв его равным [О, Г], можно построить финитное преобразование Фурье

Х(/, Т) = (4(。е-" dt .(11.35)

Предположим теперь, что функция х(/) представлена N эквидистантными наблюдениями с интервалом дискретности △/, который выбран таким образом, что частота Найквиста достаточно высока. Поскольку /0 = О, моменты tn = пЫ (в данном случае удобно начать с 〃 = 0). Формула (11.30) запишется в виде

хп = х(п Д/),〃 = 0,1,2,…，N — 1 ・

Дискретная аппроксимация выражения (11.35) при произвольном значении / естьN-1

х(/, Т) = А/ £ х“ехр[-/2тг%А".(11.36)

“ =0

Для расчета функции *伉 Г) обычно выбираются дискретные значения частоты

к к

А = у = ^ , А = 0,1,2,…，N-1.(П.37)

Преобразованная последовательность дает на этих частотах составляющие Фурье

ДЛ)仁 1 гчткпЛ

Х&=-^= Ех/хр—/^^ ,左= 0,1,2,…，N- 1,(11.38)

причем интервал дискретности △£ внесен в значение X仇)，чтобы перед

знаком суммы не было множителя. Заметим, что преобразование однозначно только до значений к = N/2, поскольку этой точке соответствует частота Найквиста. Быстрое преобразование Фурье применяется для вычисления последовательности 芻,но может быть также использовано для нахождения коэффициентов Фурье Aq и Bq из формул (11.33).

Упростим обозначения, положив

2тги/.

W(u) = exp -j—^~ -(11-39)

Заметим, что %JV) = 1 и при всех w и v справедливо равенство

%(〃 + »= W(u)W(v).

Положим также Х(衣)= Х^, х(〃) = х„. Формула (11.38) примет теперь вид

Х(左)=2^ x(n)W(kn)9 А; = 0,1,2,..., ^ - 1 .(11.40)

п = 0

Следует внимательно рассмотреть равенства (11.38) и (11.40), представляющие собой не что иное, как преобразования Фурье последовательности х(п), содержащей конечное число N членов. Для расчета всех значений Х(衣)по этим формулам необходимо выполнить примерно М операций умножения и сложения комплексных чисел (одна такая комплексная операция эквивалентна четырем операциям умножения и сложения действительных чисел).

Идея быстрого преобразования Фурье. Быстрое преобразование Фурье основывается на представлении величины N в виде ряла (отличных от единицы) сомножителей и в выполнении обычного преобразования Фурье для более коротких последовательностей, число членов в которых определяется соответствующими сомножителями. Если N может быть представлено в виде произведения р целых и больших единицы чисел:

%= Пл = г*2 ■♦• 0，(1141)

i = l

то, как доказано ниже, входящая в соотношение (11.40) последовательность XR) может быть найдена итеративно путем расчета суммы р слагаемых: NI о — преобразований Фурье, каждое из которых требует 4* операций с действительными числами;

А/，？ 一 преобразований Фурье, каждое из которых требует 4埠

операций с действительными числами;(11.42)

N/%— преобразований Фурье, каждое из которых требует

4吊 операций с действительными числами.

Таким образом, общее число операций над действительными числами со-

ставляетставляетР

ставляет

ставляет

4(Д>1 + N，2 + N，3 + - • • +N。) = 4^ £ 厶. i=i

(11.43)(11.43)к.у.в.к.у.в.^2^2=4NE厶儲=4NE厶儲^4互储^4互储(11.44)(11.44)В результате при использовании БПФ, а не стандартного метода получаем коэффициент ускорения вычислений (к.у.в.)

(11.43)

(11.43)

к.у.в.

к.у.в.

^2

^2

=4NE厶儲

=4NE厶儲

^

4互储

^

4互储

(11.44)

(11.44)

ПРИМЕР 11.2. КОЭФФИЦИЕНТ УСКОРЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛЯ N = 2% ГДЕ р — ЦЕЛОЕ ЧИСЛО. Если N = 2。，то

р

£ 厶=2夕=210g2%. i=l

В этом случае, согласно формуле (11.44),

^2N

к.у.в.==——•

8Np8P

Однако скорость вычислений можно увеличить еще вдвое, используя следующее свойство: при N = 2° все значения W{kri) равны либо 1, либо -1, так что соответствующие операции умножения заменяются сложением и вычитанием. Таким образом,

Nк・У・в・=^・(11.45)

В частности, при N = 2” = 8192 из формулы (11.45) получаем: к.у.в. = 8192/52 = 158. Но и этот результат представляет собой лишь консервативную оценку; в действительности можно добиться нового двукратного увеличения скорости, разделив исходную реализацию пополам и производя расчет, как указано в разд. 11.24.

