Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Двухтомник «Основы физики», вышедший несколькими изданиями1), переведенный на английский и польский языки, пользуется популярностью у учащихся старших классов средних школ, изучающих физику на повышенном уровне, у студентов первых курсов вузов, преподавателей физики и методистов. Вместе с тем в многочисленных письмах читателей и в рецензиях на книгу отмечается необходимость в системе задач, которые были бы согласованы с теоретическим материалом двухтомника и позволили читателю закрепить изученный материал, проверить свои знания и приобрести навыки творческого применения теории к конкретным задачам физики.
В данной книге вниманию читателя предлагается свыше 750 задач, охватывающих тот же круг вопросов, что и двухтомник «Основы физики». Содержание задач полностью соответствует объему и порядку изложения теоретического материала в двухтомнике.
Учитывая наличие большого числа задачников, в которых отражено традиционное содержание школьного курса физики, мы усилили тс разделы, которые в традиционных задачниках отсутствуют: динамику вращающегося твердого тела, элементы теории относительности, квантовой и статистической физики, физики твердого тела, волновой оптики, атомной и ядерной физики и т.п. Задачи с астрофизическим содержанием иллюстрируют применение законов физики к космическим объектам.
В пособии предложено небольшое число задач, требующих элементарных навыков дифференцирования и интегрирования, а также ряд задач, решаемых с помощью численных методов, которые находят все большее применение в настоящее время.
Наряду с тренировочными задачами внимание читателя обращено на достаточно сложные задачи, требующие углубленных знаний теории.
К большинству задач даны подробные решения.
Вопрос о том, нужны ли в конце задачника подробные решения или нужно ограничиться только ответами, является спорным. Конечно, соблазн прочитать готовое решение весьма ве-
Б.М. Яворский, Л. Л. Пинский. «Основы физики». В 2 т. 4-е изд., пере- раб. — М.: Физматлит, 2000 (1-е изд. — 1969 г., 2-е — 1974 г., 3-е — 1981 г.).
лик! Но мы надеемся, что у читателя есть желание научиться самому решать задачи, и поэтому он будет прибегать к готовым решениям в крайнем случае. С другой стороны, учитывая, что большинство читателей будет работать с книгой самостоятельно, мы считаем необходимым оказать им помощь в том случае, когда задача у них нс выйдет. Заметим, что предлагаемые решения нс всегда являются единственно возможными. Мы будем благодарны читателям, которые укажут нам более изящные или оригинальные решения.
В конце книги помещены справочные данные, которые понадобятся при решении задач. Они дополняют те справочные данные, которые имеются в соответствующих разделах двухтомника «Основы физики».
Сборник задач может служить пособием для лиц, готовящихся к сдаче экзаменов по физике. Он может быть использован в физико-математических школах, на факультативных занятиях, в работе физических кружков. Большинство задач будет полезно студентам педагогических вузов — будущим преподавателям физики, студентам технических вузов, а также преподавателям физики школ, техникумов и средних профтехучилищ.
Автор выражает глубокую благодарность проф. Н.Н. Малову и канд. пед. наук О.А. Селезневу, которые рецензировали эту книгу, и проф. Б.М. Яворскому. Их ценные замечания позволили автору внести ряд исправлений в рукопись.
Автор
НЕСКОЛЬКО ПРАКТИЧЕСКИХ СОВЕТОВ
Прежде чем приступить к решению задач в некоторой главе, изучите соответствующие разделы двухтомника «Основы физики». Учтите, что если решить задачу нс удастся, то чаще всего это происходит из-за недостаточно глубоких, слишком формальных знаний теории.
Продумайте, какие упрощающие предположения облегчают решение задачи. Так, при расчете сил в динамике их обычно считают постоянными, в теории колебаний — квазиупругими; процессы в газах обычно считают квазистатическими, элементы электрических цепей — линейными, волны — синусоидальными и т.п. В необходимых случаях нарушения этих условий оговариваются, либо это следует из особенностей задачи (соленоид с ферромагнитным сердечником, модулированная волна и т.д.).
Попытайтесь сделать схематический чертеж или рисунок, это всегда облегчает ход рассуждений. В ряде случаев целесообразно рассмотреть чертеж в динамике, расчленяя его на части или проводя последовательные упрощения (например, при определении внутренних сил или при расчете сложных цепей). Помните, что хорошо составленная схема — половина успеха при решении задачи.
В большинстве случаев задачу целесообразно решать в общем виде, обозначив все величины соответствующими буквами и производя с ними нужные выкладки. Нс смущайтесь, если часть величин отсутствует в условии, — они либо сократятся, либо их значения приведены в Приложениях в конце книги или в «Основах физики». Нс бойтесь выкладок и преобразований, — умение свободно их производить есть один из элементов математической культуры, необходимых для изучения физики.
Учтите, что решать задачу в общем виде не всегда удобно. Иногда общность покупается ценой излишне громоздких преобразований. В этих случаях задачу целесообразно решать сразу в числах, подставив значения физических величин.
Получив решение в общем виде, попытайтесь убедиться в его разумности. Иногда здесь полезен анализ размерностей, иногда — анализ частных или предельных случаев, а также сравнение с уже решенной аналогичной задачей. Так, например, решив задачу по динамике с учетом силы трения, можно сравнить результат с решением аналогичной задачи без трения, релятивистский расчет — с аналогичным расчетом в ньютоновской механике и т.п.
Если в задаче заданы числовые значения величин, то ответ должен быть доведен до числа. Нс пренебрегайте вычисления-
ми, учтите, что на практике нас всегда интересуют числовые значения искомых величин и гораздо реже — их выражение через другие величины в буквенной форме.
Все данные, включая табличные, надо выразить в одной системе единиц (как правило — в единицах СИ), записав все числовые значения в стандартной форме, т.с. в виде числа а • 10й, где 1 ^ а < 10. Все величины должны быть записаны с одинаковой степенью точности.
Все расчеты (включая и большинство задач, решаемых численными методами) надо вести с помощью калькулятора, соблюдая вполне разумную точность вычислений. В тех случаях, когда исходные данные приведены с точностью в две значащие цифры, следует после расчета ответ округлить до такого же числа знаков.
Лишь в некоторых задачах по теории относительности, волновой оптике, атомным спектрам и т.д. расчеты следует вести с точностью до четвертого или пятого знака. Для этого надо воспользоваться соответствующими математическими таблицами.
Получив ответ, сопоставить его с ответом в конце задачника. Нс огорчайтесь, если ваш ответ отличается от ответа автора. Возможно, что это две разные формы одного и того же выражения. Так, выражения
sin а — р cos a sin (а — р)
sin а + р cos a sin (п + Д
тождественны, если положить д = tg ф. Если вам нс удается найти пути преобразования одной формы ответа в другую, сделайте численный расчет с помощью обеих формул, и если ответы совпадут, то ваше решение, очевидно, верное.
После получения верного ответа полезно ознакомиться с решением, предлагаемым в задачнике. Если окажется, что решения различны, то попытайтесь разобраться, какое решение лучше. Очень хорошо, если ваше решение проще авторского, короче и изящнее. Но не исключены ошибки, случайно скомпенсировавшие друг друга так, что формально получился верный ответ. Такой анализ решения весьма полезен и поучителен.
Если вам не удается сразу решить задачу, не спешите прочитать готовое решение. Попробуйте еще раз изучить соответствующий теоретический материал, обратив внимание на тонкости. Опыт показывает, что вторичное изучение теории при наличии определенной целевой установки весьма эффективно, быстро ведет к цели, и вторичный подход к задаче оказывается успешным.
Но может оказаться, что и после вторичного изучения теории задачу нс удастся решить. Не огорчайтесь и не отчаивайтесь! В предлагаемом пособии довольно много творческих задач и за-
дач повышенной трудности, так что ничего удивительного нет в том, что нс все задачи вам удастся самостоятельно решить. В этом случае попытайтесь внимательно проанализировать решение, предложенное автором. Возможно, после этого вам удастся найти новое решение. Опыт показывает, что внимательное изучение некоторых готовых решений также весьма поучительно и способствует повышению уровня знаний и развитию творческих способностей.
Рассмотрим на конкретном примере, как использовать указанные выше рекомендации.
Задача. Небольшое зеркальце массой 9,0 мг подвешено на практически невесомой кварцевой нити длиной 4,0 см. Перпендикулярно к зеркальцу произведена мощная лазерная вспышка, вследствие чего система отклонилась на некоторый угол от вертикали. Вычислить этот угол, зная, что энергия лазерной вспышки 1,0 • 102 Дж.
Решение проведем по этапам.
В данной установке отклонение произошло за счет импульса, который свет передал зеркальцу при отражении. Приобретя некоторую скорость, зеркальце поднимается на некоторую высоту. Здесь кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию зеркальца в поле сил тяжести. Значит, для решения задачи следует знать выражение для импульса световой вспышки, законы сохранения импульса и энергии.
Для решения задачи введем некоторые упрощающие предположения. Прежде всего, мы нс будем учитывать массу и упругость нити, трение в точке подвеса и сопротивление воздуха. Далее, будем считать зеркальце абсолютным отражателем (поглощением света пренебрежем). Наконец, учитывая малую скорость зеркальца, будем все расчеты вести в приближении ньютоновской механики.
Полезно сделать схематический чертеж, выясняющий динамику процесса (рис. 1). Здесь схема а иллюстрирует состояние
Рис. 1
системы до попадания света на зеркальце, б — момент отражения света ив — отклонение зеркальца с нитью на искомый угол. По чертежам видны и этапы решения задачи.
Обозначим энергию лазерной вспышки Ж, се импульс р = = Ж/с, скорость света с, массу зеркальца ш, его скорость в момент отдачи у, высоту подъема Л, длину нити I и угол отклонения а.
По рисунку в видно, что
h = I ™ I cos о = Z(1 — cos о) = 2Z sin2 ™ .
Следовательно, для определения угла отклонения нужно найти высоту, на которую поднялось зеркальце. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:
-mv = mgh, откуда h = — и sin- =.
Скорость зеркальца найдем, воспользовавшись для момента отражения вспышки (схема б) законами сохранения:
закон сохранения энергиизакон сохранения импульсазакон сохранения энергиизакон сохранения импульсаЖ = Ж' + | шу2;
закон сохранения энергии
закон сохранения импульса
закон сохранения энергии
закон сохранения импульса
ЖЖ' ,
— = —— + ШУ.
сс
Умножив второе равенство на с и сложив с первым, исключим неизвестную величину Ж^ имеем: 2Ж' = У2ШУ2 + тпрс. Учитывая, что ^тп2 ^ттше, отбросим первое слагаемое. Получим в этом приближении шус = 2Ж, откуда у = 2Ж/шс; следовательно,
ЖЖsin — =.2 mcVglsin — =.2 mcVgl
Ж
Ж
sin — =.
2 mcVgl
sin — =.
2 mcVgl
Анализ размерностей убеждает нас, что ответ правильный:
[sin А 1 =Дж *с
[2 Jкг • mVм • с-2 • м кг • м2 ’
т.с. синус безразмерен, что и должно было получиться.
Для расчета выпишем все данные с точностью в две значащие цифры и выразим их в единицах СИ:
m = 9,0 мг = 9,0 • 10 6 кг,m = 9,0 мг = 9,0 • 10 6 кг,g = 9,8 м/с2, Ж = 1,0 • 102 Дж,
m = 9,0 мг = 9,0 • 10 6 кг,
m = 9,0 мг = 9,0 • 10 6 кг,
с = 3,0 • 108 м/с, I = 4,0 см = 4,0 -10 2 м.
Подставляем числовые данные в конечную формулу:
Sill —2Sill —2ЖmcVglЖmcVgl1,0 • 1029,0 • IO"6 ■ 3,0 • 108V9,8-4,0-IO"21,0 • 1029,0 • IO"6 ■ 3,0 • 108V9,8-4,0-IO"2= 5,9-10"2,= 5,9-10"2,
Sill —
2
Sill —
2
ЖmcVgl
ЖmcVgl
1,0 • 102
9,0 • IO"6 ■ 3,0 • 108V9,8-4,0-IO"2
1,0 • 102
9,0 • IO"6 ■ 3,0 • 108V9,8-4,0-IO"2
= 5,9-10"2,
= 5,9-10"2,
= 3°24', а = 6°48'.
ЗАДАЧИ
Часть первая
ДВИЖЕНИЕ И СИЛЫ
Кинематика точки
Две материальные точки движутся вдоль оси абсцисс равномерно со скоростями щ = 8 м/с и ^2 = 4 м/с. В начальный момент первая точка находилась слева от начала координат на расстоянии 21 м, вторая — справа на расстоянии 7 м. Через сколько времени первая точка догонит вторую? Где это произойдет? Начертить график движения.
Расстояние между двумя точками в начальный момент равно 300 м. Точки движутся навстречу друг другу со скоростями 1,5 м/с и 3,5 м/с. Когда они встретятся? Где это произойдет? Начертить график движения.
Из города вышел автомобиль, движущийся равномерно со скоростью 80 км/ч. Через 1,5 часа вдогонку ему вышел мотоцикл, скорость которого 100 км/ч. Через сколько времени после выхода автомобиля мотоцикл его догонит? Где это произойдет?
Начертите график движения.
Скорость пловца относительно воды равна г;, скорость
течения и. В каком направлении должен двигаться пловец, что
7///////////^^^7///////////^^^Рис. 1.5Рис. 1.5-В-"-В-"бы попасть в противоположную точку на другом берегу? Сколько времени он будет плыть, если ширина реки П
7///////////^^^
7///////////^^^
Рис. 1.5
Рис. 1.5
-В-"
-В-"
Под каким углом должен плыть пловец, чтобы из точки А попасть в точку С (рис. 1.5)? Скорость пловца г;, скорость течения и и угол /3 заданы.
Под каким углом к течению должен плыть пловец, чтобы быстрее достичь противоположно-
го берега?
Скорость катера относительно воды у = 7 м/с, скорость течения и = 3 м/с. Когда катер двигался против течения, с него сбросили в воду поплавок. Затем катер прошел против течения 4,2 км, повернулся и догнал поплавок. Сколько времени двигался катер?
Мотоциклист тронулся с места, в течение 20 с он двигался с ускорением 1,5 м/с2, затем 2 мин двигался равномерно, а потом равномерно тормозил в течение 15 с и остановился. Найти максимальную скорость, ускорение при торможении и перемещение мотоциклиста (графически).
Доказать, что при равнопеременном движении по прямой 2а(/ — /о) = у2 — Др
Снаряд вылетает из ствола пушки со скоростью 800 м/с. Длина канала ствола 2,0 м. Определить среднее ускорение.
Сила. Давление
Найти жесткость к системы, составленной из двух последовательно соединенных пружин.
К твердому телу приложены две параллельные и одинаково направленные силы Fi и F2. Доказать, что:
модуль равнодействующей силы равен сумме модулей слагаемых сил;
равнодействующая параллельна слагаемым силам и направлена в ту же сторону;
равнодействующая проходит через центр параллельных сил, т.е. через точку, которая делит расстояние между точками приложения слагаемых сил на отрезки, обратно пропорциональные модулям этих сил.
Найти положение центра системы параллельных сил, приложенных к твердому телу.
Найти положение центра двух антипар аллельных неравных сил. Расстояние между точками приложения сил Fi и F2 равно а.
Груз массой ш висит на тросе так, что одна нить образует с горизонтальной плоскостью угол «1, другая — угол «2 (рис. 2.5 а). Найти натяжения нитей.
На шарнирном кронштейне (рис. 2.6 а) висит груз массой ш. Найти усилия в стержнях.
На кронштейне (рис. 2.7 а) висит груз массой ш; АВ = = АС = ВС = ЕС = a; DE = а/2. Найти усилия в стержнях.
Доказать, что значение гидростатического давления пропорционально высоте столбика жидкости (газа) и не зависит от формы сосуда.
Нормальное атмосферное давление равно 760 мм рт. ст. Выразить эту величину в единицах СИ.
Какова «цена» единицы давления 1 мм рт. ст. (тор) на Луне? На Венере?
Найти силу, действующую на ворота шлюза. Ширина ворот 8 м, перепад уровней воды на верхнем и нижнем бьефе составляет 5 м.
Железный цилиндр массой 200 кг стоит вертикально на дне реки (рис. 2.12). Какую силу надо приложить, чтобы оторвать его от дна? Глубина реки 5 м, высота цилиндра 25 см.
7/////////777^^^
Рис. 2.12
Медный куб плавает в ртути. Какая часть его находится над поверхностью жидкости?
Деревянный шар, плавая в воде, возвышается над ее поверхностью на половину своего радиуса. Найти плотность дерева.
Чтобы определить, не заменил ли ювелир часть золота серебром при изготовлении короны сиракузского царя Гиерона,
Архимед взвесил корону сначала в воздухе, а затем в воде, и получил следующий результат: масса в воздухе М = 2200 г, кажущаяся масса в воде т = 2064 г. Сколько серебра в сплаве?
На какую высоту поднимется аэростат, наполненный водородом при нормальных условиях, если объем аэростата 3,00 • 104 м3, масса оболочки, гондолы и груза — 2,46 • 104 кг. Данные о свойствах атмосферы см. § 26.9, табл. 26.4. Оболочку аэростата считать замкнутой и жесткой.
Динамика точки
Определить среднее давление пороховых газов в канале
ствола, если калибр (диаметр) пули 7,62 мм, ее масса 9,1 г, длина
Рис. 3.2Рис. 3.2ствола 610 мм. Пуля вылетает из ствола со скоростью 715 м/с. Сопротивлением пренебречь.
Рис. 3.2
Рис. 3.2
тгтгЧерез блок, массой которого можно пренебречь, перекинута нить, на которой висят две гири массой mi и т^ (рис. 3.2). Найти ускорение а системы, натяжение нити F и силу ^давл? которая действует на ось блока. Массой нити и трением пренебречь.
тг
тг
Рис. 3.3
Два связанных нитью тела массой mi и т^ (т^ > т^ лежат на гладком столе. Силу Q прикладывают сначала к боль
шему телу (рис. 3.3), а затем к меньшему. Одинаково ли натяжение нити в обоих случаях?
На веревке, переброшенной через неподвижный блок, находится обезьянка массой т (рис. 3.4). Второй конец веревки прикреплен к грузу массой М, который лежит на горизонтальной плите. Пренебрегая трением, найти ускорения обоих тел (относительно плиты) и натяжение веревки в трех случаях:
обезьянка неподвижна относительно веревки;
обезьянка движется относительно веревки с ускорением b
вверх;
обезьянка движется относительно веревки с ускорением b вниз.
На наклонной плоскости с углом а при основании лежит брусок массой М. Груз массой ш присоединен к бруску нитью, перекинутой через блок (рис. 3.5 а). Определить ускорение груза и натяжение нити. Трением, массой блока и нити пренебречь.
Рис. 3.5 аРис. 3.5 аРис. 3.6 аРис. 3.6 а
Рис. 3.5 а
Рис. 3.5 а
Рис. 3.6 а
Рис. 3.6 а
Рис. 3.7 аРис. 3.7 а
Рис. 3.7 а
Рис. 3.7 а
Стержень массой т^ опирается на клин массой mi (рис. 3.6 а). Глагодаря ограничителям, стержень может двигаться только вдоль оси ординат, клин — вдоль оси абсцисс. Найти
ускорения обоих тел и реакцию клина. Трением пренебречь.
На клин массой М положен брусок массой т (рис. 3.7 а). Найти ускорения бруска а и клина b в системе отсчета, связанной со столом, и силу реакции. Трением пренебречь. Проанализиро
вать предельный случай, когда клин неподвижен.
Найти период обращения конического математического маятника, нить которого длиной I составляет угол а с вертикалью (рис. 3.8).
Недеформированная пружина с жесткостью к имеет длину Zq- При вращении системы (рис. 3.9) с угловой скоростью ш груз массой т растягивает пружину. Найти длину I пружины при вращении.
Самолет движется со скоростью 200 м/с по горизонтальной траектории с радиусом кривизны 5 км. Каков угол крена?
Рис. 3.9Рис. 3.9Самолет, движущийся с постоянной скоростью 300 м/с, совершает в вертикальной плоскости петлю Нестерова радиусом 1,3 км. Определить перегрузку в верхней и нижней точках траектории.
Рис. 3.9
Рис. 3.9
Материальная точка брошена с начальной скоростью и^ под углом а к горизонту. Определить радиус кривизны г в верхней точ
ке траектории и его отношение к максимальной высоте подъема Н и к дальности полета L.
Уравнение параболы имеет вид л2 = 2рг/, где параметр р > 0. Найти радиус кривизны параболы в каждой точке траектории.
Доказать, что касательная к любой точке параболы ж2 = 2рр образует с осью абсцисс угол, тангенс которого равен абсциссе точки, деленной на параметр р (т.е. Iga = х/р).
Поверхность холма наклонена под углом а к горизонту (рис. 3.15). С вершины холма под углом /3 к вертикали бросают камень с начальной скоростью х^. На каком расстоянии от вершины камень упадет?
Рис. 3.15Рис. 3.15
Рис. 3.15
Рис. 3.15
Тело свободно падает с некоторой высоты И (рис. 3.16). Одновременно с началом падения первого тела с поверхности Земли бросают другое тело, которое сталкивается с первым на высоте h = Н/2. Расстояние по горизонтали равно I. Найти начальную скорость и угол бросания.
До Галилея полагали, что чем массивнее тело, тем быстрее оно падает. Попытайтесь, пользуясь аддитивностью массы, логически доказать, что все тела, независимо от их массы,
должны падать одинаково. Тем самым вы повторите рассуждения Галилея. (Галилей рассуждал от противного.)
Тяготение. Электрические силы
Определить массу Земли по ее полярному радиусу и ускорению свободного падения на полюсе.
Определить массу Земли, зная период обращения Луны вокруг нее и радиус лунной орбиты.
Определить массу Солнца, зная среднее расстояние от Земли до Солнца (астрономическую единицу) и период обращения Земли вокруг Солнца.
Сравнить силы, с которыми Солнце и Земля действуют на Луну. Как объяснить тот факт, что Луна все же является спутником Земли, хотя притяжение Солнца сильнее?
Найти расстояние от Венеры до Солнца, зная период ее обращения и период обращения Земли вокруг Солнца.
На какой высоте над планетой ускорение свободного падения вдвое меньше, чем на ее поверхности?
Определить ускорение свободного падения на Венере, Луне и Солнце.
При каком периоде вращения планеты на ее экваторе будет наблюдаться состояние невесомости? Расчет сделать для Земли.
Два маленьких шарика массой 0,5 г каждый висят на общем крючке на нитях длиной по 0,8 м. Какой заряд передан этой системе, если между нитями образовался угол 2а = 12 °?
В двух вершинах квадрата расположены равные положительные заряды, в двух других — равные им по модулю отрицательные заряды. Найти напряженность поля в центре квадрата.
На проводнике в виде кольца радиусом а равномерно распределен заряд q. Найти напряженность поля на оси проводника в произвольной точке, расположенной на расстоянии х от плоскости, в которой лежит проводник.
Молекулу воды в первом приближении можно рассматривать как диполь с электрическим моментом ре = 6,1-10-30 Кл-м. Оценить силу притяжения между двумя молекулами воды.
Между плоскими параллельными пластинами длиной L создано электрическое поле напряженностью Е. В поле влетает пучок электронов под углом к пластинам а > 0 и вылетает из него под углом /3 < 0 (рис. 4.13). Найти начальную скорость электронов. Силой тяжести пренебречь.
Управляющими электродами электронно-лучевой трубки служат две плоские параллельные пластины длиной
I = 2 см. Расстояние от управляющих электродов до экрана трубки равно L = 30 см. Параллельно управляющим электродам в середине между ними влетает пучок электронов со скоростью ^о = 2 • 107 м/с. Какова напряженность электрического поля между электродами, вызывающего смещение электронного пучка на экране на расстояние d = 12 см?
Рис. 4.13Рис. 4.13Рис. 4.15Рис. 4.15
Рис. 4.13
Рис. 4.13
Рис. 4.15
Рис. 4.15
Длина плоских параллельных электродов равна Z, расстояние между ними /г, между электродами создано поле напряженностью Е. В поле вблизи нижней пластины влетает электрон со скоростью ^о под углом а к пластинам (рис. 4.15). При каких значениях напряженности поля электрон пролетит между электродами, не задев ни один из них? При каких углах а это возможно?
Трение
Неподвижное тело массой ш опускается плавно на массивную платформу (М >> ш), движущуюся СО скоростью Dq = = 4 м/с (рис. 5.1). Сколько врежмени тело будет скользить по
I Iплатформе и какое расстояние
bоно пройдет за это время? Ко/М) v^ эффициент трения д = 0, 2.
5.2. Решить задачу 3.4 при рнс 5 1условии, что коэффициент тре’ 'ния груза о плиту равен д.
Найти ускорение бруска в задаче 3.5 при условии, что коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен д.
Найти реакцию клина в задаче 3.6 при условии, что коэффициент трения клина о стол равен д, а трением между стержнем и клином можно пренебречь.
Найти силу реакции в задаче 3.7 при условии, что коэффициент трения между бруском и клином равен д. Трением клина о стол пренебречь.
Найти силу реакции в задаче 3.7 при условии, что коэффициент трения между клином и столом равен д. Трением между бруском и клином пренебречь.
На клине с углом а при основании лежит брусок. Коэффициент трения между бруском и клином д < tga. С каким ускорением должен двигаться клин, чтобы брусок не соскальзывал?
Диск совершает 70 об/мин. Где можно положить на диск тело, чтобы оно не соскользнуло? Коэффициент трения покоя тела о диск дпок = 0,44.
Рис. 5.10 аРис. 5.10 аВ аттракционе «мотоциклетные гонки на вертикальной стене» трек представляет собой вертикальную цилиндрическую поверхность диаметром 18 м. С какой минимальной скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы не соскальзывать с трека? Коэффициент трения д ^ 0,8. Считать мотоцикл материальной точкой.
Рис. 5.10 а
Рис. 5.10 а
Сферическая чаша радиусом R вращается вокруг вертикального диаметра. В чаше находится небольшое тело, радиус- вектор которого составляет при вращении угол а с вертикалью (рис. 5.10 а). С какой угловой скоростью ш должна вращаться чаша, чтобы тело не соскальзывало, если коэффициент трения покоя равен дПОк?
Мотоциклист движется со скоростью 90 км/ч. Каков радиус кривизны дуги,
которую мотоциклист описывает при повороте, если коэффициент трения резины об асфальт равен 0,65? Каков угол наклона мотоциклиста к горизонту?
Стеклянный шарик диаметром 4,0 мм падает в растворе глицерина (до = 1,21 • 103 кг/м3, ц = 5,02 • 10™2 Па-с). Плотность стекла р = 2,53 • 103 кг/м3. Определить установившуюся скорость и начальное ускорение. Приближенно оценить время, в течение которого шарик достигнет установившейся скорости, и перемещение шарика за это время.
С помощью численного расчета найти мгновенные значения ускорения и скорости падения шарика в предыдущей задаче и построить график. Выбрать интервал времени равным At = 0,02 с.
Оценить установившуюся скорость оседания пылинок в комнате высотой I = 2,8 м и время оседания. Минимальный диаметр частиц пыли 2т = 0,06 мм. Вязкость воздуха при 20 °C равна ц = 1,8 • Ю™5 Па-с, плотность вещества пылинок р = = 2 • 103 кг/м3.
Оценить скорость падения града, если диаметр градинки 2г = 5 мм, а плотность р = 8 • 102 кг/м3.
После того, как вы научитесь интегрировать, найдите зависимость мгновенной скорости шарика от времени в задаче 5.13.
Теория относительности
Пользуясь принципом относительности, показать, что поперечные размеры тела не меняются при переходе от одной системы отсчета к другой.
Оценить относительную погрешность, возникающую при расчете, если вместо релятивистского закона сложения скоростей воспользоваться классическим.
V!V!v2v2В ускорителе на встречных пучках протоны движутся со скоростью 0,99000 с относительно установки. Чему равна скорость одного протона относительно другого?
V!
V!
v2
v2
Рис. 6.4Рис. 6.4Вот одно из «опровержений» релятивистского закона сложения скоростей. Пусть два тела находятся в одной точке, а затем
Рис. 6.4
Рис. 6.4
начинают двигаться относительно Земли в противоположных направлениях (рис. 6.4). Суммарное перемещение тел
AZ = AZi — AZ2 = At — (—^At) = (щ + D^Kt.
Отсюда скорость сближения и = AZ/At = щ + ^2-
Мы получили классический закон сложения скоростей, а не релятивистский. Есть ли ошибка в рассуждениях?
Скорость света в неподвижном веществе и = с/тц где с — скорость света в вакууме, п — показатель преломления вещества (см. § 63.1). Найти скорость света в веществе, движущемся равномерно относительно источника света.
В опыте Физо два световых пучка движутся навстречу друг другу: один — вдоль потока жидкости, второй — навстречу потоку (рис. 6.6). Полагая, что длина каждой трубы равна Z, скорость жидкости и и показатель преломления п,
найти разность во времени распро
странения обоих пучков света.и " '
Какое расстояние пролетит пион (л-мезон) до распада, если его скорость v = 0,99с, а собственное время жизни
щ = 2,6 • 10-8 с? Какова была бы длина пролета, если бы не было релятивистского замедления времени? Расстояние измеряется в лабораторной системе отсчета.
Найти собственное время жизни частицы, если ее скорость отличается от скорости света в вакууме на 0,2%, а расстояние, пролетаемое до распада, равно примерно 300 км.
С какой скоростью должна двигаться частица, чтобы ее релятивистский фактор стал равным 3?
Найти релятивистский закон преобразования поперечных компонентов вектора скорости.
В двух точках, покоящихся в некоторой инерциальной системе отсчета, расстояние между которыми вдоль оси абсцисс I = ^2™Ж1, одновременно произошли два события. Найти промежуток времени между этими событиями в произвольной инерциальной системе отсчета.
Электрон разгоняется в электрическом поле напряженностью Е = 3,0-106 Н/Кл. Найти скорость электрона через 1,0 нс.
Какой будет скорость электрона, если расчет вести по формулам ньютоновской механики?
На частицу, которая движется с релятивистской скоростью, действует сила, перпендикулярная к траектории. Как будет двигаться частица? Выразить силу через скорость и радиус кривизны траектории.
После того, как вы научитесь дифференцировать тригонометрические функции, попытайтесь показать, что в релятивистском случае формула F = та не справедлива.
Введем следующее определение: длина движущегося стержня равна произведению его скорости на промежуток времени между моментами, когда его начало и конец проходят мимо неподвижных часов. Собственная длина определяется аналогично с помощью часов, движущихся с такой же скоростью вдоль неподвижного стержня. Найти соотношение между длиной движущегося стержня I и его собственной длиной Iq.
Пусть на Земле проведена прямая MN. Под очень малым углом а = 0, 26" на эту прямую налетает некоторая плоскость АВ например крыло реактивного самолета, движущегося со скоро
стью v = 600 м/с (рис. 6.16). Поверхность Земли рнс $ jg ярко освещается Солнцем. С какой скоростью V
тень от крыла скользит вдоль прямой МАП Нет ли здесь противоречия с теорией относительности? Не парадоксален ли полученный результат?
Нейтронная звезда (пульсар) радиусом 15 км совершает 103 об/с (см. задачу 14.21). Она испускает узкий пучок рентгеновского излучения, который скользит по поверхности Земли
Рис. 6.17
(рис. 6.17). Какова скорость перемещения пучка, если расстояние от пульсара до Земли равно 10 св. лет? Нет ли здесь парадокса?
Часть вторая
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Закон сохранения импульса. Центр масс
На горизонтальном деревянном столе лежит деревянный брусок массой 5,0 кг. В брусок попадает пуля массой 9,0 г, после чего он проходит по столу расстояние 25 см и останавливается. Найти скорость пули.
Железнодорожная платформа, масса которой вместе с орудием М, движется со скоростью V вдоль оси абсцисс
Рис. 7.2
(рис. 7.2). Ствол орудия составляет с этой осью угол а. Снаряд массой т вылетает из орудия со скоростью v относительно орудия в ту же сторону, куда движется платформа. Найти скорость платформы после выстрела.
При какой начальной скорости платформа остановится после выстрела? Трением пренебречь.
Принять М = 10 т, т = 120 кг, V = 6,0 м/с, л = 900 м/с, а = 30°.
Масса лодки М = 80 кг, масса мальчика т = 36 кг. Мальчик переходит с кормы на нос лодки. На какое расстояние переместится лодка, если ее длина I = 2,8 м? При столь малых скоростях можно пренебречь сопротивлением воды.
Найти начальное ускорение ракеты, если ее начальная масса 40 т, скорость истечения газов 4 км/с и расход топлива 200 кг/с.
Стартовая масса ракеты Мд = 160 т, скорость истечения газов 4 км/с. После того как выгорело 90 т топлива, отбрасывается первая ступень массой 30 т. Затем выгорает еще 28 т топлива.
Какова конечная скорость второй ступени? Какую скорость приобрела бы одноступенчатая ракета при той же массе топлива?
После того, как вы научитесь интегрировать, выведите формулу Циолковского.
Почему по мере разгона космического корабля космонавты испытывают возрастающую перегрузку? Расход топлива считать постоянным.
На рельсах находится закрытый со всех сторон вагон. Могут ли пассажиры, находясь внутри вагона, привести вагон в колебательное движение? Трением о рельсы пренебречь. Считать массу вагона соизмеримой с массой пассажиров.
Доказать, что центр масс однородной треугольной пластины находится на пересечении медиан.
Найти положение центра масс однородной пластины, изображенной на рис. 7.10 а.
Рис. 7.10 аРис. 7.10 аРис. 7.11Рис. 7.11
Рис. 7.10 а
Рис. 7.10 а
Рис. 7.11
Рис. 7.11
Найти положение центра масс пластины, изображенной на рис. 7.11. Принять R = 5,00 см, т = 3,00 см.
Пользуясь численными методами, найти положение центра масс полукруга. Для простоты расчета положить R = = 1,00.ь ь
Пользуясь численными методами, найти положение центра масс полушара.
Пользуясь численными методами, найти положение центра масс прямого кругового конуса высотой h = 1, образующая которого составляет угол а с высотой.
Пользуясь интегральным исчислением, решить задачи 7.12, 7.13 и 7.14 аналитически.
Третий закон Кеплера в § 9.4 был выведен для случая, когда масса планеты много меньше массы Солнца, следователь™
но, Солнце можно считать неподвижным. Вывести этот закон для случая, когда два тела обращаются вокруг их центра масс.
Полная и кинетическая энергия
Определить энергию покоя (собственную энергию) электрона, протона и нейтрона.
Определить скорость частицы, если ее кинетическая энергия равна энергии покоя.
Найти кинетическую энергию и импульс электрона, имеющего скорость 0,92 с.
Кинетическая энергия протона равна 10 ГэВ. Найти его импульс и скорость.
В харьковском и ереванском линейных ускорителях кинетическая энергия электронов равна 10 МэВ. Найти скорость электронов.
Какова погрешность при замене релятивистского выражения для кинетической энергии на классическое? Сделать расчет при их = 0,1с; при и^ = 0,9с; при Пз = 0,99с.
Мидделево сечение катера S = 4 м2, мощность двигателя Р = 220 кВт, коэффициент полезного действия ц = 25 %. Какую максимальную скорость может развить катер? Считать С = 0,5.
Лебедка с заданной мощностью двигателя Р тянет груз вверх по наклонной плоскости (см. рис. 3.5 а). Плоскость наклонена к горизонту под углом а, коэффициент трения равен д. При каком угле наклона скорость груза будет минимальной?
Струя воды выбрасывается из гидромонитора со скоростью 100 м/с. Расход воды равен 144 м3/ч. Найти мощность насоса, если его КПД равен 75%.
Электрон, начальная скорость которого равна нулю, разгоняется в электрическом поле напряженностью Е. Определить скорость электрона после того, как он пройдет расстояние I. Расчет провести для нерелятивистского и релятивистского случаев. Показать, что в слабом поле релятивистская формула переходит в нерелятивистскую.
Для ультрарелятивистской частицы (рс ^ Йд) можно положить, что ее полная энергия равна произведению импульса на скорость света в вакууме, т.е. Ж = рс. Определить, какая при этом допускается погрешность.
Частица движется параллельно оси абсцисс со скоростью иж. Найти закон преобразования релятивистского фактора при переходе в новую ИС О, движущуюся в том же направлении вдоль оси абсцисс со скоростью v.
Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти для данного случая закон преобразования полной энергии и импульса.
Соотношение неопределенностей
Полагая, что в атоме водорода электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите, оценить радиус этой орбиты.
Какую кинетическую энергию нужно сообщить электрону, чтобы он мог проникнуть в ядро? Размер а ядра имеет величину порядка 10™15 м.
Оценить кинетическую энергию электронов проводимости в металлах, где их концентрация порядка 1029 м™3.
По современным представлениям пульсар — это звезда, состоящая практически целиком из нейтронов). Полагая, что масса пульсара равна массе Солнца (2 • 1030 кг), а радиус его порядка 10 км, оценить кинетическую энергию нейтронов.
Элементарная теория столкновений
На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой 2,0 кг. Пуля массой 9,0 г, летящая со скоростью 800 м/с под углом 30° к горизонту, попадает в брусок и застревает в нем. С какой скоростью и в каком направлении стал двигаться брусок?
Не противоречит ли закону сохранения импульса кажущаяся пропажа его вертикальной составляющей?
Ядро радона с атомной массой 216 выбрасывает альфа- частицу с атомной массой 4 и кинетической энергией 8 МэВ. Какова кинетическая энергия ядра отдачи?
Гладкий шар ударяется под некоторым углом о гладкую стенку. Удар упругий. Доказать, что угол отражения равен углу падения.
Шарик, двигаясь параллельно оси ординат, сталкивается абсолютно упруго с параболическим зеркалом Qy = 2рх). Доказать, что независимо от того, в какой точке шарик ударится о зеркало, он после отражения попадет в фокус F. Найти положение фокуса.
Доказать, что при абсолютно упругом нерелятивистском столкновении двух частиц одинаковой массы, из которых одна покоится, угол разлета равен 90°.
Релятивистский протон с кинетической энергией К сталкивается с неподвижным протоном. Полагая, что столкновение абсолютно упругое и что энергия распределяется между частицами поровну, найти угол разлета. Сделать расчет для К = 500 МэВ и К = 10 ГэВ.
Диск радиусом г, движущийся по абсолютно гладкой поверхности со скоростью v, абсолютно упруго сталкивается с таким же покоящимся диском. Выра
зить модуль и направление скорости каждого из них после столкновения как функцию прицельного расстояния d (рис. 10.7 а). Ограничиться нерелятивистским приближением.
Решить предыдущую задачу
при условии,при условии,Рис. 10.8 аРис. 10.8 ачто масса движущегося
при условии,
при условии,
Рис. 10.8 а
Рис. 10.8 а
диска 77^1 и его радиус тц, а у покоящегося, соответственно 7712 И Т2 (рис. 10.8 а).
Рассчитать давление, производимое потоком частиц, падающих на стенку под углом а к нормали. Рассмотреть случай упругого соударения. Концентрация частиц равна п.
Оценить площадь парусов на парусной лодке, равномерно движущейся по направлению ветра, полагая, что площадь «мидделя» Sq = 1,0 м2, коэффициент С = 0,1, скорость лодки по = 3,0 м/с, скорость ветра и = 6,0 м/с.
С вершины холма, поверхность которого составляет угол а с горизонтом, бросают горизонтально мячик со скоростью по- Считая, что мячик ударяется о поверхность холма абсолютно упруго, определить, где он вторично ударится о холм.
Частица массой 771 налетает на покоящуюся частицу массой М. Удар абсолютно упругий, угол рассеяния падающей частицы равен У, угол отдачи ф. Считая скорости движения нерелятивистскими, найти отношение масс частиц.
Потенциальная энергия. Потенциал
Доказать, что в однородном поле работа не зависит от формы траектории.
Когда вы научитесь интегрировать степенную функцию, попытайтесь вывести формулы (18.6), (18.10) и (18.12).
Примем потенциальную энергию тела равной нулю, если тело удалено от Земли на бесконечно большое расстояние. Напишите выражение для потенциальной энергии тела в произвольной точке над Землей.
Чему равна потенциальная энергия тела на поверхности Земли?
Примем потенциальную энергию тела за нуль, если тело расположено на поверхности Земли. Напишите выраже-
ние для потенциальной энергии тела в произвольной точке над Землей.
Чему равна потенциальная энергия тела в бесконечности?
Вычислить энергию диполя. Какой смысл имеет знак минус?
Дипольный момент молекулы хлористого водорода равен 3,44-РЮ30 Кл-м, плечо диполя 1,01 ТО^10 м. Оцените, сколько энергии выделится при образовании 1 кг хлористого водорода из исходных продуктов, если число молекул в 1 кг равно 1,6-1025.
Найти потенциал электрического поля на первой боровской орбите атома водорода.
Найти сумму кинетической и потенциальной энергий электрона на первой боровской орбите. Объяснить смысл знака суммарной энергии.
Найти импульс и скорость, которые приобретет электрически заряженная частица, пройдя разность потенциалов Ф = фу — ф^. Начальную скорость частицы считать равной нулю. Расчет произвести для нерелятивистского и релятивистского случаев.
Найти разность потенциалов, при которой с погрешностью, не превышающей 5 %, можно вычислять импульс в предыдущей задаче, пользуясь нерелятивистским приближением. Расчет сделать для электрона и протона.
В ультрарелятивистском случае импульс частицы, ускоренной разностью потенциалов ф^ находят по формуле р = = еф/ф где еф выражено в МэВ, с — скорость света в вакууме. Выразить р в единицах СИ. Определить, при какой разности потенциалов использование этой формулы дает погрешность, не превосходящую 5%. Расчет сделать для электрона и протона.
Закон сохранения энергии в ньютоновскоймеханике
Баллистический маятник представляет собой брусок массой 3,0 кг, висящий на нити длиной 2,5 м. В брусок попадает пуля массой 9,0 г и застревает в нем, вследствие чего система отклоняется на угол 18° (рис. 12.1). Найти скорость пули.
Тело массой 5 кг поднимают вертикально вверх на высоту Юме помощью силы 120 Н. Найти конечную скорость тела двумя способами: по второму закону Ньютона и по закону сохранения энергии. Начальная скорость равна нулю.
Решить задачу 5.1, пользуясь законом сохранения энергии.
На. нити длиной I висит груз. Какова, начальная скорость, которую ему надо сообщить в нижней точке, чтобы он смог сделать полный оборот? Массой нити пренебречь.
Решить ту же задачу, полагая, что груз висит на тонком стержне, массой которого можно пренебречь.
На нити висит груз массой т. Нить отвели на угол од и отпустили. Найти натяжение нити как функцию угла о.
На высшей точке шара радиусом К лежит небольшая шайба массой т. После легкого толчка шайба начинает соскальзывать. Найти силу давления шайбы на шар как функцию угла между радиус-вектором и вертикалью. Где шайба оторвется от шара? Трением пренебречь.
Рис. 12.1Рис. 12.1
Рис. 12.1
Рис. 12.1
Пусть велосипедист скатывается, не вращая педали, по вертикальному треку «чертова петля» (рис. 12.8). Требуется определить минимальную высоту Н^ с которой должен начаться спуск, чтобы велосипедист не сорвался в верхней точке петли, т.е. на наиболее опасном участке тра
ектории.
Велосипедист скатывается с высоты И по треку «чертова петля». Найти силу давления велосипедиста на трек как функцию угла между радиус-вектором и вертикалью. Сделать расчет для случая, когда велосипедист скатывается с минимальной высоты.
Небольшое тело движется
по мертвой петле, в которой сверху рис 12 10 сделан симметричный вырез с углом
2о (рис. 12.10). Найти максимальную и минимальную высоты, при которых тело, оторвавшись в точке А от петли и пролетев в воздухе, попадет в точку В. Найти соответствующие допусти
мые углы выреза.
Ближайшая к Солнцу точка эллиптической орбиты планеты называется перигелием, наиболее удаленная точ-
Рис. 12.11Рис. 12.11ка — афелием (рис. 12.11). Обозначим расстояние от перигелия до Солнца через гд, скорость планеты в перигелии через ио- Найти радиус кривизны траектории в перигелии и афелии, расстояние от афелия до Солнца, скорость планеты в афелии.
Рис. 12.11
Рис. 12.11
Доказать, что движение планеты по эллиптической траектории возможно лишь в том случае, если ее полная энергия отрицательна.
Доказать, что если космический корабль движется по параболической траектории, в фоку
се которой находится Земля (или другая планета), то полная механическая энергия корабля равна нулю.
Решить задачу 3.6, воспользовавшись законом сохранения энергии.
Решить задачу 3.7, воспользовавшись законами сохранения энергии и импульса.
С Луны должен подняться и улететь на Землю космический корабль массой 1 т. Определить необходимый для этого запас топлива. Сравнить с запасом топлива для отправки такого же корабля с Земли. Считать ракету одноступенчатой.
Если масса звезды больше массы Солнца более чем в три раза, то при остывании она может сжаться настолько, что не сможет излучать — из ее поля тяготения не сможет вырваться ни частица вещества, ни свет. Оценить радиус такого объекта («черной дыры»).
Закон сохранения энергии
Навстречу друг другу с одинаковой скоростью летят два одинаковых куска льда. При какой скорости они при неупругом ударе испарятся? Начальная температура to = —30 °C. Потери на излучение не учитывать.
Свинцовая пуля пробивает доску, при этом ее скорость падает с 400 м/с до 200 м/с. Какая часть пули расплавится? Нагреванием доски пренебречь. Начальная температура около 30°С.
На освещенную Солнцем поверхность Земли ежесекундно падает луч интенсивностью J = 1,36 кВт/м2. Определить ежесекундное уменьшение внутренней энергии и массы Солнца. Сколько времени будет продолжаться излучение до потери Солнцем 10 % его массы? Объем Солнца считать неизменным.
Нерелятивистская частица неупруго сталкивается с точно такой же покоящейся частицей. Какова кинетическая энергия образовавшегося тела? Куда исчезла часть кинетической энергии?
Частица массой М разделилась на два равных осколка, разлетевшихся со скоростями 0,90 с в противоположные стороны. Найти массу каждого осколка.
Релятивистская частица неупруго соударяется с точно такой же покоящейся частицей. Какова внутренняя и кинетическая энергия образовавшегося сгустка. Кинетическая энергия частицы до удара К = вф^ где ф потенциал ускоряющего электрического поля. Сделать расчет для протона с кинетической энергией 10 ГэВ и 76 ГэВ.
Найти кинетическую энергию, которую надо сообщить позитрону, чтобы при его столкновении с неподвижным электроном возникла пара частиц протон-антипротон.
Решить предыдущую задачу в предположении, что столкновение осуществляется в ускорителе на встречных пучках, т.е. электроны и позитроны движутся навстречу друг другу с равными скоростями.
Сопоставить эффективность ускорителя на встречных пучках с эффективностью ускорителя, где частицы налетают на неподвижную мишень из таких же частиц.
Какой должна быть энергия электронов и протонов в ускорителе с неподвижной мишенью, эффективность которого такая же, как у ускорителя на встречных пучках с энергией 200 МэВ?
Динамика вращения твердого тела
Парой сил называется система из двух равных антипа- раллельных сил; плечом пары называется кратчайшее расстояние между силами. Доказать, что момент пары равен произведению модуля силы на плечо, независимо от того, относительно какой точки мы ищем этот момент.
Решить задачу 2.2, приложив к системе две пары сил с равными по модулю и противоположными по знаку моментами.
Определить вращающий момент на валу электродвигателя мощностью 20 кВт, если его ротор совершает 1440 об/мин.
Модуль кручения спиральной пружины равен 2 Н-м/рад. Пружину закрутили на 10 оборотов. Какая работа при этом совершена?
Определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через точку на краю диска перпендикулярно его плоскости.
Диск с вырезом (рис. 14.6) имеет массу т. Определить момент инерции относительно оси, проходящей через точку А
Рис. 14.6Рис. 14.6перпендикулярно плоскости диска.
Рис. 14.6
Рис. 14.6
Когда вы научитесь интегрировать, выведите с помощью интеграла формулу для момента инерции диска.
С помощью интеграла вывести формулу для момента инерции шара относительно его диаметра.
С помощью интеграла вывести формулу для момента инерции прямого
кругового конуса относительно его высоты.
Решить задачу 14.8 численными методами.
Решить задачу 14.9 численными методами.
Рис. 14.12Рис. 14.12Рис. 14.13Рис. 14.13Однородный стержень длиной I может без трения вращаться вокруг оси, проходящей через его верхний конец (рис. 14.12). Стержень отклонили на угол «о и отпустили. Найти скорость нижнего конца стержня как функцию угла о.
Рис. 14.12
Рис. 14.12
Рис. 14.13
Рис. 14.13
На вершине наклонной плоскости длиной I с углом наклона о находится сплошной цилиндр с радиусом основания г (рис. 14.13). Цилиндр скатывается, не проскальзывая. Найти скорость центра масс цилиндра внизу, если коэффициент трения качения равен к. Можно ли пренебречь трением качения? Выполнить расчет при следующих условиях: I = 1 м, о = 30°, г = 10 см, к = 5 • 10™4 м.
Какова была бы скорость, если бы трения не было и цилиндр соскальзывал?
Решить задачу 14.13 при условии, что скатывается тонкостенная труба с тем же радиусом и той же массой.
Сплошной маховик массой 20 кг и радиусом 120 мм вращается, совершая 600 об/мин. С какой силой нужно прижать
к нему тормозную колодку, чтобы он остановился за 3 с, если коэффициент трения равен 0,1?
На общем валу сидят маховик с моментом инерции 0,86 кг-м2 и цилиндр радиусом 5 см, массой которого можно пренебречь (рис. 14.16). На цилиндр намотана нить, к которой подвешена гиря массой 6,0 кг. За какое время гиря опустится на 1 м? Какова будет ее конечная скорость? На
Рис. 14.16Рис. 14.16чальную скорость считать равной нулю.
Рис. 14.16
Рис. 14.16
Решить задачу 3.2 при условии, что момент инерции блока равен I и его радиус г.
Решить задачу 12.7 в предположении, что с вершины скатывается без проскальзывания шарик, имеющий массу т и радиус т. Потерей энергии на трение качения пренебречь.
Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается, совершая 30 об/мин. Момент инерции тела человека относительно оси вращения — около 1,2 кг-м2. В
вытянутых руках у человека две гири массой
3 кг каждая. Расстояние между гирями 160 см. Как станет вра
щаться система, если человек опустит руки и расстояние между гирями станет равным 40 см? Момент инерции скамьи 0,6 кг-м2; изменением момента инерции рук и трением пренебречь.
На краю круглой платформы, вращающейся вокруг своей оси, стоит человек массой 80 кг. Платформа вместе с человеком совершает 12,0 об/мин. Как станет вращаться система, если человек перейдет в центр платформы? Какую работу при этом совершит человек? Масса платформы 200 кг, ее радиус 1,2 м.
Представим себе, что Солнце сожмется (сколлапсиру- ет) в пульсар. Оценить минимальный радиус пульсара и период его обращения. Период вращения Солнца вокруг оси равен 25,38 сут.
Сравнить кинетическую энергию вращения пульсара (см. задачу 14.21) и Солнца. За счет чего возрастает кинетическая энергия?
Электрон имеет собственный момент импульса (спин), проекция которого на произвольное направление равна половине постоянной Планка, т.е. М = Д/2 = 5,25 • 10"35 Дж-с. Учитывая, что скорость света в вакууме есть предельная скорость, показать несостоятельность модели, согласно которой спин электрона сводится к вращению этой частицы вокруг своей оси.
Шар катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. При какой скорости движения центра масс г?о он
сможет преодолеть выступ высотой h < Д, где R — радиус шара. Удар шара о выступ неупругий.
Решить предыдущую задачу при условии, что катится сплошной диск; тонкостенная труба.
Неинерциальные системы отсчета и тяготение
Решить задачу 5.7, перейдя к системе отсчета, связанной с клином.
Решить задачу 5.8, перейдя к вращающейся системе отсчета, связанной с диском.
Решить задачу 5.9, воспользовавшись вращающейся системой отсчета.
Решить задачу 3.8, воспользовавшись вращающейся системой отсчета.
Решить задачу 3.9, воспользовавшись вращающейся системой отсчета.
При какой угловой скорости вращения звезды с ее экватора начнет истекать вещество? Для расчета воспользоваться
системой отсчета, связанной с вращающейся звездой. Сравнить с задачей 14.21.
Капли жира в молоке имеют диаметр порядка 0,02 мм. Оценить время отделения сливок в центрифуге при комнатной температуре Ц~20°С), если высота сосуда 20 см, радиус вращения 80 см и скорость вращения 600 об/мин. Сопоставить со временем отделения сливок в поле тяжести.
Центробежный регулятор имеет вид, изображенный на
рис. 15.8 а. Масса каждого груза ш, жесткость пружины к. Будет ли этот прибор работать в невесомости? Как зависит угол о от скорости вращения системы? На какую максимальную скорость вращения рассчитан прибор, если пружина может сжаться не более, чем на 10 % своей первоначальной длины?
Доказать, что во вращающемся сосуде поверхность жидкости имеет форму параболоида вращения.
Пользуясь принципом эквивалентности, объяснить явление невесомости в космическом корабле, обращающемся вокруг Земли (или другой планеты).
С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг своей оси космический корабль, чтобы космонавт чувствовал себя как в поле тяжести Луны, где ускорение свободного падения в 6 раз меньше, чем на Земле? Диаметр корабля считать равным 6 м.
В октябре 1971 г. на самолете «Боинг-747», который летел на высоте 10 км со скоростью 1000 км/ч с запада на восток, были помещены атомные часы. На земле остались точно такие же часы, позволяющие регистрировать время с точностью до 1 нс (1 нс = 10-9 с). Самолет летел 2,5 сут, затем часы сличили. Какова разность показаний часов на самолете и в наземной лаборатории? Какой вклад вносит подъем на высоту, и какой — скорость движения?
Определить гравитационное смещение частоты на Солнце, на белом карлике и на пульсаре. Считать массу всех звезд одинаковой и равной 2 • 1030 кг; радиус Солнца 7 • 105 км, белого карлика — 103 км, пульсара — 10 км.
Задача 12.16 была нами решена некорректно: мы воспользовались для света формулой второй космической скорости, которая выводилась из нерелятивистских выражений кинетической и потенциальной энергий. Попробуйте вывести формулу для радиуса «черной дыры» из релятивистских соображений.
Часть третья
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗА
Идеальный газ
Пользуясь данными задачи 2.16, определить массу водорода, которая выйдет в атмосферу, если открыть снизу обо
лочку аэростата.
Определить среднюю скорость броуновской частицы массой 5 • 10™17 кг при нормальной температуре.
Определить число столкновений за 1 с и длину свободного пробега молекулы водорода при нормальных условиях.
В опыте О. Штерна (1920 г.) атомы серебра, вылетавшие с поверхности раскаленной нити, проходили через щель и
оседали на охлажденной стенке наружного цилиндра (рис. 16.4). Когда система приводилась в быстрое вращение, изображение щели смещалось. Прибор сначала приводился во вращение в одну сторону, затем в другую, и измерялось расстояние между смещенными изображениями щели. Найти это расстояние, если радиус внутреннего цилиндра 2,0 см, наружного 8,0 см. Скорость вращения прибора 2700 об/мин, температура нити 960 °C. Оценить по-
Рис. 16.4грешность измерения, если ширина са
мой щели 0,5 мм.
С какой скоростью должен вращаться ротор в установке Ламмерта, чтобы через прорези прошли молекулы газа, скорость которых 700 м/с? Какой разброс скоростей будет зарегистрирован в опыте? Расстояние между дисками принять 40 см, угол между прорезями 20°, угловая ширина щели 2°.
Оцените погрешность эксперимента.
Температура поверхностного слоя Солнца (фотосферы) — около 6000 К. Почему с поверхности Солнца не улетают атомы водорода, из которых в основном состоит фотосфера?
Толщина фотосферы много меньше радиуса Солнца. Исходя из равенства гравитационных сил и сил давления, попы-
тайтесь оценить по этим данным толщину фотосферы, полагая,
что она вся состоит из атомарного водорода.
Плотность фотосферы, оцениваемая оптическими методами, составляет 2 • 10-4 кг/м3. Определить среднее давление газа в фотосфере и длину свободного пробега атомов водорода.
Зная массу и радиус Солнца, можно определить среднюю плотность солнечного вещества. Предполагая для простоты расчета, что плотность постоянна и что ускорение свободного падения в середине радиуса равно половине ускорения свобод
ного падения на поверхности, оценить давление и температуру газа в этой точке. Какова здесь концентрация протонов?
Объясните, почему Луна не может удержать атмосферу. Учесть, что в течение лунного дня ее поверхность нагревается выше 100 °C.
В радиолампе создан вакуум — такое состояние газа, когда длина свободного пробега частиц равна характерным размерам сосуда. Полагая, что размер лампы 5 см и лампа заполнена аргоном, оценить плотность и давление газа. Температура комнатная (20°C).
Определить подъемную силу аэростата объемом 2 • 104 м3, наполненного гелием, на поверхности Земли и на высоте 10 км над уровнем моря. Оболочка аэростата снизу открыта. Данные о свойствах атмосферы см. т. 1, § 26.9, табл. 26.4.
Определить молекулярную формулу аммиака, если при давлении 780 мм рт. ст. и температуре 20 °C его плотность равна 0,736 кг/м3.
Закон Дальтона формулируется так: давление смеси идеальных газов равно сумме паруиалъних давлений этих газов. Парциальным называется то давление, которое производил бы данный газ, если бы он один занимал весь сосуд. Докажите этот
закон.
В баллоне объемом 20 л находится смесь из 10 г водорода и 48 г кислорода. Когда смесь подожгли искрой, образовавшийся газ нагрелся до 300 °C. Опреде
Рис. 16.17Рис. 16.17лить давление газа.
Рис. 16.17
Рис. 16.17
Полагая, что воздух (М = = 29 кг/моль) состоит в основном из кислорода и азота, определить процентное содержание этих газов в атмосфере.
В 1908—1910 гг. Перрен определил постоянную Авогадро. Для этого он наблюдал в короткофокусный микро-
скоп распределение маленьких шариков
гуммигута в воде (рис. 16.17). Фокусируя микроскоп на тот или иной слой, можно было подсчитать число частиц в каж-
дом слое. В одном из экспериментов были получены следующие данные:
Высота слоя над дном кюветы, мкм
5
35
65
95
Число частиц в слое
100
47
23
12
Зная, что радиус шарика 0,212 мкм, плотность гуммигута 1,252-103 кг/м3, плотность воды при 27°C равна 0,997-103 кг/м3, определить постоянную Авогадро.
Газ вращается в центрифуге. Учитывая, что поле центробежных сил инерции эквивалентно полю тяжести, написать выражение для барометрического распределения газа в центрифуге.
Для разделения изотопов можно использовать метод центрифугирования. Для этого смесь двух газов помещают в быстро вращающийся цилиндрический сосуд, и благодаря центробежным силам концентрация изотопов у стенок цилиндра будет отличаться от их концентрации в центре. Сравнить концентрацию легкого и тяжелого изотопов урана у стенок центрифуги, если диаметр цилиндра 10 см, частота вращения 2,0 • 103 об/с, температура шестифтористого урана 27°C.
Найти степень обогащения смеси тяжелым изотопом у стенок сосуда. Степенью обогащения называется частное от деления отношения концентраций при вращении к начальному отношению концентраций:
1 tzi П01
Сколько раз нужно, последовательно отбирая легкую фракцию, подвергать ее центрифугированию, чтобы получить смесь, содержащую 80 % легкого изотопа урана?
Барометрическое распределение было нами получено для изотермической атмосферы, действительно, в § 26.10 (см. т. 1) мы полагали температуру во всех точках неизменной. Между тем, в реальной атмосфере температура с возрастанием высоты уменьшается. Можно показать, что если температура уменьшается с высотой линейно, т.е. Т = Tq(1 — ah)7 то барометрическая формула имеет вид
р \тё/®кт®
Доказать, что если о — малая величина, то данная формула переходит в формулу барометрического распределения для изотермической атмосферы.
Попробуйте вывести барометрическую формулу для атмосферы, температура которой линейно убывает с высотой.
Измерения, проведенные советскими космическими станциями «Венера» с помощью спускаемых аппаратов, показали, что, начиная с высоты 50 км над поверхностью Венеры и ниже, температура атмосферы этой планеты меняется линейно. Исходя из данных, приведенных в таблице, докажите, что этот слой атмосферы состоит в основном из углекислого газа.
Высота над поверхностью Л, км
50
42
37
15
0
Давление р, атм
1
0,3
6
37
90
Температура f, °C
80
160
200
360
485
Т, К
353
433
473
633
758
Первое начало термодинамики
В сосуде находится гелий, который изобарно расширяется. При этом к нему подводится количество теплоты, равное 15 кДж. На сколько изменится внутренняя энергия газа? Какова работа расширения?
В цилиндре находится 0,15 кг водорода. Цилиндр закрыт поршнем, на котором лежит груз массой 74 кг (рис. 17.2). Площадь поршня 62 см2. Какое количество теплоты надо подвести, чтобы груз поднялся на 0,6 м? Процесс считать изобарным, теплоемкостью сосуда пренебречь. Внешнее давление нормальное.
Для одноатомных газов у =1,66 ±0,01. Найти удельные теплоемкости гелия и неона.
Для большинства двухатомных газов при комнатных температурах у = 1,40 ± 0,01. Найти удельные теплоемкости азота при этих условиях.
В цилиндрическом сосуде диаметром 28 см находится 20 г азота, сжатого поршнем, на котором лежит груз массой 75 кг. Температура газа 17°C. Какую работу совершит газ, если его нагреть до 250°C? Какое количество теплоты к нему надо подвести? На сколько поднимется груз? Процесс считать изобарным, нагреванием сосуда и внешним давлением пренебречь.
При расширении газа его давление росло линейно (рис. 17.6). Какую работу совершил газ? На сколько возросла его внутренняя энергия? Какое количество теплоты к нему было подведено? Газ одноатомный.
Какова молярная теплоемкость газа при этом процессе? Сравнить с изобарной и изохорной теплоемкостями.
Начальное давление газа равно 6 • 105 Па, объем 1 м3.
При изотермическом расширении его объем увеличился вдвое.
Пользуясь численными методами, определить работу расширения газа.
Сравните с формулой § 27.6 (см. т. 1) и оцените погрешность.
Когда вы научитесь интегрировать, выведите формулу для вычисления работы при изотермическом расширении газа.
Над газом совершен изохорно-изобарный цикл 1-2-3-4™1 (рис. 17.9 а). Начертите график этого цикла, откладывая на осях координат переменные р — р; V — Т; р — Т.
РР2PiРР2PiУ Г2 ГУ Г2 ГРис. 17.9 аРис. 17.9 аТуТ2 ТТуТ2 ТРис. 17.10 аРис. 17.10 аНад газом совершен изотермически-изохорный цикл 1-2-3-4™! (рис. 17.10 а). Начертите график этого цикла, откладывая на осях координат переменные р — У; р — р; р — Т.
Р
Р2
Pi
Р
Р2
Pi
У Г2 Г
У Г2 Г
Рис. 17.9 а
Рис. 17.9 а
ТуТ2 Т
ТуТ2 Т
Рис. 17.10 а
Рис. 17.10 а
Когда вы научитесь интегрировать, выведите формулу Пуассона для адиабатного процесса.
Выразите зависимость между давлением и температурой, а также между объемом и температурой в адиабатном процессе.
Начальное давление воздуха равно 4,0-105 Па, начальный объем 2,0 м3. Газ адиабатно сжали так, что объем уменьшился в четыре раза. Найти конечное давление. Сравнить с давлением, которое получилось бы, если бы сжатие было изотермическим.
При каком процессе надо совершить большую работу по сжатию газа?
Начальное давление неона равно 2,0 • 105 Па, начальный объем 0,4 м3. Газ адиабатно расширился так, что его объем возрос в три раза. Найти конечное давление. Сравнить с давле-
нием, которое получилось бы, если бы газ расширялся изотермически.
При каком процессе газ совершит большую работу расширения?
Какова должна быть степень сжатия воздуха, чтобы его температура возросла с 15 °C до 700 °C? Сжатие считать адиабатным.
Расстояние между центрами атомов в молекуле азота 1,094 • 10™10 м. Определить момент инерции молекулы и температуру, при которой соударения молекул приводят к изменению состояния вращательного движения.
Собственная частота колебаний молекулы азота равна 4,4-1014 рад/с. Определить температуру, при которой возбуждаются колебания молекулы азота.
Второе начало термодинамики
Какова вероятность вытащить из колоды (36 карт): а) пиковую карту; б) красную карту; в) какую-либо даму?
Какова вероятность вытащить из колоды: а) какую- либо фигуру; б) какую-либо красную фигуру?
Какова вероятность вытащить из колоды подряд два туза: а) если первый вытащенный туз возвращается в колоду; б) если первый вытащенный туз в колоду не возвращается?
Определить математическую и термодинамическую вероятность пяти возможных распределений четырех шариков в двух половинах сосуда (рис. 18.4).
о оо оо оо оо ооОо ооОо оо оо оо оРис. 18.4Рис. 18.4оо оооо ооО Оо оО Оо о
о о
о о
о о
о о
о о
о
О
о о
о
О
о о
о о
о о
о о
Рис. 18.4
Рис. 18.4
о
о о
о
о
о о
о
О О
о о
О О
о о
Попытайтесь обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда в одной части сосуда находится к из п шариков (к <С п), при условии: а) вероятность попадания в левую и правую части сосуда разная; б) вероятность попадания в обе части сосуда одинаковая.
Вычертить графики функций С^ и Cf. (Масштаб по оси абсцисс выбирать так, чтобы графики было удобно сопоставлять. Например, при п = 6 можно взять масштаб 1 : 13 мм, при п = 8 — масштаб 1 : 10 мм.)
В сосуде объемом Ко содержится п молекул. Вычислить вероятность события, когда все молекулы соберутся в части сосуда V < Ко-
Доказать теорему, обратную теореме § 28.8 (см. т. 1): если при теплообмене, происходящем между двумя телами в замкнутой и адиабатически изолированной системе, энтропия возрастает, то количество теплоты передается от нагретого тела к холодному.
На рис. 18.9 изображены результаты одного из наблюдений за миграцией броуновской частицы. Наблюдение велось через каждые 30 с, температура воды около 25 °C, радиус броуновской частицы 4,4 • 10™1 м. Измерив «шаги» частицы в заданном масштабе, найти квадрат среднего квадратично™
рис 18 9го перемещения за определенное вре-
'’мя, вычислить постоянную Больцмана
и постоянную Авогадро. Масштаб: 1 мм на рисунке соответствует перемещению 1,25 мкм.
Вычертить диаграмму T — S (т.е. график зависимости между температурой и энтропией): а) для адиабатного процесса; б) для изотермического процесса.
Как по Т- S-диаграмме вычислить количество теплоты, полученное (или отданное) системой?
Выразить количество теплоты, полученное системой
при изотермическом расширении, через температуру и энтропию.
Когда вы научитесь интегрировать, вычислите изме
нение энтропии при произвольном квазистатическом процессе.
КК^ К^ КРешить предыдущую задачу для изохорного, изобарного и изотермического процесса.
К
К
^ К
^ К
Найти работу за цикл в задачах 17.9 и 17.10.
Начертить цикл Карно вТ- — S-координатах и вычислить его КПД.
На рис. 18.17 изображен идеализированный цикл работы бензино-
вого двигателя внутреннего сгорания. Участок 1-2 соответствует адиабатно
му сжатию горючей смеси; участокрис. 13.17
2-3 — изохорному сгоранию топлива,
когда рабочее тело получает количество теплоты Q; участок 3™4 соответствует адиабатному расширению рабочего тела; участок 4-1 — изохорному выхлопу отработавших газов. Выразить КПД двигателя через степень сжатия ж = ТД/ТД.
Степень сжатия у автомобильного бензинового двигателя около 1:7. Полагая, что для газовой смеси коэффициент Пуассона равен 1,38, определить предельный КПД этого двигателя и сравнить его с реальным, который не превосходит 25 %.
Воспользовавшись результатами задач 17.8 и 18.7, попытайтесь найти связь между энтропией и термодинамической вероятностью.
В двух половинах сосуда находится по одному молю газа, причем Т^ > Тх. Стенки сосуда адиабатные, перегородка абсолютно теплопроводна. Как изменится энтропия системы при изохорном выравнивании температур (т.е. когда перегородка неподвижна)?
Решить ту же задачу, предполагая процесс изобарным, т.е. что давление в обоих сосудах одинаково, а перегородка свободно перемещается, поддерживая при теплообмене постоянное давление.
Основы газовой динамики
Нефть течет по трубопроводу со скоростью 0,8 м/с. Расход нефти составляет 2 • 103 т/ч. Определить диаметр трубопровода.
Из канала брандспойта диаметром 2 см вырывается струя воды со скоростью 18 м/с. Найти избыточное давление в пожарном рукаве, диаметр которого равен 6 см.
Для измерения расхода газа в газопроводе создают сужение и меряют разность давлений в широкой и узкой частях (рис. 19.3). Определить расход газа, если его плотность 1,4 кг/м3, диаметр трубопровода 50 мм, диаметр сужения 30 мм, разность давлений 18 мм водяного столба. Сжимаемостью газа пренебречь.
Вывести уравнение
Бернулли для потока несжи- — маемой жидкости, движущейся в наклонной трубе переменногорис ^93
сечения в поле тяжести.
Из широкого сосуда через малое отверстие вытекает вода. Выразить скорость истечения как функцию высоты столба жидкости.
Пользуясь уравнением Бернулли для сжимаемой жидкости, получить соотношение между скоростью потока в данной точке и местной скоростью звука.
Найти уравнение ударной адиабаты (уравнение Гю- гоньо), выражающее зависимость между давлением и плотностью газа на прямом скачке уплотнения. Начертить график этой адиабаты для одноатомного газа.
Показать, что на прямом скачке уплотнения есть предел возрастания плотности, и вычислить этот предел.
Доказать, что при очень малом адиабатном сжатии газа уравнение Гюгоньо переходит в уравнение Пуассона.
При взрыве образуется ударная волна. Полагая, что фронт этой волны можно рассматривать как прямой скачок уплотнения, определить начальную скорость фронта волны, когда давление воздуха в 200 раз больше атмосферного. Учесть, что при таком давлении у = 1,8.
При ударном сжатии воздуха его объем уменьшился в три раза. Во сколько раз увеличились давление воздуха и его температура? Сравнить с изменением этих же величин при квазистатическом адиабатном сжатии.
Реактивный самолет движется на высоте 1 км вдвое быстрее звука. На каком расстоянии от наблюдателя будет находиться самолет, когда наблюдатель его услышит?
Показать, что ударное сжатие газа сопровождается возрастанием его энтропии.
Температура пара в паровом котле равна 600 °C, давление 20 МПа. Пар выпускается через сопло Лаваля. Определить скорость и температуру пара в критическом сечении. Чтобы пар при выходе из сопла не конденсировался, его температура должна быть выше 100 °C. С какой максимальной скоростью пар покидает сопло?
Скорость истечения продуктов сгорания из сопла космической ракеты равна 2,0 км/с, температура 600 °C. Определить температуру в камере сгорания и предельный КПД. Считать, что топливо сгорает полностью и из сопла вытекает углекислый газ.
Начальная масса ракеты 30 т, начальное ускорение равно 3g. У ракеты четыре сопла диаметром 20 см каждое. Остальные данные взять из предыдущей задачи. Найти начальный расход топлива (вместе с окислителем), плотность и давление газа на выходе из сопла.
Пассажирский лайнер движется со скоростью 900 км/ч на высоте 8 км. Скорость измеряется с помощью трубки Пито-Прандтля. Определить разность давлений в дифференциальном манометре. Данные об атмосфере см. в т. 1, § 26.10, табл. 26.3.
Определить скорость катера, если вода в трубке Пито поднялась на 1,8 м.
Какое избыточное давление должен создавать насос в нефтепроводе, если расстояние между насосными станциями равно 50 км? Какова мощность насоса? Трубопровод считать гладким, данные взять из задачи 19.1.
Можно ли при расчете трубопровода пользоваться уравнением неразрывности? Уравнением импульсов? Уравнением Бернулли?
Доказать, что скорость звука в воздухе выражается формулой а = 20 VT (м/с).
Часть четвертая
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СИЛЫ И АГРЕГАТНЫЕСОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
Твердое тело
Алюминиевый кубик с ребром 1 см подвергается всестороннему сжатию. Какая сила приложена к каждой грани, если объем уменьшился на один процент?
При упругом растяжении (или сжатии) стержня справедлив закон Гука, который может быть записан по аналогии с формулой предыдущей зада-
Рис. 20.3ми подвеса 3,8 м (рис. 20.3).Рис. 20.3ми подвеса 3,8 м (рис. 20.3).чи с заменой модуля всестороннего сжатия К на модуль Юнга Е. Запишите эту формулу и выразите жесткость стержня через его размеры.
Рис. 20.3
ми подвеса 3,8 м (рис. 20.3).
Рис. 20.3
ми подвеса 3,8 м (рис. 20.3).
Трос из мягкой стали содержит 120 жил диаметром 1 мм каждая. Длина троса 4 м, расстояние между точка™ середине троса подвешен груз
массой 1 т. На сколько удлинится трос? При какой нагрузке
трос разорвется?
Представьте себе бесконечно длинный одномерный
ионный кристалл — цепочку чередующихся положительных и
отрицательных ионов, расстояние между которыми равно а (рис. 20.4). Найти силу, действующую на произвольный ион со
Рис. 20.4Рис. 20.4
Рис. 20.4
Рис. 20.4
стороны половины цепочки, и сопоставить ее с силой Ед, действующей между двумя соседними ионами. Расчет сделать с точностью, не меньшей 0,001.
Определить сопротивление ионного кристалла на разрыв (разрушающее напряжение), пренебрегая действием всех ионов, кроме соседних. Сделать численный расчет для кристал-
ла хлористого натрия, где по данным рентгеноструктурного анализа расстояние между центрами соседних ионов (постоянная решетки а) равно 0,281 нм; то же для фтористого лития, где а = 0, 201 нм.
Теоретические значения разрушающих напряжений, полученные в предыдущей задаче, в десятки раз превышают прочность на разрыв хороших сталей и в тысячи раз — прочность на разрыв реальных ионных кристаллов. Чем это объясняется?
Стальной маховик имеет вид массивного кольца с внешним диаметром 40 см и внутренним диаметром 30 см. На какую максимальную скорость вращения он рассчитан? При какой скорости вращения он разорвется на части?
Какое давление может выдержать стальной баллон сферической формы, если его внутренний радиус равен Д, толщина стенок d? Сделать расчет при R = 50 см, d = 5 мм.
Доказать, что цилиндрический баллон при тех же условиях выдерживает вдвое меньшее давление.
Медный стержень зажат между двумя опорами. Его температуру увеличили на 50°. Какое напряжение возникает в стержне?
Стальной цилиндр был охлажден в жидком азоте (72 К) и вставлен без зазора в обойму из хромо-никелевой стали при комнатной температуре (20°C). Внутренний радиус обоймы 25 мм, наружный 35 мм. Полагая, что цилиндр существенно не деформируется, определить напряжение в обойме и характер ее деформации.
В расщелину скалы попала вода и замерзла. Какое давление при этом возникло?
Для определения коэффициента объемного расширения керосина в одном колене сообщающихся сосудов поддерживалась температура 10 °C, в другом 80 °C. Уровень жидкости в одном колене был равен 280 мм, в другом 300 мм. Найти этот коэффициент.
Чему равно число атомов в элементарной ячейке простой кубической решетки? В элементарной ячейке объемноцен- трированной кубической решетки?
Чему равно число атомов в элементарной ячейке гранецентрированной кубической решетки?
Чему равно число атомов в элементарной ячейке плот- ноупакованной гексагональной решетки?
Найти выражение для энергии молекулярного взаимодействия.
Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти минимальную энергию молекулярного взаимодействия.
Найти энергию молекулярного взаимодействия при условии, что расстояние между молекулами возрастает на 10%; 100%.
Жидкость
С повышением температуры вязкость ртути убывает (табл. 21.1а). Проверить, справедливо ли для ртути соотношение (34.10). Вычислить энергию активации.
Таблица 21.1а
Температура t, °C
Вязкость 7?, мПа-с
Температура Ц °C
Вязкость 7?, мПа-с
0
1,681
50
1,407
10
1,621
60
1,367
20
1,552
70
1,327
30
1,499
100
1,232
40
1,450
На какую высоту поднимется вода в капиллярной трубке диаметром 0,8 мм? Считать, что краевой угол равен нулю.
В воду погружен капилляр диаметром 0,8 мм. Над водой выступает кусок трубки длиной 2 см. На какую высоту поднимется вода? Как это согласовать с результатом предыдущей задачи?
На стекле находилось 100 капелек ртути диаметром 1 мм. Затем они слились в одну большую каплю. Что произошло с энергией поверхностного слоя? Процесс изотермический.
Для перекачки жидкости из несмачиваемого ею сосуда в смачиваемый можно использовать силы поверхностного натяжения (капиллярный насос). С какой скоростью будет перемещаться бензин в капилляре диаметром 2 мм и длиной 10 см? Опыт производится в состоянии невесомости.
Оценить, когда капиллярный насос с водой эффективнее — при низкой или при высокой температуре?
В капиллярной трубке жидкость поднимается на высоту h. Какой столбик жидкости может удержаться в трубке, если трубку полностью заполнить жидкостью в горизонтальном состоянии и затем повернуть ее вертикально? Считать трубку достаточно длинной.
Найти высоту подъема жидкости между двумя длинными параллельными пластинами, расстояние между которыми равно d.
Между двумя хорошо очищенными стеклянными пластинами находится капля воды массой 0,2 г. Расстояние между пластинами 0,01 см. Найти силу, с
которой пластины притягиваются друг к другу.
