Глава 1

МАГНИТНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКИ

1. Основное состояние и аномальный магнитный моментэлектронов проводимости в антиферромагнитномполупроводнике

3. Л. Нагаев

Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484-486

При рассмотрении состояния электрона проводимости в антиферромагнитном кристалле принято считать (см. [1]), что он не нарушает магнитного упорядочения кристалла. Ниже будет показано, что во многих случаях энергетически более выгодным является такое состояние системы, при котором электрон образует вокруг себя область с ферромагнитным упорядочением и движется вместе с ней по кристаллу. По аналогии с поляроном в ионных кристаллах [2] такую квазичастицу естественно называть магнитным поляроном.

Состояние системы электрон проводимости — антиферромагнитный кристалл в рамках 6—d-модели определяется, в основном, тремя параметрами: 1 — интегралом А обменного взаимодействия электрона проводимости с d-электронами ближайшего к нему магнитного атома; 2 — блоховским интегралом В, которому пропорциональна ширина зоны электрона проводимости в отсутствие обмена с d-электронами; 3 — обменным интегралом / для соседних магнитных атомов. Существенно, что последний из этих параметров мал по сравнению с двумя первыми: А и В — порядка 0,1-1 эВ, а / — 0,01 или даже 0,001 эВ.

Если считать, что антиферромагнитное упорядочение сохраняется неизменным, то энергия s-электрона в пренебрежении нулевыми колебаниями магнитных моментов подрешеток дается выражением

Eeo = EA —《2B》\s2A3

Bk = 2В [cos kxa + cos kya + cos kza\ ,

где Ea — «атомная» энергия s-электрона, S — спин магнитного атома, z — число ближайших соседей, а — постоянная решетки.

Как известно, трансляционное движение электрона по кристаллу приводит к понижению энергии его основного состояния. Из выражения (1) видно, что при z \В\ <С 《S |川 антиферромагнитное упорядочение препятствует трансляционному движению электрона проводимости по кристаллу. В противоположном же предельном случае оно приводит к существенному уменьшению роли 6—d-обмена. Но если допустить, что электрон проводимости создает вокруг себя область ферромагнитного упорядочения, то оказывается возможным получить выигрыш в энергии электрона

за счет его трансляционного движения в этой области или обмена в ней с магнитными атомами. Этот выигрыш компенсирует проигрыш в энергии из-за разрушения антиферромагнитного упорядочения. Радиус ферромагнитной потенциальной ямы находится из условия минимума полной энергии системы.

Ограничимся здесь рассмотрением покоящегося магнитного полярона. Энергия системы находится из вариационного принципа. При А > 0 пробная функция системы выбирается следующим образом: 1 — поляризация спина электрона проводимости фиксирована (он параллелен моменту ферромагнитной ямы), 2 — состояние магнитной подсистемы не зависит от положения электрона проводимости. При г = R идеальное антиферромагнитное упорядочение (г > Я) скачком переходит в идеальное ферромагнитное упорядочение (г < Я), 3 — электронная часть пробной функции строится как линейная комбинация s-орбит, соответствующих различным магнитным атомам. Ее коэффициенты 以g) (g — номер магнитного атома), определяются из уравнения

[еа ~^(s^~e]以g) + В £中值 + h) = 0.⑵

Штрих над знаком суммы в (2) означает суммирование по ближайшим соседям, 〈...〉—символ усреднения.

Удобно функцию 3(g), определенную на всех узлах решетки, представить как спинор, компонента которого 耽 (г = 1, 2) определена лишь на тех узлах, которые в идеальном антиферромагнетике образовывали бы г-ю магнитную подрешетку. Радиус магнитного полярона в типичных случаях составляет несколько постоянных решетки. Поэтому целесообразно перейти к приближению сплошной среды, разложив последний член (2) в ряд Тейлора около точки g и рассматривая координаты узлов как непрерывные переменные. С учетом сказанного выше о состоянии магнитной подсистемы получается следующая система уравнений:

(Еа — ^^ —石)次(г) + 6(2 + а込)中2(г) = О,

⑶⑶6(2 + МА)耽(г) + ｛瓦4 + * [1 — 2"(К - г)]-石｝眦(г) = О,

⑶

⑶

"(/) = 1 при ж > 0 и нулю при ж < 0.

Решение системы (3) приводит к следующему выражению для энергии

E = En + ^\I\S2z.

⑷⑷За

⑷

⑷

Еп = Еа — -^ — 1^1(2 — k2a2), где параметр к определяется из уравнения

к1 а1 = (z — k2aа Н/ 4s — 1 | sin2 kR、 — kR 7r.

Согласно (4) и (5), энергия захваченного магнитной поляризацией электрона Еп как функция R принимает значения от максимального, совпадающего с дном зоны проводимости свободного электрона в идеальном антиферромагнетике (1), до минимального, равного Еа — AS/2 — z\B\. При значениях параметров, при которых

1/51/5минимум полной энергии магнитного полярона достигается в области справедливо

1/5

1/5

сти континуальной теории, К имеет порядок а (|/炉

Необходимо отметить, что при малых S и А следует учитывать флуктуации спина электрона проводимости вне ферромагнитной области. Соответствующий расчет будет приведен в специальной публикации.

Проведенное выше рассмотрение можно распространить на случай А < 0 заменой А на IА|, если |А/В| достаточно мало. В противоположном случае спин s-электрона нельзя считать фиксированным, и волновая функция учитывает колебания спинов d-электронов в ферромагнитной яме из-за их обмена с s-электроном. Тогда получается:

еП^еа-1 I川(S + 1)-旧1 T^ 卜-亨).⑹

Как видно из (6), второй вариант пробной функции, обеспечивая, в отличие от первого, полный выигрыш в энергии 6—d-обмена, приводит вместе с тем к некоторому проигрышу в энергии трансляционного движения.

Характерной особенностью магнитного полярона является его аномально большой магнитный момент, который может превышать 100 магнетонов Бора. Этот момент должен особенно сильно сказываться на значении продольной магнитной восприимчивости антиферромагнетика. Аномальным моментом должен обладать и электрон, захваченный примесным центром, однако его значение меньше, чем у свободного магнитного полярона. Термическая ионизация примесных центров должна поэтому вести к росту х, до тех пор, пока магнитные поляроны не начнут диссоциировать. При высоких концентрациях легирующей примеси повышение температуры в принципе может привести к переходу кристалла в ферромагнитное состояние с одновременным резким возрастанием электропроводности.

Автор выражает признательность Л. В. Келдышу и Р. А. Сурису за обсуждение поставленной в работе проблемы.

Поступила в редакцию 23 марта 1967 г.

Список литературы

Ирхин Ю. /7., Туров Е. А. // ФММ. 1957. Т. 4. С. 9.

Пекар С. И. // Исследования по электронной теории кристаллов. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. Тябликов С. В. // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 377.

Ферромагнитные микрообласти в полупроводниковомантиферромагнетике

Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1968. Т. 54(1). С. 228-238

Электрону проводимости в полупроводниковом антиферромагнетике энергетически выгодно создать вокруг себя область с ферромагнитным упорядочением радиусом в несколько постоянных решетки. Проведен расчет энергии основного состояния такой квазичастицы, названной магнитным поляроном. Микрообласти с ферромагнитным упорядочением могут возникать также вблизи неионизованных доноров или акцепторов. Низкотемпературная поперечная магнитная восприимчивость таких дефектов может быть сравнима с восприимчивостью идеального кристалла. В определенных условиях продольная восприимчивость кристалла целиком определяется дефектами.

В предыдущей работе автора [1] было рассмотрено основное состояние электрона проводимости в неметаллическом антиферромагнетике. Предполагалось, что спин магнитных атомов антиферромагнетика значительно превышает единицу. Было показано, что может быть энергетически выгодным такое самосогласованное состояние системы, когда в области радиусом в несколько постоянных решетки антиферромагнитное упорядочение заменяется на ферромагнитное. Эта ферромагнитная микрообласть является потенциальной ямой для электрона проводимости, в которой он и локализуется. Движение электрона по кристаллу должно происходить совместно с движением созданной им ферромагнитной микрообласти. Такая квазичастица по аналогии с поляроном в ионных кристаллах [2, 3] была названа магнитным поляроном.

В настоящей работе проведено более детальное исследование вопроса о возможности захвата электрона проводимости магнитной поляризацией, охватывающее и случай малых спинов. Найдены выражения для энергии основного состояния системы при различных соотношениях между ее основными параметрами. Показано, в частности, что при малых значениях спина антиферромагнитное s-c/-взаимодействие значительно более благоприятно для образования магнитного полярона, чем ферромагнитное. Однако если даже магнитный полярон и не образуется, то все равно минимальная энергия системы при малых спинах существенно ниже квазиклассиче- ского значения [4].

Микрообласти с ферромагнитным упорядочением могут возникнуть и вокруг таких дефектов, которые в отношении электрических свойств кристалла ведут себя как доноры или акцепторы. Соответствующие электроны или дырки на этих дефектах естественно интерпретировать как локализованные магнитные поляроны. В последнее время были проведены многочисленные исследования влияния примеси на магнитные свойства ферро- и антиферромагнетиков, основанные на модели Гейзенберга (см., например, [5—7]). Ясно, однако, что локализованные магнитные поляроны нельзя описать в рамках этой модели, и результаты таких исследований к ним неприменимы. Рассматриваемые здесь «негейзенберговские» дефекты могут обладать аномально большими магнитными моментами. При практически достижимых концентрациях примеси ее вклад в поперечную магнитную восприимчивость может быть сравним с восприимчивостью беспримесного антиферромагнетика. В определенных случаях продольная восприимчивость практически целиком определяется дефектами.

1. Свободный магнитный полярон. Исследуется основное состояние электрона проводимости в неметаллическом антиферромагнетике. Для описания системы используется 6—d-модель. Считается, что решетка кристалла — простая кубическая,

и что обе магнитные подрешетки антиферромагнетика идентичны. Рассматривается случай, когда вероятность обнаружения электрона проводимости вблизи магнитных атомов существенно больше, чем вблизи немагнитных, так что последние можно просто рассматривать как источники поля. В соответствии с этим гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

"=£ (石厶— &sSf)“)а^аа^а/ + 6 £ a^af+gc — ^ £ (SfSf+g). (1)

Здесь a" af° — операторы рождения и уничтожения электрона проводимости с проекцией спина сг на магнитном атоме с номером f = (/况,/у, /z)； s и Sf — операторы спина электрона проводимости и f-ro магнитного атома. Далее, Еа — «атомная» энергия электрона проводимости, В — блоховский интеграл, А — интеграл s—d-об- мена, / — интеграл обмена между магнитными атомами. Используется приближение ближайших соседей, так что индекс g, нумерующий их, пробегает шесть значений.

Для дальнейшего будет чрезвычайно существенным, что величины А и В велики по сравнению с /: если первые два параметра имеют порядок величины 0,1-1 эВ, то обменный интеграл составляет обычно несколько сотых или даже тысячных эВ.

Если предположить, что электрон проводимости оставляет неизменным антиферромагнитное упорядочение, то для энергии системы в пренебрежении нулевыми колебаниями спинов получается следующее выражение [4]:

石=瓦+瓦4 一 J(4S/2『 +比,

Bk = 2B (cos kxa + cos kya + cos kza),

где Eq — энергия основного состояния антиферромагнетика, a — постоянная решетки, к — квазиимпульс.

Из выражения (2) видно, что при |А| S Э* 6 |В| антиферромагнитное упорядочение препятствует получению выигрыша в энергии за счет трансляционного движения электрона по кристаллу. В противоположном предельном случае оно приводит к взаимной компенсации вкладов от обменного взаимодействия этого электрона с магнитными атомами. Можно поэтому ожидать, что энергетически более выгодным окажется такое состояние, при котором в некоторой области антиферромагнитное упорядочение будет заменено на ферромагнитное. Проигрыш в энергии магнитной подсистемы будет скомпенсирован выигрышем в энергии электрона проводимости, который может свободно двигаться внутри ферромагнитной микрообласти, получая внутри ее полный выигрыш в энергии 6—d-обмена.

Ниже проводится вычисление энергии покоящегося магнитного полярона. В рассматриваемой задаче гамильтониан взаимодействия s-электрона с магнитной подсистемой имеет значительно более сложную структуру, чем гамильтониан электрон- фононного взаимодействия в задаче о поляроне. Кроме того, правила коммутации спиновых операторов значительно сложнее бозевских. Поэтому, по-видимому, было бы нерационально использовать здесь полевую методику, подобную развитой в теории полярона.

Задача будет решаться прямым вариационным методом. Считается, что применимо приближение сплошной среды. При построении пробной функции предполагается, что в области радиуса R устанавливается идеальное ферромагнитное упорядочение, которое при г = R скачком переходит в антиферромагнитное. Величина R играет роль вариационного параметра. Такое состояние магнитной подсистемы будет обозначаться |0〉r • Поскольку ферромагнитное состояние является собственным состоянием гамильтониана Гейзенберга, состояние |0)я при R》а должно приводить к энергии основного состояния, близкой к истинной. Такой подход аналогичен использованному в теории полярона Пекаром [2]. Более точная пробная функция, как

и в [2], должна учитывать, что центр магнитного полярона может находиться на любом узле решетки.

Детальный вид пробной функции зависит от знака 6—d-обменного интеграла А. При ферромагнитной 6—d-связи спин электрона проводимости внутри ферромагнитной микрообласти, естественно, считается поляризованным вдоль момента этой области. Вне ее необходимо учитывать обе поляризации спина s-электрона. Будем считать, что магнитный момент микрообласти коллинеарен вектору антиферромагнетизма. Как известно, в основном состоянии антиферромагнетика намагниченность подрешеток близка к предельной даже при S = 1/2. Поэтому в той подрешетке, момент которой параллелен моменту микрообласти, спин s-электрона также можно считать фиксированным. В другой подрешетке на ближайшем к s-электрону магнитном атоме к «правильной» проекции спина этого атома подмешивается «неправильная», отличающаяся от нее на единицу. Ограничение деформации магнитного упорядочения в антиферромагнитной области атомом, ближайшим к электрону проводимости, оправдывается условием A \S\》|/| S2.

Если включить в |0〉R и вакуумную электронную функцию, то в соответствии со сказанным пробная волновая функция при А > 0 строится следующим образом:

l|fi|》R/a|fi|<K/af2丿

Здесь индексами 6 и $ отмечены атомы, принадлежащие соответственно подрешеткам 1 и 2. Считается, что момент ферромагнитной микрообласти параллелен моменту подрешетки 2.

Что же касается антиферромагнитной 6—d-связи, то здесь необходимо учитывать обе проекции спина электрона проводимости и внутри ферромагнитной микрообласти. При том же относительном положении моментов микрообласти и подрешеток волновая функция в этом случае выбирается в виде

①={ £ CfiT 哈 Т + £ (cfiT 哈 т + CfU 哈 jS" +

^^^R/a|fi|<K/a

f2

Стандартным путем получаются системы уравнений для коэффициентов функций (3) и (4), в которых следует перейти к приближению сплошной среды. При А < О совокупность амплитуд Cfa можно рассматривать как «биспинорную» волновую функцию, компоненты которой определяются следующим образом:

次(Г)= %「^2 И = Cf2t, 中з(Г)= %‘，*(г) =例「(5)

Разложение коэффициентов Cfa в ряд Тейлора дает возможность произвести замены типа £ Cfi+gf Т(6 + а2Д)中2(г).

g

С учетом сказанного уравнение Шредингера при антиферромагнитной 6—d-связи принимает вид

1.2 ] Ферромагнитные микрообласти в полупроводниковом антиферромагнетике 19 ｛竽[1 一 2扌(г - R)] - Er｝耽 + B(6 +。2今少2 - ^y^C(R - Г)裔=о,

В(6 + £?厶)耽 + (竽-Er) ^2 - ^yf-^4 = о,

-aR@2 + (_4$2- 1)- Er)為=О,

"(/)=1 при /)0,"(/)=0 при ж < 0.

Здесь принято обозначение

ER = E-EA-^\I\S2(^.⑺

Члены ^1 /А в (6) опущены.

Решение системы уравнений (6) производится путем сведения ее к одному уравнению относительно 次.Эта компонента волновой функции представляется сферической волной с вещественным волновым числом к в ферромагнитной микрообласти и мнимым волновым числом 分〃 вне ее. В результате получается следующая система трансцендентных уравнений для определения энергии:

厂(МО —炉(6 —a2k2)2=0,

-^ + eQ L (石R)—炉(6 + а2k2 Ctg2 kR『=0, ctg kR < 0,⑻

где величина L(E) дается выражением

厶(e)=等一£? + 竽(£?+:(9)

В случае ферромагнитной 6—d-связи совокупность коэффициентов волновой функции (3) рассматривается как «векторная» волновая функция с компонентами

次(Г)= %「 中2 (г) = %「 中3(r) = %J・(Ю)

Уравнение Шредингера для А > 0 имеет вид

｛^ [1 - 2"(R - 丁)]-石a｝如 + 6(6 + 片以帆-4^^"(丁 - R)中3 = 0,

6(6 + a2A)^i + ^―^^ — Ев^ 中2 = 0，(11)

一4^^ "(丁 - R)中 1 + (— 4s2_U _ 后r)中3 = 0,

Оно решается точно так же, как и (6), и приводит к следующему уравнению для определения энергии:

Y(6 -潢廿)=4 s^6(6 +。2亭户r)2

〈丿26(6— a2k2)+ 46 —a2k2，、丿

(13)(13)Er = —— — I-01 (6 — a2k2), ctg kR < 0.

(13)

(13)

Переходя к анализу уравнений (8) и (12), (13), необходимо отметить, что они имеют решения лишь при Я, превышающих некоторое минимальное значение Ям - Энергетические уровни Er в поляронной яме начинаются от наименьшего значения при Я = 0. Это значение ниже минимальной энергии зонного электрона (2), поскольку и при Я = 0 волновые функции (3) и (4) в отличие от зонной учитывают несохранение проекции спина s-электрона из-за обменного взаимодействия с магнитными атомами. Если магнитный полярон образуется, то его радиус R должен превышать Ам, чтобы выигрыш в электронной энергии компенсировал проигрыш в энергии, потраченной на создание ферромагнитной микрообласти. При стремлении R к бесконечности поляронный уровень стремится при А < 0 и при А > 0 соответственно к

er = \a(s + ^-^\b\.er = \a(s + ^-^\b\.(14)(14)

er = \a(s + ^-^\b\.

er = \a(s + ^-^\b\.

(14)

(14)

Er=^(A-12 |В|) - ； J(4 — 12 8)2 — 48 宙| 4s — 1) + 442s(S + 1) • (15)

Далее, из уравнений (6) и (11) видно, что при больших S вместо «биспинорной» или «векторной» волновой функции достаточно использовать «спинорную» волновую функцию с компонентами 中i и 中2・ В этом случае уравнения (8) и (12), (13) сводятся к уравнению (5) в [1].

Каждую из систем уравнений (8) и (12), (13) можно упростить в предельных случаях |А| S《6 |月| и обратном. В первом из этих случаев (слабое 5-с/-взаимодей- ствие) обе эти системы приводят к одному и тому же равенству для определения параметра к:

—кЯм = sin kR^ (16)

I川 S2 (i + 2/S){/248В2 丿I川 S2 (i + 2/S){/248В2 丿где минимальный радиус Ям в рассматриваемом случае равен

I川 S2 (i + 2/S){/2

48В2 丿

I川 S2 (i + 2/S){/2

48В2 丿

(17)

В некоторых случаях можно получить приближенное решение уравнения (16):

« =专(R》А”)’« =专(R》А”)’(18)(18)仁总1仁总1R - Rm YЯм丿R - Rm YЯм丿(А - Ям《Ам)・(А - Ям《Ам)・(19)(19)

« =专(R》А”)’

« =专(R》А”)’

(18)

(18)

仁总1

仁总1

R - Rm YЯм丿

R - Rm YЯм丿

(А - Ям《Ам)・

(А - Ям《Ам)・

(19)

(19)

Энергия Er выражается через к при помощи соотношения (13), где при А < 0 следует заменить 6—d-обменный интеграл его модулем. Если магнитный полярон не образуется, то минимальная энергия системы равна

石(0)=咼+石4-6由I -譌В + ^) •(2°)

В противоположном случае сильной s—d-связи при А > 0 и не слишком больших значениях S энергия Er и параметр к по-прежнему определяются уравнениями (13)

и (16), но минимальный радиус дается выражением

_ 7Г6 fl-)-1/2[【,2S + 1_ 7Г6 fl-)-1/2[【,2S + 1а энергия системы в отсутствие ферромагнитной микрообласти равна 斤4s б|в| 6|/|s2

_ 7Г

6 fl-)

-1/2

[【,2S + 1

_ 7Г

6 fl-)

-1/2

[【,2S + 1

Если же А < 0, то энергия дается равенством

Er = ^(6 + D —铝(б —。?*).

Параметр к определяется из уравнения (16) с минимальным радиусом

о =工 /1В1У/4

Величина Е (0) в этом случае равна

斤仆〜斤丄斤丄&S + 1)14462s6|/|S2

硏0)〜瓦+石4++ 4] + 2s产+百^ •

(21)(22)(23)(24)(25)(21)(22)(23)(24)(25)^^о а^^о а12|/|$212|/|$2(26)(26)Явное выражение для значения Rq параметра R、при котором полная энергия системы минимальна, удается найти лишь при А。》Ам・ Пользуясь выражениями (7), (13), (18) и (17), (21), получаем

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

^^о а

^^о а

12|/|$2

12|/|$2

(26)

(26)

При сильной антиферромагнитной связи величину |В| в (26) следует заменить 2|В| S

На 1 + 2S'

В выражении (26) обращает на себя внимание слабая зависимость Rq от В /1. Однако при меньших R。эта зависимость значительно сильнее. Если магнитный полярон энергетически выгоден, то в типичных случаях величина Ro составляет 2-3 постоянные решетки.

До сих пор предполагалось, что энергия системы минимальна, когда момент ферромагнитной микрообласти коллинеарен вектору антиферромагнетизма. В принципе, могло бы оказаться, что энергия еще ниже при взаимно ортогональном положении этих векторов. Непосредственный расчет показывает, однако, что электронная часть энергии «параллельной» конфигурации в рассмотренных выше случаях ниже энергии «перпендикулярной» конфигурации, за исключением случая сильной антиферромагнитной s—d-связи. Однако и тогда выигрыш в этой части энергии меньше проигрыша в поверхностной магнитной энергии из-за поворота спинов на угол тг/2.

Полученные здесь результаты для малых спинов наиболее существенно отличаются от результатов для больших спинов в случае сильной ферромагнитной s—d-связи. Это связано с сильным понижением энергии системы из-за несохранения проекции спина s-электрона на атомах «энергетически невыгодной» подрешетки. В результате этого, как видно из (22), поправка к энергии системы из-за трансляционного движения s-электрона в отсутствие ферромагнитной микрообласти — первого порядка по В/4. При больших же спинах такая поправка — второго порядка малости. Поэтому с уменьшением спина при А > 0 тенденция к образованию магнитного полярона убывает.

В случае антиферромагнитной s—d-связи нет столь сильного понижения энергии системы из-за «колебаний» спина электрона проводимости, и при малых спинах тенденция к образованию магнитного полярона остается достаточно сильной. Причину этого различия легко пояснить на примере S = 1 /2. При А > 0 основное состояние атома с электроном проводимости на нем троекратно вырождено по направлению суммарного спина. Если в одной подрешетке этот суммарный спин направлен вдоль магнитного момента подрешетки, то в другой подрешетке он перпендикулярен этому направлению. Эти состояния не ортогональны друг другу по спиновым переменным, так как речь идет о локализации s-электрона на разных атомах. Таким образом, s-электрон, переходя с атома на атом, оказывается в состояниях с одной и той же энергией, и влияние антиферромагнитного упорядочения сводится к ренормировке блоховского интеграла.

При том же спине, но противоположном знаке s—d-обменного интеграла основное состояние магнитного атома с электроном проводимости на нем — синглетное. Невозможно построить синглетное состояние с s-электроном на атоме другой подрешетки, которое не было бы ортогональным по спиновым переменным первому из них. Поэтому для электрона проводимости атомы различных подрешеток энергетически неэквивалентны друг другу и антиферромагнитное упорядочение, как и при больших спинах, препятствует трансляционному движению «-электрона.

2. Локализованный магнитный полярон. В этом разделе будет рассматриваться состояние s-электрона, локализованного около положительно заряженного дефекта. Будут исследованы также магнитные свойства таких дефектов. Соображения, высказанные в предыдущем разделе по поводу состояния системы, почти дословно можно перенести и на рассматриваемый случай. Локализованный s-электрон будет стремиться установить вблизи дефекта ферромагнитное упорядочение вместо антиферромагнитного. Если разрушение антиферромагнитного упорядочения вблизи дефекта энергетически выгодно, то такое состояние можно интерпретировать как локализованный магнитный полярон.

Нахождение основного состояния системы производится так же, как и в предыдущем разделе, но к гамильтониану (1) предполагается добавленным член, описывающий поле дефекта. Рассмотрение ограничивается случаем достаточно больших спинов. Используется приближение сплошной среды и применяется вариационный принцип. При построении пробной волновой функции считается, что при г = R, играющем роль вариационного параметра, антиферромагнитное упорядочение скачком меняется на ферромагнитное. В отсутствие внешнего поля минимум энергии достигается, если вектор ферромагнетизма М параллелен или антипараллелен вектору антиферромагнетизма L. Какая из этих двух ориентаций дает меньшую энергию, определяется точным положением дефекта (его принадлежностью той или иной магнитной подрешетке и т. д.). В соответствии со сказанным в предыдущем разделе волновая функция системы может быть представлена как произведение электронной волновой функции и волновой функции магнитной подсистемы. Электронная функция является двухкомпонентной соответственно двум магнитным подрешеткам (спин электрона проводимости здесь можно считать фиксированным). Электронное уравнение Шредингера имеет вид

｛石厶 + 呼[1 - 2 犷(A-r^-^-E^^ + B^^ а2А) ^2 = О,

2 (27)

В(6 +。2厶)吵1 + ｛ Еа — Ig S _ _ 石€ ｝吵2 = О,

где £ — диэлектрическая проницаемость кристалла, Ее — электронная энергия.

Решение уравнения (27) можно получить в явном виде, если считать, что в области г > R изменение кулоновской энергии на глубине проникновения электрона в антиферромагнитную область мало по сравнению с энергией s—d-обмена. При этом условии для 吵 1 получается решение:

耽= Gexp(-^)©(i,2,^),(28)

где

现=乙+ 6因1 +书

Ф(а, /3, z) — вырожденная гипергеометрическая функция, р = 2\В\ а2ее-2 — боровский радиус, Ее{И) — электронная энергия как функция радиуса R (решение внутри ферромагнитной микрообласти);

耽=—-—，(29)

где параметр х связан с электронной энергией соотношением

炉(6 +。2諸)2 =(6 |В| - Ю(|川 S + 6|B| - К)(30)

(решение вне ферромагнитной микрообласти).

Сшивание решений (29) и (30) на границе микрообласти приводит к следующему трансцендентному уравнению для определения электронной энергии:

"-卜ехр2,鳥)匚•(3D

Если IА| S Э> 6 |В| , то уравнение (31) с хорошей точностью можно заменить равенством

Ф(1-"'2^)=°-(32)

Уравнение Шредингера (27) можно решить и в случаях R》р или |А| S <С е1 / sp^ воспользовавшись теорией возмущений:

石е(А) = /(оо) + *е田(丁 - К) I。〉,(33)

где усреднение производится по основному состоянию локализованного электрона при А = 0.

Магнитный дефект рассматриваемого типа обладает моментом

M^^MbS (学广(34)

Здесь 从6 — магнетон Бора, Ro определен из условия минимума полной энергии системы. Однако этот момент «привязан» к вектору антиферромагнетизма. Если внешнее магнитное поле не настолько сильно, чтобы разорвать эту связь, то магнитная восприимчивость х° таких дефектов анизотропна.

Если слабое магнитное поле Н параллельно L, то из-за хаотичности распределения дефектов по кристаллу их суммарный момент остается равным нулю вплоть до значения поля, при котором момент квазичастицы либо изменяется на единицу, либо устанавливается вдоль поля. Может оказаться, однако, что критическое поле для поворота L на тг/2 меньше указанных выше критических полей. Для дефек-

тов, расположенных симметрично относительно магнитных подрешеток (анионные вакансии и т. д.), можно ожидать, что критическое поле, изменяющее ориентацию на противоположную, равно нулю. В этом случае продольный магнитный момент кристалла в слабых полях при Т —> 0 будет целиком определяться дефектами.

При H±L магнитный момент каждой из подрешеток отклоняется из своего положения при // = 0 в направлении приложенного поля соответственно на угол gi или 夕2・ Влияние дефектов на магнитный момент кристалла проявляется не только через их аномально большие моменты, но и через аномально большие по сравнению с идеальной решеткой углы отклонения. Пусть, для определенности, магнитный момент дефекта при // = 0 параллелен моменту подрешетки 2. В рамках феноменологической теории [8] энергия Е кубического кристалла при малых Н может быть представлена как функционал от искомых углов 夕1 (厂)и 夕2(厂)следующим образом:

(35)(35)Е = Е[1] + Е[m]^/ =g2 一g，m = gi + g2,

(35)

(35)

W] = -^ j /(r 一门)[®)-心1)]2 公公1 +* j 片丁)公一嘤?(R), (36) r,r^^Rr^R

E[m\ = —^-] Z(r — ri) [m(r) — m(rx)^ dr dv^ — iiBSH ] m(r) dr —

r,ri ^Rr^R

m(A). (37)

Здесь величины /(г) и 6 описывают соответственно обменное взаимодействие между атомами из разных подрешеток и анизотропное взаимодействие, которое обеспечивает стабильность рассматриваемой конфигурации. При написании выражений (36), (37) предполагается, что моменты всех атомов в ферромагнитной микрообласти г < R отклонены на один и тот же угол 夕2(凡)и что вне этой микрообласти взаимодействием s-электрона дефекта с магнитными атомами можно пренебречь.

Допустим (это подтвердится дальнейшим расчетом), что величина /(『) является медленно меняющейся функцией радиуса г. С учетом малости радиуса действия обменных сил уравнение Эйлера для функционала Е[1] (36) имеет вид

гдегде(38)(38)

где

где

(38)

(38)

Граничные условия к нему находятся из произвольности вариаций /(『) при г = R

и г = оо:

m如I =0m如I =0НМ2万|上|НМ2万|上|(39)(39)

m如I =0

m如I =0

НМ

2万|上|

НМ

2万|上|

(39)

(39)

Решение уравнения (38) с граничными условиями (39) дается выражением

КН =КН =НМ ехр (—xi(r — Я))27Г|Л|(1 + Х1Я)ГНМ ехр (—xi(r — Я))27Г|Л|(1 + Х1Я)Г(40)(40)

КН =

КН =

НМ ехр (—xi(r — Я))27Г|Л|(1 + Х1Я)Г

НМ ехр (—xi(r — Я))27Г|Л|(1 + Х1Я)Г

(40)

(40)

Из (40) ясно, что для рассмотрения дефектов независимо друг от друга, как это здесь делается, необходимо выполнение условия 〃i》п1/3, где п — концентрация примеси.

Что же касается величины m(r), то ее, вообще говоря, нельзя считать медленно меняющейся функцией г на расстояниях порядка радиуса обменных сил, т. е. постоянной решетки. Это могло бы поставить под вопрос применимость феноменологического подхода. Ниже будет показано, однако, что можно пренебречь быстрыми изменениями m(r) и считать эту величину постоянной. Варьированием функционала Е[т\ (37) получается следующее уравнение для его экстремали:

(41)(41)J /(г - 口) к(丁) - gg)] ^ dr!= -手^ 6(丁 - А), ri^R

(41)

(41)

где

3(厂)=m(r) - 2；十，, j = J/(r) dr,

d(7 — элемент телесного угла, соответствующий вектору г.

По условию R》а уравнение (41) можно приближенно заменить уравнением

尸(丁 - п) У(г + R) + w(『i + A)] d『i =6(丁),

(42)(42)0

(42)

(42)

F(r — 丁1) 厂；/(r — ri) dQ

Ядро F(r) интегрального уравнения (42) быстро убывает на расстоянии порядка а. Не ограничивая общности получающейся оценки, удобно аппроксимировать его экспонентой

(43)(43)F(r) К ехр (_立)

(43)

(43)

Прямой проверкой устанавливается эквивалентность интегрального уравнения (42) с ядром (43) и следующего дифференциального уравнения:

—京夕(『+ А) = - 27rMк 0〃(丁) - *) .(44)

Решение уравнения (44), получающееся распространением его на область г < 0 и использованием преобразования Фурье, имеет вид

=4 J^k 2 呻 J*- R)) + 2"際(45)

Таким образом, согласно (45) величина m(r) остается практически постоянной вплоть до (г — А)〜си, где она испытывает резкий скачок. Однако из сравнения выражений (45) и (40) вытекает, что

т.е. вкладом m(R) в 夕2(凡)можно пренебречь по сравнению с вкладом /(А).

Из выражения (45) и определения величины т следует, что магнитный момент антиферромагнетика уже в непосредственной близости к дефекту равен своему

(46)(46)значению в идеальном кристалле. Поэтому получается следующее выражение для поперечной восприимчивости xi рассматриваемых дефектов:

(46)

(46)

入丄 4тг|71|Я(1 + х1Я)

Оценка эффекта показывает, что при концентрации дефектов п 〜1020 см-3, 方2

эффективной массе электрона у, равной истинной, диэлектрической проница- \в\а_

емости 8 〜5 и температуре Нееля 〜0,01 эВ получается xi 〜10-4S2, К。〜5 A. Сравнивая результат (46) с известным выражением для восприимчивости идеального антиферромагнетика х丄，получаем ^^ 〜/^八。一之 т. е. в рассматриваемых условиях xi составляет десятки процентов от х丄•

Автор признателен Л.В. Келдышу и Р.А. Сурису за обсуждение проблемы на ранних стадиях работы. Он благодарен также С. В. Тябликову за обсуждение работы.

Поступила в редакцию 3 июля 1967 г.

Список литературы

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484. (Статья 1.1 настоящего сборника.)

Пекар С. П. // Исследования по электронной теории кристаллов. — М.: Гостехиздат, 1951.

Тябликов С. В. 11 ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 377.

Ирхин Ю. /7., Туров Е. А. // ФММ. 1957. Т. 4. С. 9.

Wolfram Т., Callaway J. // Phys. Rev. 1963. V. 130. Р. 2207.

Изюмов Ю.А., Медведев М.В. // ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С. 574.

Гусейнов Н. Л, Сеидов Ю. М. // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С. 1084.

Туров Е. А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. — Изд. АН СССР, 1963.

Новый тип автолокализованного состояния электронапроводимости в антиферромагнитном полупроводнике

Л. Н. Булаевский, 9. Л. Нагаев, Д. И. Хомский

ЖЭТФ. 1968. Т. 54(5). С. 1562-1567

Рассмотрено движение электрона по невырожденной зоне в антиферромагнитном полупроводнике, в каждом узле которого имеется один магнитный электрон. Без учета нулевых колебаний возможно движение лишнего электрона с переворотом спина и, соответственно, с нарушением магнитного порядка вдоль его траектории. Это приводит к возрастанию магнитной энергии при удалении электрона от центра, и поэтому основным состоянием оказывается автолокализованное состояние, напоминающее магнитный полярон. Найдены верхняя и нижняя границы энергии такого состояния.

В работах Гуденафа [1] и де Женна [2] в рамках s—d-модели были высказаны соображения, что в неметаллическом антиферромагнетике электрон проводимости может нарушить вокруг себя антиферромагнитное упорядочение. В [3] было показано, что в определенных условиях вокруг электрона проводимости образуется ферромагнитная микрообласть, с которой он может двигаться по кристаллу. Такая квазичастица была названа магнитным поляроном.

Однако для описания многих антиферромагнетиков лучше подходит d—d-модель», в которой, в отличие от s—d-модели, и магнитные и электрические свойства кристалла определяются электронами одной и той же группы [4]. В d—d-модели, если число d-электронов на магнитный ион целое (например, ЕеаОз, но не РезО4), каждый d-электрон из-за сильного кулоновского взаимодействия с другими d-электронами локализован на определенном атоме. Роль электронов проводимости играют лишние сверх того числа d-электроны, поскольку они могут переходить с атома на атом.

В [4] исследовалось трансляционное движение лишнего d-электрона в антиферромагнетике в предположении, что он не изменяет состояний остальных d-электронов. В этом предположении было показано, что движение лишнего электрона по кристаллу возможно лишь благодаря колебаниям спинов около положений равновесия. Поскольку амплитуда нулевых колебаний спина мала, выигрыш в энергии основного состояния системы из-за трансляционного движения лишнего электрона по кристаллу оказывается много меньше этой величины в немагнитном кристалле (с тем же значением блоховского интеграла).

Результат предыдущей работы [4] позволяет утверждать, что высказанные в [3] соображения по поводу энергетической выгодности магнито-поляронных состояний можно перенести и на d—d-модель», поскольку и в этой модели они обеспечивают выигрыш в кинетической энергии электрона по сравнению со случаем ненарушенного антиферромагнитного упорядочения. При этом возможны три различных типа локализованного состояния электрона. Первый возникает при движении электрона по d-уровню, занятому локализованным состоянием электрона. Этот случай полностью аналогичен s—d-модели, рассмотренной в [3].

Если на ион приходится более одного локализованного d-электрона и лишний электрон движется по занятым уровням (например, NiO, МпО), то возникает ситуация, близкая к первой, так как при идеальном антиферромагнитном упорядочении «лишний» электрон не может двигаться из-за принципа Паули, а «свой» электрон — из-за сильного внутриатомного обмена (приводящего к правилу Гунда). Поэтому, как и в первом случае, энергетически выгодно образование ферромагнитной микрообласти вокруг «лишнего» электрона. Магнитная же энергия в этом случае несколько отлична от случая s—d-модели, так как спин на центре, где находится «лишний» электрон, отличается от спина остальных ионов.

Особого рассмотрения требует ситуация, когда на регулярном магнитном атоме неспарен спин только одного d-электрона, и приход на него лишнего d-электрона приводит к электронной структуре с нулевым спином (например, СиО или дырка в VO2, TizCb). И в этом случае магнито-поляронное состояние было бы выгоднее состояния, исследованного в [4]. Но здесь лишний электрон магнитного атома может перейти на соседний при любой ориентации спина последнего, и поэтому для получения максимального выигрыша в трансляционной энергии нет необходимости затрачивать энергию на создание ферромагнитной микрообласти. Ниже показано, что в такой ситуации лишний электрон находится в автолокализованном состоянии иной природы.

Пусть на магнитном атоме в антиферромагнетике появился лишний электрон. При дальнейшем движении избыточного заряда по кристаллу, если пренебречь нулевыми колебаниями спинов, переход с этого атома на соседний должен совершить тот электрон, спин которого противоположен спину соседа (т. е. бывший «собственный» электрон атома). На рассматриваемом же атоме останется электрон со спином, противоположным исходному спину атома (бывший «лишний»). Так как каждый такой переворот спинов атомов прошедшим через них избыточным зарядом сопровождается повышением энергии обменного взаимодействия электронов, избыточный заряд не может свободно распространяться по кристаллу и автол окализуется. Центром автолокализованного состояния является атом, при пребывании на котором лишнего электрона спины остальных атомов сохраняют идеальное антиферромагнитное упорядочение. При отдалении электрона от центра вдоль его траектории появляются перевернутые спины, и обменная энергия возрастает по мере удлинения траектории. Это можно интерпретировать как существование квазиупругой силы, стремящейся вернуть лишний электрон к центру. Таким образом, автолокализованный электрон в известном смысле является аналогом трехмерного осциллятора, и для обозначения этого состояния будет употребляться термин «квазиосцилляторное».

Квазиосцилляторное состояние существенно отличается по своему типу от по- ляронного. В последнем деформация захватывающей подсистемы (решетки кристалла [5] или системы спинов [2, 3]) существует при всех положениях электрона проводимости. В магнитополяронном состоянии это приводит к отличному от нуля магнитному моменту микрообласти, в которой электрон локализован. В квазиосцил- ляторном же состоянии нарушение магнитного упорядочения происходит только при отдалении электрона от центра, причем характер этого нарушения таков, что полного дополнительного магнитного момента здесь не появляется.

Ниже будет рассмотрено основное состояние покоящегося квазиосциллятора. Для простоты будем считать, что на каждом атоме не может быть более двух электронов, так что состояние электрона характеризуется номером магнитного атома g и проекцией спина а. Как и в [4], будем в изотропном случае описывать систему гамильтонианом

〈g,g'〉。

1 ⑴

"° = 2 〉: "(gi，g2)agicri agi%。^2 b2 ag2 b2 • gl ,g2。1 ,cr2

Тогда система с лишним электроном (или дыркой) в нулевом приближении по Н‘ будет N2Z—i-кратно вырождена (N — полное число магнитных атомов). Это вырождение снимается членом //[ и с точностью до второго порядка по Н‘ включительно

получаем секулярное уравнение с эффективным гамильтонианом

= РН，Р + РН，^^Н，Р= £ ВР 啧 ag”P +

〈g,g'〉。

+ 丿 £ ^agio-i °g2% (1 — P)°^2b2 agic2 a (2) (gl ,g2〉6 ,cr2

—U(0,0)-u(0D

где P — оператор проектирования на пространство ^2^-1-кратно вырожденных функций системы с «лишним» электроном. Первый член в (2) описывает переходы «лишнего» электрона на соседние центры, второй — магнитное взаимодействие локализованных электронов из-за косвенного обмена. В обмене участвуют все центры, кроме занятого «лишним》электроном, спин на этом центре равен нулю. Это учитывается оператором 1 — F в (2). Второй член в (2) приводит также к переходам «лишнего» электрона на центры, следующие за ближайшими соседними. Мы будем пренебрегать ими по сравнению с переходами на ближайшие центры, так как J《/3.

В отсутствие лишнего электрона гамильтониан (2) сводится к гамильтониану Гейзенберга [6, 7]. Будем считать, что при отсутствии лишнего электрона гамильтониан (2) приводит к антиферромагнитному упорядочению и пренебрежем нулевыми колебаниями спинов. Тогда в соответствии со сказанным выше волновую функцию системы можно представить в виде

Ф = £С,[/]|/), Cf[l] = Cf (gn,...,gi,go),

Ю = atn ^паёп-1 ,^паёп-1• aS2 ^2aSi ,(^2asi ^iaSo ,<T1 ag0 a0 I。〉•

Здесь Z — траектория «лишнего» электрона, Z = {go, gi, • • • g^}； |0) — волновая функция основного состояния антиферромагнетика (без лишнего электрона). Собственный электрон центрального атома go имеет проекцию спина сгд- Набор спиновых индексов % определяется следующим правилом: О] = (То； если на k-м шаге траектория пересекает саму себя, то а^ =。乃一，а в остальных случаях а^ = —%_、. Суммирование по gk в (3) ограничено условием, чтобы атом с номером gk был ближайшим соседом атома gk—i, но не совпадал с gk—2・

Из (2) и (3) с учетом ортогональности состояний для различных траекторий находим энергию системы

Е = В£ CTQ仙+仙)：⑷

где траектория 〃 отличается от I продолжением на один шаг, Е( — магнитная энергия перевернутых спинов на траектории I. В трехмерной решетке для траекторий без самопересечений и самокасаний Е( = 2J(z — 2)п + 2J, где п — число шагов на траектории / , и z — число ближайших соседей. Энергия же траекторий той же длины с самопересечениями и (или) самокасаниями меньше.

Покажем прежде всего, что энергия магнитного квазиосцилляторного состояния меньше энергии электрона, рассчитанной в [4]. Для этого воспользуемся вариационным методом, ограничившись в (3) и (4) траекториями, число шагов в которых

не превышает трех. Самопересекающиеся траектории в этом случае отсутствуют, но имеется один тип траектории с самокасанием. Вычисление дает

Е —3,7/3 + 22J.(5)

Из выражения (5) видно, что при J « /3 это значение энергии, будучи завышенным по сравнению с истинным, все же ниже значения энергии состояний, полученных в [4].

Получим теперь такое приближенное решение задачи, чтобы оно давало оценку снизу для энергии основного состояния квазиосциллятора. Разобьем для этого все траектории на группы с фиксированной конечной точкой g. Такие траектории будем обозначать &. Удобно произвести замену С'[&]=吵gC[/g] так, чтобы

E№D2 = i-⑹

Суммирование в (6) проводится по всем траекториям, выходящим из точки 0 и оканчивающимся в точке g. Величина 吵g есть амплитуда вероятности нахождения лишнего электрона в узле независимо от траектории, по которой он туда попал. Она является точным аналогом обычной волновой функции в дискретном представлении для уравнения Шредингера с обычным потенциалом, зависящим лишь от точки, но не от траектории. В этих обозначениях энергия (4) имеет вид

= В £賑吵g， £ c[i^c[i^f] + £ 侬g『£ Е%(県『⑺

〈g,g，〉Zg 曝gZg

Заменим теперь во втором члене в ⑺ значения энергии на меньшую величину Kg = =2 J(z — 2)mg, где mg — наименьшее число шагов, ведущих в точку g (Kg — энергия кратчайшей траектории, ведущей в точку g; значения энергии Е( на остальных траекториях больше Kg). При такой замене все траектории, ведущие в точку g, становятся эквивалентными, и для каждой точки

где Lg — полное число траекторий, ведущих в точку g. Покажем теперь, что Lg = =Lg/ .Действительно, любую траекторию, ведущую в точку g, можно продолжить в соседнюю точку g- сделав еще один шаг единственным образом. В то же время каждой траектории, ведущей в g- можно сопоставить единственную траекторию, ведущую в g и отличающуюся от первоначальной лишь одним шагом из g‘ в g. Таким образом, можно установить взаимно однозначное соответствие между траекториями, ведущими в две соседние точки: следовательно, полное число таких траекторий одинаково, Lg = Lg，. Отсюда

e[%] =eЛ =,

V

и, пользуясь (6), находим

石=3+ £ Kg Wg『・(8)

〈gg。g

При /3》J можно перейти к приближению сплошной среды и получить для кубического кристалла из (8) эквивалентное уравнение Шредингера:

—/3△吵(г) — 6/3△吵(г) + 8Jr32 =石吵(г).(9)

Для s-волны уравнение (9) сводится к уравнению Эйри, и энергия основного состояния есть

Е = —6户 + 9,32//з 尸/з.(Ю)

Заметим, что в случае сильно анизотропного кристалла (например, типа VO2), у которого блоховский интеграл /Зх для соседей по оси ж велик по сравнению с 户沙,и 户乞, движение электрона можно считать одномерным. В то же время обменные интегралы Jy и Jz будем считать отличными от нуля, поскольку в противном случае не было бы магнитного упорядочения. В этом случае одномерное уравнение, аналогичное (9), оказывается точным, так как магнитная энергия здесь зависит лишь от конечной точки траектории Eig = Eg = (Jy + Jj (2 — 2)g + 2JX. Соответствующее значение энергии основного состояния в этом случае есть

Е = —2% + 1,02母/з [(厶 + 厶)(2 - 2)『/з.(11)

Возникновение автолокализованного квазиосцилляторного состояния приводит к тому, что возле центра его локализации образуется область с частичным разу- порядочением. Пользуясь приближенным уравнением (9), можно оценить значение магнитного момента в узле под решетки, вызванное одним лишним электроном в ква- зиосцилляторном состоянии. Изменение среднего спина узла, расположенного на расстоянии R от центра локализации, есть

△〈S%〉= 4[ *(r)dr,(12)

так как вероятность переворота спина в данном узле равна вероятности выхода лишнего электрона за сферу радиуса R через этот узел. Усреднение этого выражения по положению центра локализации квазиосциллятора дает при концентрации лишних электронов п

dRdR砂2(丁)drп ^ j^砂2(丁)drп ^ j^

dR

dR

砂2(丁)drп ^ j^

砂2(丁)drп ^ j^

О |г|〉А

До сих пор мы рассматривали только локализованное состояние квазиосциллятора. Такие состояния с центрами на разных узлах решетки эквивалентны, поэтому квазиосциллятор должен был бы двигаться по решетке. Нетрудно, однако, убедиться, что если ограничиться рассмотренным классом функций (3) и не учитывать нулевых колебаний, то, аналогично [4] в первом порядке по Нг переходов с центра на центр не будет, так как

(Фё| Hf |Фё/) = 0 при g#g〔

где Фё — волновая функция квазиосциллятора (3) с центром на узле g.

Наше рассмотрение ограничивалось случаем Т = 0. Ясно, что при Т > 7n антиферромагнитное упорядочение исчезает, а вместе с ним исчезает и квазиупругая сила, локализующая электрон. Поэтому можно ожидать, что при Т》Tn лишний электрон будет двигаться по решетке свободно с наименьшей энергией (―6户).Таким образом, при переходе через точку Нееля минимальная энергия возбуждения уменьшается на величину ^^1/3 J2/3. Этот результат, в несколько иной модели, аналогичен результату, полученному в [4], и может быть связан с экспериментальными данными по изменению энергетической щели в ряде антиферромагнитных полупроводников при переходе через точку Нееля [8, 9].

В заключение выражаем благодарность Л. В. Келдышу за полезное обсуждение.

Поступила в редакцию 27 декабря 1967 г.

Список литературы

Goodenough В. // Phys. Rev. 1955. V. 100. Р. 564.

De Gennes P.-G. // Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 141.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ, Письма. 1967. T. 6. С. 484; ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. (Статьи 1.1, 1.2 настоящего сборника.)

Булаевский Л. Я., Хомский Д. И. // ЖЭТФ. 1967. Т. 52. С. 1603.

Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М.: Гостехиздат, 1951.

Боголюбов Н. Н. Лекц11 квантово! статистики. — Ки1в: Радянська школа, 1949.

Anderson P.W.// Phys. Rev. 1959. V. 115. Р. 2.

Жузе В.П., Шелых А. И. // ФТТ. 1962. Т. 5. С. 1756.

Vernon М. W., Lowell М. С. // J. Phys. Chem. Solids. 1966. V. 27. Р. 1125.

Концентрационный фазовый переход в неколлинеарноемагнитное состояние

3. Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1969. Т. 57(4(10)). С. 1274-1279

Неколлинеарный антиферромагнетизм возможен и при отсутствии в термодинамическом потенциале члена, линейного по магнитному моменту. Для этого надо, чтобы коэффициент при квадратичном члене 4 был отрицателен, но аномально мал, а коэффициент при члене четвертого порядка положителен. Такая ситуация возможна в сильно легированных антиферромагнитных полупроводниках из-за конкуренции прямого антиферромагнитного обмена и косвенного обмена через электроны проводимости, стремящегося установить ферромагнитное упорядочение, Коэффициент 4, положительный при малых концентрациях, по мере увеличения концентрации меняет знак. Переход в неколлинеарное состояние вблизи точки обращения 厶2 в нуль можно интерпретировать как изотермический фазовый переход второго рода. В точке перехода испытывает скачок производная от химического потенциала электронов по концентрации, что приводит к особенностям электрических величин (скачок термоЭДС и т. д.). Эти феноменологические соображения подтверждены микроскопическим расчетом для случая Т = 0 и произведена оценка критической концентрации.

Хорошо известно, что неколлинеарная магнитная структура ряда антиферромагнитных диэлектриков связана с тем, что их симметрия допускает в термодинамическом потенциале члены, линейные по магнитному моменту [1, 2]. В этой работе исследуются неколлинеарные структуры иного типа. Они возможны и при отсутствии в термодинамическом потенциале нечетных по моменту членов, когда коэффициент при члене четвертого порядка положителен, а при квадратичном — отрицателен, но аномально мал. Такая ситуация может реализоваться в сильно легированных антиферромагнитных полупроводниках в результате конкуренции между прямым антиферромагнитным обменом и косвенным обменом через электроны проводимости, стремящимся установить ферромагнитное упорядочение. Специальных свойств симметрии кристалла здесь не предполагается. Существенно лишь, чтобы носители тока не находились в магнитополяронных состояниях [3]. Соображения о принципиальной возможности неколлинеарных структур из-за конкуренции прямого и косвенного обменов были высказаны ранее де Женном [4] на основании экспериментальных данных работы [5]. Однако анализ этого вопроса в [4] был некорректным (необоснованные ограничения на тип исходного антиферромагнитного упорядочения, противоречие результата квантовомеханического расчета свойствам симметрии системы).

Предполагается, что переход изотропного антиферромагнетика в ферромагнитное состояние при увеличении концентрации носителей п происходит путем постепенного уменьшения угла ” между моментами обеих подрешеток. Термодинамический потенциал Ф в пренебрежении магнитной анизотропией зависит только от ”, причем он должен быть четной функцией этого угла, а также угла а = (тг — ")/2, пропорционального моменту:

Ф(п, Т, а) = Фо(п, Т) + A^{n^ Т)а? + 4(% Т)а± (1)

Согласно выражению (1), потенциал Ф при а = 0 всегда экстремален. При малых концентрациях п антиферромагнитное состояние устойчиво, т. е.厶2(几,Т) > 0. Таким образом, неколлинеарность может появиться, начиная с некоторого критического значения концентрации пд, при котором коэффициент 厶2(几,丁) меняет знак, причем коэффициент 厶4(几，Т) должен быть положительным. Если величина 厶2 аналитична по п вблизи пд и линейный член в разложении отличен от нуля, то нескомпенсиро- ванный магнитный момент должен быть пропорционален д/п — пд • Производная от

химического потенциала электронов по концентрации в критической точке пд испытывает скачок, который должен проявиться в особенностях электрических свойств кристалла как функций концентрации. По сути дела здесь можно говорить об изотермическом фазовом переходе второго рода, специфика которого заключается в том, что он реализуется не на отдельном образце, а на ансамбле образцов с различными концентрациями. По мере дальнейшего увеличения концентрации происходит еще один переход такого же типа — из неколлинеарного в полностью ферромагнитное состояние.

Для подтверждения этих феноменологических соображений и оценки критических концентраций при Т = 0 будет проведен расчет на микроскопической модели. Рассматривается простая кубическая решетка магнитных атомов со спином S, с которыми взаимодействуют электроны проводимости. Система описывается обычным гамильтонианом s—d-модели:

Н = -A J2 (sSg)<7<7/a*(gcr)a(gcr,) + В £ a*(gcr)a(g + Асг) - ^£(SgSg+^) . (2) Здесь s и Sg — операторы спина электрона проводимости и атома с номером g; a*(ger), а (ger) — операторы рождения и уничтожения электрона проводимости с проекцией спина сг на атоме с номером g. Индексом △ нумеруются ближайшие соседи данного атома. Считается, что интеграл обмена электрона проводимости с магнитным атомом А значительно превышает полуширину электронной зоны 6 |В| . В свою очередь, блоховский интеграл В значительно превышает интеграл обмена между магнитными атомами J. Рассматривается только случай А > 0, поскольку условия для образования магнитных поляронов здесь менее благоприятны, чем при А < 0 [3].

Волновая функция электрона, взаимодействующего с магнитной подсистемой, в главном приближении по В /А отыскивается в виде разложения по собственным функциям гамильтониана внутриатомного обмена (первое слагаемое в выражении (2)):

也=£ Cg( J) Js 十2驳 1下(Sgz，丿 土 1/2) a* (g，±lg) I。〉Ft b (S『,S) •⑶ (士)fNg

Здесь b(6,y) — дельта-функция дискретного аргумента, co значениями 0 или 1, |0) — вакуумная электронная функция. Для описания магнитного состояния атома g использована переменная Sg^, представляющая собой проекцию спина этого атома на направление его среднего момента. Символами ±lg обозначены два возможных значения проекции спина электрона проводимости на средний момент атома g. Проекция J суммарного момента атома и электрона на нем, входящая в коэффициенты Клебша-Гордана в выражении (3), может принимать только значения J_|_ = S + 1/2, J_ = S — 1/2.

Выбор волновой функции в виде (3) означает, во-первых, пренебрежение не существенными для рассматриваемой задачи нулевыми колебаниями спинов. Во- вторых, ее вид предполагает, что на атомах, на которых нет электрона проводимости, проекция спина соответствует основному состоянию магнитной подсистемы (Sf = S). Строго говоря, при прохождении электрона проводимости через атом проекция спина последнего может измениться. Поэтому истинная волновая функция наряду с членами, описывающими трансляционное движение электрона без изменения магнитного упорядочения, должна включать в себя и флуктуационные члены. Они описывают движения электрона типа квазиосцилляторного [6], сопровождающиеся нарушением магнитного упорядочения в некоторой достаточно малой области и последующим его восстановлением при движении в обратном направлении. Однако оценка показывает, что примесь состояний квазиосцилляторного типа невелика и ею действительно можно пренебречь.

Если считать, что оси ж во всех локальных системах координат совпадают, а оси z соседних атомов составляют угол ”, то в соответствии с [7] имеют место следующие соотношения между электронными операторами в различных системах координат:

a* (g + △, lg+д) = cos ^ а* (g + △, lg) + г sin ^ а* (g + △, -lg),

(4)

a* (g + △, -1ё+д) = г sin - a* (g + △, lg) + cos 万 a* (g + △, -lg) •

Принимается, что угол поворота оси z второй магнитной подрешетки относительно оси 2 первой подрешетки равен +". Тогда угол поворота оси первой подрешетки относительно оси второй подрешетки равен —".

Удобно приписать атомам «изотопический спин» со значением проекции г, равным +1 или —1 в зависимости от того, первой или второй решетке принадлежит атом. Коэффициенты cg волновой функции (3) отыскиваются в виде

(5)(5)Cg ( J從)—е ' g С (7"g, 777/) ,777/ — ±.

(5)

(5)

При помощи выражений (2)-(5) получается следующее «биспинорное» уравнение Шредингера:

石с(т，+) = Bcos^TkH—+) + k sin“(f _),

石с(т, -) = irB sin - 7kC(-T, +) + ?$ 十 ^ cos 万。(一丁，一)，(6)

При написании уравнения (6) было использовано условие |В| >> \ J\. Энергетический спектр движущегося электрона состоит из двух зон с одинаковым характером зависимости энергии от квазиимпульса:

石士(к) = -В±7к,

В± = \В\ {贬+2$+底 ± 乜阮 _ &з) [(61 + 6з)2+4^]1/2}1/2, (7) bi = cos ^, 62 = (2S + l)T/2 sin ^, 6з = (2S + I)-1 cos ^.

При " = 7г (коллинеарный антиферромагнетизм) эти зоны вырождены. Их ширина составляет 〔 от максимальной ширины электронной зоны, достигаемой при ферромагнитном упорядочении. Когда угол ” уменьшается, одна из зон расширяется, а другая сужается, так что при малых ” более узкую из зон можно не принимать во внимание.

По условию |В|》IJ| появление магнитного момента должно начинаться при числах электронов на магнитный атом п, малых по сравнению с единицей. Это дает возможность ограничиться при исследовании электронного спектра квадратичным законом дисперсии. Угол а считается настолько малым, что дно более узкой зоны лежит ниже уровня Ферми. Концентрации носителей в широкой зоне п+ и узкой зоне п_ определяются из условия равенства химических потенциалов электронов в этих

зонах:зонах:

зонах:

зонах:

6 (月+ - 6_) + b-(6万2几_)2/3 = b+(6万2几+)2/3 , п = n+ + n- .(8)

Полная энергия системы магнитных атомов и электронов проводимости в пересчете на одну элементарную ячейку дается выражением

Et(a) —6 I J| S? cos2а — 6 ^В+п+ + В_п_^ .(9)

При малых углах а выражение для полной энергии (9) с учетом соотношений (7) и (8) сводится к ряду вида (1), коэффициенты в котором даются следующими выражениями:

/2（八）^ 一/2（八）^ 一8 |В| S2 (п — пА)m；/3(2S +1)3/28 |В| S2 (п — пА)m；/3(2S +1)3/24(%) ~4(%) ~401j$几/(2S + 1)401j$几/(2S + 1)…0J5 [寓(2S + 1)『.…0J5 [寓(2S + 1)『.(10)(10)

/2（八）^ 一

/2（八）^ 一

8 |В| S2 (п — пА)m；/3(2S +1)3/2

8 |В| S2 (п — пА)m；/3(2S +1)3/2

4(%) ~

4(%) ~

401j$几/(2S + 1)

401j$几/(2S + 1)

…0J5 [寓(2S + 1)『.

…0J5 [寓(2S + 1)『.

(10)

(10)

Для состояний вблизи коллинеарного ферромагнетизма также справедливо выражение типа (1), если а заменить в нем на "/2:

45)=喪告(几一几F)，^4(nF) ^2|J|S2, Tip = 4|J|：『 + 1).(n)

Из выражений (10) и (11) ясно, что концентрации пд и nF — критические соответственно для переходов из неколлинеарного в чисто антиферромагнитное и чисто ферромагнитное состояния. По условию |В|》\J\ первая из них значительно ниже второй. Если положить S = 1, \В/J\ = 10 (магнитные поляроны при этом заведомо не реализуются [3]), то пА ~ 4 • 10-3, a nF в пределах применимости использованной модели достичь нельзя.

Согласно (10) и (11), в критических точках терпит разрывы производная от химического потенциала электронов 从 по концентрации. Ее значение в области не коллинеарности меньше, чем в области коллинеарности, так как в первой из них дно более широкой зоны носителей с ростом п опускается, увлекая за собой и химический потенциал. Оценка показывает, что при разумных значениях В /J относительные скачки d^f dn в критических точках порядка единицы.

Скачки dti/dn приводят к появлению аналогичных скачков термоЭДС, так как, согласно соотношению Мотта, она пропорциональна величине

d 1 dndn

При этом термоЭДС в критических точках может даже менять знак вместе с d^f dn. Кривые зависимости работы выхода и проводимости ст от п должны испытывать в критических точках изломы. Изломы проводимости объясняются прямой зависимостью эффективной массы от концентрации, а также зависимостью времени релаксации от разности между уровнем Ферми и дном зоны.

Внешнее электрическое поле увеличивает концентрацию носителей в поверхностном слое толщиной порядка радиуса экранирования, так что если в объеме она меньше пд, то на поверхности она может быть больше пд- Поскольку косвенный обмен в узких зонах носит короткодействующий характер [8], электрическое поле может привести к образованию поверхностного слоя с отличным от нуля магнитным моментом.

Заметим, что приведенные соображения непосредственно обобщаются на случай неколлинеарных структур других типов, например, геликоидальных. Использован-

ная выше модель, основанная на приближении ближайших соседей, не дает возможности установить, какая из двух структур — слабоферромагнитная или геликоидальная —энергетически более выгодна. Учет взаимодействия со следующими соседями позволяет легко решить этот вопрос. Например, если соответствующий блоховский интеграл отрицателен, а интеграл обмена положителен, предпочтительна слабоферромагнитная структура.

Весьма существенно, что, согласно полученным выше результатам, переход в неколлинеарное состояние возможен только начиная с некоторой критической концентрации носителей тока, в то время как, согласно работе [4], любая сколь угодно малая их концентрация должна приводить появлению неколлинеарности. Данные, приведенные в книге Гуденафа [9], показывают, что в настоящее время можно считать экспериментально надежно установленным переход антиферромагнитного кристалла ЬаМпОз в слабоферромагнитное состояние при достаточно больших степенях легирования его электроактивными примесями. Переход в слабоферромагнитное состояние наблюдается при легировании FeS? и NiS? [10]. Согласно приведенным в книге [9] данным, NiS? — антиферромагнетик. В то же время исследование ряда других материалов не привело к обнаружению в них неколлинеарных структур даже при высоких степенях легирования. Это можно объяснить тем, что критическая концентрация носителей, начиная с которой была бы возможна такая структура, в этих материалах на практике недостижима (или не достигнута).

Автор признателен В. Л. Инденбому и Л. В. Келдышу за обсуждение работы.

Поступила в редакцию 31 марта 1969 г.

Список литературы

Дзялошинский И. Е. // ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 1547.

Туров Е. А. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов. — М.: Наука, 1963.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ, Письма. 1967. Т. 6. С. 484; ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. (Статьи 1.1, 1.2 настоящего сборника.)

De Gennes 夕.〃 Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 141.

Wollan E. O., Koehler W.C. 11 Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Булаевский Л. Я., Нагаев 3. 〃., Хомский Д.И. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 1562. (Статья 1.3 настоящего сборника.)

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Физматгиз, 1963.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 1013.

Гуденаф Д. Магнетизм и химическая связь. — М.: Металлургия, 1968.

Jarret Я., Cloud И4, Bouchard 凡，Butler S., Frederick C, Gillson 丿.〃 Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 617.

Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1970. Т. 58(4). С. 1269-1279

Исследованы состояния носителей тока в антиферромагнитных полупроводниках с узкой зоной в условиях, когда магнитные поляроны не образуются. Так как спин носителя здесь жестко сцеплен со спином магнитного атома, на котором он находится, нагруженный электроном атом можно рассматривать как дефект в магнитном упорядочении. Производится переход к представлению, в котором вместо проекций спинов электронов проводимости и собственных спинов магнитных атомов роль переменных играют значения спинов магнитных дефектов и проекции спинов магнитных атомов с учетом наличия среди них дефектов. Движение носителей тока возможно только с участием виртуальных магнонов. При положительном sd-обменном интеграле электрон, приходя на магнитный атом, порождает виртуальный магнон, а уходя, уничтожает. Эффективная масса такого носителя при малых спинах атомов сравнима с эффективной массой зонного электрона. При отрицательном знаке sd-обменного интеграла образуется автолокализованное состояние типа квазиосцилляторного. Квазиосциллятор характеризуется большой эффективной массой, значение которой при Т = 0 определяется нулевыми колебаниями спинов.

Постановка задачи. Вопрос о состояниях электронов проводимости в антиферромагнитных полупроводниках уже давно привлекает внимание теоретиков. Первым был исследован вариант s—d-модели, в котором предполагалось, что локализованные моменты можно рассматривать как фиксированные классические векторы [1]. Таким образом, влияние антиферромагнитного упорядочения на s-электрон проводимости сводилось к дополнительному потенциалу с периодичностью магнитной структуры. Как было показано в работах [2, 3], такой подход даже в случае больших значений S cZ-спинов может быть справедлив, лишь если энергия обмена между парой cZ-спинов превышает некоторое критическое значение, определяемое шириной зоны проводимости и энергией s—d-обмена. В противном случае энергетически более выгодно магнитополяронное состояние, когда в области автолокализации электрона проводимости антиферромагнитное упорядочение заменяется на ферромагнитное.

Вместе с тем, из результатов работ [2, 3] следует, что при S 〜1 квантовые эффекты стремятся размыть магнитополяронное состояние. В связи с этим возникает задача построить теорию электронных состояний в антиферромагнитном полупроводнике для тех случаев, когда магнитополяронные состояния не реализуются, а d-спины нельзя рассматривать как классические векторы.

Следует отметить, что попытка учесть квантовую природу магнитных моментов была предпринята ранее в рамках весьма частной модели в работах [4, 5]. В первой из них были учтены только нулевые колебания спинов. Во второй было показано, что значительно сильнее сказывается на состоянии носителя обмен проекцией спина между носителем тока и магнитными атомами, приводя к возникновению автолокализо- ванного состояния квазиосцилляторного типа (электрон осциллирует относительно центра автолокализованного состояния, причем по мере удаления от центра возрастает степень нарушения магнитного порядка). Однако в [5] рассматривался только покоящийся квазиосциллятор. Для описания его движения по кристаллу необходимо учесть движения спинов магнитных атомов из-за обменного взаимодействия между ними, чего в той работе сделано не было.

В настоящей работе при исследовании электронных состояний при Т = 0 в рамках s—d-модели будут учитываться как обмен проекцией спина между s-электроном и cZ-спинами, так и собственные движения cZ-спинов. Считается, что ширина зоны проводимости мала по сравнению с энергией s—d-обмена. Будет показано, что

заряженные квазичастицы в антиферромагнетике — значительно более сложной природы, чем в ферромагнетике (последние были исследованы в работе [3]). Они настолько специфичны, что им нельзя сопоставить в качестве аналога полярон в ионном кристалле.

Если s—d-связь ферромагнитна, носитель тока может находиться в состоянии, которое ранее не исследовалось, хотя его возможность, в сущности, вытекает из результатов работы [2]. В нем движение s-электрона по кристаллу происходит путем чередующихся друг с другом переходов с нарушением и с восстановлением магнитного порядка. В противоположность результатам работы [1] эффективная масса носителя здесь порядка эффективной массы зонного электрона.

При антиферромагнитной s—d-связи могут реализоваться состояния типа ква- зиосцилляторных. Тем самым показано, что они не являются следствием специфики модели работы [5]. Далее, в работе [5] удалось получить только очень грубые оценки для энергии покоящегося квазиосциллятора. Здесь эта энергия найдена гораздо более точно, и что особенно существенно, получен закон дисперсии для движущегося квазиосциллятора. В типичных случаях ширина его зоны — порядка магнонной.

Эффективный гамильтониан. Рассматривается антиферромагнетик, состоящий из двух эквивалентных магнитных подрешеток, направление момента магнитного атома противоположно направлению моментов его ближайших соседей. Считается, что электрон проводимости может находиться только на магнитных атомах и что они образуют простую кубическую решетку. Гамильтониан системы в приближении s—d-модели записывается следующим образом:

Н = Нд + Нв + Нм, НА = 一厶£ (sSg)“, a*(gcr)a(gcr,),

/ ⑴

Нв = Bf a*(gcr)矶g + Act), Hm = 一彳 £ (SgSg+A).

Здесь a* (ger), a (go) — операторы рождения и уничтожения электрона проводимости с проекцией спина а на атоме с номером g; s и Sg — соответственно операторы спина электрона проводимости и магнитного атома; индекс △ нумерует ближайших соседей рассматриваемого атома.

Удобно ввести для каждой из подрешеток свою систему координат, направив ось 2 вдоль момента подрешетки. Символ аё обозначает, что ось z, на которую проецируется спин электрона проводимости, направлена вдоль момента той подрешетки, которой принадлежит атом g. С учетом правил преобразования проекций спина при переходе из одной системы координат в другую [6] имеет место следующее соотношение:

a(g + △, crg+A)=分a(g + —erg)/7r% ⑵

где 7Г — вектор с компонентами тг/a, a — постоянная решетки. Знаковый множитель exp(27rg) исключает вращение осей координат на 27r при двукратном переходе.

Рассматривается одноэлектронная задача. Считается, что энергия s—d-обмена намного превышает ширину зоны проводимости (|Z|S》12|В|), а обе эти величины много больше энергии обмена между cZ-спинами 12/S?. Представление, в котором записан гамильтониан (1), неудобно для разложения по В/А^ и поэтому целесообразно перейти к другому представлению, в котором гамильтониан внутриатомного обмена На был бы диагоналей. Соответствующая методика в первом приближении по В/А была развита в работе [3] применительно к ферромагнетикам. Ниже она будет обобщена на случай антиферромагнетиков, причем таким образом, что оказывается возможным учесть члены любого порядка по В/А.

Волновая функция системы представляется в виде разложения по функциям I Jg 厶/〉口 |Sf(p〉. Здесь g — номер атома, на котором находится электрон проводимо-

сти. Символом |Sfo^) = b (SfN, Sfo^) обозначена волновая функция f-ro атома, когда проекция его спина равна Sfo^ (J(n, m) — дельта-функция дискретного аргумента, Sa — переменная, от которой зависит волновая функция, т. е. аналог координаты в ^-представлении). Символом | Jg Jgz) обозначена собственная функция гамильтониана Нд, когда суммарный спин атома g и s-электрона равен Jg = S ± 1/2, его проекция равна Jg^. Эта функция выражается через спиновые функции | Sgo^) атома g и электрона проводимости хорошо известным образом [6]:

1，2S + 11，2S + 1土 Js + g _ Jgz a* (g,干g) I Jgz 土;' l°〉e =土 Js + g _ Jgz a* (g,干g) I Jgz 土;' l°〉e =1，2S + 11，2S + 1S^a*(g,干 1/2) у/S 1/2 + JgzS^a*(g,干 1/2) у/S 1/2 + Jgzpg 干 5〉l°〉e，pg 干 5〉l°〉e，⑶⑶

1

，2S + 1

1

，2S + 1

土 Js + g _ Jgz a* (g,干g) I Jgz 土;' l°〉e =

土 Js + g _ Jgz a* (g,干g) I Jgz 土;' l°〉e =

1

，2S + 1

1

，2S + 1

S^a*(g,干 1/2) у/S 1/2 + Jgz

S^a*(g,干 1/2) у/S 1/2 + Jgz

pg 干 5〉l°〉e，

pg 干 5〉l°〉e，

⑶

⑶

где S± = S瓮士 iSy, |0)e — электронная вакуумная функция. Верхнему индексу в выражении (3) соответствует собственное значение Ej гамильтониана На, равное (—AS/2), нижнему — равное Z(S + 1)/2.

Очевидно, набор функций | Jg Jgz) 口 |Sfo^) co всеми возможными значениями

параметров g, Jg, Jgz, Sfo^ образует в рассматриваемом пространстве полную систему и разложение волновой функции системы -0,

⑷⑷

⑷

⑷

—точное. (В выражении (4) подразумевается суммирование по всем указанным параметрам, {Sfo^}f_^g — набор величин Sfo^ для всех атомов, кроме g.)

Использование выражений (1) и (4) позволяет представить волновое уравнение в следующем виде

[Е — Ej]。且厶(厶立，{Sf(p}fWg) = У^ "g% ^соСн/Нб +

+ Нм I 丿工 ％ Jg/小 {SfON，}fWg) Cg/j" (JgRj {SfON，}f#g) ,(5)

где по всем штрихованным переменным производится суммирование.

Хотя используемое представление диагонализует гамильтониан На, матричная форма волнового уравнения (5) делает его крайне неудобным для практического использования из-за макроскопически большой размерности матричных индексов. Поэтому целесообразно построить в операторном виде эффективный гамильтониан системы, который приводил бы к тому же самому волновому уравнению (5), но, в отличие от гамильтониана (1), был бы диагоналей по s—d-обмену.

Построение эффективного гамильтониана удобно начать с введения для «нагруженного» электроном атома индекса состояния того же типа, что и для свободных атомов, т. е. с замены в выражениях (3)-(5) Jgz + 1/2 —> Sgo^, если Jg = S + 1/2, и Jgz — 1/2 —> Sg()N, если Jg = S — 1/2. Хотя при этом оказывается утерянным состояние «нагруженного» атома с J = S + 1/2h Jgz = —S — 1/2, но при рассматриваемых в этой работе малых отклонениях спинов это совершенно несущественно.

Из вида функций \ JJZ) (3) и правил преобразования электронных операторов (2) следует, что система уравнений (5) связывает коэффициенты cgJ (... Sgo^ ^g+до • • •) с коэффициентами c^^jr (…Sgo^ 土 lSg+Ao …)или %+△〃(…*^goz ^g+до ± 1 …). Их можно выразить через коэффициенты %+△〃(... SgozS^+A。…)，введя операторы повышения и понижения проекций спина Sfo土, действующие в пространстве функций от индексов S^z таким же образом, как соответствующие операторы Sf土 действуют в пространстве функций истинных переменных S^z. Несложный расчет, подобный проведенному в работе [3] и более подробно в работе [7], позволяет представить систему уравнений (5) в виде

[e + 整- нм] %+守)=-島 e m J+\ + ]可 + 唯+门 +

+ ,6 +唯+ 1、s + s, + J %+△,+($')+ 爲! № x

x (2 +曬+ l)(s + $q 5+\ + 1"g^|^%+…),

⑹

石一^^2 -"；h %-(sz)=石一^^2 -"；h %-(sz)=11

石一^^2 -"；h %-(sz)=

石一^^2 -"；h %-(sz)=

1

1

+」r …+△ »「")+工E…

XX；жЬг Js + s, + J %+△，+")；жЬг Js + s, + J %+△，+")

X

X

；жЬг Js + s, + J %+△，+")

；жЬг Js + s, + J %+△，+")

(eg士(S^) = Cg s±i/2(Sfz • • •), индекс 0 у Sfo для простоты записи опущен). В уравнениях (5) опущены несущественные члены, описывающие изменение гамильтониана Нм^ вызванное «-электроном.

От уравнения Шредингера в форме (6) можно непосредственно перейти к уравнению в операторном виде, если ввести фермиевские операторы q*±, Qg士，описывающие рождение или уничтожение неправильного спина S ± 1/2 на атоме g. Способ перехода от узельного представления к представлению вторичного квантования точно тот же, что и в случае обычных электронов. Возможность считать фермиевскими перестановочные соотношения между операторами магнитных дефектов (как и в работе [3], они будут называться спин-поляронами) легко устанавливается рассмотрением двухэлектронной задачи. Введение указанных операторов позволяет

написать эффективный гамильтониан системы в виде

方=НМ - ^ £ Q* + Qg+ + 4s2+ l) £ Qg_Qg_ +

+ ,2二]e 7rg ("g+A + 项)區+%+△，+ +

+ 礬Ц £ …& + 脸△:H-Qg++

+ 浴 J7rg(Qg+Qg+A,_ - ag+A,_ag+)

При переходе от формул (6) к выражению (7) введены операторы отклонения эффективного спина атома (который отличается от истинного учетом наличия в системе движущихся магнитных дефектов):

Sg(p = S —项 bg, Sgo+ = Abg, Sgo—=后哈(8)

Была произведена также линеаризация выражения ⑺ по отклонениям спинов.

Случай ферромагнитной внутриатомной связи. Исследование состояний носителей тока будет начато со случая положительного внутриатомного обменного интеграла А. Удобно сначала переопределить основное состояние системы спинов, сделав его вакуумным для преобразованных магнонных операторов. Для этого проводится обычное преобразование

bg「т £ 〃 (h「— g「)bh「+ Е> (h—Т — g「)席一⑼

h —丁

где индекс 丁 означает номер подрешетки, которой принадлежит рассматриваемый атом (г = ±1). Коэффициенты преобразования даются выражениями [8]

n(f)= ^En(f)= ^E△△(10)(10)

n(f)= ^E

n(f)= ^E

△

△

(10)

(10)

Согласно формулам ⑺ и (9), отыскание состояний носителя тока при Т = 0 в первом приближении по В /А сводится к задаче о диагонализации гамильтониана

“〉=?^Т £ /"*'{[”(hf — g「— △) +。(hf — g「)]川一 +

+ [u (h「— g「) + и (h「— g「— △)]席,唯,匕,+厶} + £g (g「—且川從‘冤*, (11)

где 必(耳)一фурье-компонента частоты антиферромагнитного магнона:

0(耳)=呼工产以/^

к

Разумеется, точная диагонализация гамильтониана с такой сложной структурой невозможна. Однако можно привести физические соображения, позволяющие выделить из гамильтониана (11) главную часть. Допустим, что когда спин-полярон находится на узле g「, магнонов нет. Соответствующее состояние можно представить как а£ |и〉, где |и〉— вакуумная функция спин-полярона и магнонов. Структура гамильтониана (11) такова, что переход спин-полярона на соседний узел должен непременно сопровождаться появлением отклонения спина в подрешетке (—г). Если для большей наглядности временно пренебречь нулевыми колебаниями спинов, тогда после перехода система окажется в состоянии а* +д6* +д |и〉. Последующий переход спин-полярона в подрешетку г может происходить по двум каналам: 1) в подрешетке (—г) уничтожается магнон и система возвращается в безмагнонное состояние а* +△+△/и〉； 2) отклонение спина в подрешетке (г) остается и появляется еще одно в подрешетке (—г) (состояние &,+△+△%,+△+△&,+△ |и〉)・

В первом случае спин-полярон может беспрепятственно продолжать свое трансляционное движение по кристаллу. Переходы же второго типа сопровождаются нарушением магнитного упорядочения, и, следовательно, повышением энергии взаимодействия магнитных атомов друг с другом. Совершенно ясно, что один электрон проводимости не может разрушить магнитное упорядочение во всем кристалле макроскопических размеров. Поэтому такие переходы вызывают тенденцию к автолокализации спин-полярона в области нарушенного магнитного упорядочения: чтобы продолжить свое движение по кристаллу, спин-полярон должен вернуться в состояние а^, |и〉, восстановив магнитный порядок.

же эффективный интеграл перехода ^^же эффективный интеграл перехода ^^Поскольку переходам обоих типов в гамильтониане (11) соответствует один и тот ,ясно, что движение спин-полярона по

же эффективный интеграл перехода ^^

же эффективный интеграл перехода ^^

кристаллу с «мгновенным» восстановлением магнитного порядка позволяет получить значительно более низкую энергию основного состояния, чем его автолокализация. Поэтому в качестве волновой функции нулевого приближения можно выбрать выражение, описывающее свободный спин-полярон:

①丁 = {£c(g「)* +£c(g—т \h_T)a^ тЬ^ ^ \v) •(12)

Для его коэффициентов в нулевом приближении по I / В получаются следующие уравнения:

石。(g「)= 一-7== £ c(g「+ A|h—T)[〃(h—T-gT-A) + u(h—T-g「)], 丄△，拉_,

(13)

石。(g-T 丨 h —「)=£ c(g —T + △) [n (h —T - g —「)+ U (h —T - g —T - A)]. 1 д

Решение этой системы путем подстановки второго из уравнений (13) в первое и использования преобразования Фурье приводит с учетом равенств (10) к косинусоидальному закону дисперсии обычного типа:

石(к)—б|б|н)к, R£"q(”q + 2)q"q)(14) V+ 1 q+ 1

Таким образом, согласно выражению (14), ширина энергетической зоны носителя примерно в (3/4)，2s + 1 раз меньше ширины зоны «свободного» электрона 12 |В| .

В частности, при S = 1/2 ширина спин-поляронной зоны очень близка к своему предельному значению 12 |В| . Отсюда непосредственно видно, что пробная волновая функция вида (12) действительно позволяет приблизиться к точному значению энергии системы, т. е. что поправки, связанные с учетом многомагнонных состояний, малы.

Случай антиферромагнитной внутриатомной связи. При отрицательных значениях обменного интеграла А в первом приближении по В /А в гамильтониане (7) можно опустить члены, содержащие операторы Qg+, &^十・ Хотя остающийся после этого гамильтониан Н< по своей структуре напоминает гамильтониан Н〉, между ними имеется глубокое различие. Именно, гамильтониан Н< описывает такие переходы электрона с атома на атом, когда отклонение спина появляется у оставленного электрона атома, а гамильтониан Н> — у атома, на который электрон пришел. Соответственно, в первом случае отклонение спина уничтожается у атома, на который электрон пришел, а во втором — с которого электрон ушел. Таким образом, механизм движения электрона, описанный в предыдущем разделе, здесь невозможен.

Как и в предыдущем разделе, проводится преобразование магнонных операторов (9), после чего гамильтониан Н< принимает вид

Я< = Яо + Нь

%(*+&+△)总++g(°)工忆*

"1 = ®Ц E e”F { [” (h—L g「— △) +。(hf — g「)— b (hf g + △)] bh- +

+ [〃(h_т - g「) + u(h_т 一 g「— △) — b (hg)阮}*+△&「+

+ £ g (g「一 g；) [1 — b (g「, g；)] b£ 冤尸(15)

Пользуясь выражениями (10), нетрудно показать, что все члены в гамильтониане Hi (15) имеют порядок B/z, I/z или ниже (z — координационное число). Это дает возможность в задаче о состоянии носителя при Т = 0 рассматривать гамильтониан Hi как возмущение.

Обсудим способ построения волновой функции гамильтониана Hq. Допустим, что когда спин-полярон находится на атоме g, отклоненных спинов в системе нет. Тот член из гамильтониана Hq, который переводит спин-полярон на соседний атом g + + △], оставляет на атоме g отклонение спина. Следующий переход спин-полярона на атом g + △] + △? приводит к появлению отклонения спина на атоме g + △] и т. д. Таким образом, при удалении спин-полярона от атома g за ним тянется след из отклоненных спинов атомов, через которые электрон прошел.

Как уже обсуждалось в предыдущем разделе, трансляционное движение спин- полярона по кристаллу возможно лишь при условии, что он не будет оставлять за собой областей с нарушенным магнитным порядком. Уничтожить отклонение спина на атоме g можно двумя способами: 1) обратным движением спин-полярона по той же траектории, 2) движением по замкнутой траектории, заканчивающейся на том же атоме g. В первом случае само по себе уничтожение отклонения спина на атоме g не приводит еще к движению спин-полярона по кристаллу. Его делают возможным лишь траектории второго типа. Нетрудно убедиться, однако, что отношение числа

замкнутых траекторий к их полному числу не превышает 1/z. Поэтому в нулевом приближении по 1/z можно считать спин-полярон «привязанным» к атому g. Волновая функция представляется как суперпозиция всех возможных траекторий спин- полярона, начинающихся с атома g:

①g = £ £…£ R + (T门]。。П…△1I g) x

n—0Ai

Х aA„ + ...+Ai+g^An_1+ —+А1 +g """%+g项 W〉・(16)

Очевидно, волновая функция (16) является аналогом волновой функции квазиосциллятора в d—d-модели [5].

В работе [5] была получена весьма грубая оценка сверху для энергии покоящегося квазиосциллятора. Ниже будет указан способ, которым можно значительно уточнить эту оценку.

В принятом приближении по 1/z из выражения (16) можно исключить члены с △九=—△九—1 (при S = 1/2 они отсутствуют вообще). Кроме того, всем траекториям с одним и тем же числом отклоненных спинов п приписывается максимально возможная при данном п энергия магнитного упорядочения по;(0), а в разложении (16) полагается с (△九...△] |g) = сп. В результате использование выражений для "о (15) и ①g (16) позволяет свести рассматриваемую задачу к нахождению наименьшего собственного значения Eq системы уравнений относительно сп. Ее удобно представить в виде разностного уравнения путем введения непрерывного индекса t вместо дискретного п:

c⑴[力-г0] + 0[5С(力 + 1) + c(力-1)] =，⑴,

с⑴=£ (力一тг) при 0, с⑴=0 при 力 < 0,(17)

_ =矶 ” V2SB

0 — (2S + 1)g(0)

(b(力)一дельта-функция Дирака).

Преобразование Лапласа позволяет получить точное решение задачи (17). Согласно его правилам [9], лапласовский образ c(s) величины с(力)определяется решением уравнения

^^ + 尸(s)c(s) = Со 1

(18)

/(s) = Eos - 50е‘

Таким образом, искомую функцию с(力)с учетом ее поведения при 力 т оо можно представить в виде

® + zoos

CW =dsexpO —/(s)) exp (/(ст))- Ь(3еа] da. (19)

27rz JJLbJ

Энергия квазиосциллятора находится при помощи соотношения (19) из условия, чтобы в интервале 0 < 力 < 1 имело место равенство с(力)=co^(t), т. е. из урав-

нения

1 +1 +J^(2VMJ^(2VM点 2^/3)点 2^/3)6671 = 071 = 0^ - n^ - n++Jn+i(2y^/3)Jn+2(2V^/3) _ Ji(2v^/3)Jn(2y^/3)Jn+i(2y^/3)Jn+2(2V^/3) _ Ji(2v^/3)Jn(2y^/3)71 = 0 '71 = 0 'So + П + 2So + П + 2So - П + 1So - П + 1• (20)• (20)

1 +

1 +

J^(2VM

J^(2VM

点 2^/3)

点 2^/3)

6

6

71 = 0

71 = 0

^ - n

^ - n

+

+

Jn+i(2y^/3)Jn+2(2V^/3) _ Ji(2v^/3)Jn(2y^/3)

Jn+i(2y^/3)Jn+2(2V^/3) _ Ji(2v^/3)Jn(2y^/3)

71 = 0 '

71 = 0 '

So + П + 2

So + П + 2

So - П + 1

So - П + 1

• (20)

• (20)

Уравнение (20) получено путем разложения величин exp(±/(s)) в выражении (19) в двойные ряды по e±s, почленного выполнения обратного преобразования Лапласа и использования представления для функций Бесселя Jn{x} в виде ряда. Численный расчет величины е(), выполненный при помощи ЭВМ «Минск-22», привел к следующим результатам: для значений |0| , равных 1,0; 1,5; 3,5; 5 и 10, значения \е/0\ соответственно равны 2,65; 3,0; 3,5; 3,67 и 3,93. Способ получения оценки энергии снизу был указан в работе [5].

Как уже упоминалось выше, замкнутые траектории позволяют квазиосциллятору передвигаться по кристаллу. Чтобы получить выражение для ширины энергетической зоны квазиосциллятора, ниже будет рассмотрен случай не слишком больших |/3| , когда достаточно ограничиться учетом траекторий с тремя отклоненными спинами. Волновая функция имеет здесь ту же структуру, что и выражение (16), с тем только отличием, что производится суммирование и по центрам квазиосцилляторных состояний (т. е. по индексу g). Обычным образом при помощи гамильтониана "о (15) получается система уравнений относительно коэффициентов разложения (16). После исключения из нее незамкнутых траекторий с тремя отклоненными спинами, эта система принимает вид

c(g)(—с) + 0£c(Ag) = 0,

c(A|g) [1 + -《丿二？ KM-』+/Hg) + g £ "△Ag) = 0,

L (8 —2)(8 —3) — 50 J△，以△

"△'△|g) 2 + ^1^ —E + (3c (A| g) + (3c (-△, AZA| g) = 0, (△’#±A),(2"

△/△〔 g) (3 — с) + 0c (△/△〔 g) + 0c (—△,—△[ g + △ + △) = 0,

E

Установление точного вида закона дисперсии решением системы уравнений (21) связано с весьма громоздкими вычислениями и здесь не проводится. Ширина зоны квазиосциллятора при рассматриваемом механизме движения ezi представляет собой разность двух собственных значений системы (21), первое из которых соответствует нижнему знаку в соотношении с (△△[g) = 土с (—△, —Az |g + △ + Az), а второе — верхнему. С учетом малости ezl по сравнению с энергией основного состояния квазиосциллятора для нее получается выражение

Ezl =Ezl =1 +1 +斤(8 — 3) 一 (8 — 3)(е — 2) — 5斤 _斤(8 — 3) 一 (8 — 3)(е — 2) — 5斤 _-1 1 т-1 1 т£ = e0£ = e0

Ezl =

Ezl =

1 +

1 +

斤(8 — 3) 一 (8 — 3)(е — 2) — 5斤 _

斤(8 — 3) 一 (8 — 3)(е — 2) — 5斤 _

-1 1 т

-1 1 т

£ = e0

£ = e0

В том же приближении по 1/z вклад в ширину зоны квазиосциллятора дает и его движение по кристаллу, описываемое гамильтонианом Н\ (15), т. е. обусловленное собственными движениями спинов. С учетом трансляционной симметрии системы нетрудно показать, что закон дисперсии, соответствующий такому движению, дается выражением

"(к)"(к)Е△内Е△内冋。(△2)с(0)冋。(△2)с(0)++&(△ + △') ] £!<(△+△，)“(О) J '&(△ + △') ] £!<(△+△，)“(О) J '(23)(23)

"(к)

"(к)

Е

△内

Е

△内

冋。(△2)с(0)

冋。(△2)с(0)

+

+

&(△ + △') ] £!<(△+△，)

“(О) J '

&(△ + △') ] £!<(△+△，)

“(О) J '

(23)

(23)

Для оценки коэффициентов с при больших 0 удобно воспользоваться континуальной аппроксимацией работы [5], в которой вероятность достижения спин-поляроном точки г дается квадратом модуля эффективной волновой функции

吵 6 4 J】/6 丁吵 6 4 J】/6 丁Ф例 t/3Ф例 t/3(24)(24)

吵 6 4 J】/6 丁

吵 6 4 J】/6 丁

Ф例 t/3

Ф例 t/3

(24)

(24)

где ①(力)—функция Эйри.

С учетом соотношения с(0) = а?/2吵(0) выражение (23) можно переписать при помощи равенства (24) в виде

(25)(25)Ez(k) ~ 1,25臂 + const

(25)

(25)

(как и в предыдущих выражениях в единицах g(0) ~ 6|/|S).

Согласно выражениям (22) и (25), ширина энергетической зоны квазиосциллятора в типичных случаях сравнима с шириной магнонной зоны, т. е. эффективная масса квазиосциллятора на порядок или более превышает эффективную массу зонного

электрона.

Из структуры гамильтониана (15) очевидна причина, по которой при уменьшении отношения I / В магнитный полярон [1-3] становится выгоднее квазиосциллятора:

V2S В2S + 1V2S В2S + 1в случае квазиосциллятора роль эффективного блоховского интеграла играет вели

V2S В

2S + 1

V2S В

2S + 1

чиначинав случае же магнитного полярона эффективный блоховский интеграл

чина

чина

внутри ферромагнитной микрообласти в д/2s раз больше. Ясно также, что чем

меньше спин атомов, тем слабее тенденция к образованию магнитных поляронов. В частности, ориентировочные оценки, полученные при помощи выражения (20) и результатов работ [1-3] для случая S = 1, показывают, что при \/3\ < 10 квазиос-

цилляторное состояние энергетически выгоднее магнитополяронного.

Полученные в этом и предыдущем разделах результаты позволяют заключить,

что магнитополяронные состояния следует скорее всего ожидать в соединениях редкоземельных элементов, для которых характерны большая величина спина и малое значение интеграла обмена I. В соединениях же переходных элементов скорее всего осуществляются состояния типа рассмотренных в этой работе. Это утверждение относится не только к свободным, но и к локализованным электронам (т. е. электронам примесных центров). Имеющиеся экспериментальные данные подтверждают эти соображения. Действительно, результаты работы [10] убедительно свидетельствуют, что вокруг донорных центров в халькогенидах европия образуются комплексы спинов с сильной ферромагнитной связью между ними, т. е. фактически локализованные магнитные поляроны. С другой стороны, электроактивные примеси в окиси никеля и селенида марганца к образованию подобных комплексов не приводят [11].

Автор признателен А. М. Булошникову за проведение численных расчетов на ЭВМ.

Поступила в редакцию / июня 1969 г. После переработки 16 декабря 1969 г.

Список литературы

Ирхин Ю. П., Туров Е. А. // ФММ. 1957. Т. 4. С. 9.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ, Письма. 1967. Т. 6. С. 484; ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. (Статьи 1.1, 1.2 настоящего сборника.)

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. Т. 56. С. 1013.

Булаевский Л. Н., Хомский Д. И. // ЖЭТФ. 1967. Т. 52. С. 1603.

Булаевский Л. Н., Нагаев Э.力.,Хомский Д.И. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 1562. (Статья 1.3 настоящего сборника.)

Ландау Л. Д.、Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Гостехиздат, 1963.

Нагаев Э.Л. // ФММ (в печати).

Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. — М.: Наука, 1965.

Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. — М.: Го- стехиздат, 1958.

Holtzberg F., McGuire Т., Methfessel S. // J. Suits Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 18.

Гуденаф Д. Магнетизм и химическая связь. — М.: Металлургия, 1968.

Transition of heavily doped ferromagnetic semiconductorsto the insulating state

E. L. Nagaev, A. P. Grigin

Phys. Lett. A. 1972. V. 38(7). P. 469-470

The transition of heavily doped ferromagnetic semiconductors of the EuO type to the insulating state is explained by the collective autolocalization of conduction electrons which increases the local magnetic order.

When the temperature rises, some non-stoechiometrical samples of ferromagnetic EuO-type semiconductors show a drastic transition from the high conductivity state to the insulating one at a temperature 7\f below the Curie point 7c- This transition has been proved to be caused by magnetic disorder [1]. An explanation for this interesting effect is suggested in this paper.

In the case under consideration the donor concentration n exceeds the critical value nc at which electrons of donors get collectivized and an impurity band appears as T т 0. But if (n — nc) is small enough the temperature rise leads to the disappearance of the impurity band, so that electrons may get localized. The reason for this is the interaction between electrons and magnetic moments of cations which diminishes the free energy of the conducting state more rapidly than that of the insulting state when the temperature increases.

The tendency for electron localization may be explained qualitatively as follows. Magnetic disorder caused by a temperature rise leads to a rise both of the conduction band [2, 3] and the donor level [4]. The magnetic order is disturbed and the electron energy is shifted the less the stronger the exchange interaction between magnetic ions at a given temperature. The indirect exchange via the electrons under consideration enhances the ferromagnetic coupling between magnetic ions the more the higher the electron density [3, 5]. The shift in the donor level is determined by the magnetic disorder magnitude near the donor defect. Certainly the localized electron density is higher in this region than the collectivized electron density over the crystal as a whole. In accordance with this the donor level rises with the temperature slower than the conduction band minimum. Thus the transition to the insulating state may be regarded as the collective autolocalization of conduction electrons in regions of an enhanced magnitude of the local ferromagnetic order as opposed to their individual autolocalization when each conduction electron gets autolocalized in such a microregion independently of one another [6-8].

One must keep in mind that the typical electron energies (Fermi energy or donor level) exceed kT several orders of magnitude at T < 7c, when comparing free energies of conducting and insulating states. For this reason practically all the temperature change in the free energy b尸(T)=尸(T) — F(0) is determined by the excitation of magnetic moment oscillations, and one can disregard electron excitations.

Very little is known of electron states and energies for densities n comparable with the critical nc at present. It seems reasonable to assume that the difference between the total electron energies in the insulating state and in the conducting state is given by the following expression for small positive n — nc：

尸(0) =石 — (1)

where 石 is a constant of the order of the typical electron energy, g〉0.

There are essentially only shortwave magnons in the temperature range 7^〉T〉 > Тс/S^ where S》1 — magnetic ion spin. Since the impurity electron state radius R in EuO is large relative to the lattice constant a the quasiclassical approximation for magnons is valid here not only for the conducting state, but also for the insulating one. In both cases we can write per unit volume:

b尸(T)^ 鏡 JdrJdk—exp (—唄))]•⑵

Under conditions typical for ferromagnetic semiconductors all conduction electron spins have the same direction at T т 0. Then the frequency gk(『)of a magnon with quasimomentum К varies linearly with the local electron density z/(r) = n(r)a^.

GkK) = Gk®(吟]=Gk(0) + CKy(r), (Ok > 0),(3)

where Ck is half of the «-/-exchange integral A for К not very small.

Equating the free energies of the conducting and the insulating states with allowance for (1)-(3) and the condition T > gk(『)we obtain the following expression for the metalinsulator transition temperature

7加九)=2生"T[—%泯」 -1⑷

D^-Dl [(2不)3 Jк 丿

for

where D2 is the squared relative dispersion of the electron density z/(r); v is its value, averaged over the crystal. The insulating and conducting states are denoted respectively by the indices i and c.

Evidently the electron density is distributed over the crystal more uniformly in the conducting state than in the insulating one. Thus the inequality O?〉。君 is valid which according to (2), (4) implies the inequalities b居(T) < b尸°(T) and 7\f > 0, as should be the case.

One should keep in mind that the formula (3) is applicable only for (n — nc) small enough, when TM < 7c- The metal-insulalor transition does not occur for (n —九。)large enough, since the degree of local magnetic ordering near un-ionized donors diminishes too, when the temperature rise continues above 7b. Thus b尸c(T) — b居(T) diminishes at T high enough. For intermediate (n —九。)this effect may also lead to the reverse transition insulator-metal at 7^ < 7c, if the transition metal-insulator discussed above took place at TM < %

When estimating 7\f we assume that P?》。君.

If the well-known Mott condition for the metal-insulator transition 九己“？ = 4R is fulfilled, we obtain for n = 2九。from (3)

T加2九)^ 就(5)

A S nca

Thus for typical values of parameters in eq. (5) the transition temperature T^f (2n) may be 〜Tq .

Received / February 1972.

References

Oliver M., Kafalas 丿.，Dimmock 丿.，Reed T. // Phys. Rev. Letters. 1970. V. 24. P. 1064.

Rys 歹Helman J., Baltensperger W. // Phys. Cond. Mat. 1967. V. 6. P. 105.

Nagaev E.L. // Zh. Eksperim. i Teor. Fiz. 1969. V. 56. P. 1013.

Nagaev E.L. // Fiz. Tverd. Tela. 1969. V. 11. P. 34.

Nagaev E.L. // Fiz. Tverd. Tela. 1969. V. 11. P. 2779.

Nagaev 尼厶.〃 Zh. Eksperim. i Teor. Fiz. Pls'ma. 1967. V. 6. P. 484. (Статья 1.1 настоящего сборника.)

Von Molnar S., Methfessel S. 〃 J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 959.

Krivoglaz M. 4, Trushchenko A. A. // Fiz. Tverd. Tela. 1969. V. 11. P. 3119.

Mott transition in magnetoactive crystals occuring withoutcollectivization of d-electrons

V. M. Matveev, E. L. Nagaev

Phys. Lett. A. 1972. V. 42(1). P. 88-90

The Mott transition in magnetoactive crystals may result from the exchange interaction between the conduction electrons and Frenkel excitons located on magnetic atoms. This phase transition can be both of the first and of the second order.

As is known practically all materials displaying Mott transitions are transition or rare earth elements compounds. It is assumed generally that the electrons of partially filled d- (or /-) shells should go from localized states to collectivized ones when going over from the insulating to the conducting state. It will be shown in the present paper that the transition can also be explained by a rearrangement of d- (or /-) shells occurring without collectivization of their electrons.

Though a treatment can be easily carried out for arbitrary spins, for the sake of simplicity we shall limit ourselves to the case of the total spin of the d-shell being zero in the insulating state, for example, this is the case for ЬаСоОз [1], VO2 [2] and apparently SmB6 [3]. The spin S of the first excited state of the d-shell is non-zero. For S = 1 such a state can be regarded as a triplet Frenkel exciton. The conduction band is constructed mainly of the cation s-states and the valence band of the anion p-states. The transition into the conducting state results from the exchange interaction of the conduction electrons with the excitons (the exchange of the holes with the excitons can be disregarded since the former are localized on the cations and the latter on the anions).

The electron-exciton exchange lowers the electron energy in proportion to the exciton density and the exciton energy in proportion to the electron density. Thus, the positive feedback between electrons and excitons exists, which can make the insulating state unstable with temperature increasing. As a result of this a first order phase transition into the conducting state should occur. Simultaneously the crystal should become magnetoactive. (If the d-shell momentum is non-zero, a paramagnetic-paramagnetic transition should occur).

The Hamiltonian of the system under consideration is of the form:

H = /Jq + H1, H° = 3〉: bg^bgr +〉: ^к/^к/сг^к/сг9

⑴

Hl = -— ^2(6"J S“)exp [г (К - К" g] а^1аа^1агЬ^тЬётг5 (сг + т, У + i).

Неге Ь^т, bgr are the creation and annihilation operators of the exciton with the spin projection 丁 at the cation g,県仆 акм are those of the electron with the quasimomentum К and the spin projection a in the band / = ±1 (the upper sign corresponds to the conduction band and the lower one to the valence band). The exciton number per atom cannot exceed 1. This means that relations &*т&*т, = &gT&gT/ = 0 should hold. Symbols s and S denote the operators of the spin of the conduction electron and cation respectively, 5(/, g) is equal to 1 for x = у and 0 for x ^ y.

We assume the electron-exciton exchange energy AS/2 to be small comparing with the conduction band width W. To make it possible to use the selfconsistent field approximation

the canonical transformation of the Hamiltonian H which eliminates nondiagonal terms linear in A from it is performed:

H = e~ifHeif =+ Нъ

户=—£ "(MS“)exp(gK)g) aki^fiab^b s 廿 + 丁, / + 丁，)•⑵

The diagonal term linear in A is omitted, since it gives no contribution to the electronexciton interaction energy when the spins of the excitons are directed randomly.

The Hamiltonian Hi includes terms of the order of (AS/W)2 and higher. But, in general, it is not sufficient to use the thermodynamical perturbation theory in %, when calculating the free-energy 尸.Thus we make use of the variational principle for the free energy [4]:

尸 4 Fm = R)+ Sp~[exp (-审 J Sp (" - %) exp (-审),⑶

where Ho is the selfconsistent field Hamiltonian which is obtained from Hq (1) by substituting ⑦ for g and 京％ for ekz, the quantities ⑦ and 京％ being regarded as variational parameters. The free energy Fo of the system with the Hamiltonian Яо is

Fo = —NT In [1 + (2S + 1) exp (-|)] — T £ In [1 + exp (^|^)] + 2N〃，(4) K/cr

where 从 is the Fermi energy of electrons, N is the number of atoms. In the main approximation in AS/W we obtain with allowance of (3)

尸”=尸。+ N(2S + 1) (g —⑦)沙 +

+ £(£KZ-京力£ 沙 |(S“，S"，)|2 b 廿 + 丁, / + i)九 KZ(1 —九 К"),

where exciton and electron occupation numbers v and nKl are given by the expressions:

沙= 几kС =(5)

2S + 1 + exp (旱)1 + exp (*卞〃)

Stationary values of ⑦ and 京％ in the linear approximation in the electron density are

⑦G —。二、； 京％ = £KZ — b仏 1).(6)

(2S +3

where the following notation is used:

夕=与 £ ;； 42s(S + 1)(2S + 1)，.к 8Kz — 8oz4

Numerical results were obtained assuming the conduction and valence bands to be described by the same simple cosinusoidal dispersion law with the band width W. They are as follows. If the quantity {AS/W)2W exceeds the forbidden gap width £0, and g is not very small, the second order phase transition into the gapless state should occur with temperature increasing as was earlier shown in [5, 6].

For smaller g the set of equations (5, 6) may have three different roots 沙i(T) < < 沙2(T) < 沙з(Т) in a temperature interval 0 < T <Tq^ u^ and 1/3 corresponding to the

minima of the free energy and 沙2 to its maximum. At low temperatures Fm (^i, T) < Fm (1/3, T) but with temperature increasing the sign of the inequality may change at the temperature 7c such that Fm (^1, T) < Fm (沙3, T)・ Then the system goes over abruptly into a state with almost all excitons being excited. In other words at T = 7c the system becomes unstable relative to excitons, which results in the first order phase transition. Correspondingly the conduction band bottom should become lower than the valence band top and a part of the valence band electrons should go over to the conduction band so that the system becomes a semimetal instead of a semiconductor.

For example, for AS/2 = 0,5 eV, W = 3,5 eV, g = 0,003 eV and £q = 0J eV we have obtained from a numerical calculation that the phase transition should occur at 15 К the conduction electron density increasing abruptly by 4 orders of magnitude.

As follows from (5) the phase transition temperature should decrease and the jump in the conductivity increase with AS/W increasing, g and £q being fixed. After the ratio AS/W reaches the critical value for which bound states of a conduction electron with an exciton or with an exciton cluster become possible, transition into the conducting state occurs due the collectivization of electrons trapped by excitons [5].

It should be noted that with e0 < ZS/2 an external magnetic field may induce an abrupt transition from insulating diamagnetic state to conducting ferromagnetic one. The critical value of the field inducing the transition is given for n <C 1 by the expression (〃3 is Bohr magneton).

В俨/2 0s/2 - 8o)5/2J

The right side of eq. (7) being positive is the condition of the stability of the insulating state. It becomes less stringent if there exists the direct antiferromagnetic exchange between excitons, its intensity «Tn being less than g. Then the quantity g in (7) should be replaced by g + 4Tn・

The authors are indebted very much to N.S. Lidorenko and LB. Rubashov for encouraging of this work.

Received / October 1972.

References

Jonker 丿.〃 Phil. Res. Rep. 1969. V. 24. P. 1.

Barker^ Verleur 〃.，Guggenheim H. // Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17. P. 1286.

Menth A., Buehler K, Geballe T. // Phys. Rev. Lett. 1969. V. 22. P. 295.

Tjablikov S. к Metody kvantovoj teorii magnetizma. — M.: Nauka, 1965.

Nagaev E.L. // Zh. Eksp. i Teor. Fiz. 1970. V. 59. P. 1215.

Nagaev E.L. // Fiz. Tverd. Tela. 1971. V. 13. P. 41.

Неоднородное ферро-антиферромагнитное состояниемагнитных полупроводников

Л. Нагаев

Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16(10). С. 558-561

В настоящей работе будет показано, что возможны неоднородные состояния магнитных проводников, когда их объем разбивается на чередующиеся друг с другом ферромагнитные и антиферромагнитные домены. В частности, таким может быть основное состояние сильно легированных антиферромагнитных полупроводников, на примере которых будет проведено рассмотрение.

Рассматриваются полупроводники с концентрациями примеси 〜1019-1021 см-3, в которых электроны примесных атомов коллективизированы и потому осуществляют косвенный обмен между локализованными d- или /-спинами. Фермиевская энергия 〃 носителей в них (s-электронов в терминах 6—d-модели) меньше или сравнима с AS (Л — интеграл 6—d-обмена, S — спин магнитного атома). Поэтому косвенный обмен здесь нельзя описать при помощи гамильтониана Гайзенберга. Как следствие конкуренции прямого гайзенберговского и косвенного негайзенберговского обмена между(Z-спинами, первый из которых стремится установить антиферромагнитное состояние, а второй — ферромагнитное, существует интервал концентраций носителей nL < п < пя, в котором не устойчивы ни ферромагнитное, ни антиферромагнитное упорядочение [1, 2].

В [1, 2] было показано, что в этом интервале энергия неколлинеарного антиферромагнитного состояния с отличным от нуля магнитным моментом типа, предложенного в [3], ниже, чем энергия коллинеарных состояний. Однако, в свою очередь, однородное неколлинеарное состояние может оказаться неустойчивым относительно распадения на домены с концентрациями носителей n < nL и п > пд, в первых из которых осуществляется коллинеарное антиферромагнитное, а во вторых — ферромагнитное упорядочение. Тенденция к неустойчивости очевидна уже из того, что в типичных случаях полная энергия d-d- и 6—d-обмена убывает с ростом п как п2 [2]. Поэтому, если разбить слой с концентрацией носителей п на два слоя с концентрациями п + Ап и п — Ап соответственно, то энергия обмена понизится в 1 + (^^) раз.

С другой стороны, возникновению неоднородного распределения носителей препятствует кулоновское взаимодействие. Последнее резко уменьшается с уменьшением размеров доменов. Но при этом возрастает кинетическая энергия носителей. Равновесные размеры доменов при Т = 0 находятся из условия минимума полной энергии системы. В сущности, образование ферромагнитных доменов с повышенной концентрацией носителей в вырожденных антиферромагнитных полупроводниках — это эффект той же природы, что и образование ферромагнитных микрообластей вокруг электронов проводимости в невырожденных антиферромагнитных полупроводниках [4].

Расчет энергии неоднородного состояния проводится вариационным методом. Принимается, что кристалл распадается на чередующиеся друг с другом слои повышенной концентрации носителей с отличным от нуля моментом на атом М и слои, полностью лишенные носителей тока и не обладающие моментом. Первые из них имеют толщину L, вторые — Lx. Таким образом, концентрация носителей в обогащенном слое п связана со средней концентрацией носителей 几。соотношением п = по(1 + ж). Далее, не учитывается искажение электронных волновых функций из-за электрических полей, вызванных неоднородным распределением носителей по

кристаллу. Считается также, что спины всех носителей в обогащенном слое ориентированы одинаково (для этого необходимо выполнение неравенства 从(几)< |Л| М).

Полная энергия единицы объема кристалла (т. е. L-1(l + ж)-1 пар слоев) складывается из кинетической энергии Ес электронов, энергии обмена магнитных атомов друг с другом и с электронами проводимости Ем и энергии кулоновского взаимодействия ^ei，При вычислении первой из них пространственное квантование электронных энергий в первом порядке по (Ln1/3) учитывается путем использования выражения для плотности электронных уровней, отличающегося от соответствующего свободным электронам с эффективной массой т множителем ^1 —《厶/ 克)[5]. Это дает

口 — 3/\, 5 (б7Г2)2/3 (1 + ж)1/3/、

еc = 5 мо (к0)т0 (1 + /)/ h花z ，(1)

где 从0 (n) — фермиевская энергия свободных электронов с концентрацией п. Энергия

二 口7 I川 S 、

обмена 乜м в случае широких зон проводимости I ^》— = а 1 дается выра-

\та 2 у

жением [2]

еМ = -^ - 〃(]+/)*(/五一力)+〃 а+с) ；；：""—с)斤()-/五)，

а2 2 з⑵

где 2 — координационное число, а — постоянная решетки, I — интеграл прямого обмена между ближайшими соседями. Величина 力五 связана соотношением пц = =по(1 + жд) со значением концентрации пд = ^-, начиная с которой становится а а

устойчивым ферромагнитное упорядочение [2]. Ступенчатая функция 犷(/) равна единице при /》0 и нулю при ж < 0.

Кулоновская энергия 石司 в главном приближении по (Ln1/3) равна

%2,⑶

где £ — диэлектрическая проницаемость кристалла.

Минимизация энергии Е = Ес + Ем + 石el (1)-(3) по параметрам L и ж приводит к следующим результатам. Неоднородное состояние может быть энергетически выгодным только при концентрациях по, превышающих пт^

Г 2]3/4

(a-3)]济/%-9/2L3.⑷

При а = 1 эВ, /3 = 10-2 эВ, т = 10-27 г, £ = 10 из ⑷ получается, что пт ~ 1019 см-3. В слоях, обогащенных носителями, устанавливается насыщенное ферромагнитное состояние. Их толщина связана с концентрацией носителей в них соотношением

厶=а (绘 g) (жап1/3^ 2/3(1 + ж)1/9.(5)

Согласно (5), в типичных условиях 厶 ~.

Сравнение выражения (4) для пт с выражением для nL^ полученным в [2], показывает, что пт может быть как больше, так и меньше nL. В первом случае существует интервал концентраций, в котором стабильна неколлинеарная антиферромагнитная структура. Во втором случае такая структура невозможна вообще, и расслоение кристалла начинается еще в области стабильности антиферромагнетизма по отношению к однородной деформации магнитной структуры. Из-за хаотичности распределения примеси в областях с повышенной ее концентрацией возможно существование локального ферромагнитного упорядочения и при 几。＜ пт.

Эксперимент по сильно легированным антиферромагнитным полупроводникам [6, 7] приводит к результатам, которые можно интерпретировать как в терминах неколлинеарного антиферромагнитного, так и в терминах неоднородного ферромагнитно-антиферромагнитного состояния. Необходимо дальнейшее исследование этого вопроса.

Наконец, отметим, что в сильно легированных ферромагнитных полупроводниках при конечных температурах возможно расслоение на области с повышенным и пониженным значениями момента. Причиной этого является установленное в [8] обстоятельство, что замена однородного распределения электронов неоднородным понижает свободную энергию системы d-спинов. Как и в случае антиферромагнетика, созданию неоднородного распределения электронов проводимости препятствуют кулоновские силы.

Поступила в редакцию 27 сентября 1972 а.

Список литературы

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. С. 1274. (Статья 1.4 настоящего сборника.)

Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1972. Т. 14. С. 773.

Боровик-Романов А. С, Орлова М. П. // ЖЭТФ. 1956. Т. 31. С. 579.

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484; ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 579. (Статьи 1.1, 1.2 настоящего сборника.)

Bloch С, Balian R. // Ann. Phys. 1970. V. 60. Р. 401.

Wollan К, Koehler W. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Oliveira N. Jr., Foner S., Shapira У., Reed T. // Phys. Rev. 1972. V. 5B. P. 2634.

Nagaev E. L., Grigin A. P. // Phys. Let. A. 1972. V. 38. P. 469.

Неоднородные состояния антиферромагнитныхи магнитоэкситонных полупроводников

В. А. Кашин, 9. Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1974. Т. 66(6). С. 2105-2117

Однородное состояние сильно легированных антиферромагнитных полупроводников может оказаться энергетически менее выгодным, чем неоднородное. Возможны слабонеоднородные и сильно-неоднородные состояния. Первые из них соответствуют неколлинеарному антиферромагнитному упорядочению с углом между моментами подрешеток, периодически меняющимся в пространстве. Вторые реализуются при разбиении кристалла на ферромагнитные и антиферромагнитные домены, первые из них с избытком, а вторые —с недостатком электронов проводимости. Из всех рассмотренных геометрий наиболее выгодной при относительно малых концентрациях оказывается такая, когда сферические ферромагнитные области образуют периодическую структуру внутри антиферромагнитной матрицы (ферромагнитная часть кристалла многосвязна). При больших же концентрациях электронов проводимости более выгодно, когда сферические антиферромагнитные области образуют периодическую структуру внутри ферромагнитной матрицы (ферромагнитная часть кристалла односвязна). Вблизи концентрации, при которой ферромагнитная часть кристалла из многосвязной становится односвязной, с ростом концентрации происходит резкий подъем проводимости. В этом случае должно наблюдаться также большое отрицательное магнитосопротивление вблизи значения поля, при котором меняется топология ферромагнитной части кристалла. Тот же эффект должен наблюдаться и при подъеме температуры. Сильно-неоднородное состояние такого же типа с разбиением на ферромагнитные и диамагнитные домены возможно и в сильно легированных магнитоэкситонных полупроводниках.

Постановка задачи и качественная картина. Ранее [1, 2] было установлено, что однородное состояние магнитных проводников может быть нестабильно относительно флуктуации плотности электронов проводимости достаточно большой величины (на такую возможность указывал также М. А. Кривоглаз [3]). В частности было показано [2], что состояние сильно легированного антиферромагнитного полупроводника, когда он разделен на чередующиеся друг с другом плоские антиферромагнитные и ферромагнитные домены с недостатком электронов проводимости в первых из них и с избытком во вторых, может оказаться энергетически более выгодным, чем его однородное состояние.

В настоящей работе будет проведено детальное исследование неоднородного состояния антиферромагнитных, а также магнитоэкситонных сильно легированных полупроводников. Будет показано, что возможны как слабо-неоднородные, так и сильно-неоднородные состояния кристаллов. Первые из них могут реализоваться только в антиферромагнетиках и представляют собой двухподрешеточную структуру с углом между моментами подрешеток, периодически меняющимся в пространстве (неколлинеарный антиферромагнетик со сверхструктурой).

Сильно-неоднородные состояния возможны как в антиферромагнитных, так и в магнитоэкситонных полупроводниках. В первых из них кристалл разбивается на ферромагнитные и антиферромагнитные, а во вторых — на ферромагнитные и диамагнитные домены. В ферромагнитных доменах концентрация носителей должна быть выше, чем в среднем по кристаллу, При относительно малых концентрациях носителей из всех рассмотренных в работе геометрий наиболее выгодной оказывается такая, когда сферические ферромагнитные области образуют периодическую структуру внутри неферромагнитной матрицы. При больших же концентрациях более выгодно, когда сферические неферромагнитные области образуют периодическую структуру внутри ферромагнитной матрицы.

