Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В современной экономике важную роль нграют инвестиции на финансовых рынках. Управление финансовыми инвестициями становится одной из главных задач как финансовых институтов, так и многих крупных компаний. Управление финансовыми инвестициями, в свою очередь» требует умения правильно прогнозировать рыночные цены различных финансовых инструментов, оценивать и хеджировать риски, связанные с этими ннсгрументамн.
Сегодня знания о финансовых инвестициях достигли уровня, позволяющего систематизировать и анализировать их с помощью различных методов, в основе которых лежит хорошо развиты* современный математический аппарат. Такое положение предъявляет соответствующие требования к учебно-методической литературе по рассматриваемой проблеме.
Именно эти вопросы составляют основное содержание учебника «Финансовые ннвестмцнн», впервые изданного в России в 2003「.，в котором обобщен многолетний опыт преподавания аналогичного курса в Институте финансов Российской экономической академии имени Г.В. Плеханова.
Авторами вышеуказанного учебника был подготовлен сборник задач, предназначенный для изучения курса «Финансовые инвестиции», который является одним из базовых курсов специальных дисциплин, лежащих в основе подготовки финансистов-рыночников, бакалавров и магистров в области финансов, а также финан・ систов-аналитиков, обучающихся в Институте финансов РЭА имени Г.В. Плеханова по программе «Анализ финансовых рынков».
В сборнике подобраны и методически распределены задачи, содержание которых охватывает все разделы программы курса «Финансовые инвестиции» для экономических высшнх учебных заведений н экономических факультетов других вузов.
Приведенное количество задач, как показывает практика преподавания, не только удовлетворяет потребности студентов в закреплении соответствующих разделов курса, но и дает возможность преподавателю разнообразить выбор задач в пределах каждого раздела, а также подбирать задачи для итоговых занятий и контрольных работ.
Сборник преследует цель помочь активному и неформальному усвоению изучаемого курса «Финансовые инвестиции» н предназначен как для студентов очного и заочного обучения» так и для преподавателей, которые начинают вести семинары по данному курсу. Формулировки определений н утверждений, а также последо вательность и структура глав и параграфов сборника соответствуют учебнику «Финансовые инвестиции». Сборник задач может быть рекомендован в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальностям «Финансы н кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Мировая экономика».
Материал каждого параграфа сборника разбит на две части. В первой части изложены теоретические сведения (основные понятия, утверждения и формулы), необходимые для решения задач. Во второй части приведены задачи и упражнения, определенные названием параграфа. Авторы настоятельно рекомендуют решать задачи каждой главы в порядке возрастания их номеров. Ко всем задачам даны ответы, которые можно найти в конце сборника. Кроме того, многие задачи имеют указания к нх решению.
Авторы надеются, что сборник будет полезен как для студентов, так н для преподавателей в работе со студентами, и готовы принять с благодарностью все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение содержания сборника.
ГЛАВА 1
Инвестиции с фшса^ованными доходами
1Л. ВНУТРЕННЯЯ ДОХОДНОСТЬ ОБЛИГАЦИИ
Годмой внуп^енкев д^ходиоатю облигации при начислении процентов m раз в год называется положительное число г = r(m), удовлетворяющее следующему условию:
Где Р - текущая рыночная стоимость облигации;
Q - плате*, вьтолн 貿 емый через “лет от текущего момента време»
Определить годовые внутренние доходности облигаций А н В при начислении процентов один раз в год для исходных данных, приведенных ниже.
Облигация
Платежи, доллм по годам г,
0
1
2
А
-934,58*
1000
-
В
-946,93
50
1050
'Текущая рыночная стоимость облигации А равна 934,58 долл.
Определить годовые внутренние доходности облигаций А, В и С при начислении процентов один раз в год для исходных данных, приведенных ниже.
Облигация
Платежи, долл., по годам 〃
0
1,5
2
3
А
-930
1000
В
-890
1000
С
-1031,82
50
100
1100
Определить годовые внутренние доходности облигаций А н В при начислении процентов 2 раза в год для исходных данных, приведенных ниже.
Облигация
Платежи^ долл., по годам г；
0
0,5
I
1,5
2,4
А
-100
10
15
120
В
-117,55
8
8
8
108
По облигации обещают выплачивать по 10 долл, в конце каждого полугодия в течение трех лет и еще 100 долл, в конце третьего года. Внутренняя доходность облигации прн начислении процентов один раз в год равна 8%. При этих условиях иайтн стоимость облигации.
По облигации обещают выплачивать в течение Г лет (Т - целое число) т раз в год одну нту же денежную сумму q долл., а в конце года Т еще и Л долл. Доказать равенство
где Р - текущая рыночная стоимость облигации;
г - внутренняя доходность облигации прн начислении процентов m раз в год.
По облигации обещают выплачивать по 5 долл, в конце каждого полугодия в течение пяти лет и еще 100 долл, в конце пятого года. Определить стоимость облигации, если ее внутренняя доходность при начислении процентов 2 раза в год равна 5,91%.
По облигации обещают выплачивать по 3 долл, в конце каждого квартала в течение трех лет и еще 100 долл, в конце третьего года. Определить стоимость облигации, если ее внутренняя доходность при начислении процентов 4 раза в год равна 3,94%.
По облигации обещают выплачивать по 6 долл, в конце каждого полугодия в течение двух лет и еще 100 долл, в конце второго года. Рыночная стоимость облигации равна 105 долл. Найти годовую внутреннюю доходность облигации при начислении процентов 4 раза в год,
Доказать равенство
где г(т) - внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год;
侬)-внутренняя доходность облигации прн начислении процентов к раз в год.
L10. По облигации обещают выплачивать по 10 долл.в конце каждого года в течение пяти лет и еще 500 долл, в конце пятого года. Найти годовую внутреннюю доходность облигации при начислении процентов 2 раза в год, если ее рыночная стоимость равна 380,22 долл.
По облигации обещают выплачивать по 50 долл, в конце каждого полугодия в течение 10 лет н еще 1000 долл, в конце десятого года. Найти внутреннюю доходность облигации при начислении процентов один раз в год, если ее стоимость составляет 900 долл.
Банк согласился предоставить десятилетний ипотечный кредит в размере 200 000 руб. По условиям ипотечного кредитования ежемесячные платежи заемщика должны быть одинаковы- nh. Каков будет ежемесячный платеж заемщика, если годовая процентная ставка, требуемая байком, равна 8% (при начислении процентов 12 раз в год)?
СВОЙСТВА ВНУТРЕННЕЙ ДОХОДНОСТИ ОБЛИГАЦИИ. ВНУТРЕННЯЯ ДОХОДНОСТЬ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ НАЧИСЛЕНИИ ПРОЦЕНТОВ
Свойства внутренних доходностей.
Если текущая рыночная стоимость облигации увеличивается (уменьшается), то внутренняя доходность *ти) этой облигации уменьшается (увеличивается).
Последовательность внутренних доходностей {г(м)}, где m = 1, 2, 3,…，данной облигации всегда является убывающей, т.е. r(m) а г(?н+1).
用Та»用Та»Число г = Um &(加)}, где r(m) - внутренняя доходность обли-
用Та»
用Та»
гации при начислении процентов m раз в год, называется внутренней д0ходн&сть1& этой аблагации л/ш непрерывном пачаслении процентов.
Положительное число 广 является внутренней доходностью облигации при непрерывном начислении процентов тогда н только тогда, когда выполняется равенство
F =，G 产
Г=]
где 尸-текущая рыночная стонмосгь облигации;
С” - платеж по облигации, выполняемой через г(-лет от текущего момента, i = 1,2,и.
2」.По облигации обещают выплачивать по 100 долл, в конце каждого полугодия в течение двух лет. Определить внутреннюю доходность облигации при начислении процентов 2 раза в тд， если ее текущая рыночная стоимость составляет: а) 371,71 долл.; б) 362,99 долл.; в) 354,60 долл.
2.2, Определить внутреннюю доходность облигаций А и В при непрерывном начислении процентов для исходных данных, приведенных ниже.
Облигация
Платежи, доли., по годам %
0
1
2
А
-934,58
1000
-
Б
-946,93
50
1050
23 Определить внутренние доходности облигаций А и В при непрерывном иачисленнн процентов для исходных данных, приведенных ниже.
Облигация
Платежи, долл,, по годам 厶
0
L5
2
А
-930
1000
-
В
-890
-
1000
2.4. Определить внутреннюю доходность облигации при непрерывном начислении процентов для исходных данных, приведенных ниже.
Срок, годы00,51,01,5
Платеж, долл.-1001015120
25 Определить внутреннюю доходность облигации прн непрерывном начислении процентов для исходных данных, приведенных ниже.
Срок, годы 011,51,82
Платеж, долл.-100102030140
13
По облигации обещают выплачивать одну н ту же сумму @ долл, m раз в год в течение Тлет (Т- целое число) и в конце:Pro года еше А долл. Доказать равенство
Р =Р =六(]_f",六(]_f",
Р =
Р =
六(]_f",
六(]_f",
где Р - текущая рыночная стоимость облигации;
г - внутренняя доходность облигации прн непрерывном начислении процентов.
По облигации обещают выплачивать по 50 долл, в конце каждого полугодия в течение 10 лег и еще 1000 долл, в конце десятого года. Найтн внутреннюю доходность облигации прн непрерывном начислении процентов, если текущая рыночная стоимость ее равна 900 долл.
2金.По облигации обещают выплачивать по 10 долл, в конце каждого полугод ия в течение трех лет и в конце третьего года еше 100 долл. Определить рыночную стоимость облигации, если ее внутренняя доходность при непрерывном начислении процентов составляет 7,7%.
29 По облигации обещают выплачивать по 5 долл, в конце каждого полугодия в течение пяти лет н в конце пятого года еще 100 долл. Найти стоимость облигации, если ее внутренняя доходность прн непрерывном начислении процентов равна 5,83%.
Внутренняя доходность облнгацнн при непрерывном начислении процентов равна 10%t Определить внутреннюю доходность этой облигации при начислении процентов: а) 2 раза в год； б) 4 раза в год.
2Л1. Внутренняя доходность облигации при начислении процентов два раза в год равна 15% Найти внутреннюю доходность облигации при начислении процентов: а) 4 раза в год; б) 8 раз в год; в) непрерывно.
По бессрочной облигации обещают выплачивать в конце каждого полугодия g долл. Первый платеж должен производиться через полгода от текущего момента.
Доказать равенство
где 户-текущая рыночная стоимость облигации;
F - внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении процентов.
.Х БЕЗРИСКОВЫЕ ПРОк^НТНЫЕ СТАВКИ
Облигация иазываегся часто ^искштаит ^б咏映3、 если по ней должен производиться только один платеж в момент ее погашения.
Внутренняя доходность чисто дисконтной облигации без 口е- фолт-риска, погашаемой через / лет, называется годомй безрисковой яроцентиой ста^к^й для инвестиции мг f лет.
Текущая рыночная стоимость облигации при начислении процентов m раз в год к при непрерынном начислении определяется равенствами
尸М寸* P = yC e-Wh
切J
где r{m, /J и F(rf) - безрисковая процентная ставка для инвестиций на 匕 лет при начислении процентов m раз в год и при непрерывном начислении проценте в соответственно, I = 1,2,…，и.
Безрисковые процентные ставки r{m, г；} и г(/) связаны равенством
г(г)=/м1п 1+ L
L m J
ГЛАВА 1
ЗЛ. Имеются три чисто дисконтные государственные облигации А, В н С, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
—Платежи, долл., по годам
0
2
2,5
3 -
А
-90
100
—
В
—85
100
С
-80
5
-
100
Опредедить безрисковые процентные ставки при начислении процентов один раз в год для инвестиций иа 2, 2,5 н 3 года.
3+2. Имеются четыре чисто дисконтные государственные об- лмгацни А, В, С и D, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл,, по годам
0
1,5
2,5
3,5
4,5
А
-90
100
В
-85
100
С
—80
—
120
—
D
-76
-
-
-
120
Определить безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении процентов для инвестиций на 1,5, 2,5, 3,5 и 4,5 года.
* Имеются две чисто дисконтные государственные облигации А и В без дефолт-риска, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл,? по годам
0
3,5
6
А
-900
1000
—
В
-850
-
1000
Определить безрисковые процентные ставки г{4; 3,5} и "4; 6).
34 Известны годовые безрисковые процентные ставки прн начислении процентов один раз в год:
16
RI; 0,5} = 0,06; "I; 1,0} = 0,07;
г{1; 1,5} = 0,075; г{1； 2,0} =0,0&
Определить текущую рыночную стоимость облигации^ поток платежей по которой приведен инже.
Срок, годы0,51,01,52,0
Платеж» долл.101010110
. Известны годовые безрисковые процентные ставки прн непрерывном начислении процентов:
7(0,25) = 0,06;尸(05) = 0,068; г (0,75) = 0,075; г (1,0) ^ 0,083.
Определить стоимость облигации^ по которой должны выполняться следующие платежи:
Срок, годы0,250,50,751,0
Платеж, долл.555105
Кроме того, требуется найтн внутреннюю доходность этой облнгацмн (при непрерывном начислении процентов).
Известны годовые безрисковые процентные ставки при начисленнн процентов 2 раза в год:
г[2; 1,0} = 0,03; г{2； 2,0) = 0,04;『优 3,0} = 0,05.
Найти безрисковую процентную ставку г {2; 4,0}, если на рынке имеется облигация, поток платежей по которой приведен инже.
Срок, годы 01,02,03,04,0
Платеж, долл.-114,40101010110
3J. Известны безрисковые процентные ставки прн непрерывном иачисленнн процентов:
г (0,5) = 4%; г (L0) = 4.5%; г (1^) = 5%; г (2,0) = 6%
Найти безрисковую процентную ставку г(2,5)т если на рынке имеется облигация, поток платежей по которой приведен ниже.
17
Срок, годы 00,51,01,52,02,5
Платеж, долл.-121,45101010юно
38 Известны годовые безрисковые процентные ставки при начнаеннн процентов 2 раза в год:
г{2; 1.0} = 0,06; г［2; 2,0} = 0,065; 42; 3,0| = 0,070； г(2; 4,0) = 0,072.
Определить стоимость облигации, по которой должны выполняться платежи, приведенные ниже.
Срок, годы1,02,03,04,0
Платеж, долл.202020120
Какова внутренняя доходность облигации при начнсленин процентов 2 раза в год? ,
Платежи по облигациям должны производиться через 八, 〃，…，厶 лет от текущего момента.
Доказать, что внутренняя доходность облигации г при непрерывном начислении процентов удовлетворяет неравенству
min {汽/)}«/ <max{r(f,)}, 1金立IST#
где 户&) - безрисковая процентная ставка для ннвестнцин на Г, лет при непрерывном начнсленми процентов.
L4. ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК. КРИВАЯ РЫНОЧНЫХ ДОХОДНОСТЕЙ
Набор безрисковых процентных ставок
［八")，八幻,…力(储］,
которые можно в данный момент определить ио чисто дисконт^ ным облигациям> называется временной структурой процентных ставок нрн непрерывном начислении яроцентае,
18
График функции r = F(r), где 齐⑺-безрисковая процентная ставка прн непрерывном начислении процентов для инвестиции на / лет называется ®&80й рыночных д&ходмостей,
4Л. Найтн безрисковую процентную ставку г (1,5), если швес- тны безрисковые процентные ставки:
r(l) = 0,05; F⑵= 0,06;
г(0.5) = 0,04; г(1) = 0,05; *2) = 0,06.
Определить кривую рыночных доходностей, если известны безрисковые процентные ставки:
F(l}=0,04； г (2) = 0,055;
г (0,5) = 0,04; Г(1) = 0,05; г (2) = 0,06.
43 Дана временная структура процентных ставок при непрерывном начнслеиии процентов:
?(1) = 0,05; 7(2) = 0f06; r(3) = 0f07; г (4) = 0,06.
Определить кривую рыночных доходностей и безрисковые процентные ставки:
汽1,5); 7(2,8); г(3,2).
Дана временная структура процентных ставок прн непрерывном начислении процентов:
г(0,5) = 0,04; r(l,0) = 0,05; r(It5) = 0,05; г (2,0} = 0,06,
Определить кривую рыночных доходностей н безрисковые процентные ставки:
FQ25); г(1,2); г(1,75),
Дана временная структура процентных ставок при непрерывном начнслеиии процентов:
?(0,5) = 0,05; г (1,0) = 0,055; г (2,0) = 0,06.
Найти стоимость облигации {без дефолт-риска) с потоком платежей, приведенным ниже.
Срок, годы0,51,01,52,0
Платеж, долл,1010101000
Дана временная структура процентных ставок при непрерывном начислении:
г (1,0) = 0,05; г(2,0) = 0,06; Г(3,0) = 0(08.
Найти стоимость о&лигацни (без дефолт-риска) с потоком платежей, приведенным ниже.
Срок, годы0,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.56565100
Дана временная структура процентных ставок при начислении процентов один раз в год:
г{1; 1,0} = 0,06; г{1; 2,0} = 0,08; г{1; 3,0} =0,09.
Найтн стоимость облигации, поток платежей по которой приведен ниже.
Срок, годы0,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.556610ПО
На рынке имеется облигация без дефолт-риска, поток платежей по которой приведен ниже.
Срок, годы 00,51,01,52,02,5
Платеж, долл. -102,905555105
Известны безрисковые процентные ставки:
唄 1;0,5} =0,06; г{1; 1,0} =0,07; г{1; 1,5} =0,08.
Найтн безрисковые процентные ставки г{1; 2,0} н г{1； 2,5} с использованием: 1) линейной экстраполяции; 2) квадратичной экстраполяции.
20
На рынке имеется облигация без дефолт-рнскат поток платежей по которой приведен ниже.
Срок, годы00, 51^01, 52,02,53,0
Платеж, долл. -105,09666 б 6106
Известны безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении:
г (0,5)=0,06; г (1,0)^0,065; F(l,5) = 0t08.
Найти безрисковые процентные ставки 尸(2,0), г (2,5) и г (3,0) с использованием: 1) линейной экстраполяции; 2) квадратичной экстраполяции； 3) кубической экстраполяции.
На рынке имеются облигации без дефолт-риска, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл., по годам
0
0,25
0,5
0,75
1,0
1,25
1,5
1
-98,76
100
-
-
-
-
-
2
-97,04
-
100
-
—
—
—
3
-105,83
3
3
103
-
—
—
4
-113,22
4
4
4
4
104
—
5
-119,14
5
5
5
5
5
104
Определить временную структуру процентных ставок гтрн непрерывном начислении н построить кривую рыночных доходностей.
44L На рынке имеются облигации без дефолт-риска, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл., по годам
0
0,5
1,0
1,5
2.0
2,5
3,0
1
-97,80
100
-
-
-
-
-
2
-98,86
2
2
102
-
—
—
3
-1М,06
4
4
4
4
4
104」
Определить временную структуру процентных ставок при на- чнсленин процентов 2 раза в год и построить кривую рыночных доходностей.
4Л2. Определить временную структуру процентных ставок при непрерывном начислении, если известны безрисковые процентные ставки 户(0,5) = 0,06 и г (1,0) = 0,08, а на рынке имеются облигации с потоками платежей, приведенными ниже.
Обпи-
Платежи, долл,, по годам
гамня
0
0,25
0.5
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
2,0
1
-97,49
2
2
2
2
2
100
2
-107,10
3
3
3
3
3
3
3
105
1.5. КУПОННЫЕ ОБЛИГАЦИИ.
ВНУТРЕННЯЯ ДОХОДНОСТЬ КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ
Купонная облигация представляет собой обязательство выполнить два потока платежей. Первый поток сводится к одно- му-едннственному платежу: выплате в момент погашения облигации денежной суммы, равной номинальной стоимости А этой об- лигации^ Другой поток платежей - это периодические выплаты (купонные платежи) одной и той же фиксированной денежной суммы д, последняя из которых приходится на момент погашения облигации.
Величина одного купонного платежа ц определяется купонной ставкой / облигации, которая является отношением суммы всех m купонных платежей за год к номинальной стоимости облигации. Следовательно, ^ = 4^.
Годовая внутренняя доходность г купонной облигации может бьпъ определена нз равенства
нлн
где Р - текущая стоимость облигации;,
т = ^--Т - время, прошедшее после очередного купонного платежа до m момента покупки облигации;
л - число купонных платежей, оставшихся до погашения обли
гации, разное
7m, если Tmreag [1>л]+1+ если Тт - нецелое,
где Г - время, остающееся до погашения облигации.
В частности, если текущий момент совпадает с датой оплаты очередного купона, то годовая внутренняя доходность г удовлетворяет равенству
++f=也，
+
+
m
Дана облигация с полугодовыми купонами, погашаемая 25 апреля 2008 г. Сколько купонных платежей оставалось на 18 сентября 2003 г.? Сколько дней должно пройти до очередного купонного платежа?
5a. Дана облигация, купоны по котором оплачиваются ежеквартально. Дата погашения облигации 12 августа 2009 п Сколько купонных платежей оставалось на 25 июня 2003 г.? Сколько дней должно было пройти до очередного купонного платежа?
5・3. По 5%-ной купонной облигации номиналом 100 долл, обещают производить купонные платежи каждые полгода. Определить стоимость облигации в момент, когда до погашения облигации остается: а) 3,3 года; б) 3 года.
Безрисковые процентные ставки при начислении процентов 2 раза в год для всех сроков равны 6%.
По 6%*ной купонной облигации номиналом 200 долл, обе- тают производить купонные платежи каждый квартал. Определить стоимость облигации в момент, когда до погашения облнга- инн остается： а) 16 мес，; б) 15 мес.
Безрисковые процентные ставки при начислении процентов 4 раза в год для всех сроков равны 5%・
55 По 8%"Hoit купонной облигации номиналом 100 долл, обещают производить купонные платежи 4 раза в год. Найти внутреннюю доходность облигации, если в нее инвестировали 98 долл, за 5 лет до погашения.
По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл* обещают производить купонные платежи каждый год. Определить годовую внутреннюю доходность облигации, если за 20 лет до погашения ее стоимость составляла 1100 долл.
По 9%-иой купонной облигации номиналом 1000 долл, обещают производить купонные платежи каждые полгода. Определить внутреннюю доходность облигации, если за 3,8 года до погашения ее стоимость составляла 1118,44 долл.
По 5,5%-ной купонной облигации номиналом 200 долл, обещают производить купонные платежи каждые полгода. Определить текущую стоимость облигации, если до ее погашения остается 2 года, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении равны:
г(0,5)=5%, г (1,0)= 6%, г(1,5)=6%, 7(2,0)= 4%.
Найти внутреннюю доходность облигации при начислении процентов 2 раза в год.
L6. ЗАВИСИМОСТЬ СТОИМОСТИ КУПОННОЙ ОБЛИГАЦИИ ОТ ВНУТРЕННЕЙ ДОХОДНОСТИ
Чем больше виутреиняя доходность облигации в текущий момент, тем меньше ее стоимость, и наоборот.
Функция 尸=尸⑺，определяющая зависимость стоимоспт купонной облигации от ее внутренней доходности, является убыва- юшей и выпуклой.
Относительным ростам (соответственно снижением) стоим。 ста облигации при измеиенаи ее внутренней доходности «л Дг > О называется величина
-瓦r)I ЛЙ ;
Прн изменении внутренней доходности на одну и ту же величину относительный рост стоимости облигации всегда больше относительного снижения.
Если до погашения купонной облигации остается больше одно- го купонного периода, т.е. Г > i, то относительное изменение стоимости облигации тем больше, чем меньше купонная ставка облигации (при одном и том же изменении внутренней доходности).
Текущей 加工曲ж^тьм купонной облигации называется число р, равное отношению всех купонных платежей за год к рыночной стоимости этой облигации, т.е. Р=务.
Облигация продается 砲 помияаяу, если ее рыночная стоимость совпадает с номинальной.
Облигация додается с премией (соответственно с дисконтом), если ее рыночная стоимость выше (ниже) номинальной стоимости.
В те моменты, когца происходит оплата купонов:
облигация продается по номиналу в том н только в том случае,еслиi•二 р =£
облигация продается с премией (с дисконтом) в том и только в том случае, если г < р</ (г > р > /}.
По 8%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл, и сроком до погашения 10,25 года обещают производить купонные платежи каждые полгода. Внутренняя доходность облигации равна 8%.
Найти изменения стоимости облигации при изменении ее внутренней доходности на Дг = 1%.
По купонной облигации номиналом 1000 долл, и сроком до погашения 9,25 года обещают производить купонные платежи каждые полгода. Внутренняя доходность облигации равна 8%,
Найти относительные изменения стоимости облигации при изменении ее внутренней доходности на Аг = 2% для купонных ставок 8 и 9%,
По 8%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл, и сроком до погашения 20 лет обещают производить купонные платежи ежегодно.
Определить размер премии (дисконта), если внутренняя доходность облигации составляет 9, 8 и 7%.
По 5%-ной купонной облигации номиналом 2000 долл, н сроком до погашения 10 лет обещают производить купонные выплаты ежеквартально.
Определить размер премии {дисконта), если внутренняя до- ходность облигации составляет 7, 5 м 4%,
По 6,5%-ной купонной облигации номиналом 100 долл, купоны оплачивают 2 раза в год. До погашения облигации остается 5 лет.
Определить текущую к внутреннюю доходности облигации, если ее рыночная стоимость равна 102,13 долл.
По 6,5%-иой купонной облигации номиналом 100 долл, купоны оплачивают 4 раза в год. До погашения облигации остается 6 лет.
Определить текущую и внутреннюю доходности облнгаинн, если ее рыночная стоимость равна 97,57 долл.
По 6%-ной купонной облигации номиналом 100 долл, купоны должны оплачиваться 2 раза в год. До погашения облигации остается 4,2「еда.
Определить текущую и внутреннюю доходности облигацииt если ее рыночная стоимость равна 101,06 долл.
6S・ Дана купонная облигация, купоны по которой оплачиваются m раз в год. Доказать, что
/ > 1+— р, если / >г,
『<(' + /)亿 60111 /<门
где / - купонная ставка облигации;
г - внутренняя доходность облигации;
р - текущая доходность облигации;
т - время от последнего купонного платежа до текущего момента.
L7. ЗАВИСИМОСТЬ СТОИМОСТИ КУПОННОЙОБЛИГАЦИИ ОТ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ
Зависимость стоимости купонной облигации от времени прн неизменной внутренней доходности описывают следующие два утверждения.
Размер премии илн дисконта тем меньше, чем меньше времени (купонных платежей) остается до погашения облигации.
Изменение размера премии н дисконта тем больше, чем меньше времени (купонных платежей) остается до погашения облигации.
При неизменных условиях на рынке ценных бумаг н неизменной внутренней доходности купонной облигации стоимость облигации изменяется в зависимости от того, в какой момент между купонными выплатами рассматривается эта облигация. Чтобы избежать неудобств, связанных с данным обстоятельством, при тор- гоьле на бирже информация о ценах на купонные облигации дается в виде так называемой котируемой 叩“晶 Зга цена совпадает со стоимостью облигации в момент купонной выплаты н остается неизменной до следующей купонной выплаты.
Покупатель облигации должен оплатить не только ее котируемую цену, но н обусловленную временем, прошедшим после купонной выплаты, добавку.
Для покупателя стоимость облигации через ьремя т после очередной купонной выплаты состоит нз котируемой цены н «на
копленных процентов» 寸外 которые прямо пропорциональны числу дней ^|, прошедших после очередной купонной выплаты, и обратно пропорциональны числу дней N2 между соседними ку
понными выплатами.
По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл, обещают производить ежегодные купонные выплаты в течение 5 лет. Внутренняя доходность этой облигации равна 12% н £р временем не изменяется.
Определить:
размер дисконта после каждой купонной выплаты, т.е. Р5, q屮d* а」％；
значения изменений дисконта в каждом из перечисленных случаев.
Выполнить рисунок.
По 10%-ной купонной облигации номиналом 1000 долл, обещают производить ежегодные купонные выплаты в течение 10 лет. Внутренняя доходность этой облигации равна 8% и остается постоянной до момента погашения облигации.
Определить:
размер премии после каждой купонной выплаты, т.е, П]0, Пр,П|, По;
значения изменений премии в каждом из перечисленных сяу- чаев.
Выполнить рисунок.
73 Две 10%-ные купонные облигации А н В, каждая номиналом 1000 долл, и с годовой внутренней доходностью 8%, имеют сроки до погашения 10 и 20 лет соответственно.
Определить размер премии для каждой облигации в текущий момент и через год после этого, а также сравнить изменения премий для этих облигаций, если купонные платежи производятся ежегодно, а внутренняя доходность не изменяется.
Две 10%-ные купонные облигации А и В, каждая номиналом 1000 долл, и годовой внутренней доходностью 12%, имеют сроки до погашения 15 н 20 лет соответственно.
Определить размер дисконта для каждой облигации в теку^ щий момент н через год после этого, а также сравнить изменения дисконтов для этих облигаций, если купонные платежи производятся 2 раза в год, а внутренняя доходность не изменяется.
До погашения облигации, купоны по которой оплачиваются 4 раза в год, остается 25 лет. Внутренняя доходность облигации составляет 7%, а ее рыночная стоимость - 1025 долл.
Найти стоимость облигации через 10, 40, 60 и 80 дней после текущего момента, если ее внутренняя доходность не изменяется (число дней в году считать равным 360).
По 10%-иой купонной облигации номиналом 1000 долл, обещают в конце каждого квартала производить купонные выплаты в течение 5,2 года. Внутренняя доходность облигации равна 8% и ие изменяется до погашения облигации.
Найти котируемую цену данной облигации и величину «накопленных процентов», которую должен оплатить покупатель.
ДЮРАЦИЯ И ВЫПУКЛОСТЬ ОБЛИГАЦИИ
Если г - внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год, то дюрация Маколея и выпуклость Маколея облигации определяются следующими равенствами:
где П 曦(С&)=；— приведенное значение платежа С,;
- текущая рыночная стоимость облн- гацнн.
Если абсолютная величина изменения внутренней доходности облигации Дг достаточно мала, то относительное изменение сго- вмости облигации можно оценить с помощью дюрации и выпуклости облигации:
где ДР = Л»"+ ^0 - Rr)・
品f а；禍75号GE品f а；禍75号GEЕсли 7 - внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении, то дюрация и выпуклость облигации определяются следующими равен<лъамн;
品f а；禍75号GE
品f а；禍75号GE
При этом
Дюрацню н выпуклость купонной облигации, по которой купоны оплачиваются 用 раз в год, принято определять при начислении процентов m раз в год, если не оговорено противное.
8.1. Определить дюрацию и выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность при начислении процентов 2 раза в год равна 4%, а поток платежей приведен ниже.
Срок, годы0,51,01,21,4
Платеж, долл,5666
2,0
106
Определить дюрацию н выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность прн начислении процентов 4 раза в год равна 6%, а поток платежей имеет следующий вид:
Срок, годы0,51,01,52,03,0
Платеж, долл.410410ПО
Оценить (двумя способами) относительное нзмененне стоимости облигацнн прн увеличении внутренней доходности облигации на 60 б.п. (б.п. - базисный пункт, сотая доля процента).
Определить дюрацию и выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность при непрерывном начислении равна 5%, а поток платежей приведен ниже.
Срок, годы1,02,03,04,05,06,0
Платеж, долл.1010101010100
Оценить стоимость облигации, если внутренняя доходность облигации уменьшится на 80 б п.
Определить дюрацию н выпуклость облигации при начислении процентов один раз в год, если поток платежей по облигации приведен ниже.
Срок, годы0,00,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.-100030303030301030
Оценить (двумя способами) относительное изменение стоимости облигации прн уменьшении внутренней доходности на 120 б.п.
Определить дюрацию и выпуклость облигации при начислении процентов 2 раза в год, если поток платежей по облигации имеет вид:
Срок, годы 0,0 0,51,01,52,02,53,03,54,0
Платеж, долл.-1000 404040404040401040
Найти дюрацию и выпуклость облигации прн непрерывном начислении, если поток платежей по облигации приведен ниже.
Срок, годы0,01,02,03,04,05,0
Платеж, долл.-1005555105
Даиа 6%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл,? по которой купоны оплачиваются 2 раза в год в течение 3 лет. Известно, что облигация продается по номиналу.
Определить дюрацню н показатель выпуклости облигации. Найтн относительное изменение стоимости облигации точно н приближенно прн изменении внутренней доходности на Аг = 0,01; 0,02 и-0,01.
Дана 8%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл., по которой купоны оплачиваются дважды в год в течение 5 лет. Внутренняя доходность облигации равна 10%.
Найти:
1} дюрацию н выпуклость облигации;
относительные изменения стоимости облигации (точно и приближенно) при изменениях внутренней доходности на Дг = 0,005; 0,01 л 0,03.
8-9- Все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 6% (при начислении процентов дважды в год). Текушая рыночная стонмость облигации 尸=1000 долл., ее дюрация 4 = 3,5 года, а выпуклость С2 二 25,43.
Оценить стонмость облигации, если все безрисковые процентные ставки изменятся на Дг = 0,005 и 7),010.
Все безрисковые процентные ставки одинаковы н равны 8% (при непрерывном иачислеимн процентов). Текущая рыночная стоимость облигации Р = 1000 долл., ее дюрация £>^ = 5,62 года, а выпуклость Си 二 45,78.
Оценить стонмость облигации, если все безрисковые процентные ставки изменятся на Дг = 0т01; 0,02 и -0,005.
8Л1. По ренте должны выплачивать одну и ту же денежную сумму m раз в год в течение п пет.
Доказать, что
где г - внутренняя доходность ренты при начислении w раз в год.
По ренте должны выплачивать одну н ту же денежную сумму 4 раза в год в течение 30 лет.
32
Найти дюраиию ренты, если ее виутреиияя доходность при начислении 4 раза в год равна 5%.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЮРАЦИИИ ВЫПУКЛОСТИ ОБЛИГАЦИЙ
L Дюрация любой облигации не превышает срока ее погашения. Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку ее погашения,
Чем больше внутренняя доходность облигации, не являющейся чисто дисконтной, тем меньше дюрацня и выпуклость облигации.
Если все платежи по облигациям отсрочить иа одно и то же время - на т лет, ие меняя внутренней доходиостн облигации, то ее дюрация увеличится иа глет, а выпуклость - на т* +2或 + %, где £> - дюрация исходной облигации.
Имеет место неравенство
G⑺>比⑺+丄&(⑺*
где г - внутренняя доходность облигации при начислении процентов т раз в год.
Если до погашения купонной облигации остается более одного купонного платежа, то чем больше купонная ставка при неизменной внутренней доходности, тем меньше дюрацня н выпуклость облигации.
Пусть Dr - дюрация купонной облигации, купоны по которой оплачиваются 用 раз в год, когда до ее погашения остается % пет,尸 1,2,
Тогда
...,г， г+加
hm& =;
последовательность {£>„} является возрастающей, если купонная ставка облигации / больше или равна ее внутренней доходности.
Дана облигация, поток платежей по которой приведен жиже.
Срок, годы1,02,03,04,0
Платеж, долл.101020500
Определить дюрацию и выпуклость облигации, если внутренняя доходность (при начислении процентов один раз s год) принимает Значения 5, 6 и 7%.
Дана облигация, поток платежей по которой приведен ниже.
Срок, годы0,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.44555100
Определить дюрацию н выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность прн непрерывном начислении процентов принимает значения 6, 8 и 10%.
93 Дюрация и выпуклость облигации при начислении процентов 4 раза в год соответственно равны 5,6 и 35,65. Определить дюрацию н выпуклость облигации, если все платежи отсрочить на полгода при неизменной внутренней доходности*
Даны две облигации, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл., по годам
1.0
2.0
3,0
40
5,0
1
10
10
10
300
-
2
-
10
10
10
300
Внутренняя доходность обеих облигаций равна 8% (при начислении процентов дважды в год). Определить дюрацню и выпуклость этих облигаций.
95 Дюрация и выпуклость облигации прн непрерывном начислении процентов равны />„ и Q Каковы будут дюрация н выпуклость облигации, если все платежи по облигации отсрочить на т лет, не меняя внутренней доходности?
Даны две облигации, потоки платежей по которым имеют следующий вид.
Облигация
Платежей, долл., по годам
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
1
20
20
—
20
20
120
—
2
一
20
20
-
20
20
120
Внутренняя доходность обеих облигаций составляет 10% (при непрерывном начислении процентов}. Определить дюрацию н бы- пуклость этих облигаций,
Дана пятилетняя купонная облигация, купоны по которой оплачиваются ежегодно. Найти дюрацию н выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность равна 8%, а купонная ставка принимает значения 6, 7, 8, 9 л 10%.
Дана трехлетняя облигация с полугодовыми купонами. Внутренняя доходность облигации равна 6%, Найти дюрацию и выпуклость облигации, если купонная ставка принимает значения 4, 5, 6 н 7%.
Доказать, что зависимость дюрации купонной облигации от купонной ставки прн всех остальных неизменных параметрах определяется выпуклой функцией.
Дана купонная облигация номинальной стоимостью 1000 долл, с ежегодными купонами по ставке 50%. Внутренняя доходность облигации равна 10%. Нантн дюрацию облигации, когда до ее погашения остается 2 и 2,1 года.
9Л1. Дана облигация с купонами, оплачиваемыми w раз в год, до погашения которой остается % лет, л = 1, 2,.
Доказать, что
]+ г
45) =丄%+*3m-%),г 叭 г丿
где г - внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год;
Ни - отношение текущей стоимости ренты нз купонных платежей к текущей стоимости облигации;
/ - купонная ставка облигации.
Дана купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 10%. Внутренняя доходность облигации равна 6%. Определить дюрацню облигации, когда до ее погашения остается % лет, и = 1, 2, . 10. Завнсимость дюрацни от срока погашения изобразить на рисунке.
Дана купонная облигация с ежегодными купонами по ставке 6%. Внутренняя доходность облигации равна 60%. Определить дюрацию облигации, когда до ее погашения остается w лет, л - 1, 2,..., 10. Зависимость дюрации от срока погашения изобразить на рисунке.
Дана купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 5%. Внутренняя доходность облигации равна 70%. Определить дюрацию облигации, когда до ее погашения остается 弘 лет, п = 1, 2, ..., 10. Зависимость дюрации от срока погашения изобразить на рисунке.
Дана купонная облигация с полугодовыми купонами по ставке 6%, Внутренняя доходность облигации равна 80%. Определить наименьшее число к так, чтобы 小式冷 + D < 02(吸 где D^h) - дюрация облигации, когда до ее погашения остается 弘 лет.
СТОИМОСТЬ ИНВЕСТИЦИИ
В ОБЛИГАЦИЮ. ИММ^ИЗИРУЮЩЕЕ СВОЙСТВО ХУОРАЦИИ ОБЛИГАЦИЙ
Если в нулевой момент покупается некоторая облнга- цня, то стоимость ннвестиции в нее на момент г складывается из стоимости облигации в момент I и денежной суммы, накопленной в результате реинвестирования доходов, полученных по облигации до момента Г включительно.
При условии, что в момент покупки облигации безрисковые процентные ставки равны 尸 для всех сроков (при начислении w раз в год), рассматриваются следующие два сценария.
Безрисковые процентные ставки не будут меняться с течением времени.
36
В некоторый момент т до первого платежа по облигации процентные ставки станут равными г, но в дальнейшем уже меняться не будут.
Стоимость инвестицнн в облигацию на момент г при первом сценарии называется планируемой стоимостью ннвестациа и обозначается «г, г).
Стоимость ннвестнцин в облигацию на момент f при втором сценарии называется фшслтческой стоимостью инвестиции и обозначается Г(г, г, Г).
Планируемое и фактическое значения стоимости инвестиции в облигацию удовлетворяют следующим равенствам;
1+^ ли.m г>т,
где 尸(力 н Р(г) - планируемое н фактическое значения стоимости облигации в начальный момент при внутренней доходности, равной г (г).
Основные утв^ждения.
Существует, и притом единственный, момент『=“戸),когда фактическая стоимость нивестнцнн в облигацию совпадает с ее планируемой стоимостью. Прн этом
Если Dm = Z>m(r) - дюрация облигации в начальный момент, когда безрисковые процентные ставки равны г, то в момент，= Dm фактическая стоимость инвестиции в облигацию при любых безрисковых ставках г не меньше планируемой стоимости этой инвестиции.
Если /^ < г < ^ , то ；*(^)<Dm М J出).
ЮЛ. Имеется облигация со следующим потоком платежей:
Срок, годы0,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.55555105
Определить стоимость инвестиции в облигацию через 1,5 года после ее покупки для безрисковых процентных ставок (при начислении процентов дважды в год), приведенных ниже.
Момент времени, годы
Безрисковая процентная ставка, %, по срокам инвестииии, годы
0,5
1,0
1,5
0.5
4
5
6
1,0
5
5
б
1,5
6
6
7
Дана облигация, поток платежей по которой имеет следующий вид:
Срок, годы1,02,03,04,05,06,07,08,0
Платеж, долл. 667 7g 88108
Определить стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки для безрисковых процентных ставок (при на* числении процентов дважды в год), приведенных ниже.
Момент времени. ГОДЫ
Безрисковая процентная ставка, % по срокам инвестииинч годы
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
1-0
5
2,0
5
3.0
4
3,5
5
6
7
7
8
ЮЛ При покупке облигации лоток платежей по ней имел сле- дуюшнн вид:
Срок, годы0,51,01,52,02,53,03,54,0
Платеж, дошл.101020203010208G0
38
Определить стоимость инвестиции в облигацию через 2,5 года после ее покупки, если безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) приведены ниже.
Момент времени, годы 0,51,01,52,02,5
Безрисковая процентная
ставка для всех сроков, % 66889
104 Имеется 6%гиая купонная облигация номиналом 100 долл, с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года. Все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 7%. Определить стоимость инвестиции в облигацию через 2,5 года при следующих условиях:
безрисковые ставки ие меняются в течение 2,5 года;
сразу же после покупки облигации все безрисковые процентные ставки уменьшились иа 1% и в дальнейшем не менялись;
сразу же после покупки облигации все безрисковые процентные ставки увеличились иа 1%, после первого купонного платежа уменьшились на 1% и затем уже ие менялись.
105 Дана 10%-иая купонная облигация ксмниалом 100 долл, с ежегодными купонами, до погашения которой остается 3 года. Все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 10%.
Определить:
планируемую и фактическую» стоимости инвестиции в облигацию в момент е, если сразу же после покупки облигации все безрисковые процентные ставки стали ракны 11%;
время, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадут；
дюрацию облигации в момент покупки.
Имеется 6%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл, с ежегодными купонами, до погашения которой остается 5 лег. Все безрисковые процентные ставки равны 6%・
Найти：
дюрацию облигации и планируемую стоимость инвестиции в нее на момент, равный дюрации D〕；
фактическую стоимость этой инвестиции иа момент D〔, если сразу же после покупки облигации безрисковые процентные ставки составили 5%;
стоимость инвестиции в облигацию на момент* равный дюрации % если через 3,1 года после покупки облигации безрис- ювые процентные ставки стали равны 7%, не изменяясь до этого момента,
Дана 6%-иая купонная облигация номиналом 1000 долл, с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 3 года. Все безрисковые процентные ставки равны 8%.
Найти:
дюрацию облигации Л2 и планируемую стоимость инвестиции в нее на момент 分
фактическую стоимость этой инвестиции в облигацию на момент 乌，если сразу же после покупки облигации безрисковые процентные ставки составят: а) 7%; б) 9%;
время, когда фактическая и планируемая стоимости этой инвестиции совпадут при условиях 2а и 26.
Дана 9%-ная купонная облигация номиналом 1000 долл, с полугодовыми купонами, когда до погашения остается 5 лет. Все безрисковые процентные ставки равны 9%.
Найти:
дюрацню облигации 乌 и планируемую стоимость нивести- ции в нее на момент 与
фактическую стоимость данной нивестицйи на момент % если сразу же после покупки облигации безрисковые процентные ставки станут равны: а} 8% ; б) 10%;
время, когда фактическая стоимость инвестиции совпадет с планируемой при условиях 2a и 26;
стоимость инвестиции в облигацию на момент % если сразу же после покупки облигации безрисковые процентные ставки составили 8%, а через 2,2 года - 9%.
Имеется 10%-иая купонная облигация номиналом 1000 долл., купоны по которой оплачиваются 4 раза в год. До погашения облигации остается 10 лет. Безрисковые процентные ставки при начислении процентов 4 раза в год равны 10%.
Нантн фактическую стоимость ннвестиции в облигацию на момент, равный дюрации D* если сразу же после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменятся на Дг = 0; ±0,005; ±0,1; ±0,2.
1Л1. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ДЮРАЦИЯИ ВЫПУКЛОСТЬ ОБЛИГАЦИЙ
Модифицированная дюрация D片⑺ и модифициро ванная выпуклость C^ir) облигации определяются следующими соотношениями:
0产6=* 閣rr)=戶?
где 7)т(г), Ст(г) - дюращгя и выпуклость Маколея облигации;
г - внутренняя доходность облигации при начислении процентов m раз в год.
Основные утверждения.
竽=一尸6弘。"⑺；^^ = ?(г)е^Д(Г).卡(q*⑺)/片⑺)2 у”^%⑺ДГ⑺卜W学⑺尸⑺.
(P{r)D^n(r) - стоимостная дюрация облигации).
Если приращение внутренней доходности Дг > 0 достаточно мало по абсолютной величине» тс
а)
箒 ~%。"⑺ь+**(水ДГ/;
б)
喈%卜叫一窝烹岀L
2Р(г) Дг
也•-дr)+户(r + Ar)-2尸⑺
W( >Р(…2*
При достаточно малых положительных Ду:
5「К5「Кг»^хр~^+р+^-^Ст (И —г»^хр~^+р+^-^Ст (И —
5「К
5「К
г»^хр~^+р+^-^
Ст (И —
г»^хр~^+р+^-^
Ст (И —
гдеР- текущая стоимость облигации;
КДх)(尸(40) - стоимость облигации прн уменьшении (увеличении) безрисковых процентных ставок на величину Ду.
* Определить модифицированные дюрацию и выпуклость облигации, если ее внутренняя доходность при начисленнн процентов 4 раза в год равна 6%, а поток платежей от облигации приведен нм*е.
Срок, годы0,5Платеж, долл.4Срок, годы0,5Платеж, долл.41,01,52,03,0
Срок, годы0,5
Платеж, долл.4
Срок, годы0,5
Платеж, долл.4
10410ПО
112 Найти стоимость облигации при условиях задачи 11.1 прн увеличении и уменьшении внутреиией доходности на 50 б.п. Оценить приближенно модифицированные дюрацию и выпуклость исходной облигации.
Даиа 9%-иая купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., когда до погашения остается 20 лет. Внутренняя доходность облигации равна 9%.
Найти:
модифицированную дюрацию облигации;
стоимость облигации при увеличении н уменьшении виут- реиней доходности на: а) 100 б.п.; б) 20 б.п. В обоих случаях оценить модифицированные дюрацию н выпуклость облигации.
114 Определить относительные изменения цены облигации при увеличении внутренней доходности на 20 б.п. и уменьшении ее на 40 б.п., если модифицированные дюрация и выпуклость рав* иы 5 и 25 соответственно.
11*5* Имеется облигация стонмсстыо 950 долл., модифицированные дюрация н выпуклость которой равны 8 и 135 42
соответственно. Оценить стоимость облигации при увеличении безрисковых процентных ставок на 40 б,п, и уменьшении их иа 50 б.п.
Определить точно н приближенно при 包=0,002 модифицированные дюрацию и выпуклость 10%-ной облигации с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 4 года. Временная структура процентных ставок при начислении процентов дважды в год приведена ниже.
Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Процентная ставка, % 6,0 6,5 6,7 6*8 7,0 7,5 8,0 8,5
Модифицированные дюрация и выпуклость облигации равны 3,85 и 19,00 соответственно. Как изменится модифицированная дюрация при увеличении внутренней доходности на 20 б.п.?
Модифицированная выпуклость облигации составляет 19, а ее стоимость - 445 долл. Как изменится стоимостная дюрация при уменьшении внутренней доходности иа 40 б.п ?
Инвестор предполагает обменять облигацию стоимостью Р с модифицированной дюрацией D иа облигацию с модифицированной дюрацией Dr. Какова должна быть стоимость второй облигации, чтобы в результате обмена не изменилась подверженность процентному риску (при параллельных сдвигах кривой рыночных доходностей)?
Инвестор предполагает обменять облигацию стоимостью 10000 долл, с модифицированной дюрацией 4,2 на облигацию с модифицированной дюрацией 16,8- Каков должен быть номинал покупаемой облигации, чтобы в результате обмена ие изменилась подверженность процентному риску, если при номинале облигации 100 долл, ее цена равна 125 долл.?
ДОХОДНОСТЬ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
Внутренней доходностью портфеля облигаций называется енутренияя доходность облигации, поток платежей по которой совпадает с потоком платежей по портфелю.
Средневзвешенная доходность портфеля облигаций определяется как взвешенная по стоимости сумма внутренних доходностей облигаций портфеля, т.е.
где 口 一 виутреиняя доходность/-йоблигации, у= 1,2,..., Z;
电-отиошеине текущей стоимости /-А облигации к текущей стоимости всего портфеля облигаций, /=1,2t
Средневзвешенная доходность портфеля облигаций совпадает с внутренней доходностью этого портфеля, если все облигации портфеля имеют одну и ту же внутреннюю доходность.
Найти средневзвешенную доходность портфеля облигаций при следующих исходных данных.
Облигация
Стоимость.
ДОЛЛ-
Внутренняя доходность при начислении процентов 2 раза в год, %
1
120
6
2
250
10
3
500
8
4
1500
7
Дан портфель облигаций стоимостью 25 000 долл., сред- иевзвешениая доходность которого равна 8%. Какова будет средневзвешенная доходность портфеля после продажи облигации стоимостью 1250 долл, с внутренней доходностью 6%?
Имеется портфель облигаций стоимостью 30000 долл., средневзвешенная доходность которого равна 6%. Какова будет средневзвешенная доходность портфеля после покупки облигации стоимостью 5000 долл, с внутренней доходностью 10%?
Дан портфель облигаций стоимостью 10000 долл., средневзвешенная доходность которого равна 6,5% ирн начислении процентов 2 раза в год. Найти средневзвешенную доходность портфеля после покупки облигации со следующим потоком платежей:
ИНВЕСТИЦИИ
С ФИКСИРОВАННЫМИ ДОХОДАМИ
ГЛАВА 1
Срок, годы0,00,51,01,52,02,5
Платеж, долл. -1267,111001001001001100
Дай портфель из трех купонных облигаций с полугодовыми купонами. Данные по облигациям приведены ниже.
Номер облигации 仍
Купонная ставка, %
Номинал облигации, долл.
Срок до погашения, годы
Внутренняя доходность (т = 2), %
1
6,0
1000
2,0
5
2
6.5
2000
2,5
6
3
重
3000
3,0
7
Найти внутреннюю н средневзвешенную доходности портфеля облигаций (при начислении процентов дважды в год).
Определить внутреннюю и средневзвешенную доходности портфеля облигаций П(2000, 1000, 2000, 3000) при начислении процентов один раз в год и при потоках платежей по облигациям, приведенных ниже.
Облигация
Платежи, долл,, по годам
0
0,5
1
1,5
2,0
А
-217,50
5
10
15
200
В
-100,00
6
6
6
106
С
-213,76
10
10
10
200
D
-145,80
8
8
8
150
1Л1 ДЮРАЦИЯ И ВЫПУКЛОСТЬПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
Дюрацией ^(П) и соответственно выпуклостью Ст(П) портфеля о&шгаций П при начислении процентов m раз в год называется дюрация (выпуклость) облигации, имеющей такой же поток платежей, как и портфель П.
ИНВЕСТИЦИИ
「力aba [ с зжсирЪванными ДОХОДАМИ
Если безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков, то
/I
4⑴)=e码马；c1fl⑴)=£戸
где 岭-отношение текущей стоимости >й облигации к текущей стоимости портфеля облигаций, / = 1,2%
々•и 0 — дюрация и выпуклость 7-й облигации портфеля,
Модифи^роланная дюрация рМ0Л(П) и модифицированная вы- пуклоат 厂“⑺ портфеля облиг/щий П определяются следующими равенствами：
/)-д(П)=^Ш； &г(п)= с"п?2,
[де г - внутренняя доходность портфеля П при начислеиин процентов m раз в год.
Относительное изменение стоимости портфеля облигаций П, соответствующее изменению его внутренней доходности иа величину Ат, оценивается иа основе приближенного равенства
賽一以叫口的+写迎(加r
где П - текущая стоимость портфеля облигаций П.
Модифицированная дюрация 凿々П) и модифицированная выпуклость С：°"(П) портфеля облигаций ГТ приближенно определяются следующим образом：
20n卜吃丁:鸞т，
2Ду42(Др)
где О"(Ду) и Ц+(Ду} - стоимость портфеля облигаций П соответственно при уменьшении и увеличении всех безрисковых процентных ставок на величину Ду > 0.
Средневзвешенная дюрация РВД{П) и средневзвешенная выпук- л<ктъ СМ(П) портфеля облигаций П определяются следующими равенствами:
7=17=1
где Dj°a и С；" - модифицированные дюрация и выпуклость 户й облигации соответсгвеиио;
件-отношение текущей сггоимости /-и облигации к теку-щей стоимости всего портфеля П, у = 1,2…♦,，.
Можно считать, что
ОМ0Д(П) = Ли(П), СМОЛ(П) = СВЗ(П).
Имеется портфель из двух облигаций, данные которых приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл,, по срокам, годы
Внутренняя
ДОХОДНОСТЬ^ %{ffl= 1)
頂
2,0
3,0
4,0
1
10
10
20
200
5
2
20
20
400
10
Найти:
дюрацию и выпуклость портфеля облигаций;
модифицированные дюрацию и выпуклость портфеля облигаций;
относительные изменения стоимости портфеля облигаций при увеличении и уменьшении внутренних доходностей облигаций иа 40 б.п,
Определить средневзвешенные дюрацню и выпуклость портфеля облигаций прн условиях задачи 13,1.
Имеется портфель из трех облигаций, данные по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, долл., по срокам, годы
Внутренняя доходность^ % 5» = 2)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1
100
—
—
—
4
2
—
200
—
—
—
5
3
50
50
50
50
1050
10
Найти:
модифицированные дюрацию и выпуклость портфеля облигаций;
относительные изменения стоимости портфеля облигаций лри увеличении и уменьшении внутренних доходностей обпига- иий на 60 б.п.
Найти средневзвешенные дюрацию и выпуклость портфеля облигаций при условиях задачи 13,3,
135 Временная структура процентных ставок является ровной, тх. безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков. Дюрации четырех видов облигаций соответственно равны 1,5; 2,0; 3,5 и 5, а их выпуклость составляет 5, 8, 16 и 35.
Инвестор приобрел облигации соответственно иа суммы 1000, 15 000, 2500 и 4000 делл.
Определить дюрацию и выпуклость портфеля из данных облигаций, а также относительное изменение стоимости портфеля, если безрисковые процентные ставки изменились с 8 до 9% (при начислении процентов один раз в год).
136 Модифицированные дюрации двух видов облигаций соответственно равны 2 н 3. Определить портфель из этих облигаций, средневзвешенная дюрация которого равна 2,75.
Модифицированные дюрации четырех видов облигаций соответственно равны 1,2; 2; 3,4 и 4, а их модифицированные выпуклости составляют 4, 8, 16 и 36.
Найти портфель с наибольшей средневзвешенной выпуклостью при средневзвешенной дюрации 3,6, если:
доли средств, инвестированных в облигации, могут быть любыми;
доля средств, инвестированных в облигации четвертого вида, не может превышать 50%.
ИНВЕСТИЦИИ
С ФИКСИРОВАННЫМИ ДОХОДАМИ I 「ПАВА 1
Модифицированные дюрации пяти видов облигаций со* ответственно равны 3; 3,5; 3,75; 4,2 и 4,5, а их модифицированные выпуклости составляют 10, 12, 15, 20 и 25.
Найти портфель с наибольшей средневзвешенной выпуклостью при средневзвешенной дюрации 4, если:
доли средств, инвестированных в облигации, могут быть дк>быми;
доля средств, инвестированных в облигации первого вида, ие может превышать 20%.
Имеются облигации двух видов, данные которых приведены ниже.
Облигация
Купонная ставка, %
Частота оплаты купонов (ли)
Номинал^ долл_
Срок до погашения, годы
А
5
2
100
2
В
8
1
100
4
Безрисковые процентные ставки при начислении процентов 2 раза в год для всех сроков равны 9%. Инвестор приобрел облигации первого вида иа 4000 долл., а второго вида 一 на 6000 долл.
Найти дюрацию н выпуклость портфеля облигаций.
Временная структура безрисковых процентных ставок при начиспеиин процентов 2 раза в год имеет следующий вид:
Срок, годы0,51,01,52,02,53,0
Процентная ставка, %5775810
Инвестор владеет портфелем облигаций» данные которых приведены ниже.
Номер облигации ⑺
Стоимость облигации, долл.
Внутренняя доходность при т ~ 2
Модифицированная дюра* ция①竺
Модифицированная выпуклость (С”
1
109,7065
6,866
1,278
2,392
2
181,1901
5,000
1,951
4,759
3
368,7037
9J3I
2.632
8,921
Номер облигации О)
Платежи, долл., по срокам, годы
0,5
1,0
1,5
2,0
2J
3,0
1
20
—
100
—
2
—
-
—
200
—
3
-
40
-
-
40
400
Найти:
средневзвешанные дюрацию и выпуклость портфеля облигаций;
стоимость портфеля облигаций при увеличении и уменьшении всех безрисковых процентных ставок на 50 и 20 б.п.
Получить соответствующие оценки дюрации и выпуклости портфеля облигаций.
Временная структура процентных ставок при начислении процентов дважды в год приведена ниже.
Срок, годы0,51,01,52,02,5
Процентная ставка, %8,08,59,09,510,0
Портфель состоит из трех купонных облигаций с полугодовыми купонами:
Номер облигации
Номинал, долл.
Купонная ставка, %
Срок до погашения, ГОДЫ
1
1000
8
1,0
2
600
9
2,0
3
200
10
2,5
Определить:
текущую стоимость портфеля облигаций;
стоимость портфеля облигаций при уменьшении н увеличении безрисковых процентных ставок на 绅=20 б.п. и приближенные значения модифицированных дюрации и выпуклости портфеля облигаций;
относительные измеиеиия стоимости портфеля облигаций при увеличеини и уменьшении безрисковых процентных ставок на 50 н 100 б.п.
В условиях задачи 13.11 определить：
внутреннюю и средневзвешенную доходности портфеля облигаций (при начислении процентов 2 раза в год);
модифицированные дюрацию и выпуклость портфеля облигаций;
средневзвешенные дюрацию и выпуклость портфеля облигаций;
относительное изменение стоимости портфеля облигаций точно и приближенно при изменении безрисковых процентных ставок на Дг - 50 б.п. и Лг = -50 б.п.
ИММУНИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
Иммуназация портфеля облигаций - это стратегия управления инвестициями в облигации на временном промежутке заданной продолжительности для уменьшения процентного риска.
Если иммунизация портфеля облигаций производится иа временном промежутке продолжительностью 工 то в начальный момент формируется портфель облигаций с дюрацией, равной Т, а в течеине времени инвестиционный портфель периодически корректируется. При корректировке иивестиционного портфеля через Г лет фактическая стоимость инвестиции расходуется на формирование нового портфеля облигаций с дюрацией, равной величине Г - /.
Иммунизация портфеля облигаций дает иаилучшие результаты, если в течение времени возможны только параллельные сдвиги кривой рыночных доходностей и практически отсутствуют издержки при покупке и продаже облигаций.
При этих условиях инвестиционный портфель следует корректировать всякий раз, когда по портфелю облигаций выплачиваются доходы, а перед этим изменилась кривая рыночных доходностей. Кроме того, прн формировании портфеля облигаций целесообразно максимизировать его выпуклость.