Построение метода. Для получения результата, постулированного в (11.42), представим индексы Аг и л из формулы (11.40) в виде

р — 1〃к= X 左“Гк ,— О 00р — 1〃к= X 左“Гк ,— О 00幻一0,1,2,..., гг+| — 1 ,幻一0,1,2,..., гг+| — 1 ,% = 1 ；% = 1 ；(11.46)(11.46)

р — 1〃

к= X 左“Гк ,— О 00

р — 1〃

к= X 左“Гк ,— О 00

幻一0,1,2,..., гг+| — 1 ,

幻一0,1,2,..., гг+| — 1 ,

% = 1 ；

% = 1 ；

(11.46)

(11.46)

ГТги, = 0,1,2,..., ^_„ - 1,

k。i=°5+1 = 1.

Отметим, что теперь индексы кип заменены индексами ку и q. Последние формулы можно переписать в виде

-=左0 + 储0 + 上2?2 + …+一一1("2 • ■ rp 1)，

(11.47)

"=“0 + "% + п2ГрГр-1 +…+"р 1(^-1 ••• ^2),

где

fc0 = 0,1,2,..., rj - 1 ,л0 = 0,1,2,..., ^, - 1 ,

左]一。,1,2,...,，2 - 1,"1 =0, 1,2,...,/^_1 - 1,

кp-i —0,1,2,...,0- 1,"р—1 =。,1,2,...,/*1 - 1.

Фиксируя поочередно kv и 〃”，можно непосредственно убедиться в том, что величины кип принимают значения от 0 до N — 1, где N есть произведение всех значений ri (см. равенство (11.41)). Перепишем теперь формулу (11.40) в виде

Х(左)=Х(к。, Л。…,—._]) =

%—1 7-1Т qT，i — i

=X X …Z X x(〃o,打1，…，"p-2, "p-l)〃(k"), 勾=0 "1=0〃р-2=0〃р-1=0、

где(11.48)

W(kn) = W^k[nG + nxrp +…+勺一("一1 …%十i) +…+

+ .p-i(.i-i ….)])，⑴49)

а величина к определена равенством (11.46).

Другой способ представления величины к заключается в следующем:

a =(右 + &. + ■ • ■ +—-/"2 …J)+

+ (厶「2 …〉)("+ А"爲+ 1 + ■■■ +кр-3+ 過+ 2 ■•■ 5-J.

Следовательно, в формуле (11.49)

ер-(00-1 …*1)=(心 + A/1 + …+七-1g/2 -• G-i)X

Х"р—(7%-1 …入 J +

+ Nnp_y(k> + kv+xrv^r 十• ♦ • +

+ kp-i乙+i乙十2 …0-1). (115。)

Далее величина W для любого аргумента, кратного N, равна единице, поэтому при V = 1, 2, ... р

w{knp_vrprp_l •■• г,+1)=物[(，+ 左乃 + …+心一1叱2 …厶т)х Х"р »ГрГр ].♦•/；+]].

(11.51)

Рассмотрим последнее равенство подробнее. При ” = 1 имеем W(knр_1Гргр_х ••■ r2) = W(konp^rprp_x •■• г2) =

■ (11.52)■ (11.52)

■ (11.52)

■ (11.52)

Мы получили экспоненциальное выражение для преобразования Фурье функции x(np_ j), состоящей из гр а не из N членов (см. формулы (11.36) и (11.40)). Заметим, что переменные 攵。и пр_х принимают значения от 0 до г】一 1, и потому для расчета каждого значения X(к^ нужно всего г| операций умножения и сложения. Имея в виду равенство %〃 + 0 =伙〃)收v), нетрудно показать, что при 〃 = 2, 3, ... р формула (11.51) принимает вид произведения

巾[(左0 +.«+♦•• +•■ —2叱2 •■■ r,-2)np-,rprp-l •■• ^+1] X

物(——…厶-1%-%% . 1 …*J, (11.53)

в котором только второй сомножитель содержит величину 衣”_「Этот сомножитель представляет собой выражение

(11.54)(11.54)

(11.54)

(11.54)

т. е. экспоненту, необходимую для преобразования Фурье функции х (пр _ г), состоящей из гу членов. Заметим, что переменные кv__t и np_v принимают значения от 0 до г” 一 1. Следовательно, для вычисления каждого значения Х(衣歹—1)нужно всего г^ операций умножения и сложения.