Из сказанного следует, что существует такая концентрация пт, при которой ферромагнитная часть кристалла меняет свою топологию, превращаясь из многосвязной в односвязную. Поэтому при увеличении концентрации носителей п вблизи пт должен происходить резкий скачок проводимости. В работе исследованы также свойства неоднородного состояния в магнитном поле. Установлено, в частности, что при п < пт топология ферромагнитной части может быть изменена полем, в результате чего должен наблюдаться пробой кристалла под действием магнитного поля.

Возникновение в антиферромагнитном проводнике доменов с различными типами магнитного упорядочения в известной степени напоминает разбиение на парамагнитные и диамагнитные домены немагнитных проводников в квантующем магнитном поле, однако причина его совершенно иная.

Из-за обменного взаимодействия между носителями заряда и локализованными магнитными моментами энергия носителей оказывается зависящей от характера и степени магнитного упорядочения в кристалле. Представляется достаточно очевидным (это можно и доказать строго), что минимальная энергия носителя достигается при ферромагнитном упорядочении. Совершенно ясно, что хотя один носитель не может изменить тип упорядочения в антиферромагнитном кристалле макроскопических размеров, в определенных условиях может оказаться энергетически выгодным неоднородное состояние системы, когда в некоторой микрообласти антиферромагнитное упорядочение заменяется на ферромагнитное. Эта микрообласть представляет собой потенциальную яму для электрона проводимости, где он получает выигрыш в энергии ^-(/-обмена. Электрон локализуется в ней и тем делает ее стабильной.

В работе одного из авторов [4], где было введено понятие о таком состоянии, для его обозначения использовался термин «магнитный полярон». Этот термин следует признать неудачным, поскольку он часто использовался другими авторами для обозначения состояний совершенно иных типов, что может привести к путанице. Ниже для обозначения состояний носителей, когда они авто локализуются в созданных ими самими ферромагнитных микрообластях, будет использован термин «феррон».

Если в антиферромагнитных кристаллах с очень малыми концентрациями носителей возможны индивидуальные ферронные состояния носителей описанного выше типа, то при относительно больших концентрациях носителей в них могут оказаться выгодными коллективные ферронные состояния. Иными словами, в антиферромагнитном кристалле могут возникнуть ферромагнитные области, в каждой из которых будет избыток электронов проводимости. Условия для их реализации существенно иные, чем для индивидуальных ферронных состояний. Это связано с тем, что затраты энергии на замену антиферромагнитного упорядочения ферромагнитным в расчете на один электрон проводимости в случае коллективных ферронных состояний меньше, чем в случае индивидуальных. Однако образование коллективных ферронов в отличие от индивидуальных сопровождается повышением кулоновской энергии электронов. Поэтому возможно существование кристаллов, в которых выгодны индивидуальные ферронные состояния, но всегда невыгодны коллективные, и наоборот, коллективные ферронные состояния могут реализоваться в кристаллах, в которых индивидульные ферроны невозможны.

При очень больших концентрациях носители играют решающую роль в установлении магнитного упорядочения, и потому кристалл в однородном состоянии должен был бы стать ферромагнитным. Однако распад кристалла на домены с ферромагнитным и антиферромагнитным упорядочением оказывается возможным и в этих условиях. Причина этого состоит в следующем: электроны проводимости, будучи сосредоточены в ферромагнитных областях, по-прежнему получают полный выигрыш в энергии 6—d-обмена, как и в однородном ферромагнитном состоянии. Однако уменьшение концентрации электронов в остальной части кристалла позволяет восстановить в ней антиферромагнитное упорядочение, т. е. получить выигрыш

в энергии прямого обмена между магнитными атомами. Он до некоторой степени компенсируется проигрышем в кинетической энергии электронов и в кулоновской энергии.

В обоих этих случаях однородное состояние, если оно и нестабильно относительно флуктуаций большой амплитуды, остается стабильным относительно малых флуктуаций. Существует, однако, интервал концентраций, промежуточный между областями абсолютной или относительной устойчивости антиферромагнитного и ферромагнитного состояний, в котором обоим этим состояниям не соответствует даже относительный минимум энергии. Можно показать, что в этом интервале энергия неколлинеарного антиферромагнитного (НКАФ) состояния типа предложенного Де Женом [5] ниже, чем коллинеарных состояний [6]. Однако, как будет видно из дальнейшего, однородное НКАФ состояние может оказаться тоже неустойчивым, причем не только относительно сильных флуктуаций, но и относительно малых. Если неустойчивость вызывают только сильные флуктуации, то возникает сильнонеоднородное ферро-антиферромагнитное состояние, которое приводит одновременно к выигрышу в энергии 6—d-обмена в ферромагнитных доменах и в энергии d-d-об- мена в антиферромагнитных доменах. Однако при определенных условиях в этом интервале возможно и слабо-неоднородное состояние с НКАФ упорядочением, когда величина угла между моментами подрешеток и электронная плотность периодически изменяются в пространстве.

Неоднородные состояния возможны и в магнитоэкситонных полупроводниках. Последние характеризуются тем, что в основном состоянии спин электронов частично заполненной d-оболочки магнитного атома равен нулю. Однако энергия возбуждения магнитного атома в триплетное состояние может быть небольшой. Если в кристалле имеются электроны проводимости, то их обменное взаимодействие с возбужденными атомами понижает энергию системы. При малых концентрациях носителей здесь также возможны индивидуальные ферронные состояния, когда в некоторой микрообласти возбуждаются экситоны со спинами, параллельными друг другу, и электрон проводимости автолокализуется в такой микрообласти [7]. Ниже будет показано, что при достаточно больших концентрациях носителей здесь также энергетически выгодны коллективные ферронные состояния, т. е. кристалл в основном состоянии разбивается на ферромагнитные и диамагнитные домены.

Нейтронографические исследования показали, что спектры сильно легированных антиферромагнитных полупроводников ЬаМпОз представляют собой суперпозицию спектров, соответствующих ферромагнитному и антиферромагнитному упорядочению [8]. Обычно это интерпретируется в терминах неколлинеарного антиферромагнетизма. Результаты настоящей работы позволяют дать альтернативную интерпретацию этого эффекта как свидетельства существования коллективных ферронных состояний. Разбиение сильно легированного антиферромагнитного полупроводника на ферромагнитные и антиферромагнитные домены непосредственно наблюдалось Витином и Вахтером [9], но там это явление было осложнено сильными пространственными флуктуациями потенциала примеси из-за относительной малости ее концентрации.

Неустойчивость и слабо-неоднородные состояния антиферромагнетиков. Ограничимся случаем, когда электронная плотность п(г) мало меняется на расстояниях порядка постоянной решетки а. Используется s-cZ-модель, причем считается, что ширина W зоны проводимости велика по сравнению с произведением 6—d-обменного интеграла А на спин магнитного атома S. Энергия системы в первом порядке по AS/W может быть записана в виде

⑴⑴Е = Et + Ем〉

⑴

⑴

Et =Et =(п(г) - По) (п (г‘) - По)(п(г) - По) (п (г‘) - По)dr dr'—dr dr'—n(r) cos "(r) dr + P{n},n(r) cos "(r) dr + P{n},⑵

Et =

Et =

(п(г) - По) (п (г‘) - По)

(п(г) - По) (п (г‘) - По)

dr dr'—

dr dr'—

n(r) cos "(r) dr + P{n},

n(r) cos "(r) dr + P{n},

网=亲（6万2八0户3 , n0 = ^网=亲（6万2八0户3 , n0 = ^п(г) dr.п(г) dr.⑶⑶где £q — диэлектрическая проницаемость идеального кристалла (в отсутствие электронов проводимости),

网=亲（6万2八0户3 , n0 = ^

网=亲（6万2八0户3 , n0 = ^

п(г) dr.

п(г) dr.

⑶

⑶

Член D{n} соответствует выходу за приближение Томаса-Ферми. Он учитывает эффекты, связанные с неоднородностью распределения электронов по кристаллу. Для него нельзя записать выражения в общем виде. Для тех физических ситуаций, которые рассматриваются в этой работе, его структура будет конкретизирована ниже.

Выражение для фермиевской энергии однородно распределенного газа 从()написано в предположении, что вследствие отличного от нуля магнитного момента кристалла Scos"(r) (на атом) все электроны поляризованы по спину, для чего, во всяком случае, необходимо выполнение неравенства (1/2) AS cos ^(r) > 从().В случае антиферромагнетика с двумя эквивалентными подрешетками при Т = 0 энергия обменного взаимодействия магнитных атомов друг с другом и с внешним полем Н дается выражением

Ем =Ем =^卜。s2"(r) dr^卜。s2"(r) drcos "(r) dr,cos "(r) dr,⑷⑷

Ем =

Ем =

^卜。s2"(r) dr

^卜。s2"(r) dr

cos "(r) dr,

cos "(r) dr,

⑷

⑷

(J < 0, " — поле в энергетических единицах, ±"(г) — угол между магнитным моментом кристалла и моментом подрешетки).

Энергия основного состояния при AS/W《1 находится путем минимизации суммы (2) и (4) по п(г) и cos"(r). Одному из экстремумов энергии соответствует однородное состояние с п(г) = по：

c°s"(r)=• (5)

Очевидно, если концентрация по меньше критического значения пр = 4|J|/Aa3, при котором cos" = 1, осуществляется НКАФ упорядочение, если концентрация превышает пр, то осуществляется однородное ферромагнитное состояние. Область, в которой энергия НКАФ упорядочения экстремальна, ограничена и снизу, так как при (l/2)4Scos" < 从0 происходит деполяризация электронов по спину, а эффективное поле, действующее с их стороны на спины магнитных атомов и вызывающее появление момента у кристалла, пропорционально степени их поляризации. Согласно [6], нижняя граница этой области равна

па =па =4/i0nF34s '4/i0nF34s 'Пр =Пр =£И£И⑹⑹

па =

па =

4/i0nF

34s '

4/i0nF

34s '

Пр =

Пр =

£И

£И

⑹

⑹

Исследуем теперь стабильность НКАФ состояния относительно малых, колебаний электронной плотности п(г) — по- Согласно Хоенбергу и Кону [10], функционал электронной плотности D{n} в (2) дается в этом случае выражением

D{n} = ](К (г — У) — £ 嚮 6 (г — У)) (тг(г) - п0) (п (У) - п0) dr d“ ⑺

где фурье-образ K(q) величины К (г) связан с диэлектрической проницаемостью проводящего кристалла m(q, 0), вычисленной при фиксированном значении величины cos 也 соотношением

K(q) = ^•(8)

g (g(q,o) - wo)

Если использовать для m(q, 0) хорошо известное выражение Линдхарда, соответствующее приближению случайных фаз, то выражение (1) в случае длинноволновых флуктуации принимает вид

Е = |52Aqnqn_q _ 罪£ 八q#q2mqз + ^f 务£ 八q#q2mq3mq

x+方2g2 _ as⑼

"3 no wog2 Збшпо 2nF 5

где nq — фурье-компонента флуктуаций плотности, штрих над знаком суммы означает закон сохранения импульса.

Однородное состояние системы становится неустойчивым, когда обращается в нуль наименьшая из «частот» Aq, которой соответствует волновой вектор

(о;厶—плазменная частота). Частота AQm отрицательна при концентрациях по, превышающих критическое значение пс, определяемое из равенства

^- = 3^ (2/^с + ^LC) , Мс 三从(пс) , З^с = J Sc) • (11)

Таким образом, при по > пс энергетически выгодно возбуждение флуктуации с q ^ qm. Из закона сохранения импульса следует, что вблизи критической концентрации кубический член в (9) вносит в энергию асимптотически малый вклад. Поскольку коэффициент перед членом четвертого порядка в (9) положительный, то концентрационный фазовый переход в неоднородное состояние в согласии с теорией Ландау должен быть второго рода, причем в результате такого перехода должна установиться периодическая структура с периодом 2riq哥.Осцилляции угла между моментами подрешеток связаны с осцилляциями электронной плотности при помощи соотношения (5).

Следует, однако, иметь в виду, что при увеличении концентрации еще до достижения пс возможен скачкообразный переход кристалла в сильно-неоднородное состояние, которое будет рассмотрено в следующем параграфе. Во всяком случае в рамках используемых ниже аппроксимаций получается, что условия существования сильно-неоднородных состояний могут быть существенно более жесткими, чем слабонеоднородных, так что последние в принципе, по-видимому, реализуемы.

Сильно-неоднородные состояния. Существенная нелинейность задачи заставляет использовать для ее решения вариационный принцип. Мы ограничимся подробным рассмотрением неоднородного состояния проводящего антиферромагнетика. Естественно считать, что кристалл должен разбиться на чередующиеся друг с другом области с повышенной и пониженной электронными концентрациями, образующими периодическую структуру. Используемые ниже аппроксимации заключаются в следующем: 1) в обогащенных слоях концентрация носителей не зависит от координаты; 2) концентрация носителей в обедненных областях считается равной нулю. Первая из них обосновывается при W》AS тем, что их фермиевская энергия значительно превосходит энергию кулоновского взаимодействия с пространственно-

неоднородным распределением заряда. Вторая представляется вполне обоснованной в случае, когда во всем интервале nA < n < nF выполнено условие нестабильности НКАФ структуры (11) и, кроме того, справедливо неравенство 从《AS. Тогда ясно, что кристалл должен распасться на микрообласти с ферромагнитным и антиферромагнитным упорядочением, так как, согласно (11), если НКАФ структура нестабильна при п = по, то тем более она нестабильна при п, лежащем в интервале ng < n < nF. При этом, согласно (6), концентрация в первых из них должна быть много больше, чем во вторых.

В дальнейшем все численные оценки будут проводиться для значений параметров,

типичных для антиферромагнитных соединений редких земель типа EuSe, EuTe: TN = IO"3 эВ (〜12 К), TN = I J|S, 4s/2 = 0,5 эВ, s0 = 20, N = 0,4 • 1023 cm"3, N = =q—* эффективная масса равна массе свободного электрона. Результаты вычислений будут представлены на рис. 1-3 (см. ниже). Для указанных значений параметров из формул (6) получаем пр = 1,6 • 1020 см-3, пд = 0,4 • 1019 см-3, так что отношение концентраций электронов в ферромагнитных и антиферромагнитных областях

должно превышать 40. Таким образом, при средних концентрациях электронов по от 0,5 • 1020 см-3 и выше концентрация электронов в антиферромагнитных областях не превышает 10%по, что обосновывает

справедливость второй аппроксимации.

Можно надеяться, что из-за относительно слабой чувствительности вариационного функционала к виду пробной функции такая аппроксимация дает разумные результаты, даже если неравенство 卩 < AS не слишком сильное. То же самое относится и к противоположному случаю W <С Л5, когда кулоновская энергия не мала по сравнению с фермиевской.

Что же касается геометрии неоднородного состояния, то рассматриваются возможности: 1) система распадается на чередующиеся друг с другом ферромагнитные и антиферромагнитные слои (та же геометрия, что и в [2]); 2) ферромагнитные микрообласти имеют сфери-

Рис. 1. Зависимость от концентрации по выигрыша электронной энергии неоднородного состояния (пт = 1,47 • 1020 см-3).Рис. 1. Зависимость от концентрации по выигрыша электронной энергии неоднородного состояния (пт = 1,47 • 1020 см-3).ческую форму и находятся на равном расстоянии друг от друга внутри антиферромагнетика; 3) обратная ситуация, когда внутри ферромагнетика находятся антиферромагнитные микрообласти сферической формы.

Рис. 1. Зависимость от концентрации по выигрыша электронной энергии неоднородного состояния (пт = 1,47 • 1020 см-3).

Рис. 1. Зависимость от концентрации по выигрыша электронной энергии неоднородного состояния (пт = 1,47 • 1020 см-3).

Ограничение движения электрона ферромагнитной областью приводит к повышению его энергии (пространственное квантование орбит). Мы ограничимся рассмотрением областей, больших с микроскопической точки зрения, когда роль простран

(12)(12)ственного квантования можно учесть по теории возмущений. Малым параметром является обратное произведение фермиевского импульса на характерный размер системы. В первом порядке по нему при вычислении электронной энергии следует заменить плотность состояний свободного электрона /?о на

(12)

(12)

где Vp — объем ферромагнитной области, Sf — площадь поверхности, разделяющей ферромагнитные и антиферромагнитные области [11] (внешнюю поверхность кри-

Рис. 2. Зависимость радиусов Я ферромагнитных (слева от пт) и антиферромагнитных (справа от пт) капель, относительно увеличения концентрации носителей ж и обратного фермиевского импульса от концентрации по； «尸(九)= =(1 + /)1/% 尸т0)Рис. 2. Зависимость радиусов Я ферромагнитных (слева от пт) и антиферромагнитных (справа от пт) капель, относительно увеличения концентрации носителей ж и обратного фермиевского импульса от концентрации по； «尸(九)= =(1 + /)1/% 尸т0)Рис. 3. Зависимость приведенного магнитного момента M/S от поля в неоднородном состоянии: 1) по = 1,6 х х 1020 см-3; 2) по = 1,4 • 1020 см-3; 3) по = 1,2 • 1020 см」з； 4) по = 0,8 х х 1020 см-3Рис. 3. Зависимость приведенного магнитного момента M/S от поля в неоднородном состоянии: 1) по = 1,6 х х 1020 см-3; 2) по = 1,4 • 1020 см-3; 3) по = 1,2 • 1020 см」з； 4) по = 0,8 х х 1020 см-3

Рис. 2. Зависимость радиусов Я ферромагнитных (слева от пт) и антиферромагнитных (справа от пт) капель, относительно увеличения концентрации носителей ж и обратного фермиевского импульса от концентрации по； «尸(九)= =(1 + /)1/% 尸т0)

Рис. 2. Зависимость радиусов Я ферромагнитных (слева от пт) и антиферромагнитных (справа от пт) капель, относительно увеличения концентрации носителей ж и обратного фермиевского импульса от концентрации по； «尸(九)= =(1 + /)1/% 尸т0)

Рис. 3. Зависимость приведенного магнитного момента M/S от поля в неоднородном состоянии: 1) по = 1,6 х х 1020 см-3; 2) по = 1,4 • 1020 см-3; 3) по = 1,2 • 1020 см」з； 4) по = 0,8 х х 1020 см-3

Рис. 3. Зависимость приведенного магнитного момента M/S от поля в неоднородном состоянии: 1) по = 1,6 х х 1020 см-3; 2) по = 1,4 • 1020 см-3; 3) по = 1,2 • 1020 см」з； 4) по = 0,8 х х 1020 см-3

сталла можно не учитывать, так как ее площадь мала по сравнению с площадью границы раздела ферромагнетик-антиферромагнетик).

При численной оценке отношения поправки 〜Sf/Vf к главному члену в (12) необходимо учитывать, что плотность электронов в ферромагнитной области п выше, чем средняя по кристаллу ng. Поэтому во втором члене следует брать в качестве электронной энергии Е фермиевскую энергию электронов с концентрацией п, а не ng. Оценки показывают, что при данных, приведенных на рис. 1 и 2, указанное отношение равно 1/2 при по = 0,2 • 1020 см-3 и 1/3 при ng = 1020 см-3. Ситуация более благоприятна в случае антиферромагнитных шариков, когда оно равно 1/4.

Согласно результатам Бальяна и Блоха [11], отношение третьего (не выписанного в (12) члена разложения) ко второму примерно равно (бтгтг^/3 vp/Sp) , т. е. при указанных выше значениях параметров 〜10%. Это обосновывает применимость разложения (12) в указанном интервале концентраций. Именно при таких концентрациях в реальных сильно легированных полупроводниках электроны доноров находятся в коллективизированных состояниях, так что используемые приближения вполне для них оправданы. При понижении концентрации условия применимости разложения (12) ухудшаются.

Введем обозначение R для толщины ферромагнитного домена в плоском случае и радиуса ферромагнитного или антиферромагнитного шарика и обозначим через ж = (п — по)/по относительное увеличение концентрации носителей в ферромагнитной части кристалла. Обе эти величины играют роль вариационных параметров.

Выражение для энергии (1) единицы объема кристалла можно переписать в виде

Е = Ес +。+ Eg + Ем)Ес = I /^опо(1 + /)2/з.(13)

Член D{n}^ учитывающий неоднородность электронного газа, с использованием формулы (12) может быть представлен как

1/з 5161/з 516Ес*/3(1 +/户3КЕс*/3(1 +/户3К(14)(14)

1/з 5

16

1/з 5

16

Ес

*/3(1 +/户3К

Ес

*/3(1 +/户3К

(14)

(14)

(15 а)(15 6)(15 в)(15 а)(15 6)(15 в)1 +1 +(17)(17)

(15 а)

(15 6)

(15 в)

(15 а)

(15 6)

(15 в)

1 +

1 +

(17)

(17)

где коэффициент /3 равен 2 для плоских слоев, 3 для ферромагнитных шариков и 3/ для антиферромагнитных шариков.

Очевидно, член D)связанный с пространственным квантованием электронных орбит, играет роль эффективной поверхностной энергии, зависящей от концентрации электронов п и вариационного параметра х. Если его не учитывать, то в рассматриваемой модели энергия системы не имела бы минимума по R.

Кулоновская энергия Eq для сферической геометрии вычисляется путем разбиения кристалла на ячейки Вигнера. В главном приближении по (Яп1/) она дается выражениями:

2 22

「7Г6 ПоН X

Еа =

для плоских слоев;

居=^ 時е2M Re + 3 — 3(1 + /)2/3)

для ферромагнитных шариков;

居=黑 п^е^х(3^ + 2 - 3“/з(1 + /)2/з) для антиферромагнитных шариков.

Магнитная энергия Ем и магнитный момент М (на атом) представляются в виде

(16)(16)|J|S Hs 力 HS )

(16)

(16)

(1 + ж)а34 I J| a3 1 + ж(1 + ж)а3 /

Выражения (13)-(16) справедливы и для магнитоэкситонных проводников, если в (16) заменить \ J\ S/2 на экситонную частоту и положить Н = 0.

Поскольку вариационный подход завышает энергию неоднородных состояний, область их стабильности должна быть еще шире, чем полученная ниже. Стабилизации неоднородных состояний должны способствовать также упругие напряжения, развивающиеся в системе D .

Как видно из выражений (13)-(16), к геометрии ферромагнитной части образца чувствительны лишь эффективная поверхностная энергия D и кулоновская энергия Eq. Минимизация суммы Q = D -\- Eq по R (при фиксированном ж) приводит к следующим выражениям для разных геометрий:

2^0,7)/2/3(1 + /)2/9По2^0,7)/2/3(1 + /)2/9По(18 а)(18 а)

2^0,7)/2/3(1 + /)2/9

По

2^0,7)/2/3(1 + /)2/9

По

(18 а)

(18 а)

для плоских доменов;

警 1,2)(2/ + 3 — 3(1 + /)2/3，" (1 + 力尸/9(18 6)

для ферромагнитных капель;

* ^ 1,2)/ (Зх + 2- 3力1/3(1 + /)2/з)1/з (1 + /)2/9(18 в)

для антиферромагнитных капель. Здесь принято обозначение

Выражения (18) позволяют установить, какая именно геометрия обеспечивает минимум энергии системы. Следует иметь в виду, что метод ячеек Вигнера не дает высокой точности в случае, если объем матрицы значительно меньше объема капель с другим типом магнитного упорядочения внутри ее. Поэтому выражение (18 6) для Qр дает ее достоверное значение лишь при достаточно больших ж, а выражение (18 в) для Q力一при достаточней малых ж (напомним, что по определению ж есть отношение объемов антиферромагнитной и ферромагнитной областей кристалла).

При малых концентрациях no « nF величина ж должна быть большой, и потому, согласно (18) и (18 6), минимум энергии достигается в случае ферромагнитных сферических доменов внутри антиферромагнитной матрицы. При концентрациях по, превышающих п 尸,величина ж должна быть мала. Поэтому минимум энергии достигается в случае антиферромагнитных сферических доменов внутри ферромагнитной матрицы. Плоские домены во всех случаях дают более высокую энергию, чем сферические.

Анализ уравнений (13)-(18) позволяет установить, что в рамках принятой модели неоднородные состояния энергетически выгоднее однородного при сколь угодно малых концентрациях носителей по, если выполнено неравенство

等 > 25/3 (*+)尸)'等 > 25/3 (*+)尸)'(19)(19)

等 > 25/3 (*+)尸)'

等 > 25/3 (*+)尸)'

(19)

(19)

где индекс F означает, что соответствующие величины вычисляются при по = пр (см. рис. 1). (Критерий (19) устанавливается вычислением энергии состояния с ферромагнитными каплями в пределе 少/?》1 при Н = 0.) Разумеется, практически он имеет смысл лишь до концентраций, при которых 从》e2nQ/3 /£q- При более низких концентрациях становятся существенными пространственные флуктуации потенциала примеси, приводящие к переходу электронов в бестоковые состояния. Ограничение (19), вообще говоря, более сильное, чем (11) вблизи пр.

0,4/^с + 1,517с0,4/^с + 1,517сСо стороны больших концентраций область существования неоднородных состояний ограничена предельной концентрацией п = пс находимой из условия дЕ/дх = 0 при ж = 0. С учетом определений (13), (16) и (18в) оно имеет вид

0,4/^с + 1,517с

0,4/^с + 1,517с

(20)

При подходе к этой концентрации снизу (см. рис. 2) доля х объема, занимаемого антиферромагнитной фазой, стремится к нулю (напомним, что Уд = //(1 + ж)), но радиус каждой антиферромагнитрюй капли остается конечным, стремясь к

1/3Яспс1/3Яспс1/з1/з(21)(21)

1/3

Яспс

1/3

Яспс

1/з

1/з

(21)

(21)

Критическая концентрация может оказаться меньше, если будет нарушено условие поляризации электронов по спину.

Обсудим теперь влияние внешнего магнитного поля на неоднородное состояние. Как следует из (17), магнитный момент образца возрастает с полем как за счет появления намагниченности у антиферромагнитной части образца, так и за счет увеличения размеров ферромагнитной части образца. Поэтому скорость возрастания момента с полем здесь выше, чем в нелегированном антиферромагнетике, и зависимость момента от поля существенно нелинейная (см. рис. 3).

В зависимости от соотношений параметров возможны два типа поведения магнетика в поле. Если в отсутствие поля однородная НКАФ структура нестабильна относительно малых флуктуаций концентрации электронов, магнитное поле ее стабилизировать не может. Это следует из условия экстремальности энергии (2), (4) по cos"(r) и постоянства числа частиц в системе (магнитное поле добавляет к электронной энергии лишь член, не зависящий от концентрации электронов, и член, зависящий от ее среднего значения). Поэтому неоднородное состояние сохраняется вплоть до установления полного ферромагнитного упорядочения в кристалле. Критическое поле, при котором это происходит, определяется из формулы (20) для заданной концентрации ng.

Если однородное состояние стабильно при Н = 0 относительно малых флуктуации электронной плотности, то при достаточно сильных полях оно может стать стабильным и относительно больших флуктуаций. Это означает, что достаточно сильное поле разрушает неоднородное состояние и устанавливается НКАФ состояние. Такая ситуация полностью аналогична разрушению индивидуального ферронного состояния в антиферромагнетике внешним полем, исследованному ранее [12].

Описанная выше зависимость характера неоднородного состояния от концентрации носителей и магнитного поля приводит к особенностям проводимости таких образцов. Как уже указывалось, при относительно малых концентрациях энергетически более выгодна неоднородная структура, при которой ферромагнитная часть кристалла многосвязна, а при больших концентрациях — когда она односвязна. Очевидно, вблизи концентрации, при которой энергии этих состояний сравниваются и ферромагнитная часть кристалла из многосвязной становится односвязной, с ростом концентрации должен происходить резкий подъем проводимости (в рамках принятой аппроксимации должен был бы быть переход из изолирующего в проводящее состояние). Этот эффект в известной мере напоминает наступление протекания в дефектных проводниках.

Если при Н = 0 энергетически выгоднее, чтобы ферромагнитная часть кристалла была многосвязной, в достаточно сильном магнитном поле она становится односвязной или кристалл переходит в однородное состояние. В первом случае должно наблюдаться гигантское отрицательное магнетосопротивление вблизи того значения поля, при котором меняется топология ферромагнитной части кристалла. Если кристалл переходит в однородное состояние, вместе со скачком проводимости должен происходить и скачок магнитного момента.

Полям, при которых происходит изменение топологии, соответствует на рис. 3 небольшой разрыв на кривой зависимости магнитного момента, что связано с использованием пробных состояний разной геометрии по обе стороны разрыва. Вместе с тем малость разрыва свидетельствует о согласованности используемых приближений. Как видно из рис. 3, критические поля по мере уменьшения концентрации носителей возрастают от десятков до сотен килоэрстед.

Следует заметить, что при п < пт резкий рост проводимости должен происходить и при повышении температуры, поскольку кристалл должен переходить при этом в однородное состояние. Это должно быть справедливым и для относительно малых концентраций примеси, близких к той, начиная с которой происходила бы коллективизация электронов доноров с образованием примесной зоны, если бы 3*

в окрестности дефектов антиферромагнитное упорядочение не заменялось бы на ферромагнитное. Образование таких локализованных ферронов приводит к уменьшению радиуса донорных состояний и, следовательно, к уменьшению перекрытия орбит соседних доноров. В результате этого коллективизации электронов доноров при Т = 0 не происходит, но она может произойти при повышении температуры, так как ферронные состояния при этом разрушаются.

Поступила в редакцию 25 сентября 1974 ?•

Список литературы

Nagaev Е. L., Grigin А. Р. // Phys. Lett. 1972. V. 38А. Р. 469. (Статья 1.6 настоящего сборника.)

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 558. (Статья 1.8 настоящего сборника.)

Кривоглаз М.А. // ЖЭТФ. 1972. Т. 63. С. 670.

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484; ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. {Статьи 1.1, 1.2 настоящего сборника.)

De Gennes Р. // Phys. Rev. 1960. V. 118. Р. 141.

Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1972. Т. 14. С. 773.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 1215.

Wollan £, Koehler W. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Vitins J., Wachter P. / Программа и тезисы международной конференции по магнетизму, СССР. 22-28 августа. — М.: Наука, 1973. — С. 79.

Hohenberg Р., Kohn W. // Phys. Rev. В. 1964. V. 136. Р. 864.

Balian A., Bloch С. // Ann. of Phys. 1970. V. 60. P. 401.

Лазарев 力〃Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1973. Т. 15. С. 1635.

E. L. Nagaev

Solid State Communications. 1974. V. 15. P. 109-111

Near the Curie point the conduction electron energy in a nondegenerate ferromagnetic semiconductor is determined by the short range magnetic ordering. This prohibits formation of the magnetic polaron and leads to an anomalous temperature shift of the conduction band bottom in the paramagnetic region.

As is well known, the conduction electron in a ferromagnetic semiconductor gains in the energy because of the exchange interaction with magnetic atoms《s—d-exchange». The s—d-exchange gain is maximum for the complete ferromagnetic ordering and diminishes with its destroying. Having assumed the gain to be determined by the long range magnetic ordering, in [1-3] it was proposed that in some cases near Curie point 7c it is thermodynamically favoured for the conduction electron to create a microregion of an enhanced degree of the ferromagnetic ordering and to get autolocalized inside it (an analogue of the magnetic polaron in an antiferromagnetic semiconductor [4]).

In the present paper it will be shown that the energy of the free (nonautolocalized) charge carrier in a nondegenerate ferromagnetic semiconductor near 7c is determined not by the long-range magnetic ordering but rather by the short-range one. Since the degree of the latter is substantially higher than that of the former, the s—d-exchange gain in the charge carrier energy still remains large enough even if the autolocalization of the electron inside a fluctuation of the magnetization does not occur.

The consideration is restricted to the case of the conduction band width W greatly exceeding the product of the s—d-exchange integral A > 0 and the magnitude of the spin of a magnetic atom S》1. If the electron energy had been analytical in AS/W then in the first approximation in this parameter the «-^-exchange gain should have been 4〈S〉/2, where the angular brackets denote temperature averaging. Just this was assumed in [2, 3]. But, as is seen from further considerations the minimum electron energy is in general, nonanalytical in AS/W. This means, that the energy is determined not by the average moment of the macroscopically large crystal but by that of regions of typical dimensions 〜(W/4S尸a, where a is the lattice constant, 0 < ж < 1. Unlike the physical picture assumed in [2, 3], the spin of the conduction electron does not preserve its direction in the crystal, as a whole. But it almost preserves it inside each such a microregion, so that the conduction electron spin follows the local magnetic moment. For example, according to results obtained in [5], when the magnetic ordering is a screw one with a very large period, the s—d-exchange energy gain is almost maximum (i. e. 4S/2), though the average moment of the crystal as a whole is zero.

In approaching 7c from the high temperature side the correlation length 〃t i. e. the dimension of microregions of non-zero moment increases with diminishing T — Tq. For this reason the s—d-exchange gain becomes considerable still before appearing the magnetization of the crystal as a whole.

The temperature region is considered in which an expression for the spin binar correlation function of the Ornstein-Zernike type is valid, and higher correlation functions can be decoupled into binar ones. The following version of the standard graphical method is used. Each pair of vertices is connected by the line of spin fluctuations. The multiple

42s(S + l) (1 + a1) ⑴ 4Nr^ (x2 + g?) 3

corresponds to it, where 丁〜a, TV is the total number of magnetic atoms. Due to the movement of spins near 7c being classical the energy of the electron preserves in scattering by spin fluctuations, q and Act being changes in the quasimomentum and spin projections respectively. For the renormalized ground state electron energy the notation E = k2/2т is introduced, m 〜//Wa? being the effective mass of the conduction electron.

Each irreducible graph for the self-energy of an arbitrary order 2n, being proportional to A2n, is also proportional to W1-2n since it includes (2n — 1) energetical denominators. It includes n binar correlation functions, too, and the integration over n intermediate moments should be carried out. In the limit 〃/к T 0 only one typical momentum k enters each integrand. With allowance for condition AS/W《1 the integration can be carried out over the whole inverse space. For these reasons with allowance for (1) the contribution of the graph to the self-energy is of the order of 42nly i—z^k?—?? Thus, after summing up over all the irreducible graphs the electron self-energy in the zeroth approximation in “2/к? should be determined from an equation of the form

E^n(2)

where Xn are numerical coefficients corresponding to graphs of the order of 2n, which, in general, are unknown. This makes it possible to find the self-energy apart from an numerical multiple Y:

E = ~Y [£ S(S + 吗网 —AS (等广 ⑶

In a quite similar way the renormalized electron effective mass can be shown to be of the order of m. Using the variational principle for the ground state energy leads to the inequality Y》1.

As is seen from (3), the small parameter AS/W enters the energy only in the one third power. Since practically AS/W 〜0 J, the gain in the energy due the s—d-exchange is still very considerable at T 〜7b. This makes the conditions for the magnetic polaron formation more restrictive than indicated in [2, 3] though it is very difficult to satisfy even the latter [3].

The energy increases with x2, i. e. with T — 7c, and the standard perturbation theory in AS/W becomes valid for 亡》k?. Thus for T — Tc large enough E 〜—AS{AS/W). These results agree with experimental data [6-10]. According to them, on temperature increase the intrinsic optical absorption edge of the ferromagnetic semiconductors continues its anomalously strong shifting to the high energy side after passing Curie point. It follows from foregoing that this shift should not be proportional to the spin binar correlation function for the nearest neighbours.

Acknowledgements. The author of this note is deeply indebted to Prof. I. M. Lifshitz, Prof. L. M. Kaganov and Prof. V. L. Bonch-Bruevich for its discussion.

Received / November 7973.

References

Von Molnar S., Methfess el S. 〃 J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 959.

Krivoglaz M. A., Truschenko A. A. // Fiz. Tverd. Tela. 1969. V. 11. P. 3119.

Kasuya T., Yanase A., Takedo T. 〃 Solid State Comm. 1970. V. 8. P. 1543.

Nagaev E.L. // Zh. Eksp. i Teor. Fiz. Pis'ma. 1967. V. 6. P. 484. (Статья 1.1 настоящего сборника.)

Dzyaloshinskij I. E. // Zh. Eksp. i Teor. Fiz. 1964. V. 47. P. 336.

Busch G., Wachter P // Phys. Condens. Mater. 1966. V. 5. P. 282.

Busch G. 11 J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 1386.

Suits J., Argyle A 〃 J. Appl. Phys. 1965. V. 36. P. 1251.

Harbeke G., Pinch //.〃 Phys. Rev. Lett. 1966. V. 17. P. 1090.

Busch G., Maguar A, Wachter P. // Phys. Lett. 1966. V. 23. P. 438.

1.11. Кооперативные явления при взаимодействиимежду электронами через реальные бозоны

9〃. Нагаев, А. П. Григин

Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20(10). С. 650-654

На примере вырожденного ферромагнитного полупроводника показано, что взаимодействие между электронами через реальные бозоны приводит к осцилляциям экранированного потенциала нового типа и бесконечному росту радиуса экранирования с температурой, свидетельствующему о потере устойчивости однородного состояния системы.

Хорошо известно, что взаимодействие между электронами проводимости через виртуальные бозоны радикальным образом меняет свойства системы, приводя к появлению сверхпроводимости. Ниже будет показано, что существует специфический механизм взаимодействия между электронами через реальные бозоны, который хотя и не вызывает сверхпроводимости, но может привести к аномалиям в реакции проводящих кристаллов на внешнее поле и неустойчивости их однородного состояния.

Рассмотрение производится применительно к вырожденным ферромагнитным полупроводникам, хотя, в принципе, такого типа эффекты возможны и в других системах. При разрушении ферромагнитного порядка энергия электронов проводимости сильно возрастает, поэтому электроны стремятся подавить магноны и тем поддержать магнитный порядок. С этой точки зрения увеличение концентрации электронов в какой-то части кристалла при конечных температурах энергетически выгодно, так как позволяет увеличить там степень локального магнитного порядка. Таким образом, совместное подавление электронами магнонов приводит к эффективному притяжению между электронами.

Статическая диэлектрическая проницаемость е(д) вычисляется в приближении случайных фаз в рамках s—d-модели. Считается, что 2S》1, W》AS > 从》几， где S — спин магнитного атома, А > 0 — интеграл s—d-обмена, W — ширина зоны проводимости, 〃 — фермиевская энергия электронов, Тс — температура Кюри. В главном приближении по AS/W и 1/(2S) гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид [1]

〃 =£ 耿姑® + Е Gqb装q + E Ckqpa+ak_p6+6q+p + 学工 威弋产+P,

04 ( 石k+q _ Ek.石k+q - 石k-p)

kQP =拆石k+q— Ek4 s + 石 k+q —石 k —p 丿'

Спиновый индекс в электронных операторах а^^ а^ опущен, так как по условию AS > 〃 спины всех электронов направлены вверх; 6j, 6q — операторы «истинных» магнонов, т. е. волн колебания полного момента системы, включая спины электронов проводимости, Qq = 2mAS. Гамильтониан (1) получается из обычного гамильтониана 6—d-модели каноническим преобразованием типа Фрелиха, устраняющим из него члены, линейные по операторам отклонений d-спинов (число «истинных» магнонов должно сохраняться из-за сохранения проекции полного момента системы). При AS > 〃》Т можно не учитывать взаимодействие между электронами через виртуальные магноны, т. е. члены типа 声 а^а^а^а^.

Вычисление поляризационного оператора П(д, 0) производится методом температурных функций Грина [2]. На рисунке сплошными и пунктирными линиями изображены соответственно функции Грина свободных электрона и магнона, причем

диагональные члены из гамильтониана электрон-магнонного взаимодействия в (1) п редпо лагаются включенными в электронные и магнонные энергии. Недиагональным его элементам соответствует волнистая линия.

Рис. 1

Обычная поляризационная петля должна быть здесь модифицирована добавлением к ней графиков с электрон-магнонным взаимодействием. Из них следует отобрать лишь резонансные — с максимальным числом сечений между вершинами, через которые энергия переносится только магнонами (магнонные петли). Соответствующий такому сечению энергетический знаменатель при 3rl = 2тгпТ = 0 аномально мал — порядка ^Тс/S (если через сечение проходят электронные линии, он порядка W). Добавление магнонной петли к поляризационной петле сопровождается появлением на графике еще одной фермионной петли, идентичной исходной. Таким образом, каждая поляризационная петля должна быть заменена суммой бесконечной последовательности электрон-магнонных цепочек, изображенной на рисунке. С учетом малости 从/ZS при q《к результат можно представить в виде

{) = + 呼 n(Q, 0)； n(Q, о)= —： £ 厂

q丄-7q 厶1 Ер -乜p_q

/2111⑵

7q = 7o (1 -尸=+ F к* = 2ma,

где np — фермиевская функция распределения, Ер = р1 /2т^ в области + < Т < 7с 7о = QT, где Q при 7с ^ ASu и 7с ~ ASu дается соответственно выражениями

“aqQ“aqQ⑶⑶

“aqQ

“aqQ

⑶

⑶

и — число электронов проводимости на атом, а — постоянная решетки.

Как следует из (2), с ростом температуры радиус экранирования 丁(Т) первоначально убывает: 丁(Т) = А-1 д/1 — 70 . После достижения Т厶=(1 —艺)Q-1 экранированный потенциал становится осциллирующим:

= —— ехр(—cos Н"° "也 sina_T

8。厂L，2)oa+a_.

/2Лх ± (1 — 7o)x2V 470/2Лх ± (1 — 7o)x2V 470A <^C kp.A <^C kp.

/2Лх ± (1 — 7o)x2

V 470

/2Лх ± (1 — 7o)x2

V 470

A <^C kp.

A <^C kp.

(1 + §) QT. Так(1 + §) QT. ТакСогласно (4), радиус экранирования, пройдя при Т厶 через минимум, при дальнейшем

(1 + §) QT. Так

(1 + §) QT. Так

росте Т вновь возрастает и обращается в бесконечность при Tr =

же ведет себя и амплитуда осцилляций потенциала.

Убывание 丁(Т) с температурой при Т < Т^ обусловлено притяжением между электронами через магноны, конкурирующим с кулоновским отталкиванием. При Т > Т厶 роль притяжения настолько возрастает, что происходит перекомпенсация затравочного заряда зарядом экранирующих его электронов, собравшихся в его

непосредственной окрестности. В результате этого на больших расстояниях экра-

нируется уже этот избыточный заряд противоположного знака затравочному, т. е. экранирующий потенциал меняет знак. Таков механизм возникновения осцилляций экранирующего потенциала ⑷，которые, очевидно, не имеют ничего общего с осцилляциями Фриделя. При Т = Т五 притяжение через магноны делает однородное состояние системы неустойчивым относительно сколь угодно малых флуктуации, т. е. при Т《Tr должен произойти фазовый переход в какое-то неоднородное состояние.

Экспериментально в EuS при Т 〜5 K наблюдались особенности сопротивления [3], которые можно объяснить потерей устойчивости однородного состояния. Оценка Tr при Тс = 20 К, AS ~ 0,5 эВ, W ~ 5 эВ, n ~ 1020 см3 дает с учетом (2)-(4) 〜10 К.

Еще до достижения Т^, начиная с температуры Q~* наиболее длинноволновые компоненты е(д), согласно (2), претерпев бесконечно большой скачок, меняют знак. Это, однако, не приводит к нестабильности однородного состояния относительно малых флуктуации в интервале [Q-1, Тд]. Действительно, обобщением результатов [4] на конечные температуры легко получить, что свободная энергия системы зависит от фурье-компонент флуктуации электронной плотности nq по закону

R="£譎包『+。(期广)，⑷

а величины £(q)/П(^), согласно (2), особенностей в этом интервале не имеют. Физически это связано с тем, что электрическое поле вызывает перераспределение электронной плотности по кристаллу, а следовательно, меняет и локальную намагниченность. Поэтому на электроны проводимости в кристалле действует не только само электрическое поле в среде, но еще и потенциал обменного взаимодействия с моментом, наведенным этим полем. Расчет показывает, что это эквивалентно замене £(q) на s(q)(l —)q), а последняя величина, согласно (2), ведет себя подобно величине ^(Q)/n(Q), фигурирующей в (5).

Авторы благодарны И. М. Лифшицу и В. Л. Бонч-Бруевичу за обсуждение работы.

Поступила в редакцию 13 сентября 1974 ?•

Список литературы

Григин А. П., Нагаев Э.Л. // ТМФ. 1974. Т. 18. С. 393.

Абрикосов А. А., Горьков Л. П.、Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М.: ГИФМЛ, 1962.

Shapira У., Reed Т. // Phys. Lett. 1971. V. 36А. Р. 105.

Hohenberg A., Kohn W. // Phys. Rev. 1964. V. 136B. P. 864.

Эффективный гамильтониан и температурнаязависимость спектра носителей тока в магнитныхполупроводниках с узкими зонами

Э. Л. Нагаев, Э. Б. Соколова

ФТТ. 1974. Т. 16(5). С. 1293-1301

Дан упрощенный вывод гамильтониана носителей тока в магнитных полупроводниках с узкими зонами проводимости в двух важных частных случаях: 1) в спин-волновом приближении для ферромагнетика с произвольным спином атомов, 2) для классических спинов при произвольной их ориентации. Кроме того, найдена обобщенная структура гамильтониана при квантовой трактовке спинов магнитных атомов. Показано, что гамильтониан Де Жана, обычно используемый для таких систем, применим только при Т = 0 и не слишком больших углах между спинами соседних атомов. При помощи полученного в работе гамильтониана для классических спинов определена температурная зависимость спектра носителей в ферромагнитных полупроводниках. Анализом моментов плотности уровней показано, что хотя зона проводимости сильно сужается с ростом температуры, ее структура от температуры зависит слабо. Полный температурный сдвиг дна зоны проводимости в парамагнитной области оказывается того же порядка, что и в ферромагнитной.

В настоящее время задача о состоянии носителей тока в магнитных полупроводниках рассматривается или в рамках модели Хаббарда или s—d-модели. В работе [1] было показано, что в полупроводниковом пределе модель Хаббарда эквивалентна частному случаю s-cZ-модели, и потому достаточно ограничиться последней из них.

Для описания магнитных полупроводников с узкими зонами проводимости было предложено два различных подхода. Де Жан [2] постулировал вид гамильтониана носителей в случае больших спинов магнитных атомов S, основываясь на результатах, полученных Андерсоном и Хасегавой для системы, состоящей из двух атомов и одного электрона [3]. Гамильтониан Де Жана очень широко используется в работах по теории магнитных полупроводников. С другой стороны, в работах [4] гамильтониан для носителей тока в кристалле был выведен для произвольных спинов S и произвольного числа атомов в системе непосредственно исходя из гамильтониана 6—d-модели. Оба эти гамильтониана сильно отличаются друг от друга по структуре и приводят не только к разным количественно, но и во многих случаях даже и к качественно разным результатам. Это делает необходимым выяснение вопроса, какой из них лучше описывает ситуацию в магнитных полупроводниках.

При выводе гамильтониана в [4] была использована довольно сложная методика, основанная на применении специального типа неканонического преобразования обычного гамильтониана s—d-модели. В сочетании с громоздкостью выкладок это делало трудным восприятие работ [4], на что неоднократно обращалось внимание их автора. В настоящей работе дается новый гораздо более простой вывод этого гамильтониана в двух важных частных случаях: 1) в спин-волновом приближении для ферромагнетика с произвольным спином атомов, 2) для спинов, настолько больших, что их можно рассматривать классически, при произвольных их направлениях. Кроме того, найдена обобщенная структура гамильтониана при квантовой трактовке спинов, позволяющая отказаться от некоторых ограничений, наложенных в [4] на область его применимости. Показано, что гамильтониан Де Жана [2] имеет весьма узкую область применимости.

Выведенный в работе гамильтониан использован для исследования температурной зависимости спектра носителей в ферромагнитных полупроводниках. Показано, в частности, что аномально сильный температурный сдвиг дна зоны проводимости

должен существовать не только ниже точки Кюри, но и выше ее, что согласуется с экспериментом [5].

Спин-полярон-магнонный гамильтониан. В основе рассмотрения лежит обычный гамильтониан s—d-модели

"=月工脸命十4。-^£伉6)"&好，， (1)

где а*а, а*а — операторы рождения и уничтожения электрона проводимости с проекцией спина а на атоме g; Sg — спин этого атома, saa> — матрицы Паули, индекс △ нумерует ближайших соседей атома. Решетка кристалла считается простой кубической. По предположению ширина зоны W = 12 |В| мала по сравнению с энергией 6—d-обмена AS. Кроме s—d-обмена, учтенного в гамильтониане (1), существует еще прямой обмен между d-спинами, описываемый обычным гамильтонианом Гейзенберга.

В нулевом приближении по W/AS каждый электрон фиксирован на каком-то из атомов, и система находится в собственных состояниях гамильтониана s—d-обмена (второго слагаемого в (1)). Это означает, что спины атома и электрона на нем образуют единый спин, равный S + 1/2 при А > 0 и S — 1/2 при А < 0. В первом приближении по W/AS электрон может переходить с атома на атом, так что величина спина каждого атома не является фиксированной, а зависит от того, занят ли он электроном проводимости или же свободен от него.

В свою очередь сильная связь электрона со спинами магнитных атомов означает, что носителем тока здесь является не обычный зонный электрон, а квазичастица более сложной природы, для которой в [4] было предложено название «спин-полярон».

В этом разделе будет построен спин-поляронный гамильтониан для случая, когда конфигурация спинов магнитных атомов слабо отличается от ферромагнитной, и применимо спин-волновое приближение. Принципиально важным является то обстоятельство, что здесь бессмысленно говорить о магнитном упорядочении одних только собственных спинов атомов. Физический смысл имеет только момент всей системы, включая моменты электронов проводимости. Таким образом, речь идет о магнитном упорядочении в системе с изменяющимися значениями спинов атомов.

Идеальное ферромагнитное упорядочение здесь следует понимать в том смысле, что полный момент системы максимален. Качественно это означает, что спины всех атомов, независимо от того, есть ли на них электроны проводимости, или нет, направлены одинаково, и переходы электронов с атома на атом лишь меняют длину векторов спина, не меняя их направления (это эквивалентно движению по кристаллу «неправильных» спинов S 士 1/2).

Наличие в такой системе магнона означает, что по кристаллу распространяется волна отклонений спина, специфика которой состоит в том, что ее движение происходит на фоне движения по кристаллу «неправильных» спинов S 士 1/2. Прохождение волны через атом, независимо от того, есть ли на нем электрон или нет, равным образом приводит к уменьшению проекции его спина на единицу.

Переменность величины спина магнитного атома исключает возможность введения магнонных операторов при помощи соотношений Холстейна-Примакова, поэтому оператор рождения магнона на атоме определяется просто как изменяющий проекцию спина атома с максимально возможной до меньшей ее на единицу, а оператор его уничтожения — как сопряженный, причем они подчиняются бозевским перестановочным соотношениям. Такое определение, будучи инвариантным относительно величины спина атома, может быть использовано и при переменных спинах.

Построение спин-полярнного гамильтониана производится путем его разложения по степеням магнонных операторов. С учетом того, что система сохраняет число

магнонов, это разложение должно иметь вид (для определенности рассматривается случай А > 0)

〃〉=Но+ Н2+ 0(6*6*66),

< Но = В^^а^^у - ^^а1,>а^>^⑵

、〃2 =月£ (X%bg + Y%bg” + Zb院&bg + X/^bg”)唯,〉5必,〉，

где a*〉，Qg,〉и 6*, 6g — соответственно операторы рождения и уничтожения спин- полярона и магнона на атоме g (значок «>» означает, что А > 0); X, Y, Z — неизвестные коэффициенты (операторы спин-полярона отличны от электронных, но тоже подчиняются фермиевским перестановочным соотношениям).

Гамильтониан Hq в (2) соответствует идеальному ферромагнитному упорядочению, когда спин-полярон движется как обычный зонный электрон. В него входит получаемая в нулевом приближении по W/AS энергия s—d-обмена, которая не меняется при переходе спин-полярона с атома на атом и не зависит от относительной ориентации спинов атомов. Поэтому член 丛，квадратичный по магнонным операторам, должен быть связан с переходами спин-полярона с атома на атом. Это означает, что, подобно первому члену в гамильтониане (1), он должен иметь структуру, соответствующую приближению ближайших соседей. При этом члены типа a* ag6* 6ё+д, сохраняющие положение спин-полярона неизменным, не должны входить в него.

Чтобы найти коэффициенты X, У, Z, рассматривается собственное состояние системы с одним магноном. Его волновая функция может быть представлена в виде

①=E%3弗心(3)

где \у} — вакуумная функция для спин-полярона и магнона. Подстановка (3) в (2) приводит к следующей форме волнового уравнениям,

в，2 Cg+Ah + ВХ，2 Chhb (g + △, h) +

+£ Chh+Ab (h + △, g)=(石 + 年)Cgh, g 卢 h; (4)

△

6(1 + X)工 Cg+Ag + BY £ Cg+dg+A =(石 + 芋)Cgg，(5)

△△

где 6(/, g) — дельта-функция дискретного аргумента со значениями 1 или 0.

С другой стороны, то же состояние можно описать, исходя непосредственно из гамильтониана (1). Если на атоме нет электрона, его волновая функция есть просто b (S^, S), если его спин не отклонен, и b (S^, S — 1) , если он отклонен от направления момента. Если же на атоме находится электрон проводимости, то его волновая функция есть b (S^, S)а* ^ I。〉，если спин атома не отклонен, и

賑=^^ (Ab (S；, s — 1)脸 1/2 + b (S；, S) a；,_1/2) |0),⑹

если он отклонен (|0) — вакуумная электронная функция).

Нетрудно убедиться, что 中g есть собственная функция гамильтониана s—d-обмена (второго члена в (1)), соответствующая полному моменту электрона и атома S + 1/2 и его проекции S — 1/2.

Волновая функция системы может быть тогда представлена в виде

中=£ Cgh唯 1/21。〉ь ⑶,S — 1) П b (S3 S) + £ Cgg賑 П b (S3 S).⑺ gWhf^g,hgf*Wg

Подстановка разложения ⑺ в уравнение Шредингера с гамильтонианом (1) дает результат, совпадающий с ⑷，если положить

У =占，z = o，⑻

чем и заканчивается построение спин-полярон-магнонного гамильтониана при А > 0. Аналогичный расчет можно провести и при А < 0.

Спин-поляронный гамильтониан в общем случае.

Гамильтониан, подобный выведенному в п. 1, оказывается возможным построить и для произвольных спиновых конфигураций. Наиболее трудный момент в описании системы — переменная величина спинов атомов — преодолевается путем формального введения спинов одинаковой величины для всех атомов, а их реальное различие для атомов с электроном на них и без электронов учитывается структурой гамильтониана. В [4] в качестве такого «эффективного» спина выбрана величина спина S свободных атомов, не занятых электронами. Введенный таким образом эффективный спин совпадает с истинным для свободных атомов, для атомов же с электроном на них он непосредственного физического смысла не имеет. Однако все физические величины легко могут быть выражены через эффективный спин по известным правилам (простейший пример: при А < 0, когда истинный спин атома с электроном на нем равен S — 1/2, проекция его истинного спина S工 связана с проекцией его эффективного спина S" равенством S" = S^ — 1/2). Введенные в п. 1 магнонные операторы можно рассматривать как получающиеся из операторов эффективного спина путем использования соотношений Холстейна-Примакова, т. е. эффективный спин есть непосредственное обобщение этих операторов.

В [4] при А < 0 в первом приближении по W/AS было получено следующее выражение для гамильтониана через проекции эффективного спина:

Н< ="可"Е 嘘 <ag,< + 2s；i £ (J (S + S^)(S + $；+△) +

S^ = S士士 iSg (10)

Как видно из (10), при Т = 0 эффективная масса спин-полярона в ферромагнетике в 1 + S/2 раз больше, чем у зонного электрона [4, 6], а спин-полярон-магнонный гамильтониан имеет структуру типа (2).

Введение эффективного спина изменяет также и структуру гамильтониана прямого обмена между магнитными атомами, но при малых концентрациях электронов, а также при больших спинах этим можно пренебречь.

В случае А > 0 выбор величины эффективного спина, равной спину свободного атома S, приводит к утере одного из состояний занятого электроном атома, так как его мультиплетность больше, чем у свободного. При малых степенях возбуждения ферромагнитного кристалла или при больших значениях спина этим обстоятельством можно пренебречь, но в ряде случаев необходим учет всех состояний. Здесь

в качестве обобщения результатов [4] будет построен спин-поляронный гамильтониан, учитывающий все состояния атомов с электронами на них. Для этого следует в качестве эффективного спина выбрать величину спина, занятого электроном атома Т = S + 1/2, и трактовать в (1) операторы рождения и уничтожения электрона как соответственно операторы уничтожения и рождения дырки на том же атоме. При этом роль интеграла обмена дырки со спином атома играет величина (—А), т. е. задача свелась к уже обсужденной с точностью до того, что вместо операторов спин-полярона в гамильтониане (10) должны стоять операторы «антиспин- полярона». Возвращаясь к операторам спин-полярона, сопряженным операторам антиспин-полярона, и пользуясь перестановочными соотношениями для компонент спина, получаем из (10)

〃〉=年 £ 嘘〉4,〉+ 2s；i £ (J (T + 頂)(T + Т^+а) +

Н/T/〉Qg+A,〉・(11)

Здесь T^ T^ имеют смысл соответствующих проекций эффективного спина атома g, который совпадает с истинным, лишь если на атоме есть электрон. Если же его нет, то Т^ на 1/2 больше реальной проекции спина атома. Тем самым состояния незанятых электронов атомов с Т^ = — (S + 1/2) нефизические, что автоматически учитывается структурой гамильтониана (11). Действительно, эффективный блохов- ский интеграл (т. е. коэффициент перед 唯〉°^十厶〉)обращается в нуль при Т^ = =—(S + 1/2) 1) •

Построение эффективного гамильтониана системы существенно упрощается в пределе, когда векторы спина можно рассматривать классически и спин-поляроны переходят в обычные электроны проводимости. При построении такого гамильтониана для каждого атома следует ввести локальную систему координат таким образом, чтобы ее ось zg совпадала со спином атома g, и соответственно преобразовать электронные операторы, чтобы вместо проекций спина а = ±1/2 в общей системе координат электронные состояния характеризовались проекциями спина Т и * на ОСЬ Zg.

Соответствующее каноническое преобразование в общем случае имеет вид

'吨,1/2 =厂叭 cos)ga訐 + e~^ sin7g^,

%,—1/2 =sin 7ga*t +「Mg cos 7g嘎

где фазы связаны соотношением bg — 0g =嘘一〃g + тг.

Очевидно, коэффициенты преобразования (12) должны выражаться через параметры Кейли-Клейна. Здесь вместо углов Эйлера удобнее пользоваться углами, которыми определяется направление вектора Sg в общей системе координат (полярным углом 0g и долготой 3g). Явный вид коэффициентов преобразования (12) находится из следующих условий: 1) унитарности преобразования поворота; 2) инвариантности скалярного произведения спинов атома и электрона относительно поворота системы координат; 3) при повороте на угол 27r операторы吨 J/2 И *1/2, подобно спиновым

1) Нефизические состояния автоматически исключаются и в гамильтониане (10).

волновым функциям, должны менять знак, так как последние можно представить в виде а/ь |0) . В результате получается

…，…， (13)

〃g = 〃g + 等，〃g = _〃g + 等.

Величину 〃g без ограничения общности можно положить равной нулю, так как ее всегда можно исключить каноническим преобразованием, сдвигающим фазу электронных операторов.Подстановка выражений (12), (13) в гамильтониан (1) дает，〃 = % + / + нп,Ht = -^E 哈agf +6工 cos与拦产△哈ag+5年£小婚丄+月)где %g+A — угол между спинамиCOS "gg+A = cos "g cos 名 а фазы даются выражениямиВеличину 〃g без ограничения общности можно положить равной нулю, так как ее всегда можно исключить каноническим преобразованием, сдвигающим фазу электронных операторов.Подстановка выражений (12), (13) в гамильтониан (1) дает，〃 = % + / + нп,Ht = -^E 哈agf +6工 cos与拦产△哈ag+5年£小婚丄+月)где %g+A — угол между спинамиCOS "gg+A = cos "g cos 名 а фазы даются выражениямиcos^|^efgg+△脸 ag+Aj,cos^|^efgg+△脸 ag+Aj,атомов g и g + △,атомов g и g + △,COS 停g - Wg+A),COS 停g - Wg+A),(14)(14)

Величину 〃g без ограничения общности можно положить равной нулю, так как ее всегда можно исключить каноническим преобразованием, сдвигающим фазу электронных операторов.

Подстановка выражений (12), (13) в гамильтониан (1) дает

，〃 = % + / + нп,

Ht = -^E 哈agf +6工 cos与拦产△哈ag+5

年£小婚丄+月)

где %g+A — угол между спинами

COS "gg+A = cos "g cos 名 а фазы даются выражениями

Величину 〃g без ограничения общности можно положить равной нулю, так как ее всегда можно исключить каноническим преобразованием, сдвигающим фазу электронных операторов.

Подстановка выражений (12), (13) в гамильтониан (1) дает

，〃 = % + / + нп,

Ht = -^E 哈agf +6工 cos与拦产△哈ag+5

年£小婚丄+月)

где %g+A — угол между спинами

COS "gg+A = cos "g cos 名 а фазы даются выражениями

cos^|^efgg+△脸 ag+Aj,

cos^|^efgg+△脸 ag+Aj,

атомов g и g + △,

атомов g и g + △,

COS 停g - Wg+A),

COS 停g - Wg+A),

(14)

(14)

0g —夕g+厶2，少g +少g+a2，0g —夕g+厶2，少g +少g+a2，

0g —夕g+厶

2，

少g +少g+a

2，

0g —夕g+厶

2，

少g +少g+a

2，

(15)

^gg+Д =

、sgg+A —2*

〃gg+A = arctg (:設tg Cgg+A

Гамильтониан в форме (14) удобен для построения теории возмущений по W/AS. В первом приближении в (14) можно опустить член 〃巾 и тогда гамильтониан распадается на два независимых гамильтониана Н^ и Hj. Первый из них соответствует той же физической ситуации, что и гамильтониан Де Жана [2], и переходит в него, если все )gg+A = 0. Последнее условие означает, что все спины системы лежат в одной и той же плоскости, т. е. гамильтониан Де Жана может быть справедлив только при этом условии. В частности, по этой причине он заведомо несправедлив при конечных температурах для любой системы, состоящей более чем из двух атомов.

Сравним теперь полученные ниже классические гамильтонианы Н^ и Н^ (15) с гамильтонианами (10) и (11) соответственно в пределе больших спинов. Подставляя в последние компоненты вектора Sg, выраженные через углы % и </；g, получаем, что посредством канонического преобразования

**

5т = е 2%,〉；& = £2%,<

гамильтониан Н〉переходит в %, а гамильтониан //< — в Н，. Тем самым доказана эквивалентность этих гамильтонианов.

Гамильтонианы (10) и (11) показывают также точность классического предела (14). Очевидно, если S^ и S^” (или Т； и 頂+△) сравнимы друг с другом, точность классического приближения есть, как обычно, 1/2S. Однако если спины соседних атомов антипараллельны, (например, в (11) Т^ = —S + 1/2,專十厶=S + + 1/2, а в Н^ (14) "gg+a = 7г), его точность есть лишь 1/д/^ (это не противоречит результатам работы [3], поскольку в ней при квантовом рассмотрении спинов был вычислен не матричный элемент для перехода электрона с атома на атом, а энергия замкнутой системы, состоящей из двух атомов и электрона).

Для реальных значений спинов неравенство 2s》1 может быть выполнено с хорошей степенью точности, но величина д/25 практически оказывается порядка единицы. Это означает, что приближение классических спинов неудовлетворительно в случае конфигураций спинов, близких к антиферромагнитной. Использование в этом случае классического гамильтониана (14) может привести не только к количественным, но и к качественным ошибкам (см., например, [7]).

Температурная зависимость спектра носителей заряда. Выведенный в п. 2 гамильтониан дает возможность определить температурную зависимость спектра спин-поляронов. Для спин-волновой области это было уже сделано в [4], где показано, что в главном приближении по 1/2S ширина зоны проводимости с ростом температуры уменьшается, но характер закона дисперсии не изменяется (как видно, например, из (2), (8), в этом приближении влияние температуры сводится к ренормировке блоховского интеграла, энергия же при всех Т зависит от квазиимпульса по простому косинусоидальному закону).

В настоящей работе нас будет интересовать температурная зависимость спектра носителей при более высоких температурах — в парамагнитной области, начиная с окрестности точки Кюри Тс・ В этой области, вообще говоря, не удается диагона- лизовать гамильтониан носителей (14) хотя бы приближенно, и потому для анализа очень полезен метод моментов, не требующий предварительной диагонализации гамильтониана. Последние определяются выражениями

Мп = ^ 玩尹， (16) где черта — символ усреднения по температуре.

Как видно из структуры гамильтониана (14), отличны от нуля только четные моменты, т. е. энергетическая зона симметрична относительно своего центра. Для квадрата относительной дисперсии из (14) и (16) сразу же получается

(17)(17)

(17)

(17)

(решетка предполагается простой кубической).

Вычисление четвертого момента с учетом свойств симметрии системы приводит к результату

М4 = В4М4 = В439 丄 c(SoSi)丄 &(SoSi)(SiS4)39 丄 c(SoSi)丄 &(SoSi)(SiS4)I 6(&S2)(SoS3)JI 6(&S2)(SoS3)J

М4 = В4

М4 = В4

39 丄 c(SoSi)丄 &(SoSi)(SiS4)

39 丄 c(SoSi)丄 &(SoSi)(SiS4)

I 6(&S2)(SoS3)J

I 6(&S2)(SoS3)J

(18)(18)丄 i°(SoSi)(SoS3) q(SiS3)(SoS2)丄 3 ⑸&炉 \

(18)

(18)

где приняты сокращенные обозначения для координат атомов: 0 = (0, 0, 0); 1 = (1, 0, 0); 2 = (1, 1, 0,); 3 = (0, 1, 0); 4 =⑵ 0, 0).

Об изменении формы зоны проводимости с температурой можно судить по отношению г = М?4 [，М? . Расчет в окрестности точки Кюри производится с использованием значения(^染)=| [8], остальные же корреляторы (но не их квадраты) считаются нулями. При Т —> оо нулями считаются все корреляторы. При Т = 0 все корреляторы, естественно, равны единице. Для указанного отношения из (17) и (18)

получается:

при Т = 0 го = 1,25;

при Т = Тс гс = 1,23;

при Т》Тс 丁8 = 1,23.

Как видно, это отношение мало меняется с температурой. Это наводит на мысль, что плотность уровней />о(石)，получающаяся для косинусоидального закона дисперсии с эффективным блоховским интегралом Вэфф (17), может быть близка к истинной плотности р(Е).

Чтобы проверить это, следует получить выражение для моментов плотности и уровней в случае, когда состояния с определенным квазиимпульсом затухающие. Плотность может быть представлена в следующем виде:

0闾="『У …=Г d呐(产「叫 (19)

(20)(20)£k = 2Вэфф (cos kxa + cos kya + cos kza),

(20)

(20)

где F — функция Дирихле, равная единице при 旧一％| <》k и нулю вне этого интервала;以一энергия электрона с квазиимпульсом к; 2Ак — ширина уровня; ро — плотность уровней, соответствующая закону дисперсии (20).

Из (19) следует, что отношение моментов в главном порядке по А2 дается выра

жениемжением八 1 (〈犬石2〉 M2八 1 (〈犬石2〉 M2(21)(21)

жением

жением

八 1 (〈犬石2〉 M2

八 1 (〈犬石2〉 M2

(21)

(21)

где угловые скобки — символ усреднения с функцией распределения р&(Е). Как видно из приведенных выше численных значений г(Т), эта величина падает с температурой. Согласно (21), это означает, что ширина уровня должна сильно возрастать по мере приближения к центру зоны. Хотя в общем случае знания двух моментов М? и М^ недостаточно для получения количественных оценок, в пределе Т》Тс это оказывается возможным благодаря следующим обстоятельствам: 1) по причине полного отсутствия корреляции между спинами каждый из них рассеивает электрон независимо от других; 2) матричный элемент для рассеяния блоховской волны отдельным спином вследствие малого радиуса обменных сил не зависит ни от начального, ни от конечного импульса. По этой причине вероятность рассеяния, а следовательно, и Х(М могут зависеть от энергии только через плотность электронных уровней р(Е), которой они пропорциональны. Таким образом, в этом пределе можно положить А = =ж(2Вэфф)2ро(^) и найти безразмерную константу х при помощи соотношения (21).

Расчет проводится путем численного интегрирования фигурирующих в (21) величин с использованием протабулированных значений 0о(石)для используемого здесь закона дисперсии, представленных в [9]. В результате для х получается значение, равное 3. Так как, согласно [9], максимальное значение, которое плотность уровней достигает в центре зоны, равно 0,3(2Вэфф)-1, это означает, что максимальная ширина уровня в 3 раза меньше ширины зоны 12 |Вэфф| . Это есть следствие наличия в си-

стеме малого параметра — обратного координационного числа 1/z (z = 6). Нетрудно убедиться, что он появляется в выражении для ширины линии как следствие независимости рассеяния электрона каждым магнитным атомом от всех остальных.

Необходимо подчеркнуть, что использование состояний с определенным квазиимпульсом для расчета плотности состояний гораздо более оправдано, чем для расчета кинетических коэффициентов. Действительно, как следует из формулы (19), поправка к плотности состояний достаточно далеко от краев зоны квадратична по ширине уровня, в то время как сопротивление линейно. Что же касается влияния затухания на плотность уровней вблизи дна зоны, Ес = —6 |Вэфф| , то его нетрудно оценить, используя указанный выше закон зависимости ширины уровня от энергии Х(石)~ ~ 00(石)，

А(石)t 3/|&фф|(石—％);(22)

тогда из (19) и (22) получается, что затухание приводит к сдвигу вниз дна зоны проводимости на величину | Вэфф| /4, которой можно пренебречь.

Эти выводы остаются в силе и вблизи, точки Кюри, где рассеяние носителей еще более слабое (как показано в [10], оно определяется ближним, а не дальним порядком, и потому пик сопротивления вблизи Тс в идеальном кристалле отсутствует). В [11] установлено, что часто наблюдаемый на эксперименте пик сопротивления может быть связан с дефектностью кристалла.

Таким образом, как и в спин-волновой области, положение дна зоны проводимости относительно ее центра дается величиной —6|Вэфф|, где эффективный блоховский интеграл Вэфф определен формулой (17). С учетом приведенного выше значения для бинарного коррелятора вблизи Тс отсюда следует, что температурный сдвиг дна зоны проводимости во всей парамагнитной области составляет 60 % от сдвига во всей ферромагнитной области, что согласуется по порядку величины с экспериментальными данными [5].

Поступила в редакцию 22 ноября 1973 г.

Список литературы

Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1973. Т. 13. С. 1163.

de Gennes Р. // Phys. Rev. 1960. V. 118. Р. 141.

Anderson Р.応,Hasegawa Я. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 675.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. T. 56. С. 1013; ФММ. 1970. Т. 29. С. 905.

Метфессель 3., Маттис Д. Магнитные полупроводники. — М.: Мир, 1972.

Изюмов Ю.А.^ Медведев М. В. // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 553.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. С. 1274 (Статья 1.4 настоящего сборника.)] ФТТ. 1972. Т. 14. С. 773.

Callen Е. // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 20. Р. 2045.

Изюмов Ю. А., Медведев М. В. Теория магнитоупорядоченных кристаллов с примесями. —М.: Наука, 1970.

Fisher М., Langer J. 〃 Phys. Rev. Lett. 1967. V. 20. P. 665.

Григин А. П.^ Нагаев Э.Л. // Письма ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 438.

3. Магнитострикционные ферроны

В. Д. Лахно, Э. Л. Нагаев

ФТТ. 1978. Т. 20(1). С. 82-86

Рассмотрена автолокализация электронов проводимости внутри созданных ими областей ферромагнитной фазы в метамагнетиках с сильной зависимостью обмена от объема (типа EuSe). В отличие от обычных ферронных состояний здесь создание ферромагнитной области сопровождается изменением знака интеграла обмена между магнитными атомами в области локализации электрона. Затраты энергии на ее создание в основном определяются деформацией решетки. Показано, что внешнее магнитное поле приводит к возрастанию магнитного момента феррона и при h = hc (hc — поле схлопывания подрешеток), его момент примерно вдвое превосходит момент феррона в отсутствие поля. Возрастание магнитного момента феррона происходит и в отсутствие магнитного поля, если к образцу приложено внешнее давление, вызывающее деформацию кристалла.

Как было показано в работах одного из авторов [1, 2], в некоторых типах полупроводниковых кристаллов энергетически выгодными могут оказаться состояния носителей тока, когда электрон проводимости создает микрообласть нормально нестабильной фазы и стабилизирует ее своей локализацией в ней. Наиболее благоприятными условия для реализации таких состояний оказываются в антиферромагнитных полупроводниках. Область локализации электрона проводимости представляет собой включение ферромагнитной фазы в антиферромагнитной матрице. Энергетическая выгодность такого состояния обусловлена тем, что ферромагнитное упорядочение обеспечивает минимум энергии электрона проводимости. Автолокализованные состояния носителей тока в антиферромагнитных полупроводниках, получившие название ферронных, наблюдались экспериментально в кристаллах EuSe и ЕиТе [3]. По оценкам [1, 2], энергия электрона понижается из-за автолокализации на 0,1-0,2 эВ.

В работах [1, 2] при оценке энергии феррона решетка кристалла считалась абсолютно жесткой. Между тем автолокализация электрона должна вызывать смещение атомов решетки, которое может существенно сказаться на энергии феррона. В работе [4] было показано, что поляризация ферроном ионного остова кристалла очень сильно повышает стабильность ферронного состояния. Повышения его стабильности можно ожидать и вследствие упругой деформации кристалла типа сжатия или сдвига, не сопровождающихся появлением дипольных моментов. Исследованию этого вопроса и посвящается настоящая работа.

Деформация решетки изменяет как энергию локализованного электрона (конден- сонный эффект [5]), так и энергию обмена между магнитными атомами (магнитострикционный эффект). Первый из них обычно невелик. Он имеет порядок САУ/V, где С — константа деформационного потенциала, АУ/У — относительное изменение объема. При типичных значениях С ~ 10 эВ, АУ/У，10-3 он составляет лишь сотые эВ. Но магнитострикционная деформация решетки при образовании ферронов играет важную роль в гейзенберговских магнетиках с сильной зависимостью обменного интеграла от объема. Особенно интересна ситуация, когда постоянная решетки а близка к значению а。при котором интеграл обмена J(ac) обращается в нуль.

Примером таких веществ является EuSe, в котором как раз ферронные состояния наблюдались экспериментально [3]. Точка Нееля этого материала низкая (Tn ~ ~ 4,6 К), и даже небольшим давлением 1 кбар сдвигается на 1 К [6]. Далее, фазовый переход в неупорядоченное состояние у EuSe первого рода, что типично для материалов с сильной зависимостью интеграла обмена от объема кристалла [7]. И, наконец, сильной зависимостью интеграла обмена от объема можно объяснить метамагнетизм EuSe, проявляющийся в скачкообразном переходе из антиферромагнитного в ферро-

магнитное состояние в слабых магнитных полях 〜102-103 Э (обычное объяснение метамагнетизма сильной магнитной анизотропией для EuSe заведомо не проходит, так как этот кристалл изотропный, и поле анизотропии в нем всего лишь 100 Э [8]). Из-за сильной магнитострикции в EuSe величина внешнего магнитного поля, при котором происходит переход антиферромагнетик-ферромагнетик, с повышением давления уменьшается [6].

Магнитострикция в EuSe должна влиять на образование ферронных состояний гораздо сильнее, чем поляризация решетки. Энергия последней, согласно [4], обратно пропорциональна радиусу ферромагнитной микрообласти, а из-за малости затрат энергии на образование ферромагнитной области в метамагнетике этот радиус в EuSe велик (〜10а). По этой причине мы не будем учитывать эффектов, связанных с поляризацией. В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда энергия обмена носителя заряда с локализованными магнитными моментами AS/2 мала по сравнению с шириной энергетической зоны носителя W (он как раз реализуется в халькогенидах европия [9]).

Образование электроном ферромагнитной микрообласти в антиферромагнетике должно привести к деформации как самой микрообласти, так и всей антиферромагнитной матрицы. Созданная деформация, в свою очередь, изменяет значение интеграла обмена и в случае сильной зависимости последнего от параметра решетки может даже изменить его знак. Зависимость интеграла обмена от постоянной решетки а можно представить в виде разложения по степеням (а — а) где。丁 一 значение постоянной решетки в отсутствие обменного взаимодействия

J = + (а - а^ = + Jiuth где Ji = | а. (1) 3 да

В приближении ближайших соседей J = %$2//2。3, где S — спин магнитного атома, Z — число соседей, / — интеграл обмена, иц — сумма диагональных компонент тензора деформации. Задача об автолокализованном состоянии электрона решается вариационным методом. Считается, что внутри сферы радиуса R установлено ферромагнитное упорядочение, а вне нее упорядочение остается антиферромагнитным. Радиус области R считается вариационным параметром. Будем также учитывать, что снаружи на образец действует давление Р.

Функционал полной энергии системы в первом приближении по AS/W может быть представлен в виде

где 吵一волновая функция электрона, 〃注—тензор деформации, К и 从一модули всестороннего сжатия и сдвига соответственно. В выражении (2) первые два члена представляют энергию электрона, взаимодействующего посредством «-/-обмена с магнитными атомами, третий член соответствует обменной энергии магнитных атомов, а четвертый — энергии деформации, так как давление действует на поверхность кристалла, его влияние, как обычно, учитывается через граничные условия уравнением равновесия [10]. Функции 0i(r) и @2(丁) определяются типом упорядочения спинов решетки и равны

仇6 = {仇6 = {г < R, 丁〉凡г < R, 丁〉凡®2（ 丁）=®2（ 丁）=1, г < R,—1, г > R.1, г < R,—1, г > R.

仇6 = {

仇6 = {

г < R, 丁〉凡

г < R, 丁〉凡

®2（ 丁）=

®2（ 丁）=

1, г < R,

—1, г > R.

1, г < R,

—1, г > R.

Учет деформации решетки обязательно должен привести к понижению энергии ферронного состояния. Это следует из того, что деформации определяются из уравнений равновесия, представляющих собой условия минимума функционала (2) по смещениям 〃(т). Вычислим при помощи (2) тензор напряжений 内硏 согласно общему правилу,Учет деформации решетки обязательно должен привести к понижению энергии ферронного состояния. Это следует из того, что деформации определяются из уравнений равновесия, представляющих собой условия минимума функционала (2) по смещениям 〃(т). Вычислим при помощи (2) тензор напряжений 内硏 согласно общему правилу,°ik = ^^ = Kuii^ik + 2" (uik - I ^ikUii^ -，"认€)2(吟・°ik = ^^ = Kuii^ik + 2" (uik - I ^ikUii^ -，"认€)2(吟・⑶⑶Тогда уравнение равновесия для тензора напряжения:———=0 с учетом (3) прини-OXk мает видТогда уравнение равновесия для тензора напряжения:———=0 с учетом (3) прини-OXk мает вид△u + ] \ grad div и = О,△u + ] \ grad div и = О,⑷⑷где u — вектор деформации, △ — оператор Лапласа, а — коэффициент Пуассона, 从 = 石/2(1 + ст), К = Е/3(1 — 2ст), Е- модуль Юнга. Учитывая, что в точке г = О деформация должна быть ограниченной, получим решение уравнения (4) в видегде u — вектор деформации, △ — оператор Лапласа, а — коэффициент Пуассона, 从 = 石/2(1 + ст), К = Е/3(1 — 2ст), Е- модуль Юнга. Учитывая, что в точке г = О деформация должна быть ограниченной, получим решение уравнения (4) в видеCir,Cir,г < R;г < R;и = <ги = <г⑸⑸где Q,。2, °з — неизвестные константы, которые определяются из условия непрерывности смещений и напряжений при г = Я и граничного условия на бесконечностигде Q,。2, °з — неизвестные константы, которые определяются из условия непрерывности смещений и напряжений при г = Я и граничного условия на бесконечности'u{R — 0) = u{R + 0);'u{R — 0) = u{R + 0);EE(1 +cr)(l —2。)(1 +cr)(l —2。)(^rr (1 一 о) + О (“Q® + 〃夕夕))r_|_0 + J1 =(^rr (1 一 о) + О (“Q® + 〃夕夕))r_|_0 + J1 =EE(1 + сг)(1-2сг)(1 + сг)(1-2сг){Urr (1 —。) +。("”” + 〃夕夕))r_0 — J1,{Urr (1 —。) +。("”” + 〃夕夕))r_0 — J1,⑹⑹EE*=(1 +。)(-2°)*=(1 +。)(-2°)(〃гг(1 - а) + а (и^ + “夕夕))+ J1 = -F, г схэ.(〃гг(1 - а) + а (и^ + “夕夕))+ J1 = -F, г схэ.

Учет деформации решетки обязательно должен привести к понижению энергии ферронного состояния. Это следует из того, что деформации определяются из уравнений равновесия, представляющих собой условия минимума функционала (2) по смещениям 〃(т). Вычислим при помощи (2) тензор напряжений 内硏 согласно общему правилу,

Учет деформации решетки обязательно должен привести к понижению энергии ферронного состояния. Это следует из того, что деформации определяются из уравнений равновесия, представляющих собой условия минимума функционала (2) по смещениям 〃(т). Вычислим при помощи (2) тензор напряжений 内硏 согласно общему правилу,

°ik = ^^ = Kuii^ik + 2" (uik - I ^ikUii^ -，"认€)2(吟・

°ik = ^^ = Kuii^ik + 2" (uik - I ^ikUii^ -，"认€)2(吟・

⑶

⑶

Тогда уравнение равновесия для тензора напряжения:———=0 с учетом (3) прини-

OXk мает вид

Тогда уравнение равновесия для тензора напряжения:———=0 с учетом (3) прини-

OXk мает вид

△u + ] \ grad div и = О,

△u + ] \ grad div и = О,

⑷

⑷

где u — вектор деформации, △ — оператор Лапласа, а — коэффициент Пуассона, 从 = 石/2(1 + ст), К = Е/3(1 — 2ст), Е- модуль Юнга. Учитывая, что в точке г = О деформация должна быть ограниченной, получим решение уравнения (4) в виде

где u — вектор деформации, △ — оператор Лапласа, а — коэффициент Пуассона, 从 = 石/2(1 + ст), К = Е/3(1 — 2ст), Е- модуль Юнга. Учитывая, что в точке г = О деформация должна быть ограниченной, получим решение уравнения (4) в виде

Cir,

Cir,

г < R;

г < R;

и = <г

и = <г

⑸

⑸

где Q,。2, °з — неизвестные константы, которые определяются из условия непрерывности смещений и напряжений при г = Я и граничного условия на бесконечности

где Q,。2, °з — неизвестные константы, которые определяются из условия непрерывности смещений и напряжений при г = Я и граничного условия на бесконечности

'u{R — 0) = u{R + 0);

'u{R — 0) = u{R + 0);

E

E

(1 +cr)(l —2。)

(1 +cr)(l —2。)

(^rr (1 一 о) + О (“Q® + 〃夕夕))r_|_0 + J1 =

(^rr (1 一 о) + О (“Q® + 〃夕夕))r_|_0 + J1 =

E

E

(1 + сг)(1-2сг)

(1 + сг)(1-2сг)

{Urr (1 —。) +。("”” + 〃夕夕))r_0 — J1,

{Urr (1 —。) +。("”” + 〃夕夕))r_0 — J1,

⑹

⑹

E

E

*=(1 +。)(-2°)

*=(1 +。)(-2°)

(〃гг(1 - а) + а (и^ + “夕夕))+ J1 = -F, г схэ.

(〃гг(1 - а) + а (и^ + “夕夕))+ J1 = -F, г схэ.

Согласно (5), справедливы равенства

"少少="夕夕с丄Оз =urr = 5 + 京,"少少="夕夕-(2 十 -3- 5Urr"少少="夕夕с丄Оз =urr = 5 + 京,"少少="夕夕-(2 十 -3- 5Urr=c2 ——十，丁 > R.=c2 ——十，丁 > R.r < Я,r < Я,(6‘)(6‘)

"少少="夕夕

с丄Оз =urr = 5 + 京,

"少少="夕夕

-(2 十 -3- 5Urr

"少少="夕夕

с丄Оз =urr = 5 + 京,

"少少="夕夕

-(2 十 -3- 5Urr

=c2 ——十，丁 > R.

=c2 ——十，丁 > R.

r < Я,

r < Я,

(6‘)

(6‘)

С учетом формул (6), (6‘)получаются следующие выражения для искомых коэффициентов:

⑺⑺* = 京累+ :；-费，Q =-★-费，03 = 3；：4从 般

⑺

⑺

Подставляя (6‘)и ⑺ в (2), получим для функционала полной энергии следующее выражение:

石=爲［（▽吵）2"石=爲［（▽吵）2"，r AS，r AS仇(丁)吵2 /r +仇(丁)吵2 /r +

石=爲［（▽吵）2"

石=爲［（▽吵）2"

，r AS

，r AS

仇(丁)吵2 /r +

仇(丁)吵2 /r +

丄4乃戸(2抬4/1 2PJA/、

где Еа — энергия антиферромагнетика в отсутствие электрона. Для дальнейших вычислений требуется конкретизировать вид пробной волновой функции электрона. При R》а она с точностью до членов 〜。/R совпадает с волновой функцией в сферически симметричной потенциальной яме радиуса R бесконечной глубины [1]

C = 向(亨一同)，

(Ю)(Ю)где Ее — энергия электрона. Подставляя (9) в (8), получим m*分十3К3К + 4/i k丿 2

(Ю)

(Ю)

Равновесное значение радиуса R можно найти из условия минимума Е: дЕ/dR = =0. Из (10) для него получается следующее выражение, справедливое не только для метамагнетика, но и для гейзенберговского антиферромагнетика с достаточно сильной зависимостью обменного интеграла от объема:

R= 8m* —Jo +R= 8m* —Jo +方2 7rjf 4/1方2 7rjf 4/11/51/5К 4/1 + ЗКК 4/1 + ЗКPJiPJi(ID(IDВ случае метамагнетика следует считать, что постоянная решетки в отсутствие внешнего давления (Р = 0) близка к значению ас, при котором обменный интеграл Jq меняет знак [7], т. е.В случае метамагнетика следует считать, что постоянная решетки в отсутствие внешнего давления (Р = 0) близка к значению ас, при котором обменный интеграл Jq меняет знак [7], т. е.J — L (а а(?) , J。— L (ат а(?), Ji — ~ Ldry.J — L (а а(?) , J。— L (ат а(?), Ji — ~ Ldry.(12)(12)В этом случае с учетом того, что иц = 3(а — ат)/а, энергия кристалла в отсутствие электрона проводимости дается выражением [7] (в расчете на магнитный атом)В этом случае с учетом того, что иц = 3(а — ат)/а, энергия кристалла в отсутствие электрона проводимости дается выражением [7] (в расчете на магнитный атом)Е = —La3 (a — ac) cos 2g + ^^ (a —。丁『一hS cos g,2aЕ = —La3 (a — ac) cos 2g + ^^ (a —。丁『一hS cos g,2a(13)(13)где, в согласии с (2),где, в согласии с (2),ат(Р) = а"。)(1ат(Р) = а"。)(1h — внешнее магнитное поле (в энергетическихh — внешнее магнитное поле (в энергетических费)，【единицах), g — угол между маг-费)，【единицах), g — угол между маг-нитным полем и моментом. Минимизированием выражения (13) по постоянной решетки а и углу g получается [7], что при Л = 0 изменение энергии при замене ферромагнитного (Ф) упорядочения на антиферромагнитное (АФ) равнонитным полем и моментом. Минимизированием выражения (13) по постоянной решетки а и углу g получается [7], что при Л = 0 изменение энергии при замене ферромагнитного (Ф) упорядочения на антиферромагнитное (АФ) равно石аф —石①=2厶。3 ((Zt(P) — Ос) = 2Jo(P),а постоянные решетки, соответствующие Ф и АФ упорядочению равныaF(P) = aT(P) +箒，aAF = aT(P)-薔.石аф —石①=2厶。3 ((Zt(P) — Ос) = 2Jo(P),а постоянные решетки, соответствующие Ф и АФ упорядочению равныaF(P) = aT(P) +箒，aAF = aT(P)-薔.(14)(14)(15)(15)Во внешнем магнитном поле h < hc (Лс — поле схлопывания подрешеток) направления моментов обеих подрешеток антиферромагнетика практически не изменяются. Тогда (14) можно переписать в видеВо внешнем магнитном поле h < hc (Лс — поле схлопывания подрешеток) направления моментов обеих подрешеток антиферромагнетика практически не изменяются. Тогда (14) можно переписать в виде石аф(® -石①(拉)=2J0 + hS = 2J0 (1 - /)石аф(® -石①(拉)=2J0 + hS = 2J0 (1 - /)Shc = 2\J0\.Shc = 2\J0\.(16)(16)

R= 8m* —Jo +

R= 8m* —Jo +

方2 7r

jf 4/1

方2 7r

jf 4/1

1/5

1/5

К 4/1 + ЗК

К 4/1 + ЗК

PJi

PJi

(ID

(ID

В случае метамагнетика следует считать, что постоянная решетки в отсутствие внешнего давления (Р = 0) близка к значению ас, при котором обменный интеграл Jq меняет знак [7], т. е.

В случае метамагнетика следует считать, что постоянная решетки в отсутствие внешнего давления (Р = 0) близка к значению ас, при котором обменный интеграл Jq меняет знак [7], т. е.

J — L (а а(?) , J。— L (ат а(?), Ji — ~ Ldry.

J — L (а а(?) , J。— L (ат а(?), Ji — ~ Ldry.

(12)

(12)

В этом случае с учетом того, что иц = 3(а — ат)/а, энергия кристалла в отсутствие электрона проводимости дается выражением [7] (в расчете на магнитный атом)

В этом случае с учетом того, что иц = 3(а — ат)/а, энергия кристалла в отсутствие электрона проводимости дается выражением [7] (в расчете на магнитный атом)

Е = —La3 (a — ac) cos 2g + ^^ (a —。丁『一hS cos g,2a

Е = —La3 (a — ac) cos 2g + ^^ (a —。丁『一hS cos g,2a

(13)

(13)

где, в согласии с (2),

где, в согласии с (2),

ат(Р) = а"。)(1

ат(Р) = а"。)(1

h — внешнее магнитное поле (в энергетических

h — внешнее магнитное поле (в энергетических

费)，

【единицах), g — угол между маг-

费)，

【единицах), g — угол между маг-

нитным полем и моментом. Минимизированием выражения (13) по постоянной решетки а и углу g получается [7], что при Л = 0 изменение энергии при замене ферромагнитного (Ф) упорядочения на антиферромагнитное (АФ) равно

нитным полем и моментом. Минимизированием выражения (13) по постоянной решетки а и углу g получается [7], что при Л = 0 изменение энергии при замене ферромагнитного (Ф) упорядочения на антиферромагнитное (АФ) равно

石аф —石①=2厶。3 ((Zt(P) — Ос) = 2Jo(P),а постоянные решетки, соответствующие Ф и АФ упорядочению равныaF(P) = aT(P) +箒，aAF = aT(P)-薔.

石аф —石①=2厶。3 ((Zt(P) — Ос) = 2Jo(P),а постоянные решетки, соответствующие Ф и АФ упорядочению равныaF(P) = aT(P) +箒，aAF = aT(P)-薔.

(14)

(14)

(15)

(15)

Во внешнем магнитном поле h < hc (Лс — поле схлопывания подрешеток) направления моментов обеих подрешеток антиферромагнетика практически не изменяются. Тогда (14) можно переписать в виде

Во внешнем магнитном поле h < hc (Лс — поле схлопывания подрешеток) направления моментов обеих подрешеток антиферромагнетика практически не изменяются. Тогда (14) можно переписать в виде

石аф(® -石①(拉)=2J0 + hS = 2J0 (1 - /)

石аф(® -石①(拉)=2J0 + hS = 2J0 (1 - /)

Shc = 2\J0\.

Shc = 2\J0\.

(16)

(16)

Заменяя в (11) Jq на Jq(1 —拉/拉с), получим для радиуса феррона с учетом (15) следующее выражение:

R =R =8m*8m*方27r方27r,? (a尸(P) 一a在尸(Р)y 4/14 V a尸(Р) 丿 4// + 3к,? (a尸(P) 一a在尸(Р)y 4/14 V a尸(Р) 丿 4// + 3к(17)(17)

R =

R =

8m*

8m*

方27r

方27r

,? (a尸(P) 一a在尸(Р)y 4/1

4 V a尸(Р) 丿 4// + 3к

,? (a尸(P) 一a在尸(Р)y 4/1

4 V a尸(Р) 丿 4// + 3к

(17)

(17)

Из (17) видно, что при увеличении Л момент феррона возрастает, однако при h = hc радиус феррона остается конечным. Если для т* принять массу свободного электрона, для упругих констант К и 从 величину 〜Ю1о-1О11 н/м2, то при ————^ ~ 10-3 (для оценки берется величина магнитострикции в ЕиО при установлении Ф порядка выше Тс магнитным полем [11] и Л = Лс радиус ферромагнитной области R ~ 9a, где а ^ 3 А. Величину Jq можно оценить из (16) по критическому полю диссоциации ферронных состояний Лс ^ 103 Э [9]. Таким образом, отношение моментов феррона при Л = Лс и при Л = 0, согласно (17), равно

”(色)—戸(色)〜。

Это обстоятельство следует учитывать при экспериментальном обнаружении ферро- нов по измерениям магнитной восприимчивости образца, вызванной его освещением.

Как следует из работ [6, 12], в которых исследовался фазовый переход АФ/Ф под давлением в EuSe, EuTe, АФ упорядочению соответствует большая величина постоянной решетки, чем Ф упорядочению: aAF > ар. Поэтому при сжатии EuSe наблюдался фазовый переход антиферромагнетик-ферромагнетик [6, 12]. Это означает, что в формулах (12) нужно считать。丁 > ас, L < 0. Формула (17) дает также зависимость момента феррона от давления вплоть до критического его значения: Рс = ЗК(1 — ас/ат), при котором aT(F) достигает ас. Он растет с давлением и в отсутствие поля Л при Р = Рс тоже, примерно, вдвое превышает свое значение при F = 0 ( оценки получены при тех же численных значениях параметров).

Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что радиус феррона остается конечным в точке фазового перехода по F. Более того, он остается конечным даже в той области, где антиферромагнитное состояние метастабильно, возрастая по мере удаления от Рси обращаясь в бесконечность при давлении Р2 = ЗК(1 — %/°т) + + |丿1|4从/(4从 + ЗК). Конечность радиуса при Р^ > Р > Рс обусловлена напряжениями, возникающими в метастабильной фазе из-за появления в ней гетерогенного включения. Ситуация здесь по существу та же, что и в случае зародышей новой фазы при фазовых переходах первого рода.

В заключение отметим, что рассмотренная нами и в [7] модель метамагнетика несколько упрощает ситуацию в EuSe. В действительности, в EuSe в магнитном поле не сразу осуществляется АФ/Ф переход, а перед ним еще происходит фазовый переход типа антиферромагнетик — ферримагнетик с 瓦；~ 100 Э. Однако ферроны возможны и в ферримагнитной фазе, так как ее момент невелик [13]. По существу развитая выше теория может быть применена и для метамагнитных переходов типа ферримагнетик-ферромагнетик.

Поступила в редакцию 23 июня 1977 г.

Список литературы

Нагаев Э.Л. // Письма ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484. (Статья 1.1 настоящего сборника.)

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. (Статья 1.2 настоящего сборника.)

Wachter Р. // С. Р. С. Crit. Rev. Sol. St. Sci. 1972. V. 3. P. 189.

Лахно В.Д., Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1976. Т. 18. С. 3429.

Дейген М.①Пекар С. И. // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. С. 803.

Bush G., Schwob Р., Vogt О. // Phys. Lett. 1966. V. 20. Р. 602.

Kittel С 〃 Phys. Rev. 1960. V. 120. P. 335.

Метфессель 3., Маттис Д. Магнитные полупроводники. — М.: Мир, 1972.

Нагаев Э.Л. // УФН. 1975. Т. 117. С. 437.

Ландау Л. Д,.、Лифшиц Е. М. Теория упругости. — М.: Наука, 1965.

Shapira У., Yacovitch R., Becerra С, Me Niff Е. // Phys. Rev. 1976. V. 14. Р. 3007.

Schwob Р. // Phys. Cond. Mat. 1970. V. 10. P. 186.

Лазарев F. Л.〉Матвеев В. M., Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1975. Т. 17. С. 1955.

Автолокализация носителей тока в областях измененной фазы на поверхности кристалла

9. Л. Нагаев, А. И. Подельщиков

ФТТ. 1981. Т. 23(3). С. 859-862

Теоретически исследована возможность автолокализации носителей тока, находящихся в поверхностной зоне проводимости, путем создания на поверхности полупроводника микрообласти измененной фазы (например, ферромагнитной на поверхности антиферромагнетика). При равных прочих параметрах кристалла такие состояния (ферронные) на поверхности редкоземельного антиферромагнетика в 5 или более раз более стабильны, чем в объеме. В отличие от объемных ферронов, образование поверхностных ферронов из свободных носителей не требует энергии активации. Поэтому поверхностные ферроны могут оказаться более легко экспериментально наблюдаемы, чем объемные.

Как было показано одним из авторов [1], свободный электрон проводимости внутри полупроводникового кристалла может создать микрообласть нормально нестабильной фазы, являющейся потенциальной ямой для электрона проводимости, и локализоваться в ней, стабилизировав тем самым эту микрообласть. Затраты энергии на создание микрообласти измененной фазы компенсируются понижением энергии электрона при его локализации в этой области. Наиболее благоприятны условия для этого явления в антиферромагнитных полупроводниках с низкими точками Нееля Tn, где электроны проводимости могут локализоваться в ферромагнитных микрообластях. Именно в таких полупроводниках EuSe и ЕиТе и были экспериментально обнаружены такие состояния, названные ферронными (см. [1]).

Ферронные состояния могут оказаться стабильными не только ниже, но и выше точки Tn, хотя, разумеется, при высоких температурах они разрушаются. В ферромагнетиках состояния ферронного типа тоже в принципе возможны, но только начиная не с Т = 0, а с некоторой конечной температуры, когда ферромагнитное упорядочение в значительной степени разрушено. Однако условия автолокализации в ферромагнитных полупроводниках гораздо более жесткие, чем в антиферромагнитных, и потому свободные ферроны в ферромагнетиках пока не обнаружены.

Наряду с равновесными ферронами возможно также существование неравновесных ферронов, образующихся из носителей тока, возбужденных светом. Именно такие ферроны и наблюдались в EuSe и ЕиТе [2].

Поскольку обменное взаимодействие электрона проводимости с магнитными атомами короткодействующее, то для автолокализации, вызванной этим взаимодействием, требуется преодоление потенциального барьера [3]. Он обусловлен необходимостью предварительной затраты энергии на создание потенциальной ямы достаточной глубины и радиуса, чтобы она могла захватить электрон.

Совершенно ясно, что ферроны тем легче обнаружить, чем до более высоких температур они существуют и чем меньше энергия активации их образования. В связи с этим представляет значительный интерес исследование поверхностных ферронов. Они могут возникать в том случае, когда в спектре кристалла имеется поверхностная зона проводимости, дно которой лежит ниже дна объемной. Если, например, на поверхности антиферромагнетика создать ферромагнитную микрообласть, то она будет играть роль потенциальной ямы для электрона проводимости, осуществляющего двумерное движение вдоль поверхности. В отличие от объемного феррона в двумерной потенциальной яме всегда существует дискретный уровень. Поэтому заранее можно ожидать, что условия реализации поверхностных ферронов более благоприятные, чем объемных ферронов.

Реализации поверхностных ферронов в ферромагнетиках может способствовать еще и отличие их поверхностных свойств от объемных. Так, на поверхности ЕиО существует парамагнитный слой [4], в результате чего минимальная температура образования ферронов на поверхности должна быть существенно ниже, чем в объеме кристалла. Это относится не только к собственно поверхностным ферронам, возникшим в результате локализации электрона из поверхностной зоны проводимости. Если даже поверхностная зона проводимости, лежащая ниже объемной, и отсутствует в спектре кристалла, все равно парамагнитный слой на поверхности ферромагнетика делает возможным возникновение квазиповерхностных ферронов, которые соответствуют автолокализации электрона из объемной зоны проводимости.

Наконец, следует обратить внимание на возможности, которые предоставляет для реализации ферронов эффект поля. Привлечение внешним электрическим полем носителей тока на поверхность кристалла может резко повысить концентрацию ферронов на ней как истинных поверхностных, так и квазиповерхностных.

Рассмотрение проблемы проводится в рамках s—/-модели. Считается, что кристалл построен из магнитных атомов со спином S, образующих решетку с простой кубической элементарной ячейкой, и поверхностью кристалла является плоскость (100). Он занимает полупространство n》0. По предположению, дно поверхностной зоны лежит настолько ниже дна объемной, что ферронное состояние формируется только из состояний первой из них. «Поверхностная» часть гамильтониана «-/-модели имеет вид

“s = £ 6 (g _『)c^Cg^ - А (1 - е-^а) £ (SghS^/C—募％/ + Нм,

в (g — g/)=丽 £ exp (Eq (g - g/)), %。= ^^ £ ezqgcq<7,

где Нм ——обычный гейзенберговский гамильтониан обмена между ближайшими соседями. Соответствующий обменный интеграл I считается отрицательным, в то время как интеграл «-/-обмена А — положительным. Отличием поверхностных значений Z и А от объемных для простоты пренебрегаем. Символом Sgh обозначен оператор спина атома (g, Л), где двумерный индекс g = (g^, gy) нумерует атомы вдоль поверхности, а индекс Л — перпендикулярно ей; saa/ — матрицы Паули; а*а, aqc — операторы электрона в поверхностной зоне проводимости с двумерным квазиимпульсом q и проекцией спина ст; gq — энергия такого электрона; х — обратная глубина проникновения поверхностных состояний в кристалл; Ns ——число атомов на поверхности кристалла; а — постоянная решетки.

Рассмотрим сначала случай многоспинового феррона. Будем считать, что ферромагнитная микрообласть представляет собой круговой цилиндр радиуса R и образующей L в направлении, перпендикулярном поверхности. Остальная часть кристалла антиферромагнитна. Проводя подобно [1] каноническое преобразование операторов

^па = 屮rtb (g) Cgcr (2)

и считая коэффициенты Wnjg) медленно меняющимися функциями координаты g, получаем из (1), (2) в первом приближении по AS/W (W — ширина зоны проводимости) уравнение Шредингера для электрона с энергетически выгодным направлением спина. Оно совпадает с двумерным уравнением Шредингера, описывающим движение частицы с массой т* = (ГИа^/б) —】при наличии круговой потенциальной ямы радиуса R и глубины

U(L) = *1 —产厶) (3)

Равновесные значения вариационных параметров Я и L находятся из условия минимума полной энергии системы

Е = Ее +穴此：D , D = z^^^ (4) а

где Ее — электронный уровень в яме, n — число ближайших соседей (для первого поверхностного слоя выражение для D справедливо с точностью до 1 /г). Для глубоких уровней можно получить выражение (4) в явном виде. Минимизируя его по R и L, получаем равновесные значения этих параметров

铝。'63(舞)/，⑸

причем второе выражение в (5) справедливо, если правая часть положительна. В противном случае энергия Е (4) монотонно растет с L, т. е. следует положить L = =а. При параметрах, типичных для соединений редких земель (ширина объемной зоны ГИ 〜5 эВ, AS 〜0,5 эВ, D 〜10-3 эВ и х-1, составляющих несколько постоянных решетки), L слабо зависит от их значений и близка к 死一七 a R 〜5а, т. е. ферромагнитная микрообласть действительно имеет радиус, большой по сравнению с постоянной решетки. Приравниванием Е и dE/dR (4) нулю находится оценка для максимально возможного значения О, при котором феррон существует при Т = 0. Если L = а,

£> < А =請(笋(1 一 е-2*а)2. ⑹

При L > а получить выражение для Dc в явном виде не удается. Так как в этом случае выражение ⑹ с L = а завышает минимальную энергию феррона, ясно, что истинное Dc должно быть больше, чем Dc (6).

Сравнивая выражение для Dc (6) при х-1 〜а с соответствующим выражением для объемных ферронов из [1], убеждаемся, что даже при L = а образование поверхностных ферронов может происходить в антиферромагнетиках с энергией магнитного упорядочения (т. е. с точкой Нееля) в (3/2) y/2W/AS раз выше, чем образование объемных. При указанных выше значениях параметров этот множитель 〜5, если же L > а, то отношение поверхностного Dc к объемному еще больше. Таким образом, поверхностные ферроны гораздо стабильнее объемных. При тех же значениях параметров, если обмен на поверхности слабо отличается от обмена в объеме, они возможны в полупроводниках с 7n ~ 70 К.

Соответственно резко повышается и температура 7^ их разрушения в тех кристаллах, где они реализуются. Если разрушение происходит в парамагнитной области, то аналогично [1] должно быть справедливо соотношение Т& 〜Dc/ ln(2S + 1). Такая оценка справедлива и для верхней границы интервала существования ферронов в ферромагнитных полупроводниках, которые в отличие от ферронов в антиферромагнетиках могут существовать, начиная не с Т = 0, а лишь с достаточно высокой температуры, когда ферромагнитное упорядочение в кристалле в достаточной степени разрушено. Как свидетельствуют приведенные выше оценки, поверхностные ферроны вполне могут существовать в реальных ферромагнитных кристаллах. Таким образом, можно ожидать, что поверхностные ферроны возможны даже в таком высокотемпературном ферромагнитном полупроводнике как ЕиО, не говоря уже об EuS.

Существенный вопрос — кинетика образования ферронов из свободных электронов, ибо ею определяется концентрация термодинамически неравновесных ферронов при фотовозбуждении электронов. Рассмотрение этого вопроса будет проведено

подобно [3]: будет исследовано изменение энергии системы по мере роста степени локализации электрона. Будет считаться, что первоначально ферромагнитная микрообласть возникает на самой поверхности кристалла, и что угол между спинами соседних атомов отличен как от тг, так и от 0. Тогда в приближении сплошной среды энергия системы как функционал волновой функции электрона 中 и угла 犷 между моментами подрешеток с учетом (3) дается выражением

硏沙犷)=-]中*△中gрг _ и I中『cos犷(丁) d2r +乌卜os2犷6 d%⑺

причем выражение для Е должно быть минимизировано по радиусу электронной орбиты дт и cos ^{г). Из (7) получается, что при cos 犷(丁) < 1 энергия при достаточно малых D отрицательна и монотонно убывает с уменьшением 户一丄 Иначе говоря, образование феррона должно начинаться с возникновения намагниченной области большого радиуса, но с малым моментом. В дальнейшем радиус области должен уменьшаться, а намагниченность возрастать.

Выражение для О, начиная с которого 石(户)становится отрицательной, отличается от Dc (6) только тем, что численный множитель в нем равен не 0,41, а 0,48. Учитывая приближенный характер вариационного метода, представляется естественным заключить из этого, что если образование феррона вообще возможно, оно происходит без преодоления потенциального барьера. В этом состоит принципиальное отличие поверхностных ферронов от объемных, которые отделены от делокализованных состояний потенциальным барьером.

Наконец, исследуем возможность автолокализации носителей в материалах с высокими точками Нееля, где многоспиновые ферроны невозможны. К ним относятся соединения переходных элементов, для которых типичны относительно узкие зоны проводимости d-типа и большие интегралы s—/-обмена А, так как W <С AS. В этом случае делокализованными носителями являются не электроны, а спин-поля- роны [1]. Ограничимся случаем односпинового феррона: один спин на поверхности установлен антипараллельно моменту под решетки, которой он принадлежит. Кроме того, будем считать, что глубина проникновения поверхностных спин-полярных состояний в объем близка к постоянной решетки. Тогда соответствующая задача является двумерным аналогом задачи об односпиновом ферроне, рассмотренной в [1]. Условие существования односпинового поверхностного феррона имеет вид

D < Dc=exp (-7Г (1 + 击))•⑻

При W = 1 эВ, S = 2 величина Dc равна 0,012 эВ, т. е. такие односпиновые ферроны возможны в кристаллах с 7n ~ 100 К.

Заметим, что полученные выше результаты для поверхностных ферронов качественно сходны с результатами для флуктуационных уровней в двумерных системах [5].

Поступила в редакцию 20 мая 1980 г.

В окончательной редакции 22 октября 1980 г.

Список литературы

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

Wachter Р. // CRC Crit. Rev. in Sol. St. Sciences. 1972. V. 3. P. 189.

Иорданский С. В., Рашба Э.И. // Ж9Т①.1978. Т. 74. С. 1872.

Sattler К. Н. Siegman // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 1565.

Лифшиц И. M., Гредескул С. A. // Ж9Т①.1969. T. 57. С. 2209.

Прямое вычисление кинетических коэффициентовпо формулам Кубо

3. Л. Нагаев

Ж9Т①.1991. Т. 100. С. 1297-1302

Предложена методика для вычисления кинетических коэффициентов непосредственно из формул Кубо без решения кинетического уравнения. Она основана на разложении оператора рассеяния по обратным степеням числа атомов в кристалле. При упругом рассеянии на хаотически расположенных дефектах эта методика приводит к стандартным результатам кинетической теории. При неупругом же рассеянии (например, электронов на фононах) использование формулы Кубо позволяет получить выражение для проводимости в явном виде. В рамках стандартной кинетической теории проводимость можно найти лишь путем приближенного решения интегрального уравнения.

Конец 50-х годов ознаменовался фундаментальными достижениями в теории кинетических явлений. Исходя из уравнений движения для матрицы плотности, Кубо удалось получить точные замкнутые выражения для кинетических коэффициентов через корреляционные функции соответствующих потоков [1]. Так, тензор статической проводимости дается выражением

ОО 0

。从〃 =Re dt dX Op(-^A)JM(t)),о о⑴

j(t) = exp (iHt)j exp (-iHt), 0 = ^,方=1,

j — оператор тока, H — гамильтониан системы в отсутствие электрического поля. Наличие таких выражений должно было бы избавить от необходимости решать кинетическое уравнение для неравновесной функции распределения. В случае неупругого рассеяния это обстоятельство весьма существенно, ибо даже линеаризованное кинетическое уравнение является интегральным и потому, вообще говоря, точно решено быть не может. Далее, формула Кубо, в принципе, позволяет найти проводимость в любом порядке по взаимодействию электронов с рассеивающей подсистемой, чего кинетическое уравнение сделать не позволяет.

Однако теория Кубо оказалась фактически незавершенной, поскольку прямые способы вычисления токового коррелятора для конкретных систем найдены не были. В частности, оказались неплодотворными попытки построить этот коррелятор путем экстраполяции к большим временам выражения, полученного для малых времен, которые были начаты еще работой Кубо [1]. Практически ничего не дало и использование представления, в котором диагоналей полный гамильтониан //, включающий в себя гамильтониан рассеяния. Таким образом, выражение (1) оставалось скорее неким формальным символом, нежели инструментом для решения практических задач.

Были развиты различные непрямые способы вычисления токового коррелятора, когда он находится через двухчастичную функцию Грина, для расчета которой были предложены специальные методики (например, изящная, но достаточно сложная графическая техника Константинова — Переля [2], метод уравнений движения для двухвременных функций Грина [3] и т. д.). В конечном счете эти методики приводили к кинетическому уравнению, которое ранее было получено непосредственно из уравнения движения для матрицы плотности [4]. Кроме того, что эти методы позволили обосновать из первых принципов кинетическое уравнение, они дали возможность

1.15 ] Прямое вычисление кинетических коэффициентов по формулам Кубо 95 получить кинетические коэффициенты в любом порядке по потенциалу рассеивающей подсистемы с учетом вызванной ею ренормировки энергетического спектра электронов проводимости.

Тем не менее, эти и другие работы в том же направлении не снимают проблему непосредственного использования формулы Кубо для конкретных расчетов. В настоящей работе предлагается методика, позволяющая непосредственно вычислить кинетические коэффициенты по формуле Кубо без решения кинетического уравнения. В этой методике токовый коррелятор вычисляется с использованием представления, в котором диагоналей оператор тока, путем разложения гамильтониана рассеяния по обратному числу атомов в кристалле N. В случае упругого рассеяния электронов на хаотически расположенных дефектах эта методика позволяет в борновском приближении получить стандартные результаты кинетической теории. В случае же неупругого рассеяния электронов на фононах удалось получить выражение для проводимости, точное в рамках борновского приближения, чего кинетическая теория сделать не позволяет.

Примесное рассеяние. Общая методика вычисления токовых корреляторов в (1) будет продемонстрирована на примере рассеяния свободных электронов хаотически расположенными дефектами. Гамильтониан системы имеет вид

h = но + V, % = E跳a标匕 m = ±，

「^⑵

昨= R £ %q吨CLqexp [叩п(Р - Q)] •

«p,q

Спиновые индексы у электронных операторов。3 а^ опущены, рп — координата n-го дефекта, z/pq — матричный элемент его потенциала. Для упрощения выражений электронный газ будет считаться невырожденным, и потому вклад каждого электрона в проводимость не зависит от других. Будет использовано борновское приближение, в котором не учитывается ренормировка спектра электронов из-за их взаимодействия с дефектами. Тогда с учетом изотропности системы выражение (1) можно переписать следующим образом:

k 0⑶

厶=Re £ [(к| exp (zHt)|k,)(kk,)(k,| exp (—EH土)|k〃〃，

где Д — равновесная функция распределения для электрона с импульсом к, индекс 4沙 означает усреднение по распределению дефектов.

Для вычисления матричных элементов от операторных экспонент воспользуемся хорошо известным соотношением

где Т — символ упорядочения по времени. Имея в виду хаотичность распределения примеси, целесообразно для проведения усреднения по координатам дефектов представить операторные экспоненты в виде, мультипликативном по номеру дефекта.

Например, для выделения 沙]следует взять в качестве операторов А и В в формуле (4) соответственно Hi = Н —八。八.Тогда в принятом приближении

(5)(5)exp (iHt) = exp (iH^t) х

(5)

(5)

хх1 + 分 J exp (-分/717)以 exp (iH^t) dr о

х

х

В (г) = exp (IHqt)B exp (—iHor).

С другой стороны, согласно (4) в том же приближении

exp (—iH、T)人 exp (iH]T)exp (—EHqt)卜i — г j dr^t^T^ %]} exp (iHw),

匕=V —

При конфигурационном усреднении произведения двух операторных экспонент из (3), включающих в себя 沙匕 второй член в (5), (6) и аналогичный ему из комплексно сопряженной экспоненты обращаются в нуль, поскольку среди членов порядка ◎ они единственные, хаотически зависящие от случайной координаты /?1，

Продолжая эту процедуру, можем написать

Lk = ReE(kkXk|n^|k^^|nx：|k),

⑺

Представляя матричные элементы от произведения операторов Хп в (7) через матричные элементы от операторов Хп по отдельности и производя конфигурационное усреднение по парам (р \ Хп \ р'〉〈q‘ |Х^| q) , после использования соотношения

逸⑴=exp (iH()t)ak exp (—Е%土)= exp (―旭曾)。匕 (8)

получаем:

厶=Re ^2 52 П 卜 1九—1」九8「…九1 - ^2 Q%nP『G%p + |^rnp|2 G^p)] +

{k} {rn}L p」

+ ^U-iU^r^r^-i^in_iin^rnrn_i^in-in_i,rn-rn_i }(k, k”),(9)

где M — число дефектов, и приняты обозначения:

歹pk =歹Qkp)=(加kp)T [exp (加kp土)- 1] , Gkp = Ek —石p,(10)

(U)(12)(U)(12)Glp = GQlp) = G]p2 (1 — COS Glp) + 〃G]pl Qlpl sin Glp — 1) • С использованием равенства

(U)

(12)

(U)

(12)

2 sin2(cjf/2) —、№ ^ =")

выражение (9) может быть представлено в виде

几=廿｛ (1 —鼻 Wkq) + 鼻(1 一 ¥ ^р)MWkq土 甯卜

^廿｛1一£^**『（13）

где принято следующее обозначение для вероятности рассеяния из состояния |к) в состояние |q):

WkqWkq27r I Pkq I 6(Gkq)27r I Pkq I 6(Gkq)(14)(14)

Wkq

Wkq

27r I Pkq I 6(Gkq)

27r I Pkq I 6(Gkq)

(14)

(14)

При написании (11) учтено, что при упругом рассеянии с 石к =石q имеет место соотношение

(15)(15)£ ^кр = £ Wqp =〃 1 •

(15)

(15)

рр

Поскольку второй член в фигурных скобках в правой части (13) имеет порядок 1/N, функция отклика (13) переписывается в виде

Lk = A:2exp(-t/rk), т^г = М^ ^kq 1-^^ •(16)

q L」

Таким образом, убывание Lk со временем — простое экспоненциальное, и его характерное время — это обычное время релаксации для процессов переноса в бор- новском приближении (от времени затухания состояния оно отличается тригонометрическим множителем под знаком интеграла). Согласно (3), (13), проводимость невырожденного электронного газа дается как раз тем выражением, к которому приводит решение кинетического уравнения

(17)

Рассеяние на фононах. Ниже с помощью формулы Кубо будет получено выражение для проводимости невырожденного электронного газа, когда доминирующую роль играет рассеяние на фононах. В отличие от рассеяния на примеси оно, вообще говоря, неупругое, и по этой причине кинетическое уравнение, как уже указывалось, точно решено быть не может. Соответственно, можно ожидать, что с ростом времени функция отклика при неупругом рассеянии убывает по более сложному закону, чем простой экспоненциальный закон (16).