Два мыльных пузыря с радиусами кривизны R^ и R^ < < Д1 посажены друг на друга так, как это показано на рис. 21.10. Каков радиус кривизны пленки между ними? Какой угол образуют между собой пленки в месте контакта?
Пар
Пользуясь табл. 35.1 (см. т. 1), проверить, пригодно ли уравнение Клапейрона-Менделеева для насыщенного водяного пара. Можно ли считать насыщенный водяной пар идеальным газом?
Не противоречит ли результату предыдущей задачи тот факт, что изохора идеального газа на осях р — Т изображается линейным графиком, а изохора насыщенного пара нелинейна? (См. т. 1, § 35.3, рис. 35.2.)
В цилиндре под поршнем находится 8 г водяного пара при температуре 55 °C. Газ изотермически сжимают. При каком объеме выпадет роса?
В цилиндре под поршнем находятся 3,5 г воды и 2,9 г пара при температуре 40 °C. Газ изотермически расширяется. При каком объеме вода в цилиндре полностью испарится?
Температура воздуха 18 °C, точка росы 7°C. Определить абсолютную и относительную влажность воздуха.
Днем температура воздуха была 25 °C, относительная влажность 68 %. Ночью температура упала до 11 °C. Выпадет ли роса? Если да, то сколько ее выделится из каждого кубометра воздуха?
Смешали 5 м3 воздуха, имеющего относительную влажность 22 % и температуру 15 °C, и 3 м3 воздуха, имеющего относительную влажность 46 % и температуру 28 °C. Общий объем смеси 8 м3. Определить относительную влажность этой смеси.
Пользуясь значениями критических параметров воды (см. т. 1, § 35.5), проверить, удовлетворяют ли эти параметры уравнению состояния идеального газа. Объяснить полученный результат.
В табл. 22.9 приведены значения плотности жидкой углекислоты, а также давления и плотности ее насыщенного пара. Определить критические параметры этого вещества. Построить графики зависимости плотности от температуры.
Таблица 22.9
Температура Ц °C
Плотность жидкости р, кг/м3
Плотность пара р, кг/м3
Давление пара р, МПа
0
914
96
3,47
10
856
133
4,48
20
766
190
5,70
25
703
240
6,41
30
598
334
7,16
31
536
392
7,32
31,25
497
422
7,38
31,35
464
464
7,39
Фазовые переходы
Какая работа совершается при превращении 1 кг воды в пар при температуре 100 °C? Сколько энергии идет на разрыв связей между молекулами?
Если через брусок льда перекинуть тонкую проволоку
и повесить на нее груз в несколько килограммов, то через неко-
Рис. 23.2Рис. 23.2торое время проволока пройдет сквозь лед, а брусок останется целым (рис. 23.2). Объясните это явление.
Рис. 23.2
Рис. 23.2
В смесь, состоящую из 5 кг воды и 3 кг льда, впустили 0,2 кг водяного пара при температуре 100 °C. Что произойдет? Потерями на излучение пренебречь.
Решить задачу 23.3 в предположении, что в смесь впустили 1,1 кг пара.
В литр воды при комнатной температуре (20 °C) опустили 0,5 кг льда при температуре —15 °C. Что произойдет? По
тери не учитывать.
Решить задачу 23.5 при условии, что воды было 3 л.
Чистую воду можно переохладить до —10 °C. Если бросить в нее кристаллик льда, то она немедленно начнет замер™
зать. Какая часть воды замерзнет? Система адиабатно изолирована.
На электрической плитке мощностью 800 Вт кипит вода в чайнике. Найти скорость истечения пара, если сечение носика 0,9 см2, а давление на выходе нормальное. КПД плитки 72%.
Лед при температуре 0°С заключен в адиабатную оболочку и сжат до давления 600 МПа. Известно, что при повышении давления на 13,8 МПа точка плавления льда снижается на 1 К. Полагая, что на этом участке фазовую диаграмму можно считать линейной, определить, какая часть льда расплавилась.
Для определения степени теплоизоляции дьюаровско- го сосуда в него поместили лед при 0°С; за сутки расплавилось 42 г льда. В этом дьюаре обычно хранится жидкий азот при температуре 78 К. Полагая, что количество теплоты, поступающей в дьюар, пропорционально разности температур внутри и снаружи сосуда, определить, сколько азота испарится за сутки. Температура окружающего воздуха 20 °C, теплота испарения азота при нормальном давлении 1,8 • 105Дж/К.
Тройная точка углекислоты (С О 2) соответствует давлению 5,18-105 Па и температуре 216,5 К. При каких температурах можно получить жидкую углекислоту? При каких условиях происходит сублимация?
При 0°C плотность воды равна 999,8 кг/м3, а плотность льда 916,8 кг/м3. Учитывая, что модуль упругости льда составляет 10 ГПа, найти напряжение, возникающее при замерзании льда.
Часть пятая
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Поле неподвижных зарядов в вакууме
Оценить верхнюю границу погрешности, которую мы допускаем, вычисляя силу взаимодействия между заряженными проводящими шариками по закону Кулона. Радиусы шариков го, расстояние между их центрами г. Сделать расчет при г 20tq.
Два электрических заряда qi = q и q^ = —2g разнесены на расстояние I = 6а. На плоскости, в которой находятся эти заряды, найти геометрическое место точек, где потенциал поля равен нулю.
Доказать тождественность единиц измерения напряженности Н/Кл и В/м.
Капля масла диаметром 0,01 мм удерживается в равновесии между горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно 25 мм. Какой заряд находится на капле, если равновесие достигается при разности потенциалов между пластинами 3,6 • 104 В? '
В § 18.3, 18.7, 18.8 (см. т. 1) мы нашли выражение для потенциала поля точечного заряда численными методами. Когда вы научитесь дифференцировать, докажите, что из формулы (18.25) следует известное из закона Кулона выражение для напряженности поля точечного заряда.
Когда вы научитесь интегрировать, выведите формулу (18.25) из известного вам выражения для напряженности поля точечного заряда.
На проводнике в виде кольца радиусом а равномерно распределен заряд q. Найти потенциал поля в произвольной точке на оси проводника, отстоящей на расстояние ж от плоскости, в которой лежит проводник. Пользуясь соотношением между потенциалом и напряженностью, найти напряженность поля в этой точке. Сравните с задачей 4.11.
В поле точечного заряда находится диполь, плечо которого много меньше расстояния от диполя до источника поля. Определить действующую на диполь силу и вращающий момент, если диполь расположен:
перпендикулярно силовой линии;
вдоль силовой линии.
Два конденсатора, электроемкости которых Gi и Сф соединены параллельно. Определить электроемкость батареи.
Те же два конденсатора соединены последовательно. Определить электроемкость батареи.
Несколько одинаковых конденсаторов соединили параллельно и зарядили до разности потенциалов фо- Затем с помощью переключателя их соединили последовательно. Какова будет разность потенциалов между крайними клеммами? Изменится ли энергия системы?
Начертить схему переключателя, позволяющего произвести переключение батареи конденсаторов с параллельного соединения обкладок на последовательное и обратно.
На сфере радиусом а равномерно распределен электрический заряд q. Найти напряженность поля Е^ внутри сферы, Ес вне сферы и Eq на ее поверхности. Построить график зависимости напряженности от расстояния до центра сферы.
Найти электроемкость сферического конденсатора. Доказать, что при малом расстоянии между обеими сферами электроемкость можно вычислить по формуле плоского конденсатора. Определить погрешность, которая при этом допускается.
Длинная тонкая нить заряжена равномерно, причем линейная плотность электрического заряда 7 [Кл/м]. Найти напряженность и потенциал электрического поля в произвольной точке.
Цилиндрический конденсатор представляет собой два коаксиальных цилиндра высотой h и радиусами Ri и R2 (h ^ R2 > Д1). Найти напряженность поля между цилиндрами, разность потенциалов между ними и электроемкость. Доказать, что при малом расстоянии между цилиндрами электроемкость можно вычислять по формуле плоского конденсатора.
Допустим, что электрон можно рассматривать как шарик радиусом сц на поверхности которого равномерно распределен электрический заряд е. Можно показать, что вне этого шарика и на его поверхности поле такое же, как у точечного заряда; поле же внутри шарика равно нулю. Исходя из этих соображений, найти энергию поля электрона. Полагая ее равной энергии покоя электрона, оценить радиус этого шарика. Сравните с задачей 14.23.
Сферическая оболочка радиусом R заряжена равномерно зарядом q. Возникающие при этом электрические силы растягивают оболочку. Найти механическое напряжение в оболочке.
Мыльный пузырь имеет радиус 5 мм. Какой заряд ему надо сообщить, чтобы он стал раздуваться?
Нижняя пластина плоского конденсатора лежит на изолирующей пластине, верхняя заземлена через весы (рис. 24.20). Весы уравновешены. Какой груз нужно положить на левую чашку весов, чтобы сохранить равновесие, если между пластинами создается разность потенциалов 5000 В? Расстояние между пластинами 5 мм, площадь пластины 80 см2.
Рис. 24.20Рис. 24.20Рис. 24.21Рис. 24.21
Рис. 24.20
Рис. 24.20
Рис. 24.21
Рис. 24.21
Два одинаковых конденсатора заряжены до разных потенциалов фу и ф2 относительно заземленных отрицательных электродов. Затем конденсаторы соединяют параллельно (рис. 24.21). Определить потенциал батареи после соединения и изменение энергии системы.
Доказать справедливость теоремы Гаусса для потока вектора напряженности гравитационного поля.
Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти напряженность гравитационного поля однородного шара массой М и радиусом R вне шара ЕС1 внутри шара Е^ и на поверхности Eq. Построить график зависимости напряженности поля от расстояния до центра шара.
Из результата предыдущей задачи следует, что два массивных шара притягиваются друг к другу с такой же силой, с которой притягивались бы точечные массы, помещенные в центры шаров. Почему такой же вывод нельзя сделать для электрически заряженных шаров?
Диэлектрики
Расстояние между пластинами плоского конденсатора) 10 мм, разность потенциалов 10 кВ. В промежуток между
пластинами вдвинули пластину слюды, размеры которой равны размерам конденсатора. Определить поляризационный заряд на поверхности слюды, полагая, что пластины все время присоединены к источнику тока.
Решить задачу 25.1, предполагая, что пластина слюды была вдвинута в конденсатор после того, как он был предварительно заряжен.
Определить электроемкость конденсатора, состоящего из 120 листочков парафинированной бумаги толщиной 0,1 мм, проложенных листами станиоля размерами 5 см х 3 см. В каком диапазоне напряжений может работать этот конденсатор?
Определить электроемкость конденсатора, если площадь пластин равна 5, расстояние между пластинами do, в конденсатор вложена диэлектрическая пластина толщиной d < do (рис. 25.4).
Рис. 25.4Рис. 25.4Рис. 25.5Рис. 25.5
Рис. 25.4
Рис. 25.4
Рис. 25.5
Рис. 25.5
Определить электроемкость конденсатора, в котором часть пространства между пластинами заполнена диэлектриком (рис. 25.5).
Капля воды находится в поле точечного заряда 10™ 5 Кл. На каком расстоянии от капли должен находиться заряд, чтобы электрические силы преодолели силу тяжести? Раз
мер капли много меньше расстояния от капли до заряда.
Жидкость налита в большой сосуд. Две вертикально расположенные параллельные пластины касаются поверхности жидкости (рис. 25.7). Размеры пластин а и Ь, расстояние между ними d. Пластины заряжены до разности потенциалов фо и отключены от источника. На
какую высоту поднимется жид
кость? Капиллярные явления неРис. 25.7
учитывать.
Решить задачу 25.7, полагая, что пластины все время присоединены к источнику.
Электрическая восприимчивость водяного пара сильно зависит от температуры:
Температура Ц °C
120
150
180
210
Давление р, нПа
75,33
81,19
87,06
93,06
Электрическая восприимчивость хс
4,00-КГ3
3,72-10-3
3,49-10-3
3.29-НГ3
Построив график, найдите зависимость электрической восприимчивости от температуры. Вычислите дипольный момент молекулы воды.
Диэлектрическая проницаемость газообразного аргона при нормальных условиях равна 1,00054. Определить дипольный момент атома аргона в электрическом поле напряженностью 10 кВ/м. Сравнить с дипольным моментом молекулы воды.
Постоянный ток
Круглое кольцо из медной проволоки длиной 60 см и диаметром 0,1 мм включено так, как показано на рис. 26.1. Найти сопротивление цепи. При какой длине меньшего участка АВ = ж сопротивление цепи составит 0,2 Ом?
Найти сопротивление проволочной фигуры, изображенной на рис. 26.2 а. Провод однородный, алюминиевый, диаметром 0,4 мм. Длина стороны квадрата 20 см.
Рис. 26.1Рис. 26.1
Рис. 26.1
Рис. 26.1
Из однородного проводника спаяна правильная пятиконечная звезда (рис. 26.3). Сопротивление участка EL равно г. Найти сопротивление участка FL.
Проволочная звезда, о которой говорилось в предыдущей задаче, включена в сеть в точках F и С. Найти эквивалентное сопротивление.
Проволочный куб, спаянный из одинаковых проводников сопротивлением г каждый, включен в сеть в двух вершинах, лежащих на концах пространственной диагонали (рис. 26.5 а). Найти эквивалентное сопротивление.
Рис. 26.5 аРис. 26.5 а■о о■о оРис. 26.6Рис. 26.6
Рис. 26.5 а
Рис. 26.5 а
■о о
■о о
Рис. 26.6
Рис. 26.6
Для определения сопротивления используется мост Уитстона с реохордом — проволокой длиной Б, обладающей большим удельным сопротивлением (рис. 26.6). Здесь R — эталонное сопротивление, Нж — неизвестное сопротивление. Перемещая скользящий контакт, добиваются исчезновения тока в гальванометре. Вычислить искомое сопротивление при этом условии (балансе моста).
При каком условии мост Уитстона дает наименьшую погрешность? Как этого добиться?
Ток 100 А течет по коническому медному проводнику, размеры которого показаны на рис. 26.8. Определить плотность тока и напряженность электрического поля на торцах проводника.
Когда вы научитесь интегрировать, определите сопротивление проводника, описанного в предыдущей задаче, и разность потенциалов на его концах.
а 0Ч| || || || || ||4f
/ = 20 ммРис. 26.8/ = 20 ммРис. 26.8б ।|—J-—Д™—Д™—J 0 +
/ = 20 мм
Рис. 26.8
/ = 20 мм
Рис. 26.8
т I ; I I I 0_
:Сн''Н''Р
Рис. 26.10
ЭД С одного аккумулятора равна е, его внутреннее сопротивление г. Найти ЭД С Ж и внутреннее сопротивление R^ батареи, состоящей из п элементов, соединенных (рис. 26.10):
последовательно;
параллельно;
в батарею из m последовательно соединенных групп (ш < п) по к = п/т параллельно соединенных аккумуляторов в группе.
От динамомашины, напряжение на полюсах которой равно 230 В, необходимо зарядить 200 щелочных аккумуляторов. ЭД С аккумулятора 1,4 В, внутреннее сопротивление 0,01 Ом, зарядный ток 20 А. Предложить схему включения и рассчитать сопротивление реостата.
Источник тока с ЭД С S и внутренним сопротивлением г замкнут на переменное сопротивление R. Определить, как зависит полная мощность, выделяемая источником, и мощность, отдаваемая во внешнюю цепь, от сопротивления нагрузки.
Определить, при каком нагрузочном сопротивлении в цепь отдается максимальная мощность, и начертить графики зависимости мощности от нагрузочного сопротивления.
Для нормального накала радиолампы нужно напряжение 6 В при силе тока 0,3 А. Начертить схему бестрансфор- маторного питания восьмилампового приемника от сети 220 В. Сравнить количество теплоты, выделяющееся ежесекундно на лампах и на добавочном сопротивлении.
Гальванометр с чувствительностью 3,0 • 10™4 А на деление шкалы и внутренним сопротивлением 60 Ом нужно превратить в универсальный прибор: вольтметр с пределами 10 В, 100 В и 1000 В и амперметр с пределами 100 мА и 5 А. Начертить схему и рассчитать систему сопротивлений. Вся шкала прибора — 50 делений.
Сколько ламп мощностью 300 Вт, работающих при напряжении 220 В, можно установить в здании, если напряжение в магистрали 235 В, а для проводки использован алюминиевый провод диаметром б мм? Линия двухпроводная, расстояние от магистрали до здания 100 м.
Электроплитка с регулируемой мощностью, рассчитанная на напряжение 220 В, имеет две спирали с сопротивлениями 120 и 60 Ом. Составить схему, позволяющую использовать плитку в трех режимах: 400 Вт, 800 Вт и 1200 Вт.
Рассчитать длину нихромовой спирали для электрической плитки, на которой за 8 мин можно довести до кипения 2 л воды. Начальная температура воды 20 °C, нагреванием чайника пренебречь, КПД установки 60 %, диаметр провода 0,8 мм, напряжение 220 В, удельное сопротивление нихрома 10™6 Ом-м.
В проводнике сопротивлением 40 Ом сила тока за 10 с возросла линейно от 5 А до 25 А. Сколько тепла выделилось
за это время? Задачу решить двумя методами: а) численным расчетом; б) интегрированием.
Когда вы научитесь интегрировать, попробуйте вывести формулу для определения мгновенного значения силы тока при разряде конденсатора через сопротивление.
Стабилитроном S называется проводник, идеализированная характеристика которого изображена на рис. 26.21. Последовательно с обычным резистором R стабилитрон подключают к источнику тока с ЭД С Ж. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, определить силу тока в цепи, а также разность потенциалов на стабилитроне и резисторе.
О Фо ф
Рис. 26.22Рис. 26.22Рис. 26.21
Рис. 26.22
Рис. 26.22
Бареттером В называется проводник, идеализированная характеристика которого изображена на рис. 26.22. Последовательно с резистором R бареттер подключают к источнику тока с ЭД С Ж. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, определить силу тока в цепи и разность потенциалов на бареттере и резисторе.
Магнитное поле в вакууме
Вот еще один из парадоксов теории относительности. Пусть пружина расположена перпендикулярно направлению скорости системы отсчета. Под действием силы Fq пружина растянулась на длину /о = Fo/k. Как известно, при переходе к другой системе отсчета поперечные размеры не меняются (см. задачу 6.1), следовательно, I = Iq. Не противоречит ли это тому факту, что поперечная сила при этом меняется по закону F = = Fq V1 - v2/с2?
В ускорителе пучок протонов движется со скоростью 0,990 с относительно установки. Сравнить силы магнитного и электростатического взаимодействия протонов.
Пользуясь принципом относительности, покажите, что напряженность поперечного электрического поля движущихся зарядов больше напряженности электростатического поля.
Круговой виток диаметром 200 мм образован из 100 витков тонкого провода, по которому течет ток силой 50 мА. Найти индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии 100 мм от центра.
На длинный соленоид виток к витку намотан провод (рис. 27.5), диаметр которого (с изоляцией) равен d. По проводнику течет ток силой i. Найти индукцию магнитного поля в центре О и вершине А катушки. Сделать расчет при d = 0,1 мм, i = 5 А.
Рис. 27.5Рис. 27.5Рис. 27.6Рис. 27.6
Рис. 27.5
Рис. 27.5
Рис. 27.6
Рис. 27.6
Кольца Гельмгольца представляют собой две плоские тонкие катушки, расположенные, как показано на рис. 27.6. Сравнив напряженность магнитного поля в центре каждого кольца и в средней точке на оси, показать, что внутри колец Гельмгольца магнитное поле близко к однородному. Расстояние между катушками положить равным половине радиуса.
Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли равна 16 А/м. Рассчитать размеры колец Гельмгольца, позволяющих скомпенсировать магнитное поле Земли, если сила тока в обмотке равна 200 мА, а число витков в каждой обмотке равно 50.
Тонкое кольцо радиусом 10 см несет на себе равномерно распределенный заряд. Кольцо равномерно вращается с частотой 1200 об/мин вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Определить заряд на кольце, если индукция магнитного поля в центре кольца равна 3,8 • KF9 Т.
Стеклянный диск толщиной h = 5 мм и радиусом R = 50 мм наэлектризован трением так, что поверхностная плотность заряда равна KF2 Кл/м2. Диск вращается, совершая 1,6 об/с. Найти напряженность магнитного поля в центре диска.
Когда вы научитесь интегрировать, найдите магнитный момент и отношение магнитного момента к моменту импульса.
Магнитное поле создано круговым током i радиуса а. Найти градиент магнитного поля (т.е. производную вектора ин™
дукции магнитного поля) вдоль оси кругового тока в точке, расположенной на расстоянии ж от центра витка.
Заряды и токи в магнитном поле
Альфа-частица движется в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл по окружности радиусом 49 см в плоскости, перпендикулярной силовым линиям. Определить скорость и кинетическую энергию частицы.
Решить задачу 28.1 для мюона. Каковы его скорость и кинетическая энергия?
Заряженная частица, двигаясь в однородном магнитном поле, прошла через слой свинца и за счет этого потеряла половину своей кинетической энергии. Как изменится радиус кривизны траектории? Сделать расчет для нерелятивистской и релятивистской частицы.
Определить период обращения электрона с кинетической энергией 1,5 МэВ в магнитном поле с индукцией 0,02 Тл. Электрон движется в плоскости, перпендикулярной силовым
линиям.
Электрон, разогнанный в электрическом поле напряжением 20 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией ОД Тл. Вектор скорости образует угол 75° с направлением вектора индукции. Определить форму траектории.
Покажите, что в циклотроне дуанты нерационально помещать в однородное магнитное поле. Укажите целесообразную форму полюсных наконечников, обеспечивающую фокусировку
пучка частиц в середине дуантов.
Рис. 28.7 аРис. 28.7 аВ приборе, изображенном на рис. 28.7 а, пучок электронов отклоняется вверх с помощью поперечного магнитного поля. Поле эффективно действу
Рис. 28.7 а
Рис. 28.7 а
ет на длине I = 20 мм, расстояние от отклоняющей системы до экрана L = 175 мм. Индукция магнитного поля 10™3 Тл, анодное напряжение 500 В. Определить, на сколько отклонится пучок электронов на экране.
Какое электрическое поле нужно создать в установке, рассмотренной в предыдущей задаче, чтобы вернуть электроны в центр экрана?
В циклотроне для тяжелых ионов в Дубне ионы неона разгоняются до энергии 100 МэВ. Диаметр дуантов 310 см, индукция магнитного поля в зазоре 1Д Тл, ускоряющий потенциал 300 кВ. Определить кратность ионизации атома неона, полное
число оборотов иона в процессе ускорения, а также частоту изменения полярности ускоряющего поля.
Диаметр магнита серпуховского синхрофазотрона равен 472 м. Протоны вводятся в ускорительную камеру с энергией 100 МэВ и покидают ее с энергией 76,5 ГэВ. Определить начальное и конечное значения индукции магнитного поля в зазоре и частоты ускоряющего напряжения.
В области пространства создано однородное электрическое поле с напряженностью 1 МВ/м и однородное магнитное поле с индукцией 10™2 Тл. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен вектору индукции магнитного поля. Перпендикулярно обоим векторам движется пучок мюонов, который при совместном действии полей не отклоняется. Какова скорость частиц? Можно ли с помощью данного эксперимента определить заряд частицы и ее знак?
В масс-спектрометре фильтр скоростей создан электрическим полем с напряженностью 1,1 • 102 В/м и перпендикулярным к нему магнитным полем с индукцией 2,0 • 10™2 Тл. Отклоняющее однородное магнитное поле, перпендикулярное пучку, имеет индукцию 9,0 • 10™2 Тл. Ионы с одинаковыми зарядами и с массовыми числами 20 и 22 пролетают фильтр скоростей и затем совершают оборот на 180° в отклоняющем поле (рис. 28.12). Каково расстояние между точками Si и Sy?
скоростейскоростейРис. 28.12Рис. 28.12скоростейскоростейловушкаловушкаРис. 28.13Рис. 28.13
скоростей
скоростей
Рис. 28.12
Рис. 28.12
скоростей
скоростей
ловушка
ловушка
Рис. 28.13
Рис. 28.13
В масс-спектрометре Бейнбриджа (рис. 28.13) расстояние между выходом из фильтра (селектора) скоростей и входной щелью регистрирующего прибора фиксировано и равно I = 400 мм. Индукция магнитного поля в обеих частях прибора одинакова и равна 5,00 • Ю™2 Тл. При плавном изменении электрического поля в фильтре скоростей пики анодного тока в приемнике наблюдаются при напряженностях 1,20 • 104 В/м и 1,60; 104 В/м. Полагая ионы однозарядными, идентифицировать их (т.е. определить, какому химическому элементу они соответствуют) .
Рамка гальванометра длиной 4 см и шириной 1,5 см, содержащая 200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Найти вращающий момент, действующий на рамку, когда по ней течет ток силой 1 мА.
Рамка гальванометра площадью 1 см2, содержащая 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити и расположена вдоль силовых линий магнитного поля с индукцией 15 мТл. Когда через рамку пропустили ток 5,0 мкА, рамка повернулась на 15°. На какой угол рамка повернется при токе 7,5 мкА? Каков модуль кручения нити?
Найти силу взаимодействия между двумя рамками с током, расстояние между центрами которых много больше линейных размеров рамок (рис. 28.16).
Две небольшие одинаковые катушки с током имеют следующие параметры: радиус витка 20 мм, число витков 103, сила тока 0,5 А. Расстояние между катушками 300 мм. С какой
Пусть электрический заряд движется в магнитном поле в плоскости, расположенной перпендикулярно силовым линиям. Показать, что орбитальный магнитный момент циркулирующего заряда направлен против поля.
«Магнитной пробкой» называется область магнитного поля, в которой резко концентрируются силовые линии (рис. 28.19 а). Пусть заряженная частица приближается к магнитной пробке, как показано на рисунке. Что с ней произойдет?
Показать, что заряженная частица, влетающая в сильное однородное магнитное поле, отражается зеркально, если ее скорость меньше некоторого предела (принцип «магнитного
зеркала», рис. 28.20). Найти кинетическую энергию электронов, испытывающих зеркальное отражение, если пучок электронов
движется перпендикулярно «магнитному зеркалу». Магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл создано в большой области пространства, толщина «магнитного зеркала» d = 10 см.
Магнетики
В магнитное поле с индукцией 2 • 10™5 Тл помещен шарик из висмута радиусом 5 мм. Каков магнитный момент шарика? Как он направлен? Магнитная восприимчивость висмута Ит = -1,76 • Ш1. '
Решить аналогичную задачу для шарика из вольфрама. Магнитная восприимчивость вольфрама = 1,76 • 10™4.
Магнитный момент атома гадолиния равен 7,95 магнетона Бора. Кристаллы гадолиния упаковываются в гранецентрированную кубическую решетку с периодом 3,2 А. Определить намагниченность насыщения. Учесть, что в гранецентрированной упаковке элементарная ячейка включает четыре атома (см. задачу 20.15).
Парамагнетик находится при температуре 30 °C. Концентрация атомов равна 102/ м™3, магнитный момент атома равен удвоенному магнетону Бора. Оценить, на сколько число атомов, магнитные моменты которых ориентированы вдоль поля, больше числа атомов, магнитные моменты которых ориентированы против поля, если индукция поля 1,2 Тл.
Как изменится результат, если охладить вещество до температуры жидкого азота (—195,8 °C)?
Найти намагниченность вещества при условиях предыдущей задачи.
Показать, что природу ферромагнетизма нельзя объяснить, исходя из рассмотрения взаимодействия магнитных диполей.
Оценить энергию обменного взаимодействия спиновых магнитных моментов электронов в доменах железа.
Рассчитать отклонение пучка от оси в опыте Штерна и Герлаха при следующих данных установки: длина магнитных полюсов 3,5 см, градиент магнитного поля порядка 102 Тл/м. В опыте отклонялись атомы серебра, вылетавшие из «молекулярной печи» при температуре 730 °C; проекция магнитного момента атома серебра на направление вектора индукции магнитного поля равна магнетону Бора.
Кривая первоначального намагничивания технически чистого железа показана на рис. 29.9 а. Пользуясь графиком, найти значение магнитной проницаемости этого материала при напряженностях магнитного поля: 50; 75; 100; 200; 500; 1000; 1500 А/м.
Построить график зависимости магнитной проницаемости от напряженности поля. По графику оценить, при какой напря
женности поля достигается
Рис. 29.9 аРис. 29.9 амаксимальная магнитная проницаемость (дМакс) и чему она ориентировочно равна.
Рис. 29.9 а
Рис. 29.9 а
В табл. 29.10 приведены координаты некоторых точек предельного гистерезисного цикла некоторого ферромагнетика. Построить петлю гистерезиса. (Рекомендуемый масштаб: 10 мм = 100 А/м и 10 мм = = 0,20 Тл.) Определить по графику коэрцитивную силу и индукцию при насыще-
нии. Вычислить намагниченность насыщения и остаточную намагниченность МТ.
Таблица 29.10
Напряженность магнитного поля И, А/м
Индукция магнитного поля В, Тл
Напряжен
.ность
магнитного поля И, А/м
Индукция магнитного поля В, Тл
нижняя ветвь петли
верхняя ветвь петли
нижняя ветвь петли
верхняя ветвь петли
0
0.23
0,23
500
0,92
1,15
100
0
0,46
600
1,10
1,19
200
0,23
0,69
700
1,20
1,24
300
0,46
0,92
800
1,26
1,26
400
0,69
1,08
Для ряда практических задач важно знать не обыч- 1 В
ную магнитную проницаемость д = — — , а так называемую ''До Н'
«дифференциальную» магнитную проницаемость д/ = — —— . ''До
q dB
1 АВ д оАВ иДо АН1 АВ д оАВ иДо АНЗдесь — производная от индукции поля по напряженности, т.е. тангенс угла наклона касательной на графике 29.9 а. Для
1 АВ д о
АВ и
До АН
1 АВ д о
АВ и
До АН
практических расчетов можно считать д/ =
АЛ выбираются столь малыми, чтобы участок графика можно
3 А.А. Пинский
было считать прямолинейным. Определите приближенно значения дифференциальной проницаемости для тех же значений напряженности магнитного поля, что и в задаче 29.9.
Доказать, что поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю (теорема Гаусса для магнитного поля). Пользуясь этим результатом, доказать, что если в магнитопроводе прорезать узкую щель поперек силовых линий, то индукция магнитного поля в прорези совпадет с индукцией магнитного поля в магнитопроводе.
Электромагнитная индукция
Самолет с размахом крыльев 18 м движется горизонтально со скоростью 800 км/ч. Вертикальная составляющая напряженности магнитного поля Земли —
С около 40 А/м. Определить разность потен- м циалов между концами крыльев.
Будет ли гореть маломощная лампочка, м если с помощью проводов подключить ее к Н концам крыльев?
^30.2. По двум вертикальным проводни
кам АВ и CD (рис. 30.2) может двигаться без трения, но с идеальным электрическим | | контактом проводник длиной I и массой т.
Перпендикулярно плоскости чертежа созда-
р сно однородное магнитное поле с индукции "'ей В. Определить разность потенциалов на
пластинах конденсатора как функцию h.
Как будет двигаться проводник, если в схеме предыдущей задачи заменить конденсатор резистором сопротивлением R? Сопротивлением проводников пренебречь.
В однородном магнитном поле с индукцией В перпендикулярно силовым линиям расположен стержень длиной I. Стержень вращается с угловой скоростью и) вокруг оси, проходящей через конец стержня и параллельной силовым линиям поля. Найти разность потенциалов между концами стержня.
В схеме, изображенной на рис. 30.5, длина проводника / = 20 см, скорость его движения п = 1 м/с и сопротивление лампочки R = 1 Ом. Магнитное
поле с индукцией В = 0,5 Тл возбуждено перпендикулярно плоскости чертежа. Какую силу следует приложить к проводнику, чтобы он мог двигаться с указанной скоростью?
Магнитное поле создается горизонтально расположенной плоской катушкой радиусом а, содержащей ш витков провода, по которому течет ток i. На оси ка
Рис. 30.6Рис. 30.6тушки на расстоянии жд от ее центра помещено горизонтально проводящее колечко радиусом г (рис. 30.6). Колечко стало падать вниз. Какая ЭД С возникает в нем? Выразить ЭД С как функцию скорости движения.
Рис. 30.6
Рис. 30.6
В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру с сопротивлением 30 Ом, вставили магнит, вследствие чего стрелка гальванометра отклонилась на 20 делений. Какой магнитный поток сцеплен с полюсом магнита, если по-
стоянная гальванометра 3-10 5 Кл/дел? Сопротивлением кольца и проводов можно пренебречь.
Чтобы определить индукцию магнитного поля в зазоре
между полюсами электромагнита, в него поместили рамку площадью 3,2 см2, содержащую 50 витков тонкого провода и присоединенную к баллистическому гальванометру с сопротивлением 100 Ом и постоянной 2-10™5 Кл/дел. Когда рамку выдвинули из поля, стрелка гальванометра отклонилась на 20 делений. Чему равна индукция поля?
Кольцо выполнено из диэлектрика с полярными молекулами. Что произойдет с диэлектриком, если в кольцо вдвигать магнит?
Круглая плоская катушка радиусом 10 см, содержащая 200 витков провода, подключена к конденсатору емкостью 20 мкФ и помещена в однородное магнитное поле, индукция которого равномерно убывает со скоростью 10™2 Тл/с. Найти заряд конденсатора. Плоскость катушки перпендикулярна силовым линиям поля.
Электрический двигатель работает от аккумуляторной батареи с ЭД С 12 В. При полной остановке якоря по цепи течет ток 10 А. Какова мощность двигателя при номинальной нагрузке, если сила тока при этом равна 3 А?
На картонный цилиндр длиной 60 см и диаметром 5 см навито 1200 витков медного провода. Какова индуктивность катушки?
В катушке из предыдущей задачи течет ток силой 500 мА. При выключении он падает до нуля за 10™4 с. Предполагая, что сила тока убывает линейно, найти ЭДС самоиндукции.
Из ферромагнитного материала, кривая намагничивания которого изображена на рис. 29.9 а, изготовлен сердеч-
ник, форма и размеры которого в миллиметрах показаны на рис. 30.14. На сердечник виток к витку в один слой намотана обмотка из провода, толщина которого (с изоляцией) равна 0,6 мм. Определить индуктивность катушки при токе в обмотке 200 мА. Найти энергию магнитного поля и плотность энергии.
Какова была бы энергия магнитного поля катушки в предыдущей задаче, если бы она была намотана на неферромагнитный сердечник? Откуда берется избыток энергии при наличии ферромагнитного сердечника?
Из ферромагнитного материала, свойства которого описаны в задаче 29.10, изготовили сердечник и якорь электромагнита, размеры которого в мил
лиметрах показаны на рис. 30.16. С какой силой якорь притяги
Рис. 30.16Рис. 30.16вается к сердечнику, если вещество намагнитили до насыщения? Какая сила будет действовать после того, как ток будет выключен?
Рис. 30.16
Рис. 30.16
К аккумулятору последовательно с дросселем подключают лампочку сопротивлением 1,2 Ом. Оцените индуктивность дросселя, если лампочка ярко загорается через 2,5 с после замыкания цепи.
Когда вы научитесь интегрировать, попробуйте рассчитать режим при замыкании цепи с катушкой и резистором на источник тока с постоянной ЭДС, т.е. рас-
считать зависимость силы тока от времени.
Полагать, что в катушке нет ферромагнитного сердечника.
Через сколько времени сила тока в цепи с катушкой и резистором станет равна 0,9 от установившегося тока?
По формуле, полученной в задаче 30.18, установившееся значение тока достигается через бесконечное время. Как это согласовать с тем фактом, что на самом деле установившееся значение тока достигается через конечное время? Каковы границы применимости формулы, полученной в задаче 30.18?
Классическая электронная теория
В эксперименте, аналогичном опыту Стюарта и Тол- мена, катушка диаметром d = 500 мм имела N = 400 витков медной проволоки. С помощью двух скользящих контактов ка-
тушка в момент торможения присоединялась к баллистическо
му гальванометру (рис. 31.1). Общее сопротивление всей цепи
R = 50 Ом. Катушка приводилась в равномерное вращение со
скоростью п = 6000 об/мин и резко затормаживалась, при этом через гальванометр проходил заряд Q = 1,1 • 10™8 Кл. Определить удельный заряд носителей тока в меди.
Медный диск радиусом г о = 20 см вращается в вертикальной плоскости, совершая 3000 об/мин. Чувствительный гальванометр присоединен одной клеммой к оси диска, другой — через ртутный контакт — к наружному краю диска (рис. 31.2 а). Определить разность потенциалов.
Изменится ли направление отклонения стрелки гальванометра при изменении направления вращения диска? Магнитное поле Земли
скомпенсировано.-—
Медная пластинка имеет размеры, показанные на рис. 31.3. При продольной раз- Рис* 31-1 ности потенциалов Аф по проводнику течет
ток L Если, не выключая тока, создать перпендикулярно пластинке магнитное поле с индукцией В, то между нижним и верх
Рис. 31.3Рис. 31.3ним основаниями возникает холловская разность потенциалов
Рис. 31.3
Рис. 31.3
Афн. Найти концентрацию свободных электронов в меди и их подвижность, если I = 60 мм, h = 20 мм, d = 1,0 мм, Аф = = 0,51 мВ, АфН = 55 нВ, % = 10 А, В = 0,1 Тл.
Вычислить постоянную Холла для серебра по его плотности и атомной массе.
Удельное сопротивление арсенида индия 2,5 • 10-3 Ом- м, постоянная Холла 10-2 м3/Кл. Полагая, что проводимость осуществляется зарядами одного знака, определить их концентрацию и подвижность. Сопоставить с задачей 31.3.
Допустимая сила тока в изолированном алюминиевом проводе сечением 1 мм2 равна 8 А. Определить среднюю скорость дрейфового движения электронов проводимости.
Определить среднее время свободного пробега электрона в меди и длину свободного пробега (при комнатных температурах).
Термопара константан-медь имеет постоянную, равную 4,3-10™2 мВ/K. Сопротивление термопары 0,5 Ом, гальванометра 100 Ом. Один спай термопары погрузили в тающий лед, второй — в горячую жидкость. Определить ее температуру, если сила тока в цепи 56 мкА.
Постоянная термопары равна 7,6 мкВ/K, температура холодного спая -80 °C (сухой лед), горячего 327°C (расплавленный свинец). Какой заряд протечет через термопару, если горячему спаю будет передано количество теплоты, равное одному джоулю? КПД термопары 20%.
Температура Дебая для серебра равна 213 К. Постоянная решетки 0,2 нм. Определить скорость звука.
Определить тепловой поток через медную пластину толщиной 5 см, если на ее торцах поддерживается разность температур 100 К.
Кирпичная стена жилой комнаты имеет следующие размеры: толщина 40 см, ширина 5 м и высота 2,8 м. В комнате поддерживается температура 20 °C, наружная температура -15 °C. Сколько тепла в сутки теряется через эту стену?
Определить длину свободного пробега фонона в четыреххлористом углероде.
Определить теплопроводность серебра и ртути при комнатной температуре (20 °C).
Удельное сопротивление чистого германия при 27°C равно 0,47 Ом-м, кремния — 2,3 • 103 Ом-м. Пользуясь данными § 45.1, определить концентрацию электронов и дырок этих полупроводников при данной температуре. Сопоставить с концентрацией электронов проводимости в металлах (см. в т. 1, § 44.2 табл. 44.1).
Пользуясь данными предыдущей задачи, определить постоянную Холла в этих полупроводниках.
Электропроводность электролитов
Определить коэффициент диссоциации водного раствора хлорида калия с концентрацией 0,1 г/см3, если удельное сопротивление этого раствора при 18 °C равно 7,36 • 10™2 Ом-м. Подвижность ионов калия 6,7 • 10™8 м2/(В-с), ионов хлора 6,8 ЛО™8 м2/(Вю).
Определить толщину слоя никеля, который отложится на изделии площадью 1200 см2 за 6 часов электролиза при силе тока 10,5 А.
Сколько меди выделится из раствора медного купороса за 3 минуты, если ток, протекающий через электролит, меняется по закону г = 6™0,03t? Все величины выражены в единицах СИ.
Электролитическая ванна с раствором медного купороса присоединена к источнику постоянного тока с ЭДС 4 В и внутренним сопротивлением 0,1 Ом. Сопротивление раствора 0,5 Ом, ЭДС поляризации 1,5 В. Сколько меди выделится за час?
Определить, при какой наименьшей ЭДС источника тока может происходить электролиз подкисленной воды, если при сгорании 1 г водорода выделяется 1,45 • 102 кДж.
Конденсатор емкостью 10 мкФ заряжен до разности потенциалов 600 В. Разрядим его через электролитическую ванну с подкисленной водой. Сколько водорода выделится? Сколько энергии можно получить, сжигая этот водород? Как это увязать с законом сохранения энергии?
Сколько энергии надо затратить, чтобы при нормальных условиях заполнить водородом воздушный шар с подъемной силой 3000 Н? Сколько это стоит при тарифе 4 коп за 1 кВт-ч? Нагревом раствора при электролизе пренебречь.
Ток в вакууме и газах
Определить силу тока насыщения в диоде с вольфрамовым катодом при температуре катода 2700 К, если длина нити канала 3 см и ее диаметр 0,1 мм. Постоянная В = = 6 • Ю5 А/(м2-К2).
Как изменится сила тока насыщения в диоде с катодом из цезия на вольфраме, если температура катода возрастет с 1000 К до 1200 К? '
В современных диодах часто анод располагается очень близко к катоду, так что их площади примерно одинаковы. Полагая, что электроны покидают катод с нулевой скоростью, найти, с какой силой они действуют на анод. Сила тока в лампе гнас = = 500 мА, потенциал анода фа = 600 В.
Сравнить эмиссионную способность катода из вольфрама с цезиевым покрытием при 1000 К с эмиссионной способностью катода из чистого вольфрама при 2700 К. Постоянную В в формуле Ричардсона-Дешмана считать одинаковой для обоих катодов.
На рис. 33.5 изображены сеточные характеристики триода, снятые при анодных напряжениях 450 В и 600 В. Определить внутреннее сопротивление триода Ry на линейном участке характеристики и проницаемость лампы д — число, показы-
вающее, во сколько раз изменение потенциала сетки эффектив
нее изменения потенциала на аноде.
Ионизационная камера имеет два плоских электрода площадью 300 см2, расстояние между ними 2 см. Камера за
полнена воздухом при нормальных условиях. При напряжении 200 В сила тока далека от насыщения и равна 1,8 мкА. Найти концентрацию ионов и коэффициент ионизации газа. Подвижности ионов: /щ =
= 1,3740“4 м2/(Вю), = = 1,89 ■ К)1 м2/(В-с).
Под действием гамма-излучения кислород ионизуется, и концентрация ионов составляет 1015 м-3. Определить проводимость газа при этих условиях. Подвижности ИОНОВ Д+ = = 1,3240^4 м2/(Вю)щш =
= 1,81 • 10™4 м2/(Вю).
Как изменится сила тока вдали от насыщения, если приблизить друг к другу электроды ионизационной камеры? Как изменится ток насыщения? Нарисовать вольт-амперные характеристики при некотором расстоянии di между электродами и при ^2 < di. Все остальные параметры считать неизменными.
В ионизационной камере объемом 0,5 л ток насыщения равен 0,02 мкА. Определить концентрацию ионов, возникающих
ежесекундно.
Энергия ионизации атома водорода Жион = 13,6 эВ. Между тем, ионизация водорода наблюдается при температурах, когда средняя кинетическая энергия молекул много меньше этого числа. Чем это объяснить?
Высокотемпературная водородная плазма с температурой 105 К помещена в магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Определить циклотронные радиусы ионов и электронов (т.е. радиусы орбит, по которым движутся положительные ионы и электроны) .
По трубе с проводящими стенками диаметром 5 см течет ртуть со скоростью 20 см/с. Труба помещается в зазоре между полюсами электромагнита, где создано магнитное по-
ле с индукцией 0,6 Тл. Повлияет ли магнитное поле на коэф™ фициент гидравлического трения? Электропроводность ртути Ю6 Ом-^м’1.
В условиях предыдущей задачи оценить влияние магнитного поля, если в трубе течет 30 %-ный раствор серной кислоты. Электропроводность раствора 74 Ом^-м^1.
Оценить индукцию магнитного поля пульсара, учитывая, что у обычных звезд индукция поля порядка 10-5 — 10-4 Тл (см. задачу 14.21).
Найти давление магнитного поля пульсара и сопоставить его с давлением гравитационных сил (см. задачу 16.9).
Часть шестая
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Гармонические колебания
Гармоническое колебание происходит по закону
s = О, 20 cos (300^ + 2).
Определить амплитуду, частоту, период и начальную фазу колебания х).
Материальная точка массой 0,2 кг совершает колебания по закону
s = 0,08 cos ^20тг^ + ™
Найти скорость точки, ее ускорение и действующую силу, а также амплитудные значения этих величин.
По условию предыдущей задачи найти кинетическую, потенциальную и полную энергию осциллятора.
По условию предыдущей задачи определить частоту и период изменения кинетической энергии.
Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. В начальный момент она находится в положении равновесия и движется со скоростью 20 см/с. Написать закон колебания.
В начальный момент времени смещение частицы равно 4,3 см, а скорость равна — 3,2 м/с. Масса частицы 4 кг, ее полная энергия 79,5 Дж. Написать закон колебания и определить путь, пройденный частицей за 0,4 с.
Сложить аналитически и с помощью векторной диаграммы два колебания:
si = 3 sin ^6t + ™ ^ и S2 = 3 sin ^6t — ™
Найти амплитуду скорости результирующего колебания.
В Здесь и далее используются единицы СИ, т.е. амплитудное значение смещения выражено в метрах, время — в секундах, частота — в герцах, фаза — в радианах
Найти результирующую амплитуду и фазу суммарного колебания
S = Л cos ^t+ — cosS = Л cos ^t+ — cosФ + | ) + 2 cos (М+тг) + 2Ф + | ) + 2 cos (М+тг) + 2coscosЭ1 тЭ1 т
S = Л cos ^t+ — cos
S = Л cos ^t+ — cos
Ф + | ) + 2 cos (М+тг) + 2
Ф + | ) + 2 cos (М+тг) + 2
cos
cos
Э1 т
Э1 т
Биения возникают при сложении двух колебаний:
si = cos (49997ft) и S2 = cos (50017ft).
Найти период биений и «условный период» почти синусоидального колебания.
Колебание материальной точки происходит по закону s = 4cos2(0,5t) • sin (1000t).
Разложить колебание на гармоники и нарисовать его спектр.
Колебание материальной точки происходит по закону s = (1 + cos2t + sin4t) sin (500t).
Разложить колебание на гармоники и нарисовать его спектр.
Колебание материальной точки происходит по закону s = (1 + cos2 t + cos4t) sin (500t).
Разложить колебание на гармоники и нарисовать его спектр.
Дифференциальное уравнение гармонического колебания имеет вид sM + 4s = 0. Начальная координата и начальная скорость равны соответственно 3 м и 8 м/с. Найти закон колебания.
Свободные колебания
На вертикально висящую пружину подвесили груз массой ш, при этом удлинение пружины оказалось равным I. Затем
Рис. 35.2Рис. 35.2груз оттянули еще немного вниз и отпустили. Какова собственная частота колебаний?
Рис. 35.2
Рис. 35.2
На пружине с жесткостью 1,0 • 102 Н/м висит шарообразный медный груз радиусом 3,0 см, опущенный в прованское масло (рис. 35.2). Определить собственную частоту колебательной системы, ее добротность и время, в течение которого колебания практически затухнут.
На горизонтальном стальном стержне может колебаться груз массой 1 кг, прикрепленный к пружине с жесткостью 20 Н/м (рис. 35.3). Начальное отклонение груза от положения равновесия равно 30 см. Определить, сколько качаний сделает груз до полной остановки. Одно качание — это движение от макси
мального отклонения до положения равновесия (или обратно). Для численного расчета принять g = 10 м/с2 и т = 0,05.
Поршень массой m делит цилиндр с газом на две равные части. Допустим, что поршень сдвинули влево на расстояние ж и отпустили (рис. 35.4). Полагая процесс изотермическим, определить частоту колебаний поршня.
Рис. 35.3Рис. 35.3Рис. 35.4Рис. 35.4
Рис. 35.3
Рис. 35.3
Рис. 35.4
Рис. 35.4
Решить задачу 35.4, полагая, что процесс адиабатный.
В стеклянную трубочку (рис. 35.6) налили ртуть так, что весь столбик имеет длину 20 см. Затем трубочку качнули, и ртуть начала колебаться. Определить частоту и период колебаний.
Рис. 35.6Рис. 35.6Рис. 35.7Рис. 35.7
Рис. 35.6
Рис. 35.6
Рис. 35.7
Рис. 35.7
Брусок из плотного дуба размерами 10 смх20 смх20 см плавает в воде (рис. 35.7). Брусок слегка погрузили в воду и отпустили. Найти частоту и период колебаний.
Маятниковые часы идут на поверхности Земли точно. На сколько они отстанут за сутки, если их поднять на сотый этаж высотного дома? Высота этажа 3 м.
Период маятника, покоящегося относительно земной поверхности, равен 1,50 с. Каков будет его период, если поместить маятник в вагон, движущийся горизонтально с ускорением 4,9 м/с2? На какой угол сместится положение равновесия маятника?
Математический маятник длиной 1 м отклонили на угол 40° от вертикали и отпустили. Численным методом найти период колебания.
Какую ошибку мы совершим, вычисляя в этом случае период по формуле малых колебаний?
Период колебаний математического маятника при больших углах отклонения можно определить по приближенной формуле
Сравнить с результатом численного расчета в предыдущей задаче.
Однородный стержень длиной I колеблется около оси, проходящей через его конец. Найти период колебаний и приведенную длину этого маятника.
Физический маятник, изображенный на рис. 35.13, состоит из стержня длиной 60 см и массой 0,50 кг и диска радиусом 3,0 см и массой 0,60 кг. Определить период колебаний этого маятника.
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 100 пФ и катушки индуктивностью 64 мкГ и сопротивлением 1,0 Ом. Определить собственную частоту колебаний, период колебаний, добротность контура.
В контур, параметры которого заданы в предыдущей задаче, включили последовательно резистор сопротивлением 2 кОм. Возникнут ли тогда в
контуре свободные колебания?^ис- 35.13
Если в колебательном контуре нет активного сопротивления, то сумма энергий электрического и магнитного полей сохраняется. Получить из этого условия дифференциальное уравнение контура.
Вынужденные колебания. Переменный ток
На пружине с жесткостью 103 Н/м висит железный шарик массой 0,8 кг. Со стороны переменного магнитного поля на шарик действует изменяющаяся по синусоидальному закону сила, амплитудное значение которой равно 2,0 Н. Добротность системы равна 30. Определить амплитуду вынужденных колебаний в случаях, если си = cuq/2; си = cuq; си = 2cuq.
Нарисовать резонансную кривую для амплитуды скорости.
Груз массой 0,5 кг подвесили на пружину, которая при этом растянулась на 5 мм. Когда систему вывели из состояния
равновесия и отпустили, она совершала свободные колебания в течение 3,5 с. Найти резонансную амплитуду для этой системы. Что произойдет при резонансе?
Радиоприемник принимает телеграфную передачу, закодированную по азбуке Морзе в виде синусоидальных импульсов (рис. 36.4). Индуктивность контура 100 мкР, емкость 250 пФ
ШМ WVUVWWW
^скв^тире
Рис. 36.4
и активное сопротивление 0,2 Ом. Оценить скважность импульсов тскв, т.е. время между двумя соседними сигналами, необходимое для того, чтобы они не сливались. Полагая, что длительность сигнала «точка» гтчк = 1,5тскв, а длительность сигнала «тире» ттире = 4,5тскв, определить максимальный объем информации в единицу времени.
Вывести выражение для индуктивного сопротивления и сдвига фаз в цепи переменного тока с катушкой, полагая ее активное сопротивление равным нулю.
Вывести выражение для емкостного сопротивления и сдвига фаз в цепи переменного тока с конденсатором.
Построить векторную диаграмму для цепи с последовательным соединением катушки и резистора и найти полное сопротивление этой цепи. Определить сдвиг фаз.
То же — при последовательном соединении конденсатора и резистора.
То же — при параллельном соединении конденсатора и резистора.
Выразить полное сопротивление последовательной цепи, состоящей из резистора, катушки и конденсатора, через ее добротность и отношение частот у = ш)ш^.
Рис. 36.11 аРис. 36.11 аПостроить векторную диаграмму токов в схеме, изображенной на рис. 36.11 а, и найти силу тока в неразветвленном участке цепи. При каком условии сила тока в неразветвленном участке цепи окажется минимальной? Каков сдвиг фаз между колебаниями напряжения и силы тока в неразветвленном участке цепи в общем случае и при резонансе?
Рис. 36.11 а
Рис. 36.11 а
В схеме, изображенной на рис. 36.11а, емкость равна 20 мкФ, индуктивность 0,2 Г и активное сопротивление 5 Ом.
Какую мощность потребляет эта цепь, если на зажимы подано напряжение и = 312 cos 314t?
При какой частоте тока в цепи, параметры которой заданы в предыдущей задаче, сила тока в неразветвленном участке цепи окажется минимальной? Какая мощность будет потребляться при той же амплитуде напряжения?
Докажите, что ваттметр электродинамической системы измеряет в цепи переменного тока активную мощность Р = = IU cos ф.
Ваттметр на щите показывает мощность 12 кВт, вольтметр — напряжение 380 В и амперметр — силу тока 36 А. Какой сдвиг фаз в цепи? Чему равны полное и активное сопротивления нагрузки?
Потенциал зажигания неоновой лампы 80 В, потенциал гашения 70 В. Вольтметр показывает, что в цепи переменного тока напряжение равно 60 В. Будет ли лампочка гореть в этой цепи?
На конденсаторе указано, что его пробивное напряжение составляет 300 В. Можно ли его включить в цепь переменного тока с напряжением 220 В?
По двухпроводной ЛЭП передается мощность 100 МВт при коэффициенте мощности 0,87 и сопротивлении линии 8 Ом. При каком напряжении передается электроэнергия, если потери мощности составляют 2 %?
Первичная обмотка сварочного трансформатора содержит 120 витков провода сечением 20 мм2; ее сопротивление 8 • 10™2 Ом. При номинальной нагрузке сила тока равна 40 А. Сколько витков содержит вторичная обмотка и каково сечение ее провода, если коэффициент трансформации к = 220/60?
Полагая, что обмотки наматываются на
сердечник в один слой, определить сопротивление вторичной обмотки. Пренебрегая потерями на перемагничивание и токи Фуко (т.е. потерями в стали), определить потери мощности на нагрев обмоток и КПД трансформатора. Полезная мощность трансформатора 8 кВт.
Показать, что «потери в стали» практически равны мощности, потребляемой при холостом ходе трансформатора.
Объяснить, почему «парит» в воздухе медное кольцо при включении в обмотку переменного тока (рис. 36.21).
Первичная обмотка трансформатора находится под напряжением 220 В и потребляет ток силой 1,5 А. Вторичная
обмотка питает лампу накаливания током 20 А при напряжении 12 В. КПД трансформатора 91 %. Определить коэффициент мощности при этой нагрузке.
Упругие волны
Сравнить скорость звука в газе со средней квадратичной скоростью его молекул. Сделать расчет для двухатомного газа.
Скорость звука в стержне из дюралюминия 5,1-Ю3 м/с, плотность вещества 2,7-103 кг/м3. Определить модуль Юнга.
Наблюдатель, находящийся на расстоянии 800 м от источника звука, воспринимает сначала звуковой сигнал, прошедший по воде, а через 1,78 с — сигнал, прошедший по воздуху. Определить скорость звука в воде и сжимаемость воды. Температура воздуха 17 °C.
Скорость звука в кислороде при нормальных условиях 317,2 м/с. Определить коэффициент Пуассона.
По цилиндрической круглой трубе распространяется волна воздуха частотой 440 Гц. Интенсивность волны 1,2 • 10™2 Вт/м2. Определить плотность энергии и амплитуду колебаний, если температура воздуха 27 °C, давление 780 мм рт. ст.
Малый по размерам источник звука излучает волны частотой 500 Гц. Мощность источника 5 Вт, температура воздуха 0 °C, давление 1,01-Ю5 Па. Каковы амплитуды колебаний звуковой волны на расстояниях 10 м и 15 м от источника? Затуханием пренебречь.
Сравнить уровни интенсивности звуковой волны по данным предыдущей задачи.
На расстоянии 20 м от малого источника звука интенсивность волны равна 3,0 нВт/м2. Найти интенсивность волны на расстоянии 32 м от источника, если для звука данной частоты толщина слоя половинного поглощения равна 120 м. Сравнить уровни интенсивности.
Найти связь между линейным коэффициентом поглощения волны д и слоем половинного поглощения L.
Звук распространяется по цилиндрической трубе длиной 80 см. Линейный коэффициент поглощения равен 1,2 • 10™2 м™1. Сравнить уровни интенсивности звука в начале и конце трубы.
Два камертона с собственной частотой 340 Гц движутся относительно неподвижного наблюдателя. Один камертон удаляется от наблюдателя, второй приближается к нему с такой же скоростью. При этом наблюдатель регистрирует биение
с частотой 3 Гц. Определить скорость движения камертонов, полагая, что скорость звука в воздухе 340 м/с.
Навстречу друг другу движутся два поезда со скоростями 80 км/ч относительно земной поверхности. Один из них испускает сигнал с частотой 520 Гц. Какую частоту сигнала воспримет наблюдатель во встречном поезде? Как изменится частота, когда поезда разойдутся?
Уравнение плоской звуковой волны
S = 6,0 • 10 6 cos (19002 + 5,72®).
Найти частоту колебаний, длину волны и скорость ее распространения. Сравнить длину волны с амплитудой колебания, скорость волны — с амплитудой скорости колебания.
По условию предыдущей задачи найти расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в противоположных фазах. Каков сдвиг фаз между колебаниями двух точек, расположенных вдоль луча на расстоянии 37 см?
Определить минимальную и максимальную длину звуковой волны, воспринимаемой человеком в воздухе (см. § 58.1). Как изменится этот диапазон, если звук распространяется в воде?
Ультразвуковой керамический преобразователь помещен в касторовое масло. Какая доля энергии при этом передается маслу? Плотность керамики 2,8-103 кг/м3, скорость звука в ней 6,2 ПО3 м/с.
Решить задачу 37.16 для магнитострикционного никелевого преобразователя, работающего в воде.
Почему при работе ультразвукового дефектоскопа следят, чтобы между преобразователем и деталью всегда был слой масла?
Ультразвуковой дефектоскоп работает на частоте 1,2 МГц, излучая импульсы длительностью порядка 60 периодов. Какова разрешающая способность прибора? Разрешающую способность будем оценивать как минимальное расстояние между поверхностью детали и дефектом, которое можно определить с помощью прибора.
Интерференция и дифракция
Доказать, что если волна отражается от среды, где волновое сопротивление больше, то на границе образуется узел смещения стоячей волны. Если же она отражается от среды с меньшим волновым сопротивлением, то возникает пучность смещения.
Кварцевая пластина (Х-срез) толщиной 7 мм служит кристаллом в ультразвуковом преобразователе. На какой основной частоте работает генератор ультразвука? Изменится ли частота преобразователя, если воздушный промежуток залить маслом?
Магнитострикционный преобразователь работает на частоте 25 кГц. Определить толщину пакета, набранного из пластин никеля.
Органная труба, открытая с одного конца, излучает звук с частотой 1,5 кГц при длине трубы 17 см и температуре воздуха 16 °C. Какая это гармоника? Какова основная частота колебания?
Две органные трубы, закрытые с обоих концов, служат источниками звука. При этом возникают биения с частотой 2 Гц.
Рис. 38.6Рис. 38.6Длины труб 24,0 см, температура воздуха в одной трубе 17°C. Какова температура воздуха в другой трубе?
Рис. 38.6
Рис. 38.6
Для определения скорости звука в воздухе используется установка, изображенная на рис. 38.6. Источник звука с частотой 1,20 кГц устанавливается вблизи верхнего конца узкой трубы; перемещением левого сосуда меняем уровень жидкости в узкой трубе. Резонансное звучание наблюдается при длинах воздушного столба 6,8 см, 20,6 см и 34,8 см. Определить скорость звука и оценить погрешность полученного значения.
Преобразователь ультразвукового дефектоскопа диаметром 12 мм работает на частоте 1,2 МГц. Какова угловая ширина
главного дифракционного максимума, если ультразвук распространяется в касторовом масле?
Каков диаметр преобразователя эхолота, работающего на частоте 50 кГц в морской воде, если угловая ширина главного максимума около 60° ?
Электромагнитные волны
Определить длину волны в воздухе и трансформаторном масле, если частота передатчика 60 МГц.
Определить основную частоту, излучаемую полуволновой антенной, и частоту гармоник.
Полуволновая антенна длиной 0,5 м погружена в этиловый спирт. Чему равна длина электромагнитной волны при выходе из сосуда (в воздухе)?
Плоская электромагнитная волна
Ez = 200 cos (6,28 • 108t + 4,55s)
полностью поглощается поверхностью тела, расположенного перпендикулярно оси абсцисс. В какой среде распространяется волна? Какое давление она оказывает на тело? Сколько энергии поглощает ежесекундно 1 м2 поверхности?
Амплитудное значение силы тока в полуволновой антенне равно 0,5 А. Какова мощность излучения? Какому активному сопротивлению эквивалентен этот вибратор? Для упрощения расчета считать силу тока во всех точках одинаковой.
В накопительном кольце установки на встречных пучках циркулирует сгусток электронов. Сила тока равна 500 мА, скорость электронов 0,99 с. Какова мощность синхротронного излучения?
С помощью генератора, излучающего электромагнитные волны длиной 25 м, нужно передать с минимальными искажениями звуковые сигналы, частоты которых не превосходят 2 кГц. Найти параметры резонансного контура.
Вывести соотношение между частотами волны в двух системах отсчета (эффект Доплера, см. § 59.8), а также соотношение для косинусов углов между лучом и направлением движения источника (в обеих системах отсчета).
Попробуйте вывести выражения для релятивистского продольного эффекта Доплера из принципа относительности и классического эффекта Доплера, не пользуясь преобразованиями Лоренца.
Определить доплеровское уширение спектральных линий в спектре «белого карлика» (температура поверхности около 10 000 К). Сравнить с гравитационным красным смещением линий спектра, приняв массу «белого карлика» равной массе Солнца, а его радиус равным 0,01 радиуса Солнца.
В спектре возбужденных однократно ионизированных атомов гелия имеется линия с длиной волны 410 нм. Пучок таких ионов выходит из циклотрона с энергией 40,0 МэВ. Найти доплеровское смещение этой линии, если наблюдение ведется под углом 30° к направлению пучка.
При наблюдении спектральной линии водорода Нд с длиной волны 486,133 нм в спектре Солнца обнаружено, что на противоположных краях диска на экваторе спектральные линии отличаются по длине волны на 0,0065 нм. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси.
В астрофизике часто вводится величина z = = (А — Ao)/Aq, равная относительному изменению длины спек™
тральной линии. Здесь Ад — длина волны, испускаемая источником, А — длина волны, регистрируемая наблюдателем. Выразить эту величину через лучевую скорость источника в системе отсчета, связанной с наблюдателем.
Для некоторой оптической галактики, радиогалактики ЗС295 и квазара (квазизвездного радиоисточника) ЗС9 относительные изменения длин спектральных линий оказались равными: щ = 0,034, ^2 = 0,46 и ^з = 2. Определить отношения лучевых скоростей этих источников к скорости света; найти скорости источников.
С помощью эффекта Доплера открыты так называемые спектрально-двойные звезды. У этих звезд спектральные линии периодически становятся двойными, из чего можно заключить, что источник представляет собой две звезды, обращающиеся вокруг их центра масс. В спектре одной такой звезды наибольшее расстояние между компонентами периодически раздваивающейся линии водорода с длиной волны 434,047 нм составляет 0,053 нм. Найти орбитальную скорость звезд, составляющих двойной источник, в проекции на луч зрения.
У двойной звезды относительное максимальное смещение спектральных линий 2,08-10™3, период расщепления линий 3 дня, 2 часа и 46 минут. Считая обе звезды одинаковыми, найти массы звезд и расстояние между ними.
Электромагнитная волна распространяется вдоль оси абсцисс в веществе, которое движется в том же направлении со скоростью и = {Зс. Найти диэлектрическую проницаемость и показатель преломления в этом веществе.
Интерференция и дифракция света
В установке Юнга расстояние между щелями 1,5 мм, экран расположен на расстоянии 2 м от щелей. Щели освещаются источником с красным светофильтром (А = 687 нм). Определить расстояние между интерференционными полосами на экране.
Как изменится расстояние между полосами, если заменить красный светофильтр зеленым (А = 527 нм)?
Сколько интерференционных максимумов можно будет наблюдать, осветив установку Юнга, описанную в предыдущей задаче, белым светом? Граничные длины волн Акр = 690 нм, Аф = 420 нм. Каково расстояние на экране между красным и фиолетовым максимумами?
Между краями двух хорошо отшлифованных плоских пластинок помещена тонкая проволочка диаметром 0,05 мм;
противоположные концы пластинок плотно прижаты друг к другу (рис. 40.3 а). Пластинки освещаются перпендикулярно к поверхности. На пластинке длиной 10 см наблюдатель видит интерференционные полосы, расстояние между которыми равно 0,6 мм. Определить длину волны.
При перемещении зеркала в
интерферометре Майкельсона интер-рис 49 3 а
ференционная картина сместилась на
100 полос. Опыт проводится в свете с длиной волны 546 нм. На сколько сместилось зеркало?
В оба пучка света интерферометра Майкельсона поместили цилиндрические трубки длиной 10 см каждая, закры
тые с торцов прозрачными плоскопараллельными пластинками. Вначале из трубок был выкачан воздух, потом в одну из них впустили водород, и интерференционная картина сместилась на 47,5 полос. Каков показатель преломления водорода? Опыт проводился в свете с длиной волны 590 нм.
При контроле качества шлифовки поверхности с помощью микроинтерферометра Линника оказалось, что на поверхности имеется царапина, вызывающая искривление интерференционных полос на 2,3 полосы. Наблюдение ведется в зеленом свете с длиной волны 530 нм. Определить глубину царапины.
Желтая линия натрия состоит из двух компонент с длинами волн 589,0 нм и 589,6 нм. При освещении интерферометра Майкельсона этим светом и при перемещении подвижного зеркала интерференционная картина то появлялась, то исчезала. В чем причина этого явления?
Зеленый свет с длиной волны 500 нм падает на щель шириной 8 мкм. Определить, под какими углами наблюдаются первый и второй минимумы.
Дифракционная решетка содержит 400 штрихов на 1 мм. На решетку падает монохроматический красный свет с длиной волны 650 нм. Под каким углом виден первый максимум? Сколько всего максимумов дает эта решетка?
Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом 2,20 мкм, если угол между направлениями на первый и второй максимумы равен 15,0°.
Свет с длиной волны 530 нм падает на решетку, период которой равен 1,50 мкм, а общая длина 12,0 мм. Определить угловую ширину главного максимума и разрешающую способность решетки.
Какой должна быть длина дифракционной решетки, содержащей 300 штрихов на 1 мм, чтобы разрешить две спек™
тральные линии с длинами волн 600,000 нм и 600,050 нм в спектре второго порядка? В спектре наивысшего порядка?
Период дифракционной решетки 0,01 мм, общее число штрихов равно 990. Увидим ли мы раздельно в спектре первого порядка обе компоненты дублета желтой линии натрия с длинами волн 589,0 нм и 589,6 нм? Каково угловое расстояние между этими максимумами в спектре второго порядка?
Плоская волна падает на дифракционную решетку с периодом do под углом скольжения а. Показать, что результат дифракции такой же, как если бы волна падала нормально на решетку с периодом d = do sin а.
Узкий пучок рентгеновского излучения падает под углом скольжения 20° на дифракционную решетку с периодом 2,0 мкм. Первый дифракционный максимум наблюдается под углом 127 к направлению пучка. Определить длину волны рентгеновского излучения.
На грань кристалла каменной соли под углом скольжения 31° 3' падает параллельный пучок рентгеновского излучения с длиной волны 0,147 нм. Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле, если при этом угле скольжения наблюдается дифракционный максимум второго порядка.
Дисперсия и поглощение света
В черепковский счетчик из каменной соли влетает пучок протонов с энергией 10,0 ГэВ. Определить угол отклонения от оси конуса для граничных красных (0,67 мкм) и для фиолетовых (0,40 мкм) лучей.
В черенковском счетчике, заполненном водой, пучок релятивистских электронов излучает в фиолетовом участке спектра в конусе с раствором 82° 20? Определить кинетическую энергию электронов.
Полагая, что в плазме концентрация свободных электронов равна ng, и пренебрегая взаимодействием электромагнитной волны с положительными ионами, определить зависимость диэлектрической проницаемости плазмы от частоты волны.
Выразить групповую скорость света через скорость света в вакууме, показатель преломления и производную показателя преломления по частоте (см. § 63.8).
Доказать, что в области нормальной дисперсии групповая скорость меньше скорости света в вакууме.
В оптическом диапазоне найти показатель преломления плазмы, фазовую и групповую скорости волны в плазме.
Фазовая скорость света в плазме больше скорости света в вакууме. Не противоречит ли это основному положению тео-
рии относительности о предельном характере скорости света в вакууме?
Может ли в плазме возникнуть черенковское излучение?
Найти концентрацию свободных электронов в ионосфере, если для радиоволн длиной 3,0 м показатель преломления равен 0,90.
Для достаточно жесткого рентгеновского излучения можно пренебречь энергией связи электронов вещества с решеткой и считать валентные электроны свободными. Вычислить в этом приближении показатель преломления алюминия для рентгеновского излучения с длиной волны 50 нм.
Определить коэффициент отражения волн оптического диапазона на границе раздела вакуум-плазма. (Учесть, что в оптическом диапазоне с большой степенью точности справедливо приближенное равенство п + 1 ~ 2).
Сравнить коэффициенты отражения красного и фиолетового света на границе воз дух-плавленый кварц. Лучи падают перпендикулярно границе раздела.
В опыте Физо расстояние между зубчатым колесом и зеркалом равно 7,0 км, число зубцов 720. Два последовательных исчезновения света наблюдались при частоте вращения колеса 283 об/с и 313 об/с. Найти скорость света.
Доказать, что в плазме справедливо соотношение uU = с2, где щ U ™ фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
Найти групповую и фазовую скорости света в сильвине для длины волны 508,6 нм в спектральном интервале 546,1486,1 нм.
Две пластинки из одного и того же вещества толщиной 3,8 мм и 9,0 мм поочередно вводят в узкий пучок монохроматического света и наблюдают, что первая пластинка пропускает 0,84 светового потока, вторая — 0,70. Определить коэффициент поглощения и толщину слоя половинного поглощения этого вещества. Вторичными отражениями света пренебречь.
Точечный источник света находится в центре сферического слоя вещества с внутренним радиусом щ и наружным радиусом г^. Известен показатель преломления вещества и коэффициент поглощения. Найти прозрачность данного слоя вещества. Вторичными отражениями света пренебречь.
Светофильтр толщиной 5 мм имеет переменный коэффициент поглощения, зависящий от длины волны по закону д = до + «(Ао — А)2, где а = 5,6 • 1020 м™3, Ао = 500,0 нм, до = 4 м-1. Определить прозрачность светофильтра для волны длиной Ао и ширину пропускания светофильтра. В ширину про™
пускания включаются все волны, на которых прозрачность светофильтра не меньше половины прозрачности на резонансной длине волны. Отражением света от поверхностей пренебречь.
Сколько слоев половинного поглощения в пластинке, уменьшающей интенсивность пучка в 60 раз?
На рис. 41.20 показана зависимость коэффициента поглощения гамма-излучения от длины волны для свинца. Какова максимальная толщина слоя половинного поглощения гамма- излучения в свинце?
Рис. 41.20
Определить коэффициент отражения для пучка рентгеновского излучения с длиной волны 5 нм при нормальном падении на границу раздела вакуум—алюминий.
Поляризация света
На систему, состоящую из двух поляроидов, у которых угол между оптическими осями составляет 45°, падает естественный свет. Во сколько раз уменьшится интенсивность светового пучка? Потери света в каждом поляроиде составляют 10 %. Потерями на отражение света пренебречь.
Если между двумя скрещенными поляроидами поместить третий, оптическая ось которого составляет угол о с оптической осью анализатора, то поле зрения просветлеет. Найти интенсивность прошедшего света. Потерями света на отражение и поглощение пренебречь.
При каком угле а просветление максимальное?
Обыкновенный и необыкновенный лучи получаются путем разложения одного и того же пучка естественного света. Возникнет ли картина интерференционных максимумов и минимумов, если свести оба луча вместе?
Определить толщину пластинки из кальцита, которая в желтом свете с длиной волны 589,3 нм создаст сдвиг фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, равный тг/2 (пластинка в четверть волны).
Какой сдвиг фаз возникнет при этом в фиолетовом свете (404,7 нм), проходящем через эту же пластинку?
Чтобы скомпенсировать сдвиг фаз, вызванный четвертьволновой пластинкой из кальцита, на пути светового пучка поставили четвертьволновую пластинку из кварца. Сопоставить толщины пластин. Опыт проводится в зеленом участке спектра (508,6 нм).
Раствор глюкозы с концентрацией 2,8 • 102 кг/м3, налитый в стеклянную трубку, поворачивает плоскость поляризации света, проходящего через раствор, на угол 64°. Другой раствор, налитый в эту же трубку, вращает плоскость поляризации на 48°. Найти концентрацию второго раствора.
Какой толщины кварцевую пластинку нужно поместить между скрещенными поляроидами, чтобы поле зрения стало красным? Синим? Поляризатор освещается белым светом.
Геометрическая оптика
Из кальцита вырезана пластинка толщиной 4,0 см перпендикулярно оптической оси. На пластинку под углом 60° падает узкий пучок естественного желтого света с длиной волны 589,3 нм. Определить расстояние между обыкновенным и необыкновенным лучами после выхода света из пластинки в воздух.
На призму из крона падает луч белого света перпендикулярно грани. Найти преломляющий угол призмы, при котором красные лучи еще выходят в воздух, а фиолетовые испытывают полное отражение.
Катеты равнобедренной прямоугольной призмы покрыты зеркальным слоем, на гипотенузу падает луч света под произвольным углом. Доказать, что из призмы выходит луч, параллельный падающему.
На. дне водоема, глубиной 80 см находится точечный источник света. Определить диаметр освещенного круга, на. поверхности воды.
Призма, из флинта, с преломляющим углом 30° находится в воде. Под каким углом должен падать луч света, на. грань призмы, чтобы внутри он проходил перпендикулярно биссектрисе преломляющего угла? На. какой угол повернется луч, пройдя обе грани призмы?
Линза из крона имеет в воздухе оптическую силу 8 диоптрий. Какова будет ее оптическая сила в воде? В сероуглероде (п = 1,63)?
Система состоит из двух тонких собирающих линз, расположенных перпендикулярно их общей оси. Где находится изображение переднего фокуса линзы, находящейся слева? Выполнить построение хода лучей.
Доказать, что оптическая сила системы, состоящей из двух сложенных вплотную тонких линз, равна сумме оптических сил каждой из линз.
Как экспериментально определить оптическую силу рассеивающей линзы?
Выпукло-вогнутая линза из крона имеет радиусы кривизны 1 м и 12 см. Какова ее оптическая сила? Линзу положили горизонтально и налили на нее воду (рис. 43.10). Как изменилась оптическая сила?
Вывести формулу для оптической силы плоско-выпук- Рис. 43.10лой линзы, выполнив построение
хода лучей в ней.
Две тонкие линзы с фокусными расстояниями Д = = 7 см и Д = б см расположены на расстоянии d = 3 см. На каком расстоянии от второй из упомянутых линз располагается фокус системы? Система центрированная.
Две тонкие собирающие линзы расположены на общей оси так, что центр одной лежит в фокусе другой. На двойном фокусном расстоянии от левой линзы расположен предмет. Где будет находиться его изображение? Каково поперечное увеличение системы? Оптическая сила каждой линзы Ф.
На круглую диафрагму диаметром 20 см падает сходящийся пучок света, образующий конус с углом при вершине 40°. В диафрагму вставили линзу с оптической силой 5 диоптрий. Каков будет угол раствора образовавшегося конуса?
Сравнить продольное и поперечное увеличения в тонкой линзе. Рассмотреть случай, когда продольные размеры предмета малы.
На двойном фокусном расстоянии от линзы на ее оптической оси расположен шарик. Какой вид будет иметь его изображение?
Определить хроматическую аберрацию линзы из флинта, если радиус кривизны обеих поверхностей равен 0,5 м. Хроматическую аберрацию оценивать по разности фокусных расстояний в крайних красном и фиолетовом свете. Найти отношение хроматической аберрации к среднему значению фокусного расстояния линзы.
На вогнутое сферическое зеркало с радиусом кривизны 0,2 м налили воду. Какова оптическая сила этой системы?
На вогнутое зеркало падает луч, как показано на рис. 43.19 а. Построением найти дальнейший ход луча.
Рис. 43.19 аРис. 43.19 а
Рис. 43.19 а
Рис. 43.19 а
На выпуклое зеркало падает луч, как показано на рис. 43.20 а. Построением найти дальнейший ход луча.
На рис. 43.21 а показана оптическая ось линзы, светящаяся точка А и ее мнимое изображение А’. Построением определить положение линзы и ее фокусов. Какая это линза?
о Д’о Д’од*од*Рис. 43.22 аРис. 43.22 ао А
о Д’
о Д’
од*
од*
Рис. 43.22 а
Рис. 43.22 а
о А
Рис. 43.21 а
Задачу, аналогичную предыдущей, решить по рис. 43.22 а.