* В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8%. На рынке имеются купонные облигации со следующими параметрами：
Л] = 100 долл., / = 10%, т} = 1, Г, = 2 года;
Л2 = 100 долл., f2 = 10%, тг - 1, Г2 = 4 года.
Определить, какова будет стратегия иммунизации при ннвео гировании 10000 долл, в данные облигации сроком ма 3 года для вариантов нзменемн* безрисковых процентных ставок, приведенных ниже.
Время, ГОДЫ
Безрисковая ставка, %, по вариантам
а
Ъ
С
d
0,5
9
8
10
11
1,5
8
9
8
9
142 В начальный момент времени безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны 9%, На рынке имеются облигации двух видов, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежи, допл^ по годам
0,5
to
1,5
2,0
2,5
3,0
А В
5
5
10
6
6
10
ПО
по
Какова должна быть стратегия иммунизации при инвесгиро- ваини 5000 долл, в данные облигации сроком на 2,5 года, если безрисковые процентные ставки изменялись следующим образом: через 0,1 года ставка составила 8%* через 0,6 года - 7%, а через 1Д гада - 6%?
Все безрисковые процентные ставки определены при начислении процентов один раз в год.
В начальный момент безрисковые процентные ставки при начислении процентов один раз в год для всех сроков одинаковы и равны 10%. На рынке имеются облигации трех видов, потоки платежей по которым приведены ниже.
52
Облигация
Платежи, долл,, по годам
1
2
3
4
А
10
ПО
-
-
В
10
10
по
-
С
10
10
10
110
Определить стратегию иммунизации при инвестировании 6000 долл, в данные облигации сроком на 3 года, если безрисковые процентные ставки через 0,5 года составили 9%, а через 1>5 года - 8%. Доля средств, инвестированных в облигации В, должна составлять 20%.
144 Безрисковые процентные ставки при начислении процентов один раз в год одинаковы для всех сроков и равны 8%. На рынке имеются облигации трех видов, потоки платежей по которым приведены ниже.
Облигация
Платежн* долл*, по годам
1
2
3
4
А В С
20
30
100
20
30
60
1020
30
60
530
860
Определить стратегию иммунизации при инвестировании 50 000 долл, в данные облигации сроком на 3,2 года, если безрисковые процентные ставки через 0,8 года составили 7%, а в дальнейшем не менялись.
14+5. Имеются облигации двух видов со следующими данными.
Облигация
Стоимость, долл.
Дюрация
А
100
2
В
200
4
При покупках и продажах облигаций необходимо оплачивать комиссионные в размерах 0,5 и 0,6% соответственно.
Инвестор, располагающий денежной суммой 200 долл, и портфелем П(2000, 3000) из данных облигаций, должен сформировать новый портфель с дюрацией, равной 3,5.
Определить этот портфель при наименьших трансакционных издержках.
Безрисковые процентные ставки при начислении процентов одни раз в год равны 8%. На рынке имеются облигации с годовыми купонами, данные которых приведены ниже.
Облигация
Номинал, долл.
Купонная ставка, %
Срок до погашения^ годы
А
100
8
2
В
100
8
4
При покупках и продажах облигаций необходимо оплачивать комиссионные в размере 0,5%.
Инвестор, располагающий суммой 10050 долл., вкладывает денежные средства в данные облигации сроком на 3 года.
Определить, какова будет стратегия иммунизации, если через 0,5 года процентные ставки возрастут до 9%, а в дальнейшем не будут изменяться.
ПРОСТЕЙШИЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЩ1ЯМИ В ОБЛИГАЦИИ
На рынке имеются облигации / видов с данными, при веденными ниже.
Номер
Платежи,
по срокам
Цена
Цена
облигации
покупки
продажи
1
с.
戶1
0
/
或
目
g
/
с?
л
а
Предполагается, что инвестору предстоит через 小 Г2& лет произвести выплаты соответствеиио в размерах S(l, 5(1%•
Чтобы определить портфель из данных облигаций с наименьшей стоимостью, платежи по которому достаточны для выполнения обязательств инвестора, решается следующая задача линейного программирования:
『=£号勺Sin);
之i = I,2幵，
勺之0,/= L2，…,f,
где 耳-количество покупаемых облигаций /то вида.
Если же допустить частичное испольх)вание текущих платежей по портфелю облигаций для выполнения последующих обязательств инвестора, то задача отыскания портфеля облигаций с наименьшей стоимостью примет следующий вид:
月厶1十力"*]+£qj%2自产弓，i = 2,3n-l
%小什% + £@乜河，
xy^0, 7 = 1,2，…,/,
耳 NO, /' = L2л-1,
где 耳/ - часть г-го платежа, используемая в последующий момент, （ = 1,2,п-1;
г - ставка реннвестироваиия при начиатении процентов один раз в год.
Чтобы определить оптимальную стратегию обмена облигаций, можно решить следующую задачу:
/ = £Qj力 一£弓巧（max）；
日JT
7=1J=i
Л； NO, у$ 之0, / = 1,2….」，
yj ^bj, J = l,2,…」，
4 之& j = 12…,"L
где 勺，刀一количества соответственно покупаемых и продаваемых облигаций j-го вида, j = 1, 2,..., /.
Инвестору предстоят выплаты через 1，2 и 3 года соответственно в размерах 260, 660 и 440 долл. В данный момент иа рынке имеются две облигации с параметрами, приведенными ниже.
Облигаиия
Платежи, долл.
Цела покупки (% долл.
су
或
1
10
10
110
100
2
50
150
-
150
Требуется сформировать портфель облигаций с наименьшей стоимостью:
чтобы поток платежей от него позволил выполнить обязательства инвестора;
чтобы поток платежей по нему обеспечивал выполнение обязательств нивесгора при условии, что поступающие платежи можно использовать через год для покрытия очередного обязательства инвестора (безрисковые процентные ставки при начислении один раз в год равны 5%).
Инвестору предстоят выплаты через 1, 2 н 3 года соответственно в размерах 200, 550 и 500 долл. В данный момент на рынке имеются три облигации с параметрами, приведенными ниже.
Облигация
Платежи, долл.
Цена покупки 嵋｝, ДОЛЛ.
或
1
10
10
100
100
2
10
100
—
90
3
100
一
-
80
Требуется сформировать портфель облигаций с наименьшей стоимостью при следующих условиях:
платежи от портфеля используются только в моменты вы- полнен ия обязательств;
платежи от портфеля можно использовать через один год Для выполнения последующих обязательств (безрисковые процентные ставки при начислении одни раз в год равны 10%).
В данный момент на рынке имеются три облигации с параметрами, приведенными ниже.
Облигация
Платежи, долл.
Цена покупки (孕， ДОЛЛг
屮
叫
cf
1
10
10
200
180
2
20
220
亠
200
3
30
300
-
300
Инвестору предстоят выплаты через 1,2 н 3 года соответственно в размерах 200, 5740 и 2000 долл.
Определить портфель облигаций с наименьшей стоимостью, поток платежей по которому позволяет выполнить обязательства инвестора. Платежи от портфеля можно использовать через один год для выполнения последующих обязательств (процентные ставки при начислении один раз в год равны 8%).
На рынке имеются две облигации с параметрами, приведенными ниже.
Облигация
Платежи, долл.
Цена покупки(目)， ДОЛЛ-
Цена прада* жи@), долл.
СУ
1
10
100
100
100
2
100
-
92
92
Определить оптимальный обмен облигаций портфеля прн условии, что ие разрешается продавать более двух облигаций каждого вида, а безрисковые процентные ставки равны 10% (при начислении один раз в год).
Определить оптимальный обмен облигаций, если на рынке имеются облигации двух видов с показателями, приведенными ниже.
Облигация
Платежи, долл,
Цена покупки (/у), долл.
Цена продажи 位).
ДОЛЛ.
彳
cf
1
100
0
90
85
2
10
по
100
95
Не разрешается продавать более четырех облигаций каждого вида, а безрисковая процентная ставка при начислении процентов одни раз в год равна 10%.
L16. РЕАЛИЗУЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ УПРАВЛЯЕМОГО ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
Год&войреализуемой доходностью управляемого портфеля облигаций за период 口小"при начислении процентов т раз в год называется число 凡 удовлетворяющее следующему равенству:
где а о - стоимость портфеля облигаций в начальный момент 琳 0i* 02Он - доходы, поступакнцие от портфеля облигаций за период ［作4
£2Ь %% — стоимость портфеля в моменты поступления доходов,
Определить годовую реализуемую доходность управляемого портфеля облигации эа первые 0,5； 1,0; 1,5; 2,0 и 2,5 года (при начислении процентов дважды в год), если начальная сто- нмоегь портфеля равна 10000 руб., а доходы, поступающие от портфеля, и соответствующие его стоимости приведены ниже.
Показатели
Срок+ годы
0,5
L0
1,5
2,0
2,5
Доход, руб.
100
100
80
70
80
Стоимость, руб.
10 100
10 200
10 000
9500
9600
16.2. Определить годовую реализуемую доходность портфеля облигаций за 5 лег при начислении процентов один раз в год, если начальная стоимость портфеля равна 20000 руб., а доходы, поступающие от портфеля, и соответствующие его стоимости приведены инже.
Показатели
Срок, годы
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
Доход, руб.
200
-300
-100
200
100
Стоимость, руб.
20 100
20200
20100
20 200
20 500
Доказать, что годовые реализуемые доходности портфеля облигаций за один и тот же период удовлетворяют следующему равенству:
где Я(м) и К①-годовые реализуемые доходности при начислении процентов соответственно ти/раз в год.
Годовые реализуемые доходности портфеля облигаций при начислении процентов m раз в год за периоды 伉，7],[匂 г] н [Г, 7] составляет Я, &, и R2 соответственно. Доказать, что
нп時п吟广
Временной период разделен на к этапов одной и той же продолжительности Доказать, что годовая реализуемая доходность портфеля за весь период ие превышает среднего арифметического годовых поэтапных реализуемых доходностей.
Начальная стоимость портфеля облигаций равна 1129,55 долл., а доходы, поступающие от портфеля, и соответствующие его стоимости приведены ниже.
Показатели
Срок, годы
1,0
2,0
3.0
4,0
5,0
Доход, руб.
-100
200
-100
200
100
Стоимость, руб.
1050
1100
1200
1100
1200
Найти годовые реализуемую и внутреннюю доходности портфеля облигаций при начислении процентов одни раз в год.
Имеется купонная облигация, купоны по которой оплачиваются m раз в год. В данный момент безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков.
Доказать, что годовая реализуемая доходность облигации прн начислении процентов т раз в год за любое число купонных периодов совпадает с внутреиией доходностью этой облигации, если в течение времени безрисковые процентные ставки не изменялись.
Даиы три купонные облигации с полугодовыми купонами, основные показатели которых приведены ниже.
Облигация
Номинал, долл.
Купонная ставка, %
Срок до погашения, годы
Внутренняя доходность, %
А
100
8
3
8
В
200
9
8
9
С
100
10
10
10
Требуется;
из облигаций А и С сформировать портфель 也 так, чтобы его ^едиевзвешенная дюрация совпала со средневзвешенной дюрацией портфеля Пь состоящего из одной облигации В;
определить основные характеристики портфелей П, и П2;
найти годовые реализуемые доходности портфелей nL и П2 за первые полгода, если виутреииие доходности облигаций А, В и С изменились на одну и ту же величину Ar = -1; -0,5; -0,2; 0; 0,2; 0,5; 1%.
1.17. ТЕМП ИНФЛЯЦИИ. НОМИНАЛЬНАЯ И РЕАЛЬНАЯ ВНУТРЕННИЕ ДОХОДНОСТИ ОБЛИГАЦИЙ
Индексом потребительских цен Дг) в момент ( е [0, 7] называется отношение стоимости потребительской корзины К(力 в этот момент к стоимости этой же корзины 禺 в нулевой момент, т.е.
Средним го^оеым темпам инфляции за время от / до z + Л назы- ьается число л(г, / + Л), удовлетворяющее равенству
[1+^(/,Г+А)]а[1+^(/,Г+А)]а/"+期/"+期%)%)
[1+^(/,Г+А)]а
[1+^(/,Г+А)]а
/"+期
/"+期
%)
%)
Если стоимость этой облигаций в данный (нулевой) момент равна F, то номинальная (без учета инфляции) внутренняя доходность (гном) облигации при начислении процентов один раз в год находится нз уравнения
Реальная (с учетом инфляции) внутренняя доходность (r^) облигации определяется нз уравнения
(1+书皿严而‘
где & и «г» - индекс потребительских цеи в данный (нулевой) мо
мент и в момент 〃 соответственно.
Уравнение, связывающее номинальную и реальную внутренние доходности облигации, носит название уравнения Фишера:
Fom =『реал + 灯+『реа”兀 и 'реал 55「ном 一"•
За 3 года индекс потребительских цеи возрос иа 40%. Определить средний годовой темп инфляции.
Найти средний годовой темп инфляции, если индекс потребительских цен за 2,5 года увеличился иа: а) 18% ; б) 10%.
Относительные изменения индекса потребительских цен за 6 лет приведены ниже.
厶 годы123456
双 Г-1,。,％10,259,568,329,3510,129,38
Определить ср目пшй годовой темп инфляции за эти годы.
Относительные изменения индекса потребительских цеи за 8 лет приведены ниже.
/.годы兀("IJ),%/.годы兀("IJ),%12345678
/.годы
兀("IJ),%
/.годы
兀("IJ),%
5,626,254,555,256,754,324,256,28
Найти средний годовой темп инфляции за эти годы.
17.5* Показатели облигаций трех видов приведены ниже.
Облигация
Л, лолл.
т
Т, годы
Л лолл.
1
100
10
1
4
94
2
100
g
1
5
90
3
100
10
2
4
92
Определить реальную внутреннюю доходность каждой облигации, если ожидаемый годовой темп инфляции равен 5%.
Дана облигация со следующим потоком платежей:
Срок, годы01Срок, годы01Платеж, долл. -1006Платеж, долл. -10062346610623466106
Срок, годы01
Срок, годы01
Платеж, долл. -1006
Платеж, долл. -1006
234
66106
234
66106
Определить реальную внутреннюю доходность облигации, если ожидаемый годовой темп инфляции для первых двух лет равен 3%, а для последующих двух лет - 4%.
Дана облигация с потоком платежей, приведенным ниже.
Срок, годы 00,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.-10055555105
Определить реальную внутреннюю доходность облигации, если ожидаемый годовой темп инфляции за первые полгода равен 2%, а затем каждые полгода увеличивается иа 0,2%.
Имеется облигация, поток платежей по которой приведен ниже.
Срок, годы 00,51,01,52,02,53Q
Платеж, долл.-10055555105
63
Найти реальную внутреннюю доходность облигации, если ожидаемый годовой темп инфляции за первые полгода равен 6%, а затем каждые полгода снижается на 0,5%.
Имеется облигация, поток платежей по которой приведен ниже.
Срок, годы 01,02,03,04,0
Платеж, долл.-10001001001°°11°°
Ожидаемые темпы инфляции по годам составляют соответственно 4, 6, 8 н 10%.
Определить годовую реальную внутреннюю доходность и средний годовой темп инфляции.
Оценить реальную внутреннюю доходность иа основе уравнения Фишера.
L18. ВНУТРЕННЯЯ ДОХОДНОСТЬ ОБЛИГАЦИИ С УЧЕТОМ НАЛОГОВ
Внутренняя доходность (尸)облигации с учетом налогов при начислении процентов один раз в год определяется из уравнения
€Л)从у—门£p= > —--—I：—,
£ (1+产卢 (!+//"
где а - ставка налогов на процентные доходы;
Q - ставка налога на прирост капитала.
Внутренняя доходность купонной облигации с учетом налогов может быть найдена приближенно из равенства
/=(1-^) (r-f) + f(l-a).
Чтобы найти внутреннюю доходность облигации с учетом налогов при наличии инфляции, необходимо вычислить номииаль-
иую внутреннюю доходность после уплаты налогов, а затем с помощью уравнения Фишера определить величину реальной внутренней доходности с учетом выплаченных налогов.
Дана купонная облигация со следующими данными: 乂 - 1000 долл., / = 10%, m = 1, Г = 6 лет. Внутренняя доходность облигации без учета налогов равна 12%,
Найти точное л приближенное значения внутренней доходности с учетом налогов, если ставка их на купонные доходы составляет 25%, а иа прирост капитала - 30%,
Имеется купонная облигация со следующими данными： / = 1000 долл.,/ = 6%, m = 1, Г = 5 лет. Внутренняя доходность облигации без учета налогов равна 10%.
Определить точное и приближенное значения внутренней доходности с учетом налогов, если ставка налогов иа купонные доходы равна 25%, а на прирост капитала - 30%,
Дана купонная облигация со следующими данными: / = 100 долл., /= 10%, m = 1, Г = 3 года. Текущая стоимость облигации равна 102,7 долл. Ожидаемый средний годовой темп инфляции - 4%.
Найти номинальную и реальную внутренние доходности облигации с учетом налогов, если ставки их на купонный доход н на прирост капитала одинаковы н равны: а) 20%; б) 30%; в) 40%,
Имеются две купонные облигации со следующими данными: Л = 100 долл., / 二 10%, m = 1, 丁 = 3 года. Внутренние доходности нх без учета налогов соответственно равны 5 и 7,5%.
Какую облигацию можно рекомендовать инвестору, если первая не облагается налогами, а купонный доход и прирост капитала по второй облигации облагаются налогами по ставке 25%?
Имеются две купонные облигации со следующими данными: А = 1000 долл.} / = 8%, m = 1, Г = 4 года. Внутренние доходности облигаций без учета налогов соответствеиио равны 8 и 10%.
Какую облигацию можно рекомендовать инвестору, если доходы от первой облигации не облагаются налогами, а купонный доход и прирост капитала по второй облигации облагаются налогами по единой ставке: а) 20%; 6} 30%?
186 Имеется купонная облигация со следующими данными: А = 1000 долл., /- 8%, m = 1, Г = 5 лет. Внутренняя доходность облигации без учета налогов равна 9 %. Ожидаемый годовой темп инфляции составляет 4%.
Определить реальную внутреннюю доходность облигации с учетом налогов, если купонные доходы облагаются налогом по ставке 20%, а прирост капитала - по ставке 30%.
ГЛАВА 2
Портфели рискованных активов и шшестищш
ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И ДИСПЕРСИЯ ДОХОДНОСТИ одной ЦЕННОЙ БУМАГИ
Доходностью инвестиции иа срок Г лет называется число г, удовлетворяющее равенству
W+H=K
где 匕 н V- начальная и конечная стоимости инвестиции.
Среднегодовая доходность r(m) инвестиции при начислении процентов m раз в год и среднегодовая доходность г при непрерывном начислении процентов определяются следующими равенствами；
Конечная стоимость инвестиции на срок Т лет находится с учетом реинвестирования доходов за Г лет.
Ожидаемой МхМлгоетм ценной бумага за Т лет называется математическое ожидание доходности инвестиции в эту ценную бумагу, а дисперсией доходности ценной бумаги - дисперсия доходности инвестиции,
1-1- Акция продается за 40 долл. Ожидается, что в конце каждого года будут выплачиваться дивиденды в размере 2 долл. Предполагается, что через 2 года ее можно будет продать за 50 долл.
67
Определить среднегодовую доходность инвестиции в эту акцию при начислении процентов одни раз в год, если дивиденды реинвестируются под годовую процентную ставку при иачлспе- нии процентов одни раз в год, равную: а) 5%; б) 20%.
Акция продается аа 50 долл. Ожидается, что в конце каждого года будут выплачиваться дивиденды в размере 1,5 долл., а в конце третьего года акцию можно будет продать за 55 долл.
Определить среднегодовую доходность инвестиции в акцию прн начислении процентов дважды в год, если дивиденды реинвестируются под годовую ставку при иачнсленнн процентов дважды в год, равную: а) 6%; б) 10%.
Акция продается за 60 долл. Ожидается, что в конце каждого года будут выплачиваться дивиденды в размере 2 долл., а в коние четвертого года ее можно будет продать за 70 долл.
Определить среднегодовую доходность инвестиции в эту акцию при начислении процентов 2 раза в год, если дивиденды реинвестируются под годовую ставку при начислении процентов 2 раза в год, равную: а) 4% б) 8%.
Акция продается за 40 долл. Ожидается, что в конце каждого года будут выплачиваться дивиденды в размере 2 долл., а стоимость акции в конце первого и второго года будет соответственно равна 45 и 50 долл.
Определить среднегодовую доходность инвестиции при начнс* лении процентов один раз в год, если дивиденды реинвестируются в саму акцию.
Акция продается за 70 долл. Ожидается, что каждый год будут выплачиваться дивиденды в размере 3 долл. Предполагается, что в конце первого года акция будет стоить 75 долл., в конце второго года - 80 долл., а в конце третьего года - 85 долл.
Определить среднегодовую доходность иивестицнм при начислении процентов одни раз в год, если дивиденды реинвестируются в саму акцию.
Вы покупаете пятилетнюн> облигацию с 6%-иым годовым купоном номиналом 1000 долл., когда ее внутренняя доходность равна 8%.
Определить среднегодовую доходность инвестиции в облигацию за 5 лет при начислении процентов один раз в год, если купоны реинвестируются под годовую ставку: а) 2%; 6) 6%.
Вы покупаете четырехлетиюю облигацию с 7%-иым годовым купоном номиналом 1000 долл., когда ее внутренняя доходность равна 8%.
Определить среднегодовую доходи<хггь инвестиции в облигацию за 4 года при начислении процентов один раз в год, если годовая ставка реинвестирования купонов равна: а) 8%; б) 6%; в) 10%.
Имеются три ценные бумаги с одним и тем же номиналом 1000 долл.: 1) вексель на один год； 2) пятилетняя чисто дисконтная облигация; 3) тридцатилетяяя чисто дисконтная облигация.
Виутреиияя доходность этих облигаций при начислении процентов один раз в год равна 6%.
Определить доходность инвестиции в каждую ценную бумагу за один год, если через год: а) рыночная доходность не нзмеин- лась; 6} рыночная доходность снизилась до 4%; в} рыночная доходность увеличилась до 8%.
L9. Чисто дисконтная облигация продается по цене 970 долл. Распределение стоимости облигации через 2 года приведено ниже.
Вероятность0,100J50,050,200,50
Стоимость, долл.920930一 9409701000
Найти ожидаемую доходность н стандартное отклонение до- ходиости облигации за 2 года.
Чисто дисконтная облигация продается по цене 920 долл. Распределение стоимости облигации через 3 года приведено ниже.
Вероятность0,100,150,200,250,200,10
Стоимость, долл.9009209409509701000
Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности облигации за 3 года.
Имеется купонная облигация со следующими данными: / - 1000 долл., /= 6%, т = 2, Г= 10 лет, когда ее внутренняя доходность равна 6%.
Найти ожидаемую доходность облигации аа пол года и стандартное отклонение доходности, если распределение виутренией доходности облигации через полгода имеет следующий вид:
ГЛАВА 2
Внятность0,10,20,2°*3°,2
Доходность, %3,03,54,0506,0
1Д2. Дана двухлетняя облигация стоимостью 100 долл. На рисунке показано распределение доходов от облигации.
Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности облигации за 2 года, если доходы можно реинвестировать под 5% годовых.
Даиа двухлетняя облигация стоимостью 100 долл,, рас- прсделеине доходов от которой показано иа рисунке.
001122
0
0
1
1
2
2
Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности облигации за 2 года, если доходы можно реинвестировать под: а) 5% ; б) 8%.
22 ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И ДОСПЁРСИЯ ДОХОДНОСТИ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
Любой портфель, сформированный из пенных бумаг н видов, можно рассматривать в виде л-мериого вектора
8M 働，仇0„)5
ю
где у - доля стоимости портфеля, инвестированная в ценные бумаги /-го вида, /= 1, 2,…，и.
Если на рынке разрешены короткие продажи ценных бумаг, то показатели @・ могут иметь любые знаки, а при запрещенных коротких продажах все。, должны быть неотрицательными.
Ожадаемая ^ох^ностъ портфеля ®-(0lt02>t..t0n) является линейной комбинацией ожидаемых доходностей ценных бумаг, входящих в этот портфель, т.е.
Fp=f© 际1=1
Дисперсия доходноста портфеля 0 = (0h026”)определя
ется следующим равенством:
где о； - дисперсия доходности ценной бумаги 八 го вцда,/= 1,2,л；
<Ту - ковариация между доходностями ценных бумаг г-го и户го видов.
ПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ
ГЛАВА 2 АКТИВОВ М ИНВЕСПЩНИ
Ковариацаонная мап^ица д&ходностеИ данных ценных бумаг имеет следующий вид:
.1. Портфель ценных бумаг содержит акции трех видов, информация о которых приведена инже.“
Номер акции
Ожидаемая ДОХОДНОСТЬ, %
Стандартное отклонение доходности, %
Начальная СТОИМОСТЬ, ДОЛЛ.
Число акций р портфеле
I
8
4
10
100
2
10
9
15
200
3
12
10
20
-100
Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности данного портфеля ценных бумаг, если известны коэффициенты корреляции между доходностями ценных бумаг； Р12 = &20; р13 = 0,50; ру = 0,30. ；
22 Дан портфель ценных бумаг, содержащий акции четырех видов, информация о которых приведена ниже,
Номер акции
Ожидаемая доходность, %
Стандартное отклонение доходности, %
Начальпая стоимость, ЛОЛЛ.
Число акций в портфеле
1
6
12
60
100
2
8
10
80
200
3
4
8
40
-100
4
10
12
100
200
Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности данного портфеля ценных бумаг, если известны ко- 72
ПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ
АКТИВОВ И ИНВЕСТИЦИИ ГЛАВА 2
эффициенты корреляции меяеду доходностями ценных бумаг: Р12= 0,20； р1з = 6,30; р14 = -0,10; р2з = -0,20; Рм = 0,50; р^д = 0,40.
Даны ценные бумаги трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет следующий вид:
‘0,3 0,2 0「
Л= 0,2 0,4 03 .0,1 03 &6\/
Найти стандартное отклонение доходности портфеля ценных бумаг, если доли средств, инвестированных в ценные бумаги, со- отБетствеиио равны -0,1； 0,6; 0S/
Даны ценные бумаги двух видов, информация о которых приведена ниже.
Вероятность
Доходность ценной бумаги, %
I
2
0,2
』5
-10
0,5
10
15
0,3
20
25
Определить ожидаемую доходность н стандартное отклонение доходности портфеля из этих двух ценных бумаг} если:
а) ©] - -2; ©2 = 3; б)日产 0,25; в2 = 0т75.
+ Имеются ценные бумаги трех видов, информация о которых приведена ниже.
Вероятность
Доходность ценной бумаги, %
2—
3
0,3
-5
-6
-7
0,3
4
5
6
&4
8
6
10
Найти ожидаемую доходность и стандартное отклонение до- ходиости портфеля нз данных трех ценных бумаг, если；
а) О, =-4),25; е2 = 0,8; ©3 = 0,45; б) ^=0,4; 92 = 0,1;@з = 0,5.
ГЛАВА 2ГЛАВА 2ПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ И ИНВЕСТИЦИИПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ И ИНВЕСТИЦИИГЛАВА 2ГЛАВА 2<-<-
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
ПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ И ИНВЕСТИЦИИ
ПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ И ИНВЕСТИЦИИ
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
<-
<-
. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет следующий вид:
'0,1 -0,1 0,2)
А= -ОД 0,3 -ОД L
0,2 -0,2 0,8 ；
Найти коэффициент корреляции между доходностями портфелей 0] = (0,5； 0,25; 0,25) н ©2 =(。」； 0т6; 0,3).
« В таблице приведены доходности двух ценных бумаг за }0 мес.
Ценная бумага
Доходность ценной бумаги, %, по месяцам
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
6
-2
4
5
-3
-2
]
2
2
2
1
3
—1
-2
3
4
3
2
2
Оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение портфеля 0 = (0,4； 0*6).
ОТЫСКАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ С НАИМЕНЬШИМ РИСКОМ
Если 儿(仃学)一коварнациоиная матрица доходностей рассматриваемых ценных бумаг, то портфель с наименьшим риском является точкой глобального минимума функции
о； =，в泣2 + 2，％@d
/=|记/
на множестве допустимых портфелей 匕，
_ При разрешенных коротких продажах ценных бумаг портфель в = (01,О2,...>0п) подвержен наименьшему риску тогда н только тогда, когда он удовлетворяет следующей системе линейных урав* нений：
2£苏°『+ ^^taiJ^j+ ^ - °' I = L2,…,％
捐=1
Если же короткие продажи ценных бумаг запрещены и нет иных ограничений на формирование портфелей, то для отыскания портфеля с наименьшим риском достаточно решить следующую аадачу:
寸二t娉出+22%ее, (min),
J^ljvj
,£研=1.
@； > 0t f = 1,2,л,「
которая сводится к стандартной задаче квадратичного программирования：
С=£ь；*ь沁®「％®*_]У +2 £联例 +
+ 2^^£w(1-®i_®2~&z)@f (min]
之 0* / = 1.2,.,., л — 1.
В общем случае для отыскания портфеля с наименьшим риском можно использовать теорему Куиа-Таккера.
Теорема Куна-Таккера. Предположим, что выполняются следующие условия：
функцииУХ?Г|,不各…，％)，j = 1, 2,…,s, выпуклы н дифференцируемы иа всем м-мерном пространстве R*;
функция 唄修，х* …，％ выпукла и дифференцируема на множестве
0=也($,电，…,xti}&Rn\fi(M}<：^
I = 1,2,...,j,见(4/) = &无=1,2-用，
где g《A0 - линейные функции, Л = 1,2,..., г；
3} существует точка Nw Q такая, что
Ш<^^1,2，…,亂
Точка A/q(x，，х?,…，х?) является точкой глобального минимума функции 水修，工2,…，马)иа множестве Q тогда н только тог- да，когда существует набор чисел дь g2,...,卩龄 Xh %,…,仆 где n120,…，円之0, такой, что
1) ~(jWo)=O, J = l,2,…，噴
2)晶工(Mo)=O, < = 1, 2^ ...,5；
3)工(%)*0, ?=l,2,f/
4)^(Л/о) = О,儿=1, 2…/
(£=奴风勺m)+2鸟/(布艺/)+2凡緜5,毛…m)
-функция Лагранжа.)
J. Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг име* ет вид
Н&йти портфель с наименьшим риском, если короткие прода- жи ценных бумаг: а) разрешены； б) запрещены.
76
2. Ковариациоииая матрица доходностей ценных бумаг имеет вид
А=償芻
доходностей ценных бумагдоходностей ценных бумагНайти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены.
доходностей ценных бумаг
доходностей ценных бумаг
33 Ковариацнонная матрица имеет вид
Q1 0 0,2'
Л= 0 0,2 0 0,2 0 0,5
Найти портфель с наименьшим риском, если короткие прдда- жи ценных бумаг： а) разрешены; б) запрещены.
ценных бумагценных бумагКовариациоииая матрица доходностей
ценных бумаг
ценных бумаг
имеет вид
(0,5 0 "4、
Л= 0 0,4 0,3 0,4 0,3 0,6
матрица доходностей ценных бумагматрица доходностей ценных бумагНайти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены; в) запрещены, а доля средств, инвестированных в ценные бумаги второго вида, не может превышать 50%.
матрица доходностей ценных бумаг
матрица доходностей ценных бумаг
3*5. Ковариациоииая имеет вид
0,4 0 0,80,4 0 0,81 0,2
0,4 0 0,8
0,4 0 0,8
Л= 0,2 0,1
0,4 0
Найти портфель с наименьшим риском, если короткие продажи ценных бумаг: а) разрешены; б) запрещены.
36 Найти портфель с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах ценных бумаг, если ковариационная матрица доходностей ценных бумаг имеет вид
0,30,20,10
0,20,40,30
0,10,30,60,2
000,21
Ковариационная матрица доходностей ценных бумаг : имеет вид
2 1h о о0 0((2 4 412 1h о о0 0((2 4 41моомоо88
2 1
h о о
0 0((
2 4 4
1
2 1
h о о
0 0((
2 4 4
1
моо
моо
8
8
Найти портфель с наименьшим риском, если разрешены короткие продажи ценных бумаг, а доля средств, иивесгироваиных в ценные бумаги второго вида, не может превышать 50%,
Коварнациоииая матрица доходностей ценных бумаг имеет вид
10,20,40,4
0,20,100
ОД00,80
0,4000.8
Доказать, что при запрещенных коротких продажах цеи-
(
411、
0т -, —, — - портфель с наименьшим риском.
Найти портфель с наименьшим рнском, если короткие продажи ценных бумаг запрещены, а доля средств, инвестированных в ценные бумаги второго вида, не превышает 50%.
24 МНОЖЕСТВО ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ ЗАДАННОМ НАБОРЕ ЦЕННЫХ БУМАГ
Множество нивестиционных возможностей 沏(匕)при заданном наборе ценных бумаг - это множество всех точек плоскости (о,『),удовлетворяющих следующим условиям:
后=(@]&…❷)叫，
где 叔%) 一 ковариационная матрица доходностей данных цен- них бумаг;
г(,弓，…，F 一 ожидаемые доходности этих ценных бумаг;
匕-множество допустимых портфелей (замкнутое н вы* пуклое множество в н-мериом пространстве Я").
Простейшие свойства множеств инвестиционных возможностей.
.師(%)и帥(%}, если彳ир；.
.澈(Q*) с：^ (Q„),
Й； = Ше /Г
.帅+(Eeh)U 前(匕)，если в],в2g %； 柳(®,®2)U 抑(QJ если 0|t02 6 %.
価(0ь02)> ^ +(0ь©2)- множества нивестициоиных возможностей при двух ценных бумагах 01 н 02, если соответственно разрешены нлн запрещены короткие продажи этих ценных бумаг.)
На рынке имеются ценные бумаги д&ух видов с ожидаемыми доходностями 彳=0,15 н 弓=0,25 , ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
^0,2 0,5)
Найти зиачения 6, при которых；
з)9;(М6)е 禍(匡)；б) (a; 0f 18)е 孤(Q办
На рынке имеются ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 4 = ОД,弓=0,2 н 弓二 0,25, коварняционная матрица доходностей которых имеет вид
‘0,10 0,2、
Л~ 0 0,2 0,3 »0,2 0,31
Найти все значения g, прн которых：
а) (а; 026) w 卽(Й3); 6) (<т； 0,26) w 怵(居).
На рынке имсеотся ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 耳=0,2, = 0,2 и 弓二 0,4, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0,10'
Л= 0 0,20,2 ,
-0,1 0,2 0,4
Найти все значения 5 при которых
a) (5 0,4) g 雷(%｝； 6) 9; 0,4) е 然(碱.
Имеются ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 耳=0,1,弓=0,2 н 弓=0,4. ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
лл035J4 3 о035J4 3 о
л
л
035
J4 3 о
035
J4 3 о
Доказать, что тДоказать, что т
Доказать, что т
Доказать, что т
0,2 принадлежит 曜(П», но не
принадлежит ^ (ёьО2), где ^ =(-1, 2, 0), ©2 -(0f 0, 1).
Доказать, что точка Q0J96; 0,22) принадлежит ^п+(Qi, 02) >
еслн g1=(；，:，"，a=(% 3 IL 什11；弓=0,20;元=0,40,
0,10,10,2
А=0,10,2О
0,201,0
\
МНОЖЕСТВО ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ ДВУХ ЦЕННЫХ БУМАГАХ
Множество инвестицнонньгх возможностей 飘他) определяется условиями:
г = К & + 弓 5， сг=[erf 0| +af О^ + 2pi2a[(r2 &^-^, в] + ©2 = L
Тде Н н 弓亠 ожидаемые доходности данных ценных бумаг;
5 н 5 - стандартные отклонения этих ценных бумаг;
% - коэффициент корреляции между нх доходностями.
Чтобы найти множество инвестиционных возможностей 阿(QJ), необходимо к предыдущим соотношениям добавить условие 0| > 0, в2 > 0.
5+L На рынке имеются ценные бумаги двук видов со следу。 щнмн показателями: q = 10%;弓=15%;团=0,4； 6 = 0,6.
Найтн уравнение, определяющее множество инвестиционных возможностей 沏(Q分，если: a) P]2~~V б) р12= I； в) р|2 = 0,2; г)р12 = 0,5.
В каждом случае множество инвестиционных возможностей изобразить на плоскости.
На рынке имеются ценные бумаги двух видов 8 следующими показателями:不=15%;弓=25%;① =0,2; Oj = 0,4.
Найтн уравнение, определяющее множество инвестиционных возможностей ^ТЦС”，если а) р12= 1; 6)?门=-1; в) р12 = 0,4; г) Р|2 = 0Д
В каждом случае множество инвестиционных возможностей изобразить на плоскости.
Ожидаемые доходности и стандартные отклонения доходностей ценных бумаг двух видов удовлетворяют условию 弓 <弓，
ПриприПрипри5-65-62 < 2 265-65-62 < 2 26Доказать, что ожидаемая доходность F* портфеля, принадлежащего ^ (С；) и имеющего наименьший риск, определяется следующим равенством:
При
при
При
при
5-65-6
2 < 2 2
6
5-65-6
2 < 2 2
6
W弓+b讦一团266伝+年)
苏+ 登一2Pl2(TQ2
На рынке имеются ценные бумаги трех видов со следующими показателями:
G=8%; ^ = 10%; 5=20%;
5 =0,4; сг2 = 0,5; <т3 =0,8； Р12 =05； Р13 = Р23 = °-
Найти уравнетие； определяющее множество инвестиционных во* можностей ^Я*(0ь ©з), еслн 9； = (0,5; 02 0,3). ®з = (0,1; 0,5; 0,4).
5Л На рынке имеются ценные бумаги трех видов со следующими показателями:
q =10%; ^ = 15%;弓= 20%;
5 =0,2; О"? =0,3;。孑=0,4;
Pi2=0； р” = ~0,5; /)2з=О.
Найти уравиеняе, определяющее множество инвестиционных воз- можностей 1^(01,02)>если @i =(1,0; -0,4； 0,4), &=(0； 0,4; 0,6).
ЭФФЕКТИВНАЯ ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ
Инвестиционная возможность А(оа, <4左澈(匕)доминирует над инвестиционной возможностью 89. /)€%(%), если выполняется хотя бы одно из двух условий:
Эффективной границей Г(匕)множества инвестиционных возможностей 加(%) называется множество всех иедоминируемых инвестиционных возможностей нз 洵(匕).
Основные утверждения.
Если
(о,г)еГ(Кп),тог^Г ,где F*- ожидаемая доходность допустимого портфеля с наименьшимриском,
Эффективная граница Г( V^ совпадает с множеством инвестиционных возможностей вида
(g加"),打,гдеreS{V^ S(〃) = {r^/|(CT,r)s 輙匕)}■
$(&)二pf,+K), S8；}=max/], L 1SrSn 丿
)де 彳* н 弓*- ожидаемые доходности портфелей с наименьшим рнс^ ком при соответственно разрешенных или запрещенных коротких продажах ценных бумаг.
Существует функция г = d^^ график которой совпадает g эффективной границей F(匕)，причем эта функция является непрерывной, возрастающей и вогнутой.
Даны инвестиционные возможности; Х(“2; 0,1), 5(0,2; QJ5), С(0,3; 0,2), В(0,3; 0,14).
Найтн все пары ^авннмых инвестиционных возможностей.
Даны ценные бумаги двух видов со следующими показателями： г, =15%, ^ =25%. <Т] s 0,2, 6=0.4, р|2 =0,4.
Найти множество S(PJ если: а)匕=%； б)匕= Q；.
Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями: * =0,1, q =0,15,号=0J9, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
5 2 2 °-°'@5 2 2 °-°'@лл-0.2 02 “4 0,1 . 0,1 0,4;
5 2 2 °-°'@
5 2 2 °-°'@
л
л
Найти множество 5( Г3}, если: а} " = %; б) % = Q；.
М. Дамы ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 厶=0j5t 厶=0,25,匕=0,3, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
С 0,10 0,2、
Л= 0 0,2 0,1 .
[0,2 0,1 0,5
Найти множество 5(/}, «ли：а)匕三％; б) k3=Qj.
65 Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями： * =20%,冃=30%,号=40%, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
/0,1 00
Л= 0 0,10
О 0 02
Принадлежат ли точкиПринадлежат ли точки假叩В儡同:假叩В儡同:
Принадлежат ли точки
Принадлежат ли точки
假叩В儡同:
假叩В儡同:
а) эффективной границе Г(Й3); б) эффективной границе
『(&)?
Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями * =0J, q =0,2, g =0,4, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0,1 -0,10)
Л= -0,1 "2 -0,2 L
0 -0,20,5丿
Найти портфель, принадлежащий множеству 口з и имеющий наименьшую дисперсию доходности прн ожидаемой доходности, равной 0,4- Принадлежит ли инвестиционная возможность, определяемая этим портфелем, эффективной границе Г(О3)?
Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 彳=0,12,弓=0,2, Fj =0,4, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
ЛЛ-°'2-°'22 2 8J3 2о о &2 2 8J3 2о о &
Л
Л
-°'2
-°'2
2 2 8J3 2о о &
2 2 8J3 2о о &
Найти портфель, принадлежащий множеству 0； и имеющий наименьшую дисперсию доходности при ожидаемой доходности, равной: а) 0,13; б) 6,3. Принадлежит ли инвестнциоиная возможность, определяемая этим портфелем, эффективной границе「(П；)?
85
6*8. Доказать, что эффективная граница Г(匕)определяется допустимыми портфелями, имеющими наибольшую ожидаемую доходность при заданной дисперснн доходности.
27 ЭФФЕКТИВНАЯ ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ РАЗРЕШЕННЫХ КОРОТКИХ ПРОДАЖАХ ЦЕННЫХ БУМАГ
Эффективная граница Г (&) совпадает с множеством точек вида (<7nlM (г),广)при г ^ г \ где『* - ожидаемая доходность допустимого портфеля с наименьшим риском.
Чтобы найти портфель с наименьшей дисперснен доходности при ожидаемой доходности, равной г, необходимо решить систему линейных уравиеиий:
^?0!+ ^jatj&j +Ху + ^ =0, / =
Все портфели с наименьшей дисперснен доходности при заданной ожидаемой доходности имеют следующий вид:
€Un(r) = (ai+仇г，散+庆几…，%+瓦h，
где дь %,…,an; 6卄 6之,…，6什-некоторые числа.
Если портфели О| н ®2 определяют ннвестнциоиные возможности нз множества {{%；<「)，г», то
孤(6, e2)= ((<Tfflin(r), г)}.
Эффективная граница Г(О„) задается уравнением вида
2/
причем если КЛ) = л> а среди ожидаемых доходностей *,弓,…，г имеются несовпадающие, тоЛ>0, 5<0иВ2 - 4АС < 0.
Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 厶=10%,弓=20%,厶=20%t ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
仰 00、
Л= 0 0,2 -0,1 ,
I О -0J 0,4
Найти множество портфелей^ определяющих эффективную границу W
Записать уравнение эффективной границы Г(£13).
Изобразить эффективную границу на рисунке.
7+2. Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями * =0,1,弓-0,2т 号=0,4, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
ОД -0,10)
А= -0,10,2 -0,2 .
0 -0,20,5
Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу R%),
Записать уравнение эффективной границы「(％).
Изобразить эффективную границу на рисунке.
3» Дяны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 号=20%, г2 =30%,厶=50%, ковариациоииая матрица доходностей которых имеет вид
仅,100、
А= 0 0,2 -0.1 ,[0 -ОД 0,4
Найти множество портфелей, определяющих эффективную граиицуГ(Д3).
Записать уравнение эффективной границы Г(О3).
Изобразить эффективную границу на рисунке.
74 Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 匕=0丄 纟=0,3,号=0,5, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0,1 0 0,2、
八二 0 0,10 .
0,20 0,6j
Найтн множество портфелей, определяющих эффективную границу「(％).
Записать уравнение эффективной границы「⑸).
Изобразить эффективную границу на рисунке.
5. Даиы ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями г =0,3,彳=0,2, ^ =0,1, ковариационная матрица докодно- стей которых имеет вид
32йООО一2 4 25 2 3= л32йООО一2 4 25 2 3= л
32й
ООО
一
2 4 2
5 2 3
= л
32й
ООО
一
2 4 2
5 2 3
= л
Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу「(％).
Записать уравнение эффективной границы「(％).
Изобразить эффективную границу на рисунке.
Портфели ◎] н 亳 определяют инвестиционные возможности, принадлежащие эффективной границе Г(йи),
Составить уравнение эффективной границы Г(Лл), если:
г(0. ) = 0,1; г(02 )=0,2; ^ ) = 0,2; сг(ё2) = 0,5; р(0ь02) = -Х),2.
На рынке имеются ценные бумаги четырех видов с ожидаемыми доходностями F =10%т гг =20%,厶=2瓯 厶=40%, кова- риацнониая матрица доходностей которых имеет внд
0,1 о о…吟
А00,2ОО
Л=О00,2О
-0,2О00,5
Составить уравнение эффективной границы Г(И4).
Найти урайиенне эффективной границы「(匕)，где
匕={0 = (0!，©2' ®5' ®4)€ Л4 I 0Т + О2 + 0j,+®4 =L 日］之 0,2}.
Z8. ОТЫСКАНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ГРАНИЦЫ МНОЖЕСТВА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ ЗАПРЕЩЕННЫХ КОРОТКИХ ПРОДАЖАХ ЦЕННЫХ БУМАГ
Эффективная граница「(◎；) совпадает с множеством инвестиционных возможностей вида ((amin(r), г)} при г>г\ где Г - ожидаемая доходность портфеля с наименьшим риском, при- надлежащего 0：,
Чтобы найти портфель, определяющий ннвестициониую возможность (быдСО, г), необходимо решить систему
加；® +2£旳电『+* + %弓-的=°，i = l, 2,...,я,
/Z© NO,角之a/Z© NO,角之a
/Z© NO,角之a
/Z© NO,角之a
где % 弓…，弓-ожидаемые доходности исходных ценных бумаг;
Л(сГу) - ковариационная матрица доходностей ценных бумаг.
L Доказать, что 门 < 々，если ннвестнцнонная возможность <Пт 仃｝£「(口力，а инвестиционная возможность (г2+ ①疟 Г(ЙЛ).
82 Даны ценные бумаги трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу H^j), н записать ее уравнение, если:
а"=0丄弓=02 q = 0,2;
6)彳=02 %=0,3,号=05
Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями 耳=0,1,弓=0,2,厶=0.4, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0 7^-*^ J2 2 оаJ Joо о л0 7^-*^ J2 2 оаJ Joо о л
0 7^-*^ J2 2 оа
J Jo
о о л
0 7^-*^ J2 2 оа
J Jo
о о л
Найти множество портфелей, определяющих эффективные границы Г(П3) н
Записать уравнения эффективных границ「(％) и Г(£1^)н изобразить нх на рисунке.
Найти инвестиционный портфель не склонного к риску инвестора, удовлетворяющий условию — = 0,75, если короткие про дажи ценных бумаг： а) разрешены; б) запрещены.
Даиы ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходнос- тямн 彳=0,04, % = 02 号=ОД ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
I 0,1 -0,10,2、
Л - —0,10,3 —0,2
эффективныйэффективный0,2 -0,20,8
эффективный
эффективный
Найти множество портфелей., определяющих
границы Г(£23) и「(Q；).
Записать уравнения эффективных границ Г(О3) и「(Q；) и изобразить их на рисунке.
5. Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями * = 0,05,弓-0J5, ^ =0,3, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
f 0,1 0 -0Л'
А= 0 0,30,1
[-0,1 0,1 0.2
Найти множество портфелей, определяющих эффективные границын Г(С；).
Записать уравнения эффективных границ Г(£13) н「(П；)н изобразить их на рисунке.
6. Составить уравнение эффективной граннцы Г(£2д), если:
力=0丄弓=02 弓=02 rj =0,4,
J 0,100 -0,2]
A _00,200
000,20,1'
-0.200,10,5
2.9. ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ РИСКОВАННЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ И БЕЗРИСКОВОГО АКТИВА
При наличии на рынке рискованных активов (ценных бумаг) л видов н безрискового актива с доходностью /у любой инвестиционный портфель имеет вид
&仇,0) = (1-%, 0ов) = (1-0о, 0о0к ®о%,®o®Q,
где О0 >0, 0=(0], О?，…，e”)s 匕(^п~ множество допустимых портфелей нз рискованных ценных бумаг).
Формируя портфель Д(0О,©) при О<0о<1, инвестор часть своих средств 0О вкладывает в портфель рискованных активов 0, а оставшуюся часть средств отдает в кредит под безрисковую процентную ставку 勺__
Если же 0О> 1, то портфель А(О0,0) можно интерпретировать следующим образом: инвестор берет ссуду, составляющую часть от имеющихся средств 晓一 I, под безрисковую процентную ставку /у и все образовавшиеся средства вкладывает в портфель рнскованкых активов G.
Если инвестор вкладывает средства в портфель рискованных активов 0, то инвестиционные возможности находятся на луче /, заданном условиями
При этом множество инвестиционных возможностей совпадает с лучом /, если инвестор может предоставлять кредиты н брать ссуды под одну н ту же безрисковую ставку 夕.Если же инвестор может предоставлять только кредиты (соответственно брать ссуды) под безрисковую процентную ставку 小 то множество инвестиционных возможностей совпадает с частью луча 厶 определяемой условием 0^(т<(т(砌 9>с(9}).
9-1. Инвестор выбрал портфель рискованных ценных бумаг с ожидаемой доходностью 10% н стандартным отклонением доходности 20%.
Каковы инвестиционные возможности этого ннвестора, еелн он:
может кредитовать и брать ссуды под безрисковую ставку в 6%;
может кредитовать под 6%, а брать ссуды под 8%?
92 На рынке имеются рискованные активы трех видов с ожидаемыми доходностями 10, 20 н 30%, коварнацнонная матрица доходностей которых имеет вид
'0,10 -0,Г
А= 0 0,2 02
-0,1 0,2 0,4
инвестора прн заданинвестора прн задан-,j 卜 если инвестор:-,j 卜 если инвестор:Каковы инвестиционные возможности
инвестора прн задан
инвестора прн задан
-,j 卜 если инвестор:
-,j 卜 если инвестор:
ном портфеле рискованных активов 0= -,
может кредитовать и брать ссуды под безрисковую ставку гу=8%;
может кредитовать под безрисковую ставку в 8%, а брать ссуды под безрисковую ставку в 9%?
На рынке имеются рискованные активы трех видов с ожи* даемымн доходностями 10, 20 и 40%, Инвестор может кредитовать под безрисковую ставку в 6%, а брать ссуды под ст理су в 8%.
Как при заданном портфеле рискованных активов 0 = (0,2; 0,4; 0,4) обеспечить ожидаемую доходность; а) 16%; б) 30%?
Имеются ценные бумаги двух видов со следующими дан
ными:
* =10%, % =20%, 5 =20%, о? =40%, б? =0,8
Определить множество инвестнционных возможностей, если инвестор может кредитовать и брать ссуды под безрисковую ста вку в 6%, а короткие продажи рискованных ценных бумаг: 1) разрешены; 2) запрещены.
Даиы ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями: * =10%,弓=20%,弓=30%, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0.1А= 0 'ОД0.1А= 0 'ОД0 -QJ10,200 0,30 -QJ10,200 0,3
0.1
А= 0 'ОД
0.1
А= 0 'ОД
0 -QJ1
0,20
0 0,3
0 -QJ1
0,20
0 0,3
Найтн множество ннвестнинонных возможностей, если ннм- стор может кредитовать и брать ссуды под безрисковую процентную ставку в 8% н разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг.
ЭФФЕКТИВНАЯ ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА ИНВЕСТИЦИОННЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ БЕЗРИСКОВОГО АКТИВА
Портфель рнскованных активов 有『w % называется касательным портфелем^ соответствующим безрисковой процентной ставке 力 если существует число * > 0, прн котором инве> стициоиная возможность'
[ёJtTfQyX 0一珞）叮十仇"百川
является нсдоминируемой.
Касательный портфель 9,, соответствующий безрисковой процентной ставке 夕，всегда определяет инвестиционную возможность, принадлежащую эффективной границе「（匕），н удовлетворяет условию
max网百）_叮一网百八一叮 戢修 cr（0） cr（0z） ■
Касательные портфели Од и 0/2, соответствующие безрисковым процентным ставкам 厶 н %, где % < 々，удовлетворяют следующим неравенствам:
*◎『）£"后力）и 5（◎/1） = 5（g方）.
Если инвестор может предоставлять кредиты н брать ссуды под безрисковую процентную ставку /у н существует касательный портфель, соответствующий этой ставке, то эффективная грани- ца множества инвесгнцнонных возможностей является лучом:
94
г（0）-Гуcr（i）-г（0）-Гуcr（i）-<т>0<т>0
г（0）-Гуcr（i）-
г（0）-Гуcr（i）-
<т>0
<т>0
Если же инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку %, а брать ссуды под безрисковую ставку 灰 ％ * 员， то эффективная граница множества инвестнцнониых возможностей определяется следующими условиями:
叫if8e 论）’2叫if8e 论）’2при о W b £ b（e/）,при cr（0^） < <r < «при о W b £ b（e/）,при cr（0^） < <r < «
叫if
8e 论）’2
叫if
8e 论）’2
при о W b £ b（e/）,
при cr（0^） < <r < «
при о W b £ b（e/）,
при cr（0^） < <r < «
（gr）w「（匕）Прн <y（®/jM<rME®/J .
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности касательного портфеля, соответствующего безрнскозой ставке /у = 0,08, равны 15 и 40%.
Найти эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под указанную безрисковую ставку.
На рынке разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг двух видов со следующими показателями:
戸产 0,1, в=7Й\ 弓=0,16, а2 =^0А. р|2 = -—.
4
Определить эффективную границу「（同.
Найтн касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам % =0,06 н г^ =0,07.
Записать уравнение эффективной границы множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты под беэрискоьую ставку % , а брать ссуды под безрисковую ставку &.
На рынке разрешены короткие продажи рискованных иенных бумаг. Инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую процентную ставку 力=6%, а брать ссуды под безрисковую процентную ставку 它=8%. Ожидаемые доходности касательных портфелей ©^ и 6厶 соответственно равны 20 н 40%.
Найти инвестиционный портфель с наименьшей днсперсне兑 доходности при ожидаемой доходности, равной: а) 11,6%; 6} 30%; в) 46,4%.
104 Эффективная граница Г(Й^) имеет вид
Определить безрисковую процентную ставку, если ожидаема^ доходность касательного портфеля, соответствующего этой став4^ ке, равна: а) 25%; б) 32%.
Эффективная граница Г(ОИ) определяется уравнением
ь = ^(350户 Т96г+29,4)%, г >0,28.
Касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам % =0,12 и 飞=0,2, имеют ожидаемые доход- иостн 31J н 35%.
Определить эффективную границу множества инвестнцион* ных возможностей, если инвестор может предоставлять кредить! под безрисковую ставку 讣 а брать ссуды под безрисковую ста»"
ОТЫСКАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПОИфЕЛЯ ПРИ РАЗРЕШЕННЫХ КОРОТКИХ ПРОДАЖАХ РИСКОВАННЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ
Даны рискованные ценные бумаги с ожидаемыми доходностями “,4，…,彳,ковариационная матрица доходностей которых равна А(в»
Если г(Л) = w, aqje/m ожидаемых доходностей *,弓，…，耳 есть несовпадающие, то справедливы следующие утверждения.
Для существования касательного портфеля ©^ е Йя, соответствующего безрисковой процентной ставке гу, необходимо и достаточно, чтобы 叮 <『* (г * - ожидаемая доходность портфеля мз Qn с наименьшим риском).
При этом ожидаемая доходность г касательного портфеля 禹 удовлетворяет равенству
-Г/В+2С
B + 2Arf
Если портфель 0 определяет инвестиционную возможность из эффективной границы r(Qrt), то он является касательным портфелем, соответствующим безрисковой процентной ставке
25网初二8.
Касательный портфель 斗,соответствующий безрисковой процентной ставке >у <г , определяется следующими условиями:
©/=[—，— 1 P = £z；I0" "丿 £，
Ь方：+ 2Ь产；=彳一/f=L2儿
Разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
ГОЛ Л = о оГОЛ Л = о оО 0)
ГОЛ Л = о о
ГОЛ Л = о о
0,2 -0J
® 0,4
Эффективная граница Г(П5) определяется портфелями вида
К , / е 255 153]23
@版⑺= 2-1吮7.0, гз Г之而
Найти касательный портфель 0/, соответствующий безрисковой процентной ставке q = 0,08.
Определить безрисковую процентную ставку ?у так, чтобы портфель
М-P М徒叭)
являлся касательным портфелем, соответствующим этой ставке.
11工 Портфели 61 к®? определяют инвестиционные возможности из эффективной границы Г(ОЯ), причем
产(«) = 0,1,『(百2)= 02 <у(0,) = От2,(т(ё2) = 0,5. p(0]t02) = -Ot2.
Найти ожидаемую доходность касательного портфеля, соответствующего безрисковой процентной ставке гу= 0,1.
113 Разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
0,10 0,2'
Л= 0 0,10
0,20 0,6
Эффективная граница Г(О3) определяется портфелями вида 98
2 57 5 И 1
&з二 ТГ丁旷毋丁而^0丄
L Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей/ если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку 々=0,02, а брать ссуды под безрисковую ставку £ =0,03.
Определить безрисковую процентную ставку лу так, чтобы портфель
^隘爸一計侬）
являлся касательным портфелем, соответствующим этой ставке.
.4. На рынке разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг двух видов, причем
Найти касательный портфель 0/1 соответствующий без» рисковой процентной ставке /у 兰 6%.
Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, еслн инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую ставку гу = 6%.
В условиях п. 2 данной задачи определить стратегию не склонного к риску нивестора для обеспечения ожидаемой доход- иости К = 10%.
.5. Разрешены короткие продажи рискованных активов трех видов с ожидаемыми доходностями * = 20%,匕=30%.号=50%, ковариационная матрица доходностей которых нмест вид
0,100,2>
Л=00,20.
0,200,6I
Найти касательные портфели, соответствующие безрисковым процентным ставкам % = 6% и г^ =8%,
Определить эффективную границу множества ннвестнцион- ных возможностей, если инвестор может предостаьлять кредиты и брать ссуды под безрисковые ставки % = 6% н % = 8% соот- ветствеино.
В условиях п, 2 данной задачи указать стратегию не склонного к риску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности а)国=20%; б) & = 45%; в) % = 50%.
.6. Даны рискованные активы трех видов с ожидаемыми доходностями 耳=0,1,弓=0,2,弓=0,35, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид /
'0,5 -0,50
Л= -0,510,5
00,51
Короткие продажи рискованных^ктнвов разрешены.
Найти касательные портфели 01 и 02, соответствующие безрисковым процентным ставкам % =0,05 н《=0,09.
Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если ннвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковые ставки 纟=0,05 园 纟=0,09 соответственно.
В условиях п. 2 дайной задачи найти инвестиционный порт- фель так, чтобы отиошеине —?— было наибольшим.
117 Даны рискованные ценные бумаги четырех видов с ожидаемыми доходностями: zj -0,12, = 0,28,弓=0,2& ^=0,48 ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
л =л =0,100叫00,200000,20,20,100,2Q40,100叫00,200000,20,20,100,2Q4
л =
л =
0,1
0
0
叫
0
0,2
0
0
0
0
0,2
0,2
0,1
0
0,2
Q4
0,1
0
0
叫
0
0,2
0
0
0
0
0,2
0,2
0,1
0
0,2
Q4
Короткие продажи рискованных активов разрешены.
Найти касательный портфель из Г(Л4), соответствующий безрисковой процентной ставке /у= 0,08.
Найти касательный портфель из「(％), соответствующий безрисковой процентной ставке 号= 0,08, где
匕=俯=(®],%,%,04)ed1鼻之3.
ОТЫСКАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ПРИ ЗАПРЕЩЕННЫХ КОРОТКИХ ПРОДАЖАХ РИСКОВАННЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ
Даны рискованные ценные бумаги * видов с ожидаемыми доходностями 彳，弓j, ко&ариациониая матрица доходностей которых равна Л 二(％).
Если г(Л) = и, среди ожидаемых доходностей 片,&,....匕 есть несовпадающие, а 〃 v min 悌｝, то справедливы следующие утвер- ждення.
Существует, и притом единственный, касательный портфель
из「(fl：), соответствующий безрисковой процентной ставке
Если вектор 彳= (z；, z；,…，z；) - решение системы
5%+£(7产厂0=斤一小
“ 爲(12.1)
Aizj =0, 4 之0,引之& i-l,2f...Tnt
то вектор
принадлежит эффективной границе 「(П：) и является касательным портфелем, соответствующим безрисковой процентной ставке 勺
Замечание. Для решения системы （12.1） достаточно найтн оптимальное решение задачи линейного программирования
Р = £兑 （min）,
5‘%+2仃产/-4+乂=看-叮.
020, 乂＞0, z,=0. / = 1,2,..., л,
базнс которого не содержит сопряженных вектороь условий.
1X1. Даны рнсковаииые ценные бумаги двух видов со следующими параметрами:
Й=0.16.弓=02 А =（弘
Короткие продажи рискованных ценных бумаг запрещены.
Найтн касательный портфель ©/, соответствующий безрисковой процентной ставке /у= 0,14.
Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, еслн инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую ставку гу= 0,14.
Указать стратегию несклонного к рнску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности К = 18%.
1X2, Даны рискованные ценные бумаги трех видов со следующими параметрами:
Q1 00]
刃=0,1,忌=0,2,弓= 0,3, А= 0 0,2 -0,1 .
0 -0,1 02
Короткие продажи рискованных ценных бумаг запрещены.
Найти касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке ?у= 0,06.
Определить эффективную границу множества инвестицион- ных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты н брать ссуды под безрисковую ставку 疗=0,06.
Указать стратегию не склонного к риску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности R=0J5.
123 На рынке запрещены короткие продажи рискованных ценных бумаг трех видов со следующими параметрами:
i>OJZ 6 = 0,2, г3=0А Л =i>OJZ 6 = 0,2, г3=0А Л =J л 3ооао^^■^ окJ л 3ооао^^■^ ок
i>OJZ 6 = 0,2, г3=0А Л =
i>OJZ 6 = 0,2, г3=0А Л =
J л 3ооао^^■^ ок
J л 3ооао^^■^ ок
Найти касательные портфелн> соответствующие безрисковым процентным ставкам ?^ =0,04 и гу2 = 0,1.
Определить эффективную границу множества инвестиционных возможностей, если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку % = 0,04, а брать ссуды под безрисковую ставку %, =0,1.
Указать стратегию не скложого к рискуинвесгорадл^обеспб чения ожидаемой доходаосш: а) Я = 15%; б) Я = 30,5%; &) J? = 50%.
.4. Даны рискованные ценные бумаги трех видов со следующими параметрами:
0,2 0,1 0,31
И =0Д8,弓=0,25,弓= 0,2& Л = 0,) 0,3 0,2
[<ХЗ 0,2 0т5
Составить уравнемне эффективной границы, если инвестор может предоставлять кредиты под безрисковую ставку % = 0,03, а брать ссуды под безрисковую ставку * =0,05 при запрещенных коротких продажах рискованных, ценных бумаг.
))22 ОО0^00 woo))22 ОО0^00 woo12А Даны рискованные ценные бумаги четырех видов со следующими показателями：
))22 ОО
0^00 woo
))22 ОО
0^00 woo
斤=0,16, гч = 0,28,弓=0,26,厶=0,4& Л =
Короткие продажи рискованных ценных бумаг запрещены.
Составить уравнение эффективной границы, если инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую процентную ставку 片 0,08.
Найтн ннве(лиционный портфель так, чтобы отношение г-0т4
(а-0 2)2 было наибольшим.
^-ФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ РЫНКАРИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
Рынок удовлетворяет fr-факторной модели, если существует 化 экономических факторов fp …，耳,…，眾 н набор чисел
a,，，a) *…，伍，戸瓦J，/ = L 2,…，小 таких» что
岛Н0,
8V(耳,立)=0, t = L2,...,k, J = 1,2n,
где 门，％ ..., rft - доходности рискованных активов;
£],也 …，£и - остаточные доходности (случайные величины).
Имеют место следующие равенства:
弓j = …
COY(耳，编=£ %cov(% 耳)，f = l,2…к, / = L2…л.
В условиях fc-факторной модели доходность портфеля активов F 于(а】，®2, ®J записывается в виде
гдеaР = ^a?0;,生产=2自叨.e戶=2三优.
Стандартное отклонение остаточной доходности портфелх активов называется нефакторным или особым риском этого портфеля, а величина
его факторным риском. Особый риск портфеля активов может быть устранен за снег днверсифи кацин.
Найти факторные бета-коэффициенты рискованного актива, если известна факторная ковариационная матрица
0,1 -0,2\
-0,2 0,5 j а
8式尸"г) = -0,04 и cov(F2i г) = 0」3.
Определить факторные бета-коэффнцненты рискованных активов двух видов, если известна факторная ковариационная матрица
fOJ ОД 0
аа0,1 0,4 0J ,0 ОД 1,2
а
а
cov(Fh Г]) = 0,2, cov(F2, Г]) = 0,5, cov(F3, г3) = 0,8,cov(Fb г2) = 0,04, cov(F2, г2) = 0,1, cov(F3, rj = 1,42.
ГЛАВА 2ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
13.3* Найти стандартные отклонения доходностей н ковариацию между доходностями ценных бумаг двух видов, если известна факторная ков ариационная матрица
13.6. Дьна коварнациоииая матрица остаточных доходностей рискованных активов пяти видов:
誹
ООО
ааа
^.^
f 04
0
0J
0}
-0,1
0,2
-0,1
0
0
-0,1
0,2
0
0,1
0
0
0,2
0
0
0
0
0,2丿
Определить особые риски портфелейОпределить особые риски портфелей
Определить особые риски портфелей
Определить особые риски портфелей
а факторные бета-коэффициенты и ковариационная матрица остаточных доходностей приведены ннже.
Ценная бумага
Факторный бета-коэффициент
Ковариационная матрица остаточных доходностей
修
%
1
-03
1,2
0,6
С0,04 0,00)
2
-ОД
1,3
0,8
^0,00 0,05)
尸ТК，。,。，。л
^о ^0 :0 OJO.20O…о д ло и о 01^о ^0 :0 OJO.20O…о д ло и о 01
^о ^0 :0 OJO.20O…о д л
о и о 01
^о ^0 :0 OJO.20O…о д л
о и о 01
В условиях задачи 13.3 найти факторные бета-коэффицн- енты портфеля 尸=(0,2; 0*8). Оценить факторный и тобыЛ рискн портфеля.
136* Факторная коварнациоиная матрица имеет вид
Q2 0 (Г
О 0,4 -0,1
I 0 ®0,5
13Л. Дана ковариационная матрица остаточных доходностей рискованных активов п видов:
о о ...о
: 0：2,
Найти особый риск портфеля Рп =1 ~> ^Найти особый риск портфеля Рп =1 ~> ^13.8. Факторная ковариационная матрица имеет вцд13.8. Факторная ковариационная матрица имеет вцд
Найти особый риск портфеля Рп =1 ~> ^
Найти особый риск портфеля Рп =1 ~> ^
13.8. Факторная ковариационная матрица имеет вцд
13.8. Факторная ковариационная матрица имеет вцд
ожидаемые значения факторов:月=-0,1, 月=03 房=0,4,
Определить ожидаемую доходность, особый н факторный рискн портфеля 尸=(0,3; -0,2; 0,9) в условиях модели рынка, характеристики которой приведены ннже.
Ценная бумага
Факторный бета-коэффициент
Свободный
Щ1еи
Ковариационная матрица остаточных доходностей
瓦
1
13
-0,1
0,03
(0,2 ® 0,1)
2
-0」
-0,02
-0,10*3 0,1
3
0,4
12
-0,03
1 0,1 ОД 0,4
(0,10 -0」、
002 -0,2 ,
[-0,1 -0.20,5
ожидаемые значения факторов:瓦=-0丄 巴=。」2, 居=0,01 • Характеристики ценных бумаг двух видов в условиях фактор*
ной модели приведены ниже.
Ценная бумага
Факторный бета-коэффициент
Свободный
(а力
Ковариационная матрица остаточных доходностей
瓦
阮
%
I
0.8
-0,2
-0,042
(0,01 -0,01)
2
0,2
0,5
毋3
0,003
卜&01 0,02 丿
Составить уравнение эффективной границы「(％}・
2.14. ПОСТРОЕНИЕ Л-ФАКТОРНОЙ МОДЕЛИРЫНКА РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
Известны доходности рискованных активов п видов н значения к экономических факторов за Т предшествовавших периодов заданной продолжительности:
4Tj/ н
用…耳‘，…，E, f = L 2,…，T.
Свободный член а； и факторные бета-коэффнцнеиты 0廿，…* 夕加 …,毘 для j-ro актива можно подобрать на основе метода наименьших квадратов, ретив систему линейных уравнений
e諸-^e諸-^
e諸-^
e諸-^
Решение этой системы линейных уравнений
дает оценки коэффициеитоб регресснн；
寸=金)+2 饱£+£；/ = L2t.
Для тестирования линейной регрессионной модели используются следующие показатели:
.£； = r/-ay-^M；『 = 1,2，…,Т.
7=1
.(TSS)j = £《,一弓尸’弓=-^— (полная сумма квадратов ort клоненнй);
г
(RSS)j = £《司尸(сумма квадратов, не объясненная регрессией);
**磊**磊(ES. = (ГУ办-(KS0 (сумма квадратов, объясненная регрессией).
**磊
**磊
(коэффициент детерминации).
ф 二 ТЕ''* (丁—止 _” (статистика Фишера).
，(&SS)j к
dj=^~y(статистикаДарбина-Уотсона).
Sj = ^I^^^ (стандартиая ошибка оценки).
Если допустить, что остаточные доходности 斗 / = 1, 2,…，7\ независимы и распределены нормально с нулевыми математическими ожиданиями и одной и той же дисперсией, то доверительные интервалы для коэффициентов регрессии оцениваются следующим образом:
ГЛАВА 2ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
ГЛАВА 2
(Т—氏-1)用J硏;，&/+£]_у(Т—此一DSj"J^7
&-J(T-^-DS/J⑨+u+；, 6& + gQ - к -1)邑 J%+w+i
где a”, cjjj,... &*+]，*+【-диагональные элементы матрицы (*匚甩“； g(TM-D - Е^яггическое значение распределения Стьюден-
2тас(Т-к- 1) степенями свободы;
у - уровень надежности.
На рынке имеются рискованные активы двух видов, доходности которых определяются одним фактором 户,Данные о доходностях активов и значениях фактора за 6 предшествовавших месяцев приведены ниже.
г；
Н
1
-0,007
旬,015
-0,01
2
0,048
0,062
0,05
3
0,054
0,075
0,06
4
0,039
0*045
0,04
5
с@п
0,058
0,05
6
-0,016
-0,027
-0,02
Оценить коэффициенты линейных регрессии для доходностей активов и найти значения всех показателей, используемых прн тестировании моделей.
Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с надежностью 95%.
14Д. При условиях задачи 14.1 оценить значения доходностей активен, если фактор примет значение, равное 0,05.
Построить доверительные интервалы для этих доходностей с надежностью 95%.
143 При условиях задачи 14.2 построить ковариационную матрицу доходностей данных активов, если дисперсна фактора равна 0,02, а остаточные доходности не коррелируют.
.4 Данные о доходностях активов и значения двух факто
ров приведены инже.
Номер месяца (Г)
片
耳
]
0J24
0,165
0,10
0,20
2
0,115
0,1舞
0,08
0,10
3
0,103
0,077
0.05
&15
4
0,176
0,204
0,12
0,16
5
-0,002
-0,032
也01
0,20
6
-0,013
0,008
-0,02
0,17
7
0,120
0,090
0,08
0,14
8
0,099
0,072
0,06
0,12
9
0,126
0,136
0,08
0,12
10
0,133
0,154
0J0
0,10
11
0,181
0,197
0,12
0,12
12
0,090
0,079
0,05
0,14
L Оценить коэффициенты линейных регрессий для доходностей активов и найти значения всех показателей, используемых при тестировании модели.
Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с надежностью 95%.
Ирм условиях задачи 14.4 определить значения доходностей активов и ковариационную матрицу их доходностей, если значения факторов Д = 0,09 и 月=0/5, остаточные доходности не коррелируют, а факторная ковариационная матрица имеет вид
(0,01「0,02]
[-0,020,03
Найти доверительные интервалы для доходностей с надежностью 95%.
ГЛАВА 2
. ОТЫСКАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ В УСЛОВИЯХ ОДНОФАКТОРНОЙ МОДЕЛИ РЫНКА
Если рынок рискованных активов удовлетворяет однофакторной модели, то
rj = a^^ +^ , /=1,2,…，芯
При некоррелируемых остаточных доходностях касательный портфель, принадлежащий эффективной границе「(&) и соответствующий безрисковой ставке гу <г* (г* - ожидаемая доходность портфеля с наименьшим риском), определяется вектором
гае
Если же на рынке, удовлетворяющем однофакторной модели с некоррелируемымн остаточными доходностями, запрещены короткие продажи активов, бета-коэффициенты активов положительны и
то касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке % определяется вектором
112
гдегде
где
где
Ф| <Ф2 < - <Ф/> Ф/ йФ/+1
。立经用。立经用
。立经用
。立经用
На рынке, удовлетворяющем однофакториой модели (остаточные доходности ие коррелируют), разрешены короткие продажи активов. Основные данные о рынке приведены ниже.
1
2
3
4
5
0,060
0,040
0,045
0,008
0,002
1,4
0,8
L3
0,9
и
0,0065
0,0020
0,0045
0,0024
0,0045
Найти касательный портфель^ соответствующий безрисковой процентной ставке /у = 0,04, если F =0,1, су| ~0,02 - Определить ожидаемую доходность и дисперсию доходности касательного портфеля.
15+2. Рынок удовлетворяет однофакторной модели с некорре- лируемымн остаточными доходностями, 苏 =0,1, а остальные данные приведены ннже.
1
2
3
45
6
0,20
0,08
0,15
0,25
0,09
0,18
1,4
0,7
1,0
L3
0*
L2
0,05
0,20
0,25
0,40
0,25
0,30
Найти касательный портфель рискованных активов, соответствующий безрисковой процемтиой ставке гу = 0,03, еслн: а) разрешены короткие продажи активов; б) запрещены короткие продажи активов.
Рынок удовлетворяет однофакториой модели с иекорре- лируемыми остаточными доходностями,必=0,001, а остальные данные приведены ниже.
1
2
3
4
5
6
78
0,15
0,17
0т12
0,17
0,11
0,11
0,11
0,07
1.0
1,5
1,0
2,0
1,0
1,5
2,0
0,8
0,005
0,004
0,002
0,001
0,004
0,003
0,004
0,0016
Найтн касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке 号=0,03, если запрещены короткие продажи активов.
Определить инвестиционный портфель не склонного к риску инвестора, обеспечивающий ожидаемую доходность в 12%.
В условиях задачи 15.3 иайти касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке iy= 0,04. Определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности касательного портфеля.
Рынок удовлетворяет однофакторной модели с иекорре- лируемыми остаточными доходностями, а| =0,04. Остальные данные приведены ниже,
ПОРТФЕЛИ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ И ИНВЕСТИЦИИ
ГЛАВА 2
123450,080,150,10"120,221,01,11,21,01,50,050,06250,080,080т05123450,080,150,10"120,221,01,11,21,01,50,050,06250,080,080т05Найти касательный портфель рискованных активов, соответствующий безрисковой процентной ставке iy= 0,04, если: а) разрешены короткие продажи активов; 6) запрещены короткие продажи активов.
1
2
3
4
5
0,08
0,15
0,10
"12
0,22
1,0
1,1
1,2
1,0
1,5
0,05
0,0625
0,08
0,08
0т05
1
2
3
4
5
0,08
0,15
0,10
"12
0,22
1,0
1,1
1,2
1,0
1,5
0,05
0,0625
0,08
0,08
0т05
2Л6. РАВНОВЕСИЕ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ
Дан финансовый рынок, на котором обращаются рискованные активы и видов н оперируют m инвесторов.
Инвесторы имеют однородные ожидания относительно данного финансового рынка, если: все они рассматривают один н тот же временной горизонт, одинаково оценивают инвестиционные качества рискованных активов и у всех инвесторов одно н то же множество мнвестнинонных возможностей.
При этом каждый инвестор, формируя стратегию на рынке, максимизирует свою функцию полезности вида 1/(5 г), где г - ожидаемая доходность инвестиционного портфеля, a G - стандартное отклонение его доходности.
Замечание^ Если на рынке разрешены короткие продажи рискованных активов, а инвесторы могут предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую процентную ставку 力 то функция полезности записывается следующим образом:
U(cr,r), где г = (1-©о)г/ + 9ог(0), (т = Оо<т(0), 0€ Й„, 0О >0 .
Если такая функция полезности достигает наибольшего значения прн 90 > 0, то в точке максимума отношение
принимает одно и то же значение для всех f = I, 2,..., и.
Финансовый рынок находится в равновесии, если все рискованные активы распределены между инвесторами, а каждый инвестор при этом максимизирует свою функцию полезности.
Финансовый рынок называется совершенным, если: все рискованные активы свободно обращаются на рынке, разрешены короткие продажи этих активов, участники рынка являются «потребителями цен» и рынок работает «без трения».
Финансовый рынок является почти свершенным, если выполняются все условия для совершенного рынка, но запрещены короткие продажи рискованных активов.
Рыночный портфель определяется вектором m =(%，…,s"., sj,
где % - отношение стоимости рискованных ценных бумаг(-го вида к стоимости всех активов на рынке, i= 1,2,…，я.
Основные утверждения о равновесных рынках при инвесторах, не склонных к риску н имеющих однородные ожидания.
Если рынок рискованных активов является совершенным, то инвестиционная возможность (а(М),戸(拉)),определяемая рыночным портфелем М, принадлежит эффективной граннце Г(ЦД
Если инвесторы могут предоставлять кредиты н брать ссу- Ды под безрисковую процентную ставку 叮、а рынок рискованных активов является совершенным или почти совершенным, то касательный портфель 0^ т соответствующий ставке /у, оказывается рыночным, а эффективная граница множества ннвестициониых возможностей определяется уравнением
Г =-—i-(7 + rf, СГйО.
nе产(拉)一r/
•Луч, заданный уравнением г =, ст NO, назы-
вается линиеи рынка капиталов, а величина —- рыноч-
G(M)
ной ценой риска.
116
16+1. Даны рискованные ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями q = 15%T 忌=25%, f3 = 35%, ковариационная матрица доходностей которых равна
(0,1 -0,1 о、
Л= -0,1 0.2О
[000,2
Найти инвестиционный портфель, максимизирующий функцию попезиоста Цст, г) = г-2(Г, если разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг, а инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую процентную ставку /у= 0^05.
Даны рискованные ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями А -16%* 弓=26%,弓=30%, ковариационная матрица доходностей которых равна
仰0 %
Л- 0 0,2 0,2
[0,1 02 0,5
Найти инвестиционный портфель, максимизирующий функцию полезности Цо, г) = г2 - 2», если разрешены короткие продажи рискованных ценных бумаг, а инвестор может предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую процентную ставку 片6%.
163 Инвесторы могут предоставлять кредиты н брать ссуды под безрисковую ставку 叮二 0,08. Записать уравнение лнннн рынка капиталов, если ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 12%, а стандартное отклонение его доходности составляет 25%. Какова рыночная цена риска?
Инвесторы могут предоставлять кредиты н брать ссуды под безрисковую ставку гу= 0,06. Записать уравнение линии рынка капиталов, если ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 10%, а стандартное отклонение его доходности составляет 30%. Какова рыночная цена риска?
На рынке имеются рискованные активы трех видов. Информация о рынке приведена ннже.
Вид активов
Количество
Пена, долл.
Ожидаемая доходность, %
Ковариационная матрица доходностей
1
1000
100
10
(QJ 00,1 ]
2
2000
50
12
0 0,2 -0,1
3
2000
150
8
(0」-0,1 0,4 丿
Составить уравнение линии рынка капиталов^ если инвесторы могут предоставлять кредиты и брать ссуды под безрисковую процентную ставку /у = 0,06.
В условиях задачи 16.5 выяснить: принадлежит ли рыночный портфель эффективной границе Г(£23).
На рынке имеются рискованные активы трех видов. Информация о рынке приведена инже.
Вид активов
Цена,
Ожидаемая доходность, %
Количество
Ковариаиионная матрица, доходностей
1
16
10
1000
(0,100
2
15
20
1000
0 0,2 -0,1
3
4,5
20
2000
0 -DJ 0,4
Является ли рыночный портфель касательным, соответствующим безрисковой процентной ставке г■产 0>04, если короткие продажи ценных бумаг разрешены?
2・17・ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ (САРМ)
На рынке обращаются рискованные активы л видов с ожидаемыми доходностями 丸弓….，彳 и оперируют ад инвесторов.
Инвесторы имеют однородные ожидания относительно данного рынка и могут кредитовать н брать ссуды лод безрисковую процентную ставку iy, 118
Модель оценки финансовых активов определяется равенствами
Е =叮 + 瓦(％ j{/^，f = L2я,
где J - ожидаемая доходность рыночного портфеля Л/;
0 = 8叱力) бета-коэффицнент рискованных активов(-го вида, Jw j = 1, 2,.„, я.
Равновесный рынок рискованных активов удовлетворяет модели оценки финансовых активов в одном из следующих случаев:
рынок является совершенным;
рынок является почти совершенным, а инвесторы не склонны к риску.
Прямая, заданная уравнением
Г=疗 +月(l-Г/)，
нщывается линией рынка рискованных активов.
Ожидаемая доходность рыночного портфеля 兀-14%, а стандартное отклонение его доходности % = 40%. Определить бета-коэффициент рискованного актива, если коварнацня между доходностью этого актнва и доходностью рыночного портфеля равна: a) 0J5; б) 0,2; в) -ОД.
В каждом случае определить равновесную ожидаемую доходность рискованного актива, если безрисковая процентная ставка составляет 7%.
Ожидаемая доходность рыночного портфеля гм =12*%, стандартное отклонение его доходности 仃制=50%, безрисковая процентная ставка гу= 6%. Определить ковариацию между доходностью рискованного актива н доходностью рыночного портфеля, если ожидаемая равновесная доходность этого актива равна: а) 10%; б) 20%; в) 5%.
Построить лннню рынка рискованных активов, если J =12%н гу= 8%. Определить равновесную ожидаемую доход-
кость рискованного актива, если его бета-коэффнциеит равен： а) 1,5; б) 0,8; в) -12
Нантн бета •'Коэффициент рискованного актива, если % = 16% н “ = 7%, а равновесная ожидаемая доходность равна: а) 20%; б) 10%; в} 5%.
17*5. На рынке имеются рискованные активы трех видов. Информация о рннке приведена ниже.
Вид активов
Количество
Цена, долл.
Коварнаиноннак матрица доходностей
I
100
20
(0,2 0,1 -0,1)
2
200
25
0.1 0,3 0,1
3
400
30
卜 0,1 0,1 0,2 丿
Определить равновесные ожидаемые доходности рискованных активов, если ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 12%, а безрисковая проиентная ставка гу= 7%.
2Л8. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
Дай рынок, на котором обращаются рнскованнке： активы я видов с ожидаемыми доходностями 弓，弓忑.
Модель оценки финансовых активов определяется равенствами
方二号+用(％一叮)，1 = 1,2…/
где Д = 3‘夕"> (М - рыночный портфель).
Основные свойства модели.
1* Ожидаемая доходность рискованных активов является суммой безрисковой процентной ставки и премии за риск, которая
может быть представлена в виде произведения рыночной цены риска —~— и рыночной меры риска 匸讨限加〉
2+ Если Р - (@i，%..., 0д) - некоторый портфель рискованных активов, то
rp=rf + ^(rM^rf)+£p,
где Др =f №『=^^у-^^; (Др- бета-коэффициент портфеля Р), (=1 ^м
£p=0, COV(£尸，) = 0.
При этом
磋=爲成+吨，
где 瓦0tf - еисшематическии риск портфеля А
%尸-особый рмк портам Р.
Текущая стоимость S^ портфеля рискованных активов Р мо- 否ет быть определена по формуле
° ^Ь+бМ%-^}
где S尸一ожидаемая конечна夕 стоимость портфеле R
Если рыночный портфель М является допустимым портфелем, а его ожидаемая доходность больше безрисковой процентной ставки /у, то он является касательным портфелем, соответствующим этой ставке.
Ожидаемая доходность и стацдартное отклонение доходности рыночного портфеля равны 15 и 40% соответственно, а безрисковая процентная ставка составляет 8%.
Найти равновесную ожидаемую доходность, систематический и общий риски активов, если а) 0 = 1,8;舊=20%; б) Д = 0,9; % 二 40%.
Ожидаемая доходность рьшочного портфеля> его стандартное отклонение и безрисковая процентная ставка следующие: % 工 20%, ffjtf = 50%, Гу =9%, Известно, что остаточные доходности не коррелируют.
Определить равновесную ожидаемую доходность, систематический, особый и общий риски портфеля активов для исходных данных, приведенных в ниже.
i
向
(7弓，%
飯％
г
L2
20
20
2
0,8
30
50
3
1,5
15
-10
4
0,6
6
40
18*3* Ожидаемая доходность рыночного портфеля, его стандартное отклонение н безрисковая процентная ставка следующне: 匕=15%,仃加=30%, Гу = 10% , Известно, что коэффициенты корреляции между остаточными доходностями составляют 0,2.
Определить равновесную ожидаемую доходность, систематический, особый и общий риски портфеля активов для исходных данных, приведенных ниже.
仇
6
1
1,5
20
0,7
2
13
40
0,4
3
0,8
10
Al
18*4 Определить бета-коэффициент, систематический н особый риски акции для исходных данных, приведенных ниже.
Состояние экономики
Вероятность
Доходность рыночного портфеля, %
Доходность акции, %
[
0,1
4,5
2
2
0,2
—1
3
&4
10,0
12
4
Q,3
5,0
6
Какова рыночная цена рнск也,если безрисковая процентная ставка равна 5%?
Определить бета-коэффициент, систематический и особый рнскн портфеля акций 尸=(0,25; О»25; 0,50) для исходных данных, приведенных ниже.
Состояние экономики
Вероятность
Доходность рыночного портфеля, %
Доходность акции, %
№1
№2
№3
1
0J
—1
—1
-2
1
2
0,2
-3
-3
—3
0
3
&з
16
16
17
18
4
0,4
14
14
15
17
186 Определить текущую равновесную цену акция, если
5 = 100 долл., гн =16%, см =14%, /у -8%, 8V(》，％) = &025.
18<7. Определить текущую равновесную цену акции, если
S = 200 долл.и % =12%+ см =40%, /у = 5%т 8V5，%)=56
2.19* МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ ПРИ ОТСУТСТВИИ БЕЗРИСКОВОГО АКТИВА
На рынке разрешены короткие продажи рискованных активов я видов с ожидаемыми доходностями /*…忑….，可，средн которых имеются несовпадающие.
Предполагается, что ранг ковариационной матрицы Л равен л, а ожидаемая доходность портфеля с наименьшим риском г* положительна.
В этих условиях, если портфель 尸 определяет ннвестиционнук> возможность (<тР,Гр)? принадлежащую эффективной границе Г(ПД), а а>>г\то
ГЛАВА 2
/ =5+8^!"产）（办一电）,Г = 1,2…и,
где Q - портфель рискованных активов, доходность которого не коррелирует с доходностью портфеля Р.
При этом если эффективная граница Г（С拄）определяется условиями
^^{А^^Вг^С^, f之-農，
то
° 2ArP + B
является ожидаемой доходностью портфеля Q.
Модель оценки финансовых активов при отсутствии безрискового актива определяется равенствами
斤=%+氏（加一近），к匕2，…,小
где М -Q-1 *где М -Q-1 *рыночный портфель；
где М -
Q-
1 *
где М -
Q-
1 *
портфель, доходность которого не коррелирует с доходностью рыночного портфеля Л/;
бета-коэффицнент рискованных активов t-го вида, I= 1, 2, я.
Равновесный рынок удовлетворяет данной модели, если он является совершенным, а инвесторы не склонны к риску.
19L Эффективная границ Г（&） задана уравнением
<7 = （4,35г2-0,87г + 0,16965）^.厂之0丄
Найти ожидаемую доходность портфеля, не коррелирующего с эффективным портфелем 尸,если 办=0,2.
124
Эффективная граница Г(Й3) задана уравнением
Найти ожидаемую доходность портфеля, не коррелирующего с эффективным портфелем 尸，если 弓=0,2.
Разрешены короткие продажи рискованных активов трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
ГОД 0 0Л= 0 0,1 0 .0 0 02
Найти портфель с наименьшей дисперсией^ не коррелирующий с эффективным портфелем Р = (0,2; 0,45; 0,35).
Определить бета-коэффнциенты рискованных активов относительно портфеля R
Разрешены короткие продажи рискованных активов трех видов, ковариационная матрица доходностей которых имеет вид
Q2 0 0.31
Л= 0 0,4 0,1 .03 0,1 0,5
Найти портфель с наименьшей дисперсией, не коррелирук>- щий с эффективным портфелем Р=(0; g; ^}
Определить бета-коэффициенты рискованных активов относительно портфеля Р.
Доходности рыночного портфеля и портфеля с наименьшей дисперсией, не коррелирующего с рыночным портфелем, равны соответственно 12 н 6%.
Найтн равновесные ожидаемые дохоцности рискованных активов, имеющих бета-коэффнциенты:仇=0,75; %匸【2 自=18 Определить стратегию ие склонного к риску инвестора для обеспечения ожидаемой доходности в 10%.
Ожидаемая доходность и дисперсия доходности рыночного портфеля равны соответственно 0,15 и 0,2. Ожидаемая доходность портфеля с наименьшей дисперсией, не коррелирующего с рыночным портфелем, составляет 0,06.
Определить равновесные ожидаемые доходности рискованных активов, если ковариации между их доходностями н доходностью рьшочного портфеля равны 0,15; 0,25 и 0,12.
РЫНОЧНЫЕ ИНДЕКСЫ. ОЦЕНКА БЕТА-КОЭФФИЦИЕНТОВ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
Конъюнктуру рынка часто оценивают на основе того или иного рыночного индекса.
Если рыночный нндекс рассчитывается методом взвешивания по стоимости, то
*餘 К),
где『(“} и J%) _ значения индекса соответственио в моменты /j и г^ У(г j Н 产区)-стоимости всех учитываемых ивдексом активов в-
эти моменты .
Доходность рьшочного индекса акций за я периодов от г до Г определяется равенством
г= л (1+^1，+^}-(1+^)
где 7,и/ г - значения индекса акций в моменты / и 7;
D〔, О?,…,D什-дивцценды, выплачиваемые по рассматриваемым акциям за период от / до Т.
Дивидендной доходностью индекса акций за период от f до Т называется число g такое, что
126
"心效+計{喷}
Если же д_ годовая дивидендная доходность при непрерывном начислении, то
e"J)= l + g, 4(1 +Г) = /严我丁f.
Чтобы оценить бета-коэффициенты рискованных активов относительно выбранного рыночного индекса, можно воспользоваться ииформацней о доходностях рыночного индекса г；, доходностях рассматриваемых активов 力，/ = 1, 2,…* л н величинах безрисковой процентной ставки 巾 за Т временных периодов.
Если случайные величины z；=力一г}, J= 1, 2,..., и н z；=匕一0 удовлетворяют линейным регрессионным моделям
z；=%+0产什弓，f = l,2,…Z/=1,2，…，w,
то
Прогнозные значения бета-коэффициентов рискованных ак- тивов можно найти методом экспоненциального взвешивания, положив
ffj{t-\\!} = (l-X)(2tj)2+A^(i\l + l\,
0川{r一中} =(1-%)力；+乙巧/力+1}, 212…，T，
где。油-屮} и <T^/{f-l|f) - прогнозыднсперсинz,нковариации между Zj и z/f сделанные в периоде г на период (/ - 1);
А, %, К …，％ — специально подобранные положительные числа;
ТогдаТогда^{Г|г+П=(2[)2((ГмЬ|Т+1}=百才^{Г|г+П=(2[)2((ГмЬ|Т+1}=百才
Тогда
Тогда
^{Г|г+П=(2[)2((ГмЬ|Т+1}=百才
^{Г|г+П=(2[)2((ГмЬ|Т+1}=百才
%,付11)
<j?(o|n*
В течение 18 мес. по портфелю акций выплачивались дивиденды 3 раза. Размеры дивидендов и стоимости портфеля акций в момент выплат дивидендов приведены ниже.
D, тыс. долл. 匕 тыс. долл.D, тыс. долл. 匕 тыс. долл.5200520062106210б215б215
D, тыс. долл. 匕 тыс. долл.
D, тыс. долл. 匕 тыс. долл.
5
200
5
200
6
210
6
210
б
215
б
215
Найти дивидендную доходность портфеля акции за 18 мес. Какова годовая дивидендная доходность портфеля акций прн непрерывном начислении?
В течеине 6 мес. значение индекса акций изменилось с 400 до 410. Какова доходность индекса за этот период, если годовая дивидендная доходность индекса прн непрерывном начислении равна 10%?
В течение 10 мес. значение индекса акций изменилось с 210 до 215. Какова доходность индекса за этот период, если годовая дивидендная доходность индекса прн непрерывном начислении равна 8%?
20.4. В течение двух лет по портфелю акций выплачивались дивиденды 4 раза. Размеры дивидендов и стоимости портфеля акций в момент выплат дивидендов приведены ниже.
D, тыс. долл. 0,5 0,5 0,6 0,6 Г, тыс долл. 100 102 103 104
Найти дивидендную доходность портфеля акций за 2 года. Какова годовая дивидендная доходность портфеля акций при непрерывном начислении?
20«5. Данные о доходностях рискованных активов трех видов, доходностях рыночного индекса акций и величинах беэрнсковой процентной ставки последовательно за 12 мес. приведены ниже.
Г
г；. %
г}, %
г；, %
丛%
乩%
I
6
183
18,0
31,2
37J
2
6
12,0
21,3
8,9
21*8
3
4
6,4
-0U
9,5
14,6
4
5
9,5
6,6
9,6
36,9
5
4
8,4
7,2
7,7
3,3
6
4
8,5
1,2
14,8
-15,6
7
3
-3.S
-6,0
8,4
ТО
8
2
-04
0,8
-1,0
Т5
9
4
7,5
5,1
5,5
9,6
10
5
П,2
17,7
15.8
0,3
11
4
6,5
UJ
Л8
14,6
12
4
2,8
3」
5,3
Н,9
Оценнть коэффициенты линейных регрессий z；=寸一扌， J = 1, 2, 3 по z；=力一力 н найтн значения всех показателей, используемых для тестирования моделей.
Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с надежностью 95%.
Определить прогнозные значения бега-коэффицнентов рискованных активов методом экспоненциального взвешивания, если ^■1 = Л^ = Aj — Л = 0,9*
Данные о доходностях рискованных активов трех видов, доходностях рыночного индекса акций и величинах безрисковой процентной ставки последовательно за 10 мес. приведены нн*е.
扌，%
г；, %
不，%
К %
乩%
1
10
20
23.7
23,2
2
8
10
9.5
17,9
3
5
15
11,4
12,6
4
12
16
14,2
18,1
5
-1
20
20,3
18,7
6
-2
17
10,7
22,6
Продолжение
儿%
г] %
乩%
乩%
7
8
14
20,2
27,9
15,9
8
6
12
23,8
7,2
23,6
9
8
12
15,5
1,4
5,9
10
10
10
8,6
23,2
27,0
Оценить коэффициенты линейных регрессий n；=寸一% J = 1, 2, 3 no z； = ^-> н найти значения всех показателей, используемых при тестированнн моделей.
Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с надежностью 95%.
Определить прогнозные значения бета-коэффнциентов рискованных активов методом экспоненциального взвешивания, если % = & 二 ％ =入二 0,94.
№БИТРАЖНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ
Рассматривается рынок рискованных активов, уд;о№ летворяющин кфакторной модели:
马=0, <T/：i£, =0, i = l,2,…，k; j = h2 и.
Вектор Д© = (Д0|,Д92,...,Д0Ч) называется арбитражным портфелем, если выполняются следующие условия:
S,A@i = 0»
2弓叫＞о.
Если существует арбитражный портфель, то инвесторы, владеющие хорошо диверсифицированными портфелями рискованных активов, имеют прибыльные арбитражные возможности, т.е., покупая и продавая активы, они могут получить прибыль без риска.
Арбитражная модель оценки финансовых активов определяется равенствами
/=1
гпе A。，4[,...，4 - некоторые числа.
Равновесный рынок рискованных активов удовлетворяет арбитражной модели оценки финансовых активов, если количество рассматриваемых активов больше учитываемых факторов.
Если инвесторы могут предоставлять кредиты н брать ссуды под безрисковую процентную ставку 力 то модель оценки финансовых активов имеет вид
弓=5+*心-斤)角，j = L2…％i=]
где § - ожидаемая доходность факторного портфеля 尸口 соответствующего 1-му фактору ｛氏耳=1,仇，耳=@, /*»)..
21.1. Факторные бета^коэффициенты и ожидаемые доходности рискованных активов приведены ниже.
儿
国1
产,
1
2,4
1.6
0,13
2
1,6
09
0,18
3
0,8
1,0
0,10
4
L6
1,3
0,12
Найти арбитражный портфель _Л© и определить ожидаемую доходность портфеля в+Л0, где О =：(03； 0,3; 0,2; 0,2).
Факторные бета-коэффициенты и ожидаемые доходности рискованных активов приведены ниже4
j
闹
坛
А；
弓
1
1,2
1,0
1,4
ОДО
2
0,8
0,6
1,2
0,12
3
0,9
0,5
1力
0,08
4
1,0
12
0,15
5
1,2
i,o
1,2
ОД 2
Найти арбитражный портфель Д0 и определить ожидаемую доходность портфеля 0+Д0, где 9=(-0,5; 0,3; -0,4; 1,2； 0,4)-
Значения факторных бета-козффнцнентов рнскоьанных активов двух видов приведены ниже.
У
肉
爲
1
-0,1
0,2
1,5
2
覃
02
-0,1
1,6
Найти равновесные ожидаемые доходности рискованных активов, если безрисковая процентная ставка г『-0,08, а ожидаемые доходности факторных портфелей:百=ОД;务=0J 2;务=0,08; & = О J 5.
Ожидаемые доходности и факторные бета-коэффициенты четырех видов рискованных активов приведены ниже.
j
г.
闯
闷
1
ОДО
12
0f6
2
0」5
1,0
0,8
3
0,08
0,8
1,0
4
0,12
1,2
1,3
Найтн факторные портфели рискованных активов для каждого фактора.
Определить ожидаемые доходности найденных факторных портфелей.
Факторные бета-коэффнцнеиты трех видов рискованных активов приведены ниже.
A；
闻
羯
1
1,8
0,6
12
2
1,6
草
&5
3
1,2
0,8
0,4
Определить равновесную ожидаемую доходность портфеля 尸=(0,2； 0,3; 0,5), если безрисковая процентная ставка 叮二 0,05, а ожидаемые доходности факторных портфелей 5| =0,15; ^ = 0,08; 昌=0,06.
Значения факторных бета-коэффициеитов рискованных активов трех видов приведены ниже. -
£廿
/
看
1
0,8
0,2
-0,1
2
12
0,1
Т2
3
0,9
-0,1
旬」
Найти равновесную ожидаемую доходность портфеля 尸= =(0,4; 0,4; 0,2), еелн безрисковая процентная ставка /у= ОД а показатели рыночного портфеля: 吟=0,05, cov(fj, л^) = 0+08, cov(0%) = OQ6, 8V(居,％) = QJO.加=0J5,
Факторные бета-коэффициенты рискованных активов трех внцов приведены ниже.
/
务
12
0,1
2
1.0
-0,2
3
0,8
-0,1
Инвесторы могут кредитовать н брать ссуды под безрнско вую процентную ставку 厅 0,06.
132
133
Найти равновесную ожидаемую доходность активов третьего вида, если равновесные ожидаемые доходности активов первого и второго видов соответственно равны 10 и 6,5%.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ МТИВОВ (ИНВЕСТИЦИОННЫМ ФОНДОМ)
Реализованной доходностью управляемого портфеля активов 尸 за период от г до (г0 + %) называется число 穴卩 удовлетворяющее равенству
1 +^ = (1 +г()(1 +гг)-(1 +гД
где Г/ 二 匕f =
2k ?2,…，0T~ денежные суммы, инвестированные в портфель активов за период ［毋,％ + £/;
匕，/，••♦，％ - стоимости портфеля в момент инвестирования (% - начальная стоимость портфеля 尸｝.
Если денежные сумм* 0, Q^ -, 2« инвестировались в моменты /0 + % b + % …，"+ G，то годовая реализованная доходность портфеля активов Р может быть найдена на основе взвешивания по стоимости из уравиення
Для оценки эффективности управления портфелем Р за Г предыдущих периодов, выбрав эталонным портфель В, можно найти значение показателя Шарпа
где J - среднее значение избыточной доходности d，= %-®j J = L 2,Т ；
% - стандартное отклонение избыточной доходности (Я^ и йд - реализованные доходности портфелей Рийза период，).
Эффективность управления портфелем 戶 может оцениваться с помощью показателя Трейнора
We Rp - среднее значение реализованной доходности портфеля Р;
rf - среднее значение безрисковой процентной ставки;
Вр - оценка бета-ксэффнциента портфеля Ротносмтельнорыноч- ного индекса.
Начальная стоимость портфеля активов составляет 10 млн долл. Данные об управлении этим портфелем за 1,5 года прн* ведены ниже.
打 пет0,5
匕,млндолл.11
0“ МЛН долл.1
0,751,5
1213
-1-
Найти:
реализованную доходность портфеля за 1,5 года;
эффективную годовую реализованную доходность портфеля;
годовую реализованную доходность портфеля^ взвешенную по стоимости.
Начальная стоимость портфеля активов составляет 200 тыс. долл. Данные об управлении этим портфелем за 2 года приведены ниже.
/ллет
0,5
0,75
1,5
2,0
匕,тысщолл.
160
100
210
220
^,тыс.долл.
-50
-50
100
Найти:
реализованную доходность портфеля за 2 года;
эффективную годовую реализованную доходность портфеля;
годовую реализованную доходность портфеля^ взвешенную по стоимости.
Данные о доходностях двух портфеле访 активов и доходности индекса акций SP-500 за 10 мес. приведены ниже.
Г
用，%
к*%
1
-3,4
7.9
6
2
0,8
6,6
6
3
-10.3
6
4
■24,6
-25,0
6
5
44,8
5,8
6
6
35,1
21,5
6
7
33.1
0,7
6
8
12,9
5,3
6
9
-15,6
10,2
6
10
6.6
14,5
0,5
6
衣р =0J6； Rb =0,154； Ra =0,05；
Фв = &2; <3/ = <з产= 0,4; р?д = 0,5; рр/ = -02 必出=°・
Определить показатели Шарпа для:
портфеля Р;
портфеля, образовавшегося после покупки актива Л, сто* нмоегь которого составляет 1*5% стоимости портфеля Е
226 Показатели портфеля 尸,эталонного портфеля В и нового актива /：
Л? =0,16； К& =0,10； Ra =0,14；
а”*в = G# Р ал = Р*/ 二°，5; рРА = -0,2-
При какой цене нового актива имеет смысл его покупать?
Сравнить эффективности управления портфелями активов: а) иа основе показателей Шарпа; б) на основе показателей Трейнора.
Данные о доходностях двух портфелей активов н доход* носта индекса акций SP-500 за 6 мес. приведены ниже.
/
&；,%
小％
1
8,5
-3,4
丁3
3
2
40
0.8
6,6
3
3
-14,3
「22,4
-юз
3
4
-18,9
-24f6
-25,0
3
5
14,7
44,8
5.8
3
6
26,5
35,1
21,5
3
Сравнить эффективности управления портфелями активов: а) на основе показателей Шарпа; б) иа основе показателей Трейнора.
Показатели портфеля Р, эталонного портфеля В и нового актива /;
136
ГЛАВА 3
Форвардные и фьючерсные контракты. Свопы
ПРЕДПОЛАГАЕМЫЕ ФОРВАРДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Рассматриваются чисто дисконтные облнгацнн с ра> ными сроками до их погашения, выпущенные эмитентами одного и того же кредитного рейтинга.
Текущая процентная ставка 斤(@)на срок 9 лет при непрерывном начнсленнн должна удовлетворять равенству
L©冶二В#+@),
где В串+&) - текущая стоимость чисто дисконтной облигации номи- иаломводнудснежнуюединицусдатойпогашенияг+6.
Предполагаемой форвардной процентной ставкой в текущий момент г на будущий период от момента s до момента j + О называется ставка /(§,6) такая, что
总怜一乌⑻
Имеет место следующее равенство：
/б6) = !《〃$+0т)($+®т)-*$тх$т).
Если денежную сумму Q инвестировать на з - г лет под процентную ставку 贸s-Q, а затем всю накопленную сумму реинвестировать под предполагаемую форвардную процентную ставку fr(s,0) на @ лет, то получим такую же сумму, как при ин вести- 138
рованни суммы Q на s + ® т лет под процентную ставку ¥（s+@-f）, те
0或也-<）（1力6/值@冷 _ q M（$+i）（s+e一"
Предполагаемая форвардная процентная ставка 工{m, s* @ } при начислении процентов w раз в год определяется равенством
加,&@};4 丝?
Если известна кривая рыночных доходностей「=弓（8）,@>0, то для каждого момента s > / можно рассмотреть кривую прадпо- лагаемых форвардных процентных ставок / ^，（$,€）}.
1Л. На рынке имеются чисто дисконтные облигации четырех видов, показатели которых приведены ниже.
Обпнгацня
Номинал, долл.
Срок до погашения, лет
Рыночная цена, долл.
1
100
2,0
89,50
2
200
3,0
164,80
3
100
3,5
81,50
4
200
5Р
150,20
Найтн все возможные предполагаемые форвардные процентные ставки при непрерывном начислении.
12 На рынке имеются чисто дисконтные облигации трех видов, данные по которым приведены ниже.
Облигация
Номинал, долл.
Срок до погашения, лет
Еынсчная цена, долл.
1
100
2,0
89,00
2
150
4,0
118,4$
3
200
6,0
152,25
Найти предполагаемые форвардные процентные ставки при начлелеинн процентов дважды в год.
13 Даны три купонные облигации с полугодовымн купонами, показатели которых приведены ниже.
Облигация
Номинал, долл.
Срок до ногашения/ег
Купонная ставка, %
Рыночная иена, долл.
I
100
&5
0,0
97,04
2
100
L0
6Q
98,95
3
100
2,0
8,0
98,90
〜 Найти текущие рыночные процентные ставки 貿0,5)；貿 1,0}; 贸 1,5);贸2,0) и все возможные предполагаемые форвардные процентные ставки при непрерывном начислении.
L4* Известны рыночные доходности прн непрерывном начислении：
Срок(0), годы 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 Процентная
ставка (^(0)),% 5,0 5,2 6,0 5,8 5,9 6,2 6,3 6,4 6,4
〜Найти предаолагаемые форвардные процентые ставки 40 + 0,25;©),五《 + &5;9}.
На одном рисунке построить кривую рыночных доходна сте话 г = ^(电 и кривые предполагаемых форвардных процентных ставок / = /}(/+О,25;0), f = ft(t+ 0,^&).
15 Даны предполагаемые форвардные процентные ставки при непрерывном начислении
Срок (0), годы0,51,01,52,02,5
Форвардная процентная ставка
</(f+O,5;0)),%6,56,86,97,07,3
Найти рыночные процентные ставки при непрерывном начис" ленни, если J-(0,5)=0,06,
1*6. Известны рыночные доходности прн начислении процент тов 2 раза в год：
Срок (9), годы0,51,01,52,02,53,0
Процентная ставка
(仪 2, €•}},%8,08,58,27,8■ 7,58,Of
140
Найти предполагаемые форвардные процентные ставки 工(2; г + 0,5; 0).
На одном рнсуике построить кривую рыночных доходностей г = г/2. 0) и/=/(2; г + 0,5; О).
1+7. Известны рыночная процентная ставка 勺{4; 2} = 5% н предполагаемая форвардная процентная ставка/{4; / + 2； 1} =6%. Найти рыночную процентную ставку г({4; 3}.
Дана облигация, по которой через『卜 г2,..., % лет после текущего момента должны выплачиваться денежные суммы С(|, (7丁..，(7% соответственно.
Доказать, что текущая рыночная стоимость облигации Р удовлетворяет равенству
Р=уS
白(1+也"护(1+疝，5，"-"}尸*
3.Z ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ
И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Форвардный контракт - это соглашение купить или продать некоторые активы в определенный момент в будущем по заранее установленной цене.
Цена К, по которой стороны согласились купить и соответственно продать активы, называется ценой поставки (передачи) активов илн цен^й исполнения форвардного контракта.
В момент Т исполнения форвардного контракта выи^ыш (доход) от длинной позиции составляет S『一К, а от короткой позиции К - S^ где 5Г - спот-цена исходных актнвов на дату Т.
В дальнейшем предполагается, что форвардный и спот-рынки являются совершенными, по форвардным сделкам отсутствует кредитный риск и нет арбитражных возможностей.
В этих условиях все форвардное контракты на один н тот же вид активов с фиксированной датой поставки Т должны заключаться по одной и той же цене поставки.
Цена поставки, по которой в текущий момент / заключаются форвардные контракты иа активы данного вида с датой исполнения Л называется 色汐峭2做臧 ценой активов на срок Т-1 лет и обозначается через Ft(T).
Текущие стоимости длинной н короткой позиций в форвардном контракте оцениваются следующим образом:
fan=(Fl(T^K)e^T'l> и 九р=(К-Е(Г))产丁？
me г - безрисковая процентная ставка на Т-г лет при непрерывном начислении.
2.L Инвестор занимает короткую позицию по двум единицам исходных активов при цене поставки 60 долл, и длинную позицию на одну единицу исходных активов при цене поставки 59 долл.
Определить доход инвестора на момент поставки, если цена исходных активов в этот момент равнялась 55 долл.
22・ Инвестор купил одну единицу исходных активов и занял короткую позицию на две единицы этих активов прн цене поставки 100 долл.
Каков доход инвестора на момент поставки активов, если исходные активы не приносят доходов, а их цена на момент поставки равна 90 долл.?
Инвестор произвел короткую продажу двух единиц исходных активов и занял длинную позицию на одну единицу этих активов с ценой поставки 1000 руб.
Каков доход инвестора на момент поставки, если активы обладают постоянной дивидендной доходностью в 4%, а их цена на момент поставки 980 руб.?
24 Определить стоимость длинной позиции в форвардном контракте иа 10 000 т сырой нефти при цене поставки 3200 руб 7т, когда до момента поставки остается 5 мес., а форвардная цена сырой нефти составляет 3160 руб., считая, что безрисковая процентная ставка на 5 мес. прн непрерывном начислении равна 28%.
Определить стоимость короткой позиции в форвардном контракте на единицу активов с ценой поставки 80 долл., когда 142
до момента поставки остается 6 мес., а форвардная цена активов составляет 100 долл., еспн безрисковая процентная ставка на 6 мес. прн непрерывном начислении равна 8%.
Инвестор занимает короткую позицию на одну единицу исходных активов с Ценой поставки 32 руб. и длинную позицию на две единицы этих активов с ценой поставки 31 руб.
Определить общую стоимость позицин инвестора, когда до момента поставки остается 4 мес., а форвардная цена активов составляет 30 руб” если безрисковая процентная ставка на 4 мес. прн непрерывном начислении равна 20%.
Инвестор занимает длинную позицию на единицу исходных активов с ценой поставки 100 долл.
Определить прибыльную (без риска) стратегию, если текущая форвардная цена активов равна 105 долл.
Инвестор занимает длинную позицию на 5 единиц активов с поставкой через 6 мес, н короткую позицию на 10 единиц зтнх же активов с поставкой через 8 мес. Цены исполнения соответственно равны 90 и 95 долл.
Оценить текущую стоимость общей позиции инвестора, если форвардные цены активов на 6 н 8 мес. равны 95 н 94 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков прн непрерывном начислении составляет 8%.
33 ФОРВАРДНЫЕ ЦЕНЫ ФИНАНСОВЫХАКТИВОВ С ИЗВЕСТНЫМИ ДОХОДАМИ
фииаисовые активы - зто активы, которые большинством участников рынка рассматриваются как средство инвестирования, а не средство потребления.
Предполагается, что рынкн являются совершенными, можно неограниченно кредитовать и брать ссуды под безрисковые процентные ставки н по форвардным сделкам отсутствует дефолт- риск.
Прн отсутствии арбитражных возможностей форвардная цена F^T) чисто дисконтной облигации без дефолт-риска на срок Т - f лет определяется равенством
耳⑺=Ке/6Т①Г-?
гдеЛ - номинал облигации;
〜Г* - дата погашения облигации;
/(Г, Т*-Т) - предполагаемая форвардная процентная ставка, нм блюдаемая в момент / на период от Г до /;
Т"-Т
Форвардный контракт на рыночную процентную ставку, начисляемую m раз в год, - это обязательство разместить (соответственно принять) на депозит в будущий момент Г заданную денежную сумму Q на срок Vm лет под заранее установленную процентную ставку.
Замечание Форвардный контракт на рыночную процентную ставку часто называют соглашением о форвардной процентной ставке.
(TT)jw+1(TT)jw+1Прн отсутствнн арбитражных возможностей форвардная процентная ставка 及(Т) обязана совпадать с предполагаемой форвардной процентной ставкой / (/га, Т, ^厶)，т.е.
(TT)jw+1
(TT)jw+1
гг(м, г-оУ^^Г ] I 〃叫 丁, ％))J ” 々(м，Т+Мт)
Если известна приведенная стоимость доходов, поступающих от активов, то при отсутствии арбитражных возможностей форвардная цеиа активов 写(7) на срок Т - г лет определяется равенством
『丁) = (e一4)е Т?
где S* - спот-цена активов в текущий момент !；
工-приведенная стоимость доходов, поступающих от активов за время от £ до Т；
? - безрисковая процентная ставка на срок Т-t лет при иепре-
рнвном начисленни.
Финансовые активы, доходы ло которым выплачиваются в виде самих этих активов, обладают постоянной непрерывной дивидендной доходностью 彳,если за любое время т единица этих активов за счет поступающих доходов превращается в 歩『единиц этих активов.
При отсутствин арбитражных возможностей форвардная цена активов с постоянной дивидендной доходностью 彳 определяется равенством
где S( - спот-цена активов в текущий момент г;
广-безрисковая процентная ставка на срок Т- f лет при непрерывном начислении;
Г- дата поставки активов,
.1. Дана чисто дисконтная облигация без дефолт-риска номиналом 2000 руб. когда до ее погашения остается 9 мес. Найти текущую форвардную цену облигации, если до даты передачи остается 6 мес., а безрисковые процентные ставки на 6 и 9 мес. при непрерывном начислении равны 15 и 16% соответственно.
Построить прибыльную арбитражную стратегию, если рыночная форвардная цена облигации оказалась равной 1850 руб.
Доказать, что стоимость длинной позиции в форвардном контракте на чисто дисконтную облигацию без дефолт-риска определяется равенством
где Л 一 номинал облигации;
Г - дата погашения облигации;
К - цена поставки облигации;
Г - дата поставки облигации.
Определить форвардную процентную ставку через 6 мес., если рыночные процентные ставки на 6 н 12 мес. соответственно равны 8 и 10% (прн начислении 2 раза в год).
4. Дан форвардный контракт на рыночную процентную ставку, начисляемую 4 раза в год, с уровнем поставки 8% н объемом 100 000 руб.
Определить стоимость короткой позиции в форвардном контракте, если до его истечения остается 10 мес., а рыночные процентные ставки иа Ю н 13 мес. равны соответственно 9 и 9,5%.
Рыночные процентные ставки при начислении 2 раза в год на 8 и 14 мес. равны 6 и 7,5% соответственно.
Определить арбитражную стратегию, если рыночная форвардная процентная ставка через 8 мес. на полгода равна 9%.
Найти форвардную цену акции, не приносящей дивидендов, с поставкой через 3 мес,, если текущая цена акции 80 долл., а безрисковая процентная ставка на 3 мес. при непрерывном на- чнсленин составляет 8%,
Определить прибыльную арбитражную стратегню, если рыночная форвардная цена акции равна 79 долл.
Найти форвардную цену акции с поставкой через J2 м«\, по которой дивиденды в размере 5 долл, ожидаются через 4 и 8 мес., если текущая цена акции 120 долл., а безрисковые процентные ставки для всех сроков при непрерывном начислении равны 7%.
Определить стоимость длинной позиции в форвардном контракте на 100 акций через 2 мес,, если цена акции окажется равной 110 долл., а безрисковые процентные ставки не изменятся.
8. Найти форвардную цену акцин с поставкой через 8 мес., по которой дивиденды в размере 4 долл, ожидаются через 4 мес., если текущая цена акции 180 долл >t а безрисковые процентные ставка иа 4 и 8 мес. прн непрерывном начислении равны 5 н 8% соответственно.
Построить прибыльную арбитражную стратегию, если фор вардная цена акции иа рынке оказалась равной: 1) 180 долл.; 2) 188 долл.
9. Найти шестимесячный форвардный обменный курс американского доллара, если текущий обменный курс 30,10 руб. за 1 долл.» а безрисковые процентные ставки в России и США иа срок б мес. при непрерывном начислении равны 15 и 6% соответственно.
Определить прибыльную арбитражную стратегию, если шестимесячный форвардный обменный курс на рынке оказался равным: 1) 31 руб.; 2) 32 руб.
ФОРВАРДНЫЕ ЦЕНЫ ТОВАРОВ
Прн отсутствии арбитражных возможностей форвардная цена любого товара с датой поставки Т удовлетворяет неравенству
где & - спот*цена единицы товара в текущий момент Г；
Ut - приведенная стоимость издержек иа хранение (охрану) едани- цы товара в течение Г- / лет;
产-безрисковая процентная ставка иа период от г до Г прн непрерывном начислении.
Если большинство участников рынка рассматривает данный товар как средство инвестирования, то форвардная цена этого товара определяется равенством
Ft(T) = (Sl+Ul)e?iT-l\
Положительное число б, удовлетворяющее равенству
田(T)收t=($#u)*?
называется мерой физической полезности единицы данного товара в течение Т -1 лет.〜
При известной мере физической полезиостн товара 5 форвардная цена товара с датой поставки Т может быть найдена следующим образом:
4L Найти 10-месячнук> форвардную цену унции серебра, если текущая цена равна 10 долл4 за унцию, затраты на хранение составляют 0,08 долл, в квартал и выплачиваются вперед, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении -10%.
Указать прибыльную арбитражную стратегию, е5H на рынке 10-месячная форвардная цена унции серебра оказалась равной： 1） 11 долл.; 2） 12 долл.
Найти 11-месячную форвардную цену унции золота, если текущая спот-цена равна 400 долл, за унцию, затраты иа хранение составляют 10 долл, в год и оплачиваются поквартально вперед, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении - 7%,
Определить меру физической полезности 1 кг меди за 10 мес., если 10-месячная форвардная цена меди равна 20,5 руб., текущая спот-цена меди - 18 руб,, затраты на хранение 1 кг меди составляют 0,5 руб. и оплачиваются в конце срока хранения» а безрисковая процентная ставка иа 10 мес. при непрерывном на- чнсленнн равна 15%.
