ЭЛЕКТРОНЫ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ

Редактор Е.С. Артоболевская

Оригинал-макет: В.В. Худяков

Оформление переплета: А.Ю. Алехина

ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 09.02.05. Формат 60x90/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,5. Уч.-изд. л. 15,9. Тираж экз.

Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»

МАИК «Наука/Интерпериодика»

117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90

E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;

http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»

160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3

Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72

E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 5

Литература по разделам физики металлов, не вошедшим в книгу . . .7

Благодарности 8

Глава 1. Металлы ссильным беспорядком 9

Дифракционная теория электронного транспорта в жидких металлах 10

Правило Моойа 15

Насыщение сопротивления 17

Предел Иоффе-Регеля при большой электронной плотности . .21

Глава 2. Квантовыепоправки к проводимости 24

Слабая локализация 25

Влияние магнитного поля на слабую локализацию 32

Антилокализация 36

Межэлектронная интерференция 42

Глава 3. Влияние межэлектронного взаимодействия на электронный энергетический спектр 50

Переход Пайерлса 50

Структура примесной зоны при слабом легировании 52

Кулоновская щель 59

Глава 4. Прыжковая проводимость 64

Локализованные состояния и переходы между ними 64

Прыжки на ближайшие центры 67

Прыжки с переменной длиной прыжка 70

Экспериментальные наблюдения прыжковой проводимости . . .73

Глава 5. Переходы металл—изолятор 80

Переход Андерсона 81

Формула Ландауэра для одномерных (1D) систем 85

Локализация и роль корреляций в ID-системах 89

Микроволновое моделирование 95

Модель структурного беспорядка 98

Переход Мотта 101

Минимальная металлическая проводимость? 106

Глава 6. Скейлинговая гипотеза 109

Обоснование и формулировка скейлинговой гипотезы 109

Трехмерные (3D) системы 114

Двумерные (2D) системы 121

Скейлинг и спин-орбитальное взаимодействие 127

Глава 7. Химическая локализация 130

Интерметаллические комплексы в двухкомпонентных расплавах 131

Квазикристаллы 137

Переход металл-изолятор при большой электронной плотности 143

Глава 8. Гранулированные металлы 145

Морфология и классификация 145

Кулоновская блокада и переход металл-изолятор 151

Фрактально-гранулированные металлы 158

Глава 9. Целочисленный квантовый эффект Холла 164

Спектр и динамика двумерных электронов в сильном магнитном поле 165

Экспериментальные наблюдения целочисленного КЭХ 173

Механизм образования плато 177

Краевые каналы 184

Плотность состояний электронного 2В-газа в магнитном поле . 189

Цепочки фазовых переходов 192

Двухпараметрический скейлинг 198

Приложение А. Элементы теории перколяции 206

АЛ. Аппроксимация эффективной среды 206

А.2. Перколяционные пороги 209

А.З. Окрестность перколяционного перехода 213

А.4. Пример: электропроводность сильно неоднородной среды 215

Приложение Б. Туннельные характеристики 219

Указатель материалов 230

Предметный указатель 231

Предисловие

Книга, которую вы держите в руках, это скорее не учебник, а путеводитель. Как известно, путеводитель не может заменить путешествие. Но он подсказывает, куда следует повернуть, где задержаться, на что обратить внимание, над чем задуматься. Когда вы находитесь в стране с незнакомым языком, путеводитель должен быть еще и разговорником, подсказывая, как спросить дорогу или как понять надпись на указателе.

Путеводитель должен начинаться с обзорной карты. Роль карты для страны «Электроны в неупорядоченных средах» выполняет схема-оглавление, разъясняющая логику «админинистративного деления», специализацию и внутренние связи между главами-«провинциями». Их всего одиннадцать (в первом издании было десять — здесь добавлена глава о квантовом эффекте Холла; кроме того, в гл. 5 добавлены параграфы об одномерных системах. Остальные изменения незначительны). Помимо девяти естественных исторически сложившихся «провинций», которые обозначены белыми прямоугольниками, на карте имеются еще две, закрашенные серым, появившиеся в соответствии с «методическим принципом» и вынесенные в приложение. Раздел «Элементы теории перколяции» представляет собой краткое изложение основных понятий этой математической дисциплины. Появился здесь он потому, что эта молодая теория, хотя и широко используется, до сих пор не включена в университетские курсы математики. В разделе «Туннельные характеристики» описаны эксперименты, имеющие непосредственное отношение одновременно к самым различным обсуждаемым явлениям: межэлектронной интерференции, кулоновской щели, прыжковой проводимости, переходам металл- изолятор. Выделение этого материала в отдельный раздел позволяет избежать повторений. Предполагается, что читатель, единожды разобравшись с сутью эксперимента, будет возвращаться в этот раздел из разных мест, чтобы посмотреть на экспериментальные кривые. Специальные значки, смысл которых нетрудно понять, показывают, в каких разделах используются сведения, собранные в обоих приложениях.

На обзорную карту обычно наносят и сопредельные территории. У нас они окрашены в желтый цвет. Указаны и средства сообщения с ними: по названию в конце Предисловия можно найти соответствующие ссылки на учебную и обзорную литературу. Предполагается, что читатель знает и понимает то, что подразумевается под «Электронами в идеальной решетке», «Транспортом в т-приближении» и «Рассеянием» или в крайнем случае может воспользоваться соответствующими учебниками. Знакомство со сверхпроводимостью или с волнами зарядовой плотности, вообще говоря, не обязательно.

Карта сама несет информативную нагрузку, являясь чем-то большим, чем просто оглавлением. При этом следует помнить, что, поскольку страна виртуальная, то карта субъективна: подобно географическим картам древности, ее вид зависит от вкусов и взглядов составителя.

На предлагаемой карте не указана большая сопредельная территория, которая называается «Взаимодействующие электроны». Это страна будущего. Многие открытия в ней, ее освоение, прокладывание дорог и застройка еще только предстоят. По существу «Сверхпроводимость» с ее куперовскими парами и эффектом Джозефсона и «Двумерный электронный газ» с дробным квантовым эффектом Холла и композитными фермионами — это окраинные провинции этой страны, освоенные одна более, другая менее. Возможно, что в названии этой книги следовало бы написать «невзаимодействующие электроны. .. ». Но это было бы тоже неточно, потому что кулоновское межэлектронное взаимодействие в ней обсуждается довольно активно. Оно является существенным для кулоновской щели, переходов Пай- ер лса и Мотта, и других разделов, которые можно легко определить по пунктирным стрелкам на карте. Но проблемы межэлектронного взаимодействия не исчерпываются законом Кулона. Эту книгу можно рассматривать как плацдарм для их изучения.

Однако, надо иметь в виду, что и плацдарм еще освоен не до конца. Вам предстоит путешествие по сравнительно новой и развивающейся стране. В одних местах строительство в основном завершилось, и пейзаж вряд ли изменится в будущем. В других можно оказаться на стройплощадке или на территории, подлежащей реконструкции, так что через несколько лет многое будет выглядеть не так, как сейчас.

Особенности предмета «Электроны в неупорядоченных средах» в том, что нет ни одного большого учебника, в котором он был бы целиком описан. Поэтому по ходу изложения мы указываем книги, обзоры, а иногда даже оригинальные статьи, где соответствующий материал изложен наиболее просто и понятно (а этот выбор опять-таки весьма субъективен). Такая система ссылок ни в какой мере не отражает приоритетов в получении новых результатов. Например, любой график с экспериментальными результатами сопровождается ссылкой на оригинальную работу, чтобы можно было посмотреть детали эксперимента. Но сами результаты отбирались по принципу «зрелищности» и могут быть не первыми по времени. Теоретические работы, содержащие новые оригинальные результаты, часто мало пригодны для первого ознакомления с предметом из-за сложного математического аппарата. Такие работы здесь тоже не упоминаются. Но встречаются ссылки на работы, содержащие простые наглядные модели, не получившие дальнейшего развития и не вошедшие в обзоры.

Засим, счастливого пути! Рекомендуем двигаться по жирным красным стрелкам, придерживаясь преимущественного направления слева направо. Двухсторонние пунктирные стрелки указывают на внутренние взаимосвязи, а сплошные — на связи с внешним миром. Одного канонического маршрута нет. Каждому — по потребностям.

Литература по разделам физики металлов,не вошедшим в книгу

Электроны в идеальной решетке

Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.

Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. — М.: Мир, 1979. (перевод книги Ashcroft N. Ж, Mermin N.D. Solid State Physics. — Holt, Rinehart and Winston, 1969).

Физика металлов. 1. Электроны (ред. Дж. Займан). — М.: Мир, 1972 (перевод книги The physics of metals. 1. Electrons (ed. J. Ziman). — Cambridge Univ. Press, 1969).

Транспорт в т-приближении и рассеяние

Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.

Гантмахер В. Ф.. Левинсон И. Б. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках. — М.: Наука, 1984.

Волны спиновой и зарядовой плотности

Уайт Р., Джебелл Т. Дальний порядок в твердых телах. — М.: Мир, 1982 (перевод книги White R.M., Geballe Т.Н. Long range order in solids. — Academic Press, 1979).

Gruner G. Density Waves. — Perseus Books, 2000.

Gruner G. // Rev. Mod. Phys. 60, 1129 (1988); 66, 1 (1994).

Сверхпроводимость

Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — M.: Наука, 1987.

Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М.: Наука, 1982; 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2000.

Двумерный электронный газ

Демиховский В. Я., Вугальтер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М.: Логос, 2000.

Physics of low dimensional structures (ed. B. Butcher, N.H. March, M.P. Tosi). — Plenum Press, 1993.

Благодарности

Эта книга возникла из курса, который автор читал в течении ряда лет студентам Московского физико-технического института и Московского государственного университета. Все слушатели курса своими вопросами на лекциях и ответами на экзаменах способствовали его оптимизации. Автор благодарен Ю. Гальперину, В. Долгополову, Э. Рашбе и С. Студеникину, прочитавшим рукопись и сделавшим много ценных замечаний. Особая благодарность Д. Хмельницкому, дискуссии с которым привели к уточнению многих утверждений и даже к появлению новых параграфов. При написании главы про квантовый эффект Холла автор пользовался советами и разъяснениями В. Долгополова и С. Мурзина.

Глава 1

МЕТАЛЛЫ С СИЛЬНЫМ БЕСПОРЯДКОМ

Основным фактором, определяющим законы движения делокализованных электронов в кристаллах, является дальний порядок. Именно он обеспечивает в кристалле интерференцию после рассеяния электронов от отдельных атомов, которая полностью гасит рассеяние и допускает стационарное распространение электронных волн почти со всеми волновыми векторами к. Исключение составляют лишь волны, у которых волновой вектор удовлетворяет условию

&2 = (к - Кт)2,(1.1)

где Кш — произвольный вектор обратной решетки. Для электронов с такими волновыми векторами рассеяние является резонансным и такие электронные волны вообще не могут распространяться в кристалле. Все же остальные электроны рассеиваются лишь на отклонениях от периодичности, что учитывается понятием длины свободного пробега I. В таком контексте I имеет смысл расстояния, которое электрон проходит между двумя последовательными независимыми актами рассеяния. Естественно, что рассеяние должно быть не слишком частым, чтобы длина I была больше электронной длины волны А £з ^/к^.

kFl > 1.(1.2)

Под кр здесь подразумевается радиус ферми-сферы

кр = (Зтг2^)1/3,(1.3)

определяемый через концентрацию свободных носителей п. Ограничение снизу на длину пробега I > 1/кр называют пределом Иоффе- Регеля. Обоснование этого неравенства, заимствованное из классической физики, звучит так: отрезок синусоиды размером меньше длины волны уже нельзя считать синусоидой. Квантовомеханический аргумент, по сути дела аналогичный, исходит из соотношения неопределенности А А; Ах ~ 1. Поскольку А/с заведомо меньше kv. минимально возможная неопределенность траектории электрона Ах > 1 /кр. Естественно, что расстояние между двумя актами рассеяния вдоль этой траектории должно быть больше этой неопределенности.

В этой главе мы будем полагать, что имеем дело с «настоящими» металлами, у которых концентрация п такова, что среднее расстояние между носителями порядка среднего расстояния между атомами а

п"1/3(п*)-1/3 = а 3 А, п > 4 • 1022 см-3.(1.4)

Такой металл мы будем называть стандартным. В веществах со столь большой электронной плотностью при наличии дальнего порядка ферми-поверхности обычно имеют довольно сложную форму. Однако для оценок всегда можно пользоваться моделью ферми-сферы (1.3).

Длину пробега I можно оценить из величины удельной проводимости а. Подставив ферми-радиус (1.3) в выражение для а, получим формулу Друде

2

а = ^ = (Зтг2)"2/3 у п1^.(1.5)

Согласно неравенству Иоффе-Регеля (1.2), минимальное значение безразмерного параметра kvl равно единице. Тогда из (1.5) следует, что удельное сопротивление не может быть больше, чем р* ~ ~ 10(Й/е2)а. Конечно, получающееся из соотношения (1.5) численное значение р* ~ ЮООмкОм-см весьма приблизительно и его следует уточнить экспериментально. Как мы увидим (см. ниже, рис. 1.3), из экспериментов следует значение р* для стандартного металла

р* £з (200 -У 300) мкОм • см,(1.6)

которым мы и будем пользоваться.

Само существование предельного значения р* позволяет поставить два вопроса.

Каковы транспортные свойства сильно разупорядоченного стандартного металла при большом р, которое тем не менее р < р*?

Нельзя ли преодолеть предел р* и изготовить стандартный металл с р > р*? В простейшей модели (1.5) это бы означало, что I < а, т. е. что электрон заперт и двигается в пределах одной элементарной ячейки или вблизи одного атома и что металл превратился в изолятор. Переход металл-изолятор под влиянием беспорядка известен (переход Андерсона), но он всегда наблюдается в системах с электронной плотностью, существенно меньшей, чем (1.4). Поэтому второй вопрос можно переформулировать так: возможен ли переход Андерсона в системах с большой электронной плотностью (1.4)?

В этой главе мы обсудим первый вопрос и начнем обсуждение второго, а завершим это обсуждение в гл. 7.

Дифракционная теория электронноготранспорта в жидких металлах )

Когда статические дефекты периодической решетки расположены далеко друг от друга, рассеяние на каждом из них происходит независимо. При постепенном увеличении концентрации дефектов их потенциалы должны начать перекрываться. Тогда в пространстве уже нельзя выделить области, свободные от рассеивающих полей, и четко указать, где какой статический дефект ответственен за рассеяние.

Увеличение беспорядка требует разработки нового подхода для описания его последствий. Такой подход предложен в теории жидких металлов Займана.

В жидкости сохраняется только ближний порядок: ближайшее окружение каждого атома расположено почти так же, как в кристалле. Но именно из-за этого «почти» при переходе к атомам, более удаленным от исходного, неопределенность их расположения относительно исходного атома нарастает, так что дальний порядок отсутствует. Казалось бы при отсутствии дальнего порядка, когда каждый атом рассеивает независимо, условие (1.2) должно нарушиться. Однако довольно часто, в частности в моноэлементных жидких металлах, это не так. Об этом свидетельствует величина удельного сопротивления р = 1/сг. В формуле (1.5) выразим концентрацию носителей п через валентность Z, т. е. число свободных электронов на атом, и концентрацию атомов N = 1/а3, определяемую из удельного веса расплава. Благодаря этим соотношениям, из величины удельной проводимости непосредственно определяется отношение 1/а. В большинстве моноэлементных жидких металлов это отношение больше 5, а в щелочных металлах даже больше 100 (кроме Li, у которого 1/а ~ 13). Это означает, что сечение рассеяния на отдельных атомах не очень большое, в несколько раз меньше, чем а?. Причина ослабленного рассеяния — в большой электронной плотности и, как следствие, в сильном экранировании. Каждый электрон чувствует не истинный потенциал иона, а лишь его перенормированную малую часть, сохранившуюся после экранирования остальными электронами. Этот остаток называется псевдопотенциалом, и в дальнейшем в этом параграфе речь будет идти только о нем, хотя приставку «псевдо» мы будем для краткости опускать.

Излагаемая теория описывает рассеяние электронов на слабом, но протяженном хаотическом потенциале. Специфика задачи в том, что рассеивателем является потенциал И(г), охватывающий весь объем. При этом предполагается, что энергетический спектр изотропен и энергия электрона зависит только от модуля его волнового вектора: е = Е^к\ а волновые функции имеют вид смодулированных плоских волн ехр (гкг). При таких волновых функциях матричный элемент перехода

= ei(ki"k2)ry(r) dr = y(q) (j J)

есть фурье-компонента рассеивающего потенциала с аргументом, равным изменению волнового вектора при рассеянии: q = ki — k2. Потенциал К(г) складывается из потенциалов отдельных атомов г(г — R^), расположенных в точках Нд

У(г) = ^г>(г-Н»). (1.8)

R,

Соответственно, фурье-компонента потенциала V(г)

V(q) = £ f eiqrv(r - Rz) dr = £ eiqR« [ eiqrv(r) dr = v(q) £ eiqR« RtRzRz

выражается через фурье-компоненту потенциала отдельного атома r(q).

Заметьте. Форма записи (1.8) потенциала V(г) предполагает, что остовы различных ионов перекрываются не очень сильно, т. е. что нет пар с очень малыми расстояниями Rz — Rj.

Сравните. Формально точно такой же потенциал фигурирует и в модели структурного беспорядка, обсуждаемой в гл. 5 в связи с переходами Андерсона. Но там у потенциала нет приставки «псевдо», ямы г (г — R^) глубокие, и электроны могут в принципе сидеть каждый в своей яме.

Поскольку вероятность рассеяния выражается через квадрат матричного элемента, нужно вычислить квадрат H2(q). Пусть объем, занимаемый жидким металлом, равен единице, а концентрация ионов — N. Тогда

№)|2 = Hq)|2 £ eiq(R«-R’) = ЦЧ)|2 Д + £ e^R--R^Rz,RjVRz,R5 ,i¥3

(1-10)

Последнее преобразование справедливо благодаря тому, что все N диагональных элементов г = j двойной суммы равны 1. Зафиксируем некоторый ион j = jo, перенесем начало координат в точку Rj0 и усредним сумму

£ e»q(R«-^o) = £ егЧн;, R/ = R _ Rj0; R,Нг

по всем возможным конфигурациям {НД. Тогда суммирование по Ну можно заменить умножением на N. Обозначив результат усреднения чертой сверху, получим

№)|2 = Hq)M 1 + £ e®qR« = Hq)|2ArS(9). (1.11) V R, /

Выражение в скобках, обозначенное S^q\ называется структурным фактором. Для преобразования S(q) и выяснения его физического смысла введем вероятность NP^d?T нахождения иона в объеме сРг при условии, что другой ион находится в начале координат г = 0; интеграл по единичному объему J P(r) dPr = 1. Если положения всех ионов статистически независимы, то P(r) = 1. Наличие спадающих с г корреляций ближнего порядка отражается на значениях Р при значениях г порядка а, а при г сю всегда функция Р(г) -л 1. Из-за

этого фурье-образ P(q) функции Р(г) содержит сингулярность в виде дельта-функции: P(q) = 5(q) + P'^q^ где P'(q) — функция, регулярная в точке q = 0. Но родственная Р(г) парная корреляционная функция Q^ = Р^ — 1, которая на больших г стремится к нулю, не имеет этого недостатка.

Заменим в определении (1.11) структурного фактора S(q) сумму, усредненную по всем позициям атомов Rz. на интеграл по d?^ в котором вероятность Р^ является весовым множителем. С точностью до дельта-функции, на которую различаются фурье-образы функций Р(г) и Q(r\ имеем

S(q) = 1 + Е e'qRz = 1 + N [ e'qiW) d3r =

= 1 + 2ttN егдт cos 6 sin 6d6Q(r)r2dr =

= 1 + 4irN [ Q(r)—— r2dr. (1.12)

J qr

0

Функция S(q) появляется во всех дифракционных задачах, в частности, в задачах о рассеянии нейтронов и рентгеновских лучей, и может быть извлечена из соот

Рис. 1.1. Схематический график функции S(q), на котором отмечены величины 2кр при разном количестве Z свободных электронов на атомРис. 1.1. Схематический график функции S(q), на котором отмечены величины 2кр при разном количестве Z свободных электронов на атомветствующих экспериментов. Как и Р(г), она содержит всю информацию о корреляциях в положениях ионов. Появление здесь этой функции подчеркивает, что весь подход базируется на предположении, что волновые функции электронов — это плоские волны. Поэтому эту теорию часто называют спектральной или дифракционной теорией транспорта в жидких металлах.

Рис. 1.1. Схематический график функции S(q), на котором отмечены величины 2кр при разном количестве Z свободных электронов на атом

Рис. 1.1. Схематический график функции S(q), на котором отмечены величины 2кр при разном количестве Z свободных электронов на атом

Обычный вид функции S(q) показан на рис. 1.1: после нескольких затухающих осцилляций она выходит на асимптоту S = 1. Масштаб

этих осцилляций по оси ординат зависит от корреляций: чем они слабее, тем амплитуда осцилляций меньше. Для системы со статистически независимыми положениями ионов S(q) = 1. Масштаб по оси абсцисс задается средним расстоянием между ионами а ~ 1 /Д Значение аргумента в первом максимуме определяется радиусом ai первой координационной сферы 1/щ ~ ах ~ а. Аналогично 1/^2 ~ ~ а2 ~ 2а и т. д. Благодаря этому, из соотношений (1.5) следует, что на оси абсцисс можно указать точки q = 2кр для различных Z (вертикальные пунктирные линии на рис. 1.1) и их расположение относительно максимумов функции S(q). Именно это позволило сделать

из теории нетривиальные выводы, поддающиеся экспериментальной проверке.

Как известно, входящая в формулу (1.5) величина I аккумулирует результаты всех актов упругого рассеяния |ki | = |k2| = кр на разные углы 6 = 2 arcsin (q/2kF) (см. рис. 1.2) в соответствии с формулой

7Г1

у ос j |V(g)|2(l — совУ) зтУб^У ос | S(_2kFx')'v2(2kFx')x3dx, оо(1.13)

ж =

2kF'

Рис. 1.2. К формуле (1.13): связь между углом упругого рассеяния 6 и модулем переданного импульса qРис. 1.2. К формуле (1.13): связь между углом упругого рассеяния 6 и модулем переданного импульса qИз-за множителя х3 в подынтегральном выражении в (1.13) основной вклад в интеграл вносит область х ~ 1, т. е. рассеяние «почти назад» на углы 6 ~ тг. Это означает, что при вычислении величины 1 /I существенна не вся функция S^q\ а лишь ее значения в окрестности точки q = 2кр (см. рис. 1.1). Отсюда следует чрезвычайно сильное и элегантное утверждение.

Рис. 1.2. К формуле (1.13): связь между углом упругого рассеяния 6 и модулем переданного импульса q

Рис. 1.2. К формуле (1.13): связь между углом упругого рассеяния 6 и модулем переданного импульса q

Очевидно, что при повышении температуры корреляции ослабевают и система ионов становится все более хаотичной. Поэтому значения функции S(q) при каждом фиксированном q с ростом температуры приближаются к единице. Как видно из рис. 1.1, в металлах с Z = 1 (жидкие Na, К, Rb) и Z = 3 (Al, Ga, In) величина S(2kF) при этом будет расти, а в металлах второй группы с Z = 2 (жидкие Zn, Cd, Hg) — уменьшаться. Соответственно по-разному должны меняться с температурой

величина 1/Z и пропорциональное ей удельное сопротивление р. Таким образом, дифракционная теория предсказывает нетривиальную зависимость от валентности знака температурного коэффициента сопротивления жидких металлов: у щелочных и трехвалентных металлов сопротивление должно расти с ростом температуры, а у двухвалентных — падать. Как видно из табл. 1.1, где приведены данные о температурном коэффициенте сопротивления для ряда металлов, дело именно так и обстоит. (Все металлы, фигурирующие в таблице, имеют сравнительно низкие температуры плавления: ниже 200 °C у всех, кроме Zn (420 °C) и Cd (320 °C).)

Поучителен еще один аспект результатов, получающихся в дифракционной теории. Оказалось, что увеличение беспорядка может приводить к уменьшению сопротивления. Необходимой предпосылкой для этого является перекрытие отдельных рассеивателей, эффект от которых был бы аддитивен, будь они изолированы. Кроме того существенно, чтобы тепловые фононы добавлялись к фону сильного

Таблица 1.1

Металл

Валентность

p. мкОм • CM

d In T

Li

1

25

0,6

Na

1

10

0,85

К

1

13

0,76

Rb

1

22

0,70

Cs

1

37

0,69

Zn

2

37

-0,24

Cd

2

34

-0,22

Hg

2

91

-0,10

Ga

3

26

0,14

In

3

33

0,16

статического беспорядка, который уже разрушил дальний порядок и анизотропию. Однако весьма примечателен сам факт наличия такого эффекта, получаемого в рамках приближения кинетического уравнения.

Заметьте. Рост сопротивления с понижением температуры происходит также в условиях слабой локализации (см. гл. 2). Но там он обусловлен квантовыми поправками к проводимости, которые появляются за пределами приближения кинетического уравнения.

Правило Моойа

Успех дифракционной теории показывает, что можно по-прежнему опираться и ссылаться на величину параметра I даже тогда, когда I уже трудно назвать расстоянием, которое электрон проходит между двумя последовательными точечными актами рассеяния. Из хода вычислений скорее следует, что рассеяние при сильном беспорядке представляет собой как бы непрерывный процесс, количественно оцениваемый длиной I. В этих условиях решающее значение приобретает значение безразмерного параметра I / а ~ к¥1.

Блестящее подтверждение выводов дифракционной теории в моно- элементных металлических расплавах привело к тому, что эту теорию стали широко применять при обработке данных по электросопротивлению разупорядоченных высокоомных металлических сплавов по следующей схеме: по знаку температурного коэффициента сопротивления определяется среднее количество носителей на атом, что далее используется как аргумент при определении электронного спектра, перекрытия зон, положений ферми-уровня и т. д. Оказалось, однако, что во многих случаях простейшие оценки по формулам (1.5) показывают, что I < а. Тогда плоские волны являются плохой аппроксимацией волновых функций и применение дифракционной теории становится неправомерным.

В этих условиях следует обратиться в первую очередь к эксперименту. На рис. 1.3 собраны данные о температурном коэффициенте сопротивления а = 7?1 (dR/dT) высокорезистивных металлических сплавов для более ста различных материалов (величина а имеет размерность обратной энергии). На основании этих данных был сделан вывод о существовании корреляции между величиной удельного сопротивления и температурным коэффициенте сопротивления и сформулировано эмпирическое правило Моойа: Металлические ма-

о Массивные сплавы-о• Тонкие пленкио* % а Аморфные сплавыо Массивные сплавы-о• Тонкие пленкио* % а Аморфные сплавыJ।LJ।L100200300100200300р, мкОм • смр, мкОм • см1'г

о Массивные сплавы-

о• Тонкие пленки

о* % а Аморфные сплавы

о Массивные сплавы-

о• Тонкие пленки

о* % а Аморфные сплавы

J।L

J।L

100200300

100200300

р, мкОм • см

р, мкОм • см

200

100

2 0

id

-100

-200 0

Рис. 1.3. Правило Моойа: корреляция между удельным сопротивлением и его температурным коэффициентом в высокоомных сплавах [3]

териалы с удельным сопротивлением, меньшим 100-150 мкОм-см, имеют преимущественно полоэюительный температурный коэффициент сопротивления, а с большим — отрицательный. Другими словами, если статический беспорядок создает «слишком» большое удельное сопротивление, то температура его немного уменьшает.

Заметьте. Речь идет лишь о материалах, состоящих только из металлических атомов, валентные электроны которых слабо связаны с ионными остовами и поэтому делокализованы, т. е. лишь о стандартных металлах в смысле (1.4). Сюда заведомо не относятся окислы металлов, полуметаллы типа Bi, соединения типа MoGe, высокотемпературные сверхпроводники и т. и.

С другой стороны. Как видно из таблицы 1.1, почти все моноэле- ментные жидкие металлы, являвшиеся объектами приложения дифракционной теории, имеют значения р < 50 мкОм • см, так что эти материалы тоже не подпадают под действие правила Моойа.

На графике рис. 1.3 не случайно отсутствуют данные о сплавах с р > 300 мкОм • см. Таких сплавов практически нет. Сотни исследованных композиций металлических сплавов, десятки различных методов изготовления разупорядоченных систем — все приводят к материалам с удельным сопротивлением, меньшим 300 мкОм • см. Хотя

эта величина в 3-4 раза меньше, чем максимальное сопротивление р*, полученное из оценки на основании формул (1.5), по всей видимости именно его следует считать максимально возможным сопротивлением стандартного металла, которое получается в пределе I ~ а.

Наличие верхнего предела удельного сопротивления стандартного металла, как и правило Моойа, по-видимому обусловлены глубокими физическими причинами, связанными с экранированием в системе с большой плотностью свободных носителей. Вероятно, уменьшая амплитуду случайного потенциала, экранирование самосогласованным образом приводит его к критическому значению, при котором носители еще остаются свободными.

Насыщение сопротивления

Итак выясняется, что простым наращиванием статического беспорядка не удается создать условия для перехода Андерсона в стандартном металле и что добавление теплового беспорядка к сильному статическому может даже уменьшить сопротивление. Можно, однако, испробовать еще одну возможность — взять металл со слабым статическим беспорядком, но с большой константой электрон-фононного взаимодействия, обеспечивающей быстрый рост сопротивления с температурой, и исследовать, чего можно достичь за счет чисто теплового беспорядка. Эта попытка базируется на естественной идее об эквивалентности статического (структурного) и динамического (теплового) беспорядка с точки зрения рассеяния электронов. Скорость теплового движения ионов порядка скорости звука, т. е. порядка 105 см/с, в то время как фермиевская скорость электронов rF ~ 108 см/с. Поэтому движущиеся электроны всегда видят статичную картину, включающую в себя тепловые смещения ионов.

Температурная зависимость сопротивления за счет рассеяния электронов на фононах описывается формулой Грюнайзена

ДТ) = р0 + /ЗТ5, T<TD.

р^ = ^Т. T>TD, V 7

которая при температурах выше температуры Дебая Td выходит на линейный закон. Для достижения больших р(Т) нужны как можно большее а и высокая температура. Коэффициент а тем больше, чем сильнее электрон-фононное взаимодействие, а температура ограничивается термодинамическими процессами, например, плавлением. Этими факторами определяется выбор материалов для экспериментов.

На рис. 1.4 приведены кривые р(Т) для монокристаллов двух ин- терметаллидных соединений. Одно из них, NbgSn, имеет температуру сверхпроводящего перехода Тс = 18 К и широко используется для изготовления сверхпроводящих соленоидов; второе, NbgSb, тоже сверхпроводник, но у него Тс = 0,2 К. Сверхпроводимость здесь упоминается не случайно. Согласно классической теории сверхпроводимости, для столь высокого Тс, как 18 К необходимо сильное электрон-

2 В. Ф. Гантмахер

фононное взаимодействие и, следовательно, можно ожидать больших значений коэффициентов /3 и а в формулах (1.14).

Обратимся к кривой для NbgSb. Если ограничиться температурным интервалом Т < 200 К, то мы имеем типичную кривую Грюнай- зена: остаточное сопротивление при низких температурах, затем участок Т3,6 и выход на линейный рост (1.14), столь крутой, что можно было бы вполне рассчитывать на достижение критических значений при допустимых температурах Т ~ 900 К. Однако вместо этого кривая р(Т) демонстрирует отчетливую тенденцию к насыщению на уровень

Рис. 1.4. Кривые р(Т) для монокристаллов двух интерметаллидных соединений, демонстрирующие насыщение сопротивления [4]

около 150 мкОм • см. Характерно, что уровень насыщения оказался одинаковым для обоих соединений, хотя при низких температурах фононное сопротивление у NbgSn гораздо выше, чем у NbgSb, что коррелирует с разницей Тс.

Феноменологически экспериментальные кривые рис. 1.4 хорошо описываются моделью шунтирующего сопротивления

p’^^ + ^’h1; (1Л5)

когда сопротивление pid, соответствующее формуле Грюнайзена (1.14), становится слишком большим, ток начинает течь через шунтирующее сопротивление. Эта формула успешно использовалась для описания экспериментов. Однако с ее обоснованием имеются проблемы.

Обычно формула (1.15) свидетельствует о наличии параллельных каналов проводимости, например о наличии двух независимых групп носителей с разными параметрами и законами рассеяния, находящихся в одном и том же электрическом поле. Здесь никаких оснований для существования таких групп нет. Можно придти к формуле (1.15), сохранив одну группу носителей, но введя некоторые корреляторы актов рассеяния. Например предположим, что два акта рассеяния не могут произойти в одной элементарной ячейке, т. е. что между

актами рассеяния должно пройти минимальное время то = a/v^^ за которое электрон успевает переместиться в соседнюю ячейку, после чего все ограничения снимаются и все происходит, как обычно [5]. Если момент первого акта рассеяния t = 0, то вероятность следующего акта предполагается равной

Р =Р =О,О,t < То, t > Т0.t < То, t > Т0.

Р =

Р =

О,

О,

t < То, t > Т0.

t < То, t > Т0.

(1-16)(1-16)

(1-16)

(1-16)

Тогда в обычную формулу для проводимости (1.5), записанную через т и эффективную массу тщ ст = пе2т/т, вместо т в качестве среднего времени между столкновениями войдет т + tq. Отсюда получается выражение (1.15) с

ПPsh ~ Cl.е

Хотя это как раз то, что получается в эксперименте, вряд ли приведенное рассуждение можно считать обоснованием применимости формулы (1.15). Лежащее в основе этого рассуждения предположение, что акты рассеяния являются точечными в пространстве и во времени, не очень убедительно. Например, дифракционная теория базируется на прямо противоположном предположении.

Вместе с тем сам экспериментальный факт, что насыщение происходит при значениях сопротивления (1.16), которые типичны для

Рис. 1.5. Температурные зависимости сопротивления сплава TiAl с разной концентрацией А1 [3]Рис. 1.5. Температурные зависимости сопротивления сплава TiAl с разной концентрацией А1 [3]высокорезистивных сплавов (см. рис. 1.3) и соответствуют предельно малой длине пробега I ~ а, т. е. что psh ~ р*, несомненен и очень важен. Он подтверждает, что статический и динамический беспорядок воздействуют на электроны примерно одинаково. Эквивалентность двух видов беспорядка дополнительно иллюстрируется серией кривых температурной зависимости сопротивления сплава TiAl с разной концентрацией А1 (рис. 1.5). Чистый титан имеет малое остаточное сопротивление и сильный температурный рост с последующей тенденцией к насыщению. Качественно кривая р(Т) чистого титана ведет себя так же, как и на рис. 1.4. По мере увеличения концентрации А1 остаточное сопротивление растет вместе со статическим беспорядком, а температурный рост уменьшается (при

Рис. 1.5. Температурные зависимости сопротивления сплава TiAl с разной концентрацией А1 [3]

Рис. 1.5. Температурные зависимости сопротивления сплава TiAl с разной концентрацией А1 [3]

33 % алюминия температурный коэффициент даже отрицательный), но предельное высокотемпературное значение сопротивления меняется сравнительно мало, оставаясь в интервале значений, типичных для высокорезистивных сплавов.

В свете существования насыщения сопротивления интересна эволюция анизотропии сопротивления в монокристаллических материалах. Ее демонстрируют кривые температурной зависимости электросопротивления монокристаллического иттрия на рис. 1.6. В интервале 200-300 К сопротивление и температурный коэффициент а

Рис. 1.6. Анизотропия температурной зависимости электросопротивления монокристаллического иттрия [6]

перпендикулярно гексагональной оси примерно в 2 раза больше, чем вдоль оси. Поэтому сопротивление перпендикулярно оси приближается к критическим значениям при более низких температурах и раньше проявляет тенденцию к насыщению. В результате при 1400 К разница в сопротивлениях вдоль этих двух направлений становится уже меньше 10%. Сопротивление насыщения psh в обоих направлениях, по-видимому, практически одинаковое.

Насыщение сопротивления наблюдается и в «нестандартном» металле, с несколько меньшей, чем в (1.4), концентрацией свободных зонных электронов. Обладающий металлической проводимостью окисел WO2 имеет, согласно данным по эффекту де Гааза — ван Аль- фена, концентрацию носителей порядка п « 2 • 1021см-3. Он имеет моноклинную кристаллическую решетку и почти четырехкратную анизотропию сопротивления при комнатной температуре. На рис. 1.7 приведены кривые р(Т) для двух экстремальных направлений. В направлении, где сопротивление велико, оно демонстрирует тенденцию к насыщению с psh < 2000 мкОм • см. В другом направлении, где во всем температурном интервале р <С psh, сопротивление следует формуле Грюнайзена без признаков насыщения.

Рис. 1.7. Зависимости р(Т) для монокристалла WO2 вдоль кристаллографических направлений с максимальным и минимальным сопротивлением [7]. Сплошные линии — это прямые предельной области закона Грюнайзе- на (1.14). Для сопротивления при направлении тока J||a коэффициент а получен в предположении, что справедлива формула (1.15) и что р8н = = 2000 мкОм-см.

Предел Иоффе—Регеля при большойэлектронной плотности

Очень поучительно свести все факты и явления, обсуждавшиеся в этой главе, на одну диаграмму. Отложим температуру Т по одной оси, а частоту столкновений в энергетических единицах б)т^ — по другой. В качестве характерного масштаба по обеим осям выберем фермиевскую энергию sF. Поскольку для стандартного металла sF ~ ~ 10 000 К, отрезок (0 4-sF) на температурной оси включает все интересующие нас температуры. Под частотой 1/тее подразумевается сумма частот рассеяния на статических дефектах 1/тина фононах l/rph (с учетом малоуглового характера фононного рассеяния при низких температурах):

1/Teff = 1/Т + 1/Tph, (1.17)

которая определяет статическое электросопротивление р. Верхний конец интервала на оси частот Н/те^ = sF соответствует пределу Иоффе- Регеля I ~ кр1. Более высокие частоты столкновений попросту означали бы неправомерность модели с плоскими волнами в качестве волновых функций. Поэтому внутри квадрата 0 ^ Т, К/те$ < sF, изображенного на рис. 1.8, реализуются все транспортные явления в газе делокализованных электронов.

В этой главе обсуждался транспорт вблизи верхнего ребра этого квадрата — в области с сильным рассеянием. Сначала мы попытались приблизиться к верхней части квадрата, двигаясь вдоль его левой стороны, при сравнительно низких температурах. Здесь на уровне (0,14-0,2)sF применима дифракционная теория жидких металлов, в существенной части принадлежащая Займану. Ее важным

элементом является предположение, что волновые функции электронов — это плоские волны. Выше, вблизи левого верхнего угла квадрата, безразмерная величина Й/ (sFTeff) уже не является малым параметром и у теории появляются принципиальные трудности. Эксперимент устанавливает в этой области два базовых факта.

При сколь угодно сильном структурном беспорядке низкотемпературное сопротивление стандартного металла не превышает значения (1.6):

р $ Р* ~ 300 мкОм • см.

Температурные зависимости сопротивления в левом верхнем углу квадрата подчиняются правилу Моойа, т. е. если сопротивление близко к значению (1.6), то рост температуры его не только не увеличивает, но даже несколько уменьшает.

Рис. 1.8. Плоскость температура-беспорядок (Т, Й/тел), на которой пунктирными эллипсами показаны области применимости теории Займана и правила Моойа и область, где наблюдается насыщение сопротивления. В осях (Т, Н/тей) построены также графики сопротивления для двух случаев: (1.14) и (1.15). Штриховые прямые для обоих графиков — это высокотемпературные асимптотики функции Грюнайзена.Рис. 1.8. Плоскость температура-беспорядок (Т, Й/тел), на которой пунктирными эллипсами показаны области применимости теории Займана и правила Моойа и область, где наблюдается насыщение сопротивления. В осях (Т, Н/тей) построены также графики сопротивления для двух случаев: (1.14) и (1.15). Штриховые прямые для обоих графиков — это высокотемпературные асимптотики функции Грюнайзена.

Рис. 1.8. Плоскость температура-беспорядок (Т, Й/тел), на которой пунктирными эллипсами показаны области применимости теории Займана и правила Моойа и область, где наблюдается насыщение сопротивления. В осях (Т, Н/тей) построены также графики сопротивления для двух случаев: (1.14) и (1.15). Штриховые прямые для обоих графиков — это высокотемпературные асимптотики функции Грюнайзена.

Рис. 1.8. Плоскость температура-беспорядок (Т, Й/тел), на которой пунктирными эллипсами показаны области применимости теории Займана и правила Моойа и область, где наблюдается насыщение сопротивления. В осях (Т, Н/тей) построены также графики сопротивления для двух случаев: (1.14) и (1.15). Штриховые прямые для обоих графиков — это высокотемпературные асимптотики функции Грюнайзена.

Переходя к попыткам пересечь верхнюю сторону квадрата за счет температурного роста сопротивления веществ с сильным электрон- фононным взаимодействием, построим диагональ квадрата

(1-18)(1-18)Н(тее = Т.

(1-18)

(1-18)

Запомните это уравнение диагонали. Записанное в виде тее = = Й/Т, оно очень напоминает выражение для времени расфазировки двух тепловых электронов, которое определяет квантовую поправку к проводимости из-за межэлектронной интерференции. Поэтому в гл. 2 о квантовых поправках снова фигурируют и тот же квадрат, и его диагональ (см. уравнения (2.29) и (2.39) и рис. 2.16).

Поскольку р ОС 1/те^ в осях (Т, HJt^ можно построить функцию Грюнайзена (1.14) (для ориентировки справа приведена также шкала в единицах удельного сопротивления). Коэффициент в высокотемпературной асимптотике функции Грюнайзена в осях (Т, Й/тей) становится безразмерным. Для простоты сохраним для него обозначение а. Если во всех формулах, необходимых для вычисления а^ пренебрегать численными коэффициентами, то все буквенные множители сократятся и получится а = 1. Асимптотическая прямая аТ^ в зависимости от численных значений параметров конкретного металла, может оказаться с любой стороны от диагонали. Если а < 1, то асимптотическая часть кривой располагается в нижнем треугольнике Тте^ > Й. Нас больше интересовал вариант а > 1, при котором кривая должна достигать верхней стороны квадрата. Однако, как показали эксперименты, описанные в предыдущем параграфе, в этом случае при высоких температурах появляется насыщение сопротивления, не предусмотренное формулой Грюнайзена.

Таким образом ни увеличение статического, ни увеличение динамического беспорядка, ни их комбинация не привели к пересечению верхней стороны квадрата на рис. 1.8, за которой ожидается локализация Андерсона. Это означает, что в стандартном металле рост беспорядка сам по себе к локализации не приводит. Это экспериментальный факт, и с ним приходится считаться. Мы вернемся к обсуждению этого вопроса в гл. 5 при изложении концепции переходов металл-изолятор, а в гл. 7 покажем, как при помощи обходного маневра можно преодолеть заветную черту.

Список литературы

Фабер Т. Электронные явления переноса в жидких металлах; в Физика металлов. 1. Электроны / Под ред. Дж. Займана. — М.: Мир, 1972 (перевод книги The physics of metals 1.Electrons / Ed. J.M. Ziman. — Cambridge Univ. Press, 1969).

Займан Дене. Модели беспорядка. — М.: Мир, 1982 (перевод книги Ziman J.M. Models of disorder. Cambridge Univ. Press, 1979).

Mooij J.H. // Phys. Stat. Sol. (a) 17, 521 (1973).

Fisk Z., Webb G. W. // Phys. Rev. Lett. 36, 1084 (1976).

Gurmtch M. // Phys. Rev. В 24, 7404 (1981).

Зиновьев B.E., Соколов А.Л.^ Гельд П.В., Чуприков Г.Е., Епифанова К. И. // ФТТ 17, 3617 (1975).

Гантмахер В.Ф., Кулеско Г. И., Теплинекий В.М. // ЖЭТФ 90, 1421 (1986).

Глава 2

КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИК ПРОВОДИМОСТИ О

Построение теории металлов начинается с теоремы Блоха о поведении электронов в идеальной периодической решетке. Следующий этап — это учет нарушений периодичности в т-ириближении. Предполагается, что из-за нарушения периодичности электрон рассеивается, т. е. переходит из одного своего стационарного состояния в идеальной решетке в другое. Рассмотрение взаимодействия с различными типами отклонений от периодичности: примесями и другими статическими дефектами, фононами, магнонами и т. и. — наполняет параметр т конкретным содержанием. При этом постулируется аддитивность рассеяния: вероятность 1/т перехода электрона в другое состояние есть сумма вероятностей 1/т^ на различных типах дефектов, на разных примесях, разных фононах и т. д. Предположение об аддитивности рассеяния естественно, когда акты рассеяния происходят редко, например, в чистом металле.

Сейчас мы сделаем следующий шаг и рассмотрим так называемые квантовые поправки к проводимости. Необходимым условием их появления является наличие целых серий актов рассеяния.

странства d:странства d:Заметьте. Под проводимостью мы понимаем здесь удельную проводимость с размерностью, зависящей от размерности про

странства d:

странства d:

(2-1)(2-1)од [Ом см2 ti], d = 1,2,3.

(2-1)

(2-1)

Элементарные акты рассеяния могут быть двух типов. При одних актах энергия электрона Ej сохраняется и, следовательно, закон изменения фазы волновой функции со временем, exp (iEjt/h\ остается прежним. Частоту таких актов рассеяния обозначим через 1/т. Но есть и неупругие процессы рассеяния, например, столкновения с фононом или с другим электроном. Если в момент to произошло неупругое столкновение, то из-за изменения энергии Ej электрон «забывает» о своей фазе до столкновения, при t < to- Вероятность сбоя фазы обозначим через 1/т^. Квантовые поправки, о которых пойдет речь, происходят при условии

т^ ^> т. у2.2j

Неравенство (2.2) означает, что наиболее частыми являются акты упругого рассеяния на статическом беспорядке. На основании этого неравенства часто говорят о квантовых поправках проводимости в грязных металлах.

Слабая локализация

Слабой локализацией называется квантовая поправка к металлической проводимости, обусловленная волновыми свойствами электрона, проявляющимися на фоне диффузионного движения при большом количестве упругих рассеивателей. Электронный спектр предполагается вырожденным, е¥ ^> Т. Электрон, находящийся в момент t = О в начале координат г = 0, при диффузионном движении с фермиевской скоростью rF и средней длиной свободного пробега I = ирт через время 1>т окажется в точке г с вероятностью

9d

p(r, t) = (4TrDt)-d^2 e~r /4Dt^ r2 = ^| P(r? ^) ^r =(2-3)

Здесь d — размерность пространства, в котором происходит диффу

зия, a D — коэффициент диффузии, распределения Аг постепенно увеличивается (рис. 2.1):

Ar « Vnt « К iVn (2.4)

(N = t/т — число шагов в диффузионном процессе, т. е. число упругих столкновений за время t).

Формулы (2.3) и (2.4) описывают диффузию классической частицы. Если учесть волновые свойства электрона, то точка г = О окажется выделенной: в ней функция p(r^t) из-за интерференции сильно изменится. Чтобы показать это, разобьем все возможные траектории, возвращающие электрон в точку г = 0 в момент t, на пары с одинаковым набором рассеивателей, но с противоположными направлениями движения. Для классической частицы вероятность р(0, t) есть

D = lvv/d. Со временем ширинаD = lvv/d. Со временем ширинаРис. 2.1. Функция р(^) при диффузии на плоскости (d=2) в разные моменты времени ti и 2£i. Дополнительный пик на кривой t < т^ связан с квантовой интерференцией (2.5)Рис. 2.1. Функция р(^) при диффузии на плоскости (d=2) в разные моменты времени ti и 2£i. Дополнительный пик на кривой t < т^ связан с квантовой интерференцией (2.5)сумма вероятностей прихода в точку г = 0 по разным траекториям. В квантовой механике это соответствует сложению квадратов модулей соответствующих волновых функций. Для квантовой частицы, сохранившей к моменту t <С тф память об исходной фазе, складываются

D = lvv/d. Со временем ширина

D = lvv/d. Со временем ширина

Рис. 2.1. Функция р(^) при диффузии на плоскости (d=2) в разные моменты времени ti и 2£i. Дополнительный пик на кривой t < т^ связан с квантовой интерференцией (2.5)

Рис. 2.1. Функция р(^) при диффузии на плоскости (d=2) в разные моменты времени ti и 2£i. Дополнительный пик на кривой t < т^ связан с квантовой интерференцией (2.5)

сами волновые функции, а вероятность р(0, t) есть квадрат модуля суммы:

без интерференции Ц1|2 + Ц2|2 = 2Л2,

с интерференцией |Ai + А^2 = Ц1|2 + Ц2|2 + 2|Л1Л2, = 4А2.

(2-5)

Поэтому вероятность найти электрон в начале координат р(0, t) должна из-за интерференции удвоиться (рис. 2.1), причем ширина пика определяется соотношением неопределенности 5г ~ X ~ 1/кр (А — де-бройлевская длина волны, kv — фермиевский волновой век-

Рис. 2.2. а) Интерферирующие пары замкнутых диффузионных траекторий, вдоль которых распространяются электронные волны, б) Механическая аналогия — волны в кольцевом канале, соединенном с водоемом

тор). Разбиение на интерферирующие пары возможно только для замкнутых траекторий, т. е. тех, что заканчиваются в точке г = 0, в которой электрон находился в начальный момент времени (см. рис. 2.2).

Увеличение вероятности для электрона оказаться в точке г = О (т. е. по существу остаться там) и называется слабой локализацией. Оно приводит к поправкам 5ст в проводимости.

Пояснить сущность физических процессов, лежащих в основе слабой локализации, можно при помощи механической аналогии. Пусть кольцевой водный канал соединяется в одном месте с большим водоемом (рис. 2.2, б\ Приходящая из водоема волна, разветвляясь, попадает в оба рукава канала. Если затухания волн в канале нет, то обе попавшие в рукава локальные волны обойдут весь канал и встретятся на входе.

Относительная площадь под дополнительным пиком функции p(r, t) зависит от t. Поэтому для оценки относительной величины поправки к проводимости 5ст/ст нужно вычислить добавку к проводимости do-, возникшую за время dt из-за изменения функции р(гАУ

и проинтегрировать ее по времени. Рассмотрим сначала трехмерный случай d = 3. Объем, в любой точке которого может находиться электрон в момент времени t, порядка (Dt)3/2. Объем, из которого он за время dt может попасть в начало координат, порядка X^u^dt. Отношение этих объемов определяет относительное количество электронов, побывавших в начале координат за время dt. Минимальное время, через которое электрон может вернуться в начало координат, это время упругого рассеяния т. Максимальное время, через которое он, вернувшись, сможет участвовать в интерференции, это время сбоя фазы т^. В результате

76о"з Г грА dt грА /^ 11 \

=(2.6)

Введенная в (2.6) величина

Dt^Dt^(2-7)(2-7)

Dt^

Dt^

(2-7)

(2-7)

называется диффузионной длиной потери фазы. Член с L^ в выражении (2.6) меньше члена с Z, но именно через него в квантовую поправку для проводимости входит температурная зависимость, потому что Тр зависит от температуры и стремится к бесконечности при Т -л 0.

Поскольку нормировочный множитель в p(r, t) в выражении (2.3) и, соответственно, знаменатель в подынтегральном выражении в (2.6) зависят от размерности d. функции Асг/сг для разных d оказываются совершенно различными. Характерным размером, сравнением с которым определяется размерность конкретного образца, является диффузионная длина L^. Пленка толщиной Ь и проволока диаметром Ъ при условии

Ъ < Тар (2.8)

являются с точки зрения диффузии объектами пониженной размерности. Вместо выражения (2.6) имеем для них

d = 2 :d = 2 :5(725(72vFX dt _ (Df)bvFX dt _ (Df)bIn иInDb т (kFl)(kFb) тIn иInDb т (kFl)(kFb) тd = 1 :d = 1 :5(715(71dfX2 dtdfX2 dt11

d = 2 :

d = 2 :

5(72

5(72

vFX dt _ (Df)b

vFX dt _ (Df)b

In иIn

Db т (kFl)(kFb) т

In иIn

Db т (kFl)(kFb) т

d = 1 :

d = 1 :

5(71

5(71

dfX2 dt

dfX2 dt

1

1

(2-9)

Условие (2.8) понижения размерности очень мягкое. Оно определяет конфигурацию пространства, в котором осуществляется диффузия. При этом сам процесс диффузии может оставаться трехмерным: при

I < Ь электрон в пленке между двумя актами рассеяния может двигаться в любом направлении, в том числе и вдоль нормали к пленке; поверхность пленки в этих условиях играет роль рассеивающего центра.

Поправки 5сц в формулах (2.6) и (2.9) отрицательны. Поэтому при любой размерности проводимость ад начиная с некоторой температуры, падает с ее понижением (сопротивление растет), причем эффект интерференции тем сильнее, чем ниже размерность. В трехмерном случае падение аз ограничено и аз стремится с определенному пределу при Т 0. При пониженной размерности поправки расходятся, так как и т^, и L^ стремятся к бесконечности при Т 0. Поскольку проводимость не может быть отрицательной, должны быть ограничения применимости формул (2.6) и (2.9). Ограничением является требование относительной малости поправок:

М<сг (г = 1,2,3).(2.10)

Поучительно написать вместо относительных значений поправок к удельной проводимости (2.6) и (2.9) абсолютные значения изменений самой проводимости Аа^ = 5а д b3~d, имеющих ту же размерность, что и2

d = 3 : Ааз —const + ^-

22т

d = 2: Acr2 ~ ~У In — ~ ~2У In(2.11)

птПI

2

d = 1 : Acti « -Уд.

п V

У них у всех одинаковый масштаб е2/Й. Эта комбинация атомных констант, имеющая размерность обратного сопротивления, Й/е2 = = 4110 Ом, встречается во всех задачах, связанных с локализацией. Характерно, что выражения (2.11) для квантовых поправок не содержат концентрации носителей, а зависимость от т хотя и есть, но более слабая, чем у самой проводимости. Поэтому роль интерференционных поправок возрастает по мере уменьшения собственной проводимости материала. Это еще одна причина, почему о слабой локализации говорят в связи с грязными металлами.

Заметьте. Поскольку т^ ос при Т —> 0, то при достаточно низких температурах неравенство (2.2) начнет выполняться для сколь угодно чистого металла со сколь угодно большим т. Реально можно изготовить монокристалл чистого металла, например, индия, с длиной свободного пробега I ~ 0,1 см, так что параметр kvl будет иметь значение kvl ~ 106. При Т = 0,1 К отношение Ър/т порядка 103-104, т. е. неравенство (2.2) выполняется. Однако вклад квантовой поправки в проводимость ничтожно мал:

стст~~ ю-14.

ст

ст

kpLpl

Заметьте также. Формально даже очень толстая пленка при достаточно низкой температуре должна рассматриваться как двумерная: поскольку при Т -л 0 длина L^ -л сю, ниже некоторой температуры будет выполнено неравенство (2.8). Тогда появится поправка Асг2 к классической проводимости а^Ъ.

Формулы (2.6), (2.9) и (2.11) неоднократно проверялись экспериментально, чаще всего на пленках. На рис. 2.3 сведены результаты двух разных экспериментов на пленках Си и Ан. В обоих материалах хорошо виден логарифмический рост сопротивления при температурах ниже ЮК. И хотя в одном и том же температурном интервале 1 -У ЮК относительные величины поправок АД/Д сильно разнятся, разница в абсолютных значениях поправок к проводимости Асг существенно меньше, как того и следовало ожидать на основании формул (2.11). Слабая зависимость величины Асг от свойств материала становится особенно наглядной, если сравнить измерения на пленках Си и Ан с измерениями на аморфных пленках In-О, у которых удельное сопротивление примерно в 1000 раз больше, а логарифмический рост начинается с 100 К. У трех пленок на рис. 2.4 значения АД/Д составляют при десятикратном изменении температуры 15 %, 6 % и 3 %,

Рис. 2.3. Температурные зависимости сопротивления тонких пленок Си [4] и Ан [5]. Пунктиром показано увеличение сопротивления при десятикратном уменьшении температуры (от ЮК до 1К).Рис. 2.3. Температурные зависимости сопротивления тонких пленок Си [4] и Ан [5]. Пунктиром показано увеличение сопротивления при десятикратном уменьшении температуры (от ЮК до 1К).

Рис. 2.3. Температурные зависимости сопротивления тонких пленок Си [4] и Ан [5]. Пунктиром показано увеличение сопротивления при десятикратном уменьшении температуры (от ЮК до 1К).

Рис. 2.3. Температурные зависимости сопротивления тонких пленок Си [4] и Ан [5]. Пунктиром показано увеличение сопротивления при десятикратном уменьшении температуры (от ЮК до 1К).

а значения Асг лежат в области (1 у 2) • Ю-50м-1, будучи лишь ненамного меньше, чем на пленках Си и Ан.

Логарифмический рост сопротивления наблюдался и на истинно двумерных электронных системах, например на инверсных слоях на поверхности Si в температурном интервале 0,1-1 К (рис. 2.5). Здесь значения АД/Д для двух образцов были 16% и 3%, а значения Асг порядка 2,5 • Ю-5 Ом-1.

Рис. 2.5. Логарифмический температурный рост сопротивления инверсных слоев Si — данные для двух разных образцов [7]. Прямые линии служат лишь ориентирами для глаз.Рис. 2.5. Логарифмический температурный рост сопротивления инверсных слоев Si — данные для двух разных образцов [7]. Прямые линии служат лишь ориентирами для глаз.Рис. 2.4. Температурные зависимости сопротивления тонких аморфных пленок In-О [6]. Пленки различаются концентрацией кислорода, что отражается на концентрации свободных носителей

Рис. 2.5. Логарифмический температурный рост сопротивления инверсных слоев Si — данные для двух разных образцов [7]. Прямые линии служат лишь ориентирами для глаз.

Рис. 2.5. Логарифмический температурный рост сопротивления инверсных слоев Si — данные для двух разных образцов [7]. Прямые линии служат лишь ориентирами для глаз.

Заметьте. Каким бы ни был конкретный механизм неупругого рассеяния электронов, определяющий время потери фазы, величины т^ и L^ являются степенными функциями температуры: L^ cxTs. Поэтому на пленках квантовая поправка всегда проявляется в виде специфической зависимости АД ос In Т.

Когерентное рассеяние света назад. Поскольку слабая локализация имеет волновую интерференционную природу, у нее должен быть оптический аналог. Такой аналог действительно существует: рассеяние света в мутной среде. Освещая мутную среду с одной стороны, мы можем смотреть на нее под любым углом, потому что после многократного рассеяния свет выходит с равной вероятностью во всех направлениях — феномен светлого неба. Поскольку рассеяние упруго, то модуль волнового вектора не меняется и рассеяние падающей на среду плоской световой волны А ехр (гкг) описывается расплыванием вектора к по поверхности сферы |к| = const. В результате такого расплывания часть светового пучка рассеивается точно назад. Этой части соответствует на сфере точка —к. При классическом описании эта точка ничем не выделена, и при достаточно сильном рассеянии амплитуда рассеянной волны

Л(k) const при |к| = const.

Для плоских волн, однако, существует интерференционный эффект, аналогичный слабой локализации. Переход из к в —к есть

результат блуждания по поверхности сферы с пошаговым последовательным изменением к на какие-то вектора qz: k + Е q« = -к. Существует бесчисленное г

количество последовательностей {q^}, и их все тоже можно разбить на интерферирующие пары, состоящие из одного и того же набора векторов, но включающихся во взаимно обратном порядке — см. рис. 2.6 (частичная перестановка, например, двух случайных векторов в сумме по г не годится, потому что промежуточные значения kz окажутся не на поверхности сферы). Для каждой интерферирующей пары траекторий в /с-про- странстве можно повторить рассуждения (2.5), из которых следует относительное увеличение интенсивности рассеяния назад.

Экспериментальная установка для реализации такой «слабой локализации в fc-представлении» схематически изображена на рис. 2.7. Регистрируется угло-

Рис. 2.6. Слабая локализация в к-представлении: для перехода к —к по траектории случайного блуждания по поверхности сферы к —> ki —> к2 —> kz3 —> —к есть парная траектория к к'/ к^ кд -к, интерференция с которой приводит к усилению рассеяния назадРис. 2.6. Слабая локализация в к-представлении: для перехода к —к по траектории случайного блуждания по поверхности сферы к —> ki —> к2 —> kz3 —> —к есть парная траектория к к'/ к^ кд -к, интерференция с которой приводит к усилению рассеяния назадванне когерентного рассеяния светаРис. 2.7. Когерентное рассеяние све-назад [8]. а — сигнал, отраженныйта назад — схема эксперимента [8]от кюветы с рассеивающими микрочастицами, взвешенными в воде; б — от кюветы с чистой водой; в — от пустой кюветыванне когерентного рассеяния светаРис. 2.7. Когерентное рассеяние све-назад [8]. а — сигнал, отраженныйта назад — схема эксперимента [8]от кюветы с рассеивающими микрочастицами, взвешенными в воде; б — от кюветы с чистой водой; в — от пустой кюветывая зависимость интенсивности света, рассеянного взвесью в воде полистироловых шариков диаметром 0,46 мкм, занимающих в общей

Рис. 2.6. Слабая локализация в к-представлении: для перехода к —к по траектории случайного блуждания по поверхности сферы к —> ki —> к2 —> kz3 —> —к есть парная траектория к к'/ к^ кд -к, интерференция с которой приводит к усилению рассеяния назад

Рис. 2.6. Слабая локализация в к-представлении: для перехода к —к по траектории случайного блуждания по поверхности сферы к —> ki —> к2 —> kz3 —> —к есть парная траектория к к'/ к^ кд -к, интерференция с которой приводит к усилению рассеяния назад

ванне когерентного рассеяния света

Рис. 2.7. Когерентное рассеяние све-назад [8]. а — сигнал, отраженный

та назад — схема эксперимента [8]от кюветы с рассеивающими мик

рочастицами, взвешенными в воде; б — от кюветы с чистой водой; в — от пустой кюветы

ванне когерентного рассеяния света

Рис. 2.7. Когерентное рассеяние све-назад [8]. а — сигнал, отраженный

та назад — схема эксперимента [8]от кюветы с рассеивающими мик

рочастицами, взвешенными в воде; б — от кюветы с чистой водой; в — от пустой кюветы

сложности 10 % объема. Результаты представлены на рис. 2.8 (кривая а) вместе с аналогичным сигналом от кюветы с чистой водой (кривая б) и от пустой кюветы (кривая в).

Влияние магнитного поля на слабуюлокализацию

Магнитное поле В изгибает электронную траекторию между двумя последовательно рассеивающими электрон центрами, причем изгибает в разные стороны при движении в противоположных направлениях. Поэтому углы рассеяния на каждой примеси будут различаться на величину порядка 1/R = Пт (R — циклотронный радиус, a Q = = еВ/тс — циклотронная частота). Но поскольку обычно речь идет о грязном металле с не очень большим т, то в не очень большом поле Пт <С 1 разницей углов можно пренебречь по сравнению с другим, гораздо более сильным эффектом.

Когда электрон проходит по замкнутому контуру в магнитном поле, то у его волновой функции Ф появляется дополнительный фазовый множитель

Ф Фехр^У [Adi") = ФехрД^5). (2.12) V бс J /\ Фо 7

Здесь А — вектор-потенциал магнитного поля, Фо = ^Hcfe — квант магнитного потока, a BS = Ф — магнитный поток через замкнутый контур электронной траектории. Знак в показателе экспоненты зависит от того, проходит электрон этот контур по или против часовой стрелки. Поскольку электрон движется по парам интерферирующих траекторий в противоположных направлениях, при возвращении его в начало координат на двух траекториях появится разность фаз у? = = 2тг(Ф/Ф0).