Алгоритм БПФ, С учетом преобразований (11.50)— (11.52) уравнение (11.49) можно записать в виде

РI к _ п _ ^ \

物(e)=q7(>,心,…，左-2)" г:一 卜 (11.55)

где

1 , ” = 1；

Т(к0, к1,...,к„_2)='Т(к0, к1,...,к„_2)='/[(/ + 储，1 + ■ ■ ■ + 尤一26〃 ♦一％-2)Х x(，p-〃OO-i，••乙+i)]> 沙=2,3,..., р .

Т(к0, к1,...,к„_2)='

Т(к0, к1,...,к„_2)='

(11.56)

Величины типа Т часто называют «ориентирующими коэффициентами». Подставив выражение (11.55) в формулу (11.48), получим

x(/с。,储，…，与.J= &17(心，上,..，左”2)物(^^1”0 =。\ Гр j

,、lkp_2niN\

x X Т{к0,к„...,кр_М р 2 1х-.-х

"L0\^-1/

x L，(询？卜〃р-2=。\2)

х £ x(n0,n1,...,np_2,np_l)Wl •(11.57)

g=o\1/

Таким образом, согласно формуле (11.57), искомое преобразование Фурье может быть построено за р итераций. Теперь следует остановиться на этом итеративном методе более подробно.

Рассмотрим последнюю внутреннюю сумму в формуле (11.57). Пусть

,、"1/Mig

4(上0, “0，"1，■ ■ ■，"р-2)= £ х("о, "],..., "р — 2, "р-1)/|г

j=0\ Г1 /

(11.58)

Имея в виду все возможные значения, которые могут принимать величины 〃о，"1，...» 〃р_2，найдем, что уравнение (11.58) дает N/。преобразований Фурье функции х{пр_^, каждое из которых требует 彳 операций. Рассмотрим теперь следующую внутреннюю сумму в формуле (11.57). Пусть

力2 (女0，к[, "°, 〃i，• • •, "р —з)—

= X 4(ko，"o，"i，…,% .2)7优)叫上匕(11.59) 32 =。\ Г2 I

Тогда, имея в виду все возможные значения, которые могут принимать величины 攵°, "°, Л], ...,寿夕—3, найдем, что уравнение (11.54) дает N/r2 преобразований Фурье функции х(〃р_2), каждое из которых требует г| операций. Продолжая эти рассуждения ло ”・го шага, где v = 2, 3, ..., р — 1, положим

4(左0, &,• — , &У-1，"о, "1，…，"p—v—J =

Н ^'^ 4(，-](k0，к1，...，左口 —2，"0，"1，, , •, "p _v)x “p—=0

X T(&, 3,,心一2)" 生 1%一歹).(11.60)

И вновь, имея в виду все возможные значения, которые могут принимать величины 衣°, А:” ..., к#—?，"о，"и •••» %_”_], получим N/rv преобразований Фурье функции х(%_) каждое из которых требует 弓 операций. На последнем шаге формула (11.57) дает

Х(к(), &,..., kp_J = Ар(к0, & …，kp-J =

=X (-1(上0,上卜…,kp一2, "0)X

为=0

x T（「,&,…，勺.2）网

kp-i"()Nгр

,(П-61)

откуда, имея в виду все возможные значения величин к。, к» ...,左р_2，получим N% преобразований Фурье функции х(л0), каждое из которых требует 崂 операций. Последовательность действий, определенная равенствами (11.58) — (11.61), приводит к результату, постулированному в (11.42), причем комплексные числа теперь заменены действительными.

