ПРЕДИСЛОВИЕ

Некоторые предварительные замечания. Физические исследования, выполненные в конце XIX ——первой половине XX столетий, выявили исключительное своеобразие законов, управляющих поведением микрообъектов — атомов, электронов и т. д. На основе этих исследований была создана новая физическая теория ——квантовая механика.

Процесс становления квантовой механики оказался достаточно сложным и длительным. Сравнительно быстро (к началу 30-х годов) была построена математическая часть теории вместе с набором правил, связывающих теорию с опытом, а затем продолжалось затянувшееся на десятилетия осмысливание физико-философского содержания использовавшихся в теории математических символов. Как писал Фок [1],《аппарат нерелятивистской квантовой механики, не содержащий никаких внутренних противоречий, успешно применялся к решению конкретных задач атомной физики, но физическое толкование его оставалось долгое время неясным».

Трудности физической интерпретации аппарата квантовой механики неслучайны. С квантовой механикой связаны диалектика новых закономерностей, радикальный пересмотр самого характера вопросов, которые физик «вправе задавать природе», переосмысливание роли исследователя в изучаемом им мире, новый подход к вопросу о соотношении необходимого и случайного в физических явлениях, отказ от многих привычных понятий и представлений. Квантовая механика рождалась в обстановке горячих столкновений противоречивых суждений, в обстановке дискуссий. Не случайно то, что в процессе ее становления приняли участие многие выдающиеся умы: Н. Бор, А. Эйнштейн, М. Планк, Э. Шредингер, М. Борн, В. Паули, А. Зоммерфельд, Л. де Бройль, П. Эренфест, Э. Ферми, В. Гейзенберг, П. Дирак, Р. Фейнман и др.

Не случайно и то, что по сей день существует своеобразный психологический барьер, с которым в той или иной мере сталкиваются все, кто начинает изучать квантовую механику. И дело тут отнюдь не в математической

сложности. Дело в том, что трудно отказываться от привычных понятий, трудно перестраивать выработанный на основе повседневного опыта стиль мышления.

Начиная изучение квантовой механики, полезно иметь представление о ее месте и роли. В связи с этим обсудим (разумеется, в самых общих чертах) следующие три вопроса: Что такое квантовая механика? В каком отношении к классической физике находится квантовая механика? Каким специалистам она нужна?

Итак, что такое квантовая механика?

На поставленный вопрос можно ответить по-разному. Прежде всего квантовая механика ——это теория, описывающая свойства материи на уровне микроявлений; она рассматривает законы движения микрообъектов. Микрообъекты (молекулы, атомы, элементарные частицы)— основные «действующие лица» в квантовой механике.

С более широкой точки зрения квантовую механику следует рассматривать как теоретическую основу современного учения о строении и свойствах вещества. По сравнению с классической физикой квантовая механика рассматривает свойства вещества на более глубоком, более фундаментальном уровне. Она позволяет раскрыть многие «почему?», остававшиеся без ответа в классической физике. Почему, например, алмаз тверд? Почему электропроводность полупроводника растет с увеличением температуры? Почему магнит утрачивает свои свойства при нагревании? На эти и многие подобные вопросы классическая физика ответа не дает; здесь необходимо обращаться к квантовой механике. Наконец, надо подчеркнуть, что квантовая механика дает возможность рассчитать многие физические параметры вещества. Отвечая на вопрос «что такое квантовая механика?», Лэмб заметил [2]: ^Единственный простой 〃 легкий ответ состоит 6 том, что квантовая механика представляет собой науку, обеспечивающую нас удивительным набором пра^ вил расчета определенных физических свойств вещества»,

В каком отношении к классической физике находится квантовая механика? Прежде всего отметим, что квантовая механика содержит классическую механику как свой предельный случай; при переходе от микрообъектов к макрообъектам законы квантовой механики превращаются в законы классической механики. В связи с этим иногда не очень удачно говорят, что квантовая механика «работает» в микромире, а классическая — в макромире.

Такое утверждение предполагает наличие некоего отдельного «микромира» и некоего отдельного «макромира». В действительности же можно говорить о существовании микрообъектов (микроявлений) и макрообъектов (макроявлений). При этом существенно, что в основе макроявлений лежат микроявления, макрообъекты построены из микрообъектов. Следовательно, переход от классической физики к квантовой механике есть переход не из одного《мира》в другой《мир》，а от менее глубокого к более глубокому уровню рассмотрения вещества. Это означает, что, изучая поведение микрообъектов, квантовая механика рассматривает фактически те же самые макрообъекты, но на более фундаментальном уровне. Кроме того, надо иметь в виду, что грань между микро- и макроявлениями в общем случае достаточно условна и подвижна. Классические представления нередко оказываются полезными при рассмотрении микроявлений, а квантовомеханические ——при рассмотрении макроявлений. Существует даже специальный термин «квантовая макрофизика», который используют, в частности, применительно к квантовой электронике, явлениям сверхтекучести и сверхпроводимости и в целом ряде других случаев.

Обсуждая вопрос о том, каким именно специалистам нужна квантовая механика, сразу оговоримся, что здесь речь идет о специалистах, подготавливаемых в технических вузах. Можно указать по крайней мере три профиля инженерных специальностей, для которых изучение квантовой механики насущно необходимо. Во-первых, это инженеры, работающие в области ядерной энергетики, применения в народном хозяйстве радиоактивных изотопов. Во-вторых, это инженеры, работающие в области материаловедения (улучшение свойств материалов, создание новых материалов с наперед заданными свойствами). В-третьих, это инженеры, работающие в области электроники и прежде всего в области полупроводниковой и лазерной техники. Если учесть, что сегодня фактически любая отрасль народного хозяйства широко использует как новые материалы, так и электронику, то станет ясно, что полноценная инженерная подготовка уже невозможна без достаточно серьезного изучения квантовой механики.

Построение книги. Данная книга имеет целью познакомить читателя с понятиями и представлениями кванто-

вой механики, ее физическими свойствами; выявить логику новых идей; показать, как эти идеи «вживляются» в математический аппарат линейных операторов; продемонстрировать работу аппарата на ряде примеров и задач, интересных для выпускников инженерных специальностей.

Книга состоит из трех глав. В первой главе в качестве своеобразного введения в квантовую механику рассмотрена специфика физики микрообъектов; основное внимание уделено основополагающим идеям квантования и дуализма и соотношениям неопределенностей. Задача этой главы: «ввести в игру》основное «действующее лицо»—микрообъект и показать необходимость отказа от ряда представлений классической физики.

Во второй главе рассмотрены физические основы квантовой механики. Глава начинается с анализа совокупности принципиальных опытов, являющейся фундаментом для системы квантовомеханических представлений. В основу рассмотрения этой системы положено понятие амплитуды вероятности перехода. На различных примерах продемонстрированы правила работы с амплитудами, прежде всего интерференция амплитуд. Рассмотрены принцип суперпозиции и измерительный акт. На этом заканчивается первый этап обсуждения физических основ теории. На втором этапе на основе амплитудных представлений дан анализ проблемы причинности в квантовой механике. При рассмотрении причинности введена гамильтонова матрица; ее роль продемонстрирована на примерах микрообъектов с двумя базисными состояниями и в особенности на примере электрона в магнитном поле. Глава завершается обобщающим параграфом физикофилософского характера.

В третьей главе рассмотрено применение линейных операторов в аппарате квантовой механики. В начале главы приведены необходимые математические сведения из теории линейных эрмитовских и унитарных операторов. Затем показано, как следует осуществить «сшивание» физических идей с математическими символами, превращающее аппарат теории операторов в аппарат квантовой теории. Основы этого аппарата рассмотрены далее в конкретном виде в рамках координатного представления; показан переход от координатного представления к импульсному. Обсуждены три способа описания эволюции микросистемы во времени, отвечающие пред«

ставлениям Шредингера, Гейзенберга и Дирака. Для демонстрации работы аппарата рассмотрен ряд характерных задач; особое внимание уделено задачам о движении электрона в периодическом поле и о вычислении вероятности квантового перехода.

В книгу включены интермедии. Это диалоги, в которых автор вправе избрать более свободный и непринужденный стиль рассмотрения тех или иных вопросов. Включая в книгу интермедии, автор исходил из того, что не следует быть слишком серьезным даже при изучении самых серьезных предметов. И тем не менее читатель должен отнестись к интермедиям со всей серьезностью. Они предназначены не столько для умственной разрядки, сколько для облегчения усвоения некоторых достаточно тонких вопросов, чему как нельзя лучше благоприятствует гибкая форма диалога.

Наконец, в книгу включены выдержки из разных работ. Автор уверен, что «живое словом непосредственных создателей квантовой механики даст читателю полезную дополнительную информацию, которая, возможно, была бы утрачена при пересказе.

Замечания личного характера. Автор считает своим приятным долгом выразить самую глубокую признательность члену-корреспонденту АН СССР И. И. Гуревичу, беседы с которым заложили фундамент данной книги. И. И. Гуревич участвовал в обсуждении плана книги и первоначальных набросков, прочитал рукопись книги. Его советы во многом определили как структуру книги, так и характер изложения материала. В частности, под непосредственным влиянием идей, высказанных И. И. Гуревичем, написан раздел «Главное в квантовой механике» в § 16.

Далее автор хотел бы отметить то исключительно большое впечатление, какое оказали на него труды по квантовой механике, принадлежащие перу видного американского физика Р. Фейнмана [3——5]. Читая в данной книге параграфы, посвященные применению понятия амплитуды вероятности, принципу суперпозиции, микрообъектам с двумя базисными состояниями, читатель легко обнаружит определенное сходство с подходом к этим вопросам в «Фейнмановских лекциях по физике». Большое влияние оказали на автора также работы по квантовой механике Н. Бора (хотелось бы отметить замечательный сборник статей [6]), В. А. Фока [1, 7], В. Паули [8],

П. Дирака [9]. Следует также отметить обстоятельные труды по квантовой механике Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [10], Д. И. Блохинцева [11], Э. Ферми [12], Л. Шиффа [13].

Автор особо признателен докт. физ.-мат.^ наук, профессору М. И. Подгорецкому за обстоятельный и крайне полезный анализ рукописи книги. Автор весьма признателен докт. физ.-мат. наук, профессору Ю. А. Вдовину, докт. физ.-мат. наук, профессору Е. Е. Ловецкому, докт. физ.- мат. наук, профессору Г. Ф. Друкареву, докт. техн, наук, профессору В. А. Дьякову, докт. техн, наук, профессору Ю. Н. Пчельникову, канд. физ.-мат. наук, доценту А. М. Полякову, ознакомившимся с рукописью книги и сделавшим ряд ценных замечаний. В заключение автор благодарит А. Н. Тарасову за ее постоянное внимание к работе автора над рукописью, во многом способствовавшее созданию данной книги, а также за большую помощь в подготовке рукописи к печати.

АВТОР: Как известно, основное содержание физической теории составляет система определенных представлений, отражающих в рамках данной теории объективные законы природы. Обсудим систему представлений, лежащих в основе классической физики. Можно ли считать эту систему логически совершенной?

КЛАССИК： Она достаточно совершенна. Представления классической физики формировались на основе длительного человеческого опыта; они выдержали многовековую проверку практикой.

АВТОР: Выделите, пожалуйста, главное в этих представлениях.

КЛАССИК： Я бы выделил три основных момента: непрерывность изменения физических величин, принцип классического детерминизма, аналитический метод исследования объектов и явлений.

Отмечая непрерывность, напомним, что состояние объекта в каждый момент времени полностью определено заданием координат и скоростей, которые являются непрерывными функциями времени. Именно на этом основано представление о движении тел по траекториям. Изменение состояния объекта можно сделать в принципе сколь угодно малым, уменьшая промежуток времени наблюдения.

Классический детерминизм предполагает, что если известно состояние объекта в некоторый момент времени, а также все силы, приложенные к нему, то можно абсолютно точно предсказать состояние этого объекта в любой последующий момент. Так, зная положение и скорость свободно падающего камня в некоторый момент, можно точно указать его положение и скорость в любой дру-

ИНТЕРМЕДИЯ МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ СИСТЕМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ЛОГИЧЕСКИ СОВЕРШЕННОЙ?

Действующие лица: АВТОР и КЛАССИК (физик старого поколения, взгляды которого формировались исключительно на основе классической физики).

”Во всем подслушать жизнь стремясь, Спешат явленья обездушить, Забыв, что если

8 них нарушить Одушевляющую связь, То больше нечего

и слушать..." Гете (《①ауст》)

гой момент, например в момент приземления.

АВТОР: Иными словами, классическая физика предполагает однозначную, жесткую связь настоящего с будущим, равно как и прошедшего с настоящим.

КЛАССИК： Возможность такой связи событий органически согласуется с непрерывным характером изменения физических величин: для каждого момента времени у нас есть ответ сразу на два вопроса — чему равны координаты объекта и как быстро они меняются.

Наконец, об аналитическом методе исследования объектов и явлений. Здесь мы имеем дело с особенно важным моментом в системе представлений классической физики. Последняя рассматривает материю состоящей из разных частей, которые хотя и взаимодействуют друг с другом, однако могут исследоваться в индивидуальном порядке. Это означает, во-первых, что объект может быть выделен из окружающей среды и рассмотрен как самостоятельное целое, и, во-вторых, этот объект может быть при необходимости расчленен на составляющие части, исследование которых позволяет понять сущность панно- го объекта.

АВТОР: Классическая физика сводит вопрос «что есть данный объект?» к вопросу «из чего состоит данный объект?» КЛАССИК： Это естественно. Чтобы понять какое-то устройство, надо хотя бы мысленно «разобрать》 его на части. Впрочем, в детстве все мы неоднократно пытались проделать подобную операцию далеко не мысленно. То же самое и с явлениями: чтобы понять сущность какого-то явления, требуется «расчленить» его во времени, т. е. выяснить, что именно после чего происходит.

АВТОР: Но всякое расчленение разрушает представление об объекте или явлении как о целом.

КЛАССИК： В какой-то мере. Однако можно оценить меру этого «разрушения», учитывая всякий раз взаимодействия между частями объекта и связи между временными этапами явления. Может оказаться, что первоначально выделенный объект (или часть его) со временем существенно изменяется вследствие взаимодействия со средой (взаимодействия частей объекта). Однако поскольку изменения имеют непрерывный характер, то всегда можно сохранить индивидуализацию выделенного объекта в течение произвольного промежутка времени. Уместно подчеркнуть внутреннюю логическую связь всех трех рассмотренных здесь основных представлений классической физики.

АВТОР: Я бы добавил, что частным проявлением «принципа анализа» является характерное для классической физики представление о взаимной независимости объекта наблюдения и измерительного прибора (наблюдателя). Есть прибор и есть объект измерения — их можно и должно рассматривать порознь, независимо друг от друга.

КЛАССИК: Не совсем независимо. Включение в электрическую цепь амперметра влияет, разумеется, на величину измеряемого тока. Просто, это влияние всегда можно рассчи* тать, если известно сопротивление амперметра.

АВТОР: Говоря о независимости прибора и объекта измерения, я как раз и имел в виду, что их взаимодействие может быть рассчитано и в этом смысле «исключено из рассмотрения».

КЛАССИК： Тогда я с Вами

полностью согласен.

АВТОР: Об этом хорошо писал Борн [14]: ^Предполагается, что внешний мир ——объект естествознания, с одной стороны, и мы — наблюдающие, мыслящие и вычисляющие субъекты, с другой, полностью отделены друг от друга, что существует способ исследовать явления, не вмешиваясь в их течение. Такова философия науки, при которой выросли мы, люди старого поколения. Этот стиль может быть назван ньютоновским, ибо образцом его является небесная механика Ньютона».

КЛАССИК： Да, таковы в общих чертах представления классической физики. Они основаны на повседневном общедоступном опыте и, можно смело сказать, отвечают здравому смыслу, т. е. воспринимаются как совершенно естественные. Я даже думаю, что «принцип анализа» не только естествен, но, более того, это единственный эффективный метод исследования материи. Непонятно, каким образом можно углубить знания о каком-либо объекте или явлении иначе, как исследуя их составные части. Что же касается принципа классического детерминизма, то он отражает причинность явлений в природе и полностью соответствует духу физики как точной науки. АВТОР: И тем не менее есть основания с самых общих позиций усомниться в «непогрешимости» классических представлений.

Попробуем распространить принцип классического детерминизма на Вселенную в целом. Мы должны прийти к выводу, что положения и скорости всех «атомов» Вселенной в данный момент времени оказываются строго предопределенными положениями и скоростями этих 《атомов》в предыдущие момен

ты. Все происходящее в мире будет, таким образом, заранее предустановлено, все события фатально предопределены. Следуя Лапласу, можно было бы вообразить некое 《сверхсуте- ство», которому досконально известно будущее и прошлое. Как писал Лаплас [15],《ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти. данные анализу, обнял бы 8 одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором». Можно видеть, что мысленная попытка распространения принципа классического детерминизма на всю природу в целом приводит к обоснованию идеи фатализма, которая, очевидно, не соответствует здравому смыслу.

Далее попробуем последовательно применять «принцип анализа» при исследовании строения материи. Будем мысленно дробить изучаемый объект на все более малые части. В конце концов мы дойдем до составляющих объект молекул. Дальнейшее «дробление» позволит сделать заключение: молекулы состоят из атомов. Затем мы выясним, что атомы состоят из ядра и электронов. Привыкнув к выработавшейся тенденции, мы пожелаем выяснить, из чего же состоит электрон. Если бы даже мы получили ответ на этот вопрос, то, очевидно, должны были бы задать следующий вопрос: из чего состоит то, из чего состоит электрон? И так далее. Возникает грустная мысль, что такая «цепочка» во-

просов бесконечна. Тот же здравый смысл восстает против этой «цепочки». А между тем сама по себе она — непосредственный продукт классического мышления.

В разные времена предпринимались попытки так или иначе решить вопрос об указанной выше «цепочке». Приведем два примера. Первый касается взглядов Платона на строение материи. Платон полагал, что материя состоит из четырех «элементов» — земли, воды, воздуха и огня. В свою очередь каждый из элементов состоит из «атомов», имеющих определенную геометрическую форму. Атомы земли — кубы, атомы воды — икосаэдры, атомы воздуха —октаэдры, атомы огня — тетраэдры. Наконец, каждый из атомов сводился к треугольникам. Треугольник же представлялся Платону наиболее совершенной и простой математической формой, которая по этой причине не может ни из чего состоять. Таким образом, Платон свел упомянутую «цепочку» к чисто математическим понятиям ——треугольникам и оборвал ее в этом месте.

Другой пример характерен для начала XX в. Он использует внешнее формальное сходство между планетарной моделью атома и солнечной системой. Делается предположение, что наша солнечная система есть не что иное, как отдельный атом некоего другого, гигантского мира, а обычный атом представляет своеобразную <солнечную систему» какого-то третьего, карликового мира, в котором «наш электрон» является планетой. В этом случае допускается существование бесконечной вереницы все более карликовых миров, равно как и все более гигантских миров. В такой схеме структура материи описывается в соответствии с

примитивным принципом вставленных друг в друга матрешек. «Принцип матрешек», согласно которому природа в малом и большом имеет подобную «структуру», признавали не все физики прошлых поколений. Однако этот принцип достаточно характерен для классической физики; он соответствует ее духу, ибо вытекает непосредственно из классического «принципа анализа». Критикуя в связи с этим взгляды Паскаля, французский физик Ланжевен писал [16]:《Паскаль предполагал одинаковое строение бесконечно малого и бесконечно большого. С этой точки зрения, мы на всех ступенях должны были 6垃 встречать одинаковые аспекты действительности, к которым приложимы одни и те же представления. Вселенная, таким образом, уподоблялась тем матрешкам, которые вставляются одна в другую, — абсолютно одинаковым, но все более уменьшающимся 6 размерах. К счастью, действительность оказывается гораздо богаче и несравненно интереснее».

Итак, мы убедились, что последовательное применение принципов классической физики может в отдельных случаях приводить к заключениям, которые заведомо представляются сомнительными. Отсюда следует вывод о существовании ситуаций, для которых классические принципы оказываются непригодными. Так, следует ожидать, что при достаточно сильном «раздроблении» материи сам принцип анализа должен изживать себя (а вместе с ним должна, очевидно, изживать себя и идея независимости объекта измерения и прибора). В связи с этим вопрос «из чего состоит электрон?» может оказаться попросту лишенным смысла.

Если это так, то мы должны признать относительность столь

милых нашему разуму и уютных классических представлений и выработать какие-то качественно новые представления о движении материи. Классическое стремление к безграничной детализации объектов и явлений, это воспитанное в нас ве

ками желание 《so всем подслушать жизнь», приводит на определенном этапе к нарушению «одушевляющей связи», и возникает ситуация, когда, по выражению Гёте,《больше нечего и слушать».

ГЛАВА

§ 1. НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И &ВОЙСТВА МИКРООБЪЕКТОВ

Микрообъекты. К микрообъектам относятся молекулы, атомы, атомные ядра, элементарные частицы. Довольно богатый сегодня «список» элементарных частиц включает в себя кванты электромагнитного поля (фотоны) и две группы частиц: так называемые адроны 〃 лептоны. Для адронов характерно сильное (ядерное) взаимодействие, тогда как лептоны никогда не участвуют в сильных взаимодействиях. К лептонам относят электрон, мюон и два нейтрино — электронное и мюонное. Группа адронов существенно многочисленнее. К ним относятся нуклоны (протон и нейтрон), мезоны (группа частиц, масса которых меньше массы протона) и гипероны (группа частиц, масса которых больше массы нейтрона). Почти всем элементарным частицам соответствуют античастицы; исключение составляют фотон и некоторые нейтральные мезоны.

Говоря о характеристиках микрообъектов, укажем прежде всего массу покоя и электрический заряд. В качестве примера отметим, что масса электрона m = 9,l X X 10-28「，ПрОТон имеет массу, равную 1836 т, нейтрон —— 1839 m, мюон ——207 m. Относящиеся к мезонам пионы (л-мезоны) имеют массу около 270 т, а каоны (К-мезо- ны)—от §70 他 до 1750 ш. Массу покоя фотона и обоих нейтрино полагают равной нулю.

Масса молекулы, атома, атомного ядра равна сумме масс составляющих данный микрообъект частиц за вычетом некоторой величины, называемой дефектом массы. Дефект массы равен деленной на квадрат скорости света энергии, которую надо затратить для того, чтобы «развалить» микрообъект на составляющие его частицы (эту энергию принято называть энергией связи). Чем сильнее связаны друг с другом частицы, тем больше дефект массы. Наиболее сильно связаны нуклоны в атомных ядрах—приходящийся на один нуклон дефект массы превышает 10 т.

Величина электрического заряда любого микрообъекта кратна величине заряда электрона; последняя равна 1,6-10~19 Кл (4,8-10~10 ед. CGSE). Наряду с заряженными существуют нейтральные микрообъекты (например,

фотон, нейтрино, нейтрон). Электрический заряд сложного микрообъекта равен алгебраической сумме зарядов составляющих его частиц.

Спин микрообъекта. Одной из важнейших специфических характеристик микрообъекта является спин. Спин можно интерпретировать как своеобразный момент импульса микрообъекта, не связанный с движением микрообъекта как целого, неуничтожимый, не зависящий от внешних условий (его часто называют внутренним моментом импульса микрообъекта). Квадрат этого момента импульса равен 力2s(s+1). Здесь s — определенное для данного микрообъекта целое или полуцелое положительное число (именно это число и называют обычно спином), 力一универсальная физическая постоянная, играющая в квантовой механике исключительно важную роль. Ее называют постоянной Планка; она равна 1,05-10-34 Дж-с. Спин s фотона равен 1, спин электрона (как и спин любого лептона) равен V2, спин нуклона тоже равен V2； у пионов и каонов спина нет.

Спин микрообъекта ——его специфическая характеристика. Он не имеет классического аналога и, безусловно, указывает на «внутреннюю сложность» микрообъекта. Правда, иногда с понятием спина пытаются сопоставить модель объекта, вращающегося вокруг своей оси (само слово《спин》переводится как《веретено》). Такая модель наглядна, но неверна. Во всяком случае, ее нельзя принимать буквально. Встречающийся в литературе термин «вращающийся микрообъект》 означает отнюдь не вращение микрообъекта, а лишь наличие у него специфического внутреннего момента импульса. Для того чтобы этот момент «превратился» в классический момент импульса (и тем самым объект начал бы действительно вращаться), необходимо потребовать выполнения условия s》l. Однако такое условие никогда не выполняется.

Специфичность момента импульса микрообъекта проявляется, в частности, в том, что его проекция на любое фиксированное направление принимает дискретные значения: hs,力(s—1),...,—力s — всего 2s + 1 значений. Это означает, что микрообъект может находиться в 2s+l спиновых состояниях. Следовательно, наличие у микрообъекта спина приводит к появлению у него добавочной (внутренней) степени свободы.

Бозоны и фермионы. Знание спина микрообъекта позволяет судить о характере его поведения в коллекти-

ве себе подобных (иначе говоря, позволяет судить о статистических свойствах микрообъекта). Оказывается, что по своим статистическим свойствам все микрообъекты в природе разделяются на две группы: группа'микрообъектов с целочисленным спином или без спина и группа микрообъектов с полуцелым спином.

Микрообъекты первой группы способы «заселять» одно и то же состояние в неограниченном числе, причем вероятность попадания микрообъекта в данное состояние тем выше, чем сильнее это состояние «заселено». О таких микрообъектах говорят, что они подчиняются статистике Бозе ——Эйнштейна; для краткости их называют просто бозонами. Микрообъекты второй группы могут «заселять» состояния только поодиночке; если рассматриваемое состояние занято, то никакой микрообъект данного типа уже не может попасть в него. О таких микрообъектах говорят, что они подчиняются статистике Ферми — Дирака; для краткости их называют фермионами.

Из элементарных частиц к бозонам относятся фотоны и мезоны, а к фермионам — лептоны (в частности, электроны), нуклоны, гипероны. Тот факт, что электроны относятся к фермионам, отражен в хорошо известном принципе запрета Паули.

Нестабильность микрообъектов. Все элементарные частицы, за исключением фотона, электрона, протона и обоих нейтрино, нестабильны. Это означает, что они самопроизвольно, без каких-либо воздействий извне распадаются, превращаясь в другие частицы. Например, нейтрон самопроизвольно распадается на протон, электрон и электронное антинейтрино (п-^р + е~ + уе). Невозможно предсказать, когда именно произойдет указанный распад того или иного конкретного нейтрона; каждый конкретный акт распада случаен. Однако если проследить за множеством актов, то обнаруживается закономерность распада. Предположим, что в момент t = 0 имеется ^o нейтронов (No》l). Тогда к моменту t останется ^(Z)= %о = ехр (——〃t) нейтронов, где т есть некоторая характерная для нейтрона постоянная. Ее называют «временем жизни》нейтрона; она равна 103 с. Величина ехр (——%/t) определяет вероятность для отдельного нейтрона не распасться по истечении времени %.

Каждая нестабильная элементарная частица характеризуется своим временем жизни. Чем меньше время жизни, тем больше вероятность распада частицы. Например, время жизни мюона составляет 2,2-10-6 с, положительно заряженного л-мезона — 2,6-10-8 с, нейтрального л-мезона ——10-16 с, гиперонов ——около 10~10 с. В последние годы обнаружено большое число около 100 частиц с аномально малым временем жизни 10-22—10-23 с, получивших название резонансов.

Примечательно, что гипероны и мезоны могут распадаться различными способами. Например, положительно заряженный л-мезон может распадаться на мюон и мюонное нейтрино (л-Ь-^ц+Ч-у^), на позитрон (антиэлектрон) и электронное нейтрино (n+->e+ + ve), на нейтральный л-мезон, позитрон и электронное нейтрино (л+->л° + е+ + + ve). Для конкретного л-мезона нельзя предсказать не только время распада, но и тот способ распада, который данный мезон «выберет».

Нестабильность присуща не только элементарным частицам, но и другим микрообъектам. Явление радиоактивности (самопроизвольное превращение изотопов одного химического элемента в изотопы другого, сопровождающееся испусканием частиц) показывает, что нестабильными могут быть атомные ядра. Атомы и молекулы в возбужденных состояниях также оказываются нестабильными: они самопроизвольно переходят в основное или менее возбужденное состояние.

Определяемая вероятностными законами нестабильность есть, наряду с наличием спина, второе сугубо специфическое свойство, присущее микрообъектам. Его также можно рассматривать как указание на некую «внутреннюю сложность» микрообъекта.

В заключение заметим, что нестабильность — это специфическое, но отнюдь не обязательное свойство микрообъекта. Наряду с нестабильными существует много стабильных микрообъектов: фотон, электрон, протон, нейтрино, стабильные атомные ядра, а также атомы и молекулы в основном состоянии.

Взаимопревращения микрообъектов. Глядя на схему распада нейтрона (n~-^p + e- + ve), неискушенный читатель может предположить, что нейтрон состоит из связанных друг с другом протона, электрона и электронного антинейтрино. Такое предположение ошибочно. Распад элементарной частицы отнюдь не является распадом

в буквальном смысле слова; это есть акт превращения исходной частицы в некую совокупность новых частиц: исходная частица уничтожается, новые частицы рождаются. Несостоятельность буквального толкования термина «распад частицы» становится очевидной, если учесть, что многие частицы имеют по нескольку разных способов распада.

Картина взаимопревращений элементарных частиц оказывается существенно богаче и сложнее, если рассматривать частицы не только в свободном, но также и в связанном состоянии. Свободный протон стабилен, а свободный нейтрон распадается по приведенной выше схеме. Если же нейтрон и протон не являются свободными, а связаны в атомном ядре, то ситуация радикально изменяется. Теперь имеют место следующие схемы взаимопревращений: п-^р + л-, /?-＞几十冗+ (здесь 冗-——отрицательно заряженный л-мезон, являющийся античастицей по отношению к я+-мезону). Эти схемы хорошо иллюстрируют беспредметность выяснения того, входит ли протон в 《состав》 нейтрона или же, напротив, нейтрон «в состав» протона.

Повседневный опыт учит: разобрать объект на части—это значит выяснить, из чего именно он структурно состоит. Идея анализа (идея дробления) отражает характерную сторону классических представлений. При переходе к микрообъектам эта идея в определенной мере еще 《работает》： молекула состоит из атомов, атом состоит из ядра и электронов, ядро состоит из протонов и нейтронов. Однако на этом указанная идея себя исчерпывает: «дробление», например, нейтрона или протона не выявляет никакой структуры этих частиц. В отношении элементарных частиц уже нельзя утверждать: «распад объекта на какие-то части» означает, что «объект состоит из этих частей». Именно это обстоятельство и может служить определением самого термина «элементарная частица».

Распады элементарных частиц далеко не исчерпывают всех происходящих взаимопревращений частиц. Не менее богата картина взаимопревращений, происходящих при столкновениях частиц. В качестве примера приведем некоторые схемы взаимопревращений при столкновениях фотонов (у) с протонами и нейтронами:

y +，一〃 + 冗+, Y+九一＞ 2 + 冗一,

y + 尸一＞〃 + 冗°, уЦ-^—*п + л°»

Y +夕一夕+冗+ +冗一，

Y + 〃一＞〃 + 冗。十 *

y + 2一夕 + "十夕("一 антипротон).

Полезно обратить внимание на то, что во всех приведенных здесь схемах сумма масс покоя конечных частиц больше массы покоя исходных. Иначе говоря, энергия сталкивающихся частиц превращается здесь в массу (согласно известному соотношению Е = тс2). Эти схемы демонстрируют, в частности, бесплодность попыток расщепить элементарные частицы (в данном случае нуклоны), «обстреливая» их другими частицами (в данном случае фотонами): в действительности происходит не расщепление обстреливаемых частиц, но рождение новых частиц, причем в определенной мере за счет энергии сталкивающихся частиц.

Исследование взаимопревращений элементарных частиц позволяет выявить определенные закономерности. Эти закономерности выражают в виде законов сохранения неких величин, играющих роль определенных характеристик частиц. В качестве простого примера укажем электрический заряд частицы. При любом взаимопревращении частиц алгебраические суммы электрических зарядов исходных и конечных частиц равны. Закон сохранения электрического заряда отражает определенную закономерность взаимопревращений частиц: он позволяет заведомо исключить из рассмотрения те схемы, где суммарный электрический заряд частиц не сохраняется.

В качестве более сложного примера укажем так называемый барионный заряд частицы. Было подмечено, что число нуклонов при превращениях частиц сохраняется. С открытием антинуклонов обнаружили, что рождение дополнительных нуклонов возможно, но обязательно в паре с антинуклонами. Тогда была введена характеристика частицы ——барионный заряд, равный нулю для фотонов, лептонов и мезонов, единице — для нуклонов, минус единице ——для антинуклонов. Это позволило рассматривать подмеченные закономерности как закон сохранения суммарного барионного заряда частиц. Закон подтвердился также последующими наблюдениями; при этом обнаруженным впоследствии гиперонам пришлось приписать барионный заряд, равный единице (как и нуклонам), а антигиперонам ——равный минус единице (как и антинуклонам).

Универсальные динамические переменные. При переходе от макрообъектов к микрообъектам следует ожидать качественно новых ответов на вопросы: какими динами-

ческими переменными описывается состояние объекта? как описывается его движение? Ответы на эти вопросы в существенной мере раскрывают специфику физики микрообъектов.

В классической физике используются законы сохра- нени兄 энергии, импульса, момента импульса. Как известно, эти законы являются следствиями определенных свойств симметрии пространства и времени. Так, закон сохранения энергии — следствие однородности времени (следствие независимости протекания физических процессов от выбора того или иного момента в качестве начала отсчета времени); закон сохранения импульса — следствие однородности пространства (следствие того, что все точки пространства физически равноправны); закон сохранения момента импульса ——следствие изотропности пространства (следствие того, что все направления в пространстве физически равноправны). Для пояснения свойств симметрии пространства и времени заметим, что благодаря этим свойствам, например, законы Кеплера для движения планеты вокруг Солнца не зависят от положения Солнца в галактике, от ориентации в пространстве плоскости движения планеты, а также от того, в каком именно столетии открыты эти законы. Связь между свойствами симметрии пространства и времени и соответствующими законами сохранения означает, что энергия, импульс и момент могут рассматриваться как интегралы Оеижени凡,сохранение которых есть следствие соответственно однородности времени, однородности и изотропности пространства.

Отсутствие каких-либо экспериментальных указаний на нарушение в микроявлениях отмеченных выше свойств симметрии пространства и времени позволяет заключить, что такие динамические переменные, как энергия, импульс, момент импульса, должны сохранять смысл и в применении к микрообъектам. Иначе говоря, связь этих динамических переменных с фундаментальными свойствами симметрии пространства и времени превращают их в универсальные переменные, т. е. переменные, имеющие «хождение» при рассмотрении самых различных явлений из самых разных областей физики.

Однако при переносе понятий энергии, импульса и момента импульса из классической физики в квантовую механику необходимо учитывать специфику микрообъектов. Напомним в связи с этим известные выражения для

энергии (£), импульса (р) и момента импульса (М) классического объекта, имеющего массу т, координату

г, скорость V：

£=_£^1 +。⑺,〃=加0, М = т (г X ^)«(1.1)

Исключая скорость, получаем отсюда соотношения, связывающие энергию, импульс и момент импульса классического объекта:

e=贵+ "(入(L2)

M = {r X Р\(1・3)

Если обратиться к микрообъекту, то, забегая несколько вперед (см. § 3), следует подчеркнуть: соотношения (1.2) и (1.3) теперь не годятся. Иначе говоря, привычные классические связи между интегралами движения при переходе к микрообъектам становятся непригодными [что же касается соотношений (1.1), то о них вообще не следует говорить, поскольку само понятие скорости микрообъекта, как мы убедимся ниже, не имеет смысла]. Это есть первое качественно новое обстоятельство.

Для рассмотрения других качественно новых обстоятельств необходимо обратиться к двум основополагающим идеям квантовой механики ——идее квантования физических величин и идее корпускулярно-волнового дуализма.

§ 2. ДВЕ ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЕ ИДЕИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Идея квантования (дискретности). Сущность идеи квантования состоит в том, что некоторые физические величины, относящиеся к микрообъекту, могут в соответствующих условиях принимать только какие-то вполне определенные, дискретные значения. Об этих величинах говорят, что они квантуются.

Так, квантуется энергия любого микрообъекта, находящегося в связанном состоянии, например энергия

электрона в атоме. Энергия же свободно движущегося микрообъекта не квантуется.

Предположим, что рассматривается энергия электрона в атоме. Дискретному набору значений энергии

электрона соответствует система так называемых энергетических уровней. Рассмотрим два энергетических уровня: Ei и 占2, как показано на рис. 2.1 (по вертикальной оси откладываются значения энергии электрона). Электрон может иметь энергию Ei или энергию f2 и не может иметь какую-либо «промежуточную» энергию — все зна чения энергии £, удовлетворяющие неравенствам Ei<E<E2f для него запрещены *. При- £ мечательно, что дискретность энергии & отнюдь не означает, что электрон《осу-~

жден» вечно находиться в исходном энергетическом состоянии (например, 々“，㊀ на уровне £\). Электрон может перей

ти на другой энергетический уровень Рис. 2.1 (уровень £2 или какой-то другой), по

лучив или испустив соответствующее количество энергии. Такой переход называется квантовым переходом.

Квантовомеханическая идея дискретности имеет довольно длинную предысторию. Еще в конце XIX в. было установлено, что спектры излучения свободных атомов являются линейчатыми (состоят из набора линий), содержат определенные для каждого элемента линии, которые образуют упорядоченные группы (серии). В 1885 г. было обнаружено, что атомарный водород дает излучение с частотами соп (здесь и ниже используются циклические частоты со, связанные с обычными частотами v соотношением co = 2nv), которые можно описать формулой

где п — целые числа 3, 4, 5, ...; с — скорость света, R — так называемая постоянна凡 Ридберга (/?= 1,097-107 м-1)- Формула (2.1) установлена Бальмером; поэтому принято называть совокупность частот, описываемую этой формулой, серией Бальмера. Частоты серии Бальмера попада-

ют в область видимого спектра. Позднее (в начале XX в.) были открыты дополнительные серии частот излучения атомарного водорода, попадающие в ультрафиолетовую и инфракрасную части спектра. Закономерности в структуре этих серий оказались тождественными с закономерностями в структуре серии Бальмера, что позволило обобщить формулу (2.1), записав ее в виде

⑴"=2гcR 偿".(2.2)

\左2 h2 /

Число k фиксирует серию, причем в каждой серии 几＞归； k = 2 дает серию Бальмера, k= 1——серию Лаймана (ультрафиолетовые частоты), 々=3 ——серию Пашена (инфракрасные частоты) и т. д.

Законо1мерность в структуре серий была обнаружена не только в спектре атомарного водорода, но также и в спектрах других атомов. Она определенно указывала на возможность каких-то обобщений. В качестве такого обобщения Ритц выдвинул в 1908 г. свой комбинационный принцип:《Если даны формулы серий и известны входящие 6 них посто兄从Hbie, то путем комбинации 6 виде сумм и разностей можно новую открытую линию 6 спектре вывести из ранее известных». В применении к водороду этот приннитт следует понимать так. Состав им для разных чисел п так называемые спектральные термы:

T ⑺= 2ncR絞.

Тогда каждая наблюдаемая в спектре водорода частота может быть выражена в виде комбинаци|И какнх」то двух спектральных термов. Комбинируя спектральные термы, можно предсказывать различные частоты.

Примечательно, что в это же время идея дискретности прокладывала себе путь еще в одном направлении (не имеющем отношения к спектроскопии атомов). Речь идет об излучении внутри замкнутого объема, или, иными словами, об излучении абсолютно черного тела. Анализируя экспериментальные данные, Планк в 1900 г. выдвинул знаменательную гипотезу. Он предположил, что энергия электромагнитного излучения испускается стен- кам|И полости не непрерывно, а порциями (квантами), (Причем энергия одного кванта равна

七=力0),(2.3)

где со ——частота излучения, а 力——некоторая универсаль-

ная постоянная (так в физике появилась постоянная Планка). Как известно, гипотеза Планка обеспечила согласие теории с экспериментом и, в частности, устранила неприятности, возникавшие в прежней теории при переходе к большим частотам и известные под названием «ультрафиолетовой катастрофы» (см., например, [17]).

Идея квантования и модель атома водорода по Бору. В 1913 г. Вор предложил теорию атома водорода. Эта теория возникла как результат 《слияния》 планетарной модели атома Резерфорда, комбинационного принципа Ритца м идеи квантования энергии Планка.

Согласно теории Вора, существуют состояния, находясь в которых атом не излучает (стационарные состоя^ ния); энергия этих состояний образует дискретный спектр: fi, £*2, •••, Еп, ... Атом излучает (поглощает), переходя из одного стационарного состояния ib другое; излучаемая (поглощаемая) энергия есть разность энергий соответствующих стационарных состояний. Так, при переходе из состояния с энергией Еп в состояние с меньшей энергией £\ испускается квант излучения с энергией (Еп—EQ, при этом в спектре атома появляется линия ,с частотой

(2.4)

Формула (2.4) выражает знаменитое правило частот Бора.

В теории Бора 几-му стационарному состоянию атома водорода соответствует круговая орбита радиуса гп, по которой электрон движется вокруг ядра. Для вычисления гп Бор предложил воспользоваться, во-первых, вторым законом Ньютона для заряда, движущегося по окружности под действием кулоновской силы:

(здесь m .и е — масса и заряд электрона, vn — скорость электрона на п-й орбите), и, во-вторых, условием квантования момента |Импульса электрона

(2.56)(2.56)mvnrn=nfl.

(2.56)

(2.56)

ииУп：Уп：Используя соотношен'ия (2.5а) и (266), легко наити гп

и

и

Уп：

Уп：

(2.6)

Энергия Еп стационарного состояния состоит из кинетического (Тп) и потенциального (UQ слагаемых: Еп = = Tn+Un. Полагая, что Tn = mun2[2, Un=—е2/гп и используя (2.6), находим

尸— 乙乙--尸— 乙乙--те^те^2h2九22h2九2(2.7)(2.7)

尸— 乙乙--

尸— 乙乙--

те^

те^

2h2九2

2h2九2

(2.7)

(2.7)

Отрицательность энерги)и означает, что электрон находится в связанном состоянии (за нуль принимается энергия свободного электрона).

Подставив результат (2.7) в правило частот (2.4) и сопоставив полученное при этом выражение с формулой (2.2), можно, следуя Бору, найти выражение для постоянной Ридберга:

4лсК34лсК3(2.8)

4лсК3

4лсК3

Теория Бора (или, как теперь принято говорить, «старая квантовая теория》) страдала внутренними противоречиями; так, для определения радиуса орбиты приходилось пользоваться соотношениями совершенно разной пр1ироды — классическим соотношением (2.5а) и «квантовым соотношением» (2.56). Тем не менее эта теория имела большое значение как первый шаг в создании последовательной квантовой теории. При этом удалось впервые объяснить природу спектральных термов (а следовательно, и комбинационного (принципа Ритца) и получить расчетное значение постоянной Ридберга, которое оказалось в прекрасном согласии с ее эмширичеоким значением. Успехи теории говорили о плодотворности идеи квантования. Познакомившись с расчетами Бора, Зом- мерфельд написал ему письмо, где, в частности, писал (см. [18]): ^Благодарю Вас за Вашу чрезвычайно интересную работу. Меня давно занимает проблема выражения постоянной Ридберга при помощи величины Планка. Хот凡 6 данный момент я еще скептически отношусь к моделям атомов 6 целом, тем не менее вычисление этой постоянной, бесспорно,兄6〃兄етсх настоящим подвигом.

О квантовании момента импульса. Заметим, что в отличие от энергии момент импульса |М1Икрообъекта

квантуется всегда. Так, наблюдаемые значения квадрата момента импульса микрообъекта выражаются формулой

加2 =偿4 + 1), (2.93)

где / — целые числа 0, 1, 2, ... Если речь идет о моменте имлульса электрона в атоме в 几-м стационарном (состоянии, то число / принимает значения от нуля до п—1.

В литературе принято называть 〔момент импульса микрообъекта для краткости просто моментом. В дальнейшем будем следовать этому обычаю.

Проекция момента микрообъекта на некоторое направление (обозначим его как ^-направление) принимает значен|Ия

Mz = hm, (2.96)

где т = —/, —/+1, ..., /— 1, /. При данном значении числа / число zn принимает 2/+1 дискретных значений. Под- чер!кнем, что (различные проекции момента микрообъекта на одно и то же направление всегда отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка.

Выше уже отмечалось, что спин есть своеобразный, 《внутренний》момент микрообъекта, 'имеющий для данного микрообъекта определенную величину. В отличие от спинового момента обычный момент принято называть орбитальным. Кинематически спиновой момент аналогичен -орбитальному; естественно, что для нахождения возможных проекций спинового момента надо пользоваться формулой типа (2.96) (как .и в случае орбитального момента, проекции спинового момента отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка). Если s ——спин М|И(кро1объекта (это число было введено в § 1), то проекция спинового момента принимает значения 力сг, где а=——s,——s + 1,…，s—1, s. Так, проекция спина электрона (принимает значения —力/2 и й/2.

Рассматриваемые здесь числа п, /, т, о, фиксирующие различные дискретные значения квантующихся динамических 'переменных (в данном случае энергии и мо- мента), принято называть квантовыми числами. Конкретно： п — так называемое главное квантовое число, / ——орбитальное квантовое 'число, m ——магнитное квантовое число, о — спиновое [квантовое чиело. Существуют и другие квантовые числа.

Противоречия квантовых переходов. Несмотря на большой успех теорИ|И Вора, 'идея квантования порождала первоначально серьезные сомнения; было подмечено, что эта идея внутренне противоречива. Так, в письме к Вору Резе(рфорд писал (в 1913 г.) [19]: «Ваши мысли относительно причин возникновения спектра водорода очень остроумны 〃 представляются хорошо продуманными. Однако сочетание идей Планка со старой механикой создает значительные трудности для понимания того, что 况е ece-таки является основой такого рассмотрения. Я обнаружил серьезное затруднение 6 связи с Вашей гипотезой, 6 котором Вы, без сом从ен^и兄,полностью отдаете себе отчет. Оно состоит 6 следующем: как может электрон знать, с какой частотой он должен колебаться, когда он переходит из одного стационарного состояния в другое? Мне кажется, что Вы вынуждены предположить, что электрон знает заблаговременно, где он собирается остановиться》.

Поясним отмеченную Резерфордом трудность. Пусть электрон находится на уровне Ех (рис. 2.1); чтобы перейти на уровень £2, электрон должен 'поглотить квант излучения (т. е. фотон) с определенной энергией, равной 七2—七1・ Поглощение фотона с любой другой энергией не может приводить к указанному переходу и по этой причине оказывается невозможным (для простоты рассматриваем только два уровня). Возникает вопрос: каким же образом электрон |П1ро'Изводит《внбор》《нужного》фотона из шадающего потока фотонов разной энергии? Ведь чтобы «выбрать» «нужный» фотон, электрон должен уже 《знать》о втором уровне, т. е. должен как бы уже добывать на нем. Однако, чтобы лобывать на втором уровне, электрон должен сначала поглотить «нужный» фотон. Возникает замкнутый логический круг.

Дополнительные противоречия обнаруживаются при рассмотрении скачка электрона с одной орбиты в атоме на другую. Сколь бы ни был быстр переход электрона с орбиты одного радиуса на орбиту другого радиуса, в любом случае он должен происходить в течение конечного промежутка времени (иначе пришлось бы вступить в противоречие с основным требованием теории относительности). Но тогда непонятно, чему должна равняться энергия электрона в течение этого промежутка време-

ни ——ведь электрон уже не находится на орбите, которой отвечает энергия Ei, и в то же время он еще не прибыл на орбиту, которой отвечает энергия Е2.

Неудивительно, что в свое время пред|пр1инимались попытки лолучить объяснение экспериментальных результатов без привлечения идеи квантования. В этом смысле показательно известное замечаиие Шредингера, вырвавшееся у него, что называется, под горячую руку:《Если мы собираемся сохранить эти проклятые квантовые скачки, то я жалею, что вообще имел дело с квантовой теорией!» Однако неумолммнй опыт свидетельствовал в пользу квантования; ни для какой альтернативы не оста- далось места.

В (подобной ситуации есть о дин выход: надо ввести какие-то новые идеи, которые вместе с идеей дискретно- 'сти образовали бы непротиворечивую в целом схему. Такой новой физической идеей 弘 явилась идея корпуску- лярно-вол'нового дуализма.

Идея корпускулярно-волнового дуализма. Классическая физика зна(ком1ит нас с двумя вадами движения — корпускулярным in волновым. Для перъ'ого характерны локализация объекта в пространстве и существование определенной траектории его движения. Для второго характерна, напротив, дело1кал1изация в пространстве; с (волновым движением не сопоставляют никакого локализованного объекта ——это есть движение некоей среды. На уровне макроявлений корпускулярное и волновое движения четко разграничены; одно дело ——движение брошенного вверх камня, совершенно другое дело ——движение волны, набегающей на (прибрежный тесок.

Эти ^привычные 1предста1влен-ия не могут быть, однако, перенесены в квантовую мех а нику. На уровне ,микро- явлений указанное выше четкое разграничение между двумя видами движения в существенной мере стирается—движение микро объекта характеризуется одновременно in волновыми, и корпускулярными свойствами. Еслл схематически рассматривать классические корпускулы и классические волны ка、к два предельных случая описания движения материи, то (микрообъекты должны занять в этой《схеме》место где-то 'посередине. Они не являются ни «чистыми» (в классическом понимании) корпускулами, ни «чистыми» волнами — они являются чем-то качественно иным. Можно сказать, что микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то

мере — на волну, причем эта мера зависит, в частности, от условий, в которых рассматривается микфообъект. Если в классической физике корпускула и волна ——две взаимно исключающие друг друга противоположности (либо частица, либо волна), то теперь, на уровне микроявлений, эти противоположности диалектически объединяются в рамках единого микрообъекта. Это обстоятельство и принято называть корпускулярно-волновым дуализмом («дуализм» означает двойственность).

Первоначально идея дуализма была применена к электромагнитному излучению. Еще в 1917 г. Эйнштейн предложил рассматривать |введенные Планком кванты излучения как своеобразные частицы, обладающие не только определенной энергией, но и определенным импульсом:

E = h^ 〃=^ ・ (2.10)

Позднее (с 1923 г.) эти частицы стали называть фотонами.

Весьма ярко корпускулярные свойства излучения проявились в эффекте Комптона (1923 г.). Пусть пучок рентгеновских лучей рассеивается на атомах вещества. По классическим представлениям рассеянные лучи должны иметь ту же длину волны, что и падающие. Однако опыт показал, что длина волны рассеянных лучей больше начальной длины волны, причем разница в длинах волн зависит от угла рассеяния. Эффект Комптона получил объяснение в предположении, что пучок рентгеновских лучей ведет себя как поток фотонов, которые испытывают упругие столкновения с электронами атомов, с выполнением законов сохранения энергии и импульса для сталкивающихся частиц. При этом достигалось не только качественное, но и количественное согласие с экспериментом (см. [17]).

В 1924 г. де Бройль предложил распространить идею дуализма не только на излучение, но и вообще на все микрообъекты. Конкретно: он предложил с каждым микрообъектом связывать, с одной стороны, корпускулярные характеристики (энергию Е и импульс р), а с другой стороны, волновые характеристики (частоту з и длину волны X). Вза,И1Мосвязь между х а р актеристи к а м,и разного типа осуществляются, ло де Бройлю, через лостоян- кую Планка 力 следующим образом:

£~Йш, Р^^ (2.11)

(iBTOpoe йз этих соотношений известно как формула Нс Бройля). Для фотонов соотношения (2.11) выполняются автоматически, если <в (2.10) подста1в；ить ①= 2nc/九.Смелость гипотезы де Бройля состояла в том, что соотношения (2.11) предполагались выполняющимися не только для фотонов, но и вообще для любых микрообъектов, в частности для таких, у которых есть масса покоя и которые до этого ассоциировались с (корпускулами.

Гипотеза де Бройля получила в 1927 г. подтверждение: была обнаружена дифракция электронов. Исследуя прохождение электронов сквозь тонкие пластинки, Дэвиссон и Джермер (а также Та.ртаковский) обнаружили на экране-детекторе характерные дифракционные кольца. Для «электронных волн» кристаллическая решетка мишени сыграла роль дифракционной решетки. Измерения расстояний между дифракционными кольцами для электронов заданной энергии подтвердили формулу де Бройля.

В 1949 г. Фабрикант с сотрудниками поставили интересный опыт. Они про1пускал,и через дифракционное устройство крайне слабый электронный пучок — промежуток времени между последовательными актами пропускания (между двумя электронами) более чем в 104 раз превышал время, необходимое для прохождения электрона через устройство. Это давало уверенность в том, что на поведение электрона не влияют другие электроны пучка. Опыт показал, что при длительной экспозиции, позволяющей зарегистрировать на экране-детекторе достаточно большое число электронов, возникала такая же дифракционная картина, что и в случае обычных электронных 1пуч,ко1в. Отсюда следовало, что волновые свойства электродов нельзя объяснить как некий эффект коллектива электронов; волновыми свойствами обладает каждый отдельно взятый электрон.

Роль постоянной Планка. Идея квантования вводит дискретность, а дискретность требует определения меры. Роль такой меры играет постоянная Планка. Можно сказать, что эта постоянная как бы определяет «границу» между микроявлениями и макроявлениями. Используя постоянную Планка, а также массу и заряд электрона, можно образовать следующую простейшую композицию, обладающую размерностью длины:

厂1=々=0,53・10-8 см (2.12)

(заметим, что Г\ есть радиус первой орбиты в теории Вора). В соответствии с (2.12) величина порядка 10-8 см может рассматриваться как ;пространст)венная 《Гранина》 'микроявлений. Именно та!ковы линейные размеры атомов.

Если бы при прочих равных условиях постоянная 方 была бы, например, в 100 раз больше, то, согласно (2.12), «граница» микроявлений оказалась бы порядка 10-4 см. Это означало бы, что микроявления ,стали гор аз до 6л〔и- же к нам, к нашим масштабам, атомы стали заметно крупнее. Иными словами, материя оказалась бы в этом случае более《крупнозернистой》и следовало бы 口ри более крупных масштабах пересматривать классические представления.

Как указывалось ранее, проекции момента мижро- объекта отличаются друг от друга на величины, кратные 力[см. (2.96)]. Следовательно, здесь постоянная Планка является попросту шагом квантования. Если орбитальный момент много больше Й, то его квантованием можно п,ренебре1чь; в этом случае цриходим к классическому моменту импульса. В отличие от орбитального спиновой момент ,не может быть достаточно большим. Ясно, что здесь квантованием пренебречь принципиально невозможно; именно поэтому спиновой момент и не имеет классического аналога (это обстоятельство уже отмеча- люсь в § 1).

Постоя1нная Планка органически связана не только с (Идеей квантования, но также и с идеей дуализма. Из (2.11) видно, что эта постоянная играет весьма важную роль — именно она осуществляет《связь» между корпускулярными и волновыми характеристиками микрообъекта. Указанное обстоятельство особенно хорошо видно, если переписать (2.11) в виде, позволяющем учесть векторную 1П<р<И|роду импульса:

E — h^, p=hk, (2.13)

Здесь k — волновой вектор; его направление совпадает с направлением распространения волны, а величина выражается через длину волны следующим образом: Е = =2冗/九.В левые части равенств в (2.13) входят корпускулярные, а в правые — волновые характеристики микрообъекта. Попутно отметим, что вид ссютнотений (2.13) указывает на релятивистскую инвариантность идеи дуализма.

Итак, 'постоянная Планка играет в квантовой механике две основные фоли -— служит мерой дискретности〔и связьпвает воедино корнускулярннй ,и волновой аспекты движения материи. Тот факт, что обе роли играет одна и та же .постоянная, косвенно указывает н>а внутреннее единство двух ос но во по лагаю щ,и х идей квантовой механики.

В заключение подчеркнем, что наличие в том <ил.и ином выражении постоянной Планка является характерным признаком «квантовомеханической природы)> этого выражения .

§ 3. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Идея дуализма и соотношения неопределенностей. Рассмотрим совокупность большого числа шлоских волн (природа волн несущественна), распространяющихся, например, вдоль оси %. Пусть частоты волы «разбросаны» в некотором интервале Аз, а значения волнового вектора — в интервале А亀.Если наложить друг на друга все эти плоские волны, то в результате получится волновое образование, ограниченное в пространстве,—— так называемый волновой пакет (рис. 3.1). Размытие волнового

пакета в пространстве (Ах) и во времени (AZ) определяется соотношениями:

А&Ах 力 J CD

Эти соотношения хорошо известны в классической физике. Тот, кто знаком с радиотехникой, знает, что для создания более л ок а л изов ан но го сигнала надо взять побольше плоских волн с разнь】М|И частотами. Иначе говоря, чтобы уменьшить Ах(И Д/, надо увел;ичи1вать А/ и Д(о.

Далее отвлечемся от волнового пакета <и будем формально полагать, что соотношения (3.1) справедливы те только для классических волн, но также и для (волновых характеристик микрообъекта. Подчеркнем, что это предположение отнюдь не означает, что в действительности мы моделируем микрообъект в виде некоего волнового пакета. Если рассматривать в (3.1) величины со и kx как волновые характеристики микрообъкта и воспользоваться соотношениями (2.13), то нетрудно перейти к анало- ГИЧ1ПЫМ выражениям для корпускулярных характеристик микрообъекта (для его знерпим и импульса):

4』、(3.2)

А"хА* 力力.(3.3)

Эти соотношения были В1первые впеденн Гейзенбергом в 1927 г. Их принято называть соотношениями неопределенностей.

Ооотношопия (3.2)】и (3.3) следует дополнить следующим соотношением пеопредслеьшюстсй:

AMj% 己力，(3.4)

где 厶屮冥一неопределенность угловой координаты м’икро- объекта (р асем атр и в ается (поворот около оон х), а АМ% — неопределенность проекции момента на ось х.

По аналогам с (3.3)】и (3.4) могут быть записаны соотношения для других (Проекций импульса и момента:

кРу'У^Х NPz'z^h、(3.3а)

NMgbQy?h、АМ%△也力九(3.4a)

Смысл соотношений неопределенностей. Обсудим соотношение (3.3). Здесь Ах — неопределенность х-коорди- наты М|Икроо6ъекта, Ар% — неопределенность х-проекции его импульса. Чем меньше Ах, тем больше Дрх, и наоборот. Если М1икрообъект локализован в некоторой определенной точке х, то х-проекция его импульса должна иметь сколь угодно большую неопределенность. Если, напротив, .микрообъект находится в состоянии с определенным значением р%, то он должен быть делокализован по всей оси %.

Иногда соотношение неопределенностей (3.3) трактуют так: нельзя измерить (координату 弘 импульс микро-

объекта с произвольно высокой точностью одновременно; чем точнее измерена координата, тем менее точно может быть【измерен импульс. Такая трактовка не очень удачна, поскольку из нее можно вьнвести ложное заключение, что смысл соотношения (3.3) сводится к ограничениям, которые оно накладывает на процесс измерения. В этом случае можно предположить, что сам то себе микрообъект имеет -и какой-то 1импульс, и какую-то координату, но соотношение неопределенностей не тозво- ляет нам измерить их одновременно.

В действ1ителыюст;и же ситуация здесь иная — просто сам микрообъект не может одновременно иметь и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса; ески, например, он находится в состоянии с более определенным значением (координаты, то в этом С0СТОЯ1НИИ соответствующая проекция его импульса оказывается менее определенной. Естественно, что отсюда вытекает и фактическая невозможность совместного измерения координат и импульсов микрообъектов. Это есть следствие специф|ики микрообъектов, а отнюдь не какой-то каприз природы, в силу которого будто бы ие все существующее тознаваемо. Следовательно, смысл соотношения (3.3) не в том, что оно создает какие-то препятствия процессу то знания микроявлений, а в том, что оно отражает некоторые особенности объективных свойств ми.крообъектов. Последнее замечание имеет, разумеется, общий характер: оно относится не только к соотношению (3.3), но и к остальным соотношениям неопределенностей.

Далее отдельно остановимся на соотношении (3.2). Рассмотрим два несколько отличающихся одно от другого, хотя :и 1взаимно согласующихся толкования этого соотношения. Предположим, что микрообъект 1нестаби- лен； пусть Д/ — время его жизни в рассматриваемом состоянии. Энергия М|икрообъекта в данном состоянии должна「иметь ih ео п р еде лен ность ДЕ, которая связана с временем жизни Д/ соотношением (3.2). В частности, есл,и состояние является стац:и1она|рным (Д/ сколь угодно велико), то энергия микрообъекта будет точно определенной (АЕ = 0).

Другое толкование соотношения (3.2) связано с измерением, преследующим цель выяснить, находится микрообъект на уровне £\ или же на уровне £2. Такое изме-

рение требует конечного времени Г, зависящего от расстояния между уровнями (£2—Ei):

® — E)T^h. (3.2a) Нетрудно усмотреть связь между зт,им(и двумя трактовками. Чтобы разрешить уровни £i и £2, необходимо, очевидно, чтобы неопределенность знергаи м【икроо6ъек- та ДЕ не шревышала расстояния ,между уровнями: ДЕ^ (f2—七1)・ В то же время длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время жизни А/ микрообъекта iHa данном уровне: 「0А£. Крайние условия, в которых еще возможно измерение, имеют, следовательно, ®ид

、Е 二 Е^ — Ед Т у В,

Используя (3.2), приходим отсюда к (3.2а).