Гамильтониан электрон-фононной системы имеет вид

Н = Но + V, V = £ %,% = £ 瓦例畸 + £ 〜靖bq,

Qkq

1(18)

% =E 4q(靖a^Ok+q + aW+qOkbq),

где 6*, 6q — операторы рождения и уничтожения фононов. Ввиду независимости друг от друга фононных мод температурное усреднение по каждой из них производится отдельно от остальных. Это обстоятельство сильно упрощает вычисление функции

4 Э. Л. Нагаев

отклика путем разложения операторных экспонент в (3) по % ос N~ 1/?. Применяя ту же схему вычислений, что и ранее, приходим к аналогу выражения (9):

■ ЕЕП5…九(l()lN)blo,kbro,kblN,rN，(19)

{к} {Гп}冷=1

5…九=^ln-i,ln^rn,rn-i ( 1J^ {^41」6(句九,1九+4九 + 沙qj + Gf^rin+qn + ^qn)] +

+ (1 + rnqn)[^(^ln,ln-qn - ^Qn) + ^(<^rn,rn-qn -沙qj]}) +

^ J^ [mqn ^(^In-QnJn + %九)歹(必「戸九一4九—沙qn)% — i Jn—q^brn — iM—qn +

+ (1 + mqrJbt^ln+qnJn —沙qJ 歹(必1*戸九+4九 + ^Qn )^k Дп+Qn ^rn,rn + qn]"

Из (19) получается с учетом четности по q величин 4q, z/q и средних чисел фононов mq, следующее выражение D :

^kn =〉:m=n + l^kn =〉:m=n + l厶=廿 ехр{т£ (呪k+q, + 以k+qj [1- №))exp(^kn)]卜

^kn =〉:

m=n + l

^kn =〉:

m=n + l

^k+qn,k+qn-qm — ^k+qn,k+qn+qm J， ^q)

県 Hqnl2 (mQn + l)6(Gk,k —-),

Согласно (20), зависимость функции отклика от времени, действительно, неэкспоненциальная. Из условия конечности проводимости следует, что величины R^n при к? + kqn > 0 обязательно должны быть отрицательными. Если эти величины отрицательны также и при k2 + kqn < 0, то с ростом времени должен происходить кроссовер от экспоненциальной зависимости с характерным временем 丁匕

=£ (呪k+q +以k+q) к，(2D

ql」

являющимся аналогом транспортного времени релаксации, и такой же зависимости с характерным временем 冗，

冗二 £ (呪k+q + 叭k+q)，(22)

q

имеющим смысл времени жизни состояния |к).

В Следует отметить, что приведенный ниже результат (20) должен был бы совпасть с результатами точного решения интегродифференциального кинетического уравнения, если бы такое решение было возможно.

Следует указать, что при неупругом рассеянии время 丁左,в отличие от 冗,не является положительно определенной величиной. Поэтому, в принципе, возможна немонотонная зависимость функции отклика Lk от t, когда при малых t она с ростом t возрастает, а спадает только при достаточно больших временах, когда поведение Lk определяется временем жизни 冗.

Если же величины Rkn положительны при А:2 + kqn < 0, то при t > 埼竦 показатель экспоненты в выражении для 厶匕 будучи отрицательным, растет экспоненциально со временем. Таким образом, при таких временах функция отклика убывает с ростом t не экспоненциально, а практически скачком.

В пределе высоких температур, когда электронные энергии велики по сравнению с фононными частотами, неупругостью рассеяния электронов на фононах можно пренебречь. Тогда в (20) |k| = |к + qn| , и с учетом того, что суммы по всем векторам звезды qm от величин И^к干q^ и ^к+д^^+д^тат Равны 〃РУ「〃РУ「У，величина Якп обращается в нуль. (Строго говоря, суммирование по векторам звезды q^+i в выражении для Якп может быть неполным, но ввиду конечности их числа связанная с этим ошибка асимптотически мала.) Тогда зависимость функции отклика от времени, как и в (16), становится чисто экспоненциальной, и время 人(21), которое в этом пределе заведомо положительно, приобретает смысл истинного времени релаксации.

Нетрудно получить выражение для проводимости и при конечной, но малой неупругости рассеяния. Оно отличается от (17) заменой истинного времени релаксации Тк на эффективное т^^ даваемое выражением

£=Tk + 2Qk&, Qk = £*^ (呪k+q + 以k+q)%・q

При значительной неупругости рассеяния для вычисления интеграла по времени (3) с учетом (20), по-видимому, необходимо применение ЭВМ.

Поступила в редакцию 1 апреля 1991 года.

Список литературы

Kubo 兄〃 J. Phys. Soc. Japan 1957. V. 12. P. 570 (Перевод в сб.: «Вопросы квантовой теории необратимых процессов» / Под ред. В. Л. Бонч-Бруевича. — М.: ИЛ, 1961. С. 39.)

Константинов О. В., Перель В. И. // 求§Т①.1960. Т. 39. С. 197, 365.

Зубарев Д. Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.: Наука, 1971.

Kohn W., Luttinger Z. // Phys. Rev. 1957. V. 108. P. 590. (Перевод в сб. «Вопросы квантовой теории необратимых процессов» / Под ред. В. Л. Бонч-Бруевича. — М.: ИЛ, 1961. С. 121.)

16. «Рваные струны»: однонаправленная и двойнаяавтолокализация носителей заряда в антиферромагнитныхполупроводниках

3. Л. Нагаев

Ж9Т①.1994. Т. 105(4). С. 943-947

Если в антиферромагнитном полупроводнике типа Хаббарда шахматное упорядочение будет заменено слоистым, автолокализованное состояние носителя заряда изменяет свой тип, превращаясь из магнитной струны в состояние нового типа. В этом состоянии носитель автолокализован в одном направлении и остается свободным в остальных направлениях («рваная струна»). Вблизи границы между этими двумя антиферромагнитными фазами энергия рваной струны ниже, чем обычной струны. Поэтому внутри шахматной фазы могут возникать области слоистой фазы. Они стабилизируются локализацией внутри них рваных струн (двойная автолокализация).

Как хорошо известно, магнитная автолокализация носителей заряда типична для антиферромагнитных полупроводников (см. монографию [1] и обзор [2]). Считается теперь общепризнанным, что это явление может быть связано с высокотемпературной сверхпроводимостью. В [3] было введено понятие гетерофазной автолокализации: носитель создает микрообласть иной фазы и стабилизирует ее своей локализацией внутри нее. Случай, рассмотренный в [3], соответствует локализации носителя внутри ферромагнитной области. Такая квазичастица была мной названа ферроном. В [4] локализация носителей происходит в области антиферромагнитной фазы другого типа, чем исходная. Такая квазичастица получила название афмон. Состояния, соответствующие гетерофазной автолокализации, возможны в случаях, когда спин магнитного атома превышает 1/2. Однако они заведомо невозможны в моделях типа Хаббарда [2].

С другой стороны, в таких моделях возможны совершенно иные типы автолокали- зованных состояний носителей, когда области новой фазы не возникают. Первый пример таких состояний был дан в [5]. Соответствующую квазичастицу, названную в [5] квазиосциллятором, теперь принято называть в литературе магнитной струной. Она реализуется в антиферромагнетиках с шахматным упорядочением и характеризуется тем, что носитель заряда (например, электрон проводимости) осциллирует около положения равновесия, которое медленно движется по кристаллу. Когда электрон отходит от положения равновесия, вдоль его траектории возникает цепочка перевернутых спинов, что соответствует антифазному антиферромагнитному упорядочению вдоль этой траектории. Когда электрон возвращается к положению равновесия вдоль той же траектории, он стирает антифазное упорядочение и восстанавливается нормальное антиферромагнитное упорядочение. Как указано в [6, 7], спаривание струн может вести к ВТСП.

Но струны описанного типа не могут реализоваться в моделях типа Хаббарда, описывающих антиферромагнетики с другими типами упорядочения, например слоистым, типа Ландау. Именно этот случай и будет исследован здесь. Его особенность состоит в том, что движение электрона проводимости в направлении, перпендикулярном ферромагнитным слоям, вызывает переворот спинов, а движение вдоль слоев его не вызывает. По этой причине цепочки перевернутых спинов вдоль электронных траекторий оказываются разорванными, и соответствующее состояние носителя будет названо рваной магнитной струной. Главное отличие такого состояния от уже известных автолокализованных состояний состоит в том, что электрон автолокализован только в одном направлении (перпендикулярном ферромагнитным слоям) и остается свободным в остальных направлениях. Такая ситуация нетривиальна.

Например, в ферронном и афмонном состояниях, если даже антиферромагнитное упорядочение — слоистого типа, электрон остается автолокализованным во всех направлениях, включая направления вдоль ферромагнитных слоев.

Вблизи границы между шахматной и слоистой антиферромагнитными фазами энергия струны в слоистой фазе должна быть меньше, чем в шахматной (см. ниже). Поэтому оказывается возможным новое явление: двойная автол окализация. Она состоит в следующем: с той стороны от межфазной границы, где стабильна шахматная фаза, могут возникать области слоистой фазы, в которых локализованы струны. Таким образом, носители тока, уже находившиеся в автолокализованных состояниях типа магнитной струны, испытывают дополнительную гетерофазную автолокализацию. Иными словами, в отличие от [3, 4], области слоистой фазы возникают здесь как результат автолокализации не свободных носителей заряда, а уже автолокализованных электронов или дырок.

В вырожденных полупроводниках возможна ситуация, когда кристалл распадается на области шахматной и слоистой фаз, причем в каждой области слоистой фазы находится одновременно много электронов. Например, при Т = 0 в шахматной фазе не остается электронов проводимости. Такое явление, названное в [8] разделением фаз, было впервые исследовано в [9] в рамках s—d-модели для случая, когда высоко- проводящая фаза — ферромагнитная, а изолирующая фаза — антиферромагнитная. Очень модельно это явление было затем исследовано в [8], где было получено, что антиферромагнитный полупроводник типа Хаббарда может разделиться на антиферромагнитную и немагнитную фазы. В [10] в рамках s—d-модели исследовано разделение вырожденного антиферромагнитного полупроводника на шахматную и слоистую фазы. Обсуждаемая здесь ситуация отличается от исследованной в [9, 10] тем, что новая фаза создается здесь не свободными носителями заряда, а струнами. Но она отличается также от ситуации, исследованной в [8], не только природой фаз, но и малым числом носителей в расчете на магнитный атом в высокопроводящей фазе, исключающим возможность кулоновского взрыва кристалла в состоянии с разделенными фазами.

Здесь будет представлен расчет только для одноэлектронной задачи. Как и в [5], будет использована t-J-модель, и для простоты кристаллическая решетка будет считаться простой квадратной. Чтобы обеспечить стабильность слоистой фазы в такой структуре, необходимо учесть интегралы обмена Ji и 厶 соответственно между первыми и вторыми по дальности соседями. Граница между шахматной и слоистой фазами определяется соотношением Ji = 2 J2 < 0 (слоистая фаза стабильна при еще меньших 丿2)・ Волновая функция неподвижной струны, как и в [5] для шахматной фазы, ищется для слоистой фазы разложением по всем электронным траекториям, начинающимся в точке равновесия g. Но ее вид отличается от [5] учетом сохранения проекций спинов атомов, когда электрон проводимости (т. е. второй электрон на одном из атомов) движется вдоль ферромагнитных слоев, которые перпендикулярны оси ж:

оо d

叭g) = E£c(gA，A) (Sg产…(Sg+f △…)尢+△]+...+△几 10), (1) где символ △ под знаком второй суммы означает суммирование по всем векторам △i, связывающим ближайших соседей, проведенное при ограничении Ап 卢—An+i， Символ dn означает |А® | , S~ = Sx — iSy,夕^ — это оператор рождения пары дырок с противоположными спинами на атоме с номером f. Вакуумная волновая функция |0) описывает состояние с одним электроном на атом, когда спины атомов упорядочены антиферромагнитно таким образом, что ферромагнитные «слои» параллельны оси у.

В вакуумной волновой функции не учитываются нулевые колебания спинов. Во всяком случае, такой подход оправдан для изинговских систем. Что же касается

гейзенберговских систем, существует мнение, что в двумерном случае роль нулевых колебаний спина настолько велика, что эти системы могут находиться в состоянии спиновой жидкости вместо антиферромагнитного. Хотя окончательный ответ на этот вопрос еще не дан, ясно, что приближение, используемое здесь, является разумным, по крайней мере, для трехмерных систем. В случае гейзенберговских систем волновая функция (1) отражает тот факт, что в соответствии с условием, по которому электронный интеграл перехода между атомами велик по сравнению с обменным интегралом, спины магнитных атомов остаются неподвижными в течение времени, необходимого электрону для прохождения нескольких постоянных решетки.

Используя (1) и учитывая только что указанное сильное неравенство \В\》\J\ , где В — это блоховский интеграл для ближайших соседей, нетрудно получить в используемом приближении волновое уравнение следующего вида:

石c(g) = B^c(g,A),⑵

△

(E - К (Ai,,An))c(g,Ab ... ,An) = В £ c(g,Ab ... ,An,An+i) (3)

c

C (g,, • • • , ^n , △n + 1 , —△n + 1 ) = C (g, △1,・・ •,△?!)•(4)

Диагональные матричные элементы гамильтониана линейны по Ji и 办 Их зависимость от △ довольно сложна, но она может быть приближенно представлена следующим образом:

кА, ..•Ait 必，⑸

k = 6 1121s2, S=^・(6)

Это представление позволяет искать энергию основного состояния струны путем подстановки

c(g,Ai,,АП)=夕(£ 否).⑺

Используя приближение эффективной массы, можно получить из (5)—(7) следующее уравнение для рваной струны:

居sB(/)=尸/g(力)—他=1),⑻

^ts = ^ + 4 |B| , F = -,^ = \B\a ,⑼

с граничными условиями

а26(/?,(0) + д(0) = 0,(10)

6 = (2тп 尸 у/*(11)

где а — постоянная решетки. Собственными функциями задачи (8)-(10) являются функции Эйри

g(/)=4(2),2 =食).(12)

Согласно (10)-(12) и условию | J2 / ^ |《1 энергия рваной струны дается выражением

Е =Е =-4 |В| +-4 |В| +(13)(13)

Е =

Е =

-4 |В| +

-4 |В| +

(13)

(13)

где и ^ 2,4 — наименьший корень функции Эйри.

Что касается ширины зоны струны, соответствующей трансляционному движению ее положения равновесия по кристаллу, в случае шахматного упорядочения она определяется двумя факторами [11]: траекториями с самопересечениями и нулевыми колебаниями спинов (аналогичное заключение было сделано позже в [12]). В рассматриваемом здесь случае движение струны вдоль ферромагнитных слоев соответствует движению свободной квазичастицы. Но в перпендикулярном направлении характер ее движения совершенно иной. Мне не удалось найти траектории, которые приводят к движению в этом направлении. Таким образом, можно предположить, что обсуждаемое здесь движение определяется нулевыми колебаниями спинов. Это означает, что соответствующая компонента тензора эффективной массы струны должна быть того же порядка величины, что и найденная в [11] для шахматной структуры: там она оказалась в типичных условиях порядка эффективной массы магнона, т. е. в В/ J раз больше компоненты эффективной массы вдоль слоев.

Чтобы сравнить энергии нормальной струны в шахматной фазе и рваной струны в слоистой фазе, следует обобщить результаты [5, 11, 13], полученные для первой из них в приближении ближайших соседей по обменному взаимодействию, на случай, когда существенно и обменное взаимодействие между вторыми по дальности соседями. Вблизи границы фаз выражение для энергии струны в шахматной фазе отличается от (13) заменой множителя и на множитель г, который тоже порядка 1, но его точное значение неизвестно. Можно, однако, утверждать, что г превышает 〃， что следует из очевидного обстоятельства: при | 丿2丨,стремящемся к бесконечности, энергия нормальной струны стремится к нулю, а рваной струны к —2 |В| .

Тот факт, что энергия струны в слоистой фазе ниже, чем в шахматной, ведет к возможности гетерофазной автолокализации струны, сопровождаемой ее превращением из нормальной в рваную. Если в отсутствие носителей шахматная фаза стабильна, но разность О = (2丿2 —丿1) мала, то внутри шахматной фазы должны возникать области слоистой фазы, внутри которых локализованы рваные струны. Естественно допустить, что они имеют прямоугольную форму со сторонами X и У.

Очевидно, оптимальный размер X в направлении, перпендикулярном ферромагнитным слоям, должен быть порядка 1/6. Действительно, при X « 1/Ь струна находится, в основном, вне области слоистого упорядочения, и потому ее энергия близка к энергии нормальной струны. С другой стороны, если X》1/6, используя асимптотические выражения для функций Эйри первого и второго рода Ai(/) и Bi(/), нетрудно получить, что размерно-зависящая поправка к энергии рваной струны есть величина порядка ехр ^—- (Х6)3/2^ и, следовательно, ею можно пренебречь при ХЬ > 2. По этой причине при очень малых D можно положить X примерно равным 2/6. Тогда энергия автолокализованной рваной струны должна быть определена из условия минимума ее энергии:

=2DXY тг2 F(u - у)

(15)(15)что дает при Z) —> 0 дополнительное понижение энергии нормальной струны на величину порядка F/Ь с

(15)

(15)

Аналогичные выражения для размеров феррона и афмона в двумерном случае показывают, что при равных затратах D на создание новой фазы число атомов в ней для этих квазичастиц больше, чем для рваной струны. Существенно, что в результате двойной автолокализации однонаправленная автолокализация, свойственная рваной струне, преобразуется в автолокализацию во всех направлениях.

Эта работа выполнена во время пребывания автора в Бирмингамском университете. Я благодарен Королевскому Обществу Великобритании за предоставление финансовой поддержки от фонда им. П. Л. Капицы, позволившей осуществить это мероприятие. Я чрезвычайно признателен Ганну Дж.М.Ф. за его гостеприимство и очень полезные обсуждения.

Поступила в редакцию 21 июл乳 1993 г.

Список литературы

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

Nagaev E.L. // J. Magn. Mat. 1992. V. 110. Р. 39.

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484; ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. (Статьи

1.2 настоящего сборника^)

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55. С. 646.

Булаевский Л. Я., Нагаев Э. Л., Хомский Д.И. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 1562. (Статья 1.3 настоящего сборника^)

Hirsch 丿.// Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 228.

Huang К., Manousakis E. // Phys. Rev. B. 1987. V. 36. P. 8302.

Emery V., Kivelson £, Lin ". // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 475.

Нагаев Э. Л. // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 558; Кашин В. А., Нагаев Э. Л. // ЖЭТФ. 1974. Т. 66. С. 2105. (Статьи 1.8, 1.9 настоящего сборника.)

Nagaev Е. L., PodeVshchikov A.I. // Physica С. 1993. V. 205. Р. 91.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1970. Т. 58. С. 1269. (Статья 1.5 настоящего сборника^)

Trugman S. // Phys. Rev. В. 1988. V. 37. Р. 1597.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1988. Т. 100. С. 961.

Глава 2

МАГНЕТИКИ СО СЛОЖНЫМИ ОБМЕННЫМИВЗАИМОДЕЙСТВИЯМИ

Негейзенберговское обменное взаимодействиеи вызванные им эффекты

В. М. Матвеев, Э. Л. Нагаев

ФТТ. 14(2), 492-500, (1972)

Вводится обобщенный гамильтониан обмена, включающий наряду с членами, линейными по скалярным произведениям спинов, члены, билинейные по ним. Показана возможность неколлинеарной структуры при произвольной симметрии кристалла. Найден магнонный спектр в неколлинеарном состоянии, который имеет линейную и квадратичную ветви. Получена нелинейная зависимость магнитного момента от внешнего поля при Т = 0. При определенных условиях поле скачком переводит структуру в ферромагнитное состояние. С помощью вариационного принципа для свободной энергии сформулировано приближение молекулярного поля для негейзенберговских магнетиков. Показана возможность чисто магнитных фазовых переходов I рода из ферромагнитного или антиферромагнитного в неупорядоченное состояние, а также переходов I рода ферромагнетик-антиферромагнетик. Негейзенберговский ферромагнетик при температурах выше точки фазового перехода I рода при включении внешнего поля может скачком перейти в состояние с высокой намагниченностью. Из неколлинеарного антиферромагнитного состояния с повышением температур сначала происходит фазовый переход в коллинеарное состояние (антиферромагнитное или ферромагнитное), а затем фазовый переход в парамагнитное состояние. Возможен переход из ферромагнитного состояния в антиферромагнитное через неколлинеарное.

Успехи современной теории магнетизма существенно связаны с использованием обменного гамильтониана Гейзенберга. Вначале этот гамильтониан был предложен как модельный, но затем было доказано, что его можно вывести для ряда реальных объектов из точного многоэлектронного гамильтониана (см., например, [1]). Все эти выводы относятся к материалам, магнитные свойства которых определяются локализованными моментами, и предполагают существование того или иного малого параметра (отношение блоховского интеграла к энергии взаимодействия электронов на одном и том же атоме в случае магнитных изоляторов; отношение интеграла s—d-обмена AS к фермиевской энергии 从 в случае металла с косвенным обменом между локализованными моментами через электроны проводимости). В этих условиях члены четвертой и следующих степеней по операторам спина представляют собой малое возмущение, так что их влияние на свойства магнетиков, как правило, невелико.

Между тем можно указать весьма широкие классы магнетиков, свойства которых определяются локализованными моментами и для которых гамильтониан Гейзенберга заведомо неадекватен. Например, так обстоит дело в случае проводников с узкими зонами проводимости, генетически связанными с (/-уровнями, поскольку для них заведомо не выполняется неравенство AS///《1, обеспечивающее применимость

теории Рудермана-Киттеля. Указанное неравенство может быть нарушено и в случае полуметаллов или сильно легированных полупроводников с широкими зонами проводимости, если концентрация носителей заряда достаточно мала. Точно так же гамильтониан Гейзенберга может быть неприменим к изоляторам.

В связи со сказанным возникает вопрос, какие качественно новые свойства можно ожидать у магнетиков с существенно негейзенберговским обменом по сравнению с гейзенберговскими магнетиками? Выяснению этого вопроса и посвящена настоящая работа. Будет показано, что 1) при гейзенберговском обмене возможны новые типы магнитного упорядочения и новые типы магнонных спектров, 2) с изменением температуры возможны фазовые переходы между различными типами магнитного упорядочения (ферромагнетик-антиферромагнетик, коллинеарная структура — неколлинеарная структура), 3) такие фазовые переходы, а также переходы типа порядок — беспорядок могут быть I рода.

Все указанные результаты оказывается возможным получить в рамках простейшей модели изотропного негейзенберговского магнетика с гамильтонианом вида

"=—3 £ /% g) (S/Sg) — I £ К(/, g, j, k) (S/Sg) (S产Q — £ S沔0， (1)

где Sf — оператор спина атома с номером /,瓦—внешнее магнитное поле в энергетических единицах). Все индексы f)q, j)к в (1) считаются не совпадающими друг с другом.

Последнее условие продиктовано двумя соображениями: 1) из физических соображений естественно ожидать, что свойства магнетиков с S = 1/2 качественно не отличаются от свойств магнетиков с S > 1/2, а в случае S = 1/2 это условие выполняется автоматически; 2) оно позволяет естественным образом ввести приближение самосогласованного поля, что дает возможность исследовать поведение негейзенберговского магнетика при конечных температурах.

Следует отметить, что ранее в работе [2] была предпринята попытка учесть негейзенберговский характер обмена путем добавления к гейзенберговскому гамильтониану биквадратичного члена,

я = -|£ J(/, g) (S/Sg) + |£Л/, g) (S/Sg『.

С помощью этого гамильтониана авторы работы [2] пытались исследовать фазовый переход из антиферромагнитного в парамагнитное состояние. Однако рассмотрение в этой работе было некорректным, так как для средней энергии было использовано выражение (обозначения работы [2])

u = -；N 口2丿2(05)2 + 22力(05)4 + Z1j1(aS)4] •

Иными словами, в духе теории молекулярного поля величины〈(SgS/)?〉заменялись на произведение средних〈Sg『〈S力‘〈〈…)一символ температурного среднего). Однако такой подход заведомо ошибочен, так как на самом деле этот член — порядка 〈S；〉〈S；〉，т. е. S4, и отнюдь не стремится к нулю в точке фазового перехода.

Вполне реалистичны системы, хорошо описываемые гамильтонианом ⑴ с / ~ К. Например, при наличии нескольких механизмов обмена, стремящихся установить противоположные типы магнитного упорядочения, результирующие значения коэффициентов гейзенберговской части (1) могут оказаться аномально малыми. Однако результаты, полученные при помощи гамильтониана (1), представляют значительно более широкий интерес по следующей причине. Если какие-то свойства магнетика оказываются возможными в рамках модели (1), то они возможны и в рамках наиболее общего негейзенберговского магнитного гамильтониана, включающего члены

произвольно высокой степени по спинам (разумеется, спектр возможных свойств такого гамильтониана шире, чем у гамильтониана (1)). Более того, как показывает проведенное ниже сравнение с результатами расчетов для соответствующих материалов, модель (1) при Т = 0 хорошо описывает даже свойства таких проводящих магнетиков, в которых, вообще говоря, не удается разделить движений магнитных моментов и носителей заряда (например, упоминавшиеся выше проводники с узкими зонами проводимости). Это позволяет надеяться, что она правильно передает их свойства и при конечных температурах. До сих пор не удавалось провести сколь-нибудь надежного исследования свойств таких магнетиков при конечных температурах, так что исследованная здесь модель дает возможность в какой-то мере восполнить этот пробел.

Основное состояние и магнонный спектр негейзенберговского магнетика. Проводимое ниже исследование ограничивается магнитными структурами, представимыми двумя вставленными друг в друга эквивалентными подрешетками с произвольным углом 2犷 между направлениями их моментов х). В предельном случае ^ = 0 и ^ = тг/2 такие структуры сводятся к ферромагнитной и антиферромагнитной соответственно.

Вводятся локальные системы координат жу, д/, Zf для каждого атома /, так, чтобы ось Zf совпадала с направлением момента подрешетки, которой принадлежит этот атом. Кроме того, вводится общая система коор

динат, ось 2 которой направлена по биссектрисе между产

направлениями моментов подрешеток. Оси у у всех си

стем координат совпадают (рис. 1). Между компонента-Zf 卜 L®J Zf+l

ми спина в локальной и общей системе координат имеют\7

место соотношения勺+i\ /

S；/ = S} cos ® _ Sj sin 犷 e^/,

S『=S} sin 犷 e^/ + S； cos 也

Рис. 1. Общая и локальная системы координат. Ось z направлена по полному мо-Рис. 1. Общая и локальная системы координат. Ось z направлена по полному мо-где 7Г — вектор с компонентами(7г, тг, 7г), так что вели

Рис. 1. Общая и локальная системы координат. Ось z направлена по полному мо-

Рис. 1. Общая и локальная системы координат. Ось z направлена по полному мо-

сIVUsrl 1 у1 cWUld

чина е""/ равна +1 или —1 в зависимости от того, какой подрешетке принадлежит атом /.

Прежде всего исследуются основное состояние и магнонный спектр системы. Для этого производится обычный переход от операторов спинов к операторам рождения и уничтожения магнонов 6р бу

= （好+ 力）；^/ = ^vf （好一力）；sy = s -好力.

⑶⑶Удобно использовать операторы проецирования атома в определенную подрешетку, определяемые равенствами

⑶

⑶

Р±(/) = ^(1±/“).

⑷⑷В В. Г. Барьяхтар сообщил авторам, что аналогичные исследования были недавно проведены для геликоидальных структур.

⑷

⑷

С помощью формул (1)-(4) получаются следующие условия для экстремальности энергии основного состояния

sin 2 犷=0,

⑸⑸⑹⑹где приняты обозначениягде приняты обозначения/± = £/(/)р±(/);/± = £/(/)р±(/);⑺⑺cos2“ = —/+：s2k+—2s2 К—

⑸

⑸

⑹

⑹

где приняты обозначения

где приняты обозначения

/± = £/(/)р±(/);

/± = £/(/)р±(/);

⑺

⑺

⑻⑻к±± = £ 尸(九 gJ«)P士(/ -g)P士U -《),

⑻

⑻

причем, очевидно, К^= К_ + .

Как видно из равенства (5), энергии коллинеарных структур экстремальны всегда. Кроме того, возможен экстремум энергии и при неколлинеарной структуре, если параметры системы таковы, что правая сторона равенства (6) по модулю меньше единицы. Ясно, что в случае гейзенберговского магнетика это условие невыполнимо. Чтобы энергия системы при угле, даваемом равенством (6), была минимальной, необходима отрицательность величины КУсловия (5) и (6) обеспечивают обращение в нуль тех членов в гамильтониане (1), которые после подстановки в него выражений (3) оказываются линейными по магнонным операторам.

Квадратичная по магнонным операторам часть гамильтониана (1) диагонализу- ется обычным преобразованием Фурье по номеру узла и перепутыванием операторов рождения и уничтожения магнонов. В случае коллинеарных структур негейзенбер- говость обмена не меняет общего характера магнонного спектра. Поэтому ниже будет рассмотрен лишь магнонный спектр неколлинеарного магнетика. В общем случае выражение для магнонных частот Gq весьма громоздко и труднообозримо. Однако оно упрощается, если учесть взаимодействие только ближайших и следующих за ними соседей:

G； = (L2 + 2LK—— S3 sin2 2m (1 - 7q2)2 - 2LK—— S3 sin2 2犷(1 - 7qi) (1 - 7g2),

L = /+S + 2K++S3 + 2K+—S3 cos 2 也 7qi = ；£e"®'), Z = 1,2.("

Вектор 6i соединяет два соседних (первых и вторых соответственно) узла; zi — число этих соседей. Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что магнонный спектр здесь состоит из одной ветви, так как квазиимпульс q изменяется в пределах зоны Бриллюэна, определяемой пространственной, а не магнитной группой симметрии системы (т. е. —тг/а < qi，тг/а, где а — расстояние между ближайшими соседями).

С учетом того, что величина К__ должна быть отрицательной, из равенства (9) следует, что для устойчивости рассматриваемого состояния достаточно выполнения неравенства

厶〉2|K__|S3 sin2 7^.(10)

Это условие вполне выполнимо. Физически оно означает достаточно сильную ферромагнитную связь между атомами одной и той же подрешетки.

Как следует из формулы (9), при малых квазиимпульсах q магнонные частоты пропорциональны q2, а при малых к = (тг/а) — q) пропорциональны модулю этого вектора. Можно показать, что этот результат остается справедливым при сколь угодно большом радиусе взаимодействия между магнитными атомами. Таким образом,

спектр магнетика с неколлинеарной двухподрешеточной структурой радикальным образом отличается от спектров ферро- и антиферромагнетиков, не говоря уже о ферримагнетиках. Обсудим теперь свойства негейзенберговских магнетиков во внешнем магнитном поле.

В случае антиферромагнетика с обычной коллинеарной структурой негейзен- берговость обмена приводит к появлению особенностей в его кривой намагничения. Из формулы (1) нетрудно получить, что поперечная магнитная восприимчивость кристалла х (на один атом) дается выражением

_ dcos " _sТ

X -- 一2(/一 +2K+—$2 — 2K—— $2) +24K—— S2 cos'

Таким образом, в отличие от гейзенберговского магнетика величина х зависит от Bq. По условию стабильности антиферромагнитного упорядочения величина /_ + + 2K+ — S? должна быть отрицательной, поэтому при К__〉0 магнитная восприимчивость с ростом Bq возрастает. В частности, если |/_ + 2К^__S21 < 10K__S2, восприимчивость при некотором значении поля Bg обращается в бесконечность. Это означает, что после достижения полем величины Bg магнитная структура превращается скачком из неколлинеарной двухподрешеточной в ферромагнитную.

(12)(12)При К< 0 магнитная восприимчивость с ростом Bq убывает. Этот результат остается в силе и для неколлинеарного антиферромагнетика. В последнем случае из формул (6) и (11) получается, что отношение восприимчивости при Bq ―> 0 хо к восприимчивости при поле схлопывания подрешеток х/ равно

(12)

(12)

где 犷о — значение угла 犷 при Bq = 0. При cos2 犷о —> 0 Хо расходится как cos-2 犷°.

Негейзенберговские магнетики при конечных температурах. Для исследования поведения негейзенберговских магнетиков при конечных температурах используется приближение самосогласованного поля.

В [1] на примере гейзенберговского ферромагнетика с S = 1/2 показано, что это приближение можно получить из вариационного принципа. Ниже для вывода уравнений самосогласованного поля используется более общий вариант вариационного принципа.

днas?днas?По-прежнему рассматриваются одно- или двухподрешеточные структуры. Вводятся молекулярные поля, действующие на спины атомов. Очевидно, направление вектора молекулярного поля By, должно совпадать с направлением среднего спина атома /. Роль вариационных параметров играют угол 犷 между направлением среднего спина и осью z и величина молекулярного поля В. Удобнее, однако, вместо последней ввести связанный с ней вариационный параметр а таким образом, чтобы на спин рассматриваемого атома действовало молекулярное поле остальных спинов Sg(o,犷)，величина которых равна So,

днas?

днas?

6(0,")6(0,")=So (/+ +/_ cos 2")+

6(0,")

6(0,")

二"⑺+2$3。3 (к++ + 2K+_ cos 2^ + K__ cos2 2^);

=(sin 犷 ег7Г 勺，0, cos 犷).

(⑶ Равенство (13) означает, что после взятия операторной производной от гамильтониана (1) в нее вместо операторов Sg подставлены с-числа Sg(o).

Гамильтониан (1) представляется в виде

(14)(14)" = % + "1,

(14)

(14)

% = —60M£Sy,

где "о — гамильтониан молекулярного поля. Вариационный принцип для свободной энергии F записывается в следующем виде [1]:

(15)(15)尸三尸о +〈"3 F^ = -NT^ £ е 汽

(15)

(15)

— S

где 尸о — свободная энергия, соответствующая гамильтониану "о, угловые скобки — символ температурного усреднения с гамильтонианом Hq. Малости гамильтониана "i по сравнению с "о для возможности написания соотношения (15) не требуется.

Равновесные значения о。и 犷о параметров о и 犷 находятся из условий минимума «модельной» свободной энергии Fm по параметрам о и ". Первое из них приводит к естественному равенству

Scto =〈S『〉， (16)

второе же с учетом (16) принимает вид

(17)(17)sin 2^0 [l-al + 2S2a^(K+_ + К__ cos2%)] = 0.

(17)

(17)

При Т т 0 условие (17), как и должно быть, переходит в условия (5), (6). Таким образом, по-прежнему энергия может быть экстремальна при трех значениях угла 犷о. Однако условие минимальности свободной энергии имеет существенно более сложный вид, чем условие минимума энергии при Т = 0,

(18)(18)

(18)

(18)

Рассмотрим по отдельности случаи К__ > 0 и К__ < 0.

К> 0. В основном состоянии магнетик имеет коллинеарную структуру, ферромагнитную при /_ + 2К^__S? > 0 и антиферромагнитную при противоположном знаке неравенства. Молекулярное поле, действующее на спин, согласно (13) и (15), определяется из уравнения, эквивалентного условию экстремальности свободной энергии,

(19)(19)6 = S (/+ 士 Z_) BS (举)+ 2s3 (K++ 士 2K+— + К—) В| (毕)；

(19)

(19)

о / X 2S + 1 2S + 111

Ms® = ^^ Cth ^^ L 君 Cth 君力,

где 6s(力)—функция Бриллюэна, знак «+» соответствует ферромагнитному упорядочению, знак « —» — антиферромагнитному. Анализ уравнения (19) показывает, что характер уменьшения среднего момента атома с температурой существенно зависит от соотношения между параметрами / и К. Допустим вначале, что /_ и К^__ — одного знака, или что выполнено неравенство |/—|〉2S2 |К^| . Если выполнено

неравенство относительно параметра негейзенберговости

Q = —0 2 > (20)

2S2(K++±2K+— + K_)3(2S + 1)( 1 )

либо а < —1, кроме тривиального решения уравнения (19) В = 0, соответствующего парамагнитному состоянию, существует единственное нетривиальное решение, которому отвечает минимум свободной энергии (парамагнитному состоянию соответствует ее максимум). Нетривиальное решение обращается в нуль при некоторой температуре и при более высоких температурах отсутствует (фазовый переход II рода).

Если же неравенство (20) сменяется противоположным, начиная с некоторой температуры появляются два нетривиальных решения уравнения (19), т. е. кривая сг(Т) описывает петлю и возвращается назад (рис. 2). Решение, соответствующее ее участ-

Рис. 2. Зависимость намагниченности сг = Bs(SВ/Т) от температуры из уравнения (19). S = 1/2; SB(0)= =S2 (/+ 士 /_) + 2s4(长十十 士 2К+— + + К—), для а : 11/2, 2 — 0, 3 —1, 4 — 3, 5 — оо (гайзенберговский магнетик), 63.Рис. 2. Зависимость намагниченности сг = Bs(SВ/Т) от температуры из уравнения (19). S = 1/2; SB(0)= =S2 (/+ 士 /_) + 2s4(长十十 士 2К+— + + К—), для а : 11/2, 2 — 0, 3 —1, 4 — 3, 5 — оо (гайзенберговский магнетик), 63.Рис. 3. Зависимость намагниченности негейзенберговского ферромагнетика от внешнего поля при температурах выше скачка в неупорядоченное состояние. S = 1/2; а = 0. Значения 77sB(0): 1 -0,5, 2 — 0,6, 3—07 4 - 0,8Рис. 3. Зависимость намагниченности негейзенберговского ферромагнетика от внешнего поля при температурах выше скачка в неупорядоченное состояние. S = 1/2; а = 0. Значения 77sB(0): 1 -0,5, 2 — 0,6, 3—07 4 - 0,8

Рис. 2. Зависимость намагниченности сг = Bs(SВ/Т) от температуры из уравнения (19). S = 1/2; SB(0)= =S2 (/+ 士 /_) + 2s4(长十十 士 2К+— + + К—), для а : 11/2, 2 — 0, 3 —

1, 4 — 3, 5 — оо (гайзенберговский магнетик), 63.

Рис. 2. Зависимость намагниченности сг = Bs(SВ/Т) от температуры из уравнения (19). S = 1/2; SB(0)= =S2 (/+ 士 /_) + 2s4(长十十 士 2К+— + + К—), для а : 11/2, 2 — 0, 3 —

1, 4 — 3, 5 — оо (гайзенберговский магнетик), 63.

Рис. 3. Зависимость намагниченности негейзенберговского ферромагнетика от внешнего поля при температурах выше скачка в неупорядоченное состояние. S = 1/2; а = 0. Значения 77sB(0): 1 -0,5, 2 — 0,6, 3—07 4 - 0,8

Рис. 3. Зависимость намагниченности негейзенберговского ферромагнетика от внешнего поля при температурах выше скачка в неупорядоченное состояние. S = 1/2; а = 0. Значения 77sB(0): 1 -0,5, 2 — 0,6, 3—07 4 - 0,8

ку da/dT < 0, неустойчиво, так как величина dP F/da2 на ней отрицательна. Таким образом, в интервале температур, где (то(Т) неоднозначна, локальные минимумы свободной энергии достигаются как в упорядоченном состоянии (решение с большим значением В), так и в парамагнитном состоянии (по обе стороны от максимума могут лежать только минимумы). Это означает, что переход из упорядоченного в неупорядоченное состояние должен быть первого рода и что в рассматриваемом интервале температур возможны метастабильные состояния. При отсутствии гейзенберговского члена (а = 0) два нетривиальных решения существуют вплоть до Т = 0.

Представляет интерес выяснить, как влияет на фазовый переход в ферромагнетике внешнее поле 瓦.Его легко учесть, заменив в левой части уравнения (19) В на В — Bq. Включение не слишком большого поля сдвигает точку скачка в сторону более высоких температур, а при достаточно сильных полях скачок будет отсутствовать. С другой стороны, если постепенно увеличивать поле, при температурах выше точки фазового перехода I рода магнитный момент сначала возрастает плавно, а затем испытывает скачок в состояние с высокой намагниченностью (фазовый переход I рода в зависимости от внешнего поля (рис. 3)).

Обсудим теперь характер магнитного упорядочения в случае, когда |/_| < < 2s2 |К+_I . При низких температурах знак величины /_ + 2a^S2К+_ определи-

ется тогда знаком К—, но с повышением температуры величина /_ + 2а^32К^_ меняет знак, и поэтому должен происходить фазовый переход I рода ферромагнетик- антиферромагнетик или антиферромагнетик-ферромагнетик.

К< 0. Обсудим вначале случай, когда наряду с этим неравенством выполнено

|/_ +2S2K+—I < 2|К_|5之(21)

т. е. основное состояние магнетика неколлинеарно. Угол 2" между моментами подрешеток, согласно формуле (17), дается выражением

cos 2"=cos 2"=/一 +2520泳+一2s2^К—/一 +2520泳+一2s2^К—(22)(22)

cos 2"=

cos 2"=

/一 +2520泳+一2s2^К—

/一 +2520泳+一2s2^К—

(22)

(22)

которое при Т = 0 переходит в формулу (6). Величина молекулярного поля, согласно (13) и (22), определяется из уравнения

B = Sa-丁) Bs (毕)+ S3(K++一必)理(举)•(23)

Как видно из формулы (23), с ростом температуры величина ст。падает, поэтому в (22) знаменатель достигает по величине числителя и неколлинеарная структура становится далее невозможной. Тип коллинеарной структуры, в которую переходит неколлинеарная, определяется знаком величины /_: если она положительна, то происходит переход в ферромагнитное состояние, если отрицательна, то происходит переход в аниферромагнитное состояние.

Однако этот фазовый переход II рода может и не реализоваться, так как при еще более низких температурах условие устойчивости (18) может нарушиться и система скачком перейдет в коллинеарное или в неупорядоченное состояние.

Когда неравенство (21) заменено противоположным, при нулевой температуре оказывается стабильным коллинеарное состояние, тип которого определяется знаком /_ + 2S2K_|

Если величины /_ и К^_ различных знаков, причем |/_| < 2S2 |К+_ | , возможен следующий эффект. С повышением температуры разность /_ + 232адК+- меняет знак. В некоторой области значений параметра ао величина может стать по модулю меньше 2S2a^KВ указанном интервале значений ьо(Т) становится возможной неколлинеарная структура. По мере дальнейшего повышения температуры она вновь заменяется коллинеарной, тип которой противоположен типу низкотемпературной коллинеарной структуры (ферромагнетик через неколлинеарную структуру с ростом температуры может перейти в антиферромагнитное состояние, и наоборот). Но такой путь не обязателен, так как при повышении температуры любая из этих упорядоченных фаз может потерять устойчивость, что будет проявляться как фазовый переход I рода в другое упорядоченное или неупорядоченное состояние.

Обсуждение результатов. Первым нетривиальным результатом, полученным в рамках исследованной здесь модели, следует назвать возможность неколлинеарной структуры с отличным от нуля моментом при чисто изотропном обменном взаимодействии. Указанный тип упорядочения, очевидно, принципиально отличается от слабого антиферромагнетизма Дзялошинского. В частности, он не связан со специальными свойствами симметрии кристалла. Экспериментально такой тип упорядочения наблюдался в сильно легированных полупроводниках и сплавах переходных элементов [3-6], где как раз можно ожидать сильной негейзенберговости.

Де Жен [7] высказал предположение, что неколлинеарная структура указанного типа возможна в магнитных полупроводниках с узкими зонами проводимости, однако проведенное в указанной работе исследование было некорректным [8]. В работе [8]

в рамках s—d-модели было доказано, что в некотором интервале концентраций носителей заряда в антиферромагнитном полупроводнике с узкими зонами, действительно, возможен неколлинеарный антиферромагнетизм. В рамках s—d-модели можно доказать (это будет сделано в специальной публикации), что неколлинеарный антиферромагнетизм возможен и в полупроводниках с широкими зонами проводимости. Соображения, аналогичные приведенным в [8], показывают, что неколлинеарный антиферромагнетизм может реализоваться в определенном интервале составов сплавов. Наличию определенного интервала концентраций носителей или составов, в котором возможен неколлинеарный антиферромагнетизм, в принятой здесь модели соответствует наличие определенного интервала значений /_ + 2S2 {К^__/К__). Расчеты, проведенные авторами в рамках s—d-модели в согласии с полученными здесь результатами, показывают, что магнитная восприимчивость неколлинеарных антиферромагнетиков при малых значениях cos & обратно пропорциональна cos2 & и с ростом поля убывает. Согласно (11), аналогично ведет себя с ростом поля и восприимчивость негейзенберговских антиферромагнетиков при К__ < 0. В рамках 5—d-модели такой ход намагниченности для проводящих антиферромагнетиков был получен в работе [9]. Экспериментально он наблюдался в работе [10]. Согласно приведенным в [11] данным, он наблюдался и в неколлинеарных антиферромагнетиках. Как следует из сказанного, предложенная в этой работе модель хорошо описывает свойства проводящих магнетиков при Т = 0. Естественно ожидать, что это остается справедливым и при конечных температурах. Экспериментальные данные по фазовым переходам I рода из упорядоченного в неупорядоченное состояние, которые оказываются возможными в рассмотренной здесь модели, приведены в обзоре [12]. Эта модель дает также возможность объяснить фазовый переход I рода типа ферромагнетик-антиферромагнетик, не привлекая представлений о зависимости знака обменного интеграла в гамильтониане Гейзенберга от объема кристалла [12]. Следует заметить, что в работе [13] была предпринята также попытка объяснить такой переход в полупроводнике увеличением роли косвенного обмена через носители заряда, концентрация которых экспоненциально растет с температурой. Работа [13], однако, заведомо ошибочна, так как в ней не учитываются изменение спектра носителей заряда и затухание их состояний из-за взаимодействия с локализованными моментами. Между тем, например, в ферромагнитном состоянии ренормировка спектра порядка энергии s—d-обмена, т. е. на несколько порядков превосходит «невозмущенную» кинетическую энергию электронов. Как следует из результатов работы [14], на самом деле косвенный обмен через электроны проводимости может заметно повлиять на магнитное упорядочение лишь при концентрациях носителей 1019_1020 см-з т. е. на несколько порядков выше, чем принималось в работе [13]. Что же касается фазовых переходов в неколлинеарных антиферромагнетиках, то о них известно мало. В большинстве случаев [3-6] неколлинеарная структура наблюдалась при низких температурах и с повышением температуры переходила в коллинеарную. Однако в работе [15] было установлено, что в некоторых случаях неколлинеарная структура появляется при нагреве антиферромагнетика.

Авторы признательны за обсуждение работы А. С. Боровику-Романову, В. Г. Ба- рьяхтару, М.И. Каганову, Я. А. Моносову, Ю. М. Гу фану.

Поступила в редакцию 21 октября 1971 г.

Список литературы

Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. — М.: Наука, 1965.

Reodbell D. S.> Jacobs /. S., Owen J., Harris E. A. // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 11. P. 10.

Wollan £, Koehler W. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Konuel J., Forsyth 丿.// J. Appl. Phys. 1969. V. 40. P. 1359.

Takei ИЛ, Сох D., Shirane 丿.// Phys. Rev. 1963. V. 129. P. 2008.

Takei W., Cox D, Shirane 丿.〃 J. Appl. Phys. 1966. V. 37. P. 973.

De Gennes P. // Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 141.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. T. 5 7. C. 1274. (Статья 1.4 настоящего сборника.)

Нагаев 9〃. 〃 ФТТ. 1971. Т. 13. С. 1321.

Holtzberg F., Me Guire Т., Methfessel S. 〃 J. Appl. Phys. 1966. V. 37. Р. 976.

Гуденаф Д. Магнетизм и химическая связь. — М.: Металлургия, 1968.

Гражданкина Н.П. // УФН. 1968. Т. 96. С. 291.

Карпенко Б. В., Бердышев А. А. // ФТТ. 1963. Т. 5. С. 3026.

Нагаев 9〃. 〃 ФТТ. 1969. Т. 11. С. 2779.

Зубков В. Г. Автореф. дисс. — Свердловск: Уральский политехи, инет., 1971.

Магнитные фазовые переходы « поря док—поря док »и « поря док—чужой беспорядок»

3. 〃. Нагаев; А. А. Коваленко

ЖЭТФ. 1980. Т. 79(3(9)). С. 907-920

На примере изотропного магнетика с негейзенберговским обменом доказана возможность нового типа фазовых переходов «порядок-беспорядок», когда выше точки перехода ближний порядок оказывается иного типа, чем был дальний порядок ниже точки перехода (фазовый переход «порядок-чужой беспорядок»). Так, у изотропного антиферромагнетика парамагнитная температура Кюри может быть положительной, а у ферромагнетика — отрицательной. Причиной этого является различная температурная зависимость гейзенберговского и негейзенберговского обменов, в результате которой высокотемпературные свойства могут определяться первым из них, а низкотемпературные — вторым. По этой же причине возможны фазовые переходы типа «ферромагнетик-антиферромагнетик», и такой чисто магнитный механизм фазовых переходов «порядок-порядок» во многих случаях гораздо реалистичнее обменной инверсии Киттеля. Этот механизм, в частности позволяет воспроизвести целый каскад фазовых переходов между соизмеримыми коллинеарными структурами «двухподрешеточный антиферромагнетик — трехподрешеточный ферримагнетик — четы- рехподрешеточный антиферромагнетик-парамагнетик», наблюдавшийся в EuSe. Анализом экспериментальных данных для EuSe показано также, что последний из этих переходов — типа «порядок-чужой беспорядок». Если ферромагнитное состояние возможно, то трехспиновый обмен усиливает особенность восприимчивости в Тс по сравнению с гейзенберговским магнетиком.

Введение. Принято считать самоочевидным, что при нагреве изотропный антиферромагнетик (АФ) переходит в парамагнитное (ПМ) состояние с отрицательной ПМ температурой Кюри 0, а ферромагнетик (ФМ) — в состояние с положительной 0. Знак 0 тот же, что у бинарных корреляторов спинов соседних атомов, описывающих ближний магнитный порядок. Поэтому ее отрицательность означает, что после разрушения в кристалле дальнего АФ порядка в нем остается ближний АФ порядок; положительность 0 означает, что ближний порядок ферромагнитен. Аналогично и в других случаях, когда речь идет о фазовых переходах (ФП) порядок- беспорядок, подразумевается, что выше точки перехода ближний порядок того же типа, что и дальний ниже нее.

Один из основных результатов нашей работы — доказательство существования нового типа фазовых переходов порядок-беспорядок, при которых ближний порядок выше точки перехода оказывается иного типа, чем был дальний порядок ниже нее. Например, если такой переход происходит в изотропном антиферромагнетике, его ПМ температура Кюри не отрицательна, а положительна х), если же в ферромагнетике —то 0 отрицательна. Такие фазовые переходы порядок-чужой беспорядок обязательно первого рода, в то время как ФП с сохранением типа ближнего порядка (порядок-свой беспорядок), могут быть как первого, так и второго рода.

Вопрос о характере ближнего порядка выше точки исчезновения дальнего порядка весьма существен, так как многие свойства кристаллов определяются не дальним, а именно ближним порядком. Один пример уже приводился: ПМ восприимчивость сильных магнетиков. К числу таких свойств относятся также электрические и оптические. В частности, от ближнего порядка очень сильно зависит положение края

В Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что этот эффект не имеет ничего общего с положительностью © в слоистых АФ с сильным ферромагнитным обменом внутри слоев. Знак © в них отражает ближний ФМ порядок внутри слоев. Он того же типа, что был дальний порядок внутри слоев ниже точки Нееля.

оптического поглощения в магнитных полупроводниках и изоляторах, и это обстоятельство использовано нами ниже наряду с другими экспериментальными данными, чтобы установить появление ФМ ближнего порядка после исчезновения дальнего АФ порядка в EuSe. Таким образом, в работе представлено не только теоретическое, но и экспериментальное доказательство существования ФП порядок-чужой беспорядок.

Теоретическое доказательство существования ФП порядок-чужой беспорядок дано на модели магнетика с изотропным многоспиновым обменом х). До сих пор в литературе исследовалось влияние на ФП порядок-беспорядок биквадратичного (〜(S1S2)2) обмена (например, [2, 3]) и четырехспинового (〜(S]S2)(S3s4)) обмена [4]. В этих работах было установлено, что добавление к гейзенберговскому гамильтониану таких членов может сделать скачкообразным фазовый переход из ФМ состояния в ПМ. Однако, как будет ясно из дальнейшего, гамильтониан с биквадратичным обменом [2, 3] допускает только ФП порядок-свой беспорядок. Четырехспиновый гамильтониан при определенном выборе его параметров позволяет получить ФП порядок-чужой беспорядок, но на такую возможность ранее [4] не было обращено внимания.

В модели, использованной в настоящей работе, основную роль играет конкуренция гейзенберговского обмена с трехспиновым (〜(8182)(8283)), для чего требуется, чтобы по каким-то причинам гейзенберговский обмен между соседними атомами был аномально слаб. Петричем и Касуя [5] было высказано соображение, что трехспиновый обмен, как и биквадратичный, может превращать непрерывный ФП порядок- беспорядок в скачкообразный, но возможность ФП порядок-чужой беспорядок тоже осталась незамеченной. В нашей работе вкратце обсуждена модель, в которой одновременно учитываются гейзенберговский и четырехспиновый обмены (совместный учет трехспинового и четырехспинового взаимодействий принципиальных трудностей не вызывает, но получающиеся результаты становятся труднообозримыми). Физическая причина ФП порядок-чужой беспорядок — различные температурные зависимости гейзенберговского и негейзенберговского обменов, в результате чего высокотемпературные свойства магнетика могут определяться первым из них, а низкотемпературные —вторым.

Эти же модели позволяют обосновать чисто магнитный механизм фазовых переходов с изменением типа магнитного порядка, например ФМ-АФ. На возможность ФП между неколлинеарной антиферромагнитной и коллинеарными структурами из-за конкуренции между гейзенберговским и негейзенберговским обменными взаимодействиями указывалось ранее [4, 3], но аналогичного исследования для коллинеарных структур не проводилось. Между тем чисто магнитный механизм, в основе которого лежит отмеченное выше различие в температурной зависимости гейзенберговского и негейзенберговского обменов, является важной альтернативой общепринятому механизму фазового перехода ФМ-АФ, когда тот обусловлен инверсией знака гейзенберговского обменного интеграла при тепловом расширении решетки [6].

Для низкотемпературных ФП, когда тепловое расширение решетки пренебрежимо мало, чисто магнитный механизм гораздо более реалистичен, чем обменная инверсия Киттеля. Он может быть ответствен и за высокотемпературные ФП. Чисто магнитный механизм позволяет также объяснить целые каскады ФП между соизмеримыми магнитными структурами, наблюдавшиеся в некоторых кристаллах. В частности, ниже будет воспроизведен каскад ФП первого рода между коллинеарными структурами, наблюдавшийся в EuSe: двухподрешеточный АФ — трехподрешеточ- ный ферримагнетик — четырехподрешеточный АФ — ПМ. Две последние магнитные

В Часть результатов настоящей работы была изложена ранее в [1].

структуры в рамках модели Гейзенберга, используемой Киттелем [6], были бы всегда нестабильны 1).

Доказательство существования ФП типа порядок-порядок и порядок-чужой беспорядок проводится вначале на упрощенной модели с использованием спин-волно- вого приближения при низких температурах и высокотемпературных разложений при высоких температурах. Последние дают возможность заодно установить, что трехспиновый обмен может резко усилить особенность магнитной восприимчивости ФМ в критической точке. Затем на той же модели проводится анализ в приближении самосогласованного поля (ССП), который приводит к качественно тем же результатам. Это дает основание отнестись с доверием к качественным результатам, полученным в приближении ССП на более сложной модели, которая позволяет воспроизвести каскад ФП, наблюдавшихся в EuSe. Адекватность приближения ССП по существу обусловлена тем, что рассматриваемые нами фазовые переходы первого рода происходят достаточно далеко от критических точек.

Общий анализ. Для упрощения проводимого ниже рассмотрения считается, что магнетик построен из эквивалентных магнитных атомов со спином S, образующих простую кубическую решетку. Гамильтониан системы выбирается в виде

Н = -\ £ SgSg+A - ^ £ (SgSg+A)2 -

-у Е (SgSg+^((Sg+^Sg+A)+ (SgSg+△十△，))一〃£(1)

где Sg — оператор спина атома g, вектор △ нумерует 2 = 6 ближайших соседей атома.

Биквадратичный член в (1) играет вспомогательную роль: он должен в случае необходимости стабилизировать коллинеарные структуры (АФ или ФМ), для чего необходимо, чтобы R > 0. Трехспиновый же член в (1) кроме очевидного требования, чтобы все три атома были расположены максимально близко друг к другу, удовлетворяет еще одному, носящему для наших целей принципиальный характер: он, как и гейзенберговский, меняет знак при замене ФМ упорядочения на шахматное антиферромагнитное. Трехспиновые члены типа (SgSg+4)(Sg+^Sg+△十△，), не обладающие таким свойством, в гамильтониан (1) не включены.

Поскольку в гамильтониан (1) не включен обмен между более удаленными соседями, он допускает только два типа коллинеарных структур, упомянутых выше. В случае ФМ структуры энергия основного состояния Ер в расчете на атом и маг- ионные частоты % даются выражениями

理=-то+ат，⑵

S^ =(J + K + 2Я)(1 —)q) + A (1 — AJ ,(3)

где приняты обозначения

J = IS?z, A = 2n(n —2)KS* R = zRS\

В В отличие от работы Дзялошинского и Кухаренко [7], где впервые было учтено влияние трехспинового обмена на магнитную структуру и магнонный спектр, нами рассматриваются только коллинеарные многоподрешеточные структуры.

Iq = Z-'£e吟儿=(9 2)尸 £ £q(g).

Для шахматной АФ структуры соответствующие выражения имеют вид

及4 = 2豆，(4)

「22 "I 1/2

S3： = (一 J - 2公 + KXq + 2元)-(一J — n + 2元)若 .(5)

Имея в виду последующее сравнение с экспериментом, ниже будет исследоваться случай, когда в (2)—(5) гейзенберговский и трехспиновый обмены имеют разные знаки, причем J>0hK<0, и второй интенсивнее первого > J). При таких соотношениях между параметрами энергия АФ состояния Еа ниже энергии ФМ состояния 碎，а магнонные частоты положительно определены независимо от величины R > 0.

С другой стороны, пользуясь высокотемпературными разложениями, можно определить характер ближнего порядка при высоких температурах. Применяя формулу Кубо для статической магнитной восприимчивости х, выражающую ее через спиновые корреляторы, получаем в пределе классически больших спинов при R Т 0

”e〈6帆〉冷(] +弘T)+в2信(T)t +島项，

g〜⑹

где первый, второй и третий члены в фигурных скобках соответственно равны (с точностью до множителя S2/3) среднему квадрату проекции спина атома, коррелятору спинов ближайших соседей и коррелятору спинов вторых по дальности соседей.

Как следует из (6), если даже при Т = 0 стабильно АФ состояние, при высоких температурах корреляторы для ближайших соседей могут оказаться положительными, т. е. ближний порядок будет ФМ. Переход от АФ дальнего к ФМ ближнему порядку обусловлен тем, что при повышении температуры интенсивность трехспинового обмена сильно ослабляется. Сугубо качественно ситуацию можно пояснить так: эффективный интеграл обмена между атомами 1 и 2 при наличии атома 3 дается суммой гейзенберговского и трехспинового членов

"12 = -/effSXS2, Zeff = / + K^Slf.⑺

а величина (S3 )2 при повышении температуры убывает втрое. ПМ температура Кюри, определяемая, как обычно, при помощи соотношения х = 1/Т + 0/Т2, согласно (6) равна

0 = lim 2S~2T{S0S^ =(8)

Тт00о \ о /

Условие, при котором кристалл при Т = 0 антиферромагнитен, а при высоких температурах его ПМ температура Кюри положительна, имеет вид

1 < к < 3.(9)

В принципе переход от АФ дальнего к ФМ ближнему порядку может происходить двумя способами: 1) посредством ФП из АФ в ФМ состояние с последующим пере-

ходом в ПМ. Такой способ уже известен из теории обменной инверсии Киттеля [6]; 2) посредством прямого фазового перехода АФ-ПМ. На такую возможность ранее внимания не обращалось.

Чтобы доказать принципиальную возможность прямого фазового перехода АФ-ПМ с 0 > 0, достаточно оценить температуру Кюри Те ①М состояния и установить, что при определенных соотношениях между параметрами она настолько низка, что свободная энергия АФ состояния Fa(7с), будучи близка к Е^ ⑷，существенно ниже свободной энергии ФМ состояния Ff、которая в интервале от Т = О до Т = Тс изменяется от 石р до величины 〜—Тс- Именно так согласно ⑺ обстоит дело при к, близких к 3. Действительно, если ФМ состояние вообще существовало бы при таких к, то при 0To его температура Кюри, даже если она и не равна 0, тоже должна была бы стремиться к нулю. Тем самым Fa (7с)《 尸F, т. е. при к т 3 ФМ состояние на самом деле реализоваться не может.

Полученные выше результаты позволяют оценить значение кс, при котором прямой переход АФ-ПМ заменяется переходом через промежуточное ФМ состояние. Для этого следует приравнять свободные энергии антиферромагнетика Рд и парамагнетика Fp в точке Кюри 汽.Величины Тс и 尸尸(汽)можно найти, используя высокотемпературные разложения. При не слишком больших к зависимость 汽 от к можно определить из трехчленного ряда (6). Он содержит минимально необходимое число членов для того, чтобы найти не только T(j〉но и критический индекс 7 в соотношении х 〜(Ос — О) ), справедливом вблизи Тс- Как метод отношений, так и метод аппроксимант Паде приводят в этом случае к результату

Такое трехчленное приближение при достаточно малых к обеспечивает точность, достаточную для наших целей: для гейзенберговского ФМ значение 7q = 2J/9 лишь на 7% отличается от наиболее точного выражения, полученного Рашбруком и Вудом [8]. Неприменимость (9) при к т 3 обусловлена тем, что второй член в (6) становится малым по сравнению с третьим, в то время как методика высокотемпературных разложений требует противоположного соотношения между ними.

Как следует из (9), температура Кюри убывает с ростом к быстрее, чем 0, определяемая выражением ⑺，составляя при к = 1,8 всего лишь 0,03窃.Таким образом, согласно (9) и (5) величина 7с при к 〜1-2 значительно меньше максимального значения Scv^. Это дает возможность использовать при вычислении Fa(7с) спин- волновое приближение:

где N — число элементарных ячеек кристалла.

Для свободной энергии ПМ состояния используется выражение

尸尸(Т) = -Т In (2S + 1) + 击俨丿2 (О — Г + 击廿)+ ° (炉)卜(И)

Сложность проблемы состоит в том, что ряд Fp по /3 асимптотический, и при О = % нет никакой гарантии, что его члены с ростом степени /3 убывают. Например, при к = 0,4 второй член в (11) при /3 = ^с ⑼ составляет 70% от первого. Тем не менее удается получить довольно точную оценку к。，опираясь на тот факт, что

первый член в (11) в соответствии с вариационным принципом для свободной энергии завышает ее значение. Представляя ее в виде

FP = —Tln(2S + 1) — Jb, b〉0,

и приравнивая ее при Т = Те величине 尸力(10), получаем при S = 7/2

^С = 1,2 + 1М(12)

причем зависимость kG от S слабая логарифмическая.

В соответствии со свойствами асимптотических рядов величина J6 имеет порядок второго члена в (11), т. е. при к = 0,4; 6 〜0,1. Таким образом, неопределенность в значении кс составляет 〜10 %, и известен ее знак. Кажущаяся на первый взгляд парадоксальной слабая чувствительность кс к величине Fp обусловлена тем, что кс реально разлагается по 6 не вблизи к = 0, а вблизи к = 1 — того значения к。， начиная с которого АФ упорядочение вообще возможно. При этом оказывается, что при реальном порядке величины Fp всегда kG — 1 <^ 1. Во всяком случае, из оценки (12) следует, что ФМ фаза может реализоваться лишь в небольшой части интервала значений к (8). В остальной его части должен происходить прямой переход АФ-ПМ с положительной 0.

Соотношением (10) и его аналогом для ФМ состояния можно воспользоваться непосредственно для того, чтобы доказать возможность фазового перехода АФ-ФМ при малых к. Для этого заметим, что если R достаточно велико, то согласно (3) и (5) стабильны не только АФ, но и ФМ магноны (ФМ состоянию здесь отвечает относительный минимум энергии). Для этого требуется положительность величины ГИ = J + ЗК + 2Я, пропорциональной обратной эффективной массе ферромагнитных магнонов. Причиной перехода при W ^ J является гораздо большая мягкость ФМ магнонов по сравнению с антиферромагнитными, в результате чего свободная энергия у ФМ убывает с ростом температуры значительно быстрее, чем у АФ. В результате этого с учетом ⑵—(5) и (10) для температуры перехода АФ-ФМ, если она лежит в спин-волновой области, получается оценка

TAF^(13)

Реально для выполнимости (13) требуется выполнение весьма жестких ограничений на параметры системы, но, во всяком случае, этот результат имеет смысл в качестве теоремы существования: действительно, наряду с обменной инверсией Киттеля [6] возможен ФП первого рода АФ-ФМ, обусловленный негейзенберговским характером обменного взаимодействия. Последующий переход из ФМ в ПМ состояние согласно (9) должен быть второго рода.

Из формулы (9) следует еще один качественный вывод, касающийся критического индекса 7 = 0/7с ферромагнетиков с сильным АФ трехспиновым взаимодействием, независимо от того, ферромагнитно (к < 1) или антиферромагнитно (к〉1) у них основное состояние. Именно, трехспиновый обмен увеличивает критический индекс, и, например, при к = 1,2 значение 7 в 2,2 раза выше, чем у гейзенберговского магнетика. Этот эффект слишком значителен, чтобы приписать его тому, что формула (9) неточна: для гейзенберговского магнетика она дает значение 7 = 1,5, которое лишь на 12 % отличается от наиболее точного, полученного для этого индекса [8]. Таким образом, трехспиновый обмен резко усиливает особенность магнитной восприимчивости в точке Кюри.

Если учитывать только гейзенберговский и биквадратичный обмен, [2, 3], то 0 будет даваться формулой ⑺ с к = 0. Из независимости 0 от Я следует, что в этом случае знак у 0 всегда будет тем же, что и у J, т. е. характер ближнего порядка

в ПМ области всегда тот же, что и дальнего порядка в магнитоупорядоченной области. Что же касается четырехспинового обмена, то он может приводить к ФП типа порядок-чужой беспорядок, если в его гамильтониане три спина принадлежат к одной подрешетке, а четвертый — к другой (т. е. если гамильтониан состоит из членов типа (Sg-^Sg+^)(Sg+^Sg+^/) с △，# 士△)• Действительно, если, кроме того, четырехспиновый обмен — более сильный, чем гейзенберговский, и имеет противоположный знак, то именно он определяет характер магнитного упорядочения при Т = 0. Характер же ближнего порядка при высоких температурах определяется гейзенберговским обменом (0 = J/3), т. е. в этом случае он противоположен характеру магнитного упорядочения при Т = 0.

Приближение самосогласованного поля. Исследование в приближении ССП целесообразно начать с модели, рассмотренной в предыдущем параграфе, причем для простоты в гамильтониане (1) можно положить R = 0. Негейзенберговская структура гамильтониана (1) приводит к необходимости введения двух ССП [2, 3]. Одно из них, дипольное поле d, действует на проекцию спина, а другое, квадрупольное q ~ к, — на квадрат проекции спина. В приближении ССП гамильтониан (1) представляется в виде, пригодном для исследования как неколлинеарных, так и коллинеарных структур:

"="ссп + "1,

"ссп = —6? (кт? — J) N cos 2" + (d cos 2" — /г cos 犷)£ 力冃 + g ks? cos 2" £ 吃； gg

s =画k = 2(z —2)|K|S2(14)

d = s [km2 - 1),力冃=*, h =

где S — величина спина магнитного атома, черта — знак температурного усреднения с гамильтонианом (14). Все энергии измеряются в единицах zlS2. За ось zg для атома g выбирается направление момента под решетки, к которой этот атом принадлежит, ось у у всех атомов общая. При наличии внешнего поля каждый из моментов подрешетки составляет с ним угол 仇 Свободная энергия 尸сегь соответствующая гамильтониану "ссп, равна (в расчете на атом)

尸ссп = —У ^А:т2 — J) cos 21^ — т In

"о = (d cos 2" — /г cos 犷)力 + g ks2 cos 2" ж2.(16)

Здесь Т — температура, ж = (—S + n)/S, п = 1,2,..., 2S, отсчет идет от свободной энергии ПМ состояния при Л = 0, равной — t1h(2S + 1). Среднее от гамильтониана "ь вычисленное при помощи гамильтониана Нссп, равно нулю, так что величину 尸ссп можно непосредственно использовать в качестве оценки свободной энергии 尸，соответствующей гамильтониану Н.

Стационарные значения вариационных параметров s, m2 и 犷 находятся из условий экстремальности по ним свободной энергии 尸ссп, что дает

Еж;9г ехр冗 Z (s,m ,£)Еж;9г ехр冗 Z (s,m ,£)Но (s, ш2,少)Но (s, ш2,少)гг(17)(17)Но (s, m2,少)гНо (s, m2,少)г(18)(18)

Еж

;9г ехр

冗 Z (s,m ,£)

Еж

;9г ехр

冗 Z (s,m ,£)

Но (s, ш2,少)

Но (s, ш2,少)

г

г

(17)

(17)

Но (s, m2,少)г

Но (s, m2,少)г

(18)

(18)

sin " (2dcos 犷一/г) = 0. (19)

Как следует из (15), при Т = 0 и /г = 0 АФ упорядочение выгоднее, чем ФМ, если к〉 > 1. Однако с ростом температуры т2 падает, и при к < 3 дипольное поле s(km^ — 1) выше некоторой температуры Т* становится отрицательным, что означает абсолютную неустойчивость АФ состояния. Таким образом, оно должно замениться ФМ или ПМ состояниями. Нетрудно видеть, что в любом случае ФП должен быть первого рода и происходить ниже Т*. Действительно, если бы он был второго рода, тогда поле d должно было бы оставаться положительным при всех s, что невозможно, так как т2 при s —> 0 стремится к 1/3 (здесь и ниже в качественных рассуждениях, но не в численном расчете, пренебрегаем членами 1/2S).

Ферромагнитное состояние возможно, если величина к не слишком близка к 3, так как для его стабильности разность 1 — кт2, должна существенно превышать т при 丁 一> т* = Т"/zIS2. Величина же т2, будучи меньше, чем в АФ фазе, в ФМ состоянии все же должна быть заметно больше своего значения в ПМ состоянии, равного 1/3. Анализ уравнений (17), (18) показывает, что переход из ФМ в ПМ состояние должен быть ФП второго рода. Это следует из того, что в окрестности точки Кюри, выражение для которой совпадает с (7), намагниченность при приближении т к Tq со стороны низких температур убывает непрерывно. Действительно,

(20)(20)

(20)

(20)

1 < А: < 3 положителен (если бы он был1 < А: < 3 положителен (если бы он была коэффициент в правой части 一 отрицателен, то кривая б(т) при малых s соответствовала бы нефизическим состояниям, при которых свободная энергия не минимальна, а максимальна, и потому система скачком переходила бы из состояния с конечным s в состояние с s = 0, минуя состояния с малыми s).

1 < А: < 3 положителен (если бы он был

1 < А: < 3 положителен (если бы он был

Очевидно, тс тем выше, чем меньше к. Если Т* меньше 汽!，то при повышении температуры, начиная с Т = 0, неизбежно должен происходить сначала ФП первого рода АФ-ФМ, а уж затем ФП второго рода ФМ- ПМ. Действительно, точка перехода из АФ состояния 7д должна быть ниже Т*, а значит, и Тс- Ниже же Tq ФМ состояние термодинамически выгоднее ПМ. Если же Т* превышает 7с, то в зависимости от того, ниже или выше Tq точка перехода 7\, происходит переход либо сначала в ФМ, либо непосредственно в ПМ состояние с ФМ ближним порядком (при Тд > Tq ферромагнитное упорядочение как бы проскакивается).

Результаты численного решения уравнений (17), (18) при Л = 0 подтверждают это качественное рассмотрение. На рис. 1 представлены результаты численных расчетов для случаев к = 1,5 ( сплошные линии) и к = 1,8 ( пунктирные линии) при S = = 7/2. Верхняя из двух линий, соответствующих заданному значению к, изображает температурную зависимость параметра АФ порядка $а①，нижняя — то же самое для параметра ФМ порядка s①м・ Свободная энергия ФМ упорядочения Fp отрицательна при всех температурах т < тс, в то время как свободная энергия АФ упорядочения F= отрицательна лишь на той части кривой ^аф(т), которая лежит слева от

стрелки. Справа от стрелки АФ состояние заведомо неустойчиво (при температуре тр, соответствующей стрелке, свободные энергии АФ и ПМ состояний становятся равными друг другу). Когда к = 1,5 (тр = 0,123 < тс), сначала происходит ФП первого рода АФ-ФМ при тр = 0,12, затем при tq = 0,153 следует ФП переход второго рода в ПМ состояние.

Т/61^Т/61^Sas S①мSas S①м0,2 т = T/6IS20,2 т = T/6IS2Рис. 1. Результаты численного решения уравнений (17), (18) для значений к = 1,5 (сплошные линии) и к = 1,8 (пунктирные линии). Верхняя из двух линий для одного и того же к соответствует АФ, а нижняя — ФМ состоянию. Правее стрелки АФ состояние неустойчиво относительно ПМРис. 1. Результаты численного решения уравнений (17), (18) для значений к = 1,5 (сплошные линии) и к = 1,8 (пунктирные линии). Верхняя из двух линий для одного и того же к соответствует АФ, а нижняя — ФМ состоянию. Правее стрелки АФ состояние неустойчиво относительно ПМ1313ФМближнийпорядокФМближнийпорядокАФближнийпорядокАФближнийпорядокФМФМАФАФ1 кс 23 к-ЦК\^/11 кс 23 к-ЦК\^/1Рис. 2. Качественная фазовая диа-грамма негейзенберговского магне-тика в плоскости (Т, к). Кружкомобозначена тройная точка tf = 土с,кс — соответствующее ей значениеkРис. 2. Качественная фазовая диа-грамма негейзенберговского магне-тика в плоскости (Т, к). Кружкомобозначена тройная точка tf = 土с,кс — соответствующее ей значениеk

Т/61^

Т/61^

Sas S①м

Sas S①м

0,2 т = T/6IS2

0,2 т = T/6IS2

Рис. 1. Результаты численного решения уравнений (17), (18) для значений к = 1,5 (сплошные линии) и к = 1,8 (пунктирные линии). Верхняя из двух линий для одного и того же к соответствует АФ, а нижняя — ФМ состоянию. Правее стрелки АФ состояние неустойчиво относительно ПМ

Рис. 1. Результаты численного решения уравнений (17), (18) для значений к = 1,5 (сплошные линии) и к = 1,8 (пунктирные линии). Верхняя из двух линий для одного и того же к соответствует АФ, а нижняя — ФМ состоянию. Правее стрелки АФ состояние неустойчиво относительно ПМ

1

3

1

3

ФМближнийпорядок

ФМближнийпорядок

АФближнийпорядок

АФближнийпорядок

ФМ

ФМ

АФ

АФ

1 кс 23 к-ЦК\^/1

1 кс 23 к-ЦК\^/1

Рис. 2. Качественная фазовая диа-грамма негейзенберговского магне-тика в плоскости (Т, к). Кружкомобозначена тройная точка tf = 土с,кс — соответствующее ей значениеk

Рис. 2. Качественная фазовая диа-грамма негейзенберговского магне-тика в плоскости (Т, к). Кружкомобозначена тройная точка tf = 土с,кс — соответствующее ей значениеk

0,05 Лм0,1 0,15 Л = H/6IS20,05 Лм0,1 0,15 Л = H/6IS2Рис. 3. Метамагнитный фазовыйпереход в негейзенберговскомизотропном магнетике (численныйрасчет для k = 1,8 и t = 0,19)Рис. 3. Метамагнитный фазовыйпереход в негейзенберговскомизотропном магнетике (численныйрасчет для k = 1,8 и t = 0,19)

0,05 Лм0,1 0,15 Л = H/6IS2

0,05 Лм0,1 0,15 Л = H/6IS2

Рис. 3. Метамагнитный фазовыйпереход в негейзенберговскомизотропном магнетике (численныйрасчет для k = 1,8 и t = 0,19)

Рис. 3. Метамагнитный фазовыйпереход в негейзенберговскомизотропном магнетике (численныйрасчет для k = 1,8 и t = 0,19)

Когда же к = 1,8 (丁尸=0,198〉тс = 0,1), область стабильности ФМ состояния отсутствует и происходит ФП первого рода из АФ непосредственно в ПМ состояние. В интервале между 1,5 и 1,8 лежит значение А：с, соответствующее тройной точке

т = тс. Эта оценка согласуется с (12), хотя и несколько выше ее. Чтобы доказать,

что ПМ состояние характеризуется ФМ ближним порядком и при %〉к。，когда происходит переход из АФ непосредственно в ПМ состояние, достаточно вычислить ПМ температуру Кюри 0. Для 0 получается выражение, совпадающее с ⑺，которое положительно при к < 3. При к〉3 происходит ФП первого рода из АФ в ПМ с антиферромагнитным ближним поряд

ком. Суммируя полученные результаты, можно построить качественную фазовую диаграмму в плоскости (Т, к) (рис. 2).

Материалы, обнаруживающие ФП первого рода АФ дальний порядок — ФМ ближний порядок, обладают еще одним интересным свойством —они являются изотропными метамагнетиками. Об этом свидетельствуют результаты численного расчета для того же значения к =

=1,8, что и ранее, при температуре т = 0,19, которая лежит ниже точки перехода тр (рис. 3). Вплоть до поля Км = 0,082 намагниченность растет с полем непрерывно за

счет уменьшения угла 2" между моментами подрешеток. В поле же Км происходит скачкообразный ФП от двухподрешеточного к одноподрешеточному упорядочению. При этом намагниченность возрастает примерно в пять раз.

Модель, описываемая гамильтонианом (1), может быть обобщена, чтобы описать каскад ФП между структурами с соизмеримыми периодами. Считается, что магнетик можно разбить на плоскости, внутри которых обмен между атомами ферромагнитен, и что достаточно учета лишь гейзенберговского обмена между ближайшими соседями (его интеграл Р имеет нормальную величину). Аномально мал лишь интеграл гейзенберговского обмена I между ближайшими соседями из соседних плоскостей, поэтому нужно учитывать еще гейзенберговский обмен между атомами из вторых по дальности плоскостей (его интеграл V) и трехспиновый обмен, когда два спина — ближайшие соседи из одной и той же плоскости, а третий принадлежит соседней плоскости (его интеграл ^). Наконец, как и в (1), вводится биквадратичный обмен между ближайшими соседями на соседних плоскостей

“ =—/ESmSg+im —p£s, gngnS“ =—/ESmSg+im —p£s, gngnSgngngngn^gn^gn+З —丿〉:Sgn,Sg+2,n-R^(SgnSg+i,n)—

“ =—/ESmSg+im —p£s, gngnS

“ =—/ESmSg+im —p£s, gngnS

gn

gn

gn

gn

—К〉： ((SgnSgn_|_j) (Sgn+jSg+i?n) + (Sg+i,71sg+i,冷+s) (Sg+i,冷+sSg冷)),(21)

где g — номер плоскости, n — номер атома в плоскости g, 6 нумерует n ближайших к атому (g, п) соседей из той же плоскости.

Различные коллинеарные структуры, которые только и допустимы в этой модели, отличаются ориентацией моментов ФМ плоскостей. Параметры (21) выбираются

Рис. 4. Результаты численного решения уравнений ССП для гамильтониана (21) для значений k = 2,1, п = 0,5, р = 0,5, г = 0,5. Справа от стрелки на кривой соответствующее -состояние неустойчиво относительно парамагнитного (сплошная кривая — состояние АФ2, пунктир — АФ1, штрихпунктир — ФИМ)Рис. 4. Результаты численного решения уравнений ССП для гамильтониана (21) для значений k = 2,1, п = 0,5, р = 0,5, г = 0,5. Справа от стрелки на кривой соответствующее -состояние неустойчиво относительно парамагнитного (сплошная кривая — состояние АФ2, пунктир — АФ1, штрихпунктир — ФИМ)так, чтобы наиболее термодинамически выгодны были следующие структуры: две гейзенберговские —ферромагнитная (ФМ) и двухподрешеточная АФ с ориентацией моментов соседних слоев типа TJ (АФ1), и две негейзенберговские — трехподрешеточ- ная ферримагнитная типа TR (ФИМ) и че- тырехподрешеточная АФ типа 廿口 (АФ2) (все структуры коллинеарные). Для этой цели выберем в (21) следующие знаки обменных интегралов: Z > 0, V < 0, К < 0.

Рис. 4. Результаты численного решения уравнений ССП для гамильтониана (21) для значений k = 2,1, п = 0,5, р = 0,5, г = 0,5. Справа от стрелки на кривой соответствующее -состояние неустойчиво относительно парамагнитного (сплошная кривая — состояние АФ2, пунктир — АФ1, штрихпунктир — ФИМ)

Рис. 4. Результаты численного решения уравнений ССП для гамильтониана (21) для значений k = 2,1, п = 0,5, р = 0,5, г = 0,5. Справа от стрелки на кривой соответствующее -состояние неустойчиво относительно парамагнитного (сплошная кривая — состояние АФ2, пунктир — АФ1, штрихпунктир — ФИМ)

В зависимости от величины параметров к = 2zi\K\S2/1 и 沙=|Н//, при Т = 0 может оказаться наиболее энергетически выгодной любая из структур АФ1, АФ 2 или ФМ. В частности, АФ1 состояние — основное при к〉2^ + 1. ФИМ состояние не может быть основным: при к # 2沙 + 1 его энергия превышает энергию по крайней мере одного из остальных состояний (при к = 2沙 + 1 энергии АФ1, АФ2 и ФИМ состояний совпадают). На параметр R должно быть наложено ограничение, чтобы обеспечить нестабильность геликоидальных структур при Т = 0 :

丁〉2沙一 g(k —1), г = ^^・ (22)

Так как с ростом температуры биквадратичный обмен убывает в меньшей степени, чем остальные члены в (21), неравенство (22) обеспечивает такую нестабильность и при произвольных температурах.

Численные расчеты проводятся совершенно аналогично тому, как это было сделано в начале этого параграфа. Их результаты таковы: рассматриваемая система обнаруживает целый каскад ФП первого рода. Так, для 沙 = 0,5,夕 = 0,5, г = 0,5, к = 2,1 получается следующая последовательность ФП первого рода (рис. 4): при т = =0,216 переход АФ1-ФИМ, при т = 0,378 переход ФИМ-АФ2, при т = 0,43 переход в ПМ состояние. Первые два перехода представляют собой переходы типа порядок- порядок и происходят по механизму, подробно описанному в § 1. Переход АФ2-ПМ — это переход типа порядок-чужой беспорядок. Для определения характера ближнего порядка здесь необходимо вычислить только корреляторы типа 〈S071sl九〉так как корреляторы в ФМ плоскости заведомо положительны. Получаем

⑸九 S1Q= $2 (丁/3). (23)

Следовательно, коррелятор положителен и ближний порядок в ориентации спинов соседних плоскостей ферромагнитен, если к < 3. При других значениях параметров 叭 р〉г〉к можно получить и другой каскад ФП. Так, для ^ = 0,1, р = 0,5, г = =0,4, « = 1,3 получаем следующую цепочку ФП первого рода: АФ1-ФИМ при т = =0,201, ФИМ-АФ2 при 丁 = 0,205, АФ-ФМ при т = 0,2055. При т = 0,35 происходит ФП второго рода в ПМ состояние. Заметим также, что аналогичные каскады ФП можно получить и для анизотропных кристаллов, если в гамильтониане (21) вместо биквадратичных членов ввести анизотропные типа (S|)2 и т. д.

Сравнение с экспериментом. Каскад фазовых переходов. Наилучшие возможности для сравнения развитой выше теории с экспериментом представляет изотропный магнетик EuSe, который принято причислять к магнитным полупроводникам, хотя нелегированные кристаллы EuSe ведут себя как изоляторы. EuSe принадлежит к семейству монохалькогенидов Ей, все члены которого имеют структуру NaCl. В этом семействе по мере роста постоянной решетки происходит переход от ФМ упорядочения у ЕиО (7с = 67 К) и EuS (7с = 16,3 К) к АФ упорядочению у EuSe (Tn = 4,6 К) и EuTe (Tn = 9,6 К). (Эти и приведенные ниже данные собраны в книге одного из авторов [9].) Во всех этих кристаллах магнитная анизотропия чрезвычайно мала — в EuSe она составляет всего 100 Э.

Обращает на себя внимание аномально низкая температура упорядочения в EuSe по сравнению с остальными членами семейства. Это свидетельствует о слабости гейзенберговского обмена в EuSe. Учитывая сходство свойств халькогенидов, можно объяснить аномальную слабость обмена в EuSe тем, что в EuSe постоянная решетки а близка к тому значению а。，при котором интеграл обмена I между соседними ионами Еи++ обращается в нуль. Насколько сильно зависит / от а в EuSe, свидетельствует тот факт, что давление 1 кбар понижает Tn У EuSe на целый градус.

Естественно ожидать, что обращение в нуль / (а) в точке а。не сопровождается обращением в нуль остальных параметров обмена. Поэтому негейзенберговский обмен в халькогенидах Ей следует сравнивать с гейзенберговским при а, достаточно далеко отстоящем от а。. Оценкой интенсивности последнего может быть выбрана Тс в ЕиО, близкая к 70 К. Если негейзенберговский обмен на порядок слабее гейзенберговского, то в EuSe он должен составлять несколько градусов, т. е. вполне может конкурировать с гейзенберговским. Дополнительным фактом, способствующим повышению роли негейзенберговских членов в EuSe, может служить то обстоятельство, что запрещенная зона Eg в нем узкая по сравнению с классическими АФ изоляторами типа NiO и т. д.: она составляет всего 1,7 эВ. Между тем из теории сверхобмена Роуленда- Бломбергена следует, что относительный вклад негейзенберговских членов тем боль-

ше, чем меньше запрещенная зона. В магнитных же изоляторах негейзенберговские члены обычно составляют до 5 % от гейзенберговских.

Если ЕиО и EuS ведут себя как идеальные гейзенберговские ФМ, а ЕиТе —

как почти идеальныйкак почти идеальныйРис. 5. Экспериментальная фазовая диаграмма EuSe [9]Рис. 5. Экспериментальная фазовая диаграмма EuSe [9]гейзенберговский АФ с магнитной структурой типа МпО, то

как почти идеальный

как почти идеальный

Рис. 5. Экспериментальная фазовая диаграмма EuSe [9]

Рис. 5. Экспериментальная фазовая диаграмма EuSe [9]

па ff . Наконец, при 4,6 Кпа ff . Наконец, при 4,6 Кмагнитные свойства EuSe оказываются несравненно более сложными (рис. 5). В нем реализуются различные магнитные структуры, имеющие ту общую черту, что во всех них спины атомов, принадлежащих одной и той же плоскости (111), параллельны друг другу, так что эти структуры отличаются взаимной ориентацией моментов плоскостей (111). При Т —> О в EuSe реализуется двухподрешеточное упорядочение типа МпО с ориентацией моментов последовательных плоскостей типа f (АФ1). По мере роста температуры в EuSe происходит каскад ФП первого рода: АФ1 при 1,8 К переходит в трехподрешеточное «ферримагнитное» состояние типа 廿,(к ФМ фазе примешана еще и фаза АФ1). При 2,8 К происходит переход в четырехподрешеточное состояние АФ2 ти- это состояние переходит скачком в ПМ. При фиксиро

па ff . Наконец, при 4,6 К

па ff . Наконец, при 4,6 К

ванной температуре в магнитном поле кристалл EuSe ведет себя как метамагнетик: с ростом поля и АФ1 и АФ2 скачком переходят сначала в ферримагнитное состояние,

а затем тоже скачком в ферромагнитное состояние.

Модель, описанная в § 2, при определенном выборе ее параметров воспроизводит весь каскад ФП, наблюдавшихся в EuSe. Для облегчения рассмотрения эта модель несколько упрощена по сравнению с EuSe: наличие ФМ слоев в ней обусловлено не геометрическими причинами, а характером обменного взаимодействия внутри этих слоев. Однако естественно допустить, что обсуждаемые явления не должны быть связаны с деталями геометрии решетки. В пользу этого говорит тот факт, что одни и те же ФП (например, АФ-ФМ могут быть получены как и в модели слоистого магнетика (§ 2), так и в модели изотропного магнетика (§ 1). (Оставляя в стороне вопрос о надежности результатов фон Бема и Бака [10], заметим, что в их модели [10] структура ФИМ оказалась нестабильной.)

Метамагнитные свойства изотропного иегейзенберговского магнетика также установлены на упрощенной по сравнению с EuSe модели § 1. Из-за использованного в § 1 приближения ближайших соседей вместо двух последовательных метамагнитных переходов АФ-ФИМ и ФИМ-ФМ получен один переход АФ-ФМ. Тем не менее можно считать, что качественно рассмотренный в работе механизм годится для объяснения

метамагнитных свойств EuSe.

Каскады ФП наблюдались и в кристаллах типа CeSb с сильной анизотропией, но реализующиеся там структуры, вообще говоря, более сложны, чем в EuSe. Однако некоторые из негейзенберговских структур, например трехподрешеточная ФИМ, встречаются и в CeSb [11].

Фазовый переход «антиферромагнетик-парамагнетик с ферромагнитным ближним порядком». Сопоставление экспериментальных данных различных авторов свидетельствует также о существовании в EuSe ФП порядок-чужой беспорядок, полученного на разных моделях в § 1, 2. Согласно Петричу и Касуя [5], у EuSe в отличие от остальных халькогенидов Ей АФ дальний порядок исчезает скачком. В парамагнитном состоянии 0 у EuSe положительна (0 = 9 К) [12, 13], что указывает на ФМ ближний порядок. Подчеркнем во избежание недоразумений, что в отличие от анизотропной модели § 2, несмотря на наличие ФМ слоев EuSe является изотропным магнетиком, и поэтому о характере ближнего порядка в нем можно судить по знаку 0. В любом гейзенберговском АФ с упорядочением типа МпО имеются ФМ

слои (111), однако их существование обусловлено чисто геометрическими факторами, так как обмен внутри слоев и между слоями у них одинаков. Поэтому 0 у всех них отрицательна, примером чему служит ЕиТе с 0 = —6 К.

Петрич и Касуя [5] предположили, что положительная 0 в EuSe обусловлена донорными дефектами, в окрестности которых возникает ФМ упорядочение (локализованные ферроны [9]). Имея в виду такую возможность, приведем дополнительные свидетельства в пользу того, что ФМ ближний порядок в ПМ области есть свойство регулярного кристалла EuSe. Во-первых, спектры эффекта Мессбауэра показывают, что выше точки перехода АФ-ПМ появляется ФМ ближний порядок [5]. Если бы он был связан с локализованными ферронами, как это предположено Петричем и Касуя в [5], он существовал бы и при всех температурах ниже Tn・

Во-вторых, в ПМ области при понижении температуры наблюдается очень сильный красный сдвиг края оптического поглощения Е&)который исчезает ниже Tn [13] 1). Гигантский красный сдвиг Еа типичен для ФМ полупроводников: в них он происходит как выше, так и ниже 7с и обусловлен установлением ФМ порядка, сначала ближнего, а затем и дальнего [9]. В то же время в изотропных АФ полупроводниках красный сдвиг отсутствует как выше, так и ниже Tn- Наоборот, они обнаруживают слабый синий сдвиг. В частности, красного сдвига нет в ЕиТе, в то время как в ЕиО и EuS он очень сильный. О том, что красный сдвиг в EuSe выше Туу связан с ФМ ближним порядком, свидетельствует также следующий факт: магнитное поле, устанавливающее ФМ порядок, усиливает красный сдвиг [13].

Поступила в редакцию 18 декабря 1979 г.

Список литературы

Нагаев «9.〃., Коваленко А. А. // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29. С. 540.

Bean С., Rodbell D. // Phys. Rev. 1962. V. 126. Р. 104; Brown Н. А. // Phys. Rev. В. 1975.

V. 11. Р. 4725; Chakraborty К. G. // J. Phys. С. 1976. V. 9. P. 1499; , H. Chen. Levy P. // Phys. Rev. B. 1973. V. 7. P. 4267. 4284.

Матвеев B.M. // ФТТ. 1974. T. 16. C. 1635.

Матвеев В. M., Нагаев Э. Л. // ФТТ. 1972. Т. 14. С. 492. (Статья 2.1 настоящего сборника.)

Petrich G., Kasuya Г. // Sol. St. Comm. 1970. V. 8. P. 1625.

Kittel C // Phys. Rev. 1960. V. 120. P. 335.

Дзялошинский И. E., Кухаренко Б. Г. // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. С. 2290.

Rushbrooke У., Wood Р. // J. Mol. Phys. 1958. V. 1. Р. 257.

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

von Boehm J. Per Bak // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 122.

Bartholin 〃., Florence D., Vogt O. //J. Phys. Chem. Sol. 1978. V. 39. P. 89.

Метфессель 3., Маттис Д. Магнитные полупроводники. — М.: Мир, 1972.

Wachter Р. // CRC Crit. Rev. Sol. St. Sci. 1972. V. 3. P. 189.

В Зависимость Ea от T приведена на рис. 4.2, в книге одного из авторов [9]. К сожалению, в [9] неточно воспроизведен ход 或 при Т ниже Tn и Н = 0: соответствующий участок кривой в оригинале [13] на самом деле практически горизонтален.

Л. Нагаев

ФТТ. 1983. Т. 25(12). С. 3617-2624

Изотропный косвенный обмен в металлах с квазиодномерным электронным спектром может стабилизировать не только спиральные, но и многоподрешеточные антиферромагнитные структуры типа ССЮЮ или СССЮЮЮ. Отсюда следует, что и другие аномальные свойства металлов типа CeSb со структурами ССЮЮ можно объяснить негейзенберговским характером косвенного обмена через электроны проводимости, в то время как ранее они связывались с высокой магнитной анизотропией таких металлов. При определенных условиях негейзенберговский косвенный обмен может сделать наиболее энергетически выгодной неколлинеарную двухподрешеточную структуру. Этим можно объяснить ее существование в изотропных металлах типа GdMg.

В ряде магнитных материалов с простыми кристаллографическими структурами (GeSb, GeBi, UAs, EuSe, 3He и т. д.) реализуется необычная антиферромагнитная структура — коллинеарная четырехподрешеточная [1]. Она такова: все магнитные атомы подразделены на 4 эквивалентные подрешетки таким образом, что эти атомы образуют ферромагнитные плоскости, моменты которых упорядочены в последовательности север, север, юг, юг (ССЮЮ структура). Во всех этих материалах ССЮЮ структура при изменении температуры переходит в другие. В EuSe и CeSb наблюдаются даже целые каскады фазовых переходов порядок-порядок. Необычен в них также фазовый переход порядок-беспорядок: он первого рода и, как правило, ближний порядок выше точки Нееля Tn отличается по своему типу от дальнего порядка ниже Tn・ Примером этому служат EuSe [1] и CeSb [2]. В последнем ближний порядок типа СЮ, а дальний — СЮО, где О означает ненамагниченную плоскость.

Безусловно, такие сложные магнитные свойства нельзя объяснить в рамках модели Гейзенберга. Чтобы объяснить само существование ССЮЮ структуры и магнитный полиморфизм CeSb, в [3] была использована модель Изинга с взаимодействиями противоположных знаков между первыми и вторыми по дальности соседями (ANNNI модель). Эта модель сейчас очень популярна среди теоретиков, но существуют серьезные сомнения касательно ее приложимости к CeSb. Во-первых, хотя магнитная анизотропия редкоземельных металлов гигантская по сравнению с остальными классами магнитных материалов, она тем не менее составляет максимум лишь 30 % от изотропного обмена. Этого недостаточно для использования полностью анизотропной модели Изинга даже в применении к легкоосным магнетикам, не говоря уже об легкоплоскостных. Во-вторых, ANNNI модель в противоречии с экспериментом ведет к фазовому переходу порядок-беспорядок второго рода.

С другой стороны, изоляторы EuSe и 3Не имеют ничтожно малую магнитную анизотропию. Сходство их свойств со свойствами металлов CeSb, CeBi, UAs, имеющих заметную анизотропию, заставляет думать вопреки предположенному в [3], что немагнитная анизотропия является причиной их аномальных свойств. Альтернативное объяснение этих свойств состоит в том, что во всех этих материалах обменное взаимодействие между магнитными атомами существенно отлично от билинейного по их спинам.

В изоляторах обычно доминирует гейзенберговский билинейный обмен — ~(S]S2). Однако существуют и такие изоляторы, в которых важную роль играет взаимодействие высших степеней по спину [1]. К их числу относится и EuSe, все аномальные свойства которого удалось успешно объяснить, используя феноменологический гамильтониан, в котором гейзенберговский обмен сравним

с негейзенберговским биквадратичным —(SiS?)? и трехспиновым ~ (S]S2)(S2sз) 4].

Естественно, возникает вопрос, не могут ли аналогичные свойства металлов быть объяснены негейзенберговским косвенным обменом через электроны проводимости. Заранее ниоткуда не следует, что феноменологическая модель, типа использованной в [4], годится и для металлов, так как в нее входят только простейшие негейзенберговские члены, знаки которых постулированы, и не учитывается дальнодействующий характер обмена. Поэтому необходимо микроскопическое рассмотрение проблемы. Основу для него дает ^-/-модель.

Тот факт, что косвенный обмен может быть сильно негейзенберговским, был впервые установлен в [5]. Для этого нужно, чтобы энергетический спектр электронов проводимости был сильно анизотропен — в простейшем случае квазиодномерен. Существенно, что квазиодномерный спектр реализуется не только в квазиодномерных металлах. В изотропных металлах ему соответствуют плоские участки поверхности Ферми, как, например, в латуни, имеющей кубическую элементарную ячейку. (Во избежание недоразумений следует указать, что анизотропия спектра s-электронов при изотропном 6—/-обмене не ведет к появлению магнитной анизотропии).

В [5] были исследованы только геликоидальные структуры, возможные и при гейзенберговском обмене. Было показано, что наиболее энергетически выгодная геликоидальная структура должна иметь вектор геликоида, близкий к экстремальному диаметру поверхности Ферми. Установление геликоида с таким вектором приводит к понижению энергии всех электронных состояний ниже уровня Ферми, повышаются же лишь энергии незаполненных состояний. Этот эффект представляет собой обобщение пайерлсовского удвоения решетки на случай несоизмеримых структур. Однако аналогичное понижение энергий всех или большинства заполненных состояний могут вызывать и соизмеримые структуры. Заранее не очевидно, что не будет происходить их запирания, т. е. что в определенном интервале электронных концентраций такие структуры с фиксированным периодом не окажутся энергетически выгоднее несоизмеримых с периодом, непрерывно изменяющимся с концентрацией.

Ниже будет показано, что при определенных условиях соизмеримые негейзенберговские структуры ССЮЮ и СССЮЮЮ энергетически выгоднее гейзенберговской геликоидальной в достаточно широких интервалах электронных концентраций, если даже металл магнитноизотропен. Это свидетельствует о возможности объяснить и другие свойства CeSb и др. в рамках магнитноизотропной модели. Доказательство энергетической выгодности ССЮЮ и СССЮЮЮ структур проведено в рамках изотропной одномерной 6—/-модели с простым косинусоидальным законом дисперсии для электронов проводимости. Такая модель позволяет провести до конца численные расчеты, которые необходимы из-за того, что энергии геликоидальной и рассматриваемых многоподрешеточных структур мало отличаются друг от друга. Какие из них при данной концентрации выгоднее, должно зависеть от деталей электронного спектра. Поэтому полученный в работе результат ни в коей мере нельзя рассматривать как доказательство невозможности геликоидальных структур — это лишь доказательство возможности многоподрешеточных антиферромагнитных структур в магнитноизотропных моделях.

Другая негейзенберговская структура, которой посвящена эта работа и которая тоже возможна в рассматриваемой модели, — это двухподрешеточная неколлинеарная антиферромагнитная (НКАФ). Она отличается от обычной антиферромагнитной тем, что моменты подрешеток образуют друг с другом угол, отличный от тг. В антиферромагнитных кристаллах определенной симметрии небольшой скос моментов может быть вызван релятивистскими взаимодействиями [6], но такой симметрии здесь не предполагается. Возможность НКАФ структуры в кристаллах произвольной симметрии была доказана в [7] с использованием феноменологического гамильтониана, в котором гейзенберговский обмен сравним с негейзенберговским биквадратич-

ным или четырехспиновым. Но, как уже указывалось, применимость таких моделей к металлам не самоочевидна, что делает необходимым микроскопический расчет, проведенный в работе.

Качественно причина установления НКАФ упорядочения иная, чем геликоидального или коллинеарного многоподрешеточного. Это не сингулярность в плотности состояний на поверхности Ферми, а конкуренция между двумя группами электронов проводимости, осуществляющими косвенный обмен. Электроны делятся на две группы щелью, появляющейся внутри зоны проводимости при установлении любого двух- подрешеточного упорядочения. Считается, что нижняя подзона зоны проводимости заполнена полностью, а верхняя лишь частично. Электроны первой из них стремятся установить антиферромагнитное, а второй — ферромагнитное упорядочение. При определенных типах электронного спектра зависимости этих двух обменных взаимодействий от угла между моментами оказываются различными. Именно благодаря этому минимум энергии системы достигается при значении угла, промежуточном между 0 и 7г, т. е. возникает упорядочение, при котором моменты подрешеток скошены.

Причина, по которой НКАФ упорядочение при заполнении зоны проводимости более чем наполовину энергетически выгоднее геликоидального или многоподрешеточного, состоит в следующем. Эти магнитные структуры не могут создать особенность в плотности состояний на поверхности Ферми, ведущую к понижению энергии заполненных электронных состояний. Поэтому пропадает причина, по которой они стали бы энергетически выгодными. Другим возможным конкурентом НКАФ структуры могло бы быть неоднородное ферро-антиферромагнитное состояние однородного кристалла, в котором все электроны проводимости оказываются сосредоточенными в ферромагнитной части кристалла [8]. В вырожденных антиферромагнитных полупроводниках такое состояние заменяет НКАФ в качестве промежуточного между ферро- и антиферромагнитным. Но оно, безусловно, не может реализоваться в металлах из-за повышения в очень высокой степени кулоновской энергии системы и кинетической энергии электронов, которым сопровождалась бы их автолокализация в ферромагнитной части кристалла.

Тем не менее, как и почти для любой магнитной структуры, остается открытым вопрос, не существует ли каких-либо еще структур, энергии которых ниже НКАФ. Установленная в работе сильная чувствительность энергии НКАФ упорядочения к детальному виду электронного спектра позволяет надеяться, что даже если бы при заданном спектре какая-то структура и была энергетически выгоднее НКАФ, то при малом изменении спектра создалась бы противоположная ситуация. Ясно, что невозможно перебрать всех возможных конкурентов НКАФ структуры, так что следует ограничиться только теми структурами, которые наблюдались экспериментально. Но никаких других структур, промежуточных между ферро- и антиферромагнитной, в них пока обнаружено не было.

Что же касается эксперимента по НКАФ упорядочению, то очень убедительное доказательство его существования в GdMg было дано в [9]. В этом материале скос моментов подрешеток из-за релятивистских взаимодействий по [6] невозможен — его не допускает кристаллическая структура GdMg. О нерелятивистском происхождении скоса свидетельствует и его очень большая величина. Магнитная анизотропия GdMg крайне мала. Поэтому единственное возможное объяснение НКАФ структуры в нем — это негейзенберговский изотропный косвенный обмен через электроны проводимости типа исследованного здесь. В [1] обсуждены другие материалы.

Многоподрешеточные коллинеарные структуры. В используемой ниже одномерной 6—/-модели /-спины считаются классическими векторами величины S》1 и учитывается только блоховский интеграл В между ближайшими соседями.

Энергетический спектр s-электронов при ССЮЮ упорядочении находится диагонализацией гамильтониана,

儿=6£a£ag±ib - ASV^^a cos (^g+ 习吟川^,⑴

где g — номер магнитного атома, а — проекция спина s-электрона, А — ^-/-обменный интеграл. Спектр, двукратно вырожденный по спину, состоит из четырех подзон

€4 (3 士，士)= ±(2 + 士 2,а2 + cos2 ,а=^^р(2)

где за единицу энергии взят |В|, к — безразмерный квазиимпульс, —тг ^ к < тг.

Вначале будет предположено, что зона проводимости заполнена точно на 1/4, т. е. нижняя из подзон (2) заполнена полностью, а остальные пусты. Энергия Е^ структуры, равная сумме энергий всех занятых электронных состояний, находится численным интегрированием (2). Ее следует сравнить с наименьшей энергией Es геликоидального упорядочения при том же заполнении зоны проводимости. Электронный спектр для спиральной структуры с вектором геликоида 2г дается выражением [5, 8]

&s(2=—2 (cos『cos夕土 Jsin2 P sin?厂 + 宁), p = k — г(3)

и его интеграция по занятым состояниям дает Еs (2г). При заполнении зоны на г/4 должен быть близок к тг/4, т. е. период спирали должен быть близок к периоду ССЮЮ структуры. Однако в спиральной структуре спины соседних атомов не коллинеарны, а ортогональны друг другу. Это различие между ССЮЮ и геликоидальной структурами весьма существенно: оно приводит к совершенно различным типам энергетического спектра для них (2) и (3), отличающимся друг от друга даже по числу подзон.

Более точно величина г находится следующим образом. Чтобы энергия Es была минимальна, надо чтобы нижняя подзона (3) была наполовину заполнена, а верхняя пуста. В этом случае для Еs (2г) можно получить выражение в явном виде через полный эллиптический интеграл второго рода 2(/)

石 s(2 厂)=-|；石 s(2 厂)=-|；⑷⑷

石 s(2 厂)=-|；

石 s(2 厂)=-|；

⑷

⑷

Оптимальное значение гт, находимое из условия минимума (4), меньше тг/4 на малую величину по параметру а

д а ]\

△г ~ — In.(5)

8 а

По условию минимума энергии при г = rm энергия 石$(2厂爲)отличается от £?s(乃/2) на величину порядка (Ar/rm)2, т. е., согласно (5), порядка 10-5 при а = 0,1 и 10-3-10-2 при а = 0,3-0,5. Таким образом, разность этих энергий пренебрежимо мала по сравнению с разностями энергий 石$ (乃/2) и 石4, приведенными в табл. 1. Фигурирующие в ней значения энергий в расчете на атом отсчитаны от энергии системы при а = 0, и для большей точности энергия 石s, вычислялась не по (4), а численным интегрированием (3). В этой же таблице для сравнения приведены энергии Е^ и 石2 ферромагнитной и двухподрешеточной антиферромагнитной структур, полученные численным интегрированием (3) при а = 0 и тг/2. Кроме того, приведена энергия 石/

четырехподрешеточной ферримагнитной структуры СССЮ, вычисленная по той же схеме, что и энергия Es (6).

Таблица 1

а

〃 =1/4

〃 =1/6

一石4

—石 s(tt/2)

-e1

一石2

-E^

一石6

—石 S(7T/3)

ОД

0,0055

0,0051

0,0028

0,0014

0,3

0,0378

0,0347

0,0202

0,0125

0,0244

0,0371

0,0363

0,5

0,0891

0,0816

0,0568

0,0344

0,0620

0,0826

0,0806

1,0

0,2646

0,2452

0,2362

0,1304

Как видно из таблицы, выигрыш в энергии при установлении ССЮЮ или геликоидального упорядочения в несколько раз выше, чем при установлении ферромагнитной или двухподрешеточной структур. Он существенно превышает и выигрыш при установлении ферримагнитной структуры, что иллюстрирует энергетическую невыгодность других четырехподрешеточных структур по сравнению с ССЮЮ. Энергии же ССЮЮ и геликоидальной структур отличаются друг от друга только на 10 %. Но при всех значениях, приведенных в таблице, ССЮЮ структура энергетически выгоднее геликоидальной. Разность Es —石4 хотя и мала, но сравнима с максимальным значением магнитной анизотропии в редкоземельных металлах. Это свидетельствует о том, что негейзенберговский косвенный обмен может быть главной причиной аномальных свойств металлов типа CeSb, в особенности тех, которые нельзя объяснить магнитной анизотропией.

Если же зона проводимости заполнена точно на 1/6, конкурентом геликоидальной является СССЮЮЮ шестиподрешеточная коллинеарная антиферромагнитная структура. Точная диагонализация гамильтониана, аналогичного (1), приводит к дисперсионному уравнению шестой степени, отражающему тот факт, что зона проводимости в этом случае расщепляется на 6 вырожденных по спину подзон. На практике удобнее находить из него не энергию & как функцию квазиимпульса к, а обратную функцию к(е). Ее производная по & есть плотность уровней, так что энергия СССЮЮЮ структуры Eq дается выражением

石6 = 3 卜(тг)тг- j k(e)de}

= arccos I (s2 — @2)3 — 3&4 + 瑞 + 2a2)&2 + (q4 _ 卞)_ .

При численном интегрировании (6) берется та ветвь функции к(е), которая соответствует нижней подзоне. Минимальной энергии геликоида соответствует здесь его вектор, близкий к тг/З. Энергия 石$(乃/3) и в этом случае находится численным интегрированием (3). Результаты вычислений представлены в табл. 2. Из нее видно, что и в этом случае многоподрешеточная структура энергетически выгоднее спиральной, хотя разность их энергий меньше, чем в предыдущем случае.

Естественно, многоподрешеточные структуры остаются энергетически выгоднее спиральных в некоторых интервалах заполнений v с центрами 1/4 и 1/6. Интервал (1/4 — z/_, 1/4 + z/+) , внутри которого Е^ меньше %, определяется соотношением,

Таблица 2

а

2J1S2

2J2 s2

2RS2

2LS2

4『/тг

SEs/Es,%

ОД

-0,0012

-0,0096

0,0088

0,0076

0,86

1,3

0,3

-0,0028

-0,0684

0,0592

0,0520

0,97

0,1

0,5

0,0120

-0,1632

0,1492

0,1160

1,06

0,3

1,0

0,8880

—0,4876

0,4564

0,4148

1,28

3,8

вытекающим из (2), (3),

±（石s -石4）（,2 +経-,2 +経干20[±（石s -石4）（,2 +経-,2 +経干20[⑺⑺

±（石s -石4）（,2 +経-,2 +経干20[

±（石s -石4）（,2 +経-,2 +経干20[

⑺

⑺

Согласно ⑺，при а в пределах 0,3-0,5z/± ^ 0,05. Соответственно ширина интервала стабильности СССЮЮЮ структуры около 0,02. Таким образом, на фазовой диаграмме (рис. 1) ССЮЮ и СССЮЮЮ структуры разделяет только узкий интервал [0,18, 0,20], внутри которого геликоидальная структура, возможно, стабильна.

Естественно, магнитная анизотропия расширяет интервалы стабильности много- подрешеточных структур. К тому же приводит и конечная сжимаемость решетки,

делающая возможным возникновение волны плотности заряда. Если зона проводимости заполнена на 1/4, то в кристалле с ССЮЮ упорядочением происходит удвоение, а не учетверение кристаллографического периода, как это было бы в немагнитном кристалле. Кристаллографическое учетверение было бы энергетически выгодно, если бы оно создавало щель на поверхности Ферми. Но из-за магнитного учет-делающая возможным возникновение волны плотности заряда. Если зона проводимости заполнена на 1/4, то в кристалле с ССЮЮ упорядочением происходит удвоение, а не учетверение кристаллографического периода, как это было бы в немагнитном кристалле. Кристаллографическое учетверение было бы энергетически выгодно, если бы оно создавало щель на поверхности Ферми. Но из-за магнитного учет-九九4 -4 -2-12-10,16 0,18 0,200,16 0,18 0,20I V 0,30I V 0,30

делающая возможным возникновение волны плотности заряда. Если зона проводимости заполнена на 1/4, то в кристалле с ССЮЮ упорядочением происходит удвоение, а не учетверение кристаллографического периода, как это было бы в немагнитном кристалле. Кристаллографическое учетверение было бы энергетически выгодно, если бы оно создавало щель на поверхности Ферми. Но из-за магнитного учет-

делающая возможным возникновение волны плотности заряда. Если зона проводимости заполнена на 1/4, то в кристалле с ССЮЮ упорядочением происходит удвоение, а не учетверение кристаллографического периода, как это было бы в немагнитном кристалле. Кристаллографическое учетверение было бы энергетически выгодно, если бы оно создавало щель на поверхности Ферми. Но из-за магнитного учет-

九

九

4 -

4 -

2-1

2-1

0,16 0,18 0,20

0,16 0,18 0,20

I V 0,30

I V 0,30

Рис. 1. Фазовая диаграмма магнетика Поосям отложены период структуры А иотносительная концентрация электроновпроводимости пРис. 1. Фазовая диаграмма магнетика Поосям отложены период структуры А иотносительная концентрация электроновпроводимости пверения решетки щель там уже существует, и при достаточно больших а изменение электронной энергии Е^ вследствие деформации и оказывается порядка а?% а не к? In 〃，как было бы при пайерлсовской де

Рис. 1. Фазовая диаграмма магнетика Поосям отложены период структуры А иотносительная концентрация электроновпроводимости п

Рис. 1. Фазовая диаграмма магнетика Поосям отложены период структуры А иотносительная концентрация электроновпроводимости п

формации решетки. Поэтому именно сим

метрия ССЮЮ структуры определяет характер деформации решетки: относитель

ное смещение ближайших соседей с параллельными спинами должно быть равно

по величине и противоположно по знаку смещению соседей с антипараллельными

спинами. Но это и означает кристаллографическое удвоение решетки. Приведенные

К画'К画'соображения подтверждаются расчетом, который показывает, что полное изменение

К

画'

К

画'

”=”=К -К -энергии ССЮЮ структуры имеет порядок q472/x, где 7 = 丁 In |В| упругая постоянная кристалла, а — постоянная решетки.

”=

”=

К -

К -

Неколлинеарная двухподрешеточная структура. В рамках аналогичной модели магнитноизотропного одномерного металла, но при заполнениях зоны проводимости, превышающих 1/2, получается, что НКАФ упорядочение энергетически выгоднее коллинеарных с любым числом подрешеток и геликоидального. Действительно, при таких больших фермиевских квазиимпульсах никакое длинно- периодное упорядочение не может создать особенность в плотности состояний на поверхности Ферми, которая стабилизовала бы его. Что же касается ферромагнитного и двухподрешеточного коллинеарного антиферромагнитного упорядочений, то в возможности большей энергетической выгодности НКАФ упорядочения по срав-

нению с ними можно убедиться анализом выражения для электронной энергии при НКАФ упорядочении [8]

Eka = 2 £ Bn cos nk — AS a cos 仇

где 2犷一угол между моментами подрешеток.

В соответствии с общим правилом для геликоидальных структур электроны полностью заполненной нижней подзоны (8) стремятся установить структуру с г = =тг/2, т. е. коллинеарную антиферромагнитную. Поэтому неколлинеарность может быть вызвана только электронами верхней подзоны; так как ее заполнение считается малым, скос моментов может произойти, лишь если энергия электронов в ней зависит от 犷 сильнее, чем в нижней подзоне. Безусловно, это требование невыполнимо, если в (8) отличен от нуля только Bi, так как тогда обе подзоны зоны проводимости симметричны относительно оси k. Чтобы нарушить эту симметрию, достаточно считать не равным нулю еще и 显.Если оба блоховских интеграла 々 и В? отрицательны и выполнено неравенство

а > -2/3 + ^ +а > -2/3 + ^ +⑼⑼

а > -2/3 + ^ +

а > -2/3 + ^ +

⑼

⑼

Рис. 2. Зона проводимости антиферромагнетика (формула (8) с Bi,星 卢 0 при cos少=0). Обозначения: /3 = В2/Bi^ а = =AS/2\Br\Рис. 2. Зона проводимости антиферромагнетика (формула (8) с Bi,星 卢 0 при cos少=0). Обозначения: /3 = В2/Bi^ а = =AS/2\Br\нальности аномально велик: он расходится какнальности аномально велик: он расходится как

Рис. 2. Зона проводимости антиферромагнетика (формула (8) с Bi,星 卢 0 при cos少=0). Обозначения: /3 = В2/Bi^ а = =AS/2\Br\

Рис. 2. Зона проводимости антиферромагнетика (формула (8) с Bi,星 卢 0 при cos少=0). Обозначения: /3 = В2/Bi^ а = =AS/2\Br\

нальности аномально велик: он расходится как

нальности аномально велик: он расходится как

то при cos 犷=0 максимумы обеих подзон лежат при г = тг/2, а два эквивалентных минимума каждой подзоны — при г = 0 и тг (рис. 2). Состояния обеих подзон отделе

ны друг от друга щелью. Такого спектра достаточно для энергетической выгодности

НКАФ структуры.

Скос моментов вызывает прирост полной энергии нижней подзоны (8), который при малых cos 犷 пропорционален cos?犷. Поскольку она считается целиком заполненной, коэффициент пропорциональности от электронной концентрации не зависит. Что же касается полной энергии электронов верхней подзоны, то она зависит от cos 犷 и г/ гораздо более сложным образом. С ростом cos 犷 один из минимумов этой подзоны понижается, а другой повышается. Соответственно электроны из второй долины переходят в первую. Если разница в заполнениях обеих долин невелика, то уменьшение энергии, вызванное скосом, пропорционально cos2 犷.Однако коэффициент пропорцио- (Z/ — 1/2)-1 при г/ т 1/2. Если же все

электроны верхней подзоны сконцентрированы в одной долине, то уменьшение их энергии пропорционально (г/ — 1 /2) cos 犷.В этом случае полная энергия электронов

имеет минимум при

(Ю)(Ю)cosH =(2? (z/ - В) (/С(ж) + g(N))T, / =+ 宁)

(Ю)

(Ю)

где /С(ж) и 2(/) — полные эллиптические интегралы первого и второго родов соответственно. Выражение (10) справедливо, если выполнено условие отсутствия электронов в верхней долине

2/ (/С(ж) — 2(/))2/ (/С(ж) — 2(/))22(И)(И)

2/ (/С(ж) — 2(/))

2/ (/С(ж) — 2(/))

2

2

(И)

(И)

Оно заведомо выполняется при малых и — 1/2 и совместимо с (9).