Доказать, что у параболического зеркала нет сферической аберрации.
Можно ли с помощью параболического зеркала получить строго параллельный пучок световых лучей?
Цилиндрический световод выполнен из кварцевого стекла (пх = 1,46), оболочка ™ из кварца, легированного примесями (п2 = 1,41). Под каким максимальным углом может падать свет на плоский торец световода, чтобы он распространялся внутри него, не выходя в оболочку?
Найти соотношение между диаметром цилиндрического световода d и радиусом кривизны дуги Д, на которую он может быть изогнут. Данные взять из предыдущей задачи.
На гладко отполированную алюминиевую пластинку падает из вакуума монохроматический пучок рентгеновского излучения с длиной волны 50 нм. При каком угле скольжения пучок испытает полное отражение?
Пользуясь условием интерференции аналогично тому, как это было сделано для линзы (см. § 65.4), вывести формулу для фокусного расстояния сферического зеркала (для широкого и параксиального пучков).
Оптические приборы
Монохроматический источник света с длиной волны 555 нм излучает полный световой поток 1200 лм. Какова мощность излучения? Какой должна быть мощность излучения для получения такого же светового потока на длине волны 480 нм? 600 нм?
Точечный монохроматический источник с длиной волны 520 нм имеет силу света 20 кд. Каковы амплитудные значения напряженности электрического поля и индукции магнитного поля на расстоянии 50 см от источника?
Цилиндрический зал диаметром D освещается лампой, укрепленной в центре потолка. Сравнить минимальную освещенность стены и пола. Высота стены h.
Круглый стол радиусом г освещается подвешенной над его центром лампой с силой света I. На какой высоте следует подвесить лампу, чтобы освещенность на краю стола была максимальной? Чему она равна? Чему равна освещенность в центре стола при этом условии?
Точечный источник света освещает экран, причем максимальная освещенность равна Eq. Как изменится освещенность в этой точке, если за источником на расстоянии, равном половине расстояния от лампы до экрана, поместить большое плоское идеально отражающее зеркало?
Лампы уличного освещения диаметром 10 см с яркостью 1,8 • 105 кд/м2 подвешены на высоте 12 м и на расстоянии между ними 40 м. Найти освещенность под каждой лампой и в средней точке между ними.
В центре вогнутого зеркала с радиусом кривизны 40 см и диаметром 20 см находится точечный источник света силой 10 кд, освещающий экран, расположенный на расстоянии 2 м от источника. Какова максимальная освещенность экрана? Как изменится освещенность, если убрать зеркало?
Маленький предмет, расположенный далеко от линзы диаметром D и фокусным расстоянием /, проецируется с помощью этой линзы на экран. Показать, что освещенность изображения на экране пропорциональна светимости предмета и светосиле линзы. (Светосилой линзы называется квадрат отношения диаметра линзы к ее фокусному расстоянию.)
Экран расположен на расстоянии 1 м от источника света. Между источником и экраном поместили рассеивающую линзу с оптической силой -5 дптр так, что источник света оказался в мнимом фокусе. Как изменится освещенность экрана на оптической оси системы?
Расстояние наилучшего зрения для близорукого глаза равно 9 см. Какие очки следует надеть, чтобы приблизить зрение к норме?
Показать, что оценка разрешающей способности глаза по условию дифракции на одной щели практически совпадает с минимальным углом зрения, оцениваемым по расстоянию между ближайшими элементами сетчатки. Диаметр зрачка при хорошем освещении равен 2-3 мм.
У микроскопа длина тубуса 16 см, оптическая сила объектива 185 дптр и окуляра 50 дптр. Определить угловое увеличение этого прибора.
Числовая апертура некоторого микроскопа в воздухе 0,46. Какое минимальное расстояние позволяет разрешить этот прибор?
Объектив зрительной трубы с оптической силой 2 дптр и диаметром 10 см установлен в трубе Кеплера с 12-кратным увеличением. Определить оптическую силу и диаметр окуляра, а также наименьший разрешаемый этой трубой угол. Каких размеров детали на Солнце сможет разрешить такой телескоп?
Труба Галилея представляет собой телескопическую систему, в которой объективом служит длиннофокусная выпуклая линза, окуляром — короткофокусная вогнутая линза. Задний мнимый фокус окуляра совпадает с задним фокусом объектива. Начертить ход лучей в этой системе и определить угловое увеличение.
Вычислить наименьшее расстояние между двумя точками на Луне и на Марсе, которые можно разрешить с помощью рефлектора с зеркалом диаметром б м. Ближайшее расстояние от Земли до Марса («великое противостояние») составляет 5,6 • 1010 м.
Радиотелескоп диаметром около полукилометра работает в диапазоне сантиметровых волн водородного спектра (21 см). Оценить его разрешающую способность. Сравнить ее с разрешающей способностью оптического телескопа с трехметровым зеркалом.
В настоящее время лучшие спринтеры пробегают стометровку за 10 с. Какая экспозиция допустима при фотографировании, если на негативе размытие изображения не должно превосходить х = 0,5 мм? Фотографирование производится с
расстояния d = 6 м, оптическая сила объектива фотоаппарата F = 20 дптр.
С помощью фотоаппарата с объективом, оптическая сила которого 7,7 дптр, фотографируют пейзаж. Фотоаппарат сфокусирован на предметы, расстояние до которых 12 м. Необходимо, чтобы предметы, расположенные ближе или дальше на 3 м, получились достаточно четко — их размытость на негативе не должна превосходить 0,2 мм. До какого диаметра следует задиафрагмировать объектив? Какова будет его светосила?
С помощью фотоаппарата с объективом, оптическая сила которого 8 дптр, фотографируют предмет, находящийся на дне водоема глубиной 1,2 м. Каково расстояние между объективом и пленкой? Объектив располагается вблизи поверхности воды.
Часть седьмая
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
Фотон
На освещенную поверхность Земли от Солнца падает ежесекундно излучение с интенсивностью 1,36 кВт/м2. Считая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, определить температуру фотосферы.
Максимум энергии излучения Солнца приходится на длину волны 470 нм. Считая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, определить температуру фотосферы.
Температура поверхности «белых карликов» порядка 104 К. В каком участке спектра лежит максимум излучения?
Глаз в темноте обладает большой чувствительностью, воспринимая на длине волны 555 нм световой сигнал, содержащий не меньше 60 фотонов в секунду. Какова интенсивность волны? Какова мощность источника, если он расположен от глаза на расстоянии 10 км? Диаметр зрачка в темноте 8 мм.
Определить границу фотоэффекта для лития, цинка и вольфрама.
Определить максимальную кинетическую энергию и скорость фотоэлектронов, вылетающих из металла под действием гамма-излучения с длиной волны 30 нм.
Определить, при каком запирающем потенциале прекратится эмиссия электронов с цезиевого катода, освещаемого светом с длиной волны 600 нм.
При освещении катода светом с длинами волн сначала 440 нм, затем 680 нм обнаружили, что запирающий потенциал изменился в 3,3 раза. Определить работу выхода электрона.
Существуют сорта фотобумаги, которые можно обрабатывать при красном свете с длиной волны более 680 нм. Найти энергию активации химической реакции.
Найти энергию и импульс фотона ультрафиолетового излучения с длиной волны 280 нм.
Найти длину волны рентгеновского излучения, у которого энергия фотона равна собственной энергии электрона.
Фотоны излучаются движущимся источником. Найти выражения для энергии и импульса фотона в лабораторной системе отсчета.
Исходя из фотонных представлений, вычислить световое давление на зеркальную поверхность, если угол падения лучей равен а.
Небольшая идеально поглощающая пластинка массой 10 мг подвешена на практически невесомой кварцевой нити длиной 20 мм. Свет лазерной вспышки падает перпендикулярно поверхности, вследствие чего нить с пластинкой отклоняется от вертикали на угол 0,6°. Оценить энергию лазерной вспышки.
Оценить размер частицы, если для нее сила светового давления от Солнца уравновешивает силу гравитационного притяжения. Частицу считать абсолютно черной, плотность ее принять 2,0-103 кг/м3, солнечная постоянная равна 1,36 кВт/м2.
Какая доля энергии фотона передается электрону отдачи при эффекте Комптона? Энергия рентгеновских фотонов до рассеяния равна 8'. Сделать расчет при энергии фотона 10 кэВ и угле рассеяния 60°.
Угол рассеяния фотона в эффекте Комптона равен У, угол отдачи электрона а. Определить энергию фотона до рассеяния. Сделать расчет для 6 = 90°, а = 30°.
На. слой вещества, находящийся в камере Вильсона, падает рентгеновское излучение. Камера, помещена, в магнитное поле с индукцией 0,02 Тл, и комптоновские электроны отдачи образуют треки с радиусом кривизны 2,4 см. Определить минимально возможную энергию рентгеновских фотонов, при которой могут образоваться такие электроны отдачи, и соответствующую длину волны.
Доказать, что свободный покоящийся в вакууме электрон не может поглотить фотон.
Доказать, что равномерно и прямолинейно движущийся в вакууме электрон не может излучить фотон.
Фотон с энергией Ж7 летит через щель в непрозрачном экране. Где его можно обнаружить за. экраном? С какой вероятностью? Объем счетчика, с помощью которого регистрируется фотон, равен Уф счетчик расположен далеко от экрана. Ширина, щели равна. D.
Изменится ли вероятность обнаружения фотона, за. экраном, если параллельно первой щели прорезать в экране вторую щель? Систему щелей?
Фотон летит через поляроид. Что с ним произойдет? С какой вероятностью?
Электрон с энергией 5 ГэВ сталкивается «в лоб» с летящим ему навстречу фотоном видимого света. (Ж7 ^ 1 эВ). Найти энергию отразившегося фотона. (Это явление называется обратным комптон-эффектом.)
В опытах С.И. Вавилова по визуальному наблюдению флуктуаций фотонов интенсивность зеленого света (А = 500 нм) составляла 2Д • Ю™13 Вт/м2. Диаметр адаптированного в полной темноте зрачка равен 7 мм. Сколько фотонов наблюдалось за 1 с?
Фотон, движущийся вдоль оси абсцисс, сталкивается с электроном, движущимся со скоростью л = /Зс под углом а к этой оси. Фотон рассеивается под углом 0. Определить длину волны, соответствующей рассеянному фотону, если до столкновения длина волны равна Л.
Элементы квантовой механики
Выразить длину волны де Бройля через кинетическую энергию релятивистской частицы. При какой кинетической энергии применение нерелятивистской формулы даст ошибку менее 1 %?
Выразить длину волны де Бройля через ускоряющий потенциал для релятивистского и нерелятивистского случаев.
Апертура электронного микроскопа равна 0,02, ускоряющий потенциал 104 В. Определить размеры деталей, которые можно разрешить с помощью этого прибора.
Почему разрешающая способность ионного проектора на порядок выше разрешающей способности электронного микроскопа?
Параллельный пучок электронов, разогнанных в электрическом поле с разностью потенциалов 15 В, падает на узкую прямоугольную диафрагму шириной 0,08 мм. Найти ширину главного дифракционного максимума на экране, расположенном на расстоянии 60 см от диафрагмы.
Узкий пучок нейтронов падает на естественную грань монокристалла алюминия под углом скольжения 5°. Расстояние между кристаллографическими плоскостями, параллельными данной грани монокристалла, равно 0,20 нм. Какова энергия и скорость нейтронов, для которых в данном направлении наблюдается максимум первого порядка? Какая температура соответствует этой скорости нейтронов?
Определить длину волны де Бройля, соответствующей средней квадратичной скорости молекул водорода при комнатной температуре (20°C).
Электрон ускорен разностью потенциалов 102 В. Найти групповую и фазовую скорости волн де Бройля. То же при разности потенциалов 105 В.
Частица находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Оценить
силу, с которой частица действует на стенку. Сделать расчет для электрона в яме размером Ю™10 м.
Определить три первых энергетических уровня по данным предыдущей задачи.
Собственная частота колебаний молекулы водорода равна 1,26 • 1014 Гц. Определить энергию нулевых колебаний молекулы. Могут ли колебательные степени свободы в этой молекуле возбудиться при 600 К?
Рассматривая атом как осциллятор и полагая энергию нулевых колебаний равной кинетической энергии электрона на первой орбите, оценить размер невозбужденного атома водорода.
Найти вероятность просачивания электрона сквозь потенциальный барьер шириной 0,5 нм и высотой 0,4 эВ, если он разгоняется электрическим полем 0,3 В.
Оценить вероятность холодной эмиссии электронов из металла, если вблизи поверхности металла создано сильное однородное электрическое поле напряженностью Е.
Какова вероятность холодной эмиссии электронов из вольфрама, если вблизи острия напряженность поля равна 5 • 1010 В/м?
Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной £, найти выражение для амплитудной волновой функции ^(ж), для волнового числа, импульса и энергии частицы.
В условиях предыдущей задачи определить координаты точек, в которых вероятность найти частицу на первом и втором энергетических уровнях одинакова. Определить отношение вероятностей нахождения частицы в этих точках к амплитуде вероятности.
Строение атомов и молекул
На. какое минимальное расстояние приблизится альфа- частица. к ядру серебра? Кинетическая энергия альфа-частицы 0,40 МэВ.
Исходя из теории Бора, найти орбитальную скорость электрона, на. произвольном энергетическом уровне. Сравнить орбитальную скорость на. наинизшем энергетическом уровне со скоростью света.
Вычислить энергию фотона, соответствующего первой линии в ультрафиолетовой серии водорода, (лайман-сф
Электрон в невозбужденном атоме водорода, получил энергию 12,1 эВ. На. какой энергетический уровень он перешел?
Сколько линий спектра могут излучиться при переходе электрона на более низкие энергетические уровни?
Вычислить соответствующие длины волн.
В покоящемся атоме водорода электрон перешел с пятого энергетического уровня в основное состояние. Какую скорость приобрел атом за счет испускания фотона? Какова энергия отдачи?
Вычислить радиус первой боровской орбиты однократно ионизированного атома гелия. Сравнить с радиусом ао первой боровской орбиты в атоме водорода. Записать обобщенную формулу Бальмера для этого иона. Найти головные линии, соответствующие головным линиям серий Лаймана и Бальмера.
В своей первой работе «О строении атомов и молекул» (1913 г.) Нильс Бор в качестве одного из доказательств справедливости разработанной им теории указал на тот факт, что в газоразрядной трубке наблюдается не более 12 линий серии Бальмера, а в спектрах небесных тел можно увидеть 33 линии. Бор объяснил это тем, что диаметр атома водорода не может превосходить среднего расстояния между атомами, которое зависит от давления. Исходя из этих соображений, оцените концентрацию атомов, давление и плотность водорода в газоразрядной трубке и в небесном теле.
Найти энергию ионизации двукратно ионизированного атома лития.
В видимом участке спектра некоторой галактики обнаружены линии 687,7, 498,9 и 454,8 нм. Какому веществу они принадлежат? Что можно сказать о движении этой галактики?
Мезоатомом водорода называется атом, в котором вместо электрона вокруг ядра обращается отрицательный мюон, масса которого в 207 раз больше массы электрона. Определить для мезоатома значения боровских радиусов и энергетических уровней.
Для мезоатома записать обобщенную формулу Бальмера и найти головные линии, соответствующие головным линиям трех первых серий.
Позитронием называется образование из электрона и позитрона, обращающихся вокруг их общего центра масс. Определить расстояние между частицами и энергию позитрония в основном состоянии.
При каком значении потенциала между катодом и сеткой будет наблюдаться резкое падение анодного тока в опыте Франка и Герца, если трубку заполнить атомарным водородом?
Доказать, что в s-состоянии могут находиться не больше двух электронов, а в р-состоянии — не больше шести электронов.
Выписать значения всех четырех квантовых чисел для каждого электрона в атомах бора и натрия.
У лития, натрия и калия атом содержит разное число электронов. Почему же все эти элементы одновалентные?
Решить задачу 46.9 в предположении, что в потенциальной яме находятся три бозона. Система находится в состоянии с минимальной энергией.
Решить аналогичную задачу для трех фермионов.
Рентгеновская трубка работает под напряжением 40 кВ. Найти коротковолновую границу рентгеновского спектра.
Из какого вещества изготовлен антикатод рентгеновской трубки, если длина волны Ка-линии характеристического спектра равна 76 пм?
При каком наименьшем напряжении на рентгеновской трубке с ванадиевым катодом проявятся линии серии Ка?
Длина волны Ка-линии в спектре никеля отличается от коротковолновой границы рентгеновского спектра на 10%. Найти напряжение на рентгеновской трубке.
Найти угловую скорость вращения молекулы водорода на первом возбужденном вращательном уровне, если расстояние между центрами атомов равно 74 пм.
Пусть молекула водорода перешла на первый колебательно-вращательный энергетический уровень. Какая линия спектра будет наблюдаться при ее переходе в основное состояние?
Собственная круговая частота колебаний молекулы HF равна 7,79-1014 рад/с. Между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями располагается 13 вращательных уровней. Оценить расстояние между центрами атомов в этой молекуле.
Заметная диссоциация молекул водорода на атомы наблюдается при температурах порядка 103 К. Не противоречит ли это тому факту, что энергия связи атомов водорода в молекуле равна 4,72 эВ?
Почему у атома гелия и у молекулы водорода столь разные спектры?
При расчете энергетических уровней атома водорода по теории Бора учитывают лишь кулоновское взаимодействие электрона с протоном, пренебрегая магнитными моментами этих частиц. Оценить ошибку, которая при этом совершается.
Как изменится схема энергетических уровней, если кроме кулоновского учесть еще и магнитное взаимодействие электрона с протоном?
Строгий квантовомеханический расчет показывает, что при переходе между двумя подуровнями основного со™
стояния атома водорода (см. предыдущую задачу) излучаются или поглощаются фотоны, соответствующие длине волны 21,1 см. Опыт подтверждает этот результат с огромной точностью (11 значащих цифр!).
Пользуясь классическими представлениями, попытайтесь определить длину волны, соответствующей переходу между двумя подуровнями основного состояния водорода, и сравните получающийся при этом результат с истинным значением длины волны.
Некое вещество освещается светом от ртутной лампы. В спектре комбинационного рассеяния наблюдаются два ближайших спутника с длинами волн 424,4 нм (красный спутник) и 388,5 нм (фиолетовый спутник). Найти собственную частоту колебаний молекулы этого вещества.
Лазерный пучок — это когерентная монохроматическая волна. Соответственно все фотоны имеют одинаковую энергию, импульс (направление распространения) и спин (поляризацию). Не противоречит ли это принципу Паули?
Стержень рубинового лазера имеет диаметр 4 мм и длину 35 мм. Лазер излучает когерентный свет с длинами волн 694,3 нм и 692,9 нм. Найти минимальный угол расхождения лучей.
Квантовые свойства металлов и полупроводников
Определить энергию и импульс электрона на уровне Ферми для алюминия, натрия и меди.
Вычислить для алюминия, натрия и меди температуру вырождения электронного газа.
Полагая, что средняя энергия электрона равна 3/5 энергии Ферми, оценить давление электронного газа в металле. Сделать расчет для алюминия.
Показать, что давление и объем вырожденного электронного газа связаны уравнением, аналогичным уравнению Пуассона, и найти «показатель адиабаты».
Вещество в «белых карликах» находится в вырожденном состоянии, и зависимость давления от плотности выражается уравнением Р = Ар5^ где Р — давление, р — плотность. Найти выражение для коэффициента А и показать, что давление создается электронным газом, а давлением тяжелых частиц можно пренебречь.
Оценить долю электронов в меди, которые при ее нагревании до 100 °C выйдут за пределы уровня Ферми.
Оценить теплоемкость электронного газа в меди при 100 °C и сравнить ее с теплоемкостью решетки.
Определить длину свободного пробега электрона в меди и сравнить ее с межатомным расстоянием.
В сверхпроводящем кольцеобразном проводнике циркулирует незатухающий ток. Полагая, что проводник представляет собой гигантскую боровскую орбиту, показать, что сила тока и магнитный поток квантуются. Учесть, что в сверхпроводнике электроны спарены (куперовские пары). Считать, что энергия магнитного поля равна кинетической энергии куперов- ских пар.
Опыт показывает, что электропроводность полупроводников резко возрастает с ростом температуры. Полагая, что вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости можно рассчитать с помощью барометрического распределения, вывести формулу зависимости электропроводности полупроводников от температуры.
Сравнить электропроводность чистого германия при -40 °C и +100 °C. Энергия активации для германия равна 0,72 эВ.
Собственная электропроводность германия при 27°C равна 2,13 Ом-1 • м-1, подвижности электронов и дырок равны соответственно 0,38 и 0,18 м2/(В-с). Вычислить плотность носителей тока и постоянную Холла.
Определить примесную электропроводность германия, который содержит индий в концентрации 2-1022 м-3; сурьму в концентрации 5 • 1021 м-3.
Определить внутреннюю контактную разность потенциалов между алюминием и медью; медью и окисью цинка.
Оценить энергию ковалентной связи в алмазе и удельную теплоту сгорания этого вещества. Плотность алмаза равна 3,5-103 кг/м3. Сравнить с экспериментальными значениями этих величин: 7,4 эВ/атом и примерно 30 МДж/кг.
Часть восьмая
ФИЗИКА ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Строение ядра
Чем отличается по строению ядро легкого изотопа гелия от ядра сверхтяжелого водорода (трития)?
Естественный бор имеет атомную массу 10,811. Он состоит из двух изотопов с массами 10,013 и 11,009. Определить их процентное содержание.
Оценить радиусы ядер дейтерия и полония и высоту кулоновского потенциального барьера этих ядер.
Определить энергию связи ядра дейтерия и удельную энергию связи.
Сравнить удельную энергию связи трития и легкого изотопа гелия.
Изотоп радия с массовым числом 226 превратился в изотоп свинца с массовым числом 206. Сколько а- и /9-распадов произошло при этом?
Ядро полония превратилось в свинец. Определить кинетическую энергию а-частицы и ядра отдачи.
Может ли произойти ядерная реакция 48сz 2Не4 + + 2Йе3? Почему?
Может ли ядро кремния превратиться в ядро алюминия, выбросив при этом протон? Почему?
Может ли ядро кремния превратиться в ядро фосфора? Какие частицы должны при этом выделиться? Какова их суммарная энергия?
Какую энергию надо затратить, чтобы вырвать нейтрон из ядра углерода с массовым числом 13?
Кинетическая энергия а-частиц 5 МэВ. Какова вероятность просачивания такой Q-частицы через потенциальный барьер ядра полония?
Как изменится активность препарата кобальта в течение двух лет? Период полураспада 5,2 года.
За два дня радиоактивность препарата радона уменьшилась в 1,45 раза. Определить период полураспада.
Активность препарата урана с массовым числом 238 равна 2,5 • 104 Бк, масса препарата 2,0 г. Найти период полураспада.
Определить возраст изделия из дерева, если известно, что активность образца из этого изделия по изотопу С14 составляет одну треть активности свежей древесины.
При исследовании а-распада полония обнаружены а™ частицы с энергиями 5,30 и 4,50 МэВ. Учитывая отдачу ядра, определить энергию у-квантов, испускаемых при распаде.
Ядро 57Ре испускает у-кванты с энергией 14,4 кэВ. Найти относительное изменение энергии у-кванта за счет отдачи ядра. Сравнить эту величину с естественной относительной шириной спектральной линии, если время жизни ядра в возбужденном состоянии равно 1,4 • 10-7 с.
С какой относительной скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных атомов железа, чтобы возникло резонансное поглощение у-квантов? Энергия квантов указана в предыдущей задаче.
Вывести закон радиоактивного распада, исходя из того, что вероятность распада ядра не зависит от числа ядер и пропорциональна времени наблюдения.
Пользуясь соотношением неопределенностей, рассчитать энергию локализации нейтрона в ядре, т.е. кинетическую энергию, которой должен обладать нейтрон, чтобы попасть в ядро. Размер ядра порядка 10^14 м.
Не противоречит ли этот результат опыту, согласно которому в ядро проникают даже тепловые нейтроны, кинетическая энергия которых порядка 10-2 эВ?
Ядерные реакции
Ядро урана U235 при делении освобождает энергию 200 МэВ. При взрыве урановой бомбы успевает прореагировать около 1,5 кг урана. Какова масса эквивалентной тротиловой бомбы, если теплотворная способность тротила 4,1 МДж/кг?
Определить энергию, которая освобождается при термоядерной реакции
3Li6 + ХН2 -4- 22Не4.
Расчет произвести на ядро и на один нуклон. Сравнить с энергией, выделяемой при делении урана.
Могут ли в газообразном дейтерии произойти акты реакции 2Н + 2Н 2Не при температурах порядка 108 К?
Нейтральный пион распадается на два у-фотона:
7Г° у + у.
Почему не может образоваться один фотон? Какому закону сохранения это противоречит? Какова энергия фотонов?
Время жизни нейтрального пиона равно 8,0 • 10 17 с. С какой точностью может быть определена его масса?
В поле тяжелых ядер энергичный у-фотон может превратиться в электронно-позитронную пару. Какова минимальная энергия у-кванта?
Доказать, что в вакууме фотон с любой, сколь угодно большой энергией не может превратиться в электроннопозитронную пару.
Покоящийся пион распадается на мюон и нейтрино:
7Г+ + 17ц.
Найти отношение энергии нейтрино к кинетической энергии мюона.
Покоящийся нейтрон распадается. Предполагая, что образовавшийся протон тоже покоится, найти кинетическую энергию электрона и энергию антинейтрино.
По трекам вторичных электронов было обнаружено, что нейтральный пион распался на лету на два одинаковых фотона. Угол между направлениями разлета фотонов равен 90°. Найти кинетическую энергию пиона и энергию каждого фотона.
Протоны, ускоренные разностью потенциалов 6,8 МВ, бомбардируют неподвижную литиевую мишень. При столкновении протона с ядром изотопа 7Li образуются две а-частицы, разлетающиеся симметрично по отношению к направлению пучка протонов. Определить кинетическую энергию и угол разлета а-частиц.
Ускоренный электрон поглощается неподвижным протоном, при этом образуется нейтрон. Написать уравнение реакции. Полагая, что возникший нейтрон остается в покое, вычислить минимальную кинетическую энергию электрона, при которой реакция возможна.
Элементарные частицы
Пи-нуль-мезон распадается на два одинаковых фотона, разлетающихся под углом 60° друг к другу. Определить энергию каждого из фотонов и кинетическую энергию пиона до распада.
Сколько времени может существовать виртуальный заряженный векторный бозон? Нейтральный векторный бозон? Каков радиус слабого взаимодействия?
Время жизни заряженного пиона 2,6-10™8 с, нейтрального пиона — 1,8 • 10™16 с. Заряженный пион распадается за счет слабого взаимодействия, нейтральный — за счет электромагнитного взаимодействия. Оценить, какое из взаимодействий сильнее и во сколько раз.
Возможен ли распад нейтральных гиперонов (Е°, Л° или Е°) на фотоны? Почему?
У всех барионов, кроме омега-минус-гиперона, спин равен 1/2, и только у Q--гиперона он равен 3/2. Как ориентированы спины кварков у барионов?
Как ориентированы спины кварков у мезонов?
Возможны ли барионы с целым спином? Мезоны с полу целым спином?
Все адроны построены из кварков. Почему же у мезонов барионный заряд равен нулю, а у барионов единице?
Распад типа д™ е™ + у не противоречит законам сохранения электрического заряда, энергии, импульса и спина. Однако в эксперименте такая реакция не обнаруживается. Какие законы сохранения ее запрещают?
Произойдет ли аннигиляция при столкновении электрона с положительным мюоном? Почему?
Произойдет ли аннигиляция при столкновении электрона с электронным антинейтрино? Почему?
Произойдет ли аннигиляция при столкновении электрона и протона? Почему?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Кинематика точки
График показан на рис. Ж2 = 7 + 4Г
Закон движения: ад = —21 + 8t;
Рис. 1.1
Рис. 1.2
График показан на рис. 1.2. Закон движения: ад = l,5t: ад = —300 + 3,5Г
График показан на рис. 1.3. Закон движения: ад = 80t: ж2 = 120(t-1,5).
Для того чтобы пловца не сносило течением, должно быть выполне
Рис. 1.3Рис. 1.3но условие — гж + и = 0 (рис. 1.4). Отсюда следует указанный ответ. Задача имеет решение при v > и.
Рис. 1.3
Рис. 1.3
Пловец движется под углом о к оси ординат. Его скорость вдоль оси ординат г^ = г cos о, вдоль оси абсцисс гд = г sin о + tt. Имеем
а гж v sin о + иtg/3 = — =.
Рис. 1.4Рис. 1.41)уГ COS О
Рис. 1.4
Рис. 1.4
После несложных преобразований получим указанный ответ. Задача имеет решение при условии и ^ ucosp.
Если пловец движется перпендикулярно к течению, то его скорость вдоль оси ординат максимальна. Это очевидно, если перейти к системе отсчета, связанной с водой.
Первое решение. Свяжем систему отсчета с берегом. Двигаясь против течения со скоростью v — и, катер прошел расстояние I. По течению он двигался со скоростью ори, но прошел большее расстояние, а именно I + Put, где ut — перемещение поплавка относительно берега. Время движения найдем из уравнения
_ I I Р ut
V — и V р и откуда следует:
V — и
Второе решение. Свяжем систему отсчета с водой. В этой системе отсчета катер движется со скоростью г, поплавок покоится. Время движения катера t = 21//и, где V — расстояние, пройденное катером относительно воды в одном направлении. Очевидно, что
I _ Г _ t,v — и и 2
Подставив в предыдущее равенство, придем к тому же ответу. Как видно, в движущейся системе отсчета задача решается проще.
См. рис. 1.8.
Рис. 1.8
Сила. Давление
Под действием силы F удлинение всей системы AZ = F/к, удлинения первой и второй пружин AZi = Fjkx и AZ2 = Fjk^. Поскольку AZ = = AZi + AZ2, то
111
— — Щ — .
к
Приложим к телу две равные по модулю и противоположно направленные силы Ti и Т2 (рис. 2.2).
Сложив силы Fi и Ti и, соответственно, F2 и Т2, получим две силы Ri и R2, пересекающиеся в точке В. Перенесем силы Ri и R2 в эту точку
и разложим их вновь на прежние составляющие. Силы Ti и Т2 уравновешены, силы же Fi = Fi и Fz2 = F2 направлены вдоль одной прямой, и их равнодействующая R = F[ + F2 = Fi + F2.
Положение точки О — центра параллельных сил — найдем из подобия треугольников, а именно: из ZXAiOB
KFiR'iB и Z\A2OB ZXF^R^B получим
С ^ОВ, 12 _ ов
Т ~ Fi И Т “ F2 ’
откуда следует, что I1F1 = l2F2, что и требовалось доказать.
Пусть ось абсцисс проходит через точки приложения сил Ai и А2, коор
динаты этих точек Ж1 и Ж2, а координата
центра О пусть будет жо. Тогда к = жо —Рис. 2.2
— жх, 12 = ж2 — жо- Подставив в результат
жо =жо =П1Ж1 + F2x2Fi + F2П1Ж1 + F2x2Fi + F2предыдущей задачи, получим М(жо — Ж1) = ^(жг — жо), откуда следует:
жо =
жо =
П1Ж1 + F2x2
Fi + F2
П1Ж1 + F2x2
Fi + F2
Положение центра нескольких параллельных сил найдем методом полной индукции.
Большую силу Fi разложим на две параллельные составляющие (рис. 2.4): силу Т2 = —F2 приложим в точке А2, вторую силу Ti, модуль которой Ti = Fi — F2, приложим в точке С, расположенной от точки Ai на расстоянии d = aT2/Ti. Поскольку силы F2 и Т2 уравновешены, то равнодействующая R = TV, ее модуль R = Ti = Fi — F2.
Из рис. 2.5 6, согласно теореме синусов,
Ti _ Т2 _ Рsin/32 sin/31 sin [тг — (/3i + /З2)]
Учитывая, что /31 = —Учитывая, что /31 = —-ai,/32 = --ai,/32 = -— 02, получаем указанный ответ.— 02, получаем указанный ответ.
Учитывая, что /31 = —
Учитывая, что /31 = —
-ai,/32 = -
-ai,/32 = -
— 02, получаем указанный ответ.
— 02, получаем указанный ответ.
2.6. Треугольник сил подобен треугольнику кронштейна (рис. 2.6 б). Потеореме синусов имеем2.6. Треугольник сил подобен треугольнику кронштейна (рис. 2.6 б). Потеореме синусов имеемFi _ F2 _ mgsin р sin a sin [тг — (о +/3)]Поскольку DC = aV3/2, a DE = = а/2, то ZCDE = 90°. Разложим силу Р = = mg на две составляющие вдоль направлений CD и СЕ (рис. 2.7б). Получим: N = 2Р, F = Р^З. Теперь разложим силу F вдоль стержней ВС и АС (рис. 2.7в). Поскольку здесь параллелограмм сил — ромб с углом 60° при вершине, тоFi _ F2 _ mgsin р sin a sin [тг — (о +/3)]Поскольку DC = aV3/2, a DE = = а/2, то ZCDE = 90°. Разложим силу Р = = mg на две составляющие вдоль направлений CD и СЕ (рис. 2.7б). Получим: N = 2Р, F = Р^З. Теперь разложим силу F вдоль стержней ВС и АС (рис. 2.7в). Поскольку здесь параллелограмм сил — ромб с углом 60° при вершине, тоPi = р2 =Pi = р2 =F2 cos 30‘F2 cos 30‘рУз2V3/2рУз2V3/2Какова бы ни была форма сосуда, в нем всегда можно выделить малые вертикальные столбики жидкости, для которых формула р = pghКакова бы ни была форма сосуда, в нем всегда можно выделить малые вертикальные столбики жидкости, для которых формула р = pghРис. 2.7 вРис. 2.7 в
2.6. Треугольник сил подобен треугольнику кронштейна (рис. 2.6 б). Потеореме синусов имеем
2.6. Треугольник сил подобен треугольнику кронштейна (рис. 2.6 б). Потеореме синусов имеем
Fi _ F2 _ mg
sin р sin a sin [тг — (о +/3)]
Поскольку DC = aV3/2, a DE = = а/2, то ZCDE = 90°. Разложим силу Р = = mg на две составляющие вдоль направлений CD и СЕ (рис. 2.7б). Получим: N = 2Р, F = Р^З. Теперь разложим силу F вдоль стержней ВС и АС (рис. 2.7в). Поскольку здесь параллелограмм сил — ромб с углом 60° при вершине, то
Fi _ F2 _ mg
sin р sin a sin [тг — (о +/3)]
Поскольку DC = aV3/2, a DE = = а/2, то ZCDE = 90°. Разложим силу Р = = mg на две составляющие вдоль направлений CD и СЕ (рис. 2.7б). Получим: N = 2Р, F = Р^З. Теперь разложим силу F вдоль стержней ВС и АС (рис. 2.7в). Поскольку здесь параллелограмм сил — ромб с углом 60° при вершине, то
Pi = р2 =
Pi = р2 =
F
2 cos 30‘
F
2 cos 30‘
рУз2V3/2
рУз2V3/2
Какова бы ни была форма сосуда, в нем всегда можно выделить малые вертикальные столбики жидкости, для которых формула р = pgh
Какова бы ни была форма сосуда, в нем всегда можно выделить малые вертикальные столбики жидкости, для которых формула р = pgh
Рис. 2.7 в
Рис. 2.7 в
выводилась. А так как на данной глубине давление во всех точках одинаковое (следствие закона Паскаля), то для вычисления давлений на глубине h надо сложить давление всех вышележащих слоев:
р = pi + р2 + Рз + • • • = pg (hi + h2 + hs + . ..) = pgh.
Сила, действующая на ворота шлюза, равна произведению среднего давления на площадь ворот. Поскольку с ростом глубины давление растет пропорционально глубине, то среднее давление равно половине максимального. Итак,
F = DpsF pgh- ■ hb = ^ pgbh2.
На цилиндр действует сила тяжести и сила давления воды, прижимающая его ко дну. Имеем
тСрв(Н — НА
F = mg ApS = mg + pBg (H - h)- = mg 1 4:-
Рж hурж h.
Объем шарового сегмента, возвышающегося над водой, равен
V сегм —V сегм —- Tvh^^R — ЪД объем погруженной части УПОГр = IE — Не™
V сегм —
V сегм —
= - тг(4Д3 — ЗЛЛ2 + h^Y По закону Архимеда - tvR^ pg = - тгрл^(4Д3 —
-З^ + А3).
Согласно закону Архимеда, mg = Mg — PbVg. Но объем короны
V = Уз - Ус = — рзОтсюда следует, чтоV = Уз - Ус = — рзОтсюда следует, чтоМ — тсРзМ — тсРзтс4Рстс4РсМ/11— + тс —Рз\ Рс РсМ/11— + тс —Рз\ Рс Рс
V = Уз - Ус = — рз
Отсюда следует, что
V = Уз - Ус = — рз
Отсюда следует, что
М — тс
Рз
М — тс
Рз
тс
4
Рс
тс
4
Рс
М/11
— + тс —
Рз\ Рс Рс
М/11
— + тс —
Рз\ Рс Рс
М
Рв д( РвРв
— — М — тс I — ™ —
Рз\ РсРз
ИЛИ
( Рв Рв А Д/Г Рв Атс™= М 1 — ™— т.
\ Рс Рз /\ Рз /
Согласно закону Архимеда, аэростат поднимется на такую высоту, где выталкивающая сила воздуха уравновесит вес суммарного груза и вес водорода внутри оболочки:
mg -V pH2Vg = paTVg.
Пользуясь табл. 26.4, можно оценить высоту, на которую поднимется аэростат.
Динамика точки
Направим ось координат вертикально вниз. Уравнения движения гирь запишутся следующим образом:
—F + mxg = —тха, —F + msg = т^а,
где F — натяжение нити. Решив систему, найдем ускорение и силу натяжения.
Уравнения движения для случая, изображенного на рис. 3.3, имеют вид
Q = Fx = т^а^ Fx = тха,
откуда следует:
F = Qmimi + m2 '
Если приложить силу к меньшему телу, то натяжение нити
F2 = Qw2 > Fl.
mi + m2
1) Если обезьянка неподвижна относительно веревки, то оба тела движутся с одним и тем же ускорением ах. Уравнения движения:
Fx = Max, mg ™ Fx = max,
где Fx — натяжение веревки.
Если обезьянка движется относительно веревки с ускорением b вверх, то оба тела движутся по-разному: груз с ускорением а^, обезьянка с ускорением а2 = а2 — Ъ. Уравнения движения примут вид
F^ = Ма^, mg ™ F^ = maV
Движение обезьянки относительно веревки с ускорением Ъ вниз описывается теми же уравнениями, в которых надо только изменить знак Ь.
Ускорение обезьянки относительно веревки вниз не может быть больше ускорения свободного падения. (Почему?) Следовательно, аз ^ 0 и Ез ^ 0.
На груз действует сила тяжести mg и сила натяжения нити F (рис. 3.5 6). Уравнение движения:
mg — F = та.
На брусок действуют три силы: сила тяжести Mg, сила реакции наклонной плоскости Q и натяжение нити F. Уравнение движения:
F — Mg sin о = Ма.
Отсюда следует указанный ответ.
Как видно, при т > ЛЕ sin о си
стема будет двигаться с ускорением в направлении, указанном на рис. 3.5 6. При т < М sin о направление ускорения окажется противоположным, а при т = М sin о система будет двигаться равномерно с заданной начальной ско
ростью или покоиться.
”2gu”2guРис. 3.6 6Рис. 3.6 6Заметим, что задачи 3.2 и 3.4 суть частные случаи задачи 3.5. Именно, при условии о = тг/2 получим решение задачи 3.2, при о = 0 — первый случай задачи 3.4.
”2gu
”2gu
Рис. 3.6 6
Рис. 3.6 6
На стержень действуют три силы: реакция клина Q, реакция ограничителей F и сила тяжести m^g (рис. 3.6 6). Уравнение движения (вдоль оси ординат)
™m2g + Q cos о = т2а2.
Соответственно на клин также действуют три силы: реакция стола N сила тяжести mig и реакция стержня Q (рис. 3.6 в). Уравнение движения (вдоль оси абсцисс):
—Q sin а = miai.
Третье уравнение получим, сопоставив перемещения стержня ЗХу = aR2/2 и клина Дж = ait2/2. Поскольку Д?/ = ДжtgCl/, то
ОД = О1 tg О.
Далее решаем совместно систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
Рис. 3.7 6Рис. 3.7 6Рис. 3.7 вРис. 3.7 в
Рис. 3.7 6
Рис. 3.7 6
Рис. 3.7 в
Рис. 3.7 в
Рис. ЗЛОРис. ЗЛОжести:жести:Ni о2о2mg gr ’ mg grNi о2о2mg gr ’ mg gr
Рис. ЗЛО
Рис. ЗЛО
жести:
жести:
Ni о2о2
mg gr ’ mg gr
Ni о2о2
mg gr ’ mg gr
Задача сводится к решению системы из четырех уравнений (см. рис. 3.76 и 3.7в):
—Q sin о = Mbx, —mg + Q cos о = тау
Qsina = max, ау = (—аж + bx) tg о.
Ситуация с неподвижным клином может быть рассмотрена отдельно, а может быть проанализирована на основании общего случая в предположении т < М. В результате получим
•• 2
аж = g sin a cos а, ау = —g sin о,а = ^/а^ + ng = g sin о, Q = mg cos о.
Сила упругости Fynp = k(l — lo) сообщает грузу центростремительное ускорение.
На самолет действуют сила тяжести Р и подъемная сила F, перпендикулярная к плоскости крыла. Их равнодействующая R сообщает самолету центростремительное ускорение (рис. ЗЛО). Угол крена и2
о = arctg — , где г — радиус кривизны
траектории.
Перегрузку определим как отношение силы давления к силе тя
В верхней точке траектории скорость v = иж = no cos о, нормальное ускорение равно ускорению свободного падения. Имееми2 Го cos2 «г = — = .gПредставим себе, что некоторое тело брошено вдоль оси абсциссВ верхней точке траектории скорость v = иж = no cos о, нормальное ускорение равно ускорению свободного падения. Имееми2 Го cos2 «г = — = .gПредставим себе, что некоторое тело брошено вдоль оси абсциссс начальной скоростью ио,с начальной скоростью ио,Рис.Рис.3.133.13а в положительном направлении оси ординат действует сила тяжести, сообщая телу ускорение g (рис. 3.13). Тогда закон движения примет вида в положительном направлении оси ординат действует сила тяжести, сообщая телу ускорение g (рис. 3.13). Тогда закон движения примет видgt2X = Hot, у = — .Уравнение траектории получается путем исключения времени: ж2 = 2voy/g^ т.е. параметр р = Vo/g- Из рисунка видно, чтоgt2X = Hot, у = — .Уравнение траектории получается путем исключения времени: ж2 = 2voy/g^ т.е. параметр р = Vo/g- Из рисунка видно, чтоvvПодставив кривизны,Подставив кривизны,3.14. Как3.14. Как= g COS О' = gVo/v.= g COS О' = gVo/v.v и аи в выражение для радиуса получимv и аи в выражение для радиуса получими2 г = —и2 г = —3/2 \ 3/2 = р 11 +) gro\ Р2 )3/2 \ 3/2 = р 11 +) gro\ Р2 )известно, скорость точки направлена по касательной к траизвестно, скорость точки направлена по касательной к траектории. Из рис. 3.13 видно, что tgo = gt/vo. Но так как t = x/vo, тоектории. Из рис. 3.13 видно, что tgo = gt/vo. Но так как t = x/vo, тоIga = —Iga = —РР
В верхней точке траектории скорость v = иж = no cos о, нормальное ускорение равно ускорению свободного падения. Имеем
и2 Го cos2 «
г = — = .
g
Представим себе, что некоторое тело брошено вдоль оси абсцисс
В верхней точке траектории скорость v = иж = no cos о, нормальное ускорение равно ускорению свободного падения. Имеем
и2 Го cos2 «
г = — = .
g
Представим себе, что некоторое тело брошено вдоль оси абсцисс
с начальной скоростью ио,
с начальной скоростью ио,
Рис.
Рис.
3.13
3.13
а в положительном направлении оси ординат действует сила тяжести, сообщая телу ускорение g (рис. 3.13). Тогда закон движения примет вид
а в положительном направлении оси ординат действует сила тяжести, сообщая телу ускорение g (рис. 3.13). Тогда закон движения примет вид
gt2
X = Hot, у = — .
Уравнение траектории получается путем исключения времени: ж2 = 2voy/g^ т.е. параметр р = Vo/g- Из рисунка видно, что
gt2
X = Hot, у = — .
Уравнение траектории получается путем исключения времени: ж2 = 2voy/g^ т.е. параметр р = Vo/g- Из рисунка видно, что
v
v
Подставив кривизны,
Подставив кривизны,
3.14. Как
3.14. Как
= g COS О' = gVo/v.
= g COS О' = gVo/v.
v и аи в выражение для радиуса получим
v и аи в выражение для радиуса получим
и2 г = —
и2 г = —
3/2 \ 3/2
= р 11 +) gro\ Р2 )
3/2 \ 3/2
= р 11 +) gro\ Р2 )
известно, скорость точки направлена по касательной к тра
известно, скорость точки направлена по касательной к тра
ектории. Из рис. 3.13 видно, что tgo = gt/vo. Но так как t = x/vo, то
ектории. Из рис. 3.13 видно, что tgo = gt/vo. Но так как t = x/vo, то
Iga = —
Iga = —
Р
Р
,2,2РРПосле того, как вы научитесь дифференцировать, задача может быть решена с помощью производной следующим образом х):
,2
,2
Р
Р
dy tga= = dx
Закон движения камня:
у = h + Dot cos 3 — gt/2, x = Dot sin p.
При ударе камня о холм
жв = b cos о, ув = h — b sin о.
Подставив в закон движения, получим искомый результат.
Законы движения первого и второго тела:
= 1,,
= rot COS О, Z/2 = rot Sin Q.
При встрече х = Z, у = Н/2. Отсюда следует:
Нgt2 Нgt2
l = UotCOSQ, — = rot sin О'— ,— = Н— .
После преобразований получим указанный ответ.
Допустим противное: более массивное тело падает быстрее. Пусть у нас имеются два тела с разными массами. Тогда тело, масса которого больше, падает быстро; второе тело, с малой массой, падает медленнее. Прикрепим одно тело к другому. Поскольку масса вновь образованного тела равна сумме масс слагаемых, то вновь образованное тело должно падать быстрее первого. С другой стороны, поскольку более легкому телу якобы свойственно падать медленно, то оно должно тормозить движение системы, и скрепленные тела якобы должны падать медленнее, чем одно первое тело.
Полученное противоречие опровергает наше предположение. Никаких противоречий не возникает, если положить, что все тела, независимо от их массы, падают одинаково, что подтверждается экспериментом.
Тяготение. Электрические силы
Искомое отношение сил
Fq GmMQ ОтМф MqR^
Причина того, что Луна является спутником Земли, несмотря на то, что Солнце притягивает ее в два раза сильнее, заключается в начальных
условиях — начальной координате и начальной скорости, т.е. значениях этих величин в тот момент, когда Луна оказалась в поле тяготения обоих этих тел (см. § 8.2).
Равновесие установится, если равнодействующая электрической силы F, силы тяжести Р = mg и натяжения нити Т окажется равной нулю (рис. 4.9). Отсюда следует: F = Р tg о. Подставив значение электрической силы, получим после преобразований
Q = 2q = 2\J4-KE^mg Iga - Р sin2 о.
Если заряды расположены, как на рис. 4.10 а, то напряженность поля в центре квадрата
равна нулю.рис 4 д
Если заряды расположены так, как на рис. 4.10 6,
то находим напряженность поля, создаваемого каждым зарядом, а затем напряженности складываем векторно.
Разобьем проводник на столь малые участки, чтобы их можно было считать точечными (рис. 4.11). Тогда проекция напряженности поля
Рис. 4.10 аРис. 4.10 а
Рис. 4.10 а
Рис. 4.10 а
F^F^6р24тГ€о^36р24тГ€о^3= 6,7 - 10-20 Н.= 6,7 - 10-20 Н.
F^
F^
6р24тГ€о^3
6р24тГ€о^3
= 6,7 - 10-20 Н.
= 6,7 - 10-20 Н.
от малого участка на ось симметрии проводника
_ ^q • х _ hq • х
4тг£ог3 4тг€о(а2 + x^Y^ '
Из условий задачи ясно, что поле направлено вдоль оси и напряженность поля есть сумма проекций напряженности поля от отдельных участков проводника.
Сначала найдем расстояние между молекулами. Масса одного кубометра воды равна 103 кг, киломоль воды (18 кг) содержит 6,0 • 1026 молекул. Следовательно, один кубометр воды содер™ 103
жит N = 6,0 • 1026 •= 3,3 • 1028 моле
кул. Тогда расстояние между молекулами воды
d = 1/Vn = Уз,О • 10~29 = 3,1 • 10"10 м.
Сила взаимодействия
Поскольку вдоль оси абсцисс на электрон никакие силы не действуют (силой тяжести пренебрегаем), то гж = const и время пролета электрона в поле t = L/vx. Вдоль оси ординат на электрон действует сила Fy = —еЕ. Эта сила сообщает электрону ускорение ау = —еЕ/m. Проекция скорости на ось ординат меняется по закону и у = иоу + ayt. В точке вылета электрона из поля имеем
_eEL2 /eEL
vx tg/t = vx tga - , откуда Mtga ™ tg/t) = .
тгжm
Поскольку Гж = Го COS о, получим
22/eEL
Vq COS Q(tg Q - tg p) =
На электрон (рис. 4.14) вдоль оси абсцисс никакие силы не действуют, и проекция скорости на эту ось не меняется: vx = по = const. Вдоль
Рис. 4.14Рис. 4.14
Рис. 4.14
Рис. 4.14
оси ординат на электрон действует сила Fy = —еЕ все время, пока электрон движется в поле. Это вызывает смещение электрона на расстояние
2 2ШУд ’
при этом вдоль оси ординат он будет двигаться со скоростью
х еЕ1
= at = ™™ .
тио
Из поля электрон вылетает под углом, определяемым по условию
tga =tga =еЕ1тк^ 1еЕ1тк^ 1
tga =
tga =
еЕ1
тк^ 1
еЕ1
тк^ 1
и дальше движется по инерции. Как видно из рисунка,
d = h + L tg а, или d =d = h + L tg а, или d =еЕ12еЕ12eElLeElL2тУд2тУдmygmyg
d = h + L tg а, или d =
d = h + L tg а, или d =
еЕ12
еЕ12
eElL
eElL
2тУд
2тУд
myg
myg
откуда следует:
mv^d
е/(Ь + //2) '
Вдоль оси абсцисс на электрон не действуют никакие силы, и движение по этой оси равномерное со скоростью их = по cos а. Вдоль оси ординат на электрон действует сила Fy = —еЕ^ и электрон движется с ускорением ау = ™еЕ (т^ его мгновенная скорость
.. eEt
т = t?o sin a + av t = no sin a.
m
Для того чтобы электрон, двигаясь вверх, не задел верхнюю пластину, необходимо создать такое поле, чтобы за время И вертикальная составляющая скорости упала до нуля, а перемещение Й1 < К Но 2ayhi = —к^у (см. задачу 1.9); следовательно
।।^ ^о sin a
Итак, первое условие можно записать следующим образом:
Е >Е >тш^ sin2 атш^ sin2 а
Е >
Е >
тш^ sin2 а
тш^ sin2 а
Время движения электрона вверх И =• Столько же времени
он будет двигаться вниз (докажите!). Чтобы не задеть нижнюю пластину, он за все это время должен пройти вдоль оси абсцисс расстояние, превосходящее ее длину, т.е. ж = 2щТ1 > I. Отсюда следует:
2^о sin a cos а
и второе условие примет вид
2nwo sin a cos а
Объединяя оба решения, получаем искомый результат.
Трение
Перейдем к системе отсчета, связанной с платформой. Здесь скорость тела вначале равна ™t?o, в конце — нулю. Имеем
1) Если обезьянка неподвижна относительно веревки, то уравнения движения имеют вид
М — pMg = Mai, mg ™ Fi = mai, откуда следует искомый ответ. Решение имеет смысл при т > рМ. Если же тп <С рМ, то ai = 0, Fi = mg.
Если обезьянка движется относительно веревки вверх с ускорением 6, то уравнения движения примут вид
IT — pMg = М«2, mg — F2 = т(а2 — b).
Решение имеет смысл при pMg < m(g + Ь). В противном случае «2=0, а2 = -6, F2 = m(g + b).
Если обезьянка движется относительно веревки вниз с ускорением Ь, то в уравнениях для предыдущего случая нужно изменить знак при Ь.
Так как направление силы трения скольжения Т противоположно направлению скорости бруска, то результат будет существенно зависеть от того, куда направлена начальная скорость бруска. Рассмотрим возможные случаи.
Пусть начальная скорость груза направлена вниз (рис. 5.3 а). Уравнения движения запишутся так:
mg — F = ma, F ™Т ™ Mg sin а = Ма, где Т = pQ = pMg cos а. Отсюда следует:
m — M(sin а + р cos а)
а = к- ,
6m + М’
_ mMg (1 + sin а + р cos а)
m + М
Если тп > М (sin а + д cos а), то а > 0 и скорость системы возрастает. Если тп < M(sina + дсова), то а < 0 и скорость системы убывает. Наконец, если тп = М(sin а + дсова), то а = 0 и система движется равномерно.
Пусть начальная скорость груза направлена вверх (рис. 5.3 6). Тогда, как нетрудно убедиться,
тп — M(sin а ™ и cos а)
6m + М’
mMg (1 + sin а — д cos а)тп Т М
Если тп > М (sin a? — д cos а), то а > 0 и скорость системы убывает. Если тп < M(sina — д cos а), то а < 0 и скорость системы возрастает. Наконец, если тп = М(sin а — дсова), то а = 0 и система движется равномерно.
Пусть, наконец, система находится в покое. Тогда между бруском и наклонной плоскостью действует сила трения покоя, направление которой зависит от того, куда передвигалась бы система в отсутствие трения. Именно, если тп > Msina, то брусок при отсутствии трения поднимался бы вверх, следовательно, сила трения направлена вниз, как на рис. 5.3 а. Если же тп < М sin а, то брусок при отсутствии трения двигался бы вниз, поэтому сила трения окажется направленной вверх, как на рис. 5.3 6.
Нетрудно убедиться на основе анализа двух предшествующих случаев, что при тп > М(sin а + д cos а) брусок станет двигаться ускоренно вверх по наклонной плоскости; при m < М(sin а — д cos а) брусок будет двигаться ускоренно вниз по наклонной плоскости; наконец при
M(sin а — д cos а) ^ m ^ M(sin а + д cos а) система будет находиться в покое.
Уравнение движения стержня не
изменится; в уравнении движения клинарис
следует учесть наличие силы трения Т =‘ '
= д(<3 cos а + mig), направленной противоположно ускорению (рис. 5.4).
Итак,
-Tn^g + Q cos а = тп^ау
Q sin а + p^Q cos а + mig) = тп\аж.
После преобразований с учетом ау = ах tg а получим
mim2g’(cosa + д sina)
mi cos2 а + m2 sin2 а — дт2 sin а cos а ’
_ -m2g + gg ctg а(т2 + mi) $
ж mi ctg а + т2 tg а — дт2 ’
_ -m^g tga + pig (m2 + mi) $mi ctg а + m2 tg а — дт2 ‘
Решение имеет смысл при условиях
mi ctg а + m2 tg а > дт2, m2 tg а > д(т2 + mi).
Из второго неравенства следует:
х д(т2+т1)tg а >7 -
m2
и/ д(т2 + т1)m^g
Если же tga ^, то ах = 0,= 0, Q = — .
m2'cos а
Уравнения движения примут вид (см. рис. 5.5 а и 5.5 6):
—Q sin a + Т cos a = Mbx Q sin a — T cos a = max ,
—mg + Q cos a + T sin a = may, ay = (—ax + bx) tg a, T = piQ.
Отсюда следует:
q _mMg cos a
M + msina(sina — pi cos a) ’
_ Mg cos a (sin a — д cos a)
ж M + msina(sina — дсова) ’
^ _ mg cos a(sina — д cos a)
ж M + m sin a(sin a — д cos a) ’
_ (M + m)g sina(sina — д cos a)
M + m sin a(sin a — д cos a)
Брусок может либо скользить по клину вниз, либо покоиться. Скольжение вниз возможно при условии sin а > дсоза, т.е. tga > д.
Рис. 5.5 бРис. 5.5 б
Рис. 5.5 б
Рис. 5.5 б
В этом случае ах > 0, ау < 0 и Ьж < 0. Если же tga ^ д, то брусок и клин покоятся.
Заметим, что решение задачи 3.7 получается автоматически из решения рассматриваемой задачи, если положить д = 0.
Если клин перемещается влево, то уравнения движения примут вид
Qsincx = max, —mg + Q cos ex = may, —Q sin ex + T = Mbx,ay = (-ax + bx) tga, T = p(Q cos a + Mg),
откуда следует:
Q =Q =ay —ay —Ьж = p,g -Ьж = p,g -Mmg (cos a + д sin a)M + m sin a(sin a — д cos a) ’Mg sin a (cos a + д sin a)M + msina(sina — д cos a) ’(M + m)g sin a(sin a — д cos a)M + msina(sina — д cos a) ’mg (cos a + д sin a) (sin a — д cos a)M + m sin a(sin a — д cos a)Mmg (cos a + д sin a)M + m sin a(sin a — д cos a) ’Mg sin a (cos a + д sin a)M + msina(sina — д cos a) ’(M + m)g sin a(sin a — д cos a)M + msina(sina — д cos a) ’mg (cos a + д sin a) (sin a — д cos a)M + m sin a(sin a — д cos a)
Q =
Q =
ay —
ay —
Ьж = p,g -
Ьж = p,g -
Mmg (cos a + д sin a)
M + m sin a(sin a — д cos a) ’
Mg sin a (cos a + д sin a)
M + msina(sina — д cos a) ’
(M + m)g sin a(sin a — д cos a)
M + msina(sina — д cos a) ’mg (cos a + д sin a) (sin a — д cos a)
M + m sin a(sin a — д cos a)
Mmg (cos a + д sin a)
M + m sin a(sin a — д cos a) ’
Mg sin a (cos a + д sin a)
M + msina(sina — д cos a) ’
(M + m)g sin a(sin a — д cos a)
M + msina(sina — д cos a) ’mg (cos a + д sin a) (sin a — д cos a)
M + m sin a(sin a — д cos a)
Поскольку Ьх ^ 0 (объясните, почему), то
mg (cos a + д sin a) (sin a — д cos a)
^ ^ M + msina(sina — д cos a) '
m sin a cos exM + m cos2 am sin a cos exM + m cos2 aОтсюда после несложных преобразований получим, что наше решение имеет смысл при условии
m sin a cos exM + m cos2 a
m sin a cos exM + m cos2 a
При этом условии
.M sin a
sin a — ц cos a >9,
M + m cos2 a
следовательно, ay < 0, что соответствует смыслу задачи.
Если же окажется, что д = 8Ш Q cos a , то ^ж = q? т е клин будет М + т cos" a
двигаться вдоль стола равномерно с начальной скоростью по (или покоиться, если по = 0). В этом случае
sin a — д cos a =sin a — д cos a =sin a + д cos a =sin a + д cos a =M sin a
sin a — д cos a =
sin a — д cos a =
sin a + д cos a =
sin a + д cos a =
M + mcos2 a ’
(M + m) cos a
M + mcos2a ’
откуда следует:
Q = mg cos a,
ax = g sin a cos a, ay = —g sin2 a, a = Ja^ + a2 = g sin a.
Поскольку брусок не скользит по клину, то направление силы трения неизвестно. Очевидно, что если ускорение клина мало, то брусок будет скользить вниз, и сила трения направлена, как это указано на рис. 5.7 а.
При больших ускорениях брусок станет скользить вверх, и направление силы трения изменится (см. рис. 5.7 6).
Рис. 5.7 аРис. 5.7 аРис. 5.7 6Рис. 5.7 6
Рис. 5.7 а
Рис. 5.7 а
Рис. 5.7 6
Рис. 5.7 6
Запишем уравнения движения для обоих случаев по осям координат.
Ось ординат: Q cos а + Т sin а — mg = О, Q cos а — Т sin а — mg = 0. Ось абсцисс: Q sin а — Т cos а = max , Q sin a PT cos а = та^.
Учитывая, что Т = gQ^ получаем после преобразований:
ахахtga-p6 1 + /л tg аtga-p6 1 + /л tg аtga + дg 1 - ^tg« 'tga + дg 1 - ^tg« '
ах
ах
tga-p
6 1 + /л tg а
tga-p
6 1 + /л tg а
tga + д
g 1 - ^tg« '
tga + д
g 1 - ^tg« '
Обозначив д = tg ф, получим g tg (а — ф) ^ а ^ g tg (а + ф).
Если тело не соскальзывает с диска, то оно обращается с той же угловой скоростью, что и диск. Центростремительное ускорение телу сооб-
Рис. 5.8Рис. 5.8
Рис. 5.8
Рис. 5.8
щает сила трения покоя (рис. 5.8). Имеем
mw г < ДпокШ^, откуда г < g^g (ш .
Мотоциклист не соскользнет, если сила трения окажется равной силе тяжести, действующей на него. Двигаясь по искривленной поверхности, мотоцикл давит на нее, а сила реакции сообщает ему центростремительное ускорение. Уравнение движения имеет вид
Т — mg = 0,
где сила трения Т = дУ, а сила реакции N = mv2/г. Отсюда
У y/gr/P-
Поскольку тело покоится, то направление силы трения неизвестно. Поэтому мысленно будем уменьшать угловую скорость до тех пор, пока тело не начнет соскальзывать вниз. Тогда сила трения будет иметь направление, показанное на рис. 5.10 6. Уравнения движения имеют вид
tVsina — Т cos а = mw2 Rsino^
N cos а + Т sin а — mg = О,
где Т = ДпокЛ^. Отсюда, полагая дПок = tg ф, после несложных преобразований находим
,, _ , fg tg (« -
К. sin а
Увеличим мысленно угловую скорость так, что тело станет скользить вверх. Тогда сила трения изменит направление (рис. 5.10в), и уравнения движения примут вид
sin а + Teos а = mw2 Я sin а,
N cos а — Т sin а — mg = 0,
Т = дПок> = 2Vtgyy
откуда
= тт^тт
" N Я sin а '
Итак, тело будет находиться в равновесии при условии
уТТтНтГ < ш < УПт+У
Я sin аV Я sin а
Очевидно, что если а ^ ф^ т.е. tg а ^ дПОк, то тело не будет соскальзывать вниз даже в том случае, если чаша перестанет вращаться.
Рис. 5.10 6 Рис. 5.10 вРис. 5.10 6 Рис. 5.10 в
Рис. 5.10 6 Рис. 5.10 в
Рис. 5.10 6 Рис. 5.10 в
В качестве частного случая из решения следует, что при отсутствии трения (дпок = tg ф = 0) равновесие наступит при вращении чаши с угловой скоростью
Шо — VeTcos а.
Центростремительное ускорение мотоциклисту сообщает сила трения, следовательно, pmg = тт2т. Отсюда следует, что
г v2/p.g.
Мотоциклист должен наклониться к горизонту под таким углом, чтобы равнодействующая силы реакции и силы трения была направлена вдоль тела. Отсюда следует, что tga = N/T = 1/д.
Уравнение движения шарика, падающего в жидкости, выглядит так:
mg Уарх Усопр — та.
Поскольку глицерин обладает большой вязкостью, число Рейнольдса невелико и силу сопротивления можно найти по закону Стокса, УСОпР = бтгцгг. Итак,
4 з 4 з4 з
- пт pg — — пт pog — Ьпрти = - пт ра.
Установившуюся скорость найдем из условия, что ускорение равно нулю:
= 2r2g(/)-p0) =9 цЧисло Рейнольдса= 2r2g(/)-p0) =9 цЧисло Рейнольдса2 - 4 10'^6 МУ812 - 4 10'^6 МУ819 • 5,02 • 10™29 • 5,02 • 10™2I3,— = 0,227 м/с = 23 см/с.I3,— = 0,227 м/с = 23 см/с.Re=^Re=^1,21 • 103 - 2,3 • 10'1,21 • 103 - 2,3 • 10'5,02 • 11г25,02 • 11г2=0,11.=0,11.
= 2r2g(/)-p0) =9 ц
Число Рейнольдса
= 2r2g(/)-p0) =9 ц
Число Рейнольдса
2 - 4 10'^6 МУ81
2 - 4 10'^6 МУ81
9 • 5,02 • 10™2
9 • 5,02 • 10™2
I3,
— = 0,227 м/с = 23 см/с.
I3,
— = 0,227 м/с = 23 см/с.
Re=^
Re=^
1,21 • 103 - 2,3 • 10'
1,21 • 103 - 2,3 • 10'
5,02 • 11г2
5,02 • 11г2
=0,11.
=0,11.
При столь малом числе Рейнольдса можно пользоваться законом Стокса.
Начальное ускорение получаем из уравнения движения, полагая скорость равной нулю:
(p-p0)g(2,53-1,21)-9,812
=- = — = 5,1 м/с .
Полагая приближенно, что среднее ускорение есть полусумма начального и конечного значений ускорения, находим приближенное значение времени, в течение которого достигается установившаяся скорость:
=Э.И)
Пер ЙО 5,1
Перемещение за это время
асрт2 а0т2 5,1 • 81 • 10-42.
s = —^— а —р =- =10 м = 1 см.
Из закона движения (см. предыдущую задачу) получим закон изменения ускорения с ростом скорости:
а = 5,1022,5г.
Для малых промежутков времени (At = 0,02 с) Гп — Г-н,— ! + dn—-lAt.
Составляется табл. 5.13 и строится график (рис. 5.13). Из них видно, что установившаяся скорость г = 0,227 м/с, время установления т = 0,22 с
Таблица 5.13
п
С с
г, м/с
а, м/с2
п
С с
г, м/с
а, м/с2
0
0,00
0,000
5,10
6
0,12
0,220
0,15
1
0,02
0,102
2,80
7
0,14
0,223
0,08
2
0,04
0,158
1,54
8
0,16
0,225
0,04
3
0,06
0,189
0,84
9
0,18
0,226
0,01
4
0,08
0,206
0,47
10
0,20
0,226
0,01
5
0,10
0,215
0,26
11
0,22
0,227
0,00
(сравните с ответом задачи 5.12, где рассматривалось приближенное решение, в предположении равноускоренного движения).
и, м/си, м/са, м/с2а, м/с2
и, м/с
и, м/с
а, м/с2
а, м/с2
0,24-60,24-60,200,20550,16--0,16--0,12-30,12-30,08-20,08-20,06-0,06-0,040,080,120,160,20 t, с0,040,080,120,160,20 t, с9 • 1,8 • Иг59 • 1,8 • Иг51,3 - 0,2 - 3 - 10“5„ ,законом Стокса.1,3 - 0,2 - 3 - 10“5„ ,законом Стокса.
0,24-6
0,24-6
0,20
0,20
5
5
0,16--
0,16--
0,12-3
0,12-3
0,08-2
0,08-2
0,06-
0,06-
0,040,080,120,160,20 t, с
0,040,080,120,160,20 t, с
9 • 1,8 • Иг5
9 • 1,8 • Иг5
1,3 - 0,2 - 3 - 10“5„ ,
законом Стокса.
1,3 - 0,2 - 3 - 10“5„ ,
законом Стокса.
о
Рис. 5.13
Плотность частиц пыли р много больше плотности воздуха ро, следовательно, архимедовой силой можно пренебречь. Поскольку скорость оседания пылинок мала, ее можно рассчитать, пользуясь законом Стокса. В результате установившаяся скорость
^pg 2 • 9 • 10-10 • 2 • 103 • 9,81,
— — —fl v i е
Число Рейнольдса
Re ==
что еще позволяет пользоваться
Время оседания пылинок
Элементарный расчет (см. § 11.9 «Основ физики») показывает, что пользоваться законом Стокса нельзя, а силу сопротивления нужно рассчитывать по формуле R = CSp^v2/2. Установившаяся скорость
/ 2mg- V CSpo/ 2mg- V CSpo8rpgЗСро '8rpgЗСро '
/ 2mg- V CSpo
/ 2mg- V CSpo
8rpg
ЗСро '
8rpg
ЗСро '
Из формулы а = dv/dt = 5,10 — 22,Зи (см. решение задачи 5.14)
следует:следует:du5,10 - 22,517du5,10 - 22,517= J dt, v = 0,227 (1 - Ю2^') .= J dt, v = 0,227 (1 - Ю2^') .
следует:
следует:
du
5,10 - 22,517
du
5,10 - 22,517
= J dt, v = 0,227 (1 - Ю2^') .
= J dt, v = 0,227 (1 - Ю2^') .
Сопоставьте полученный результат со значениями скорости, полученной численными методами.
6. Теория относительности
Допустим, что при движении тела относительно системы отсчета его поперечные размеры меняются, например, сокращаются. Пусть стержень и отверстие в доске точно совпадают в некоторой системе отсчета (рис. 6.1 а). Свяжем теперь систему отсчета с доской, а стержень пусть движется (рис. 6.1 б). Тогда, согласно нашему предположению о сокращении поперечных размеров, стержень свободно пройдет через отверстие. Если
Рис. 6.1Рис. 6.1
Рис. 6.1
Рис. 6.1
нис2 'нис2 '10•10-51,9801010•10-51,98010
ни
с2 '
ни
с2 '
10•10-51,98010
10•10-51,98010
же мы свяжем систему отсчета со стержнем, то согласно нашему предположению уменьшатся размеры отверстия (рис. 6.1 в), и стержень через него не пройдет. Полученное противоречие доказывает ложность предположения о сокращении поперечных размеров. То же следует из преобразований Лоренца.
Относительная погрешность
У-КЛ - Прел _ (и Pu)(I Р UujP^
ПрелU + 17
_ 0, 99000 с+ 0,99000 с _ 1,98000 с
■ ■ и ~1 + 0,990002“ 1,98010
= (1 - 5, 05 ■ 10"5) с = 0, 99995 с.
Проведенное рассуждение не содержит никаких ошибок, и для скорости сближения и получен верный результат. Однако это не опровергает релятивистского закона сложения скоростей. Дело в том, что, говоря о сложении скоростей, мы понимаем не сложение этих величин в данной системе отсчета, а вычисление скорости того же тела в другой системе отсчета. Именно, нас интересует, с какой скоростью, например, удаляется правое тело от левого в системе отсчета, связанной с левым телом. Для этого и перейдем к системе отсчета, связанной с левым телом. Имеем: и = Ы,' / дХ1*, поскольку в новой системе отсчета изменятся расстояние между телами и темп времени. Из преобразований Лоренца следует:
М* = — Ж2 + Щ = —_ At + с2Т1/с2 _Vх - ^/с2Таким образом, , АГ AIU ”” AtМ* = — Ж2 + Щ = —_ At + с2Т1/с2 _Vх - ^/с2Таким образом, , АГ AIU ”” At2 — Г2 At + Ж1 + V2At _Д -и^/с2— ^2 \ At • с2 /1и1+№/с2 1+ВД2 — Г2 At + Ж1 + V2At _Д -и^/с2— ^2 \ At • с2 /1и1+№/с2 1+ВД—ж2 + жх _ AZVi - /З2 ” Vх - Р ’_(1с2_ щ + г2С2 1+Г1Г2/с2 '—ж2 + жх _ AZVi - /З2 ” Vх - Р ’_(1с2_ щ + г2С2 1+Г1Г2/с2 '
М* = — Ж2 + Щ = —
_ At + с2Т1/с2 _
Vх - ^/с2
Таким образом, , АГ AI
U ”” At
М* = — Ж2 + Щ = —
_ At + с2Т1/с2 _
Vх - ^/с2
Таким образом, , АГ AI
U ”” At
2 — Г2 At + Ж1 + V2At _
Д -и^/с2
— ^2 \ At • с2 /
1и
1+№/с2 1+ВД
2 — Г2 At + Ж1 + V2At _
Д -и^/с2
— ^2 \ At • с2 /
1и
1+№/с2 1+ВД
—ж2 + жх _ AZ
Vi - /З2 ” Vх - Р ’
_(1
с2
_ щ + г2
С2 1+Г1Г2/с2 '
—ж2 + жх _ AZ
Vi - /З2 ” Vх - Р ’
_(1
с2
_ щ + г2
С2 1+Г1Г2/с2 '
Мы получили, как и следовало ожидать, релятивистский закон сложения скоростей.
Пусть вещество приближается к источнику света со скоростью v, тогда согласно закону сложения скоростей получим
и + v _ (с/п) + v1 + uv/c2 1 + v/сп
Если вещество удаляется от источника света, то
н (с/п) - vи = 1 /— *
1 — v/cn
Время распространения света вдоль потока жидкости
^ _ 2Z _ 21(1 — v/cn)и" с/п — V
Время распространения света против потока жидкости
2121(1 Т v/cn)
12 = ™ = ——.; •с/п + V
Разность во времени
г , / V • 10 ”)(" Л 01 ” )Г он
(с/пщ — v2сп / \п )\ сп ) \п /J
(с/п)2 — V2
Учитывая, что с/п ^ v, получаем т = 4lv(n2 — 1)/с2.
D _,VTO 0,99 -3,0 -IO8 -2,6 -IO"8
I = VT = —.- = ;-
V1 - «2/с2л/1^0?992
0,99-3,0-2,60,99-3,0-2,6 rr
= ' , ='= 55 M,
VO, 01 • 1,990,1-1,41
Zo = ото = 0,99 • 3, 0 ■ 108 • 2, 6 ■ IO"8 = 7,7м.
Г у2""iVi — v2/c2
To = t\ 1 = =
V с2и
10® V1 - 0,9982 _ IO"3 Vo, 002 • 1,998 _ 0,998-3-108-0,998”
Проекции скорости на ось аппликат в двух системах отсчета равны и^ = dz/dt^ uz = dz'/dt'. Согласно преобразованиям Лоренца z’ = z, a t - X^C?,1 - UXV/C2
t = —следовательно dt = dt—;- — , где иж = dx dt. Под-
V1 - c2/72
ставив в формулы, выражающие проекции скорости, полученные значения, придем к искомому результату.
Поскольку в данной системе отсчета события одновременны, то Д — Н = 0. В произвольной инерциальной системе отсчета
т = 4 - Ст = 4 - Сlxс2 ^/1 — V2(с2 1lxс2 ^/1 — V2(с2 1t2 + X2V/С2 — р — Xxv/c2у/1 ™ и2 jc2
т = 4 - С
т = 4 - С
lx
с2 ^/1 — V2(с2 1
lx
с2 ^/1 — V2(с2 1
где и — скорость новой системы отсчета. Знак промежутка времени зависит от знака скорости с, т.е. от направления движения системы отсчета.
Скорость электрона найдем по формуле (§ 13.2)
b t
Здесь b = F/m = eE/m. Для электрона е = 1,6-10 19 Кл, m = = 9,1 • 10™ 31 кг. Имеем
= 5,3 • 1017 м/с2,= 5,3 • 1017 м/с2,1,6 • 10™19 • 3,0 • 106
= 5,3 • 1017 м/с2,
= 5,3 • 1017 м/с2,
ЭДОСТ31
b tb tb tb t5,3 • 1017 • 10™95,3 • 1017 • 10™9И = 7у 1 + b2t2/с2Если расчет вести электронаИ = 7у 1 + b2t2/с2Если расчет вести электрона3,0- 1085,3 • 1017 - 10™93,0- 1085,3 • 1017 - 10™9V1 + 1,762V1 + 1,762попо= 1,76,= 1,76,5,3-Ю88 ,2 0=2,6-10 м/с.5,3-Ю88 ,2 0=2,6-10 м/с.формулам ньютоновской механики, то скоростьформулам ньютоновской механики, то скорость
b t
b t
b t
b t
5,3 • 1017 • 10™9
5,3 • 1017 • 10™9
И = 7
у 1 + b2t2/с2
Если расчет вести электрона
И = 7
у 1 + b2t2/с2
Если расчет вести электрона
3,0- 108
5,3 • 1017 - 10™9
3,0- 108
5,3 • 1017 - 10™9
V1 + 1,762
V1 + 1,762
по
по
= 1,76,
= 1,76,
5,3-Ю88 ,
2 0=2,6-10 м/с.
5,3-Ю88 ,
2 0=2,6-10 м/с.
формулам ньютоновской механики, то скорость
формулам ньютоновской механики, то скорость
= 5,3 - 108 м/с,= 5,3 - 108 м/с,_ eEt _ 1,6 ■ 10~19 • 3,0 • 106 ■ 10~9ш9,1 • 10-31
= 5,3 - 108 м/с,
= 5,3 - 108 м/с,
т.е. расчет по формулам ньютоновской механики дает значение, большее предельной скорости.
Поскольку сила перпендикулярна к траектории, модуль импульса не меняется (рис. 6.13), |pi| = |р2| = р (см. § 16.4 и 18.1). Модуль изменения
импульса |Ар| = рКф. Модуль нормальной силы
Ар |Ар|тш^гmu2
—— = V л= 1ЭШ = —;—=,= .
At At^/i ™ F2 (с2 г^Х — т2/с2
Рассмотрим случай, когда на тело действует постоянная сила. Тогда выражение
m du
F = Г ma = —;— —
у/1 — и2 / с2 dt
сводится к выражению
dtdtdudududuгде ПГ dtгде ПГ dt— производная скорости по времени, b = F/m — постоянная ве— производная скорости по времени, b = F/m — постоянная величина. Легко убедиться, что полученное уравнение для производной тождественно удовлетворяется, если положить и = sin (bt/c). В самом деле, вличина. Легко убедиться, что полученное уравнение для производной тождественно удовлетворяется, если положить и = sin (bt/c). В самом деле, вэтом случаеэтом случаеdu dtdu dt, bt = b cos ,, bt = b cos ,= cos= cosbtbt
dt
dt
du
du
du
du
где ПГ dt
где ПГ dt
— производная скорости по времени, b = F/m — постоянная ве
— производная скорости по времени, b = F/m — постоянная ве
личина. Легко убедиться, что полученное уравнение для производной тождественно удовлетворяется, если положить и = sin (bt/c). В самом деле, в
личина. Легко убедиться, что полученное уравнение для производной тождественно удовлетворяется, если положить и = sin (bt/c). В самом деле, в
этом случае
этом случае
du dt
du dt
, bt = b cos ,
, bt = b cos ,
= cos
= cos
bt
bt
du 1 Г
следовательно, — = b\ 1- .
dt V c2
Но полученный результат для скорости является бессмысленным, поскольку через конечный промежуток времени
тгс _ -кет
скорость тела окажется равной скорости света в вакууме, что противоречит теории относительности.