Выражение (11.60) и есть алгоритм быстрого преобразования Фурье; оно служит основой для многих применяемых сейчас численных методов расчета преобразования Фурье. Более детальное рассмотрение содержится в книге (11.5).

МЕТОД КУЛИ — ТЬЮКИ

Описанный в 1965 г. в работе (11.6] метод Кули ——Тьюки представляет собой вариант алгоритма (11.60); этот метод особенно удобен для реализации на ЭВМ с двоичной системой счисления. В частности, он применим в случаях, когда число анализируемых ординат равно

(11.62)(11.62)N = 2Р.

(11.62)

(11.62)

Чтобы удовлетворить этому требованию, можно при необходимости до-

полнить последовательность нужным числом нулей. Определяющая итерационную процедуру формула (11.57) содержит теперь р сумм, каждая из которых дает N/2 преобразований Фурье, и для расчета каждого преобразования нужны четыре операции. Таким образом, всего необходимо произвести 2Np операций умножения и сложения комплексных чисел.

Желательно теперь отдельно выписать уравнения для этого весьма важного частного случая. Это делается просто подстановкой нужных величин в предыдущие формулы. Формула (11.47) принимает вид

к = к° + 2储 + 22七 + …+2Р~%рт ,

〃 =%。+ 2〃i + 2?〃2 + …+2PT"p_],(11.63)

где величины кип могут иметь только значения 0 и Р\ Для всех г = =1, 2,…，尸2 уравнение (11.54) переписывается в виде

%卜-?2斗=exp^-jirk^yrip.,), (11.64)

причем эта экспонента может быть равна только 1 или — 1. Вместо формулы (11.56) имеем

T(L&,...,仁2)= ) /[(左о+2储 + …+2-2左一止飞」，

I 沙= 2,3,р.(11.65)

Итерационное преобразование Фурье (11.57) можно записать для этого частного случая следующим образом:

Х(&о, * …,kp_ J =

1111

=L Е ■ • ■ ЕX x(no,nl,...,np_2,np^l)w(kn), (11.66)

w0 = 0 ml=0"p一2=0弓一1 =

где

р

W(kn) = П П^о. ^i，■ • •，^-2)exP(->^»-i«p J.

Согласно уравнению (11.58), первая итерация дает

1

4(&，“0, "1，…,％一2)= X х("О，〃],.••, "р —2’ "р-i)exp(—j力&勺—J.

〃р 1 = 0

(11.67)

1)В правой части уравнения.— Прим, перев.

На р-м шаге (при у = 2, 3, ..., р — 1) уравнение (11.60) запишется следующим образом:

"〃(左0，左1，••♦, А»—I，"о，"i，・・・，〃р_у—1)=

1

—^L "v - 1(儿0‘ 左1，• • •, ку—2，"0, 打1，…，勺一Jx ,,=0

X7(ko, &,…，k“—2)exp(-J"冗一1勺—《,)•(11.68)

Это и есть алгоритм быстрого преобразования Фурье по Кули ——Тьюки. Последняя итерация (уравнение (11.61)), принимающая вид

Х(к(), ^1» • • •» kp-i) = 4>(，，&，• • •, &p-i)=

1

=X &-1(左0, 右…•，аР-2,〃0)Х 〃о=О

X 7(左0, &,…，kp-2)exp(-尸kp—i"o),(11.69)

завершает последовательность действий для этого частного случая. Более подробное обсуждение метода содержится в работах [11.2— 11.6].

ПРИМЕНЕНИЕ К ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ

Если даны две действительные реализации х(〃) иу(〃), то их преобразование Фурье можно вычислить одновременно, приравняв одну реализацию действительной, а другую мнимой частям некоторой комплексной реализации

z(〃)= *(%) + 方(％)?и = 0,1,..., ^ — 1 .(11.70)

Согласно формуле (11.38), преобразование Фурье функции z(n) имеет вид

к = 0,1,2、…、N — 1, (11-71)к = 0,1,2、…、N — 1, (11-71)Z(/c) = X [х(") + 方(w)]exp -J-—

к = 0,1,2、…、N — 1, (11-71)

к = 0,1,2、…、N — 1, (11-71)

л=0

и может быть рассчитано по алгоритму БПФ. В формулах (11.70) и (11.71) обычно преполагается, что N ординатам реализаций х(л) "(") соответствует N значений частот, отстоящих друг от друга на величину 1/Г. При этом частоте Найквиста отвечает значение к = N/2. Поэтому при N четном однозначные результаты получаются только для значений к = 0, 1, 2,..., N/2 — 1. Для получения функций Х(к) и Y(k) заметим, что

[lirn(N-k)]2тг欣]

exp 卩一—] = exp「k]

поскольку ехр(/2тги) = 1 при любых п. Следовательно, комплексно-сопряженная функция равна

ат2行欣.