Обращает на себя внимание, что параметр В? входит в условие существования НКАФ структуры (9), но не входит в выражение для самопроизвольной намагниченности (10). Причина этого проста: возникновение НКАФ структуры не нарушает параллельности спинов вторых по дальности соседей и потому не влияет на переходы электронов между ними, описываемые В». Следует подчеркнуть во избежание недоразумений, что условие (9) является достаточным, но не необходимым для энергетической выгодности НКАФ структуры.

Следует еще указать, что НКАФ структура может осуществляться и при половинном заполнении зоны проводимости, если кроме косвенного через электроны проводимости существует еще и дополнительный механизм обмена, например, гейзенберговский сверхобмен через электроны более глубоколежащих зон, который стремится установить ферромагнитное упорядочение. Такой сверхобмен может изменить в выражении для энергии системы знак члена 〜cos2 犷 на отрицательный, не влияя на величину члена 〜cos4 犷，который, согласно (8), положителен и аномально велик.

Поступила в редакцию / января 1983 г.

В окончательной редакции 5 июля 1983 г.

Список литературы

Нагаев Э.Л. // УФН. 1982. Т. 136. С. 61.

Hald В., Furrer A., Haig ИЛ, Vogt О. // J. Phys. С. 1981. V. 14. Р. L961.

von Boehm 丿.,Bak P. // Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 122.

Нагаев Э.Л.〉Коваленко A. A. // ЖЭТФ. 1980. T. 79. С. 907. (Статья 2.2 настоящего сборника.)

Дзялошинский И. Е. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 336.

Дзялошинский И. Е. // ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 1547.

Матвеев В. М., Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1972. Т. 14. С. 492.

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

Morin Р., Pierre 丿.，Schmidt /?., Givord D. // Phys. Lett. A. 1978. V. 65. P. 156.

Глава 3

ФОТОМАГНЕТИЗМ

Фотоиндуцированный слабый ферромагнетизмв магнитных полупроводниках

В. М. Матвеев, Э. Л. Нагаев

ФТТ. 1975. Т. 17. С. 2483-2485

В магнитных полупроводниках электроны проводимости, осуществляя косвенный обмен между магнитными атомами, стремятся установить ферромагнитное (Ф) упорядочение. На основании этого в [1] была высказана идея, что фотовозбуждение электронов в невырожденных антиферромагнитных (АФ) полупроводниках (П) может перевести их в Ф состояние. Согласно [1], при температуре Нееля Tn 10-100 К, для этого достаточно концентрации фотоэлектронов 〜1018 см-3. Но для описания косвенного обмена в [1] использовалась теория Рудермана-Киттеля. Последняя справедлива, лишь если кинетическая энергия электронов q велика по сравнению с энергией их обмена с магнитными атомами AS. В невырожденных же П, наоборот, £及 〜Т очень мала по сравнению с AS, так как в типичных условиях AS 〜1 эВ, и эта теория к ним неприменима.

Нетривиальность рассмотрения фазовых переходов под действием освещения состоит в том, что в отсутствие термодинамического равновесия нельзя пользоваться требованием минимума свободной энергии. С другой стороны, требование минимума генерации энтропии, справедливое в ряде случаев для неравновесных процессов, не имеет непосредственного отношения к фазовым переходам. Ниже сформулирован вариационный принцип для неравновесных фазовых переходов в пространственнооднородных системах. С его помощью показано, что для перевода обычных АФ П в Ф состояние на самом деле требуется концентрация носителей на 2-3 порядка выше, чем получилось в [1]. Такие концентрации фотоэлектронов практически недостижимы, чем и объясняется отрицательный результат многочисленных экспериментов, предпринятых с целью обнаружения этого эффекта. Однако метамагнитные П типа EuSe могут быть переведены светом в «ферримагнитное» состояние с ненасыщенным моментом. Кроме того, в обычных АФ П может наблюдаться фотоиндуцированное неколлинеарное антиферромагнитное (НКАФ) упорядочение с малым моментом типа, предположенного в [2].

Рассматривается образец, толщина которого не слишком велика, так что интенсивность освещения можно считать не зависящей от координат. Лагранжиан рассматриваемой системы в рамках ^-/-модели записывается в виде

L = Lm + Le + 4Хсг j ^(r)M(r)^a(r)产口 (1)

где Lm — магнитный («/-») лагранжиан, Le — электронный («6-») лагранжиан с учетом взаимодействия со светом,中^ (厂)——полевой оператор электронов с проекцией спина а.

П считается широкозонным, т. е. AS « W, где S — спин магнитного атома. В лагранжиане ^-/-обмена учтена только продольная компонента момента кристалла М⑺(на атом), так как в П из-за сильной поляризации электронов по спину она дает вклад в энергию в первом порядке по AS/W^ в то время как поперечные компоненты —только в более высоком порядке (в рамках теории Рудермана-Киттеля, предполагающей малость поляризации, все компоненты момента дают вклад во втором порядке).

Варьирование действия с лагранжианом (1) по М и последующее усреднение уравнения Лагранжа по неравновесному состоянию дает

d / dLdt'a Mgd / dLdt'a Mg⑵⑵

d / dLdt'a Mg

d / dLdt'a Mg

⑵

⑵

При S》1 процедура усреднения первых двух членов сводится к замене операторов спина на классические векторы спина.

Средняя электронная плотность определяется из кинетических уравнений

⑶⑶G ь — RfjTtfj + Р/ —(7八-сг — ^— а,а^ а = 0 •

⑶

⑶

Первый член описывает в них генерацию светом электронов со спином ст, второй — рекомбинацию, третий и четвертый — переходы с изменением проекции спина. В общем случае кинетические коэффициенты в (3) зависят от магнитного момента.

Ограничимся случаем достаточно низких температур, считая, что разогрева кристалла светом не происходит. Тогда можно пренебречь флуктуациями намагниченности во времени, т. е. первым членом в (2). Из-за однородности образца его состояние можно описать единственным параметром — средней намагниченностью М, которым определяется и стационарная концентрация носителей тока. Тогда равенство (2) при Т Т 0, если подставить в него (п^ — п^) как функцию М есть условие стационарного состояния. С учетом (3) и неравенства R《Р оно эквивалентно условию минимума величины

((Gf + Gj)(勺丄-I &々(+止产" 丿((Gf + Gj)(勺丄-I &々(+止产" 丿〜A Г

((Gf + Gj)(勺丄-

I &々(+止产" 丿

((Gf + Gj)(勺丄-

I &々(+止产" 丿

Ем = Ем _工 dM

о

где

м

Ем =—Ем =—9LMдм9LMдмdMdM

Ем =—

Ем =—

9LMдм

9LMдм

dM

dM

—энергия прямого взаимодействия магнитных атомов.

По условию нестабильности намагниченного состояния в отсутствие освещения при малых средних моментах на атом Ем = кМ2. В отсутствие освещения п^ = =S и 当丄=修「а при малых М разложение 片丄—修丁 начинается с линейного по М члена,当丄—修丁 〜Р^^АМг^ где & — характерная энергия фотоэлектрона, и, согласно (4), разложение величины Ем по М должно иметь вид

Ем = (к — х)М2 + сМ4 + ...;к(5)

N- число магнитных атомов.

Очевидно, с ростом п коэффициент перед М2 становится отрицательным, т. е. начиная с некоторого критического значения пд становится возможным появление

намагниченности. Подобно [3], коэффициент с должен быть положителен, т. е. может установиться НКАФ упорядочение; поскольку оно не связано с релятивистскими взаимодействиями, ограничения на симметрию кристалла [4] здесь отсутствуют (в [3] оно было исследовано в вырожденных П в равновесных условиях). При AS 〜 〜0,5 эВ, Tn ~ 10-3 эВ, N 〜1022 см-3 (как в EuSe), полагая е < Tn, получаем пд 〜T^e{AS}~2N 〜1016-1017 см-3, что достижимо экспериментально.

Разложение (5) справедливо при ТИ/S《&/4S 〜10-3. При больших моментах в (4) следует учитывать полную поляризацию электронов проводимости по спину (片丄 Т оо,修т Т 0). Если считать, что G и R не зависят от Л1, концентрация носителей пр, при которой должно установиться Ф упорядочение оказывается порядка TnN[AS, т. е. на 2-3 порядка выше пд- Такие концентрации фотоэлектронов вряд ли достижимы.

В метамагнетиках при оценке пр вместо Tn следует брать /ibHcS^ где 〃в — магнетон Бора; Нс — критическое поле, при котором происходит скачок из АФ в Ф состояние. При Нс 〜3 • 103 9, S = 7/2 (как в EuSe) пр оказывается порядка 10181019 см-3, что тоже вряд ли достижимо экспериментально. Однако EuSe обладает замечательным свойством, отличающим его от других метамагнетиков [5]: при 4,2 К поля < 200 Э переводят его из АФ в «ферримагнитное» состояние с ненасыщенным моментом Мд 〜1/3S. Это делает возможным экспериментальное наблюдение фотоперехода в «ферримагнитное» состояние, так как для этого достаточно концентраций 〜1017 см-3, которые можно еще понизить, приложив поле Н, меньшее Нс.

Если частота света г/ меньше ширины щели Eg (0) при Л1 = 0, то его поглощение может стать возможным при конечных М, так как из-за ^-/-обмена дно одной из спиновых подзон сдвигается вниз на АМ/2. Анализ такой ситуации при помощи (4) показывает, что для перехода в «ферримагнитное» состояние требуются концентрации носителей гораздо больше, чем при v > Eg (0). В частности, если поглощение света становится возможным только при М》Mq^ переход в «ферримагнитное» состояние невозможен вообще.

Следует заметить также, что в принципе возможны и фотоиндуцированные неоднородные состояния, которые могут оказаться предпочтительнее однородных.

Поступила в редакцию / апреля 1975 г.

Список литературы

Карпенко Б. В., Бердышев А. А. // ФТТ. 1963. Т. 5. С. 3397; Бердышев А. А., Летфу- лов Б.М. 11 ФТТ. 1972. Т. 14. С. 2119.

Боровик-Романов А. С, Орлова М. П. // ЖЭТФ. 1956. Т. 31. С. 579.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. С. 1274 (Статья 1.4 настоящего сборника); ФТТ.

1972. Т. 14. С. 773.

Дзялошинский И. Е. // ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 1547.

Griessen В., Landolt М., Ott Н. // Sol. St. Comm. 1971. V. 9. Р. 2219.

Фазовые переходы под действием света

Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1981. Т. 80(6). С. 2346-2355

Развита теория фазовых переходов, происходящих под действием света. Считается, что воздействие света на упорядочение осуществляется через фотоэлектроны, сильно взаимодействующие с упорядочивающейся подсистемой (например, с магнитными атомами в ферромагнитном полупроводнике). Стационарные состояния системы можно описать при помощи неравновесного аналога свободной энергии, названного синергетическим потенциалом, так как скорость генерации энтропии S пропорциональна производной от него по частоте света Q. Стационарное значение параметра порядка находится из условия минимума по нему синергетического потенциала. В зависимости от Q фотоиндуцированные фазовые переходы могут быть как непрерывные, так и скачкообразные. В первом случае обнаруживают особенности производные от S по П и интенсивности света и температуре, во втором сама S испытывает скачок. Оценены концентрации фотоэлектронов, при которых происходят фазовые переходы.

Кроме тривиального разогрева при освещении, существуют другие физические механизмы, по которым свет может влиять на состояние кристаллов, обнаруживающих какое-либо упорядочение, например, магнитное или сегнетоэлектрическое. Во многих случаях эти механизмы, в противоположность разогреву, стремятся поддержать упорядочение. Тогда при заданной температуре образца (она определяется не только температурой термостата, но и интенсивностью поглощаемого света) степень порядка на свету оказывается выше, чем в темноте, и возможны даже фазовые переходы под действием света из неупорядоченного в упорядоченное состояние. Увеличение температуры Кюри Тс ферромагнитного полупроводника EuS под действием света наблюдалось экспериментально [1]. В связи с этим возникает необходимость построения теории фотоиндуцированных фазовых переходов, чему и посвящена настоящая работа.

Принципиальное отличие фотоиндуцированных фазовых переходов от обычных состоит в том, что они происходят в термодинамически неравновесных условиях, так как энергия поглощенного света диссипируется. Поэтому для описания таких переходов нельзя использовать свободную энергию и нельзя говорить об особенностях ее производных, например теплоемкости, в точке перехода. По существу, единственно четко определенной величиной, характеризующей неравновесные процессы, является скорость генерации энтропии S, и потому именно ее особенности следует исследовать в теории неравновесных фазовых переходов. Естественно, встает вопрос, можно ли построить для неравновесных фазовых переходов величину, которая играла бы для них ту же роль, что свободная энергия для равновесных, т. е. чтобы стационарные состояния и условия неравновесного фазового перехода могли быть найдены из экстремума этой величины и чтобы из нее определялась и генерация энтропии.

Ниже будет показано, что во всяком случае, для некоторых систем такую величину ввести удается. Генерация энтропии пропорциональна производной от этой величины по частоте света, и потому ее по аналогии с термодинамическим потенциалом можно назвать синергетическим потенциалом. Стационарные состояния соответствуют минимуму синергетического потенциала системы.

По-видимому, наиболее эффективный механизм влияния света на упорядочение — это взаимодействие фотоэлектронов с упорядочивающейся подсистемой. Например, в магнитных полупроводниках обменное взаимодействие фотоэлектронов с локализованными магнитными моментами атомов вызывает у них тенденцию к установлению ферромагнитного упорядочения. Фотоэлектроны могут влиять не только на

магнитное, но и на кристаллографическое упорядочение. Так, они могут вызвать одноосную деформацию многодолинных полупроводников типа Ge или Si, скапливаясь в долинах, лежащих на одной из осей, так как подобная деформация понижает дно этих долин (аналогичное явление при легировании многодолинных полупроводников исследовалось теоретически в [2]).

Ниже рассматриваются две модели, в первой из которых фазовый переход в темноте отсутствует, а во второй он существует и в темноте, а освещение лишь сдвигает критическую точку или превращает его из непрерывного в скачкообразный. В обеих моделях влияние света на упорядочение осуществляется через фотоэлектроны. Хотя первая модель формулируется в терминах магнитоэкситонного полупроводника, она легко может быть переформулирована для антиферромагнитного или немагнитного многодолинного полупроводника. Точно так же достаточно высокой степенью общности обладает и вторая модель, сформулированная применительно к ферромагнитному полупроводнику. В приближении самосогласованного поля производные от S по интенсивности и частоте света и по температуре должны обнаруживать скачки в точке фазового перехода второго рода, подобные скачкам теплоемкости в теории Ландау-Лифшица. Аналогичные скачки должны обнаруживать и соответствующие производные от концентрации фотоэлектронов. При фазовом переходе первого рода S сама должна испытывать скачок. Это должно проявляться в особенностях фотопроводимости и фотоэффекта Холла.

По аналогии с теорией равновесных фазовых переходов второго рода можно ожидать, что выход за пределы приближения самосогласованного поля, т. е. более точный учет флуктуации, приведет к особенности S более сложного типа, чем скачки ее производной. Естественно также допустить, что особенности S должны наблюдаться не только при фотоиндуцированных, но и при неравновесных фазовых переходах других типов. Так, особенность температурного коэффициента электросопротивления dp/dT ферромагнитного проводника в точке Кюри можно рассматривать как проявление особенности S 〜dp/dT (строго говоря, даже при малых токах фазовый переход тут неравновесный). Особенность S у этих материалов того же типа, что и у теплоемкости. Это позволяет предположить, что флуктуации качественно одинаковым образом влияют на особенности теплоемкости в случае равновесных и на особенности S в случае неравновесных фазовых переходов.

Отметим в заключение, что в принципе возможны и фотоиндуцированные фазовые переходы, происходящие без диссипации энергии света, когда его частота попадает в полосу прозрачности кристалла [3, 4]. Влияние света на намагниченность в этом случае обусловлено изменением под действием света состояний валентной зоны в магнитном полупроводнике, в результате чего меняется сверхобмен между локализованными спинами. Такой механизм воздействия света требует гораздо больших его интенсивностей, чем рассматриваемый в настоящей работе. Отсутствие диссипации позволяет описывать такие фазовые переходы как равновесные, влияние освещения на которые сводится лишь к ренормировке интеграла обмена.

Появление намагниченности у магнитоэкситонного кристалла под действием света. В этом разделе будет рассмотрен более простой случай фазового перехода при Т т 0, обусловленного всецело поглощением света. В темноте параметр порядка (средняя намагниченность) равен нулю не потому, что разупорядочены моменты атомов, т. е. равны нулю статистические средние проекций их моментов, а из-за равенства нулю их квантовомеханических средних по основному состоянию. Поэтому термин «неупорядоченное состояние» здесь носит несколько условный характер: флуктуации параметра порядка в нем отсутствуют. Упорядочение появляется, когда электроны проводимости поляризуют оболочки атомов, вызывая появление у них квантовомеханических средних моментов, параллельных друг другу.

Простейшая модель такого магнитоэкситонного кристалла (в физике магнитных явлений их принято называть синглетными магнетиками) такова [5]. Кристалл состоит из магнитных атомов, средний момент которых в основном и первом возбужденном состояниях |0) и |1) равен нулю. Момент заморожен, так как в волновых функциях этих состояний противоположные направления момента J представлены с одинаковыми весами, например, |0)〜(I丿不〉+ 丨一 Jj〉)，a |1)〜(丨丿不〉一丨一 Jj〉)，где I Jg) — состояние с заданным Jz = Jj. Однако матричный элемент проекции момента атома между его основным и первым возбужденным состояниями отличен от нуля (в приведенном примере он равен Jg). Поэтому в результате смешивания этих состояний у кристалла появляется проекция момента, пропорциональная степени смешивания. Такое смешивание может происходить в результате взаимодействия с фотоэлектронами, что и предполагается ниже.

Гамильтониан системы в пренебрежении прямым обменом между магнитными атомами записывается в виде

h = 3f项久一4£ (项+久)(磋Ugf -磋jagj) •⑴

Здесь 6*, 6g — паулиевские операторы рождения и уничтожения экситона, соответствующего переходу |0) Т |1) на атоме g; а*а, ag^ — операторы электрона проводимости с проекцией спина а; А — интеграл обмена электрона с атомом, предполагаемый положительным (в него включен и множитель JJ). Аналогичную структуру имеет и гамильтониан электрон-фононного взаимодействия в многодолинном полупроводнике типа Ge или Si, только вместо электронного спина в нем должен фигурировать номер долины.

Согласно (1), чтобы смешение состояний |0) и |1) происходило, необходима поляризация электронов проводимости по спину. При освещении кристалла неполяризо- ванным светом поляризация у фотоэлектронов может появиться лишь из-за появления намагниченности у кристалла. Если вначале кристалл не был намагничен, но при освещении возникла флуктуация намагниченности, она влечет за собой флуктуацию поляризации фотоэлектронов, стремящуюся поддержать и усилить флуктуацию намагниченности. Однако росту флуктуации намагниченности препятствуют затраты энергии на возбуждение экситонов. В результате конкуренции между этими двумя факторами при малых интенсивностях света флуктуации затухают, а при больших — нарастают. Это и означает, что при некоторой критической интенсивности света происходит фазовый переход из ненамагниченного в намагниченное состояние.

Количественный анализ производится с использованием феноменологических уравнений движения для чисел заполнения спиновых подзон зоны проводимости

=〈嗓^目^〉(〈•••〉一 символ усреднения)

= Go —資 +—沙СТ,(2)

где тг — время рекомбинации, Ра,-а — вероятность изменения проекции спина за единицу времени.

Исследуемый эффект наиболее значителен в случае прямых переходов зона-зона. Для простоты считается, что электроны проводимости взаимодействуют с намагниченностью кристалла значительно сильнее, чем дырки. Тогда в первом порядке по отношению А к ширине зоны проводимости W коэффициент генерации для неполя- ризованного или плоскополяризованного света с частотой Q может быть представлен в виде (см., например, [6])

Go = Я^ - Eg + 2Ааг] ^ (Q - Eg + 2Аат)), 〃 =〈6* + 6〉，(3)

где Eg — ширина щели в отсутствие намагниченности ту; константа 凡 зависящая от структуры энергетических зон, пропорциональна интенсивности света; "(/)— функция единичного скачка,方=1.

Поскольку в обычных условиях рекомбинацию можно считать безызлучательной и идет она посредством многоступенчатых процессов захвата носителей на примесные центры, зависимость рекомбинации от ширины щели должна быть гораздо более слабой, чем генерации. Поэтому можно считать тг не зависящим от ту. Далее, чтобы упростить выкладки, мы несколько огрубим модель и при малых ту будем считать равными друг другу и не зависящими от ту коэффициенты Р^-^ и Р^ в (2) (Ра^_а = F). Таким образом, в используемой модели зависимость чисел 沙^ от намагниченности обусловлена зависимостью от нее генерации носителей.

Чтобы исследовать устойчивость системы по отношению к флуктуациям ту при Т Т 0, при помощи (1)-(3) составляются уравнения движения для〈6*〉，⑹ и 6 =々一 —у, линеаризованные по ту, причем зависимость этих величин от времени считается экспоненциальной (〜е**). С учетом того, что характерное время изменения флуктуации А-1 велико по сравнению со;-1, при Q〉Eg получается, что флуктуации намагниченности становятся нарастающими, если интенсивность света превышает критическое значение

у _ 2Кт4，П — Eg и _у _ 2Кт4，П — Eg и _АА-=-+ 2F.(4)ТТр-=-+ 2F.(4)ТТр

у _ 2Кт4，П — Eg и _

у _ 2Кт4，П — Eg и _

А

А

-=-+ 2F.(4)

ТТр

-=-+ 2F.(4)

ТТр

С учетом (3) критерий (4) можно выразить в терминах критической концентрации фотоэлектронов ус^ начиная с которой ненамагниченное состояние кристалла становится абсолютно неустойчивым:

у > ус = (Q — Eg).(5)

При А = 0,3 эВ, Q — Eg = 0,1 эВ, g = 10-3 эВ она составляет 〜10-4 (〜1018 см-3).

Исследуем теперь стационарное состояние системы. Вместо того, чтобы в явном виде вводить взаимодействие системы с термостатом, достаточно считать, что по условию Т Т 0 как в темноте, так и на свету каждый атом находится в основном состоянии и что моменты всех атомов параллельны друг другу. С учетом возможности его поляризации фотоэлектронами волновая функция атома представляется в виде

①=(〃b* +⑴％，⑹

где |0〉ех — вакуумная волновая функция экситона. Из (1) и (6) вытекает, что в стационарном состоянии намагниченность определяется из уравнения

⑺⑺зт] — 2у 1 — 〃2 а(п) = 0, а = А (々—以).

⑺

⑺

Можно построить целое семейство функций от ту, условием экстремума которых является уравнение ⑺.Из них нас интересует та, через которую может быть выражена генерация энтропии. По этой причине она будет называться ниже синергетическим потенциалом (см. (20), (21)):

⑻⑻К = 5— ,1 - 〃2 ) - ] а(〃) drj.

⑻

⑻

Поскольку при 77 To величина а (ту) тоже обращается в нуль, уравнение ⑺ всегда имеет тривиальное решение и, кроме того, при определенных условиях может еще иметь и нетривиальное решение с ту 7^ 0. Для доказательства, что реализоваться из них должно то, которое обеспечивает минимум синергетического потенциала, следует привлечь полученные выше результаты о динамике флуктуации. Синергетический

потенциал (8) с использованием (3) представляется в виде разложения по ту типа Ландау-Лифшица

К = I g〃2(i —卜⑺ + ^ 叽4 (1 — 1 卜炉) (9)

Действительно, согласно (4) и (9) немагнитное состояние с ту = 0 устойчиво как раз там, где К(0) минимально, и теряет устойчивость, когда минимуму К соответствует ту # 0. Таким образом, действительно, физически реализуемые решения отвечают минимуму К(п).

Из (9) вытекает, что при частотах, достаточно далеких от края поглощения (при сделанных выше предположениях, когда U < 2), фотоиндуцированный фазовый переход — второго рода, и критическое значение интенсивности света, при котором он происходит, совпадает с Vc (4). Если же частота света близка к краю поглощения (U > 2), то фотоиндуцированный фазовый переход — первого рода и должен происходить при некоторой интенсивности %, меньшей 匕.Ранее указывалось на возможность скачкообразного фазового перехода под действием света из нормального состояния в сверхпроводящее у металлов [7]. Впервые же она была отмечена в ситуации, подобной обсуждаемой ниже [8].

Рассматривается случай, когда при ту = 0 частота света попадает в полосу пропускания кристалла, а при ту # 0 свет может поглощаться (% — А < Q < %). Синергетический потенциал в этом интервале частот кроме минимума с ту = 0 имеет еще и минимум с ту 7^ 0, если интенсивность света достаточно велика. При Eg — П《 《А она должна для этого удовлетворять неравенству, вытекающему из (2), (3),⑺ с учетом Р^ = z/j = 0:

L = (Ц^『〉厶=44—2 (Eg - Q). (10)

Критическому значению интенсивности L = Lc соответствует значение ту = %：

_ 2(石g—出

Решение с 77 # 0 стабильно относительно малых флуктуации. Однако, когда флуктуации велики, вопрос об его стабильности остается открытым. Но, во всяком случае, магнитное состояние может реализоваться хотя бы как метастабильное, если предварительно намагнитить кристалл внешним полем, а затем включить свет, поддерживающий эту намагниченность, выключив поле. Если допустить, что при наличии двух минимумов К(ту) устойчивей состояние с более глубоким минимумом, то намагниченное состояние становится устойчивей ненамагниченного, начиная с L > 4/3Lc. Намагниченность тогда равна 277c.

Фотоиндуцированная намагниченность при низких температурах возможна не только в синглетных магнетиках, но и в антиферромагнетиках или метамагнетиках. Особенно перспективным в этом плане представляется метамагнетик EuSe с очень малым критическим полем, обладающий к тому же высокой фотопроводимостью [5]. Теория фотонамагниченности таких материалов, развитая ранее [8], легко может быть обобщена по изложенной в этом разделе схеме, приводя к результатам, качественно сходным с полученными для магнитоэкситонных полупроводников.

Влияние света на фазовый переход в ферромагнитном полупроводнике. Здесь будет исследовано влияние света на фазовый переход, происходящий и в отсутствие освещения. Рассмотрение проводится на примере ферромагнитного полупроводника, в котором свет вызывает сдвиг точки Кюри или изменение типа фазового перехода. Естественно, состояние такой системы из-за его неравновесности нельзя охарактеризовать свободной энергией и, строго говоря, понятие температуры

как термодинамической величины для нее смысла не имеет. Однако эти понятия имеют смысл для термостата, с которым взаимодействует рассматриваемая неравновесная система, и потому температура фигурирует в результатах, относящихся к неравновесным явлениям.

Рассмотрение будет производиться в приближении самосогласованного поля. Для простоты будет считаться, что ферромагнетик — с изинговским взаимодействием (т. е. с сильной магнитной анизотропией) и что спин магнитных атомов равен 1/2. Гамильтониан этих спинов, взаимодействующих с электронами проводимости, записывается в виде

% = -； £ I(g - f)S^ - Z £ s^ SgL ngJ, mgb =好脸.(12)

В дальнейшем вместо спиновых операторов Sg будут использоваться паулиевские

S^ = l —2c"g, S^ = cg, Sg=c£ (13)

Что касается взаимодействия этой системы с термостатом, то его детали несущественны, поскольку в окончательный результат они не входят. Поэтому целесообразно использовать такую модель термостата, чтобы она максимально упростила расчеты. Именно, будет предполагаться, что роль термостата играют фермиевские квазичастицы, гамильтониан которых с учетом (13) имеет вид

(14)(14)Hq = ~Q e &久儿+ 6鼠%) + * 3卩心民bgR.

(14)

(14)

Считается, что операторы термостата 6^儿,6gM (g — номер атома,从—остальные динамические переменные) антикоммутируют с с*, cg. Спектр 必儿 квазичастиц термостата считается непрерывным (в [3], когда рассматривалось взаимодействие света с ферромагнетиком в спин-волновой области, было удобнее считать квазичастицы термостата бозевскими).

Роль параметра порядка ту в рассматриваемом случае играет величина〈S^〉= =1 — 2тп, где т = (c*cg^ . Чтобы найти т, при помощи (12)-(14) составляются уравнения движения для корреляторов (с*с),〈с*6〉и〈6*с〉, решаемые затем в приближении молекулярного поля с учетом свойств термостата как системы с числом степеней свободы, стремящимся к бесконечности:

〈偿也入〉=匕Л*厶=(exp毕+ 1厂三反(岸)•(15)

Считая, что 必儿《J, и разлагая функцию распределения FM (15) по g^/T, получаем из этих уравнений для времени нарастания флуктуации намагниченности А-1:

//c(T) = 8A-2(Q-Eg)(T-Tc),//c(T) = 8A-2(Q-Eg)(T-Tc),(16)(16)

//c(T) = 8A-2(Q-Eg)(T-Tc),

//c(T) = 8A-2(Q-Eg)(T-Tc),

(16)

(16)

Как видно из (16), чем ближе Т к Тс, тем меньше критическая концентрация фотоэлектронов, начиная с которой освещение вызывает появление намагниченности у кристалла. Обратно, если концентрация электронов равна %, температура Кюри увеличивается на величину АТ = Т — Тс, связанную с ус соотношением (16). Сказанное справедливо, если фотоиндуцированный фазовый переход — второго рода. Как будет показано ниже, он может быть и первого рода. Тогда концентрация ис

имеет смысл предельной, начиная с которой парамагнитное состояние абсолютно неустойчиво.

Стационарное состояние системы можно найти из тех же уравнений движения, воспользовавшись для этой цели, как и ранее [3], преобразованием Лапласа. Эти уравнения удается линеаризовать, выбрав за начальный момент времени не момент включения света, а достаточно отдаленный от него, когда значения корреляторов уже близки к стационарным. Асимптотическое поведение т⑴ определяется особенностью ее лапласовского образа в начале координат. Тогда для т(схэ) получается самосогласованное выражение (см. (15)):

тп(оо)=歹(了Г} J = J(l- 2m(oo)), а = А(^ - ^).(17)

При малых намагниченностях оно может быть получено из условия экстремума величины

К =犷(2 —青)+ I 必4 — J °⑺ d〃(18)

которая имеет структуру свободной энергии ферромагнетика, сдвинутой на работу, совершенную фотоэлектронами при установлении заданной степени магнитного порядка. Ниже будет показано, что величина К является синергетическим потенциалом.

Как вытекает из (16) и (18), и здесь устойчивому состоянию системы соответствует минимум синергетического потенциала. Формула (18) приводит к выражению для сдвига температуры Кюри, совпадающему с (16). При А = 0,6 эВ,沙=10-4, Q — Eg = 0,03 эВ величина АТ достигает 1,5 К, что сравнимо со сдвигом точки Кюри EuS при освещении, наблюдавшимся в [1]. При этом, естественно, считается, что коэффициент перед членом ~ ту4 в (18) положителен и при учете вклада в него от фотоэлектронов, так что свет не меняет типа фазового перехода.

Однако фазовый переход превращается из непрерывного в скачкообразный (член 〜т/4 меняет знак), когда частота света ниже некоторой предельной Qi：

/з^с (Т,)Д4\1/3 _ 94

V 一32тС 一丿 — U 1丿

где Ti — температура, начиная с которой при заданной интенсивности света парамагнитное состояние становится абсолютно неустойчивым. Согласно (16) она растет с интенсивностью света, а вместе с ней растет и %. Если фиксировать частоту и поднимать интенсивность света, то может произойти изменение типа фазового перехода: из непрерывного он превратится в скачкообразный.

Ситуация при Q < Eg сходна с рассмотренной в п. 1. Если Eg — Q << Л, отбрасывая в потенциале (18) член 〜ту4, получаем условие существования минимума К при конечном ту. Если фотоэлектроны можно считать полностью поляризованными по спину, оно отличается от (10) заменой g на 2(Т — Тс), где Т — температура образца. Выражение (11) переносится на рассматриваемый случай без изменений.

Основная трудность, препятствующая переносу результатов этого раздела на гейзенберговский магнетик, состоит в том, что в нем вблизи Тс направление спинов медленных электронов не сохраняется, а адиабатически следует за направлением локального магнитного момента кристалла, медленно меняющегося в пространстве [5]. Однако при больших радиусах обменного взаимодействия между локализованными спинами этот эффект можно не учитывать, что дает возможность использовать полученные выше результаты и для гейзенберговского магнетика.

Выясним теперь поведение основной кинетической характеристики неравновесных процессов (скорости генерации энтропии) при фазовых переходах. Эта величина в пренебрежении излучательной рекомбинацией носителей тока с учетом того, что вся энергия поглощенного света в конечном счете превращается в тепло, дается выражением (см. (3))

6 = ^ [G (П —石g + Z# + G (П —石g — Ат/)],(20)

откуда с учетом, что в стационарном состоянии дК/дт] = 0, следует соотношение

6 =-許儲+ 3(片。)，(21)

оправдывающее термин «синергетический потенциал» для величины К (8), (18).

По той же самой причине, что и энтропия в теории равновесных фазовых переходов Ландау-Лифшица, генерация энтропии S имеет особенность в точке фотоин- дуцированного фазового перехода второго рода. Согласно (20) и (3) при малых ту, когда Ату « П — Eg, скорость генерации энтропии дается выражением

6(# = 5(0) (1 - I 炉力)；и =б(о)=弊，= 2Rt否二瓦.

(22)

Из (9) и (18) получается, что вблизи точки фазового перехода

…偿 - V gT(23)

для магнитоэкситонного полупроводника и

Л 偿 7с) dig) (「(/>))(24)

для ферромагнитного полупроводника, где концентрации ис и z/c(T) даются соответственно выражениям (5) и (16), a Qi определяется по (19).

Как следует из формул (22)-(24), в точке фазового перехода второго рода сама скорость генерации энтропии непрерывна, но производная от S по интенсивности света R обнаруживает скачок, причем в намагниченном состоянии dS/dR меньше, чем в неупорядоченном. Если частота света не слишком превышает предельную, начиная с которой фазовый переход превращается из непрерывного в скачкообразный, dS/dR может даже стать отрицательной, т. е. с ростом интенсивности света его поглощение может начать падать. Скачок в точке перехода обнаруживает и dS/AQ Эта производная в намагниченном состоянии выше, чем в ненамагниченном. Наконец, скачок того же знака согласно (24) обнаруживает и производная dS/дТ (при фиксированной интенсивности света она соответствует изменению температуры окружающей среды).

В тех случаях, когда происходит фазовый переход первого рода, он должен сопровождаться скачком скорости генерации энтропии (в равновесном случае скачок испытывает сама энтропия). При переходе из неупорядоченного в упорядоченное состояние S может как возрастать, так и убывать. Например, она заведомо возрастает при Q < Eg, так как в неупорядоченном состоянии поглощение света вообще отсутствует. С другой стороны, при Q〉Eg она может и убывать. Так, в случае магнитоэкситонного полупроводника с U < 3 при всех значениях ту < 1 остается справедливым неравенство S(0)〉5(ту), гарантирующее уменьшение S при появлении

намагниченности. Между тем, согласно результатам п. 1, при U > 2 фазовый переход должен быть обязательно скачкообразным.

По аналогии с [9] можно ожидать, что в определенных условиях рассмотренное выше стационарное состояние с однородной фотоиндуцированной намагниченностью может оказаться неустойчивым. Кристалл может разбиться на намагниченные и ненамагниченные слои, первые с повышенной, а вторые с пониженной концентрацией фотоносителей. Так как расслоение обусловлено перетеканием фотоносителей из одной фазы в другую, эти слои должны иметь толщину порядка диффузионной длины. Однородное состояние должно быть заведомо стабильно, в частности, в кристаллах с высокой магнитострикцией.

В некоторых кристаллах фотоэлектроны, прежде чем рекомбинировать с дырками, могут создать микрообласти с высокой степенью ферромагнитного порядка и ав- толокализоваться в них [5]. Таким образом, кроме коллективного влияния фотоэлектронов на дальний ферромагнитный порядок, возможно их влияние и на ближний порядок, осуществляемое электронами независимо друг от друга. Соответственно, автолокализация фотоэлектронов с возникновением локального ферромагнитного порядка может происходить при интенсивностях света, меньших той критической, начиная с которой появляется дальний ферромагнитный порядок.

Поступила в редакцию 17 октября 1980 г.

Список литературы

Афанасьев М. М., Компан М. Е., Меркулов И. А. // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. С. 2068; Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 23. С. 621.

Кочелап 2 4, Пипа В. И., Писковой В. Н., Соколов В. Н. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 2504.

Лахно В.Д., Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 2123.

Нагаев 3.力.，Соколова Э. Б. // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 28. С. 105.

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

Панков Ж. Оптические процессы в полупроводниках. — М.: Мир, 1973.

Елесин В. Ф. // ЖЭТФ. 1977. Т. 73. С. 355; 1979. Т. 76. С. 2 218.

Матвеев В. М., Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1975. Т. 17. С. 2483 (Статья 3.1 настоящего сборника)-, Лидоренко Н. С, Матвеев В. М., Нагаев Э.Л. // ДАН СССР. 1976. Т. 230. С. 1085.

Ларкин А. И., Хмельницкий Д.Е. // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 2345.

Кинетическая теория фотоиндуцированных фазовыхпереходов в ферромагнитных полупроводниках припроизвольных интенсивностях света

3. 〃. Нагаев, А. И. Подельщиков

ФТТ. 1988. Т. 30(1). С. 187-194

Построена кинетическая теория фазовых переходов под действием света для случая, когда воздействие света на упорядочение осуществляется через фотоэлектроны. Для изингов- ского ферромагнитного полупроводника, взаимодействующего с модельным термостатом, в приближении самосогласованного поля получено кинетическое уравнение для параметра порядка. Построен синергетический потенциал, экстремумы которого по параметру порядка определяют его стационарные значения. Показано, что минимумы синергетического потенциала соответствуют устойчивым стационарным решениям кинетического уравнения. Получены выражения для температуры Кюри и величин скачков в точке Кюри производных от скорости производства энтропии по температуре, частоте и интенсивности света, справедливые при произвольных интенсивностях.

Появление экспериментальных данных по повышению точки Кюри Тс ферромагнитных полупроводников под действием света [1] делает необходимым построение последовательной теории фотоиндуцированных фазовых переходов. Принципиальное отличие фотоиндуцированных переходов от обычных состоит в том, что они происходят в термодинамически неравновесных условиях, так как энергия поглощенного света диссипируется. Поэтому понятие термодинамического потенциала магнетика теряет смысл, и состояние магнетика нельзя найти из условия минимума этого потенциала. Естественный подход к неравновесной ситуации состоит в том, что ее нужно рассматривать, используя кинетические уравнения для переменных системы 1).

В принципе в стационарном случае эти уравнения могут быть интерпретированы как условия экстремальности некоторого функционала, зависящего как от намагниченности, так и от переменных термостата. Последнее обстоятельство очень сильно затрудняет анализ такого вариационного функционала. Поэтому возникает проблема: нельзя ли по аналогии с равновесной ситуацией построить функционал, зависящий только от намагниченности кристалла, из условия экстремальности которого по намагниченности находилось бы ее стационарное значение.

Такая программа исследования фотомагнетизма была намечена и частично реализована в [2]. Там считалось, что повышение Тс, обусловлено возбуждением светом электронов проводимости, осуществляющих косвенный обмен между локализованными магнитными моментами атомов (другой возможный механизм фотомагнетизма —появление фотоэлектронов на дефектах — рассмотрен в [5]).

Исходя из модельного гамильтониана магнитного полупроводника, взаимодействующего с термостатом, в [2] были получены квантовомеханические уравнения движения для намагниченности кристалла и связанных с ней корреляторов. Их решение в приближении самосогласованного поля при больших временах приводит к трансцендентному уравнению относительно намагниченности, отличающемуся от

В В [3], где на примере магнетиков была впервые высказана идея о влиянии света на фазовые переходы, неравновесность фотоиндуцированного фазового перехода не учитывалась (детальный анализ [3] см. в [1]). Не учитывалась она и в появившейся после [3] работе [4], где была высказана мысль о возможности фотоиндуцированных переходов и в сегнетоэлектриках.

обычного только тем, что концентрация электронов проводимости зависит в нем от интенсивности и частоты света. Такое уравнение является условием экстремума функционала от намагниченности, представляющего собой сумму неполного термодинамического потенциала Ландау магнетика и работы, совершаемой фотоэлектронами при установлении заданной степени магнитного порядка. Неравновесный характер явления непосредственно проявляется в структуре этого функционала: для некоторых моделей через производную от него по частоте света линейно выражается скорость производства энтропии — величина, являющаяся естественной характеристикой неравновесного процесса. Поэтому такой функционал был назван в [2] синергетическим.

Однако общее рассмотрение в [2] не было доведено до конца. Уравнения самосогласованного поля, кроме тривиального, в какой-то области температур и интенсивностей света имеют еще и нетривиальное решение, и необходим критерий, какое из этих двух решений является устойчивым. Такой критерий получается рассмотрением устойчивости соответствующего состояния относительно малых флуктуации намагниченности. К сожалению, модель термостата, использованная в [2], не позволяла проведение последовательного исследования вопроса об устойчивости, поскольку она предполагала обращение в нуль в парамагнитном состоянии смешанных корреляторов магнетик-термостат, которые на самом деле конечны (что не сказывалось на стационарном состоянии, поскольку оно не должно зависеть от природы термостата). Было бы желательно также использовать физически более реалистическую модель термостата: в [2] квазичастицы термостата предполагались паулневскими. Между тем бозонный термостат мог бы моделировать передачу магнитного момента кристалла его решетке. Наконец (и это очень важно), следует обобщить рассмотрение [2], проведенное для малых интенсивностей света, на случай произвольных интенсивностей.

Решению этих проблем и посвящена настоящая работа. Последовательное рассмотрение из первых принципов проведено для той же упрощенной «-/-модели, что использовалась в [2]: в гамильтонианах /-/- и «-/-обмена учитываются только z-компоненты спинов. Однако квазичастицы термостата здесь считаются бозевски- ми. В рамках этой модели выведено кинетическое уравнение для намагниченности кристалла с учетом неравновесности системы. В приближении самосогласованного поля такая модель приводит к тем же результатам, что и «-/-модель с изотропным /-/-обменом большого радиуса [5]. Рассмотрение же для изотропной «-/-обменной модели с малым радиусом /-/-обмена производится путем обобщения результатов, полученных при анализе первой модели. Качественно результаты для обеих моделей оказываются сходными друг с другом. В обоих случаях удается ввести синергетический потенциал и показать, что устойчивому стационарному состоянию системы соответствует его минимум. Одинаковые особенности обнаруживают в точке фазового перехода производные от скорости производства энтропии по температуре, частоте и интенсивности света. Это свидетельствует об общности полученных ниже результатов. К числу новых количественных результатов, полученных в этой работе, следует отнести выражения для фотосдвига 7с и скачков производных скорости производства энтропии при произвольных интенсивностях света.

Кинетическое уравнение и устойчивость стационарного состояния. Рассматривается модель облучаемого светом ферромагнитного полупроводника, аналогичная той, которая была использована в [2]. Предполагается, что спины магнитных атомов равны 1/2; взаимодействие их между собой изинговское, а с фотоэлектронами —«-/-обменное. Будем считать также, что дырки взаимодействуют с локализованными моментами гораздо слабее, чем электроны. Тогда гамильтониан спинов магнитных атомов, взаимодействующих с фотоэлектронами, имеет вид

⑴⑴"j =-① J(g - /*7 e s^(“ 小^ga = а^сга^ь.

⑴

⑴

Здесь а*ь，(^^ — операторы рождения и уничтожения фотоэлектрона с проекцией спина а на узле g; Sg — оператор спина магнитного атома в узле g; J(g — /) > 0 и А > 0 — интегралы /-/- и «-/-обмена.

Будет предполагаться, что роль термостата играют бозевские квазичастицы. Гамильтонианы термостата Hq и его взаимодействия с /-спинами Н% имеют вид

Hq =工3卩吨小兄=—£Qm (s；bg, + b葭S*),⑵

где операторы термостата 6*儿,6gM (g — номер узла,从—остальные динамические переменные) коммутируют со спиновыми операторами S^, S+, S~. Спектр 必儿 квазичастиц термостата считается квазинепрерывным и содержащим частоты, соответствующие элементарным возбуждениям спиновой подсистемы при любой степени ее упорядочения.

Цель проводимого ниже рассмотрения состоит в выводе кинетического уравнения для намагниченности. Будем предполагать, что ферромагнетик и возбужденные в нем светом фотоэлектроны находятся в однородном состоянии в любой момент времени (с учетом [6] для этого достаточно, чтобы размер кристалла был меньше диффузионной длины для носителей тока). Тогда роль параметра порядка играет однородная относительная намагниченность кристалла ту = 2〈S^〉(здесь и далее угловые скобки означают усреднение при помощи неравновесной матрицы плотности). Уравнение движения для ту, получаемое из (1) и (2) усреднением квантовых уравнений движения для S^, имеет вид

噜= 2£q〃(〈s-m〉—〈^s+〉)・⑶

В уравнении (3) индексы у операторов, нумерующие узлы решетки, опущены, так как в однородном состоянии средние значения от них не зависят.

Для корреляторов в правой части уравнения (3) в свою очередь из (1) и (2) получаются следующие уравнения движения

分^= (g从—^ 〃 — ^ b) + 券(ту (1 + 2g儿)-1),

<⑷

、分^(以 S十)= _ G 从—6)(以 S十)一券(〃 (1 + 2 °儿)-1),

где J = £ 丿(/)，a J =⑺т〉— (п() — разность относительных (т. е. поделенных на концентрацию магнитных узлов) концентраций фотоэлектронов в различных спиновых подзонах зоны проводимости. Везде далее мы будем для краткости говорить просто о концентрациях, имея в виду их относительные значения. При выводе (4) было проведено расцепление высших корреляторов, соответствующее приближению самосогласованного поля, а также было учтено свойство термостата не изменять своего состояния из-за взаимодействия с рассматриваемой системой:

3闊bg侪=中丽,夕从=夕(岸)=(exp (岸)一1) ,(5)

где Т — температура термостата.

Для замыкания системы уравнений (3) и (4), вообще говоря, необходимо уравнение движения, для разности концентраций фотоэлектронов в спиновых подзонах зоны проводимости 6. Явный вид такого уравнения определяется деталями взаимодействия электронов со светом и кристаллом. Если все характерные частоты, определяющие динамику J, велики по сравнению со скоростью изменения намагниченности (это требование выполняется, когда взаимодействие магнитной подсистемы с термостатом достаточно слабое), то 6 можно считать функцией частоты и интенсивности света, а также мгновенного значения намагниченности ту.

Исключим корреляторы магнетик-термостат из системы уравнений (3) и ⑷. Интегрируя уравнения ⑷，находим временную зависимость этих корреляторов

(S Ь/ =〈以5+)= k从⑴=

=k儿(0) exp (一沁从方 + ^ 7И⑴ + 子0⑴)一争]{[(1 + 2g儿)〃(方/) - 1] X о

X exp (添儿修一方)-^ W(y)- ^⑴)一子(0修)一0(方)))} d/ (6)

M⑴=]〃(力')dt\ О⑴=]“У) dtf.оо

Подставляя (6) в (3), получаем интегро-дифференциальное уравнение для намагниченности

芻=-2〃 £ Q从(к从(0) exp (一沁从力 + ^ M(t) + ^ о⑴)-К.С.)-

-2 £ Q: Reos (w (y 一方)-^ W(y)- ^⑴)-f (0修)-0⑴))X 从о I

х[(1 + 2^)〃(У) —1]}必.⑺

При больших временах t первый член в правой части (7) стремится к нулю из-за наличия быстроосциллирующего множителя под знаком суммирования. Кроме того, поскольку характерное время изменения намагниченности ту будучи 〜Q『велико по сравнению с характерными временами магнитной подсистемы, определяемыми обменными взаимодействиями, при вычислении d〃/d力 в главном порядке по Q从 можно во втором члене правой части ⑺ считать намагниченность ту (а следовательно, и разность концентраций 6) не зависящей от времени. Тогда, выполнив интегрирование, уравнение ⑺ можно переписать в виде

芻2£q；[(1sin 仏〃 -力+ 2g儿)〃 -1] —/ 1 人(7 a)芻2£q；[(1sin 仏〃 -力+ 2g儿)〃 -1] —/ 1 人(7 a)

芻2£q；[(1

sin 仏〃 -力

+ 2g儿)〃 -1] —/ 1 人(7 a)

芻2£q；[(1

sin 仏〃 -力

+ 2g儿)〃 -1] —/ 1 人(7 a)

Используя известное соотношение ‘^—> тг^(ж), t —> оо, получаем из (7а) с учетом (5), следующее самосогласованное уравнение движения для намагниченности в пределе больших времен:

<小/m)=th (业展竺)， (8)

= 2*(#g ① + 封(Q〃Qf+川，

где g(G)——плотность состояний термостата. Величина 〃§/(〃) в (8) имеет очевидный смысл относительной намагниченности спина 1/2 в неравновесном молекулярном поле (J〃 + 46)/2. Уравнение (8) и есть искомое кинетическое уравнение.

Найдем стационарное значение параметра порядка 仅 Приравняв правую часть (8) нулю, получаем уравнение, отличающееся от обычного уравнения приближения самосогласованного поля характером зависимости J от ту:

万=小/ (万)=th (J歹• (9)

Уравнение (9) вместе с уравнением, задающим 6 как функцию ту, образуют самосогласованную систему для определения стационарного значения параметра порядка rj в неравновесных условиях. Легко видеть, что определяемое таким образом rj является точкой экстремума функционала следующей структуры:

К(〃)= -Г In 2 - ^力 + ]口(1 — 〃2)+ ? in +£ 卜。(炉)俏 d^.

b0

(10) При написании (10) учтено, что для энергии £^ электронов с проекцией спина о, согласно (1), выполняется соотношение dsa/dr] = —Аа/2. Первые четыре члена в (10) представляют собой неполный термодинамический потенциал Ландау изингов- ского ферромагнетика в отсутствие освещения [7]. Последний же член имеет смысл работы фотоэлектронов при установлении заданной степени магнитного порядка ту (все в расчете на узел). Функционал (10) совпадает с введенным в [2] синергетическим потенциалом.

Исследуя стандартным методом уравнение (8) на устойчивость, нетрудно получить, что стационарное решение (9) этого уравнения устойчиво, если величина Л, возникающая при линеаризации (8) вблизи 力，

положительна. В этом случае она имеет смысл обратного времени релаксации намагниченности к своему стационарному значению. При Л < 0 решение (9) уравнения (8) неустойчиво.

Заметим, что, согласно (10), знак величины Л в (11) совпадает со знаком второй производной синергетического потенциала (10), взятой в соответствующей точке

экстремума последнего,

Так как знак второй производной определяет характер экстремума, то можно заключить, что устойчивому (неустойчивому) стационарному состоянию исследуемой системы соответствует минимум (максимум) синергетического потенциала.

Стационарное состояние в анизотропной s—/-модели. Проанализируем теперь стационарное состояние фотомагнетика, описываемого моделью п. 1.

Температура Кюри определяется из условия Л = 0 при 万=0 】).Таким образом, согласно (11),

寫=小+瑞」， (喲

Первый член в (12) представляет собой температуру Кюри изинговского ферромагнетика в отсутствие освещения, вычисленную в приближении самосогласованного поля, а второй описывает фотосдвиг 7с • Этот же результат можно получить, определяя 7с как температуру, при которой появляется нетривиальное решение уравнения (9).

Отметим, что выражение для 7с (12) обладает большей общностью, чем соответствующее выражение в [2]. Там при вычислении зависимости J от ту фактически предполагалось, что квазиуровни Ферми фотоэлектронов в спиновых подзонах зоны проводимости лежат ниже соответствующих уровней, на которые происходят индуцированные светом переходы электронов из валентной зоны. Используя (12), можно вычислить температуру Кюри и тогда, когда эта ситуация не имеет места, и соответственно результаты [2] несправедливы. Например, при достаточно большой интенсивности света концентрация возбужденных в зону проводимости фотоэлектронов может достичь той величины, при которой квазиуровень Ферми сравняется с уровнем, на который происходят электронные переходы (положение этого уровня определяется частотой света). Дальнейшее увеличение концентрации фотоэлектронов невозможно из-за их вырожденности. Таким образом, реализуется режим насыщения: концентрация фотоэлектронов перестает расти с ростом интенсивности света, если последняя превышает некоторую пороговую (для заданной частоты света) величину. В приближении эффективных масс для случая, когда дну зоны проводимости и потолку валентной зоны соответствуют нулевые квазиимпульсы электронов и дырок соответственно, нетрудно вычислить концентрации насыщения фотоэлектронов в подзонах зоны проводимости

Пь =Пь =(13)(13)

Пь =

Пь =

(13)

(13)

где Q — частота света; Eg — величина щели в отсутствие намагниченности; те и тр — эффективные массы электронов и дырок соответственно; а — постоянная решетки

В Чтобы устранить неопределенность в Л (11) при 勿=0, необходима более детальная информация о свойствах термостата. Например, если принять g (必从)〜g；，как Для акустических фононов, то с учетом того, что при малых намагниченностях 3(〃)〜ту, величина 1/тти (力)(8) сходится при 力 т 0 к конечному положительному пределу, если Q〃 〜1 /у/^Г при必从т 0.

магнитных атомов. Подставив (13) в (12) (напомним, что там 6 = щ — п^), получим температуру Кюри для случая насыщающе больших интенсивностей света

(14)(14)

(14)

(14)

Рассмотрим теперь случай малых интенсивностей света, уточнив при этом результаты [2], где предполагалось, что процессы переворота спинов фотоэлектроне выравнивают их концентрации в обеих спиновых подзонах зоны проводимости. Реалистичнее, однако, считать, что электронные концентрации в подзонах релаксируют к своим равновесным (при заданных намагниченности и полной концентрации фотоэлектронов) значениям па. Эти значения определяются из равенства химических потенциалов электронов со спинами вверх и вниз

"『б2теа2"『б2теа2(冗；/3 -寸/3) = I 4小(冗；/3 -寸/3) = I 4小(15)(15)

"『б2теа2

"『б2теа2

(冗；/3 -寸/3) = I 4小

(冗；/3 -寸/3) = I 4小

(15)

(15)

^т + ^ = nT +八丄・

Уравнения движения для концентраций па фотоэлектронов имеют тогда следующий вид:

Ga = Q — Eg + — Atj(t .Ga = Q — Eg + — Atj(t .(16)(16)

Ga = Q — Eg + — Atj(t .

Ga = Q — Eg + — Atj(t .

(16)

(16)

Здесь Ga — скорость генерации носителей тока с проекцией спина a; R — коэффициент, пропорциональный интенсивности света. Второй член в (16) описывает релаксацию фотоэлектронов по спину, а третий — их рекомбинацию с фотодырками. Время жизни носителей т считается не зависящим от ту. Приравняв производные по времени в (16) нулю и учтя (15), можно получить зависимости па от намагниченности ту. Подстановка этих зависимостей в (12) приводит к следующему выражению для температуры Кюри в случае малых интенсивностей света:

(3Pt(3Pt2теа22теа2(37Г2Пд)2/3(37Г2Пд)2/3+ Q - Е^+ Q - Е^(1 + Рт)-1 ,(1 + Рт)-1 ,(17)(17)

(3Pt

(3Pt

2теа2

2теа2

(37Г2Пд)2/3

(37Г2Пд)2/3

+ Q - Е^

+ Q - Е^

(1 + Рт)-1 ,

(1 + Рт)-1 ,

(17)

(17)

nR = 2Rt，显—Eg .

Величина пд, введенная в (17), равна полной концентрации фотоэлектронов в парамагнитном состоянии.

Формула (17) справедлива при условии, что квазиуровень Ферми фотоэлектронов, соответствующий их концентрации пя, не превышает энергетического уровня, на который свет переводит электроны из валентной зоны, т. е. при выполнении

Я < Я^ = (Q - %)Я < Я^ = (Q - %)、一 3/2з2mp у 6тг2т、一 3/2з2mp у 6тг2тнеравенства

Я < Я^ = (Q - %)

Я < Я^ = (Q - %)

、一 3/2з

2mp у 6тг2т

、一 3/2з

2mp у 6тг2т

(18)

Если имеет место неравенство, обратное (18), то температура Кюри определяется формулой (14). Таким образом, величина Я^ в (18) количественно конкретизирует использованные выше понятия больших и малых интенсивностей света, определяя границу между ними. Из (18) следует также, что при любом R реализуется случай «большой интенсивности», если величина Q — Eg меньше некоторого значения. По-

этому фотосдвиг Тс, согласно (14), при Q —> Eg стремится к нулю (а не расходится, как в (17)) в согласии с очевидными физическими соображениями.

Выясним теперь особенности поведения скорости производства энтропии S при фазовом переходе. Эта величина в расчете на узел в пренебрежении излучательной рекомбинацией носителей тока и с учетом того, что вся энергия поглощенного света в конечном счете превращается в тепло, дается выражением

(19)(19)Qn _ Q (几丄 + n^) 7V = 7V

(19)

(19)

В (19) учтен также тот факт, что в стационарном режиме скорость поглощения фотонов совпадает со скоростью рекомбинации носителей тока.

В случае больших интенсивностей света S линейно связана с производной синергетического потенциала по частоте. Действительно, из (10), (13) и (19) легко видеть, что

8(КоТ 券(20)

В случае же малых интенсивностей света подобная связь между скоростью производства энтропии и синергетическим потенциалом имеет место лишь при дополнительном условии Pt《1. Однако вряд ли оно реалистично х). В обоих случаях, однако, S имеет в точке фазового перехода однотипные особенности: ее производные по температуре, частоте и интенсивности света испытывают конечные скачки. При больших интенсивностях света из (9), (12), (13) и (19) нетрудно получить величины этих скачков в главном порядке по концентрации фотоэлектронов

6(0) =/ет6(0) =/ет=9S(0)A2=_竺(△吟疗一128Tc(a _ Eg)2' 値一^^=9S(0)A2=_竺(△吟疗一128Tc(a _ Eg)2' 値一^^(21)(21)

6(0) =

/ет

6(0) =

/ет

=9S(0)A2=_竺(△吟

疗一128Tc(a _ Eg)2' 値一^^

=9S(0)A2=_竺(△吟

疗一128Tc(a _ Eg)2' 値一^^

(21)

(21)

где знак △ означает изменение соответствующей величины при переходе из ненамаг- ниченного в намагниченное состояние, а 7с определяется (14). Величина nQ равна полной концентрации фотоэлектронов в парамагнитном состоянии. Аналогичным образом из (9), (12), (16), (15) и (19) получаем величины скачков S в случае малых интенсивностей света

△电 _36(0)42ат - 128Tc(a — Eg)2'dR br \ дт г△电 _36(0)42ат - 128Tc(a — Eg)2'dR br \ дт гAas _ атс Л asAas _ атс Л as5(0)=/ cT5(0)=/ cT(22)(22)

△电 _36(0)42

ат - 128Tc(a — Eg)2'

dR br \ дт г

△电 _36(0)42

ат - 128Tc(a — Eg)2'

dR br \ дт г

Aas _ атс Л as

Aas _ атс Л as

5(0)=

/ cT

5(0)=

/ cT

(22)

(22)

где Тс определяется (17).

Как следует из (21) и (14), в принятой модели величины скачков производных от S обращаются в бесконечность при Q —> Eg.

В заключение заметим, что исследование изотропной s—/-модели с короткодействующим /-/-обменом, аналогичное изложенному выше, провести очень трудно. Причина этого заключается в том, что энергия электронов проводимости вблизи Те неаналитична по «-/-обмену (она вычислена в [8] вариационным методом). Есте-

1) Выражение типа (20) получено в [2] и для малых интенсивностей, но там рассматривался иной механизм релаксации по спину в подзонах. Пользуемся случаем отметить опечатку в формуле (21) из [2].

ственно допустить, однако, что в приближении самосогласованного поля кинетику намагниченности и в этом случае можно описать уравнением (8) с молекулярным полем Hsf, равным взятой с обратным знаком производной от средней энергии системы (в расчете на узел) по намагниченности. Результаты, получающиеся исходя из такого уравнения, совпадают с результатами [8] для облучаемого светом ферромагнетика.

Поступила в редакцию 10 марта 1987 г. 3 окончательной редакции 22 июля 1987 г.

Список литературы

Коваленко В. Ф., Нагаев Э.Л. // УФН. 1986. Т. 148. С. 561.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1981. Т. 80. С. 2346. (Статья 3.2 настоящего сборника.)

Карпенко Б. В., Бердышев А.А.// ФТТ. 1963. Т. 5. С. 3397; Бердышев А.А.// ФТТ. 1966. Т. 8. С. 1382.

Фридкин В.М. // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 252; Фридкин В. М. Сегнетоэлектрики — полупроводники. — М.: Наука, 1976.

Нагаев 3. Л.、Поделъщиков А. И. // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 1360.

Ларкин А. Я., Хмельницкий Д.Е. // ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 2345.

Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. — М.: Наука, 1975.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 652.

Глава 4

МАЛЫЕ ЧАСТИЦЫ

Размерно-зависящие деформация и работа выходапроводящих тел малых размеров

Л. Нагаев

ФТТ. 1983. Т. 2 5(5). С. 1439-1447

Выведено выражение для поверхностной энергии электронов проводимости в анизотропном кристалле ограниченных размеров, справедливое и при наличии в спектре кристалла поверхностиых зон и резонансов. Зависимость поверхностной энергии от объемных характеристик кристалла (плотности и эффективной массы электронов) приводит к существованию поверхностиых сил, стремящихся вызвать размерно-зависящую деформацию кристалла. Эти силы принципиально отличны от давления Лапласа, понятие которого вопреки распространенному мнению вообще не имеет смысла в рассматриваемой ситуации. В частности, эти силы в отличие от давления Лапласа могут вызвать не только сжатие, но и растяжение кристалла и приводят к деформации не только шариков, но и плоских пленок. Обсуждены эффекты, связанные с размерной зависимостью фермиевской энергии носителей: размерная зависимость работы выхода, аномально сильное притяжение между проводящими шариками при наличии дисперсии их размеров, величина средней валентности в материалах со смешанной валентностью и т. д.

Работа посвящена в основном исследованию размерно-зависящей деформации проводящих шариков и тонких пленок. Принято считать, что этот эффект существует только у шариков, которые должны сжиматься с уменьшением их радиуса R из-за лапласовского давления р = 2а/R^ где а — коэффициент поверхностного натяжения (см., например, [1]). На самом деле формула Лапласа неприменима к таким объектам, ибо она предполагает постоянство их плотности при переменности числа частиц на поверхности. В рассматриваемом же случае, наоборот, изменяется плотность материала, а полное число частиц и число частиц на поверхности остаются неизменными.

Ниже будет показано, что истинной причиной размерно-зависящей деформации является зависимость поверхностной энергии от объемных характеристик кристалла — в случае проводящих тел от объемной концентрации и эффективной массы носителей тока. Такая деформация принципиально отлична от приписываемой лапласовскому давлению. Во-первых, она существует не только у шариков, но и у пленок, радиус кривизны которых бесконечен. Во-вторых, с уменьшением размеров тела материал может не сжиматься, а, наоборот, растягиваться. Сжатие должно происходить, когда из-за влияния поверхности возрастает число электронных состояний в низкоэнергетической части спектра — появляются поверхностные зоны или резонансы. Уменьшение же их числа должно приводить к растяжению кристалла. Если кристалл анизотропен, знак деформации пленки из этого материала может определяться ориентацией ее поверхности относительно кристаллографических осей.

Характер энергетического спектра кристалла может быть изменен изменением граничных условий на поверхности, например адсорбцией. Как следствие этого, адсорбция может изменить знак деформации. В принципе поверхностная энергия зависит от объемных характеристик кристалла не только через его электронный, но и через фононный спектр. Эта зависимость тоже должна давать вклад в размерно- зависящую деформацию кристалла. Детальное исследование этого вопроса будет проведено в специальной публикации.

В работе анализируется также зависимость фермиевской энергии электронов от размеров образца, которая приводит к аналогичной зависимости многих свойств проводников, — начиная от эмиссионных и кончая каталитическими. В частности, показано, что размерная зависимость фермиевской энергии влияет на электронную эмиссию из шариков малого радиуса не менее, чем размерная зависимость сил изображения, которой сейчас принято объяснять различие в работах выхода малых шариков и массивных образцов.

Поверхностная энергия электронов. Исследование размерно-зависящих эффектов в проводниках основано на анализе электронной поверхностной энергии. Ниже произведен ее расчет с учетом наличия в спектре кристалла поверхностных зон и резонансов, чего в предшествующих работах по поверхностной энергии проводников не делалось.

Считается, что кристалл имеет ромбическую симметрию и что образец имеет форму пластины толщины L в направлении оси z, совпадающей с одной из кристаллографических осей. В приближении эффективной массы граничные условия для волновой функции электрона на поверхности кристалла z = ±厶/2 задаются в виде

吵(±紛=干煌6(±抒 ⑴

При Л > 0 все электронные состояния соответствуют объемной зоне проводимости, а при Л < 0 существует и поверхностная зона. Спектр кристалла дается выражением

где qx и qy — компоненты квазиимпульса, параллельные поверхности кристалла; к равен гЛ-1 для поверхностной зоны (L ^> |Л|) , а для объемной зоны к равен волновому числу ksn или ксп, определяющим ее состояния,V^q(r) = °т exp (iqxx + iqyy)中k(2), (3)где qx и qy — компоненты квазиимпульса, параллельные поверхности кристалла; к равен гЛ-1 для поверхностной зоны (L ^> |Л|) , а для объемной зоны к равен волновому числу ksn или ксп, определяющим ее состояния,V^q(r) = °т exp (iqxx + iqyy)中k(2), (3)中sn(2)= ^sn SIH ksnZ^Nsn中sn(2)= ^sn SIH ksnZ^Nsn/ L _ sin 一1/212 2ksn 丿/ L _ sin 一1/212 2ksn 丿, 2乃几 2, 2тгпЛ / г с 、к$п = -工 arctg ———,(n = 1,2 ...),, 2乃几 2, 2тгпЛ / г с 、к$п = -工 arctg ———,(n = 1,2 ...),⑷⑷"Фсп (^) = Ncrt CGS кcrt Z,Na"Фсп (^) = Ncrt CGS кcrt Z,Na/ L sin kcnLV~r^2十 2kM丿/ L sin kcnLV~r^2十 2kM丿- у arctgЛ, n = 0,l,2...,- у arctgЛ, n = 0,l,2...,⑸⑸D — размер пластины по осям 力 и у.D — размер пластины по осям 力 и у.

где qx и qy — компоненты квазиимпульса, параллельные поверхности кристалла; к равен гЛ-1 для поверхностной зоны (L ^> |Л|) , а для объемной зоны к равен волновому числу ksn или ксп, определяющим ее состояния,

V^q(r) = °т exp (iqxx + iqyy)中k(2), (3)

где qx и qy — компоненты квазиимпульса, параллельные поверхности кристалла; к равен гЛ-1 для поверхностной зоны (L ^> |Л|) , а для объемной зоны к равен волновому числу ksn или ксп, определяющим ее состояния,

V^q(r) = °т exp (iqxx + iqyy)中k(2), (3)

中sn(2)= ^sn SIH ksnZ^Nsn

中sn(2)= ^sn SIH ksnZ^Nsn

/ L _ sin 一1/2

12 2ksn 丿

/ L _ sin 一1/2

12 2ksn 丿

, 2乃几 2, 2тгпЛ / г с 、

к$п = -工 arctg ———,(n = 1,2 ...),

, 2乃几 2, 2тгпЛ / г с 、

к$п = -工 arctg ———,(n = 1,2 ...),

⑷

⑷

"Фсп (^) = Ncrt CGS кcrt Z,Na

"Фсп (^) = Ncrt CGS кcrt Z,Na

/ L sin kcnLV~r^2

十 2kM丿

/ L sin kcnLV~r^2

十 2kM丿

- у arctgЛ, n = 0,l,2...,

- у arctgЛ, n = 0,l,2...,

⑸

⑸

D — размер пластины по осям 力 и у.

D — размер пластины по осям 力 и у.

Плотность электронных уровней g(E) и связь фермиевской энергии 〃 с полным числом электронов в этой зоне N находится из равенства

N = 2 N 九q =£ (^F - ^cn) + £ 佛-点)，⑹

kq^cn ~0ksrh — 1

где 九q — фермиевская функция распределения при Т = 0, тц = ^тхту , кр = =y/2mJ/7, кср и ksp — числа ксп и ksn (4), (5), ближайшие к кр со стороны меньших значений. Выполняя в (6) суммирование с точностью до членов 〜 吸 включительно, получаем для случая Akp <С 1

N = 2；? (1 --^ ^cF^ 一 j 疋尸 + 九6尸^方一j 建尸一j nsF),⑺

где

竺 _ (ricF + 1/2)«FkcF竺 _ (ricF + 1/2)«FkcF

竺 _ (ricF + 1/2)

«FkcF

竺 _ (ricF + 1/2)

«FkcF

так что nSF < up, ncp + 1/2 < z/尸.

Полагая nSF = ncp = Uf — а при 1 > a > 1/2 и nSF = ncp + 1 = z/尸一a при 0 < a < 1/2, убеждаемся, что члены 〜а〃 в ⑺ компенсируют друг друга, т. е. в принятом приближении, соответствующему первому порядку по («^厶)一* соотношение ⑺ принимает вид

Весьма существенно, что, согласно (8), в принятом приближении фермиевская энергия является гладкой функцией числа частиц, хотя исходный энергетический спектр электронов (2) был квантованным. Однако в следующих порядках по (kpL)-1 разрывность dfi]dN как функции N уже проявляется.

Дифференцируя (8) по 〃，получаем следующее выражение для плотности уровней ограниченного кристалла g(石)через плотность уровней go (石)неограниченного кристалла:

g(M = g°(M + 等

у v v Д,у/2тЕ т /

⑼

go(石)=—m2/3E1/2V, т = {mxmymz^^,

где 丿—объем кристалла, S — полная площадь его поверхности (для пленки с L/D —> —> 0 она равна 2D2). При Л = 0 формула (9) совпадает с выражением, полученным в [2] с использованием метода поверхностных возмущений для функции Грина свободного электрона.

Аналогичный расчет в противоположном пределе |Л| kF》1 дает

g(" = g°(M —農硏(1 — ”rctg》y^ - j ^^^) •(10)

В случае изотропных кристаллов выражения (9) и (10) справедливы для образцов любой формы, если их размеры велики по сравнению с |Л| .

Из выражений (9), (10) следует, что при Л > 0, т. е. в отсутствие поверхностных зон, сдвиг 〃i фермиевской энергии ограниченного образца по сравнению с фермиев-

ской энергией 〃о бесконечно большого образца с той же концентрацией носителей п дается выражениями

m = мо + Мn мо =(3开2n)2/3 (2m)-1,

"1 =款(1一^'如)，"后F《1,(U)

〃i = :j； ^1 — — arctg Akp^ , AkF》1.(12)

Полная кинетическая энергия электронов Ек соответственно складывается из объемной £?vk и поверхностной Esk частей

3

石к =石vk + 石sk, 石vk = § 〃oN,

石SK = ^^ (「善》幅),工如《1,(13)

石SK石SK叫儒5叫儒587r87rnS2AmznS2AmzXkp》* 1.Xkp》* 1.(14)(14)

石SK

石SK

叫儒5

叫儒5

87r

87r

nS2Amz

nS2Amz

Xkp》* 1.

Xkp》* 1.

(14)

(14)

Если Л < 0 и в спектре имеется поверхностная зона, то с использованием (2), (10) и выражения для плотности уровней в поверхностной зоне

7Г

получается: для сдвига фермиевской энергии

血=t訐（"。+ /），,АI如《1，（⑸

"1 =-《fv (° + ^ arctg 标/\) , I A| kF》1,(16)

а для поверхностной энергии электронов

в пределе же |Л| kF》1 остается в силе формула (14)).

При анализе выражений для электронной энергии (13), (14), (17) обращает на себя внимание зависимость знака 石sk от величины Л-1. Физический смысл выражения (13) при Л-1 —> схэ очевиден: положительность 石sk отражает рост кинетической энергии частиц при ограничении их движения областью конечных размеров, т. е. она есть следствие соотношения неопределенности. Уменьшение Л-1, согласно (1), ведет к росту вероятности пребывания электрона на поверхности, что эквивалентно понижению Esk・ Начиная с некоторого значения Л-1 〜kp, энергия £?sk становится отрицательной. Это вызвано ростом плотности уровней с энергией ниже фермиевской, обусловленным поверхностными резонансными состояниями. В результате электроны с уровня Ферми могут перейти на более низко лежащие уровни. Когда же после достижения Л-1 нулевого значения в спектре кристалла появляется поверхностная зона, причиной отрицательности 石sk становятся переходы электронов с уровня Ферми в поверхностную зону.

Если размеры шарика или пленки достаточно велики и А-1 может быть близка к нулю, можно говорить о фазовом переходе «поверхностный резонанс — поверхностная зона», происходящем при изменении А-1, когда А-1 обращается в нуль. Появление поверхностной зоны сходно с появлением новой полости поверхности Ферми при фазовом переходе второго с половиной рода И. М. Лифшица, однако характер особенности энергии в точке перехода здесь иной. Согласно (12), (14), (16), в ней непрерывны сами Е^к и 血 и их первые производные по А-1, но вторые производные по этому параметру испытывают скачки. Таким образом, рассматриваемый фазовый переход по А-1 — второго рода.

Физически параметр А, т. е. граничные условия для электронов на поверхности образца, можно менять контролируемым образом при помощи адсорбции или изменения температуры, если привести образец в контакт с изолирующим материалом, свойства которого сильно зависят от температуры (например, с сегнетоэлектриком или ферромагнетиком).

Поверхностная электронная энергия складывается из уже вычисленной кинетической Esk и электростатической Esq. Последняя появляется из-за того, что поверхность создает неоднородность в распределении электронной плотности. Например, при А = 0 электронные волновые функции, согласно (1), обращаются в нуль на поверхности кристалла, и потому она оказывается заряженной положительно относительно объема. Если же в спектре кристалла имеются поверхностные зоны или резонансы, то на поверхности электронная плотность увеличивается по сравнению с объемной. В обоих случаях электронная плотность должна перераспределиться по сравнению с плотностью невзаимодействующих друг с другом электронов, определяемой из (3), (5) таким образом, чтобы обеспечить экранирование поверхностного заряда самими электронами. Величина Esq есть не что иное, как электростатическая энергия поверхностного заряда, и заряда, его экранирующего.

Для металла поверхностная кулоновская энергия должна даваться выражением типа

Esq = Qi^asM'S, (18)

где as — расстояние между первым поверхностным слоем атомов и следующим за ним, us — поверхностная плотность атомов, неотрицательная функция /(А)，1 максимальна при А = 0иА = оси минимальна при том значении А, когда минимально заряжение поверхности.

Размерно-зависящие деформация и другие эффекты. Полная поверхностная энергия Es складывается из кинетической Е^к и электростатической Esq электронных энергий и «ионной» энергии Epi, обусловленной короткодействующими силами между ионами проводника. Величины Esq (18) и 丛1 положительны. Поэтому отмеченная выше возможность отрицательных значений Е^к еще не означает нестабильности кристалла, так как полная поверхностная энергия кристалла может при этом быть положительной. Чрезвычайно существенно, что поверхностная энергия зависит от объемных характеристик кристалла. Если такая зависимость у Esq (18) слабая, то у Е^к (13), (14), (17) она достаточно сильная, так как в эти выражения входит концентрация электронов проводимости и их эффективная масса. Эта зависимость есть следствие того, что Е^к возникает вследствие возмущения поверхностью состояний объемной зоны проводимости или переходов из нее в состояния поверхностной зоны. В принципе от объемных характеристик должна зависеть и 石'si・ Здесь будет рассмотрен случай, когда этой зависимостью ^si можно пренебречь.

Тот факт, что поверхностная энергия зависит от объемных характеристик кристалла, приводит к существованию поверхностных сил, стремящихся деформировать кристалл. Действительно, согласно (13), (14), (17), растяжение решетки, приводящее к уменьшению концентрации электронов и росту их эффективной массы, уменьшает

абсолютную величину Е$к・ Равновесные размеры тела определяются из условия минимума полной энергии кристалла, складывающейся из поверхностной и объемной. Поэтому при положительной Esk： решетка должна растягиваться, а при отрицательной — сжиматься.

Принципиальное отличие этих сил от лапласовского давления состоит не только в том, что они могут растягивать кристалл и отличны от нуля при бесконечном радиусе кривизны, т. е. в случае пленок. Оказывается, что эти силы вообще нельзя выразить в терминах поверхностного натяжения <т. Действительно, как видно из (13), (14), (17), поверхностная энергия пропорциональна поверхности образца только в том случае, когда пит считаются фиксированными, а полное число частиц N переменным. Коэффициент пропорциональности имеет смысл поверхностного натяжения. Однако при размерно-зависящей деформации ситуация противоположна: фиксировано полное число частиц в образце, а их плотность п меняется. Поэтому, характер зависимости Esk от площади поверхности оказывается совершенно иным. Рассмотрим, например, случай А = 0 в пренебрежении зависимостью т от деформации кристалла. Поверхностная энергия шарика Е^к (13) оказывается тогда не пропорциональной, а обратно пропорциональной площади поверхности. Этот на первый взгляд парадоксальный результат имеет весьма наглядное объяснение:石'sk есть не что иное как прирост кинетической энергии электронов вследствие ограничения их движения областью радиуса шарика R. Поэтому 石尿 обратно пропорциональна Я, т. е. площади поверхности шарика.

Наглядное объяснение имеет и знак эффекта, противоположный тому, который был бы при лапласовском давлении: движущиеся внутри замкнутого объема электроны оказывают давление на его стенки, стремясь его расширить.

Ниже будет исследована деформация, обусловленная поверхностными силами, в случае тел двух различных геометрий: шариков и тонких пленок, изменяющих свою толщину без изменения остальных размеров. Считается, что в одном-двух первых поверхностных слоях независимо от объемной деформации уже установилась такая деформация, которая обеспечивает минимум энергии системы, а деформация основной части кристалла однородна. Последнее допущение фактически эквивалентно ограничению класса пробных функций в вариационном функционале от тензора деформаций и, следовательно, оно завышает энергию деформированного тела. При неоднородной деформации энергия тела должна получиться, во всяком случае, не ниже, чем при однородной. Соответственно степень неоднородной деформации должна быть не ниже, чем однородной.

Полная энергия тела с использованием выражения для ее объемной части через упругие постоянные кристалла представляется в виде

образом через концентрацию и эффективную массу, но и неявно через граничные условия, т. е. через параметр А. Зависимость А от постоянной решетки можно найти, воспользовавшись, например, моделью сильно связанных электронов в приближении ближайших соседей. Если считать, что влияние поверхности ограничивается сдвигом атомного потенциала первого слоя на величину Ь» то получается

А = -Bsas (6Е + BS- 2& (⑷尸，Bs = Bz (а$) ,(20)

где as — расстояние между первым и вторым поверхностными слоями, предполагаемое уже определенным из условия минимума энергии; az — расстояние между остальными слоями, которое предстоит еще определить; Bz — блоховский интеграл в направлении, перпендикулярном поверхности пленки.

Как следует (20), dX/Xaz 〜А2, и потому для малых А их зависимость от az несущественна, но для больших А ее необходимо учитывать. Выражения (13), (14) и (19), (20) приводят к следующей оценке размерно-зависящей деформации пленки (в пренебрежении зависимостью тц от а^:

=_ /AL\ _ 8nmsas Л 吟=叫(1 + Tn/2)届

II 厶丿入=0 JLm|a| I 4 丿'\ L ) a=0зтг JL'

(21) где приняты обозначения

d In mz7^ = Th^rd In mz7^ = Th^rmzmz12&a；12&a；ms = rnz 品)•ms = rnz 品)•

d In mz

7^ = Th^r

d In mz

7^ = Th^r

mz

mz

1

2&a；

1

2&a；

ms = rnz 品)•

ms = rnz 品)•

Как видно из (21), знаки деформации при А = 0 и А —> ос противоположны, причем при одинаковых параметрах кристалла сжатие решетки при А —> оо существенно больше, чем ее растяжение при А = 0. Интересно отметить, что анизотропная пленка может и растягиваться, и сжиматься в зависимости от того, вдоль какой кристаллографической оси направлена ось 2. При равных J, А и 〃()величина Акр тем больше, чем больше mz. Поэтому тенденция к сжатию сильнее всего вдоль той оси, которой соответствует максимальная компонента тензора эффективной массы.

В изотропном случае нетрудно получить выражение и для объемной деформации шариков. Пользуясь формулами (13), (14) и (19), но не конкретизируя характера зависимости А от постоянной решетки а, имеем

，_ AHI j Зтш dX

RR I л=о 2тгтА2 JR da '

/(22)

dlnm

、 R 1л=0167r mJR \2 / ' din a

Интересно отметить, что, согласно (22), относительная деформация шариков обратно пропорциональна 凡 имитируя тем самым деформацию при лапласовском давлении.

Примем для оценок)= 0, a = 3A, К = 5・ 1011 эрг/см3, т = 10-27 г. Полагая R = ра и считая отношение первого ко второму слагаемому в (21) и (22) одинаковыми, получаем при А = 0 △R/R 0,03р, а при А —> ос △R/R 0,02 (n = а-3). В материалах с сильной зависимостью эффективной массы от объема эффект может быть значительно больше. Аналогичный порядок величины получается и при оценке деформации пленок.

Приведенная выше оценка для сжатия шариков согласуется по порядку величины со сжатием шариков А1 и Со, обнаруженным экспериментально [1].

В то же время имеются экспериментальные данные, указывающие на растяжение малых частиц Ni, Ag, Au и др. [3]. Для объяснения этого эффекта в [3] выдвинута гипотеза, что в этих материалах образуются вакансии, плотность которых растет

с уменьшением радиуса шариков. На основе анализа экспериментальных данных в [4, 5] сделан вывод, что растяжение малых шариков некоторых веществ может быть связано с адсорбцией на них каких-то веществ. Полученные выше теоретические результаты позволяют объяснить растяжение как шариков с чистыми поверхностями, так и шариков, состояние поверхности которых изменилось в результате адсорбции.

Если растяжение кристалла велико, то металлическая связь между атомами может оборваться, и кластер атомов достаточно малого радиуса может перестать вести себя как металл (следует напомнить, что коллективизация электронов в системе атомов происходит, лишь когда расстояние между ними меньше некоторого критического). Этим можно было бы объяснить экспериментально установленный факт, что кластер, состоящий из нескольких сотен атомов золота, металлическими свойствами не обладает [5, 6]. К сожалению, экспериментальные данные о том, расширяется или сжимается золото с уменьшением размера частиц, противоречат друг другу (см. [1, 3]).

Кроме изменения постоянной решетки малых частиц, при уменьшении их размеров происходит и изменение их фермиевской энергии, описываемое формулами (11), (12) и (15), (16), к которым следовало бы добавить еще член 〃2, соответствующий поверхностной электростатической энергии (18). Этот член всегда положителен и, вообще говоря, для металлов того же порядка величины, что и /2]. Поэтому для 5〃 = =〃1 + 〃2 при А = 0, когда 〃i тоже положителен, можно пользоваться оценкой (11), а при А —> ос трудно даже надежно установить знак 5〃 и можно лишь утверждать, что по абсолютной величине сдвиг уровня Ферми меньше, чем при А = 0.

Сдвиг 从 отражается на самых разнообразных свойствах малых частиц, в частности, на эмиссионных. До сих пор изменение работы выхода маленьких шариков по сравнению с массивными образцами △% объяснялось различием в потенциалах сил изображения для проводящего полупространства и сферы [7, 8], приводящему к увеличению работы выхода из шарика на величину А^г = 8,5/Я эВ, где радиус R выражен в ангстремах. На самом деле с учетом сдвига энергии Ферми △% равняется △Хг — 5卩.Так как величины 从]и 从2 имеют порядок S/V, то в случае шарика 6^ обратно пропорциональна его радиусу. Таким образом, учет сдвига 从 не меняет характера зависимости △% от R по сравнению с получаемым при учете только одного Ахг. Не меняет он и порядка величины △» Так, для серебра с 仰=5 эВ, kp = =1,2 • 108 см-1 из (11) получается 血=9/R эВ. Эта оценка согласуется по порядку величины с экспериментальным значением △%, равным 5,4/Я [9].

Одним только сдвигом вниз уровня Ферми (силы изображения тут роли не играют) можно объяснить рост веса трехвалентного состояния Sm с уменьшением размеров кластеров этого металла со смешанной валентностью, наблюдавшийся в [10]. Сдвиг фермиевской энергии вниз может происходить, если существует поверхностный резонанс или зона.

Можно указать и на другие возможные эффекты в телах малых размеров, связанные с размерной зависимостью их фермиевской энергии. Например, представим себе два шарика разных размеров. Поскольку их фермиевские энергии различны, то в электропроводящей среде они должны зарядиться относительно друг друга, обеспечив тем самым выравнивание их электрохимических потенциалов. Но тогда между ними должна появиться электростатическая сила взаимодействия, проявляющаяся на расстояниях меньше радиуса экранирования. Возможно, этим объясняется усиление на много порядков взаимодействия между частицами Ag, находящимися в газовой фазе, по сравнению с ван-дер-ваальсовым взаимодействием между массивными образцами или маленькими изолирующими частицами, обнаруженное в [11].

Далее, если материал, из которого состоят маленькие частицы, испытывает фазовый переход первого рода, например полиморфное превращение или плавление, то в окрестности точки перехода Tt становится возможным эффект типа обсужденного в [12]. Если фермиевская энергия в той фазе, которая при данной температуре

нестабильна, ниже, чем в стабильной фазе, то нормально нестабильная фаза может быть стабилизована переходом в нее электронов из стабильной фазы. Поэтому в окрестности Tt становится термодинамически выгодным смешанное двухфазное состояние системы. В применении к системе маленьких шариков это означает, что часть шариков будет находиться в окрестности точки перехода в одном фазовом состоянии, а остальные шарики — в другом. Интервал стабильности двухфазного состояния системы шариков возрастает с уменьшением радиуса шариков и расстояния между ними.

Поступила в редакцию / января 1983 г.

Список литературы

Морохов И. Д., Петинов В. И., Трусов Л. И., Петрунин В.Ф. // УФН. 1981. Т. 133. С. 653. 2. Balian A., Bloch С 〃 Ann. Phys. 1970. V. 60. Р. 401.

Лидоренко Н. С.〉Чижик С. /7., Григорьева Л. К. // Изв. АН СССР. 1981. Т. 6. С. 91; Лидоренко Н. С., Чиэюик С. □., Гладких Н. Т, Григорьева Л. Л, Куклин Р. Н. // ДАН СССР. 1981. Т. 258. С. 858.

Rappez М., Chatelain А. // J. Phys. С. 1981. V. 14. Р. 4515.

Arai G., Lee S.-T.)Mason F. // Sol. St. Commun. 1981. V. 37. P. 213.

Kreibig U. // Sol. St. Commun. 1978. V. 28. P. 767.

Wood D. // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 748.

Smith J J] AIAAJ. 1965. V. 3. P. 648.

Schmidt-Ott A., Schurtenberger P., Siegmann Я. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 1284.

Mason M., Lee S.-T., Apai G., Davis A., Shirly D, Franciosi 4 〃 Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. P. 730.

Burtscher 〃.，Schmidt-Ott A. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1734.

Лидоренко H. С, Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1979. T. 30. С. 25.

Размерная зависимость фермиевской энергии и силывзаимодействия между высокодисперсными частицами

Л. К. Григорьева, Н. С. Лидоренко, 3. 〃. Нагаев, С. П. Чижик

ЖЭТФ. 1986. Т. 91(3(9)). С. 1050-1062

Рассчитана плотность электронных уровней g(E) металлических частиц малого радиуса с учетом зонной структуры энергетического спектра. Из-за размерной зависимости g(E) возникает зависимость фермиевской энергии частицы от ее радиуса. Если частицы находятся в среде с малой, но конечной электропроводностью и размеры частиц отличаются друг от друга, то между ними происходят электронные переходы, приводящие к выравниванию их электрохимических потенциалов. Вследствие взаимного заряжения частиц между ними появляются силы электростатического взаимодействия. Поскольку заряд на каждой частице зависит от размеров всех остальных частиц и их расстояний друг от друга, то зависимость силы взаимодействия двух частиц от расстояния между ними отлична от кулоновской. По той же причине эти силы взаимного заряжения носят кооперативный характер: сила, действующая на частицу, не может быть представлена суммой не зависящих друг от друга сил взаимодействия с каждой из остальных частиц по отдельности. Проведен расчет движения двух шариков в вязкой жидкости под действием сил взаимного заряжения.

В этой работе рассмотрены новый механизм взаимодействия между металлическими телами малых размеров и связанные с ними эффекты. По существу здесь можно говорить о новом классе сил электромагнитного происхождения, развивающихся между исходно электронейтральными частицами благодаря наличию у среды, в которой они находятся, конечной электропроводности. В терминах теорий, описывающих электромагнитные явления через диэлектрическую проницаемость среды % существование этих сил обусловлено отличием от нуля мнимой части е. Эти силы вызваны взаимным заряжением частиц относительно друг друга, причем в отличие от обычных систем с кулоновским взаимодействием величина заряда на каждой частице зависит от топологии системы, т. е. от размеров остальных частиц и взаимного расположения частиц относительно друг друга. Поэтому силы взаимного заряжения носят кооперативный характер. В частности, сила взаимодействия между двумя частицами зависит от расстояния г между ними по более сложному закону, чем 丁—2. Кроме того, сила, действующая на данную частицу, не представима суммой не зависящих друг от друга бинарных взаимодействий с каждой из остальных частиц по отдельности. Вообще говоря, они зависят и от скорости движения частиц. Эти силы имеют столько же оснований быть выделенными в отдельный класс, как и силы Ван-дер-Ваальса, которые ранее считались целиком ответственными за взаимодействие между немагнитными малыми частицами.

На существование нового класса сил было впервые обращено внимание в [1-3], где было постулировано, что уровни Ферми малых частиц зависят от их радиуса. Как следствие этого в дисперсных средах должны происходить кинетические явления, стремящиеся обеспечить установление термодинамического равновесия между частицами: возникает тенденция к выравниванию электрохимических потенциалов частиц. Она осуществляется путем перехода электронов через проводящую среду с одной частицы на другую. В результате между этими частицами возникает кулоновское взаимодействие, которое убывает с расстоянием гораздо медленнее, чем силы Ван-дер-Ваальса. В [1-3] не было обращено внимание на зависимость сил взаимного заряжения от топологии системы.

Естественно, для установления термодинамического равновесия между малыми частицами необходимы заметная электропроводность среды, в которой эти частицы находятся, или подложки, на которой они осаждены. Сам факт наличия в среде

некоторого количества носителей тока означает, что из-за экранирования поля частиц взаимодействие между ними на самых больших расстояниях убывает не по степенному закону, а экспоненциально. В дальнейшем будут рассматриваться только расстояния меньше радиуса экранирования.

В предыдущих публикациях не удалось построить корректной физической теории таких сил. Причины зависимости уровня Ферми от размера частиц были указаны в [1] неверно, а поэтому неверны и физическая интерпретация сил, и численные оценки эффекта. Даже часть качественных выводов [1] оказалась ошибочной. Основная ошибка [1] состоит в следующем: авторы [1] считали, что лапласовское давление уменьшает постоянную решетки малой частицы и тем самым повышает электронную плотность и фермиевскую энергию. Между тем понятие лапласовского давления к малым частицам неприменимо [3, 4], так как в них фиксировано полное число атомов N, а не их плотность п [4].

Ввиду того, что в литературе по высокодисперсным частицам существование давления Лапласа принимается как самоочевидный факт, целесообразно детально объяснить, почему такая точка зрения неверна. Казалось бы, существование давления Лапласа однозначно следует из того, что поверхностная энергия Еs пропорциональна площади поверхности S: Es = aS, где поверхностное натяжение а считается константой. Тогда у системы должна существовать тенденция к уменьшению ее поверхности, так как из-за этого Es уменьшается. Проявлением этой тенденции и является давление Лапласа.

Однако на самом деле Es в общем случае выражается не через S, а через число поверхностных атомов Ns； Es = 7^5- Например, в приближении ближайших соседей энергия взаимодействия атома с n его ближайшими соседями внутри объема равна —2〃 а на поверхности, где соседей у атома на △/ меньше, эта энергия составляет только — (z — △/)〃 (ту ——энергия взаимодействия двух атомов). Поэтому для такой простой системы Es = “XzNs・ Соотношение Es = aNs эквивалентно Es = =7Ns в том и только в том случае, когда при изменении S плотность атомов п не меняется, так как тогда Ns ~ nS. Такова, в частности, ситуация при изменении формы частицы. Если же плотность меняется при деформации, то соотношение Es = =aS несправедливо.

Проиллюстрируем это утверждение на примере малой частицы. В ней фиксирована не плотность атомов, а полное их число. Форма частицы, обеспечивающая минимум Еs)шарообразная (строго говоря, это верно лишь для жидких частиц, но в качестве аппроксимации годится и для кристаллических). Здесь изменение S при неизменной форме частицы возможно лишь путем ее деформации, не меняющей Ns・ Поэтому зависимость Еs от размеров частицы определяется только зависимостью 7 от межатомного расстояния а. В приближении ближайших соседей это расстояние а。 соответствует максимуму величины ту, поскольку при нем достигается минимум полной энергии частицы (тепловые эффекты не учитываем). Таким образом, в этом приближении Es ~ ту квадратична по малому отклонению а от а。，а следовательно, и по изменению площади поверхности 5S. Это значит, что в обсужденном случае зависимостью Еs от S можно пренебречь.

При учете взаимодействия между следующими по дальности соседями, когда в полную энергию системы входит одновременно несколько параметров, возникает релаксация поверхности — изменение а по сравнению с его объемным значением. Однако оно обычно захватывает один-два приповерхностных слоя и не сказывается на объемных свойствах частицы. В принципе, в металлах поверхность, вызывая фриделевские осцилляции электронной плотности, приводит к аналогичным осцилляциям смещений (они возникают из-за взаимодействия электронов с решеткой). В данной работе этот эффект рассматриваться не будет.

Что же касается формулы Лапласа для давления, то в соответствии с ее термодинамическим выводом в равновесных условиях она справедлива только на кривой

сосуществований двух фаз, например жидкости и насыщенного пара [5]. В этом случае плотности атомов в каждой из фаз постоянны и изменения площади поверхности раздела фаз происходят не из-за деформации, а из-за перехода атомов из одной фазы в другую. Естественно, при этом меняется и Ns・ Ясно, что такая ситуация не реализуется в рассматриваемых нами системах 1).

Реальной причиной зависимости уровня Ферми от размера частиц является непосредственное воздействие границы кристалла на плотность электронных уровней. Оно может осуществляться разными способами: через квантование объемных уровней, через поверхностные энергетические уровни и резонансы и через возникновение на границе кристалла двойных электрических слоев [3, 4]. Положение уровня Ферми может существенно зависеть от анизотропии, вносимой поверхностью: какими именно кристаллографическими гранями ограничен кристалл. Оно зависит также от среды, в которой находится частица [6].

Учет этого факта приводит не только к количественному, но и к качественному отличию результатов, полученных ниже, от результатов [1]. Во-первых, уровень Ферми не обязательно поднимается при уменьшении размера частицы. При наличии поверхностных зон или резонансов он может и опускаться [4]. Как будет показано ниже, он опускается и в отсутствие поверхностных зон и резонансов, если заполнение зоны проводимости достаточно велико. Во-вторых, и это еще более важно, уровень Ферми оказывается размерно-зависящим не только в сферических частицах, но и в тонких пленках. Поэтому должны возникать силы электростатического притяжения не только между частицами, но и между тонкими пленками различных размеров.

Разумеется, размерная зависимость фермиевской энергии должна проявляться не только через силы взаимодействия между малыми частицами, но и через другие эффекты. В частности, она изменяет работу выхода из малых частиц по сравнению с массивными образцами, что до сих пор не учитывалось. Между тем это изменение сравнимо с изменением работы выхода за счет сил изображения, которым принято приписывать размерную зависимость работы выхода (см., например, [7, 8]).

Имеются экспериментальные данные, свидетельствующие в пользу реальности сил взаимного заряжения. К ним относится структура систем частиц, осажденных на твердых подложках: более крупные металлические частицы оказываются окруженными облаком более мелких частиц, отделяющих их от других крупных частиц [9].

Поскольку взаимное заряжение максимально между частицами, максимально различающимися по размерам, ясно, что в таких структурах свободная энергия ниже, чем при хаотическом расположении частиц на подложке. Далее, в [10] было обнаружено усиление на много порядков взаимодействия между частицами Ag, находящимися в газовой фазе, по сравнению с ван-дер-ваальсовым. Это может быть как раз за счет взаимного заряжения частиц Ag через слабопроводящую газовую фазу. В то же время усиление взаимодействия между неметаллическими частицами углерода обнаружено в [10] не было.

Существование описанных выше сил притяжения между частицами малых размеров важно не только в принципиальном плане. Учет этих сил необходим для нормального функционирования практических устройств, использующих малые частицы. Например, одна из проблем в практическом использовании магнитных жид-

В принципе, возможны условия, когда малые металлические частицы находятся в равновесии со своим паром. Однако плотность насыщенных паров металла настолько мала, что в отношении давления Лапласа ситуация практически остается той же, что и для частицы, находящейся в вакууме. Термодинамическое доказательство существования давления Лапласа при таких малых плотностях паров теряет свою силу, так как не выполнено условие его применимости: число частиц пара в объеме, занимаемой малой частицей, здесь отнюдь не велико по сравнению с 1.

костей — устранение тенденции малых частиц к слипанию друг с другом. Для этого желательно максимально ослабить электростатическое взаимодействие частиц друг с другом. Из приведенных выше соображений очевидны способы ослабления: нужно уменьшить дисперсию в размерах частиц магнитного порошка и электропроводность жидкости, в которую он помещен. Приложение электрического поля к жидкости или вдоль подложки, на которой осажены металлические частицы, позволит сепарировать большие частицы от малых; поскольку они заряжены противоположно, то будут двигаться к разным электродам. По знаку заряда больших частиц относительно малых можно получить информацию относительно того, как влияет поверхность на электронный спектр. В частности, как указывалось выше, при малых заполнениях зоны проводимости знак заряда зависит от того, существуют поверхностные зоны или резонансы или их нет.

Работа построена следующим образом. В § 1 рассматривается вопрос о характере зависимости фермиевской энергии электронов от размеров образца. Использованная здесь новая методика вычисления плотности состояний в телах ограниченных размеров позволила впервые найти выражение для нее с учетом зонной структуры электронного спектра, справедливое при любых квазиимпульсах. С помощью этого выражения найден вклад в размерно-зависящую часть химического потенциала 〃i от кинетической энергии электронов. Показано, что с ростом заполнения зоны проводимости знак размерно-зависящей части 〃i изменяется на противоположный. В § 2 оценен кулоновский вклад в нее, происходящий из-за двойных слоев на поверхности. В § 3 обсужден кооперативный характер сил взаимного заряжения. В § 4 решено нелинейное стохастическое уравнение, описывающее относительное движение двух металлических шариков в вязкой жидкости, которые взаимодействуют друг с другом силами взаимного заряжения.

⑴⑴Зависимость фермиевской энергии от размеров металлического тела. Как указывалось выше, зависимость фермиевской энергии от размеров образца связана с изменением плотности электронных уровней, обусловленным наличием у образца границы. Соответствующий расчет, учитывающий изменение кинетической энергии электронов, был приведен в [4] в приближении эффективной массы. Считалось, что на поверхности выполнено граничное условие для волновой функции

⑴

⑴

где n — внешняя нормаль к образцу. При А > 0 все электронные состояния соответствуют объемной зоне проводимости. С уменьшением А в электронном спектре появляются поверхностные резонансы, а после изменения знака А от объемной зоны отщепляется вниз поверхностная зона.

При А > 0, т. е. в отсутствие поверхностных зон, сдвиг 〃i фермиевской энергии ограниченного образца по сравнению с фермиевской энергией 〃（）бесконечно большого образца с той же концентрацией носителей п дается выражением

仰=（3万2八）"3 （2m）-1,仰=（3万2八）"3 （2m）-1,从=Мо + /I],从=Мо + /I],Акр《1 （方=1）,Акр《1 （方=1）,⑵⑵

仰=（3万2八）"3 （2m）-1,

仰=（3万2八）"3 （2m）-1,

从=Мо + /I],

从=Мо + /I],

Акр《1 （方=1）,

Акр《1 （方=1）,

⑵

⑵

AH = ^-工（1 — arctg （Хкр）） , Хкр》1,

где т — эффективная масса электрона, kp — фермиевский импульс, V — объем кристалла, S — площадь его поверхности. Эти выражения справедливы для образцов любой формы, если размеры кристалла велики по сравнению с |А| .

Возможность разложить фермиевскую энергию на объемную 仰 и поверхностную 〃1 части, непрерывно зависящие от п, есть следствие того, что аналогичным образом электронная плотность состояний g(石)может быть разложена на объемную go и поверхностную gi части, являющиеся гладкими функциями электронной энергии Е. Последнее обстоятельство отнюдь не тривиально из-за квантования электронных орбит в кристалле ограниченных размеров. В [4] поверхностная часть gi соответствовала поправке первого приближения по (如厶)一丄 В следующем порядке по этому параметру разрывность g(E) уже проявляется.

Результаты (2) соответствуют малым концентрациям kFa《1, где а — постоянная решетки. Заранее неясно, в какой мере они применимы к металлам, в которых 如。〜 〜1. Прежде всего отнюдь не самоочевидно, что при больших энергиях плотность состояний можно разлагать по 1/L. Сомнения по поводу такой возможности возникают хотя бы из-за существования у электронной плотности особенностей ВанХова вне области квадратичной зависимости энергии от квазиимпульса. Ниже на примере электронного спектра специального типа будет показано, что действительно при кра 〜1 есть области энергии, в которых g(石)нельзя разложить гю а/厶，и, следовательно, нельзя ввести поверхностную плотность состояний. Однако, во всяком случае, для рассмотренного спектра такие области экспоненциально узки и поэтому несущественны. Таким образом, фактически будет показано, что существуют законы дисперсии для электронов, позволяющие представить плотность состояний в виде суммы объемной и поверхностной частей.

Результаты расчета представляют интерес и с той точки зрения, что удается найти в явном виде структуру gi(E) при произвольных Е. Это есть следствие использования новой методики вычисления 乌1(石)，впервые примененной в настоящей работе.

Считается, что кристалл представляет собой пластину толщиной 厶=(2/ + 1)а по оси 2, имеет простую кубическую решетку, и отличен от нуля только блоховский интеграл между ближайшими соседями. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

/-1/

h = B):(a；2+1每2 + 或2%/+1) + В): a^zar-^g z,(3)

r=(办y)

где а* г, a-z — операторы рождения и уничтожения электрона на атоме с номером (ж, у, z), 5 — вектор, соединяющий ближайших соседей по осям ж, у. Гамильтониан (3) диагонализуется преобразованием

a^z =〉: WqPs(r，N)aqps + V^QPc (r, N^qpJ，

吵qps = 普 exp (分qra) sin (网之), ^qPc = 普 exp (分qra) cos (网之),

1с(4)

aPs = / + 1,1，八s W ape =/ + ],0，八c，

m二(^广+。(/),

где D — размер пленки по осям х и у. Электронная энергия дается выражением

⑸⑸Eqp = 2В (cos qxa + cos qya + cos qza) , p = ps, pc.

⑸

⑸

Электронная плотность состояний записывается (с учетом спина) с использованием интегрального представления для ^-функции:

1 Г7Г 、1 Г7Г 、g(E) = 2 ^2 b (石一26 (cospa + cos qxa + cos qya))= pq

1 Г

7Г 、

1 Г

7Г 、

е。"* dt ^2 exp (—2Е6力(cospa + cos qxa + cos 夕火)).(6) pq

Суммирование no qx, qy выполняется обычной заменой интегрированием, а по 夕$, рс — с использованием формулы Эйлера-Маклорена, позволяющей автоматически разделить объемную и поверхностную части плотности состояний. Согласно (4), для произвольной функции / с учетом членов ^ а/L включительно можно написать

e / (a网) = e / (网)一 /(万)一/(0) -"/)^ - I ("万)+ /(0)),

—1—0с

2 /(呐)* 卜(+ 鹏)+7}+ 也))=

=1 j 〃田)dx + ；(〃万)—〃°)+ / (^Ъу) — / (7r + ^Йл) ) О

/(ж) dx. (7)

7Г J

О

Из (6), (7) с использованием интегрального представления для функции Бесселя /()(/) получаем

g(右)=go(右)+ gi(右)，

g。(" = j exp (錯)山三瞽尸(俞}

(8)

gi(E) = ? go(后)-力)cos (26力)exp (iEt) dt.

L7Г

Как известно, интеграл F, фигурирующий в выражении для объемной части g, go, в явном виде не вычисляется, но детально протабулирован (см., например, [11]). Судя по этим данным,旦()(石)должна иметь особенности вблизи Е = ±2 \В\ . Интеграл же, фигурирующий в выражении для поверхностной части g, gi, вычисляется

до конца [12]:

丿^(26力)cos (26力)exp (E石力)dt =

где K(/) — полный эллиптический интеграл первого рода,犷(力)一функция единичного скачка.

При \2mEa《1, когда только и работает приближение эффективной массы, результат (8), (9) переходит в результат, полученный ранее из общих соотношений [4] при А = 0. ( Этот результат восходит еще к Рэлею.) Однако по сравнению с результатами [4] он несет в себе качественно новые черты, а именно согласно [4], gi не зависит от энергии, совпадая с плотностью состояний в двумерных системах. Здесь же зависимость gi от энергии при Е ^ \В\ достаточно сильная.

Очевидно, что gi(E), как и g«E) — четная функция Е. Нетрудно убедиться прямым интегрированием gi(E) (8) по всем Е, что (как это и должно быть) наличие поверхности не меняет полного числа состояний в зоне. С другой стороны, в согласии с обычными представлениями о влиянии пространственного квантования на плотность уровней при квадратичном законе дисперсии вблизи экстремумов g(№) (8) понижается с уменьшением L. Следовательно, пространственное квантование должно повышать плотность уровней в глубине энергетической зоны.

Формально поверхностная плотность состояний логарифмически обращается в —оо при Е = ±2 |В| , т. е. в особых точках go(E). Разумеется, такого рода сингулярность на самом деле означает невозможность разложения плотности g по 1/L, т. е. невозможность разделения ее на объемную и поверхностную части. Нетрудно убедиться, однако, что ширина сингулярной области имеет порядок

10 |В| ехр10 |В| ехр27r2入厶27r2入厶аа(10)(10)

10 |В| ехр

10 |В| ехр

27r2入厶

27r2入厶

а

а

(10)

(10)

А = J (t) cos tdt = 0,87,

e. экспоненциально мала даже при L < 10а. Тем самым для рассмотренного типа спектра доказана возможность введения поверхностной части плотности состояний g^{E\ являющейся гладкой функцией Е. Естественно ожидать, что то же самое остается в силе и для ряда других типов спектров. Вместе с тем структура показателя экспоненты в (10) наводит на мысль, что численный множитель перед L / а для некоторых типов спектров может оказаться значительно меньше и тогда минимум в плотности состояний, индуцируемый поверхностью, может стать наблюдаемым.

Если 旦1(石),как в рассмотренном случае, есть гладкая функция Е, то сдвиг фермиевской энергии электронов из-за поверхности дается выражением

Mi = -；)[ g\(E) dE 三(11)

goJ厶

-6倒

Поскольку логарифмическая особенность g、(E) интегрируемая, то при всех 从()величина 从1 есть непрерывная функция 从(),а следовательно, и концентрации п. Однако

зависимости 从()и 从]от 几 совершенно различные. Для их нахождения необходимы численные расчеты.

Из четности gi(E) следует, что размерно-зависящая часть (1) химического потенциала меняет свой знак при 石=0, т. е. при половинном заполнении зоны. Отрицательность 从1 легко понять из качественных соображений. При больших заполнениях вместо электронов можно ввести дырки, энергии которых, отсчитанные от максимума зоны 6 |В| , отличаются знаком от электронных. Эти дырки ведут себя как обычные частицы, т. е. при квадратичном законе дисперсии размерно-зависящая часть их фермиевской энергии положительна. Это и означает отрицательность раз- мерно-зависящей части электронной фермиевской энергии. Тот факт, что изменение знака 从1 происходит при половинном заполнении зоны, есть следствие простого косинусоидального закона дисперсии (5). Если, как оно и есть в большинстве случаев, зона асимметрична относительно 石=0, то 从]меняет знак при каком-то другом заполнении.

Отрицательность 血 соответствует отрицательному вкладу электронов в поверхностную энергию кристалла. Как указывалось в [4], где подобное явление было вызвано не квантованием орбит, а поверхностными зонами и резонансами, это еще не означает неустойчивости кристалла, так как в целом поверхностная энергия может быть положительна из-за вклада в нее от решетки кристалла.

Электростатический вклад в ренормировку химического потенциала. К сдвигу химического потенциала за счет изменения кинетической энергии электронов следует добавить сдвиг за счет образования поверхностного двойного слоя.

Этот слой обусловлен переизбытком или недостатком электронной плотности на поверхности кристалла по сравнению с плотностью заряда ионов. Например, при А = 0 в (1) электронная плотность в первом поверхностном слое обращается в нуль и там появляется положительный заряд, компенсируемый избытком электронной плотности. Напротив, при А —> схэ в поверхностном слое образуется переизбыток электронной плотности, компенсируемый ее недостатком в последующих слоях. Но, как известно, любая неоднородность в распределении электронной плотности поднимает электростатическую энергию системы, что приводит к появлению кулоновского вклада в поверхностную энергию.

Соответствующий расчет проводится в предположении высоких электронных плотностей, е^/а《从.При таком условии по нему удается оценить вклад электростатического взаимодействия в первом порядке теории возмущений, так как неаналитичность по этому взаимодействию проявляется лишь в высших порядках теории возмущений. Поскольку здесь не возникает проблем с сингулярностью g(E), ограничимся случаем kFa << 1 при А = 0, когда удается провести вычисления до конца.

Плотность заряда р выражается через 中qk (4) и среднюю плотность ионов п, для простоты записи предполагаемых однозарядными, соотношением

0 = —几)=—* £ 储—礴 cos(2&n), (12) ' qkcr ' kn<kp

где /qk — фермиевская функция распределения для электронов при Т = 0, кр = =д/2т/7, координата z, считаемая теперь непрерывной, сдвинута так, что пластина расположена в области 0 < z < L^ а — спин электрона.

Решая одномерное уравнение Пуассона с правой частью (12) и преобразуя решение путем интегрирования по частям, получаем для кулоновской энергии системы

выражениеЕ = —2万。2 ] 0(n) dz^(z — /) р (/) dz1.о оПодставляя (12) в (13), получаемe =签^值一1)廿。婦仔一“(皿+ 1))-2(92如球+выражениеЕ = —2万。2 ] 0(n) dz^(z — /) р (/) dz1.о оПодставляя (12) в (13), получаемe =签^值一1)廿。婦仔一“(皿+ 1))-2(92如球+(13)(13)+(#+(#Пр ^?2р + 1)(2/Zf + 1)Пр ^?2р + 1)(2/Zf + 1)66(14)(14)где пр — целое число, ближайшее к Lkp/тг со стороны меньших чисел,中(？) 一 логарифмическая производная от гамма-функции (см. [13]). При больших Lkp для нее справедлива асимптотика 少⑶ ~ 1/z [14]. Таким образом, выражение (14) содержит как объемный, так и поверхностные вклады в кулоновскую энергию. Кулоновская добавка к химическому потенциалу А/^е, получается дифференцированием (14) по полному числу электронов N. При этом используется его связь с кр, полученная в [4]:где пр — целое число, ближайшее к Lkp/тг со стороны меньших чисел,中(？) 一 логарифмическая производная от гамма-функции (см. [13]). При больших Lkp для нее справедлива асимптотика 少⑶ ~ 1/z [14]. Таким образом, выражение (14) содержит как объемный, так и поверхностные вклады в кулоновскую энергию. Кулоновская добавка к химическому потенциалу А/^е, получается дифференцированием (14) по полному числу электронов N. При этом используется его связь с кр, полученная в [4]:(15)(15)На основании (14), (15) получаетсяНа основании (14), (15) получается△…学(臬J ' 2 丿 \ кр L△…学(臬J ' 2 丿 \ кр L(16)(16)

выражение

Е = —2万。2 ] 0(n) dz^(z — /) р (/) dz1.

о о

Подставляя (12) в (13), получаем

e =签^值一1)廿。婦仔一“(皿+ 1))-2(92如球+

выражение

Е = —2万。2 ] 0(n) dz^(z — /) р (/) dz1.

о о

Подставляя (12) в (13), получаем

e =签^值一1)廿。婦仔一“(皿+ 1))-2(92如球+

(13)

(13)

+(#

+(#

Пр ^?2р + 1)(2/Zf + 1)

Пр ^?2р + 1)(2/Zf + 1)

6

6

(14)

(14)

где пр — целое число, ближайшее к Lkp/тг со стороны меньших чисел,中(？) 一 логарифмическая производная от гамма-функции (см. [13]). При больших Lkp для нее справедлива асимптотика 少⑶ ~ 1/z [14]. Таким образом, выражение (14) содержит как объемный, так и поверхностные вклады в кулоновскую энергию. Кулоновская добавка к химическому потенциалу А/^е, получается дифференцированием (14) по полному числу электронов N. При этом используется его связь с кр, полученная в [4]:

где пр — целое число, ближайшее к Lkp/тг со стороны меньших чисел,中(？) 一 логарифмическая производная от гамма-функции (см. [13]). При больших Lkp для нее справедлива асимптотика 少⑶ ~ 1/z [14]. Таким образом, выражение (14) содержит как объемный, так и поверхностные вклады в кулоновскую энергию. Кулоновская добавка к химическому потенциалу А/^е, получается дифференцированием (14) по полному числу электронов N. При этом используется его связь с кр, полученная в [4]:

(15)

(15)

На основании (14), (15) получается

На основании (14), (15) получается

△…学(臬

J ' 2 丿 \ кр L

△…学(臬

J ' 2 丿 \ кр L

(16)

(16)

где kF берется в нулевом приближении по kFL. Оценка △//© получается экстраполяцией (16) к кр 〜1/а.

Кулоновская поверхностная поправка к химическому потенциалу (второй член в (16)) повышает его значение. Реально в металлах она того же порядка, что и кинетическая поправка 从](11), где 从()一объемный химический потенциал. Из соображений, изложенных в [4], следует, что полученные выше результаты после замены £ на 丿/S становятся справедливы для тел любой формы.

Выражение для полного сдвига химического потенциала, обусловленного конечностью размеров образца, можно представить в виде

△从厶= М1+А/1е・ (17)

Силы взаимного заряжения. Появление силы притяжения между двумя металлическими частицами радиусов Li и L2 есть следствие перехода заряда с одной из них на другую, происходящего из-за того, что при фиксированных положениях частиц их электрохимические потенциалы должны совпадать друг с другом. Эта сила отлична от нуля, если Li и L^ не равны друг другу. Как и в случае конденсатора, включенного в цепь с фиксированной сторонней ЭДС, заряды частиц зависят от расстояния между ними.

Специфика сил взаимного заряжения особенно ясно проявляется в коллективах мелкодисперсных частиц: сила взаимодействия между любой парой частиц зависит не только от их радиусов и взаимного расположения, но и от соответствующих геометрических параметров остальных частиц. Таким образом, по существу эти силы являются неаддитивными, и от остальных частиц зависит не только их величина, но и знак. Действительно, при наличии нескольких частиц заряд на каждой частице слагается из зарядов, перешедших на нее с каждой из остальных частиц. Сила

же взаимодействия между ними определяется их полными зарядами. В результате этого, например, может появиться сила взаимодействия между двумя частицами одинакового размера, если в коллективе частиц имеются частицы других размеров. Однако, так как и заряды на этих частицах одинаковы, это будет не сила притяжения, а сила отталкивания.

Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим взаимодействие описанного выше типа в коллективе, состоящем из частиц радиусов Lij, соответственно находящихся друг от друга на расстояниях г^, намного превышающих их радиусы.

Полная энергия такой системы дается выражением

(18)(18)

(18)

(18)

где qi> 屮i> Ri — соответственно заряд, электростатический потенциал и фермиевская энергия электронов г-частицы, связанные друг с другом условиями сохранения заряда

£^ = о (19)

и равенства электрохимических потенциалов частиц

e (巧一仍)=bi - bj 三 7 G —, 7e (巧一仍)=bi - bj 三 7 G —, 7~ Моа.~ Моа.(20)(20)

e (巧一仍)=bi - bj 三 7 G —, 7

e (巧一仍)=bi - bj 三 7 G —, 7

~ Моа.

~ Моа.

(20)

(20)

Правая сторона равенства есть следствие (11), (16).

В главном приближении по £/々/ можно считать (см. [15])

屮i屮i豈+豈+(21)(21)

屮i

屮i

豈+

豈+

(21)

(21)

где £ — диэлектрическая проницаемость среды.

Приведем решение системы (19)-(21) для случая трех частиц, в котором уже проявляется кооперативный характер взаимодействия между частицами (заряд данной частицы зависит сразу от всех трех расстояний между частицами и от радиусов всех трех частиц):

е = £ (从 12 (厶з~1 —+—『23)+ 从32 (厶[1 ——『工 +『23I))

图2 -厶厶+厶厶+厶厶一2厶- 2厶l一2厶丿

И Т. Д.

В пределе 丁 13, 丁 12, 丁23 —> схэ (22) принимает вид

图2(8)= ^7 (2上2 - & -上3)(& + 上2 + 上3)1.(23)

С помощью (18)-(23) для силы взаимодействия между частицами 1 и 2 получаем асимптотическое выражение

(24)(24)用2 = ”用2 = ”『;2 (厶1 + 厶2 + 厶3)2『;2 (厶1 + 厶2 + 厶3)22 5厶1厶2 - 2 （厶；+厶扌）-厶3 （厶1 +厶2）+厶^

(24)

(24)

用2 = ”

用2 = ”

『;2 (厶1 + 厶2 + 厶3)2

『;2 (厶1 + 厶2 + 厶3)2

Из (24) следует, что, действительно, а при £3 = £2, но £3 # &, между частицами 1 и 2 существует притяжение, пропорциональное (J —厶尸，при & =质，но L^ ^ L^ — отталкивание, пропорциональное (£3 — &产.