Длина стержня, движущегося относительно системы отсчета, равна Z = ито, где то — промежуток времени между прохождением начала и конца стержня мимо неподвижных часов. Длина же неподвижного стержня измеряется движущимися часами: 1о = ит.
Итак, 1/1о = то/т = у/1 — т2/с2, следовательно I = 1о = ^1 — т2/с2, т.е. тот же результат, что из преобразований Лоренца.
5 А.А. Пинский
Очевидно, что за время At, в течение которого точка В крыла переместится в точку С, тень из точки А перейдет в ту же точку С. Итак, ВС = г At, АС = У At, откуда ВС/АС = sin а = v/V^ следовательно, скорость перемещения тени V = и/ sin а, причем
sin аsin а0,24тг180 • 36000,24тг180 • 3600= 1,16 • 10"6.= 1,16 • 10"6.
sin а
sin а
0,24тг
180 • 3600
0,24тг
180 • 3600
= 1,16 • 10"6.
= 1,16 • 10"6.
_ п 600 • 180 • 3600 _ _ 1
В результате V = . = = 5,16 • 10 м/с, что в 1,/ раза
больше скорости света в вакууме!
Никакого противоречия с теорией относительности, никакого парадокса нет! В самом деле, здесь нет ни тел, ни частиц вещества, которые бы двигались со сверхсветовой скоростью. Нет и передачи информации: наблюдатели (регистрирующие приборы, например фотоэлементы), помещенные в точках А и С, не связаны друг с другом, и они не знают, когда тень покрыла точку А, а когда — точку С. Для того чтобы это установить, нужно в точках А и С расположить часы и какое-либо устройство, которое передает сигнал из точки С в точку А. Но этот сигнал — либо свет (электромагнитная волна), либо частица, а они из С в А будут двигаться, как и положено, со скоростью v < с, а не со скоростью V > с.
Пучок будет скользить по поверхности Земли со скоростью V = = wR = 2тгпД, где п — частота вращения пульсара, R — расстояние от пульсара до Земли. Очевидно, что при n = 10 с™1 и R = 10 св. лет = = 3, 94 • 10 м скорость скольжения пучка много больше скорости света в вакууме.
Но и здесь никакого парадокса нет. Обратимся вновь к рис. 6.17. В точку В попадают совсем не те фотоны, которые попали ранее в точку А, и из точки А в точку В никакая информация не передается. В тот момент, когда пучок попал в точку А, здесь регистрируется вспышка (например, с помощью фотоэлемента), но об этом ничего не известно в точке В. Через промежуток времени At = 1/V пучок осветит точку В — но об этом информация в точку А не приходит. Если же мы захотим передать об этом информацию в точку А, то надо в момент, когда осветится точка В, послать оттуда сигнал в точку А, а для этого надо использовать либо свет, либо частицу; скорость сигнала и ^ с и информация из В в А придет через промежуток времени т = l/u > l/V = At.
Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с Землей. По классическому закону сложения скоростей проекция скорости снаряда на ось абсцисс в этой системе отсчета равна и + v cos а. Из закона сохранения импульса следует:
(М + m)V = Ми + т(и + v cos а), откуда
(М + mW — mv cos аи = •
М + т
Платформа после выстрела остановилась бы, если бы до выстрела она двигалась со скоростью V = mv cos а/(М + т).
Учитывая, что центр масс не сместится, получаем
т(1 — х) = Мх.
Отсюда следует указанное в ответе значение перемещения лодки.
а. По формуле Циолковского находим конечную скорость первой ступени:
У1=2’3м*8Ж =4
Отсюда следует щ = 3,3 км/с.
Масса второй ступени М02 = 160 — 90 — 30 = 40 т, из них 28 т — это топливо. Заметим, что в формуле Циолковского фигурирует приращение скорости. Так как начальная скорость второй ступени — это конечная скорость первой ступени, то формула Циолковского для второй ступени ракеты запишется так:
^2 — V1 Q 9 1 Мо2Q . ] 40
= 2, 31g , или v2 = VI + 2, 3 • 4 • 1g — .
и
Отсюда следует, что v^ = 8,1 км/с.
Если бы ракета была одноступенчатой и у нее выгорело бы 90 + + 28 = 118 т топлива, то конечная масса ракеты была бы равна 160 — — 118 = 42 т. Воспользовавшись формулой Циолковского, мы получили бы конечную скорость
v = 2, 3 • 4 • 1g ^^ =5,3 км/с.
Как видно, двухступенчатая ракета эффективнее — она позволяет сообщить при той же массе топлива гораздо большую скорость космическому кораблю.
Уравнение (15.7) из § 15.4 в дифференциальной форме имеет вид
,,dmdv
—mdv = и dm, или — = — .
'mи
1 Г .v - Vo , Мо- dv, откуда = In — .и JиМто1 Г .v - Vo , Мо- dv, откуда = In — .и JиМтоММИнтегрируя, получаем
1 Г .v - Vo , Мо
- dv, откуда = In — .
и JиМ
то
1 Г .v - Vo , Мо
- dv, откуда = In — .
и JиМ
то
М
М
Мо
Если расход топлива постоянный, то постоянной является и реактивная сила тяги F = —р/а. В то же время по мере выгорания топлива
масса ракеты уменьшается, следовательно, ускорение ракеты возрастает. Вследствие этого растет и перегрузка, равная
N _ аР gрg •
Могут, например, перебегая периодически вдоль вагона туда и обратно.
Разрежем мысленно треугольник на множество полосок, параллельных основанию (рис. 7.9). Центр масс каждой полоски находится в ее середине; множество середин всех полосок лежит на медиане, следовательно, на этой же медиане находится и центр масс треугольника. Такой же вывод справедлив и для двух других медиан, следовательно, точка пересечения медиан и есть центр масс.
Поскольку пластина однородная, то масса любой ее части пропорциональна ее площади. Учитывая далее, что ось абсцисс, проведенная так, как показано на рисунках, является осью симметрии пластины, мы можем утверждать, что центр масс находится на этой оси, т.е. ^/ц = гц = 0. Далее решение может быть проведено двумя способами.
Рис. 7.10 6Рис. 7.10 6Первой способ. Разрежем мысленно пластину на две части — треугольник и симметричный остаток (рис. 7.10 6). Центр масс треугольника лежит от начала координат на расстоянии, равном одной трети медианы, т.е. яд = 1; центр масс второго тела лежит в его центре симметрии, т.е. на расстоянии Ж2 = 5 от начала
Рис. 7.10 6
Рис. 7.10 6
ццmi^i + m2T2mi + m2mi^i + m2T2mi + m29'1 + 42'5 =4,3.51’9'1 + 42'5 =4,3.51’Рис. 7.12Рис. 7.12
ц
ц
mi^i + m2T2mi + m2
mi^i + m2T2mi + m2
9'1 + 42'5 =4,3.51’
9'1 + 42'5 =4,3.51’
Рис. 7.12
Рис. 7.12
координат. Массы этих тел mi = 6-3/2 = 9 и m2 = 6 • 10 — 2 • 9 = 42 условных единицы. Координата центра масс
Второй способ. Рассматриваем пластину как сумму двух тел — прямоугольника с массой тз = 60 единиц и треугольника с отриидтел/ьной массой т4 = —9 единиц (рис. 7.10в). Координаты их центров масс: жз = 5 и жх = = 9. Согласно определению
тз^з + т4^4 _ 60 • 5 — 9 • 9
тз + т460 — 9
Естественно, что оба метода приводят к одинаковому результату.
Разбиваем радиус на 10 равных частей и находим координаты центров масс полосок (рис. 7.12). Все они лежат на оси абсцисс и имеют
координаты, отмеченные во второй колонке табл. 7.12. Поскольку пластину мы считаем однородной, то масса каждой полоски пропорциональна ее
Таблица 7.12
п
Хп
г2
Тп
ХнТп
Х^З п
1
0,05
0,0025
0,9975
0,999
0,050
0,050
2
0,15
0,0225
0,9775
0,989
0,148
0,147
3
0,25
0,0625
0,9375
0,968
0,242
0,234
4
0,35
0,1225
0,8775
0,936
0,328
0,307
5
0,45
0,2025
0,7975
0,893
0,402
0,359
6
0,55
0,3025
0,6975
0,835
0,459
0,384
7
0,65
0,4225
0,5775
0,760
0,494
0,376
8
0,75
0,5625
0,4375
0,661
0,496
0,328
9
0,85
0,7225
0,2775
0,526
0,448
0,236
10
0,95
0,9025
0,0975
0,312
0,296
0,093
Сумма
3,363
2,514
площади, т.е.
г'-' Sn — 2Джтд, где Дж = 0,1. Как известно, произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра, т.е.
щ. = (1 - тп)(1 + хи) = 1 -
Положение центра масс определим следующим образом:
_ Si^i + S2X2 + ... + Sio^io _
ц Si + 82 + ... + Ую
2Ат(г1Л1 + г2х2 + ... + тюлю)0,4-3,363
/Г)42о.
ТГ/27Г
Итак, координата центра масс полукруга хц = 0, 428Я.
Разбиваем полушар на 10 «ломтиков» толщиной Аж = 0,1 каждый. Масса «ломтика» пропорциональна его объему:
тн ~ Vn = тгщАж.
Координата центра масс
_ У1Л1 + V2X2 + ... + Июлю _ тг^х(Цх1 + г|ж2 + ... + Г^Жю) _
Жц - vmvmTTT+vTo __
= 0,150(гЦ1 + гД2 + ... + Джю).
Учитывая данные последней колонки табл. 7.12, получаем
жц = 0,150 • 2, 514Я = 0, 376Я.
Аналогично предыдущему разбиваем конус на 10 «ломтиков» толщиной Аж = ОД (рис. 7.14). Масса каждого «ломтика»:
ти ~ Vn = тгАж • г2 = тгж2 tg2 а • Аж.
Координата центра масс
_ Цжх + Урх^ + ... + Ую^ю _
Vi + V 2 + • • • + Кю
_ Trig2 а • Аж(ж3 + ж| + ...+ ж30) _
тг tg2 а/3
= 0, 300(®i + К® + - • - + ®1О>-
Сведем результаты вычислений в табл. 7.14, из которой следует, что х^ + Р х^ Р ... Р ж30 = 2487, 500 • Ю™3 2, 5. Поэтому координата центра масс жц = 0,3 • 2,5й = 0, 75й. "
Таблица 7.14
п
Хп
xl
п
Хп
Хп
1
0,05
0Д25-10-3
6
0,55
166,375-10-3
2
0,15
3,375-10^3
7
0,65
274,625-ТО-3
3
0,25
15,625-ю-3
8
0,75
421,875-10-3
4
0,35
42,875-10“3
9
0,85
614,125-Ю-3
5
0,45
91,12510-3
10
0,95
857,375-10"3
а. Для полукруга
R
2 ГJ 2уж dx-
о
Но из уравнения окружности ж2 + у2 = R2 следует, что xdx = —ydy. Поэтому
4R== 0,424E.о 37r4R== 0,424E.о 37r0Rг »
4R
== 0,424E.
о 37r
4R
== 0,424E.
о 37r
яо
Численный расчет дает ошибку е = (0, 428 — 0, 424)/0, 424 = 0, 94 % < 1 %.
Для полу шара
ЗЯ8ЗЯ8RR.
ЗЯ8
ЗЯ8
= 0,375Я.= 0,375Я.3 Г 2 ,3 Г з ,3 Г у4
= 0,375Я.
= 0,375Я.
J xdx=2№ J У dy=W Т
оо
Численный расчет дает ошибку е = (0, 376 — 0, 375)/0, 375 < 0, 3 %.
Для конуса
hh„
3 Г 2, 273 Г 3 7 з Й
Хц =—л—^х tg а • х dx = — х dx = — • — = 0, / 5n.
Tr/?3tg2a Jй3 Jй3 4
00
Численный расчет приводит нас к такому же результату.
Положение центра масс (рис. 7.16) определяется по условию miTi = Ш2Г2. Обозначив щ + г2 = R, получим из основного уравнения динамики:
V1. Г1V1. Г1mii)1 _ Gmim2 m^vj _ Gmim2
V1
. Г1
V1
. Г1
г21"0^2с Кг21"0^2с К'И ™ К2’ Г2 ™ Я2 ‘
г2
1"0^2
с К
г2
1"0^2
с К
Разделив равенство mivl/ri = m^vl/r^ на трГ! = ?тщ2, получим и1 /г| = с|/г|, откуда следует, что оба тела обращаются вокруг
центра масс с одинаковым периодомРис. 7.16
т _ 2лщ _ 2лг2
1)11)2
Преобразуем основное уравнение динамики к виду
и1 _ 4л2 _ Gm2 i)l _ 4л2 _ Gmi
Т2 ™™ R2T1 ’ ^2 ™™ R2T2 ’
откуда следует:
2 G1N „2 Gmi 2
R Г1 =1 , R Т2 =.
4л24л2
Сложив оба равенства, получим
дз = G(mi + m2) т2
4л2
Это и есть искомое выражение для обобщенного третьего закона Кеплера.
8. Полная и кинетическая энергия
Из К = Жо следует, что Ж = 2Жо, или ^/1 — с2/с2 = 1/2. Отсюда у = с-^ =2,6- 108 м/с.
Релятивистский фактор
V1 - 0, 922а/1,92 • 0,08 УТфЗ ’ ‘
Следовательно, полная энергия равна S = 2, 55 Жо, а кинетическая энергия
К = Жо = 1,55Жо.
Импульс р = Г ши.
Полная энергия Ж = К + Ж о = 10, 94 ГэВ. Импульс можно найти из соотношения
Р = I V^2 - go = 1 VwH+K) =^08 V10 • 11, 88 • 1,62 • 10-20 =
10,9 • 1,6 • 1O~1010,9 • 1,6 • 1O~103,0-IO83,0-IO8= 5, 8 • 10 18 кг • м/с.= 5, 8 • 10 18 кг • м/с.
10,9 • 1,6 • 1O~10
10,9 • 1,6 • 1O~10
3,0-IO8
3,0-IO8
= 5, 8 • 10 18 кг • м/с.
= 5, 8 • 10 18 кг • м/с.
С достаточной степенью точности можно при К¥ р считать, что
10 • 1,6 • КГ103,0- ю810 • 1,6 • КГ103,0- ю8= 5, 3 • 10 18 кг • м/с.= 5, 3 • 10 18 кг • м/с.
10 • 1,6 • КГ103,0- ю8
10 • 1,6 • КГ103,0- ю8
= 5, 3 • 10 18 кг • м/с.
= 5, 3 • 10 18 кг • м/с.
Погрешность составит
Скорость можно найти из соотношения:
Ттис рсГтК ЖТтис рсГтК Ж
Ттис рс
ГтК Ж
Ттис рс
ГтК Ж
Относительная погрешность
Креп Ккп ..ти и
Креп2(Гтс — тс2)2с2(Г — 1)
Обозначив 3 = и/p получим
2(12(1 -1+Щ
= 1 (1 + Д
При равномерном движении груза по наклонной плоскости расходуемая мощность
Р = (F Р T)v = mgu^siiia + д cos а) = mgc(sin а + tg ф cos a) =
mgv sin (a + ф)
COS ф’
где tg ф = p. Скорость
P COS ф
V =./X
mg sin (a + ф)
будет минимальной, если sin (a + ф) = 1, т.е. a + ф = тг/2.
Итак, 7Г1
си = — — arctg (1 = arctg — .
Учитывая, что Ко = 0, получаем, что работа электрических сил равна конечной кинетической энергии:
К = А = eEL
Нерелятивистский случай: ти2/2 = еЕЗ следовательно,
илиили2 2 27 7 2 =еЕЦ2го + еЕ1уПосле несложных преобразований получим2 2 27 7 2 =еЕЦ2го + еЕ1уПосле несложных преобразований получимcJeEl^o+eEl)U = 7™"do Ч” еЕ1Если eEi <С do, тоcJeEl^o+eEl)U = 7™"do Ч” еЕ1Если eEi <С do, тосу/ 2 ^qcEI и = —d <5 осу/ 2 ^qcEI и = —d <5 о2тс2еЕ1т2с22тс2еЕ1т2с22еЕ1т2еЕ1тт.е. справедлива нерелятивистская формула.Абсолютная погрешностьЖ2 22«?2А = рс =‘< А.d + рс2рсСогласно определению релятивистский фактор в первой ИСОт.е. справедлива нерелятивистская формула.Абсолютная погрешностьЖ2 22«?2А = рс =‘< А.d + рс2рсСогласно определению релятивистский фактор в первой ИСОво второй ИС Ово второй ИС ОИз релятивистского закона сложения скоростей и^ =Из релятивистского закона сложения скоростей и^ =. Имеем. Имеемс2с2(1 — Uxv/c2}2_ 1 — 2uxv/c2 + и2и2(с4 — и2х/с2 + 2uxv/c2 — г2/с2 _(1 - UxUjc^Y= (1^^/с2)(1^г2/с2)(1 - ижи/с2УОтсюда следует, чтос2с2(1 — Uxv/c2}2_ 1 — 2uxv/c2 + и2и2(с4 — и2х/с2 + 2uxv/c2 — г2/с2 _(1 - UxUjc^Y= (1^^/с2)(1^г2/с2)(1 - ижи/с2УОтсюда следует, что
или
или
2 2 2
7 7 2 =еЕЦ2го + еЕ1у
После несложных преобразований получим
2 2 2
7 7 2 =еЕЦ2го + еЕ1у
После несложных преобразований получим
cJeEl^o+eEl)
U = 7™"
do Ч” еЕ1
Если eEi <С do, то
cJeEl^o+eEl)
U = 7™"
do Ч” еЕ1
Если eEi <С do, то
су/ 2 ^qcEI и = —d <5 о
су/ 2 ^qcEI и = —d <5 о
2тс2еЕ1т2с2
2тс2еЕ1т2с2
2еЕ1
т
2еЕ1
т
т.е. справедлива нерелятивистская формула.
Абсолютная погрешность
Ж2 22«?2
А = рс =‘< А.
d + рс2рс
Согласно определению релятивистский фактор в первой ИСО
т.е. справедлива нерелятивистская формула.
Абсолютная погрешность
Ж2 22«?2
А = рс =‘< А.
d + рс2рс
Согласно определению релятивистский фактор в первой ИСО
во второй ИС О
во второй ИС О
Из релятивистского закона сложения скоростей и^ =
Из релятивистского закона сложения скоростей и^ =
. Имеем
. Имеем
с2с2(1 — Uxv/c2}2
_ 1 — 2uxv/c2 + и2и2(с4 — и2х/с2 + 2uxv/c2 — г2/с2 _
(1 - UxUjc^Y
= (1^^/с2)(1^г2/с2)
(1 - ижи/с2У
Отсюда следует, что
с2с2(1 — Uxv/c2}2
_ 1 — 2uxv/c2 + и2и2(с4 — и2х/с2 + 2uxv/c2 — г2/с2 _
(1 - UxUjc^Y
= (1^^/с2)(1^г2/с2)
(1 - ижи/с2У
Отсюда следует, что
8.13. По определению полная энергия
W 22 1- Uxv/c2Гтс2 - Гтижг d — pxv
у/1 ™ V2/с2^/1 V2/с2х/\ ™ V2/с2
Импульс
рж = Г'тиж =
Гт(иж — г)(1 — Uxv/c2) _ Vm.ux — Гшс2г/с2 _ рх — evfe?
(1 — Uxv/С2) x/х ™ V2/с2'\/^ ^ V21 с2\/^ ™ г2/с2
Как видно, полученные законы преобразования энергии и импульса аналогичны преобразованиям Лоренца для координаты и времени.
9. Соотношение неопределенностей
Полагая, что электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите, запишем уравнение движения так:
е2
4тГ£оГ2 г
Отсюда следует, что его кинетическая энергия
_ то2 _ е22 8л^ог '
Но если электрон локализован в области с характерным размером г, то его кинетическая энергия
пк4тге0Й2
Сравнивая оба выражения, получаем г — .
Величина «о = — = 5, 24 • 10™11 м называется первом боровским тле2 '
радиусом (см. § 71.5).
Оценим сначала импульс и скорость электрона. Имеем
р — ~ 10 кг • м/с.
а,
Из формулы р = ш/Зс/у!™/^2? гДе 3 = и!р получаем
3Vi-з23Vi-з2— = 360;тс— = 360;тс
3
Vi-з2
3
Vi-з2
— = 360;
тс
— = 360;
тс
отсюда следует: /3 ~ 1, т.е. электрон является ультрарелятивистским. Его кинетическая энергия
к = рс = 3 ■ КГ11 Дж = 200 МэВ.
Оценим вначале область локализации электрона, его импульс и скорость. Имеем
а, = п-1//3 = а/10™29 ~ 2 • 10™10 м, р ^ — = 5 • Ю™25 кг • м/с.
' а,
Скорость найдем, как в предыдущей задаче:
= 2 ■ IO”3.
Поскольку /3 ~ 2 • 10™3, скорость электрона много меньше скорости света, т.е. электроны проводимости в металле являются нерелятивистскими. Их кинетическая энергия
К « П п 1 «1.3- 10“19 Дж « 1 эВ.
2m
Определим сначала число нейтронов и их концентрацию:
Л == 2 ' 10 ’ п = 3=3-10 м .
6/ • 10 2147ГГ6/3
Область локализации нейтрона а = п ^3 = 1, 5-10 15 м. Импульс нейтрона р ^ И/а ~ 7 • 10™20 кг-м/с; релятивистский множитель
1-67-10 -*"-3.0- 10ч
откуда следует, что /3 ~ 0,14, т.е. нейтрон нерелятивистский. Его кинетическая энергия
2/3
Кя—— «1.3-КГ12 Дж «9 МэВ.
2 т '
Элементарная теория столкновений
Результат не противоречит закону сохранения импульса: верти
кальная составляющая импульса передается земному шару.
Направим ось абсцисс вдоль
Рис. 10.3Рис. 10.3стенки, ось ординат перпендикулярно к ней (рис. 10.3). Поскольку стенка гладкая, то составляющая импульса вдоль оси абсцисс не меняется. Полагая, что масса стенки неизмеримо больше массы шарика, получаем, что составляющая импульса вдоль оси ординат меняет знак, сохраняя модуль (см. § 17.3). Итак,
Рис. 10.3
Рис. 10.3
Р$=Рм Ру=Ру.
Отсюда следует, что с/ = а (знак угла нас здесь не интересует).
Шарик, ударившись в точке М
о поверхность параболического зеркала
(рис. 10.4), отразится и попадет в точку Е, называемую фокусом. Угол па
дения а есть угол между направлением скорости шарика и нормалью MN;
он равен углу между касательной ME и осью абсцисс.Согласно задаче 3.14 имеем: tga = х/р, где х = ОК = МВ — абсцисса шарика до удара. Как видно из рисунка, ZBMF = 0 = 2а- тг/2 и
BF = ВМ tg /3 = х tg ^2ct — ™ ^ =
22
X — р = ™xctg2a = .
Б2р
Фокусное расстояние
f = OF = OB - BF =
222
x — p p p 2p ~ 2p ~ 2 '
Итак, фокус параболы находится на оси симметрии (ось ординат) на расстоянии р/2 от вершины. Частица, движущая
ся параллельно оси симметрии, после упругого отражения попадет в фокус
независимо от того, на каком расстоянии от оси она двигалась.
В системе отсчета одна из частиц до удара покоится, вторая движется со скоростью и. После столкновения их скорости t)i и Г2; угол разлета а (рис. 10.5 а). Построим треугольник импульсов (рис. 10.5 б). Учитывая, что при упругом соударении сохраняются суммарный импульс и суммарная кинетическая энергия, получаем
р2 = pl + р-2 - 2piP2 COS /3,р2 = pl + р-2 - 2piP2 COS /3,р22тр22т22Pl ( Р22т 2т22Pl ( Р22т 2т
р2 = pl + р-2 - 2piP2 COS /3,
р2 = pl + р-2 - 2piP2 COS /3,
р2
2т
р2
2т
22
Pl ( Р2
2т 2т
22
Pl ( Р2
2т 2т
Отсюда следует, что cos /3 = 0 и а = /3 = 90°.
10.6. Поскольку энергия распределяется между частицами поровну, то же самое произойдет и с импульсами. Следовательно, после столкновения10.6. Поскольку энергия распределяется между частицами поровну, то же самое произойдет и с импульсами. Следовательно, после столкновеният, рс>———т, рс>———Рис. 10.6Рис. 10.6протоны разлетаются под равными углами к первоначальному направлению движения протона^снаряда (рис. 10.6). Из законов сохранения суммарного импульса и суммарной кинетической энергии получим2pi cos ™ = р, 2Ki = К.Из соотношения между энергией и импульсом %2 = Жд+р2с2, учитывая, что Ж = Жо + К, находим№ + 2№о = Р2с2, К2 + 2^1^ = рУ2.протоны разлетаются под равными углами к первоначальному направлению движения протона^снаряда (рис. 10.6). Из законов сохранения суммарного импульса и суммарной кинетической энергии получим2pi cos ™ = р, 2Ki = К.Из соотношения между энергией и импульсом %2 = Жд+р2с2, учитывая, что Ж = Жо + К, находим№ + 2№о = Р2с2, К2 + 2^1^ = рУ2.Исключив из этих равенств импульсы и кинетическую энергию протона после столкновения Ki, получимИсключив из этих равенств импульсы и кинетическую энергию протона после столкновения Ki, получим
10.6. Поскольку энергия распределяется между частицами поровну, то же самое произойдет и с импульсами. Следовательно, после столкновения
10.6. Поскольку энергия распределяется между частицами поровну, то же самое произойдет и с импульсами. Следовательно, после столкновения
т, р
с>———
т, р
с>———
Рис. 10.6
Рис. 10.6
протоны разлетаются под равными углами к первоначальному направлению движения протона^снаряда (рис. 10.6). Из законов сохранения суммарного импульса и суммарной кинетической энергии получим
2pi cos ™ = р, 2Ki = К.
Из соотношения между энергией и импульсом %2 = Жд+р2с2, учитывая, что Ж = Жо + К, находим
№ + 2№о = Р2с2, К2 + 2^1^ = рУ2.
протоны разлетаются под равными углами к первоначальному направлению движения протона^снаряда (рис. 10.6). Из законов сохранения суммарного импульса и суммарной кинетической энергии получим
2pi cos ™ = р, 2Ki = К.
Из соотношения между энергией и импульсом %2 = Жд+р2с2, учитывая, что Ж = Жо + К, находим
№ + 2№о = Р2с2, К2 + 2^1^ = рУ2.
Исключив из этих равенств импульсы и кинетическую энергию протона после столкновения Ki, получим
Исключив из этих равенств импульсы и кинетическую энергию протона после столкновения Ki, получим
2 cos2 cosQ2Q22Ж0 + К4Ж0 + К ’2Ж0 + К4Ж0 + К ’
2 cos
2 cos
Q
2
Q
2
2Ж0 + К
4Ж0 + К ’
2Ж0 + К
4Ж0 + К ’
откуда следует:
cos а = 2 cos2cos а = 2 cos2214Ж0+К’214Ж0+К’
cos а = 2 cos2
cos а = 2 cos2
214Ж0+К’
214Ж0+К’
Заметим, что в нерелятивистском случае, когда К <С Жо, будем иметь cos а яОиая л/2 (сравните с задачей 10.5).
При К = 500 МэВ, учтя, что Жо = 938 МэВ (см. задачу 7.1), получим
cos а = 0,117, а = 0,46л = 82°48\
При К = 10 ГэВ получим
cos а = 0, 728, а = 0, 24л = 43° 12'.
Мы видим, что по мере роста кинетической энергии частицы-снаряда угол разлета уменьшается, и для ультрарелятивистских частиц (К )> бш) он стремится к нулю.
Рис. 10.7 бРис. 10.7 бОдин из дисков до удара покоился; его скорость после удара будет направлена вдоль линии центров в момент контакта (рис. 10.7 б), ибо именно в этом направлении на него действовала сила. Итак: sin «2 = d/2r\ Qi +«2 = = л/2 (см. задачу 10.5).
Рис. 10.7 б
Рис. 10.7 б
Рис. 10.8 6
Поскольку массы дисков одинаковы, треугольник импульсов превращается в треугольник скоростей (см. рисунок). Имеем
. ud
Щ = rCOSQl = г sin (12 = ,
2r '
A d2
Г2 = Г COS «2 = V \ 1•
V 4г2
Направим оси координат, как показано на рис. 10.8 6. Как и в предыдущей задаче, направление движения большего диска после столкновения находим из условия
.d
Sin «2 = •
П + Г 2
Оставшиеся три неизвестные величины — скорости щ и Г2 и угол ад — найдем, записав уравнения сохранения составляющих импульсов по обеим осям координат и уравнение сохранения кинетической энергии:
Ply - Р2у = о, Р1х + Р2х = р, К1 + К2 = К, или так:
Pl sin ОД — Р2 sin «2 = 0,
Pl COS ОД + Р2 COS «2 = р,222
Pl + Р-2= Р
2m i 2т22m i
После преобразований получим
2тП2Р COS «2
Р2 =,,
ТГЦ + Ш2
Р1 = - а/(Ш1 + Ш2)2 — 4Ш1Ш2 COS2 «2,
№1 + Ш2'
Заметим, что при mi = m2 и 14 = г 2 мы придем к результатам предыдущей задачи.
Число частиц, ударяющихся о стенку за время At (рис. 10.9), равно
N = wuS^Kt = nr5Atcosa
(см. § 17.5). Поскольку при ударе меняется только нормальная составляющая скорости, то элементарная сила
^(тпи^) __ 2mrcosci
J ™ At ™ At ’
Сила давления
F = Nf = 2тг8ши2 cos2 а, искомое давление
р = 2nmt)2 cos2 а.
Рис. 10.9
По условию задачи лодка движется в воде равномерно, что означает равенство модулей силы сопротивления и силы, действующей на парус.
Чтобы выяснить, по какому закону рассчитывается сопротивление воды, найдем число Рейнольдса Re = poH^o/w По условию го = 3 м/с, а характерный размер /о ~ 1 м. Итак, Re = 3 • 106, следовательно, основную роль играет сопротивление давления R = CSopoVo/2.
Будем для определенности считать, что воздух взаимодействует с парусом упруго. Учитывая также, что пт = р есть плотность воздуха, получаем CSopo'Vo/2 = 2р5г2. Площадь парусов
_ CSpp^ _ 0,1 • 1,0 • 103 • 9,0 _2
4/ж24 1,3 -36,0
Направим оси координат так, как это показано на рис. 10.11. Тогда составляющие начальной скорости по осям координат имеют значения гож = го cos се, Гоу = rosin се, а составляющие ускорения аж = g since, = ™g cos се. Закон движения для первой ветви траектории запишется так:
гж = гож + аж£ = го cos а + gt sin се,
иу = Гоу + ayt = го sin а — gt cos се,a$t2gt2 since
ж = ж0 + гОжЛ— = rot cos а Ч- ,
Q^t2 , . gt2COSQ
У = У0 + ^Oyt += Dot sin се -2.
Поскольку в точке Ai ордината yi = 0, то
2го tg а2го sin а
tx —, ж 1 —-,
gg cos^а
Г1ж = 1 + sin се), гщ = -rosina.
cos а'
После абсолютно упругого удара продольная составляющая скорости не
Рис. 10.11Рис. 10.11изменится, а поперечная составляющая изменит знак. Следовательно, для второй ветви траектории:изменится, а поперечная составляющая изменит знак. Следовательно, для второй ветви траектории:гож = Г1ж = (1 + sin се),cos агож = Г1ж = (1 + sin се),cos агоу = -гщ = го sina.гоу = -гщ = го sina.Закон движения запишется аналогично первому случаю:Закон движения запишется аналогично первому случаю:2го since ГоЦ1 + sin2 се) ^gt2since g cos2 сеcos се22го since ГоЦ1 + sin2 се) ^gt2since g cos2 сеcos се2cut2. gt2 cos сеУ = yi + t^t Ч— = uot sin сеcut2. gt2 cos сеУ = yi + t^t Ч— = uot sin сеВ точке Л2 вновь ордината у-2 = 0, следовательно, абсцисса точки Л2В точке Л2 вновь ордината у-2 = 0, следовательно, абсцисса точки Л24гд sin сеЖ2 = g cos2 се4гд sin сеЖ2 = g cos2 се(1 + sin2 се).(1 + sin2 се).
Рис. 10.11
Рис. 10.11
изменится, а поперечная составляющая изменит знак. Следовательно, для второй ветви траектории:
изменится, а поперечная составляющая изменит знак. Следовательно, для второй ветви траектории:
гож = Г1ж = (1 + sin се),
cos а
гож = Г1ж = (1 + sin се),
cos а
гоу = -гщ = го sina.
гоу = -гщ = го sina.
Закон движения запишется аналогично первому случаю:
Закон движения запишется аналогично первому случаю:
2го since ГоЦ1 + sin2 се) ^gt2since g cos2 сеcos се2
2го since ГоЦ1 + sin2 се) ^gt2since g cos2 сеcos се2
cut2. gt2 cos се
У = yi + t^t Ч— = uot sin се
cut2. gt2 cos се
У = yi + t^t Ч— = uot sin се
В точке Л2 вновь ордината у-2 = 0, следовательно, абсцисса точки Л2
В точке Л2 вновь ордината у-2 = 0, следовательно, абсцисса точки Л2
4гд sin се
Ж2 =
g cos2 се
4гд sin се
Ж2 =
g cos2 се
(1 + sin2 се).
(1 + sin2 се).
Отношение перемещений
h Х2 ™ Ху
/1Ху
Поскольку удар абсолютно упругий, воспользуемся законами сохранения импульса и кинетической энергии. Имеем (рис. 10.12):
Pi=Ро
sin ф sin (0 + р) ’
Р2 _РО
sin 0sin(0+ р) ’
222
РО = Pl.Р2
2m2m2М
Исключая импульсы ру и р^ из третье-
Рис. 10.12го равенства, получаем
sin2 0М sin2 (0 + р) ’sin2 0М sin2 (0 + р) ’sin2 р
sin2 0
М sin2 (0 + р) ’
sin2 0
М sin2 (0 + р) ’
sin 02 ш sin (0 + :sin 02 ш sin (0 + :т т sin2 ((9 + р)откуда следует:Мsin2 0
sin 0
2 ш sin (0 + :
sin 0
2 ш sin (0 + :
т sin2 (0 + р) — si
Потенциальная энергия. Потенциал
= Z, второй раз — по ломаной= Z, второй раз — по ломанойПусть тело перемещается в поле из точки М в точку N (рис. 11.1),
= Z, второй раз — по ломаной
= Z, второй раз — по ломаной
первый раз — по отрезку прямой MN MKN = h + р. В первом случае работа
А = Fl cos а = Fd.
Во втором случае работа
А = Ay + А^ = Fly cos од + FF cos «2 =
= F(h cos Qi + b cos 02) = Fd.
Мы видим, что работа не зависит от фор-р^ ^ ^
мы траектории.''
. fГкх2 Ж2 кх2 кх2
a. F = —кх, А = I F dx = — к xdx =—-—- :
' JJ222'
ХуХуЖ1
Г2Г2
6.F = xiF..A=fFdt=^- Г^=-ф5-
4тгеог2 ' и 4тгео J т2 4tveqt 4же^гу 4же^Г2 ' ТуГу
GmMr2GmMr2GmMryGmMryг 2г 2
GmM
r2
GmM
r2
GmM
ry
GmM
ry
GmM fс dr GmM
в. F =— , А = Fdr = - GmM ™ =
Гу.Гу
В диполе один точечный заряд находится в поле другого точечного заряда; следовательно,
4л^ос? 4л£ос? 4x^od3 ’
где ре = qd — момент диполя, d — плечо диполя. Знак минус показывает, что при образовании диполя из двух равных по величине, но противоположных по знаку зарядов, расположенных вначале бесконечно далеко друг от друга, выделяется энергия.
Энергия, выделяемая при образовании одной молекулы хлористого водорода, примерно равна U ^ 10, 3 • Ю”20 Дж = 0,65 эВ. В расчете на 1 кг получаем Ай' = NU = 1, 65 • 106 Дж. (Заметим, что истинное значение энергии, выделяющейся при образовании 1 кг хлористого водорода, составляет 2,5 МДж, т.е. по порядку величины наша грубая оценка дает верный результат.)
ти2 е2
<8 = К + U = — =-13. 6 эВ.
24л£оао
Знак минус означает, что при образовании атома водорода из свободного протона и электрона выделяется энергия, равная 13,6 эВ.
а. Рассмотрим задачу в приближении ньютоновской механики. Положим Ко = 0, pi — р% = р; А = К — Ко = q(pi — p^Y Имеем
и =и =р = mu = y/2mqp.р = mu = y/2mqp.mu2
и =
и =
р = mu = y/2mqp.
р = mu = y/2mqp.
б. В релятивистском случае
К = qp = ^р^с2 + 8’2 - 80.
Получаем
р = | xfKAKAK
_ Г тис2 _ рс2 _ с^/фр(2ЖоЖфр)
U Vmc2 WWo + qp '
В приближении ньютоновской механики %о^ qp^ и эти формулы принимают вид
с^2 Wpqpс^2 Wpqpр ~ - xj^WoW = y/2mqp,
с^2 Wpqp
с^2 Wpqp
Естественно, что мы получили те же выражения, что и в п. а.
Относительная погрешность
2Wo + qp2Wo + qpр _ Ррел - Ркл _ 1 _ cV2qpm __
2Wo + qp
2Wo + qp
Ррелygp(2^o + qp)
Отсюда следует:Отсюда следует:2<?о2£-£2q(1 - £)2 '2<?о2£-£2q(1 - £)2 '
Отсюда следует:
Отсюда следует:
2<?о2£-£2
q(1 - £)2 '
2<?о2£-£2
q(1 - £)2 '
тт14еЙо
Поскольку е <С 1, имеем: у? =
Относительная погрешность
Ррелвф ,С "Ррел Ррелвф ,С "Ррелвфвф2(^о + вф2(^о + вф
Ррелвф ,С
"Ррел
Ррелвф ,С
"Ррел
вф
вф
2(^о + вф
2(^о + вф
Отсюда следует:Отсюда следует:б. По закону сохранения энергии работа силы равна изменению энергии:б. По закону сохранения энергии работа силы равна изменению энергии:
Отсюда следует:
Отсюда следует:
б. По закону сохранения энергии работа силы равна изменению энергии:
б. По закону сохранения энергии работа силы равна изменению энергии:
2^0(1 — £)2 = ^
е 2е — е2 Ев '
Закон сохранения энергии в ньютоновской механике
По закону сохранения импульса тг = (М +т)и, по закону сохранения энергии (М F т)и2 /2 = (М + m)gh. Отсюда следует:
М + т ™ М + шv = ■\/2gh =
шm
а. По второму закону Ньютона
А = К, или Fh = mgh + ^ .
Отсюда следует и =Отсюда следует и =
Отсюда следует и =
Отсюда следует и =
Здесь работа силы трения Т равна убыли кинетической энергии. В системе отсчета, связанной с платформой,
11 = Ко, или pmgl = -
откуда
2Ж
Время торможения
_ I _ 21 _ Do
Тер Т0 Pg ‘
В верхней точке груз должен двигаться с такой скоростью, чтобы натяжение нити Т и сила тяжести обеспечили необходимое центростремительное ускорение (рис. 12.4):
m mv2mg + Т = —-
Минимальную скорость в верхней точке найдем из условия Т = 0. В ре
зультате
^^мин207
mg = 1 , ИЛИ умин = 2g/.
^ _mgl = ^ +mgL^ _mgl = ^ +mgLРис. 12.4Рис. 12.4Приняв точку О (ось вращения) за нулевой уровень потенциальной энергии, получим в соответствии с законом сохранения энергии
^ _mgl = ^ +mgL
^ _mgl = ^ +mgL
Рис. 12.4
Рис. 12.4
Отсюда следует со ^ V4g7
Если груз вращается на стержне, то его скорость в верхней точке может быть равна нулю. По закону сохранения энергии получаем
тио
mgl = —mgl,
откуда
со > V^g/-
В направлении, перпендикулярном скорости, на груз действу
Рис. 12.6Рис. 12.6ют сила натяжения нити Т и составляющая силы тяжести F^ = wig cos а (рис. 12.6). Согласно второму закону Ньютона
Рис. 12.6
Рис. 12.6
Скорость найдем по закону сохранения энергии:
,, тс2
mgh0 = mgh Н— .
Отсюда следует:
2mg(h0 - h)
Т = mg cos а Н.
Однако /io = /(1 — cos a), h = Z(1 — cos а); следовательно, ho — h = /(cos а — cosqq). Подставив в выражение для силы натяжения нити, получим
Т = mg(3 cos а ™ 2 cos ал).
По третьему закону Ньютона сила давления шайбы на шар равна по модулю силе реакции. В направлении, перпендикулярном вектору скорости, на тело действуют сила реакции N и составляющая силы тяжести F^ = mg cos а (рис. 12.7). Согласно второму закону Ньютона
jx
Скорость найдем по закону сохранения энергии mgh = mt?/2. Поскольку h = Л(1 — cos а), то после несложных выкладок получим
N = mg (3 cos а — 2).
Когда шайба оторвется от шара, она перестанет на него давить, и сила реакции станет равна нулю. Условие отрыва: cos а = 2/3; а = 48°; h = R/3.
В верхней точке на велосипедиста действуют две силы: сила тяжести Р = mg и реакция опоры внутренней поверхности трека Q; их равнодействующая сообщает велосипедисту нормальное ускорение а, = v2/г. Согласно второму закону Ньютона
_ mu2mg + У = .
т
Чтобы найти скорость в верхней точке петли, используем закон сохранения энергии: потенциальная энергия в начале спуска (на высоте Н) должна быть равна сумме кинетической и потен
циальной энергий в верхней точке петли (на высоте h = 2г), т.е.
mgH = mg • 2т Н— , или Н = 2т + — .22g
Подставив значение и2 = g + Qr/m, имеем
5r Qt
2 2mg ‘
Минимальная высота (без учета трения) получится, если в верхней точке петли велосипедист проскальзывает, почти не касаясь трека. Тогда реакция опоры Q = 0 и Но = 2, 5г.
Согласно рис. 12.9 имеем
N — mg cos а = тл? j R.
Скорость найдем по закону сохранения энергии:
mgH = mgR(l — cos а) + me2/2.
Отсюда следует:
TV = mgTV = mg2Уcos a — 2 + -—R
TV = mg
TV = mg
Уверхн — mgУверхн — mg2Н ™R2Н ™RВ верхней точке петли а = тг, следовательно,
Уверхн — mg
Уверхн — mg
2Н ™R
2Н ™R
Минимальная высота находится из условия Уверхн = 0, следовательно, Умин = 2, ^R. При этом условии
У = 3mg(l + cos а) = 6mg cos2 ™ .
Брошенное под углом а к горизонту со скоростью ио тело должно пролететь в воздухе расстояние АВ = L = 2R sin а. Как известно (см. § 8.2),
_ 2up sin а cos а
g '
откуда
Скорость ио найдем по закону сохранения энергии
mgH = mgR(l + cos ct) + muo/2, откуда
Для вычисления cos ct получаем уравнение
2 cos2 а — 2(k — 1) cos ct + 1 = 0.
Следовательно,
k - 1 ± Jlk - I)2 - 2
cos a = -: .
2
Учитывая, что под корнем должно стоять неотрицательное число, получаем: к — 1 ^ V2, т.е. к ^ 1 + V2.
С другой стороны, 0 < cos ct ^ 1, т.е. к — 1 + у (А: — I)2 — 2 ^ 2 и А ^ 2,5. Итак,
1 + \П < к ^ 2,5, т.е. (1 +л/2)Д Я 2,5Я.
Имеем для граничных значений косинусов:
cosct = V2/2, т.е. cti = 45°,
cosct = (1,5 ± 0,5)/2, cosct2 = 0,5, cos ctg = 1.
Очевидно, что решение «з = 1 не удовлетворяет условию задачи, поскольку при ct3 = 0 нет выреза. Остается решение cosct2 = 0, 5, ct2 = 60°.
Итак, для высот (1 + V2)R Н2, 5Я соответственно допустимы
вырезы с углами 45° ^ ct ^ 60°, которые подбираются по условию
к - 1 - Vk2 ™2к™1cos ct = .
2
Обозначим радиус кривизны в перигелии через Ro, кинетическую энергию планеты в перигелии Ко = тио / 2 и потенциальную энергию По = -GmM/r0.
Радиус кривизны в перигелии найдем из второго закона Ньютона:
то о _ GttlM
Ro’
откуда
_ тгоГо _ 2го Ко
’° ” GMm ” Ио '
В афелии радиус кривизны такой же, как и в перигелии, ибо эллипс — симметричная фигура. По второму закону Ньютона имеем
mu2 __ GmM
= г2 '
По закону сохранения энергии полная механическая энергия планеты
_ ты оGttlM _ mu2GttlM
2То2Та '
Исключая скорости, получаем
GmMRoGmM _ GmMRoGmM
2fqro2r2ra ‘
После сокращений получим квадратное уравнение:
r|(2r0 - Ro) - 2гаго + RoTo = 0.
Первый корень уравнения та = то. Это означает, что в данном случае эллипс вырождается в окружность радиусом го. Тогда и радиус кривизны Ro = го, следовательно, скорость движения на орбите ж = жо = л/GM ( то.
Второй корень уравнения
_ го Ro _ го КоГа ■ 2r0 -Ro ” W '
Поскольку расстояние от афелия до Солнца — существенно положительная величина, то W < 0. Это означает, что планета может двигаться по эллиптической орбите лишь в том случае, если сумма кинетической и потенциальной энергии (т.е. полная механическая энергия) является отрицательной величиной. В частности, для круговой орбиты W = ™GmM (^2то).
Вычислим сначала полную энергию космического корабля в перигее (т.е. в вершине параболы): W = mvo/2 — GmM(то- По второму закону Ньютона GmM/ro = mFo/-Ro, где Ro — радиус кривизны в этой точке. Отсюда GmM/ro = muo^o/Ro, и полная энергия W = тжо(1/2 — ro/Ro).
Но расстояние от фокуса до вершины г о = / = р/2 (см. задачу 10.4), а радиус кривизны в этой точке Ro = р (см. задачу 3.13). Подставив эти значения, убедимся, что полная энергия равна нулю. По закону сохранения энергии она будет равна нулю и в любой другой точке траектории.
Пусть стержень опустится на высоту Др, тогда клин сместится влево на расстояние Дж. Очевидно, что Др = ДжtgQ. Поскольку движение происходит без начальной скорости, то
Дж = a,xt2/2, vx = axt, Др = ayt2/2^ vy = ayt.
По закону сохранения энергии уменьшение потенциальной энергии стержня при его опускании равно приращению кинетической энергии стержня и клина:
. т^г2 туи2m^gby =.
Подставив значения перемещения и скоростей, получим
m^gay = т^а2 Р туа2^ ау = axtga, откуда следует:
~ _ m2gtga ~ _ m2gtg2a
& Ж 9 ? ^ У .J 9 •
mi + m2 tgz ami + m2 tg^ a
Сила реакции
у _ mi аж _mi m2 geos а
sin a mi cos2 a + m2 sin2 a
Воспользовавшись законами сохранения энергии и импульса, получим
Л mu2MV2
mg^y = —— + —^ ^, -MV = т/иж.
Учитывая, что ^у = a,yt2/2, Дж = a,xt2/2, ДХ = bt2/2, vx = axt, vy = = ayt и V = bt, а также, что Д?/ = (Дж — ДХ) tga, получаем после несложных преобразований
_ Mg sin a cos а
ж М + msin2 а ’
т.е. тот же результат, что и в задаче 3.7. Аналогично из этих же уравнений выводится значение ау. Силу реакции получаем из условия
Q = та = mJ а2 + а2.
Вторая космическая скорость для Луны о = ^2GM~ /Rrr = = 2,4 км/с. Полагая скорость истечения топлива 4 км/с, находим по формуле Циолковского: МТОПл = 0, 83 т. Для Земли вторая космическая скорость 11,2 км/с и масса топлива МТОПл = 15, 6 т.
Звезда не выпустит из своего поля тяготения частицы вещества и свет, если вторая космическая скорость окажется равной скорости света в вакууме. Эту идею высказал еще П. Лаплас в 1796 г. Поскольку с2 = = 2GM/R, то R = 2GM (с29 км.
Закон сохранения энергии
Возрастание внутренней энергии системы происходит за счет уменьшения ее кинетической энергии. При абсолютно неупругом ударе двух одинаковых тел, летящих навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, ДХ = 2Хо = то2. Изменение внутренней энергии
Дйо = 2m(ci ДЦ 4- А 4- С2 ДЦ 4~ А),
где щ и с2 — удельные теплоемкости льда и воды,
Ml = 0° - (-30°) = 30 °C, М2 = 100° - 0° = 100 °C.
Итак,
ж = ^/2(ci ДЦ + А + С2ДЦ + А).
Умножив солнечную постоянную на поверхность сферы с радиусом, равным астрономической единице, получим полную мощность солнечного излучения: Р = 4MR2. Ежесекундная потеря массы р = Р/с2. Десять процентов массы Солнце потеряет за время
_ 0,1М0 _ М0с2
т “ ц 40тг Л?2 '
До распада частица покоилась, и ее энергия Йо = Мс2. Поскольку она распалась на два равных осколка, то их суммарная полная энергия Й = = 2Vmc2 = 2тс2 ( у 1 ™ Д2, где т — масса осколка и и = (Зс — его скорость. Из закона сохранения энергии следует: 2тс2/^1 — З2 = Мс2, откуда
m = |-0.
Подставив значение скорости, получим значение массы осколка.
Используя законы сохранения импульса и полной энергии, получаем
р = р. У = У p Ж0,
где W = Жо + К = % о + ер — полная энергия частицы до удара, р — ее импульс, Ж7 и р' — полная энергия и импульс сгустка, образовавшегося после неупругого удара. Исключим импульс р , воспользовавшись соотношением Ж/2 = Жд2 + р/2Щ; получим значение внутренней энергии сгустка:
Жо = -^/2^0 (Ж + Жо) = у^2Жо (2Жо + ер).
Кинетическая энергия сгустка
К =— Ж о = 2 Ж7 + ер —2 Жо (2 Жо + ер).
Для протона (Жо = 0,938 ГэВ) с кинетической энергией 10 ГэВ получим Жо = 4,7 ГэВ, К! = 7,2 ГэВ.
Для протона с кинетической энергией 76 ГэВ соответственно
Жо = 12,1 ГэВ, К* = 65,8 ГэВ.
Для того чтобы из сгустка возникла пара частиц протон™ антипротон, нужно, чтобы энергия покоя сгустка была по меньшей мере в два раза больше энергии покоя протона: Ж о ^ 2-0, 938 = 1, 88 ГэВ. Учитывая, что энергия покоя электрона Жо = 0,511 МэВ (см. задачу 8.1), получаем
$Р/2Ф/2
= за6Т"!
Такие ускорители еще не созданы.
В данном случае сгусток, возникший после неупругого соударения, покоится, т.е. вся кинетическая энергия превратилась во внутреннюю. Внутренняя энергия сгустка Ж о = 2К + 2Ждл = 2ЖДрот, следовательно, К = = ер = Жорот - Ж?л = 938, 3 - 0, 511 = 937, 8 МэВ % 1 ГэВ.
Такие ускорители существуют уже сейчас.
Внутренняя энергия сгустка в обычном ускорителе при неподвижной мишени Жо — -у^Жо (2Жо + ер^ (см. задачу 13.6), в ускорителе на встречных пучках Жо = еръ + 2Жо- Приравнивая оба выражения, получаем
\ Жо /
где р — ускоряющий потенциал обычного ускорителя, ръ — ускоряющий потенциал в ускорителе на встречных пучках.
Как видно, если ерв <С Жо, ускоритель на встречных пучках неэффективен, ибо ускоряющий потенциал обычного ускорителя всего лишь в четыре раза больше, чем в случае встречных пучков. Зато в ультрарелятивистском случае, когда ерв^> Жо, ускоритель на встречных пучках очень эффективен.
Динамика вращения твердого тела
Проведем через произвольную точку О ось перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы (рис. 14.1). Момент пары равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно оси. Имеем
М = Fia + F^ct + d) = Fia + F^a + F^d.
Однако Fx = F, F3 = —F; следовательно, N = —Fd. Знак минус показывает, что относительно оси эта пара образует левый винт.
/т2/т2Рис. 14.2Рис. 14.2
/т2
/т2
Рис. 14.2
Рис. 14.2
На рис. 14.2 показаны жирными стрелками силы Fi и F2, при™ ложенные к твердому телу в точках Их и Аз. Приложим в этих же точках силы Ti и Т2, а в точке С — силы Тз и Т4 так, что Ti = Тз = Fx и Тз = = Т4 = F2. Точку С выберем так, что Fxax = Рзаз- Покажем, что новая система из шести сил эквивалентна старой, т.е.
{Fi,F2,T1,T2,T3,T4} - {Fi,F2}.
В самом деле, система этих сил сводится к прежним силам Fi и F2 и к двум парам сил {Т1,Тз} и {Т2,Т4} с моментами
Mi = Тхах since и М2 = —Т2а2 since.
Но точка С выбрана нами так, что \Мх | = |М2|, следовательно, эти моменты уравновешиваются и на твердое тело никакого действия не оказывают.
С другой стороны, система шести сил эквивалентна системе сил Тз и Т4, т.е.
{Fi,F2,Ti,T2,T3,T4} - {Т3,Т4}.
Действительно, силы Fi и Ti, а также силы F2 и Т2 уравновешены, и неуравновешенными остаются силы Тз и Т4.
Итак, система сил {Fi,F2} эквивалентна системе сил {Тз,Т4} , что и дает решение задачи.
Работа по закручиванию пружины на угол а эквивалентна работе по растяжению пружины на длину ж, которая выражается формулой А = = Fx/2 = kx2 /2. Следовательно, искомая работа
Мех fex2
Обратите внимание, что модуль кручения системы / = М/а аналогичен жесткости k = F/x.
Дифференциал массы равен массе кольца толщиной dr. Имеем
dm 2irr dr1 2Mr dr
= Х7Ю' откуда
Дифференциал момента инерции равен моменту инерции этого кольца:
,2 2Mr3 dr
dl = dm • г = —— .
Отсюда следует:
RI = J dm • г2ОRI = J dm • г2ОR2М Г з т 2М= J r dr = wоR2М Г з т 2М= J r dr = wо4 л R Т Т ]04 л R Т Т ]02MR4Д2 -42MR4Д2 -4МВ22МВ2214.8. Разбиваем шар на тонкие диски, перпендикулярные оси вращения (рис. 14.8). Дифференциал массы определяется выражениемМ • -кт2 da ЗМ 22 ,dm= 4тгД3/3 =№(Дтак как г2 = R2 — z2. Момент инерции такого дискаdm • т2 ЗМ 222= 8Д® г А"'Момент инерции шара:14.8. Разбиваем шар на тонкие диски, перпендикулярные оси вращения (рис. 14.8). Дифференциал массы определяется выражениемМ • -кт2 da ЗМ 22 ,dm= 4тгД3/3 =№(Дтак как г2 = R2 — z2. Момент инерции такого дискаdm • т2 ЗМ 222= 8Д® г А"'Момент инерции шара:RJ 8Д3 ^' 2R4дзОRJ 8Д3 ^' 2R4дзО- ЗМ [r4- tR2^ Щ'Г- ЗМ- ЗМ [r4- tR2^ Щ'Г- ЗМд4д4Рис. 14.814.9. Для конуса (рис. 14.9) _ RzРис. 14.814.9. Для конуса (рис. 14.9) _ Rz7 мт" dzdm=MTf3'Г 3MR2z4dz= J 2h57 мт" dzdm=MTf3'Г 3MR2z4dz= J 2h53MR22№3MR22№dm • т2 3MR2z4dzdI=^- =2№’СSMR2-^ nQ]vrR2z dz = ————™— = 0,ЗМя .J2h5 • 5dm • т2 3MR2z4dzdI=^- =2№’СSMR2-^ nQ]vrR2z dz = ————™— = 0,ЗМя .J2h5 • 5ОО14.10. Из соображений размерности очевидно, что момент инерции шара J = aMR2, где а — числовой коэффициент. Для проведения численного расчета положим М = 1, R = 1 и разобьем радиус на десять равных частей (см. задачу 7.12). Масса слояДтп = 7П^Дж • р,14.10. Из соображений размерности очевидно, что момент инерции шара J = aMR2, где а — числовой коэффициент. Для проведения численного расчета положим М = 1, R = 1 и разобьем радиус на десять равных частей (см. задачу 7.12). Масса слояДтп = 7П^Дж • р,
R
I = J dm • г2
О
R
I = J dm • г2
О
R
2М Г з т 2М
= J r dr = wо
R
2М Г з т 2М
= J r dr = wо
4 л R Т Т ]0
4 л R Т Т ]0
2MR4
Д2 -4
2MR4
Д2 -4
МВ2
2
МВ2
2
14.8. Разбиваем шар на тонкие диски, перпендикулярные оси вращения (рис. 14.8). Дифференциал массы определяется выражением
М • -кт2 da ЗМ 22 ,
dm= 4тгД3/3 =№(Д
так как г2 = R2 — z2. Момент инерции такого диска
dm • т2 ЗМ 222
= 8Д® г А"'
Момент инерции шара:
14.8. Разбиваем шар на тонкие диски, перпендикулярные оси вращения (рис. 14.8). Дифференциал массы определяется выражением
М • -кт2 da ЗМ 22 ,
dm= 4тгД3/3 =№(Д
так как г2 = R2 — z2. Момент инерции такого диска
dm • т2 ЗМ 222
= 8Д® г А"'
Момент инерции шара:
R
J 8Д3 ^' 2R4дз
О
R
J 8Д3 ^' 2R4дз
О
- ЗМ [r4- tR2^ Щ'Г- ЗМ
- ЗМ [r4- tR2^ Щ'Г- ЗМ
д4
д4
Рис. 14.8
14.9. Для конуса (рис. 14.9) _ Rz
Рис. 14.8
14.9. Для конуса (рис. 14.9) _ Rz
7 мт" dz
dm=MTf3'
Г 3MR2z4dz
= J 2h5
7 мт" dz
dm=MTf3'
Г 3MR2z4dz
= J 2h5
3MR2
2№
3MR2
2№
dm • т2 3MR2z4dz
dI=^- =2№’
СSMR2-^ nQ]vrR2
z dz = ————™— = 0,ЗМя .
J2h5 • 5
dm • т2 3MR2z4dz
dI=^- =2№’
СSMR2-^ nQ]vrR2
z dz = ————™— = 0,ЗМя .
J2h5 • 5
О
О
14.10. Из соображений размерности очевидно, что момент инерции шара J = aMR2, где а — числовой коэффициент. Для проведения численного расчета положим М = 1, R = 1 и разобьем радиус на десять равных частей (см. задачу 7.12). Масса слоя
Дтп = 7П^Дж • р,
14.10. Из соображений размерности очевидно, что момент инерции шара J = aMR2, где а — числовой коэффициент. Для проведения численного расчета положим М = 1, R = 1 и разобьем радиус на десять равных частей (см. задачу 7.12). Масса слоя
Дтп = 7П^Дж • р,
гдегдеМДж = 0,1, Р ==Зг^Итак, Дтп = ^^ . Момент инерцииМДж = 0,1, Р ==Зг^Итак, Дтп = ^^ . Момент инерцииЗМ4тгД3ЗМ4тгД3слояслоя34тг34тг
где
где
М
Дж = 0,1, Р ==
Зг^
Итак, Дтп = ^^ . Момент инерции
М
Дж = 0,1, Р ==
Зг^
Итак, Дтп = ^^ . Момент инерции
ЗМ4тгД3
ЗМ4тгД3
слоя
слоя
34тг
34тг
22И
2
2
80
Момент инерции шара есть сумма моментов инерции двух полу шаров; при М = 1 и R = 1 получим
I = а = 2(ДД + Д7з + ... + Д/io) = — (п + щ + ... + г^о).
Используя данные табл. 7.12, выпишем в табл. 14.10 значения четвертых степеней радиусов и найдем их сумму, равную 5,333. Отсюда а =
3-5,333„
= = 0,4, т.е. численный расчет привел нас к такому же результату,
что и интегрирование.
Таблица 14.10
и
и
1
0,995
6
0,486
2
0,956
7
0,333
3
0,880
8
0,191
4
0,770
9
0,077
5
0,636
10
0,009
Для конуса, как и для шара, имеем из соображений размерности I = ^MR2 где /3 — числовой коэффициент. Для проведения численного расчета положим М = 1, h = R = 1 и разобьем высоту на десять равных частей (см. задачу 7.14). Имеем
А.ЗМ 3
= тщЫг • р = иДкГпр, р = — = - ,
7Г
д т ДпЦДД ^п
п ™2” 20 ’
Очевидно, что
щ _ 0,05 г^
R h ’ R
Таблица 14.11
и
1‘п
и
Тп
1
0,05
0,06-Ю"3
6
0,55
96,60-Ю"3
2
0,15
0,51-Ю"3
7
0,65
178,50-10“3
3
0,25
3,91-10"3
8
0,75
316.ООН)3
4
0,35
15,00-Ю"3
9
0,85
521,00-10“3
5
0,45
41,00-Ю"3
10
0,95
815,00-Ю"3
При R = h = 1 получим табл. 14.11, из которой следует, что сумма четвертых степеней радиусов составляет 1,983. В результате
I = Р = ^ • 1, 983 = О, 2975 = 0, 3.
Относительная погрешность по сравнению с точной формулой:
£=0Д-у2975 ,100%я018%.
Пользуясь законом сохранения энергии для вращающегося твердого тела, выразим сначала угловую скорость как функцию угла. Имеем
1си2
К = По — U, где К = —, По = mg ho и U = mgh.
Для стержня относительно оси, проходящей через его конец, момент инер- т_
ции 1 = —^— . При колебаниях центр тяжести стержня поднимается на высоту
ho = | 1(1 — cos Qq),h = ™ 1(1 — cos ct).
Подставив полученные значения в уравнение баланса энергии, получим 3g (cos а — cos cto) I’
скорость конца стержня v = ш1.
По закону сохранения энергии и - лтр = К,
или
mg (I sin а + г cos а) — ТкаД = —Ч™ .
cos
Сила трения качения Ткач = ; момент инерции сплошного цилин-
г
дра 1 = и угловая скорость си = — . Имеем
. Ikmg cos amu2mu2
mg (l sin a + т cos a)= H-— ,
т24
откуда
/4g h .Ik cos a \
v = 4 -— I. sin a + т cos a — .
V 3 \)
Трением в принципе пренебречь нельзя, ибо без трения диск будет не скатываться, а скользить, и кинетическую энергию вращения учитывать не надо. Но если трение достаточно слабое, то работой силы трения можно пренебречь. Для этого должно выполняться следующее условие:
1к 7
— < I tg а + т.
т
Для числового примера в задаче имеем
— = 1ДД— =5-10“3, Ztga + r = Д +0,1 =0,68,г 10™1'3
т.е. при расчете можно пренебречь работой трения качения.
При соскальзывании цилиндра
mg sin a + г cos a) = - , и = у 2g (/sin a + r cos a).
Л .Ik cos a 5
v = 4 g / sin a + r cos a.
у \Г J
Уменьшение кинетической энергии маховика до нуля происходит за счет работы силы трения. Имеем
а 1ш2 тг2ш2 ., uNurt
д^К — 1 ^— —-— , ИТр — Т1 — цЛщр^ — —-— ,
откуда следует:
^ _ ттш _ тхттп
2 pitpit
Попробуйте решить эту задачу, применив основное уравнение динамики для вращающегося тела.
При опускании гири ее потенциальная энергия превратится в кинетическую энергию гири и вращающегося маховика:
2 г 2
7ш
mgh = — + — .
V
Маховик и цилиндр вращаются с одинаковой угловой скоростью ш = — , следовательно, 2mgh = v2 (т + ™ ) , откуда
_ / 2mg hу m + I/г2
Поскольку блок вращается ускоренно, на него должен действовать вращающий момент, возникающий вследствие того, что натяжения веревки справа и слева различны (см. рис. 3.2). Из основного уравнения динамики
m2g ™Т2 = т2а, —mig + Ti = mia, М = ^^ .
Момент силы М = (Т2 ™ Ti)r. Изменение угловой скорости
Дш = ш2 ™=.
г г г
Имеем
m2g ™Т2 = m2a, ™mig + Тх = тю, Т2 ™ Ti = ^ .
Отсюда следует:
_(m2 - mi)g
ТГЦ + т2 + I/г2 ’
т _ 2mim2g(l + I/(2m2r2))mi + m2 + I / г2’
т _ 2mim2g(l + I/(2mir2^" mi + m2 + I/т2'
При ™ <mi +m2 получим ответ задачи 3.2.
Ход решения задачи такой же, как и задачи 12.7, за исключением того, что необходимо учесть кинетическую энергию вращения шарика:
_ mg (17 cos а — 10)™7'
По закону сохранения момента импульса
(7Чел + /к + 2тгх)ш1 — (Дел 4" Дк 4" 2тг2)си2.
Исходя из закона сохранения момента импульса, найдем соотношение между радиусом пульсара и периодом его вращения:
2 о 2я 2 о 2я
1ошо = или - MR^- = - MR^ — ; следовательно,
Для того чтобы при увеличении скорости вращения не наблюдалось истечения вещества, необходимо, чтобы на экваторе сила тяготения обеспечила вращение вещества с заданной угловой скоростью, т.е. тш2К < Нтяг.
^mR GmMA
Итак, ——— < —~ ; следовательно, второе искомое соотношение между радиусом пульсара и периодом его обращения на орбите имеет вид
Д3 GMoГ2 < 4тг2 ■
Исключая из обоих уравнений период пульсара, получаем
ДЛТД =4тг2 • 7 • 1032
H^GM&T?j ~ 6,67 ■ 10-11 - 2 ■ 1030 - 2, 22 • 1012 ~ 5 КМ’
Л2 Д « 10"3 с.
Кинетическая энергия вращения Солнца
Кинетическая энергия вращения пульсара К =Кинетическая энергия вращения пульсара К =4тг2МеР2
Кинетическая энергия вращения пульсара К =
Кинетическая энергия вращения пульсара К =
5Т2'
Отношение этих величин -^— =^2 • 109.
Ко
Возрастание кинетической энергии вращения звезды при ее сжатии (коллапсе) происходит за счет работы сил тяготения.
Момент импульса шара L = 1ш = (2/5)mr2 • и/г = (2/5)mvr, где и— окружная скорость на экваторе. Поскольку и < с, то L < (2/5)mcr, откуда
57гг > , или г > - = 4,8 • 10 м.
тс '4тс '
Этот размер противоречит опытным данным, согласно которым эффективные размеры электрона на два порядка меньше.
При неупругом столкновении шара с выступом часть кинетической энергии превращается во внутреннюю, при этом превращается в нуль
Рис. 14.24
составляющая скорости to = го cos а (рис. 14.24). За счет второй составляющей скорости щ = го sin о шар поворачивается вокруг точки контакта М. Если кинетическая энергия вращения окажется не меньше потенциальной энергии, необходимой для подъема шара на высоту h, то шар преодолеет 1ш2
выступ. Условие перекатывания имеет вид —^—mgh. По теореме Штей
нера (см. § 22.3) Z = Zo + mR2 = (2/5)тД2 + mR2 = (7/5)mR2. Угловая щсо sin avo(R—h^
скоростью-
7 mR2,Uo(R™hyR /10 _
ИтаК’ 5W ^ mgh’ ™И 1’° ^RM\J-gh-
Для диска Z = Zo + mR2 = mR2/2 + mR2 = (3/2)тД2; для тонкостенной трубы Z = Zo + mR2 = mR2 + mR2 = 2mR2.
Неинерциальные системы отсчета и тяготение
Система отсчета, связанная с клином, движется вдоль оси абсцисс с ускорением а, следовательно, является неинерциальной. На брусок действуют четыре силы: сила тяжести mg, сила реакции Q, сила трения Т и сила инерции I = -та. Для решения задачи надо рассмотреть те же два
случая, что и в задаче 5.7 (рисунки 15.1а и 15.16). Относительно неинерциальной системы отсчета брусок движется без ускорения, следовательно,
сумма проекций сил на обе оси координат равна нулю. Имеем для обоих случаев:
ось ординат
Q cos a PT sin а — mg = 0, Q cos а — Т sin а — mg = 0;
ось абсцисс
—h — Т cos а. Р Q sin а = 0, —р + Т cos а. Р Q sin а = 0.
Полученные уравнения эквивалентны уравнениям задачи 5.7, следовательно, мы получим тот же ответ.
На тело во вращающейся системе координат действуют четыре силы: сила тяжести mg, сила реакции Q, центробежная сила инерции 1цб = = тш^т и сила трения Т (рис. 15.2). Для того чтобы диск не соскользнул, необходимо выполнение условия
7цб Гпок, или тш г Дпок^й ;
отсюда г < ^nOKg/^2.
На мотоциклиста во вращающейся системе отсчета действуют силы mg, Q, Т и 1цб (рис. 15.3). Очевидно, что
гл т!2 pmv2
Q = 7цб = тш г, 1 = цу = цтш г = .
'г
Мотоциклист не соскользнет со стены, если Т ^ mg. Имеем
/imu2/
^ mg, v ^— .
гу Р
Во вращающейся системе отсчета на груз действуют три силы, образующие замкнутый треугольник (рис. 15.4). Имеем
1цб = mg tga, или ти?г = mg tga.
Учитывая, что т = Zsina и w = 2ж/Т\ полу™ чаем
Т = 2^4 /— cos а.
V g
Из условия, что центробежная сила
инерции равна силе упругости, получим тот же
результат, что и в задаче 3.9.^ис'
Во вращающейся системе отсчета на частицы вещества на эк™ ваторе звезды действует сила тяготения F = GmM / R и центробежная сила инерции 1^ = тш2К. Вещество начнет истекать, если 1цб ^ У, т.е. ш y/GM/RF
В поле тяжести время всплывания капелек жира (см. § 11.9)
9Д2r2g(px - р)9Д2r2g(px - р)
9Д
2r2g(px - р)
9Д
2r2g(px - р)
9-0,2- 10"3
= 9 • 103 с = 2,5 ч.
9Д2г2Д Д(рж - р)9Д2г2Д Д(рж - р)
9Д
2г2Д Д(рж - р)
9Д
2г2Д Д(рж - р)
В центрифуге роль поля тяжести, согласно принципу эквивалентности (§ 24.5), играет поле центробежных сил инерции. Следовательно, в запи™ санной выше формуле нужно просто заменить g на uj2R. Получим
= 28 с.= 28 с.9-0,2- 10™3
= 28 с.
= 28 с.
2 . ЦЩ10 • 4 • 102 • -к2 • 0,8 • 102
Центрифуга эффективнее в ио2 R/g = 320 раз.
Когда система не вращается, пружина не деформирована и имеет максимальную длину /о = 2а. При вращении системы грузы отходят от оси вращения, и длина пружины будет равна I = = 2а cos а. Изменение длины
А/ = /0 — I = 2а(1 — cos а).
Чтобы связать угол отклонения со скоростью вращения, перейдем к вращающейся системе отсчета. При сжатии возникает сила упругости (рис. 15.8 6)
F = kAZ = 2ка(1 — cos а), которая уравновешивается центробежной си™ лой инерции
I = тш2г = mw2asina.
Разложим силу упругости на две парал™ лельные равные составляющие Fi = К/2, при™ ложенные к грузам (см. задачу 2.2). Условие равновесия системы относительно верхнего шарнира выглядит так:
la cos а = Да sin а.
6 А.А. Пинский
Подставив значения сил I и Ki, получимПодставив значения сил I и Ki, получимтш2a2 sin a cos а = ко2 sin а(1 — cos а),тш2a2 sin a cos а = ко2 sin а(1 — cos а),откуда следует, что cos а = к /(к + тш2).Очевидно, что регулятор будет работать и в невесомости, поскольку мыоткуда следует, что cos а = к /(к + тш2).Очевидно, что регулятор будет работать и в невесомости, поскольку мынигде не предполагали наличие поля тяготения.Максимальную скорость вращения определим из условия А/ ^ 0,1 • 2а. Отсюда следует 2а(1 — cos а) ^ 0, 2а или 0, 9 ^ cos а < 1.Подставив полученное значение cos а в уело™нигде не предполагали наличие поля тяготения.Максимальную скорость вращения определим из условия А/ ^ 0,1 • 2а. Отсюда следует 2а(1 — cos а) ^ 0, 2а или 0, 9 ^ cos а < 1.Подставив полученное значение cos а в уело™вне равновесия, получимвне равновесия, получимСвяжем систему отсчета с вращающейся жидкостью. Тогда на каждую частицу будут действовать три силы: сила тяжести mg, сила реакции жидкости N и центробежная сила инерции 1цб = тш2х (рис. 15.9). Угол между силой реакции и осью ординат равен углу между касательной и осью абсцисс (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). ИмеемСвяжем систему отсчета с вращающейся жидкостью. Тогда на каждую частицу будут действовать три силы: сила тяжести mg, сила реакции жидкости N и центробежная сила инерции 1цб = тш2х (рис. 15.9). Угол между силой реакции и осью ординат равен углу между касательной и осью абсцисс (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Имеем.-^цбtg а = — mg.-^цбtg а = — mg22ggВ задаче 3.14 было показано, что у параболы х2 = 2ру касательная наклонена к оси абсциссВ задаче 3.14 было показано, что у параболы х2 = 2ру касательная наклонена к оси абсцисспод углом tga = х/р. Следовательно, мы можем утверждать, что во вращающемся сосуде поверхность жидкости есть параболоид, образованный вращением параболы х" = 2gy^2 вокруг оси ординат.Космический корабль, обращающийся вокруг планеты, — это неинерциальная система отсчета, движущаяся с ускорением g = GM/R\ направленным к центру планеты. На тело, находящееся внутри корабля, действуют две силы: сила тяготения F = GmMJ R\ направленная к центру планеты, и центробежная сила инерции 1^ = mu2 ( R^ направленная впод углом tga = х/р. Следовательно, мы можем утверждать, что во вращающемся сосуде поверхность жидкости есть параболоид, образованный вращением параболы х" = 2gy^2 вокруг оси ординат.Космический корабль, обращающийся вокруг планеты, — это неинерциальная система отсчета, движущаяся с ускорением g = GM/R\ направленным к центру планеты. На тело, находящееся внутри корабля, действуют две силы: сила тяготения F = GmMJ R\ направленная к центру планеты, и центробежная сила инерции 1^ = mu2 ( R^ направленная впротивоположную сторону. Равнодействующая этих сил равна нулю, поэтому тело относительно корабля невесомо.Замедление времени на «самолетных» часах вызвано двумя эффектами: уменьшением тяготения и скоростью движения. Имеемпротивоположную сторону. Равнодействующая этих сил равна нулю, поэтому тело относительно корабля невесомо.Замедление времени на «самолетных» часах вызвано двумя эффектами: уменьшением тяготения и скоростью движения. Имеем/чgh . г2потенциал гравитационного поля). Поскольку -^- и —ражение для времени примет видСС/чgh . г2потенциал гравитационного поля). Поскольку -^- и —ражение для времени примет видСС<С 1, вы-<С 1, вы-1сам — ^зем1сам — ^зем- б -8^1)2 А'зем I J- п ш о J •- б -8^1)2 А'зем I J- п ш о J •
Подставив значения сил I и Ki, получим
Подставив значения сил I и Ki, получим
тш2a2 sin a cos а = ко2 sin а(1 — cos а),
тш2a2 sin a cos а = ко2 sin а(1 — cos а),
откуда следует, что cos а = к /(к + тш2).
Очевидно, что регулятор будет работать и в невесомости, поскольку мы
откуда следует, что cos а = к /(к + тш2).
Очевидно, что регулятор будет работать и в невесомости, поскольку мы
нигде не предполагали наличие поля тяготения.
Максимальную скорость вращения определим из условия А/ ^ 0,1 • 2а. Отсюда следует 2а(1 — cos а) ^ 0, 2а или 0, 9 ^ cos а < 1.
Подставив полученное значение cos а в уело™
нигде не предполагали наличие поля тяготения.
Максимальную скорость вращения определим из условия А/ ^ 0,1 • 2а. Отсюда следует 2а(1 — cos а) ^ 0, 2а или 0, 9 ^ cos а < 1.
Подставив полученное значение cos а в уело™
вне равновесия, получим
вне равновесия, получим
Свяжем систему отсчета с вращающейся жидкостью. Тогда на каждую частицу будут действовать три силы: сила тяжести mg, сила реакции жидкости N и центробежная сила инерции 1цб = тш2х (рис. 15.9). Угол между силой реакции и осью ординат равен углу между касательной и осью абсцисс (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Имеем
Свяжем систему отсчета с вращающейся жидкостью. Тогда на каждую частицу будут действовать три силы: сила тяжести mg, сила реакции жидкости N и центробежная сила инерции 1цб = тш2х (рис. 15.9). Угол между силой реакции и осью ординат равен углу между касательной и осью абсцисс (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Имеем
.-^цб
tg а = — mg
.-^цб
tg а = — mg
2
2
g
g
В задаче 3.14 было показано, что у параболы х2 = 2ру касательная наклонена к оси абсцисс
В задаче 3.14 было показано, что у параболы х2 = 2ру касательная наклонена к оси абсцисс
под углом tga = х/р. Следовательно, мы можем утверждать, что во вращающемся сосуде поверхность жидкости есть параболоид, образованный вращением параболы х" = 2gy^2 вокруг оси ординат.