Соотношения неопределенностей (3.2)——(3.4) показывают, каким образом следует пользоваться понятиями энергии, имшульса и момента импульса при переходе к микрообъектам. Здесь обнаруживается весьма важная особенность физики микрообъектов: энергия, импульс и момент микрообъекта имеют смысл,(но с ограничениями, налагаемыМ|И соотношен1иями неошределенностей. Как писал Гейзенберг [20], «мы не можем интерпретировать процессы 6 атомарной области так же, как процессы большого масштаба. Если же мы поАЬзуемс兄 привычными понятиями, то их применимость ограничивается так называемыми соотношениями неопределенностей».

Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения неопределенностей отнюдь не сводятся к указанному огра- 1ничен1ию цр|Именимости к микрообъектам классических понятий координаты, импульса, энергии и т. д. Было бы неправильно не замечать за «негати1вным содержанием» соотношений неопределенностей 31начителыного «позитивного содержания» этих 'соотношений. Они являются рабочим инструментом квантовой теорни. Отражая специфику физики микрообъектов, соотношения неопределенностей позволяют весьма .простым путем получать важные оценки. Примеры подобных оценок приводятся ниже, в § 4.

От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей. Рассмотренный в начале параграфа путь получения соотношений неопределенностей может показаться читателю слитком формальным и ма-

лоубедительным. Существуют разные способы вывода соотношений неопределенностей (см., например, [21]). Один из таких способо-в [в применении конкретно ,к соотношениям (3.3)] основан на рассмотрении явления ди- ф|р акции микро объектов.

Предположим (рис. 3.2), что на пути строго параллельного пучка неких микрообъектов с импульсом р поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в на

достаточнодостаточноРис. 3.2Рис. 3.2малым, перепишеммалым, перепишемправлении оси % равна d (ось % перпендикулярна исходному направлению пучка) .При прохождении микрообъектов через щель происходит дифракция. Пусть О — угол между исходным направлением на первый (основной) дифракционный максимум. Классическая волновая теория дает, как известно, следующее соотношение для этого угла: sin 9 = = A/d. Полагая угол 0

достаточно

достаточно

Рис. 3.2

Рис. 3.2

малым, перепишем

малым, перепишем

九九указанное соотношение в виде

九

九

(3.5)

Есл1И под величиной 九 понимать теперь длину не классической волны, а волны де Бройля (т. е. волновую хара.к- тер|Истику микрообъекта), то можно, воспользовавшись вьгражением (2.11) , переписать соотношение (3.5) на «корпускулярном языке»:

・ (3.5а)

Однако, как понимать на «корпускулярном языке» сам факт существования угла 0? Очевидно, этот факт означает, что при 'прохождении через щель микрообъект приобретает некий импульс Ар% в направлении оси %. Легко сообразить, что Ар*^р9. Подставляя сюда (3.5а), получаем \px^h/d. Рассматривая затем величину d как неопределенность Ах х-координаты микрообъекта, проходящего через щель, находим отсюда 厶/7冗厶工^力，т. е. фактически приходим к соотношению неопределенностей (3.3). Таким образом, ,по!пытка в какой-то мере фиксиро-

,вать координату микрообъекта в направлении, перпендикулярном направлению его движения, приводит к возникновению неопределенности импульса микрообъекта в указанном направлении, чем и объясняется наблюдаемое на опыте явление дифракции.

Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном наборе физических величин. Для задания состояния классического объекта надо, как известно, задать определенную совокупность чисел ——координаты и составляющие скорости. При этом, в частности, будут определены ,и другие величины: энергия, импульс, момент имлульса объекта [см. (1.1)]. Соотношения неопределенностей показывают, что для микро объекте,в такой способ задания состояния неприемлем. Так, например, наличие у микрообъекта определенной проекции импульса на да1нное .направление означает, что положение микрообъекта на указанном направлении не может быть (предсказано однозначно: согласно (3.3), соответствующая пространственная координата характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в атоме имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются неопределенностью шорядка линейных размеров атома, что, согласно (3.3), Л|р1иводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной отношению шостоянной Планка к линейному размеру атома.

Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения, ,вытекаюЩ|Ие мз соотношений неопределенностей: а) различные динамические переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных (одновременно измеримых) величин, так называемые полные наборы величин; б) различи ые состояния микрообъекта объединяются в группы состоян1ИЙ, отвечающее (разным полным наборам величин; каждая такая группа объединяет состояния микро- объекта, в которых о nip еде лены величины соответствующего полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует свой способ задания состояний) .

Укажем примеры .полных наборов, используемых для задания состояний, напрнмер, электрона 弘 фотона. .Каждый из наборов включает четыре величины (в связи с этим говорят, что такой М|икрообъект, как электрон или фотон, имеет четыре степени свободу). Для опцед-

ния состояний электрона попользуют следующие наборы:

к, У, £, %(3.6а)

Pg、"z，％(3.66)

£, /, /拉，о(З.бв)

(напомним, что 厶 m, о ——соответственно орбитальное, магнитное >и спиновое квантовые чйсла). Подчеркнем, что .координаты и составляющие импульса микрообъекта (в Нанном случае электрона) пошадают в разные полные наборы величин; указанные физические величины одновременно неизмеримы. Именно поэтому классичесгсие соотношения (1.2) и (1.3) не работают при переходе к микрообъектам; ведь в каждое「из этих соотношений входят и коораинаты, и импульс.

Набор (3.66) используют, в частности, для описания состояний свободно движущегося электрона; при этом оказывается определенной также ;и энергия электрона: Е= (pj-tpj + p?)[2т*. Набор (З.бв) используют обычно для описания состояний электрона в атоме.

Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы:

力《г，ку、力z，а，(3.7а)

七，附2,兩z，р.(3.76)

Здесь 左笈,ky, kz ——проекции волнового вектора излучения; а ——(поляризация фотона; М2 и Mz — соответственно квадрат момента и проекция момента фотона; Р — квантовое число, называемое пр остранственной четностью. Заметим, что коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и проекции импульса фотона (напомним:「=力倉).Поляризация фотона принимает два значения —в (полном соответствии с двумя независимыми поляризациями классической волнн (так, например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую лоляризацию). Иространственна兄 четность — специфическая характеристика лгикрообъекта; она может рассматриваться как иптепрал движения, сохранение которого есть следствие сим^метр.ии по отношению к опера-

* В отличие от соотношения (1.2) классическое соотношение Е = р?]21n для свободно движущейся частицы сохраняется п「и переходе к мпкрообъектам.

ций отражения ；в зеркале. Впоследствии (см. § 20) мы остановимся на этом подробнее; здесь же мы отметим только, что четность принимает два значения: Р = 1,——1.

Набор (3.7а) используют для описания состояний фотонов, отвечающих плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также и энергия фотона (напомним: E = ho = hch). О состояниях, описываемых набором (3.7а), говорят как о Аа-состояниях. Набор (3.76) используют для описания состояний фотонов, отвечающих сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн, состояние фотона, определяемое набором (3.76), может быть представлено в BiH- де «суперпозиции» состояний, определяемых набором (3.7а). Верно также и противоположное заключение- о представлении ллоской волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись (пока только коснулись!) одного из наиболее важных，и тонких аспектов квантовомехакического от и с ан и я материи ——специфики 《взаимоотношений》состояний микрообъекта, описываемых разными полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее «конструктивном принципе квантовой механики ——принципе суперпозиции состояний. Суперпозиция состояний будет обстоятельно рассмотрена во второй главе; здесь же пока ограничимся сделанными замечаниями.

Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное в § 2 основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если воспользоваться идеей дуализма, а точнее, соотношениями неопределенностей (3.2). Предположим, что рассматривается переход электрона в ато^ме с уровня Ех на уровень £2 “рн поглощении фотона с энергией Й(о = Е2——£\. Напомним, что противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно происходит сначала: >поглоще- ние фотона или переход электрона. Легко видеть, что теперь этот вопрос лопросту теряет смысл. Действительно, если до и после взаимодействия с излучением имеем связанный электрон с энергией соответственно £\ и Е^ то во время -взаимодействия с излучением имеем единую квантовомеханическую систему, включающую в себя и электрон, и излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит взаимодействие с излучением) и, согласно (3.2), не может иметь какой-либо определен-

пой энергии. Поэтому <нет смысла выяснять, что именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия электро.на с фотонами нет, строго говоря, ни электрона, нн фотонов, а есть нечто единое целое, которое и следует рассматривать -именно как единое целое——без уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя безгранично детали- 31иро1вать в о времени физический шроцесс. Вопрос: что происходит после чего?——не всегда можно ставить в отношении микро явлений .

Соотношения неопределенностей (3.2) позволяют ввести и использовать для объяснения квантовых переходов весьма важное в квантовой теории понятие так называемых виртуальных переходов. Проведем здесь упрощенное рассмотрение виртуальных переходов, предполагая дать более обстоятельное объяснение позднее в § 6. Согласно соотношению (3.2), электрон может перейти с уровня Ei на уровень Е? и без получения энергии извне; важно лишь, чтобы он быстро возвратился на исходный уровень 旦.Подобное «путешествие» (旦-^巳—旦)возможно, если его длительность А/ такова, что выполняется неравенство h/A方>(七2 ——Ei), поскольку в этом случае неопределенность энергии электрона больше разности энергий рассматриваемых уровней. Отсюда видно, что фраза «электрон живет на уровне Е\» может пониматься весьма своеобразно — как беспрестанные «переходы» электрона с данного уровня на другие с обязательным возвращением всякий раз на исходный уровень £\. Такие переходы нельзя обнаружить экспериментально; в отличие от обычных (реальных) переходов их называют виртуальными. При взаимодействии совершающего виртуальные переходы электрона с излучением возможна смена «прописки» электрона, например он станет «жить» на уровне £2, т. е. в дальнейшем будет совершать виртуальные переходы уже не относительно уровня Ei, а относительно уровня Е2. Если это произошло, то говорят, что электрон поглотил фотон с энергией Ксо = Е2 ——七1 и совершил переход с уровня £\ на уровень Е2. Виртуальные переходы не требуют затраты энергии извне; реальные же переходы невозможны без затраты энергии — это есть энергия фотонов, поглощаемых (пли испускаемых) электронами в процессе взаимодействия с излучением.

Для пояснения различия между реальными и виртуальными переходами заметим, что реальный переход с некоторого уровня Ei на уровень Е2 и обратно можно разбить на два последовательных временных этапа (можно экспериментально зарегистрировать электрон в промежуточном состоянии, т. е. на уровне 七2). Виртуальный же переход с уровня Ei на уровень Е2 и обратно принципиально нельзя разбить на два временных этапа — обе 《иастн» перехода (туда и обратно) следует рассматривать во времени как единый, неделимый процесс.

Соотношение неопределенностей «число фотонов — фаза». Используемые в квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются соотношениями (3.2) — (3.4). В качестве еще одного такого -соотношения укажем соотношение неопределенностей для’ числа фото.нов и фазы волны.

Пусть имеется монохроматическое излучение частоты ①.С одной стороны, оно может рассматриваться как: коллектив фотонов, каждый из которых имеет анергию， 方со; с другой стороны — как классическая электромагнитная волна. Пусть N ——число фотонов в |рассмат)ривае- мом объеме, а Ф = ^ ——фаза классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов* N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно определенные значения; существует соотношение неопределенностей

kNN① ^ \. (3、8))

Чтобы прийти к соотношению (3.8), будем исходить из соотношения неопределенностей для энергии и времени. Нашомним, что для измерения энергии квантового объекта с точностью ЛЕ надо затратить время AZN 力/AE. Если в качестве квантового объекта рассматривается коллектив фотонов,то в этом случае

где AN ——неопределенность числа фотонов. В течение времени А/, необходимого для измерения энергии объекта с точностью до 力⑴ AN, фаза Ф объекта изменится на величину ЛФ^шЛ^ Подставляя сюда соотношение А/ 三 Й/Йш Д^, находим АФ > l/Д^, что и требовалось показать.

В 'Соотношении (3.8) отразилось диалектически про- тивореч,ивое единство корпускулярных и волновых свойств излучения. Неопределенность АФ мала, когда ярко выражены волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико ^), а следовательно, и неопределенность Д^. С другой стороны, неопределенность мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика неопределенность АФ.

§ 4. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.

В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии. Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоновском поле

2m г

(4.2)(4.2)где т и е ——соответственно масса .и заряд электрона. Чтобы использовать классическое выражение (4.1) в квантовой теории, будем рассматривать величины р и г, входящие в «его, как неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению (3.3), эти величины -связапы друг с другом. Положим pr^h, <или проще

(4.2)

(4.2)

pr = h.

(4.3)(4.3)Используя (4.2), исключим величину г из (4.1). Получим

(4.3)

(4.3)

石(〃)=LF

К2 尸— me，К2 尸— me，厂1厂1Легко убедиться, что функция £ (р) имеет минимум при некотором значении р = р、\ обозначим его через 七卜 Величину Е] можно рассматривать как оценку энергии ос- HoiBHoro состояния атома водорода, а величину 门=力/。1 —— как оценку линейных размеров атома (в теории Бора это есть радиус первой орбиты). Приравнивая нулю шроиз- водную -^-£ (/?), находим p、= me21tL. Отсюда немедленно получаем искомые оценки [сравните с (2.6) и (2.7)]:

К2 尸— me，

К2 尸— me，

厂1

厂1

Оценки (4.4) полностью совпадают с результатами строгой теории . Конечно, к такому полному совладению

надо относиться в йз вести ой мере как к случайному успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин. Подчеркнем, что этот порядок оценивается, как мы видим, весьма nip о сто: достаточно заменить в классическом 1выражении (4.1) точные 31начен!ия динамических переменных Бел<ичинам1и, характеризующими степень 《размытая》этих шеременных, т. е. .их неопределенностями, а затем воспользоваться квавтовомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.

Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. Будем действовать точно так же, как и в предыдущем примере. Энергия классического одномерного гармонического осциллятора описывается выражением

石一px I 加 N*2

Рассматривая рх .и % как неопределенности импульса и координаты осциллирующего м.икрообъекта и пользуясь в качестве соотношения неопределенностей равенством pxx = h, получаем из (4.5)

七(八)=丁(4.6) 2 m2戍

Приравнивая нулю производную—^— Е (〃％), находим ве- _dp*

личину Pq= ± ^mh^, при которой функция E(oQ принимает минимальное значение. Легко убедиться, что это значение равно

上0 =七仇)=力⑴.(4.7)

Этот результат весьма интересен. Он доказывает, что в квантовой механике энергия осциллятора ；не может обратиться в нуль; ее .минимальное значение оказывается порядка 力з. Это есть так называемая энергия нулевых колебаний. Заметим, что оценка (4.7) отличается от точного выражения для энергии нулевых колебаний лишь множителем 1/2 (точеный результат: £о = ^(о/2).

Учитывая существование нулевых колебаний, можно прийти, в частности, к следующему интересному заключению: энергия колебательного движения атомов кристалла не обращается в нуль даже при температуре абсолютного нуля.

Нулевые колебания иллюстрируют щринЦ|И1Пиальное общее обстоятельство: нельзя реализовать микрообъект на «дне потенциальной ямы»,(или,)иначе говоря, «микрообъект ,не может упасть на дно потенциальной ямы》. Этот вывод не зав)исит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием соотношения неопределенностей: «1падение на дно ямы» связано с обращением в нуль имшульса млкрообъекта, а вместе с тем и неопределенности имшульса; в зтом -случае неопределенность координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту ш-ребывания микрообъекта в 1потенциальной яме.

Оценка величины «размытия» края полосы оптического поглощения в эффекте Франца — Келдыша. Суть эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и независимо от 'него Францем, >состоит в следующем: во внешнем однородном электрическом лоле минимум энергии злек- TpoHOiB в зоне проводимости в полупроводнике смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к «размытию» края основной полосы оптического поглощения (в результате становится возможным поглощение фотонов, энергия которых меньше ширины запрещенной зоны) [22]. Характеризующая указанное «размытие» 1Вел.и- чина энергетического 'Смещения электронных состояний может быть оценена таким же методом, каким были получены |П1редыдущие оценки. Воспользуемся классическим вьиражением для энергии заряженной частицы в электрическом толе напряженностью 孑:

£ = —-一Sex.(4.8)

2т

Здесь т ——эффективная「масса электрона в зо-не проводимости. Рассматривая рх и % как неопределенности ,им- яульса и координаты электрона и пользуясь в качестве соотношения неопределенностей равенством рхх = й, получаем из (4.8)

= g —3・(4.9)

2 m Рх

Далее, как обычно, приравниваем нулю производную Е(р? и находим значение/6е%/л, при ко- dPx

тором функция £(рх) достигает минимума:

七0 =告"(證叫2“、у ^еКУ^п. (4.10)

Выражение (4.10) как раз ,и дает оценку величины «размытия» края основной полосы оптического поглощения в эффекте Франца — Келдыша.

Почему электрон не падает на ядро? Постулируя стационарные состояния, теория Бора не объяснила, почему все-таки электрон, двигаясь ускоренно, не излучает и не падает в результате на ядро. Соотношение (3.3) объясняет это обстоятельство. Падение электрона на ядро означало бы, очевидно, существенное уменьшение неопределенности его коорд|И1наты: если до падения на ядро электрон локализован в пределах атома, т. е. в области пространства, линейные размеры которой порядка t^lme2^ 10~8 см [см. (4.4)], то шосле шадения на ядро электрон должен был бы локализоваться в области с линейными размерами меньше 10-12 см. Согласно (3.3), более сильная локализация микро объект а в (пространстве связана с «размытием» его .имлульса, поэтому при падении in а ядро среднее значение импульса электрона должно возрасти, для чего требуется затрата энергии. Получается, 14то нужно усилие отнюдь не для того, чтобы «удержать» электрон от падения на ядро, а совсем наоборот——нужно усилие, чтобы《заставить» электрон ло- кал|Изо®аться ib пределах ядра.

На примере нулевых колебаний осциллятора отмечалось, что микрообъект в потенциальной яме всегда имеет ртаичную от (нуля минимальную энергию Ео- Величина Ео зависит, в частности, от итространственннх (размеров ямы (от ее Ш|Ири>ны а, определяющей степень пространственной локализации микрообъекта). Учитывая соотношение неопределенностей, легко сообразить, что

/、宀• (4.n) 加。2

Если а уменьшается, то Ео растет. При достаточно малом 〃 энергия Ео может стать больше глубины потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме мнкрообъект вообще не реализуется.

Падение электрона на ядро соответствует уменьшению ширины ^потенциальной ямы от 10-8 до 10~12 см (,и даже меньше). Согласно (4.11), минимальная энергия

Ео должна op и этом 'Возрасти——от 10 до 109 эВ (и больше). В результате минимальная энергия электрона оказывается на несколько порядков больше энергии связи нуклона в атомном ядре (последняя не превышает 107 эВ). Это значит, что в ядерной потенциальной яме электрон вообще не реализуется, так что никаким образом даже насильно нельзя его «заставить» локализоваться в пределах ядра.

Тем самым не только снимается проблема «падения электро-на на ядро», но решается »и другой принципиальный вопрос: 6 состав атомного ядра электроны не входят.

О «траектории» микрообъекта. Чтобы начертить траекторию некой частицы, 'надо, строго говоря, для каждого момента времен-и знать координату и импульс частицы [действительно, чтобы изобразить зависимость х«), надо для каждого £ знать % и dx/dt]. Поскольку, согласно соотношению неопределенностей (3.3), микрообъект не может одновременно иметь и определенную координату, |И определенную соответствующую проекцию имшульса, то отсюда следует вывод: понятие траектории к микрообъекту, строго говоря, неприменимо.

Отказ от траектор-ии связан с наличием у микрообъектов волновых свойств, которые не позволяют рассматривать микрообъекты как классические корпускулы. С перемещением микрообъекта вдоль оси % нельзя сопоставлять дифференцируемую функцию %«), столь широко используемую при рассмотрении механики классических объектов; по известному значению % в некоторый момент / нельзя предсказать значение .координаты мик- крообъекта в момент t+dt.

В применении к теории Бора рассмотренное обстоятельство означает отказ от самого понятия《орбита электрона в атоме». Можно говорить о локал1изации электрона в пределах атома в целом; орбита же требует существенно большей пространственной локализации. К чему может (Шривести такая локализация, можно почувствовать, обратившись к рассмотренной выше проблеме «падения электрона на ядро». Планетарная модель атома оказалась, таким образом, лишь неким промежуточным этапом в процессе развития наших 1пред1ставлений об атоме. Много шозднее, в 50-е годы, >сам Бо(р, смеясь, вспоминал,(К а к после одной из лекций вышел студент и спросил:《Неужели действительно были такие идиоты, которые думали, что электрон вращается по орбите?»

Заметим, что вместе с отказом от орбит электрона в атоме автоматически снимается и отмечавшееся в § 2 противоречие, связанное с проблемой «мгновенного» перескакивания злск】рона с одной орбиты на другую.

Существуют, однако, ситуации, когда понятием «траектория микрообъекта» пользоваться все же допустимо. В качестве примера рассмотрим движение электронов в кинескопе телевизора. Импульс электрона вдоль оси трубки есть p = V2meU、где U ——ускоряющее напряжение. Формировжие пучка электронов означает ошреде-

ленную локализацию координаты в поперечном нашрав- лении; степень этой локализации характеризуется диаметром пучка d. Согласно (3.3), должна существовать неопределенность импульса электрона в направлении, перпендикулярном оси пучка: Ap^ft/d. В силу этой неопределенности электрон может отклониться от оси пучка в пределах углаАО^ Ар/р^ 力/〃 d.

Пусть L — длина пути электрона в кинескопе; тогда не

определенность положения точки попадания электрона на экран будет характеризоваться величиной Ax^LAO^ ^Lhlpd. Полагая 〃 = 20 кВ, d= 10~3 см, L= 102 см, находим отсюда А%^10-5 см. Таким образом, обусловленное соотношением неопределенностей «размытие» точки попадания оказывается значительно меньше диаметра пучка. Ясно, что в таких условиях движение электрона можно рассматривать классически.

Возможность подбарьерного прохождения микрообъекта (туннельный эффект). Предположим, что имеется лютенциалыный барьер, высота которого U больше, чем эне1ргия частицы (рис. 4.1). Поставим вопрос: может ли частица, находясь где-то слева от барьера, оказаться через некоторое время справа от него при условии, что она iHe получает энергии извне? Классическая механика дает отрицательный ответ ——классическая корпускула не может《пройти》под барьером; если бы это случилось, то, например, в точке А на рис. 4.1 полная энергия частицы оказалась бы меньше ее потенциальной эшергии, что физически абсурдно.

Остается ли этот запрет в силе и для микрообъекта? Можно показать, что не остается — он снимается соотношением (3.2). Пусть микрообъект движется откуда-то пз

бесконечности слева и встречается <с потенциальным барьером. До этой встречи он находился в 'Состоянии свободного движения сколь угодно долго и поэтому его энергия имела определенное значение. Но вот микрообъект вступает во взаимодействие с барьером, а точнее, с теми объектами, которые обуслов.или возникновение барьера. Предположим, что взаимодействие длится в течение времени А/. Согласно (3.2), энергия миюрообъекта в состоянии взаимодействия с барьером уже не будет

определенной, а будет характеризоваться (неопределенностью A£N%/A/. Если эта не-力

Рис. 4.2Рис. 4.2определенность порядка высоты барьера U, то последний перестает быть для микрообъекта непреодолимым препятствием. Итак, микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Этот специфический

Рис. 4.2

Рис. 4.2

квантовый эффект называют

туннельным эффектом. Он объясняет, в частности, явление сс-распада атомных ядер. Подчеркнем, что при рассмотрении туннельного эффекта уже нельзя представлять движение микрообъекта по пунктирной линии, изображенной на рис. 4.1. Ведь пунктирная линия соответствует классической траектории, а у микрообъектов траектории нет. Поэтому не имеет смысла пытаться «уличить» микрообъект в том, что. он в какой-то момент времени «оказался под потенциальным барьером》.

Выше уже отмечалось, что энергия свободно движущегося микрообъекта не квантуется. Это можно очень просто показать, воспользовавшись туннельным эффектом. Предположим, что микрообъект находится в потенциальной яме, изображенной на рис. 42 За счет туннельного эффекта микрообъект может самопроизвольно покинуть яму; следовательно, время его пребывания в яме не бесконечно. Если оценить это время как А/, то из (3.2) следует, что энергия мпкрообъекта должна иметь неопределенность порядка h/Af. Будем сокращать ширину b потенциального барьера (см. пунктир на рис. 4.2). Ясно, что величина А/ будет при этом уменьшаться, поскольку вероятность микрообъекту покинуть яму будет возрастать. С уменьшением А/ будет возрастать неопределенность энергии микрообъекта h/Af, что можно рассматривать как все большее «размывание» (все большее уширение) уровней энергии микрообъекта в яме. В пределе нулевой толщины барьера величина А/ обращается в нуль, микрообъект превращается в свободно движущуюся частицу, а уровни энергии «размываются» сколь угодно широко, преобразуясь фактически в непрерывный энергетический спектр.

§ 5. НЕВОЗМОЖНОСТЬ КЛАССИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ МИКРООБЪЕКТЛ

Микрообъект не является классической корпускулой. К микрообъектам приводит процесс «раздробления» окружающих нас тел на все более и более мелкие «частички». Поэтому вполне естественно, что микрообъекты ассоциируются прежде всего с корпускулами. Этому способствует и тот факт, что микрообъект характеризуется определенной массой покоя и определенными зарядами. Бессмысленно говорить, например, о половинке электрона, обладающей половинной -массой и половинным электрическим зарядом целого электрона. В самих терминах «микрочастица», «элементарная частица» отражено представление о микрообъекте как о некой частице (корпускуле) .

Однако, как это следует из предыдущего рассмотрения, микрообъект весьма существенно отличается от классической корпускулы. Прежде всего он не имеет траектории, являющейся, как известно, обязательным атрибутом классической корпускулы. Использование при рассмотрении микрообъекта таких корпускулярных характеристик, как координата, импульс, момент, энергия, ограничивается рамками соотношений неопределенностей. Взаимопревращения микрообъектов, самопроизвольные распады, наличие специфического неуничтожаемого собственного момента (спина), способность проходить сквозь потенциальные барьеры ——все это свидетельствует о том, что ми-крообъекты совершенно не похожи на классические корпускулы.

Корпускулярным представлениям противостоят волновые представления. Неудивительно поэтому, что разительное отличие микрообъектов от классических корпускул объясняют наличием у них волновых свойств, тем более что именно с волновыми свойствами связаны соотношения неопределенностей и все вытекающие отсюда следствия. Весьма показательно в этом отношении следующее замечание де Бройля [23]:《В оптике е течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым. Не делалась ли 6 теории материи обратная ошибка? Не думали ли мы слишком много о картине《частиц》и не пренебрегали ли

чрезмерно картиной волн?》. Вопрос, поднятый де Бройлем, совершенно уместен. Однако следует опасаться чрезмерного преувеличения волнового аспекта при рассмотрении микрообъектов. Необходимо помнить, что если, с одной стороны, микрообъект не является классической корпускулой, то точно так же, с другой стороны, он не является и классической волной.

Микрообъект не является классической волной. Весьма поучителен анализ одной и поныне довольно распространенной ошибки, допускаемой при упрощенном рассмотрении квантовой механики. Продемонстрируем эту ошибку на двух примерах.

Первый пример. Утверждается, что волновые свойства электрона позволяют вывести условие квантования1 момента, которое в теории Бора постулируется. Этот «вывод» делают следующим образом. Пусть 2лгп — длина п-й боровской орбиты. По орбите движется электрон с дебройлевской длиной волны 25 n2冗力/р“. Основное предположение состоит в том, что на длине орбиты должна укладываться п раз длина волны электрона 九％ Следовательно, 2冗厂九=мХп. Отсюда немедленно получается искомое условие квантования момента:

pnrn=nh.(5.1)

Второй пример. Утверждается, что волновые свойства электрона очень просто позволяют вывести формулу для энергетических уровней в потенциальной яме, если только предположить, что различным стационарным состояниям отвечает определенное число полуволн де Бройля, укладывающееся на ширине ямы (по аналогии с числом полуволн, укладывающихся на длине струны, закрепленной на концах). Обозначая через а ширину одномерной прямоугольной потенциальной ямы, записывают а = мХп/2, откуда немедленно приходят к искомому результату:

口 几2n2h2

Еп= 〃2”2

Оба конечных результата [как (5.1), так и (5.2)] правильны; они следуют также из строгой теории. Однако продемонстрированный здесь «вывод» этих результатов надо признать несостоятельным. В обоих случаях допущена фактически одна и та же принципиальная ошибка: в основу положено неверное предположение,

будто электрон в потенциальной яме имеет определенную длину волны де Бройля, или, иначе говоря, определенный импульс. Однако, согласно (3.3), импульс микрообъекта в связанном состоянии характеризуется неопределенностью Ар己力/а. Поскольку в приведенных выше примерах 方，九^力/〃，то, следовательно, импульс по порядку величины такой же, что и диктуемая соотношением (3.3) неопределенность импульса. Ясно, что в таких условиях нельзя говорить о каком-либо значении импульса электрона (а соответственно и его дебройлевской длины волны) даже приблизительно .

Приведенные примеры демонстрируют явное преувеличение волнового аспекта. Отождествление находящегося в потенциальной яме электрона с классической волной внутри некоторого «резонатора» неправомерно. Образ электронной волны в 《резонаторе》 есть такое же упрощенчество, как и образ электрона-шарика, движущегося по классической орбите. Мы еще вернемся ниже к вопросу о волнах в квантовой механике; однако уже теперь полезно подчеркнуть, что под термином «дебройлевская волна» отнюдь не скрывается какая-то классическая волна. Это всего лишь отражение в наших представлениях факта наличия у микрообъекта волновых свойств.

Попытки представить микрообъект как симбиоз корпускулы и волны. Если микрообъект не является ни корпускулой, ни волной, то, может быть, он представляет собой некий симбиоз корпускулы и волны? Предпринимались различные попытки модельно изобразить такой симбиоз и тем самым наглядно смоделировать корпускулярно-волновой дуализм. Одна из таких попыток связана с представлением микрообъекта в виде волнового образования, ограниченного в пространстве и во времени. Это может быть волновой пакет, отмечавшийся в § 3. Это может быть и просто «обрывок» волны, называемый обычно волновым цугом. Другая попытка связана с использованием модели волны-пилота, согласно которой микрообъект есть некое «соединение» корпускулярной «сердцевины» с некоторой волной, управляющей движением «сердцевины».

Один из вариантов модели волны-пилота рассмотрен в книге Д. Бома [25]: 《Сначала постулируем, что с частицей (например,

силу своей наглядности. Однако необходимо сразу же подчеркнуть: все эти модели несостоятельны. Мы не будем пока выявлять, в чем именно заключается несостоятельность рассмотренной модели волны-пилота; отметим лишь громоздкость этой модели, использующей такие искусственные понятия, как 《W-поле》，которое 《до некоторой степени похоже на гравитационное и электромагнитное», или «квантовая сила》,силу своей наглядности. Однако необходимо сразу же подчеркнуть: все эти модели несостоятельны. Мы не будем пока выявлять, в чем именно заключается несостоятельность рассмотренной модели волны-пилота; отметим лишь громоздкость этой модели, использующей такие искусственные понятия, как 《W-поле》，которое 《до некоторой степени похоже на гравитационное и электромагнитное», или «квантовая сила》,Рис. 5.1Рис. 5.1

силу своей наглядности. Однако необходимо сразу же подчеркнуть: все эти модели несостоятельны. Мы не будем пока выявлять, в чем именно заключается несостоятельность рассмотренной модели волны-пилота; отметим лишь громоздкость этой модели, использующей такие искусственные понятия, как 《W-поле》，которое 《до некоторой степени похоже на гравитационное и электромагнитное», или «квантовая сила》,

силу своей наглядности. Однако необходимо сразу же подчеркнуть: все эти модели несостоятельны. Мы не будем пока выявлять, в чем именно заключается несостоятельность рассмотренной модели волны-пилота; отметим лишь громоздкость этой модели, использующей такие искусственные понятия, как 《W-поле》，которое 《до некоторой степени похоже на гравитационное и электромагнитное», или «квантовая сила》,

Рис. 5.1

Рис. 5.1

электроном) связано《Тело》, занимающёе малую область пространства; 8 большинстве применений на атомном уровне его можно рассматривать как материальную точку. В качестве следующего шага предположим, что с «телом» связана волна, без которой «тело» не обнаруживается. Эта волна представляет собой колебание некоторого нового поля (^-поля), до некоторой степени похожего на гравитационное и электромагнитное, но имеющего свои собственные характерные черты. Далее предполагаем, что ^-поле и《тело》взаимодействуют. Это взаимодействие должно приводить к тому, что《тело» будет стремиться находиться 6 области, где интенсивность ^-поля, имеет наибольшее значение. Осуществлению этой тенденции поведения электрона мешают неупорядоченные движения, испытываемые телом, которые могли бы возникнуть, например, вследствие флуктуаций самого ^-поля. Флуктуации вызывают тенденцию к неупорядоченному блужданию 《тела》по всему доступному для него пространству. Но осуществлению этой тенденции мешает наличие ^квантовой силы», которая устремляет тело 6 области, где ^-поле наиболее интенсивно. В итоге получим какое-то распределение《тел》, преобладающее в областях с наибольшей интенсивностью ^-поля».

Рис. 5.1 иллюстрирует данную модель в применении к прохождению микрообъекта через экран с щелями: через обе щели дифрагирует 屮-волна, тогда как «тело» проходит через одну щель и регистрируется на экране в соответствии с результатом интерференции 屮-волн.

Не исключено, что подобные модели могут с первого взгляда показаться привлекательными ——хотя бы в

отражающая взаимодействие некоего «тела》с 屮-полем. Впоследствии читатель убедится в том, что несостоятельность подобных моделей объясняется не частными, а глубокими, принципиальными причинами. Он поймет, что следует заранее признать безуспешной всякую попытку буквального то儿козаник

корпускулярно-волнового дуализма, всякую попытку каким-либо образом смоделировать симбиоз корпускулы и волны. Микрообъект не является симбиозом корпускулы и волны.

Как следует понимать корпускулярно-волновой дуализм? В настоящее время корпускулярно-волновой дуализм понимают как потенциальную способность микрообъекта проявлять различные свои свойства в зависимости от тех или иных внешних условий, в частности условий наблюдения. Как писал Фок [1], 《у атомных объектов 6 одних условиях выступают на передний план волновые свойства, а е других ——корпускулярные; возможны и такие условия, когда те и другие свойства выступают одновременно. Можно сказать, что для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как частица, либо как волна, либо промежуточным образом. Именно 6 этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, 〃 состоит дуализм волна—• частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь модели неправильно».

Приведем простейший пример. Пусть пучок электронов проходит через экран с щелями и затем попадает на э:кран-детектор. При прохождении через щели электроны реализуют свои волновые свойства, что обусловливает характерное для интерференции распределение электронов за щелями. При попадании же на экран-детектор электроны реализуют свои корпускулярные свойства — каждый из них регистрируется в некоторой точке экрана. Можно сказать, что электрон проходит сквозь щель как 《волна》，а регистрируется на экране-детекторе как «частица».

В связи с этим иногда говорят, что при одних обстоятельствах «микрообъект есть волна», а при других — «микрообъект есть частица». Такая трактовка корпускулярно-волнового дуализма неправильна. Независимо ни от каких обстоятельств микрообъект не является ни волной, ни частицей, ни даже симбиозом волны и частицы. Это есть некий весьма специфический объект, способный в зависимости от обстоятельств проявлять в той или иной мере корпускулярные и волновые свойства. Понимание корпускулярно-волнового дуализма как потенциальной способности микрообъекта проявлять в различных внеш-

пих условиях различные свойства есть единственно правильное понимание. Отсюда, в частности, следует важный вывод: наглядная модель микрообъекта принципиально невозможна.

Электрон в атоме. Отсутствие наглядной модели микрообъекта отнюдь не исключает возможности использования условных образов, вполне пригодных для представления микрообъекта в тех или иных условиях. В качестве примера рассмотрим электрон в атоме.

Напомним, что состояния электрона в атоме описывают набором квантовых чисел 〃，厶 m, о. Данное состояние характеризуется определенной энергией, которая в частном случае атома водорода, зависит только от числа п [см. (2.7)], а в более общем случае ——от чисел 〃 и I. Электрон в атоме пространственно делокализован ——его координаты имеют неопределенность порядка размеров атома. Обычно при рассмотрении электрона в атоме вводят представление о так называемом электронном облаке, которое можно интерпретировать в данном случае как условный образ электрона. Форма и эффективные размеры электронного облака зависят от квантовых чисел 几,/, m и, следовательно, меняются от одного состояния электрона в атоме к другому.

Чтобы описать размеры и форму электронного облака, вводят некоторую функцию

辽山* = %"У/т(а, ?), (5.3)

где 厂，0, ср ——сферические координаты электрона. Функцию 〃普历？ интерпретируют следующим образом: unim (厂，0, ср) dV есть вероятность обнаружить в элементе объема dV вблизи точки (г, 0, ср) электрон, находящийся в состоянии с квантовыми числами 〃, /, т. Иначе говоря, Unim (厂，0,屮)имеет смысл соответствующей плотности вероятности обнаружения электрона. Напомним, что dV^^drdQ^ где dQ = sin OdOdcp — элемент телесного угла. Функция

^п1 (厂)dr = vnl (г) г2dr (5.3а) есть, таким образом, вероятность обнаружить электрон с квантовыми числами 〃，/ на расстояниях от ядра, попадающих в интервал значений от г до r+dr.

На рис. 5.2,〃 показан вид функций wni(r) для разных состояний электрона в атоме водорода. Отметим, что функции 侬 1。，侬21,侬32 имеют максимумы, отвечающие в

теории Бора радиусам соответственно первой, второй и третьей орбит. На рис. 5.2,6 показан вид функции Zim для нескольких состояний электрона. При / = 0 (для так называемого s-злектрона) имеем сферическое электронное облако. При /=1 (для р-электрона) имеем электронное облако либо в виде своеобразного веретена, либо в

Рис. 5.2Рис. 5.2

Рис. 5.2

Рис. 5.2

виде тороида, что зависит от квантового числа т. Итак, чтобы представить себе электрон в атоме, можно пользоваться в качестве условных образов моделями шара, веретена, тороида и т. д.

Основное состояние атома водорода характеризуется сферическим электронным облаком. Теория показывает (см., например, [11])} что в этом случае

(5・4)(5・4)z >. л r^ /2厂

(5・4)

(5・4)

Характеризующий эффективный радиус облака параметр 厂 1 определяется соотношением (4.4); в теории Бора он выступал как радиус первой орбиты.

В заключение заметим, что при квантовых переходах в атоме происходит не только изменение энергии, но также «перестройка» электронных облаков ——изменение их размеров и формы.

§ 6. ОТКАЗ ОТ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Общие замечания. Как мы убеждаемся, переход от макроявлений к микроявлениям предполагает отказ от основных представлений классической физики. Становится непригодным представление об обязательной непрерывности спектра значений физических величин, происходит отказ от классического понятия траектории, ставится под сомнение принцип классического детерминизма. В основу рассмотрения ложатся чуждые классической физике идеи квантования (дискретности) и корпускулярно-волнового дуализма.

На ряде приведенных примеров можно было почувствовать необходимость отказа от классического принципа безграничной детализации объектов в пространстве и явлений во времени. Так, вопрос о внутренней структуре элементарных частиц оказывается беспредметным. Не имеют смысла также попытки детализировать развитие во времени процесса квантового скачка (квантового перехода).

Понятия энергии, импульса, момента, широко используемые в классической физике, переносятся и в квантовую механику. Однако теперь эти понятия применяются иначе ——с пересмотром прежних взаимосвязей, с учетом возможности квантования, с ограничениями, которые налагают соотношения неопределенностей. Здесь возникает, в частности, чуждая классической физике проблема одновременной измеримости физических величин, по-новому ставится вопрос о состоянии, о способах задания состояния.

Наконец, необходимо подчеркнуть невозможность классической интерпретации микрообъекта, утрату наглядности, столь присущей классической физике.

Тождественность микрообъектов. Весьма принципиален отказ от классической индивидуализации объекта. В классической механике объектам свойственна индивиду-

альность, так что всегда можно в принципе их перенумеровать и следить за поведением любого из них. В этом смысле, как бы ни были похожи друг на друга два классических объекта, они всегда не тождественны, они всегда различимы. В квантовой же механике два микрообъ- скта одного и того же типа следует признать абсолютно тождественными друг другу. Так, тождественны друг другу все электроны, тождественны друг другу все невозбужденные атомы водорода, тождественны друг другу все ядра гелия т. д.

Предположим, что имеется несколько электронов, одному из которых в момент / = 0 «присвоили» номер 1. Можно ли опознать этот электрон спустя некоторое время /? Такое опознание легко было бы провести, если бы удалось поставить на выделенном объекте некую《отметнну》. Можно было бы обойтись и без 《отметины》，а просто не терять из виду выделенный объект, иначе говоря, мысленно следовать за ним вдоль его траектории. Именно так мы поступили бы в отношении одгшаковых классических объектов. Однако все это не годится для электрона; на нем принципиально нельзя поставить《отметину》，у него, строго говоря, нет траектории. Электрон, «выделенный» нами в момент % = 0, в действительности никак не выделен: у него пет той индивидуальности, которая позволила бы опознать его в коллективе других электронов спустя некоторое время 九 Два электрона «похожи друг на друга» в значительно большей мере, чем вошедшие в поговорку две капли воды; последние представляют собой классические объекты, они могут различаться и размерами, и химическим составом воды.

Разумеется, тождественность микрообъектов не исключает возможности их различения на основе различия состояний, в которых эти микрообъекты находятся. Два электрона, входящие в состав двух разных атомов, разумеется, тождественны, но при этом различимы. Принадлежность к тому или иному атому позволяет «выделить» тот или иной электрон. Однако ничего физически не изменится, если электроны поменять друг с другом местами. Ясно, что если такой обмен оказывается возможным, например при соединении рассматриваемых атомов в молекулу, то различимость электронов исчезнет.

Необходимое и случайное в поведении микрообъекта. Лапласовский детерминизм исключает элемент случайности в поведении отдельного объекта; в классической механике безраздельно господствует необходимость. По этой причине законы классической механики являются динамическими законами, а не статистическими. Элемент

случайности (а следовательно, и статистические законы) появляется в классической физике лишь при рассмотрении совокупностей объектов, коллективов частиц.

С этой точки зрения важно подчеркнуть, что в квантовой механике мы имеем дело с качественно иной ситуацией: уже в поведении отдельного микрообъекта присутствуют элементы как необходимости, так и случайности. Возбужденный атом без воздействия извне, самопроизвольно (как говорят, спонтанно) возвращается в основное состояние, при этом в атоме происходят спонтанные переходы электронов с одних уровней энергии на другие. Принципиально невозможно указать, когда именно данный возбужденный атом вернется в основное состояние; акт такого возвращения случаен. Точно так же невозможно предсказать, когда именно произойдет распад данной элементарной частицы, например нейтрона. Здесь также налицо элемент случайности.

Наряду с элементами случайности в поведении микрообъекта проявляются и элементы необходимости. Как уже отмечалось в § 1, если к моменту / = 0 имеется No нейтронов, причем ^o^> 1, то можно уверенно утверждать, что к моменту t останется только Л^оехр (—〃t) нейтронов, где т — постоянная, называемая временем жизни нейтрона. Здесь налицо необходимость. В отношении отдельного нейтрона эта необходимость проявляется в существовании определенной вероятности уцелеть ему к моменту 力 коль скоро он сумел сохраниться к моменту % = 0; указанная вероятность равна ехр (——〃т). Примечательно, что эта вероятность не зависит от того, сколько времени уже просуществовал к моменту / = 0 данный нейтрон. Проявлением необходимости являются также законы сохранения, которым подчиняются процессы распада и вообще процессы взаимопревращений микрообъектов. Можно отметить также факт существования определенных схем распада; например, любой свободный нейтрон распадается на протон, электрон и электронное антинейтрино.

Наличие и случайного, и необходимого в поведении отдельного микрообъекта имеет крайне важное следствие. Оно приводит к тому, что квантовая механика оказывается принципиально статистической теорией и вероятность является одним из основных ее атрибутов. Как отмечал Фок [1],《6 квантовой механике понятие вероятности есть понятие первичное, и оно играет там фунда-

ментальную роль». Можно сказать, что поведение отдельного микрообъекта случайно, но вероятность этого поведения необходима . Хорошим примером может служить электронное облако, рассматривавшееся в § 5. Факт обнаружения электрона в той или иной точке вблизи ядра случаен; однако вероятность его обнаружения в данной точке (广，0, ср) определенна ——она описывается функцией типа (5.3), иначе говоря, определяется формой и размерами соответствующего электронного облака.

Наконец, отметим, что элемент случайности в поведении отдельного микрообъекта обусловлен фактически уже соотношениями неопределенностей. В § 4 на основании соотношения (3.3) было сделано заключение о том, что невозможно «нацелиться микрообъектом и попасть им в некоторую заданную точку». Иными словами, факт регистрации конкретного электрона в той или иной точке некоего экрана-детектора случаен; мы можем говорить лишь о вероятности этого факта. В § 3 на основании соотношения (3.2) было введено понятие о виртуальных переходах микрообъекта. Легко видеть, что подобные переходы также свидетельствуют о наличии случайности в поведении микрообъекта. Говоря о специфике физики микрообъектов, необходимо более подробно остановиться на понятии виртуальных переходов и тесно связанном с ним понятии виртуальных микрообъектов.

Виртуальные переходы и виртуальные микрообъекты. Возможно, нет ничего более чуждого классической физике, чем представление о виртуальных переходах и виртуальных микрообъектах. Виртуальный переход электрона с уровня 吕 на уровень £\ и обратно (переход 七2—>3>邑)можно рассматривать как процесс, в котором электрон испускает и поглощает фотон с энергией (七2——Ei). Такой фотон называют виртуальным. В отличие от фотонов, участвующих в реальных переходах, виртуальные фотоны нельзя обнаружить экспериментально; рождение виртуального фотона не связано с поглощением энергии извне, а его уничтожение не связано с выделением энергии. Закон сохранения энергии не нарушается, так как виртуальный фотон существует весьма малое время Д/ и, согласно соотношению (3.2), энергия испустившего виртуальный фотон электрона характеризует-

Рис. 6.1 несколько фейнмановскихРис. 6.1 несколько фейнмановских

Рис. 6.1 несколько фейнмановских

Рис. 6.1 несколько фейнмановских

ся неопределенностью АЕ 拄力/А/, которая может быть порядка или больше энергии фотона (£2—?i)・ Картина, в которой электрон испускает и поглощает виртуальные фотоны, с физической точки зрения соответствует картине, в которой электрон совершает виртуальные переходы.

Принимая во внимание испускание и поглощение электроном виртуальных фотонов, можно представить себе каждый электрон как бы в окружении《облака» фо

тонов. С этим «облаком» следует сопоставлять собственное электромагнитное поле электрона. Два электрона могут обмениваться виртуальными фотонами. В квантовой теории поля взаимодействие электронов рассматривают именно как результат обмена электронов виртуальными фотонами. При этом широко используют введенные Фейнманом диаграмы, позволяющие учесть различные процес-

сы обмена фотонами.

На рис. 6.1 приведены диаграмм, описывающих рассеяние электрона на электроне. Сплошными линиями здесь «изображены» электроны, а пунктирными ——фотоны; пересечения сплошных и пунктирных линий называют вершинами диаграммы. Рассмотрим диаграмму а. Здесь / и 2 — электроны до взаимодействия друг с другом (до рассеяния), АБ ——виртуальный фотон, которым обмениваются электроны в процессе взаимодействия (заметим, что все частицы, ко

торым на диаграмме соответствуют линии, соединяющие две вершины, являются виртуальными), 3 и 4 ——электроны после рассеяния. Обратимся к диаграмме 6. Здесь / и 2 ——электроны до рассеяния, АБ и ВГ ——виртуальные фотоны, которыми обмениваются электроны, 3 и Z ——вир' туальные электроны, 5 и 6 ——электроны после рассеяния. Диаграмма 6 того же типа, что и диаграмма б； здесь электроны обмениваются двумя фотонами. Диаграмма а описывает один из процессов, в которых электроны обмениваются тремя фотонами. Очевидно, что число подоб-

ных диаграмм, все более и более усложняющихся (с участием все большего и большего числа фотонов), бесконечно.

Чтобы рассчитать вероятность рассеяния электрона на электроне, надо в принципе учесть вклад различных процессов, описываемых различными диаграммами. К счастью, вклад различных процессов неодинаков: он тем меньше, чем больше вершин имеет диаграмма (чем больше виртуальных фотонов участвует в процессе). Теория показывает, что количественно этот вклад определяется безразмерной величиной (е2/йс)п/2, где е ——заряд элект-

Рис. 6.2

рона, с ——скорость света, Й ——постоянная Планка, п —— число вершин диаграммы. Поскольку e2!hc= 1/137, то отсюда следует, что основной вклад в рассеяние электрона на электроне должна давать двухвершинная диаграмма а (обмен одним фотоном). В следующем приближении надо учесть четырехвершинные диаграммы бив (обмен двумя фотонами); их вклад будет на два порядка меньше. Таким образом, в действительности нет необходимости рассматривать слишком большое число диаграмм; достаточно ограничиться диаграммами с относительно малым числом вершин.

Конечно, систематическое рассмотрение фейнмановских диаграмм и основанных на них расчетов выходит за рамки данной книги. Эти вопросы относятся уже не к квантовой механике, а к квантовой теории поля (квантовой электродинамике) . Однако общее ознакомление с идеями, лежащими в основе фейнмановских диаграмм, здесь весьма целесообразно, поскольку позволяет подчеркнуть специфику физики микрообъектов и, кроме того, продемонстрировать некоторые фундаментальные квантовомеханические принципы (последнее обстоятельство будет рассмотрено ниже и, в частности, в § 25).

Прежде чем расстаться с фейнмановскими диаграммами, остановимся на так называемом эффекте поляризации вакуума. На рис. 6.2 изображена диаграмма, опи

сывающая один из процессов, ответственных за этот эффект: (ротон превращается в виртуальную электрон-по- зитронную пару, которая затем аннигилирует, превращаясь снова в фотон (одна из сплошных линий между вершинами диаграммы «изображает» виртуальный электрон, а другая ——виртуальный позитрон). Члены этой пары могут, очевидно, породить за время своего существования виртуальные фотоны, а следовательно, и новые виртуальные электрон-позитронные пары и т. д. В результате вакуум оказывается отнюдь не《пустым》—— он《заполнен》виртуальными электрическими зарядами, которые должны оказывать на внешние (реальные) заряды экранирующее действие. Экспериментальное подтверждение такого действия является лучшим свидетельством плодотворности представлений о виртуальных частицах.

Микрообъект и окружающий его мир. Как уже отмечалось, одно из наиболее специфических свойств микрообъекта есть наличие в его поведении элементов случайности, вследствие чего квантовая механика оказывается принципиально статистической теорией, оперирующей с вероятностями. Однако в чем же заключается причина наличия элементов случайности в поведении микрообъекта?

Ответ на поставленный вопрос таков: случайность в микроявлениях объясняется, образно говоря, тем, что микрообъект взаимодействует со всем окружающим его миром. Специфика квантовой механики такова, что ни один объект в ней не может, строго говоря, считаться полностью изолированным, полностью независимым от окружения. Как отмечал Мякишев [27],《причина статистического характера квантовой механики та же, что м 6 классической статистической механике, — наличие большого числа связей, влияющих на движение объекта. Частица, рассматриваемая 6 квантовой механике как свободная, 6 действительности свободна только от воздействий динамического характера. Но она находится под действием случайных сил, вызывающих квантовые флуктуации ее поведения, отражаемые соотношением неопределенностей».

Какова природа случайных воздействий на микрообъект? В квантовой теории поля она проявляется в явном виде ——как взаимодействие микрообъекта с вакуумом (напомним, что вакуум не есть пустота, он «запол-

нен》виртуальными зарядами). Можно сказать, что микрообъект взаимодействует с окружающим его миром через виртуальные микрообъекты.

Теперь читателю должна представляться совершенно естественной отмечавшаяся выше интерпретация корпускулярно-волнового дуализма как потенциальной способности микрообъекта проявлять те или иные свои свойства в зависимости от внешних условий, т. е. в зависимости от окружающей микрообъект обстановки. Это подразумевает органическую связь микрообъекта с окружающим его миром — ведь сама сущность микрообъекта реализуется в том или ином виде в зависимости от конкретных условий, конкретной обстановки.

Обнаруживаемая квантовой механикой невозможность безграничной детализации объектов и явлений в конечном счете также должна быть объяснена взаимодействием микрообъекта с окружающим миром. Это означает, что на определенной стадии исследования физические объекты уже нельзя рассматривать изолированно. Здесь уместно напомнить утверждение, приводившееся в § 3 в связи с обсуждением квантовых переходов:《Во время взаимодействия электрона с фотонами нет, строго говоря, ни электрона, ни фотонов, а есть нечто целое, которое и следует рассматривать как единое целое — без уточнения деталей».

Квантовая механика восстанавливает диктуемую жизненным опытом идею единства мира и всеобщей связи явлений, которая была в значительной мере ущерблена в классической теории. Стираются существовавшие ранее резкие грани между волнами и корпускулами, между частицами и полями, между объектом наблюдения и средой; на первый план выдвигаются взаимопревращения материи. Следует полностью согласиться со следующим весьма точным замечанием Бома [28]: ^По-ви- димому, необходимо отказаться от представления, что Вселенную можно фактически разбить на отдельные части, 〃 заменить это представлением о всем мире как едином целом. Повсюду, где квантовые явления играют существенную роль, мы найдем, что отдельные 《части》 Вселенной могут существенно изменяться с течением времени вследствие неизбежных и неразделимых связей, существующих между ними. Таким образом, мы приходим ^ картине Вселенной как неделимого, но гибкого 〃 постоянно изменяющегося целого».

АВТОР: Невозможность классической интерпретации микрообъекта (см. § 5) предопределяет отрицательный ответ на поставленный вопрос: возможна ли наглядная модель микро- объекта?

КЛАССИК： Все же неясно, почему не может быть создана наглядная модель микрообъекта, объясняющая различные его свойства, включая спин, нестабильность, волновые свойства и т. д. Возможно, что эта модель окажется весьма сложной. Возможно, что мы еще мало знаем о микрообъекте, чтобы постро^ ить подобную модель. Однако почему мы не можем верить в саму возможность такой модели?

АВТОР: Для этого есть весьма глубокие основания. Отмечу два из них. Во-первых, всякое моделирование предполагает в конечном счете детализацию независимо от того, идет ли речь о модели объекта или же о модели процесса. Однако характерной чертой микрообъектов и микроявлений, как уже отмечалось, является принципиальная невозможность безграничной детализации. Это весьма глубокое обстоятельство настойчиво подчеркивал Бор. Он писал, в частности (см. статью 《квантовая физика и философия» в [6]): «С открытием Планком элементарного кванта действия началась новая эпоха в физических науках. Это открытие обнаружило свойственную атомным процессам черту цельности, идущую гораздо дальше старой идеи об ограниченной делимости материи. Стало ясно, что свойственное классическим теориям наглядное картинное описание представляет идеализацию...» Уместно заметить, что упоминаемая Бором «черта цельности» органически связана с тождественностью микрообъектов. Во-вто-

ИНТЕРМЕДИЯ.

ВОЗМОЖНА ЛИ НАГЛЯДНАЯ МОДЕЛЬ МИКРООБЪЕКТА?

Действующие лица те же, что и в предыдущей интермедии.

„Быть может, эти электроны—

Миры, где пять материков, Искусства, знанья, войны, троны 也 память

сорока веков! Еще, быть может, каждый атом—

Вселенная, где сто планет; Там все, что здесь,

6 объеме сжатом, Но также то,

чего здесь нета

В. Брюсов

рых, характерной чертой микрообъектов является, как уже подчеркивалось, неустранимое взаимодействие их с окружающим миром, приводящее, в частности, к зависимости некоторых свойств микрообъекта от конкретных внешних условий. Эти свойства следует рассматривать как некие потенциальные возможности, реализуемые в зависимости от внешних условий. Спрашивается, каким образом эти потенциальные возможности могут быть отражены в рамках определенной наглядной модели?

КЛАССИК： Нельзя не признать, что приведенные соображения являются вескими доводами против наглядной модели микрообъекта. Тем не менее сам дух квантовой механики, отвергающей наглядные представления, мне не нравится. На мой взгляд, он вносит субъективность в описание реального мира. Возьмите, например, утверждение: электрон в зависимости от условий может проявлять себя то как волна, то как частица. Все зависит от условий, в частности от условий наблюдения. Возникает невольная мысль, что электрон не есть что-то объективное, а скорее нечто субъективное, зависящее от того, как на него «посмотреть».

АВТОР: Разумеется, Вы неправы. Прежде всего Вы упускаете из виду, что электрон имеет совершенно определенные характеристики, например массу покоя, электрический заряд, спин и др. Он стабилен, относится к фермионам. Что же касается наглядной модели электрона, то она действительно отсутствует. Однако, отказываясь от наглядной модели микрообъекта, квантовая механика вовсе не приносит объективность в жертву субъективности. Просто электрон — очень

сложный физический объект и в зависимости от внешней обстановки, в частности условий наблюдения, он реализует разные стороны своей сущности, которые в потенциальном виде (я подчеркиваю это) объективно существовали еще до рождения наблюдателя. Трезвый учет этой сложности выражается, в частности, в признании невозможности буквально понимаемой модели электрона. КЛАССИК： Можно ли серьезно говорить об объекте, не представляя себе его образа? Разве не странно, что мы изучаем, например, поведение электронов в кристалле, а в то же время толком не знаем, что же такое сам электрон?

АВТОР: Я не согласен, что мы «толком не знаем, что такое электрон》.Я только что напоминал ряд точно установленных характеристик и свойств электрона. Более подробно свойства микрообъектов вообще и электронов в частности рассматривались в предыдущих параграфах книги (и будут рассматриваться в последующих). Фактически мы знаем об электроне очень много и неплохо разбираемся, в частности, в поведении электронов в кристалле, о чем свидетельствуют многочисленные полупроводниковые приборы, созданные и применяемые нами на практике. Как видите, отсутствие наглядной модели электрона отнюдь не послужило серьезной помехой. Можно даже пойти дальше и утверждать, что 《понимание явлений природы, в которых играет существенную роль постоянная Планка, возможно только при значительном отказе от наглядного описания». Кстати говоря, эта фраза принадлежит Гейзенбергу, в работах которого уделено много внимания вопросам наглядности в квантовой механике.

КЛАССИК： Но разве, отвергая модели, квантовая механика не рискует в какой-то мере утратить материальную основу? Не останутся ли в итоге только уравнения и абстрактные математические символы?

АВТОР: Мне понятны Ваши сомнения. Для Вас, по-видимо- му, существуют лишь крайности-. либо наглядные модели, либо математические абстракции; либо модель должна отражать все или почти все, либо она не годится вовсе. Именно для такой точки зрения характерны высказанные Вами сомнения. Однако квантовая механика подходит к подобным вопросам более гибко, диалектичное.

КЛАССИК： Не понимаю, что именно Вы хотите сказать.

АВТОР: Я хочу подчеркнуть две мысли. Первая: хотя наглядная модель микрообъекта не существует, однако это не мешает широко использовать в квантовой механике модельные представления.

КЛАССИК： Значит, я все-таки прав?

АВТОР: Здесь иное. Квантовая механика учитывает, что никакая, даже самая изощренная, модель не может отразить специфику микрообъекта. Поэтому квантовая механика использует условные модели (условные образы)——то одни, то другие, признавая относительность всех и всяких моделей. Важно лишь одно: чтобы каждая из используемых моделей отражала какую-то сторону сущности объекта или явления. Так, рассматривая переходы электронов через запрещенную зону в полупроводнике, мы, не смущаясь, воображаем электроны некими корпускулами, которые совершают «скачки» по энергетической шкале. Рассматривая распространение электронов по идеальной решетке кристалла,

мы используем представление о волнах. Рассеяние же электронных волн на упругих волнах кристалла снова удобно рассматривать на «корпускулярном языке», используя картину столкновений корпускул двух типов — электронов и фононов. Хорошим примером условного моделирования служит также образ электронного облака, используемый для электрона в атоме. Как видите, моделирование в квантовой механике используется достаточно широко и гибко. При этом все модели понимаются не буквально, а условно, относительно.

КЛАССИК： Ну хорошо. А какая же вторая мысль?

АВТОР: Вторая мысль такова: квантовая механика использует на равноправных началах и условные модели и математические абстракции. Именно на равноправных началах! В этом пункте новая физика весьма резко порывает с классическими представлениями. Подчеркивая большое эвристическое (направляющее) значение, которое математика приобретает в новой физике и которого она раньше, в эпоху господства наглядных представлений, не имела, Вавилов писал [29]: с Для наглядной, модельной интерпретации картины не хватает привычных образов 〃 понятий, но логика с ее необъятной широтой, воплощенная 6 математические формы, остается 6 силе, устанавливая порядок связи 6 новом, непонятном мире 〃 открывая возможности физических предсказаний».