Учет членов высшего порядка по г^ в (22) приводит к закону зависимости 冃2 от Г12, существенно отличному от кулоновского.

Заметим, что возможно экспериментально реализовать ситуации, в которых заряд каждой частицы можно считать фиксированным. Для этого достаточно, чтобы среда,

в которой находятся частицы, обладала заметной проводимостью лишь в течение конечного времени. Этого можно добиться, возбуждая в среде фотопроводимость импульсом света.

Возможна другая ситуация: если проводимость среды очень мала, то заряд будет изменяться со временем, но термодинамически равновесное его значение для данной конфигурации частиц достигаться не будет. Эта ситуация будет обсуждена в следующем параграфе.

Движение заряженных шариков в вязкой жидкости. Взаимное заряжение вызывает у мелкодисперсных частиц тенденцию к коагуляции. Ниже будет рассмотрена задача об относительном движении двух частиц в вязкой жидкости, обусловленном силами взаимного заряжения. Влияние других частиц на их движение учитываться не будет, но зато значение заряда частиц не будет предполагаться термодинамически равновесным для заданного их расположения (иными словами, не будет считатвся, что величина заряда адиабатически следует за положением частиц). В предположении, что движение частиц передемпфировано, их относительная координата г определяется уравнением Ланжевена [16]

碟一⑴+"，

(25)

где М — приведенная масса частиц, ?у — динамическая вязкость жидкости. В (25) коэффициент 0 положен для простоты одинаковым для обеих частиц. Далее, МAi(t)— флуктуирующая сила, обусловленная столкновениями частицы с молекулами жидкости. Так, где это можно, считается, что скоррелированы только силы, действующие в один и тот же момент времени, т. е., что их коррелятор дается выражением [17]

〈4 ⑴ 4 (У)〉= 2田 6 (力—У) м， В,=等『， (26)

где кв — постоянная Больцмана. Однако иногда нужно учитывать конечность времени корреляции сил 力°.

Символом 歹(力)обозначена сила электростатического взаимодействия между двумя частицами, причем их заряд 士q(力)считается зависящим от времени. Величина этого заряда легко устанавливается в пределе, когда сопротивление граничных слоев между металлическими частицами и средой значительно меньше сопротивления среды между зарядами. В этом случае ток между частицами пропорционален разности их электрохимических потенциалов, т. е. с учетом (21) при 丁》Lx, L2 дается выражением

(28)

где р — удельное сопротивление среды (выражение для R взято из [15]). Как известно, конечность R при 丁一＞ оо есть следствие бесконечных размеров среды: рост расстояния между шариками компенсируется ростом площади, пересекаемой линиями тока. Таким образом, реально (28) справедливо, если г намного превышает £匕 忆，но мало по сравнению с размерами системы.

Согласно (27), (28), при больших расстояниях г заряд зависит от времени по закону

夕(力)= :j”；：；"]—тм = £(29)

e (厶 1 + 厶2 ) \\ ^м//47r

где тм ——максвелловское время релаксации. За начальный момент времени выбран такой, когда частицы сблизились на расстояние, при котором становится применимо выражение (28). Из (29) становится ясным, что неравновесность заряда следует учитывать, лишь если тм велико по сравнению со временем коагуляции 勿.При 勿 〜 〜1 мин для этого требуется, чтобы р превышало 1010 Ом • см.

Дальнейший анализ будет проведен в адиабатическом пределе тм《勿 с использованием в качестве F⑴ в (25) кулоновского выражения, в котором заряды частиц считаются равными 士q(oo)(29).

Нелинейное стохастическое дифференциальное уравнение (25) решается путем сшивки решений для малых и больших расстояний. Критерием того, мало или велико расстояние, служит соотношение между амплитудой случайной силы и силой притяжения. Сшивка проводится на расстоянии г「удовлетворяющем условию

£ = /力 В = ВХ + В2, к =毘％(30)

где угловые скобки — символ усреднения по флуктуациям.

На больших расстояниях, рассматривая силу притяжения как возмущение, получим из (25)

丁⑴= R+^! 4方)d力-]^ dt^R + -| 4T) d7)，(31)

ооо

где R — расстояние между частицами в начальный момент времени.

Разлагая (31) по флуктуациям и проводя по ним усреднение, получаем с учетом (26)

(1 +券，(32)

Со стороны малых расстояний как возмущение рассматривается флуктуирующий член в (25). Используя по-прежнему для F асимптотическое выражение, получим

/ k

Г = Го + Г1 + г2, Го = V-3t7 + ЗС ,7 =

t

^i = | exp (-6(f)+ 6(т))Л(т) dr,(33)

-誥卜xp(i⑴+ 2))黑电

где

Постоянные С 0 tl определяются из условия (30) и равенства друг другу при 力=力1 выражений (32) и (33):

JM 1 十 3(26〃2丿JM 1 十 3(26〃2丿

JM 1 十 3(26〃2丿

JM 1 十 3(26〃2丿

После их определения становится возможным нахождение времени 勿 за которое частицы достигнут друг друга (〈丁⑴〉= 0):

tttt12 b 1Oi912 b 1Oi9厶1厶2 (包yMe k2B；厶1厶2 (包yMe k2B；n _ 24M(2B)eRDq= 0L1L2n _ 24M(2B)eRDq= 0L1L201=户01=户(35)(35)

tt

tt

12 b 1

Oi9

12 b 1

Oi9

厶1厶2 (包y

Me k2B；

厶1厶2 (包y

Me k2B；

n _ 24M(2B)eR

Dq= 0L1L2

n _ 24M(2B)eR

Dq= 0L1L2

01=户

01=户

(35)

(35)

Если положить, например, 8 = 3, ?у = 50 г/см • с (как у керосина), плотность = =7 г/см3 (как у Ni), & = 10-6 см,厶=1,5 • 10-6 см, R = 10-5 см,力о = 10-13 с, Т = 300 К, то зависимость столкновения частиц tt от потенциала g будет близка к обратно пропорциональной. При 夕〜0,1 В это время 〜1-10 с.

Авторы признательны Ю. М. Кагану и М. А. Анисимову за обсуждение работы.

Поступила в редакцию 26.11.1986.

Список литературы

Морохов И. Д- Трусов Л. И., Чижик С. П. Ультрадисперсные металлические среды.— М.: Атомиздат, 1977.

Лидоренко Я. С., Чижик С 〃.，Гладких Я. Т. и др. // Изв. АН СССР. 1981. Т. 6. С. 44.

Лидоренко Я. С, Чижик С. 〃.，Гладких Я. Т. “ d夕.〃 ДАН СССР. 1983. Т. 271. С. 1116.

Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1985. Т. 25. С. 1439.

Ландау Л. Д.、Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Ч. 1. — М.: Наука, 1976.

Лидоренко Н.С. // ДАН СССР. 1974. Т. 216. С. 1261.

Wood D. // Phys. Rev. Lett. В. 1981. V. 74. P. 46.

Smith J. 11 AIAAJ. 1965. V. 3. P. 648.

Чижик C 〃.，Гладких H. T・，Григорьева Л. К. и др. // ЖЭТФ. 1985. Т. 88. С. 1706.

Burtscher "., Schmidt-Ott A. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1734.

Изюмов Ю.А., Медведев M. А. Теория магнитоупорядоченных кристаллов с примесями. —М.: Наука, 1970.

Прудников А. П., Брычков Ю. А.^ Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. —М.: Наука, 1983.

Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. —М.: Наука, 1981.

Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М.: ИЛ, 1954.

Ахматов С. А., Дъяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. — М.: Наука, 1981.

Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980.

В. И. Горчаков, Э. Л. Нагаев, С. П. Чижик

ФТТ. 1988. Т. 30(4). С. 1068-1075

Проанализирован физический смысл давления Лапласа Pl . Показано, что оно является чисто математическим понятием, позволяющим формально представить химпотенциал атомов в теле конечных размеров /1(凡 Р) при истинном давлении, как химпотенциал /1((х), Р + Pl) в теле бесконечно больших размеров при давлении, сдвинутом по сравнению с истинным на Pl . Соответственно давление Лапласа не может вызвать однородного сжатия физических тел. Наблюдаемая на эксперименте размерная зависимость средней постоянной решетки может быть объяснена релаксацией поверхности малых частиц.

Хотя давление Лапласа известно уже два века, до сих пор очень многие физики совершенно неправильно понимают его физический смысл. В значительной мере это связано с тем, что давление Лапласа вводится только феноменологически. В отличие от обычного давления нет никаких микроскопических расчетов давления Лапласа, сделавших бы физическую картину наглядной. Очень многие убеждены, что коль скоро существует давление Лапласа, то оно неизбежно должно сжимать физические тела с конечной кривизной поверхности. Вопрос о том, как именно действует давление Лапласа на физические тела, чрезвычайно важен для физики ультрадисперспых сред.

Существует обширная, литература, в которой используются представления о том, что малые частицы сжаты давлением Лапласа [1]. Между тем самоочевидность такого представления лишь кажущаяся. В [2] были приведены микроскопические модели, свидетельствующие о том, что однородного сжатия тел ограниченных размеров не происходит. Изменение среднего расстояния между атомами в этих телах может быть связано лишь с поверхностной релаксацией. Что же касается эксперимента, то он, скорее, свидетельствует против существования лапласовского сжатия. Правда, в большинстве случаев наблюдается сжатие малых частиц [1]. Однако нет никаких доказательств того, что это сжатие однородно, как оно должно было бы быть под действием давления Лапласа. Но, что особенно важно, в ряде случаев наблюдалось не сжатие, а расширение малых частиц [3—7]. Если бы лапласовское давление сжимало малые частицы, то сжатие должно было бы быть их универсальным свойством.

В настоящей работе, во-первых, ставится цель выяснить физический смысл давления Лапласа и доказать в рамках феноменологического подхода, что оно действительно не вызывает сжатия физических тел. Во-вторых, будет представлен расчет среднего расстояния между атомами в теле ограниченных размеров, и будет показано, что оно может быть как меньше, так и больше, чем в массивном образце. Знак эффекта зависит от условий па границе и может измениться, например, в результате адсорбции на поверхности малой частицы. Этот теоретический вывод может объяснить экспериментально обнаруженное явление; если у малой частицы поверхность чистая, то она сжимается, если же на ней происходит адсорбция, то она растягивается [3].

Общеизвестно, что давление Лапласа стремится изменить форму тел таким образом, чтобы обеспечить минимум их поверхностной энергии Eg. В случае жидкой капли принято считать, что Еs всегда пропорциональна площади поверхности

⑴⑴Es = aS,

⑴

⑴

где поверхностное натяжение а считается постоянным. Площадь поверхности капли, если исходно она была несферической, можно уменьшить двумя способами: 1) сделать ее сферической, не уменьшая ее объема; 2) сжать ее, и тогда S уменьшится даже

у сферической капли. Именно на постулате, что (1) остается верным для обоих этих процессов, и строится стандартный вывод выражения для давления Лапласа Р厶：

丛,2 — радиусы кривизны частицы. Как следствие такого подхода неизбежен вывод, что давление Лапласа должно сжимать тела с искривленной поверхностью.

Однако, как будет показано ниже, феноменологическое соотношение (1) справедливо лишь в том случае, когда изменение площади поверхности производится при неизменном объеме. При сжатии частицы равенство (1) может быть неверно даже качественно и, стало быть, из него нельзя сделать вывода о термодинамической выгодности сжатия частиц.

Ниже нами будут рассмотрены сначала некоторые микроскопические модели, а затем будет проведен общий термодинамический анализ вопроса. Приведенные далее физические соображения позволяют сформулировать нашу точку зрения следующим образом. Поверхностное натяжение влияет на равновесные свойства частиц двояко. Во-первых, оно определяет форму их поверхности, а во-вторых, поверхностное натяжение приводит к сдвигу химического потенциала тел ограниченных размеров по сравнению с бесконечно большими телами, на что ранее внимания не обращалось.

Химпотенциал тел шарообразной и цилиндрической формы можно формально выразить через химический потенциал бесконечного образца путем сдвига реального давления на величину, равную давлению Лапласа. Таким образом, давление Лапласа принимает здесь смысл чисто математического понятия, а не реальной физической силы. Но размерный сдвиг химпотенциала обнаруживают и тела с формой, при которой давление Лапласа равно нулю, например плоские пленки. Естественно, будучи чисто математическим понятием, давление Лапласа не может вызвать сжатия физических тел.

Микроскопические модели. Рассмотрим сначала следующую микроскопическую модель: свободные электроны в бесконечно глубокой потенциальной яме с объемом У и площадью поверхности S. Из-за пространственного квантования энергии электронов сдвигаются вверх. Анализ плотности электронных уровней в ква- зиклассическом пределе kL ^> 1, где L = V/S, показывает, что она представима в виде разложения по (к£)~^ [8]

< ⑶

go(E*) = —2- тцЗ/?，^ V, к = д/^ГЁ,

7Г

(аналог (3) для акустических систем был получен еще в начале века Вейлем). Из (3) сразу же получается выражение для фермиевской энергии электронов при Т = 0,

〃(厶)="3)(1 +諾｝ “(。о) = £_，(4)

где кр — фермиевский импульс,方=1 [9].

Из (4) непосредственно видно, что фермиевская энергия электронов в ограниченном объеме зависит не только от их концентрации n = N/Vно и от отношения S/N. Так как концентрация непосредственно связана с электронным давлением, тем самым доказано, что химпотенциал следует считать функцией F, Т и S/N.

Полная энергия электронного газа, получаемая из (4) интегрированием по числу атомов N, дается выражением

= I ^nV + 叫S. (5)

Выражение (5) моделирует энергию металлической частицы, если считать в нем N постоянным. Выясним размерную зависимость 旦 при этом условии. Изменение площади поверхности можно производить либо при фиксированной плотности п, меняя форму частицы, либо при фиксированной форме частицы, меняя п. В первом случае с учетом постоянства V выражение (5) с точностью до аддитивной постоянной имеет структуру (1). Этим подтверждается справедливость (1) при постоянной плотности. Если же изменение S сопровождается изменением п, то выражение (1) несправедливо и может привести даже к качественно неверным выводам. Действительно, рассмотрим размерную зависимость Е= у сферической частицы, площадь поверхности которой можно изменить только сжатием. Оба члена в (5) пропорциональны Я-2, т. е. разделение энергии на объемную и поверхностную части теряет смысл. Более того, с уменьшением площади поверхности энергия не убывает, а растет как 1/S.

Обратимся теперь к другой микроскопической модели: изотропному кристаллу со взаимодействием только между ближайшими соседями. Из этой модели прежде всего видно, что поверхностная энергия Es выражается не через площадь поверхности, а через число Ns поверхностных атомов

Es = ?Ns)7 = |s| AZ, (6)

где £ — энергия взаимодействия пары атомов, AZ — число связей с ближайшими соседями, оборванных поверхностью. Соотношение (6) эквивалентно (1) в том и только в том случае, когда при изменении S плотность п атомов не меняется, так как только тогда Ns 〜nS. Следовательно, при однородном сжатии, меняющем S, но не меняющем Ns, формула (1) опять несправедлива.

Более того, как и в предыдущей модели, она неверна даже качественно. Действительно, в этой модели все атомы как внутри объема, так и на поверхности находятся от ближайших соседей на расстоянии а°, при котором энергия межатомного взаимодействия е минимальна. Если подвергнуть частицу сжатию, в результате которого межатомное расстояние а становится меньше а°, то из-за этого, согласно (6), 石s возрастет, а не уменьшится. Чтобы уменьшить Es^ следует изменить форму поверхности, меняя тем самым и Ns. Но расстояние а° должно оставаться неизменным. Именно в этом и проявляется действие поверхностного натяжения, когда форма поверхности не отвечает минимуму 石$.

Тот факт, что независимо от размеров образца расстояние между ближайшими соседями равно а。，и означает отсутствие лапласовского сжатия в этой модели (обобщение понятия давления Лапласа на кристаллы проведено в [5]). Поскольку соображения, ведущие к существованию лапласовского сжатия, носят феноменологический характер, они должны быть применимы к любой микроскопической модели. Несогласие этих соображений с результатами анализа какой-либо частной модели свидетельствует об их неадекватности.

Термодинамический анализ. С точки зрения термодинамики лапласовское давление появляется как следствие неучета зависимости химпотенциала частицы от S. Между тем эта зависимость заведомо существует, поскольку атомы на поверхности находятся в иных условиях, чем в объеме. Формально она следует из того, что, согласно [10], термодинамические потенциалы тел ограниченных размеров должны кроме обычных пар переменных зависеть еще от S. Примером зависимости 从 от S служит выражение (4). Ниже будет показано, что если учесть зависимость 从

от S, то нет необходимости вводить давление Лапласа — можно считать давления в обеих фазах совпадающими друг с другом.

При термодинамическом равновесии форма тела должна обеспечивать минимум его поверхностной энергии. Тем самым все термодинамические потенциалы должны достигать минимума по S при произвольных значениях остальных переменных, от которых они зависят. Это условие, в частности, накладывает связь на переменные Р, Т, N, S, от которых зависит свободная энергия Гиббса Ф. Следовательно, вычисляя 从 дифференцированием ① по N при заданных Р и Т, следует считать S функцией N.

Рассмотрим сферическую частицу с радиусом R и плотностью числа атомов ni (фаза 1), находящуюся в равновесии с другой фазой 2. Тогда свободную энергию Гиббса системы можно записать в виде

Ф = Ф1(Р, Т) + ①2(「Г) + aS, ⑺

где в членах ①i и ①2 поверхностные эффекты не учитываются. Выражая S через число атомов в фазе 1, N、, и дифференцируя ⑺ по нему, получаем

где /ii(P, Т, оо) — химпотенциал образца бесконечных размеров. Что же касается @2(Р)Т)S), то он отличается от 从2(「丁, 8)на величину ~ aS / N^^ пренебрежимо малую при числе № атомов в фазе 2, стремящемся к бесконечности.

Далее, воспользовавшись соотношением d/i = dP/п (Т = const), получаем из (8), (2) в первом порядке по。厶 / Р《1

从1(「S) = /11 (Р + Pl, оо) • ⑼

Результат (9) справедлив и для кругового цилиндра, если под Pl понимать а/R^ как и при обычном определении давления Лапласа для цилиндра (2). Тем самым показано, что давление Лапласа Pl есть формальная величина, позволяющая выразить истинный химический потенциал частицы /1(0,5) при истинном давлении Р через химический потенциал массивного образца с S Т оо. Если же учесть зависимость химического потенциала от S явным образом, то для описания состояния капли в условиях термодинамического равновесия нет необходимости вообще вводить давление Лапласа.

Важен и еще один момент, отличающий введенное здесь фиктивное давление Лапласа от истинного; истинное не равно нулю только для поверхностей с ненулевой кривизной. Рассматриваемое же здесь фиктивное давление отлично от нуля и для плоских поверхностей. Действительно, рассмотрим пленку толщины L с бесконечно большой поверхностью (она равновесна, когда растягивается твердым каркасом [10]). Для нее тоже возникнет поправка к химическому потенциалу массивного образца порядка S/V. Соответственно для плоскопараллельной пленки остается в силе выражение (9) с эффективным давлением Лапласа Pl = 2а/£ («истинное» же Pl (2) равно нулю). Кстати, этот качественный результат получается и из модели (4). Отметим также, что аналогичный вывод был сделан ранее Я. И. Френкелем [11] из чисто кинетических соображений (химического потенциала, зависящего от площади поверхности, он не вводил).

Этот результат ведет к ряду физических следствий. Так, давление насыщающих паров, определяемое из равенства химических потенциалов пара и конденсированной фазы, оказывается размерно-зависящим не только в случае капель с отличной от нуля кривизной, но и в случае тонких пленок.

Модель приповерхностной деформации кристалла. Исследуем подробнее приповерхностную деформацию кристалла. Будет рассмотрена микроскопическая модель, анализ которой позволит выяснить характер деформации упругой

среды в тех условиях, когда единственным физическим механизмом, приводящим к изменению конфигурации образца, является упругая деформация. Предполагается, что среда является кристаллическим твердым диэлектриком с решеткой, свободной от структурных дефектов. В такой ситуации единственной причиной деформации образца является наличие у него границы. Для простоты мы ограничимся случаем простой кубической решетки. Относительно формы образца считается, что он представляет собой тонкую пленку ограниченную двумя поверхностями с индексами (1, 0, 0).

Ниже будет показано, что деформация структуры такой системы по отношению к объемной сводится только к поверхностной релаксации, достаточно быстро убывающей в глубь от его границы. Знак и величина деформации (т. е. относительное увеличение или уменьшение толщины пленки) при этом зависят от физических факторов микроскопической природы (в рамках данной модели — это структура потенциалов межатомного взаимодействия) и не являются универсальными. Как следствие этого, любые внешние воздействия, приводящие к модификации этих взаимодействий, могут вызвать соответствующее изменение деформации. В частности, таким внешним фактором может явиться адсорбция, влияние которой на деформацию образца может, в принципе, проявиться достаточно сильно — вплоть до изменения ее знака.

Энергия системы записывается в виде

石=丛卜产(a0)+В产(a0 +a1) +占"(a厶)+夕产(a厶—1 +a厶)+

L — 1 L — 2 、

+ e °1 (a九)+ e °2 (a九 +a九+1)) • (io) П—1 П—1 丿

Здесь an = zn^ — zn — величины межплоскостных расстояний в направлении по нормали к поверхности(2九一координаты соответствующих слоев). Образец состоит из L + 1 атомного слоя (п = 0,1... , L, L + 1),丛—число атомов в одном атомном слое. Из-за предполагаемой малости деформации структура образца устойчива но отношению к перестройке его поверхности с изменением симметрии, т. е. деформация сводится только к изменению указанных расстояний ап между атомными слоями, которые смещаются как единое целое без изменения постоянной решетки в направлениях, параллельных поверхности образца.

В выражении (10) учтено межатомное взаимодействие как ближайших соседей (потенциалы q и &"), так и более удаленных (依 и 夕产)，причем мы ограничились учетом взаимодействия только вторых по дальности соседей. Учитывается, что взаимодействие атомов в крайних атомных слоях с атомами, расположенными в ближайших к ним других атомных слоях, вообще говоря, отличается от такого взаимодействия для атомов, расположенных в глубине образца. Физической причиной этого может быть сам факт того, что атомы в крайних слоях находятся в существенно иных условиях, чем такие же атомы, но расположенные в объеме образца. Однако возможно и иная интерпретация модели, когда считается, что собственно образец составляют атомные слои с п = 1, 2 ... , L, а поверхностные атомные слои с п = =0, £ + 1 образованы частицами, адсорбированными на его поверхности.

Малость деформации означает, что изменение ап = ап — а межплоскостных расстояний по отношению к величине а в случае массивного образца малы для внутренних слоев, т. е. |ап|《а для п = 1, 2, ... , L — 1. Аналогичное предположение в отношении значений а。и а厶 не делается, так как при адсорбции эти величины отнюдь не малы. В этом случае их можно считать феноменологическими параметрами, определяемыми природой адсорбции.

Произведем в (10) разложение в ряд по малым смещениям

石-上3 (夕洋(a0)+占"(a厶)+夕产(a0 + a) +夕产(a厶+ a)-

-或 £夕i(a)-乙鼻£夕2 (2a))=

п—1n—1/

L — 1] L — 1

=△石——^S 5Z %Qn + 2 £鼻 5Z ёпт^п^т, (И)

п—1п,т—1

fn = /⑷伍九1 + ^n L_^ ,/⑷三 公(2a) 一 b产(ao + a),

а симметричная матрица gnm имеет следующие ненулевые элементы:

gu = gL-l,L-l =夕 + Q + Q(S),g22 = g33 = • • • = g 厶一2,厶一2 =夕 + 2Q,

gl2 = g23 = • • • = g 厶一2,厶一1 = Q- Здесь

Р = d(a)， Q = &'(2a), Qs =夕产(。0 + a) •

Выше при вычислении (11) учтено естественное условие d(a) + 2g$(2a) = 0, определяющее величину а постоянной решетки для случая массивного образца.

Равновесные значения ап можно найти путем минимизации энергии Е по ап с n = 1, 2, ... , L — 1:

L 一 1

〉2 Snm^m — fn •(12)

Решение этой системы производится подобно тому, как это сделано в [12]. Из (12) следует, что

期=/⑷(G^i + Gd—J (1 — (Q — Qs) (Ggi + G?i + G^_】+ G?“^尸，

где G^m =户⑺―m) (Q I _ "))—1 , а 犷—тот из корней «характеристического» уравнения

Q(" + L) + P + 2Q = 0,(13)

для которого |"|〉1. В результате для ап получается следующее выражение:

ап = С ^~п + ^~^+п^ , n =L- 1,(14)

0 = _/(a)((炉/2 + 尸/2)("年 +厂等)(Q - Qs) + Qs (1 - L) #/2)T .

(15) Когда адсорбат отсутствует, то решение по-прежнему дается формулой (14), но следует осуществить замену От。。，где

：°o=_/『)(("i/2+“T/2)e"+『^)Q):(16)

、/护三公(2a).

Формула (14) описывает деформацию, амплитуда которой убывает от границы в глубь образца по экспоненциальному закону. Как это следует из (13), соответствующий декремент зависит от отношения коэффициентов жесткости Р и Q для взаимодействия ближайших и более удаленных соседей. В зависимости от соотношения между ними характер релаксации может быть различным.

Можно выделить два случая: 1) отношение Q/Р таково, что из (13) получается, что 犷=+ ехр(х)〉0; при этом знак деформации постоянен: sgn(an) = const; 2)犷= =—exp(/i) < 0, и при этом деформация знакопеременна, т. е. sgn(an) = — sgn(an+1).

Исходя из (14) для средней деформации 5厶 собственно образца (атомные слои

L - 1

(^ = 1,2…/)，无三£ an/{L — 1), получаем следующее выражение:

=L^l 犷 1/2 —犷— 1/2 •=L^l 犷 1/2 —犷— 1/2 •(17)(17)

=L^l 犷 1/2 —犷— 1/2 •

=L^l 犷 1/2 —犷— 1/2 •

(17)

(17)

Для случая 1) из (17) находим, что

“ =-{у 卜h (x) cth (〃与个(Q - Qs) +

+ Qs sh (x) sh (x/2) sL (〃与刁 ^专1 j • (18)

В случае 2), когда релаксация поверхности имеет знакопеременный характер, получаются два различных выражения:

% =j^ (sh (从)th (从:^^) (Q - Qs) +

+ Qs sh ⑷ ch g) ch"1 G『)，(19)

если L четно, и

% =^j (sh (从)cth (从:^^) (Q - Qs) +

+ Qs sh ⑷ ch g) sir】 (/I?) ^宁)，(20)

если L нечетно.

Как видно из (17)—(20), знак средней деформации определяется коэффициентом /⑷=必(2а)—夕产(а0 + а) ,который, как это видно, зависит от существенно микроскопических характеристик образца. Отсюда, в частности, совершенно очевидна существенная зависимость величины и характера деформации тонкой пленки от того, имеется ли на ее поверхности адсорбат или нет.

Отметим также и тот факт, что знак деформации может быть в общем случае любым и для образца с чистой поверхностью. Как это видно из (16), знак деформации зависит от знака параметра /『)=& (2а), который может быть любым.

Что же касается размерной зависимости эффекта, отметим, что хотя при £》1 характер средней деформации плоской пленки имеет псевдо-лапласовскую форму,

5厶 ~ 1/L при £ т оо, причиной деформации ни в коем случае не является лапласовское давление (которое в данном случае отсутствует, поскольку радиус кривизны поверхности образца равен нулю). Таким образом, как уже говорилось выше, в том случае, если эксперимент обнаруживает размерную зависимость деформации такого типа, это отнюдь не означает, что ее причиной является давление Лапласа.

Отметим, что при достаточно больших степенях покрытия на деформацию кристалла может влиять взаимодействие между адчастицами. Эти частицы обычно отталкиваются друг от друга, в результате чего возникают касательные напряжения, стремящиеся растянуть поверхность. Если же кристалл покрывает пленка толщиной в несколько атомных слоев, то в принципе она может вызвать сжатие кристалла.

Поступила в редакцию 30 октября 1987 г.

Список литературы

Морохов И. Д- Петинов В. Л., Трусов Л. И. и др. // УФН. 1981. V. 133. Р. 653.

Морохов И. Д., Трусов Л. И., Лаповок В. Н. Физические явления в ультра дисперсных средах. — М.: Энергонздат, 1984.

Cimino A., Porta A, Valigi М. // J. Amer. Ceram. Soc. 1966. V. 49. Р. 152.

Vook R., Omooni M. // J. Appl. Phys. 1968. V. 39. P. 2471.

Moros K, Bogdanov S., Ushakov 丿.〃 React. Kinet. Cat al. Lett. 1978. V. 9. P. 109.

Гамарник M. Я. // Докл. АН УССР. 1982. Т. 4. С. 6; Тезисы докладов IV Всесоюзного симпозиума «Свойства малых частиц и островковых металлических пленок». — Киев: Наукова думка, 1985.

Rappaz М., Chatelain 4 〃 J. Phys. Ser. С. 1981. V. 14. Р. 4515.

Balian 凡,Bloch С 〃 Ann. Phys. 1970. V. 60. P. 401.

Нагаев Э.Л. // ФТТ. 1983. T. 25. С. 1439; Григорьева Л. К., Лидоренко Н. С., Нагаев Э. Л., Чиэюик С. П. // ЖЭТФ. 1986. Т. 91. С. 1050. (Статьи 4.1, 4.2 настоящего сборника.)

Ландау Л. Д.、Лифшиц Е. М. Статистическая физика. — М.: Наука, 1972; Гидродинамика. —М.: Наука, 1986.

Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1959.

Горчаков В. И.)Григорьева Л. К., Нагаев Э. Л., Чижик С. П. // ЖЭТФ. 1987. Т. 93. С.2090.

Глава 5

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ СВЕРХПРОВОДНИКИ

Новый тип автолокализованного состояния носителя заряда в антиферромагнитных полупроводниках и проблема

ВТСП

3. Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1993. Т. 103(1). С. 252-265

Предложен новый тип автолокализованного состояния носителей заряда в антиферромагнитных (АФМ) полупроводниках, который может осуществляться в материалах с высокими точками Нееля. Носитель заряда захватывается созданной им микрообластью нормально нестабильной АФМ фазы, в которой его энергия ниже, чем в стабильной. Дополнительный выигрыш в энергии возникает из-за скоса моментов подрешеток в области локализации носителя. Автолокализованные носители могут спариваться друг с другом, образуя бесспиновые комплексы, которые могут вести к высокотемпературной сверхпроводимости вырожденных полупроводников. Расчет автолокализации носителей в антиферромагнетике с шахматным упорядочением внутри областей со слоистым АФМ упорядочением показывает, что она может происходить даже далеко от границы этих двух фаз. Обсуждена возможность автолокализации носителя заряда при Т = 0 в микрообласти спиновой жидкости.

Введение. Сейчас общепризнанно, что проблема ВТСП тесно связана с проблемой магнитных автолокализованных состояний в антиферромагнитных (АФМ) полупроводниках, каковыми по существу являются почти все высокотемпературные сверхпроводники. Те же взаимодействия, которые приводят к автолокализации, могут приводить и к спариванию носителей заряда D .

До настоящего времени были предложены три различные модели авто локализации в АФМ полупроводниках. В модели де Женна [1] предполагалось, что спин одного из магнитных атомов отклонен от своего нормального положения и это отклонение поддерживается локализацией около него носителя. Однако последующий анализ показал, что такое состояние возможно лишь при совершенно фантастических значениях спина магнитного атома S, превышающих, как минимум, 10, а то и несколько десятков (см. монографию [2] и последний обзор по магнитным полупроводникам [3]).

В [4] была предложена модель автолокализации, ставшая очень популярной в самые последние годы. Для нее теперь используется термин «магнитная струна» вместо «квазиосциллятор», предложенный в [4], Эта модель годится только для АФМ полупроводников с S = 1 /2, если они адекватно описываются моделью Хаббарда в ее полупроводниковом пределе. Носитель, находящийся в струнном состоянии,

Сказанное не следует понимать в том смысле, что автолокализация носителей заряда есть единственно возможное объяснение ВТСП. Возможны и другие ее механизмы (см., например, обзор [14]).

совершает колебания относительно некоторого центра. Когда носитель уходит от центра вдоль некоторой траектории, на ней устанавливается антифазное АФМ упорядочение, повышающее обменную энергию магнитных атомов. Когда же носитель возвращается по ней, он заменяет антифазное упорядочение на нормальное.

Следует отметить, что в работах ряда авторов последних лет утверждается, что работы [4] соответствуют модели Изинга, а не Гейзенберга. Но это утверждение необоснованно: на самом деле в [4] используется совершенно естественное неравенство W》?n, где W — ширина энергетической зоны носителя,厶一температура Нееля (W — первого, a 7n — второго порядка малости по перекрытию орбит соседних атомов). Именно это неравенство позволяет рассматривать нарушение магнитного порядка, вносимое межатомными переходами, как основное, а квантовые осцилляции спинов магнитных атомов как поправки к нему. В частности, как указывалось в [4], учет квантовых осцилляций необходим для описания трансляционного движения струны по кристаллу, но он мало влияет на энергию покоящейся струны.

Третий тип автолокализованного состояния — ферронный [5] — состоит в том, что носитель создает в АФМ полупроводнике микрообласть ферромагнитной (ФМ) фазы и стабилизирует ее своей автолокализацией внутри нее. Причина, по которой фаза, захватывающая носитель, считалась ФМ, состоит в том, что именно при ФМ упорядочении энергия носителя минимальна. Обзор многочисленных последующих работ по феррону (после [5] феррон многократно переоткрывался другими авторами) дан в [2, 3]. Реально ферроны могут возникать лишь в тех случаях, когда затраты энергии на создание ФМ области малы, т. е. в материалах с достаточно низкими Т^. Именно в них они и наблюдались экспериментально.

В этой работе предлагается новый тип автолокализованного состояния носителя в АФМ полупроводнике. Его идея основана на том факте, что потенциальной ямой для носителя заряда может быть не только ФМ, но и какая-то другая фаза, например АФМ, но другого типа, чем нормально реализующаяся в кристалле. В частности, энергия носителя в слоистой АФМ фазе ниже, чем в шахматной АФМ фазе, и их разность может достигать нескольких десятых эВ. Поэтому в антиферромагнетике с шахматным упорядочением носитель заряда может автолокализоваться в микрообласти со слоистым АФМ упорядочением. Энергия квазичастицы «носитель + микрообласть иной АФМ фазы» (ниже она будет называться афмоном) D может быть дополнительно понижена, если моменты подрешеток в области автолокализации будут скошены и у квазичастицы появится дополнительный магнитный момент ). Однако большие скосы моментов исключены условием энергетической невыгодности ферронов, из-за которой, собственно говоря, и становятся возможными афмоны.

Естественно, афмонная автолокализация не предполагает низких точек Нееля. Наоборот, она возможна лишь в материалах с достаточно высокими 7n, где ферроны невозможны. Оптимальные условия для возникновения афмонов — это вблизи границы двух АФМ фаз. Однако, как будет показано ниже, они могут реализоваться и достаточно далеко от границы фаз.

При достаточно больших концентрациях носителей становятся существенными кооперативные эффекты среди афмонов. Простейший из них — спаривание афмонов, которое может иметь самое прямое отношение к ВТСП. Следует указать, что ранее для обоснования ВТСП обсуждалась возможность спаривания струн [6, 7]

Термин «афмон» имеет в корне аббревиатуру для антиферромагнетика. Более удобный и благозвучный термин «антиферрон» нельзя использовать для рассматриваемой здесь квазичастицы, поскольку он ранее был использован для обозначения квазичастиц совершенно иного типа [21].

и ферронов [8]. Ввиду того, что спаренные струны имеют нулевой спин и конечную подвижность, они могут принимать участие в сверхпроводимости. Аналогичные соображения относятся и к биферронам. Детально вопрос о спаривании афмонов обсужден в п. 5.

В отличие от биферронов, обладающих отличным от нуля, но целочисленным моментом, спаривание афмонов должно приводить к квазичастицам с нулевым спином; помещение двух носителей с противоположными спинами в основное орбитальное состояние подавляет скос моментов подрешеток у биафмона. Вместе с тем, в отличие от ферронов, спаривание афмонов становится энергетически выделенным процессом, так как образование триафмона требует помещения третьего носителя в более высокое орбитальное состояние, отделенное щелью от основного. Поэтому выполнить условия существования триафмона гораздо труднее, чем биафмона.

При еще больших концентрациях носителей возможны более сложные кооперативные афмонные состояния, соответствующие разбиению вырожденного полупроводника на две фазы. Одна из них — нормально стабильная («старая») АФМ фаза, из которой уходят все носители заряда. Вторая — нормально нестабильная («новая») АФМ фаза, стабилизируемая переходом в нее всех носителей заряда в кристалле. Такое состояние является аналогом кооперативного ферронного состояния, впервые исследованного в [9], когда кристалл разбивается на АФМ и ФМ фазы со всеми электронами проводимости, сосредоточенными в ФМ фазе. Качественно можно ожидать, что структура двухфазного состояния в обоих случаях одинакова. При относительно небольших концентрациях носителей новая АФМ фаза образует совокупность изолированных друг от друга капель внутри старой фазы, и в каждой такой капле находится несколько носителей. С ростом концентрации носителей число и размеры капель новой фазы растут, и при некоторой ее концентрации начинается ее перколяция: капли новой фазы приходят в контакт друг с другом. Одновременно кристалл из изолирующего состояния (все носители заряда заперты каждый в своей капле) переходит в высокопроводящее. После перколяции область новой фазы превращается из многосвязной в односвязную, а область старой фазы испытывает обратное превращение.

Очевидно, многосвязная фаза не может обнаруживать дальний АФМ порядок — возможен только ближний порядок в пределах одной и той же капли. Но и в односвязной фазе может не оказаться дальнего порядка из-за некоторой хаотичности размеров и расположения капель другой фазы, обусловленных флуктуациями в распределении электроактивных дефектов; односвязной фазе может оказаться энергетически выгодным разбиться на домены, обеспечивающие минимальную энергию границы раздела двух фаз.

При повышении температуры двухфазное состояние переходит в однофазное, упорядоченное или парамагнитное, в полной аналогии с плавлением кооперативного ферронного состояния, исследованным в [10]. Особый интерес представляет первый случай, когда при повышении температуры дальний АФМ порядок сначала появляется, а потом исчезает при ее дальнейшем росте. Такой возвратный АФМ дальний порядок напоминает обычно наблюдаемый в ВТСП. Естественно допустить, что и в реальных ВТСП он связан с разделением в них фаз.

Строго говоря, нельзя гарантировать, что существуют какие-то другие магнитные фазы, автолокализация носителей заряда в которых еще более энергетически выгодна, чем в новой АФМ фазе. В частности, проведенные ниже оценки показывают, что при некоторых значениях параметров более выгодна автолокализация носителей не в новой АФМ фазе, а в полностью разупорядоченных при Т = 0 областях («спиновая жидкость»). Однако не удалось строго доказать, что при тех же значениях параметров не будет еще более энергетически выгодной автолокализация в ФМ областях. Если автолокализация в спиновой жидкости действительно возможна, то в вырожденных полупроводниках она позволила бы естественным образом обосновать исчез-

новение дальнего АФМ порядка при понижении температуры образованием областей спиновой жидкости, в которых локализованы носители заряда.

Как бы там ни было, если существует какой-то другой, более эффективный механизм автолокализации, чем афмонный, это лишь подкрепляет основное утверждение работы: автолокализация носителя заряда в областях измененной фазы возможна и в АФМ полупроводниках с высокими Tn・

Зависимость энергии носителя заряда от типа антиферромагнитного упорядочения. Математически проводимое ниже рассмотрение основывается на s-d («-/)-модели. Согласно [2], она адекватно описывает не только ситуации, когда носители заряда и локализованные магнитные моменты атомов соответствуют орбитальным состояниям различного типа, но и когда они одного типа. Например, s—d-модель эквивалентна модели Хаббарда в полупроводниковом пределе, когда спин d-атомов S равен 1 /2, а интеграл s—d-обмена А стремится к —оо. Результаты t-J-модели тоже воспроизводятся в s—d-модели.

Гамильтониан s—d-модели здесь берется в виде

Н = В ^2 a^ag+Ao厶 52 (SgS^/a^ag/ —万 ^2 ‘出)(SgSg+h),⑴

где а*а, dgc — операторы s-электрона, моделирующего носитель заряда (электрон проводимости или дырку), Sg — операторы d-спинов, saai — матрица Паули, В — блоховский интеграл. Решетка магнитных атомов будет считаться простой квадратной в двумерном случае (О = 2) и простой кубической в трехмерном случае (О = 3) с постоянной а. Вектор △ соединяет ближайших соседей.

В отсутствие s-электрона энергия магнитной структуры с вектором Q дается выражением

< =⑵

где при D = 3 учитывается обмен до третьих по дальности соседей включительно D . J(Q) = 2Ji (cos Qi + cos Q2 + cos Q3) +

+ 4J2 (cos Qi cos Q2 + cos Q2 cos Q3 + cos Q3 cos Qi) + 8J3 cos Qi cos Q2 cos Q3. (3)

При 0 = 2 достаточно учесть обмен до вторых по дальности соседей:

J(Q) = 2 Ji (cos Qi + cos Q2) + 4厶 cos Qi cos Q2⑷

(Q в обратных постоянных решетки).

Согласно (3), (4) в зависимости от величин интегралов / обмена между г-ми по дальности соседями в изолирующем кристалле возможны в трехмерном случае следующие структуры: ФМ (F) с Qf = (0, 0, 0), АФМ структура Нееля (N) с Qn = =(7г, 7г, 7г) и две слоистые АФМ структуры с 1) Qi = (тг, 0, 0) и 2) Q2 = (тг, тг, 0). Тройной точкой АФМ структур является

厶=2/2 = 4厶.(5)

i) Необходимость учета нескольких интегралов обмена обусловлена тем, что афмон наиболее энергетически выгоден вблизи границы различных АФМ фаз. Граница же фаз существует, лишь если отличны от нуля несколько интегралов обмена, так как конкуренция между ними определяет стабильность той или иной фазы (см. (5), (6)).

В двумерном случае кроме ФМ возможна еще структура Нееля с Qn =(万,万) и слоистая структура (L) с Ql = (тг, 0). Границей АФМ фаз является прямая

厶=2厶.(6)

При вычислении энергии s-электрона будет считаться, что магнитное упорядочение в кристалле — скошенное АФМ. Эта энергия может быть вычислена в разных предельных случаях. В простейшем варианте спины магнитных атомов считаются настолько большими, что их можно рассматривать как классические векторы. Тогда энергия электрона с квазиимпульсом к дается выражением, легко получаемым из (1) путем спутывания операторов а^а и 碇+q :

石к- J(理—理+Q — 4s cos / + 42s2 Sid g,(7)

где затравочная энергия 石工 в случае (1) описывается простым косинусоидальным законом дисперсии

風= 26£cosk£,(8)

a g — угол между моментом подрешетки и суммарным моментом кристалла (в отсутствие скоса g = 7г/2).

Влияние квантовых флуктуации спинов на энергию носителя заряда. Сама по себе формула ⑺ не дает ответа на вопрос, какие спины можно считать классическими векторами и можно ли пренебречь их квантовыми флуктуациями. Поэтому будут еще рассмотрены по отдельности предельные случаи AS <С W и противоположный, в каждом из которых оказывается возможным учесть влияние флуктуации на энергию носителя (ГИ = W3 ~ 12 |В| — ширина s-зоны в трехмерном случае).

В первом из них, ограничиваясь двухспиновым приближением, получаем из (1) с учетом неравенства W》厶，обсужденного во Введении, из известных перестановочных соотношений для спиновых операторов:

=矶-4 夕〉。e ((S -exp (-q(g- 灯)，⑼

4N gfqwo20

где N — число магнитных атомов. Для спиновых средних и корреляторов в скошенной структуре справедливы выражения

〈Sj〉= S cos 99,(10 а)

(SgSf) = S? (cos2 夕 + sin2 夕 exp (EQ(g — f))) + SJgf.(10 6)

Первый член в (10 6) соответствует трактовке спинов как классических векторов, второй описывает квантовые поправки к ним.

В трехмерном случае, полагая во втором члене в (9) Е^а = Е^ и используя (8), получаем следующее выражение для энергии носителя вблизи дна зоны:

風。=碼。+现打(n)

石以=理-ASa cos 夕 +(12)

4 k -也k+Q)

192

Высокотемпературные сверхпроводники[Гл. 5

где

巡=42s (1-2o;osb)GM), g (風)急(13)

G(E)=”E」jo，

член Е^а соответствует спинам как классическим векторам и получается из ⑺ разложением по AS/W. Второй член,七厶,дающий квантовую по правку, вычислен с использованием (8). Очевидно, он имеет порядок 1/S по сравнению с 石％.

Однако на самом деле выражение ⑺ отнюдь не всегда имеет точность 1/S. Действительно, в двумерном случае описанная выше процедура приводит к логарифмической расходимости G. Аккуратное вычисление G при 0 = 2 представляет собой самостоятельную достаточно серьезную задачу. Но если интересоваться только разностью энергий различных АФМ фаз, то ее вообще можно не рассматривать, так как величина Е^ не зависит от типа АФМ структуры и поэтому в эту разность не входит. Квантовой поправкой можно пренебречь и при малых скосах моментов. Но зато величина G входит в разность энергий АФМ фазы и спиновой жидкости, энергия электрона в которой согласно (9), (106) дается выражением

^k = ^ - j 42s(S + 1)G (風)•(14)

В трехмерном случае можно по-прежнему заменить в выражении для G величину 石к на 石工.В двумерном же случае для G получается оценка

(15) 卜47rly2 丿' 丿

При малых числах атомов N величина G пропорциональна In N. Как следует из (11), (15), в двумерном случае картина классических спинов ⑺ справедлива при

|(21n|^|+lnS)<l.(16)

Еще более сильные ограничения налагаются на применимость (7) в пределе узких зон, W << AS, причем они не зависят от размерности пространства. При учете квантовой природы спинов результат при малых S существенно зависит от знака А. В частности, при S = 1/2 и А < 0 должна реализоваться магнитная струна (квазиосциллятор) [4]. Поэтому ниже будет рассматриваться случай А > 0. При достаточно больших S полученные ниже результаты легко обобщаются и на отрицательные А.

Согласно ⑺，при 4 т оо ширина энергетической зоны s-электрона при шахматном АФМ упорядочении в приближении ближайших соседей (8) должна обращаться в нуль независимо от величины S, что представляется с физической точки зрения крайне сомнительным. Чтобы получить корректный результат, следует принять во внимание возможность изменения направления d-спина, скоррелированного со спином s-электрона. Изменение направления d-спина должно происходить таким образом, чтобы после ухода s-электрона с атома в кристалле восстанавливалось скошенное АФМ упорядочение (в противном случае в кристалле возникала бы магнитная струна, чего, по предположению о положительности А, происходить не может).

При проведении расчета кроме неравенства W <С AS учитывается еще неравенство W》7n , упомянутое во Введении. Поэтому в качестве гамильтониана нулевого приближения берется второй член в (1). Его собственные функции, соответствующие

состояниям с наименьшей энергией 6—d-обмена, характеризуются величиной суммарного спина магнитного атома и s-электрона на нем, равного S + 1/2:

偈(7И) = (2S + 1)T/2((S + М + 1/2)1/2 b (S^ М - 1/2)唸」〃 +

+ (5-М + 1/2)1/2 b (S^ М + 1/2)%—IQ |0〉, (17)

где J(n, т) — дельта-функция дискретного аргумента: М — ^-проекция суммарного спина; все проекции спинов в (17) взяты в локальной системе координат, у которой ось n совпадает с направлением момента подрешетки, к которой принадлежит атом; |0) — вакуумная волновая функция дли s-электрона.

Ниже будет считаться, что s-электрон не возмущает упорядочения в подрешетке 1, но когда он переходит в подрешетку 2, он вызывает отклонение спина атома, на который он пришел, от его нормального направления. После возвращения s-электрона в подрешетку 1 направление отклоненного спина восстанавливается. В пренебрежении нулевыми колебаниями спинов волновая функция системы представляется в виде

中=X £ jj sin &а 回 + 1))偈(S + 1/2)①(g) + g

+ £ fl 硏口(自。(坛 + D) (У如(S + 1/2) + Z如(S - 1/2)①(h)), (18) h i—1

①(j) = IP(S『,S),

где индексы g и h нумеруют атомы соответственно первой и второй подрешеток.

Коэффициенты X, У, Z должны быть найдены из условия минимума энергии.

Используя (1), (17), (18), получаем следующее выражение для энергии s-электрона в структуре Нееля:

(19)(19)石k = 2B7kycos2^+ ；；+：-等，7к = ^£cose. i—l

(19)

(19)

Для слоистого упорядочения с Qi = (тг, 0, 0) в общем случае решение имеет слишком громоздкую форму. При 2S》1 и любых 夕 его можно представить в виде 風=26 (г\ + cos k＜殺 J、+ cos?夕)-亭，

'(20)

p

「к = £ cos ki，

В случае 夕=万/2 и произвольных спинов S соответствующая формула такова:

+ 1——,4 cos2、

石к —к ++宕I(21)

При 夕=7г/2 результат (19) совпадает с приведенным в [2]. Очевидно, формулы (19)-(21) дают энергию основного состояния гораздо более низкую, чем (7), чем

7 Э. Л. Нагаев

и доказывается их большая точность. Как видно из (19), при углах д, близких к 7г/2, ширина энергетической зоны носителя при 4 т оо остается конечной. Но она убывает с ростом спина как (2S)-1/2. Таким образом, в пределе W << AS формула ⑺ справедлива лишь при (2S)/2》1, т. е. при совершенно фантастических значениях спинов, превышающих 10. Но формула (19) становится эквивалентной (7) при ctg 夕》(2S + l)T/2.

Критерии существования афмонов. Результаты, полученные в предыдущем разделе, позволяют получить оценки глубины U потенциальной ямы для s-электрона, каковую представляет собой область слоистой АФМ фазы внутри шахматной. Эти оценки будут проведены для нескошенных моментов (д = тг/2),аих скос еще более увеличивает глубину потенциальной ямы. В области применимости уравнений (7) или (11), полагая W = AS = 3 эВ (что соответствует эффективной массе электрона т =(2 |В| а2) 1 , близкой к истинной), получаем в трехмерном случае Ui = 0,4 эВ и t/2 = 0,1 эВ соответственно для слоистых фаз 1 и 2 (см. п. 1). В двумерном случае при тех же значениях параметров глубина потенциальной ямы, соответствующей слоистой фазе L, оказывается равной 0,3 эВ. В противоположном пределе, W《AS, глубина потенциальной ямы согласно (19), (21) оказывается практически того же порядка величины: для АФМ фазы 1 она близка к (О — 1)ГИ/6, т. е. при указанных значениях параметров достигает даже 1 эВ. Однако при уменьшении спина глубина потенциальной ямы в случае узких s-зон резко убывает.

Практически приведенные значения U сравнимы с глубиной потенциальной ямы U尸 для феррона. Скорее всего, они могут достигаться в соединениях переходных элементов, а для соединений редких земель обычно неравенство AS <С W настолько сильное, что глубина потенциальной ямы составляет лишь сотые эВ. Что касается непосредственно ВТСП, то на нынешнем уровне знаний нельзя сказать ничего определенного о возможности афмонов в них. С одной стороны, хотя ВТСП часто описывают моделью Хаббарда, отнюдь не очевидно, что появление дырки на ионе Си2+ приведет к исчезновению у него спина, т. е. что модель Хаббарда, исключающая афмоны, адекватна для таких ВТСП х). Но, с другой стороны, неизвестны энергетические параметры дырки, и неясно, с какими виртуальными АФМ структурами следует сравнивать действительно реализуемые в них.

Если не учитывать скоса моментов, то расчет энергии афмона производится совершенно по той же вариационной схеме, что и расчет феррона [2, 5]. Предполагается, что область слоистой фазы внутри шахматной фазы имеет сферическую (0 = 3) или круговую (0 = 2) форму с радиусом R. Полная энергия системы складывается из энергии s-электрона внутри потенциальной ямы глубиной U и затрат энергии d—d-обмена на создание области слоистой фазы. Первая из них понижается, а вторая повышается с ростом R. Поэтому R рассматривается как вариационный параметр, находимый из условия минимума полной энергии системы. Совместно с требованием, чтобы энергия автолокализованного состояния носителя была ниже энергии свободного носителя в идеально упорядоченном АФМ кристалле, это приводит к сле-

дующему критерию существования автолокализованного состояния [2, 11]:

0,2(4, (22)

где К — затраты энергии на создание новой фазы в расчете на атом, К — ее критическое значение.

Как уже указывалось выше, при D = 3 наиболее благоприятна для возникновения афмона фаза 1 с Qi = (тг, 0, 0), если энергия на ее создание невелика, например в окрестности тройной точки (5). Достаточное условие для существования афмона состоит в том, чтобы неравенство (22) выполнялось для афмона, но не выполнялось для феррона. При W ^> AS в главном приближении по AS/W глубина Up потенциальной ямы для феррона равна AS/2. С учетом этого и (11) получается следующее выражение для отношения критических затрат энергии феррона Кр и афмона Ка :

Если AS/W = 2/3, это отношение превышает 0,25 для О = 2 и 0,35 для D = 3. Сходные оценки получаются в случае больших спинов и с использованием (19), (21). Используя для точки Нееля 厶 известное выражение J(Q)S(S + 1)/3, получаем из (3), (5), что в тройной точке

Кр = Ем (Qp) — Ем (Qn) = 12(1 + К)" 丁№

Если же 厶=0, то на границе фаз N и 2 имеем Ji = 4厶 и величину Кр вдвое меньше. Таким образом, при указанных значениях параметров или близких к ним афмон может существовать, даже если Ka = ^м(Qi)—石"(Qn) составляет несколько 7n, т. е. если параметры антиферромагнетика далеки от границы фазы Нееля.

Интересно отметить, что согласно (13), (14) парамагнитная область внутри фазы Нееля при D = 3 является для s-электрона потенциальной ямой практически той же глубины, что и область слоистой фазы 1. Можно ожидать, что существуют законы дисперсии для носителей, отличные от (8), при которых энергия носителя в спиновой жидкости даже ниже, чем в слоистой АФМ фазе. С другой стороны, имеется также область значений обменных интегралов, когда затраты энергии на разупорядочение фазы Нееля, К§/, меньше, чем на создание фазы 1. Например, при 厶=0 на границе фаз N и 2 первая из этих величин равна 3 | Ji| S2/2, а вторая в 4/3 раза больше. В связи с этим возникает вопрос, не существует ли области параметров, в которой автолокализация носителя при Т = 0 происходит не в микрообласти измененной АФМ фазы, а в области с разрушенным порядком (спиновая жидкость).

Но для автолокализации носителя в спиновой жидкости нужно, что бы она была энергетически выгодней еще и автолокализации в ФМ области. В рассматриваемом случае Кр/К§/ = 4, и согласно (22) автолокализация в области спиновой жидкости возможна, а в ФМ области запрещена если AS/W > 0,7. Поскольку, однако, формулы, использованные выше, выведены для случая AS/W《1, полученное выше неравенство, будучи маргинальным, не гарантирует возможности автолокализации в спиновой жидкости. Возможно, условия кооперативной спин-жидкостной автолокализации могут оказаться более выгодными, чем для кооперативной фер- ронной, поскольку из-за поляризации s-электронов по спину энергия электронов в ФМ области растет с концентрацией носителей заряда быстрее, чем в спиновой жидкости (см. п. 5). С другой стороны, структура выражений (14), (15) указывает на возможность того, что в двумерном случае условия для автолокализации в спиновой жидкости более благоприятны, чем в трехмерном.

Афмоны большого радиуса. Если размеры области автолокализации носителя велики, удается получить явные выражения для параметров афмона. Проводимый ниже расчет соответствует пределу W ^> AS и основан на выражениях (11), (12), хотя точно так же его можно провести в пределе W <С AS с использованием (19), (20). Здесь удобнее считать, что область слоистой фазы 1 внутри АФМ фазы Нееля имеет форму куба (0 = 3) или квадрата (О = 2) со стороной £》а. Тогда энергия квазичастицы находится путем минимизации по L и(/; следующего выражения (方=1)

尸07r2AS cos342s2 / . 21 \/ L\d z a、

где К] при D = 3 записывается с учетом трех, а при 0 = 2 — двух по дальности соседей (см. (3), (4)):

к] = [一(20 - 1)厶 + 2厶(0 - 1) 一(/1 + 2(0 - 1)厶)cos2g -

-4(。- 2)厶(1 + cos 2g)] б? (24)

По условию стабильности упорядочения Нееля в отсутствие носителя считается выполненным неравенство 厶 < 2厶 < 0, а в трехмерном случае — еще и 厶 > 4厶.

Полагая I = (J2 — ^1)*^2 и ограничиваясь малыми значениями Z, получаем из (24) в двумерном случае

cos ^ = С (1 - 4ЛС2)-1/2 V2l,(25)

где

/1 = |J1|S2.(26)

Оптимальный размер L и энергия афмона 石а даются выражениями

/2、1/4

£ = £0(1 — 4/102)1/4,£。=(胃)，(27)

石а = ^|^ +咼 О」4°2/i),(28)

?/ 87r2/

где 乜о =、/2，厶о и 乜。—соответствующие величины без учета скоса.

V та

В трехмерном случае при / т 0 соответствующие величины выражаются следующим образом: угол скоса

размер областиразмер области+ > 2T/5万8,陷5.+ > 2T/5万8,陷5.и энергия афмонаи энергия афмона(29)(30)(31)(29)(30)(31)

размер области

размер области

+ > 2T/5万8,陷5.

+ > 2T/5万8,陷5.

и энергия афмона

и энергия афмона

(29)

(30)

(31)

(29)

(30)

(31)

Как следует из (25)—(27) и (29), (30), при Z т 0, т. е. при приближении к границе фаз, размер области стремится к бесконечности, а угол скоса стремится к нулю. Этот результат физически понятен: при £ т оо стремится к нулю вероятность пребывания электрона на магнитном атоме, а значит, и молекулярное поле, действующее со стороны электрона на атом. Однако полный момент афмона и в двумерном, и в трехмерном случае остается конечным при £ т 0.

Далее, влияние скоса на энергию и размер афмона при / т 0 в двумерном случае оказывается гораздо более сильным, чем в трехмерном: при D = 3 вклад скоса в 石а и L оказывается порядка Z1/5 и потому в формулах (30), (31) не учтен. В двумерном случае с уменьшением | Ji| , т. е. 7n, энергия афмона при заданном Z возрастает, а его размер уменьшается. Интересно отметить, что при выполнении условия существования феррона (22) выражения (25)—(28) теряют смысл, т. е. афмон и феррон являются взаимоисключающими состояниями носителя заряда (строго говоря, критическое значение /1, найденное из (25)—(28), отличается множителем 〜1 от Кр в (22), что вполне естественно, если иметь в виду приближенный характер расчета и даже несколько разные геометрии областей автолокализации).

Интересно отметить, что зависимость размера афмона (27), (30) от энергии образования новой фазы и ширины энергетической зоны носителя оказывается здесь точно такой же, как у феррона [5, 11]. Как и в случае ферронов [2], поляризация решетки афмонами дополнительно понижает их энергию.

Спаривание афмонов и кооперативные афмонные эффекты. Если концентрация носителей заряда в кристалле достаточно велика, то возможно спаривание афмонов с образованием заряженных частиц с нулевым спином. Причиной его является тот факт, что помещение второго носителя в ту же микрообласть новой АФМ фазы, что и первого, позволяет сэкономить энергию d—d-обмена, необходимую для создания отдельной области для второго носителя. Однако при этом возрастает кулоновская энергия системы. Кроме того, если спины обоих s-электронов параллельны друг другу, то исчезает скос моментов подрешеток и связанный с ним выигрыш в энергии. Если же поместить электроны в состояния с антипараллель- ными спинами, то второй электрон должен находиться в состоянии с более высокой орбитальной энергией, чем первый, и потому спаривание приведет к повышению кинетической энергии захваченных электронов. Поэтому число носителей в потенциальной яме должно находиться из условия минимума полной энергии системы, и биафмоны могут быть стабильны лишь в определенном интервале ее параметров и при определенных уровнях легирования. Из-за зависимости от концентрации носителей спаривание афмонов в вырожденных полупроводниках является кооперативным эффектом.

Ниже будет рассматриваться только трехмерный случай. Первыми двумя орбитальными состояниями свободного электрона в сферической потенциальной яме радиуса R с граничными условиями Дирихле на ее поверхности являются [12]

如=&si:(任) 0^ =(2万r)一Г 航=^(32)

и

/ с (sin («2^)

(33)

где 壮忆—сферическая функция, k? = 4,4934/R.

Нетрудно убедиться, что оба s-электрона в биафмоне при Z т 0 должны находиться в состоянии 中 1 с антипараллельными спинами. Состояние 中2 понадобится ниже только для исследования стабильности биафмона относительно присоединения к нему третьего афмона. Сделанное выше утверждение об электронной конфигурации биафмона обосновывается следующими соображениями. Как следует из (29), скос моментов подрешеток вызывает понижение энергии афмона на величину ос 户/& С учетом же того, что согласно (30) R ос Z-1/5 орбитальная энергия 石2 превышает Е\ на величину ос Х”

Если рассматривается вырожденный полупроводник, то энергия системы, когда все носители спарены, должна быть сравнена с тем случаем, когда они неспарены. При этом должно быть принято во внимание, что носитель заряда взаимодействует кулоновскими силами не только с тем носителем, с которым он оказался в общей потенциальной яме, но и с остальными носителями и ионизованными дефектами. Кулоновское взаимодействие в такой системе можно приближенно учесть методом ячеек Вигнера, когда кристалл делится на сферы, в центре которых находится биаф- мон или моноафмон, а остальную часть сферы занимает компенсирующий заряд. Радиус сферы Вигнера Rw находится из условия ее электронейтральности:

(34)(34)I (万九R^v) = %

(34)

(34)

где п — плотность носителей и противоположно заряженных дефектов,之一заряд квазичастицы. С учетом (34) при условии Rw》R энергия взаимодействия квазичастицы с компенсирующим зарядом дается выражением

Qz =Qz =2 万 е2^/з 疗 &2 万 е2^/з 疗 &(35)(35)

Qz =

Qz =

2 万 е2^/з 疗 &

2 万 е2^/з 疗 &

(35)

(35)

где £ — диэлектрическая проницаемость кристалла.

В соответствии со сказанным энергия биафмона выражается следующим образом:

(36)(36)石в = 3 + ^ + 7 戸—2“ + Q2, где приняты обозначения

(36)

(36)

а =а =4тгК14тгК14 =4 =42s22W42s22W

а =

а =

4тгК1

4тгК1

4 =

4 =

42s22W

42s22W

Постоянная /3 находится вычислением кулоновского интеграла

(37)(37)

(37)

(37)

с использованием (32) и разложения [13]

x石*Ekк（出"1）匕-（&"2）,（38）

где "(/) — единичная функция Хевисайда. Согласно (37), (38), Qu = 3/2Я.

Нетрудно убедиться, что при предельно малых значениях Z биафмон энергетически невыгоден. Действительно, если пренебречь первым членом в правой части (36),

то энергия биафмона 石в + 2U], отсчитанная от дна потенциальной ямы, порядка Z1/4, в то время как соответствующая энергия для моноафмона порядка /?/5 В области несколько больших значений Z можно воспользоваться теорией возмущений по дополнительному малому параметру е2/saW. Тогда разность энергий двух моноафмонов и биафмона дается выражением

必=2Еа _ Ев =(2 — 23/5)£д _ А + 27rej(±『/2 ^5/8 _ ^ ,(39)

где

石А = I(9q3)2)1/5 ,& = 21/5丛，丛=(託

Как следует из (39), если концентрация носителей настолько мала, что последним членом в этом выражении можно пренебречь, биафмон может реализоваться, лишь если энергия на образование новой фазы К], удовлетворяет неравенству

耨 > (烏7)•(40)

При г = 10, а = 3 А, ГИ = 3 эВ критическое значение К； величины ^l, начиная с которого неравенство (40) выполнено, составляет 4 • 10-4 эВ, а при ГИ = 2 эВ имеем К； = 2 • з эВ

Необходимо, однако, еще убедиться, что триафмонное состояние не окажется еще более энергетически выгодным, чем биафмонное. При расчете энергии триафмона 石т подразумевается, что два электрона находятся в состоянии ^i, а третий — в состоянии 中2 (32), (33). Вычисление кулоновской энергии проводится при помощи (37), (38). Ввиду громоздкости получаемого выражения сразу приведем численное значение: Q12 ~ 1/R. Тогда

Ьз = Еа + 石В —石丁 = 03/5 + 1 - 43/5)后А —[24/5 + I(2 — 1/5 - 1)]-

-27r(书2/3 便/3 + ] _ 35/3).⑷)

Как следует из (41), если п мало, при любых значениях параметров триафмоны невозможны. Но они становятся возможными при больших п. Таким образом, существует интервал концентраций, внутри которого выгодно только спаривание носителей. При больших концентрациях тогда должны образовываться многоафмонные комплексы, приводящие к разделению фаз в кристалле на старую и новую АМФ фазы со всеми носителями заряда, сконцентрированными во второй из них.

Поступила в редакцию 2 июля 1992 г.

Список литературы

De Gennes Р. // Phys. Rev. 1960. V. 118. Р. 141.

Nagaev Е. L. Physics of magnetic semiconductors. — M.: Mir, 1983.

Nagaev E.L. // J. M. M. M. 1992. V. 110. P. 39.

Булаевский Л. H., Нагаев 3.〃., Хомский Д. И. // Ж9Т①.1968. Т. 54. С. 1562. Нагаев Э. Л. // Ж9Т①.1970. Т. 58. С. 1269 (Статья 1.5 настоящего сборника); Ж9Т①. 1991. Т. 100. С. 961.

Нагаев Э.Л. // Письма в Ж9Т①.1967. Т. 6. С. 484. (Статья 1.1 настоящего сборника.)

Huang К., Manousakis Е. // Phys. Rev. В. 1983. V. 36. Р. 8302.

Hirsch 丿.〃 Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 228.

Покровский В. 〃., Уймин Л В., Хвещенко Д. В. // Письма в Ж9Т①.1987. Т. 46. Приложение. С.136.

Нагаев Э. Л. // Письма в Ж9Т①.1972. Т. 16. С. 558; Кашин В. А., Нагаев Э. Л. // Ж9Т①.1974. Т. 66. С. 2105. (Статья 1.9 настоящего сборника.)

Нагаев Э. Л., Поделъщиков А. И. // Ж9Т①.1990. Т. 98. С. 1972.

Нагаев 3. Л.、Поделъщиков А. И. // ФТТ. 1981. Т. 23. С. 859. (Статья 1.14 настоящего сборника.)

Ландау Л. Д.> Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1989.

Гомбаш П. Проблема многих частиц в квантовой механике. — М.: ИЛ, 1953.

Изюмов Ю.А. 11 УФН. 1991. Т. 161. С. 2.

Примесное разделение фаз в вырожденных магнитныхполупроводниках и высокотемпературных сверхпроводниках

3. Л. Нагаев

ЖЭТФ. 1994. Т. 105(6). С. 1801-1813

Исследовано разделение фаз в вырожденных магнитных полупроводниках и высокотемпературных сверхпроводниках. Считается, что подвижность примесных атомов достаточно велика для установления равновесного распределения примеси по кристаллу. Оно может быть пространственно-неоднородным, что приводит к пространственно-неоднородным магнитному упорядочению и проводимости. В частности, антиферромагнитный кристалл может разделиться на области с увеличенной и уменьшенной концентрацией примеси, первая из которых ферромагнитна, а вторая — антиферромагнитна. В других случаях область с увеличенной концентрацией примеси может быть антиферромагнитной с другим типом упорядочения или спин-жидкостной.

Введение. Явление разделения фаз, теоретически обоснованное автором 20 лет назад для вырожденных магнитных полупроводников [1, 2], было первоначально экспериментально обнаружено в несверхпроводящих материалах. Теперь же оно стало одним из основных направлений в физике ВТСП. Рассмотрение в [1, 2] соответствует замороженному распределению донорной или акцепторной примеси по вырожденному магнитному полупроводнику (примесные атомы считаются неподвижными). Разделение фаз в этом случае происходит в результате коллективной автолокализации носителей заряда внутри областей нормально нестабильной фазы, в которой энергия носителей ниже. Это делает нестабильную фазу тоже стабильной.

Например, в антиферромагнитном кристалле могут возникать ферромагнитные области [1-6]. В других случаях внутри антиферромагнитного полупроводника могут возникать области антиферромагнитной фазы с иной структурой (например, слоистой фазы Ландау внутри шахматной фазы Нееля) или области спиновой жидкости [7].

Так как все носители заряда сосредоточены внутри областей с измененным магнитным порядком (например, с ферромагнитным) и их нет в неизмененной антиферромагнитной части кристалла, ферромагнитная и антиферромагнитная части кристалла заряжены противоположно. По этой причине возникают кулоновские силы, вызывающие перемешивание этих двух фаз. Соответственно, обе эти фазы не являются независимыми и не могут быть отделены друг от друга, будучи объединены кулоновскими силами в единую систему. В этом отношении термин «разделение фаз», обычно используемый для этого явления, неточен. Тем не менее ниже я буду использовать для этого явления термин «электронное разделение фаз».

Следует подчеркнуть, что описанное выше состояние является основным состоянием кристалла и этим принципиально отличается от разделения фаз при фазовом переходе первого рода. По существу, оно является специфическим состоянием кристаллов, напоминающим в какой-то степени кристалл Вигнера. С другой стороны, как указывалось в [3, 4], такое состояние можно интерпретировать как суперпозицию нелинейных волн плотности спина и заряда. Экспериментальные подтверждения существования электронного разделения фаз описаны в [3, 4].

Совершенно иной тип разделения фаз возможен в вырожденных полупроводниках с подвижными атомами примеси. По этой причине он наблюдаем, в основном, только при достаточно высоких температурах, хотя бывают случаи, когда и при низких температурах происходит заметная диффузия примеси квантовой природы [8]. Кроме того, диффузия может стать значительной под действием освещения [8].

Такой механизм разделения фаз может осуществляться и в немагнитных полупроводниках, но в магнитных полупроводниках он должен иметь определенную специфику. Этот тип состоит в спонтанном появлении неоднородного распределения примеси по кристаллу, ведущем к неоднородности его электрических свойств. Впервые этот эффект был обнаружен экспериментально в вырожденном Si: Li [8], а затем в GeTe [9] с избыточным Те. Его теоретическая интерпретация была предложена в [10]. Она основана на том, что примесные донорные атомы ведут себя как обычные одновалентные атомы, стремящиеся образовать металл. Единственная разница состоит в ренормировке электронных заряда и массы, состоящей во введении эффективной массы и диэлектрической проницаемости.

Существует плотность примесных атомов, при которой энергия металла, образованного примесными атомами (на атом примеси), минимальна. Очевидно, если истинная средняя плотность примеси в кристалле ниже этой минимальной плотности, то при Т = 0 примесным атомам энергетически выгодно сконцентрироваться внутри определенной области кристалла, обеспечив там оптимальную плотность. Реально это уже означает разделение фаз в кристалле как в целом. Но анализ, проведенный в [10], показал, что при температурах, сравнимых с энергией Ферми, свободная энергия примесного металла на атом достигает одного и того же минимального значения при двух различных значениях плотности примеси. Это означает, что сам примесный металл может быть разделен на две фазы с различными плотностями. Такое разделение фаз — истинное в том смысле, что обе фазы не связаны друг с другом кулоновскими силами и потому могут быть отделены друг от друга.

В рассматриваемом случае, в отличие от электронного разделения фаз, перемешивание фаз не может быть вызвано кулоновскими силами, поскольку таковых нет. Тем не менее перемешивание фаз возможно из-за тенденции понизить упругие напряжения в системе [8, 9]. Согласно теории [11] области каждой из фаз должны иметь плоскопараллельную геометрию, что наблюдалось экспериментально в ЕиТе.

По мнению автора этой статьи, поскольку упругие свойства обеих фаз в полупроводнике слабо отличаются друг от друга, совершенно неочевидно, что именно они должны определять геометрию двухфазного состояния. Она может быть и термоди- намически-неравновесной, будучи определяемой кинетикой роста фаз. Образование областей единой фазы может определяться распределением зародышей, и многочисленные области этой фазы являются тогда аналогом поликристалла. Во всяком случае, и термодинамически-равновесные, и неравновесные размеры однофазных областей при примесном разделении фаз должны намного превышать их размеры при электронном разделении фаз.

Примесное разделение фаз в магнитных кристаллах будет иметь определенную специфику, лишь если оно происходит при температурах существенно ниже температуры магнитного разупорядочения. Такая ситуация, безусловно, возможна в магнитных полупроводниках с высокими температурами разупорядочения, к которым принадлежат ВТСП и родственные соединения. В них двумерные антиферромагнитные корреляции наблюдаются даже при температурах, превышающих 1000 К. В то же время избыточные атомы кислорода, играющие роль акцепторов, могут оставаться подвижными до 200 К [12] (см. также [13]) D .

В некоторых случаях разделение фаз в таких материалах, безусловно, соответствует неоднородному распределению примеси. Например, в La2CuO4+j ниже 265 К существуют две фазы с b = 0,01 и b = 0,06. При более высоких температурах

х) Автор благодарен рецензенту, указавшему, что в УВа2СизОб+® диффузия кислорода по кислородно-дефицитным плоскостям практически отсутствует ниже комнатной температуры. Выживают только кислородные перескоки на ближние расстояния, устанавливающие ближние корреляции.

кристалл становится однородным [12]. Появление новой фазы (ферромагнитной) было обнаружено в ВТСП Nd?—冗Се冗Си(57Со)()4 [14]. В ней сверхпроводящие области неферромагнитны, а ферромагнитные области несверхпроводящи.

В принципе, примесное разделение фаз может реализоваться и в магнитных полупроводниках других типов. Возникновение двух различных магнитных фаз, связанных с различием в локальных плотностях примеси, энергетически выгодно, если разность между энергиями этих фаз невелика. Это вовсе не обязательно означает низкую температуру магнитного разупорядочения: достаточно, чтобы в пространстве обменных интегралов рассматриваемая система была не очень далеко от границы между фазами. Электронное разделение фаз на две антиферромагнитные фазы в окрестности их границы рассмотрено в [7]. Если же кристалл разделяется на ферромагнитную и антиферромагнитную фазы, то появление ферромагнитной фазы внутри высокотемпературного неелевского антиферромагнетика сильно облегчается, если обменный интеграл между первыми по дальности соседями мал по сравнению с интегралом между вторыми по дальности соседями.

С другой стороны, равновесное примесно-магнитное разделение фаз возможно даже в материалах с низкой температурой магнитного разупорядочения, если фаза, появляющаяся в результате локального увеличения плотности примеси, имеет высокую температуру разупорядочения. Наконец, неоднородное распределение примеси, установившееся при высоких температурах, когда подвижность примеси велика, но магнитный порядок разрушен, может оставаться равновесным и при низких температурах, когда примесь заморожена, но магнитный порядок существует. Если же это не так, и распределение примеси при низких температурах неравновесно, то на фоне неоднородного распределения примеси может произойти электронное разделение фаз.

Сам факт, что разделение фаз возможно не только в ВТСП, но и в несверхпроводящих материалах, подразумевает, что нет прямой корреляции между разделением фаз и сверхпроводимостью. Тем не менее можно заключить, что разделение фаз облегчает появление ВТСП, создавая для нее оптимальные условия.

Следует также указать, что реально разделение фаз происходит при температурах существенно выше температуры сверхпроводящего перехода. Поэтому наличие или отсутствие у материала сверхпроводящих свойств не должно сказываться на явлении разделения фаз в нем.

Следует указать, что некоторую путаницу в проблему разделения фаз внесла работа [5], авторы которой, по-видимому, не были знакомы с предыдущей деятельностью в этой области. Эмери и др. [15] в реальности рассмотрели электронное (дырочное) разделение фаз без учета кулоновского взаимодействия, которое, как указывалось выше, играет принципиально важную роль в этом явлении. Они попытались обосновать такой подход диффузией ионов с компенсирующим зарядом в области, где сосредоточены дырки. Но такой механизм кулоновской компенсации как раз и есть примесное разделение фаз. Оно требует совершенно иного подхода, чем в [15], который должен состоять в обобщении подхода, примененного в [10]. Кстати, ферронное состояние, открытое в [16] и переоткрытое в [15], в t-J-модели, использованной в [15], менее энергетически выгодно, чем магнитная струна [17].

Примесный металл, сохраняющий признаки магнитного упорядочения. В современной литературе принято описывать свойства ВТСП и родственных им соединений с помощью t-J-модели. Но для этой цели может быть использована общая s—d-моделъ. Согласно [13], если носители заряда и локализованные моменты d-типа, то она эквивалентна t-J-модели. Ниже будет рассмотрен другой ее предельный случай, соответствующий слабой s-d-связи. Он непосредственно применим к полупроводниковым соединениям редкоземельных элементов, но, возможно, годится и для ВТСП.

Можно также надеяться, что некоторые результаты, полученные в этом пределе, остаются качественно верными и в предельном случае, соответствующем t-J-модели (см. п. 5).

Чтобы обосновать возможность применения стандартной s-cZ-модели к электронным ВТСП, следует заметить, что наличие электрона проводимости означает замену одного из ионов Си++ на ион Си+ в плоскостях Си-О. Но ион Си+ не обязательно находится в состоянии 3d10. Состояние 3d94sl может оказаться более энергетически выгодным, так как интеграл перекрытия Bs между s-орбитами соседних атомов превышает интеграл 6d между d-орбитами этих атомов. Соответственно, может оказаться, что минимальная энергия s-зоны, даваемая равенством Es = Ks — z\Bs \ ниже дна d-зоны Ed = К& — z 16dl , хотя «атомная» s-энергия Ks выше ее(У-анало- га Kd (n — координационное число).

Во всяком случае, состояние делокализованного электрона проводимости должно отличаться от состояний локализованных(7-электронов из-за s-cZ-гибридизации. С ростом давления вес «-состояния должен возрастать, так как орбитальное перекрытие растет с давлением быстрее, чем изменяется «атомная» энергия. В тех случаях, когда состояние электрона проводимости — преимущественно s-типа, приближение слабой s—d-связи заведомо обосновано. Для дырок оно может выполняться, если они движутся по атомам кислорода.

Для определенности будет рассматриваться изотропный трехмерный случай. Поскольку примесный металл является аналогом щелочного металла, в котором электронные состояния близки к состояниям свободных электронов, состояния электрона в примесном металле должны быть близки к зонным состояниям кристалла, играющего роль матрицы. Соответственно, для металла будет использоваться модель желе. Разумеется, она не может дать точных оценок энергии связи примесного металла. Но она позволяет установить для примесного металла ряд закономерностей, таких как зависимость энергии и плотности примесного металла от намагниченности и т. д.

Гамильтониан s-cZ-модели берется в виде

"=£ 風也& 一 ^ £(Sgs)“，exp (分(k - k‘)g) а^ахь-

-；£/(g-f)SgSf + "a ⑴

где а%ь，aka — это операторы рождения и уничтожения s-электрона с квазиимпульсом к и проекцией спина о; Sg — оператор d-спина атома с номером g; s“，— матрицы Паули; Nt — полное число атомов в кристалле. Член, билинейный по спиновым операторам, будет называться ниже гамильтонианом прямого обмена между магнитными атомами, хотя в действительности он скорее соответствует сверхобмену между магнитными атомами. Член Нс описывает электростатическое взаимодействие в системе электронов и ионизованных доноров.

Ниже, как чаще всего делается в s—d-м0rцели, будет считаться, что энергия s-d-Q6- мена AS (S — величина d-спина) мала по сравнению с шириной зоны проводимости W (t-J-модель соответствует противоположному предельному случаю W《 《/1|S|, А < О, S = 1/2 [3]. Он будет обсуждаться только качественно. Считаются выполненными следующие условия, типичные для вырожденных полупроводников и вытекающие из относительно малой концентрации п носителей заряда в них:

2 1/3

(2)

где 〃 一 энергия Ферми, н — диэлектрическая проницаемость кристалла. Все результаты, полученные ниже, не зависят от знака А. Поэтому ниже А будет считаться положительной, а при А < 0 величина А должна быть заменена на |川.

По существу рассматриваемой проблемы следует считать заданными полное число донорных атомов N и полный объем кристалла 匕• Задача состоит в нахождении оптимального объема V той части кристалла, в которой должна сконцентрироваться примесь, чтобы обеспечить минимальность энергии системы (формально рассмотрение соответствует Т = 0 из-за условия Т《〃).

В этом параграфе будет рассмотрен случай, когда электроны проводимости не меняют типа магнитного упорядочения в кристалле. Следует иметь в виду, что ренормировка полной энергии s-электронов, вызванная s—d-обменом, пропорциональна их полному числу N и потому может рассматриваться как несущественная константа. Тогда для антиферромагнитного кристалла энергия примесного металла существенно ниже точки Нееля в модели желе дается выражением [18]

% = 3 -厘小4/3 (m/3 + Nl/3)：(3)

/「3(ЗМ)2/310m/「3(ЗМ)2/310mгде приняты обозначения:

/「3(ЗМ)2/3

10m

/「3(ЗМ)2/3

10m

°В = 2те°В = 2теa =6 = 0,05647 с=

°В = 2

те

°В = 2

те

\7г/ 4еьавав

{т — эффективная масса электрона проводимости).

Первый член в (3) соответствует кинетической энергии электронов проводимости, второй член — энергии обмена между электронами с параллельными спинами, а третий член — энергии корреляции между электронами с антипараллельными спинами.

Дифференцирование Е^ по V ведет к следующему результату для оптимальной плотности примеси ^а и энергии примесного металла на примесный атом Да = =

⑷⑷= 0,145а-1; Аа = -0,0774.

⑷

⑷

Тот же результат остается в силе для кристалла и при температурах существенно выше точки Нееля. Следовательно, если подвижность примеси велика в парамагнитной области, но очень мала ниже точки Нееля, все равно низкотемпературное равновесное распределение примеси достижимо благодаря диффузии примеси при высоких температурах. Если средняя концентрация примеси п меньше 沙а, то примесный металл должен занимать объем (п/沙а)%・ Эта часть кристалла должна быть высокопроводящей, но остальная часть кристалла должна быть изолирующей.

Хотя обе части кристалла при Т = 0 имеют одинаковое антиферромагнитное упорядочение, при повышении температуры упорядочение в области примесного металла должно разрушаться быстрее, чем в изолирующей части кристалла, поскольку при низких концентрациях электроны проводимости стремятся разрушить антиферромагнитное упорядочение [3]. По этой причине при повышенных температурах разделение фаз по плотности примеси и электропроводности должно сопровождаться разделением фаз по магнитным свойствам. В частности, изолирующая часть кристалла может быть антиферромагнитной, а высокопроводящая часть — парамагнитной.

Но совсем другие результаты получаются для ферромагнитных кристаллов с учетом того факта, что в соответствии с (2) электроны проводимости полностью поляризованы по спину. По этой причине их кинетическая энергия выше и обменное взаимодействие сильнее, чем в антиферромагнитном кристалле, а корреляционная энергия здесь отсутствует. Полная энергия примесного металла в ферромагнитном

кристалле Ер дается выражением

厂 _ 22/3后n5/321/заМ/3

F —у2/3yl/З

Как следует из (5), оптимальные плотность ^р и энергия на атом Ар, отсчитанная от (—AS/2), даются выражениями

4

沙 = 0,102а-1; Af = —0,0475，^.(6)

4万方се

Согласно (6) и (4) оптимальная плотность в ферромагнитном состоянии значительно ниже, чем в парамагнитном. Она может быть достигнута только диффузией примеси ниже точки Кюри. Представляется довольно необычным, что если начать с низких температур и затем нагревать кристалл, то объем примесного металла должен увеличиться втрое (гигантское отрицательное термическое расширение).

В случае ферромагнитного кристалла, поскольку электроны проводимости стремятся поддержать ферромагнитное упорядочение, при 八 < 沙^ электроны, сконцентрированные в области примесного металла, стремятся поддержать ферромагнитное упорядочение в ней. По этой причине при промежуточных температурах часть кристалла, обогащенная примесью, может быть ферромагнитной, а остальная часть парамагнитна. Следует заметить, что энергия связи примесного металла в ферромагнитном кристалле значительно меньше, чем в антиферромагнитном кристалле. Это означает, что вероятность обнаружить примесное разделение фаз в ферромагнитном кристалле значительно ниже, чем в антиферромагнитном кристалле.

Нестабильность примесного металла при неколлинеарном антиферромагнитном упорядочении. Теперь будет рассмотрен случай, когда образование примесного металла внутри антиферромагнитного кристалла приводит к появлению ферромагнитного порядка в соответствующих областях кристалла. Электроны проводимости, осуществляющие косвенный обмен между локализованными магнитными спинами, стремятся установить ферромагнитный порядок. Но этот обмен, безусловно, носит негейзенберговский характер, поскольку неравенство 〃》AS, обеспечивающее гейзенберговский обмен, здесь заменено на противоположное. В результате существует интервал электронных концентраций, внутри которого нестабильны и антиферромагнитное, и ферромагнитное упорядочения. При AS《〃 этот интервал стягивается в точку [3].

В качестве возможного типа стабильного упорядочения в этом интервале, может быть рассмотрено неколлинеарное антиферромагнитное упорядочение. В этом интервале его энергия безусловно ниже энергий обоих коллинеарных состояний [3]. Изменяя угол 2修 между моментами магнитных подрешеток, можно перейти непрерывно от антиферромагнитного к ферромагнитному упорядочению.

Пользуясь (1) и пренебрегая корреляционной энергией электронов, во втором порядке по {AS/W) можно представить энергию неколлинеарной двухподрешеточной системы в виде

石nc = V(2?/% (八：/з + 疟б)) — ^^ (n+ — n_) cos v — 2i/% (八?‘ + n^^ —

—^^ sin2 v — (cos 2v + 1), (7)

где J = z/, / < 0 — интеграл прямого обмена между ближайшими соседями. Используется следующее обозначение для интеграла косвенного обмена:

⑻⑻=42s2九―fk+Qм 。〜42s2

⑻

⑻

Q _2上石к _石k+Q〜gQ，gQ〜4 (石Q -石о) •

Здесь /к — фермиевская функция распределения для s-электронов в нулевом порядке по AS/W^ Q — вектор магнитной структуры, одноэлектронная энергия Eq соответствует дну зоны проводимости. Обозначение и используется для объема элементарной ячейки, предполагаемой простой кубической.

Плотности п+ и п_ электронов проводимости со спинами вверх и вниз должны быть определены из условия равенства их химических потенциалов:

AМ (6万2几+)"3 _ Am(6м 几 JAМ (6万2几+)"3 _ Am(6м 几 J2/32/32ш2ш2m2mn+ + n_ = n, M = S cos v.n+ + n_ = n, M = S cos v.⑼⑼

AМ (6万2几+)"3 _ Am(6м 几 J

AМ (6万2几+)"3 _ Am(6м 几 J

2/3

2/3

2ш

2ш

2m

2m

n+ + n_ = n, M = S cos v.

n+ + n_ = n, M = S cos v.

⑼

⑼

Теперь будет доказано, что при неколлинеарном антиферромагнитном упорядочении оптимальная концентрация примеси не может быть достигнута. Чтобы убедиться в этом, можно использовать разложение Ландау, соответствующее концентрационному фазовому переходу из ненамагниченного в намагниченное состояние. Как следует из (7), (8) и (3), энергия неколлинеарного упорядочения может быть представлена следующим образом:

石 NC = EAt + V где石 NC = EAt + V гдеЗД2п16/1ЗД2п16/1(10)(10)石A亡=石A +石A亡=石A +JS2% SgNJS2% SgN2222м =м =(зМ"/з(зМ"/з2m2m

石 NC = EAt + V где

石 NC = EAt + V где

ЗД2п16/1

ЗД2п16/1

(10)

(10)

石A亡=石A +

石A亡=石A +

JS2% SgN

JS2% SgN

2

2

2

2

м =

м =

(зМ"/з

(зМ"/з

2m

2m

(ID(IDМинимизируя энергию (9) по М при фиксированном п, получаем

(ID

(ID

石NC =石a亡一丿从a （八 一 nA）2 "（八 一 nA） /4nа,

где 犷(力)—ступенчатая функция Хевисайда, 〃а = 〃(八а) и концентрация пд, при которой появляется намагниченность, дается выражением (члены ос g и а опущены)

(12)(12)(3万2)2 29 IJI3"at 33不炉m3 .

(12)

(12)

Вычисление производных от E'nc по V показывает, что при значении концентрации пе = 4,7па, когда достигается экстремум Enc, реализуется не минимум, но максимум энергии.

Вывод о нестабильности примесного металла при скошенном антиферромагнитном упорядочении, вытекающий отсюда, можно было бы поставить под сомнение из-за большого значения 八后,при котором разложение (9) может быть уже несправедливым. Строго говоря, следовало бы рассмотреть случай таких больших п, когда достигнута полная поляризация электронов по спину {АМ > 〃).

В этом случае согласно (5),⑺ выражение для энергии имеет вид

石NC =石F石NC =石FS2NG Л (Апу^S2NG Л (Апу^『几2必2 JS2M16|J|2『几2必2 JS2M16|J|2(13)(13)

石NC =石F

石NC =石F

S2NG Л (Апу^

S2NG Л (Апу^

『几2必2 JS2M

16|J|2

『几2必2 JS2M

16|J|2

(13)

(13)

Как следует из (12), эта энергия максимальна при

ПЕ = |22/3бП^

что подтверждает сделанное выше заключение.

Формально возможны ситуации, когда оптимальная плотность ^а (4) для примесного металла в антиферромагнитном кристалле превышает граничное значение пд (11), при котором антиферромагнитное упорядочение теряет стабильность. С другой стороны, значения ^р (6) могут оказаться формально ниже границы стабильности ферромагнитного состояния

пп_ 4|J|_ 4|J|(14)(14)

п

п

_ 4|J|

_ 4|J|

(14)

(14)

определенной из (7) приравниванием и нулю.

Это означает, что минимумы энергии внутри областей стабильности антиферромагнитного или ферромагнитного упорядочений отсутствуют и наименьшие значения энергии примесного металла достигаются на соответствующих границах стабильности коллинеарного упорядочения. Поэтому если средняя концентрация доноров п меньше чем пд, а последняя меньше, чем ^а, то образуется примесный металл с плотностью пд- В остальной части кристалла примеси не будет вообще. Следует иметь в виду, что в парамагнитной области минимум энергии при ^а имеет четкий физический смысл. Это означает, что при повышении температуры примесный металл должен изменять свою плотность от ^а до 八а・

Совместное примесное и ферро-антиферромагнитное разделение фаз. Здесь будет продолжено исследование возможности разделения примесного металла на фазы с различной плотностью и одновременного возникновения ферромагнитного упорядочения внутри антиферромагнитного металла. При рассмотрении этой проблемы в энергии примесного металла необходимо учесть затраты энергии прямого обмена D = \ J\ S2 на замену антиферромагнитного упорядочения ферромагнитным. Тогда равновесная плотность примеси должна быть определена из условия минимума энергии

(15)(15)石FA =石E +空一

(15)

(15)

(16)(16)Как следует из (5), (14), если энергия обмена между s-электронами превышает энергию прямого обмена между магнитными атомами, то в первом приближении по D оптимальная концентрация примеси иу^ дается выражением

(16)

(16)

“А = ^F ^——2—a о

Как следует из (15), оптимальная плотность 沙队 превышает 沙尸(6).

(17)(17)Еще сильнее это неравенство выражено в противоположном предельном случае сильного d—d-обмена. В первом порядке по а получается:

(17)

(17)

“А = ^FA + ^FA，

В последнем случае в нулевом приближении по а энергия на примесный атом дается выражением

л以 = (20)2/5川/5 (厂 1)一芋.(18)

Возможность совместного примесно-магнитного разделения фаз есть следствие существования двух минимумов энергии: одного при антиферромагнитном и другого при ферромагнитном упорядочении. Обсудим вначале случай, когда более глубокий минимум энергии соответствует ферромагнитному упорядочению, независимо от того, лежит ли он внутри интервала стабильности ферромагнитного упорядочения или на границе его стабильности.

Согласно (13), (16), первый из этих двух случаев в нулевом приближении по а осуществляется, если D меньше определенного критического значения порядка (71S)5/2/n/3/2 (то же самое следует и из (17)). Следует указать, что этот критерий очень близок к условию, при котором возможна автолокализация электрона проводимости внутри ферромагнитной области, возникающей в антиферромагнитном полупроводнике (образование феррона [16, 3]).

В рассматриваемом случае, если плотность п меньше, чем i/рм = тах{пр,沙fa}, все примесные атомы концентрируются в области с ферромагнитным упорядочением, занимающей тг/^рм-ю часть кристалла. Остальная часть кристалла, в которой примесь отсутствует, является антиферромагнитной и изолирующей. В этом отношении ситуация напоминает ситуацию при электронном разделении фаз [1-6], хотя взаимное заряжение фаз и их перемешивание, вызванное им, в нанометровом масштабе здесь отсутствует.

Допустим теперь, что минимум энергии при антиферромагнитном упорядочении глубже, чем при ферромагнитном. Будет рассмотрен случай, когда средняя концентрация п превышает плотность l/am = min{^A,八а}, при которой достигается минимум. Если п лежит между минимумом энергии и границей стабильности антиферромагнитной фазы (пд > п > °а), то будет считаться, что 石а (八)> ^fa(^fm)- Когда же п лежит внутри интервала нестабильности коллинеарных фаз от пд до 八吃 допущений такого типа можно не делать. В обоих случаях должно произойти разделение образца на две фазы. В одной из них упорядочение антиферромагнитно, в другой — ферромагнитно. Концентрации примеси《а 以 Cf в них не совпадают с l/am и L/рм и определяются условиями равенства химических потенциалов и давлений в обеих фазах:

殺=X &) - "fa (G) + Са設-金競=0,

(19)

Используя квадратичные аппроксимации для энергий на атом в антиферромагнитной и ферромагнитной фазах Ла и Ард вблизи и\ и 沙fa, легко получить явные выражения для искомых концентраций, а следовательно, и объемов этих фаз Уд, Ур, и чисел атомов в них Nz Np.

Принципиальное различие между предыдущим и обсуждаемым сейчас случаями состоит в том, что здесь высокопроводящей является не только ферромагнитная, но и антиферромагнитная фаза. Это есть прямое следствие того обстоятельства, что ферромагнитное упорядочение менее энергетически выгодно, чем антиферромагнитное. Поэтому в ферромагнитной области оказываются сконцентрированными не все атомы примеси, а только часть из них. Однако же, поскольку концентрация примеси в ферромагнитной фазе выше, чем в антиферромагнитной, то и проводимость первой из них должна быть выше, чем второй.

Сосуществование антиферромагнитной фазы с другой антиферромагнитной или спин-жидкостной фазой. Исходная антиферромагнитная фаза может сосуществовать не только с ферромагнитной фазой, но и с другими фазами, в которых энергия носителей заряда ниже. В полной аналогии с электронным

210 Высокотемпературные сверхпроводники [Гл. 5 разделением фаз [7] возможно примесное разделение фаз с образованием новой антиферромагнитной или спин-жидкостной фазы.

Для примера в качестве исходной фазы может быть рассмотрена шахматная антиферромагнитная фаза с вектором структуры Q = (тг, тг, тг), а в качестве фазы, возникающей в результате легирования, — слоистая антиферромагнитная фаза с вектором структуры Q' = (тг, 0, 0). Тот факт, что энергия электрона проводимости в слоистой фазе ниже, чем в шахматной, очевиден из (7), (8).

Условия для образования слоистой фазы внутри шахматной особенно благоприятны, когда в пространстве обменных интегралов нелегированный кристалл находится в окрестности границы между этими фазами. Это возможно, когда прямой обмен между вторыми и третьими по дальности соседями сравним по величине с обменом между ближайшими соседями. В рассматриваемом случае /1 < 0 должен быть близок к 2,2, и /1 > 4/3 [7]. Здесь 1п — интеграл прямого обмена между n-ми по дальности соседями.

В отличие от ферромагнитного упорядочения, которое можно получить из шахматного упорядочения непрерывным поворотом моментов подрешеток, слоистое упорядочение не может быть получено из шахматного упорядочения путем непрерывного преобразования. Поэтому кривая зависимости энергии примесного металла от плотности представляет собой просто суперпозицию кривых, соответствующих обоим типам упорядочения. Кривая для шахматного упорядочения описывается уравнением (3), а кривая для слоистого упорядочения уравнением

Е； = Еа + ^ - [g m- g(Q)] N, (20)

где 0 = (-4厶+8/2»2.

Анализ уравнения (20) проводится в точной аналогии с анализом (14). Совершенно аналогично может быть доказана возможность сосуществования высокопро- водящих областей с шахматным и слоистым упорядочениями, первая из которых с пониженной, а вторая с повышенной концентрацией примеси.

Как обсуждалось в [7], энергия s-электрона в магнитно-разупорядоченной спин- жидкостной фазе близка к энергии внутри слоистой антиферромагнитной фазы. В частности, они почти совпадают, если взять электронную энергию 石к в приближении ближайших соседей. С другой стороны, энергия Z)sl, израсходованная на разупорядочение спинов, может быть существенно ниже энергии D\ затрачиваемой на перестройку шахматной фазы в слоистую. Например, при /3 = 0 на границе фаз между слоистой и шахматной фазами Dsl = 3/40'. Поэтому при описании спиновой жидкости в (20) следует заменить Dr на Psl и g(Q') на

gSL = —4252(2^)-3。](瓦-咼尸 dk. (21)

В случае одноэлектронного разделения фаз не удается однозначно выяснить, действительно ли может шахматный антиферромагнитный порядок сосуществовать со спиновой жидкостью: возможно, в этом случае еще более энергетически выгодно сосуществование с ферромагнитным упорядочением [19]. Чтобы ответить на этот вопрос однозначно, следует выйти за рамки аппроксимации, использованной в [7, 19] и в этой работе. Во всяком случае, несомненно, что при многоэлектронном примесном разделении фаз условия для решения этого вопроса в пользу спиновой жидкости более благоприятны, чем при упомянутой выше автолокализации в ней отдельного электрона.

Действительно, энергия связи примесного металла в случае спиновой жидкости выше, чем в случае ферромагнитного упорядочения из-за отсутствия поляризации электронов проводимости по спину (ср. выражения ⑷ и (6)). Поэтому можно наде-

яться на возможность примесного разделения фаз, сопровождаемого возникновением спиновой жидкости внутри антиферромагнитного полупроводника.

Специальный случай сосуществования антиферромагнитных фаз совместно с фазами примесного металла может осуществляться в предельном случае s—d-модели W « |Л| S, Л < О, S = 1/2, соответствующем t-J-модели. По мнению многих, эта модель подходит и для дырочных, и для электронных ВТСП. Если в них наблюдается шахматное антиферромагнитное упорядочение, то носители заряда в них находятся в специфических автолокализованных состояниях, впервые предложенных в [17] и известных сейчас в литературе под названием магнитная струна. Однако многострунная проблема все еще не рассмотрена, что затрудняет построение последовательной теории разделения фаз в таких системах.

Тем не менее некоторые качественные выводы могут быть сделаны уже сегодня. Как показано в [20], энергия струны внутри слоистой фазы ниже, чем внутри шахматной фазы. По этой причине, если система близка к границе фаз и стабильное упорядочение в нелегированном кристалле — шахматное, то струны могут вызвать примесное разделение фаз на шахматную и слоистую. Последняя стабилизируется магнитными струнами внутри нее.

Поступила в редакцию 2, декабря 1993 г.

Список литературы

Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 558. (Статья 1.8 настоящего сборника.)

Кашин В. А., Нагаев Э. Л. // ЖЭТФ. 1974. Т. 66. С. 2105. (Статья 1.9 настоящего сборника.)

Nagaev Е. L. Physics of magnetic semiconductors. — M.: Mir, 1983.

Нагаев 9〃., Подельщиков А. И. // ЖЭТФ. 1990. Т. 98. С. 1972.

Nagaev Е. L., PodeVshchikov А. I. // Phys. Lett. А. 1990. V. 114. Р. 473.

Nagaev E.L. // J. Mag. Mag. Mat. 1992. V. 110. P. 39.

Nagaev E. L., PodeVshchikov A. I. // Physica C. 1993. V. 205. P. 91; Нагаев 9. Л.〉Подельщиков А. И. 11 ЖЭТФ. 1993. T. 104. C. 3643.

Kastalskii A. A., Maltsev S. B. // Sol. St. Comm. 1975. V. 17. P. 107; Венгалис Б. Ю.^ Кастальский А. А., Мальцев С. Б. // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 22. С. 7.

Vengalis В., Kastalskii А.А.// Sol. St. Comm. 1979. V. 30. Р. 13; Венгалис Б. Ю., Кастальский А. А. // ФТТ. 1978. Т. 20. С. 2753.

" J. Я., Rose Shore Н. В., Zaremba Е. // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. Р. 354.

Ройтбурд А.Л. // УФН. 1979. Т. 113. С. 69; Хачатурян 4 r Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. — М.: Наука, 1974.

Hammel 夕.，Reyes A., Cheong S.-W., Fisk Z., Schirber J. // Phys. Rev. Lett. 1993. T. 71. C.440.

Phase separation in cuprate superconductors / Ed. by K. Mueller and G. Benedek. — Singapore: World Scientific, 1992.

Chechersky V., Kopelev N., Beom-hoan O. et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3355.

Emery У., Kivelson S., Lin ". // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 475.

Нагаев 9 〃. 〃 Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 6. С. 484. {Статья 1.1 настоящего сборника.)

Булаевский Л. Н.〉Нагаев 3. Л.、Хомский Д. И. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 1562 (Статья

1.3 настоящего сборника)] Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 961.

Gombas Р. Theorie und Loesungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellen- mechanik. — Basel, 1950.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1993. T. 103. С. 252. (Статья 5.1 настоящего сборника.)

Nagaev E.L. // Phys. Lett. А. 1994. V. 184. Р. 297.

Электронное разделение фаз в квазидвумерных системах типа ВТСП

3. Л. Нагаев

ФТТ. 1996. Т. 38(11). С. 3241-3251

Исследовано электронное разделение фаз в квазидвумерных вырожденных антиферромагнитных полупроводниках типа ВТСП. Независимо от конкретного типа разделения фаз из-за кулоновского взаимодействия обе фазы перемешаны, образуя сложную геометрию. При достаточно больших концентрациях носителей все или почти все они оказываются сосредоточенными в кристаллических плоскостях, образующих одномерную сверхрешетку внутри кристалла. Эти плоскости отделены друг от друга изолирующими плоскостями или плоскостями в смешанном состоянии.

В работе исследуется разделение фаз в квазидвумерных вырожденных антиферромагнитных полупроводниках типа ВТСП. Хотя разделение фаз было теоретически предсказано задолго до открытия ВТСП [1], их появление заставило по-новому взглянуть на это явление. Следует различать два типа разделения фаз: электронное разделение фаз, происходящее при замороженной примеси [1], и примесное разделение фаз, происходящее в материалах с подвижными примесными атомами [2]. Здесь будет рассматриваться только электронное разделение фаз.

Энергия носителей заряда в магнитном кристалле зависит от типа магнитного упорядочения. Если при исходном магнитном упорядочении энергия носителей не минимальна, они стремятся установить в кристалле упорядочение, при котором их энергия ниже. При этом носителям приходится преодолевать сопротивление обменного взаимодействия между магнитными атомами, установившего исходное упорядочение. Если концентрация носителей недостаточно велика, они не могут изменить тип упорядочения во всем кристалле. Но они могут собраться в определенной части кристалла и в ней изменить тип упорядочения, оставив остальную его часть в исходном магнитном состоянии и без носителей заряда.

Поскольку фазы заряжены противоположно, возникают сильные кулоновские силы, которые стремятся перемешать обе фазы. Оптимальная геометрия двухфазного состояния определяется конкуренцией между кулоновской энергией и граничной энергией высокопроводящих областей. Следует заметить, что в применении к этому явлению общепринятый термин «разделение фаз» неточен: обе фазы связаны кулоновскими силами в единую систему, и из-за этих сил отделить одну фазу от другой нельзя.

Как показано в [1, 3], в изотропных кристаллах при относительно небольших концентрациях носителей области высокопроводящей измененной фазы образуют капли, расположенные внутри доминирующей изолирующей исходной фазы. Если бы кристалл был идеально совершенным, то эти капли образовывали бы внутри него периодическую структуру. В этом отношении физическая картина двухфазного состояния напоминает кристалл Вагнера. Если исходная фаза антиферромагнитная, а измененная фаза ферромагнитная, то такая картина соответствует также суперпозиции нелинейных волн плотности спина и заряда.

Когда плотность носителей растет, при некоторой плотности происходит протекание электронной жидкости и измененного магнитного порядка. Это изменение в топологии высокопроводящей части кристалла с многосвязной на односвязную эквивалентно переходу изолятор-металл. После протекания уже капли изолирующей фазы должны образовывать периодическую структуру. Следует подчеркнуть, что рассматриваемое двухфазное состояние является основным состоянием кристалла и не имеет ничего общего с разделением фаз при фазовом переходе первого рода.

В проводящих магнитных системах при Т = 0 возможно разделение не только на ферро- и антиферромагнитную фазы, но и другие типы разделения фаз, например разделение на различные антиферромагнитные фазы [4].

Экспериментально электронное разделение фаз было впервые обнаружено в несверхпроводящих EuSe и ЕиТе (см. работы [5-7] и их теоретический анализ в [3]). Имеются экспериментальные данные, которые свидетельствуют в пользу того, что это явление возможно и в ВТСП (см. [8-9]), хотя примесное разделение фаз, осуществляющееся при подвижных примесных атомах и соответствующее их неоднородному распределению по кристаллу, более распространено в них.

Эта работа посвящена электронному разделению фаз в ВТСП и родственных им квазидвумерных материалах. Вряд ли сам факт сверхпроводимости может существенно сказаться на исследуемом явлении, поскольку энергия спаривания носителей в них мала по сравнению с остальными характерными электронными энергиями. Соответственно разделение фаз в ВТСП происходит обычно при температурах существенно более высоких, чем критическая температура перехода в сверхпроводящее состояние [8-9]. Поэтому далее будет просто исследоваться специфика этого явления, обусловленная квазидвумерностью. Можно ожидать, что результаты для них будут существенно отличаться от результатов для изотропных систем, исследованных в [1-3].

Конкретно топология системы с разделением фаз в квазидвумерном случае должна быть совершенно иной, чем в изотропном случае. С топологией же связаны также фундаментальные свойства двухфазного состояния, как протекание электронной жидкости по кристаллу, т. е. наличие у кристалла как целого металлических и сверхпроводящих свойств. Исследование структуры двухфазного состояния ниже будет проведено в максимально общем виде, справедливом при любом типе разделения фаз.

Общая картина разделения фаз в квазидвумерных системах. Здесь будет обсуждено разделение фаз в квазидвумерных системах, характеризуемых двумерным движением электронов в атомных плоскостях (их переходы между плоскостями не учитываются) и трехмерным кулоновским взаимодействием между зарядами. Разделение фаз состоит в спонтанном возникновении внутри исходной фазы областей измененной фазы, которые являются потенциальными ямами для носителей заряда (для определенности речь будет идти об электронах проводимости, хотя абсолютно все сказанное далее справедливо и для дырок).

Например, если исходная фаза является шахматной антиферромагнитной, а измененная фаза — ферромагнитной, глубина потенциальной ямы U в рамках s—d-модели со слабой s—d-связью (AS « ГИ) равна ZS/2, где Л — интеграл s—d-обмена, S — спин (7-атомов, W — ширина s-зоны проводимости. Если же измененная фаза — слоистая антиферромагнитная, то глубина потенциальной ямы составляет порядка (AS)2/W [8].

Для вырожденных полупроводников типична ситуация, когда каждая область измененной фазы содержит много электронов (или дырок), поскольку можно уменьшить расходы энергии обмена между магнитными атомами на установление новой фазы, помещая несколько электронов в одну и ту же область, вместо того, чтобы создать отдельные области для каждого электрона.

Для вырожденных полупроводников всегда выполняется неравенство 从》發/丁 где 从一энергия Ферми, m — диэлектрическая проницаемость. Это позволяет вычислять энергию системы при помощи вариационного принципа, взяв в качестве пробных функций волновые функции невзаимодейстующих друг с другом электронов в потенциальной яме.

Далее из нестабильности антиферромагнитной фазы относительно электронов проводимости в двумерных системах, доказанной в [8], следует, что все электроны проводимости сосредоточены внутри измененной фазы, а в исходной фазе при Т = О

электронов не остается, и, следовательно, она изолирующая. Тогда с учетом того, что все Ne электронов проводимости кристалла сосредоточены в измененной фазе, полная энергия системы дается выражением

Е = Ка + Кв + Ес + Ем-UNe. (1)

Здесь сумма К а + Kg представляет собой кинетическую энергию электронов (см. далее), Ес — энергия электростатического взаимодействия электронов и доноров друг с другом (исходная и новая фазы заряжены противоположно, поскольку в первой из них все доноры ионизованы, их заряд не скомпенсирован, а во второй находится избыток электронов), Ем — энергия обменного взаимодействия между локализованными (7-спинами, затрачиваемая на перестройку магнитной структуры. Наконец, последний член представляет собой понижение потенциальной энергии в измененной фазе.

Далее считается, что в каждой области измененной фазы находится много электронов, так что выполняется неравенство kFL》1, где kF — импульс Ферми, L — характерный размер области измененной фазы. В этих условиях, несмотря на пространственное квантование электронных уровней, удается ввести сглаженную плотность уровней, являющуюся непрерывной функцией энергии. С ее помощью можно вычислять различные интегральные величины, например энергию системы электронов. В трехмерном случае такой подход, соответствующий приближению Борна-Оппенгеймера, при квадратичном законе дисперсии для электронов в наиболее общем виде был реализован в [10]. В этой работе (см. Приложение), используя совершенно иную методику, удалось осуществить аналогичную программу для двумерной системы.

В результате проведенного в Приложении расчета получено, что сглаженная плотность уровней g(石)(П18) дается суммой двух членов, первый из которых, g^(石),пропорционален площади поверхности, внутри которой заключены электроны. Второй же, gв(Е)〉пропорционален длине периметра границы этой области. Именно он хранит память о пространственном квантовании электронных уровней, которое и приводит к появлению граничной энергии (аналогу поверхностной энергии в трехмерном случае). Этот член в отличие от первого зависит от граничных условий. Здесь по смыслу задачи, если размер области существенно превышает глубину затухания электронной волновой функции вне потенциальной ямы, можно положить в (П2) х т оо.

Соответственно при помощи (П18) кинетическая энергия электронов, локализованных в какой-то области, в квазиклассическом приближении может быть представлена как сумма «основной» и «граничной» частей К^ и Кв подобно ее делению на объемную и поверхностную части в трехмерном случае. При этом следует иметь в виду, что в случае ферромагнитной потенциальной ямы, если фермиевская энергия 从 меньше AS, все электроны поляризованы по спину. Тогда

“ Attp2S

— 2-，та

,7г沙з L

1 Зта2

где S и L — площадь и периметр области, занятой электронами; ^ — число электронов на атом; величина А равна единице для ферромагнитного упорядочения и 0,5 для ненамагниченных потенциальных ям, когда электроны не поляризованы по спину (они захвачены спиновой жидкостью или фазой Ландау внутри антиферромагнетика Нееля). Остальные энергии, фигурирующие в (1), в расчете в общем виде не нуждаются и ниже будут конкретизированы для рассмотренных там случаев. Следует только заметить, что при вычислении кулоновской энергии вместо тензорной диэлек-

трической проницаемости будет использоваться скалярная величина £, поскольку относительно небольшие различия в компонентах ец не могут повлиять на общий характер проводимых ниже оценок.

Некоторые качественные выводы о структуре двухфазного состояния можно сделать без детальных расчетов. Сосредоточение носителей заряда в определенных областях кристалла означает появление пространственного электрического заряда, который повышает энергию системы за счет появления кулоновского вклада в нее 石с： фазы становятся противоположно заряженными по отношению друг к другу. Если бы кристалл разделился на две области с различными фазами в них, то кулоновская энергия системы в расчете на один электрон оказалась бы макроскопически велика.

Чтобы ее уменьшить, области различных фаз должны перемешаться друг с другом. Но при этом растет длина границы между фазами (и, следовательно, граничная энергия). Таким образом, следует искать геометрию, при которой энергия системы была бы минимальна. Иными словами, параметры рассматриваемой вариационной задачи должны характеризовать геометрию смещенного двухфазного состояния.

Разделение фаз в двумерных системах. В этом параграфе геометрия двухфазного состояния плоского проводника будет рассмотрена в полной аналогии с трехмерным случаем [1, 3]: при относительно малых средних плотностях носителей uq измененная магнитная фаза, содержащая их, состоит из кругов внутри матрицы из доминирующей фазы. После достижения средней плотностью значения г/р, с которого начинается перколяция, основной частью кристалла становится измененная высокопроводящая фаза, внутри которой образуют периодическую структуру круги из изолирующей первоначальной фазы.

Используются два вариационных параметра: 1) отношение х = Si/Sn^ где S〃 и Sn — площади исходной и вновь образовавшейся фаз соответственно (S〃 + Sn = S, где S — полная площадь системы); 2) радиус R включения неосновной фазы.

В такой геометрии кулоновская энергия системы может быть оценена путем обобщения идеи сфер Вигнера из теории кристаллов. Можно разделить систему на круги радиуса Rw・ Каждый круг содержит только одно включение, центр которого совпадает с центром этого круга. Радиус Aw определяется из условия, чтобы полный заряд внутри круга Вигнера обращался в нуль. В случае, когда включение является высокопроводящим с плотностью заряда на узел /е%, а его окружение — изолирующим с плотностью — е%, это означает равенство

х№ =唸―Н2. (4)

Тогда получается следующее выражение для потенциала 夕：

K(n) — полный эллиптический интеграл первого рода.

С учетом (5) получается следующее выражение для кулоновской энергии одиночного круга Вигнера (0(ж) — функция Хевисайда):

Q = ] Ф(г) (ж0(Я — г) — 0 (Aw — 丁)©(г — Я))彦兀

Если учесть, что полное число кругов Вигнера в системе равно S/(тгЯ2(1 + + ж)), что полное число электронов проводимости Ne фиксировано и что плотность носителей заряда в измененной фазе г/ = г/()(1 + /), тогда из (2), (3), (6) получается следующее выражение для полной энергии в расчете на электрон:

тт _ Е _ Л7гп0(1 + ж)а7Уе 4 г/тгАпоа \/1 + ж е?沙oQ(凡 с) D

Ne m 3 mR 2不8用(1 + 7)0(1 + 7) '

где D — затраты обменной энергии на атом при изменении магнитного упорядочения (выражение, пропорциональное О, соответствует энергии Ем в (1)). Аналогичное выражение получается, когда доминирующей является новая фаза (ж < 1).

Как видно из ⑺，только электронная граничная энергия (второй член в нем) и кулоновская энергия (третий член) зависят от R. Тогда, минимизируя полную энергию ⑺ по 凡 можно получить выражение для R через х. После подстановки его в (7) и последующей минимизации по х получается трансцендентное уравнение относительно ж, которое легко можно решить численными методами. Такая программа будет проведена до конца в следующих разделах.

Разделение фаз в квазидвумерных кристаллах. Чередующиеся плоскости. Очевидно, геометрия двухфазного состояния в случае квазидвумерно- го кристалла должна быть достаточно сложной. Здесь будет рассмотрена следующая модель. Каждая область измененной фазы, в которой сосредоточены носители заряда, представляет собой плотноупакованную кристаллографическую плоскость (плоскость ХУ). Она расположена в центре области истощения, откуда все носители перешли в эту высокопроводящую плоскость. Такая область содержит несколько плоскостей, кристаллографически эквивалентных высокопроводящей плоскости, и ограничена двумя из них.

В рассматриваемом здесь случае нужен только один вариационный параметр х = =匕/Кг，где Vi и Vn — объемы исходной и вновь возникшей фаз соответственно. Кинетическая энергия К^ и магнитная энергия Ем даются теми же выражениями, что и в ⑺.Граничная часть энергии Кв здесь асимптотически мала и по этой причине отброшена.

Кулоновская энергия рассчитывается в предположении, что заряд в области истощения распределен равномерно. Если считать для простоты записи постоянную решетки вдоль оси Z тоже равной а, как и в плоскости ХУ, то ширина области, полностью компенсирующей заряд центральной высокопроводящей плоскости, равна ха. Строго говоря, такой подход оправдан при 力》1, но он может давать разумные оценки до ж = 1. При не очень больших 2 подход самосогласован, если получающиеся значения 2 близки к целым числам. Если это не так, значительное количество электронов проводимости остается в истощенной области, в противоречии со сделанным выше предположением. Тогда некоторые плоскости внутри истощенной области должны быть в двухфазном состоянии, описанном в п. 2.

Используя элементарную электростатику, получаем

D 57r x3e2a2n0Ne 心

Если пренебречь кулоновским взаимодействием, тогда минимизация энергии (1) по х приводит к следующему выражению для оптимальной энергии системы на электрон проводимости Н в явной форме:

一у乏！他=i), ⑼

н = У「и,二н = У「и,二(Ю)(Ю)

н = У「и,二

н = У「и,二

(Ю)

(Ю)

Как видно из (10), в пределе m Т оо энергия автолокализации Н не зависит от электронной плотности 幺 но она зависит от того, поляризованы или не поляризованы электроны по спину. Здесь условие для автолокализации полностью определяется конкуренцией между вызванным ей увеличением кинетической энергии и расходами энергии прямого обмена.