Космический корабль, обращающийся вокруг планеты, — это неинерциальная система отсчета, движущаяся с ускорением g = GM/R\ направленным к центру планеты. На тело, находящееся внутри корабля, действуют две силы: сила тяготения F = GmMJ R\ направленная к центру планеты, и центробежная сила инерции 1^ = mu2 ( R^ направленная в
под углом tga = х/р. Следовательно, мы можем утверждать, что во вращающемся сосуде поверхность жидкости есть параболоид, образованный вращением параболы х" = 2gy^2 вокруг оси ординат.
Космический корабль, обращающийся вокруг планеты, — это неинерциальная система отсчета, движущаяся с ускорением g = GM/R\ направленным к центру планеты. На тело, находящееся внутри корабля, действуют две силы: сила тяготения F = GmMJ R\ направленная к центру планеты, и центробежная сила инерции 1^ = mu2 ( R^ направленная в
противоположную сторону. Равнодействующая этих сил равна нулю, поэтому тело относительно корабля невесомо.
Замедление времени на «самолетных» часах вызвано двумя эффектами: уменьшением тяготения и скоростью движения. Имеем
противоположную сторону. Равнодействующая этих сил равна нулю, поэтому тело относительно корабля невесомо.
Замедление времени на «самолетных» часах вызвано двумя эффектами: уменьшением тяготения и скоростью движения. Имеем
/чgh . г2
потенциал гравитационного поля). Поскольку -^- и —
ражение для времени примет видСС
/чgh . г2
потенциал гравитационного поля). Поскольку -^- и —
ражение для времени примет видСС
<С 1, вы-
<С 1, вы-
1сам — ^зем
1сам — ^зем
- б -8^1)2 А
'зем I J- п ш о J •
- б -8^1)2 А
'зем I J- п ш о J •
Замедление времени
At = tAt = tgh v2 \с2 2с2 /gh v2 \с2 2с2 /
At = t
At = t
gh v2 \с2 2с2 /
gh v2 \с2 2с2 /
Здесь
gh _ 9,81 • 104 =109.10-12
с29,0 • 1016’’
г2
2с2
= У = 0 43 • 10™12
2 . з,62 • 106 -9,0- 1016’‘
Поскольку Сем = 2,5 сут = 2, 5 • 8, 64 • 104 с, то замедление времени At = 1,5 ■ 8,64 ■ 104 • 1,52 • 10 12 = 3,3 • 10 2 с = 330 нс.
Эффект общей теории относительности (влияние поля тяготения) ока™ зывается сильнее эффекта специальной теории относительности (влияния скорости) в 2,5 раза.
Для Солнца и белого карлика
Az/ Ф GMис2 c2R
2GM c2R2GM c2RДля пульсара воспользуемся точной формулой:
2GM c2R
2GM c2R
Az/
и
Свет не сможет выйти за пределы поля тяготения звезды, если потенциал гравитационного поля на поверхности столь велик, что —1.
Отсюда следует, что радиус «черной дыры» К с .
Идеальный газ
Пользуясь уравнением газового состояния, имеем
Ат = то — m =Ат = то — m =МУИГМУИГр тр т
Ат = то — m =
Ат = то — m =
МУ
ИГ
МУ
ИГ
р т
р т
Значения р и Т получим из табл. 26.4.
Средняя кинетическая энергия броуновской частицы равна сред™ ней кинетической энергии молекул газа, откуда следует, что шД2)/2 = = ЗкТ/2 и (г) = у/(г2) = у/^кТ/т.
Число соударений за 1 с равно 2 = Л^сгу/Д2)” = Nl^^/^RT/М.
Суммарное смещение изображения I = 2г2^С гДе ^ время про™ лета молекулы между цилиндрами, т.е. t = Д2 — гД/Д). Средняя квадратичная скорость атомов серебра
3 • 8,3 • 103 • 12331083 • 8,3 • 103 • 1233108= 532 м/с.= 532 м/с.
3 • 8,3 • 103 • 1233
108
3 • 8,3 • 103 • 1233
108
= 532 м/с.
= 532 м/с.
Итак,
I = 2шт2(т2 — п) Д).
Чтобы оценить погрешность измерения, вычислим ширину несмещен™ ного изображения щели:
аг"Ьт20,5-8_
т = откуда а = = = 2 мм.
оri 'ri2
Благодаря максвелловскому распределению скоростей смещенные изображения еще больше расширены. Отсюда следует, что погрешность измерения А 2а/2 = а; относительная погрешность
А а7^7А а7^72•100 %52•100 %5= 40%.= 40%.
А а
7^7
А а
7^7
2•100 %
5
2•100 %
5
= 40%.
= 40%.
Как видно, опыт Штерна позволял только качественно проверить данные о молекулярных скоростях.
Средняя квадратичная скорость атомов водорода в фотосфере
= 1,2 • 104 м/с.
Вторая космическая скорость
5,
v = Д —- =6,1-10 м/с.
У’
Как видно, средняя квадратичная скорость в 51 раз меньше второй космической скорости, поэтому большинство атомов водорода не могут вырваться из поля тяготения Солнца. Лишь очень небольшое число атомов, скорость которых много больше средней, могут улететь, — они и создают солнечный ветер.
Поскольку толщина фотосферы мала, можно считать ее плотность в среднем постоянной, а также считать постоянным ускорение свободного падения. Для того чтобы фотосфера находилась в равновесии, необходимо, чтобы гидростатическое давление уравновешивалось давлением газа, т.е. р = pg^h = pRT/M, где М — молярная масса газа. Отсюда следует
h = RT/Mg&.
В данной задаче, как и в задаче 16.7, мы будем исходить из равенства давления газа гидростатическому давлению, которое приближенно можно вычислить так:
/ \ l / \ ^Мэ R©р =’
где средняя плотность вещества (р©) = Mq/V© = ЗМ©/(4kR^).
При температуре 100 °C средняя квадратичная скорость молекул водорода 2,15-103 м/с. Вторая космическая скорость для Луны 2,4 км/с (см. задачу 12.14). Естественно, что тяготение Луны удержать водород не сможет. Средние квадратичные скорости молекул других газов в несколько раз меньше. Но согласно максвелловскому распределению всегда существует значительная часть молекул, скорость которых в несколько раз больше средней. Следовательно, и другие газы не могут удержаться тяготением Луны и рассеиваются в космическом пространстве.
Вблизи поверхности Земли, согласно табл. 26.3 (см. т. 1), атмосферное давление 1,01 • 105 Па, плотность воздуха 1,23 кг/м3 и абсолютная температура 288 К. Давление гелия внутри оболочки такое же, ибо оболочка сообщается с атмосферой; плотность гелия при этих условиях рне = = рМ / RT = 0,16 кг/м3. Подъемная сила есть разность архимедовой силы и силы тяжести:
F = (,рат - PHeWg-
Вначале определим молярную массу аммиака:
pRT;
М = =17 кг/кмоль.
Р
Учитывая, что атомные массы элементов, из которых образуется аммиак, суть Mi = 14 кг/кмоль (азот) и М2 = 1 кг/моль (водород), получаем уравнение
М = Ж1М1 + Ж2М2, т.е. 17 = 14жх + Ж2-
Решая его в целых числах, находим ац = 1,;Г2 = 3. Следовательно, молекулярная формула аммиака NH3.
При термодинамическом равновесии температура всех составляющих смеси газов одна и та же. Давление каждой составляющей
pi = тцкТ = NikT/V, Р2 = ri2kT = N2kT/V и т.д.
Сумма парциальных давлений:
кТ
Р\ + Р2 + РЗ + • • • = (№ + N2 + N3 + • • •) — •
Поскольку общее число молекул N есть сумма числа молекул всех составляющих смеси N = Ni + У2 + Уз + ..., то сумма парциальных давлений равна давлению газа:
NkT
Pi + р^ + Рз + • • • = —= р.
При химической реакции образования воды 48 г кислорода соединились с 6 г водорода. Следовательно, в баллоне находится смесь из 54 г водяного пара и 4 г водорода. Давление смеси находим по закону Дальтона.
Пользуясь законом Дальтона, легко получить уравнение m/М = = mi/Mi + m2/М2. С другой стороны, масса газа есть сумма масс его составных частей: т = mi + m2. Обозначив х = mi(m^ у = тг/т, получим систему двух уравнений:
1X у
МMlм2у
Решая ее, находим искомое содержание газов.
Малые шарики гуммигута принимают участие в хаотическом тепловом движении и ведут себя как гигантские молекулы. Следовательно, их распределение по высоте соответствует барометрическому ):
У1 _ mg(h2—hi) У1 _ 0,434mg(h2 — hi)
” ехр кТ ’ g м ~■
Следует учесть, что, кроме силы тяжести, на частицы действует архимедова сила. Если выразить постоянную Больцмана через газовую постоянную и постоянную Авогадро, то для последней получим
ЗДТ18(М/М)
А 0, 434 • 4Kr3g(p — po)(h2 — hi) ‘
Подставив известные данные, получим расчетную формулу
N = 5,79 • 1022 ^ДД) .
Для постоянной Авогадро имеем значения: 6,32 • 1026; 5,98 • 1026 и 5,45 • 1026. Среднее значение 5,92 • 1026, максимальная погрешность 0, 3 • 1026. Итак, из данных этого эксперимента
Na = (5, 9 ± 0,3) • 1026 кмоль-1.
Для решения задачи следует вычислить потенциальную энергию в поле центробежных сил:
и = -А =и = -А ="у"уmwV2mwV2
и = -А =
и = -А =
"у
"у
mwV
2
mwV
2
Подставив ее в формулу (26.26), получим искомый результат.
Для разделения изотопов используется газообразное соединение урана и фтора — шестифтористый уран UFe. Молярные массы соединений: Mi = 349 кг/кмоль и М2 = 352 кг/кмоль. Отношение их концентраций до вращения сосуда:
7102 : Hoi = 99, 28 : 0, 715 = 139 : 1.
При вращении центрифуги изотоп с большей атомной массой за счет действия центробежных сил концентрируется у стенок сосуда. На основе результата предыдущей задачи имеем
2 2л /Г 2 2
ТП1Ш ТМ1Ш т
nv = noiexp= похехр,
М2Ш2Г2
Т12 = 7102 ехр жт .
Отношение концентраций у стенок сосуда
7127102(М2 ™ М1)Ш2Г2
— = ехр - —F .
71171012RT
Логарифмируя, получаем
1 Т12. П02.lg— =lg— +1 Т12. П02.lg— =lg— +0,434(М2 - MiVr20,434(М2 - MiVr2TilTilnOinOi= lgl39 += lgl39 +2RT0, 434 М • 4zr2 • 4 ЛЛ)6 Л5 + 0^^2RT0, 434 М • 4zr2 • 4 ЛЛ)6 Л5 + 0^^2 • 8,3 • 103 • 3 • 1022 • 8,3 • 103 • 3 • 102= 2,143 + 0,103 = 2,246.= 2,143 + 0,103 = 2,246.
1 Т12. П02.
lg— =lg— +
1 Т12. П02.
lg— =lg— +
0,434(М2 - MiVr2
0,434(М2 - MiVr2
Til
Til
nOi
nOi
= lgl39 +
= lgl39 +
2RT
0, 434 М • 4zr2 • 4 ЛЛ)6 Л5 + 0^^
2RT
0, 434 М • 4zr2 • 4 ЛЛ)6 Л5 + 0^^
2 • 8,3 • 103 • 3 • 102
2 • 8,3 • 103 • 3 • 102
= 2,143 + 0,103 = 2,246.
= 2,143 + 0,103 = 2,246.
Отсюда следует, что 712 : niОтсюда следует, что 712 : ni= 176 : 1. Степень обогащения= 176 : 1. Степень обогащения
Отсюда следует, что 712 : ni
Отсюда следует, что 712 : ni
= 176 : 1. Степень обогащения
= 176 : 1. Степень обогащения
712X = —Очевидно, что 1g ж = 0,103,712X = —Очевидно, что 1g ж = 0,103,7102 = exp7101х = 1,27.7102 = exp7101х = 1,27.(м2 ™мхуг(м2 ™мхуг2RT2RT
712
X = —
Очевидно, что 1g ж = 0,103,
712
X = —
Очевидно, что 1g ж = 0,103,
7102
= exp
7101
х = 1,27.
7102
= exp
7101
х = 1,27.
(м2 ™мхуг
(м2 ™мхуг
2RT
2RT
’_д_ 1 кт0(1 — ah)’_д_ 1 кт0(1 — ah)кт0 .кт0 .
’_д_ 1 кт0
(1 — ah)
’_д_ 1 кт0
(1 — ah)
кт0 .
кт0 .
у™
— = (1 - аНУто Ро
На вертикальный столбик газа действует силя тяжести pgSdh и сила давления F = —Sdp. Поскольку эти силы уравновешены, то pgdh =
= —dp. Плотность исключим с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева: р = pRT/М, из соотношения Т = ТЬ(1 — ah) получим dT = —aTodh. Отсюда следует:
dp _ Mg dT
р aRTo Т
Интегрируя, находим
hip = InТ + const.
aRTo
Поскольку уравнение справедливо для любой точки поля тяжести, то на поверхности планеты
MgInpo = — In То + const.aRlo
Вычитая из предыдущего уравнения, исключаем постоянную интегрирования и получаем
1пр-1про =(1пТ-1пТо),
о
откуда и следует искомая формула для барометрического распределения.
Из барометрического распределения определяем молярную массу газа
= o-RTq lg (Щр)
где
То — Т5
а = ——— =1,05-10 м .
Учитывая, что для Венеры g =8,52 м/с2 (см. задачу 4.7), мы можем для четырех значений высот получить значения молярной массы. Средняя величина
40,0 + 43,2 + 44,4 + 46,01,
МСр = —:::— = 43,4 кг/кмоль.
Молярная масса ССЬ равна 44 кг/кмоль. Отсюда можно судить, что атмосфера Венеры в основном состоит именно из углекислого газа. Это подтверждают и другие методы исследования.
Первое начало термодинамики
При изобарном процессе Q: MJ :А = Cmp-Cmv-R- Для одноатомного газа Cmp : Стv : R = 5 : 3 : 2.
Работа по расширению газа
А = mrpgh +po(V2 - И) = mrpgh + pQSh.
Количество теплоты найдем из соотношения
Q Стр <
А ” "ТГ ” 2
(двухатомный газ!).
Из соотношений Стр — Cmv = R и 7 = Cmp/CmV следует, что С mV = Rf^ — 1). Итак, молярная теплоемкость одноатомного газа при постоянном объеме лежит в пределах
1,24 ■ 104 < CmV 1,28 • 104 ДжДкмоль ■ К).
Соответственно,
2,07 • 104 ^ Стр ^ 2,11 • 104 Дж/(кмоль • К).
Удельные теплоемкости получим, разделив молярные теплоемкости на молярную массу.
Для двухатомных газов в указанном интервале температур имеем RR
0,410Д9 ’
т.е.
2,02 • 104 < Cmv ^ 2,13 • 104 ДжДкмоль • К),
2,85 • 104 ^ Стр ^ 2,96 • 104 ДжДкмоль • К).
Работа
Д = (р2+р1)(У2™У1)/2.
Изменение внутренней энергии
АГ = CmvUi "Т^ = ^
Количество теплоты
Q = KU РА.
Молярная теплоемкость
с = Q = QR
т T2-Ti P2V2-P1V1'
ее отношение к газовой постоянной
R P2V2 — piVi ’’
в то время как для одноатомного газа Стр/R = 2, 5, Cmv/R =1,5. Отсюда можно сделать вывод, что
С mV А Ст А Стр •
Разбиваем изменение объема на 10 равных частей, тогда ДУ = = 0,1 м3. Элементарная работа на малом участке Ai = (рг)ДУ. Следовательно, полная работа
А = ДУ((р2) + (р2) + ... + (рю)).
Таблица 17.7
п
Г, м3
ОО, М3
(Ю = ^ , 105 Па
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
1,05
1,15
1,25
1,35
1,45
1,55
1,65
1,75
1,85
5,71
5,22
4,80
4,45
4,14
3,87
3,64
3,43
3,24
10
1,95
3,08
Сведем данные в табл. 17.7, из которой следует, что сумма (рг) равна 41, 58 • 105 Па. Как видно, работа при изотермическом расширении газа
Л = 0,1 • 41, 58 • 10s = 4,16 • 10s Дж.
По формуле § 27.6 имеем
Л = 2, 3 • 6 • 10s • 1 • 1g 2 = 2,3 • 6 • 0, 301 • 10s = 4,17 • 105 Дж.
Относительная погрешность численного расчета
Работа при изотермическом расширении газа
. $,№
Циклы изображены на рисунках 17.9 6, 17.9 в, 17.9 г.
Рх-Рх-Р2Р2Рис. 17.9 6Рис. 17.9 6Рис. 17.9 гРис. 17.9 гРис. 17.9 вРис. 17.9 в
Рх-
Рх-
Р2
Р2
Рис. 17.9 6
Рис. 17.9 6
Рис. 17.9 г
Рис. 17.9 г
Рис. 17.9 в
Рис. 17.9 в
Циклы изображены на рисунках 17.10 6, 17.10 в, 17.10 г.
Рис. 17.10 бРис. 17.10 бРис. 17.10 вРис. 17.10 в
Рис. 17.10 б
Рис. 17.10 б
Рис. 17.10 в
Рис. 17.10 в
17.11. Из первого (Q = 0) следует:17.11. Из первого (Q = 0) следует:начала термодинамики дляначала термодинамики дляадиабатного процессаадиабатного процесса^ CmVdT^pdV = ¥^ CmVdT^pdV = ¥
17.11. Из первого (Q = 0) следует:
17.11. Из первого (Q = 0) следует:
начала термодинамики для
начала термодинамики для
адиабатного процесса
адиабатного процесса
^ CmVdT^pdV = ¥
^ CmVdT^pdV = ¥
Дифференцируя уравнение Клапейрона-Менделеева, получаем
pdV PVdp = — RdT.
Исключив из этих выражений dT, найдем после преобразований
откудаоткудаилиилиИнтегрируем
откуда
откуда
или
или
7 In У — 7 In Уо + hip — 1про = 0,
1п(рЫ) =1п(р0Ц).
Следовательно, рУ7 = poV^ .
(
Vo А
™ J = 4 • 105 • 41,4 =
= 42’4 . ю5 = 2,79 • 106 Па. При изотермическом сжатии мы получили бы Ризот = 4ро = 1,6 • 106 Па, т.е. почти в два раза меньшее давление.
Работа по адиабатному сжатию газа
л = Р2К£1Ь = lj87.106 дж
Работа по изотермическому сжатию
Аизот = 2,3pi К 1g Л = 1 д 1. ю6 Дж.
Второе начало термодинамики
а) Каждой масти имеется три фигуры: валет, дама и король. Следовательно, всего фигур 3-4 = 12.
б) Красных фигур 3-2 = 6.
Можно рассуждать и так. Вероятность вытащить красную фигуру есть вероятность сложного события: вытащить фигуру (wi = 12/36 = 1/3) и вытащить красную карту (w2 = 1/2). Вероятность одновременного выполнения двух независимых событий равна произведению вероятностей каждого отдельного события: w = W1W2 = (1/3) • (1/2) = 1/6.
а) Вероятность вытащить первого туза равна 4/36 = 1/9. Если вытащенный туз возвращается в колоду и колода перетасовывается, то вероятность вновь вытащить туза такая же. Вероятность вытащить подряд два туза равна произведению вероятностей.
Если вытащенный туз в колоду не возвращается, то вероятность вытащить следующего туза равна 3/35. Вероятность вытащить подряд два туза равна произведению вероятностей.
Пометим мысленно шары, например, обозначим их буквами а, б, в, г. Распишем все возможные их распределения по обеим половинам
сосуда (табл. 18.4 а). Мы видим, что всего имеется 24 = 16 распределений, из которых первое и пятое состояния реализуются одним способом, второе и четвертое — четырьмя способами и третье — шестью способами. Но это, по существу, и есть термодинамические вероятности.
Математические вероятности получим, разделив полученные значения на общее число случаев.
Сведем результаты в табл. 18.4 6, где показаны искомые термодинамические и математические вероятности событий.
Таблица 18.4а
№ распределения
Левая половина
Правая половина
Состояние
1
а, б, в, г
Первое
2
3
4
5
а, б, в а, б, г а, в, г б, в, г
г в б а
Второе
6
7
8
9
10
11
а, б а, в а, г б, в б, г в, г
в, г б, г б, в а, г а, в а, б
Третье
12
13
14
15
а б
в г
б, в, г а, в, г а, б, г а, б, в
Четвертое
16
а, б, в, г
Пятое
Таблица 18.46
Состояние
Термодинамическая вероятность W
Математическая вероятность w, %
Первое
Ct = 1
1/16 = 6
Второе
Д = 4
4/16 = 1/4 = 25
Третье
С4 = 6
6/16 = 3/8 = 38
Четвертое
Ct = Д = 4
4/16 = 1/4 = 25
Пятое
Ct = Ct = 1
1/16 = 6
а. Пусть вероятность того, что данный шарик попадет в одну часть сосуда, равна р; тогда вероятность для него же попасть в другую часть сосуда q = 1 — р. Вероятность того, что к шариков попадут в первую часть сосуда, равна рк; вероятность того, что остальные шарики попадут в другую половину, есть qn~k. Следовательно, вероятность события, когда к шариков попадут в первую часть сосуда, а п — к шариков попадут во вторую
часть сосуда, равна pkqn к. Однако все шарики мы считаем одинаковыми, следовательно, данный результат может быть реализован Ск способами, — иными словами, термодинамическая вероятность W данного состояния равна Ск.
Чтобы получить математическую вероятность w, нужно умножить число способов на вероятность одной благоприятной комбинации; следовательно, z~ik к п — к /-ik k/t \п — к
Wk = q = Снр (1 -р).
Такое распределение вероятностей называется биномиальном распределением.
Если вероятность попадания в обе части сосуда одинакова, то р = = q = 1/2. Имеем
(
1 \ к /-| \ п—-к/-| \
1 \\( к \
2 ) Ц J = V2 /
Мы получили обобщение результата задачи 18.4 на случай п шариков.
Первой способ. Поскольку все части сосуда равноправны (это — следствие однородности и изотропности пространства), то вероятность попадания частицы в объем V < Vo равна отношению объемов:
V , Vo - V
В интересующей нас задаче к = тц т.е. все молекулы собираются внутри V. По результатам задачи 18.5 имеем указанный результат.
При большом числе молекул вероятность такого события ничтожно мала.
Второй способ. Задачу можно решить, и не обращаясь к биномиальному распределению, а основываясь непосредственно на теореме умножения вероятностей (см. задачу 18.2). Именно, вероятность того, что одна молекула попадет в заданный объем, равна р = V/Vq. Вероятность же того, что все п молекул попадут одновременно в этот объем, равна произведению вероятностей: w = рп = (У/Уо)п.
Пусть Д5 > 0, тогда (см. т. 1, § 28.8) —QjTx PQ/T^ > 0, следовательно, Q/T^ > QjTx^ откуда вытекает Тх > Т^. Итак, из закона возрастания энтропии следует принцип запрета Клаузиуса (см. § 28.9 и 29.5).
Рассмотрим 10 последовательных шагов, начиная с нижнего левого. Измерим возможно точнее их длины в миллиметрах и переведем по масштабу в истинные размеры (табл. 18.9).
Таблица 18.9
t
Размер на чертеже Ьг, мм
Истинные размеры Вг, мкм
т2
мкм
t
Размер на чертеже Вг, мм
Истинные размеры Вг, мкм
т2
1,2
МКМ
1
8
10
100
6
9,5
11,9
142
2
4
5
25
7
14
17,5
301
3
8
10
100
8
4
5
25
4
7
8,8
77
9
4
5
25
5
12
15
225
10
3
3,8
14
Итак, квадрат среднего квадратичного перемещения Д2 = 1,04 -10 9 м2. Подставляя в формулу Эйнштейна значение Д2 и t = 300 с, получаем
_ тгцгД2’ ” Tt_ тгцгД2’ ” Tt= 1,4- НГ23 Дж/К.= 1,4- НГ23 Дж/К.300 • 300300 • 300тг-8,9-КГ4-4,4-КГ7-1,04-КГ9
_ тгцгД2
’ ” Tt
_ тгцгД2
’ ” Tt
= 1,4- НГ23 Дж/К.
= 1,4- НГ23 Дж/К.
300 • 300
300 • 300
Постоянная Авогадро
8,3 • 10326-1
= 7 = 1,4 ■ Ю-23 = 5,9'10 КМ°ЛЬ '
Рекомендуем читателю проделать аналогичный расчет на других участках и оценить погрешность метода.
Согласно определению Д5 = ^Q/T, следовательно, малое количество теплоты 1XQ = T/XS. Полное количество теплоты за процесс численно равно площади криволинейной трапеции на рисунке (в заданном масштабе). Задачу можно решить численными методами или интегрированием.
Поскольку Д5 = ^^ , а Д<3 = dU + pd¥ = ^ Cmv dT + pd¥,
л „ т _ dTт _d¥
то = — Сту —- + — В-— . Интегрируя, получаем
М ТМ ¥
Т^Т^dTdTТхТх, m V2+ — Я hl 77М Vi, m V2+ — Я hl 77М Vi
Т^
Т^
dT
dT
Тх
Тх
, m V2
+ — Я hl 77
М Vi
, m V2
+ — Я hl 77
М Vi
Если температурный интервал невелик, то можно положить, что изохорная теплоемкость является постоянной величиной. В этом случае
m /Т2¥2 \
& ™ Sx = — CmV hi ™ + Bln .
МуlxК /
Изохорный процесс:
S2 - Si = CmV In Е .
Изобарный процесс:
S2-Si = gcmpb^.
Изотермический процесс:
S2 - Si =.
М Ц
a) A = p2(V2 -14) -pi(V2 -14) = (р2 -pi)(I4 - 14).
) A=^-RTM^- --^ЛТЛД =^Л(Т1-Т2)1п^.
М ¥1 М ¥1 М х¥1
Коэффициент полезного действия цикла Карно
= Q1-Q2 = Г1(52-51)-Т2(52-51) = Тх - Т2
4 QiTi^-SOУ '
График цикла Карно в координатах Т ™ S дан на рис. 18.16.
КПД цикла ц = A/Q. Поскольку на изохорных участках работа равна нулю, то полезная работа равна разности работ адиабатического расширения и сжатия:
А = — CmV№ ™Т4)™ — CmV^ -Т^ = — CmV^ - Т2 + Тг - Т4\
1 Расширение 21 Расширение 2Рис. 18.16Рис. 18.16Рабочее тело получает количество теплоты при изохорном сгорании топлива: Q = = ^ СтУШ - Ш Итак, ,/ = I ™ ДД7 .
1 Расширение 2
1 Расширение 2
Рис. 18.16
Рис. 18.16
М 1 3 — 1 2
Воспользовавшись результатом задачи 7.12, выразим температуры через объемы. Имеем: Ц-Щ = Ц-Щ и Ц-Щ = ЦД. Разделив первое равенство на второе, получим Т2/Т3 = Ti/T4. Преобразовав выражение для КПД, приведем его к виду
Т4 1-Т4/Т4
Т3 1™Т2/Т3 "
Но вторая дробь, очевидно, равна единице, а первая дробь Т4/Т^ = HO/b)7"1Итак, 77 = 1-ж7"1.
Пусть идеальный газ самопроизвольно изотермически сжался. При этом в окружающую среду выделится количество теплоты
Qt = Ат = RT\A-М Ко
(см. задачу 17.8), следовательно, изменение энтропии
AS = S - So = Д = кД = Ж In Д
1 М СоГо
Здесь N — число молекул. Поскольку сжатие газа происходило изотермически, то энергия молекулярного движения не изменилась и уменьшение энтропии произошло только из-за изменения объема. Оценим вероятности начального и конечного состояний. Математическая вероятность того, что газ занимает весь объем Vo, практически равна единице, ибо это — достоверное событие; итак, wo = 1. Математическая вероятность того, что газ займет объем V < Vo найдена в задаче 18.7; она равна w = (V/Vo)N. Термодинамические вероятности макросостояний пропорциональны их математическим вероятностям:
Ж _ w _ / V
Жэ wo \ Vo
Логарифмируя, получаем
Сопоставляя равенства (1) и (2), находим
So = khiW - khiWo,
откуда следует соотношение между энтропией и термодинамической вероятностью.
Поскольку оболочка сосуда теплоизолирующая (адиабатная), то теплообмена с наружной средой нет, но есть теплообмен сквозь перегородку до тех пор, пока температуры обеих половин не выравняются. Итак, Q = Qyi + Qv^ = о, или Cmv(Ti — Т) + Cmv(T2 ™ Т) = 0, откуда Т = = (Ti + T^jK Изменение энтропии при этом процессе KSv = ASly + + AS2V = CmV ь U/T3 + CmV In {Т/Т2) = CmV In (Т2/(Т1Т2))(см. задачу 18.13). Подставив значение Т, получим
KSv = Сmv hlKSv = Сmv hl(Tl + T2)24TiT2(Tl + T2)24TiT2
KSv = Сmv hl
KSv = Сmv hl
(Tl + T2)24TiT2
(Tl + T2)24TiT2
Покажем, что AS* > 0. Имеем очевидное неравенство: (Т2 — Ti)2 > О, или Т2 — 2T2Ti + Т2 > 0. Прибавив к обеим частям неравенства 4T2Ti, получим Т2 + 2TiT2 + Т2 > 4Т1Т2, или (Т2 + Ti)2/(4TiT2) > 1, отсюда 1п[(Т2+Т1)2/(4Т1Т2)] >0.
В этом процессе изохорную молярную теплоемкость надо заменить на изобарную. Получим KSP = Cmp hi [(Ti + T2)2/(4TiT2)] > KSv•
Основы газовой динамики
Применим уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:
= Мщ
122
Скорость в пожарном рукаве найдем из уравнения неразрывности.
Применив к обоим сечениям уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости и выразив скорость в сужении через скорость газа в трубопроводе, получим
pc2 ( D4 \
где D и d — диаметры трубопровода и сужения. Но расход
д = pSu = ™ TvpvD\
а перепад давления Ар = pQgh^ где ро — плотность воды. После несложных преобразований получим окончательное выражение для расхода.
Воспользуемся законом сохранения энергии в консервативных системах. Здесь работа сил давления сопровождается изменением полной механической энергии системы: А = ИЗ— ИЗ = (JP2 SU2) — (Ki SUi). Выделим мысленно некий объем жидкости V = I1S1 = OSv, масса этого объема m = = pV. Работа сил давления
А = Fih — F2l2 = piSih — P2S2I2 = (pi — Р2)И
Подставив полученный результат в выражение для изменения энергии, получим
,mv^ , тц2 7
(щ-mgh^
откуда следует:
тр^2 т
pi + ^h pghi = р2 + h pgh2.
Допустим, что за некоторое малое время из отверстия вытекает столь малый объем жидкости, что снижение ее уровня в широкой части сосуда незначительно. Поэтому скоростью движения жидкости в широкой части сосуда можно пренебречь. Учитывая также, что перепад давлений здесь определяется только гидростатическим давлением, мы придем к выводу, что уравнение Бернулли примет вид pgh = рс2/2, откуда и следует формула Торичелли для скорости истечения жидкости через малое отверстие.
Воспользовавшись формулами (30.9) и (30.17), получим искомый результат.
В движущейся системе отсчета, связанной со скачком уплотнения, справедлива система уравнений (см. т. 1, § 30.5):
ри = роио,
р!рор!роРис. 19.7Рис. 19.7.2,2
р!ро
р!ро
Рис. 19.7
Рис. 19.7
р^рп = ро + ропо,
Ц2 +7 Р = ^0 +7' Ро
2 у ™ 1 р 27 - 1 ро '
Здесь tto = —w — скорость набегания невозмущенного газа на скачок, ро и ро — давление и плотность невозмущенного газа, и = = v — ш — скорость газа за скачком, р и р — его давление и плотность в этой области, w — скорость тела (и головной волны) относительно Земли. Данная система уравнений представляет собой уравнения неразрывности, импульсов и энергии.
Из первых двух уравнений найдем скорости
„ _ / р(р-ро)° \ро(р-ро)
и
= ро(р-ро)р(р-ро) '
Подставив эти значения в уравнение Бернулли, получим искомый результат (рис. 19.7).
Знаменатель в уравнении Гюгоньо не должен обращаться в нуль.
то и знаменатель долженто и знаменатель долженА так как числитель — число положительное,
то и знаменатель должен
то и знаменатель должен
быть положительным числом.
Уравнение Гюгоньо приводится легко к виду
откуда после преобразованияоткуда после преобразования(7 +(7 - Що
откуда после преобразования
откуда после преобразования
(7 + 1)ро - (7 - ^)Р ’
Р =РоследуетР =Роследует(7' + 1)(рро - Pop) = (7' - 1)(рр - роро). Положим р0 = р - ф и р0 = = р — dp и подставим в последнее уравнение. Приведя подобные и пренебрегая слагаемым dp dp как бесконечно малой второго порядка dp dp111 х
Р =
Ро
следует
Р =
Ро
следует
малости, получим — = — . Интегрируя, имеем 7 In р = шр — In const Р Р
или р/р7 = const. А это и есть уравнение Пуассона.
Скорость ударной волны равна и = 4. Здесь ро =
У рокр-ро)
= 1,01 • 105 Па, ро = 1,29 кг/м3, р = 200ро, плотность на фронте ударной волны найдем из уравнения Гюгоньо (см. задачу 19.7). Обозначив
a = jwp y = TL = 200,V роРоa = jwp y = TL = 200,V роРоа. =а. =70 + 17о - 170 + 17о - 1= 3,5,= 3,5,получим после преобразованийполучим после преобразованийРис. 19.12Рис. 19.12Рис. 19.13Рис. 19.13
a = jwp y = TL = 200,V роРо
a = jwp y = TL = 200,V роРо
а. =
а. =
70 + 1
7о - 1
70 + 1
7о - 1
= 3,5,
= 3,5,
получим после преобразований
получим после преобразований
Рис. 19.12
Рис. 19.12
Рис. 19.13
Рис. 19.13
Рассмотрим цикл, изображенный на рис. 19.13. Поскольку газ
возвращается в первоначальное состояние, изменение энтропии за весь цикл равно нулю. Но при квазистатическом адиабатном расширении газа (участок 2-3) энтропия не меняется, при изохорном охлаждении газа (участок 3-1) его энтропия убывает. Следовательно, при ударном сжатии (участок 1-2) энтропия возрастала. Сделаем расчет, полагая, что степень сжатия газа ж = р^/pi. Полагая, как и в задаче 19.10, а = (7+1)/(7—1), получаем с помощью уравнений Гюгоньо и Пуассона (задача 19.7) pz/pi = («ж — 1)/(а — ж), р^/рз = ж7; следовательно, рз/pi = («ж — 1)/(а — ж)ж7.
Изменение энтропии при ударном сжатии равно изменению энтропии при изохорном охлаждении, взятому с обратным знаком. Воспользовавшись результатом задачи 18.14, получим
тпТу mрз m . аж - 1
= — ZAby = —— bmv In — = — bmv Ш = — GmV Ш -—; .
уMТ3 Мpi М(а - ж)ж^
В критическом сечении скорость потока равна местной скорости звука; в котле скорость потока равна нулю. Воспользовавшись результатом задачи 19.6, получим
откуда жкр = а0откуда жкр = а0O'O ^кр . ^кр7™ 17™ 1 ’
откуда жкр = а0
откуда жкр = а0
Для определения скорости пара при выходе из сопла воспользуемся уравнением Бернулли в форме (30.8), в результате и = у2ср(То — Т).
Силу тяги найдем по второму закону Ньютона: F — mg = ma, откуда следует F = 4mg. Расход топлива с окислителем
_ F _ 4mg
Д z= = ——— .
и и
Из уравнения неразрывности находим плотность газа
__ ц _ 16mg
Su-к ВНР "
Давление найдем из уравнения Клапейрона—Менделеева.
Прежде всего определим число Рейнольдса, взяв за характерный размер диаметр трубопровода:
Re = рЫ = 8 • 102 • 0,8 • 1,1 = 7 1о4р10™ 2’
что много больше 2320. Следовательно, коэффициент гидравлического трения надо искать по эмпирической формуле
А == 1,94 • 10“2 « 0,02.
Это позволяет по формуле (30.32) найти перепад давлений на участке.
Мощность найдем по формуле Р = Fv = KpSv.
Заметим, что этот расчет сделан для идеализированной гладкой трубы, в реальной трубе требуется существенно больший перепад давлений и, соответственно, значительно большая мощность насоса.
Уравнение неразрывности есть следствие закона сохранения массы вещества, поэтому оно справедливо для любого установившегося течения жидкости. Уравнение импульсов и уравнение Бернулли выводятся для идеальной жидкости, т.е. для случая, когда вязкостью можно пренебречь. Между тем в трубопроводах вязкость жидкости играет существенную роль и силами трения пренебречь невозможно.
В выражение а = ^^RT/М подставить значения у = 1,41, R = = 8,31 кДж/(кмоль-К) и М = 29 кг/кмоль.
Твердое тело
Напряжение а = F/S, где F — приложенная сила, S — площадь сечения, по которому распределена эта сила. Воспользовавшись определением модуля всестороннего сжатия, получим
ДУ
F = KSe = KS .
Стрела провеса h =(Z/2)2 — ^cljiy = 0,625 м. Сила, растяги
вающая трос, F = mgl/4h = 1,57 • 104 Н, сечение троса S = 120тгИ2/4 = = ЗОтгР2 = 9,4- 105м2. Отсюда по закону Гука находим удлинение троса
л z == zcifL
ES 4ESh '
По разрушающему напряжению находим силу, способную разорвать трос: FM = (iMS. Груз, способный разорвать трос,
Искомая сила имеет вид
4тгеоа2 Ц 22 + З2 42 + '' J
_ е2 / 3711
“ -4те0а2 V2 ' 22 + З2 ■ 42 + 52 • 62
Подсчитаем с точностью до трех значащих цифр значение ряда в скобках. Исходя из заданной точности, можно отбросить все члены, меньшие 0,001, т.е. взять сумму первых десяти членов ряда, в результате
3739
++ += °’82128 « °’82-
Отсюда следует:
Как видно, с погрешностью, не превосходящей 20 %, можно пренебречь взаимодействием всех ионов, кроме ближайшего соседа.
Для расчета рассмотрим плоскость с так называемым «шахматным» чередованием ионов. Тогда разрушающее напряжение пм = Forp где Fq = е2/(4тг€оа2) — сила взаимодействия соседних ионов, п = а-2 — концентрация ионов на единице площади. Итак,
_ е2
м 4тг£оа4
Задачу будем решать во вращающейся системе отсчета. Выделим мысленно участок маховика, видимый из центра под малым углом а. На этот участок металла действуют центробежная сила инерции и две силы упругости. Соотношение между ними вытекает из условия равновесия: 1цб = Та. Здесь Т = и5, где S — сечение обода маховика и а — напряжение. Объем выделенного участка V = IS = aSRcpi где Rcp = (R + г)/2 — средний радиус обода маховика. Центробежная сила инерции
Гцб = mu?Rcp = u?Rcp • pV = apSb?R2p)
где p — плотность металла. Подставив 1цб в условие равновесия, получим зависимость напряжения в металле от скорости вращения:
2 „2а = рш Rcp.
Допустимой является скорость вращения, если напряжение не превысит предела упругости. В этом случае при уменьшении скорости вращения маховик под действием упругих сил вернется в первоначальное состояние. Следовательно, максимально допустимая угловая скорость вращения маховика
Разрушение маховика наступит в том случае, если напряжение в маховике достигнет значения разрушающего напряжения:
2
^разр —^разр —Вырежем мысленно из сферы малый сферический сегмент (рис. 20.8), радиус основания которого а = Rsina. По периферии этого
^разр —
^разр —
сегмента на элемент площадки AS = dAl действует элементарная сила упругости АТ = = a AS = ad Al. Нормалвная составляющая элементарной силы АТп = AT sin а = = adAl sin а. Суммируя по всей окружности сегмента, получаем полную силу нормального давления:
Тп = ad • 2тга sin а = pTraRdsin2 а.
Эта сила уравновешивает силу давления газа F = pS, которая действует на сегмент. При малом угле поверхность сегмента S = тга2 = = тс R2 sin2 а и сила давления F = ттрР2 sin2 а.
Из баланса сил следует, что р = lad/R.
ЦИ-ЦИ-Вырежем мысленно из цилиндрической поверхности вдоль образующей малый участок (рис. 20.9). Как видно, на участок действуют четыре силы упругости. Две из них направлены вдоль образующей; их нормальные составляющие равны нулю, поэтому они не противодействуют давлению газа и их в расчете учитывать не следует. Две другие силы направлены перпендикулярно образующим; их нормальные составляющие в сумме дают нормальную силу Тп = = laid sin а. Сила давления F = pS = = Ipal = IplRsina.
ЦИ-
ЦИ-
Из условия равенства сил следует, что р = ad/R, что и требовалось доказать (сравните с задачей 20.8).
В данном температурном интервале относительное изменение длины пропорционально изменению температуры: е = Al/l = at At. По закону Гука а = = Ее = EaiAt.
Задача решается аналогично задаче 20.8. Выделив мысленно участок обоймы, видный под малым углом а, по-
лучим F = Та, где F = axSx — сила давления на обойму со стороны
линдра, Т = aS‘2 — сила напряжения в кольце. Но 51 = hra, S2 = hd (рис. 20.11), а давление на обойму найдем так же, как в задаче 20.10:
Атх
р = ах = Ехе = Ех = ExaiAt.
г
Здесь Ех — модуль Юнга для стали, од — коэффициент теплового расширения стали. Отсюда следует: Exai At rah = a^had, и напряжение в обойме
Ехахт At
° = d ■
Напряжение ищем по закону Гука: а = Ее = Е^р/р. Изменение плотности находим по данным § 33.5 (см. т. 1). Возникшее во льду напряжение равно давлению, которое он оказывает на скалу.
Рис. 20.11Рис. 20.11Рис. 20.13Рис. 20.13
Рис. 20.11
Рис. 20.11
Рис. 20.13
Рис. 20.13
Условие равновесия жидкости в сообщающихся сосудах (рис. 20.13): pi = р2 или pihig = p2h2g. Но р = ро/(1 + ayt^ откуда
hi h2 h2 — hi
1 + cxyti 1 + cxyt2 hit2 — h2ti
В простой кубической решетке атомы расположены по вершинам куба. Всего в восьми вершинах расположено восемь атомов, но в каждой вершине атом делится на восемь кубиков, сходящихся в вершине. Следовательно, на один кубик приходится один атом. В объемноцентрированной решетке в центре ячейки находится еще один атом.
В гранецентрированной решетке атомы расположены в восьми вершинах и на шести гранях. Вершина содержит 1/8 атома, грань — половину атома. Всего в ячейку входит 8 • (1/8) + 6 • (1/2) = 4 атома.
В гексагональной решетке три средних атома полностью входят в ячейку; два атома, расположенные в центрах оснований, входят в ячейку наполовину; двенадцать атомов, расположенных в вершинах призмы, делятся каждый на шесть ячеек, сходящихся в одной вершине. Итак, всего в элементарную ячейку входит 3-1+ 2-(1/2)+ 12-(1/6) =6 атомов.
Сила взаимодействия между молекулами / = —А/г7 + В/г13 (см. т. 1, § 31.4). По определению U = —f fdr.
Минимум энергии определяется из условия dU/dr = —/ = О, откуда следует, что он достигается при расстоянии между молекулами d = = у/В/А. Подставив в выражение для энергии т = d, получим искомый результат.
Жидкость
Для проверки применимости экспоненциального закона зависимости вязкости от температуры найдем, как зависит логарифм вязкости от величины, обратной абсолютной температуре. Для этой цели по результатам табл. 21.1 а составим новую табл. 21.1 б. По данным этой таблицы строим график на миллиметровой бумаге. Как видно, почти все точки ложатся
на прямую линию
9 .9 6В
у = а + Ьх, или 1g (Ю^ту) = а + Ю°- = а + — .
Таблица 21.1 б
т, к
ж = Ю3/Т
У = 1g (ЮЦ)
т, к
X = 103/Т
У = lg(1037?)
273
3,66
0,226
323
3,10
0,148
283
3,53
0,210
333
3,00
0,136
293
3,41
0,191
343
2,92
0,123
303
3,30
0,176
373
2,68
0,091
313
3,19
0,161
Потенцируя, получаем
103z? = Л ■ 10в/т,
что отличается от формулы (34.10) лишь числовыми коэффициентами.
Для определения энергии активации £о используем две точки, лежащие на прямой:
хх = 2,75, у = 0,100 и х2 = 3,60, у2 = 0,213.
Этим точкам соответствуют температуры Тх = 103/ж1 = 364 К, Т2 = = 103/.Т2 = 278 К и вязкости ух = Ю-3 • 10У1 = 1,26 • 10-3 Па-с, т/2 = = 1,63 • 10™ 3 Па-с. Отношение вязкостей
772 = е=а№ £о(Г1 _ т^
771 e^Ti 6ХР кТ\Т2 "
Отсюда, логарифмируя, находим
ео(Тх — Т2) _ ^ Ц2
кТхТ2ух ’
ИЛИ_ = fcTiT 111(772/771) = 2,ЗкТ\Т2 1g (772/771)
£о Л -Т2Т1-Т2'
Вода станет подниматься и дойдет до верхнего отверстия капилляра. Здесь кривизна вогнутой поверхности начнет уменьшаться до тех пор, пока давление искривленной поверхности не сравняется с гидростатическим давлением столбика воды. После этого вода перестанет подниматься. Условие равновесия:
А 2а cos 6.
Др = = pgh.
Г
Для краевого угла получим
cos У = ^^ = 0,544, 8 = 57°.
Общая поверхность всех капелек So = 400%?”2 = 100?rd2, объем всех капелек Vo = 100?rd3/6. Когда капельки сольются в одну, объем не
изменится, а поверхность уменьшится: V = -кВ3/6 = Vo? S = ttD2. Из равенства объемов найдем диаметр большой капли:
100W36100W36тгП36тгП36откуда D = fi^lOO;откуда D = fi^lOO;
100W3
6
100W3
6
тгП3
6
тгП3
6
откуда D = fi^lOO;
откуда D = fi^lOO;
поверхность большой капли S = nd2 s/104. Уменьшению площади AS = So — - S = Ы2(102 - 104/3) соответствует уменьшение энергии поверхностного слояповерхность большой капли S = nd2 s/104. Уменьшению площади AS = So — - S = Ы2(102 - 104/3) соответствует уменьшение энергии поверхностного слоя
поверхность большой капли S = nd2 s/104. Уменьшению площади AS = So — - S = Ы2(102 - 104/3) соответствует уменьшение энергии поверхностного слоя
поверхность большой капли S = nd2 s/104. Уменьшению площади AS = So — - S = Ы2(102 - 104/3) соответствует уменьшение энергии поверхностного слоя
Д8ПОВ = аД5 to <тД5 = тгсгТ(102 - 104/3).
В невесомости на жидкость действуют две силы: сила поверхностного натяжения VnOB = Tvad и сила гидравлического сопротивления
I и2 nd2
Усопр = А — • —^— • -^— (см. т. 1, § 30.16). Поскольку скорость движения жидкости мала, то при малых числах Рейнольдса Л = 64/Re = 64р/(pud). Приравнивая силы, получаем после упрощений
ad
Вычислив скорость, найдем число Рейнольдса и убедимся, что оно много меньше 2320.
Когда жидкость опустится до нижнего конца трубки, там образуется выпуклый мениск, по форме точно такой же, как и наверху. Избыточное давление Ар = 2 • 2а/г. Но 2а/г = pgh, Ар = phH^ откуда следует Н = 2h.
Допустим, что капля растеклась симметрично и имеет сверху вид круга радиусом R. Площадь этого круга S = V/d = т/pd. Сила притяжения между пластинами F = ApS, где Ар = 2а/d — избыточное давление под искривленной поверхностью. Следовательно,
_ 2ат
Давление слева и справа одинаково, т.е.
4а 4а 4а
Арх + Ар =или —+—= — ;
К К 2
здесь Ар = 4(г/R, ибо пленка имеет две поверхности — наружную и внутреннюю. Итак,
£ _ ££
R Ri R2
Поскольку в точке контакта трех пленок мы имеем систему трех равных сил, уравновешивающихся на плоскости, то угол между силами находится из условия, что они образуют замкнутый треугольник.
Пар
В отличие от идеального газа, у которого при изохорном процессе концентрация молекул (и плотность) не меняется, у насыщенного пара с ростом температуры концентрация молекул (и плотность) возрастает за счет дополнительного испарения жидкости.
Плотность насыщенного пара при 55 °C равна 104,3 г/м3. Следовательно, 8 г насыщенного пара при этой температуре займут объем 8/104,3 = = 7,6 • 10™3 м3 = 7,6 л. Очевидно, что при меньшем объеме выпадет роса.
Сначала определим массу влаги в каждой части воздуха, т.е. абсолютную влажность смешиваемых объемов. Имеем в 5 м3 воздуха
mi = ДК = рГ'^ДС = 12,8 • 0,22 • 5 = 14,1 г.
В 3 м3 воздуха
m2 = рТВАА = 27,2 • 0,46 • 3 = 37,5 г.
Далее найдем абсолютную влажность смеси: mi + m2z з
/ ==6’45г/“-
Для определения относительной влажности надо найти температуру смеси. Пренебрегая массой паров, можно уравнение теплового баланса записать в виде
poVico(t - 15) = poV*2CO(2§ - t),
где индексом нуль помечены плотность и теплоемкость воздуха. Имеем t = = 20 °C. Теперь уже легко определяется относительная влажность.
Rp^T^/M = 9,8 • 107 Па, в то время как ркр = 218 атм = = 2,2 • 107 Па. Следовательно, к критическому состоянию неприменимо уравнение Клапейрона-Менделеева. Причина в том, что здесь большую роль играет молекулярное взаимодействие, которым мы пренебрегаем в идеальном газе.
Фазовые переходы
Поскольку парообразование происходит при постоянном давлении, то А = рДдар ” ^Y гДе уо = 1/р — удельный объем, т.е. объем одного килограмма вещества. Итак,
Плотность пара при 100 °C найдем по табл. 35.1 (см. т.1, § 35.3). Поскольку удельный объем пара почти в тысячу раз больше удельного объема жидкости, то с погрешностью менее одного процента А = р/р^^.
Энергию, расходуемую на разрыв связей между молекулами, найдем по первому началу термодинамики: ^U = L — А^ где L — удельная теплота парообразования.
Под давлением проволоки лед плавится, и проволока опускается; оказавшаяся сверху вода тут же вновь замерзает.
При конденсации пара и последующем охлаждении горячей воды до точки плавления льда выделится Q = тз(Ь + cAt) = 5,2-105 Дж тепла. Этого не хватит на плавление всего льда: для этого необходимо <2ПЛ = = т2Л = 106 Дж. Следовательно, расплавится лишь часть льда.
При замерзании воды выделяется теплота плавления, которая пойдет на разогревание оставшейся воды до 0 °C. Пусть общая масса переохлажденной воды т, масса образовавшегося льда mi, масса оставшейся
воды т*2 = т — mi. Из уравнения теплового баланса имеем mi А = = (m — mi)cAt, откуда следует:
_ mi _ cAt
m Л + cZXt
Скорость истечения равна и = ц/pS, где расход пара р — количество жидкости, испаряющейся ежесекундно. Очевидно, что р = Q/Lt = = yP/L, где Р — мощность плитки и у — ее коэффициент полезного действия. Итак,
уР
V = "pLS ‘
Сначала определим точку плавления: t = — ZXpjk = —4,35 °C. При охлаждении льда до этой температуры выделится теплота Q = mcAt = = mc|t|. Эта теплота пойдет на плавление льда: 5Пл = miX. Итак, расплавившаяся часть льда х = mi/m = c|t|/A.
При расчете будем считать теплоемкость льда и теплоту плавления постоянными.
Приток теплоты в дьюар Q = а(ТВОЗд — Т), где а — некий коэффициент, Т — температура внутри дьюара. Для льда и азота получим отношение
Qi _ Твозд — Tj
Q^ Твозд — Т^
Но для азота Q^ = m^L, где L — теплота испарения азота; для льда, соответственно, Qi = miA. Итак,
тД ТВозд Tiп11Л(ТВозд TV)
= — , откуда т2 = —— -г .
Гвозд — Г2
По закону Гука ст = еЕ. Относительное удлинение
а;а;Ул - кУнУл - кУн/ Рв РлУ рл/ Рв РлУ рл
а;
а;
Ул - к
Ун
Ул - к
Ун
/ Рв Рл
У рл
/ Рв Рл
У рл
Поле неподвижных зарядов в вакууме
Для случая разноименных зарядов очевидно, что истинная сила взаимодействия зарядов больше, чем если бы заряды были сконцентрированы в центрах шаров, и меньше, чем если бы заряды были сконцентрированы в самых близких друг к другу точках шаров:
924тгвог2924тгвог2< F << F <q24тгео(г — 2го)2q24тгео(г — 2го)2
92
4тгвог2
92
4тгвог2
< F <
< F <
q24тгео(г — 2го)2
q24тгео(г — 2го)2
силе:силе:Абсолютная погрешность меньше разности граничных значений, относительная погрешность меньше отношения этой разности к минимальной
силе:
силе:
F^ - Ei _ г2 - (г - 2г0)24г0(г - гр")
Fi(г - 2го)2 (г - 2го)2
Проведем оси координат, как показано на рис. 24.2. Пусть М — одна из точек, где потенциал равен нулю:
у = УЧ — у2 = Ч - ч = О,
4?Г£оГ14тГ£о^2'
откуда следует, что т^ = 2п.
Рис. 24.2
Подставив ri = у/(За — ж)2 + у2 11 г2 = у/(За + ж)2 + у2, получим после преобразований:
(ж — 5а)2 + у2 = 16а2.
Это — уравнение окружности, радиус которой равен 4а, а координаты центра (5а, 0).
На каплю вертикально вниз действует сила тяжести mg = = ^Xj^pD3pg. Ее уравновешивает электрическая сила F = qE = qp/d, направленная вверх. Из баланса сил находим заряд капли.
Здесь эквипотенциальные поверхности — сферы с центром в источнике, нормалями являются радиусы. Если потенциал ф = д/(4тг£ос), то напряженность поля
S = _N =( 4 Е ?
dr dr \4тгеог / 4тгеог2 ’
что и требовалось доказать.
ф = — Г Edr = - 9 Г ^ =— + const,
а4тг€04тгвог
Потенциал найдем, разбив кольцо на малые участки и суммировав потенциалы этих участков. Напряженность поля
Е = -^ = А ф + ^-1/2 = аж 4тг€о аж
1 q ( 2 . 2^3/2 о
=• , (ж + а ) 1 • 2ж =— .
2 4тг£о4тг£о ^(ж2 + а2)3
а) Из рис. 24.8 а видно, что здесь на диполь действует пара сил. Равнодействующая пары равна нулю; момент пары получим, умножив силу на плечо.
б) Из рис. 24.8 б видно, что в этом случае на диполь действуют две силы, направленные вдоль радиус-вектора. Отсюда ясно, что момент здесь
Рис. 24.8 аРис. 24.8 аРис. 24.8 6Рис. 24.8 6
Рис. 24.8 а
Рис. 24.8 а
Рис. 24.8 6
Рис. 24.8 6
равен нулю, а равнодействующая направлена вдоль радиуса к источнику. Равнодействующую можно найти двумя способами. Можно воспользоваться законом Кулона:
F = F- + F+ =^+91.
4тг£о (г — 1/2)2 4тг£о (г + 1/2)2 4тг£о (г — Z2/4)2
Учитывая, что по условию задачи I <^ г, получаем
4ттеоГ4 4тТ£оН
Этот же результат можно получить из формулы (37.15) (см. т. 1), заменив отношение приращений производной:
F = »^ =»± (_0_ А =.
е dr е dr \4тгеог2 ) 4тг£ог3
При параллельном соединении конденсаторов все соединенные между собой обкладки имеют одинаковый потенциал; следовательно, gi = = Ci (уд — уд) и ^2 = СДуд — уд), где gi и 92 — заряды соответствующих конденсаторов. Заряд батареи g = gi + g2 = (Ci + С^Хуц — уд)- С другой стороны, g = С(уц — уд), где С — емкость батареи. Отсюда следует искомая формула.
При последовательном соединении конденсаторов их заряды перераспределяются так, что заряд всех конденсаторов оказывается одинаковым. Чтобы в этом убедиться, рассмотрите, что получится, если разрядить систему, соединив накоротко точки с потенциалами фх и ф2.
Имеем: фх — ф = q/Cx^ ф — ф2 = q/C^ Для всей батареи фх — ф*2 = q/C. Сложив первые два равенства и сравнив результат с третьим, получим искомую формулу.
Энергия при параллельном включении
TJ7 — ^^рТЧар _ иСоуоИ пар -5
при последовательном включении
ТТ7 СпослУ^посл (Со/п) • П" фо пСофо тттпоел ——2—2—
Поскольку распределение заряда обладает сферической симметрией, то это справедливо и для электрического поля, т.е. модуль вектора напряженности зависит только от модуля радиус-вектора (рис. 24.13).
Проведем две вспомогательные концентрические сферы с радиусом
d < а и г2 > а. Из симметрии вытекает, что вектор напряженности перпен-
Рис. 24.13Рис. 24.13дикулярен поверхности сферы, т.е. а = 0. Поэтому поток через замкнутую поверхность
Рис. 24.13
Рис. 24.13
No = J Е dS cos а = Е • 4тгг2.
По теореме Гаусса этот поток равен Wo = = (1 /^0 ) 52 9г , гДе 52 9г — суммарный заряд внутри поверхности (см. т. 1, § 37.9).
Но для любой точки внутри заряженного шара 529г = 0, следовательно, Ег • 4тгг2 = 0, и напряженность поля внутри сферы равна нулю: Ei = 0.
Для любой точки вне заряженной сферы 52 9г = 9, следовательно,
Ее • 4тгг| = q/eo, и Ее = д/(4тг£ог2).
На поверхности сферы Ео = д/(4тг€о«2) = и До, где о = д/(4тга2) поверхностная плотность заряда.
Потенциал поля на поверхности одной и другой сферы равен
4тг£оД ’ 4тг£оД1 "
Разность потенциалов
_ 9/11 5 _ q^Rx — R)
4тг€о \ДRx / 4тГ£оДЛ1
Электроемкость
_ g _ 4тг€оДЛ1Ф - фх Ri ™ R *
Приближенно, если d = Ri — R <^ R, получим
_ 4тг£оД2 _ EoS/ ™ d ™ ™т
т.е. выражение для емкости плоского конденсатора. Погрешность
Рис. 24.15Рис. 24.15с ^сф С-дл Rx R d== R = R ‘
Рис. 24.15
Рис. 24.15
Окружим нить коаксиальным цилиндром радиусом т. Из симметрии задачи вытекает, что вектор напряженности электрического поля по модулю одинаков во всех точках на поверхности цилиндра и направлен перпендикулярно этой поверхности (рис. 24.15). Поток же через оба дна цилиндра равен нулю, ибо здесь вектор напряженности направлен вдоль плоскости.
Итак, полный поток через замкнутую поверхность
No = J Е dS cos а = Е • 2тгг/г.
Согласно теореме Гаусса, No = (1/ео) 529г = ^hjeo.
Напряженность поля Е = 7/(2тг€ог).
По аналогии с предыдущей задачей напряженность поля между пластинами цилиндрического конденсатора Е = у/^ттбуг), где у = q/h. Разность потенциалов
R2 R2
Г1ГqdrqR2
Фх ™ Ф2 = Е dr = I ,=, In — .
JJ2ттвокг2-KEohRx
RxRx
Электроемкость C = qj^x — Ф2) = 2тгб'оЛ/1п (^2/^1)- Если расстояние между пластинами d = R2 — Rx ^ R2, то
ИмеемИмеем. R2"‘ 777. R2"‘ 777= In= InRx 4™ dRxRx 4™ dRx27TEohRi/ d27TEohRi/ dEqS"ТEqS"Т
Имеем
Имеем
. R2
"‘ 777
. R2
"‘ 777
= In
= In
Rx 4™ d
Rx
Rx 4™ d
Rx
27TEohRi
/ d
27TEohRi
/ d
EqS
"Т
EqS
"Т
Заряженный по поверхности шарик радиусом а можно рассматривать как сферический конденсатор, у которого внешняя сфера удалена бесконечно далеко (т.е. R = a, Rx -4 00). Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, получим
_ v 47Г€о«Л1С = нт —-Ri Moo Ri — а_ v 47Г€о«Л1С = нт —-Ri Moo Ri — а4тг£о«4тг£о«lim.1 — а/гхlim.1 — а/гх= 4тГ€о«-= 4тГ€о«-Энергия поляЭнергия поляW = —2СW = —2Св28тг£о«в28тг£о«
_ v 47Г€о«Л1
С = нт —
-Ri Moo Ri — а
_ v 47Г€о«Л1
С = нт —
-Ri Moo Ri — а
4тг£о«
4тг£о«
lim.
1 — а/гх
lim.
1 — а/гх
= 4тГ€о«-
= 4тГ€о«-
Энергия поля
Энергия поля
W = —
2С
W = —
2С
в28тг£о«
в28тг£о«
Приравняв ее энергии покоя электрона Йо = тпес\ получим
а = -- =1,4-10 ° м.
8тТ£оТПеС2
Как показано в § 72.5, обычно «классическим радиусом электрона» называется вдвое большая величина ?’кл = 2а = 2,8 • 10™5 м. Сравнивая с результатом задачи 14.23, убеждаемся, что полученный там результат на два порядка больше «классического радиуса». Это свидетельствует о некорректности решения обеих задач. В современной науке вопрос о размерах элементарных частиц, в том числе и о размерах электрона, далеко еще не решен.
Механическое напряжение равно плотности энергии электрического поля (см. § 37.8). Имеем: р = wo = е®Е2/2\ поле на поверхности шара (см. задачу 24.14) Е = q/(4tteqR2). Отсюда следует искомый результат.
Электрические силы, растягивающие пленку, должны превысить силы поверхностного натяжения:
q24а
32тг2€0Л4R '
До соединения на первом конденсаторе был заряд gi = Суд, на втором — q2 = Сф2* После того как верхние пластины конденсаторов соединили, заряд g = gi + q2 распределился между ними поровну. Потенциал незаземленных обкладок батареи
_ g _ gi + g2 _ фх + ф2фбат•
С^батZ
Энергия системы до соединения
W = TV1 + Ж =;
энергия батареи
w Сбатфбат ^С(ф1Рф2У
Она меньше, чем до соединения. Причина потери энергии заключается
в том, что при перетекании заряда от одного конденсатора к другому при их соединении в батарею эта часть энергии перешла в другие виды энергии (на нагрев проводов, образование искры, электромагнитное излучение и т.д.).
Поскольку выражение для напряженности гравитационного поля точечной массы Е = Gm/г2 (см. т. 1, § 9.6) полностью аналогично выражению для напряженности поля точечного заряда Е = д/(4тг€ог2), то все рассуждения § 37.9 остаются в силе. Поэтому полный поток вектора напряженности гравитационного поля через замкнутую поверхность No = 4ttG УУ тг.
По аналогии с задачей 24.13 поле вне шара Ее = GM/r\ поле на поверхности шара Ео = GM/R2. Чтобы найти напряженность поля внутри шара, следует в выражение теоремы Гаусса подставить массу вещества внутри вспомогательной сферы. Имеем
• 4тгг3/3 _ Мт3
4тгЛ3/3 “ Л3 '
Итак, Ei • 4тгг2 = 4tvGMt3 j R\ откуда Ег = GMr/R3.
Поскольку напряженность гравитационного поля вне шара такая же, какую создавала бы точечная масса, помещенная в центре шара, то закон взаимодействия шаров такой же, как и закон взаимодействия точечных масс. Иначе обстоит дело с заряженными шарами. Здесь за счет взаимодействия происходит перераспределение зарядов по поверхности, и сферическая симметрия нарушается, что очень затрудняет расчет (см. задачу 24.1).
Диэлектрики
Если пластины все время присоединены к источнику, то разность
потенциалов и, как следствие, напряженность поля остаются неизменными. Плотность поляризационного заряда равна поляризуемости диэлектрика:
(E-l)eoy
О'ПОЛ = Р = ИеЕ0Ь = - .
а
Если конденсатор отключен от источника, то неизменным оста-
ется заряд на пластинах; потенциал и напряженность поля при вдвигании диэлектрика уменьшаются в е раз. Следовательно,
■жж■жж_ У - 1)е0^
■жж
■жж
пол ed ‘
Листы станиоля соединя-
рис 25.3ются друг с другом через один,
вследствие чего возникает батарея параллельно соединенных конденсаторов (рис. 25.3). Число конденсаторов равно числу слоев диэлектрика.
Пробивное напряжение Ппр = E^d, рабочее напряжение выбирается в 2™3 раза меньшим.
££qS££qSЭлектроемкость конденсатора не изменится, если мы положим на верхнюю плоскость изолятора очень тонкую фольгу. Следовательно, искомую емкость следует рассматривать как результат последовательного соединения двух конденсаторов с электроемкостями
££qS
££qS
EqS и С 2 = ,,
do — d
Здесь мы имеем дело с двумя параллельно соединенными конденсаторами с электроемкостями
EEqSIdloEEqSIdlo ^0*5*1 EoS^lo — I")„ esqS^
EEqSIdlo
EEqSIdlo
™ ад и °2 "
Под действием электрического поля капля поляризуется, приобретая дипольный момент ре = PV, где Р = ие£оЕ — модуль вектора поляризации, V — объем капли. В неоднородном поле на каплю действует сила, аЕ
Ь = Ре— , т.е.
dr
2Q4тгеог32Q4тгеог38тГ2£о'Г58тГ2£о'Г5F = ^eSoVE^ ^-i^y-EE ( dr4тг£ог2 \
2Q4тгеог3
2Q4тгеог3
8тГ2£о'Г5
8тГ2£о'Г5
Рис. 25.6Рис. 25.6Эта сила направлена вертикально вверх (рис. 25.6). Вертикально вниз действует сила тяжести mg = pVg. По условию задачи модуль электрической силы должен быть больше модуля силы тяжести:
Рис. 25.6
Рис. 25.6
(e-l)VQ2 . ... 5 E-W
—5-^5— ^pVg, откуда г < 4 -— .
ЗтЮЕоГ5у Sl^Eopg
Когда жидкость попадает в сильно неоднородное поле на краях пластин, она поляризуется и втягивается в пространство между пластинами. Поскольку заряд пластин не меняется, а электроемкость конденсатора при этом увеличивается, то энергия поля уменьшается. Это компенсируется увеличением потенциальной энергии столба жидкости между пластинами. По закону сохранения энергии
q2 q2 mgh
2С^ = 2С + 2
Здесь Со = е°^ , С = ^р [а + (f - 1)Ц (см. задачу 25.5), т = pbhd. Подставив значения величин в первую формулу, получим после упрощений
(е — l)g2 = EopgHab2\a + (s — 1)/г].
Выразим заряд на пластинах через потенциал:
_ ЕороаЬ
g = ^оСо = ——
Получим после упрощений квадратное уравнение
h2 + -^— h -£ — 1h2 + -^— h -£ — 1вра^оpg d2вра^оpg d2= 0.= 0.Из его решения определим искомое значение высоты подъема жидкости.Здесь также при подъеме жидкости возрастает емкость конденсатора, но энергия поля не сохраняется, а возрастает. Кроме того, возрастает и потенциальная энергия поднятой воды. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Конечно, нет! При подъеме жидкости источник тока совершает работу, и возрастание энергии системы будет равно работе, совершаемой источником тока по перемещению зарядов к пластинам конденсатора:Лист = АИСл + АИДот.Из его решения определим искомое значение высоты подъема жидкости.Здесь также при подъеме жидкости возрастает емкость конденсатора, но энергия поля не сохраняется, а возрастает. Кроме того, возрастает и потенциальная энергия поднятой воды. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Конечно, нет! При подъеме жидкости источник тока совершает работу, и возрастание энергии системы будет равно работе, совершаемой источником тока по перемещению зарядов к пластинам конденсатора:Лист = АИСл + АИДот.НоНоЛист = Ад • р = (С - Ср)ф\AWM = ^ -, А^пот = | mgh = | pgbdhEЛист = Ад • р = (С - Ср)ф\AWM = ^ -, А^пот = | mgh = | pgbdhEПосле несложных преобразований получаем искомый результат.Для построения графика удобно перейти к новым переменным: ж = 103/Т, где Т — абсолютная температура, и у = 103ме, где хе — электрическая восприимчивость. Соответ™После несложных преобразований получаем искомый результат.Для построения графика удобно перейти к новым переменным: ж = 103/Т, где Т — абсолютная температура, и у = 103ме, где хе — электрическая восприимчивость. Соответ™Рис. 25.9Рис. 25.9ствующие данные приведены на рис. 25.9, из которого видно, что в пределах эксперимента очень хорошо выполняется закон Дебая (см. § 38.6). Исходя из этого, воспользуемся для вычисления дипольного момента молекулы водяного пара формулой (38.26) (см. т. 1), а для концентрации молекул — уравнением газового состояния.Полезно сделать расчет по всем четырем экспериментальным точкам и усреднить результат.Для инертных газов характерна деформационная поляризуемость. По формулам §38.5 имеемствующие данные приведены на рис. 25.9, из которого видно, что в пределах эксперимента очень хорошо выполняется закон Дебая (см. § 38.6). Исходя из этого, воспользуемся для вычисления дипольного момента молекулы водяного пара формулой (38.26) (см. т. 1), а для концентрации молекул — уравнением газового состояния.Полезно сделать расчет по всем четырем экспериментальным точкам и усреднить результат.Для инертных газов характерна деформационная поляризуемость. По формулам §38.5 имеемхе = па, где п = р/кТ — концентрация атомов, a — поляризуемость атома. Дипольный момент атома в электрическом полехе = па, где п = р/кТ — концентрация атомов, a — поляризуемость атома. Дипольный момент атома в электрическом полеХе£рЕРе = aspE = .пКонцентрация атомов при нормальных условиях n = Nl (число Лошмид- та). Итак,Хе£рЕРе = aspE = .пКонцентрация атомов при нормальных условиях n = Nl (число Лошмид- та). Итак,Ре. =Ре. =ХеЕрЕ _ (е — 1)ер£7ХеЕрЕ _ (е — 1)ер£7NlNlNlNlРасчет показывает, что даже в таком сильном поле дипольный момент атома аргона на шесть порядков меньше дипольного момента молекулы воды.Расчет показывает, что даже в таком сильном поле дипольный момент атома аргона на шесть порядков меньше дипольного момента молекулы воды.
h2 + -^— h -
£ — 1
h2 + -^— h -
£ — 1
вра^оpg d2
вра^оpg d2
= 0.
= 0.
Из его решения определим искомое значение высоты подъема жидкости.
Здесь также при подъеме жидкости возрастает емкость конденсатора, но энергия поля не сохраняется, а возрастает. Кроме того, возрастает и потенциальная энергия поднятой воды. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Конечно, нет! При подъеме жидкости источник тока совершает работу, и возрастание энергии системы будет равно работе, совершаемой источником тока по перемещению зарядов к пластинам конденсатора:
Лист = АИСл + АИДот.
Из его решения определим искомое значение высоты подъема жидкости.
Здесь также при подъеме жидкости возрастает емкость конденсатора, но энергия поля не сохраняется, а возрастает. Кроме того, возрастает и потенциальная энергия поднятой воды. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Конечно, нет! При подъеме жидкости источник тока совершает работу, и возрастание энергии системы будет равно работе, совершаемой источником тока по перемещению зарядов к пластинам конденсатора:
Лист = АИСл + АИДот.
Но
Но
Лист = Ад • р = (С - Ср)ф\
AWM = ^ -, А^пот = | mgh = | pgbdhE
Лист = Ад • р = (С - Ср)ф\
AWM = ^ -, А^пот = | mgh = | pgbdhE
После несложных преобразований получаем искомый результат.
Для построения графика удобно перейти к новым переменным: ж = 103/Т, где Т — абсолютная температура, и у = 103ме, где хе — электрическая восприимчивость. Соответ™
После несложных преобразований получаем искомый результат.
Для построения графика удобно перейти к новым переменным: ж = 103/Т, где Т — абсолютная температура, и у = 103ме, где хе — электрическая восприимчивость. Соответ™
Рис. 25.9
Рис. 25.9
ствующие данные приведены на рис. 25.9, из которого видно, что в пределах эксперимента очень хорошо выполняется закон Дебая (см. § 38.6). Исходя из этого, воспользуемся для вычисления дипольного момента молекулы водяного пара формулой (38.26) (см. т. 1), а для концентрации молекул — уравнением газового состояния.
Полезно сделать расчет по всем четырем экспериментальным точкам и усреднить результат.
Для инертных газов характерна деформационная поляризуемость. По формулам §38.5 имеем
ствующие данные приведены на рис. 25.9, из которого видно, что в пределах эксперимента очень хорошо выполняется закон Дебая (см. § 38.6). Исходя из этого, воспользуемся для вычисления дипольного момента молекулы водяного пара формулой (38.26) (см. т. 1), а для концентрации молекул — уравнением газового состояния.
Полезно сделать расчет по всем четырем экспериментальным точкам и усреднить результат.
Для инертных газов характерна деформационная поляризуемость. По формулам §38.5 имеем
хе = па, где п = р/кТ — концентрация атомов, a — поляризуемость атома. Дипольный момент атома в электрическом поле
хе = па, где п = р/кТ — концентрация атомов, a — поляризуемость атома. Дипольный момент атома в электрическом поле
Хе£рЕ
Ре = aspE = .
п
Концентрация атомов при нормальных условиях n = Nl (число Лошмид- та). Итак,
Хе£рЕ
Ре = aspE = .
п
Концентрация атомов при нормальных условиях n = Nl (число Лошмид- та). Итак,
Ре. =
Ре. =
ХеЕрЕ _ (е — 1)ер£7
ХеЕрЕ _ (е — 1)ер£7
Nl
Nl
Nl
Nl
Расчет показывает, что даже в таком сильном поле дипольный момент атома аргона на шесть порядков меньше дипольного момента молекулы воды.
Расчет показывает, что даже в таком сильном поле дипольный момент атома аргона на шесть порядков меньше дипольного момента молекулы воды.
Рис. 26.4 аРис. 26.4 аРис. 26.4 6Рис. 26.4 6
Рис. 26.4 а
Рис. 26.4 а
Рис. 26.4 6
Рис. 26.4 6
Постоянный ток
Из симметрии фигуры видно, что потенциалы точек 2 и 4 равны, следовательно, по проводнику 2™4 ток не течет, и его можно убрать. Получим цепь, изображенную на рис. 26.2 б, сопротивление которой найти очень просто.
Сопротивления проводников пропорциональны их длинам:
х = г(1 — cos 36°).
Задачу можно решить поэтапно. Сначала звездочку заменим эквивалентным сопротивлением, изображенным на рис. 26.4 а, затем эквивалентным сопротивлением, изображенным на рис. 26.4 6. Из симметрии задачи ясно, что потенциалы точек Н и К равны, следовательно, перемычку НК можно убрать. Получим цепь, сопро
тивление которой находится элементарно как половина сопротивления любого из двух параллельных звеньев, состоящих из трех проводников каждое.
Рис. 26.5 бРис. 26.5 б
Рис. 26.5 б
Рис. 26.5 б
Из симметрии ясно, что потенциалы точек £, ^ и 5 совпадают: фч = ф4 = фз = ф' и соответственно совпадают потенциалы точек 6, 8 и 3: фб = ф8 = фз = фп • Если
мы закоротим точки равного потенциала, т.е. соединим их между собой проводниками с ничтожно малыми сопротивлениями, то сопротивление цепи не изменится. Полученная при этом цепь показана на рис. 26.5 6, ее сопротивление равно сумме сопротивлений трех последовательных участков по три, шесть и три параллельных звена в каждом.
7 А.А. Пинский
При балансе моста ток через гальванометр равен нулю, следовательно, фс = фп- Имеем по закону Ома для однородного участка: фл~фс = = /Л; фс — фв = IRx*, фл — фп = iRx = iph/S’, фп — фв = 1R2 = iph/S. Отсюда находим неизвестное сопротивление.
Относительная погрешность 5 = Hr, R + h/l + h^L — Z), где Hr — погрешность эталонного сопротивления, h — погрешность положения движка реохорда. Имеем
£ Hr hL
следовательно, минимальная погрешность возникнет в том случае, если значение у = l(L — I) будет максимальным. Но
имеет максимальное значение при I = £/2, т.е. когда движок реохорда находится посреди шкалы. Это возможно, если подобрать эталонное сопротивление по возможности ближе к измеряемому.
Диаметр проводника в произвольном сечении, отстоящем на расстоянии ж от меньшего сечения, равен у = а Р x^D — а)/1. Плотность тока и напряженность поля в произвольном сечении
. г 4г. 4рг
3 = с = —- ’ Е = РЗ = —- •
Сопротивление проводника
II
J
pdx 4р г dx
оо
Сделаем замену переменных, учтя, что у = а при х = 0 и у = D при х = I. Дифференцируя, имеем
,, D — ач Idy
dy = dx =, откуда dx =.
Подставив в выражение для сопротивления, получим
4pl г dy _ 4pl 1 D _ 4pl
-k^D — a) J г/2 тг(Р — а) у а rrD
а) При последовательном соединении элементов складываются их ЭДС и внутренние сопротивления.
При параллельном соединении одинаковых элементов ЭДС остается неизменной, а внутренние проводимости элементов складываются.