Найтн шестимесячную форвардную цену меди, если текущая цена медн равна 20 руб/кг, затраты на хранение составляют 0,6 руб. н выплачиваются в конце срока хранения, безрисковая процентная ставка на 6 мес. при непрерывном начислении составляет 18%, а мера физической полезности 1 кг меди за 6 мес. - 1,5%.
瓦（看）н 写（厶）-форвардные цены товара с датами поставок соответственно 爲 н & Е > 爲・ Издержки на хранение единицы товара за время т составляют ит н выплачиваются вперед.
Доказать, что прн отсутствии арбитражных возможностей выполняется неравенство
FST^i.F.m + u^-T^^,
где г - безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении» не меняющаяся в течение времени.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ДИСКОНТИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ И ФОРВАРДНЫЕ ЦЕНЫ АКТИВОВ
Примитивной ценной бумагой называется требование на получение в определенный будущий момент денежного выигрыша, являющегося случайной величиной.
Предположим, что на рынке имеются примитивные ценные бумаги 幫 видов, по которым в будушнн момент Г должны соответственно выплачиваться выигрыши
удовлетворяющие условиям М眾 <8,左=1,2,…，"(次-математическое ожидание случайной величины &).
Случайная величина Дг называется апохаетическим дискон* т&рую1цим множит^ем на период от z до Г, если
川&)=m嚎笈),疋= 1,2/
где 戸f(g±) - текущая стоимость требования на получение в момент Г выигрыша
Если рынок примитивных ценных бумаг является совершенным, то прн отсутствии арбитражных возможностей имеют место следующие утверждения.
Текущая стоимость требования на получение в момент Т выигрыша & являющегося линейной комбинацией выигрышей &1，自孤，匕炉 удовлетворяет равенству
Форвардная цена активов на срок Г - Г лет определяется равенством
F,(T) = M(STD［储 ,
где ST - спот-цена исходных активов на момент Т;
D： - стохастический дисксишрующии множитель на период от Г до 7^ 斤(Тт) _ безрисковая процентная ставка на срок Г- f лет при непрерывном начислсннн,
На рынке имеются примитивные ценные бумаги трех видов, по которым через полгода должны выплачиваться случайные выигрыши ?], $，€з・
Найти стохастический дисконтирующий множитель 疗吗 если
р?隔）=0方叫备） = 13, R+8&户通
M& = m肾=m^ = 0,4； м（е自）Нm也总）=М公柒）=0丄
На рынке имеются примитивные ценные бумаги трех видов, по которым через 0,25 года должны выплачиваться случайные выигрыши
Найти текущие цены этих требований, если стохастический дисконтирующий множитель
我3=值十点-殳，
sem异=乂酸=m长=0,4; М0总） Н m化心）НМ陽痂）=0丄
Найти текущую стоимость требования на получение через 8 мес. выигрыша &, когда безрисковая процентная ставка на 8 мес. при непрерывном начислении равна 6%, если:
М^ = 20 руб., со*, /）；% 卜 0.5 руб,;
Af戸 20 руб„ cowg, D：% 卜 Д）,5 руб.
54 Найтн форвардную цену акции на срок 6 мес., когда безрисковая процентная ставка иа 6 мес, при непрерывном начисле* нии равна 6%, если
Л/（^+о,5） = 100, <T（Sw） = IOf 貝口+°5） = 1,
P（£+05，D；+"}=O,6 （коэффициент корреляции）.
（Sf+心-цена акции;
片祝'一стохастический дисконтирующий множитель）.
5+5* Найти форвардную цену акции иа срок 9 мес., когда безрисковая процентная ставка на 9 мес. при непрерывном начислении равна 8%, если
M(Sf+0.75)= 80, <7(5,4-0,75)=20,仃(卩；+"乃)=1.5.
р (5r+0 7J. Z>/+0'75) --0,8 (коэффициент корреляции).
5.6* Вывести формулу для форвардной цены чисто дисконтной облигации, используя стохастический дисконтирующий множитель.
36 ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТАКТЫ
Фьючерсные контракты - это стандартизированные форвардные контракты, торговля которыми производится на специальных биржах.
По условиям фьючерсных торгов при открытии той или иной фьючерсной позиции инвестор обязан перевести определенное обеспечение (первоначальную маржу) на специальный счет, а в конце каждого рабочего дня биржи проводится переоценка фьючерсной позиции ло рыночной стоимости.
Переоценка фьючерсной позиции по рыночной стоимости осуществляется следующим образом:
еслн фьючерсная цена закрытия Ф? оказывается больше фьючерсной йены закрытия предыдущего дня Фь то денежная сумма Л(Ф^ 一 8J, где Л - объем фьючерсного контракта, снимается со счета маржи стороны, занимающей короткую позицию, и переводится на счет маржи стороны с длинной позицией;
если Ф2< Ф], то денежная сумма ^(Ф, - Ф2) снимается со счета маржи стороны с длинной позицией н переводится на счет маржи стороны с короткой позицией.
После переоценки фьючерсной позиции по рыночной стоимости могут возникнуть лишь следующие три случая：
остаток счета маржи превышает величину п^воначальной маржн;
остаток счета маржи меньше величины первоначальной маржи, ио больше определенной величины, называемой маржей поддержки;
остаток счета маржи меньше величины маржи поддержки.
В первом случае инвестор может сиять излишек со счета маржи, а в третьем случае он обязан вмести дополнительное обеспечение (вариационную маржу) так, чтобы сумма на счете маржи оказалась равной величине первоначальной маржи.
Инвестор, открывший ту нли иную фьючерсную познцню, может в любой момент ее закрыть, заняв в этот момент позицию, противоположную открытой,
Если по счету маржи не начисляются проценты, то доход от сохраиення длинной или короткой позиции во фьючерсном контракте составит соответственно
/(①зак-①。тк) ИЛИ {Gctk -①за/,
где 0tme и Ф33K - фьючерсные цены, при которых позиция была открыта н закрыта соответственно,
В понедельник 3 сентября 2001 г. была открыта короткая позиция во фьючерсном контракте на 10 000 акций при фьючерсной цене 50 руб. (за одну акцию). Короткая позиция была закрыта 12 сентября 2001 г. при фьючерсной цене 49,76 руб.
Определить величину дохода инвестора, если по счету маржи проценты не начислялись.
62 При условиях задачи 6.1 выяснить, как проходила переоценка фьючерсной позиции по рыночной стоимости, если первоначальная маржа для данного контракта составляла 10 000 руб., маржа поддержки равна 8000 руб., а фьючерсные цены закрытия биржи следующие:
Дата торгов 03.09 04.09 05,09 06.09 07.09 10.09 И 09 12,09 Фьючерсная
цена, руб. 50,20 50,40 49,90 49,79 50,20 50,50 49,70 49,76
Считать, что проценты по счету маржи не начислялись и излишки 8 счета не снимались.
152
При условиях задачи 6.2 выяснить, как будет происходить процедура переоценки фьючерсной позиции по рыночной стоимости, если по счету маржи начислялись проценты из расчета 8% годовых (при непрерывном начнсленнн),
В понедельник 2 июля 2001 г. была занята длинная позиция на 100 уиций золота при фьючерсной цене 400 долл, за уи- цню. Первоначальная маржа составляет 2000 долл., а маржа поддержки установлена в 1500 долл. Длинная позиция была закрыта в четверг 12 июля по цене открытия биржи.
Как проходила переоценка фьючерсной позиции по рыночной стоимости, если проценты по счету маржи не начислялись, излишки со счета не снимались, а фьючерсные цены закрытия следующие:
Дата торгов 02.07 03.07 СИ.07 05.07 06.07 09,07 10.07 11.07 12,07 Фьючерсная
цена, долл. 397,00 396,10 398,20 392,40 397,80 398,40 399,25 398,60 397,45*
*Цена открытия.
37 ФЬЮЧЕРСНЫЕ И ФОРВАРДНЫЕ ЦЕНЫ ТОВАРОВ
Если рынки являются совершенными и по форвардным сделкам риск дефолта незначителен, а инвесторы обладают достаточным капиталом, чтобы выполнить все требования по марже, то при отсутствии арбитражных возможностей нмеют место следующие утверждения.
1, Теорема Кокеа-Ингерсолла-Росеа. Фьючерсная цена активов на л дней совпадает со стоимостью требования на получение в конце дня I + п выигрыша в размере
где £+» 亠 спот-цена исходных активов на конец дня Г + л;
^+,(1) - годовая безрисковая процентная ставка иа один лень при непрерывном начислении, наблюдаемая в конце дня t + i, i = 0t 1,2,1;
Т = %5 г°Да-
Фьючерсная цена активов на л дней Ф/г + н) удовлетворяет равенству
Ф,(г+п) = М(5'(+яЯ(^+й),
где Rj = e网D%心通打…或+"一m"；
D；+" - стохастический дисконтирующий множитель на период от t до (+ л.
Если Fj(t + и) н Ф/г + л) - форвардная и фьючерсная цены одних и тех же активов на срок « дней, то
0#+用-£«+用"3卜件"，(R{-e7lWnr)D^},
где 彳5) - годовая безрисковая процентная ставка на п дней при непрерывном начислении.
Из последнего утверждения следует, что прн детерминированных процентных ставках 弓(1), 乙 ⑴，…，rt+„_y (1) форвардная и фьючерсная цены одних и тех же активов на срок w дней должны совпадать.
1. По условиям фьючерсного контракта на 8%-ную облигацию с полугодовыми купонами через 15 мес. должна передаваться облигация номиналом 1000 руб., до погашения которой остается 3 года.
Найти фьючерсную цену облигации, если безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков, не меняются в течение времени и равны 7% при непрерывном начислении.
7-2. По условиям фьючерсного контракта на 8%-нук> облигацию с полугодовыми кулонами через 15 мес. должна передаваться облигация номиналом 1000 руб., до погашения которой остается 5 лет.
Найти фьючерсную цену облигации, если безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков, не меняются в течение времени н равны 9% при непрерывном начислении.
3. Найтн фьючерсную цену активов на срок 10 дней, если безрисковая процентная ставка на 10 дней при непрерывном начислении равна 6%, M(S什］(Д)二 100 н а) соЗУ+^А，D：+吗=2 ; б) соу(5(+10Д, D『°) = -2・
Найти форвардную и фьючерсную цены активов на срок 10 дней, если A/{S/+loDj<'to) = lOO, Л/(Ю 二 1QD2, 8V(Sg+itQj叫 й,) = -2, а безрисковая процентная ставка на 10 дней при непрерывном начнсленин равна 6%.
3・8. СПЕКУЛЯТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ НА ФЬЮЧЕРСНЫХ РЫНКАХ
Спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках строятся на основе прогнозирования будущих фьючерсных цен так, чтобы получить положительную прибыль, если прогноз оп
равдается.
Инвестор, считающий, что между моментами 厶 и 〃 фьючерсная цена Ф/7) некоторых активов будет расти (снижаться), в момент /| может занять длинную (короткую) позицию во фью
черсном контракте.
Если прогноз инвестора оправдается, то, закрыв свою позицию в момент q, он получит положительную прибыль.
Инвестор, считающий, что между моментами 八 и г2 межвременной спред ①丄厶} - 6f(П)，Л > 丁1，между фьючерсными ценами активов с разными датами поставкн будет расти (снижаться), может занять длинную (короткую) позицию в долгосрочном фьючерсном контракте и короткую (длинную) позицию в краткосрочном
контракте.
Если прогноз инвестора оправдается, то, закрыв свои позиции в момент /2, он получит положительную прибыль.
覃方)②⑵)覃方)②⑵)Инвестор, лредполагаюшнй, что между моментами 八 и t2
覃方)②⑵)
覃方)②⑵)
иаиабудет расти (снижаться) отношение фьючерсных цеи
иа
иа
разные активы, в момент 〃 может занять длинную (короткую) позицию в N、фьючерсных контрактах на активы первого вида н
короткую (длинную) позицию в ^2 фьючерсных контрактах на активы второго вида так, чтобы
加4耳(Q = %&电(写)，
где Л, л 4 - объемы контрактов.
Если прогноз инвестора оправдается, то, закрыв свои позиции в момент * он получит положительную прибыль.
Фьючерсная цена акции с поставкой через 4 мес. равна 200 руб. Объем одного контракта составляет 1000 акций.
Какую стратегию должен выбрать инвестор, считающий, что в течение 1 мес. фьючерсная цена будет падать?
Какова прибыль от стратегии, использующей 10 фьючерсных контрактов, если через месяц фьючерсные цены окажутся равными: а) 205 руб.; б) 196 руб.?
82 Фьючерсная цена акции с поставкой через 1 мес. равна 50 руб., а с поставкой через 2 мес. - 52 руб. Инвестор занял длинную позицию в трех краткосрочных фьючерсных контрактах и короткую позицию в пяти долгосрочных фьючерсных контрактах.
Какова прибыль инвестора, если через 3 дня фьючерсные цены акции оказались равными 50,20 руб. и 51,75 руб. соответственно, (объем одного контракта составляет 100 акций)? ,
Фьючерсная цена акции с поставкой через 2 мес. равна 120 руб., а с поставкой через 3 мес, - 118 руб. Объем одного контракта -200 акций. Инвестор занял короткую позицию в 10 краткосрочных фьючерсных контрактах н длинную позицию в пяти долгосрочных контрактах.
Какова прибыль инвестора, если через 5 дней фьючерсные цены акцни оказались равными 118 руб, и 120 руб. соответственно?
Текущие фьюч^юные цены двух видов активов равны 360. и 4,8 руб. соответственно. Объемы контрактов на эти виды активов -100 и 1000 единиц.
Какую стратегию может применить инвестор, счнтающий, что в течение 1 мес. отношение фьючерсных цен будет расти?
Какова прибыль от выбранной стратегии, если через 1 мес. фьючерсные цены этих активов окажутся равными: а) 356 н 4,60 руб. б) 362 и 4,90 руб ?
Текущие фьючерсные цены двух видов активов равны 360 и 5 руб. соответственно. Объемы контрактов на этн виды активов -100 н 1000 единиц.
Какую стратегию может применить ннвестор, считающий, что в течение 1 мес. отношение фьючерсных цен будет снижаться?
Какова прибыль от выбранной стратегии^ еслн через 1 мес, фьючерсные цены этих активов окажутся равными: а) 356 и 4,8 руб.; б) 362 и 5,4 руб.?
3・9・ ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОЗИЦИЙ ПО ИСХОДНЫМ АКТИВАМ С ПОМОЩЫО ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ
Рассматриваются следующие две возможные ситуации:
инвестор в момент % владеет некоторыми активами н собирается нх продать в будущий момент z；
* инвестор в момент % узнает, что ему придется в будущий момент ( купить некоторые активы.
Для хеджирования единицы активов в первой или второй ситуации инвестор может в момент г0 занять короткую или длинную позицию во фьючерсном контракте на единицу других активов.
В этом случае доходность одной хеджируемой позиции гкор или 产划 может быть найдена следующим образом:
…¥ или……¥ или…
…¥ или…
…¥ или…
где % - доходность исходных активов;
/у - доходность фьючерсной позиции;
Ф/(| (Т) - фьючерсмая цена хеджирующих активов в момент 屯 S’。- спот-цена исходник активов в момент 1^.
Отношение количества хеджируемых позиций к объему всей позиции инвестора по исходным активам называют показателем хеджирования.
Оптимальный показатель хеджирования 彳，при котором минимизируется дисперсия доходности, определяется равенством
£*_ %8此，у)
где cov(rj, rF) - ковариация между доходностями исходных активов и фьючерсной позиции;
◎} - дисперсия доходности одной фьючерсной позиции-
Для хеджирования той или иной позиции по исходным активам можно использовать одновременно несколько фьючерсных контрактов, причем на различные виды активов. Если для хеджирования единицы исходных активов используется л фьючерсных контрактов, то придется рассмотреть искусственные ценные бумаги и видов, удовлетворяющие следующим условиям：
ожидаемые доходности ценных бумаг совпадают с ожидаемыми доходностями хеджируемых позиции;
ковариационная матрица доходностей ценных бумаг нмеет вид 4 = ((7^), где
ф*(Г)Ф7 (Т )
% =%^ 8Vs 片) ?，8V(&〃}+
3s%
+ 6尸?)。(不)8¥(心得),1 = 1,2n； >1,
Для определения оптимальной стратегии хеджирования достаточно найти портфель искусственных ценнык бумаг при запрещенных коротких продажах 百…=(0[,02, ...,©„), удовлетворяющий тому или иному критерию оптимальности.
158
9/. Компания собирается продать через неделю определенное количество активов Л, текущая цена которых 100 руб. Для хеджирования своей позиции финансовый директор компанни решает использовать фьючерсные контракты на активы В, текущая фьючерсная цена которых 80 руб.
Найти оптимальный показатель хеджирования, если стандартное отклонение недельной доходности фьючерсной позиции равно 0,3, а ковариация между доходностью активов Л и доходностью фьючерсной позиции по активам В равна 0,02.
Компания через 1 мес. должна закупить 500 тыс. л дизельного топлива, а для хеджирования своей позиции решает использовать фьючерсные контракты на сырую нефть. Объем одного фьючерсного контракта на сырую нефть составляет 20 000 л.
Найти оптимальный показатель хеджирования, если стандартное отклонение изменения йены дизельного топлива за 1 мес. равно 0,04, стандартное отклонение изменения фьючерсной цены нефти за 1 мес. -0,05, а коэффициент корреляции между этими изменениями равен 0,8.
Сколько фьючерсные контрактов потребуется для хеджирования?
Текущая цена активов А равна 250 руб., текущая фьючерсная цена активов В - 160 руб. Найтн оптимальный показатель хеджирования активов А фьючерсными контрактами на активы В, если исторические данные о недельных доходностях приведены инже.
Номер недели 1 Доходность активов(Л)0,10Доходность фьючерсной позиции 0,15Номер недели 1 Доходность активов(Л)0,10Доходность фьючерсной позиции 0,15234567823456780,20 0,150,20 0,150,16 -0,18 -0,22 -0,14 -0,220,16 -0,18 -0,22 -0,14 -0,220,18 -0,10 0,120,18 -0,10 0,120,060,06-0,08 -0,15 -0,10-0,08 -0,15 -0,10
Номер недели 1 Доходность активов(Л)0,10
Доходность фьючерсной позиции 0,15
Номер недели 1 Доходность активов(Л)0,10
Доходность фьючерсной позиции 0,15
2345678
2345678
0,20 0,15
0,20 0,15
0,16 -0,18 -0,22 -0,14 -0,22
0,16 -0,18 -0,22 -0,14 -0,22
0,18 -0,10 0,12
0,18 -0,10 0,12
0,06
0,06
-0,08 -0,15 -0,10
-0,08 -0,15 -0,10
Инвестор занимает длинную позицию по активам, текущая цена которых составляет 200 руб” а ожидаемая недельная доходность -4%. Для хеджирования этой позиции инвестор предполагает использовать фьючерсные контракты на три вида активов, теку-
159
щие фьючерсные цечы которых 210, 220 и 240 руб., а ожидаемые доходности фьючерсных позиций 10, 12 и 10% соответственно. Ковариационная матрица между доходностями имеет вид
ГОД 0 0,2 0、
.,t 2 з._ 0 0,3 0 0,1卄"F产 0 2 о 0,5 0,2 ■
0 0,1 0,2 0,5
Определить：
ожидаемые доходности хеджируемых позиций и ковариационную матрицу этих доходностей;
стратегию хеджирования прн минимизации дисперсии совокупной доходности;
стратегию хеджирования, минимизирующую дисперсию совокупной доходности, при заданном уровне ожидаемой доходности 7%;
стратегию хеджирования, минимизирующую дисперсию совокупной доходности, при заданном уровне ожидаемой доходности, равном 9%, если можно использовать безрисковый актив с доходностью 5%.
Инвестор занимает короткую позицию по активам, текущая цена которых составляет 200 руб., а ожидаемая недельная доходность - 10%. Для хеджирования этой позиции инвестор предполагает использовать фьючерсные контракты на два вида активов, текущие фьючерсные цены которых 220 и 240 руб., а ожидаемые доходности фьючерсных позиций 6 и 7% соответственно. Ковариационная матрица между доходностями имеет вид
ГОД 00,2'
A(「s 片足)=0 0,3 -0,1 -
0,2 -0,1 05
Определить:
ожидаемые доходности хеджируемых позиций и ковариационную матрицу этих доходностей;
стратегию хеджирования при минимизации дисперсии совокупной доходности.
160
ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ АКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ НА ИНДЕКС АКЦИЙ
По условиям фьючерсного контракта на рыночный индекс акций сторона, занявшая в момент г0 короткую или длинную позицию, получит в момент исполнения контракта Т денежную сумму в размере
£{Ф“《Т)-〃Т)} или Л{/(7')-Фго(7')Ь
где £ - объем контракта (денежная сумма, установленная биржей для данного контракта);
ФГо (Т) - 4*ькнерсная цена индекса акций в момент %;
/(7) - значение (цена) индекса акций в момент исполнения контракта Т、
При отсутствии арбитражных возможностей фьючерсную цену индекса акций можно оценивать, считая ее форвардной ценой активов с постоянной дивидендной доходностью：
где /(f) - текущее значение Индекса акций;
г - безрисковая процентная ставка на Т -，лет при непрерыв- иом начислении;
0 - постоянная непрерывная дивидендная доходность индекса акций.
Если инвестор владеет некоторым портфелем акций, то для хеджирования рыночного риска ои может занять короткую позицию в нескольких фьючерсных контрактах на индекс акций.
Чтобы дисперсия доходности хеджируемой позиции была минимальной, число фьючерсных контрактов ^ должно удовлетворять соотиошеиию
丁产
где Р(%) - стоимость портфеля акций в момент Го;
用-бета-коэффициент портфеля акций относительно рассматрн- f8V⑴專))
ваемого индекса акций | д? =.
ЮЛ, Компания владеет портфелем акций стоимостью 2,1 млн долл, и собирается его хеджировать с помощью фьючерсных контрактов на индекс акций SP-500 (L = 250 долл.).
Найти оптимальное количество фьючерсных контрактов для хеджирования, если текущая фьючерсная цеиа индекса равна 300, бета-коэффициеит портфеля 氐кций - 1,5.
Определять доход (убыток) инвестора, если через 1 мес. стоимость портфеля акций упадет до 2 млн долл., а фьючерсная цена индекса - до 290.
АкцияЦеиаакции119,252 28J5326,254 41,505 38,00627,50Бета-коэффнциеиг акции1,450,801,100,951,201,32Количество акций в портфеле400015001100600080004000АкцияЦеиаакции119,252 28J5326,254 41,505 38,00627,50Бета-коэффнциеиг акции1,450,801,100,951,201,32Количество акций в портфеле400015001100600080004000Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов индекс акций (L = 500 долл.), если текущая фьючерсная цеиаОпределить оптимальное количество фьючерсных контрактов индекс акций (L = 500 долл.), если текущая фьючерсная цеиаФирма собирается хеджировать в течение 1 мес. будущую покупку портфеля акций, исходные данные которого приве- деиы ниже.
Акция
Цеиаакции
1
19,25
2 28J5
3
26,25
4 41,50
5 38,00
6
27,50
Бета-коэффнциеиг акции
1,45
0,80
1,10
0,95
1,20
1,32
Количество акций в портфеле
4000
1500
1100
6000
8000
4000
Акция
Цеиаакции
1
19,25
2 28J5
3
26,25
4 41,50
5 38,00
6
27,50
Бета-коэффнциеиг акции
1,45
0,80
1,10
0,95
1,20
1,32
Количество акций в портфеле
4000
1500
1100
6000
8000
4000
Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов индекс акций (L = 500 долл.), если текущая фьючерсная цеиа
Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов индекс акций (L = 500 долл.), если текущая фьючерсная цеиа
на индекса акций равна 320.
Оцеинтъ чистый доход инвестора, если через 1 мес. цены акций окажутся равными 20,50; 30,20; 25Д0; 42,00; 37,75; 28,50 со- ответствеиио, а фьючерсное значение индекса возрастет до 321.
Инвестор владеет портфелем акций, данные которого
приведены в ниже.
Акция
Количество акций
1
1200
2
1000
3
10000
4
5000
5
3000
Ц&иа акции
Бета-коэффнциент акции
100
1,50
120
1,40
ПО
1,80
90
1,30
80
1,60
Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов на индекс акций (£ = 800 долл.) для хеджирования исходной позиции, если текущая фьючерсная цена индекса акций равна 220.
Оценить чистый доход нивестора, если через 2 мес. цены акций окажутся разными 90; ПО; 100; 110; 105 соответственно, а фьючерсная цена индекса возрастет до 222.
Инвестор владеет портфелем акций, текущая стоимость которого составляет 2 000 000 долл. Для хеджирования портфеля в течение 3 мес. инвестор решает использовать четырех месячные фьючерсные контракты на рыночный индекс акций (L = 250 долл.). Текущее значение индекса акций равно 900, испрсрывиая дивидендная доходность индекса акции - 4%, а бета-коэффицнент портфеля акций относительно данного индекса - 1,4.
Определить:
количество фьючерсных контрактов, которое необходимо для хеджирования, если безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 10%;
доход от хеджируемой позиции, если значение индекса акции через 3 мес. окажется равным 860.
Инвестор владеет портфелем акций, текущая стоимость которого составляет 2 млн долл. Для хеджирования портфеля акций в течение 2 мес, инвестор решает использовать четырех- месячиые фьючерсные контракты иа рыночный индекс акций (L = 500 долл.). Текущее значение индекса акций равно 1000, непрерывная дивидендная доходность индекса акций - 5%, а бета-коэффнциент портфеля акций относительно данного индекса -1,5-
Определить;
количество фьючерсных контрактов, которое необходимо для хеджирования, если безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 10%;
доход от хеджируемой позиции, если значение индекса акций через 3 мес. окажется равным 980.
Инвестор владеет портфелем акций н занимает короткую позицию в ^ фьючерсных контрактах на рыночный индекс акций.
Доказать, что бета-коэффициент всего инвестиционного порт- феля относительно данного индекса акций можно считать равным
ГЛАВА 3
где % - бета-коэффициент портфеля акций;
Ф,о (Г) - текущая фьючерсная цена индекса акций;
R%) - текущая стонмосгь портфеля акций.
L ХЕДЖИРОВАНИЕ ПРОЦЕНТНОГО РИСКА С ПОМОЩЬЮ ФЫОЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ
Рассматривается фьючерсный контракт на некоторую облигацию без дефолт-риска, дата исполнения которого Т.
Если сразу же после текущего момента г все безрисковые про- цешиые ставки изменятся на одну и ту же величину Дг> то отно- сительное изменение фьючерсной цены облигации & 历 удовлетворяет равенству '
где 瓦-дк^ация потока платежей по облигации, поступающихпосле даты исполнения фьючерсного контракта.
Замечаиие. Можно считать, что величина /$ — (Тт) совпадает (приближенно) с дюрацией исходной облигации на дату поставки при непрерывном начислении.
Для хеджирования портфеля облигаций без дефолт-риска стоимостью P(f), дюрация которого прн непрерывном начислении равна 4, следует замять короткую позицию в ^ фьючерсных контрактах иа рассматриваемую облигацию, где
①口)Ds-(T-t)
В этом случае в течение короткого времени будет обеспечена защнта портфеля облигаций от параллельных сдвигов кривой рыночных доходностей.
Инвестор владеет портфелем облигаций стоимостью 1 млн долл. Дюрация портфеля облигаций равна 3,2 года. Для хеджирования процентного риска инвестор решает использовать фьючерсные контракты на трехмесячные казначейские векселя номиналом 1 млн долл, (в момент поставки до погашения векселя остается 3 мес.).
Сколько контрактов необходимо для хеджирования в начальный момент, если текущая фьючерсная цена казначейского векселя равна 900 тыс. долл.?
Инвестор знает, что через полгода он получит 5 млн долл., которые инвестирует в облигацию без дефолт-риска. В данный момент дюрация этой облигации равна 5,7 года. Для хеджирования процентного риска инвестор использует фьючерсный контракт на другую облигацию, дюрация которой составляет 8,8 года. Безрисковая процентная ставка на полгода прн непрерывном иачне- леинн равна 6%.
Сколько фьючерсных контрактов необходимо для хеджирования, если текущая фьючерсная цена облигации составляет 880 тыс. долл.?
Инвестор владеет портфелем облигаций, стоимость которого 700 тыс. долл., а дюрация - 5,4 года (прн непрерывном начислении). Для хеджирования процентного рнска инвестор решает использовать полуторагодииные фьючерсные контракты на облигацию, поток платежей по которой приведен ниже.
Срок платежЗт годы 12 3 4 Размер платежа, тыс. долл. 8 8 8 100
Сколько фьючерсных контрактов необходимо для хеджирования. если все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 10% (прн непрерывном начислении)?
НА Инвестор владеет портфелем облигаций, поток платежей по которому приведен ниже.
Срок платежа,годы0,51,01,52,°
Размер платежа, тыс. долл.101215g°
В текущий момент все безрисковые процентные ставки одинаковы н равны 7% при непрерывном начислении. Для хеджирования процентного риска инвестор использует восьмимесячные фьючерсные контракты на трех месячные казначейские векселя номиналом 1000 тыс. долл.
Определить оптимальное количество фьючерсных контрактов для хеджирования.
Найти чистый доход инвестора через полгода, если через 0,3 года после текущего момента безрисковые процентные ставки возрастут до 10%.
3.11 ОБЛИГАЦИИ С ПЛАВАЮЩИМИ КУПОННЫМИ СТАВКАМИ
Пусть р(т) - некоторая рыночная процентная ставка при начислении m раз в год.
Если до погашения облигации с плавающей купонной ставкой / = А.р(т) + Д остается и купонных платежей, то поток платежей по облигаиии имеет следующий вид:
—(Лр0(т) + Д),,.„—(Apfr_i(m)+A)，.…—(Ари_|(т)+Д)+Л, ттт
где А - номинальная стонмостъ облигации;
рА_!(т) - значеиие рыночной процентной ставки, наблюдаемое в нача>* ле k-ro купонного периода.
Замечание. Для облигации с рыночной купонной ставкой Л = 1, Д = 0; для облигации с инверсно плавающей купонн曲 ставкой 2 =-1, △ > 0.
Основные утверждения об облигациях с плавающими купонными ставками при отсутствии арбитражных возможностей.
Стоимость облигации с рыночной купонной ставкой в моменты оплаты купонов равна ее номинальной стоимости.
Текущая стоимость Q облигации с рыночной купонной став- кой, купоны по которой оплачиваются m раз в год, удовлетворяет равенству
Q= 4+Л—
где А - номинал облигации;
Ро(т) - значение рыночной процентной ставки, наблюдаемое в начале первого купонного периода;
工-текущая ставка дисконтирования при непрерывном начнсле- ыни на срок т лет;
г - срок до очередного купонного платежа.
Текущая стоимость Q облигации с плавающей купонной ставкой / = Ар(/и) + 厶 может быть определена по формуле
q =屮+ /^^ 卜尔-
一口 一加网咼+g*印制，
где т - срок до очередного купонного платежа;
я - число купонных платежей до погашения облигации；
義 -текущая ставка дисконтирования при непрерывном иачиспе- иии на срок е+生口 лет, ” 1, 2,п.
т
Дана облигация с инверсно плавающей купонной ставкой /= 12%- р(2), когда до ее погашения остается пять купонных платежей. Номинальная стоимость облигации равна 300 руб., купоны оплачиваются дважды в год.
Определить поток платежей по облигации, если ставка-ориентир принимала значения, указанные ниже.
Номер купонного периода 1 2 3 4 5 Ставка-ориеитир
на начало периода, % 4,00 4,50 4,20 4,15 3,80
Дана облигация номинальной стоимостью 1000 руб, с рыночной купонной ставкой, купоны по которой оплачиваются 2 раза в год.
Найти текущую стоимость облигации, когда до очередного купонного платежа остается 4 мес,, если значение ставки-ориентира в начале первого купонного периода было 7,5%, а ставка дисконтирования на 4 мес. равна 7% (при непрерывном начислении).
Дана облигация номинальной стоимостью 5000 руб. с рыночной купонной ставкой, купоны по которой оплачиваются 4 раза в год.
Найти текущую стоимость облигации, когда до очередного купонного платежа остается 2 мес., если значение ставки-ориентира в начале первого купонного периода было 10%, а ставка дисконтирования на 2 мес, равна 6% (при непрерывном начислении).
Дана облигация номинальной стоимостью 200 руб. с плавающей купонной ставкой/= р(4) + 20 б.п., купоны по которой оплачиваются 4 раза в год, когда до погашения остается четыре купонных платежа, а до очередного платежа - 2 мес.
Найти текущую стоимость облигации, если значение ставкн- орнентнра в начале первого купонного периода было 8%, а подходящие ставки дисконтирования при непрерывном начислении на 2, 5, 8 и 11 мес. равны 10,0; 10,2; 10,5; 11,00 % соответственно.
Найти стоимость облигации при условиях задачи 12.4, считая ее облигацией с ннверсно плавающей купонной ставкой /=20%-р(4).
Дана облигация номинальной стоимостью 1000 руб. с плавающей купонной ставкой /二 2р{2) + 60 б,пм купоны по которой оплачиваются 2 раза в год, когда до погашения остается пять купонных платежей, а до очередного платежа - 3 мес.
Найти текущую стоимость облигации, если значение ставки- ориентира в начале первого купонного периода было 9%, а подао- Дяшие ставки дисконтирования при непрерывном иачислеиии на 3, 9, 15. 21 и 27 мес. равны 9,2; 9,4; 9,2; 9,3； 9,2% соответственно.
Доказать, что дюрация облигации с рыночной купонной ставкой равна сроку до очередного купонного платежа, если на рынке отсутствуют арбитражные возможности.
111 ПРОЦЕНТНЫЕ СВОПЫ
Процентный своп - это соглашение об обмене потока будущих процентных платежей от некоторой условной деиеж- ной суммы при фнкснроваииой процентной ставке на процент- ние платежи от той же денежной суммы при плавающей процентной ставке.
Двум компаниям А и В взаимовыгодно заключить процеит- нн访 своповый контракт, если выполняются следующие условия.
L Компаниям предлагаются процентные ставки по займам (при начислении процентов tn раз в год)：
Компания
Процентная ставка
фиксированная
плавающая
А
£的
0(附)+4А
В
蹴用｝
р(т) + А»
Здесь р(ш) у рыночная процентная ставка;
АС - фиксированные надбавки к рыночной процентной ставке.
.^Ф (w)<^(m), ДА<ДВ；
点酬)-砲制)>№一m
. Компании А необходим заем денежной суммы Q с плавающей процентной ставкой, а компании В 一 заем суммы Q с фиксированной процентной ставкой.
Если 5(+S2 =»ф(№т)-^(ni)-(^-ДА), 5|>0, &>°, то компании А и В могут обеспечить себе чистые процентные выигрыши соответствеино 瓦 и % при следующей схеме процентных платежей.
Если же 仇+%+卩=蹴1m)-炉⑴)-(m-a》5产0, %>0, 4>0, то компании А и В смогут обеспечить себе чистые процентные выигрыши соответственно & н & ирн условий^ что маржа посредника равна #：
Заметим, что
相叫D =点也D = Ро(2,
а величина
的=*«U)-$g」)
составляет маржу посредника для контрактов на срок, состоящий из / расчетных периодов.
Компания А необходим заем в размере 1000 руб. на 2 года с плавающей процентной ставкой, а компании В необходим заем в том же размере н на тот же срок с фиксированной ставкой. Процентные ставки при начислении процентов дважды в год, предлагаемые компанням А и В, приведены ниже.
Для организации рмнка процентных свопов финансовые институты проводят котировку фиксированных процентных ставок； для возможных процентных свопов в следующем виде:
Количество расчетных лериодов
Фиксированная процентная ставка
выплачиваемая в обмен на рыночную ставку р(т)
получаемая в обмен на рыночную ставку р (т)
联gD
^Ф(т,1)
2
&О 2)
次执⑵
/
点叫/)
相叫编
点也用
Предложить обмен платежами между компаниями А и В, одинаково выгодный обеим компаниям.
Определить поток денежных сумм, выплачиваемых компанией А компании В, если ставк a-ориентир р(2) принимала следующие значения:
Номер расчетного периодаНомер расчетного периода12341234
Номер расчетного периода
Номер расчетного периода
1234
1234
132 При условиях задачи 13.1 предложить обмен платежами между компаиинми А и В и посредником так, чтобы эти компании имели одинаковый процентный выигрыш, а маржа посредника составила ОД%.
При условиях задачи 13.1 предложить обмен платежами между компаниями А и В и посредником так, чтобы процентный выигрыш компании А был вдвое больше процентного выигрыша компании В, а маржа посредника составила 0,2%.
Компании А необходим заем с плавающей проиеитной ставкой, а компании В необходим заем в том же размере н на тот же срок с фиксированной процентной ставкой. Процентные ставки, предлагаемые компаниям А и В, приведены ниже.
Компания
Процентная ставка, %
фиксированная
плавающая
А
8,6
"⑵ + 0,4
В
9,5
p ⑵ + 0,7
Предложить обмен платежами между компаниями А и В и посредником так, чтобы эти компании имели одинаковый процентный выигрыш, а маржа посредника составила 0,2%.
13*5, Компания берет заем в размере 100 тыс. долл, на 3 года под плавающую процентную ставку р⑴ + 40 б.п. Банк готов в течение трех лет платить рыночную процентную ставку р(1) в обмен на фиксированную процентную ставку 8%,
Как с помощью процентного свопа преобразовать заем с плавающей процентной ставкой в заем с фиксированной процентной ставкой?
Сколько процентов придется платить компании?
Компания берет заем в размере 100 тыс. долл, на 4 года под фиксированную процентную ставку 10% (при начислении процентов дважды в год), Еанк готов в течение четырех лет получать рыночную процентную ставку р⑵ в обмен на 9,4% при обмене платежами дважды в год.
Как преобразовать заем с фиксированной процентной ставкой в заем с плавающей процентной ставкой?
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ПРОЦЕНТНЫХ СВОПОВ
Рассматривается процентный своп, в котором компания X согласилась в течение определенного времени m раз в год обмениваться платежами по следующей схеме:
172
получать проценты от денежной суммы Q по фиксированной процентной ставке %(/«);
платить проценты от денежной суммы Q по рыночной процентной ставке р(м).
Имеют место следующие утверждения.
В момент заключения данного свопового контракта его стоимость для компании X равна нулю.
В любой момент поток платежей, поступающих компании X, совпадает с потоком платежей от инвестициоииого портфеля, состоящего из покупки облигации номиналом Q с фиксированной купонной ставкой %(加)，купоны по которой оплачиваются m раз в год, и короткой продажи облигации номиналом Q с рыночной купонной ставкой р(т).
При отсутствии арбитражных возможностей текущая стоимость процентного свопа 々)для компании X может быть определена по формуле
где z, - текущая ставка дисконтирования на лет при непре-
рывиом начислении,( = 1, 2, 3,
т 一 срок до очередного обмена платежами;
Ро(т) - значение рыночной процентной ставки, наблюдаемое в момент последнего обмена платежами.
При отсутствии арбитражных возможностей стоимость облигации с фиксированной купонной ставкой 片(侦,/), до погашения которой остается / расчетных периодов, равна ее номиналу (出用/) -котировка фиксированной процентной ставки, которую финансовые институты готовы получать в течение / рас- четных периодов в обмен на рыночную процентную ставку р(т)).
На основе последнего утверждения можно определить ставки дисконтирования %,四，.…z„, используемые для оценки текущей стоимости процентного свопа.
Текущую стоимость рассматриваемого процентного свопа можно найти, представив его в виде последовательности форвардных контрактов на процентную ставку pg).
При отсутствии арбитражных возможностей:
Р⑴=^｛飞(m)-A>(m)｝е母 +
+警｛加f丿用， ：
iHC Fk-i - форвардная процентная ставка на начало fc-ro расчетного периода, & = 2, 3,…，и.
Замечание. Форвардные процентные ставки удовлетворяют соотношениям
Компания согласилась получать 4 раза в год проценты от денежной суммы 120 млн руб. по фиксированной процентной ставке 9% в обмен на проценты от той же суммы по плавающей процентной ставке р(4). До окончания срока контракта остается 1,2 года, а значение процентной ставки р(4) в начале первого расчетного периода было 9,8%.
Определить текущую стоимость процентного свопа, если ставки дисконтирования при непрерывном начислении приведены ниже.
Срок, годы 0,2 0,45 0J 0,95 1,2 Ставка дисконтирования, % 9,6 9,7 9,8 9,9 10,0
Компания согласилась платить проценты 2 раза в год от суммы 90 млн долл, по фиксированной процентной ставке 6% в обмен на проценты от той же суммы по рыночной ставке р(2). До 174
окончания срока контракта остается 1,8 года, а значение процентной ставки в начале первого расчетного периода равнялось 62%.
Найти текущую стоимость процентного свопа, если известны котировки фиксированной процентной ставки, выплачиваемой в обмен на рыночную ставку р(2).
Число расчетных периодов1234
Фиксированная
процентная ставка, %5,85,96,26,4
Компания согласилась платить проценты 2 раза в год от суммы 6 млн долл, по шестимесячной ставке LIBOR в обмен на проценты от той же суммы по фиксированной процентной ставке 8%. До окончания срока контракта остается 25 мес., а значение ставки LIBOR в момент последнего обмена платежами равнялось 7,4%. Котировки фиксированной процентной ставки, получаемой в обмен на шестимесячную ставку LIBOR, имеют следующий вид：
Срок, нес.612182430
Фиксированная
процентная ставка, %7.57,67,67,77,8
Определить:
текущую стоимость процентного свопа для дайной компании;
форвардные ставки LIBOR на 1, 7, Ви 19 Мес-
Компания получает 4 раза в год проценты от суммы 50 млн долл, по фиксированной процентной ставке 7% в обмен на проценты от той же суммы по рыночной процентной ставке р(4). До окончания срока контракта остается 0,85 года, а значение процентной ставки р(4) в начале первого расчетного периода равнялось 7,2%.
Найти текущую стоимость процентного свопа, если текущая ставка дискоитироваиия иа 0,1 года при непрерывном начислении составляла 6,5%, а форвардиЬ[& процентные ставки в начале 2-го, 3 и 4-го расчетных периодов соответственно равны 6,6; 6,4; 6,3%.
14S Компания платит дважды в год проценты от суммы 150 млн долл, по фиксированной процентной ставке 8% в обмен на проценты от той же суммы по шестимесячной ставке LIBOR. До окончания
срока контракта остается 1,2 года, а значение процентной ставки LIBOR в начале первого расчетного периода равнялось 8,2%.
Найти текущую стоимость процентного свопа для данной компании, если текущая ставка дисконтирования иа 0,2 года при непрерывном начислении составляет 7%, а форвардные ставки LIBOR через 0,2 и 0,7 года соответственно равны 豆,5 и 9%,
Байк согласился в течение 5 лет 2 раза в год получать проценты от 20 млн руб. по фиксированной процентной ставке 10% в обмен на проценты от той же суммы по рыночной процентной ставке р(2).
Оценить убытки банка, если через 3 года партнер банка по процентному свопу прекратит платежи, считая, что значение рыночной процентной ставки на начало шестого расчетного периода равно 9,2%, а ставки дисконтирования в конце этого расчетного периода одинаковы для всех сроков и составляют 8,6% (при начислении процентов 2 раза в год).
Инвестор владеет 8%-ной облигацией номиналом 10000 долл, с годовыми купцами, до погашения которой остается 5 лет. Для хеджирования процентного риска инвестор согласился принять участие в свопе: платить проценты от 5000 долл* один раз в год в течение 4 лет по фиксированной процентной ставке 7% в обмен на проценты от 5000 долл, по рыночной процентной ставке р(1).
Оценить средневзвешенную дюрацию инвестиционного портфеля, если ставки дисконтирования дяя всех сроков равны 7% (при начислении процентов одни раз в год).
Инвестор владеет 8%-нон облигацией номиналом 10 000 долл, с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 3 года- Для хеджирования процентного риска инвестор согласился участвовать в свопе： платить проценты 2 раза в год в течение двух лет от 8000 долл, по фиксированной процентной ставке 7% в обмен на проценты от 8000 долл, по рыночной процентной ставке р(2).
Оценить средневзвешенную дюрацию инвестиционного портфеля, еслн ставки дисконтирования при начислении процентов дважды в год приведены ниже.
Срок, годы 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Процентная ставка, % 7,2 7,3 7,2 7,0 6,9 6,87 176
ВАЛЮТНЫЕ СВОПЫ И ИХ ОЦЕНКА
Классический валютный своп предполагает обмен платежами в разных валютах по следующей схеме:
в течение установленного времени m раз в год одна компания платит другой компании проценты от суммы 0? во второй валюте по фиксированной процентной ставке 守2(皿)，а получает от нее проценты от суммы 0 в первой валюте по фиксированной процентной ставке %(т)；
по истечении срока контракта первая компания выплачивает второй компании сумму 02 so второй валюте, а получает от нее сумму 0】в первой валюте.
Компаниям А и В выгодно заключить валютные сноповые контракты с посредником, если выполняются следующие условия.
Компаниям А и В предлагаются фиксированные процентные ставки по займам в двух разных валютах；
Компания
Процент»
ая ставка
Первая валюта
Вторая валюта
А
В
<
Соблюдаются соотношения
"A小，d>炉；
Компании А необходим заем во второй валюте размером 02, а компании 8 необходим заем в первой валюте размером 0】, причем Qi = с Q2 (с - текущий обменный курс).
Если 6[ + & + 卩=广 f а 一(皮一『)то при процентных платежах, приведенных на рисунке, компания А обеспечивает себе про-
центный выигрыш 刍，компания В обеспечивает себе процентный выигрыш 6|, а маржа п^юредиика составит ц.
Рассмотрим валютный своп, в котором компания X согласилась m раз в год платить проценты от суммы & в° второй валюте го фиксированной процентной ставке %向 н выплатить сумму 02 в конце срока контракта в обмен иа проценты от суммы 0 в первой валюте по фиксированной процентной ставке д^Ол) и основную сумму Q] в конце срока контракта.
Поток платежей, поступающих компании X, совпадает с потоком платежей от инвестициониого портфеля, состоящего нз покупки купонной облигации номиналом Q〕с купонами, оплачиваемыми m раз в год по ставке %(拓),и короткой продажи купонной облигации номиналом Q^ с купонами, оплачиваемыми т раз в гад по ивке д《и).
При отсутствии арбитражных возможностей имеют место следующие утверждения.
Текущая стоимость валютного свопа «Г) для компании X должна удовлетворять равенству
V{t)^B^-B^)cn
где В|(/) и 鬲⑺ -текущая стоимость покупаемой м продаваемой облигации соответственно;
勺-текущий обмен№>1й курс.
Если можно не учитывать риск дефолта, то текущую стоимость валютного свопа можно оценивать, представляя его в виде последовательности форвардных контрактов на обменный курс:
*⑴= ^；e[0处（№）-金的（涉耳]e用）+
+ @一02 居)e I m
гле Fk - форвардный обменный курс на срок f+^^i лет, 仁12…m ’
Л-1
-безрисковая процентная ставка на срок т+ лет прн непрерывном начислении в стране с первой валютой,
k= 1,2,…，电
т - срок очередного обмена платежами.
Замечание. Форвардный обменный курс Fk можно определить по формуле
~2 и
где %" - безрисковая процентная ставка на срок т + лет
при непрерывном начнслеиии в стране со второй валютой, k =…
Компаниям А и В предлагаются следующие фиксированные процентные ставки по займам в рублях я в долларах.
Компания
Процентная ставка по займам, %
в руб.
в долл.
А
15,6
6,0
В
Компании А необходим заем иа 5 пет б размере 100 тыс. долл,? а компании В - заем на тот же срок в размере 3 млн руб, (текущий обменный курс - 30 руб, за 1 долл.).
Построить обмен платежами между компаниями А и В и посредником так, чтобы этот обмен был одинаково выгоден компаниям, а маржа посредника составила 0,06%.
Каков будет чистый платеж посреднику (в рублях) через 2 года при обменном курсе: а) 29,5 руб.; б) 30 руб.; в) 36 руб.
Компания согласилась：
лважды в год получать проценты от суммы 100 или долл, по фиксированной процентной ставке 6% в обмен на проценты от 179
суммы 60 мли английских фунтов стерлингов по фиксированной процентной ставке 5%;
произвести обмен основных сумм в конце срока контракта.
Оценить стоимость валютного свопат когда до окончания его срока остается 1,5 года, а текущий обменный курс 一 1,8 долл, за 1 фунт, если безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в Великобритании н США приведены ниже.
Страна
Безрисковая процентная ставка, %, по срокам, годы
0,5
1,0
1,5
Великобритания
1&0
10,5
10,8
США
5,2
5+8
6,2
Компания согласилась:
• один раз в год получать проценты от суммы 10 млн руб. по фиксированной процентной ставке 16% в обмен на проценты от суммы 50 млн японских иен по фиксированной процентной ставке 5%;
* произвести обмен основных сумм по окончании срока контракта.
Определить стоимость валютного свопа, когда до окончания его срока остается 3 года, а текущий обменный курс 5 японских мен за 1 р”，если безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в России и Японнн приведены ниже.
Страна
Безрисковая процентная ставка, %,
по срокам^ годы
1,0
2,0
3,0
Россия
12,0
113
12,3
Япония
4,2
43
4,5
Компания согласилась:
дващ^ы в год выплачивать проценты от суммы 1 млн долл, по фиксированной процентной ставке 7% в обмен на проценты от суммы 150 млн японских нен по ставке 10%;
произвести обмен основными суммами по окончании срока контракта.
Определить стоимость валютного свопа, когда до окончания его срока остается 2 года, если безрисковые процентные ставки 180
при непрерывном начнслении в США и форвардные обменные курсы приведены ниже.
Показатели
Срок, годи
&5
18
1,5
2,0
Процентная ставка, %
6+0
7,0
8,0
8,5
Форвардный обменный курс,11叫ДОЛЛ.
150,0
148,0
146,0
145,0
15Л. Компания согласилась：
дважды в год выплачивать проценты от суммы 10 млн руб, по фиксированной процентной ставке 11,7% в обмен на проценты от суммы 380 тыс. долл, по ставке 8%;
произвести обмен основными суммами по окончании срока контракта.
Определить стоимость валютного свопа, когда до окончания его срока остается 4 года, при следующих безрисковых процентных ставках в России (при непрерывном начислении) н форвардных обменных курсах.
Показатели
Срок, годы
1,0
2,0
3,0
40
Процентная ставка, % Форвардный обменный
15,20
15,00
14,80
14,50
курс, Р^'/долл.
29,80
29,60
29,50
28,00
15,6* Финансовый институт договорился с компанией В:
в течение 10 лет получать один раз в год проценты от 10 мли швейцарских франков по фиксированной процентной ставке 3% в обмен на проценты от 7 мли долл, по ставке 8%;
произвести обмен основными суммами через 10 лет.
Оценить убытки финансового института через 6 лет, если компания В в конце шестого года прекратит плате*% когда обменный курс составляет 6,80 долл, за один франк, а безрисковые процентные ставки при иачислеиии один раз в год для всех сроков в Швейцарии н США соответственно равны 3 и 8%.
ГЛАВА 4
Инвестиции в производные финансовые инструменты
4」.КЛАССИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Европейский опцион «коля» («пут») предоставляет его держателю право купить (соответственно продать) определенное количество некоторых активов по заранее установленной цене в момент истечения срока контракта.
Американский опцион «колл» («прш») предоставляет его держа- телю право купить (соответственно, продать) определенное количество исходных активов по заранее установленной иене в любое время вплоть до момента истечения срока контракта.
Держатель опциона занимает длиниую позицию в опционном контракте, а сторона, выпустившая или подписавшая опцион,- к&роткую позицию г
Выигрыш или доход стороны с длинной позицией в европейских опционах «колл» и «пут» на момент исполнения опциона определяются следующими равенствами:
@ =тах{$т-Х,0} н % = max{X-S^O},
где 5Г - спот-цеиа исходных активов на момент истечения опциона Г;
цена испожения опциона.
Если инвестор в будущий момент Т хочет продать некоторые активы и приобрел европейский опцион «пут» стонм<ктью р на
эти активы с датой истечения Г, то прибыль инвестора можно оценить следующим образом:
/с . _ Jx-(S-D + p)£?(7，H\ если
%р(») - j“ Ys n+#jg)8nH 5Г>Х,
где S - цеиа исходных активов в текущий момент г;
D - пркведеииая стоимость доходов, поступающих от исходных активов за время от г до Г;
г - безрисковая процентная ставка на срок Т — Г лет при иепре* рывном начислении-
Если же инвестор планирует в будущий момент Г купить некоторые актнвн и приобрел европейский опцион «колл» стоимостью с иа этн активы с датой истечения Т, то прибыль инвестора составит:
/л（"）/л（"）-*+(S-с-D) J" ", если »КХ*-X +(5-<-D)er(r~,\ если Sr > X.
/л（"）
/л（"）
.1. Инвестор занимает длинные позиции в европейских опционах «колл» и «пут» на одни и те же активы с ценой исполнения X.
Определить выигрыш инвестора, если даты истечения опционов совпадают, а спот-цена исходных активов иа дату истечения опционов равна
Доказать, что портфель соответственно из длинной и короткой позиций в европейских опционах «колл» и «пут» на одни и те же активы при одинаковых ценах исполнения и датах истечения эквивалентен длинной позиции в соответствующем форвардном контракте.
, Инвестор занимает длинные позиции в европейских опционах «колл» и «пут» на одни и те же активы с ценами исполнения М и *2 соогветственио.
Определить выигрыш инвестора, если даты истечения опционов совпадают, а спот-цена исходных активов на момент исполнения опционов равна S^
Инвестор занимает соответственно длинную и короткую позиции в европейских опционах «колл» и «пут» с ценами исполнения У| и X》
Определить выигрыш инвестора, если даты истечения опционов совпадают, а спот-цена исходных активов иа дату истечения опционов равна ST.
1-5. Инвестор через 6 мес. собирается продать бездивидендную акцию, текущая стоимость которой составляет 100 долл. Текущая стоимость шестимесячного европейского опциона «пут» на акцию с ценой исполнения 98 долл, равна 3 долл., а безрисковая процентная ставка на 6 мес. прн непрерывном начислении составляет 8%.
Оценить прибыль от хеджирования исходной позиции, если спот- иена акции через 6 мес. окажется равной: а) ПО долл.; б) 90 долп.
Инвестор планирует через 8 мес, купить акцию, текущая стоимость которой равна 80 долл. Через 4 мес. обещают выплатить по акции дивиденды в размере 2 долл. Текущая стоимость восьмимесячного европейского опциона «колл» на акиию с ценой исполнения 80 долл, равна 2 долл” а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении составляет 6%.
Оценить прибыль от хеджирования исходной позиции, если спот- цена акции через 8 мес. окажется равной: а) 78 долл.; б) 88 долл.
42 ПАРИТЕТ ЦЕН ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ
Предполагается, что рынки являются совершенными, можно брать ссуды неограниченно и кредитовать под безриско- вые процентные ставки и отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.
Если сир - стоимости европейских опционов «колл» и «пут» на одни и те же активы с ценой исполнения К дата истечения которых Т, то имеет место паритет цеи:
где S - стоимость исходных активов в текущий момент f；
Q - приведенная стоимость доходов, поступающих от исходных активов за время от f до Г；
7" - безрисковая процентная ставка на срок Т-1 лет при непрерывном начислении.
Текущие цены европейских опционов «колл» и «пут» на исходные активы удовлетворяют следующим неравенствам：
max(S-Z>-Xe'FtT-J)t 0}<c<5-D,
max {D+ Хе—<丁7)-S, 0}<p< 我“仃。
Паритет цен европейских опционов на активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью имеет следующий вид:
При этом
max{SeT(rf0}<с< 5产「？
max侔e『-5产5. 5<"X产I.
Дан шестимесячный европейский опцион «пут» на акцию, по которой через 2 н 4 мес. ожидаются дивиденды по 2 долл, каждый раз. Определить ннжнюю и верхнюю границы для стоимости олциоля, если текущая цена исходной акции равна 48 долл., цена исполнения опциона - 48 долл., а безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и составляют 8% при непрерывном начислении.
Указать прибыльную арбитражную стратегию, если рыночная цена опциона равна 1,8 долл.
Дан десятимесячный европейский опцион «колл» на акцию, по которой через 4 и 8 мес. ожидаются дивиденды в размерах 2 и 3 долл, соответственно- Цена исполнения опциона составляет 96,90 допл. Определить нижнюю и верхнюю границы для стоимости опциона, если текущая спот-цена исходной акции равна 100 долл., а безрисковые процентные ставки на 4, 8 н 10 мес. при непрерывном начислении составляют 6, 6,5 и 7% соответственно.
Указать прибыльную арбитражную стратегию, если рыночная цена данного опциона равна 3 долл.
Стоимость шестимесячного европейского опциона «колл» на акцию с ценой исполнения 30 долл, равна 2 долл.Текущая цеиа акции составляет 29 долл., дивиденды ожидаются через 2 н 5 мес. в размере 2,5 долл, каждый раз.
Определить стоимость соответствующего европейского опциона «пут», если безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков н равны 10% при непрерывном начислении.
Указать прибыльную арбитражную стратегию, если рыноч- ная цена европейского опциона «пут» составляет: 1) 3 долл.; 2) 8 долл,
Трехмесячные европейские опционы «колл» и «пут» на акцию с одной и той же ценой исполнения 20 долл, продаются за 3 долл. Текущая цена акции - 19 долл.} а дивиденды в размере 1 долл, ожидаются через 1 мес.
Указать прибыльную арбитражную стратегию, если безрисковые процентные ставки одинаковы для всех сроков и равны 10% прн непрерывном начислении.
Стоимость пятимесячного европейского опциона «колл» на обмен 1000 английских фунтов стерлингов на доллары с ценой исполнения 1,80 долл, равна 10 долл.
Определить стоимость соответствующего европейского опциона «пут», если текущий обменный курс - 1,78 долл., а безрисковые процентные ставки на 5 мес. в Великобритании и в США при непрерывном начислении составляют 4 и 6% соот- ветствеино.
При условиях задачи 2.5 указать прибыльную арбитражную стратегию, если рыночная цена европейского опциона «пут» на обмен J0O0 английских фунтов равна 16 долл.
Дан восьмимесячный европейский опцион «колл» на активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью 0 = 4%.
Определить нижнюю границу стоимости опциона, если текущая цена активов равна 200 долл., цена исполнения опциона - 195 долл., а безрисковая процентная ставка на 8 мес. при непрерывном начислении составляет 12%.
АРБИТРАЖНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЦЕНАМИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ ОДНОГО ВИДА
Если рынок является совершенным н отсутствуют прибыльные арбитражные возможности, то имеют место следующие утверждения.
Пусть Г] и е2 (pj и г?) - иены европейских опционов «колл» («пут») на одни и те же активы с ценами исполиеиня X、и 必 соответственно. Если Т 一 дата истечения опционов, то при R < 厶 выполняются неравенства
e] >也 e( +*16^旬 V G + X2L区-&
a <加 一R +m产E -网+无产
工 Пусть q, g n J g p2 H Рз)- йены трех европейских опционов «колл» («пут») на один и те же активы с ценами исполнения ¥” У2 и Е・ Если Т - дата нстечения опционов, a Tt v Т3, ”喝 + (I -Л) Х3, гдеО<Л< 1,то
с2<Лс1 + (1-Л)с3, ^2<Л^1 + (1 -А)р3.
Пусть сир-стоимости европейских опционов «кодл» н «пут» на портфель активов, определяемый вектором в =(@15©2，…，®“)，где 0г > О, Z = 1,2,..., п, с ценой исполнения X и датой истечения Г
Если
то
1=1/=1
где /пр, - стоимости европейских опционов «колл» и «пут» на активы /-го вида с ценой исполнения Л^ (/ = 1,2,..., w) при дате истечения Т.