Площадь S проекции замкнутого контура на плоскость, перпендикулярную полю, порядка квадрата среднего расстояния r(t), на которое электрон уйдет от начала координат за время t. Поэтому

0 BSВт2BDt(С) 1

У = 2тг— « -j— « ——.(2.13)

ФоФоФо

Наличие разности фаз означает, что вместо второго соотношения (2.5) имеет место

|Ai + A2I2 = |Ai|2 + |А2|2 + 2|Ai||A2| cosy? = 2А2(1 + cosy?). (2.14)

Пока у? мало, это уточнение несущественно. Но при у? > 1 становится важным разброс площадей S пар интерферирующих траекторий по сравнению с оценкой (2.13). На рис. 2.2 это разница площадей контуров, нарисованных штриховой и пунктирной линиями. Среднее значение cos у? = 0, так что магнитное поле разрушает интерференционную добавку. Чем больше время t и средняя площадь S ~ Dt сформировавшихся за это время замкнутых траекторий, тем меньшее

поле В разрушает интерференционный вклад. Времена t > т^ нас не интересуют, потому что интерференция на этих временах все равно разрушена неупругими столкновениями. А окрестность верхнего предела интегрирования т- в интегралах (2.6) и (2.9) существенна: именно она входит через L^ в формулы (2.11). Поэтому, положив в (2.13) слева = 1, а справа t = т^, получим значение поля, которое уже начинает разрушать слабую локализацию:

Д = | (Пт^Г1. (2.15)

Записав коэффициент диффузии в виде D ~ е¥т)тп и введя циклотронную частоту Q^ = еВ^/mc вместо поля В^ получим из соотношения (2.15)

ДтДД « 1,ДтДД « 1,откуда Q^t < 1.откуда Q^t < 1.(2-16)(2-16)

ДтДД « 1,

ДтДД « 1,

откуда Q^t < 1.

откуда Q^t < 1.

(2-16)

(2-16)

Неравенство (2.16) подтверждает, что в поле В^ можно пренебречь искривлением электронных траекторий.

Введем магнитное время

ФоТв “ ш5ФоТв “ ш5(2-17)(2-17)

Фо

Тв “ ш5

Фо

Тв “ ш5

(2-17)

(2-17)

где lB = (/ic/2eB)1/2 — магнитная длина. Когда тв С т^, т. е. когда В » В^, в интегралах (2.6) и (2.9) нужно заменить верхний пре-

дел, J J • Тогда

(/ = 2,(/ = 2,d = 3,d = 3,2 У 1пЩ

(/ = 2,

(/ = 2,

d = 3,

d = 3,

О < Да(В) - Да(0)О < Да(В) - Да(0)Й 1в

О < Да(В) - Да(0)

О < Да(В) - Да(0)

б Yig Ltp

(2-18) В уравнении (2.18) добавка к проводимости Zkcr(B) сравнивается с добавкой в нулевом поле Дсг(О). Иногда при анализе кривых удобнее в качестве базы выбрать не <т(0), а проводимость в сильном поле.

Рис. 2.9 иллюстрирует разрушение магнитным полем слабой локализации в пленках Mg. Интегральное падение сопротивления тем больше, чем ниже температура Т. Это следует и из формулы (2.9), где при уменьшении Т растет верхний предел интегрирования. При этом область основного падения сопротивления смещается по мере уменьшения Т в меньшие поля. Интерференция практически полностью разрушена в поле Ве^

B" = S'B" = S'когда тв = т,когда тв = т,(2.19)(2.19)

B" = S'

B" = S'

когда тв = т,

когда тв = т,

(2.19)

(2.19)

3 В. Ф. Гантмахер

Рис. 2.9. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Mg при разных температурах [2]Рис. 2.9. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Mg при разных температурах [2]

Рис. 2.9. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Mg при разных температурах [2]

Рис. 2.9. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Mg при разных температурах [2]

т. е. когда магнитное время равно упругому. Если постепенно уменьшать сильное поле, то сначала включается интерференция на траекториях с самой маленькой площадью S проекции на плоскость,

перпендикулярную магнитному полю, S ~ I2. Это произойдет в поле Вев По мере дальнейшего уменьшения поля включается интерференция на траекториях со все большими значениями S. Это сопровождается ростом сопротивления. Рост прекращается в поле Вр,

Вр = —у, когда тв = тф. efjp

(2.20)

Из этих рассуждений следует, что температура должна влиять на кривые Дху(В) лишь в малых полях В > Вр, а в больших полях В ~ Bei квантовые поправки от тем

пературы зависеть не должны. Наблюдаемый на рис. 2.9 вертикальный сдвиг кривых R(B) друг относительно друга в сильных полях объясняется температурной зависимостью классической части проводимости в магнитном поле.

Таким образом магнитное поле можно использовать как инструмент для обнаружения слабой локализации: свидетельством ее существования является отрицательное магнетосопротивление в слабом поле. Это экспериментальное доказательство существования слабой локализации как бы методом от противного, потому что мы видим процесс ее разрушения. Но как демонстрация слабой локализации зависимости от поля на рис. 2.9 ничуть не менее убедительны, чем температурные зависимости на рис. 2.3-2.5.

Из рассуждений, сопровождающих формулу (2.14), следует, что интерференционная добавка разрушается полем порядка Вр из-за разброса площадей замкнутых интерферирующих траекторий. Если сделать так, чтобы все замкнутые электронные траектории имели одну и ту же площадь S проекции на плоскость, перпендикулярную магнитному полю, то интерференционный вклад не разрушится,

а начнет осциллировать с полем по мере роста ср с периодом

(2.21)(2.21)л D Фо тПс

(2.21)

(2.21)

Такая конфигурация была реализована экспериментально. Если на кварцевую нить диаметром 2 г ~1 4- 2 мкм напылить тонкий слой 5т <^ т металла, то получится цилиндрическая пленка. Площадь S

проекции замкнутой диффузионной траектории на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, равна либо нулю, либо тгг2. Магнитное поле, направленное вдоль оси, на интерференцию траекторий с S = = 0 влияния не оказывает. В противоположность этому вклад от траекторий с S = тгг2 в проводимость вдоль оси цилиндра должен осциллировать с периодом (2.21). Для того чтобы этот вклад был сравним по величине с обычной квантовой поправкой, требуется выполнение условия S < Dt^ ~ L^: тонкий цилиндр и низкая температура. Однако осциллирующую добавку удается, по-видимому, наблюдать и в условиях S > L^.

в,эв,эв,эв,э

в,э

в,э

в,э

в,э

Рис. 2.10. Обусловленные слабой локализацией осцилляции в продольном магнитном поле сопротивления цилиндрических пленок Mg (из работы [9], здесь сплошные линии — это экспериментальные кривые для двух разных пленок, а стрелками показаны рассчитанные значения поля, при которых должны наблюдаться экстремумы сопротивления), Li (из работы [10], эксперимент показан сплошной линией, а расчет — штриховой) и А1 (из работы [11] — экспериментальные точки и расчетные кривые). На графиках для Li и А1 указан масштаб изменений не только сопротивления ДД, но и проводимости Z\G = AR/R .

На рис. 2.10 собраны экспериментальные кривые, полученные двумя экспериментальными группами на Mg, Li и AL Как видно из графиков, с теоретическими расчетами удается согласовать не только периоды осцилляций, но и зависимость их амплитуды от поля и монотонный ход.

Из наших предыдущих рассуждений следует, что в поле В = 0 сопротивление должно иметь максимум. Однако, так происходит только на Li, а на Mg и А1 осцилляции имеют противоположный знак. Мы вернемся к этому факту в следующем параграфе после обсуждения влияния на интерференцию спин-орбитального взаимодействия.

з*

Анти локализация

Две электронные волны, движущиеся в противоположных направлениях по замкнутой диффузионной траектории и интерферирующие на выходе, имеют фиксированную проекцию спина +1/2 или — 1/2. Фактически предполагается, что по каждой замкнутой траектории движутся два электрона с разными спинами, каждый в виде пары электронных волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Каждый электрон интерферирует сам с собой, когда две волны встречаются в исходной точке. Если переворотов спина нет, то эти два электрона совершенно независимы и вносят аддитивный вклад в квантовую поправку к проводимости. Однако все меняется при наличии спин-орбитального взаимодействия, когда спин электрона может переворачиваться при упругом рассеянии. Тогда движения по двум траекториям в одном направлении перемешиваются.

Спин-орбитальное взаимодействие возникает благодаря тому, что магнитный момент щ движущийся со скоростью v, создает в неподвижной системе координат электрическое поле е ос д х v. Это поле взаимодействует с полем Е зарядов, входящих в ионы, что и приводит к перевороту спина. Величина поля Е, а вместе с ней и интенсивность спин-орбитального рассеяния, которая пропорциональна

(2.22)(2.22)Ее ос Е [ д х v ],

(2.22)

(2.22)

сильно зависят от суммарного количества зарядов в ионах, т.е. от атомного номера Z атомов: ос ^ZaY^ где а = 1/137 - постоянная тонкой структуры. Поэтому влияние спин-орбитального взаимодействия сильнее в материалах с тяжелыми элементами.

Поскольку далеко не каждый акт упругого рассеяния сопровождается переворотом спина, время переворота спина много больше времени упругого рассеяния: т8О +> т. Отношение т8О/т тем больше, чем слабее спин-орбитальное взаимодействие. При этом т8О не зависит от температуры. Поскольку т^ ос при Т —> О, то при достаточно низких температурах

т < т8О < т^. (2.23)

Чтобы учесть перемешивание двух одинаковых замкнутых диффузионных траекторий с разными спинами, удобно считать, что в каждую сторону по траектории движется пара электронов. Спин такой пары на входе и на выходе может быть в одном из четырех состояний: полный спин либо 0 (синглет), либо 1, причем во втором случае возможны три разные проекции (триплет). Волновая функция пары

Ф имеет соответственно четыре компоненты:

ф =ф =/Фо \/Фо \(!) (2) р) _ лр _(!) (2) р) _ лр _\Ф1,1 /\Ф1,1 /1 / (!) (2) ।(1) (2)\\ ^w /1 / (!) (2) ।(1) (2)\\ ^w /(2.24)(2.24)

ф =

ф =

/Фо \

/Фо \

(!) (2) р) _ лр _

(!) (2) р) _ лр _

\Ф1,1 /

\Ф1,1 /

1 / (!) (2) ।(1) (2)\

\ ^w /

1 / (!) (2) ।(1) (2)\

\ ^w /

(2.24)

(2.24)

где (/Z1) и ср^ — волновые функции отдельно первого и второго электронов, а нижние индексы + или — относятся к спиновой части волновой функции и означают разные проекции спинов. Такая пара интерферирует сама с собой за счет обхода замкнутой траектории в противоположных направлениях. Полный интерференционный член возникнет как сумма четырех слагаемых — от трех волновых функций Ф1т с полным спином 1 (с проекциями т = 0,±1) и функции Фо со спином 0. Опуская выкладки, выпишем и прокомментируем окончательный результат

5одст5одстuX2dtuX2dt1\27 ’1\27 ’d = 1,2,3.(2.25)d = 1,2,3.(2.25)

5од

ст

5од

ст

uX2dt

uX2dt

1\

27 ’

1\

27 ’

d = 1,2,3.(2.25)

d = 1,2,3.(2.25)

По сравнению с формулами (2.6) и (2.9) в подынтегральном выражении в (2.25) появился новый множитель в виде скобки, состоящей из двух слагаемых. Первое слагаемое возникло от трех триплетных состояний Ф1т со спином 1. Экспоненциальное затухание в нем означает, что интерференция этих функций существенна только до тех пор, пока t < т8О, т. е. пока электроны помнят об изначальном спине. В этом интервале можно считать, что ехр(—t/rso) ~ 1, так что выражение в скобках порядка единицы, и подынтегральное выражение совпадает с тем, которое было без учета спина. Это естественно: ведь переворота спина еще не было.

Самое интересное происходит на временах

(2.26)(2.26)t < т^,

(2.26)

(2.26)

когда первым слагаемым в скобках можно пренебречь и остается только второе отрицательное слагаемое, происходящее от интерференции волновой функции Фо. Знак минус означает, что оставшаяся после переворотов спина интерференционная добавка не уменьшает, а увеличивает проводимость. Окончательный знак поправки зависит от того, какой интервал, t < т8О или t > т8О, дает больший вклад в интеграл (2.25). При т8О <С т^ вклад интерференции в проводимость положителен. Иногда это называют антилокализацией.

Не следует думать, что фазы волновой функции синглетной пары после обхода замкнутого контура в противоположных направлениях отличаются на тг. Интерференция фиксируется на временах t > т8О,

когда уже произошли перевороты практически всех спинов. Каждый переворот спина превращает триплетную пару в синглетную или наоборот, синглетную пару в триплетную. Поэтому при t > т8О синглетная часть волновой функции уже на три четверти состоит из «бывших» триплетов. А синглетные и триплетные волновые функции устроены по-разному: как видно из формулы (2.24), триплетные компоненты симметричны относительно перестановок частиц, а синглетная — антисимметрична. Именно это приводит к появлению минуса при вычислении амплитуды интерференционного вклада от синглетной части волновой функции.

Обратите внимание. Все сказанное справедливо только для спин-орбитального взаимодействия и не относится к рассеянию с переворотом спина на парамагнитной примеси. Перевернув спин примесного центра, электрон со спином у оказывается в состоянии со спином — д, которое ранее было пустым. Такой процесс аналогичен процессу обычного рассеяния без переворота спина и приводит не к антилокализации, а к слабой локализации.

Конечно, все эти рассуждения не заменяют прямых вычислений и потому могут вызывать чувство неудовлетворения. Посмотрим, однако, какой вопрос в проблеме авто локализации является чисто техническим, а какой — прнципиальным. Хорошо известно, что интенферен- ция может приводить не только к увеличению, но и к уменьшению амплитуды волны, причем конкретный знак изменений часто не очевиден. Достаточно вспомнить дискуссию в Парижской Академии Наук в связи с формулами Френеля: тот факт, что из них следует наличие светлого пятна на экране на оси пучка, диффрагирующего на круглом непрозрачном диске, сочли поначалу свидетельством несостоятельности теории волновой природы света, а после экспериментального обнаружения такого пятна — наоборот, убедительным доказательством ее правильности. Слабая анти локализация является столь же логически возможным результатом интерференции электронных волн, как и слабая локализация. Принципиальным и довольно неожиданным является другой факт: электронная волна продолжает принимать участие в интерференции после того, как спин-орбитальное взаимодействие перевернуло спин электрона.

Электроны находятся в контакте с окружающей их внешней квантовой системой, которую можно назвать термостатом. Судить о том, как скажется акт рассеяния на когерентности электронной волны, т. е. на ее способности к интерференции, можно по состоянию термостата. Упругое рассеяние бесспинового электрона не оставляет следов в термостате. Поэтому когерентность сохраняется, хотя электрон при рассеянии может оказаться в любом состоянии на сфере |k| = const. При неупругом рассеянии электрона на решетке состояние термостата меняется: в нем появляется или исчезает фонон. Соответственно электрон теряет когерентность.

Переворот спина тоже может произойти двумя способами. Когда электрон рассеивается с переворотом спина на магнитной примеси, то

из-за сохранении полного спина на примеси остается перевернутый спин. Это означает изменение состояния термостата, хотя вообще

говоря, не меняются ни энергия электрона, ни энергия термостата. И действительно, рассеяние на магнитных примесях вносит наряду с фононным рассеянием вклад в 1/т^ и не приводит к антилокализации. Переворот спина при рассеянии на немагнитных примесях в результате спин-орбитального взаимодействия не оставляет следов в термостате — и сохряняет когерентность электрона. Результат интерференции тем не менее меняется, потому что изменились интерференционные условия. Множество когерентных состояний заполняет теперь поверхности двух сфер: |k_ | = const и |к+1 = const, где индексы

+ или — означают направление проекции спина.

Антилокализацию удобнее всего наблюдать по зависимостям от разрушающего интерференцию магнитного поля. На рис. 2.11 приведены зависимости R(B) на пленках Си. Атомы Си более тяжелые, чем атомы Mg, н спин-ор- битальное взаимодействие при А, Ом рассеянии должно проявлять- д8 ся сильнее. И действитель- ’ но, сравнивая с соответствующими кривыми для Mg на рис. 2.9, видим при самых низ- 98,2 ких температурах появление дополнительного минимума в слабых полях. Согласно (2.17),^ ^

магнитное время тв ос BV ’ Поэтому при увеличении поля от нуля тв сравнивается сначала с т^ и съедает ту часть 98,0 интеграла (2.25), которая ответственна за антилокализацию. При этом проводимость

Рис.2.11. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Си при разных температурах [2]. Подбором параметров удается идеально провести теоретические кривые через экспериментальные точки.Рис.2.11. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Си при разных температурах [2]. Подбором параметров удается идеально провести теоретические кривые через экспериментальные точки.должна падать, а сопротивление растет. Затем тв сравнивается с т8О, область антилокализации в подынтегральной функции исчезает и дальнейшее увеличение поля разрушает обычную слабую локализа-

Рис.2.11. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Си при разных температурах [2]. Подбором параметров удается идеально провести теоретические кривые через экспериментальные точки.

Рис.2.11. Магнетосопротивление тонкой холодноосажденной пленки Си при разных температурах [2]. Подбором параметров удается идеально провести теоретические кривые через экспериментальные точки.

цию. Поскольку т8О не зависит от температуры, аде ростом температуры падает, при более высоких Т изначально нет области (2.26) и, соответственно, нет минимума на кривых R(B\

Интересно проследить за эволюцией кривых R(B) по мере умень

шения времени т8О. Такую возможность дает эксперимент на пленках Mg с напыленным сверху небольшим количеством атомов Au, играющих роль центров, рассеивающих с переворотом спина. Около кривых на рис. 2.12 справа указано количество Au в процентах заполнения моноатомного слоя, а слева — отношение времен тд/т8О, полученное

как подгоночный параметр при сравнении экспериментальных кривых с теоретическими.

Рис. 2.12. Магнетосопротивление тонких холодноосажденных пленок Mg, покрытых золотом. Толщина покрытия в процентах от одного атомного слоя указана справа от кривых. Слева указано отношение параметров Тг/тао, использованное для построения теоретических кривых, проходящих через экспериментальные точки; это отношение меняется практически пропорционально толщине покрытия золотом [2]

Вернемся к осцилляциям квантовой поправки к проводимости цилиндрических пленок (рис. 2.10). Обратную фазу осцилляций на Mg и А1 по сравнению с Li естественно объяснить влиянием спин-орби- тального взаимодействия. Хотя все три металла относятся к легким элементам, все же Li имеет существенно меньший атомный номер: Zli = 3, ZMg = 12, Zai = 13, так что различие в т8О при прочих равных условиях превышает два порядка.

Заметьте. Противоречие между данными для Mg на рис. 2.9 и рис. 2.10, имеющими разный знак производной dR/dB при В = 0, только кажущееся. Время, необходимое для прохождения диффузионных траекторий, охватывающих ось цилиндра, порядка тсу1 ~ т(г//)2. Интерференция на таких траекториях происходит на временах t > rcyi. Магнитное поле, которое разрушает интерференцию на этих временах, определяется соотношением (2.17). Оно порядка ЮЭ, как и период осцилляций на рис. 2.10. Фактически из фазы осцилляций для Mg и А1 следует, что на соответствующих кривых R(B) для плоских пленок должен быть минимум, как для Си, шириной не менее 10 Э. Такой масштаб на рис. 2.9 неразличим.

В формулу (2.22), качественно описывающую спин-орбитальное взаимодействие, кристаллический потенциал U входит дважды: через электрическое поле, Е = VH, и через скорость, которая есть производная от закона дисперсии, v = h^Dc/Ok. и которая тоже определяется кристаллическим полем. Поэтому кристаллическая структура материала и, в частности, его симметрия являются вторым, помимо

атомного номера Z, существенным фактором, определяющим спин- орбитальное взаимодействие и, соответственно, рассеяние. Особенно важным является центр инверсии кристаллического поля. При отсутствии центра инверсии выражение (2.22) формирует второй вклад в спин-орбитальное взаимодействие, который в ряде случаев может оказаться основным.

Большинство приведенных выше классических примеров слабой локализации и анти локализации реализованы на металлических пленках. Сейчас исследования двумерного электронного газа в основном осуществляются на гетероструктурах, в которых электроны находятся в узкой квантовой яме на границе двух кристаллических сред. При этом обычно используются вещества, кристаллические структуры которых не имеют центра инверсии. Однако спин-орбитальное взаимодействие в таком двумерном газе зависит также от формы и от асимметрии самой ямы (эффект Рашбы-Бычкова):

^U = (V[7)cryst + (Vt/)heter. (2.27)

А параметры ямы обычно можно менять, подавая электрическое напряжение на расположенный параллельно яме затвор. Поэтому появляется возможность переходить от локализации к антилокализации и обратно в двумерном электронном газе, меняя напряжение Vg на затворе. На рис. 2.13 и 2.14 приведены результаты двух подобных экспериментов. Не случайно, что на этих рисунках вдоль оси ординат отложена именно проводимость, которая определяется формулами

В, мТл

Рис. 2.13. Антилокализация, регулируемая напряжением Vg на затворе, в квантовой яме InGaAs/InP с высокой подвижностью электронов [12]. Температура 1,4 К. Кривые совмещены при значении поля 2мТл. Предполагается, что это поле полностью разрушило интерференционную поправку (△а = 0)

Рис. 2.14. Антилокализация, регулируемая напряжением Vg на затворе, в квантовой яме GaAs/AlGaAs с высокой подвижностью [13]. Точками показаны полученные экспериментальные данные. Температура 300 мК. Сплошные кривые это результат подгонки теоретических формул с использованием трех параметров. Кривые смещены для ясности вдоль вертикальной оси

и (2.25), а не сопротивление. Иначе было бы трудно сравнивать между собой кривые при разных напряжениях Vg на затворе, поскольку Vg сильно меняет концентрацию носителей и сопротивление двумерного электронного газа, а Ар = А ст /Д2. Такого сильного различия сопротивлений не было в экспериментах, представленных на рис. 2.9, 2.11 и 2.12. Поэтому там приведены графики сопротивления, которое непосредственно измеряется в экспериментах.

Межэлектронная интерференция )

К вопросу о терминологии. Название этого параграфа означает, что в нем пойдет речь о явлениях, вытекающих в конечном счете из волновых свойств электронов. Но то же самое можно сказать и о слабой локализации. Поэтому иногда, говоря об электронной интерференции, имеют в виду именно ее. А вместо межэлектронной интерференции говорят об электрон-электронном взаимодействии или пользуются названием эффект Аронова-Альтшулера. Однако, если придерживаться оптической терминологии, то слабую локализацию следует считать результатом электронной дифракции, а эффект Аронова-Альтшулера — результатом интерференции.

Слабая локализация происходит в результате интерференции электрона с самим собой благодаря возможности его движения по разным траекториям. Но интерференция возможна также и при взаимодействии разных электронов. Электроны, оказавшиеся вблизи друг друга в момент t = 0, при отсутствии рассеивателей разлетаются по баллистическим траекториям с фермиевской скоростью rF, и расстояние г между ними линейно растет со временем, т ~ vFt. В условиях диффузии среднее расстояние между ними растет гораздо медленнее: г ~ 1Цйт ирлДт • Диффузия удерживает электроны вблизи друг друга и тем самым создает условия для интерференции.

При слабой локализации время сбоя фазы т^ определяется неупругими столкновениями. При межэлектронном взаимодействии неупругих столкновений может вообще не быть, но зато электроны изначально имеют несколько разные энергии е^. Изменение фазы каждого электрона со временем определяется соотношением ехр (tip) = = exp \Д£г/ K)t\- Поэтому одинаковые в момент t = 0 фазы двух электронов с разностью энергий As через время Й/As будут уже различаться на величину порядка единицы.

Упругое рассеяние существенно только для электронов из интервала энергий

— Т < Ei < sF + Т.(2.28)

Поэтому среднее значение As ^ Т, а характерное время расфазировки тее П/Т.(2.29)

Соответствующий размер области интерференции равен

(2.30)

Величины тее и Lee играют в межэлектронной интерференции ту же роль, что величины т^ и L^ в слабой локализации, хотя механизм влияния на проводимость этих двух эффектов принципиально различный.

Диффузионный характер движения в первую очередь меняет частоту межэлектронных соударений. Когда две заряженные частицы пролетают друг мимо друга, энергия и импульс у каждой из них после разлета оказываются иными, нежели до встречи. В баллистическом пределе средний передаваемый при столкновении импульс — порядка /cF, эффективный размер области взаимодействия — 1/йр, а эффективное время взаимодействия — Й/s-p. Поскольку каждый акт рассеяния должен удовлетворять принципу Паули и закону сохранения энергии, начальное и конечное состояния рассеивателя могут лежать только в интервале энергий (2.28). Температура ограничивает число возможных столкновений: число электронов, с которыми может столкнуться данный электрон, пропорционально Т, и число конечных состояний, в которых может оказаться этот электрон в результате каждого такого столкновения, тоже пропорционально Т. Это вносит

новенийновенийв вероятность рассеяния Й/те множитель Т2, так что частота столк

новений

новений

(2.31)(2.31)h/re ~ T2/eF.

(2.31)

(2.31)

Здесь множитель l/sF добавлен из соображений размерности, поскольку sF — это единственный независимый параметр размерности энергии.

Выражение для частоты столкновений (2.31) принципиально меняется, если электроны не пролетают друг мимо друга по баллистическим траекториям, а диффундируют вблизи друг друга, рассеиваясь на примесях. Эффективный размер области взаимодействия теперь Lee >> 1/&F велик, а переданный в результате этого взаимодействия импульс q ~ 1 /Ьее мал. Именно это ограничение на величину передаваемого импульса, а не закон сохранения энергии, определяет частоту столкновений Й/те в этой области. Вместо Т2 в те входит qd. Чтобы получить размерность энергии для переменной Й/те, величину qd ос ос ^/Lde следует умножить на плотность состояний на Ферми-уровне, тоже зависящую от размерности пространства d: ga ~ е^2 ^"т1/2 (где m = hkp/vp это масса электрона). Вместо выражения (2.31) получит-

"е 9dLee

Отсюда

А тЩ2е1-(7т-Щ2 =А тЩ2е1-(7т-Щ2 =Т1/2т-1/2^ ТЕрЧ-1,Т1/2т-1/2^ ТЕрЧ-1,d = 1,

А тЩ2е1-(7т-Щ2 =

А тЩ2е1-(7т-Щ2 =

Т1/2т-1/2^ ТЕрЧ-1,

Т1/2т-1/2^ ТЕрЧ-1,

d = 2,(тТ<1).(2.33)

d = 3,

Чтобы различать рассеяние в баллистическом и в диффузионном режимах, обозначим частоту столкновений, определяемую формулой (2.31), через Й/т^11, а частоту, определяемую формулой (2.33), через Н)т^.

Заметьте. Диффузионный характер движения электронов на временах Й/Т не отменяет рассеяние с большой передачей импульса (2.31), а добавляет к нему рассеяние (2.33) в диффузионном канале.

Столкновения (2.33) вносят непосредственный вклад в скорость релаксации энергии и в формирование времени сбоя фазы т^. Но обмен импульсом между электронами при таких столкновениях несущественен, и сами по себе они не вносят заметного вклада в сопротивление, поскольку по смыслу самой постановки задачи 1/те <1/т. Но параллельно с включением диффузионного канала рассеяния взаимодействие электронов в процессе диффузии приводит и к изменению электронного спектра вблизи ферми-уровня.

Рассмотрим взаимодействие двух электронов с энергиями, отсчитанными от ферми-уровня, £ и — е. Время их расфазировки расходится

при е -л 0: тее = Ь/е. В гамильтониане их взаимодействия есть обменный член. Он появляется благодаря тому, что ввиду тождественности электронов, их можно менять местами. Этот член не влияет на рассеяние. Он лишь вносит небольшие добавки в энергию и плотность состояний электронов. Обычно это не имеет значения, поскольку эти добавки не зависят от энергии. Но поправка в обменный член от взаимодействия при диффузионном движении не теряется на общем фоне, потому что соответствующий вклад в плотность состояний зависит от энергии и максимален на ферми-уровне: эффективное время взаимодействия электронов с энергиями £ и — £ тем больше, чем меньше |s|. При Т = 0 плотность состояний вблизи ферми-уровня в зависимости от энергии £ имеет вид

(2.34)(2.34)ДЩ = 0, е) ~ aD)"d/2 ' 1п РШТ d = 2,

(2.34)

(2.34)

РАМ d = L

Это главный результат межэлектронного взаимодействия в диффузионном канале. Удерживая электроны друг около друга в г-про- странстве, диффузия тем самым увеличивает эффективное время их взаимодействия, что приводит к расталкиванию уровней.

Вообще говоря, взаимодействие влияет на само понятие плотности состояний, потому что при наличии взаимодействия распределение электронов по энергии зависит от их количества. Из-за этого плотность состояний, входящая, например, в формулы для теплоемкости, отличается от той, которая определяет транспортные свойства и вероятность туннелирования и о которой здесь идет речь. Этот вопрос более подробно обсуждается в Приложении Б. В частности, там отмечается, что кулоновское взаимодействие приводит к уменьшению эффективной туннельной плотности состояний из-за конечности времени рассасывания пространственной неоднородности зарядов, которая возникает при туннелировании. Из сказанного здесь видно, как диффузия влияет на это время.

В результате взаимодействия у функции д(Т = 0, е) при всех d появляется особенность на ферми-уровне е = Sp. Конечная температура, увеличивая среднюю разность энергий взаимодействующих электронов, обрезает особенность в плотности состояний

'9р.'9р.д(Т,г)д(Т,г)< 5(0,£),L(0,e = T),< 5(0,£),L(0,e = T),|ef - е| > ^/т, Г < |sF -< Й/пkr - в| < Г.|ef - е| > ^/т, Г < |sF -< Й/пkr - в| < Г.(2.35)(2.35)

'9р.

'9р.

д(Т,г)

д(Т,г)

< 5(0,£),

L(0,e = T),

< 5(0,£),

L(0,e = T),

|ef - е| > ^/т, Г < |sF -< Й/п

kr - в| < Г.

|ef - е| > ^/т, Г < |sF -< Й/п

kr - в| < Г.

(2.35)

(2.35)

Это схематически изображено на рис. 2.15, где особенность у функции р(0, е) показана пунктиром. Именно то, что в непосредственной окрестности ферми-уровня плотность состояний зависит от температуры, приводит к температурной зависимости соответствующей поправки к проводимости. Оценить величину этой поправки можно так же, как это было сделано для слабой локализации.

Рис. 2.15. Минимум плотности состояний на ферми-поверхности, появляющийся вследствие межэлектронного взаимодействия, и его зависимость от температуры (трехмерный случай)Рис. 2.15. Минимум плотности состояний на ферми-поверхности, появляющийся вследствие межэлектронного взаимодействия, и его зависимость от температуры (трехмерный случай)Рис. 2.16. Парное межэлектронное взаимодействие при сильном и при слабом упругом рассеянии. Под т подразумевается тел (2.38)Рис. 2.16. Парное межэлектронное взаимодействие при сильном и при слабом упругом рассеянии. Под т подразумевается тел (2.38)

Рис. 2.15. Минимум плотности состояний на ферми-поверхности, появляющийся вследствие межэлектронного взаимодействия, и его зависимость от температуры (трехмерный случай)

Рис. 2.15. Минимум плотности состояний на ферми-поверхности, появляющийся вследствие межэлектронного взаимодействия, и его зависимость от температуры (трехмерный случай)

Рис. 2.16. Парное межэлектронное взаимодействие при сильном и при слабом упругом рассеянии. Под т подразумевается тел (2.38)

Рис. 2.16. Парное межэлектронное взаимодействие при сильном и при слабом упругом рассеянии. Под т подразумевается тел (2.38)

Для того чтобы произошла межэлектронная интерференция, электроны, бывшие вблизи друг друга в момент t = 0, должны повстречаться вторично в течение времени тее. Вероятность такой встречи ц описывается теми же самыми интегралами, которые фигурировали в теории слабой локализации:

^(Де) « [ .d= 1,2,3,(2.36)

где As — разность энергий двух интерферирующих электронов. Это предопределяет функциональное подобие формул квантовых поправок к проводимости от слабой локализации и от межэлектронного взаимодействия:

d = 3 : Аеесг3 £з —const + —

22т

a = 2 :Дее(72«-^1п^«-2^1пЩ(2.37)

птПI

е2d = 1 : Aee(7i ~ — Lee.п

Эти поправки и поправки (2.11) от слабой локализации имеют одинаковую зависимость от размерности d. те же критерии размерности (2.8) и т. д. Однако вместо длины L^ определенной соотношениями (2.7), в них входит длина расфазировки (2.30).

Естественным способом экспериментального наблюдения межэлектронной интерференции должно было бы быть изучение транс-

портных свойств грязных металлов. Однако проблема в том, чтобы различить межэлектронную интерференцию и слабую локализацию. Главная зацепка — это отсутствие у межэлектронной интерференции сильной зависимости от магнитного поля. Однако использовать эту зацепку бывает не очень просто. Поэтому основные прямые демонстрации этого эффекта получены путем изучения плотности состояний. Минимум плотности состояний можно увидеть непосредственно в специальных туннельных экспериментах, описанных в Приложении Б.

Таким образом, мы столкнулись при описании межэлектронного взаимодействия с тремя характерными временами: с временем расфазировки диффундирующих электронов (2.29) и с временами рассеяния (2.31) и (2.33). Чтобы выяснить, когда какое из времен существенно, построим плоскость (температура — частота столкновений), выбрав в качестве масштаба на обеих осях фермиевскую энергию sF. Квадрат единичного размера на этой плоскости охватывает все возможные температуры и частоты столкновений (см. рис. 2.16).

Обратите внимание. Такой же квадрат используется по другому поводу в гл. 1 — см. рис. 1.8.

В эффекте слабой локализации упругие столкновения со статическими дефектами и столкновения с фононами играли разные роли: первые обеспечивали диффузию, последние приводили к сбою фазы. При межэлектронной интерференции у двух электронов изначально имеется разность скоростей изменения фазы, пропорциональная разности их энергий. Столкновения с фононами не выводят электроны из теплового слоя (2.28) и поэтому не увеличивают средней разности энергий между ними. Следовательно, эффективное время расфазировки тее не уменьшается. С другой стороны, фононы создают дополнительную неоднородность и эффект рассеяния на них суммируется с эффектом рассеяния на статических дефектах. Эффективность вклада каждого из этих процессов и в диффузию, и в электросопротивление зависит через множитель (1 — cos#) в интеграле столкновений от угла рассеяния 6. Вычисленные с учетом этой эффективности частоты столкновений с фононами 1/трн и с примесями 1/т в сумме дают эффективную частоту рассеяния

— = i .(2.38)

Teff Т Tph

Именно она отложена вдоль вертикальной оси на рис. 2.16, но соответствующий индекс у величины т на оси ординат на рис. 2.16 опущен.

Проведем диагональ квадрата на рис. 2.16. Уравнение диагонали

reff = П/Т(2.39)

очень похоже на уравнение (2.29), определяющее время расфазировки тее- Однако, как следует из построения, в него входит не тее, а эффективное время рассеяния Teff. Диагональ делит квадрат на два треугольника. Состояния в нижнем треугольнике называются

состояниями металла в чистом пределе, потому что взаимодействие между электронами происходит при их движении по баллистическим траекториям. Оно описывается обычным временем рассеяния (2.31). Однако заметить его на фоне фононного рассеяния можно только при низких температурах, где рр^ ос Г5, а ре ос Т2.

В верхнем треугольнике везде

Ke > Teff?(2.40)

т. е. время расфазировки много больше времени между упругими (и квазиупругими) столкновениями. Поэтому межэлектронное взаимодействие происходит в условиях диффузии. Этот треугольник называется областью диффузионного взаимодействия, а состояния в нем называются состояниями металла в грязном пределе. В этой области существуют два канала межэлектронного рассеяния: баллистический и диффузионный, и

— = ~Гт + Аг-(2.41)

Те ТеЬаИV 7

В системах с пониженной размерностью, d = 1 или 2, в верхнем треугольнике рассеяние в диффузионном канале сильнее:

^dlff ^ ПГЕ’(2.42)

и именно оно вносит основной вклад в формирование скорости сбоя фазы 1/т^, которая контролирует процессы слабой локализации. При d = 3 неравенство (2.42) реализуется только выше кривой

— = (Тг^1/3,(2.43)

которая проведена в верхнем треугольнике пунктиром. Но при любой размерности межэлектронное взаимодействие при Т > Н)т^ приводит к поправкам (2.34) в плотности состояний на ферми-уровне и к квантовым поправкам (2.37) в проводимости.

Обратите внимание. Сколь бы малыми ни были остаточное сопротивление До и ^-/к т. е. сколь бы чистым ни был металл, при низкой температуре Т <К/т он находится в грязном пределе, так что в его проводимости должна быть квантовая поправка. Но она сформируется лишь если размеры образца будут больше, чем Lee.

В любом случае она будет относительно очень мала.

Список литературы

Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — Наука, 1987.

Bergmann G. Weak localization in thin films // Phys. Rep. 107, 1 (1984).

Altshuler B.I., Aronov A.G. Electron-electron interaction in disordered conductors, in Electron-electron interactions in disordered systems. (Eds.: A.L. Efros, M. Pollak). — North-Holland, 1985.

Van der Dries L.. Van Haesendonck C., Bruynseraede Y, Deutscher G. [ [ Phys. Rev. Lett. 46, 565 (1981).

Дорожкин С.И., Долгополов B.T. // Письма в ЖЭТФ 36, 15 (1982).

Ovadyahu Z.^ Imry Y. // Phys. Rev. В 24, 7440 (1981).

Bishop D.J., Tsui D. C., Dynes R. C. Phys. Rev. Lett. 44, 1153 (1980).

Wolf P., Maret G. // Phys. Rev. Lett. 55, 2696 (1985).

Шарвин Д.КД Шарвин Ю.В. // Письма в ЖЭТФ 34, 285 (1981).

Альтшулер Б. Л., Аронов А.Гп Спивак Б.З., Шарвин Д.КД Шарвин Ю.В. // Письма в ЖЭТФ 35, 476 (1982).

Gijs М., Van Haesendonck С., Bruynseraede Y. // Phys. Rev. В 30, 2964 (1984).

Studenikin S.A.^ Coleridge P.T., Poole P., Sachrajda A. // Письма в ЖЭТФ 77, 362 (2003).

Miller J. В., Zumbuhl D.M., Marcus C.M., Lyanda-Geller Y.B., Goldhaber- Gordon D., Campman K., Gossard A.C. // Phys. Rev. Lett. 90, 076807 (2003).

4 В. Ф. Гантмахер

Глава 3

ВЛИЯНИЕ МЕЖЭЛЕКТРОННОГОВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ЭЛЕКТРОННЫЙЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР О

ЗЛ. Переход Пайерлса )

Исходный потенциал, в котором находятся все электроны в твердом теле, создается ионными остовами. Однако неравномерное распределение электронов в пространстве приводит к появлению дополнительных электрических полей и к перенормировке исходного потенциала. Поэтому каждый отдельный электрон чувствует потенциал, созданный не только ионами, ио и остальными электронами. В частности, такой перенормировкой является экранирование. В металлах, где концентрация делокализованных электронов очень велика, а экранировка очень сильна, от исходного потенциала остается только малая часть, называемая псевдопотенциалом. Псевдопотенциал воздействует на одноэлектронный спектр только благодаря сохранившейся трансляционной симметрии исходного потенциала.

Однако часто воздействие электронов на собственный энергетический спектр не ограничивается простым экранированием. Электроны могут существенно изменить затравочный потенциал, даже понизить его симметрию. Самый яркий пример — это неустойчивость Пайерлса. Рассмотрим регулярную одномерную цепочку атомов с периодом а. Зоной Бриллюэна для нее является отрезок на оси к от —тг/& до тг / а (см. рис.3.1). На этом отрезке имеется 1/а состояний в расчете на единицу длины цепочки, в каждом из которых может находиться два электрона, всего 2/а мест для электронов. Пусть каждый атом отдает в общее пользование один электрон, так что их концентрация п = 1/а. Предположим для простоты, что температура Т = 0. Тогда п электронов займут п/2 состояний с наименьшей энергией в центре зоны Бриллюэна, расположенные на отрезке от —тг/2а до тг/2а. Предположим, что период атомов цепочки каким-то образом удвоился. Тогда период в обратном пространстве вдвое уменьшился и как раз на месте раздела между свободными и занятыми состояниями появилась дополнительная граница зоны Бриллюэна. На границе зоны в спектре е(к) имеется щель, а производная de/dk равна нулю

х) Большая часть материала этой главы излагается также в книге [1].

с обеих сторон. Поэтому, как видно из рис. 3.1, энергия свободных состояний \к\ > тг/2а при появлении дополнительной границы повы-

Рис. 3.1. Появление щели вокруг ферми-уровня в одномерной зоне Бриллюэна для цепочки металлических атомов. Справа плотность состояний g^Y две заштрихованные площади равны между собой. Пунктиром показана плотность состояний y(s) невозмущенного одномерного электронного газа силась, а энергия занятых состояний \к\ < тг/2а понизилась, а вместе с этим понизилась и энергия всей электронной системы. Положение ферми-уровня sF относительно дна зоны в точке к = 0 при этом не изменилось.

Таким образом, для электронной системы удвоение периода цепочки выгодно, потому что приводит к уменьшению ее энергии. Вопрос в том, как этого удвоения периода добиться. Простейший способ — это малое смещение (Аа)2 каждого второго атома; хотя при этом возникает проигрыш в упругой энергии, которая определяла период а, малое смещение (Аа)2 обычно оказывается все же выгодным, и его величина определяется минимумом полной энергии.

Предположение, что в цепочке имеется один электрон на атом, не принципиально. Если концентрация электронов п составляет долю а от концентрации атомов 1/а, п = а/а, то новая граница зоны Бриллюэна попадает на место раздела между занятыми и свободными состояниями при появлении в цепочке нового периода а = 2а/а. Подобрать подходящий период можно при любой концентрации носителей. При этом можно даже обойтись без смещений атомов цепочки, создав для образования дополнительного периода волну зарядовой плотности в самой электронной системе. Поскольку при появлении дополнительного периода появляется щель в спектре между занятыми и свободными состояниями и металл превращается в изолятор, то отсюда следует утверждение, что одномерного металла при абсолютном нуле вообще не может быть. При повышении температуры выигрыш электронной энергии постепенно уменьшается из-за появления пустых состояний под щелью, где энергия состояний понижена по сравнению с невозмущенным спектром, и заполненных состояний над щелью, где энергия состояний повышена. Поэтому при некоторой критической температуре произойдет фазовый переход в металлическое состояние.

В рассуждении Пайелса одномерность существенна, потому что в системах с большей размерностью ферми-поверхность всегда имеет

какую-то кривизну, а бриллюэновские поверхности разрыва энергии всегда плоские. Поэтому превратить трехмерный металл в изолятор за счет понижения симметрии не удается. Однако понижение электронной энергии при появлении новых плоскостей разрыва часто оказывается существенным. Именно этим объясняется само существование полуметаллов Bi, Sb и As, а также существование металлических сплавов с очень сложными структурами, имеющими много атомов в элементарной ячейке. Кроме того, в анизотропных средах были обнаружены волны зарядовой и спиновой плотности, образование которых сопровождается фазовыми переходами. Все это вместе превратилось в отдельное направление в физике твердого тела, которое находится вне рамок данного курса. Поэтому о переходе Пайерлса мы здесь упоминаем лишь очень бегло, не коснувшись таких вопросов, как масштаб смещений атомов при Т = 0, критическая температура перехода, при которой щель обратится в нуль, и т.п. (см., например, [2] или [3]).

А вообще мы о переходе Пайерлса упоминаем по двум причинам. Во-первых, на его примере удобно продемонстрировать принцип самовоздействия электронного газа на собственный энергетический спектр. Далее в этой главе мы познакомимся с тем, как этот принцип реализуется в разупорядоченной среде. Аналогия хорошо видна, например, при сравнении рис. 3.1 с рис. 3.7. Во-вторых, в начале гл. 5, где обсуждается понятие «чисто электронного фазового перехода», переход Пайерлса фигурирует в качестве отрицательного примера: хотя уменьшение электронной энергии является для него основным фактором, точка перехода определяется из энергетического баланса, в который входят и другие виды энергии, например, упругая.

Структура примесной зоны при слабомлегировании

В свое время зонная теория успешно объяснила деление твердых тел с идеальной кристаллической решеткой на металлы и изоляторы. В металлах ферми-уровень находится внутри одной или нескольких перекрывающихся зон, т. е. в области разрешенных значений энергии. В изоляторе он попадает в область запрещенных значений энергии; при этом количество свободных носителей при некоторой температуре Т определяется экспонентой, в показателе которой расстояние |Е7 — ф от ферми-уровня д до ближайшего края разрешенных значений Еь сравнивается с Т. Если \Еь — ф имеет порядок атомных энергий (1 eV, т. е. 10000 К), так что при комнатных температурах Тт ~

300 К

\ЕЬ- ф >ТГ, (3.1)

то проводимость при комнатной температуре неизмеримо мала и вещество является «истинным изолятором». Если же неравенство (3.1) не очень сильное, то имеется конечная проводимость, которая на-

зывается собственной. Собственная проводимость «вымерзает» при понижении температуры.

К вопросу о терминологии. Следуя традиции, сложившейся в физике полупроводников, в этой и следующей главах мы обозначаем ферми-уровень через щ в остальной части книги вместо этого употребляется термин ферми-энергия, обозначаемый через sF. И то и другое означает уровень энергии, который при абсолютном нуле температуры Т = 0 отделяет занятые электронные состояния от свободных. В металлах состояния вблизи ферми-уровня делокализованы, в полупроводниках и изоляторах они могут быть локализованы или вообще отсутствовать. В последнем случае говорят, что ферми-уровень находится в запрещенной зоне.

Из находящихся в запрещенной зоне уровней энергии примесей Eq наибольший интерес представляют те, которые находятся вблизи краев зон Еь. Они называются мелкими донорами или акцепторами. При их наличии ферми-уровень перемещается в окрестность Eq^ а количество свободных носителей и проводимость контролируются концентрацией примесей N и их энергией ионизации \Еь — Sq| в сравнении с Т. Соответствующая проводимость называется примесной.

Материалы, в которых имеется собственная или примесная проводимость, называются полупроводниками. Из сказанного понятно, что выделение этого класса веществ весьма условно и зависит, в частности, от температуры. При низких температурах это понятие «вымерзает» вместе с проводимостью. Однако название «полупроводники» прочно закрепилось за рядом веществ: Ge, Si, GaAs, InSb, InP и некоторыми другими.

Будем для определенности рассматривать полупроводник п-типа с шириной запрещенной зоны А. Пусть основная примесь в нем — мелкие водородоподобные доноры, т. е. доноры с энергией ионизации Eq <С А и с электронной волновой функцией, убывающей на больших расстояниях как ехр (—г/ав) (боровский радиус ав = Й(2ш*Ео)-1/2 = = Й2х/ш*е2, где и — диэлектрическая проницаемость, т* — эффективная масса). Очистить и легировать полупроводник так, чтобы в нем были только доноры и совсем не было акцепторов, невозможно. Наличие какого-то количества акцепторов в полупроводнике п-типа имеет принципиальное значение. Поскольку энергия электрона на акцепторе ниже, чем на доноре, все Na акцепторов захватят электроны с доноров и будут заряжены отрицательно, а из Nd > Na доноров Na потеряют свои электроны и будут заряжены положительно. Поэтому там обязательно есть случайные электрические поля, созданные 2Na хаотически расположенными зарядами. Энергии всех доноров из-за этих полей изменятся:

ej = E0 + Aej, А^ = -[у. 1 , - V,—L (3.2)

Первая сумма берется по всем акцепторам (переменный индекс а), а вторая — по всем ионизованным донорам (индекс id). Под индексом j понимается любой донор, штрих у второго знака суммирования означает, что когда индекс j относится к ионизованному донору, из суммы надо исключить член j = id с нулем в знаменателе.

Рис. 3.2. Электрические поля заряженных центров. Вверху на энергетической схеме кружками отмечены изначальные значения энергии доноров и акцептора, горизонтальными черточками — значения энергии доноров, скорректированные кулоновским потенциалом заряженных примесей. Этот потенциал показан внизу

Наличие сдвигов Ае^ означает, что даже в слабо легированном полупроводнике (Na^ <^ 1) из-за хаотических электрических полей Nd-кратно вырожденный уровень донора Eq расплывается в зону. Она называется примесной зоной. Ферми-уровень должен разделять заполненные уровни нейтральных и пустые уровни ионизованных доноров, т. е. находиться внутри этой примесной зоны (см. рис. 3.2).

Заметьте. Это превращение уровня в примесную зону при Na^ < 1 не связано с перекрытием волновых функций; оно имеет чисто классическую причину. Перекрытие, а при какой-то степени перекрытия и делокализация, возникают при более сильном легировании. Пока этого не произошло, все состояния в такой примесной зоне локализованы, а сам термин «зона» означает интервал энергий с отличной от нуля плотностью состояний.

Слабая компенсация. Рассмотрим случай, когда акцепторов мало, так что коэффициент компенсации К = Na/Nd ^ 1. Поскольку разноименные заряды притягиваются, в равновесии ионизованы будут те доноры, которые находятся близко к акцепторам. Неравенство Na ^ Nd означает, что среднее расстояние между акцепторами много больше, чем среднее расстояние между донорами. Поэтому каждый ионизованный донор можно приписать к определенному ак-

цептору и свести задачу к рассмотрению возможных локальных конфигураций заряженных доноров вокруг одного заряженного акцептора.

Если близко от какого-то акцептора расположены два донора, то они могут быть ионизованы оба. Пусть акцептор, который у нас всегда

заряжен отрицательно, расположен посередине между двумя донорами на расстоянии т от каждого (рис. 3.3, а) и пусть один из доноров ионизован, т. е. заряжен положительно. Приход положительного заряда из бесконечности на второй донор даст выигрыш в энергии е2 / ит благодаря притяжению к акцептору, а проигрыш из-за отталкивания от первого донора е2 (^ит будет в два раза меньше. Следовательнозаряжен отрицательно, расположен посередине между двумя донорами на расстоянии т от каждого (рис. 3.3, а) и пусть один из доноров ионизован, т. е. заряжен положительно. Приход положительного заряда из бесконечности на второй донор даст выигрыш в энергии е2 / ит благодаря притяжению к акцептору, а проигрыш из-за отталкивания от первого донора е2 (^ит будет в два раза меньше. Следовательнотакая конфигурация возможна и один акцептор может удержать около себя два ионизованных донора.Удержать около себя три ионизованных донора один акцептор не может. В самой благоприятной конфигурации доноры расположены в углах равностороннего треугольника (со стороной г), а акцептор в центре (рис. 3.3, б). Еслитакая конфигурация возможна и один акцептор может удержать около себя два ионизованных донора.Удержать около себя три ионизованных донора один акцептор не может. В самой благоприятной конфигурации доноры расположены в углах равностороннего треугольника (со стороной г), а акцептор в центре (рис. 3.3, б). Еслиг г ©—©—© уООг г ©—©—© уООабРис. 3.3. Реализуемые (а) и нереа-лизуемые (б) конфигурации заря-женных центровдва донора уже ионизованы, тоабРис. 3.3. Реализуемые (а) и нереа-лизуемые (б) конфигурации заря-женных центровдва донора уже ионизованы, то

заряжен отрицательно, расположен посередине между двумя донорами на расстоянии т от каждого (рис. 3.3, а) и пусть один из доноров ионизован, т. е. заряжен положительно. Приход положительного заряда из бесконечности на второй донор даст выигрыш в энергии е2 / ит благодаря притяжению к акцептору, а проигрыш из-за отталкивания от первого донора е2 (^ит будет в два раза меньше. Следовательно

заряжен отрицательно, расположен посередине между двумя донорами на расстоянии т от каждого (рис. 3.3, а) и пусть один из доноров ионизован, т. е. заряжен положительно. Приход положительного заряда из бесконечности на второй донор даст выигрыш в энергии е2 / ит благодаря притяжению к акцептору, а проигрыш из-за отталкивания от первого донора е2 (^ит будет в два раза меньше. Следовательно

такая конфигурация возможна и один акцептор может удержать около себя два ионизованных донора.

Удержать около себя три ионизованных донора один акцептор не может. В самой благоприятной конфигурации доноры расположены в углах равностороннего треугольника (со стороной г), а акцептор в центре (рис. 3.3, б). Если

такая конфигурация возможна и один акцептор может удержать около себя два ионизованных донора.

Удержать около себя три ионизованных донора один акцептор не может. В самой благоприятной конфигурации доноры расположены в углах равностороннего треугольника (со стороной г), а акцептор в центре (рис. 3.3, б). Если

г г ©—©—© у

ОО

г г ©—©—© у

ОО

аб

Рис. 3.3. Реализуемые (а) и нереа-лизуемые (б) конфигурации заря-женных центров

два донора уже ионизованы, то

аб

Рис. 3.3. Реализуемые (а) и нереа-лизуемые (б) конфигурации заря-женных центров

два донора уже ионизованы, то

ионизация третьего, описываемая как приход на него положительного заряда из бесконечности, даст проигрыш в энергии:

— (V3 — 2) < 0.

ИТ

Сказанное позволяет разбить акцепторы на три группы. TVq акцепторов вообще не имеют около себя ионизованных доноров, TVi имеют по одному, a N2 — по два ионизованных донора. Из условия электронейтральности No + TVi + N2 = Na следует уравнение для уровня Ферми:

МА = гад.(з.з)

Напишем выражение для Уо(ц). Пусть нуль на шкале энергий соответствует энергии изолированного донора. Как видно из рис. 3.2, для того чтобы акцептор принадлежал к группе N^ около него не должно быть доноров в радиусе тц = е2 /ир. Поэтому No есть умноженная на Na вероятность того, что донора нет в объеме (4тг/3)г^:

МА = na exp (-^ г^Кц^ = Na expМА = na exp (-^ г^Кц^ = Na exp4тг т4тг т(3.4)(3.4)

МА = na exp (-^ г^Кц^ = Na exp

МА = na exp (-^ г^Кц^ = Na exp

4тг т

4тг т

(3.4)

(3.4)

где ed = (е2/n)N^3 — энергия кулоновского взаимодействия на среднем расстоянии между донорами ND^3.

Вычисление ^(д) несколько сложнее. Вероятность того, что два ближайших к акцептору донора расположены на расстояниях щ = | г11

и тд = |г21 > ri в элементах объема dri and dr 2 равна

Nd exp ^-^-rlND^ exp (-y (4 ~ri)ND^ dridr2 =

= Nd exp (~y гДо) dridr2. (3.5)

обоихобоихЧтобы оба донора были ионизованы, уровни электронов на

обоих

обоих

должны быть выше щ

сеее

= ——г > Щ £2 =,Г > Ц- (3.6)

м|п| м|п-г2|м|г2|^|ri-r2|х 7

Тогда

ЛДЛ = NaNd drT dr2expЛДЛ = NaNd drT dr2expГ2>Г1Г2>Г1^t2Nd^ ©(d - m)q(£2^t2Nd^ ©(d - m)q(£2- Д- Д

ЛДЛ = NaNd drT dr2exp

ЛДЛ = NaNd drT dr2exp

Г2>Г1

Г2>Г1

^t2Nd^ ©(d - m)q(£2

^t2Nd^ ©(d - m)q(£2

- Д

- Д

Рис. 3.4. Плотность состояний в примесной зоне при слабой (К < 1) и при сильной (1 — К <С 1) компенсациях. Заштрихованы заполненные состояния, энергия отсчитывается от уровня ЕоРис. 3.4. Плотность состояний в примесной зоне при слабой (К < 1) и при сильной (1 — К <С 1) компенсациях. Заштрихованы заполненные состояния, энергия отсчитывается от уровня Ео(3.8)(3.8)(3.9)(3.9)

Рис. 3.4. Плотность состояний в примесной зоне при слабой (К < 1) и при сильной (1 — К <С 1) компенсациях. Заштрихованы заполненные состояния, энергия отсчитывается от уровня Ео

Рис. 3.4. Плотность состояний в примесной зоне при слабой (К < 1) и при сильной (1 — К <С 1) компенсациях. Заштрихованы заполненные состояния, энергия отсчитывается от уровня Ео

(3.8)

(3.8)

(3.9)

(3.9)

{

1 при x > 0,

(3. 0 при x < 0.

Вычисленная по формуле (3.7) величина ^(д), вообще говоря, несколько занижена: может оказаться, что два донора, ближайших к акцептору, не могут быть одновременно ионизованы, так как они находятся слишком близко друг к другу. Такой акцептор в (3.7) учтен не будет. Однако по другую сторону от этого акцептора может быть расположен еще один донор на расстоянии тд > тд, который тем не менее может составить ионизованную пару с одним из ближайших доноров. Однако соответствующая поправка очень мала, менее одного процента. Подставив результаты вычислений (3.7) вместе с поправкой и (3.4)

в уравнение (3.3), получим величины No = N2 и VVi и положение ферми-уровня:

No = N2 = 0,0 013 77л,771 = 0,97477л,

ц £3 0,99sd.

График плотности состояний схематически представлен слева на рис. 3.4.

Заметьте. Площадь под кривой д^ равна Nd, а эффективная ширина порядка ed. Смысл коэффициента 0,99 в соотношении (3.9) чисто символический: показать, что он возник в результате расчета и есть нечто большее, нежели просто «порядка единицы». В то же время этот расчет ничего не говорит о степени симметричности кривой д^ относительно Eq.

Зависимость ц — Eq от Nd можно экспериментально проверить благодаря тому, что эта разность есть энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим центрам (относительно прыжковой проводимости см. гл. 4). На рис. 3.5 приведены данные двух разных экспериментов на n-Ge. Видно, что по крайней мере при малых Nd эксперимент подтверждает зависимость (3.9). При больших Nd, вероятно, становится существенным перекрытие волновых функций электронов на центрах, которое не учитывалось описанным выше классическим расчетом.

Рис. 3.5. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим центрам в зависимости от концентрации примесей, Ge:P — [4]; Ge:Sb — [5]. Прямой показана теоретическая зависимость (3.9)

Заметьте. И плотность состояний, и положение ферми-уровня сформировались в том потенциальном рельефе, который был создан самими электронами, в принципе имевшими возможность распределиться по донорам С^ способами. Приведенное выше решение было получено в пределе К <С 1; оно описывает функцию д^ на масштабе ed. По мере роста К растет и число С^ способов размещения электронов на донорах, что дает основания ожидать усложнение функции д^г\ И действительно, как показано в § 3.3, у функции д^ возникает дополнительная структура с меньшим масштабом в окрестности щ

Сильная компенсация. Рассмотрим другой предельный случай

(3.10)(3.10)1 — К <^ 1, п = Nd — Na <^ Nd-

(3.10)

(3.10)

К вопросу о терминологии. Буквой п у нас везде обозначается количество носителей, а если электроны локализованы, то количество «потенциальных носителей». В соответствии с этим здесь п = Nd — Na определяет количество электронов, оставшихся в полосе донорных состояний; в противоположность им Na электронов и при слабой, и при сильной компенсации ушли на акцепторы и вообще как бы вышли из игры. Под игрой (под будущей игрой) здесь понимаются прыжковая проводимость при низкой но ненулевой температуре, переход металл-изолятор при увеличении п, и т. д.

В условиях (3.10) большая часть доноров ионизована. Нейтральным останется лишь тот донор, который расположен слишком близко от другого ионизованного донора: в парах близко расположенных доноров один остается нейтральным, поскольку его энергия понижена на е = е2 f иг в поле положительно заряженного соседа (здесь т — расстояние между донорами в паре).

Вероятность иметь близкого соседа на расстоянии от г до г + dr есть

vTdr = Nd • 4тгг2(/г,(3.11)

вероятность понизить энергию на е за счет соседа равна

v£de = Nd • ^лт2^ de = -Nd • 4тг^е ^ de. (3.12)

Умножив на Nd и разделив на 2, чтобы не учитывать один донор дважды, получим плотность состояний для пар

32/3

(3.13)(3-14)(3.13)(3-14)(3.15)(3.15)Ы£) = 2itND^, ed = 6 ° .

(3.13)

(3-14)

(3.13)

(3-14)

(3.15)

(3.15)

Уровень Ферми находится из условия

| g2^)de = п.

Отсюда

_DD1/3 fND^_ ^i/3 £d

(см. схематический график в правой части рис. 3.4).

Формула (3.15) содержит, помимо Nd, еще один переменный параметр, а именно (1 — К). Зависимость от него тоже может быть проверена по измерениям энергии активации прыжковой проводимости по ближайшим центрам. Сравнение приведено на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим центрам в зависимости от коэффициента компенсации [6]. В правой части, при К > 0, 5, теоретическая кривая выходит на зависимость (3.15)Рис. 3.6. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим центрам в зависимости от коэффициента компенсации [6]. В правой части, при К > 0, 5, теоретическая кривая выходит на зависимость (3.15)Кулоновская щель

Рис. 3.6. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим центрам в зависимости от коэффициента компенсации [6]. В правой части, при К > 0, 5, теоретическая кривая выходит на зависимость (3.15)

Рис. 3.6. Энергия активации при прыжковой проводимости по ближайшим центрам в зависимости от коэффициента компенсации [6]. В правой части, при К > 0, 5, теоретическая кривая выходит на зависимость (3.15)

В пределах слабой К < 1 и сильной 1 — К <С 1 компенсации получилась колоколообразная плотность состояний д^ с максимумом вблизи Eq и с ферми-уровнем на одном из крыльев распределения (рис. 3.4). Можно было бы ожидать, что при постепенном росте К ферми-уровень плавно смещается с одного края мало меняющейся

функции д^ на другой, приходясь на ее максимум при К ~ 0,5, когда электронов в 2 раза меньше, чем центров в примесной зоне.

То, что это не так, видно из приведенного на рис. 3.7 результата компьютерного моделирования для К = 0,5. Плотность состояний на этом графике отложена в единицах ^щ а энергия в единицах ed:

9о = —, eD = —Np3.(3.16)

Ферми-уровень р действительно оказался близко к Eq = 0, но при значении Е = р у функции д^ появился минимум дЛ) = °-

Этот результат требуется осмыслить и объяснить.

Рис. 3.7. Плотность состояний в примесной зоне при коэффициентах компенсации К = = 0,5 по результатам компьютерного моделирования [7]. За-Рис. 3.7. Плотность состояний в примесной зоне при коэффициентах компенсации К = = 0,5 по результатам компьютерного моделирования [7]. За-Предпосылкой для такого результа- штрихованные площади рав- Nны (ср. с рис. 3.1).

Рис. 3.7. Плотность состояний в примесной зоне при коэффициентах компенсации К = = 0,5 по результатам компьютерного моделирования [7]. За-

Рис. 3.7. Плотность состояний в примесной зоне при коэффициентах компенсации К = = 0,5 по результатам компьютерного моделирования [7]. За-

та является большое количество вариантов распределения электронов по центрам: есть из чего выби

рать.

g^W = g^de = Nd,g^W = g^de = Nd,(3.17)(3.17)Нетрудно объяснить, почему это распределение оказалось предпочтительным. Сравним его с «ожидавшимся», с показанной на рис. 3.7 пунктиром кривой д(г) с теми же крыльями и той же площади

g^W = g^de = Nd,

g^W = g^de = Nd,

(3.17)

(3.17)

(3.19)(3.19)Ej -Ei~ > 0, Ej ~ Ei<EEj -Ei~ > 0, Ej ~ Ei<E(3.20)(3.20)

(3.19)

(3.19)

Ej -Ei~ > 0, Ej ~ Ei<E

Ej -Ei~ > 0, Ej ~ Ei<E

(3.20)

(3.20)

но без минимума. Нетрудно видеть, что средняя энергия £_ состояний ниже уровня Ферми уменьшилась:

так как центр тяжести этой части распределения сместился в область меньших энергий. Поскольку при низких температурах занятые состояния находятся преимущественно в этой части спектра, полная энергия электронного газа

Ё= | egW (^) de, /(ж) = (ехрж + 1) 1

уменьшится, несмотря на то. что средняя энергия е+ состояний в части спектра s > у увеличилась. Эти рассуждения похожи на те, которые объясняют наличие перехода Пайерлса в одномерной системе. Сравнивая изменения плотности состояний от у(е) к д^ из-за неустойчивости Пайерлса (рис. 3.1) и при образовании кулоновской щели (рис. 3.7), нетрудно видеть, что уравнения (3.17)—(3.19) применимы в обоих случаях.