КЛАССИК： Поистине здесь нет ничего определенного!

АВТОР: Точнее, ничего заранее предопределенного. Новая физика подходит к изучению объективного мира, если можно так выразиться, «без классических предрассудков». Она гибко использует разнообразные

средства: и модели (причем самые различные) и математические абстракции. Образно говоря, «ничто человеческое ей не чуждо».

Подводя итоги, можно сказать, что, во-первых, при рассмотрении микрообъектов и микроявлений наглядные модели все же используются и до-

вольно широко; во-вторых, в квантовой механике модели пи в коей мере не понимаются буквально — учитывается их относительность, условность; в-третьих, процесс познания микроявлений основывается на диалектическом единстве модельных представлений и математических абстракций.

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОПЫТЫ

Реальные эксперименты и система принципиальных опытов. Представления квантовой механики опираются на богатейший экспериментальный материал, накопление которого происходило в течение более полувека, включая конец XIX и первую половину XX столетий. Среди множества работ выделяется ряд экспериментов, которые послужили определенными《вехами》и по этой причине могут быть названы решающими. К ним относятся связанные с излучением абсолютно черного тела опыты Люммера и Принсгейма в сочетании с теоретическими исследованиями Планка (1900 г.); опыты Франка и Герца, посвященные неупругим столкновениям электронов с атомами (1914 г.); исследования Милликэна по фотоэффекту, подтвердившие закономерности, предсказанные ранее Эйнштейном (1914 г.); опыты Штерна и Герлаха по расщеплению атомных пучков в неоднородных магнитных полях (1921 г.); измерения длины волны рентге- нов/ского излучения при рассеянии на веществе, выполненные Комптоном (1923 г.); опыты Дэвиссона, Джерме- ра, Тартаковского по дифракции электронов (1927 г.) и др. * Эти эксперименты (и многие другие, не получившие столь громкой известности) составляют тот фундамент, на котором в течение десятилетий строилась, совершенствовалась, освобождалась от различного рода «парадоксов» и, наконец, приобретала свою нынешнюю стройность квантовая теория.

Глядя теперь с позиций существующей квантовой теории на предшествующие ей экспериментальные поиски, целесообразно произвести обобщение реальной экспериментальной картины, опустить не играющие существенной роли детали и попробовать представить себе простейшую систему принципиальных опытов, определяющую основные аспекты квантовомеханических представлений. В данном параграфе предпринята попытка рассмотреть такую систему опытов. Эта система построена на базе реальных экспериментов, однако не следует искать взаимно однозначного соответствия между определенным «принципиальным опытом» и конкретным

Описание этих опытов читатель может найти, например, в [30].

Рис. 7.1Рис. 7.1свойства материи, что бы-свойства материи, что бы-

Рис. 7.1

Рис. 7.1

свойства материи, что бы-

свойства материи, что бы-

реальным экспериментом, выполненным в определенное время в определенной лаборатории. Принципиальный опыт надо рассматривать как своеобразное обобщение целого ряда реальных экспериментов. Поэтому здесь не играют существенной роли экспериментальные подробности, касающиеся конкретной установки, а также раз

личные детали исторического плана.

Обращение к системе принципиальных опытов мотивируется, на наш взгляд, двумя обстоятельствами. Во-первых, будучи освобождена от подробностей реальных экспериментальных поисков с их неизбежными «зигзагами» п «тупиками», такая система опытов позволяет особенно выпукло выделить принципиальные моменты и ясно показать экспериментальные основы теории. Во-вторых,

квантовомех а н и ч е с к и е представления настолько радикально изменили наши взгляды на строение и ло бы не совсем правомерно делать решающие выводы на основе отдельных конкретных экспериментов. Можно

сказать, что система квантовомеханических представлений опирается не на отдельные эксперименты (пусть даже именуемые решающими), а на их совокупность. Не- об ход игл о осмыслить совокупность экспериментов в целом, а для этого как раз и удобно представить себе некоторую систему принципиальных опытов.

Опыт 1 (микрообъекты в интерферометре). Начнем с рассмотрения хорошо известного опыта по интерференции световых волн. На рис. 7.1 схематически изображен простейший интерферометр. Здесь: /—точечный источник монохроматического света, 2 ——экран с двумя малыми щелями А и В, 3 ——экран-детектор, регистрирующий интенсивность падающего на него света. Эта интенсивность описывается на рисунке кривой /(%). Интерферен-

ционный характер кривой / (%) весьма просто объясняется в рамках классической волновой теории света: световая волна от источника /, достигая экрана 2, «превращает» щели 4 и 5 в источники новых световых волн, которые, складываясь, и дают на экране 3 характерную интерференционную картину распределения интенсивности.

Напомним, что интерференцию света наблюдали еще в середине XVII в. (Гримальди), а ее объяснение на основе волновых представлений было дано в начале XIX в. (Юнг). С тех пор опыт, изображенный на рис. 7.1, называют опытом Юнга.

Казалось бы, какое отношение имеет к квантовой механике давно открытое и давно объясненное явление интерференции света? Оказывается, самое прямое.

Действительно, будем постепенно уменьшать интенсивность света от источника 1. Освещенность экрана 3 будет при этом, естественно, уменьшаться. Однако интерференционный характер кривой /(%) сохранится. Увеличивая время экспозиции, можно получить интерференционную кривую /(%) в принципе при сколь угодно малой интенсивности света. Это уже нетривиально, так как по мере уменьшения интенсивности светового пучка уменьшается число фотонов в нем, так что должна, очевидно, наступить ситуация, когда вместо световых волн придется рассматривать отдельные фотоны. Характер же интерференционной кривой / (%), как свидетельствует опыт, оказывается явно «нечувствительным» к сколь угодно сильному уменьшению интенсивности света. Распределение попаданий отдельных фотонов дает на экране-детекторе такую же интерференционную картину, как и от световых волн.

Более того, интерференция наблюдается и в том случае, если поместить в точку / (рис. 7.1) источник моно- энергетических электронов. При этом опять-таки можно сколь угодно уменьшать интенсивность электронного пучка. Можно даже поставить опыт, в котором электроны проходят через интерферометр сугубо поодиночке. Исследуя распределение попаданий электронов на экран-детектор за достаточно большое время экспозиции, и в этом случае получают характерную интерференционную картину [кривую / (%)]. Опыты, повторенные с другими микрообъектами (протонами, нейтронами и т. д.), приводят к аналогичным результатам.

Исходя из наблюдения поведения микрообъектов в интерферометре, следует признать, что явление интерференции, во-первых, присуще всем микрообъектам и, во- вторых, оно должно объясняться не свойствами коллективов микрообъектов, а свойствами отдельного микрообъекта. В этом смысле классическая волновая теория интерференции, разработанная в свое время Юнгом, должна быть признана «устаревшей». Объяснение интерференции следует искать на основе представлений квантовой механики.

Попробуем «проследить» за движением отдельного микрообъекта (например, электрона) в интерферометре, изображенном на рис. 7.1. Электрон выходит из точки /, проходит через экран 2 с щелями и, наконец, регистрируется в некоторой точке % экрана 3. Повторив опыт со многими одиночными электронами, мы обнаружим два весьма интересных обстоятельства.

Первое обстоятельство состоит в том, что невозможно предсказать, в какой именно точке % будет зарегистрирован тот или иной электрон. Условия опыта для каждого электрона одни и те же (напоминаем, что электроны проходят через интерферометр сугубо поодиночке), и, несмотря на это, каждый электрон《ведет себя по-своему», причем нельзя предсказать, как именно он себя поведет. Подчеркнем, что это замечание относится к каждому отдельному электрону. Однако если пронаблюдать за многими электронами, то обнаружится упорядоченность в распределении их попаданий на экране 3, описываемая кривой типа интерференционной кривой /(х). При этом безразлично, наблюдать ли распределение попаданий многих одиночных электронов или распределение попаданий электронов пучка. Таким образом, непредсказуемость в отношении поведения отдельного микрообъекта сочетается с предсказуемостью в отношении поведения множества микрообъектов.

Второе обстоятельство связано со спецификой прохождения электрона через щели в экране. Закроем щель В； в этом случае на экране-детекторе будет наблюдаться распределение попаданий, описываемое кривой /1 (х) (рис. 7.2). Откроем щель 5, но закроем щель Л; в этом случае будет иметь место распределение，2(%)・ При обеих открытых щелях имеем не суммарное распределение /1(%)+/2(%) [описываемое на рисунке кривой /з(%)], а уже отмечавшееся ранее интерференционное распределе-

этом другую щель； в противном случае каждомуэтом другую щель； в противном случае каждомуРис. 7.2Рис. 7.2тем, ито электрон проходиттем, ито электрон проходит

этом другую щель； в противном случае каждому

этом другую щель； в противном случае каждому

Рис. 7.2

Рис. 7.2

тем, ито электрон проходит

тем, ито электрон проходит

ние /(%). Вот это обстоятельство и является особо примечательным. Ведь если предположить, что каждый электрон проходит через какую-либо одну щель, то наличие интерференционного распределения / (х) требует признать, что электрон неким образом «ощущает» при

электрону, проходящему через ту или иную щель, «безразлично» открыта или закрыта соседняя щель, и тогда распределение попаданий при обеих открытых щелях должно описываться не интерференционной, а суммарной кривой /з(х)=，1(х) + + /2(^) [действительно, электроны, прошедшие через щель А, должны были бы давать распределение /】(х), а электроны, прошедшие через щель В,— распределение /2(%)； на экране-детекторе была бы зафиксирована сумма этих распределений]. Бессмысленность разговора об «ощущениях» электрона заставляет признать: интерференционное распределение / (х), наблюдаемое при обеих открытых щелях, связано с каким-то образом сразу че

рез две щели.

Однако от такого признания легче не становится, так

как непонятно, как именно один электрон проходит сразу через две щели. Можно, конечно, допустить, что электрон проходит сначала через одну щель, затем как бы возвращается ——проходит через другую щель ——и снова проходит через первую щель (получается этакая 《петля》, захватывающая обе щели). Можно, наконец, допустить, что вблизи щелей электрон пространственно «размывается» (делокализуется), частично проходит через одну щель, а частично через другую, и при попадании на экран-детектор снова пространственно локализуется (получается временное расщепление электрона на две «поло-

своеобразного прохожде-своеобразного прохожде-

своеобразного прохожде-

своеобразного прохожде-

винки》). Нет особой нужды доказывать искусственность обеих приведенных попыток наглядно смоделировать прохождение электрона через две щели. Искусственность таких попыток становится особенно очевидной, если обратиться к более сложным интерферометрам; так, в интерферометре Майкельсона пришлось бы, например, предположить, что одна «половинка» микрообъекта движется к одному отражающему зеркалу, а другая «половинка»—к другому (совсем в другую сторону).

Итак, интерференционная кривая /(%) необычайно усложнила вопрос о характере прохождения микрообъекта через экран с двумя щелями. Если микрообъект проходит через одну щель, то либо не должно быть интерференции, либо надо признать за микрообъектом таинственную способность 《ощущать》соседнюю щель. Единственный разумный вывод, вытекающий из наличия интерференции, состоит в том, что микрообъект проходит одновременно через две щели, хотя《механизм》тако иля неясен.

В данной ситуации мог бы, по-видимому, помочь прямой эксперимент — почему бы не попробовать «подглядеть», каким именно образом проходит электрон через экран с щелями? Подобные эксперименты ставились. Посмотрим же, что из этого получилось.

Опыт 2 («подглядывание» за микрообъектами в интерферометре). Вообразим, что вблизи щелей Л и В экрана 2 находятся источники света 4 и фотоприемники 5 (рис. 7.3), предназначенные для «подглядывания» за прохождением электрона через экран с щелями (фотоприемники регистрируют свет, рассеянный электроном) .Если электрон проходит сразу через обе щели, то должны сработать одновременно оба фотоприемника. Если же электрон проходит через одну какую-либо щель, то сработает один фото'приемник; при этом заодно будет

выяснено, через какую именно щель прощел данный электрон.

Итак, поместим в точку / источник электронов, включим источники света 4 и понаблюдаем з» фотоприемниками 5. Будем полагать, что электроны проходят через установку поодиночке: источник испускает очередной электрон уже после того, как предыдущий электрон достиг экрана-детектора.

Что же показывает опыт? Оказывается, всякий раз срабатывает только один фотоприемник (либо левый, либо .правый) и никогда не срабатывают оба фотоприемника одновременно. Получается, что электрон проходит не через две, а через одну щель. При этом всякий раз мы может указать, через какую именно щель прошел тот или иной электрон.

Значит, скажет читатель, для объяснения интерференции придется снова начинать разговор о том, что электрон, проходя через щель, таинственным образом 《ощущает》соседнюю щель. Не будем, однако, торопиться с заключениями, а сначала доведем опыт до конца —— получим достаточно большое число попаданий электронов на экране-детекторе 3 и посмотрим, как распределятся эти попадания. Вот тут-то нас и ожидает сюрприз! На экране 3 обнаруживается не интерференционная кривая /(х), а суммарная кривая /з(х)

Повторим опыт, выключив источники света (и тем самым лишив себя возможности «подглядывать» за прохождением электронов через щели). В этом случае опять будет наблюдаться интерференционная кривая /(х).

Ситуация такова, что при выключенных источниках света интерференция есть, а при включенных источниках интерференции нет. Как только мы начинаем «контролировать» процесс прохождения электронов через две открытые щели, интерференция исчезает. Иначе говоря, наше наблюдение за поведением электронов вблизи ихе- лей разрушает интерференцию]

Впрочем, изменение характера движения электронов при включении источников света имеет простое физическое объяснение: это изменение есть результат столкновений фотонов с «контролируемыми» электронами. В процессе измерения всегда неизбежно какое-то воздействие на исследуемый объект. Здесь важно лишь одно —— можно ли указанное воздействие сделать достаточно слабым? Может быть, рассмотренный выше опыт был

слишком груб? Может быть, надо попробовать понаблюдать за электронами как-то поделикатнее ——так, чтобы при этом интерференционная картина не разрушалась?

Надо уменьшать энер-Надо уменьшать энер-Ио как уменьшить эффект воздействия фотона на электрон? Очевидно, что уменьшение интенсивности источников света ничего не даст ——интенсивность света связана с числом фотонов в пучке, так что при уменьшении интенсивности начнет попросту расти количество «неза

Надо уменьшать энер-

Надо уменьшать энер-

регистрированных» электронов, гию отдельного фотона. Однако для этого придется увеличивать длину волны излучения; в результате будет расти пространственная делокализация фотона (фотон локализован в пространстве с точностью до длины волны), так что при длине волны, превышающей расстояние между щелями, фотон оказывается уже не в состоянии фиксировать конкретную щель.

Но, может быть, можно

придумать какой-нибудь другой

опыт ——без использования рассеяния фотонов иа электронах? Нельзя ли, например, попробовать сконструировать фантастически легкий экран с щелями так, чтобы он мог

перемещаться влево и вправо в результате ударов отдельных электронов? Если электрон проходит через левую щель, экран получит отдачу влево, если через правую щель, то вправо (рис. 7.4); если же электрон проходит через две щели сразу, экран не должен вообще смещаться. Таким образом, остается лишь проследить за перемещениями экрана. Казалось бы, по крайней мере в принципе цель достигнута ——придуман требуемый деликатный эксперимент. Однако ставить такой эксперимент не имеет смысла. Чтобы убедиться в этом, вспомним соотношение неопределенной для импульса и координаты. Из этого соотношения следует, что если условия опыта действительно позволяют зарегистрировать обусловленный отдачей от электронного удара импульс экрана, то эти же условия должны приводить к неопределенности положения экрана на лпннн ОО (рис. 7.4). Следовательно, cMcuieiiiiH такого экрана нс позволяют сделать каких-

либо определенных заключений о характере Прохождения электрона через щели. С другой стороны, &слн фиксировать положение экрана на линии ОО, то, Как легко сообразить, станет невозможным измерение тшпульса его отдачи.

Было предпринято много попыток рридумать такой опыт, в котором можно было бы «проконтролировать» прохождение электронов через экран с щелями, не воздействуя слишком сильно на сами электроны (так, чтобы не разрушалась интерференция). Однако все эти попытки оказывались неудачными. В результате остается признать, что сделанное выше заключение о том, что наблюдение за поведением электронов вблизи щелей разрушает интерференцию, имеет принципиальный характер. Иными словами, разрушающий интерференцию эффект наблюдения (измерения) нельзя устранить в принципе.

ЧИТАТЕЛЬ: Значит, мы так и не смогли выяснить, как именно проходит электрон через экран с щелями ——через одну щель или сразу через обе щели?АВТОР: Действительно, не смогли.ЧИТАТЕЛЬ: Но тогда принципиальный опыт 2 не достиг цели! Нужно ли было его рассматривать?АВТОР: Нужно. Опыт не дал ответа на поставленный нами вопрос. Ну и что же? Значит, вопрос был поставлен некорректно. Мы видим, что не всякий вопрос можно задавать природе.ЧИТАТЕЛЬ: В этом негативном результате и весь смысл опыта?АВТОР: Это уже немало. Однако, как мы увидим позднее, здесь содержится также и позитивный результат колоссальной важности. Поистине искали одно, а нашли другое.ЧИТАТЕЛЬ: Что же именно? АВТОР: Не будем торопиться. Рассмотрим сначала до конца нашу систему принципиальных опытов.ЧИТАТЕЛЬ: Значит, мы так и не смогли выяснить, как именно проходит электрон через экран с щелями ——через одну щель или сразу через обе щели?АВТОР: Действительно, не смогли.ЧИТАТЕЛЬ: Но тогда принципиальный опыт 2 не достиг цели! Нужно ли было его рассматривать?АВТОР: Нужно. Опыт не дал ответа на поставленный нами вопрос. Ну и что же? Значит, вопрос был поставлен некорректно. Мы видим, что не всякий вопрос можно задавать природе.ЧИТАТЕЛЬ: В этом негативном результате и весь смысл опыта?АВТОР: Это уже немало. Однако, как мы увидим позднее, здесь содержится также и позитивный результат колоссальной важности. Поистине искали одно, а нашли другое.ЧИТАТЕЛЬ: Что же именно? АВТОР: Не будем торопиться. Рассмотрим сначала до конца нашу систему принципиальных опытов.Краткая интермедия.Краткая интермедия.„Шел в комнату, Попал 8 другую...„Шел в комнату, Попал 8 другую...А. С. Грибоедов (《Горе от ума»)А. С. Грибоедов (《Горе от ума»)

ЧИТАТЕЛЬ: Значит, мы так и не смогли выяснить, как именно проходит электрон через экран с щелями ——через одну щель или сразу через обе щели?

АВТОР: Действительно, не смогли.

ЧИТАТЕЛЬ: Но тогда принципиальный опыт 2 не достиг цели! Нужно ли было его рассматривать?

АВТОР: Нужно. Опыт не дал ответа на поставленный нами вопрос. Ну и что же? Значит, вопрос был поставлен некорректно. Мы видим, что не всякий вопрос можно задавать природе.

ЧИТАТЕЛЬ: В этом негативном результате и весь смысл опыта?

АВТОР: Это уже немало. Однако, как мы увидим позднее, здесь содержится также и позитивный результат колоссальной важности. Поистине искали одно, а нашли другое.

ЧИТАТЕЛЬ: Что же именно? АВТОР: Не будем торопиться. Рассмотрим сначала до конца нашу систему принципиальных опытов.

ЧИТАТЕЛЬ: Значит, мы так и не смогли выяснить, как именно проходит электрон через экран с щелями ——через одну щель или сразу через обе щели?

АВТОР: Действительно, не смогли.

ЧИТАТЕЛЬ: Но тогда принципиальный опыт 2 не достиг цели! Нужно ли было его рассматривать?

АВТОР: Нужно. Опыт не дал ответа на поставленный нами вопрос. Ну и что же? Значит, вопрос был поставлен некорректно. Мы видим, что не всякий вопрос можно задавать природе.

ЧИТАТЕЛЬ: В этом негативном результате и весь смысл опыта?

АВТОР: Это уже немало. Однако, как мы увидим позднее, здесь содержится также и позитивный результат колоссальной важности. Поистине искали одно, а нашли другое.

ЧИТАТЕЛЬ: Что же именно? АВТОР: Не будем торопиться. Рассмотрим сначала до конца нашу систему принципиальных опытов.

Краткая интермедия.

Краткая интермедия.

„Шел в комнату, Попал 8 другую...

„Шел в комнату, Попал 8 другую...

А. С. Грибоедов (《Горе от ума»)

А. С. Грибоедов (《Горе от ума»)

Опыт 3 прохождение фотонов через поляризаторы). Пропустим 吨юк света через поляризатор, например кристалл турмалина. Из кристалла выйдет линейно поляризованный световой пучок. Направление поляризации пучка определяется ориентацией поляризатора относительно пучка (направление поляризации совпадает с направлением оси поляризатора). Обозначим интенсивность линейно поляризованного светового пучка через /.

Далее поместим на пути линейно поляризованного пучка света второй поляризатор и рассмотрим следую

щие три случая: а——ось второго поляризатора параллельна оси первого, б ——ось второго поляризатора перпендикулярна оси первого, 6 ——ось второго поляризатора составляет угол а с осью первого. Будем измерять интенсивность света после второго поляризатора. В случае а лол учим интенсивность I, в случае 6 ничего не получим, а в случае е получим световой поток интенсивности /cos2 а, поляризованный вдоль оси второго поляризатора. Указанные случаи приведены на рис. 7.5, где АА — направление оси первого, а ББ — второго поляризаторов.

Описанный опыт хорошо известен в классической оптике. Однако, подобно интерференционному опыту Юнга, он 'имеет самое прямое отношение к квантовой механике. Как и в случае интерференции, будем уменьшать интенсивность светового пучка до тех пор, шока через наше устройство не пойдут одиночные фотоны. Рассмотрим проиллюстрированные на рис. 7.5 случаи в применении к отдельным фотонам.

Прежде всего напомним, что фотон характеризуется определенной поляризацией, .причем эта поляризация соответствует поляризации той классический световой волны, из которой 《взят》рассматриваемый фотон. Это означает, в частности, что после первого Поляризатора будем иметь линейно поляризованные (可 направлении оси поляризатора) фотоны. Вот с этими фотонами и будем далее 《работать》，называя их условию «исходными фотонами».

В случае а исходный фотон всегда проходит через второй поляризатор; в случае б, напротив, никогда не проходит. Эти результаты не являются неожиданными. А что будет в случае в? Оказывается, в случае 6 фотон может не пройти через второй поляризатор, но может и пройти. При этом совершенно невозможно предсказать, какая именно из двух альтернатив (прошел или не прошел) будет реализована данным исходным фотоном. Если случится так, что фотон пройдет через второй поляризатор, то его лоляризация окажется измененной — он будет 'поляризован в направлении оси второго поляризатора. Итак, судьба любого конкретного исходного фо- топа оказывается в принципе непредсказуемой!

Предположим далее, что имеется ^ исходных фотонов. Проследим за их прохождением через второй поляризатор в случае 6 и посмотрим, что лри этом получится. Оказывается, если N достаточно велико, то число прошедших фотонов можно предсказать с хорошей точностью——оно близко к N cos2 а. В связи с этим напомним сделанное ранее замечание о том, что непредсказуемость в отношении поведения отдельного микрообъекта сочетается с предсказуемостью в отношении поведения множества микрообъектов (см. опыт 1). Можно сказать, что существует определенная вероятность исходному фотону пройти через второй поляризатор; эта вероятность равна cos2 а.

А теперь усложним опыт. Используем случай, изображенный на рис. 7.5, в, и добавим еще один (третий) поляризатор, ось которого направим перпендикулярно оси первого поляризатора. Рассматриваемая система из трех поляризаторов показана на рис. 7.6. Пусть число исходных фотонов (т. е. фотонов, прошедших через первый поляризатор) равно N. После второго поляризатора будем иметь, как уже известно, A^cos2 а фотонов, причем поляризация этих фотонов совпадает с осью второго по-

ляризатора. Рассуждая далее аналогичным образом, заключаем, что после третьего поляризатора мы должны иметь N cos2 a 4112 a фотонов, причем поляризация этих фотонов должна сов(падать с осью третьего .поляризатора. Опыт действительно подтверждает такое заключение.

Как будто бьД ничего удивительного (если, конечно, полагать, что удивление от наличия двух непредсказуемых возможных поведений отдельного фотона уже не-

Рис. 7.6Рис. 7.6

Рис. 7.6

Рис. 7.6

много поостыло). И тем не менее есть здесь один момент, который противоречит нашим привычным представлениям. Попробуйте вообще убрать второй поляризатор. Тогда после третьего поляризатора не будет обнаружено никаких фотонов! Получается довольно интересная ситуация. Фотоны идут через некое устройство, как бы 《фильтруясь》сначала вторым, а затем третьим поляризаторами; в результате сначала мы имеем М затем N cos2 a и, наконец, N cos2 a sin2 а фотонов. Мы убираем один из《фильтров》и, казалось бы, тем самым улучшаем условия прохождения фотонов через данное устройство. Однако в действительности все оборачивается иначе —— теперь фотоны вообще не проходят через устройство!

Опыт 4 (рассеяние микрообъектов на микрообъектах). Будем рассматривать упругие столкновения микрообъектов, используя при этом в целях удобства систему центра масс сталкивающихся частиц. На рис. 7.7 изображена отнесенная к системе центра масс частиц схема опыта. Здесь А и В — пучки частиц, 7 и 2 — счетчики рассеянных частиц, расположенные на линии, перпендикулярной направлению движения частиц до столкновения.

Таким образом, здесь рассматривается рассеяние частиц на угол 90° в системе их центра масс.

Заметим, что картина процесса в системе центра масс может существенно отличаться от аналогичной картины в лабораторной системе. Так, например, в лабораторной системе счетчики / и 2 могут оказаться не на одной ли

нии; кроме того, в действительности может использоваться только один пучок частиц (например, частиц типа Л),

то гд а както гд а какча сти цы другого типа (типа В) входят в со

то гд а как

то гд а как

ПП加加Не осНе осососРис. 7.8Рис. 7.8став неподвижной мишени. Предполагается, что опыт в лабораторной системе всякий раз 叱 ставится таким образом, чтобы в системе центра масс частиц была справедлива схема, изображенная на рис.

П

П

加

加

Не ос

Не ос

ос

ос

Рис. 7.8

Рис. 7.8

7.7.

Рассмотрим применительно к указанной схеме разные примеры, измеряя всякий раз вероятность рассеяния частиц по числу одновременных срабатываний счетчиков / и 2.

Первый пример. Частицы типа А——а-частицы (ядра 4Не), частицы типа В ——ядра 3Не; счетчик / считает только а-частицы, а счетчик 2 ——только ядра 3Не. Пусть измеренная в этом случае вероятность рассеяния есть з.

Второй пример. Частицы те же, но теперь каждый из счетчиков может считать как а-частицы, так и ядра

не возникал, поскольку а-частицы не имеют спина). Рассмотрим в связи с этим рассеяние электронов на электронах. Напомним, что электрон может находиться в двух спиновых состояниях (о=1/2,——1/2). Электроны, рожденные, например, в результате термоэлектронной эмиссии, оказываются с равной вероятностью в том или другом спиновом состоянии. Такие электронные пучки называют неполяризованными; шоловина электронов в них имеет о=1/2, а половина ——о =——1/2. Если принять специальные меры, можно получить поляризованный электронный пучок, в котором все электроны находятся в одном и том же спиновом состоянии.

После сделанных замечаний вернемся к схеме на рис. 7.7 и продолжим перечень рассматриваемых примеров. При этом будем полагать, что энергии сталкивающихся электронов достаточно малы, поэтому возможность изменения спинового состояния электрона при столкновении можно не принимать во внимание.

Четвертый пример. Оба электронных пучка неполяри- зованные. Пусть измеренная в этом случае вероятность рассеяния есть we.

Пятый пример. Электронные пучки поляризованы, но различным образом. Например, Л-электроны имеют о=1/2, а В-электроны ——о = —1/2. В этом случае вероятность рассеяния оказывается равной 2we.

Шестой пример. Электронные пучки поляризованы одинаковым образом. В этом случае счетчики /，и 2 «безмолвствуют»——вероятность рассеяния равна нулю!

Как станет ясно позднее, рассмотренные здесь результаты опытов по рассеянию микрочастиц указывают .ыа принципиальные квантовомеханические закономерности.

Заключение. Итак, рассмотрена система из четырех достаточно .простых опытов. В (процессе рассмотрения подчеркивалась неожиданность результатов, указывающая на невозможность классического их объяснения. Система принципиальных опытов могла бы быть расширена и дополнена более сложными опытами. Мы, однако, не будем этого делать. Ограничимся рассмотренными четырьмя опытами, полагая, что в них достаточно четко проявились все основные принципы квантовой механики.

Опираясь па рассмотренные опыты, перейдем в следующих параграфах к построению системы кванто.воме- ханических .представлений, выражающей сущность физических основ квантовой механики.

АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ (ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ)

Введение понятия амплитуды перехода. Предположим, что для некоторого микрообъекта рассматриваются определенные начальное и конечное состояния (соответственно s-состояние и f-состояние). Конкретные характеристики этих состояний, равно как и природа микрообъекта, пока несущественны. Как отмечалось ранее, переход микрообъекта между двумя заданными состояниями имеет, как правило, вероятностный характер. В связи с этим введем в рассмотрение вероятность перехода Ws-^f.

В квантовой механике наряду с вероятностью перехода ws-^f вводят так называемую амплитуду вероятности перехода Vf|s>. Это есть некое, вообще говоря, комплексное число, квадрат модуля которого равен вероятности перехода:

*= y/|s〉|2. (8.1)

Заметим, что амплитуда вероятности перехода записывается так, что справа указывается начальное, а слева —— конечное состояния (как если бы эта запись читалась справа налево). В дальнейшем для краткости будем называть амплитуду вероятности перехода просто «амплитудой переходам (а иногда и еще короче — «амплитудой») .

Вводя важнейшее для квантовой механики полятие амплитуды перехода, посвятим данный параграф формулировке в наиболее общем виде ряда основных принципов. Читателя не должна смущать формальность изложения в данном параграфе. Она будет компенсирована следующим параграфом, где на конкретных примерах будут продемонстрированы упомянутые принципы. При этом, в частно1сти, будет рассмотрена связь этих принципов с обсуждавшимися в § 7 опытами, что позволит, с одной стороны, дать обоснование формально описанным принципам, а с другой стороны, дать объяснение удивительным экспериментальным результатам.

0 первое пра^ш0 первое пра^шЬ)третьЕ праби/^оЬ)третьЕ праби/^о

0 первое пра^ш

0 первое пра^ш

Ь)третьЕ праби/^о

Ь)третьЕ праби/^о

Основные правила работы с амплитудами. Укажем четыре основных правила работы с амплитудами переходов. Эти правила следует рассматривать как постулаты, лежащие в основании согласующейся с эксперимен

том системы кваптовомеханических представлений.

Первое правило. Предположим (рис. 8.1, а), что существует несколько физически неразличимых способов (путей) перехода микрообъекта из s-состояния в f-состояние. В этом случае результирующая амплитуда перехода Vf|s〉есть сумма амплитуд, соответствующих разным способам перехода:

</|О=2</^>/(8.2)

(индекс i фиксирует i-订 способ перехода).

Второе правило. Предположим (рис. 8.1, б), что имеется несколько конечных состояний (九，力，…，3,…)и рассматривается вероятность перехода в любое из этих состояний, безразлично какое. В этом случае результирующая вероятность перехода | <f|s> |2 есть сумма вероятностей переходов в различные конечные состояния:

|</1^>|2=2|</1^>/12.

'(8.3)

Третье правило. Предположим (рис. 8.1,6), что переход sf f совершается через некоторое промежуточное состояние (^-состояние). В этом случае вводят в рассмотрение амплитуды последовательных переходов s+v и Dff (соответственно амплитуды <u|s〉и <f/y>); результирующая амплитуда есть произведение указанных амплитуд:

</ I О = </ I。〉<。I S〉・ (8.4)

Иначе говоря, если переход разбивается на последова-

тельные этапы, то амплитуда перехода выражается через произведение амплитуд отдельных этапов. Заметим, что в (8.4) следует читать запись справа налево — тогда обозначения состояний окажутся в правильной последовательности: сначала начальное состояние, затем промежуточное 'и наконец конечное.

Четвертое правило. Предположим (рис. 8.1,г), что имеются два независимых мпкрообъекта. Пусть один микрообъект совершает переход s->f и одновременно другой микрообъект совершает переход S->F. В этом случае результирующая амплитуда перехода для системы микрообъектов выражается через произведение амплитуд перехода для отдельных микрообъектов:

<fP I sS〉=</ I 5><F I S〉. (8.5)

Отметим, что второе, третье и четвертое правила представляются вполне естественными, поскольку с учетом (8.1) они выражают хорошо известные в теории вероятностей теоремы сложения (второе правило) и умножения (третье и четвертое правила) вероятностей. Необычным представляется здесь первое правило, которое может быть названо правилом сложения амплитуд. В известном смысле именно на правиле сложения амплитуд строится вся система квантовомеханических представлений.

Различимые и неразличимые альтернативы; интерференция амплитуд. Предположим, что переход микрообъекта из .начального состояния в конечное (переход s->，) совершается всякий раз через одно из промежуточных состояний (и】 и?, ..., оз ...) (рис 8.1,0). В этом случае тот или 'иной способ перехода s+f (та или иная альтернатива) определяется «участием» в переходе соответствующего промежуточного состояния.

Рассмотрим два разных случая. Пусть в первом случае известно, через какое именно промежуточное состояние произошел конкретный лереход. Это есть случай физически различимых альтернатив. Для его описания надо объединить второе и третье 'правила. В итоге результирующая вероятность перехода будет иметь вид

I </ 丨 s〉|2 = J I </ I 4・〉Oi I s〉|2. (8.6)

Может возникнуть вопрос: причем здесь второе правило, коль £коро в нем шла речь о разных конечных состоя-

н'нях? Дело в том, что если известно, в каком именно промежуточном состоянии побывал микрообъект, то указанное состояние может рассматриваться как конечное по отношению к первому этапу перехода. Мы фиксируем микрообъект в этом состоянии и тем самым как бы временно прекращаем опыт. Один микрообъект будет зафиксирован в одном состоянии, другие ——в других состояниях, так что фактически имеет место ситуация с разными конечными состояниями. Подчеркнем, что различимость альтернатив связана с существованием именно разных конечных состояний (даже если в данном олы- те они играют роль промежуточных состояний).

Во втором случае нам неизвестно, через какое именно промежуточное состояние произошел конкретный переход. Это есть случай физически неразличимых альтернатив. Для описания данного случая следует объединить первое и третье правила. В итоге результирующая амплитуда перехода будет иметь вид

</ I s〉=J</ I 勺〉Oi 丨 s〉・ (87)

Результат (8.7) является специфически квантовомеханическим. Когда он имеет место, говорят об интерференции амплитуд переходов через разные промежуточные состояния. Подчеркнем, что интерференция амплитуд возможна лишь при условии физической неразяичимоста отвечающих данному опыту альтернатив (микрообъект не фиксируется в промежуточном состоянии, поэтому мы имеем здесь дело фактически только с одним конечным состоянием).

Переходя в (8.7) от амплитуды к вероятности перехода, получаем

I </ I s〉F = J〈/|Q〉<Q I s〉R (8.8)

Различие между случаями физически различимых и неразличимых альтернатив хорошо видно из сравнения вероятностей (8.6) 'и (8.8). Если в лервом случае складываются вероятности альтернатив, то во втором ——амплитуды вероятностей альтернатив.

Переходы с участием двух микрообъектов. Представляет интерес несколько расширить четвертое правило, относящееся к одновременным переходам двух микрообъектов. Предположим (рис. 8.2, а), что один м,икро-

объект совершает переход s->/ через промежуточное ^-состояние и одновременно другой микрообъект совершает переход SfF через промежуточное V-состояние.

Рис. 8.2Рис. 8.2Объединяя третье и четвертое правила, представим амплитуду перехода для системы микрообъектов в следующем виде:

Рис. 8.2

Рис. 8.2

尸 |sS〉=</|u〉X

X<^|s><F|^><I/|5>. (8.9)

Далее предположим (рис. 8.2, 6), что оба микрообъекта в процессе своих переходов проходят через одно и то же промежуточное ^гсостояние. Тогда (8.9) должно принять вид

V /尸 I sS〉= </| q〉< q|s〉х

X<L|0i〉V5|S〉・(8.10)

Наконец, предположим (рис. 8.2, 6), что каждый микрообъект реализует по нескольку физически Hepa3v4H4HMbix альтернатив через разные промежуточные состояния (и】, и?, Vi); причем каждое промежуточное состояние является общим для пары микрообъектов. В этом случае, обобщая

результат (8.10) с учетом 'первого правила, получаем

<"|sS〉=

=』<VlQ〉VQ|s〉<；mq〉<q・|S〉・(8.11)

Разрушение интерференции амплитуд. Интерференция амплитуд разрушается, когда альтернативы становятся (различимыми. Покажем, как это происходит, используя переходы с участием двух микрообъектов [используя результат (8.11)].

Микрообъект, совершающий переход s->力 назовем для краткости s-объектом, а микрообъект, совершающий пере：\од S->F,一一S-объектом. Предположим, что S-объекты используются для того, чтобы «проконтролировать» («подсмотреть»), через какое именно промежуточное состояние происходит в каждом конкретном случае переход s-объекта. Для осуществления такого «контроля» следует ввести столько конечных ^-состояний, сколько имеется «контролируемых» промежуточных ^-состояний (обозначим 尸 1,尸2,… 尸з …)，и устроить так, чтобы S-объект, проходящий, например, через ^г-состояние, переходил именно в 尸厂состояние. Схематически это изображено на рис. 8.2, а. Здесь каждое промежуточное состояние оказывается как бы «привязанным» к определенному конечному 尸-состоянию. Остается лить проследить за тем, в каком конечном состоянии будет обнаружен в том или ином случае осуществляющий «контроль» S-объект. Если ранее (в отсутствие S-объектов) альтернативы были неразличимыми, так что было неизвестно, через какое именно промежуточное состояние произошел в каждом конкретном случае переход s-объекта, то теперь разные альтернативы становятся физически различимыми: обнаруженный в том .или ином ^-состоянии S-объект однозначно указывает, через какое 'именно промежуточное состояние совершился данный переход. Согласно сделанным ранее замечаниям, использование S-объектов пля различения промежуточных состояний должно приводить к разрушению интерференции амплитуд. Убедимся в этом.

Если в 尸厂состояние попадает только тот S-объскт, который проходит через промежуточное и厂состояние, то, следовательно, <F"u九>=0 при 々#丄 Используя (8.11), получаем отсюда

</Az|sS> =

-</1^><^Ю<^|^><^|^>. (8.12)

Поскольку 尸广состояния ——это различные конечные состояния, то согласно второму правилу получаем для результирующей вероятности перехода «контролируемого» s-объекта выражение

l</|s〉|2 = Jy〃/sS〉|2 =

= qiV/|q・〉O/s〉<Lj|Q〉O/S〉R(8・13)

Если далее допустить, что для всех i амплитуда <Fi\S> одинакова (что на практике часто имеет место), то, обозначив эту амплитуду для краткости через а, перепишем результат (8.13) в виде

1</Ю|2-|^|22К/1^><^Ю12. (8.14)

Итак, если в отсутствие S-объектов (в отсутствие 《контроля》) имел место результат (8.8), то теперь имеет место результат (8.14). Легко видеть, что он соответствует результату (8.6)——налицо разрушение интерференции амплитуд при установлении 《контроля》 за промежуточными состояниями, т. е. при превращении физически неразличимых альтернатив в различимые альтернативы.

АМПЛИТУДЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ (ДЕМОНСТРАЦИЯ ОСНОВНЫХ ПРИНЦИПОВ)

Поведение микрообъекта в интерферометре и интерференция амплитуд. Используя понятие амплитуды перехода и правила работы с амплитудами, вернемся к обсуждавшемуся в § 7 опыту 1. Электрон выходит из начального s-состояния, проходит через экран с щелями Л .и В, каждой из которых отвечает свое промежуточное состояние (Л-состояпие и В-состояние соответственно) и, наконец, регистрируется в конечном х-состоянии, т. е. в точке с координатой х на экране-детекторе.

Пусть щель Л открыта, а щель В закрыта. В этом случае <x|s>A= <л;| А><Д |s>. Вероятность перехода Sf %, т. е. вероятность регистрации электрона в точке % экран а-детектор а, имеет вид

|O|s〉/=|OM〉<*s〉R (9.1)

Обозначим эту вероятность через 八(％); напомним, что именно так мы обозначали распределение попаданий электронов на экране-детекторе в опыте 1 из § 7 при условии, что щель Л открыта, а щель В закрыта. Для вероятности регистрации электрона ,в точке % в случае от-

крытой щели В и закрытой щели Л можем записать аналогичное выражение:

|O|S〉『= |O|5〉<g|s〉|2 = /2(%)・(9.2)

Теперь откроем обе щели. Поскольку невозможно указать, через какую именно щель прошел тот -или иной электрон (альтернативы неразличимы), то, следовательно,

<x|s> = <x|X><^|s> + <x|B><5|s>.

(9.3)

Обозначая вероятность перехода |<%|s〉|2 через /(%) (именно так обозначалась в § 7 наблюдаемая пр'И обеих открытых щелях интерференционная кривая на экране- детекторе) и учитывая (9.1) и (9.2), ^получаем отсюда

/(%) = |O|A〉<*s〉+ O^〉<5|s〉y=

= /1(Х)+ /2(Х)+ <х|5>л<л|5>1 +

+ <Х|5>Д<Х|5>В. (9.4)

Легко видеть, что результирующая вероятность перехода не равна сумме вероятностей переходов через щели Л и 8[/(х) #厶(％)+，2(%)]； кроме слагаемых Ц (%) и 厶⑴ в правой части выражения (9.4) содержатся два дополнительных слагаемых, обусловленные интерференцией амплитуд. Эти слагаемые и определяют отличие интерференционной кривой /(%) от суммарной кривой /з(%) = = /1(%) ”2(%)・

Таким образом, интерференционное распределение попаданий электронов на экране-детекторе, наблюдаемое лри обеих открытых щелях в опыте 1 из § 7, есть следствие результата (9.4), т. е. следствие интерференции амплитуд двух возможных переходов электрона из заданного начального в заданное конечное состояние.

Разрушение интерференции амплитуд при «контролировании» поведения микрообъекта в интерферометре. На рис. 9.1 схематически изображен рассматривавшийся в § 7 принципиальный опыт 2. Здесь s — источник электронов,, S — источник фотонов,尸「и 尸2 — счетчики фотонов, фиксирующие два разных конечных состояния фотонов, рассеянных на электронах вблизи щелей Л и В. Вначале будем полагать, что фотоны, рассеянные вблизи любой

< X尸J sS〉=g1':'] +g2少2.< X尸J sS〉=g1':'] +g2少2.

< X尸J sS〉=g1':'] +g2少2.

< X尸J sS〉=g1':'] +g2少2.

из щелей, могут быть зарегистрированы как в Fj-состоянии, так и в /^-состоянии (что соответствует использованию излучения с достаточно большой длиной волны). В этом случае фотоны, очевидно, не 《контролируют» прохождение электронов через экран с щелями. Обозначим амплитуды переходов:

для электронов

<х|Д><Д|5>=?1, <x\B><：B\s> = ^ (9.5)

для фотонов (с учетом симметрии фотонных переходов, хорошо видной из рис. 9.1)

<Л|Л><Д|5>=

<^2|А><Д|5>=

=<^\b><b\s>=^

(9.6)

Используя эти обозначения и результат (8.11), запишем следующее выражение для

амплитуды вероятности од- новременной решетрации электрона в точке % и фотона в Fi-состоянии:

Соответственно для амплитуды вероятности одновременной регистраисии электрона в точке х и фотона в ^-состоянии запишем

V xF21 sS〉=%屮2+ 勺2屮卜V xF21 sS〉=%屮2+ 勺2屮卜(9.8)(9.8)

V xF21 sS〉=%屮2+ 勺2屮卜

V xF21 sS〉=%屮2+ 勺2屮卜

(9.8)

(9.8)

Вероятность регистрации электрона в точке % .независимо от того, где при этом зарегистрирован фотон, имеет вид (согласно второму правилу из § 8)

y%|s〉卩= |<%e|sS>|2 + Y%/|sS〉|2. (9.9)

Подставляя сюда (9.7) и (9.8), находим

1《屮〉卩= (|%F + | 政[2)(|屮/2 + 函2)+

+ (平评2+中评2)(屮冲2+屮:屮2)・(9.10)

Таким образом, результирующая вероятность электронного перехода s->x складывается из двух слагаемых. Первое есть умноженная на (|4)i|2+ \^\2) сумма вероятностей переходов через щели А и В, рассматриваемых по отдельности. Второе слагаемое имеет интерференционную природу; оно обусловлено интерференцией амплитуд. Благодаря наличию этого слагаемого наблюдается интерференционное распределение попаданий электронов на экране-детекторе.

Итак, пока фотоны не «контролируют» прохождение электронов через экран с щелями, наблюдается эффект интерференции, описываемый выражением (9.10).

Напомним, что в рассмотренном примере предполагалась достаточно большая длина волны излучения. Будем теперь уменьшать длину волны. При этом будет уменьшаться вероятность попадания рассеянного электроном фотона в «чужой» счетчик (например, вероятность попадания фотона, рассеянного вблизи щели А, в счетчик 尸2)・ Это означает, что с уменьшением длины волны излучения должна уменьшаться амплитуда г[)2. Уменьшение же амплитуды 屮2 понизит, как это видно из (9.10), относительный вклад интерференционного слагаемого. В результате наблюдаемая на экране-детекторе интерференционная картина начнет смазываться.

При достаточно малой длине волны излучения возможен точный «контроль» за прохождением электронов через экран с щелями. В этом предельном случае фотон, рассеянный вблизи той или иной щели, попадает только в «свой» счетчик. Это означает, что 中2 = °・ Подставляя этот результат в (9.10), лолучаем

Y*|s>产=1屮/2(也产 + ]敢卩). (9.11)

Таким образом, «контроль» за прохождением электронов через экран с щелями приводит к разрушению интерференции амплитуд и, как следствие, к исчезновению интерференционного распределения попаданий электронов на экране-детекторе. Результат (9.11) полностью согласуется с (8.14). «Контролированием делает различимыми альтернативы, отвечающие прохожденикг электрона через разные щели.

Рассматривая данный пример, мы убеждаемся, что в вопросе различимости альтернатив есть определенная тонкость: наряду с полной неразличимостью и полной различимостью существует непрерывный спектр проме-

жуточных ситуаций, которые следует соотносить с частичной различимостью. Результат (9.11) описывает предельный -случай полной различимости рассматриваемых альтернатив (屮2 = 0). П(р оти воло л о жный предельный случай полной неразличимости альтернатив предполагает одинаковую вероятность фотону попасть как в 《свой», так и в «чужой» счетчик:屮1 =屮2・ В этом случае, как легко убедиться, выражение (9.10) принимает вид

|<X|S〉|2=2| 屮]|2|% + &Е (9.12)

Результат (9.11) (складываются квадраты модулей электронных амплитуд) и результат (9.12) (складываются сами электронные амплитуды) получаются из (9.10) как частные (предельные) случаи. Общее выражение (9.10) описывает промежуточные ситуации, отвечающие частичной различимости р асем атр и в а емых альтернатив и различающиеся друг от друга величиной интерференционного слагаемого. Чем меньше .интерференционное слагаемое, тем больше степень различимости альтернатив.

Итак, различимость и неразличимость отнюдь не дискретны. Полная неразличимость непрерывно переходит в полную различимость через промежуточные ситуации, соответствующие частичной различимости. В § 10 мы вернемся к вопросу о частичной различимости с точки зрения принципа суперпозиции .

Рассеяние микрообъектов и интерференция амплитуд. Обратимся к опыту 4 из § 7. Пусть s】н s?——начальные состояния сталкивающихся .микрообъектов, a fi и f2 — конечные * состояния, регистрируемые соответствующими счетчиками. В § 7 рассматривалось рассеяние на угол 90° в системе центра масс сталкивающихся частиц. При более общем подходе будем рассматривать рассеяние на угол 0; в этом случае счетчики располагаются на прямой линии, образующей угол 0 с первоначальным направлением сталкивающихся частиц——см. рис. 9.2, а (рассмотрение по-прежнему (проводится в системе центра масс частиц).

Если при рассеянии один микрообъект совершает переход Si->fi, а，другой ——переход s2-^f2 (рис. 9.2, б), то амплитуда рассеяния имеет вид

^W=<fi\^><f2\s2>. (9.13)

Возможна и другая альтернатива: один микрообъект совершает переход Si->%, а другой ——переход s2->fi (рис.

9.2,6). В этом случае амплитуда рассеяния имеет вид

?(n-6) = </2\s1></1|s2>.?(n-6) = </2\s1></1|s2>.(9.14)(9.14)

?(n-6) = </2\s1></1|s2>.

?(n-6) = </2\s1></1|s2>.

(9.14)

(9.14)

Предположим, что микрообъекты полностью различимы. Это может означать, например, что сталкиваются микрообъекты разного типа пли микрообъекты одного типа, но в разных спиновых состояниях. Сначала рассмотрим ситуацию, когда счетчик 厶 регистрирует только

Рис. 9.2Рис. 9.2

Рис. 9.2

Рис. 9.2

микрообъекты из Si, а счетчик 頂一-только микрообъекты из $2 (такая ситуация отвечает первому примеру в опыте 4 из § 7). В этом случае вероятность одновременного срабатывания обоих счетчиков есть

I?WI2=K/i|^></2|52>|2. (9.15)

Вторая ситуация: каждый счетчик регистрирует любой из участвующих в столкновении микрообъектов (ситуация отвечает второму примеру в опыте 4 из § 7). Теперь надо учитывать две возможные альтернативы. Поскольку для полностью различимых микрообъектов эти альтернативы также полностью различимы, то вероятность одновременного срабатывания счетчиков будет определяться в данном случае выражением

|?(0)|2+|?^-0)12=К/1^1></2|^>12 +

+ 1</2!^></11^2>,2. (9.16)

При €) = п/2 получаем отсюда вероятность 2|(р(л/2) |2 —— именно об этом удвоении вероятности и шла речь во втором примере в олыте 4 из § 7.

Далее предположим, что микрообъекты полностью неразличимы. Это означает, что рассматриваются микрообъекты одного и того же типа, находящиеся в одинаковых состояниях. Заметим, что отмечавшаяся в § 6 тождественность микрообъектов является необходимым условием полной неразличимости.

Если млкрообъекты полностью неразличимы, то полностью неразличимы и альтернативы, изображенные на рис. 9.2, б, в. В этом случае должны складываться не вероятности альтернатив, а их амплитуды; вероятность одновременного срабатывания счетчиков должна определяться выражением

& = 1 屮(а)—№(п — 0)К(9.17)

В применении к третьему примеру в опыте 4 из § 7 (когда рассматривалось рассеяние сх-частиц на а-часттщах) результат (9.17) принимает вид

砌=I g(г/2) + 平(旳② 12 = 41 g(n/2) R(9.18)

Именно это учетверение вероятности |(р(л/2) |2 н наблюдалось е опыте.

Интерференция амплитуд рассеяния есть лишь одно из следствий полной неразличимости микрообъектов. Другое следствие состоит в том, что вероятность w одновременного срабатывания счетчиков не должна измениться, если поменять друг с другом s〔 и s?, или, иными словами, если поменять друг с другом амплитуды рассеяния (р(0) и(р(л——0). Если исходить из указанных следствий, то можно формально записать вероятность w в виде

也=@⑼土屮(冗—力卩.(9.19)

Вариант со знаком《+》(амплитуды интерферируют с одинаковыми знаками) нам уже известен — это есть выражение (9.17). Формально возможен и другой вариант, когда амплитуды интерферируют с разными знаками. Примечательно, что природа《использует》также и этот вариант, в чем можно убедиться, рассматривая результаты опытов по рассеянию электронов на электронах.

Итак, предположим, что амплитуды интерферируют с разными знаками'.

叫=I屮(°)—中m — a)卩(9・20)

и обратимся к результатам упомянутых опытов. В случае 0 = п/2 вероятность (9.20) обращается в нуль, что как раз и соответствует шестому примеру в опыте 4 из § 7. Напомним, что указанный пример относился к столкновению электронов, находящихся в одном и том же спиновом состоянии. Именно -в этом случае имеем для электронов две полностью неразличимые альтернативы .

Если сталкивающиеся электроды находятся в разных спиновых состояниях (пятый пример в опыте 4), то альтернативы различимы; в этом случае вероятность срабатывания счетчиков описывается (как и положено для различимых объектов) выражением (9.17), которое при 6 =冗/2 приводит к уже известному результату 2| 屮(а/6) |2. В случае неполяризованных электронных пучков (четвертый пример в опыте 4) надо учесть, что вероятность столкновения двух электронов в одинаковых спиновых состояниях равна 1/2； отсюда, учитывая (9.20) и (9.16), получаем следующее выражение для вероятности срабатывания счетчиков:

s I屮⑼一中(n — 0)卩+皆口g0)e+1g(e一0)"

(9.21)

Результат (9.21) включает как сложение амплитуд (для случаев, характеризующихся неразличимыми альтернативами), так и сложение вероятностей (для случаев, характеризующихся различимыми альтернативами). Для 0 = л/2 получаем из (9.21) вероятность we= |(р(л/2) |2. Это есть половина «классической вероятности» (т. е. вероятности, имеющей место в случае неразличимых альтернатив) в полном соответствии с результатами опытов, рассматривавшихся -в § 7.

Интерференция амплитуд и разбиение микрообъектов на бозоны и фермионы. Итак, мы убедились, что описанные в § 7 опыты по рассеянию микрообъектов дают хорошее экспериментальное обоснование представлению об интерференции амплитуд. Кроме того, эти опыты указывают на необходимость использования не одного, а двух раэных правил интерференции——(9.17) и (9.20). Обсудим смысл этих двух правил, -полагая 0 = п/2. Согласно (9.17),

имеем для а-частиц

w —4|<р(л/2) |2,(9.22)

а согласно (9.20) имеем для электронов в одинаковых спиновых состояниях

叫=0.(9.23)

Использование угла 0 = л/2 делает схему рассеяния симметричной. Если при этом учесть также, что электроны находятся в одинаковых спиновых состояниях (у а-частиц спина нет), то можно заключить, что выражения (9.22) и (9.23) описывают вероятности оказаться в одном и том же состоянии •соответственно для пары а-частиц и для пары электронов. Сравнивая эти .выражения с «классической вероятностью» 2|(р(л/2) |2, можно прийти к заключению, что одни микрообъекты (в данном случае а-частицы) проявляют тенденцию плотнее 《заселять》одно，и то же состояние, тогда как другие микрообъекты (в данном случае электроны), напротив, могут «заселять» 'состояния только поодиночке.

Тот факт, что все микрообъекты в природе по характеру поведения в коллективе себе 'подобных разбиваются на две группы — бозоны (тенденция шлотнее 《заселять》 одно и то же состояние) и фермионы («заселение» состояний только поодичноке),——отмечался уже в § 1. Теперь мы видим, что этот фундаментальный факт связан с существованием двух разных правил интерференции амплитуд. В случае бозонов амплитуды интерферируют с одинаковыми знаками, а в случае фермионов — с разными знаками.

Бозонность фотонов и процессы спонтанного и индуцированного испускания света. Рассмотрим пример: имеются три испускающих фотоны атома (s】,S2, S3) и три счетчика фотонов (fi, /2, /з)・ Амплитуда вероятности того, что произойдут одновременно три перехода: s^f^ s2-> f，2, $з—/з, — есть <fi |si><,2|s2> <%|5з>. Пр ед положим, что регистрируются фотоны в одном и том же состоянии. В этом случае имеем 3! = 6 неразличимых альтернатив; им соответствуют, кроме указанной выше, следующие пять амплитуд:

e力回〉</28〉</3囱〉，

</1^1></з1^ХЛ^з>

V /з I Si〉V /2 1s2〉＜ 力 I S3〉，

V /1 I $2〉V /2 1s3〉＜ /3 I Si〉‘

＜ /1 ] S3〉＜ /2 I Si〉＜ /3 I $2

Полагая, что амплитуда каждого перехода Si+fk од- на и та же (обозначим ее через а) и учитывая неразличимость альтернатив, получим для амплитуды перехода с испусканием трех фотонов выражение 3!^з, а для вероятности 'перехода (3!)2|а3|2. Если бы альтернативы были различимы (испускались бы различимые микрообъекты), то вероятность описывалась бы выражением 3!|。3|2. Обобщая эти результаты на случай с п микрообъектами, получим для 'вероятностей испускания 'соответственно (п\)2\ап\2 и 献 |а叩.

Пусть wn ——вероятность испускания п 'бозонов (в данном случае фотонов) в одном и том же состоянии, а Wn ——вероятность испускания п различимых микрообъек- тов в одном и том же состоянкн. Легко видеть, что

叫=川 Гл.(9.24)

Следовательно, вероятность совместного счета п бозонов в п\ раз больше вероятности совместного счета п различимых микрообъектов. Перепишем результат (9.24), заменив п на 儿 +1:

5+1 = (〃 + 】)！吃+i・(9・25)

Поделив (9.25) на (9.24), получим

叫+J必= (〃+D叼川吃•(9.26)

Это означает, что вероятность получить еще один бозон в состоянии, где уже есть п бозонов, в 〃+1 раз больше вероятности получить еще один различимый микро- объект в состоянии, где уже есть п таких микрообъектов. Отметим далее, что для различимых микрообъектов несущественна степень предварительной «заселенности» состояния. В применении к бозонам это аналогично ситуации, когда бозон появляется в состоянии, которое до этого было не занято. Поэтому результат (9.26) может быть истолкован ＜и несколько иначе: вероятность получить еще один бозон в состоянии, где уже есть п бозонов, в 孔+1 раз больше -вероятности появления бозонов в ранее неза- нято'м состоянии. В соответствии с таким толкованием

целесообразно переписать результат (9.26) в виде |О+1|〃〉|2=(〃+1)[< 1|O〉R(9.27)

Здесь рассматривается определенное состояние, причем < 110> есть амплитуда перехода:

(состояние незанято)->(в состоянии один бозон), а <n+1 \п> есть амплитуда перехода:

(в состоянии п бозонов)―>(в состоянии 〃+1 бозонов) .В применении не к вероятностям, а к амплитудам результат (9.27) означает

< п+1 \п > =丿秆1 <1|0>.(9.28)

Обсудим результат (9.27), рассматривая испускание фотонов (испускание света). Легко видеть, что вероятность испускания разбивается на два слагаемых:

|О+1| s〉E=y 1|0〉|2,(9.29)

|<п+1|^>|?=п|<1|0>|2.(9.30)

Слагаемое (9.29) описывает вероятность спонтанного, а слагаемое (9.30)——индуцированного испускания света. В случае спонтанного испускания переходы в веществе (точнее, в атомах-излучателях) самопроизвольны; они взаимно не связаны <и не зависят от внешнего излучения. В отличие от спонтанного индуцированное испускание зависит от наличия уже имеющихся вблиз1и излучателя фотонов —чем больше этих фотонов, тем более вероятно индуцированное испускание. Получается, что в силу своей бозонности фотоны как бы «вытягивают» из вещества новые фотоны, а точнее: стимулируют в веществе переходы, приводящие к испусканию новых фотонов. Подчеркнем, что «стимулированный» фотон рождается в том же состоянии, в каком находился «стимулирующий» фотон.

Поглощение света и связь между амплитудами прямого и обратного переходов. Опыт показывает, что вероятность поглощения света веществом тем больше, чем больше число имеющихся в излучении фотонов. В этом смысле процесс поглощения света — индуцированный процесс. Используя аналогию с (9.30), можем записать следующее выражение для вероятности уничтожения одного фотона в состоянии, где имелось п фотонов: I <п—1 \п>\2 = п\ <0| 1> |2. Перепишем этот результат, заменив п на /г+1:

|：О〕〃+1〉|2=(〃+1)у0|1〉|2・(9.31)

Сравнивая (9.31) с (9.27), заключаем, что вероятности прямого и обратного перехода равны друг другу: |<孔 + + 1 |П> |2= I <闻几+1> |2

Таким образом, на конкретном примере *мы продемонстрировали так называемый принцип микроскопической обратимости:

|<小〉卩= [<S1/>]2.|<小〉卩= [<S1/>]2.(9.32)(9.32)

|<小〉卩= [<S1/>]2.

|<小〉卩= [<S1/>]2.

(9.32)

(9.32)

В применении к амплитудам переходов этот принцип означает

V/|s〉=Vs|/〉來.

Результат (9.33) дополняет рассмотренную в § 8 систему четырех правил работы с амплитудами переходов; он может рассматриваться как дополнительное, пятое правило.

Дополнительные примеры.

Рассмотрим два полезных примера, хорошо демонстрирующих ам- п.Л1итудные представления.

Рассеяние нейтронов на кристалле. Будем рассматривать рассеяние очень медленных нейтронов (с энергиями порядка 0,1 эВ и ：ниже) на атомных ядрах.