Стоимость восьмимесячного европейского опциона «колл» с ценой исполнения 90 долл, равна 9 долл.
Найти иижнюю и верхнюю границы для восьмимесячного европейского опциона «колл» на те же самые активы с ценой нспол- неиия 95 долл., если безрисковая процентная ставка на 8 мес. при непрерывном начислении составляет 10%.
Стоимость десятимесячного европейского опциона «пут» с ценой исполнения 95 долл, равна 1,20 долл.
Определить нижнкио и верхнюю границы для этого опциона на те же самые активы с ценой исподиеиия 102 долл.» если безрисковая процентная ставка на 10 мес. при непрерывном начислении составляет 8%.
Стоимости трехмеслчиых европейских опционов «колл» иа некоторые активы с ценами исполнения 95, 102 н 105 долл, равны 6,40; 3,20 н 2,25 долл4 соответственно.
Найти нижние и верхние границн для стоимостей этих опционов иа те же самые активы с иенамн исполнения 100 и ЮЗ долл.
Стоимости двухмесячных европейских опционов «пут» на некоторые активы с ценами исполнения 90, 98 и 102 долл, равны 3, 4 н 5 долл, соответственно.
Определить нижние и верхние границы для стоимостей этих опционов на те же самые активы с цеиамн исполнения 95 и 100 долл,
* Портфель активов определяется вектором 0 土(0,5; 0,25; 0,25). Стоимости четырехмесячных европейских опционов «колл» на активы данного портфеля с ценами исполнения 90, 96 и 100 долл, равны 4, 3 н I долл, соответственно.
Установить верхнюю границу стоимости четырехмесячлого европейского опциона «колл» иа портфель активов с ценой исполнения 94 долл.
. Портфель активов определяется вектором 0 =
=А； 三■ Стоимости шестимесячных европейских опцио- нов «пут» на активы данного портфеля с йенами исполнения 92, 90, 94 и 100 долл, равны 5, 6, 8 н 10 долл, соответственно.
188
Определять верхнюю границу для стоимости шестимесячного европейского опциона «пут» на данный портфель активов с ценой исполнения 95,75 долл.
. Стоимости трехмесячных европейских опционов «колл» на некоторые активы с ненлмн исполнения 95, 105 и 102 долл, равны 6,40; 125 и 3,50 долл.
Определить арбитражную стратегию и оценить прибыль от этой стратегии, если безрисковая процентная ставка на 3 мес. при непрерывном иачислеини составляет 8%.
СПЕКУЛЯТИВНЫЕ СТРАТЕГИИ НА РЫНКЕ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ
Во всех стратегиях используются европейские опционы на одни и те же исходные активы.
Спред абык&в»\ покупка европейского опциона «колл» (^пут») с ценой исполнения X], продажа европейского опциона «колл» («пут») с ценой исполиеиия Хъ где У2 > *з (даты истечения опционов совпадают).
Спред «медеедей»\ продажа европейского опциона «колл» («пут») с ценой исполнения 丫卜 покупка европейского опциона «колл» («пут») с ценой исполнения 心，где》？ > У] (даты истечения опционов совпадают).
Спред «бабочка»} покупка европейских опционах «колл» («пут») с ценами исполнения X, и 及,*3 > X], и продажа двух
европейских опционов с цепок исполнен ня Х2 = —~~ ^даты истечения у всех опционов одинаковы).
Стратегии, в которых используются опционы с одной и той же ценой исполнения, ио с разными датами истечения, называют календарными спредами.
С呻edm покупка {продажа) европейских опционов «колл» и «пут» с одной и той же ценой исполнения при совпадающих датах истечения.
Стренгл, покупка (продажа) европейских опционов «колл» н «пут» с разными ценами исполнения, но с одной и той же датой истечения.
Стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» с ценами исполнения 10 и 12 долл, равны 1,0 и 0,8 долл, соответственно.
Построить спреды «быков» н «медведей» нз данных опционов. Какова зависимость прибыли от спот-цены активов иа дату истечения опционов, если безрисковая процентная ставка на 6 мес. при непрерывном начислении составляет 10%?
Стоимости пятимесячных европейских опционов «колл» с ценами исполнения 15, 17,5 и 20 долл, равны 4, 2 и 0,5 долл, соот- ветствеиио.
Построить спред «бабочка» нз данных опционов. Какова зависимость прнбылн от спот-цены активов на дату истечения опционов, если безрисковая процентная ставка на 5 мес. при непрерывном начислении составляет 8%?
Инвестиционный портфель включает спреды «быков» и «медведей», составленные нз европейских опционов «пут».
Какова прибыль от инвестиционного портфеля на дату истечения опционов?
Стоимость шестимесячного европейского опциона «пут» с ценой исполнения 50 долл, равна 3 долл., стоимость семимесячного европейского опциона «пут^ с ценой исполнения 50 долл.- 5 доли. Календарный спред составлен из короткой позиции в шестимесячном опционе и длинной позиции в семимесячном опционе.
Какова прибыль от календарного спреда через 6 мес., если безрисковая процентная ставка на этот период при непрерывном начислении составляет 8%?
Стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» и «пут» с ценой исполнения 50 долл, равны 6 н 4 долл, соответственно, Безрисковая процентная ставка иа 6 мес. при непрерывном начислении составляет 6%.
Определить:
прибыль на дату истечения опционов от стредла, составленного из длинных позиций;
значения спот-цены исходных активов, при которых прибыль от стредла равна 0.
4・6. Стоимости восьмимесячных европейских опционов «колл» и «пут» с ценами исполнения 50 и 52 долл, равны 2 н 3 долл, соот- ветствеино.
Какова прибыль от стренгла, составленного из длинных позиций, если безрисковая процентная ставка на 8 мес. при непрерывном начиспеиии составляет 6%?
При каких значениях спот-цены исходных активов инвестор будет нести убытки?
47 Стоимости пятимесячных европейских опционов «колл» с ценами исполнения 20, 30, 40 и 50 долл, равны 5, 3, 2 н 1 долл, соответственно. Безрисковая процентная ставка на 5 мес. при непрерывном начислении равна 6%. Спред «кондор» состоит из покупки опционов с ценами исполнения 20 и 50 долл, и продажи опционов с ценами исполнения 30 и 40 долл.
Определить:
прнбыль от спреда иа дату истечения опционов；
диапазон изменения спот-цены активов, чтобы прибыль от спреда «кондор» была положительной.
4.5. АРБИ1?АЖНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕН АМЕРИКАНСКИХ ОПЦИОНОВ
Прн стандартных предположениях о рынках имеют место следующие утверждения.
L Стоимость того или иного амернканского опциона не может быть меньше стоимости аналогичного европейского опциона.
Американский опцион «колл» на активы, не приносящие доходов, ие оптимально исполнять досрочно, т. е. до даты его истечения. В этом случае стоимость американского опциона «колл» совпадает со стоимостью аналогичного европейского опциона.
Дай американский опцион «колл» с датой истечения Г на акцию, по которой в моменты 〃，“，…，'心 r〃e г = /0 < /, < < /2 < ... V 厶 V ги+] = Т, должны вьшлачнваться дивиденды в размерах D[, D2, ... D„ соответственно.
Такой опцион не оптимально исполнять в любой момент т, где < г с % (/ = 0, 1,2,и).
Если же Д £ Х( 1-е~^+|_,;)),где 彳-безрисковая процентная ставка на период 口方 //+1] прн непрерывном начислении, то амерИ' канский опцион «колл» не оптимально исполнять в момент с( 口= 1,2,…，冷.
Если С и Р - стоимости американских опционов «колл» и «пут» иа одни и те же активы с ценой исполнения X, дата истечения которых Г, а безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, то
где S - спот-цена исходных активов в текущий момент /;
D - приведенная стоимость доходов, поступающих от исходных актнвов за период [f, 7]-
5Л. Дан 12-месячный американский опцион «колл» на акцию, по которой через 3 н 8 мес. ожидаются дивиденды в размерах 3 и 2 долл, соответственно. Цена исполнения опциона равна 200 долл.
Доказать, что опцион не оптимально исполнять д<срочио, если безрисковая процентная ставка при непрерывном иачноле- иии одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени и равна 8%.
Дан восьмимесячный американский опцион «колл» на акцию» по которой через 2 н 6 мес. ожидаются дивиденды одного и того же размера. Цена исполнения опциона равна 150 долл.
Определить величину выплачиваемых дивидендов, при которой д<юрочное исполнение опциона было бы ие оптимально, если безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени и равна 6% при непрерывном начислеинн.
Дан шестимесячный американский опцион «колл» на бездивидендную акцию, иена нслолнения которого равна 90 долл. Текущая стоимость исходной акции равна 92 долл.
Определить иижнюю границу для стоимости опциона, если безрисковая процентная ставка на 6 мес. при непрерывном начислении составляет 7%.
Дан 11-месячный американский опцион «колл» на акцию, по которой через 2 и 5 мес. ожидаются дивиденды в размерах 1,5 и 3 долл, соответственно. Цена исполнения опциона равна 120 долл.
Определить нижнюю границу для стоимости американского опциона, если безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени и равна 6% при непрерывном иачислеиии, а текущая стоимость исходной акции равна 121 долл^
Стоимость восьмимесячного американского опциона «пут» иа акиию, по которой через 2 и 6 мес. ожидаются дивиденды по 1 долл, каждый раз, равна 2 долл. Цена исполнения опциона составляет 50 долл.
Определить верхнюю и иижнюю границы для стоимости аналогичного американского опциона «колл», если текущая спот-цена акинн - 52 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 8%.
Стоимость шестимесячного американского опциона «колл» на акцию, по которой через 2и 5 мес. ожидаются дивиденды по 0,5 долл, каждый раз, равна 2 долл. Цена исполнения опциона -30 долл.
Определить верхнюю и иижнюю границы для стоимости аналогичного американского опциона «пут», если текущая цена акции равна 29 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении составляет 9%.
Пусть СиР-цены американских опционов «колл» и «пут» иа одни и те же активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью q. Доказать, что
где X - цена исполнения опционов;
S - спот-цена активов в текущий момент Л
Т - дата нстечеиия опционов;
г - безрисковая процентная ставка прн непрерывном начислении.
ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ «ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА»
Финансовый инструмент, производный от некоторых исходных активов, называется производным финансовым 理础网^・ ментом «европейского тяпа», если существует функция Rz) такая, что в заданный момент Т стоимость производного инструмента равна 尸(S/ где ST - стоимость исходных активов в момент Z (Функция 网z) называется платежной функцией производиого нанеового инструмента.)
В простейшей модели эволюции цены исходных активов предполагается, что цена исходных активов в текущий момент г известна и равна 5, а к моменту Г может подняться до величины S“ (w > 1) с вероятностью 万 или опуститься до величины Sd (О V d V 1) с вероятностью 1 一 к
Если на рынке исходных активов отсутствуют арбитражные возможности, то
где г - безриско&ая процентная ставка на Т- i лет;
g - постоянная дивидендная доходность исходных активов.
В условиях простейшей модели эволюции цены исходных активов текущая стонмость П производного финансового инструмента «европейского типа» оценивается следующим образом：
П = —^7 {£F(SM)+(l-M)F(Sd)},
гдегде
где
где
Если вероятность подъема цены в простейшей модели эволюции цены исходных активов равна 万,то ожидаемая доходность инвестиции в исходные активы совпадает с безрисковой процентной ставкой. Иными словами,冗 является вероятностью подъема цены исходных активов в мире, «нейтральном к риску».
Цена акции, не приносящей дивидендов, равна 33 долл. Через 3 м%. цена акции может подняться до 38 долл, или снизиться до 32 долл.
Определить стоимости трехмесячных европейских опционов «колл» и «пут» на данную акцию с ценой исполнения 35 долл.» если безрисковая процентная ставка на 3 мес. составляет 8%.
Цена акции с постоянной дивидендной доходностью 3% равна 50 долл. Через полгода цена акции может подняться до 54 долл, или снизиться до 48 долл. Определить стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» и «пут» иа данную акцию с ценой исполнения 50 долл., если безрисковая процентная ставка на 6 мес. составляет 8%.
6+3, Текущая иена английского фунта стерлингов в США равна 1,8 долл. Через 4 мес, цена одного фуита может подняться до 1,82 долл, или снизиться до 1,75 долл.
Определить стоимость четырехмесячного европейского опциона «пут» на 1000 фунтов стерлингов при цене исполнения 1,81 долл., если безрисковые процентные ставки иа 4 мес. в США н Великобритании составляет 6 и 4% соответственно.
Текущая цена акции с постоянной дивидендной доходностью 5% равна 20 долл. Через полгода цена акции может подняться до 23 допл. или снизиться до 15 долл.
Оценить стоимость шестимесячного финансового инструмента «европейского типа», производного от данной акции, если безрисковая процентная ставка на 6 мес. составляет 8%, а платежная функция производного инструмента имеет вид
a) F(z) = max{2z - 35,0}; б) F{z) = ~^.
Инвестор приобрел 10 бездивидендных акций, цена которых через 6 мес. может подняться до 96 долл, или снизиться до 92 долл.
Сколько шестимесячных европейских опционов «колл» на данную акцию с ценой наполнения 94 долл, следует купить илн продать, чтобы хеджировать исходную позицию?
66 Инвестор приобрел 20 четырехмесячиых европейских опционов «пут» на акцию с постоянной дивидендной доходностью 3%. Цена исполнения опционов равна 80 долл.
Сколько акинй необходимо купить или продать^ чтобы хеджировать исходную позицию, если через 4 мес. цена акции может подняться до 84 долл, или снизиться до 78 долл.?
47 ОЦЕНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ «ЕВРОПЕЙСКОГО ТИПА» В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
В текущий момент / рассматривается финансовый инструмент «европейского типа», производный от исходных активов с дивидендной доходностью д, стоимость которого в момент Т равна значению платежной функции FtS^.
Если спот-цена исходных активов на временном промежутке 卩，7J определяется л-этапиой биномиальной моделью, то
S尸S；
S,+kh = S阳й =, t = 1, 2,n,
где £lf % ..., j - независимые, одинаково распределенные случайные величины, причем
_ J м с вероятностью 鼠«■[d с вероятностью l-疋.
Если рынки являются совершенными, безрисковая процент* ная ставка одинакова для всех сроков, не меняется в течение времени н равна г, то при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей имеют место следующие утверждения.
196
Пусть П^О - стоимость производного финансового инструмента в момент г + kh прн условии, что цена исходных активов до этого момента поднималась i раз, А = 0, lt 2,..., и, f = О, I, 2,..., к.
Тогда
口血二 FgL), t = 0, 1,2,…，石
где 冗.где 冗.nm^QTW+D+MM，)｝，
где 冗.
где 冗.
，左=0, 1,2, ...,小i = 0,】，2,…，生
В условиях биномиальной модели стоимость финансового инструмента «европейского типа», производного от активов с постоянной дивидендной доходностью, можно оценивать, считая инвестиционную среду нейтральной к риску.
Иными словами, текущая стоимость производного инструмента определяется равенством
(1+力J.
1жЕ(5т)=£с：0г*)'(!-£)1 网St?d"T) - ожидаемая стоимость i=0
производного финансового инструмента на момент Г в мире, нейтральном к риску;
Теорема Кокса-Росса-Рубинштейна. Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью g в
условиях « этапной биномиальной модели имеют место следующие формулы:
с = —^ууНЗ,匕彳)^г7 g ® % 1 )；
(l+g)m(1+г)г_,
好肃」Л启”[T…]
-[й?卜"〜-fl+^V , Тт , Г1п^-н1п</1
冗=J勺—，用=m乃 7-%，厶=,k= / 丁尸 +L
и-d[1 + r 丿 nInw-ma
где B(/t, М,筋)н В (л, к,斤)-вероятность того, что в п независимых испытаниях число успехов окажется больше или равно если вероятность успеха в одном испытании равна d н 宏.
Даны трехмесячиые европейские опционы «колл» и «пут» на бездивидендную акцию при цене исполнения 80 долл., когда текущая цена акцнн равна 80 долл,, а безрисковая процентная ставка для всех сроков составляет 6%.
Определить стоимости опиноиов в условиях биномиальной модели с параметрами “ = 1,02 н d = 0,95, если：
биномиальная модель двух этапная;
биномиальная модель трехэтапиая.
Использовать рекуррентные соотношения для стоимостей опционов.
7»2. Даны четырехмесячиые европейские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью 3% при цене нсполиення 196 долл., когда текущая цена акции равна 200 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков составляет 10%.
Определить стоимости опционов на основе рекуррентных соотношений, если цена исходной акции определяется четырехэтап- ной биномиальной моделью с параметрами и = 1,07 н d = 0,93, 198
» Определить стоимости европейских опционов при условиях задачи 7.2, если дисконтировать ожидаемую стоимость опционов на дату их истечения.
. Даны четырехмесячные европейские опционы «колл» н «пут» на 1000 английских фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,6 долл., когда текущий обменный курс -1,61 долл, за один фунт, а безрисковые процентные ставки для всех сроков в США и в Всликобрнтаиии равны 8 и 6% соответственно.
Найти стоимости опционов, если обменный курс определяется шестнэтапной биномиальной моделью с параметрами и = 1,02 и(/ = 0,98.
. Определить стонмостн европейских опционов при условиях задачи 7.4 с помощью формул Кокса-Росса-Рубин- штейна,
7.6. Дан шестимесячный финансовый инструмент «европейского типа», производный от акции с постоянной дивидендной доходностью 2% . Платежная функция финансового инструмента
имеет вид F(z) = ——,
z+10
Найти стоимость финансового инструмента, если текущая цена акции 20 долл., безрисковая процентная ставка для всех сроков равна 6%, а цена акции определяется четырехэтапной биномиальной моделью с параметрами w = 1,08 н </ = 0,94.
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ АМЕРИКАНСКИХ ОПЦИОНОВ В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Рассматриваются американские опционы «коля» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью д, цена исполнения которых У, а дата истечения Т.
Предполагается, что рыикн удовлетворяют стандартным условиям, а стоимость исходных активов определяется н-этапной биномиальной моделью с параметрами и и d.
Если Q(0 и 尸式i) - стоимости американских опционов «колл»
момента американские опционы не исполнялись, а цена исходных активов поднималась Г раз, то имеют место следующие ра^ венства:
Ся(/) = тах{5м^-А'!0}!
尸#) = тах(У-5^, 0}, / = 0,1,2,..., и,
аа^зк sddJ-K ^4fq+K+D+{i-£)G+№)} 经⑴= тах X-*产.号斤*К+1»(1-£)小.)} 左=0,1,2,…，"一 I; i = 0,l,2,七
S - стоимость исходных активов в текущий момент
г - безрисковая процентная ставка, не меняющаяся ва времени；
一 вероятность подъема цены на одном этапе в мире, нейтральном к риску.
8*1. Даиы шестимесячные американские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью g = 6% при цене исполнения 200 долл. Текущая цена исходных активов - 190 долл., а безрисковая процентная ставка - 12%.
Определить стоимости американских опционов в условиях двухэтапной биномиальной модели с параметрами и = 1,12 и d=0,97,
Определить стоимости четырехмесячиых опционов всех вадов иа бездивидендную акцию при цене исполнения 60 долл., если цена исходной акции определяется четырехэтапной бнно- 200
миальной моделью с параметрами: и = 1,3 н d = 0,75, а безрисковая процентная ставка составляет 10% и не меняется во времени. Текущая цена акции равна 60 долл,
Определить стоимости восьмимесячных опционов всех видов на акцию с постоянной дивидендной доходностью 12% прн цене исполнения J00 долл., если цена исходной акции определяется четырехэтапной биномиальной моделью с параметрами： “ =1,22 н d= 0,82, текущая цена акции 98 долл., а безрисковая процентная ставка равна 8% и не меняется во времени.
Найти стоимости восьмимесячных опционов всех видов на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл., если обменный курс определяется четырехэтапной биномиальной моделью с параметрами и = 1,02 н d = 0,98, текущий обменный курс - 0,75 долл., а безрисковые процентные ставки в США и Канаде равны 7 и 9% соответственно.
ПОНЯТИЕ О СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССАХ. ВИНЕРОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Случайней величиной является функция 夕⑦)，определенная на некотором пространстве элементарных событий С, ft) е Q, такая, что для каждого числа х w R задана вероятность события {^(<м) < х).
На временном промежутке [г, 7] задан случайный процесс
a(圆⑷)制m
если каждому моменту се {/, 7] поставлена в соответствие случайная величина 取吼
Случайная величина ^г((а), соответствующая моменту времени т е [z, 7], называют сечением случаапого процесса J в момент т.
Траекторией (или реализацией) случайного процесса《является функция t т $/сф при фиксированном элементарном событии @ е Q.
Процесс случайм&го блуждания
“a ={n：(to) L[o 宀} (А - некоторое положительное число)
определяется следующим образом:
般®)=
если OsrvA,
(S - некоторое число), если г之厶
где д^(о),从§3),…，〃，(少),…-последовательность незавнеимыж. одинаково распределенных ел* чайных величии^ причем
"以3)=
石 с вероятностью 左，-石 с вероятностью %.
Случайный процесс《=(《式&))囘厶力 является процессам с независимыми приращепиями, если для люоых моментов q, q, ..., % гле t< Ti < ^< ... < zn<Tt случайные величины
независимы.
Функция
где
耳10%(明•电…，，/) =
二 р{^Г| (to) V X], &工Jflj} м *2，…，&备(й»< *卄}，
/<^<г2<...<^ <г
называется я~мерна& функцией распределения случайного процесса
<二碌(*也升
Математическое ожидание (соответственно дисперсия) случайного процесса € =《€т (创)恵儿方 в момент т определяется как математическое ожидание (дмсперсня) сечення этого процесса в момент т,
В1шер&векай случайный процесс - это случайный процесс w = (и^ (<^)復也 +„), удовлетворяющий следующим условиям:
佩叩)=0；
приращения случайного процесса w независимы；
при 0 < т< s приращение ws - % распределено нормально с параметрами (0, s - т);
все траектории случайного процесса w непрерывны иа промежутке [0, +
Дан случайный процесс 彳={^г (0))ге(о, «)»
Построить все траектории случайного процесса $. Каковы сечения случайного процесса?
Дан случайный процесс g = (& (&))壬也 „), где
0clm °^-^
， [-1, если T>rj(to), 爪砌 -неотрицательная случайная величина.
Каковы траектории случайного процесса?
9*3. Дай случайный процесс g = (^г (w»)re(o, «)> где
";если 0Mt£5(@).
京叫 小U牆了戈傾小3"工w色⑷)，
если
財О) и Л2(н') - случайные величины, причем 0 < 瓦仲) < 比®).
Каковы траектории случайного процесса?
Дан винеровский случайный процесс w = (^ (期)紀仲,-г Найти вероятности
尸М®)<2};尸{1MW|5(0)v2} и P{w^>3}.
Дан процесс случайного блуждания)?д = (^(со) kw+“)， где 喉3) = 0.
Найти М(唄со)) и Р(^((о)).
На одном рисунке изобразить траектории случайных блужданий:
и 淌=j ^W ],
I Аь[о,+«>
где 仇®)二需2®) =嘘4(® = 0.
Найтн М(*(а)})н М理{s)),где А =L % и %.
Дан винеровский случайный процесс № = (w式си))於卩。).
Доказать, что cov(州「屮,)=min{T, s}.
ПРОЦЕСС ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Случайный процесс 6 = (5^(40}氏儿9)называется 叩о цессом геометричеек&го броуновского движения^ если
ln5T((o) = lnS+|o-y-
(Т-0+cr(wr(fi>)-明(<tf)),
где S, д и <7 - некоторые числа, причем 5>0ист>0(д- показатель смещения случайной величины 5式<^, а <г - годовая волатильность зтой случайной величины);
№ =(叩式<^)薔乩8)- винеровский случайный процесс.
204
Сененне S^ ⑹ геометрического броуновского движения в любой момент т, те [г, 8), распределено логнормально с пара- метрами:
UnS+卜-^- (т-г), a2(t-r)
причем M\St (со)] = S^!\ Р[5г(й))1 = 52еадг^ 产％ i'-l]
Прн достаточно большом м процесс геометрического броуновского движеиня广0(叽& 河 можно аппроксимировать м-этапиой биномиальной моделью с параметрами
где %где %Г-гГ-г
где %
где %
Г-г
Г-г
Если стоимость некоторого финансового актива определяется процессом геометрического броуновского движения, то годовую волатильность стоимости финансового актива можно оценить на основе исторической информации о ценах этого актива.
Предполагая, что известны цены финансового актива：
% $1，尾，…，5m
соответственно в моменты 飞，％ + Дг,马，+ 2Дг, ..., т0, + wAr, положим
ut =1п——, i = 1.2,・.・m u = ——, s2 =—.
Тогда
Цена активов определяется геометрическим броуновским движением с показателем смещения а = 0,61 н годовой волатиль^ костью 4T = 20%. Текущая цена активов равна 10 долл.
Определить:
ожидаемые значения цены активов через 0,5; 1,0 и 1,5 годз;
вероятности F{9,8 < S,+, o < 10,2} и 戶{10」М SJ+I 5 < 10,3}.
10*2.1Дена активов определяется геометрическим броуновским движением с показателем смещения а = 0,1 и годовой волатильностью <т = 20%. Текущая цена активов равна 50 долл.
Определить:
ожидаемые значения цент активов через 0,4; 0,8 и 1,2 года;
вероятности 尸{50,5 < ^济冉 М 52} и 尸{49 < 国紀方 < 51}.
Оценить годовую волатильность активов, если извест- мы цены (S；) этих активов за 11 последовательных рабочих дней биржи.
j
0
20
4
20 у
8
20- S
1
20丄 8
5
20-
9
20- 4
2
19- 8
6
20-
10
妃 4
3
20
7
20 f
104 Оценить годовую волатильность активов, если известны цены
®) этих активов за 15
последовательных рабочих дней биржи.
i
鼻
j
5
0
100,00
5
104,50
10
104,88
1
105,12
6
105,62
11
104,75
2
103,45
7
106,34
12
105,21
3
102,80
8
105,85
13
105,28
4
103,42
9
104,24
14
104,35
Определить стоимости трехмесячиых опционов всех видов на акцию с постоянной дивидендной доходностью g 二 8%, цена исполнения которых составляет 51 долл., если текущая спот- цена акции равна 52 долл” а волатильность стоимости акции - 30%. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех сроков, не меняется во временн н равна 12%. Использовать биномиальную модель с числом этапов:
л = 3;
п = 5.
Определить стоимости опционов при условиях задачи 10.5, если волатильность стоимости исходной акции равна 50%.
МОДЕЛЬ БЛЭКА-ЦЮУЛСА ДЛЯ ОЦЕНКИ
ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ
Рассматриваются европейские опционы «колл» и «пут» на активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью 彳.
Предположим, что выполняются следующие условия:
рынки европейских опционов на данные активы и спот-ры- нок исходных активов являются совершенными；
можно неограниченно кредитовать и брать ссуды под без рисковую процентную ставку 7 при непрерывном начислении, которая одинакова для всех сроков и ие меняется в течение времени;
стоимость исходных активов определяется геометрическим броуновским движением движения J = (5Г («ОГ€[Г( да), где
In {$r(to)}=lnS+ a---卜7)+0{吟®)一叫《®儿
ГЛАВА 4
В модели Блэка-Шоулса стоимости европейских опционов «колл» и «пут» с ценой исполнения X, дата истечения которых 7； находятся по формулам
гдегде4 H4 Hи = S^^N^-Xe-^^N^y,卩=彳6""现（-砲）-金-気Т7} Nf）,и = S^^N^-Xe-^^N^y,卩=彳6""现（-砲）-金-気Т7} Nf）,gJttgJtt心=4 —dJ t—i,心=4 —dJ t—i,
где
где
4 H
4 H
и = S^^N^-Xe-^^N^y,
卩=彳6""现（-砲）-金-気Т7} Nf）,
и = S^^N^-Xe-^^N^y,
卩=彳6""现（-砲）-金-気Т7} Nf）,
gJtt
gJtt
心=4 —dJ t—i,
心=4 —dJ t—i,
ILL Цена исходных активов иа временном промежутке [0,5; 2,0] определяется л-этапной биномиальной моделью с параметрами
Найти:
a） в（小^,加：），风也左",丸）при n = 4, 6, 8；
если 5= 100 долл., X = 102 долл., ст = 30%, г = 10%, g = 8%.
Определить стоимости четырехмесячиых европейских опционов «колл» и «пут» на акцию с постоянной непрерывной дивидендной доходностью ? = 4% при цене исполнения X = 350 долл., если 5 = 348 доллг, 7 = 7% и ст = 30%.
1L3* Определить текущие стоимости европейских опционов «колл» и «пут» на бездивидендную акцию, цена исполнения кото- рых * = 50 долл., если £ = 52 долл., Т- j = 3 мес., г = 12% н 0= 30%.
Определить стоимости пятимесячных европейских опционов «колл» и «пут» на 500 английских фунтов стерлингов при цене исполнения 1,60 долл.» если S = 1,60 долл., г =8%, % = 11% (в Веяикобрнтанни), а 二 14%.
Даны девятимесячные европейские опционы «колл» и «пут» на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл.? когда S = 0,75 долл., 7 = 7%, ?у = 9% (в Канаде), а = 4%
Определить стоимости опционов в условиях четырехггапной биномиальной модели и по формулам Блэка-Шоулса,
4.12* СВОЙСТВА СТОИМОСТЕЙ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ В МОДЕЛИ БЛЭКА-ШОУЛСА
В модели Блэка-Шоулса стоимости европейских опционов зависят от следующих факторов:
・ цены исходных активов S в текущий момент 片
дивидендной доходности исходных активов 号；
годовой волатильности исходных активов и
безрисковой процентной ставки г
и определяются параметрами опционов:
иеной исполнения У；
временем, остающимся до даты истечения опционов, T-t.
Частные производные стоимостей европейских опционов по основным факторам имеют следующий вид:
先产1加(4),謂…用
岑=тт-?)5产1为(4),冬=(丁一婚m如口4)；
—= -^ = S 肝= N'(d]k用T？ Э<т Э<т
享=芻丁-旷g加©2），票=г（Tjf）产—MF）；
Частные производные стонмосгей европейских опционов параметрам опционов имеют вид
d(TT) 2jT-I
- qsL'Tf 抵⑷} 3 xLefn32}；
諮T證⑷+
+ qS^iT-f}N(-dl)-rXe-7{Ti}N(-d2).
12」. Дай трехмесячный европейский опцион «колл» на бездивидендную акцию, годовая волатильность которой равна 20%. Найти значения частых производных
йс а% Эс Эс
если текущая стоимость исходной акцин равна 100 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении - 8%.
Цеиа исполнения опциона равна 100 долл.
210
Дан шестимесячный европейский опцион «пут» на акцию, непрерывная дивидендная доходность которой равна 6%, а годовая волатильность составляет 40%, Найти значения частых производных
曳 32P 电 生
Э5,市‘沪行
если текущая стоимость исходной акции равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка прн непрерывном иачисле- иии - 10%.
Цена исполнения опциона равна 50 долл.
Дай европейский опцион «колл» на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 12%, годовая волатильность которой составляет 20%.
Текущая стоимость акции равна 50 долл., иена исполнения опциона - 45 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начисленни составляет 8%.
Определить стоимость опциона, если до даты его нсгеченнн остается 1，2, 4, 6 и 12 мес.
Дан шестимесячный европейский опцион «пут» на бездивидендную акцию, годовая волатильность которой равна 35%. Цена исполнения опинона X = 120 долл., текущая цена акции S = 118 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 6%.
Найти значение частной производной ~. Оценить приращение стоимости опциона, если цена его исполнения изменится на: а) ±1 долл,; 6) ±2 долл.; в) ±5 долл.
12Л Внутренняя стоимость опциона «копл» (европейского или американского) в текущий момент определяется в виде
max{S-*, 0},
где S - текущая спот-цеиа исходных активов;
X - цена исполнения опциона,
Показать, что внутренняя стоимость опциона «колл» на бездивидендную акцию не превосходит стоимости этого опциона.
Доказать, что временная стоимость ”。= е — max{S- *, 0} европейского опциона «колл» достигает наибольшего значения при спот-цене исходных активов, равной цене исполнения опциона.
+6. Временная стоимость европейского опциона «пут» определяется следующим образом:
TVP 二”max{*-S,0},
где р - текущая стоимость опциона;
S - текущая спот-цена исходных активов;
X - цена исполнения опциона.
L Показать, что временная стоимость европейского опциоца «пут» на бездивидендную акцию может быть отрицательной..
Доказать, что временная стоимость европейского опциона «пут» достигает наибольшего значения при спот-цене исходных активов, равной цене исполнения опциона.
4ЛЗ, НЕЯВНАЯ (ПРВДПОЛАГАЕМАЯ) ВОЛАТИЛЬНОСТЬ ИСХОДНЫХ АКТИВОВ
Стоимости европейских опционов «колл» и «пут», определенные по модели Блэка-Шоулса, представляет собой теоретические стоимости этих опционов.
Значение волатильности исходных активов, прн котором теоретическая цена европейского опциона совпадает с его рыночной ценой, называется неявной волшпилъностью исходных активов.
Если рыночная стоимость европейского опциона «колл» удовлетворяет условию
max{$©田гт}-хе也г? o}vcPhh< &广【门,
то существует, и притом единственное, значение неявной вола* тильности.
212
ГЛАВА 4
Для отыскания неявной волатильности исходных активов необходимо решить уравнение
产 Н = S”仃 7加(4)- кевтt)n@),
Замечание. Аналогичным образом можно иайти неявную волатильность по рыночной стоимости европейского опциона «пут».
Рыночная стоимость 12-месячного опциона «колл» на акцию с постоянной дивидендной доходностью 7=6% при цене исполнения X = 50 долл, равна 4 долл.
Определить неявную волатильность исходной акции, если текущая цена акции равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении - 8%・
Рыночная стоимость пятимесячного опциона «пут» иа бездивидендную акцию при цене исполнения 1220 долл, равна 92,60 долл.
Определить неявную волатильность исходной акции, если текущая цена акции равна 1200 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислеинн - 9%.
Рыночная стоимость шестимесячного европейского опциона «пут» на акцию с постоянной дивидендной доходностью 彳=4% прн цене исполнения 16 долл, равна 1,5 допл. Текущая цена акции - 15 долл., а безрисковая процентная ставка г = 6%.
Опредапить:
неявную волатильность исходной акции;
стоимости четырехмесячных европейских опционов на данную акцию с ценой исполнения X = 15 долл., когда текущая цена акции - 16 долл., а безрисковая процентная ставка 7 = 7%.
Рыночная стоимость пятимесячного европейского опциона «колл» на бездивидендную акцию при цене исполнения 100 долл, равна 10,19 долл. Текущая цена акции - 100 долл., а безрисковая процентная ставка 7 = 8%.
Найти:
а) неявную волатильность исходной акини;
6} стоимость четырехмесячного американского опцноиа «пут» на данную акцию с ценой исполнения 102 долл., когда текущая пена акции - 101 долл,т а безрисковая процентная ставка г = 9% (использовать четырехэтапную биномиальную модель).
Даны европейстсне опционы «колл» н «пут» на одни и те же активы с дивидендной доходностью q. Цена исполнения опционов X, а дата истечения Г
Доказать, что существует значение ст, прн котором теоретические стоимости опционов совпадают с их рыночными стонмос- т#мн.
Дан двухмесячный американский опцион «колл» на обмен 1000 английских фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,8 долл. Текущий обменный курс - 1,85 долл. Безрисковые процентные ставки в Великобритании и США при непрерывном начислении равны соответственно 8 н 6%.
Оценить волатильность исходных активов, если рыночная стоимость американского опциона равна 61,15 долл, (использовать чегырехэтапную биномиальную модель).
4」4. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВНА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ
Опционы на фьючерсные контракты принято называть фьючерсными ^пцаонама.
Держатель фьючерсного опциона «колл» в момент его испол- иення получает длинную позицию в исходном фьючерсном кои- тракте и денежную сумму в размере разности между фьючерсной ценой на момент исполнения опциона и ценой его нсполиення.
Держатель фьючерсного опциона «пут» в момент его исполнения получает короткую позицию в исходном фьючерсном кон- 214
тракте и денежную сумму в размере разности между ценой исполнения опциона н фьючерсной ценой.
Доход держателя европейских фьючерсных опциов «колл» н «пут» в момент его истечения составляет
max {Фг-У, 0 } и max { Х-Фг, 0).
Если активы, положенные в основу исходного фьючерсного контракта, обладают постоянной и непрерывной дивидендной доходностью ?, а их цена определяется геометрическим броуновским движением
kiSf м lnS+ а—^-)(т—В+ь {即式й))—明(й>) У
то фьючерсная цеиа этих активов также определяется геометрическим броуновским движением
1пФт = 1nФ+^a-^-^(T-?)+ст {^(й)-^(((5)},
где Ф, =Ф, д = д-(г-?}.
Прн отсутствии арбитражных возможностей фьючерсный опцион эквивалеитеи обычному опциону на активы, дивидендная доходность которых совпадает с безрисковой процентной ставкой.
В частности, для европейских фьючерсных опционов на активы, цеиа которых определяется геометрическим броуновским движением, имеют место следующие формулы:
1小Т叫6n(4)7n(心)},
in^+(T-t)^
где 网-—/X ,/2 ; d? = q - о V T-t.
ГЛАВА 4
ИНВЕСТИЦИИ В ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
14Л. Найти стоимости фьючерсных опционов всех видов на акцию, волатильность которой равна 49,2 % при следующих данных: 胃=70 долл., Ф = 66 долл,. Г- z = 8 мес., г = 7%.
Определить стоимости фьючерсных опционов всех видов на обмен 1000 английских фунтов прн следующих данных： * = 1,6 долл,т Ф = 1,62 долл., Г- г = 4 мес., г = 8%,弓亡 6% (в Великобритании)» с = 20%.
Пусть сир-стоимости европейских фьючерсных опционов «колл» и «пут» на один н теже активы с ценой исполнения X при дате истечения Г
Доказать, что с = р, если текущая фьючерсная цена активов совпадает с ценой исполнения опционов.
Пусть С н 尸-стоимости американских фьючерсных опционов «колл» и «пут» на одни и те же актнв区 с ценой исполнения У при дате истечения 工
Доказать, что
где Ф-текущая фьючерсная цсиа исходных активов.
Найти стоимости трехмесячных фьючерсных опционов всех видов для следующих данных： 6 =声=100долл., сг= 30%, ?= 15%.
Стоимости европейских спот-опциона «колл» н фьючерсного опциона «колл» иа одни н те же активы с ценой нсполнення * н датой истечения Т равны е н еф соответственно. Дата исполие- нни фьючерсного контракта Т： где 7* > Z
Доказать, что
с = сф, если 尸=Т;
6)е® > ст если f > Т, 7>^；
в) * < с, если 丁 а Т, г <q .
14.7» Стоимости европейских спот-опциона «пут» и фьючерсного опциона «пут» на одни н те же активы с ценой исполнения * и датой истечения Т равны р н р" соответственно. Дата исполнения фьючерсного контракта Г, где 7* > Т.
216
Доказать, что а)р = * если 7^ = Т;
< р, если Т* а Т, F а %
рФ а Р, если 广 а Т, F с 彳.
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ, ПРОИЗВОДНЫХ ОТ АКЦИЙ С ИЗВЕСТНЫМИ ДИВИДЕНДАМИ
Рассматривается финансовый ннструмеит, производный от акции, по которой в будущий момент т (0 < г < Г) обещают выплатить дивиденды в размере £)(/>- величина, на которую снижается иена исходной акции после выплаты дивидендов).
Для оценки стоимости производного финансового инструмента можно использовать модифицированную л-этапную биномиальную модель
S『+h% = ^i+tk-iiit^k^^ 无 *'；
где t+(l-l)h<T^t+!hn, hn =,
Ri,也，…，凡一 независимые, одинаково распределенные случайные величины, причем
с вероятностью %, с вероятностью 1-%с вероятностью %, с вероятностью 1-%
с вероятностью %, с вероятностью 1-%
с вероятностью %, с вероятностью 1-%
(ст - годовая волатильность стоимости акцнн).
Пусть ПА(У), где А： = 0, 1, 2,…，и, - стоимость производного финансового инструмента в момент £ + khn при условии, что цена исходной акинн в этот момент равна У.
Если производный финансовый инструмент является инструментом «европейского типа» с платежной функцией Rz), то
ПЧ(У) = Г(П;
n^i7)= ^p7{^nA+](r«j+(i-ff；)nt4l(rrfn)}；
к 女 нп;
Пм(г)=й7^^Пг(ГМй~Р)+(1"^,П/^
」_(1+г 卢-4」_(1+г 卢-4гдег 一 безрисковая процентная ставка;
」_(1+г 卢-4
」_(1+г 卢-4
一 вероятность подъема цены исходной акции в мире, нейтральном к риску.
Кроме того, стоимость финансового инструмента «европейского типа» можно оценивать, если считать инвестиционную среду нейтральной к риску, те.
a+r)J'
где F(S「} - ожидаемая конечная стонмость пронзводаого инструмент та в мире, нейтральном к рнску.
Модифицированную биномиальную модель можно использовать для оценки стоимостей американских опционов иа акци* с известными дивидендами.
Стоимость европейских опционов на акцию с известными ди* видендами можно определять по приближенным формулам
с = S4N(d})-Xe-7lT~eN(d2);
р = Xe*g、N.dG-S* Ni-dJ,где S^ - S ~ I, I ~ приведенная стоимость дивидендов, выплачиваемыхпо акции за время от/до 7;
4 =4 =/+(丁一屮+%/+(丁一屮+%当=4 -<tJ t-r当=4 -<tJ t-r
4 =
4 =
/+(丁一屮+%
/+(丁一屮+%
当=4 -<tJ t-r
当=4 -<tJ t-r
15J+ Определить стоимости опционов всех видов на акцию, по которой дивиденды в размере 2 долл, ожидаются через 2 мес., если Y = 60 долл,, S = 60 долл., Г- / = 4 мес." = 10% н ь = 60% (использовать четырехэтапную биномиальную модель).
152 Оценить стоимость четырехмесячного американского опциона «колл» на акцию, по которой через 1,5 мес. должны выплачиваться дивиденды в размере 2,5 долл., если Y = 29 долл., S = 30 долл., г = 5% н о 二 25% (использовать восьмиэтапную биномиальную модель).
Определить стоимости шестимесячных европейских опционов «колл» и «пут» на акцию, по которой через 2 и 5 мес. должны выплачиваться дивиденды в размере 1 долл, (каждый раз), если У = 40 долл.» 5 = 40 долл., 7 = 9% и <т= 30%.
Построить модифицированную биномиальную модель эволюции стоимости акции, по которой в моменты 豆 и т2, где 豆 < q, выплачиваются дивиденды соответственно в размерах D( и D2.
Найти сечения модифицированной биномиальной модели.
Определить стоимости шестимесячных европейских опционов на акцию, по которой через 2 и 5 мес. должны выплачиваться дивиденды в размере 4 долл, (каждый раз), если У = 100 долл., S = 100 доля., г = 10% и <т = 40%. При этом；
использовать шестиэтапную биномиальную модель；
использовать формулы Блэка-Шоулса,
На основе шестнэтапной биномиальной модели определить стоимости опционов прн условиях задачи 15.5, считая их американскими.
4Л6. ПРОСТЕЙШИЕ СХЕМЫ ХЕДЖИРОВАНИЯ ОПЦИОННЫХ ПОЗИЦИЙ
Если финансовый институт продает на внебиржевом рынке тот илн иной опцион, то он подвергается рыночному риску.
Финансовый институт может полностью исключить рыночный риск, купив биржевой опцион, аналогичный проданному. Однако такая стратегия не всегда осуществима.
Для хеджирования рыночного риска, возникающего при той или иной опционной позиции, можно использовать следующие простейшие стратегии.
I. Продажа ^беспечентко отгона «к&лл». Данная стратегия предполагает, наряду с продажей опциона «колл» иа внебиржевом рынке, еще и покупку активов, лежащих в основе этого опциона,
X Продажа защищенного опциоиа «пут». Такая стратегия предполагает, наряду с продажей опциона «пут» на внебиржевом рынке, короткую продажу активов, лежащих в основе проданного опциона.
Стратегия «предотвращения потерь». Эта стратегия при продаже того или иного опциона предполагает: покупку исходных активов всякий раз, когда цена исходных активов, поднимаясь, достигает величины £ + 6 (У- цена исполнения опциона, 5 - заданное положительное число), и продажу исходных активов, когда нх цена, снижаясь, достигает величины Y - 5
Финансовый институт продал за 2 долл, двухмесячный обеспеченный европейский опцион «колл» с ценой исполнения 52 долл, на активы, ие приносящие доходов. Текущая спот-цена исходных активов - 52 долл.
Определить чистые приведенные затраты при дайной стратегии, если безрисковая процентная ставка на 2 мес. при непрерывном начислении составляет 8%, а спот-цена исходных активов на момент истечения опциона равна: а) 51 долл.; 6) 53 долл.; в) 50 долл.; г) 49 долл.
Финансовый институт продал за 5 долл, трехмесячный зашишенный европейский опцион «пут» с ценой исполнения 100 долл, иа активы, ие приносящие доходов. Текущая спот-цеиа исходных активов равна 102 долл.
Определить чистые приведенные затраты при данной стратегии, если безрисковая процентная ставка иа 3 мес. при непрерывном начислении составляет 10%, а спот-цена исходных активов на момент истечения равна: а) 98 долл.; 6) 108 долл.; в) 112 долл.
Финансовый институт продал за 3 доля, шестимесячный европейский опцион «колл» с ценой исполнения 30 долл, на активы, не приносящие доходов, Текущая спот-цена исходных активов - 32 долл. Для хеджирования своей позиции финансовый институт использует стратегию «предотвращения потерь» (б = 0,2 долл.).
Определить чистые приведенные затраты на данную стратегию без учета трансакционных расходов, если безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 10%, а траектория спот-цены исходных активов изображена на рисунке.
Финансовый институт продал за 4 долл, четьгрехме- сячный опцион «пут» с ценой исполнения 100 долл, иа акти- вь), не приносящие доходов. Текущая спот-цена исходных активов -98 долл. Для хеджирования своей позиции финансовый институт использует стратегию «предотвращения потерь» (5 = 1 долл.).
Определить чистые приведенные затраты иа данную стратегию без учета траисакцнонпых расходов, если безрисковая про-
дентная ставка для всех сроков при непрерывном начисленин равна 12%, а траектория спот-цеиы исходных активов изображена на рисунках.
Финансовый институт продал на внебиржевом рынке европейский опцион «колл». Описать стратегию «предотвращения потерь», если спот-цена исходных активов меньше цены исполнения опциона.
Как оцениваются чистые приведенные затраты на эту стратегию?
Финансовый институт продал на внебиржевом рынке европейский опцион «пут». Описать стратегию «предотврашения потерь», если спот-цена исходных активов больше цены исполнения опциона.
Как оцениваются чистые приведенные затраты иа эту стратегию?
ДЕЛЬТА-КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОИЗВОДНЫХ
ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ. ДЕЛЬТА-ХЕДЖИРОВАНИЕ
эпэпДелъта-козффициентом (Д) финансового инструмента, производного от некоторых исходных активов, называется частная производная стоимости этого инструмента по текущей спот-цене исходных активов, т.е.
эп
эп
А =
Дельта-коэффнцненты важнейших производных финансовых инструментов,
Дельта-коэффициент самих исходных активов всегда равен L
Дельта-коэффицнент фьючерсного контракта на активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью 彳 определяется по формуле
где Г* - дата исполнения фьючерсного контракта;
戸-безрисковая процентная ставка при непрерывном начислеиин.
223
Дельта-коэффициеиты европейских опционов «колл» и «пут» на активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью 『，стоимость которых определяется геометрическим броуновским движением, находятся из следующих равенств:
& =@Tbfn(4), 4 =h”"tW{T|),
где 6где 6g』Ttg』Tt
где 6
где 6
g』Tt
g』Tt
Дельта-коэффнцненты американских опционов «колл» и «пут» иа активы с постоянной непрерывной дивидендной доходностью q, стоимость которых определяется геометрическим броуновским движением, можно иайти приближенно с помощью л-этапной биномиальной модели
д c«)-G(o)а “(1) — (。)
'5(«и-<) ' ° 义％ У
где G ⑴(В ⑴)j стоимость американского опциона «колл» («пут») в момент Г + Ли при условии, что цена исходных активов к этому моменту поднялась;
С/0) (Р](0)) - стоимость американского опциона «колл» («пут») в момент г + 儿 при условии, что цена исходных активов к этому моменту снизилась.
Основные свойства дельта-коэффициентов производных финансовых инструментов.
L Если спот*цена исходных активов мгновенно изменится на величину ЛХ, а все остальные факторы, влняюецис на стоимость (П) производного финансового инструмента, останутся неизменными, то
ДП = n(S + Д5)- П(5) а А • AS + а Д5,
где а - бесконечно малая функция при Д5 -^ 0.
224
Дельта-коэффицнент портфеля, состоящего из длинных и коротких позиций по финансовым инструментам, производным от одних н тех же исходных активов, является линейной комбинацией дельта-коэффициеитов финансовых инструментов, образующих этот портфель.
Если портфель производных финансовых инструментов является дельта-иейтральным (т.е. дельта-коэффициент портфеля равен нулю), а спот-цена исходных активов мгновенно нзменнт- ся на величину AS (при неизменных всех остальных факторах), то ДП = 0.
Делъта-хеджированпе. Предполагается, что финансовый институт продал на внебиржевом рынке некоторый опцион. Дельта-хеджирование опционной позиции сводится к следующим действиям;
Выбирается биржевой финансовый инструмент, производный от рассматриваемых исходных активов.
Покупаются илн продаются биржевые финансовые инструменты с тем, чтобы начальная опционная позиция стала дельта- нейтральной, (Чтобы портфель был дельта-нейтральным, в нем
должно находитьсядолжно находитьсябиржевых инструментов.)биржевых инструментов.)
должно находиться
должно находиться
биржевых инструментов.)
биржевых инструментов.)
Сформированный инвестиционный портфель периодически ребалансируется, т.е. через определенный период осуществляют покупку нлн продажу биржевых финансовых инструментов для восстановления дельта-нейтральности инвестиционного портфеля.
17*1. Дан ннвестнцнонный портфель, состоящий нз длинной позиции в шестимесячном фьючерсном контракте иа 500 бездивидендных акций и короткой позиции по четырехмесячному европейскому опциону «пут» на 200 этих же акций с ценой исполнения 50 долл. Текущая цена акции - 49 долл., годовая волатильность сгонмости акцнн - 25%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении - 12%.
Определить:
дельта-коэффициент инвестиционного портфеля;
количество исходных акций, которые необходимо купить или продать, чтобы данный инвестиционный портфель стал дельта-нейтральным.
. Определить депьта-коэффициенты пятимесячных, европейских фьючерсных опционов «колл» и «пут» на акцию с ценой исполнения 200 долл., если текущая фьючерсная цена акции равна 202 долл., волатильность акции оценивается в 25%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 7%.
* Банк продал двухмесячный американский опцион «колл» на 50 000 бездивидендных акций с ценой исполнения 100 долл. Текущая спот-цена акции равна 98 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислеинн составляет 6%.
Определить:
дельта-коэффициеит опциона, проданного байком;
количество акций, которые необходимо купить или продать, чтобы нейтрализовать опционную позицию.
Дан европейский опцион «колл» на акцию с постоянной дивидендной доходностью ц.
Требуется:
исследовать завнснмость дельта-коэффнциента опциона от спот-цены исходной акции (при прочих неизменных факторах) н построить график функции А = Д^У，
исследовать зависимость дельта-коэффнциента опциона от срока его истечения (прн прочих неизменных факторах), если f = 0, и построить график функции А = ДГ(Т- г).
Дан европейский опцион «пут» на акцию с постоянной непрерывной дивидендной доходностью q.
Требуется:
исследовать зависимость дельта-коэффициента опциона от слот-цены исходной акции (при прочих неизменных факторах) и построить график функции А =今(5);
исследовать зависимость дельта-коэффициента опциона от срока его истечения (при прочих неизменных факторах), если 亨=0, н построить график функции А = ДДТ — /).
176 Инвестиционный портфель состоит из длинной позиции в 100 000 опционов «колл» на японские иены с дельта-коэффнциен- том 0,5 3, короткой позиции в 200 000 опционов «колл» на японские нены с дельта-коэффициентом 0,47 н короткой позиции в 50 000 опционов «пут» на японские иены с депьта-коэффнциентом -0,51.
Определить：
дельта-коэффициент портфеля;
количество японских иен, которые необходимо купить илн продать, чтобы нейтрализовать ннвестнцнонный портфель;
количество шестимесячных фьючерсных контрактов на японские нены, которые необходимо купить или продать для нейтрализации исходной позиции, если безрисковые процентные ставки при непрерывном иачислеимн в США и Японии составляют 8 и 10% соответственно, а одни фьючерсный контракт предполагает покупку или продажу 1000 японских иен?
Финансовый институт продал шестимесячным американский опцион «пут» на 10000 акций с постоянной непрерывной дивидендной доходностью ? = 6%. Цена исполнения опциона равна 60 долл.» текущая спот-цеиа акции - 58 долл., годовая волатильность стоимости акции - 40%, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении - 8%.
Определить:
дельта-коэффициент проданного опциона на основе шестиэтапной биномиальной модели;
количество акций, которые необходимо купить или продать, чтобы нейтрализовать исходную позицию.
Финансовый институт продал пятинедельный европейский опцион «колл» на 50 000 бездивидендных акций при цене исполнения 49 долл. Текущая цена акции равна 50 долл., волатильность акции оценивается в 30%, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении составляет 9%.
Оценить чистые приведенные затраты иа дельта-хеджирование опционной позиции с помощью исходных акций, если реба- лансмровка проводилась еженедельно, а спот-цена акции менялась так, как показано ниже.
Номер недели012345
Спот-цена акции, долл,50,049,752,050,048,548,2
Финансовый институт продал четырехнедельный европейский опцион «пут» на 100 000 акций с непрерывной дивидендной доходностью 0 = 4%. Цена исполнения равна 75 долл., текущая цена акции - 74 долл., волатильность акции оцеинвает- ся в 20%, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении составляет 8%.
Оценить чистые приведенные затраты на дельта-хеджирование опционной позиции с помощью исходных акций, если рсба- лансировка проводилась еженедельно, а спот-цена акции менялась так, как показано ниже.
Номер недели01234
Спот-цеиа акции, долл. 74,075,672,476,872,0
ГАММА-КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ. ГАММА-ХВДЖИРОВАНИЕ
『омма-ко^фф呻центом Г производного финансового
Э2ПЭ2Пинструмента называется частная производная второго порядка
Э2П
Э2П
тту стоимости этого инструмента по спот-цене исходных ак-
ТИВОВ? те
a2n
忌7
Гамма-коэффициенты важнейших производных финансовых инструментов.
Гамма-коэффициеиты исходных активов, а также фьючерсных контрактов иа эти активы равны нулю.
Гамма-коэффициенты европейских опционов «колл» и «пут» иа активы с постоянной непрерывной дивидендной до- 228
ходностью q, цена которых определяется геометрическим броуновским движением, можно определить по формуле
「г М(&)е7Е
冗ajT-t
Гамма-коэффициеиты американских опционов «колл» н «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью 亨,цена которых определяется геометрическим броуновским движением, можно найти приближенно с помощью и-этапной биномиальной модели:
2 QQf ⑴ 口(0)-Q⑴
«и -1%-1
「巴⑵-巴⑴用(8-用⑴ 2 ;1
где С2(0 и 与(7) - стоимости американских опционов «колл» и «пут» в момент I + 2йп прн условии, что cnor-цена исходных активов к этому моменту поднималась / раз, / = 0, 1,2.
Основные свойства гамма-коэффнцнентов производных финансовых инструментов,
Гамма-коэффицнент производного финансового инструмента оценивает чувствительность дельта-коэффициента этого финансового инструмента к изменениям спот-цены исходных активов.
229
Если спот-цена исходных актнвов мгновенно изменится на величину Д5, а все остальные факторы, влияющие на стоимость (П) производного финансового инструмента, останутся неизменными, то
ДП = Д- S+y (Д5)2+а(Д5)2,
где а - бесконечно малая функция при Д5 т 0.
Гамма-коэффициент портфеля, состоящего из длинных и коротких позиций по финансовым инструментам, производным от одних и тех же исходных активов, равен линейной комбинации гамма-коэффициентов финансовых инструментов, образующих этот портфель.
Портфель финансовых ннструмеитов, производных от одних и тех же исходных активов, называется дельта- и гамма-нейтральным, если дельта- и гамма-коэффициенты этого портфеля равны нулю.
Если инвестициоииый портфель является дельта- и гамма-нейтральным, то при небольших изменениях спот-цены исходных активов и неизменных всех остальных факторах риска его стоимость практически не меняется.
Чтобы восстановить дельта- н гамма-нейтральность портфеля финансовых инструментов, производных от одних и тех же исходных активов, необходимо купить х биржевых финансовых инструментов первого вида и у биржевых финансовых инструментов второго вида (производных от исходных активов) так, чтобы
М+Х& 十у爲=0,Гп+хГ^+j^rj=O.
Гамма-хеджиро^анае, Предполагается, что финансовый институт продал на внебиржевом рынке некоторый опцион. Гам- ма-хеджированне опционной позиции сводится к следующим действиям.
230
Выбираются два биржевых финансовых инструмента, производных от рассматриваемых исходных активов.
Покупаются или продаются биржевые инструменты двух видов с тем, чтобы начальная позиция стала дельта- и гамма* нейтральной.
Сформированный инвестиционный портфель периодически ребалансируется, т.е. через определенные периоды осуществляют покупку или продажу биржевых финансовых инструментов для восстановления дельта- н гамма-нейтральности портфеля.
Дан иивестииионный портфель, состоящий нз длинной позиции в 500 шестимесячных фьючерсных контрактах на бездивидендную акцию и короткой позиции по 200 четырехмесячным европейским опционам «пут» на эту акцию с йеной исполнения 50 долл. Текущая цена акции равна 49 долл., годовая волатильность стоимости акции составляет 25%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном иачисленнн - 12%.
Определить дельта- и гамма-коэффициеиты портфеля.
Как изменится стоимость портфеля, если спот-цена акции мгновенно изменится на величину Д5 = ±0,5 долл., ±1 долл., ±2 доллЛ
182 Определить гамма-коэффициенты пятимесячных европейских фьючерсных опционов «колл» и «пут» иа акцию с ценой исполнения 200 долл., если текущая фьючерсная цена акции равна 202 долл., волатильность акции оценивается в 25%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 7%.
183 Банк продал 50 000 двухмесячных американских опцио* нов «колл» на бездивидендную акцию с ценой исполнения 100 долл. Текущая спот-цеиа акции равна 98 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 6%.
Оценить гамма-коэффициент опционов, проданных банком.
231
Финансовый институт владеет портфелем внебиржевых опционов на английские фуиты стерлингов, данные по которому приведены ниже.
Вид опциона
Количество опционов в портфеле
Дельтакоэффициент опциона
Гамма- коэффициент опциона
«Колл»
1000
0,5
2,2
«Пут»
500
4,4
1.3
«Колл»
2000
0,8
0,6
Определить дельта- н гамма-коэффициенты портфеля.
Как обеспечить дельта- и гамма-нейтральность позиции при покупке (продаже) фунтов стерлингов и биржевых опционов иа фунты стерлингов с показателями % = 0,6 и Г5 = 1,5?
Финансовый институт продал 100 000 четырехнеделъ- ных европейских опционов «пут» иа акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 8% при цене исполнения 20 долл. Текущая цена акции равна 19 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка г 二 10%.
Как обеспечить делкга- и гамма-нейтральность позиции при покупке (продаже) исходных акций и биржевых трехмесячнь[х европейских опционов «колл» на эти акщш с ценой исполнения 21 долл.?