Заметьте. Из этой аналогии видно, что температура может изменять плотность состояний д^ и кулоновскую щель.

Для того чтобы показать, как и насколько изменяется функция д^ вблизи щ воспользуемся следующим рассуждением. Пусть в равновесии при Т = 0 два состояния из интервала энергий (у — е/2, у + + s/2), одно заполненное: Ei < щ а другое пустое: Ej > щ находятся на расстоянии Tij. Унесем электрон с центра г на бесконечность. Тогда энергия уровня j понизится до Ej — е2 /ит^. Но она все равно должна остаться больше е^ иначе изначально более выгодной была бы конфигурация «центр з заполнен, центр г пустой». Из

следуют зависящие от е ограничения снизу для rij и сверху для N:

Поскольку энергия £ принимает здесь произвольные, сколь угодно малые значения, заменяя знак неравенства на знак равенства и дифференцируя, получаем

9(e) = ^ ос (с - ^)2.(3-22)

Использование знака равенства означает, что мы выбрали самую малую степень (е — д) из всех, удовлетворяющих соотношениям (3.21).

Такое поведение функции д^ вблизи р называется мягкой кулоновской щелью. «Мягкой» потому, что д^ обращается в нуль только в одной точке, а «кулоновской» потому, что она возникла в результате кулоновского взаимодействия.

Формулы (3.21) и (3.22) написаны для трехмерной среды. В двумерном случае из аналогичных рассуждений следует

,9(e) = ^ ос Д|е-^|.(3.23)

Во всех рассуждениях по поводу кулоновской щели коэффициент компенсации К в явном виде не фигурировал. Следует полагать, что функция д^ обращается в нуль на ферми-уровне не только при К ~ ~ 0,5, но и при значениях К, расположенных ближе к краям интервала (0, 1). Это подтверждается результатами компьютерного моделирования, представленными на рис. 3.8 в том же самом масштабе (3.16), что и на рис. 3.7.

Рис. 3.8. Плотность состояний в примесной зоне при коэффициентах компенсации К, равных 0,1 и 0,9, по результатам компьютерного моделирования [7]

Заметьте. Распределение при К = 0,9 шире, чем при К = 0,1. Этого следовало ожидать из сравнения формул (3.9) и (3.15): в (3.15) имеется дополнительный численный множитель около 1,3 и множитель (1 — К)1^3 в знаменателе. Хотя формулы (3.9) и (3.15) не содержат кулоновской щели, ширину кривых и положение ферми-уровня они отражают правильно.

Кулоновская щель непосредственно влияет на температурную зависимость прыжковой проводимости электронов в окрестности ферми-уровня (прыжки с переменной длиной). Это позволяет экспериментально изучать кулоновскую щель. Мы подробно обсуждаем этот вопрос в гл. 4 о прыжковой проводимости. Там же приведены и экспериментальные кривые, которые, в частности, дают пищу для размышлений о том, в какой мере кулоновская щель — универсальное явление, и существуют ли изоляторы с постоянной, отличной от нуля плотностью состояний в окрестности ферми-уровня.

Прыжковая проводимость — это косвенная демонстрация существования кулоновской щели. Существует и более прямой метод — измерение вольт-амперных характеристик туннельных контактов. Из таких непосредственно измеренных характеристик можно извлечь функцию плотности состояний в окрестности ферми-уровня. Обычно свойства исследуемого материала постепенно меняют, начиная с металлического состояния и кончая изолятором. В ходе такой трансформации на ферми-уровне появляется минимум в плотности состояний, который расширяется и углубляется, доходя до р(д) = 0. Обычно параллельно наблюдают радикальные изменения характера температурной зависимости проводимости. В интерпретацию таких экспериментов вовлекается не только кулоновская щель, но и особенности межэлектронного взаимодействия в грязных металлах, переходы металл- изолятор, прыжковая проводимость и т.п. (см. Приложение Б). Во всех этих вопросах кулоновское взаимодействие играет существенную роль.

Поучительно проследить развитие понятия кулоновской щели. Оно появилось как реакция на экспериментальные исследования прыжковой проводимости, которые обнаружили температурные зависимости проводимости, не соответствующие ни активационному закону Аррениуса (4.13), ни закону Мотта (4.19) при переменной длине прыжка и постоянной плотности состояний в окрестности ферми- уровня. Введение понятия кулоновской щели позволило последовательно и достаточно полно описать имеющиеся экспериментальные данные по прыжковой проводимости (см. гл. 4). Более того, предсказанная формулами (3.22) и (3.23) форма кулоновской щели была экспериментально подтверждена в туннельных экспериментах.

На рис. 3.9 и рис. 3.10 представлены туннельные характеристики, полученные на контактах, в которых один электрод — металл, а другой — изолятор. Как показано в Приложении Б, величина di/dV, отложенная по оси ординат на этих характеристиках, пропорциональна плотности состояний в изоляторе, а приложенное к контакту напряжение определяет отсчитанную от ферми-уровня энергию, к которой относится эта плотность состояний. В обоих изоляторах обнаруживается кулоновская щель, причем в объемном Si:B щель параболическая, в соответствии с формулой (3.22), а в сверхтонких пленках Be она меняется линейно с энергией, как это и предсказывается формулой (3.23). Более подробно измерения на обоих веществах обсуждаются в Приложении Б.

Рис. 3.9. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с Si:В, находящимся в состоянии изолятора из-за малого количества носителей [8]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 5Рис. 3.9. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с Si:В, находящимся в состоянии изолятора из-за малого количества носителей [8]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 5Рис. 3.10. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с ультратонкой высокоомной пленкой Be при Т = 0,7 К [9]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 6Рис. 3.10. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с ультратонкой высокоомной пленкой Be при Т = 0,7 К [9]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 6

Рис. 3.9. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с Si:В, находящимся в состоянии изолятора из-за малого количества носителей [8]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 5

Рис. 3.9. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с Si:В, находящимся в состоянии изолятора из-за малого количества носителей [8]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 5

Рис. 3.10. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с ультратонкой высокоомной пленкой Be при Т = 0,7 К [9]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 6

Рис. 3.10. Дифференциальная проводимость туннельного контакта с ультратонкой высокоомной пленкой Be при Т = 0,7 К [9]. Полную серию кривых см. в Приложении Б на рис. 6

Вместе с тем на теоретическом уровне с самого начала оставалось некоторое чувство неудовлетворенности. Рассуждения (3.20)— (3.22) эквивалентны учету только парного межэлектронного взаимодействия, поскольку при перемещении электрона с центра г на центр j расположение остальных электронов предполагалось неизменным. Между тем это перемещение могло бы стимулировать цепочку перемещений других электронов. Тогда следовало бы сравнивать между собой энергии конфигураций, отличающихся числами заполнений не двух, а большего количества центров. Это должно было бы существенно повлиять на электронный спектр. Поэтому решающее слово в вопросе о форме кулоновской щели за экспериментом. Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.

Список литературы

Шкловский Б. И., Эфрос А. Л. Электронные свойства легированных полупроводников. — Наука, 1979.

Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. — ИЛ, 1956.

Gruner G. Density Waves. — Perseus Books, 2000.

Шкловский Б. И., Шлимак И. С. // ФТП 6, 129 (1972).

Fritzsche Н. // J. Phys. Chern. Sol. 6, 69 (1958).

Mott N.F., Twose W.D. // Adv. Phys. 10, 707 (1963) и УФН 79, 691 (1963) по данным H. Fritzsche и M. Cuevas

Efros A.L., Lien N. И, Shklovskii B.L // J. Phys. C 12, 1023 (1979).

Massey J. G.. Lee M. // Phys. Rev. Lett. 77, 3399 (1996).

Butko V. Yu., DiTusa J.F., Adams P.W. // Phys. Rev. Lett. 84, 1543 (2000).

Глава 4

ПРЫЖКОВАЯ ПРОВОДИМОСТЬ О

Локализованные состоянияи переходы между ними

В этой главе мы будем говорить только о локализованных состояниях. Определим их как состояния, волновые функции которых сосредоточены в основном в ограниченной области пространства и экспоненциально спадают с расстоянием вне этой области:

Ф JW"^ при г ОО.

Коэффициент £ в показателе экспоненты называется радиусом локализации или локализационной длиной. Например, в центральносимметричной трехмерной потенциальной яме

волновые функции на бесконечности убывают как

где Е — положение уровня, отсчитанное от верхнего края ямы.

Волновые функции электрона на уровнях одномерной прямоугольной ямы затухают по закону

ф(х) ос ехр(-х/£),(4.2)

т. е. /(ж) = const. Радиус локализации определяется тем же выражением (4.1), что и в трехмерном случае. В частности, в мелкой яме шириной aw и глубиной Uq <^ Й2/(ша^), в которой имеется всего один уровень, волновая функция затухает на длине £ = №/(mawUo).

Обратите внимание в последнем примере на различие между размером ямы aw и длиной £, на которой затухает волновая функция электрона.

х) Несколько иное изложение тех же вопросов можно найти в книге [1]; прыжковой проводимости посвящена также большая коллективная монография [2].

Длина локализации в притягивающем кулоновском потенциале U = —е^/г, создаваемом единичным зарядом е, называется боровским радиусом а в = Й2/(ше2). Уровни энергии Еп и асимптотика волновых функций электрона в атоме водорода пП зависят от главного квантового числа п и равны

Еп =С(п)гп-1 exp f—) при г ос (4.3)

п\ пав /

(п = 1,2,3,...),

где С(п) — это константа. Из выражения (4.3) видно, что локализационная длина электрона в атоме водорода зависит от главного квантового числа, £п = пав- В основном состоянии ф = ав-

При описании примесных центров в твердых телах, в частности, мелких доноров и акцепторов, о которых шла речь в предыдущей главе, обычно используется модель водородоподобных центров с боровским радиусом

в выражение для которого дополнительно входит диэлектрическая проницаемость х, а в знаменателе стоит вместо обычной эффективная масса электрона т*.

При конечных температурах локализованные состояния вносят вклад в процессы переноса. Перенос по локализованным состояниям возникает в результате прыжков носителей с одного локализационного центра на другой и поэтому называется прыжковой проводимостью. Важным постулатом всей концепции прыжковой проводимости является предположение, что все центры практически имеют различные энергии: два центра с одинаковой энергией находятся на бесконечном расстоянии друг от друга. При описании прыжковой проводимости будем исходить из модели примесной зоны при слабом легировании, считая, что примесные центры имеют координаты гр

Пусть концентрация примесей N мала, так что Na^ <У 1 и волновые функции электронов локализованы. Но благодаря экспоненциальным хвостам волновых функций перекрытие соседних примесных центров все же имеется, и в меру этого перекрытия существует конечная вероятность перехода (прыжка) электрона с одного центра на ДРУГОЙ:

2(4-5)2(4-5)4 ск F^ijjijp [ \Mq\2 5(hqs - ^ij)d3’

2

(4-5)

2

(4-5)

(s здесь скорость звука). Множитель exp (iqr) под интегралом в (4.5) — это волновая функция фонона, а дельта-функция обеспечивает выполнение закона сохранения энергии и отбирает фононы, которые нужно испустить или поглотить, чтобы компенсировать разницу энергий начального и конечного состояний А^- = е^ — Ej. В первом при-

5 В. Ф. Гантмахер

ближении квадрат интеграла сводится к множителю exp (—2rtj/ав\ Функция F аккумулирует в себе все статистические факторы, которые обуславливают переход: согласно принципу Паули переход возможен только на свободный уровень е^ поглотить фонон можно только, если он имеется в системе, и т. д. Аргументами функции F являются фермиевская

Ег — Д ,

ехр Т + 1

и бозевская1

функции распределения. В результате преобразований и пренебрежения второстепенными членами функция F обычно сводится к множителю ехр( —Eij/T\ где е^з — некоторая характерная энергия (не обязательно равная А^- = Ei ~ £j\ Этот множитель можно написать, исходя из физических соображений.

Таким образом, вероятность переходов 1/ту? между центрами г и j пропорциональна произведению двух экспонент. Соединим каждую пару примесных центров воображаемым сопротивлением R^j обратно пропорциональным вероятности переходов:

Ry=Roe^, uy = ^i + e-^. (4.6)

Получается сетка случайных сопротивлений, моделирующая изолятор. Она называется сеткой Абрахамса-Миллера. В равновесии электронные переходы между узлами сетки происходят с одинаковой вероятностью в обе стороны (принцип детального равновесия). Во внешнем электрическом поле появляется направленный поток электронов, т. е. конечная проводимость. Чтобы ее вычислить, нужно решить задачу о проводимости такой сетки.

На первый взгляд сетка Абрахамса-Миллера выглядит устрашающе, поскольку формально изначально каждый узел соединен со всеми остальными. Однако сопротивления между узлами, далеко расположенными друг от друга, экспоненциально велики; их можно без ущерба выкинуть, поскольку они заведомо зашунтированы существенно меньшими сопротивлениями. На этом основан общий принцип решения задачи. Из сетки последовательно убираются самые большие сопротивления до тех пор, пока сохраняется ее односвязность. Сопротивление сетки зависит от того, какие самые большие сопротивления пришлось оставить для сохранения связности. Это типичная задача теории протекания. Поэтому для понимания материала этой главы нужно ознакомиться с Приложением А (см., в частности, параграф А.4). Ниже мы будем обсуждать разные варианты прыжковой проводимости. В каждом варианте выделяется система существенных узлов, вычисляются значения R^ и решается соответствующая перколяционная задача.

Заметьте. Удельное сопротивление р регулярной ортогональной сетки с размером ячейки а и сопротивлением связи R зависит от размерности сетки d:

d = 1:р =R/а.

(4-7)(4-7)d = 2:р =R.

(4-7)

(4-7)

d = 3:р =Ra.

Эти же соотношения справедливы и для произвольной сетки, но под а и R подразумеваются средние величины.

Прыжки на ближайшие центры

Наиболее простой вид прыжковой проводимости реализуется при переходах между ближайшими соседними центрами. Плотность состояний в примесной зоне доноров при малой компенсации имеет вид кривой с максимумом при энергии порядка энергии ионизации изолированного донора Ed- Наиболее вероятно, что исходный и конечный пункты прыжка, если они ближайшие соседи, имеют энергии вблизи максимума плотности состояний. Для того чтобы прыжок реализовался, конечный пункт должен быть свободен. Вероятность такого события зависит от расстояния до ферми-уровня д и пропорциональна

ехр,(4.

и это самый малый множитель, входящий в функцию F в уравнении (4.5). Множитель ехр (—А^/Т), определяющий количество участвующих в переходах фононов, гораздо больше, поскольку А^- <С <С \р — Ed\. Поэтому величина гц^ входящая в выражение (4.6), для всех прыжков определяется расстоянием от максимума плотности состояний до ферми-уровня: е^ = Д — Ed\.

Заметьте. Это как раз тот самый случай, когда е^ ^ А^-.

Поскольку фактор (4.8) входит во все и^^ он не вносит вклада в разброс R^j и может быть «вынесен за скобки», т. е. не учитываться при анализе свойств сетки:

Rij = Ro ехрав

(чем ближе друг к другу расположены узлы, тем меньше сопротивление между ними в модельной сетке).

Задача свелась к определению перколяционного радиуса тс в системе случайно расположенных узлов, имеющих концентрацию N. Из теории перколяции известно (см. формулу (АЛО) в Приложении А), что

^-r3cN = Bc = 2,7,(4.9)

откудаоткудаТс = 0,865^“1/3Тс = 0,865^“1/31,73и ^^мтду1,73и ^^мтду(4.10)(4.10)Обратимся теперь к эксперименту. На рис. 4.1 приведены температурные зависимости сопротивления германия при различной концентрации примесей. У этого эксперимента две особенности. Во-первых

откуда

откуда

Тс = 0,865^“1/3

Тс = 0,865^“1/3

1,73

и ^^мтду

1,73

и ^^мтду

(4.10)

(4.10)

Рис. 4.1. График сопротивления образцов p-Ge с различной концентрацией примесей [3]Рис. 4.1. График сопротивления образцов p-Ge с различной концентрацией примесей [3]огромные диапазоны изменения измеренных сопротивлений (12 порядков!) и концентраций примесей (больше 3-х порядков). Во- вторых, замечательный способ введения примесей, обеспечивающий отсутствие корреляций в их расположении и строгое поддержание коэффициента компенсации. Чистый Ge облучается в реакторе потоком нейтронов. В результате ядерных реакций с нейтронами из ядер одних изотопов Ge получаются ядра Ga, т. е. мелкие акцепторы, а из ядер других — ядра As, т. е. мелкие доноры. Отношение количеств тех и других определяется сечениями соответствующих ядерных реакций и относительными концентрациями изотопов в облучаемом материале. При облучении природного германия получается p-Ge с коэффициентом ком

Рис. 4.1. График сопротивления образцов p-Ge с различной концентрацией примесей [3]

Рис. 4.1. График сопротивления образцов p-Ge с различной концентрацией примесей [3]

пенсации К = Na/Nd = 0,4. А сами концентрации Na и Nd и кон

центрация носителей п = Na — Nd зависят только от времени облучения.

ст = db + dh = dbo expст = db + dh = dbo expI T)I T)+ ано exp+ ано expI T ) ‘I T ) ‘Eb>Sh- (4.11)Eb>Sh- (4.11)Для описания совокупности полученных кривых предполагается существование двух параллельных проводящих каналов с экспоненциальными температурными множителями в каждом:

ст = db + dh = dbo exp

ст = db + dh = dbo exp

I T)

I T)

+ ано exp

+ ано exp

I T ) ‘

I T ) ‘

Eb>Sh- (4.11)

Eb>Sh- (4.11)

Канал аь — эт° обычная зонная проводимость в полупроводниках с мелкими примесями, которая обусловлена тепловым забросом электронов с примесных уровней в зону проводимости и их делокализацией. Этот канал доминирует при более высоких температурах, когда сопротивление выходит на общую предельную прямую в левой части графика на рис. 4.1. Экспоненциальный рост сопротивления вдоль прямой

р = рьоехр^ (4.12)

(еь это приблизительно энергия ионизации примеси) связан с вымерзанием носителей в зоне проводимости при низких температурах. Рост прекращается, когда основным становится другой механизм проводимости — прыжки электронов с одной примеси на другую без участия зоны делокализованных состояний. Температура кроссовера от одного механизма проводимости к другому, когда каналы аъ и сг^ сравниваются, тем выше, чем больше концентрация N основных примесей (в примере на рис. 4.1 — это Na\

В первую очередь обращает на себя внимание сильная зависимость величины ано от концентрации примесей. Экстраполируя к Т = сю, получаем табл. 4.1.

Таблица 4.1

10-15?/ (см-3)

0,15

1,5

3,5

35

ано (И • см)-1

ю-8

ю-6

ю-4

ю-1

Это означает, что ано имеет внутри себя еще один экспоненциальный множитель, так что экспериментальные данные описываются формулой

^(Т) = (7Мехр ^-^-) = ^oexp(-/(7V))exp (-^) ■(4.13)

Сравнивая выражение (4.13) с зависимостями (4.8) и (4.10), получим

(1,73 \/ |д Ed | \л 1 л\

= ^оехР Ilexp (1 •(4.14)

Следующая из выражения (4.14) функциональная зависимость In р ос 7V-1/3 иллюстрируется двумя экспериментальными графиками — см. рис. 4.2. Из наклона экспериментальных прямых на этих

Рис. 4.2. Сопротивление в зависимости от среднего расстояния между акцепторами N^1^3; Ge:Ga — из [3]; Si:B — из [4]

графиках получается численный коэффициент в показателе первой экспоненты в выражении (4.14). Значения этого коэффициента из

двух экспериментов рис. 4.2 вместе с другими аналогичными данными собраны в табл. 4.2.

Таблица 4.2

n-GaAs

n-InP

p-Ge

p-Si

1,7

1,9

1,9

1,8

1,88

1,75

1,9

2,0

Хотя в таблице собраны числа для разных материалов, они все близки к числу 1,73, фигурирующему в уравнении (4.10) и следующему из теории перколяции.

Самое важное в температурной зависимости на рис. 4.1 то, что эксперимент подтверждает функциональную зависимость 1п(р/ро) ос ос 1/Т: экспериментальные зависимости в правой части графиков на рис. 4.1 — это прямые линии.

Прыжки с переменной длиной прыжка

Закон Мотта. Условие реализации проводимости путем прыжков на ближайшие центры состоит в том, что должно быть много таких пар близких соседей, в которых один центр свободен. Если понизить температуру, сделав

Т< ц-Еп, (4.15)

то среди ближайших соседей, большинство которых имеют энергию Ed, окажется слишком мало свободных мест, и прыжки на ближайшие центры прекратятся. Тогда должны стать существенными прыжки между центрами, имеющими энергии в некоторой е-окрестно- сти ферми-уровня, где заведомо есть свободные места. Вопрос в том, сколь близко окажутся такие центры друг к другу.

Рассмотрим окрестность ферми-уровня д ± е и будем считать плотность состояний в ней константой: g = g^. Тогда число состояний в этой окрестности N(e) = g^E, среднее расстояние между ними т^ ~ ~ [7V(s)]-1/3, а разность энергий порядка е. Теперь основной статистический фактор F в уравнении (4.5) определяется вероятностью наличия фононов ср^, которые необходимы для выполнения закона сохранения энергии. Поскольку энергия требуемого фонона А^- ~ е, основной множитель в F порядка ехр ^—е)Т\

Оставим в случайной сетке Абрахамса-Миллера лишь те узлы, энергия которых попадает в интервал р ± е. Плотность узлов N(e) и среднее расстояние ту? между ними в получившейся подсетке зависят от пока не определенной величины е. Соседи в этой подсетке сое ди-

йены сопротивлениями (4.6), в которых величина utj равна

9р9р

'Л = Ш( ^/3 + | = 1/31/3 + I-(4Л6)

Определим s из условия, чтобы величина и^ была минимальна:

^^Д = 0,£ = £min==ГТмУ<\

d£\д^ ав /(4.17)

Тм ~ (д^в) 1 > т.

Среднее изменение энергии при прыжках внутри так определенной подсетки smin ~ (Т3ТмУ^4^ а средняя длина прыжка

/ л X1/4 /т \ V4

~ц*(4Л8)

Вероятность прыжка на меньшее расстояние уменьшается за счет множителя ехр(—А^/Т), а на большее — за счет множителя ехр(—2г^/ав). То, что средняя длина прыжка т зависит от Т, оправдывает название этого типа проводимости.

Средняя длина прыжка т является радиусом взаимодействия (АЛО) с точки зрения перколяционной теории. Нетрудно проверить, что она больше, чем среднее расстояние между узлами в подсетке:

ту = ав I I «г.

Хотя сама под сетка меняется с температурой, ее узлы, вероятности прыжков между которыми конечны,

образуют бесконечный кластер при любой температуре. Сопротивление подсетки равно

р = роехр (-^J.(4.19)

Величина ро зависит от температуры степенным образом, но обычно этой зависимостью пренебрегают.

Степень 1/4 в показателе экспоненты (4.19) получается только в трехмерном изоляторе. Для тонкой пленки

N « №]"1/2, иу= Д 1/2+^,(4.20)

аве '1

/ Т \ 2/3

Emin = -Л-= Л^ТмУ'У ТМ « (^Д)"1,(4.21)

\д^ аву

и вместо (4.18) и (4.19) получается

ииавав1/31/3(ТмХ1/3 Р = Ро ехр(^—J(ТмХ1/3 Р = Ро ехр(^—J(4.22)(4.23)(4.22)(4.23)

и

и

ав

ав

1/3

1/3

(ТмХ1/3 Р = Ро ехр(^—J

(ТмХ1/3 Р = Ро ехр(^—J

(4.22)

(4.23)

(4.22)

(4.23)

Используя обозначение d для размерности системы, формулы (4.19) и (4.23) можно объединить в одну:

/гр \ 1/(d+1)

(4.24)(4.24)Р = ро ехр (-Д ), Тм « (д^ав)"1.

(4.24)

(4.24)

Закон Эфроса—Шкловского. При выводе закона Мотта плотность состояний д^ вблизи ферми-уровня предполагалась постоянной. Но это не так при наличии кулоновской щели, когда

(4-25)(4-25)д^ « (^ kld \ д(о) = о\е /

(4-25)

(4-25)

(d — это размерность пространства, энергия £ отсчитывается от ферми-уровня — см. формулы (3.22) и (3.23) в гл. 3). Как и при выводе закона Мотта, введем симметричную относительно д окрестность ферми-уровня д ± е. Число состояний в этой окрестности теперь зависит от размерности d и равно

/ d

\ в /

Зато среднее расстояние г^- между центрами, принадлежащими этой окрестности, от размерности не зависит:

ту » \N^V,dту » \N^V,d2еИЕ2еИЕТеперь можно повторить все рассуждения предыдущего раздела. Показатель экспоненты для величины сопротивления в подсеткеТеперь можно повторить все рассуждения предыдущего раздела. Показатель экспоненты для величины сопротивления в подсеткеАбрахамса-Миллера сАбрахамса-Миллера сU^j —U^j —разбросом энергий е, 2£ _ 2е2aB\N(£^1/dТ ^ав£разбросом энергий е, 2£ _ 2е2aB\N(£^1/dТ ^ав££Т'£Т'(4-26)(4-26)

ту » \N^V,d

ту » \N^V,d

2е

ИЕ

2е

ИЕ

Теперь можно повторить все рассуждения предыдущего раздела. Показатель экспоненты для величины сопротивления в подсетке

Теперь можно повторить все рассуждения предыдущего раздела. Показатель экспоненты для величины сопротивления в подсетке

Абрахамса-Миллера с

Абрахамса-Миллера с

U^j —

U^j —

разбросом энергий е, 2£ _ 2е2

aB\N(£^1/dТ ^ав£

разбросом энергий е, 2£ _ 2е2

aB\N(£^1/dТ ^ав£

£

Т'

£

Т'

(4-26)

(4-26)

имеет минимум при

2

(4.27)(4.27)emm = y?TES^l\ TES« — иав

(4.27)

(4.27)

и, независимо от размерности, средняя длина прыжка

2е ав иТ2е ав иТавав№V/2\ т )№V/2\ т )(4.28)(4.28)

2

е ав иТ

2

е ав иТ

ав

ав

№V/2

\ т )

№V/2

\ т )

(4.28)

(4.28)

а сопротивление меняется по закону

/ т \ 1/2

р = poexp^^j .(4.29)

Формулы (4.26)-(4.29) заменяют формулы (4.16)—(4.19) для трехмерной среды и формулы (4.20)-(4.23) для двумерной.

Заметьте. Имеющая размерность энергии величина Tes не является шириной кулоновской щели 5е. Оценку для величины 5е можно получить, приравняв величину (4.25) к плотности состояний на ферми-уровне g(ja), вычисленной без учета щели.

4.4. Экспериментальные наблюденияпрыжковой проводимости

Таким образом теория предлагает несколько вариантов прыжковой проводимости. Задача эксперимента установить, где, когда и почему реализуется тот или иной вариант. Следует иметь в виду, что вариант прыжковой проводимости, реализующийся в конкретных условиях, зависит не только от соотношения параметров вещества, но и от температуры. На рис. 4.3 представлена естественная цепочка

Термическая делокализация носителей

ехр (-Д/Т)

Прыжки на ближайшие центры

ехр[-(ц-Е0)/Г)]

Прыжки с переменной длиной, закон Мотта (Т> 5е)

ехрИТм/Т)Ш1

Прыжки с переменной длиной, закон Эфроса-Шкловского (Т < 5е)

expK^/T)1'2]

Рис. 4.3. Изменение механизма прыжковой проводимости по мере умень-шения температуры. При каждой температуре показаны особенности вплотности состояний в соответствующем масштабе.

сменяющих друг друга с температурой механизмов проводимости. Эта цепочка построена в предположении, что ферми-уровень находится

в примесной зоне локализованных состояний слабо легированного полупроводника. Каждый следующий более низкий уровень в цепочке соответствует более низкой температуре Т, но на рис. 4.3 понижение Т каждый раз компенсируется увеличением масштаба, так что интервал энергий, равный Т, остается неизменным.

Переход от зонной проводимости термически возбужденных носителей к прыжковой с прыжками на ближайшие примесные центры очень хорошо виден на примере p-Ge на рис. 4.1: это излом между прямой hip ос (1/Т) в левой части графика, общей для всех концентраций Na, и прямыми, подходящими к ней справа, из области более низких температур. Другие варианты смены доминирующего типа прыжковой проводимости тоже неоднократно наблюдались, но они не столь наглядны. Это связано со спецификой экспериментального определения степени температуры в показателе экспоненты. При построении экспериментального графика в координатах (Т-1^, 1пр), где v = 1, 2, 3 или 4, получается прямая, если степень v подобрана правильно, и изогнутая линия в противном случае. Для того чтобы выяснить с достаточной точностью, укладывается ли получившаяся зависимость на прямую при той или иной степени Т, отложенной вдоль оси абсцисс, нужен достаточно большой интервал изменения функции. Это иллюстрируют графики температурных зависимостей сопротивления п-1пР. Отличить прыжки на ближайшие центры (^ = 1) от прыжков с переменной длиной (у ^ 1) довольно просто. Проводимость при прыжках на ближайшие центры в координатах рис. 4.4, а должна изображаться прямой линией; пунктирная кривая на этом рисунке соответствует закону Мотта. Экспериментальные точки существенно ближе к кривой, чем к прямой. Различить варианты прыжков с переменной длиной труднее. В том же п-1пР на рис. 4.4, б для того чтобы отличить v = 1/2 от и = 1/4, потребовался интервал изменения р в 5 порядков и скурпулезный учет предэкспо- ненциальных множителей.

Наиболее часто используемый и естественный диапазон температур в экспериментах по прыжковой проводимости это 4 — 0,04 К. То, какой именно механизм реализуется в этом диапазоне, зависит от конкретных параметров конкретного материала. Как видно из рис. 4.5, в GaAs в этом диапазоне температур hip следует закону Т-1/2 без каких-то бы то ни было отклонений. Следовательно, в этом материале имеется кулоновская щель шириной порядка нескольких градусов. В отличие от этого на Si:As (рис. 4.6) сопротивление при некоторых концентрациях следует закону Т-1/4 от примерно ЮК по крайней мере до 0,5 К. Это означает, что в Si:As кулоновская щель имеет ширину, заведомо меньшую, чем 0,5 К, либо щели в спектре нет вовсе.

Все материалы, обсуждавшиеся до сих пор в этой главе, это классические полупроводники с мелкими донорами или акцепторами. Все эти материалы естественным образом становятся изоляторами при понижении температуры. Чтобы не возникло впечатления, что прыж-

Рис. 4.4. Выяснение функциональной зависимости сопротивления n-InP от температуры путем построений в разных осях [5]. Штрихпунктирная прямая на рис. а показывает, как были бы расположены экспериментальные точки, если бы прыжки происходили между ближайшими соседями. Пунктирная линия соответствует температурным изменениям сопротивления при прыжковой проводимости по закону Мотта. На рис. б учтена температурная зависимость предэкспоненциального фактора

Рис. 4.5. График сопротивления образцов GaAs с различной концентрацией примесей в осях (T-V^iogp) [6]

Рис. 4.6. График проводимости образцов Si:As с различной концентрацией примесей в осях (Т"1^,^^ [7]

Т, КТ, КРис. 4.7. Температурная зависимость сопротивления ультратонкой пленкиBe [8]Рис. 4.7. Температурная зависимость сопротивления ультратонкой пленкиBe [8]и без кулоновской щели возможно.и без кулоновской щели возможно.

Т, К

Т, К

Рис. 4.7. Температурная зависимость сопротивления ультратонкой пленки

Be [8]

Рис. 4.7. Температурная зависимость сопротивления ультратонкой пленки

Be [8]

и без кулоновской щели возможно.

и без кулоновской щели возможно.

ковая проводимость — специфическое свойство этого весьма ограниченного класса веществ, приведем пример прыжковой проводимости в изоляторе совершенно другой природы — в пленке металлического вещества, столь тонкой, что проводимость в ней блокируется поверхностным рассеянием. Туннельные эксперименты на такой ультратон- кой пленке Be, выполненные при температурах 1 4- 0,5 К, демонстрируют существование кулоновской щели (см. рис. 3.10 и рис. Б.5). Рис. 4.7 показывает, что эта пленка является изолятором и транспорт в ней осуществляется путем прыжковой проводимости. Как и должно быть при кулоновской щели, сопротивление меняется по закону hip ос Г-1/2.

Таким образом экспериментально были обнаружены все описываемые теорией виды прыжковой проводимости. Тем не менее ряд фундаментальных вопросов пока остаются без экспериментальных ответов.

Во-первых остается неясным, всегда ли возникает кулоновская щель, или возможен изолятор с конечной плотностью состояний на ферми-уровне. То обстоятельство, что в экспериментах на п-1пР (рис. 4.4) и на Si:As (рис. 4.6) проводимость изменяется по закону Мотта, строго говоря, еще не означает, что кулоновская щель в этих материалах вообще отсутствует. Установлена лишь верхняя граница 0,3 4- 0,5 К возможной области существования кулоновской щели.

В принципе существование изолятора с локализованными состояниями на ферми-уровне Как мы видели, для того что-

бы образовалась щель, электроны должны иметь «пространство для маневра»: число вариантов распределения электронов по центрам должно быть достаточно велико. Этого может не быть из-за каких- то специфических особенностей структуры сети дефектов того или иного материала. Но экспериментальное изучение этого вопроса требует измерений при более низких температурах. Вместе с тем при расширении диапазона измерений в сторону низких температур из-за малости проводимости возникают затруднения с надежным ее измерением.

В трудность низкотемпературных измерений упирается изучение и второго фундаментального вопроса: с какой точностью выполняются в эксперименте уравнения (3.22) и (3.23) и подтверждается, что щель является мягкой. Согласно теоретическим оценкам, из-за кулоновского взаимодействия между несколькими частицами щель должна была

бы стать жесткой. Отсюда вытекает естественная экспериментальная задача: сделать еще один шаг вниз на схеме на рис. 4.3 и при более низких температурах постараться определить структуру функции д^ на расстояниях от ферми-уровня, существенно меньших, чем средняя ширина щели.

Следует иметь в виду еще одну возможность. Схема, изображенная на рис. 4.3, предполагает, что плотность состояний д^ не зависит от температуры и что смена механизмов проводимости обусловлена величиной энергии, которая может быть передана в термостат. Однако возможно, что д^ зависит от температуры и что мягкая щель превращается в жесткую при понижении температуры.

Все эти проблемы и трудности хорошо видны на примере изучения Si:B. График на рис. 4.8 с данными по сопротивлению Si:B в интервале температур от 4 К до 0,1 К иллюстрирует кроссовер от 1/4 к 1/2. Отклонение точек от прямой в нижней левой части основного графика с Т-1/2 на оси абсцисс показывает, что при температурах Т > 4 К закон 1/2 не работает. Но эта часть кривой спрямляется на вставке, построенная как функция от Т-1/4. Следовательно, выше 1К работает закон Мотта, а ниже — закон Эфроса-Шкловского. Это согласуется с измерениями электронного спектра при помощи туннельного контакта, обнаружившими при 1,15 К кулоновскую щель в Si:B (см. рис. 3.9 в гл. 3 и рис. Б.5 в Приложении Б).

Рис. 4.8. Графики сопротивления об- Рис. 4.9. Кроссовер в температур- разца Si:B в осях (T™1/2,logp) ной зависимости сопротивления оби (Г™1//4 log р) [9]разца Si:B от закона Мотта 1/4 к за’кону Аррениуса 1/Т. Минимальная

температура ниже, чем на предыдущем рисунке [10]

Однако экспериментальное наблюдение переходов с одного механизма на другой всегда страдает из-за того, что температурные интервалы при наличии кроссоверов недостаточно широки. Хотя самые низкотемпературные точки на основном графике на рис. 4.8 отклоняются от прямой в осях (Т-1/2, 1пр), эти отклонения остаются в пределах ошибок. Однако, расширение интервала измерений в сторону низких температур (рис. 4.9) уточняет сделанные выводы. Закон Мотта при Т > 1 К действительно выполняется. Однако при более низких температурах сопротивление Si:B ведет себя по-разному без магнитного поля и в сравнительно небольшом поле. В нулевом магнитном поле кроссовер происходит от 1/4 не к 1/2, а к 1, т. е. сопротивление при самых низких температурах следует закону Аррениуса р ~ exp (Tq/T) (рис. 4.9). Это означает, что кулоновская щель вблизи ферми-уровня из мягкой становится при более низких температурах жесткой: плотность состояний д^ обращается в нуль не только в одной точке на ферми-уровне, но в некотором интервале То энергий вокруг него;

Г, К

Рис. 4.10. Изменение функциональной зависимости сопротивления Si:B от температуры при наложении магнитного поля [10]

из графика следует, что То ~ 0,37 К (согласно туннельным измерениям, которые только что упоминались, ширина всей щели порядка ЮК).

Любопытно, что в магнитном поле щель остается мягкой: как видно из рис. 4.10, при Н > 2 Тл точки ложатся на прямые вплоть до самых низких температур.

Неясно, стала ли щель жесткой из-за кулоновского или из-за какого-то иного взаимодействия. Зависимость от поля дает основания полагать, что щель становится жесткой из-за спиновых корреляций; мы не будем обсуждать здесь этот вопрос.

Список литературы

Шкловский Б. И., Эфрос А. Л. Электронные свойства легированных полупроводников. — Наука, 1979.

Hopping transport in solids (eds. M. Pollak, B. Shklovskii). — North-Holland, 1991.

Fritzsche FL, Guevas M. // Phys. Rev. 119, 1238 (1960).

Rap R., Fan H. // Phys. Rev. 121, 768 (1961).

Mansfield R., Abboudy S., Foozoni F. // Philos. Mag. В 57, 777 (1988).

Rentzsch R., Friedland K. J., Ionov A.N. et al. // Phys. Stat. Sol. b 137, 691 (1986).

Shafarman W.N., Koon D.W., Castner T.G. // Phys. Rev. В 40, 1216 (1989).

Butko V. Yu., DiTusa J.F., Adams P.W. / / Phys. Rev. Lett. 84, 1543 (2000).

Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 75, 4266 (1995).

Dai P., Zhang Y., Sarachik M.P. // Phys. Rev. Lett. 69, 1804 (1992).

Глава 5

ПЕРЕХОДЫ МЕТАЛЛ-ИЗОЛЯТОР О

Фундаментальное различие между изолятором и металлом в том, что в изоляторе электронные состояния на ферми-уровне локализованы, а в металле — делокализованы. Если последовательным изменением какого-то параметра перевести изолятор в металлическое состояние, то произойдет изменение симметрии волновых функций. Металл от изолятора отличается этой симметрией. Определив понятия металл и изолятор через волновые функции электронов, нужно сразу же отметить, что основное физическое свойство, принципиально различное в материалах этих двух типов, это величина проводимости, т. е. возможность проводить ток во сколь угодно слабом электрическом поле. Это признак типа «да — нет»: либо проводимость а = О, либо сколь угодно мала, но отлична от нуля. Однако при конечной температуре Т ^ 0 изолятор тоже проводит ток путем прыжковой проводимости. Поэтому сформулированное определение изолятора относится только к температуре Т = 0. Чтобы ответить на вопрос, является исследуемый материал металлом или изолятором, необходимо экстраполировать экспериментальную зависимость а(Т) кТ = 0, хотя эта процедура громоздкая, неудобная, а часто и неоднозначная.

Заметьте. Многие годы считалось, что металлы и изоляторы можно различать по знаку производной при низких температурах, где у металлов, мол, производная да (дТ ^ 0, а у изоляторов да/дТ > 0. Изучение квантовых поправок к проводимости показало, что да/дТ > 0 может быть и у металлов, так что знак да/дТ не может быть критерием различия.

Поскольку наличие проводимости различает металл и изолятор только при Т = 0, и под волновыми функциями, симметрия которых сравнивается, подразумеваются функции основного состояния, постольку само понятие перехода металл-изолятор имеет смысл только при Т = 0. Известны два главных фактора, влияющие на волновые функции основного состояния, изменение которых может вызвать переход: степень беспорядка и электрон-электронное взаимодействие. Переход в системе невзаимодействующих электронов называется переходом Андерсона. Переход, обусловленный межэлектронным взаимодействием, называется переходом Мотта. Обычно одновременно меняются оба фактора — тогда целесообразно говорить о переходе Ан-

Обсуждение тех же вопросов, но в несколько ином стиле можно найти в книге [1] и в обзорах [2, 3].

дерсона-Мотта. Реальным управляющим параметром, который влияет на один или на оба ведущих фактора, может быть концентрация примесей, давление, магнитное поле и т. д. Обозначим значение управляющего параметра через х. На фазовой плоскости (ж, Т) переход изображается изолированной точкой на оси Т = 0.

Очень важно. Здесь и дальше имеются в виду только чисто электронные фазовые переходы. Вместе с тем существуют также структурные переходы, сопровождающиеся изменением состояния атомной системы. Эти переходы мы рассматривать не будем. Заметим лишь, что уменьшение электронной энергии очень часто является основной причиной структурного фазового перехода. Таким является, например, переход Пайерлса. В модели, обсуждавшейся в гл. 3, переход в состояние изолятора происходит при конечной температуре, когда уменьшающийся с ростом температуры выигрыш электронной энергии от появления нового периода сравнивается с проигрышем упругой энергии, вызванным смещением ионов.

Структурные переходы очень разнообразны. Состояние электронной подсистемы по обе стороны такого перехода обычно оценивается на основании зонной теории, исходя из положения ферми-уровня относительно энергетических зон. Например, при температуре Т = 18 °C происходит переход белое олово — серое олово. Высокотемпературная фаза, белое олово, это хороший металл, в котором ферми-уровень пересекает несколько энергетических зон, образуя в них ферми-поверхности. В термодинамически стабильном при низких температурах сером олове ферми-уровень находится в запрещенной зоне; поэтому оно является изолятором. Мы будем называть такой изолятор зонным, чтобы отличать его от андерсоновского изолятора, в котором в непо- средственой окрестности ферми-уровня есть электронные состояния, но лишь с локализованными волновыми функциями.

Взяв за основу какой-либо зонный изолятор, например, Ge, или Si, или то же серое олово, и вводя в него примеси, можно произвести в нем электронный переход в металлическое состояние. При этом для определения критической концентрации понадобятся низкотемпературные измерения.

Итак, под переходом металл-изолятор мы будем понимать только электронные переходы. Наша задача — обсудить, как эти переходы происходят при изменении степени беспорядка и электронной плотности.

Переход Андерсона

Рассмотрим вслед за Андерсоном периодическую решетку прямоугольных ям различной глубины с концентрацией N = a~d (здесь а — это период решетки, a d — ее размерность; см. рис. 5.1). Пусть уровни в ямах разбросаны в интервале значений энергии W и плотность

6 В. Ф. Гантмахер

уровней в этом интервале постоянна. Выбрав точку отсчета энергии е = 0 в середине интервала Wполучим:

dNЭеdNЭеN/WОN/WОприприприприkl < W/2, И > ГГ/2.kl < W/2, И > ГГ/2.(5-1)(5-1)

dNЭе

dNЭе

N/W

О

N/W

О

при

при

при

при

kl < W/2, И > ГГ/2.

kl < W/2, И > ГГ/2.

(5-1)

(5-1)

Заметьте. Здесь уровень s = 0 — это не ферми-уровень. Количество электронов в системе зависит от внешних обстоятельств.

Рис. 5.1. Модель Андерсона: периодически расположенные ямы разной глубиныРис. 5.1. Модель Андерсона: периодически расположенные ямы разной глубины

Рис. 5.1. Модель Андерсона: периодически расположенные ямы разной глубины

Рис. 5.1. Модель Андерсона: периодически расположенные ямы разной глубины

Благодаря хвостам волновых функций ехр ( —г/ав) существует перекрытие волновых функций электронов, локализованных на соседних ямах (ср. формулы (4.1) и (4.2) в начале гл. 4). Если расстояние между соседними ямами г 12 ^ ав, то интеграл перекрытия

^^Я^^3^ ос ехр^^Я^^3^ ос ехр£12&В£12&В(5-2)(5-2)

^^Я^^3^ ос ехр

^^Я^^3^ ос ехр

£12

&В

£12

&В

(5-2)

(5-2)

мал и его малость определяется множителем ехр (—t^I^bY

В принципе возможны два предельных случая. Каждый электрон может сидеть в своей яме; так будет, например, если ямы хоть и разные, но все очень глубокие. С другой стороны, все электроны могут быть делокализованы, так что каждому электрону доступна любая яма. Например, если все ямы одинаковые или почти одинаковые, то волновые функции электронов — это блоховские волны.

виявияУтверждение Андерсона, сформулированное им для трехмерного множества (с/ = 3) периодически расположенных ям, звучит так: симметрия волновых функций основного состояния зависит от относительной величины беспорядка. Параметром является отношение энергий 3)W. Для появления делокализованных состояний, т. е. для реализации металлической проводимости, требуется выполнение усло

вия

вия

(5.3)(5.3)J > Г3_\

(5.3)

(5.3)

W wArit*

При критическом значении отношения J /W делокализованные состояния появляются в центре зоны при s = 0, дальнейшее увеличение

отношения J/W приводит к постепенному расширению слоя делокализованных состояний.

Смысл и роль отношения J/W можно пояснить при помощи простейших задач квантовой механики. Конечное перекрытие двух ям различной глубины с уровнями Ею и Ею и волновыми функциями (pi и (р2 приводит в первом порядке теории возмущений к малым поправкам к волновым функциям

"Ф1 = <W1 +с2<^2, ^2 = -С2^1 + <W2, С2 = —.(5.4)

^10 — ±/20

Поскольку С2 <С щ ~ 1, каждый электрон остается в основном в своей яме.

Если ямы одинаковые, «резонансные», Ею = Ею = Eq, то ответ принципиально другой: уровень Eq расщепится на Е^д ~ EqE J (рис. 5.2, б), а волновые функции в обоих состояниях размажутся равномерно по обеим ямам:

^1,2 = ^-(<11 ±^2)-(5.5)^1,2 = ^-(<11 ±^2)-(5.5)Различаются не только волновые функции (5.4) и (5.5), но и поряд-Различаются не только волновые функции (5.4) и (5.5), но и поряд-Рис. 5.2. Сдвиг уровней в двух прямоугольных ямах разной глубины (а) и расщепление уровней в двух одинаковых ямах (б) при учете перекрытия в первом порядке теории возмущенийРис. 5.2. Сдвиг уровней в двух прямоугольных ямах разной глубины (а) и расщепление уровней в двух одинаковых ямах (б) при учете перекрытия в первом порядке теории возмущений

^1,2 = ^-(<11 ±^2)-(5.5)

^1,2 = ^-(<11 ±^2)-(5.5)

Различаются не только волновые функции (5.4) и (5.5), но и поряд-

Различаются не только волновые функции (5.4) и (5.5), но и поряд-

Рис. 5.2. Сдвиг уровней в двух прямоугольных ямах разной глубины (а) и расщепление уровней в двух одинаковых ямах (б) при учете перекрытия в первом порядке теории возмущений

Рис. 5.2. Сдвиг уровней в двух прямоугольных ямах разной глубины (а) и расщепление уровней в двух одинаковых ямах (б) при учете перекрытия в первом порядке теории возмущений

глубины является возмущением для волновой функции электрона в другой яме. Поскольку невозмущенная волновая функция (/ц в окрестности ямы 2 имеет порядок ехр (—Г12/Дв), сдвиг уровня Ею порядка

(5-6)(5-6)AiE = Ei — Ею ~ [ ^H^^pid3? ос ехр [

(5-6)

(5-6)

Jу Св

т. е. малый множитель ехр (—Гш/Дв) из интеграла перекрытия входит в AiE в квадрате (рис. 5.2, а). Для резонансных ям (рис. 5.2, б)

Д ту!/2АВ ос ехр I — — у (2ВД ту!/2АВ ос ехр I — — у (2Вт. е. АЕ J.т. е. АЕ J.(5-7)(5-7)

Д ту!/2

АВ ос ехр I — — у (2В

Д ту!/2

АВ ос ехр I — — у (2В

т. е. АЕ J.

т. е. АЕ J.

(5-7)

(5-7)

Ямы ведут себя как резонансные, пока разность невозмущенных энергий у них |Ею — E20I < J. Следовательно J/W — это доля резонансных узлов. Тогда качественно критическое значение (J/PE)crit можно трактовать как перколяционный порог, при достижении которого в спектре появляются состояния с делокализованными волновыми функциями.

Если значение параметра J/W меньше критического и волновые функции на ферми-уровне локализованы, то вещество является изолятором. Такой изолятор называется андерсоновским. Он устроен принципиально иначе, нежели зонный. В зонном изоляторе ферми- уровень расположен в запрещенной зоне, где плотность состояний равна нулю, а проводимость обеспечивается за счет электронов, термически заброшенных в зону проводимости, или за счет дырок, заброшенных в валентную зону. В андерсоновском изоляторе плотность состояний на ферми-уровне конечна. Уровень энергии, начиная с которого состояния становятся делокализованными, находится на некотором расстоянии от ферми-уровня. Он называется край подвижности и играет роль дна зоны проводимости. Электроны или дырки, термически заброшенные за край подвижности, участвуют в проводимости путем диффузии, дырки или электроны ниже края подвижности участвуют в прыжковой проводимости. Переход в металлическое состояние происходит при совмещении ферми-уровня и края подвижности. Этого можно достичь, либо меняя параметр J/W, либо двигая ферми-уровень.

Модель Андерсона исследована и для систем пониженной размерности. Как это обычно бывает при фазовых переходах, размерность является чрезвычайно существенным параметром. Мы уже сталкивались с этим в гл. 2 при описании слабой локализации. Критерий понижения размерности там был очень мягкий, поскольку характерный размер объекта Ь сравнивался в формуле (2.8) со сравнительно большой диффузионной длиной L^. Здесь речь идет о сильной локализации, и критерий гораздо более жесткий. Он связан со структурой электронного спектра свободных электронов с волновыми функциями ехр(гкг) при соответствующей геометрии области их существования

fc2v 2

£=^^+£±(г), г = 1,2,... (5.8) 2m

Здесь &ц — волновой вектор в направлениях, где движение электронов не ограничено, £± — размерно квантованная часть энергии, связанная с движением в ограниченных направлениях, а г — номер размерно квантованной подзоны. В пленке к^ = к^ + ку, а вдоль нормали Oz устанавливается стоячая волна, и энергия движения квантуется. В проволоке к\\ — это волновой вектор вдоль ее оси, а £±(г) определяется квантованием в двух поперечных направлениях.

Система имеет пониженную размерность, если все электроны помещаются в нижней размерно квантованной подзоне. Для вырожден-

ной электронной системы критерий имеет вид

Ер < As, As = еД% = 2) - гДг = 1) ос 6-2.(5.9)

Свойства модели Андерсона в системах с пониженной размерностью можно кратко сформулировать следующим образом. В одномерной среде, d = 1, сколь угодно малый беспорядок приводит к локализации, а двумерный случай является пограничным с точки зрения возможности появления делокализованных состояний.

Формула Ландауэра для одномерных (1D)систем )

Соединим два резервуара, к которым приложена разность потенциалов У, идеальной проволокой длиной А. «Идеальная» означает, что в проволоке полностью отсутствует рассеяние, даже упругое. Тогда всякий электрон, попадающий в проволоку с одной стороны, с вероятностью единица выходит с другой. Пусть к тому же диаметр проволоки столь мал, что в ее спектре (5.8) под уровень Ферми Ер попадает ограниченное число v = 2NS размерно квантованных подзон (их также называют каналами; в отсутствие магнитного поля при каждом г ^ Ns имеется два канала с разными направлениями спинов):

£±(г)<£р при г = 1,2,..., Ns.(5.10)

Если Ns = 1, то ID-систему называют одноканальной (с учетом спина ее можно было бы также называть двухканальной), при Ns > 1 она называется многоканальной. Ввиду идеальности проволоки каналы внутри нее независимы и не обмениваются электронами. Плотность электронов Hi в канале г, продольная скорость электронов щ и плотность состояний gi на уровне Ферми связаны соотношениями

_ 1 / Эе \_ / Эти \_ 1

H\dk)£=£J ^г \ Эе )£=£г2tt^^ ’

Ns(5.11)

ei = eF-ePi), 2^щ = п.

г=1

Наличие между резервуарами разности потенциалов V означает, что из-за разности электронной плотности 6щ = gieV имеется разность потоков электронов, попадающих в канал г справа и слева. В выражении для тока конкретные параметры канала, фигурирующие в соотношениях (5.11), сокращаются, так что ток в канале Ji не зависит от индекса г и равен

л = е* = Лу.(5.12)

Кондактанс ^а = J/V и сопротивление pid = 1/х/id такой проволоки определяются полным током J = Л и равны

1

Индекс в обозначениях подчеркивает, что формула (5.13) относится к идеальной проволоке.

Результат (5.13) замечателен в нескольких отношениях. Во- первых, оказалось, что в ID-системе, даже в многоканальной, диссипация имеется даже в отсутствие рассеяния. Это проявление принципа не локальности. Электроны забирают энергию от поля, когда они находятся внутри проволоки, а отдают ее совсем в другом месте, когда термализуются в резервуаре. Во-вторых, как это ни удивительно, сопротивление проволоки pid не зависит от ее длины и определяется только квантованием электронного спектра.

Казалось бы, утверждение, что сопротивление проволоки не зависит от ее длины, противоречит простому рассуждению: разделим мысленно идеальную проволоку на две части, которые при этом окажутся включенными последовательно; если у каждой части сопротивление pid, то полное сопротивление должно было бы быть 2^id- Но просто разделить проволоку на две части недостаточно; для того чтобы обе части превратились в независимые сопротивления, между ними нужно вставить дополнительный резервуар-термостат, который бы сделал проходящие через него электронные волны некогерентными. Если температура проволоки отлична от абсолютного нуля, Т ^ 0, так что существует конечная длина L^ < ос, на которой происходит сбой фазы, то такие термостаты как бы появляются автоматически на расстоянии L^ друг от друга.

Таким образом температура накладывает на длину идеальной проволоки ограничение сверху, Л < L^. Ограничением снизу является ее диаметр, т.е. проволока может быть очень короткой. Это дает возможность проверить формулу (5.13) экспериментально, потому что на коротком участке сравнительно проще добиться отсутствия дефектов.

На рис. 5.3 приведены результаты измерений проводимости узкого канала под расщепленным затвором, соединяющего две области 2В-электронного газа в гетероструктуре GaAs/Al^Gai-^As [5]. При увеличении запирающего напряжения Vg на затворе обедненная область несколько расширяется за счет того, что она сильнее выступает за края затвора. Как видно из схемы на вставке к рис. 5.3, проводящий канал при этом сужается, что означает уменьшение числа каналов Ns. То, что канал короткий, не мешает применять к нему формулу (5.13), и в то же время именно благодаря этому в нем удается получить баллистический режим, т.е. отсутствие рассеяния. В структуре, демонстрируемой на рис. 5.3, электронная плотность 3,56 • 1011 см-2,

Рис. 5.3. Кондактанс у баллистического контакта между двумя 2В-областя- ми гетероструктуры GaAs/AlxGai-xAs в зависимости от напряжения на затворе, регулирующем ширину контакта [5]. На вставке схема измерительной ячейки.

длина пробега при 0,6 К около 8,5 pi, а характерные размеры канала порядка 0,25 pi.

Из вставки к рис. 5.3 видно, что измерение происходит по двухконтактной схеме, так что в измеряемое сопротивление Rmea входит сопротивление -Rcont контактов и прилегающих к ним широких участков 2D-слоя. Интересующий нас кондактанс у получается после вычитания Econt из Rmea: у = g"1 = (Rmea - RcoX)"1- В качестве ЛГО1а была выбрана величина 4,35 kQ, что примерно соответствует результатам независимых измерений. После вычитания этой величины функция у(Vg) превращается в последовательность ступеней одинаковой высоты22

Дш =(5.14)

2тг ItTV It

в полном соответствии с формулой (5.13).

Заметьте. Рассуждения, которые привели к формуле (5.13), не предопределяют распределение электрического поля вдоль проволоки. Например, в краевых каналах, которые образуются при квантовом эффекте Холла вдоль края образца между контактами и являются идеальными одномерными каналами, все падение напряжения V сосредоточено на границе с одним из контактов (см. рис. 9.15 в гл. 9 и поясняющий его текст).

Откажемся от идеальности проволоки, при этом ограничившись для простоты одноканальной системой. Пусть в заштрихованной части проволоки (рис. 5.4) имеются упругие рассеиватели. Уточнять их

взаимное расположение не требуется — будем пока рассматривать всю область как единый рассеивающий объект. В квантовой механике он характеризуется в одномерном случае комплексными коэффициентами отражения г и прохождения t, которые связывают амплитуды

Рис. 5.4. Одномерный проводник, соединяющий два резервуара и состоящий из двух идеальных участков по краям и рассеивающего участка АВ в серединеРис. 5.4. Одномерный проводник, соединяющий два резервуара и состоящий из двух идеальных участков по краям и рассеивающего участка АВ в середине

Рис. 5.4. Одномерный проводник, соединяющий два резервуара и состоящий из двух идеальных участков по краям и рассеивающего участка АВ в середине

Рис. 5.4. Одномерный проводник, соединяющий два резервуара и состоящий из двух идеальных участков по краям и рассеивающего участка АВ в середине

отраженной и прошедшей волн с амплитудой падающей волны. Слева и справа на заштрихованную область падают электронные потоки Эт/е и jin//е, каждый из которых отражается с вероятностью 7^ = |г|2 и проходит с вероятностью Т = |t|2. Из симметрии квантовомеханической задачи

u=K = hLi т = ^- = ^, 7t + T=l. (5.15) Jin Jin'Jin Jin'

Если падение напряжения на заштрихованной области равно нулю, то и суммарный поток электронов в проволоке равен нулю. При наличии разности потенциалов 6V на границах области появляется разность плотностей бп = дебУ. В одномерных системах все электроны движутся вдоль проводника и потому принадлежат к одному из потоков, фигурирующих в уравнениях (5.15). Это позволяет связать бп с плотностями электронов в потоках и выразить 6V через токи:

^ Jin А Jr A jt' jin' А Зт' A jt 27^(7in ~ Jin7)/^ |g\ дее2 дхе2 дхе2 дх

Здесь д иг это плотность состояний и модуль скорости электронов на уровне Ферми. Поскольку полный ток J равен

J = Jin — Зт — jt' = Jin' — Зт' — jt = ^(jin — Jin')? (5-17)

отношение J/5У позволяет написать кондактанс ^тр = J/5У и сопротивление pimp = р^ заштрихованной области

2тг/г К /г q е\ (0.18)2тг/г К /г q е\ (0.18)_ е2 Т _ е2 Т_27гПН _

2тг/г К /г q е\ (0.18)

2тг/г К /г q е\ (0.18)

У™р ~ 2-h 'R ~ 2-ЬЛ-Т ‘ У™р “ е2 Т “

Идея представлять упруго рассеивающие центры в виде потенциальных барьеров на пути распространяющихся волн и выражать транспортные характеристики системы через коэффициенты отражения и прохождения волны через эти барьеры принадлежит Ландауэру. Поэтому соответствующие формулы, в частности выражение для кондактанса (5.18), называют его именем. В принципе техника Ландауэра применима к системам любой размерности, но она особенно удобна и часто используется для ID-систем.

Заметьте. Формула Ландауэра в виде (5.18) выведена в предположении, что разность потенциалов приложена непосредственно к рассеивающей области между точками А и В на рис. 5.4. Именно поэтому кондактанс (5.18) при слабом рассеянии, Т ~ 1, В, <^ 1, может оказаться больше, чем кондактанс (5.13) системы, вообще не имеющей рассеивателей.

Если разность потенциалов в системе на рис. 5.4 приложена к резервуарам, то сопротивления идеальной проволоки и области рассеяния включены последовательно и кондактанс всей системы равен

— 1— 1 । — 1 ।2 тг A f 7^-\е ,-г-, — -i \

У = ?Ad + ^imp = 2id + 2imp = у, У = -T.(5Л9)

Теперь при Т -л 1 кондактанс у -л т/id, как и должно быть. Выражение (5.19) для у можно получить и непосредственно, приложив разность потенциалов к резервуарам, записав электронный поток из одного резервуара в другой и учтя однократное рассеяние (ср. с выводом формулы (5.13)). Это означает, что сложение сопротивлений в соответствии с законом Ома в рассуждениях (5.19) было правомерным. Как мы покажем в следующем разделе, в одномерных системах из-за интерференции падающих и отраженных волн это отнюдь не всегда так.

Локализация и роль корреляцийв ID-системах

Рассмотрим два последовательных барьера в одноканальном одномерном проводнике (рис. 5.5) и выразим параметры Т и 7^ = 1 — Т образовавшегося составного рассеивающего объекта через параметры Т^ ^1, 33 и 7^2 исходных барьеров. Если на барьер 1 слева падает волна амплитуды 7, то сформировавшееся стационарное волновое поле будет содержать еще четыре волны: отраженную А, прошедшую D и две волны между барьерами, В и С, движущиеся в противоположные стороны (А,... D — это комплексные амплитуды волн). Выразив амплитуды волн, уходящих направо и налево от каждого из барьеров, через амплитуды падающих волн, получим четыре уравнения

А = гтлаъ В = ВЛСтъ Се-^ = Ве^т2, D = Ве^12. (5.20)

Рис. 5.5. Рассеивающий участок в 1 D-проводнике, состоящий из двух барьеров. Комплексные амплитуды Л,..., D волн, приходящих и уходящих от обоих барьеров, все нормированы на амплитуду исходной приходящей волны, помеченной единицей

Здесь использовано, что коэффициенты отражения от барьера не зависят от того, с какой стороны падает волна, ri = тф множители exp(ticp) учитывают набег фазы волны на расстоянии от одного барьера до другого. Из уравнений (5.20) следует

D = егЧ1(2 T = D2 = ХЪ (5.21)

1 - e2’vnr21 + тг1Тг2 - 2Лг17г2 cos у

где 9 = 2(р + arg(riT2). Кондактанс У2 составного «двухбарьерного» рассеивателя, который выделен на рис. 5.5 пунктиром, равен

У2 = —— = —421.(5.22)

2тг/г 1 — Т 2тг/1 7^,175,2 — 2«7^17^2 созУ

Если составной «двухбарьерный» рассеиватель состоит из двух оди

наковых барьеров, ri = г-2 = rf, ti = t-2 = f, Hi = Н-2 = Н' и т.д., то

= ?Ь? ^ДУ(57У' Г^ + «Щ(И = А'Иащ(гг (5.23)

где к — волновой вектор, а I — расстояние между барьерами.