Z*(N -左)=X [x(〃)-方(")]exp•

м = 0/V

Тогда

n 12 仪 nk

Z(k) + z♦(^ -左)=2 £ x(")exp -y—— = 2X(k), n=oN」

N二2"欣

Z(k) - Z*(N - k) = 2j £ У(”)exp -j——- = 2“(k).

n=0

Таким образом, преобразования Фурье Х(Аг) и У(衣)двух действительных реализаций х(〃)м у(〃)имеют вид

/、 Z(k) + Z*(N- к)

M幻=/，

Z(上)-Z*(N-k)k = 0,l,...,N -1.(11.72)

2 J

Тем же приемом можно воспользоваться для расчета преобразования на интервале вдвое большей длины. Для этого вещественная реализация v(n) (〃 =0, 1, ..., 2N — 1) разделяется на две части, и одна часть состоит из значений Цл) при четном 〃, другая ——при нечетном п. Иными словами, х(п) = г (2 л),у(п) = "2〃 + 1),

и = 0,1,2,..., ^ — 1.

Пользуясь теперь формулой (11.71), вычислим преобразование Фурье последовательности z(〃)= х(〃)+ jy(n) (л = 0, 1,…，N — 1), а затем по формуле (11.72) найдем преобразования Фурье последовательностей х(п) и у(п). Их объединение дает искомое преобразование Фурье последовательности v(n) в виде

77

.(■) = Х(к) + У(幻exp -j-,

Л = 0,1...., ^ - 1. (11.74) r(^ + А) = Х(к) - У(к)ехр -/〈,

Заметим, что этот способ позволяет выполнить преобразование Фурье 2V действительных чисел путем преобразования комплекснозначной последовательности, состоящей из N чисел.

НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФОРМУЛЫ

В соответствии с (11.34) обратное преобразование Фурье имеет вид

40= /：Х(/)е，2”〃"・(11.75)

Аналогичная формула для дискретного обратного преобразования Фурье есть

ntl^kn

%” =五 X Х&—Р 卜 м ， w = 0,1,2,..., ^ - 1. (11.76) w a=o e

где заданные равенством (11.38) коэффициенты Фурье вычисляются с помощью процедуры БПФ. Постоянная 1/N в формуле (11.76) представляет собой лишь масштабный множитель и не имеет другого смысла. Это обратное преобразование Фурье можно выполнить с помощью тех же методов БПФ, что и ранее, для чего нужно поменять местами символы к и п и заменить хп на X衣，a W(kn) на W{—kn),

В заключение этого раздела следует отметить, что БПФ всегда осуществляется над функциями с неотрицательным значением независимой переменной, а его результат также есть функция неотрицательного аргумента. В частности, исходная функция х(/) всегда определяется на интервале от 0 до Г, а не на интервале от —Т/2 до Т/2. Аналогичным образом преобразование X(f) задается на интервале 0 W / W 2/, а не -fc W / W/. В дискретной форме 与=х(лД/) (〃 = 0, 1, N - 1) и Х{к)= /X(k/NAt)/At (衣=0, 1, ...» N — 1) причем значение к = N/2 соответствует частоте Найквиста /, определенной равенством (10.12). Однако из (11.72) видно, что

Х(к) = X*(N - к) , k = 0,l,...,N-l,(11.77)

и потому частоты выше N/2 можно при желании рассматривать как отрицательные и получить таким образом двустороннюю спектральную функцию (рис. 11.3).