Дан портфель из 10 000 шестимесячных американских опционов «пут» на акцию с постоянной непрерывной дивидендной доходностью ? = 6%. Цена исполнения опциона - 60 долл., текущая спот-цена акции равна 58 долл., годовая волатильность стоимости акции 一 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 8%.
L Оценить дельта- и гамма-коэффициентьт портфеля иа основе шестиэтапной биномиальной модели.
Как изменится стоимость портфеля, еслнспот^цена акшш мгно- вяйгс» изменится на величину Д5f = ±0,5 долл., ±1 долл., +2 долл.?
18♦工 Исследовать зависимость гамма-коэффициеита европейских опционов на акцию с постоянной дивидендной доходностью от текущей спот-цены исходной акции и построить график функции Г Г(5).
232
1*8. Исследовать зависимость гамма-коэффициента европейских опционов на бездивидендную акцию от срока истечения опциона и построить график функции Г = Г{Т - /).
КОЭФФИЦИЕНТЫ 6, р И Л ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
ЭПЭПЧастная производная стоимости (П) производного финансового инструмента по времени z называется тета-коэффицн- ентом этого инструмента, т.е. по определению
ЭП
ЭП
© =
Если исходные активы обладают постоянной непрерывной дивидендной доходностью 0, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то стоимость производного финансового инструмента П удовлетворяет дифференциальному уравнению Блэка-Шоулса
ЗП「~^М 1 总 2?П
—+(r——Г = г П.
加 as 2 as2
В частности, для европейских опционов «колл» и «пут» имеют место следующие равенстьа:
曳=-—^=产1*(4)+彳SeYbFMd［卜 ЕГргт)№(&)；
Q^^^^e^^NX^-qSe-^^Nfrd^rX^^
Частная производная стоимости П производного финансового инструмента по безрисковой процентной ставке г называется р-коэффициентом этого инструмента, т.е. по определению
ап
Для фьючерсных контрактов иа активы с постоянной дивидендной доходностью 彳
где 7* - дата исполнения фьючерсного контракта.
Для европейских опционов «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидендной доходностью д, стоимость которых определяется геометрическим броуновским движением:
0"х(Т一力广汽~%(&);
Частная производная сгонмости П такого финансового инструмента по волатильности а исходных активов называется вега- коэффициешпом этого инструмента, т.е,
Эст
Вега-коэффицненты европейских опционов «колл» и «пут» на активы с постоянной дивидеидноЛ доходностью 寸，стоимость которых определяется геометрическим броуновским движением, можно найти следующим образом:
儿=% = S厅嘉MW2 gL
Дан портфель нз 10 000 восьмимесячных европейских опционов «пут» на бездивидендную акцию, цена исполнения которых 50 долл. Текущая цена акции равна 48 долл., волатильность акции оценивается в 30%, а безрисковая процентная ставка составляет 8% (прн непрерывном начислении).
Найти коэффициенты G, р н Л этого портфеля.
Финансовый институт продал 100 000 шестинедельных европейских опционов «колл» на акцию с постоянной дивидендной доходностью 0 = 10% при цене исполнения 20 долл. Текущая пена акции равна 19 долл,, волатильность акции оценивается в 234
40%, а безрисковая процентная ставка при иепрерывном начислении г = 8%.
. Как обеспечить А- и р-нейтральиость позиции с помощью исходных акций н биржевых опционов на эти акции с показате* лями % = 2, р5 = 20?
, Как обеспечить Д- и Л-иейтральность позиции с помощью исходных акций и биржевых опционов на эти акций с показателями % = 10, и Л5 = 50?
Как нзмеинтся стоимость опционов при условиях задачи 19.2 за одну неделю, если:
спот-цена исходной акции увеличится иа 0,1 долл., а безрисковая процентная ставка уменьшится на 0,5%;
спот-цеиа исходной акции уменьшится иа 0,2 долл., а ее волатильность увеличится на 0,8%?
19*4. Финансовый институт владеет портфелем внебиржевых опционов на японские йены с данными, приведенными ииже.
Вид опциона
Позиция
Л
Г
Р
Л
«Колл»
-1000
1,8
0,6
2,0
1,8
«Пут»
2000
-0,9
0,4
-2,5
«Колл»
3000
1,5
0,3
1,8
0,4
Для хеджирования своей позиции финансовый институт может покупать иди продавать японские иены и биржевые опционы иа японские йены с показателями: А^= 1,2; Г^ = 0,5; р^ 二 0,8 иЛ5 = 0,8,
Как обеспечить Д- и Г-нейтральность позиции?
Как обеспечить Д- и р-нейтральность позиции?
Как обеспечить А- н А-нейтральность позиции?
Исследовать зависимость вега-коэффициента европейских опционов иа акцию с постоянной дивидендной доходностью 彳 от спот-цены этой акции и построить график функции Л = Л(5).
Исследовать зависимость тета-коэффициента европейского опциона «колл» иа бездивидендную акцию от спот-цены этой акции н построить график функции © =曳(S).
Исследовать зависимость тета-коэффициента европейского опциона «пут» на бездивидендную акцию от спот-цены этой акции и построить график функции 0 =包(5).
4*20. СТРАХОВАНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ АКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПЦИОНОВ НА ИНДЕКСЫ АКЦИЙ
Выигрыш держателя европейского опциона «пут» на рыночный индекс акций в момент исполнения опциона равен
Xmax {X-S丁，叱
где / - фиксированная денежная сумма；
X - уровень (цена) исполнения опциона;
Sr - значеине рыночного индекса акций на дату истечения опциона.
Чтобы застраховать хорошо днверсифнцироваиный портфель акций от падении его стоимости на дату Т、достаточно купить Ар^ + европейских опционов «пут» на рыночный индекс акций с датой истечения Т 編-бета-коэффицнент портфеля относительно рассматриваемого индекса акций; Q{ - текущая стоимость портфеля акций; S【-текущее значение рыночного индекса акций).
Прн этом уровень исполнения опционов должен определяться из условия
^^+虱ТТ) =取Т一)十0/¥+(% 一弓)(Тt)]
где Срф - нижияя граница стоимости нивестиционного портфеля на дату Т(Определяется владельцем портфеля акций);
4 一 непрерывная дивидендная доходность портфеля акций; 弓-безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении; 不 一 непрерывная дивидендная доходность индекса акций.
Замечание. Покупку требуемых опционов «пут» на рыночный индекс акций можно воспроизвести искусственным путем. Для этого периодически покупаются или продаются определенные части исходного портфеля акций. Например, в начальный момент f придется продать часть портфеля акций, равную
20J. Текущая стоимость портфеля акцнй составляет 10 млн долл., дивидендная доходность портфеля 彳=2%, а его бета- коэффнциент относительно индекса акций S Р-500 равен 1,6. Текущее зиачеине этого индекса равно 500, его дивидендная доходность qf = 3%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 5%.
Как построить страхование портфеля акций так, чтобы его стоимость через 1 год ие упала ниже 9,8 млн долл.( J = 100 долл.)?
Оценить затраты на страхование портфеля акцнй, если волатильность индекса акций оценивается в 20%.
.2. Как построить страхование портфеля акций при условиях задачи 20.1 так, чтобы его стоимость через 6 мес. не упала ниже 9,9 млн долл,?
.3. Текущая стоимость портфеля акций составляет 12 млн долл., дивидендная доходность портфеля акцнй 彳 ± 4%, а его бета- коэффициеит относительно индекса акций SP-500 равен 1,8. Текущее значение этого индекса равно 450, его дивидендная доходность 不 二 3%, а безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 6%.
Как построить страхование портфеля акций так, чтобы через 9 мес. его стоимость не упала ниже 11,5 млн долл. (Л - 100 долл)?
Какую часть портфеля акций следует продать, чтобы обеспечить требуемое страхование на первом этапе, если волатильность индекса акций оценивается в 25%?
.4. Текущая стоимость портфеля акций равна 20 млн долл., дивидендная доходность портфеля акцнй q = 6%, а его бета-коэф- фнциеит относительно рыночного индекса акций составляет 1,4, Текущее значение этого индекса равно 600, его дивидендная доходность 彳/ = 4%,柱 безрисковая процентная ставка для всех сроков при непрерывном начислении равна 8%.
L Как построить страхование портфеля акцнй так, чтобы через 3 мес. его стоимость не упала ниже 19 млн долл. (А = 200 долл.)?
Какую часть портфеля акций следует продать, чтобы обеспечить требуемое страхование иа первом этапе, если волатильность индекса акций оценивается в 50%?
21. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЭВОЛЮЦИИ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Пусть zM) - форвардная процентная ставка на й лет*
наблюдаемая в момент t + kh,k = Q, 1, 2
Биномиальная модель процентной ставки определяется c/if дующими условиями:
ZoS)=务;
если z^th^-S^e2^ ,то
с вероятностью ^,
К",—JT1
б^е у с вероятностью
Л = 1,2,i = @ 1, 2,
где 4 一 наименьшее возможное значение процентном ставки в п& риоде [/ + 疋瓦 г + 曲 + 1)Л], Л = 1, 2,
<7 - годовая волатильность рассматриваемой процентной ставки.
/. Оценка стоимости стандартной облигации в условиях бш/р- миальной用械侬
Дана купонная облигация номиналом /, купоны по которой оплачиваются m раз в год (方=%) когда до ее погашения остается «Л лет.
Если B(k,i) - стоимость облигации в момент 工 + 左/t* после оплаты купона, при условии, что zk{h)=Ske2ia^, где jt = 1, 2, 小 f = & L 2,…，匕 то
B(n#)s=4 ! =0,1,2,
(B(*+L i 十 1) + 饅+i)!十(6仇+L ?)+诙+i 乂
6(女,/)=z』2
где 疋=1, 2, н- L i = 0, 1, 2,依
9и - купонный платеж в момент г + {% + 1)〃.
238
Построение биномаальной модели процентной ставки при из- лестной годовой лелатильности процентной ставки а
（昌（昌Даны рыночные доходности「卜『>...,，“ при начислении про
（昌
（昌
центов ш раз в год соответственно на сроки 丸 2儿…，nh
Процентная ставка ^ выбирается равной 〃. Ставка 5〔 подбирается так, чтобы стоимость облигации с нулевым купоном, погашаемой через 2力 лет, найденная по биномиальной модели с параметрами 5 瓦 ь 济，совпала с рыночной стоимостью этой обли
гации т. Ставку 昌 следует выбрать так, чтобы стоимость （l+仍）
облигации с нулевым купоном, погашаемой через Зй лет, найден
ная по биномиальной модели с параметрами <7,岳，廿 н &, совпала
с ее рыночной стоимостью г н т.д.
（1+牝）
Построить четырехэтапную бииомнальиую модель эволюции процентной ставки на полгода, если волатильность процентной ставки оцениваются в 15%, а параметры 瓦，伪，&, % н 仇 равны соответственно 7; 7,2; 7,5; 8; 8,2%,
Прн условиях биномиальной модели, построенной в задаче 21.1, найти стоимость 9%-нон купонной облигации номиналом 200 долл, с полугодовыми купонами, до погашения которой остается 2,5 года.
213 Построить биномиальную модель эволюции процентной ставки на полгода, если рыночные стоимостн облигаций е нулевыми купонами номиналом 100 долл., погашаемых через 0,5, 1 и 1,5 года, равны соответственно 96,62; 92,77 и 88,82 долл., а годовая волатильность процентной ставки принимает значения； а） 18%, б） 25%.
2L4 Построить биномиальную модель процентной ставки на год, если волатильность процентной ставки равна 10%, а рыночные доходности на 1, 2, 3 и 4 года равны соответственно 6,00; 6,606; 7,272 и 8%.
В условиях биномиальной модели процентной ставки, построенной в задаче 21.4, найти стоимость 8%-ной купонной облигации номиналом 100 долл, с годовыми купонами, до лога- тення которой остается 4 года.
Сравнить найденную стоимость облигации со стоимостью, определяемой рыночными доходностями при условиях задачи 21.4.
Дана биномиальная модель процентной ставки на й лет с параметрами: а,乐 仇，
Найти математическое ожидание форвардной процентной ставки z*（力）и ее стандартное отклонение,厶=0, 1, 2,....
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ НА ОБЛИГАЦИИ В УСЛОВИЯХ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Дана облигация без дефолт-риска с купонами, оплачиваемыми т раз в год, до погашения которой остается % лет. Эволюция процентной ставки на й лет ^~УЛ определяется
биномиальной моделью с параметрами а, &, &,...,麻卜
Если В（此，9 - стоимость облигации в момент f + М при условии, что фортардная процентная ставка %（力 равна 也次汨亦， где I = 0, 1, 2,匕 то
В（н, I）= А, / = 0, 1, 2и；
B（±」）=B（±」）=（В（上+1J + D + 伍+1 ）； + （В 候 +1. П 十也+i ）g
B（±」）=
B（±」）=
l+h5k 户°"
± = Q, 1,n-1, / = 0,1A.
Оценка стоимости европейских <»н（о<ж8 «колл» и «нущ» на купонную облигацию. Цена исполиення опционов X, дата истече
ния опционов * + 九，л > L 240
ГЛАВА 4
Если с(к, D нр (к, 0 - стоимости европейских опционов «колл» Я «пут» в момент »+% 伊W〃 при условии, что 厶⑴=&『⑵"， где 1 = О, I, 2,..., к, то
с(/, i) = max {В(/, /) - Хт 0 };
р", /) = тах {Y-B(Z, 0, 0 }, i = 0, 1, 2J；
с& 0 =J.斤-：
好，r)=好，r)=p(k +1, 2 + 1) ^+p(* + L 0-|
好，r)=
好，r)=
1
A = 0, 1, 2, ..., f-1, i = 0^ 1, 2, ..., A.
Оценка стоимости бермудских опциона «колл» и «пут» не купонную облигацию. Бермудский опцион «колл» («пут») на данную облигацию предоставляет его держателю право купить (продать) облигацию в один нз следующих моментов:
Л— > / +О < /|)^ / < и,
по ценам соответственно равным Х；о,丸+卜 …，％.
Если c(k,i) н 户(&,i) - стоимости бермудских опционов «колл» н «пут» на купонную облигацию при условии, что zk(i) = 8k г2ш^, где / = 0, 1,2, ...,左,то
F(Z, i) = max|R(，，Q-修，0):
凤7, /) = так{Х/-В(^ 注 0}, i = & 1, 2,…，I;
3伐+ 1, Hl) - + c(^+l, i) - c(At 0 = max Js(At r)-^t. ;=^
IM% /у办
p(*+l, i + l)-^+p(i + U 0
0伏，() = так0伏，() = такXfc-Ш, 0, ^7^
0伏，() = так
0伏，() = так
七=4，厶+L …，'-L[ j=« L 2,.「抬 c(k + 1, i +1)* — + c(左+ 1, Г)—
Kg B = -2，./-亠:
现£ + 1, i+1)个+ 讯北 + 1, 0-!
员(上，i)―^-；
1 十力 J*/'”"
t = 0, 1, 2,-1; i = 0, 1, 2,k.
Дана 6%-ная купонная облигация с годовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 4 года. 1 ■
Найти стоимости трехлетннх европейских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию с ценой нсполиення 470 долл., если волатильность процентной ставки иа 1 год оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки %, 4, d% % равны соответственно 5,6; 5,9; 6,2 и 6,4%.
При условиях задачи 22.1 определить стоимости опцио- ■ нов, считая их бермудскими опционами, исполняемыми через 1,2 и 3 года по цене 470 долл.
Дана 6%-ная купонная облигация с полугодовыми， купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 2 года.
Найти стоимости полуторалетних европейских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию с ценой исполнения 490полл., если волатильность процентной ставки на полгода оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 心， 伪，冬鸟 равны соответственно 5,6; 5,9; 6,2 и 6,4%.
2X4. При условиях задачи 22.3 определить стоимость опционов, считая их бермудскими опционами, ислолияемымн через 0,5, I и 1,5 года по цене 485 долл.
инвестиции в производныеФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ
Дана 9%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., до погашения которой остается 2,5 года.
Найти стоимости бермудских опционов «колл» и «пут» на данную облигацию, исполняемых через 1, 1,5 и 2 года по цене 1000 долл., если волатильность процентной ставки на полгода оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки & 耳，％ &, & равны соответственно 7,8; 8,2; 8,2; 7,8 и 7,6%.
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ОБЛИГАЦИЙ СО ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ
Дана облигация с купонами, оплачиваемыми те раз в год и до погашения которой остается % лет.
Эволюция процентной стаккн на й лет (^ = 3) опР^Д^*16™ биномиальной моделью с параметрами а,如，务，…，储 9 -года вая волатильность процентной ставки;年-наименьшее значение форвардной процентной ставки через % лет).
Отзывные облигации. Предполагается, что эмитент имеет право выкупить облигацию в один нз моментов
tn
no заранее установленным ценам 4，几加 ♦♦•，尤т・
Если В(无，i) - стоимость отзывной облигации в момент / +— (± = 0, 1, 2,..., п) при условия, что форвардная процентная ставка %(/) принимает значение 贝『"《 (/ = 0, 1, 2,..., к), то
跳鳩0 = 4 i = СИ，2，…,» (Л-номинал облигации);
B{kt 0 = min ^ А\,B{kt 0 = min ^ А\,0（k + L沁1）+%）兵（瓦左+ L D+以+达0（k + L沁1）+%）兵（瓦左+ L D+以+达瓦 ％/) =瓦 ％/) =1+力6太経从"1+力6太経从"тт
B{kt 0 = min ^ А\,
B{kt 0 = min ^ А\,
0（k + L沁1）+%）兵（瓦左+ L D+以+达
0（k + L沁1）+%）兵（瓦左+ L D+以+达
瓦 ％/) =
瓦 ％/) =
1+力6太経从"
1+力6太経从"
т
т
依无+ L i+l) +以+J ^+@(AL П + дн)；
1+力以『9疗
儿=0,1,2,…，/0-1, 1 = 0, 1, 2,..., к.
Досрочно погашаемые облигации (облигации с офертой^ Предполагается, что держатель облигации имеет право продать ее эмитенту в одни из моментов
по заранее установленным ценам *少 几屮...，爲一】.
Если 瓦七 i) - стоимость досрочно погашаемой облигации в момент【+ 上(兑士 0, 1, 2, л) при условии；, что 入⑴二入/‘“連， <i = 0, 1, 2,⑵ то
Л(л, /) = Л, t=0, 1, 2н (А-номинал облигации);
瓦火J) = max瓦火J) = max(5(fc+1, 1 + 1)+%["+(ё曲+L『)+飯+|)，3
瓦火J) = max
瓦火J) = max
比=4，^ + ,н-1, У0, 1, 2к;
~0(R+L i+D+g*+i)W+0依+L O+^jt+i) 4
B(k, i) 产二
1十力6&储2晶
A = 0, 1, 2, , /0-1, I = о, 1, 2к.
Облигшцш со встроенными кэпами. Кэп номиналом Л на процентную ставку при уровне исполнения х представляет собой финансовый инструмент, по которому в моменты Т] =( + й,rk = t + kh% = г + 尹月 обещают выплачивать следующие денежные суммы:
Дйтах {/}(Л)-л:, О},г АЛ max {rftl (Л) - Л, 0 },
АЛтах rtn [(А)-л, о].
Если U(k, I)- стоимость кэпа в момент Г + (i + 1)й (Л = О, 1,2,…，”1) при условии, что 后妙® = %⑴= %『'* 妍 « = 0, L 2,…,т,т0
U(n-\,i)~Ahma)i ^_^2'^ -x, о}, i = 0, 1,2wT；
U(k, /) = .4йтах {^е2,£Г^-x, 0 }+
丄 U/ + 1, i + 1) 丄 U(E i)
+暖1 +力玩+产'"灰石+2 1 +方%+1/‘“次，
k =0, 1, 2л-2, / = 0, 1, 2,…，k.
Текущая стоимость кэпа определяется по формуле
1 +恤
Покупка облигации со встроенным кэпом эквивалентна покупке соответствующей безопционной облигации с рыночной купонной ставкой н продаже кзпа на рассматриваемую рыночную процентную ставку. Стоимость облигации со встроенным кэпом равна разности между номиналом облигации и стоимостью кэлат встроенного в эту облигацию,
Облагала со встроенным флорам. Флор номиналом / иа процентную ставку при уровне исполнения х представляет собой финансовый инструмент, по которому в моменты
245
q = f + 力，…，тк = t -^ kh, ..., % = r + 咄 обещают выплачивать денежные суммы
ЛЛтах{х-/у(Л), О},..., Лйтах {х-^_[(й), 0 }+…*
ЛЛтах {^-^я_!(Л), 0 }
Если 敗к, /) 一 стоимость кэпа в момент f + (к + 1)й (А = О, lf 2, .,., п - 1), при условии, что rHkl,(h) = zk(i)=6kezte^ (Е = 0, 1, 2,…，％), то
^(n-l, о = Айтах {х-5иЧе2；ст^, о} ( = О, I. 2,п-1;
W(k^i) = ДЛmax {л-5te2,ffVi*, о} +
11У(А+1, i + l) 丄田(k + L i)
+ $ l+hSk+]e2(M^ +2 1+城+|雜咕«，
fc = 0, 1, 2,л-2, ^ = 0, 1, 2,, к.
Текущая стоимость флора определяется по формуле
1 + Л50
Покупка облигации 8 встроенным флором эквивалентна покупке соответствующей безопциоииой облигации с рыночной купонной ставкой и покупке флора на рассматриваемую рыночную процентную ставку. Стоимость облигации со встроенным флором равна сумме номинала облигации и стоимости флора, встроенного в эту облигацню-
Дана 6%-ная купонная облигация с годовыми купонами номиналом 500 долл., до погашения которой остается 4 года. Волатильность процентной ставки иа 1 год оценивается в 20%, а 246
параметры биномнальион модели процентной ставки ^, 3卜 济，& равны 5,6; 5,9; 6,2 н 5,8% соответственно.
Определить текущую стоимость облигации, если она может быть：
отозвана через 1 год по номиналу;
предъявлена к погашению через 1 год по номиналу.
Дана 6%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 500 долл,, до погашения которой остается 2 года. Волатильность процентной ставки на полгода оценивается в 20%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 每，Slf % 鸟 равны 5,6; 5,9; 5,8 н 5,6% соответственно.
Определить текущую стоимость облигации, если она может быть:
отозвана череА полгода по номиналу；
предъявлена к погашению через полгода по номиналу.
Дана 8%-ная купонная облигация с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., до погашения которой остается 2 года. Годовая волатильность процентной ставки иа полгода оценивается в 5%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 标 百，务，& равны 7,0; 7,2; 7,4 л 7,3% соответственно.
Найти «спред с учетом опциона», если облигация может быть отозвана через полгода по номиналу, а ее рыночная стоимость равна 1002,65 долл. («Спред с учетом опциона» - это надбавка ко всем форвардным процентным ставкам бнномиальнон модели, при которой теоретическая стоимость отзывной облигации равна ее рыночной стоимости.)
2X4. При условиях задачи 23.3 найти «спред с учетом оп- ⑪она», если облигация может быть предъявлена к погашению через полгода по номиналу, а ее рыночная стоимость равна 1006,14 долл.
Волатильность рыночной процентной ставки на 1 год оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 必 4, “J,由 равны 6,5; 6,8; 7,0 и 7,4% соответственно.
Определить текущую стоимость:
кэла номиналом 500 долл, при уровне исполнения 7,8%;
флора номиналом 500 долл, при уровне исполнения 7,8%.
.6, Волатильность рыночной процентной ставки на полгода оценивается в 10%, а параметры биномиальной модели процентной ставки 話，6，闻 & равны 6,5; 6,8； 7,0 и 7,4% соответственно.
Определить текущую стоимость:
кэпа номиналом 500 долл, при уровне исполнения 7,8%;
флора номиналом 500 долл, при уровне исполнения 7,8%.
23J. Дана облигация с плавающей купонной ставкой на полгода номиналом 500 долл., до погашения которой остается 2 года. Плавающая купонная ставка определяется биномиальной моделью с параметрами 7,6; 8,2; 8,4 и 8,6%, волатильность купонной ставки оценивается в 12%.
Определить текущую стоимость облигации, если в нее встроен:
кэп при уровне исполнения 8,5%;
флор при уровне исполнения 8,5%.
ОЦЕНКА СТОИМОСТИ КОРПОРАТИВНЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ (ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ)
В простейшем случае оценка стоимости корпоративных цепных бумаг производится при условии, что фирма к текущему моменту f выпустила только две ценные бумаги: облигацию с нулевым купоном и номиналом Е дата погашения которой Г и обыкновенную акцию, по которой вплоть до ее погашения не выплачиваются дивццеццы.
Если отсутствуют прибыльные арбитражные возможности на рынках и можно пренебречь затратами на реорганизацию фирмы в случае ее дефолта, то:
♦ обыкновенная акция, выпущенная фирмой, эквивалентна европейскому опциону «колл» иа активы фирмы с ценой исполне- ння F при дате истечения Г;
• облигация, выпущенная фирмой, эквивалентна инвестиции денежной суммы 爬-”田 под безрисковую процентную ставку F на срок в Г - г лет л продаже европейского опциона «пут» иа активы фирмы с ценой исполнения F и датой истечения Г
248
Если считать, что стоимость активов фирмы определяется геометрическим броуновским движением, то текущие стоимости акции Sf н стоимость облигации В( можно оценить следующим образом:
где V - текущая стоимость активов фирмы; ст - годовая волатильность этой стоимости.
Премия за дефолт-риск % выплачиваемая держателям облигации, может быть определена по формуле
"(&) +"(&) +
"(&) +
"(&) +
К текущему моменту фирма выпустила две ценные бумаги： бездивидендную обыкновенную акцию н облигацию с нулевым купоном номиналом 60 млн долл. До погашения облигации остается 3 года, текущая стоимость активов фирмы равна 100 мли долл.» а волатильность активов фирмы оценивается в 50%. Безрисковая процентная ставка при непрерывном иачисле- инн равна 7%.
Определить:
текущие стоимости акции и облигации, выпущенных фирмой;
премию за дефолт-риск, выплачиваемую держателям облигаций.
К текущему моменту фирма выпустила две ценные бумаги: бездивидендную обыкновенную акиню н облигацию с нулевым купоном номиналом 60 млн долл., до погашения которой остается 3 года. Волатильность активов фирмы оценивается в 50%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 7%.
Определить размер премии за дефолт^рнск, выплачиваемой держателям облигаций, если текущая стоимость активов фирмы равна： а) 90 млн долл.; б) 120 млн долл.
К текущему моменту фирма выпустила две ценные бумаги: бездивидендную обыкновенную акцию и облигацию с нулевым купоном номиналом 60 мли долл.. Текущая стоимость активов фирмы равна 100 млн долл » волатильность активов фирмы оценивается в 50%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном иачнсленны равна 7%.
Определить размер премии за дефолт-риск, выплачиваемой держателям облигаций, если до погашения облигации остается; а) 1 год; б) 2 года; в) 4 года; г) 10 лет.
Фирма выпустила две ценные бумаги: бездивидендную обыкновенную акцию н облигацию с нулевым купоном номиналом 60 млн долл., до погашения которой остается 3 года. Текущая стоимость активов фирмы равна 100 млн долл., а безрисковая процентная ставка прн непрерывном начислении составляет 7%.
Определить размер премии за дефолт-риск, выплачиваемой держателям облигаций, если волатильность стоимости активов фирмы оценивается величиной: а) 30; б) 40; в) 60%.
Фнрма выпустила две ценные бумаги: бездивидендную обыкновенную акцию н облигацию с нулевым купоном. Волатильность стоимости активов фирмы оценивается в 50%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 7%.
Определить размер премии за дефолт-риск, выплачиваемой держателям облигаций, если доля заемного капитала постоянна н равна 50%, а до погашения облигации остается: а) 4 года; б) 3 года; в) 2 года; г) 1 год. а
4・25. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ КОРПОРАТИВНЫХ ОБЛИГАЦИЙ НА ОСНОВЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ БИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Оценка стоимости корпоративных облигаций производится при условии, что соблюдаются следующие предположения：
• фирма выпустила две ценные бумаги:
обыкновенную акцию, по которой в моменты г + Л, / + 2Е ..., Г + (л - 1)Л обещают выплатить днвчденды в размерах 5, % …，％i соответственно；
облигацию с датой погашения Г и номиналом 瓦 по которой в моменты г + йд + 2Л,..., г + (л - 1)й, f + 汕=Т обещают выплатить проценты в размерах %,敢，…，仇-i，Яп соответственно;
стоимость активов фирмы до выплаты процентов и дивидендов определяется геометрическим броуновским движением;
дефолт может наступить только в момент погашения облигации, а затраты на реорганизацию фирмы в этом случае равны нулю;
отсутствуют арбитражные возможности.
В условиях модифицированной биномиальной модели стоимость активов фирмы до выплаты процентов и дивидендов в момент / + Л принимает два значения:
匕(1)= Гм н 匕(0) = Vd,
а в момент t + kk(k = 2^3,…,«), значения %九 i2,..., ij такие, что
腺@，3,ki J)=(/7(*，<2- 侬-1)时，
/(*」2,『比-i, 0)=(匕-i (九邑…,kJ - Di - qi)&
где и =е"次,d = 1$ (<т - годовая волатильностьстоимостнактивов фирмы).
Обозначим через 舔(九 厶 …，“)-стоимость облигации в момент t + kh (k = 1, 2, ..., л) до оплаты очередного купона при условии, что стоимость активов фирмы в этот момент равна 匕(4,i2,…，办
Если облигация, выпущенная фирмой, не содержит встроенных опционов, то
凡备占irt) = min{vft(it,r2,...,i4), F + qn },
瓦(占也,…,&) = £ '"[线+U*,储D方+
+瓦+i(h*0)(1-需)]+%，
H =产辰⑴霏* + B( (0)(1-^)!
*广-d где я =—.
Если облигация, выпущенная фирмой, может быть отозвана (выкуплена) эмитентом в один из моментов / + №»/ + (/+ 1)й, ..., / + (л - 1)Л по заранее установленным ценам %,拓十卜 …，У^, то
凡(％」2i#) = min{匕(i”G，…4), F +義}
/&小小川=而n{先，e叫%&心.・，%」)£ 十
+ 4+1@,»2'<\>0)(1-Я 力十耿，
k = lt Z + l,и-1;
垃("/2…，，储=e""[瓦+囱，£…，4, 1)用* +
+ %1 也,也…,ik, 0)(1 -f)]+ 你,
火=1, 2,…，/-1;
₽ = €-?A[^d)ff +В](0)(1-я )].
Если облигация, выпущенная фирмой, может быть предъявлена к погашению в одни из моментов i + lh, t + (i + 1)й, Г + (и - 1)й по заранее установлеииым ценам X卜 У；+|г ..., Х„_}, то
Вп(1х,12,- ^п)= ^{^п<^^ - ^Л 产+需}
b* &,匕，…，友)=max {/，户[/+| (I,,4同, 1)用‘ +
В*"],&，江)=e "辰十](，%,…，%,D邦+
衣=1, 2,
е = ^-?й[в1(1)я* + В1(0)(1-я )].
4* Если держатели облигации имеют право в моменты Г + /й, / + (/ + 1)&一..，£ + 泌 обменять облигации на обыкновенные акции фирмы, общая стоимость которых составляет заданную долю а от стоимости активов фирмы {до выплаты дивидендов и процентов), то
斗 &, G(n) = max{a^(rbi2i„);
而n {匕&,%ij F + g"}
绿5』，…」G =m州{a嗅@,%，…，几)；
e 叫稣+1 (",4,…，К，1〃 +耳+1("/2,…,*0)(1-方)卜曲}，
左=/, / + 1л-1;
6&(彳,’2,…"Q = e "瓦*1d,弓，…，4,D兀 +
+4t+i® 也)]+公，
左=1,2,…
5 = e叫目(1)£ + 巩[0)(1-肩].
L К текущему моменту фирма выпустила две ценные бумаги：
обыкновенную акцию, по которой каждые полгода обещают выплачивать дивиденды в размере 1 млн долл.;
безопционную облигацию номиналом 100 млн долл., по которой каждые пол года обещают выплачивать проценты в размере 4 млн долл.
Текушая стоимость активов фирмы равна 130 млн долл., волатильность этих активов оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 7%.
Определить:
текущую стоимость выпущенной фирмой облигации» если до ее погашения остается 1 год;
размер премии за дефолт-риск, выплачиваемой держателям облигации；
текущую стоимость акции, выпущенной фирмой.
252 Найти текущую стоимость облигации при условиях задачи 25.1, если до ее погашения остается 2 года. Определить размер премии за дефолт-риск, выплачиваемой держателям облигации.
К текущему моменту фирма выпустила две ценные бумаги:
обыкновенную акцию, по которой каждые полгода обещают выплачивать дивиденды в размере 1 млн долл.;
облигацию номиналом 100 мли долл., погашаемую через 1 год, по которой обещают каждые полгода выплачивать проценты в размере 4 млн долл.
Текущая стоимость активов фирмы равна 130 млн долл., волатильность этих активов оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 7%.
Найти текущую стоимость выпущенной фирмой облигации, если：
облигация может бьпъ отозвана через полгода по номиналу;
облигация может быть предъявлена к погашению через полгода по цене 90 млн долл.；
облигация может быть конвертируема через полгода н через 1 год прн показателе конверсии а = 60%.
В каждом случае необходимо оценить стоимость опциона, встроенного в облигацию.
25.4. Фирма выпустила две ценные бумаги:
обыкновенную акцию, по которой каждые полгода обещают выплачивать дивиденды в размере 1 мли долл.;
облигацию номиналом 100 млн долл., погашаемую через 1,5 года, по которой каждые полгода обещают выплачивать проценты в размере 4 млн долл.
Текущая стоимость активов фирмы равна 130 млн долл,, волатильность этих активов оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 7%,.
Определить текущую стоимость выпущенной фирмой облигации, если:
облигация может быть отозвана через полгода и 1 год по Номиналу;
облигация может быть предъявлена к погашению через пол- Года и 1 год по цене 65 млн долл.;
облигация может быть конвертируема через 0,5,1 н 1,5 года ррн показателе конверсии а 二 60%.
каждом случае необходимо оценить стоимость опциона, встроенного в облигацию.
255 Фирма выпустила две ценные бумаги：
обыкновенную акцию, по которой каждые полгода обеша- ют выплачивать дивиденды в размере 2 млн долл.;
облигацию номиналом 120 млн долл., погашаемую через 1,5 года, по которой каждые полгода обещают выплачивать проценты в размере 3 млн долл.
Текущая стоимость активов фирмы равна 180 млн долл., волатильность этих активов оценивается в 30%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении составляет 8%.
Определить текущую стоимость выпущенной фирмой облигации« если:
облигация является безопциоиной;
облигация может быть отозвана через пол года и через 1 год по цене ПО млн долл.；
облигация может быть предъявлена к погашению через полгода и I год по цене 110 млн долл;
облигация может быть конвертируема через 0,5,1 н 1,5 года при показателе конверсии а = 50%.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Зм&чевш функция стандартного нормального рэспределення N@)
X
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
*07
.腌
.09
修总
.500000
.503989
.507978
.511967
.515953
,519939
.523922
.527903
.531881
.535856
.539828
,543795
.547758
.551717
.555670
.55% 18
.563559
.563495
.571424
.575345
0.2
.579260
7583166
.587064
.590954
.5^4835
.598706
,602568
.606420
.610261
6140gg
03
.617911
.621719
.625516
.629300
.633072
-636831
,640576
.644309
,648027
.651732
0.4
.655422
.659097
.662757
.666402
.670031
.673645
,677242
,680822
684386
.687933
0.5
.691462
.694974
.698468
,701944
.705402
.708840
ЛI2260
715661
.719043
.722405
0.6
.725747
.729069
.732371
.735653
.738914
342154
.745373
,748571
.751748
754903
0.7
.758036
.761148
.764238
767 305
.770350
.773373
.776373
.779350
.782305
.785236
d金
.788145
,791030
.793892
,7967? 1
)99546
.802338
.805106
.807850
.810570
JI 3267
0.9
.815940
.818589
.821214
.823814
.826391
.828944
.831472
.833977
.836457
838空
l.«
.841545
.843752
,«46136
.848495
.850830
.853141
.855428
.857690
.559929
.862143
LI
.864334
.866500
.868643
.270762
,872857
.874928
.876976
,878999
.881000
.882977
1.2
.884930
886860
.888767
,890651
.892512
.894350
,896165
.897958
.899727
,901475
L3
.903199
.904902
,906582
.908241
.909877
,911492
.913085
.914656
.916207
9177%
1,4
.919243
.920730
922196
.923641
.925066
.926471
.927855
,929219
.930563
.931888
1.5
.933193
.934478
.9357+4
.936992
一9充220
939429
.940620
,941792
.942947
.944083
1.6
35201
.946301
.947384
948449
.949497
.950529
,951543
.952540
.953521
,954486
1.7
.955435
.956367
.957284
.958185
.959071
.959941
.960796
.961636
,962462
.963273
1志
.964070
.964852
.965621
.966375
,967116
.967843
.968557
,969258
.969946
.970621
1.9
.971284
.971933
.972571
.973197
.973810
974412
.975002
.975581
,976148
,976705
工0
,977250
.977784
.978308
.978822
.979325
.979818
.980301
.980774
581237
9816$1
2.1
982136
,982571
.982997
.983414
.983823
.984222
.984614
.984997
.985371
.985738
12
.986097
.986447
.986791
-987126
,987455
,987776
.988089
.988396
.988696
.988989
13
989276
.989556
.989830
.990097
,990358
.990613
.990863
9911Q6
.991344
.991576
2.4
.991802
.992024
.992240
.992451
.992656
992857
.993053
.993244
.993431
.993613
15
993790
,993963
.9 殖 132
,994297
,994457
.994614
.994766
,994915
.995060
,995201
2F
.995339
.995473
.995603
.995731
.995855
.995975
.996093
,996207
.996319
.996427
Z7
.996533
.996636
.996736
,996833
.996928
.997020
.997110
.997197
.997282
,997365
2.8
.997445
.997523
.997599
,997673
.997744
.997814
.997882
.997948
.998012
.998074
19
.998134
.998193
.998250
,998305
.998359
.998411
99S462
,998511
.州 8559
.998605
3#
.998650
.998694
.998736
.998777
.998817
.998856
.998893
.998930
.998965
.998999
3.1
,999032
.999064
.999096
.999126
网55
,999184
.999211
.999238
.999264
.9992X9
3.2
.999313
.999336
.999359
.999381
.999402
.999423
.999443
.999462
.9994*1
,999499
3.3
.999517
.999533
.999550
.999566
.999581
.999596
.99% 10
,999624
.999638
.999650
3.4
.999663
.999675
.999687
.999698
.999709
.999720
.999730
.999740
.999749
,999758
3.5
.999767
.999776
.999784
.999792
.999800
.999 8 07
.999815
.999821
.999828
.999835
3.6
.999841
.999847
.999853
.999858
999864
,999869
,999874
.999879
.999883
.999888
3.7
.999892
.999896
.999900
.999904
.999908
.999912
.999915
999918
,999922
,999925
3志
,999892
.999930
599933
,999936
.999938
.999941
.999943
.999946
.999948
.999950
3分
,999952
.999954
.999956
.999958
.999959
.999961
,9*%3
.999964
.999966
.999967
4.0
,999968
.999970
.999971
.999972
.999973
的 9974
.999975
,999976
.999977
.999978
Интерполяция
^1,23165)= ^1,23)+0Д65(N(L24A ЛГ(1ДЗ))= 0,890651+0,165(0,892512-O.S9O651) = 0.89096;
Mx) = 1 - M-#h если х V С.
Ответы. Указания
ГЛАВА 1
Внутренняя доходность облигшши
гА - 7,00%, гв « 7,98%.
L2. гА « 4,96%, гв = 6,00%, гс 6,95%.
гд » 29,10%, гв« 5,50%.
131,94 долл,
Указание^ Воспользоваться равенством
。+蘇+£+宀宀■^2^ 1-х
161.7.1.8.19161.7.1.8.19117,48 долл. Указание. Использовать равенство нз задачи 1.5.
16
1.7.
1.8.
19
16
1.7.
1.8.
19
122,70 долл.
9,10%. Указание. Использовать равенство нз задачи 15 Указашк. Использовать определение внутренней доходаости об
лигации,
1Л0. 7,85%. Указание. Использовать равенства нз задач 15 н 1.9.
1Л1. 12,07%,
2426 руб. 55 коп. Указами. Стоимость потока платежей заемщи
ка должна равняться размеру кредита.
Свойства внутренней доходности облигаинн. Впутренияя доходность при непрерывном иачнслеиин п рецептов
а) 6,00%, б) 8,00%, в) 10,00%.
又生 6,77%,友=7,67%.
& * 4,84%, % == 5,83%.
2Л.27,17%.
F « 37,32%.
祢omiui^ Воспользоваться равенством
2п_|Д(1 —ХВ)
а + ах-^-ах +^..+ах=—
г »11,39%. Указангм!, Использовать равенство из задачи 2.6.
258
131,92 долл. Указание. Использовать равенство из задачи 2.6.
117,46 долл.
а) Н2) = 10,25%, б) г(4) = 10,13%.
а) г(4) = 14,73%, б) г(8) = 14,60%, в) г» 14,46%.
Указание. В равенстве из задачи 2.6 (при m = 2) перейти к пределу при Т т 8.
Безрисковые процентные ставки
г{1; 2} = 5,41%, г{1; 2,5} = 6,72%, г{1; 3} = 7,72%,
F(J.5> = Z02%. г (2,5) = 6,50%. г (3,5) = J 1,58%, г (4,5) = 10,15%.
г{4; 3,5} = 3,02%, г{4; 6} = 2,72%.
122,34 долл.
ШД2 долл., г =8,21%.
г{2; 4,0} = 6,00%.
г(2,5)=Ю,81%.
143/5 долл., «2)二 7,08%.
Времеяная структура процентных ставок. Кривая рыночных доходностей
а) г(1,5) = 0,0550; б) Г(1,5) = 0,0567 .
а>г=0,015/-i-0,025, ze[0,2); 6> = ^^(~2产十勿+8), >€(0,2).
r = -(-OfO2/3+OJ2?-Of16r + O,36};
6
F(l?5) = 5375%; *2,8} = 6,896%; г (3,2) = 7,024%_
"吉⑷3-1齡+ 18 5疗
7(0,25) = 2.50%; r(U) = 5,01%； г (1,75) = 5,25%.
Укюлние. Найти безрисковую процентную ставку F(l^).
г (1,5) = 5,833%, Р = 915,30 долл.
Указание. Кривая рыночных доходностей 厂工'^"' т + Ю*
г (0,5) = 4,875%, г (1,5) = 5,375%, 7(2,5) = 6,875%, Р = 103,39 долл.
4.7.4.7.Указание. г{1;0,5} = 4,625%,叩;1,5} = 7」25%; г{1;2,5} =8,625%;
4.7.
4.7.
尸二 113,23 долл.
4.8.4.8.Указания, I. Положить г(1； 2,5) = г, r(i;2,0| = 0,04+— и решить
4.8.
4.8.
уравнение 石瀛科 +(1+ода1 +(1+0Qg尸 + (1+0,04+%产 * + —Цгг = 102,90.(1 + П ■Тогда г{1； 2,0} = 8,495%; г{1; 2,5} = 8,99%.2. Положить *1；2,5} = г,叩；2,0}=『+?了 и решить уравнениеуравнение 石瀛科 +(1+ода1 +(1+0Qg尸 + (1+0,04+%产 * + —Цгг = 102,90.(1 + П ■Тогда г{1； 2,0} = 8,495%; г{1; 2,5} = 8,99%.2. Положить *1；2,5} = г,叩；2,0}=『+?了 и решить уравнение55555555
уравнение 石瀛科 +(1+ода1 +(1+0Qg尸 + (1+0,04+%产 * + —Цгг = 102,90.
(1 + П ■
Тогда г{1； 2,0} = 8,495%; г{1; 2,5} = 8,99%.
2. Положить *1；2,5} = г,叩；2,0}=『+?了 и решить уравнение
уравнение 石瀛科 +(1+ода1 +(1+0Qg尸 + (1+0,04+%产 * + —Цгг = 102,90.
(1 + П ■
Тогда г{1； 2,0} = 8,495%; г{1; 2,5} = 8,99%.
2. Положить *1；2,5} = г,叩；2,0}=『+?了 и решить уравнение
5
5
5
5
5
5
5
5
55
5
5
(нот 尹+а+0,07)1 + (i+o飕尸 +(]尸0咛 + (Hr)2-5
=102,90,
Тогда а；2川=8力61%； л(1； 2,5} = 8,984%.
4.9.4.9.Указания. 1. Положить г(3,0)=г, F%) = "；"*;产(2,0)=^^^
4.9.
4.9.
и решить уравнение
£+0J62г+0,08 f
6₽-°'0fr0'5 +6^065].0+6г-01№115+6е-—'2-°+
+ Ю6е-Г 30 = 105,09.
Тогда г(2,0)^8,667%；声(2,5) = 9,333%; r(3,0) = 10,000%.
г п〜м、 г+ 0,095. г + 0,445
.Положить г(3,0) = г, г(2,5) =————;г(2,0)=——.
Тогда *2,0) = 9,077%; F(2,5) = 9,731%; 7(3,0)=9,962%.
. Положить ?(3,0) = г, *2,5) = 2r+；g3；『q,0) =「十：『65
Тогда *2,Oh 9,640%; г (2,5) = 10,559%; 7(3,0) = 9,898%.
r(0,25) = 4,?91%; r(0,5) = 6,009%; F(0,75) = 4,000%;
r (1,0) = 4,507%； r(l,25) = 5,014%; r(1,5) = 6,657%.
4.1L "2; 0,5} = 4,499%; г{2; 1,0} = 4,649%;八2; 1,5} = 4,799%;
г{2; 2,0} - 4,533%; г{2; 2,5} = 4,266%; г{2; 3,0} = 4,00^4
Указание, Процентные ставки "0,25) и 尸(0,75) найти с помощью линейной интерполяции: r(t) = 0,04/ 十0,04.
r(0,25) = 0,05; г (0,5) = 0,06; F(0,75) = 0,07; г (1,0) = 0,08;
г (1,25) = 0,0825; г (1,5) =0,085; г (1,75) = 0,0875; г (2,0) = 0,09.
L& Купонные облипщии.
Внутренняя доходность купонной облигация
10 платежей; 37 дней.
25 платежей; 48 дней.
а) 98,04 долл.; б) 97,29 долл.
а) 204,56 долл.; б) 202, 41 долл.
8,495%.
56 8,911%.
57 6,00%,
205,27 доял,; 4,115%.
Зависимость стоимости купонной облпгацнн от внутренней доходности
6.1* 尸(г-Аг)-尸(г) s? 72,31 долл.； Р(г)- Р(г+Дг) = 66,07 долл.
ю Р(0,06)-Р(0,08)Л0,08)-Р(0,1)_ ff_nn
62 -ЛВД- = 077%,р(^-1К66А (/-0,08),
尸(0,06)-Р(0,08)尸 ©08)尸(0,06)-Р(0,08)尸 ©08)= 13,45%.= 13,45%."喘%；F" = 1L41% (/ = 0,09)."喘%；F" = 1L41% (/ = 0,09).
尸(0,06)-Р(0,08)
尸 ©08)
尸(0,06)-Р(0,08)
尸 ©08)
= 13,45%.
= 13,45%.
"喘%；F" = 1L41% (/ = 0,09).
"喘%；F" = 1L41% (/ = 0,09).
91r29 долл, (дисконт); 105,94 долл, (премия); 0,00 долл.
285,94 долл, (дисконт); 0,00 долл*; 164,17 долл, (дисконт).
р = 6,364%; л = 6,001%.
р = 6,662%" = 7,000%.
р = 6,937%; г = 6,200%.
6.乳 Указште. Показать, что при f > г
工2* Указание Воспользоваться равенством
1,7, Завнснмость стоимосш купоннойоблмгацнн от фактора времшн
Число купонных выплат (п)
Размер пре- МНИ (ПД долл.
Изменение премии (口用-n” 3 долл.
Число купонных выплат (и)
Размер премнн (ПДдолл.
Изменение премии (口口-n" ", долл.
10
1342d
926
4
66,24
14,70
9
12494
10,01
3
51,54
15,87
8
114,93
10,80
2
35,67
ПД5
7
104」3
11,67
1
18,82
18,52
6
92.46
12,61
0
0,00
-
5
79,85
13,61
7.1. Указание. Воспользоваться равенством
7.3* П^ = 134,20долл., П^ =124,94долл., П^-П^ =9,26долл.； П§)二 196,36 доллм 口^ = 192,07долл., П^ - П^ = 4t29 долл.
74 磁=137,65долл., D^ = 134,06 долл., D^ -D^ = 3,59 долл.;
此=150,46иолл.,腸=148,46долл.,匿一國二 2,00долл.
7.5* 1026,98 долл., 1032,93 долл., 1036,92 долл., 1040,93 долл.
76 1085,06 долл., 5 долл.
1»8. Дюр^нм й выпуклость облигации
Число купонных выплат до погашения облигации ⑻
Размер дисконта^ долл.
Величина изменения дисконта (Д-% J
5
72,10
11,35
4
60,75
12,71
3
48,04
14,24
2
33,80
15,94
]
17,86
17,86
0
0,00
-
8.1.
4
%
nv2(cJt)=
=% —
(1 +仇02)及
n%0) 尸
&叫3
X尸
年晔
0,5
5
4,901%
0,04085
0,02045
0,02043
1,0
6
5.76701
0,04806
0,04806
0,07209
1,2
6
5,72151
0,04768
0,05722
0,09727
Продолжение
0:
(1+&G2 产
尸
口 VKGJ 仄p
伞兴
L4
6
5,67637
0,0473]
0,06623
0,12584
2,0
106
97,92762
0,81610
1,63220
4,08050
119,99447(=P)
1,00000
1,82414(=D2)
4,39613(=C2)
8.8. Р2 = 4,180t С2 = 21,580.
Дг
F(r+△吋二 JV) лн (точное значение)
尸{r+&}-Fg 户⑺ (приближенное значение)
0,005
-0,019662
-0,019660
0,01
-0,038847
4,038831
0,03
-0J 11081
-0,110620
8+9, Р(0,065) = 983,31; Л0,05) = 1035,18.8/0.依0,09) = 946,09;汽0,1) = 896,76; Д0,075) = 1028,67-8+9, Р(0,065) = 983,31; Л0,05) = 1035,18.8/0.依0,09) = 946,09;汽0,1) = 896,76; Д0,075) = 1028,67-
8+9, Р(0,065) = 983,31; Л0,05) = 1035,18.
8/0.依0,09) = 946,09;汽0,1) = 896,76; Д0,075) = 1028,67-
8+9, Р(0,065) = 983,31; Л0,05) = 1035,18.
8/0.依0,09) = 946,09;汽0,1) = 896,76; Д0,075) = 1028,67-
8.2.。4 = 2,636; Q = &145;也冬-2,636・=-0,01558 (стоимость尸g1 I
облигации уменьшится на 1,558 %);
8Л1. Указание, Dm =
V а
*=l*=l砍(l-RW*)砍(l-RW*)；*№ =；*№ =
*=l
*=l
砍(l-RW*)
砍(l-RW*)
；*№ =
；*№ =
83 厶=4,859; С = 26,580;就0,05) = 117,22 долл”
R0,05 - 0,008) ^ ЛО,05) - 4,859 ■ (- 0,008) 117,22=⑵,78 долл.
8*4. Указание^ Предва рител ьно найти внутреннюю доходность облита цин г = 0,0609.
订尸 2,79; С】=10,917； (^] «3,156%;^-yj ^3226%
Внутренняя доходи ость облигации равна 8%. Z?2=3+5О1, Cj= 15,035,
Указание Внутренняя доходность облигации при непрерывном начислении равна 1п(1 + 0,05) = 0,04879.
£)з = 4,546; Q = 21,844.
О? = 2,790, Q = 9,524.
Воспользоваться соотношениями
л(1-лит)k“"l
—一 гп1и
(l-Я)21-我
8.1X Воспользоваться формулой нз задачи 8Л I. D4 = 11,530.
L9* Основные свойствадюряцин н выпуклости облнгацнн
Дг
戶(r+Ar}-F(r}
, 戶⑺
(точное значение)
户(r + Ar)-A(r)
尸⑺ (приближенное значение)
0,01
-0,026643
-0,026638
“02
-0,05242 J
-0,052379
-0,01
0,027541
0,027536
Внутренняя доходность (г), %
Стоимость облигации (尸⑺),долл.
Дюрация облигации (D, (г))
Выпуклость облигации g (叨
5
447,2221
3,857
19,024
6
431,1731
3,854
19,006
7
415,8538
3,851
18,987
Внутренняя доходность (г), %
Стоимость облигации (Р (г)), долл.
Дюрация облигации a⑺)
Выпуклость облигация (С„(Н)
6
104,4737
2,706
7,766
8
98,9874
2,697
7,731
10
93,7973
2硼
7,694
155
丸工 &=—!— = 0,925926;，Y =3+992714; £ к№ =11,365200;
1+0価I*=j
5
E此依 + 1冰* =51,641630;/ hl
93* D' = 6,1, С1 = 41,625.
5
/2兑德+5戸/£壮+紹
Облигация
Стоимость, долл*
Дюрация
0)
Выпуклость (С2)
1
244,9038
3,785
16,681
2
226,4203
4,785
25,751
/玄网左+1)n*+30К5f^Rk+R5
Указание. Проверить равенства
D^}=D^+T； С*2> =^+^+2^^^ .
Купонная ставка ⑴,% Горация (DJ Выпуклость (CJ
678
4,439 4,375 4,31225,557 25,032 24,549
910
4,256 4,204
24,103 23,690
史+普jj Cl =C^+2tD^+t2,
9X л=~ад6
66
=0,970X7 徵 £r* = 5,417193,£女尺 J 1&49 3439;
此川
Указание. Воспользоваться равенствами
icfk(tk+T)e-^
五=红号
£g0宀）2内十計
U=^H
Облигация
Стоимость, долл.
Дюрация
Выпуклость (С)
1
157,9702
2,317
6,240
2
150,2659
2,817
8,807
^k(k+\)Rk = 97,404914; D2 = fc=l
6
f^k(k + Y)Rk +^
hi
/%&" + 12М
6 2f^Rk+4i^
Купонная ставка (/), %
4
5
6
7
Дюрация (D)
2*852
2,820
2,791
2,761
Выпуклость (С()
9,812
9,664
9,524
9,391
”2 讀+8R
£=1
9*9. Указание. Достаточно доказать, что 厅‘⑴ > 0, где
a/)=" + 号；a = У ^Дл; 6 = Нтк";
炉+ d為
9・1& D(2,0) = 1,732, D⑵ 1) = 1,437.
9JL Указание Воспользоваться равенствами
f^kRk j+rtm^
区~
+т2Кп
K=J
гдеЛ =——-；У^=^——； я
1+% £ IF 1* “
/ e歷+用R"
9+12，Указание. Лучше воспользоваться равенством нз задачи 9,11:
^)М喏忆斗芻宀3
oj £屋
I bl
0,1 £紹 +2*
R(l-R) r_ 1 1-R ' =1+0,03
Л
%
hl
乩
5㈣
]
0,97088
0,04762
0,500
2
1,91348
0,09215
0,977
3
2,82863
0,13386
1,432
4
3,71713
0,17299
1,867
5
4,57974
0,20977
2,284
6
5,41723
0,24438
2,684
7
6,23033
0,27700
3,068
8
7,01974
0t30778
3.438
9
7,78617
0,33685
3,793
10
8,53027
0,36435
4,136
9*13* Указание. Лучше воспользоваться равенством нз задачи 9J1:
1\(п) = -//„+0,9п(1-Яп).
0，吃屋 я
где Я„ =т^； £к"
0,06£歷+m止3
k=\
R(l-K")1-K
r =丄
1,6
Л
£讀
禺
/>i(«)
1
0,62500
0,05660
【,(ИЮ
2
1,01563
0,13495
1,917
3
1,25977
0,23641
2,692
4
1,41235
0,35706
3,267
5
1,50772
0,48680
3,607
6
136733
0,61206
3,727
7
1,60458
0,72101
3,680
8
1,62786
0,80751
3,539
9
1,64241
0,87133
3,366
10
1,65151
0,91593
*99
9.14.
Л
忆
4甸一
1
0,02439
0,500
2
0t05550
0,984
3
0.0М46
1,444
4
0,14244
1,867
5
0,19927
2,243
6
0,26523
2,558
7
0,33876
2,802
g
0,41745
2,969
9
0,49810
3,058
10
0;57712
—3,076
9.15. «= Ю；乌(9) = 2,037; D2 (10) = 1,950; D2(ll)= L883.
1*10. Стоимость ннвестицин в облигацию.
Иммунизнрующее свойство дюряцин облнгацнн
=119,65 долл.
123,44 долл.
821,51 долл.
1Q4 а) 114,42 долл.; б) 115,68 долл.; в) 114,51 долл.
ЮЛ. а) К0,1")= 100 (1」У; ^О,1;0Л1;г) = 9г556 (1Д1У;
/ = 2,734;
e)p = 2,736一
а)马=4,465; Г(0,06; 4,465) = 1297Д5 долл.;
№&06; 0,05; 4,465) = 1297,23 долл.;
1292,27 долл.
107 1)汽0,08) = 947,5786 долл.,乌=2,7831;
*(0,08; 2,78 31) = 117 8,76 2 долл.;
2а)式0,07) = 973,3572 долл., «0,0& 0,07; Р2) = 1178,7812 доля.;
26)汽0,09) = 922,6319 доля.,收0,08; 0,09;卩才=1178,7822 долл,;
/(0.07) = 2,7848, /(0,09)二 2,7811
10.К 1) Л0,09) = 1000 долл., Р2 = 4,1344； F(0,09; Р2) = 1439,0265 долл.;
2а) Л0.08) = 1040,5545 долл., Н&09; 0,08; Р2)= 1439,1634 долл.;
Р(ОЛ) = 961,3913 долл., И(0,09; 0,1; Р2> = 1439,1639 долл.;
Г{0,08) = 4J443f f*(0,l} = 4,1244；
^ = 1432,6299 долл.
10.9. D4 = 6,432586.
Дг
汽0,1 + Аг), долл.
И(0,1;0т1 + Дг; D4), долл.
4,02
1136,7774
1892,1729
4,01
1065,4^38
1888,8058 _ _ _ '
-0,005
1032,0495
1887,9629
0
1000
1887,6816
0,005
969,2719
1887,9634
0,01
939,8047
1888,8095
0.02
884,4261
1892,2031
1*П+ Модифицированные
дю]м1цня н выпуклость облигаций
ПЛ, Л0,06) = 117,842385 долл.; П《=2,63583; £>：妣=2,59曲&
С4 = «(14485;СГд=г5Ю589.
1.2.汽0,065) = 116,323855 долл.; Р(О,О55) = 119,384208 долл.;
D产=2,59700; С产=790649
.Х 1)П2 = 9,6148;d蜉=9201;
2а) /(0,1)二 914,20457 долл.; Р(0,08) = 1098,96387 долл.;
酸s = 9,2380; С^ = 131,6844；
Р(0,092) = 981,85815 долл.; RQO82) = 1018,66726 долл.;
缥物=9,202; СГД =131,354.
Прн увеличении внутренней доходности цена облигации упадет иа 0,弊5%; при уменьшении виутреиней доходности цена облигации возрастет на 2,02%
Прн увеличении безрисковых процентных ставок на 40 6g стоимость облигации приближенно будет равна 920,63 долл., а при уменьшении на 50 5п - 9 3 9,60 долл.
11611611.7.11.7.11Л.11Л.11.9.11.9.
116
116
11.7.
11.7.
11Л.
11Л.
11.9.
11.9.