При смешанном соединении считают сначала ЭДС и сопротивление группы, а затем — эти же параметры всей батареи.
Удобнее всего соединить аккумуляторы в две группы последовательно по 100 штук, а затем эти группы соединить параллельно и через реостат подключить к зажимам динамомашины (рис. 26.11). ЭДС батареи Ж = пе/2 = 100-1,4 = 140 В, внутреннее сопротивление Рг = пт/4 = 0,5 Ом.
Сила тока в цепи I = 2г = 60 А. Закон Ома запишется так: Ду? — < = ЦП + Нгу откуда
Аф™ Ж
Я =Пг-
Мощность РПолн = Ж2/(Д + г) достигает максимального значения в режиме
короткого замыкания (Н = 0). Мощность приРис. 26.11
коротком замыкании Рк,3 = Ж2/г.
внешнвнешнЖ2 Птг ^НА-гЦЖ2 Птг ^НА-гЦЖ2 г уЖ2 г уМощность во внешней цепи достигнет максимума, когда П = г. Чтобы убедиться в этом, исследуем выражение
внешн
внешн
Ж2 Пт
г ^НА-гЦ
Ж2 Пт
г ^НА-гЦ
Ж2 г у
Ж2 г у
на экстремум. Имеем
Очевидно, что при Н = г величина у = 4, т.е. имеет минимальное значение, а мощность во внешней цепи окажется максимальной. Соответствующие
графики см. на рис. 26.13.
Соединим накалы всех ламп последовательно (рис. 26.14) и включим добавочное сопротивление Н = (U — пАф)/г = 573 Ом. Мощность тепловых потерь Р = гU = 66 Вт. Потери мощности на лампах и балластном сопротивлении относятся как
пАф
U—пАф '
Возможна схема с пятипозиционным переключателем (рис. 26.15). В положениях 5 и 4 прибор используется как амперметр с клеммами «+» и А, в остальных трех положениях — как вольтметр с клеммами «+» и V.
Л1 Л2Л1 Л2Л8Л8U—0 0™U—0 0™Рис. 26.15Рис. 26.15Рис. 26.14Рис. 26.14Потеря напряжения 40 В происходит на двухпроводной линии с известными параметрами, что позволяет найти силу тока в сети. Число
Л1 Л2
Л1 Л2
Л8
Л8
U
—0 0™
U
—0 0™
Рис. 26.15
Рис. 26.15
Рис. 26.14
Рис. 26.14
параллельно включенных ламп равно частному от деления силы тока в сети на силу тока в одной лампе.
Включение по схеме, изображенной на рис. 26.17, позволяет получить любую из трех желаемых мощностей.
Рис. 26.17Рис. 26.17
Рис. 26.17
Рис. 26.17
26.18. Длина провода I =26.18. Длина провода I =ОДтгШД^4ртсАТОДтгШД^4ртсАТ
26.18. Длина провода I =
26.18. Длина провода I =
ОДтгШД^4ртсАТ
ОДтгШД^4ртсАТ
а) Численной расчет. Сведем данные в табл. 26.19, из которой
следует, что сумма всех г|р равна 2580 А2. Количество теплоты, выделяемой
Таблица 26.19
c
ц A
Ap ? A
*cP, A2
C c
p A
Ap, A
»cp, A2
0
1
5
6
36
6
17
18
324
7
8
64
7
19
20
400
2
9
10
100
8
21
22
484
3
11
12
144
9
23
24
576
4
13
14
196
10
25
5
15
16
256
за At = 1 с, равно AQ^ = i^RAt. Количество теплоты, выделяемое за все время, равно сумме отдельных количеств теплоты:
Q = AQi + AQ^ + ... + AQg = (Сер + ^2ср + • • • + АСр)RAt =
= 2580 • 40 • 1 Дж = 1,03 • 105 Дж.
Интегрирование. Сила тока меняется по закону г = 5 4™ 2t. Количество теплоты
101010
Q= J i2Rdt = 40 J (5 + 2tf dt = 20 J (5 + 2tf ■ d(5 + 2p =
000
= 1,03 • 10s Дж.= 1,03 • 10s Дж.= у (5 + 2tf "° = ^ (253 - 53) = 20 '' 20
= 1,03 • 10s Дж.
= 1,03 • 10s Дж.
Мы видим, что численный расчет дает точный результат.
V с,V с,г = limAt^Oг = limAt^OAq \ _ dqAt ) dtAq \ _ dqAt ) dtЗакон Ома для этой цепи Ар = iR преобразуется так:
V с,
V с,
г = lim
At^O
г = lim
At^O
Aq \ _ dq
At ) dt
Aq \ _ dq
At ) dt
Знак минус возник потому, что при разряде конденсатора его заряд уменьшается. Подставив в выражение закона Ома, получим
qdqdtdq
i или.
RCdtRCq
Интегрируя, имеем
= - Ing + In Л,
где А — постоянная. Учитывая, что при t = 0 заряд q = qo, находим: О = — In qo + In А, откуда А = qo- Итак,
— = - Ing + In Qo-
Обозначив постоянную времени (время релаксации) через т = RC, определим
, q t_t/T
In — =, откуда q = qoe ' .
Qo т 1
Для силы тока имеем
i=_dq =qo e-t/dt тi=_dq =qo e-t/dt тUpR 'UpR '. -t/T. Qo qo
i=_dq =qo e-t/dt т
i=_dq =qo e-t/dt т
Up
R '
Up
R '
= гое 7 , где г0 = — = ——
T ЛО
а) Если ЭДС батареи меньше потенциала зажигания стабилитрона, то последний имеет бесконечно большое сопротивление и сила тока в цепи равна нулю.
Если ЭДС батареи превысит потенциал зажигания стабилитрона, то его сопротивление падает до нуля, а ток в цепи определяется значением активного сопротивления и разностью значений ЭДС и потенциала зажигания стабилитрона.
В цепи с бареттером сила тока определяется только пропускной способностью этого прибора и не зависит от активного сопротивления. Однако ток возможен лишь в том случае, если ЭДС источника удовлетворяет условию С — ioR > 0, т.е. Ж > ioR. В противном случае потенциал бареттера упадет до нуля и ток через него прекратится.
Магнитное поле в вакууме
Упругость пружины есть результат существования электрических сил взаимодействия частиц вещества. В движущейся системе отсчета поперечная сила уменьшается, следовательно, уменьшается и жесткость поперечно расположенной пружины:
ku = k0i_ V"! - и2/с2.
А если жесткость меняется по тому же закону, что и сила, то поперечный размер пружины не меняется, в полном соответствии с теорией относительности.
Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть по проводнику (рис. 27.3 а) слева направо течет ток, следовательно, электроны проводимости движутся влево с некоторой скоростью и. Пусть в ту же сторону с той же скоростью движется свободный электрон. В системе отсчета xyz^ связанной с проводником, на электрон действуют три силы: сила отталкивания от электронного облака F-, сила притяжения к ионной решетке Ед и сила Лоренца Fm, направленная в ту же сторону. Как известно из опыта, равнодействующая всех трех сил направлена в сторону проводника.
Перейдем в систему отсчета тоДо^о? связанную с электронами (рис. 27.3 6). Здесь имеется точно такое же магнитное поле, но оно на непо-
Рис. 27.3 6Рис. 27.3 6
Рис. 27.3 6
Рис. 27.3 6
движный электрон не действует! На электрон действует сила отталкивания F^ со стороны электронного газа и сила притяжения F^ со стороны движущейся ионной решетки. Но если в прежней системе отсчета электрон притягивался к проводнику, то, согласно принципу относительности, он в любой другой системе отсчета тоже притянется к нему. Следовательно, F^ > F^, значит и Е^ > Е^• Мы видим, что напряженность поперечного электрического поля движущихся зарядов больше поля неподвижных зарядов, т.е. кулоновского поля.
Пренебрегая толщиной витка по сравнению с его радиусом и другими размерами, приходим к выражению для индукции поля на оси:
p,oiwa2
где w — число витков, а- — радиус витка и h — расстояние от центра до искомой точки поля на оси витка.
Индукция поля в центре длинного соленоида В = р$т = poiw/l. Если провод намотан виток к витку (см. рис. 27.5), то d = l/w есть диаметр провода с изоляцией. Итак, В = ^i/d. В вершине соленоида поле в два раза слабее.
Используя результат задачи 27.4, получаем для поля в центре
кольца
0,858до^а0,858до^адо^а2 / 11 А _ p^iwa2 f 8 А
0,858до^а
0,858до^а
2 (Щ + (а2 + а2/4)3/2 ) = 2а3< + V125 /
Индукция поля в средней точке
ВСрВСр2/zoiwa2 _/z0»w
ВСр
ВСр
2(а2+а2/16)3/2 “ ’ а
Как видно, с небольшой погрешностью поле близко к однородному:
„ Вср™Вц 0,913 ™ 0,858
S-^B^- -0,913-6%
Полагая в формуле В = /1{Щ^/(4тгт2) скорость вращения кольца и = сиг, получаем искомый заряд.
Разобьем диск мысленно на тонкие концентрические кольца. Площадь такого кольца AS = 2тггДг, где Аг — толщина кольца. Заряд кольца Aq = crAS = 2тгагДг. Вращаясь, этот заряд создает в центре кольца магнитное поле с напряженностью
Ддг стшАг
Полная напряженность поля в центре
Н = АНх + ДН2 + ... = ™ аш(Дп + Ат^ + ...) = i ашВ,
где В — наружный радиус диска.
Магнитный момент кольца
а -22 A^q 1 .23 д
Арт = гттт = тгг™ Aqcor = тгашг Ат.
Чтобы найти полный магнитный момент вращающегося диска, следует сложить все эти значения. Имеем
ООтгст шт3 dr = i тгстшВ4.4тгст шт3 dr = i тгстшВ4.4
О
О
тгст шт3 dr = i тгстшВ4.
4
тгст шт3 dr = i тгстшВ4.
4
Момент импульса L = 1ш = mB^uo/^ = тгшрЬВ4/2, где р — плотность вещества. Имеем
Pm _ о"
L 2ph
Индукция магнитного поля в искомой точке
В =В =2ДоРт4тгг32ДоРт4тгг3№ (а2 + ж2)-3/2.№ (а2 + ж2)-3/2.
В =
В =
2ДоРт4тгг3
2ДоРт4тгг3
№ (а2 + ж2)-3/2.
№ (а2 + ж2)-3/2.
Градиент
dB dxdB dxPoPm2тгPoPm2тг^ (Л + Лг3/2 = - | № (а2 + Ж2Г6/2 . 2ж =^ (Л + Лг3/2 = - | № (а2 + Ж2Г6/2 . 2ж =ЗДоРтЖ2тгг5ЗДоРтЖ2тгг5
dB dx
dB dx
PoPm
2тг
PoPm
2тг
^ (Л + Лг3/2 = - | № (а2 + Ж2Г6/2 . 2ж =
^ (Л + Лг3/2 = - | № (а2 + Ж2Г6/2 . 2ж =
ЗДоРтЖ2тгг5
ЗДоРтЖ2тгг5
Заряды и токи в магнитном поле
Импульс частицы найдем из условия m-и2 ) В = 2еВщ поскольку а- частица — это дважды ионизированный атом гелия. Убедившись, что это — нерелятивистская частица, найдем ее скорость и кинетическую энергию из равенств
2eBR2e2B2R2
и = и К =.
т.т.
Импульс мюона в два раза меньше, чем у а-частицы в предыдущей задаче. Легко убедиться, подсчитав величину /3/^1 ™ /З2 = р/тс = = 1,66, что мюон в этой задаче — релятивистская частица. Находим /3 = = 0,856, откуда можно найти скорость частицы.
Энергия покоя мюона в 207 раз больше энергии покоя электрона, т.е. Жо = 207 • 0,511 = 106 МэВ (см. задачу 8.1). Полная энергия Ж = = Жо/уЛ — З2^ а кинетическая К = Ж — Жо-
Поскольку заряд частицы и индукция магнитного поля не меняются, то радиусы треков частиц пропорциональны их импульсам: R1/R2 = = Pi/p2- Связь же с кинетической энергией зависит от характера движения частиц.
Нерелятивистская частица. Импульс частицы пропорционален корню квадратному из кинетической энергии, следовательно, так же относятся и радиусы треков.
Релятивистская частица. Здесь зависимость импульса от кинетической энергии частицы более сложная:
Отсюда получается искомое отношение радиусов треков.
Это — релятивистский электрон, поскольку его полная энергия Ж = Жо + К = 0,511 + 1,5 = 2,0 МэВ существенно больше энергии покоя. Из ГтхЗ (R = еиВ получим
т = ^Rит = ^Rи2тгтГеВ2тгтГеВ_ 2тгЖ= еВс2 '_ 2тгЖ= еВс2 '
т = ^Rи
т = ^Rи
2тгтГеВ
2тгтГеВ
_ 2тгЖ
= еВс2 '
_ 2тгЖ
= еВс2 '
В поле электрон приобретает кинетическую энергию 20 кэВ, которая много меньше энергии покоя (511 кэВ), следовательно, в данной за
даче это нерелятивистская частица. Разложим скорость электрона на две составляющие относительно силовой линии: продольную Гц = г cos а и поперечную г± = г sin а (рис. 28.5). В продольном направлении на электрон никакие силы не действуют, поэтому вдоль оси аппликат электрон будет двигаться равномерно согласно уравнению
z = го + гц t = го + rt cos а.
В поперечном направлении (т.е. в плоскости ху) на электрон действует сила Лоренца, вследствие чего он движется в этой плоскости по окружности радиусом
__ \/2теф sin а
™ еВ7'3
и с периодом Т = 2жт/еВ. В пространстве элек
трон движется по винтовой линии, которая навивается на силовые линии. Радиус окружности R указан выше. Шаг винта
, т 2тгти cos а _ „
h = и^Т =^= 27T^ctga.
Если ион войдет в однородное магнитное поле под некоторым углом к силовой линии, то он станет двигаться по винтовой линии к одному из полюсов магнита и через некоторое время столкнется с дуантами и выпадет из сгустка. Чтобы избежать потерь, нужно магнитное поле сделать слегка неоднородным, придав ему «бочкообразную» форму (рис. 28.6). Как легко убедиться, это поле фокусирует ионы, концентрируя их в средней плоскости.
В данной задаче электроны нерелятивистские, они входят в магнитное поле со скоростью и = ^‘lepjm. = 1,33 • 107 м/с. В магнитном поле они станут двигаться по дуге окружности радиусом R = mujeB
(рис. 28.7 6). Электроны отклоняются на угол AGCE = а, но угол AGCE конгруэнтен углу АСОМ (как углы с перпендикулярными сторонами), следовательно,
. МС I еВ1 еВ1
Sina = "7777 = — = = 7::=^^^.
ОС R теи
Как видно из рисунка, СD = СЕ + ED^ или
d = L tg а + R(1 — cos a) = L tg a + I jj£25!J3 = £ tg a + I tg ™ . sin a2
Зная параметры установки, легко вычислить искомое смещение.
Воспользовавшись результатом задачи 4.14, получим
откуда следует:
= ^d
UL + l/%) '
Вначале определим заряд иона из условия mu2 / R = quB^ имеем q = mu/BR. Учитывая, что при энергиях в сотни мегаэлектронвольт массивные ионы движутся с нерелятивистскими скоростями, имеем т = = А • 1,66 • НГ27, где А = 20,18 а.е.м.— атомная масса неона. Импульс иона найдем по его кинетической энергии: mu = МгпК. Итак, заряд иона
V^K • 20,18 • 1,66 • ПК 2 7 • 100 • 1,6 • ПК13
9 = = 6,6'10 Кл'
Разделив на заряд электрона, найдем, что ионы неона четырехкратно ионизированы.
Полное число оборотов иона равно его кинетической энергии, разделенной на энергию, приобретаемую при двукратном прохождении ускоряющего промежутка:
' n=JL= 100-Ю6 4 = 42.
iq^p 2 • 4 • 300 ■ 104
Частота изменения полярности ускоряющего поля равна частоте обращения иона:
иаВ
п = =.
2тгД2тгт
Индукция магнитного поля находится из условия
в = = дщмщу
eRecR ’
частота — из условия
' cViHWiw
Заметим, что в конце цикла ускорения энергия протона столь велика, что практически п = с/(2тгД).
Условие баланса сил имеет вид еЕ = еиВ, откуда следует и = = Е/В. Поскольку при изменении знака заряда частицы обе силы — электрическая и магнитная — одновременно меняют свое направление на противоположное, то знак заряда определить нельзя.
Искомое расстояние равно разности диаметров орбит ионов: D = = ^R^ — Яз). Скорости обоих ионов одинаковы и определяются условием прохождения частицы через фильтр скоростей: и = Е/В. Радиус орбиты R = тп-u/qBo = тЕ / qBB^ следовательно, искомая разность
2ЕqBB02ЕqBB0(m2 ~mi\(m2 ~mi\
2ЕqBB0
2ЕqBB0
(m2 ~mi\
(m2 ~mi\
Приняв, что ион однократно ионизирован, т.е. q = е, получим искомую разность.
Используя результат предыдущей задачи и учитывая, что R = = //2, получаем для массы иона выражение
еШ2еШ22Е ^KrJ - 2 • 1,66 • 10 27 ЕеШ2еШ22Е ^KrJ - 2 • 1,66 • 10 27 Е[а.е.м.][а.е.м.]4,82 • 1044,82 • 104[а.е.м.].[а.е.м.].
еШ2еШ2
2Е ^KrJ - 2 • 1,66 • 10 27 Е
еШ2еШ2
2Е ^KrJ - 2 • 1,66 • 10 27 Е
[а.е.м.]
[а.е.м.]
4,82 • 104
4,82 • 104
[а.е.м.].
[а.е.м.].
Магнитный момент рамки pm = wiS; вращающий момент М = = ртВ, ибо в нашей задаче а = тг/2.
На рамку действует вращающий момент М = wiSB, который уравновешивается моментом, возникающим за счет упругости закручивающейся нити: М = / а, где / — модуль кручения. Приравнивая, получаем: fa = wiSB, откуда видно, что при прочих равных условиях угол поворота рамки пропорционален силе тока.
Нетрудно убедиться, что свободно подвешенные рамки расположатся так, что их плоскости окажутся перпендикулярными их общей оси. Сила взаимодействия F = рт dB/dx. Учитывая, что
dB _ брортх dx 4тг(а2 + ж2)5/2
(см. задачу 27.11) и по условию задачи х ^ г ^ ср имеем dB _ 6рОрт dx 4тгг4 '
Сила взаимодействия
„ _ dB, _ 6/iop^ dx 4тгг4 Она совершенно аналогична силе взаимодействия электрических диполей (см. § 10.4 и 40.6, т. 1).
Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, получим
о 2-2 4
4тгг44тгг4Зтгдо^ г а
4тгг4
4тгг4
2г4
Положительный заряд циркулирует, как показано на рис. 28.18 а. Направление магнитного момента определяется правилом буравчика
Рис. 28.18 аРис. 28.18 аРис. 28.18 6Рис. 28.18 6
Рис. 28.18 а
Рис. 28.18 а
Рис. 28.18 6
Рис. 28.18 6
(см. т. 1, §40.5, 40.6). Направление циркуляции отрицательного заряда противоположное (рис. 28.18 б), но магнитный момент направлен все равно против поля.
Как было показано (см. задачу 28.5), частица будет двигаться по винтовой линии, навиваясь на силовые линии поля. Разложим вектор скорости на две составляющие: поперечную гт (орбитальную скорость) и
Рис. 28.19 6Рис. 28.19 6
Рис. 28.19 6
Рис. 28.19 6
продольную Гц (скорость дрейфа). Поскольку орбитальный момент циркулирующего заряда направлен против поля, то магнитные силы выталкивают заряд в область слабого поля (сравните с § 37.4 и 41.10, где дипольный и магнитный моменты ориентированы вдоль поля). Мы видим, что по мере приближения заряда к магнитной пробке скорость дрейфа убывает и при достаточно сильном градиенте поля скорость дрейфа обратится в нуль (рис. 28.19 6). Начиная с этого момента возникнет дрейф заряда в противоположном направлении, в сторону более слабого поля (рис. 28.19в).
Если заряженная частица влетает в магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, то она движется в поле по дуге окружности радиусом R = р/еВ^ где р — импульс частицы. Зеркальное отражение имеет место, если вся траектория частицы окажется внутри поля.
Поскольку по условию задачи электроны движутся перпендикулярно «магнитному зеркалу», то они отразятся назад, если радиус полуокружности будет меньше толщины «зеркала». Итак, р/еВ < d.
Полная энергия электрона Ж = ^/Жд + р2с2 < ДЦ+ЛбЧ^с2; кинетическая энергия К = Ж — Жо. Окончательно
Магнетики
Согласно определению вектора намагниченности М, магнитный момент тела в магнитном поле
Рт — МУ — xmHV.
Намагниченность насыщения Мнас = wpmi где по = 4/а3 — концентрация атомов, рт = 7,95дв — магнитный момент одного атома. Отсюда следует, что
Мнас = 4 • 7,95дв/а3.
Воспользовавшись результатом § 38.6 (см. т. 1), получим
Ж = ехрЦ^ДТ) =р2-^\
Ж ехр(-<?2ДТ) “М кТ Щ + кТ
Ki 2ртВKi 2ртВНо Ni — это число атомов, магнитные моменты которых ориентированы вдоль поля; их энергия Ж1 = -ртВ' ^Ч — это число атомов, магнитные моменты которых ориентированы против поля; их энергия Ж2 = ртВ. Поэтому
Ki 2ртВ
Ki 2ртВ
Поскольку точка Кюри ферромагнетиков порядка сотен градусов Цельсия, то энергия теплового движения
(е) к кТ = 1,38 • К) 23 ■ 400 % 5 ■ 1021 Дж.
Энергия взаимодействия двух магнитных моментов
4тгг34тгг3
4тгг3
4тгг3
Полагая г ^ 0,1 нм, рт = дв, получаем
Мы видим, что энергия магнитного взаимодействия магнитных моментов на два порядка меньше энергии теплового движения; следовательно, магнитное взаимодействие не может обеспечить самопроизвольного намагничивания в пределах домена.
Точка Кюри для железа 770 °C; энергия обменного взаимодействия должна быть больше энергии теплового движения при температурах ниже точки Кюри Ос- Итак, Жобм > кОс-
На атом, обладающий магнитным моментом рт = Ч^рв, действует dB dB at2
сила г = рт—™ где — градиент поля. Отклонение п = , где
а = — , tт.а = — , tт.mv2Ио —mv2Ио —— . Подставив эти значения, получим
а = — , tт.
а = — , tт.
mv2
Ио —
mv2
Ио —
_ Pml dB
2mv2 dz
кТ„
^™ , следовательно, окончательный результат
h — д^^в!" dB
6kT dz
По графику 29.9 а (см. условие задачи) составляем схему
Я А/м
50
75
100
200
500
1000
1500
д
5,0-Ю3
9,6-Ю3
8,0103
5,0-Ю3
2,2-Ю3
1,2103
0,8-Ю3
График для д дан на рис. 29.9 6.
Рис. 29.9 6Рис. 29.9 6По данным таблицы строится правая половина гистерезисной петли; левая половина строится симметрично (рис. 29.10). Коэрцитивная
Рис. 29.9 6
Рис. 29.9 6
Рис. 29.10
сила определяется в точке пересечения графика с осью абсцисс; индукция насыщения — это та точка, где верхняя и нижняя ветви петли пересекаются. Намагниченность насыщения
Ms = — - Hs « — ,
ДоДо
ибо Вд ;> роНд. Остаточная намагниченность Мг = ВТ/до, где Вт определяется в точке пересечения графика с осью ординат.
В природе не существует изолированных магнитных полюсов, магнитные поля создаются только движущимися зарядами (токами). Поэтому силовые линии магнитного поля всегда замкнуты, т.е. магнитное поле является вихревым. В результате силовые линии, входящие в замкнутую поверхность, обязательно выйдут из нее, отрицательные слагаемые магнитного потока будут равны по модулю положительным слагаемым, и суммарный магнитный поток через замкнутую поверхность окажется равным нулю.
Это позволяет доказать вторую часть задачи. Рассмотрим схему магнитопровода (рис. 29.12). Если прорезь в нем достаточно узкая, то силовые
линии практически не искажаются и поле остается однородным. Поток через замкнутую поверхность АВ CD равен сумме потоков через участки АВ, ВС, CD и DA. Но на участках ВС и DA вектор индукции перпендикуля-
Рис. 29.12Рис. 29.12рен нормали, cos а = 0 и поток равен нулю. Поток через поверхность АВ отрицательный, ибо вектор индукции направлен противоположно нормали, а = тг и cos а = = — 1. Поток же через поверхность CD положительный, поскольку нормаль и вектор индукции имеют одинаковые направления, а = 0 и cos а = 1. Полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через участки АВ и CD:
Рис. 29.12
Рис. 29.12
Фполн = Флв + Фсп = —BSab + BnpScD, где В — модуль вектора индукции в магнитопроводе, Впр — модуль вектора индукции в прорези. Но согласно теореме Гаусса, Фполн = 0, а по построению Sab = Sen- Итак,
0 = —BSab + Впр8сп,
откуда следует Впр = В, т.е. индукция магнитного поля в узкой поперечной
прорези равна индукции поля в магнитопроводе.
Электромагнитная индукция
Лампочка гореть не будет, поскольку не меняется магнитный поток через контур, образованный крыльями, проводами и лампочкой.
На падающий проводник действует сила тяжести mg вертикально вниз и сила Ампера F = гВ1 вертикально вверх. По закону Ома г = й / R, а ЭД С индукции Й = Blu Итак, сила Ампера F = В^Йи/R. Уравнение
движения падающего проводника
— F В212и а. = = g - .
т mR
Начиная с некоторого момента, ускорение станет равно нулю, и проводник начнет двигаться вниз равномерно с установившейся скоростью. (Сравните с задачей 5.13.)
Стержень движется перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, и в любом его малом участке возникает элементарная ЭД С А(Г = Ви Ах, где Ах — длина участка и и — его ско
рость (см. рис. 30.4 а). Разность потенциалов на концах есть сумма эле
ментарных электродвижущих сил. Поскольку и = шх, то АЙ = ВшхАх. Суммирование можно произвести двумя методами:
Интегрированием. Имеем
ООВшх dx = ВшВшх dx = Вш2211= | Вш1\ о 211= | Вш1\ о 2
О
О
Вшх dx = Вш
Вшх dx = Вш
2
2
11
= | Вш1\ о 2
11
= | Вш1\ о 2
Графически. Строим график напряженности индуцированного поля Е* = А Ж/Аж = Вшх. Поскольку это линейная функция, то ее график имеет вид, показанный на рис. 30.4 6. Разность потенциалов численно равна площади под графиком:
. I • Bwl Bwl
При равномерном движении проводника приложенная сила равна по модулю силе Ампера. Но сила тока г = ^JR = Blu JR. Итак,
F = iBl = B2fv/R.
Поскольку колечко маленькое, можно считать, что поле во всех точках внутри него одинаково и равно полю на оси. Следовательно, магнитный поток
Ф = ЯС =2/W™ • 7ГГ2
4тг(а2 + ж2)3/2 '
Здесь переменной является координата х = ж о — rt, где и — скорость падения. Модуль ЭДС индукции
1*1=^1*1=^22А / 2 .2х-3/2^0' =А / 2 .2х-3/2^0' =32/ 2 .2х—5/2 о ^Ж= -- Цортг (а + X )—32/ 2 .2х—5/2 о ^Ж= -- Цортг (а + X )—Зцортг2хи 2(а2 + ж2)5/2 ‘Зцортг2хи 2(а2 + ж2)5/2 ‘
1*1=^
1*1=^
2
2
А / 2 .2х-3/2
^0' =
А / 2 .2х-3/2
^0' =
32/ 2 .2х—5/2 о ^Ж
= -- Цортг (а + X )—
32/ 2 .2х—5/2 о ^Ж
= -- Цортг (а + X )—
Зцортг2хи 2(а2 + ж2)5/2 ‘
Зцортг2хи 2(а2 + ж2)5/2 ‘
ЭДС индукции <3 = — АФ/At = Ф/At поскольку начальный магнитный поток через кольцо равен нулю. Заряд, протекающий через цепь,
Ж Ф
а = iAt = — At = — .
4R R
Он равен постоянной гальванометра, умноженной на число делений: q = = CN.
При изменении магнитного потока в диэлектрике возникает индуцированное электрическое поле с напряженностью Е* = ¥>1^ит\ где г — радиус кольца. Под действием этого поля происходит поляризация диэлектрика, т.е. преимущественная ориентация молекулярных диполей вдоль индуцированного электрического поля.
Сила тока в цепи 7 = (Ж — Жинд)/Л5 где Ж — ЭДС аккумуляторной батареи, R — сопротивление цепи (включая внутреннее сопротивление аккумуляторов) и Жинд — ЭДС индукции, возникающая в якоре при его вращении. При остановленном якоре Жинд = 0 и сила тока 7о = Ж/R, откуда находим сопротивление цепи. Мощность двигателя
Р = Г<* - 12К = 1% (1 - 1 ).
Число витков найдем, разделив длину внутренней окружности тора на диаметр провода:
w = ™тг = 420.
d 0,6
Напряженность магнитного поля
Зная напряженность магнитного поля, по графику рис. 29.9 а находим индукцию поля; по формуле wm = ВН /2 найдем плотность энергии и, умножив ее на объем сердечника, — полную энергию магнитного поля. Индуктивность найдем по формуле Wm = Li2 (2.
В отсутствие ферромагнитного сердечника энергия магнитного поля Wm = доН2V/2 значительно меньше энергии поля при его наличии, несмотря на то, что в обоих случаях по обмотке течет один и тот же ток. Дело в том, что при отсутствии ферромагнитного сердечника сила тока в катушке устанавливается очень быстро и источник тока производит малую работу по возбуждению магнитного поля. При наличии же ферромагнитного сердечника ток устанавливается значительно дольше и источник совершает значительно большую работу по возбуждению магнитного поля.
При хорошем контакте якоря и сердечника сила притяжения на одном полюсе F = wmS, следовательно, весь якорь притягивается с силой F = 2wmS = B2Sjp,p,o, где S = 60 • 60 • 10-6 м2 = 36 • 10™4 м2 ™ сечение сердечника (см. рис. 30.16). Поскольку мы предположили, что зазор между якорем и сердечником ничтожно мал, то можно считать, что в зазоре индукция поля такая же, как и в сердечнике. Магнитная же проницаемость в зазоре равна единице (д = 1).
Имеем: Fs = B2Sjдо для случая намагничивания до насыщения и FT = = В2 S/до при остаточной намагниченности.
Величины Вs и ВТ даны в таблице к задаче 29.10 (см. также рис. 29.10).
Закон Ома запишется в виде Ж + Жь = iR, где Ж — ЭДС источника и 8l = —Ldi/dt — ЭДС самоиндукции. Итак,
- L — = iR.
dt
Разделим это уравнение на R и введем обозначения: Ж/Д = 1М — установившаяся сила тока; L/R = т — время релаксации:
т di .di .
1м-т— = г, или -т— = %-1м,dtdt'
dtdtоткуда следует
dt
dt
Интегрируя, имеем
J dt, откуда In (г — /м) = — — + In С,
где С — постоянная интегрирования. Потенцируя, получаем
i 1м
При t = 0 сила тока i = 0, следовательно, С = —1М. После несложных преобразований определяем
г =- е-‘/т).
График этой функции см. т.1, § 43.12, рис. 43.6.
Согласно результату предыдущей задачи имеем при i = 0,9JM показательное уравнение
0,91м = /м(1 — е”^т), или = 0,1.
Логарифмируя, получаем
-|lge = lgO,l, —^ - 0,434 =—1.
Отсюда t = 2,3т.
Когда разность между мгновенным и установившимся значениями силы тока станет равна тепловым флуктуациям тока, формула, полученная в задаче 30Л8, теряет силу. После этого плавный рост силы тока сменится обычными тепловыми колебаниями этой величины относительно равновесного состояния.
Классическая электронная теория
Рис. 31.2 бРис. 31.2 бЗдесь сторонней силой является центробежная сила инерции 1цб = = тш2г, где г — расстояние от данной точки проводника до центра диска. Напряженность стороннего поля
Рис. 31.2 б
Рис. 31.2 б
_ 1цб _ тш^те е
ЭДС индукции можно найти либо графически (рис. 31.26), либо интегрированием:
г°2 Го
Г , тш С тш г0
= G = Е dr = г dr =.
Jе J2е
00
Концентрация электронов может быть вычислена из выражения для холловского потенциала (см. т. 1, § 44.2), а электропроводность меди — пластины, силе тока и продольной разности потенциалов. Зная эти величины, легко по формуле (44.8) найти подвижность электронов.
Поскольку серебро — одновалентное вещество, то концентрация электронов равна концентрации атомов. Плотность р = топ, где то — масса атома. Но mo = A/Na, где А — атомная масса. Отсюда следует: и = pNa(A^ а постоянная Холла
Rh =•
Термопару можно рассматривать как тепловую машину, работающую в интервале температур Ti — Тз, где индексы 1 и 2 относятся к горячему и холодному спаям. При перемещении заряда через термопару совершается работа А = pQi. Перемещаемый заряд
4 ■ % “ a(Ti - Т2) '
Вначале находим объемную теплоемкость. Легко убедиться (например, проверив размерность), что С = рс. Согласно § 45.3 получим
. ЗК зк
А = —т = .
аС арс
Указание. Учесть, что при собственной проводимости концентрация электронов и дырок одинакова; 7 = еп(ре Е ръ).
Поскольку при наличии тока в полупроводнике электроны проводимости и дырки движутся в противоположных направлениях, в магнитном поле они будут отклоняться в одну и ту же сторону. А так как их подвижности разные, то постоянная Холла
Rm ==/>|^е + №|.
7
Электропроводность электролитов
Электропроводность электролита у = qn^pA + р^ = адпо(д+ + + р-\ где а — искомый коэффициент диссоциации. Заряд одновалентного иона q = е. Концентрация раствора С = mono = Muq/Na^ где М — молярная масса растворяемого вещества. Подставив эти значения, получим
еС Na(pa + Р-)
Масса вещества, выделившегося на катоде, т = pSd = = Аг/ (cNaZ); валентность никеля Z = 2. Остальные данные имеются в условии задачи и в таблицах.
Определим вначале заряд, протекающий через раствор, для чего воспользуемся графиком (рис. 32.3). Поскольку сила тока меняется линейно и конечное значение А = 6 - 0,03-180 = 2,4 А, найти заряд просто: q = (го + гк)^/2- Кстати, тот же резуль
Рис. 32.3Рис. 32.3тат получаем, интегрируя выражение 180
Рис. 32.3
Рис. 32.3
q = J г dt
0
(проверьте!). Затем массу меди находим по закону Фарадея.
жпол = ХК =жпол = ХК =ХА eNAZ 'ХА eNAZ 'ЭДС источника тока должна превосходить ЭДС поляризации, которую можно вычислить, зная удельную энергию химической реакции:
жпол = ХК =
жпол = ХК =
ХА eNAZ '
ХА eNAZ '
Заряд конденсатора q = С Аф, запасенная им энергия ПСонд = = C(Ap)2/2 = 1,8 Дж. Выделится водорода т = АС Аф j ^eNaZ^ , при его сгорании выделится количество тепла, равное Q = тХ = 9,1 • 10™ 3 Дж, — много меньше, чем энергия конденсатора. Очевидно, при разряде конденсатора через электролит часть запасенной им энергии рассеивается в форме теплоты и лишь небольшая часть энергии расходуется на химическую ре
акцию.
Подъемная сила F = (ро — рн/Vg, где ро — плотность воздуха и рн — плотность водорода; масса водорода
т = рн¥ = pHF/Vg(po - рн)].
По закону Фарадея найдем заряд q, протекающий через раствор электролита. Энергия, необходимая для получения водорода,
Ж^йпол +Q,
где Q — потери на джоулево тепло. ЭДС поляризации мы нашли в задаче 32.5.
Ток в вакууме и газах
Расчет ведется по формуле Ричардсона-Дешмана. Для удобства расчета надо сначала найти логарифм силы тока:
lg is = 1g тг + lg d + 1g I + 1g В + 2 1g T - 0,434Ло/(А:Т).
Т2TiТ2TiкТ^кТ^По формуле Ричардсона™Дешмана имеем
Т2
Ti
Т2
Ti
кТ^
кТ^
«2
ii
Для расчета следует найти 1g ж.
Электроны сталкиваются с анодом неупруго, что позволяет воспользоваться для расчета силы формулой (17.19) из § 17.5. Учитывая, что сила тока г = етьВгу получаем
гтх г /
г = = - л/2вфт.
Отношение сил токов насыщения обоих катодов
й ДД2 / Ж А1 \Ж = — = Щ- ехр —— .
= 7,5 В. Следовательно, сетка в= 7,5 В. Следовательно, сетка вРис. 33.8Рис. 33.8Расчеты следует делать для линейного участка характеристики. Здесь изменение анодного напряжения на ЫВа = 150 В при неизменном потенциале сетки (например, при Ug = 0) привело к изменению силы тока на Ащ = 75 мА. Внутреннее сопротивление лампы Ri = Z\UQ/z\iQ. Проницаемость лампы, ц = ALA/AHg ? т.е. ц — это отношение изменения потенциала анода к изменению потенциала сетки, вызвавшему одинаковое изменение анодного тока. Из рис. 33.5 видно, что изменение анодного тока на 75 мА можно получить либо изменением потенциала анода на ALA = 150 В, либо изменением потенциала сетки на ^Ug 20 раз эффективнее анода меняет силу тока в лампе (на линейном участке характеристики).
= 7,5 В. Следовательно, сетка в
= 7,5 В. Следовательно, сетка в
Рис. 33.8
Рис. 33.8
Вдали от насыщения плотность тока выражается через подвижность ионов (см. т. 1, § 48.2), откуда для концентрации ионов имеем
_ id
Концентрация молекул воздуха при нормальных условиях равна числу Лошмидта (§ 26.9), откуда коэффициент ионизации а = п/Nl.
Вдали от насыщения сила тока увеличится, ибо при сближении пластин возрастает напряженность электрического поля. В режиме тока насыщения сила тока уменьшится, ибо уменьшается эффективный объем ионизационной камеры. Вольт-амперные характеристики показаны на рис. 33.8.
Ток насыщения is = prioeV = veV, гДе v — число ионов, возникающих ежесекундно в единице объема камеры.
Обычно расчет ведут с помощью соотношения ЗкТ/2 = еион. Однако это даст завышенное значение температуры
Т =Т =2еион _ 2-1,6-10"19-13,62еион _ 2-1,6-10"19-13,6ЗкЗк3 • 1,38 • 10293 • 1,38 • 1029105К.105К.
Т =
Т =
2еион _ 2-1,6-10"19-13,6
2еион _ 2-1,6-10"19-13,6
Зк
Зк
3 • 1,38 • 1029
3 • 1,38 • 1029
105К.
105К.
На самом деле ионизация происходит при более низких температурах. Причиной является максвелловское распределение молекул по скоростям, согласно которому имеется заметный процент молекул, скорость которых превышает наиболее вероятную скорость. Например, из табл. 25.1 (см. § 25.2) видно, что 9/368 ~ 2,5% молекул имеют скорость, более чем втрое превышающую среднюю, следовательно, их кинетическая энергия более чем в 9 раз превышает среднюю кинетическую энергию молекулы.
При тепловом движении в магнитном поле ионы и электроны движутся по дугам окружностей, радиусы которых можно рассчитать по той же формуле, что и радиус циклотронной орбиты ионов (см. § 41.2). Импульс частицы выразим через температуру газа: р = V3mfcT, откуда циклотронный радиус R = V3mfcT/ (еВ).
Найдем вначале число Рейнольдса:
= ^ =- 8 8 ”-' » ™«.
ц1,55 • 10™°’
Следовательно, поток турбулентный и оценку надо вести по числу Стюарта:
М-7В2? _ 1,05 -106 -0,36- 5- 10 2 _- ри ~13,6 • 103 • 0,2~ '
Но число Стюарта есть отношение магнитных сил к силе сопротивления давления. Итак, в данном случае магнитные силы будут существенно влиять на коэффициент гидравлического трения.
1,02 • 103 • 5 • 10“2 • 0,22,44 • 10-31,02 • 103 • 5 • 10“2 • 0,22,44 • 10-3= 4200 > 2300,= 4200 > 2300,73,9 • 0,36 • 5 • 10"21,02 • 103 ■ 0,273,9 • 0,36 • 5 • 10"21,02 • 103 ■ 0,2= 6,5 ■ 10-3 С 1.= 6,5 ■ 10-3 С 1.
1,02 • 103 • 5 • 10“2 • 0,2
2,44 • 10-3
1,02 • 103 • 5 • 10“2 • 0,2
2,44 • 10-3
= 4200 > 2300,
= 4200 > 2300,
73,9 • 0,36 • 5 • 10"21,02 • 103 ■ 0,2
73,9 • 0,36 • 5 • 10"21,02 • 103 ■ 0,2
= 6,5 ■ 10-3 С 1.
= 6,5 ■ 10-3 С 1.
Поскольку силовые линии вморожены в плазму, то при сжатии звезды магнитный поток сохраняется: Ф = Фо, или BR2 = BqRq. Отсюда найдем индукцию поля пульсара. Данные о радиусах звезды (до сжатия) и пульсара см. задачу 14.21.
Давление магнитного поля равно плотности энергии
в2
Pm — Шттг —.
2цо
Давление гравитационных сил оценим, как в задаче 16.7:
_ЗМ GM R _ 3GM2
Рграв - Wg - 47гДЗ • 2Д2 • 2 - 1б7гД4 -
Подставив значения массы и радиуса пульсара (см. задачу 14.21), получим значение давления гравитационных сил.
Гармонические колебания
Выражение для кинетической энергии преобразуется так:
К = 2,50 cos2К = 2,50 cos220^t +)4 /20^t +)4 /= 1,25= 1,251 + cos1 + cos^40тП+ ^^40тП+ ^
К = 2,50 cos2
К = 2,50 cos2
20^t +)
4 /
20^t +)
4 /
= 1,25
= 1,25
1 + cos
1 + cos
^40тП+ ^
^40тП+ ^
= 1,25(1 + sin 40xt).
Частота колебаний энергии рк = 40тг/2тг = 20 Гц, период Тк = 0,05 с.
Закон колебания имеет вид s = Л cos ^ш1ГфУ Поскольку so = 0, то 0 = Л cos ф, откуда следует ф = (2А: + 1)^/2. Начальная фаза всегда меньше периода синуса: ф < 2к. Следовательно, ф = к/2 или ф = Зтг/2.
Скорость точки и = —Леа sin (cat + фУ Начальная скорость гд = = —Леа sin ф = 0,20 есть по условию число положительное, что возможно лишь при ф = Зтг/2. Итак, Леа = 0,2. Но са = 2тш = к рад/с, следовательно, амплитуда Л = 0,20/тг = 0,064 м. Зная амплитуду, частоту и начальную фазу, легко написать закон колебания.
Закон колебания имеет вид s = Л cos (cat + фУ полная энергия W = тса2Л2/2, скорость и = —Леа sin (cat + фУ В начальный момент
so = Л cos у?, гд = — Леа sin ф^ W = тш2А2/2,
откуда следует: sin ф = — оо/Аш = —гд^/т^Иф но так как sin ф > 0 и cos ф > 0, то начальная фаза 0 < ф < к/2.
Круговая частота са = —гд etg^/so, амплитуда Л = у Sq + (гд/са)2. Период колебания равен 50 мс, следовательно, время 0,4 с составляет 8 периодов. За это время частица пройдет путь, равный 32 амплитудам.
Воспользуемся векторной диаграммой (рис. 34.8). Здесь
— (Л/4)2— (Л/4)2
— (Л/4)2
— (Л/4)2
Выполним следующие преобразования:
s = 4 cos2 ™ • sin 10001 = 2(1 + cos t) sin 1000t =
= 2 sin 10001 + 2 sin 1000t • cos t = 2 sin 1000t + sin 1001t + sin 999t.
Спектр представлен на рис. 34.10.
Рис. 34.8Рис. 34.8Рис. 34.10Рис. 34.10
Рис. 34.8
Рис. 34.8
Рис. 34.10
Рис. 34.10
Имеем
1 + cos2 t + sin4 t = 1 + - (1 + cos 2t) + ™ (1 — cos 2£)2 =
19.
= - (4 + 2 + 2 cos 2t + 1 — 2 cos 2t + cos" 2t) =
14147 + | (1 + cos 4t)7 + | (1 + cos 4t)= | (15 + cos4t).= | (15 + cos4t).
1
4
1
4
7 + | (1 + cos 4t)
7 + | (1 + cos 4t)
= | (15 + cos4t).
= | (15 + cos4t).
Отсюда следует:
s = - (15 + cos 4t) sin 500t = — sin 500t p ™ sin 500t • cos 4t =
1511
= — sin 5001+7— sin 5041+7™ sin 4961.
81616
Спектр представлен на рис. 34.11.
Рис. 34.11Рис. 34.11Рис. 34.12Рис. 34.12
Рис. 34.11
Рис. 34.11
Рис. 34.12
Рис. 34.12
Имеем
1 + cos2 t + cos4 t = 1 + | (1 + cos 2t) + ™ (1 + cos 2£)2 =
19.
= ~ (4 + 2 + 2 cos 2t + 1 4- 2 cos 2t + cos 2t) =
14147 + 4 cos 2t + | (1 + cos 4t)7 + 4 cos 2t + | (1 + cos 4t)= ™ (15 + 8 cos 2t + cos4t). 8= ™ (15 + 8 cos 2t + cos4t). 8
1
4
1
4
7 + 4 cos 2t + | (1 + cos 4t)
7 + 4 cos 2t + | (1 + cos 4t)
= ™ (15 + 8 cos 2t + cos4t). 8
= ™ (15 + 8 cos 2t + cos4t). 8
Отсюда следует:
s = - (15 + 8 cos 2t + cos 4t) sin 500t =
8
151
= — sin 500t + cos 2t • sin 500t P ™ cos 4t • sin 500t = 88
= — sin 500t + - sin 5021 P ™ sin 498t P — sin 504t P — sin 496t. 8221616
Спектр рассматриваемого колебания см. на рис. 34.12.
Уравнение колебания имеет вид s = Acos (2t + фУ Амплитуду и начальную фазу определим по начальным условиям. Скорость колебания i; = s' = — 2Asin(2t + фУ При t = 0 имеем so = 3 = A cos 95, со = 8 = = — 2A sin ф или A sin у? = —4, Асо8<д = 3. Возведя в квадрат и сложив оба равенства, получим А = 5 м. Тогда sin ф = —0,8, cos ф = 0,6, откуда следует Ф = —0,927 рад.
Свободные колебания
Добротность Q = k/huu^ где h = F^/v = блгц.
Сила трения /Ср = pmg не зависит от скорости, что позволяет воспользоваться энергетическими соображениями. Пусть груз из начального состояния максимального отклонения от положения равновесия с амплитудой По перейдет в следующее аналогичное состояние с амплитудой Ai, тогда по закону сохранения энергии
| kAo - pmgA0 = | kA^ + pmg Mi, откуда следует:
А1=А0-2ц^.
к
То же верно и для любых других последующих колебаний, т.е. амплитуды образуют убывающую арифметическую прогрессию:
Ап = Ло - 2пр .
Маятник остановится, когда амплитуда последнего колебания обратится в нуль. Из Ап = 0 следует п = kAo/(2pmgY Так как все амплитуды, кроме начальной, проходятся дважды, то число качаний:
= 2 п - 1 =- 1.
Как видно, за счет силы трения механическая энергия довольно быстро превращается во внутреннюю и колебания прекращаются.
При изотермическом изменении объема газа имеем, согласно закону Бойля—Мариотта,
pi(d — x)S = p2(d + x)S = pdS.
Сила, действующая на поршень,
SpxSdF <J>2 pOS d2_x2SpxSdF <J>2 pOS d2_x22pVxd2 — х2 ’2pVxd2 — х2 ’
SpxSd
F <J>2 pOS d2_x2
SpxSd
F <J>2 pOS d2_x2
2pVx
d2 — х2 ’
2pVx
d2 — х2 ’
где V — объем половины сосуда. Как видно, сила не подчиняется закону Гука и колебания не гармонические. Но при малых отклонениях поршня, когда х ^ d, сила окажется квазиупругой: F = — 2pVx}d\ и колебания поршня будут гармоническими. Жесткость системы к = — F)x = 2pV(d?.
При адиабатном процессе надо воспользоваться уравнением Пуассона и учесть приближенные равенства (при х <С d)
Для силы получим
F = (р2 - Р1)8 =F = (р2 - Р1)8 =pd7(d + хрpd7(d + хрpd"1pd"1^pSx^pVxd = ™ d2^pSx^pVxd = ™ d2
F = (р2 - Р1)8 =
F = (р2 - Р1)8 =
pd7
(d + хр
pd7
(d + хр
pd"1
pd"1
^pSx^pVx
d = ™ d2
^pSx^pVx
d = ™ d2
т.е. Кад — уFH3OT.
Как видно из рис. 35.6, сила, возвращающая тело в положение равновесия, F = —pgz\V = — 2pgSx. Поскольку эта сила пропорциональна
смещению, собственную частоту колебаний найдем по формуле шо = у/к/т. Здесь к = — F/x = ^pgS, т = pSL
Итак, си о = V^S/^
Возвращающая сила F = —pogSx, где S = 20-20 см2 = 4-10-2 м2, ро — плотность воды и х — дополнительное погружение. Поскольку сила квазиупругая, частоту получим по известной формуле.
Период колебания маятника на поверхности Земли То = ^ ^/l jg й1
на высоте h над поверхностью Земли Т = 2 л ^Z/g. Имеем: АТ/Тэ = т/то, где то = 8,64 • 104 с — продолжительность суток, т — отставание часов. Итак,
Ускорение силы тяжести g0 = GMjR\ g = GM /(R + Zi)2, где R ™ радиус Земли. После несложных преобразований имеем
R '
Нужно найти полное ускорение относительно Земли w = = \/о? + g2. Тогда период колебаний маятника Т = 2л^/w.
Положение равновесия отклонится от вертикали на угол ф = = arctg (я/g).
Скорость тела в произвольной точке окружности (рис. 35.10)
и = у/2 g h = y/2gZ(cosa — cosao) = x^Jlgl^
Период колебанияПериод колебанияЭлемент дуги As = ZAa тело проходит за время
Период колебания
Период колебания
ZAa жСр V2g ZZAa жСр V2g Z■/2 240жср■/2 240жсрТ — 4(АС + А^2 + ...) — 2лТ — 4(АС + А^2 + ...) — 2лПримем Aa = 3° = л/60. Тогда
ZAa жСр V2g Z
ZAa жСр V2g Z
■/2 240жср
■/2 240жср
Т — 4(АС + А^2 + ...) — 2л
Т — 4(АС + А^2 + ...) — 2л
Поскольку по формуле То = 2л^/g рассчитывается период малых колебаний, то Т = кТо, где
7 V2 / 11\
к — ■— I + + ... )
60 \Ж1срЯ?2ср/
— поправочный множитель. Сведем данные расчета в табл. 35.10, из кото
рой следует, что Н— + ... = 44,23. Имеем к = -^2-44,23/60 = 1,042. ^1ср ^2ср
Итак, период Т = 2тгА:
= 2,08 с, в то время как То = 2тг
= 2,00 с. Относительная погрешность при применении формулы малых колебаний составит в этом случае 4%.
Таблица 35.10
г
а
cos а
cos а — cos ад
X
Ж ср
1/ Жср
0
45°
0,7071
0,0000
0,000
0,095
10,50
1
42°
0,7431
0,0360
0,190
4,38
0,228
2
39°
0,7771
0,0700
0,265
3,43
0,292
3
36°
0,8090
0,1019
0,318
2,94
0,340
4
33°
0,8387
0,1316
0,362
2,63
0,380
5
30°
0,8660
0,1589
0,399
0,414
2,42
6
27°
0,8910
0,1839
0,428
0,441
2,27
7
24°
0,9135
0,2064
0,454
0,456
2,15
8
21°
0,9336
0,2265
0,476
0,485
2,06
9
18°
0,9511
0,2440
0,494
0,501
1,99
10
15°
0,9659
0,2588
0,508
0,510
1,96
И
12°
0,9781
0,2710
0,520
0,525
1,91
12
9°
0,9877
0,2806
0,530
0,532
1,88
13
6°
0,9945
0,2874
0,535
0,538
1,89
14
3°
0,9986
0,2915
0,540
0,540
1,85
15
0
1,0000
0,2929
0,541
Момент инерции системы относительно оси
1=1 miZ2 + 1 rrw2 + т2(1 + г)2.
Расстояние от центра масс до оси
_ mJ/2 + ТП2(1 + г)
тм + т,2
Отсюда находим период.
Суммарная энергия электрического и магнитного полей W = = q2/(2с) + Тг2/2 = const. Взяв производную, получим 2qq'/(2с^ 4™2Ы1'/2 = = 0. Но по определению г = q', г' = q". Искомое уравнение примет вид q" + (1/Lc)q = 0.
Вынужденные колебания. Переменный ток
Вдали от резонанса А = |HM/[m(wo ™ ш2)]|, при резонансе Mpe3 = = б^Мстат = QFM/'к.
Поскольку Им = шА^ то при ш = 0 и при ш ™Э ос амплитуда скорости Ум = 0. Резонансная кривая показана на рис. 36.2.
Находим вначале собственную частоту (см. задачу 35.1); имеем wo = у g/Астат. По времени затухания находим добротность системы
Q к wr = ту/g / Л стат • Отсюда находим резо, к Р^езнансную амплитуду
АЛрез — Q А стат ~ TVgAстат •
/ । \Нетрудно убедиться, что при резонансе система
I \разрушится.
/ I \36.4. Для того чтобы два соседних импуль-
/ !\са не слились, промежуток времени между ни/।\ми должен быть существенно больше времени за™
/|\тухания одного импульса и времени нарастания
/।другого, т.е.
®рез = ®0“тскв>2т»4— .
Рис. 36.2Чтобы найти максимальный объем информа
ции за 1 с, следует учесть, что эта информация должна состоять из Х\ точек и Ns тире: N = Ni + Ns, где N — объем информации. Но обычно в среднем Ni 22 Ns ~ N/2. Отсюда имеем
1 с = Мп + N2t2 + Ntcm « Ntcm (О + 112 + 1) = 4Ntckb ~ '^ у 22)Wo
Находим объем информации: ^ ^ I?,/(16L).
Пусть напряжение и = Пм cos wt, сила тока г = /м cos (wt + ф\ Согласно определению ЭД С самоиндукции <§l = —Ldi/dt, падение напря™ жения на индуктивном сопротивлении иь = ™^l = Ldi/dt (см. т. 2, § 54.2). Подставив di/dt = —1мш sin (wt + 99), получим UM cos wt = —IMLw sin (wt + ф\ Отсюда следует
XL = — = Lug ф =.
Пусть напряжение и = Пм cos wt, сила тока г = /м cos (wt + ф\ Падение напряжения на конденсаторе ис = q/C, а сила тока
.dqdu.
г =—=С —=—c/MCw sin wt.
dtdt
Итак, IM cos (wt + 99) = ™UMCw sin wt, откуда следует
v Um 17Г
Xc = ш = 2 •
При последовательном соединении катушки и резистора сила то™ ка в них одна и та же, а напряжения сдвинуты по фазе. Поэтому векторную диаграмму строят, беря за основу вектор, изображающий действующее зна™ чение (или амплитуду) силы тока (рис. 36.7).
Векторная диаграмма изображена на рис. 36.8.
При параллельном соединении конденсатора и резистора к ним приложено одинаковое напряжение, а силы тока сдвинуты по фазе. Поэтому векторную диаграмму строят, беря за основу вектор, изображающий действующее значение (или амплитуду) напряжения (рис. 36.9).
Ur=RIUr=RIРис. 36.7Рис. 36.7Рис. 36.8Рис. 36.8Рис. 36.9Рис. 36.9
Ur=RI
Ur=RI
Рис. 36.7
Рис. 36.7
Рис. 36.8
Рис. 36.8
Рис. 36.9
Рис. 36.9
В данной цепи Z = y/R2 + (Вш — 1/Сш)2. Вынесем активное сопротивление за знак корня, а емкостное сопротивление Хс = Х/Сш — за скобки; получим
/ №2-1)2
Д V1 +'
Собственная частота ид = ^Х/^ВС\ добротность Q = (1/7?,)^Р/С = = 1/(7?,CwoY откуда ВС = Х)ш^ R2C2 = X/^Q2WoY Подставив в выражение для полного сопротивления, получим
Z = RZ = RQ2^Q2^п \2/ л2Vo ) N 72 П ’п \2/ л2Vo ) N 72 П ’
Z = R
Z = R
Q2^
Q2^
п \2/ л2
Vo ) N 72 П ’
п \2/ л2
Vo ) N 72 П ’
Рис. 36.11 бРис. 36.11 б36.12. Мощность ищем по формуле Р = IU совд. Зная, что ампли36.12. Мощность ищем по формуле Р = IU совд. Зная, что ампли
Рис. 36.11 б
Рис. 36.11 б
36.12. Мощность ищем по формуле Р = IU совд. Зная, что ампли
36.12. Мощность ищем по формуле Р = IU совд. Зная, что ампли
где у = ш/ш0.
Векторная диаграмма изображена на рис. 36.116 (см. задачу 36.9), где
Zo = У^ + ЬМ2, cos до = R/Zo, sin до = Вш /Zo.
Из диаграммы видно, что
I2 = Io + Ie - Mole cos а, но так как а = (тг/2) — до, то
I2 = Io + Ie - Mole sill До.
Подставив значения сил токов и sin до, получим после несложных преобразований искомую величину действующего значения силы тока в нераз- ветвленном участке цепи.
Из векторной диаграммы cos д = /о cos до /1 = = URKizlY
туда UM = 312 В, надо найти действующее значение напряжения и подста
вить данные в формулы предыдущей задачи. Для простоты расчета считать
Л =10.''
У электродинамического ваттметра две катушки (рис. 36.14). Неподвижная катушка из толстого провода включается в цепь последовательно с нагрузкой; следовательно, она создает магнитное поле с индукцией, пропорциональной силе тока:
В ~ г, или В = kiM cos (wf + д).
Подвижная катушка включается параллельно нагрузке; следовательно, магнитный момент этой катушки пропорционален напряжению:
рт ~ и^ ИЛИ рт = k2UMCOSWt.
Здесь кг и к^ — коэффициенты пропорциональности. Мгновенное значение вращающего момента, действующего на подвижную катушку, равно
М = ртВ = к1к21мим cos cut • COS (wt + <д) = /д/ь2/У[сО8 ф + cos (2wt + 9?)].
Среднее значение вращающего момента
(М) = kik2lU(cos ф + cos (2wt + ф)) = kik2lUcos ф,
поскольку среднее значение слагаемого cos ^ш1Рф^ равно нулю. Мы видим, что среднее значение вращающего момента, действующего на подвижную часть прибора, пропорционально средней мощности в цепи; следовательно, электродинамический ваттметр измеряет активную мощность.
Рис. 36.14Рис. 36.16Рис. 36.14Рис. 36.16
Рис. 36.14Рис. 36.16
Рис. 36.14Рис. 36.16
Зажигание лампы определяется мгновенным, а не действующим значением напряжения, которое показывает вольтметр. Поскольку амплитудное значение напряжения UM = UV^ = 85 В, то в течение определенного времени лампа будет гореть (рис. 36.16).
Амплитудное значение напряжения больше пробивного напряжения.
Пренебрегая сдвигом фаз, легко определить силу тока во вторичной обмотке I2 = kli и число витков W2 = wi/k.
Полагая, что допускаемая плотность тока в проводах одна и та же, найдем, что сечения проводов пропорциональны токам, следовательно, S2 = к Si.
Для определения сопротивления вторичной обмотки надо знать длину провода. Учитывая, что по условию обмотка мотается на сердечник в один слой, нетрудно убедиться, что длины проводов пропорциональны числу витков:
R _ W2 _ 1
li wi к
А так как провода сделаны из одного и того же материала, то отношение их сопротивлений
Еу _ PS1 _
Ri /15*2 к2 ’
что позволяет найти сопротивление вторичной обмотки.
Потери на нагрев обмоток Рмедъ = I^Ri + I^R^^ а коэффициент полезного действия
_ ?2_” Рмедъ
При холостом ходе вторичная обмотка мощности не потребляет, следовательно, Рх.х = Ix.xti + Усталь, где п — сопротивление первичной обмотки. Но у правильно сконструированных трансформаторов благодаря огромному индуктивному сопротивлению ток холостого хода 1Х.Х очень мал, мало и активное сопротивление обмотки. Отсюда следует, что первым слагаемым в балансе мощностей можно пренебречь, и Рх.х = Рсталь-
У массивного медного или алюминиевого кольца активное сопротивление ничтожно мало по сравнению с индуктивным. Пусть в первичной обмотке течет синусоидальный ток; по этому же закону будет меняться магнитный поток, пронизывающий кольцо. ЭД С, индуктируемая в кольце, пропорциональна взятой со знаком минус производной от магнитного потока; следовательно, ЭД С индукции отстает по фазе от тока в первичной обмотке на 99^ = —тг/2. Колебания силы тока в кольце, как и во всяком индуктивном сопротивлении, отстают от колебаний ЭДС по фазе на столько же: фг = —тг/2. Следовательно, сдвиг фаз между током в кольце и током в первичной обмотке ф = ф^ + фг = — тг, т.е. у этих токов противоположные фазы, значит, они текут в противоположных направлениях. А такие токи, как известно, отталкиваются. Сила отталкивания уравновешивает силу тяжести, вследствие чего кольцо «парит» в воздухе.
Вторичная обмотка работает на активную нагрузку, следовательно, ф2 = 0. Коэффициент мощности
Picosyi = № '
Активную мощность Pi находим по коэффициенту полезного действия.
Упругие волны
Вначале следует определить плотность воздуха и скорость волны и = V^Tp пРи температуре 27°C, затем по формулам § 55.3 вычислить энергию и амплитуду волны.
Находим интенсивность волны I = Р/(4тгг2), считая источник точечным и изотропным. Затем, как и в предыдущей задаче, находим амплитуду волны.
Уровни интенсивности связаны с интенсивностями соотношением
= ioig .
12
Но для точечного источника, согласно предыдущей задаче, I1/I2 = ro/rf; следов ательно,
Ух - У, = 201g — .
П
Для малого (практически — точечного) источника интенсивность волны обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Если к тому же учесть затухание, то интенсивность волны на расстояниях п и Т2 от источника выразится соответственно соотношениями
/1 = ^ • 2/1 = ^ • 2/2 =Ч/2 =Ч
/1 = ^ • 2
/1 = ^ • 2
/2 =
Ч
/2 =
Ч
2г22г2где L — толщина слоя половинного поглощения. Отсюда следует:
2
г2
2
г2
/2
Разность уровней интенсивности
У.-У^нпЛ = 201е — +W^11> lg2.
12ПL
Интенсивность волны I = Io • 2 ж^ь = /ое мж, следовательно,
Логарифмируя, получаем
— 1п 2 = дж, откуда и следует искомое соотношение.
Для решения задачи следует воспользоваться выражением для частоты, регистрируемой неподвижным наблюдателем в случае движущегося источника:
где х = и/и — отношение скорости источника к скорости волны. Частота биений равна разности частот:
2жио 2ш/о
и = щ ™ z/2 = о = ,„.
Получаем квадратное уравнение их2 Р 2vqx — v = 0, откуда
_ _Vo щ ^2 _|_ р2 _ р2_vv
Vv(v0 + V^o + ^2)^0 + V^o +p2 2z/° ’
ибо частота биений v много меньше собственной частоты колебаний камертона ио- Итак,
ГVUV
™ ~откуда v « — .
и2ио2по
При сближении источника и приемника справедливо соотношение
где У и г — соответственно скорости приемника и источника относительно передающей среды. Если же приемник и источник удаляются друг от друга, то в соотношении надо изменить знаки в числителе и знаменателе.
При наличии масла ультразвук проходит в деталь. Если же между преобразователем и деталью образуется воздушный зазор, то волна полностью отразится от слоя воздуха в преобразователь и не пройдет в деталь.
Для того чтобы можно было увидеть раздельно импульсы отраженного и отправленного сигналов, между ними должен быть просвет, не меньший примерно половины импульса. По времени это составит т = ЗОТ = = 30/и. За это время волна должна пройти толщину металла дважды, в прямом и обратном направлении, т.е. т = 21/и. Отсюда I = 30ад/2и = 15А.
Интерференция и дифракция
Пусть уравнение волны в среде с волновым сопротивлением xi = = pitti имеет вид
si = Ai cos (wt — kx\
Волна отражается от среды с волновым сопротивлением Х2 = P2U2 и уравнение отраженной волны на границе раздела
НоНоSOTp = Лотр COS (cut + kx\
Но
Но
л ™21 " 22
Л-отр — Л1
2'1 + 2'2
следовательно, при 22 > 21 амплитуда отраженной волны отрицательна, т.е. фаза волны меняется на противоположную. Полагая для простоты расчета, что 22 ^> 21, имеем ЛОТр = —Аг, следовательно, уравнение волны в первой среде
s = si + sOTp = Ai cos (cut — kx) — Ai cos (cut + kx) = 2Ai sin kx sin wf.
На границе раздела xq = 0, следовательно, so = 0 для любого момента времени. Итак, здесь возник узел стоячей волны.
Аналогично, при 22 <С xi имеем АОТр = Ai, уравнение стоячей волны
s = 2А1 coskx • cos cut,
ее амплитуда на границе раздела (жо = 0) равна 2А1, т.е. возникла пучность.
Волновое сопротивление кварца больше волнового сопротивления как воздуха (верхняя поверхность), так и воды (нижняя поверхность). Следовательно, на обеих границах установятся пучности (хотя и с разными амплитудами). Отсюда следует, что на толщине пластины укладывается целое число полуволн: I = п\/2, что позволяет найти частоту основного тона и гармоник.
Если залить верхнюю поверхность кварца маслом, то частота не изменится, хотя произойдет перераспределение мощности, излучаемой через нижнюю и верхнюю поверхности кристалла.
Частота биений равна разности частот:
'111 — U2'111 — U22121ОтсюдаОтсюдаV = V1 — V2 =V = V1 — V2 =илиилиТ1^Т2Т1^Т2lvТо ■lvТо ■
'111 — U2
'111 — U2
21
21
Отсюда
Отсюда
V = V1 — V2 =
V = V1 — V2 =
или
или
Т1^Т2
Т1^Т2
lv
То ■
lv
То ■
Но Ti Т2 = Т, следовательно, AT = O^lvVT.
Резонанс наступит, когда на длине воздушного столба установится нечетное число четвертей волны: I = (2п+1)Л/4. В нашем случае п = 0; 1; 2.
Первый интерференционный минимум будет наблюдаться, когда вспомогательный угол ад = тг. Тогда очевидно, что угловая ширина главного максимума
ц = 2У1 = 2 arcsin —— = 2 arcsin —— .к ОvD
Электромагнитные волны
На антенне устанавливается стоячая волна, как это показано на рис. 39.2. В самом деле, в середине антенны сила тока максимальна (пучность), на концах минимальна (узел), а так как напряжен-
g ность магнитного поля пропорциональна току, то точно Уjтак же распределена стоячая волна вектора напряженности
//магнитного поля. Что же касается напряженности электри-
iIчеткого поля, то на концах диполя образуется пучность (по™
* j чему?), а в середине — узел.
ц I /Итак, I = А/2, откуда следует А = 2Z.
I «39.3. При переходе из одной среды в другую, согласно
' / |теории вынужденных колебаний, частота волны не меня'./ется, меняется скорость и длина волны. Имеем v = и/Х =
р= с/Ао, где А = 2Z — длина волны в жидкости, Ао — длина
I \волны в воздухе. Учитывая, что и = с/^щ получаем Ао =
I \= 2Z^’’
I39.4. Прежде всего определим скорость волны и веще™
ство, в котором она распространяется. Имеем и = ш/к =
Рис. 39.2= с/уС, откуда диэлектрическая проницаемость вещества
е = с2 к2 /ш2.
Магнитная проницаемость вещества д = 1,0. Находим амплитудное зна™ чение напряженности магнитного поля:
Амплитуда плотности энергии электромагнитной волны
ЕМНМеЕм / во т-,2
WM = = J = ££ОЬМ.
иС. у До
Среднее значение энергии равно половине амплитудного значения:
W ™ 2с V ™ 2 *
В случае абсолютно поглощающей поверхности давление равно средней плотности энергии.
Энергия, поглощаемая площадкой S за время С равна
8| E^StEE = ee0E;AStc
2 V До2
Амплитуда силы тока IM = enSVMl где VM = шА — амплитуда скорости колебаний заряда. Величина колеблющегося заряда q = enSly еле™ довательно, IM = qAu/I. Мощность излучения
2 л 2 2г 2 т2 2
р _ дод А ш _ ДоУ ш
VI-kcАА-кс
Но для полуволновой антенны ш1 = ттс (см. задачу 39.2), следовательно,
Р = X
Мощность тока F = I2R = pR/i, следовательно, антенна эквивалентна сопротивлению
R — рос — 4 —— .
66 у ЕД
Мощность синхротронного излучения можно вычислить по формуле
р = ро<Л£
12тгс ’
где а — ускорение и q — заряд сгустка. Но центростремительное ускорение а = ш2т, а сила тока I = q/T = qw/2/пр где Т ™ период вращения. Отсюда следует q = 2к1 (ш. Подставив в выражение для мощности, получим
Р =
12тгс
Но шт = и — скорости электронов, следовательно,
Зс
частота контура ио =частота контура ио =Спектр модулированного сигнала схематически показан на рис. 39.7. Для того чтобы сигнал существенно не искажался, полуширина резонансной кривой должна быть не меньше полуширины спектра модулированного сигнала: Ди > щ — и, или vo/Q ^ v3Bl откуда определяется добротность контура:
частота контура ио =
частота контура ио =
Выразив добротность и собственную частоту контура через его параметры, получим R/L ^ 2тп/зв, где пзв — максимальная частота звукового сигнала, который должен пройти через контур без существенных искажений. Учитывая, что пзв ^ 2 • 103 Гц, имеем
у 4тг • 103 [Ом/Г].
Емкость конденсатора С = 1/(4tf2i/oL); собственная = с/А = 1,2 • 107 Гц, следовательно,
°5,7 •
Если выбрать, например, активное сопротивление R = 0,1 Ом, то получим разумные значения индуктивности и емкости.
Из инвариантности фазы (см. т. 2, § 59.8) следует выражение (59.22). Воспользовавшись преобразованиями Лоренца, получим
шшto + ТХо/с2 \/1 ” г2/с2to + ТХо/с2 \/1 ” г2/с2COS 0 Хо + Dto с ^/1 ™ у2/с2COS 0 Хо + Dto с ^/1 ™ у2/с22о sin 0 \ _с // Хо cos 6 о ~0 sill 6 о= Шо to\сс.2о sin 0 \ _с // Хо cos 6 о ~0 sill 6 о= Шо to\сс.
ш
ш
to + ТХо/с2 \/1 ” г2/с2
to + ТХо/с2 \/1 ” г2/с2
COS 0 Хо + Dto с ^/1 ™ у2/с2
COS 0 Хо + Dto с ^/1 ™ у2/с2
2о sin 0 \ _
с /
/ Хо cos 6 о ~0 sill 6 о
= Шо to
\сс.
2о sin 0 \ _
с /
/ Хо cos 6 о ~0 sill 6 о
= Шо to
\сс.
8 А.А. Пинский
Раскрывая скобки и группируя, имеем
wtpV1 ” г2/с2wtpV1 ” г2/с2Г COS (9 \WXqЛ w^osin#
wtp
V1 ” г2/с2
wtp
V1 ” г2/с2
С у Су/1 — г2/с2 сС
_WqXq COS^o Wo^osill^o
сс.
Учитывая, что хо, ^о и to — независимые переменные, убеждаемся, что полученное равенство возможно лишь в случае равенства множителей при этих переменных. Полагая 3 = г/с, получаем
w(l-/?COs9)Ш^СОбб-Р)
:^ = Wq, = Wo COSVo, w Sill У = Wo Sin У о .
Первое равенство дает нам выражение для эффекта Доплера. Разделив второе уравнение на первое, получим соотношение для косинусов:
cos 6 — В л
, q ‘ a =COS^o.
1 — В cos У
Пусть источник и наблюдатель приближаются друг к другу со скоростью и = 3е- Согласно классическому эффекту Доплера, значение частоты при приближении источника равно w' = Wo / (1 — 3\ ПРИ приближении наблюдателя — w" = wo(l + 3Y Перейдя к периодам, получим
ТШТоО-Я Т” = -^.
Однако необходимо еще учесть изменение темпа времени. Именно, в первом случае, когда движется источник, следует в формулу вместо То ввести величину уТо, где у — релятивистский фактор. Во втором случае, когда движется наблюдатель, следует вместо Т ввести величину ^Т". Получим
Т' = 7Л(1 - PY хг" = 33з-
Поскольку, согласно принципу относительности Т' = Т'\ имеем
откуда следуетоткуда следует1172То(1-/3) =72То(1-/3) =
откуда следует
откуда следует
1
1
72То(1-/3) =
72То(1-/3) =
Доплеровское уширение
3RTМс2 ’3RTМс2 ’△ИдоплV
3RT
Мс2 ’
3RT
Мс2 ’
где М — молярная масса. Гравитационное смещение спектральной линии
△^грав Уйрав СтПVС2с2г ’
где m и г — масса и радиус звезды. На «белом карлике» Дгграв больше Az/допл примерно на порядок.
Поскольку ионы движутся навстречу наблюдателю, длина волны 1 — /3 cos 9
Л — Ло —у• .
Кинетическая энергия иона равна 40,0 МэВ, энергия покоя в четыре раза больше энергии покоя протона (см. задачу 8.1). Имеем
yi - /з2 = ^yi - /з2 = ^й0й0Йо + КЙо + К3,72843,76843,72843,7684= 0,989;= 0,989;обратная величинаобратная величина1уг^1уг^= 1 + ^- =1,01.<5 о= 1 + ^- =1,01.<5 оОтсюда находим отношение скорости иона к скорости света:Отсюда находим отношение скорости иона к скорости света:/3 = |= У1 - 0.9892 = уо,ои • 1,989 = 0,148.Итак, наблюдаемая длина волныЛ = 410(1 - 0,148 cos 9) • 1,01 = 361 нм.Скорость вращения Солнца много меньше скорости света, поэтому можно воспользоваться классическим выражением для эффекта Доплера. От участка, движущегося к нам, Ai = Ао(1 — /3), от противоположного А2 = Ао(1 + /3). Следовательно,ДА = 2/ЗА0 = 523^©. ,где Я© — экваториальный полудиаметр Солнца. Период вращенияПгАоЯ©0 ДАс 'Максимальное смещение спектральных линий будет наблюдаться, когда одна звезда на орбите движется прямо на нас, вторая — от нас. Поскольку орбитальные скорости звезд много меньше скорости света, уширение спектральных линий можно рассчитывать по нерелятивистской формуле Доплера:ДА = Ао(1 + /3) - 4(1 - /3) = 2Ао/3 = 2А0 Сгде г — проекция орбитальной скорости на луч зрения.Период обращения звезд вокруг их общего центра масс вдвое больше периода уширения спектральных линий. Зная орбитальную скорость и период, можно найти радиус орбиты/3 = |= У1 - 0.9892 = уо,ои • 1,989 = 0,148.Итак, наблюдаемая длина волныЛ = 410(1 - 0,148 cos 9) • 1,01 = 361 нм.Скорость вращения Солнца много меньше скорости света, поэтому можно воспользоваться классическим выражением для эффекта Доплера. От участка, движущегося к нам, Ai = Ао(1 — /3), от противоположного А2 = Ао(1 + /3). Следовательно,ДА = 2/ЗА0 = 523^©. ,где Я© — экваториальный полудиаметр Солнца. Период вращенияПгАоЯ©0 ДАс 'Максимальное смещение спектральных линий будет наблюдаться, когда одна звезда на орбите движется прямо на нас, вторая — от нас. Поскольку орбитальные скорости звезд много меньше скорости света, уширение спектральных линий можно рассчитывать по нерелятивистской формуле Доплера:ДА = Ао(1 + /3) - 4(1 - /3) = 2Ао/3 = 2А0 Сгде г — проекция орбитальной скорости на луч зрения.Период обращения звезд вокруг их общего центра масс вдвое больше периода уширения спектральных линий. Зная орбитальную скорость и период, можно найти радиус орбиты
yi - /з2 = ^
yi - /з2 = ^
й0
й0
Йо + К
Йо + К
3,7284
3,7684
3,7284
3,7684
= 0,989;
= 0,989;
обратная величина
обратная величина
1
уг^
1
уг^
= 1 + ^- =1,01.
<5 о
= 1 + ^- =1,01.
<5 о
Отсюда находим отношение скорости иона к скорости света:
Отсюда находим отношение скорости иона к скорости света:
/3 = |= У1 - 0.9892 = уо,ои • 1,989 = 0,148.
Итак, наблюдаемая длина волны
Л = 410(1 - 0,148 cos 9) • 1,01 = 361 нм.
Скорость вращения Солнца много меньше скорости света, поэтому можно воспользоваться классическим выражением для эффекта Доплера. От участка, движущегося к нам, Ai = Ао(1 — /3), от противоположного А2 = Ао(1 + /3). Следовательно,
ДА = 2/ЗА0 = 523^©. ,
где Я© — экваториальный полудиаметр Солнца. Период вращения
ПгАоЯ©
0 ДАс '
Максимальное смещение спектральных линий будет наблюдаться, когда одна звезда на орбите движется прямо на нас, вторая — от нас. Поскольку орбитальные скорости звезд много меньше скорости света, уширение спектральных линий можно рассчитывать по нерелятивистской формуле Доплера:
ДА = Ао(1 + /3) - 4(1 - /3) = 2Ао/3 = 2А0 С
где г — проекция орбитальной скорости на луч зрения.