11.2.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВИНОГРАДА

Способы дискретного преобразования Фурье постоянно обновляются. Большинство модификаций БПФ подстроено под решение специальных задач или аппаратурную реализацию. Особого упоминания заслуживает разработанный Виноградом (см. работу [11.7]) новый метод, основанный на совершенно ином подходе. По сути дела, он заключается в преобразовании одномерной последовательности в многомерный массив, каждая компонента которого совпадает с одним из N значений исходной последовательности. Затем этот массив подвергается преобразованию Фурье и вновь преобразуется в одномерную последовательность как функция частоты. Преобразование последовательности в массив осуществляется на основе представлений, заимствованных из теории чисел с использованием так называе-

£0? ^f SXS£0? ^f SXSооqteh BBHqumsewrqteh BBHqumsewr£0^^^TOXn~5^x«^os^^-£0^^^TOXn~5^x«^os^^-2233Рис. 11.3. Пример поведения коэффициентов Фурье, вычисленных методом БПФ при N = 16: а — вычисленные значения коэффициентов; 6 — транспонированные значения» задающие двусторонний спектр.Рис. 11.3. Пример поведения коэффициентов Фурье, вычисленных методом БПФ при N = 16: а — вычисленные значения коэффициентов; 6 — транспонированные значения» задающие двусторонний спектр.q-lueh KEnHWq-lueh KEnHW

£0? ^f SXS

£0? ^f SXS

о

о

qteh BBHqumsewr

qteh BBHqumsewr

£0^^

^TOXn~5^x«^os^^-

£0^^

^TOXn~5^x«^os^^-

2

2

3

3

Рис. 11.3. Пример поведения коэффициентов Фурье, вычисленных методом БПФ при N = 16: а — вычисленные значения коэффициентов; 6 — транспонированные значения» задающие двусторонний спектр.

Рис. 11.3. Пример поведения коэффициентов Фурье, вычисленных методом БПФ при N = 16: а — вычисленные значения коэффициентов; 6 — транспонированные значения» задающие двусторонний спектр.

q-lueh KEnHW

q-lueh KEnHW

мой китайской теоремы об остатках. Теория и реализация преобразования Фурье методом Винограда существенно сложнее, чем в случае использования БПФ, описанного в разд. 11.2.2. Кроме того, процесс преобразования последовательности в массив требует расширения объема памяти, в которой хранятся данные, и получить преобразованный ряд на месте исходного

в рамках этого алгоритма невозможно. Несмотря на эти недостатки, алгоритм Винограда приобретает все большую популярность, поскольку он, во- первых, позволяет существенно сократить расход машинного времени н, во-вторых, легко обобщается на алгоритмы с основанием более 2 и на алгоритмы со смешанным основанием1^ Более подробно о методе Винограда см. в работе [11.7].

11.3. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ

Рассмотрим N значений {х“} (〃 = 1, 2,・..，N) преобразованной реализации х(£) стационарного случайного процесса с нулевым средним значением х. Согласно уравнениям (3.4) и (8.64), плотность вероятности функции х(£) можно оценить в виде

/&) = M/(NW),(11.78)

где W ——узкий интервал, симметричный относительно точки х, Nx ——число значений реализации, попадающих в интервал х 士 ％/2. Таким образом, численную оценку плотности вероятности /(х) находят путем разбиения всего диапазона значений функции х на соответствующее число равных по величине интервалов, табулирования величин х по интервалам и делени« ем на ширину интервала % и объем выборки N. Заметим, что оценка р(х) не однозначна, поскольку она зависит, очевидно, от числа интервалов и их ширины.

Дадим теперь формальное описание метода. Пусть К — число интервалов, которые охватывают весь диапазон [а, Ь\ изменения функции. Ширина каждого интервала

価=上上，(11.79)

К

а верхняя граница f-го интервала равна

4 = a + W, i = 0,1,2,..., К.(11.80)

Заметим, что d0 = а и dK =》.Определим теперь последовательность из К + 2 чисел {Nf (/ = 0, 1, 2, ...» К + 1) из условий

% = число значений х, удовлетворяющих неравенству х W d°;

№ = число значений х, удовлетворяющих неравенству d0Vx W 4；

№ = число значений х, удовлетворяющих неравенству d”*<x &d>(11.81)

Nk = число знатный х, удовлетворяющих неравенству d” 】< х W 以； 坊十]=число значении х, удовлетворяющих неравенству dK<x^ 厶十卜

° Имеются в виду случаи, когда длина ряда N есть целая степень числа, большего 2, или представляет собой произведение целых степеней различных чисел.— Прим, перев.