Известью, что при столь мизкнх энергиях амплитуда рассеяния ф, рассматриваемая в системе центра масс нейтрона и ядра, не зависит от угла рассеяния. Поэтому, казалось бы, должна быть изотропной и вероятность рассеяния. Однако опыты по рассеянию очень медленных нейтронов на кристаллах обнаруживают сильную угловую зависимость вероятности рассеяния; характерная кривая показана на рис. 9.3: ihh плавном фоне наблюдаются острые максимумы. Эти максимумы являются наглядной демонстрацией эффекта интерференции амплитуд. Убедимся в этом.

Пусть нейтрон выходит из 'начального s-состояния л регистрируется в конечном /-состоянии. Промежуточное /-состояние соответствует i-му ядру кристаллической решетки рассеивателя. Согласно третьему правилу из § 8,

V/I s»=<v：|Z；〉ср V" S〉.

Предположим, что все N ядер кристалла одинаковы, не имеют спина и находятся строго в узлах решетки. В этом случае принципиально невозможно указать, на каком именно ядре произошло рассеяние нейтрона ——альтернативы, отвечающие рассеянию на ядрах с разными《номерами》, неразличимы. Поэтому следует учесть интерференцию амплитуд:

</|s〉=EV/|s〉i = ±V/IC>cp<7|s〉・(9・35)

С учетом (9.35) вероятность рассеяния нейтрона имеет вид

|<y|s〉P=|(p|2|；<5〉y|s〉|2・(9.36)

Вследствие сложения амллитуд рассеяния на ядрах, определенным образам расположенных в пространстве, возможно взаимное《гашение》амплитуд для одних направлений и взаимное усиление для друпих — этот (интерференционный эффект проявляется в виде острых максимумов для определенных углов рассеяния.

Предположим далее, что ядра кристалла имеют юпии (пусть, как и у нейтрона, он равен %). В этом случае следует различать нмлллтуды рассеяния на ядре с переворачиванием спина ядра (согласно закону сохранения момента, при этом должен перевернуться также 玄 спин нейтрона) и без переворачивания спина ядра и нейтрона—'соответственно % и ф. Бели /при рассеянии «происходит переворачивание спинов сталкивающихся микрообъектов, то соответствующая альтернатива оказывается различимой: ясно, что в данном акте рассеяния участвовало именно то ядро, 'спин которого перевернулся. Теперь надо складывать уже не амплитуды, а сами вероятности.

С учетом амплитуд ср и % представим вероятность рассеяния нейтрона из 5<остояния в /-состояние в виде

1</|5>|2=|?1212</|/></|5>р +

+ lx|2±|V/|Z><"s〉产.(9・37)

Первый член в правой qa&f理(937) дает на рис. 9.3 характерные (Интерференционные максимумы, а второй член обусловливает плавный фон. Принято говорить, что первый член описывает вероятность когерентного, а второй ——некогерентного рассеяния нейтронов.

Пучок атомов е неоднородных полях. Предположим, что пучок атомов, находящихся в определенном начальном ^-состоянии (это есть определенное спиновое состоя- »ние), лроходит сначала через одну область 'неоднородного магнитного поля (8〔), затем через другую область (殳)н, наконец, регистрируется в конечном спиновом /-состоянии. Неоднородные магнитные поля используются здесь как факторы, способные изменить *спи(новое состояние атомов пучка. Опыт показывает, что вероятность перехода s->f различна в случаях, (когда а) производится наблюдение, выясняющее состояние атомов пучка между полями Bi и 82； б) подобное наблюдение не лроизводит- ся. Различие вероятностей |<f|s>|2 в двух указанных случаях легко объяснимо, если учесть, что в случае а промежуточные спиновые /-«состояния в-сякий раз фиксируются и, следовательно, отвечающие <им альтернативы различимы; поэтому

К/Ю[2=21</|/>：</|5>|2,(9.38)

а в случае 6 промежуточные /-состояния не фиксируются и, следовательно, отвечающие им альтернативы неразличимы; поэтому

1</Ю12=|2</и></|^>|2.(9.39)

Фейнмановские интегралы по траекториям. В заключение укажем возможность одной несколько необычной формулировки квантовой механики, опирающейся на амплитудные представления. В начале данного параграфа рассматривался интерферометр в виде экрана с двумя щелями; имелись две неразличимые альтернативы, которым соответствовали две интерферирующие амплитуды. Предположим теперь,, что вместо экрана с двумя щелями используют экран с п щелями; число альтернатив (и соответственно амплитуд) станет равным п. Далее поместим параллельно упомянутому экрану еще один экран с п щелями; число альтернатив (амплитуд) возрастет до п2. Будем продолжать этот процесс, постепенно заполняя пространство между источником микрообъектов и экраном-детектором все новыми и новыми экранами, причем одновременно будем увеличивать число и;елей в каждом экране. В пределе бесконечно большого

числа экранов с бесконечно большим числом щелей придем К ситуации, когда все пространство между источником и экраном- детектором окажется «заполненным» различными возможными «траекториями» микрообъекта, каждой из которых отвечает определенная альтернатива и соответственно определенная амплитуда (представление об одной из таких траекторий дает рис. 9.4, а). Полная амплитуда перехода s+x есть сумма (точнее, интеграл) по всевозможным амплитудам. Наконец, представим себе, что система экранов с щелями была введена лишь мысленно; в действительности же никаких экранов нет, а просто все пространство между точками s и % «заполнено» всевозможными траекториями. Если мы можем записать для каждой такой траектории амплитуду перехода, то вероятность перехода s->x может быть найдена как квадрат модуля интеграла, суммирующего все указанные амплитуды (так называемого интеграла по траекториям). В этом смысле квантовомеханическое движение из s в % есть не что иное, как

Рис. 9.4суперпозиция множества классиче

ских движений (классических траекторий)—примерно так, как это показано на рис. 9.4, 6. Переход от квантовой механики к классической соответствует сведению указанной суперпозиции траекторий к некоторой единственной траектории.

Представление движения микрообъектов через интегралы по классическим траекториям (иначе говоря, через интерференцию отвечающих классическим траекториям амплитуд) подробно рассмотрено в [5].

СУПЕРПОЗИЦИЯ СОСТОЯНИЙ

При рассмотрении в предыдущих параграфах вопроса о вероятности перехода микрообъекта из одного состояния в другое были введены и обсуждены специфические для квантовой механики представления об амплитуде вероятности перехода, различимых и неразличимых альтернативах перехода, интерференции амплитуд, отвечающих неразличимым альтернативам. На ряде примеров читатель мог убедиться в важности представления об интерферирующих амплитудах, позволяющего объяснить результаты различных экспериментов с микрообъектами.

Интерференция амплитуд переходов органически связана с одним из наиболее фундаментальных принципов квантовой механики ——принципом суперпозиции состояний, отражающим специфику «взаимоотношений» состояний микрообъекта. Перейдем к рассмотрению этого принципа.

Принцип суперпозиции состояний. Ранее, в § 3, обсуждались 1соотношения неопределенностей. В связи с этим отмечалось, в частности, что состояния микрообъекта объединяются в группы, в каждой из которых определены значения какого-либо одного полного набора физических величин. Там же приводились примеры полных наборов величин для электрона и фотона.

Продолжая разговор, начатый в § 3, введем обозначения разных полных наборов: а-набор, p-набор, у-набор и т. д. В 'связи с этим будем говорить о группе ос-состояний, группе p-состояний и т. д. Предположим, что микрообъект находится в одном из a-состояний. Это означает, что имеют определенные значения величины a-набора. А что можно сказать при этом о значениях величи*н какого- либо другого полного набора, например p-набора? Согласно соотношениям неопределенностей, величины р-на- бора не имеют О'пределенных значений в рассматриваемом состоянии. Читатель вправе воспринимать это обстоятельство как негативное. Однако, к -счастью, оно вполне «компенсируется» позитивным обстоятельством — принципом суперпозиции состояний.

Согласно принципу суперпозиции, между состояниями микрообъекта, отвечающими разным полным наборам, существует связь: любое состояние〔из одного набора может быть представлено в виде суперпозиции состояний другого 1набора. Так, 1например, данное a-состояние может быть представлено в виде суперпозиции р-состояний. Условимся мспользо-вать для обозначения состояния микрообъекта символ < I. Тогда принцип суперпозиции может быть записан в виде

<а| = 2 ① ав (10.1)

Выражение (10.1) выглядит как «разложение» данного состояния <а| по совокупности р-состояний, при этом числа Фар играют роль коэффициентов разложения. Более конкретно: число Фар есть амплитуда вероятности того, что при нзмеренни величин p-набора в состоянии <а|

будут лолучены значения, отвечающие состоянию <р「 Иными словами, это есть амплитуда вероятности того, что мйкрообъект, находящийся в состоянии <а|, может быть обнаружен также и в состоянии <р|. Обозначим эту амйлйтуду привычным символом <а| р>, ,поо^ чего выражение (10.1) примет вид

<a1 = 2<a埠><". (10.2%

В предыдущих параграфах рассматривались амплитуды вероятностей переходов (сокращенно: амплитуды переходов). На первый взгляд, принцип суперпозиции «вводит в игру» новый тип амплитуд вероятностей. Действительно, приводившаяся выше фраза: 《<а|р> есть амплитуда вероятности того, что микрообъект, находящийся в состоянии <а|, может быть обнаружен также и в состоянии <р|》——допускает представляющуюся оче~ видной перефразировку:《<а|р> есть амплитуда вероятности пребывания микрообъекта в состоянии <р|, если известно, что данный микрообъект с достоверностью- находится в состоянии <а|》. Коротко говоря, последнее утверждение означает, что <а| |3> есть амплитуда вероятности, с какой в данном «-состоянии «представлено» то илрт иное p-состояние. Создается впечатление, что а血плл- туды <а| р> не имеют никакого отношения к каким-；Тибо^ переходам, к каким-либо процессам. Учитывая это впечатление, введем для <а| р> новый термин — амплитуда- вероятности состояния (сокращенно: амплитуда состояния) .

Необходимо сразу же предупредить читателя: упомянутое выше впечатление опшбоино. Однако, чтобы убедиться в этом, надо проанализировать измерительный акт. Измерение в квантовой механике будет обсуждаться в §11; это обсуждение заставит внести в приведенные выше определения амплитуд Са|р> некоторые уточнения и даст возможность фактически свести амплитуды состояний к уже знакомым читателю амплитудам переходов.

Но всему свое время, а поэтому тюка мы будем оперировать с понятием «амплитуда состояния» как с неким самостоятельным понятием, 'не уточняя практического смысла такой, например, фразы, как «микрообъект, находящийся в состоянии <а|, может быть обнаружен также и в состоянии <р|».

Как уже отмечалось, принцип суперпозиции как бы «дополняет» соотношения неопределенностей: его позитивное содержание Асомпенсирует» известное негативное содержание этих соотношений. Образно говоря, соотношения неопределенностей указывают на то «старое», от чего следует отказаться при переходе от макроявлений к микроявлениям; они требуют, в частности, отказаться от одновременной измеримости всех физических величин, характеризующих данный объект. В то же время принцип суперпозиции указывает на то «новое», чем следует пользоваться при рассмотрении микроявлений: суперпозиция (10.2) означает, что если микрообъект находится в состоянии, в котором измеримы величины a-набора, то значения величин р-набора могут быть предсказаны вероятностно——с вероятностью, равной | <а| р> |2.

Суперпозиция в классической физике и квантовой механике. Суперпозиция довольно часто 1встречается в классической физике; это прежде всего хорошо известная суперпозиция классических волн. С математической точки зрения классическая суперпозиция и суперпозиция в квантовой механике аналогичны. Именно это обстоятельство немало стимулировало в свое время развитие квантовой теории. В то же время упомянутое обстоятельство, безусловно, затрудняло осмысливание физического содержания получаемых в теории результатов, поскольку порождало соблазн проводить неоправданные аналогии с классическими волнами. Как писал Дирак [9], ^допущение суперпозиционных связей между состояниями приводит к математической теории, е которой уравнения движения, определяющие состояния, линейны по отношению к неизвестным. Ввиду этого многие пытались установить аналогии с системами классической механики, такими, как колеблющиеся струны или мембраны, которые подчиняются линейным уравнениям, а следовательно, и принципу суперпозиции (напомним приводившуюся в § 5 критику попыток представлять движение связанного микрообъекта лри помощи классической волны в некоем резонаторе. — Прим. авт.). Важно помнить, однако, что суперпозиция, которая встречается 6 квантовой механике, существенным образом отличается от суперпозиции, встречающейся в любой классической теории. Это видно из того факта, что квантовый принцип суперпозиции требует неопределенности результатов измерений》.

Говоря об отличий квантовой суйерпозиции от классической, напомним, что суперпозиция двух классических волн .приводит к возникновению ^вой волны, обладающей, естественно, и новыми характеристиками. Суперпозиция же двух состояний <Pi| 4 <рг|, характеризующихся соответственно значениями Pi и Рг величин р-на- бора, отнюдь не приводит к состоянию, характеризующемуся каким-либо новым значением р. В качестве примера рассмотрим некое суперпозиционное состояние

<«1?1><?11 + <а1?2><?2|.

Будем измерять в этом состоянии p-величину. В результате всякий раз будет реализоваться одно из прежних значений — либо pi, либо р2. При этом нельзя точно предсказать, какое именно из этих двух значений будет реализовано в конкретном измерении, а можно лишь указать вероятность получения Pi либо 02・ Указанные вероятности равны соответственно | <а| Pi> |2 и I <а| ₽2> |2. Вот эта-то специфическая неопределенность результатов измерений ,и определяет принципиальное отличие квантовой суперпозиции от классической.

Принимая во внимание квантовомеханический принцип суперпозиции, вернемся к вопросу о квантовых переходах, обсуждавшемуся в § 2. Предположим, что, как и прежде, рассматриваются два энергетических уровня микрообъекта: £i и Е2. Обозначим соответственно через < 11 или <2| состояния микрообъекта, в которых он имеет энергию £i или £2 (т. е. находится на первом либо втором энергетическом уровне). Согласно принципу суперпозиции, наряду с состояниями < 11 и <2| возможно также состояние

</l=</Jl><l| + </|2><2|. (Ю.З)

Измерение энергии микрообъекта в этом состоянии приводит либо к результату Еь либо к результату 七2 (как если бы микрообъект находился и на уровне £1, и на уровне £2). Первый результат реализуется с вероятностью I <f 11> |2, а второй ——с вероятностью | </12> |2. Возможность существования такой специфически квантовомеханической ситуации немедленно снимает основное противоречие квантовых переходов, отмечавшееся в § 2. Достаточно предположить, что взаимодействие микрообъекта с излучением переводит его в суперпозиционное состояние типа (10.3). Тогда вероятность обна-

ружить мнкрообъ奥т на том или ином энергетическом уровне (на прежней или на новом) будет определяться просто квадратом модуля соответствующей амплитуды состояния.

Взаимно ортогональные состояния; полная и частичная различимость состЬяний. Чтобы окончательно убедиться в том, что квантовомеханический принцип суперпозиции не имеет по существу ничего общего с классической суперпоз.иц,ией, вернемся к выражению (10.2) и рассмотрим, что должно с ним произойти при переходе к классической физике. Поскольку в классической физике все величины одновременно измеримы, то, следовательно, все они образуют некий единый «полный набор». Учитывая, что отражаемые соотношением (10.2) суперпозиционные связи действуют между разными полными наборами, заключаем отсюда, что в классическом пределе подобные связи попросту отсутствуют и, следовательно, все формально составленные амплитуды состояний должны быть приняты равными нулю:

<a1卩〉=。. (10.4)

В квантовой механике условие (10.4) тоже имеет место, но лишь 《в пределах» данного полного набора (для состояний, принадлежащих одному и тому же набору) .Так, например,

<а/ау〉= 0, если 力声/• (10.5)

Амплитуда состояния равна нулю тогда и только тогда, когда соответствующие два состояния взаимно независимы (если объект находится в одном из этих состояний, он не может быть обнаружен в другом). О таких состояниях говорят как о взаимно ортогональных состояниях. В этом смысле все состояния классического объекта взаимно ортогональны, тогда как в квантовой механике взаимно ортогональны лишь состояния, соответствующие одному 〃 тому же полному набору, и неортогональны состояния, соответствующие разным наборам. Последнее обстоятельство как раз и отражается принципом суперпозиции состояний.

Представление о взаимно ортогональных состояниях позволяет уточнить понятие полной и частичной различимости. При этом удобно воспользоваться уже рассматривавшимся ранее примером рассеяния друг на друге микрообъектов одного типа. Поскольку такие микрообъ-

екты тождественны, то вопрос о различимости определяется различимостью состояний (состояний <S]| и VS2I； см. § 9). Напомним, что в § 9 в катестве полностью различимых микрообъектов указываюсь, в частности, микро объекты одного типа, но в равных спиновых состояниях. Тем самым молчаливо предполагалось, что разные спиновые состояния являются полностью различимыми. Теперь мы можем четко указать критерий лолной и частичной различимости состояний: если <Si|s2>=0, то состояния <Si I и VS2I полностью различимы (между ними нет суперпозиционных связей); если же <^i |s2>=# =/=0, то рассматриваемые состояния частично различимы. Иначе говоря, критерием полной различимости состояний является ортогональность этих состояний.

Предположим, что рассматривается рассеяние двух бозонов одного типа. Результат (9.16) будет иметь место, если начальные состояния взаимно ортогональны (пусть это будут состояния Va/ й <«21). Результат (9.17) будет иметь место, если начальные состояния одинаковы ((например, <ai| 'И <ai |). Оба эти результата представляют собой лишь два предельных случая, отвечающие полной различимости и полной неразличимости микрообъектов соответственно. Возможны, однако, различные промежуточные ситуации, отвечающие частичной различимости, когда начальные состояния микрообъектов представляют собой суперпозиции нескольких взаимно ортогональных состояний:

< 511 = < Sj I«! > < «! I + < Sj I a2 > < a21，

(10.6)

< $2| = < $2 I 5〉V 5 | + < S2 1a2〉V &2 |・

Можно показать (см. [31]), что в этом случае вероятность одновременного срабатывания счетчиков определяется выражением

^=1?(0)12 + 1?(^-б)|2 +

+у sj S2 > |2 g(°)ф* 团—°)+ф*(°)屮 m—о】. (10.7)

При I <Si |^2> |2-^0 результат (10.7) превращается в (9.16) (мы приходим к предельному случаю полной различимости); при I <si |52> |2-^1 результат (10.7) превращается в (9.17) (приходим к предельному случаю полной неразличимости).

Итак, мы убеждаемся, что вопрос о полной и частичной различимости альтернатив в квантовой механике оказывается органитески связанным с квантовомеханическим принципом с^ерпозиции, а точнее, со взаимной ортогональностью или\ неортогональностью состояний.

Базисные состояний. Различные состояния, соответствующие одному и тому же полному набору величин, принято называть базисными. Амплитуды базисных состояний удовлетворяют условию

<aJa/〉= */j (Ю.8)

(3订——так называемый символ Кронекера; он равен нулю при i*j и единице при i—j). Условие (10.8) называют условием ортонормировки базисных состояний. Оно получается, если учесть (10.6) и тот факт, что вероятность получить значение «г в состоянии <а/ равна, очевидно, единице. Важное свойство системы базисных состояний—ее полнота: любое состояние может быть разложено по системе базисных состояний.

Базисные состояния мо「ут быть выбраны различным образом в зависимости от рассматриваемого полного набора. Так, можно использовать различные системы базисных состояний: {<«г|}, {<Рг|} и т. д. Как говорят, возможны различные представления.

При более общем подходе принцип суперпозиции состояний означает тот факт, что любое состояние <f | микрообъекта может быть разложено по любой системе базисных состояний:

<f\=^<f\^><^ (10.9)

</1=2</1?/><М. i

Суперпозиция состояний и прохождение фотонов через поляризаторы. Принцип суперпозиции позволяет объяснить результаты опыта 3 из § 7. Рассмотрим, используя этот принцип, прохождение отдельных фотонов через систему из трех поляризаторов, изображенную на рис. 7.6. Обозначим состояние поляризации фотона после первого поляризатора через <s|. Согласно принципу суперпозиции, состояние <s| можно рассматривать как суперпозицию базисных состояний < 11 и <2|, отвечаю-

щих двум независимым поляризациям фотона ——соответственно вдоль и поперек оси второгр поляризатора:

<S| = <S|1><1| + <S|2^<2|(Ю.Ю)

(заметим, что в данном примера система базисных состояний включает всего два состояния). Амплитуды состояний могут быть записаны в данном случае в виде Vs|l>=cosa и <s|2>=sina. Таким образом,

<s | = cos а V 11 + sin а V 2 ]・(10.11)

Второй поляризатор .пропускает фотоны только в состо- Я.НИИ < 11. Поскольку, согласно (10.11), состояние <11 《представлено》в состоянии <s| с вероятностью cos2а, то поэтому из ^ фотонов через второй поляризатор пройдут N cos2 а фотонов, причем все прошедшие фотоны окажутся в состоянии < 11 (т. е. будут поляризованы вдоль оси второго поляризатора). Итак, перед вторым поляризатором фотон находился как бы частично в состоянии < 11, а частично в состоянии <21. В момент прохождения фотона через поляризатор указанная «двойственность» исчезает, причем в одних случаях фотон реализуется в состоянии <2| и тогда он не проходит через поляризатор, а в других случаях реализуется состояние < 11 и тогда фотон проходит через поляризатор. При этом для каждого конкретного фотона невозможно предсказать, какое именно состояние будет реализовано (поэтому нельзя предсказать, пройдет или не пройдет через поляризатор данн*ый фотон).

Пр,и рассмотрении (прохождения фотонов через третий поляризатор рассуждаем аналогичным образом. Состояние <11 расклад1blвается по системе базисных состояний <Г| и <2[, отвечающих поляризации фотона вдоль ,и поперек оси третьего поляризатора:

< l| = sina<l,|4-cosa<2,|.(10.12)

Третий поляризатор пропускает фотоны только в состоянии <Г|. Это состояние «представлено» в состоянии < 11 с вероятностью sin2 а. Поэтому из N cos2 а фотонов через третий поляризатор пройдут Л/'cos2 а sin2 а фотонов, причем все прошедшие фотоны окажутся в состоянии <11.

Если теперь убрать второй поляризатор, то вместо (10.11) и (10.12) будем иметь'

О|=О|Г〉<11 + О〕2，〉<2],(10.13)

где, как легко сообразить, Vs|l‘>0 и <s|2‘> = l, так что <s|=<2l・ Естественно, что в этом случае на выходе системы поляризаторов фотоны вообще не наблюдаются. \

Принцип суперпойции состояний и интерференция амплитуд переходов. Пусть переход из состояния <s| в состояние <f | происходит через некоторые промежуточные и-состояния. Предположим, что млкрообъскт в промежуточном состоянии не фиксируется, так что имеет место случай физически неразличимых альтернатив. В этом случае, как известно, амплитуда перехода Vf |s> описывается выражением

</|5>=2</|^><^Ю， (io.")

где <f\vi> и <u/s> — амплитуды соответствующих переходов. Промежуточные ^-состояния должны быть полностью〔разлнинмымн, поскольку в противном случае нет смысла вводить понятия различимых или неразличимых альтернатив, так как фактически теряет смысл само понятие альтернативы. Следовательно, и-состояния должны образовывать систему взаимно ортогональных базисных состояний. Учитывая это обстоятельство, воспользуемся принципом суперпозиции и представим состояние <f| в виде

(10.15)

где амплитуды <〃0纟> суть амплитуды состояний (черта сверху использована здесь для того, чтобы отличать амплитуду состояния от амплитуды перехода <f\vi>). При наличии суперпозиции (10.15) уже нет фактически необходимости совершать переход из <s| в <f\. Поскольку состояние Vf| есть суперпозиция состояний <и/, то достаточно совершить переходы из состояния <s| в каждое из состояний <Vi\. Это означает, что амплитуда перехода Vf|s> есть суперпозиция амплитуд переходов <Vi\s>:

"s〉=£</|q〉<q|s〉・(10.16)

Сравнивая (10.16) с (10.14), заключаем:

<m>=</i^>.(ю.17)

из

Это означает, что на уровне математического аппарата мы уже осуществили сведение амплитуд состояний к амплитудам переходов. Иными словами, в аппарате квантовой механики амплитуды состояний играют фактически ту же роль, что и амплитуды переходов. Попутно мы убеждаемся в том, что соотношения (10.14) и (10.15) органически связаны друг с другом, а следовательно, органически взаимосвязаны эффект интерференции амплитуд переходов .и принцип суперпозиции состояний.

В заключение отметим один важный прием, широко используемый в аппарате квантовой механики. Легко видеть, что если в выражении для интерференции амплитуд зачеркнуть знак начального или конечного состояния, то автоматически получается суперпозиционное выражение для незачеркнутого состояния. Так, если в (10.14) зачеркнуть |s> в левой и правой частях равенства, то получится суперпозиционное выражение (10.11) для состояния <f I (заметим, что знак | > используется для обозначения состояния наряду со знаком < |).

«Механика квантовой механики». Продемонстрируем основные приемы, отражающие, по выражению Фейнмана, «механику квантовой механики». Вычеркнем из левой и правой частей равенства (10.14) состояние <f |. Получим

|s〉=B|q〉<Q|s〉・ (10.18)

Предположим далее, что некое устройство превращает со1стояние |s> в некоторое состояние |s‘>. Запишем это в общем виде так:

4|s〉=|s〉・ (10.19)

Будем говорить, что на состояние |s> подействовал оператор 4, в результате чего возникло состояние |s‘>. Подействуем оператором Л на обе части равенства (10.18). С учетом (10.19) запишем

K〉=±4W〉<q・|s〉・ (10.20)

Далее вместо вычеркнутого ранее состояния <f | восстановим принадлежащее к системе базисных состояний состояние <Vj\ :

<^|^>=2<^|Д|^><^р> (10.21)

(запись <Vj\A\vi^ надо понимать, как 々и/и，>, где |*>=力旧5>). НакЬнен, перепишем (10.14), заменив в нем |s> на |s‘>:

</1^>-2</1^><^1^>.(10・22)

Подставляя (10.21) в (10.22), получаем

</|Д|5> =

= ^<f\vj >< ^|4|^><^.|s>. (10.23)

Суммируя продемонстрированные приемы, выпишем уже без каких-либо пояснений последовательно преобразующиеся равенства и предоставим читателю самостоятельно почувствовать логику и определенную красоту выполняемых преобразований:

</ю=</ю，

dS〉=t</|Q〉Ss〉，

|s〉= §|q・〉<q・|s〉，

4 Is〉=2 A II s〉，

O/4|s〉=§O/A W〉OJs〉，

士</l%・〉O/4|s〉=

=彳 A < /1 “•〉О / 41 q・〉О i I s〉，

</|Л|5> =

= X』V/|%・〉O/A|q・〉Oi|s〉・

Наконец, предположим, что на состояние |s> действует сначала оператор Л, а затем оператор В. Если читатель усвоил логику «механики квантовой механики» (точнее было бы, ,по-видимому, говорить об «алгебре

квантовой механики»), то он сразу же напишет

</|34|s〉=

=222</1^><^|5|^><^М1^>х

1X<q|s〉・ (10.24)

(запись <f\BA\s> надо понимать как Vf|s〃>, где |s〃> = jB|s/〉，a g〉=4|s>).

Такова формальная структура характерных для квантовой механики математических 《манипуляций》. Ниже эта структура обретет на конкретных примерах конкретное содержание. Здесь же она дана в наиболее общем виде, позволяющем понять ее внутреннюю логику. Подчеркнем, что в основе рассмотренной структуры лежит идея квантовомеханической интерференции (суперпозиции) и использование некоторой системы базисных состояний, ЛО которой производятся разложения.

§ И. ИЗМЕРЕНИЕ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Вопрос о проведении измерений в квантовомеханических системах и интерпретации получаемых при этом результатов по праву считается весьма сложным, нуждающимся и по сей день в дальнейшем исследовании. Здесь не дается сколь-либо обстоятельного анализа проблемы квантовомеханических измерений, но предпринята попытка изложить ряд получивших достаточную ясность принципиальных положений и продемонстрировать их на некоторых примерах .

О возникновении суперпозиции состояний и о смысле амплитуд состояний. Предположим, что микрообъект находится в некотором состоянии <а|, Согласно принципу супер1позици,и, состоян-ие <а| может быть разложено по любой системе базисных состояний, например по системе {V仇]}：

<a|=S<«|8z><₽z|. (ИЛ)

Входящие в суперп-оз(ици1о (11.1) числа <а|Рг> суть амплитуды состояний <pj, или, точнее говоря, амплитуды вероятностей, с какими в состоянии <а| «представлены» разл1ичные базисные состояния <р^| •

Все это уже известно читателю, прочитавшему предыдущий параграф данной книги. Теперь уместно внести некоторые уточнения.

Прежде всего отметим, что та или иная конкретная суперпозиция состояний микрообъекта возникает в результате его взаимодействия с окружающей обстановкой. В роли последней может выступать некоторое макроско- 'пическое тело (как искусственного происхождения, так и представляющее часть естественных внешних условий); это макротело принято называть анализатором. Выражение (11.1) следует понимать так: в результате взаимодействия с определенным анализатором (в данном случае можно говорить о p-анализаторе) микрообъект, находившийся в состоянии <а|, переходит в суперпозиционное состояние 』О1%〉Е<%1・ Принимая во внимаиие к<вантово^механическую специфику суперпозиционного состояния, можно сказать, что, взаимодействуя с р-анали- затором, микрообъект в -известном смысле《переходнт» сразу во все состояния <р»|. При этом амплитуду <а| Рг> следует рассматривать как амплитуду обусловленного указанным взаимодейств1ием перехода <а|-> -><Рг|. Величина | <а| Рг> |2 есть вероятность обнаружить микрообъект ：в конечном счете именно в состоянии <₽гЬ

Можно предвидеть появление у читателя по крайней мере трех вопросов. Вопрос первый: что все-таки означает в действительности фраза «микрообъект переходит сразу вс все состояния <pj»? Ответ на этот вопрос будет фактически дан ниже, в лункте «Потенциальные возможности и их реализация в процессе измерения». Здесь же заметим, что хотя в результате взаим о действия с р-анал1изато1ром микрообъект «пбреходит сразу во все состояния <Рг|», однако обнаружить (зафиксировать) его принципиально можно всякий раз лишь в каком-то одном p-состоянии. Так что, можно сказать, никакого скандала не происходит. Кстати говоря, с подобной ситуацией читатель уже встречался при рассмотрении опытов 1 и 2 из § 7. Здесь уместно еще раз напомнить, что

квантовомеханической логике далеко не всегда сопутствуют наглядные представления.

Вопрос второй: если амплитуда состояния есть в действительности амплитуда перехода, то как быть с теми определениями амплитуд состояний, которые были даны в § 10? Отвечая на этот вопрос, напомним приводившееся в § 10 определение: 《<а|6〉есть амплитуда вероятности того, что м.икрообъект, находящийся в состоянии <а|, может быть обнаружен также в состоянии <Р|》.В этом определении надо заменить слово «находящийся» более точным словом «находившийся», поскольку после взаимодействия с анализатором микрообъект более уже не находится в состоянии <а|; шосле этого становится лишним слово《также》. Теперь указанное определение выглядит так:《<а|р> есть амплитуда вероятности того, что микрообъект, находившийся в состоянии <а|, может быть обнаружен в состоянии <р|». Обнаружение есть некий измерительный inpouecc и <а| Р> 1играет роль амплитуды перехода <а|-><р|, происходящего в этом процессе. Отметим здесь, что одной из составных частей измерительного (Процесса как раз и является указанное выше ©заимодействие микро- объекта с анализатором. Впрочем, более подробный разговор об измерительном процессе еще впереди.

Вопрос третий: ранее 'было условлено (см. § 8) читать амплитуды перехода справа налево; если <«|§г> 一 тоже амплитуда перехода, то ее придется читать в обратном 'направлении (слева направо); нет ли здесь путаницы? Действительно, если строго следовать условию записывать 'предшествующие состояния справа от последующих, то равенство (11.1) надо было бы записать так:

JI 比〉V 汨 а〉= |а〉・ (11.1а)

Однако такая запись, как правило, не применяется. Поэтому .мы решили пойти на некоторую непоследовательность и во избежание в связи с этим возможной игутани- ны сохранить в дальнейшем термин «амплитуда состояния» наряду с термином «амплитуда перехода». Пользуясь обоими терминам и, читатель должен помнить, что с точки зрения физической сущности амплитуда состояния есть не что иное, как амплитуда перехода (с

математической точки зрения это было показано еще в предыдущем параграфе).

Примеры анализаторов. С анализатором читатель встречался фактически всякий раз, когда рассматривалась интерференция амплитуд переходов. Приведем некоторые примеры.

Первый пример [см. (9.3)]: анализатор ——экран с двумя щелями. Он создает суперпозицию:

<5| = <5|Л><Д| + <5|5><5|.(И.2)

Второй пример [см. (9.35)]: анализатор ——кристаллическая решетка, состоящая из одинаковых ядер, не имеющих спина. Она создает cynepinosHUHra:

<s| = §<s|n|.(11.3)

Третий пример [см. (9.39)]: анализатор——теоднород- ное магнитное поле Вь Оно ^создает суперпозицию:

<s\ = ^<s\i><Cl\.(ИЛ)

Можно сказать, что анализатор, создавая определенную суперпозицию состояний, фактически обеспечивает возникновение неразличимых альтернатив, причем число альтернатив равно числу базисных состояний в данной суперпозиции. В первом из приведенных примеров это число равно всего двум (т. е. числу щелей в экране), во втором примере ——числу ядер в кристаллическом образце, в третьем примере — числу спиноъых состояний (т. е. числу 2s+l, если s ——спил атома).

Сущность измерительного процесса. Измерительный процеос в квантовой механике состоит из трех последовательных этапов: 1) подготовительного этапа, когда микрообъект 《приготовляют» в некоторО1М состоянии <а|, которое далее рассматр.ивается как начальное состояние; 2) рабочего этапа, я а котором происходит 1вза- :имодействие «приготовленного» микрообъекта с определенным анализатором, .переводящим микрообъект в суперпозиционное состояние; 3) регистрирующего этапа, на котором шроисходит обнаружение микрообъекта в том или iHhom из базисных состояний, образующих суперпозицию. На этом этапе микрообъект взаимодействует с неким макротелом, способным изменить свое состояние

под воздействием микрообъекта; такое макротело называют детектором.

Если для простоты не рассматривать подготовительный этап, то абстрактная «схема» измерительного процесса может быть записана условно в следующем виде:

<5|-S<s|pz><₽z|^<M. (11.5)

Здесь стрелка 1 соответствует рабочему этапу, а стрелка 2—регистрирующему этапу.

OcHOiBHbiMiH элементами измерительного прибора (измерительной установки) являются, таким образом, анализатор и детектор. Роль анализатора уже выяснена. Остановимся теперь на роли детектора. Образно говоря, его роль сводится к тому, чтобы «подглядеть», как именно «ведет себя» микрообъект в той суперпозиции состояний, которую создал анализатор. Если воспользоваться приводившимися выше 1примерами анализаторов, то указанное «подглядывание» предполагает получение ответа на вопросы: через какую -именно щель прошел конкретный электрон? на каком именно ядре кристаллической решетки рассеялся данный нейтрон? в каком именно спиновом -состоянии оказался данный атом? Знакомый с результатами подобных «подглядывали й» (в частности, с результатами опыта 2 из § 7), читатель может предвидеть, что «вмешательство» детектора приводит к разрушению суперпозиции состояний. Детектор обнаруживает микрообъект всякий раз в каком-то одном из состояний, составлявших суперпозицию; это совершается ценой разрушения суперпозиции. С точки зрения представлений, рассмотренных в § 8 и 9, это означает, что детектор превращает неразличимые альтернативы в различимые и тем самым разрушает -интерференцию амплитуд переходов.

Выделим из 《схемы» (11.5) регистрирующий этап, отвечающий взаимодействию микрообъекта с детектором:

§01瓦>C力一<汨. (11.6)

Часто говорят, что 《схема» типа (11.6) описывает 《стя- гивание» суперпозиции 』<5|卩［〉<卩力 к -состоянию <pj. Этот процесс известен также как «редукция волнового пакета».

Итак, если анализатор создает определенную суперпозицию состояний, то детектор ее разрушает, «стягивая» к одному из составлявших эту суперпозицию состояний. Какую мнформаиню получает при этом наблюдатель? Очевидно, что есл,и《схема》(11.5) иопытана на одном единственном микрообъекте, то о получении какой- либо полезной информации говорить трудно. Необходимо повторить измерительный процесс для достаточно большого числа микрообъектов. В этом случае наблюдатель может выяснить, во-первых, какие значен.ия величин p-набора реализуются на практике, и, во-вторых, как часто микрообъект обнаруживается в том или ином р-состоя'нии. Это позволяет экспериментально определить, во-первых, спектр значений величин р-набора и, во-вторых, вероятности | Vs| &> |2.

Некоторые особенности квантовомеханического измерительного процесса. Прежде всего отметим, что процесс измерения радикально воздействует на микрообъект. Достаточно указать, что изменение начального состояния микрообъекта в процессе измерения есть принципиальное обстоятельство. Как известно, при выполнение измерений с макрообъектами можно в той или иной степени абстрагироваться от средств наблюдения. В квантовой механике этого сделать принципиально нельзя, иначе говоря, нельзя 1П1ренебречь взаимодействием м,ик- рообъекта с окружающей его обстановкой.

《Схема» измерительного процесса, а конкретно та ее часть, которую описывает выражение (11.6), демонстрирует наличие элемента случайности в поведении микрообъекта. Действительно, нельзя однозначно предсказать, в каком именно В-состоянин будет обнаружен в конечном счете тот или иной микрообъект.

Специфической чертой квантовомехан^ического измерительного процесса является также невозможность наглядного представления ни первого этапа процесса (когда анализатор создает суперпозицию состояний), ни заключительного этапа (когда детектор упомянутую суперпозицию 《стягивает» к одному состоянию). Так, очевидно, нельзя полагать, будто на первом этапе процесса измерения микрообъект в буквальном смысле ^размазывается» по разным состояниям суперпоЗ|ИЦ1Ии (например, проходит частично через одну щель, а частично через другую — в известном опыте с прохождением микрообъектов через экран с щелями). Точно так же нельзя

полагать, будто на заключительном этапе процесса измерения 《размазанный》 по разным состояниям мик/рообъ- ект вдруг сразу, как только вступит в игру детектор (ка.к только произойдет акт регистрации), 《соберется целиком» в одном из этих состояний. Примечательно, что много споров вызывала трактовка именно заключительного этапа процесса измерения. Сторонники модельной (классической) интерпретации микрообъектов и микроявлений, естественно, заходили в тупик, когда пытались представить себе《редукцию волнового пакета». Поскольку составляющие суперпозицию состояния могут быть разнесены пространственно, то в этом случае «редукция волнового пакета» должна была фактически означать мгновенную пространственную локализацию микрообъекта. Широко использовался, в частности, следующей пример. Волновой шакет взаимодействует с полупрозрачным зеркалом (зеркало иг(рает роль анализатора) и частично отражается, частично проходит (что соответствует «размазыванию» м^икрообъекта но составляющим суперпозицию двум состояниям). На пути каждой из частей волнового лакета поставлено по детектору. Известно, что всякий раз срабатывает только один детектор. Предположим, что в некий момент времени сработал детектор, поставленный на пути отраженной части волнового пакета. Это означает, что другая часть волнового пакета должна мгновенно исчезнуть из той области пространства, где находится несработавший детектор, и появиться за мгновение до акта регистрации перед другим детектором. Вполне очевидна абсрудность .подобного «поведения» микрообъекта, который, кстати говоря, 《не может знать》，какой из детекторов сработает в данном случае.

Упорствуя в желании сохранить классическую интерпретацию, пытаются иногда прибегнуть к классическому толкованию суперпозиции. Такое толкование предполагает, что после взаимодействия с анализатором микрообъект фактически оказывается в каком-то одном базисном состоянии, и роль детектора попросту сводится к выявлению свершившегося факта—,к выявлению того, р каком именно базисном состоянии оказался при взаимодействии с анализатором микрообъект. Теперь все выглядит очень просто: сработавший в приводившемся только что примере детектор выявляет тот факт, что при взаимодействии с зеркалом данный волновой пакет отразился, а не прошел насквозь.

Однако подобный путь уже дави о исключен. Достаточно на-помнить читателю рассуждения, приводившиеся при обсуждении опыта 1 в § 7. Если бы можно было попросту полагать, что в одних случаях микрообъект проходит через одну щель экрана, а в других случаях —— через другую, то, как уже отмечалось, мы бы не наблюдали интерференционной картины на экране-детекторе. Иначе говоря, классическое представление 'суперпозиции состояний эквивалентно уничтожению суперпозиции. Необходимо лризнать: до тех пор, пока детектор не об- наруж1ил микрообъект, последний находится в суперпо- зици'ОН1Н1Ом состоянии』<Cs|pi〉Vpj I， а не в каком- либо из состояний <pj • Что же касается вопроса о том, как это наглядно представить, то от этого просто приходится отказаться. Можно сказать, что обсуждение квантовомеханического измерительного 'процесса (в частности, проблемы «редукции волнового пакета》) дает особенно убедительное доказательство принципиальной невозможности классической интерпретации микрообъекта.

Замечания о детекторе. Детектор в квантовомеханическом измерительном приборе является, как правило, макроскопической системой, находящейся в состоянии, настолько неустойчивом, что для его изменения достаточно микровоздейстсия, иначе говоря, воздействия со стороны микрообъекта. Чтобы микрообъект мог «обнаружить» себя перед наблюдателем, он должен вызвать целую «катастрофу», «взрыв» в масштабах микроявлений.

Примерами подобных «катастроф» являются такие события, как образование капельки тумана в камере Вильсона или пузырька в пузырьковой камере, химические процессы, охватывающие зерно ф°т0ЭМУльсии， лавинные процессы рождения вторичных электронов в фотоэлектронном умножителе и т. п. «Наблюдаемый» микрообъект может погибнуть в вызванной им «катастрофе» (что происходит, например, при регистрировании фотона в фотоэлектронном умножителе или электрона на экране-детекторе). Однако возможна и более интересная ситуация, когда микрообъект как бы «поручает» вызвать катастрофу другим микрообъектам. Так, например, в камере Вильсона «наблюдаемый» электрон порождает при своем движении различные ионы, каждый из которых становится центром конденсации заполняющего камеру пересыщенного пара. Именно эти ионы вызывают «катастрофы», которые наблюдатель воспринимает как капельки тумана. Совокупность таких капелек образует тот след, который оставляет «наблюдаемый» электрон. Подчеркнем, что электронный след есть не что иное, как совокупность последовательно свершившихся макроскопических событий, совокупность «катастроф» на уровне микроявлений.

Потенциальные возможности и их реализация в процессе измерения. Обсуждая смысл квантовомеханического принципа cynepnosHUHiH, мы приходим к ситуации, аналогичной той, которая «имела место три обсуждении смысла кор|Пускуля|рно-волно1Во.го дуализма (см. § 5). В обоих случаях приходится отказаться от наглядной (классической) интерпретации. В обоих случаях мы приходим к проблеме, связанной с потенциальными возмож- ностяМ|И и их реализацией.

Возможное .и действительное — известные категории материалистической диалектики. Существующее между ними противоречие разрешается всякий раз, когда потенциальная возможность тем или иным образом реализуется. Каждая коякретная ситуация характеризуется множеством потенц!иальных возможностей; реализуется же одна. Процесс реализации необратим ——как только он свершился, исходная ситуация качественно изменяется (одна из возможностей реализуется за счет того, что все остальные |Имевшиеся ранее возможности оказываются теперь исключенными). Реализовавшаяся возможность соответствует новой ситуации, обладающей, в свою очередь, hoibwmih потенциальными возможностями. Процесс разрешения противоречий между возможным и действительным оказывается, таким образом, неисчерпаемым.

В классической механике (как и во всех теориях динамического типа) проблема различия возможного и действ1итель'ного не возникает, что связано с отсутствием в подобных теориях элементов случайного. Эта шробле- ма возникает в теориях статистического типа. Отмечавшийся ранее пр1инци!пиально статистический характер квантовой механики, где элементы случайности присутствуют в поведении уже отдельного объекта, предопределяет важность проблемы возможного и действительного при (рассмотрении ,микрообъектов и микроявлений.

Именно с точки зрения разрешения противоречия между возможным и действительным и надо рассматривать шроцесс измерения в квантовой механике. Пребывание микрообъекта в суперпозиционном состоянии соответствует ситуации, когда м.ик^рообъект характеризуется определенным набором потенциальных возможностей. Именно так следует интерпретировать квантово,механический принцип суперпозиции состояний. В процессе взаимодействия микрообъекта с детектором [в процессе

как раз и происходит отмеченное выше разрсше- н，ие противоречия между возможным и действительным —— суперпозиЦ|Ия потенциально возможных альтернатив, разрушаясь, заменяется одной реализовавшейся альтернативой. Можно сказать, что《формула》измерительного акта [формула (11.6)] является математическим выражением процесса, в котором разрешается диалектическое противоречие между возможным и действительным. Акт этого разрешения носит -характер необратимого и неконтролируемого скачка.

Заканчивая данный параграф, следует подчеркнуть, что проблемы 1интерференции амплитуд, суперпозиции состояний, измерения не изолированы друг от друга, но составляют единое целое. Учитывая это, мы рекомендуем читателю сделать небольшую паузу, вернуться назад и еще раз (хотя бы бегло) просмотреть § 7——11, с тем чтобы получить некое общее представление о физических основах квантовой механики.

ЧИТАТЕЛЬ: Мне бы хотелось вернуться к вопросу о классической суперпозиции. Иногда мне приходит в голову крамольная мысль: а чем плоха такая суперпозиция? Во всяком случае, она более понятно объясняет явление интерференции, нежели суперпозиция амплитуд. Я отдаю должное структуре квантовомеханических представлений, основанной на работе с амплитудами вероятностей, однако упомянутая мысль время от времени все же приходит в голову.

АВТОР: Интерференцию классическая суперпозиция, конечно, объясняет. Но как быть с результатами опыта по «подглядыванию» за поведением микрообъекта в интерферометре (например, в случае экрана с щелями)? Опыт указывает на разрушение интерференции. Классическая интерференция этого разрушения не объяснит. ЧИТАТЕЛЬ: А вдруг все же возможно какое-то классическое толкование разрушения интерференционной картины?

АВТОР: Нет, такое толкование принципиально невозможно. Это следует уже из рассмотрения проблемы «редукции волнового пакета». Классическая интерпретация микрообъекта исключена; соответственно исключена и классическая интерпретация интерференции, наблюдаемой в опытах с микрообъектами.

ЧИТАТЕЛЬ: Следовательно, волны де Бройля не имеют ничего общего с классическими волнами?

АВТОР: Во всяком случае, они не являются классическими волнами.

ЧИТАТЕЛЬ: Следовательно, и дифракция электронов не связана с классическими волновыми процессами?

АВТОР: Действительно не связана.

ИНТЕРМЕДИЯ.

ТЕЛИ ЭТО ВОЛНЫ? ИЛИ ЕЩЕ РАЗ О ВОЛНАХ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Действующие лица: АВТОР и ЧИТАТЕЛЬ

„Нет подходящих соответствий, 〃 нет достаточных

имен,

Все дело в сути, 〃 названье

Лишь дым, которым блеск сиянья Без надобности затемнен^

Гете (《Фауст》)

ЧИТАТЕЛЬ: Тогда остается только удивляться, как часто в квантовой механике встречается термин «волновой»: корпускулярно-волновой дуализм, деб- ройлевские волны, волновая функция, волновое уравнение. Да и саму квантовую механику иногда называют волновой механикой.

АВТОР: Терминология возникает при определенных исторических обстоятельствах; она не всегда оказывается достаточно удачной. Возможно, что термин «волновой» слишком часто и не всегда обоснованно используется при рассмотрении микроявлений. Мы привыкли, что интерференция — специфически волновое явление. Неудивительно поэтому, что, когда в 1927 г. экспериментаторы обнаружили в опытах с электронами интерференционную картину, они немедленно ввели в обиход термин «электронные волны». А между тем интерференция электронов имеет более 《тонкое》 происхождение: она связана с тем, что вероятностные законы природы, вообще говоря, не следуют правилу сложения вероятностей, но требуют сложения амплитуд вероятностей. Вначале этого, естественно, не понимали. А тем временем в литературе закрепилась.не совсем удачная терминология.

ЧИТАТЕЛЬ: А как быть с волновыми величинами, например с волновым вектором электрона или с его длиной волны? Ведь они фигурируют в математических выражениях.

АВТОР: Это волновые характеристики микрообъекта, но отнюдь не параметры некой классической волны.

ЧИТАТЕЛЬ: Однако суще- 'ствуют же классические световые, иначе говоря, фотонные волны. Неужели и здесь волновой вектор и длина волны не являются параметрами волны?

АВТОР: Здесь мы имеем качественно особую ситуацию. Вы затронули довольно важный вопрос. Вспомним, что фотоны относятся к бозонам и поэтому проявляют тенденцию к плотному «заселению» состояний. Предположим, что рассматривается фотонное состояние, характеризующееся величинами 用，з, а (напомним: а ——поляризация фотона). Это есть так называемое /га-состояние. Пусть в этом состоянии находится один фотон. Пока никакой классической волны нет. Но вот предположим, что данное состояние все полнее и полнее «заселяется» фотонами. Так вот в пределе достаточно большого числа фотонов в рассматриваемом состоянии мы и получим классическую световую волну, параметры которой будут совпадать с характеристиками фотонного состояния. Теперь уже можно говорить о параметрах классической волны: волновом векторе k, частоте со, поляризации а. Произошло своеобразное «превращение» волновых характеристик фотона в параметры волны. Следует подчеркнуть, что это есть результат накопления фотонов в одном состоянии. Классическая волна возникла как коллективный эффект!

Если же обратиться к электронам, то в этом случае подобный коллективный эффект принципиально невозможен. Ведь электроны относятся к фермионам и как таковые не могут «заселять» состояния иначе как поодиночке. Следовательно, классические электронные (и вообще фермионные) волны в принципе не существуют.

ЧИТАТЕЛЬ: Теперь я, кажется, почувствовал, какое место занимают волны в квантовой механике. Но если я правильно понял, то в коллективах бозо-

нов может иметь место классическая интерференция (классическая суперпозиция)?

АВТОР: Вы правы. Недаром, кстати говоря, интерференцию света наблюдали задолго до того, как обнаружили интерференцию электронов.

ЧИТАТЕЛЬ: Получается, что в природе существуют два явления интерференции: классическая интерференция, обусловленная сложением волн, и квантовомеханическая интерференция, обусловленная сложением амплитуд вероятностей.

АВТОР: В обычных условиях классическая интерференция (если речь идет о коллективе бозонов) «маскирует» квантовомеханическую интерференцию. Но в случае, например, электронов такой «маскировки» нет — в этом смысле мы имеем здесь как бы чистую ситуацию.

ЧИТАТЕЛЬ: Коль скоро разговоры о волнах в квантовой механике оправданы лишь в отношении бозонов и притом только тогда, когда бозоны достаточно плотно «заселяют» состояния, то не целесообразно было бы несколько поубавить «волновую терминологию»?

АВТОР: Я бы предпочел не исправлять сложившейся терминологии. Прежде всего важна не терминология, а понимание того, что именно скрывается за тем или иным термином. Однако если существует выбор, то, конечно, имеет смысл выб

рать более удачный термин. Именно по этой причине мы пользуемся здесь термином «амплитуда вероятности» вместо термина «волновая функция». Первый термин представляется более удачным, чем второй, хотя последний чаще встречается.

ЧИТАТЕЛЬ: Я уже обратил внимание на то, что Вы до сих пор ни слова не сказали о волновой функции. А ведь она широко используется во всех книгах по квантовой механике.

АВТОР: Именно поэтому мы впоследствии тоже введем волновую функцию. Фактически мы ее давно ввели, поскольку термины «волновая функция» и «амплитуда вероятности» относятся к одной и той же сущности. Однако, пока речь идет о физических основах квантовой механики, лучше говорить об амплитуде вероятности. К волновой функции имеет смысл перейти при рассмотрении аппаратной стороны теории.

В заключение хочу подчеркнуть, что важно не то, какие термины используются, а то, как они используются. Можно применять к микрообъекту термин 《волна», но не надо при этом забывать о его специфике. Здесь уместно напомнить замечания в § 5 о неправомерности представления связанного электрона в виде классической волны в некоем резонаторе.

§ 12. ПРИЧИННОСТЬ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Невозможность точно предсказать, как поведет себя конкретный микрообъект в измерительном акте, порождала в свое время разговоры о так называемой «индетер- министичности» квантовой механики. Высказывалась, в частности, предположения, что в микроявлеииях отсутствует шричинность, а вместо ,нее господствует неконтролируемый случай. Со временем на смену подобным предположениям пришло более глубокое понимание специфики П|ротекан1ия во времени процессов, в которых участвуют микрообъекты.、Сетования на «индетермини- стичность» квантовой механики оказались 'необоснованными; был осознан тот факт, что причинно-сть в мнкрояв- лениях, безусловно, имеет место, однако она существенно отличается от характерного для 《старой физики» кл ассического детерминизм а.

Специфика квантовомеханического понимания причинности. В квантовой механике принцип причинности относится к потенциальным возможностям реализации событий (свойств). Иными словами, в квантовой механике причинно связаны не сами отдельные реализовавшиеся события, а лишь потенциальные возможности реализации этих событий. В этом суть (квантовомеханического понимания причинности. Как говорил в своей нобелевской лекции Паули, «... в квантовой механике речь идет лишь о возможных, а не о действительно происходящих событиях. Это звучит там примерно следующим образом: «это невозможно» или《возможно либо то, либо это», но никогда не утверждается', ^это действительно произойдет тогда-то и там-то》.

Учитывая специфику квантовомеханического понимания тричинности, подчеркнем отмечавшееся ранее отличие в квантовой механике потенциально возможного от осуществившегося. Подчеркнем также объективный характер потенциальных возможностей, определяемый свойствами микрообъекта и внешними условиями.

Поскольку в классической механике 'потенциально возможное и реализовавшееся тождественны, то ясно, что при переходе от квантовой механики к классическому описанию мира прм^инная связь между потенциально возможными событиями должна превращаться в причин-

ную связь между реализовавшимися событиями. В этом смысле квантовомеханический пр1инцип причинности является обобщением принципа классического детерминизма —он превращается в последний при переходе от микроявлений к макроявлениям.

Проявление причинности в микроявлениях. Может возникнуть вопрос: если в квантовой механике причинно связаны не реализовавшиеся события, а лишь потенциальные возможности их реализации, то каким образом наблюдатель может воспользоваться такой причинностью? Ведь в эксперименте он в конечном счете всегда имеет дело с реализовавшимися событиями.

Ответ на этот вопрос таков. Наблюдатель должен повторить множество одинаковых измерительных актов (для этого он должен располагать достаточным набором одинаковых М1икрообъектов, обеспечивая всякий раз для очередного микрообъекта одни и те же внешние условия). В каждом измерительном акте будет реализовано случайное значение измеряемой величины. Однако набор этих случайных значений позволит найти закон распределения и среднее значение .велич!ины, которые могут быть предсказаны a priori. В bosmojkihocth подобных предсказаний и выражается существование причинной связи между потециально возможными событиями.

Приведем пример. Пусть в состоянии <а| измеряются вел-ичины р-набо(ра. Проведя множество индентич- ных измерений, наблюдатель получит совокупность значений pi, р2, ₽з, ••• Набрав N значений, он может определить среднее значение:

<в〉=±£ 阻 (12.1)

ПредполоЖ|Им, что на следующий день (или в следующем году) наблюдатель решил повторить свои измерения. При этом он получит некоторую совокупность значений р/, 62', Вз‘，…Новая совокупность значений будет отлична от старой, однако определяемое по формуле типа (12.1) новое среднее значение окажется близким к среднему значению <р>, полученному ранее (при условии, разумеется, что N достаточно велико). Это означает, что наблюдатель мог бы во второй день вообще не трудиться; среднее значение <р> могло быть шредсказано на основании измерений предыдущего дня.

Более того, значение <р> могло быть заранее вычислено без выполнения каких-либо измерений. Для этого, правда, наблюдатель должен был бы знать амплитуды <а| рг> в суперпозиции:

<а| = 2<а|^><М. (12.2)

Для вычисления <р> надо воспользоваться соотношением

<Р〉=В*О 旧〉R (12.3)

Полагаем, что читатель уже давно понял суть проблемы. Эта суть состоит в том, что причинная связь между потенциально возможными событияМ|И означает причинную связь между вероятностями реализации событий. Короче говоря, предсказания в квантовой механике имеют вероятностный характер、Чтобы предсказать величину <р> в состоянии <а|, надо знать вероятности I <а| Рг> |2 реализации значений §〃 в данном состоянии. Если же эти вероятности заранее не известны, то необходимо набрать соответствующую статистику измерений P-величин, позволяющую найти упомянутые вероятности.

Суммируя сделанные выше замечания, приведем слова Фока [1]:《Вероятность того или иного поведения объекта в данных внешних условиях определяется внутренними свойствами данного объекта 〃 этими внешними условиями. Это есть численная оценка потенциальных возможностей того или иного поведения объекта. Проявляется же эта вероятность 6 относительном числе осуществившихся случаев данного поведения объекта; это число и является мерой. Таким образом, вероятность отно- ситс 兄 к отдельному объекту и характеризует его потенциальные возможности; вместе с тем для определения ее численного значения необходима статистика осуществления этих возможностей, т. е. многократное повторение опыта».

Причинность в статистических теориях. Уже в § 6 в связи с обсуждением проблемы необходимого и случайного в микроявлениях было отмечено, что квантовая механика является статистической теорией. Поэтому вопрос о причинности в квантовой механике может быть рассмотрен прежде всего с точки зрения проявления причинности вообще в статистических теориях (включающих, в

5* 131

частности, и.такие классические теории, как статистическая механика, физическая кинетика, микроскопическая электродинамика).

В любой статистической теории необходимость <и случайность выступают как диалектические категории; вопрос о соотношени1И между ними есть вопрос о единстве и борьбе противоположностей. Скорости молекул в газе случайны (любое мгновенное распределение молекул по скоростям случайно), но средняя скорость моле- хулы необходима. Факт поладания того или иного электрона, прошедшего через экран с щелями, в ту или иную точку эирана-детектора случаен, но результирующая интерференционная картина необходима. Как и случайность, необходимость присутствует во всякой статистической теории. Он а-то и выражает причинные связи. Следовательно, вопрос о проявлении причинности в статистических теориях сводится к ©опросу о проявлении необходимости в этих теориях.

Если в теориях динамического типа необходимость господствует безраздельно, благодаря чему всегда -возможны точные предсказания значений физических величин, то в статистических теориях, необходимость проявляется через законы распределения, дающие лишь вероятности тех или иных значений физических величин.

Как дополнительное (весьма важное) проявление необходимости в статистических теориях укажем законы сохранения. Известно, что законы сохранения могут рассматриваться как некие принципы запрета. С этой точки зрения роль законов сохранения в статистических теориях весьма наглядна: законы сохранения играют роль ус- ЛО1В-ИЙ, обращающих в нуль вероятность определенных процессов.

Статистический характер квантовой механики. Относя квантовую механику к статистическим тео1р«ям, следует иметь в виду, что она занимает среди этих теорий особое место. В рамках классической фйзики статистическими являются законы поведения больших совокупностей объектов; законы же поведения отдельного объекта являются динамическими. Рассматривая случайность в поведении уже отдельного микрообъекта, квантовая механика ставит себя в особое положение — как статистическая теория отдельного объекта. Именно поэтому мы называли выше квантовую механику принципиально статистической теорией.

Отмеченное обстоятельство предопределяет специфику статистических коллективов в квантовой механике.

Как писал Фок [1], «элементами статистических коллективов, рассматриваемых 8 квантовой механике, являются не самые микрообъекты, а результаты опытов над ними, причем определенная постановка опыта соответствует одному определенному коллективу». Выше рассматривался пример, когда над микрообъектом в состоянии Va| производились измерения величин ^-набора; многократное повторение измерений позволяло получить некую совокупность чисел рь 限 ₽з,…Эта совокупность чисел и есть пример статистического коллектива в квантовой механике. Глядя на выражение (12.3), можно заключить, что I <а|Рг> |2 играет роль функции распределения для указанного статистического коллектива. Видоизменив опыт (например, перейдя к измерению величин V-набора), наблюдатель будет иметь дело с иным статистическим коллективом: yi, у2, Уз,・•• Отсюда следует, что с одним микрообъектом можно сопоставить фактически несколько статистических коллективов.

Классические и квантовомеханические коллективы имеют, как легко видеть, разную природу. В классической физике статистический коллектив образован совокупностью многих объектов, а в квантовой механике — совокупностью многих потенциально возможных способов реализации свойств миирообъекта, находящегося в заданных (внешних условиях, причем всякое изменение условий приводит к новому коллективу. Указанное различие проявляется, в частности, в том, что если в классической физике усреднения выполняются по различным состояниям системы, то в квантовой механике речь идет о средних значениях в данном состоянии системы (так, в приводившемся выше примере шла речь о средней величине <р> в состоянии <а|).