Р = 105,7294 долл.; г = &288%; 口产"&) = 3,4024 队^⑺=3,26%
С；，) = 14,509б；СГа(Н = 13,3 购
P+(0,02) = 105,0417;?-(0,02) = 106,4227;
Д^д= 3,265; СГД=13-24 L
Указание. Воспользоваться равенством
^-Лмод(г) = (Пмод(г)У -Смод(/*);
Дг = 3,8416.Дг = 3,8416.Пмоп(г + Дг) = /)мол(г)+[(/>мод(г))2-Смол(г)1
Дг = 3,8416.
Дг = 3,8416.
Модифицированная дюрацня уменьшится на 0,0084.
Увеличится на 33,82.
др лрг
Указание. 下*一口&、了~*一口&,皿一旷=-(口Р一仃玲工
При 尸'=^■尸 ДР « ДР* для любых Дг.
Указание. 8оспользоватьсл решеннем заданн 11.9.
А = 2000 долл.
1」2. Доходность портфеля облигаций
12*1. П = 2370 долл-,加产 0,050633, ^ = 0,105485,吗=0,210970, е)4 = 0,632911, га1 = 7,477%.
Указан* Доказать
где 12 - стоимость исходного портфеля;
& - стоимость продаваемой облигации;
г - внутренняя доходность продаваемой облигации,
儿=8,105%.
"3匕二备小謁/，%=6融%
Внутренняя доходность покупаемой облигации при начислении 2 раза в год равна 8%.
匕=6,669%.
5 ^ 1018,8099, Д2 = 2022,8985, Д3 = 3000,00, Q = 6041,7084, %з = 6,328%. Поток платежей по портфелю приведен ниже.
Срок, лет0,51,01,52,02,53,0
Платеж, долл.200200200120021703105
г = 6,426%.
$ 12.6. гА = 3%,⑴=12,36%, гс = 4%, rD = 10%, гвз = 8,545%. Поток платежей по портфелю приведен ниже.
Срок, лет0,51,01,52,0
Платеж, долл.364,149410,126456,1037856,758
г = 7,07%.
1ЛЗ. Ддортция и выпуклость портфеля облигации
а) & = 200,4114, И? = 306,4135. Внутренняя доходность портфеля г = 8J31%. 2>)(П) = 3,7406, С((П) = 17,2788;
ОГод (П) = 3,4593; CfM (П) = 14,7779;
при увеличении внутренних доходностей иа 40 б.п. стоимость порт^ля упадет на 1,372%, а при уменьшении иа 40 б.п. стоимость портфеля возрастет на 1,396%.
1X2.。产 3,6807, С[ = 17,8213, D产=3,5054, С产=16,1644;
А ； 3,7722 Q = 1 &539a 缈°口 = W430Q C产=15,322&
ЛВЗ(П) = 3,4598, CB3(n)= 15,655L
133. а) С] = 98,0392, £1? = 190,3629, Й3 = 1288,4021.
Внутренняя доходность портфеля г = 9,510%.
Р2(П) = 1,9626, С2(П) = 5,4286, П^Д(П) = 1,874, С?0Л(П) = 4,947;
при увеличении внутренних доходностей на 60 б.п. стоимость портфеля упадет на1Л 6%, а прн уменьшении на 60 б.п. стоимость портфеля возрастет на 1,133%.
134 D产=0,4902 С产=0,4806; D产=0,9756,片餌二 1,4277;
2)界口 = 2,1647,仃仰=5,9840; РВ\П) = l,917t СВЭ(П) = 5.092,
13.8.13.8.1X9.1X9.
13.8.
13.8.
1X9.
1X9.
R (fl) = 2.677K & (口) = 135556,普=-2,42%.
25% средств должно быть инвестировано в облигации первого вида, 75% средств - в облигации второго вида.
1) Достаточно решить задачу линейного ирограммнроваиня:
/h4«)[+眺+1 施+3&B4 (тах);
叫 +со2 +й)з+&4 =1；
н 1,2й)| + 2й>2 + 3,4(t>^ +4й>4 = 3,6;
й)[之 О, «Ъ 之& шэ ^ 0, й>4 N 0.
Решение: % =亍；耽=0;⑦з =0；修=
2) Достаточно решить задачу линейного программирования:
/ = 4й»| 十恥 + 1бо)з + 36й)4 (max);
t
%+耽+例+他=1;
1^ + 刈 + S,4fi>3 + 4ш>4 = 3,6;
峭 NO, й>2 NO,叫之& 0£ю4 £05
Решение:峭 н五；吗=—； fi)4=-.
a)叱=j, % =& 吗=0「叫=0* 叫=j； 113
6)®i =-» 耽=j, % =0,他=& @5 = j* 以=1325, q = 4,751, Z>B = 3,56& Cft = 17/40,
Р2(П)=|1,925+1-3,568=2,9 ", 23
C2(n)= j4T751+y 17,140^10,284.
13.11* Поток платежей по поргф^ио облигаций.
Срок,пет0,51,01,5:R
Платеж, долл. 77107737637210
£1 = 1791,0613 долл.;
Д~(Ду) = 1795,9407, Q*(A力=1786,2020, 口产(口州 1,359,
U 产(П 卜 2,&06；
Дг = 0,005, ~ = F,00676; Дх = -0,00 5, ^ = 0,00683;
&=&01,鲁нЧЦИЗЮ; ir = WQl, ^ = 0,01373.
13,12.
Номер облигации (/)
Стоимость облигации, ДОЛЛ.
Внутренняя доходность, %
Модифицированная дюрацил
Модифицированная ампу^постъ^
1
995,3938
&491
0,941
1,345 —
2
595,2415 1
9,444 —
1J89
4 Л 78
3
200,42 60
£903
2J66
5,990
а) внутренняя доходность портфеля облигаций -幺?64汽 средневзвешенная доходность портфеля облигации - 8,966 加 6} D产(П} = 1,364, G\n} = 2,824;
в) Г>вз(П) = 1>0, СВ,(П) = 2,806;
г)приДг = 0,005 ^ = -0,00678; при Дг = -0,005 ^^ 0,00Ш.
1.14. Иммуинмция портфеля овлагаций
134 0. а) Р^(П) з= 222&С以口户氐692;
6)Q = 659,6003.
Дх
щдя
П3)
Оценка дюрации
Оценка выпуклости
0,005
666,962 2
652,3445
2,216
6#4
0,002
662,5322
656,6853
2,216
6*405
14」. Планируемая стоимость инвестиции 10 000 (1+ 0优尸=12597,12.
Срок, годы
Стоимость мньестми叫 ДОЛЛь
Стоимость облигации, долл.
Дюрация облигации
Инвестициоин ый портфель
1
2
1
2
ОД)
юооо
1()з,5бед
106,6243
1,9106
3,5042
(3163*96； 6836"4>
а)
Срок? годы
Стоимость инвестиции,
Стоимость облигации, долл.
Дюрация облигации
Инвестиционный
долл.
12
12
портфель
1,0
10603,29
100,9174 102,5311
1,0000 2,73895
{4505,78; 6097,51)
2,0
11665,09
0,0000103,5665
3,0
12598,51
Ь)
Срок, годы
Стоимость инеестицин, долл.
Стоимость облигации, долл.
Дюрация облигации
Инвестиционный портфель
1
2
1
2
ио
10800,00
101,8519
105,1542
1,0000
2,74236
(4601,51,6198,49)
10
11557,45
0,0000
101,7591
3,0
12597,63
с)
Срок годы
Стоимость инвестиции, долл.
Стоимость облигации* долл.
Дюрация облигации
Инвестиционный портфель
1
2
1
2
1.0
2,0
3,0
10412,98
11668,26
12601,72
100,0000 0,0000
100,0000
103,5665
1,0000
2,73554
(4413,12; 5999,86)
Ф
Срок* годы
'Стоимость ннвестинни, ДОЛЛ.
Стоимость облигации, долл.
Дюрация облигации
Инвестиционный портфель
1
2
1
2
1.0
10228,78
99,0991
97,5563
1,0000
2,73211
(4323,39; 5905,39)
2,0
11564,09
0j.0000
101,7591
3,0
12604,86
Планируемая стоимость ннвестицин 5000 •(! + О^)2,5 = 6202,0641.
Срок, ГОДЫ
Стоимость инвестиции, долл.
Стоимость облигации, долл.
Дюрация облигации
Инвестиционный портфель
1
2
1
2
0,0
5000,00
108,37896
102,53130
2,27619
2,73895
(2581,80; 2418,20)
0,5
5317,36
110,01991
109+27944
U85961
2,24236
(3367,02; 1950,34)
1,0
5603,67
110,79202
105,424054
1,42234
1,91135
(4713,74; 889,93)
1,5
5851,19
109t60130
110,50668
0,97341
1,41211
(5496,59; 354,60)
2,0
6024,17
106,84144
103J7358
0,50000
1,00000
(6024,17; 0,00)
2,5
6202,26
14,3. Облигация А
Срок, годы
Процентная ставка* %
Стоимость, долл.
Дюрация
0,0
1,0
10
9
100,0000
100,9174
1,909091
1,000000
Облигация В
срок, ГОДЫ
Процентная ставка, %
Стоимость, долл.
Дюрация
0,0
10
100,0000
2,735537
1,2
9
101J591
1,909843
2,0
8
101,8519
Облигация С
Срок, годы
Процентная ставка, %
Стоимость, долл.
Дюраций
0,0
10
100,0000
3,48685 2
1,2
9
102,5313
2,738953
2,0
8
103,5665
Планируемая стоимость инвестиции 6000 - (1т1)3 = 7986 долл.
Срок, годы
Процентнал ставка,%
Стоимость, долл.
Дюрация
0,0
10
6000,00
(1280,00; 1200,00; 3520,00)
1,0
9
6721,95
(2215,45； 1344,39； 3162J1)
2,0
8
7395,01
—3,0
8
7986,61
Облигация А
Срок, годы
Процентная ставка,%
Стоимость, ДОЛЛ-
Дюрация
Выпуклость
0,0
8
845,3742
2,935906
11,65924
1,0
7
909,5991
1,97^450
5,91780
Облигация В
Срок, годы
Процентная ставка,%
Стоим ОСТЬ г
ДОЛЛ, —
Дюрация
Выпуклость
о,о 1,0
8
7
466,8787
4s6,8784
3,660322
2,831009
17,74973
11,10123
Облигация С
Срок, годы
Процентная ставка^%
Стоимость, долл.
Дюрация
Выпуклость
0,0
8
823,7885
3,480098
16,64001
Ю
7
810,4973
2,796970
10,92019
Облигация В
Срок, годы
Процентная ставка, %
Стоимость, долл,
Дюрация
0,0
8
100
3,577097
1,0
9
97,4687
—2,780316
Планируемая стоимость инвестиции 50 000 • (I + 0,008)3*2 = =63962,59 долл,
Срок, годы
Процентная ставка, %
Стоимость, долл
И нвестиционны й портфель
ото
8
50000,00
(25735,20; 0,00; 24264,80)
1,0
7
55118,03
(4024&34; 0,00; 14869,69}
3,2
7
63964,3 5
Чтобы портфель имел дюрацию, равную 3,5, веса облигаций: S] = 0,25, ®2 = 0,75.
Для отыскания портфеля с дюрацией, равной 3,5 при наименьших трансакционных расходах, необходимо решить задачу линейного программирования:
/ = % (min);
0,005(^! + х2 )+0,006(?1 + 乃}=卄
(5200-巾)з| =2000+Л(-^!； (5200 - И7) (0； = 3000 + 修一з：
*]之0, x2 >0,『[之0,У2之仇
(Х[, х2-стоимости покупаемых облигаций; ^ь<у2-стоимости про даваемых облигаций).
Оптимальное решеине:修=0; х? = 893,49; у} = 702, П； У? = 0;
8,68.
Портфель облигаций: (1297,83； 3893,49).
14.6. Облигация А
Срок, годы
Процентная ставка, %
Стоимость, долл.
Дюрация
0,0
8
100
1.925926
1,0
9
99,0826
1+000000
Срок, годы
Процентная ставка,%
Трансакционные расходы, долл.
Стоимость, долл, _
Инвестиционный портфель
9,0
8
50
10 000
(3495,08； 6504,92)
1,0
9
7,85
10595,43
(4644,00； 59 51,4 3}
3,0
9
-
125居8,43
1Л5. Простейшие альтернативные сцдтепш управлашя иявесгнциямн в облнгацни
1&L а)
/ = 100^+150^ (min);
10х( +50х2 N260;
Юх] +150х2 >660;
Т10#1 之 440;
хх >0,修 >0.
Решенне: и = 4, х2 = 4,4» /= 1060.
8
/ = 100x)+150^ (min);
10*]+ 50х2 ^260 + F|；
Fl (1,05) +10Х| +1 50л2 > 660 + F2;
'F((l,05) + 110X|N440；
X|之0,冷之6R之03230.
Решение: м = & 巧=6,6768, F, = 419,05> F2 = 73,84,/= 1001,52,
力修=5,七=5, #з= L /二 1030;
6)餐=0,冷二 о, ^ = 11,132, F产 913,2231,巴= 454,5454.
1&3.修=10, x2~ 23,7914,制=0，尸尸 375,8278,尸产 0, /= 6558,28.
270
ГЛАВА 1ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯГЛАВА 1ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯВ吟门時沁好“吟「В吟门時沁好“吟「1+员+1+凡+…+1+旦1+员+1+凡+…+1+旦
ГЛАВА 1
ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ
ГЛАВА 1
ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ
В吟门時沁好“吟「
В吟门時沁好“吟「
1+员+1+凡+…+1+旦
1+员+1+凡+…+1+旦
/ = 100^ +92^2-100^ -92л2 (max);
10占 +100x2 之 1 Oh+10072 +Fp
< tJR+iOOx] N 100『|;
修复0,*2 复0，00力 $2,0m丁2 <2.
Решение: xt = 0, л2 = 2,018, j( = 2, ^2 = О, Fx = 181,818,/= 14,344.
/ = 85jj]+95j?2-90л：]-100х2 (max);
КХ)#】+ 10x2 > 100^] +10砲 + F];
« 1JR +100*2 之 100%
*i 之 0, *2 之 0,0 M M £ 4,0 4 у? К 4.
Решеине:占-4,036,电=°，У广 &乃=4, ^ = 363,64,/ = 16,76.
1.16. Реализуемая доходность управляемого иортфеля облигаций
穴产 0,04, т.е. 4%;马=0,03980, те. 3,980%; Л3 = 0,01847, т.е. 1,847%;
Л4 = 0,00871, т.е.-0,871%；马=0,00096, те. 0,096%.
Л = 0,294%.
Указание.
H学广制+飘喳m喳) 产厂倒唸)(喳н喳) Значит,
专⑶噫H唸I唸卜阉
(時Г咼咼陶屮喲
仿竺厂上殳卜+妣]卜a)
I mJcJ Gm I I c# J
卜吟广孑吟「邛吟广
16.5* Указана^ Воспользоваться результатами, полученными в за даче 16.4.
1爲+R2+…+我」
1+ш-
166 R = 5,920%;公=6,001%.
16吊 Указание. Доказать совпадение годовой реализуемой доходности облигации за один купонный период с внутренней доходностью облигации и воспользоваться результатами, полученными в задаче 16.4.
168 а)
Облигация
Стоимость, долл.
Дюрация
Выпуклость
А
100
2,725911
8,909993
В
200
5,869773
44,447761
С
100
6,5426604
58,249078
(2,725911й>] +6,Я26604й>2 ^ 5,869773;
[期+«>2 =1；
% =0,176299,叱=0,823701.
б)
Портфель
Средневзвешенная доходность, %
Средневзвешенная дюрация
Средневзвешенная выпуклость
9,00 9,6474
5,869771
5,869773
44,447761
49,550647
в)
Изменение внутренней доходности {*}, %
Стоимость облигащш через полгода, додЛь
Реализуемая доходность портфеля за потопа* %
А
В
С
口
%
—1
102,2575
211,1184
106,2966
20,118
20,816
— 0,5
1О1Д2О8
205,46 3 3
103,0838
14,463
1*23
-0,2
100,5221
2牝 162g
101,2184
11,163
11,837
С
100,0000
200,0000
100,0000
9,000
9,647
0,2
99,7317
197,8668
98,8013
6,867
7,578
0,5
阻 8948
194,7213
97,0393
3,721
4,3即
1
97,8050
189,6203
94,1962
亠 lr380
-0,688
л^ л R^ 4^л^ л R^ 4^Темп инфляции^ Номмналыш! н реальная внутренние доходности облигаций
л^ л R^ 4^
л^ л R^ 4^
11,87%.
а) 6,84%; б) 3,8?% .
9,49%.
174 5,40%.
175 1) %м = 11,972%, Гр^ = 6,64%; 2)『а = 10,681%,产睜=5,41%;
"7005%3=7,62%・
Греал 二 2,42%.
Греал = 7^81%.
5aл = 5,18%
尸口 = 3,058%; it = 6,977%;「厘=2,826%.
1Д8. Внутреиим доходность облигации с учетом налогоя
. г = 917,77181 С/А(1-а) = 100(1-0>25)«75,
/|-(>1-Р)Д = 1000-(1000- 917,7718) 03=9753316,
/ = 9,01%,产'r 8,90%.
* г'= 7,46%, г'彳 7,30%.
183 а) * =6,97%, 4M =2,86%;
6)《*:工99%, r£ = L91%；
в)&h=5ДП%,加产0力%.
184 F? = 106,50 долл., ^ = 5Д1% > 5%+ Рекомендовать инвестору вторую облигацию.
185 /*2 = 936,60 долл.
а) К =8,034%,匕 > 8%. Рекомендовать инвестору вторую облигацию.
6)匕=7,045%,匕 <8% Рекомендовать ннвестору первую облигацию.
Р = 961,10 долл,, / = 7,15%, ^ = 103%
ГЛАВА2
2Л. Ожидаемая доходность и днсмерснп походвости одной ценной бумаги
LL 1^ = 40 долл.;
И= 50 + 2' 1,05 + 2 = 54,10 долл., г = 16,30%;
И = 50 + 2г 1,2 + 2 = 54,40 долл., г = 16,62%.
L2. % = 50 долл.;
a)K=5S+L5- (1,03/ + 1,5 - (1,03)2 + 1,5 = 59,78 дом., г = 6,04%；
У- 55 + 1,5 - (I,%/ + [ J . {[ му + I 5 = 59,9gдолл."二 6,16%.
а) г-6,83%； 6} г =7,01%.
г = 16,52%.
г = 10,70%.
[.б. % = 920,15 долл.;
И= 1000 + 60 • (LOB)' +破•(],08)3 + 60，"卩籽 + 60 4,08 + 60*
= 1000 +60-^^^1 = 1351,996 долл., г = 8%;
И = 1000 + 60 ■ (ЮТ4 +60 (1,06)3 + 60 ■ (1,06)2 +60 -1,06 + 60 = = 1000+60 ^^zl = i338,23долл., г = 7,78%.
LX а) 8%; 6)7,81%; в) 8,19%,
IX а) 6%, 6%, 6%; б) 6%, 14,39%, 84,16%; в) 6%, -1,64%, —38,36%.
19 F=0,26%; <т = 3,23%.
г = 2,99%; <г = 2,93%.
Вероятность
Стоимость облигации через гюлго叫 долп.
Доходность облигации за полгода,%
0,1
1246,39
27,639
0,2
1200,58
23,058
0,2
1156,78
18,678
0,3
1074,89
10,489
0,2
1000,00
3,000
F = 14,86%： "8,16%.
1.12. F = 0,4%; а = 10,15%.
1.13. а) г = 12,96%; а = 4,58%; б) г = 13,22%; <7 = 4,61%.
Ожидаемая доходность и днсперсня доходности портфеля ценных бумаг
% =7%; .14%+
Указание. 0= —, — -1
(2 2丿
^=9,16%; % =9,25%.
Указание 0 = —(3,8,-2,10).
% = 66,56%.
а) ^ = 19%; % =19,97%; 6)弓= 12,25%; ар =11,36%,
а)^= 2,62%; 3 = 6,14%； 6) % = 3,22%;廿户=6,29%.
284
第& р = 0,67.
Указание, р = С°У^ 'Гр^ t(у_ =0,3 062, <Тр, = 0,3302,
covtr^.r^ ) = 0,0675.
工工 гр = 1,46%; * = 1,76%.
Отыскание портфеля ценных бумаг с наименьшим риском
3.1.幻百…開)т&п)=》а378;6)®“(；，"
Указание. Так как координаты портфеля ©^ неотрицательиь^ Т0 ®inin = е^п ■
3 2. а)百м =(-；，|| ^)= ^» 03873;
6)%n=@S a(0ift) = 7^2 = 0,4472.
Указание, Наименьшее значение функции <?*= 0,28；+0,2 @【+0,2 на отрезке [0,1] достигается прн 研=0.
33 а) &п =佚 I，-jj ^0^) = | = 0,20;
0^=[|^.oj 6GA户后心&2
Указание. Задача сводится к отысканию наименьшего значения функции
0,30?+ 0,70^ +0,86!03 -0,40] -0,4в3 +0,2
при условиях
01 + 03<1,01£О> в3>0.
34 а)©min =0-1,-1)； ^(6|nift)= J^s0,3162;
3535ЗАЗАЭЛ.ЭЛ.^=(-^ и <т(百说)= 0,3291.^=(-^ и <т(百说)= 0,3291.
35
35
ЗА
ЗА
ЭЛ.
ЭЛ.
^=(-^ и <т(百说)= 0,3291.
^=(-^ и <т(百说)= 0,3291.
6 百工=(訳，о) 6百i11K芈= 0,4714;
时目，d;.;.0) 66，｝=备=。用"
好百修=卜探今霜 6瓦3 = 嘴 =0,2434;
6)ё^=к|,Л 6露)=空=@澳1.
68 4 14 23 1，五、e
伝行'而坛 а<в-)= 0Л543.
Указание. Согласий теореме Куна-Таккера решить систему
* 1. 6 = [ 0, ?,к，丁] - портфель с наименьшим риском;
сг(ё) = у^ = 0,2й28.
Укамлие. Доказать, что 0 удовлетворяет системе
2©!
+ 0,402
+0*8©з
0朋4
+ Л
一41
=0,
0,40]
+0*2® 2
+ Л
_小
=0.
0,80)
十1码
一/3
=0,
0,8в|
+L6”
+Л
—#4
=0,
в.
+5
+e《
=L
*自="
#2®2 = °,
#363 =0，
川仇=@
4|n色
42 丄 °，
的之0.
#4之0.
Z 百工=(◎，；，；，；) <т｛现“)=0,3536.
24 Миажеспо нш№стмцнм111ых возможностей при заданном наборе пешшх бумаг
4丄 а)(7 =《0.122)% « 0,3493; б) в =(0t178)^ = Q4219.
. а)с = [0,7204; +«)； б)се 0+
4*3* а) <г = [J5j; +^); 6) crw{J^}・
44 Указатк, Доказать, что система уравнений
0,2=(Ц&|+0,2%+ОД0Л,
1=в|+®2+备，
|=0,2e?+0,屈+o,5®W-0,2ei02 4-0.бе2e3
0.3h +0+4；2=Q2
имеет решение. % система < 221\ 十&5名 № 車？ =-,
今(就)=03 产(◎?)=&4、
A@忌卜像芻
решения ие имеет.
Указание. Установить, что
?(©!)= 0,2, г(§2) = 0(25, л<ё1,ё2)=?(©!)= 0,2, г(§2) = 0(25, л<ё1,ё2)=丄5 37 砌丄5 37 砌
?(©!)= 0,2, г(§2) = 0(25, л<ё1,ё2)=
?(©!)= 0,2, г(§2) = 0(25, л<ё1,ё2)=
丄
5 37 砌
丄
5 37 砌
Множество имвестицпоииых возможностей прн двух цеииых бумагах
5」.а)б = |20г-2,4|,0,1МгМ0,15; 6)G = 4г,0,1 МгМ0」5;
а = ( 169,6г2 -38,4г+2,304)^т 0,1 <г<0,15;
<т = (1 ⑵2-24г + 1,44)%, 0,15г^ОД5.
52 а) ь = |2г-0,1|; 6R=|6r-lj|; в) <г = (13,6г2 -4,24г + 0,37)^; г)<г = (7,2г2-1,68г+0,13)^.
Указание, Показать, что наименьшее значение дисперсии доходности портфеля <Гр = _ ^ _ (ar2 -2Ьг+с) достигается при h и
「二<^弓+5斬一рд5g式弓+弓)
0,1276 0,1368]0,1368 0,1765 f0,1276 0,1368]0,1368 0,1765 fa = |(305r2-69,888r + 4,4O7984)^, 0,12<r<0,138.
0,1276 0,1368]
0,1368 0,1765 f
0,1276 0,1368]
0,1368 0,1765 f
Указание* *场)=0,12, г(в2) = 0,13^ Л(§1,@2)=^*
学*2-9,6 产+0,72
АидаЩe.哂） = Q,12,川务）=0"；A（瓦百2）=（甯*也卜
Эффективная гранит множества инвестиционных возможностей
B»AtB»I>\C»D.
62 a)S(G“=協 +8)б) 5(QJ)=亲 0,25 .
63 &)*)=檻;+8)6) S^)=詣;0,19
64 a)直%)=m;+«je)姻)=h； 0з .
а) 乂£「(％)，5«Г(П3);б) ЛеГ(£10, НЕ「(П；>・
Указание. В каждом случае найти портфель с наименьшим риском при заданной ожидаемой доходности и сравнить дисперсию доходности найденного портфеля с дисперсией исследуемой инвестиционной возможности.
6*6* ©min(0,4) = ^-|j*77* IT) ®min^T4)e Н^з)
Указание. Показать, что ожидаемая доходность портфеля с наименьшим риском меньше 0,4,
a) 6min(O,B)=^>|,oj, 0^(0.13)g「3)；
б)百伸Q3)= ,,；」｝ ©^(03)6^).
Указание. G，fOJ3)=仔;,0),尸* = ^ r 0J467.
Укаож^ Воспользоваться определением эффективной границы.
2・7・ Эффективная граница множества инвестнинонных возможностей нри разрешенных коротких продажах ценных бумаг
7.1.
0/)=(2ТМ,今 Y，^г-^ ^ —■
148 48丿 150
<т = 1.[75г2-23г + —V^, г> — ¥
2 {20 ) '150
7Л.
石厶、-r70 丄 & 209 5020А л
m⑺=卜正’ +百'TГ +彳方・式)「之0」丸 b =靑(О0户13" + ^f，^>0,19.
7.3.
®пиП(П = -^ (28-70г, 25r-2, 45r-10), rs —.
1675
b = ^ (乃戸-44r + 7,2)%, rN^|.
74
Кfl7 10 57 5 1П л
J 叫 1r 丁,而，-r--Jrm
a = i-(7)5r2-lf5r+0,435)^, r>^t
7.5.
в™л(Н = ^-(210г-34, 35-90r, 32-1Ж), rk—.
3335
70户-8Г+卫¥
U35
7.7.7.7.<т = 03戸一7,8г+0,49)К, г之备.Указамие. Воспользоваться равенством 麺(9卜 6? }=〔(Опй1 &)，「»•L <т = (11 户-4,2г+0,41)%,壮斋З^квзлякг.©mintr) = ^ (28-80г, 10r-l, 10r-l, 60r-6), r^^^-<т = 03戸一7,8г+0,49)К, г之备.Указамие. Воспользоваться равенством 麺(9卜 6? }=〔(Опй1 &)，「»•L <т = (11 户-4,2г+0,41)%,壮斋З^квзлякг.©mintr) = ^ (28-80г, 10r-l, 10r-l, 60r-6), r^^^-2. <7 =2. <7 =⑴戸Т&+0,41)%, ^<^0,3; (15r2-6,6r + 0,77)^tг >0,3.⑴戸Т&+0,41)%, ^<^0,3; (15r2-6,6r + 0,77)^tг >0,3.Указание.Указание.百*（f）=百*（f）=^ (28-80广,10r-l, 10r-l, 60r-6), 畫WrM0,3;^■(4. 17-50r, 17-50r, 10018),r20,3.^ (28-80广,10r-l, 10r-l, 60r-6), 畫WrM0,3;^■(4. 17-50r, 17-50r, 10018),r20,3.2.8. Отыскание эффектвиой границы множества инвестицноиных возможностей прн запрещенных коротких продажах ценных бумаг2.8. Отыскание эффектвиой границы множества инвестицноиных возможностей прн запрещенных коротких продажах ценных бумаг8.1.8.1.Указание^ Рассмотреть системы соотношений, определяющие портфели с наименьшим риском при заданной ожидаемой доходности.Указание^ Рассмотреть системы соотношений, определяющие портфели с наименьшим риском при заданной ожидаемой доходности.8・2.8・2.а) вп,|П(г) = ^2-10г, уг^|, -^г_| jа) вп,|П(г) = ^2-10г, уг^|, -^г_| j23150231500,20,2
7.7.
7.7.
<т = 03戸一7,8г+0,49)К, г之备.
Указамие. Воспользоваться равенством 麺(9卜 6? }=〔(Опй1 &)，「»•
L <т = (11 户-4,2г+0,41)%,壮斋
З^квзлякг.©mintr) = ^ (28-80г, 10r-l, 10r-l, 60r-6), r^^^-
<т = 03戸一7,8г+0,49)К, г之备.
Указамие. Воспользоваться равенством 麺(9卜 6? }=〔(Опй1 &)，「»•
L <т = (11 户-4,2г+0,41)%,壮斋
З^квзлякг.©mintr) = ^ (28-80г, 10r-l, 10r-l, 60r-6), r^^^-
2. <7 =
2. <7 =
⑴戸Т&+0,41)%, ^<^0,3; (15r2-6,6r + 0,77)^tг >0,3.
⑴戸Т&+0,41)%, ^<^0,3; (15r2-6,6r + 0,77)^tг >0,3.
Указание.
Указание.
百*（f）=
百*（f）=
^ (28-80广,10r-l, 10r-l, 60r-6), 畫WrM0,3;^■(4. 17-50r, 17-50r, 10018),r20,3.
^ (28-80广,10r-l, 10r-l, 60r-6), 畫WrM0,3;^■(4. 17-50r, 17-50r, 10018),r20,3.
2.8. Отыскание эффектвиой границы множества инвестицноиных возможностей прн запрещенных коротких продажах ценных бумаг
2.8. Отыскание эффектвиой границы множества инвестицноиных возможностей прн запрещенных коротких продажах ценных бумаг
8.1.
8.1.
Указание^ Рассмотреть системы соотношений, определяющие портфели с наименьшим риском при заданной ожидаемой доходности.
Указание^ Рассмотреть системы соотношений, определяющие портфели с наименьшим риском при заданной ожидаемой доходности.
8・2.
8・2.
а) вп,|П(г) = ^2-10г, уг^|, -^г_| j
а) вп,|П(г) = ^2-10г, уг^|, -^г_| j
23
150
23
150
0,2
0,2
①骑/卜话(-7W + 2& 25T 4510),'力石,0,4 (0, 2,5-5r, 5r-l,5),re[0A 0,5?
8.3.
84
丄(75戸-44г+ 7,2)%, ге —t 0,4
<т = М[75
(20? -15г+ 2t9)^, re [0,4, 0,5].
2.(7=金(162,5户-2山 + 2闾丛，r^A；
V7165
L Smh⑺$(62-21W, 60r + 9, 150Л
г > 0,19;
6 (г) =
^(62-2Юг, 60r + 9, 15ОГ-2О), re
(О, 2-5г, 51),
2.СГ =
2-38r+^Y\『之&19 Т0з)Х
吁萩00 ГУТ/
(27,5户-15广 + 2/
rw
,/19, ^
rw 0 4
105
丄 0 = (-0,510 6, 0,6697, 0.8409)e r(Qj), G*=(0, 0,25, 0,75) e Г(Д0.
1. 9M(r) = y^{70-250r, 95r+16, 155r-15);
7(5-25 几 251, 0),
0min (^)=
0,19,卫~ , I05J
105
l(375?-70r + 3t8)^f 4
-jL(162,5r2-20r+2,8)^.
(37,5г2-20г + 2Л)^(
7
,75 'з 亓
3
И
厂
25
г^ 云，°""
-117
S.5. L 0minW = ^(33"9Or, 5-50л 140/-8), r> —;втт(г) = |(6-20г, & 20r-D, re [0,15; 0,3].
2. a = ~^(\10r2 - 34r + 2^)^,广之备;bn^^J-lZr+D瓦 re|0J5; 0T3j
^(70-25肌 95г+ 16, 155/—15), re
(о, 2 —5f, 5r-l\
『£
3-31 I71-25I一°'4
7 一75T±,7 一 犷
-i=(210r2-80r + 7+8)^, re *,
(17,5戸-9r+13)*,rw ^|, 0,4 ,
Указание. Портфели, определяющие эффективную границу Г(12^), имеют вид
—(26-70г, 10г-1г 0, 60г-6Х rw 0min(r)=
(0, 2-5% 0, 51},产W
13-纪 о
4 - ^
Инвестнцнонные возможности прн наличии рискованных ценных бумаг н бе1ркско№)го актива
а) {(<т, г)}, где г = 0,2<т + 0,06, G2 0;
6)1^. Н). где Уом+Щ, 0,2<(У・
а) {(<г, г)}, где г = 0,3593ст + 0,08, <?> 0;
6MS 川 где г-! ^^+^ 0<<т<0,4384, 8收 明，Где ~м3365В+390 4384Vbм。
Указание. ?(ё) = 0,2375, <г(ё)^ 0,4384.
а) 50% средств отдать в кредит под ставку 6%;
Q2
Ь) взять ссуду в размере — имеющихся средств подставку 8%.
1. ((<7, г)}, где G = r疋+ 0卩5;-正<左£丄7^.
660
Указание, Множество инвестиционных возможностей 辨(&) определяется уравнением ст = |(45г2-6г+ 0,4)-^ . Касательная к
линии <г =—(45№ -6г+0,4)72 т проходящая черезточк^(0; 0,06),
имеет уравнение г = — J5O5d + 0,06.
60
{(<т,г)}, гдег = А：<т+0,06,0,2 <Jt^ 0,35.
9.5* {(<т, г)}, где г = Ar<7+0,08； -^^<疋£^^.
285
Указание. Множество инвестиционных возможностей, определяемых портфелями рискованных ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности при заданной ожидаемой доходности,
задается уравнением сзадается уравнением с力(70 户-24г + 2,2)% +力(70 户-24г + 2,2)% +
задается уравнением с
задается уравнением с
力(70 户-24г + 2,2)% +
力(70 户-24г + 2,2)% +
Эффективная граница множества ннвестнцнонных возмФЖностен прн наличии безрискового актива
10*1* г =： ^^<т+&08,10*1* г =： ^^<т+&08,<т>0.<т>0.
10*1* г =： ^^<т+&08,
10*1* г =： ^^<т+&08,
<т>0.
<т>0.
L (7 = $2000产-490「+ 30,出弘，f之誤, 百 min (г) = ；(8-50 r, 50r-5).
%电唱，^t)电GT)
г = 0,2217(7 + 0,06,0 £ <Т « 0,3103,
<г = |(2000г2-490г + 30,8)^, 0,3103<ст<0,3162, г = 0,189 力+0,07,0,3162 £ <г < 卄
10.3, а) 40% имеющихся средств отдать в кредит, остальные средства инвестировать в портфель ©^ ；_
50% имевшихся средств инвестировать в портфель ®力，50% имеющихся средств инвестировать в портфель 9乃;
взять ссуду в размере 20% имеющихся средств и все средства инвестировать в поргфель ®& .
Указание. Инвестиционные портфели должны определять инвестиционные возможности, принадлежащие эффективной границе.
10.4.10.4.、13 с 3a)产五；6HLm、13 с 3a)产五；6HLm
10.4.
10.4.
、13 с 3
a)产五；6HLm
、13 с 3
a)产五；6HLm
Указание. Вывести равенство /у = -；：；[；，где т -ожидаемая доходность касательного портфеля.
10.5. fr=O,8832a+O,12tае[0; 0,2208],
су=-(350г2-196г+29Л)^. <ге [0,2208; 0,2739], г = 0,5476<т+0,2,ье【0,2739; +«).
2Л1. Отыскание касательного нортфеля прн разрешенныхкоротких продажах рнсктаапиых ценных бумаг
ILL 1.— I
'[55' " 55)
)37
Указание. Эффективная граница Г(Д3) определяется уравнением
1 J 2 ” 39 咨 ％ 23
<7= — • 75г -23г+.
2 [20 )150
"2 к = %・
Указание. Эффективная граница Г(Д„) определяется уравнением
<т=(ЗЗг2-7(8г+0549)^. ^备.
11.3. 1. [г = 1,166ст+0,02,0 ^<т 3 0,5831,
■ О ； g"5户-l,5r +0,435｝及 0,5831 <<т^ 0,6571, г = 1Д5О<т + О±ОЗ,<тй 0,6571.
，43
/50…
114 1.劣+^胃
г = 0,1307а+ 0,06, <т>0.
63,83% средств отдать в кредит, 36,17% инвестировать в портфель 百/.
US LUS L2.2.占 Г I 2 4)人 / 3119
US L
US L
2.
2.
®Lk 3； 9 * ^十亍行й
О « о W 0,4346, 0,4346 ^ ст <0,5288, а £ 0,5288.О « о W 0,4346, 0,4346 ^ ст <0,5288, а £ 0,5288.г = 0,7823(7+0,06,
О « о W 0,4346, 0,4346 ^ ст <0,5288, а £ 0,5288.
О « о W 0,4346, 0,4346 ^ ст <0,5288, а £ 0,5288.
ь = ；(20 户一6『+0,9)%, г = 0,7402 а+0,08,
7丄 一10
а) ~ средств инйестировать в портфель ®工，万 средств отдать в кредит под безрисковую процентную ставку 6%；
30% средств инвестировать в портфель ©/ , 70% средств ин
вестировать в портфель б/?;
занять 7,3% средств и инвестировать все средства
в портфель в/2.
_/32 2\ к ( I 214]
n6 卜??) ^十77；卞元丿
n后6)=02 8百班) = "4629,f⑥方)= 04 a(g/2) = 1.1870.
2,2,0 W <т$0,4629, 0,4^<<r^WlQf<t>1J870.0 W <т$0,4629, 0,4^<<r^WlQf<t>1J870.г = 0,3240<т + 0,05,
2,
2,
0 W <т$0,4629, 0,4^<<r^WlQf
<t>1J870.
0 W <т$0,4629, 0,4^<<r^WlQf
<t>1J870.
<r = -j=(1200r2-260r + 20,5)^, г = 0,2612<т + 0,09.
2- I
§ средств инвестировать в портфель ®力,-средств отдать
в кредит.
Указание. Парабола г = к/+ 0,1 должна касаться луча г = 0,3240<т+ 0,05, а>0,
U•工 L 百「住 I； 4； 2]. ze/e[4 1;咼・ Указание. Показать, что для отыскания касательного портфеля из Г(匕)достаточно решить систему
0,lz1+ 0(lz2+0,匕4=0,04,
&2 电к 02
0,2门+0,2?4-Д3=0,2,
0,琢+Q2/+Mz =04,
Д3г3 = 0, Д3 >0. 23й0.
12. Отыскание касательного портфеля при зяирешенных коротких продажах рискованных ценных бумаг
J2.L 1®=停；卜飭嘿 <r(0z) = ^.
f = ^<t+0J4，tr^O.
Взять ссуду в размере 20% имеющихся средств н инвестировать все средства в портфель 0/ ,
122 1.百/=(^; ^; Щ 式百/*02397, G(@y)=0^068. (63 63 63 I
г = 0,8690b+0,06, a
50,08% средств инвестировать в портфель (0у), 49§92% средств отдать в кредит.
пл.今 §
^) = 0.3023, <7(0^) = 0,2761, г(ё/г ) = 03077,
(ё/2 ) = 0,2826.—
р^05 5ст + 0,04,0 < <г <0,2761,
<т = (17,5г2-10г+1,5)^( 0,2761 <<т< 0,2826,
г = 0,7345а + ОД,<т > 0,2826.
а) 41,94% имеющихся средств инвестировать в портфель 电工, 58,06% средств отдать в кредит под ставку 4%;
50% имеющихся средств инвестировать в портфель ©/,, 50% средств инвестировать в портфель ® 公;
взять ссуду в размере 92,59%jiMeiownxs среиств и все средства инвестировать в портфель 0/2.
)2.4.)2.4.г = 0,4433а +0,03,0<<г< 0,4263,
)2.4.
)2.4.
<т =工(3000戸-1220г + 132,2)%, 0.42630,4279, 7
сг = -г1=(3000г2-620г + 5513)^> 0,4279<<г<0,4984, 7349
г = 0,3983。+0,05,<г 2 0,4984.
yЕ3& ё/(=(!!； ^； О「电尸Q2 90, 6百力户a4263;
0/, = I； j； И г(ё/2) = 0,2488, <т(6/2) = 0,4984-
仅工L г =乎ь + 0個ff^O.
Уко^аиил ё/ =(0; 0,5; 0; 0,5},"百八=03& 卄(百『)二*，
2. Взять ссуду в размере 61,69% имеющихся средств и инвестировать все средства в портфель 0/ =(0; 05; 0； 0,5}.
А-факторная модель рынка рискованных активов
13丄 Д = 0,6： = 0,5.
Зп 二 12 Дм =。，8；仇产 Q6； Аз 二 Q6; %з =-0,2; %= 1,2.
5 = 3 5,6 8%； 6=40,80%; а12 = 0,1002.
同# =」),38; ^2Р= 1,28; ft,р =0,76.
Факторный риск портфеля - 33,13%. Особый риск портфеля- 18,33%.
4 = 27,10% Особый риск портфеля - 61,97%, факторный риск -
80,78%.
%冷=15/1%； %丹=10,54%; q己=1^68%; ^ =16,73%
仃£& =1(0,4и-0,3)^.
Номер актива 0){RS^陷池用4鸟120,03836070,05720270,00127810,00417380,03708260,05302890,96670,9270130,5657 J 71,872那0,0119170,021535Номер актива 0){RS^陷池用4鸟120,03836070,05720270,00127810,00417380,03708260,05302890,96670,9270130,5657 J 71,872那0,0119170,021535а2 ^ -0,002405;瓜丄=1,5494^ 飯=0,035942.а2 ^ -0,002405;瓜丄=1,5494^ 飯=0,035942.
Номер актива 0)
{RS^
陷池
用
4
鸟
1
2
0,0383607
0,0572027
0,0012781
0,0041738
0,0370826
0,0530289
0,9667
0,9270
130,56
57 J 7
1,87
2那
0,011917
0,021535
Номер актива 0)
{RS^
陷池
用
4
鸟
1
2
0,0383607
0,0572027
0,0012781
0,0041738
0,0370826
0,0530289
0,9667
0,9270
130,56
57 J 7
1,87
2那
0,011917
0,021535
а2 ^ -0,002405;瓜丄=1,5494^ 飯=0,035942.
а2 ^ -0,002405;瓜丄=1,5494^ 飯=0,035942.
138 а = (1ЗД г2 -0,21 б г + 0Д2444)^, г > 0,0089,
Указание.弓=0J& 弓=0,08, Л = [ ^1 %*
I U,上 Ь2 и,1У 1
* Построение Д-фактормой модели рынка рискованных активов
14」，l.dj =0,002145; £[ =0,894901; а2 =-0,002541;庄=1,254391. Проверить!
Номер актива 0)
（照
g»
(^
斗
%
У
1
0,0047175
ОтООООО58
0,0047117
0,9988
3249,44
3,39
0,001209
2
0,0092780
0,0000206
0,0092574
0,9978
1797,55
1,721
0t002269
2.
Номер актива ⑺
Доверительный интервал
4
Ay
1
(-0,00910, 0,08379)
(1,04390, 1,44462)
(-0,3 8517,0,14800)
2
(-0,10798,0,08153)
(1,18737,1,91149)
(-0,44580,0,51768)
Указание.
(2,96881 -8,35477 76,19673) (ТГТ)'1 = -8,35477 55,24299 32,27353 -16,19673 32,27353 97,80187
Номер актива ⑺Доверительны й интервалА-12(-0,001186, 0,005477) (-0,00879, 0,003712)(0,851145, 0,935657)("72270, 1,336512)Номер актива ⑺Доверительны й интервалА-12(-0,001186, 0,005477) (-0,00879, 0,003712)(0,851145, 0,935657)("72270, 1,336512)Указание. /0 025(4) = 2,776, 际= 0,99266, ^" = 13,03735.Указание. /0 025(4) = 2,776, 际= 0,99266, ^" = 13,03735.
Номер актива ⑺
Доверительны й интервал
А-
1
2
(-0,001186, 0,005477) (-0,00879, 0,003712)
(0,851145, 0,935657)
("72270, 1,336512)
Номер актива ⑺
Доверительны й интервал
А-
1
2
(-0,001186, 0,005477) (-0,00879, 0,003712)
(0,851145, 0,935657)
("72270, 1,336512)
Указание. /0 025(4) = 2,776, 际= 0,99266, ^" = 13,03735.
Указание. /0 025(4) = 2,776, 际= 0,99266, ^" = 13,03735.
引=13,15%;弓=14,24%.
rte (10,29%; 16,01%); f2e (9.07%; 19,41%).
Л-Р，О2195 0,02193)
Указание. А [ 0 tm93 0,02228/
r^t^-k-^Sjbr^t^-k-^Sjb14.3.14.3.
r^t^-k-^Sjb
r^t^-k-^Sjb
14.3.
14.3.
R== 4,69%;弓=6,02%.
门£ (4,40%; 4,98%);々E (5,48%; 6,56%).
Указание, r, g rj-t^^T-k-^Sjb,
где b = J1 +工СГ『*)Т 7, Л = (1； F).
л 0,0172 0,02“ [&0224 0,0337 J*
. Отыскание касательного портфеля » условиях однофакторнон модели рынка
©/=(4,3089； 3,7216; 3,5202; -6,4992; -4,0515>
，*®,)= 83,37%, а^ёу) = 0,5946.
а) 0/ =9,7892 -0J5吃 0Д043; 0,3202; -0Д886; OJ338),
№)= 24,79%,仪备)=56,22%;
б) 0)=(0,5664; 0; 0,0737; 0,2611; 0; 0,0988),б) 0)=(0,5664; 0; 0,0737; 0,2611; 0; 0,0988),
б) 0)=(0,5664; 0; 0,0737; 0,2611; 0; 0,0988),
б) 0)=(0,5664; 0; 0,0737; 0,2611; 0; 0,0988),
144 L 6| =0,037344.自[=1,2442& ^21 =-0,118588；
300
г(е；) = 20,74%, <г(0；) = 4723%.
©} =(0,2265; 0,2199; 0,2590; 0,2163; 0,078^ 0; 0; 0), г(0+)= 14,78%, <г(ё}) = 2,56%.
Инвестиционный портфель: 76,40% имеющихся средств инвестировать в портфель ©『.23,60% средств отдать в кредит под ставку 3%.
6； =(0,2302； 0,2317; 0,2328; 0^460; 0,059& 0; 0; 0),
F(G}) = 15,02%, ff(G^)=5,00%.
155 а) ё/^(-0,584Я 0,457^ -0,300^ 0,0949; 1,3328),
F(6}) = 32,19%,e目；)=52,刀%;
ё> = (0; 0,217ft；缶伏 0,7830), Л(0；)=2О,^8%, <т(0；)=33,69%.
Равновесие на финансовом рынке
94,54% имеющихся средств инвестировать в портфель
—,—,~ I, 5,46%.ч»дств отдать в кредит под ставку 5%.
Указание. Для отыскания портфеля 戶=(@卜 %, ®?) решить сис- тему уравнений
?叮=儿,F = L23
£@=1
98,08% имеющихся средств инвестировать в портфель
Р= -—, —, —- , 1,92% средств отдать в кредит под ставку 6%.
I 23 23 23 J
r = 0,16a + iy, <т £ 0. Рыночная цена риска - 0J6.
22
г = —<7+0,06, <т ^ 0. Рыночная цена риска - ту. 15
r = 0?081ff + 0,06, <тйО.
11
Указамае. М= -, —, - г(М) = 0,092, а(Л/) = 0,395.
5 5 5 /
16.6.16.6.114、м= I，у, ~ МйГ(Й3),114、м= I，у, ~ МйГ(Й3),
16.6.
16.6.
114、
м= I，у, ~ МйГ(Й3),
114、
м= I，у, ~ МйГ(Й3),
16.7,16.7,/2 3 3、
16.7,
16.7,
Л/= —, —, — , портфель М ие является касательным.
Модель оценки финансовых яктймв (САРМ)
а) £=丝；г = 1А56%; б) ^=4； r=15J/ в) /=-^; /* = 2,63%.
17*2. a) coy(%, Н = |； б) cov(rM, Н=—； в) cov^, О = -^-
г = 0,08+0>04^； а)г = 14%;б)? = 11,2%; в)? = 3,20%.
174 а｝戸吟；б)Д = |； в)
弓=6,38%,弓=1295%, ^ =12,54%.
Основные свойства модели оценки финансовых активов
а> г = 2О,6О*!4>; систематический риск -72%, общий риск - 74,73^ б) F = 14,30%; систематический риск - 36%; общий риск - 53,81%.
18*2. 〃 = 17,03%; систематический риск - 36,50%; особый риск - 15,78%, общий риск - 39,76%.
〃 = 18,45%; систематический риск - 50,70%; особый риск - 23,03%, общий риск 一 55,28%.
ЗОЭ
р = 1,55 86; систематический риск- 4,93%; особый риск - 1,07%, рьшочная цена риска -0,427.
185 尸=1,012; снстематаческин риск - 8,03%; особый риск - 6,35%.
Sq = 84,60 долл.
187 $()= 183,14 долл.
Модель оценки финансовых активов при отсутствии безрнсковогф актива
194. ®=-0,19.
19.2* 屯=Т27 +
193 费,用# =角『=^.
194 0*=瑞，京* Г" 0"=^' 坛尸=1,0；网P ? 1@
195 й^ 10,50%; ^ =13,20%;弓= 16,80%.
21
j средств инвестировать в рыночный портфель, § средств инвестировать в портфель 0*.
п =12,75%; ^ = 17,25%; ^ = 11,40%.
Рыночные нцдексы. Оценка Фетя-коэффншкнтов рискованных активов
2&L д = &37%,，= 5,36%.
7,76%.
9,44%.
^=2,17%,亨= 1,07%.
1. «! =-0,00602, ®i=Ll"4&
&2 = 0,02972, & = ЦИ 乃 Lч
% =句,00165, |3 = 1,81266.
Номер актива 0)
2),
(ЕЩ
耳
电
4
鸟
1
0,061 зн
0,026271
0,035040
0,6296
14,69
2,12
0,051255
2
0,056035
0,029868
0,026167
0,4670
8尋
2,03
0,054^52
3
◎,2М906
0,201839
Q0E3067
0,2916
4/3
1,70
也142670
2.
Номер актива (/)
Доверительный интервал
也
1
(-0,04547,0.03343)
(0,45916,1,89580)
2
(-0,01235, 0,07179)
(0,25158, 1,7^343)
3
(-0,10771,0,山叫
{-0,17839, ЗЛ0371)
3. Д = 1/49, А = 1,4250,自=2,028 6.
20Ж 1. «3 =0,05057, А =069182, 衣2 = 082919, Д2 = 0,6867а @ = 0,06873, Д3-0,64351.
Номер актива 5
(0
3.
宙s*
耳
电
名
萼
1
0,052608
0,031664
0,020944
0,3981
5,29
屮
0.0€2913
2
0,07 349 5
0,042289
0,031206
0,4246
5,88
12,41
0,072706
3
0,054983
&036861
OfO18122
0,3296
393
7,57
00&啰0
2.
Номер актива (/)
Доверительный интервал—
巧
月
1
(-0,02249,0,1236S)
(-0,00170, 1,38535)
2
(-0,05524,0,11362)
(-0,11478,1,48818)
3
(-0,01010,0,14756)
(-0Л 0477,1,39179)
3 ft =0,893, ft = 0,918, Д, = 1,077.
304
ЗФ&
2«21. Ар&прлжная модель ооеикн финансовых активов
Д0 = (Ав], О, ДО], — 2А0|), Д0)<0 ；
r(0 + A0) = O,137"O.OlAet.
Д0=(-2Д65,-毕厶电，0,必也，L6A®“ А®) Де5>0, ^(0 + Д0) = 0」82 +О.О56Д05.
.Х 号=20,50%;弓=22,20%.
. 1.弓=回 ^-20„ -|+еь -|^,
鸟=回一齐班尹®，-||
2"⑷=需一*%鸣…京为，
匕=22,63%.
[1&67%.
Указание, Предварительно найти бета-коэффициенты рискованных активов с помощью приближенного равенства
用= £,32, %= 1,64,，з = 1,22.
厶=9,00%.
Указание. Найти факторные портфели рискованных активов и воспользоваться арбитражной моделью оценки рискованных активов.
Эффективность управления иортфелем активов (нмьестнциоиным фондом)
а)й = 28,03%; 6)^= 17,91%; в) у = 18,80%.
а)Л= 13,44%; б) К冲=6,51%； в)л = 6>20%.
22.Х а)成；&2556s 威｝ =0,1956.
Указами, d^ = Q,MO7,専= QJ592, J(Z, =0.042, ^ = 0,2147.
6)^ = 0,4715; ^ = 0,4244-
Указание 耳=6,39%, ^| =0,8271, R2 = 6,52%,瓦= l*225Z 22.4. a)咫｝ = 0,4543,虑｝ = 0,2025; 6) fc^ = 0,4104,礎= 1,5052. 225 a) ^ = 0,0173; б) ^ = 0,0128.
Указана, rf^ 0,00435, crd- = 0,3386.
2
Цена актива ис может превышать у стоимости исходного портфеля.
Указание. Решить неравенство
0,06 : 吧6-0,06口
G% 值仃—2,4；+1
ГЛАВАЗ
* Предполагаемые форвардные нроцентные ставки
1.1. Предполагаемые форвардные процентное ставки 力 G®) приведены в таблице.
0,5
1,0
1,5
2,0_
3,0
г + 2
一
8,265 口
6,242
-
5,847
г + 3
2,197
-
-
4,6S8
—
г + 3,5
-
5,452
—
Указание. Предварительно определить рыночные цены облигаций при номинальной стоимости 100 долл.
ЗС7
Срок, годы 0,25Предпол а гаемая форвардная щ)оцентная ставкаЛ(/+О,25;0), % 5,4Срок, годы 0,25Предпол а гаемая форвардная щ)оцентная ставкаЛ(/+О,25;0), % 5,4
Срок, годы 0,25
Предпол а гаемая форвардная щ)оцентная ставка
Л(/+О,25;0), % 5,4
Срок, годы 0,25
Предпол а гаемая форвардная щ)оцентная ставка
Л(/+О,25;0), % 5,4
1,2. Предполагаемые форвардные процентные ставки^ {2, §, 0} црН. ведеиы в таблице.'
2,Q
4,0
t+2
6,071
3,945
1 + 4
1,841
-
Указание. Воспользоваться равенством
}if({2,s^в,(е)
2 丿-£($ + &}
13 ^(0,5)=6,009%,观 1,0) = 6,998畴，^(1,5)=7,753%, i;(2,0}=8,507%.
S
0,5
1,0
1,5
г+ 0,5
7,987
8,625
9,340
f + L0
9,263
10,016
(+1,5
10,769
-
Предполагаемые форвардные процентные ставки 另($, 6) приведены в таблице.
0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0
6,5 6,067 6,125 6,44 6,517 6,6 6,575
Срок, годы0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75
Предполагаемая форвардная процентная
ставка /(г+0,5;в),% 7,6 6,4 6,367 6J 6,74 6,8 6,743
Процентные ставки ij(0) приведены инже.
Срок, годы0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Процентная ставка ij (0), %6,0 6,25 6,5336,675 6,8 7,083
L& Предполагаемые форвардные процентные ставки £ {2; г + 0,5; ®} приведены ниже.
Срок, годы0,51,01,52,02,5
Предполагаемая
форвардная
процентная ставка
£(2"+0,5;®),% 9,0018,3007,7337,3758,000
1.7 /{4；г +2,1} =5333%.
Указание, Воспользоваться равенством
н*卜+如『h]+空叩
18 Воспользоваться основным свойством предполагаемых форвардных процентных ставок.
ЗД. Форвардные контракты н нх основные харат%рнстики
2*1+ Доход инвестора - 6 долл,
22 Доход инвестора - 110 долл.
2*3. Доход (выигрыш) инвестора (980 - 1000) - 2 * 980 Т,04 = =-2018,40 руб.
2.4.鳥= 3 55952,71 руб.
25 /кйр = -19,22 долл.
26 Стоимость позиции равна 0 руб.
2,7, Занять короткую позицию с ценой поставки 105 долл.
2+8. / = 33,50 долл.
33 Форвардные цены фннансошх активов с нэвестными доходами
3.L 耳(7) = 1911,99 руб.
.Указание. /(Г.Г*-Г) = 0,18.
АрбитражнаяАрбитражнаяЙКЙК^гия: длинная позиция в форвардном контрак-
Арбитражная
Арбитражная
ЙК
ЙК
те иа облигацию, короткая продажа облигации, инвестиция - ]773,84 руб. иа 6 мес. под безрисковую процентную ставку 15%.
3-2. Указание. 7M =(/Т)-К№%丁一“仃？
£(门=/d沁丁5心？
1{Т,Г-Т} =1{Т,Г-Т} =方(Т*т)СГ*т)-К：ГтКГ-О方(Т*т)СГ*т)-К：ГтКГ-О33343334^(/ + 0,5)=12,02%.Лор= -736,10 руб.Указание.^(/ + 0,5)=12,02%.Лор= -736,10 руб.Указание.4叩=24叩=23535m 1Арбитражная стратетя: короткая позиция в форвардном контракте иа рыночную процентную ставку при уровне испелнення 9%, ссуда в размерету на 8 мес. под процентную ставку1 +讐了m 1Арбитражная стратетя: короткая позиция в форвардном контракте иа рыночную процентную ставку при уровне испелнення 9%, ссуда в размерету на 8 мес. под процентную ставку1 +讐了
1{Т,Г-Т} =
1{Т,Г-Т} =
方(Т*т)СГ*т)-К：ГтКГ-О
方(Т*т)СГ*т)-К：ГтКГ-О
33
34
33
34
^(/ + 0,5)=12,02%.
Лор= -736,10 руб.
Указание.
^(/ + 0,5)=12,02%.
Лор= -736,10 руб.
Указание.
4叩=2
4叩=2
35
35
m 1
Арбитражная стратетя: короткая позиция в форвардном контракте иа рыночную процентную ставку при уровне испелнення 9%, ссуда в размерету на 8 мес. под процентную ставку
1 +讐了
m 1
Арбитражная стратетя: короткая позиция в форвардном контракте иа рыночную процентную ставку при уровне испелнення 9%, ссуда в размерету на 8 мес. под процентную ставку
1 +讐了
6%, инвестиция денежной суммы6%, инвестиция денежной суммыпроцентную ставку 7,5%.процентную ставку 7,5%.0■на 14 мес. под(号了0■на 14 мес. под(号了
6%, инвестиция денежной суммы
6%, инвестиция денежной суммы
процентную ставку 7,5%.
процентную ставку 7,5%.
0
■на 14 мес. под
(号了
0
■на 14 мес. под
(号了
3.6.3.6.Указание. При отсутствии арбитражных возможностей форвардная процентная ставка 耳(丁)= 9,517% > 严即(丁)= 9%./J(T) = 8L62 долл. > fJpblH(D-79 долл.Указание. При отсутствии арбитражных возможностей форвардная процентная ставка 耳(丁)= 9,517% > 严即(丁)= 9%./J(T) = 8L62 долл. > fJpblH(D-79 долл.АрбитраяснаяАрбитраяснаяEeiaEeia.атепи: длинная позиция в форвардном контрак-.атепи: длинная позиция в форвардном контрак-3737те на акцию при цене поставки 79 долл., короткая продажа акции, инвестиция - 80 долл, на 3 мес. под процентную ставку 8%.尸/⑺二 И 8,34 долл., Г ^{7) = 106,25 долл., 筛= 100・(106,25-118,34)尸歩书=-1140,49 допл.те на акцию при цене поставки 79 долл., короткая продажа акции, инвестиция - 80 долл, на 3 мес. под процентную ставку 8%.尸/⑺二 И 8,34 долл., Г ^{7) = 106,25 долл., 筛= 100・(106,25-118,34)尸歩书=-1140,49 допл.