Результат (10) следует сравнить с условиями одноэлектронной автолокализации носителей заряда, установленными в двумерном случае в [11],

° < 0Q3333L/2

Как следует из (11), если эффективная масса носителя близка к истинной, тогда критические значения U, начиная с которых становится возможной автолокализация, равны 0,087 эВ для D = 0,001 эВ, 0,27 эВ для D = 0,01 эВ и 0,87 эВ для D = =0,1 эВ. Последняя оценка показывает, что в несверхпроводящих керамиках Си-О, где двумерные антиферромагнитные корреляции наблюдаются при температурах выше 1000 К (см. [8]), критическое значение U настолько велико, что одноэлектронное разделение фаз вряд ли может осуществляться.

Условие кооперативной авто локализации, следующее из (10), оказывается гораздо более благоприятным, чем (11): для электронов, поляризованных по спину, критические значения U на 10 % ниже, чем приведенные выше. Еще больше разница для электронов, не поляризованных по спину. Например, кооперативное разделение фаз при D = 0,1 эВ начинается при Uc = 0,496 эВ, т. е. при значении U на 55 % ниже, чем одноэлектронное.

Разумеется, учет кулоновского взаимодействия приведет к повышению критического значения Uc. Численные расчеты показывают, что это повышение особенно сильно при малых электронных концентрациях, при умеренных же концентрациях влияние кулоновского взаимодействия не столь велико. Например, при m = 10 и О = =0,1 эВ величина Uc уменьшается от 1,695 эВ при ^ = 0,01 (ж = 7,51) до 0,604 эВ при и = 0,13 (/ = 0,9). Если же взять m = 20, то Uc = 0,553 эВ при = 0,15 (ж = 0,95). Это показывает, что кооперативное разделение фаз возможно и в материалах типа ВТСП.

Можно также заключить, что кооперативное разделение фаз должно происходить при достаточно высоких электронных концентрациях, а при малых концентрациях должно осуществляться одноэлектронное разделение фаз, при котором кулоновское взаимодействие несущественно.

Были исследованы еще две возможные модели разделения фаз.

Модель нитей. Двухфазные плоскости, обсужденные в п. 3, состыкованы так, что круги одной и той же фазы из соседних плоскостей накладываются друг на друга и в результате образуются прямые цилиндры из областей этой фазы, пронизывающие кристалл. В этом случае проблема протекания в точности эквивалентна проблеме, обсуждавшейся в п. 3.

Модель капель. При относительно небольших электронных плотностях вновь возникшая фаза состоит из эквивалентных круговых цилиндров конечной длины, имитирующих сферические капли в изотропном трехмерном случае, рассмотренном в [1, 3]. После достижения концентрации протекания ту же форму имеют изолирующие капли первоначальной фазы внутри доминирующей измененной фазы.

Эти две модели могут быть исследованы только численно. Результаты показывают, что обе эти модели значительно менее энергетически выгодны, чем первая модель.

Например, если новая фаза ферромагнитная и электроны проводимости полностью поляризованы по спину, тогда при m = 10, D = 0,001 эВ получаются следующие значения Uc для этих трех моделей в том порядке, в котором они названы: при ^ = =0,001 они равны 0,1747, 0,1950 и 0,23 эВ; при ^ = 0,005 они составляют 0,0976, 0,1873 и 0,1517 эВ соответственно.

Исследование, представленное в этой работе, стало возможным частично благодаря гранту № MUB300 Международного научного фонда и частично благодаря гранту № 94-02-03332-а Российского фонда фундаментальных исследований.

Приложение

Электронная плотность уровней в двумерных системах конечных размеров

Задача о сглаженной плотности уровней для изотропных трехмерных систем решена в общем виде в [10] разложением по 1/kpL^ где кр — импульс Ферми, L — типичный размер образца. Там было показано, что если форма образца регулярна на расстояниях ocl/kp, плотность уровней зависит только от объема и площади поверхности образца, но не зависит от его формы. По тем же причинам, что и в [10], можно считать, что и в двумерном случае плотность уровней не зависит от формы образца, а зависит только от его площади и периметра.

При этом предположении можно взять модель с простейшей геометрией двумерной системы — узкую полоску длины Я ^ оо вдоль оси X и ширины L вдоль оси Z. Это позволяет использовать значительно более простую процедуру расчета, чем в [10]. Рассматривается одноэлектронное волновое уравнение

-(去)(П1)

с линейными граничными условиями наиболее общего вида:

+ хФ = 0.(П2)

on

Если х > 0, в электронном спектре имеется только двумерная зона (аналог объемной в трехмерном случае), и собственные функции уравнения (П1) берутся в виде

W/eq = exp (ЕдХ)吵(Z), ^(Z) = sin ksZ^w cos kcZ.(ПЗ)

(П4)(口5)(П6)(口 7)(П4)(口5)(П6)(口 7)Тогда, согласно (П2), дозволенные значения поперечного импульса ks или кс определяются из трансцендентных уравнений

(П4)

(口5)

(П6)

(口 7)

(П4)

(口5)

(П6)

(口 7)

, 2тгп , 2, кс

кс = —；И 丁 arctg —,

n = 0,1, 2 ... , 0，k$, kc《穴•

Плотность орбитальных состояний g(石)дается выражением

g(石)=£ [8 (石-Eksq) + 5 (E _ Ekcq)] = gs + gc-

Ниже будет использовано интегральное представление для J-функции

gs = ^exp(zEt)^2exp (」)) d厶 k = ks

Суммирование по q производится заменой его на интегрированиеСуммирование по q производится заменой его на интегрирование£ехр£ехр(手)-sign⑴6 (手*(手)-sign⑴6 (手*(П8) где S и С — интегралы Френеля. Здесь рассматриваются только энергии, малые по сравнению с шириной зоны проводимости W. Поскольку в подынтегральном выражении в (П7) существенны только t ос 1/石，аргумент интегралов Френеля в этом выражении составляет порядка y/W/ Е》1, что оправдывает использование асимптотических выражений для интегралов Френеля.При суммировании по А: в (П7) используется формула суммирования Эйлера- Маклорена(П8) где S и С — интегралы Френеля. Здесь рассматриваются только энергии, малые по сравнению с шириной зоны проводимости W. Поскольку в подынтегральном выражении в (П7) существенны только t ос 1/石，аргумент интегралов Френеля в этом выражении составляет порядка y/W/ Е》1, что оправдывает использование асимптотических выражений для интегралов Френеля.При суммировании по А: в (П7) используется формула суммирования Эйлера- Маклорена上 ехр (_^^) u J ехр (-2儿2(初)dn + ехр (—笥f)) = Es •(П9)上 ехр (_^^) u J ехр (-2儿2(初)dn + ехр (—笥f)) = Es •(П9)Член, соответствующий верхнему пределу суммирования Nl с< L/a^ опущен, поскольку он осциллирует с частотой W ^> Е и по этой причине вносит малый вклад в плотность уровней.На этом этапе целесообразно перейти от интеграции по п к интеграции по к. С учетом (П4) получаетсяЧлен, соответствующий верхнему пределу суммирования Nl с< L/a^ опущен, поскольку он осциллирует с частотой W ^> Е и по этой причине вносит малый вклад в плотность уровней.На этом этапе целесообразно перейти от интеграции по п к интеграции по к. С учетом (П4) получаетсяО+〃厶(；2/諸))ехр (£)林(П10)где Н = к$ ⑴，1/厶一наименьший корень уравнения (П4). Учтено неравенство tk^/m « 1.Перед интеграцией по А: в (П7), (П9) целесообразно провести интеграцию по t с учетом (П8)О+〃厶(；2/諸))ехр (£)林(П10)где Н = к$ ⑴，1/厶一наименьший корень уравнения (П4). Учтено неравенство tk^/m « 1.Перед интеграцией по А: в (П7), (П9) целесообразно провести интеграцию по t с учетом (П8)万万ехр (分土А)(1 — г sign 土)|t|-1^2ехр (分土А)(1 — г sign 土)|t|-1^2厶=/豎^(”厶=/豎^(”(ПП)(ПП)

Суммирование по q производится заменой его на интегрирование

Суммирование по q производится заменой его на интегрирование

£ехр

£ехр

(手)-sign⑴6 (手*

(手)-sign⑴6 (手*

(П8) где S и С — интегралы Френеля. Здесь рассматриваются только энергии, малые по сравнению с шириной зоны проводимости W. Поскольку в подынтегральном выражении в (П7) существенны только t ос 1/石，аргумент интегралов Френеля в этом выражении составляет порядка y/W/ Е》1, что оправдывает использование асимптотических выражений для интегралов Френеля.

При суммировании по А: в (П7) используется формула суммирования Эйлера- Маклорена

(П8) где S и С — интегралы Френеля. Здесь рассматриваются только энергии, малые по сравнению с шириной зоны проводимости W. Поскольку в подынтегральном выражении в (П7) существенны только t ос 1/石，аргумент интегралов Френеля в этом выражении составляет порядка y/W/ Е》1, что оправдывает использование асимптотических выражений для интегралов Френеля.

При суммировании по А: в (П7) используется формула суммирования Эйлера- Маклорена

上 ехр (_^^) u J ехр (-2儿2(初)dn + ехр (—笥f)) = Es •(П9)

上 ехр (_^^) u J ехр (-2儿2(初)dn + ехр (—笥f)) = Es •(П9)

Член, соответствующий верхнему пределу суммирования Nl с< L/a^ опущен, поскольку он осциллирует с частотой W ^> Е и по этой причине вносит малый вклад в плотность уровней.

На этом этапе целесообразно перейти от интеграции по п к интеграции по к. С учетом (П4) получается

Член, соответствующий верхнему пределу суммирования Nl с< L/a^ опущен, поскольку он осциллирует с частотой W ^> Е и по этой причине вносит малый вклад в плотность уровней.

На этом этапе целесообразно перейти от интеграции по п к интеграции по к. С учетом (П4) получается

О+〃厶(；2/諸))ехр (£)林(П10)

где Н = к$ ⑴，1/厶一наименьший корень уравнения (П4). Учтено неравенство tk^/m « 1.

Перед интеграцией по А: в (П7), (П9) целесообразно провести интеграцию по t с учетом (П8)

О+〃厶(；2/諸))ехр (£)林(П10)

где Н = к$ ⑴，1/厶一наименьший корень уравнения (П4). Учтено неравенство tk^/m « 1.

Перед интеграцией по А: в (П7), (П9) целесообразно провести интеграцию по t с учетом (П8)

万

万

ехр (分土А)(1 — г sign 土)|t|-1^2

ехр (分土А)(1 — г sign 土)|t|-1^2

厶=/豎^(”

厶=/豎^(”

(ПП)

(ПП)

где 0(A) — функции Хевисайда, Х = Е — k2/2т. Интеграцией по к тогда получается

=+(П12)

_ LRm6(E)gA =一万一

Rm gBs = ^Rm gBs = ^22-Larcsin 統(1)+ 7r (02 + ><2)I/2) + 工 0(后)，(n14)

Rm gBs = ^

Rm gBs = ^

2

2

где gA — плотность уровней без учета граничных эффектов, gg§ — вклад в нее от границы (так как А^ = 2тг/L, этот вклад пропорционален Я), р =，2ттг石.

Расчет gc производится аналогичным образом. Он дает

(П15)(П15)gc =腎 + g Вс，

(П15)

(П15)

ёвс = ^ arcsin ^^ + 7Г (р2 + х2)~1/2 + ^ 0(A),(П16)

где, согласно (П5), kc(0) = тг/L.

Для общности можно рассмотреть также случай х < 0, когда существует одномерная энергетическая зона с состояниями, локализованными вблизи границы образца. Ее дно лежит на х2/2т ниже, чем дно двумерной зоны. Эта граничная зона вносит дополнительный вклад в плотность уровней (П3)-(П6)

gb = £ 6- Е)= ^ (諸 + 2mE)-1/2 .(П17)

Таким образом, полная плотность уровней дается выражением

g =ёв = ёв3 +ёвс +^б-(П18)

Поступила в редакцию 29 апреля 1996 г.

Список литературы

Нагаев Э. Л. // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16. С. 558; Кашин В. А., Нагаев Э. Л. // ЖЭТФ. 1974. Т. 66. С. 2105. (Статьи 1.8, 1.9 настоящего сборника.)

Kastalskii A. A., Maltsev S. В. // Solid State Commun. 1975. V. 17. Р. 107; Vengalis В., Kastalskii A. Solid State Commun. 1979. V. 30. P. 13.

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979; Nagaev Е. L. Phys- ica of Magnetic Semiconductors. — M.: Mir, 1983.

Nagaev E.L. // Physica C. 1993. V. 205. P. 91.

Vitins 丿.，Wachter P. // Phys. Rev. B. 1972. V. 12. P. 3829; Vitins J., Wachter P. // Solid State Commun. 1973. V. 13. P. 1273.

Shapira У., Foner £, Oliveira N. 〃 Jr. Phys. Rev. B. 1974. V. 10. P. 4765.

Oliveira N., Jr £, Foner Y., Shapira T. Reed // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 2105; Shapira У., Foner £, Oliveira N., Jr T. Reed // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 2647.

Nagaev E. L. From Magnetic Semiconductors to High-Тс Superconductors. — Cambridge University Press, 1996 “ .

Нагаев Э.Л. // УФН. 1995. Т. 165. С. 529.

Balian A., Bloch С 〃 Ann. Phys. 1970. V. 60. Р. 401.

Нагаев Э. Л., Поделъщиков А. И. // ФТТ. 1981. Т. 23. С. 859. (Статья 1.14 настоящего сборника.)

х) Эта книга была написана Э. Л. Нагаевым в 1993-1995 гг. Однако из-за ряда организационных проблем книга не выходила более двух лет, и автор отказался от ее издания. Ряд разделов этой книги включен им позднее в книгу «Colossal Magnetoresistance and Phase Separation in Magnetic Semiconductors» (2002).

Глава 6

МАНГАНИТЫ С КОЛОССАЛЬНЫММАГНИТОСОПРОТИВЛЕНИЕМ

On the giant magnetoresistance for degenerateferromagnetic semiconductors of LaMnO3 type

E. L. Nagaev

Phys. Lett. A. 1996. V. 211. P. 313-317

The isotropic negative magnetoresistance in degenerate magnetic semiconductors is considered. The effect is explained by the suppression of the impurity-magnetic scattering and band tails by the magnetic field.

Introduction. Quite recently, degenerate ferromagnetic semiconductors like Ca- or Sr-doped ЬаМпОз have attracted again great interest because of their giant magnetoresistance, though the main relevant experimental results were obtained about 40 years ago.

Undoped ЬаМпОз is antiferromagnetic and semiconducting. Under normal conditions, only Mn3+ ions are present in it. However, doping with Ca, Sr or heat treatment in an oxygen atmosphere produces holes in the crystal. When their density increases, the crystal acquires first an unsaturated spontaneous magnetization and then becomes completely ferromagnetic with the resistivity typical of degenerate semiconductors [1-4]. It was assumed in [1-4] that the holes correspond to the Mn4+ ions. According to [5], the double exchange between them produces a canted antiferromagnetic ordering responsible for the unsaturated magnetism.

But recent photoemission and X-ray-absorption spectroscopy investigations [6] indicate that these holes are mainly of oxygen type. On the other hand, neutronographic results [1] make it possible to conclude that actually the unsaturated magnetization is a result of the two-phase ferro-antiferromagnetic state of these materials. This can be concluded from the fact that the magnetic field reduces the intensity of the ferromagnetic reflections, leaving unchanged the intensity of the antiferromagnetic reflections in magnetically unsaturated states. Judging from the data on the resistivity of this material [2] the ferromagnetic phase is a high-conduction one and the antiferromagnetic phase insulating. The regions of both phases are intermixed. (A more detailed analysis can be found in [7, 8].)

Investigations carried out in [2] and numerous contemporary investigations show that not very far from the Curie point doped ЬаМпОз has a resistivity peak and a large negative isotropic magnetoresistance, which are both more pronounced, the higher the degree of sample imperfection. As an example, it may be pointed out that close to the critical point Tc an external magnetic field of 10-15 T reduces the resistivity by several orders [9, 10]. The magnetoresistance remains considerable also quite far from the peak. These properties of degenerate p-ЬаМпОз resemble the properties of classical ferromagnetic degenerate semiconductors, such as n-EuO.

In a rather narrow impurity density range, EuO has a transition from the high- conduction to the insulating state, on increasing the temperature (see [7]). One may expect a similar «metal-insulator» transition in ЬаМпОз in a certain range of the hole density.

Model and physical background. The theory of the impurity-dependent resistivity peak, including the metal-insulator transition, was developed in [7, 11]. In this paper the theory of the impurity-induced magnetoresistance will be developed for degenerate ferromagnetic semiconductors. It is based on the s-d model under the assumption that the energy of the exchange AS between a mobile charge carrier («s-electron») and the immobile «(/-electrons» is small compared to the «-electron band-width W. (A is the s-d exchange integral, S is the spin of the d-shell.) As in ЬаМпОз, the holes corresponding to the «-electrons move over oxygen atoms [6], their exchange with Mn3+ ions is not very strong, which condition should be fulfilled. The same holds for EuO [7]. There is no need to write down the Hamiltonian of the s-d model which is presented in an explicit form, e. g. in [7, 8]. It is sufficient to note that far from the critical point 7c the perturbation theory for the «-electron is valid, and then its energy is given by

石*(k,。)= Ek- AMa, (1)

where M is the mean crystal magnetization per atom, a the «-electron spin projection.

In what follows, the inequalities

2 1/3

4S》从》(2)

will be used, with 从 being the Fermi energy. The first of them indicates the relatively small density of charge carriers in a degenerate semiconductor, the second is the standard condition for a semiconductor to be degenerate.

The origin of the negative magnetoresistance is related to the difference between the magnetization in the vicinity of an ionized acceptor or donor impurity and its mean value over the crystal. The latter is caused by the corresponding difference in the carrier density. As well known, the carriers realize the indirect exchange between magnetic atoms. Just this causes the replacement of the antiferromagnetic ordering by the ferromagnetic one, on ЬаМпОз doping, which should be the case for a relatively low carrier density [7]. At such densities the strength of the indirect exchange interaction increases with the density.

The tendency of the carriers to establish ferromagnetic ordering reflects the fact that the ferromagnetic ordering reduces their energy. This is seen from (1) taking into account the fact that according to (2) for a relatively large magnetization the «-electrons are spin- polarized.

As the local carrier density close to an ionized impurity exceeds its mean value, at finite temperatures the local destruction of the magnetic ordering close to this impurity is less than its mean value. Hence, a force of exchange type appears, which attracts the carrier to the impurity jointly with the Coulomb force. This exchange force is proportional to the difference between the local and mean magnetization. The magnetic field decreases this difference, reducing the attraction between the carrier and impurities.

As well known, the interaction between the carriers and impurities leads to the formation of valence or conduction band tails, in which carriers are in localized states, and to the increase of the delocalized carrier scattering. Hence, the magnetic field suppresses both the band tails and scattering by reducing the exchange attraction. This is just the physical reason for the negative magnetoresistance.

Dielectric and magnetoelectric response functions in magnetic semiconductors. In the quantitative formulation of this problem, we limit ourselves to the paramagnetic region and shall consider magnetic fields sufficiently strong when complete spin polarization is achieved (according to (1), (2) this may occur at magnetizations far below the complete magnetization). One should take into account the fact that the

external magnetic field m(q) with the wave vector q produced by ionized impurities not only induces an internal electric field

3(q) = &T(q)m(q),(3)

but also changes the magnetization M(q) by changing the indirect exchange via charge carriers. When (1) is valid, one may introduce a magnetoelectric response function A(q) by means of the linear expression [7]

M(q) = A(q)m(q).⑷

Hence, the effective field g*(q) acting on the electron with the energetically favoured spin projection is equal to

W*(q) = eg(q) - I 4M(q) = e「i(q)m(q),⑸

with the «effective dielectric function»

L(q) = L(q)-当"⑹

The local magnetization is found from the mean-field equation

M(r) = SBs { [H + 2/M(r) + I 厶小)]I},⑺

taking into account (1), (2). Here 5s(力)is the Brillouin function, v = na3 the number of charge carriers per magnetic atom with a being the lattice constant, I is the integral of direct exchange between magnetic atoms, n is the coordination number, H is the external field in energy units.

We put

M(r) = 7И + 6A/(r), i/(r)=沙 + Ji/(r),

where 沙 is the mean carrier density, and the mean magnetization M is found from (7) with i/(r) = v. Expanding the Brillouin function in (7) in Ji/(r) and SM(r^ one obtains in the linear approximation after going over to the Fourier representation,

Further, one should use the condition of a constant electrochemical potential over the sample,

—5 AM +，2」=4M(r) + e^(r) +,(9)

with 方=1, тп being the charge carrier effective mass.

One should keep in mind that the electrostatic field acting inside the crystal is the sum of the external field m(q) (i. e., the field produced by ionized impurities) reduced by a factor go due to the dielectric polarization of the crystal, and the field bg(q) produced by the charge carriers,

(10)(10)bp(q) = 3(q) — J = ]1 -曾]"9)

(10)

(10)

(go is the dielectric constant of the crystal). After linearizing (9) with respect to Jn(r), going over to the Fourier representation and expressing A/(q) in terms of n(q) with the

aid of (8), one obtains a linear relation between n(q) and g(q). This makes it possible to represent the Poisson equation for the electron part of the electrostatic field in the form

(П)(П)為夕⑷一4

(П)

(П)

r _ 3 л2^ SB'sr _ 3 л2^ SB's”#2/3”#2/32m2m(12)(12)

r _ 3 л2^ SB's

r _ 3 л2^ SB's

”#2/3

”#2/3

2m

2m

(12)

(12)

Then from (10), (11) one can deduce the following expression for the dielectric function of the conducting magnetic crystal,

aa(13)(13)& (q)=& (q)=

a

a

(13)

(13)

& (q)=

& (q)=

The magnetoelectric response function A(q) (Eq. (4)) is found from (8), (9), (12) to be

》(q)= A(l：Z(q)・(14)

Using (13), (14), one obtains the effective dielectric function

C(q) = e(q)(l-r) = s0(l-r) + 4-(15)

Negative magnetoresistance. As seen from (15), the effective dielectric function of a degenerate magnetic semiconductor differs from that of a nonmagnetic one, apart from the complete spin polarization of charge carriers, in the replacement of the dielectric constant go by the effective dielectric constant G = e()(l — P). The quantity Г (Eq. (12)) decreases with increasing H. At relatively small H when the Brillouin function may be expanded in powers of H and M one obtains

42s(S + l"()

where 犷 is the paramagnetic Curie temperature of the undoped crystal (for ЬаМпОз it is negative). On increasing the field strength, the quantity Г tends to zero, and the effective dielectric constant G tends to the real dielectric constant eq.

Now we shall discuss how the increase in ^o with H will lead to a negative magnetoresistance. First, we consider scattering of charge carriers by ionized impurities. The corresponding expression for the relaxation time 丁及 is given by the well known Brooks-Herring formula in which the real dielectric constant should be replaced by the effective one,

r"1 = 27ve2nmk-3C~2 1п(1 + т/) - ^― ,〃 =(17)

(к is the carrier momentum).

As seen from (17), the increase in G with increasing H causes an increase in the relaxation time, i. e. in the mobility of the charge carrier.

On the other hand, the randomness of the impurity distribution causes density of states tails with carriers in localized states. On increasing the separation from the conduction electron or hole band bottom 石ь, the density of states in the tails decreases according

to an exponential law which is nothing but a generalization of the well known law for nonmagnetic semiconductors (see, e. g., [7]),

/ 厅 厅、22 1/3

g卜…

The increase in G causes a decrease in 石/, i. e., reduces the number of carriers in the tails. In other words, the enhancement of the magnetic field increases the number of carriers in delocalized states, and, hence, leads to a negative magnetoresistance, too. For both these mechanisms it should be isotropic.

As follows from (16), at relatively weak magnetic fields the quantity Г increases with reducing T. Though (16) does not allow the system to approach close to Tc, nevertheless, one sees that in such fields the effective dielectric constant decreases when T approaches 7c- Hence, the increase of G with increasing field is larger for lower T. Respectively, the magnetoresistance should increase when T approaches Tc- On the other hand, the magnetoresistance should vanish at T = 0. Thus, it should be maximal in the vicinity of To

In conclusion, it should be added that the giant negative magnetoresistance may arise also in the two-phase state. If the high-conduction ferromagnetic regions are intermixed with insulating antiferromagnetic regions, and contacts between the former are absent, the crystal as a whole is insulating. The magnetic field which favours the ferromagnetic ordering increases the volume of the ferromagnetic phase. Hence, it may cause the percolation of the ferromagnetic ordering and charge carriers, i. e., the transition from the insulating to the high-conduction phase. This is just the extraordinary giant negative magnetoresistance.

If in the two-phase state the ferromagnetic phase is the main part of the crystal, it is already a high-conduction one at zero field, and the magnetoresistance mechanism should be the same as in the single-phase described above. Additionally, there should be some contribution to the magnetoresistance from the field-induced enhancement of the volume of the ferromagnetic phase.

Acknowledgement. This investigation was supported by Grant (94 02 03332-a) from the Russian Foundation for Basic Research.

Received 23 November 1995.

References

Wollan E., Koehler W. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Jonker C, Van Santen J. // Physica. 1950. V. 160. P. 337; 1953. T. 19. C. 120.

Tamura S., Kuriyama M. // Phys. Lett. A. 1970. V. 70. P. 469.

Tamura S. // Phys. Lett. A. 1980. V. 78. P. 401.

De Gennes 夕.〃 Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 141.

Saitoh T., Bocquet A., Mirokawa T., Namatome H., Fujimori A., Abbade M., Takeda У., Takano M. // Phys. Rev. 1995. V. 851. P. 13942.

Nagaev E. L. Physics of magnetic semiconductors. — M.: Mir, 1983; From magnetic semiconductors to high-temperature superconductors. - Cambridge Univ. Press, 1996 В .

Nagaev E.L. // Phys. Stat. Sol. (b). 1994. V. 186. P. 9; Usp. Fiz. Nauk. 1995. V. 165. P. 529.

Urushibara A., Moritomo У., Arima T., Asamitsu A., Rido G., Tokura У. // Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 14103.

Anane A. et a/. // J. Phys. C. 1995. V. 7. P. 7015.

Nagaev E.L. // Zh. Eksp. Tear. Fiz. 1987. V. 92. P. 569.

В Cm. сноску на стр. 220.

8 Э. Л. Нагаев

Phase separation mechanism for giant magnetoresistanceof lanthanium manganites

E. L. Nagaev

Phys. Lett. A. 1996. V. 218. P. 367—372

Based on the fact that the nonsaturated magnetic state of Ьа1-жСажМп0з and related materials is a result of their mixed ferro-antiferromagnetic state, the possibility is investigated that such a state is caused by a thermodynamical equilibrium nonuniform oxygen distribution. Its magnetic field-induced change should lead to a giant magnetoresistance of these materials.

Introduction. As is well known, the partially substituted lanthanum manganites of the Ьа1_жСажМп0з type and the nonstoichiometric compounds ЬаМпОз+г, unlike their parent ЬаМпОз, possess spontaneous magnetization. For ж and n sufficiently large (/ > 0.2 [1] or for n > 0.1 [2]) they are in the ferromagnetic state, and their electric properties are quite similar to those of other degenerate ferromagnetic semiconductors: they display impurity-dependent resistivity peaks not very far from the Curie point and a giant negative magnetoresistance. The magnetoimpurity mechanism of these phenomena was described in [3-6].

For smaller ж the Ьах_жСажМпОз and related compounds are in the magnetic state with an unsaturated magnetic moment [1]. Though many investigators believe that this state is canted antiferromagnetic, the neutronographic data [7] give clear evidence that this state of Ьа1_жСажМпОз is mixed ferro-antiferromagnetic. This can be seen directly from the fact that an external magnetic field reduces the intensity of the ferromagnetic reflections, leaving unchanged the intensity of the antiferromagnetic reflections. This means that the ferro- and antiferromagnetic neutron scatterings are independent, which should not be the case in the canted state [7]. One may expect that the same is true for related compounds and ЬаМпОз with a small n.

On the other hand, the hypothesis of the canted state in such systems was advanced in [8] under the assumption that the canting is caused by the charge carriers moving freely over the crystal. But this hypothesis contradicts not only the neutronographic data [7], but also the fact that, in reality, the unsaturated magnetic state is not metallic but semiconducting, so that the number of free carriers is exponentially small [1]. Thus, the mechanism of [8] cannot be realized in the unsaturated state of the lanthanum manganites.

The aim of the present paper is to discuss possible mechanisms of the phase separation in lanthanum manganites and to propose a mechanism of giant magnetoresistance specific for phase-separated materials.

Physical mechanisms of phase separation. In discussing the mixed ferro- antiferromagnetic state of a degenerate semiconductor, one should distinguish the inherited state remaining frozen for an arbitrarily long time independent of temperature and external fields, and the thermodynamical equilibrium reversible phase separation which appears at relatively low temperatures and disappears on heating the sample. Unfortunately, measurements on Ьах_жСажМпОз at elevated temperatures are absent at present so that it is impossible to decide whether or not the phase separation is reversible.

If one considers the first possibility, the irreversible phase separation should be a consequence of deficiencies in preparation of samples. The technology of their preparation should have improved greatly during the almost 50 years during which these materials are known, but the properties of the very first crystalline samples investigated in [1, 7] closely resemble the properties of samples prepared by modern investigators using different procedures (see, e. g., [9]). On the other hand, it is difficult to imagine that the technology is so deficient that fluctuations of the composition extend over a macroscopic length ensuring

well defined neutronographic peaks for both phases. All this points to reversible phase separation.

As for reversible phase separation, there are two types of it in degenerate magnetic semiconductors. (1) The electronic one [3, 10] when all the charge carriers (holes in the lanthanum manganites) concentrate in the ferromagnetic portion of the sample, with no holes in the antiferromagnetic portion. Positions of the ionized acceptors remain frozen. (2) Impurity phase separation, when not only holes but also acceptors concentrate in the ferromagnetic regions.

An essential difference between these cases consists is that in the former case both the phases are electrically charged and in the latter case electroneutral. For electronic phase separation, in order to reduce the Coulomb energy, the different phases tend to intermix. For this reason at relatively small hole densities the ferromagnetic portion of the crystal consists of very small droplets embedded into the antiferromagnetic host. Such droplets cannot produce well-defined ferromagnetic peaks in the neutronographic spectra, leading only to an enhanced small-angle neutron scattering.

On increasing the hole density, the volume of the ferromagnetic phase increases, and percolation of the ferromagnetic phase occurs simultaneously with the percolation of the hole liquid, i. e., with the insulator-to-metal transition. Only close to the percolation density the sizes of both the ferromagnetic and antiferromagnetic phases are sufficiently large to produce the well-shaped peaks of the neutron scattering which were observed

Judging from electric data [1], the well-shaped antiferromagnetic and ferromagnetic peaks in [7] were observed for Ьах_жСажМпОз with ж = 0.18, which just corresponds to percolation, and for this reason one cannot insist that a contradiction exists between the well-shaped neutronographic peaks and the electronic phase separation. But there is no distinct proof that the phase separation is electronic.

As an alternative, one should investigate the possibility of reversible magnetoimpurity phase separation in lanthanum manganite. If this phenomenon occurs, then the size of the minority phase regions is determined not by the Coulomb forces which are absent here but by the elastic forces (see [10]). For this reason the region size is much larger here than that at the electronic phase separation, so that both the phases should produce sharp neutronographic peaks.

Certainly, the possibility of phase separation with respect to Ca in Ьа1_жСажМпОз (or similar ions like Sr, Pb, etc.) is excluded because of their very large radius, but the radius of O2- is almost twice as small. Allowing for the specific structure of perovskites, the high O2- diffusivity turns out to be typical for them. For example, in the HTSC perovskite Ьа2СиО4+г a phase separation with respect to oxygen occurs at 265 К [10]. It is natural to assume that a similar magnetoimpurity phase separation occurs in ЬаМпОз+г perovskites too.

Moreover, the suggestion may be made that even in the absence of the extra oxygen, the doping of ЬаМпОз with Ca should lead to the oxygen phase separation. Its mechanism may be as follows. Pairs of oxygen vacancies and interstitial oxygen atoms arise and they concentrate in different portions of the crystal.

Portions of the crystal enriched with oxygen should have an enhanced hole density as both the extra oxygen and Ca play the part of acceptors. As holes tend to establish the ferromagnetic ordering, this portion should be ferromagnetic, but regions poor in oxygen should behave like compensated semiconductors, since oxygen vacancies are donors. Recombination of electrons belonging to nonionized donors with holes belonging to nonionized acceptors should lead to the disappearance of charge carriers, i. e. oxy genpoor regions should be low-conductive and antiferromagnetic.

Thus, there should be two reasons for the oxygen phase separation. (1) In the oxy genpoor region a gain in the energy will be achieved due to electron-hole recombination.

In the oxygen-rich region the gain in energy occurs due to the free motion of holes establishing the ferromagnetic ordering.

The present investigation is based on this hypothesis. It is directly supported by the experimental data on Ьао.8Сао.2МпОз+г, which is ferromagnetic at г = 0 but antiferromagnetic and insulating at г = —0.2 [11].

If our suggestion about the reversible phase separation is justified then the magnetoresistance mechanism should be as follows. If the high-conducting ferromagnetic phase is the minority phase, it normally consists if separated regions inside the insulating antiferromagnetic phase. For this reason the system as a whole is insulating. The external magnetic field increases the volume of the ferromagnetic phase, and percolation may occur. Hence, the magnetic field causes a drastic increase in resistivity. Another scenario is destruction of the two-phase state by the field with the establishment of a uniform high-conducting state instead of the initial insulating one.

The energy of the uniform state. The subsequent analysis of the problem is based on s-d model, whose Hamiltonian is taken in the first nearest neighbour approximation,

"sd = £ Eka^aaka - ^52(Ss)“ exP [^ (k 一 k，)囤。詳浓夕一

-”SgSg+A —(I)

where a^a, a^a are the creation and annihilation operators for an s-electron with the quasimomentum к and the spin projection a modelling holes; Sg is the d-spin operator of the atom with number g, its magnitude being S; saaf are the Pauli matrices, Nt is the total number of unit cells in the crystal.

The investigation will be carried out under the assumption that W》AS > 从》J, where W = 2zt = 1/ma2 {m is the s-electron effective mass, a is the lattice constant,方= =1), J = г |Z| S, /1 the hole Fermi energy. This corresponds to the experimental results [12] according to which the holes in lanthanum manganites move over the oxygen ions. If they move over the Mn ions («double exchange»), the inequality W《AS should hold. Some results will be presented for the latter case, too.

First, the uniform state of the crystal will be discussed. In the absence of holes at // = 0 it is antiferromagnetic, and remains such up to the hole density 沙厶 at which the total exchange integral Jt including both the direct and indirect exchange goes to zero at zero magnetization M. If AM <C /2, the standard expression of the RKKY theory is valid for the latter [3], and then

也4（沙）也4（沙）342sMa(^)342sMa(^)и = nv,и = nv,2/3小）2/3小）1212⑵⑵

也4（沙）

也4（沙）

342s

Ma(^)

342s

Ma(^)

и = nv,

и = nv,

2/3

小）

2/3

小）

12

12

⑵

⑵

where n is the mean hole density over the crystal, and v = a3 is the volume of the unit cell, which is assumed to be simple cubic.

However, if AM > 从 the RKKY theory is not valid anymore, and then the indirect exchange renormalizes not the exchange integral but the magnetic field [3],

⑶⑶% = " + ”.

⑶

⑶

The non-RKKY character of the indirect exchange at 沙 > 沙厶 manifests itself in the fact that a range of hole densities exists in which for Я = 0 the canted antiferromagnetic ordering is more energetically favoured than both the collinear antiferromagnetic and ferromagnetic structures. The upper boundary of this interval is [3]

⑷

However, the magnon frequencies in the canted state are imaginary for some wave vectors, so that another state should be stable in this range [3].

If one restricts oneself to 沙 < 沙① then allowing for (1)-(4) one may write down the ground-state energy Eu for the uniform state as follows.

For AM《从

32/3

⑸⑸£м = _£м = _$22Л$22Л石〃 = 居)N + eMNt + E^

⑸

⑸

£м = _

£м = _

$2

2Л

$2

2Л

For AM > 从

石〃 =I kWl^N + &m№ + 石el,

£M =£M =J , x{H + An/^' 2 +2J , x{H + An/^' 2 +2⑹⑹

£M =

£M =

J , x{H + An/^' 2 +2

J , x{H + An/^' 2 +2

⑹

⑹

Here N is the total number of holes,石司 is the energy of elastic interactions between acceptor defects (this will be explained below).

Phase separation in ЬаМпОз_|_г. Here ЬаМпОз+г, crystals with excess oxygen will be considered. It is assumed that the crystal is separated into ferromagnetic and antiferromagnetic portions with all the excess oxygen concentrated in the former. Their volumes Vf and % =丿一V/, respectively, should be found from the condition of minimum ground-state energy for the system (V is the total volume of the system),

⑺⑺空E = —u + 3kj/3 些 + J-"S + x"2/2 _ J + x6 + 幺也

⑺

⑺

N/5乙2i/4

Here U = AS 2 Uf = Nv/Vf. The last term in (7) represents the energy 石 el of the elastic interaction between defects.

In isotropic crystals this energy is proportional to r-6, where 丁 is the distance between defects. In slightly anisotropic crystals 石司 is proportional to 丁一but the proportionality coefficient is strongly angle-dependent and its mean value vanishes [13]. For this reason, though the material considered is slightly anisotropic, the 丁一' interaction law is taken in (7). As for the order of magnitude, c//u? should be from 1 to 10 eV, i. e. the elastic energy can be comparable to AS and W. One should also take into account that the oxygen atoms are the double-hole acceptors so that their number is N/2.

In ⑺ we neglect the interhole exchange and correlation energies and the energy of their interaction with the screened Coulomb potential of acceptors, unlike a treatment of the impurity phase separation in nonmagnetic semiconductors (see [10]). Here these interactions play a subordinate role compared with the interaction between holes and the magnetic subsystem causing the appearance of the «magnetic» potential well. The boundary effects are not taken into account, which makes it impossible to establish the true geometry of the two-phase state using the present treatment.

In order to optimize the energy (7) in an explicit form, we put 沙/凡 instead of 沙/ in the last term in ⑺.The corresponding correction may be accounted for within the perturbation theory. Then we obtain in the zeroth approximation

等=—и(8)

where we used

Jr = J — H S + ^―—,Wr = W +仆■.(10)

A necessary condition for the validity of (8), (9) is 沙/ > 匕 where v is given by (4).

As seen from (9), (10), the volume of the high conducting ferromagnetic phase increases with H. Hence, if at Я = 0 the ferromagnetic regions occupy a minor part of the crystal and are separated fromeach other, the field may increase their volume, and percolation may begin. This is tantamount to the insulator-to-metal transition induced by the magnetic field.

Another possibility consists in an abrupt transition from the two-phase state to the uniform state. To make sure of this possibility, we put c, = 0. Then according to (6) and (8) for 沙一> 0

5E = Е* — Eq [—* + L44j2/5(k%)3/5]十 器[等—1.15产仆^屮产勺.(п)

In order to ensure the phase separation at // = 0, the expression in the first brackets in (11) should be negative. Then the expression in the second brackets is positive, i. e., SE increases with H. At a certain value of H it may change sign, which means a phase transition in the uniform state.

Phase separation in Ьа1_жСажМпОз. Now compositions of the Ьа1_жСажМпОз type will be considered. It is very important that the total number of acceptors does not coincide with the number of Ca atoms: only those that are separated from other Ca atoms are electrically active. However, most Ca atoms should enter small Ca clusters, and they do not produce the holes in the crystal. The density of electroactive Ca atoms and, hence, that of holes will be denoted by n.

Only the case of a zero field will be treated here. The total energy 石sp of the phase- separated state is given by the following equation,

2I\vVa /2

Here the same notations as in (7) are used, with the following additions. The first term denotes the energy spent for the creation of the spatially separated oxygen vacancy + + interstitial oxygen atom pair. The energy D includes the energy gained as a result of recombination of the electrons and holes. The constants С/ and % correspond to interaction between oxygen vacancies and excess oxygen atoms, respectively.

It is also assumed that in the antiferromagnetic region the total number of electrons bound to donors is equal to the total number of holes, i. e., the semiconductor is completely compensated in this region. As the compensation occurs via oxygen vacancies, each of them is the double-electron donor, the total number of the oxygen atoms going over from the antiferromagnetic portion to the ferromagnetic is 几匕/2. Keeping in mind that each

oxygen atom in the ferromagnetic portion plays the part of double-hole acceptor, one obtains the following expression for the hole density in the ferromagnetic portion,

(13)(13).nVa N

(13)

(13)

= n + —— =, N = nV.

First, an analysis will be carried out for the case when the elastic interaction energy can be neglected. Then one obtains from (12), (13),

辱=^一 U+(l『5 K'"(ИЛ”(14)

К = J—, 丿=пи.К = J—, 丿=пи.(15)(15)

К = J—, 丿=пи.

К = J—, 丿=пи.

(15)

(15)

For small Vf one may take into account the elastic interaction terms in (12) using the same approximate procedure as in the preceding section. The same may be done for arbitrary Vf if Cj》％. In all these cases the elastic interaction hinders the phase separation. As follows from (14), (15), on increasing the mean density n, the energy of the phase-separated state per hole diminishes, the volume of the ferromagnetic portion of the crystal increases, but the hole density inside it decreases.

Now the changes will be pointed out that are necessary to make in the previous equations in the case of the double exchange W <C AS. Basing on the results of [3], for // = 0 one should replace (5) by

(16)(16)

(16)

(16)

Eqs.⑺ taken for Я = 0 and (12) remain valid if one puts U = W/2. Further

乙=(Г乙=(Г4(J/W)(2S + l)3/2 一4(J/W)(2S + l)3/2 一33(17)(17)

乙=(Г

乙=(Г

4(J/W)(2S + l)3/2 一

4(J/W)(2S + l)3/2 一

3

3

(17)

(17)

Eq. (17) differs from the De Gennes result [8] according to which for the double exchange, i. e. for W《AS, the canted antiferromagnetic ordering is always energetically more favoured than the collinear one. The reason for this is the fact that in [8] an expression for the hole energy was used which is valid in the limit (2S)-1/2 —> 0. In this limit ua (17) goes to zero, too. Finally

(18)(18)_ 4J(1 + 1/S)

(18)

(18)

Acknowledgement. This investigation was supported by Grant 94 02 03332-a from the Russian Foundation for Basic Research.

Received 15 April 1996.

References

Jonker C, Van Santen 丿.〃 Physica. 1950. V. 160. P. 337.

Krinchik G. S., Gan'shina E.A., Trifonov A. Yu. // Fiz. Tverd. Tela. 1990. V. 32. P. 2500.

Nagaev E. L. Physics of magnetic semiconductors. — M.: Mir, 1983.

Nagaev E.L. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1987. V. 92. P. 569.

Nagaev E.L. // Phys. Lett. A. 1996. V. 211. P. 313. (Статья 6.1 настоящего сборника.)

Nagaev E.L. // Phys. Lett. A. 1996. V. 215. P. 321.

Wollan K, Koehler W. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Ое Gennes 夕.// Phys. Rev. 1969. V. 118. P. 141.

Urushibara A., Morimoto У., Arima T., Asamitsu A., Rido G., Tokura 匕〃 Phys. Rev.

B. 1995. V. 51. P. 14103.

Nagaev E.L. // Usp. Fiz. Nauk. 1995. V. 165. P. 529.

Tamura S. // Phys. Lett. A. 1980. V. 78. P. 401.

Saitoh T., Bocquet A., Mirokawa T., Namatome H., Fujimori A., Abbade M., Takeda У.,

Takano M. // Phys. Rev B. 1995. V. 51. P. 13942.

Eshelby 丿.〃 Solid State Phys. 1956. V. 3. P. 79.

Magnetoimpurity theory of resistivity andmagnetoresistance for degenerate ferromagnetic semiconductorsof the LaMnO3 type

E. L. Nagaev

Phys. Rev. B. 1996. V. 54(23). P. 16608-16617

A theory for resistivity and magnetoresistance of ЬаМпОз-type degenerate ferromagnetic semiconductors is developed. The peak of resistivity not far from the Curie point Tc, which is absent in perfect crystals, is explained by a magnetization-dependent impurity scattering when the potential of ionized impurity is the sum of the usual electrostatic potential and an exchange potential caused by a difference in the local magnetizations close to the impurity and far from it. This exchange potential is a maximum in the vicinity of Tc, which causes a decrease in the mobility and an increase in the number of states in the band-tail states; that is, decrease in the number of delocalized charge carriers. The latter may be so considerable that it may manifest itself not only in the resistivity peak but also in the transition from the high-conducting state to the insulating state. A magnetic field suppresses the exchange potential and for this reason causes a giant magnetoresistance.

Introduction. Magnetic semiconductors were investigated very actively from 1950 to 1980, and it has been established that their physical properties in many respects are unique (see monograph [1] summing them). But the hope to use them for practical purposes was very slim at that time, and this led to a sharp decline in scientific interest. Now a renaissance of magnetic semiconductors is beginning. This is caused by the possibility to use them for technical devices based on their giant magnetoresistance. As the magnetoresistance in ferromagnetic semiconductors is normally very high, and some of them such as Ca- or Sr-doped ЬаМпОз may operate at room temperatures, these materials can successfully compete with giant-magnetoresistance layered structures (see review of properties of manganites in [2]).

The main aim of the present paper is to give an adequate interpretation of the transport and magnetotransport properties of the system La「冗 D冗 МпОз (D is Ca, Sr, etc.) which, in its essence, belongs to degenerate ferromagnetic semiconductors. But, as these properties are qualitatively the same as those of other ferromagnetic semiconductors, results of this paper should be valid for degenerate ferromagnetic semiconductors in general.

The main specific features of La]_冗 D冗 МпОз are as follows [2]. The basic material is the antiferromagnetic insulator ЬаМпОз. After doping it acquires first nonsaturated spontaneous magnetization. Many investigators consider it to be a consequence of the canted antiferromagnetic ordering, though even in the pioneering paper [3] it was proved that, in actual reality, unsaturated magnetization arises as a result of the separation of the material into the antiferromagnetic and ferromagnetic phases (see in more detail in [2]). At dopings from ж = 0.3 to 0.6, the samples are completely ferromagnetic, and at still larger ж they are antiferromagnetic again.

At ж < 0.18 and ж > 0.6 the samples are insulating, and in the intermediate range of the ж values they possess the resistivity typical of degenerate semiconductors. Comparison of data on the resistivity and magnetization of these materials makes it possible to conclude that the ferromagnetic phase is high-conducting and the antiferromagnetic phase insulating. To ensure high conductivity of the samples at 0.18 < ж < 0.3 the main portion of the crystal should be ferromagnetic with islands of the antiferromagnetic phase inside it.

The main specific feature of manganites is a resistivity peak that they display in the vicinity of the Curie point 7c- It may be drastically reduced by an external magnetic field, which is tantamount to the giant negative magnetoresistance.

These properties of degenerate Lai_冗 D冗 МпОз resemble properties of such classical ferromagnetic degenerate semiconductors as EuO or EuS, though the latter are obtained by doping not of antiferromagnetic semiconductors but of ferromagnetic semiconductors. In particular, EuO also displays the resistivity peak close enough to 7c- Moreover, in a rather narrow conduction-electron-density range EuO demonstrates transition from the high-conducting state to the insulating state with reduction in the conductivity by 13-19 orders of magnitude, on approaching 7c from the low-temperature side [4]. So far only much lower peaks of the resistivity have been discovered in La]_冗 D冗 МпОз. Nevertheless, the enthusiasts call them the metal-insulator transition, too, even in the cases when the peaks amount only to 1-2 orders of magnitude.

La】—冗 D冗 МпОз is a p-type semiconductor. Many investigators believe that the holes correspond to Mn4+ ions arising among the regular Mn3+ ions due to doping. In this case, it is assumed that the motion of the holes occurs via the double exchange, the notion of which was introduced in [5]. The corresponding theory of the transport properties of the manganites was developed in [6].

But recent photoemission and ж-ray-absorption spectroscopy investigations [7] evidence that the holes are located mainly on the oxygen ions. This result was confirmed by theoretical calculations [8]. This makes it necessary to also investigate theoretically the transport properties of manganites without assumption of the double exchange. Such an investigation is carried out in the present paper. The model used here makes it possible also to explain the concentration metal-insulator transition in EuO.

Only the pure ferromagnetic state will be discussed, which is established in La/_冗D冗МпОз at ж > 0.18 in the entire crystal or in its main portion. High numbers of doped atoms do not imply that the numbers of charge carriers are equal to them. It is well known in semiconductor physics that the charge-carrier density may be several orders of magnitude lower than the mean density of the doped atoms as not all of them are in the electroactive state corresponding to separated impurity atoms (for example, they may form microclusters of dopant).

Unfortunately, as usual in ferromagnetic semiconductors, it is virtually impossible to find the carrier density from the Hall measurements, due to the anomalous Hall effect inherent in them [1]. This hinders the qualitative comparison of the theoretical results obtained below with the experimental data presented in [2]; however, qualitatively they agree.

Model. As generally accepted, properties of semiconducting rare-earth and transition-metal compounds are adequately described in most cases by the s-f (or, which is the same, by the 6—d) model. The main specific feature of this model is separation of all the electrons of the crystal into immobile electrons of partially filled d(/) shells and mobile electrons playing the part of charge carriers. It is the common practice to call the latter s-electrons though in reality their atomic orbitals may be of quite different types. Moreover, the term s-electrons is used for holes in magnetic materials with the p-type conductivity.

The Hamiltonian of the s-d model is taken in the form

Ек《акь - ^ £ (Shs) exp (г (к - X) g)唯仇” + Нм + Нс, \⑴

^ = -|£/(g-f)sgsf-H£s|.

where 磕小県 are the creation and annihilation operators for a s-electron with the quasimomentum к and the spin projection cr, Sg is the d-spin operator of the atom with number g, s“ are the Pauli matrices, and Nt is the total number of atoms in the crystal over which the s-electron moves. If the s-electron moves over the magnetic atoms the label h in the second term in Eq. (1) coincides with g. But if it moves over nonmagnetic

atoms (e. g., a hole over the oxygen ions) then h corresponds to the nearest magnetic neighbors of this atom, and summation is carried out over them.

The term in Нм bilinear in the d-spin operators will be called the direct exchange Hamiltonian though in reality it rather corresponds to the superexchange between magnetic atoms. The last term in it describes interaction of the d-spins with the external magnetic field H taken in the energy units. Its direct interaction with charge carriers is not taken into account as at temperatures not very low it is many orders of magnitude weaker than its indirect influence on the carriers via magnetization of the crystal induced by it [1].

The term He describes the electrostatic interaction in the system of electrons and ionized donors or holes and acceptors.

The main parameters of the s-d model are the s-band width W = 2zt oc 1/ma2 (m is the s-electron effective mass, a is the lattice constant,方=1), the s-d exchange energy AS (S is the d-spin magnitude), the direct exchange energy n/S, which is of the order of the magnetic ordering temperature in the insulating state, and the electrostatic energy £2八1/3/&0, where n is the 6 electron density, £q the dielectic constant of the crystal, and n the nearest-neighbor number.

If the hole moves over the magnetic ions, it is in the orbital state of the d-type, and its exchange with the d electrons is very strong. On the other hand, overlapping of d orbitals of neighboring atoms is small. For this reason, in this case the inequality \A\ S ^> W should be met. However, if the electron is really in the s-type orbital state, or the carrier moves over the neighboring nonmagnetic atoms, the opposite inequality \A\ S《W should be held. We limit ourselves to investigation of the last case. Its applicability to ЬаМпОз is based on the experimental data [7] according to which the hole in this material is located on the oxygen ions. Just the opposite assumption was made in [8].

As only long-wave effects will be considered here, one may simplify additionally Hamiltonian (1) for the case of holes located on the oxygen ions by assuming that they are located on the magnetic ions, too. The memory about their real location on the oxygen atoms remains in a relatively small value of the s-d exchange integral A, which, to simplify the notations, will be taken to be positive. Both of these simplifications are inessential for results obtained here.

Independently of relationship between AS and W, both the quantities AS and W should greatly exceed n/S, as even for narrow d bands these quantities are, respectively, of the zeroth, first, and second order in the overlap of nearest-neighbor orbitals (generalization to the superexchange is obvious). In what follows, in addition to AS << W^ the inequalities

2 1/3

AS >乩》匕J (2)

will be used, with 从 being the Fermi energy. The first of them expresses a relatively small number of charge carriers in a degenerate semiconductor, the second is the standard condition for a semiconductor to be degenerate.

Physical background. The physical origin of the resistivity peak or even metalinsulator transition, as well as the negative magnetoresistance of degenerate ferromagnetic semiconductors, cannot be explained by the pure magnetic reasons of the type of the critical scattering of charge carriers (see, for more detail, Sec. 5). Moreover, the experimental data evidence that the perfect ferromagnetic conductors display not the resistivity peak but the peak of its temperature derivative in 7c [1]- Hence, the resistivity peak should be related to the imperfections in the crystal, which is confirmed by the fact that it is strongly impurity dependent [2].

On the other hand, it also cannot be explained only by the standard electrostatic impurity-carrier interaction. In degenerate semiconductors charge carriers interact with

randomly distributed ionized impurity atoms (donors or acceptors) which causes scattering of charge carriers and transition of a part of them from delocalized states to localized ones (appearance of the valence- or conduction-band tails). Both the scattering and the number of carriers in the tails increase with increasing strength of the impurity potential. But the resistivity of the nonmagnetic degenerate semiconductors in which such a purely electrostatic interaction is realized is virtually temperature independent.

My interpretation of the resistivity peak in magnetic semiconductors consists in its magnetoimpurity nature [1]. At finite temperatures fluctuations of the electrostatic impurity potential cause static spatial fluctuations of the magnetization. For this reason the total impurity potential acting upon a charge carrier is the sum of the electrostatic potential and the magnetic potential arising due to the magnetization fluctuations. The latter enhance the action of the electrostatic potential fluctuations upon charge carriers. As the magnetic fluctuations are maximal in the vicinity of 7c, the interaction between carriers and impurity is maximum there. This just leads to the resistivity peak.

To elucidate the origin of the magnetic potential, it should first be noted that not very close to the critical point 7c the perturbation theory for the s-electron in AS/W is valid, and then according to Eq. (1) its energy is given to the first approximation by

石 *(k,o) = Ek — AM* (3)

where M is the mean crystal magnetization per atom. In imperfect samples the static magnetization M fluctuates, being a function of the coordinate r. Then one may use Eq. (3) in the Born-Oppenheimer approximation, treating the quantity —AM(r)a as an effective potential related to the magnetization fluctuations. It should be added to the conventional electrostatic potential to obtain the total impurity potential. Such an approach is justified in the long-wave limit when the magnetization changes considerably over a length greatly exceeding the lattice constant. This is just the case here: it will be shown below that the magnetization-fluctuation length should be of the order of the screening length, which in semiconductors considerably exceeds the lattice constant.

The impurity-induced spatial-magnetization fluctuations are caused by the corresponding fluctuations in the carrier density, which, in turn, are caused by fluctuations of the electrostatic potential of the impurity. As is well known, the carriers realize the indirect exchange between the magnetic atoms. Due to this fact alone, the antiferromagnetic ordering is replaced by the ferromagnetic one, upon ЬаМпОз doping. At not very large carrier densities typical of degenerate semiconductors, the strength of the indirect exchange interaction increases with the density.

The tendency of the carriers to establish the ferromagnetic ordering reflects the fact that the ferromagnetic ordering diminishes their energy. This is seen qualitatively from Eq. (3). If one takes into account Eq. (2), according to which all the carriers have the same spin orientation, one sees that, really, the minimum of the carrier energy is reached at the complete ferromagnetic ordering.

As the carriers screen the ionized impurity, their local density close to the impurity exceeds its mean value. Hence, the local thermal destruction of the magnetic ordering close to the acceptor or donor is less than far from them. As a result, a force of the s-d exchange nature appears that additionally attracts the carriers to the impurity. This force passes its maximum at intermedate temperatures comparable to 7c as at T = 0 the magnetization is complete over the entire sample, and its spatial fluctuations are absent. On the other hand, at T―>oo the local magnetization is completely destroyed over the entire crystal, and there is no difference in the local short-range order (SRO) in the vicinity of the impurity and far from it, and, hence, no attraction to the impurity by the magnetic force.

Due to the s-d exchange potential, in ferromagnetic semiconductors the total impurity potential is maximum in the vicinity of 7c- Thus, both the carrier mobility and number of delocalized carriers should be minimal there. It is even possible that all the carriers turn

out to be in localized state, i. e., the metal-insulator transition will take place, on increase in temperature.

The origin of the giant negative magnetoresistance is obvious from the aforesaid: everywhere the magnetic field moves the local magnetization closer to its saturation value, which decreases the difference between the SRO in the vicinity of impurity and SRO far from it. In other words, it diminishes the s-d exchange force attracting the carrier to the ionized impurity. Certainly, the magnetoresistance should be negative and isotropic, and it should be maximal in the temperature range where the resistivity passes the maximum.

It should be added that the resistivity peak and giant magnetoresistance may be caused also by an inelastic scattering of the carriers by time-dependent magnetization fluctuations modified by impurities (e. g., by magnons); however, the inelastic scattering cannot lead to the appearance of band tails and for this reason will not be considered here.

Dielectric and magnetoelectric response functions in magnetic semiconductors far from the Curie point. As was pointed out in the previous section, the origin of the resistivity of degenerate semiconductors is the interaction of the charge carriers with the ionized acceptors (donors). The potential of the latter differs drastically from their bare Coulomb potential due to its modification by other carriers. In nonmagnetic degenerate semiconductors this leads to replacement of the true Coulomb potential by the screened Coulomb potential.

In magnetic crystals an additional modification of the impurity potential occurs due to the interaction between the carriers and magnetic subsystem. This interaction manifests itself in appearance of the s-d exchange force related to the magnetization fluctuations and in a change in the screening. In order to find the transport coefficients of the system under consideration, one should calculate first the modified impurity potential acting upon the charge carriers. As this potential is expressed in terms of the response functions to an external electric field, one should find these response functions in a conducting magnetic crystal.

In quantitative formulation of the problem, we begin with temperature regions where Eq. (3) is valid, and the charge carriers are completely spin polarized. This is the spin wave region T^lS《T《T(j where for large spins S the short-wave magnons play the dominant role [the reason that Eq. (3) is not valid when the long-wave magnons dominate will be discussed in detail in the next section]. These conditions are also met in the paramagnetic region, if magnetic fields are strong enough that the complete spin polarization is achieved [according to Eqs. (2) and (3) this may occur at magnetizations far below the complete one].

First, one should find the response functions to an external electric field in a conducting magnetic crystal that are more complicated than in nonmagnetic crystals. Certainly, as is usual, an external electric field Ф(q) with the wave vector q produced by ionized impurities induces an internal electric field

s(q) = &T(q)①(q), ⑷

where &(q) is the dielectric function of the crystal.

It also changes the magnetization M(q) at finite temperatures by changing the indirect exchange via charge carriers. In the case when Eq. (3) is valid, one may introduce a magnetoelectric response function Gi(q) by means of the linear expression

Mq) = w(q)①(q)・ (5)

Hence, the effective field g*(q) acting on the electron with the energetically favoured spin projection is equal to

w*(q) = eg(q)-弋⑷=e《T(q)①(q) ⑹

with «the effective dielectric function»

L(q) = L(q)-⑺

To find it, one should use the constancy condition of the electrochemical potential over the sample in the form

+ wS)= -弋⑺ + £"(')+ Mp m(D)，⑻

where n and M are the mean values of n(r) and M(r),

2m '

where 4P is the Fermi energy of spin-polarized electrons. The r depencence of the local magnetization Mg is caused by the same dependence of the local carrier density n(r) on which 7И(г) depends directly. Hence, after linearization of Eq. (8) with respect to Jn(r)= = n(r) — n one obtains

where

_ 4 dM(n) dn/ 、

-¥ dn)

In calculating the dielectric function one should keep in mind that the electrostatic field acting in the crystal is the sum of the external field ①(q) (i. e., the field produced by ionized impurities) diminished by £q times due to the polarization of the crystal, and the field bg(q) produced by the charge carriers:

6s(q) = w(q) -)s(q)・(u)

Using Eq. (9) makes it possible to represent the Poisson equation for the electron part of the electrostatic field in the form

q2bg(q) =®(12)

Then from Eqs. (11) and (12), one can deduce the following expression for the dielectric function of the conducting magnetic crystal:

(13)(13)&(q) = &o н&(q) = &o н

(13)

(13)

&(q) = &o н

&(q) = &o н

In the long-wave limit the magnetoelectric response function Gi(q) (Eq. (6)) is found from Eqs. (5), (8), and (9) to be

(14)

In writing Eq. (14) the derivative dM(q)/dn(q) is replaced by dM/dn as its q dependence is much weaker than that of &(q).

Using Eqs. (13) and (14), one obtains the effective dielectric function (Eq. (7)) in the form

2

(15)(15)C(Q) = S(Q)(l-r)=So(l-r) + ^q

(15)

(15)

According to Eqs. (15), (13), and (10), at A = 0 both &(q) and《(q) coincide with the true dielectric function of a nonmagnetic crystal with completely spin-polarized charge carriers. As seen from Eq. (15), the effective dielectic function《(q) differs from the true one, &(q), in replacement of the true dielectric constant £q by the effective dielectric constant Co = &o(l — F). According to Eq. (9), to determine Г, and, hence, « it is sufficient to determine the n dependence of M.

In the paramagnetic region with allowance for the fact of complete charge-carrier spin polarization and Eq. (3), one may write down the mean-field equation in the form

M = SBsM = SBs(H zIM + Anu)S(H zIM + Anu)S(16)(16)

M = SBs

M = SBs

(H zIM + Anu)S

(H zIM + Anu)S

(16)

(16)

Here 6s (力)is the Brillouin function, v = a3 is the unit-cell volume, and / the integral of the direct exchange between first-neighboring magnetic atoms.

One obtains, from Eqs. (10) and (16),

о/ dВs (ж)S dxо/ dВs (ж)S dx3 个 rvuS^B%83 个 rvuS^B%8x =x =(^H + zIM +(^H + zIM +Anv \ S 丿 TAnv \ S 丿 T(17)(17)

о/ dВs (ж)

S dx

о/ dВs (ж)

S dx

3 个 rvuS^B%

8

3 个 rvuS^B%

8

x =

x =

(^H + zIM +

(^H + zIM +

Anv \ S 丿 T

Anv \ S 丿 T

(17)

(17)

In the spin-wave region where the inequalities T^l S《T《Tc take place one may write

吟sY£^,(18)

where Qq is the ferromagnetic magnon frequency. One should take into account that the magnetic ordering is determined by both the direct and indirect exchange interactions.

The latter cannot be described by the standard Ruderman-Kittel-Kasuya-Yosida (RKKY) theory as its applicability condition 从「》AS is replaced here by the opposite one (Eq.⑵).The corresponding calculations were performed in [1]

3—) + 此3—) + 此1N1N^exp(zqA), △^exp(zqA), △J = zl S,J = zl S,whereQq = 2mAS.Hence, in this case the quantity Г is given by—742Tzy dn 1g?whereQq = 2mAS.Hence, in this case the quantity Г is given by—742Tzy dn 1g?(19)(20)(21)(19)(20)(21)

3—) + 此

3—) + 此

1

N

1

N

^exp(zqA), △

^exp(zqA), △

J = zl S,

J = zl S,

where

Qq = 2mAS.

Hence, in this case the quantity Г is given by

—742Tzy dn 1g?

where

Qq = 2mAS.

Hence, in this case the quantity Г is given by

—742Tzy dn 1g?

(19)

(20)

(21)

(19)

(20)

(21)

where N is the total number of magnetic atoms in the crystal.

Failure of the perturbation theory in s-d exchange close to the Curie point and absence of the resistivity peak in perfect ferromagnetic crystals. In order to investigate response of a ferromagnetic semiconductor to an external electric field in the vicinity of the Curie point, it is necessary, first, to find states of charge carriers in

this temperature region. It should be emphasized that the perturbation theory in AS/W is inapplicable in this region, and Eq. (3) fails.

The physical reason for this is as follows. This theory corresponds to the assumption that the electron energy should depend on the long-range order (LRO). But the energy of an electron cannot depend on the magnetization in very remote regions, and in actual reality it should depend on the SRO. In the previous section the situations were considered where the LRO and SRO practically coincide, and this justifies use of Eq. (3). But one may easily persuade oneself that in a general case Eq. (3) is invalid.

It is obvious from the following argumentation. Let us assume that the crystal is divided into equal halves with opposite moments. Then the total magnetization of the crystal is zero, and according to Eq.⑶ the renormalized s-electron energy 石*(k, o) should coincide with the bare-electron energy Ek. Let us now use a variational procedure and assume that the electron is located completely in the half with M = S containing N/2 atoms. Then the energy of the electron with о = 1/2 shifts downwards by 4S/2, but its kinetic energy in the ground state increases by only oc W]屮昌 due to localization inside this half.

As the ground-state energy obtained by the variational procedure is the upper bound for its true value, one sees immediately that at N —> oo this variational energy and, more, the true energy is considerably lower than that given by Eq. (3), i. e., the perturbation theory in AS/W fails. It works only at N?/?《W/AS, i. e., the electron ground-state energy is determined not by the LRO but by the SRO with a length of (W/AS)2^a. A similar conclusion follows from the well-known exact expression for the electron energy inside the classical-spin spiral structure with wave vector Q (see, e. g., [1]):

E (k, ±) = | 卜к + 瓦+q 土 J(石к —Ek+Q『 + (4S)2)• (22)

One sees from Eqs. (22), (20), and (3) that the ground-state energy for a spiral with Q《q is practically the same as for the ferromagnet, though the total moment of the spiral is zero. This confirms the inadequacy of Eq. (3). Physically, this means that the long-wave electrons do not conserve their spin projection and move over the crystal in such a fashion as to adjusts its spins to the direction of the local moment.

If one considers properties of a ferromagnet in the vicinity of the Curie point 7c one should keep in mind that, despite the destructed LRO, the SRO remains very considerable. In addition, the correlation length is very large, i. e., the local moment changes its direction inside the crystal very smoothly. For this reason the electron or hole adjust their spin to the local magnetic moment, changing its spin direction jointly with the latter.

This adjustment excludes the resistivity maximum at the Curie point in a pure crystal that is obtained formally if one calculates the s-electron lifetime in the Born approximation in AS/W and takes into account divergence of the correlation length at 7c- According to experimental data analyzed in detail in [1], the resistivity peak, really, is absent from perfect ferromagnetic crystals. For example, perfect ferromagnetic metals do not display peaks of resistivity p at 7c- Peaks of dp/dT are observed instead of them.

Unlike perfect crystals, imperfect ferromagnetic crystals display impurity-density- dependent peaks of resistivity at temperatures close enough to 7c though not coinciding with 7c- This peak diminishes its height in an external magnetic field which means existence of isotropic giant magnitoresistance in the vicinity of Tg.

Strictly speaking, the perturbation theory in ASIW fails also in the spin-wave region if T《Tq/S^ i. e., only longwave magnons exist. Then the local magnetization changes smoothly in the crystal, and the carrier spin should adjust to the local magnetization [1]. But this temperature range is not actual and for this reason will not be discussed here.

Variational principle for states of charge carriers. To construct a theory for the carrier mobility and density in the vicinity of 7c, first, an adequate description

of the charge carrier states should be given. Here a generalization of the variational procedure used in [1] only at 7c in the absence of the magnetic field will be given for all the temperatures in the vicinity of 7c and for nonzero magnetic fields.

The consideration presented below is based on the physical idea of adjustment of the «-electron spin to the local moment set forth in the preceding section. The idea is formulated mathematically as a requirement that the spin of the electron occupying the site g be aligned with the total moment Mg of a spherical region Gg with the radius R centered about site g. The radius R is considered as a variational parameter which should be determined from the condition of the minimum electron energy.

It is convenient to rewrite the s-d Hamiltonian (1) by introducing for each site g its own coordinates in which the z(g) axis coincides with the direction of the local moment Mg. For this aim a transformation of the electron operators for the same site is carried out which is quite similar to the spinor transformation.

Explicit expressions for the transformation coefficients are determined from the following requirements: (i) invariance of the scalar product of moment Mg sand the spin of the electron on site g with respect to the choice of coordinates; (ii) change in the sign of the «-electron operators 唯* ag入 is the electron spin projection onto the z(g) axis after rotation around the z(g) axis by an angle of 27r. Expressing transformation coefficients in terms of angles % and 屮g, which determine the Mg direction in the spherical laboratory frame of reference, one obtains

& = exp (E^gA) £ cos (鲁 + ^ 干 A^)限±i/2・ (23)

With the aid of Eq. (23) the s-d Hamiltonian (1) in the nearest-neighbor approximation for a cubic crystal takes the form

H = £H 入+ H …+ Hm, (24) л

Яд = -л£ AS|a；A«gA-^£cos (^f^) exp (z2A7g,g+A) «；л«ё+д,д,(25)

gg,3

where

,(cos 7/gf tan <gf A

7Kf = arctan ,

\ cosfgf 丿

2《gf = </?g — </?f,2%f = "g + 处, 2§gf = "g — "f.

Hamiltonian "入,_入，not written in an explicit form here (see [1]), describes the electron transitions changing the spin projection in the local frame of reference, ^gf is the angle between Mg and My.

According to the condition of a smooth spatial change in the local moment direction, the directions of the moments Mg and Мё+д are close to each other. Expanding the quantity 7gf [Eq. (25)] in small differences (<^g — Dg+a) and ("g — "g+厶) and performing the canonical transformation of the electron operators,

a*A exp (EX^g cos %) т а*л,

one obtains an expression for the electron energy with fixed spin projection A onto the local moment.

The trial wave function of a delocalized electron is chosen in the form of the plane wave with the spin direction fluctuating together with fluctuations of the local moment direction

以入=NT/2£exp(Ekg)ag> |0〉.以入=NT/2£exp(Ekg)ag> |0〉.(26)(26)

以入=NT/2£exp(Ekg)ag> |0〉.

以入=NT/2£exp(Ekg)ag> |0〉.

(26)

(26)

The form (26) suggests existence of two Zeeman sub-bands with opposite spin orientations with respect to the local moment. Using Eqs. (24) and (26), one obtains the following expression for the renormalized electron energy averaged over magnetic fluctuations (the latter may be considered as static because of strong inequality J《W):

1 —1 —石к入=(1 - ?) 7k - ZXQ,石к入=(1 - ?) 7k - ZXQ,g t cos (4\2g t cos (4\2F = 1 -F = 1 -|МОМД| \ |Мо||Мд|/|МОМД| \ |Мо||Мд|/(27)(27)

1 —

1 —

石к入=(1 - ?) 7k - ZXQ,

石к入=(1 - ?) 7k - ZXQ,

g t cos (4\2

g t cos (4\2

F = 1 -

F = 1 -

|МОМД| \ |Мо||Мд|/

|МОМД| \ |Мо||Мд|/

(27)

(27)

The angular brackets denote the thermodynamic averaging over spin fluctuations.

Charge carriers in the vicinity of the Curie point. In the vicinity of the Curie point, together with delocalized electron states of the type of Eq. (26), still states are possible in which the electron is localized inside magnetization fluctuations. But the density of the latter in perfect crystals is very small [1], and their wave functions with the asymptotic accuracy are orthogonal to those of extended states. For this reason the localized states can be ignored. To evaluate complex correlation functions entering (27) one may replace |Mg| by〈M；〉"?. As a result, these complicated correlation functions become expressed in terms of binary correlation functions. For the latter the following expressions based on the modern theory of critical phenomena (e. g., [9]) will be used. According to it one may set, at T < 7c,

〈S 汴分=W + ^S(S + l);xp(T</),(28)

〈S/分=〈S/力=『S(；+D.(29)

At T > Tc

= ^(S + 1)；P(T〉2 (E = y, z)(30)

(the atomic coordinate / has the same dimensionality as the lattice constant a). The average magnetization M as well as both the inverse correlation lengths £〉and £ are assumed to be small.

The small critical exponent 〃 is not taken into account in Eqs. (28)-(30). In concretizing the remaining quantities in these formulae, one should keep in mind that in the modern theory of critical phenomena one considers either temperatures different from 7c at zero magnetic field or nonzero magnetic fields at T©.

In the former case the parameters entering (28)-(30) are related to the critical exponents as follows:

M = ct% & =丁 = 1—工， с ос S, I ос г ос а. (31)

The scaling relations at 77 = 0 lead to the equality 2/3 =沙(e. g., Eq. (4)). Then for the ordered region the equality should be valid

"脑启(32)

In the latter case (T = T^) the quantities £ should be set equal to zero, and

吟 S* 闺 J S*ocS,吟 S* 闺 J S*ocS,(33)(33)

吟 S* 闺 J S*ocS,

吟 S* 闺 J S*ocS,

(33)

(33)

where the field strength H and Tc are taken in energy units.

Using (28)—(30), estimates for correlation functions entering Eq. (27) will be obtained. It will be instructive to omit the assumption of small M for the time being. Replacing summation over atoms by integration, one obtains the following expressions for the relevant correlation functions:

(34)(35)(34)(35)〈S°M)〉= £〈SoSQ = Ng (M + 爲 /eGo

(34)

(35)

(34)

(35)

with Ng = 4тг/3(А/а)3" = 3『S(S + 1). Further,

(36)(36)wherewhere«)= £〈SgSf〉= Ng + 壽), g,fCG。

(36)

(36)

where

where

in the form

尻,1/2 =卷(1-?)一譬，(37)

(МОМД) = (Mq) - N靠.

Substituting Eqs. (34)-(36) into Eq. (27), one obtains the carrier ground-state energy

尸=+黑，(38)

Q=(" + ^(" + //2(39)

If Л1 = S, to ensure the correct spin magnitude, one should set A T oc in Eqs. (38) and (39), which means the ideal ferromagnetic ordering. Then the energy (37) corresponds to Eq. (3), being linear in M; however, at small M the energy in the vicinity Tc is quadratic in M.

Results of calculations at small M for both cases of the magnetic-field or temperature- induced magnetic moments (33) or (31), (32) may be presented in a unified form by introducing the parameter 夕，which is equal to 1 for the former case and

p= 1-gS(S + 1) (40)

for the latter case (then the condition £R《1 is assumed to be met). One obtains the following expression for the energy of the electron inside the lower spin subband by minimizing Eq. (37) and its analogue for T > 7c with respect to R:

(41)(41)石 k,l/2 =厶 + VkM2,

(41)

(41)

(42)(42)(*符(5)，(*符(5)，(43)(43)

(42)

(42)

(*符(5)，

(*符(5)，

(43)

(43)

In calculating Eqs. (41)-(43) the following expression was obtained for the optimal radius:

R = RqR = RqpR0M2pR0M2(44)(44)

R = Rq

R = Rq

pR0M2

pR0M2

(44)

(44)

As seen from Eqs. (41)-(44), unlike Eq. (3), the conduction band bottom position is really not linear but quadratic in magnetization. It is a consequence of the fact that the electron energy is determined not only by the long-range order, but mainly by the shortrange order, which is responsible for the leading term in Eq. (41). Thus, at Л1 = 0 the average «-electron spin projection vanishes due to its adjustment to the fluctuating local moment. But the magnetization plays the part similar to that of an external magnetic field polarizing the system: the electron acquires the spin projection proportional to M. Its interaction energy with the magnetization should be proportional to M2, which explains the structure of Eq. (41).

But the temperature dependence of the conduction-band bottom is determined not only by the LRO but also by the SRO. The contribution of the latter is taken into account by the phenomenological parameter g entering the factor p. Though only order of magnitude is known for this parameter (see Eqs. (32) and (40)), one may argue that the factor p is certainly positive. This follows from the fact that the correlation function (Sq S/) for all f increases, on decrease in temperature.

Above 7c the temperature dependence of the conduction band position is completely determined by the SRO. One may carry out a similar calculation for this case, too. The electron energy turns out to be expressed in terms of the correlation length which is a measure of the SRO: the following expression for the energy of the electron inside the lower spin subband is valid:

石 k,i/2 = Uk+ (£〉，)％• (45)

As follows from Eqs. (41)-(45), at Tc the lowering of the band bottom caused by the s-d exchange is of order of AS{AS/W)1^ instead of vanishing as it is prescribed by Eq. (3). The above estimate is confirmed by a direct summation of an infinite sequence of perturbation theory diagrams [10].

Under real conditions even at AS/W《1 the quantity (AS/W)1^ is normally of order 1, and for this reason the s-d exchange shift of the «-electron energy at 7c is comparable to that at T = 0. But far from T^, at T》T^ the procedure developed here does not work as the long-wave fluctuations play only a minor role. Accounting for the short-wave fluctuations is carried out within the framework of the standard perturbation theory in the s-d exchange, when the Zeeman splitting disappears at Я = 0.

Magnetoelectric response functions close to the Curie point. In this section only the case of zero magnetic field will be treated. After finding the energies of the carriers in the vicinity of Tc, we are now in position to construct the response functions to the electric field in this temperature range. In addition to the usual dielectric function defined by Eq. (4), one should introduce still the magnetoelectric response function. In Eq. (5) it was determined as a proportionality coefficient between the magnetization and the external potential. Due to the quadratic dependence of the electron energy on

magnetization near T© in the approximation accepted Eqs. (41)-(44), it is natural to determine this function here as the proportionality coefficient between M2 and Ф:

(46)(46)A^(q) = G2(q)①(q)・

(46)

(46)

It is assumed that all the «-electrons are spin polarized with respect to the direction of the local moment; i. e., they occupy only the lowest subband of band (27) with A = = 1/2. Then, with allowance for Eq. (24), one has the following expression for the effective dielectric function:

(47)(47)力 Y + %2(q)・

(47)

(47)

This expression is valid at q《min(Rj\ n-1/3) , where Яо is the radius of the local magnetic order region (44). Then one can use the Born-Oppenheimer approximation. According to Eq. (41), an effective potential

(48)(48)eg*(r) = e^(r) + V(M2(r) - M2),卜三％

(48)

(48)

acts upon the electron where M = M(n), n is the mean carrier electron density. The condition of the constant electrochemical potential in the crystal has the form (cf. Eq. (8))

从 5(r))=从⑺)—W(r) - V(M2(r) - M2),(从=w).(49)

Setting JM(r) = M2(r) — M2, Jn(r) = n(r) — n and linearizing Eq. (49), one arrives again at Eq. (9) but here Г is given not by Eq. (10) but by

(50)(50)

(50)

(50)

where for the thermally-induced magnetization according to Eqs. (31) and (32),

累= (*)(A户累= (*)(A户(51)(51)

累= (*)(A户

累= (*)(A户

(51)

(51)

In the mean-field approximation the critical exponent 沙 is equal to 1, and Eq. (51) has no singularities in Tq. But v is less than 1 beyond the mean-field approximation for the ideal Heisenberg and Ising three-dimensional systems with the nearest-neighbor interaction, and the quantity Г (Eqs. (50) and (51)) should diverge at the Curie point. This might mean that the linear approximation used above is invalid at the Curie point. But, first, in real degenerate semiconductors the phase transition is smeared off due to impurities, so that the Curie point itself is not a well-defined quantity. Second, the indirect exchange is rather long range, and the results, obtained in the nearest-neighbor approximation, may turn out to be invalid for it. In any case, to be safe, we limit ourselves to temperatures where Г < 1.

Repeating argumentation of Sec. 4, one arrives from Eqs. (9) and (50) at the equation for s(q) formally coinciding with Eq. (13) and at the following expression for 必2：

6(l-r)s(q)-

In writing Eq. (52) the derivative dAl(q)/dTi(q) is replaced by dM/dn as its q dependence is much weaker than that of s(q).

After similar replacement of % by V in Eq. (47) one obtains an expression for the effective dielectric function《(q) coinciding with Eq. (15) but Г is given by Eq. (50) here.

Thus, determination of《(q) requires calculation of the n dependence for 7c, which is a rather complicated problem taking into account the inapplicability of RKKY theory. Nevertheless, one is able to obtain rather crude estimates of the n dependence for 7c-

The results for the «-electron spectrum presented in Sec. 7 make it possible to evaluate the shift ВТ。of the Curie point caused by the non-RKKY indirect exchange, when the latter is much weaker than the direct ferromagnetic exchange. Then, if one uses the theorem about small corrections to the thermodynamic potentials [11], one should simply add the «-electron energy found from Eq. (41) to the free energy of the undoped ferromagnet.

As the former is expressed in terms of M?)it is advisable to construct the Landau incomplete thermodynamic potential for such a system. Since it corresponds to the meanfield approximation, for retaining the self-consistency of the approach one should assume that the magnetization M in Eq. (41) depends on temperature according to a power like law with the critical exponent (3mf = 0.5, and not with /3 = 0.38 as the modern theory of phase transitions predicts for the Heisenberg ferromagnets with the nearest-neighbor exchange. Such an approximation for /3 is justified, at least, if \ (/3mf — /3) In r|《1, i. e., at г > 0.01.

Using the well-known expression for the thermodynamic potential of the Heisenberg ferromagnet, one can write the thermodynamic potential of a degenerate semiconductor with the charge carrier density n in the form

3N (T —九)M2—2s(2S + 1)3N (T —九)M2—2s(2S + 1)+ nVM2.+ nVM2.(53)(53)

3N (T —九)M2

—2s(2S + 1)

3N (T —九)M2

—2s(2S + 1)

+ nVM2.

+ nVM2.

(53)

(53)

The symbol 7q denotes the Curie point in the absence of the indirect exchange. The term ос M4 is omitted as well as the term oc n5/3M2.

From Eq. (53) one obtains the following expression for the Curie point shift due to the «-electrons,

bTc = ~^VS(S + l)nv.(54)

As follows from Eq. (54) this shift is proportional to (AS^W1^^^ i. e., it differs drastically from results of the RKKY theory.

Another way to evaluate Tc consists in using the spin-wave approximation (Eq. (19)) and in extrapolating its results to Tc putting M = 0 in Eq. (18). Then one obtains a result differing not very much from Eq. (54):

JTC ~ VASWnv(55)

for a weak indirect exchange and

(56)(56)e ASnv

(56)

(56)

for the dominant indirect exchange. This result remains in force for the antiferromagnetic direct exchange also.

As follows from Eqs. (50), (51), and (54), when the direct ferromagnetic exchange is dominant,

Г =卜2s(S +S(57)

In the opposite limit, when the indirect exchange dominates, one obtains, with allowance for Eqs. (50), (51), and (56),

r = |V2^产-1厂1.(58)

The resistivity peak, metal-insulator transition, and giant magnetoresistance. Results of Secs. 3, 4, and 8 make it possible to explain specific features of resistivity of degenerate ferromagnetic semiconductors. There are two mechanisms by which the magnetoimpurity interaction influences the resistivity: scattering of charge carriers by impurities reducing their mobility, and formation of the tail of the conduction or valence band consisting of the localized states. Hence, this tail diminishes the number of delocalized charge carriers.

As seen from Eq. (15), the magnetic part of the potential does not change the screened-Coulomb form of the impurity potential, although it leads to increase in the effective charges of the charge carriers and impurity atoms, the magnitude of which is defined as《丁〃. On the other hand, the screening length becomes reduced because of this magnetic-potential charge renormalization. To describe the scattering by randomly distributed ionized impurities, it is sufficient to replace the true dielectric function s(q), by the effective dielectric function《(q) (Eq. (15)) in the expression for the potential of the ionized impurities. This means replacement of the true dielectric constant £q by the effective dielectric constant G = £q(1 — Г). Then one obtains a modified Brooks-Herring expression for the relaxation time,

-1 2万02九加 Л /. . X 〃 、4k2co/ 、

厶+〃 =(59)

On the other hand, on increase of the separation from the conduction electron or hole band bottom 石。the density of states in the tail decreases according an exponential law which is nothing more than a generalization of the well-known law for nonmagnetic semiconductors (e. g., [1]):

g(石)a exp, Ef a,(60)

where xp is given by Eq. (13). Thus, the total number of the carriers in the localized states is proportional to Ef.

As seen from Eqs. (59) and (60), decrease in G causes increase in both the carrier scattering and number of localized carriers (though the screening length diminishes, the effective impurity charge increases, and the latter effect dominates). As the total number of carriers is fixed, this means a decrease in the number of delocalized carriers, which should be a still more important effect than decrease in their mobility. Thus, in order to find qualitative features of the resistivity and magnetoresistance, it is sufficient to analyze the T and H dependence of the quantity Г.

As follows from Eq. (21) in the spin-wave region Г increases with temperature at fixed H. But according to Eq. (17) in the paramagnetic region this quantity diminishes, on increase in temperature. Strictly speaking, Eq. (17) was obtained only for magnetic fields strong enough. However, if the charge carriers are spin depolarized in the paramagnetic region, the magnetoelectric effect should be considerably less pronounced than for the spin-polarized carriers. Hence, one can put Г = 0 there. As follows from the foregoing, Г should be maximal at a temperature comparable to T。. This explains the resistivity peak in this temperature range of which the position does not coincide with T®

Moreover, it may occur that transition from the high-conducting state to the insulating state may take place in a certain range of electron densities. Such a transition should take

place when all the carriers become localized, occupying band-tail states, i. e., the mobility edge becomes higher than the Fermi level. If one observes the behavior of Г as a function of n at fixed T, one sees from Eq. (57) that at relatively small n the quantity Г increases with n for the ferromagnetic direct exchange. But, on further increase in ту, Г should pass the maximum at a certain nm and then begin to decrease with increasing n. This is directly seen from Eq. (58): if one puts。= 1, one obtains the estimate Г ос VS2//i. However, one should keep in mind that Eq. (58) was obtained under assumption that the ratio on the left hand of this relationship exceeds 1 to ensure the complete local spin polarization. This limits applicability of the estimate under discussion. Nevertheless, the qualitative conclusion that Г decreases with n remains in force since at large 从 the carrier spin polarization virtually disappears.

If the maximum value of Г approaches 1 then a range of n values should exist around nm inside which the complete localization of charge carriers in band tails should occur at a temperature close enough to Tc- This means a transition to the insulating state. However, outside this range the metal-insulator transition should be absent. Just this situation is realized at the metal-insulator transition in EuO containing oxygen vacancies that take place at 50 K, i. e., markedly below Tc = 67 K. It is observed at n ~ (1-2) • 1019 cm-3, but disappears already at n ~ 3 • 1019 cm-3 [4].

In order to analyze the n dependence of Г at the antiferromagnetic direct exchange, one should keep in mind that at small n the ferromagnetic ordering is unstable. As follows from Eqs. (18) and (19), in this case at the boundary between the ferromagnetic and antiferromagnetic states Г diverges, monotonically decreasing with increasing n. Hence, the height of the resistivity peak should decrease monotonically with increasing n, which agrees with numerous experimental data (see [2]).

Not only temperature-dependent Anderson localization described above but also the Mott localization of charge carriers may lead to the metal-insulator transition in ferromagnetic semiconductors. These mechanisms are different since the former is caused by randomness in the distribution of impurity and the latter only by the Coulomb interaction between electrons (holes) and donors (acceptors). It works even at periodic arrangement of impurity atoms.

Qualitatively, the electron transition from the delocalized states to the localized ones in the Mott case may be explained as follows. Delocalization of electrons at T = 0 is caused by the fact that the electrostatic potential of a donor, screened by other delocalized electrons, turns out to be insufficiently strong for trapping the electron. But at finite temperatures the electron is attracted to the donor also by exchange forces, which are described by the effective dielectric constant G reduced as compared with the true dielectric constant So. As was pointed out above, its minimum is in the vicinity of 7c- Hence, the effective potential of the donor is maximum there, and it may cause the carrier localization at an impurity atom, starting from a certain temperature.

As a criterion of the temperature-induced Mott metal-insulator transition, one may propose the following relationship, which is a natural generalization of the usual Mott criterion:

a*n1/3 -0.25, a=£・ (61)

me

Probably, a quantitative theory of this phenomenon should combine both the Anderson and Mott mechanisms of the metal-insulator transition.

The magnetoresistance is analyzed in the same fashion. For example, as seen from Eqs. (17) and (21), the quantity Г diminishes with increasing magnetic-field strength, and this effect should be maximal in the region where the resistivity peak is situated.

Acknowledgement. This investigation was supported by Grant No. (94 02 03332-a) from the Russian Foundation for Basic Research.

Received 3 January 1996.

References

Nagaev E. L. Physics of Magnetic Semiconductors. — M.: Mir, 1983.

Nagaev E.L. // Usp. Fiz. Nauk. 1996. V. 166. P. 833.

Wollan K, Koehler W. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 545.

Oliver M., Kafalas J., Dimmock J., Reed T. // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 1064; Penny T., Shafer M., Torrance 丿.〃 Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 3669; Shapira У., Foner S., Reed Т.П ibid. 1973. V. 8. P. 2299.

Anderson P, Hasegawa H. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 675.

Nagaev E.L. // Phys. Lett. A. 1996. V. 211. P. 313. (Статья 6.1 настоящего сборника.)

Saitoh T., Bocquet A., Mirokawa T., Namatome H., Fujimori A., Abbade M., Takeda У., Takano M. // Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 13942.

Pickett W., Singh O. // Europhys. Lett. 1995. V. 32. P. 759.

Balescu R. Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics. — N.Y.: Wiley- Interscience Publication, 1975.

Nagaev E. L. // Solid State Commun. 1974. V. 15. P. 109. (Статья 1.10 настоящего сборника.)

Landau L. D., Lifshitz E. M. Statisticheskaya Fizika, Part 1. — M.: Nauka, 1976.

Метамагнетизм ян-теллеровских магнетиков

3. Л. Нагаев

ФТТ. 1997. Т. 39(9). С. 1586-1588

В ян-теллеровских магнитных системах, к которым относятся манганиты с колоссальным магнитосопротивлением, возможен метамагнетизм, связанный как со спин-фононным взаимодействием, так и с влиянием на обмен между спинами ян-теллеровского упорядочения электронных орбиталей.

В последнее время исследователи уделяют большое внимание манганитам, которые обладают колоссальным магнитосопротивлением и потому перспективны для приложений. Они очень интересны и с точки зрения физики происходящих в них явлений, поскольку они одновременно являются магнетиками, ян-теллеровскими системами с сильным электрон-фононным взаимодействием и зачастую испытывают переход из высокопроводящего в изолирующее состояние. В настоящей работе исследуется лишь часть этой общей проблемы — метамагнетизм ян-теллеровских систем с сильным электрон-фононным взаимодействием.

Примерами манганитов, обнаруживающих скачкообразный переход из антиферромагнитного состояния в состояние с высокой намагниченностью под действием магнитного поля, могут служить соединения Рг1_жСажМпОз с 0,3 < n < 0,5, в которых вместе с намагниченностью скачком возрастает и проводимость, что эквивалентно колоссальному магнитосопротивлению [1]. На данном этапе отсутствуют данные, свидетельствующие о том, что метамагнетизм есть следствие перехода изолятор- метал л. Кроме того, известны изотропные метамагнетики, в которых переход из антиферромагнитного в ферромагнитное состояние происходит без изменения типа проводимости [2]. Поэтому далее будем исходить из предположения, что метамагнетизм возникает по другим причинам, а переход изолятор-металл, наоборот, есть следствие изменения типа магнитного упорядочения.

Хорошо известно, что в большинстве случаев метамагнетизм вызывается большой магнитной анизотропией. Однако известны и изотропные метамагнитные системы. Необходимым условием для их метамагнетизма является сильный негейзенберговский характер изотропного обменного взаимодействия: обмен высшего порядка по спинам (биквадратичный, многоспиновый и т. д.) должен быть не слишком мал по сравнению с обычным билинейным обменом [2]. Как правило, это условие выполняется достаточно редко, чем и объясняется относительно небольшое число изотропных метамагнетиков.

Судя по тому, что температурная зависимость намагниченности родственного ферромагнитного материала Ьах_жВажМпОз хорошо укладывается в картину спиновых волн в изотропной системе [3], магнитная анизотропия этих материалов невелика. С другой стороны, для них характерна аномально сильная спин-решеточ- ная связь именно с теми колебательными модами, которые соответствуют эффекту Яна-Теллера. Об этом, например, свидетельствует изменение кристаллографической структуры таких материалов типа кооперативного эффекта Яна-Теллера, происходящее под действием магнитного поля [4]. Поэтому негейзенберговский обмен в манганитах должен быть достаточно сильным, и он может быть ответствен за их метамагнетизм.

Но кроме ян-теллеровских фононов необходимо также учитывать изменение обменного взаимодействия между атомами вследствие изменения орбитального состояния d-электронов, происходящего при эффекте Яна-Теллера. Оно тоже может быть причиной метамагнетизма этих материалов.

При исследовании роли эффекта Яна-Теллера за основу берется следующий модельный гамильтониан [2, 5]:

н = — ； ]£ /(g — f) (SgSf) + £ J(q, л g, f) (SgSf)(妬厂 ％ J]-

—；]»(g — f) RPf) + £ M(q,力 g, f) (PgPf)(bq「％j] —

—；£j(g —f)(SgSf)(PgPf) —£(HSg)+ £k闻力q〃 n=i, (1)

J*(—q"； f,g) = —J(q"； f,g), M*(—qj; f,g) = -M(q, J; f,g),

J(q"； g,f) = J(q"； f,g), M(q"; g,f) = 7H(q,力 f,g).

Здесь Sg — спин атома g величины S, предполагаемой больше 1/2, Н — внешнее магнитное поле,片歹 &qj — операторы фононов с волновым вектором q, принадлежащих ветви j. Чтобы описать двукратное орбитальное вырождение ян-теллеровских ионов, введены псевдоспины Pg, z-проекции которых равны ±1/2. В отличие от истинных спинов проекции псевдоспинов можно считать коммутирующими друг с другом.

В случае когда магнонные частоты малы по сравнению фононными частотами (для больших S это может иметь место даже при высоких температурах магнитного упорядочения), операторы спинов можно рассматривать как классические векторы. Тогда члены, линейные по фононным операторам, могут быть устранены из гамильтониана (1) посредством канонического преобразования

M = %7・ + ；£[J*(q6 f,g)(SgSf) + M*(q,y； f,g)(PgPf)], ⑵

где Gq# — новые бозонные операторы. Таким образом, магнитный ян-теллеровский гамильтониан и фононный гамильтониан оказываются распутанными, и первый из них дается выражением

н = —； £ /(g — f) (SgSf) — ； £ к (g, f； g\ ?) (SgSf) (Sg，s『)—

—；£ L(g — f) (PgPf) — ； £ Q (g, f；員 F) (PgPf)(Pg，P『)—

—；£ к (g, f； g\ f/) (SgSf) (PgPf) — £ (HSg), (3) где использованы обозначения

K(g,f； g/,?)= *〃q，力 g,f)J*(q); g,f),

Q (g, f；員 F) = £ M®j； g,f)”5

R (g, f; g，f)=凡值 一 f) (6 (g, g) 6 (f, f) + 6 (g, F) d (f,『))+

+ £ (M(q,力 g，fy* (q，力 g',f') + he)

где b(g, g‘)— трехмерный символ Кронекера.

Поскольку обменное взаимодействие очень короткодействущее, в (3) достаточно удержать ведущие члены, соответствующие первым по близости соседями и биквад- ратичному обмену (при S〉1/2). Для псевдоспинов используется то же приближение ближайших соседей, а биквадратичный обмен отсутствует из-за Р = 1/2. Вводятся углы а и /3 между моментами магнитных подрешеток и псевдоспинов соответственно. Тогда энергия системы на атом представляется в виде

石(а,户)=—I cos а — К cos2 а — L cos ^ — Я cos а cos^ — HS cos (а/2),

⑷

т _ zl (△) $2 у _ zK (0, △； 0, △) S’zL (△) D _ zK (0, △; 0, △) $2 J

2525252

Можно провести аналитическое исследование магнитного состояния, рассматривая по отдельности роли обмена высшего порядка по спинам и совместного спинового- псевдоспинового обмена. Оказывается, что оба эти механизма ведут к качественно одинаковым последствиям и, следовательно, взаимно усиливают друг друга.

Сначала будет исследована роль биквадратичного обмена (L = Я = 0 в (4)). По условию антиферромагнитного состояния в отсутствие поля параметр билинейного обмена I отрицателен. Принципиально важно, что, согласно (3), (4), параметр биквадратичного обмена К положителен. В этом случае равновесная намагниченность т = cos (а/2) определяется из уравнения

許=(—/ + 2K)m - 16Kn? - HS = 0.(5)

Как следует из (5), магнитная восприимчивость х рассматриваемой системы возрастает с ростом намагниченности и может даже обратиться в бесконечность при определенном ее значении, что означает скачок намагниченности в поле, т. е. мета- магнитные свойства

S dmS?小

X = -= о •(б)

dH 4|/|+ 8К —48Km2' '

Расходимость имеет место при т2 = 1/6 + |/|/12К, а это значение должно быть меньше единицы. Следовательно, метамагнитные свойства появляются только при К〉0, если еще выполнено неравенство 10К〉|/|. Важно, что оно совместимо с условием К《|/|, типичным для магнитных систем. Это значит, что метамагнетизм, индуцированный спин-фононным взаимодействием, вполне реалистичен в системах с сильной спин-фононной связью.

Теперь исследуем непосредственное влияние эффекта Яна-Теллера на магнитные свойства при К = 0, осуществляемое через спин-псевдоспиновую связь. Из условия минимума энергии (4) следует, что /3 равно нулю или тг.

В отсутствие магнитного поля в дополнение к условию а = тг, предполагается выполненным еще и условие /3 = 0. Условия того, что 石(тг, 0) меньше £7(0, /3) и ^(тг, тг), таковы:

7 + Я<0, I < L, R<L.⑺

Согласно (4), энергия системы в магнитном поле дается выражением

Е(а，6 = I + R — L — ^^, т = со* =崇 SHF = 4\I + R\.(8)

где Hf — поле схлопывания моментов подрешеток. Эту энергию следует сравнить с энергией ферромагнитного упорядочения при альтернативном ян-теллеровском упорядочении

⑼⑼Е(О,7Г)= —I + L + R — SH.

⑼

⑼

Энергии (8) и (9) совпадают при поле

Hm = HF- J/ — ^y^ •(10)

При написании (10) использованы неравенства (7). Если \L\ < |Я|, поле Нт^ безусловно, ниже поля схлопывания моментов подрешеток и, следовательно, соответствует метамагнитному переходу.

Этот переход происходит одновременно с резким изменением в структуре решетки. Оно может быть определено из (2), если принять во внимание, что изменения в скалярных произведениях, входящих в эти выражения, таковы: b (SgSg+厶)= =2s2 (l-(Hm/HF)2p(PgPg+A) = -1.

Поступила в редакцию / января 1997 г.

Список литературы

Less М., Barratt 丿Balakrishnan G. et al. // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. P. R14303.

Нагаев Э. Л. Магнетики co сложными обменными взаимодействиями. — М.: Наука, 1987.

Lofland S. et al. // Phys. Rev. B. 1995. V. 52. P. 15058; Нагаев Э.Л. // УФН. 1996. T. 166.

С. 833.

Asamitsu A. et al. // Nature. 1995. V. 373. P. 407.

Кугелъ К. И.)Хомский Д.И. / / УФН. 1982. Т. 136. С. 621.

Переходы Мотта в сильно легированных магнитныхполупроводниках

3. Л. Нагаев

ФТТ. 1998. Т. 40(3). С. 433-437

Предложено обобщение критерия Мотта для перехода сильно легированного полупроводника из изолирующего в высокопроводящее состояние, которое применимо для магнитных полупроводников. На основе этого обобщения исследованы переходы изолятор- металл в ферромагнитном полупроводнике, происходящие при изменении температуры, и переходы изолятор-металл в антиферромагнитном полупроводнике, происходящие под действием магнитного поля. Результаты представляют самостоятельный интерес и для невырожденных полупроводников, поскольку дают температурную и полевую зависимости радиусов примесных состояний, энергий и намагниченностей неионизованных доноров или акцепторов.

Многие сильно легированные магнитные полупроводники при изменении типа магнитного упорядочения или при разрушении его переходят из высокопроводящего в изолирующее состояние. Например, ферромагнитный полупроводник ЕиО в определенном интервале донорных примесей при повышении температуры обнаруживает переход из высокопроводящего состояния в изолирующее, причем скачок сопротивления достигает рекордной величины 19 порядков [1]. При дальнейшем повышении температуры образцы с большим содержанием примеси, пройдя пик сопротивления в районе точки Кюри 7с, возвращаются в высокопроводящее состояние, образцы же с меньшим ее содержанием так и остаются в изолирующем состоянии вплоть до самых высоких температур. Аналогичные, хотя и более слабо выраженные особенности сопротивления обнаруживают и манганиты (Ьах_жСажМпОз и т. д.) (см. обзор [2]).

В некоторых манганитах наблюдается переход из изолирующего состояния в высокопроводящее под действием магнитного поля. Он происходит одновременно со скачкообразным переходом из антиферромагнитного в ферромагнитное состояние, например, в Ргх_жСажМпОз с 0,3 < ж < 0,5 [2].

Природа переходов изолятор-металл при изменении температуры такова [3]. Радиус орбиты электрона на доноре в ферромагнитном полупроводнике при конечных температурах меньше, чем при Т = 0, из-за увеличенной намагниченности в окрестности донора, которая устанавливается благодаря косвенному обмену между d-спинами через электрон донора. Разность между средней по кристаллу намагниченностью и локальной намагниченностью в окрестности донора максимальна при температурах, близких к Тс- Следовательно, если при Т = 0 критерий Мотта (1) выполнен, он может перестать выполняться в окрестности 7с, и при росте температуры должен происходить переход из металлического в изолирующее состояние.

Можно было бы предположить, что должен произойти обратный переход при очень высоких температурах, поскольку корреляции между спинами отсутствуют повсюду, включая окрестность доноров или акцепторов. Но далее будет показано, что в действительности низкотемпературный радиус превышает высокотемпературный, так что система может остаться в изолирующем состоянии вплоть до самых высоких температур.

Простейший вариант теории переходов изолятор-металл, индуцированных магнитных полем, состоит в следующем. Как впервые было указано в [4], при антиферромагнитном упорядочении в зоне проводимости появляется щель. При ее половинном заполнении нижняя подзона целиком заполнена и отделена щелью от верхней подзоны, т. е. система находится в изолирующем состоянии. При установлении ферромагнитного упорядочения щель исчезает, и кристалл становится высокопроводяшим.

Однако такая простая теория явно неадекватна для рассматриваемых систем, где заполнение зоны проводимости заведомо не достигает половинного.

В настоящей работе дается также теоретическая интерпретация таких переходов в условиях, когда заполнение зоны проводимости далеко от половинного. Предложен их механизм, основанный на возникновении локальной намагниченности в окрестности дефекта и выравнивании намагниченности по кристаллу во внешнем магнитном поле. Этот механизм родствен описанному выше и работает в условиях, когда концентрация примеси близка к тому критическому значению, при котором осуществляется переход Мотта. Он позволяет объяснить переходы Мотта как при изменении температуры, так и в магнитном поле.

Следует указать, что впервые на появление намагниченности в окрестности донора и связанное с ней уменьшение радиуса орбиты было обращено внимание при исследовании антиферромагнитного полупроводника в [5], а через некоторое время появилась публикация [6], в которой было указано на рост локальной намагниченности вблизи донора в ферромагнитном полупроводнике при конечных температурах. Вопрос о радиусе орбиты там исследован не был.

Косвенный обмен через локализованный электрон. Переход Мотта в отличие от перехода Андерсона связан только с электронными корреляциями, а не с неупорядоченностью в расположении примесных атомов. Как хорошо известно, даже в периодической системе удаленных друг от друга атомов, если расстояние между ними достаточно велико, электроны остаются локализованными каждый на своем атоме. Их делокализация происходит, когда расстояние между атомами п-1/3 становится сравнимым с их атомным радиусом ад- Мотт предложил в качестве критерия делокализации в немагнитных полупроводниках неравенство [7]

⑴⑴精/%a> 0,25,

⑴

⑴

где оа совпадает с боровским радиусом ав = ^о/^е2 (方=1). Критерий Мотта получается из условия существования дискретного уровня в экранированном кулоновском потенциале вырожденного полупроводника, т. е. из условия абсолютной нестабильности металлического состояния. Однако такой подход вряд ли можно считать последовательным, поскольку число потенциальных ям в кристалле совпадет с числом атомов и возникновение дискретного уровня в отдельно взятой яме отнюдь не исключает образования энергетической зоны из этих уровней. Коль скоро соотношение Мотта хорошо согласуется с экспериментом, его имеет смысл рассматривать скорее как эмпирическое.

Встает вопрос, как распространить это соотношение на магнитные полупроводники, электрические свойства которых влияют на магнитные и наоборот. Можно попытаться сделать это, взяв в качестве исходного либо металлическое, либо изолирующее состояние. Первый подход, предложенный в [8], как и подход самого Мотта, основан на условии появления дискретного уровня в суммарном потенциале, включающем в себя экранированные кулоновский и обменный потенциалы. В результате в атомном радиусе ад, входящем в (1), вместо истинной диэлектрической проницаемости 8о появляется эффективная диэлектрическая проницаемость вырожденного полупроводника, учитывающая обменное взаимодействие электронов проводимости с намагниченностью.

Кроме уже отмеченного выше факта, что появление отдельного дискретного уровня не тождественно переходу изо лятор-металл, недостатком такого подхода является то обстоятельство, что во всех работах эффективная диэлектрическая проницаемость вычисляется для сильно вырожденного полупроводника, т. е. в предположении, что волновые функции электронов проводимости соответствуют плоским волнам, что вблизи границы перехода вряд ли верно. Впрочем конкретного рассмотрения перехода изолятор-металл на основе такого обобщения критерия Мотта не проводилось.

В настоящей работе проведен анализ перехода изолятор-металл с изолирующим состоянием в качестве базисного. В этом случае в качестве атомного радиуса а а в (1) выбирается реальный радиус в невырожденном полупроводнике, и именно он сравнивается со средним расстоянием между примесями. Такой анализ представляется более физичным. Кроме информации о переходе изолятор-металл он дает информацию и о свойствах невырожденных магнитных полупроводников, имеющую самостоятельную ценность.

В основе рассмотрения лежит одноэлектронный гамильтониан 6—d-модели с добавленной к нему энергией кулоновского взаимодействия между электроном и донором. В координатном представлении он имеет вид

н = Не H$d + "dd, Не =—,(方=1)，

2m eor

/⑵

Hsd = -A^(Sgs)o(r — g), Hdd = -g£(SgSg+a) — £(SgH), g

где O(r — g) равна единице внутри элементарной ячейки g и нулю вне ее, Sg и s — спины атома g и электрона проводимости соответственно. Взаимодействие s-электрона с внешним магнитным полем можно не выписывать, так как оно при А > О и заданной величине поля является константой.

Далее будет считаться выполненным неравенство AS《ГИ 〜1/ma2, где а — постоянная решетки, S — величина спина магнитного атома. Это условие заведомо выполнено в халькогенидах европия [2]. Кроме того, оно, возможно, выполняется и в таких материалах, как манганиты, привлекающих к себе сейчас большое внимание из-за своего колоссального магнитосопротивления. Хотя в течение долгого времени было принято считать, что дырки в них движутся по ионам Мп, и потому в них осуществляется двойной обмен (W《ZS) , недавно появившиеся экспериментальные данные [9] свидетельствуют о том, что они, скорее, движутся по ионам кислорода, что соответствует противоположному неравенству.

Начнем рассмотрение с далекой парамагнитной области. Для нахождения основного состояния электрона на доноре будет использована вариационная процедура.

Поскольку система d-спинов может рассматриваться как медленная по сравнению с s-электронной подсистемой, представляется естественным использование адиабатического приближения, предполагающего, что состояние магнитной подсистемы зависит от усредненных характеристик электронной подсистемы. Условиями для этого служат неравенства AS/W《1, IS/А《1. Пробная волновая функция соответственно ищется в виде

Ф(г,52) =^(г)Ф{^},(3)

где Ф — нормированная магнитная волновая функция, которая будет конкретизирована далее как функционал от электронной волновой функции 中.После построения волнового уравнения с гамильтонианом (2) и волновой функцией (3), умножения его слева на 中 и интеграции по координатам получается волновое уравнение для магнитной подсистемы

。⑷

"初=—ZE>(g)(SgS), W(g) = |^(g)| a3.

Магнитная волновая функция ищется в виде

①⑻)=夕⑻)b (/ ；) + x {S> b (/ —；),⑸

где Ь(о, ±1/2) — s-электронная спиновая волновая функция, (g, х) — двухкомпонентная волновая функция s-спинов, {S?} — совокупность ее переменных. Пользуясь (4), (5), имеем

⑹⑹⑻⑻

⑹

⑹

⑻

⑻

石 + —|—J 夕 + —x = о,厶=£^(g)Sg,

где L^ = Lx ± 1ЬУ.

Решение системы уравнений (6) с точностью 1/(2SNa), где Na — число магнитных атомов, по которым размазан электрон на локальном уровне, приводит к следующему выражению для эффективного магнитного гамильтониана Н^е〉имеющего те же самые собственные значения, что и гамильтониан Н@, но действующего только на одну компоненту 夕 волновой функции Ф:

⑺⑺нте = ±4( £ Mg)Mf)SgSf) •

⑺

⑺

Двойной знак в (7) соответствует двум дозволенным значениям L + 1/2hL — 1/2 полного момента системы, являющегося суммой полного момента системы L рассматриваемой области и спина электрона. Верхний и нижний знаки отвечают первому и второму из этих двух значений момента соответственно. Чтобы непосредственно убедиться в этом, достаточно выписать гамильтониан косвенного обмена Нте в случае w(g) = 1/Na, сохранив члены 〜1/Na,

точные собственные значения которых суть —AL/2 и A^L + /)/2. При выводе (7), (8) использованы следующие соотношения, справедливые для любой функции от Sz\

S~f(Sz) = f(Sz + 1) S-, L~L+ = 1^ -Lz (ZZ + 1).(9)

Они следуют из определения оператора S~ и правил коммутации для спиновых операторов.

Очевидно, как и должно быть, гамильтонианы (7), (8) изотропны. В отличие от гамильтониана Гейзенберга они описывают не билинейный, а многоспиновый обмен, в котором принимают участие одновременно до Na(Na — 1) d-спинов. Интенсивность косвенного обмена между спинами зависит не от расстояния между ними, а от расстояния между каждым спином и центром. Таким образом, несмотря на кажущуюся простую структуру, гамильтонианы ⑺，(8) довольно сложны (для последнего известны собственные значения, но определение собственных функций представляет собой весьма сложную задачу).

Гамильтонианы ⑺，(8) совершенно правильно воспроизводят энергию 6—d-обмена при ферромагнитном упорядочении. Но и при Т —> оо, когда корреляции между d-спинами отсутствуют, эта энергия остается отличной от нуля. Как следует из (8), она тогда равна

Еет（8）Еет（8）"，s（s + i）"，s（s + i）(10)(10)

Еет（8）

Еет（8）

"，s（s + i）

"，s（s + i）

(10)

(10)

9 Э. Л. Нагаев

Физический смысл (10) становится ясным, если вспомнить, что в соответствии с математической статистикой система N невзаимодействующих друг с другом спинов должна обладать полным моментом порядка №一】/? от их максимального момента. Направление этого полного момента не фиксировано и свободно флуктуирует в пространстве, так что его среднее значение равно нулю. Но спин 6-электрона ориентируется все время параллельно или антипараллельно направлению момента и флуктуирует вместе с ним. Тем самым обеспечивается максимальный выигрыш в энергии 6—d-обмена для энергетически выгодного направления s-спина по отношению к моменту области его локализации.

Температурно-индуцированный переход Мотта. При высоких температурах, когда корреляции между d-спинами слабы, магнитный гамильтониан ⑺ может быть представлен в гейзенберговском виде

Нм =+ Нн, =£ /(g』)SgSf,

(П) /(g,f) = ^^^g^f + 〃(g-f), p = s(s +1)£^4，

где учтен прямой d—d-обмен. Тогда свободная энергия системы дается выражением

F = Ee- № -TlnTr exp (—学).(12)

Используя высокотемпературные разложения, находим в первом порядке по 1/77

F^Ee- ^У^ - NT In (2S + 1)- *(力1)2 £ J2(g,f).(13)

Выражение (13) будет минимизировано по отношению к электронной волновой функции 中.

Как следует из (10), 6—d-обмен стремится уменьшить размер области локализации для s-электрона, поскольку тогда энергия 6—d-обмена понижается. По этой причине целесообразно выбрать орбитальный радиус в качестве вариационного параметра, входящего в условие минимума свободной энергии. В предположении, что электростатическая энергия существенно превышает энергию 6—d-обмена при Т —> оо, даваемую (10), пробная электронная волновая функция ищется в виде

以『)= ОехрC = F・(14)

\ ав/V тгав

-^mж3 + S(S + 1)〃力/3/2 + 弋S + D), 噜 к (力 (15)-^mж3 + S(S + 1)〃力/3/2 + 弋S + D), 噜 к (力 (15)После подстановки (14) в (13) с учетом (4), (11) и замены в выражении для Р суммирования по g интегрированием по г получаемПосле подстановки (14) в (13) с учетом (4), (11) и замены в выражении для Р суммирования по g интегрированием по г получаем

-^mж3 + S(S + 1)〃力/3/2 + 弋S + D), 噜 к (力 (15)

-^mж3 + S(S + 1)〃力/3/2 + 弋S + D), 噜 к (力 (15)

После подстановки (14) в (13) с учетом (4), (11) и замены в выражении для Р суммирования по g интегрированием по г получаем

После подстановки (14) в (13) с учетом (4), (11) и замены в выражении для Р суммирования по g интегрированием по г получаем

При написании (15) использовано приближение ближайших соседей для d-спинов совместно с неравенством ав ^> а. При Т —> оо минимизацией (15) по ж получается

R =R =Зе。L°b2е2Зе。L°b2е2(16)(16)

R =

R =

Зе。L°b2е2

Зе。L°b2е2

(16)

(16)

Из (15) можно найти и поправку к ж при конечных температурах

3Afa4+3S(S + l)/d 厶力警/23Afa4+3S(S + l)/d 厶力警/2(17)(17)

3Afa4+3S(S + l)/d 厶力警/2

3Afa4+3S(S + l)/d 厶力警/2

(17)

(17)

При сделанном выше допущении, что электростатическая энергия превышает энергию 6—d-обмена, знаменатель в (17) положителен. Знак числителя зависит от знака и величины интеграла прямого обмена Id^ Если он положителен или отрицателен, но по абсолютной величине невелик, орбитальный радиус уменьшается при понижении температуры.

Проведенное выше рассмотрение следует дополнить рассмотрением перехода изо- лятор-металл в спин-волновой области. Если следовать идеологии [8], то для этой цели было бы достаточно воспользоваться выражением для эффективной диэлектрической проницаемости вырожденного ферромагнитного полупроводника, выведенным в [3]. Однако в настоящей работе, чтобы воспользоваться (1), следует найти выражение для радиуса донорной орбиты в невырожденном полупроводнике.

Будем считать, что электрон равномерно распределен по области радиуса оа・ Тогда косвенный обмен ренормирует магнонные частоты только внутри этой области. При Т》Tq/S^ когда существенны только коротковолновые магноны, можно

воспользоваться усредненным выражением для магнонных частот

(18)

Используя ту же схему расчета, что и в парамагнитной области, и вычисляя электронную энергию (4) при помощи волновой функции (14), получаем следующее выражение для свободной энергии системы:

F=(=一力)еB 一年+ /(/)，FlTNa 呜.(19)

Минимизируя (18), (19) по ж, находим при низких температурах

ж ^ 1 + 4тгТж ^ 1 + 4тгТЕ(У))Е(У))(20)(20)

ж ^ 1 + 4тгТ

ж ^ 1 + 4тгТ

Е(У))

Е(У))

(20)

(20)

Как следует из (20), в спин-волновой области с ростом температуры орбитальный радиус уменьшается. Совместно со сделанным выше выводом о том, что в парамагнитной области он уменьшается при понижении температуры, это приводит к заключению, что орбитальный радиус должен быть минимален в районе Тс- Поэтому там наибольшая вероятность для образца перейти из высокопроводящего в изолирующее состояние.

Однако, если при повышении температуры образец перешел из металлического в изолирующее состояние, вовсе не обязательно, что он вернется в металлическое

состояние при дальнейшем повышении температуры. Как следует из (16), при Т —> оо орбитальный радиус а^х меньше, чем при полном ферромагнитном упорядочении с ж = 1. Таким образом, если концентрация примеси обеспечивает металлическое состояние при Т = 0 (неравенство (1) удовлетворено), оно может быть изолирующим при Т —> оо, когда это неравенство нарушается.

Переход Мотта, индуцированный магнитным полем. В этом разделе обсуждается переход изолятор-металл в антиферромагнитном легированном полупроводнике, происходящий под действием магнитного поля. При Т = 0 следует исходить из условия минимума энергии, определяемой из (4), (14), с учетом того обстоятельства, что спин атома g составляет угол g(g) с магнитным полем, и все эти углы совместно с параметром ж в (14) являются вариационными параметрами

Е = J — В Ев — £ He(^S cos g(g) - ^Ecos (奴g) + 夕(g + △))，

(21)

Минимизация энергии (21) по углам производится в предположении, что боровский радиус °в велик по сравнению с постоянной решетки а и что ж《а^/а. Тогда в (21) можно заменить g(g + △) на g(g) после чего получается

COS 屮⑺=0 (班-儿(g)) + ® (儿(g)—无),HF = —2/Sz,(22)

где 0(ж) — ступенчатая функция Хевисайда, z — число ближайших соседей (/ < 0).