Разумеется, и в квантовой теории приходится выполнять усреднения по разным состояниям и рассматривать статистические коллективы, образованные совокупностью (микрообъектов. Однако подобные задач'И уже выходят за рамки собственно квантовой механики, составляя предмет квантовой статистики. Квантовая статистика имеет дело с двумя типа ми статистических коллективов. В этом смысле она оказывается дважды статистической теорией.

Квантовомеханическое уравнение, выражающее принцип причинности. Рассмотрим следующую амплитуду состояния:

&(/)=< s(/)|j〉・(12.4)

Это есть амплитуда вероятности обнаружить в базисном /-состоянии микрообъект, находившийся к моменту t в s-состоянии (в момент t срабатывает детектор и тем самым обнаруживает микрообъект в том .или ином состоянии). Характерная для квантовой механики причинная связь между вероятностями реализации событий должна проявляться в существовании 1вза1им!освязи между амплитудами, рассматриваемыми в моменты времени / и /+ДЛ Учитывая принцип суперпозиции, выразим связь между ампл,итуда1ми в виде линейного уравнения

С； (/+ Д/) = 2 иц (/, Д/) С/ (£)(12.5)

(в правой части сумма 1no всем базисным состояниям). Поскольку при А/->0 коэффициенты разложения U仃 превращаются в 6订(Sij —символ Кронекера), то при достаточно малых А/ можно представить эти -коэффициенты в виде

U^ (Л М)=心> + 击"^ (f) Af.(12.6)

Подставляя (12.6) в (12.5), получаем

^it^t±^C^ 仆(力 с*)・

Переходя к пределу при Л/->0, находим отсюда искомое ура|Внен!ие:

一访 ^&(/)=£ "加力 С№・(12.8)

Мы нашли фундаментальное квантовомеханическое уравнение, выражающее 1П-ринцИ|П пр^гчинности. Здесь Hij ——элементы некой ^матрицы, описывающей физику расематриваемой задачи. Отметим, что линейность уравнения (12.8) есть фактически следствие принципа суперпозиции состояний.

Гамильтонова матрица. Матрицу Я^ называют гамильтоновой матрицей. Сделаем относительно нее следующие замечания:

Зависимость гамильтоновой матрицы от времени отражает зависимость от времени физических условий (например, миирообъект находится в меняющемся со временем магнитном поле). Если же условия не меняются, то матрица от времени не зависит.

Если гамильтонова матрица диагонализирована (отличны от нуля только ее диагональные элементы), то в этом случае элементы матрицы имеют простой физический смысл: они 'представляют собой возможные значения энергии мииро-объекта . По этой причине гамильтонову матрицу можно было бы назвать энергетической матрицей.

Элементы гам1ильтоновой матрицы удо<влет,воряют соотношению

〃“•=〃}•(12.9)

Это соотношение связано с тем, что вероятность П1ребы- вания микрообъекта хотя бы в каком-то из базисных состояний (вероятность 2 °彳。疝*) не может, очевидно, меняться со временем. Чтобы показать эту связь, будем исходить из равенства

靠 £"：=°・(12・10)

Учтем, что

^£*=£ 噜 с；+£&雰，

и воспользуемся выражением (12.8). В итоге равенство (12.10) -примет вид

2 2 (〃厅一 〃力)&с：=о,(12.11)

откуда немедленно следует результат (12.9).

Наконец, заметим, что из (12.9) можно заключить о «вещественности диагональных элементов гамильтоновой матрицы. Это обстоятельство согласуется с отмечавшей

ся выше ролью диагональных элементов как значений энергии микрообъекта.

Что требуется для причинного описания явлений в квантовой теории? Ответ на поставленный вопрос можно дать, рассматривая выражение (12.8) для основного квантовомеханического уравнения. Суть ответа сводится к следующему. Во-первых, надо выбрать совокупность базисных состояний {<"}; во-вторых, надо «айти вид гамильтоновой матрицы, рассматриваемой в системе выбранных базисных состояний. После этого можно делать определенные предсказан-ия, используя уравнение (12.8).

Особенно просто рассматриваются случаи, когда число базисных состояний равно двум. Еще большее упрощение достигается при этом в предположении, что гамильтонова матрица не зависит от времени. В § 13 и 14 ра соматрив аются подобные случай； на коииретных примерах демонстрируется использование уравнения (12.8), лежащего в основе причинного описания ммкроявлений.

§ 13. МИКРООБЪЕКТЫ С ДВУМЯ БАЗИСНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ

базисными состояниями. Эти состояния будем обозначать через <11 и <2|.

Молекула аммиака состоит из одного атома азота и трех атомов водорода, причем атом азота находится вне плоскости, проходящей через атомы водорода (для краткости будем называть эту плоскость //-плоскостью). Состояние <11 соответствует положению атома азота с одной стороны от //-плоскости, а состояние <2| —положению этого атома с другой стороны от "-плоскости.

Молекулярный ион водорода состоит из двух протонов и одного электрона. Состояние <11 соответствует локализации электрона вблизи одного 1протона, а состояние <2| —локализации вблизи другого протона.

Молекула водорода состоит из двух протонов и двух электронов, причем спиновые состояния электронов различны. Мысленно выделим одно из этих спиновых состояний. Тогда базисное состояние <11 можно определить как состояние молекулы, отвечающее локализации электрона с выделенным спином вблизи одного протона, а состояние <2|—как состояние с локализацией этого электрона вблизи другого (протона. При этом второй электрон всякий раз локализуется вблизи ссютветснвую- щего «вакантного» протона (возможность локализации обоих электронов вблизи одного протона можно не рассматривать из-за сильного кулоновского расталкивания электронов).

Роль недиагональных элементов гамильтоновой матрицы. Произвольное состояние Vs| микрообъекта представим в виде суперпозиции базисных состояний < 11 и <2|:

<s|=<sll>!<ll|+<s：|2><2|,

или с учетом (12.4)

О| = С；<"| + &<2|.(13.1)

Амплитуды С] и С2 удовлетворяют, согласно (12.§), системе уравнений:

/(13.2)

Рассмотрим два случая.

Первый случай: недиагональные элементы Н{2 и "21 равны нулю (гамильтонова матрица диагонализирована). В этом случае система уравнений (13.2) распадается на два взаимно независимых уравнения:

一访*& = 〃н&, -ZftAc2=H22C2. (13.3)

Из (13.3) следует, что если в данный момент мик)р о объект находится, например, в состоянии <11, то он 'никогда не окажется в состояннм <2|. Здесь базисные состояния <11 и <2| суть стационарные состояния микрообъекта, характеризующиеся соответственно значениями энергии方и и方络

Второй случай: 'недиагональные элементы "12 и "21 отличны от нуля. В этом случае -имеем, систему ,из двух взаимно связанных уравнений [система (13.2)]. Поэтому есл.и в данный момент времени миирообъект находится, например, в базисном состоянии < 11, то в другой момент времени может оказаться уже в состоянии <2|. Наличие недиагональных элементов в гамильтоновой матрице означает существование переходов микрообъекта между различны!М.и базисными состояниями.

Обращаясь к конкретным примерам микрообъектов с двумя базисными состояниями, отметим, что в молекуле аммиака атом азота совершает переходы, изменяя свое /положение относительно Я-плоскости. В молекулярном ионе водорода происходят переходы электрона от одного протона к другому. Протоны в молекуле водорода «обмениваются» электронами. Отметим, что именно этот «обмен» парой электронов и лежит в основе химической связи. Как говорят, одна валентная связь между двумя атомами возникает в результате того, что каждый из этих атомов «предоставляет в общее пользование» по одному электрону; эти « об общест в л ен ные» электроны и ответственны за возникновение связи между атомами.

Краткая интермедия.Краткая интермедия.w Что есть лучшего?——Сравнив прошедшее, свести его с настоящим. *Козьма Прутковw Что есть лучшего?——Сравнив прошедшее, свести его с настоящим. *Козьма ПрутковЧИТАТЕЛЬ: Ранее, в § 10, утверждалось: «если объект находится в одном базисном состоянии, он не может быть обнаружен в другом базисном состоянии». Не противоречит ли это утверждение отмеченной только что возможности переходов между базисными состояниями?

Краткая интермедия.

Краткая интермедия.

w Что есть лучшего?

——Сравнив прошедшее, свести его с настоящим. *

Козьма Прутков

w Что есть лучшего?

——Сравнив прошедшее, свести его с настоящим. *

Козьма Прутков

АВТОР: В § 10 обсуждался принцип суперпозиции состоя^ ний. При его обсуждении не принималась во внимание возможность протекающих во времени переходов между состояниями, образующими суперпозицию.

ЧИТАТЕЛЬ: Поясните, пожалуйста.

АВТОР: Прежде всего перепишем (13.1) более подробно:

0(川= &(/)<1| +

+С2(/)<2|. (13.1а)

Мы имеем микрообъект в суперпозиционном состоянии <s(f). Если в момент t срабатывает детектор, то микрообъект обнаруживается в состоянии V1] или в состоянии V2], причем вероятность первого события есть |&(f)|2, а вероятность второго— |С2(/) |2. Существенно, что одно событие исключает другое ——именно это и подразумевает приведенная Вами фраза.

ЧИТАТЕЛЬ: Я понял, в чем тут дело. Если микрообъект обнаружен в момент £, например, в состоянии < 11，то тем самым исключено обнаружение его в тот же момент времени в состоянии V 2|. Однако микрообъект может быть обнаружен в состоянии V 2| в другой момент времени.

АВТОР: При этом важно, чтобы недиагональные элементы гамильтоновой матрицы были отличны от нуля. В противном случае, обнаружив микрообъ-

ект в состоянии < 1|, Вы не обнаружите его в состоянии < 2| не только в данный момент времени, но и вообще никогда.

ЧИТАТЕЛЬ: Я понял, что суперпозиционное соотношение и переходы между базисными состояниями—это разные «предметы».

АВТОР: Это так, однако не забывайте, что при рассмотрении переходов надо учитывать не только недиагональность гамильтоновой матрицы, но и су

перпозиционное соотношение (13.1 а). При этом все определяется характером зависимости амплитуд & и С2 от времени. В одном случае оказывается, что |Ci|2 и |Сг|2 не меняются со временем ——и тогда перехо дов между базисными состояниями'нет. В другом случае |С"2 и [Cal2 меняются со временем —и тогда переходы есть. Впрочем, вопрос о характере зависимости амплитуд Ci и С* от времени требует более детального рассмотрения.

Изменение амплитуд состояний во времени. Выявляя зависимость амшлитуд Ci и С2 от времени, рассмотрим два случая.

Первый случай^ недиагональные элементы гамильтоновой матрицы равны нулю. Решая уравнения (13.3), находим:

&(2) = & (0) ехр (»"Па 自)工02 (力)=c2 (。) exp Q" 2J 伍).

(13.4)

Таков характер зависимости от времени амплитуд, описывающих стационарные состояния.

Из (13.4) видно, что вероятности обнаружить микрообъект в том или ином базисном состоянии не меняются со временем:

I&(川2= I&(0)P，|С2(/)Р=|С2(0)р. (13.5)

Если в момент / = 0 микрообъект находится в состоянии < 11, то |&(f) |2= 1 и I С*2(0 |2 = 0. Как и следовало ожидать, время жизни микрообъекта в стационарном состоянии оказывается неограниченно долгим.

Второй случай: недиагональные элементы гамильтоновой матрицы отличны от нуля. Предположим, что можно положить *

〃U = 〃22 三々• (13.6)

Кроме того, предположим вещественность недиагональ* ных элементов гамильтоновой матрицы и с учетом (12.9) обозначим

〃i2 = 〃2i 三-А(13.7)

Используя (13.6) и (13.7), перепишем (13.2) в виде

—访-—С1 = ^(fii — 4c2，

:(13.8)

—伍一C2~£qC^^ACi， 也

Эта система уравнений эквивалентна следующей системе:

-访纟(Ci + GKEq 一人)(& +e2)9 at

at,

Решения последней системы имеют вид

& + С?=а ехр 卩(/ — A) f/川；

& - Q=匕 exp 卩(七0+4)"九].

Отсюда получаем:

&(/)=後 eхр "阳-▲)例+^ exp" (/+▲) t网,

(13.9a)

。2(/)=^ exp [/ 阳-A)i/h] 一 A exp [/ 阳 + A)砌.

(13.96)

Предположим, что при t = 0 микрообъект находится в состоянии <11. Тогда 以(0) = 1 и С2(0) =0, откуда следует а = Ь=1, В этом случае выражения (13.9) принимают вид

&(/)=ехр(/о〃％) соз(Д//Й),(13.10а)

С2(/) = - / ехр (法°"九)sin (4/九)・(13.106)

Из этих выражений видно, что вероятность микрообъекту остаться к моменту времени / в состоянии <11 равна

jCi (/)|2 = cos2(A///i),(13.11а)

а вероятность ему оказаться в момент времени / в состоянии <2| равна

(13.116)(13.116)lC2(/)j2=sin2(A//ft).

(13.116)

(13.116)

Полезно сравнить (13.5) и (13.11). Если в первом случае вероятности |Ci|2 и |С2|2 не меняются со временем, то

во втором случае налицо определенная зависимость этих вероятностей от времени. Определяемые соотношениями

(13.11) вероятности |С1(/)|2 и |С2(0|2 .показаны в зависимости от [времени на рис. 13.1.

Диагонализация гамильтоновой матрицы. Полученные ;в предыдущем пункте выражения для Ci + C2 и

Ci—С? сравним с (13.4). Сравнение позволяет заключить, что амплитуды Ci + C2 и &—С2 ошисывают стационарные состояния микрообъекта с энергиями, равными соответственно Е°—А и Eq+A. Далее введем новую пару базисных состояний:

。丨=一《1|-<2 I ),/2。丨=一《1|-<2 I ),/2(13.12)(13.12)

。丨=一《1|-<2 I ),/2

。丨=一《1|-<2 I ),/2

(13.12)

(13.12)

<П II +<2 I )

/2

[легко убедиться, что если состояния <11 и <2| удовлетворяют условию ортонормировки (10.8), то и состояния <11 и <П| удовлетворяют этому условию]. Используя (13.12), перепишем (13.1) в виде

<s|=^^VI| +^4^-<П|. (13.13)

Отсюда видно, что переход от базисных состояний <11 и <2| к базисным состояниям <11 и <111 соответствует переходу от амплитуд Ci и Сг к амплитудам (Ci—。2)/丫2 и (С1 + С2)/У2. Поскольку последние описывают стационарные состояния микрообъекта, то, следовательно, рассматриваемый переход связан с диагонализацией гамиль-

тоновой матрицы:

Ео -Д 1 FFo + Д一4 /厂[ОЕо -Д 1 FFo + Д一4 /厂[О0£\)— А0£\)— А

Ео -Д 1 FFo + Д

一4 /厂[О

Ео -Д 1 FFo + Д

一4 /厂[О

0

£\)— А

0

£\)— А

Итак, пусть имеется некий микрообъект в неких определенных внешних условиях. Выбирается некоторая система базисных состояний. При этом обычно стараются выбрать такие базисные состояния, которые имеют наглядный физический смысл (как это делалось, например, в случаях с молекулой аммиака, молекулярным ионом водорода, молекулой водорода). Выбранные на основе таких соображений базисные состояния в общем случае приводят к гамильтоновой матрице с отличными от нуля недиагональными элементами (микрообъект совершает переходы между базисными состояниями). Далее можно перейти к новой системе базисных состояний, для которых гамильтонова матрица будет диагональной. Новые базисные состояния описывают стационарные состояния микрообъекта; элементы диагонализированной гамильтоновой матрицы суть значения энергии этих состояний.

Общий случай. В общем случае недиагональные элементы гамильтоновой матрицы отличны от нуля и при этом сняты упрощающие условия (13.6) и (13.7). В этом случае необходимо решать не упрощенную систему уравнений (13.8), а наиболее общую для микрообъектов с двумя базисными состояниями систему уравнений (13.2). Предоставляем читателю самому при желании выполнить решение системы (13.2), предположив для простоты, что гамильтонова матрица не зависит от времени . Здесь же ограничимся указанием на некоторые результаты.

Энергия стационарных состояний микрообъекта определяется выражением

^п=-^^±]/~(^^『 + /Л2"21・(13.14)

Отвечающие этим значениям энергии базисные состояния <11 и <111 выражаются через определяющие систему (13.2) базисные состояния < 11 и <2| следующим об-

разом:

(13.15)(13.15)(13•⑹(13•⑹<1 I =^i<l I +^i<2 I ,]

(13.15)

(13.15)

(13•⑹

(13•⑹

<n I =a2<1 | +%<2 I J причем

小产+ 1瓦卩=l%卩+也卩=L a.Ib^H^E^H^ @2怜2 = "21/(七11 - "22).

Легко видеть, что если Нп = Н22=Е0 и //12 = ^21 = =—4, то результат (13.14) дает Е\^=Е0±А, суперпозиции (13.15) превращаются в (13.12) —одним словом, мы приходим к подробно обсуждавшемуся упрощенному случаю недиагональной гамильтоновой матрицы. Если же 〃12=〃21 = 0, то результат (13.14) дает Е\=Нп, £,11=//22— мы приходим к случаю диагональной гамильтоновой матрицы (<I| = <11, <П| =<2|).

Пример с молекулой аммиака. Напомним, что базисные состояния <11 и <2| молекулы аммиака выбирались из наглядных физических соображений: они отвечают положениям атома азота соответственно с одной и с другой стороны от 77-плоскости. Поскольку эти положения симметричны, то можно принять Hu = H22=Eq. Полагая, кроме того, что элементы Hi2 и Н21 вещественны (f/i2 = 〃2i曰—Л), что, как оказывается, не нарушает в данном случае общности рассмотрения, приходим к ситуации, которой отвечает упрощенная система уравнений (13.8). Отсюда видно, что энергетические уровни молекулы суть Ео+4 и Ео——А. Подчеркнем, что если бы между состояниями <11 и <2| не происходили переходы, то тогда бы вместо уровней Е^+А и Ео—А существовал один единственный уровень Е°. Он был бы двукратно вырожден, поскольку ему отвечали бы два состояния. Можно сказать, что переходам между состояниями <11 и <2| (связанным с «проталкиванием» атома азота сквозь Я-плоскость) соответствует снятие вырождения, иначе говоря, «расщепление» уровня £0 на два уровня: Ео+4 и Ео—А.

Далее предположим, что молекула аммиака помещена в статическое электрическое поле, напряженность которого 齒 направлена перпендикулярно /7-плоскости. Обозначая через d величину электрического дипольного

момента молекулы, представим

〃н =々 + 孑d, ”22=4 — 孑％(13.17)

Теперь положения атома азота с разных сторон от //-плоскости уже не являются физически симметричными ("ii#= "22). Полагая по-прежнему Hi2 = H2\ =——4, запишем систему уравнений (13.2) для рассматриваемого случая:

—访=(七。+^)& 一 Де2,

at

(13.18)

-if13c2=—ACi + (Ео -孑d) C2.

Используя (13.14), получаем следующие выражения для уровней энергии молекулы в статическом электрическом поле:

七1 = £о + /& + 赍* £] I =々 一 ]/%2 + 萨Q2. (13.19) На рис. 13.2 приведен качественный вид зависимости уровней энергии молекулы аммиака от величины напряженности поля. Легко видеть, что эффект «переброса» атома азота через 77-плоскость важен при относительно малых напряженностях поля; в сильных полях, когда уровни расходятся значительно, этот эффект становится несущественным.

§ 14. ЭЛЕКТРОН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Проекция электронного спинового момента на произвольное направление может, как известно, принимать только два значения (——й/2 и 力/2). Это позволяет рас-

сматривать электрон как микрообъект с двумя базисными состояниями. Задача об электроне в магнитном поле представляет большой (практический интерес. Кроме того, эта задача весьма интересна и в методическом отношении: анализ ее дает возможность на физически наглядном примере познакомиться с общей спецификой систем с двумя базисными состояниями, или, иначе говоря, двухуровневых систем, а также с общим подходом к рассмотрению таких систем.

Гамильтонова матрица для электрона в магнитном поле. Зафиксируем направления координатных осей (в частности, направление оси z). В качестве базисных состояний <11 и <2| выберем состояния, в которых проекции спина электрона на ось z равны соответственно 力/2 и ——Й/2. Включим статическое магнитное поле (величину магнитной индукции обозначим через В) и рассмотрим два случая.

взаимно(14.1)(14.2)взаимно(14.1)(14.2)Первый случай^ магнитное поле направлено по оси z (Вх=Ву = 0), В этом случае базисные состояния <11 и <2| являются стационарными; состоянию < 11 соответствует энергия ——|iBz, а состоянию <2| ——энергия цВ2 (через 卜I обозначена величина магнитного момента электрона). Амплитуды Ci и С2 удовлетворяют двум независимым уравнениям типа (13.3):

взаимно

(14.1)

(14.2)

взаимно

(14.1)

(14.2)

atat

Гамильтонова матрица электрона имеет вид

-^Bz 0「0 通.

Второй случай: магнитное поле имеет произвольное направление. Прежде всего отметим, что независимо от направления поля (иначе говоря, независимо от выбора направления координатных осей) уровни энергии электрона определяются выражениями —цВ и цВ. Если в предыдущем случае мы должны были принять B = Bz, то теперь надо принять В = (Вх2 + В^ + В^) ^. Таким образом,

f1 =一a/5? + & +片，七"=a/屋+& +成

(U.3)

(14.4)(14.4)Отметим, что 七i=-七".

(14.4)

(14.4)

Далее воспользуемся соотношением (13.14). Учитывая (14.4), можем полагать Яц + //22=0. В результате, используя (14.3) и (12.9), получаем

（吗也/+附2?=m図+蜕+國.（14.5）

Будем полагать, что элементы гамильтоновой матрицы линейны по полю. Как оказывается, этого довольно естественного предположения достаточно для того, чтобы перейти от (14.5) к следующим выражениям: 〃“ =——цВ2; 〃22 = n3z； 〃21 =方12* =—нСВх+^Ву). Таким образом, гамильтонова матрица электрона в магнитном поле имеет в общем случае вид

(14.6)(14.6)

(14.6)

(14.6)

Легко видеть, что при ВХ = ВУ=О матрица (14.6) превращается, как и следовало ожидать, в матрицу (14.2).

Используя (14.6), выпишем систему уравнений

для рассматриваемого случая:

(14.7)(14.7)一»力专5= - a[（当+，4）&一忆e2]■一»力专5= - a[（当+，4）&一忆e2]■~- a［邑&+(当一»当)e2］，

(14.7)

(14.7)

一»力专5= - a[（当+，4）&一忆e2]■

一»力专5= - a[（当+，4）&一忆e2]■

В заключение отметим, что хотя все рассуждения относились к случаю, когда гамильтонова матрица не зависит от времени, однако результаты (14.6) и (14.7) справедливы и тогда, когда магнитное поле изменяется со временем.

(14.8)(14.8)Проекционные амплитуды. Пусть направление магнитного поля определяется полярным углом 0 и азимутальным углом ф (рис. 14.1). Предположим, что спин электрона направлен по полю; следовательно, электрон •находится в стационарном состоянии <1| с энергией £1=—цВ. Согласно (13.15), состояние <11 представим в виде суперпозиции:

(14.8)

(14.8)

<1|=а1<1|+&1<2|,

где, напоминаем, <11 и <2|—состояния, в которых проекции спина электрона на ось z равны соответственно Й/2 и —力/2, а коэффициенты а】и Ъ\ определяются соотношениями (13.16):

a.Ib^H^E.-H^ \а^+ |^|2=1.(14.9)

Используя (14.6), представим:

//12 = — |л (В^—IBу) = — |лВ sin 9 ехр (— /?). j( °

Рис. 14.1Рис. 14.1Подставляя (14.10) в (14.9), на* ходим

Рис. 14.1

Рис. 14.1

a,61Hsiп 0 ехр (—力中)/(1 — cos 0).

Учитывая, что |ai]2+1^2|2= 1. приходим отсюда к следующему окончательному результату：

〃i=cos (9/2)ехр( —Z(p/2);

(14.11)

仇=sin (8/2) ехр (电2).

Итак, определены амплитуды вероятностей электрону иметь спин направленным вдоль (амплитуда %) и против (амплитуда 瓦)оси z, если известно, что спин электрона направлен по полю (т. е. имеет направление, определяемое углами 0 и ф).

Примечательно, что в (14.11) магнитная индукция В не входит. Очевидно, что результат (14.11) должен сохраниться в пределе В->0. Иначе говоря, можно вообще исключить поле из рассмотрения и интерпретировать результат (14.11) следующим образом. Известно, что направление спина электрона определено углами 0 и ф； в этом случае амплитуда вероятности электрону иметь спин вдоль оси z есть аь а амплитуда вероятности иметь спин против оси z есть 九.Выражение (14.8) надо рассматривать в данном случае как разложение спинового состояния <0, ф| по спиновым состояниям <z| и <——z|:

屮 I = cos (0/2) exp (— /<р/2) < г | +

4-sin (9/2)exp(/?/2)< — z | . (14.12)

Входящие в (14.12) амплитуды состояний

<6, ? I z〉=cos(8/2)exp( —如/2);

(14.13)

<% 屮丨一z>=sin(8/2)exp(»W2) называют проекционными амплитудами.

Пользуясь проекционными амплитудами, можно предсказать результат следующего опыта. Пусть поляризованный в направлении, задаваемом углами 0 и ф, пучок электронов проходит через некий 《фильтр》， пропускающий только электроны со спином вдоль оси Z・ В этом случае амплитуда вероятности прохождения электрона через прибор (через «фильтр») есть <9,叫 z>・ Проекционная амплитуда выполняет здесь роль амплитуды перехода электрона из состояния <0,(р| в состоя* ние Vz|.

Прецессия спина электрона. Пусть направление спина электрона определяется углами 0 и ф (электрон находится в состоянии <0,(р|). Это состояние может быть представлено в виде суперпозиции (14.12) состояний

и <—z|. Предположим, что в момент времени / = 0 включено магнитное поле В, направленное вдоль оси z. Теперь состояния Vz| и <—z\ становятся стационарными состояниями. Учитывая это, запишем [см. (13.4)]:

<0, ? I z^=Cx (0) exp (— i^BJIhl

(14.14)

<仇 Ф I — z〉=C2(0)exp(»a邑〃％)•

Сравнивая (14.14) с (14.13), заключаем:

& (0)=cos (9/2) ехр( — /<р/2);

(14.15)

C2(0) = sin(e/2)exp(/?/2).

Отсюда следует, что через время / после включения магнитного поля проекционные амплитуды принимают вид

<9, (р(/) I z>=cos(8/2)exp

(14.16)

。，中上)I -z〉=sin®2)exp 卄(叶2m//力)].

Таким образом, включение магнитного поля, направленного по оси z, не меняет полярного угла 0, но изменяет

азимутальный угол 屮，причем величина изменения ф пропорциональна промежутку времени / от момента включения поля до данного момента. Это означает, что спин электрона прецессирует вокруг оси 2 (вокруг направления магнитного поля) с постоянной угловой скоростью. Легко видеть, что угловая скорость прецессии спина определяется соотношением

з=2р 纥/九 (14.17)

Сделаем еще один шаг: отвлечемся от координатных осей. Пусть в момент времени /=0 направление спина электрона и магнитного поля образуют угол 0. С течением времени этот угол будет сохраняться, но при этом спин электрона будет прецессировать вокруг направления поля с угловой скоростью

з=2 甘 В% (14.17а) Предположим далее, что магнитное по〃е изменяется со временем (изменяются в общем случае и направление, и величина вектора В). Изменение поля приведет к соответствующему изменению картины прецессии электронного спина: изменение величины магнитной индукции приведет к изменению величины угловой скорости прецессии, а изменение направления поля приведет к изменению того направления, вокруг которого совершается прецессия.

Знание картины прецессии позволяет предсказать изменение состояния электрона в течение заданного времени. Приведем простой пример (рис. 14.2). Пусть в момент времени /=0 поле направлено вдоль оси z [вектор 5(0)] а спин электрона находится в плоскости zy, образуя с направлением поля угол 0О. Таким образом, начальное состояние электрона <0(0),(р(0) | определяется углами 0(0) =(0о и 屮(0)=л/2. Будем полагать, что величина поля со временем не меняется, но меняется направление поля. Пусть спустя время 介=冗力/21rB толе оказалось направленным вдоль оси у [вектор B(/i) на рис. 14.2]. Каково будет состояние электрона в момент времени /1? Ясно, что если бы направление поля не изменилось, то конец вектора спина электрона, прецессируя, описал бы за время лй/2цВ половину окружности и переместился бы из точки Si в точку S2・ С учетом же изменения направления поля он перемещается не в точку s?, а в точ-

ку S3. Следовательно, искомое состояние электрона 之6(/1),中(介)I будет определяться углами 6(/1)=г/2—00 и 中(介)=Л/2.

Обобщение задачи об электроне в магнитном поле на произвольные двухуровневые системы. Как писал Фейнман [3], «проведя математическую аналогию с вращаю

щимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуров

невой системы... Если мы 6 состоянии решить 6 общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях». Поясним эти замечания.

Предположим, что рассматривается некая двухуроБневая система, базисные состояния которой суть <11 и <2|. Условимся сопоставлять с каждым состоянием микрообъекта некоторый вектор. Выбор базисных состояний <11 и <2| экв'ивале|Нте(н в этом случае выбору оси z (как если бы

эти 1СОСТОЯНИЯ соответствовали двум г-проекциям спина электрона). Пусть в начальный момент времени микрообъект находится в состоянии <s(0)|; сопоставим с этим состоянием вектор, направление которого определяется углами 0(0) и ф{0):

(14.18)(14.18)<s(0) I <—->0(0),屮(0) I .

(14.18)

(14.18)

Чтобы найти углы 9(0) и ф(0), надо разложить состояние <s(0)| по базисным состояниям <11 и <2| и использовать для коэффициентов разложения выражения (14.13) для проекционных амплитуд. Указанное разложение имеет вид

<5(0) I = cos[0(0)/2]ехр[-/ср(0)/2]<1 | +

+ sin [6 (0)/2] ехр [/ф(0)/2]；<2 | . (14.19)

Далее обратимся к гамильтоновой матрице микрообъекта. Прежде всего сдвинем начало отсчета энергии таким образом, чтобы нуль оказался точно посередине между энергетическими уровнями, т. е. чтобы выполнялось условие (14.4). В этом случае

〃п + 〃22=0・ (14.20)

Затем введем формально вектор цВ (он отнюдь не связан с каким-либо магнитным полем!) таким образом, чтобы его проекции на оси координат (напоминаем, что оси определяются выбором базисных состояний) удовлетворяли соотношениям

〃ii=—^Bz^ "12=—а」％ — iBy).(14.21)

Используя (14.21), найдем

3=2a(屋+庆+段严他(14.22)

Чтобы решить рассматриваемую двухуровневую задачу, т. е. чтобы выявить изменение состояния <s| за некоторое время /, надо рассмотреть картину прецессии вектора <0,(р| вокруг направления В с угловой скоростью со. Если гамильтонова матрица зависит от времени, то будут изменяться соответствующим образом как направление В, так и величина угловой скорости прецессии. По истечении времени f микрообъект окажется в состоянии Vs(/)|, определяемом углами 0(/) и 屮«), которые можно выявить, зная начальные углы 0(0) и ф(0) и картину прецессии (точно таким образом, как это было проделано в примере, приведенном в конце предыдущего пункта). Переход от углов 0(/) и(р(/) к искомому конечному состоянию Vs (f)| основан на использовании уже хорошо знакомой суперпозиции:

<s(/) I =cos[9(/)/2]exp[~Z?(f)/2]<l | +

4-sin[8 (Z)/2]exp[Z?(f)/2]<2 | . (14.23)

Применяя сделанные замечания к рассмотренному в § 13 примеру с молекулой аммиака, следует сместить начало отсчета энергии на величину £0 и, кроме того, перейти (удобства ради) от базисных состояний <11 и <2| к базисным состояниям <1| и <П|. В результате вместо системы уравнений (13.18) будем иметь систему

—访—С[ = AC \ -J-^rfCn,

:(14.24)

—ih -^ Cn=8dC\ — ЛСц.

Эта система удобна для проведения аналогии с электроном в магнитном поле. Сравнивая (14.24) с (14.7), за-

ключаем, что величина А соответствует величине —цйг, а величина ^d—^величине ——цВх. Следовательно, надо рассматривать картину прецессии вектора состояния <s| молекулы в «магнитном поле», которое образовано двумя составляющими: во-первых, постоянной составляющей вдоль оси г, связанной с эффектом «переброса» атома азота через //-плоскость, и, во-вторых, составляющей вдоль оси х, связанной с электрическим полем. Последняя составляющая может, очевидно, изменяться во времени.

Спиновые матрицы Паули. В заключение укажем широко используемые в квантовой механике двухуровневых систем спиновые матрицы Паули. Вид матриц таков:

(14.25)(14.25)

(14.25)

(14.25)

Используя эти матрицы, перепишем выражение для элементов гамильтоновой матрицы электрона в магнитном поле (14.6) в следующем виде:

Htj= —MdjBx + DjBy + 啥&)•(14.26)

(14.27)(14.27)Рассматривая о”， о?, oz, как компонента некой матрицы-вектора о, можем записать результат (14.26) в виде, не зависящем от выбора координатных осей:

(14.27)

(14.27)

"办=一出%/•

Полезность спиновых матриц Паули состоит в том, что любая двумерная матрица (в частности, гамильтонова матрица любого микрообъекта с двумя базисными состояниями) может быть выражена через суперпозицию этих матриц. Будучи введены для электрона в магнитном поле, спиновые матрицы Паули оказались весьма удобными при рассмотрении самых различных двухуровневых задач. Это и неудивительно, если принять во внимание только что обсуждавшуюся возможность обобщения задачи об электроне в магнитном поле на произвольные двухуровневые системы.

§ 15. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

Начиная этот параграф, сразу подчеркнем: он не прибавит практически ничего нового к рассмотренным в данной главе физическим основам квантовой механики. Фактически можно уже подводить итоги физической стороне теории и переходить к ее математической сто-

роне, основанной на использовании линейных операторов. Однако, прежде чем это будет сделано, целесообразно ввести понятие волновой функции. Волновая функция широко применяется в существующей литературе по квантовой механике; поэтому важно, чтобы читатель понимал 《место》волновой функции в описанной выше картине амплитудных представлений. До сих пор волновая функция, являющаяся по существу амплитудой состояния, присутствовала в этой картине, так сказать, в неявном виде; сделаем это присутствие явным. Кроме того, необходимо иметь в виду, что при переходе к математическому аппарату квантовой механики более удобно использовать именно волновую функцию, а не амплитуду состояния.

Волновая функция как амплитуда состояния. Пусть <х\—состояние микрообъекта, соответствующее локализации его в точке пространства с координатой х (для простоты используется одномерная ситуация). Тогда <s|%> может рассматриваться как амплитуда вероятности того, что микрообъект, находящийся в состоянии <s], имеет координату %.

Надо, однако, сделать небольшое уточнение. При рассмотрении вероятности той или иной пространственной локализации микрообъекта следует учитывать непрерывность изменения пространственной координаты. Поэтому вместо вероятности найти микробъект точно в точке х надо рассматривать вероятность найти его в интервале от 尤 до x + dx. Обозначая эту вероятность через dg(%), запишем

dg(%)= I I %〉阳％.(15.1)

Следовательно, величина <s|%>, строго говоря, не есть амплитуда вероятности; она является амплитудой плотности вероятности.

В литературе величину <s|%> принято называть волновой функцией и обозначать, например, через 2s(%). Итак,

%(%) = <s I %〉.(15.2)

С учетом (15.2) перепишем (15.1) в виде

dws (X) = 1%(%)阳%.(15.3)

Из (15.3) видно, что |“s(%) У есть плотность вероятности

обнаружить в точке х микрообъект, находящийся в состоянии <s|.

С математической точки зрения, волновая функция •фз(^) есть параметрическая функция, причем роль параметра играют значения тех величин, которые точно определены в состоянии Vs|. Учитывая сделанные ранее замечания о структуре амплитуд состояний, можем сказать, что аргументом волновой функции служат величины одного полного набора, а ее параметром — величины другого набора. Принято говорить, что волновая функция •фз(х) есть собственная функция величин s-набора, заданная в представлении, определяемом величинами х-набо- ра (или проще: в ^-представлении).

Обобщение понятия волновой функции. На практике часто используют волновые функции именно в х-пред- ставлении (в координатном представлении}, Однако наряду с ^-представлением возможны, очевидно, и другие представления. В связи с этим следует обобщить понятие волновой функции:

% 偉)=0 1。〉. (15.4)

Функция ”а(В) есть собственная функция величин «-набора, заданная в p-представлении. Если величины (3-набора изменяются дискретно, то 2a(В) есть амплитуда вероятности того, что состояние <р| представлено в состоянии <а|. В случае непрерывно изменяющихся величин p-набора *фа(В) есть амплитуда плотности указанной вероятности.

(15.5)(15.5)Задание волновой функции *фа(В) означает точное задание величин a-набора и вероятностное задание величин р-набора. Соответственно задание функции фа (у) означает точное задание величин a-набора и вероятностное——величин 丫-набора. Говорят, что функция *фа(В) описывает состояние <а| в p-представлении, а функция <ра(у) описывает то же состояние, но в у-представлении. Тот факт, что разные функции 2a(В) и 屮(у) используются для описания одного и того же состояния <а|, говорит о необходимости существования некоей связи между ними. Эту связь как раз и выражает принцип суперпозиции состояний. В предположении дискретного изменения у-величин имеем

(15.5)

(15.5)

屮a (B) = *a (Yj)行偉)・

Легко видеть, что (15.5) есть выражение для суперпозиции амплитуд состояний:

0 I ?>=2<a I 匕〉〈h|。〉■(15.5а)

Если бы у-величины изменялись непрерывно, то вместо (15.5) мы имели бы

小а (₽) = У?а(Y)厶(В) ★•(15・6)

Рассмотрим собственную функцию величин некоторого набора в представлении, определяемом величинами того же самого набора. Если величины изменяются дискретно, то согласно (10.8)

儿,g)=)产(15.7)

Если же величины изменяются непрерывно, то вместо (15.7) будем иметь

0，(а) =义 а —а').'(15.8)

Здесь 6(а——а‘) —так называемая дельта- функция Дирака, представляющая собой обобщение символа Кронекера на случай непрерывно изменяющихся величин .

Дельта-функция определяется следующим образом:

力(а —(/) = 0 при а ф az; f 3(а —а”а=1・(15.9)

График функции 6(а—а') нарисовать, строго говоря, невозможно: пришлось бы изображать бесконечно узкий и бесконечно высокий пик в точке a = a‘，«площадь» под которым конечна и равна единице. Одно из важнейших свойств дельта-функции, легко выводимое из ее определения (15.9), описывается выражением

j / (a) (« — az) da=/ (ах),(15.10)

где /(а)——ограниченная функция, непрерывная в точке а= о/.

Условие ортонормировки собственных функций. Полагая a-величины дискретными, а p-величины непрерывно меняющимися, перепишем (15.6) в виде

电气(a/) = j%,偉)①0(电)d也(15.11)

Используя (9.33), представим

①9(曲=吃(队(15.12)

Учитывая (15.12) и (15.7), получаем из (15.11) условие ортонормировки для собственных функций фа/ (В):

j%,偉)屮：毋)/=m.(15.13)

Если «-величины изменяются непрерывно, то вместо (15.7) надо использовать (15.8). В этом случае условие ортонор мир овки собственных функций принимает вид

j%(B)W：，(P)/=6(a — a')・(15.14)

Волновая функция свободно движущегося микрообъекта. В качестве примера отметим случай свободно движущегося микрообъекта, полагая для простоты, что спина у него нет. Волновая функция в координатном (трехмерном) представлении имеет вид *

Ф-(г) = <р01^>=(2лй)~3/2exp (ip^/h\(15.15)

где ро ——импульс микрообъекта, а г ——его пространственная координата. Функция 屮-(г) есть собственная функция "о

импульса, заданная в координатном представлении; она описывает состояние, в котором компоненты импульса микрообъекта имеют определенные значения, тогда как пространственные координаты могут быть указаны лишь вероятностно.

Переходя от координатного к импульсному представлению, воспользуемся результатом (9.33). Получим

中了 (方)=О0 I0〉= <力 I 尸0>* =

=(2лй)~3/2 exp (- iprQlhY (15.16)

Функция ф^ (р) есть собственная функция координаты го

микрообъекта, заданная в импульсном представлении.

Из (15.15) и (15.16) видно, что состояния свободно движущегося микрообъекта описываются волновыми функциями, имеющими вид плоских волн (либо в координатном, либо в импульсном пространстве).

Функция 屮工(г) и 屮；(")удовлетворяют условию ортонормировки (15.14). В этом можно убедиться, если

воспользоваться интегральным представлением дельтафункции :

3(а) = -^— j exp (/а₽) d^(15.17)

(под величинами а и |3 здесь следует понимать компоненты пространственной координаты и импульса микрообъекта).'

§ 16. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА КАК КАЧЕСТВЕННЫЙ СКАЧОК В ПРОЦЕССЕ ПОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКОМ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ

^Установить резкое различие между философией естествознания " человеческой культурой, конечно, невозможно. В самом деле, физические науки являются неотъемлемой частью нашей цивилизации; это происходит не только потому, что наше все увеличивающееся овладение силами природы совершенно изменило материальные условия жизни, но также и потому, что изучение этих наук дало так много для выяснения того окружения, на фоне которого существуем мы сами.»

Н. Бор

Хотя квантовая механика имеет дело с микрообъектами, однако ее значение отнюдь не ограничивается рамками микроявлений. В никогда не прекращающемся процессе углубления и совершенствования наших представлений о законах природы появление квантовой механики есть важный качественный скачок. Без осмысливания важности, специфичности, радикальности (можно сказать, революционности) этого скачка невозможно понимание современной физической картины мира. В данном параграфе предпринята попытка посмотреть на квантовую механику именно с такой точки зрения, что может служить, очевидно, логическим завершением главы, посвященной физическим основам этой удивительной теории.

«Безумные идеи». Фразу о «безумной теории», о том, что она должна быть «достаточно безумной, чтобы быть правильной», обронил однажды Бор. В этой фразе нашло отражение то ошеломляющее впечатление, которое производили на современников Бора не укладывавшиеся в рамки классических представлений удивительные физические открытия, сделанные в начале XX в. Было очевидно, что для объяснения этих открытий требуются радикально новые идеи, новый подход.

В § 2 рассматривались две основополагающие идеи квантовой механики: идея дискретности и идея дуализма. Возвращаясь мысленно к началу века, можно было бы назвать первую из них «непонятной», а вторую ——«непонятой» идеей. Введение в физическую картину мира дискретности приводило к непонятным и, как казалось, логически противоречивым квантовым «скачкам». Идея дуализма, утверждавшая специфичность микрообъектов, снимала противоречия квантовых «скачков», предлагая «лавировать» между понятиями «корпускула» и《волна》. При этом смысл использовавшегося здесь понятия «волна» в течение довольно долгого времени оставался фактически непонятым. Следствием этих двух «безумных» идей явились экстравагантные соотношения неопределенностей, заставившие иначе взглянуть даже на такие фундаментальные понятия, как «энергия», 《импульс», «момент импульса».

Квантовая механика рождалась в обстановке весьма существенной ломки физических традиций. Она требовала отказа от многих привычных, устоявшихся представлений: от обязательной непрерывности спектров значений физических величин, от траектории как необходимого атрибута движения объекта, от лапласовского детерминизма как основной формы выражения принципа причинности, от возможности безграничной детализации структуры объекта или детализации явления во времени, от возможности при любых условиях различать два сколь угодно похожих друг на друга объекта, от убеждения в том, что при измерениях всегда можно хотя бы в принципе абстрагироваться от измерительного прибора и т. д. (все эти вопросы достаточно подробно обсуждались в предыдущих параграфах).

Трудно назвать еще один период в истории физики, когда бы так сильно и по столь широкому фронту происходил пересмотр физических представлений. Как писал Бор (см. работу «Философия естествознания и культуры народов» в [6],《физикам был преподан урок, указывающий на ту осторожность, с какой надо применять все обычные представления всякий раз, как мы имеем дело не с повседневным опытом... При изучении атомных явлений мы неоднократно научались тому, что вопросы, на которые, как считалось, давно получены окончательные ответы, таят 6 себе подчас неожиданные для нас сюр^ призы».

Главное в квантовой механике. Пересмотр представлений и отказ от многих привычных понятий можно рассматривать в известном смысле как «негативное содержание» квантовой механики. Обратимся теперь к ее «позитивному содержанию».

Если попробовать кратко сформулировать то главное положительное знание, которое дала квантовая механика человеку, познающему окружающий его мир, то надо выделить следующие два основных момента.

Первый: квантовая механика показала, что основными закономерностями s природе являются закономерности не динамического, а статистического типа, и что вероятностная форма причинности есть основная форма, а классический детерминизм представляет собой лишь ее предельный (вырожденный) случай.

Второй: квантовая механика обнаружила, что с вероятностями 6 природе следует обращаться не совсем так, как это принято в классических статистических теориях; оказалось, что в определенных случаях необходимо складывать не сами вероятности событий, а амплитуды этих вероятностей; последнее обстоятельство приводит к специфическому эффекту интерференции амплитуд вероятностей.

Итак, подчеркнем, во-первых, вероятностный характер законов природы (примат статистических закономерностей), а во-вторых, особые отношения между вероятностями, предполагающие не только сложение последних, но и специфические интерференционные эффекты. На наш взгляд, именно в этом и заключается основная ценность той информации, которую человек почерпнул из квантовой механики.

«Статистические методы в физике,——писал Борн [14],— по мере развития науки распространялись все больше и больше, и сегодня можно сказать, что современная физика полностью опирается на статистическую основу.., Сегодня квантовая теория привела нас к более глубокому пониманию: она установила более тесную связь между статистикой и основами физики. Это является событием в истории человеческого мышления, значение которого выходит за пределы самой науки».

Иногда говорят, что основное различие между квантовой механикой и классической механикой определяется статистическим характером первой и динамическим характером последней. При внимательном рассмотрении

это, казалось бы, гладкое и безупречное утверждение должно быть признано неправильным. Выявляя примат статистических закономерностей в физике, квантовая механика тем самым показывает, что динамические законы с их однозначными предсказаниями являются, по сути дела, частным (вырожденным) случаем вероятностных законов. В этом смысле не только квантовая механика, но и классическая механика должна, строго говоря, формулироваться на языке вероятностей . Качественное отличие квантовой механики от классической механики (и вообще от классической физики) связано с тем, как рассматриваются отношения между вероятностями. «Главное отличие квантовой механики от классической,—— пишет Мякишев [27],— заключается совсем не 6 статистическом характере первой. Основное различие обеих механик состоит 6 том, что 6 квантовой механике первичной величиной служит не вероятность, а ее амплитуда — волновая функция. Это приводит к интерференции вероятностей—явлению, не имеющему аналога 6 классической механике».

Развивая сделанные выше замечания, выделим следующие вопросы: а) особые взаимоотношения состояний в квантовой механике и вытекающая отсюда специфика квантовомеханического описания явлений, б) специфика применения вероятностей в квантовой механике, в) особая роль интерференции в квантовой механике, г) принцип дополнительности как логическая основа квантовой механики, д) диалектический характер квантовой механики. Рассмотрим последовательно эти вопросы.

Специфика квантовомеханического описания явлений. Как выразился Фейнман (см. [3]), «одно из самых прекрасных свойств квантовой механики — как много 6 ней удается вывести из столь малого». Читатель мог убедиться, как много можно получить уже из самого факта интерференции амплитуд (см. § 9), на основе принципа суперпозиции состояний (см. § 10), из рассмотрения простейших квантовомеханических систем — микрообъектов с двумя базисными состояниями (см. § 13, 14). Относи-

тельная формальная простота описания микроявлений связана со спецификой этого описания. Напомним, что для квантовомеханического описания надо знать, во- первых, базисные состояния и, во-вторых, гамильтонову матрицу, отражающую физику рассматриваемого явления. Упрощение описания достигается при этом благодаря следующим двум обстоятельствам.

Во-первых, весьма существенно, что необходимое для описания конкретного явления число базисных состояний, а соответственно и число элементов гамильтоновой матрицы, может оказаться небольшим. Так, в приводившихся в § 13 и 14 примерах это число равнялось двум. Здесь не возникает противоречия с многообразием возможных состояний микрообъекта, поскольку благодаря принципу суперпозиции любое из них может быть представлено в виде некоей суперпозиции базисных состояний. Именно принцип суперпозиции и есть тот решающий фактор, который позволяет обойтись обычно небольшим числом состояний, выбранных в качестве базисных. Как писал Дирак [9], «отходя от детерминизма классической теории, мы сильно усложняем описание природы. Однако такое усложнение вполне окупается тем большим упрощением, которое вносит принцип суперпозиции состояний».

Ранее отмечалось (см. § 10), что в классической физике все состояния объекта следует рассматривать как взаимно ортогональные, иначе говоря, как базисные состояния. По этой причине здесь принципиально невозможна описанная выше упрощающая ситуация.

Во-вторых, относительная простота суперпозиционных связей позволяет проводить аналогии между микрообъектами с одинаковым числом базисных состояний и сводить все многообразие реальных задач фактически к рассмотрению двухуровневой задачи, трехуровневой задачи и т. д. В § 14 было показано, каким образом можно формально свести произвольную задачу с двумя базисными состояниями к задаче об электроне в магнитном поле.

Разумеется, отсюда не следует вывод, что вообще «квантовая механика проще классической». Она действительно проще в отмеченном выше смысле. Однако она имеет свои немалые трудности, прежде всего трудности, связанные с рациональным выбором системы базисных состояний и с отысканием вида гамильтоновой матрицы.

Вряд ли уместно снова перечислять все те трудности, которые неизбежно вытекают из необходимости отказа от наглядности и многих привычных представлений. Все это так. Поэтому было бы неумно заявлять: «квантовая механика—это просто!» И тем не менее следует помнить, что своеобразные отношения, существующие между состояниями микрообъекта и проявляющиеся в специфическом принципе суперпозиции состояний, существенно упрощают квантовомеханическое описание явлений.

Вероятность в квантовой механике. Квантовая механика заставляет по-новому взглянуть на известную теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Она требует учитывать не только несовместность рассматриваемых событий, но также и их различимость. Именно в этом и состоит новизна подхода. Как известно, в теории вероятностей, использующейся в классической физике, а также в технике, всегда подразумевается, что события различимы.

Чтобы продемонстрировать специфику применения вероятностей ,в квантовой механике, воспользуемся рассматривавшимся в § 9 и 10 примером рассеяния друг на друге бозонов одного и того же типа. Напомним введенные в упомянутых параграфах обозначения: (р(0)= =<fi|5i><f2|52> — амплитуда вероятности одного события (одного перехода), ср (л——B)i= Vf21sl>Vfi|s2> —— амплитуда вероятности другого события, w — вероятность одновременного срабатывания обоих счетчиков. Поскольку рассеиваются друг на друге микрообъекты одного типа, то вопрос об их различимости (а следовательно, и различимости событий, регистрируемых счетчиками) сводится к вопросу о различимости начальных состояний Vs/ и Vs?]. В связи с этим можно выделить три случая.

Первый случай: события полностью неразличимы. Это означает, что начальные состояния одинаковы, так что

I <С si 丨 $2〉I =1・(16.1)

В этом случае имеем [см. (9.17)]

8=I 中(8)+ 中(冗一612.(16.2)

Второй случай: события частично различимы. Это означает, что амплитуда <Si |s2> удовлетворяет ус-

ловию

O<I<S1|S2>|<1.(16.3)

В этом случае имеем [см. (10.7)]

砌=I屮(6)卩+ I屮(n一6)卩+

+ |eSi |S2〉|2g(6)炉m一9) +味⑼屮(冗一明.(16.4)

Третий случай: события полностью различимы. Это означает, что амплитуда <Si|s2> удовлетворяет условию

V S] I $2〉=0.(16.5)

В этом случае имеем [см. (9.16)]

砌=I 中(6)?+ I 中(冗一/2.(16.6)

Итак, мы убеждаемся, что теорема сложения вероятностей 《работает» лишь в третьем из приведенных случаев — в случае полностью различимых событий; из (16.5) в,и дно, что при этом состоянии <Si| и VS2I должны быть взаимно ортогональными . В остальных же случаях теорема сложения вероятностей《не работает». Если события полно1стью неразличимы, то надо складывать амплитуды вероятностей; если же события частично различимы, то необходимо применять более сложное соотношение (16.4). При выводе этого соотношения используются и правило сложения амплитуд, и теорема сложения вероятностей ——подобно тому, как это делалось в § 9 при выводе соотношения (9.10).

Легко видеть, что основанный как на сложении вероятностей, так и на сложении амплитуд результат (16.4) является наиболее общим. При выполнении условия (16.5) из него немедленно следует «чистый» классический случай сложения вероятностей, а при выполнении условия (16.1)—«чистый» случай ,сложения амплитуд вероятностей.

Важно подчеркнуть, что сама возможность существования общего результата (16.4) обусловлена наличием суперпозиционных связей между состояниями VsJ и VS2I [см. в связи с этим (10.6)]. Таким путем проележи-

вается органическая связь между квантовомеханическим принципом суперпозиции состояний и спецификой применения вероятностей в квантовой механике. Суперпозиционные отношения между состояниями и интерференция амплитуд вероятностей имеют единую физическую природу.

Квантовая механика и интерференция. Обратим внимание читателя на следующее обстоятельство. Чтобы объяснить интерференционные результаты в опытах с микрообъектами (например, интерференционную картину на экране-детекторе в опыте 1)из § 7), можно идти формально двумя разными путями. Один путь соответствует «сохранению» в квантовой механике теоремы сложения вероятностей для любых несовместных событий. Этот путь требует, однако, сопоставления с микрообъектом некой классической волны. Другой путь соответствует сложению амплитуд вероятностей; в этом случае объяснение интерференционных результатов уже не нуждается в привлечении наглядной волновой картины.

Специфика микрообъектов, подробно обсуждавшаяся в предыдущих параграфах книги, исключает первый из указанных путей и тем самым ставит вопросы об интерференции и волновых процессах в новой плоскости. До появления квантовой механики интерференцию всегда рассматривали как пример специф|ически .волнового явления. Если в каком-либо эксперименте обнаруживали характерную интерференционную картину, то это считалось до1статочным основанием для заключения о присутствии неких волн. В этом смысле волны рассматривались как нечто первичное, а интерференция ——как нечто вторичное. Квантовая механика показывает, что более оправдана противоположная расстановка акцентов.

Обнаружив, что вероятностные законы природы предполагают сложение прежде всего амплитуд вероятностей, а не самих вероятностей, квантовая механика выявила тем самым фундаментальную роль интерференции в физических явлениях. Одновременно она показала, что в основе интерференционной картины отнюдь не обязательно должны лежать классические волновые процессы. В общем случае интерференция — это специфическое квантовомеханическое явление, связанное со сложением амплитуд вероятностей.

Однако традиции живучи. Именно этим объясняются попытки «перевести» интерференцию амплитуд вероят-

ностей на наглядный язык классических волн, что неизбежно приводит к определенным злоупотреблениям волновой терминологией (см. приведенную выше интермедию 《Те ли это волны?»). В ряде случаев《перевод》на волновой язык несостоятелен даже с формальной точки зрения. Так, например, весьма трудно объяснить на основе волновых процессов такое важное следствие интерференции амплитуд, каким является разделение микрообъектов на фермионы и бозоны. Анализ же процесса разрушения интерференции амплитуд в измерительном акте (анализ «редукции волнового пакета») прямо указывает на неправомерность использования представлений о классических волнах при рассмотрении микроявлений. Все это говорит о том, что объяснение интерференции явно не умещается в рамках традиционной волновой картины.

Впрочем, последнее обстоятельство можно рассматривать как исходный пункт для обобщения самого понятия 《волновой процесс》. Такое обобщение предполагает переход от наглядных классических волн с вещественными амплитудами к неким обобщенным волнам с комплексными амплитудами. Классические волны должны представлять собой предельный (вырожденный) случай таких обобщенных волн. Иными словами, квантовомеханическая |ин(терференция может быть использована для своеобразного раздвигания рамок привычной волновой картины (что, кстати говоря, должно неизбежно сопровождаться отказом от наглядности), для создания теории обобщенных волновых процессов, которая бы отражала как вероятностный характер физических закономерностей, так и особые отношения между вероятностями в природе.

Продемонстрировав фундаментальность явления интерференции, квантовая механика, безусловно, стимулирует интерес к исследованию этого явления в различных областях физики. На наш взгляд, она дает определенные основания надеяться, что современная физика, отталкиваясь от явления интерференции, получит дальнейшее развитие на пути исследования интерференции явлений, причем как в области микроявлений, так и в области макроявлений.

Для нас вполне привычна картина《сложения》(суммирования, накопления) различных явлений, что можно в каком-то смысле сопоставить со «сложением вероятно-

стей》. Возможно, что квантовая механика дает нам понять (своеобразным образом намекает), что такая картина есть в действительности результат некоего «усреднения», огрубления, упрощения более тонкой и красивой картины, когда «складываются» не сами явления, а нечто .иное (то, что на языке квантовой механики есть амплитуда вероятности),——в итоге и возникает эффект интерференции явлений.

Краткая интермедия.Краткая интермедия.” Сказка—ложь, да в ней намек…“4 С. Пушкин” Сказка—ложь, да в ней намек…“4 С. ПушкинЧИТАТЕЛЬ: Непонятно, что именно Вы хотели сказать в последних фразах, очень образных и в то же время неконкретных. Поясните их, если это возможно.

Краткая интермедия.

Краткая интермедия.

” Сказка—ложь, да в ней намек…“

4 С. Пушкин

” Сказка—ложь, да в ней намек…“

4 С. Пушкин

АВТОР: Охотно. Приведу совершенно конкретный пример. Известно, что если поместить вещество внутрь конденсатора, то можно наблюдать изменение его оптических свойств под действием внешнего электрического поля. Подобные явления называют электрооптическими. Если вещество поместить в поле достаточно интенсивной световой волны (для чего надо воспользоваться мощным лазером), то и в этом случае оптические свойства вещества изменятся. Подобные явления называют нелинейнооптическими. Так вот оказывается, что если одновременно использовать поле конденсатора и поле интенсивной световой волны, то наряду с известными электрооптическими и нелинейнооптическими явлениями будут наблюдаться дополнительные, качественно новые явления, которые можно объяснить лишь своеобразной интерференцией электрооптики и нелинейной оптики. Вот Вам пример интерференции явлений, уже используемый на практике.

ЧИТАТЕЛЬ: Но можно ли усматривать в этом примере какую-то тенденцию в развитии современной физики?

АВТОР: Рассмотрим еще один пример. Возьмем лазер. Не будем сейчас обсуждать принципы его работы; достаточно отметить, что в основе его работы лежит некое нелинейнооптическое явление; которое называют явлением насыщения. Возьмем также другой прибор ——генератор второй гармоники. Так называют в квантовой электронике преобразователь когерентного света, обеспечивающий увеличение частоты света вдвое. Так же формально заметим, что в основе работы этого прибора лежит нелинейнооптическое явление, называемое генерацией второй гармоники. Итак, лазер генерирует когерентный свет определенной частоты, а генератор второй гармоники осуществляет частичное преобразование этого света по частоте. Можно сказать, что сначала мы используем явление насыщения, а затем уже явление генерации второй гармоники. Такова обычная ситуация, отвечающая простому «сложению» указанных явлений. А теперь предположим, что оба явления используются одновременно, для чего специальный кристалл, который обусловливает преобразование частоты проходящего сквозь него света, надо поместить внутрь лазера (точнее, внутрь

резонатора лазера). Здесь уже надо говорить о качественно новой ситуации, отвечающей интерференции двух нелинейнооптических явлений. И весьма показательно, что эта и подобные ей ситуации привлекают в последние годы все большее внимание специалистов, работающих в области квантовой электроники. Внутрирезонатор- ная генерация второй гармоники уже используется; доказано, что она может обеспечивать более эффективное преобразование частоты света.

ЧИТАТЕЛЬ: Пожалуй, это действительно интересно. Возможно, что тут намечается некоторая тенденция. Однако причем здесь квантовая механика? АВТОР: Исследуя реальность на фундаментальном уровне, квантовая механика выявила некоторые принципиальные моменты. Она показала, что вопрос об интерференции более глубок, нежели это принято считать, что этот вопрос можно ставить вне зависимости от волновых вопросов, что, наконец, интерференция есть пример качественно новых взаимосвязей, отношений, которые, по-видимо- му, более перспективны, чем традиционные взаимосвязи, отвечающие простому накоплению, суммированию, сложению.

Принцип дополнительности. Уже в исходных принципах квантовой механики отразился ее диалектический характер. В этой связи особого внимания заслуживает выдвинутый Бором принцип дополнительности. Фактически этот принцип составляет логическую основу всей системы квантовомеханических представлений.