Период обращения звезд вокруг их общего центра масс вдвое больше периода уширения спектральных линий. Зная орбитальную скорость и период, можно найти радиус орбиты
/3 = |= У1 - 0.9892 = уо,ои • 1,989 = 0,148.
Итак, наблюдаемая длина волны
Л = 410(1 - 0,148 cos 9) • 1,01 = 361 нм.
Скорость вращения Солнца много меньше скорости света, поэтому можно воспользоваться классическим выражением для эффекта Доплера. От участка, движущегося к нам, Ai = Ао(1 — /3), от противоположного А2 = Ао(1 + /3). Следовательно,
ДА = 2/ЗА0 = 523^©. ,
где Я© — экваториальный полудиаметр Солнца. Период вращения
ПгАоЯ©
0 ДАс '
Максимальное смещение спектральных линий будет наблюдаться, когда одна звезда на орбите движется прямо на нас, вторая — от нас. Поскольку орбитальные скорости звезд много меньше скорости света, уширение спектральных линий можно рассчитывать по нерелятивистской формуле Доплера:
ДА = Ао(1 + /3) - 4(1 - /3) = 2Ао/3 = 2А0 С
где г — проекция орбитальной скорости на луч зрения.
Период обращения звезд вокруг их общего центра масс вдвое больше периода уширения спектральных линий. Зная орбитальную скорость и период, можно найти радиус орбиты
Затем по закону тяготения имеем
GM2 Ми2,г 4у2Д 2у3Т
= —, откуда М ==
По определению п = с/и и п = с/и. Но из релятивистского
закона сложения скоростей и = М 1. Подставив в выра-
1 — ио (с21 — р/п
жение для пр получим / п — /3// /\2 е ™ 2/За/е +/З2
Интерференция и дифракция света
Очевидно, что в центре интерференционной картины наблюдается главный (нулевой) максимум. Определим координату максимума с номером т, которую обозначим через zm. Этот максимум будет наблюдаться при условии, что разность хода г 2 — n = 2mA/2. Но
2т 2/С1 \г 1 = L + I zm ” 2 )2т 2/С1 \г 1 = L + I zm ” 2 )/Я \ 22 г 2/d \= L + I;/Я \ 22 г 2/d \= L + I;
2т 2/С1 \
г 1 = L + I zm ” 2 )
2т 2/С1 \
г 1 = L + I zm ” 2 )
/Я \ 2
2 г 2/d \
= L + I;
/Я \ 2
2 г 2/d \
= L + I;
Рис. 40.1Рис. 40.1тп =тп =АфАКр АфАфАКр Афт.е. тп = 1,6 < 2.т.е. тп = 1,6 < 2.
Рис. 40.1
Рис. 40.1
тп =
тп =
Аф
АКр Аф
Аф
АКр Аф
т.е. тп = 1,6 < 2.
т.е. тп = 1,6 < 2.
вычитая, получаем (г2 —Г1)(г2+п) = 2zmd. Поскольку d<^L и наблюдаются на практике интерференционные максимумы с небольшими номерами (т.е.
<1С Ь), можно положить Г2 + п = = 2L. Итак,
2L(t2 — n) = 2zmd, или mXL = zmd.
Отсюда находим координату максимума zm = mXL/d. Расстояние между соседними максимумами (или минимумами)
Д^ = zm^i — zm = XL/d.
Расположение максимумов на интерференционной картине см. на рис. 40.1.
Интерференционная картина смажется, если красный максимум порядка тп наложится на фиолетовый максимум следующего порядка: г^р = = ^+1- Подставив значения величин, получим тАкр = (тп + 1)Аф, откуда
Это значит, что отчетливо будут наблюдаться нулевой и первые максимумы, а также первые и вторые минимумы (черные полоски). Второй максимум будет смазан, третий и последующие — вовсе не видны. Нулевой максимум будет белым, первый будет спектрально окрашен — снаружи окажется красный цвет, изнутри фиолетовый, между ними — другие участки спектра.
Расстояние на экране между красной и фиолетовой полосками
Д2: = (АКр -~ Аф)— .
Как видно из рис. 40.3 6, (г2 — Ti^jd = h/l. Поскольку мы рассматриваем два соседних максимума (или минимума) и свет дважды проходит расстояния щ и т^ то справедливы соотношения
2п = 2m ^ , 2г2 = 2(m + 1) ™ , откуда следует
А
Г2^П = -.
Итак, A/2d = h/l откуда находим длину световой волны.
При сдвиге зеркала на полуволну происходит сдвиг на одну полосу.
Оптическая разность хода А = H2I2 — Hili = (п — 1)1. На этой разности хода укладывается N = 47,5 полуволн.
Итак, (п - 1)/ = NX/2 и п = 1 + NX/2L
Интерференционная картина исчезнет, если максимумы, соответствующие одной длине волны, окажутся на месте минимумов, соответствующих другой длине волны.
Из условия dsind = тХ видно, что тХ/d ^ 1. Следовательно, максимальный порядок наблюдаемого максимума т ^ d/A, причем нужно выбрать максимальное целое число. При подсчете общего числа наблюдаемых максимумов следует учесть наличие нулевого (главного) максимума и симметрию интерференционной картины относительно главного максимума.
Первый максимум наблюдается под углом бф определяемым из условия dsindi = А. Второй максимум наблюдается под углом 02 = 01 +15°, определяемым из условия d sin 02 = 2А. Отсюда следует, что sin (di + 15°) = = 2 sin 0i что сводится к уравнению
= 0,2503.
62 — cos 15°’
Зная угол отклонения первого максимума 01, легко вычислить длину волны.
Находим общее число штрихов: N = I / d = 12,0 • 10^/15,0 = = 8000. Поскольку Nd = I много больше длины волны, то 7 = ^Xjt^ что дает угловую ширину главного максимума.
Для определения разрешающей способности решетки следует оценить число максимумов, которое можно получить. Имеем (см. задачу 40.9)
= 530Д^ =2М °™УДа т = 2’
т.е. с помощью этой решетки можно наблюдать спектры только первого и второго порядков. Разрешающая способность А = А/А А = mN.
Разрешаемый спектральный интервал АА = Аг — Ai, разрешающая способность А = Ai/AA = mN, что позволит определить общее число штрихов. Длина решетки I = Nd = Aid/(mAА). Номер спектра наивысшего порядка (см. задачу 40.9) определяется из условия т ^ d/A; в нашем случае это 5.
Чтобы увидеть раздельно данные линии спектра, нужна решетка с разрешающей способностью
.А58901АЛ~.А58901АЛ~= 982.= 982.
.А5890
1АЛ~
.А5890
1АЛ~
= 982.
= 982.
Наша решетка в спектре первого порядка имеет разрешающую способность А = mN = 990, следовательно, спектральные линии будут разрешены, но плохо; лучше измерение производить в спектре более высокого порядка.
Угловое расстояние между максимумами в спектре второго порядка находим из условий dsin0i = 2Ai и dsin02 = 2 Аг- Вычисления следует провести с помощью микрокалькулятора, поскольку точность логарифмической линейки для данной задачи недостаточна.
Пусть на решетку под углом скольжения а падает параллельный пучок, иными словами — плоская волна (рис. 40.14). Очевидно, что нулевой интерференционный максимум возникнет в том же направлении. Что касается максимума порядка т, то он возникнет под углом скольжения /3, когда
разность хода А = а — 6 = тХ. Учитывая, что а = do cos а, 6 = do cos /3, где do — период решетки, получаем
do (cos а — cos /3) = тХ.
Это и есть условие интерференционных максимумов при наклонном падении лучей на дифракционную решетку. Выразим теперь условие интерфе
Рис. 40.14Рис. 40.14ренции для угла d, равного углу отклонения дифракционного максимума от первоначального направления пучка. Так как /3 = а + d, то
Рис. 40.14
Рис. 40.14
cos а — cos /3 = cos а — cos (а + d) =
= cos а — cos a cos 0 + sin a sin 0.
Поскольку 0 обычно очень мал, то cos 0 £1 и cos a — cos/3 ^ sin a sin 0. Условие максимума примет вид
do sin a sin 0 = mA,
т.е. по отношению к наклонному пучку установка ведет себя так же, как если бы перпендикулярно лучу поставили решетку с периодом d = do sin а.
Дисперсия и поглощение света
Отсюда следует:сVОтсюда следует:сV11К+ ^оVK^o + K) ’К+ ^оVK^o + K) ’где ^о = 0,939 ГэВ — энергия покоя протона (см. задачу 8.1). Показатели преломления для указанных участков спектра ni = 1,48 и П2 = 1,51.41.2. Отношение /3 = и/с = l/(ncosd) = 1/(1,3428 cos 41° 10')- Кинетическая энергияК = W - <fo = 80 ( , 1- 1 ] •где ^о = 0,939 ГэВ — энергия покоя протона (см. задачу 8.1). Показатели преломления для указанных участков спектра ni = 1,48 и П2 = 1,51.41.2. Отношение /3 = и/с = l/(ncosd) = 1/(1,3428 cos 41° 10')- Кинетическая энергияК = W - <fo = 80 ( , 1- 1 ] •41.4. Согласно определению групповая скорость41.4. Согласно определению групповая скорость. Аси dwU = пт —— = —Afc^odk. Аси dwU = пт —— = —Afc^odkdkduodkduoНо волновое число к = ио/и = пш/с. Дифференцируя, получаемНо волновое число к = ио/и = пш/с. Дифференцируя, получаемdkпиоdn——__|—duoссашdkпиоdn——__|—duoссаш1с1сdndwdndwОтсюдаОтсюдаU =U =п Р ш dnjduoп Р ш dnjduoС учетом дисперсии условие черенковского излучения запишется так: cos 0 = с/пи. Поскольку протоны релятивистские, то
Отсюда следует:
с
V
Отсюда следует:
с
V
1
1
К+ ^оVK^o + K) ’
К+ ^оVK^o + K) ’
где ^о = 0,939 ГэВ — энергия покоя протона (см. задачу 8.1). Показатели преломления для указанных участков спектра ni = 1,48 и П2 = 1,51.
41.2. Отношение /3 = и/с = l/(ncosd) = 1/(1,3428 cos 41° 10')- Кинетическая энергия
К = W - <fo = 80 ( , 1- 1 ] •
где ^о = 0,939 ГэВ — энергия покоя протона (см. задачу 8.1). Показатели преломления для указанных участков спектра ni = 1,48 и П2 = 1,51.
41.2. Отношение /3 = и/с = l/(ncosd) = 1/(1,3428 cos 41° 10')- Кинетическая энергия
К = W - <fo = 80 ( , 1- 1 ] •
41.4. Согласно определению групповая скорость
41.4. Согласно определению групповая скорость
. Аси dw
U = пт —— = —
Afc^odk
. Аси dw
U = пт —— = —
Afc^odk
dk
duo
dk
duo
Но волновое число к = ио/и = пш/с. Дифференцируя, получаем
Но волновое число к = ио/и = пш/с. Дифференцируя, получаем
dkпиоdn
——__|—
duoссаш
dkпиоdn
——__|—
duoссаш
1
с
1
с
dndw
dndw
Отсюда
Отсюда
U =
U =
п Р ш dnjduo
п Р ш dnjduo
В области нормальной дисперсии
ПП22e2nQ где а = .ЕоШеe2nQ где а = .ЕоШе
П
П
2
2
e2nQ где а = .
ЕоШе
e2nQ где а = .
ЕоШе
Производную показателя преломления по частоте найдем, дифференцируя данное равенство. Имеем
е^П _0/ О А _ 2aU7
2 77 -/22\22tu) /2•
аш(сид — ш2)2(сид — игу
Следовательно, dn _ си а Дш и Дд — ш2У ’
т.е. в области нормальной дисперсии производная показателя преломления по частоте повсюду положительна.
Пусть теперь шо > ш^ тогда и > 1, и из формулы U = -——— (см.
п + си dn/dw
предыдущую задачу) сразу же следует U < с. Если же шо < си, то и < 1. Подставим в этом случае значение производной в выражение для групповой скорости; учитывая значение пУ получаем
_ССПСП
аД2 аш2ашр
И пДд ™ ш2)2 П (ujg ™ ш2)2(wq ™ ш2)2
Мы видим, что в знаменателе дроби стоит число, превосходящее единицу. А так как в этом случае показатель преломления меньше единицы, то и здесь U < с.
Поскольку у плазмы концентрация свободных электронов мала, то при больших частотах второе слагаемое в формуле (63.15) много мены ше единицы и диэлектрическая проницаемость близка к единице. Воспользовавшись приближенным соотношением ^ТЯ^ = 1 + ж/2 (при х <С 1), получим выражение для показателя преломления.
Групповую скорость найдем, вычислив производную от показателя преломления по частоте
dn е2по
dwботеш3
и подставив это значение производной в формулу для групповой скорости. Впрочем, проще воспользоваться последней формулой в решении предыдущей задачи, положив в ней си о = 0.
В плазме черепковское излучение не может возникнуть, поскольку фазовая скорость больше скорости света в вакууме, а частица, порождающая черепковское излучение, должна двигаться со скоростью, превосходящей фазовую скорость света в веществе.
Концентрация валентных электронов алюминия приведена в табл. 44.1 (см. т. 1, § 44.2). Для показателя преломления воспользуемся результатом задачи 41.6.
Время пробега светового импульса от зубчатого колеса до зеркала и обратно т = 21/с. За это время при ж = 283 об/с зубчатое колесо провернется на к зубцов, причем к = zt/T\ = zth-^ где z = 720 — число зубцов на колесе. За это же время при ж = 313 об/с зубчатое колесо провернется на к + 1 зубец, следовательно, к + 1 = гтж. Вычитая, получаем 1 + гт(ж ™ 77i), откуда следует
С = 21Дж ” 771).
Воспользуемся данными таблицы показателей преломления для разных длин волн, выбрав спектральный интервал между желтым (546,1 мм) и голубым (486,1 мм) участками спектра. В выражение для групповой скорости
Аси Ш2 — ОД
Д/кз — ki
подставим значения си = ^с/пХ и к = 2тг/А; отсюда получим
с(п1А1 - п2А2)пщ2(А1™А2) '
Фазовая скорость и = с/п.
Рассмотрим баланс энергии при прохождении света через пластинку. Пусть нормально на пластинку падает пучок интен
сивностью /0, тогда часть его отразится, и внутрь пластинки пройдет свет интенсивностью I' = Т1о (рис. 41.16), где Т — коэффициент прозрачности. До второй грани из-за поглощения дойдет свет с интенсивностью I" = I' е~^А. Наконец, в воздух выйдет свет интенсивностью I = TI" = Т2 Ioe™^d. Отсюда
Рис. 41.17Рис. 41.17следует:
Рис. 41.17
Рис. 41.17
= еМ^2~Л)= еМ^2~Л)11 _ Т210е™И1Ь ™ ТЧое™И2
= еМ^2~Л)
= еМ^2~Л)
Слой половинного поглощения имеет толщину L = (1п2)/ц (см. задачу 37.9).
Прозрачность слоя вещества равна отношению интенсивности выходящего пучка света к интенсивности входящего пучка: к = I/Iq (рис. 41.17). Здесь
Г = TIo, I" = /Щ
О
I = ТГ Т = ———’(п + 1)2
После подстановки соответствующих данных получим искомый результат.
Пусть на светофильтр падает белый свет с интенсивностью /пад = А2. На резонансной длине волны Ао пройдет свет с интенсивностью /о = A2e”^°d1 на других длинах волн пройдет свет с интенсивностью
j = ^e™^d = д2 ^ — ^Qd ^-аЩАо-А)2 = -ad(A0 - А)2
Нас интересует случай
/^/о/2, т.е. g-^^C^o-A)22-1,
Логарифмируя, получаем ad(Ao — А)2 ^ In 2, откуда следует Агр = Ао ± ± у In 2/(ad). Ширина спектрального интервала ДА = 2 у In 2/(ad).
Прозрачность на резонансной длине волны ко = /о (А2 = е~е°ф
Из закона поглощения / = /0 • 2~d/b получим: d/L = 1g г/1g 2, где ^ = Io// — кратность ослабления пучка.
Максимальная толщина слоя половинного поглощения Ьмакс = = In 2/цМИН1 где Дмин = 44 м™1 — коэффициент поглощения на длине волны 0,3 пм.
Как известно (см. т. 2, (63.10)), коэффициент отражения R =
/\ 2
/ П2 ™ Ш \„
= . В данном случае
\П2 + П1 )
2\ 22 \ 2
.. е поАЦотюе А
’ И1 87f2£oWC28л2те '
Учитывая, что второе слагаемое много меньше единицы, получаем R = = [р-оИое2А2/(16л 2 77ге)]2. Концентрация электронов проводимости в алюминии приведена в табл. 44.1 (см. т. 1).
Поляризация света
На поляризатор падает естественный свет интенсивностью /Пад, при этом обыкновенный луч поглощается полностью, а из необыкновенного поглощается 10 %. Следовательно, интенсивность поляризованного света, вышедшего из поляризатора, 1ПОЛ = 0,51пад • 0,9 = 0,451пад. По закону Малюса через анализатор пройдет свет I = 1ПОЛ cos2 а. Кроме того, 10 % поглотится; следовательно,
-КфОХ 0, 9/пол cos2 а = 0,9 • 0,451пад cos2 а.
Ослабление света
Над 1 2,5
~ /Прох0,9 • 0,45 • cos2 a cos2 а *
У необыкновенного луча, прошедшего через поляризатор, вектор напряженности электрического поля параллелен оптической оси поля
ризатора MN (рис. 42.2 а). Разложим этот вектор на два луча: обыкновенный Ei_ и необыкновенный Ei относительно среднего поляроида. Через этот поляроид пройдет только необыкновенный луч с соответствующим электрическим полем напряженностью Ei = Кполсо8а. Аналогично через анализатор пройдет необыкновенный луч, у которого напряженность поля (рис. 42.2 6) Е^ = £4 sin а = Кпол sin a cos а. Интенсивность волны пропорциональна квадрату вектора напряженности; следовательно,
I = /пол sin2 a cos2 а. Учитывая, что поляризатор поглощает половину интенсивности естественного света, имеем
2q.2q.т / т • 22т • 2
2q.
2q.
1 = - io sin a cos а = - lo sin
У обыкновенного и необыкновенного лучей одинаковые частоты и постоянная во времени разность фаз, но векторы напряженностей соответствующих полей взаимно перпендикулярны. Поэтому интерференционной картины они не дают.
Сдвиг фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами в направлении, перпендикулярном оптической оси, равен
2тп/2тп/2тп/ ,.
^ф — д~— —г (Щоб ^необ) •
ЛоблнеобЛо
Полагая Кф = (2т + 1)тг/2, что соответствует пластинке в четверть волны, получаем
(2m + 1)Ао
4(поб ^необ)
Зная толщину пластинки, находим сдвиг фаз в фиолетовом свете.
Имеем: ^ф! + ^фм = 0, или
2тп/ , /,. 2тп/ , и н .
х (Уоб ^необ) 4" х (^об ^необ ) б.
лоЛо
Отсюда следует:
'Щерб
* Инеоб - «об ’
где один штрих относится к кальциту, а два штриха — к кварцу.
Для просветления поля зрения между скрещенными поляроидами следует повернуть плоскость колебаний волны на 90°. Имеем
90°
d = (2771 + 1)^™ .
Геометрическая оптика
Ход лучей показан на рис. 43.1. Смещение лучей х = ОЕ cos а = dcos a(tg анеоб — tgaO6)-
Рис. 43.1Рис. 43.1Значения углов преломления получим из соотношения
Рис. 43.1
Рис. 43.1
Sin О — 77об Sin (Гоб — 1^необ Sin ОДеоб •
Легко убедиться, что угол падения луча на вторую грань равен преломляющему углу призмы ф. Красный свет выйдет в воздух, если тгкр8Ш92 < 1; фиолетовый испытает полное отражение, если Пф sin ф 1. Отсюда следует:
siu - < 2- , 40°48' < ф < 41°30'.
77ф77кр
Ход лучей показан на рис. 43.3. Нетрудно показать, что «2 = 45° + «1,«1 = 90° — «2 = 45° — «1,«4 = 45° — ад — «1.
Отсюда следует а' = ад.
Ход лучей показан на рис. 65.2 (см. § 65.2). Очевидно, что о т2d
D — 2d tg (Тпред —,-== ,
л/т — 1
где d — глубина водоема.
Рис. 43.5Рис. 43.5
Рис. 43.5
Рис. 43.5
и / — фокусное расстояниеи / — фокусное расстояние
и / — фокусное расстояние
и / — фокусное расстояние
Ход лучей показан на рис. 43.5. Угол преломления в стекле «2 = = 99/2, угол падения ад находим из условия ж sin ад = ж sin «2- Луч повернется на угол е = 2 (ал — а2) = 2ал — р.
Ход лучей показан на
рис. 43.7 х).
Воспользуемся построением хода лучей в предыдущей задаче и приблизим линзы до соприкосновения. Тогда точка Fi будет служить для системы предметом, точка F2 — ее изображением. Обозначив ai = = OFi = fi ™ фокусное расстояние левой линзы, а2 = OF2 =
= /2 — фокусное расстояние правой линзы
системы, получим по формуле линзы
1 1 _ £
или
ф = фх + ф2.
Подобрать собирающую линзу с оптической силой большей, чем модуль оптической силы рассеивающей линзы, и определить обычным способом сначала оптическую силу собирающей линзы, затем системы. Получим
Фрасе —: Фсмет Фсобир•
1) На приводимых в данном разделе построениях хода лучей собирающие и рассеивающие линзы изображены, как это часто делается, символически.
Вначале находим оптическую силу стеклянной линзы: Фх = = (пх — 1)(1/Дх — 1 /Д2), где /?х = 1 м, R2 = 12 см. Затем находим оптическую силу плосковыпуклой водяной линзы: Ф2 = (ji2 — 1)/R2. Окончательно
ж ж , ж Ш “ 1 Щ - П2
Ф = ФХ + Ф2 = .
ЩК2
Конечно, искомую формулу можно получить из общей, положив один из радиусов кривизны равным бесконечности. Но можно получить эту формулу независимо, воспользовавшись построением рис. 43.11. Здесь / = FC ~ FM = Ьс1^ф. В свою очередь h = R sin а. Для параксиального пучка (Л <С Я) имеем sin а ^ а, sin/3 ~ /3, tg 99 ^ ф. Закон преломления nsina = sin/З примет вид па = /3. Но /3 = а + ф^ где а = h/R, ф = h/f. Подставив, получим
па = а + ф^па = а + ф^Щ = у, (n - 1А = ^ К тЩ = у, (n - 1А = ^ К т1 п — 1ф = — =/ R1 п — 1ф = — =/ RРис. 43.11Рис. 43.11Ход лучей показан на рис. 43.12. Луч АВ^ параллельный оптической оси, преломляется и идет по направлению ВС. Проводим DO2 || ВС до пересечения с фокальной плоскостью второй линзы в точке Е. ПослеХод лучей показан на рис. 43.12. Луч АВ^ параллельный оптической оси, преломляется и идет по направлению ВС. Проводим DO2 || ВС до пересечения с фокальной плоскостью второй линзы в точке Е. Послепреломления во второй линзе луч ВС пойдет по направлению СЕ и пепреломления во второй линзе луч ВС пойдет по направлению СЕ и пересечет оптическую ось в точке F. Расстояние FO2 обозначим через х.ресечет оптическую ось в точке F. Расстояние FO2 обозначим через х.Из подобия треугольников NCO2F со 00NEF2F, AC*O2F1 со NO2F2E имеемИз подобия треугольников NCO2F со 00NEF2F, AC*O2F1 со NO2F2E имеемСО2 _ F2E СО2 _ F2EX f2 ™ X ' fl - d f2СО2 _ F2E СО2 _ F2EX f2 ™ X ' fl - d f2Разделив первое уравнение на второе,Разделив первое уравнение на второе,получимполучимfi-dfi-d„ откуда x = /2™ Ж„ откуда x = /2™ ЖMh-d) fi+fi—d'Mh-d) fi+fi—d'Ход лучей показан на рис. 43.13. Для определения х и h надо воспользоваться подобием треугольников.Ход лучей показан на рис. 43.14. Через центр линзы проводим луч ON || АВ до пересечения с фокальной плоскостью. Тогда луч AN — это ход луча МА после его преломления в линзе. Точки D и В — сопряженные; например, 13 есть мнимое изображение точки D. Отсюда, обозначив О В = ах, OD = а 2, имеем — 1/ш + 1/«2 = 1//. Но ш = 43ctga, «2 = 43ctg/3,Ход лучей показан на рис. 43.13. Для определения х и h надо воспользоваться подобием треугольников.Ход лучей показан на рис. 43.14. Через центр линзы проводим луч ON || АВ до пересечения с фокальной плоскостью. Тогда луч AN — это ход луча МА после его преломления в линзе. Точки D и В — сопряженные; например, 13 есть мнимое изображение точки D. Отсюда, обозначив О В = ах, OD = а 2, имеем — 1/ш + 1/«2 = 1//. Но ш = 43ctga, «2 = 43ctg/3,
па = а + ф^
па = а + ф^
Щ = у, (n - 1А = ^ К т
Щ = у, (n - 1А = ^ К т
1 п — 1
ф = — =
/ R
1 п — 1
ф = — =
/ R
Рис. 43.11
Рис. 43.11
Ход лучей показан на рис. 43.12. Луч АВ^ параллельный оптической оси, преломляется и идет по направлению ВС. Проводим DO2 || ВС до пересечения с фокальной плоскостью второй линзы в точке Е. После
Ход лучей показан на рис. 43.12. Луч АВ^ параллельный оптической оси, преломляется и идет по направлению ВС. Проводим DO2 || ВС до пересечения с фокальной плоскостью второй линзы в точке Е. После
преломления во второй линзе луч ВС пойдет по направлению СЕ и пе
преломления во второй линзе луч ВС пойдет по направлению СЕ и пе
ресечет оптическую ось в точке F. Расстояние FO2 обозначим через х.
ресечет оптическую ось в точке F. Расстояние FO2 обозначим через х.
Из подобия треугольников NCO2F со 00NEF2F, AC*O2F1 со NO2F2E имеем
Из подобия треугольников NCO2F со 00NEF2F, AC*O2F1 со NO2F2E имеем
СО2 _ F2E СО2 _ F2E
X f2 ™ X ' fl - d f2
СО2 _ F2E СО2 _ F2E
X f2 ™ X ' fl - d f2
Разделив первое уравнение на второе,
Разделив первое уравнение на второе,
получим
получим
fi-d
fi-d
„ откуда x = /2™ Ж
„ откуда x = /2™ Ж
Mh-d) fi+fi—d'
Mh-d) fi+fi—d'
Ход лучей показан на рис. 43.13. Для определения х и h надо воспользоваться подобием треугольников.
Ход лучей показан на рис. 43.14. Через центр линзы проводим луч ON || АВ до пересечения с фокальной плоскостью. Тогда луч AN — это ход луча МА после его преломления в линзе. Точки D и В — сопряженные; например, 13 есть мнимое изображение точки D. Отсюда, обозначив О В = ах, OD = а 2, имеем — 1/ш + 1/«2 = 1//. Но ш = 43ctga, «2 = 43ctg/3,
Ход лучей показан на рис. 43.13. Для определения х и h надо воспользоваться подобием треугольников.
Ход лучей показан на рис. 43.14. Через центр линзы проводим луч ON || АВ до пересечения с фокальной плоскостью. Тогда луч AN — это ход луча МА после его преломления в линзе. Точки D и В — сопряженные; например, 13 есть мнимое изображение точки D. Отсюда, обозначив О В = ах, OD = а 2, имеем — 1/ш + 1/«2 = 1//. Но ш = 43ctga, «2 = 43ctg/3,
Рис. 43.14Рис. 43.14Рис. 43.15
Рис. 43.14
Рис. 43.14
Поперечное увеличение (3 = hf/h = а /а = f /(a — f)- Продольное увеличение а = ж'/ж (рис. 43.15). Чтобы его вычислить, запишем уравнение линзы в виде
отсюда
Но а = af /{а — /), следовательно,
, = /(а-ж) _ а/ = Ща — / — х а — f (а — /)(а — / — ж)
Итак, продольное увеличение
« = - = /2=.
х (а — f)(a — f — х) а — f — х
При малом продольном размере тела (ж <С а — /) продольное увеличение а = /З2.
При а = 2/ поперечное увеличение /3 = 1, продольное а = = 1/(1 — г/ f), где г — радиус шарика. Как видно, продольный размер изображения больше поперечного; следовательно, шарик будет изображаться вытянутым эллипсоидом вращения.
Фокусное расстояние линзы с одинаковой кривизной поверхностей / = Rl\2^n — 1)]. Значение хроматической аберрации
д р р R таф ^кр/кр(пф - 1)(пкр - 1) 1
Отношение хроматической аберрации к среднему фокусному расстоянию
△2(пф таКр)
/срТ1ф + такр 2
Оптическая сила зеркала Ф1 = 2/R. Оптическая сила плосковыпуклой линзы из воды Ф2 = (та — 1)/R. Оптическая сила системы Ф = = Ф1 + Ф2? ибо свет проходит сквозь воду дважды. Итак, Ф = 2n/R.
Первое решение. Рассмотрим пучок, параллельный лучу MN. После отражения от зеркала пучок соберется в побочном фокусе F\ который лежит в фокальной плоскости. Проведя через центр зеркала луч DO || MN, найдем побочный фокус Ff. Луч NK является искомым (рис. 43.19 6).
Рис. 43.19 бРис. 43.19 б
Рис. 43.19 б
Рис. 43.19 б
Второе решение. На луче MN выберем произвольную точку М и с помощью характерных лучей построим ее изображение М’. Искомый луч NK проходит через эту точку (рис. 43.19 в).
Ход лучей показан на рис. 43.20 6.
Ход лучей показан на рис. 43.21 6. Вначале проводим луч А А' до пересечения с оптической осью, получим центр линзы С. Поскольку мнимое
изображение увеличено, линза собираю™ щая. Проводим луч АВ параллельно оптической оси. Он преломляется в линзе так, что проходит через фокус, а его продолжение — через мнимое изображение. Пересечение луча А’ В с оптической осью дает точку F — фокус линзы.
Ход лучей показан на рис. 43.22 б.
Задача решается совершенно аналогично задаче 10.4, поскольку закон отражения в обоих случаях одинаковый. Мы получаем, что пучок любой ширины, а не только параксиальный, собирается параболическим зеркалом в фокус. А это и означает отсутствие сферической аберрации.
Поскольку истинно точечных источников света не существует, нельзя получить строго параллельный пучок. Но для практических целей можно получить пучок, близкий к параллельному. Учтите также роль дифракции.
Свет испытает полное отражение на границе с оболочкой световода, если а ^ «пред = arcsin (m/m)- Поскольку (рис. 43.25) свет падает на торец из воздуха, то
1 • sin ф = n,i sin /3 = ni cos а, ибо /3 = ™ — а.
ИмеемИмеем^/1 sin" ОДред^/1 sin" ОДредsin ф ^ 711 cos «пред = 771sin ф ^ 711 cos «пред = 771
Имеем
Имеем
^/1 sin" ОДред
^/1 sin" ОДред
sin ф ^ 711 cos «пред = 771
sin ф ^ 711 cos «пред = 771
R -dRR -dRnid771 — П2nid771 — П2^ тщ /ш, откуда R ^^ тщ /ш, откуда R ^Рис. 43.28Рис. 43.28
R -dR
R -dR
nid
771 — П2
nid
771 — П2
^ тщ /ш, откуда R ^
^ тщ /ш, откуда R ^
Рис. 43.28
Рис. 43.28
Пусть пучок света падает нормально на торец световода. Весь пучок испытает полное отражение, если луч АВ падает на оболочку под уг
лом, большим предельного, — у остальных лучей угол падения еще больше
(рис. 43.26). Радиус кривизны наружной поверхности световода О В = R^ тогда О А = R — d. Условие а ^ апред или sin а ^ 8шаПред примет вид
Угол скольжения является дополнительным к углу падения: 9 = = 90° ™ а ^ 90° — «пред, или 9 = 90° — arcsin п, где п — показатель преломления алюминия относительно вакуума (см. задачу 41.10).
Рис. 43.26
Полагая, что в фокусе находится главный (нулевой) интерференционный максимум, мы видим, что разность хода волны вдоль луча AMF
и волны вдоль луча BCF равна нулю: АМ + MF = ВС + CF, или MF = = DC + СЕ (рис. 43.28). Обозначив MF = d, CD = х, MD = h и CF = /, имеем d = xpf. Ho d2 = h2 F {f — x)2следовательно, (ж + /)2 = h2 + (/ — ж)2, или 4fx = h2. С другой стороны, x^R — ж)2 = h2 или x2 — 2 Дж + h2 = 0, следовательно, x = R—VR2 - № = /i2/(fi+ VR2 *№\ Итак,для широкого пучка f = (R + /7ЛМД/4 = Я(1 + /ПЛгЩД/Д. Для параксиального пучка (h <С R) получаем / = Д/2.
Оптические приборы
На длине волны 555 нм мощности излучения 1,0 Вт соответствует световой поток 683 лм. Отсюда находим мощность потока в 1200 лм. Чтобы получить мощность такого же светового потока на другой длине волны, следует разделить рассчитанную мощность на относительную спектральную чувствительность глаза, называемую иначе коэффициентом видности.
Для определения амплитуды напряженности электрического поля воспользуемся выражением для интенсивности волны (59.8) из § 59.2: J = = {ЕН) = ЕМК/^ поскольку монохроматическая волна синусоидальна. Но роН2 = еоЕ2, следовательно, интенсивность волны J = Е^^бо/цо/2. С другой стороны, интенсивность волны есть мощность, приходящаяся на единицу площади:
_ Р _ Ф _ I
4лг2683Кх • 4л г 2683Кхг2
Здесь I — сила света, Кх — относительная спектральная чувствительность глаза.
Индукцию магнитного поля определим из соотношения
В = р0Н = роЕ^о/ро = Е^еоро = Е/с.
Освещенность на краю стола Е = Icosa/R2 = Ih/(r2 4"h2)3^\ где h — высота лампы над центром стола. Исследуем полученную функцию на
максимум:максимум:d Г h dh {г2 +h2)F2d Г h dh {г2 +h2)F2= ^Мг2 + н2Г3П = о.= ^Мг2 + н2Г3П = о.
максимум:
максимум:
d Г h dh {г2 +h2)F2
d Г h dh {г2 +h2)F2
= ^Мг2 + н2Г3П = о.
= ^Мг2 + н2Г3П = о.
ИмеемИмеем
Имеем
Имеем
(г2 + /Д-3/2 - | Цт2 + /Д’8/2 • 2й = 0.
Умножив на (г2 + h2)5^\ получим —Mi2 + г2 + h2 = 0, следовательно, h = = г/^, Отсюда находим освещенность на краю и в центре стола.
Плоское зеркало отражает
лучи, которые лампа посылала в противоположную от экрана сторону. В результате получается, что экран освещается как бы двумя одинаковыми источниками: лампой и ее мнимым изображением (рис. 44.5). Имеем
Е= d? (МУ2 = 4 Ео'
Сила света лампы выражается через ее яркость и диаметр сферы: I = BS = nBD2/4. Освещенность в точке под каждой лампой равна сум™ ме освещенностей, создаваемых данной лампой и двумя соседними. Освещенность в средней точке равна сумме освещенностей, создаваемых двумя соседними лампами. Освещенность, создаваемая остальными лампами, ничтожно мала, и ее можно не учитывать.
Максимальная освещенность экрана наблюдается в точке на оси оптической системы (рис. 44.7). Для достаточно узкого пучка света роль вогнутого зеркала в этом случае сводится к тому, что оно удваивает световой поток, попадающий на экран. Следовательно, если зеркало убрать, то освещенность уменьшится вдвое.
Рис. 44.7Рис. 44.7Рис. 44.8Рис. 44.8
Рис. 44.7
Рис. 44.7
Рис. 44.8
Рис. 44.8
Но В = 41 /^h2 есть яркость предмета, a R = тгВ = 41 /h2 — его свети-Но В = 41 /^h2 есть яркость предмета, a R = тгВ = 41 /h2 — его свети-— светосила линзы.— светосила линзы.Рис. 44.9Рис. 44.9
Но В = 41 /^h2 есть яркость предмета, a R = тгВ = 41 /h2 — его свети-
Но В = 41 /^h2 есть яркость предмета, a R = тгВ = 41 /h2 — его свети-
— светосила линзы.
— светосила линзы.
Рис. 44.9
Рис. 44.9
Если предмет расположен далеко от линзы, то его изображение лежит практически в фокальной плоскости. Увеличение /3 = h' jh = d'/cl = = f /d. Освещенность изображения равна световому потоку Ф = Ю, деленному на площадь изображения S' = 'kW2/4. Учитывая, что телесный угол (рис. 44.8) О = -кВ2}4d2 где D — диаметр линзы, получаем
Ф _ ^D2! _ D2Id2 _ I D2
R О2
мость. Имеем: Е = — -— , где D2 j f2 4 р*
Заметим, что потерями света в
объективе мы пренебрегли.
По правилу знаков, сформулированному в § 65.6 (см. т. 2), фокусное расстояние рассеивающей линзы / и расстояние от мнимого изображения d' — отрицательные числа. Без линзы
световой поток распределялся на площадке So = ttDq/4, с.
помощью линзы этот же поток
распределяется на площадке
S = тШ2 (4 (рис. 44.9). Следова-
где 0 —где 0 —тельно, Е/Ео = Dp*. Но Do = 0L/d, a D = ^ДДД!
где 0 —
где 0 —
диаметр линзы. В нашей задаче d = —/; следовательно, ™1// + 1/d' = 1//,
т.е. d’ = //2. Имеем
Do _ L „ Е _ L2- 2£ + / И “ (2L + /)2 '
Для близорукого глаза ф + 1 = Ф', где Д' = 9 см, d' — расстояние от оптического центра глаза до сетчатки и Ф — оптическая сила этого глаза. Чтобы приблизить зрение к норме, надеваем очки с оптической
силой Ф: имеем ™= Ф' + Ф где Д = 25 см. Вычитая из второго
Д ш
равенства первое, определяем оптическую силу очков:
Из критерия Рэлея sin^ = Х/D при малом угле имеем
= 57/z к Г.= 57/z к Г.А _ 555 ■ 10“9 • 180° • 3600'
= 57/z к Г.
= 57/z к Г.
° “ D “2 • 10-3
Ход лучей показан на рис. 44.15. Луч, идущий от удаленного источника под углом зрения «о, должен был бы дать действительное изо™ бражение h в фокальной плоскости объектива. Но этому препятствует оку™ ляр, где луч вторично преломляется и выходит из него в глаз под углом зрения а, который мы находим по известным правилам построения луча,
Рис. 44.15Рис. 44.15
Рис. 44.15
Рис. 44.15
падающего на линзу произвольным образом. Чтобы найти угловое увеличение, проводим прямую MN параллельно лучу и получаем отрезок h в левой фокальной плоскости окуляра.
Очевидно, что tg«o = Ь//Об, tga = h/|/OK| и при малых углах
ааадад
а
а
ад
ад
Скорость перемещения луча по негативу во столько же раз меньше скорости бегуна, во сколько раз изображение меньше предмета. Обозначив поперечное увеличение через /3, имеем гнег = /Зг = vd!/d = vf /d = = v/^d), поскольку при большой оптической силе объектива изображение практически находится в фокальной плоскости. Длительность экспозиции получим, разделив размытость изображения на полученную скорость: т = = xjv^v = хМ/ш
Схематически ход лучей показан на рис. 44.19. Пусть точка А
изображается четко на негативе, тогда точка В, расположенная несколько
ближе к линзе, изобразится на негативе в виде пятнышка размером х. Пусть
расстояние от точки А до линзы равно а, точки В от линзы — Ь, тогда
Рис. 44.20Рис. 44.20Рис. 44.19Рис. 44.19a' = af/(а ™ /), V = bf/(b ™ /). Очевидно, что ж/0 = (bf — а')/Ь\ где 0 — диаметр диафрагмы. Отсюда 0 = xb' ЦЬ' — а/) = = bx(a — /)/[/(« — 6)] = Ьх(аФ — 1)(а — Ь).
Рис. 44.20
Рис. 44.20
Рис. 44.19
Рис. 44.19
Вначале нужно определить кажущуюся глубину водоема di (рис. 44.20). Как видно,
di=Zctg/3, d = lctga и ™ =d tg/3
, sin а 71
Для малых углов tg a ^ sin а, следовательно, di = d ——- = dm. По фор- smp
муле линзы имеем 1/di + l/df = 1//; следовательно, искомое расстояние между объективом и пленкой
d —
Фотон
Общая энергия, излучаемая Солнцем в единицу времени, равна N = 4ttJR2, где J — солнечная постоянная и R — радиус земной орбиты. Излучательная способность Солнца
_ _ N _ JR2
Т ” 4~/Й - Д© ’
где Rq — радиус Солнца. Полагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, получаем Ет = сгТ4, откуда
Т = ^JR?/aR2Q.
Интенсивность волны равна энергии, переносимой через единицу площади в единицу времени. Имеем:
4Nhv 4Nhc
^D2 ^XD2 ’
где N — число фотонов в единицу времени и D — диаметр зрачка.
Мощность источника Р = 4тгт211 где г — расстояние от источника до глаза.
Поскольку энергия гамма-кванта значительно больше работы выхода, то кинетическая энергия фотоэлектрона практически равна энергии фотона: К = Ж = hc/X.
Эмиссия с катода прекратится, когда запирающий потенциал окажется равным кинетической энергии (в электронвольтах):
hv — Лоhe
——- =™ фо.
ееХ
Используя результат предыдущей задачи, получаем
_ hc^xXi — Л2)
^° еЛ1Л2(ж — 1) ’
где х — отношение запирающих потенциалов.
Согласно эффекту Доплера (см. § 59.8) частота электромагнитной волны в лабораторной системе отсчета
ш = Шош = Шо1 — /3 cos 91 — /3 cos 9
ш = Шо
ш = Шо
1 — /3 cos 9
1 — /3 cos 9
Рис. 45.14Рис. 45.14
Рис. 45.14
Рис. 45.14
где шо — собственная частота волны. Но энергия и импульс фотона пропорциональны частоте волны: Ж7 = hw и р7 = huj/с] следовательно, та же формула определяет соотношение между энергиями (и импульсами) в лабораторной и собственной системах отсчета.
При нормальном падении фотонов на зеркальную поверхность справедливо выражение для светового давления р = 2nhx/с = 2w, где w — объемная плотность энергии светового потока. Коэффициент 2 появляется вследствие того, что импульс фотона при отражении меняется на противоположный. Если же фотоны падают на зеркальную поверхность под углом падения а, то знак изменит нормальная компонента импульса. Световое давление выразится так: р = = 2w cos а.
Лазерная вспышка обладает энергией Ж и импульсом р = Ж/с. Этот
импульс передается системе (рис. 45.14), и по закону сохранения импульса шх = р = Ж/с. По закону сохранения энергии mv2/2 = mg7(l — cos а), следовательно, и = ^4gl sin2(a/2). Энергия лазерной вспышки
Ж = тсс = тсЖ = тсс = тс4g I sin* - .
Ж = тсс = тс
Ж = тсс = тс
Сила светового давления на абсолютно черную сферическую частицу радиусом г
771 2 2 4
Есвет = 7ГТ W = TXT - ,С
где I — интенсивность электромагнитной волны в данной точке. Сила гравитационного притяжения
_ GthMq _ 4тгСрг3 Mqграв = к, =
где R — расстояние от частицы до Солнца. Из равенства сил следует
_ з/д2
т - 4GpcM0 ■
Но IR2 = JRq, где J — солнечная постоянная, До — расстояние от Земли до Солнца. Итак,
_ 3JR^
Г - 4GpcM0 ’
Изменение длины волны при эффекте Комптона ДА = Az — А = = 2 Ак sin2 (0/2), где 0 — угол рассеяния фотона. Подставив значения А = = he) % и А к = h/m^c, получим
he he"W ™ ж7he he"W ™ ж7ih . . еi
he he
"W ™ ж7
he he
"W ™ ж7
Sin" - , ИЛИ 0™
1 2 sin2 (0/2) Ж ™ Жо1 2 sin2 (0/2) Ж ™ Жогде Жогде Жотес2тес2энергия покоя электрона.энергия покоя электрона.При столкновении фотона сПри столкновении фотона сТПеС 2
1 2 sin2 (0/2) Ж ™ Жо
1 2 sin2 (0/2) Ж ™ Жо
где Жо
где Жо
тес2
тес2
энергия покоя электрона.
энергия покоя электрона.
При столкновении фотона с
При столкновении фотона с
Рис. 45.17Рис. 45.17, Ж7 sin а ° sin (а + 0), Ж7 sin а ° sin (а + 0)
Рис. 45.17
Рис. 45.17
, Ж7 sin а ° sin (а + 0)
, Ж7 sin а ° sin (а + 0)
электроном последнему передается энергия
д Я? ™™^Ж" sin"(0/2)
9 ™ 99 ™ Жо + 2Жsin2(0/2) ‘
Задача решается с помощью законов сохранения энергии и импульса (рис. 45.17):
д ц
=COS 0 + Р COS Q,
С с
Ж" .
О = sin 6 — р sin а, с
где Ж7 и Ж7 — энергия фотона до и после столкновения с электроном, Жо и р — энергия покоя и импульс электрона. Из этой системы следует исключить неизвестные величины 8^ и р. Имеем
что приводит к системе двух уравнений:
sin 0 v
Исключая из этой системы импульс электрона отдачи, получаем
Д sin2 6
0 sin2(a + y)
После несложных, но длинных преобразований получим искомое выражение для энергии фотона до рассеяния.
Поскольку нас интересует минимально возможная энергия фотонов, при которой образуются комптоновские электроны отдачи с данным импульсом, то надо рассмотреть случай центрального удара, при котором фотон передает электрону максимальный импульс. Из законов сохранения энергии и импульса
Д + g0 = Ц += +р
’ vс с
получим выражение для энергии фотона:
С другой стороны, импульс электрона можно определить по кривизне трека: р = eBR (см. т. 1, § 41.2). Энергия фотона
Д = | ^ecBR - Д +.
Допустим, что покоящийся электрон поглотил фотон, энергия которого Й7 и импульс р7 = Й7/с. Законы сохранения энергии и импульса запишутся так:
Й7 + Йо = у^^Й^+рДЗ, ^ = р.
Исключив энергию фотона, находим Йо + рс = у йд Р р2с2. После возведения в квадрат и приведения подобных получим 2рсЙо = 0, что невозможно. Это свидетельствует о ложности предположения о поглощении фотона электроном.
Задачу проще всего решить, если перейти в ту инерциальную систему отсчета, относительно которой электрон покоится. В самом деле, если фотон существует в некоторой системе отсчета, то он существует и в любой другой системе отсчета, хотя его энергия и импульс в разных системах отсчета разные (см. задачу 45.12). Следовательно, для решения задачи можно выбрать ту систему отсчета, где электрон покоится. Но покоящийся электрон обладает минимальной массой (и внутренней энергией). Для того же, чтобы излучить фотон, электрон должен выделить какую-то часть внутренней энергии, и его масса должна стать меньше минимальной. Следовательно, выброс покоящимся электроном фотона противоречит закону сохранения энергии. Но этот же вывод оказывается справедливым и в любой другой инерциальной системе отсчета.
Фотон может в принципе попасть в любую точку пространства за экраном, но с разной вероятностью. Если счетчик расположен далеко от щели в направлении, составляющем угол 9 с нормалью к экрану, то вероятность попадания фотона в счетчик пропорциональна объему счетчика и интенсивности световой волны, соответствующей фотону. Эта интенсивность выражается формулой
т т sin2 attD sin 9
I = Io— , где a =
(cm. § 57.9). Выражая длину волны через энергию фотона, получаем выражение для вероятности обнаружить фотон:
т 7 sin2 attD й7 sin 9
w ~ Из— , где а = .
orhe
Для системы из N щелей шириной D каждая: если расстояние между щелями равно d, то вероятность обнаружить фотон в данной области пропорциональна интенсивности соответствующей синусоидальной волны, прошедшей через дифракционную решетку. Она существенно отличается от вероятности обнаружить в данной точке фотон, прошедший через одну щель. Учитывая результаты § 57.6-57.9, мы можем искомую вероятность записать так:
где Vo — объем счетчика, а вспомогательные углы а и /3 выражаются через энергию фотона следующим образом:
tfD sin 9„ 7vd sin 9
а =^ , 3 =^ .
heПС
Фотон либо пройдет через поляроид, либо поглотится. Вероятность прохождения фотона через поляроид wnpOx = cos2 а, вероятность поглощения Шпогл = sin2 а, где а есть угол между оптической осью поляроида и направлением колебания вектора напряженности электрического поля в электромагнитной волне, соответствующей фотону.
До столкновения электрон и фотон движутся навстречу друг другу, после столкновения они будут двигаться в ту сторону, куда первоначально двигался электрон. Законы сохранения энергии и импульса примут вид
hv ? hv'7 /
р — — = р + , Ж + hv = Ж + hv .
сс
Отсюда следует:
Ж + рс = Ж' + р с + 2йЖ, Ж — рс + 2hv = Ж7 — рс.
Перемножив, получим
Ж2 — р2 с2 + 2hv^ + рс) = Ж72 — р'2 с2 + 2hv ^' -рс).
Но Ж2 — р2 с2 = Ж72 — р2 с2 = Жр. Поэтому
hv(^ + Рс) = hv1 ф/ —рс),или hv^W + рс) = hv' (Ж' — pc + 2hv).
Умножив обе части равенства на выражение Ж + рс, получим
/мфЖ + рс)2 = йп^Ж’о + 2йп(Ж + рс)].
Но в ультрарелятивистском случае Ж и рс (см. задачу 8.12). Итак, 412hv
W ” Ж2 + 4Жйп *
Мощность излучения Р = -kID2/4, энергия фотона з = hc/X. Искомое число фотонов n = Pjc = tv ID2 X / (4hc).
Воспользуемся законами сохранения для энергии и для проекций импульса на оси абсцисс и ординат (рис. 45.26):
he a-. he ф hh n
щ g =+ Ж1,— + р cos а = — cos 9 + pi cos од,
AAiAAi'
. h . л .p sin a = — — sin 9 + pi sin ai
Ai
или
he , ср heh ,h л
+ $ _= й 1,— P p cos a — — cos 0 = pi cos ед,
AAiAAi'
. h . л .
p sin a + — sin У = pi sin ед.
Ai
Умножим второе и третье равенства на с, возведем в квадрат все три ра
до столкновениядо столкновения
до столкновения
до столкновения
Рис. 45.26
венства и вычтем из первого сумму двух других. Поскольку Й2 — р2с2 = = Й2 — р2с2 = Йо, то мы тем самым исключим величины Й1, pi и ед. После приведения подобных получим
2hc6 2РР 2h2c2 , лх
2hpc?2hp(?,л*• л\л
— cos ex 4—(cos a cos 9 — sin a sin y)= 0.
Ho p = йе/с2 = Й/3/с следовательно, после сокращений получим
he м^^^3^3/лх Л
— ——- (1 + cos 9) + —— —— ——cos a + -—cos (9+ a) = 0.
AAiAAiAAi
Умножив на A Ai, имеем окончательно
_ 1 — /3 cos (9 + a) he 1 — cos 9
11 — /3 cos a Й 1 — 3 cos ^
Нетрудно убедиться, что из этой формулы вытекает выражение для эффекта Комптона. В самом деле, если электрон покоится, то /3 = 0 и % = = Йо = тес2. Отсюда
х х h _х 2h . 2 9
Ai = А + (1 cos 9) = А + sin ™ .
тпестес 2
Элементы квантовой механики
Кинетическая энергия частицы К = Й — Йо = V^о + Р2с2 — Йо, откуда для импульса получим р = ™ у К(2Йо + К), а для волны де Бройля
hhe
РVK^o + K) ■
Нерелятивистское приближение получим при К <С Во, в результате
heh
Анерел —/— —,: •
У^ЙоКV2rnK
Погрешность при замене релятивистской формулы нерелятивистским выражением
х Анерел А /2Йо + АА ,.2 i
- = и ^1, откуда ^ =(1+5) -1^25,
ибо по условию 5 < 1. Итак, погрешность при замене релятивистского выражения нерелятивистским будет меньше 5, если А" ^ 45 Йо.
Кинетическая энергия частицы равна ее заряду, умноженному на ускоряющий потенциал: А" = еф. Подставив это значение кинетической энергии в формулы, полученные в предыдущей задаче, мы выразим длину волны де Бройля через ускоряющий потенциал.
Воспользуемся выражением для разрешающей способности микроскопа (см. т. 2, § 66.8), положив sin и = 0,02. Длину волны найдем по нерелятивистской формуле, поскольку кинетическая энергия электрона, равная 10 кэВ, значительно меньше энергии покоя электрона, равной 510 кэВ.
Если положить, что апертуры электронного микроскопа и ионного проектора мало отличаются, то различие в разрешающей способности определяется только различием в длине волны. Полагая, что ускоряющие потенциалы также примерно равны, убеждаемся, что разница в длине волны определяется в основном разницей в массе ускоряемых частиц, которая у электрона примерно на три порядка меньше, чем у ионов.
Длина волны де Бройля для этих электронов А = И/лУ^теф = = 1,225/V15 = 0,32 нм. Первый дифракционный минимум наблюдается под углом sin ^ = А/D, где D — ширина щели (см. т. 2, § 57.9). Поскольку угол весьма мал, то ширина главного максимума
х = 2Dgd = MX/D.
По формуле Вульфа-Брэгга для максимума первого порядка (см. т. 2, § 62.7) определим длину волны де Бройля для нейтронов: А = = 2d sin а, где а — угол скольжения. По длине волны найдем кинетическую энергию нейтрона (см. задачу 46.1), его скорость и соответствующую температуру:
2mA2 ’ 1 mX ’ Зш/сА2 '
Средний квадратичный импульс молекулы найдем из условия З/сТ/2 = (р2)/2т, откуда (р) = V+mAT, а длина волны де Бройля (А) = = h( (р) = h( VSmkT.
1) При ускоряющем потенциале pi = 102 В электрон является нерелятивистской частицей. Его импульс pi = ^2mepi, скорость щ = = ^/2epi /т. Но групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы: Ui = щ, а фазовая скорость
с2 2 / тп
Ш = ™ = с •
Г1 у 2вфо
При ускоряющем потенциале р2 = Ю5 В электрон является релятивистской частицей. Его импульс находим из условия yWI+j+c2 = Йо + ер2, откуда следует рг = - Vер2(2йо + ерг). Массу найдем из условия Vm^c2 =
= Йо + ер2, откуда Гт2 = ™ (йо + ер2). Групповая скорость (скорость
частицы)
т тР2 с у/е^(2ЖГ+^2)
U 2 — ^2 — —7 — Z7 •
Жо + еф2
Фазовая скорость
С2 с(Ж0+в^2)
Л 2 = = 7:::=^.
'у2-\/еф2^и + 6^2)
Заметим, что в этом случае энергию удобнее выражать не в джоулях, а в килоэлектронвольтах, учитывая, что Жо = 510 кэВ.
Если частица находится в основном состоянии, то на длине потенциальной ямы укладывается одна де-бройлевская полуволна: L = А/2. Импульс частицы р = h/X = h/2L. Частица отражается от стенки ямы абсолютно упруго, следовательно, изменение импульса Др = 2р = h/L. Средняя сила давления равна произведению изменения импульса на число соударений в единицу времени:
2т 2
Fcp — Др • 2 — 2р ——.
Энергия частицы Жп = р2/2ш = n2h2/(8mL2\ где квантовое число п согласно условию задачи принимает значения 1, 2, 3.
Энергия нулевых колебаний Жо = hv/2. Энергия первого возбужденного уровня Ж1 = Зйп/2, следовательно, энергия возбуждения Д Ж = = Ж1 — Жо = hv. Колебательные степени свободы перестанут возбуждаться, если энергия теплового движения окажется меньше энергии возбуждения. Обычно здесь полагают ЗкТ/2 ^ hv и отсюда получают, что минимальная температура
Ткол = Zhv^k = 4 ■ 103 К,
что противоречит эксперименту: линии колебательного диапазона в спектре молекул водорода наблюдаются при более низких температурах.
Пвление объясняется максвелловским распределением молекул по скоростям (см. § 25.2), из которого следует, что в газе имеются молекулы, скорость которых значительно больше средней, — например, около 2% молекул движутся со скоростями более чем втрое большими средней скорости. Энергия этих молекул более чем в 9 раз больше средней кинетической энергии.
Кинетическая энергия электрона на орбите К = три2 /2 = = три2 г2/2, энергия нулевых колебаний Ж о = кш/2. Собственная частота си = у/супр/ше = у/ F/(теА^ где F — квазиупругая сила и А— амплитуда осциллятора. Полагая, что квазиупругой силой является кулоновская сила, а амплитудой — радиус, получаем
/ е2
ш = \ .
у 47геотег°
Положив К = Жо и подставив значение круговой частоты, получим после несложных преобразований
4тГ£о^г = — .
е2 те
Несмотря на ряд произвольных допущений, получилось правильное выражение для первого боровского радиуса.
Вероятность просачивания сквозь потенциальный барьер
w == е™2оЬ, где а = ^/2m(_Uo — ep^jh^.
Do
При отсутствии внешнего электрического поля электрон в ме
талле находится за бесконечно широким потенциальным барьером высотой
По (рис. 46.14 а). При наличии сильного электрического поля напряженностью Е возникает потенциальный барьер треугольной формы высотой Uо и шириной L = ф / Е = = Ао/еЕ (рис. 46.14 6), где Ао — работа выхода. Пренебрежем формой барьера и будем считать его прямоугольным. Посколь
ку электроны в металле
а =а =^^ (тт^^ (тт2тАо2тАо2aL = —V^A^.eEh2aL = —V^A^.eEhимеют энергию Шр и работа выхода Ао = По — Шр (см. т. 2, § 75.3), то параметр а, определяющий вероятность просачивания электрона сквозь потенциальный барьер, примет вид
а =
а =
^^ (тт
^^ (тт
2тАо
2тАо
2aL = —V^A^.eEh
2aL = —V^A^.eEh
р(х)/А2р(х)/А2Рис. 46.17Рис. 46.17
р(х)/А2
р(х)/А2
Рис. 46.17
Рис. 46.17
Запишем искомое выражение в виде ф(х) = -A sin /сж + Bcoskx Поскольку на границах и за пределами потенциальной ямы (т.е. при х ^ 0 и при х ^ L) вероятность найти частицу равна нулю, имеем ф(0) = = 0 = A sin 0 + В cos 0, следовательно, В = 0 и ф(х) = Asin/сж. Далее ф(В) = 0 = Asin/cL, что возможно, если кВ = птг, где n = 1, 2, 3 ... Отсюда
к = tip/L^ р = hk = nph/L^ ^ = = р/2т = п2 р2 кФ / ф2тВу
Постоянную А найдем из условия нормировки. В самом деле, вероятность найти частицу внутри потен" L "
циальной ямы w = J ф2(x)dx = 1. о
Подставив значение 'ф(хУ получим
L
J А2 sin2 кх dx = 1. о
Но
LL
J sin2 kxdx = - J (1 — cos kx^dx = оо
2 — номера энергетических уровней. Имеем sin2 (тгж/YL) = sin2(27nr/L), или 1 — cos (2тгж/Ь) = 1 — cos (4тгж/Ь), откуда следует 2 sin (Bux/L) sin (nx/L) = = 0. Решением этого уравнения являются точки х = 0, х = L, х = ЦЗ и х = 2L/3. Первые две точки суть границы потенциальной ямы, где вероятность найти частицу равна нулю. Остаются две точки внутри потенциальной ямы: Xi = L/3 и ж2 = 2L/3.
Плотность вероятности найти частицу в этих точках (при п = 2)
= A2 sin2= A2 sin22tvL2tvL4 2 . 2 2тг = A sin —4 2 . 2 2тг = A sin —
= A2 sin2
= A2 sin2
2tvL
2tvL
4 2 . 2 2тг = A sin —
4 2 . 2 2тг = A sin —
а в середине потенциальной ямы
РР= A2 sin2= A2 sin22тгЬ 2 • 21ГГ = л2тгЬ 2 • 21ГГ = л7Г = 07Г = 0
Р
Р
= A2 sin2
= A2 sin2
2тгЬ 2 • 2
1ГГ = л
2тгЬ 2 • 2
1ГГ = л
7Г = 0
7Г = 0
(рис. 46.17). Нетрудно убедиться, что р(ж1) = р(ж2).
Строение атомов и молекул
Минимальное расстояние между а-частицей и ядром будет достигнуто при центральном соударении, когда вся кинетическая энергия ча- „TZ тт ZiZ^e2
стицы перейдет в потенциальную К = и = ,, где Zi и Z2 — зарядо-
"4тГ£оС
вые числа.
Первое уравнение получаем, учитывая, что центростремительное ускорение возникает под действием кулоновской силы:
222
mu е2 е
= -- , откуда пи г = - .т"4тг£о
Второе уравнение дает условие квантования орбит: mvr = нН. Разделив первое уравнение на второе, получим
1 е2
п 4тгбо^
Максимальная скорость соответствует первому (основному) энергетическому уровню, ее отношение к скорости света в вакууме есть постоянная тонкой структуры:
ri _ е2с4тг EqcHri _ е2с4тг EqcH47.4. По формуле Ж = hcR47.4. По формуле Ж = hcRо1
ri _ е2
с4тг EqcH
ri _ е2
с4тг EqcH
47.4. По формуле Ж = hcR
47.4. По формуле Ж = hcR
= 7,3-10= —
’137
) = 13,6 ( 1 ) находим но
мер возбужденного уровня: п = 3.мер возбужденного уровня: п = 3.С третьего уровня возможен прямой
мер возбужденного уровня: п = 3.
мер возбужденного уровня: п = 3.
переход на первый и второй уровни, со второго уровня — переход на первый. Получим три линии спектра.
Энергия перехода из возбужденного состояния в основное распределяется между фотоном и атомом: Ж = hv 4- D, где D = р2/2М — энергия отдачи атома, р — импульс, возникший при вылете фотона. По закону сохранения импульса р = pi = hv/c. Отсюда следует D = h2v2/(^Мс2) и
энергия переходаэнергия переходаЖ = йп 1 +Ж = йп 1 +h v2М^h v2М^
энергия перехода
энергия перехода
Ж = йп 1 +
Ж = йп 1 +
h v
2М^
h v
2М^
Решая это квадратное уравнение, получаем выражение для энергии фотона:
h v =h v =1 + VTaM6[mH '1 + VTaM6[mH '2 Ж
h v =
h v =
1 + VTaM6[mH '
1 + VTaM6[mH '
Поскольку энергия перехода в атоме водорода меньше 13,6 эВ, а энергия покоя атома водорода равна примерно 1 ГэВ, то 2 Ж’/Мс2 % 10—8, и с достаточной точностью можно отбросить в знаменателе это выражение и получить hv = Ж. А так как по условию задачи переход совершается с пятого уровня на первый, то
hcRhcR24 , „ = - hcR.24 , „ = - hcR.
hcR
hcR
24 , „ = - hcR.
24 , „ = - hcR.
^ч^к2-——т— , скорость атома и =^ч^к2-——т— , скорость атома и == Z2R (А\ т2= Z2R (А\ т21li '1li 'или no (8п6По) 1или no (8п6По) 1
^ч^к2
-——т— , скорость атома и =
^ч^к2
-——т— , скорость атома и =
= Z2R (А
\ т2
= Z2R (А
\ т2
1
li '
1
li '
или no (8п6По) 1
или no (8п6По) 1
24
Итак, hv = — hcR, энергия отдачи = 24М/(25М).
Учитывая, что для водородоподобного иона Жп = — Z2hcR/п2 получаем обобщенную формулу Бальмера:
1
А
Для гелия (Z = 2)
1 = 4R (— — VА \т2 п2 )
Головная линия для серии Лаймана возникнет при переходе со второго уровня на первый (ш = 1, п = 2), серии Бальмера — при переходе с третьего уровня на второй (т = 2, п = 3).
Диаметр возбужденного атома водорода d = 2п2по, где п — номер энергетического уровня и но — боровский радиус. Концентрация атомов
Поскольку серия Бальмера возбуждается при переходе электрона на второй уровень, то максимальный номер уровня на две единицы больше максимального числа наблюдаемых линий. Итак, в газоразрядной трубке п = 14, в небесном теле п = 35.
Данные линии спектра очень напоминают первые три линии серии Бальмера водородного спектра: 656,1, 486,1 и 434,0 нм. Чтобы убедиться, что это те же самые линии, найдем отношение длин волн в спектре галактики к длинам волн, измеренным в лаборатории. Мы получим одно и то же отношение:
Л _ 687,7 _ 498,9 _ 454,8 _
Ло "" 656,3 "" 486,1 "" 434,0 ” ’'
Сдвиг линий в красную сторону произошел, очевидно, за счет того, что галактика от нас удаляется (эффект Доплера). Имеем
откудаоткуда1,045.1,045.
откуда
откуда
1,045.
1,045.
Решая это уравнение, определяем скорость удаления галактики.
Поскольку масса мюона всего в девять раз меньше массы протона, здесь следует учесть, что протон и мюон обращаются вокруг обще-
МюонМюон"U
Мюон
Мюон
Протон
Рис. 47.10
го центра масс (рис. 47.10). Для определения радиусов получим систему уравнений:
mivi _ mrvj _ е2
П ту 4тггоа2 ’
а = Г1Рт2,(2)
TTLVU1T1 + 1712'172 Т'2 = пВ,(3)
гад = m2r2.(4)
Из первого и четвертого уравнений следует гх/п = ту/ту; из третьего и четвертого ту 4™ ту = нН, ^mirR) = нН, Ут2г2у Отсюда получаем значения орбитальных скоростей: их = nB/(ami), ту = TtHl^am2y Подставив их в первое и второе уравнения, получим радиусы:
24тг£о^22 4тг£о^2
П = п — , г2 = п — .
mie2m2e2
Отсюда определяются боровские радиусы мезоатома:
2 4тг£о^2 ТПр 4- ТПмап = п „ .
Энергия электрона на произвольном энергетическом уровне
ф mxvl , т2и2 е2е2, „ «о
©п = п + п - ,= -о= —hcR — ,
22 4тте0ап ттеоапап
где но — первый боровский радиус атома водорода.
Задача решается аналогично задаче 47.10. Можно воспользоваться готовой формулой, полученной в задаче 47.10, положив mi = т2 = = те. Получим ап = п2 • 2но, где Но — первый боровский радиус. Энергия в основном состоянии (n = 1) примет вид <Д = —hcR(2.
Первый скачок потенциала произойдет при переходе электрона с первого уровня на второй:
= hcR (А _ А у
s-состоянию соответствует орбитальное квантовое число I = 0; значит, и магнитное квантовое число m = 0. Следовательно, электроны могут отличаться только проекциями спинов: s = 1/2 и s = — 1/2. Таким образом, имеются два варианта квантовых чисел: п, 0, 0,1/2 и п, 0,0, —1/2.
p-состоянию соответствует орбитальное квантовое число 1 = 1; значит, магнитное квантовое число может принять три значения: т = 1, т = О, т = — 1. Так как каждому такому значению магнитного момента соответствуют две возможные проекции спина, то всего имеются шесть вариантов квантовых чисел:
п, 1,1, 1/2; п, 1,1,-1/2; п, 1,0, 1/2; п, 1,0,-1/2; п, 1,-1, 1/2; п, 1,-1,-1/2.
Валентность определяется числом электронов на верхнем, не до конца заполненном энергетическом уровне. У всех этих элементов на этом
уровне один электрон.
На бозоны принцип Паули не распространяется. Следовательно, если система находится в состоянии с минимальной энергией, то все три частицы будут находиться на первом энергетическом уровне. А так как
их импульсы окажутся при этом одинаковыми, то сила давления окажется втрое больше.
Из трех фермионов лишь два могут находиться на наинизшем энергетическом уровне (с противоположными спинами). Третий фермион должен перейти на второй уровень, и при этом система будет обладать минимальной возможной энергией. На втором уровне на длине потенциальной ямы укладываются две полуволны, т. е. L = А. Импульс частицы оказывается равным р = 11/X = 11/L, т.е. вдвое больше, чем на первом уровне. Соответственно в четыре раза увеличится сила (см. задачу 46.9). Для результирующей силы имеем
27г227г2(Ц =(Ц =37г237г247г2
27г2
27г2
(Ц =
(Ц =
37г2
37г2
4mL3 4mL3 2mL3 '4mL3 4mL3 2mL3 'Коротковолновая граница определяется кинетической энергией электронов, бомбардирующих антикатод: lic/X ^ К, но кинетическая энергия электронов определяется ускоряющим потенциалом К = еф. Отсюда
4mL3 4mL3 2mL3 '
4mL3 4mL3 2mL3 '
Л >
еф
Воспользуемся законом Мозли в форме — Отсюда следует
4ЗЛА4ЗЛАZ = 1 +Z = 1 +Зная зарядовое число, легко определить вещество антикатода.
4
ЗЛА
4
ЗЛА
Z = 1 +
Z = 1 +
Для ванадия (Z = 23) длина волны линии К^ может быть определена по формуле Мозли. Эта линия проявится лишь в том случае, если она не будет лежать за границей сплошного спектра, т.е. если Аа > — .
"еф
Отсюда
he■ .^hcR
Ф >, или ф > Z — 1) —— .
eXttх ' 4е
По условию (Ла — Л)/Ла = 0,1. Отсюда следует, что Л = 0,9Ла, тх/гс /\ 2 hcR
или ho/еф = 0,9Аа. В результате ф ==— 1) —— .
П _ /(/+ 1)7г2П _ /(/+ 1)7г2вр“ 2Jвр“ 2J2J2JМомент импульса вращающейся квантовой системы, в том числе и молекулы, равен L = ^1(1 + l)h, где I = 0,1, 2,... Соответственно кинетическая энергия
П _ /(/+ 1)7г2
П _ /(/+ 1)7г2
вр“ 2J
вр“ 2J
2J
2J
где J — момент инерции. В первом возбужденном состоянии (I = 1) кинетическая энергия Ki = h2] J, момент импульса Li = Ь\/1 и угловая скорость
_ Li _ 2В-/2
J md2 ’
здесь d = 74 пм — расстояние между центрами атомов в молекуле и т = = 1,67 • КП2^ кг — масса атома водорода.
h2h2С£КОЛ.Вр ^КОЛ | ^ВР С£КОЛ.Вр ^КОЛ | ^ВР Энергия молекулы на первом колебательно-вращательном уровне
h2
h2
С£КОЛ.Вр ^КОЛ | ^ВР
С£КОЛ.Вр ^КОЛ | ^ВР
При переходе на основной уровень излучается фотон с энергией Й7 = Й®р = = h2] J. Выразив энергию фотона через длину волны Йу = РкКс/Х, получим
А = 2тг J — .
п
Схема энергетических колебательно-вращательных уровней показана на рис. 47.25. Здесь всего два чисто колебательных уровня: й'о°л = = Пш^ и Иу" = ЗВш/2 и тринадцать промежуточных колебательновращательных уровней:
Й'г = ЙЩ + ЙД = /Щ2 + Д + 1)Й2/27, где I = 1, 2,..., 13.
Из схемы ясно, что четырнадцатый колебательно-вращательный уровень совпадает с первым чисто колебательным уровнем:
v, Пш 14 ■ 15Й2 ЗЙШ14 • 15Й2„
^4 = T+^j~’ откуда
Это позволяет определить момент инерции молекулы относительно ее центра масс: J = 105В/ш. С другой стороны, момент инерции J = шиГц+трГр,
Рис. 47.25Рис. 47.25^кол^колпКОЛ о опКОЛ о огде гн + те = d — искомое расстояние между центрами атомов, и тнгн = = шеТе- Но тле = 19шн, следовательно гн = 19гр = 19d/20. Подставив в выражение для момента инерции, получим
Рис. 47.25
Рис. 47.25
^кол
^кол
пКОЛ о о
пКОЛ о о
Т/,\192
J = шнгн(гн + Гр) = — m^d .
Расстояние между центрами
47.28. Магнитные моменты протона и электрона могут ориентироваться либо параллельно, либо антипараллельно друг другу. Следовательно, полная энергия взаимодействия электрона с протоном
^кул i ^5 маги
е2 ± 2доДрДе
4тг£о^ 4тгг3
Относительная ошибка
А vv маги
кул
2 Др Де ^, 2 Др Де е2С2Т2 е2С2(2д ’
где по — боровский радиус.
Как видно, каждый энергетический уровень расщепляется на два
уровня: верхний Ж'^ = Ж + |%магн| и нижний Ж^ номер уровня и | ЖмагН | — модуль значения энер™ гии магнитного взаимодействия. На рис. 47.28 штриховыми линиями изображены три первых энергетических уровня по теории Бора, сплошными линиями — подуровни, возникающие за счет магнитного взаимодействия. Масштаб, естественно, не соблюден.
47.29. При переходе с верхнего подуровня основного состояния водорода на нижний получается фотон с энергией Ж7 = Ж1 — Жх = = 21 Жмагн | • Соответствующая длина волны
под™и —
С
Рис. 47.28
— ^*| ^ маги 1, Где
he _ 4тгЬс4 _ 4тг • 6,62 • 1(Г34 • 3,00 • 108 • 5,293 - ИГ33 X ™ 4д0ДрДе 4 • 4тг • Иг7 - 1,41 • ИН • 9,28 • КН24
= 0,56 м = 56 см.
Как видно, классический расчет не дает правильного значения длины волны, но порядок величины получился правильный.
47.30. Как известно, частота ближайшего красного спутника в спектре комбинационного рассеяния v^p = vo — ДЖКОл//ц фиолетового z/^ = z/q + + Д(рколА где по — частота света. Но ДЖКОЛ = hv, где v — собственная частота колебаний молекулы. Следовательно, v^p = vo — v, v^ = vo + v^ откуда собственная частота молекулы
v^ - <р с
/ 1 1 \
Фотоны являются бозонами, и в одном и том же квантовом состоянии фотонов может быть сколько угодно. Фермионы же подчиняются принципу Паули, согласно которому в системе фермионов не может быть даже двух частиц со всеми одинаковыми квантовыми числами.
Минимальный угол расхождения лучей найдем из условия 29 % ^2X(D. " " "
Квантовые свойства металлов и полупроводников
Определим полную энергию электронного газа: W = ЗпсХрУ/Ь, где V — объем металла. Мысленно сожмем на малую величину dVпри
9 А.А. Пинский
этом совершится работа против сил давления ДА = — PdV^ где Р — давление электронного газа. Эта работа равна изменению энергии электронного газа ДИ = dW. Чтобы найти дифференциал энергии, выразим концентрацию электронного газа через его объем: и = N/V, где N — общее число электронов. Имеем
ог 2/ о \ 2/3
Ж = - Д • — |• >2/3у“2/3.
5 2m у 8тг у
Дифференцируя, получаем
dW = PД (Л) 1 N^V^^dV =
35 2m у 8тг у
-пШау = A п/, dv.5-пШау = A п/, dv.5
-пШау = A п/, dv.
5
-пШау = A п/, dv.
5
2
Давление электронного газа Р = - п ^F •
Используя результат предыдущей задачи, получаем
к 2/ о \ 2/3
^/3^-5/3
2 т у 8тг у’
откуда следует
ру^/З _ cong£
«Показатель адиабаты» у = 5/3.
Давление в «белом карлике» создается газом, состоящим из свободных электронов и ядер гелия. Эти частицы находятся в вырожденном состоянии, как в металле. Масса электрона почти в 8000 раз меньше массы ядра гелия, поэтому энергия Ферми для электрона и давление электронного газа во столько же раз больше. По этой причине давлением гелия можно пренебречь. Используя результат предыдущей задачи для давления электронного газа, имеем
к 2/ ч \ 2/3
РУ5/3 =\^5/3,
5те \8тг / е
На каждое ядро гелия приходятся два электрона, следовательно, Ne = = 2Na = 2M/ma, где М — масса звезды, та = 4,002-1,66-10™ 27 кг — масса ядра гелия.
Итак, РУ5/3 = АМ5^3, или Р = Ир5/3, где
к 2/ о \ 2/3
А =ТТЛ (А = 3’2 •106 Па • м5 ■кг5/3-
жргпа/2ф \8тг у
Число электронов, вышедших за пределы уровня Ферми, оценивается приближенной формулой Kn/n^kT/2<PF (см. § 75.7).
Теплоемкость одного киломоля электронного газа ФР = = RkT^^p (см. § 75.8), теплоемкость решетки Сфш = 3R (см. § 45.2). Имеем фр/фрш = кТ/6 Ф.
Длину свободного пробега определим из квантового выражения для электропроводности у = e2nX/pF (см. т. 1, § 75.9). Импульс Ферми
определим по известной концентрации электронов проводимости. Расстояние между атомами определяется по концентрации атомов: d = 'Пд1^ = 0,23 нм (см. § 44.2).
Приняв, что энергия магнитного поля равна кинетической энергии куперовских пар, получим Фг/2 = NkmkV^/2^ где индексом «Ъ> обозначено число пар, эффективная масса и скорость дрейфа куперовской пары. Но сила тока г = q/T = 2Nke/T^ где Т = 2кг/Vk — период обращения куперовской пары по кольцеобразному сверх-проводнику радиусом г. Итак, г = Nkeuk/Trr, а магнитный поток Ф = NknikV^/i = ттткПкГ/е.
Рассматривая сверхпроводящее кольцо как гигантскую боровскую орбиту, имеем mkUkr = n/z/27r, где п = 1,2,3... Итак, магнитный поток, создаваемый сверхпроводящим током Ф = nh/2e. Как видно, магнитный поток квантован, и минимальное его значение (квант магнитного потока) Фо = h/2e.