Кондактанс (5.22) зависит не только от параметров двух исходных барьеров; через угол 9 он зависит и от расстояния между ними. Поскольку нас в конечном счете интересует 1 D-проводник с большим количеством случайно расположенных барьеров, то можно усреднить по всем возможным расстояниям между ними, предположив, что угол 9 с одинаковой вероятностью принимает любые значения от 0 до 2тг. Это предположение не совсем корректно, но оно позволяет нам продвинуться дальше и проследить тенденции, возникающие при удлинении цепочки одномерных барьеров (более подробно см. [4], а также оригинальную работу [6]). Из среднего значения cos 9 = 0 следует усредненный кондактанс ¥2 системы из двух барьеров. Он равен

у = е2 Т1Т2 = е2 (1 — 75i)(l — 752)2tt/z 7^1 + Тг2 2тг^ T^i + 7^2

Для сравнения выпишем классическое выражение для суммы двух последовательных сопротивлений £ц = у^1 и со = У21;

¥Л = (У11 + Уг 5 1 = (л + to) 1 =

_ g2 ( ^iI ^2 5 1 _ е2 (1 — 7^i)(1 — 7^2) /г 9^\

2тгй \ 1 — 7^11 — 7^2 / 2тгй 7^1 + 7^2 — 27717^2

В нем имеется лишний по сравнению с (5.24) член в знаменателе, пропорциональный произведению коэффициентов пропускания двух барьеров 7^17^2-

Рассмотрим длинную цепочку одинаковых, но расположенных на случайных расстояниях /^ друг от друга слабо рассеивающих барьеров, 77' <^С 1, Т' 1, имеющих каждый малое сопротивление

/ 2кН R' .. 2л Ке =-гтр«-гel е

(среднее расстояние между барьерами I = /^ имеет смысл упругой длины свободного пробега). Будем вычислять сопротивление

Rn = Y^Rn = Y^2кН Rn

Rn = Y^

Rn = Y^

составного рассеивающего объекта из N барьеров по рекуррентной формуле, следующей из (5.24),

77 _ Rn-i + 77 Tn ~*

Пока число N барьеров мало, так что Ng' <С 2тгЙ/е2, величина Rn растет линейно: Rn ~ Ng ос N. При этом почти линейно растет также и вероятность отражения Rn- Однако Rn не может стать больше единицы. Поэтому, начиная с некоторого N, можно в формуле (5.26) положить Rn ~ Rn-i ~ 1, откуда сразу следует

TN к Tn^T', Tn зЛТ = seaN при 7V оо (5.27) (s = const, а = InT' < 0).

Экспоненциальное уменьшение интенсивности прошедшей волны Tn при росте числа N является демонстрацией 1D-локализации на конкретном примере.

Остановимся на еще на одной особенности транспорта в lD-системах. На рис. 5.6 приведены транспортные характеристики квази ID-системы, изготовленной на базе аккумулирующего слоя в полевом транзисторе на поверхности n-Si [7]. При низкой температуре на зависимости кондактанса у от напряжения на затворе Уд появляется шумоподобная составляющая очень большой амплитуды. Это не настоящий шум. Сигнал не зависит от времени и, если не отогревать образец до комнатной температуры, то при повторном эксперименте кривая у(Уд) воспроизводится вплоть до мельчайших подробностей.

Рис. 5.6. Зависимость от напряжения на затворе Vg кондактанса у длинного квазиодномерного канала в полевом транзисторе, изготовленном на поверхности n-Si, и находящемся в режиме аккумулирующего слоя [7]. Ширина канала может меняться от нуля до максимума ~ 1 д, заданного конструкцией (см. схему на вставке), при помощи напряжений на контрольных электродах р+ и на затвореРис. 5.6. Зависимость от напряжения на затворе Vg кондактанса у длинного квазиодномерного канала в полевом транзисторе, изготовленном на поверхности n-Si, и находящемся в режиме аккумулирующего слоя [7]. Ширина канала может меняться от нуля до максимума ~ 1 д, заданного конструкцией (см. схему на вставке), при помощи напряжений на контрольных электродах р+ и на затвореРис. 5.7. Графики температурной зависимости в минимумах кондактанса канала полевого транзистора при трех разных значениях напряжения на затворе Vg в осях (Т-^Му) [7]Рис. 5.7. Графики температурной зависимости в минимумах кондактанса канала полевого транзистора при трех разных значениях напряжения на затворе Vg в осях (Т-^Му) [7]

Рис. 5.6. Зависимость от напряжения на затворе Vg кондактанса у длинного квазиодномерного канала в полевом транзисторе, изготовленном на поверхности n-Si, и находящемся в режиме аккумулирующего слоя [7]. Ширина канала может меняться от нуля до максимума ~ 1 д, заданного конструкцией (см. схему на вставке), при помощи напряжений на контрольных электродах р+ и на затворе

Рис. 5.6. Зависимость от напряжения на затворе Vg кондактанса у длинного квазиодномерного канала в полевом транзисторе, изготовленном на поверхности n-Si, и находящемся в режиме аккумулирующего слоя [7]. Ширина канала может меняться от нуля до максимума ~ 1 д, заданного конструкцией (см. схему на вставке), при помощи напряжений на контрольных электродах р+ и на затворе

Рис. 5.7. Графики температурной зависимости в минимумах кондактанса канала полевого транзистора при трех разных значениях напряжения на затворе Vg в осях (Т-^Му) [7]

Рис. 5.7. Графики температурной зависимости в минимумах кондактанса канала полевого транзистора при трех разных значениях напряжения на затворе Vg в осях (Т-^Му) [7]

Видно, что при низких температурах и при напряжениях на затворе Vg, обеспечивающих узкий канал и малую концентрацию носителей, кондактанс испытывает хаотические узкие осцилляции при изменении Vg, размах которых растет при понижении температуры. На другом образце, и даже на этом же при повторном охлаждении от комнатной температуры, детальная структура осцилляций другая при той же общей картине эволюции осцилляций с изменением температуры и напряжения Vg.

Фундаментальная причина хаотических осцилляций — в одномерности. Все дефекты в проволоке включены последовательно, и линии тока не могут обойти ни один из них. Выключение одного дефекта, осуществляющего сильное рассеяние, может поэтому сильно повлиять на суммарное сопротивление. Вопрос в том, как изменение Vg, которое меняет концентрацию носителей и их энергию Ферми Ер^ может включать, или выключать, или менять эффективность отдельных дефектов.

Вернемся к выражению (5.23) для кондактанса ¥2 симметричного «двухбарьерного» рассеивателя. Выше мы усредняли выражение (5.22) по cos# на том основании, что имеется разброс расстояний Ц между барьерами. Но входящий в 6 угол ср = kit зависит не только

от 1^ но и от волнового вектора к, т.е. от энергии рассеивающегося электрона Ер. Для одной конкретной рассеивающей пары барьеров с фиксированным значением It из формулы (5.23) следует, что R2 принимает значение в интервале от нуля до 4р,

О < R2 < 4р, (5.28)

в зависимости от энергии налетающего электрона.

Уместно напомнить две вещи:

— транспортные свойства ID-системы определяются именно электронами из окрестности Ер, потому что противоположные потоки электронов с меньшими энергиями компенсируют друг ДРУга;

— выше мы упоминали о существовании проблем с усреднением выражения для сопротивления (5.22); они связаны именно с большим диапазоном (5.28) изменения величины R2.

Пространство между двумя барьерами представляет собой потенциальную яму. В этой яме, вообще говоря, имеется набор уровней е^, ширина которых обусловлена прозрачностью барьеров Н и t2. По мере того как энергия электрона Ер смещается относительно системы уровней в этой яме, вероятность туннелирования осциллирует, достигая максимума в условиях резонанса Ер = Ер Поэтому гигантские хаотические осцилляции сопротивления можно теоретически описать именно в терминах резонансного туннелирования.

Модель локализованных состояний в ID-системах использует представления об электронных уровнях внутри составных рассеивателей. При достаточно низких температурах отражения от далеких барьеров

К (5.29)

остаются когерентными. Поэтому, согласно соотношениям (5.27), эти отражения при достаточно большом L^ скомпенсируют прозрачность барьеров Н и ^2 и сделают состояние между ними истинно локализованным. В этих условиях следует ожидать прыжковый характер проводимости. И действительно, на рис. 5.7 приведены измерения температурной зависимости кондактанса, сделанные в нескольких минимумах кривой, приведенной на рис. 5.6. Видно, что при измерениях в левой части графика на рис. 5.6, при малых Уд, когда кондактанс мал, осцилляции велики, и есть все основания считать канал одномерным, точки хорошо ложатся на функциональную зависимость

(5,зо)

в полном соответствии с формулой Мотта (4.24). При больших Уд канал расширяется и постепенно превращается в двумерный. Кондактанс при этом увеличивается, а амплитуда хаотических осцилляций падает. Экспериментальные точки зависимости log ?/(Т-1/2), снятые при напряжении на затворе Уд = 6,3 V, отклоняются на рис. 5.7 от

прямой, но спрямляются в осях (log?/, Т-1/3), опять-таки в полном соответствии с формулой (4.24).

Вернемся к общему утверждению о неминуемой локализации электронов на 1D случайном потенциале. Уже в формуле (5.22), на базе которой была построена конкретная модель (5.27), демонстрирующая локализацию, содержится намек на то, что можно попытаться избежать локализации за счет корреляций в случайном потенциале. Покажем это, воспользовавшись упрощенным вариантом формулы (5.22), а именно формулой (5.23) для кондактанса У2 симметричного «двухбарьерного» рассеивателя. Из этой формулы следует, что существует волновой вектор ко = — arg(r')/Z, при котором барьер полностью прозрачен для падающей волны, и отраженной волны нет, Н^ = = 0. Если заменить в нашей модели (5.26)-(5.27) одиночные барьеры на сдвоенные (5.23), то электрон с энергией во = к^ко^т окажется делокализованным.

Эта идея была развита более подробно в так называемой димерной модели [8]. В ней используются не случайно расположенные одинаковые пары барьеров, а одномерная цепочка периодически расположенных потенциальных ям. Цепочка состоит из ям двух сортов, с уровнями энергии Еа и Е^. При этом ямы распределены по нечетным узлам решетки совершенно случайно, без каких бы то ни было корреляций, а в каждом четном узле находится яма того же сорта, что и нечетном узле слева от него. Это означает, что одинаковые ямы стоят парами, откуда и название модели (рис. 5.8а). Если расстояние между ямами а, то получившуюся решетку можно представить как сумму двух случайных, но одинаковых подрешеток, сдвинутых на а друг относительно друга, обе с периодом 2а и с совершенно случайным распределением ям по узлам.

Рис. 5.8. а) Димерная модель одномерного случайного потенциала. Изменения положений уровней из-за перекрытия ям не показано, б) Электронные уровни в одномерной решетке с одним димерным дефектом

Будем считать пары с энергией Еа принадлежащими основной решетке, а пары с энергией Еь — дефектами. Как мы уже видели, в этой модели могут существовать делокализованные состояния при

некоторых выделенных значениях энергии, обусловленных структурой дефекта. Условие того, что электрон с такой энергией может распространяться в основной решетке, можно сформулировать при помощи рис. 5.8, б, где один димерный дефект из двух ям с энергиями Еь помещен в идеальную решетку из ям Еа. Пусть интеграл перекрытия между соседними ямами равен 3. Тогда справа и слева от дефекта образуются зоны с квазинепрерывным распределением уровней е = = Еа — 23 cos ka. Если выполняется соотношение

\Еа-Еь\ <23,(5.31)

то невозмущенный энергетический уровень дефекта Еь попадает внутрь зоны, и в зоне появляется выделенное значение к = ко, cos ко = —2J/{Ea — Еь), для которого вероятность отражения от дефекта Е = 0.

В димерной модели корреляции существуют только между ближайшими соседями. При таких корреляциях делокализованные состояния возникают только при дискретных значениях энергии. Для того чтобы получить полосу делокализованных состояний, необходимо использовать дальние корреляции, сохранив при этом в потенциале элемент случайности. Алгоритм построения такого потенциала был предложен в работе [9]. Мы приведем в следующем разделе конкретный пример такого алгоритма, составленного для экспериментальной проверки этих идей путем микроволнового моделирования.

Микроволновое моделирование х)

Зависящее от времени уравнение Шредингера

= -ДаФ + СФ,(5.32)

at 2т

и классическое волновое уравнение

1 ^ = АФ - ГФ(5.33)

(с это скорость волны), после подстановки Ф = е-^?/; сводятся к одному и тому же уравнению

(A-U +/с2)^ = 0(5.34)

с той лишь разницей, что для уравнения Шредингера

ш = <к2,(5.35)

2т

а для волнового уравнения

ш = ск.(5.36)

1) Более подробно эти вопросы излагаются в книге [10].

Это дает возможность моделировать локализационные процессы в устройствах с высокочастотными электромагнитными полями. Мы приведем два примера такого моделирования, для одномерной и для двумерной систем.

В работе [11] одномерный случайный потенциал имитировали длинным волноводом с рассеивателями внутри, а измеряли коэффициент прохождения электромагнитной волны в зависимости от частоты. Схема волновода изображена на рис. 5.9. Рабочий диапазон частот и был выбран внутри частотного диапазона, в котором волновод

Антенна 2

Рис. 5.9. Схематический чертеж одномодового волновода со 100 рассеивателями, в котором измерялся коэффициент прохождения t электромагнитной волны в зависимости от частоты [11]. Все размеры в миллиметрах

находился в одномодовом режиме: 7,5 ГГц = с/Ъа < и < с/а = 15 ГГц, где а = 20 мм — это больший размер сечения волновода.

На равных расстояниях по длине волновода в него введены N = 100 штырьков-рассеивателей, моделирующих случайный потенциал. Они могут при помоши микрометрических винтов вдвигаться на разную глубину un, где 1 ^ n ^ N. Глубина устанавливается по формуле

/ ОО2

un = VMn Г 0mZn+m, Sm = - I V^) cos (2тц) d^. (5.37) m=-ooJo

Здесь Zu^m случайные числа в интервале от — 1 до +1. Именно они вносят в потенциал элемент случайности. Корреляции между всеми un обеспечиваются множителями 3т1 определенными через функцию ^р(ц\ Последняя выбирается при помощи специального математического алгоритма в зависимости от того, какой требуется спектр пропускания одномерной системы. Пример реализации такой программы показан на рис. 5.10. В соответствии с имеющимся алгоритмом была выбрана функция ^(д), при которой должны были возникнуть две полосы пропускания внутри рабочего диапазона. Сплошной линией на рисунке показан определенный в численном эксперименте коэффициент пропускания волновода с одномерной последовательностью из N = 104 рассеивателей, выбранных в соответствии с форму-

Рис. 5.10. Коэффициент прохождения t волны в одномерном канале при наличии периодически расположенных случайных рассеивателей, между которыми имеются корреляции, со специально выбранной корреляционной функцией. Сплошная линия — численный эксперимент с N = 104 рассеивателями; пунктир — микроволновый эксперимент с N = 100 рассеивателями, усредненный по пяти разным реализациям. Корреляционная функция одна и та же [11]

лой (5.37) по заданной функции ^(р,). Пунктиром показан усредненный по пяти разным реализациям результат реального микроволнового эксперимента с последовательностью из N = 100 рассеивателей.

Наличие полосы пропускания конечной ширины означает на языке физики твердого тела существование края подвижности, а следовательно, при выборе подходящего управляющего параметра, и перехода металл-изолятор. Таким образом на примере одномерных моделей, где удается продвинуться достаточно далеко и аналитически, и при помощи численных методов, продемонстрирована особая роль корреляций случайного потенциала в вопросах локализации.

Микроволновую технику можно использовать и для моделирования задач по двумерной локализации. Соответствующие эксперименты называются микроволновыми бильярдами. Их основными элементами являются плоские резонаторы, запитываемые через подводящую антенну. Поперечный размер такого резонатора вдоль оси г меньше или порядка длины волны, а продольные размеры вдоль осей х и у много больше длины волны. Случайный потенциал U моделируется металлическими рассеивателями, хаотически расположенными внутри резонатора. Стационарное распределение электромагнитного поля внутри резонатора, например, электрического поля Ez(x,y) при соответствующей моде волны, удовлетворяет не только уравнениям Максвелла, но и уравнению Шредингера (5.32), (5.34) для собственной волновой функции ф. Это распределение можно измерить, например, перемещая внутри резонатора маленький металлический шарик. Возмущение, вносимое таким шариком, приводит к изменению частоты резонатора Ат, пропорциональному квадрату электрического поля в данной точке, Аи ос E^^Y и, соответственно, квадрату собствен-

7 В. Ф. Гантмахер

ной волновой функции электрона, /\х ос ^(х^у)^ при значении энергии Йох

Для примера на рис. 5.11, взятом из работы [12], приведены три собственные волновые функции в прямоугольном бильярде со слу-

1,73 ГГц2,43 ГГц4,89 ГГц

Рис. 5.11. Собственные волновые функции, полученные при разных частотах в прямоугольном бильярде размерами 240 х 340мм2 со случайными рассеивателями (черные кружки) [12]

чайными рассеивателями, полученные на трех разных частотах. Амплитуда гр^ у) изображена при помощи разной степени почернения. Этот пример демонстрирует делокализацию электрона при повышении его энергии.

Модель структурного беспорядка 1)

Весьма поучительна другая одноэлектронная модель беспорядка, отличающаяся от модели Андерсона. В этой модели случайный потенциал состоит из одинаковых, но хаотично расположенных ям, в каждой из которых имеется уровень Eq:

у(г) = у v(r-Ri).(5.38)

Re

Беспорядок в этой модели определяется хаотичностью множества векторов Rz.

Обратите внимание на качественно разный характер беспорядка в модели Андерсона (5.1) и в модели структурного беспорядка (5.38). Можно сказать, что модель Андерсона происходит из физики полупроводников, где энергии примесных центров всегда различны, а модель структурного беспорядка родом из физики

х) В книге [13] эта модель фигурирует под названием модель Лифшица; ее математические аспекты подробно обсуждаются в обзоре самого Лифшица [14], который применил эту модель для исследования энергетического спектра металла с примесями.

металлов, где благодаря сильному экранированию энергии всех центров можно считать одинаковыми. Не случайно потенциал (5.38) используется в дифракционной теории электронного транспорта в жидких металлах (см. гл. 1). Там предполагается, что все электроны делокализованы, а потенциал (5.38) является лишь источником рассеяния. Это соответствует большому отношению длины затухания ав к среднему расстоянию между ямами п-1/3, т. е. большому значению параметра я^п1/3.

Предполагается по-прежнему, что за пределами ямы волновая функция затухает по закону

-r/aB

V’OC——,«в = ~it(5.39)

гте

Пусть сначала концентрация мала, так что длина затухания гораздо меньше среднего расстояния между центрами: ttBnx/3 <С 1. Тем не менее за счет слабого перекрытия волновых уровней соседей изначально 5-образная плотность состояний расплывается в полосу. Разобьем все ямы на пары ближайших соседей. Если в такой паре расстояние между ямами г^^ то, поскольку ямы резонансные, из-за перекрытия хвостов (5.39) волновых функций в ямах возникают два уровня с энергиями

Е = Eq ± £1,2,£1,2 = Уо^р(лу^в)(5.40)

и с обобществленными волновыми функциями (5.5). В выражении для расщепления уровней (5.40) расстояние Г12 нормировано на среднее расстояние между ямами тГ^ для того, чтобы То имело размерность энергии. Величина То, как и величина аВ1 зависит от конкретных характеристик ямы, диэлектрической проницаемости материала, эффективной массы электрона и т. д.

Рис. 5.12. Случайное расположение примесных ям. Пары ближайших соседей помечены пунктирными эллипсами. Центры с индексом 3, примыкая к парам, ямы которых помечены индексами 1 и 2, образуют с ними тройки

Как видно из рис. 5.12, где резонансные пары показаны пунктирными эллипсами, разбить на резонансные пары можно далеко не все центры. Например, яма 2, будучи ближайшим соседом ямы 3, может иметь своим ближайшим соседом яму 1, так что Г12 < тдз- В этой тройке наибольшими будут резонансные сдвиги энергий Si и £2, а сдвиг £3 будет нерезонансным и существенно меньшим, так как вз ос ехр (—2г2з/йв)- На рис. 5.12 показаны две такие конфигурации, одна тройка и одна четверка, в которой 7*12 < тдз < ^34- Но и в тройках, и в более сложных конфигурациях из четырех и более ям всегда имеется по крайней мере одна резонансная пара с наименьшим расстоянием между ямами и наибольшим сдвигом уровней. Характерная ширина А получающейся в результате функции плотности состояний определяется резонансными парами ям, а среднее расстояние между ямами равно п-1/3, так что

А ~ Jo exp I] .(5.41)

\ ав /

Хвост плотности состояний при |е| >> А получается за счет пар аномально близко расположенных ям с 7*12 <С п-1/3, состояния при малых |е| <^С А — за счет нерезонансных и уединенных ям.

Поучительно сравнить описанное превращение в полосу изначально 5-образной плотности состояний с формированием примесной зоны в системе «доноры + акцепторы» (см. гл. 3). Там расплывание происходило за счет случайных электрических полей заряженных центров при частичной компенсации примесей. Такое расширение уровня в полосу можно назвать классическим. А уже в классически уширенной примесной зоне переход металл-изолятор происходит за счет перекрытия уровней при дальнейшем увеличении концентрации примесных центров. В отличие от этого уширение (5.41) имеет квантовую природу. Параметр &впх/3 контролирует и превращение уровня в полосу, и переход.

Как видно из формулы (5.41), в модели структурного беспорядка нет независимого параметра, эквивалентного ширине полосы W в модели Андерсона (5.1)—(5.3). Возможно именно поэтому для описания переходов металл-изолятор чаще используется именно модель (5.1)(5.3). На рис. 5.1 случайные классические поля, всегда имеющиеся в реальных системах, в явном виде не фигурируют; они как бы включены в дисперсию глубин ям. Но их можно изобразить и в явном виде, заменив рис. 5.1 на практически эквивалентный ему рис. 5.13. После такой замены он лучше отображает реальную ситуацию, например в частично компенсированном полупроводнике, где все примесные центры химически одинаковы.

Переход в модели структурного беспорядка теоретически исследован гораздо менее детально, чем в модели Андерсона. Однако при помощи численного моделирования было продемонстрировано существование перехода по параметру ttBnx/3. Но помимо естественных

Рис. 5.13. Альтернативное представление модели Андерсона: периодически расположенные ямы одинаковой глубины на фоне случайного потенциала (ср. рис. 5.1)Рис. 5.13. Альтернативное представление модели Андерсона: периодически расположенные ямы одинаковой глубины на фоне случайного потенциала (ср. рис. 5.1)

Рис. 5.13. Альтернативное представление модели Андерсона: периодически расположенные ямы одинаковой глубины на фоне случайного потенциала (ср. рис. 5.1)

Рис. 5.13. Альтернативное представление модели Андерсона: периодически расположенные ямы одинаковой глубины на фоне случайного потенциала (ср. рис. 5.1)

управляющих параметров: формы и глубины ямы ^(r — R^) и концентрации ям N, в модели структурного беспорядка есть и скрытый механизм влияния на переход. Такое влияние может реализовываться через величину корреляций на множестве векторов Rz — увеличивая корреляции, можно превратить это множество из хаотического в регулярное. Подобная возможность, по-видимому, реализуется в некоторых металлических расплавах и в квазикристаллах (см. гл. 7).

Переход Мотта

Рассмотрим систему доноров с водородоподобными волновыми функциями электронов (5.39). Сравним боровский радиус ав с другой величиной, имеющей размерность длины, — с радиусом экранирования те электрического поля, который используется при описании системы свободных носителей. При статистике Ферми в те входит концентрация электронов п:

(5.42)(5.42)/ 4meV^\/1 /—1/ЗХ1/2

(5.42)

(5.42)

\ ип /

Если все электроны локализованы, то система описывается длиной ав, если делокализованы, то длиной те. Кроме того, в обоих случаях фигурирует еще и третья длина — среднее расстояние между донорами или между носителями п-1/3. Предположим, что мы постепенно увеличиваем концентрацию доноров п. Пока ге > ав, экранирование несущественно, каждый электрон находится около своего донора, вещество является изолятором. Но когда соотношение между те и ав изменится на те < ав, то состояние изолятора станет неустойчивым. Если все п электронов уйдут от своих доноров, то они к ним не смогут вернуться, потому что не найдут их из-за сильного экранирования. Ионизованные доноры создадут положительный фон, компенсирующий отрицательный заряд делокализованных электронов. Поэтому равенство

те = ав, т. е. |(^вп71^3)1^2 = ав? авпУ3 = 0,25 (5.43)

есть условие перехода металл-изолятор, который происходит, когда концентрация п достигает критического значения пс. Такой переход называется переходом Мотта.

Заметьте. В этом нехитром рассуждении беспорядок никак не фигурирует: движущей пружиной перехода Мотта является межэлектронное взаимодействие. Можно мысленно представить себе, что доноры упорядочены в сверхрешетку, а концентрацию мы меняем, меняя период сверхрешетки.

Рис. 5.14. Переход Мотта в схеме ХаббардаРис. 5.14. Переход Мотта в схеме ХаббардаПри написании соотношений (5.42) и (5.43) использовано выражение для боровского радиуса (5.39), справедливое лишь для водородоподобного примесного центра. В качестве исходной точки для построений теории перехода Мотта обычно используется несколько иное, более общее рассуждение. Пусть энергия электрона на примесном центре Eq. Принцип Паули допускает пребывание на этом уровне двух электронов с разными спинами. Но если один электрон на центре уже есть, то посадить туда второй можно только преодолев электростатическое отталкивание. Следовательно уровень для второго электрона будет выше на величину порядка U ~ е2 ) хав. Величина U называется энергией Хаббарда. Если концентрация примес

Рис. 5.14. Переход Мотта в схеме Хаббарда

Рис. 5.14. Переход Мотта в схеме Хаббарда

ных центров п ^ 0, то, независимо от того, расположены центры хаотически или регулярно, из-за перекрытия волновых функций оба уровня размоются в минизоны с nV уровнями в каждой (V — объем). Поскольку концентрация электронов тоже равна п, то, если минизоны не перекрываются, все nV уровней в нижней минизоне заполнены, а в верхней пустые, и вещество является изолятором со щелью на ферми-уровне (см. рис. 5.14).

Заметьте. На любом центре в нижней зоне Хаббарда может находиться только один электрон, но с любым направлением спина. Поэтому получившийся изолятор будет парамагнетиком. Ферро- или антиферромагнитное упорядочение в этом изоляторе может возникнуть только при наличии дополнительного взаимодействия между центрами.

Ширина минизон АЕ определяется интегралами перекрытия (5.2):

Оценка интегралов J базируется на выражении (5.39) для асимптотики волновых функций. Интеграл J ф^Нф^ d3r определяет невозму-

щенный уровень энергии и, следовательно, равен Eq. Замена ^ на ф* означает, что везде, где подынтегральное выражение существенно отлично от нуля, оно уменьшено в exp (—T4j/aB) раз. Поэтому

AS to 2J « 2[ ^H^j d3r to 2Sq exp ( -^ ) to 2S0 exp (^ ) .

J\ «в /\ aBri ' /

(5.44) Увеличение концентрации приводит к расширению зон и к их перекрытию. Зоны сомкнутся при критической концентрации пс, когда

и to AS to 2S0 exp (I ■(5-45)

\ aBTi /

Поскольку по порядку величины U ^ Eq, численное значение параметра авп1/3 на переходе вряд ли сильно отличается от 0,25, фигурировавшего в соотношении (5.43).

Таким образом, мы познакомились с двумя рассуждениями, приводящими к переходу металл-изолятор. Сравним их между собой и с двумя типами квантовых поправок к проводимости грязных металлов при низких температурах (гл. 2). Андерсоновский переход происходит вследствие беспорядка, причем для его описания достаточно одноэлектронного приближения. То же самое можно сказать и о слабой локализации. Напротив, в переходе Мотта движущей силой является кулоновское взаимодействие, регулируемое и изменяемое через экранирование, а степень беспорядка существенна в гораздо меньшей степени. Для межэлектронной интерференции беспорядок нужен лишь для того, чтобы движение электронов было диффузионным, а сама квантовая поправка к проводимости есть результат электрон- электронного взаимодействия.

Для экспериментатора представляется очень важным определиться, с каким типом перехода, Мотта или Андерсона, он имеет дело. Но практически всегда выбор оказывается не вполне убедительным. Изменение электронной концентрации п возможно лишь при нарушении стехиометрии или внесении примесей. Поэтому параллельно с изменением п меняется и беспорядок. С другой стороны, рост беспорядка влияет на экранирование. Количественные характеристики переходов Мотта и Андерсона тоже, как это ни странно, сходны. Уравнение перехода Андерсона (5.3) можно записать в виде

авп1/3 = - Ап , Са=(^Л .(5.46)

Уравнение перехода Мотта (5.45) можно записать в аналогичном виде

авп1/3 = - fin 1,(5.47)

\ Ео )

введя численную константу ст.

Вспомните. Формулы для двух типов квантовых поправок тоже очень похожи друг на друга.

Величины WU и Е^ входящие в буквенные оценки констант, все порядка атомной энергии е1 jиа^ а численные множители са и ст порядка единицы. К тому же все эти величины входят под знаком логарифма. В результате оценки для произведения &впУ3 для обоих переходов практически одинаковы (на рис. 5.15 эта «похожесть» изображена в виде диаграммы). Поэтому не должна вызывать удивление сводка экспериментальных данных по различным переходам, представленная на графике рис. 5.16. На интервале изменений пс в шесть -1/3 порядков не только подтверждается пропорциональность ав ос пс , но и коэффициент пропорциональности, определенный методом наименьших квадратов, оказался 0,26 (ср. с выражением (5.43)).

Рис. 5.15. Сходство и различия в выражениях, описывающих переходы Мотта и АндерсонаРис. 5.15. Сходство и различия в выражениях, описывающих переходы Мотта и АндерсонаРис. 5.16. Корреляция между критической концентрацией носителей и эффективным боровским радиусом при переходах металл-изолятор в 15 различных материалах. Для всех материалов величины ав и пс определялись независимо из разных экспериментов [15]

Рис. 5.15. Сходство и различия в выражениях, описывающих переходы Мотта и Андерсона

Рис. 5.15. Сходство и различия в выражениях, описывающих переходы Мотта и Андерсона

Заметьте. Поскольку критерий (Zgn1/^ const справедлив для обоих типов переходов, то концентрация п может быть управ ля-

ющим параметром не только для перехода Мотта (что естественно), но и для перехода Андерсона, в котором межэлектронное взаимодействие не фигурирует. При этом величина п выступает в роли концентрации не электронов, а центров их локализации, расстояние между которыми определяет величину интеграла перекрытия.

Заметьте также, что в модели структурного беспорядка в качестве условия того, что все носители локализованы, предполагалась малость того же самого параметра aBnT^3.

Несмотря на то, что при реальных переходах меняются и концентрация и степень беспорядка, полезно иметь в виду принципиальное различие и соотношение между переходами Мотта и Андерсона. Для иллюстрации обратимся к рис. 5.17, на котором представлена плоскость (беспорядок — концентрация). В качестве меры беспорядка выбрана величина W, по вертикальной оси отложена концентрация. Будем считать значение боровского радиуса ав постоянным. Справа от линии переходов Андерсона (5.46) расположены состояния изолятора, а слева — металла. Линия переходов Мотта (5.47) в этих осях

описывается горизонтальной прямой, расположенной тем выше, чем меньше ав. Линии пересекаются в точке ИД = = (cm/ca)U. Пока беспорядок большой, W > ИД, переходы металл-изолятор контролируются им и происходят вдоль линии (5.46). Малый беспорядок W < < ИД несущественен, потому что за счет межэлектронного взаимодействия локализация происходит при концентрациях п, больших, чем те, что следуют из (5.46).

Беспорядок, создаваемый путем смещения атомов, имеет некоторый верхний предел. Этот предел достигается, когда корреляции между положениями атомов вообще отсутствуют. На диаграмме на рис. 5.17 этот предел обозначен как Жпах на правом краю полосы возможных состояний. Беспорядку 1Утах на кривой переходов соответствует концентрация nmax. Возникает вопрос, каковы кон-

Рис. 5.17. Диаграмма (беспорядок — концентрация), на которой в качестве меры беспорядка для иллюстрации выбрана величина W, а величина ав предполагается константой. Наклонная кривая — линия переходов Андерсона, горизонтальная прямая — линия переходов МоттаРис. 5.17. Диаграмма (беспорядок — концентрация), на которой в качестве меры беспорядка для иллюстрации выбрана величина W, а величина ав предполагается константой. Наклонная кривая — линия переходов Андерсона, горизонтальная прямая — линия переходов Моттацентрации электронов п в настоящих ме

Рис. 5.17. Диаграмма (беспорядок — концентрация), на которой в качестве меры беспорядка для иллюстрации выбрана величина W, а величина ав предполагается константой. Наклонная кривая — линия переходов Андерсона, горизонтальная прямая — линия переходов Мотта

Рис. 5.17. Диаграмма (беспорядок — концентрация), на которой в качестве меры беспорядка для иллюстрации выбрана величина W, а величина ав предполагается константой. Наклонная кривая — линия переходов Андерсона, горизонтальная прямая — линия переходов Мотта

таллах и сплавах. Если п > nmax, то никаким беспорядком не удастся реализовать переход Андерсона.

Заметьте. Величина W может считаться количественной мерой беспорядка лишь весьма условно. Поэтому диаграмма на рис. 5.17

носит иллюстративный характер. Тем не менее вопрос существует и ответить на него могут только эксперименты. Такие эксперименты уже обсуждались в гл. 1. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 7.

Минимальная металлическаяпроводимость?

Предложенные критерии перехода в форме величины параметра ав^У3 постулируют сам факт существования перехода металл-изолятор, но ничего не говорят о его характере. Первые серьезные дискуссии на эту тему базировались на анализе природы металлической проводимости. Формула для удельной проводимости

е2 п1 кре2 п1 кр17 3п = —5,Зтг2 h17 3п = —5,Зтг2 h(5.48)(5.48)

е2 п1 кр

е2 п1 кр

17 3

п = —5,

Зтг2 h

17 3

п = —5,

Зтг2 h

(5.48)

(5.48)

исходит из представления об электронной системе как о газе заряженных частиц с длиной свободного пробега I. Как и в обычном газе, на каком-то этапе возникают ограничения, обусловленные конечностью размеров частиц. Эффективным размером электронов является де- бройлевская длина волны l//cF. Это естественное ограничение снизу для величины I (правило Иоффе-Регеля). При длине пробега I ~ l/fcF формула для а принимает вид

O'Mott ~ (Зтг2) 2/3(е2/Й)п1/3 0,1(4 • Ю30м) W^3. (5.49)

Это значение ограничивает снизу проводимость, возможную в рамках газовой модели.

Исходя из этого ограничения, Мотт предположил, что переход металл-изолятор не является непрерывным фазовым переходом. Для перехода Андерсона рассуждения Мотта звучат так: по мере увеличения беспорядка в системе с фиксированной концентрацией п проводимость падает до минимума (5.49), а затем должна скачком обратиться в нуль. А уж при переходе Мотта сам сценарий предполагает лавинообразное увеличение числа делокализованных носителей: отдельный электрон, делокализовавшись, через свой вклад в экранирование способствует делокализации остальных.

Более того, базовое утверждение, лежащее в основе концепции о переходе Мотта, гласит, что концентрация п не может быть сколь угодно малой. Подстановка пс из критериев (5.43) или (5.45) в выражение (5.49) выражает <7Mott через ав. Но ав не может быть макроскопически большим — ведь это характерный размер волновой функции отдельного электрона. Значение ав ~ 600 А в InSb (см. рис. 5.16), вероятно, близко к максимально возможному. Отсюда должно следовать существование абсолютной минимальной металлической проводимости.

Естественно, что концепция минимальной металлической проводимости и характер перехода металл-изолятор были подвергнуты тщательной проверке в многочисленных экспериментах. Эксперименты

не подтвердили идею о минимальной металлической проводимости и показали, что переход непрерывен.

Рис. 5.18. Тонкая настройка давлением перехода металл-изолятор в Si:P. Пунктиром на основном графике и на вставке отмеченаРис. 5.18. Тонкая настройка давлением перехода металл-изолятор в Si:P. Пунктиром на основном графике и на вставке отмеченаЗаметьте. Каждая точка на графике cr(S) получена экстраполяцией к Т = 0 температурной зависимости о"(Т), измеренной при данном давлении.Заметьте. Каждая точка на графике cr(S) получена экстраполяцией к Т = 0 температурной зависимости о"(Т), измеренной при данном давлении.минимальная проводимость (7Mott,рассчитанная по измеренной элек-тронной концентрации [16]минимальная проводимость (7Mott,рассчитанная по измеренной элек-тронной концентрации [16]Подобный график при любойПодобный график при любойконечной температуре был бы недостаточно убедителен, потому что в изоляторе при конечной температуре существует конечная проводимость.конечной температуре был бы недостаточно убедителен, потому что в изоляторе при конечной температуре существует конечная проводимость.Пример такого эксперимента приведен на рис. 5.18. Зависимость проводимости образцов Si:P от концентрации п (на вставке) из- за неточности определения концентрации в каждом отдельном образце может лишь определить критическую концентрацию пс, но не закон изменения проводимости вблизи нее. Однако прикладывая давление к образцу с концентрацией, чуть меньшей пс, оказалось возможно пройти интервал значений а от нуля до предполагаемого (7Mott и убедиться в отсутствии скачка проводимости.

Рис. 5.18. Тонкая настройка давлением перехода металл-изолятор в Si:P. Пунктиром на основном графике и на вставке отмечена

Рис. 5.18. Тонкая настройка давлением перехода металл-изолятор в Si:P. Пунктиром на основном графике и на вставке отмечена

Заметьте. Каждая точка на графике cr(S) получена экстраполяцией к Т = 0 температурной зависимости о"(Т), измеренной при данном давлении.

Заметьте. Каждая точка на графике cr(S) получена экстраполяцией к Т = 0 температурной зависимости о"(Т), измеренной при данном давлении.

минимальная проводимость (7Mott,рассчитанная по измеренной элек-тронной концентрации [16]

минимальная проводимость (7Mott,рассчитанная по измеренной элек-тронной концентрации [16]

Подобный график при любой

Подобный график при любой

конечной температуре был бы недостаточно убедителен, потому что в изоляторе при конечной температуре существует конечная проводимость.

конечной температуре был бы недостаточно убедителен, потому что в изоляторе при конечной температуре существует конечная проводимость.

Список литературы

Mott N. V. Metal-insulator transitions. — Taylor & Francis, 1990.

Lee P.An Ramakrishnan T. V. Disordered electronic systems // Rev. Mod. Phys. 57, 287 (1985).

Kramer B., MacKinnon A. // Rep. Prog. Phys. 56, 1469 (1993).

Imry Y. Introduction to Mesoscopic Physics. — Oxford University Press, 1997 [Есть русский перевод: Имри И. Введение в мезоскопическую физику. — М.: Физматлит, 2002].

ran Wees В. J., Kouwenhoven L.P. et al. // Phys. Rev. В 38, 3625 (1988).

Anderson P. W., Thouless D. J., Abrahams E., Fisher D.S. // Phys. Rev. В 22, 3519 (1980).

Fowler A.B., Harstein A., Webb R.A. // Phys. Rev. Lett. 48, 196 (1982).

Dunlap D.H., Wu H-L., Phillips P.W. // Phys. Rev. Lett. 65, 88 (1990).

Izrailev F.M., Krokhin А. А. // Phys. Rev. Lett. 82, 4062 (1999).

Stockmann H.-J. Quantum Chaos. — Cambridge Univ. Press, 1999 [Есть русский перевод: Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос (введение). — М.: Физматлит, 2004].

Kuhl U., Izrailev F.M., Krokhin A. A., Stockmann H.-J. // Appl. Phys. Lett. 77, 633 (2000).

Stockmann H.-J., Barth M., Dorr U., Kuhl U., Schanze H. / / Physica E 9, 571 (2001).

Шкловский Б.И., Эфрос А. Л. Электронные свойства легированных полупроводников, § 9. — М.: Наука, 1979.

Лифшиц И.М. // УФН 83, 617 (1964).

Edwards Р.Р., Sienko M.J. // Phys. Rev. В 17, 2575 (1978).

Paalanen M.A., Rosenbaum T.F., Thomas G.A., Bhatt R.N. // Phys. Rev. Lett. 48, 1284 (1982).

Глава 6

СКЕЙЛИНГОВАЯ ГИПОТЕЗА 9

В этой главе обсуждается феноменологическая теория, призванная разрешить противоречие между простейшими соображениями о минимальной металлической проводимости и экспериментами. Она основана на скейлинговой гипотезе. Это название гипотезы происходит от английского слова scale — шкала. В русской литературе она часто называется гипотезой подобия.

Обоснование и формулировкаскейлинговой гипотезы J

Переход металл-изолятор — не совсем обычный фазовый переход. Основное свойство, по которому различаются состояния — проводимость — проявляется лишь в неравновесных условиях. Поэтому одним из оправданий отношения к этому переходу как к непрерывному фазовому переходу может служить успешное описание его при помощи стандартного математического аппарата теории фазовых переходов. Введем управляющий параметр х таким образом, чтобы разность х — — хс имела разные знаки по разные стороны от перехода. Как мы уже знаем из предыдущей главы, таким управляющим параметром может быть электронная концентрация п, уровень беспорядка, магнитное поле В, давление и т. и. Однако это не может быть температура, потому что переход происходит при Т = 0. Нам нужно также выбрать одну из функций, описывающих транспорт, на роль функции, задающей состояние системы, как это принято в термодинамике.

Пусть наши образцы имеют вид гиперкуба объемом Ld в пространстве размерности d. Проводимость конкретного образца, имеющую размерность [Ом-1] при любом d. будем называть кондактансом У. Введем также безразмерный кондактанс у при помощи формулы (е2/Й)?/ = У, в которой комбинация атомных констант е2/Й имеет размерность [Ом-1] и равна 2,43 • 10-4Ом-1. Величину е2/Й часто называют квантом проводимости. Кроме кондактанса существует еще и удельная проводимость с размерностью [Ом-1см2-(7]; будем обозначать ее буквой ст и называть для краткости просто проводимостью. Размерный и безразмерный кондактансы Y и у связаны с проводимо-

стью ст соотношениями

У = aLd-2, у = (е2/Rp1aLd-2. (6.1)

На первый взгляд кажется естественным выбрать в качестве базовой функции состояния проводимость ст. Однако, она лишь до тех пор остается «удельной», т.е. работает как характеристика материала, пока размер образца L остается больше некоторого внутреннего параметра материала размерности длины.

Вспомните: В классической физике металлов, где таким параметром является длина свободного пробега Z, существует размерный эффект на постоянном токе: соотношение У = aL, связывающее кондактанс и проводимость при d = 3, справедливо лишь до тех пор, пока L > I.

Одной из основных величин в теории фазовых переходов является корреляционная длина £, которая определена с обеих сторон перехода. На самом переходе, при приближении управляющего параметра х к критическому значению х хС1 корреляционная длина £ расходится: ^ ^ оо. В теории обычных непрерывных фазовых переходов предполагается, что при приближении к переходу £ — это характерные размеры флуктуаций. Переход металл-изолятор происходит при абсолютном нуля температуры, и вместо тепловых флуктуаций в нем фигурируют квантовые флуктуации. В непосредственной окрестности перехода в течение короткого времени 5t могут существовать области с характерными размерами £, в которых электронная система имеет энергетически невыгодную функцию основного состояния. При этом закон сохранения энергии выполняется с точностью до соотношения неопределенности 5E5t ~ Й.

Поскольку корреляционная длина £ расходится на переходе, в окрестности хс условие L > ^ обязательно нарушится, функция ст потеряет смысл, а связь кондактанса и проводимости уже не будет сводиться к множителю L^-2. Это определяет выбор не проводимости, а кондактанса у в качестве базовой функции.

В пользу кондактанса имеются также серьезные аргументы, основанные на анализе волновых функций. Рассмотрим трансформацию дискретного электронного спектра при стыковке 2d гиперкубов объемом Ld в один объемом (2L)^ (эти рассуждения принадлежат Таулессу). Волновые функции в большом кубе ф^ъ можно представить в виде линейных комбинаций волновых функций фь в кубах Ld. В первом порядке теории возмущений коэффициенты с^ при поправках к волновой функции имеют вид J/(^Еф где J — интеграл перекрытия, а ^Е — разность энергий невозмущенных состояний (см., например, формулу (5.4)). Величина ^Е порядка расстояния между уровнями размерного квантования, ^Е ~ (ддЬ^-ф где дд — плотность состояний в пространстве соответствующей размерности. Поэтому

" г4^ = Л№Ау (6-2)

Если интеграл перекрытия J мал, то коэффициенты с^ малы, и волновые функции остаются локализованными в исходных объемах Ld. Если же интеграл J велик, то волновые функции распространяются на весь объем (2L)d. Отсюда следует предположение, что поведение волновых функций при удвоении размера куба L можно описать одним параметром (6.2).

Нетрудно видеть, что и транспортные свойства объема Ld меняются с величиной J точно так же. При большом J кондактанс велик, потому что электроны делокализованы и заряд может перейти с одной грани куба на противоположную путем металлической проводимости. При малом J проводимость мала; она реализуется за счет прыжков между центрами локализации или прямого туннелирования с одной грани гиперкуба на противоположную. Чем меньше J, тем меньше вероятность прыжков и туннелирования. Поэтому кондактанс можно считать той физически измеряемой величиной, которая позволяет судить о волновых функциях электронов в основном состоянии. Причем именно кондактанс, а не проводимость, потому что он безразмерен в единицах е2/Й при любой размерности пространства d. и потому что эта физическая величина сохраняет смысл сколь угодно близко к переходу.

Заметьте. Если оценить плотность состояний через ширину энергетической зоны W и электронную концентрацию, да ~ тгд/W (ср. с (5.1)), то параметр (6.2) по сути дела превратится в параметр Андерсона (5.3). Это еще раз указывает на связь между спецификой волновых функций и кондактансом.

Рис. 6.1. Универсальные функции /3(1н^/) для различных размерностей [4]

В основополагающей работе [4], где была предложена однопараметрическая скейлинговая теория перехода металл-изолятор, в качестве функции состояния использован именно кондактанс образца у.

Следуя работе [4], изобразим на рис. 6.1 логарифмическую производную кондактанса по размеру

л = (Zin?/ = Ldy_

Р dlnL ydL

как функцию от аргумента In?/:

(/In?/ (ZlnL(/In?/ (ZlnL= /(Iny).= /(Iny).(6.3)(6.3)

(/In?/ (ZlnL

(/In?/ (ZlnL

= /(Iny).

= /(Iny).

(6.3)

(6.3)

Заметьте. Смысл скейлинговой переменной /3 можно уяснить себе следующим образом. Если у — степенная функция L. например, у = xLd~-. то /3 — показатель степени: /3 = с/ — 2, а на графике на рис. 6.1 получится горизонтальная прямая. Именно такие степенные функции фигурируют в соотношениях (6.1).

Каждый конкретный образец размерности d изображается в виде точки на кривой (За^у)- Стрелки на кривых показывают, куда смещается изображающая точка при увеличении размера образца L. Согласно скейлинговой гипотезе функция /3(1п?/) универсальна для каждой размерности d, а состояния определяются только одним параметром у. Асимптотики универсальных функций (За[у) при очень больших и очень малых у можно получить из общих соображений. При больших у можно воспользоваться макроскопическим соотношением (6.1) транспортной теории, откуда

/3 d — 2 при у ос. (6.4)

В пределе малых у, когда все электроны локализованы, и их волновые функции затухают на расстояниях а в , конечный кондактанс при Т = 0 осуществляется за счет экспоненциальных хвостов волновых функций на противоположных гранях куба, и потому

у = уое-ь^ав, 1пу = 1пу0-—, /3 = 1п-^-. (6.5) ав Уо

Если соединить асимптотики (6.4) и (6.5) плавными линиями без экстремумов, то получатся кривые, представленные на рис. 6.1. Левые асимптотики этих кривых при In?/ —сю все лежат в нижней полуплоскости /3 < 0. Правые асимптотики при In?/ +сю расположены относительно оси абсцисс /3 = 0 по-разному. При d < 2 они лежат в нижней, а при d > 2 — в верхней полуплоскости. Эта разница принципиальная, потому что при d > 2 кривая ^(In?/) пересекает ось абсцисс, а наличие точки пересечения, как мы увидим ниже, означает существование в системе перехода металл-изолятор.

Отмеченная разница дает основания говорить, что двумерный случай является пограничным (см. также раздел «Переход Андерсона» в предыдущей главе). Пограничные свойства двумерных систем стимулировали появление в теории переходов металл-изолятор так называемых «(2 + е)-моделей», где d считается непрерывной переменной, по которой производится разложение в окрестности значения d = 2.

Кривые р(у) предлагаются в качестве конечного продукта скейлинговой гипотезы. Воспользоваться этим продуктом можно следующим образом. Возьмем кубик (квадратную пленку, проволоку единичной длины) размера L из интересующего нас материала и мысленно измерим его кондактанс при абсолютном нуле температуры. Получим точку на одной из кривых на рис. 6.1. Если эта точка находится на нижней полуплоскости /3 < 0, то наш материал является изолятором: при увеличении L кондактанс у кубика становится экспоненциально малым. Если же точка находится на верхней полуплоскости /3 > 0, то мы имеем дело с металлом, кондактанс которого у растет с размером L.

При всей фантастичности такой процедуры скейлинговая гипотеза сыграла важную роль, позволив связать в единую стройную картину ряд разрозненных фактов. По поводу самой гипотезы можно задать несколько вопросов.

— Из чего состоит полный набор физических соображений, позволивший сформулировать эту гипотезу?

— Существуют ли теоретические вычисления, хоть в какой-то мере ее подтверждающие?

— Каковы физические следствия скейлинговой гипотезы и допускают ли они экспериментальную проверку?

То, что сказано выше о проводимости, кондактансе и асимптотиках, является лишь частью ответа на первый вопрос. Мы, однако, этим ограничимся, отослав интересующихся к оригинальной статье [4] и обзору [2]. Отметим лишь одно обстоятельство. На всех этапах рассуждений, например при написании выражения (6.5), подразумевается волновая функция одного электрона и никак не учитывается ни состояние всех остальных электронов, ни спиновые взаимодействия. Поэтому кривые на рис. 6.1, строго говоря, относятся только к системе невзаимодействующих бесспиновых электронов. Обычно заранее не ясно, в какой мере ту или иную электронную систему можно считать невзаимодействующей. Поэтому общая стратегия заключается в том, чтобы, сравнивая с предсказаниями гипотезы результаты измерений для разных электронных систем, постараться выяснить применимость гипотезы, ее универсальность и роль взаимодействий.

Перейдем ко второму вопросу. Возможности сравнения скейлинговой гипотезы с теоретическими вычислениями ограничены, но все же существуют. Переход от свободных носителей к полностью локализованным, описываемый кривыми ра^у) на рис. 6.1, начинается со слабой локализации. Поэтому спроектируем на эти кривые существующие теоретические расчеты квантовой поправки к проводимости при слабой локализации. При Т = 0 неупругая длина L^ = сю. Полагая, что электрон теряет память о фазе, достигнув поверхности образца и рассеявшись на ней, подставим L во все формулы теории слабой локализации вместо L^. Получающиеся поправки к функциям Pd(y) Для всех трех размерностей сведены в табл. 6.1, где через ста

(d = 1, 2, 3) обозначена больцмановская проводимость в (/-мерном пространстве.

Таблица 6.1

d = 1

d = 2

d = 3

О"

(71 + КЗ- KiL

(72 — А+ 1П у

Кз , Кэ

у

Мт-'1')

M^-^lny)

^a3L^K^

3

3d

L f Н <71\ — ai

У \ е2 I? /0-1 - KyL

1 dy у d\nL

П L _1

е21 + K3I03L

-1-KijY

0 - K^Y

1 - Кз/У

Константы К\. К> и Кз имеют размерность [Ом 1]

Вычисленные в предпоследней строке таблицы функции /3 представлены в последней строке в унифицированном виде /3^ = (d — 2) — — Ky/Y. Они имеют правильную асимптотику при У ^ сю и отклоняются от нее вниз при конечных У, как это предполагается гипотезой и как это нарисовано на рис. 6.1. Таким образом там, где оказалось возможно провести расчет в рамках теории возмущений, его результат подтвердил скейлинговую гипотезу.

Обратите внимание. Последнее утверждение не столь бесспорно, как кажется. Оно исходит из знака квантовых поправок к проводимости (2.11) и по существу означает следующее: слабая локализация является первым шагом на пути к сильной, настоящей локализации. Но ведь интерференционная квантовая поправка устроена довольно хитро и при наличии достаточно сильного спин-орбитального взаимодействия слабая локализация уступает место антилокализации. Как совместить скейлинговую гипотезу и спин-орбитальное взаимодействие? Мы вернемся к обсуждению этого в конце главы, после того, как станет ясно, где это может быть наиболее существенно.

А сейчас перейдем к третьему вопросу — к конкретным следствиям скейлинговой гипотезы.

Трехмерные (3D) системы

Возьмем маленький пробный кубик из исследуемого материала размером А. Если точка, отображающая на 3D скейлинговую кривую кондактанс у\ этого кубика, лежит в нижней полуплоскости /3 < О, то увеличение размера куба L > А сдвигает отображающую точку влево. Увеличивая £. можно сделать кондактанс сколь угодно малым. (Заметьте: при Т = 0!) Этот материал — изолятор. Если же отображающая точка (3(у\) > 0, то увеличение размера L сдвигает отображающую точку вправо, так что кондактанс можно сделать сколь

угодно большим. Это — металл. Пересечение кривой Зз^ в точке ус осью /3 = 0 означает существование перехода металл-изолятор.

Аппроксимируем 3D скейлинговую кривую Зз(у) в верхней полуплоскости 3 > 0 ломаной, состоящей из отрезка, выходящего из точки (In ?/с, 0) под наклоном s = (d3/d In у)Ус до пересечения с прямой /3 = 1 (обычно считают, что s порядка единицы), и горизонтальной полупрямой /3 = 1. Кондактанс в точке излома обозначим через а соответствующий размер L через £ (рис. 6.1). Уравнение отрезка

в силу специфичности функции /3 является дифференциальным уравнением, общее решение которого имеет вид

In — = ^yV In(6.7)

усусх '

Здесь А играет роль начального условия, заданного в одной точке отрезка. При у = ус в точке излома,

In—= -.(6.8)

Ус 8х 7

е = Ае = АИз (6.7) следует, что размер куба будет при этом равен

е = А

е = А

(6-9)

При дальнейшем увеличении размера L> ( отображающая точка будет двигаться вдоль горизонтальной части кривой, где существует проводимость о и можно пользоваться выражением (6.1) для у. Так как £ — наименьшая длина, при которой имеет смысл понятие удельной проводимости, она называется корреляционной длиной. Наконец, подставив значение (6.8) для у^ и значение L = £ в выражение (6.1), получим окончательно

(6.10)(6.10)/е2 \ у^ _ /е2 \ In т/с + 1/s/е2\ 1

(6.10)

(6.10)

Размер А пробного куба не может быть сколь угодно малым. Минимальный разумный размер — это электронная длина волны А ~ l/fcF. Если кондактанс пробного куба ух попадет в интервал ус < ух < у^ то корреляционная длина окажется £ > Zmin ~ кр1 и а < <rMott.

Если у\ близко к ус, то \пух/ус ~ (Ух/Ус) — Е Положив для оценки s = 1, получим из (6.9)

£ и А у' .(6.11)

Ух - Ус

При ух ус величина £ ^ сю, а проводимость а 0. Таким образом из скейлинговой гипотезы следует, что 3D удельная проводимость

достаточно большого образца может быть сколь угодно малой, так что переход металл-изолятор является непрерывным.

Заметьте. Маленький пробный кубик нам понадобился только на промежуточной стадии рассуждений. Заключения относительно проводимости ст и характера перехода относятся к макроскопическим образцам.

Ценность кривой /3(Д в степени ее универсальности, которая в первую очередь существенна в окрестности перехода. Здесь она выражается в том, что кривая /3(Д должна иметь для разных систем один и тот же наклон s. Для невзаимодействующих электронов из 2 + г модели следует, что наклон s = е. Если предположить, что разложением d = 2 + е можно пользоваться вплоть до £ = 1, то для трехмерных систем получается s = 1. Значение s характеризует так называемый класс универсальности. Взаимодействия электронов могут изменить этот класс. Это зависит от того, меняют ли эти взаимодействия симметрийные свойства гамильтониана, описывающего систему. В последнем параграфе этой главы мы увидим, как универсальность нарушается за счет спин-орбитального взаимодействия (см. там рис. 6.12 и относящийся к нему текст).

Критическая окрестность перехода. Экспериментальная проверка сделанных утверждений предполагает экстраполяцию кТ = = 0 измерений кондактанса, сделанных при конечных температурах. Поэтому следует сначала разобраться, что происходит в окрестности перехода при Т 0.

Рассмотрим фазовую плоскость (т,Т) — рис. 6.2. Пусть большие х соответствуют металлическим состояниям, малые — состояниям изолятора, фазовый переход изображается изолированной точкой (х = хс, Т = 0) на оси х. Пусть наш образец всегда достаточно большой, L > Z Д, так что можно всегда говорить о проводимости а. Вдоль оси абсцисс, при Т = 0, проводимость а = 0 при х ^ хс и монотонно возрастает направо от хс. Справа от хс есть еще одна выделенная точка ад, в которой

2 2 1

CT($1,T = 0) = CTMott=e-kF=e-1[. (6.12)

В интервале от хс до ад проводимость, согласно (6.10), выражается через корреляционную длину £, а при х > ад работает формула Друде:

(6.13)(6.13)'0

(6.13)

(6.13)

< 1/5

ЛМУ/i

Два последних выражения сшиваются при х = ад, где £ = I и kFl = 1.

Будем считать переход в хс переходом Андерсона-Мотта. При описании проводимости при Т = 0 мы воспользовались скейлинговой гипотезой для невзаимодействующих электронов и формулой (6.13), но

ТТ3D (куб размером L)3D (куб размером L)Критическая область211.Критическая область211.Область ДрудеОбласть ДрудеОбласть \ ^х прыжковой \ ^* проводимости4, ^ozcxi^MT/Tj'] \Область \ ^х прыжковой \ ^* проводимости4, ^ozcxi^MT/Tj'] \ССооТочка переходаТочка переходаТ=0:Т=0:о = 0о = 0VIVIЖЖоо1//1//Квантовая поправкаКвантовая поправкаh Ih I1/^1/^

Т

Т

3D (куб размером L)

3D (куб размером L)

Критическая область

211.

Критическая область

211.

Область Друде

Область Друде

Область \ ^х прыжковой \ ^* проводимости4, ^

ozcxi^MT/Tj'] \

Область \ ^х прыжковой \ ^* проводимости4, ^

ozcxi^MT/Tj'] \

С

С

о

о

Точка перехода

Точка перехода

Т=0:

Т=0:

о = 0

о = 0

VI

VI

Ж

Ж

о

о

1//

1//

Квантовая поправка

Квантовая поправка

h I

h I

1/^

1/^

Рис. 6.2. Окрестность перехода металл^изолятор в ЗП-системе на фазовой плоскости (ж, Т), где х — управляющий параметр. Внизу параллельно оси х добавлена шкала обратной длины с нулем в точке перехода и положительными значениями переменной 1/£ в обе стороны от нуля. Там же указаны значения проводимости а(Т = 0) в соответствующих областях. В осях (1/£,Т) обе пунктирные кривые на диаграмме — это кубические параболы при анализе окрестности перехода при конечных температурах будем исходить из квантовых поправок, обусловленных межэлектронным взаимодействием. Обратимся к фазовой плоскости (ж, Т) на рис. 6.2. Слева, глубоко в области изолятора с кулоновской щелью, реализуется прыжковая проводимость, справа справедливо больцмайовское выражение аз для классической трехмерной проводимости с квантовой поправкой:

a = a3 + ^L-1, Lee = ^.(6.14)

е^ hе^ hПромежуточную область в окрестности точки хс назовем критической и напишем для нее интерполяционную формулу

е^ h

е^ h

(6.15)

Выражение (6.15) сшивается с (6.14) на прямой х = ад и дает правильные значения проводимости на отрезке хс < х ^ Xi при Т = 0.

Будем двигаться справа налево вдоль линии Т = const. Пока квантовая поправка относительно мала, диффузия электронов происходит в результате рассеяния на примесях, т. е. контролируется первым членом уравнения (6.14). Поэтому входящий в Lee коэффициент диффу-

зии D не зависит от температуры. Но когда мы зайдем в критическую область, аз превратится в (е2/Й)^-1 и начнет быстро уменьшаться. В этих условиях D перестанет быть константой: диффузия будет происходить как бы по тем самым флуктуациям электромагнитного поля, которые определяют Lee, и потому станет температурозависящей. Тогда можно написать систему уравнений для функций а(Т) и D^T), использовав в качестве второго уравнения соотношение Эйнштейна:

< ° Щ N RD j’(6Л6)

^а = e2g^D

(др — плотность состояний на ферми-уровне).

Исключим D из этих двух уравнений. Затем разрешим оставшееся уравнение относительно а(Т), воспользовавшись тем, что мы находимся достаточно близко к переходу и что 1/^ <С 1/Lee. Получим температурную зависимость проводимости в правой части критической области х > хс

ДЦ = У | + №)1/3 = а + РТ1^3.(6.17)

Точно на переходе £ = сю и а = 0.

Заметьте. Степень 1/3 возникла благодаря тому, что в качестве времени сбоя фазы т^ было взято время расфазировки тее ос Г-1. При ином механизме сбоя фазы с ту ос Т". температура войдет в уравнение (6.17) в степени v/3.

Критическая область должна существовать и слева от точки перехода. Естественно думать, что степень Т1/3 в температурной зависимости не должна измениться. Однако константа а в выражении (6.17) станет отрицательной. Чтобы определить ее и установить границы критической области, отложим вдоль оси абсцисс на рис. 6.2 величину 1/^ > 0 с учетом того, что 1/^ ос \х — хс\ (на рисунке это нижняя дополнительная ось). Правая граница критической области определяется самим способом получения формулы (6.17) из (6.15): £ = Lee. Поскольку на стороне изолятора при достаточно низкой температуре должна остаться только прыжковая проводимость, положение левой границы определим из сравнения корреляционной длины £ с длиной прыжка, ^ = г. Использовав выражение (2.30) для Lee и выражение (4.18) для г, в которое в качестве а в подставлена корреляционная длина £, получим, что в осях (1/^, Т) обе кривые, ограничивающие критическую область, являются кубическими параболами

(6.18)

На левой границе (6.18) критической области критическая проводимость <7crit должна перейти в прыжковую проводимость ahOpp,

существенно меньшую по величине. Пренебрегая второй по сравнению с первой, можно считать, что на этой границе acrit ~ 0 и

2 1

а « -0Т1/3 « У(6.19)

Объединяя уравнения (6.17) и (6.19), получим, что проводимость в критической области

<jcrit = a + 0T1/3, a = ^J, /?=Д/3.6.20)

h [-1/5, х < хс h

Заметьте. Из металлического состояния в состояние изолятора (оба при Т = 0) можно перейти, обогнув точку фазового перехода, см. рис. 6.3. При этом, однако, придется пересечь две линии кроссоверов, в окрестности которых сменяются доминирующие процессы, определяющие проводимость. На последнем этапе такой траектории проводимость будет убывать экспоненциально с понижением температуры.

Для экспериментального наблюдения перехода металл-изолятор нужно выбрать управляющий параметр, измерить температурные зависимости проводимости при разных значениях этого параметра, построить их в спрямляющих осях (Т1/3, ст) и, убедившись, что получаются прямые линии, проэкстраполировать эти прямые к Т = О для определения а(х^ 0). Переход должен проявиться в поведении этой функции а(х^ 0) в точке х = хс.