Сущность принципа дополнительности такова. Утверждается, что в любом опыте с микрообъектами наблюдатель .получает информацию не о «свойствах объектов самих по себе》，но о свойствах объектов в связи с конкретной ситуацией, включающей в себя, в частности, и измерительные приборы. Информацию об объекте, по-

лученную при некоторых определенных условиях, надо рассматривать как дополнительную к информации, полученной при других условиях. Существенно, что сведения, полученные при разных условиях, нельзя простым образом складывать, суммировать, комбинировать в некую единую картину; они отражают разные (дополняющие друг друга) стороны единой реальности, отвечающей исследуемому объекту. Принцип дополнительности находит свое прямое выражение, в частности, в идее корлуску- лярно-волнового дуализма и в соотношениях неопределенностей.

Предоставим слово Бору.《Термин «дополнительность» подчеркивает то обстоятельство, что 6 противоречащих друг другу явлениях мы имеем дело с различными, но одинаково существенными аспектами единого комплекса сведений об объекте》(см. [33]).

《В атомной физике слово «дополнительность» употребляют, чтобы характеризовать связь между данными, которые получены при разных условиях опыта и могут быть наглядно истолкованы лишь на основе взаимно исключающих друг друга представлений» (см. работу «Философия естествознания in культуры народов» в [6]).

^Данные, полученные при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные...» (см. работу «Дискуссии с Эйнштейном о проблемах теории познания в атомной физике》 в [6]).

《В квантовой физике данные об атомных объектах, полученные при помощи разных экспериментальных установок, находятся s своеобразном дополнительном отношении друг к другу. Действительно, следует признать, что такого рода данные, хотя и кажутся противоречащими друг другу при попытке скомбинировать их 6 одну картину, на самом деле исчерпывают все, что мы можем узнать о предмете» (см. работу «Квантовая физика и ф.и- лософ|ия)> в [6]).

Предложим читателю еще раз -внимательно прочитать слова Бора. Итак, данные о микрообъектах могут быть «наглядно истолкованы» лишь на основе ^взаимно исключающих друг друга представлений». В этом смысле он.и не могут простым образом складываться, суммироваться, 《не могут быть охвачены одной картиной». Разные данные находятся в《своеобразном》(этот эпитет не

должен пройти мимо внимания читателя) отношейий друг к другу, для чего и применяется термин «дополнительность». Своеобразие отношения «дополнительности» согласуется с тем, что дополнительные друг ло отношению к другу данные могут быть получены лишь《при разных условиях опыта».

Неоднократно >по дчер кив авш аяся выше специфика квантовомеханических лредставлений с ях несколько необычной логикой в известном смысле покоится на принципе дополнительности. Микрообъект не является ни корпускулой, ни волной; но в то же время мы используем для описания микрообъекта оба эти взаимно исключающие друг друга образа. Вдумаемся в эту (ситуацию: образы корпускулы и волны используются для описания объекта, не являющегося ни корпускулой, ни волной, ни даже их симбиозом! Естественно, что тут может возникнуть щекотливый вопрос: а нет ли здесь отрыва образа от объекта, чреватого переходом на позиции субъективизма? Отрицательный ответ на этот вопрос позволяет дать именно принцип дополнительности. С позиций этого принципа взаимно исключающие друг друга образы используются как взаимно дополняющие образы, адекватно отражающие разные стороны объективной реальности, называемой микрообъектом. «Этот пункт логически важен,——писал Бор,——так как только то обстоятельство, что мы стоим перед выбором или (!) следить за траекторией частицы, или (/) же наблюдать интерференцию, позволяет нам избежать парадоксального вывода о том, что поведение электрона или фотона должно зависеть от наличия 6 экране щели, сквозь которую он заведомо не проходил» (icm. работу «Дискуссии с Эйнштейном о проблемах теории познания в атомной физике» в [6]).

Диалектический характер квантовой механики. Естественно, что в той или 'иной мере диалектичность органически присуща любой физической науке. Тем не менее можно утверждать, что классическая физика по самому стилю своей философии (однозначные предсказания в теориях динамического типа, подход к любому объекту как «комбинации» определенных «деталей» и к явлению как последовательности определенных элементарных событий in т. п.) тяготеет к метафизике. В этом смысле значение квантовой механики трудно переоценить. Она убедительно показала, что более глубокий уровень познания законов природы неизбежно связан с более серьезным и

глубоким овладением м применением методов материалистической диалектики.

Рассматривая, в чем именно проявляется сугубо диалектический характер квантовой механики, выделим два момента, представляющиеся нам наиболее важными: утверждение отношений диалектического типа и исполь- зован'ие категорий диалектики.

Утверждение отношений диалектического типа. Для метафизического метода характерно простое накопление, суммирование данных, свойств, понятий (будем говорить, что характерны отношения суммирования). Эти отношения составляют в известном смысле логическую основу классической физики. Квантовая механика выдвигает на первый ллан отношения качественно иного, диалектического типа ——отношения дополнительности и отношения интерференции. Так, она показывает, что данные об объекте, строго говоря, не просто складываются, но дополняют друг друга, что вероятности разных событий, строго говоря, не суммируются, но интерферируют друг с другом. Выше мы обсудили эта своеобразные отношения, рассматривая принцип дополнительности и специфику применения вероятности в квантовой механике. Оценивая дополнительность и интерференцию с точки зрения новых отношений, новых взаимосвязей, соответствующих более глубокому уровню познания законов природы, нельзя не признать, что квантовая механика действительно определяет тенденции развития современной физики.

Использование категорий материалистической диалектики. В классических теориях динамического типа понятия необходимого и случайного, возможного и действительного выступают не как категории диалектики. Необходимость является здесь абсолютной (метафизической) противоположностью случайности; последняя попросту изгоняется из теории, что немедленно приводит к отождествлению понятий возможного ih действительного. Как диалектические категории, отношения между которыми характеризуются единством и борьбой противоположностей, указанные понятия выступают в статистических теориях .и прежде всего в квантовой механике. Существенно, что в квантовой механике диалектические категории необходимого и случайного, возможного .и действительного используются в применении не только к коллективу объектов, но уже к отдельному микрообъек-

ту. Применение категорий диалектики в квантовой механике рассматривалось на 'протяжении всей книги в процессе обсуждения тех или иных вопросов. Напомним, что лишь на основе диалектических категорий необходимого и случайного был возможен анализ проблемы причинности в квантовой механике. Лишь используя диалектические категории потенциально возможного и действительного, можно было объяснить квантомеханическую суперпозицию состояний и ее разрушение в измерительном акте.

В заключение заметим, что квантовая механика хорошо продемонстрировала диалектическое противоречие между формой и содержанием. По словам Бора, 'она преподала урок, который «решительно продвинул нас по пути никогда не кончающейся борьбы за гармонию между содержанием и формой», она подчеркнула, что《всякое новое знание является нам в оболочке старых понятий, приспособленной для объяснения прежнего опыта. Всякая такая оболочка может оказаться слишком узкой для того, чтобы включить s себя новый опыт».

КУПЕР: Многие наши современники горько жалуются, что физика XX в. стала слишком абстрактной, потеряла связь с вещами, доступными пониманию простых смертных, стала противоречить здравому смыслу, вместо которого она выдвинула конструкции, настолько абстрактные, что они стали абсолютно неприемлемыми для обычного разума.

АВТОР: Именно поэтому мне и захотелось поговорить о кван- товомеханических представлениях и «здравом смысле». Мне не раз приходилось слышать, что квантовая механика трудно воспринимается по той причине, что ее представления《про- тиворечат здравому смыслу». К сожалению, никто толком не знает, что такое «здравый смысл». Вот Вы, если я не ошибаюсь, стоите на той точке зрения, что понятие «здравый смысл» есть понятие относительное, что его содержание существенно изменяется по мере развития науки.

КУПЕР: Действительно, здравый смысл нового поколения состоит из понятий, вымученных старым поколением, и что считалось передовым для одного поколения, становится здравым смыслом и будничным для следующего. Сомнительно, чтобы ньютоновское представление мира казалось бы здравым смыслом для греков времен Аристотеля. И все, кто сейчас так очарован своим здравым смыслом (соответствующим в настоящее время миру Ньютона), ничем не отличаются от тех, кто в свое время жаловался, что механические идеи Ньютона разрушили волшебный мир средневековья.

АВТОР: Трудно что-то противопоставить такой точке зрения. Кстати говоря, она сразу же снимает поставленный нами

ИНТЕРМЕДИЯ. ПРОТИВОРЕЧАТ ЛИ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ «ЗДРАВОМУ СМЫСЛУ»?

В этой необычной беседе участвуют кроме АВТОРА двое физиков (БОР и КУПЕР) и двое литераторов (ДОБРОЛЮБОВ и ПЕРРО).

В беседе использованы работы: Н. Бор «Философия естествознания и культуры народов», 1938; Н. Бор «Единство знаний», 1954;

Н. А. Добролюбов «Что такое обломовщина», 1859; Ш. Перро «Золушка» сказка): Л. Купер «Физика для всех» «Мир», 1974).

„Здравый смысл

— это тот пласт предрассудков, который мы накапливаем до шестнадцати лета

А. Эйнштейн

„Равновесие между серьезностью 〃 шуткой напоминает нам

о дополнительных аспектах, бросающихся в глаза 6 детской игре 〃 не менее ценимых

взрослыми" Н. Бор

в самом начале вопрос. Не так ли?

КУПЕР: Пожалуй, так. Здравый смысл современного поколения физиков опирается на квантовую теорию. Структура именно квантовой теории наиболее им близка, а ее соотно^ шения кажутся им наиболее интуитивно ощутимыми и наглядными...

АВТОР: Однако, не отказывая в праве на существование изложенной только что точке зрения, попробуем все же не снимать поставленного вопроса о здравом смысле, а посмотрим на этот вопрос с более широких позиций. Тем более что хотелось бы поговорить о здравом смысле не физиков, а «простых смертных». Тех самых, которые «горько жалуются», что современная физика стала «абсолютно неприемлемой для обычного разума».

Подход с более широких позиций к «здравому смыслу» в квантовой механике горячо пропагандировал один из наших уважаемых собеседников. Хотелось бы, чтобы он сам напомнил в связи с этим свои замечания по поводу, например, принципа дополнительности.

БОР: В атомной физике слово «дополнительность» употребляют, чтобы характеризовать связь между данными, которые получены при разных условиях опыта и могут быть наглядно истолкованы лишь на основе взаимно исключающих друг друга представлений. Употребляя теперь это слово в том же примерно смысле, мы поистине можем сказать, что разные человеческие культуры дополнительны друг к другу. Действительно, каждая такая культура представляет собой гармоническое равновесие традиционных условностей, при помощи которых скрытые потенциальные возможности человеческой жиз

ни могут раскрыться так, что обнаружат новые стороны ее безграничного богатства и многообразия.

АВТОР: Что же тут непонятного «простому смертному»? А ведь принцип дополнительности —это в конечном итоге и соотношения неопределенностей, и корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов. Между тем все эти «непонятные» идеи находят себе естественное место не только в вопросах, связанных с культурой народов, но, например, в совсем уже житейских вопросах — вопросах психологии.

БОР: Мы все знаем старое высказывание, гласящее, что если мы пробуем анализировать наши переживания, то мы перестаем их испытывать. В этом смысле мы обнаруживаем, что между психическими опытами, для описания которых адекватно употребляют такие слова, как «мысль» и «чувство», существует дополнительное соотношение, подобное тому, какое существует между данными о поведении атомов, полученными при разных условиях опыта. АВТОР: А нельзя ли пойти еще дальше? Нельзя ли попробовать провести какие-то аналогии между современными физическими идеями и идеями, заложенными в известных произведениях литературы? Это было бы в высшей степени заманчиво —сопоставить истину поэтическую с истиной научной. БОР: Иначе говоря, существует ли поэтическая или духовная истина, отличная от истины на- учной?

АВТОР: Именно так.

БОР: Мы не можем миновать вопроса о взаимоотношении между наукой и искусством. Причина, почему искусство может нас обогатить, заключается в его способности напоминать нам о гармониях, недосягаемых

для систематического анализа. АВТОР: Я очень признателен Вам. Вы помогли мне преодолеть некоторые сомнения. Теперь я, пожалуй, решусь обратиться к конкретным примерам. Первый пример: роман «Обломов» И. А. Гончарова. Давайте вспомним, что писал об образе Обломова один из наших уважаемых собеседников.

ДОБРОЛЮБОВ: Ну, например, вот это: желания Обломова являются только в форме:《а хорошо бы, если бы вот это сделалось», но как это может сделаться, он не знает. Оттого он любит помечтать и ужасно боится того момента, когда мечтания придут в соприкосновение с действительностью...

АВТОР: Помнится, Вы проводили аналогию между Обломовым и такими литературными героями, как Онегин, Печорин, Рудин.

ДОБРОЛЮБОВ: Действительно, проводил. Дело в том, что у них всех одна общая черта — бесплодное стремление к деятельности, сознание, что из них многое могло бы выйти, но не выйдет ничего.

АВТОР: (к Бору): А что Вы сказали бы по этому поводу? БОР: Я бы подчеркнул особенно мучительное отношение между тем душевным опытом, когда мы испытываем чувство решимости, и тем, когда мы сознательно размышляем о мотивах к действию.

АВТОР: Мне остается констатировать, что мысли, высказанные моими уважаемыми собеседниками, относились к разным ситуациям и родились в разные времена. И, однако, их явно нечто объединяет. В известном смысле личная трагедия Обломова — в неспособности разрешить диалектическое противоречие между возможным и действительным. Потенциально в Обломове «заключе

но» многое, здесь налицо богатая суперпозиция возможностей. Но нет того самого «измерительного акта», который за счет разрушения этой суперпозиции позволил бы Обломову реализовать какую-либо сторону своей натуры. Нет упомянутого акта, суперпозиция не разрушается, все остается по-старому.

А теперь позвольте второй литературный пример: известная сказка Ш. Перро «Золушка». Предоставим слово сказочнику. Пожалуйста, то место, где фея провожает Золушку на бал во дворец короля.

ПЕРРО: Пожалуйста. — Ну вот, — сказала фея, — теперь у тебя есть свой выезд, и ты можешь, не теряя времени, ехать во дворец.

Когда Золушка была уже готова совсем, фея усадила ее в карету и строго-настрого приказала возвратиться домой до полуночи.

—Если ты опоздаешь хоть на одну минуту, — сказал она,— твоя карета снова сделается тыквой, лошади — мышатами, лакеи — ящерицами, а твой пышный наряд опять превратится в старенькое, заплатанное платьице...

АВТОР: Благодарю Вас. Я хотел бы обратить внимание на тот факт, что всемогущая фея дала Золушке наряды и карету только на время, только до полуночи. А почему не насовсем? Ясно, что она могла бы так сделать, но это нарушило бы внутреннюю логику сказки, ее внутренний смысл. Как говорят, исчезла бы «изюминка». Если на время, то пожалуйста, а если навсегда, то нет.

Разве это не напоминает модель виртуальных переходов? Нарушены законы сохранения, сокровища созданы, что называется из «ничего», с помощью волшебной палочки, но все это

допускается только в течение конечного промежутка времени—времени до полуночи. А затем Золушка должна снова оказаться в прежнем качестве и без нарядов. Сопоставьте: квантовая система может в течение конечного промежутка времени побывать на новом уровне без затраты энергии извне, при этом обязательно возвращение системы на прежний уровень. И вот Золушка совершает «виртуальные переходы» между своим жилищем и королевским дворцом, наслаждается танцами и следит, чтобы не был превышен обусловленный промежуток времени.

А потом на сцене появляется придворный кавалер с хрус- стальной туфелькой. Пожалуйста, расскажите, что тогда произошло.

ПЕРРО: Придворный кавалер внимательно посмотрел на Золушку и, заметив, что она очень красива, сказал:

—Я получил приказание от принца мерить башмачок всем девушкам в городе. Позвольте вашу ножку, сударыня!

Он усадил Золушку в кресло и, надев хрустальный башмачок на ее маленькую ножку, сразу увидел, что больше мерить ему не придется: башмачок был точь-в-точь по ножке, а ножка —по башмачку.

В эту самую минуту дверь отворилась и в комнату вошла фея ——Золушкина крестная. Она дотронулась своей волшебной палочкой до бедного платья Золушки, и оно стало еще пышнее и красивее, чем было накануне...

АВТОР: Итак, свершилось — фея все-таки сделала Золушку нарядной теперь уже навсегда. Виртуальные переходы закончились реальным переходом Золушки «на новый уровень». Принц, хрустальный башмачок, придворный кавалер — все они

сыграли роль того самого фотона, который, взаимодействуя с квантовой системой, совершающей виртуальные переходы, приводит к реальному переходу. Разумеется, нельзя всерьез рассматривать сказку «Золушка» как иллюстрацию идеи виртуальных переходов, как объяснение квантовых скачков. Точно так же нельзя всерьез рассматривать роман «Обломов» как иллюстрацию принципа суперпозиции состояний, как пояснение проблемы разрушения суперпозиции в измерительном акте. Однако вполне правомерно усмотреть в приведенных сопоставлениях общность внутренней логики.

БОР: Не будет непочтительным заметить, что даже на вершине своего творчества художник полагается на общечеловеческий фундамент, на котором строим и мы.

АВТОР: Этой полусерьезной беседой мы заканчиваем обсуждение физических основ квантовой механики. Конечно, идеи квантовой механики во многих отношениях непривычны и весьма своеобразны. Но они выросли не на пустом месте, а на гом основательном фундаменте представлений и понятий, который был создан всем предыдущим опытом человечества. Поэтому неслучайны, а напротив, закономерны духовные аналогии между физическими моделями и литературными образами И не так уж, оказывается, непонятны «непонятные» квантовомеханические идеи. Тот же, кто на собственном опыте еще не успел убедиться в справедливости этого замечания, пусть помнит мудрные слова Козьмы Пруткова: ^Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят 6 круг наших понятий».

ГЛАВА

Некоторые замечания общего характера. Всякая физическая теория представляет собой синтез определенных физических идей (выдвигаемых на основе опыта) и определенного математического аппарата. Построение теории——достаточно сложный )и противоречивый процесс, развиваюЩ|ИЙся по схеме последовательных приближений. Однако в этом противоречивом .процессе, по крайней мере .в .начальной его стадии, просматривается вполне определенная логическая структура, включающая в себя три логически последовательных этапа: 1) этап, на котором формулируются и осмысливаются основополагающие идеи и закладывается физический фундамент теории, ее физическе основы; 2) этап, на котором ищется адекватный физическим идеям математический аппарат и производится《сшивание》физических идей и математического аппарата, т. е. постулируется, какое именно физическое содержание надлежит вкладывать в те или иные математические символы (в результате математические соотношения 'приобретают смысл физических закономерностей) ;3) этап, на котором «оф^эиченный» математический аппарат «запускается в работу》； получаемые при этом .новые результаты проверяются, когда это возможно, экспериментом, вследствие чего происходит дальнейшее осмысливание физического содержания теории и дальнейшее разв1итие ее аппарата.

В период создания теории адекватный физическим идеям математический аппарат либо уже 'существует, либо яе существует. Когда Ньютон создавал свою механику, ему пришлось разрабатывать и соответствующий математический аппарат ——метод флюксий, превратившийся впоследствии в дифференциальное и интегральное исчисление. Когда же создавалась квантовая механика, то подходяЩ|ИЙ математический аппарат фактически уже существовал. Он существовал как теория линейных операторов.

В работе «Квантовая физика и философия» (см. [6]) Бор писал:《В аппарате квантовой механики на месте величин, характеризующих в обычной механике состояние физической системы, выступают символические операторы, подчиненные некоммутативному правилу умножения, содержащему постоянную Планка. Эта формулировка предотвращает фиксирование такого рода величин с точностью, потребной для детерминистического описания, принятого в классической физике, но вместе с тем

позволяет находить спектральное распределение зтих величин в соответствии с данными об атомных процессах. Сообразно его немодельному характеру, физическое толкование математического аппарата находит свое выражение 6 законах существенно статистического типа». В работе (33] Бор подчеркивал: ^Адекватным инструментом для дополнительного способа описания является формализм, 6 котором канонические уравнения классической механики сохраняют свой вид, но физические переменные заменяются символическими операторами, подчиняющимися правилам некоммутативной алгебры».

Переходя к математической стороне квантовой теории, мы рассмотрим ниже, как квантовомеханические идеи «.вживляются» в аппарат линейных операторов, и на ряде специально отобранных .примеров и задач продемонстрируем работу этого аппарата.

§ 17. ЭКСКУРС В ТЕОРИЮ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Данный параграф имеет сугубо математический характер. Здесь собраны отдельные вопросы теории линейных операторов. Иначе говоря, здесь изложены основы того математического аппарата, который оказался весьма удобным для создания квантовой теории. Подчеркнем, что в рамках данного параграфа ни сдан из математических символов не «напружен» каким-либо физическим содержанием.

Линейные операторы (основные определения). Оператором называют математический символ, который, действуя на некоторую функцию, дает новую функцию. Запись

Вр (%) = §(%)(17.1)

означает, что оператор L действует на функцию 屮(％), в результате чего получается функция(р(х).

Оператор £ называют 儿инейном, если он удовлетворяет условиям

2(屮1 +屮2)= a1 + £屮2； 金(。屮)=。加，(17.2)

где а ——некоторое число. Ниже будут использоваться только линейные операторы.

.180

Действие оператора на функцию можно представить в виде, использующем определенный 'или несобственный интеграл:

加(%) =)£ (%，y)^{y)dy.加(%) =)£ (%，y)^{y)dy.(17・3)(17・3)

加(%) =)£ (%，y)^{y)dy.

加(%) =)£ (%，y)^{y)dy.

(17・3)

(17・3)

Величину £(х, у) называют ядром оператора. Еслл переменная изменяется дискретно, то вместо (17.3) будем иметь

("•4)

Совокупность коэффициентов Lnm называют матрицей оператора L .и говорят о матричном представлении оператора. Матричное представление возможно всегда, так как ядро L(x, у) в (17.3) можно, очевидно, трактовать как непрерывную матрицу.

Пусть 1/ф =(р. Оператор L* называют комплексно-сопряженным по отношению к оператору L, если при действии этого оператора на функцию 2* получается функция ф*:

(17.5)(17.5)戶屮*(%)= * (%).

(17.5)

(17.5)

(17.6)(17.6)Оператор 厶 называют транспонированным по отношению к оператору L, если выполнено условие

(17.6)

(17.6)

J 可(х)辭(％) dx = j 屮(％) Zn (%) dx.

Ядро транспонированного оператора удовлетворяет ус- лсвию

(17.7)(17.7)方(х, у) = £ (弘 х),

(17.7)

(17.7)

а матрица — условию

(17.8)

Рассмотрим некий лилейный оператор Л. Найдем для него ком1плексно-сопряженный оператор L *. Далее для оператора L * найдем транспонированный оператор 工*. Последний оператор обозначают через £+ и называют сопряженным с оператором L.

Пользуясь понятием сопряженного оператора, определяют два весьма важных типа линейных операторов: эрмитов'ские операторы и унитарные операторы. Если

£=£+,(17.9)

то оператор Z называют эрмитовским (самосопряженным). Если

L L+ = L+L=\,(17.10)

то оператор £ называют унитарным. Заметим, что обычно унитарные операторы обозначают символом U. Матрица унитарного оператора удовлетворяет условию

不%幽厶=竊.(17.11)

Отметим важное свойство унитарных операторов. Пусть ^Unm^m^^n- Легко убедиться, что

2屮加=2屮誡г(17.12)

Основное уравнение теории линейных операторов имеет вид

&=№(17.13)

Числа 九，при которых уравнение (17.13) имеет конечные решения, образуют спектр собственных значений оператора L. Спектр собственных значений оператора может быть непрерывным, дискретным, смешанным. Решения 2(%) уравнения (J.7.13) .называют собственными функциями оператора 工.Данному собственному значению могут соответствовать либо одна, либо несколько собственных функций. Если некоторому значению 九i соответствуют s линейно независимых собственных функций, то говорят, что (собственное значение 九i s-кратно вырождено.

Свойства эрмитовских операторов. Укажем три теоремы, отражающие основные свойства эрмитовских операторов (теоремы (Приводятся без доказательства).

Первая теорема: Оператор имеет вещественные собственные значения тогда «и только тогда, когда он является эрмитовским.

Вторая теорема: Собственные функции эрмитов>ско- го оператора, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Пусть £屮九=九71屮期 Теорема означает, что при ХП=#ХШ

J 喩(%)屮〃 (%) d%=。・(17.14)

Поскольку уравнение (17.13) однородно, то собственные функции определены с точностью до произвольного постоянного множителя. Будем выбирать этот множитель так, чтобы выполнялось условие нормировки

J%(x)%(x)d“=L (17.15)

Объединяя (17.14) и (17.15), получим условие ортонормировки собственных функций эрмитовского оператора

J 喩(%)屮〃 (%) dx=^・(17.16)

Если спектр оператора непрерывен, то вместо (17.16) имеем

J唳(х)屮入(x)dx = 6(入一丫).J唳(х)屮入(x)dx = 6(入一丫).(17.17)(17.17)

J唳(х)屮入(x)dx = 6(入一丫).

J唳(х)屮入(x)dx = 6(入一丫).

(17.17)

(17.17)

Отметим случай s-кратного вырождения некоторого собственного значения. Собственные функции, отвечающие этому собственному значению, вообще говоря, не ортонормированы. Однако можно составить s линейных комбинаций из указанных функций, удовлетворяющих условию ор тон о р м и ро В К!И.

Третья теорема: Всякая ограниченная функция может быть разложена в ряд (интеграл) по собственным функциям эрмитовского оператора. Иначе говоря, система собственных функций эрмитовского оператора является замкнутой (полной)

Пользуясь последней теоремой, представим некоторую функцию ①(％) в виде ряда по собственным функциям 2九(％):①= 2%%・ Чтобы найти с九,умножим это п

равенство на 屮〃?*(%) и проинтегрируем по %:

J 峡(х)①(%) dx =』％ J 脸(x) % (x) dx.

Применяя (17.16), получаем отсюда

У % (х)①(х) dx= W cr^mn~ cm*

Таким образом,

(17.18)(17.18)①(х)=』С 〃屮〃 (х)， п

(17.18)

(17.18)

причем

J= J%(X)①(X)dx・

В случае непрерывного спектра надо пользоваться условием (17.17). В итоге вместо (17.18) будем иметь

①(%) = J 。 (入)屮入(х) d入，"

причем>(17.19)

e(入)=j 屮:(x)①(x) dx.

Укажем один из результатов, являющийся прямым следствием замкнутости (полноты) системы собственных функций эрмитовского оператора. Пусть ①(х) = =f с(九)2M%)d九 и W(x) = f 匕(*，2/(x)d・. Используя (17.17), легко убедиться в том, что

J Ф* (х)①(х) dx = \b* (入)с (入)或.(17.20)

Представления. Пусть эрмитовский оператор М превращает функцию ①(х) в функцию W (%):

В(х) =而①(л).(17.21)

Разложим функции Ф и W по собственным функциям 屮九(％) другого эрмитовского оператора (оператора L). Полагаем здесь, что спектр оператора L непрерывен. Итак,

e (人)以(х)砍；屮(X) = J力(入)屮入(х)以.(17.22)

Преобразованию (17.21) будет теперь соответствовать некоторое преобразование функции с(» в функцию 6(九). Запишем это преобразование в виде

6(入)=血(入)e(入).(17.23)

Говорят, что выражения (17.21) и (17.23) описывают одно и то же преобразование, но в разных представлени-

允％. Характер представления определяется теми переменными, от которых зависят исходная и конечная функции. Поэтому в случае (17.21) говорят о х-представле- нии, а в случае (17.23)——о ^-представлении (представлении оператора L). Соответственно входящий в (17.21) оператор М есть оператор рассматриваемого преобразования, определенный в х-представлении [для ясности будем впредь записывать его как М(х)], а входящей в (17.23) оператор 励(九)есть оператор данногс .преобразования, определенный в ^-представлении.

Выясним, как выглядит эрмитовский оператор в собственном представлении. Пусть фи (%) — собственные функции оператора М. Вместо (17.22) запишем в данном случае:

①(х)=卜(?)屮卩(х)力；В (х)=

=J 6(a)屮J(x)力.(17.24)

Подействуем оператором М(х) на функцию ①(х):

М (х)①(х) =卜(?) М (х) фр. (х)介=J м (а)屮卩(х)介.

Сравнивая конечный результат со вторым равенством из (17.24), л а ходим

6 (а) = М (а).(17.25)

(17.26)(17.26)Отсюда следует, что 府(а) = а・

(17.26)

(17.26)

Таким образом, в своем собственном представлении эр- М1итовский оператор совпадает со своими собственными значениями.

Далее рассмотрим более общую ситуацию: известен оператор М(%), требуется найти вид этого оператора в ^-представлении. Используя (17.21) и (17.22), запишем

屮(х)=府(х)①(х) =「(丫) М (х)屮入，(х) dX = =)6(入’)屮入，(Х)dY.

Умножим обе части последнего из этих равенств на ^*(x) и затем проинтегрируем по %; получим

J с (X) [J 屮;(%) М (х)屮入，(%) dx] dX =

=J 2(X) [ J 屮;(%)屮x (%)dx]以

Используя (17.17), находим отсюда

6(入)=J [ J 屮;⑴而(")屮* (")"网 e (X) dX.

Наконец, с учетом (17.23) приходим к окончательному результату [сравните с (17.3)]:

М (入)e (入)=j m (入，X)生(X) dX, где

М (入,X) = J 広(x) М (х)屮入，(х) dx.(17.27)

Итак, если известен вид оператора, например в х-пред- ставлении, то для получения матрицы этого оператора в X-представлении надо воспользоваться собственными функциями оператора L, заданными в ^-представлении, в соответствии с формулой (17.27).

В заключение отметим ситуацию, когда собственные функции одного эрмитов1ского оператора заданы в представлении другого оператора. В этом случае справедливо соотношение

屮人(a)=鼠(人)•(17.28)

Переход от одного представления к другому как унитарное преобразование. Переход от ^-представления к ^-представлению определяется соотношен1иями (17.22). Запишем эти соотношения ,в операторной форме:

①(х)=О(%,入)с。)；可(х)=О(х,入)6(入).(17.29)

Далее представим:

J 旷(%)①(X)d%= J Ф* (х) О (х,入)с (入)dx= =「(入)[0+(入，x)中叫或.

Используя (17.20), получаем отсюда

6(入)=0+(入，％)可

Из последнего результата следуют два важных заключения. Во-первых,

可(%)=0(*,入)力0)=0(*,入)0+(入，x)N(x) и, следовательно,

0(х,入)。+(入，х)=1.(17.30)

Это означает, что переход от одного представления к другому осуществляется при помощи унитарного преобразования. Во-вторых,

если^Ф (х) = М (х)①(%), то О (х,入)с (入)=府(%) U (х,入)6(入) и, согласно (17.30),

e (入)=0+(入，%)府(%)0(*,入)6(入).(17.31)

Сравнивая (17.31) с (17.23), заключаем:

М (入)=0+ (入，х) М (%) О (х,入).(17.32)

Уместно пояснить, что произведение операторов означает поел ед о.в ательное действие операторов на стоящие справа от них функции. В данном случае надо сначала подействовать оператором Ь(%,九)на функцию b (九)，в результате чего получится функция ^(х); затем надо подействовать оператором М(%) на функцию Т(%), в результате получится функция ①(х); наконец, надо подействовать о1ператором U+(九，х) на функцию Ф(х).

Итак, соотношения (17.29) описывают осуществляемый при помощи унитарного оператора переход от одного представления к другому для функций, а соотношение (17.32) описывает тот же переход для оператора.

Унитарные инварианты. Унитарными инвариантами называют величины и свойства, не изменяющиеся при унитарных преобразованиях и, следовательно, не зависящее от выбора того или иного представления. К унитарным инвариантам относятся, в частности: а) свойство эрмитовости оператора (если оператор является эрми- товским в одном представлении, то он будет эрмитовским и в любом другом представлении); б) спектр собственных значений эрмитовского оператора; в) условие ортонормировки собственных функций [это обстоятельство как раз и отражено соотношением (17.12)]; г) интегралы тн-

па f Чг*(х)Ф(х)б/х [это заключение непосредственно следует из (17.20]; д) интеграль^типа J 4f*(%)"(%)①(x)dx и более общего типа] 4f*(х)〃Ух)①(％)d%, где п — натуральное число. Отметим, что унитарная ин1вар(иа,нтность этих интегралов означает, что выполняются соотношения

J Ф* (х) М (%)①(х)〃х= j b* (入)М (入)с (入)叭 (17.33)

J Ф* (х) Мп (х) Ф (%) dx=『6* (入)Мп (入)с (入)欧.(17.34)

В качестве примера докажем справедливость соотношения (17.33). Учитывая (17.29) и (17.32), будем последовательно преобразовывать левую часть равенства (17.33):

J [0*加(入)]0 М (入)U+Uc (入)dx=

=J [0少(人)]UM (入)e (入)dx=

=j力* (入)。+0M (入)e (入)d入=J尸(入)M (人)e (入)或.

Итак, в результате приходим к правой части равенства (17.33), в чем и требовалось убедиться.

Коммутирование операторов и существование систем общих собственных функций. Два оператора L и М называют коммутирующими, если для любой ограниченной функции Ф(х) выполняется равенство

(17.35)(17.35)两 £①(х) = 27Й^ (х).

(17.35)

(17.35)

Если можно указать хотя бы одну функцию, для которой равенство (17.35) не выполняется, то операторы L и 4胃аз貝厅ют некоммутирующими. Обозначение [М, £]= =ML—LM называют коммутатором операторов £ и 兩. Если операторы коммутируют, то это обстоятельство часто кратко записывают так:財厶]=0.

Существует теорема: если операторы L и М имеют общие собственные функции, образующие замкнутую систему, то эти операторы коммутируют. Докажем теорему.

Обозначим собственные функции операторов L и М через 屮九卩(％) (двойной индекс 九卩 отражает факт «общ-

ности》этих функций). Очевидно, что

7И L^ =入府屮入世=入a屮2，

£ Л4屮m=а£屮人卩=a入中入世.

Отсюда следует, что

{ML-LM)^ = ^

а поскольку известно, что функции 屮九卩(％) образуют замкнутую систему, то, следовательно, для произвольной функции ①(х)

{ML-Ш)①(х)=工6卩{ML-£而)屮м (х) = О, что и требовалось доказать.

Подчеркнем важность того обстоятельства, что общие собственные функции должны образовывать замкнутую систему. Может оказаться, что два оператора имеют только одну общую собственную функцию. В этом случае нельзя делать заключения о коммутировании операторов.

Доказанная теорема означает, что коммутирование операторов есть необходимое свойство общности систем собственных функций этих операторов. Является ли это свойство также и достаточным? На этот вопрос следует дать положительный ответ в случае, когда отсутствует вырождение собственных значений операторов. В более же общем случае, учитывающем возможность вырождения, справедлива теорема: если операторы L и М коммутируют, то можно найти общие собственные функции. Пусть, например, собственное значение 九i s-кратно вырождено. Из s решений уравнения 七2=仇1屮 можно выбрать s линейных комбинаций, которые будут также собственными функциями оператора М; при этом значению 九 1 будут отвечать, вообще говоря, s различных собственных значений оператора М.

На этом экскурс в область «чистой» математики можно считать законченным. Изложенные сведения вполне достаточны для того, чтобы далее можно было пользоваться аппаратом линейных операторов без ссылок на специальную литературу.

§ 18. ОТ ГАМИЛЬТОНОВОЙ МАТРИЦЫ К ОПЕРАТОРУ ЭНЕРГИИ

На что влияет выбор базисных состояний? Вернемся к обсуждавшемуся в § 12 уравнению (12.8). Там выбиралась некая система базисных состояний микрообъекта {Vi|}; произвольное состояние <s(/) | этого микрообъекта в момент времени / представлялось в виде суперпозиции выбранных базисных состояний:

<s(£)|=2<s(f)|2><i|・(18.1)

При этом для амплитуд <s(Z) \ i> использовалось обозначение &(/). Было показано, что амплитуды G(f) удовлетворяют уравнению

备 С^^Н^С^),(18.2)

позволяющему по известным в момент t амплитудам Ci(t) и гамильтоновой матрице Hij(t) найти амплитуды & в последующие моменты времени.

Выражение (18.1) ясно показывает, что набор амплитуд {Сг (/)} зависит от выбора системы базисных состояний {<〃}• Предположим, что возникла потребность перейти к новой системе базисных состояний {<т|}. Чтобы совершить этот переход, представим прежние базисные состояния в виде суперпозиции новых базисных состояний

<z I =2<7 I m><m I(18.3)

и затем подставим эту суперпозицию в (18.1). Получим

<传)丨=22&(У I m><m| , i m

ИЛИ

。(/)| = j(/)O I ,(18.4)

где

偌传)=》&(0<"能〉.(18.5)

Новые амплитуды cm(t), отвечающие системе базисных состояний {<т|}, удовлетворяют уравнению типа (18.2), но, очевидно, с новой гамильтоновой матрицей Hmn(t):

—访专 J 伍)=£ Нтп (/) % (/)・(18.6)

Покажем, каким образом прежняя гамильтонова матрица может быть выражена через новую. Подставляя (18.5) в (18.6), находим

=££Нтп^С^<]\п>.

Умножим обе части последнего равенства на <m|/> и просуммируем по т:

V*</z I m><m I / > =V*</z I m><m I / > =2叫

V*</z I m><m I / > =

V*</z I m><m I / > =

= ^\Z^mn^<J\ 竝〉I〉]&(/)•

Учитывая, что S</,|m><m|Z> = </,|f> = 6j/z, ynpo- m

щаем левую часть последнего равенства, после чего получаем

где

"/№)=£》〃加(%)</ I "〉：<т I />.(18.7)

Итак, выбор той или иной системы базисных состояний микрообъекта влияет как на вид удовлетворяющих уравнению (12.8) амплитуд состояний, так и на вид гамильтоновой матрицы.

В § 13 отмечалось, что обычно систему базисных состояний выбирают таким образом, чтобы эти состояния имели наглядный физический смысл. Однако в ряде случаев в целях большего удобства рассмотрения уравнения (12.8) переходят к новым, специально подобранным базисным состояниям. Так, в § 13 переход от базисных состояний <11 и <2| к базисным состояниям <1| и <111 мотивировался желанием диагонализировать гамильтонову матрицу, а в § 14 — стремлением получить гамильтонову матрицу в виде удобном для проведения аналогии с электроном в магнитном поле.

Преобразование уравнения, выражающего причинность, к виду, не зависящему от выбора базисных состояний. Введем в рассмотрение оператор "(f) таким образом, чтобы было справедливо соотношение

^U^ = <J I Я(/) I />.(18.8)

Оператор "«) действует на базисное состояние <", в результате получается новое состояние <2(/)| = = "(/)“>, которое уже не является базисным. Элемент гамильтоновой матрицы "订(/) играет здесь роль амплитуды </|1р(/) >, т. е. роль амплитуды вероятности того, что микрообъект, находящийся в базисном состоянии </1, может быть обнаружен в состоянии <屮(力)|・

Подставляя (18.8) в (18.2), получаем

一访 ^<s(/) ] C>=£<s(/) I /〉<川"创》〉 丿(18.9)

или

一访帯 о(£) ”〉= <(/)丨后(£) I 2〉.(18.10)

Перейдем к комплексно-сопряженному равенству и учтем при этом (9.33) и (12.9); получаем

访三У I s(£)〉= <J I 方(£) I s(/)〉(18.11)

at

ИЛИ

ill d I s (£)〉= /?(/) I s (%) >•(18.12)

dt

Заметим, что при переходе от (18.9) к (18.10), а также от (18.11) к (18.12) мы пользовались правилами, объединенными в § 10 под термином《механика квантовой механики». Полученное уравнение (18.12) аналогично уравнению (18.2), однако в отличие от последнего оно уже не зависит от выбора базисных состояний.

Векторная аналогия. В предыдущих рассуждениях, чтобы математически выразить причинную связь [уравнение (18.2)], мы должны были использовать информацию о рассматриваемом состоянии, физическом содержании задачи и системе базисных состояний. Теперь же [уравнение (18.12)] достаточно информации о рассматриваемом состоянии и физическом содержании задачи. Это означает, что переход от (18.2) к (18.12) соответствует переходу на более абстрактный уровень рассмотрения.

Подчеркнем, что возможность такой абстракции связана с использованием понятия оператора. Именно операторы и позволяют получить более абстрактные квантовомеханические соотношения, не зависящие от выбора системы базисных состояний.

Переход к более абстрактному рассмотрению, обусловленный введением понятия оператора, в определенном смысле аналогичен переходу к более абстрактному рассмотрению, связанному с введением понятия вектора. Остановимся подробнее на этой аналогии.

Прежде всего заметим, что упомянутая аналогия не представляется неожиданной. Напомним, что в § 14 предлагалось рассматривать состояние как вектор в неком условном пространстве; там же было введено понятие проекционной амплитуды.

Суть векторной аналогии состоит в следующем. Как известно, для выполнения операций с компонентами векторных величин надо всякий раз выбирать определенную систему координатных осей. В квантовой механике этому выбору соответствует выбор определенной системы базисных состояний. Если использовать векторы, то можно выполнять операции с векторными величинами, не прибегая к выбору той или иной системы осей. Точно так же, используя векторы состояний и действующие на них операторы, можно в квантовой механике уклониться от выбора системы базисных состояний. Проиллюстрируем векторную аналогию при помощи следующей схемы:

Квантовомеханическое выражение

2</ Н> v/|s>=0

< / I 5 > = о

(взаимно ортогональные состояния)

也—< Z I s (/) > = at

^^Hn<J\s{t) >

m W|s«)> = A|s«)> at

(операция над состоянием)

Векторная аналогияВекторная аналогия£。也=。 I(а Ь) = О(взаимно ортогональные векторы)£。也=。 I(а Ь) = О(взаимно ортогональные векторы)" =»廿旬j" =»廿旬jация над векто-ация над векто-B каждой клетке схемы записаны по два выражения, имеющих одинаковый смысл (он указан в скобках). Однако верхнее из этих выражений зависит от выбора системы базисных состояний либо от выбора системы координатных осей, тогда как нижнее не зависит.

Векторная аналогия

Векторная аналогия

£。也=。 I

(а Ь) = О

(взаимно ортогональные векторы)

£。也=。 I

(а Ь) = О

(взаимно ортогональные векторы)

" =»廿旬j

" =»廿旬j

ация над векто-

ация над векто-

Полезно указать некий конкретный пример для нижней правой ячейки приведенной выше схемы, показывающий, каким образом можно представить себе оператор, действующий на вектор. В качестве такого примера (которому, разумеется, не следует пытаться придавать «квантовомеханический смысл») приведем пример, когда матрица "订 имеет вид д

力з

Од0n

о д-^- 0-4*о д-^- 0-4*力2d力1О力2d力1Огде ri,厂2,厂3 — три пространственных декартовых координаты. В этом случае соотношение с = На принимает вид,

о д-^- 0-4*

о д-^- 0-4*

力2d力1

О

力2d力1

О

хорошо знакомый всякому, кто изучал векторный анализ: c = rota.

В заключение подчеркнем отдельные стороны векторной аналогии: а) выбору базисных состояний соответствует выбор системы координатных осей, б) переходу от одних базисных состояний к другим соответствует переход от одной системы осей к другой (отметим, что такой переход не затрагивает физики рассматриваемой задачи), в) разложению по базисным состояниям соответствует представление вектора через его проекции на оси координат. Аналогия с векторами — хороший пример того, как можно абстрагироваться от привходящих обстоятельств и записывать соотношения в виде, учитывающем только сугубо физическую информацию.

Средняя энергия. Продемонстрируем некоторые удобства, вытекающие из общности операторного подхода. В связи с этим покажем, как можно найти среднее значение энергии <Е> микрообъекта в некотором состоянии <s|. Пусть {</|} — базисные состояния с определенными энергиями £\. Это означает (см. § 13), что гамильтонова матрица диагональна; следовательно,

<7 1 方 I i>=^Eh

или

<川》|2〉=</|2〉吕・(18.13)

Разложим состояние <s| по системе базисных состояний {<〃}: <s I =J<s I i〉<i I и будем искать среднюю энергию <Е> по формуле типа (12.3):

<E>=2l<s|Z〉|2 勺.(18.14)

С учетом (9.33) перепишем (18.14) в виде

<£>=§<s I〉勺。I s>三<s I 平〉，(18.15) где

l?>=SH>^/<i|s>.(18.16)

Из (18.13) следует, что

H\i>= I〉吕.(18.17)

7*195

Подставляя (18.17) в (18.16), находим

“〉=』方 I /></ I 8>=Й I s>,

после чего получаем из (18.15) искомый результат:

<f >=<s I Я I s>.(18.18)

Из (18.18) видно, что средняя энергия микрообъекта в состоянии <s| выражается только через оператор Н, Базисные состояния в (18.18) не входят.

Удобство соотношения (18.18) обусловлено его независимостью от выбора базисных состояний, что позволяет при выполнении конкретных вычислений свободно пользоваться любой системой базисных состояний. Пусть, например, оказывается удобным воспользоваться базисными состояниями {<т\}. В этом случае операторное соотношение (18.18) немедленно преобразуется к соответствующему виду:

<Е〉=』£О I m></n I Н |〃〉O|s〉・

(18.19)

Оператор энергии (гамильтониан). Ранее отмечалось, что гамильтонова матрица могла бы быть названа энергетической матрицей (напомним, что элементы диагонализированной гамильтоновой матрицы суть возможные значения энергии микрообъекта). Связь оператора "с гамильтоновой матрицей плюс к тому же соотношение (18.18), выражающее среднюю энергию микрообъекта через оператор ", дают основание называть этот оператор оператором энергии. В литературе оператор Н называют также гамильтонианом.

Выпишем установленные выше выражения, в которых присутствует гамильтониан микрообъекта (подчеркнем исключительную важность этих выражений):

s(£)> = ^ is©〉,(18.12)

at

<£>=<s|/?|s>,(18.18)

#l/>= l/>£(18.20)

В выражении (18.20) через <f\ обозначено некоторое стационарное состояние; Е ——энергия в этом состоянии.

Наконец, отметим, что гамильтониан (как и любой другой оператор) может действовать не только на состояние |s>, но и на амплитуду этого состояния <i|s>, поскольку всегда можно представить [см. (17.4)]

/?& (力=N %/?“/)•(18.21)

Используя (18.21) и учитывая, что <i|s> = C\*, перепишем (18.2) в виде, который, как легко видеть, совершенно аналогичен виду (18.12):

ih —</ I s(Z)> = //<Z I s(/)>.(18.22)

Соответственно результат (18.20) может быть переписан в виде

H<i\f>=E<i\f>.H<i\f>=E<i\f>.(18.23)(18.23)

H<i\f>=E<i\f>.

H<i\f>=E<i\f>.

(18.23)

(18.23)

§ 19. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Приступим к выполнению основной задачи данной главы ——покажем, какое физическое содержание следует вложить в математический аппарат теории линейных операторов для того, чтобы превратить его в аппарат квантовой механики. В этом смысле предыдущий параграф надо рассматривать как первый, предварительный шаг на пути выполнения указанной задачи.

Роль операторов в квантовой механике. Говоря о роли линейных операторов в квантовой механике, необходимо отметить два обстоятельства.

Во-первых, в квантовой механике каждой динамической переменной (пространственной координате, энергии, импульсу, моменту и т. д.) ставится в соответствие определенный эрмитовский оператор.

Во-вторых, не меняющий физического содержания задачи переход от одного представления к другому выполняется при помощи унитарных операторов.

Остановимся подробнее на первом обстоятельстве. Оно означает^ что наряду с оператором энергии Я долж-

ыы быть введены другие «физические операторы»: оператор координаты г, оператор импульса р, оператор момента Л4 и т. д. При этом весьма существенно, что известные в классической механике динамические соотношения можно перенести в квантовую механику в том же самом виде, если вместо физических величин в этих соотношениях использовать соответствующие эрмитовские операторы. Иначе говоря, аппарат квантовой механики может быть построен по аналогии с аппаратом классической механики, если в последнем заменить динамические переменные отвечающими им эрмитовскими операторами. В качестве примера сопоставим следующие выражения:

В классической механике

В квантовой механике

2加

自=— +(19.1)

M = (r X：｝)

М = (；><%)(19.2)

Следует, однако, иметь в виду, что полной формальной аналогии между аппаратами классической механики и квантовой механики все же нет. Здесь надо отметить (подробнее см. в § 20), что алгебраические манипуляции с операторными соотношениями требуют учета того, что операторы могут не коммутировать. Так, если Д и В не коммутируют, то J；X + В)2=^=А^ + 2АВ + В2； в этом случае (Д + В)2 = А2 + ЛВ + В А + В2. Кроме того, надо учесть, что в квантовой механике существуют операторы, не имеющие классических аналогов (такие, например, как оператор спина, четности и др.).

Отметим, что формально операторы могут быть со

поставлены со всеми классическими динамическими переменными, включая и те, которые не имеют смысла в микромире. Так, можно ввести операторы скорости и, ускорения а, потенциальной энергии U, кинетической энергии Тит. д., хотя ни скорость, ни ускорение, ни ха-

рактерное для классической механики разбиение полной энергии на кинетическое и потенциальное слагаемые не имеют смысла для микрообъектов.

Основные постулаты. Рассмотрим вопрос: каким именно образом осуществляется акт сопоставления физической величины с эрмитовским оператором? Иначе говоря, какое содержание вкладывается здесь в слово «сопоставляется»? Ответ на этот вопрос может быть сформулирован в виде следующих двух основных постулатов.

Постулат 1. Если оператор L сопоставляется с физической величиной 厶 то это означает, что собственные значения 九 оператора отождествляются со значениями рассматриваемой физической величины, реализуемыми в измерительных актах.

Постулат 2. Если оператор L сопоставляется с физической величиной /, то это означает, что собственные функции 2九(а) оператора отождествляются с собственными функциями величин 九-набора, заданными в а-пред- ставлении. С учетом замечаний, сделанных в § 15, это означает, что собственные функции 屮九(。)оператора отождествляются с амплитудами состояний <Z|а>, часто называемыми волновыми функциями.

Таким образом, исследование основного уравнения теории линейных операторов [см. (17.13)]

£(а)〈入 I a>=k<X I а> (19.3) включает в себя такие физические задачи, как отыскание спектра возможных значений 九 физической величины / и отыскание амплитуд состояний <Z|a>, в которых реализуются соответствующие значения Z.

В применении к оператору энергии уравнение (19.3) принимает вид (18.23). Исследование уравнения (18.23) позволяет отыскать возможные значения энергии микрообъекта и отвечающие этим значениям амплитуды стационарных состояний.

Математические заключения и их физическое содержание. Сформулированные выше постулаты осуществляют «сшивание» физического и математического аспектов рассмотрения; они «нагружают» математические символы и заключения определенным физическим содержанием. Продемонстрируем это при помощи ряда замечаний.

Собственные значения эрмитовского оператора вещественны. С физической точки зрения это означает вещественность значений величин, реализуемых в измерительных актах.

Спектр собственных значений эрмитовского оператора может быть дискретным либо непрерывным. Это соответствует квантованию либо непрерывному изменению физических величин, характеризующих микрообъекты.

Собственные функции эрмитовского оператора удовлетворяют условию ортонормировки. Этот математический факт превращается в условие ортонормировки собственных функций физических величин и, в частности, в условие ортогональности базисных состояний микрообъекта. Иначе говоря, математический результат (17.16) превращается в физические соотношения (15.13) и (10.8), а математический результат (17.17)—в физическое соотношение (15.14).

Система собственных функций эрмитовского оператора является замкнутой (полной). С физической точки зрения это соответствует возможности разложения произвольной амплитуды по амплитудам, являющимся собственными функциями физической величины, т. е. по базисным амплитудам. Иными словами, математический факт замкнутости (полноты) системы собственных функций эрмитовского оператора превращается в физический принцип суперпозиции состояний.

Собственные значения эрмитовского оператора могут быть вырожденными. Физически это означает, что одно и то же значение некой величины может быть реализовано в нескольких различных состояниях.

Математический результат (17.28) для собственных функций операторов соответствует физическому результату (9.33) для амплитуд состояний.

Унитарные преобразования, обусловливающие переход от одного представления к другому, физически соответствуют переходу от одного полного набора величин к другому и, в частности, от одной системы базисных состояний микрообъекта к другой.

Существование общей замкнутой системы собственных функций означает коммутирование операторов. Этот математический факт связан с одновременной измеримостью соответствующих физических величин. Отметим, что из известного факта невозможности одновремен-

ного измерения таких, например, физических величин, как координаты и импульс микрообъекта, следует заключение о том, что операторы координаты и импульса не коммутируют.

Математический факт коммутирования гамильтониана Н и оператора L физически означает, что соответствующая оператору L величина / является интегралом движения. Иначе говоря, условие

負力=0

есть с физической точки зрения закон сохранения величины /.

Последнее замечание будет строго обосновано ниже. Здесь же уместо привести в его пользу некие соображения качественного характепа. Если операторы Н п L коммутируют, то величины Ей/ одновременно измеримы, так как существуют состояния, в которых обе величины имеют определенные значения. Состояние, в котором энергия имеет определенное значение, является стационарным, т. е.《живет》сколь угодно долго. Но в таком случае должна сохраняться сколь угодно долго и величина /, равно как и любая другая физическая величина, для которой данное состояние есть собственная функция.

Среднее значение величины. Если величина / измеряется в состоянии, описываемом амплитудой V九|а＞, то, согласно основным постулатам, результатом измерения будет значение 九.Предположим теперь, что величина / измеряется не в «собственном», а в некотором «чужом» состоянии, например состоянии, описываемом амплитудой ①s(a) = Vs|a＞. В этом случае результат одиночного измерения, как известно, не может быть однозначно предсказан; здесь вступают в игру вероятностные предсказания, позволяющие указать среднее значение ＜九＞,получаемое на основе относительно большого иисла измерительных актов (см. в связи с этим § 12). Покажем, как можно вычислить среднее значение ＜入＞ в состоянии Vs], если известен сопоставляемый с величиной / эрми- товский оператор L. Заметим, что для частного случая, когда в качестве величины / использовалась энергия, эта задача была рассмотрена в § 18, где был получен результат

V石＞=v飞I方|s〉. (18.18)

В общем случае результат (18.18) принимает вид (полагаем для конкретности, что характеризующая представление a-переменная изменяется непрерывно)

< 入 >=J ①：(а) £ (а)① $ (а) da.(19.4)

Убедимся в этом.

Разложим амплитуды ①s(a) и Ф8*(а) по собственным функциям t|)n(a) = V%n|a> оператора £ (полагаем, что спектр оператора L дискретен):

①s(a) = X<s I 入/|>%(а),

①：(a) = X<s|%>%(a)・ m

Подставляя эти суперпозиции в (19.4) и учитывая (19.3) и (17.16) находим

J ①;(a)£(a) Q(a) da=

= XX<s I %><s I <〉* (脸(a)2(a)%(a)da=

=WX<S I 入/1〉О I Xm〉*%f^(a)%(a)da =

n mJ

= X2<S I %><s I 入>讨”2 I <S I 仆>|2\ mл

С учетом (12.3) последняя сумма есть <Х>, что и требовалось доказать.

Результат (19.4) весьма важен. Фактически достаточно уже одного этого результата, чтобы продемонстрировать плодотворность идеи использования операторов в квантовой механике.

По аналогии с (18.18), результат (19.4) допускает более абстрактную запись, уклоняющуюся от выбора того или иного представления:

<X〉=<s|£|s〉・(19.5)

Изменение среднего значения величины со временем.

Используя (19.5) и полагая вначале, что оператор L от

времени не зависит, представим:

*人>=3<>(/)1 £ I s(t)>= atat

=(亲 <s(‘)l)lfl s(f)〉+ <s(/) I £| 倩 I S(f) >).

(19.6)

Далее обратимся к соотношению (18.12) и преобразуем его к виду

или с учетом эрмитовости гамильтониана

一熊今 <s("丨=<S伍)I »•(19.7)

Подставляя (18.12) и (19.7) в (19.6), получаем

备〈入〉= —<s(Z) I HL^LH I s(/)〉，

или

^<人〉=2<51自 f]Is>.(19.8)

dt方

Если величина / является интегралом движения, то ^- <Х> = 0. Из (19.8) следует, что условием сохранения величины I служит уже отмечавшееся ранее условие «£]=о・个

Введем новый оператор 工，определив его при помощи соотношения

<s|£|s> = 3<>〉・(19.9)

at

Сравнивая (19.9) с (19.8), заключаем, что в случае, когда —с-

L не зависит от времени, оператор L имеет вид

f=—[Я, 2].(19.10)

Если 厶 зависит от времени, то вместо (19.10) имеем

£ = ：［"」］ +吃厶(19.11)

LbOt

Унитарная инвариантность физических результатов. Физическое содержание того или иного результата не может, очевидно, зависеть от выбора представления. Иными словами, физическое содержание результата не должно изменяться при переходах от одного представления к другому. Поскольку указанные переходы осуществляются лри помощи унитарных преобразований, то это означает, что физические результаты должны входить 6 математический аппарат как унитарные инварианты.

Требование унитарной инвариантности соответствующих результатов может, таким образом, служить дополнительным критерием правильности сформулированных ранее основных постулатов и вытекающих из них следствий. В этой связи отметим прежде всего отмечавшийся в § 17 факт унитарной инвариантности свойства эрмитовости оператора, а также унитарную инвариантность спектра собственных значений эрмитовского оператора. Нетрудно убедиться, что коммутатор 值，Ц также является унитарным инвариантом и, следовательно, условие сохранения той или иной физической величины, как и следовало ожидать, не зависит от выбора представления. Далее отметим, что унитарная инвариантность выражения J ^n^^mdx означает теперь независимость от выбора представления условия ортонормировки собственных функций физической величины. Наконец, унитарная инвариантность выражения J ①*(%)£(%)①(%) d% означает независимость от выбора представления средних значений физических величин.

Заметим, что результат (19.4) мог бы быть однозначно установлен из требования унитарной инвариантности величины <Х> и использования полученного дЯя частного случая выражения (18.18). Действительно, из требования унитарной инвариантности следует, что <CZ> должно быть представлено выражением типа

J Ф* (%)2〃(%)@(%)dx,

а сравнение с частным результатом (18.18) указывает на то, что здесь надо положить n= 1.

§ 20. ОСНОВЫ АППАРАТА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Дальнейшее рассмотрение аппарата квантовой механики требует знания конкретного вида операторов различных физических величин. Для этого необходимо выбрать некое определенное представление. Выберем координатное представление.

Отметим важность отыскания вида двух основных «физических операторов»: координаты и импульса микрообъекта. Зная эти операторы, можно получить оператор энергии [см. (19.1)] и оператор момента [см. (19.2)].

Операторы координаты и импульса. Для простоты рассмотрим одномерное движение по оси % (полученные результаты легко обобщаются на трехмерный случай). Учитывая сделанные в § 17 замечания о виде арммтов- ского оператора в своем собственном представлении [см. (17.26)], заключаем, что оператор координаты в координатном представлении есть сама координата:

х(х)—х. (20.1)

Этот результат обобщается на любую функцию координаты:

О (х)="(%)・ (20.2)

Перейдем к отысканию вида оператора импульса. Предварительно докажем следующую теорему. Пусть некий оператор О как-то преобразует координату. Если при этом преобразование гамильтониан Н не меняется, то операторы О и /Г коммутируют. Доказательство: пусть Ох=х^ подействуем оператором О на 方(％)“(％); получаем ОН(х)^(х)=育(/)“(/) = Н[х)^(х')= = "(%).“(％)・ Теорема доказана.

Предположим, что оператор О есть оператор бесконечно .малого переноса по оси %: Оф(%) =2(% + А%). Пользуясь малостью переноса, представим:

Таким образом,

О = 1 + Дх -^ - •

Исходя из свойства однородности пространства, заключаем, что операция О должна оставлять гамильтониан микрообъекта неизменным. Отсюда, согласно доказанной выше теореме, получаем [О, Я] = 0 или^-^-,闿=0・ Но коммутирование с гамильтонианом, как было показано в § 19, выражает закон сохранения физической величины. Значит, d/dx есть оператор какой-то сохраняющейся физической величины. Известно, что величина, сохранение которой является следствием однородности пространства, есть импульс (см. § 1). Следовательно, оператор d/dx должен совпадать с точностью до некоторого постоянного множителя с оператором импульса микрообъекта:

■£=y"(2°・3)

Множитель y определяют из рассмотрения предельного перехода от квантовой механики к классической. Мы не будем рассматривать этот переход и просто объявим результат: 丫=〃力(см. [10]). Таким образом, оператор х-составляющей импульса микрообъекта имеет в координатном представлении вид

応=-访专.(20.4)

Результаты (20.1) и (20.4) легко обобщаются на трехмерный случай:

7=7,(20.5)

%=—/▽・(20.6)

Собственные функции импульса. Используя (20.4), запишем уравнение для собственных функций х-состав- ляющей импульса:

—访-~ 屮& (х)="0& (*)•(20.7)

Легко видеть, что уравнение (20.7) имеет решения при любых значениях параметра рх. Следовательно, имлульс микрообъекта не квантуется (спектр собственных значений оператора импульса непрерывен).

Из уравнения (20.7) следует, что собственные функции оператора рх имеют вид плоских волн:

%/(*)=А ехр (勿戸:伍).(20.8)

Для определения множителя Л воспользуемся условием ортонормировки (17.17):

J 屮;；(*)屮a (%) dx=3 (以一区).