Следует различать случаи /Тр < //е(0) и противоположный. В первом случае существует область полного ферромагнитного упорядочения, радиус которой h определяется из условия Нр = He(h). На расстояниях от донорного центра, превышающих /г, устанавливается скошенное антиферромагнитное упорядочение вместо коллинеарного. Из (21) получается

2万濕("F - ")2万濕("F - ")-з~ГТа х А-з~ГТа х А(23)(23)

2万濕("F - ")

2万濕("F - ")

-з~ГТа х А

-з~ГТа х А

(23)

(23)

Сначала рассмотрим случай, когда насыщенный ферромагнетизм отсутствует. Тогда, согласно (21), (22),

/ ж2LEBxsТ _石=(——еB — — h const, L =/ ж2LEBxsТ _石=(——еB — — h const, L =3%2s2(?3%2s2(?64万濃еb иf64万濃еb иf(24)(24)

/ ж2LEBxsТ _

石=(——еB — — h const, L =

/ ж2LEBxsТ _

石=(——еB — — h const, L =

3%2s2(?

3%2s2(?

64万濃еb иf

64万濃еb иf

(24)

(24)

Поскольку минимум Е (24) при ж —> схз не имеет физического смысла из-за условия ж « ов/。, использованного выше, достаточно рассмотреть только минимум по ж вблизи единицы. С другой стороны, если ферромагнитная область отсутствует, то, согласно (23), (24), L，0,01. Тогда получается равновесное значение ж = 1 + 2L. Уже этот результат свидетельствует о том, что радиус электронной орбиты здесь меньше, чем при ферромагнитном упорядочении (ж = 1). Следует отметить, что он здесь не зависит от магнитного поля.

Более интересен случай, когда ферромагнитная область вокруг донора существует. Тогда энергия дается

Е =Е =2тг/г37г (157xh3x2h2 А / ав \3Гж3(328aB4濃丿(а 丿2тг/г37г (157xh3x2h2 А / ав \3Гж3(328aB4濃丿(а 丿2 (〃f — "У $2Hf(25)2 (〃f — "У $2Hf(25)

Е =

Е =

2тг/г37г (157xh3x2h2 А / ав \3

Гж3(328aB4濃丿(а 丿

2тг/г37г (157xh3x2h2 А / ав \3

Гж3(328aB4濃丿(а 丿

2 (〃f — "У $2Hf

(25)

2 (〃f — "У $2Hf

(25)

С логарифмической точностью можно написать вместо (23)С логарифмической точностью можно написать вместо (23)Следовательно, получаетсяСледовательно, получаетсяЕ =Е =八斤丄К ® — НУ八斤丄К ® — НУK = ^^l^^\ (26)K = ^^l^^\ (26)

С логарифмической точностью можно написать вместо (23)

С логарифмической точностью можно написать вместо (23)

Следовательно, получается

Следовательно, получается

Е =

Е =

八斤丄К ® — НУ

八斤丄К ® — НУ

K = ^^l^^\ (26)

K = ^^l^^\ (26)

После минимизации энергии (26) по х имеем

—К (Hf — НУ

N = 1+У——Н Т Н$

(27)

Как видно из (27), при ферромагнитном упорядочении (ж = 1) радиус донора такой же, как и в немагнитном кристалле. Но при уменьшении Н этот радиус уменьшается. Следовательно, если в антиферромагнитном состоянии условие Мотта (1) не выполнено, оно может быть выполнено в ферромагнитном состоянии, что означает переход изолятор-металл, индуцированный магнитным полем. Безусловно, сила поля, при котором начинает выполняться условие Мотта, зависит от концентрации примеси. Однако при анализе экспериментальных данных следует иметь в виду, что, вообще говоря, не все введенные в кристалл атомы электроактивны. Если они образуют кластеры, то они не могут служить поставщиками свободных носителей заряда. Поэтому число примесных атомов, изолированных от других, может быть на несколько порядков ниже, чем полное число примесных атомов.

Поступила в редакцию / января 1997 г.

3 окончательной редакции 11 сентября 1997 г.

Список литературы

Oliver М. et al. // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 1064; Penny T. et al. // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 3669; Shapira Y. et al. // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. P. 2299.

Нагаев Э.Л. // УФН. 1996. T. 166. C. 833.

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

Ирхин Ю.П. // ФММ. 1958. Т. 6. С. 214. 586.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 228. (Статья 1.2 настоящего сборника.)

Janase A., Kasuya Т. // J. Phys. Soc. Jap. 1968. V. 25. Р. 1025.

Мотт Я., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. — М.: Мир, 1974.

Нагаев Э.Л. // ЖЭТФ. 1986. Т. 90. С. 652; ibid. 1987. Т. 92. С. 569.

Saitoh Т. et al. // Phys. Rev. В. 1995. V. 51. P. 13942.

Mechanisms for giant isotope effects in manganites andother oxide semiconductors

E. L. Nagaev

Phys. Rev. B. 1998. V. 58(18). P. 12242-12246

Mechanisms for giant isotope effects in colossal-magnetoresistance manganites and other oxide semiconductors — not related to an anomalously strong electron-phonon coupling are proposed. One of them is based on the fact that the thermodynamic equlibrium densities of the oxygen vacancies or excess oxygen atoms depend on the mass of the oxygen atom. As the vacancies and excess atoms act as the donors and acceptors, respectively, the charge carrier density in oxide semiconductors is isotope-dependent. The other mechanism relates the effect to the difference in the effective pressures created in the lattice by nonstoichiometric oxygen. These two mechanisms can explain effects observed experimentally. In addition, a mechanism is considered which is related to a polymorphic transformation in the crystalline lattice of a magnetic system.

Introduction. There are two different points of view on the nature of the resistivity peak and colossal magnetoresistance (CMR) of manganites (heavily doped ferromagnetic semiconductors with the hole conductivity):

As is true for the rest of the ferromagnetic semiconductors, these features are related to the magnetoimpurity scattering of charge carriers [1], and the hole-phonon interaction plays only a subordinate role [1-3].

They are related to the simultaneous interaction of holes with magnetization and phonons. The latter is abnormally strong due to the Jahn-Teller (JT) nature of Mn3+ ions entering manganites. The JT effect is vitally important for specific features of manganites. The impurity scattering is nonessential [4].

The arguments for the subordinated role of the JT effect in manganites are as follows.

(la) Not only manganites but also a very large number of other ferromagnetic semiconductors display the resistivity peak and CMR: this is their universal property, independently of their being nondegenerate and degenerate and of the sign of the charge carriers. In my book [1] a list of 30 ferromagnetic semiconductors is presented with such specific properties. Meanwhile, no one of them is a JT system, except manganites. In other words, the vast majority of systems with the same magnetic and electric behavior as manganites are the non-JT ones, and, hence, it is impossible to ascribe their specific properties to the JT effect.

(lb) The statement made in the previous item is strongly supported by the following fact. The effects considered manifest themselves in non-Jahn-Teller systems incomparably stronger than in the Jahn-Teller systems. For example, the height of the resistivity peak in the non-JT EuO amounts to 19 orders of magnitude, whereas in the JT La-Mn-0 manganites only to 2 orders (see references in [1-3]).

(1c) Judging from experimental data on La-Mn-0 system [5], lattice phase transitions in manganites are accompanied only by small changes in resistivity which does not evidence a strong hole-lattice coupling in them.

(Id) The manganites display a giant red shift of the absorption edge typical of ferromagnetic semiconductors. This makes one think that the mechanism of the resistivity peak and CMR in manganites is the same as in other ferromagnetic semiconductors.

The main arguments for the vitally important role of the Jahn-Teller effect are as follows [7].

(2a) According to experimental data, the manganite lattice displays changes in the vicinity of the resistivity peak.

(2b) According to [7], the giant isotope effect observed in manganites evidences an abnormally strong hole-phonon coupling.

From my point of view, changes in the lattice can be not the origin of the resistivity peak but, on the contrary, its consequence: changes in the hole states in the region of the peak caused by other reasons should necessarily lead to changes in the lattice. For this reason the argument (2a) does not seem me very convincing from the very beginning.

Much more interesting is the problem of the giant isotope effect (2b). Beginning from the BCS superconductors, the physisists accustomed to relate the isotope effect to the electron-phonon coupling. If one accepts the electron-phonon mechanism of the isotope effect, one should inevitably accept the giant hole-phonon coupling in manganites. For this reason it might seem that the contradictions between experimental data la-Id and 2b pro and contra a vital role of the JT effect are unsurmountable.

In this paper it will be shown that this is not the case. Other mechanisms of the isotope effect exist which were not considered up to now. They cannot realize in the BCS superconductors but are inherent in the oxide compounds, including manganites. These mechanisms do not relate the isotope effect to the hole-phonon coupling at all. They based mainly on the isotope dependence of the thermodynamically equilibrium number of the excess or deficient oxygen atoms. This dependence should lead to isotope dependence of the equilibrium charge carrier density and volume of the lattice.

As the excess or deficient oxygen atoms are acceptors or donors, respectively, it means the isotope dependence of the hole density, which manifests itself in the electrical conductivity and in the intensity of the indirect exchange via holes.

The oxygen nonstoichiometry causes contraction (or dilatation) of the lattice. Hence, it acts as an effective pressure. As the electric properties of the manganites are highly pressure-sensitive, the isotope dependence of the nonstoichiometry degree should lead to the isotope dependence of the electric properties.

In addition to this nonstoichiometry mechanism of the isotope effect, another nonelectron-phonon mechanism of the isotope effect can realize, which is inherent in materials displaying polymorphic transitions. These transitions are isotope-sensitive, and, as they influence the electric and magnetic properties, the latter may turn out to be isotopedependent through this mechanism. Such a phenomenon was not observed in manganites experimentally yet, but, theoretically, it is possible.

Before setting forth my theory, it is advisable to present experimental data on isotope effect in managanites. Replacement of 16O by 18O in the ferromagnetic compound Ьа1_жСажМп0з with x = 0.2 causes a giant reduction by 20 K, i. e. by 10 %, in its Curie temperature Tc [8]. But in the same compound with x > 0.4 the isotope shift of Tc amounts only to 2 % [9]. A giant isotope effect manifests itself quite differently. At n = 0.41 and 0.42 in the initial 16O sample the magnetization decreases with increasing temperature mono-tonically, but after the replacement 16O for 18O a peak of the magnetization M appears slightly below the Curie point. At ж = 0.43 this peak exists even in the initial sample, but it becomes more sharp after the isotope replacement. Unfortunately, phenomena at x from 0.4 to 0.5 are very complicated in this material, and even their theoretical interpretation in the absence of the isotope effect is unknown at present.

The same oxygen replacement procedure changes drastically the electric properties of several materials. In the (Ьао.5Н6о.5)о.б7Сао.ззМпОз [10], and in the (Ьао.25Рго.75)о.7Сао.зМпОз [11], compounds it causes transitions from a ferromagnetic high-conductive state to an antiferromagnetic insulating state. Similar results were obtained in [12] where (Lai_冗Nd冗)о.7Са().зМпОз was investigated.

At last, one should mention original results obtained at investigation of the phase separation in (Ьао.5Н6о.5)2/зСа1/3МпОз [13]. It is established by neutron investigations that, at low temperatures, the system is separated into the ferromagnetic and antiferromagnetic phases (this phenomenon was predicted theoretically by the present author in 1972, see the theory and references in [1, 3]). The relative percentage of both phases strongly depends on the isotope mass: in the 16O sample content of the ferromagnetic

phase is higher and, respectively, that of the antiferromagnetic phase lower than in the 18O sample. The superstructure reflections depend on the isotope mass, too.

In fact, both magnetic and electric phenomena are related to each other as the ferromagnetic ordering in manganites is established only due to the indirect exchange via holes: the initial magnetic ordering in undoped manganites is antiferromagnetic. The phase separation is a specific manifestation of connections between the magnetic and electric properties.

Equilibrium oxygen nonstoichometry as an isotope-dependent property. A. Oxygen vacancies and interstitials. When one studies the isotopic effect in superconductors of the Hg type, the difference in the the number of imperfections (vacancies and so on) for different isotopes is inessential. In fact, the electric properties of metallic samples are determined by regular atoms, the number of which is many orders of magnitude larger than the number of imperfections. But the electric properties of semiconductors are determined by a very small number of electroactive impurities, and this is the principal difference between the isotopic effect in a semiconductor and that in a metal.

Usually, to transform manganites into doped semiconductors, one uses divalent ions Di (Ca, Sr and so on). But also the excess oxygen can function as an acceptor. Its very small quantities can change their properties drastically. The undoped ЬаМпОз is an antiferromagnetic insulator, but ЬаМпОз.ii is already a ferromagnetic metal [14]. Hence, only 4% of the excess oxygen is sufficient to cause such a transformation. One sees that, as an acceptor, the excess oxygen is much more effective than Ca or Sr. On the contrary, the oxygen deficiency in the manganite samples doped by another acceptor impurity (e. g., Ca) causes a sharp drop in their conductivity as it makes the p-type sample compensated. Really, the Lao.gCao.2MliОз+沙 is ferromagnetic and high-conductive at g = 0, but becomes antiferromagnetic and insulating at у = —0.37 [15].

The nonstoichiometry of a crystal is a direct consequence of the thermodynamical laws: each sample should be, to some degree, nonstoichiometric. A change in the oxygen isotope leads inevitably to a change in the nonstoichiometry, even if the samples are prepared at the same temperature and pressure under the thermodynamical equilibrium condition between them and the surrounding oxygen gas (at lower temperatures the number of imperfections is frozen). In fact, the number of excess or lacking oxygen atoms in the crystal is determined from the condition of the equal chemical potentials for oxygen in the crystal and gas at the temperature of the sample preparation. But the chemical potential of the oxygen in the gas depends on the mass of the atom M via their translational and rotational motion energies, as well as via the dissociation energy of the O2 molecule. On the other side, the chemical potential in the crystal depends on the number of the oxygen imperfections. This leads to the oxygen mass dependence of the numbers of the oxygen vacancies and excess atoms.

First, the calculation is carried out in terms of the model of oxide semiconductors, in which, in addition to the vacancies, the interstitial oxygen atoms can exist inside the stoichiometric lattice. If the number of the regular oxygen atoms and interstitial positions are TV。and Ni, respectively, and the numbers of the vacancies and excess atoms are nv and ne, respectively, then the free energy of the crystal is given by

%(T)=尸？ + nvEv — neEe + TTV。(〃@ In 〃@ + (1 —沙@) In (1 — 〃©)) +

-\- TNi (% In 沙e + (1 —沙e) In (1 — %)),⑴

where F° is the free energy of the crystal in the absence of the imperfections, T is the temperature of the sample preparation, Ev is the work function for the oxygen, Ee the oxygen affinity of the crystal, 〃@ = 71VlN*〉ye = ne/Ni，The calculation will be carried with the accuracy of 〃ln〃《1. This makes it possible to omit from Eq. (1) terms

describing the influence of the imperfections on the phonon spectrum as its contribution to the free energy is of order 〃.

On the other hand, the free energy of the oxygen molecules in the gas surrounding the crystal is given by the expression [16]

⑵

p =九E -万.

Here Nt is the total number of the oxygen atoms in the system crystal + gas, n‘ is the number of molecules in the gas, D is the dissociation energy for the O2 molecule, S = 1 is the spin of the molecule, M is the atom mass, J = Ml?〔2 is the inertia moment of a molecule with the interatomic distance Z, p is pressure of the oxygen gas.

The dissociation energy depends on the oxygen mass due to the zero-point oscillation energy. In fact, if Eqq(R) of is the energy of the interatomic interaction at a fixed interatomic spacing Я, then the dissociation energy at fixed atomic position should be Dq = —Eqq(Rq) where Яо is the spacing, at which the energy Eqq(R) is minimal. With account taken of the zero-point oscillations with the frequency s, the true dissociation energy should be given by the expression

The molecule stiffness К is related to the 瓦()(冗)function which does not depend on the mass, the mass dependence of D is presented in Eq. (3) in an explicit form.

The thermodynamically equilibrium numbers nv and ne are determined from the condition of the minimal total free energy Fg -\- Fc with respect to them, which means the validity of the equalities:

dFc = dFc dFg

dne dnv2 dn

As follows from Eqs. (1)-(4), at nr, ne《ng the densities of the vacancies and extra atoms coexisting with them in the crystal are given by the expressions

% 否 exp ( D/2^ 几),(5)

1/ Ee-D/2\

~ =⑹

As seen from Eqs. (2), (5), (6), at lower oxygen pressures the number of the vacancies greatly exceeds the number of the excess atoms. At higher pressures the excess atoms dominate. If one neglects the contribution of dissociation energy D, the number of vacancies should be proportional to M* and the number of the excess oxygen atoms to Л/-5/4 With accounting for D, the relative difference in the vacancy content for two isotopically different samples is

with bs = 16G _ 18G. This gives

⑻⑻г 16

⑻

⑻

/32367

The relative difference in the excess oxygen content 7e = [z/e(18O) — z/e(16O)]/z/e(16O) is given by the same expression as Eq. (8) but with the opposite sign.

Keeping in mind that for the oxygen s = 0.2 eV, and taking T = 600 K, one obtains 7 = 27%.

Certainly, this difference is quite considerable, and it may be still larger if, due to the natural inaccuracy in the measurements of the physical parameters, the equilibrium conditions for the samples with the different isotope content were achieved at slightly different temperatures or pressures. For example, as (Ev — 0/2) in Eq. (5) should be of order 1 eV, and if the samples are normally prepared at a temperature about 0.1 eV, an inaccuracy of 1 % in temperature will lead to a change in the vacancy density of several tens percent. Moreover, this change can be of the opposite sign as compared with the change under the completely equivalent conditions.

As well known to chemists, an accurate determination of the excess or lack of oxygen is a very complicated problem. Furthermore, it is difficult to evaluate from the experimental data the accuracy with which the oxygen nonstoichiometry is determined. In papers [9-13] the total weight of the replaced oxygen was reported. It was below the weight expected at the complete replacing. But these data are insufficient to determine the isotope-induced change in the nonstoichiometry.

Lattice with cation vacancies. Some investigators believe that the excess oxygen in manganites corresponds to a different model: the regular crystalline lattice with vacancies of La and Mn in it, but the difference between these two models is only pure geometric and does not influence the results for the isotopic effects obtained below. Really, the only thing which matters for the isotopic effect is the presence of extra oxygen atoms whose energy in the crystal differs from that of the regular atoms. This point will be explained in more detail in what follows.

To simplify the treatment of the model with the cation vacancies, the case of the EuO will be considered. Instead of a «small» crystal, containing uN unit cells and n extra oxygen atoms in them, now a «large» crystal containing 〃(N + n) unit cells with the same number n of the Eu vacancies will be treated. If one can neglect the Eu interstitial atoms, the free energy of the «large» crystal is given by the equation

用=d(N + ^) + 几石C0 + T(N + 72)(%© In ycv + (1 — 〃c@) In (1 —沙с©)), ⑼ with %© = n/^N + n).

In the case considered, the total number of the oxygen molecules in the gas is nz = — rig — n/2. Minimizing again the sum of Eqs. (2) and (9) with respect to n, one obtains in neglecting terms of order ycv and higher orders in %◎：

1~exp1~expEcu + & +0/2、.Ecu + & +0/2、.TT_ dFc_ dFc(10)(10)

1

~exp

1

~exp

Ecu + & +0/2、.

Ecu + & +0/2、.

T

T

_ dFc

_ dFc

(10)

(10)

It is worth mentioning that if, as usually, one interprets this minimum condition for the total free energy as the condition of the equality of the oxygen chemical potentials inside and outside the crystal, then the former should be determined in a nontrivial manner as ^—dF[/dn).

As seen from comparison of Eqs. (6) and (10), really, the isotope effect does not depend on the detailed distribution of the excess oxygen.

Role of nonstoichiometry in the electric and magnetic properties. Returning to the «ideal» situation described by Eqs.⑺，(8) and remembering that the oxygen vacancies act as donors and excess atoms as acceptors, one sees that the replacement of 16O by

.6 ] Mechanisms for giant isotope effects in manganites and other oxide semiconductors 267 180 increases the number of conduction electrons in the 77-type samples and decreases the number of holes in the p-type samples. As was already mentioned, this should lead to reduction of the conductivity and the Curie point in the ferromagnetic state of samples. This agrees qualitatively with the effect observed experimentally in [8].

Moreover, the theory ⑺，(8) gives a reasonable estimate of the isotope effect in cases when the qualitative comparison with the theory is possible. As was pointed out above, the holes in a sample are delivered by the divalent ions and by excess oxygen. If one assumes that the contribution of the oxygen to the total number of holes is considerable, the magnitude of the effect observed in [8] (reduction of the Curie point by about 10 %) should correspond to the estimates ⑺，(8). To make sure of this, one should take into account that, at relatively small charge carrier densities in magnetic semiconductors, Tc is proportional to the charge carrier density [1]. Hence, its isotopic shift should be proportional to the isotopic shift in the number of excess oxygen atoms.

The hole density determines also the picture of the phase separation: the higher is the density, the larger is the ferromagnetic portion of the crystal and the less the antiferromagnetic portion [1]. As the hole density is higher for 16O than for 18O, this can explain the isotope effect of the phase separation observed in [13].

But if the contribution of the divalent ions dominates, then the mechanism of the isotope effect proposed here may turn out to be insufficiently powerful to make possible its experimental observation. The same is true for other oxide semiconductors.

Another mechanism of the isotope difference in properties caused by the oxygen nonstoichiometry is a change in the volume due to the vacancies. This change may be considered as caused by an external pressure applied to the sample. Unfortunately, only crude estimates are possible in this case. If the total number of the cation vacancies is of order 1%, the relative change in the volume is of the same order of magnitude. At the bulk modulus of order 1011 N/m2 the effective pressure causing the same compression, is of order 1 GPa. Hence, the difference in the effective pressures for both isotopes amounts to several kbar.

Meanwhile, according to [12], such a pressure is sufficient to change the state of (Lao.3Ndo.7)o.7Ca().3Mn03 from the insulating antiferromagnetic to metallic ferromagnetic. Similar high sensitivity to pressure was observed also in [10, 13].

Hence, this mechanism can be used for explanation of similar transitions, but only induced by the oxygen replacement. Such transitions were observed in the material just pointed out, and in other materials (see Introduction).

Similar considerations may be applicable for some isotope studies of HTSC.

. Lattice magnetic transitions. In this section a quite different mechanism of isotope change in magnetization will be considered which has nothing in common with the electron-phonon mechanism and the nonstoichiometry mechanism proposed above. It should function at the joint lattice-magnetic transitions driven by a polymorphic transformation in the lattice. This polymorphic transformation changes the exchange integral and, hence, magnetic properties of the system.

For the sake of simplification of mathematical expressions, an isotropic case will be considered with the lattice being simple cubic and the Heisenberg exchange Hamiltonian in the nearest neighbor approximation. The ordering is assumed to be ferromagnetic. The polymorphic transition consists in equal changes of the lattice parameters along every direction. Respectively, the exchange integral displays jumps at the polymorphic transformation. Generalization for more complicated polymorphic transitions is straightforward.

Respectively, the Hamiltonian of the system in the phase state E = /,瓦 if the spin-wave approximation is valid, is written in the form

a=(一/込+ £储⑷甸 + " + e J(k)m(k))储(q) = zPS (1 -)q) , J = В (1 - yk) , 7k = ；£exp(ES),

where Ul is the lattice energy per atom, P the exchange integral, n(Q)and 7n(k) are the numbers of magnons and phonons with the quasimomenta q and k> respectively, n is the coordination number, △ vector connecting the first nearest neighbors. The indices I and h correspond to the low- and high-temperature phase, respectively.

The free energy of the system is given by the expression

(12)(12)^ = nV4r£In [1-exp (-^)] +r£In [1- exp (-^)],

(12)

(12)

The low-temperature system is stable if V1 < Vh. To make the polymorphic transition possible, the high-temperature frequencies should be lower than the low-temperature ones. To find the transformation temperature 〃，one should equate Fl = Fh. As only a qualitative investigation of the isotope effect is aimed here, only the case of zJS〉Q <C T will be considered. Then one obtains:

Tt =" V = vl-vh

ln74?

with V < 0.

Obviously, the transition is possible, if

尸4 L(14)

Going over to the mass dependence of Eq. (14), it is natural to assume that both the high- and low-frequencies depend on the atomic mass M in the same fashion, decreasing with the mass M of the atom subjected to the isotopic exchange (proportional to д/1/M in the simplified model with the only sort of atoms). Hence, the denominator in Eq. (13) does not depend on the mass and the numerator should diminish, on the mass increase. This means that the transition temperature decreases with increasing mass, and may even occur that for the light isotope the lattice-magnetic transition is possible and for the heavy one not.

Acknowledgements. The author is grateful to К. I. KugeF for discussion of the problem. This investigation was supported in part by Grant No. 98-02-16148 of the Russian Foundation for Basic Research.

Received 26 May 1998.

References

Nagaev E. L. Physics of Magnetic Semiconductors. — M.: Mir, 1983.

Nagaev E.L. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1987. V. 92. P. 599.

Nagaev E.L. // Usp. Fiz. Nauk. 1996. V. 166. P. 833.

Millis A. et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 5144.

Urushibara A. et al. // Phys. Rev. B. 1995. V. 51. P. 14103.

Loshkareva N. N. et al. // Phys. Status Solidi A. 1997. V. 164. P. 863.

Millis A. // Nature (London). 1998. V. 392. P. 147.

Zhao G., Conder K., Keller Я., Mueller K. // Nature (London). 1996. V. 381. P. 676.

Isaak /., Franck J. 〃 Phys. Rev. B. 1998. V. 57. P. R5602.

Zhao G. et al. // Solid State Commun. 1997. V. 104. P. 57.

Babushkina N. et al. // Nature (London). 1998. V. 391. P. 159.

Zhou J.-S., Goodenough J. 〃 Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 2665.

Ibarra M. R. et al. // Phys. Rev. B. 1998. V. 57. P. 7446.

Troyanchuk O., Pastushonok S. N. // Fiz. Tverd. Tela (Leningrad). 1989. V. 31. P. 302; Krinchik G. S., Gan'shina E. A., Trifonov A. Yu. // ibid. 1991. V. 33. P. 1607.

Tamura S. et al. // Phys. Lett. A. 1980. V. 78. P. 401.

Landau L. £)., Lifshitz E. M. Statisticheskaya Fizika, Part 1. Moscow: Nauka, 1976.

E. L. Nagaev

Phys. Rev. B. 1999. V. 60(1). P. 455-461

The energy and stability conditions are found for free ferromagnetic polarons (ferrons) in the antiferromagnetic semiconductors with a layered magnetic structure. Unlike a similar problem for the staggered antiferromagnets, solved long ago, this geometrically different problem was not considered yet. In particular, the difference between these two problems consists in the fact that the ferromagnetic region, which traps the charge carrier, is well defined for the staggered structure, and is not for the layered structure. The latter is due to ferromagnetic planes inherent in this structure. It is established that, nevertheless, the ferromagnetic region is almost spherical for large ferrons. The De Gennes single-spin magnetic polaron is unstable at realistic values of parameters. The energy and magnetic moment of the ferron bound to a donor or acceptor are calculated for the case of the double exchange.

Introduction. As is well known, charge carriers in magnetic semiconductors tend to establish the ferromagnetic ordering at which their energy is minimal. Due to this tendency, a self-trapped state of a charge carrier in a nondegenerate antiferromagnetic crystal is possible, when a local magnetization produced by the carrier trapped it. Though this problem is very old, only the case of the staggered antiferromagnetic ordering was considered so far. In [1] the model of a small magnetic polaron was advanced for the case of a very narrow electron or hole energy band (the «double exchange»): an electron (or hole) is trapped by the spin of a single magnetic atom, deviated from the moment of the sublattice to which it belongs. This calculation was carried out for classically large spins. But, as was shown later, in the staggered structure the classical approach to such a single-spin polaron is valid not under the standard condition for the spin magnitude S》1 but under the much more stringent condition д/^》1. For this reason the single-spin polaron [1] is energetically favored only for quite unrealistic spins S > 30 [2-4].

In [5] the model of a large magnetic polaron (ferron) was proposed which is valid for all the spin magnitudes and bandwidths. In it a charge carrier produces a ferromagnetic region of a size of several lattice constants and localizes inside this region. Later results [5] were reproduced by many other authors (see for references the review article [4]). In [5] bound ferrons (unionized donors or acceptors) were also investigated in the wide-band antiferromagnetic semiconductors. Experimental confirmation of the ferron existence in EuTe and EuSe was obtained in [6].

The problem of the magnetic polarons in the layered (stripe) antiferromagnetic structures became especially actual quite recently due to greatly enhanced interest to the colossal magnetoresistance materials. They are manganites ЬаМпОз with the layered antiferromagnetic structure doped with the acceptor impurity (Ca, Sr, and so on). Numerous experimental investigations (e. g., [7] and [8]) evidence that, at small dopings, ferromagnetic microregions appear inside the insulating antiferromagnetic host which should be related to bound ferrons. In particular, these ferromagnetic microregions manifest themselves in increase of the paramagnetic Curie temperature at the unchanged Neel temperature [7].

From the theoretical point of view, the problem of the ferron in the stripe structure differs strongly from that in the staggered structure by the following fact. If the magnetic ordering is undisturbed, in the former case there are ferromagnetic planes of the (001) type with alternating moments. For this reason, if one makes a simply connected region ferromagnetic, the ferromagnetic ordering will be continued outside of it by a half of the initially ferromagnetic planes passing this region. In other words, there will be no well defined ferromagnetic region of a finite size inside of which the electron is localized. Hence, a priori〉it is difficult expect that results obtained earlier for the ferrons in staggered

antiferromagnets are valid also for layered antiferromagnets. Nevertheless, as will be shown below, if the ferron size is large, just this is the case: at the layered ordering the ferron minimal energy is achieved at an almost-spherical shape of the ferromagnetic region. This result is valid both for the wide- and narrow-band (double exchange) antiferromagnetic semiconductors.

This fact makes it possible to formulate the problem of the bound ferron in the double exchange semiconductors as a problem of an electron in the Coulomb field, confined in a spherical potential well. This well corresponds to the ferromagnetic region around the charged impurity. Solution of the corresponding wave equation for the electron is given in terms of the Kummer functions, whose arguments are determined from the Dirichlet conditions at the boundary of the ferromagnetic region.

The conduction electron in undisturbed antiferromagnetic structure. The subsequent treatment is based on the standard s-d model with the Hamiltonian

W建6%+2x(7 -厶 £ (sSg)c/ a,go-«g<T, — 2 £ /(f)SgSg”， ⑴ where a*a, аё+да are the «-electron operators, corresponding to the conduction electrons or holes, at atom g with the spin projection cr, s is its spin operator, Sg is that of the d spin of atom g, A is the vector connecting the first nearest neighbors. The crystalline structure is assumed to be simple cubic.

The d-d exchange interaction in Eq. (1) is taken in the form ensuring existence of the ferromagnetically ordered (001) planes with alternating moments. In particular, in the Jahn-Teller systems to which the lanthanum manganites belong, the in-plane d-d exchange can be ferromagnetic, whereas the out-of-plane d-d exchange can be antiferromagnetic [9]. In this case the first nearest-neighbor approximation is sufficient.

First, the case of the double exchange will be considered. One usually believes that, in particular, it realizes in manganites. The condition of the double exchange is formulated mathematically as a requirement that the «-electron bandwidth W = 2zt be small compared to AS where S is the d-spin magnitude, n coordination number. The s—d-exchange integral A is assumed to be positive. The inequality W》|/|之$2 should also be met as these quantities are of the first and of the second order in small d-orbital overlapping, respectively.

The «-electron energy spectrum at the undisturbed layered antiferromagnetic ordering will be found for the double exchange case. The wave function for the system consisting of an s-electron and an antiferromagnetic crystal in its ground state is sought as an expansion in the eigenfunctions of the s-d exchange Hamiltonian (the second term in Eq. (1)). Such a quantum-mechanical treatment was first carried out in [10] for a system of two atoms and then by the present author for a system of an arbitrarily large number of atoms [11]. To make the treatment more general, it is assumed that the moments of two sublattices (E = 1 or 2) make angles 士 ” with the direction of the total moment of the crystal. (The canting can be caused by an external magnetic field.)

The calculation of the «-electron energy Es in the crystal with the undisturbed layered antiferromagnetic ordering is carried out using the same pattern as for the staggered structure [11, 2, 3]. For any atom the n axis is aligned with the moment of the sublattice to which the atom belongs. The following eigenfunctions of the s-d exchange Hamiltonian will be used as the basis for the wave function sought:

^ = a^\0)Y\6(S^Sy,

f

L ⑵

① 1(g) = (。氤 +。訐Sg ) |0〉П b (SK S),

where S~ = Sx — ES% J(n, m) is 1 at n = m and 0 otherwise, |0) is the «-electron vacuum function.

To find the «-electron energy at the double exchange in the first order in t, the wave function is chosen as their linear combination:

2

W = £ £ [X (g£)Ф0 (g£)+ Y (g£)Ф1 (g£)] •⑶

In fact, this is the Ritz variational procedure: in Eq. (3) terms are omitted which correspond to the d spins deviated from the moment of their sublattice in the absence of «-electrons at them. These terms correspond to the stringlike motion of the charge carrier [12] which is of vital importance atA<0, S = l/2 but is not essential at A > 0 [3].

To proceed further, transformation rules for the electron operators from the one reference frame to the other are necessary:

a (g + △, Jg+a) = cos "a (g + △卩g) + i exp (EQg) sin "a (g + △,简),

(4) a (g + △, fg+4)= cos "a (g + △, tg) + z exp (zQg) sin "a (g + △卩g),

where Q is the antiferromagnetic wave vector, the index of the spin projection points to the atom in whose reference frame this projection is measured. We put g = (r, n) and denote vectors connecting the first nearest neighbors in the plane and between the planes by D and n, respectively. Then with allowance for the relationships 力》|/| and Q = 7r(0, 0,1) one obtains from Eqs. (1)-(4) for the «-electron energy Eg

(石s + 等)Xg = -t cos ” £ Xg+n — £ Xg” -Qg) £ 连+山

(5)

/ AS\ _ 力 cos"lt l2 力 sm"exp(zQg) l

X 连+n - ^7 X 连+厶^^3 Xg+n.

Putting Xg = X exp(Eqg), Yg = У exp(E(q + Q)g), and omitting the constant AS/2 in Eq. (5), one can rewrite Eq. (5) in the form

(石s + PQ X = -Яр cos "X -

a \ у _ Rpcos^Y Rpsin^X(s + 2S + 1 丿=2S+1 十

with q = (kg 卜期1卩)1 Fk = 2t(cos kxa + cos kya^ Яр = 2力 cospa. One obtains from Eqs. (6) the following expression for the electron energy:

(S + l)Pk MPp

2S + 1 2S + 1

士 ^J Js2/^ + (W + 2S + 1) J + 27H(S + 1)以％ ,⑺

where M = Seos" is the magnetization per atom, a is the lattice constant. In what follows, only the lower subband ⑺ will be considered.

Perrons. As seen from Eq.⑺，in the double exchange case a ferromagnetic region inside of the antiferromagnetic crystal is a potential well for the electron, whose depth is

Due to this fact, formation of the ferron is possible. The ferron consists of a ferromagnetic microregion inside the antiferromagnetic crystal and of a single charge carrier selftrapped by it.

Like in [5], the problem will be treated using a variational procedure. One might expect that in the layered structure with an anisotropy of the magnetic ordering, unlike the staggered structure, the ferromagnetic region for the ferron should be anisotropic in its shape. It will be assumed that its shape be a circular cylinder with the generatrix perpendicular to the ferromagnetic planes (001). This ferromagnetic cylinder is continuated outside by those planes whose moments are aligned with the total moment of the cylinder (they remain unchanged at the ferron formation). But in the planes with the opposite initial direction of the moment, the direction of spins is reversed inside the circular cylinder crosssection. Hence in them a circular boundary arises between the circle with the one spin direction and the remaining portion of the plane with the opposite spin direction. The radius of the cylinder is R and the length of the element L (in lattice constants). These quantities are the variational parameters.

Only the case of large spin magnitudes will be considered. Then according to Eqs.⑺ and (8) in the zeroth order in 1/2S the effective hopping interplane integral 力厶 is equal to 力/4S, i. e., at S > 1 with a quite reasonable accuracy one may consider it as vanishing for planes with the oppositely directed spins.

The problem of the ferron in the layered structure differs strongly from that in the staggered structure considered in my previous papers [5]. The difference is not reduced only to the fact that the former case corresponds to a highly anisotropic magnetic structure and the latter case to an isotropic one. In its essence, the case of the staggered structure is tantamount to an electron inside a well defined three-dimensional potential well. In the case of the layered structure considered here, the boundaries of the potential well are defined only for planes, in which a part of spins is reversed. But the boundaries are not defined for planes with the complete ferromagnetic ordering of the spins. Respectively, the electron wave function is sought in the «spinor» form, two components of which correspond to two types of the planes:

w = ( e 以- n)吟+ e x(- ⑷吟5 J I。〉• ⑼

Here r = (ж, y) and n are the coordinates of atoms, the symbols z = 2n + 1 and w = =2n denote planes with the unchanged spin directions and changed inside the circles with a radius R, respectively. Using the approximation 力厶=0, one may limit summation over them by |w| < L/2,同，厶/2 — 1. The symbols r G oo and r E R denote unrestricted in-plane motion of the «-electron and that restricted by a circle of a radius R due to the condition tA = 0, respectively.

Considering the coefficients sought 以r, n) and x(r, w) as smooth functions of the coordinates and expanding them in series, one obtains from Eqs. (1) and (9) the following spinor wave equation (w is replaced by n):

石s以r/)=—力(4 + △)以r/)—力(2 + 詣)x(r/)®(R - 丁)， (10)

石sx(r/)= —力(4 + △) x(r/) - t石sx(r/)= —力(4 + △) x(r/) - t2 +青2 +青以Г/)以Г/)(П)(П)

石sx(r/)= —力(4 + △) x(r/) - t

石sx(r/)= —力(4 + △) x(r/) - t

2 +青

2 +青

以Г/)

以Г/)

(П)

(П)

(T < R),

where ®(n) is the Heaviside step function, △ = d2/dx2 + d2/dy2. Excluding from Eqs. (10) and (11) the x component, one obtains

(石s + 力(4 + △)『一产(2 +®(R -r)以* n) = 0(12)

which for the low-lying levels is equivalent to

(石s + "4 + △))—产(2 + ±) ®(R - 丁)以* n) = 0.(13)

Equation (13) can be solved exactly:

以* z) = cos 号(C< Jo(kr)®(R - r) + Cy KQ(pr)Q(r - R)),(14)

where Jn(x) and К冷(n) are the Bessel functions of the first kind and modified Bessel functions of the second kind, respectively, and

廿= 6 + ? — %; P2 = -4- y.(15)

The matching conditions at 丁 = R are as follows:

(16)(16)kJ^kR^K^pR) = pK\(pR)J«kR).

(16)

(16)

Solution of Eq. (16) was carried out numerically. The quantity к is found to be virtually L independent, and in a wide range of the R values is well approximated by к ^ 2.2/R. Using Eqs. (15) and (16) and taking into account the change in the d—d-exchange energy, one may write for the total energy

(17)(17)Et t —6力 +《莘 + g) +。厶刑； D = tv\I\S2.

(17)

(17)

Minimizing Et (17) with respect to R and L, one obtains the following equations:

dEtdEt9.8力9.8力+ 2DLR = 0,+ 2DLR = 0,(17 a)(17 a)am~dLam~dL19.8t19.8t+ DR2 = 0.+ DR2 = 0.(17b)(17b)

dEt

dEt

9.8力

9.8力

+ 2DLR = 0,

+ 2DLR = 0,

(17 a)

(17 a)

am

~dL

am

~dL

19.8t

19.8t

+ DR2 = 0.

+ DR2 = 0.

(17b)

(17b)

Multiplying Eqs. (17a) and (17b) by R and 2L, respectively, and subtracting the former from the latter, one obtains

L = 2RL = 2R=2.01Я;=2.01Я;R =R =， t 、l/5 2.4*)， t 、l/5 2.4*)(18)(18)

L = 2R

L = 2R

=2.01Я;

=2.01Я;

R =

R =

， t 、l/5 2.4*)

， t 、l/5 2.4*)

(18)

(18)

This means that the cylinder is close to a sphere for any t/D as in the case of the isotropic staggered ordering. This fact seems to be rather astonishing, keeping in mind high anisotropy of the layered structure. But it should be recalled that result just obtained is valid for large L and R. For the ferrons of moderate size the shape of the ferromagnetic region may differ considerably from the almost spherical one. Obviously, a sufficient condition for large-ferron existence is R》1, and a necessary condition is Nf》1 where Nf is the number of atoms inside the ferromagnetic microregion. These conditions require large ratios t/D. For real systems, the latter condition is met with a sufficiently high accuracy, whereas the latter inequality is not very strong. For example, for t/D = 40, the radius should be about 2.5 lattice constants with the number of atoms inside the ferromagnetic region exceeding 60. In the case of 力/О = 100, these quantities

are 3 and 100, respectively. Nevertheless, keeping in mind the mathematical complexity of the problem treated here, the accuracy of the long-wave approximation used here seems to be quite satisfactory.

The ferron energy 石尸 measured from the antiferromagnetic band bottom is found to be equal to

Ef—2方 + 8.7户/502/5(19)

(it should be recalled that Eqs. (17)-(19) are obtained for the double exchange case). As follows from Eq. (19), the ferron formation is energetically favored if D/t < 0.025. As the quantities 力 and D are of the first and of the second order in the small d-orbital overlapping, respectively, the condition is quite realistic.

It is interesting to compare Eqs. (18) and (19) with those obtained without accounting for the electron going out from the cylinder. If one has neglected the possibility for the electron to go out from the cylinder into outer portions of the the ferromagnetic planes and puts Jo (кт) = 0, one would obtain к ^ 2.4/足 This would lead to replacing the coefficient of 8.7 by 9.1 in Eq. (19). In other words, the ferromagnetic portions of the crystal outside the cylinder are practically nonessential. If one notices that result (19) virtually coincides with the result obtained for the staggered ordering under assumption of the spherical ferromagnetic region [5, 3], one should conclude that the latter model reproduces the properties of the ferron in the layered antiferromagnetic system quite satisfactorily.

The same conclusion remains in force in the opposite limiting case, W》AS. Using the same wave function (9), one obtains from (1) the wave equation in the form

(石+等+ 4方+力△)以一 n)=力(2 +为)x(- n),(20)

(石一等 + 4力 + 力△ + ASe(R -『))x(〃 n)=力(2 + 金)以〃 2).(21)

Omitting terms of order of (AS/W)2^ one obtains from Eqs. (20) and (21):

(石+ 4力力△ + (等)®(R - 丁)?吵=(2 +卡)沙(22)

As follows from Eq. (22), the electron state in the ferron should be determined from the wave equation

(23)(23)—6力—tA —力F^ — (^^) ®(R — 丁))吵=石V

(23)

(23)

which, like for the staggered ordering, has the form corresponding to the potential well with fixed boundary and the depth AS/2. As the expenditure of the d—d-exchange energy for creation of the ferromagnetic region is proportional to its volume, the electron energy should be minimal at the volume given. Hence it is achieved at the spherical shape of the ferromagnetic region, like for the staggered ordering. (Strictly speaking, this statement is proved in a general form for the electron surface energy, arising due to spatial quantization of the electron levels in a many-electron problem [3]. It is natural to expect that it remains in force for the single-electron problem, too. I verified it for various geometrical figures.)

The single-spin magnetic polaron. As was pointed out in [1], at classically large spins, in the staggered structure a single-spin magnetic polaron should be possible, when the electron is trapped by the spin of one of the atoms deviated from the moment of the sublattice to which is belongs. As was shown in [2-4], in actual reality this is possible only at，^》1. The corresponding problem should be investigated for the layered

structure. A stimulation for this investigation is the two-dimensional nature of the selectron motion in the unperturbed stripe structure at 2S —> oo, at which any perturbation should cause appearance of a discrete electron level.

In what follows, it is sufficient to assume the spin of one of the atoms to be completely reversed. If the coordinates of the atom with a deviated spin are (0, 0, 0) = 0, it is a bridge connecting the ferromagnetic planes (/,g,±l). Only the case 2s》1, most favored for the self-trapping, will be considered under condition of the double exchange. In this limiting case the «-electron can be located in the ferromagnetic planes (ж, y^ ± 1), and at the atom (0, 0, 0) with the deviated spin. Then, with use of the wave function (9) instead of Eqs. (10) and (11), the wave equation takes the form

Es2 (r, ±1)= —力 £ 吵(r + △, ±1)—奴(0, 0, 0)J(r, 0),

(24) 石SX(O, 0, 0)=—力W(0, 0,1) + 吵(0, 0,-1)),

where △ is the vector connecting an atom with its first nearest in-plane neighbors, b(g, f) the two-dimensional Kronecker symbol.

Taking into account that in the ground state 以r, 1) = ^(r, —1), one reduces the set of Eqs. (24) to the form

Es3 g = 一力 £^(r + A) + U 以r)b(*0); U = ^・(25)

As is well known [13], at U < 0, a discrete level exists below the quasi-continuous energy band. This level is determined from the equation

1 = — X^； = — exp (—sZ)7n (s) ds^ (26)

N 乙Es — 2t (cos qxa + cos q^ a) 2t J ' 丿

о

where 7o(n) is the modified Bessel function of the first kind, I =石s/2九 After calculation of the integral in Eq. (26) one finds the following equation for determination of the energy:

^^K(^) = l; / = }(27)

where K(k) is the complete elliptic integral of the first kind. At I sufficiently close to 2 one may use the logarithmic approximation for K(k), and then one obtains

Es = —2力(2 + 16 exp (—87t)) .(28)

As seen from Eq. (28), a discrete level lying below the two-dimensional band (—4力), exists at any t, as should be the case. But it is too shallow to compensate the loss in the d—d-exchange energy due to the single-spin reversal, Edd = 4 |/| S" In fact, for the depth of the level to exceed 石dd, the ratio "4。(O = |/| S?) should be of order 1011 which is quite unrealistic. Hence the single-spin s-electron self-trapping is impossible at actual values of parameters. In the opposite limit W》AS this conclusion is valid still more, as even no discrete electron levels appear in this limit.

The result just obtained points to the fact that small ferrons are not energetically favored at all for actual t/D values between 10 and 1000. This conclusion should also remain in force for intermediate-size ferrons containing a few atoms with reversed spins. On the other hand, as was shown above, the large ferrons cannot exist ^rt/D less than 40. As for ferrons containing a few tens of atoms with reversed spins, they may be simultaneously classified as the intermediate ferrons and as the large ferrons, and the results, obtained above for large ferrons are applicable for them, at least, semiquantitatively.

Bound ferrons. Results obtained above are very useful for treatment of the bound ferrons in layered structures. If the isotropic approximation is accurate for the free ferron, the more it is accurate for the bound ferron corresponding to an electron localized at a donor (or a hole at an acceptor). This follows from the spherical symmetry of the impurity Coulomb field. Creation of a magnetized region around the impurity additionally diminishes the energy of the system. The radius of the region should be found from the condition of the energy minimum. Such bound ferrons were treated first for staggered antiferromagnets [5] in the case AS《W opposite to the case of the double exchange. Here a procedure corresponding to the double exchange, AS》W, will be proposed and applied to the bound ferrons in layered antiferromagnets.

Considering the case 2S》1 and using again a variational procedure, one may assume that the electron is trapped simultaneously by the Coulomb field and a spherical potential well of a constant depth U = 2t and of radius R corresponding to the ferromagnetic microregion (see Eq. (7)). Using the condition 力厶=0 valid for large spins, one can consider this electron as localized inside this region and put the Dirichlet boundary conditions. Hence the electronic wave function 吵(r) should be determined from the same wave equation as for the electron in a hydrogen atom but with an additional requirement of vanishing at 丁 = R:

J —U —石以丁) = 0;以 A) = 0,(29)

where Es is the energy of the bound «-electron, m = 1/ta2 is the electron effective mass, £ dielectric constant,方=1.

As is well known, the ground-state wave function of Eq. (29) is given by [14]

以丁)= exp (―^) Ф(1 - n, 2, “(30)

2(Es + U)'(31)

ав =石в = —(32)

е то

The argument n of the confluent hypergeometric function Ф(1 — n, 2, p) should be determined from the equation

After finding the energy as a function of R from Eqs. (32) and (33) and adding it to the energy of the d-d exchange Edd = 4тгЯ3£>/За3, one can find the optimal size of the ferron R from the condition of minimal total energy.

As the Kummer functions ①(a, c, n) are known only in the form of their tables, strictly speaking, the further calculation can be carried out only numerically, and I should stop my analysis at this stage. In addition, the most popular tables (e. g., [15]) are by far insufficiently detailed for accurate numerical calculations, so that, at the first glance, the fulfilment of the program given seems to be a rather hopeless task.

But a roundabout way exists which makes it possible to obtain reasonable estimates for the bound-ferron energy and ferromagnetic region radius using the scarce information presented in [15]. It is based on use of those values of the Kummer functions which are presented in the tables, and on the direct comparison of the energies calculated with their use, instead of their minimizing with respect to R.

Practically, the following procedure is used. One chooses a certain value of n related to Es by Eq. (31). Knowing n, one determines also a = 1 — n in Ф(а, 2, z) entering Eq. (33). Then, from the tables, one finds the zero z = z0 o^ ①(a, 2, n) corresponding to this a. This makes it possible to determine the ferron radius R = naBZQ/2. Knowing R, one calculates Edd〉adds it to Es and compares the total ferron energy obtained in this fashion with the ferron energies for other radii. In such a way one will be able to point out at which parameters of the system the radius chosen corresponds to the minimum of the ferron energy.

The above will be illustrated by the case when one suspects the ferron energy to be minimal at n = 2, for which value the data are presented in [15]. This means that Es = —U — Eb/8. According to [15], the first zero of the Kummer function with a = 1 — —n, —1, c = 2 is No = 2 which according to Eq. (31) corresponds to the ferron radius R/aB = 2. Hence the total ferron energy, corresponding to n = 2 is

石 f(2) = —U 一*+ 笞炉. (34)

This result should be compared with the corresponding results for n = 5 and n = 1.5, the data for which are presented in [15], too. The zeroes of the Kummer functions for them are zq = 0.7 and zq = 3, respectively. Obtaining expressions similar to Eq. (34), one sees that the energy 石尸⑵ is lower than the energies ^(5) and 品(1.5) for the smaller radius R/ав = 1.75 and the larger radius R/ав = 2.25, if

0.056 < < 0.08. (35)

ЗЕва

The range of the D/ Ев values given by Eq. (35) is sufficiently narrow which makes it possible to ascribe the radius R/ав = 2 to the central value of this interval.

In addition, one should make oneself sure that the energy of the bound ferron be lower than the energy Es of the bound «-electron for the undisturbed antiferromagnetic ordering, when only the Coulomb field of the impurity influences the «-electron state. In the case considered, the «-electron moves along a ferromagnetic plane in the Coulomb field of the ionized impurity. Hence, to find its energy, one should solve the following wave equation:

W （笠 + 号）-卜（丁）=。・（36）

Putting г = с/, с =(2加石?) I'] one reduces Eq. (36) to the form

\ dx dx丿

2 L(37)

The wave function is sought in the form

以力)=X®)exp (汝)；у = -2ix.(38)

After substitution of Eq. (38) into Eq. (37) one obtains

(今 + (1 - У)* - °) ХЫ = 0； а = ^ (1 — М).(39)

Solution of Eq. (39) is the confluent hypergeometric function Ф(а, 1, у). To ensure its finiteness, the parameter a should be equal to a nonpositive integer (—n) which gives for the bound «-electron energy

(2n + l)2

Obviously, it is minimal at n = 0. In the case considered above, one should make oneself sure that the energy (40) is higher than the energy (34). It should be noted that results obtained above can also be applied to the staggered antiferromagnets after a minor modification.

The opposite limit AS « W can be treated in full analogy with the treatment for the bound electrons carried out in [5] for the staggered structure.

Conclusions. Self-trapped electronic states, usually called magnetic polarons or ferrons, are investigated in an antiferromagnet with a layered structure. So far they were investigated only in the staggered antiferromagnetic structures where a conduction electron creates a spherical ferromagnetic microregion and stabilizes it by localization inside this region. One might expect that in the layered antiferromagnet with the anisotropic magnetic structure the ferron ferromagnetic region should be anisotropic, too. For this reason in the variational procedure, used here, it is assumed that its shape be a circular cylinder with the generatrix perpendicular to the ferromagnetic planes (001). But the ferromagnetic region has no well defined boundaries as the ferromagnetic cylinder is continuated by those (001) planes whose moments are aligned with the total moment of the cylinder. The absence of the well defined boundaries differs the layered antiferromagnets from the staggered antiferromagnets where the ferromagnetic ordering is clearly defined.

The main attention is paid to the case of the double exchange, though the opposite limiting case is considered, too. If the size of the ferromagnetic region is large, then, despite the strong anisotropy of the magnetic ordering, the shape of the ferromagnetic region turns out to be close to the sphere independently of the parameters of the system. The fact that its boundaries are not well defined influences the ferron energy rather weakly. Expressions are obtained for the energy and radius of the ferromagnetic ordering of the ferron in the layered antiferromagnet which are similar to the corresponding expressions for the staggered antiferromagnet. For this reason most results obtained earlier for the ferrons in the staggered antiferromagnets, after slight modification can be applied to the layered antiferromagnets, too. But for the ferromagnetic regions of a moderate size the difference between the ferrons in the staggered and layered antiferromagnets can be essential. Small ferrons when the spin of only one magnetic atom is reversed are impossible in the layered antiferromagnets despite the almost two-dimensional motion of the presumably self-trapped electron.

In addition to the free ferrons, the ferrons bound to the donor or acceptor impurities are considered with emphasis laid on the case of the double exchange. The latter problem is especially actual as it is directly related to the acceptor impurities in the colossal magnetoresistance materials. In the model accepted, the trapped electron (hole) state is found by solving the wave equation describing the motion of the electron in the Coulomb field but confined in the spherical ferromagnetic region of a finite radius. This wave equation is solved exactly in terms of the Kummer functions, arguments of which are determined from the Dirichlet boundary condition.

Unfortunately, the information about the Kummer functions is known only in the numerical form, which prevents from the direct minimization of the ferron energy with respect to the radius. Strictly speaking, further calculations should be carried out numerically. But a roundabout way of the treatment is proposed which makes it possible to obtain reasonable estimates in an analytical form. It is based on the direct comparison of energies for those radii for which the Kummer functions are known.

Acknowledgements. This work was fulfilled during the author's stay in the Max- Planck-Institut fiir Physik Komplexer Systeme. The author is very grateful to Professor P. Fulde and Dr. S. Flach for their hospitality.

Received / June 7998.

Revised manuscript received 28 September 1998.

References

De Gennes 夕.〃 Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 141.

Nagaev E.L. // Phys. Status Solidi B. 1974. V. 65. P. 11.

Nagaev E. L. Physics of Magnetic Semiconductors. — M.: Mir, 1983; Usp. Fiz. Nauk. 1995. V. 165. P. 529.

Nagaev E.L. // J. Magn. Magn. Mater. 1992. V. 110. P. 39.

Nagaev E.L. // Zh. Eksp. Teor. Fiz., Pis'ma Red. 1967. V. 6. P. 484 [JETP Lett. 1967. V. 6. P. 18]; Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1968. V. 54. P. 228 [Sov. Phys. JETP. 1968. V. 27. P. 122]. (Статьи 1.1, 1.2 настоящего сборника.)

Wachter P. // Crit. Rev. Solid State Sci. 1972. V. 3. P. 189.

Matsumoto G. // J. Phys. Soc. Jpn. 1970. V. 29. P. 606; 1970. V. 29. P. 615.

Hennion M., Moussa F., Rodrigues-Carvajal 丿.,Pinsard L., Revcolevschi A. // Phys. Rev. B. 1997. V. 56. P. R497.

Kugel K. /., Khomskii D. /. // Usp. Fiz. Nauk. 1982. V. 136. P. 621 [Sov. Phys. Usp. 1982. V. 25. P. 231].

Anderson 夕.,Hasegawa A. // Phys. Rev. 1955. V. 100. P. 675.

Nagaev E. L. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1969. V. 56. P. 1013 [Sov. Phys. JETP. 1969. V. 29. P. 545]; Fiz. Met. Metalloved. 1968. V. 6. P. 214; 1968. V. 6. P. 586; Fiz. Tverd. Tela (Leningrad). 1969. V. 11. P. 2779 [Sov. Phys. Solid State. 1969. V. 11. P. 2249]; Phys. Status Solidi B. 1974. V. 6. P. 11; Nagaev E. L., Sokolova E.B. // Fiz. Tverd. Tela (Leningrad). 1974. V. 16. P. 1562 [Sov. Phys. Solid State. 1974. V. 16. P. 836]. (Статья 1.12 настоящего сборника.)

Bulaevskii L. N., Nagaev E. L., Khomskii D. /. // Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1968. V. 54. P. 1562 [Sov. Phys. JETP. 1968. V. 27. P. 836]. (Статья 1.3 настоящего сборника.)

Lifshits I. M. // Adv. Phys. 1964. V. 13. P. 483.

Landau L. D.、Lifshitz E. M. Kvantovaya Mekhanika (Quantum Mechanics). — M.: Nauka, 1989.

Janke K, Emde F., Loesch F. Tafeln Hoeherer Functionen, Sechste Auflage. — Stuttgart: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1960.

E. L. Nagaev

Письма в Ж9T①.2001. V. 74(8). P. 472-476

So far, magnetic polarons in antiferromagnetic semiconductors (ferrons) were assumed to arise due to the charge carrier self-trapping by a ferromagnetic or canted antiferromagnetic region. If the ferron size is not very large, they should have much more complicated structure: the magnetically deformed region consists not only of a magnetized core, which traps the electron, but also of its surrounding with the oppositely directed total moment, which repulses the trapped electron. The compensating moment of the surrounding oscillates with a period of doubled lattice constant and with the amplitude diminishing very smoothly on an increase in the distance from the core.

The energy of a charge carrier in a magnetic semiconductor depends strongly on the type of magnetic ordering, being minimal for the ferromagnetic ordering. For this reason the carriers tend to establish the latter. In nondegenerate antiferromagnetic semiconductors, they can do this only inside a small region, since a single electron cannot establish a ferromagnetic ordering in a crystal of macroscopic size. The idea that a mobile electron or hole creates a magnetized region inside of an antiferromagnetic semiconductor which traps it was advanced more than 30 years ago [1-4], and after this was repeated by many other authors (see, e. g., the review article [5]). In its simplest version, a conduction electron creates a ferromagnetic region and stabilizes it by its localization inside this region.

Certainly, this state belongs to the self-trapped ones and, in this respect, resembles the well-known lattice polaron. This justifies, to some extent, the use of the name «magnetic polaron» which it adopted in the pioneering papers [1, 2]. But, in reality, this name is inaccurate, as the creation of this quasiparticle means change of the crystal magnetization. Meanwhile, the term «magnetic polarization» is never used for the crystal magnetization. For this reason, I proposed later the name «ferron» for the quasiparticle invented by me in [1, 2]. The ferrons were observed experimentally in EuSe and EuTe [6].

In addition to the free ferrons, the bound ferrons were considered in [2, 7, 8]. They correspond to the electrons (holes) captured by the donor (acceptor) impurities in antiferromagnetic semiconductors. These electrons (holes) produce magnetized regions in the vicinity of the donors which attract the electrons to donors, jointly with the Coulomb potential of the donor atom. The central portion of the magnetized region may be completely ferromagnetic, and the rest may be canted antiferromagnetic. Perhaps, the former may be absent at all. The bound ferrons strongly influence the electrical and magnetic properties of the crystals. In particular, due to their large magnetic moments, bound ferrons can change the sign of the paramagnetic Curie temperature from negative to positive. They also lead to a jump in the crystal magnetization in weak magnetic fields [9].

These results were obtained for the ferron sizes larger as compared with the lattice constant. In this paper, the ferrons of the size comparable with the lattice constant will be considered. It will be shown that, in some cases, its structure may be considerably more complicated than that of the large ferrons. Especially nontrivial is the fact that the local magnetization can be with alternating signs. This means that the core of the magnetically deformed region attracts the electron and the region outside the core repulses it. The coordinate dependence of the compensating moment of the surrounding should be rather complicated for small magnetic anisotropy: it should oscillate with a period of doubled lattice constant and with the amplitude diminishing very smoothly on an increase in the distance from the core.

Such a complex ferron can be considered to be the manifestation of a real magnetic polaron. In fact, the magnetic polarization corresponds to the appearance of a magnetic moment inside a certain region of the crystal and of a compensating moment with the

opposite direction elsewhere. A close analogy with the lattice polarization is obvious. The latter leads to the appearance of the local charge density but the total crystal charge remains zero. But one should point out that the total magnetization remains nonzero in the case considered, since the magnetic compensation is incomplete. Hence, the quasiparticle discussed is intermediate between the ferron and the true magnetic polaron.

A simple model will be used to corroborate the idea of true magnetopolaronic effect. The self-trapped state, which is found in this model, corresponds to a state intermediate between the bound ferron and the bound true magnetic polaron. Due to an impurity potential, the electron is located at magnetic atoms closest to the impurity. The localization region acquires a core magnetic moment, becoming ferromagnetic or canted antiferromagnetic.

It will be shown that the region surrounding the localization region also acquires a magnetic moment. Its total value is opposite to the direction of the ferron moment and compensates the former by more than 70 % in the one-dimensional case and by 40 % in the three-dimensional case. The compensating moment displays oscillations with a period equal to the doubled lattice constant. If the magnetic anisotropy is small, the oscillation amplitude tends to zero very smoothly. For larger anisotropy, the tendency toward the oscillation attenuation increases strongly. The magnetization compensation decreases the energy of the self-trapped state very strongly, e. g., more than twice in the one-dimensional case.

First, a one-dimensional chain of magnetic atoms will be considered within the framework of the s-d model, to which the uniaxial magnetic anisotropy term is added, since it determines the direction of magnetic moments.

The atomic chain is directed along the у axis, and the magnetic easy axis is x. The undisturbed magnetic structure is represented by two sublattices with the spins up (S“ = S) for the even atomic numbers g = 2n and spins down (S“ = — S) for the odd atomic numbers g = 2n + 1. Under influence of the trapped electron, the d spins can be deviated from the ж axis. The donor impurity is assumed to be located symmetrically about these two atoms belonging to different magnetic sublattices. Then the Hamiltonian of the system can be represented in the form

Hsd =一方(a一1。a0。+a0。a一1。) 一 4 53 (sSg)”/ ag,aag,o-f -

-SgSg+i - k£(s# ⑴

where a* ?cr, a^。are the «-electron operators corresponding to the conduction electrons or holes at atom g with the spin projection cr, s is the «-electron spin operator, Sg is that of the d spin of atom g, the d spin magnitude being S. The form (1) assumes that the d—d-exchange integral I corresponding to the antiferromagnetic ordering is negative. The constant К of the uniaxial anisotropy is positive. The energy of the Coulomb interaction between the impurity and the electron is an additive constant and, for this reason, is omitted here.

Only the lowest bound state of the conduction electron will be considered. It corresponds to the «-electron shared with equal probabilities between atoms with the numbers g = —1 and g = 0. Perhaps, such a situation is possible also for the self-trapped electron in a perfect crystal but for very special parameter values.

We begin with the case of the magnetic anisotropy tending to zero. The electron effect on the d spins is tantamount to an effective magnetic field directed along the n axis. Hence, in the vicinity of the impurity, the d spins lie inside the z-x plane. By the symmetry of the system with К T 0, S；冷=S；2n—i with the magnetized core formed by atoms —1 and 0, and the Sx components are of the opposite signs for the two sublattices.

In what follows, the inequality AS <C W will first be used, where W is the chargecarrier bandwidth. In this case, it is convenient to carry out the canonical transformation of the «-electron operators, which diagonalizes the first term in (1):

а±。= 2 / （。―土 a。。）•а±。= 2 / （。―土 a。。）•⑵⑵

а±。= 2 / （。―土 a。。）•

а±。= 2 / （。―土 a。。）•

⑵

⑵

Then the standard procedure of constructing the magnetic Hamiltonian from the s-d Hamiltonian (1) can be used: the latter is averaged over the s electronic state. Taking its spin to be aligned with the г-axis, one puts〈。之 1/2。冃 J/2〉= lforg = 0or—1 and all other averaged pairs of operators equal to zero.

Introducing the polar angles for the d spins, one can represent the magnetic energy in the form

К 2

E = J£cos ("g + "g+i) — £ (cos"_i + cos"。)+ — fsin? dg + E^^

gg(3)

J = -IS* £ =不

where Eg is the energy of the antiferromagnetic ordering. Minimizing Eq. (3) with respect to the polar angles of the spins %, one obtains the following set of nonlinear equations:

Jsin ("g + "g+i) + J sin ("g + "g —i)

°(4)

—L sin ®g (bg,_1 + bg,o) + KS2 sin (2%) = 0.

Obviously,

®±8 =皆⑸

This boundary condition remains in force if KS?N》£, where N is the number of atoms in the chain.

Further, the solution should satisfy the equality

"-(g+i) = %⑹

with g》0. Hence, it is sufficient to consider nonnegative g.

The corresponding treatment for the double exchange case W <C AS can be carried out using the De Gennes [10] expression for the effective hopping integral between atoms 0 and (—1)

This equation ensures a high accuracy if the total angle between the spins is not very large [9]. Using Eqs. (1), (6), and (7), one again arrives at the set of Eqs. (4), but with L = t in this case.

To solve the set of Eqs. (4), one should make it finite, putting

(5 a)(5 a)^4

(5 a)

(5 a)

for some value / of the number of the atom. The cutoff of the set of Eqs. (4) at a finite / is equivalent to using a variational procedure. Hence, it exaggerated the energy, the more the less is /.

The case of / = 1 corresponds to the purely ferron state, where the magnetized region coincides with the core region, inside which the electron is localized (atoms 0 and —1). But already allowing for the deviation of the next spin (/ = 2) will lead to appearance of the magnetic polarization.

For / = 2, one can obtain solutions analytically if L <C 1 or L ^> 1 (L in J units). In the former case, putting "о = тг/2 — q and "i = тг/2 — /3, one finds for KS2《 L, J: q = 2L/5 and /3 = — q/2. As the angles q and /3 are proportional to the core moment and to the compensating moment, respectively, one sees that the latter amounts to one half of the former. In the limiting case of large L, where "о《1, one finds "i, to be Зтг/4. Hence, the compensating moment depends on L very weakly and amounts to 71 % of the core moment.

Now let us discuss the intermediate L values. Results for them are obtained by numerical calculations based on the set of Eqs. (4). For example, L = 3 the ground-state energies of the system in J units are —2.72 for / = 1, —4.78 for / = 2 and —5.846 for

/ = 16. Hence, even the simplest version of allowing for the compensating moment / = 2 decreases the bound ferron energy by a factor of 1.76, and for / = 16 by a factor of 2.15.

For / = 1, the ferron magnetic moment coinciding with that of the core (0 and —1 atoms) is 1.62S. For / = 2, the core moment is 1.796S, i. e., higher than for / = 1. But, instead, the compensating magnetic moment appears at atoms g = 1 and —2. Its total value is —1.058S, which amounts to 59 % of the core moment. Hence, the total magnetic moment of the system is 0.738S, which amounts only to 41 % of the core magnetic moment.

But a more detailed investigation with / = 16 shows that the compensating magne

tization is not concentrated in the closest vicinity to the core. It is long-range and has a rather complicated structure. To begin with, the total core moment is 1.992S for L = 3.

Moreover, the same sublattice, to which the atom g = 0 belongs, is magnetized in the

same direction as this atom, and the magnetization of the lattice decreases very smoothly, so that the magnetization of the atom g = 14 amounts to 18 % of that of atom g = 0.

Fig. 1. Dependence of the magnetic moment Mi on the number i of the magnetic atom (onedimensional system)Fig. 1. Dependence of the magnetic moment Mi on the number i of the magnetic atom (onedimensional system)But the other sublattice is magnetized still more strongly in the opposite direction, and this magnetization drops also very smoothly. Hence, the magnetization outside the ferron oscillates with a period of the doubled lattice constant and with the amplitude decreasing with increasing distance from the ferron (figure). The total compensating moment outside the electron localization region up to atom g = 15 is —1.044S.

Fig. 1. Dependence of the magnetic moment Mi on the number i of the magnetic atom (onedimensional system)

Fig. 1. Dependence of the magnetic moment Mi on the number i of the magnetic atom (onedimensional system)

The oscillation length decreases with increasing magnetic anisotropy. The fact that the anisotropy suppresses the magnetization oscillations is obvious from the limiting case of the Ising model К T oo. Then the magnetization is aligned not with the n axis but with the ж axis. This problem is solved exactly: for L < 2J, the ferron does not exist, and for L > 2J it corresponds to the spins of atoms 0 and (—1) parallel to each other. Outside this core the d spins form the ideal antiferromagnetic

ordering, with the spins of atoms bordering the core being antiparallel to the core spin. Thus, the oscillations of the magnetic moment outside the core are really absent in the limit of a giant magnetic anisotropy.

The lower bound for the compensating moment amounts to 52 % of the core moment. It should be noted that, though the energies for / = 2 and / = 16 differ only by 22 %, qualitatively, the behaviors of the magnetic polarizations in these cases differ drastically.

Nevertheless, in both these cases the real contribution of such bound ferrons to

the magnetization of the crystal in a magnetic field is considerably less than it was assumed initially. Hence, allowing for the magnetic polarization is necessary for an accurate calculation of the magnetic properties of the ferron-containing crystals.

The ferron contribution will be evaluated in the three-dimensional case. It will be

assumed that the crystal structure is simple cubic, and that the antiferromagnetic ordering is staggered. The donor atom is located at the center of a unit cell, and the donor electron is

spread over eight atoms located at the corners of the unit cell. Only the magnetic moments of these atoms and of 24 atoms adjacent to them will be taken into account. The former atoms form the moment of the ferron core Me and the latter the compensating moment of the surrounding Ms・

Using the three-dimensional analogue of the Hamiltonian (1) and again introducing the angles "о and 犷匕 for the moments of the former and of the latter, respectively, after minimizing the total energy with respect to the angles, one arrives at the following equations:

—3 J sin (2"o) — 3 J sin ("о + "i) + L sin "о = 0,sin (& + 阴)+ sin (2阴)+ 3 cos & = 0.

Solution to Eqs. (8) shows that the ratio Ms /Me depends on L very weakly and is close to 40 %. For the same reasons as in the one-dimensional case, the oscillations of the magnetic moment should also exist in the three-dimensional case. Again, the bound ferromagnetic polaron energy is, by the order of magnitude, hundred percent lower than the ferron energy. This energy lowering is very large and points to a considerably smaller density of the thermally delocalized charge carriers than in the usual ferron scenario.

The energy of the ready-made noninteracting magnetic moments directed normally to the sublattice does not change upon their reversal. Hence, these moments can lead to a very rapid growth of the magnetization of the crystal in very small magnetic fields, with which they are aligned. It dominates for noticeable impurity densities, because the magnetization of the antiferromagnetic portion of the crystal is still very small in such fields. In the limiting case T T 0, an arbitrarily small field should cause a complete ordering of the bound ferron moments, which manifests itself as a steep jump in the magnetization of the crystal. As follows from the results presented above, this jump may turn out to be considerably less than it was assumed previously. At finite temperatures, if the field is too small to change the magnetic moments of the bound ferrons, the ferron contribution to the crystal magnetization is described by the Langevin function. Accordingly, the growth of this contribution with field turns out to be considerably more smooth.

It should be specially noted that the present investigation refutes the point of view expressed by some physicists, according to which the bound electrons can produce the canted antiferromagnetic ordering in anti-ferromagnetic semiconductors.

Concerning the actuality of the present investigation, it should be noted that the problem of magnetic polarons (ferrons) remains actual for more than 30 years, beginning from their theoretical prediction [1]. This is related to the fact that just ferrons determine the electrical and magnetic properties of many magnetic materials, including manganites, which attract much attention due to their giant magnetoresistance. At present, the existence of bound ferron is beyond any doubt. Experimental data on them are presented in review article [11]. A refined theory of the ferron states developed in this work, which is based on the partial compensation of the magnetic moment of the ferromagnetic region by its surrounding, will make it possible to treat phenomena in these materials more consistently.

The theoretical prediction about the magnetization oscillations made above did not find an experimental confirmation as yet, but this theoretical result is quite new and, possibly, will stimulate new experimental investigations. At least, this effect seems to be interesting from the physical point of view.

The small magnetic polarons investigated in this work are typical of weakly doped manganites. But they differ drastically from the small lattice polarons. The latter are characterized by the fact that, in the zeroth approximation, the electrons are localized at certain sites and, due to this, cannot establish the ferromagnetic ordering even in very small crystal regions (to do this, electron transitions between the magnetic atoms

are necessary). The small magnetic polarons considered in this work allow the electron transitions between the magnetic atoms and, hence, the local ferromagnetic ordering.

It should be stressed that the small lattice polarons are hypothetical quasiparticles, and their existence is not proved as yet. According to my estimates, the standard polarization small polarons are impossible in magnetic semiconductors and manganites, because they are only partially polar crystals [11, 12]. On the other hand, in the Jahn-Teller materials such as manganites, the coupling strength between the holes and Jahn-Teller phonons is unknown. Meanwhile, this coupling should be very strong for the formation of small Jahn-Teller polarons, the reasons for which are not obvious.

The most decisive argument against small lattice polarons of both types in manganites, is their metallic state at sufficiently high doping levels. Really, in materials, where they exist, Mott delocalization of the donor electrons or acceptor holes, i. e. the metallic state, is impossible because of giant effective masses of the charge carriers in the small-polaron states [11]. Again, the similarity of the basic properties of manganites with the properties of the standard non-Jahn-Teller and only partially polar magnetic semiconductors makes it possible to conclude that the small lattice polarons do not exist in manganites.

This work was supported in part by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 01-02-97010), INTAS (grant no. 97-open-30253), and the Russian Ministry of Science and Industry.

Received 18 September 2001.

In final form, 25 September 2001.

References

Nagaev E.L. // Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1967. V. 6. P. 484 [JETP Lett. 1967. V. 6. P. 18].

(Статья 1.1 настоящего сборника.)

Nagaev E.L.// Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1968. V. 54. P. 228 [Sov. Phys. JETP. 1968. V. 27. P. 122].

(Статья 1.2 настоящего сборника.)

Mott N., Zinamon Z. // Rep. Prog. Phys. 1970. V. 33. P. 81.

Mott N. F.)Davis E. A. Electronic Processes in Non-Crystalline Materials — Oxford: Clarendon, 1971. — M.: Mir, 1974.

Nagaev E.L. // J. Magn. Magn. Mater. 1992. V. 110. P. 39.

Wachter P. // CRC Crit. Rev. Solid State Sci. 1972. V. 3. P. 189.

Nagaev E.L. // Phys. Rev. B. 1999. V. 60. P. 455. (Статья 6.7 настоящего сборника.)

Nagaev E.L. 口 Fiz. Tverd. Tela (St. Petersburg). 2001. V. 43. P. 54 [Phys. Solid State. 2001.

V. 43. P. 54].

Nagaev E. L. Physics of Magnetic Semiconductors. — M.: Nauka, 1979. — M.: Mir, 1983.

de Gennes P. // Phys. Rev. 1960. V. 118. P. 141.

Nagaev E.L. // Phys. Rep. 2001. V. 346. P. 388.

Nagaev E.L. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 2042.

Глава 7

ПОПУЛЯРНЫЕ СТАТЬИ

Магнитные полупроводники

3. Л. Нагаев

Природа. 1982. № 10

Эдуард Леонович Нагаев, доктор физико-математических наук, профессор, начальник лаборатории Всесоюзного научно-исследовательского института источников тока. Занимается теорией магнитных полупроводников, поверхностных явлений, а также магнитными фазовыми переходами. Один из авторов открытия «Явление гетерофазной автолокализации электронов проводимости в полупроводниках».

Магнитные полупроводники — очень своеобразные материалы: они сочетают в себе магнитные свойства магнетиков с электрическими свойствами полупроводников. Что такое полупроводник, общеизвестно, термин же «магнетик» нуждается в пояснении. Магнетиками называют материалы, которые или обладают самопроизвольной намагниченностью, или могут быть сильно намагничены относительно небольшими магнитными полями. И полупроводники и магнетики — это то, на чем основана современная электроника. Обычно полупроводники — не магнетики, а магнетики — не полупроводники. Соответственно эти материалы выполняют в электронных устройствах совершенно различные функции. Так, на полупроводниках строятся радиотехнические схемы, а магнетики используются для записи информации. Примером тому — магнитофонные ленты, покрытые порошком магнетика.

Тот факт, что магнитные полупроводники объединяют в себе сразу свойства и тех и других материалов, открывает возможности создания на их основе принципиально новых приборов. И дело не только в том, что в зависимости от потребности могут использоваться то электрические, то магнитные свойства одного и того же материала. Чрезвычайно существенно и важно — и в том именно и состоит специфика магнитных полупроводников, — что их электрические свойства сильно влияют на магнитные и наоборот. Из-за такого взаимовлияния в магнитных полупроводниках становятся возможными новые физические явления, отсутствующие в магнетиках- неполупроводниках и полупроводниках-немагнетиках.

Какие бывают магнетики. Сказать, что люди знают о магнетиках уже несколько тысячелетий, — это сказать полуправду. Действительно, о таком магнетике как магнитный железняк, было известно еще в Древней Греции и Китае. Магнитный железняк представляет собой пример ферромагнетика — материала, который намагничен сам по себе, в отсутствие каких-либо внешних для этого причин. Но только в 30-х годах XX века стали известны магнетики совершенно иного типа — так называемые антиферромагнетики. Они отличаются от ферромагнетиков отсутствием самопроизвольной намагниченности. Но зато, в отличие от немагнитных материалов,

их можно очень сильно намагнитить относительно небольшими внешними магнитными полями.

Современная теория магнетизма основана на том экспериментальном факте, что электрон, неся электрический заряд, одновременно является микроскопическим магнитом. Величина и направление созданного им магнитного поля характеризуются вектором спина электрона.

В атомах спины отдельных электронов складываются в суммарный спин атома. Обычно спин каждого атома в кристалле равен нулю. Однако существуют «магнитные» атомы, у которых спин отличен от нуля. К ним относятся атомы так называемых переходных элементов, у которых частично заполнены внутренние d-оболонки (железо, никель и т. д.), а также атомы редкоземельных элементов (европий, гадолиний и т. д.) и элементов группы урана, у которых частично заполнены внутренние /-оболочки.

Суммарный спин таких атомов может значительно превышать спин электрона. Так, у атома и двухзарядного катиона европия он в 7 раз больше. Такие большие спины, в отличие от спина электрона — величины сугубо квантовой, — можно рассматривать как классические векторы.

Естественно, чтобы кристалл был магнетиком, в его состав должны входить магнитные атомы или ионы. Между магнитными атомами в кристалле существует взаимодействие, стремящееся определенным образом сориентировать их спины по отношению друг к другу. Из-за него в направлениях спинов появляется определенный порядок — ферромагнитный или антиферромагнитный. Ферромагнитный порядок возникает, когда спины всех атомов параллельны друг другу. Суммарный спин кристалла в этом случае равен произведению спина атома на число атомов. Отличный от нуля спин кристалла и означает существование у него самопроизвольной намагниченности.

Антиферромагнитные структуры могут быть различных типов, но все они характеризуются нулевым значением суммарного спина кристалла. В простейшем случае спин каждого атома антипараллелен спину его ближайших соседей. Тогда кристаллическую решетку можно разбить на две эквивалентные подрешетки так, что два соседних атома будут принадлежать различным под решеткам. Спины всех атомов из одной и той же подрешетки направлены одинаково, т. е. в отдельности каждая подрешетка представляет собой ферромагнетик. Антиферромагнетик в этом случае можно представить себе как два вставленных друг в друга ферромагнетика со спинами, направленными навстречу друг другу.

Возникновение магнитного упорядочения, как ферромагнитного, так и антиферромагнитного, обусловлено так называемым обменным взаимодействием между магнитными атомами. Это взаимодействие есть прямое следствие принципа Паули.

Современная теория не в состоянии надежно предсказать тип магнитного упорядочения реальных кристаллов. Очень похожие друг на друга кристаллы могут иметь различные типы магнитного упорядочения.

Но какое бы магнитное упорядочение ни существовало при температурах, близких к абсолютному нулю, при достаточно высоких температурах оно оказывается разрушенным: кристалл переходит в парамагнитное состояние. Температуры разрушения ферромагнитного и антиферромагнитного упорядочения называются соответственно точкой Кюри и точкой Нееля. Чем сильнее обменное взаимодействие, тем эти температуры выше.

От полупроводника до металла. Полупроводник отличается от металла тем, что в нем при температуре, равной нулю, нет электронов, способных принимать участие в электропроводности (носителей тока). Причина тому — необходимость затрат энергии на создание в полупроводнике носителей тока (в металле этого не требуется). Минимальная энергия, нужная для создания носителей тока в идеальном

4 11U I I

d U и м

Рис. 1. Относительное расположение спинов атомов кристалла при ферромагнитном упорядочении (а), антиферромагнитном упорядочении (б) и в парамагнитном состоянии (в)

Рис. 2. Схема электронной зонной структуры полупроводника. Валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной —щелью шириной Eg. Внутри щели находятся локальные электронные уровни примесных атомов —донорные атомы 现Рис. 2. Схема электронной зонной структуры полупроводника. Валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной —щелью шириной Eg. Внутри щели находятся локальные электронные уровни примесных атомов —донорные атомы 现полупроводниковом кристалле, называется шириной его запрещенной зоны и обозначается Eg. Смысл этого термина становится ясным из зонной теории, которая объясняет основные свойства полупроводников. Согласно ей, существует группа электронных состояний (валентная зона), которая при Т = 0 полностью заполнена электронами, и другая группа (зона проводимости), которая при Т = 0 полностью пуста. Электроны полностью заполненной валентной зоны не могут переносить ток. Состояние валентной зоны с наибольшей энергией (ее потолок) отделено от состояния зоны проводимости с наименьшей энергией (ее дна) интервалом энергий Eg, в котором никаких электронных состояний нет. Соответственно, этот интервал называется запрещенной зоной, или щелью. У металлов такая щель отсутствует. На перевод каждого электрона из валентной зоны в зону проводимости нужна, как минимум, энергия Eg.

Рис. 2. Схема электронной зонной структуры полупроводника. Валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной —щелью шириной Eg. Внутри щели находятся локальные электронные уровни примесных атомов —донорные атомы 现

Рис. 2. Схема электронной зонной структуры полупроводника. Валентная зона и зона проводимости разделены запрещенной зоной —щелью шириной Eg. Внутри щели находятся локальные электронные уровни примесных атомов —донорные атомы 现

Великое достоинство полупроводников, благодаря которому они и стали играть доминирующую роль в современной электронике, состоит в том, что концентрацией свободных электронов в них можно управлять в чрезвычайно широких пределах, вводя микроскопические примеси. Существуют, например, такие примесные атомы — их называют донорными, — с которых значительно проще перевести электрон в зону проводимости, чем из валентной зоны: в зонном спектре полупроводника энергетические уровни доноров лежат внутри запрещенной зоны. Из самого факта, что энергия Ed отрыва электрона от донора невелика, следует, что радиус электронной орбиты донора 丁d большой: ведь Ed должна быть порядка энергии кулоновского притяжения электрона к донору, т. е. е^/ег^, где & — диэлектрическая проницаемость кристалла. Реально радиус rd может в 10-100 раз превышать постоянную решетки кристалла.

Полупроводник, как правило, может быть переведен в металлическое состояние достаточно сильным давлением, уменьшающим расстояние между атомами кристалла —при этом запрещенная зона исчезает. Но есть другой способ превратить полупроводник в металл: увеличить концентрацию (п) примеси в кристалле, не меняя расстояния между атомами. При этом кристалл в целом металлом не становится, а происходит лишь металлизация примесных атомов: электроны становятся коллективной собственностью всех примесных атомов, не локализуясь, как прежде, каждый на своем примесном атоме. Почему это так, особенно четко видно в том предельном случае, когда расстояние между примесными атомами п-1/3 мало по сравнению

10 Э. Л. Нагаев

с радиусом примесной орбиты 丁d・ Тогда внутри сферы радиуса 丁d примесных атомов так много, что невозможно указать, какому из них принадлежит электрон.

Ясно, что металлизация примесных атомов должна происходить при такой кон-

-1/3 центрации пс, когда среднее расстояние между примесными атомами пс % г&.

Итак, при концентрациях п, превышающих пс, в полупроводниковом кристалле реализуется так называемый примесный металл. Соответственно, полная проводимость такого сильно легированного полупроводника оказывается металлического типа (т. е. падает с ростом температуры), хотя ее величина на несколько порядков ниже проводимости обычных металлов. Как уже говорилось, радиус 丁d может быть достаточно велик. Поэтому концентрации примеси, превращающие полупроводник в примесный металл, могут быть достаточно низкими — в пределах от 0,001 до 1 %.

Бывают ли ферромагнитные полупроводники? Как правило, магнитные полупроводники представляют собой ионные кристаллы, в которых катионы имеют отличный от нуля спин. Например, в окиси никеля (NiO) ионы Ni++ — магнитные, и этот кристалл — типичнейший антиферромагнетик. К началу 60-х годов было обнаружено большое количество магнитных полупроводников, но ни один из этих кристаллов не был ферромагнетиком. Сложилось даже мнение, что ферромагнитные и полупроводниковые свойства по каким-то причинам несовместимы. В природе такое бывает — например, ферромагнетизм несовместим со сверхпроводимостью. Естественных минералов — ферромагнитных полупроводников, видимо, действительно не существует. Однако в 1960 г. японским физикам удалось синтезировать первый искусственный кристалл с такими свойствами, а сейчас ферромагнитных полупроводников известно уже около сотни.

Из магнитных полупроводников, с точки зрения физика-теоретика, наиболее интересно семейство родственных друг другу кристаллов EuO, EuS, EuSe и ЕиТе. Все они имеют простую кристаллографическую структуру — как у обычной каменной соли, и в их состав входят магнитные катионы Еи++ с частично заполненной /-оболочкой. Чрезвычайно важно, что первые два члена этого семейства — ферромагнетики, а вторые два — антиферромагнетики. Это дает возможность, сравнивая их электрические и оптические свойства, сразу же выяснить, какое именно из этих свойств обусловлено магнитным упорядочением.

Зависимость полупроводниковых свойств от магнитного упорядочения оказалась необычной и очень сильной. Прежде всего, это проявилось в так называемом гигантском красном сдвиге края поглощения, наблюдающемся практически у всех ферромагнитных полупроводников. Существование края оптического поглощения — прямое следствие наличия щели в энергетическом спектре полупроводника. Поглощаться может только такой свет, энергия кванта которого превышает Eg.

В немагнитных полупроводниках ширина щели Eg практически не зависит от температуры. Так же обстоит дело и в типичных антиферромагнитных полупроводниках, например ЕиТе. Но в ферромагнитных полупроводниках оказалось все иначе: при понижении температуры щель резко сужается, что проявляется в уменьшении частоты квантов света, которые кристалл может поглощать. Но чем меньше частота, тем больше длина волны света, тем свет «красней» — оттого и название сдвига края поглощения «красный». А гигантский он оттого, что ширина щели уменьшается достаточно сильно — есть даже такие ферромагнитные полупроводники, в которых щель сужается втрое. Красный сдвиг наблюдается не только при понижении температуры, но и при включении магнитного поля, которое тоже увеличивает намагниченность кристалла. Более того, под действием магнитного поля красный сдвиг происходит и у антиферромагнитных полупроводников, которые этим полем намагничиваются.

В чем причина зависимости ширины щели от намагниченности кристалла? Оказывается (и это характернейшая черта магнитных полупроводников), что энергия

электронов проводимости зависит от магнитного упорядочения в кристалле. Вызвано это обменным взаимодействием носителей тока с магнитными катионами 1). Энергия

этого взаимодействия зависит от того, как ориентированы спины носителя тока и катиона по отношению друг к другу. Знак ее при параллельных спинах противоположен тому, который был бы при антипараллельных спинах.

Если ферромагнитного упорядочения в кристалле нет, то число магнитных катионов, спин которых параллелен спину носителя тока, в точности равно числу катионов, спин которых ему антипараллелен. Поэтому суммарная энергия обменного взаимодействия носителя тока с магнитными катионами кристалла в этом случае равна нулю. Если же кристалл упорядочен ферромагнитно и спины всех магнитных катионов параллельны друг другу, то энергия обмена носителя тока с ними отлична от нуля, а знак ее зависит от взаимной ориентации спинов носителя тока и катионов. Когда энергия обменного взаимодействия ниже, заранее сказать нельзя, — в разных кристаллах бывает по-разному. Но для нас это совершенно

Рис. 3. Температурная зависимость края оптического поглощения в ферромагнитных полупроводниках. При понижении температуры происходит так называемый красный сдвиг края поглощения, причем начинается это еще до достижения точки Кюри ТсРис. 3. Температурная зависимость края оптического поглощения в ферромагнитных полупроводниках. При понижении температуры происходит так называемый красный сдвиг края поглощения, причем начинается это еще до достижения точки Кюри ТсРис. 4. Упрощенная энергетическая схема ферромагнитного полупроводника. Валентная зона слабо чувствительна к намагниченности кристалла. Зона проводимости в окрестности точки Кюри расщепляется на две спиновые подзоны с антипараллельными спинами (верхняя линия) и с параллельными спинами. Одна из них с ростом спонтанной намагниченности кристалла сдвигается вверх, а другая вниз. Ширина щели, определяемая положением дна низшей спиновой зоны относительно потолка валентной зоны, с ростом намагниченности сужается. Этим объясняется красный сдвиг края оптического поглощения при понижении температуры. Показан также температурный сдвиг донорного уровня (пунктирная кривая). Он происходит медленнее, чем сдвиг дна зоны проводимости, так как электрон донорного атома увеличивает степень упорядочения вблизи дефекта. Поэтому с ростом температуры глубина донорного уровня относительно дна зоны проводимости сначала растет, а затем падаетРис. 4. Упрощенная энергетическая схема ферромагнитного полупроводника. Валентная зона слабо чувствительна к намагниченности кристалла. Зона проводимости в окрестности точки Кюри расщепляется на две спиновые подзоны с антипараллельными спинами (верхняя линия) и с параллельными спинами. Одна из них с ростом спонтанной намагниченности кристалла сдвигается вверх, а другая вниз. Ширина щели, определяемая положением дна низшей спиновой зоны относительно потолка валентной зоны, с ростом намагниченности сужается. Этим объясняется красный сдвиг края оптического поглощения при понижении температуры. Показан также температурный сдвиг донорного уровня (пунктирная кривая). Он происходит медленнее, чем сдвиг дна зоны проводимости, так как электрон донорного атома увеличивает степень упорядочения вблизи дефекта. Поэтому с ростом температуры глубина донорного уровня относительно дна зоны проводимости сначала растет, а затем падаетнесущественно, так как свойства магнитных полупроводников от этого практически не зависят. Для наглядности будем считать, что энергия обмена носителя с магнитными катионами ниже при параллельной ориентации их спинов («ферромагнитное» обменное взаимодействие носителя тока с катионами).

Рис. 3. Температурная зависимость края оптического поглощения в ферромагнитных полупроводниках. При понижении температуры происходит так называемый красный сдвиг края поглощения, причем начинается это еще до достижения точки Кюри Тс

Рис. 3. Температурная зависимость края оптического поглощения в ферромагнитных полупроводниках. При понижении температуры происходит так называемый красный сдвиг края поглощения, причем начинается это еще до достижения точки Кюри Тс

Рис. 4. Упрощенная энергетическая схема ферромагнитного полупроводника. Валентная зона слабо чувствительна к намагниченности кристалла. Зона проводимости в окрестности точки Кюри расщепляется на две спиновые подзоны с антипараллельными спинами (верхняя линия) и с параллельными спинами. Одна из них с ростом спонтанной намагниченности кристалла сдвигается вверх, а другая вниз. Ширина щели, определяемая положением дна низшей спиновой зоны относительно потолка валентной зоны, с ростом намагниченности сужается. Этим объясняется красный сдвиг края оптического поглощения при понижении температуры. Показан также температурный сдвиг донорного уровня (пунктирная кривая). Он происходит медленнее, чем сдвиг дна зоны проводимости, так как электрон донорного атома увеличивает степень упорядочения вблизи дефекта. Поэтому с ростом температуры глубина донорного уровня относительно дна зоны проводимости сначала растет, а затем падает

Рис. 4. Упрощенная энергетическая схема ферромагнитного полупроводника. Валентная зона слабо чувствительна к намагниченности кристалла. Зона проводимости в окрестности точки Кюри расщепляется на две спиновые подзоны с антипараллельными спинами (верхняя линия) и с параллельными спинами. Одна из них с ростом спонтанной намагниченности кристалла сдвигается вверх, а другая вниз. Ширина щели, определяемая положением дна низшей спиновой зоны относительно потолка валентной зоны, с ростом намагниченности сужается. Этим объясняется красный сдвиг края оптического поглощения при понижении температуры. Показан также температурный сдвиг донорного уровня (пунктирная кривая). Он происходит медленнее, чем сдвиг дна зоны проводимости, так как электрон донорного атома увеличивает степень упорядочения вблизи дефекта. Поэтому с ростом температуры глубина донорного уровня относительно дна зоны проводимости сначала растет, а затем падает

В Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что здесь речь идет об обменном взаимодействии электронов проводимости с магнитными катионами, а не об обменном взаимодействии магнитных катионов друг с другом, о котором уже говорилось ранее.

Все это позволяет дать простое и наглядное объяснение происхождению красного сдвига края поглощения. При температуре ниже точки Кюри, когда у ферромагнитного кристалла появляется самопроизвольная намагниченность, энергия электрона проводимости, спин которого параллелен моменту кристалла, сдвигается вниз, а энергия электрона с противоположным направлением спина — вверх. Если считать, как это часто бывает, что энергия электрона в валентной зоне слабо зависит от намагниченности кристалла, то ясно, что с понижением температуры уменьшаются затраты энергии на возбуждение электрона проводимости со спином, параллельным моменту кристалла. Но это как раз и означает, что энергетическая щель сужается. Приведенное рассуждение несколько упрощает реальную ситуацию: согласно ему красный сдвиг должен начинаться только с точки Кюри, а на самом деле он начинается значительно выше ее. Более сложная теория объясняет и это.

Электрон проводимости роет себе яму. Итак, с ферромагнитными полупроводниками при Т = 0 как будто бы все ясно: электроны проводимости свободно двигаются по кристаллу, как и в немагнитном полупроводнике, только энергия электронов, спин которых параллелен моменту кристалла, ниже энергии тех, спин которых направлен в противоположную сторону. В антиферромагнитных полупроводниках ситуация, на первый взгляд, такая же, как в немагнитных: нет даже зависимости энергии электрона проводимости от его спина. Но тут возникает сомнение: ведь антиферромагнитное упорядочение не есть нечто «от бога». Если магнитное упорядочение в кристалле влияет на энергию электрона проводимости, то почему бы электрону, в свою очередь, не оказывать влияния на магнитное упорядочение? Разумеется, электрон — частица микроскопическая и не может изменить состояния всего кристалла макроскопических размеров. Но, может быть, ему под силу изменить магнитное упорядочение в небольшой части кристалла?

Природа экономна, когда дело касается энергии: при Т = 0 должны осуществляться такие состояния, энергия которых минимальна. Представим себе сначала, что мы разрушили антиферромагнитное упорядочение в какой-то области кристалла радиуса 凡 заменив его ферромагнитным. За это нам пришлось заплатить затратой энергии обменного взаимодействия между магнитными атомами: энергия системы повысилась на величину Ем = N(H)E\〉где N(R) — полное число катионов в ферромагнитной области радиуса R)Е\ — разность энергий их обменного взаимодействия в ферромагнитном и антиферромагнитном состояниях в расчете на атом.

Представим себе теперь, что в ту же ферромагнитную область помещен электрон проводимости, спин которого параллелен моменту этой области. В этом случае обменное взаимодействие электрона проводимости с магнитными атомами понижает его энергию. Если радиус R достаточно велик, понижение энергии электрона за счет обменного взаимодействия близко по величине к красному сдвигу края поглощения в антиферромагнетике под действием магнитного поля, устанавливающего в нем ферромагнитное упорядочение.

Согласно экспериментальным данным, величина обменного взаимодействия электрона проводимости с магнитным атомом на несколько порядков превышает Е\. Тогда понижение энергии электрона за счет этого взаимодействия может с лихвой скомпенсировать затраты энергии Ем на создание ферромагнитной области. Например, в EuSe величина красного сдвига Еа близка к 0,2 эВ, в то время как Е\ составляет всего лишь 0,0001 эВ. Поэтому, если создать ферромагнитную область с числом катионов в ней N(R), равным 1000, переход в нее электрона проводимости из антиферромагнитной части кристалла сделает эту область энергетически выгодной. Число 1000 взято здесь произвольно. На самом деле N(R) должно определяться из условия минимума полной энергии системы. При этом следует учитывать, что с уменьшением радиуса R энергия обменного взаимодействия между магнитными атомами уменьшается, но зато возрастает кинетическая энергия электрона. Действительно, согласно

принципу неопределенности, электрон, имеющий неопределенность координаты Я, должен иметь неопределенность импульса порядка 方/R. Кинетическая же энергия пропорциональна квадрату импульса и потому обратно пропорциональна Я2. Чтобы кинетическая энергия электрона не была слишком велика, ферромагнитная область, в которой он локализован, всегда должна быть достаточно большого радиуса. В типичных условиях в нее должно входить от нескольких десятков до нескольких тысяч магнитных катионов.

——————

mH

Ферромагнетик

41ШШШШ

Антм(批рром覆гнвлж ферромап1етик Антиферромаллнет

Рис. 5. Свободное движение электрона по ферромагнитному кристаллу (а); локализация электрона проводимости в созданной им ферромагнитной области внутри антиферромагнитного полупроводника — индивидуальное ферронное состояние (6)

Итак, получается, что если в антиферромагнитном полупроводнике есть электрон проводимости, то при благоприятных параметрах кристалла электрону энергетически выгодно создать в кристалле ферромагнитную область и застрять в ней, вместо того, чтобы свободно двигаться по кристаллу. Электрон как бы роет яму, в которую сам и попадает.

Такое явление названо гетерофазной автолокализацией электрона. Термин «автолокализация » означает самозахват: электрон перестает свободно двигаться по кристаллу и остается в какой-то его области (локализуется в ней) без каких-либо внешних причин, сам создавая причину для собственной локализации. А причина эта — наличие области измененного магнитного упорядочения (иной магнитной фазы), образовавшейся внутри кристалла. Поэтому автолокализация названа гетерофазной 1).

По существу, весь комплекс «электрон проводимости + область ферромагнитной фазы» представляет собой квазичастицу довольно сложной природы — она получила название «феррон». Строго говоря, феррон может передвигаться как единое

В Идея гетерофазной автолокализации носителей тока была впервые выдвинута при исследовании состояния электрона проводимости в антиферромагнитном полупроводнике {Нагаев Э.Л. // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 484. (Статья 1.1 настоящего сборника.) Последующие работы в этом направлении доказали ее возможность и в других материалах. Так, А. И. Ларкиным и Д. Е. Хмельницким была рассмотрена специфическая автолокализация фотоэлектронов в сегнетоэлектриках (ЖЭТФ. 1968. Т. 55. С. 2345). Ситуация, очень похожая на автолокализацию электронов в магнетиках, возможна в твердом гелии: из-за взаимодействия со спинами ядер гелия вакансия атома гелия может создать в кристалле ферромагнитную область и локализоваться в ней (Андреев А. Ф. // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 24. С. 608). Гетерофазная автолокализация возможна и в других системах, но пока ее существование подтверждено экспериментально только для антиферромагнитных полупроводников.

целое по кристаллу, но скорость феррона столь мала, что практически его можно считать неподвижным. При повышении температуры тепловое движение спинов разрушает ферромагнитное упорядочение в области, где автолокализован электрон, и тем самым исчезает причина для самозахвата электрона. Он переходит в свободное состояние. То же самое происходит при низких температурах в достаточно сильных магнитных полях, переводящих весь кристалл в ферромагнитное состояние. Тогда в каждой точке кристалла дно зоны проводимости сдвигается вниз на максимально возможную величину, и электрон не может еще более понизить дно зоны своей локализацией в какой-то области кристалла ).

Двухфазный изолятор — двухфазный металл. Особенно интересно проявляется явление самозахвата электронов в сильно легированных антиферромагнитных полупроводниках. Как уже говорилось выше, обычные сильно легированные полупроводники ведут себя как примесный металл. Электроны проводимости, естественно, распределены в них равномерно по всему кристаллу. Иная картина имеет место в антиферромагнитных полупроводниках: электроны проводимости в них оказываются сосредоточенными в ферромагнитных областях кристалла, которые ими самими и порождены. При относительно небольших концентрациях электронов п (но, конечно, превышающих ту концентрацию, при которой происходит «коллективизация» примесных атомов) возникает примесный металл. Основная часть кристалла представляет собой небольшие ферромагнитные шарики, распределенные по нему. Высокопроводящие ферромагнитные шарики отделены друг от друга антиферромагнитными прослойками, ведущими себя как изоляторы, поскольку в антиферромагнитной части кристалла электронов проводимости не осталось — все они перешли в ферромагнитную часть. Поэтому и весь кристалл, несмотря на то, что он сильно легированный, ведет себя не как примесный металл, а как изолятор.

Расчет показывает, что по мере роста полной концентрации электронов в кристалле увеличиваются как число электронов в каждом ферромагнитном шарике, так и число и размеры этих шариков. Наконец, начиная с некоторой концентрации пр, высокопроводящие ферромагнитные шарики начинают соприкасаться друг с другом. При дальнейшем росте п основная часть кристалла становится ферромагнитной, а внутри нее располагаются изолирующие антиферромагнитные шарики, не соприкасающиеся друг с другом. Система становится высокопроводящей, так как электроны могут теперь свободно двигаться от одного конца кристалла до другого по его ферромагнитной части, обходя изолирующие антиферромагнитные шарики. Таким образом, при концентрациях, превышающих пр, электронные свойства сильно легированного антиферромагнитного полупроводника сходны со свойствами обычного сильно легированного полупроводника.

Совершенно необычен тот факт, что в рассматриваемом случае однородный кристалл находится в неоднородном состоянии с чередующимися друг с другом областями ферромагнитной и антиферромагнитной фаз. Нормально однородный кристалл должен был бы находиться в однородном состоянии и, стало быть, представлять собой либо ферромагнетик, либо антиферромагнетик. Неоднородное состояние сильно легированного антиферромагнитного полупроводника можно назвать коллективным ферроном, поскольку оно возникает в результате совместной автолокализации всех электронов проводимости кристалла одновременно. (В предыдущем разделе мы обсуждали случай, когда каждый электрон локализуется независимо от остальных.)

Как и индивидуальные ферроны, коллективные ферроны могут быть разрушены внешним магнитным полем или увеличением температуры. При концентрациях, меньших пр, разрушение ферронов должно приводить к скачкообразному переходу

фмфм6

фм

фм

Рис. 6. Коллективное ферронное состояние сильно легированного антиферромагнитного полупроводника. При концентрациях электронов проводимости ниже пр (так называемой концентрации протекания) осуществляется изолирующее состояние (а), когда ферромагнитные области (фм), в которых сосредоточены все электроны проводимости (эти области на рисунке закрашены), отделены друг от друга изолирующими антиферромагнитными областями (аф). При концентрациях выше пр полупроводник находится в высокопроводящем состоянии (6).

кристалла из изолирующего в высокопроводящее состояние. Действительно, если весь кристалл перешел в ферромагнитное состояние под действием магнитного поля, то электроны проводимости, ранее запертые в несоприкасающиеся друг с другом ферромагнитные шарики, теперь расплываются по всему кристаллу, заполняя те области, которые до включения поля находились в изолирующем антиферромагнитном состоянии. В результате все области кристалла становятся высокопроводящими.

Увеличение температуры, которое разрушает магнитное упорядочение, тоже приводит к скачку проводимости: в отсутствие магнитного упорядочения весь кристалл однороден и электроны проводимости равномерно распределены по нему. При концентрациях, превышающих пр, когда большая часть кристалла ферромагнитна и он уже сам по себе находится в высокопроводящем состоянии, разрушение ферронов за счет магнитного поля или увеличения температуры приводит лишь к относительно небольшому уменьшению сопротивления кристалла.

Эксперимент говорит ферронам «Да». Хотя ферроны были вначале предсказаны теоретически, проведенные затем экспериментальные исследования позволяют утверждать, что они — реально существующие объекты.

Первое экспериментальное подтверждение существования ферронов было получено швейцарским физиком П. Вахтером х). Он освещал антиферромагнитные полупроводники EuSe и ЕиТе светом подходящей длины волны, в результате чего в этих кристаллах появились носители тока — фотоэлектроны и фотодырки. Фотоэлектроны из зоны проводимости стремятся перейти обратно в валентную зону, заполнив пустующее в ней состояние. Энергия, освобождающаяся при таком процессе (его называют рекомбинацией), может быть передана фотону, т. е. кристалл, возбужденный светом, сам начинает испускать свет — люминесцировать. Вахтер обнаружил, что люминесценция в этих кристаллах очень сильная. Обычно так обстоит дело, когда носитель тока, прежде чем рекомбинировать, переходит из свободного в локализованное состояние, например захватывается дефектом кристалла. Но здесь причиной сильной люминесценции были явно не дефекты: при очистке кристалла от них люминесценция не ослабевала. Но зато это происходило в сильном магнитном поле, переводящем кристалл в ферромагнитное состояние. Одновременно резко возрастала проводимость кристалла. Естественное объяснение этому — перед рекомбинацией происходил самозахват электрона ферромагнитной областью, в результате чего он оказывался локализованным. Такой локализованный электрон не принимает участия в проводимости, но охотно заполняет пустующее в валентной зоне состояние. Вклю-

1) Wachter Р. // CRC Crit. Rev. in Sol. St. Sci. 1972. V. 3. P. 189.

чение поля разрушает ферроны. Освободившиеся электроны дают большой вклад в проводимость, но зато их переходы в валентную зону затруднены.

Еще более четкие доказательства существования ферронов были получены американским физиком И. Шапирой 1) на сильно легированных кристаллах EuSe, которые в отсутствие электронов, как уже указывалось, антиферромагнитны.

Прежде всего магнитные измерения показали, что в исследованных им образцах сосуществуют ферромагнитная и антиферромагнитная фазы. Объем ферромагнитной фазы тем больше, чем выше концентрация электронов проводимости. Очень важно, что точка Нееля антиферромагнитной части этих образцов оказалась точно

Рис. 7. Ход температурной зависимости сопротивления сильно легированных полупроводников. Верхняя линия соответствует образцу с концентрацией доноров ниже концентрации протекания пр — при понижении температуры он переходит в изолирующее состояние, которое может быть разрушено магнитным полем (падение сопротивления в этом случае показано пунктирной стрелкой; для EuSe оно меняется от 10 до 10-2 Ом/см). Сопротивление образца с концентрацией доноров выше пр при всех температурах постоянно — образец остается высокопроводящим (для EuSe р ^ 10-2 Ом/см)

такой же, как у чистых кристаллов EuSe. Это означает, что в антиферромагнитной части кристалла нет электронов проводимости — иначе бы они сильно понизили ее точку Нееля. (Вспомним, что энергия электронов проводимости в ферромагнитном состоянии ниже, чем в антиферромагнитном, поэтому электроны стремятся разрушить антиферромагнитное упорядочение и установить ферромагнитное, что проявляется в понижении точки Нееля.) Тот факт, что все электроны проводимости сосредоточены в ферромагнитной части кристалла, подтверждается изолирующим состоянием образцов с малым объемом ферромагнитной части при температуре жидкого гелия (этот объем определяется экспериментально с помощью магнитных измерений). В то же время образцы, в которых объем ферромагнитной части превышал объем антиферромагнитной, имели высокую проводимость, типичную для сильно легированных полупроводников. Все это подтверждает картину двухфазного состояния вырожденных антиферромагнитных полупроводников.

При повышении температуры, когда разрушается ферромагнитное упорядочение, те образцы, которые были изолирующими, резко переходят в высокопроводящее состояние. Сопротивление некоторых из них падает при этом в 10 млрд раз. Такое же гигантское падение сопротивления происходит при гелиевых температурах в относительно небольшом поле — как раз таком, которого достаточно для установления

в EuSe ферромагнитного упорядочения. Таким образом, все качественные закономерности, предсказанные теорией, подтверждены экспериментально. Более того, теория позволяет рассчитать количественно объем ферромагнитной части кристалла в зависимости от концентрации электронов, и полученные из расчета результаты хорошо согласуются с экспериментальными.

И снова о ферромагнитных полупроводниках. Поскольку до сих пор речь шла основном об антиферромагнитных полупроводниках, у читателя могло создать совершенно неверное представление, будто все интригующие свойства ферромагнитных полупроводников исчерпываются гигантским красным сдвигом края поглощения. На самом же деле свойства ферромагнитных полупроводников значительно разнообразнее. Начать хотя бы с того, что в ферромагнетиках тоже возможны ферронные состояния, но только при достаточно высоких температурах, когда ферромагнитное упорядочение в значительной мере или даже полностью разрушено. Тогда абсолютно по тем же причинам, что в антиферромагнетике, в ферромагнетике тоже, в принципе, возможен самозахват электрона проводимости областью с высокой

степенью ферромагнитного порядка. Детальный анализ показывает, однако, что условия самоза- хвата в ферромагнитных полупроводниках выполнить очень трудно. И действительно, в очень совершенных кристаллах, где крайне мало дефектов, самозахват пока не наблюдался. Однако тенденция к самозахвату существенно влияет на свойства ферромагнитных кристаллов с дефектами, приводя к необычной температурной зависимости их сопротивления.

В слабо легированных немагнитных полупроводниках проводимость монотонно растет с температурой пропорционально e~Ed/^kT^ где 即— глубина донорного уровня. В ферромагнитных же полупроводниках с повышением температуры она сначала тоже растет, но затем начинает падать, причем в районе точки Кюри имеет резкий минимум, после которого вновь начинается экспоненциальный рост. Относительная глубина этого минимума сильно зависит от концентрации примеси и может достигать нескольких порядков. Магнитное поле существенно уменьшает глубину этого минимума и может даже вообще его уничтожить, причем зависимость проводимости ферромагнитных полупроводников от магнитного поля гораздо более сильно выражена, чем у металлов.

Еще более интересное поведение наблюдалось у сильно легированных ферромагнитных полупроводников ЕиО в определенном интервале концентраций примеси 1). При Т = 0 они ведут себя, как положено нормальным сильно легированным полупроводникам, т. е. являются примесными металлами. Однако при повышении температуры еще до достижения точки Кюри эти образцы практически скачком переходят из высокопрово-

Рис. 8. Ход температурной зависимости сопротивления легированных ферромагнитных полупроводников. Верхние линии соответствуют образцу с концентрацией доноров ниже концентрации пс образования примесного металла. Черные линии описывают изменение сопротивления образца с концентрацией ненамного выше пс: при повышении температуры он переходит из высокопроводящего в изолирующее состояние. Если в образце концентрация доноров намного выше пс, то при всех температурах он остается в высокопро- водящем состоянии — пунктирная криваяРис. 8. Ход температурной зависимости сопротивления легированных ферромагнитных полупроводников. Верхние линии соответствуют образцу с концентрацией доноров ниже концентрации пс образования примесного металла. Черные линии описывают изменение сопротивления образца с концентрацией ненамного выше пс: при повышении температуры он переходит из высокопроводящего в изолирующее состояние. Если в образце концентрация доноров намного выше пс, то при всех температурах он остается в высокопро- водящем состоянии — пунктирная кривая1) Oliver M・i Kafalas J., Dimmock J., Reed T. // Phys. Rev. Lett. 1970. V. 24. P. 1064.

Рис. 8. Ход температурной зависимости сопротивления легированных ферромагнитных полупроводников. Верхние линии соответствуют образцу с концентрацией доноров ниже концентрации пс образования примесного металла. Черные линии описывают изменение сопротивления образца с концентрацией ненамного выше пс: при повышении температуры он переходит из высокопроводящего в изолирующее состояние. Если в образце концентрация доноров намного выше пс, то при всех температурах он остается в высокопро- водящем состоянии — пунктирная кривая

Рис. 8. Ход температурной зависимости сопротивления легированных ферромагнитных полупроводников. Верхние линии соответствуют образцу с концентрацией доноров ниже концентрации пс образования примесного металла. Черные линии описывают изменение сопротивления образца с концентрацией ненамного выше пс: при повышении температуры он переходит из высокопроводящего в изолирующее состояние. Если в образце концентрация доноров намного выше пс, то при всех температурах он остается в высокопро- водящем состоянии — пунктирная кривая

дящего в изолирующее состояние с увеличением сопротивления ни мало, ни много как на 15-17 порядков. Изоляторами они остаются вплоть до самых высоких температур и во всех достижимых сейчас магнитных полях. Аналогичное явление наблюдали в других ферромагнитных полупроводниках К.П. Белов и Л.И. Королева. Они же установили другое интересное свойство ферромагнитных полупроводников с дефектами: их фотопроводимость в районе точки Кюри имеет очень глубокий минимум 1).

Аномалии электропроводности ферромагнитных полупроводников можно объяснить, если заметить, что электрон донора стремится поддержать ферромагнитное упорядочение в той области, где он локализован. Поэтому при подъеме температуры упорядочение в окрестности донора разрушается медленнее, чем в среднем по кристаллу. Но при разрушении ферромагнитного порядка электронные уровни ползут вверх — об этом мы говорили при обсуждении красного сдвига края поглощения. Отсюда следует, что дно зоны проводимости сдвигается быстрее, чем донорный уровень, т. е. его глубина по отношению к дну зоны растет с температурой. В слабо легированных полупроводниках это приводит сначала к замедлению роста проводимости с температурой по сравнению с простым экспоненциальным законом, а затем и к ее падению. Но после того как в окрестности доноров начинает разрушаться ферромагнитное упорядочение, проводимость вновь растет с температурой.

Что же касается превращения примесного металла в изолятор, то для его качественного объяснения достаточно заметить, что рост глубины донорного уровня с температурой означает усиление связи электрона с примесным атомом, т. е. уменьшение радиуса электронной орбиты r(i- Но когда г^ мал по сравнению со средним расстоянием между примесными атомами, примесный металл существовать не может: каждый из электронов превращается в локализованный на своем донорном атоме.

Превращение примесного металла в изолятор возможно только в очень узком интервале концентрации электронов проводимости. Если концентрация выше, то при всех температурах кристалл ведет себя как примесный металл, хотя и обнаруживает пик сопротивления в районе точки Кюри. Но высота этого пика с ростом концентрации падает. Таким образом, при всех температурах электроны проводимости остаются свободно движущимися по кристаллу.

В этой статье рассказано далеко не обо всех уникальных свойствах магнитных полупроводников. Но и сказанного достаточно, чтобы понять, насколько они интересны. Дело теперь за инженерами, которые могли бы использовать эти свойства в технических устройствах.

Литература

Нагаев Э. Л. Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979.

В Белов К. /7., Третьяков Ю.Д.^ Гордеев И. В., Королева Л. Я., Кесслер Я. А. Магнитные полупроводники — полупроводниковые шпинели. — М., 1981.

Кристалл в кристалле. От магнитных полупроводниковк высокотемпературным сверхпроводникам

3. Л. Нагаев

Наука и жизнь. 1997. № 8. С. 81-85

Высокотемпературная сверхпроводимость, открытая свыше десяти лет назад, обещала массу заманчивых перспектив как в области фундаментальной науки, так и для решения чисто технических задач. Усилия ведущих исследователей мира были направлены на получение все новых материалов и исследование их структуры. Казалось, еще немного, и будут созданы вещества, теряющие электрическое сопротивление почти при комнатной температуре. Сотни электростанций перестанут немалую часть выработанной энергии тратить на нагрев проводов линий электропередач. Все, однако, оказалось не так просто. Природа неохотно расстается со своими секретами, и предстоит еще долгая работа, прежде чем высокотемпературные сверхпроводники смогут стать сверхпроводящими хотя бы на холоде. Исследования продолжаются, ни одно из них пока не смогло решить проблему сверхпроводимости целиком, но каждое помогает глубже понять ее. Они помогли обнаружить немало важного и интересного в кристаллической структуре вещества. Об одном из таких открытий и рассказывает статья.

Мир устроен так, что неживая природа стремится организовать себя в форме кристаллов. Структура кристалла с периодическим повторением атомов столь же совершенна, как улица Росси в Петербурге ^): идешь, идешь, а вокруг ничего не меняется, словно во сне. Но от такого совершенства бывает скучно не только людям, природа тоже бунтует. Тогда возникают новые состояния материи с куда более сложной структурой, чем обычные кристаллы. Одна из разновидностей такого бунта происходит в недавно открытых высокотемпературных сверхпроводниках, в литературе называемых несколько громоздкой, но в итоге удобной аббревиатурой ВТСП, и в родственных им материалах. О природе сверхпроводимости известно очень немного, но некоторые факты относительно структуры ВТСП удалось установить весьма точно. Именно в высокотемпературных сверхпроводниках сравнительно недавно было обнаружено любопытное явление — самопроизвольное разделение материала на две фазы: сверхпроводящую и изолирующую. Еще раньше подобное явление наблюдалось в магнитных полупроводниках, веществах не сверхпроводящих. Посмотрим, как и почему это разделение происходит.

Сверхпроводник и магнитный полупроводник. Сверхпроводниками называются материалы, у которых при понижении температуры электрическое сопротивление скачком исчезает, и ток может продолжать течь в них сколь угодно долго после выключения напряжения. Долгое время были известны сплавы, у которых переход в сверхпроводящее состояние происходил при температуре от 1 до 10 К, в лучшем случае 23 К. Но в 1986 году были открыты так называемые высокотемпературные сверхпроводники, температура перехода которых была гораздо выше. Синтезом все новых и новых материалов уже удалось поднять ее до 160 К (почти — 100 ℃). В составе всех этих ВТСП обязательно присутствуют ионы меди Си2+ (роль их в возникновении сверхпроводимости пока не ясна), которые служат как бы микроскопическими магнитиками. Но не следует думать, что все материалы, содер-

Улица Росси в Петербурге обладает весьма совершенной симметрией. Правильный рисунок ее фасадов чем-то напоминает структуру совершеннейшего творения природы — кристалла. И так же, как в кристалле порой возникают более сложные состояния, симметрию улицы нарушают автомобили и прохожие, движущиеся по мостовой и тротуарам без особого порядка.