Критическая областьКритическая областьСамым естественным управляющим параметром является концентрация носителей п, обусловленная количеством примесей в данном образце. Каждая экспериментальная кривая на рис. 6.4 соответствует

Критическая область

Критическая область

С7хсхр[-(//7,/Т'

Точка перехода

Рис. 6.3. Обход точки фазового перехода через критическую область измерениям вдоль вертикальной прямой на диаграммах рис. 6.2 или рис. 6.3. Судя по экстраполяции экспериментальных данных к Т = О, для Ge:As критическая концентрация As равна пс = 3,5 • 1017 см-3: при концентрациях п > пс экстраполяция дает положительные значения сг(О). На самой нижней зависимости о"(Т), отвечающей концентрации п = 3,0 • 1017 см-3, стрелкой отмечена температура, вблизи которой происходит кроссовер из критической области в область прыжковой проводимости. Прыжковая проводимость существенно меньше,

чем проводимость в критической области, и ее практически не видно при использованном на рис. 6.4 масштабе, так что зависимость а(Т) как бы упирается в ось абсцисс. Это было использовано выше при написании граничного условия (6.19).

Рис. 6.4. Температурная зависимость проводимости серии образцов Ge:As с разным уровнем легирования в районе перехода металл^изолятор, [5]

Как видно из рис. 6.4, у серии кривых а(Т) на Ge:As есть еще одно выделенное значение концентрации примесей: при п = 4,45 • 1017 см-3 меняет знак производная da/dT при низких температурах. Естественно считать, что это и есть то значение управляющего параметра яд = = ni, при котором выполняется соотношение (6.12), потому что при этой концентрации имеющие разные знаки классическая и квантовая температурозависящие поправки к проводимости компенсируют друг друга. Это означает, что приблизительно при этой концентрации друдевское описание проводимости перестает работать, и начинается критическая область (см. также соотношение (6.13)). Знание ni означает знание dMott = ^(^i) ~ 20 Q-1 см-1, и абстрактная диаграмма на рис. 6.2 обрастает конкретными числами: выясняется отношение ni/nc, определяется коэффициент пропорциональности между 1/а и £ в интервале концентраций пс < п < ni, а проводимость можно записать в приведенных единицах сг/амои-

Образец Ge:As с концентрацией п = 4,6 • 1017 см-3 находится, согласно рис. 6.4, в глубине металлической области. Но его можно сделать изолятором при помощи магнитного поля, которое в данном случае выполняет роль управляющего параметра. Как видно из рис. 6.5, переход в состояние изолятора произошел в поле 5 Тл. В более сильных полях, 7 и 8 Тл, экспериментальные точки при самых низких

температурах отклоняются от прямых. Это результат приближения к области прыжковой проводимости (см. рис. 6.2) — проводимость ст не может стать отрицательной (на рис. 6.4 аналогичный изгиб в нулевом поле при п = 3 • 1017 см-3 выглядит как излом).

Зачастую точности измерений проводимости и диапазона изменений температуры недостаточно, чтобы однозначно определить функциональную зависимость Т1/3. Иногда при обработке экспериментальных данных используют для спрямления кривых не а

используя вплоть до перехода степень, определяющую квантовую поправку в больцманов- ской области при Аа С <т(0). На определении значения управляющего параметра в точке перехода это почти не сказывается.

Таким образом, эволюция транспортных свойств в окрестности перехода металл-изоля- тор вполне соответствует описанию, базирующемуся на скей- линговой гипотезе. Однако это описание ничего не говорит о волновых функциях и механизме проводимости. Вернемся на отрезок (хс, яд) оси абсцисс Т = 0 на рис. 6.2. Электроны формально делокализованы, но так как ст < <rMott, обычные бло- ховские волны не могут быть их волновыми функциями. Вероят-

Рис. 6.5. Температурная зависимость проводимости одного образца Ge:As в разных магнитных полях, [6]Рис. 6.5. Температурная зависимость проводимости одного образца Ge:As в разных магнитных полях, [6]но волновые функции устроены так, что электроны распространяются по фрактальной части пространства с размерностью df(x) < 3. Тогда в точке ад, где dj(xi) = 3, происходит изменение симметрии волновых функций основного состояния, а это необходимое условие существования фазового перехода. Считается, что в точке ад фазового перехода нет. Однако окончательную точку в этом вопросе можно будет поста

Рис. 6.5. Температурная зависимость проводимости одного образца Ge:As в разных магнитных полях, [6]

Рис. 6.5. Температурная зависимость проводимости одного образца Ge:As в разных магнитных полях, [6]

вить только тогда, когда станет понятен механизм проводимости на интервале (хС) ад).

Двумерные (2D) системы

Кривая d = 2 на рис. 6.1 вся находится в области отрицательных /3. Из какого бы материала мы ни изготовили 2D систему, постепенное увеличение ее размеров должно приводить к уменьшению кондактан- са, так что кондактанс станет экспоненциально малым и в пределе L сю, Т —> О должен обратиться в нуль. Другими словами, при достаточно низкой температуре любая пленка является изолятором.

На первый взгляд это следствие скейлинговой гипотезы противоречит несомненному факту существования металлических пленок. Противоречие, однако, не является фатальным. Поскольку концентрация п2 ос кр^ а больцмановская 2В-проводимость сг2 = п^^Нкр ~ ~ (е2/Й)(/ср/), проводимость 2D системы с учетом одной из квантовых поправок (2.11) или (2.37) имеет вид

2 т 2 г х

СТ = <72 - - In ^ « У ( М - In Ум ■ (6-21) П I П \ I /

Это выражение справедливо лишь до тех пор, пока поправка относительно мала. Но тенденция уменьшения проводимости с понижением температуры должна сохраниться. Поэтому формулу (6.21) можно использовать для оценки момента существенных изменений в характере проводимости, приравняв проводимость (6.21) нулю. Получившееся в результате значение L^ назовем длиной локализации и обозначим буквой ф

£ ~ I exp (kpl\ (6.22)

Важно, что так определенная длина £ зависит только от электронной концентрации (через кр) и от беспорядка (через I). Предположим, что сбой фазы происходит в результате электрон-электронных столкновений в условиях диффузии с частотой тГ1 = т”1 = Т/(грт) (см. уравнение (2.33)). Тогда L^ = (Вврт/Т)1/2, и получаем оценку для температуры Тсг, при которой L^ = ^

ТС1 = ~ £р exp (-2кР1\ (6.23)

Заметьте. Если частота тГ1 контролируется другим процессом рассеяния, так что тТ1 ос Tv, то в показателе экспоненты в формуле (6.23) вместо 2 окажется 2/v. Это существенно не изменит дальнейших рассуждений. Если квантовая поправка в формуле (6.21) обусловлена не слабой локализацией, а межэлектронной интерференцией, то получится практически результат (6.23), лишь с множителем Й/т вместо sF в предэкспоненте.

Если бы при этой температуре формула (6.21) еще работала, то проводимость обратилась бы в ноль. Поэтому мы вправе ожидать, что в районе температуры (6.23) произойдет кроссовер от логарифмического падения проводимости (6.21) к экспоненциальному падению. Но даже при сравнительно небольшом, «металлическом», значении параметра kFl > 5 4-10 эта температура становится нереально низкой, так что фактически локализации не происходит. К тому же кроссовер может не наступить и из-за конечности размеров образца L: даже охладившись до температуры Тсг, мы не увидим кроссовер, если L < £. Линия кроссоверов изображена на рис. 6.6, где величина 1/£ отложена вдоль оси абсцисс в качестве количественной меры беспорядка; это сделано на основании (6.22).

Рис. 6.6. Кроссовер между логарифмической и экспоненциальной температурными зависимостями проводимости в двумерных системах

Таким образом длина ф определяемая формулой (6.22), это действительно тот самый радиус локализации, на котором данный беспорядок в двумерной системе локализует носители при Т = 0. В «металлических» пленках, I >> Ajp1, длина £ экспоненциально велика, и локализация существует лишь гипотетически: для ее наблюдения нужны нереально большие размеры образцов L >> £ и нереально низкие температуры (6.23). По мере роста беспорядка и уменьшения параметра к¥1 минимальный размер L падает, а температура (6.23) растет. При kFl > 1 оба параметра становятся реальными. Именно для этой области скейлинговая гипотеза вместо перехода металл- изолятор по мере увеличения беспорядка при Т = 0 предсказывает для 2В-системы с фиксированным беспорядком кроссовер от слабой к сильной локализации при уменьшении температуры.

Представленные ниже эксперименты иллюстрируют изложенные соображения на различных 2В-системах. Такими системами могут быть либо особым образом изготовленные плоские поверхности раздела двух сред, вдоль которых образуется двумерная яма для электронов (гетероструктуры, инверсионные слои), либо тонкие пленки.

В гетероструктуре GaAs/AGGai-^As концентрацию 2В-электро- нов можно менять при помощи затвора: на одном образце при изменении электрического поля получается весь спектр концентраций. Как видно из рис. 6.7, функция р(Т) носит явно активационный характер при концентрации п ~ 0,6 • 1011 см-2, а при п 6 • 1011 см-2 имеет место лишь слабый логарифмический рост р с понижением Т. Хотя возможности для детального сравнения в этом эксперименте были весьма невелики, качественно получилось именно то, чего следует ожидать на основании скейлинговой гипотезы.

Более детальное сравнение удалось произвести на пленках Си, Ag и Ан с толщинами а в интервале от 0,3 до 2 нм.

Рис. 6.7. Эволюция температурной зависимости сопротивления двумерного газа в гетеропереходе по мере изменения двумерной электронной плотности от п ~ 0,6 • 1011 см-2 (верхняя кривая) до п ~ 6 • 1011 см-2 (нижняя кривая) [7]

1п(Т/Т0)Г/Т

Рис. 6.8. а) Температурные зависимости In^//^/оо пленок из разных металлов и различной толщины (кривые справа) при помощи одного свободного параметра То, т. е. при помощи параллельного горизонтального переноса, все ложатся на одну универсальную кривую. Асимптота этой кривой при больших у — это логарифмическая зависимость, характерная для слабой локализации (б), а при малых у это активационный закон Аррениуса (в) [8]

Заметьте. Размерность образца определяется сравнением толщины а с неупругой длиной L^, поэтому эти пленки действительно двумерные объекты. А при достаточно низких температурах двумерными могут стать и гораздо более толстые пленки.

Результаты измерений на всех трех металлах построены в виде серии кривых в правой части рис. 6.8, а; при этом первоначальном построении в качестве То использовалась величина 1 К, а величина уоо была выбрана равной ?/оо = (2тг)-1(в2/Й). Оставив у/уоо фиксированным, все экспериментальные точки удалось положить на одну кривую, сделав То свободным параметром, своим для каждой из экспериментальных кривых. Для каждой из кривых на рис. 6.8, а это означает параллельный перенос вдоль горизонтальной оси на расстояние — In То. Хотя измерения на каждом отдельном образце укладываются лишь на небольшой участок получившейся сводной кривой, вся кривая перекрывает больше трех порядков по T/Tq и содержит как участок слабой локализации (часть кривой 1п?//?/оо > 0, рис. 6.8, б), так и активационный участок (In?//?/оо < —2, рис. 6.8, в).

На активационном участке, т. е. в области сильной локализации, теория прыжковой проводимости допускает различные степени в формуле у ос ехр [—(То/Т)Д Согласно рис. 6.8, в, в данном эксперименте температурная зависимость у(Т) имеет степень v = 1, что указывает на существование жесткой щели шириной Tq.

Сравните. На ультратонких пленках Be наблюдаются степень v = = 1/2 (см. рис. 4.7) и кулоновская щель (см. рис. 3.10 и рис. Б.5). Даже в виде ультратонких пленок материалы сохраняют индивидуальность.

Наблюдать кроссовер от слабой локализации к сильной удалось и на одном образце. На рис. 6.9 приведены измерения сопротивления в интервале от комнатной температуры до 0,2 К (больше трех порядков) на образце Ga As, 5- легированном кремнием, имеющем квази- одномерную конфигурацию (длинная полоска шириной 500 А). Концентрация носителей в 5-слое определяется исходным уровнем легирования и не может быть изменена в процессе эксперимента. Как и в тонких металлических пленках, здесь реализуется принцип «один образец — одна концентрация». Результаты измерения ниже 1 К укладываются на активационную зависимость R ос exp (Tq/T) с То ~ 2,6 К, а выше То кривая R(T) описывается формулами теории слабой локализации. В какой мере существенна квазиодномерность образца, не совсем ясно. Возможно, что использованные геометрические размеры оказались особо благоприятны для расширения температурного интервала измерений. Во всяком случае линейная зависимость сопротивления от 1пТ в области температур выше То характерна именно для двумерных образцов.

Описанную гармонию между скейлинговой гипотезой и экспериментами нарушают результаты опытов на инверсионных слоях в кремнии, где концентрация регулируется напряжением на затворе. На

Рис. 6.9. Температурная зависимость сопротивления полоски шириной 0,05 микрон из 5-легированного GaAs, [9]Рис. 6.9. Температурная зависимость сопротивления полоски шириной 0,05 микрон из 5-легированного GaAs, [9]Рис. 6.10. Температурная зависимость сопротивления инверсионного слоя на поверхности Si при различной плотности носителей в слое, [10]Рис. 6.10. Температурная зависимость сопротивления инверсионного слоя на поверхности Si при различной плотности носителей в слое, [10]Рис. 6.11. Переход сверхпроводник- изолятор в пленке аморфного Bi, нанесенного на подложку из аморфного Ge толщиной 5 А, [11]Рис. 6.11. Переход сверхпроводник- изолятор в пленке аморфного Bi, нанесенного на подложку из аморфного Ge толщиной 5 А, [11]образцах с рекордно большой подвижностью носителей в слое увеличение концентрации носителей П2 в 2В-слое меняет знак производной др/дТ, так что при П2 ~ 1,4 • 1011 см-2 сопротивление падает в несколько раз по мере уменьшения температуры от 4 К до нескольких десятков мК (см. рис. 6.10). В этом существенное отличие от кривых для гетероструктуры GaAs/Al^Gai-^As (на рис. 6.7) и существенное противоречие со скейлинговой гипотезой.

Рис. 6.9. Температурная зависимость сопротивления полоски шириной 0,05 микрон из 5-легированного GaAs, [9]

Рис. 6.9. Температурная зависимость сопротивления полоски шириной 0,05 микрон из 5-легированного GaAs, [9]

Рис. 6.10. Температурная зависимость сопротивления инверсионного слоя на поверхности Si при различной плотности носителей в слое, [10]

Рис. 6.10. Температурная зависимость сопротивления инверсионного слоя на поверхности Si при различной плотности носителей в слое, [10]

Рис. 6.11. Переход сверхпроводник- изолятор в пленке аморфного Bi, нанесенного на подложку из аморфного Ge толщиной 5 А, [11]

Рис. 6.11. Переход сверхпроводник- изолятор в пленке аморфного Bi, нанесенного на подложку из аморфного Ge толщиной 5 А, [11]

Интерпретация эволюции производной др/дТ с концентрацией в инверсионных слоях в кремнии вызвала много споров. Всегда можно сказать, что в эксперименте просто не была достигнута достаточно низкая температура. Но сейчас считается весьма вероятным, что при некоторой промежуточной концентрации, когда низкотемпературная производная

др/дТ ~ 0 при достигнутых температурах, при Т = 0 действительно происходит переход металл-изолятор. Это могло бы означать наличие взаимодействия в электронной системе, существенно влияющего на волновые функции основного состояния, по крайней мере по одну сторону от перехода. Один такой пример хорошо известен: в результате сверхпроводящего взаимодействия в 2В-электронной системе вместо поведения, описываемого скейлинговой гипотезой, может произойти квантовый переход сверхпроводник-изолятор. Классический пример такого перехода приведен на рис. 6.11: кривые R(T) на аморфных пленках Bi различной толщины.

Хотя качественно картинки на рис. 6.10 и рис. 6.11 похожи, сверхпроводящее взаимодействие в случае кремния вряд ли существенно: сверхпроводимость мало чувствительна к рассеянию, в то время как положительная производная др/дТ при больших п наблюдается только на образцах с большой подвижностью. Поэтому пока для этой системы больше вопросов, чем ответов: что ответственно за положительную производную др/дТ, как бы повела себя функция <т(Т) = = р-1(Т)^ если бы дальше понизить температуру, т. е. какова на самом деле функция ст (Г = 0, п), и т. и.

Заметьте. На сегодняшний день эти вопросы образуют замкнутый круг: чтобы решить, есть ли переход металл-изолятор, нужно знать функцию ^(О^п), для этого нужно суметь правильно экстраполировать сг(Т) -л сг(О), для этого нужно понимать природу температурной зависимости сг(Т\ т. е. выделить существенные взаимодействия и знать, есть ли переход.

Скейлинг и спин-орбитальное взаимодействие

Наличие спин-орбитального взаимодействия и связанной с ним антилокализации усложняет вопрос об универсальности кривых /3(1п?/) на рис. 6.1. Ведь взаимодействие меняет знак квантовой поправки и, согласно табл. 6.1, должен измениться знак производной в правой части кривых /3(1п?/). Это особенно существенно в двумерном случае, при d = 2, когда квантовая поправка (2.25) имеет вид

(6-24)(6-24)Дсг2 « — (e2//i)у (| е t/Tso - |) ■

(6-24)

(6-24)

Может показаться, что учет спин-орбитального взаимодействия делает утверждение об отсутствии перехода металл-изолятор в двумерной системе принципиально неверным. Действительно, поскольку речь идет о проводимости при Т = 0, положим в интеграле (6.24) верхний предел т^ = сю. В то же время т8О остается конечным, потому что вероятность переворота спина при упругом рассеянии не зависит

от температуры. Множитель

3 _t/Tso _ 1

2 е S° 2 ’

стоящий в интеграле (6.24) в скобках, в области t > т8О становится порядка —1/2. Это делает интеграл, расходящийся при больших t.

отрицательным, а квантовую поправку к проводимости положительной. Кривая /3(1п?/) приобретает максимум, расположенный в верхней полуплоскости /3 > 0, и критическую точку ?/с. На рис. 6.12 эта кривая

Рис.6.12. Два варианта кривойЭ(1п?/) для размерности d = 2Рис.6.12. Два варианта кривойЭ(1п?/) для размерности d = 2изображена пунктиром. Сплошной линией нарисована кривая, построенная без учета спин- орбитального взаимодействия в предположении т8О = сю.

Рис.6.12. Два варианта кривой

Э(1п?/) для размерности d = 2

Рис.6.12. Два варианта кривой

Э(1п?/) для размерности d = 2

Однако переход к Т = О, т. е. переход т^ сю в верхнем пределе интеграла (6.24), требует некоторой осторожности. Это видно из следующих рассужде-

ний.

Пусть классический кондак- танс образца равен у^. Начнем

вычислять квантовую поправку к проводимости, постепенно увеличивая верхний предел т* в интеграле (6.24), начиная с т. Это означает, что мы начинаем с учета интерференции на самых маленьких диффузионных контурах, а затем постепенно учитываем контуры со все большим числом звеньев. Пока т* < т8О, поправка к проводимости растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательной. Мы двигаемся в сторону уменьшения In?/, причем это движение происходит вдоль нижней (сплошной) кривой. Когда т* достигнет т8О , начнет развиваться антилокализация и изображающая точка перепрыгнет на верхнюю (пунктирную) кривую. Весь вопрос в том, когда это произойдет. Чем сильнее спин-орбитальное взаимодействие, тем меньше т8О и тем правее будет точка перескока. Перескок в точке щ > ?/с означает, что при увеличении размеров пленки изображающая точка будет двигаться вдоль пунктирной кривой направо, кондактанс будет расти и пленка останется в металлическом состоянии. При перескоке в точке ?/2 < ус изображающая точка останется в нижней полуплоскости и будет продолжать двигаться налево в состояние изолятора.

Для того чтобы оценить критическое значение т8О заметим, что критическая точка на пунктирной кривой расположена примерно там же, где и кроссовер от логарифмической к экспоненциальной зависимости кондактанса от температуры на сплошной кривой. Используя формулу (6.21) и выражение (2.7) для L^, получим оценку значения т*о, при котором точка щ попадает на критическое значение ?/с:

(6.25)(6.25)kpl = | In ^, т*о = те2^1.

(6.25)

(6.25)

стимый интервалстимый интервалт < т8О < техр (2/cFZ).т < т8О < техр (2/cFZ).(6.26)(6.26)Для образования металлического двумерного состояния требуется Tso <^ т*о. Поскольку по определению т8О > т, для т8О возникает допу

стимый интервал

стимый интервал

т < т8О < техр (2/cFZ).

т < т8О < техр (2/cFZ).

(6.26)

(6.26)

В сильно разупорядоченных пленках удовлетворить эти неравенства невозможно, потому что kvl ~ 1. В таких пленках спин-орбитальное взаимодействие ничего существенно не меняет.

В пленках с kvl >> 1 вопрос имеет чисто академический характер, потому что температура кроссовера (6.23) нереально низкая. Однако в принципе хорошо проводящая пленка с большим kvl благодаря спин- орбитальному взаимодействию может остаться металлической при абсолютном нуле температуры.

Список литературы

Mott N. V. Metal-insulator transitions. — Taylor & Francis, 1990.

Lee P.A., Ramakrishnan T. V. Disordered electronic systems // Rev. Modern Phys. 57, 287 (1985).

Kramer B., MacKinnon A. // Rep. Prog. Phys. 56, 1469 (1993).

Abrahams E., Anderson P. Ж, Licciardello D.C., Ramakrishnan T.W. // Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979).

Shlimak L, Kaveh M., Ussyshkin R. et al. // Phys. Rev. Lett. 77, 1103 (1996); J. Phys. Cond. Matt. 9, 9873 (1997).

Shlimak L, Kaveh M., Ussyshkin R., Ginodman V., Resnik L. // Phys. Rev. В 55, 1303 (1997).

Van Keuls F. W., Mathur H, Jiang H. W., Dahm A. J. // Phys. Rev. В 56, 13263 (1997).

Hsu S.-Y., Valles J.M. // Phys. Rev. Lett. 74, 2331 (1995).

Havin Yu., Gershenson M., Bogdanov A. // Phys. Rev. В 58, 8009 (1998).

Kravchenko S. V., Mason W. E., Bowker G. E., Furnaux J. E., Pudalov V. M., Iorio M.D. // Phys. Rev. В 51, 7038 (1995).

Haviland D.B., Liu Y., Goldman A.M. // Phys. Rev. Lett. 62, 2180 (1989).

9 В. Ф. Гантмахер

Глава 7

ХИМИЧЕСКАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ

Зонная теория металлов с ее концепцией перекрытия энергетических зон не объясняет, а скорее описывает металлические свойства вещества. Фундаментальная причина существования металлического состояния состоит в том, что в изолированном металлическом атоме потенциальная яма для валентных электронов сравнительно неглубока, так что в конденсированном состоянии возмущение со стороны соседних металлических атомов приводит к делокализации валентных электронов. С такой точки зрения деление элементов на металлы и металлоиды обусловлено строением атомов; металлы сосредоточены в левом нижнем углу таблицы Менделеева, а граница между металлами и металлоидами размыта и весьма условна.

Поскольку валентные электроны в металлах делокализованы, электронная концентрация в них не меньше, чем концентрация атомов. Такого же порядка и электронная концентрация в сплавах. В начале гл. 1 материал с такой концентрацией был назван стандартным металлом. Там же был сформулирован вопрос: можно ли устроить переход металл-изолятор в веществе с большой электронной плотностью (см. также последний параграф и рис. 1.8 в гл. 1 и рис. 5.17 в гл. 5). И там же собран экспериментальный материал, из которого следует, что увеличение беспорядка, как статического (например в аморфных сплавах), так и динамического (рост температуры), к переходу не приводит. Создавая в сплаве максимальный беспорядок, мы лишь подводим его к крайней черте. Для того чтобы произошел переход, требуется дополнительно заменить часть металлических атомов на атомы металлоидов, уменьшив таким образом концентрацию п делокализованных электронов до критического значения.

Введение атомов металлоидов может оказаться вдвойне эффективно в том смысле, что концентрация металлических атомов не всегда однозначно определяет концентрацию п делокализованных или «потенциально делокализуемых» электронов. Если атомы металла и металлоида могут образовывать устойчивые химические молекулы, то металлические электроны уходят на химические связи; из неглубокой потенциальной ямы металлического атома они переходят в гораздо более глубокую яму молекулы и поэтому остаются локализованными, невзирая на окружение этой молекулы. Поэтому эффективная электронная концентрация п, которая должна влиять на положение материала на фазовой диаграмме металл-изолятор, уменьшается еще и потому, что возникают химические связи.

Концепция блокирования части «потенциально свободных» электронов химическими связями позволяет сформулировать вопрос:

Нельзя ли сконструировать глубокие потенциальные ямы, используя только металлические атомы, что превратило бы в изолятор материал, в котором нет атомов металлоидов, и который должен был бы быть стандартным металлом? Экспериментальный материал, собранный в этой главе, указывает на то, что это возможно.

Интерметаллические комплексыв двухкомпонентных расплавах х)

Уже давно известно, что удельное сопротивление жидкого рас

плава двух очень хороших металлов

даже на порядки, в зависимости от относительной концентрации двух компонентов, достигая максимума при некотором рациональном отношении атомных концентраций типа 1:1 или 1:3 или 1:4. Для получения подобных данных нужно уметь при фиксированной температуре измерять сопротивление в зависимости от концентрации компонентов сплава. В качестве примера кратко опишем экспериментальную установку, использовавшуюся для измерения системы Na-Pb (рис. 7.1).

Измерения производились обычным четырехконтактным способом в двух плечах U-образной трубки из нержавеющей стали диаметром около 4 мм, заполненной исследуемым расплавом. На обоих плечах трубки снаружи были припаяны по четыре медных прово

может меняться во много раз,может меняться во много раз,Рис. 7.1. Ячейка для измерений удельного сопротивления расплава. 1, 2 и 3 — термопары, Li и L2 — медные провода для измерения сопротивления в левом колене, L3 и L4 — то же в правом колене [3]Рис. 7.1. Ячейка для измерений удельного сопротивления расплава. 1, 2 и 3 — термопары, Li и L2 — медные провода для измерения сопротивления в левом колене, L3 и L4 — то же в правом колене [3]да для электрических измерений. Предварительно, перед заполнением расплавом, собственные сопротивления плеч были измерены в зависимости от температуры и могли быть учтены в виде поправок. Оба конца U-образной трубки при помощи гаечных разъемов были под-

может меняться во много раз,

может меняться во много раз,

Рис. 7.1. Ячейка для измерений удельного сопротивления расплава. 1, 2 и 3 — термопары, Li и L2 — медные провода для измерения сопротивления в левом колене, L3 и L4 — то же в правом колене [3]

Рис. 7.1. Ячейка для измерений удельного сопротивления расплава. 1, 2 и 3 — термопары, Li и L2 — медные провода для измерения сопротивления в левом колене, L3 и L4 — то же в правом колене [3]

соединены к трубкам большего диаметра, которые служили резервуарами расплава. При помощи чистого гелия и откачки расплав можно было выдавливать то в один, то в другой резервуар и тем самым перемешивать. Перемешивание производилось до тех пор, пока ра-

Экспериментальные подробности можно найти в обзорах [1, 2].

венство сопротивлений в обоих плечах трубки не подтверждало однородности расплава. Перед окончательными измерениями сопротивления давление газа и уровни расплава в обоих плечах выравнивались. После измерения сопротивления одного какого-то фиксированного состава в расплав добавлялось определенное количество одного из компонентов и вся процедура повторялась.

На рис. 7.2 приведены результаты измерений расплава Na-Pb при температуре 725 °C. Видно, что соотношение концентраций Na к РЬ равное 4:1 явно выделено. Добавка 20 % РЬ увеличивает сопротивление по сравнению с чистым Na почти в 20 раз. При этом значение сопротивления в максимуме получилось больше максимально возможного сопротивления р* стандартного металла

/ « 4 п~1/3 ~ (2о° з°°) мк°м ■см (?л)

е

при длине пробега I порядка среднего расстояния между носителями п-1/3 и примерно равной ему длины де-бройлевской волны /ф1 (см. формулы (1.5), (1.6) из гл. 1). Примерно так же ведет себя и система Li-Pb.

Рис. 7.2. Сопротивление расплавов системы Na-Pb при температуре 725 °C. Максимум достигается при концентрации свинца Срь=20%, когда возникают устойчивые конфигурации PbNa4 [3]Рис. 7.2. Сопротивление расплавов системы Na-Pb при температуре 725 °C. Максимум достигается при концентрации свинца Срь=20%, когда возникают устойчивые конфигурации PbNa4 [3]х 500 °C

Рис. 7.2. Сопротивление расплавов системы Na-Pb при температуре 725 °C. Максимум достигается при концентрации свинца Срь=20%, когда возникают устойчивые конфигурации PbNa4 [3]

Рис. 7.2. Сопротивление расплавов системы Na-Pb при температуре 725 °C. Максимум достигается при концентрации свинца Срь=20%, когда возникают устойчивые конфигурации PbNa4 [3]

о 605 °Cо

22- * 625 °C°

2

2

+ 650 °C/

110Rb 20406080 РЬ0Rb 20406080 РЬат. %ат. %Рис. 7.3. Сопротивление расплавов системы Rb-Pb при различных температурах [4]. Максимум достигается при концентрации свинца Срь=50%; устойчивыми являются конфигурации Pb4Rb4

1

1

0

Rb 20406080 РЬ

0

Rb 20406080 РЬ

ат. %

ат. %

Замена Li и Na на более тяжелые щелочные металлы К, Rb или Cs приводит к существенному изменению диаграммы сопротивление — концентрация. Для примера на рис. 7.3 приведена диаграмма

для системы Rb-Pb. Положение максимума на диаграмме сместилось к рациональному отношению концентраций 1:1 компонентов Rb и РЬ, а значение сопротивления в максимуме стало в несколько раз больше. Оно уже на порядок превышает максимальное сопротивление стандартного металла (1.5), (1.6). Очень важно, что малое отклонение от соотношения 1:1 приводит к резкому падению сопротивления. Как видно из обзорных графиков на рис. 7.4, точно так же ведут себя и расплавы щелочных металлов с другим четырехвалентным металлом — оловом. При этом в расплавах на основе Cs реализуются еще большие значения удельного сопротивления.

Рис. 7.4. Обзорные графики сопротивления расплавов систем Sn-B и РЬ-В (В — щелочной металл). Сопротивление сплавов с Li и сплава Pb-Na имеет максимум при Сл=20 % (A=Pb, Sn); сопротивление сплава Sn-Na имеет два максимума при Csn ~25% и 45%; все остальные — при Сл=50% [5]

Большие значения сопротивления означают, что вблизи соответствующих отношений концентраций расплав перестает быть стандартным металлом в том смысле, что часть носителей в нем каким-то образом связана, а оставшаяся эффективная концентрация пе^ <^ С 4 • 1022 см-3 (ср. с (1.4)). Действительно, для системы Rb-Pb величина р ~ 2200мкОм-см раз в 10 больше максимального значения для стандартного металла р* ~ (200 4- 300) мкОм-см. Согласно формулам (1.5), (1.6) отсюда следует, что в расплаве число свободных носителей не больше, чем 10“ 2 4-10-3 от обычного числа носителей в стандартном металле.

Из рациональности соотношений (1:4, 1:1) концентраций компонентов следует, что рост сопротивления связан с образованием комплексов. Положение максимума в расплавах на основе Li и Na с несомненностью указывает на существование в расплаве комплексов Na4?b и Li4?b. В них оказывается запертой основная часть электро-

нов. На валентных оболочках пяти входящих в такой комплекс атомов имеется восемь электронов. По-видимому они группируются в одну устойчивую внешнюю оболочку иона РЬ , а четыре щелочных иона располагаются вокруг, удерживаемые кулоновскими силами. Они создают барьер, благодаря которому восемь электронов на внешней оболочке РЬ удерживаются внутри этой электрически нейтральной атомной конфигурации и не участвуют в проводимости (рис. 7.5, а).

Рис. 7.5. а) Ионные конфигурации из атомов РЬ или Sn и легких щелочных металлов Li или Na; б) то же с участием атомов тяжелых щелочных металлов К, Rb или Cs

Для щелочных атомов большего размера такая конфигурация становится менее выгодной, потому что из-за взаимного отталкивания ионы щелочного металла не могут расположиться близко от иона свинца. Это приводит к качественному изменению образующихся конфигураций. Эти структуры известны. По имени немецкого химика, предложившего в 30-х годах принцип формирования ионных конфигураций, они называются структурными единицами Зинтля. Если электрон перейдет с щелочного атома на атом РЬ, то у иона РЬ- на внешней оболочке окажется пять электронов, как у атома Р или As. Последние, как известно, образуют в газовой фазе тетраэдральные молекулы Р4 или AS4. При этом вблизи каждого атома оказывается по восемь электронов: пять своих и по одному из ковалентной связи с каждым из трех соседей в тетраэдре. Ионы РЬ- образуют такие же тетраэдры, а суммарный электрический заряд — 4е такого тетраэдра компенсируется примыкающими к нему четырьмя ионами щелочного металла (рис. 7.5, б). Аналогично ведут себя ионы Sn-, которые образуют тетраэдры (Зщ)4-, обрамленные четырьмя щелочными ионами.

Способность таких комплексов служить электронными ловушками выше, чем у комплексов Na4Pb и Li4Pb. В каждой структурной единице

А4В4, А = Pb, Sn, В = К, РЬ, Cs,(7.2)

оказываются запертыми 20 валентных электронов.

ат. %ат. %Рис. 7.6. Проводимость расплавов системы Cs-Au при температуре 600 °C [1, 6]Рис. 7.6. Проводимость расплавов системы Cs-Au при температуре 600 °C [1, 6]Аналогично ведут себя бинарные расплавы щелочных металлов с некоторыми другими металлами. Абсолютным чемпионом с точки зрения образования эффективных электронных ловушек является изоатомный расплав двух совершенно идеальных металлов: щелочного Cs и благородного Ан. Как видно из рис. 7.6, образование комплексов в расплаве уменьшает проводимость на 4 порядка. Она становится сравнимой с проводимостью расплава солей (3 Ом-1 • см-1 у CsAu и 1 Ом-1 • см-1 у расплава соли CsCl).

ат. %

ат. %

Рис. 7.6. Проводимость расплавов системы Cs-Au при температуре 600 °C [1, 6]

Рис. 7.6. Проводимость расплавов системы Cs-Au при температуре 600 °C [1, 6]

Вопросы о том, где, когда, какие и сколько конфигураций Зинтля образуется в металлическом расплаве и каковы энергии связи этих конфигураций, относятся к компетенции квантовой химии и химической термодинамики. Поскольку расплавы по определению находятся при высокой температуре, кривые на рис. 7.3 или 7.6 не следует считать демонстрациями переходов металл-изолятор. Для того чтобы ввести эти материалы в круг объектов, описываемых теорией переходов металл-изолятор, их следовало бы за

калить, превратив в стекло. Тогда, например, из низкотемпературных зависимостей транспортных характеристик вероятно можно было бы получить количественные параметры электронных ловушек. На сегодняшний день попыток закалки таких расплавов с целью исследования их низкотемпературных свойств не известно.

У(г) = £и(г-ВДRzУ(г) = £и(г-ВДRz(7.3)(7.3)На физическом языке ионные структуры Зинтля можно назвать глубокими ямами случайного потенциала, благодаря которым при стехиометрических концентрациях компонентов сплава происходит локализация. Поэтому кажется весьма уместным использование при обсуждении имеющихся экспериментов тех понятий и моделей, которые разработаны для описания переходов металл-изолятор. Ионные ловушки — конфигурации Зинтля — изначально все являются одинаковыми, и потому наиболее подходящей представляется модель структурного беспорядка (§5.5), в которой потенциал имеет вид

У(г) = £и(г-ВД

Rz

У(г) = £и(г-ВД

Rz

(7.3)

(7.3)

а беспорядок определяется хаотичностью множества векторов Rz. Здесь г (г) — это потенциал отдельной ионной конфигурации. При малых концентрациях ям п,

(7.4)(7.4)ав^1/3 < 1,

(7.4)

(7.4)

эта модель описывает изолятор: каждый электрон локализован в своей яме г(г — R^), а вне ямы его волновая функция затухает на расстоянии ав.

Сравните. При описании моноэлементных жидких металлов тот же потенциал (7.3) рассматривается как рассеивающий, так как предполагается, что вместо (7.4) справедливо обратное неравенство, а электроны полностью делокализованы.

Каждая конфигурация А4В4 из (7.2) является почти сферической ямой для 4 • 4 + 4 = 20 валентных электронов, которые располагаются внутри нее на последовательных уровнях энергии. Входящая в параметр (7.4) длина затухания ав относится, вообще говоря, к верхнему из занятых уровней. Электроны на более глубоких уровнях вообще не просачиваются наружу ямы. Это уменьшает на порядок входящую в (7.4) концентрацию «потенциально делокализуемых» электронов и облегчает переход металл-изолятор.

В рамках такого описания можно качественно объяснить температурную зависимость проводимости CsAu, представленную на рис. 7.7. Изменение с температурой проводимости расплава CsAu в жидком

Рис. 7.7. Проводимость сплава Cs-Au с 51 % А и как функция температуры в жидком и твердом состояниях [1,7]

состоянии определяется изменением числа термически возбужденных носителей; поэтому выше температуры плавления проводимость растет с температурой. При кристаллизации появляются кластеры резонансных ям, имеющих одинаковых и одинаково расположенных соседей. Хаотичность расположения ям частично сохраняется только в меру нестехиометрии и наличия кристаллических дефектов и межкристаллитных границ. Следствием роста числа резонансных ям является частичная делокализация и десятикратный рост проводимости.

Однако заметьте. Проводимость кристаллического CsAu на рис. 7.7 все равно раз в 50 меньше, чем предельная проводимость 1/р* стандартного металла (7.1). При этом неясно, в какой мере

и как она зависит от отклонений от стехиометрии, количества дефектов, температуры и т. д.

Квазикристаллы т)

Рис. 7.8. Кристаллическая структура сплава o(AlMnSi). Каждый икосаэдр Макея содержит более 50 атомов [9]Рис. 7.8. Кристаллическая структура сплава o(AlMnSi). Каждый икосаэдр Макея содержит более 50 атомов [9]Введение трансляционной симметрии — это не единственный способ установления дальних корреляций на множестве векторов Rz в модели структурного беспорядка (7.3). Другим способом является установление квазикристаллического дальнего порядка.

Рис. 7.8. Кристаллическая структура сплава o(AlMnSi). Каждый икосаэдр Макея содержит более 50 атомов [9]

Рис. 7.8. Кристаллическая структура сплава o(AlMnSi). Каждый икосаэдр Макея содержит более 50 атомов [9]

Трансляционная симметрия, всегда имеющаяся в кристаллах, допускает существование осей симметрии только 2, 3, 4 и 6 порядков. Вместе с тем нетрудно себе представить, что из всевозможных локальных конфигураций небольшого количества атомов AnBmCp определенных элементов А, В и С конфигурация с наименьшей энергией может иметь иные оси симметрии, например оси 5 порядка. Тогда обычный кристалл из материала состава AnBmCp можно образовать двумя способами. Можно пожертвовать оптимальной локальной симметрией, пожертвовав в связи с этим некоторой энергией, и образовать кристалл с иной конфигурацией ближайших соседей у каждого атома, но с трансляционной симметрией. Существует, однако, и иная возможность. Расположим оптимальные конфигурации из п + т + р атомов в уз

лах какой-либо кристаллической решетки, например, объемноцентри- рованного куба. Тогда проигрыш в энергии возникнет за счет рассогласования и искажений на стыках этих конфигураций, где ближний порядок окажется заведомо не оптимальным. Тем не менее у некоторых веществ существуют именно такие кристаллические структуры. Они называются кристаллическими аппроксимантами или прототипами квазикристаллов. Именно так устроен кристаллический сплав <a(AlMnSi), оптимальные конфигурации в котором называются икосаэдрами Макея (рис. 7.8).

Оказывается, однако, что можно вообще отказаться от трансляционной симметрии, плотно заполняя пространство оптимальными кон-

Подробное обсуждение различных аспектов физики квазикристаллов можно найти, например, в [8].

фигурациями. Принципиально такую возможность в двумерном пространстве демонстрирует покрытие Пенроуза в нижней части рис. 7.9:фигурациями. Принципиально такую возможность в двумерном пространстве демонстрирует покрытие Пенроуза в нижней части рис. 7.9:Большинство из них являются металлическими сплавами в томБольшинство из них являются металлическими сплавами в том

фигурациями. Принципиально такую возможность в двумерном пространстве демонстрирует покрытие Пенроуза в нижней части рис. 7.9:

фигурациями. Принципиально такую возможность в двумерном пространстве демонстрирует покрытие Пенроуза в нижней части рис. 7.9:

Большинство из них являются металлическими сплавами в том

Большинство из них являются металлическими сплавами в том

Рис. 7.9. Покрытие Пенроуза. Внизу: покрытие плоскости без зазоров и перекрытий двумя сортами ромбов, изображенных вверху слева: с одинаковыми сторонами а и с острыми углами, соответственно, 2тг/5 и тг/5 (вершины, помеченные полыми кружками, в покрытии примыкают друг к другу). Вверху справа: множество вершин ромбов изображенного внизу фрагмента покрытия в масштабе 1:2. Хотя узлы 1-4 каждый имеет ближайших соседей только на расстояниях а, конфигурации соседей у них принципиально различны (см. текст). Пунктиром выделены резонансная пара близко расположенных узлов и компактно расположенная тройка

плоскость плотно, без пропусков и перекрытий, покрывается ромбами двух типов с острыми углами 2тг/5 и тг/5. Эти ромбы изображены на рисунке вверху слева. Поскольку при покрытии они примыкают друг к другу заранее помеченными вершинами, правильно заданные функции на ромбах F^ при стыковке ромбов не испытывают разрывов, образуя непрерывную апериодическую функцию, отдельные участки которой повторяются на плоскости бесконечное количество раз. Сверху справа на рис. 7.9 показано отдельно расположение вершин ромбов (в масштабе 1:2). Из-за отсутствия трансляционной симметрии довольно трудно усмотреть наличие корреляций. Однако дальний порядок в системе имеется: ромбы располагаются на плоскости вполне определенным, хотя и неоднозначным способом.

смысле, что состоят только из металлических атомов: Al-Mn, Ga- Mg-Zn, Al-Cu-Fe, Al-Pd-Re и т. д. Базисные конфигурации при этом могут быть довольно сложными. Например в квазикристаллах состава Al-Pd-Mn они состоят из трех вставленных друг в друга оболочек, содержащих в общей сложности 51 атом (рис. 7.10).Квазикристаллы идентифицируют и исследуют в основном по дифракции рентгеновских лучей, так же как и обычные кристаллы.смысле, что состоят только из металлических атомов: Al-Mn, Ga- Mg-Zn, Al-Cu-Fe, Al-Pd-Re и т. д. Базисные конфигурации при этом могут быть довольно сложными. Например в квазикристаллах состава Al-Pd-Mn они состоят из трех вставленных друг в друга оболочек, содержащих в общей сложности 51 атом (рис. 7.10).Квазикристаллы идентифицируют и исследуют в основном по дифракции рентгеновских лучей, так же как и обычные кристаллы.Квазикристаллы устроены по этому же принципу. Оптимальные конфигурации с осями симметрии высокого порядка, как ромбы Пенроуза, выстраиваются в трехмерную сеть, не имеющую трансляционной симметрии, но обладающую дальним порядком. Сейчас уже известно много семейств таких материалов.

смысле, что состоят только из металлических атомов: Al-Mn, Ga- Mg-Zn, Al-Cu-Fe, Al-Pd-Re и т. д. Базисные конфигурации при этом могут быть довольно сложными. Например в квазикристаллах состава Al-Pd-Mn они состоят из трех вставленных друг в друга оболочек, содержащих в общей сложности 51 атом (рис. 7.10).

Квазикристаллы идентифицируют и исследуют в основном по дифракции рентгеновских лучей, так же как и обычные кристаллы.

смысле, что состоят только из металлических атомов: Al-Mn, Ga- Mg-Zn, Al-Cu-Fe, Al-Pd-Re и т. д. Базисные конфигурации при этом могут быть довольно сложными. Например в квазикристаллах состава Al-Pd-Mn они состоят из трех вставленных друг в друга оболочек, содержащих в общей сложности 51 атом (рис. 7.10).

Квазикристаллы идентифицируют и исследуют в основном по дифракции рентгеновских лучей, так же как и обычные кристаллы.

Фурье-образ любой функции координат в идеальном кристалле, например плотности р(г), представляет собой сумму бесконечного количества узких пиков, в идеале 5-функций:

Щ) = У £>qexp(iqr).qЩ) = У £>qexp(iqr).q(7-5)(7-5)

Щ) = У £>qexp(iqr).q

Щ) = У £>qexp(iqr).q

(7-5)

(7-5)

Совокупность векторов q образует решетку в ^-пространстве, обладающую той же симметрией, что и исходная решетка атомов. Каждому узлу этой обратной решетки соответствует брэгговский рефлекс на

Рис. 7.10. Последовательные оболочки из атомов в псевдо-икосаэдре Макея, являющимся базовым элементом структуры квазикристалла Al-Pd-Mn; суммарное число атомов 51 [10]Рис. 7.10. Последовательные оболочки из атомов в псевдо-икосаэдре Макея, являющимся базовым элементом структуры квазикристалла Al-Pd-Mn; суммарное число атомов 51 [10]

Рис. 7.10. Последовательные оболочки из атомов в псевдо-икосаэдре Макея, являющимся базовым элементом структуры квазикристалла Al-Pd-Mn; суммарное число атомов 51 [10]

Рис. 7.10. Последовательные оболочки из атомов в псевдо-икосаэдре Макея, являющимся базовым элементом структуры квазикристалла Al-Pd-Mn; суммарное число атомов 51 [10]

лауэграмме кристалла. Рефлексы тем острее, чем совершеннее кристалл.

Брэгговские рефлексы не являются исключительным свойством кристаллов. В качестве фурье-образа можно изначально взять ряд (7.5), в котором множество векторов q не обладает трансляционной симметрией, и из него получить обратным фурье-преобразованием функцию р(г), тоже без трансляционной симметрии. Фурье-образами квазикристаллов являются именно такие ряды. При этом ширина брэгговских рефлексов по-прежнему определяется несовершенством структуры: отклонениями локальных конфигураций от идеальной, сбоями дальнего порядка из-за примесей, вакансий и т. и. Чем острее брэгговские рефлексы, тем ближе квазикристалл к идеальному.

В металлических монокристаллах существует корреляция: чем выше качество лауэграммы, тем меньше сопротивление р. Эта корреляция отражает волновую природу электронов; улучшение условий распространения рентгеновской волны сопровождается уменьшением рассеяния блоховской волны. В квазикристаллах все происходит ровно наоборот: отжиг, повышающий качество лауэграммы, одновременно увеличивает электросопротивление. Сами значения удельного сопротивления при этом очень велики. Например, в квазикристаллах системы Al-Cu-Ru они достигают при 4 К значений порядка 30 мОм • см. Это примерно в 100 раз больше, чем значение р* « l/dMott, оцениваемое из концентрации валентных, металлических, электронов п по формулам (1.5) и (1.6) из гл. 1.

Наиболее низкая проводимость наблюдается в системе Al-Pd-Re, в которой удельные сопротивления при 4 К устойчиво получаются

Рис. 7.11. Температурные зависимости проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, спрямляющиеся при аргументе Т^^ в непосредственной близости к переходу метал л-изолятор(нижниечетыре состояния) и при аргументе Т^^ в глубине металлической области (верхние три состояния). Состояния можно маркировать, например, по величине удельной проводимости аю при температуре 10 К [11]Рис. 7.11. Температурные зависимости проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, спрямляющиеся при аргументе Т^^ в непосредственной близости к переходу метал л-изолятор(нижниечетыре состояния) и при аргументе Т^^ в глубине металлической области (верхние три состояния). Состояния можно маркировать, например, по величине удельной проводимости аю при температуре 10 К [11]порядка 200 4- 300 мОм-см. Слитки этого сплава получают дуговой плавкой смеси очень чистых Al, Pd и Re в атмосфере чистого аргона. Сплав становится икосаэд- рическим квазикристаллом после отжига в вакууме при 980 °C в течение 24 часов. Однако и после этого он остается чувствительным к более низкотемпературному отжигу при 600 °C. Такой отжиг в течение 1-2 часов может удвоить или даже утроить сопротивление при 4 К при неизменном качестве или незначительном улучшении лауэграммы.

Рис. 7.11. Температурные зависимости проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, спрямляющиеся при аргументе Т^^ в непосредственной близости к переходу метал л-изолятор(нижние

четыре состояния) и при аргументе Т^^ в глубине металлической области (верхние три состояния). Состояния можно маркировать, например, по величине удельной проводимости аю при температуре 10 К [11]

Рис. 7.11. Температурные зависимости проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, спрямляющиеся при аргументе Т^^ в непосредственной близости к переходу метал л-изолятор(нижние

четыре состояния) и при аргументе Т^^ в глубине металлической области (верхние три состояния). Состояния можно маркировать, например, по величине удельной проводимости аю при температуре 10 К [11]

На рис. 7.11 температурные зависимости проводимости для квазикристаллов A17oPd22,5R^7 5 показаны как функции Т1/3 (четыре нижние кривые) или Тх!2 (три верхние кривые). Для того чтобы различать образцы, а также различные состояния одного образца, полученные при низкотемпературном отжиге, в качестве параметра можно выбрать значение (Тщ проводимости при ЮК (масштабы горизонтальных осей выбраны так, что обе шкалы совпадают не только при Т = 0, но и при этой температуре). Как видно из рис. 7.11, для всех измеренных функций сг(Т) линейная экстраполяция в выбранных шкалах позволяет определить значение <т(0).

в гл. 6, а также с рис. 8.9 и 8.10 в следующей главе). Для трех верхних состояний с сг(О) > 6(Ом • см)-1 можно считать выполненным соотношениев гл. 6, а также с рис. 8.9 и 8.10 в следующей главе). Для трех верхних состояний с сг(О) > 6(Ом • см)-1 можно считать выполненным соотношениеАсг ~ аю — (ДО) < а(О).Асг ~ аю — (ДО) < а(О).(7-6)(7-6)Общая картина эволюции функции сг(Т) полностью соответствует тому, что должно происходить в окрестности перехода металл-изолятор (ср. с рис. 6.4 и 6.5

в гл. 6, а также с рис. 8.9 и 8.10 в следующей главе). Для трех верхних состояний с сг(О) > 6(Ом • см)-1 можно считать выполненным соотношение

в гл. 6, а также с рис. 8.9 и 8.10 в следующей главе). Для трех верхних состояний с сг(О) > 6(Ом • см)-1 можно считать выполненным соотношение

Асг ~ аю — (ДО) < а(О).

Асг ~ аю — (ДО) < а(О).

(7-6)

(7-6)

Это позволяет считать для них температурозависящую часть проводимости квантовой поправкой. Именно поэтому зависимость сг(Т) спрямляется в осях (Т1/2,^).

Для четырех нижний состояний с (Тщ < 12 4- 14 (Ом • см)-1 соотношение (7.6) меняется на противоположное. Это означает, что эти состояния находятся в критической окрестности перехода металл- изолятор. Именно поэтому зависимости сг(Т) для этих состояний по-

строены как функции Т1/3 и спрямляются при таком построении:

(7-7)(7-7)Дет = <т(Т) - <т(0) ос Т1^.

(7-7)

(7-7)

Переход металл-изолятор происходит 9 (Ом-см)-1, а у состояний с меньшими

температурный транспорт реализуется при помощи прыжковой проводимости. При углублении в область изолятора температурный интервал, в котором наблюдается прыжковая проводимость, становится достаточно широким. Это иллюстрирует рис. 7.12, из которого видно, что в квазикристаллах A17oPd22,5Re?,5 реализуется закон

При Сг(10К) = (710 ~ значениями сг10 низкоПри Сг(10К) = (710 ~ значениями сг10 низкоСтепень Т-1/4 означает, что плотность состояний электронного спектра в окрестности ферми-уровня имеет постоянное значение, отличное от нуля (см. формулы (4.17)— (4.19) и рис. 4.6 в гл. 4).

При Сг(10К) = (710 ~ значениями сг10 низко

При Сг(10К) = (710 ~ значениями сг10 низко

Таким образом, все происходящее с транспортом в квазикристаллах A17oPd22,5Re?,5 ПРИ низкотемпературном отжиге, улучшающем условия распространения электромагнитных волновых пакетов, пол-

Рис. 7.12. Закон Мотта для проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, находящихся в области изолятора (около кривых указаны проводимости при ЮК, равные 5 и 3 (Псм)-1). Температурные зависимости спрямляются только, когда In ст построен как функция Т-1//4 [11]Рис. 7.12. Закон Мотта для проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, находящихся в области изолятора (около кривых указаны проводимости при ЮК, равные 5 и 3 (Псм)-1). Температурные зависимости спрямляются только, когда In ст построен как функция Т-1//4 [11]ностью соответствует изложенной в гл. 4—6 картине переходов меностью соответствует изложенной в гл. 4—6 картине переходов металл-изолятор в разупорядоченных средах при уменьшении параметра aBn^3.

Рис. 7.12. Закон Мотта для проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, находящихся в области изолятора (около кривых указаны проводимости при ЮК, равные 5 и 3 (Псм)-1). Температурные зависимости спрямляются только, когда In ст построен как функция Т-1//4 [11]

Рис. 7.12. Закон Мотта для проводимости квазикристаллов A17oPd22,5Re7,5, находящихся в области изолятора (около кривых указаны проводимости при ЮК, равные 5 и 3 (Псм)-1). Температурные зависимости спрямляются только, когда In ст построен как функция Т-1//4 [11]

ностью соответствует изложенной в гл. 4—6 картине переходов ме

ностью соответствует изложенной в гл. 4—6 картине переходов ме

Заметьте. Хотя тенденция роста удельного сопротивления при сужении брэгговских рефлексов характерна для многих семейств квазикристаллов, переход металл-изолятор наблюдался пока только в системе Al-Pd-Re. Максимальные значения удельного сопротивления при 4 К в системах Al-Cu-Fe, Al-Cu-Ru и А1- Cu-Mn на один-два порядка меньше, чем в Al-Pd-Re. Следует отметить при этом, что они все равно превышают в 10-100 раз значение р* из формулы (7.1).

Постараемся понять, как же устроен изолятор A17oPd22,5Re7,5- Структура высокоомных квазикристаллов наиболее подробно изучена на примере системы A17oPd22Mng, которая отличается от A17oPd22,5Re7,5 лишь заменой Мп на изовалентный Re. Можно считать, что количественные характеристики этих квазикристаллов практически одинаковы.

Итак, основой структуры квазикристаллов AlyoPc^Mng (а также A17oPd22,5R^7 5) являются высокосимметричные, близкие к сферической конфигурации из 51 атома (см. рис. 7.10). Согласно дифракционным данным, плотность атомов в этих веществах близка к 6-1022 см-3. Поскольку атомы переходных элементов забирают часть из трех валентных электронов алюминия, оставшаяся часть «потенциально металлических» электронов составляет чуть меньше двух на атом, т. е. около 1023 см-3. Для того чтобы вещество с такой гигантской концентрацией электронов было изолятором, нужно поместить электроны в глубокие потенциальные ямы — ловушки. В интерметал лидных бинарных расплавах ловушками были конфигурации (7.2), в квазикристаллах — высокосимметричные конфигурации рис. 7.10, в которых имеется примерно 90 уровней для бывших валентных электронов. Покинуть ловушку при благоприятных обстоятельствах могут 12 электрона с верхних уровней. Поэтому электронная концентрация изначально понижается на 2 порядка, после чего уже можно оперировать более или менее стандартными моделями переходов металл-изо- лятор.

В нулевом приближении положение уровней во всех электронных конфигурациях одинаковое. Если бы конфигурации были расположены периодически, то в соответствии с зонной теорией эти уровни превратились бы в зоны, и электроны с верхнего уровня могли бы делокализоваться. По всей видимости, глубина ям-ловушек все же недостаточна для того, чтобы удержать электроны при наличии резонансного туннелирования в периодической решетке. Но в квазикристалле есть много вариантов расположения соседних конфигураций по отношению к данной. Каждому варианту окружения, в соответствии с моделью структурного беспорядка, описанной в гл. 5, соответствует свой сдвиг электронных уровней данной конфигурации. Поясним это на примере покрытия Пенроуза, для чего обратимся к рис. 7.9. Расстояние от данного узла до соседнего может быть равно стороне ромба а, малой диагонали узкого ромба ai = 0,62а и малой диагонали широкого ромба а2 = 1,18а. Но вариантов окружения, определяющего сдвиг уровня конкретного узла, очень много. Например, узлы с соседями на наименьшем расстоянии ах могут стать резонансными парами, либо тройками. Узлы 1 и 2 имеют каждый 5 соседей на расстоянии а, но при этом у узла 1 все 5 соседей входят в резонансные пары или в компактные тройки с попарными расстояниями ах < а, а узел 2 ни одного такого соседа не имеет; узел 3 имеет 6 соседей на расстоянии щ но 3 из них входят в компактную тройку; узел 4 имеет 7 соседей на расстоянии а, но 6 из них составляют две компактные тройки, и т. д. В результате один уровень, изначально одинаковый во всех конфигурациях-узлах, превращается в зону. А то, являются состояния в этой зоне локализованными или нет, зависит от параметра (7.4), в котором величина ав определяет длину затухания волновой функции вне конфигурационной ямы.

Специфически низкие значения проводимости, характерные для A17oPd22,5Re7,5, по-видимому, обусловлены конкретным сочетанием

параметров конфигурационной ямы, которое сделало длину затухания ав меньшей, чем в других квазикристаллах. При низкотемпературном отжиге A17oPd22,5Re7,5, вероятно, происходит «внутренний ремонт» конфигурационных ям, сопровождающийся уменьшением «просачивания» волновой функции наружу, т. е. уменьшением длины затухания ав.

Переход металл-изолятор при большойэлектронной плотности

Процессы, формирующие электронный спектр в двухкомпонентных расплавах со щелочным металлом в качестве одного из компонентов и в квазикристаллах, оказались во многом сходны. В этих системах происходит уменьшение эффективной концентрации носителей и экранирования, что делает возможным обычный переход металл- изолятор.

Общая схема такова. Пусть каждой конфигурации принадлежит N валентных электронов. Потенциал, создаваемый ионными остовами входящих в конфигурацию атомов, столь велик, т. е. потенциальная яма столь глубока, что электронный спектр этих N электронов радикально перестраивается и они располагаются на некоторой лестнице уровней. Шансы покинуть яму есть только у 1-2 электронов на верхней ступени. В результате концентрация «потенциально делокализуемых» электронов становится порядка n/N, где п — концентрация валентных «исходно металлических» электронов. В двухкомпонентных расплавах N порядка 10, в квазикристаллах — порядка 100. Переход металл-изолятор происходит уже в системе с пониженной концентрацией носителей.

То же самое можно сформулировать и по-другому, рассматривая каждую конфигурацию как квантовую точку в ЗВ-пространстве. Концентрация точек порядка n/N, в каждой содержится по N электронов. Уход одного электрона с квантовой точки означает появление на ней заряда е, на что требуется энергия порядка

£е « е2/г, (7.9)

где г — это радиус квантовой точки. Эта величина подобна энергии Хаббарда в теории перехода Мотта. В то же время е2/г — это кулоновская энергия уединенного металлического шара радиуса т с зарядом е или энергия конденсатора, фигурирующая в теории кулоновской блокады в наноструктурах. На металлической стороне перехода металл-изолятор электрическое поле заряженной точки заэкранировано и энергия (7.9) несущественна. На стороне изолятора нет экранирования свободными носителями и количество заряженных точек определяется сравнением энергии (7.9) с температурой. При Ее <^ Т количество заряженных точек v экспоненциально мало:

^ = ^ ехр . (7.10)

Поскольку проводимость в этих условиях определяется туннелированием между заряженными и незаряженными точками, то v играет роль количества носителей. Это стандартное рассуждение, используемое при описании гранулированных металлов, определяет активационный характер проводимости.

Важность замены п на n/N иллюстрируется тем фактом, что при превращении аморфного сплава в результате отжига в квазикристалл его сопротивление часто увеличивается во много раз. Но локализация существенно облегчается также отсутствием трансляционной симметрии и универсального ближнего порядка во взаимном расположении конфигураций. Нерегулярность в их взаимном расположении предотвращает резонансное туннелирование. Конечно, трансляционная симметрия сама по себе не гарантирует металлической проводимости. Но вблизи пограничных значений концентраций n > ^Mott беспорядок существенен. И действительно, при кристаллизации сплава CsAu его сопротивление падает в 10 раз (рис. 7.7).

Таким образом два класса конденсированных сред, кратко описанные в данном параграфе, позволяют положительно ответить на вопрос о возможности локализации системы валентных электронов в среде, состоящей только из металлических атомов. Такая возможность реализуется за счет образования молекулообразных конфигураций по крайней мере в двух случаях: в двухкомпонентных расплавах со щелочным металлом в качестве одного из компонентов и в квазикристаллах. Для локализации требуется нерегулярность во взаимном расположении конфигураций, предотвращающая резонансное туннелирование.

Список литературы

Hensel F. Ц Adv. Phys. 28, 555 (1979).

Van der Lugt Ж., Geerstma W. // Can. Journ. Phys. 65, 326 (1987).

Calaway W.F., Saboungi M.-L. // J.Phys. F: Met. Phys. 13, 1213 (1983).

Meijer J. A., Vinke G. J.B., van der Lugt W. // J.Phys. F: Met. Phys. 16, 845 (1986).

Xu R., de Longe T., van der Lugt W. // Phys. Rev. В 45, 12788 (1992).

Hoshino IL Schmutzler R. Ж., Hensel F. // Phys. Lett. A 51, 7 (1975).

Schmutzler R. Ж., Hoshino IL Fischer R., Hensel F. // Ber. Bunsenges. Phys. Chem. 80, 107 (1976).

Physical Properties of Quasicrystals (ed.: Z.M. Stadnik). Springer, 1999.

Goldman A.L, Kelton R.F. // Rev. Mod. Phys. 65, 213 (1993).

Janot C. // Phys. Rev. В 53, 181 (1996).

Wang C.R., Lin S.T. et al. // Journ. Phys. Soc. Japan 67, 2383 (1998); 68, 3988 (1999); 69, 3356 (2000).

Глава 8

ГРАНУЛИРОВАННЫЕ МЕТАЛЛЫ О

Морфология и классификация

Гранулированным будем называть материал, состоящий из случайно расположенных мелких областей (гранул) с существенно различной проводимостью. Случайный потенциал в таком материале обязательно имеет характерные длины, существенно большие межатомных расстояний, вплоть до макроскопических. Рассмотрим пространство с размерностью d и пусть х — доля этого пространства, занятая металлом. Сама по себе величина х еще ни о чем не говорит. Ясно, что проводимость материала с металлическими включениями в виде шариков или в виде тонких нитей совершенно различна при одном и том же х. Морфология материала, под которой мы понимаем здесь форму включений, зависит от множества факторов и чрезвычайно разнообразна. В качестве примера на рис. 8.1 приведены сделанные на сканирующем электронном микроскопе фотографии пленок In, напылявшихся на подложку SiO2 при комнатной температуре. In не смачивает поверхность, на которую происходит напыление.