Подставляя сюда (20.8), находим

A2 jexp [ — ix (広—p^/h] dx=6(4 —広).

Далее учтем, что в соответствии с (15.17)

J ехр [汉(pх 一区)/% dx=2几於 何 一心•

Сопоставляя два последних равенства, получаем А2 = = (2л%)-1. Следовательно,

屮a(Х)=(2冗力厂"2 еXр (力 z/%).(20.9)

(20.10)(20.10)Обобщение на трехмерный случай дает

(20.10)

(20.10)

屮；（厂）=（2冗力）t/2 еXр （力〃厂/也）.

Отметим, что собственная функция импульса (20.10) совпадает с П1риводившейся в § 15 волновой функцией (15.15) свободно движущегося микро объект а.

Уравнение Шредингера. Рассмотрим уравнение (18.23) для собственных функций гамильтониана:

^£(х)=^(х). (20.11)

Используем для гамильтониана микрообъекта, движущегося во внешнем поле с потенциалом U(х), выражение (19.1) и учтем при этом результаты (20.2) и (20.4). Получим

后⑴=一誥券+"（*）•后⑴=一誥券+"（*）•(20.12)(20.12)

后⑴=一誥券+"（*）•

后⑴=一誥券+"（*）•

(20.12)

(20.12)

Подставляя (20.12) в (20.11), находим

-* 如(") + Q ⑴一可如(X)=°-(2°・ 13)

Это есть одномерное уравнение Шредингера. Обобщая его на трехмерный случай, запишем

一嶽2e运)+ ["运)—£]如力=°.(2814)

Зная функции ф^(х), можно записать выражения для амплитуд стационарных состояний 屮е (招 /), поскольку зависимость от времени имеет в этом случае универсальный вид, обсуждавшийся в § 13. Используя (13.4) и учитывая тот факт, что

^(х, £)=<七 I х, /〉=<%, / I £〉*=嘿胤 (20.15) получаем

Фв (х, /)=?в (х)ехр(~/£//Й).(20.16)

Функции ^(х, /), как легко видеть, являются решениями уравнения (18.22), в котором в качестве Н 1исполь- зован гамильтониан (20.12). Это уравнение имеет в данном случае вид

/й—迫 0_可 + "(*)5(20.17)

Его также называют уравнением Шредингера. Точнее говоря, уравнение (20.13) называют уравнением Шредингера, не зависящим от времени, а уравнение (20.17)—— уравнением Шредингера, зависящим от времени.

Заслуга Шредингера состояла в том, что он догадался (именно догадался!) записать гамильтониан микрообъекта в виде (20.12). Правда, в схеме наших рассуждений результат (20.12) не представляется неожиданным—он подан здесь как следствие результатов (19.1), (20.2) и (20.4). Однако следует иметь в виду, что результат (19.1) здесь ниоткуда не выводился； фактически он был постулирован (точнее говоря, была постулирована аналогия между классическими и квантовомеханическими соотношениями). Когда Шредингер предложил свое знаменитое уравнение, эта аналогия еще не представля-

лась очевидной. Более того, 'именно результат (20.12) послужил, как мы убедимся ниже, обоснованием указанной аналогии.

Операторы проекций момента и квадрата момента.

Используя (19.2) и (20.4), легко получить выражения для операторов проекций момента:

Мх=—ih\/ d—z ■詛，府产-ih\(дх一*Mz——访1/ д X——1 ЗуУМх=—ih\/ d—z ■詛，府产-ih\(дх一*Mz——访1/ д X——1 ЗуУ(20.18)(20.18)

Мх=

—ih\

/ d

—z ■

詛，

府产

-ih\

(дх

一*

Mz—

—访1

/ д X——

1 Зу

У

Мх=

—ih\

/ d

—z ■

詛，

府产

-ih\

(дх

一*

Mz—

—访1

/ д X——

1 Зу

У

(20.18)

(20.18)

(20.19)(20.19)Оператор квадрата момента определяется выражением

(20.19)

(20.19)

Ж2=Жх+^+М

При рассмотрении операторов момента удобно пользоваться не декартовыми координатами %, у, г, а сферическими координатами г, 0, ф. Напомним:

x=r sin 0 cos ср, '

у = г sin 0 sin ср, •(20.20)

z = r COS0.,

Используя (20.20), представим производную-^- ф в виде

，？_科dx屮dy I d屮d2

dy 'dxdydydy dzdy

=——^L 厂 sin 0 sin ?4~y^ 厂 sin 0 cos 勺=(x* ——y ")屮.

Отсюда с учетом (20.18) получаем

производную —ф, G8производную —ф, G8而2=—访 М .(20.21)

производную —ф, G8

производную —ф, G8

Рассматривая аналогичным образом находим

мх ± iMy = h^^±^-[-i ctg 0 ^)・(20.22)

Отсюда с учетом (20.19) получаем

府2=—卅 /丄+ _L_ 包(sin 8 —. (20.23) [Sin2 9 0中2 1 sin 6 d6 \I

Перестановочные соотношения. Эти соотношения представляют собой правила коммутирования для операторов координаты, импульса и момента микрообъекта. Обозначая декартовы компоненты указанных операторов индексами i, /, kt выпишем упомянутые правила коммутирования (ниже шоказано, как можно получить эти пра

вила) :

伉，Q = 0，(20.24)

[Pz» Ру]=О,(20.25)

\Рь rj]~—X朋〃，(20.26)

[Рь / (r)]= ~^^~ / (r)»(20.27)

[附八 гj\—ih ^^i/лгл»(20.28)

[М», Pj\ — ^^eijkPk^(20.29)

[Mh Mj] = ih^eifkMk.(20.30)

Здесь eijk — единичный антисимметричный тензор 3-го ранга; ?123 =ё231 =e312=1, ^132=^321 = ^213=-1, остальные 21 компонент этого тензора равны нулю (в этих компонентах ло крайней мере два индекса имеют одинаковое значение). Легко убедиться, что в суммах по k присутствует не более одного слагаемого.

В координатном представлении 广£ =厂厶.поэтому результат (20.24) очевиден. Он означает, что все три координаты микрообъекта могут быть измерены одновременно (они входят б один и тот же полный набор величин, как это и отмечалось в § 3).

Учитывая (20.4), представим:

\dridrj drjdu

Поскольку величина смешанной производной не зависит от того, в каком порядке производится дифференцирова-

ние, то отсюда следует, что [р^ Р/]=0・ Этот результат означает, что все три составляющие импульса одновременно измеримы (они входят в один и тот же полный набор величин).

Результат (20.26) устанавливается следующим образом:

\рh г/]屮=-熊\рh г/]屮=-熊屮=一力砌井.屮=一力砌井.

\рh г/]屮=-熊

\рh г/]屮=-熊

屮=一力砌井.

屮=一力砌井.

Он означает, что разноименные составляющие импульса и координаты одновременно измеримы, тогда как одноименные составляющие неизмеримы в полном соответствии с рассматривавшимся в § 3 соотношением неопределенностей для координаты ;и импульса микрообъекта. Результат (20.26) означает также, что три составляющие координаты и три составляющие импульса входят в разные шолные наборы величин.

Результат (20.27) есть обобщение результата (20.26). Действительно,

["/，/]Ф= — ^—/ -~—Ф^= — ^ •_—• Ф-

Результаты (20.28) — (20.30) могут быть получены из (19.2) с учетом предыдущих перестановочных соотношений.

Результаты (20.28) и (20.29) означают, что одноименные составляющие момента и координаты (момента и импульса) одновременно измеримы, а разноименные — неизмеримы. Эти результаты означают также, что проекции момента не могут входить ни /в полный набор величин, включающий координаты, ни в полный набор величин, включающий составляющий импульса.

Результат (20.30) означает, что различные составляющие момента не имеют общей замкнутой системы собственных функций и не могут входить в один и тот же полный набор величин. Учитывая уже рассмотренные примеры, следует заключить, что различные составляющие момента не могут -быть измерены одновременно. Это заключение правильное; однако оно нуждается в одном уточнении, которое удобно сделать именно на примере составляющих момента. Дело в том, что возможен слу-

чай, когда все три составляющие момента одновременно измеримы ——это частный случай, когда все три составляющие равны нулю. Указанный случай, разумеется, не влияет на существо дела; как отмечалось в§ 17, наличие одной общей собственной функции никак не связано с вопросом о коммутировании операторов.

Пользуясь соотношениями (20.19) и (20.30), можно установить еще одно правило ком!мутирования:

[/И2,而力=0. (20.31)

Оно означает, что ；в один и тот же полный набор величин надо включать квадрат момента и какую-либо одну из проекций момента.

Заметим, что одновременная измеримость всех составляющих импульса и отсутствие подобного свойства для составляющих момента имеют весьма наглядное объяснение. Дело в том, что связанные с оператором импульса параллельные переносы пере- местительны, тогда как связанные с оператором момента вращения непереместительны. Безразлично, перемещать ли сначала вдоль оси х, а затем вдоль оси у, или же в обратной последовательности. Однако совсем не безразлична последовательность поворотов. Для примера возьмите точку на оси г и совершите два последовательных поворота на 90° — в одном случае сначала вокруг оси %, а затем вокруг оси г; в другом случае сначала вокруг оси г, а затем вокруг оси %. Легко убедиться, что разным случаям отвечают разные конечные положения точки.

Оператор инверсии; четность. Оператор инверсии Р определяют следующим образом:

Эф (7, /)=尸屮( — 7, /), (20.32)

где Р — некоторая постоянная. В результате двукратного применения оператора инверсии приходим, очевидно, к исходной функции “(г,方).Отсюда следует, что Р2= 1, т. е.

Р=± 1. (20.33)

Величину Р называют пространственной четностью. Если Р= 1 и, следовательно, P^(r, f) =i|)(—г, /), то говорят, что микрообъект обладает положительной четностью; если же 尸=—1 и, следовательно, Р^{г, /) =—г|)(—г, /), то говорят, что микрообъект обладает отрицательной четностью.

Предположим, что [Р,切=0. В этом случае в соот- ветств'И|И с (19.10) четность является сохраняющейся величиной: если в начальный момент времени состояние микрообъекта было, например, четным, то оно должно оставаться четным и в последующие моменты времени (что, естественно, накладывает определенные ограничения на возможные изменения состояний микрообъекта).

В § 1 было указано, что законы сохранения энергии, импульса, момента являются следствием определенных свойств симметрии пространства и времени. В этом смысле закон сохранения пространственной четности не является исключением. Он есть следствие симметрии по отношению к операции инверсии, которую, как легко убедиться, можно свести к сочетанию операций поворота и отражения в зеркале [действительно, операция (招 у, г)~>(—居一у, —г) состоит из поворота на 180° вокруг, например, оси 2 и отражения в плоскости, перпендикулярной оси г]. Учитывая, что с симметрией по отношению к л обо ротам связано сохранение момента, заключаем: сохранение пространственной четности связано с тем фактом, что физические процессы протекают идентичным образом в «обычном мире》и в «Зазеркалье» .

Собственные значения и собственные функции операторов Mz и Л12. Запишем уравнение для собственных функций оператора MZi определяемого выражением (20.21):

-访 且屮=m抖(20.34)

Решения этого уравнения имеют вид

屮 @) = A exp QM界伍).(20.35)

Функция 2 периодична:屮(屮+2冗)=屮(屮)・ Следовательно, 他=九团，т = 0, ± 1, ± 2,(20.36)

Получен уже знакомый читателю результат: проекция момента квантуется, она принимает значения, разли-

чающиеся на величийы, кратные постоянной Планка (см.§ 2).

Множитель 4 в (20.35) определяют из условия норми- 2х

ровки J 屮2屮md(p=l・Легко видеть, что 4=(2冗)一】/2.

Итак,

фт (* = (2 冗)т/2 exp (Z/ncp).(20.37)

Далее обратимся к оператору М2. Используя (20.23), запишем

一加!"」一曲 НЛ(8т0^1 = Л12ф. (20.38) L sin 2 6 /2 I sin 8 08 \06 〃

В математике это уравнение известно как уравнение для сферических функций, Оно имеет ограниченные решения при условии, что

也2=也2/(+), /=0, 1, 2,...(20.39)

Полагая условие (20.39) (выполненным, представим решения уравнения (20.38) в виде сферических функций:

^=^'^^^^(20.40)

где /и = 0, ± 1, ..., ±1. Учитывая (20.31), заключаем об общности собственных функций операторов Mz и М2; поэтому т следует рассматривать здесь как магнитное квантовое число, отвечающее проекции момента на z-ось. Оно принимает 2/+1 значений (от —I до /). Входящие в (20.40) функции P：mi (cos 0) суть присоединенные функции Лежандра. Напомним, что

片(*) = (1一%2产2上自⑴，(20.41)

где Л(х)—полиномы Лежандра:

(20.42)

Сферические функции 收^(8, ф) ортонормированы:

（0,平）山"（0，叫 sin 阿阿屮=3"，3加加，.（20.43）（0,平）山"（0，叫 sin 阿阿屮=3"，3加加，.（20.43）2兀7t

（0,平）山"（0，叫 sin 阿阿屮=3"，3加加，.（20.43）

（0,平）山"（0，叫 sin 阿阿屮=3"，3加加，.（20.43）

Если известен результат (20.36), то результат (20.39) можно получить, полагая

Af2=3 < 腕 >=3й2 < " >.

Среднее значение <лп2> определяется выражением

<"〉=t 借=2£岳7/(+). т・—Im・0

Отсюда немедленно получаем (20.39).

Четность и момент. Из (20.18) видно, что операторы инверсии и любой проекции момента коммутируют; кроме того, коммутируют операторы инверсии и квадрата момента:

[Р,而/]=0, [А 介]=0.(20.44)

Это означает, что операторы А и М имеют общую замкнутую систему собственных функций. То же следует сказать об операторах Р и 粉.Отсюда, в частности, следует, что состояние с определенным орбитальным квантовым числом / должно характеризоваться и определенной пространственной четностью. В сферических координатах преобразование инверсии имеет вид

г —> г, 0—► л — 0, <р—► ср -|— it.(20.45)

Используя (20.40) — (20.42), выясняем, что при таком преобразовании функция 屮вт(0,屮)умножается на множитель (—iy：

%т(-1)”％・(20.46)

Отсюда видно, что состояния с четными I имеют положительную четность, а состояния с нечетными I ——отрицательную четность.

Уместно напомнить приводившийся в § 3 пример полного набора величин для описания состояния фотона, включавший Л!?, д^, р [см. (3.76)]. Подчеркнем, что четность и момент входят в один и тот же полный набор величин. Формально это есть следствие соотношений (20.44). Однако можно привести обоснования, имеющие наглядный смысл. Действительно, явное «сродство» четности и момента связано с тем, что, как уже отмечалось, операция инверсии включает в себя кроме отражения в зеркале еще и поворот. При этом безразлично, в какой

последовательности выполнять эти операции: сначала отражение, а затем поворот или же наоборот — сначала поворот, а затем отражение.

Соотношения классической механики в операторной форме. Выше мы неоднократно использовали тот факт, что аппарат квантовой механики основывается на известных уравнениях классической механики, записанных, однако, в операторной форме. Этот факт настолько важен, что уместно вернуться к нему еще раз.

Ранее отмечалась гениальная догадка Шредингера, предложившего для гамильтониана микрообъекта вьтоа- жение (20.12). Если воспользоваться этой догадкой и фундаментальным результатом (19.10), то можно убедиться в том, что уравнения классической механики действительно переносятся в квантовую механику при условии замены физических величин соответствующими эрмитовскими операторами. Подставим в (19.10) оператор £=尤.а для оператора Н воспользуемся выражением (20.12). Получаем

х=рх/т.(20.47)

Это есть известный классический результат: скорость равна импульсу, деленному на массу. В квантовомеханической интерпретации этот результат означает, что оператор скорости равен оператору импульса, деленному на массу. Далее подставим в (19.10) оператор L = px. Используя для оператора Н, как и прежде, выражение (20.12), получаем

五=一贵"(х)・(20.48)

Легко видеть, что это есть не что иное, как второй закон Ньютона, записанный в операторной форме.^

Напомним, что операторы типа х или рх вводятся в соответствии с определением (19.9). Отсюда следует, что результаты (20.47) и (20.48) указывают на справедливость классических соотношений для средних значений физических величин:

—<х> = < s I 応 I s〉//n,(20.47а)

dt

号 V 厶〉= _^U(x"(20.48a)

Это обстоятельство отмечал Эренфест; поэтому соотношения типа (20.47а) или (20.48а) называют теоремами Эренфеста. Коротко говоря, теоремы Эренфеста утверждают, что классические соотношения для физических величин превращаются в квантовой механике в соотношения для средних значений физических величин.

В § 19 отмечалось, что рассматриваемая здесь математическая аналогия между классической механикой и квантовой механикой требует известной осторожности, так как операторы не всегда коммутируют друг с другом. Отсюда следует, что содержащейся в классических соотношениях информации недостаточно для построения аппарата квантовой механики. Необходима дополнительная информация о свойствах коммутирования рассматриваемых операторов. Иначе говоря, классические соотношения должны быть дополнены перестановочными соотношениями [типа соотношений (20.26) — (20.30)].

Таким образом, именно в перестановочных соотношениях заключена та специфическая информация, без которой немыслим аппарат квантовой механики. В этой связи подчеркнем, что в правую часть перестановочных соотношений входит специфическая квантовомеханическая постоянная ——постоянная Планка. Как известно, переход от квантовой механики к классической требует положить Й~>0. В этом случае все величины, входящие в перестановочные соотношения, начинают коммутировать и в результате квантовомеханические выражения превращаются в подлинные уравнения классической механики. В известном смысле именно присутствие в правых частях равенств (20.26) — (20.30) хотя и малой, но все же отличной от нуля постоянной Й и обусловливает все то своеобразие квантовомеханических представлений, о котором так много говорилось в первой и второй главах книги.

§ 21. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В РАБОТЕ

Некоторые характерные задачи квантовой механики. Отметим три типа задач, связанных с решением уравнения Шредингера.

Первый тип задач. Рассматривается движение микрообъекта в ограниченной области пространства, иначе

говоря, в потенциальной яме (например, движение электрона в атоме); такое движение называют финитным, а о микрообъекте говорят, что он находится в связанном состоянии. Используется уравнение Шредингера, не зависящее от времени [см. (20.13) или (20.14)]. Решая уравнение Шредингера при определенных граничных условиях, накладываемых на волновую функцию и ее первую производную , находят спектр значений энергии микрообъекта и волновые функции стационарных состояний.

Второй тип задач. Рассматривается инфинитное (пространственно неограниченное) движение микрообъекта во внешнем поле. Например, микрообъект проходит сквозь потенциальный барьер (напомним отмечавшийся в § 4 туннельный эффект) или рассеивается на некоем силовом центре. Поскольку движение инфинитное, то энергетический спектр микрообъекта непрерывен. Решая уравнение Шредингера, не зависящее от времени, определяют вид волновых функций микрообъекта вдали от рассеивающего центра (или барьера), на основе чего рассчитывают, например, вероятность рассеяния на заданный угол (или вероятность прохождения сквозь барьер, а также отражения от него).

Третий тип задач. В указанных выше двух типах задач речь шла о стационарных состояниях микрообъекта, в связи с чем использовалось уравнение Шредингера, не зависящее от времени. В задачах третьего типа рассматривают изменение состояния микрообъекта во времени, для чего используют уравнение Шредингера, зависящее от времени [см. (20.17)]. Решая это уравнение, находят вероятность того или иного квантового перехода, происходящего под влиянием заданного внешнего воздействия.

Примеры задач первых двух типов приводятся в данном параграфе, а также в § 24. С третьим типом задач читатель познакомится в § 25. Разумеется, мы вынуждены ограничиться рассмотрением здесь лишь некоторых характерных задач. При этом мы учитываем, что прикладные аспекты квантовой механики отражены в существующей литературе достаточно полно (отметим, в частности, специальные сборники квантовомеханических задач [34, 35]).

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма описывается потенциалом U вида

8, X < О,

(21.1)(21.1)U (х) =0, 0《х《а,

(21.1)

(21.1)

8，х〉а.

Параметр а есть ширина ямы; энергия отсчитывается от дна ямы. В пределах ямы (О《％0а) уравнение Шредингера (20.13) имеет вид

務+依屮=0,(2L2)

где

公=2б上伍2.(21.3)

На границах ямы (при % = 0 и х = а) непрерывная волновая функция ср обращается в нуль, поскольку бесконечно высокие《стенки》исключают возможность обнаружения частицы за пределами ямы . Итак, граничные условия имеют в данном случае вид

9 (О) = ср (а) = 0.(21.4)

Запишем общее решение дифференциального уравнения (21.2):

勺(х) = 4 sin (^х)4-cos (^х).(21.5)

Поскольку(р(0) =0, то, следовательно, В = 0. Таким образом,

^?(x) = A sin (^х).(21.6)

Из условия 屮(а) =0 заключаем

才а=лтг, где п — целые числа.(21.7)

С учетом (21.3) преобразуем последний результат к виду

Еп=階■?毋］2т 心.(21.8)

Выражение (21.8) определяет спектр значений энергии

(уровни энергии) частицы в рассматриваемой яме. Оно совпадает с приводившимся ранее выражением (5.2).

Волновая функция 屮九(％), соответствующая п-му уровню энергии, имеет, согласно (21.5) и (21.7), вид 屮九(％)=4sin (лпх/а). Постоянную интегрирования Л определяют из условия нормировки [см. в связи с этим (15.13)] J<р2 (х)dx=\. Легко видеть, дто А =]/ 2/а и, о следовательно,

<ря (х)=У 2/а sin (п/гх/а).(21.9)

Итак, найдены уровни энергии и ортонормированные волновые функции, стационарных состояний частицы в прямоугольной одномерной яме с бесконечно высокими 《стенкамм».

Прямоугольная потенциальная яма со «стенками» конечной высоты. Рассмотрим Прямоугольную потенциальную яму, изображенную на рис. 21,1, а. Поскольку частица находится внутри я)мы, го Е<5 и E<U2. Пря- моугольность потенциала позволяет четко разграничить три простр а нет венных области: область / (%V0), область 2 (0&%Wa), область 3(х>а), Будем рассматривать эти области (раздельно, а затем 《сошьем» полученные результаты на границах областей, т. е. в точках % = Ь и х = а. Уравнение Шредингера (20.13) имеет вид: для области 1

包一/中=0, где /=2m(u1 一上)伍2,(21.10а)

для области 2

翳+炉^=0, где 陟=2mEI*(2L1Q6)

для области 3

«^——х2ф==0, где Х2=2m (^/2 — E)/h2.(21.10в)

Общие решения указанных дифференциальных уравнений могут быть записаны в виде:

для области 1 ^1 — А1 ехр(у.хх)-\-Вх ехр(—-х^), (21.11а)

для области 2 ср2=Л2 exp {ikx) + В2 ехр(—/Лх), (21.116)

для области 3 ср3 = Д3 ехр (х2х) -[- 53 ехр (~^2^) (21.11в)

[заметим, что решение уравнения (21.106) может быть представлено как в виде (21.116), так и в виде (21.5)]. Ограниченность волновой функции требует положить 31 = 0 и 4з=0. Таким образом,

屮/к) = 4 ехр (々％),

屮 2 (%) = 4 ехр {ikx) + & ехр (— ikx),(21.12)

中 3(%)=品 exp( 一々%).

Качественный вид функций 屮卜(р3 и Re[q)2] показан на рис. 21.1, б. Обратим внимание читателя на то, что в случае потенциальной ямы со 《стенками》конечной высоты всегда существует вероятность обнаружить частицу вне пределов ямы; эта вероятность уменьшается по экспоненциальному закону по мере удаления от границ ямы.

Чтобы найти четыре коэффициента (4, 4,历，&), воспользуемся тем, что на границах областей должны быть непрерывной и сама функция, и ее первая производная. Непрерывность волновой функции очевидна. Непрерывность производной легко доказать. Для этого проинтегрируем уравнение Шредингера (20.13) по некоторой области (а—А, а + А), включающей скачок потенциала. Получим

а+А

■~ (а + ~— Д) =£ [^[х) — E}^dx,

ахахJ

а—а

Поскольку под интегралом стоят ограниченные функции, то в пределе Л->0 этот интеграл обратится в нуль. В итоге получаем -^- (а 4-0)=-^- (а —0)» что и требовалось доказать

Возвращаясь к нашей задаче, запишем граничные условия (условия «сшивки» решений на границах областей) :

%(0)=?2(0)，

(21.13)(21.13)中2 0) =%(a)， 篇(0)=襲(0), 签®=礬®.

(21.13)

(21.13)

Подставляя выражения (21.12) в эти условия, приходим к системе уравнений относительно коэффициентов Дь 42, ^2, в3：

А = 42 + 82，

4'ехр ”q) + & exp (一/q)=d exp (— x/),

(21.14)(21.14)^\Ai — ik (4— ^2)»

(21.14)

(21.14)

ikA2 exp {ika) — ikB2 exp( — ika)=

=-72^з exp (- %2a),

Система (21.14) есть однородная система линейных уравнений. Как известно, для существования ненулевых решений такой системы необходимо, чтобы ее определитель обращался в нуль. Приравнивая определитель системы нулю, получим некоторое уравнение относительно энергии Е (напомним: величины 笈,хь 乂2 выражаются через £). Корни этого уравнения и будут представлять собой возможные значения энергии частицы.

Подчеркнем, что с математической точки зрения квантование энергии частицы в яме есть прямое следствие однородности системы (21.14). В этом заключается сущность всех задач на отыскание собственных значений физических величин: объект как бы «предоставляется сам себе», т. е. исключаются внешние воздействия,— тем самым из уравнений исключаются неоднородности; в итоге объект избирает некий «собственный режим», характеризуемый определенными собственными параметрами (частотой, энергией и др.). Простейший пример, причем взятый из классической физики,— маятник. Если маятник не раскачивать, то он будет колебаться с определенной собственной частотой, не зависящей от способа возбуждения колебаний.

Итак, для определения значений энергии частицы надо приравнять нулю определитель системы (21.14) и решить получившееся при этом уравнение. Однако практически неудобно рассматривать определитель 4-го порядка. Поэтому предварительно упростим систему уравнений, для чего перепишем функцию(р2 в виде 屮2 = = Csin (kx + b) (этот вид эквивалентен ранее использовавшемуся; читатель может самостоятельно выразить новые коэффициенты С и b через старые коэффициенты Л2 и 82). Теперь система (21.14) будет выглядеть следующим образом:

AY=C sin Ь,

e sin (力Q + 3 = 4 exp (-咏)，

kC cos (々q + 6) = — x2fi3 exp (— 乂/)・

Поделив третье уравнение этой системы на первое, а четвертое на второе, получим

(21.16)(21.16)у]—力 ctg 6,

(21.16)

(21.16)

勺=—力 Ctg(^@ + 6)・

Вместо системы четырех уравнений имеем теперь систему двух уравнений. Из первого уравнения системы (21.16) находим ctg & = xi/fe.

Отсюда

sin 力=(1 +m绪 力厂〃2 =--. /2叫

Аналогично из второго уравнения системы (21.16) находим

sin (ka-\-b}=sin (ka-\-b}=■/2加"2■/2加"2

sin (ka-\-b}=

sin (ka-\-b}=

■/2加"2

■/2加"2

В результате получаем величину k (а следовательно, ном виде:В результате получаем величину k (а следовательно, ном виде:уравнение, определяющее и уровни энергии) в неяв-уравнение, определяющее и уровни энергии) в неяв-

В результате получаем величину k (а следовательно, ном виде:

В результате получаем величину k (а следовательно, ном виде:

уравнение, определяющее и уровни энергии) в неяв-

уравнение, определяющее и уровни энергии) в неяв-

^a=njc — arcsin ———arcsin ——咬一,(21.17)

где n — целые числа. На рис. 21.2 изображены в функции от 笈 левая и правая части уравнения (21.17). В изобра-

жейной на рисунке ситуации частица имеет три энергетических уровня; им отвечают значения 笈，равные /?ь 々2,々з・ Если изменять ширину ямы, то будет меняться наклон прямой у = ка、в результате чего будут меняться

расположение и само число возможных энергетических уровней. При уменьшении ширины ямы указанная прямая будет опускаться; при этом уровни 《поползут》из ямы, их число будет постепенно уменьшаться. При увеличении ширины ямы прямая y = ka будет, напротив, подниматься; при этом она будет пересекать все большее

число ветвей, изображаемых арксинусами, — в результате число уровней в яме будет расти. При ат-8 число уровней будет неограниченно расти, и мы придем в конечном счете к 1непрерывно- му энергетическому спектру. Нетрудно проследить также за изменениями в спектре при изменении глубины ямы: чем больше эта глубина, тем больше уровней будет

в яме.

Дальнейшая программа действий такова: надо найти из (21.17) возможные значения k и соответствующие им значения £, xi и 乂2； затем подставить эти значения в (21.15) и решить систему уравнений относительно коэффициентов; конечные результаты подставить в выражения для волновых функций (21.12). Мы, однако, не будем выполнять здесь эту программу ввиду возникающих математических трудностей.

В заключение заметим, что результат (21.17) можно использовать, в частности, для оценки минимальной энергии £i частицы в потенциальной яме. Для этого достаточно обратиться к заштрихованному треугольнику на рис. 21.2 и положить к^а^п. Отсюда немедленно находим E^^h2/2ma2. Этот результат хорошо согласуется с оценкой (4.11), полученной в § 4 на основе соотношения неопределенностей (3.3).

Частица в сферически симметричном поле. Рассматривая движение частицы в сферически симметричном поле, удобно использовать сферические координаты г, 0, ср. Сферическая симметрия поля означает, что U (г)=

=U (г). Оператор А в сферических координатах имеет вид

где△о.где△о.厶=2今卜詛+ ^。”(21」8)

где

△о.

где

△о.

(21.19)(21.19)10210& 0 \

(21.19)

(21.19)

1I siп 8 — Isin2 0 。屮2sin 0 dO \06 丿

Учитывая это, перепишем уравнение Шредингера (20.14) в виде

^訊「鳴屮)+赛а斛g°，叫+

+ (2ml^ [E-U(r)]^(r, 6,叫=0. (21.20)

Уравнение (21.20) допускает разделение переменных в сферических координатах. Это означает, что его решение можно искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от г, а другая ——от угловых координат 0 и <р:

屮(厂，6,叫=/?①①(8,叫. (21.21)

Подставляя (21.21) в (21.20), получим результат, который можно представить следующим образом:

d / dR \2/пd / dR \2/п為•⑶22)為•⑶22)

d / dR \2/п

d / dR \2/п

為•⑶22)

為•⑶22)

Поскольку левая и правая части равенства (21.22) зависят от разных независимых переменных (соответственно от г и от 0, <р), то каждая из этих частей должна равняться некоторой постоянной, которую обозначим через 九. Введя указанную постоянную, запишем

-а0з①(6,叫=入①①*. (21.23)

Сравнивая (21.19) с (20.23), заключаем, что (21.23) есть фактически уравнение для собственных значений и собственных функции оператора Л12. Это позволяет воспользоваться соотношениями (20.39) и (20.40) и записать

入= /.+ 1), / = 0, 1, 2,..., (21.24)

①e,*=①e,*=2/ + 14л2/ + 14л(/ -丨 m 丨)! p I m(/十1加1)! 2(/ -丨 m 丨)! p I m(/十1加1)! 2(cos 0) E呻三(cos 0) E呻三三 У^е，叫，（21.25）三 У^е，叫，（21.25）

①e,*=

①e,*=

2/ + 14л

2/ + 14л

(/ -丨 m 丨)! p I m

(/十1加1)! 2

(/ -丨 m 丨)! p I m

(/十1加1)! 2

(cos 0) E呻三

(cos 0) E呻三

三 У^е，叫，（21.25）

三 У^е，叫，（21.25）

где m = 0, ± 1, ..., ±/. Функции Yim(Q, ср) — сферические функции (они введены в § 20). Здесь полезно выписать выражения для нескольких первых сферических функций:

九0=-7L，(21.26а)

У 4л

sin а е土叱(21.266)sin а е土叱(21.266)厶厶sin 6 cos 0 е士叱sin 6 cos 0 е士叱

sin а е土叱(21.266)

sin а е土叱(21.266)

厶

厶

sin 6 cos 0 е士叱

sin 6 cos 0 е士叱

sin26 e±2z<P.sin26 e±2z<P.^亲卜2*）+瑞［七一"/）依（Г）= °，^亲卜2*）+瑞［七一"/）依（Г）= °，(21.27)(21.27)

sin26 e±2z<P.

sin26 e±2z<P.

^亲卜2*）+瑞［七一"/）依（Г）= °，

^亲卜2*）+瑞［七一"/）依（Г）= °，

(21.27)

(21.27)

(21.26b)

Подчеркнем, что «угловая часть» волновой функции не зависит от конкретного вида потенциала U(r); это есть прямое и важное следствие сферической симметрии потенциала. “

Далее обратимся к «радиальной части» волновой функции, т. е. к функции R"). Согласно (21.22) и (21.24), она должна являться решением уравнения

где введено обозначение

(21.28)

(21.29)(21.29)Примечательно, что уравнение (21.27) может быть сведено к одномерному уравнению Шредингера со специальным граничным условием при г = 0. Для этого надо использовать подстановку

(21.29)

(21.29)

屮亿） = 〃？（「）

и потребовать в силу ограниченности функции R(r), чтобы выполнялось условие 屮(0)=0. Легко убедиться, что подстановка (21.29) действительно превращает (21.27)

в одномерное уравнение Шредингера:

(21.30)(21.30)

(21.30)

(21.30)

при этом граничное условие(р(0) =0 соответствует одномерной потенциальной яме, имеющей слева (при г = 0) бесконечно высокую вертикальную《стенку》.

Дальнейшее рассмотрение уравнения (21.30) требует, очевидно, учета конкретного вида потенциала U(r).

Отметим, что к задачам о движении частицы в сферически симметричном поле относятся, в частности, задачи об электроне в атоме и о рассеянии частиц на сферически симметричных центрах.

Уравнение непрерывности и уравнение Шредингера. Установим некую формальную аналогию между уравнением Шредингера (зависящим от времени) и широко используемым в классической физике, особенно в гидродинамике, уравнением непрерывности. Предположим, что имеется некая среда (например жидкость), описываемая функциями р(г) и v(r) [р(г) —плотность среды, а v{r) —скорость частиц среды в точке г; разумеется, эти функции могут зависеть также и от времени]. Выделим мысленно некий объем V внутри среды. Изменение количества жидкости в этом объеме за единицу времени равно — С pdIZ. Выделим на поверхности S, ограничиваю

щей объем V, некий элемент поверхности dS и будем сопоставлять с ним вектор dS, по величине равный dS и направленный по нормали к поверхности наружу. Количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объема V через элемент поверхности dS, равно ри曲. Через всю поверхность S в единицу времени вытекает количество жидкости, равное 少 р0ds. Условие сохранения вещества требует приравнять

pudS=0・pudS=0・ppdS. Таким образом,

pudS=0・

pudS=0・

Заменяя интеграл по замкнутой поверхности объемным интегралом, перепишем последнее равенство в виде

ггdiv j\dV = G,div j\dV = G,(21.31)

г

г

div j\dV = G,

div j\dV = G,

где / = ру есть вектор плотности потока жидкости.

(21.32)(21.32)Уравнение (21.31) не зависит от выбора объема V. Пользуясь этим, будем уменьшать объем V, стягивая его к некоторой точке. В пределе V->0 уравнение (21.31) превратится в дифференциальное уравнение для указанной точки

(21.32)

(21.32)

*+divRo.

Это и есть классическое уравнение непрерывности.

Теперь перейдем к уравнению Шредингера, зависящему от времени. Обобщим одномерное уравнение (20.17) на случай трех измерений:

屮 0, /)=-4А可亿 /)+ "⑺屮 g z).(21.33) dt2/n

Введем чисто формально некую《среду》и определим для этой «среды» плотность как 4np *. Эта плотность может быть названа «(плотностью вероятности». Иначе говоря, вероятность обнаружить частицу будет больше в тех точках пространства, где выше плотность такой «среды».

Указанной «плотности вероятности» можно придать довольно простой смысл, если вообразить, что пространство заполнено большим числом частиц (при этом взаимодействие частиц друг с другом следует исключить). Очевидно, что число частиц в некоем объеме АУ пропорционально вероятности обнаружить частицу в зтом объеме. При таком подходе 4rm * может рассматриваться просто как плотность числа частиц.

Как и в классическом случае, начнем с рассмотрения некоторого конечного объема V:

^.^dV = -^ , У屮*d丿=[(里* 号+讨"^")乙丿.

rV" '

Подставляя сюда — Ф и — Ф* из уравнения Шрединге- dt dt

pa (21.33) и уравнения, комплексно-сопряженного с (21.33), получаем

Перепишем последний результат в виде

一可▽叫］一可▽叫］dV=0,(21.34)dV=0,(21.34)

一可▽叫］

一可▽叫］

dV=0,

(21.34)

dV=0,

(21.34)

или после сведения объема V в точку

包(屮可)- div「色(ЧГ ▽屮—屮▽屮*)] = 0.(21.35)

dtL 2 加J

(21.36)(21.36)Проводя аналогию между (21.34) и (21.31) [или между (21.35) и (21.32)], заключаем, что уравнение Шредингера соответствует некоторому квантовомеханическому уравнению непрерывности, если наряду с плотностью вероятности

(21.36)

(21.36)

p=叩叩=中*ф

ввести также вектор плотности потока вероятности

(f▽叮一可* ▽呼=* (中V * ▽再 2加2/n

(21.37)

Если интерпретировать (21.36) как плотность числа частиц, то вектор (21.37) тогда можно рассматривать как вектор плотности потока частиц. При такой интерпретации квантовомеханическое уравнение непрерывности (21.35) выражает условие сохранения числа частиц.

В случае одномерного движения по оси х выражение (21.37) принимает вид

丿=若(中礬一炉警).(2L38)

В заключение заметим, что, разумеется, не следует придавать квантовомеханическому вектору / буквального смысла 《потока》，так как для определения потока через некоторую поверхность надо уметь измерять в фиксированных точках поверхности значения скорости (импульса), что, очевидно, противоречит соотношению неопределенностей.

Прохождение части- и ацы под или над потенци-

~' альным барьером. Рас- =^=^^丁… rd смотрим одномерный пря-

丄 2 a|y^ моугольный потенциаль- Рис 21зный барьер (рис. 21.3) и

'*предположим, что слева

на него летят частицы с энергией Е, меньшей, нежели высота барьера U. Выделим три п.ро1странственные области <и запишем решения уравнения Шредингера (20.13) для этих областей:

%(х) = 4ехр(須х) +当ехр( —/х); h = V2mE]h,

ср? (х) = Л2 exp (汉)+ & exp (— xx); 乂= ?,

(21.39) % (%) — <3 exp {ikx) + 53 exp (— ikx\

Слагаемые, содержащие exp (i后％), описывают частицы, движущиеся в положительном направлении оси %, а слагаемые, содержащие ехр (——ikx),——в обратном направлении. Если учесть, что частицы посылаются в положительном направлении, то надо исключить второе слагаемое в функции(рз： В3 = 0. Остальные коэффициенты отличны от нуля. Слагаемое с Л1 описывает падающие на барьер частицы, слагаемое с 5 — отраженные от барьера частицы, слагаемое с Д3 ——частицы, прошедшие сквозь барьер.

Условия непрерывности волновой функции и ее производной в точках % = 0 и % = а дают следующую систему четырех уравнений:

4 + 当=4+^2»

(21.40)(21.40)Д2 ехр (ха) + 纟 2 ехр (— %а) = Д3 ехр (泳。)，

(21.40)

(21.40)

/(4 - 名)—乂(4- 当)，

к [Д2 ехр (ш)—— 纟2 ехр (―ха)]=/^Д3 exp (Z 々а).

Получается, что для 5 коэффициентов имеем всего 4 урай- нения! Однако в действительности неизвестных не 5, а 4. Дело в том, что необходимо задать плотность потока частиц, падающих на барьер (/Пад). Эта плотность выражается соотношением (21.38), куда надо подставить ф = —Л1схр (ikx). В итоге получаем

『|4門好九(21.41)

Таким образом, задание величины /пад означает задание коэффициента 4・

Аналогично для плотности потока отраженных частиц находим

Л)тр= I 当卩恤'九(21.42)

а для плотности потока частиц, прошедших сквозь барьер,

/пр= I A^hkjm.(21.43)

Обычно в подобных задачах плотность /пад выбирают такой, чтобы Xi = 1. В этом случае система (21.40) принимает вид

+ 3=4 +修，,

Л2 ехр (ха) + 52 ехр (- ш) = Д3 ехр (/^а), 为(1)=%(42一%)，

% [4ехр (ха) — 52ехр (— ха)] = /^Л3 ехр (/Ла).

Система (21.44) есть неоднородная система четырех линейных уравнений относительно 4 неизвестных коэффициентов. Неоднородная система имеет решения при любых значениях & и х, т. е. при любых значениях энергии частицы Е. Это согласуется с тем, что при инфинитном движении частицы ее энергия не квантуется.

(21.45)(21.45)Определим долю частиц, прошедших сквозь барьер:

(21.45)

(21.45)

D/пр/ JltlA *

Величину D называют коэффициентом прохождения барьера. Решая систему (21.44) (выкладки опускаем), получим

(21.47)(21.47)Далее, используя (21.43) и (21.45), находим 软 2x2

(21.47)

(21.47)

4论2%2 + (必 + *2)2 sh2 (ха)

В частном случае, когда %а》1, выражение (21.47) упрощается:

0 = аeXp 一必m2他(U一七),(21.48)

где

Наряду с коэффициентом прохождения существует коэффициент отражения барьера, определяемый как доля частиц, отраженных от барьера: /?=/отр//пад. Из общих соображений ясно, что 力+ R=1 (все частицы, не прошедшие сквозь барьер, должны отразиться от него).

Наконец, рассмотрим случай, когда частица проходит над барьером (Е之 U). В этом случае вместо (21.39) будем иметь:

% (х)=ехр [ikx) + 纟 1 exp (— /Ах),

屮 2 (х) = Л2 exp (次 x) + 当 exp (— »Kx), (21.49) 屮 з (х) = 4ехр(/х),

где К=V2tn(E — U)®

Используя (21.49), запишем граничные условия для точек х = 0 и % = а, решим получающуюся при этом систему уравнений и найдем коэффициент Вь Далее в соответствии с (21.42) определим коэффициент отражения 〃 = /отр//пад・ Он оказывается равным

〃=—(吐■《注"竺⑷—・ (21.50) 4 左 2K2十(左2 — K2)2sin2(Ka) '

Используя (21.47) и (21.50), можно получить зависимость коэффициента прохождения D от отношения E/U. Графически эта зависимость приводится на рис. 21.4. Там же пунктиром показана зависимость D(E/U) для классической частицы. Сопоставление сплошной линии с пунктирной оттеняет квантовомеханическую специфику микрочастиц. Подчеркнем, что при EVU в классической

механике все частицы отражаются от барьера, ни одна не проходит сквозь барьер; в квантовой же механике часть частиц отражается, а часть проходит сквозь барьер. При E>U в классической механике все частицы прохо-

Рис. 21.4

дят и ни одна не отражается; в квантовой же механике часть частиц проходит, а часть отражается. Как подбарьерное прохождение, так и надбарьерное отражение микрообъектов являются специфически квантовыми эффектами.

§ 22. ГАМИЛЬТОНИАН В НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРНЫХ ЗАДАЧАХ

Линейный гармонический осциллятор. Гамильтониан имеет вид

H=^^^L(22.1)

2/и d%22

[он получается из (4.5) с учетом (19.1) и (20.4)]. Собственные значения:

Еп =力⑴(厶-j—~^ j /z = 0, 1, 2,. ..(22.2)

[при 〃 = 0 получаем из (22.2) энергию нулевых колебаний, которая была оценена еще в § 4 на основе соотношения неопределенностей]. Собственные функции:

?л (%)=Vm^jh exp (—号⑵ Hn ©(22.3)

где Е=х]Ап®力，”ti(W)—так называемые полиномы Эрмита. Выпишем выражения для нескольких первых

функций фп(%):

?0 (%)=(% m元尸/2 еXр( 一 *2/2君)，(22.4a)

% (х) =(2々/л)~1/2 exp (一х2/2ло) 2%/々，(22.46)

?2 (х) =： (8х0 ]/л)~1/2 ехр (-л2/2хо)(4 号一2)(22・4в) (здесь х°=)/ й/тш).

Примечание: полиномы Эрмита, а также упоминаемые ниже обобщенные полиномы Ляггера и введенные в § 20 сферические функции и полиномы Лежандра относятся к специальным функциям. Специальным функциям и их приложениям посвящена обширная математическая литература; для справок укажем, например, [36, 37].

Атом водорода. Задача об атоме водорода ——хорошо изученная задача о движении электрона в кулоновском сферически симметричном поле. Гамильтониан имеет вид

—(22.5)

2〃г г

[он получается из (4.1) с учетом (19.1) и (20.6)]. Собственные значения этого гамильтониана описываются хорошо известным читателю выражением [см. (2.5)]

Еп= — me^ft1^ n= 1, 2, 3,...(22.6)

Собственные функции гамильтониана (22.5) могут быть представлены в виде

^nlm = ^nl (г) У 1т (0，叫；/ = 0, 1,. . ., Я—1；

/и = 0, ± 1, • • •, 土厶 (22.7)

Здесь Yim(Q, ср)——сферические функции; они определяют «угловую часть» волновой функции независимо от конкретного вида сферически симметричного потенциала; Rni(r)——«радиальная часть》волновой функции; она определяется уравнением (21.30) с кулоновским потенциалом [U (г) =—е2/г]. Вид функции 氏加(厂)описывается выражением

Rni (г) —const ехр (〃厂i〃) (2〃j〃)“£^7 (2〃厂i〃)，(22.8)

где /*1 = й2/те2 (эта величина известна читателю как ра-234

диус первой боровской орбиты), а 1^+3+】——так называемые обобщенные полиномы Ляггера (см., например, [36]).

Выражения для нескольких первых сферических функций приведены в § 21 [см. (21.26)]. Приведем выражения для нескольких первых функций 欠械(厂)：

/?10=2гГ!3/2ехр(-г/г1),(22.9а)

他=(2巾-АXp(一〃2rj(l 一身)，(22.96)

〃2i=(2 M6疗)exp( —〃2厂"/J.(22.9в)

При обсуждении понятия электронного облака в § 5 приводились функции vni и Zzm； на рис. 5.2, а был показан вид нескольких функций wni(r) =r2ynZ(r), а рис. 5.2, 6 демонстрировал некоторые функции Z/m. Возвращаясь к функциям, рассматриваемым в данном параграфе, отметим, что ©п尸RnpG), а 2^=|匕印(仇 ср) |2. Заметим, в частности, что (5.4) согласуется с (22.9а).

Используя (22.9) и (21.26), выпишем несколько первых собственных функций гамильтониана (22.5):

гг(22.10а) (22.106)(22.10b)(22.10г)(22.10а) (22.106)(22.10b)(22.10г)屮 loo =("；尸"eXр (- r/rj, Ф2оо=(8лг1)~1/2 ехр (— г/2^)卜

г

г

(22.10а) (22.106)

(22.10b)

(22.10г)

(22.10а) (22.106)

(22.10b)

(22.10г)

ф2п =(8 Jлг?) ехр( —r/2r1)sineez>r/r1, 屮21。=(4 V2冗厂；)ехр (— 〃2厂 J cos 9г/гР

Функция (22.10а) описывает основное состояние атома водорода, а функции (22.106) — (22.10г) описывают возбужденные состояния, соответствующие первому возбужденному уровню энергии (〃 = 2).

О вырождении энергетических уровней. Из (22.6) видно, что энергия электрона в атоме водорода определяется только квантовым числом п, тогда как состояния (функции ^nim)—тремя квантовыми числами: п, /, т. Кроме того, при рассмотрении состояний электрона надо учесть спиновое квантовое число о, не вошедшее в рассматриваемые здесь выражения. Поскольку при заданном главном квантовом числе п орбитальное квантовое число I принимает целые значения от 0 до п—1, а для

каждого числа / магнитное квантовое число принимает 2/+1 значений, то энергетическому уровню Еп должно соответствовать следующее количество gn состояний:

П一4

8厶=2e(22+1) = 2歩 (22.11) 2 = 0

(множитель 2 учитывает два спиновых состояния электрона) . Это означает, что собственное значение £п гамильтониана (22.5) (иначе говоря, n-й энергетический уровень) 2п2-кратно вырождено.

Вырождение энергетических уровней связано, как правило, с наличием у атомной системы симметрии. Так, например, благодаря сферической симметрии внутриатомных полей имеет место вырождение по квантовым числам m и о ——энергия не зависит от ориентации орбитального и спинового моментов электрона. Вырождение по квантовому числу I принято считать «случайным», связанным со спецификой кулоновского потенциала; в некулоновских полях энергия электрона зависит не только от п, но также и от Z. .

Различные силовые поля, внешние либо внутренние, могут понизить степень симметрии системы. Так, например, 《включение》внешнего электрического поля приводит к появлению физически выделенного направления; в результате сферическая симметрия исчезает ——вместо нее теперь имеет место цилиндрическая симметрия. Понижение симметрии приводит к снятию вырождения уровней (частичному или полному). Это проявляется в расщеплении энергетических уровней, т. е. в превращении их в совокупности новых, менее вырожденных уровней. Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле называют эффектом Штарка, а во внешнем магнитном поле ——эффектом Зеемана.

Кристалл, адиабатическое приближение. Гамильтониан кристалла, состоящего из N ядер и ZN электронов, запишем в виде

^ ZN

上所+圭£总+

(内) + 4(｛冗｝)+4(В，瓦｝)• (22.12)

Здесь М ——масса ядра; Pi ——оператор импульса i-ro ядра; m ——масса электрона, р九 ——оператор импульса /?-го электрона, ｛厂九｝——совокупность координат электронов, ｛RJ——совокупность координат ядер. Функция U\ описывает взаимодействие электронов; она имеет вид

где гм ——расстояние между 归-м и /-м электронами. Функция U2 описывает взаимодействие ядер, а функция U3— взаимодействие ядер и электронов .

Воспользуемся тем, что М^т и, следовательно, ядра движутся гораздо медленнее электронов. Это позволяет рассматривать движения ядер и электронов порознь', рассматривая движение электронов, полагать ядра покоящимися; рассматривая движение ядер, полагать, что электронный коллектив создает усредненное поле, не зависящее от координат отдельных электронов. В этом случае волновая функция кристалла может быть представлена в виде произведения «ядерной» и «электронной» функций:

屮（%｝，｛见｝）=u♦（瓦｝）乳（向）. （22.14）

При этом гамильтониан （22.12） разбивается на сумму «ядерного» гамильтониана Н\ и «электронного» гамильтониана 方2：

后尸言£济+仇（｛冗》 （22.15）

凡二战?总+ ^2>1+4（隔）.（22.16）

Функция U3 описывает потенциальную энергию электронов в поле ядер, покоящихся в узлах кристаллической решетки.

Таким образом, вместо решения весьма сложного уравнения Шредингера для всего кристалла

例(｛力，｛冗｝)=上呻;｛力，反｝)(22.17)

достаточно решить два более простых уравнения:

для ядер (для кристаллической решетки)

方浬(瓦・｝)=尸屮(｛而｝),(22.18)

для электронов

%Ре(｛力)=炉久伍｝)，(22.19)

причем Екр = Ер + Еэ. Данное приближение называют адиабатическим.

В заключение сделаем одно довольно важное уточнение. При использовании адиабатического приближения рассматривают, строго говоря, не голые ядра, а ядра вместе с теми электронами, которые с ними достаточно прочно связаны. Следовательно, когда говорят об отдельном рассмотрении коллектива электронов, то имеют в виду не все электроны, а лишь те, которые «обобществлены» кристаллом (иначе говоря, электроны, движущиеся по кристаллической решетке, например электроны проводимости).

Одноэлектронное приближение. В соответствии с адиабатическим приближением будем рассматривать движение электронов, «обобществленных» кристаллом, отвлекаясь от динамики кристаллической решетки. Воспользуемся выражением (22.16) и учтем, что функция 〃з (｛г/i｝) может быть представлена в виде суммы по «обобществленным» электронам (поскольку каждый электрон взаимодействует с полем решетки независимо от других электронов): "з (｛厂力｝)=』“4(厂々)・ В этом случае «электронный» гамильтониан (22.16) принимает вид

分=*2总+十££^+£"@・儆2。) k 力*Z k

Дальнейшее упрощение основано на предположении, что входящее в (22.20) слагаемое 彳Q ^!rkl можно

приближенно заменить суммой по электронам:

Иначе говоря, при рассмотрении электрон-электронных взаимодействий предполагается, что каждый электрон движется в некотором общем для всего коллектива поле (как говорят, самосогласованном поле). В результате гамильтониан электронного коллектива разбивается на сумму «одноэлектронных» гамильтонианов. Это позволяет представить волновую функцию коллектива в виде произведения «одноэлектронных» функций [обозначим их через 屮(厂々)],после чего уравнение Шредингера для коллектива электронов превращается в совокупность «одноэлектронных» уравнений вида

戶+ "石）+ "5固行）=七中（".戶+ "石）+ "5固行）=七中（".(22.22)(22.22)

戶+ "石）+ "5固行）=七中（".

戶+ "石）+ "5固行）=七中（".

(22.22)

(22.22)

Здесь р и г ——оператор импульса и координата одного из «обобществленных» электронов; Е ——энергия этого электрона.

Таким образом, используя (22.21), можно перейти от рассмотрения коллектива электронов к отдельному электрону, который движется в поле:

"运)=((；)+仇(乙 (22.23) Такой переход соответствует так называемому одноэлектронному приближению.

Потенциал U (г) является периодическим с периодом кристаллической решетки. В § 24 будет показано, что энергия электрона, движущегося в периодическом поле, разбивается на чередующиеся зоны разрешенных и запрещенных значений, т. е. имеет зонную структуру. Электрон, связанный в атоме, имеет уровни энергии; свободный электрон характеризуется непрерывным энергетическим спектром. Электрон, «обобществленный» кристаллом, занимает в известном смысле «промежуточное» положение——он «свободен», но лишь в пределах кристалла. Закономерна зонная структура энергетических состояний такого электрона, которая, очевидно, является «промежуточной» между структурой дискретных уровней и непрерывным спектром.

Относительная свобода движения «обобществленного» электрона отражается, в частности, на его волновой функции, которую представляют в виде так называемой функции Блоха:

%(；) = 〃 (г) ехр «万伍)・ (22.24) Это есть волновая функция (15.15) свободного электрона, модулированная функцией 〃(厂)，имеющей период потенциала U(г) (подробнее о функциях Блоха см. в §24).

Гамильтониан взаимодействия электрона с электромагнитным излучением. Будем рассматривать систему связанный электрон плюс излучение. В отсутствие взаимодействия между электроном и излучением система описывается «невозмущенным» гамильтонианом:

(22.25)

где p2/2tn + U — гамильтониан электрона, 7/т ——гамильтониан излучения. При наличии взаимодействия между электроном и излучением система описывается «возмущенным» гамильтонианом

/? = (%L NJ/2团 + "+右， (22.26) где А — оператор векторного потенциала поля излучения [напомним, что в координатном представлении Л (г)= =А (г)] . Отметим, что потенциалы поля выбраны здесь так, чтобы выполнялись известные условия калибровки: divД = 0; (р = 0 (ср — скалярный потенциал поля). Далее представим гамильтониан Н в виде

后=丸+)， (22.27)

где Hf ——гамильтониан взаимодействия, играющий роль возмущения. Сравнивая (22.25), (22.26) и (22.27), находим

"亠蠢向)+(原+鲁配(2228)

Это выражение можно немного упростить, если учесть

——А —А 1 У一 А ，А 1 У■ А •*"'■ А

в соответствии с (20.27), что рА (г) —4 (г) р = —th div 4 (г).

Воспользовавшись тем, что div%=0, получаем

月』--^立才)+二岷(22.29)

тс2/nc2

Отметим, что гамильтониан (22.29) ответствен за все процессы поглощения и испускания (спонтанного и индуцированного) фотонов электроном.

§ 23. ПЕРЕХОД К ИМПУЛЬСНОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ

Покажем, как можно перейти от координатного представления к импульсному, и приведем некоторые результаты в импульсном представлении.

Операторы импульса и координаты в импульсном представлении. Очевидно, что в импульсном представлении оператор импульса есть сам импульс:

(23.1)(23.1)%x=p£、方=方.

(23.1)

(23.1)

Поэтому сразу перейдем к рассмотрению х-координаты.

Пусть амплитуда состояния задается в координатном представлении функцией (р(х), а в импульсном —— функцией Ф(рх). Используя (17.33), запишем

К (%) х (%) ср (%) dx= J ①* (厶)х^р^ ①(厶)d“. (23.2)

Связь между функциями 屮(％) и Ф(рх) имеет, согласно (15.6), вид

屮(х) = J ① WJ 屮厶(％) dpx,(23・3)

где 2Px (%) —собственные функции оператора рх в координатном представлении. Используя (20.9), перепишем

выражение (23.3) в виде

? (х) = (2/)-"2 J ф(，J ехр(ipxx\K} dpx.(23.4)

Подставляя (23.4) в левую часть равенства (23.2), получаем

f，(%) хер (%) dx =

^ Щ ①* (心 е У*①(Pj ^PxXl^dpxdpxdx. (23.5)

Множитель хФ (рхехр (tpxx/ft), входящий в /подынтегральное выражение в (23.5), может быть представлен в виде

*①(厶)ехр (力//力)=一访-^- [Ф ехp (切//力)] +

+ 访-^ехр(5рс伍)・(23.6) dp*

Подставим (23.6) в (23.5) и рассмотрим интеграл по рх. При этом учтем, что

一访 j ^~~ 1ф ехР ^Px^lh)] dpx=

=一访①(4)ехр ("*х/%)I=。

[поскольку физически невозможно реализовать бесконечно большой импульс, то, следовательно, Ф(оо) =0 и Ф(——оо) =0]. Таким образом, в интеграле по рх должно сохраниться только второе слагаемое из правой части (23.6):/й -^-ехр«"*х/力).В результате равенство (23.5) dPx

примет вид

J 炉(％) xg (%) dx=J 炉(％) xg (%) dx=2лК2лКd© (Ar) dpxd© (Ar) dpxdp^ dpxdx.(23.7)dp^ dpxdx.(23.7)

J 炉(％) xg (%) dx=

J 炉(％) xg (%) dx=

2лК

2лК

d© (Ar) dpx

d© (Ar) dpx

dp^ dpxdx.

(23.7)

dp^ dpxdx.

(23.7)

Интегрирование no % в правой части этого равенства дает, согласно (15.17),

(2лй)~1 J ехр [/ (〃* — р；) x/力] dx = B (厶一/?；)•

Далее, используя свойство дельта-функции, выполняем интегрирование по р『：

J Ф* {Рх) (Рх — Рх) dpx = ^* (рх).

В итоге остается интеграл только по рх и равенство (23.7) принимает вид

J 屮* (%) хр (%) dx =『①* (厶)ih ^~ Ф (厶)dpx・ (23.8) Сравнивая правые части соотношений (23.8) и (23.2), находим выражение для оператора х-координаты в импульсном представлении:

(23.9)(23.9)?(…力/.

(23.9)

(23.9)

Обобщение на трехмерный случай даст

7(方)=访▽百 (23.10) где ▽——градиент в импульсном пространстве.

Унитарная инвариантность перестановочных соотношений. Применяя (23.1) и (23.9), легко убедиться, что коммутаторы операторов составляющих координаты и импульса будут в импульсном представлении точно такими же, какими они были получены в координатном представлении [речь идет о выражениях (20.24)—— (20.26)]. Это заключение может быть распространено также и на выражения (20.27) — (20.30). Иначе говоря, перестановочные соотношения не зависят от выбора представления, т. е. являются унитарными инвариантами. Это совершенно естественно, если вспомнить, что математический факт коммутирования операторов имеет определенный физический смысл, который, очевидно, не может измениться при переходе от одного представления к другому.

Уравнение Шредингера в импульсном представлении. Переходя к импульсному представлению, перепишем уравнение (20.11) в виде

"(Аг) % (Аг) = £Ре (Аг), (23.11) где хе(Рх) — собственные функции гамильтониана в импульсном представлении. Заметим, что величины £ в

точно такие же, как и в (20.11), поскольку спектр собственных значений эрмитовского оператора является унитарным инвариантом. Так как в импульсном представлении Рх~Рх и x=ih—— , то гамильтониан (20.12)

dPx

принимает теперь вид

"（公=今一"（访記・"（公=今一"（访記・(23.12)(23.12)

"（公=今一"（访記・

"（公=今一"（访記・

(23.12)

(23.12)

В результате вместо уравнения (20.13) получаем уравнение

(23.13)

Это есть не зависящее от времени уравнение Шредингера 8 импульсном представлении.

В качестве примера выпишем гамильтониан линейного гармонического осциллятора:

Н (Рх)= —Н (Рх)= —m<i^^2m<i^^2d2d2(23.14)(23.14)

Н (Рх)= —

Н (Рх)= —

m<i^^2

m<i^^2

d2

d2

(23.14)

(23.14)

Сравните это выражение с выражением (22.1), описывающим тот же самый гамильтониан, но в координатном представлении.