3.6.
3.6.
Указание. При отсутствии арбитражных возможностей форвардная процентная ставка 耳(丁)= 9,517% > 严即(丁)= 9%.
/J(T) = 8L62 долл. > fJpblH(D-79 долл.
Указание. При отсутствии арбитражных возможностей форвардная процентная ставка 耳(丁)= 9,517% > 严即(丁)= 9%.
/J(T) = 8L62 долл. > fJpblH(D-79 долл.
Арбитраясная
Арбитраясная
Eeia
Eeia
.атепи: длинная позиция в форвардном контрак-
.атепи: длинная позиция в форвардном контрак-
37
37
те на акцию при цене поставки 79 долл., короткая продажа акции, инвестиция - 80 долл, на 3 мес. под процентную ставку 8%.
尸/⑺二 И 8,34 долл., Г ^{7) = 106,25 долл., 筛= 100・(106,25-118,34)尸歩书=-1140,49 допл.
те на акцию при цене поставки 79 долл., короткая продажа акции, инвестиция - 80 долл, на 3 мес. под процентную ставку 8%.
尸/⑺二 И 8,34 долл., Г ^{7) = 106,25 долл., 筛= 100・(106,25-118,34)尸歩书=-1140,49 допл.
3838Е(7)= 185,72 долл.
38
38
Арбнтраисная стратегия: длинная позиция в форвардном контракте на акцию с ценой поставки 180 долл., короткая продажа акции, инвестиция - 180 долл, на 8 мес. под процентную ставку 8%.
Прибыль 180/^-180-3,93е°°8^ =5,72 долл.
Арбнтг^ясная стратегма: короткая позиция в форвардном контракте на акцию с ценой поставки 188 долл., покупка акцнит ссуда в размере 180 долл, на 8 мес. под процентную ставку 8%.
Прибыль 188+3,93^°'°^^-180е°,да,2 =2,28 долл.
3.9.3.9.耳(7) = 31,49 руб.
3.9.
3.9.
Апбнтражйа^ стратегия: длинная позиция в форвардном контракте иа 1 долл, с ценой поставки 31 руб” короткая продажа
€ ' 12 долл., инвестиция - ЗОДе ' ” руб. иа 6 мес. под процентную ставку 15%.
Арбнтоаясн厶 стоатегит короткая позиция в форвардном кон-
тракте иа 1 долл, с ценой поставки 32 руб., покупка е " долл, н ссуда в размере 30,1 е』06令 руб. наб мес. под процентную ставку 15%.
Форварднме цены товаре»
4.L4.L召(7)= 11,204 долл.
4.L
4.L
Указаме. Ц =0,08+0,08^4 ^ +0,08^'^ 十 0,0必《噴=
=0,308 долл.
Арбитражная стратегия: длинная позиция в форвардном контракте на унцию серебра при цене поставки 11 долл., короткая продажа унцин серебра> инвестиция -10 + 0,308 долл. (0,308 - сэкономленные издержки на хранение) на 10 мес. под процентную ставку 10%.
.2 Аобмтражнал.2 АобмтражналHisHisтегия: короткая позиция в форвардном кон
.2 Аобмтражнал
.2 Аобмтражнал
His
His
тракте на унцию серебра при цене поставки 12 долл.* покупка
311
унции серебра и оплата хранения, ссуда в размере 10+0,308 долл, на 10 мес. под процентную ставку 10%4
4*2* 巴⑺=436*90 долл.
Указание. U, = 2,5+2,5е"'07 击 + 2,5е"'" *+2,5е""% = =9,743 долл.
а = 2,30%.
Указание^ 20,50啥=（18+0,441 W宣
44 F,⑺= 22,32 руб,
5. Указание, Рассмотреть следующую стратегию: длинная позиция в форвардном контракте с датой поставки Гг ссуда в размере （£5）+"（笃-方）州-1"一" на 々-П лет, ииьестиция этой суммы иа Г, - / лет, короткая позиция в форвардном контракте с датой поставки Т*
Сгохастнческнй днсконтирующнн мнспипсль и форвардные цены активов
5」* Q产5 = 1筠+24 + 1袴т
Указание, Если &+&$ = х圈 +*金？+*3金，то
г;+03（多）=黑］Mg: +x?m（畐g2）+&3/c偽），
， p:也5g） 7jM偽柒）+冷財貴+心mg加，
52p产5® = L6,成&"倡｝ = 07 p产5%） = 01
a） p；靑七） = 072 руб.; б） р；珞© = 1&72 руб.
6 卜 ^）=106,18.
55 /；р+^ 1=54,52.
Указание. Рассмотреть стратегию: короткая позиция в форвардном контракте на облигацию и покупка облигации. Тогда аеттt3 =м（耳中D：）=5（丁）m仪=耳（丁№可b一力"句
Фьючерсные контракты
6.L Доход 2400 руб, 6.2.
Дата торгов
Фьючерсная цена закрн* тин, руб.
Переоценка по рыночной стоимости
Прочие поступления
Сальдо счета маржи
03.09
50,20
-2000
10 000
8000
04.09
5О+4О
-2000
4000
10 000
05.09
49,90
5000
15000
06.09
49”
ноо
16100
0709
50,20
400
12 000
10,09
50,50
—3000
9000
1L09
49,70
8000
17 000
I2.09
49,76
-600
-16400
16400
-2400
6.3* Число дней в году принято 360,
Дата торгов
Фьючерсная иена закрн- тня, руб.
Переоценка ло рыночной Стоимости
Прочие поступления
Сальдо счета маржи
03.09
50,20
-2000
10 000
8000
04.09
50,40
-2000
3998,22
10 000
05,09
49,90
5000
15002,22
06.09
49,79
НОО
16105,56
07.09
50,20
400
12009,14
10.09
50,50
-3000
9017,15
11.09
49,70
8000
17019,15
12.09
49,76
-600
-16419Л5
16419,15
-2420,93
64
Дата торгов
Фьючерсная цена закрытия, руб.
Переоценка по рыночной стоимости
Прочие поступлепня
Сальдо счета маржи
02,071
397,00
-300
2000
1700
03,07
3%」0
-W
1610
04.07
398,20
210
1820
05.07
392,40
-580
760
2000
06.07
397,80
540
2540
09.07
398,40
60
2600
10.07
399,25
85
2685
11.07
398,60
-65
2620
12.07
397,45
-115
-2SO5
2505
255
3*8* Спекулятивные стратегнн на фьючерсных рынках
8J+ Стратегия: занять короткую позицию в 10 фьючерсных контрак* тах на акции.
Прибыль: а) -50 000 руб.; б) 40 000 руб.
185 руб.
6000 руб.
Стратегия: длинная позиция в двух контрактах на активы первого вида и короткая позиция в 15 контрактах на активы второго вида. Прибыль: а) 2200 руб,； 6)-1100 руб.
Стратегия: короткая позиция в пяти контрактах на активы первого вида и длинная позиция в 36 контрактах н浊 активы второго вида.
Прибыль: а) -5200 руб.; б) 13 400 руб.
Фьючерсные н формардные цены тимров
Ф/Т) = 1023,29 руб.
Указать. Ф,(Г) = £(『) = ($-乙)/疗？
$= 40「崛 + 40「“ + …+ 40「碎 +1000m圈
m如ё *必 二吟 +*，%』051用руб.
厶=40尸好靑 + 40е』'°片 + 40”叫 ^ 113,91 руб,
Ф((7) = 952,54 руб.
а) Ф,(г + 10) = 101,84； б) Ф,(/ + 10) = 97,84.
Указагше. Воспользоваться равенством
明《 + 期= со¥(Е+М,, D”°) + A/(E+|o4卜М9；+2}.
F* + Ю)= 100,16;①« + 1G) = 9&Z
Хеджирование позиций по исходным активам с помощыо фьючерсных контрактов
9Л.左* = 27,78%.
92 化* = 64%, N= 16контрактов.
Указание. Воспользоваться равенством к* = “С p(AS, AF). ег(М)
93. к* = 86,13%.
Указание^
F =©(隼 *) где cov(ry, rF) = 0t0149, aj =0t0171
94 _ a)尚=0,065,窗=0,092,閥)=0,0&
0,43075 -0,12 0,226、
A= -0,120.265 0,144 ,倒
0,2260J44 0,82 丿
ё1едж=(0.4114; 0,5886; 0);
в)瓦哪=(Q814& 0J85Z 0)；
г)взять кредит в размере 19,05% стоимости активов и сформировать портфель Охмж =(0,311^ 0,688^ 0).
Указание. Касательный портфель, соответствующий безрисковой процентной ставке 5%, имеет вид 0у =(0,3118; 0,6882; 0).
”. а) ^ = 0,034, ^>=0.016, Л= ^2 -芻
) &д»= (0,3381; 0,6619).
.1°. Хеджирование портфелей якинй с помощью фьючерсных контрактов на индекс акций
10+L 用-42. Доход от хеджирования составит 5000 долл,
^ = 6 контрактов.
Указание.网公=812 000, % = 1/3 8 5, Чистый убыток - 7910.
Ю.З. ^= 19 контрактов. Чистый доход - 22 600.
1. N= 12контрактов.
Указание. Ф1о (Г) = 900e(°,l-W^ = 918,18.
Доход 161 610- 177 400 = -15 790 долл.
Указание. Доходность индекса акций составит
‘尸 兴演 jQJ-l = -0,0348
Доходность портфеля акций за 3 ы^с. г^^^ + 叮二-0,0X87.
Убытки от портфеля акций - 177 400 долл.
1) У = 6 контрактов;
2} убытки составят 19 570 доля.
Указание, Доходность инвестиционного портфеля
万=rf-NL万=rf-NL尸的）尸的）ЛЛ
万=rf-NL
万=rf-NL
尸的）
尸的）
Л
Л
(% — доходность фьючерсной позиции, 〃 - доходность индекса акций). Бета-коэффициент инвестиционного портфеля
*8出；г/ COV(rpirt) Ф(0(П COV(Q(/>)_
= %-%£= %-%£匕。（丁）尸佈）匕。（丁）尸佈）
= %-%£
= %-%£
匕。（丁）尸佈）
匕。（丁）尸佈）
Хеджнрованке процеспиого риска с помощыо фьючерсных контрактов
^^ 14 контрактов.
Необходимо занять длинную позицию в четырех, фьючерсных контрактах на облигацию.
Указание. ^ =Указание. ^ =бООООО—м880 000бООООО—м880 0005,78,8-0,55,78,8-0,5=4.=4.
Указание. ^ =
Указание. ^ =
бООООО—м
880 000
бООООО—м
880 000
5,7
8,8-0,5
5,7
8,8-0,5
=4.
=4.
11.3.11.3.^= 18 контрактов.
11.3.
11.3.
Указание, Д = 3,76, Д-(Г-0 = 2,26, Фf(T)^92375,93.
^=3,
Указание, Rf) = 382092,94 долл,, Dp = 1,92,
ФДТ) = 982652,24 долл.
Чистый доход инвестора:
362479,62 - 382092,94 + 3(982652,24 - 975309,91) =2413,67 доля.
Облигации с пляваюшнмн купонными ставками
Поток платежей по облигации имеет вид;
Номер купонного
периода1
Платеж на конец купонного периода.
2
3
4
5
руб.12
11,25
11,70
11,78
312,30
ГЛАВА 3
134 4工务工0,2%.
8储
8.4%
一 Банк 鑑1 1
才 2.2. Q= 1011,88 руб.
Q= 5074,0 руб.
2= 201,01 руб.
0= 237,15 руб.
Q= 1055,57 руб.
Указание. Облигация с рыночной купонной ставкой эквивалентна чисто дисконтной облигации, срок до погашения которой совпадает со сроком очередного купонного платежа.
8.0%
A
熙)+ 0,7
3.13. Процентные свопы
13.L 5产我= 0,25%.
7.2%
叩｝705金
限)+ 0,5%
Плавающая процентная ставка равна р(2)+0,6%*
Платеж компании А:
Номер расчетного
периода1234
Сумма, выплачиваемая
в конце периода, руб. 34,7535,7536,2537,25
4 = % = 0,2%.
133 4 = 02 5> = 0,1%.
ЗЛ4. Оценка стоимости нроментных свопов
Н【)=—1,565 млн. ДОЛЛ4
Уклзани^ Стоимость облигации с фиксированной купоиион ставкой 6]Н) =119,0371 мли руб, стоимость облигации с рыночной купонной ставкой В2(/) = 120,6021 мли руб*
142 НО = 648,9 тыс. долл.
Угж^ше. Временная структура процентных ставок:
г (0,5) = 0,057175; г(1,0) = 0,058161; Г(1,5) = 0,061160;
г(2,0) = 0,063171.
Ставки дисконтирования при непреръшиом начислении на 0*3; 0,8;
1,3； 1,8 года соответственно равны 0т058016; 0,057357; 0,059911; '0,062677.
1. И0 = 50 тыс. долл.
Указшаи. Временная структура процентных ставок: г(0,5)^0,07363; г(1,0) = 0,07461; ?(1,5) = 0,07460;
г(2,0) = 0,07562; г(2,5) = 0,07665.
348
319
Ставки дисконтирования при непрерывном начислении на ]; 7； 13; 19; 25 мес. соответсгвеиио равны: 0,06581; 0,07413; &07456; 0,07471; 0,07583.
2. Форвардные ставки LIBOR: 7,696, 7,648, 7,648 и 8,094%.
Р{£)= 179 тыс. долл.
Указами^ Ставки дисконтирования при непрерывном начислении на 0,35; 0,6; 0,85 года соответственно равны 0,063960; 0,065330; 0,064565.
Г(О = 1,1815млируб,
Убытки банка составят 466 311 руб.
Указание. Убытки банка оцениваются следующим образом:—
2020 Q09 2I21
-2+卜号+仃崎 "阴r)
产二 3,09.
Указание, Инвестиционный портфель эквивалентен портфелю, состоящему из: длинной позиции по исходной облигации, короткой позиции по облигации номиналом 5000 долл, с фиксированной купонной ставкой 7% н длинной позиции по облигации номиналом 5000 долл, с рыночной купонной ставкой " (I)： 2)『施=4,044, D界11 =3,3 8 7, 141ML=0,9 3工
14Ж 7>юв = 1,42.
Указание Инвестиционный портфель эквивалентен портфелю, состоящему из: длинной позиции по исходной облигации, короткой позиции по облигации номиналом 8000долл, с фиксированной купонной ставкой 7% и длинной позиции по облигации номиналом 8000 долл, с рыночной купонной ставкой " (2):
542g 二处畸期
PjM =1,930 (внутренняя доходность облигации - 7%>, Р^ =0,483.
3.15. Валютные свопы н их оценка
4 = & = 0,[2%・
а) 1960 руб.; б) 1800 руб.; в)-120 руб.
Г(/) = 463 849 долл.
Укязяние. Р(『)=В®) - с声★), где В((г) = 99,6068 86 или долл,, »2(力=55,079465 млн английских фунтов, с尸 1,8.
ГО) = 591 008 руб.
Указание. F(r) =： B}(i)-c,B2(i), где 口«)= 10,703257 млн руб., В#} = 50,561245 млн иен, cf = 0,2 руб.
ГО) = 86 893 долл.
叫)亠32027,56 руб
Укозагте.尸(力=(15 200 ■ 29,8 - 585 000)^152'1 + (15 200 • 29,6 -
-58$ 000)产 * + (15 200 • 29,5 -彌 W)^^3 + »95 Ж-2^- -10 5 8 5 000)i5 4
Убытки фимансового института составят 680 000 долл.
ГЛАВА 4
Классические ониноиы и пх основные характернстикн
片」&-¥，если
а-[х-5丁, если ST<X,
Указание. Показать, что доход от рассматриваемой позиции совпадает с доходом от длинной позиции в форвардном контракте.
I. Х\£Х>
Х& J * если 5「之 Х|, d- Х2 -X], если X] < Sr £ Х2, Sy — XI, если §т > X】.
%>*2，
*，看，Х2<5г<Х1,*，看，Х2<5г<Х1,Х?-%，если d =，0,- если
*，看，
Х2<5г<Х1,
*，看，
Х2<5г<Х1,
ST一片，если
1л. к х1 ^ х2.
ST<XhX, <Sr^X2, 5T > X2.ST<XhX, <Sr^X2, 5T > X2.ST-X2,если
ST<Xh
X, <Sr^X2, 5T > X2.
ST<Xh
X, <Sr^X2, 5T > X2.
d= 2Sr -Х| -Х2* зн5Т - X],если
Х{>Х^
ST - Х2, еслиО, если5Г -Хр еслиST - Х2, еслиО, если5Г -Хр если5Г<Х3,*2 < s『М X], 57 >X].5Г<Х3,*2 < s『М X], 57 >X].
ST - Х2, если
О, если
5Г -Хр если
ST - Х2, если
О, если
5Г -Хр если
5Г<Х3,
*2 < s『М X], 57 >X].
5Г<Х3,
*2 < s『М X], 57 >X].
а）刑=2,80 долл.; б） я = -9,20 долл,
а）甫=1,14 долл.; 6）甫=*Д86 долл.
Паритет цен екропейсжнх опционов
2,037 <р<46,118.
Арбитражная стратегия: покупка европейского опциона «пут» по цене 1,8 долл., покупка исходной акции по цене 48 долл., кредит размером 49,8 долл, на дюк 6 мес.
Прибыль: 48 + 3,92 е°М& - 49,8 卢我 °，= 0,24 долл.
D = 4,833 доля., 3,757 < с < 95,167.
Арбмтра*ная стратегия: тюкупка европейского опциона «колл» по цене 3 долл , короткая продажа исходной акции прн цейс 100 долл., 97 долл, отдать в кредит на 10 мес, под процентную ставку 7%.
0,07—0,07 —
Прибыль: 97е 以 一4,83兔 12 -96,90 = 0,803 долл.
2+3, £» = 4,857 долл,т р = 6,39 долл.
Арбитражная ётоатегня: покупка европейского опциона «пуг» по цене 3 долл., покупка исходной акции по цене 29 долл., продажа европейского опциона «колл» по цене 2 долл., кредит в размере 30 долл, на срок 6 мес. под ставку 10%, ГЬкбнпь: 30 + 4,857 ?=* °'5 - 30 J」* = 3,57 долл.
Арбитражная стратегии цроп.а*а европейского опциона «пут» по цене 8 долл., покупка европейского опциона «колл» по цене
долл., короткая продажа акции при цене 29 долл.» 35 долл, отдать в кредит на срок 6 мес. под ставку 10%.
ТЪнбыль: 3 5』」暗-30-4,857 е0,|'0,5= 1,688 долл.
D = 0,992 долл.
Указание. Из паритета цен европейских опционов найти цену одного опциона, считая, что цена другого равна 3 долл.
Если с = 3 долл., тор = 4,498 долл.
Арбитраокная стратегия: покупка европейского опциона «пут» по цене 3 долл., покупка исходной акции по цене 19долл > продажа европейского опциона «колл» по цене 3 долл., кредит в размере 19 долл, на срок 3 мес. под ставку 10%.
Прибыль: 20 + 0,992е°Д^ -19е0，1У = 1,536 долл.
р = 14,98 долл.
Арбитражная стратегии： продажа европейского опциона «пут» на 1000 английских фунтов при цене 16 долл., покупка европейского опциона «колл» на 1000 фунтов по цене 10 долл., короткая продажа 1000 е"0* * фунтов по цене 1,78 долл., отдать в кредит
1000е ' 121J8 +16-10 = 1756,58 долл.
Пвнбыль: 1756,58 ^°06 ^ -1000 t& = 1,05 долл.
с > 14,729 долл,
43 Арбитражные соотношенпя между ценймн европейских опционов (щйого вида
4,32 <с <9,
1,20<^<7,75.
3200 <q <4,114; 1,25 < с2 < 2,80.
3<^| <3,625; 4 <^2 < 4,5.
с < 3,0.
р < 8,125.
При отсутствии арбитражных возможностей с (102) < 2,795 долл. Арбитражная стратегия: продажа 10 европейских опционов «колл» с ценой нсполиення 102 долл., покупка трех европейских
опционов «колл» с ценой исполнения 95 долл, и семи европейских опционов «колл» с ценой исполнения 105 долл,, 7,05 долл, отдать в кредит на 3 мес. под ставку 8%.
Прибыль： 7td5^°^ ~^m^{ST -102,0| + 3max(ST -95,0} + +7 max (ST -105,0} > 7,19 долл. US^.
4.4. Спекулятивные стратегии ня рынке европейских опционов
4.1.
Для спреща «быков»
-0,21, если я='"~10,21, если
1,79, если
Для спреда «медведей»
“MIO, 10<5г£1Л
Зт >12.
5Г <10,
10 < S「М12,
S7 >12.
笈=
0,21,
10,21-»,
-U9,
если если если
4.2.
-0,52,
если
»М15,
ST-15,52,
если
15vS_17J
19,48-5г；
если
17,5 <ST^ 20,
-0,52,
если
+ > 20.
л = max{X| -Sr, 0}-тах{У2-ST, 0}-тах{У3-ST, 0} + +тал爲一&, 0}+(比+門一彷-门"细?
если спред «быков» состоит из опционов с ценами испопнеиия X〕и 拓,不 < %, а спред «медведей» - из опционов с ценами исполнения & кХ4>Х3< 爲.
44 霏_5T + 苏(57)一523& если 5r < 50, Р2 (ST)-2,08, если 5Г > 50.
4 5 小 (39,695^5^, если ST<50, 」［-60305, если »>50.
Sr = 39,695 н S产 60,305,
46[46,796-%,если%£ 50,
冗={-3,204,если50 < 5ГS 52,
[5Г - 55,204,еслиSr> 52.
Убытки будут при46,795 <ST<55,204.
-i.025.
если
ST£ 20,
5厂21,025,
если
20<Sr< 30,
8,975,
если
30<5г<40,
48,975 Y,
если
40<5rS50,
-1,025,
если
$т >50.
Sr& (21,025; 48,975).
5, Арбитражные свойства цен американских «шшенов
5」.Указание. Проверить
ЗМ2(ю{1-”嗚)
2М200 j-L%}
/) < 1,49 Лолл.
С> 5,10 долл.
54 С > 3,01 долл.
Указание. Доказать, что исполнять дслрочно американский опцион не оптимально.
2,05< CS6,60.
1,68 < PS 3,97.
Указание Для доказательства неравенства院-利寸一力-X <С-Р рассмотреть портфели А и В.
Портфель А. Покупка американского опциона «пут» и покугн кае~式7'-‘)единиц исходных активов,
Портфель В. Покупка европейского опциона «колл», аналогмч^ ного американскому опциону «колл», и нивестмция денежной суммы X под безрисковую процентную ставку.
Для доказательства неравенства С - Р 5 5 - Xe~TiT~l) рассмотреть портфели А' н В'，
Портфель А〔 Покупка американского опциона «колл» и инвестиция денежной суммы *e-"f под безрисковую процентную ставку.
Портфель BJ. Покупка европейского опциона «пут», аналогичного американскому опциону <шут», и покупка исходных активов.
4・6. Простейшая модель оценки производных финансовых инструментов «европейского типа»
с = 0,805 долл., р = 2J38 долл.
Указание, и= 1,1515,(/= 0,9697,言=0,2735.
с = 2,052 долл., р = 0,898 долл.
Указание. w= lf08, d = Q,96, £ = 0,5332.
63 р = 7,17 долл.
Указание. w= 1,0111, d = 0,97 22, л = 0,8781.
д) П = 6,99 долл.; б) П = 13,13 долл.
Следует продать 20 европейских опционов «колл».
Указаны. Чтобы хеджировать исходную позицию, необходимо продать л опционов «колл», где
Su-x max{S н-£, 0}= 5d-xmax{5d- £, 0},
Необходимо купить 6,6 акции.
Оценка производных финансовых инетруменпш «европейского типа» в условиях биномиальной модели
XI. а) я* = 0,8187, с = 2,14, р = 0,98.
83,232
81,8
с
[2627| 0,448
3,232 0
77,520 |0|2,48|
78 |0|3,420|
72,200|О|7,В|
б) я* = 0,7838, с = 2,32, р = 1,17.
|2,32|1"]
83,232
|3上19410,20而1
О 2.0926
76,0
1吐3题71|
6859
ВИИ
79,0704
101口血96|
73,644 |0|$,356|
81,6
10.60621
72,200 血方^ё
84,8966
[4,89661。|
|W 1L4LI
7.2* я* = 0,5392, с = ”6 долл., р = 6,9057.
262,1592
66,15921。]
19ffД2 / 一 ：
160,8714
149,6104
価 5274a ]
172J324
10] 23,8施
198,A些 12,04481 6]
227,呼 ]31,85标I。|
245,0086
149195491cH
15,6791112,43 河
172,98
17,9768 0
12.951
[23,3158而侧
228,98
威9408|0[ 214,0
200
H5,0^6「6・90S7]186
73 е = —!_^[66,1592•(&5392)4+4 316582曲5392)3 &4608 +
+6-^0448 ■ (0,5392)2 ■ (0,4608)2 ] = 15,0687;
p = —^-E46,3896 (0,4b08)4 4-4-23f8676 0,5392 (0.4608)3] = (U尸
= 6,9055.
с = 41,221 долл., р = 21,657 долл.
с = —!-г [213Д215 (0,5260)6+6 142.0187 (ОЛ260)5 0,4740+ (L08)1
+ 15-73,7042-(0,5260)4 (0Л740)2 4-20-8,0681-(0,5260)3 (0,4740)3];
Р = —Ц-- П5 ■ 54,9927 ■ (0,5260)2(0,4740)d 4- (1Q8A
+ 6 115,5813-0,5260 (0*4740尸 +173,7938-(0,4740)*].
7*5. с = 41,234 долл.; р = 21,679 долл.
Указание, я =0,5260;
『029,5260儒卜0,53596;'儻:黑
В(а 3, п ) = (0.5260)6 + 6 -(0Д260)5 ■ 0Л74О+
+ 15 (0т5260)4 (0,4740)2 +2仆(婚2596户(0.4740)5 = 0,7036;
5(6, 3, ^) = (0t53596)6 +6-(0,53596)5 0,4640+
+ 15(0I53596)4 (0t4640)2 + 20-(0r53596)3 (0,4640)3 =0f7210..
П = 13,31 долл.
Указание, я = 0,4630；
П = —Ц- [19;8972 (0f463O)4+4 16,6515 (О,463О)3 0^370+
+ 6 13^792 (0,4630)2 (0,5370)2 +4 113196 0,4630-(0^370)54-
328 +9^189 (0,5370)4].
238,336238,336彳 5,309410|彳 5,309410|138,33€ [О138,33€ [О5用＞6]iQ,?g可5用＞6]iQ,?g可206,4 妳1包416[出206,4 妳1包416[出h,a236 15.7h,a236 15.7178.771178.771[0| 21,229|[0| 21,229|
238,336
238,336
彳 5,309410|
彳 5,309410|
138,33€ [О
138,33€ [О
5用＞6]iQ,?g可
5用＞6]iQ,?g可
206,4 妳
1包416[出
206,4 妳
1包416[出
h,a236 15.7
h,a236 15.7
178.771
178.771
[0| 21,229|
[0| 21,229|
48 Оценка стоимости «1чернканскнх опционов в условиях биномиальной мццелн
8」.С= 5,606, Р= 10,799.
Указание. л*= 0,2924, 1 -я* -0,7076.
а@)=а@)=
а@)=
а@)=
c = C= 13,473, p^H,597,尸=11,850.
&3, с = 12,091, С = 12,510,夕=16,220,尸=16,266.
с = 6,897, С = 8,232, р = 15,694, Р = 15,694.
Понятие о случайных процессах. Внперовскнй случайпый процесс
Траектория случайного процесса & имеет следующий вид:
если п((в) = Т
если п(®) = -1
Сечение случайного процесса
т + 1 с вероятностью %,-т+1 с вероятностью %
9.2* Траектория случайного процесса 彳 имеет следующий вид:9.2* Траектория случайного процесса 彳 имеет следующий вид:94959.6.94959.6.
9.2* Траектория случайного процесса 彳 имеет следующий вид:
9.2* Траектория случайного процесса 彳 имеет следующий вид:
94
95
9.6.
94
95
9.6.
代％ ®) <2} = ”73%; Р{1 М 叫力®) < 2} = 15,47%;
尸他(砌 >3} = 1,69%.
М(П±(йО) = 0, Vt€(0, +8); D(q,(&))設［^］厶 Vt e ［0, + »).
9.7* Указание, Если г < J, то
cov(h»t> »Vj) =cgv(H7 - *0, w, - tvT + H»t -w0)=
ОО11= cov(咦叫一旳)=匸
О
О
1
1
Процесс геометрического броуповского двнженш
10.1 ♦ a) M(S{+必)=10,05 долл.; M{St¥ ко)- 10,10 долл.;
№$ +1,5)工 10,15 долл;
Р{9,8 М 笠 + ] о М 10,2} = 0,0786;
P{1OJ<S, + 15< 103} =0,0316.
Ю.1. a) M(S『+ 04) = 52,04 доля.; M{Sf + 08) =54,16 долл.;
Af(5, + и) = 56,37 долл;
Р(50,5^5, + 04<52} =0,0920; Р{49 £5( + 0ф6< 51} = 0,0820.
<7ГОД = 43,22% (число дней в году 260, % = 2,6804%).
% = 1,6109%; %, =25,98%.
а) й3 =^； из= 1,09046, / =0,91704,冗;=0,49588;
с = 4,01 долл,; р = 2,57 долл.; С = 4,01 долл.;尸=2,62 долл.;
б) % =^；齿= 1,06938, d$ =0,93512,芯=0,49680;
с = 3,91 долл.; р = 2,47 долл,; С = 3,91 долл.;尸=2,53 долл.
a)质=^； w3 =1」5527,砲=Q8656a 元;=0,47445;
с =6,16 долл.; р = 4,73 долл.; С= 6,16 долл,; Р = 4,77 долл.;
б)先=^； u5 =U1829, 4 =0,89422,冗;=0,480207;
с = 5,99 долл.; р = 4,56 долл.; С = 5,99 долл,; Р = 4,62 доли.
Модель Блэка-Шоулса для оценки европейских опцнонов
П-1, а) и4 = 1^0167, & =0,8321& 冗；=0,47289；揖=0,56436;
左4 = 3； 5(4,左4,邦：} = Ц27297; В(4, А4, я4 ) = 0,41467;
/ =146183,乙=0^6071 危=0*47784; яб =0,55263;
取=4; 6(6,网，就)= Q3D317; 5(6, Лб, ^) = 0,44684;
w8=U3872, rf8 =0,87818,脑=0,48080;鳥= 0,54562;
火井 5; B(8,际冗；)= 032215; 5(8,統 ffg ) = 0,46674;
lim B(n, kn,花：)=0,4354, fim 褊九} = 0,5811,
4 =0,204 7, dz =-0,1627.
с = 24,39 долл., р = 22,93 долл.
Укатиие. 4t = 0,1113, d? = -0,0619, n(由) = 0,5443, N(d2 ) = 0,4753, w(-乩户0,455工 %(-&) =仇5247.
с = 5,02 долл., р = 1,55 долл.
с = 23,17 殴лл., р = 32,78 долл.
с4 = 4,73 долл., Р4= 15,33 долл, с = 5,36 долл., р = 15,96 доил.
Свойстм стоимосген европейских опцпон» в мотели Блэкя-411оулса
^ ：|3阮爵=°W A"阳乎33"
12.2.12.2.亲"鹏票=0侬& >=-Й^需心Q亲"鹏票=0侬& >=-Й^需心Q
12.2.
12.2.
亲"鹏票=0侬& >=-Й^需心Q
亲"鹏票=0侬& >=-Й^需心Q
123123{^)=4,8433,《"=4,8158, {"=4,863L c(g)=4<9214, (?(1) = 5,0036.
123
123
124124曳=05125; a) ± 0,51 долл., б) ± 1,02 долл., в) ± 2,56 долл.
124
124
12.5.12.5.I. Указание. Воспользоваться неравенством oma^S-Xe-7^, 0}.
12.5.
12.5.
2. Указаяк^ Показать ^―二2. Указаяк^ Показать ^―二|^* если 8<М
2. Указаяк^ Показать ^―二
2. Указаяк^ Показать ^―二
—-1, если S>X
QS
и исследовать эту производную.
12*6. 1. Указание^ Например, рассмотреть европейский опцион «пут» иа бездивидендную акцию при следующих данные：
『_£ =泾，Х = 120 долл., 5 = 100 долл.,(т-40%, ^ = 8%.
Эр .
2 Указание, Показать =2 Указание, Показать =т^+1, если $<Х,
2 Указание, Показать =
2 Указание, Показать =
Эр
俞 если S>X
и исследовать эту производную.
Неявная (предполагаемяя) волатильность исходных акппов
аи= 18,91%.
ан=Н27%.
а) ст 产 24,32%; 6) е = 1,54 дслл.,尸=0,40 долл.
134 а) <7 广 33,43%; б) Р = 6,96 долл.
Указание. Рыночные н теоретические стоимости опционов удовлетворяют паритету цеи:
сРнн 一尹晔н =&-№F-Xe-*F,
Тогдас₽ь,н-с = /ин-Р.
13.6. <тн= 10,96%.
Оценка стоймости опционов на фьючерсные контракты
с = 8,53 долл.;р = 12,35 долл.; С= 8,70 долл.; Р= 12,61 долл.
Указтае. Для оценки стоимости ам^иканских опционз рассмотреть 10-этапную биномиальную модель с параметрами «(0®Ц3545Д dXQ =0^80704, ^ =Ц468285.
334
с = 82,33 долл.; р = 62,86 долл.; С= 83,18 долл.; Р = бЗ,16 долл. Указание. Для оценки стоимости американских опционов рассмотреть восьмиэтапиую биномиальную модель с параметрами a8 = l,041670, d$ = 0,960000, лг； =0,489809.
Указание. Воспользоваться паритетом цеи европейских опционов: g -р = Фе"С)-熬"А".
Указанае. Воспользоваться неравенством для цен американских опционов на активы с постоянной непрерывной дивидендной до- ходностью.
с = р~ 5,76 долл.; С = 5,76 долл.; Р = 5,76 долл.
Указание. Для оценки стоимости американских фьючерсных опционов рассмотреть восьмиэтапиую биноммальиу к> м одель с параметрами иа = 1,054464, rfa =0,948349, ^J = 0Д8674&
Оценка стоимости фмпансовых инструментов, производных от якиай с {ввеспшмн днвцдешюяш
с = 7,92 долл.; р = 8,01 долл.; С = 8,07 долл.; Р = 8,39 долл.
С = 1,41 долл.
Указание,. Можно упростить расчеты, если учесть, что после выплаты дивидендов американский опцион эквивалентен европейскому опциону.
с = 3,13 долл.; р = 3,32 долл.
Указание. Воспользоваться формулами Блэка-Шоулса.
Еслн1 + «-1)%<П$1 + 1 也，£ + ("-1Ж1V 马 0Г +必# то
& =工
X s『+&Th丛’及м厶，小
&+"% = e砲7犷|「乐
£+牡” =&+他T丸也- %
При 1 < А < /| случайная величина 5r+t^ принимает зиаченвд S《d：T сверсмгтностыоск；。-%)"' j = &L2,…，先，
При Z, £ 火 v /2-1 случайная величина S,+叫 принимает значение @《『『®*d屮
е вероятностью 4产：(1 - % )厶 Г 也产/ (1 - % )紀小t,
Прн 12<к<п случайная величина принимает значе- иие К$4 力т -R) * d尸г -А時力 с вероятностью
i = 0」,2，…,/|,尸 0,1,2,…，4一4，сг=0,1,2,*./-4 f. 15.5+ a)c = 9,89 долл.;广=13,01 долл.； 6) с = 9,06 долл.; р = 12,18 долл. 15而.С = 10,58 долл.; Р = 1S,44 долл.
Простепшне схемы хеджнрованлп
ОИЦНОННЫХ ИОЗИЦНЙ
Чистая приведенная прибыль: а) 0,325 долл.； б) 1,3^1 долл.； в) -0,662 долл.; г) -1,649 долл.
Чистая приведенная прибыль: а) 9,4? долл.; б) 1,67 долл.;
в) -2,23 долл.
163 Чистые приведенные затраты равны 1,152 долл.
Чистые приведенные затраты: а) 0,49 долл.； б) 0,24 долл.
Дельта-коэффпциенты производных фмпялсовых инструментов.
Дсльта-хеджпрованпе
17.L а) Дп = 614,34.
Указание. Д^ = 1,061837» Д = -0^17096;
Дп =500 - 1,061837 - 200 (-0,417096) = 614,34;
6> необходимо продать 614,34 акинн.
172* ^ =0,5406, А； =-0,4307.
ззв
ответы.указания! глава^
173 а) Дс = 0,253823 (американский опцион эквивалентен аналогичному европейскому опциону);
б) необходимо купить 25 382 акции.
Указание,
，嗚 аза
lim M$) =产 Su
-沌(S) 一 1
込® =_丄产Т）尚
as? 疡
学典＞g при QvScS* и as2
с 0 при S V S •
Указам*
lim 4(5) = 7加? lim Д_(5) = 0;
StD+0 产St+» 戸
Указание, Ом & (T-t)<［；
* 辰so-vr-7
*^ = "^，，而^［訪Z”}
О, 「2^7)= g 1, (』*Oh
если S<Xt если S = X, если S > X.
现i2bg)%卜“卜1"卜£.
Указание.
17.5.
^^Т-^ -^
鼎宀…匸Q
если S<Xy если S - X, если S >X.
a%d)
"(4) 2<г(Г-О^
176 а)Дп = -15 500;
необходимо купить 15 500 японских ней;
необходимо купить 16 фьючерсных контрактов на японские иены (Дг = 990,05}.
18*3.18*3.
18*3.
18*3.
. а) ДР = -0,4794; б) необходимо продать 4794 акцин,
* Чистая приведенная прибыль составит 131 340- 78 705е~°'°"豆= =53 313 долл,
Указание. Стоимость проданного опциона равна 131 340 долл.
Расчет накопленных издержек приведен ниже.
Номер недели (0
Дельта- коэффициент 3叫
Количество акций в портфеле (xj
Накопленные издержки ①力долл.
0
0,639344
31967,2
1598 360
0,616111
30805,6
1543 397
2
0,824523
41226,2
2087 942
3
0,535161
26758,1
1368 154
4
0,426956
"347,8
1105 754
5
0
0
78 705
17А Чистые приведенные затраты составят 304019,6 долл.
Указание. Стоимость проданного опциона равна 205280,1 долл Расчет накопленных издержек приведен ниже.
Номер недели ⑴
Дельтакоэффициент △"
Количество акций в портфеле (х;)
Накопленные издержки (б^долл.
0
-0,561349
-56134,9
-4153982,6
1
-0,405033
-405033
-2975363,6
2
-0,798506
-79850,6
-5826432,5
3
- 0,184796
-18479.6
-1117391,2
4
-1,000000
-100000,0
-6987556,5
4Л8. Гамма-коэффициенты пронзв<щных финансовых инструментов.
Гамма-хеджпрование
1&I+ 1.ДП 二 614,34, Гп = -11 餌
2.蜀,долл.-2,0-1,0-0,50,51,02,0
Ж далл. -1250,76 -619,86 -308,55 305,79 608,82 1206*60
182 Т^= Г* =0,011767.
340
Г= 1246,21.
Указание. Американский опцион «колл» на бездивидендные акции эквивалентен европейскому опциону на эти акции.
18.4. 1. Дп = 1900, Гп = 4050.
Для дельта- и гамма-иейтралиаацнн портфеля необходимо продать 280 фунтов стерлингов и 2700 биржевых опционов на фунты стерлингов.
18*5. Покупка 181 560 биржевых опционов «колл» на акцию и продажа 127 826 акций,
Указание. Л = ~Ш83,9, Г= 17412,3, Дг = 0,346674, Г6 = 0,095904.
1.Д = ^793Л Г = 256,76.
Указан% 吕⑴=3,942, Pj(O) = iQ,378,尸之⑵=1,535, 力⑴=6,200, ?2(0) = 14,342
ДБ, долл,-2,0~1,0-0,50,51,02,0
ДП, долл.10 10149222429- 2365-4665 - 9074
Указан峭 lim「(5) = 0, 1汕 Г(5) = 0；
St0+0f->2
as 标 s oJt-7 J
|^>Q при SvS* н 卷<0 при S>S
U1
18.8.18.8.lim Г=Гн-ИИ-Оlim Г=Гн-ИИ-ОО, SvX, + 8, S=X, о, s>x.О, SvX, + 8, S=X, о, s>x.
18.8.
18.8.
lim Г=
Гн-ИИ-О
lim Г=
Гн-ИИ-О
О, SvX, + 8, S=X, о, s>x.
О, SvX, + 8, S=X, о, s>x.
lim Г = 0.
Коэффициенты6, р иЛ производных финансовых инструменте»
@ = -14613,01, р= 167004,31, Л = 154015,75.
19-2. 1. Для Д- н р-нейтральиости необходима покупка 29 414 акций и 3680 биржевых опционов;
Для А- и Л-иейтральносги необходима покупка 4826 биржевых опционов и продажа 11 48S акций.
Указание, Показатели проданных опционов:
△ = 36773,5, р = 73599,3, Л = 241307,2.
19.3. 1.ДС =-4373,9 долл.
Указание.
АС =>е~ + Л 0,1 + pC-O^OOS); е = -399424,3,
ДС * - 13105,5 долл.
Указание.
АС -е ^.+Д-(-0^) + Л 0,008.
194 1. Купить 1740 японских иен и продать 2200 биржевых опционов.
Продать 3300 японских иен и купить 2000 биржевых опционов,
Купить 300 ялонскнх ней и продать 1000 биржевых опционов.
1丸&
Указание
Dm A(S) = 0, Jim A(5) = 0f
as[ bgr
欝之02次м欝vOWaS：
Указмие. п - §d , хи,,、
^с~W-rXe 27现（弘）
旅m*₽，露=-;■好0M（4）+f^刃口加（-必）.
s晚。，OF*产叫册Л（5）=6
.2Q. Страхование портфелем акций с помощь» опцноиов ня индексы акций
20.L 1. Необходимо купить 320 12-месячиых европейских опционов «пут» на индекс SP-500 с ценой исполнения 494.375.
. Затраты на страхование составят 993256 долл.
.2. Необходимо купить 320 шестимесячных европейских опционов «пут» на индекс SP-500 с ценой исполиения 497,1875.
1. Необходимо купить 480 девятимесячных европейских опцно- нов «пут» на индекс SP-500 с ценой исполнения 445,96.
Необходимо продать 39,09% портфеля акций.
•20.4. 1. Необходимо купить 233,3 трехмесячных европейских опционов «пут» на рыночный индекс акций с ценой исполиеиия 582,43. 2. Необходимо продать 38,44% портфеля акций.
4.2L Бниомнальнйя модель эволюции нроцентиой ставки
3.L
2LE В = 197,73 долл.
Указание Необходимые расчеты приведены на рисунке.
1193,97181
154952%
|196,6750 12,5334%
”0% 119773|
8,0%
200,81 М|
|1989 仃1[ 10,1378%
191,8927|
8,9014%
城0951| 11.4635%
麻,4144]
7,5% 麻,4153|
11872014] 15,1173%
197,0514
,&9i>5%
192,55111
194,7714
9,2723%
213 a)务=7%, & = 7*25%,出=6,8%；
6) $ = 7%,伪之 6,85%,务=6,08%;
214 4 = 6% 济=6,5%, & = 7,5%.
2*5 尹=100,44 долл.(尸=100,45 долл.)
21，6.m（玄（川）=仇 —_
[190,7309119,1569%
Указааие. Форвардная процентная ставка /S)принимает зна- чения
&* 5户、5内而4,…&ё绻一旧兄，5GMM
соответственно с вероятностями
4.22. Оценка стоимости опционов па облигации в условиях бниомнальнон модели
22.1. е = 7,20 долл., р = 4,95 долл.
Указами* Биномиальная модель процентной ставки и эволюция стоимости облигации приведены на рисунке.
|20076Й]
8,2%
b（融（初二队b（融（初二队
b（融（初二队
b（融（初二队
с = 7,38 долл., р = 19,22 долл.
с = 2,40 долл., р = 2,03 долл.
? = 5*53 долл., р = 439 доял.
22*5. с =1,87 доля., р = 11,75 долл.
347347346
347
347
Оценка стонмостн облнгяпип в встроеммымн опционами
а) Д = 463.63 долл.; 6)疗= 502.12 долл.
23+2. а) В = 488,67 долл.; 6) 5 = 501,32 долл.
«Спред с учетом опциона» составляет 12 базисных пунктов,
«Спред с учетом опциона» составляет 20 базисных пунктов.
а) Г= 13,74 долл.; 6} »У= 9,31 долл.
a) U = 4,29 долл.; б) (У= 4,88 долл.
а) стоимость облигации со встроенным кэпом равна 489,63 долл.； б) стоимость облигации со встроенным флором равна 502,57 долл.
Оценка стонмостн корпоратнв1шх ценных бумаг (простейший случай)
a) S, = 57,85% мли долл.;鸟=42,15% млн долл.; б) Я( = 4,77%.
а) Яг = 5,68%; б) Я,=岂45%.
2 4.3. а) Я, = 4,05%; б) Н( = 4,78%; в) Н, =4,62%; г) Н, = Зт70%.
а) Н尸 0,93%; б) Н尸 2,55%; в) Я( = 7,42%.
a) Ht = 5,29%; б) Ht = 5,00%; в)凡=4,34%; г) Н{ = 2,65%
4+25, Оценка стонмостн корпоративных облигаций на основе модифицированной бпномиальвон модели
1. 92,6633 млн долл.
Указание. ы = 1,326896, rf-0,753638,冗*=0,491893.
Модифицированная биномиальная модель имеет следующий вид.
126,231712123,365520126,231712123,365520222,250409222,25040970,06799670,067996
126,231712
123,365520
126,231712
123,365520
222,250409
222,250409
70,067996
70,067996
Премия за дефолт-риск Я = 8,615%
Указание. Решить уравнение 4е 2 4-104е-<* =
=92,6633.
Стоимость акции равна 37,3367 млн долл,
В = 88,09 или долл., Я = 7,58%.
Указание, н = 1,326896, d = 0,753638, ?г* = 0,491893,
Модифицированиая биномиальная модель имеет следующий вид.
288,268700288,268700222,250409222,250409172,496480172,49648013013092.97301492.973014В&.067996В&.06799644,03771444,03771433,18349533,183495117,463431114,597141117,463431114,597141213.482219210,615766213.482219210,61576665,087814201,76612765,087814201,76612763,459902107,92769263,459902107,927692119.623576206,31249?119.623576206,31249?61,29975758.43346761,29975758.433467114,597241111,730951114,597241111,73095163,268763,72816463,268763,728164155,86187491.364825155,86187491.36482572816417,250409 …160,861874126.23171272816417,250409 …160,861874126.23171281,33848481,338484121,2317127,496480121,2317127,496480&7.973014&7.97301486.36482586.364825123.365520123.365520118.365520118.36552057,05673557,056735152,058735152,058735В9.204754В9.20475484,20475484,20475470,06799670,06799686,33846486,3384649.0377149.037714375,868103375,868103
288,268700
288,268700
222,250409
222,250409
172,496480
172,496480
130
130
92.973014
92.973014
В&.067996
В&.067996
44,037714
44,037714
33,183495
33,183495
117,463431
114,597141
117,463431
114,597141
213.482219
210,615766
213.482219
210,615766
65,087814
201,766127
65,087814
201,766127
63,459902
107,927692
63,459902
107,927692
119.623576
206,31249?
119.623576
206,31249?
61,299757
58.433467
61,299757
58.433467
114,597241
111,730951
114,597241
111,730951
63,2687
63,728164
63,2687
63,728164
155,861874
91.364825
155,861874
91.364825
728164
17,250409 …160,861874
126.231712
728164
17,250409 …160,861874
126.231712
81,338484
81,338484
121,231712
7,496480
121,231712
7,496480
&7.973014
&7.973014
86.364825
86.364825
123.365520
123.365520
118.365520
118.365520
57,056735
57,056735
152,058735
152,058735
В9.204754
В9.204754
84,204754
84,204754
70,067996
70,067996
86,338464
86,338464
9.037714
9.037714
375,868103
375,868103
а) В = 92,4624 млн долл., с = 0,2009 млн долл,; б)В = 95,7176 млн долл., р = 3,0543 млн долл.; в1 В = 99,2848 млн долл., р = 6,6215 млн долл.
а) В = 89,4835 млн долл.т с = 0,0954 или долл,;
В = 89,5789 млн долл., р = 0,00 млн долл.;
В = 96,9684 млн долл., р = 7,3895 млн долл.
Указание. Текущая стоимость безопциоииой облигации равна 89,5789 млн долл.
Ук^шше, м= 1,236311, d = 0,808858,冗* = 0,542639.
Модифицированная биномиальная модель имеет следующий вид.
ISOISO326,314553326,314553213,491699211,354435213,491699211,354435133,278900208.712110133,278900208.712110136,550156134,412892136,550156134,41289287,93980087,939800
ISO
ISO
326,314553
326,314553
213,491699
211,354435
213,491699
211,354435
133,278900
208.712110
133,278900
208.712110
136,550156
134,412892
136,550156
134,412892
87,939800
87,939800
а)В= 111,7680 млн долл.; 6) 105,7986 млн долл.; в) В = 113,1640 млн долл.; г) 117,4589 млн долл.
Учебное издание
Барбаумоа Виктор ЕфимовичГладких Иван МихайловичЧуйко Анатолий Степанович
Сборник задачпо финансовым инвестициям
Заведующая редакцией Н.Ф. КарпычеваРедактор 44 Федорова
Художественный редактор 上。Семенова
Технический редактор Т.С. Маринина
Корректоры НЕ Вморушина、Н.П. СперанскаяОформление художника Т.Л. Погорельцевой
ИВ №4871
Сдано в набор 17.08.2004. Подписано в печать 04,10.2004
Формат 60x88/16. Гарнитура «Таймс». Печать офсегиаяУсл. пл. 21,56. Уч.-изд. л. 18,31. Тираж 6000 экз.
Заказ № 1903. «С» 229
Издательство «Финансы н статистика»
101000, Москва, ул. Покровка, 7
Телефон (095) 925-35-02. Факс (095) 925-09-57
E-mail: mail@flnstat.ni http：〃wwwfnstai.ru
Отпечатано в ОАО «Типография «Новости»
105005, г. Москва, ул. Ф. Энгельса, 46
Вниманию иктателеИ!
Издательстве^ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА-предлагает учебник
ВЕВарбаум叫 И.М.Гладких^ 4c ЧуйкоФинансовые инвестиции544 с,
Финансовыеинвестиции
Рассмотрены характеристика и взаимосвязи ценных бумаг, в которые инвестируется капитал на развитых финансовых рынках, а также методы их оценок для подготовки управленческих решений при финансовых инвестициях.
Для преподавателей и студентов экономических вузов и практи* ков, занимающихся инвестиционными расчетами.
Книгу Вы можете заказать по почтаили приобрести в киоске издательства по адресу:
1M0OQ, Москва, уп. Покровка, 7 (метро мКитай-городиг выход на уп. Мкромйка)
3.:仲婚‘盟撃扌“宮 903-13-68. Факс (095>9254)9-57
E-<nail: mail@fin»tat.rti http：//www«flnstat.ru
РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ имени Г.В.ПЛЕХАНОВА
и СБОРНИК 34ЦАЧ по финансовым инвестициям
РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
ИМЕНИ Г.В.ПЛЕХАНОВА
В.Е.Барбаумов И.М.Тладких А.С.Чуйко
СБОРНИКЗ^Щ по финансовым инвестициям
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студенк», обучающихся по специальностям "Финансы и кредит^, "Бухгалтерский учет; анализ и аудит" "Мировая экономика"
МОСКВА -ФИНАНСЫ И СТЛТИСТИКА" 2005
УДК 336.767(075) ББК 65.162.2117
Б24
РЕЦЕНЗЕНТЫ.
Ktfwf «Корпоративное управление и финансы»Въюией школы международного бизнеса АНХпри Правительстве РФ;
В.М. Зубов,доктор экономических наук, профессор,первый заместитель председателя Комитета
и финансовым рынкам
Барбаумов В.Е. и др.
Сборник задач по финансовым инвестициям / В. Е. Еар- баумов, И. М. Гладких, А.С Чуйко. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 352 с.: ил.
ISBN 5-279-02974-2
В сборнике подобраны и методически расврелелены задачи, содержание которых охватывает все разделы программы курса нефинансовые hhQ стнцин» для экономических высших учебннх завипенн" и экономических факультетов других вузов. Формулировки определений и утверждений. а также последовательнаь и структура глав н параграфов сборника соответствуют учебнику «Финансовые инвестиции», написанному теми же авторами.
Для ЕдентоА, обучающиеся по специальностям «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Мировая экономика*.
0М50И34г 绮0М50И34г 绮。岬 1)-20М。岬 1)-20Мбе^обьявл.бе^обьявл.УДК 336.767(0”)ЕЕК 65・262.“7УДК 336.767(0”)ЕЕК 65・262.“7
0М50И34г 绮
0М50И34г 绮
。岬 1)-20М
。岬 1)-20М
бе^обьявл.
бе^обьявл.
УДК 336.767(0”)
ЕЕК 65・262.“7
УДК 336.767(0”)
ЕЕК 65・262.“7
ISBN 5-279412974^2ISBN 5-279412974^2В・Е. Бдрбаумов. И.М, Гладкий АС Чуйко, 2004В・Е. Бдрбаумов. И.М, Гладкий АС Чуйко, 2004
ISBN 5-279412974^2
ISBN 5-279412974^2
В・Е. Бдрбаумов. И.М, Гладкий АС Чуйко, 2004
В・Е. Бдрбаумов. И.М, Гладкий АС Чуйко, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. 1/нвести^ш с фиксированными доходами9
Внутренняя доходность облигации 9
Свойства внутренней доходности облигации.
Внутренняя доходность при непрерывном начислении процентов 12
L3. Безрисковые процентные ставки 15
Временная структура процентных ставок.
Кривая рыночных доходностей 18
Купонные облигации. Внутренняя доходность
купонной 0блнга.ции......…22
Завнснмостьстоимости купонной облигации от внутренней доходности 25
Зависимость стоимости купонной облигации от фактора времени 27
Дюрация и выпуклость облигации 29
Основные свойства дюрации н выпуклости облигации 33
Стоимость инвестиции в облигацию.
Иммунизирующее свойство дюрацни облигаций ....36
Модифицированные дюрация и выпуклость
облигаций41 L12. Доходность портфеля ойангаций 43
Дюрацня и выпуклость портфеля облигаций45
Иммунизация портфеля облигаций 51
L15. Простейшие альтернативные стратегии управления
инвестициями в облигации 54
Реализуемая доходность управляемого портфеля облигаций 59
Темп инфляции. Ношнальиая н реальная внутренние доходности облигаций 61
Внугренняяд(ноднослъоблшШй1и с учетом налогов ....64
Глава2. Портфели рискованных активов и инвести^ш67
Ожидаемая доходность и дисперсия доходности одной ценней бумаги 67
Олсидаемая доходность и дисперсия доходности портфеля ценных бумаг 71
Глава 2. Портфели рискованных активов ы инвестиции
Отыскание портфеля ценных бумаг с наименьшим риском 74
Множество инвестниионных возможностей при заданном наборе ценных бумаг 79
Множество инвестиционных возможностей при двух ценных бумагах 81
Эффективная граница множества инвестиционных возможностей 83
Эффективнаяп>аницамножества нивесгиционных возможностей при разрешенных коротких продажах ценных, бумаг- 86
Отыскание эффективной границы множества инвестиционных возможностей при запрещенных коротких продажах ценных бумаг 89
Инвестиционные возможности прн наличии рискованных ценных бумаг и безрискового актива....91
2J0. Эффективная граница множества инвестиционных возможностей при наличии безрискового актива ....94
Отыскание касательного портфеля при разрешенных коротких продажах рискованных ценных бумаг.....97
Отыскание касательного портфеля прн запрещенных коротких продажах рискованных ценных бумаг.....101
Jt-факториая модель рынка рискованных активов “104
Построение ^-факторной модели рьшка рискованных активов * 1°8
Отыскание касательного портфеля в условиях однофакторной модели рьшка 112
Равновесие на финансовом рынке •”П5
Модель оценки финансовых активов (САРМ)118
Основные свойства модели оценки финансовых активов 120
Модель оиенки финансовых активов при отсутствии безрискового актива 123
Рыночные индексы. Оценка бета-коэффнииентов рискованных активов 】26
Арбитражная модель оценки финансовых активов...130
Эффективность управления портфелем активов (ннвестнциоииым фондом)- 134
Глава 3. Форвардные “ фьючерсные контракты. Свопы138
Предполагаемые форвардные процентные ставки ...138
Форвардные контракты и их основные характеристики 141
Форвардные цены финансовых активов с известными доходами 143
Форвардные цены товаров 147
Стохастический/щсконтнрующиймножитель и форвардные цены активов 149
Фьючерсные контракты 151
Фьючерсные н форвардные цены товаров153
Спекулятивные стратегии на фьючерсных рынках.…155
Хеджирование позиций по исходным активам с помощью фьючерсных контрактов 157
Хеджирование портфелей акций с помощью фьючерсных контрактов на индекс акций161
Хеджирование процентного риска с помощью фьючерсных контрактов 164
Облигации с плавающими купонными ставками166
ЗЛЗ. Процентные свопы 169
Оценка стоимости процентных свопов 172
Валютные свопы и нк оценка 177
Глава 4. Инвестации е лроизб&диые финансовые инструменты 182
Клаамческиеопционннихосноэныехарактеристики....182
Паритет цен европейских опционов 184
Арбитражныесоотмошениямежду ценами европейских опционов одного вида 187
Спекулятивные стратегии на рынке европейских опционов 189
Арбитражные свойства цен американских опционов...191
Простейшая модель оценки производных финансовых инструментов «европейского типа» .…194
Оценка производных финансовых инструментов «европейского типа» в условиях биномиальной модели 196
Оценкастонмостн амернканскнх опционов в условиях биномиальной модели 199
Понятие о случайных процессах. Винеровский случайный процесс 201
Глава 4. Инвестиции d проимадпые финешсовые
14нструменты
Процесс геометрического броуновского движения “204
Модель Блэка-Шоулса для оценки европейских опционов 207
Свойства стоимостей европейских опционов в модели Блэка-Шоулса 209
Неявная (предполагаемая) волатильность исходных активов 212
Оценка стоимости опционов на фьючерсные контракты 214
Оценка стоимости финансовых инструментов, производных от акций с известными дивидендами.,217
Простейшие схемы хеджирования опционных позиций 219
Дельта-коэффициенты производных финансовые инструментов. Дельта-хеджироваиие 223
Гамма-коэффициенты производных финансовых инструментов, Гамма-хеджированнс 228
КоэсЙжш461^™ ®, рн Л производных финансовых инструментов 233
Страхование портфелей акций с помощью опционов на нццексы акций 236
Биномиальная модель эволюции процентной ставки.…238
Оценка стоимости опционов на облигации в условиях биномиальной модели 240
Оценка стоимости облигаций со встроенными опционами 243
Оценка стоимости корпоративных ценных бумаг (простейший случай) 248
Оценка стоимости корпоративных облигаций на
основемодифицироваиион биномиальной модели ...251
Прмлож«1не. Значения функции стандартного нормального распределения N(x) 256
Ответы. Указ1шия ；258
Глава 1258
Глава 2 283
3307
Глава 4321