Сначала попавшие на подложку атомы, обладающие тепловой энергией, двигаясь вдоль поверхности, собираются в маленькие случайно разбросанные капельки (а). При дальнейшем напылении капельки растут и, соприкасаясь, сливаются в капли большего диаметра (б). Затем металлические области приобретают продолговатую форму. По-видимому при увеличении площади контактов капель с подложкой в их центре возникают участки с сильным сцеплением. При слиянии таких укрупненных капель эти участки играют роль центров пиннинга для перемещающейся массы вещества, понижая симметрию образующихся металлических областей (в). Наконец, на последней стадии перед образованием сплошной пленки, когда относительная площадь 1—х зазоров между металлическими областями мала, эти зазоры приобретают форму относительно тонких ветвящихся нитей (г). На это тоже есть свои причины в виде некоторых комбинаций законов смачивания и сцепления напыляемого материала с подложкой, но мы ограничимся констатацией этих морфологических особенностей структуры.

Обзор транспортных свойств гранулированных металлов можно найти в обзоре [1].

10 В. Ф. Гантмахер

Разобьем (/-мерное пространство на элементарные объемы ad и будем считать, что свойства среды внутри объема не меняются, а свойства двух разных объемов независимы друг от друга. Это означает

100 нм

в|—15 = 100 нм г6 =180 нм

2000 нм5000 нм

Рис. 8.1. Изображения островковых пленок In, полученные в сканирующем электронном микроскопе [2]. Металл — это светлые области. Под каждой фотографией указаны масштаб и толщина пленки 5. Часть фотографии (а) показана и при большем увеличении

сведение пространственной задачи к задаче на решетке с периодом а и возможность использования простейших моделей теории перколяции. Для структуры на рис. 8.1, а характерный масштаб металлических капель а порядка 0,05 д, на рис. 8.1, б он порядка 0,2 щ То, что вместе с долей металлического объема х меняется масштаб, мало существенно. Гораздо важнее, что на рис. 8.1, в средний поперечный размер металлических областей меньше, чем их средний продольный размер Ъ ~ (2 4- 3) а. Это означает, что на квадратной решетке с периодом порядка а (~ 1 д) появилась корреляция между свойствами Ь/а соседних узлов.

Математически уменьшение локальной симметрии структуры описывается специфическими корреляторами, введение которых должно сильно усложнить картину, так что простейшие модели теории перколяции — задача связей и задача узлов — становятся неприменимыми. В этом одно из объяснений того экспериментального факта, что критическое значение хс = 0,82 ± 0,02 относительной площади покрытия индием поверхности SiO2, при котором возникает перколяция, гораздо

больше, чем известные критические значения для этих задач. Вторая причина — в потере симметрии между металлическими и неметаллическими областями: если для структур на рис. 8.1, а и 8.1, б можно считать, что области между каплями имеют тот же порядок величины, что и сами капли, то на рис. 8.1, г изолирующие области явно гораздо уже металлических. При этом, однако, они продолжают успешно справляться со своими изолирующими функциями.

Таким образом критическое значение хс сильно зависит от таких физических факторов, как коэффициент аккомодации падающих на поверхность атомов, величина поверхностного натяжения, величина сил сцепления и т. д. Поэтому при напылении в тех же условиях других металлов получаются другие значения хс: при напылении Sn получилось хс = 0,86 ± 0,02, а РЬ — хс = 0,67 ± 0,02.

Заметьте. Наряду с металлическими гранулами в изолирующей матрице, можно представить себе и гранулы изолятора в металлической матрице. Но мы, употребляя термин «гранула», будем подразумевать «металлическая гранула». Кроме того, как уже говорилось, гранулированным мы называем и материал со структурой типа рис. 8.1, е, в которой гранулы не являются компактными образованиями.

В системе, представленной на рис. 8.1, роль изолятора, разделяющего металлические гранулы, играет вакуум. Но эту роль может играть и изолятор. Если какие-то металл и изолятор не растворяются друг в друге, то они образуют смесь мелких металлических и изолирующих областей (гранул), называемую кермет. Такая смесь получается, например, при совместном напылении обоих компонентов на изолирующую подложку. Масштаб образующейся структуры контролируется физико-химическими факторами в процессе напыления; в зависимости от них, а также от времени напыления и толщины пленки, могут получаться как двух-, так и трехмерные структуры. На рис. 8.2 представлена электронная фотография кермета AU + AI2O3 в области существования бесконечного металлического кластера (знак «+» использован для того, чтобы отличать такую гранулированную систему от системы «пленка Ан, напыленная на AI2O3»). Здесь также заметна разница в ширинах металлических и изолирующих областей.

Иногда удается сохранить сферическую форму гранул вплоть до большой концентрации металла х > хс. Рис. 8.3, а демонстрирует полученную на просвечивающем электронном микроскопе структуру пленки гранулированного А1 в матрице аморфного Ge при концентрации металла х ~ 0,66. Видно, что металлический компонент материала состоит из сферических гранул. Специальные измерения позволили определить распределение гранул по диаметрам (рис. 8.3, б) — оно оказалось довольно узким.

Во всех упомянутых выше системах на каком-то этапе увеличения относительного объема металла у материала появляется конечная проводимость, т. е. происходит переход изолятор-металл. Такой переход часто называют перколяционным; это название неявно подразуме- 10*

вает, что в основе такого перехода лежат чисто геометрические факторы, так что он является чисто классическим и макроскопическим.

/2= 100 А/2= 100 А100 А100 АРис. 8.2. Электронно-микроскопическое изображение гранулированных пленок состава Au + AI2O3 [1]. Металл — темные областиРис. 8.2. Электронно-микроскопическое изображение гранулированных пленок состава Au + AI2O3 [1]. Металл — темные области

/2= 100 А

/2= 100 А

100 А

100 А

Рис. 8.2. Электронно-микроскопическое изображение гранулированных пленок состава Au + AI2O3 [1]. Металл — темные области

Рис. 8.2. Электронно-микроскопическое изображение гранулированных пленок состава Au + AI2O3 [1]. Металл — темные области

Рис. 8.3. а) Изображения гранулированных пленок Al + Ge, полученные в просвечивающем электронном микроскопе. Металл — светлые области. Ь) Гистограмма распределения зерен А1 по размерам а и ее аппроксимация нормальным распределением [3]

Действительно, перколяционные законы инвариантны относительно масштаба, так что можно себе представить перколяцию, например, в системе металлических шариков от подшипников, случайным образом расположенных на плоскости и зафиксированных застывшим парафином. Но если среди характерных длин в системе есть и доста-

точно малые, то могут появиться и оказаться определяющими и специфические физические факторы. Мы будем интересоваться именно такими системами.

С другой стороны, если все характерные длины слишком малы, порядка межатомных, то мы возвращаемся к однородно разупорядо- ченному материалу. Границы между различными классами разупо- рядоченных систем зависят от того, какими физическими свойствами мы интересуемся.

Поясним это примером, используя важный количественный параметр гранулированной системы: величину расстояния 5е между размерноквантованными уровнями энергии электронов внутри гранул

5е = О^а3)-1 (8.1)

(др — плотность состояний на ферми-уровне в массивном металле, а3 — средний объем одной гранулы). Для оценок можно считать, что fe 10 К при а = 50 А.

Если массивный металл — это сверхпроводник с критической температурой Тс и сверхпроводящей щелью А, то соотношение

5E^^^TC (8.2)

определяет минимальный размер изолированной гранулы asc = = (ррА)-1/3, для которой имеет смысл понятие сверхпроводящего состояния. Если а > а8С1 то сверхпроводящий переход в гранулах происходит при той же температуре, что и в массивном металле, а то, как ведет себя весь материал в целом, зависит от силы взаимодействия между гранулами. Именно это наблюдается в тонких пленках РЬ, напыленных на охлажденную до гелиевых температур зеркальную поверхность SiO — см. рис. 8.4, а, взятый из работы [4]. При таком способе напыления атомы свинца собираются в гранулы, достигающие перед слиянием 200 А в диаметре и 50-80 А в высоту. У всех пленок толщиной более критической сверхпроводящий переход начинается при одной и той же температуре Тс ~ 7 К; у более тонких пленок переход вообще не происходит, но при той же самой температуре Т ~ Тс на кривой р(Т) сохраняется особенность, свидетельствующая о сверхпроводящих переходах в отдельных зернах. При обратном неравенстве, а < aSCl гранул, которые могли бы быть сверхпроводящими сами по себе, нет. Материал с точки зрения сверхпроводящего перехода является однородно неупорядоченным, но сверхпроводящее состояние в нем вполне может возникнуть; теперь температура перехода Тс определяется средними характеристиками материала и может плавно меняться вместе с ними. Пленки РЬ, напыленные в аналогичных условиях на ту же подложку, но с промежуточным тонким слоем аморфного Ge, демонстрируют корреляцию между температурой Тс и сопротивлением пленки (рис. 8.4, б), т.е. именно такой тип поведения.

Рис. 8.4. Изменения температурных зависимостей пленок РЬ по мере увеличения их толщины (сверху вниз) [4]. а) Пример гранулированной системы: пленки напылены непосредственно на поверхность SiO. Температура сверхпроводящего перехода неизменна, б) Пример мелкодисперсной квазиодно- родной системы: пленки напылены поверх промежуточного тонкого слоя аморфного Ge. Кривые р(Т) демонстрируют корреляцию между сопротивлением в непроводящем состоянии и температурой перехода

Для нормального металла критерий гранулярности иной и зависит от температуры. Соотношение

5е^Т (8.3)

определяет минимальный размер гранулы, для которой сохраняет смысл понятие делокализованного электрона. Если в интервал теплового размытия попадает только один электронный уровень, то вообще говоря, правильнее его считать локализованным, а величину а — локализационной длиной.

Умозрительно можно представить себе два типа эволюции гранулированных систем. Первый тип обусловлен изменением величины х. Рисунки 8.1-8.3 иллюстрируют морфологию именно таких систем. Переход металл-изолятор в таких системах имеет как бы перколяционную основу. Но поскольку вместе с х меняется средняя концентрация делокализованных электронов в материале, уместна также ссылка на переход Мотта. Другой тип эволюции выглядит так: при достаточно большом фиксированном х меняются свойства барьеров между гранулами, например, их высота. Количественный параметр такой эволюции можно построить на основе сравнения двух энергий: расщепления 5е и интеграла перекрытия волновых функций электронов соседних гранул, который количественно описывает эффективность изолирующих барьеров. Сравнение с рассуждениями Таулесса, лежащими в основе скейлинговой гипотезы (§6.1), приводит к выводу,

что этот тип эволюции имеет много общего с переходом Андерсона в однородно разупорядоченных системах.

На практике произвести такое разделение очень трудно, но условно можно считать, что в следующем параграфе мы будем говорить о гранулированных материалах первого типа, а в последнем — второго типа.

Кулоновская блокада и переходметалл-изолятор

На рис. 8.5, а приведены зависимости сопротивления от относительной концентрации металла х в керметах системы Au + AI2O3 (рис. 8.2), измеренные при двух существенно разных температурах.

Обратите внимание на шкалу на оси ординат: диапазон изменения сопротивления больше 12 порядков.

На графике явно видны две области концентраций х. Область 1 ^ х > 0,4 является металлической: сопротивление р сравнительно мало, сравнительно слабо зависит от температуры, увеличиваясь вместе с ней, и постепенно растет с уменьшением ж; где-то вблизи значения х = хс ~ 0,38 находится граница двух областей; наконец, для диэлектрической области х < 0,38 характерен очень резкий рост сопротивления с уменьшением х и очень сильная температурная зависимость р(Т). Аналогичный график р(х) в другой системе, Ni + SiO2, приведен на рис. 8.5, б. Качественно система ведет себя так же. В частности, и здесь вблизи критического значения хс производная функции р(Т) меняет знак (сплошная и пунктирная кривые пересекаются вблизи xcY Однако само критическое значение хс другое. О подобном разнобое значений хс на островковых пленках мы уже упоминали.

Стандартное описание в терминах перколяционной модели предполагает, что при концентрациях х > хс линии тока целиком проходят внутри металлического кластера, а при х < хс ток должен хотя бы частично проходить через изолятор. Тогда температурную зависимость р(Т) в области х < хс должны были бы определять свойства изолятора. Но это верно лишь отчасти.

На рис. 8.6 приведены температурные зависимости материалов гранулированных систем AU + AI2O3 и Ni + SiO2 в изолирующем режиме, т. е. при х < хс. Благодаря тому, что в измеряемом интервале температур сопротивление изменяется на много порядков, удается определить функциональную зависимость удельного сопротивления р(Т):

рСО = роехр ^j , (8.4)

надежно отличая ее и от ехр(Го/Г), и от ехр (ТЬ/Г)1/4. Функциональной зависимости (8.4) нет у соответствующих массивных изоляторов — ни у AI2O3, ни у SiO2- К тому же наклон прямых на рис. 8.6,

Рис. 8.5. Сопротивление гранулированных пленок Au + Ah Оз и Ni + SiO2 в зависимости от ж при двух температурах [1]: пунктирные кривые — при гелиевой, сплошные кривые и значки — при комнатной. На правом графике кружки и квадратики получены в двух разных сериях экспериментов, а сплошная кривая — результат их усреднения.

определяемый величиной Tq1^2, зависит от величины х. Следовательно, транспорт в обсуждаемых материалах контролируется не только изолятором, но и металлическими гранулами. Это и есть тот экспериментальный факт, который необходимо осмыслить и объяснить.

Теоретическая модель исходит из двух фундаментальных предположений.

Во-первых, между соседними гранулами возможно туннелирование. Здесь теряется инвариантность относительно масштаба решетки, характерная для перколяционных задач, и исключаются системы типа совокупности металлических шариков от подшипников. Не обязательно, чтобы из каждой гранулы было возможно туннелирование во все соседние гранулы. Точнее можно сказать так: совокупность гранул, между которыми возможен обмен носителями посредством туннелирования, должна представлять собой развитый бесконечный кластер. В выражении для подвижности носителей ц = ет/т под т следует понимать время, за которое происходит туннелирование заряда е с эффективной массой т. Действительно, раз туннелирование — это основной механизм передвижения зарядов в пространстве, то подвижность зарядов пропорциональна вероятности туннелирования:

/ д хд 2(2тГ)1/2-х

ц ос ехр^-рар р = ———,(8.5)

Рис. 8.6. Температурные зависимости сопротивления гранулированных пленок состава Au + AI2O3 и Ni + SiO2 при х < хс (кроме кривой х = 0,41 для материала Ап + А^Оз) [1]

где а и U — ширина и высота барьера.

Во-вторых, каждая заряженная металлическая гранула создает электрическое поле в зазоре между собой и соседними гранулами, являясь таким образом обкладкой локального микроконденсатора. Емкость такого конденсатора порядка произведения радиуса гранулы а на диэлектрическую проницаемость х окружающего его изолятора (емкость уединенного шара):

С ха.(8.6)

Если заряд в конденсаторе д, то энергия поля в нем д2/(2С). Поэтому для размещения на грануле одного избыточного электрона, q = е, требуется кулоновская энергия Ес ~ е2/(ха). Отсюда следует, что концентрация зарядов п пропорциональна

Заметьте. Материал остается при этом электрически нейтральным, поскольку число электронов и дырок (положительно и отрицательно заряженных гранул) примерно одинаково. Энергия и тех и других отсчитывается от уровня Ферми.

Энергия Ес отнюдь не мала. Для гранулы размером 50Л при х се ~ 10 она порядка 300 К. Это означает, что при низких температурах туннелирующих носителей экспоненциально мало. Именно это обстоятельство лимитирует проводимость. Отсюда название кулоновская блокада. Оно употребляется чаще применительно к изолированыым наноструктурам, таким, как пара туннельных контактов с островком

малой емкости между ними, когда величина Ес характеризует какую- то конкретную конфигурацию. Однако, неравенство

ес > Т(8.8)

может определять и свойства материала как целого.

Формально формулы (8.5) и (8.7) позволяют выделить самые существенные, экспоненциальные множители, входящие в выражение для сопротивления р(Т) = сг-1(Т). Поскольку проводимость ст пропорциональна произведению концентрации на подвижность, получаем

р ос (пц) 1 ос exp I —+ (За ) .(8.9)

Поскольку в показателе экспоненты в выражении (8.9) имеется два слагаемых (§3.3) и длина а в одном из них входит в числитель, а в другом в знаменатель, существует значение

amin =(8.10)

при котором показатель имеет минимум. Значение длины а в реальном материале наверняка имеет дисперсию. Существование минимума означает, что ток в основном будет идти вдоль цепочек из гранул с выделенным значением а = &min, а сопротивление материала будет описываться формулой (8.4) со значением

Т0 = 2е(н .(8.11)

Прежде, чем обсуждать полученный результат, следует сделать существенную оговорку. Длина а в формулах (8.5) и (8.7) имеет разный смысл: это зазор между гранулами в (8.5) и размер гранул в (8.7). На фотографиях на рис. 8.1-8.3 видно, что они не равны. Но вместо фактически сделанного предположения об их равенстве, можно ограничиться гораздо более реалистичным предположением об их пропорциональности. Это означает, что различные участки после масштабирования становятся статистически одинаковыми. В такой модели основной вывод останется прежним, лишь в выражении (8.11) появится в качестве дополнительного множителя корень из коэффициента пропорциональности. Более того, основной вывод сохранится при любой функциональной связи при данном х между размерами гранул а и зазорами а’ между ними; лишь бы эти две величины не были статистически независимыми.

Итак, выясняется, что при низких концентрациях металлической фазы, х < хс, ток течет по гранулированному материалу неравномерно, концентрируясь в областях с оптимальным средним размером гранул. Этот оптимальный размер зависит от температуры. Поэтому при изменении температуры линии тока на микроскопическом уровне должны смещаться.

Сравните туннельную проводимость в гранулированной системе с прыжковой проводимостью при наличии кулоновской щели. Одинаковая функциональная зависимость In р ос Т-1/2, одно и то же исходное взаимодействие — кулоновское, схожие механизмы смены с температурой основных токовых путей.

Сходство между этими двумя механизмами и не случайно. Если устремить размер гранул к нулю, то они превратятся в примесные центры, которые могут быть либо заряжены, либо электронейтральны. При таком предельном переходе одна задача должна естественно перейти в другую. Но в изоляторе с примесными центрами есть кулоновская щель (§3.3), а в металле с большим количеством примесей из- за кулоновского электрон-электронного взаимодействия появляется минимум плотности состояний на ферми-уровне (§ 2.4). Чего-то аналогичного следует ожидать и в гранулированном материале. Справедливость этих ожиданий демонстрирует туннельный эксперимент.

На рис. 8.7, а представлены туннельные характеристики структуры Al — AI2O3 — Ni+SiO2, в которой одним из берегов туннельного контакта является пленка гранулированного металла, в данном случае состоящая из гранул Ni (металл), не растворяющихся в SiO2 (изолятор). В эксперименте были использованы пленки толщиной 100 А. Поскольку при всех значениях х характерные размеры металлических гранул были меньше 50 А, с точки зрения процессов, формирующих электронный спектр, пленка Ni+SiO2 представляет собой трехмерную структуру. Плоскость контакта является ее срезом. Металлические гранулы занимают на этой плоскости ту же долю ж, что и в объеме. Процесс туннелирования может происходить только в эти, выходящие на плоскость контакта, гранулы.

При больших значениях ж, а именно уже при х = 0,66 (верхняя кривая), наличие диэлектрических вкраплений несущественно, Ni+SiO2 ведет себя как обычный металл, а структура на кривой dJ/dV появляется из-за сверхпроводимости контрэлектрода А1 (ср. аналогичный эффект на рис. 2 Приложения Б). Изменения в кривых dJ/dV при меньших х полностью контролируются гранулированным электродом, поскольку с А1 ничего не происходит. Абстрагируясь от его неоднородности, можно при помощи стандартной математической процедуры, в соответствии с формулой (Б.1)

ДГ) ос 7 g{e -eV^gi^ [/ (^ДА) - / (Cf\ de,

Д \ Т J \ТП (812)

f(x) = (exp х + l)-1,

подставляя в качестве gi^ плотность состояний сверхпроводящего электрода, измеренную при х > 0,7, извлечь из каждой экспериментальной кривой dJ/dV функцию д^ для гранулированного электрода. Результат представлен на рис. 8.7, б.

Рис. 8.7. а) Туннельные характеристики структуры А1 — AI2O3 — Ni+SiO2 с гранулированной пленкой в качестве одного из электродов при различной доли ж поверхности (и объема), занимаемой металлическими гранулами, в данном случае гранулами NL Кривые смещены для ясности, но для каждой кривой пунктиром показан соответствующий ей ноль, помеченный, как и сами кривые, численным значением х. б) Функция д^ гранулированной пленки для разных значений ж [1]

Как видно из сравнения рис. 8.7 с рис. 3 и 4 в Приложении Б, эволюция функции плотности состояний по мере изменения управляющего параметра вблизи перехода металл-изолятор в гранулированном и негранулированном материалах практически неразличимы: в обоих случаях на металлической стороне появляется минимум плотности состояний на ферми-уровне, который превращается в мягкую щель. Согласно рис. 8.7, критическое значение управляющего параметра в системе Ni + SiO2 равно хс ~ 0,56. То же значение получается и из кривых рис. 8.5, б: именно при этом х меняет знак производная dp/dT.

Таким образом, хотя туннелирование происходит в отдельные гранулы, извлекаемая из эксперимента функция д^ отражает состояние всего материала в целом и даже фиксирует происходящий при изменении х переход металл-изолятор. Для объяснения этого обобщим формулу (8.12) на случай, когда один из электродов неоднородный. То, что туннелирование происходит только в металлическую долю х

от полной площади контакта, не очень существенно: это лишь уменьшает эффективную площадь контакта, увеличивая его полное сопротивление в 1/х раз. Существенно, что сама металлическая часть среза гранулированного электрода является неоднородной. Часть Р поверхности контакта принадлежит бесконечному металлическому кластеру (см. определение мощности бесконечного кластера (А. 12) в Приложении А). При туннелировании электрона в эту часть контакта все происходит как в однородном контакте. Эта часть вносит вклад в ток согласно формуле (8.12) с плотностью состояний g^ = const = до (и с учетом уменьшения площади в Р раз).

Часть 1—Р состоит из отдельных гранул размером а с функцией распределения по размерам D(a), нормированной условием

D(a)a2da = 1.(8.13)

О

Для того, чтобы электрон протуннелировал в такую гранулу, нужна дополнительная энергия Ес ~ е2/(ха). Поэтому эффективная плотность состояний да) которую нужно подставить в уравнение (8.12) вместо д. описывая этот процесс туннелирования, равна

f 0,|е| < ЕС(а),

9«Д ='(8-14)

Цо, |£|>£с(«)

(здесь и далее значение £ = 0 соответствует уровню Ферми). Эффективная плотность состояний дс\ для всего контакта равна

5eff(c) = Рдо + (ж - F) В^ЛдаСДа.(8.15)

О

Именно функция geff(s) извлекается из экспериментальных данных при помощи уравнения (8.12) и именно она изображена на рис. 8.7, б для разных х.

Заметьте. Выражение (8.15) можно было бы преобразовывать дальше, подставив в него выражение (8.14) для ga(£h выражение из (8.7) для £^(а) и т-Д- Это не сделано сознательно, поскольку находящееся в начале этой цепочки выражение для емкости (8.6), которое соответствует емкости уединенного шара, является слишком грубым приближением, пригодным лишь для оценок, и должно уточняться при описании конкретных гранулированных структур.

Но уже из неконкретизированного выражения (8.15) видно, что при исчезновении бесконечного кластера, когда происходит перколяционный переход и Р обращается в нуль, становится нулем и плотность состояний на ферми-уровне.

Таким образом, ни транспортные измерения в окрестности перехода металл-изолятор, ни туннельные эксперименты не позволяют различить перколяционный переход в гранулированной системе и, например, переход Мотта в однородно разупорядоченной системе. Из самых общих соображений этого следовало ожидать: на переходе расходится корреляционная длина £; когда мы находимся столь близко от перехода, что

€ > а, (8.16)

то наличие гранул становится несущественным. Важно, конечно, чтобы а не было слишком большим (как в системе из шариков от подшипников), иначе окрестность перехода станет нереализуемо малой.

Фрактально-гранулированные металлы

Структура и топология областей, представляющих в гранулированном материале металл или изолятор, могут быть очень сложными, даже отдаленно не напоминающими компактные гранулы. В качестве примера рассмотрим процессы твердотельной аморфизации некоторых метастабильных сплавов.

Существует ряд сплавов, в частности сплавы на основе сурьмы Sb-Zn, Sb-Cd и Sb-Ga, а также сплав Al-Ge, равновесная фаза которых при атмосферном давлении имеет малое координационное число, низкую плотность и ферми-уровень в запрещенной энергетической зоне, а фаза высокого давления — большое координационное число, высокую плотность и ферми-уровень в области разрешенных энергий. Если сплав сначала нагреть под давлением, а затем камеру высокого давления с находящимся внутри нее сплавом охладить до температуры жидкого азота и при этой температуре снять давление и вскрыть камеру, то мы получим сплав в метастабильном состоянии в фазе высокого давления. При азотной температуре эта металлическая ме- тастабильная фаза может сохраняться сколь угодно долго. Установив полученный образец в держатель с прижимными контактами и измерив температурную зависимость сопротивления R(T\ можно обнаружить обычный металлический температурный ход сопротивления и сверхпроводящий переход при гелиевых температурах. При нагреве метастабильное состояние должно перейти в стабильное. Если нагрев не очень быстрый, то трансформация происходит в две стадии. Сначала, при некоторой температуре Тф тепловой энергии оказывается достаточно для того, чтобы разрушить метастабильную решетку, но ее слишком мало для роста стабильной фазы. Метастабильная фаза переходит в аморфную, у которой координационное число, плотность и проводимость, как у стабильной фазы: эта промежуточная фаза является изолятором. Этот процесс и называется аморфизацией. При дальнейшем нагреве произойдет кристаллизация, и аморфный изолятор превратится в кристаллический изолятор. Мы здесь не будем обсуждать ни эту вторую стадию, ни очень интересные термодинамические подробности, описывающие всю цепочку твердотельных

переходов. Это можно найти в специальных обзорах. Здесь речь будет идти о первой стадии процесса, о превращении метастабильного кристаллического металла в метастабильный аморфный изолятор. Именно на этой стадии получается макроскопически неоднородный материал.

Поскольку при аморфизации удельный объем существенно возрастает (в Sb-Zn и Sb-Ga рост достигает 25%), возникший в ме- тастабильной фазе зародыш аморфной фазы не может изотропно расти из-за повышения локального давления. Однако возможен рост зародыша в виде плоского диска, когда движущийся фронт подобен лезвию, разрезающему метастабильную фазу. Утолщение слоя позади движущейся кромки происходит медленно, поскольку среда вокруг него сжата. Тем не менее напряжение со временем все же растет, и поэтому углы на слое и неоднородно деформированные области являются зародышами ветвления слоев. Таким образом слои изолирующей аморфной фазы распространяются, ветвясь и почти не утолщаясь, и постепенно заполняют все пространство. Многократное ветвление приводит к фрактальным свойствам этих «кактусов», а токовые каналы, вынужденные их огибать, в процессе аморфизации постепенно утоньшаются и становятся все более извилистыми.

Если очень медленно производить нагрев от азотной температуры, то по электросопротивлению можно четко зафиксировать момент, когда сопротивление начнет расти из-за аморфизации. Аморфизацию можно в любой момент прервать, охладив образец. Поэтому переход в аморфное состояние можно производить ступенчато. И в любом из промежуточных состояний можно измерить температурную зависимость сопротивления R(T) и проверить наличие сверхпроводящего перехода.

Основной результат измерений такой. Постепенной трансформацией можно увеличить сопротивление образца на несколько порядков, практически нс изменив температуру сверхпроводягцего перехода Тс. В качестве иллюстрации на рис. 8.8 приведены кривые R(T) для двух сплавов, 86570643 и Sb5oGa5Q. Все кривые нормированы на сопротивление Я(6К) образца в данном состоянии при температуре Т = 6 К. Сопротивление Я(6К) для каждого состояния свое; поэтому около каждой кривой проставлена величина q = 1g (R/Ro)т=вк^ показывающая, во сколько раз изменилось сопротивление образца в результате аморфизации по сравнению с сопротивлением в начальном состоянии без аморфной фазы. Например, значение q = 6,9 означает, что сопротивление увеличилось при Т = 6 К почти на семь порядков. Исходные значения удельного сопротивления 1/а, соответствующие q = 0, разнятся от образца к образцу, оставаясь в пределах 10 -У 100 мкОм • см. Это означает, что длина пробега в исходном «однородно металлическом» материале порядка I ~ 10/ф1.

Заметьте. В гранулированной системе сверхпроводящий переход в гранулах не обязательно означает падение до нуля общего сопротивления. Все зависит от того, что определяет основное

Т, Кт, к

Рис. 8.8. Сверхпроводящий переход в метастабильных сплавах ЗЬбтСскз и SbsoGaso на различных стадиях аморфизации, [6]. Все кривые нормированы на значение сопротивления при Т = 6 К на соответствующей стадии. Относительно параметра q см. в тексте

сопротивление вдоль токовых каналов: гранулы или промежутки между ними. Если сопротивление контролируется туннелированием между гранулами, то сверхпроводящий переход в гранулах может даже не уменьшить, а увеличить общее сопротивление. Именно это демонстрируют кривые с большими q на рис. 8.8. С этим же мы встречались и ранее, на рис. 8.4, а.

Согласно соотношению (8.2), постоянство Тс означает, что гранулы остаются большими на всех этапах трансформации. Вместе с тем, они могут становиться рыхлыми, пропитанными проросшим с краев фракталом изолирующей аморфной фазы. Токовый канал внутри такой гранулы в нормальном состоянии подобен траектории частицы, совершающей броуновское движение. Такие материалы мы будем называть фрактально-гранулированными. Чтобы пояснить, откуда берутся при этом большие значения q. обратимся к рис. 8.2, на котором белой линией показан канал, по которому ток может идти слева направо через лабиринтную структуру. Длина канала примерно в ар ~ 2 раза больше длины показанного участка образца, а ширина составляет от ширины этого участка долю порядка ау ~ 0,1. Предположим, что ширина показанного участка — это среднее расстояние между такими сквозными каналами (на языке теории перколяции — это длина корреляции £). Тогда, в предположении, что на рис. 8.2 изображена часть двумерного образца, сеть изолирующих прослоек в нем увеличивает его сопротивление в7 = аь/а^^20 раз. Если же на рис. 8.2 показан срез трехмерного материала, то рост сопротивления в нем порядка 7 = oil/oi^ ~ 200 раз.

Если бы в гранулированном РЬ (рис. 8.4) и в сплавах на основе Sb (рис. 8.8) не было сверхпроводящего перехода (или если бы удалось повторить описанные эксперименты в сильном магнитном поле),

то в этих системах должен был бы наблюдаться переход металл- изолятор. Вместо этого происходит переход сверхпроводник-изолятор (имеется в виду изменение проводимости при Т -л 0 вдоль серий кривых, представленных на рис. 8.4 и 8.8). Этот переход мы здесь обсуждать не будем, поскольку за пределами нашего рассмотрения

Рис. 8.9. а) Температурные зависимости сопротивления метастабильных сплавов Sb57Cd43 в нормальном состоянии на различных стадиях аморфи- зации. Все кривые нормированы на значение сопротивления при Т = 6 К на соответствующей стадии. Относительно параметра q см. в тексте. Ь) Те же данные в осях (Т1//3, о- = 1/Д) [7]

осталось само явление сверхпроводимости. Однако можно попытаться увидеть «сквозь него» переход металл-изолятор. Для этого обратимся к схеме окрестности перехода металл-изолятор для однородно разу- порядоченных систем (рис. 6.2 из гл. 6).

Воспользоваться этой схемой можно благодаря тому, что критическая область на ней ограничена со стороны высоких температур очень мягким требованием тее > т: время, за которое происходит расфазировка взаимодействующих электронов, должно быть больше времени упругого рассеяния. Так как тее ^ h/T, а т ~ %/sF, из него следует лишь, что Т ^, Ер. Поскольку температура сверхпроводящего перехода Тс <^. Ер, то температуры Т > Тс с точки зрения перехода металл-изолятор могут считаться не очень высокими. Поэтому для определения положения границы между металлом и изолятором можно, вообще говоря, экстраполировать температурные зависимости проводимости ст(Т) из области Т > Тс к Т = 0.

На рис. 8.9, а приведены кривые R(T) / R(6K) на разных стадиях аморфизации сплава Sb-Cd. Отображающие изменения сопротивления при Т > 6 К, они как бы дополняют кривые R(T)/R(6 К) для того же сплава в сверхпроводящей области Т < 6 К на рис. 8.8, а. Эти же

данные, перестроенные на рис. 8.2 состояние с (R/Rq)t=вк ~ 2 - К)1данные, перестроенные на рис. 8.2 состояние с (R/Rq)t=вк ~ 2 - К)1Рис. 8.10. Экстраполяция к Т = 0 из области Т > Тс проводимости метастабильного сплава SbsoGaso на последних стадиях аморфизации дает положительные значения ст(О), несмотря на очень малые абсолютные значения ст [6]Рис. 8.10. Экстраполяция к Т = 0 из области Т > Тс проводимости метастабильного сплава SbsoGaso на последних стадиях аморфизации дает положительные значения ст(О), несмотря на очень малые абсолютные значения ст [6]б в осях (Т1/3, ст = 1 /Д), выделяют (т. е. q = 4,3) как граничное между металлом и изолятором: линейная экстраполяция экспериментальных данных для этого состояния приводит к прямой, проходящей через начало координат. Следовательно, для этого материала срабатывает та же самая процедура определения точки перехода металл-изолятор, что и в классическом полупроводнике Ge (рис. 4 и 5 в гл. 6) и в квазикристалле (рис. 11 в гл. 7). Тем самым продемонстрирована универсальность этой процедуры и ее пригодность для гранулированного материала.

данные, перестроенные на рис. 8.2 состояние с (R/Rq)t=вк ~ 2 - К)1

данные, перестроенные на рис. 8.2 состояние с (R/Rq)t=вк ~ 2 - К)1

Рис. 8.10. Экстраполяция к Т = 0 из области Т > Тс проводимости метастабильного сплава SbsoGaso на последних стадиях аморфизации дает положительные значения ст(О), несмотря на очень малые абсолютные значения ст [6]

Рис. 8.10. Экстраполяция к Т = 0 из области Т > Тс проводимости метастабильного сплава SbsoGaso на последних стадиях аморфизации дает положительные значения ст(О), несмотря на очень малые абсолютные значения ст [6]

Вместе с тем, такой переход, по-видимому, может и не наступить. На рис. 8.10 показано аналогичное представление экспериментальных данных в осях (TV2; а) для самых высокоомных состояний сплава Sb-Ga. Даже при удельных сопротивлениях порядка мегаома экстраполяция к Т = 0 не обнару

живает перехода в состояние изолятора. Возможно, дело в том, что размеры фрактальных гранул остаются порядка размеров образца, т. е. что не удается удовлетворить неравенство (8.16).

Любопытно, что на температурных зависимостях сг(Т) для сплава Sb-Ga на рис. 8.10 не видно и тенденции перехода от зависимости Т1/2 к Т1/3: даже в самом высокоомном состоянии образца, q = 8, 9, экспериментальные точки не отклоняются от прямой

1 - ДО) = рте\

По мере уменьшения отсекаемой на оси ординат величины сг(О) уменьшается также и наклон прямых /3. В отличие от случая, рассмотренного в гл. 7, здесь неравенство (7.6) не ослабевает при понижении температуры и мы не переходим в область (7.7).

Список литературы

Abeles В., Ping Sheng, Coutts M.D., Arie Y. // Adv. Phys. 24, 407 (1975).

Yu X., Duxbury P.M., Jeffers G., Dubson M.A. // Phys. Rev. В 44, 13163 (1991).

Shapira Y., Deutscher G. // Phys. Rev. В 27, 4463 (1983).

Frydman A. Physica C 391, 189 (2003).

Imry Y., Srongin M. // Phys. Rev. В 24, 6353 (1981).

Гантмахер В.Ф., Зверев B.H., Теплинский В.М., Цыдынснсапов Г.Э., Баркалов О. И. // ЖЭТФ 104, 3217 (1993).

Теплинский В. М., Гантмахер В. Ф., Баркалов О. И. // ЖЭТФ 101, 1698 (1992).

11*

Глава 9

ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ КВАНТОВЫЙЭФФЕКТ ХОЛЛА !)

В отсутствие случайного потенциала магнитное поле В делает финитным движение свободного электрона в плоскости, перпендикулярной полю. Соответственно, энергия поперечного движения квантуется (квантование Ландау), и квазииепрерывным остается только спектр движения вдоль поля. Если к тому же электроны находятся в достаточно тонком слое толщиной Ъ порядка Ь ~ 1 /кр, перпендикулярном полю, то инфинитное движение вдоль поля тоже невозможно. Тогда электроны должны считаться фактически локализованными: их волновая функция не зависит от времени и отлична от нуля лишь в окрестности классической электронной орбиты.

В таких условиях привычные представления о локализации неприменимы. Благодаря магнитному полю, электроны, находящиеся в плоской бесконечной яме без какой бы то пи было случайной компоненты потенциала и в отсутствие электрического поля, локализованы на циклотронных орбитах. А случайный потенциал, обычно рассматриваемый как возможная причина локализации, приводя в результате рассеяния к переходам с одной циклотронной орбиты на другую, делокализует электроны.

Таков фон предстоящего обсуждения квантового эффекта Холла (КЭХ), одного из самых значительных открытий второй половины XX века в физике твердого тела. Эта тема является существенной частью отдельной обширной области под названием «физика двумерных систем». Ранее мы слегка затронули эту область в гл. 6, обсуждая переходы металл-изолятор. Здесь вся глава посвящена двумерным (2D) системам. Но в соответствии с принципами отбора материала для этой книги мы будем обсуждать только целочисленный квантовый эффект Холла, потому что только его можно описать, оставаясь в рамках представлений о невзаимодействующих электронах. Дробный квантовый эффект Холла, которого в этих рамках вообще не должно было бы существовать, останется вне нашего поля зрения. Но и при обсуждении целочисленного КЭХ мы постараемся сосредоточиться на тех его аспектах, которые связывают его с основной частью книги: на локализации, переходах металл-изолятор, скейлинге, прыжковой проводимости, перколяции и т. д.

1) Подробное обсуждение целочисленного квантового эффекта Холла можно найти в книгах [1, 2]; общие вопросы физики двумерных электронных систем обсуждаются в [3].

В первом параграфе этой главы мы подробно обсудим те положения классической и квантовой физики, которые необходимы для понимания и описания К ЭХ; это и есть тот самый фон, о котором говорилось выше. Затем, после изложения основных экспериментальных фактов, составляющих суть К ЭХ, мы построим самосогласованную картину, объясняющую это явление. В последних параграфах речь будет идти о фазовых переходах, сопровождающих К ЭХ.

Спектр и динамика двумерных электроновв сильном магнитном поле О

Рассмотрим тонкую бесконечную однородную металлическую пленку в плоскости, перпендикулярной оси Oz. В постоянном магнитном поле В || Oz траекторией классического движения электронов, не имеющих компоненты скорости вдоль магнитного поля, является окружность. Если в дополнение к магнитному полю, направленному вдоль оси г, на электрон действует электрическое поле Е || Ох, то на круговое движение с частотой Q = еВ/тс накладывается дрейф с дрейфовой скоростью Е = с(Е/В) в направлении OyUB, Е (здесь с — скорость света, т — эффективная масса). Из-за того, что средняя скорость v±E, линейная локальная связь между полем Е и током j = nev описывается не скаляром, а тензором (п — концентрация делокализованных носителей). Поэтому при описании линейных транспортных свойств двумерного электронного газа компоненты тока j и электрического поля Е связывают между собой при помощи тензоров проводимости а:

Зх — ^ххЕх 4" сХуЕу^Зу = ^ухЕх + аууЕу, или сопротивления р:Ех = pxxjx "4 рхуЗучЕу = pyXjx + РууЗучЗх — ^ххЕх 4" сХуЕу^Зу = ^ухЕх + аууЕу, или сопротивления р:Ех = pxxjx "4 рхуЗучЕу = pyXjx + РууЗучууч и ух ихучууч и ух ихуч— Рууч Рух — Рху— Рууч Рух — Рху(9Л)(9Л)(9-2)(9-2)

Зх — ^ххЕх 4" сХуЕу^

Зу = ^ухЕх + аууЕу, или сопротивления р:

Ех = pxxjx "4 рхуЗуч

Еу = pyXjx + РууЗуч

Зх — ^ххЕх 4" сХуЕу^

Зу = ^ухЕх + аууЕу, или сопротивления р:

Ех = pxxjx "4 рхуЗуч

Еу = pyXjx + РууЗуч

ууч и ух ихуч

ууч и ух ихуч

— Рууч Рух — Рху

— Рууч Рух — Рху

(9Л)

(9Л)

(9-2)

(9-2)

Эти тензоры являются взаимно обратными, так что для их компонент справедливы соотношения

(9.3)(9.3)_ Рхх_ Рху

(9.3)

(9.3)

°хх —2.2? °ху —2.2е

Рхх “Г РхуРхх “Г Рху

В приближении времени релаксации т для свободного электронного газа выражения для стхх и сгХу можно написать непосредственно из уравнения движения свободного электрона, учтя рассеяние введением

1) В этом параграфе обсуждаются вопросы классической физики металлов, которые можно найти также в книгах [4, 5].

(9-4)(9-4)силы эффективного трения -ту/т: mv = - vB + еЕ ст

(9-4)

(9-4)

Из уравнения (9.4) с учетом соотношений (9.1) и того, что постоянный ток j = nev, следует

пе2 т1m 1 + tiV 'пе2 т1m 1 + tiV '_ пе2 тПт^ XV —“2 •Ш 1 + Cl Т_ пе2 тПт^ XV —“2 •Ш 1 + Cl Т(9-5)(9-5)

пе2 т1

m 1 + tiV '

пе2 т1

m 1 + tiV '

_ пе2 тПт

^ XV —“2 •

Ш 1 + Cl Т

_ пе2 тПт

^ XV —“2 •

Ш 1 + Cl Т

(9-5)

(9-5)

Из соотношений (9.5) следует, что в идеальной 2В-системе без примесей, когда т = сю, продольная проводимость бесконечной пленки °"хх = 0, а холловские проводимость и сопротивление равны соответ

ственноственно_ пей _ пес_ пей _ пес_ вРху — у пес_ вРху — у пес(9-6)(9-6)

ственно

ственно

_ пей _ пес

_ пей _ пес

_ в

Рху — у пес

_ в

Рху — у пес

(9-6)

(9-6)

Рис. 9.1. Движение классических электронов вдоль края пленки в нормальном магнитном поле при зеркальном отражении от края: (а) и (6), и при диффузном отражении: (в). Во всех случаях средняя скорость электронов v отлична от нуля, направлена вдоль края и в первом приближении не зависит от электрического поляРис. 9.1. Движение классических электронов вдоль края пленки в нормальном магнитном поле при зеркальном отражении от края: (а) и (6), и при диффузном отражении: (в). Во всех случаях средняя скорость электронов v отлична от нуля, направлена вдоль края и в первом приближении не зависит от электрического поля

Рис. 9.1. Движение классических электронов вдоль края пленки в нормальном магнитном поле при зеркальном отражении от края: (а) и (6), и при диффузном отражении: (в). Во всех случаях средняя скорость электронов v отлична от нуля, направлена вдоль края и в первом приближении не зависит от электрического поля

Рис. 9.1. Движение классических электронов вдоль края пленки в нормальном магнитном поле при зеркальном отражении от края: (а) и (6), и при диффузном отражении: (в). Во всех случаях средняя скорость электронов v отлична от нуля, направлена вдоль края и в первом приближении не зависит от электрического поля

Обычно малая проводимость означает большое сопротивление и наоборот. Из формул (9.3) следует, что равенство нулю стхх при сгжи ^ О означает, что и сопротивление рхх = ахх = 0. Однако проводящая область всегда ограничена в направлении Оу, и это обстоятельство требует тщательного анализа. К тому же в реальной 2В-системе всегда есть рассеивающие центры (при конечной температуре роль таких центров могут играть фононы). Поэтому равенство проводимости нулю всегда приближенное: ахх ~ 0.

Пусть пленка с рассеивающими центрами имеет вид полосы, вытянутой вдоль оси Ох, и пусть граничные условия задают компоненту поля Еж и ток j = (ДО)- Дрейф вдоль оси Оу приводит к появлению зарядов на краях полосы и к появлению компоненты электрического поля Еу вдоль этой оси. Поэтому электрическое поле в пленке будет иметь обе компоненты: Е = (Ех,Еу\ Ток вдоль Е появляется только за счет рассеяния, когда центр круговой орбиты сдвигается вдоль поля. Отношение компонент Ех и Е^ электрического поля и величина ахх определяются частотой рассеяния 1/т.

Край образца существенен благодаря еще одному обстоятельству — вблизи края электроны чаще рассеиваются. В уравнения (9.1) и (9.2) входят плотности тока вдали от краев полосы. Определяя их через геометрические размеры полосы и величину тока, измеряемую снаружи, следует помнить о воз-

можности существования дополнительных краевых токов, не контролируемых частотой 1/т. Рассмотрим классические орбиты, лежащие в плоскости пленки вблизи ее края. Электрон, достигший края и рассеявшийся на нем один раз, обязательно столкнется с ним на следующем витке. В результате таких столкновений электроны совершают инфинитное движение вдоль края, независимо от того, является ли рассеяние на краю зеркальным или диффузным (см. рис. 9.1). Это приводит к тому, что при некоторых специфических условиях ток вдоль приложенного извне электрического поля в чистом металле течет в основном вдоль его поверхности. На возможность вытеснения постоянного тока к поверхности металла при малой частоте рассеяния в объеме впервые указал Азбель еще в 1963 году. Это явление получило название статического скин-эффекта. Как станет ясно ниже, квантовый аналог статического скин-эффекта играет существенную роль в К ЭХ.

К вопросу о терминологии. Уже на основании классического описания можно сказать, что вдали от краев идеальной пленки электроны локализованы на магнитных круговых орбитах, но что эта локализация мягкая: в сколь угодно малом электрическом поле электроны делокализуются в направлении, перпендикулярном полю. Кроме того, у краев электроны делокализованы в том смысле, что они могут совершать инфинитное движение вдоль края.

Обратимся теперь к квантовому описанию. Идеальный спектр бесспиновых электронов в магнитном поле может быть представлен в виде суммы энергий поперечного e_l(N)^ зависящего от квантового числа и продольного вц(Ад) движений:

e(N,kz) = e±(N) + e^kz) = ПЭ (N + ^ \ + ^, TV = 0,1,2..., т (9-7)

где kz — волновой вектор вдоль направления магнитного поля В. Кратность вырождения уровней с данными N и kz есть

где S — площадь перпендикулярного полю сечения области, занятой электронами, а г в — магнитная длина,

Если область, занятая электронами, имеет форму пленки толщиной Ь, лежащей в плоскости <ссу\ а поле В направлено вдоль оси г, то величина kz в уравнении (9.7) тоже квантуется: kz = = (2ir/b)Nz (Nz = 1,2,...) и e(N^kz) -^ e(N^Nz). Квазинепрерывный одномерный спектр вц(/сг) в каждой из магнитных подзон с магнит-

ным квантовым числом N превращается в набор дискретных неэквидистантных уровней:

£||(fcz)^£||(7V2) = —,

2(9.10)

М||(М) = £||(М + 1) - £||(М) = 2тг2(2^ + 1)4,.

Спектр становится полностью дискретным, каждый уровень в нем характеризуется двумя квантовыми числами: N и Nz. Вырожденность у всех уровней одинакова; согласно (9.8), она зависит только от площади 8^ занимаемой двумерным электронным газом, и от величины магнитного поля В. Плотность состояний такого идеального 2В-газа, нормированная на единицу площади, имеет вид суммы 5-функций:

Е -4 »МЗД.(9.11)

Коэффициент til = (2тггд)-1, входящий во все члены суммы (9.11), является плотностью электронов на любом полностью заполненном уровне Ландау. Ее можно выразить через квант магнитного потока Фо:

»l = 4 ^Ц1 = 4, Фо = ^.(9.12)

оФое

Равенство (9.12) означает, что на полностью заполненном уровне Ландау на каждый электрон приходится ровно один квант магнитного потока.

Пусть пз — концентрация электронов в трехмерном пространстве; соответственно, концентрация электронов, отнесенная к единице площади пленки, равна П2 = П36. Тогда из выражения (9.8) для у следует, что при температуре Т = 0 количество занятых уровней определяется числом заполнения v^ равным

V = — = ^^.(9.13)

пь еВ

Целая часть числа v — это количество полностью заполненных уровней, наличие дробной части указывает на существование частично заполненного уровня и определяет, в какой мере он заполнен. При увеличении поля вырожденность у растет, и число заполненных уровней уменьшается. Опустошение следующего уровня начинается, когда дробная часть v обращается в нуль — в полях

Вг = — п2- = Ф0п2-, (г = 1,2,3,...).(9.14)

е %г

Нас здесь интересуют очень тонкие пленки в сильных полях, когда заполнено всего несколько дискретных уровней. Для обсуждения удобно воспользоваться приближенной картинкой, которую можно назвать «переводом квантового описания на полуклассический

язык». На рис. 9.2, а изображено сечение Ферми-сферы e(kZl кр) = efo в /^-пространстве в трехмерном случае без магнитного поля. Ферми- радиус в нулевом магнитном поле sF0^ зависящий только от концентрации пз, задает на этой диаграмме масштаб энергии. Магнитное поле квантует поперечный импульс кр. Целые числа N отмечают его разрешенные значения, а проходящие через них вертикальные линии — это сечения так называемых цилиндров Ландау, используемых в физике металлов при анализе эффекта де Гааза — ван Альфена. Конечная толщина пленки Ь квантует продольный импульс кг его разрешенные значения отмечены числами ТС. Черные точки внутри окружности радиуса efo — это заполненные уровни с квантовыми числами (N, N^Y На рис. 9.2, а их девять и еще один уровень (A, N^ = (3,1), по всей видимости, заполнен частично (серая точка). Поскольку Ферми- уровень зависит от магнитного поля, осциллируя в окрестности eF01 т. е. Ер (В) ^ eF01 точно степень заполнения промежуточного уровня по рисунку сказать нельзя; она определяется соотношением (9.13).

Рис. 9.2. Разрешенные состояния на плоскости (kp^y, их энергия пропорциональна квадрату расстояния от начала координат. Черные кружки — полностью заполненные уровни, серый кружок — уровень, заполненный частично, светлые кружки — пустые уровни, (а) Заполнены уровни с разными, и магнитными А, и размерными NZl квантовыми числами; (б) заполнены только уровни с минимальным размерным квантовым числом Nz = 1; (в) заполнены только уровни с минимальным магнитным квантовым числом N = О

При повышении магнитного поля происходит переход к ультра- квантовому пределу, в котором из дискретных квантовых уровней заполнен только один уровень (0,1). Как видно из рис. 9.2, этот переход, в зависимости от величины Ь, может происходить по-разному. В ультратонких пленках и гетеропереходах, где Авц(1) > efo, заполнены только уровни (А, 1) в горизонтальном ряду — см. рис. 9.2, б. Эксперименты с квантовым эффектом Холла обычно производятся именно на таких объектах. Но возможен и другой случай, когда несколько уровней вц(Аг) < eF01 например, когда £ц(АЦ < efo при

Nz < 4 — рис. 9.2, сц в. Тогда при повышении поля на каком-то этапе останутся заполнены только уровни типа (0^Nz) вертикального ряда. Поскольку вырожденность уровней не зависит от квантовых чисел N и NZl формулы (9.8), (9.13) и (9.14) применимы в обоих случаях. К обоим случаям применимо также все дальнейшее содержание этого параграфа.

Наличие спина удваивает количество дискретных уровней. Наборы, изображенные на рис. 9.2, реализуются для обеих проекций спина, но они сдвинуты друг относительно друга на величину Зеемановского расщепления. Дополнительное увеличение числа уровней и усложнение спектра возможно также из-за многодолинности электронного

спектра в кристалле.

Получившемуся набору дискретных уровней соответствуют клас

сические круговые орбитысические круговые орбитыРис. 9.3. Энергия 2В-элек- тронов на дискретных уровнях Ландау в зависимости от расстояния г от стенки прямоугольной потенциальной ямы до самой удаленной точки классической орбиты. Пунктиром изображены квазиклас- сические образы волновых функций — полные окружности вдали от края и части окружности вблизи края. Белыми точками отмечены состояния г = tn в которых они представляют собой точно полуокружностиРис. 9.3. Энергия 2В-элек- тронов на дискретных уровнях Ландау в зависимости от расстояния г от стенки прямоугольной потенциальной ямы до самой удаленной точки классической орбиты. Пунктиром изображены квазиклас- сические образы волновых функций — полные окружности вдали от края и части окружности вблизи края. Белыми точками отмечены состояния г = tn в которых они представляют собой точно полуокружностирадиуса tn ~ VN г в с фиксированными центрами. (Если Nz ^ 1, то вращение по орбите сопровождается периодическим движением поперек пленки, между ее поверхностями, но остается финитным.) Приложенное к пленке постоянное однородное электрическое поле Е||О?/ превращает дискретные уровни в полосы: e(N,Nz) e(N,Nz) + Еу. Соответственно, как мы видели из уравнений (9.1)—(9.6), классическое движение становится инфинитным в направлении поперек Е.

сические круговые орбиты

сические круговые орбиты

Рис. 9.3. Энергия 2В-элек- тронов на дискретных уровнях Ландау в зависимости от расстояния г от стенки прямоугольной потенциальной ямы до самой удаленной точки классической орбиты. Пунктиром изображены квазиклас- сические образы волновых функций — полные окружности вдали от края и части окружности вблизи края. Белыми точками отмечены состояния г = tn в которых они представляют собой точно полуокружности

Рис. 9.3. Энергия 2В-элек- тронов на дискретных уровнях Ландау в зависимости от расстояния г от стенки прямоугольной потенциальной ямы до самой удаленной точки классической орбиты. Пунктиром изображены квазиклас- сические образы волновых функций — полные окружности вдали от края и части окружности вблизи края. Белыми точками отмечены состояния г = tn в которых они представляют собой точно полуокружности

Введение конечной площади ямы S в формуле (9.8) для вырожденности у учитывает ограниченность проводящей 2В-области. Будем для простоты полагать, что яма прямоугольная, т. е. что стенки у нее вертикальные. Сама по себе вырожденность у обусловлена трансляционной инвариантностью, т. е. равноценностью орбит с разными координатами центра. Когда расстояние от центра орбиты до края меньше классического радиуса орбиты г, наличие стенки ограничивает волновую функцию, и энергия электронного уровня повышается (см. рис. 9.3, где по оси абсцисс отложено расстояние г от края до самой удаленной точки классической орбиты; предполага

ется, что Nz = 1; это предположение соответствует случаю (б) на рис. 9.2). В частности, энергия орбиты на уровне N с центром точно

на стенке, классическим аналогом которой является полуокружность,

равна энергии орбиты вдали от стенки на уровне N' = 27V + 1, e(N^ г = rN) = e(N\ г >> г в)-

Главный эффект увеличения энергии уровней вблизи стенки в том, что у стенки все уровни Ландау пересекают Ферми-уровень и поэтому могут вносить вклад в проводимость за счет краевого тока. Превращение дискретных уровней в полосы у краев пленки немедленно приводит к появлению инфинитных орбит (рис. 9.1).

Описанная идеальная квантовая картина заведомо нарушается даже в самой чистой системе наличием случайного потенциала U(r). Поскольку магнитное поле задает характерный масштаб длины (9.9), можно говорить о двух предельных типах случайного потенциала: потенциал с крупномасштабными флуктуациями с характерными размерами (>гв и короткодействующий потенциал, у которого ( <С. г вИ тот, и другой снимают вырождение уровней (N^NZ) и приводят к их уширению. Вопрос в том, каковы волновые функции в этих миниполосах, в которые превращаются уровни Ландау.

Рассмотрим более подробно крупномасштабные флуктуации потенциала U(r\ Они приводят к тому, что на электрон действует сила VU, лежащая в 2В-плоскости и однородная на размерах классической орбиты. Воспользуемся уравнением (9.4), заменив Е на VH и положив т = сю. Под влиянием силы VH электрон дрейфует в направлении, перпендикулярном VH, т. е. все время двигается вдоль эквипотенциальных линий функции U(г). Следовательно, каждый электрон находится все время в своем постоянном потенциале U^ и именно от него следует отсчитывать энергии уровней (N^ N^. Поэтому возникает «неоднородное уширение» исходных 5-образных вырожденных уровней (N^ Nz).

Эквипотенциальные линии функции U^ вблизи локальных экстремумов представляют собой замкнутые контуры, охватывающие эти экстремумы. Направление движения электронов по таким контурам зависит от того, охватывают ли они локальные максимумы U^ или минимумы U_. Характерные размеры контуров R являются расстояниями, на которых локализованы волновые функции соответствующих электронов.

К вопросу о терминологии: Волновую функцию электрона в идеальном 2В-слое в сильном нормальном магнитном поле мы назовем условно или мягко локализованной, потому что, как мы видели, сколь угодно малое электрическое поле делокализует электрон в направлении, перпендикулярном полю. В отличие от этого, квазиклассические состояния на эквипотенциальных линиях конечных размеров R истинно или жестко локализованы: электрическое поле лишь деформирует эквипотенциальную линию, причем тем меньше, чем слабее поле. Таким образом крупномасштабные флуктуации потенциала превращают мягкую локализацию в жесткую по крайней мере для части электронов на уровне Ландау.

В хаотическом 2В-потенциале имеется перколяционный порог, на котором бесконечного кластера не существует, а линии эквипотенциа- лей превращаются в бесконечную сетку с бесконечным числом самопересечений (см. Приложение А). В седловых точках квазиклассическая скорость электрона равна нулю; поэтому формально можно считать электрон на участках эквипотенциальной линии между точками ее самопересечения мягко локализованным. Учитывая, что вырождение в точках самопересечения снимается электрическим полем, и что преодоление седловых точек возможно также за счет туннелирования, часто электроны на перколяционном уровне сразу называют делокализованными. Таким образом, в каждой уширенной миниполосе Ландау имеется один перколяционный уровень, на котором электроны делокализованы. При статистически симметричном случайном потенциале он расположен в центре миниполосы.

Заметьте. Вообще говоря, один уровень не означает одно состояние, потому что уровень может быть вырожденным. В контексте К ЭХ этот вопрос очень не простой; мы будем ниже к нему возвращаться (см. формулу (9.28) и дискуссии в тексте в связи с рис. 9.21).

Фактическая ширина 5е интервала энергий с делокализованными волновыми функциями зависит от более тонких процессов, например, от туннелирования между двумя квазиклассическими траекториями, близко подходящими друг к другу в окрестности седловой точки (магнитный пробой). По сути дела величина 5е является неопределенностью энергии любого из делокализованных состояний.

Истинно локализованные состояния возникают и в короткодействующем случайном потенциале. Рассмотрим короткодействующий потенциал ( <С г в, создаваемый изолированными примесями. Энергия электрона, двигающегося в непосредственной окрестности примеси, меняется, что приводит к уширению уровня Ландау. Но этим влияние примеси не ограничивается. Разобраться в классификации уровней, возникающих в окрестности примеси, помогает модель водородоподобной примеси в трехмерном пространстве. В отсутствие магнитного поля примесь образует под континуумом делокализованных состояний дискретный набор локализованных состояний, которые описываются набором квантовых чисел, как в атоме водорода. Если наложить сильное магнитное поле, то множество делокализованных состояний распадется на набор одномерных магнитных зон Ландау, а локализованные состояния окажутся под каждой из них: ведь, оторвавшись от примеси, электрон может оказаться в любой из подзон Ландау. Уменьшение толщины пленки и переход к двумерной системе преобразует подзоны Ландау в дискретные уровни, на которых электроны условно локализованы, но изначальные истинно локализованные состояния сохраняются. Поэтому примеси не только уширяют изначально дискретные уровни (N^N^^ но и создают около них дискретные (и соответственно, локализованные) уровни.

Экспериментальные наблюденияцелочисленного КЭХ

Для транспортных измерений наиболее распространена измерительная конфигурация, которая называется холловский мостик (см. рис. 9.4, Див которой ток J^ пропускается через торцевые контакты 1 и 2 (вдоль оси ж), а между остальными контактами измеряются разности потенциалов. С ее помощью измеряются компоненты тензора р : рхх по разности потенциалов на контактах, расположенных вдоль одного края, и рхд при помощи контактов, расположенных напротив друг друга. Формула для рХХ1 написанная на рис. 9.4, сц верна в предположении, что ток в мостике распределен равномерно. Поскольку в условиях КЭХ такой уверенности, вообще говоря, нет, правильнее считать, что при КЭХ холловский мостик измеряет Rxх = ^34/^12-

Рис. 9.4. (а) холловский мостик, позволяющий измерять компоненту ржж тензора сопротивления по разности потенциалов между контактами 3 и 4 или 5 и 6 и компоненту ржу по разности потенциалов между контактами 3 и 5 или 4 и 6 при токе Л 2 через торцевые контакты 1 и 2; относительно точек А и В см. ниже в тексте; (б) диск Корбино с двумя кольцевыми электродами радиусов аг и П2, позволяющий измерять компоненту сгжж тензора проводимости по разности потенциалов V12 между коаксиальными электродами и току J12 между ними

Кольцевая структура под названием «диск Корбино», изображенная на рис. 9.4, б, позволяет измерять компоненту сгхх тензора а.

Обычно двумерный электронный газ создается за счет изгиба зон либо у поверхности полупроводника, либо на плоских границах специальным образом подобранных полупроводников. Устройство первого типа называют полевой или МДП-структурой, устройство второго типа — гетероструктурой. В большинстве случаев измерительную структуру покрывают дополнительно, поверх слоя изолятора, металлической пленкой, которая образует с 2В-газом плоский конденсатор. Эта пленка называется затвором. Подавая на затвор напряжение Vgi можно менять концентрацию п двумерного газа. Поэтому менять число заполненных уровней (9.13) можно не только при помощи маг-

нитного поля В, но и при помощи потенциала Vg на затворе относительно 2В-газа. Если затвор находится на расстоянии s от плоскости с 2В-электронами, то изменение напряжения на затворе AVg и изменение электронной концентрации Ап связаны линейной зависимостью

(9.15)(9.15)AVg = 4тг An es.AVg = 4тг An es.Рис. 9.5. Магнетосопротивление Rxx и холловское сопротивление ржу в зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности Si [6]. Температура Т = 1,5К, магнитное поле 17,9Тл. Размеры устройства в обозначениях рис. 9.4, а: а = 130 мкм, b = 50 мкм, ток J12 = 1 мкАРис. 9.5. Магнетосопротивление Rxx и холловское сопротивление ржу в зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности Si [6]. Температура Т = 1,5К, магнитное поле 17,9Тл. Размеры устройства в обозначениях рис. 9.4, а: а = 130 мкм, b = 50 мкм, ток J12 = 1 мкА

(9.15)

(9.15)

AVg = 4тг An es.

AVg = 4тг An es.

Рис. 9.5. Магнетосопротивление Rxx и холловское сопротивление ржу в зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности Si [6]. Температура Т = 1,5К, магнитное поле 17,9Тл. Размеры устройства в обозначениях рис. 9.4, а: а = 130 мкм, b = 50 мкм, ток J12 = 1 мкА

Рис. 9.5. Магнетосопротивление Rxx и холловское сопротивление ржу в зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности Si [6]. Температура Т = 1,5К, магнитное поле 17,9Тл. Размеры устройства в обозначениях рис. 9.4, а: а = 130 мкм, b = 50 мкм, ток J12 = 1 мкА

На рис. 9.5 приведены результаты эксперимента [6], по сути дела открывшего КЭХ и положившего начало его изучению. На кривых видны три главные особенности, составляющие суть этого явления: наличие плато на кривых pxg(Vg) в окрестности значений Vgi при которых магнитное поле В удовлетворяет соотношению (9.14) для полей Вр квантованные значения ржд

_ 1 f2KH\ А Э )_ 1 f2KH\ А Э )(г = 1,2,3,...)(г = 1,2,3,...)(9.16)(9.16)

_ 1 f2KH\ А Э )

_ 1 f2KH\ А Э )

(г = 1,2,3,...)