жащие такие магнитики, — сверхпроводники. Достаточно вспомнить, что железо, состоящее из них целиком, — нормальный металл.

Рис. 1. Ионы-магнитики в кристаллах могут располагаться либо совершенно хаотично, либо в определенном порядке, а) Все ионы ориентированы в одном направлении. В кристалле имеется ферромагнитное упорядочение. 6) Кристалл разбит на слои, в каждом из которых образуется структура, напоминающая шахматную доску. Ионы в клетке этой «доски» параллельны друг другу, но антипараллельны в соседних клетках. Их магнитные поля компенсируют друг друга. Возникает антиферромагнитное упорядочение, в) В каждом слое ионы направлены в одну сторону, но противоположную направлению ионов в соседних слоях. Эта структура называется слоистым антиферромагнитным упорядочением

Ионы-магнитики взаимодействуют друг с другом, образуя свою собственную упорядоченную структуру. В результате в кристалл из атомов оказывается вложенным кристалл из магнитиков. Магнитные кристаллы бывают разных типов. Если все магнитики ориентированы одинаково, то намагничен и весь кристалл в целом. Такая структура называется ферромагнитной. Но магнитики в кристалле можно направить и в противоположные стороны, так что в целом кристалл оказывается ненамагни- ченным. Тогда магнитная структура называется антиферромагнитной. Создать ее можно по-разному, построив, например, антиферромагнитную структуру, в которой магнитики ближайших соседей направлены противоположно, образуя нечто вроде шахматной доски. Но можно получить ее, направив противоположно друг другу магнитики соседних, ферромагнитно упорядоченных плоскостей.

Чем же руководствуется природа в выборе типа магнитного кристалла? Когда дело касается энергии, она очень экономна. Поэтому реально установится такое упорядочение, при котором энергия системы будет минимальной.

Если почти все ферромагнетики — металлы, то почти все антиферромагнетики в чистом виде изоляторы. Но их можно сделать хорошими проводниками, введя нужные добавки. Йод, например, вызывает появление свободных электронов в антиферромагнитном изоляторе EuSe (соединении европия Ей и селена Se), делая его полупроводником, почти металлом (назвать EuSe металлом в полном смысле этого слова нельзя, поскольку свободных электронов в нем на 3-4 порядка меньше, чем в обычном металле, и, соответственно, его проводимость в тысячи раз ниже). Ан- тиферромагнитна и структура изолятора La2CuO4, из которого с помощью разных добавок были получены первые высокотемпературные сверхпроводники. Электроны проводимости в магнитных материалах обладают любопытным свойством: их энергия зависит от типа магнитного упорядочения. Дело в том, что электрон — не только носитель электрического заряда, но еще и микроскопический магнитик. Если кристалл ферромагнитен, то электронный магнитик может выбрать, как ему

сориентироваться относительно одинаково направленных магнитиков кристалла: параллельно или антипараллельно им, чтобы иметь наиболее низкую энергию. В антиферромагнитном же кристалле электрон такой возможности понизить свою энергию не имеет, поскольку при любой ориентации он «видит» одинаковое число магнитиков кристалла, параллельных и антипараллельных ему. Зависимость энергии свободных электронов от свойств кристалла имеет далеко идущие последствия.

Сверхкристаллы из электронных капель. Итак, магнитное упорядочение в кристалле влияет на энергию электрона проводимости. Но и электрон может оказывать влияние на магнитное упорядочение. Разумеется, электрон — частица микроскопическая и не может изменить состояние всего кристалла макроскопических размеров. Но электрону вполне под силу изменить магнитное упорядочение в небольшой его части.

Представим себе сначала, что мы разрушили антиферромагнитное упорядочение в какой-то части кристалла, заменив его ферромагнитным. За это нам пришлось заплатить затратой энергии — она пошла на то, чтобы изменить взаимодействие между магнитиками кристалла. Представим себе теперь, что в эту ферромагнитную область из антиферромагнитной части кристалла переведен электрон проводимости с «правильным» направлением его магнитика относительно магнитиков области. За счет появления «чужака» энергия ферромагнитной области и, следовательно, всей системы в целом, уменьшится.

Получается, что, если в антиферромагнитном изоляторе с подходящими параметрами есть электрон проводимости, ему энергетически выгодно создать в кристалле ферромагнитную область и застрять в ней, вместо того, чтобы свободно передвигаться. Электрон как бы «роет яму», в которую «сам и попадает».

Допустим теперь, что число свободных электронов в кристалле достаточно велико, хотя и намного меньше полного числа атомов. Каждый из них может «вырыть» свою персональную яму независимо от остальных. Но возможен и другой сценарий: преодолевая взаимное отталкивание, обусловленное одинаковым знаком их электрических зарядов, несколько электронов собираются в одной ферромагнитной области. Это может быть энергетически выгодно, поскольку экономится энергия, затрачиваемая на «рытье ямы» каждым электроном. Но в одной ферромагнитной области не могут собраться все свободные электроны: этому препятствует электрическое отталкивание. В кристалле образуются отдельные ферромагнитные капли, в каждой из которых электронов будет не слишком много, около десятка.

а6

Рис. 2. Внутри обычного кристалла может существовать регулярная структура — сверхкристалл. Его свойства зависят от того, как поведут себя свободные электроны проводимости, а) Если немногочисленные электроны кристалла-изолятора соберутся по несколько десятков в отдельные области, возникнет сверхкристалл из проводящих ферромагнитных капель в изолирующем антиферромагнитном кристалле. 6) Если электронов становится больше, объем ферромагнитных капель будет расти и в какой-то момент сольются. Проводящая фаза станет основной и возникнет сверхкристалл из изолирующих антиферромагнитных капель в ферромагнитном кристалле-проводнике

Результаты детального расчета показывают, что эти капли образуют периодическую структуру внутри изолирующей антиферромагнитной основной части кристалла. И, несмотря на то, что в кристалле много электронов, он ведет себя как изолятор.

Таким образом, внутри кристалла образуется сверхкристалл, состоящий из ферромагнитных капель, наполненных электронами. Самое интересное и необычное — этот сверхкристалл возникает не благодаря каким-то технологическим ухищрениям, а вообще без вмешательства человека, повинуясь только законам природы.

С ростом концентрации электронов объем ферромагнитных капель возрастает. При некоторой ее величине капли приходят в контакт друг с другом, и ферромагнитная высокопроводящая часть кристалла становится основной. При этом внутри нее тоже образуется сверхкристалл, но уже не из проводящих областей, а из изолирующих антиферромагнитных капель. При достаточно большой концентрации электронов весь кристалл становится ферромагнитным.

Как разрушить сверхкристалл. Если кристалл начать нагревать, то еще задолго до его плавления внутри него расплавится сверхкристалл. Кристалл станет обычным, без какой-либо внутренней сверхструктуры, однородным, с равномерно распределенными по нему электронами. Таким образом, если в антиферромагнитном кристалле была периодическая структура из ферромагнитных капель, нагрев переведет его из изолирующего в проводящее состояние. Такой переход, кстати, возможен еще и до полного плавления сверхкристалла: в результате нагрева сверхкристалл из ферромагнитных капель превращается в сверхкристалл из капель антиферромагнитных. Кристалл-изолятор становится кристаллом-проводником.

Плавление сверхкристалла при его нагреве или превращение из изолятора в проводник по аналогии с поведением обычных кристаллов кажутся вполне естественными. Куда более непривычным выглядят эти явления, когда их вызывает действие магнитного поля: даже относительно слабое поле может изменить тип сверхкристалла, а более сильное — полностью его расплавить. Таким образом, поле заставляет переходить кристалл из изолирующего в проводящее состояние.

Автору этой статьи повезло: все эти его теоретические предсказания быстро получили экспериментальные подтверждения на ряде антиферромагнитных материалов. Очень эффектно выглядят эксперименты с уже упоминавшимися кристаллами EuSe. Магнитные измерения показывают, что эти кристаллы после введения в них электронов делятся на две фазы. Свойства одной из них идентичны свойствам исходного кристалла: она антиферромагнитна, и в ней электронов нет. Другая фаза ферромагнитная, и если она составляет основную часть, то при 4,2 К кристалл будет хорошим проводником. Если же доминирует антиферромагнитная фаза, то даже при столь низкой температуре он останется изолятором. Однако при нагреве или при наложении магнитного поля проводимость одного кристалла меняется мало, а проводимость другого возрастает на 10 порядков, приближаясь к проводимости первого.

Недавно было обнаружено любопытное явление в полупроводниковом двухфазном кристалле ЕиТе. Если к кристаллу приложено достаточно сильное постоянное электрическое поле, то в нем возникает не только постоянный ток, но еще и периодические импульсы. Их частота возрастает с ростом электрического поля, а в магнитном поле и при подъеме температуры импульсы исчезают. Одно из возможных объяснений этого явления состоит в том, что сильное электрическое поле приводит в движение целиком весь сверхкристалл, который начинает двигаться сквозь кристалл. Слои электронных капель, проходя мимо электрода, порождают в его цепи импульсы тока.

Сверхпроводящие сверхкристаллы. Оказалось, что электронно-магнитные сверхкристаллы возможны и в высокотемпературных сверхпроводниках. Это совсем не удивительно, коль скоро они — ближайшие родственники тех материалов,

о которых говорилось чуть раньше. Ведь, например, в LazCuOd переход в сверхпроводящее состояние происходит при 38 К, а сверхкристалл в нем образуется при 265 К, когда кристалл еще и не знает, что при дальнейшем охлаждении он станет сверхпроводящим.

Однако здесь нет взаимности: сверхпроводимость, наоборот, очень чувствительна к образованию сверхкристалла. Внутри проводящих капель создаются для нее условия куда более благоприятные, чем в однородном состоянии кристалла. Как было показано экспериментально, если вмешаться в естественный процесс и предотвратить образование капель, то температура сверхпроводящего перехода понизится

в несколько раз.

Однако есть три обстоятельства, отличающие сверхкристаллы здесь и в EuSe.

Первое из них с физической точки зрения несущественно, хотя и заставляет вспом

нить об антиматерии. Физики говорят, что заряд в некоторых материалах переносится не электронами, а дырками (более эстетично было бы сказать — антиэлектронами, но физики любят эпатировать публику). Суть дела очень проста: на самом деле, ко

нечно же, заряд переносят электроны. Но, когда электронов много, удобнее говорить,

что в некоторых состояниях электронов нет, и там образовались дырки.

Представим себе ряд пустых стульев в кино. Если на его край сел один человек и начал постепенно пересаживаться, мы увидим просто движение человека. Но если в ряду есть только одно свободное место на краю, и публика стала поочередно пересаживаться на соседний свободный стул, создастся впечатление, что движется пустое место, своего рода дырка. Видимое ее движение обратно направлению, в котором пересаживаются зрители. Примерно то же самое происходит и в кристалле. Когда его свободные электроны начинают передвигаться под действием, скажем, электрического поля, мы видим, как в противоположном направлении движется пустое место, дырка. А это значит, что у дырки другой знак заряда, она положительна.

Во-вторых, сверхпроводимость категорически несовместима с ферромагнетизмом (вспомним еще раз о железе). Поэтому, если дырки сконцентрируются в ферромагнитной части кристалла, сверхпроводимости в ней не будет.

В-третьих, в сверхпроводящих областях концентрируются не только дырки, но и кислород, их породивший. В уже упомянутое соединение LazCuOd можно ввести дополнительный кислород, отрицательные ионы которого легко распространяются по кристаллу. В этом им

Рис. 3. Зависимость сопротивления полупроводникового соединения EuSe от температуры и магнитного поля. При охлаждении полупроводника его сопротивление резко возрастает. Но даже сравнительно слабое магнитное поле уменьшает сопротивление в области низких температур на 10 порядков. Магнитное поле переводит образец из состояния, показанного на рисунке 2,а, в состояние 26Рис. 3. Зависимость сопротивления полупроводникового соединения EuSe от температуры и магнитного поля. При охлаждении полупроводника его сопротивление резко возрастает. Но даже сравнительно слабое магнитное поле уменьшает сопротивление в области низких температур на 10 порядков. Магнитное поле переводит образец из состояния, показанного на рисунке 2,а, в состояние 26помогают электрические поля положительно заряжен

Рис. 3. Зависимость сопротивления полупроводникового соединения EuSe от температуры и магнитного поля. При охлаждении полупроводника его сопротивление резко возрастает. Но даже сравнительно слабое магнитное поле уменьшает сопротивление в области низких температур на 10 порядков. Магнитное поле переводит образец из состояния, показанного на рисунке 2,а, в состояние 26

Рис. 3. Зависимость сопротивления полупроводникового соединения EuSe от температуры и магнитного поля. При охлаждении полупроводника его сопротивление резко возрастает. Но даже сравнительно слабое магнитное поле уменьшает сопротивление в области низких температур на 10 порядков. Магнитное поле переводит образец из состояния, показанного на рисунке 2,а, в состояние 26

ных дырок. И если в капле собираются заряды противоположных знаков, она будет гораздо устойчивее: заряды положительных ионов и отрицательных электронов компенсируют друг друга. Соответственно и размеры капель, из которых построен сверхкристалл, здесь куда больше, чем в EuSe.

Каким все же может быть магнитный сверхкристалл в высокотемпературном сверхпроводнике? Прежде всего оказывается, что одно антиферромагнитное упорядочение другому рознь. Например, при упорядочении, изображенном на рис. 1, в, энергия и электронов, и дырок ниже, чем при упорядочении типа 1, б. Причина этого очень проста. Как уже говорилось, энергия электрона наиболее низка при ферромагнитном упорядочении. Но если таковое установить невозможно — слишком сильно

препятствует этому взаимодействие между ионами-магнитиками — надо попробовать создать другую магнитную структуру, которой это взаимодействие препятствует меньше, но которая отличается от исходной большей близостью к ферромагнитному состоянию. Энергия электрона в ней все равно будет ниже, чем в исходной структуре, хотя и выше, чем в ферромагнитной. Состояние типа 1 в ближе к ферромагнитному, чем 1, в, поскольку в нем есть ферромагнитные плоскости. Поэтому электроны или дырки, введенные в кристалл со структурой типа 2, 5, могут стремиться создать структуру типа 1, в.

Но есть еще одно магнитное состояние, которое еще ближе к ферромагнитному: полностью разупорядоченное, в котором магнитики направлены совершенно хаотически. Разупорядоченное состояние можно представить как наложение друг на друга множества самых разнообразных магнитных структур, включая ферромагнитную. Но дырка в ВТСП взаимодействует с ними весьма избирательно, из чисто энергетических соображений отдавая предпочтение ферромагнитной структуре. Поэтому в разупорядоченных областях энергия дырок оказывается ниже, чем в упорядоченных, и дырки там собираются вместе. Как раз это и наблюдается экспериментально в высокотемпературных сверхпроводниках.

Заключение. Какие же возможности для практических приложений открывают сверхкристаллы? Вероятно, тютчевские слова «Нам не дано предугадать, как слово наше отзовется» для науки справедливы даже более, чем для житейских ситуаций. Только время позволит судить о том, сделает ли научное открытие жизнь людей лучше. Кроме того, профессионал в области фундаментальных исследований может, как правило, претендовать только на статус любителя по части их практических приложений. Тем не менее рискнем указать на некоторые перспективы.

Для нужд микроэлектроники, например, сегодня очень нужны материалы, сопротивление которых сильно меняется в магнитном поле. На них чрезвычайно удобно записывать информацию и хранить ее. С верхкристал лы дают для этого прекрасные возможности, поскольку магнитное поле сильно меняет их структуру или вообще плавит.

Здесь уже говорилось о EuSe как об исходном материале для сверхкристаллов. Однако в смысле технических приложений он не очень удобен, поскольку сверхкристаллы в нем существуют только при гелиевых температурах. Сейчас исследователи уделяют очень большое внимание материалам на основе ЬаМпОз, в которых сверхкристаллы могут существовать при комнатных температурах, и сопротивление очень сильно зависит от магнитного поля.

Другой пример: в соединении УВа^СизО? под действием освещения появляются сверхпроводящие капли. Остается только догадываться, какие возможности откроются перед техникой при использовании этого эффекта.

Монографии:

Физика магнитных полупроводников. — М.: Наука, 1979. — 431 с. (Physics of magnetic semiconductors (revised version). — Moscow: Mir, 1983. — 388 p.).

Магнетики co сложными обменными взаимодействиями. — М.: Наука, 1988. — 231 с.

Colossal Magnetoresistance and Phase Separation in Magnetic Semiconductors. — London: Imperial College Press, 2002. — 455 p.

Обзоры:

Spin polaron theory for magnetic semiconductors with narrow bands // Phys. stat. sol. (b). 1974. V. 65. P. 11-60.

Ферромагнитные и антиферромагнитные полупроводники // УФН. 1975. Т. 117, № 3. Р. 437-492.

Аномальные магнитные структуры и фазовые переходы в негейзенберговских магнетиках // УФН. 1982. Т. 136, № 1. С. 61-103. [Anomalous magnetic structures and phase transitions in non-Heisenberg magnetic materials. Sov. Phys. — Uspekhi. 1982. V. 25. P. 31-56.]

Фотоиндуцированный магнетизм // УФН. 1986. T. 148, № 4. С. 561-598 (с В. Ф. Коваленко).

Photoinduced magnetism and conduction electrons in magnetic semiconductors // Phys. stat, sol. (b). 1988. V. 145. P. 11-64.

Surface forces and chemical potential of small particles // Phys. stat. sol. (b). 1991. V. 167. P. 381-404.

Малые металлические частицы // УФН. 1992. Т. 162, № 9. С. 50-124.

Self-trapped states of charge carriers in magnetic semiconductors //J. Mag. Mag. Mat. 1992. V. 110. P. 39-60.

Поверхностные силы и химический потенциал малых частиц // Поверхность. 1992. № 7. С. 5-26.

Equilibrium and quasiequilibrium properties of small particles // Phys. Rep. 1992. V. 222, №4,5. P. 201-307.

Phase separation in degenerate magnetic semiconductors and high-temperature superconductors // Phys. stat. sol. (b) 1994. V. 186, № 1. P. 9-42.

Разделение фаз в высокотемпературных сверхпроводниках и родственных им магнитных материалах // УФН. 1995. Т. 165, № 5. С. 529-554. [Phase separation in high-temperature superconductors and related magnetic systems // Physics — Uspekhi. 1995. V. 38. P. 497-520.]

Манганиты лантана и другие магнитные проводники с гигантским магнитным сопротивлением // УФН. 1996. Т. 166, №8. С. 833-858. [Lanthanum manganites and other giant-magnetoresistance magnetic conductors // Physics — Uspekhi. 1996. V. 39. P. 781—905.]

Магнитопримесная теория материалов с колоссальным магнитосопротивлением // УФН. 1998. Т. 168, № 8. С. 917-920. [Magnetoimpurity theory of materials exibiting colossal magnetoresistance // Physics — Uspekhi. 1998. V. 41. P. 831-837.]

Magnetoimpurity theory of manganites and other colossal magnetoresistance materials // Australian J. of Physics. 1999. V. 52, № 2. P. 305-317.

Colossal-magnetoresistance materials: manganites and conventional ferromagnetic semiconductors // Phys. Rep. 2001. V. 346, № 6. P. 388-531.

Статьи i):

1958

О захвате в ионных кристаллах электронов и дырок экситонами // НДВШ. Сер. физ.-мат. 1958. № 4. С. 135-140.

В Статьи, включенные в настоящий сборник, отмечены *.

1959

О хемосорбции атомов и молекул на ионных кристаллах // Научная конференция молодых ученых. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1959.

1961

О хемосорбции атомов с участием электронов проводимости кристаллов // ЖФХ. 1961. Т. 35, № 10. С. 2376-2382.

Хемосорбция на не вполне полярных кристаллах // ЖФХ. 1961. Т. 35, № 2. С. 327-335.

Магнитные свойства слоя адсорбированных атомов // Кинетика и катализ. 1961. Т. 2, №6. С. 847-853.

Полупроводниковые свойства оксидно-ванадиевых стекол // Вопросы радиотехники и электроники. Сер. А. 1961. № 4.

О возможности существования локальных уровней в аморфных полупроводниках // Вопросы радиотехники и электроники. Сер. А. 1961. № 11.

О механизме проводимости в полупроводниках с малой подвижностью // ФТТ. 1961. Т. 3, № 9. С. 2567—2572.

1962

К многоэлектронной теории хемосорбции на ионных кристаллах / В сб.: Катализ в высшей школе. Т. 1. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1962. — С. 132-137.

К теории хемосорбции на полярных кристаллах // Кинетика и катализ. 1962. Т. 3, № 6. С. 907-914.

Антиферромагнитные полупроводники с малой подвижностью // ФТТ. 1962. Т. 4, № 2. С. 413-423. [Antiferromagnetic semiconductors with small mobility // Sov. Phys. Solid State. 1970. V. 4, № 2. P. 300-306.]

О проводимости кристаллов в случае сильного электрон-фононного взаимодействия // ФТТ. 1962. Т. 4, №8. С. 2201-2211. [On the conductivity of crystals in case of strong electron-phonon interaction // Sov. Phys. Solid State. 1962. V. 4. P. 1611.]

1963

О двух механизмах проводимости в теории полупроводников с малой подвижностью // ФТТ. 1963. Т. 5. С. 2380-2383. [Two mechanisms of conductivity in semiconductors with low mobility // Sov. Phys. Solid State. 1963. V. 5. P. 1734—1736.]

1964

О природе молекулярных картин в электронном проекторе // Кинетика и катализ. 1964. Т. 5, № 4. С. 592-602 (с В. А. Шишкиным).

Электрический ток через газонаполненный диод при наличии приэлектродных скачков потенциала // ЖТФ. 1964. Т. 34, № 4. С. 745-752.

1965

Газонаполненный диод в режиме без максвеллизации электронов // ЖТФ. 1965. Т. 35, № 9. С. 1634-1641.

О спиновом механизме переноса заряда и энергии. 1. Общие соотношения // ФТТ. 1965. Т. 7, № 10. С. 2959—2977. [A spin mechanism for the transport of charge and energy. General relations // Sov. Phys. Solid State. 1966. V. 7, № 10. P. 2407-2413.]

О спиновом механизме переноса заряда и энергии. 2. Антиферромагнитное и парамагнитное состояния // ФТТ. 1965. Т. 7, № 10. С. 3033-3041. [A spin mechanism for the transport of charge and energy. 2. Antiferromagnetic and paramagnetic states // Sov. Phys. Solid State. 1966 V. 7, № 10. P. 2455-2460.]

1966

Нелинейная задача о теплопроводности решетки с дефектами // ФТТ. 1966. Т. 8, № 10. С. 2878-2883 (с А. Е. Казаковым).

Определение эффективной массы по экспериментальным данным // Вопросы прямого преобразования энергии. 1966. №1. С. 105 (с Л.Д. Дудкиным, Р. С. Ерофеевым и Т.Б. Почтаревой).

Шунтирование сопротивления электролитом // Вопросы прямого преобразования энергии. 1966. № 3 (с А. Е. Казаковым).

1967

Учет частичного отражения фононов от границ при вычислении низкотемпературной теплопроводности диэлектрических материалов // ФТТ. 1967. Т. 9, № 6. С. 1594-1596 (с А. Е. Казаковым). [Consideration of partial phonon reflection from boundaries in calculation of the low-temperature conductivity of dielectrics // Sov. Phys. Solid State. 1966 V. 9, № 6. P. 1255-1256 (with A. E. Kazakov).]

К теории растворимости электроактивных примесей в полупроводниках // Неорг. Мат. 1967. Т. 3, № 8. С. 1375-1381 (с Л. Д. Дудкиным и Р. С. Ерофеевым).

Аномальные свойства электронов проводимости вблизи точки Кюри // ФТТ. 1967. Т. 9, № 9. С. 2469—2477. [Anomalous properties of conducting electrons near the Curie point //Sov. Phys. Solid State, 1967/68. V. 9. P. 1942.]

Основное состояние и аномальный магнитный момент электронов проводимости в антиферромагнитном полупроводнике // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6, № 1. С. 484-486. [Ground state and anomalous magnetic moment of conduction electrons in an antiferromagnetic semiconductor / / J ETP Lett. 1967. V. 6, № 1. P. 18-20.]

1968

О степени универсальности соотношений Видемана-Франца и Мотта // ФММ. 1968. Т. 25, № 1. С. 177-178.

Ферромагнитные микрообласти в полупроводниковом антиферромагнетике // ЖЭТФ. 1968. Т. 54, № 1. С. 228-238. [Ferromagnetic domains in semiconducting antiferromagnet // Sov. Phys. JETP. 1968. V. 27. P. 122-127.]

Новый тип автолокализованного состояния электрона проводимости в антиферромагнитном полупроводнике // ЖЭТФ, 1968, 54, №5. С. 1562-1567 (с Л.Н. Булаевским и Д.И. Хомским). [A new type of auto-localized state of a conduction electron in an antiferromagnetic semiconductor // Sov. Phys. JETP. 1968. V. 27, № 5. P. 836-838 (with L.N. Bulaevskii and D. I. Khomskii).]

Локализованные плазмоны и плазменно-экситонный резонанс // Письма в ЖЭТФ. 1968. Т. 8, № 10. С. 596-599. [Localized plasmons and plasma-exiton resonance // JETP Lett. 1968. V. 8, № 10. P. 366-369.]

Связь аномального поведения теплоемкости и коэффициента линейного расширения в точке Кюри с критическими флуктуациями // ФТТ. 1968. Т. 10, № 1. С. 9-11. [The relation between the anomalous behavior of the heat capacity and the linear expansion coefficient at the Curie point and critical fluctuations // Sov. Phys. Solid State. 1968. V. 10, № 1. P. 5-7.]

1969

Электроны, косвенный обмен и локализованные магноны в магнитоактивных полупроводниках // ЖЭТФ. 1969. Т. 56, № 3. С. 1013-1028. [Electrons, indirect exchange and localized magnons in magnetoactive semiconductors // Sov. Phys. JETP. 1969. V. 29, № 3. P. 545-552.]

Экситонные поляроны и плазменно-экситонные волны // ЖЭТФ. 1969. Т. 57, № 2. С. 469-477. [Exiton polarons and plasma-exiton waves // Sov. Phys. JETP. 1970. V. 30, №2. P. 257-261.]

Косвенный обмен в полупроводниках и влияние на него электрического поля // ФТТ. 1969. Т. 11, № 10. С. 2779-2788. [Indirect exchange in semiconductors and influence of an electric field on it // Sov. Phys. Solid State. 1970. V. 11. P. 2249.]

Магнитные квазимолекулы в ферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1969. Т. 11, № 12. С. 3437-3447. [Magnetic quasimolecules in ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1969. V. 11, № 12. P. 2886-2892.] [Sov. Phys. Solid State. 1970. V. 11. P. 2886.]

О разрешающей способности пленочных потенциометров // Приборы и системы управления. 1969. Т. 2. С. 56 (с А. Т. Белевцевым).

О влиянии туннелирования на эффективность термоэлектрических устройств // ДАН СССР. 1969. Т. 186, № 6. С. 1295-1297 (с Н. С. Лидоренко, В. А. Андрияко, Л. Д. Дудкиным и О.М. Нарвой).

Концентрационный фазовый переход в неколлинеарное магнитное состояние // ЖЭТФ. 1969. Т. 57, Я2 4. С. 1274-1279. [Concentrational phase transition into a canted magnetic state // Sov. Phys. JETP. 1970. V. 30. P. 693.]

1970

Размерный термоэлектрический эффект в переменном магнитном поле и его использование для изучения фазовых переходов // Письма в ЖЭТФ. 1970. Т. 11, № 5. С. 241-244 (с Б.В. Авдеевым, Н.И. Варичем, Ю.П. Крашенининым и М.А. Маркманом). [Thermoelectric size effect in an alternating magnetic field and its use for the study of phase transitions // JETP Lett. 1970. V. 11, №5. P. 153-155 (with B.V. Avdeev, N.I. Varich, Yu.P. Krasheninin, and M. A. Markman).]

Ненасыщенный ферромагнетизм локализованных электронов // ФТТ. 1970. Т. 12, № 4. С. 1109-1118. [Unsaturated ferromagnetism of localized d-electrons // Sov. Phys. Solid State. 1970. V. 12, № 4. P. 867—873.]

Резонансный сдвиг температуры Кюри в магнитных полупроводниках // ФТТ. 1970. Т. 12. С. 607-608. [Resonance shift of the Curie temperature in magnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1970. V. 12. P. 461-462.]

Метод магнитных дефектов в теории косвенного обмена // ФММ. 1970. Т. 29, №5. С. 905-914. [Phys. Metals Metallog. 1970. V. 29, № 5. Р. 10.]

42： Носители тока в антиферромагнитных полупроводниках. ЖЭТФ. 1970. Т. 58, № 4. С. 1269-1279. [Charge carriers in antiferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. JETP. 1970. V. 31. P. 682.]

Заряженные экситоны, аномальный температурный сдвиг зоны и переход изолятор- металл // ЖЭТФ. 1970. Т. 59, № 10. С. 1215-1224. [Charged excitones, anomalous temperature shift of the energy bands, and the insulator-metal transition // Sov. Phys. JETP. 1971. V. 32. P. 664-669.]

Отрицательное магнетосопротивление при рассеянии на дефектах // ФТТ. 1970. Т. 12. С. 2137-2139. [Negative magnetoresistance in the case of scattering by imperfections // Sov. Phys. Solid State. 1971. V. 12. P. 1697-1699].

1971

Переход изолятор-металл при рассеянии на локализованных моментах // ФТТ. 1971. Т. 13, № 1. С. 41-45. [Insulator-metal transition via scattering of carriers by localized moments // Sov. Phys. Solid State. 1971. V. 13. P. 32—35.]

Магнитополяронный ферромагнетизм // ФТТ. 1971. T. 13. С. 891-893. [Magnetopolaron ferromagnetism // Sov. Phys. Solid State. 1971. V. 13. P. 738-740.]

Квазиосцилляторные состояния носителей заряда в антиферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1971. Т. 13, №4. С. 958-967. [Quasioscillatory states of charge carriers in antiferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1971. V. 13. P. 801-807.]

Аномалии магнитной восприимчивости проводящих антиферромагнетиков в сильных полях // ФТТ. 1971. Т. 13, №5. С. 1321-1328. [Anomalies in the magnetic susceptibility of conducting antiferromagnets in strong field // Sov. Phys. Solid State. 1971. V. 13, №5. P. 1103-1109.]

Проводимость магнитных полупроводников в случае сильной связи носителей с локализованными спинами // ФТТ. 1971. Т. 13, № 4. С. 1163-1170. [Conductivity of magnetic semiconductors in the case of strong coupling between carriers and localized spins // Sov. Phys. Solid State. 1971. V. 13. P. 961-967.]

Аномалии термо-ЭДС при фонон-фононном увлечении // Письма в ЖЭТФ. 1971. Т. 13, No 11. С. 639-643 (с В. А. Козловым). [Anomalies of thermal emf in phonon-phonon dragging // JETP Lett. 1971. V. 13, № 11. P. 455—457 (with V. A. Kozlov).]

1972

Максимум сопротивления ферромагнитных полупроводников, вызванный рассеянием носителей на гигантских моментах магнитных кластеров // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16, № 7. С. 438-441 (с А. П. Григиным). [Maximum resistivity of ferromagnetic conductors, due to carrier scattering by giant moments of magnetic clusters // JETP Lett. 1972. V. 16, № 7. P. 312-314 (with A.P. Grigin).]

Влияние гигантского эффекта Зеемана на диэлектрическую проницаемость антиферромагнитного проводника // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, № 1. С. 48-52 (с В. Г. Полни- ковым). [Influence of giant Zeeman effect on the dielectric constant of an antiferromagnetic conductor // JETP Lett. 1972. V. 16. P. 33-36 (with V. G. Polnikov).]

Hеоднородное ферро-антиферромагнитное состояние магнитных проводников // Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16,血 10. С. 558-561. [Inhomogeneous ferro-antiferromagntic state of magnetic conductors // JETP Lett. 1972. V. 16, № 10. P. 394-396.]

Двухступенчатое увлечение электронов фононами // ДАН СССР. 1972. Т. 204, № 4. С. 820-823 (с Н. С. Лидоренко и В. А. Козловым).

55： Негейзенберговское обменное взаимодействие и вызванные им эффекты // ФТТ. 1972. Т. 14, №2. С. 492-500 (с В.М. Матвеевым). [Non-Heizenberg exchange interaction and effects due to this interaction // Sov. Phys. Solid State. 1973. V. 14. P. 408-415.]

Transition of heavily doped ferromagnetic semiconductors to the insulating state // Phys. Lett. A. 1972. № 7. V. 38. P. 469-470 (with A.P. Grigin).

Mott transition in magnetoactive crystals occuring without collectivization of d-electrons // Phys. Lett. A. 1972. V. 42, № 1. P. 88-90 (with V. M. Matveev).

Неколлинеарный антиферромагнетизм и особенности кривой намагниченности проводящих магнетиков // ФТТ. 1972. Т. 14, № 3. С. 773-779. [Canted antiferromagnetism and the magnetization curve of conducting antiferromagnets // Sov. Phys. Solid State. 1972. V. 14, № 3. P. 658-663.]

1973

Состояние электрона проводимости в кристалле при нелокальном взаимодействии с элементарными возбуждениями // ТМФ. 1973. Т. 14, № 1. С. 91-101.

N-образная вольтамперная характеристика проводника вблизи аномального перехода металл-изолятор // ФТТ. 1973. Т. 15, № 2. С. 613-614 (с Н. С. Лидоренко и Л. Т. Кре- щишиной). [N-shaped current-voltage characteristic of a conductor close to the anomalous metal-insulator transition point // Sov. Phys. Solid State. 1973, V. 15, № 2. P. 429-430 (with N. S. Lidorenko and L.T. Kreshchishina).]

Сверхобмен в магнетиках с узкими энергетическими зонами // ФТТ. 1973. Т. 15, № 10. С. 2874-2876 (с В. М. Матвеевым). [Superexchange in magnetic materials having narrow energy bands // Sov. Phys. Solid State. 1973, V. 15, № 10. P. 1923-1924 (with V. M. Matveev).]

Квазиповерхностные магноны в сильно легированных ферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1973. Т. 15, № 5. С. 1585-1587 (с В. Е. Зильберваргом). [Quasisurface magnons in heavily doped ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1973, V. 15, № 5. P. 1059-1060 (with V.E. Zil'bervarg).]

Двухступенчатое увлечение электронов фононами и экспоненциально большие термо-ЭДС // ФТТ. 1973. Т. 15, № 5. С. 1458-1467 (с В. А. Козловым и Н. С. Лидоренко). [Two-stage drag of electrond by phonons and exponentially high thermoelectric power // Sov. Phys. Solid State. 1973, V. 15, № 5. P. 982-987 (with V. A. Kozlov and N.S. Lidorenko).]

Автолокализованные состояния носителей заряда в антиферромагнитном полупроводнике в магнитном поле // ФТТ. 1973. Т. 15, №5. С. 1635-1636 (с Г. Л. Лазаревым). [Self-localised state of carriers in antiferromagnetic semiconductor subjected to a magnetic field // Sov. Phys. Solid State. 1973, V. 15, № 5. P. 1011 (with G.L. Lazarev).]

1974

Кооперативные явления при взаимодействии между электронами через реальные бозоны // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20, № 10. С. 650-654. [Cooperative phenomena in the interaction between electrons via real bosons // JETP Lett. 1974. V. 20, № 10. C. 299-300 (with A.P. Grigin).]

Anomalous temperature dependence of charge carrier density and Mott transition in ferromagnetic semiconductors // Phys. stat. sol. (b). 1974. V. 61. P. 65—75 (with A.P. Grigin).

State of conduction electron interacting with Frenkel excitons // Phys. stat. sol. (b). 1974. V. 64. P. 441-447 (with E. B. Sokolova).

Screening, instability of the uniform state, and charge carrier scattering in heavily doped ferromagnetic semiconductors // Phys. stat. sol. (b). 1974. V. 65. P. 457-467 (with A. P. Grigin).

Применение метода неравновесных термодинамических потенциалов к системам фермионов, взаимодействущих с бозонами // ТМФ. 1974. №3. С. 393-400 (с А. П. Гри- гиным).

Продольная и поперечная термо-ЭДС образцов конечных размеров в магнитном поле // ФТТ. 1974. Т. 16, № 2. С. 328-334 (с В. А. Козловым и Н. С. Лидоренко). [Longitudinal and transverse thermoelectric emf of specimens of finite dimensions in a magnetic field // Sov. Phys. Solid State. 1974, V. 16, № 2. P. 217-220 (with V. A. Kozlov and N. S. Lidorenko).]

Эффективный гамильтониан и температурная зависимость спектра носителей тока в магнитных полупроводниках с узкими зонами // ФТТ. 1974. Т. 16, № 5. С. 1293-1301 (с Э.Б. Соколовой). [Effective Hamiltonian and temperature dependence of the carrier spectrum in magnetic semiconductors with the narrow bands // Sov. Phys. Solid State. 1974, V. 16, № 5. P. 836-840 (with E. B. Sokolova).]

Влияние электрон-магнонного взаимодействия на подвижность электронов в ферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1974. Т. 16. С. 2808-2810 (с А. П. Григиным и В. А. Козловым). [Effect of the electron-magnon interaction on the electron mobility in ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1974, V. 16. P. 1827-1828 (with A. P. Grigin and V. A. Kozlov).]

Conduction electrons in ferromagnetic semiconductors near the Curie point // Sol. St. Comm. 1974. V. 15. P. 109-111.

Nonuniform state and hysteresis in resistivity of heavily doped ferromagnetic semiconductors // Sol. St. Comm. 1974. V. 15. P. 1267-1269 (with A. P. Grigin).

Неоднородные состояния антиферромагнитных и магнитоэкситонных полупроводников // ЖЭТФ. 1974. Т. 66, №6. Р. 2105-2115 (с В. А. Кашиным). [Inhomogeneous states of antiferromagnetic and magnetoexcitonic semiconductors / / Sov. Phys. J ETP. 1974. № 6. P. 1036-1041 (with V. A. Kashin).]

Диэлектрическая проницаемость и неустойчивость однородного состояния узкозонных ферромагнитных полупроводников // ФТТ. 1974. Т. 16, № 10. С. 2834-2841 (с В.Е. Зильберваргом). [Permittivity and instability of the uniform state of narrow-band ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1974, V. 16, № 10. P. 1838-1841 (with V. E. Zil'bervarg).]

1975

Гигантское положительное магнетосопротивление магнитных полупроводников // Письма в ЖЭТФ. 1975. Т. 21, № 2. С. 126-129 (с В. А. Кашиным). [Giant positive magnetoresistance of magnetic semiconductors // JETP Lett. 1975. V. 21, № 2. P. 56—57 (with V. A. Kashin).]

Conduction electrons in ferromagnetic semiconductors near Curie point II // Solid St. Comm. 1975. V. 16. P. 823-825 (with V.E. ZiFbervarg).

Эффект увлечения электронов магнонами в ферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1975. Т. 17, №4. С. 991-998 (с В. А. Козловым). [Drug of electrons by magnons in ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1975. V. 17, № 4. C. 635-639 (with V. A. Kozlov).]

Взаимодействие носителей тока с заряженными дефектами в сильно легированных ферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1975. Т. 17, № 9. С. 2614-2621 (с А. П. Григиным). [Interaction of carriers with charged impurities in heavily doped ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1975. V. 17, № 9. C. 1740-1743 (with A. P. Grigin).]

Влияние косвенного обмена через электроны проводимости на магнитное упорядочение слоистого типа // ЖЭТФ. 1975. Т. 69, № 6(12). С. 2151-2161 (с В. М. Матвеевым). [Effect of indirect exchange via conduction electrons on magnetic ordering of the layer type // Sov. Phys. JETP. 1976. V. 42, № 6. P. 1094-1098 (with V.M. Matveev).]

Фотоиндуцированный слабый ферромагнетизм в магнитных полупроводниках // ФТТ. 1975. Т. 17, № 8. С. 2483-2485 (с В. М. Матвеевым). [Photoinduced weak ferromagnetism in magnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1975. V. 17, № 8. C. 1653-1654 (with V. A. Matveev).]

Электроны проводимости в ферромагнитном полупроводнике вблизи точки Кюри // ФТТ. 1975. Т. 17, №5. С. 1261-1269 (с В.Е. Зильберваргом). [Conduction electrons in ferromagnetic semiconductor near the Curie point // Sov. Phys. Solid State. 1975. V. 17, № 5. P. 816-820 (with V.E. ZiFbervarg).]

Ферронные состояния в метамагнитных полупроводниках // ФТТ. 1975. Т. 17, № 7. С. 1955-1962 (с Г.Л. Лазаревым и В.М. Матвеевым)]. [Ferron states of conduction electrons in metamagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1975. V. 17, № 7. C. 1280-1284 (with G.L. Lazarev and V. M. Matveev)].

1976

О возможном механизме хемосорбции на магнитных полупроводниках // ЖФХ. 1976. Т. 50, № 7. С. 1781—1786 (с Г. Л. Лазаревым).

Электрические свойства сильно легированных полупроводников с параметром упорядочения, зависящим от электронной концентрации // ФНТ. 1976. Т. 2, № 12. С. 1530-1539 (с В. А. Кашиным).

Фотонамагничивание магнитных полупроводников и фотоиндуцированные гетеропереходы // ДАН СССР. 1976. Т. 230, № 5. С. 1085-1088 (Н. С. Лидоренко и В. М. Матвеевым).

On the mechanism of chemisorption on magnetic semiconductors // Surf. Sci. 1976. V. 54. P. 101-110 (with G.L. Lazarew).

Поверхностная намагниченность вырожденных ферромагнитных полупроводников // ФТТ. 1976. Т. 18, № 3. С. 641-644 (с В.Е.Зильберваргом). [Surface magnitization of degenerate ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1976. V. 18, № 3. P. 371—372 (with V. E. Zil'bervarg)].

Электроны проводимости в полупроводниковом бинарном сплаве вблизи точки распада // ФТТ. 1976. Т. 18, № 6. С. 1583-1586 (с В.Е. Зильберваргом). [Conduction electrons in a semiconducting binary alloy near the point of precipitation // Sov. Phys. Solid State. 1976. V. 18, № 6. P. 920-921 (with V.E. ZiFbervarg)].

Феррон-поляронные состояния носителей тока в антиферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1976. №18. С. 3429-3432 (с В.Д. Лахно). [Ferron-polaron states of charge carriers in antiferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1976. V. 18, № 6. (with V.D. Lakhno).]

Новый механизм перехода вырожденных ферромагнитных полупроводников в изолирующее состояние. Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 24, № 10. С. 543-546 (с Э. Б. Соколовой). [New mechanism of transition of degenerate ferromagnetic semiconductors into the insulator state // JETP Lett. V. 24, № 10. P. 501-503 (with E. B. Sokolova).]

Функции линейного отклика и магнетосопротивление сильнолегированных парамагнитных полупроводников // ФТТ. 1976. Т. 18, № 9. С. 2499-2506 (с В. Е. Зильберваргом). [Linear response function and the magnetoresistance of heavily doped paramagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1976. V. 18, № 9. P. 1460-1465 (with V. E. ZiFbervarg)].

О стабильности неколлинеарного антиферромагнитного упорядочения // ФТТ. 1976. Т. 18, № 4. С. 1091-1097 (с В. А. Кашиным и В. Д. Пищалко). [Stability of canted antiferromagnetic ordering // Sov. Phys. Solid State. 1976. V. 18, № 4. P. 623-626 (with V. A. Kashin and V. D. Pishchalko)].

1977

Ферромагнитные полупроводники с гигантским синим сдвигом края поглощения // Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 25, № 2. С. 87-90. [Ferromagnetic semiconductors with giant blue shift of the absorption edge // JETP Lett. V. 25, № 2. P. 76—79.]

Температура Кюри вырожденных ферромагнитных полупроводников // ФТТ. 1977. Т. 19, № 2. С. 533-538 (с Э. Б. Соколовой). [Curie temperature of degenerate ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1977. V. 19,血 2. P. 305-308 (with E. B.Sokolova).]

Аномальный эффект Холла в ферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 1977. Т. 19, № 3. С. 732—739 (с Э. Б. Соколовой). [Anomalous Hall effect in ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1977. V. 19, № 3. P. 425-429.]

Неоднородный ферромагнетизм проводящих магнетиков с синглетным основным состоянием ионов. Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 25, № 11. С. 505-509 (с О. И. Зацаринным). [Inhomogeneous ferromagnetism of conducting magnets with ions in a singlet ground state //JETP Lett. V. 25, № 11. P. 475—478 (with О. I. Zavaritskii).]

1978

99? Магнитострикционные ферроны // ФТТ. 1978. Т. 20, №1. С. 82-86 (с В. Д. Лахно). [Magnetostriction ferrons // Sov. Phys. Solid State. 1978. V. 20, №1. P. 44-46 (with V. D. Lakhno)].

Новый тип обменного гамильтониана и свойства ферромагнитных полупроводников с дефектами // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1978. Т. 42, № 8. С. 1660-1666.

Многоспиновый косвенный обмен // ЖЭТФ. 1978. Т. 74, №4. С. 1375-1385. [Indirect multispin exchange // Sov. Phys. JETP. 1978. V. 47, № 4. P. 719—725.]

Отклик на электрическое поле и электрофлуктуационная неустойчивость ферромагнитных полупроводников // ФНТ. 1978. Т. 4, № 3. С. 320-331 (с А. Е. Дракиным).

Недиссипативный фотоферромагнетизм в магнитных полупроводниках // ЖЭТФ, 1978, 74, № 6. С. 2123-2130. [Nondissipative photoferromagnetism of magnetic semiconductors // Sov.Phys. JETP. 1978. V. 46. P. 1105-1109.]

Коллективный магнитоэкситонный переход под действием света в полосе прозрачности кристалла // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 28, № 3. С. 105-108 (с Э. Б. Соколовой). [Collective light-mediated magnetoexciton transition in the transparency band of a crystal //J ETP Lett. 1978. V. 28, № 3. P. 97-99 (with E.B. Sokolova).]

Квазифазовый переход в ферромагнитных полупроводниках с двухзарядными донорами // ФТТ. 1978. Т. 20, № 8. С. 2325-2333 (с А. А. Коваленко). [Quasiphase transition in ferromagnetic semiconductors with doubly charged donors // Sov. Phys. Solid State. 1978. V. 20, № 8. P. 1341-1346 (with A.A. Kovalenko).]

1979

Новый тип магнитных фазовых переходов первого рода // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, № 9. С. 540-543 (с А. А. Коваленко). [New type of magnetic phase transitions of the first kind // JETP Lett. 1979. V. 29, № 9. P. 492-495 (with A.A. Kovalenko).]

Фарадеевская деполяризация света в неоднородных магнитных состояниях // ФТТ. 1979. Т. 21, № 5. С. 1326-1333 (с Э. Б. Соколовой). [Faraday depolarization of light in mixed magnetic states // Sov. Phys. Solid State. 1979. V. 21, № 5. P. 767—770 (with E. B. Sokolova).]

Магнетосопротивление невырожденных ферромагнитных полупроводников // ФТТ. 1979. Т. 21, №4. С. 1075—1079 (с А. А. Коваленко). [Magnetoresistance of nondegenerate ferromagnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1979. V. 21, № 4. P. 625—627 (with A. A. Kovalenko).]

Промежуточное состояние материалов, испытывающих фазовый переход полупро- водник-металл // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 30, №1. С. 725-28 (с Н.С. Лидоренко). [Intermediate state of materials experiencing a semiconductor-metal phase transition // JETP Lett. 1979. V. 30, № 1. P. 22-24 (with N.S. Lidorenko).]

Поверхностные оптические фононы в вырожденных полупроводниках // ФТТ. 1979. Т. 21, № 10. С. 3034-3037 (с Н.С. Лидоренко). [Surface optical phonons in degenerate semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1979. V. 21, № 10. P. 1746—1748 (with N.S.Lidorenko).]

Диэлектрическая проницаемость магнитных полупроводников // ЖЭТФ. 1979. Т. 77, №4(10). С. 1407-1416 (с В. Д. Лахно). [The dielectric constant of magnetic semiconductors // Sov. Phys. JETP. 1979. V. 50, № 4. P. 707-711 (with V.D. Lakhno).]

1980

Фазовые переходы и негейзенберговские магнитные структуры в изотропных магнетиках // Изв. АН СССР (сер. физ.). 1980. Т. 44, № 7. С. 1417-1420 (с А. А. Коваленко).

«Химический» механизм перехода изолятор-металл // ФТТ. 1980. Т. 22, №2. С. 566-569 (с Н.С. Лидоренко). [“Chemical" mechanism of insulator-metal transition // Sov. Phys. Solid State. V. 22, № 2. P. 330-331 (with N.S. Lidorenko).]

Диэлектрическая проницаемость твердых электролитов и переход в сверхионное состояние // ЖЭТФ. 1980. Т. 78, № 1. С. 180-188 (с Н. С. Лидоренко и В. Е. Зильберваргом). [Dielectric constants of solid electrolytes and transition to superionic state // Sov. Phys. JETP. 1980. V. 51, № 1. P. 89-93 (with N.S. Lidorenko and V.E. Zil'bervarg).]

Кластеры молекул, адсорбированных на поверхности проводника // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31, № 9. С. 505-508 (с Н. С. Лидоренко). [Molecule clusters adsorbed on the surface

of a conductor // JETP Lett. 1980. V. 31, № 9. Р. 475-477 (with N. S. Lidorenko); Erratum: JETP Lett. 1980. V. 32, № 4. P. 309.]

Кластеры адмолекул на поверхности полупроводника // ДАН СССР. 1980. Т. 253, № 4. С. 871—873 (с Н. С. Лидоренко).

Разрушение состояния спинового стекла косвенным обменом через электроны проводимости в системе твердых растворов 优 CuCr2s4 — (1 — 优)Ga<2/3Cr2s4 / / ЖЭТФ. 1980. T. 79, №2(8). С. 600-604 (с Л.И. Королевой и Н. А. Цветковой). [Destruction of the state of spin glass by indirect exchange via conduction electrons in the 优CuCr2s4 — (1 —优)Ga«2/3Cr2s4 system (with L. I. Koroleva, and N. A. Tsvetkova).]

118： Магнитные фазовые переходы «порядок-порядок» и «порядок-чужой беспорядок» // ЖЭТФ. 1980. Т. 79, №3(9). С. 907-920 (с А. А. Коваленко). [Magnetic “order—disorder” and “order—alien disorder^^ transitions // Sov. Phys. JETP. 1980. V. 52. P. 460-467 (with A. A. Kovalenko).]

1981

Металлизированные субмонослои атомов, адсорбированных на непроводящей подложке // Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 34, № 1. С. 9-12 (с В. Е. Зильберваргом, Л.Т. Крещиши- ной и Н. С. Лидоренко). [Metallized submonolayers of atoms adsorbed on a nonconducting substrate // JETP Lett. 1981. V. 34, № 1. P. 7-10 (with V. E.ZiFbervarg, L.T. Kreshchishina, and N. S. Lidorenko).]

Isotropic antiferromagnetic systems with positive paramagnetic Curie point // Solid St. Comm. 1981. V. 38, № 12. P. 1121-1124 (with A. A. Kovalenko).

121? Фазовые переходы под действием света // ЖЭТФ. 1981. Т. 80, №6. С. 2346-2355. [Light-induced phase transitions // Sov. Phys. JETP. 1981. V. 53. P. 1227-1232.]

122： Автолокализация носителей тока в областях измененной фазы на поверхности кристалла // ФТТ. 1981. Т. 23, №3. С. 859-862 (с А. И. Подельщиковым). [Self-localization of carriers in regions of different phase at crystal surfaces // Sov. Phys. Solid State. 1981. V. 23, № 3. P. 487-489 (with A. I. Podel'shikov).]

Открытие № 241 по Гос. реестру СССР. Явление гетерофазной автолокализации электронов проводимости в полупроводниках // Бюллетень «Открытия, изобретения, промышленные образцы, товарные знаки». 1981. №28. С. 3 (с А. И. Ларкиным и Д. И. Хмельницким).

1982

Фазовые переходы «порядок-несоизмеримый беспорядок» // Письма в ЖЭТФ. 1982. Т. 35, № 1. С. 20-22 (с А. А. Коваленко). [Order—(incommensurable disorder) phase transitions // JETP Lett. V. 35, № 1. P. 24-26 (with A. A. Kovalenko).]

Коллективные свойства атомов, хемосорбированных на ионных кристаллах // Поверхность. 1982. №9. С. 128-137 (с Н.С. Лидоренко, В.Е. Зильберваргом и Л. Е. Крещи- шиной).

Скачки параметра порядка в системе взаимодействущих друг с другом одноуровневых частиц // ФТТ. 1982. Т. 24, № 11. С. 3434-3436 (с А. И. Подельщиковым). [Jumps of the order parameter in the system of interacting equal level particles // Sov. Phys. Solid State. V. 24, № 11. P. 1951-1952 (with A. I. Podel'shikov).]

Активированная прыжковая подвижность носителей в магнитных полупроводниках // ФТТ. 1982. Т. 24, № 10. С. 3033-3039 (с А. И. Подельщиковым). [Activated hopping of carriers in magnetic semiconductors // Sov. Phys. Solid State. 1982. V. 24, № 10. P. 1717-1720 (with A. I. PodeFshikov).]

1983

Anomalous antiferromagnetic structures in metals // Solid St. Comm. 1983. V. 48, № 3. P. 305-308.

129： Аномальные антиферромагнитные структуры в металлах // ФТТ. 1983. Т. 25, № 12. С. 3617-3624. [Anomalous antiferromagnetic structures in metals // Sov. Phys. Solid State. 1983. V. 25, № 12. P. 2081-2085.]

On the types of magnetic order-disorder phase transitions of the first kind // Solid St. Comm. 1983. V. 45, № 3. P. 243-246 (with A. A. Kovalenko).

Магнитные фазовые переходы первого рода «порядок-беспорядок»: их природа и новые типы // ФТТ. 1983. Т. 25, № 9. С. 2723-2729 (с А. А. Коваленко). [Nature and new types of first-order magnetic phase transitions of the order-disorder type // Sov. Phys. Solid State. 1983. V. 25, № 9. P. 1566-1569 (with A. A. Kovalenko).]

Размерно-зависящие деформация и работа выхода проводящих тел малых размеров // ФТТ. 1983. Т. 2 5, № 5. С. 1439-1447. [Size-dependent deformation and work function of small conducting bodies // Sov. Phys. Solid State. 1983. V. 2 5, № 5. P. 82 7-831.]

Влияние двухступенчатого увлечения носителей фононами на электрическую проводимость и максимум термоэдс чистых полуметаллов с низкой плотностью носителей // ФТТ. 1983. Т. 25, № 4. С. 1239-1247 (с В. А. Козловым и В.Д.Лахно). [Effects of two-stage drag of carriers by phonons on the electrical conductivity and maximum thermoelectric power of pure semimetals with a low density of carriers // Sov. Phys. Solid State. 1983. V. 2 5, № 4. P. 645-648 (with V. A. Kozlov and V. D. Lakhno).]

1984

Metallised submonolayers of atoms adsorbed on nonconducting substrates // Journ. Phys. C. 1984. V. 17. P. 2225-2237 (with N.S. Lidorenko, V. E. ZiFbervarg and L. T. Kreschishina).

Взаимодействия между хемосорбированными атомами, неустойчивости и фазовые переходы // Поверхность. 1984. № 12. Р. 26-31.

Точечные дефекты и ферроны в полупроводниковых синглетных магнетиках // ЖЭТФ. 1984. Т. 86, № 5. С. 1831-1842 (с А. И. Подельщиковым).

Магнитные фазовые переходы первого рода и метамагнетизм квантового происхождения // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 9. С. 402-404. [First-order magnetic phase transitions and metamagnetism of quantum origin // JETP Lett. 1984. V. 39, № 9. P. 484-487.]

Гейзенберговские магнетики с конкурирующими взаимодействиями // ЖЭТФ. 1984. Т. 87, № 3(9). С. 960-970. [Heizenberg magnetic substances with competing interactions // Sov. Phys. JETP. 1984. V. 60. P. 547-553.]

1985

Образование кластеров адатомов при совместной адсорбции реагирующих друг с другом веществ // Поверхность. 1985. № 1. С. 40-44.

Kinematic interaction between fluctuations and magnetic phase transitions // Solid St. Comm. 1985. V. 54, № 1. P. 123-126.

Долгоживущая фотоиндуцированная фаза в магнетиках // ФТТ. 1985. Т. 27, №6. С. 1870-1872. [Long-lived photoinduced phase in magnetic materials // Sov. Phys. Solid State. 1985. V. 27, № 6. P. 1123-1124.]

Переход от двумерного к трехмерному поведению в гейзенберговских магнетиках // ФТТ. 1985. Т. 27, №11. С. 3270-3273. [Transition from two-dimensional to three-dimensional behavior Heisenberg ferromagnets // Sov. Phys. Solid State. 1985. V. 27, № 11. P. 1970-1971.]

1986

Косвенный обмен в ферромагнетиках с малыми концентрациями носителей тока // ЖЭТФ. 1986. Т. 90, № 2. С. 652-663. [Indirect exchange in ferromagnets with low carrier densities // Sov. Phys. JETP. 1986. V. 63, № 2. P. 379—385.]

Фотоиндуцированные фазовые переходы в магнетиках // ЖЭТФ. 1986. Т. 90, № 4. С. 1360-1372 (с А. И. Подельщиковым) [Photoinduced phase transitions in magnets // Sov. Phys. JETP. 1986. V. 63. P. 797—803 (with A. I. PodeFshikov).]

Самоиндуцированная адсорбция // ДАН СССР. 1986. Т. 286, № 2. С. 339-341 (с В. И. Горчаковым). [Self-induced adsorption (with V. I. Gorchakov).]

Силы взаимного заряжения в коллективе высокодисперсных металлических частиц // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 43, №6. С. 290-292 (с Л. К. Григорьевой, Н.С. Лидоренко, С. П. Чижиком). [Mutual-charging forces in an ensemble of highly disperse metal particles // JETP Lett. V. 43, № 6. P. 373—375 (with L. K. Grigorova, N. S. Lidorenko, and S. P. Chizhik).]

Влияние образования кластеров адчастиц на зависимость поверхностной проводимости от температуры // Поверхность. 1986. № 8. С. 49-53 (с В. И. Горчаковым).

148： Размерная зависимость фермиевской энергии и силы взаимодействия между высокодисперсными частицами // ЖЭТФ. 1986. Т. 91, №3(9). С. 1050-1062 (с Л.К. Григо-

рьевой, Н.С. Лидоренко, С.П. Чижиком). [Size dependence of Fermi energy and interaction forces between highly dispersed particles (with L.K. Grigorova, N.S. Lidorenko, and S.P. Chizhik).]

Сосуществование отдельных адчастиц и их заряженных кластеров на поверхности полупроводника // Поверхность. 1986. № 5. С. 47-55 (с В. И. Горчаковым).

1987

Магнитоэлектрические волны // Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 45, № 3. С. 127-129. [Magnetoelectric waves // JETP Lett. 1987. V. 45, № 3. P. 156-159.]

Особенности сопротивления ферромагнитных вырожденных полупроводников вблизи точки Кюри // ЖЭТФ. 1987. Т. 92, № 2. С. 569-579. [Characteristics of the resistance of degenerate ferromagnetic semiconductors near the Curie point // Sov. Phys. JETP. 1987. V. 65. P. 322-327.]

Аномальная элекрострикция малых металлических частиц // ФТТ. 1987. Т. 29, № 5. С. 1517-1519 (с Л.К. Григорьевой, Н.С. Лидоренко и С.П. Чижиком). [Anomalous electrostriction of small metal particles (with L.K. Grigorova, N.S. Lidorenko, and S.P. Chizhik).]

Температура Кюри ферромагнетиков с коррелированными дефектами // ФТТ, 1987 Т. 29, №4. С. 1152-1156. [Curie temperature of ferromagnets containing correlated defects // Sov. Phys. Solid State. 1987. V. 29. P. 657—659.]

Электронный спектр и косвенный обмен в ферромагнитных полупроводниках // ФТТ, 1987, № 2. С. 385-392. [Electron spectrum and indirect exchange in ferromagnetic semiconductors.]

Парамагнитная восприимчивость и температура Кюри ферромагнетика с дефектами // ФТТ. 1987. Т. 29, №11. С. 3375-3380 (с А. И. Подельщиковым). [Paramagnetic susceptibility and Curie temperature of defected ferromagnets (with A. I. PodeFshikov).]

Осциллирующая релаксация поверхности с большой глубиной проникновения // ЖЭТФ. 1987. Т. 93, №6(12). С. 2090-2101 (с В.И. Горчаковым, Л.К. Григорьевой и С.П. Чижиком) [Oscillatory relaxation of a surface with a large penetration depth // Sov. Phys. JETP. 1987. V. 66. P. 1193-1199 (with V.I. Gorchakov, L.K. Grigorova, and S.P. Chizhik).]

Влияние размеров малых металлических частиц и тонких пленок на скорость химических реакций на их поверхности // Поверхность. 1987. № 8. С. 131-137 (с Л. К. Григорьевой, Н. С. Лидоренко и С. П. Чижиком).

О природе повышенной каталитической и электрохимической активности малых металлических частиц и тонких пленок // ДАН СССР. 1987. Т. 294, № 6. С. 1398-1400 (с Л.К. Григорьевой и С.П. Чижиком). [On the nature of increased catalytic and electrochemical activity of small metallic particles and thin films (with L. K. Grigor'eva and S.P. Chizhik).]

Резонансы таммовских плазмонов с объемными и поверхностными оптическими фононами // ДАН СССР. 1987. Т. 294, № 1. С. 87-92 (с Н. С. Лидоренко и Л. Т. Крещишиной).

1988

160： Кинетическая теория фотоиндуцированных фазовых переходов в ферромагнитных полупроводниках при произвольных интенсивностях света // ФТТ. 1988. Т. 30, № 1. С. 187-194 (с А. И. Подельщиковым). [Kinetic theory of photoinduced phase transitions in ferromagnetic semiconductors for an arbitrary light intensity level (with A. I. PodeFshikov).]

161： Сжимает ли давление Лапласа физические тела? // ФТТ. 1988. Т. 30, № 4. С. 1068-1075 (с В.И. Горчаковым и С.П. Чижиком). [Does the Laplace pressure compress physical bodies? (with V. I. Gorchakov and S. P. Chizhik).]

Электронные свойства тонких металлических пленок // ФТТ. 1988. Т. 30, № 6. С. 1763—1772 (с Л.Т. Крещишиной). [Electronic properties of thin metallic films (with L.T. Kreshchishina).]

Осциллирующая релаксация поверхности с большой глубиной проникновения // Поверхность. 1988. № 11. С. 28-36 (с В. И. Горчаковым).

Размерные осцилляции формы и энергии Ферми почти сферических металлических частиц // Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 45, № 8. С. 441-443. [Size oscillations in the shape and Fermi energy of nearly spherical metal particles // JETP Lett. 1988. V. 48. P. 484-487.]

Движение заряженных частиц в проводящей жидкости // Коллоид, журн. 1988. Т. 50, №6. С. 1105-1110 (с Л.Т. Крещишиной). [Motion of charged particles in a conducting liquid // Colloid J. USSR. 1988. V. 50. P. 947-951 (with L.T. Kreshchishina).]

1989

Размерная и температурная зависимости поверхностного натяжения ультрадисперс- ных металлических частиц // ФТТ. 1989. Т. 31, № 5. С. 13-22 (с Н.Т. Гладких, Л. К. Григорьевой, С. В. Дукаровым, В. Е. Зильберваргом, В. И. Лариным и С. П. Чижиком). [Size and temperature dependence of the surface tension of ultrafinely dispersed metal particles (with six co-authors).]

Фазовые переходы в системах, обменивающихся частицами с окружающей средой // ФТТ. 1989. Т. 31, №4. С. 55-61. [Phase transitions in systems exchanging particles with the environment.]

Local levels in ferromagnetic semiconductors near and above the Curie point // Phys. stat, sol. (b). 1989. V. 155. P. K71—K75.

1990

Взаимное заряжение малых металлических частиц // ЖЭТФ. 1990. Т. 97, № 2. С. 623-633 (с П.Г. Борзяком, С. А. Горбанем, Л. К. Григорьевой, С. А. Непийко, и С.П. Чижиком). [Mutual charging of small metallic particles // Sov. Phys. JETP. 1990. V. 70. P. 347 (with five coauthors).]

On the possibility of second order phase transition with nonvanishing order parameter // Phys. Lett. A. V. 144, № 8,9. P. 473—475 (with A. I. PodeFshchikov).

О возможности фазовых переходов второго рода без исчезновения порядка // ФТТ. 1990. Т. 32, № 6. С. 1895—1897 (с А. И. Подельщиковым). [On the possibility of 2nd -order phase transitions without disordering (with A.I. Podel'shikov).]

Электронная плотность уровней металлических малых частиц и тонких пленок с дефектами // ЖЭТФ. 1990. Т. 98, № 4(10). С. 1442-1453. [Density of electron levels of small metal particles and thin films with defects // Sov. Phys. JETP. 1990. V. 71. P. 806-812.]

Температурно-индуцированные перколяция и плавление в неоднородных электронномагнитных системах // ЖЭТФ. 1990. Т. 98, № 6(12). С. 1972-1981 (с А. И. Подельщиковым). [Temperature-induced percolation and melting in inhomogeneous electron-magnetic systems // Sov. Phys. JETP. 1990. V. 71, №6. P. 1108-1113 (with A. I. PodeFshchikov).]

Силы взаимного заряжения при конечных температурах // ФТТ. 1990. Т. 32, № 9. С. 2719-2727. [Mutual charging forces at finite temperatures.]

1991

Магнонные спектры ферромагнитных пленок с произвольным спином // ФТТ. 1991. Т. 31, № 2. С. 479-490 (с Л.Т. Крещишиной). [Magnon spectra of ferromagnetic films with arbitrary spin (with L.T. Kreshchishina).]

Equilibrium properties of small particles at their ultralow vapour pressures // Surf. Sci. 1991. V. 243. P. 252-260.

Magnetic self-trapped states of charge carriers in amorphous Si and Ge // Phys. Lett. A. 1991. V. 155, № 2,3. P. 197-199.

Самозаряжение поверхности проводника конечных размеров // ЖЭТФ. 1991. Т. 99, № 5. С. 1518-1525. [Self-charging of the surface of finite size conductors // Sov. Phys. JETP. V. 72, № 5. P. 849-853.]

Магнитные автолокализованные состояния носителей тока в аморфных кремнии и германии // ФТТ. 1991. Т. 33, № 10. С. 3097-3039. [Magnetic self-localized carrier states in amorphous Si and Ge.]

Прямое вычисление кинетических коэффициентов по формулам Кубо // ЖЭТФ. Т. 100, №4(10). С. 1297-1302. [Direct calculation of transport coefficients from the Kubo formulas // Sov. Phys. JETP. 1991. V. 73. P. 717-719.]

Автолокализованные состояния носителей заряда в антиферромагнетиках и аморфных полупроводниках с болтающимися связями // ЖЭТФ. 1991. Т. 100, № 3(9). С. 961-972.

[The self-trapped states of charge carriers in antiferomagnets and amorphous semiconductors with the dungling bonds.]

Диодные эффекты в полупроводниковых слоях, обогащенных носителями // ФТТ. 1991. Т. 33, Я211. С. 3239-3246 (с А. И. Подельщиковым). [Diode effects in carrier-enriched semiconducing layers.]

1992

Новый тип автолокализованного состояния носителя заряда в антиферромагнитных полупроводниках // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55, №11. С. 646-648. [New type of self-localization state of carriers in an antiferromagnetic semiconductor //JETP Lett. 1992. V. 55. P. 675-677.]

Электронная плотность уровней металлических малых частиц и тонких пленок с поверхностными дефектами // Поверхность 1992. № 8. С. 30-36.

Ферроны и гигантский эффект Зеемана в аморфных полупроводниках // ФТТ. 1992. Т. 34, № 6. С. 1882-1888. [Ferrons and giant Zeeman efect in amorphous semiconductors.]

Self-trapped states of electrons in antiferromagnetic semiconductors and in a-Si with dangling bonds 〃 J・ Mag. Mag. Mat. 1992. V. 104-107. P. 999-1001 (with A. I. PodeFshchikov).

A new type of charged quasiparticles in antiferromagnetic semiconductors and their pairing // Phys. Lett. A. 1992. V. 170. P. 454—457.

Электронный спектр дефектов с дельтаобразным потенциалом в тонких полупроводниковых пленках // ФТТ. 1992. Т. 34, № 9. С. 2814-2819. [Electronic level spectrum of delta potential defects in thin semiconducting films.]

Дефекты с короткодействущим потенциалом в полупроводниках с тенденцией к автолокализации носителей заряда // ФТТ. 1992. Т. 34,血 9. С. 2820-2825. [Defects with а short-range potential in semiconductors exhibiting a tendency to carrier self-trapping // Sov. Phys. Solid State. 1992. V. 34(9). P. 1508-1511.]

1993

A new type of pairing and phase separation in degenerate antiferromagnetic semiconductors // Physica C. 1993. V. 205. P. 91-98 (with A. I. PodeFshchikov).

191： Новый тип автолокализованного состояния носителя тока в антиферромагнитных полупроводниках и проблема ВТСП // ЖЭТФ. 1993. Т. 103, № 1. С. 252-264. [New type of self-trapped carrier state in antiferromagnetic semiconductors and the HTSC problem // JETP. 1993. V. 76, № 1. P. 138-144.]

Химический потенциал кристаллов конечных размеров и равновесное давление их паров // Поверхность. 1993. № 2. С. 14-25.

Размерно-зависящие косвенный обмен, магнитоэлектрический эффект и сверхпроводимость в малых частицах и тонких пленках // Письма в ЖЭТФ. 1993. Т. 57, № 6. С. 360-362. [Size-dependent indirect exchange, magnetoelectric effect, and superconductivity in small particles and thin films // JETP Lett. 1993. V. 57. P. 376—378.]

Ферронный механизм переноса заряда в антиферромагнитных полупроводниках и его особенности при разделении фаз // ЖЭТФ. 1993. Т. 104, № 1(7). С. 2483-2498. [Ferron mechanism of charge transport in antiferromagnetic semiconductors and its peculiarities at phase separation // JETP. 1993. V. 77, № 1. P. 118-126.]

Разделение вырожденных антиферромагнитных полупроводников на различные антиферромагнитные и спинжидкостные фазы // ЖЭТФ. 1993. Т. 104, №5(11). С. 3643-3655 (с А. И. Подельщиковым). [Separation of antiferromagnetic and spin-liquid phases in degenerated antiferromagnetic semiconductors // JETP. 1993. V. 77, №5(11). P. 739—746 (with A.I. PodeFshikov).]

1994

Torn strings: one-directional and double self-trapping states of charge carriers in antiferromagnetic semiconductors // Phys. Lett. A 1994. V. 184, № 3. P. 297-300.

Impurity phase separation in magnetic degenerate semiconductors as an alternative to electronic phase separation // Physica C. 1994. V. 222, № 3&4. P. 324-332.

Cooperative transport phenomena in phase-separated degenerate antiferromagnetic semiconductors // Письма ЖЭТФ. 1994. T. 59, №11. С. 788-793 (with V.V. Osipov and A. A. Samokhvalov) (in English). [JETP Lett. 1994. V. 59. P. 819-825.]

High-field cooperative transport phenomena and screening in phase-separated degenerate antiferromagnetic semiconductors // Z. Physik. B. 1994. V. 96, № 1. P. 31-37 (with V. V. Osipov and A. A. Samokhvalov).

Магнитно-примесное разделение фаз в материалах типа ВТСП // Сверхпроводимость. 1994. Т. 7, № 7. С. 1153-1162.

Electronic phase separation in antiferromagnetic systems with formation of another antiferromagnetic, spin-liquid or spin-glass highly conducting phase // Physica C. 1994. V. 235-237. P. 2427-2428.

202： «Рваные струны»: однонаправленная и двойная автолокализация носителей заряда в антиферромагнитных полупроводниках // ЖЭТФ. 1994. Т. 105, № 4. С. 943-947. [uBro- ken strings^^: Unidirectional and double self-trapping of charge carriers in antiferromagnetic semiconductors //JETP. 1994. V 78, №4. P. 505-507.]

203? Примесное разделение фаз в вырожденных магнитных полупроводниках и высокотемпературных сверхпроводниках // ЖЭТФ. 1994. Т. 105, №6. С. 1801-1813. [Impurity-driven phase separation in degenerately doped magnetic semiconductors and high-temperature superconductors //JETP. 1994. V 78, №6. P. 975-981.]

1995

Impurity and electronic phase separation in high-Tc superconductors and other quasi-two-dimensional degenerate magnetic semiconductors // Z. Physik. B. 1995. V. 98, № 1. P. 59-67.

A new type of magnetic phase separation in HTSC and related materials //J. Mag. Mag. Mat. 1995. V. 140-144. P. 1277-1278.

Magnetic-field-induced long-range antiferromagnetic order in two-dimensional frustrated spin-1/2 systems // Письма ЖЭТФ. 1995. T. 62, №2. С. 143-147 (in English) [JETP Lett. 1995. V. 62. P. 157—161.]; Physics Lett. A. 1995. V. 205, № 1. P. 101-104 (with A. V. Mikheenkov and E. V. Zhasinas).

Total or local destruction of magnetic ordering by charge carriers in antiferromagnetic materials of HTSC type // Phys. Lett. A. 1995. V. 205, № 5-6. P. 421-424.

1996

208? On the giant magnetoresistance for degenerate ferromagnetic semiconductors of ЬаМпОз-type // Phys. Lett. A. 1996. № 5. V. 211. P. 313-317.

Double surface-bulk melting and suppression of overheating at first-order phase transitions // Phys. Rev. B. 1996. V. 53, № 8. P. 5011-5014 (with V. E. ZiFbervarg).

Size-dependent indirect exchange //J. Mag. Mag. Mat. 1996. V. 159, №1,2. P. 227-232 (with A. I. PodeFshikov).

The role of the Coulomb interaction and lattice deformation in magnetic-impurity phase separation // Physica C. 1996. V. 265, № 3, 4. P. 267—276 (with A. I. PodeFshikov).

Expulsion of charge carriers from quasi-two-dimensional antiferromagnetic structures and formation of spin-liquid droplets in them // Z. Physik. B. 1996. V. 100, № 2. P. 199-207.

Выталкивание носителей заряда из антиферромагнитной структуры в квазидвумерных системах типа ВТСП // ФТТ. 1996. Т. 38, № 5. С. 1358-1368.[Ejection of charge carriers from an antiferromagnetic structure in quasi-two-dimensional systems of the high-Tc superconductor type // Physics of the Solid State. 1996. V. 38, № 5. P. 752—756.]

Поверхностное квазиплавление и подавление перегрева при фазовых переходах первого рода // ФТТ. Т. 38, № 7. С. 2178-2188 (with V.E. ZiFbervarg).

Resistivity and magnetoresistance of degenerate ferromagnetic semiconductors with double exchange // Phys. Lett. A. 1996. V. 215, № 5-6. P. 321-325.

216： Phase-separation mechanism for giant magnetoresistance of lanthanum manganites // Phys. Lett. A. 1996. V. 218, № 3-6. P. 367—372.

Degenerate ferromagnetic ЬаМпОз-based semiconductors without double exchange // Phys. Lett. A. 1996. V. 219, № 1, 2. P. 111-116.

Phase separation and resistivity jumps in Co compounds and other materials with low-spin-to-high-spin transitions // Journal of Physics (Condensed Matter). 1996. V. 8, № 30. P. 5611-5620 (with A.I. PodeFshikov).

219： Magnetoimpurity theory of resistivity and magnetoresistance for degenerate ferromagnetic semiconductors of the ЬаМпОз-type // Phys. Rev. B. 1996. V. 54, № 23. P. 16608-16617.

Квазидвумерность как причина разрушения антиферромагнитного порядка носителями тока в материалах типа ВТСП // ФТТ. 1996. Т. 38, № 8. С. 2289-2292.

221： Электронное разделение фаз в квазидвумерных системах типа ВТСП // ФТТ. 1996. Т. 38, № 11. С. 3241-3251. [Electron phase separation in HTSC quasi-2-dimensional systems.]

Кооперативные электрические явления в вырожденных магнитных полупроводниках со спонтанным разделением фаз // УФН. 1996. Т. 166. С. 685-687. [Cooperative electric phenomena in degenerate magnetic semiconductors with spontaneous phase separation].

1997

Phase separation in HTSC and related nonsuperconducting systems // Physica В: Condensed Matter. 1997. V. 230-232. P. 816-821.

Conductivity jumps at transitions from the antiferromagnetic to the ferromagnetic state // Phys. Rev. B. 1997. V. 56, № 22. P. 14583-14586.

Magnetic-field-induced antiferromagnetic ordering in frustrated quasi-two-dimensional systems // Phys. Rev. B. 1997. V. 56,沁 13. P. 8075-8081 (with E. P. Khlybov, E. V. Zhasinas, G. Fuchs, and K. Nenkov).

Anomalous magnetoelectric and thermoelectric properties of phase-separated materials of La-Mn-0 type // Phys. Lett. A. 1997. V. 230, № 5-6. P. 381-386.

Disappearance of the resistivity peak and possibility of the conductivity peak in overdoped ferromagnets // Phys. Lett. A. 1997. V. 229, № 2. P. 121-125.

228： Метамагнетизм ян-теллеровских магнетиков // ФТТ. 1997. Т. 39. № 9. С. 1586-1588. [Metamagnetism in Jahn-Teller magnets // Physics of the Solid State. 1997. V. 39. C. 1412-1414.]

Пик сопротивления и колоссальное магнитосопротивление вырожденных ферромагнитных полупроводников при произвольной спиновой поляризации // ФТТ. 1997. Т. 39, № 9. С. 1589-1593. [Resistance peak and giant magnetoresistance of degenerate ferromagnetic semiconductors with arbitrary spin polarization // Physics of the Solid State. 1997. V. 39. P. 1415-1419.]

1998

230? Переходы Мотта в сильно легированных магнитных полупроводниках // ФТТ. 1998. Т. 40, № 3. С. 433-437. [Mott transitions in heavily doped magnetic semiconductors // Physics of the Solid State. 1998. V. 40. P. 396-400.]

Colossal magnetoresistance without the Jahn-Teller effect // Phys. Lett. A. 1998. V. 239, № 4-5. P. 321-327. Errata: ibidem. 1998. V. 244, № 6. P. 575.

Magnon spectrum at the non-RKKY indirect exchange in conducting ferromagnets // Phys. Rev. B. 1998. V. 58, № 2. P. 827-830.

Magnetic and magnetoimpurity charge-carrier scattering at the double exchange // Phys. Rev. B. 1998. V. 58, № 2. P. 816-826.

Magnetic-field-induced Mott transitions at double exchange // Phys. Lett. A. 1998. V. 238, № 4-5. P. 299-302.

Metamagnetism in the Jahn-Teller Systems // Phys. Lett. A, 1998. V. 243, №1,2. P. 95-98.

Instability of the double-exchange-induced canted antiferromagnetic ordering // Phys. Rev. B. 1998. V. 58, № 5. P. 2415-2417.

Non-electron-phonon mechanisms for giant isotope effects in manganites and other oxide semiconductors // Phys. Lett. A. 1998. V. 246, № 1, 2. P. 189-194.

238： Mechanisms for giant isotope effects in manganites and other oxide semiconductors // Phys. Rev. B. 1998. V. 58, № 18. P. 12242-12246. Errata: ibidem. 2001. V. 63. P. 9901.

Surface magnetoelectric effects and double electric-magnetic layers in degenerate magnetic semiconductors // Journ. Phys.: Cond. Mat. 1998. V. 10, №34. P. 7597—7608.

Re-entrant electronic phase separation in magnetic semiconductors and materials exhibiting colossal magnetoresistance // Journ. Phys.: Cond. Mat. 1998. V. 10, №43. P. 9823-9832 (with A. I. PodeFshchikov and V. E. ZiFbervarg).

Underdoped manganites: canted antiferromagnetic ordering or two-phase ferro-antiferromagnetic state? // ЖЭТФ. 1998. V. 114, № 6(12). P. 2225-2237 (in English). [JETP. 1998. V. 87. P. 1214-1220.]

Разделение фаз в оксидных вырожденных магнитных полупроводниках // ФТТ. 1998. Т. 40, № 11. С. 2069-2073. [Phase separation in degenerate magnetic oxide semiconductors / Physics of the Solid State. 1998. V. 40. P. 1873—1877.]

1999

Magnetoimpurity theory of colossal magnetoresistance materials // Physica В. 1999. V. 259-261. P. 803-804.

High-temperature resistivity of degenerate ferromagnetic semiconductors // Phys. Lett. A. 1999. V. 255, № 4-6. P. 336-342.

245： Magnetic polarons in layered antiferromagnetic systems // Phys. Rev. B. 1999. V. 60, № 1. P. 455-461.

Mott transition as seen from the insulating side // Phys. Lett. A. 1999. V. 257, №1,2. P. 88-92.

Polarons and isotope effect in manganites // Phys. Lett. A. 1999. V. 258, № 1. P. 65—73.

Изотоп-эффект в манганитах и гидрогенизированном палладии // ФТТ. 1999. Т. 41, № 12. С. 2116-2120. [Isotope effect in manganites and hydrogenated palladium / Physics of the Solid State. 1999. V. 41. P. 1940-1944.

High-temperature ferrons in magnetic semiconductors and colossal magnetoresistance materials // Phys. Rev. B. 1999. V. 60, № 10. P. 6984-6986.

2000

Bound ferromagnetic and paramagnetic polarons as an origin of the resistivity peak in ferromagnetic semiconductors and manganites (in English) // ЖЭТФ. 2000. T. 116, № 1. C. 207-217. [JETP. 2000. V. 90, № 1. P. 183-193.]

Influence of the impurity potential on the phase separation in doped antiferromagnetic semiconductors // Phys. Lett. A. 2000. V. 267, № 5-6. P. 448-455.

Comment on “Carrier density collapse and colossal magnetoresistance in doped mangan- ites^^ // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84, № 9. P 2042.

Isotope effect in perfect and imperfect hydrogenized palladium // Phys. Lett. A. 2000. V. 267, № 1. P. 71-80 (with G. A. Tsirlina and M. Yu. Rusanova).

A theory of colossal-magnetoresistance Pr-based manganites // Phys. Lett. A. 2000. V. 269, № 5-6. P. 357—362.

Non-electron-phonon theory of giant isotope effect in manganites // Physica В. 2000. V. 284-288.P. 1426-1427.

Geometric phase transitions and magnetization peaks in phase-separated states of degenerate magnetic semiconductors // Phys. Rev. B. 2000. V. 62, № 9. P. 5751-5754.

The phase-separated states in antiferromagnetic semiconductors with polarizable lattice // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. № 10.

Combined metamagnetic and insulator-to-metal transitions in Pr-based manganites // Phys. Lett. A. 2000. V. 273, № 4. P. 258-265.

2001

Локализованные ферроны и переход Мотта через ферромагнитную фазу в легированных антиферромагнитных полупроводниках // ФТТ. 2001. Т. 43, № 1. С. 54—56. [Localized ferrons and the mott transition via the ferromagnetic phase in doped antiferromagnetic semiconductors // Phys, of Solid State. 2001. V. 43, № 1. P. 54-60.]

260： Magnetic polarons (ferrons) of complicated structure // Письма в ЖЭТФ. T. 74, № 8. Р. 472—476 (in English). [JETP Lett. 2001. V. 74, № 8. P. 431-435.]

OfF-stoichiometry mechanism of the isotope effect in manganites // Phys. Rev. B. 2001. V. 64, № 14. P. 144 409-1-144 409-6.

Phase-separated states in antiferromagnetic semiconductors with polarizable lattice. Phys. Rev. B. 2001. V. 64, № 1. P. 014401-1-014401-7.

Free spin-fluctuating lattice polarons as an alternative to small polarons // Phys. Lett. A. 2001. V. 290, № 3,4. P. 187-192 (with R. M. Farzetdinova).

2002

Enhancement of the ferromagnetic coupling in doped ferromagnetic and antiferromagnetic semiconductors // Phys. Lett. A. 2002. V. 294, № 3,4. P. 245-252.

Resistivity extrema in double exchange ferromagnetic nondegenerate semiconductors // Phys. Rev. B. 2002. V. 66, № 21. P. 214409; cond-mat/0202126.

Large nonzero-moment magnetic strings in antiferromagnetic crystals of the manganite type // Phys. Rev. B. 2002. V. 66, № 10. P. 104431; cond-mat/0204308.

“Ferromagnetic" insulating state of manganites and related materials. Submitted to JETP.

1) Авторы признательны за это замечание И. М. Лифшицу.

Е = + 石 SK + const, (19)

где для пленок под В понимается их толщина L, и в изотропном случае

УДК 538.95ББК 22.37Н16УДК 538.95ББК 22.37Н16

УДК 538.95

ББК 22.37

Н16

УДК 538.95

ББК 22.37

Н16

f Издание осуществлено при поддермске к Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 03-02-30002

Нагаев Э. Л. Избранные труды. — М.:①ИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 с. — ISBN 5-9221-0458-6.

Издаваемый посмертно сборник избранных трудов Э.Л. Нагаева включает шесть тематических разделов, отражающих основные направления разносторонней деятельности автора в области теории твердого тела. Центральный раздел посвящен физике магнитных полупроводников. Это направление, созданное и в течение 30 лет активно развивавшееся Э.Л. Нагаевым, принесло ученому мировую известность. Другие яркие страницы творчества Э.Л. Нагаева представлены разделами по негейзенберговским магнетикам, фотомагнетизму, физике малых частиц, высокотемпературным сверхпроводникам и материалам с колоссальным магнитосопротивлением.

Концепция и селекция:

В. И. Горчаков, В. Е. Зильберварг, К. И. Кугель, В. Д. Лахно, В. М. Матвеев

Подготовка рукоп иси:

А. А. Цирлин, Г. А. Цирлина

Научное издание

НАГАЕВ Эдуард Леонович

ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ

Редактор Р.А. Бунатян

Оригинал-макет: В. В. Худяков

ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 17.11.03. Формат 70х 100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 27,38. Уч.-изд. л. 30,1. Тираж 400 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»

МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Московская

типография № 6» Министерства РФ по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций 115088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24

© ФИЗМАТЛИТ, 2004© ФИЗМАТЛИТ, 2004ISBN 5-9221-0458-6

© ФИЗМАТЛИТ, 2004

© ФИЗМАТЛИТ, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ

От составителей 5

Г лава 1. Магнитные полупроводники 13

Э. Л. Нагаев. Основное состояние и аномальный магнитный момент электронов проводимости в антиферромагнитном полупроводнике 13

Э. Л. Нагаев. Ферромагнитные микрообласти в полупроводниковом антиферромагнетике 16

Л. Н. Булаевский, Э. Л. Нагаев, Д. И. Хомский. Новый тип автолокализованного состояния электрона проводимости в антиферромагнитном полупроводнике . .27

Э. Л. Нагаев. Концентрационный фазовый переход в неколлинеарное магнитное состояние 33

Э. Л. Нагаев. Носители тока в антиферромагнитных полупроводниках 38

Е. L. Nagaev, А. Р. Grigin. Transition of heavily doped ferromagnetic semiconductors to the insulating state 49

V.M. Matveev, E. L. Nagaev. Mott transition in magnetoactive crystals occuring without collectivization of (/-electrons 52

Э. Л. Нагаев. Неоднородное ферро-антиферромагнитное состояние магнитных полупроводников 55

В. А. Кашин, Э. Л. Нагаев. Неоднородные состояния антиферромагнитных и маг- нитоэкситонных полупроводников 58

Е. L. Nagaev. Conduction electrons in ferromagnetic semiconductors near the Curie point 69

Э. Л. Нагаев, А.П. Григин. Кооперативные явления при взаимодействии между электронами через реальные бозоны 72

Э. Л. Нагаев, Э. Б. Соколова. Эффективный гамильтониан и температурная зависимость спектра носителей тока в магнитных полупроводниках с узкими зонами 75

В. Д. Лахно, Э. Л. Нагаев. Магнитострикционные ферроны 84

Э. Л. Нагаев, А. И. Подельщиков. Автолокализация носителей тока в областях измененной фазы на поверхности кристалла 90

Э. Л. Нагаев. Прямое вычисление кинетических коэффициентов по формулам Кубо 94

Э. Л. Нагаев. «Рваные струны»: однонаправленная и двойная автолокализация носителей заряда в антиферромагнитных полупроводниках 100

Глава 2. Магнетики со сложными обменными взаимодействиями 105

В. М. Матвеев, Э. Л. Нагаев. Негейзенберговское обменное взаимодействие и вызванные им эффекты 105

Э. Л. Нагаев, А. А. Коваленко. Магнитные фазовые переходы «порядок- порядок» и «порядок-чужой беспорядок» 115

Э. Л. Нагаев. Аномальные ферромагнитные структуры в металлах 128

Глава 3. Фотомагнетизм 136

В.М. Матвеев, Э.Л. Нагаев. Фотоиндуцированный слабый ферромагнетизм в магнитных полупроводниках 136

Э.Л. Нагаев. Фазовые переходы под действием света 139

Э.Л. Нагаев, А.И. Подельщиков. Кинетическая теория фотоиндуцированных фазовых переходов в ферромагнитных полупроводниках при произвольных интенсивностях света 148

Глава 4. Малые частицы 157

Э.Л. Нагаев. Размерно-зависящие деформация и работа выхода проводящих тел малых размеров 157

Л. К. Григорьева, Н. С. Лидоренко, Э.Л. Нагаев, С. П. Чижик. Размерная зависимость фермиевской энергии и силы взаимодействия между высокодисперсными частицами 166

В. И. Горчаков, Э.Л. Нагаев, С. П. Чижик. Сжимает ли давление Лапласа физические тела? 179

Глава 5. Высокотемпературные сверхпроводники 187

Э.Л. Нагаев. Новый тип автолокализованного состояния носителя заряда в антиферромагнитных полупроводниках и проблема ВТСП 187

Э.Л. Нагаев. Примесное разделение фаз в вырожденных магнитных полупроводниках и высокотемпературных сверхпроводниках 201

Э.Л. Нагаев. Электронное разделение фаз в квазидвумерных системах типа ВТСП 212

Глава 6. Манганиты с колоссальным магнитосопротивлением 221

Е. L. Nagaev. On the giant magnetoresistance for degenerate ferromagnetic semiconductors of ЬаМпОз type 221

E. L. Nagaev. Phase separation mechanism for giant magnetoresistance of lanthanium manganites 226

E. L. Nagaev. Magnetoimpurity theory of resistivity and magnetoresistance for degenerate ferromagnetic semiconductors of the ЬаМпОз type 233

Э. Л. Нагаев. Метамагнетизм ян-теллеровских магнетиков 250

Э.Л. Нагаев. Переходы Мотта в сильно легированных магнитных полупроводниках 254

Е. L. Nagaev. Mechanisms for giant isotope effects in manganites and other oxide semiconductors 262

E. L. Nagaev. Magnetic polarons in layered antiferromagnetic systems 270

E. L. Nagaev. Magnetic polarons (ferrons) of complicated structure 281

Г лава 7. Популярные статьи 287

Э.Л. Нагаев. Магнитные полупроводники 287

Э.Л. Нагаев. Кристалл в кристалле. От магнитных полупроводников к высокотемпературным сверхпроводникам 299

Список статей, обзоров и монографий Э.Л. Нагаева 305

Если бы перед нами стояла задача тематически озаглавить «Избранные труды» Эдуарда Леоновича Нагаева (1934-2001), ее вряд ли удалось бы решить однозначно. Эдуард Леонович — выдающийся физик-теоретик — успел внести яркий и нестандартный вклад в несколько различных областей квантовой теории твердого тела. В то же время вполне однозначным является выбор центрального раздела сборника, поскольку имя Э. Л. Нагаева в физике прежде всего ассоциируется с теорией магнитных полупроводников.

Фундаментальные работы, заложившие основы этого направления, были выполнены Э. Л. Нагаевым в 1960-1970-е годы. По сути дела Э. Л. Нагаев создал с нуля необычайно красивую область физики твердого тела и последовательно ее разрабатывал до последних дней жизни. Сборник начинается с его пионерских работ 1.1, 1.2, в которых впервые была высказана и обоснована идея о гетерофазной автолокализации носителя тока в магнитных полупроводниках. Физические соображения, лежащие в основе этого эффекта, таковы. Электроны проводимости стремятся установить и поддержать в кристалле ферромагнитное упорядочение. В результате в невырожденном антиферромагнитном полупроводнике оказывается возможной ситуация, когда отдельный электрон создает вокруг себя ферромагнитную микрообласть и авто л окал изуется в ней.

Новая квазичастица была первоначально названа магнитным поляроном, а впоследствии, чтобы подчеркнуть качественные отличия от поляронов в немагнитных кристаллах, Э. Л. Нагаев предложил для нее термин «феррон». Концепция феррона оказалась чрезвычайно плодотворной. Впервые была продемонстрирована возможность образования неоднородного основного состояния. Наличие таких термодинамически устойчивых фазово-расслоенных состояний существенным образом меняет характер электрических, магнитных и оптических свойств проводящих магнетиков. Весьма нетривиальным оказывается и взаимодействие ферронов с примесями.

Из работ, посвященных дальнейшему исследованию ферронных состояний, в сборник включены статьи 1.13, 1.14. В первой из них изучено влияние деформации решетки на образование ферронов. Во второй исследуются поверхностные ферроны, условия стабильности для которых существенно благоприятнее, чем для объемных. Из работ по одноэлектронным свойствам при конечных температурах в сборник включена статья 1.10, в которой рассматривается, пожалуй, наиболее проблемная область — окрестность точки Кюри ферромагнетика. Сохранение ближнего порядка позволяет носителю получать значительный выигрыш в энергии даже в парамагнитном состоянии.

Другая квазичастица, первоначально названная автором квазиосциллятором, а в дальнейшем получившая в литературе наименование нагаевской струны, описана в статьях 1.3, 1.5, 1.16. В узкозонных антиферромагнтиках при движении носителя по кристаллу спины атомов вдоль его траектории оказываются перевернутыми. При обратном движении перевернутые спины исчезают, что эквивалентно существованию возвращающей квазиупругой силы. Таким образом, электрон должен совершать осцилляции вокруг центрального атома.

Кроме одноэлектронных ферронов оказываются возможными и коллективные. Для вырожденных антиферромагнитных полупроводников предсказано состояние нового типа (1.8, 1.9): кристалл разбивается на чередующиеся друг с другом области нормально стабильной (антиферромагнитной) и нормально нестабильной (ферромаг-

нитной) фаз, причем все носители тока оказываются сосредоточенными во второй из них (коллективный феррон). Концентрационные фазовые переходы в магнитных полупроводниках являются предметом исследования работ 1.4, 1.6, 1.7. Неустойчивость однородного ферромагнитного состояния, возникающая с ростом температуры в сильно легированных материалах, предсказана в работе 1.11.

Л. Нагаев блестяще владел математическими методами теории твердого тела. Нетривиальная задача о спектре носителей (спин-поляронов) в узкозонных магнитных полупроводниках решена в 1.12. В гл. 1 включена также статья 1.15, в которой впервые предложен способ прямого (без решения кинетического уравнения) расчета проводимости непосредственно из формул Кубо. Несмотря на то, что эта работа не подпадает под тематику ни одного из разделов сборника, составители сочли нужным ознакомить читателей с изящной (и, к сожалению, пока недооцененной) методикой в надежде, что это стимулирует дальнейшие исследования.

Обобщение и последовательное изложение этой новой физики можно найти в докторской диссертации Э. Л. Нагаева (1971 г.) и в его монографии «Физика магнитных полупроводников» (М.: Наука, 1979 г.; дополненное англ, издание М.: Мир, 1983 г.). Фундаментальная концепция неоднородного состояния в магнитных полупроводниках получила широкое признание, что нашло свое отражение в присуждении Э. Л. Нагаеву (совместно с А. И. Ларкиным и Д. Е. Хмельницким) диплома на открытие «Явление гетерофазной локализации электронов проводимости в полупроводниках».

Со временем эта концепция становилась все более актуальной, и раскрывались все новые и новые ее грани, например, в проблеме высокотемпературной сверхпроводимости (гл. 5 настоящего сборника). Работы в этом направлении обобщены Э. Л. Нагаевым в его обзоре в УФН 1995 г. Особо плодотворной идея электронного фазового расслоения оказалась в самое последнее время в связи с открытием эффекта колоссального магнитосопротивления в манганитах. Э. Л. Нагаев активно включился в разработку этой новой области исследований, опубликовав значительное число оригинальных работ, некоторые из которых представлены в гл. 6 настоящего сборника. Им был опубликован и первый в мировой литературе обзор по эффекту колоссального магнитосопротивления (УФН, 1996 г.). Буквально перед самой кончиной Эдуард Леонович закончил монографию «Колоссальное магнитосопротивление и фазовое расслоение в магнитных полупроводниках» (Лондон: Империал колледж пресс, 2002 г).

Другой областью интересов Э. Л. Нагаева, до некоторой степени связанной с магнитными полупроводниками, была теория магнетиков со сложными магнитными взаимодействиями. К началу 70-х годов XX века было твердо установлено, что магнитные свойства кристаллов с локализованными магнитными моментами определяются наличием билинейного по спинам атомов взаимодействия, в изотропном варианте называемого гейзенберговским. К этому времени были развиты и широко применялись теоретиками методы теории магнетизма, позволяющие описывать при низких и высоких температурах свойства магнетиков с гамильтонианом Гейзенберга или его анизотропными аналогами. Однако модели с билинейным взаимодействием все чаще оказывались недостаточно адекватными для теоретического описания результатов экспериментов. Приходилось вводить в теорию искусственную зависимость параметров взаимодействия от температуры (при тепловом расширении кристалла), высокую анизотропию и другую экзотику. Более того, наблюдались магнитные структуры, вообще невозможные в модели Гейзенберга.

В этой ситуации Э. Л. Нагаев, изучая влияние носителей тока на магнитное упорядочение, отчетливо понимал, что гамильтониан Гейзенберга — это только главная часть взаимодействия магнитных моментов атомов. В работах, не вошедших в настоящий сборник, Э. Л. Нагаев рассматривал проводники с коллективизированными электронами, где обмен существенно негейзенберговский, а эффективный гамильтониан с многоспиновым магнитным взаимодействием явным образом построить нель-

зя. Он показал возможность описывать нетривиальные свойства таких материалов, исходя непосредственно из электронного гамильтониана.

Выход за пределы гейзенберговской модели в теории магнетизма — вполне естественный путь и при описании изотропных магнитных изоляторов. Одним из первых он предложил добавить в гамильтониан, кроме билинейного, еще и изотропные взаимодействия более высоких степеней по спину — биквадратичное, трехспиновое, четырехспиновое, что позволило расширить возможности трактовки результатов эксперимента.

В работах 2.1 и 2.2 такой подход позволил обосновать возможность новых типов магнитного упорядочения — неколлинеарная двухподрешеточная структура, трехподрешеточный ферромагнетик, четырехподрешеточный антиферромагнетик; описать новые особенности фазовых переходов, такие как фазовые переходы первого рода ферромагнетик-парамагнетик, ферромагнетик-антиферромагнетик, порядок- чужой беспорядок; описать каскад фазовых переходов между соизмеримыми коллинеарными структурами, наблюдавшийся в EuSe. Впоследствии методы, развитые в ходе этих исследований, оказались полезны также и при изучении жидких кристаллов.

К этой серии работ примыкает статья 2.3, посвященная аномальным антиферромагнитным структурам в металлах. В ней продемонстрированы модели магнитного металла с изотропным косвенным обменом и с квазиодномерным электронным спектром, в которых минимуму энергии соответствуют многоподрешеточные антиферромагнитные структуры типаТТи или ТТТЩ, а также неколлинеарная двухподрешеточная структура. Ранее в металлах кроме обычных ферро- и антиферромагнитных структур были исследованы только геликоидальные структуры.

Данный круг явлений был подробно проанализирован Э. Л. Нагаевым в его книге «Магнетики со сложным обменным взаимодействием» (М.: Наука, 1988 г.), однако позднее он неоднократно возвращался к этим вопросам; в частности, в связи с таким явлением как метамагнетизм, которое оказалось важным и для систем с колоссальным магнитосопротивлением.

Еще один крупный цикл работ Э. Л. Нагаева относится к фотоиндуцированному магнетизму и магнитоэлектрическому эффекту, то есть к изменению свойств магнетиков под действием света и электрического поля. Им были изучены различные возможности перестройки магнитной структуры под влиянием света, создана кинетическая теория фотоиндуцированных фазовых переходов в магнитных полупроводниках, предсказано возникновение магнитоэлектрических волн в ферромагнетиках. Эти вопросы прекрасно изложены им (совместно с В.Ф. Коваленко) в УФНовском обзоре 1986 г.

Нетривиальность проблемы фотомагнетизма, занимавшей автора более 10 лет, состоит в отсутствии общепринятых подходов к решению подобных задач. Понятно, что электроны проводимости, возникающие в магнитном изоляторе при освещении, способствуют установлению ферромагнитного порядка. В равновесной ситуации влияние носителей тока на магнитную подсистему обычно учитывается минимизацией свободной энергии, однако задача о фотомагнетизме — принципиально неравновесная. Минимизация генерации энтропии — широко используемый метод неравновесной термодинамики — пригоден для расчетов процессов с диссипацией энергии, но не особенностей упорядочения кристалла.

Л. Нагаев поставил цель разобраться в этой комбинированной термодинамической проблеме и получить обоснованные уравнения, описывающие состояния магнитной подсистемы при различном освещении.

Снова и снова возвращаясь к проблеме в работах, представленных в сборнике (3.1)—(3.3), автор практически полностью выполнил намеченную программу, построив кинетическую теорию фотоиндуцированных фазовых переходов. Рассматри-

вались модели с медленной магнитной подсистемой, быстрой подсистемой генерируемых светом электронов и модельным термостатом.

Интегрируя выведенные из «первых принципов» уравнения движения для параметров медленной подсистемы в приближении самосогласованного поля, Нагаев получил уравнения на параметры порядка медленной подсистемы. В стационарном случае эти уравнения аналогичны тем, что получаются из минимума свободной энергии, но без предположения о равновесности концентрации носителей (вообще говоря, зависящей от этого параметра порядка). Был построен термодинамический потенциал, названный синергетическим, экстремумы которого по параметру порядка определяют его стационарные значения, причем минимумы соответствуют устойчивым стационарным решениям.

При описании быстрой подсистемы использовались обычные стационарные решения кинетического уравнения для фотоэлектронов с фиксированными значениями параметра порядка, что эквивалентно минимизации генерации энтропии при заданном состоянии медленной подсистемы.

Для нескольких вариантов модели исследованы плавные и скачкообразные переходы под действием света из неупорядоченного в упорядоченное состояние, рассчитан сдвиг температуры Кюри, исследованы особенности производных термодинамических потенциалов в точках фазовых переходов.

Предметом научных интересов Э. Л. Нагаева были также физика поверхностных явлений, хемосорбция, специфическое взаимное влияние адсорбата и подложки. Особенно интересные результаты были получены им в теории малых проводящих частиц. Работы, вошедшие в четвертую главу сборника, посвящены учету влияния размеров на характеристики как индивидуальных малых частиц, так и их ансамблей. В первой из представленных в этой главе статей (4.1) показано, что размерная зависимость фермиевской энергии (определяющей, в частности, и работу выхода) задается размерной зависимостью не столько ее электростатической энергии, сколько электронного спектра, с учетом наличия поверхностных зон, резонансов, адсорбата. Показано, что деформация частицы, обусловленная названными эффектами, не сводится к давлению Лапласа: при определенных условиях возможно не сжатие, а даже растяжение частицы, причем этот эффект имеет место и для тонких пленок вне зависимости от кривизны поверхности.

Размерная зависимость фермиевской энергии предопределяет возникновение в системе из двух и более малых частиц, способных обмениваться электронами через проводящую среду, специфических кооперативных сил «взаимного заряжения»: например, две частицы разного размера, обменявшись электронами для выравнивания электронного химпотенциала, приобретают заряд разного знака и притягиваются.

Эти явления более детально рассмотрены в последующих работах 4.2 и 4.3. В первой из них модель уточняется с учетом специфики зонной структуры материала, детально исследуются силы взаимного заряжения, для оценки которых рассмотрена задача о движении пары малых частиц разного размера в проводящей жидкости. Силы взаимодействия между металлическими частицами оказываются на много порядков больше, чем между частицами неметаллическими. Были исследованы и другие особенности малых частиц; в частности, процессы адсорбции и химические реакции на их поверхности.

Наконец, в работе 4.3 отнюдь не риторически высказывается сомнение в физической адекватности классической концепции «силы давления Лапласа». Согласно этой концепции, внутри малой жидкой или твердой частицы действует некоторое избыточное давление, пропорциональное кривизне поверхности, вызывающее однородное сжатие. На самом деле, однородная деформация под влиянием только собственно поверхности частицы не возникает. Деформация при этом локализована вблизи поверхности. Фермиевская энергия малой частицы может быть представлена

через аналогичную зависимость от давления для массивного образца, если учесть слагаемое, соответствующее давлению Лапласа.

В какой-то мере эти работы опередили бурно развивающуюся в настоящее время физику наноструктур и нанокомпозитов, но пока остаются мало ею востребованными. Работы по малым частицам обобщены в обзорах, опубликованных в УФН и Physics Reports в 1992 г.

Тогда же, в конце 80-х, внимание Э.Л. Нагаева привлекла проблема ВТСП. Открытое им явление автолокализации носителей тока в областях с нормально нестабильным спиновым упорядочением (1.1, 1.2) оказалось характерным для ряда высокотемпературных сверхпроводников по той простой причине, что последние также фактически являются легированными магнитными полупроводниками. Автолокализация носителей тока по указанному механизму, конечно же, не предопределяет сверхпроводимость, но способна создавать условия, способствующие ее реализации.

Включенные в сборник трудов работы 5.1-5.3 были первыми среди многочисленных в тот период работ, исследовавших ВТСП-материалы с указанных позиций. В них характер локализации носителей тока и структура состояния системы исследованы для двух предельных случаев. В работе 5.1 рассмотрен случай однородной в объеме легирующей примеси, которая, однако, приводит к различным пространственным конфигурациям автолокализации носителей, сопровождающейся изменением магнитного порядка. В (5.2) рассмотрена ситуация, при которой электроактив- ная примесь способна за счет диффузии изменять свое распределение в материале, а характер распределения самосогласованно определяется локализацией носителей тока с учетом обменного взаимодействия последних с подсистемой магнитных ионов. В результате в таких системах возникает специфическое разделение фаз, различающихся по электронным, магнитным и даже химическим свойствами. Работа 5.3 детально учитывает специфику подобных явлений в квазидвумерных системах, что характерно для реальных материалов, проявляющих высокотемпературную сверхпроводимость.

Экспериментальные данные по свойствам многих из обнаруженных высокотемпературных сверхпроводников (La2CuO4, иттрий-барий-купратные керамики и др.) показали возможность интерпретации их поведения в соответствии с эффектом автолокализации носителей.

Как отмечалось выше, Э. Л. Нагаев внес значительный вклад в теорию манганитов с колоссальным магнитосопротивлением. Эта область, которую он активнейшим образом разрабатывал в последние годы своей жизни, представлена в данном сборнике восьмью работами, относящимися к различным аспектам физики манганитов. Нагаев сразу осознал тесную родственную связь между манганитами и теми магнитными полупроводниками, которые ранее находились в центре его научных интересов. Как и в случае полупроводников, магнитное поле оказывает здесь заметное влияние на амплитуду рассеяния носителей тока на примесях. Это обстоятельство легло в основу магнитопримесной теории колоссального магнитосопротивления, основы которой были заложены в статье 6.1.

В дальнейшем Нагаев продолжал с увлечением работать над этой теорией, достаточно подробное изложение которой можно найти в статье 6.3. В этом же русле лежит крайне интересная статья 6.4, касающаяся обобщения критерия Мотта для перехода металл-диэлектрик на случай магнитного полупроводника или манганита с примесями. Естественно, в манганитах так же, как и в магнитных полупроводниках, фундаментальную роль играет фазовое расслоение, образование неоднородных состояний, ферроны и вся богатая физика, связанная с ними. На это Э. Л. Нагаев впервые обратил внимание специалистов в работе 6.2.

Он также предсказал возможность существования в манганитах ферронов необычного типа, возникновение которых связано с особенностями магнитной и кристаллической структуры манганитов. Из работ этого направления в настоящий

сборник включены статья 6.6, касающаяся особенностей ферронов в слоистых магнетиках, и статья 6.7, описывающая возможные типы ферронов со сложной магнитной структурой, способных приводить к весьма своеобразному неоднородному распределению магнитного порядка.

В физике манганитов пригодились и результаты Э.Л. Нагаева, относящиеся к негейзенберговским магнетикам, для которых характерно, в частности, существование метамагнитных переходов. Метамагнетизму ян-теллеровских систем типа манганитов посвящена статья 6.4. Э. Л. Нагаева также очень интересовала природа гигантского изотоп-эффекта в манганитах. В сборнике приведена одна из его статей (6.5), касающихся этой до сих пор до конца не решенной проблемы.

Все включенные в сборник работы представляют собой оригиналы опубликованных Э. Л. Нагаевым статей. Составители лишь устранили небольшое количество замеченных описок и опечаток (многие из которых были исправлены в оттисках еще самим Эдуардом Леоновичем), не меняя ничего по существу. Несмотря на то, что затрагиваемые здесь проблемы прекрасно освещены в написанных Э. Л. Нагаевым монографиях и обзорах, нам представляется важным, что читатель может ознакомиться с подлинниками, ссылками на которые пестрят физические журналы, увидеть возникновение новых идей и проследить за их развитием.

Представленным в сборнике не исчерпывается все разнообразие научного творчества Э. Л. Нагаева. Еще в аспирантские годы в МГУ (1956-59) он нашел себя как теоретик, исследуя транспортные свойства ионных кристаллов и хемосорбцию на их поверхности. Уже в этих работах, составивших кандидатскую диссертацию (1962), проявились все основные черты его научного стиля: самостоятельность мышления, умение формулировать оригинальные теоретические идеи, объединяющие на первый взгляд разрозненный набор экспериментальных фактов, а также блестящее владение математическим аппаратом теоретической физики. Позднее, последовательно занимаясь проблемами магнетизма и малых частиц, он обращался также к задачам теории электронных процессов в газах и электролитах, поляронов и экситонов, перехода металл-диэлектрик, кинетических явлений в полупроводниках и полуметаллах, физики суперионного состояния, изотоп-эффекта и т. д. Среди этих «периферийных» работ имеется немало ярких и значительных, отсутствие которых в сборнике связано лишь с ограниченностью его объема и желанием составителей в первую очередь представить ключевые направления.

Здесь же, во Введении, хотелось бы немного рассказать о жизненном пути Эдуарда Леоновича. Он родился в 1934 г. в Пензе, детство провел в Ленинграде, а затем в Москве. Его родители были химиками-технологами. В годы учебы на физическом факультете Московского университета (1951-56) он вначале специализировался как экспериментатор по кафедре низких температур. Дипломная работа Э. Л. Нагаева «Измерение магнитных восприимчивостей на мосте Хартсгорна» была защищена под руководством Н. М. Алексеевского, о котором он всю жизнь сохранял добрую память. Эдуард Леонович с большим уважением относился к экспериментальным работам, искренне восхищался многими коллегами-экспериментаторами и их неожиданными находками. Особенно тесными и систематическими были его многолетние контакты с экспериментаторами свердловской школы магнетизма, созданной С. В. Вонсовским, и с группой из МГУ, которую возглавлял К. П. Белов.

Развитие Э. Л. Нагаева как теоретика происходило в значительной степени самостоятельно (говорил о себе «self-made»). В молодости он был участником семинара В. Л. Бонч-Бруевича по физике полупроводников, непродолжительное время (в аспирантуре) работал под руководством Ф.Ф. Волькинштейна, но список его трудов начинается со статей, написанных без соавторов, и такие статьи на всех этапах деятельности преобладают. Среди старших коллег он всегда выделял И. М. Лифшица, будучи глубоко благодарен ему за своевременное понимание значимости работ по физике магнитных полупроводников и доброжелательную поддержку.

Никогда не принадлежавший непосредственно ни к одной научной школе, Э.Л. Нагаев работал в НИИ электротехнического стекла, затем, в течение почти 30 лет, — во ВНИИ источников тока (ВНИИТ, впоследствии НПО «Квант»), и лишь в 90-е годы — в системе РАН (сначала в Институте физики высоких давлений им. Л.Ф. Верещагина, а затем — в Институте радиотехники и электроники). С 1966 года Эдуард Леонович в течение двенадцати лет читал в МФТИ чрезвычайно популярный среди студентов спецкурс, и именно бывшие физтеховцы составляли костяк его лаборатории во ВНИИТе.

Эдуарду Леоновичу хорошо удавалось популярное изложение материала разных уровней сложности. Он считал полезной разрядкой написание популярных статей, примеры которых (7.1 и 7.2) представлены в завершающей главе настоящего сборника. Нельзя не отметить еще одну сторону его популяризаторской деятельности, которая, в силу сложного стечения обстоятельств, так и осталась доступной лишь в рукописях. Будучи убежденным материалистом, вольтерьянцем по духу, он остро реагировал на мощный всплеск религиозной пропаганды в постперестроечный период, что отразилось в нескольких ярких эссе. Они, пожалуй, выдержаны в задиристом стиле 3. Косидовского, но несколько сильнее привязаны к естественнонаучному взгляду на мир: общим принципом его полемических текстов стал анализ противоречий в «первоисточниках». При жизни Эдуарда Леоновича ни одно научно-популярное издание так и не решилось напечатать эти блестящие тексты. К сожалению, придерживаясь принципа составления Избранных трудов только из опубликованного, мы не смогли включить в данный сборник эти статьи, великолепно иллюстрирующие образ мыслей и личность автора.

Э.Л. Нагаев был человеком поразительной работоспособности. Стандартом для него была работа по 14-16 часов в сутки (а зачастую и больше, особенно в период написания обзоров и книг). Им опубликованы 4 монографии, более 300 журнальных статей (в основном без соавторов), из них 14 обзоров. Работы Э.Л. Нагаева получили широкое признание. В 1984 г. он был удостоен звания лауреата Государственной премии СССР, в 1992 г. Э.Л. Нагаеву была присуждена стипендия им. П.Л. Капицы Британского Королевского общества, а в 1997-2001 г. — Государственная стипендия для выдающихся ученых России.

Контакты с зарубежными коллегами на протяжении многих лет были крайне редкими и ограничивались лишь поднадзорной перепиской. Огромную моральную поддержку оказала ему переписка со швейцарским ученым П. Вахтером, одним из первых экспериментально подтвердившим теоретические положения Нагаева. В последние 10 лет жизни, получив возможность регулярно выезжать за границу, Эдуард Леонович постоянно выступал с приглашенными докладами на многочисленных международных научных конференциях, имел престижные международные гранты. Одним из ярких впечатлений стало приглашение посетить сэра Нэвила Мотта (который, надо отдать ему должное, тонко польстил гостю, положив на стол в своем кабинете английскую версию книги «Физика магнитных полупроводников»).

Уникальность личности Э.Л. Нагаева заключалась в том, что он с одинаковой страстью интересовался наукой и различными аспектами мировой культуры. Его познания в искусстве, поэзии и истории поражали своей глубиной и профессионализмом. К любым поездкам, будь то Смоленск или Барселона, Тутаев или Париж, он тщательно готовился, используя фонды центральных библиотек и никогда не ограничиваясь стандартными путеводителями. Он был неутомим в желании увидеть мир — мир истории, архитектуры и живописи. Узнаваемыми были для него не только художники первого ряда и мировые шедевры архитектуры, но и многие объекты, о существовании которых знают лишь профессионалы. Этот огромный запас знаний был накоплен «заочно», в процессе многолетнего увлеченного чтения. Свободно владея тремя языками, Эдуард Леонович был постоянным посетителем библиотек иностранной литературы и находил особое удовольствие в сопоставлении

оригиналов с различными версиями художественных переводов. Совершенно особым было его отношение к классической музыке: он просто не представлял себе жизни без абонементов московской филармонии, а работал обычно под звуки радио «Орфей».

Принадлежа к поколению, массово увлеченному туризмом, Э. Л. Нагаев много лет не расставался с рюкзаком. Начав в студенческие годы с байдарочных походов, он затем отдал явное предпочтение горному туризму. С ледорубом довольно сильно устаревшей конструкции, сохранившимся еще с посещения альплагеря «Алибек» в 50-е годы, Эдуард Леонович многократно прошел разными маршрутами почти все горные массивы нашей страны, бережно хранил уже ветхие карты и кроки, по-детски радовался появлению кассет с записями песен Визбора.

Для стиля поведения Э. Л. Нагаева была характерна прямота и нетерпимость даже к малой фальши и несправедливости. Его гражданская позиция была предельно четкой и никогда не менялась. Будучи принципиальным противником коллективных писем, он в брежневские годы направлял в высокие инстанции крайне рискованные по тем временам послания — например, персональный протест против ввода войск в Чехословакию или письмо в поддержку Солженицына. Поэтому ему были так близки некоторые песни Галича. В профессиональной сфере он все с той же прямотой, невзирая на лица, высказывался письменно и устно по любым вопросам, что служило причиной многих конфликтов, обид и непонимания. Все это сильно осложняло жизнь Э. Л. Нагаева и возможно в какой-то мере привело к его безвременной кончине.

В памяти всех знавших его Э. Л. Нагаев остался первопроходцем науки, яркой (а для многих даже харизматической) личностью, честнейшим и чрезвычайно ранимым человеком.

В. Горчакову В. Зильберварг^ К. Ку гель В. Лахно^ В. Матвеев

Оригиналы любых статей Э. Л. Нагаева можно получить, обратившись по электронной почте по адресу tsir@elch.chem.msu.ru