Электропроводность полупроводников пропорциональна концентрации электронов в зоне проводимости. Полагая, что вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости можно рассчитать, пользуясь барометрическим распределением, получаем п = Ае~^'/кт, где Дс^ — ширина запрещенной зоны (см. § 26.10, 34.3, 35.1). Отсюда электропроводность
= еЧЛ ^м^т = Ве-д8/кт^
PF ’
где В — некоторая постоянная, характерная для данного вещества (при данной температуре).
Длина свободного пробега электрона зависит от температуры значительно слабее, чем экспоненциальный множитель, поэтому в первом приближении можно пренебречь зависимостью коэффициента В от температуры. Имеем
72 _ ехН^А^ДТД _ АЖ(7^1Д
71 ехр ( — Д ft/kTA) кТАГ^
При собственной электропроводности концентрация электронов и дырок одинакова; следовательно, 7 = еп(це + Мн)? где де — подвижность электронов, дн — подвижность дырок. Отсюда п = 7/[е(це + Мн)]-
Постоянную Холла найдем, учитывая, что холловские потенциалы при электронной и дырочной проводимости имеют противоположные знаки (см. т. 1, § 44.2)
rh = R(p - rP = киши!.
7
Поскольку индий — трехвалентный элемент, примесь индия является акцепторной, а электропроводность — дырочной. Зная концентрацию дырок и их подвижность (см. задачу 48.12), получаем уь = епнМн- Сурьма — пятивалентный элемент, следовательно, примесь сурьмы является донорной. Электропроводность Де = вПе^е-
Ковалентная связь осуществляется спаренными электронами. Энергию связи для одной пары можно оценить по формуле для энергии частицы в потенциальной яме Й> = h2/(SmeL2), где L — размер потенциальной ямы. Полагая, что размер потенциальной ямы равен расстоянию между атомами в кристаллической решетке, получаем ^/Мj^pNa\ Поскольку в ковалентной связи участвуют два электрона, находим значение 9*
энергии связи:
г 2ъ 2/ 2 л г 2
^ ~ ^7—П ~ П— Чрр ~ 9,2 • 10-19 Дж/атом « 5,7эВ/атом.
Удельная теплота сгорания q % (sNa/M ^ 46 МДж/кг.
Строение ядра
Решаем систему из двух уравнений:
10,013ж + 11,0091/ = 10,811; х + у = 1, где х и у — соответственно доли легкого и тяжелого изотопов.
Радиус ядра оценим по формуле R = Ro ^А (см. § 78.6), где Ro = = 1,4-10™15 м, А — массовое число. Высота кулоновского потенциального барьера Uo = Ze2 / (4tt£oR), где Z — зарядовое число.
Энергия связи ядра трития ^Н:
Жзн = (1,00783 + 2 • 1,00867 - 3,01605) • 931,5 = 8,5 МэВ;
энергия связи ядра гелия |Не:
ЖзНе = (2 • 1,00783 + 1,00867 - 3,01603) • 931,5 = 7,7 МэВ.
Число «-распадов получим, разделив изменение массового числа на 4, т.е. на массовое число «-частицы:
кт MRa - Мрь 226 - 206 к
При пяти «-распадах зарядовое число должно было бы уменьшиться на 10; между тем, ZRa —ZRb = 88 — 82 = 6. Отсюда следует, что произошло четыре /3-распада, каждый из которых приводил к возрастанию зарядового числа на одну единицу.
Энергия перехода равна разности энергии исходного ядра и энергии покоя продуктов реакции:
1 = [209,98297 - (4,00260 + 205,97446)] • 931,5 = 5,5 МэВ.
Эта энергия равна сумме кинетических энергий «-частицы и ядра отдачи (см. § 17.2): Ш = Ка + Крь и Ка/КРЪ = МРЪ/Ма.
Сумма масс на конечном этапе предполагаемой реакции больше массы исходного ядра. Реакция невозможна, ибо противоречит закону сохранения энергии.
См. предыдущую задачу.
Масса ядра кремния больше массы ядра фосфора на величину Аш = 30,97535 — 30,97376 = 0,00159 а.е.м., чему соответствует энергия А Ж = 0,00159 • 931,5 = 1,48 МэВ. Это больше энергии покоя электрона (0,51 МэВ), следовательно, возможен /3-распад:
ЗТп- V 31т-) . 0। 0~
14^1 —> 15Р + 16 + 0Р.
Суммарная полная энергия /3-частицы и антинейтрино составляют 1,48 МэВ.
Предположим, что кинетическая энергия вырванного нейтрона равна нулю. Тогда работа по вырыванию нейтрона равна разности между суммарной энергией продуктов реакции и энергией покоя исходного ядра:
А Ж = (12,00000 + 1,00867 - 13,00335) • 931,5 = 4,96 МэВ.
Вероятность оценим по формуле
w = e™2aR, где а = у/2т(По — К) / №.
Здесь Uo — высота кулоновского барьера и К — кинетическая энергия а™ частицы. Данные о радиусе ядра полония и высоте барьера см. в задаче 49.3.
Активность препарата равна числу распадов в единицу времени: Q = —dN/dt = XN (см. § 79.4). Отношение активностей
02 == -A(f2-il)=9-(«2-«l)/Tl/2
Qi Nt•
Зная период полураспада, легко подсчитать уменьшение активности.
Зная активность Q = XN и учитывая, что А = (1п2)/Т = = 0,693/Т, находим период полураспада Т = 0,6937V/Q. Число ядер N = = thNa/A, где т — масса препарата, А — массовое число изотопа и Na — число Авогадро. Окончательно Т = 0,693т7¥л/AQ.
На первый взгляд может показаться, что энергия д-квантов Ж7 = = 5,30 — 4,50 = 0,80 МэВ. Однако этот расчет слишком груб, поскольку не учтена энергия отдачи ядра. Для ряда же задач ядерной физики требуется значительно большая точность. Рассмотрим схему энергетических уровней при распаде полония (рис. 49.17). Символом РЬ* со звездочкой обозначено возбужденное ядро свинца, испускающее д-кванты. Полная энергия пере™ хода
Ж1 = К1а + Ж,
где Кха = 5,30 МэВ, Ri — энергия отдачи ядра. Поскольку Ri = 4АЗа/206 (см. т. 1, § 17.2), то "
h = 5,30 + (5,30 • 4/206) = 5,40 МэВ.
Аналогично энергия, выделившаяся при втором переходе,
Ж2 = 4,50 + (4,50 • 4/206) = 4,58 МэВ.
Энергия д-кванта
Ж7 = Ж1 - Ж2 = 5,40 - 4,58 = 0,82 МэВ.
Заметим, что энергией отдачи при излучении д-кванта мы пренебрегаем из-за большой массы ядра свинца.
Эта задача аналогична задаче 47.5, но благодаря большой энергии д-кванта по сравнению с ультрафиолетовым излучением здесь отдача существенно сильнее. Поскольку энергия д-кванта Ж7 = 14,4 кэВ, а импульс р7 = Ж7/с, то энергия отдачи R = р^/ЪМ = Ж2/(2Мс2). Следовательно, энергия перехода
Относительное изменение энергии д = А 8'7 8 7 = Ж7/(2Мс2).
Естественная относительная ширина спектральной линии 5еСт = Н/т Ж7, где т — время жизни ядра в возбужденном состоянии.
При поглощении 7-фотона свободное ядро приобретает импульс, равный импульсу фотона, и за счет этого приобретает кинетическую энергию R = p2j2M = Ж2/(2Мс2). Следовательно, энергия поглощаемого фотона Ж7ОГЛ = Ж + Д, где Ж = Ж7 + R — энергия перехода, Ж7 — энергия испускаемых фотонов. Итак,
Тем самым резонансное поглощение нарушается. Если же сближать источник и поглотитель, то за счет эффекта Доплера энергия у-фотона возрастет: Ж7 = Ж7 .^ф^^ ~ ^7(1 + 9Y При определенной скорости получим ж; = Ж7гл, и возникнет резонансное поглощение. Имеем
^(1+jfe)=^(1 + «’ от™ у = 9с=м-с'
Вероятность распада есть отношение числа распавшихся ядер к общему числу ядер: w = —dN/N. По условию она пропорциональна времени наблюдения: w = Xdt, или dN/N = — Xdt. Имеем
J ~ЪГ = —J ^ откуда lnNpC=—Xt.
В начальный момент t = 0, N = Wo; следовательно, In Wo + C = 0, откуда следует С = — In Wo. Подставив в предыдущую формулу, получим
InW — In Wo = —Xt, или N = Noe~xt.
Кинетическая энергия нейтрона К ^ Н2 Д2та2) % 0,2 МэВ. На первый взгляд может показаться, что в ядро могут проникнуть лишь весьма энергичные нейтроны, но это противоречит эксперименту. Однако следует учесть, что нейтрон в ядре не является свободной частицей: он сильно взаимодействует с остальными нуклонами ядра (ядерные силы). Как известно, удельная энергия связи составляет несколько мегаэлектронвольт, что значительно больше энергии локализации, вычисленной выше. Это и позволяет любым нейтронам, в том числе и тепловым, проникать в ядро.
Ядерные реакции
Число прореагировавших ядер N = th-Na/A, где m — масса прореагировавшего урана, Na — постоянная Авогадро и А — массовое число. Умножив число ядер на Ап = 200 МэВ, найдем энергию взрыва
Ж =Ж =Дж = 1,2 • 1014 Дж.Дж = 1,2 • 1014 Дж.1,5 • 6,02-1026-200-1,6-10™13
Ж =
Ж =
Дж = 1,2 • 1014 Дж.
Дж = 1,2 • 1014 Дж.
235
Разделив на теплотворную способность тротила, определим тротиловый эквивалент: ттрот = W/q.
Освобождаемую энергию найдем из баланса масс:
ДЖ = (6,01513 + 2,014102 • 4,00260) • 931,5 = 22,4 МэВ.
На один нуклон выделяется 22,4/8 = 2,8 МэВ/нуклон. Это в три раза больше того, что выделяется при делении урана: 200/235 = 0,85 МэВ/нуклон.
Для того чтобы началась ядерная реакция, необходимо, чтобы ядра дейтерия сблизились на расстояние, равное радиусу действия ядерных сил, а для этого им надо преодолеть кулоновский потенциальный барьер (см. задачу 49.3). Учесть максвелловское распределение (см. задачи 33.10 и 47.26). "
Пусть пион в некоторой системе отсчета покоится, тогда его импульс равен нулю. Если пион превращается в два фотона, то они разлетаются в противоположные стороны, так что суммарный импульс оказывается в этой системе отсчета равным нулю, хотя каждый фотон обладает импульсом. Превращение пиона в один фотон невозможно, ибо это противоречит закону сохранения импульса.
Энергия каждого фотона Ж7 = 135/2 = 67,5 МэВ.
Из соотношения неопределенностей для энергии имеем ДЖ~ 0/т^ где т — время жизни частицы. Точность измерения массы (и энергии)
^т ДЖ ~ 5
т Ж Жт '
По закону сохранения энергии имеем для д-кванта Ж7 ^ 2тес , где те — масса электрона.
Допустим, что фотон превратился в пару частиц с одинаковыми импульсами (рис. 50.7). Законы сохранения энергии и импульса запишутся так:
Ж7 = 2Гтс\ р^ = fj^/c = 2Гтгсо8со
Отсюда следует, что 2Гшс2 = 2Гтгссо8а:, или
с = г cos а, что невозможно.
Определим полную энергию, которая выделяется при реакции: ДЖ =- 931,5 = 140106 = 34 МэВ.
Энергия покоя мюона равна Жо/i = 106 МэВ, масса нейтрино равна нулю. Полагая, что распадается покоящийся пион, получаем, что импульсы мюона и нейтрино равны по модулю и противоположны по направлению. Имеем Ру = ^ , Р/1 = | у^Т^ЗД^^откуда Ж^ = К^'б^ + К^.
Но по закону сохранения энергии Ж^ = ДЖ — Кследовательно, ДЖ— К^ = = у 11А£(2ЖоА£ + KpY Отсюда следует, что кинетическая энергия мюона =(ДЖ)2
2(ЖОм+ДЖ)“
При распаде нейтрона выделяется энергия
ДЖ = ('Шп - тр) • 931,5 = 939,6938,2 = 1,4 МэВ.
Эта энергия делится между электроном и антинейтрино: ДЖ = Же + Ж^, где полная энергия электрона есть сумма его энергии покоя Жое и кинетической энергии Ке, т.е. Же = Жое + /М- По закону сохранения импульса при покоящемся протоне
Ре = Ру, ИЛИРе = Ру, ИЛИ
Ре = Ру, ИЛИ
Ре = Ру, ИЛИ
Подставив значение энергии нейтрино, получим после простых преобразований:
« _ Д^ + ^е к _ Д^-^Ое у _ (ДД2 - ^е
е 2Д$’2Д^’"2Д8'
Обозначим полную энергию нейтрального пиона Й^, энергию покоя Йо?? = 135 МэВ. По закону сохранения энергии Йтг = 2Й7, где Й7 — энергия фотона; по закону сохранения импульса (рис. 50.10) имеем р^ = = 2р7 cos 45°. Учитывая, что импульс фотона р7 = Й7/с, импульс пиона р^ = = (Vе) V^2 - получаем
С - ^ =4Дсо82 45°,
ИЛИ
^-^ = ^cos245°.
Отсюда следует Й^ = Йотгл/2.
Кинетическая энергия пиона К, = Жо.(У2 - 1), энергия фотона Ш,
Ядерная реакция имеет вид: }Н + gLi = 2 2 Не. Кинетическую энергию аэчастицы найдем, использовав закон сохранения энергии, который для данной ядерной реакции имеет вид
2Ка = (Мн + Мы - 2Ма) • 931,5 + /<н = 24,2 МэВ.
Поскольку кинетическая энергия а-частицы оказалась много меньше ее энергии покоя (3,75 ГэВ), то это означает, что возникшие при реакции ct-частицы являются нерелятивистскими.
Рис. 50.11Рис. 50.11Угол разлета найдем из закона сохранения импульса (рис. 50.11)
Рис. 50.11
Рис. 50.11
рн = 2ра cos | .
Но для нерелятивистской частицы р = V2mK, следовательно,
91 тнКн
"22 V таКа
Уравнение реакции имеет вид
°।4 v 4।°
Поскольку мы полагаем, что возникший нейтрон остается в покое, импульс электрона полностью передается нейтрино. Законы сохранения импульса и энергии запишутся так:
Ре = Pv, Йе + Й’Ор = Йоп + Й^.
Поскольку масса нейтрино равна нулю, его энергия
= PvC = рес = фрМр
Отсюда следует:
Se + ЙОр = ^Оп +.
Решая это уравнение, получаем для полной энергии электрона
(^Оп - ^Ор)2 + Spe2(Son- Sop)
Кинетическая энергия электрона
Ке = Же ЖОе =Ке = Же ЖОе =(ЖОп - Жор - Ж0е)22(Жоп ЖоР)(ЖОп - Жор - Ж0е)22(Жоп ЖоР)
Ке = Же ЖОе =
Ке = Же ЖОе =
(ЖОп - Жор - Ж0е)2
2(Жоп ЖоР)
(ЖОп - Жор - Ж0е)2
2(Жоп ЖоР)
Подставив значения величин, получим искомый результат.
Элементарные частицы
По закону сохранения импульса р^ = 2p7cos(a:/2) = = 2(Ж7/с) cos (а-/2). По закону сохранения энергии Ж^ = 2Ж7 или V^Ott + Р2Ж2 = 2Ж7. Исключив из обоих равенств импульс пиона, получим Ж^ + 4Ж'2 cos2(q-/2) = 4Ж2, откуда Жот? = 2Ж7 sin (а/2). Кинетическая энергия пиона К^ = Ж'тг — Жотг = 2Ж7 — Е^ = Жот? [cosec (a/2) — 1].
Воспользоваться соотношением неопределенностей для времени и энергии бозона. Положить скорость виртуального бозона примерно равной скорости света в вакууме.
Воспользоваться соотношением неопределенностей для времени и энергии.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Кинематика точки
t = 7 с; х = 35 м.
f = 60 с; ж = 90 м.
t =7,5 ч; х = 600 км.
sin а = и/v; t = I/и cos а.
а = /3 — arcsin (и cos P/и).
а = 7г/2.
35 мин.
30 м/с; ™2 м/с2; 4125 м.
Указание. Воспользоваться определением ускорения и средней скорости при равнопеременном движении.
1,6Л05 м/с2.
Сила. Давление
к = kik2/(ki + к2).
жо = (Fixi + F2x2 + Н3ж3 + .. . )/(Fi + F2 + F^ + ...).
d = F2a/(Fi — F2y
к = k\ + k2.
T\ = Feos a2/ sin (ai + aA, T2 = Pcosai/ sin (ад + аг).
Fi = mg sin /3/ sin (a + /3), F2 = mg sin a/ sin (a + /3).
mg, mg и 2m g.
101325 Па.
На Луне 1 мм рт. ст. — 22,1 Па, на Венере — 116 Па.
9,8-10^ Па « 1 МПа.
6,7 кН.
34,5%.
8,4-102 кг/м3.
507 г. '
3 км.
Динамика точки
8,4Л07 Па.
а = g(m2 mi)/(m2 + тр, F = 2mim2g / (т2 + mi), Ндавл = 2F.
Во втором случае больше.
1) ai = a'i = mg/(m + М), Fi = Mai;
а2 = m.(g + b)/(m. + М), а2 = а2 - b, F2 = Ма2;
a3 = m(g ™ Ь)/(т + М), а'^ = аз + Ь, F3 = Маз.
а = g(m — М sin а)/(ш + М), F = mMg^X + sin a^j^mE М).
о»т2TH^tga
ах = —q ^ а2 = —q ^
Ш2 tg Q + Шх Ctg QТП2 tg Q + Шх Ctg Q
mxm2g COS Q
m2 sin2 Q + ТПх COS2 Q
Msinacosasin2 q
аж = gл— , a^ = -g--—л— ,
M + m sin- aM + m sin" a
m sin a cos amMg
M + m sin2 a ’^ M + m sin2 a
T = 2x^Z cos a/g.
I = Zo/(1 — muj2jk).
39O12\
Перегрузка в нижней точке равна 8, в верхней 6.
т/Н = 2 ctg2 a; r/L = ctg а/2.
г =р(1 + ж2/р2)3/2.
b = 2^о sin/3 cos (a — ЙКё cos2 a).
У0 = ^gHq + lHHg tga = H/l.
Тяготение. Электрические силы
5,9640м кг.
6,0340м кг.
1,994О30 кг.
Солнце притягивает Луну в 2,1 раза сильнее, чем Земля.
0,63 астр, единиц = 1,0840® км.
0,414 радиуса планеты.
8,52 м/с2; 1,62 м/с2; 270 м/с2.
1 ч 25 мин.
440” Кл.
Е = 0; Е = gV2/(х£о«2).
Е = дж/4х£о(«2 + х2У^.
6,74О”20 Н.
no = ^eEL cos ДДт cos a sin (a — /3)].
4,3404 Н/Кл.
0 < tg a < 4h/l; mu^ sin2 a/(2e/i) < E < mt?o sin 2a/(eZ).
„ „ т — M(sin а ± и cos а)
a = g.
т + М
Указание. При решении задачи следует учесть начальную скорость бруска.
, . „mim2g cos (о-- Д
Q = -g: ; ф = arctgju.
mi cos^ cv cos ф + тп^ sin а sin (а — ф)
Указание. В уравнении движения клина (см. задачу 3.6) учесть силу трения скольжения клина о стол.
mMg cos a cos ф
О =.. ,. .
М cos ф + m sin cv sin (а — ф)
6 Q = mMg cos (а ~ у)
М cos а У т sin а sin (а — 99)
Указание. См. задачи 5.4 и 5.5.
g tg (л ------ у) С а С g t ф), где ф = arctg щ
Указание. Учесть, что направление силы трения покоя неизвестно.
На расстоянии меньше 8 см от центра диска.
Больше 11 м/с.
y/g tg (a — 99)/R sin аш ^gt^a + ^/R sin а, где 99 = arctg д.
Указание. Учесть, что направление силы трения покоя неизвестно.
98 м; 57°.
23 см/с; 5,1 м/с2; 0,09 с; 1 см.
Указание. Пользуясь результатами предыдущей задачи, выразить мгновенное значение ускорения через мгновенную скорость.
0,2 м/с; 15 с.
И м/с.
Теория относительности
Указание. Сопоставить размеры стержня и отверстия, которые в покое точно совпадают.
Е = uv/c2.
0,99995с.
Указание. Подумайте, имеет ли полученный результат смысл закона сложения скоростей.
Указание. Принять вещество за систему отсчета, движущуюся со скоростью и относительно источника света.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
55 м; 7,7 м.
6,3-ИГ5 с.
2,83Л08 м/с.
Uy = Uy ф\МЕф? [(1 — M$ v/c2); и/ = uz фТМЕф? j (1 — ижи/с2).
Указание. Воспользоваться преобразованиями Лоренца.
2,6-10® м/с; 5,3 10® м/с.
Частица движется по окружности. Нормальная сила Fn = = Гтли2/г = mv2 /г ^1 ™ г2/с2.
I = Zog1 -З2-
5 ■ 108 м/с.
2,5Л018 м/с.
Закон сохранения импульса. Центр масс
616 м/с.
-3,25 м/с.
87 см.
20 м/с2.
8,1 км/с; 5,3 км/с.
Указание. Воспользоваться формулой Циолковского.
Указание. Уравнение (15.7) из § 15.5 записать в дифференциальной форме и проинтегрировать, учитывая, что скорость истечения газов — постоянная величина.
Указание. Учесть изменение массы ракеты по мере выгорания топлива.
Указание. Воспользоваться свойствами центра масс (§ 15.8).
Центр масс находится на расстоянии 4,3 единицы от левого края пластины.
На расстоянии ж = г2/(R + г) =1,13 см слева от центра большого круга.
" 7.16. T^R* = 4тг/Ц(7П1 + 7712).
Полная и кинетическая энергия
Электрон: 8,19-Ю™14 Дж = 0,511 МэВ; протон: 1,504-10—10 Дж = = 938,3 МэВ; нейтрон: 1,5О64О”10 Дж = 939,6 МэВ.
2,6-108 м/с.
1,2840“13 Дж = 0,8 МэВ; 644(Г22 кг-м/с.
5,84(Г18 кг-м/с; и = Рс =0,996с.
и = Рс = 0,9988с.
0,8%; 69%; 92 %.
3,8 м/с.
о = arctg (1/д).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 10.5.
Элементарная теория столкновений
sin «2 = d/(ri + ?л); ^2 = 27711'1/ COS ОдДлИ + 7712);
Щ = n^l — 477117712 COS2 «2/(1111 + ТП2)2.
Указание. См. решение предыдущей задачи.
р = 2 77 7717? COS О.
5 м2.
Отношение расстояний Z2//1 = 1 + 2 sin2 о.
М/m = sin 0/ sin (9 + 299).
Потенциальная энергия. Потенциал
Указание. Поле называется однородным, если сила, действующая на тело, имеет одно и то же значение и одно и то же направление в любой точке поля.
17 = —GmM/г = — GmM/(R + /1); 17пов = -GmM / R = —mgR.
17 = GmMh/R(R^h) = ™mghR/(R^h>, Uoo = GmМ/R = mg R.
U = -рУ(4те043).
1,65 МДж.
27,2 В.
—13,6 эВ.
р = V^mqp-, р = - ^qgT60 + qg.
Для электрона 106 В; для протона 2-10® В.
1 МэВ/c = 5,33-10-22 кг-м/с. Для электрона 107 В, для протона 24010 В.
Закон сохранения энергии в ньютоновской механике
5,2-102 м/с.
17 м/с.
V^gl
V4g7.
mg(3 cos о — 2 cos qo).
mg (3 cos a — 2); aOTp = arccos (2/3) = 48°.
Ho = 5Д/2.
3mg(l + cos a).
(1 + л/2)Д ^ H ^ 2,5Д; 45°; 60°.
R» = -2roKo/Uo-, ra = —roKo/W; va = v0W/K0.
Указание. Воспользоваться результатами задач 10.4 и 2.18.
Указание. Рассмотреть изменение кинетической и потенциальной энергии взаимодействующих тел при любом возможном мысленном их перемещении (принцип виртуальных перемещений).
См. задачу 12.13.
0,83 т; 15,6 т.
9 км.
Закон сохранения энергии
2,5 км/с.
89%.
3,8Л026 Вт; 4,2-Ю9 кг/с; 1,5Л012 лет = 4,7-Ю19 с.
Половина начальной кинетической энергии превратилась во внутреннюю.
0,218 М.
1) 4,7 ГэВ, 7,2 ГэВ; 2) 12,1 ГэВ, 65,8 ГэВ.
3,46 ТэВ.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
1 ГэВ.
Указание. Сравнить значения ускоряющего потенциала для достижения одинаковой внутренней энергии сгустка.
157 ГэВ; 886 МэВ.
Динамика вращения твердого тела
Указание. Через любую точку плоскости, в которой лежат силы, провести перпендикулярно этой плоскости ось вращения, подсчитать момент каждой силы относительно этой оси и найти их сумму.
1,3402 Нм.
4 кДж.
3 о
- MR2.
2
45
— МИ .
32
Указание. Вырез рассматриваем как отрицательную массу.
Указание. Разбить диск на концентрические тонкие кольца.
0,4МЛ2.
0,3MR2.
Указание. Разбить тело на тонкие диски, перпендикулярные оси вращения.
г = ^/3gZ(cosо — cosqq).
2,7 м/с; 3,4 м/с.
2,3 м/с.
2,5402 Н.
3,5 с; 0,58 м/с.
а = g(ni2 — mi)/(m2 + mi + 1/г2).
а = arccos0,59 = 54°.
83 об/мин.
21,6 об/мин; 380 Дж.
15 км; 10™3 с.
3,64045 Дж; 1,64036 Дж.
у0 Ду /у gh.
14-25" R^h 3
Неинерциальные системы отсчета и тяготение
Указание. Во вращающейся системе отсчета на неподвижное относительно этой системы тело действует центробежная сила инерции, равная произведению массы тела на центростремительное ускорение, взятое с противоположным знаком: 1цб = -тш2г.
ш y/GM/Ry
28 с.
cos о = к/(к + шш2); ш л/к/Х^гп).
Указание. Перейти к вращающейся системе отсчета и учесть результат задачи 344.
7 об/мин.
330 нс.
Солнце: 2,140”6; белый карлик: 1,540”3; пульсар: 16%.
Идеальный газ
790 кг.
15 мм/с.
2,8-10® с/ 6,510 т м.
5,1 мм; 40%.
5830 об/мин; 64 м/с; 9%.
Указание. Сравнить скорость теплового движения атомов водорода со второй космической скоростью.
180 км. \Указание. Учесть результат задачи 4.7].
104 Па; 0,24 мм.
6-Ю3 Па; 6-Ю8 К; 1030 м3.
См. указание к задаче 16.6.
1,340™5 кг/м3; 0,8 Па = 640™3 мм рт. ст.
2405 Н; 7404 Н.
NH3.
1,2406 Па.
Азота 72,5 %, кислорода 27,5 %.
Na = (5,9 ± 0,3) • 10 кмоль™1.
Указание. Броуновские частицы ведут себя как гигантские молекулы, для них справедливо барометрическое распределение.
и = поехр ^тш2 г2 / (2кТ)^.
п2 : П1 = 176 : 1; х = ехр [(М2 - М^г2/(2ДТ)] = 1,27.
20 раз.
Указание. См. § 27.9.
Указание. Учесть, что по определению е = lim(l + ж)1^.
Указание. Рассчитать силы, действующие на вертикальный столбик газа бесконечно малой высоты, и проинтегрировать полученное уравнение.
Указание. Определить с помощью барометрического распределения молярную массу газа.
Указание. Воспользуйтесь первым началом термодинамики для адиабатного процесса и с помощью уравнения Клапейрона^Менделеева исключите температуру.
(р/роУ11 = (Т/Тоу; (ЦЩ1) = (То/Т).
2,8-106 Па; 1,6- 10е Па; адиабатно газ сжать труднее.
3,2-104 Па; 6,7-Ю4 Па.
И/Н = 21.
1,4-10-46 кг-м2; 6 К.
Указание. См. § 27.9.
2,2-Ю3 К.
Указание. См. § 27.9.
Второе начало термодинамики
1/4; 1/2; 1/9.
1/3; 1/6.
1/81; 1/105.
1 : 4 : 6 : 4 : 1.
wn = (V/УоУ.
S2
Q = J TdS.
Si
QT = T(S2 - Si).
S2 - Si = ^ (cmV In § + ЯкЖ\ M \Pi /
p = 1
52%. Уменьшение реального КПД по сравнению с идеальным вызвано необратимыми потерями энергии (трение, теплообмен с окружающей средой и т.п.).
S = k In Ж + const.
ASy = CmV Ь [(Ti + T2)2/(4TiT2)] > 0.
ASP = Cmp In [(Ti +T2)2/(4TiT2)].
Основы газовой динамики
1,1 м.
1,6405 Па = 1,58 атм.
л =V ■ Ю2 кг/с.
f 4 V D4 - d4 ’'
Указание. Учесть, что в данном случае работа сил давления равна изменению полной механической энергии (р + рж2/2 + pgh = const).
и = V2g^-
Щ2 + арУ - 1) = v?/2 + а?/(7 - 1).
— РоРо— РоРоКтд/ЩмУк/Кх!
— Ро
Ро
— Ро
Ро
(7 + 1)/(7- 1) -р/ро '
у+1
1 '
4,7403 м/с.
р/ро =5,68; Т/То =1,89 (ударная адиабата); р/ро =4,67; Т/То = = 1,56 (квазистатическая адиабата).
m[(? + С/(7 - WMi - 1м ^mV [(7 +1)/(7 -1) - р^р^рМУ 'm[(? + С/(7 - WMi - 1м ^mV [(7 +1)/(7 -1) - р^р^рМУ '19.13. ^SУд19.13. ^SУд2 км.
m[(? + С/(7 - WMi - 1
м ^mV [(7 +1)/(7 -1) - р^р^рМУ '
m[(? + С/(7 - WMi - 1
м ^mV [(7 +1)/(7 -1) - р^р^рМУ '
19.13. ^SУд
19.13. ^SУд
Указание. Рассмотреть цикл, состоящий из трех процессов: ударного сжатия, квазистатического адиабатного расширения и изохорного охлаждения газа до первоначального состояния (см. § 30.9).
6,8402 м/с; 1,4403 м/с.
3300 К; 73%.
588 кг/с; 2,34 кг/м3; 3,86405 Па = 3,8 атм.
1,65404 Па = 124 мм рт. ст.
6 м/с.
2,26405 Па; 172 кВт.
Да; нет; нет.
Твердое тело
7,6404 Н.
F = ES\M/l\- k = ES/L
3,3 мм; 2,4 т.
F = 0,82По.
3,84О10 Па; 1,440й Па.
Наличием дефектов кристаллической решетки.
3700 об/мин; 7500 об/мин.
2,8406 Па = 28 атм.
1,3408 Па.
1,2409 Па; обойма пластически деформируется.
. 2,4408 Па = 2,4403 атм.
1,040-3 К”1.
Один атом. Два атома.
Четыре атома.
Шесть атомов.
-и = -Л/(бг6) +В/(12г12).
и™ = ukd?) = — Л2/(12В).
u(l,ld) = 0,81имин; «(2d) = 0,031ымин.
Жидкость
В интервале температур от О °C до 100 °C закон справедлив; энергия активации ео = 4,2 ■ 10-21 Дж = 2,6-10-2 эВ.
3,7 см.
Указание. Определить краевой угол при подъеме воды до верхнего конца капилляра.
Выделится 0,12 мДж энергии в форме тепла.
0,11 м/с.
Теплая вода движется быстрее.
Указание. Сравните скорости течения при двух разных температурах, например, при 20 °C и 80 °C.
Столбик удвоенной высоты.
h = 2<т/pgd.
Указание. Сравните с решением задачи 20.9.
0,144 Н.
R = RiR2/(Ri - Я2); 120°.
Пар
Можно.
Указание. Проверить несколько точек.
Не противоречит.
Указание. Исследовать изменение плотности насыщенного пара за счет изменения температуры.
Менее 7,6 л.
Более 125 л.
7,8 г/м3; 51 %.
Выпадет 5,6 г росы из каждого кубометра воздуха.
37%.""
Не удовлетворяют.
304^4 К; 7,39 МПа; 464 кг/м3.
Фазовые переходы
1,69-105 Дж/кг = 40 ккал/кг; 22,6-105 Дж/кг = 499 ккал/кг.
Указание. Проследите по фазовой диаграмме, как зависит точка плавления льда от давления.
Образуется смесь из 6,8 кг воды и 1,4 кг льда.
Образуется вода при температуре 54 °C.
Образуется смесь из 1,2 кг воды и 0,3 кг льда.
Образуется вода при температуре 4,5 °C.
11%."
4,7 м/с.
2,7%.
854 г.
а) 216,5 К < Т < 304,4 К; б) давление меньше 5Д8-105 Па; температура ниже 216,5 К.
45 МПа.
Поле неподвижных зарядов в вакууме
23%.
Окружность, центр которой лежит на прямой, соединяющей заряды, на расстоянии 2а правее положительного заряда. Радиус окружности равен 4а.
Н-м = Кл-В = Дж.
3,210 1S Кл.
у> = ql^-KEoVa2 + ж2-
a) Fr = 0; М = Qpe/(47re0r2); б) FT = -2Qpe/(47reor3); М = 0.
C = CiEC2-
1/С = 1/(71 + 1/С7
П9?о; не изменится.
Указание. Воспользоваться соображениями симметрии и тем фактом, что внутри сферы нет зарядов Ei = 0; Ее = д/(4x^0г2); Ео = а^Ер.
С = 4хеоЯЯ1/(Я - Ж); 5 = (7? - Ri)/R = d/R.
Е = у/(2хбог).
С = 2х£0/1/1п(Д2/Я1).
W = е2/(8х£о«); а = е2/(8хеошес2) = 1,4 • 10”15 м.
р = д2/(32х2е0Я4).
10™8 Кл.
тп = Ео5ф2 / (2gd2) = 3,6 • 10-3 кг.
фбат = (pi + Р2Ж, № = (7(991 ™ Ф2Т/У
No = 4х(7Етг.
Ее = GMjr^ Ео = GM/Ry Ег = GMr/R\
Диэлектрики
От 4,4-10 5 Кл/м2 до 5,3-10 5 Кл/м2, в зависимости от значения
е для слюды.
От 7ЛДИГ6 Кл/м2 до 5,6-10^5 Кл/м2.
EEoSEdo — (s — l)dEEoSEdo — (s — l)d25.4. С =25.4. С =0,03 мкФ; пробивное напряжение 4 кВ.
EEoS
Edo — (s — l)d
EEoS
Edo — (s — l)d
25.4. С =
25.4. С =
25 5 о _ go^Ro + (е ™ 1)/] dlo
26 см.
25.7.25.7.h = а2(е-1)h = а2(е-1)а24(е — I)2а24(е — I)2Ерафоpgd-Ерафоpgd-
25.7.
25.7.
h = а
2(е-1)
h = а
2(е-1)
а2
4(е — I)2
а2
4(е — I)2
Ерафоpgd-
Ерафоpgd-
pgd-
6Л547Г30 Кл м.
1,78-10™36 Югм.
Постоянный ток
R = 4рт(1 — t)/(xD2Z); 11 см.
26 мОм.
ж = 2r sin 18 ° = 0,62г.
г.
R = г/3 + г/6 + т(^ = 5г/6.
Rx = RI1/I2 = Rl/(L ™ I), гДе L = Ав, 1 = BD-
На середине реохорда.
а) 3,510е А/м2; 6А-10 2 В/м; б) 1,310е А/м2; 2.2-10 2 В/м.
7,4 мкОм; 0,74 мВ.
а) Ж = ne, R% = пт; б) Ш = е, Rz = ?/п; в) /> = me, R% = mr/k = = m2r/n.
1 Ом.
ТпОЛН — ^ / (7? Т Д; -Рвнешн — 6 ' Rj ^R + г) ■ .
Указание. Исследовать полученные в задаче 26.12 выражения на экстремальные значения.
14,4 Вт; 51,6 Вт.
33,3 кОм; 0,3 МОм; 3 МОм; 0,181 Ом; 0,036 Ом.
31 лампа.
Указание. Использовать четырехпозиционный переключатель, включающий обе обмотки либо независимо каждую, либо параллельно.
9,6 м.
0,1 МДж.
г = гое~^т, где т = RC.
а) Если Ж < у^о, то г = 0, фд = ^/ Фн = 0. б) Если Ж > <до, то г = (Ж - фо)/R, фд = ^о, фн = @ - ^о-
г = щ, Фн = ioR, фв = Ж — ioR.
Магнитное поле в вакууме
Указание. Подумайте, является ли инвариантом жесткость пружины.
F = 0,141Кул.
Указание. Воспользуйтесь законом преобразования поперечной силы.
Указание. Рассмотреть взаимодействие заряда, движущегося параллельно проводнику с током, с зарядами внутри проводника, пользуясь разными системами отсчета.
3,140™5 Тл; 1,140^5 Тл.
6,340™2 Тл; 3,140™2 Тл.
Поле близко к однородному с относительной погрешностью 6%.
Радиус кольца 0,57 м.
3,0 40™5 Кл.
2,540-3 А/м; 4,940™7 А-м2; 4ДЛ1Г4 Кл/кг.
dB/dx = —бдоРтЖ/(4тгг5), где т = Vo2 + ж2.
Заряды и токи в магнитном поле
2,8407 м/с; 16 МэВ.
0, 856с = 2,57 • 108 м/с; 99 МэВ.
а) Нерелятивистская частица: R^/Rz = у/К\/ К%. б) Релятивист- Ri Ik^oFK,)
ская частица: —— = 4 /,х .
\к2^0 + К2)
7 нс.
Винтовая линия, навивающаяся на силовые линии поля. Радиус окружности 23 мм, шаг винта 39 мм.
Указание. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи.
51 мм.
1,38-Ю4 В/м.
Указание. Использовать результат задачи 444.
4; 42; 3,0 МГц.
6,ЗЛО-3 Тл; 87 кГц; 1,1 Т; 0,2 МГц.
108 м/с; нет.
2,3 мм.
4,02 а.е.м. (г Не) и 3,01 а.е.м. (|Неили|Н).
1,2Л0“5 Н м.
22,5°; 10“10 Н-м/град = 5,7Л0-9 Н-м/рад.
F = — 6ДоРт/(4тГГ4).
2,9Л0-5 Н.
Указание. Определить ориентацию вектора скорости циркулирующего заряда относительно направления вектора индукции.
Указание. Определить характер действия магнитного поля на циркулирующий заряд, если орбитальный магнитный момент направлен против поля.
Менее 2,5 МэВ.
29. Магнетики
против ПОЛЯ, вдоль ПОЛЯ.против ПОЛЯ, вдоль ПОЛЯ.1,510-9 А-м;
против ПОЛЯ, вдоль ПОЛЯ.
против ПОЛЯ, вдоль ПОЛЯ.
1,5-10™9 А-м2;
9 ТМГ9 А/м.
а) Больше на 1,1 %; б) больше на 4,2 %.
33 А/м; 130 А/м.
Указание. Сравнить энергию теплового движения с энергией взаимодействия двух магнетонов Бора, расположенных на атомных расстояниях.
Более 9,010—2 эВ.
Указание. Оценить энергию теплового движения при точке Кюри.
1,27-10™5 м % 0,01 мм.
Дмакс = 9, 6 • 103 при Н = 75 А/м.
100 А/м; 1,26 Тл; 106 А/м; 1,8-105 А/м.
Н, А/м
50
75
100
200
500
1000
1500
д'
ОО
6,4Л02
1,6 Ю2
8Л02
4Л02
10
5
30. Электромагнитная индукция
0,2 В; не будет.
Аф = Ж = Bl^g^H-hY
Будет двигаться вниз с установившейся скоростью густ = mgR/B2l2.
Кф = Виз!2/У
0,01 Н.
2,5 Тл.
Диэлектрик поляризуется.
1,25 мкКл.
25 Вт.
5,9 мГн.
29,5 В.
41 Гн; 0,82 Дж; 1,36 102 Дж/м3.
3,1-10“2 Дж/м3; 1,810-5 Дж.
4,5-Ю3 Н; 1,5-102 Н.
1,5 Гн.
г = Д(1 — е-^т), где /„ = й/R, т = L/R.
t = I^LfR.
Классическая электронная теория
q/m = тг2d?nN/(QR) = 1,8 • 1011 Кл/кг.
1,Г10-8 В; не изменится.
1,1103® м-3; 3,2-10“3 м2/(В-с).
1,07-10“1ом3/Кл.
6,2-1О20 м-3; 4,0 м2/(В-с).
0,24 мм/с.
2-10 11 с; 16 нм.
131 °C.
65 Кл.
З,6-1О3 м/с.
38 кВт/м2.
90 МДж.
0,4 нм.
4,Г102 Вт/(м-К); 68 Вт/(м-К).
Указание. Надо воспользоваться законом Видемана и Франца.
2,5-1019 м-3; 1,1-1016 м“3.
8,510-2 м3/Кл; 3,2-102 м3/Кл.
Электропроводность электролитов
78%.
65 мкм.
200 мг.
5 г.
1,52 В.
6,25-Ю-11 кг; 9,1-Ю-3 Дж.
Более 103 кВт-ч; более 40 руб.
Ток в вакууме и газах
160 мА.
Возрастет в 21 раз.
4,140™5 Н.
Катод с покрытием эффективнее в 3,3 раза.
2 кОм; 20.
1,15-Ю14 м-3; 4,3-Ю"12.
5.0-10 4 ОмЫ1.
Указание. Рассмотреть отдельно явления при токе, много мены шем тока насыщения, и при токе насыщения.
2,5-Ю14 м3-с!.
6 103 К.
5,2 мм; 0,12 мм.
Повлияет.
Указание. Найти число Стюарта.
Не повлияет.
2.2-Ю4 Тл.
440м Па; 34032 Па.
Гармонические колебания
20 см; 48 Гц; 2Л4ЖМ с; 2 рад = 114°39'.
с = 1,6л cos (20л£ + Зтг/4); а = 32л2 cos (20тг^ + 5л/4); F = = 6,4л2 cos (20л^ + 5л/4); 5,0 м/с; 3,2402 м/с2, 64 Н.
К = 2,5со82(20л^ + Зл/4); U = 2,5cos2(20л£ + 5л/4); W = 2,5 Дж.
20 Гц; 50 мс.
s = 0,064 cos (ivt + Зл/2) = 0,064 sin лГ
s = 0,05 cos (126t + 0,53); 1,6 м.
30 м/с.
В = 34^5/8 = 0,84 А; р = arctg (1/2) =0,464 рад= 26,6°.
0,5 с; 0,4 мс.
Указание. Преобразовать произведение синусоидальных функций в сумму.
s = 5 cos (2t - 0,927).
Свободные колебания
wo \/kJm = \/g/к
Указание. Жесткость пружины k = F/x = mg/I.
1,6 Гц; 2,1402; 21 с.
11 качаний, т.е. почти 3 полных колебания.
Указание. Сделать расчет, пользуясь законом сохранения энергии при наличии внешнего трения.
Х"°т = VW/md2.
Лд = V^pV/md2 =
1,6 Гц; 0,63 с.
1/о = 4- J^ Гц; 0,6 с.
2л у ph
На 4 с.
1,42 с; 26°36'.
2,08 с.
е = 1%.
Т = 2тгл/2//3^; L = 2//3.
1,5 с.
2,0 МГц; 5,ОНО™7 с; 800.
Нет.
Вынужденные колебания. Переменный ток
2,7 мм; 60 мм; 0,7 мм.
80 см.
Тскв = 2QTo/tf = 2 • 1О3То = 2 мс; не более N = LU0/I6Q = = 125 имп/с.
Указание. Записать напряжение в виде и = UMcosujt, силу тока в виде г = IM cos (wt + ф) и воспользоваться для падения напряжения на индуктивном сопротивлении данными § 54.2.
Указание. Записать напряжение в силу тока, как в задаче 36.5; учесть, что сила тока есть производная заряда.
Z = УЙ^МАй2; ф = arctg (LwR).
36'8'Z=^+^^ = arct8 ^ •
Z = ; ф = arctg ^RCwY
Vl + R2C2w2
Z = ДА/1 + O2 - i)2; где 7 = — .
УOJO
Сила тока в неразветвленном участке цепи
1УсУмьсзмУ\] Л2 + Ь^ш21УсУмьсзмУ\] Л2 + Ь^ш2у [ф/УУУфУ R\1 + Q272у [ф/УУУфУ R\1 + Q272
1УсУмьсзмУ
\] Л2 + Ь^ш2
1УсУмьсзмУ
\] Л2 + Ь^ш2
у [ф/УУУфУ R\1 + Q272
у [ф/УУУфУ R\1 + Q272
Она минимальна при резонансе (7 = 1), сдвиг фаз равен
R
^R2 + ^ш2) [R^C2^ + (LCw2 ™ I)2]
1COS Vpes —.— •
CwVR2 + L2^2
61 Вт.
80 Гц; 24 Вт.
Указание. Рассмотрите принцип действия прибора и определите величины, от которых зависит среднее значение вращающего момента, действующего на подвижную часть прибора.
28°40'; 10,5 Ом; 9,3 Ом.
Будет гореть.
Нельзя.
230 кВ.
33 витка; 73 мм2; 6-10-3 Ом; 260 Вт; 97%.
Указание. Учесть, что активное сопротивление массивного медного или алюминиевого кольца много меньше его индуктивного сопротивления.
cos ф = 0,8; ф = 37°.
Упругие волны
а/и = л/ф7^ = 0,68.
7,О4О10 Па.
1,4403 м/с; 4,940™10 Па™1.
1,42.
3,540™5 Дж/м3; 2,7 мкм.
1,4 мкм; 0,9 мкм.
3,5 дБ.
1,1 нВт/м2; 4,4 дБ.
д = In 2/L = 2,31g 2/L = 0, 693/Ь.
f% ™ 5? = 4,34дж = 4,2 • ИГ2 дБ.
1,5 м/с.
3 7.12. 593 Гц; 456 Гц.
302 Гц; 1,1 м; 332 м/с; Л/А = 1,8 • 105; и/Ум = 2,9 • 104.
0,55 м; 2,12 рад = 121°16'.
От 17 м до 17 мм; от 70 м до 70 мм.
28%.
12%.
Указание. Оцените коэффициент отражения на границе «ультразвуковой преобразователь-воздух».
Около 60 мм.
Интерференция и дифракция
Указание. Исследовать знак амплитуды отраженной волны.
0,41 МГц; не изменится.
9,7 см.
Третья; 0,5 кГц.
18,6 °C или 15,4 °C.
330 ±3 м/с; £=0,8%.
12°.
6 см.
Электромагнитные волны
5 м; 3,4 м.
/70 = с/2/; // = (2п + 1)с/2/.
5,1 м.
е = 4,7 (керосин); 8,340™‘ Па; 115 Дж.
25 Вт; 197 Ом.
97 Вт.
R % 0,1 Ом; L ^ 8 мкГн; С ~ 22 пФ.
Указание. Воспользуйтесь выражением (59.22) из § 59.8.
Указание. Учесть, что электромагнитное поле не является системой отсчета; следовательно, в электродинамике движение источника и движение наблюдателя равноправны и приводят к одинаковому изменению ча-
= 5 ■ 105:= 20 ■ 10'"
42 нм.
2,1940е с = 25,3 сут.
При удалении источника от наблюдателя z = у (1 + /3)/(1 ™ /3) — 1, при сближении z = 1 — у/(^ ” 33 Ю- + 3Y гДе 3 = и/с-
1) /3 = 0,0334, г = 107 м/с; 2) /3 = 0,362, г = 1,1 • 108 м/с;
/3 = 0,67, г = 2,0-108 м/с.
18 км/с.
1,6Д032 кг; 2,7ДО10 м.
п' = (п - /3)/(1 - п/3); е' = (е - 2/3^ + /З2)/(1 - 2/3^ + £/32)-
Интерференция и дифракция света
0,9 мм; 0,7 мм.
Три максимума — нулевой и два первых; 0,56 мм.
6,0402 нм.
2,7340“2 мм.
1,00014.
0,61 мкм.
3°35'; 7°1Т.
Указание. Воспользуйтесь условием минимумов при дифракции на одной щели.
15°; всего семь максимумов.
534 нм.
18"; 1,6404.
20 мм; 8 мм.
Увидим; 25".
Указание. Рассмотреть условие максимума для двух соседних лучей, выразив его через углы скольжения.
" 40.15. 2,4 нм. "
0,285 нм.
Указание. Воспользоваться условием Вульфа-Брэгга.
Дисперсия и поглощение света
49°19'; 50°107
3,5 МэВ.
£ = 1 — е2по/(£ошео;2).
Указание. Следует воспользоваться законом дисперсии для газов и учесть, что у свободного электрона собственная частота колебаний равна нулю.
41-4-и = с/^+^У
Указание. Рассмотреть отдельно участки спектра, для которых n > 1 и n < 1.
е = 1 — е2по/(2Еотеш2); и = c/n; U = сп.
Сигнал распространяется не с фазовой скоростью, а с групповой, которая меньше предельной.
Не может.
2,4-1013 м;;.
п = 1 - е2поА7(87г2еотес2) = 1 - 2,3 ■ 10“7.
R = (е2по/(Згот-еШ^У.
0,345; 0,361; Нф/Нкр = 1,05.
3,0-108 м/с.
Указание. Воспользоваться результатами задачи 41.6.
U = 1,9 • 108 м/с; и = 2,0 • 108 м/с.
16п2(п + I)416п2(п + I)4е-/Й^2-М)е-/Й^2-М)35 м х; 2,0 см.
16п2
(п + I)4
16п2
(п + I)4
е-/Й^2-М)
е-/Й^2-М)
к = ^ = 4 • /о г;
98%; 1,0 нм.
6 слоев.
1,6 см.
41.21. 1,2-10”7.
Поляризация света
В пять раз.
I = /0 sin2 a cos2 а/2; 45 °.
Не возникнет.
(2m + 1) • 0,856 мкм; (2m + 1) • 0,78тг рад = (2m + 1) • 140 °.
с?кв/dкальц = 19.
2,1-Ю2 кг/м3.
(2m + 1) • 5,19 мм; (2m + 1) • 2,75 мм.
Геометрическая оптика
2,6 мм.
41°.
1,8 мм.
18,7°; 7,4°.
2,2 дптр; -1,0 дптр.
В заднем фокусе линзы, находящейся справа.
Указание. На рис. 43.7 сдвинуть линзы до соприкосновения.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
-3,8 дптр; -1,1 дптр.
Ф = (п™ 1)/Я.
2,4 см.
х = //2; /3 = h/H = 1/2.
81°40'.
а = р2 (при ж <С а- — /).
Вытянутый эллипсоид вращения.
2,4 см; 6%.
13,3 дптр.
Указание. См. § 65.5, рис. 65.9.
Собирающая линза.
Рассеивающая линза.
Указание. См. задачу 10.4.
Нельзя.
ф< 22°.
R Wd.
2,3'.
Оптические приборы
1,76 Вт; 8,8 Вт; 2,9 Вт.
11 В/м; 3,7-10"8 Тл.
Естены /Епола — D/2h.
£Край = 2//(3r2V3) = 0,381/г2; Ецентр = 27/г2.
Е = 550/4.
10 лк; 2,8 лк.
5,0 лк; 2,5 лк.
Е = RD^Hf.
Уменьшится в 3,2 раза.
Очки -7 дптр.
57" % 1' (см. § 66.4).
370.
0,6 мкм.
24 дптр; 8,3 мм; 1,2; 830 км.
у = |/об//ок|-
35 м; 5,2 км.
Арадио = 2,5 ■ 103; Лопт = 5,4 • 10®.
Не более 6 мс.
55 мм; 0,18.
14,5 см.
Фотон
5,8-103 К.
6,16-Ю3 К.
290 нм.
4,ЗЛО-13 Вт/м2; 5,4-Ю-4 Вт.
540 нм; 295 нм; 275 нм.
41 кэВ; 1,1-Ю8 м/с.
0,2 В.
1,3 эВ.
1,8 эВ.
4,4 эВ; 2,ЗЛО-27 кг-м/с.
2,5Л0-3 нм = 2,5 пм.
С = й0 V1 — Э2/(1 - /Зсобб); р = popl -/32/(1 - /ЗсовУ).
р = 2w cos а, где w — объемная плотность энергии светового потока.
14 Дж.
0,3 мкм.
Д^ = 2g’2sin2(6»/2)/[<?0+ 2Й8ш2(6'/2)]; 1%.
<f7 = 8о cos (а + 6/2)/[sin a sin (6/2)]; 0,37 МэВ.
83 кэВ; 15 пм.
Указание. Воспользоваться законами сохранения энергии и импульса в релятивистской форме.
Указание. Перейти в инерциальную систему отсчета, относительно которой электрон покоится.
Указание. См. § 68.7.
Изменится.
370 МэВ.
20 с-1.
лк ос А _ Al-/3cos(6 + a) he 1-COS6
Ai — A-- + — + --- .
1 — p COS Cl eOc 1 ” P cos У
Элементы квантовой механики
А = hc/VW^y К>, К < 0,04^о.
А = /10/^699(2^0 + вфУ Анерел = hg^mep.
0,3 нм.
Указание. Сравнить длины волн де Бройля электрона и иона при одинаковом ускоряющем потенциале.
4,8 мкм.
1,1Л0"19 Дж = 0,68 эВ; 1,1Л04 м/с; 5,4Л03 К.
0,15 нм.
1) Ui = щ = 5,9 • 106 м/с = 0,019 с; гц = с2/т = 51с = = 1,5 • 1010 м/с; 2) U2 = «2 = 0,549 с = 1,6 • 108 м/с; и2 = с2/у2 = 1,83 с = = 5,5 • 10е м/с.
F = /r/(4meL3) = 1,2 ■ 10"7 Н.
38 эВ; 1,5Л02 эВ; 3,4Л03 эВ.
0,26 эВ; могут.
г = 4тгеоИ2/е2те.
w = е™1’6 = 0,2 = 20%.
w = ехр ^у/8тА^еЕК?).
w = е-2 = 0,135 = 13, 5 %.
Цж) = р^Н sin {п-кх/L).
L/3, 2L/3, 3/4.
Строение атомов и молекул
3.41033 м.
у = v\/n, где ri = е2/(4тгЕоЦ а = гд/с = 1/137.
'б = ЗТгсД/4 = 3 • 13,6/4 эВ = 10,2 эВ.
п = 3; 102,5 нм; 656,0 нм; 121,5 нм.
4,2 м/с; 9Д40™8 эВ.
ту = a^/Z = 26,4 пм; 1/А = 4Д(1/т2 —1/тг2); Ах = 1/ЗД = 30,40 нм; А2 = 9/5Д = 164,0 нм.
а) 1Д-1023 м™3; 3,5 мм рт. ст.; 1,9-10™4 кг/м3; б) 4,6-1О20 м™3;
1,4-10™2 мм. рт. ст.; 7,7-10™‘ кг/м3.
И = Z2hcR = 9 • 13,6 = 122, 4 эВ.
22043П “° 1836 ■ 20722043П “° 1836 ■ 207277 CIq ср277 CIq срВодород: с = 0,0436с = 1,3 • 104 км/с.
22043
П “° 1836 ■ 207
22043
П “° 1836 ■ 207
2
77 CIq ср
2
77 CIq ср
ТПр + тИmpm^ТПр + тИmpm^ш247ге0Й
ТПр + тИmpm^
ТПр + тИmpm^
ап = п -—
е2
=. 186 = —L . 2,53 кэВ.
п2п2
= 654 пм; А2 == 654 пм; А2 =1/А = 186Я(1/т2 - 1/n2); Ai = 4/(3 • 1867?) = 36/(5 ■ 1867?) = 3,53 нм; А3 = 144/(7 ■ 1867?) = 10,9 нм.
= 654 пм; А2 =
= 654 пм; А2 =
сп = 2п0 = 106 пм; Hi = -hcR/2 = —13,6/2 = -6,8 эВ.
10,2 В.
а) Бор: 1, 0, 0, 1/2; 1, 0, 0, — 1 /2; 2, 0, 0, 1/2; 2, 0, 0, — 1 /2; 2,1, 0,1/2. б) Натрий: 1,0, 0,1/2; 1,0,0,-1/2; 2, 0,0,1/2; 2, 0,0,-1/2; 2,1,0,1/2; 2,1,0,-1/2; 2,1,1,1/2; 2,1,1,-1/2; 2,1,-1,1/2; 2,1,-1,-1/2; 3,0, 0,1/2.
Указание. Определить число электронов на верхнем не до конца заполненном энергетическом уровне.
(F) = ;UrJ(4^
(Нс) = 31?/(2ml?).
31 пм.
Z = 41 — ниобий.
Более 5 кВ.
8,2 кВ.
3,2 • 1013 рад/с.
41 мкм.
95 пм.
Не противоречит.
Указание. См. задачи 33.10 и 46.11.
2дрде/(е2с2По) = 4 • 10™8
56 см.
3,2 • 1013 Гц.
Не противоречит.
29 = 1,27
Квантовые свойства металлов и полупроводников
Алюминий: 12,8 эВ; 1,9 • 10-24 кг-м/с; натрий: 3,1 эВ;
9,5 • 10-25 кг-м/с; медь: 8,6 эВ; 1,6 • 10-24 кг-м/с.
Указание. См. § 44.2.
9,9 • 104 К; 2,4 • 104 К; 6,6 • 104 К.
Р = 2пойР/5 = 1,7 ■ 10й Па.
PV5^3 = const; 7 = 5/3.
h2
4 8.5. А = ——^77777 и 3,2 • 106 Па-м6-кг5/3.
20me(ma/2)5/3’
0,2%.
С^ = 12,5 Дж/(кмоль-К); С^/С%ш = 5 • 104.
А = 30 нм; X/d я 150.
Ф = nh/2e, где п = 1, 2, 3,...
7 = Ве-д8/кТ.
72/71 = 6,6 ■ 105.
п = 2,4 • 1019 м 3; Кн = 9,4 ■ 10 2 м3/Кл.
5,8 • 102 Ом-1-м-1; 3,0 • 102 Ом "V/
0,55 В; 8,6 В.
Указание. Выражение для внутренней контактной разности потенциалов см. в § 78.1.
5,7 эВ/атом; 46 МДж/кг.
Строение ядра
Гелий 2Не — два протона, один нейтрон; тритий fH — один протон, два нейтрона.
20 % легкого изотопа и 80 % тяжелого.
Дейтерий: R = 1,8 • 10“15 м; По = 0,8 МэВ. Полоний: R = = 8,3 • 10'15 м; Ио = 14,6 МэВ.
2,23 МэВ; 1,12 МэВ/нуклон.
2,84 МэВ/нуклон; 2,56 МэВ/нуклон.
Пять о-распадов и четыре /3-распада.
Ка = 4,45 МэВ; КРЪ = 1,05 МэВ.
Не может.
Не может.
Может; электрон и антинейтрино; 1,48 МэВ.
4,96 МэВ.
w = с 22'3 = 1,7 • 10
Уменьшится в 1,3 раза.
3,7 дня.
1,4 ■ 1017 с = 4 ■ 109 лет.
8800 лет.
0,82 МэВ.
5ОТд = <b/(2Mc2) = 1,4 • 10 7; 5еСт = П/т^-, = 3,2 ■ 10 13.
и = ^(Мс = 81 м/с.
Ж = Жое“м.
0,2 МэВ.
Ядерные реакции
3 • 107 кг = 30 000 т.
22,4 МэВ; 2,8 МэВ/нуклон.
Могут.
Противоречит закону сохранения импульса; 67,5 МэВ.
,5 =/;/Ч = 6- IO C'
Т ^ 1,02 МэВ.
К„ = 4,1 МэВ; W„ = 29,9 МэВ; ^ДК,, = 7,3.
К, = 0,28 МэВ; 8„ = 0,61 МэВ.
Кл = 56 МэВ; Ц = 95 МэВ.
12,1 МэВ; 158,4°.
Де + Ip in + !Ц 0,24 МэВ.
Элементарные частицы
Ц = Кт = ЕОт = 135 МэВ.
8 • 10 27 с; 7 • 10 27 с; менее 2 • 10 г" м.
<Сл/<Зл.-м и 10
Нет; запрещено законом сохранения барионного заряда.
У всех барионов (кроме Н™) спины двух кварков антипар ал ле льны; у О™-гиперона спины всех кварков параллельны.
Антипар ал лельно.
Невозможны.
Сумма барионных зарядов кварка и антикварка равна нулю; сумма барионных зарядов трех кварков равна единице, трех антикварков — минус единице.
Законы сохранения лептонного мюонного и лептонного электронного зарядов.
Нет; запрещено законами сохранения электронного и мюонного лептонных зарядов.
Нет; запрещено законом сохранения электрического заряда.
Нет; запрещено законом сохранения лептонного и барионного зарядов.
10 А.А. Пинский
ТАБЛИЦЫ
1. Данные о планетах
Планета
Экваториальный полудиаметр, '106 м
Масса, кг
Среднее расстояние до Солнца, 109 м
Период обращения вокруг Солнца, сут.
Солнце
700
1,98-Ю30
—
—
Венера
6,2
4,9-Ю24
108,11
227,70
Земля
6,4
5,98-1024
149,46
365,26
Марс
3,4
6,5-Ю23
227,7
686,98
Луна
1,7
7,4-Ю22
—
—
2. Механические свойства твердых тел
Вещество
Модуль всестороннего сжатия К,
Ю10 Па
Модуль Юнга Е, Ю10 Па
Допускаемое напряжение СГдоп,
Ю7 Па
Разрушающее напряжение при растяжении (7М, 108 Па
Плотность р, 103 кг/м
Сталь мягкая
17
20
14
4-6
7,8
Сталь
хромоникелевая
17
22
30
10-15
7,8
Серебро
10,4
8,0
3-8
0,9-1,5
10,5
Алюминий
7,6
7,0
3-8
0,9-1,5
2,7
Медь
14
13
3-12
1,2-4,0
8,9
Никель
16
20
—
—
8,9
Свинец
4,1
1,7
—
0,2
11,3
Лед (-2 ° С)
-
0,28-1,0
—
—
0,92
Золото
22,7
7,9
2-2,5
1,4
19,3
3. Тепловые свойства твердых тел
Вещество
Удельная теплоемкость с, кДж/(кг-К) (от 0° до 100 °C)
Удельная теплота плавления А, 105 Дж/кг
Точка плавления, ^ПЛ, °C
Коэффициент линейного расширения а, 1Q-6 К-1
Коэффициент теплопроводности К, Вт/(м-К)
Сталь
0,45
2,7
1440
10-11
50-70
Серебро
0,23
0,88
980,6
20,5
4,2Л02
Алюминий
0,84
4,0
660
27
2,ЗЛО2
Медь
0,38
2,1
1080
20
3,8Л02
Никель
0,46
3,0
1453
18
0,9Л02
Свинец
0,126
0,25
327
30
35
Лед
И °с)
2,1
3,4
0,00
51
2,2
4. Свойства жидкостей
Вещество
Плотность р, 103 кг/м3 (при 0 °C)
Вязкость ц, мПа-с (при 20 °C)
Поверхностное натяжение а, мН/м (при 20 °C)
Коэффициент объемного расширения р, К)4 к !
Нефть
0,8
1-10
30
7-10
Вода (20 °C)
0,9982
1,00
72,8
2,1
Вода (80 °C)
0,9718
0,36
62,8
6,3
Ртуть
13,595
1,55
475,0
1,8
Масло
0,95
986
36,4
касторовое 30% H2SO4
1,02
2,44
~60
6
Вещество
Коэффициент теплопроводности К Вт/(м-К) (при 20 °C)
Точка кипения, °C (при норм, атм. дав л.)
Удельная теплота парообразования Ь, МДж/кг (при норм, атм. дав л.)
Удельная теплоемкость с, кДж/(кг-К)
Нефть
0,15
—
—
1,7-2,1
Вода (20 °C)
0,60
100
2,28
4,183
Вода (80 °C)
0,68
—
—
4,195
Ртуть
10
356,6
0,25
0,14
Масло касторовое
0,18
—
2,13
30% H2SO4
0,6
—
—
1,4
5. Свойства газов
Вещество
Эффективное сечение а, 10^ м2'
Вязкость д, мкПа-c (при нормальных условиях)
Теплопроводность К мВт/(м-к) (при норм, условиях)
Гелий
зд
18,6
143
Неон
7,0
29,8
46
Азот (N2)
10,8
16,6
24,3
Водород (Н2)
5,7
8,4
173
Водород* (Н)
3,5
—
—
Кислород (О2)
9,6
19,2
24,4
Воздух
10
17,1
24
Пары воды (100 °C)
6,0
12,8
26
Углекислый газ (СО2)
16,2
13,8
14,3
СО2, 100 °C
—
18,6
21,2
СО2, 300 °C
—
26,7
СО2, 500 °C
—
—
55,7
Вещество
Удельная теплоемкость ср, кДж/(кг-К) (от 0 °C до 100 °C)
Показатель адиабаты у = Cpjcv
Плотность р, кг/м3 (при норм, условиях)
Гелий
0,523
1,630
0,1785
Неон
1,05
1,642
0,8999
Азот (N2)
1,04
1,401
1,2505
Водород (Н2)
14,3
1,407
0,0899
Водород* (Н)
—
1,667
—
Кислород (Ог)
0,913
1,400
1,4289
Воздух
1,01
1,40
1,293
Пары воды (100 °C)
1,951
1,334
0,598
Углекислый газ (СО2)
0,91
1,300
1,9769
СО2, 100 °C
0,90
1,30
—
СО2, 300°C
0,85
1,22
СО2, 500°C
0,83
1,20
—
* Вычислено по формуле ст = 4иа^, где по = 5(
) пм — боровский радиус.
6. Электрические свойства веществ (20 °C)
Вещество
Диэлектрическая проницаемость £
Пробивная напряженность Ем, МВ/м
Парафинированная бумага
Слюда
Стекло кварцевое
Масло трансформаторное
Спирт этиловый
Воздух
2 6-7 4-10 2,2 26 1,000590
40-60 80-200
20-30 15-20
3-4
7. Скорость звука (продольные волны)
Вещество
п, км/с
Вещество
и, км/с
Кварц (Х-срез)
Никель (в магнитном поле с индукцией 0,3 Тл)
5,72
4,86
Вода(17°С)
Вода морская Масло касторовое
1,407
1,50
8. Показатели преломления
Свет
Длина волны А, нм
Флюорит
Плавленый кварц
Каменная соль NaCI
Инфр акр асный
1256,0
1,4275
—
1,5297
(670,8
1,4323
1,4561
1,5400
Красный
656,3
1,4325
1,4564
1,5407
( 643, 8
1,4327
1,4568
1,5412
Оранжевый
589,3
1,4339
1,4585
1,5443
Желтый
546,1
1,4350
1,4602
1,5475
Зеленый
508,6
1,4362
1,4619
1,5509
Голубой
486,1
1,4369
1,4632
1,5534
Синий
480,0
1,4371
1,4636
1,5541
Фиолетовый
404,7
1,4415
1,4697
1,5665
(303,4
1,4534
1,4869
1,6085
Ультрафиолетовый
214,4
1,4846
1,5339
1,7322
[185,2
1,5099
1,5743
1,8933
Окончание табл. 8
Свет
Сильвин
КС1
Вода (20 °C)
Стекло
крон
флинт
Инфр акр асный
1,4778
1,3210
1,5042
1,6268
1,4866
1,3308
1,5140
1,6434
Красный
1,4872
1,3311
—
—
1,4877
1,3314
1,5149
1,6453
Оранжевый
1,4904
1,3330
1,5170
1,6499
Желтый
1,4931
1,3345
—
—
Зеленый
1,4961
1,3360
—
—
Голубой
1,4983
1,3371
1,5230
1,6637
Синий
1,4990
1,3374
—
—
Фиолетовый
1,5097
1,3428
1,5318
1,6852
1,5440
1,3581
1,5552
—
Ультрафиолетовый
1,6618
1,4032
—
—
1,8270
—
—
—
9. Массы некоторых нейтральных атомов (а.е.м.)
Масса
Масса
Водород } Н
1,00783
Углерод 6° С
10,00168
Дейтерий i Н
2,01410
12 6
12,00000
Тритий J Н
3,01605
63С
13,00335
Гелий | Не
3,01603
14 п 6
14,00324
2 Не
4,0026
Алюминий ха А1
29,99817
Литий | Li
6,01513
Кремний 14 Si
30,97535
з Li
7,01601
Фосфор 15 Р
30,97376
Бериллий J Be
7,01693
Свинец з®6 РЬ
205,97446
4 Be
9,01219
Полоний 84° Р°
209,98297
10. Фундаментальные физические постоянные
Величина
Обозначение
Значение *
1. Магнитная постоянная
До
4тг • Ю-7 Гн-м-1 (точно)
2. Электрическая постоянная
ео = 1/ц®(?
8,85418782-Ю-12 Ф-м !
3. Скорость света в вакууме
с
299792458 м-с-1 (точно)
4. Элементарный заряд
е
1.60217733 10 !Э Кл
5. Постоянная Планка
h
6,6260755-Ю-34 Дж-с
И = h/Tx
1,05457266-Ю-34 Дж-с
6. Постоянная Авогадро
Na
6,0221367-Ю26 кмоль-1
7. Атомная единица массы
1 а. е. м.
1,6605402-Ю-27 кг
8. Масса электрона
тс
9,1093897-Ю-31 кг
5,48579903-Ю-4 а.е.м.
мюона
т^
1,8835327-Ю-28 кг
0,113428913 а. е. м.
протона
тр
1,6726231-Ю-27 кг
1,007276470 а. е. м.
нейтрона
тп
1,6749286-Ю-27 кг
1,008664904 а. е. м.
9. Удельный заряд электрона
—е/те
-1,75881962 • Ю11 Кл-кг-1
10. Постоянная Фарадея
F = еМА
9,6485309-Ю7 Кл-кмоль-1
11. Постоянная Ридберга
Ясс
1,0973731534-Ю7 м-1
12. Боровский радиус
«0
5,29177249-Ю-11 м
13. Комптоновская длина
Ас = h/mec
2,42631058-Ю-12 м
волны для электрона
Магнетон Бора
Магнитный момент
цв = еД/2те
9,2740154-Ю-24 Дж-Тл-1
электрона
Де
9,2847701-Ю-24 Дж-Тл-1
протона
ТПр
1,41060761-Ю-26 Дж-Тл-1
16. Газовая постоянная
R
8,314510-Ю3 Дж/(кмоль-К)
17. Объем 1 киломоля
vm
22,41410 м3-кмоль-1
идеального газа
18. Постоянная Больцмана
к = R/NA
1,380658-Ю-23 Дж-К-1
19. Постоянная Стефана™ Больцмана
(7
5,67051-Ю-8 Вт/(м2 • К4)
Гравитационная постоянная
Энергетический эквивалент
G
6,67259-Ю-11 Н-м2/кг2
931,49432 МэВ
1 а. е. м.
* Фундаментальные физические
константы ГСССД 1™87. — М.: Изд-во стандар-
тов, 1988.
Учебное издание
ПИНСКИЙ Аркадий Аронович
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Редактор Д.А. Миртова
Корректор Л.Т. ВаръяшОригинал-макет: О.Б. Широкова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.02.03.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 25. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ФГУП «Ивановская областная типография».153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0384-9
1) В школьном курсе математики принято производную обозначать штрихом; например, а = Р. Однако при такой записи часто не ясно, по какой переменной надо брать производную. Поэтому мы будем пользоваться более
удобным обозначением: если у = /(ж), то производная обозначается .
7. Закон сохранения импульса. Центр масс
7.1. Направим ось координат по направлению движения пули. Пусть
масса пули т, масса бруска М. По закону сохранения импульса тс =
= (М + т)и, где и и и — проекции скорости пули и скорости бруска после попадания в него пули. На скользящий брусок действует сила трения, направленная против вектора скорости: Т = —pg(M + т). Ускорение бруска а = Т/(М + т) = —pg. На расстоянии I брусок останавливается, следова
тельно, 0 — и2 = 2а1 (см. задачу 1.9), или и = y/2pgl. Отсюда следует:
М + m г-™с = CzpgL
I^DCp dDcp
1 [1• ог РL
2™ 2
5. Трение
5.1. 2 c; 4 м.
5.2. 1) ax = (m ™ fiM)g/(m + M), Ex = mMg(l + fi)/(m + M);
17. Первое начало термодинамики
17.1. На 9 кДж; 6 кДж.
17.2. 2,8 кДж.
17.3. Гелий:
3,10-103 ^ Cv 5/ 3,20-103 Дж/(кг-К); 5,17-Ю3 5/ Ср < 5,28-Ю3 Дж/(кг-К); Неон:
6,14-Ю2 Cv6,34-Ю2 Дж/(кг-К); 1,03• 103 Ср 1,05• 103 Дж/(кг-К);
17.4. 7,21 • 102 ^ Су ^ 7,60 • 102 Дж/(кг-К);
1,02 ■ 103 ^ Ср ^ 1,06 • 103 Дж/(кг-К).
17.5. 1,38 кДж; 4,83 кДж; 1,9 м.
17.6.1,8105Дж;4,8-105 Дж; 6,6-105 Дж; 1,71 кДж/(кмоль-К);
1 Н 2[а2 + (Жо^Ы)2]5/2•
УДК 530
ББК 22.3
П32
Пинский А. А. Задачи по физике / Под ред. Ю.И. Дика. — 3-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 296 с. - ISBN 5-9221-0384-9.
Задачи составлены в полном соответствии с двухтомником «Основы физики» Б.М. Яворского и А.А. Пинского. Наряду с традиционным материалом в сборник включены задачи по теории относительности (включая релятивистские столкновения, ускорители, рождение частиц и т.п.), квантовой механике (соотношение неопределенностей, волны де-Бройля, потенциальный барьер, вырожденное состояние вещества), статистике, волновой и квантовой оптике, атомной и ядерной физике. Задачи с астрофизическим содержанием иллюстрируют применение законов физики к космическим объектам.
Большинство задач, особенно трудных, снабжено подробными решениями и указаниями.
Для учащихся общеобразовательных школ, а также школ, гимназий, лицеев с углубленным изучением физико-математических дисциплин для подготовки к конкурсным экзаменам в вузы.
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2003© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2003ISBN 5-9221-0384-9
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к первому изданию..............................
5
Несколвко практических советов..............................
Задачи Решения
и
Ч а с т в первая. Движение и силы
7 Ответы указания
1. Кинематика точки ...................11108
266
2. Сила. Давление ......................12109
266
3. Динамика точки .....................14111
266
4. Тяготение. Электрические силы .......17115
267
5. Трение ..............................18118
267
6. Теория относительности ..............20126
Часть вторая. Законы сохранения
268
7. Закон сохранения импульса. Центр масс23130
269
8. Полная и кинетическая энергия .......25135
269
9. Соотношение неопределенностей ......26138
—
10. Элементарная теория столкновений... .26139
269
Потенциальная энергия. Потенциал. . . .27144
Закон сохранения энергии в ньютонов
ской механике .......................28146
269
270
13. Закон сохранения энергии ............30151
270
Динамика вращения твердого тела . . . .31152
Неинерциальные системы отсчета и тяготение ..............................34159
Часть третья. Молекулярно-кинети
ческая теория газа
271
271
16. Идеальный газ .......................36163
272
17. Первое начало термодинамики ........39167
272
18. Второе начало термодинамики ........41170
273
19. Основы газовой динамики ............43175
Часть четвертая. Молекулярные силы
и агрегатные состояния вещества
273
20. Твердое тело ........................46178
274
21. Жидкость ...........................48181
274
22. Пар .................................49183
275
23. Фазовые переходы ...................50184
Часть пятая. Электродинамика
275
24. Поле неподвижных зарядов в вакууме .52185
275
25. Диэлектрики ........................54190
276
26. Постоянный ток .....................
56
193
276
27. Магнитное поле в вакууме ............
59
197
277
28. Заряды и токи в магнитном поле ......
61
199
277
29. Магнетики ..........................
64
204
278
30. Электромагнитная индукция ..........
66
206
278
31. Классическая электронная теория . . . . .
68
209
279
32. Электропроводность электролитов . . . . .
70
210
279
33. Ток в вакууме и газах ................
71
211
279
Часть шестая. Колебания и волны
34. Гармонические колебания .............
74
213
280
35. Свободные колебания.................
75
215
280
36. Вынужденные колебания. Переменный
ток .................................
77
217
281
37. Упругие волны.......................
80
221
282
38. Интерференция и дифракция .........
81
223
282
39. Электомагнитные волны ..............
82
224
282
40. Интерференция и дифракция света . . . .
84
228
283
41. Дисперсия и поглощение света ........
86
230
283
42. Поляризация света ...................
88
233
284
43. Геометрическая оптика ...............
89
234
284
44. Оптические приборы .................
92
240
285
Часть седьмая. Основы квантовой
физики
45. Фотон ...............................
95
243
285
46. Элементы квантовой механики ........
97
248
286
47. Строение атомов и молекул ...........
98
252
287
48. Квантовые свойства металлов и полу
проводников .........................
101
257
288
Часть восьмая. Физика ядра и эле
ментарных частиц
49. Строение ядра .......................
103
260
288
50. Ядерные реакции ....................
104
262
289
51. Элементарные частицы ...............
105
265
289
Таблицы
Данные о планетах. ...................................290
Механические свойства твердых тел....................290
Тепловые свойства твердых тел ........................291
Свойства жидкостей ..................................291
Свойства газов. .......................................292
Электрические свойства веществ (20 °C)............... .293
Скорость звука (продольные волны)....................293
Показатели преломления ..............................293
Массы некоторых нейтральных атомов (а.е.м.) ..........294
Фундаментальные физические постоянные. .............295