(г = 1,2,3,...)

(9.16)

(9.16)

на этих плато; обращение Rxx^Vg^ в нуль в окрестности этих же значений Vg. Эти особенности хорошо видны на рис. 9.6, где окрестность одного из плато показана в увеличенном масштабе (разные величины Vg на рис. 9.5 и на рис. 9.6 объясняются тем, что эксперименты сделаны на разных образцах).

Рис. 9.6. Магнетосопротивление Rxx и холловское сопротивление ржу в зависимости от напряжения на затворе Vg в полевой структуре на поверхности Si [6]. Температура Т = 1,8 К, магнитное поле 13 Тл. Размеры а = 130 мкм и b = 50 мкм те же, что на рис. 9.5, но расстояние s до затвора другое.

Точность измерения холловского сопротивления 0,1 Ом

Рис. 9.5 позволяет сформулировать первые вопросы, на которые эксперимент должен ответить для начала серьезной дискуссии о природе КЭХ. Эти вопросы и ответы на них таковы.

Точность, с которой выполняется соотношение (9.16). Уже в первой работе [6] было показано, что измеренные значения рхд на плато совпадают со значениями (9.16) с точностью не хуже, чем 10-4. Сейчас уже говорят о воспроизводимости получаемых значений рхд на уровне 10-8. Это означало возможность применения этого эффекта в метрологии и потребовало выяснения в специальных экспериментах, влияют ли на измеряемые значения ржу знак носителей, многодо- линность спектра и другие факторы, определяемые кристаллической структурой (оказалось, что не влияют), изучения влияния примесей, температуры, геометрических размеров образцов и величины измерительного тока, влияния электронной концентрации (она тоже оказалась несущественной в довольно широких пределах), исследования изменений рхд вдоль плато и т. п. Результаты этих исследований можно найти в специальных обзорах (см. [7, 8]). Нам для дальнейшего достаточно утверждения, что на фоне плавно меняющегося холловского сопротивления рху^В} или pXy(Vg) выделяются квантованные значения (9.16).

Относительная протяженность плато, их ширина по сравнению с расстоянием между ними по полю В или по напряжению на затворе Vg. Эта характеристика не обладает устойчивостью квантованных значений холловского сопротивления. Ширина плато зависит и от материала, на основе которого создан 2В-слой носителей, и от примесей, и от температуры. На рис. 9.7 приведена кривые КЭХ на

Рис. 9.7. Магнетосопротивление Rxx и холловское сопротивление ржу в зависимости от магнитного поля В в гетероструктуре GaAs-AlxGai_xAs [9]. Температура Т = 8мК. Электронная плотность в 2В-слое 3,7 • 1011 см-2, подвижность р = 4,1 • 104см2/В-с. Стрелками отмечены направления спинов на уровнях Ландау с номером N

Рис. 9.8. Сужение холловского плато г = 1 в гетероструктуре GaAs- AlxGai_xAs при росте температуры [10]. Электронная плотность в 2В-слое 2,4 • 1011 см-2, подвижность д = 9 • 104 см2/В-с

гетероструктуре GaAs^Al^Gai-^As. Плато занимают большую часть кривой рху(В\ так что эта кривая приобретает вид лестницы с горизонтальными ступенями. Влияние температуры на ширину плато демонстрирует рис. 9.8. Соответствующую структуру имеет и функ-

Рис. 9.9. Продольная проводимость в гетероструктуре GaAs-AlxGai_xAs при разных температурах, измеренная на диске Корбино [11]. Электронная плотность в 2В-слое 3,2 • 1011 см-2, подвижность д = 10,5 • 104 см2/В-с. Около максимумов указаны самые верхние из полностью заполненных уровней Ландау

ция ВХХ^ВУ она отлична от нуля только на интервалах между плато, где имеет вид более или менее узких пиков.

Температурная зависимость продольной проводимости в области плато. Согласно формуле (9.3), в области плато, где рхх ~ ~ 0, следует также ожидать сгхх £з 0. Но эта формула справедлива лишь при пространственно однородном распределении тока и потому одновременная малость величин рхх ~ 0 и ахх ~ 0 заслуживает особого экспериментального подтверждения. Таким подтверждением является эксперимент в геометрии диска Корбино, непосредственно измеряющий сгхх. Как видно из кривых на рис. 9.9, полученных на диске Корбино, кривая сгхх(В) состоит из набора пиков, в промежутках между которыми — в интервалах полей, где находятся холловские плато, проводимость стремится к нулю при понижении температуры. Мы вернемся к температурным зависимостям RXX(T) в разделе 9.5.

Механизм образования плато

Начнем обсуждение экспериментальных наблюдений К ЭХ, исходя из того, что было изложено в первом параграфе. Представим себе реально неосуществимую идеальную 2В-систему без случайного потенциала, в которой мы меняем концентрацию электронов при помощи напряжения Vg на затворе. На основании уравнений (9.6) и (9.15) можно было бы полагать, что холловская проводимость будет линейно

12 В. Ф. Гантмахер

меняться с Уд. Действительно, если бы электронный спектр 2В-газа был непрерывным, то мы бы имели

(9-17)(9-17)_ пес _ НУд - VgC)^^У - в ~ 2ttsB

(9-17)

(9-17)

где напряжение Удо компенсирует контактные разности потенциалов в цепи. Однако в сильном магнитном поле одна из обкладок конденсатора имеет дискретный энергетический спектр. К чему это приводит, видно из рис. 9.10, где изображена энергетическая диаграмма системы идеальный 2D-газ плюс затвор при трех разных напряжениях Уд на затворе.

абв

Рис. 9.10. Диаграмма взаимного расположения уровней Ферми в идеальном 2В-газе и в затворе при разных напряжениях Уд на затворе; сплошной линией показаны заполненные состояния, пунктиром — пустые, (а) и (в): числа заполнения v нецелые, а уровень Ферми проходит через уровень Ландау, (б): число заполнения v целое, а плотность состояний на уровне Ферми равна нулю

В равновесии при Vg — Удо = 0 уровень Ферми в затворе и в газе находятся на одной высоте, напротив друг друга. При этом положение уровня Ферми относительно уровней Ландау задается исходной концентрацией п^. Изменение Уд меняет п. Поэтому наличие разности потенциалов Vgi включенной во внешнюю электрическую цепь, соединяющую затвор с 2В-слоем, будем учитывать смещением уровня Ер в затворе относительно 2В-газа. На диаграмме (а)^ где напряжение Vg = Уд 1 наименьшее из трех, третий уровень Ландау заполнен не полностью и уровень Ферми совпадает с ним. При достижении некоторого значения напряжения третий уровень заполнится, и дальнейшее увеличение концентрации носителей в двумерном газе потребует размещения электронов на четвертом уровне Ландау. Для того чтобы это стало возможным, Ферми-уровень затвора должен оказаться напротив него, т. е. сдвинуться вверх на SQ, как это показано на диаграмме (в). А это в свою очередь требует увеличения электрического поля

между затвором и 2В-газом. Поэтому в интервале значений напряжения Уд

Ду = ^ (9.18)

Ферми-уровень будет перемещаться от третьего уровня Ландау к четвертому, находясь при этом в запрещенной энергетической зоне (напряжение Vg-2 на диаграмме (б) относится к этому интервалу напряжений). Двумерный газ при этих Уд является изолятором в том смысле, что он не может сорбировать добавочные электроны и тем самым экранировать внешнее электрическое поле. Дополнительные силовые линии электрического поля, обеспечивающие разность потенциалов 5Уд < А^ проходят через 2В-слой насквозь. При этом концентрация электронов на затворе растет, а в 2В-газе остается постоянной с целым числом заполнения v. Компенсирующий заряд возникает где-то вне 2В-слоя, в так называемом резервуаре. Роль резервуара могут играть, например, примеси в объеме подложки 2В-слоя, или ее противоположная поверхность, или контакты. Когда при напряжении Удз уровень Ферми достигнет следующего (четвертого) уровня Ландау, заряды из резервуара вернутся в 2В-слой. Концентрация электронов в слое изменится сначала скачком; затем продолжится ее плавное изменение в соответствии с формулой (9.15).

При неизменной концентрации зарядов в 2В-слое холловское напряжение остается постоянным. Поэтому в идеальном материале в зависимости рЖд(Уд) должны возникнуть плато шириной (9.18) вблизи значений Удг\ определяемых формулой (9.14). Уровень этих плато р$д обусловлен г полностью заполненными уровнями Ландау и поэтому должен иметь точные квантованные значения (9.16).

Следует помнить, что речь идет о мысленном эксперименте в идеальном 2В-слое. Поэтому это рассуждение не может считаться объяснением К ЭХ, последний всегда наблюдается на заведомо неидеальных образцах, где часть уровней в 2В-слое локализованы.

Для оценки относительной ширины плато ц^ сравним величину А^ с изменением напряжения А^, требуемым для полного заполнения одного из уровней Ландау, т. е. для изменения v на единицу, а концентрации на An = (21ггр)-1. Магнитное поле, входящее в оба выражения, сократится и, положив диэлектрическую проницаемость изолирующего слоя конденсатора равной единице, получим

% = ^ = - А = —• (9.19) 8 те2 8 v 7

В числителе отношения (9.19) получилось выражение для боровского радиуса ав- В атоме водорода оно около 0.5 А. Малая эффективная масса электронов в 2В-газе может увеличить величину а в в 10 20 раз, но все равно зазор в конденсаторе s всегда существенно больше.

Поэтому для идеального 2В-газа на зависимости рхд(Уд) следовало бы ожидать узких и далеко разнесенных друг от друга плато.

Случайный потенциал в 2В-слое уширяет уровни Ландау. Согласно изложенным выше представлениям, набор возникающих при этом состояний включает по крайней мере одно делокализованное состояние с энергией вблизи центра уширенного распределения и локализованные состояния на его периферии. Пусть уширенные уровни Ландау не перекрываются, так что между ними остаются интервалы запрещенных значений энергии. При увеличении Уд Ферми-уровень движется сначала по локализованным состояниям нижней минизоны уровня Ландау, затем по запрещенной зоне, т. е. по области с нулевой плотностью состояний, а затем по локализованным состояниям верхней минизоны (см. рис. 9.11). Заполнение локализованных состояний

Рис. 9.11. То же, что и на рис. 9.10, но для реального 2В-газа со случайным потенциалом, который превратил уровни Ландау в неперекрывающиеся полосы (минизоны Ландау). Заштрихованы локализованные состояния на краях полос. Нижний уровень N = 0 не показан, (а) — состояния на Ферми- уровне делокализованы, (6) — состояния на Ферми-уровне локализованы, (в) — плотность состояний на уровне Ферми равна нулю, а число заполнения v остается целым

не должно сказываться на величине эффекта Холла, так что относительная ширина плато ц становится

?? = ??id+ ??1ос » ??id ,(9.20)

где Ц1ОС есть доля локализованных состояний на уровне Ландау.

Заметьте. Скорость движения уровня Ферми по энергетическому спектру 2В-газа de/dVg в областях рис. 9.11,6 и рис. 9.11,6 различны.

Все сказанное относительно появления плато на кривых рхд(Уд) в 2В-системах с затвором справедливо и применительно к кривым рху(В). Рост Уд эквивалентен уменьшению поля В. Из-за уменьшения вырожденности и количества электронов на нижних уровнях Ландау

происходит рост заселенности уровня e(N) = Ер. Рис. 9.12 иллюстрирует эквивалентность изменений Vg и В на примере уширенных уровней Ландау. Поскольку при изменении магнитного поля перетекания зарядов с затвора не происходит, уровень Ферми Ер следует считать неподвижным; даже если затвора нет, уровень Ер все равно зафиксирован внешним по отношению к 2В-газу окружением, с которым газ находится в термодинамическом равновесии. При понижении поля «емкость» уровней у уменьшается (см. формулы (9.8) и (9.9)), и чтобы вместить прежнее количество электронов, система уровней смещается вниз. Пока напротив Ферми-уровня находится крыло уширенного уровня Ландау, происходит заполнение локализованных состояний при неизменном холловском сопротивлении рхд (рис. 9.12, б). Когда плотность состояний на Ферми-уровне оказывается равной нулю (рис. 9.12, в), то часть электронов из 2В-слоя уходит в резервуар, и т. д.

Рис. 9.12. То же, что и на рис. 9.11, но при постоянном Vg и постепенно уменьшающемся магнитном поле В

Объяснив относительное уширение плато за счет локализованных состояний, мы тут же сталкиваемся с основной трудностью в объяснении К ЭХ. Локализованные состояния не вносят вклада в холловский ток jg. В то же время их наличие означает уменьшение числа делокализованных состояний, которые участвуют в создании эффекта Холла. Поэтому основным является вопрос о происхождении точных квантовых значений холловского сопротивления на плато. Полагая для определенности, что случайный потенциал U(r) содержит лишь крупномасштабные флуктуации, рассмотрим этот вопрос, следуя идеям работ [12, 13].

На рис. 9.13, а изображена перколяционная сетка эквипотенциальных линий на уровне U = Uq. Приложим к 2В-слою электрическое поле Е || Ох. Оно снимает вырождение в седловых точках. Энергии точек Лх и ф, ранее принадлежавших одной эквипотенциальной

Рис. 9.13. (а) Сетка эквипотенциальных линий на уровне перколяции U = = Го в электронном 2В-газе с крупномасштабным случайным потенциалом С(г); (б) то же в электрическом поле [12]. Значками + и ™ отмечены локальные экстремумы функции С(г). Заштрихованы области, из которых эквипотенциали U = const уходят на бесконечность

линии, теперь различаются на еЕ^ где ( — проекция расстояния между точками Ai и ф на направление Е. Как видно из рис. 9.13, ф сетка превратилась в систему зигзагообразных полос с шириной А, зависящей от локального значения градиента случайного потенциала IVCI^:

(здесь г — текущая координата вдоль полосы). Внутри этих полос эквипотенциальные линии уходят на бесконечность вдоль направления Оу, а между полосами имеют форму замкнутых контуров. Поскольку А (г) -э 0 при Е -э 0, шириной полосы является большая из величин А, гв-

Вернемся к рис. 9.4 и обратим внимание на казалось бы чисто техническую деталь: в выражение для холловского напряжения

^35 = Jnpxy(9.22)

не входят геометрические размеры а и Ь; напряжение V35 зависит только от полного тока J12 через устройство и от поля В и концентрации п, входящих в ржу. Это означает, что правильная геометрическая форма холловского мостика при измерении ржу не существенна. Важно лишь, чтобы 2D-ra3 связывал между собой все задействованные в измерении контакты. Вклады в поперечную проводимость одинаковы от перколяционной сетки уровня Ландау, уширенного случайным потенциалом, и от этого уровня в идеальных условиях полной однородности на плоскости. Если в плоскости, в которой находится идеальный 2D-газ, сделать множество отверстий, то это не отразится на рху, если только не нарушена связность плоскости. Это — центральный пункт для понимания КЭХ.

Каждый уширенный уровень Ландау, расположенный ниже уровня Ферми, содержит внутри себя узкий слой делокализованных со-

стояний; в скрещенных полях этот слой вносит вклад в поперечную проводимость, равный Асц,^ = е2/2тгЙ. Полное значение поперечной проводимости ажд в режиме плато К ЭХ получается умножением Асц,^ на целое число г таких слоев с делокализованными состояниями ниже уровня Ферми; при этом продольная проводимость отсутствует

V е2 \

хх = 0, суху = щ 2тг^ ) * (9.23)

Пусть теперь величины В и Vg таковы, что верхний уровень Ландау заполнен частично (число и в формуле (9.13) нецелое). При наличии крупномасштабных флуктуаций потенциала занятая 2В-слоем площадь S распадается на две области. В одной верхний уровень Ландау полностью заполнен электронами, в другой — он полностью пустой. Пока дробная часть числа v мала и в заполненной электронами области 2В-слоя располагаются только замкнутые эквипотенциальные линии конечного размера, т. е. только локализованные состояния, эти электроны не влияют на транспортные свойства. Но как только по мере увеличения концентрации п (или уменьшения поля В) уровень Ферми выйдет на слой делокализованных состояний на перколяционной сетке, контакты холловского мостика на рис. 9.4, а окажутся связанными между собой перколяционной сеткой. Эта сетка покрывает лишь часть всей площади, она может состоять из тонких волокон, иметь большие дыры и т. д. — все это не имеет значения. Пока состояния на ней заполнены лишь частично, продольная проводимость ажж отлична от нуля, а поперечная сгжд имеет неквантованное значение. Когда все состояния в делокализованном слое окажутся полностью заполнены, ажд выходит на следующее плато.

Уравнение (9.23), связывающее сгжд с числом слоев с делокализованными носителями в энергетическом пространстве под уровнем Ферми, показывает принципиальную важность того, что при уширении каждого уровня Ландау под воздействием возмущающего потенциала U(г) возникает только один слой делокализованных состояний. Уместно задать вопрос: не может ли в пределах одной минизоны Ландау появиться несколько слоев делокализованных состояний с энергиями е^ < е^ < ... ? Такое возможно лишь при очень специфических условиях: если (i) U(г) — периодический потенциал и если (и) магнитный поток Ф через элементарную ячейку потенциала U(г) отличается от кванта магнитного потока Фо в рациональное число раз, т. е. Ф = = (р/^)Ф0, где р и q — целые числа. Из второго условия сразу следует, что такой потенциал U(г) должен сам зависеть от магнитного поля.

Заметьте. Речь заведомо не идет о кристаллическом потенциале, на фоне которого всегда реализуются 2В-системы. Кристаллический потенциал изначально перенормирует электронный спектр, может сделать его многодолинным, анизотропным и т.п., меняет эффективную массу. В иерархии потенциалов он стоит на первом месте. Магнитное поле воздействует уже на перенормированные электроны.

Несмотря на кажущуюся экзотичность, «решеточный вариант» возмущающего потенциала очень важен; отсюда начинается дорога от целочисленного К ЭХ к дробному К ЭХ. Однако дробный К ЭХ не входит в круг обсуждаемых в этой книге вопросов.

Краевые каналы )

Рис. 9.14. Форма эквипотенциальных линий в диске Корбино с крупномасштабным случайным потенциалом, находящемся в режимеКЭХ [13]Рис. 9.14. Форма эквипотенциальных линий в диске Корбино с крупномасштабным случайным потенциалом, находящемся в режимеКЭХ [13]В этом параграфе мы обсудим распределение тока в образцах в режиме КЭХ, т. е. при тех значениях В или Уд, при которых реализуются холловские плато с сопротивлением (9.16) и Rxx <Х рху. Случайный потенциал будем считать крупномасштабным. Начнем с диска Кор- бино (рис. 9.4, б\ как с более простой измерительной конфигурации: 2В-область в нем не имеет краев, не занятых контактами.

Рис. 9.14. Форма эквипотенциальных линий в диске Корбино с крупномасштабным случайным потенциалом, находящемся в режиме

КЭХ [13]

Рис. 9.14. Форма эквипотенциальных линий в диске Корбино с крупномасштабным случайным потенциалом, находящемся в режиме

КЭХ [13]

Возникающая из перколяционной сетки система зигзагообразных полос с шириной (9.21) имеет на диске Корбино вид непересекающих- ся замкнутых линий, охватывающих внутренний электрод. Холловский ток )у течет вдоль этих линий, огибая области, занятые эквипотенциальными линиями, не охватывающими внутренний электрод (см. рис. 9.14, заимствованный из [13]). Ток между коаксиальными электродами при сделанных предположениях равен нулю.

Распределение токов в холловском мостике (рис. 9.4, а) сложнее, потому что контакты в нем расположены на краях 2В-об- ласти так, что двигаясь вдоль края, можно перейти от одного контакта к другому. Как обсуждалось выше, края 2В-области обладают особыми свойствами. Пусть граница области абсолютно резкая, так что эта область ограничена вертикальными стенками. Из рис. 9.3 видно, что в этом случае вдоль стенок имеется полоска шириной порядка г в, в которой на Ферми-уровень поднимаются все расположенные ниже уровни Ландау. Она представляет собой одномерную многоканальную транспортную систему с числом каналов равным числу пол

ностью заполненных уровней Ландау, т. е. целой части г = int (и) числа v (см. описание таких систем в разделе 5.2). Из классической картины движения электронов в этой полоске следует, что электроны сталкиваются с поверхностью на каждом обороте своего движения по ларморовской траектории и, независимо от характера столкновения, смещаются на следующем обороте в том же направлении вдоль канала (рис. 9.1). Главная особенность кинематики такого движения в том, что столкновения с поверхностью не приводят к рассеянию назад.

Рис. 9.15. Распределение поля в двухконтактном идеальном прямоугольном образце, находящемся в режиме КЭХ при Т = 0. Потенциал вдоль сплошных линий, соединяющих точки А и В, постоянен. Пунктиром показаны линии градиента потенциала, вдоль которых направлено электрическое поле. Плотность эквипотенциальных линий (величина электрического поля) обсуждается в тексте

Поэтому полоска вдоль края представляет собой не просто ID-систему, а является идеальной многоканальной проволокой типа (5.13), по всем каналам которой при включенном магнитном поле течет конечный ток.

Заметьте. В принципе, если и > 2, возможно рассеяние из одного канала в другой, хотя при этом должно измениться квантовое число N или направление спина электрона. Однако такое рассеяние не приводит к диссипации. Напротив, уход из канала в объем, который происходит при рассеянии на большой угол на точечной примеси, находящейся на расстоянии порядка г в от края, приводит к диссипации.

Необходимое уточнение: Предположение о резкой границе 2В-об- ласти практически не реализуется. Обычно вертикальной стенки нет и ширина области, в которой нижние уровни Ландау поднимаются до уровня Ферми, много больше г в- Поэтому вместо одномерной г-канальной краевой области возникают г одноканальных краевых полосок, идущих параллельно вдоль края 2В-области. При обсуждении реальных экспериментов обычно используется именно такая картина. Лучше всего о ней можно прочитать в оригинальной статье [15]. Для вопроса о распределении холловского тока в 2В-плоскости это уточнение не имеет значения.

Отключим сначала от холловского мостика на рис. 9.4, а контакты 3-6, так что мостик превратится в двухконтактный прямоугольный образец — см. рис. 9.15. Будем считать, что по-прежнему рхх = 0. Это означает, что хотя вдоль краев А'В и В'А течет ток, диссипации там быть не должно. Следовательно потенциал между контактами вдоль края не меняется. Края А'А и В'В самих контактов, граничащие с металлом, являются эквипотенциальными линиями по определению. Поэтому прямоугольный контур 2В-области двухконтактного образца распадается на два эквипотенциальных участка АВ и ВА, между которыми имеется разность потенциалов V12. В точках А и В происходят скачки потенциала, а все эквипотенциальные линии с потенциалами 0 < V < V12 тоже собираются к точкам А и В. Конфигурация этих линий при отсутствии случайного потенциала изображена на

рис. 9.15. Такая конфигурация потенциального поля кажется удивительной. Однако сделаем небольшое

Лирическое отступление на тему общей физики: Когда мы пускаем ток J по проводу с удельным сопротивлением р, укрепленному на стене в виде замысловатого узора, мы задаем Природе трудную задачу: найти решение уравнения Лапласа Д ф = О, удовлетворяющее граничному условию, что электрическое поле Е = — Чф на поверхности провода везде направлено вдоль него и равно Е = Jq. Природа решает эту задачу «со скоростью света», располагая дополнительные статические заряды на поверхности провода. Конфигурация поля на рис. 9.15 отнюдь не сложнее. Статические заряды в этом случае располагаются по периметру прямоугольника.

Отношение У12/Л2 согласно формуле (9.16) равно

Пг/ЛгЛ^), г = 1,2,3,...(9.24)

Разобьем ток Л 2 на г одинаковых частей Ji по числу зон Ландау под уровнем Ферми и перепишем уравнение (9.24) в виде

Jit = £ Ji = Л Нг-(9.25)

Правое равенство (9.25) показывает, что Ji можно считать токами, текущими параллельно по г одномерным идеальным каналам (5.13) вдоль края прямоугольника между контактами 1 и 2. Такой способ описания, сводящий все токи в режиме К ЭХ к краевым, связан с именем Бюттикера [14]. Каждая зона Ландау, находящаяся под уровнем Ферми, со своим протяженным состоянием и с подъемом на Ферми уровень по периметру образца, эквивалентна одному такому идеальному каналу.

Обратите внимание на сходство между моделью краевых каналов и статическим скин-эффектом — чисто классическим явлением вытеснения тока на поверхность в чистом металле при низких температурах (см. рис. 9.1).

Возможна и другая формальная трактовка того, как ток Л 2 протекает через образец. Структура выражения (9.25) отражает тот факт, что в холловский ток аддитивно вносят одинаковый вклад г делокализованных слоев всех заполненных уровней Ландау. Вместе с тем из рис. 9.10-9.12 следует, что все эти г слоев находятся ниже уровня Ферми. Рис. 9.15 и все сказанное в связи с ним относится формально к любому из них. Получается, что холловский ток в 2В-системе может течь по состояниям, лежащим ниже уровня Ферми. Это не противоречит представлениям обычной физики металлов, поскольку холловский ток является не диссипативным. Ток Л 2 с точки зрения внешней задающей цепи, не показанной на рис. 9.15, выполняет роль

тока 3$ в обозначениях уравнений (9.2), но внутри самого устройства он фактически является током j^ поскольку везде течет вдоль эквипотенциальных линий электрического поля.

Возьмем один из г заполненных уровней под уровнем Ферми в холловском мостике и изобразим энергию En электрона с соответствующим квантовым числом N как функцию положения центра орбиты. Получится поверхность, по форме напоминающая корыто с дном, «помятым» случайным потенциалом (рис. 9.16). В излагаемой модели ток идет по «дну корыта» вдоль эквипотенциальных линий, изображенных цепочками из точек. Естественно, что окончательный ответ тот же самый, что и в модели краевых токов: между точками А и В течет недиссипативный ток J^ = (е2/2тгЙ)У12.

Рис. 9.16. Потенциальная энергия электронов, принадлежащих одному из заполненных уровней Ландау, в зависимости от положения в 2П-области. Точками показаны эквипотенциальные линии, вдоль которых идет недиссипативный ток

Мы изложили две модели распределения холловских токов по 2В-плоскости. Как показал Таулесс [16], на практике реализуется третий, промежуточный вариант. Холловский ток действительно течет вдоль краев 2В-области, но он затухает на гораздо большем расстоянии, чем магнитная длина г в, причем затухает медленно, как логарифм lnr/гв расстояния т до края. Затухание связано с экранированием двумерным электронным газом электрического поля статических зарядов, расположенных по периметру 2В-области и обеспечивающих выполнение граничных условий для уравнения Лапласа. Вследствие экранирования эквипотенциали на рис. 9.15 расположены густо около краев образца и редко в его середине. Поскольку двумерный газ плохо экранирует электрическое поле, плотность силовых линий падает с увеличением т сравнительно медленно.

Таким образом, ток течет частично и вне краевых каналов, и происходит это из-за рассеяния из краевых каналов в объем. Однако он все же сосредоточен вблизи краев, потому что плотность тока пропорциональна |Е| ос | VH| и спадает вглубь из-за экранирования. Поэтому для описания распределения холловских токов можно пользоваться любой из двух моделей. Обычно модель краевых каналов Бюттикера используют применительно к высокоподвижному 2В-газу в широких холловских мостиках, а модель объемных токов — применительно к системам с сильным рассеянием и к узким мостикам.

Вернем теперь холловскому мостику контакты 3-6, т. е. вернемся от конфигурации рис. 9.15 к конфигурации рис. 9.4. Если тока через контакты 3-6 не будет, то по сути дела ничего не изменится, так что Vi = Уз = У4 и V2 = Vs = Е6 и

Изб = V46 = V12 = — , Из4 = Ебб = 0.г \ е2 /

Из сравнения рис. 9.15 с рис. 9.14 становится понятным, что введение крупномасштабного случайного потенциала ничего не меняет ни качественно, ни даже количественно. Оно сведется к раздвиганию в отдельных местах эквипотенциальных линий АВ и появлению между ними дополнительных замкнутых эквипотенциальных линий. Примечательно, что благодаря краевым каналам несущественно, в каких конкретно местах перколяционная сетка выходит на край 2В-области. Канал вдоль края является эквипотенциальной линией, которая автоматически входит в перколяционную сетку.

Представляет интерес непосредственное доказательство существование токов под уровнем Ферми. Специальные эксперименты на диске Корбино [17] доказали, что перенос заряда под уровнем Ферми действительно происходит. Если не прикладывать извне разность потенциалов к кольцевым электродам 1 и 2 диска Корбино (рис. 9.4, б), а медленно изменять сильное магнитное поле В. нормальное к плоскости диска, то циркулярное и радиальное направления в диске поменяются ролями. В диске возникнет циркулярное электрическое поле Ecirc ос dB/dt^ а холловский поток электронов станет радиальным. Поскольку не существует края, связывающего кольцевые электроды, холловский ток может протекать только «через объем», где он вынужден течь под уровнем Ферми. Поставив между контактами 1 и 2 электрометр, этот ток можно зафиксировать.

Заметьте. Механизм возникновения холловского тока j ос ос сгжуЕСуГС таков, что электроны не получают энергию от электрического поля ЕСуГС. Поэтому во внешней цепи между кольцевыми контактами нельзя использовать для измерения тока обычный амперметр, на внутреннем сопротивлении которого неизбежно диссипируется энергия. С другой стороны, измерить заряд на электродах при помощи электрометра можно только в том случае, если заряд не рассасывается за счет внутренней проводимости ахх. Это означает, что такая измерительная схема работает только на плато К ЭХ, где сгхх = 0.

Результаты такого эксперимента приведены на рис. 9.17. Видно, что заряд Q в электрометре начинает нарастать, как только изменение поля выводит образец на плато К ЭХ, где ахх = 0. При появлении на противоположном краю плато конечной проводимости ахх заряд рассасывается. Знак заряда зависит от направления изменения поля. На приведенном графике Q > 0 при росте поля и Q < 0 при его уменьшении. Скорость нарастания заряда, т. е. наклон прямой XQjXB^ позволяет определить величину проводимости. При этом точности

Д Т

Рис. 9.17. Продольная проводимость сгжж как функция магнитного поля и перенос заряда Q между электродами диска Корбино в процессе изменения поля в режиме КЭХ (направление изменений поля показано стрелками). Диск Корбино с размерами 2ai = 225д и 2^2 = 675д изготовлен на базе полевой структуры на поверхности Si. Температура Т = 25 мК [17]

обычно недостаточно, чтобы исследовать степень постоянства величины сгхд вдоль плато КЭХ, но вполне достаточно, чтобы различить целые числа г в уравнении (9.23).

Плотность состояний электронного 2В-газав магнитном поле

Плотность состояний, схематически изображенная на рис. 9.11 и рис. 9.12, представляет фундаментальный интерес и является целью многочисленных экспериментальных исследований. Остановимся сначала на измерениях плотности локализованных состояний.

Плато КЭХ реализуется при тех значениях Vg или В. когда уровень Ферми находится в области запрещенных или локализованных состояний на расстояниях Si и £2 от ближайших уровней делокализованных состояний. При этом диссипативная проводимость реализуется за счет термического заброса носителей на эти уровни, выполняющих роль края подвижности. Это означает, что следует ожидать активационного закона изменения продольного сопротивления и продольной проводимости

Рхх ос ехр ос ехр ■ (9.26)

На рис. 9.18 приведены результаты эксперимента на холловском мостике на гетероструктуре GaAs А1;Д1а| ^ Сопротивление рхх действительно меняется по активационному закону (9.26), причем величина е* определяемая из наклона прямых на рис. 9.18, а, сильно меняется с магнитным полем. Происходящие при этом физические процессы можно пояснить при помощи рис. 9.11 и 9.12. Продольное

сопротивление обратно пропорционально концентрации носителей на уровне N = 2 или дырок на уровне N = 1. Поэтому величина в* входящая в соотношение (9.26), равна

в* = min (\гр - £1|, \гр - ^2,)?£2 - ^1 ~ ЙП. (9.27)

Последнее соотношение выполняется с точностью до отношения fe/SQ ширины слоя делокализованных состояний к циклотронной щели.

7, К7, К2010543g(s), 109см"2мэВч2010543g(s), 109см"2мэВч11 . № р[10,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 S, 6 5 4 3 2 1 0 гр -1 ту—1МЭВ11 . № р[10,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 S, 6 5 4 3 2 1 0 гр -1 ту—1МЭВРис. 9.18. (а) Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 20-3 К при различных значениях магнитного поля. Подвижность д = 5,5 • 105 см2/В-с [18]. (б) Плотность локализованных состояний в щели между уровнями Ландау, построенная на основании этого эксперимента [18]. Si — середина уширенного уровня Ландау N = 1, до — плотность состояний без магнитного поляРис. 9.18. (а) Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 20-3 К при различных значениях магнитного поля. Подвижность д = 5,5 • 105 см2/В-с [18]. (б) Плотность локализованных состояний в щели между уровнями Ландау, построенная на основании этого эксперимента [18]. Si — середина уширенного уровня Ландау N = 1, до — плотность состояний без магнитного поля

7, К

7, К

2010543g(s), 109см"2мэВч

2010543g(s), 109см"2мэВч

11 . № р[1

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 S, 6 5 4 3 2 1 0 гр -1 ту—1МЭВ

11 . № р[1

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 S, 6 5 4 3 2 1 0 гр -1 ту—1МЭВ

Рис. 9.18. (а) Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 20-3 К при различных значениях магнитного поля. Подвижность д = 5,5 • 105 см2/В-с [18]. (б) Плотность локализованных состояний в щели между уровнями Ландау, построенная на основании этого эксперимента [18]. Si — середина уширенного уровня Ландау N = 1, до — плотность состояний без магнитного поля

Рис. 9.18. (а) Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 20-3 К при различных значениях магнитного поля. Подвижность д = 5,5 • 105 см2/В-с [18]. (б) Плотность локализованных состояний в щели между уровнями Ландау, построенная на основании этого эксперимента [18]. Si — середина уширенного уровня Ландау N = 1, до — плотность состояний без магнитного поля

Наклон прямой In рхх от 1 /Т максимален, когда уровень Ферми находится точно посередине между двумя краями подвижности. Это соответствует целому значению числа заполнения и. На рис. 9.18 максимальный наклон достигается при п = 2. Изменение наклона As* при изменении В или Vg определяет сдвиг уровня Ферми Авр = Ав*. Число электронов Ап, которое при этом размещается на локализованных уровнях в интервале энергий Авр, определяется формулой (9.15) из XVg либо формулой (9.13) из ХВ. Отсюда сразу следует плотность состояний в энергетическом зазоре между уровнями Ландау д^ = = An/Ав. Как видно из рис. 9.18, б, она оказалась неожиданно высокой, около 10 % от плотности состояний до в нулевом магнитном поле.

Однако заметьте: В измеряемую плотность состояний входят электроны, размещаемые в резервуаре. Это особенно существенно, если локализованные уровни резервуара размещаются близко от 2В-газа, так что между ними устанавливается термодинамическое равновесие.

Рис. 9.19. Температурная зависимость продольного сопротивления гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 5-1К в режиме КЭХ. Электронная концентрация п = 2,4 • 10й см”2, подвижность д = 0,8 • 105 см2/В-с [19]Рис. 9.19. Температурная зависимость продольного сопротивления гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 5-1К в режиме КЭХ. Электронная концентрация п = 2,4 • 10й см”2, подвижность д = 0,8 • 105 см2/В-с [19]Рис. 9.20. Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs- AlxGai-xAs в геометрии Кор- бино в интервале температур 0,2-0,02 К в режиме КЭХ при В = = 4,4 Тл. Электронная концентрация п = 3,2 • 1011 см-2 подвижность р = 0,38 • 105 см /В-с [11]. Оригинальные кривые сгжж(В) на этом образце при разных температурах см. рис. 9.9Рис. 9.20. Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs- AlxGai-xAs в геометрии Кор- бино в интервале температур 0,2-0,02 К в режиме КЭХ при В = = 4,4 Тл. Электронная концентрация п = 3,2 • 1011 см-2 подвижность р = 0,38 • 105 см /В-с [11]. Оригинальные кривые сгжж(В) на этом образце при разных температурах см. рис. 9.9

Рис. 9.19. Температурная зависимость продольного сопротивления гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 5-1К в режиме КЭХ. Электронная концентрация п = 2,4 • 10й см”2, подвижность д = 0,8 • 105 см2/В-с [19]

Рис. 9.19. Температурная зависимость продольного сопротивления гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs в интервале температур 5-1К в режиме КЭХ. Электронная концентрация п = 2,4 • 10й см”2, подвижность д = 0,8 • 105 см2/В-с [19]

Рис. 9.20. Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs- AlxGai-xAs в геометрии Кор- бино в интервале температур 0,2-0,02 К в режиме КЭХ при В = = 4,4 Тл. Электронная концентрация п = 3,2 • 1011 см-2 подвижность р = 0,38 • 105 см /В-с [11]. Оригинальные кривые сгжж(В) на этом образце при разных температурах см. рис. 9.9

Рис. 9.20. Температурная зависимость продольной проводимости гетероструктуры GaAs- AlxGai-xAs в геометрии Кор- бино в интервале температур 0,2-0,02 К в режиме КЭХ при В = = 4,4 Тл. Электронная концентрация п = 3,2 • 1011 см-2 подвижность р = 0,38 • 105 см /В-с [11]. Оригинальные кривые сгжж(В) на этом образце при разных температурах см. рис. 9.9

Наличие конечной плотности состояний в щели между уровнями Ландау означает, что в режиме КЭХ при достаточно глубоком понижении температуры проводимость (9.26) по делокализованным состояниям должна смениться прыжковой проводимостью с переменной длиной прыжка (см. гл. 4) по состояниям в непосредственной окрестности уровня Ферми. Рис. 9.19 и 9.20, где температурный интервал ниже, чем на рис. 9.18, показывают, что такая смена режима продольной проводимости действительно происходит. Степень Т-1/3 в показателе активационной экспоненты указывает на постоянную плотность состояний в окрестности уровня Ферми, а степень Т-1/2 обычно является индикатором наличия кулоновской щели. То, что в двух экспериментах получились две разные степени, может быть результатом смены режима прыжковой проводимости при смещении вниз температурного интервала — этот интервал на рис. 9.19 расположен в области более низких температур, чем на рис. 9.20 (ср. рис. 3 в гл. 4). Возможно однако, что это различие просто отражает разницу в свойствах образцов.

Более интересным и в каком-то смысле более принципиальным является вопрос о плотности состояний в окрестности делокализо-

ванных уровней. Вернемся к рис. 9.13(a), на котором изображена перколяционная сетка при крупномасштабном случайном потенциале U(г). Формально случайный потенциал полностью снимает вырождение, и уровень, соответствующий перколяционной сетке, невырожден. Но мы уже упоминали о различных факторах, которые способствуют тому, что электроны на очень близких по энергии уровнях тоже фактически делокализованы. К ним относятся магнитный пробой, случайные короткопериодные флуктуации, конечные размеры образцов, конечная температура и т. п. Чтобы оценить количество делокализованных состояний в одной зоне Ландау, предположим, что характерный размер ячеек перколяционной сетки равен Л. Этот размер определяется природой потенциала. Например, если случайный потенциал U(г) создается примесями, расположенными в глубине слое изолятора в некотором отдалении от 2В-слоя, то Л ос ^_1/2, где JV — это 2В-концентрация этих примесей. Общая длина «волокон» этой сетки на единицу площади 2В-слоя порядка 2/А. Считая, что ширина «волокна» не меньше, чем 2гв, получим, что волокна бесконечной сетки покрывают собой по крайней мере долю 4гв /Л от всей площади 2В-слоя. Из формулы (9.8) следует, что и доля делокализованных СОСТОЯНИЙ 77 del ПОрЯДКа

7?ае1-гв/Л,(9.28)

величина т/dei есть доля делокализованных состояний в минизоне Ландау.

Цепочки фазовых переходов

При взгляде на кривые RXX(B) и рху на рис. 9.7 и 9.8, а также сгХу на рис. 9.9 сразу возникает мысль о том, что состояния на плато К ЭХ являются особыми фазовыми состояниями со специфическими транспортными свойствами

^хх 0, (Уху = г(е2/2тгй), г = 0,1, 2, 3... .(9.29)

Фазы (9.29) с г > О нельзя считать фазами изолятора из-за свойств рхх = 0 и аХу = г(е2/2ттЙ) ^ 0. В то же время свойство ахх = 0 не позволяет считать их металлическими. Поэтому их называют [20] квантовыми холловскими жидкостями с разными квантовыми холловскими числами. Какое квантовое холловское число г реализуется на практике, зависит от числа заполнения (9.13). Чтобы разобраться, как происходит смена квантового числа г на г ± 1 при плавном изменении z/, обратимся к рис. 9.11 или рис. 9.12, где параметром, управляющим числом заполнения щ являются напряжение Уд или поле В. Пусть число заполнения и таково, что уровень Ферми попадает на уровень делокализованных, протяженных, состояний. Если интегральная плотность тЩе! протяженных состояний сравнительно невелика, то уровень Ферми при изменении и проходит соответствующую область быстро, и при изменении управляющего параметра происходит фазовый переход сразу из одного состояния квантовой холловской

жидкости в другое. Этот переход сопровождается скачком поперечной проводимости на |Асгж?/| = е2/2тгЙ. Металлическими свойствами при этом обладает лишь пограничное состояние, но с обеих сторон от перехода ахх = рхх = 0. Если же плотность состояний в окрестности этого уровня велика, то слой делокализованных состояний закрепляет уровень Ферми. Тогда фазовый переход расщепляется на два и между двумя состояниями холловской жидкости со значениями г, отличающимися на единицу, появляется металлическое состояние, при котором на уровне Ферми находится частично заполненный слой протяженных состояний. Какой из двух вариантов осуществляется, зависит от множества факторов, определяющих конкретную реализацию случайного потенциала.

Все сказанное можно проиллюстрировать конкретными экспериментальными кривыми. При наличии промежуточной металлической фазы наклон между ступеньками ржу и ширина пика Rxx стремятся при понижении температуры к конечным значениям. Именно так вели себя кривые на рис. 9.7, причём пики Rxx росли с понижением температуры [9]. Кривые ржу на рис. 9.21, взятом из работы [21], выглядят иначе: пики между плато с малыми г уменьшаются и пропадают при низких температурах. При 50 мК пик 1 ^ уже вовсе отсутствует. И это несмотря на то, что параметры образцов в обоих экспериментах очень близки.

Когда наклон дрху / ди перемычки между двумя ступенями стремится при понижении температуры к конечному значению, то из него можно оценить, какая доля (9.28) состояний на уровне Ландау принадлежит слою делокализованных электронов. В образце, кривые с которого представлены на рис. 9.7, эта доля составляет для нижних уровней около 3%.

Область, соответствующая квантовому числу г = 0, должна обладать особыми свойствами: согласно формуле (9.23), в ней равны нулю все компоненты тензора а: ахх = стху = 0, а диагональные компоненты тензора р обращаются в бесконечность: рхх = сю. Поэтому для состояний в этой области было даже предложено особое название: «холловский изолятор».

Энергетическая диаграмма на рис. 9.11 или рис. 9.12 с симметрично-уширенными уровнями Ландау предполагает, что переходы происходят при полуцелых значениях чисел заполнения

v = ^ = г + 1/2, г = 0,1,2, (9.30)

На рис. 9.21, где представлены результаты экспериментов при фиксированной концентрации п, эти уравнения определяют значения В, полей, в которых ожидаются фазовые переходы и соответствующие ступеньки на кривой рху. Как видно из рис. 9.21, соотношение (9.30) выполняется лишь весьма приблизительно.

Можно указать несколько возможных причин отклонений значений vс от

Во-первых, это асимметрия в плотности и расположении положительно и отрицательно заряженных источников случайного потенци-

Рис. 9.21. Магнетосопротивление ржж и холловское сопротивление ржу гетероструктуры GaAs-AlxGai_xAs при температуре 50 мК. Электронная концентрация п = 4 • 1011 см-2, подвижность у = 0,86 • 105 см2/В-с [21]. На кривой ржж пик Ц сравнительно маленький, а пик 1^ и вовсе отсутствует. Вертикальными пунктирными линиями показаны полуцелые числа заполнения /л при которых в простейшей модели должны были бы происходить фазовые переходы со скачками холловского сопротивления ржу (вертикальные линии взяты из книги [1])

ала, которая смещает вырожденный уровень протяженных состояний из центра зоны Ландау. Во-вторых, причиной сдвига значений vc может быть превышение уширения уровней над расстоянием между ними. Если хвост локализованных состояний одного уровня (Л) выходит за максимум плотности состояний расположенного ниже уровня S, то прежде чем уровень Ферми достигнет максимума на уровне S, должны будут заполниться часть состояний в хвосте уровня Л. Это приводит к сближению двух переходов на шкале v из начальных положений г — 1/2 и г +1/2. Именно такое сближение переходов 2/ и 2/, по-видимому, наблюдается на рис. 9.21.

В малых магнитных полях существует еще одна возможная причина сдвига фазовых границ в сторону больших v, получившая название всплывание уровней. Всплывание было предсказано Хмельницким [24] на основании того, что описание К ЭХ с делокализованными состояниями в середине каждого уровня Ландау должно быть согласовано, при предельном переходе В -л 0, со скейлинговой гипотезой, утверждающей, что в нулевом магнитном поле все электронные 2В-состояния должны быть локализованными (см. гл. 6). Если уменьшать магнитное поле, то все большее число уровней Ландау уходят под уровень

Ферми: N ~ Ер/Ml. Вместе с ними должно уходить вниз и такое же число протяженных состояний. Протяженные состояния не могут постепенно превратиться в локализованные, между тем в нулевом поле их не должно быть.

Для разрешения кажущегося парадокса требуется проанализировать транспортные свойства 2В-электронного газа в области Пт < 1.

К вопросу о терминологии: Поля Пт < 1 обычно называют слабыми. Однако в данной главе речь идет о полях ЙП(Ло + 1/2) > ^f^ где No = 4 -у 5 (см. рис. 9.2), т. е. о полях, в которых магнитная длина (9.9) лишь чуть больше среднего расстояния п-1/2 между 2В-электронами, В ~ (сй/е)п. Поэтому здесь неравенство Пт < 1 означает «сильное поле при очень сильном, Й/т ~ Ер^ беспорядке».

Возьмем классические выражения (9.5) для компонент тензора проводимости в магнитном поле и следующее из них соотношение

^ху = ^5^f^gxx.(9.31)

Они должны работать локально, на малых масштабах порядка магнитной длины г в, определенной формулой (9.9). На масштабах порядка размера образца справедливы формулы К ЭХ, которые дают для поперечной проводимости аху на плато значения (9.23), а в промежутках между плато, когда на уровень Ферми выходит (г + 1)-е делокализованное состояние, значение

= (г + 1/2) иЦЛ .(9.32)

Для того, чтобы сшить эти два масштаба, подставим в (9.31) квантовое выражение (9.32) для аху) оставив для сгхх классическое выражение (9.5). Разрешив получившееся уравнение относительно концентрации электронов п, входящей в классическое выражение для стХХ1 получим

п = (; + 1/2)-Д ДДД(9.33)

Поскольку в 2В-газе концентрация п линейно связана с энергией Ферми, из (9.33) получается выражение для энергии TV-того протяженного состояния (см. рис. 9.22)

ЕДА = (N + 1/2)^1±^Д = £pN) (1 + i/(fiT)2),(9.34)

в котором для удобства сравнения использованы те же обозначения, что и в выражении (9.7) в начале главы (Ер, s^, N вместо г).

При выводе уравнений (9.33) и (9.34) был использован отнюдь не бесспорный прием, позволивший сравнить проводимости на разных масштабах. Дополним его довольно произвольным обобщающим предположением, что формула (9.34) сохраняет смысл при Пт < 1.

Рис. 9.22. Всплывание уровней. Сплошные линии — энергия протяженных состояний в зависимости от Пт в соответствии с формулой (9.34); пунктирные прямые, выходящие из начала координат, показывают положение уровней Ландау (9.30), заполненных наполовину

Поскольку дробь, входящая в уравнение (9.34), порядка единицы при больших Пт и быстро растет при малых Пт, энергия Ез_(Х) растет при уменьшении Пт. Это и называется всплыванием протяженных уровней. При понижении магнитного поля энергия протяженных уровней растет, и они один за другим пересекают уровень Ферми.

Заметьте. Рост функции (9.34) в малых полях, т. е. всплывание, о котором идет речь, происходит в области Пт < 1, где уже плохо работает сама классификация уровней по Ландау. Поэтому выражение (9.34) не может рассматриваться как зависимость от В энергии конкретного протяженного уровня. Но существование протяженных уровней и их энергия не зависят от того, в каком базисе мы пытаемся их описать. Поэтому можно надеяться, что скейлинговая процедура, использованная при переходе от (9.31) к (9.33), правильно определяет тенденцию и знак квантовой поправки, обусловленной рассеянием. Задача состоит в экспериментальном подтверждении этой тенденции.

Заметьте также, что формула (9.34) относится именно к энергии протяженных состояний, а не к центру тяжести уширенного уровня Ландау.

Рассуждения, на основании которых был сделан вывод о всплывании уровней, нельзя считать достаточно строгими. По сути дела, это есть распространение скейлинговой гипотезы (гл. 6) на двумерные системы в магнитном поле. Попытки сделать рассуждения более строгими сразу же приводят к серьезному усложнению математического аппарата (см., например, [22]). Поэтому, как и в гл. 6, мы сосредоточимся на экспериментальной проверке сделанных выводов.

Эксперимент подтвердил идею о всплывании уровней, по-крайней мере частично. Лучше всего всплывание видно при измерениях положения максимумов диссипативной компоненты сопротивления ржж при изменении поля В или концентрации п ос Уд. Максимумы наблю-

Рис. 9.23. Максимум аЖЖ1 соответствующий нижнему делокализованному состоянию в гетероструктуре GaAs-AlxGai_xAs с низкой подвижностью, при разных значениях электронной плотности [23]. Шкала слева соответствует кривой в поле 3 Тл; остальные кривые сдвинуты для ясности вверх (кривые в больших полях) или вниз (кривые в меньших полях). Температура Т = 25 мК

Рис. 9.24. а) Положение нескольких нижних делокализованных состояний в гетероструктуре GaAs-AlxGai_xAs с низкой подвижностью на плоскости (В^п) [23]. Пунктирные прямые проведены в соответствии с уравнением (9.30). б) То же для самого нижнего состояния в увеличенном масштабе [23]

даются при тех значениях В или п, когда протяженное состояние оказывается на уровне Ферми. В простейшей модели это прямые (9.30), исходящие из начала координат на плоскости (В^п^ так что концентрация должна понижаться линейно с полем. То, что при малых г это может быть не так, видно из рис. 9.23, взятом из работы [23]: при понижении поля максимум функции ахх(п) сначала действительно движется в сторону меньших концентраций, но затем начинает смещаться обратно. Из рисунка ясны также пределы возможностей этого эксперимента по понижению поля: в полях Qt < 1 максимум расширяется, а точность измерений падает. Тем не менее, увеличение энергии протяженных состояний в малых полях удается наблюдать абсолютно надежно (рис. 9.24).

Уравнение (9.34) и, соответственно, рис. 9.22 предполагают, что протяженные делокализованные состояния сохраняют свою индивидуальность вплоть до пересечения Ферми-уровня. Это предсказание теории до сих пор не удалось ни подтвердить, ни опровергнуть. Из многих работ следует, что энергии протяженных состояний не опускаются ниже некоторого уровня, и что энергия самого низкого из них растет при понижении поля. Однако остается неизвестным, как они ведут себя по отношению друг к другу.

Двухпараметрический скейлинг ')

В гл. 6 обсуждалась скейлинговая гипотеза в приложении к переходу металл-изолятор, контролируемому беспорядком. Задача состоит в том, чтобы обобщить использованный там подход, применив его к 2В-системам в сильном магнитном поле. Мы уже начали этот процесс, сформулировав и проверив предположение о всплывании уровней. Теперь предстоит сделать следующий шаг, нарисовав что-то вместо функций 3^ на рис. 6.1.

В отличие от описания перехода металл-изолятор, в 2В-системе при выборе функции, задающей состояние системы, не нужно выбирать между удельной проводимостью и кондактансом, поскольку они совпадают. Зато из-за магнитного поля проводимость имеет теперь две компоненты: ахх и ах^ и для каждой можно написать логарифмическую производную 3 по размеру системы L в виде функции проводимости (как и при написании уравнения (6.3) в гл. 6 предполагается, что температура Т = 0):

d In (Jх х £ /\

Д ~ — Jl Wxxt ^ху)!

(9.35)(9.35)d In Lz x

(9.35)

(9.35)

d In (Jx у £ /

~Д — — ЦЦ^хх,

Для глубокого понимания идей двухпараметрического скейлинга полезно прочесть дополнительно обзор [25] и короткую статью того же автора [26]

Если при переходе металл-изолятор поведение системы определялось одним параметром: кондактансом у, то здесь таких независимых параметров два: ахх и аху. Отсюда название этого параграфа.

Исключив переменную L из двух уравнений (9.35), получим связь между сгхх и аху) которую можно изобразить в виде кривых на плоскости (сгж?/,сгжж) [27]. Эта плоскость называется фазовой, а сами кривые — фазовыми траекториями.

К вопросу о терминологии: Подобное представление широко используется в механике, где движение системы описывают при помощи траектории, изображающей точки на плоскости (g, д), где q — это обобщенная координата. Отсюда термины «фазовая плоскость» и «фазовая траектория». В них под словом фаза подразумевается характеристика движения, а не состояние вещества. Поскольку в обсуждаемой нами проблеме центральным является именно вопрос о состоянии вещества, то во избежание недоразумений совокупность кривых, описывающих двухпараметрический скейлинг, часто называют диаграммой потока. Этот термин также заимствован из механики. Однако, как мы увидим ниже, диаграмма потока содержит также линии, определяющие положение межфазовых границ на плоскости (аху^ ахх\ и поэтому является одновременно фазовой диаграммой, определяющей возможные переходы между различными состояниями 2В-электро- нов.

Фазовая траектория механической системы, проходящая через заданную начальными условиями точку (go^Qo)? определяет эволюцию этой системы со временем, которое является скрытым параметром. На фазовой плоскости К ЭХ роль времени играет размер Е, а под начальными условиями следует понимать значения компонент тензора проводимости (9.5) в классическом пределе, справедливые на размерах L порядка магнитной длины (9.9). Движение по фазовой траектории означает постепенный переход к большим размерам L. Сначала это должно привести к включению квантовых поправок. Затем рост L приведет к тому, что поправки станут большими и начнутся процессы локализации, в результате чего система перейдет в состояние КЭХ.

Пользуясь этими соображениями, представим на рис. 9.25, а «эскизный проект» плоскости со скейлинговыми фазовыми траекториями. Это должен быть вариант скейлинговой гипотезы, пригодный для 2В-систем в сильном магнитном поле. При L оо реализуются КЭХ и проводимости принимают значения (9.23), так что все траектории должны собраться в точки

^(е2/2тг/г)г, оД г = 0,1,2,... (9.36)

на оси аху. На рис. 9.25 это точки А^. Они являются стационарными особыми точками фазовой диаграммы: все траектории в окрестности такой точки направлены к ней. Каждая точка А, соответствует своей фазе квантовой холловской жидкости с квантовым числом г > 0 (здесь

Рис. 9.25. а) Скейлинговая фазовая плоскость, иначе называемая диаграммой потока; координатами являются компоненты тензора проводимости сгжу и Стхх в безразмерных единицах е2/2тгН. Сплошные линии — сепаратрисы, А^ — стационарные особые точки, Сг — нестационарные особые точки, б) Положение начальных точек фазовых траекторий, определяемых значениями п, т и В, относительно сепаратрис диаграммы потока. Пунктирная прямая под наклоном 45° разделяет области Пт > 1 (внизу) и Пт < 1 (вверху). Две пунктирные полуокружности — геометрические места (9.37) точек, удовлетворяющих уравнениям (9.5) при фиксированных сто и переменном Пт. Относительно кривых, показанных точками, см. в тексте

слово фаза уже имеет смысл состояния вещества), либо холловскому изолятору при % = 0. Вся фазовая плоскость разбивается на области, внутри каждой из которых все траектории собираются в одну из точек А. Линии, разделяющие эти области, называются сепаратрисами. Выберем в качестве начальной некоторую точку (о"ж^сгжж). Квантовые поправки к продольной проводимости подробно обсуждались в гл. 2. Поскольку здесь речь идет о сильных магнитных полях, слабую локализацию можно считать уже разрушенной, так что остается межэлектронное взаимодействие. Оно приводит к логарифмической поправке (2.37) к ахх и к нулевой поправке к аху: в первом приближении теории возмущений Хсгху = 0. Поэтому начальные участки траекторий потока — это вертикальные прямые линии. Соответственно вертикальными прямыми линиями являются и сепаратрисы.

В каждом промежутке значений г < сгЖ2//(е2/2тгЙ) < г + 1 между стационарными точками (9.36) при некотором сгхх = сгжж > 0 имеется нестационарная особая точка С, вблизи которой поток траекторий разветвляется. К сказанному следует прибавить требование периодичности по оси аху с периодом е2/2тг^ поскольку квантовые фазы с разными числами г эквивалентны. Тогда система сепаратрис приобретает вид сетки, показанной на рис. 9.25 сплошными линиями. При этом вертикальные сепаратрисы одновременно разделяют области, в которых реализуются разные квантовые состояния, и поэтому являются межфазовыми границами, а вся диаграмма потока являет-

ся одновременно и диаграммой фазовых состояний. Самая левая из межфазовых границ, проходящая через точку Ci, отделяет состояние изолятора г = 0 от состояния квантовой холловской жидкости г = 1. Согласно диаграмме, с другими состояниями холловской жидкости, г > 1, изолятор не граничит. Это означает, что возможны только переходы 0 —> 1, а переходы 0^2,0^3ит. д. невозможны. Это одно из основных утверждений, подлежащих экспериментальной проверке.

Начальной точкой ^x^axxY обусловленной классической проводимостью 2В-системы, реализующейся на малых масштабах, может быть практически любая точка плоскости ^аху,ахх\ кроме точек в узкой полосе вдоль оси абсцисс, где расположены фазовые траектории, описывающие дробный К ЭХ. (Эту область мы обсуждать не будем; интересующимся можно порекомендовать фундаментальную работу [20]). Расположение начальных точек поясняет рис. 9.25, б. Координаты этих точек зависят от трех параметров: концентрация п, времени упругой релаксации т и магнитного поля В. Произведение двух первых определяет проводимость материала в нулевом поле ао, два последних входят в безразмерное произведение Пт. Если зафиксировать пит, положив тем самым а о = пе^т (m = const, то получим из соотношений (9.5), что при изменении магнитного поля 0 ^ В ^ сю изображающая точка на плоскости очерчивает полуокружность

«)2 + (^-^о/2)2 = а2/4. (9.37)

Ее верхняя часть соответствует полям Пт < 1, а нижняя часть — полям Пт > 1.

Верхнюю часть полуокружности (9.37) можно в принципе считать геометрическим местом начальных точек фазовых траекторий. В пределе Йт >> 1 при вычислении классической проводимости ахж из кинетического уравнения существенно квантование электронного спектра, не учтенное в соотношениях (9.4) и (9.5). Из-за квантования, при целых числах заполнения г = 1,2,3..., когда плотность состояний на уровне Ферми обращается в нуль, проводимость ахзс тоже обращается в нуль, а при полуцелых v = г + 1/2 она достигает максимума. Поэтому использовать нижнюю часть полуокружности для определения начальных точек траекторий нельзя. Кривая, которая ее заменяет, условно показана на рис. 9.25, б точками.

На этом можно считать «эскизное проектирование» законченным и приступить к экспериментальной проверке диаграммы.

Заметьте. Поскольку значения п, т и В определяют начальную точку на потоковой траектории, при их изменении происходит не движение вдоль траектории, а перескок с одной траектории на другую. Поэтому зависимости компонент тензора сопротивления от В или от Vg, самый распространенный тип измерений, с точки зрения проверки структуры диаграммы мало информативны. Например, на рис. 9.21 ясно видно, что фазовый переход, помеченный как Ц, сдвинут относительно полуцелого числа заполнения п=3,5. Однако нетрудно убедиться, что даже эта информация

пропадет при переносе экспериментальных точек с рис. 9.21 на фазовую диаграмму.

Для движения вдоль потоковой траектории нужно было бы менять размер системы Ц оставаясь при температуре Т = 0, что конечно практически невозможно. Но в реальном эксперименте при конечной температуре квантовая когерентность теряется на диффузионной длине потери фазы L^ определенной формулой (2.7) в гл. 2. Если L^ < L. то скейлинговые соотношения определяются именно диффузионной длиной. Это дает принципиальную возможность двигаться вдоль фазовых траекторий за счет изменения температуры. Для этого дополнительно требуется, чтобы на всем температурном интервале диффузионная длина была много больше упругой длины свободного пробега I, так чтобы при любой температуре имели место неравенства

KL^T) <L. (9.38)

Вспомните: В гл. 6 при обсуждении того, как слабая локализация отражается на скейлинговых кривых, описывающих переход метал л-изолятор, мы использовали обратную замену: полагая, что температура Т = 0, мы подставляли в формулы слабой локализации L вместо Ер,.

Начнем с описания эксперимента, сделанного на допированных кремнием пленках GaAS с низкой подвижностью [28], у которых во всех достижимых магнитных полях справедливо неравенство Пт < < 1. Пленки GaAs толщиной от 25 до 40 нм с концентрацией около 1,54017см-3 кремния, игравшего роль донорной примеси, были выращены методом молекулярной эпитаксии. Такой способ приготовления образцов обеспечивает более однородное распределение примесей и электронной концентрации вдоль 2В-слоя. По измеренным при некоторой фиксированной температуре величинам рхх и рху вычисляли значения сгхх и аху. Их делили каждое на два, предполагая, что электронная система состоит из двух невзаимодействующих подсистем с разными направлениями спинов, вносящих одинаковый вклад в проводимость, и наносили на фазовую плоскость точку с координатами

(аху = ^ху/^ ^хх = ^/2.

Серии из одинаковых значков на рис. 9.26 — это результаты измерений одной пленки в фиксированном поле, но при разных температурах. Разные значки означают разные поля от 0,9 Тл до 6Тл, а разному заполнению значков (значкам, зачерненным полностью, снизу, справа или пустым) соответствуют четыре разные пленки. Эксперимент подтвердил предсказываемую теорией общую структуру и форму траекторий потока в окрестности межфазовой границы 0 ^ 1, в том числе и в области Пт < 1.

Вместе с тем, важнее проверить принципиальные предсказания модели двухпараметрического скейлинга для области Пт < 1, и здесь успехи пока скромные. Будем двигаться по этой области диаграммы

Рис. 9.26. Скейлинговая фазовая диаграмма сильно легированных пленок GaAs [28]. Смысл разных значков пояснен в тексте (серии из одинаковых значков получены путем изменения температуры в интервале от 4,2 К до 40 мК). Пунктирные линии фазовых траекторий и сепаратриса в виде полукруга (сгжу — 1/2)2 + стхх = 1/4 построены на основании скейлинговой теории [25, 22]

справа налево, например, двигаться, уменьшая магнитное поле, вдоль верхней части полуокружности сто = const (рис. 9.25, б). При пересечении фазовых границ аху = г + 1/2, г = ... 2,1, 0, величина холловской проводимости ажу должна уменьшаться на е2/2тгЙ так же, как при движении вдоль нижней части она увеличивалась. Это означает, что кривая р^В) должна подыматься ступенями вверх не только при росте поля в области больших полей, как на рис. 9.7, но и при его уменьшении в области малых полей (см. уравнение (9.34) и рис. 9.22). Такой обратной ступенчатой структуры функции рху{В} в малых полях до сих пор никому не удалось наблюдать. В терминах всплывания уровней это означает, что не удалось наблюдать, как протяженные уровни, всплывая, поочередно, по-одному пересекают уровень Ферми (ср. рис. 9.22 в конце предыдущего параграфа).