В результате N значений последовательности х будут отсортированы таким образом, что последовательность чисел {NJ будет удовлетворять условию

к+1

N= Хм.(11.82)

/=0

Один из способов выполнения этой сортировки на ЭВМ состоит в рассмотрении последовательных значений хп (л = 1,2, ..., N) следующим образом:

Если хл《〃，то прибавить единицу к N°.

Если а V х 《》,то вычислить / = (хЛ — а)/И\ Затем выбрать i как наибольшее целое цисло, меньшее или равное /, и прибавить единицу к '♦

Если хп> Ь, прибавить единицу к Л^+卜

Можно пользоваться четырьмя различными итоговыми формами последовательности 叱}. Первая форма представляет собой гистограмму, т. е. просто последовательность [NJ без всяких изменений. Вторая форма —— выборочные процентные значения процесса в каждом интервале, определяемые для『= 0, 1, 2, ..., К + 1 в виде

Л = Р[<1 <x<di] = —■(11.83)

Третья форма ——последовательность выборочных значений плотности вероятности {/?/}, определенных в виде

i = 1,2,…,К. (11.84)

Четвертая форма ——последовательность выборочных значений функции распределения [Р(/)), определенных для концевых точек интервалов в виде

р(/) = р[-оо <х<<]= ^Pj=W^Pj. (11.85)

/=°/=о

Ковариационные функции

Существует два способа вычисления ковариационных функций. Прямой способ заключается в вычислении среднего значения произведений случайных переменных, образующих выборку. Косвенный прием требует вычисления вначале оценки спектральной плотности с помощью БПФ и ее последующего обратного преобразования. Прямой способ проще для программирования и логичнее с точки зрения основных определений. Преимущество второго подхода заключается в возможности существенно повысить экономичность расчетов путем использования БПФ и потому обходится заметно дешевле.

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим N значений случайной переменной {/} (п = 1, 2, ..., N), выбранных через одинаковый промежуток времени Дг из реализации x(Z) = x^i^t)t принадлежащей стационарному процессу и имеющей среднее значение 5 = 0. Согласно основному определению (8.90), оценка ковариационной функции реализации М。при задержке по щ)емени гДг вычисляется по временному ряду хп в виде

] Nt

貞以〃е) = — X X„x„+r , г = 0,1,2,…，л?,(11.86)

N — г

где г называется сдвигом, ат — максимальным сдвигом (т < N)D. Заметим, что число возможных произведений при сдвиге г в уравнении (11.86) есть N — г. Следовательно, для получения несмещенной оценки ковариационной функции деление в правой части уравнения следует производить на N — г. Число операций умножения и сложения действительных чисел, нужное для получения ковариационной оценки, равно примерно Nm (предполагается, что m《N).

ОЦЕНИВАНИЕ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ БПФ.

Косвенный способ оценивания ковариационной функции основан на использовании соотношений Винера ——Хинчина (5.28). Оценка ковариационной функции находится как обратное преобразование Фурье оценки спект-

Рис. 11.4. Пример эффекта цикличности при вычислении ковариационной функции методом БПФ.

° Точнее, т < N. Более подробно см., например: Яглом А.М. Кст)реляционная теория стационарных случайных функций. — М.: Гвдрометеоиздат, 1981, с. 65—77.— Прим, перев.

ральной плотности. Поскольку в основе финитного преобразования Фурье лежит допущение о периодичности, получаемая таким путем ковариационная функция имеет «циклический» характер. Это присходит потому, что в алгоритме БПФ исходная последовательность длиной Г = NМ рассматривается по сути дела как реализация одного периода периодической функции. Потому, как показано на рис. 11.4, вычисляемая таким путем ковариационная функция как бы представляет собой ковариационную функцию периодической последовательности. Для момента времени Г 】и запаздывания 7j, удовлетворяющих условию Т —厶 < Тр произведение х(")х(。+ /)= =x(f])x(f[ — Г + 7]). Следовательно, получаемая таким образом оценка будет содержать вклад как от 灭以т), так и от К»(丁 一 丁)・

Для количественной оценки этих вкладов поступим следующим образом. Пусть X(f) и X*(f) — преобразование Фурье реализации х(Г) (О & /《Г), и его комплексное сопряжение равно