Эксперименты на более чистых образцах, у которых в сильных полях достигается предел Пт > 1, тоже не вносят полную ясность относительно двухпараметрического скейлинга. Результаты одних работ согласуются со скейлинговой диаграммой, а результаты других — нет. Известен ряд утверждений, что вопреки диаграмме двухпараметрического скейлинга, наблюдаются переходы из состояния г = 0 непосредственно в состояния г = 2, г = 3 и т. д. Однако эти утверждения основываются на предположении, что установить сам факт фазового перехода и идентифицировать фазы можно, исходя из знака производных дрхх/дТ при низких температурах. Это предположение само нуждается в доказательствах и проверке.

Проблема переходов 0 (г > 1) тесно связана с вопросом, всплывает ли только самый нижний из протяженных уровней (что соб-

Рис. 9.27. Переходы между различными фазами двумерного электронного газа в гетероструктуре Ge/SiGe в сильном магнитном поле на фоне веера полузаполненных уровней Ландау. Белые точки получены из положения ступенек функции ржу, черные — из пересечения изотерм рхх(В) при разных температурах, прямые построены в соответствии с уравнением (9.30) [29]

ственно и видно на рис. 9.23 и 9.24) или следующие протяженные уровни всплывают тоже. Это хорошо видно из диаграммы на рис. 9.27, взятой из работы [29]. Здесь белые точки поставлены на основании положения ступенек в рху) которые находятся на переходах между двумя разными квантовыми жидкостями. Черные точки получены из анализа производных дрхх/дТ. Из сравнения с рис. 9.23 и 9.24 ясно, что это, по существу, есть всплывание нижнего протяженного уровня. Если ветви белых точек упираются в черную ветвь и уровни сливаются, то появляются участки границ между изолятором г = 0 и состояниями г > 1, и возможны соответствующие переходы 0 (г > > 1). Если эти ветви загибаются вверх, как на рис. 9.22, то переходы 0 (г > 1) невозможны.

Однако, поскольку в любом случае состояние изолятора примыкает к оси ординат, фазовая диаграмма К ЭХ согласуется при предельном переходе В —> 0 с утверждением скейлинговой гипотезы о локализации электронного 2В-газа в нулевом магнитном поле.

Список литературы

Квантовый эффект Холла / Под ред. Р. Е. Пренджа и С. М. Гирвина. — М.: Мир, 1989.

Physics of low dimensional structures / Ed. by B. Butcher, N. H. March, M. P. Tosi. — Plenum Press, 1993.

Демиховский В. Я., Вугалътер Г. А. Физика квантовых низкоразмерных структур. — М.: Логос, 2000.

Абрикосов А. А. Основы теории металлов. — М.: Наука, 1987.

Гантмахер В. Ф.. Левинсон И. Б. Рассеяние носителей тока в металлах и полупроводниках. — М.: Наука, 1984.

Klitzing К. и., Dorda G., Pepper M. // Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

Краснополин И. Я.. Пудалов В.М., Семенчинский С. Г. // ПТЭ №6, 5 (1987)

Mohr P.J., Taylor B.N. // Rev. Mod. Phys. 72, 351 (2000)

Ebert G., Klitzing K. v., Probst C., Ploog K. // Solid State Commun. 44, 95 (1982).

Koch S., Haug R. Д Klitzing K.v., Ploog K. // Phys. Rev. B. 43, 6828 (1991).

Ebert G., Klitzing K.v., Probst C., Schuberth E., Ploog K., Weimann G. // Solid State Commun. 45, 625 (1983).

Iordansky S.V. // Solid State Commun. 43, 1 (1982).

Kazarinov R.F., Luryi S. // Phys. Rev. В 25, 7626 (1982); Phys. Rev. В 27, 1386 (1983).

Buttiker M. / / Advances in Solid State Physics, v.30, 40 (1990).

Chklovskii D.B., Shklovskii B.L, Glazman L.I. И Phys. Rev. B. 46, 4026 (1992).

Thouless D.J. // Phys. Rev. Lett. 71, 1879 (1993).

Долгополов В. Д Житенев Н.Б., Шашкин А. А. Письма в ЖЭТФ 52, 826 (1990); Dolgopolov V. Т., Shashkin A. A., Zhiteneu N. В., Dorozhkin S. I., Klitzing К. и. // Phys. Rev. В. 46, 12560 (1992).

Stahl Е., Weiss D., Weimann G., Klitzing Kv., Ploog K. // J. Phys. C: Solid State Phys. 18, L783 (1985).

Tsui D. C., Stormer H.L., Gossard A.C. // Phys. Rev. B. 25, 1405 (1982).

Kruelson S., Lee D.-H., Zhang S.-C. // Phys. Rev. B. 46, 2223 (1992).

Paalanen M. A., Tsui D. C., Gossard A.C. )) Phys. Rev. B. 25, 5566 (1982).

Pruisken A.M. M. в книге [1]

Glozman L, Johnson C.E., Jiang H.W. // Phys. Rev. Lett. 74, 594 (1995).

Khmelnitskii D.E. // Phys. Lett. 106A, 182 (1984); Helvetica Physica Acta. 65, 164 (1992).

Huckestein B. // Rev. Mod. Phys. 67, 357 (1995).

Huckestein B. // Phys. Rev. Lett. 84, 3141 (2000).

Khmelnitskii D.E. // JETP Lett. 38, 552 (1982).

Murzin S.S., Weiss M., Jansen A.G.M^ Ebert K. // Phys. Rev. B. 66, 233314 (2002).

Hilke M., Shahar D., Song S.H., Tsui D. C., Xie Y.H. 11 Phys. Rev. B. 62, 6940 (2000).

Приложение А

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ 9

Как любая ветвь математики, теория перколяции находит применение в самых разнообразных областях человеческой деятельности. Мы в этой главе изложим справочным образом основные положения и результаты этой теории, имея в виду специфический круг проблем транспорта в неоднородной среде, затрагиваемых в этой книге. Представляя среду в виде дискретной решетки, сформулируем два простейших типа задач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки, считая долю крашеных узлов х основным независимым параметром и полагая два крашеных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной цепочкой соседних крашеных узлов. Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в него крашеных узлов, составляют содержание задачи узлов. Можно также выборочно красить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере и т. д. составляют содержание задачи связей.

Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является моделью изолятора. Когда они все открыты, и по проводящим связям через открытые узлы может идти ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении х = хс произойдет перколяционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной среды.

А.1. Аппроксимация эффективной среды )

Рассмотрим ортогональную изотропную решетку с периодом а размерности d. у которой все узлы соединены с ближайшими соседями связями с проводимостями а^ независимыми друг от друга. Для

примера на рис. АЛ изображена квадратная решетка d = 2. Требуется по известной дисперсии значений a^i вычислить среднее значение ат1 определяющее удельную проводимость сетки

ст = ота?"А. (АЛ)

Предположим сначала, что все а^ одинаковые, сг^ = сгт. Подведем два электрода к двум соседним узлам решетки к и I и пропустим через них ток J. Чтобы вычислить ток через связь а^ отнесем сначала

Рис. АЛ. Для тока J. текущего через два соседних узла, к и I, квадратной решетки, проводимость /Л-связи сги зашунтирована проводимостью связей всей остальной решетки щн

электрод I на бесконечность. Тогда ток Jвтекающий через электрод к, растекается равномерно по z связям, подходящим к узлу к, так что через каждую связь идет ток J/z. (На квадратной решетке на рис. АЛ параметр z = 4, на трехмерной кубической решетке z = 6.) Теперь унесем на бесконечность электрод к, а ток J выведем через возвращенный на место электрод I. К узлу I этот ток стекается равномерно через все связи; в частности, через связь а^ идет такой же ток J/zb том же направлении, что и в предыдущем случае. Суперпозиция этих двух конфигураций дает интересующее нас распределение токов: токи J и —J через электроды к и I и ток J = 0 на бесконечности. При этом ток через связь сг^ равен

iki =(А.2)

и из закона Ома следует, что

— =,(А.З)

Z(Tm ^т 4" 0"sh

где в знаменателе справа стоит сумма проводимости самой /Л-связи ^kl = ^т и проводимости шунтирующей ее всей остальной сетки сцщ которую можно из соотношения (А.З) и определить:

^sh = (| - 1) • (А.4)

Соотношения (А.2)—(А.4) определяют распределение тока между непосредственной связью, соединяющей узлы к и Z, и ее окружением. Удельная же проводимость определяется величиной сгт через соотношение (АЛ).

Теперь пусть все а и различны. Тогда из закона Ома следует лишь, что для любой пары соседних узлов k. I

^kl J ^kl• т CTkl/ д r\

— =,41 = J,.(A.5)

O"kl ЩН<T/cZ + (Tsh

Это выражение нужно усреднить по всем возможным парам. Схема усреднения называется аппроксимацией эффективной среды. В этой аппроксимации делаются два предположения: (i) в системе со случайными akl по-прежнему справедливо соотношение (А.4) для величины сцщ поскольку шунтирование осуществляется большим числом связей, по которому реально всегда происходит усреднение (в этом смысл названия аппроксимации; иногда пользуются также названием «приближение среднего поля»); при этом подразумевается, что входящая в (А.4) величина ат по-прежнему определяет удельную проводимость в соответствии с соотношением (АЛ); (и) если подводить электроды последовательно к большому количеству пар узлов, то среднее значение тока ^iki) определяется выведенным для однородного случая выражением (А.2)

Ы = Д(А.6)

Воспользовавшись при усреднении выражения (А.5) этими двумя предположениями, получим окончательное выражение

/ ом zcrm(z/2-l)

Для решения конкретной задачи остается подставить в соотношение (А.7) функцию распределения для величины сг^. Если а^ = 1 с вероятностью х и ом = 0 с вероятностью 1 — х, то ответ получается в виде прямой линии с наклоном, зависящим от числа ближайших соседей z:

г 1 + сгт(г/2-1)1 -х 7

На рис. А.2 показаны получившиеся зависимости для квадратной (с/ = 2, z = 4) и кубической (d = 3, z = 6) решеток. Обращение функции ат(х) в нуль означает перколяционный переход. Но именно в окрестности этого перехода аппроксимация эффективной среды не работает, потому что не оправданы оба предположения, лежащие в ее основе. Поэтому настоящее критическое значение хС1 которое называется перколяционным порогом, находится не в точке пересечения сгт(х) с осью абсцисс, а левее. Это станет видно из данных, собранных в следующем параграфе.

Заметьте. На том же рис. А.2 приведены графики функции щДтУ1щдля случая, когда ом с вероятностью 1 — х меняет свое значение с 1 не на 0, а на 1/2. Эти графики уже не прямые линии. При таких значениях ом перколяционного перехода нет и аппроксимация эффективной среды применима во всем интервале изменения х.

Рис. А.2. Проводимость квадратной и кубической решеток в аппроксимации эффективной среды, когда доля (1 — ж) связей разорвана (две нижние кривые), или когда они имеют проводимость, в два раза меньшую проводимости остальных связей (две верхние кривые)

А.2. Перколяционные пороги

В окрестности перколяционного перехода, где аппроксимация эффективной среды не работает, получить точные результаты аналитическими методами удается довольно редко. В общем виде решения известны для одномерной решетки d = 1 и бесконечномерной решетки Бете d = сю, при d = 2 есть решения для некоторых простых решеток. Чаще всего задачи решаются численно методами компьютерного моделирования. Это относится, в частности, к определению перколяционных порогов тс, которые зависят от размерности d и от симметрии решетки. Для наиболее распространенных 2D- и ЗВ-решеток значения для задачи узлов и х^ для задачи связей приведены в табл. АЛ.

Таблица АЛ

Задача узлов

Задача связей

(s) Же

/

Is = Ы3'1

Тип решетки

ДЬ)

г

1ь = zx^

0,59

0,79

0,47

Квадратная

0,5*

4

2,0

d = 2

0,5*

0,91

0,46

Треугольная

0,35*

6

2,1

0,7

0,61

0,43

Медовые соты

0,65*

3

2,0

0,31

0,52

0,16

Простая кубическая

0,25

6

1,50

^ = 3

0,25

0,68

0,17

Объемноцентрированная

0,18

8

1,44

0,20

0,74

0,15

Гранецентрированная

0,12

12

1,44

0,43

0,34

0,15

Структура алмаза

0,39

4

1,56

Звездочкой * отмечены значения жс, вычисленные аналитически.

Приведенные значения хс удовлетворяют некоторым эмпирическим закономерностям. В задаче связей произведение Д числа связей г, соединяющих каждый узел со всеми ближайшими соседями, и критического значения х^ зависит только от размерности и приблизительно равно 1Ь = zx^ = d/(d — 1). В задаче узлов в соответствующий инвариант Is = fx^ вместо г входит коэффициент /. Он равен доле объема, занятого шарами одинакового радиуса, расположенными во всех узлах решетки и касающимися друг друга (для 2В-решеток вместо шаров подразумеваются круги, а вместо объема — площадь). Как видно из таблицы, из 2В-решеток этот коэффициент максимален для треугольной решетки, а из ЗВ-решеток — для гранецентрированной. Именно поэтому эти решетки называются плотно упакованными.

Значения эмпирических инвариантов Is и 1^ показывают, что фундаментальным параметром в перколяционных задачах является не симметрия решетки и не число ближайших соседей, а размерность пространства. Пусть в крашеных (открытых) узлах находятся проводящие шары диаметром, обеспечивающим касание шаров на соседних узлах. Перколяция происходит при появлении уходящих на бесконечность цепочек касающихся шаров. Из значений инвариантов следует, что перколяционный переход на плоскости (d = 2) происходит, когда около 45 % ее становятся проводящими, а при переходе в пространстве (с/ = 3) проводящими являются примерно его 16%.

Задачу узлов можно несколько изменить, признав в качестве «ближайших соседей», помимо истинно ближайших, и узлы второго, третьего и т. д. слоев, окружающих исходный узел. Число соседей, с которым связан данный узел, растет, условия присоединения его к кластеру облегчаются и, как следствие, уменьшается критическое значение х. На рис. А.З изображена квадратная решетка. Открытые узлы отмечены крестиками. Если считать ближайшими соседями три слоя узлов (рис. А.З, а), то из 10 изображенных открытых узлов в один кластер попадут 4, а если расширить область «сильного взаимодействия» до четырех слоев (рис. А.З, б), то в одном кластере окажутся уже 7 узлов из 10. Данные для трехмерных решеток приведены в табл. А.2. В ней собраны значения критических концентраций для трех разных решеток при включении узлов из одного, двух или трех слоев в число ближайших.

В последней строке таблицы выписаны критические значения величины zx:

_ 4тг /г у 4тг з/ л

zx —- - х = —- г N.(А.9)

\а/3

Здесь т — радиус сферы, охватывающей все слои связанных с центром узлов, а3 — объем элементарной ячейки решетки, т. е. объем, приходящийся на один узел, a N = х/а3 — количество окрашенных узлов на единицу объема, т. е. концентрация, не связанная с параметрами конкретной решетки. Приблизительное равенство (А.9) выполняется тем точнее, чем больше число слоев v и радиус г. Поэтому при достаточно

X О ^ " "X - -о о о О" 'СУ ” "Q о хо t/ О А Ж V М ОАХАКА Ж^ О А О /5 о о х(> - _Q - -^ - ' °" - - о о о о/ о о оX О ,о о X о о о q о о оX О ^ " "X - -о о о О" 'СУ ” "Q о хо t/ О А Ж V М ОАХАКА Ж^ О А О /5 о о х(> - _Q - -^ - ' °" - - о о о о/ о о оX О ,о о X о о о q о о ооXо/ "оXо" хо

X О ^ " "X - -о о о О" 'СУ ” "Q о хо t/ О А Ж V М ОАХАКА Ж^ О А О /5 о о х(> - _Q - -^ - ' °" - - о о о о/ о о о

X О ,о о X о о о q о о о

X О ^ " "X - -о о о О" 'СУ ” "Q о хо t/ О А Ж V М ОАХАКА Ж^ О А О /5 о о х(> - _Q - -^ - ' °" - - о о о о/ о о о

X О ,о о X о о о q о о о

о о z /Ъ О (5x0 о\ о/ООАж0\х

о। ОАXАО ко/

о'«ОАОО?о^

оо\оОЖ-Лоо

ООХОООО/О/

оX°Х1<О- - -о"-^/ z о

Xоооооо

б

Рис. А.З. Квадратная решетка, в которой открытые узлы отмечены крестиками, а окружности охватывают узлы, связанные с узлом, находящимся в центре. Слева: каждый открытый узел входит в один кластер с открытыми узлами из трех слоев ближайших соседей (трех-, четырех- и пятиугольники). Справа: из четырех слоев (те же и шестиугольники)

больших г величина zx^c^ в последней строке таблицы уже не должна зависеть от конкретной решетки. Компьютерное моделирование подтверждает это. Оно свидетельствует также, что при и -л сю она стремится к пределу, равному В^ = 2,7.

Таблица А.2

Простая кубическая

Объемноцентри- рованная

Гранецентрированная

Число слоев v

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Число соседей z

6

18

26

8

14

26

12

18

42

0,31

0,14

0,10

0,25

0,175

0,095

0,195

0,14

0,06

1,84

2,45

2,52

1,94

2,45

2,47

1,84

2,45

2,52

Универсальность предела величины zx^c^ относительно разных решеток не случайна. При большом т можно без существенных последствий сместить окрашенные узлы из точно зафиксированных точек узлов решетки на расстояния s <^ а <^т. Тем самым мы перейдем к задаче о перколяции в системе случайных узлов, которая эквивалентна задаче узлов на решетке при достаточно большом v. Для перколяции на случайных узлах

у r3Nc = В^ = 2,7; лт2^ = В^ = 4,4.(АЛО)

Выражение в левой части второго равенства написано для 2В-решеток по аналогии с соотношением (А.9), а численное значение получено в результате компьютерного моделирования.

В соотношениях (АЛО) предполагалось, что задано максимальное расстояние г, на котором узлы оказываются связанными (радиус взаимодействия). Тогда эти соотношения определяют критическую концентрацию Nc. Но возможна и иная постановка вопроса. Если задать концентрацию N, то соотношения (АЛО) определят перколяционный радиус гс, т. е. минимальный радиус взаимодействия, обеспечивающий перколяцию.

Особый класс перколяционных задач составляют континуальные задачи. Зададим в пространстве размерности d случайную непрерывную функцию t/min ^ H(r) ^ Umax со средним значением U(r) = 0 и со статистическими свойствами, инвариантными относительно преобразования U -л —U. Назовем крашенным кластером всякую связную область, где удовлетворено неравенство U(r) < и, а белым ту, где справедливо обратное неравенство U^ > и. Так определенные кластеры аналогичны тем, которые фигурируют в решеточных задачах. Обозначим через Si (и) суммарный объем всех крашенных кластеров, нормированный на единичный объем, а через ^(и) — так же нормированный объем всех белых кластеров, Si + S2 = 1. Будем смещать уровень и от t/min вверх. При достаточно малых и > Hmin крашенных кластеров мало, и они имеют малые размеры, но существует один белый бесконечный кластер. С ростом и средние размеры крашенных кластеров растут. Появление бесконечного крашенного кластера при и = uci и Si (и) = Sci означает перколяционный переход. На противоположном конце интервала возможных значений уровня и, при и < < Птах, существует крашенный бесконечный кластер. С уменьшением и в этой области растут число и средние размеры белых кластеров, пока при некоторых и = иС2 и S^u^ = SC2 не появится бесконечный белый кластер. Из статистической симметрии случайного потенциала U(г) следует, что Sci = SC2- Конкретные значения Sci и SC2 зависят от размерности d. Для нас наиболее интересны случаи d = 3 и d = 2, на которых мы кратко остановимся.

В трехмерном случае, d = 3, компьютерное моделирование привело к значениям Sci = SC2 = 0,17. В интервале значений уровня uci < < и < иС2 имеются одновременно и крашенный и белый бесконечные кластеры. Такая задача появляется при изучении локализации классического электрона: если U(г) — это потенциальная энергия электрона, то крашенные кластеры представляют собой области, классически доступные для электрона с энергией и. Перколяционный переход при и = uci означает, что только электрон с энергией и > uci, двигаясь по законам классической механики, может уйти на бесконечность.

Переходя к двумерному пространству d = 2, воспользуемся для наглядности «географической терминологией», полагая, что U(г) — это высота на местности точки с координатой г. Локальные максимумы U^ и минимумы U_ этой функции — это высоты холмов и глубины

впадин. Представим себе, что на местности можно менять уровень воды. Пока уровень низок, крашенные кластеры — это озера вблизи точек U-^ а береговые линии озер — это эквипотенциальные линии потенциала ЕД г), охватывающие точки U_. При низком уровне воды пересечь всю территорию можно по суше. При постепенном подъеме воды ее уровень будет достигать локальных седловых точек функции СДг), и будет происходить слияние озер. В обратном предельном случае, при очень высоком уровне воды, из нее выступают лишь островки вокруг вершин ЕД (белые кластеры), а пересечь всю территорию можно только по воде. Теперь эквипотенциальные линии — это периметр островов. Поэтому существует некий промежуточный уровень воды, при котором береговая линия простирается через всю территорию, но в некоторых местах уровень воды оказывается точно на высоте перевала в седловой точке, так что ширины водной и сухой перемычек стягиваются в точку.

Бесконечный кластер статистически изотропен. Если он существует, то территорию можно пересечь по нему в любом направлении. С другой стороны, если при каком-то уровне воды территорию можно пересечь по суше, то при этом ее заведомо нельзя пересечь в перпендикулярном направлении по воде. Это означает, что при d = 2 одновременно не могут существовать два бесконечных кластера. Если добавить статистическую симметрию относительно преобразования U -л — U, то получим, что

Sd = sc2 = 0,5. (A.ll)

При отсутствии такой симметрии перколяционный порог может сместиться, так что равенство (А. 11) нарушится. Но запрет на одновременное существование двух бесконечных кластеров сохранится, так что вместо (А. 11) будем иметь лишь Sci + SC2 = 1.

Интересно сравнить получившиеся значения Sc для двух размерностей с имеющим тот же физический смысл инвариантом Is в задаче узлов на регулярных решетках — см. таблицу АЛ. В обоих случаях значения Sc несколько больше, и если при d = 3 разница лежит на границе погрешности, то при d = 2 она не вызывает сомнений. Решетка вносит корреляции и элементы регулярности в структуру случайной функции. Это сдвигает точку появления бесконечного кластера.

А.З. Окрестность перколяционного перехода

Для исследования окрестности перколяционного перехода введем несколько важных функций концентрации открытых узлов х (для определенности мы будем говорить здесь о задаче узлов). Пусть ns — это число кластеров из s узлов, приходящихся на один узел решетки, так что при х < хС1 когда бесконечный кластер отсутствует,

^sns=T, х < хс. (А.12) s

Если же х > хС1 то некоторая часть Р(х) открытых узлов входит в бесконечный кластер:

!

Х — Sns^ х ^ хс,

х < хс.

Функция Р(х) называется мощностью бесконечного кластера.

Определим корреляционную функцию q(r) как вероятность того, что узел на расстоянии г от открытого узла, принадлежащего конечному кластеру, тоже открыт и принадлежит тому же кластеру. Очевидные свойства этой функции таковы: q(0) = 1, q(a) = х (а — период решетки); поскольку по определению кластер конечный, то q(r) -л 0 при г -л сю. Среднее число узлов S(x) в конечном кластере, к которому принадлежит исходный открытый узел, равно здесь суммирование подразумевается по всем узлам решетки.

Величину S(x) можно выразить и непосредственно через распределение кластеров по размерам. Вероятность того, что произвольный узел принадлежит кластеру с числом узлов s, равна sns, а вероятность того, что он принадлежит к какому-то из конечных кластеров, есть ^s sns. Поэтому отношение ws = sns/ ^g sns есть вероятность того, что кластер, к которому принадлежит произвольно выбранный открытый узел, содержит s узлов. Сделав такой выбор большое количество раз, получим среднюю величину

S<X) =у q(r) = у sws = ^.(А.14)

Функция 8(х) называется средним размером кластера. (Заметьте: подразумевается не линейный размер, а среднее число узлов конечного кластера.)

Линейный размер, связанный с распределением открытых узлов по конечным кластерам, определим соотношением

Е Е

Функция ^(х) называется корреляционной длиной. По существу, это средний линейный размер среднего кластера, «типичного» для данного х. Важно, что функция ^(х) определена по обе стороны от перколяционного порога. При х > хс конечные кластеры располагаются в «дырах» бесконечного кластера. Поэтому в этой области корреляционную длину обычно интерпретируют как средний размер дыр бесконечного кластера. По обе стороны от порога определена также и функция S(x\

Функция Р(х) обращается на перколяционном пороге в нуль, функции S(x) и ^(х) на пороге обращаются в бесконечность. Основной постулат, лежащий в основе теоретического описания перколяционно-

(А.16)(А.16)го перехода, заключается в том, что при приближении к порогу все эти функции изменяются как степени расстояния до порога:

(А.16)

(А.16)

Показатели 7 и ^ одинаковые по обе стороны порога.

Эти функциональные зависимости неоднократно проверялись и продолжают проверяться экспериментально. Компьютерное моделирование не только подтвердило наличие степенной функциональной зависимости, но и продемонстрировало универсальность показателей степени /3, ^ и v. они зависят только от размерности пространства d, но не зависят ни от симметрии решетки, ни от типа задачи. Это характерное свойство теории фазовых переходов. Там аналогичные показатели степени называются критическими индексами; они тоже универсальны и тоже зависят только от размерности. Поэтому на сегодняшний день считается твердо установленным, что с точки зрения адекватного математического описания перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода. При этом:

доля открытых узлов (связей) х играет роль температуры;

мощность бесконечного кластера Р(х) аналогична параметру порядка;

функция ^(х) есть локализационная длина и тут и там;

средний размер кластера 8(х) следует сравнивать с термодинамической функцией, например, с восприимчивостью при магнитном переходе.

Значения критических индексов вблизи перколяционного перехода в двумерных системах, d = 2, получены аналитически, а для размерности d = 3 — численно. Они приведены в табл. А.З.

Таблица А.З

d = 2

d = 3

Мощность бесконечного кластера Р

3

5/36

0,417

Локализационная длина £

V

4/3

0,875

Среднее число узлов в кластере S

1

43/18

1,795

А.4. Пример: электропроводность сильнонеоднородной среды

В заключение этого приложения разберем конкретный пример использования теории перколяции для решения физической задачи. Сам пример этот тоже модельный, но он демонстрирует существо подхода. Итак, рассмотрим в трехмерном пространстве, d = 3, простую куби-

ческую решетку с периодом а, связи в которой имеют сопротивления в экспоненциально большом интервале значений

R = Roexpu, 0 < и < uq, uq >> 1.(А. 17)

Пусть и — это случайная величина, с вероятностью F(u) принимающая любые значения из разрешенного интервала. Выберем некоторое, достаточно малое значение и' из этого интервала и все связи с сопротивлениями от Rq до Rq exp и' сохраним, а все связи с большими сопротивлениями временно разорвем. Доля открытых (сохраненных) связей равна

х = | F(u)du, | F(u)du = 1.(А.18)

оо

Пусть х < хс. Это означает, что набор включенных сопротивлений не может обеспечить конечную проводимость решетки. В этот набор нужно добавить какое-то количество связей с большими сопротивлениями так, чтобы достичь порога х = хс. (Напомним, что, согласно табл. АЛ, в задаче связей для простой кубической решетки хс = 0,25). Конечно, добавлять будем самые малые сопротивления из оставшихся, постепенно увеличивая и' в уравнении (А. 18). При достижении порога соответствующее значение и' обозначим через ис. Пусть для определенности все значения и из разрешенного интервала равновероятны, так что функция распределения F(u) = const:

0,и > ио ;

1/uq,и ^ UQ.

Тогда критическое значение параметра и равно

ис = хсио-(А.20)

Включенные на последнем этапе сопротивления Ro exp ис соединили большие конечные кластеры в один бесконечный. Они включены последовательно со всей совокупностью остальных сопротивлений и при этом они больше их всех по величине. Поэтому удельное сопротивление решетки контролируется именно этими сопротивлениями, и из-за них оно пропорционально ехрис.

Поскольку ток должен идти по связям, принадлежащим бесконечному кластеру, следует немного превысить порог до значения и" = = ис + Au, чтобы мощность бесконечного кластера Р(х) стала отлична от нуля. Тогда из соотношений (А. 19) и (А.20) следует, что х — — хс = Аи/ио и что корреляционная длина £ = аУо1 ^yv •

Для того чтобы оценить величину Au, в частности убедиться, что Au С uq, обсудим распределение тока, протекающего по бесконечному кластеру. Большую часть бесконечного кластера вблизи порога составляют «бывшие» конечные кластеры, подсоединенные к основной части через одну открытую связь. Это хорошо видно на рис. А.4, где изображена экспериментальная реализация бесконечно-

Рис. А.4. Экспериментальная реализация бесконечного кластера вблизи порога перколяции, полученная компьютерным моделированием задачи узлов на решетке 160 х 160 [2]. Показаны только открытые узлы, принадлежащие бесконечному кластеру. Из них темные точки — это узлы, принадлежащие токонесущему остову. Любая из светлых точек соединена с токонесущим остовом только через один открытый узел — светлые точки входят в «мертвые концы». Самые крупные мертвые концы выделены серым фоном, а места их присоединения к токонесущему остову отмечены черными кружками

го кластера вблизи порога перколяции, полученная компьютерным моделированием задачи узлов на решетке 160 х 160 при значении х = = 0,6. Кластер считается бесконечным, поскольку он соединяет противоположные (левую и правую) грани решетки. Части кластера, выделенные серым фоном, подсоединены к основной части через один открытый узел каждая. Места их подсоединения условно отмечены черными кружками. Ток через них идти не может: чтобы шел ток, нужны по крайней мере две точки подсоединения участка к основной цепи. Поэтому эти участки называются мертвыми концами. Кроме выделенных на рисунке крупных мертвых концов есть еще много мелких. Часть бесконечного кластера, оставшаяся после исключения мертвых концов, является токонесущей. Входящие в нее узлы нарисованы на рис. А.4 черными точками.

В белых частях квадрата на рис. А.4 имеется та же средняя плотность открытых узлов, что и в областях, покрытых бесконечным кластером. Они не показаны, потому что все принадлежат различным конечным кластерам. Явная асимметрия представленной реализации бесконечного кластера объясняется тем, что из-за близости к порогу корреляционная длина £ больше стороны квадрата: £ > 160. На очень большой решетке токонесущую часть бесконечного кластера можно себе представить в виде сетки токовых каналов с масштабом, равным длине корреляции £ (рис. А.5). В этой токонесущей сетке от граничного значения и" зависят и размер ее ячейки £, и сопротивление между двумя ее узлами R^ ~ е^с+Д^ Удельное сопротивление решетки, представляемое как сопротивление токонесущей сетки, равно (см., в частности, (АЛ))

Р = R^ = ^^^а ^7 = Roau^-^. (А.21)

Дробь в правой части этого выражения имеет минимум при

Au = и = 0,875 К u0.(А.22)

Это означает, что подключение к сетке сопротивлений со значения-Это означает, что подключение к сетке сопротивлений со значения-

Это означает, что подключение к сетке сопротивлений со значения-

Это означает, что подключение к сетке сопротивлений со значения-

Рис. А. 5. Структура токонесущей части перколяционного кластераРис. А. 5. Структура токонесущей части перколяционного кластерами и в очень узком интервале ис < < и < ис + 1 уменьшает сопротивление решетки за счет увеличения мощности бесконечного кластера Р и уменьшения длины корреляции ф Затем дальнейшее включение сопротивлений становится неэффективным из-за того, что они уже много больше, чем RoexpuCl и не могут зашун- тировать сложившуюся критическую токонесущую сетку. С точностью до численного множителя сопротивление рассматриваемой решетки равно

Рис. А. 5. Структура токонесущей части перколяционного кластера

Рис. А. 5. Структура токонесущей части перколяционного кластера

р = RQau>Uc. (А.23)

Список литературы

Stauffer D. Introduction to percolation theory. — Taylor & Francis, 1985.

Федер E. Фракталы. Мир, 1991 [Перевод книги Feder J., Fractals, Plenum Press, 1988].

Шкловский Б.И., Эфрос А. Л. Электронные свойства легированных полупроводников, 1979, гл. 5.

Isichenko М.В. // Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973).

Киркпатрик С. в сб. Теория и свойства неупорядоченных материалов (ред. В. Л. Бонч-Бруевич) С. 249. — Мир, 1977 [Перевод статьи Kirkpatrick S., Rev. Mod. Phys. 45, 574 (1973)].

Приложение Б

ТУННЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ '1

Пусть два проводящих материала находятся в контакте друг с другом через слой изолятора, столь тонкий, что через него возможно туннелирование электронов. Эти два материала мы будем называть электродами, а изолятор между ними — контактом или туннельном промежутком. В равновесии ферми-уровни по обе стороны контакта одинаковы. Электрон с энергией £ относительно ферми-уровня слева от барьера после туннелирования, оказавшись справа, сохранит то же значение энергии. Равновесие является динамическим в том смысле, что потоки туннелирующих в обе стороны электронов отличны от нуля, но эти потоки равны между собой, так что полный ток через контакт равен нулю.

Обратите внимание на сходство и различие между туннелированием, о котором пойдет речь в этом Приложении, и прыжковой проводимостью (гл. 4). В обоих случаях речь идет о подбарьерном прохождении электронов через классически недоступную область. Но прыжковая проводимость осуществляются за счет квантовых переходов между локализованными состояниями. Туннельный же ток через контакт возникает благодаря квантовым переходам между делокализованными состояниями, находящимися по разные стороны от барьера.

В большинстве случаев сопротивление электродов много меньше сопротивления контакта. Поэтому приложенная к электродам разность потенциалов V полностью падает на туннельном промежутке. Равновесие нарушается, и через контакт течет туннельный ток J (рис. Б.1),

ЛЮ ос | д(е - eV)gi(e) [/ (£ ~ (fOP5, (Б-Г

Подынтегральное выражение описывает избыточный электронный поток электронов энергии в слева направо, обусловленный тем, что ферми-распределение /(ж) = (ехрх + I)-1 слева и справа от барьера сдвинуты на eV. Плотности состояний д и д^ входят сомножителями в подынтегральное выражение, потому что они определяют

х) Существуют книги [1, 2], целиком посвященные туннельным явлениям; они изданы уже довольно давно. С последними достижениями в этой области можно познакомиться в обзоре [3]

количество участвующих в процессе электронов и количество состояний, в которые возможно туннелирование. В опущенный коэффициент пропорциональности входят площадь туннельного контакта и прозрачность барьера.

Рис. Б.1. Энергетическая схема прохождения тока через туннельный контактРис. Б.1. Энергетическая схема прохождения тока через туннельный контактВыражение (Б.1) сильно упрощается, если один из электродов — обычный металл с gi^ = const, а температура столь низкая, что ферми-распределение можно считать ступенькой. Тогда

Рис. Б.1. Энергетическая схема прохождения тока через туннельный контакт

Рис. Б.1. Энергетическая схема прохождения тока через туннельный контакт

eV

J(V) ос gi | fl(e)<i£.(Б.2)

о

Если к постоянному напряжению добавить переменное V^smut, то появится переменный ток на частоте ш с амплитудой J^, пропорциональной производной dJ/dV:

ДУ + Уш sin^) = ДУ) + ^М smut.

(Б.З)

Этот распространенный экспериментальный прием называется модуляционной методикой. Из (Б.2) и (Б.З) следует

(Б.4)(Б.4)7Ш ос — ос д^еУ).

(Б.4)

(Б.4)

Это и определяет возможность использования измерений туннельных токов для прямых измерений д^г\

Конечная температура Т А 0 несколько усложняет формулу (Б.4):

Д ос dJ/dV <х - gb)dEg^ f ’ (Б-5)

и процедуру извлечения функции д^ из экспериментальных данных, но не меняет принципиальной возможности изучения особенностей плотности состояний вблизи ферми-уровня по вольт-амперным характеристикам туннельного контакта.

Заметьте. Реализация туннельного эксперимента гораздо сложнее, чем изложенная его принципиальная схема: нужно уметь надежно и воспроизводимо создавать между электродами туннельные промежутки толщиной 10—15 А. Эта экспериментальная задача была решена только в 1960-х. Примененные к сверхпроводникам, туннельные эксперименты позволили непосредственно измерить сверхпроводящую щель, а затем привели к открытию эффекта Джозефсона и тем самым существенно повлияли на развитие всей физики низких температур.

Примененная к нормальным металлам, туннельная методика позволила непосредственно обнаружить кулоновскую щель в спектре локализованных состояний и минимум плотности состояний на ферми- уровне в спектре грязных металлов, а также проследить, как одно переходит в другое.

Пример выявления кулоновской щели в Si:B приведен на рис. Б.2. Была использована структура Pb — SiO2 — Si:B, в которой один электрод — сверхпроводник, а второй — классический полупроводник p-типа. В нулевом магнитном поле основным «нарушителем спокойствия» является сверхпроводящий свинец, a Si:B играет роль металлического контрэлектрода. Соответствующая кривая демонстрирует сверхпроводящую щель в РЬ с максимумами плотности состояний по краям. Она, как и должно быть, симметрична относительно ферми- уровня Ер = 0. Измерение сверхпроводящей щели выступает здесь

Рис. Б.2. Дифференциальная проводимость в зависимости от смещения на туннельном контакте РЬ — SiO2 — Si:В. Кружками показан результат пересчета кривой в поле Н = 2 кЭ, убирающий влияние теплового уширения функции распределения [4]

уже как калибровочный эксперимент. Это как бы дополнительная демонстрация правильности методики. В поле 2кЭ сверхпроводимость свинца полностью разрушена, и плотность состояний в нем больше не зависит от энергии. Теперь РЬ становится контрэлектродом, а минимум на кривой dJ/dV вызван наличием параболической кулоновской щели в Si:B. Поле 2кЭ слишком мало, чтобы хоть как-то повлиять на нее. Как видно из кривой, ширина щели примерно 1 мэВ ~ 10 К (по 5 К в каждую сторону от ферми-уровня).

Кривые на рис. Б.2 получены при 1,15 К. Повторить их при более низких температурах затруднительно: из-за экспоненциального роста объемного сопротивления Si:B существенная часть прикладываемой к структуре разности потенциалов падает не на туннельном промежутке, а на электроде. Но несложная математическая обработка формулы (Б.5) позволяет обойтись без низкотемпературных измерений и извлечь из экспериментальной кривой ^(еУ) (сплошные кривые на

рис. Б.2) функцию д^ (пустые кружочки). Видно, что пока температура мала, она лишь незначительно сглаживает экспериментальное отображение функции g^Y

Основная примесь в Si:B — акцепторы, и к нему полностью применима модель примесной зоны при слабом легировании, в рамках которой и была получена кулоновская щель (см. формулу (3.22) в гл. 3). Однако кулоновская щель наблюдается и в материалах совсем других типов, например, в ультратонких пленках или в аморфных пленках

с химическим составом из двух элементов, один из которых — металл, а другой — неметалл.

На рис. Б.З представлены туннельные характеристики структуры Ое1_жАиж — AI2O3 — А1. Здесь А1 является контрэлектродом, а

Рис. Б.З. Туннельные характеристики структуры Се1_жАиж —AI2O3 - А1 [5]Рис. Б.З. Туннельные характеристики структуры Се1_жАиж —AI2O3 - А1 [5]Ое1-жАнж — исследуемым материалом. Серия характеристик демонстрирует эволюцию спектра по мере уменьшения концентрации золота х. Минимум при больших х обусловлен взаимодействием электронов, диффундирующим в результате упругого рассеяния на статическом беспорядке. Это тот минимум на ферми- уровне в спектре грязных металлов, которого следует ожидать на основании теории, результаты которой изложены в последнем параграфе гл. 2. Но эти результаты получены в рамках возмущений, и предполагается, что поправки к функции д^ малы. Поэтому кривые на рис. Б.З не просто

Рис. Б.З. Туннельные характеристики структуры Се1_жАиж —

AI2O3 - А1 [5]

Рис. Б.З. Туннельные характеристики структуры Се1_жАиж —

AI2O3 - А1 [5]

подтверждают наличие минимума в спектре, но и показывают эволюцию поправки по мере приближения к переходу металл-изолятор. При самой маленькой концентрации золота, при х = 0,08, функция д^ обращается в нуль при е = 0, а в окрестности этой точки является параболой. Это и есть кулоновская щель.

Заметьте. Модель примесной зоны в частично компенсированном полупроводнике, в рамках которой в гл. 3 была получена кулоновская щель, непосредственно к Gei-^Au^ при малых х неприменима, потому что в этом материале нет четко определенных «доноров» и «акцепторов». Поэтому обнаружение кулоновской щели в Gei-^Ащ указывает на то, что кулоновская щель может возникать в разных классах случайных потенциалов. Это замечание относится также и к экспериментам на аморфных сплавах 8ц_ж]\Ъж и на ультратонких пленках Бе.

Таким образом, серия кривых на рис. Б.З демонстрирует три важных результата: наличие минимума на ферми-уровне в спектре грязного металла, возникающего вследствие межэлектронного взаимодействия (гл. 2), наличие кулоновской щели в спектре сильно разупоря- доченном изолятора (гл. 3) и переход от одной особенности в спектре к другой, сопровождающий переход металл-изолятор при изменении концентрации металла в сплаве (гл. 5).

Такую же структуру и эволюцию спектра наблюдали на аморфных сплавах Sii-^Nb^, см. рис. Б.4, где тоже происходит переход металл- изолятор. В экспериментах на этих аморфных сплавах обнаружилось еще одно любопытное обстоятельство: несовпадение критического значения хС1 определенного в этих сплавах по измерениям статической проводимости, и значения х^\ определенного по обращению в нуль плотности состояний. Кривая с концентрацией хс отмечена на рис. Б.4 надписью и стрелкой. Стрелка указывает, что при этой концентрации на ферми-уровне остается конечная плотность состояний, а в нуль она обращается лишь на следующей кривой.

Из определения металла, данного в начале гл. 5, следует, что истинной критической концентрацией является хс. На ферми-уровне изолятора вполне может быть конечная плотность состояний, если эти состояния были локализованы. Поэтому противоречия между измере

ниями проводимости и туннельными измерениями нет.

Вместе с тем возможна иная трактовка расхождения между хс и х^ • Сделаем одно уточнение относительно измерений туннельного

Ут, мВшУт, мВшРис. Б.4. Туннельные характеристики структуры Sii_xNbx —А120з - Al [6]Рис. Б.4. Туннельные характеристики структуры Sii_xNbx —А120з - Al [6]тока. В рассуждении, позволившем написать выражение для туннельного тока (Б.1), неявно предполагалось, что в обоих электродах электроны представляют собой системы невзаимодействующих квазичастиц. Предполагается, что полные электронные энергии и слева и справа равны Е = ^вц сумме энергий квазичастиц, и что в результате туннелирования полные энергии Е с обеих сторон изменились точно на энергию протунне- лировавшей квазичастицы. В системе взаимодействующих частиц полная энергия Е зависит от их числа, Е = Е(п). Тогда часть энергии электромагнитного поля тратится на изменение полных энергий электронных систем с изменившимся числом частиц. Во избежание недоразумений плотность состояний д^ входящая в выражение

Ут, мВш

Ут, мВш

Рис. Б.4. Туннельные характеристики структуры Sii_xNbx —

А120з - Al [6]

Рис. Б.4. Туннельные характеристики структуры Sii_xNbx —

А120з - Al [6]

(Б.1) и измеряемая в туннельном эксперименте, называется туннельной плотностью состояний.

Заметьте. Механизмы воздействия разных видов межэлектронного взаимодействия на туннельную плотность состояний различны. Вот, например, как воздействует на нее кулоновское взаимодействие туннелирующего электрона со всеми остальными. После туннелирования в обоих электродах возникает пространственная неоднородность зарядов, которая должна рассосаться. Чем больше время рассасывания, тем сильнее эта неоднородность препятствует самому туннелированию, проявляясь в виде уменьшения эффективной плотности состояний. Время рассасывания зависит, в частности, от характера движения электрона, от того, является это движение баллистическим или диффузионным. При диффузионном движении это время зависит от энергии электрона по сравнению с ферми-уровнем (см. гл. 2). Поэтому этот эффект может приводить не только к перенормировке туннельной плотности состояний, но и к изменению функциональной зависимости д(е).

Аналогичное наблюдение было сделано на классическом полупроводнике с примесной зоной Si:B, где управляющим параметром является не состав сплава, а концентрация примесей п. Подробные измерения, представленные на рис. Б.5, показали, что и здесь д(д) обращается в нуль уже в области изолятора, при п ~ 0^пс (критическая концентрация пс определена по зависимости от п проводимости сг(О)). Расхождения в определении критической концентрации оказались порядка 10 %.

Интересно, что на серии кривых с разными электронными концентрациями на рис. Б.5 минимум д^ при концентрации п = пс, определенной как критическая по измерениям проводимости, оказался шире, чем по обе стороны от нее. Следовательно туннельные измерения тоже выделяют «транспортное» значение п = пс, которое мы выше определили как истинное.

Специфическим объектом туннельных экспериментов являются ультратонкие пленки. Для них управляющим параметром может быть толщина пленок, а количественной характеристикой их транспортных свойств — величина сопротивления на квадрат при какой-то фиксированной температуре. Толщины пленок Бе, туннельные характеристики которых представлены на рис. Б.6, были в интервале 15-20 А, указанные около кривых значения сопротивления на квадрат измерены при 50 мК. Туннельные структуры создавались дозированным окислением пленок на воздухе и последующим напылением на них слоя Ag. У самой тонкой пленки Бе в спектре видна кулоновская щель, причем плотность состояний в окрестности р меняется линейно с энергией, как это и предсказывается формулой (3.23) в гл. 3. У более толстых пленок имеется узкий провал в спектре вблизи р. Таким образом, на ультратонких пленках, где малая толщина является главным параметром эффективного разупорядочения и перехода Андерсона,

тоже есть и минимум в спектре на металлической стороне перехода, и кулоновская щель со стороны изолятора. Главная особенность и отличие кривых на рис. Б.6 в том,

что они демонстрируют спектры заведомо двумерных систем.

Рис. Б.1 и формулы (Б.1)-(Б.5) описывают простейшую схему туннельного эксперимента при практически неограниченных размерах электродов и площади туннельного контакта. В этой схеме все особенности вольт-амперной характеристики обусловлены плотностью состояний массивного материала. Представим себе теперь, что один из электродов — это маленькая металлическая гранула, все размеры которой малы; пусть это шар радиуса а. Если на эту гранулу протуннелирует один электрон, то гранула станет заряженной и вокруг нее возникнет электрическое поле. Энергия поля уединенного металлического шара с зарядом е равна

Рис. Б. 5. Дифференциальная проводимость туннельных контактов с Si:В в качестве элек-Рис. Б. 5. Дифференциальная проводимость туннельных контактов с Si:В в качестве элек-е2и = ^, с = ха,е2и = ^, с = ха,(Б.6)(Б.6)где С — это емкость уединенного шара, а х — это диэлектрическая проницаемость окружающего его изолято-

Рис. Б. 5. Дифференциальная проводимость туннельных контактов с Si:В в качестве элек-

Рис. Б. 5. Дифференциальная проводимость туннельных контактов с Si:В в качестве элек-

е2

и = ^, с = ха,

е2

и = ^, с = ха,

(Б.6)

(Б.6)

трода после исключения влия-ния теплового уширения. Кри-вые смещены для ясности, нодля каждой кривой на оси ор-динат указан соответствующийей ноль [7]трода после исключения влия-ния теплового уширения. Кри-вые смещены для ясности, нодля каждой кривой на оси ор-динат указан соответствующийей ноль [7]ра. Если температура Т <С U, то туннелирование станет возможнымра. Если температура Т <С U, то туннелирование станет возможнымтолько, когда напряжение между шаром и массивным электродом превысит U/e\ V = е/С = е/ха > U/e. Этот порог по напряжению называется кулоновской блокадой.

трода после исключения влия-ния теплового уширения. Кри-вые смещены для ясности, нодля каждой кривой на оси ор-динат указан соответствующийей ноль [7]

трода после исключения влия-ния теплового уширения. Кри-вые смещены для ясности, нодля каждой кривой на оси ор-динат указан соответствующийей ноль [7]

ра. Если температура Т <С U, то туннелирование станет возможным

ра. Если температура Т <С U, то туннелирование станет возможным

Для туннельного эксперимента нужны контакты к обоим электродам. Чтобы такой контакт не сделал маленький металлический электрод большим, его можно расположить между двумя массивными электродами, устроив два туннельных промежутка последовательно. На рис. Б.7 демонстрируются принципиальная схема и результаты такого эксперимента. На слегка окисленную поверхность алюминиевой пленки напыляли олово, которое собиралось в островки; средний размер островков зависел от количества напыленного олова. Затем образец подвергался дальнейшему окислению, в результате чего между частицами олова образовывался толстый слой окиси алюминия, а сами частицы покрывались тонким слоем окиси олова. Затем сверху напыляли слой алюминия для создания верхнего электрода (см. вставку на рис. Б.7).

Кривые, представленные на рис. Б.7, были получены в магнитном поле, достаточно большом для того, чтобы разрушить сверхпроводи-

Рис. Б.6. Туннельные проводимости при температуре Т = 50 мК контактов с пленками Бе с различными сопротивлениями. Из-за слишком большого сопротивления при Т = 50 мК измерения на самой высокоомной пленке были проведены при Т = 700 мК [8]

Рис. Б.7. Туннельные характеристики структуры А1 — гранулы Sn — Al при различных температурах. Схема структуры показана на вставке, [9]

мость. Тогда все электроды заведомо являются хорошими металлами, и вольт-амперные характеристики структуры должны были бы быть горизонтальными прямыми. Падение проводимости, наблюдаемое при малых напряжениях и нарастающее при понижении температуры, есть следствие малости промежуточных электродов — гранул олова, т. е. следствие кулоновской блокады.

Кулоновская блокада является широко исследуемым и используемым явлением при изучении наноструктур. В них обычно промежуточным электродом является одиночная гранула. Мы здесь сталкиваемся с кулоновской блокадой в другом предельном случае, когда

гранул очень много. В эксперименте, представленном на рис. Б.7, гранулы образуют двумерный слой. Совокупность гранул может образовывать и трехмерный объемный конгломерат. Он называется гранулированным металлом, и ему посвящена отдельная глава этой книги (гл. 8). Там, в частности, описаны и измерения эффективной плотности состояний в гранулированном металле, выполненные при помощи туннельной методики. При этом гранулированный металл являлся не промежуточным электродом, как на рис. Б.7, а одним из двух основных электродов, в соответствии со схемой рис. Б.1.

Имея в виду дальнейшее развитие туннельной методики и ее возможностей, следует обратить внимание на то, что формула (Б.1) предполагает, что при туннелировании не сохраняется волновой вектор. Несохранение нормальной по отношению к поверхности контакта компоненты волнового вектора естественно; оно обусловлено нарушением однородности пространства в соответствующем направлении. Тангенциальная компонента не сохраняется лишь из-за шероховатости поверхности контакта. Если барьер контакта изготовить с атом- но гладкими краями, то можно рассчитывать на туннелирование с сохранением тангенциальной компоненты волнового вектора. Такое туннелирование следует назвать когерентным.

Когерентное туннелирование было реализовано в специальных экспериментах [10], схема и результаты которых приведены на рис. Б.8. Туннелирование осуществлялось через тонкий барьер между двумя двумерными квантовыми ямами. Ямы из двух слоев GaAs толщиной 140 А каждый с барьером из AlAs толщиной 70 А между ними были изготовлены методом молекулярной эпитаксии. С обеих сторон эта структура была прикрыта слоями Alo.3Gao.7As. Общая толщина этого пятислойного сэндвича была около 50 мкм. С двух торцов пластины были вожжены индиевые контакты 7 и £, через каждый из которых можно было осуществлять электрический контакт с обеими ямами с двумерным электронным газом, а сверху и снизу были напылены металлические затворы (см. вставку на рис. Б.8). Затворы ад и &2 использовались для того, чтобы разрезать двумерный газ в соответствующей яме на две части и превратить параллельное подсоединение двумерных ям к индиевым контактам в последовательное, с включением между ними туннельного промежутка (затвор ai отрезает двумерный газ в нижней яме от контакта 2, а затвор 0,2 — двумерный газ в верхней яме от контакта 1). При помощи затворов Н и ^ можно было менять концентрацию носителей, соответственно, в нижней и верхней ямах.

При выращивании этой структуры пришлось решать две сложные экспериментальные задачи, потребовавшие жесткого контроля процесса молекулярной эпитаксии. Во-первых, требовалось получить атомно гладкую границу между слоями GaAs и AlAs на очень большой площади. Во-вторых, электронные плотности в двух ямах должны быть изначально примерно одинаковы.

Посмотрим, как должен вести себя туннельный ток при выполнении обоих законов сохранения, и энергии и импульса. Соединив кон-

Рис. Б.8. Зависимость проводимости G12 между контактами 1 и 2 и пропорционального ей туннельного тока J от напряжения на затворе £2 при фиксированном напряжении на затворе ti. При этом, как показано на вставке, нижний электронный газ отсечен запирающим напряжением на затворе сы от контакта 2, а верхний — напряжением на затворе а 2 от контакта 1 [10]. Температура Т = 1,5 К, тянущее напряжение v = 0,1 мВ

такты 1 и 2 внешней цепью, в которой имеется только пренебрежимо маленькая измерительная разность потенциалов и^ мы сравниваем ферми-уровни по обе стороны барьера и автоматически получаем выполнение закона сохранения энергии. В двумерном газе весь волновой вектор лежит в плоскости и равен

кР = (27ГП)1/2.(Б.7)

Поэтому в нулевом магнитном поле когерентное туннелирование возможно только при одинаковых концентрациях электронов в ямах.

Приведенная на рис. Б.8 кривая получена при тянущем напряжении v = 0,1 mV и при некотором фиксированном напряжении на нижнем затворе V1- Она демонстрирует зависимость туннельного тока J = уСхд от напряжения на верхнем затворе ^2, т- о. от концентрации электронов П2 в верхней яме. Пик туннельного тока возникает при равенстве концентраций в обеих ямах, ni = %2- Как и должно быть, он смещается при изменении V1- Относительная величина пика определяет отношение когерентного и некогерентного туннелирования.

Картину дополняют две ступени на кривой Т(Тф) слева от когерентного пика. Первая ступень возникает тогда, когда концентрация электронов в верхней яме под затвором t^ уменьшается настолько, что под ним получается изолятор. Тогда площадь туннельного контакта уменьшается примерно вдвое. Вторая ступень возникает при

том напряжении 4^2, когда электрическое поле от затвора £2 разрезает электронный газ в нижней яме и полностью разрывает электрическую цепь между контактами 1 и 2.

Список литературы

Туннельные явления в твердых телах. — М.: Мир, 1973 (перевод книги Tunneling phenomena in solids, eds. E. Burstein, S. Lundquist. — Plenum, 1969).

Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение. — М.: Мир, 1974 (перевод книги Solymar L. Superconductive tunneling and applicationsio. — Chapman and Hall, 1972).

Aleiner LL.^ Brouwer P. Ж, Glazman L.L Quantum effects in Coulomb blocade // Phys. Rep. 358, 309 (2002).

Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 75, 4266 (1995).

McMillan W.L. Mochel J. // Phys. Rev. Lett. 46, 556 (1981).

Hertel G., Bishop B.J., Spencer E.G., Rowell J.M. Dynes R. C. // Phys. Rev. Lett. 50, 743 (1983).

Massey J. G., Lee M. // Phys. Rev. Lett. 77, 3399 (1996).

Butko V.Yu., DiTusa J.F., Adams P.W. И Phys. Rev. Lett. 84, 1543 (2000).

Giaever L, Zeller H.R. // Phys. Rev. Lett. 20, 1504 (1968).

Eisenstein J.P., Pfeiffer L.N., West K.W. // Appl. Phys. Lett. 58, 1497 (1991); Phys. Rev. В 44, 6511 (1991)

Указатель материалов ';

Ag, пленка 6.8

Al, пленка 2.10

Al, гранулир. 8.3

Al-Pd-Mn, квазикристал. 7.10

Al-Pd-Re, квазикристал. 7.11, 7.12

Ан, пленка 2.3, 6.8

Ан, гранулир. 8.2, 8.5, 8.6

Be, пленка 3.10, 4.7, Б.6

Bi, аморф., пленка 6.11

Cs-Au 7.6, 7.7

Си, пленка 2.3, 2.11, 6.8

GaAs 4.5, 6.9, 9.26

GaAs/GaAlAs, гетероструктура 2.14, 5.3, 6.7, 9.7 - 9.9, 9.18 - 9.21, 9.23,

Б.8

p-Ge 3.6, 4.1

Ge-Ан Б.З

Ge:Ga 4.2

Ge:P, Ge:Sb 3.5

Ge/SiGe, гетероструктура 9.27

In, гранулир. 8.1

InGaAs/InP, гетероструктура 2.13

InO, аморф. 2.4

InP 4.4

Li, пленка 2.10

Mg, пленка 2.9, 2.10, 2.12

Nb3Sb, Nb3Sn 1.4

Ni, гранулир. 8.5 - 8.7

Pb 8.4

Sb-Cd, гранулир. 8.8, 8.9

Sb-Ga, гранулир. 8.8, 8.10

Si:As 4.6, 6.4, 6.5

Si:B 3.9, 4.2, 4.8 - 4.10, Б.2, Б.5

Si-Nb Б.4

Si:P 5.18

Si, MOS-структура 2.5, 5.6, 5.7, 6.10, 9.5, 9.6, 9.17

Sn, гранулир. Б.7

TiAl 1.5

WO2 1.7

Y 1.6

Щелочной металл - Pb 7.2- 7.5

Щелочной металл - Sn 7.4, 7.5

Ссылки приведены на номера рисунков, а не страниц

Предметный указатель '1

Абрахамса-Миллера сетка 66

Аморфный материал 16, 30, 126, 159

Атомные конфигурации

— Зинтля 134

локальные в квазикристаллах 138

Всплывание уровней 194, 203

Время

магнитное, тв, 33

рассасывания электронной неоднородности 224

— рассеяния

упругого, т, 19, 24

электрон-фононного, трн, 21, 47

электрон-электронное, те, 45, 46

электрон-электронное, баллистическое, т^а11, 44, 48

электрон-электронное, диффузионное, т^lff, 44, 48

расфазировки, тее, 43

сбоя фазы, т^ 24

спин-орбитальное, tso, 36

туннелирования 152

эффективное, тел, 21, 47

Грюнайзена функция 17, 22

Диаграмма

критической области перехода металл-изолятор 117

однопараметрического скейлинга 111, 128

потока 200, 203

прыжковой проводимости 73

совместного магнитного и размерного квантования 169

частота столкновений - температура 22, 46

электронная концентрация - беспорядок 105

Димерная модель 94

Диффузия электронов 25, 44, 118

Длина

волны электрона, l/fe, 9, 106

диффузионная, L^, Lee, 27, 43

магнитная — см. Радиус магнитный

корреляционная, £, ПО, 115, 160, 214, 218

локализации, £,64, 122, 150,

215

свободного пробега, Z, 9, 14, 91 Интеграл перекрытия 82, 103, 104 Инвариант

в задачах связей, 1ь, 209, 210

в задачах узлов, Is^ 209, 210, 213

Кермет 147

Класс универсальности 116

Компьютерное моделирование 59, 61, 97, 100, 209, 211, 217

Корбино диск 173, 177, 189

Корреляции

в случайном потенциале 94, 96

актов рассеяния 19

Край подвижности 84, 97

Локализационный параметр, авп-1/3, 100, 103, 104

Металл

2D 126, 129

аморфный 16, 126

при Т = 0, определение 80, 119

жидкий 11, 131

стандартный 10, 16, 130

Микроволновый бильярд 97

Мягкая щель 61, 78, 156, 221-226

Мягкая локализация 167, 171

1) В указатель не включены термины и понятия, фигурирующие в оглавлении.

Параллельные каналы проводимости

— в металлах с сильным рассеянием 18

— в полупроводниках 68

Покрытие Пенроуза 138 Проводящие каналы — в одно- и многоканальных

1 D-проводниках 85

— идеальные 85, 185

— краевые 184

Радиус

— Бора, ав, 53, 65, 99

— локализации — см. Длина локализации

— магнитный, г в, 33, 167

— перколяционный, тс, 67, 212

— экранирования, тв1 101

— электронной орбиты на N-том уровне Ландау, tn, 170

Размерное квантование ПО, 149, 167

Размерность

-2 + s 112,116

— в перколяционных задачах 210 — относительно

квантовых поправок к проводимости 27, 44, 46

перехода металл-изолятор 84

Рассеяние назад

— в краевых каналах 184

— в одномерных системах 88

— в условиях слабой локализации 30

Резервуар — см. Термостат

Резонансные ямы 83, 99

Сверхпроводимость 127, 149, 150,

156, 160, 221

Случайное электрическое поле 53 Случайный потенциал

— короткодействующий 172, 185

— крупномасштабный 171, 181

Статический скин-эффект 167,

186

Структурный беспорядок 12, 98, 135, 142

Структурный фактор 12

Термостат (или резервуар) 38, 85,

179

Хаббарда энергия 102

Хаотические осцилляции кондак- танса 91

Холловский

— изолятор 193, 201

— квантовые жидкости 192, 201

— проводимость 166

— сопротивление 166, 173

— ток 186

Цилиндрические пленки 34

Частота

— столкновений эффективная 21, 47

— циклотронная 33, 165

Шунтирующее сопротивление 18

Эйнштейна соотношение 118

1) Материал этой главы, как и предыдущей, полезно прочесть и в ином изложении, например, в книге [1] и в обзорах [2, 3].

х) Элементарное математическое изложение теории перколяции можно найти в книгах [1, 2]; оно же, но применительно к проблемам физики твердого тела, имеется в книге [3]. Ряд физических приложений обсуждается также в обзоре [4].

УДК 538.9ББК 22.37 Г 19УДК 538.9ББК 22.37 Г 19ISBN 5-9221-0578-7ISBN 5-9221-0578-7© ФИЗМАТЛИТ, 2005© В. Ф. Гантмахер, 2005© ФИЗМАТЛИТ, 2005© В. Ф. Гантмахер, 2005

УДК 538.9

ББК 22.37 Г 19

УДК 538.9

ББК 22.37 Г 19

ISBN 5-9221-0578-7

ISBN 5-9221-0578-7

© ФИЗМАТЛИТ, 2005

© В. Ф. Гантмахер, 2005

© ФИЗМАТЛИТ, 2005

© В. Ф. Гантмахер, 2005

Издание осуществлено при поддержке и Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 04-02-30005д

Гантмахер В. Ф. Электроны в неупорядоченных средах. — 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 232 с. - ISBN 5-9221-0578-7.

Книга предназначена для студентов старших курсов и аспирантов, специализирующихся в области физики твердого тела, а также для научных сотрудников и всех, кто профессионально нуждается в понимании основ физических процессов, управляющих поведением электронов в твердых телах. Она написана с минимумом математики. Основное внимание уделено обсуждению физической сущности явлений и выявлению глубинных связей и аналогий между ними.

Научное издание

ГАНТМАХЕР Всеволод Феликсович