**(/)=仆⑷ e^fada, Х(/)=厶％(£) e-^dp. (11.87)

Очевидно, что

|Х(/)『=Г[Tx(a)x(P)[e~j2,,f(l3-a)] d^da. (11.88)

Произведя замену переменных г = 0 — а, так что d7 = d0nB = a + 7, перепишем равенство (11.88) в виде

|Х(/)|2 = /'/т \(а)л(а + т) 6~^2^ dr da .(11.89)

Согласно (5.67), оценка двусторонней функции спектральной плотности реализации х(О ищется в виде

&*(/)=》[|Х(/)|2] = 1Г广丸⑴ e-J^drda. (11.90) /J-a

Меняя порядок интегрирования (см. рисунок ниже), получим

*хх(/)=亍 /° J'Axx(t)еТ2Mda dT +

+ 7 // W、x(T)e-“ dadT =

=(7+ t)Rxx(t) e-""f‘ dT +

+ J「(T- T)瓦x(T)e-3〃dT.(11.91)

Положив и = —t 1Л du = —dr в первом слагаемом правой части (11.91), получим

「(T+r)Rxx(T)e-^dr= fT(T-u)Rxx(u)e^du,

где вместо R^—u) подставлено &<〃)♦ Произведя еще одну замену т = Т — и 9 dr = ~du, получим

/т(Т - 〃)&х(〃)/”“ du= CrRxx(T -т) e-J^dr.

При получении этого равенства использован тот факт, что для любого значения / = / = к △，= к/Т и целого к величина exp(i2?i/T) = 1. Таким образом, формула (11.91) эквивалентна равенству

^ХП = * £т貞以Т — т) e-R叩 dT + ¥ С(Т _ т)食久吟 e-j2M dT =

=(冗(т)ег2""т,(11.92)

где

斐昱(т) =—斐хх(т) + 7負хх(Т _ т)-(1L93)

Отсюда следует, что обратное преобразование Фурье функции £(/), заданной соотношением (11.92), даст функцию 殴(т), определенную формулой (11.93). В случае дискретной последовательности 瓦｝(幫一0, 1, ..., N — 1) отвечающая формуле (11.93) циклическая ковариационная функция принимает вид

^x(〃f)=^^xx(rA，)+(&」(N-r)A"・(11.94)

Поведение слагаемых в первой части этого равенства показано на рис. 11.5. При быстро затухающих ковариационных функциях эффект цикличное^

Рис. 11.5. Пример циклической корреляционной функции.Рис. 11.5. Пример циклической корреляционной функции.

Рис. 11.5. Пример циклической корреляционной функции.

Рис. 11.5. Пример циклической корреляционной функции.

. I^会以也），. I^会以也），та не играет особенно важной роли в практических расчетах для значений максимального сдвига порядка m V О, 1N. Во всяком случае, этого осложнения можно избежать, дополняя исходный временной ряд нулями. В результате этого происходит разделение обеих частей циклической оценки ко- вариаиионной функции. В частности, при добавлении N нулей к исходному временному ряду той же длины N происходит полное разделение.

. I^会以也），

. I^会以也），

г = 0,1,..., ^ — 1,

г = N.N + l,...,2^- 1-

(П-95)

Обе части соотношения (11.95) показаны на рис. 11.6. Заметим, что первая половина этой оценки (при 0《/•《N — 1) представляет собой значения ковариационной функции при положительных значениях сдвига (О W 夕 W rw), а вторая (при ^ & т & 勿一 1) — при отрицательных значениях сдвига (—т 《г 《0). Но поскольку ковариационная функция есть всегда четная

Рис. 11.6. Изменение ковариационной функции при добавлении нулевых значений к исходному ряду.Рис. 11.6. Изменение ковариационной функции при добавлении нулевых значений к исходному ряду.

Рис. 11.6. Изменение ковариационной функции при добавлении нулевых значений к исходному ряду.

Рис. 11.6. Изменение ковариационной функции при добавлении нулевых значений к исходному ряду.

функция г^ вторую половину можно отбросить, и окончательно несмещенная оценка ковариационной функции находится в виде

人N 人

R/rAf^TT—Rl(〃f),r = 0,l,...^- 1.(11.96)