(23.15)(23.15)(23 •⑹(23 •⑹Импульсное представление позволяет весьма просто получить один уже хорошо известный читателю результат. Если микрообъект движется свободно, то уравнение (23.13) очевидным образом упрощается:

(23.15)

(23.15)

(23 •⑹

(23 •⑹

откуда немедленно следует, что Е=р£2m.

Результат (23.16) отмечался еще в § 1. Он означает, что свободно движущийся микрообъект имеет одновременно и определенную энергию, и определенный импульс, причем эти величины связаны друг с другом при помощи классического соотношения (23.16). В случае свободно движущегося микрообъекта стационарное состояние является также собственной функцией оператора импульса.

Подчеркнем, что это ни в коем случае не распространяется на связанные микрообъекты (см. в связи с этим приводимый ниже пример).

Вероятность значений импульса частицы в прямоугольной яме с бесконечно высокими «стенками». В § 21 рассматривалась в координатном представлении задача о движении частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими 《стенками》. Были найдены уровни энергии (21.8) и ортонормированные амплитуды стационарных состояний (21.9).

Ип(Рх) |2.Ип(Рх) |2.При переходе к импульсному представлению результат (21.8), очевидно, не изменится, а результат (21.9) изменится. Найдя амплитуды стационарных состояний в импульсном представлении, можно, в частности, определить вероятность значений импульса частицы, находящейся в м-м энергетическом состоянии. Обозначим эти амплитуды через тп(Рх); искомая вероятность есть

Ип(Рх) |2.

Ип(Рх) |2.

Амплитуды тп (рх) связаны с амплитудами стационарных состояний в координатном представлении [амплитудами фп(х)] суперпозиционным соотношением такого же типа, что и соотношение (23.3):

%(厶)=]4(*)心(厶)火%(厶)=]4(*)心(厶)火(23.17)(23.17)

%(厶)=]4(*)心(厶)火

%(厶)=]4(*)心(厶)火

(23.17)

(23.17)

где G/(pQ—собственные функции оператора х в импульсном представлении. Учитывая, что 冲J(pj =屮夕「(％), и используя (20.9), перепишем (23.17) в виде

Подставляя сюда (21.9) и выполняя интегрирование, приходим в конечном счете к следующему выражению для вероятности:

нечетное 忆,нечетное 忆,четное п.четное п.

нечетное 忆,

нечетное 忆,

четное п.

четное п.

Итак, строго показано, что стационарные состояния (уровни энергии) частицы в потенциальной яме не характеризуются определенным импульсом, а соответственно и

определенной длиной волны де Бройля. Напомним, что это обстоятельство качественно обсуждалось в § 5, где подчеркивалась неправомерность наглядного представления связанного микрообъекта в виде классической волны в некоем резонаторе.

«Схема» перехода от координатного представления к импульсному. Подводя итоги, можно указать следующую «схему» перехода от одного представления к другому:

«Схема» предполагает два способа перехода. Один способ: решается уравнение Шредингера с гамильтонианом Я(х) и отыскиваются амплитуды стационарных состояний в координатном представлении 屮九(％); затем с помощью суперпозиционного соотношения (23.17) совершается переход от амплитуд (рп(х) к амплитудам тп(рх). Именно такой способ был применен в рассмотренном выше примере. Возможен, однако, и другой способ： совершается переход от "(%) к Н(pQ и решается уравнение Шредингера в импульсном представлении (23.13). В этом случае отыскание амплитуд тп(Рх) сводится к решению уравнения (23.13).

§ 24. ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Квантовомеханическая задача об электроне в периодическом поле играет важную роль в теории твердого тела. Мы приходим к этой задаче, используя одноэлектронное приближение, обсуждавшееся в § 22.

Зонная структура энергетического спектра. Зоны Бриллюэна. Рассмотрим одномерный периодический по-

тенциал U(x), удовлетворяющий условию

U(x + 〃)= U(x).(24.1)

Перейдем к импульсному представлению, следуя второму способу в 《схеме》приводившейся в конце предыдущего параграфа. Это означает, что потенциал U(x) надо представить как оператор в импульсном представлении U (pQ. (Для упрощения записи будем писать ниже р вместо рх.)

Разложим периодическую функцию (24.1) в ряд ① урье:

U (%) = £ Un ехр (— »2л〃х/а)

и, переходя затем к импульсному представлению, запишем

О(°) = £^ехр (瞥訂.(24.2)

Далее покажем, что оператор ехр 仇-^) есть оператор конечного переноса в р-пространстве на величину p = pi. В самом деле,

т (，+ 仍)=，(")+〃i 罟(〃) + G〃： ~~7 (，)+ …=dp

=[1 0言+击龙券+…卜⑵=exp 3/)• тa- ким образом,

exp 但 許)=P(，+ %)•(24.3)

Из (24.2) и (24.3) следует, что

。⑺'(')=£ ^(^ + ^ 力(24.4)

Д = —ОО

Используя (24.4), запишем уравнение Шредингера (23.13) в виде

訝—Е卜(.)+ “£ и,, + 誉)=0.(24.5)

Фактически (24.5) есть однородная система линейных уравнений относительно функций t(p), t(p——2п力/а), t(p + 2jt%/〃) и т. д. Эта система состоит, вообще говоря, из бесконечного числа уравнений:

(р + 2лК/д)2,2加(р + 2лК/д)2,2加2施5 + 1))_02施5 + 1))_0⑶"卜⑵+ £%/+芈)=0,⑶"卜⑵+ £%/+芈)=0,(24.6)(24.6)(P — 2jth/@)22/n(P — 2jth/@)22/n

(р + 2лК/д)2

,2加

(р + 2лК/д)2

,2加

2施5 + 1))_0

2施5 + 1))_0

⑶"卜⑵+ £%/+芈)=0,

⑶"卜⑵+ £%/+芈)=0,

(24.6)

(24.6)

(P — 2jth/@)2

2/n

(P — 2jth/@)2

2/n

+£%—о.

Ненулевые решения однородной системы существуют лишь при условии равенства нулю ее определителя. Обозначим определитель через D(E, р) и запишем символически

(24・7)(24・7)0(2 ")=0.

(24・7)

(24・7)

Зафиксируем р (пусть p = °i) и выпишем корни уравнения (24.7): £\(Р1), £*2(Pi),七3(卩1), ••• Для другого значения р (пуСТЬ Р = °2)ПОЛУЧИМ НОВЫе КОрНИ：七1(卩2),七2(卩2), Ез(Р2), ... Выбирая различные значения р, приходим в итоге к семейству функций, определяемых уравнением (24.7):

七 1 (>),万2 ("),万з (〃)，•••，七“切,• • •(24.8)

Для каждого индекса / энергия является непрерывной функцией импульса. Полагая эти функции ограниченными, запишем для индекса /

石戸1《马5)《石界х.(24.9)

Неравенства (24.9) включают значения энергии микрообъекта, образующие /-ю энергетическую зону. Если ока-

жется, что

匸max / 匸

上 7-1 上 j，

то в этом случае между (/—1)-й и /-й энергетическими зонами существует область нереализуемых значений энергии. Ее обычно называют запрещенной зоной.

Таким образом, энергетический спектр электрона в периодическом поле должен состоять из ряда энергетических зон, некоторые из которых могут быть разделены запрещенными зонами. Внутри каждой энергетической зоны энергия изменяется непрерывно; она описывается некоторой непрерывной функцией Е；(р).

При замене p-^p + 2nhn/a система (24.6) переходит сама в себя. Отсюда следует, что

Е^^^^ = Е^р\(24.10)

Поскольку указанная выше замена ничего физически не изменяет, то говорят, что импульс р имеет физически различные значения в пределах области:

—冗力/a《р《冗力/а.(24.11)

Иными словами, р-пространство разбивается на участки протяженностью 2冗力/〃，и имеет смысл рассматривать р лишь в пределах одного отдельного участка. Указанные участки называют зонами Бриллюэна. В данном случае мы имеем дело с одномерными зонами Бриллюэна. В общем случае зоны Бриллюэна трехмерны; они имеют часто весьма сложную конфигурацию, отражающую специфику рассматриваемого периодического поля.

Зонная структура энергетического спектра характерна для электрона, движущегося в периодическом поле кристаллической решетки. Представления об энергетических зонах, а также о зонах Бриллюэна лежат в основе современной электронной теории твердых тел (см., например, [39, 40]).

Функции Блоха. Рассмотрим /-ю энергетическую зону. На рис. 24.1 изображена условной кривой зависимость Ej(p) для этой зоны. Вьрберем некоторое значение энергии Е° из указанной зоны и обозначим соответствующее значение импульса для движения направо через р°. Волновую функцию выбранного стационарного состояния будем обозначать через tj°(p). Легко видеть, что эта функция отлична от нуля только при p = pQ+ 十2冗11几/。[на рисунке видно, что только в этих точках кривая

Ej(p) пересекается прямой Е = Е°]. Поэтому функция т3°(р) может быть записана в виде

п/ 2лК/г \с

т沁)=2jQ(P^ 俨 +- 力(24.12)

Далее перейдем к координатному представлению по известному правилу (23.4):

吟(х) = (2nti厂I" J ¥(夕)exp(i〃x/h)a〃.

Подставляя сюда (24.12), получаем

吟(*) = (2jth厂 1/2e Q (00 + ?晉")exp p 卜0+ ^^)尤/h].

Вводя обозначение

(2nh厂 1/2? Q 卜。+ 警В ехр ,若三)=吗(％)，(24.13)

перепишем предыдущий результат в виде

吟(х) — йу (х) ехр {ip^xl^.

Явный вид функции Uj°(x) неизвестен [для этого надо было бы знать явный вид функции U(%)]. Однако из (24.13) видно, что функция 〃^。(尤)периодична с периодом поля

吗(％+ 〃) = 〃；(%).(24.14)

Таким образом, волновая функция стационарного состояния, задаваемого индексами / и р, имеет в координатном представле-

нии следующий вид [сравните с (22.24)]:

屮勿(х)= 〃勿(％) exp (“％/h).(24.15)

Это есть плоская волна [exp(ip%/ti)], амплитуда которой [UjP (х)] периодична с периодом поля. Функции (24.15) называются в литературе функциями Блоха.

Потенциал Кронига—Пенни. Рассмотрим движение частицы в поле, потенциал которого изображен на рис. 24.2 (так 'называемый потен-._.

циал Кронига—Пенни). ЭтоJ I / I2 | “

есть наиболее -простой слу- | I U/ | f х чай периодического потен- ■1

циала.「

На рис. 24.2 указаны три Рис. 24.2 проспр анственные области. Полагая сначала, что E>U。，запишем решения уравнения Шредингера (20.13): в области 7

% (%) = <1 exp (ik^ + 31 exp (— ikxx)\ 自=了2m(E-"o)他; в области 2

?2 W = ^2 eXP (绪2%) + 32eXp( —»々2*)；々2= У 2mЕ&

Решение в области 3 можно выразить через решение в области /, если воспользоваться полученными ранее результатами. Возьмем некую точку % из области 5. Согласно (24.15), можем записать

% (*) =辽(％) exp (切％伍).(24.16)

Выбранной точке соответствует симметричная точка %——I в области /. В точке х—I имеем

%(% — /) = 〃(％ — Z) exp [ip [х — /)/Й].

В соответствии с (24.14) перепишем это равенство в виде

+1 (% — %)=辽(％) exp [ip(x — l)lh].(24.17)

Из (24.16) и (24.17) находим ср3(х) ехр (—ipx/h)= =Ф1 (х——/) exp (——ipx/h) exp (，p〃九)，или окончательно

Фз (х) = exp (ipllh) [4 exp \ikx (% — /)] +

+ 3 exp {^ik^x-l}^. (24.18)

Используя （24.18） и выражения для q）i и <р2, запишем условия непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках, соответствующих скачку потенциала （в точках х = 0 и %=〃）. Эти условия образуют однородную систему линейных уравнений относительно коэффициентов 4, 8,才2, 当：

4 +当=4 +当、

/i exp （筑2a） + BI exp （- 2力2。）=

= exp （勿厶/力）［4 exp （—注 J?） + Bi exp （/自力）］,.

々14 -自吕=亀4一&纟2，

局［4 exp G&o）一片 2 exp （- 2々20）］=丿

= exp （ipllh） ［Xi exp （-"田）-鸟 exp （注我）］自.

Приравнивая нулю определитель системы, приходим к следующему уравнению （выкладки опущены）:

々2 +々2

COS （加/右） = COS （右2a） cos （自6） sin 伊2砌 sin （自6）.

2財々2

（24.19）

Поскольку косинус по модулю не превышает единицы, то получаем условие, накладываемое на величины k\ и 々2, а значит, и на Е:

諸+烤1

—1 < cos （々/） cos （々В）sin （左2。） sin （々16） <： 1.

2月1財

（24.20）

Это условие определяет разрешенные энергетические зоны.

Далее рассмотрим случай, когда E<UQ.

Теперь 々1 ——мнимая величина. Представим ^i = i^3, где^з=/2т（"о——Е）/力.Гак как при замене 瓦 на /з косинус и синус превращаются соответственно в гиперболический косинус и гиперболический синус ［cos （feib）~> ->ch （笈зЬ）; sin （財b）->ish （々з%）］, то можно воспользоваться результатом （24.19）, который в данном случае принимает вид

cos （W）=cos（^2。） ch （&6）+ ；/2 sin （近。）sh （匈6）.

（24.21）

Соответственно условие (24.20), определяющее энергетические зоны, преобразуется к виду

一 1《一 1《COS (々2。) ch (^)-4COS (々2。) ch (^)-4后一煬2的左3后一煬2的左3sin (局a) shsin (局a) sh(同CL(24.22)(同CL(24.22)

一 1《

一 1《

COS (々2。) ch (^)-4

COS (々2。) ch (^)-4

后一煬2的左3

后一煬2的左3

sin (局a) sh

sin (局a) sh

(同CL

(24.22)

(同CL

(24.22)

Рассмотрим частный случай, когда

力《а（а、/）;七《仇（24.23）

(барьеры высокие и узкие). Так как в данном случае величина b может стать сколь угодно малой, то можно потребовать, чтобы выполнялось также неравенство

bVZmUJh《1, или иначе 々3匕《1.(24.24)

Учитывая (24.24), положим ch (Eb) = l и sh (左3匕)4自匕 и, кроме того {согласно (24.23)],

(忌一硝/2々2鳥~鳥/2左2 ~ ~^~小а/匕

В итоге соотношение (24.21) принимает вид

cos (%/%) =尸(々2。)，(24.25)

где используется обозначение

尸(у) = cos у + (mU也 1局毋)sin у.(24.26)

Условие (24.22) преобразуется к виду

-1<F(M< 1.(24.27)

Функция 尸(々2〃)изображена на рис. 24.3. Участки оси 々2〃, для которых выполняется условие (24.27), на рисунке

Рис. 24.3Рис. 24.3

Рис. 24.3

Рис. 24.3

заштрихованы; этим участкам соответствуют разрешенные энергетические зоны (напомним, что & = )/2tnE]h). Используя (24.25) — (24.27), сделаем два замечания.

Первое: если а->оо (переход к свободному электрону), то cos (々2〃)->cos (ра/力)； это соответствует переходу к классическому соотношению (23.16) для энергии и импульса частицы. Второе: из рис. 24.3 видно, что разрывы энергии электрона происходят тогда, когда cos (ра/力)= = ±1, т. е. при pa/h = nn, где п ——целые числа. Согласно (24.11), это означает, что разрывы энергии имеют место на границе зоны Бриллюэна.

На рис. 24.4 показана определяемая соотношением (24.25) зависимость энергии электрона от импульса; хорошо видны упомянутые выше разрывы энергии (слева штриховкой показаны энергетические зоны). Для срав

нения дана пунктиром классическая зависимость энергии от импульса для свободного электрона: Е=р2/2т.

Образование энергетических зон как эффект снятия

перестановочного вырождения. Превращение энергетиче

ских уровней электрона в атоме в анер- гетические зоны электрона, «обоб- щественнопо» кристаллом, можно рассматривать как эффект снятая перестановочного вырождения.

Как отмечалось в § 22, энергия электрона в атоме в общем случае некулоновского потенциа

ла определяется

квантовыми числами п ^ I, в связи с чем можно говорить о ее 1вырожден1ии с кратностью 2(2/+1). Если предпо

ложить, что атом 1входит в состав некоего совершенно упорядоченного коллектива(из N одинаковых атомов и остается при этом изолированным от соседей, то кратность вырождения энерши электрона должна быть принята равной 2jV(2/ + 1). Множитель ^ связан с так называемым перестановочным вырождением: в упорядоченном коллективе нет ф|изически выделенных атомов, по-

этому энергия электрона не может за®исеть от того, вблизи какого именно из N атомов он локализуется. Однако в реальном коллективе (имеется в виду кристалл) атомы не изолированы ——они (взаимодействуют друг с другом. Это вза1И'МОдействие приводит к «обобществлению» электрона и частичному снятию вьпрождения его уровней: уровень с кратностью вырождения 2N(2Z+1) расщепляется в систему из N(2l+\) подуровней, каждый из которых остается двукратно вырожденным (по спиновому числу о). Таким образом, при «обобществлении» электрона кристаллом снимается пер ест ано вочное вырождение и вырождение по числу т.

Существенно, что система из 乂(2/十1) подуровней в действительности не дискретна, а образует полосу разрешенных значений энергии электрона. В самом деле, пусть ДЕ — энергетическая ширина указанной системы подуровней, а Де ——расстояние между соседними подуровнями: \&=AE/N(2l+l). Чтобы система подуровней была дискретной, необходимо, чтобы Де>й/т, где т — время жизни электрона в кристалле; иными словами, расстояние между подуровнями должно быть больше определяемой соотношением (3.2) неопределенности энергии подуровня. Это означает, что должно выполняться условие

И ②+DNIAEJ. (24.28)

Полагая jV(2/+ 1) ^ 1023, ДЕ^ 1 эВ, получаем, что т должно быть больше 10 с, т. е. больше 10 лет. Поскольку реальное время жизни «обобществленного» электрона в кристалле может быть только меньше, то, очевидно, условие (24.28) не выполняется. Это и позволяет рассматривать систему из ^(2/+1) подуровней как энергетическую зону. Разумеется, число состояний электрона в зоне остается конечным — зона может《вместить》 не более 2N(2/+1) электронов. В связи с этим говорят о степени заполнения зоны, о полностью заполненных зонах и т. п.

§ 25. ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

ционарного состояния в другое. Как найти вероятность такого перехода?

Начальное и конечное состояния микрообъекта описываются функц1иям1и типа (20.16), например начальное состояние 4fM(%, /) =(рп(х)ехр(——iEntlh), Через % здесь обозначена, краткости ради, совокупность пространственных координат. Функция 中九 удовлетворяет уравнению Шредингера (20.17):

ih-^Wn=HWn(25.1)

(будем называть его «невозмущенным» уравнением). Внешний фактор, обусловливающий квантовый переход микрообъекта, может иметь различную физическую природу. В частности, это может быть взаимодействие микрообъекта с электромагнитным излучением. В аппарате квантовой теории указанный фактор «выступает» как некий потенциал взаимодействия, который надо добавить к《невозмущенному》гамильтониану 戶.В § 22 ,в примере с взаимодействием электрона и (излучения подобная «добавка» к гамильтониану интерпретировалась как некое возмущение и обозначалась через Н. Будем пользоваться этим обозначением также и здесь. С учетом возмущения Н‘ перепишем уравнение Шредингера в виде

"当①〃=(" + "')Q%(25.2)

dt

Это уравнение называют 《возмущенным» уравнением. Его решения Фп уже не являются стационарными состояниями, так что индекс п не фиксирует здесь уровня энергии, а лишь указывает на предысторию: данное «возмущенное» состояние «произошло» из n-го «невозмущенного» состояния.

Существенно, что состояние Фп является суперпозиционным. Можно сказать, что возмущение Н‘ выступает в роли анализатора, который создает суперпозицию состояний:

①〃 (*,看)=¥^传)以(羽力(25.3)

Если в некий момент /《включить》соответствующий детектор, то суперпозиция (25.3) разрушится и микрообъ-

ект будет обнаружен в одном из стационарных состояний, например в состоянии 屮?九.Это 也 означает, что произошел квантовый переход микрообъекта из состояния 屮汽 в состояние Wjn- Как известно, вероятность такого перехода есть |xnm(0 I2.

Фактически все это уже знакомо читателю — приведенные только что замечания согласуются с замечаниями в § 10, сделанными по поводу соотношения (10.3), которое, по сути дела, эквивалентно соотношению (25.3).

Итак, вероятность перехода есть, как и следовало ожидать, квадрат модуля соответствующей амплитуды перехода:

^пт~ I Хпт (^) |2- (25.4)

Эта амплитуда является одним из коэффициентов в суперпозиции (25.3), которая представляет собой разложение «возмущенного» состояния ①九；по «.невозмущенным» состояниям.

Переход к энергетическому представлению. Чтобы найти вероятность wnm, надо, во-первых, решить урав- •нение (25.2), а во-вторых, найти коэффициенты разложения полученных решений по состояниям тапа (20.16). Такой путь соответствует, как легко видеть, первому способу в «схеме» перехода от одного представления к другому, рассмотренному в § 23. Более рационален, однако； иной путь ——путь, отвечающий второму способу в указанной 《схеме》. Ниже остановимся именно на этом пути.

Согласно (15.5), коэффициенты %九左 суперпозиции (25.3) могут рассматриваться как волновая функция, описывающая «возмущенное》состояние, но только не в координатном представлении (в координатном представлении это делает функция Фп), а в представлении набора тех физических величин, по отношению к которым функции Wk являются собственными функциями. Так как функции 屮冗 являются собственным诅 функциями гамильтониана, то назовем это представление энергетическим. Итак, следуя второму способу в 《схеме》из § 23, надо 《перевести》данное в координатном представлении «возмущенное» уравнение (25.2) в энергетическое представление. Тем самым будет получено новое уравнение — 《возмущенное》уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Решения этого уравнения и будут представлять собой искомые амплитуды переходов.

Выполняя намеченную программу, подставим (25.3) в (25.2) и учтем при этом (25.1). Получим

访»礬у£х〃#唄眇访»礬у£х〃#唄眇(25.5)(25.5)

访»礬у£х〃#唄眇

访»礬у£х〃#唄眇

(25.5)

(25.5)

Умножим обе части (25.5) слева на Тт* и проинтегрируем по пространственным координатам:

ihih厶左j屮丁分'⑶讨館尤厶左j屮丁分'⑶讨館尤

ih

ih

厶左j屮丁分'⑶讨館尤

厶左j屮丁分'⑶讨館尤

Учитывая о р то нор м иров а н но сть стационарных состояний, перепишем последнее выражение в виде

访 幣= ,Хз/迎汾叫d%・(25.6)

Далее представим:

j ^m^'Ф*kdx=exp(1^т1^ j ?詛飞曲х=

=exp(沁加露)<m I Я, I ^ >, (25.7) где

。^=8т — &)作(25.8)

С учетом (25.7) перепишем (25.6) в окончательном виде:

*Хпт= -泌 [ 件")\ h> exp (汲/)■

atit

'(25.9)

Итак, мы получили《возмущенное》уравнение Шредингера в энергетическом представлении. Фактически (25.9) есть не одно уравнение, а система уравнений. Подчеркнем, что система (25.9) удобнее, нежели уравнение (25.2), поскольку, решая эту систему, мы сразу определяем амплитуды переходов %Пт. Весьма существенно также, что в процессе решения системы (25.9) можно обычно пользоваться методом возмущений.

Применение метода возмущений к вычислению вероятностей переходов. Обычно возмущение достаточно мало, что позволяет решать систему (25.9) приближенно, применяя метод возмущений. Малость возмущения оз-

(25.10)(25.10)начает, что функция Фп может быть представлена в виде

(25.10)

(25.10)

где Лп — малая добавка к невозмущенной функции Wn. В соответствии с (25.10) представим:

X/zfe~ ^nk + X«V + ^nk + ^пк + . . •(25.11)

Легко видеть, что Л=2［八？ + X倒 + X像 + • • •］吗• Согласно (25.11), малая добавка Л разбивается в свою очередь на добавки разного порядка малости: %^имеют тот же порядок малости, что и возмущение, %，：)квадратичны по возмущению и т. д. Подставляя (25.11) в (25.9), получим

Хи^+~ Х«^+~ 臨 + … atatat

=-"^，(% + X* + 泼)+ …)< ①| 育1 々〉exp(2%筋)• ”(25.12)

Перепишем (25.12), сохранив члены только первого порядка малости по возмущению:

~ %傷=—~" <Zm \ Н' \ п^> ехр(Аот/). (25.13) dt几

Это есть приближенное выражение для амплитуд xnm, полученное в первом порядке метода возмущений.

Если окажется, что <т\Н/\п> =0, то надо использовать приближенное выражение для амплитуд во втором порядке метода возмущений. Оно получается <из (25.12) при сохранении членов второго порядка малости по возмущению:

Х^г= - 2 t £? <m\ Hf \ k> exp (W

(25.14) Аналогично, е третьем порядке метода возмущений полу чае?л

~ Х^= - ~V /Ал < m I I ^ > ехр (%)/) dt几

и т. д.(25.15)

9*259

Зная в том или ином порядке метода возмущений амплитуды переходов, можно получить в соответствующем приближении вероятности переходов. В первом приближении получаем,согласно (25.13),

"2(川2=

t2

± C <m\ Hr{t)\ n > exp (i^) dt .(25.16)

V J

Bq втором порядке метода возмущений получаем, исходя из (25.14),

/2

齋=壷? j 淵 ^<m\Hf (/)I ^ > exp(沁加J)dt

и т. д.(25.17)

Отметим, что результат (25.17) описывает интерференцию амплитуд. Результирующая амплитуда перехода является здесь суммой амплитуд переходов через различные промежуточные состояния. Невозможность обнаружения микрообъекта в том или ином промежуточном состоянии обусловливает неразличимость альтернатив и позволяет говорить о промежуточных состояниях как о виртуальных.

Дальнейшая программа действий предполагает подстановку в выражения типа (25.16) и (25.17) конкретных операторов 方'.В квантовой электронике, например, используют оператор (22.29). Рассмотрение подобных вопросов выходит, однако, за рамки данной книга; в связи с этим можно адресовать читателя, например, к [12, 41].

Фейнмановские диаграммы и вычисление вероятностей переходов. В заключение вернемся к рассматривав- -шимся в § 6 фейнмановским диаграммам (см. диаграммы на рис. 6.1, относящееся к рассеянию одного электрона на другом). Отметим, что все изображенные на рис. 6.1 диаграммы относились к одному и тому же квантовому переходу ——переходу двух электронов из определенных начальных в определенные конечные состояния. Строго говоря, каждый конкретный переход должен описываться бесконечным числом диаграмм — со все более возрастающим количеством вершин. В связи с этим напомним приводившуюся в § 6 фразу :«Чтобы рассчитать

вероятность рассеяния электрона на электроне, надо в принципе учесть вклад [в этот переход] различных процессов, опи1сы.ваемых различными диаграммами».

Возвращаясь здесь к фейнмановским диаграммам, подчеркнем, что теперь мы можем уточнить смысл приведенной выше фразы. Теперь мы можем разъяснить, что именно означает《учет вклада》разных диаграмм. Дело в том, что каждой диаграмме соответствует определенная амплитуда перехода; результирующая амплитуда есть сумма указанных амплитуд. Следовательно, для вычисления вероятности данного квантового перехода надо, во-первых, составить всевозможные фейнмановские диаграммы перехода и записать амплитуды, отвечающие разным диаграммам, а во-вторых, сложить все эти амплитуды и рассмотреть квадрат модуля суммы амплитуд.

Фраза в § 6:《к счастью, вклад различных процессов [различных диаграмм] неодинаков» ——означает, что на практике используют метод возмущений, позволяющий ограничиться пр'и составлении суммы амплитуд лишь первыми немногими членами. Отмечавшаяся в § 6 безразмерная вел!ичина (е2/йс) 〃" есть множитель, который в указанной выше сумме амплитуд содержит амплитуды, отвечающие диаграммам с п вершинами. Малость этой величины и обусловливает применимость метода возмущений в квантовой электродинамике.

Можно сказать, что квантовомеханическая идея интерференции амплитуд переходов в сочетании с методом возмущений составляет, с самой общей точки зрения, основу квантовой электродинамики как квантовой теорий.

§ 26. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ МИКРОСИСТЕМЫ ВО ВРЕМЕНИ

Заканчивая книгу, обсудим с достаточно общих позиций принципиально важный вопрос о способах описания эволюции микросистемы во времени. Развитый к настоящему времени аппарат квантовой механики использует три разных способа. Этим способам отвечают три разных формы записи уравнения движения в квантовой механике.

Ниже мы обсудим упомянутые способы. Обычно о них говорят как о трех разных представлениях, а имен-

но: представлении Шредингера, представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия (представлении Дирака). Терм,ин «предста1вление» используется пр'и этом в ином, более широком смысле, нежели в предыдущих параграфах данной книги. Можно говорить о координатном представлении Шредингера или импульсном представлении Шредингера. Выше мы ограничивались представлением Шредингера, но учитывали разные представления, понимаемые в более узком смысле,——координатное, импульсное, энергетическое. Теперь же мы обсудим 'представления Шредингера, Гейзенберга и Дирака, ограничиваясь ,из 《прежних представлений» координатным.

Представление Шредингера. В это,м представлении эволюция микросистемы во времени описывается как эволюция амплитуд состояний данной М1икросистемь>1：

屮(%,%)=。俏绵屮(%, 20).(26.1)

Оператор U(f,力)удовлетворяет условиям:

0(h公=1,(26.2)

00+=0+0=1.(26、3)

Условие (26.2) очевидно. Условие унитарности (26.3) есть прямое следствие независимости нормировки амплитуды состояния от выбора момента времени:

J 屮*(%，%)屮(%，力 7%=j屮*(%,绵小(%, fjdx.

Квантовомеханическое уравнение движения имеет в представлении Шредингера вид (отвечающий уравнен：ию Шредингера)

(26・4)(26・4)访，屮(х, f) = H (х)ф(х, £), dt

(26・4)

(26・4)

где оператор Н от времени не зависит. Используя (26.4) л (26.2), легко найти вид оператора U(f,力)：

° (Л 力)=exp [ — ^ « —友)后•(26.5)

Здесь экспоненту следует понимать в смысле разложения в степенной ряд.

Представление Гейзенберга. В этом представлении эволюция микросистемы во времени описывается как

эволюция эрмитовских операторов, описывающих данную микросистему. При этом амплитуды состояний предполагаются не зависящими от времени:

中(*, /)=中(*,幻.(26.6)

Переход от амплитуд в представлении Шредингера к амплитудам в представлении Гейзенберга осуществляется, как это следует из (26.1), при помощи олератора 0+(力 М：

屮(％, /) = 0+(/,绵屮(％, /0).(26.7)

Действительно, подставляя (26.1) в (26.7), получаем

屮(％, /)=0+0屮(％, %о)=屮(％, /0)=

—U (/q, /q) Ср(X,看0)=中(％, %о)

Пусть L(x) — оператор некоторой физической величины в представлении Шредингера. Согласно (17.32) и (26.7), этот оператор в представлении Гейзенберга будет иметь вид

(26.8)(26.8)2(х, t)=U+ (/,幻 £(%)0(/, /о).

(26.8)

(26.8)

Подставляя (26.5) в (26.8), находим

£ (%, /) = ехр [专(/ — /0)后(%)] £ (%) X

• (26.9)• (26.9)

• (26.9)

• (26.9)

Дифференциру я (26.9) по времени, получаем

访 导 £ (х, /) = ехр [卡(/ — /0)片(%)] £ (%)后(%) X

X exp [ 一 *"幻 H (*)卜 exp [± " 州 H (%)] X

X 2(%)£(%)exp[ — ^(/ — 8o) /?⑴],(26.10)

что можно переписать в виде

th * £(%, /)=0 +£(%)/?(%)。一О+н(%)£(%)。

(26.11)

или с учетом (26.3) в виде

访包 t^U^L^UU^H^U- dt，

-Q+H (%) UU^L^x) и. (26.12)

Используя (26.8) как в отношении оператора L(x), так и в отношении оператора "(%), получаем отсюда кван- товомеханическое уравнение движения в представлении Гейзенберга [сравните с (19.10)]:

访—Л(х, £) = [£(%, £),疔(％, /)].(26.13)

dt

Сопоставление представлений Шредингера и Гейзенберга. Заметим, что в момент /0 имеем (р(х,力о)= =р(х, /о) « L(x,力)=厶(％), т. е. совпадают как амплитуды состояний в обоих представлениях, так и операторы в обоих представлениях. Однако в последующие моменты времени обнаруживаются две разные ситуации: в представлении Шредингера .изменяется амплитуда состояния, а оператор остается таким же, каким он был в момент /о； в представлении Гейзенберга, напротив, изменяется оператор, а амплитуда состояния остается такой же, какой она была в момент 力.Как говорят, в представлении Шредингера зависимость от времени перенесена на амплитуды состояний, а в представлении Гейзенберга——на операторы.

Для практических расчетов обычно удобнее представление Шредингера. Однако представление Гейзенберга имеет то преимущество, что оно позволяет выявить математическую аналогию квантовой механики и классической механики. Именно в представлении Гейзенберга квантовомеханические соотношения имеют вид классических соотношений, в которых физические величины заменены операторами (напомним в связи с этим последний пункт в § 20).

Шредингер, вводя в 1926 г. представление, носящее теперь его имя, рассматривал зависящие от времени амплитуды состояний как амплитуды неких волн и положил тем самым начало направлению, получившему название «волновая механика》. Годом раньше Гейзенберг предложил свой способ описания эволюции микросистем во времени; при этом уравнение (26.13) было первоначаль-

но введено в матричном виде. Тем самым было положено начало направлению, получившему название «матричная механика». Различие между обоими указанными направлениями сводится к описанному выше различию между представлениями Шредингера и Гейзенберга, т. е. имеет сугубо формальный, аппаратный характер.

Представление взаимодействия (представлёние Дирака). Предположим, что гамильтониан микросистемы распадается на два слагаемых, из которых одно (〃о) представляет собой собственно гамильтониан микросистемы, а другое (方i) описывает взаимодействие исходной микросистемы с внешними полями или другими системами (иначе говоря, «отвечает» за эффект возмущения исходной микросистемы):

(26.14)(26.14)/7(%, /) = Я0(х) + Я1(х, %).

(26.14)

(26.14)

В этом случае удобно пользоваться представлением взаимодействия, введенным Дираком.

Амплитуда состояния в представлении взаимодействия ^(^ t) выражается через амплитуду состояния в представлении Шредингера 冲(％, /) следующим образом:

讨(%, /) = ехр [专 Яо (*) G-矶屮(%,力 (26.15)

В соответствии с (17.32) находим отсюда в<ид оператора Ев(尤，t) в представлении взаимодействия:

Хехр[ —^(f_绵/(«г)]. (26.16)Хехр[ —^(f_绵/(«г)]. (26.16)?в (%，%) = ехр ^ & — /о)瓦(%)] £ (%) X

Хехр[ —^(f_绵/(«г)]. (26.16)

Хехр[ —^(f_绵/(«г)]. (26.16)

Подчеркнем, что^в (26.15) и (26.16) используется не весь гамильтониан 〃(х, /), а лишь его «невозмущенное» слагаемое //о(х).

Продифференцируем (26.15) по времени:

访 ^У（х, /）=—凡（％）审（％, /）+

Поскольку

访 2屮(%, %)=[几(%)+后1(%,川屮(%, 力),

то последний результат принимает вид

访导屮(爲 /) = exp[j(h- /0) H 0 (х) j Н! (х, /) ф (х, /)= =ехр [£(/ — /о) "о (%)] %ехр[— ^~ (/ — /0) /У。(*)] X

X 屮(％, t^H^ (х, /) Ф (х, /). (26.17)

Собирая полученные результаты, запишем квантовомеханические уравнения двлжения в представлении взаимодействия:

ih^LB{x, /)=[原(爲 /),凡(乂 /)],(26.18)

ih—^ (%, /) = #『 (％, /) Ф (x, f)(26.19)

[заметим, что (26.18) получается в результате дифференцирования по времени выражения (26.16)].

Итак, в представлении взаимодействия зависимость от времени амплитуды состоя,ння определяется гамильтонианом взаимодействия (возмущения) HF, тогда как завис им ость от времени оператора определяется 《невозму- щенннм》 гамильтонианом 〃о. В этом смысле (представление взаимодействия отвечает картине, промежуточной между представлениями Шредингера ,и Гейзенберга.

Еще раз о векторной аналогии. Векторная аналогия позволяет весьма наглядно сопоставить все три рассмотренные выше представления. Соотнесем(си(стем1е базисных состояний мпкрообъекта систему взаимно ортогональных базисных векторов в некотором условном пространстве. Все операторы будем рассматривать в матричном виде, который определяется системой базисных векторов. Состояния микрообъекта описываются векторами, рассматриваемыми в системе координат, определяемой базисными векторами. Итак, есть система базисных векторов и рассматриваемая относительно нее совокупность векторов-состояний.

Теперь обратимся к различным представлениям. В представлении Шредингера эволюция микрообъекта во времени предполагает поворот вектора-состояния от- |Н|О1Сительно неподвижной системы базисных векторов. В представлении Гейзенберга эволюция микрообъекта во времени предполагает, напротив, поворот системы базисных векторов относительно неподвижного вектора-состояния. Наконец, в представлении взаимодействия предполагается как поворот системы базисных векторов, так и поворот вектора-со1стояния. При этом поворот вектора- состояния обусловлен исключительно взаимодействием микрообъекта с внешними нолями (возмущением) и (имеет тем самым динамическую природу. Поворот же системы базисных векторов не связан с внешними факторами и имеет кинематическую природу.

Одно дополнительное замечание. Рассмотренные выше способы описания эволюции микросистем во времени основаны ла использовании квантовомеханического уравнения движения. Они предполагают непрерывную эволюцию во времени либо амплитуд состояний, либо определенных эрмитовских операторов, либо одно1Вре- менно и амплитуд состояний и операторов. Однако существуют также качественно иные процессы. Так, производимое детектором разрушение 'суперпозиции состояний в измерительном акте приводит, как известно, к скачкообразному изменению амплитуды состояния. Очевидню, что это 1изменен*ие амплитуды яе следует какому-либо уравнению движения и поддается лишь вероятностному предсказанию.

В связи с этим различают два типа процессов в квантовой механике: процессы, связанные с непрерыв1ным 【изменением амплитуды состояния в соответств'ии с уравнением движения, и .процессы, связанные со скачкообразным, не предсказуемым однозначно изменением амплитуды состояния в измерительном акте. В существующем аппарате квантовой механики отражены прежде всего (и главным образом) процессы первого типа. Заметное повышение в (последнее время интереса к квантовомеханической проблеме измерения предполагает развертывание серьезных 'исследований процессов второго типа (IB связи с этим см. замечания о проблеме измерения в квантовой механике в [42]).

Распространено убеждение в том, что вероятностная трактовка квантовой механики исчерпывается введением

амплитуды вероятности, поскольку для последней справедливы однозначные предсказания, основанные на решении уравнения Шредингера. Такое убеждение, как легко видеть, связано с тем, что не принимаются во внимание отмеченные выше процессы второго типа. Без сомнения, эти процессы углубляют, усложняют вероятностный аспект квантовой механики, так как указывают на необходимо1сть рассмотрения своеобразной 《вторичной вероятности» ——вероятности реализации амплитуды вероятности.

Следует признать, что теория квантовомеханических измерений еще весьма далека от своего завершения; процессы второго типа все еще не получили должного отражения в аппарате квантовой механики. Это означает, что современная квантовая механика, несмотря на свою строгость и безусловную математическую красоту, «скрывает» в себе нерешенные проблемы, предопределяющие дальнейшее ее развитие как физической теории.

К ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ и СТАНОВЛЕНИЯ

КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (НЕБОЛЬШАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА)

《Твой ум уклончивый ведет тебя 6 обход, Ища проторенных тропинок, Но ты вступи с ним в поединок: Дать радость может только взлет.

Что виделось вчера как цель глазам твоим. Для завтрашнего дня ——оковы;

Мысль ——только пища мыслей новых, Но голод их неутолим.»

Э. Верхарн

《Кризис физики». XIX век оказался веком бурного развития физических наук. Достаточно отметить достижения в области электричества и магнетизма, которые привели к теории электромагнитного поля Максвелла и позволили включить оптику в рамки электромагнитных явлений; значительный прогресс в развит™ классической механики, которая достигла особой стройности к закон- ченно>ст1и благодаря ряду блестящих математических работ; разработку ряда универсальных физических принципов, среди которых на первом месте стоит закон сохранения и превращения энергии. Неудивительно, что к концу XIX в. сложилось общее убеждение в том, что описание законов природы близко к окончательному завершению. Показательно в этом отношении известное высказывание Планка: ^Когда 兄 начал свои физические занятия (1880 год) и спросил у своего почтенного учителя Филиппа Жолли совета об условиях и перспективах моих занятий, он представил мне физику как высокоразвитую, почти созревшую науку, которая должна скоро принять свою окончательную устойчивою форму после того, как она s известном смысле увенчана открытием принципа сохранения энергии. Конечно, 6 том или ином уголке можно еще заметить или удалить пылинку или пузырек, но система как целое стоит довольно прочно, 〃 теоретическая физика заметно приближается к той степени совершенства, какою уже столетия обладает геометрия».

В августе 1900 г. великий математик Гильберт выдвинул на Втором Международном конгрессе математиков свои знаменитые 23 проблемы. Одной из этих проблем (шестая проблема) была проблема аксиоматизации ф:из1ики. Гильберт предложил сформулировать конечное дизю исходных аксиом, из которых чисто логическим путем можно было бы вывести все следствия, достаточные для полного описания физической картины мира. Сам факт постановки такой про-блемы как нельзя лучше говорил об убежденности ученых того времени, в близости окончательного завершения физической науки.

Дальнейшие события очень скоро развеяли подобные иллюзии. На рубеже XIX и XX вв. был сделан ряд фундаментальных открытий, которые никак не укладывались в рамки существовавших физических теорий. Перечень таких открытий оказался достаточно богатым: рентгеновские лучи, зависимость массы электрона от скорости, непонятные закономерности фотоэффекта, радио- aKTHiBHocTb и др. Казалось, природа решила «посмеяться» над с а моувер енностью людей, вообразивших, будто они уже постигли все ее тайны.

Такой неожиданный поворот (событий заставил целый ряд физиков и философов говорить о крушении прежних основ, о непознаваемости материи, об отсутствии объективных законов природы, об «исчезновении массы» и т.(П. На смену прежнему единодушию пришли острые разногласия, лричем не в частностях, а в основных, руководящих идеях.

В книге «Материа.л1изм и эмпириокритицизм», вышедшей в свет в 1908 г., В. И. Ленин -назвал этот период в развитии физики периодом《кризиса физики», суть которого《состоит в ломке старых законов и основных принципов, в отбрасывании объективной реальности вне сознания, т. е. в замене материализма идеализмом и агностицизмом. 《Материя исчезла» ——так можно выразить основное и типичное по отношению ко многим частным вопросам затруднение, создавшее этот кризис» (<см. ,[43], с. 241). Анализируя причины, которые привели к кризису, В. И. Ленин писал:《Нова兄 физика свихнулась в идеализм, главным образом, именно потому, что физики не знали диалектики...» (там же, с. 245). Отстаивая диалектическую точку зрения, В. И. Ленин подчеркивал: ^Материя исчезает» — это значит исчезает тот предел, до которого мы знали материю до сих пор, наше знание идет

глубже...» . (там же, с. 243). В. И. Ленин указывал, что пер|иод кризиса завершится новым скачком в развитии физики, причем дальнейшее ее развитие будет идти по пути материалистической диалектики. Он писал: ^Современная физика лежит в родах. Она рожает диалектический материализм. Роды болезненные» (там же, с. 295).

Оглядываясь назад, мы можем теперь сказать, что эти《роды》завершились, в частности, появлением на свет квантовой механики. Как и предвидел Ленин, в результате лреодоления 《кризиса физики» наше знание материи пошло глубже, потребовало решительного поворота от метаф|иЗ|Ического мышления к диалектическому. И наиболее ярко это вырази лось в квантовомеханических представлениях. С 'полным основанием мы связываем с квантовой механикой качественный скачок в процессе познания человеком законов .пр'ироды (см. § 16 'книпи).

Рассматривая историю начального периода ква(нто- вой механики, можно с достаточной определенностью выделить три этапа. Первый этап: конец XIX в. — 1912 г. (первые эксперименты и первые попытки их объяснения). Второй этап: 1913——1922 rr. (квантовая теория Бора). Третий этап: 1923——1927 гг. (становление квантовой механики) .Ниже остановимся на этих этапах подробнее.

Первые эксперименты и первые попытки их объяснения (конец XIX 6. — 1912 г.). Основу квантовой механики заложили экспериментальные работы, выполненные в конце XIX — начале XX вв. в нескольких рааных, не связанных в то время друг с другом областях физики: атомной 'спектроскопии, исследованиях излучения абсолютно qepHoro тела, .исследованиях фотоэффекта, физике твердого тела, исследованиях строения атома.

К концу XIX в. был накоплен богатый экспериментальный материал по спектрам излучения атомов. Как оказало|сь, спектры атомов представляют собой упорядоченные наборы дискретных линий (серии). В 1885 г. Бальмер открыл названную впоследствии его именем Сербию линий атомарного водорода, описываемую достаточно простой формулой. В 1889 г. Ридберг нашел серию линий для таллия и ртути. Серьезные исследования спектров различных атомов выполнили в этот период Кайзер и Рунге, применившие метод фо то гр афирова н:и я. В 1904 г. Лайман открыл серию пиний водорода, попадающую в ультрафиолетовую часть спектра, а в 1909 г. Пашен нашел серию водорода в инфракрасной части

спектра. Примечательно, что серии Лаймана и Пашена описывались формулой, очень похожей на установленную ранее формулу Бальмера. Подметив закономерности в разных сериях атома, Ритц сформулировал <в 1908 г. свой знаменитый комбинационный принцип (см. § 2 книги). Однако (Вплоть до 1913 г. этот 'принцип не имел объяснения; природа спектральных линий оставалась непонятой.

Исследуя излучение абсолютно черного тела, В,ин в 1896 г. вывел формулу, хорошо описывающую экспериментальные результаты при .высоких частотах излучения (закон Вина). Однако эта формула была непригодна для малых частот. В 1900 г. Рэлей предложил формулу, хорошо согласующуюся с опытом при малых частотах (закон Рэлея ——Джинса) ? но приводящую к абсурдному результату при переходе к высоким ча'стотам (эта ситуация известна как《ультрафиолетовая катастрофа»). В том же году Люммер и Принсгейм выполнили обстоятельные экспериментальные исследования в широкой области частот. Для объяснения данных, полученных Люм- мером и Принсгеймом, Планк предложил свою знаменитую эмпирическую формулу, переходящую в формулы Вина и Рэлея ——Джинса в соответствующих предельных случаях.

В предложенную Планком формулу входила некая постоянная, которую он назвал элементарным квантом действия (речь идет о постоянной Планка 力).Как полагал Планк (см. [44], с 145),《〃％〃 квант действия был фиктивной величиной, и тогда весь вывод закона излучения был принципиально иллюзорным и представлял просто лишенную содержания игру е формулы, или же при выводе этого закона в основу была положена правильная физическая мысль, и тогда квант действия должен был играть в физике фундаментальную роль, тогда появление его возвещало нечто совершенно новое, дотоле неслыханное, что, казалось, требовало преобразования самых основ нашего физического мышления, покоившегося, со времен обоснования анализа бесконечных малых Ньютоном и Лейбницем, на предположении о непрерывности всех причинных связей». Размышляя над своей формулой, Планк пришел к гениальному выводу: надо допустить, что каждый атом-излучатель в теле может излучать энергию только прерывно, порциями (квантами), причем энергия отдельного кванта равна 力з. Так

появилась историческая работа Планка «Теория закона распределения энергии .нормального спектра》, представленная в Берлинскую Академию наук 14 декабря 1900 г. В определенном смысле этот день может быть назван днем рождения кванто&ой механики.

Открытие Планка вступало в резкое противоречие с классической теорией. Надо признать, что это обстоятельство немало беспокоило прежде всего самого Планка. Пытаясь примирить свое открытие с классическими представлениями, он выдвинул своеобразную гибридную концепцию, с которой выступил в 1911 г. Согласно этой концепции, дискретен лишь процесс испускания излучения, тогда как распространение и поглощение излучения происходят непрерывно.

Г|ибридная гипотеза Планка не получила признания. Еще ранее, в 1905 г. Эйнштейн дал блестящее объяснение всех известных в то время закономерностей фотоэффекта, исходя из предположения, что свет не только испускается, (но и поглощается порциями. Позднее (1917 г.) Эйнштейн пришел к заключению, что квант света имеет не только определенную энергию, но и определенный импульс, равный 力з/с.

В 1907 г. Эйнштейн успешно применил идею квантования к решению одной >из важных проблем фиаики твердого тела, волновавшей ученых в течение м.ногих лет. Уже в XIX ,в. физики столкнулись с нарушением классического закона Дюлонга .и Пти: было обнаружено, что теплоемкость твердых тел вовсе не постоянна, но уменьшается при достаточном понижении температуры. Укажем в качестве примера опыты Вебера (1875 г.) по обнаружению температурной зависимости теплоемкости в боре, углероде, кремнии. Факт температурной зависимости темплоемкости твердых тел не находил объяснения в рамках классической теории. И вот в 1907 г. появилась работа Эйнштейна «Теория излучения Планка и теория удельной теплоемкости». Применив идею Планка о квантовании энергии к колебаниям атомов в кристалле, Эйнштейн ;вывел формулу, которая в полном 1согласи|и с опытом описывала температурную зависимость теплоемкости твердых тел. Эта работа Эйнштейна положила начало современной теории теплоемкости твердого тела.

Наконец, надо отметить исследования строения атома, начало которых можно отнести к 1901 г., когда Томсон предложил модель атома в в'иде равномерно поло-

жительно заряженной сферы с одним электроном в центре. Позднее Томсон пришел к выводу, что число электронов в атоме должно быть ,пр о по р цион а ль,но атомному весу и что устойчивость атома невозможна без вращательного движения электронов.

В 1908 г. Гейгер и Марсден начали изучать рассеяние а-частиц при прохожден1ии сквозь тонкие пленки разных металлов, бди обнаружили, что большинство а-ча|стиц проходит сквозь >пленку, не рассеиваясь, тогда как некоторые а-частицы, примерно одна на десять тысяч, резко отклоняются (на угол больше 90°). В 1911 г. Резерфорд пришел к убеждению, что наблюдавшееся изредка резкое отклонение а-частицы происходит в результате не мнюглх, а одного акта столкновения с атомом и, следовательно, в центре атома должно находиться положительно заряженное малое ядро, заключающее в себе почти всю массу атома. Это был решающий шаг в создании планетарной модели атома, которую Резерфорд окончательно сформулировал к 1913 г.

Итак, ib период с конца XIX в. и до 1913 г. происходило накопление важных экспериментальных фактов, не находивших объяснения в (рамках существовавшей теории: открытие упорядоченных серий в спектрах атомов; открытие квантования энергии в исследованиях излучения абсолютно черного тела, а также фотоэффекта и теплоемкости твердых тел; создание планетарной модели атома. Однако до 1913 г. все эти открытия рассматривались порознь. Понадобился гений Бора, чтобы осмыслить единую природу указанных фактов и создать на этой основе достаточно стройную квантовую теорию атома.

Квантовая теория Бора (1913—1922 гг.). В 1913 г. появилась знаменитая работа Бора 《О строении атомов и молекул》,в которой была рассмотрена теория планета р：ной модели атома ®о дор ода, опирающаяся на идею квантования (квантовались энергия в момент импулыса электрона в атоме). Решительно порывая с принятыми представлениями, теории я Бора отрицала .непосредственную связь частоты излучения, испускаемого атомом, с частотой обращения электрона в атоме. Познакомившись с этой теорией, Эйнштейн, как (известно, заметил:《〃。 в таком случае частота света совершенно не зависит от частоты электрона! Это же колоссальное открытие!» Действительно, правило частот, предложенное Бором,

давало убедительное объяснение комбинационному прин- щшу Ритца и позволяло рассчитать тюстоянную Ридберга. Позднее (1949 г.) Эйнштейн писал о теории Бора (см. [45], с 148):《Мне всегда казалось чудом, что этой колеблющейся и полной противоречий основы оказалось достаточно, чтобы позволить Бору — человеку с гениальной интуицией и тонким чутьем — найти главнейшие законы спектральных линий и электронных оболочек ато- мое, включая их значение для химии. Это кажется мне чудом и теперь. Это ——наивысшая музыкальность 6 области мысли».

В 1914 г. были выполнены опыты, давшие прямое экспериментальное подтверждение того, что атом может ‘изменять энергию только определенными порциями. Речь “идет об известных опытах Франка〔и Герца, в которых измерялась анергия электронов, затрачиваемая на (возбуждение атомов ртути.

В 1915——1916 гг. Зоммерфельд развил теорию Бора. Он, в ча|ст.ности, обобщил метод квантования на случай систем, имеющих больше одной степени свободы, перейдя от круговых орбит к эллиптическим; рассмотрел прецессию эллиптической орбиты в [собственной плоскости. В 1916 г. Дебай и Зоммерфельд пришли к выводу о кв антов ан ни ео|Ставляющей момента в направлении магнитно го поля. Тем самым в ф>изику вошло предста；влен1ие о пространственном квантовании, блестяще подтвержденное .позднее (1921 г.) опытами Штерна и Герлаха по расщеплению атомных пучков в неоднородных магнитных полях.

Продолжая работать в области квантовой теории атомов, Бор сформулировал)в 1918 г. (в статье《К квантовой природе линейчатых спектров») знаменитый принцип соответствия, 1исп.ользовав1ший|ся им фактически уже с 1913 г. Согласно этому принципу, законы квантовой физики должны переходить в законы классической физики при больших значениях квантовых чисел системы, т. е. когда относительная 1вел1ичина кванта действия ста- нов>и1ся пренебрежимо малой. Отсюда следует, что классическая ф,из1ика имеет принципиально важное значение в открытии законов квантовой механики.

Период с 1913 г. до начала 20-х годов вошел в историю как шериод создания и развития квантовой теор'ии Вора. Достижения этой теории)несомне,н,ны; она явилась важнейшим этапом в истории создания квантовой меха-

ники. Однако по мере развития теории Бора все сильнее стали выявляться внутренние противоречия теории, во многом связанные с противоречиями самой идеи квантования, идеи «квантовых скачков» (см. § 2 книги). Теория все более и более обнаруживала кризисное состояние. Дальнейшее развитие квантовой механики требовало преодоления этого кризиса, привлечения новых идей. Как уже отмечалось в § 2, разрешение противоречий было достигнуто в результате обращения ,к идее корпускуляр- но-1волнового дуализма. Устранив противоречия «старой квантовой теории», ,идея дуализма ознаменовала начало этапа подлинного становления квантовой механики как фиаической теории, увенчавшегося созданием ее аппарата и, как следствие, успешным решением целого ряда задач атомной физики и физики атомного ядра.

Становление квантовой механики (1923—1927 纪). В 1923 г. Ком)пто.н обнаружил названный впоследств(и.и его именем эффект уменьшения длины волны рентге- HioiBCKoro излучения при (рассеянии в веществе. Этот эффект наглядно продемонстрировал наличие у излучения не только волновых, но также и корпускулярных свойств. Кванты света как элементарные частицы окончательно вошли в физику, получив название фотонов.

В 1923——1924 гг. де Бройль в своей докторской диссертации 《Исследования по теории квантов》предложил распространить идею корпускулярно-волнового дуализма на все микрообъекты, связывая с каждым млкрообъ- ектом как корпускулярные, так и волновые характеристики (см. § 2 КН1ИГИ). Позднее (1927 г.) идея дуалмзма получила особенно убедительное подтверждение в опытах по дифракции электроню®, выполненных одновременно в нескольких различных лабораториях. В 1925 г. де Бройль ввел .понятие о《волнах материм》, описываемых так |Называемой волновой функцией.

Соединение идеи квантовая с идеей корпускулярноволнового дуализма оказалось необычайно плодотворным для развития квантовой механики. В течение 1925— 1926 гг. был фактически создан аппарат квантовой механики. Первый шаг сделал .в 1925 г. Гейзенберг. Он предло- Ж|И.л представлять каждую квантованную динамическую переменную в виде некоторой матрицы, диагональные элементы которой суть наблюдаемые в опыте значе- н|ия этой переменной (читатель знаком с таким подходом на примере гамильтоновой, или энергетической, матри-

Цы, подробно обсуждавшейся в книге). Соотношение между матрицами Гейзенберг, опираясь на принцип соответствия, брал в форме «известных классических соотношений для соответствующих переменных, учитывая ирм этом, однако, возможность некоммутативности произведения используемых матриц. В 1926 г. в работе《О квантовании как задаче q собственных значениях» Шредингер, используя волновые представления, предложил свое знаменитое дифференциальное уравнение для волновой функции (иавестное теперь как уравнение Шредингера). Проблему .вычисления энергетических уровней связанного ми^рообъекта Шредингер сводил к проблеме нахождения собственных значений.

В первое время после появления работы Шредингера казалось, что теперь имеются две независимых теории —— волновая механика Шредингера и матричная механика Гейзенберга. Однако уже в 1926 г. Шредингер показал, что обе эти теории фактически эквивалентны и представляют собой лишь две разяые формы рассмотрения одной и той же сущности.

Следует отметить, что волновой формализм теории Шредингера был воспринят наиболее охотно, поскольку он давал возможность решать задачи квантовой механики при помощи хорошо разработанных методов математической физики. Интересно высказывание Планка об уравнении Шредингера [46]: «Что придает этому дифференциальному уравнению его основополагающее значение, так это меньше всего способ его вывода, а также вовсе не его физическая интерпретация, 6 деталях еще не вполне ясная, но прежде всего то обстоятельство, что благодаря введению квантового закона s известную схему обычного дифференциального уравнения создается совсем новая методика, позволяющая с помощью математики преодолевать трудную квантовотеоретическую проблему. Это первый случай, когда квант действия, который до сих пор не поддавался никаким попыткам подойти к нему с точки зрения физики непрерывного^ удалось вклю.- нить в дифференциальные уравнения».

Если формализм теории Шредингера сразу же был признан, то вопросы интерпретавди волновой механики, выяснения физического содержания понятия «волновая функция» стали на долгие годы предметом горячих дискуссий. В 1926 г. Борн выдвинул вероятностную интерпретацию волновой функции; «волны материи》уступили

место《волнам вероятности》. Невозможность толкования волновой функции как амплитуды некоторого материального поля (подобного электромагнитному или гравитационному) была вполне осознана уже ,в те годы. Говоря о природе волновой функции, Планк писал ib 1928 г. (в отмечавшейся выше работе [46]): «То, что эта величина не может быть представлена наглядно 6 обычном смысле, но имеет только непрямое, символическое значение, следует уже из того, что волны движутся вообще вовсе не 6 обычном трехмерном, а 6 так называемом конфигурационном пространстве, размерность которого 。九* ределяется числом степеней свободы рассматриваемой системы». Это означало, что дебройлевские волны нельзя Интерпретировать как .некие классические волны.

Следующий важный шаг в развитии квантовой механики, в раскрытии ее физико-философского содержания был сделан в 1927 г., когда Гейзенберг ввел в теорию свои знаменитые соотношения неопределенностей, показав тем самым, как надо пользоваться понятиям% энергии, импульса, координаты и т. п. в применении к микрообъектам (см. § 3 книги). С появлением соотношений ,н еопреде лен ноетей квантовая механика ок|ончатель- но порывала с классическим детерминизмом и должна была отныне рассматриваться как принципиально статистическая теория. В том же году Бор, ：исходя из соотношений неопределенностей, сформулировал одно из выдающихся откровений XX в. — принцип дополнительности (см. § 16 книги).

Без сомнения, 20-е годы явились периодом наиболее интенсивного развития квантовой механики. Здесь практически невозможно остановиться на всех важных исследованиях, выполненных в этот период. Дополним |Нари- сованную выше картину лишь следующими штрихами:

1924 г. — Паули предложил приписывать электрону дополнительную (четвертую) степень свободы, прдаи- мающую два значения; используя идею Паули, в 1925 г. Уленбек и Г а уде мит выдвинули концепцию «вращающегося электрона》(иными словами, концепцию спина);

1924 г.——Бозе выполнил фундаментальные исследования, продолжив которые, Эйнштейн создал стати1стиче- скую теорию для фотонов, получившую в последствии название статистики Бозе — Эйнштейна; л рамках этой теории формула Планка для излучения абсолютно черного тела получ1ила, наконец, полное обоснование;

1925 г.——Паули сформулировал свой знаменитый принцип запрета для электронов;

1925 г.——Боря и Иордан сформулировали в матричной форме теорию Гейзенберга;

1925 г.——Дирак развил релятивистскую теорию электрода и водо родо подо бн ых атомов;

1926 г. — Ферми :и Дирак выполнили фундаментальные работы по стати1стической теории электронов, шолу- чившей .впоследствии название статистики Ферми——Дирака.

Разумеется, история становления К1ванто1вой мехагаи- ки(не завершается 1927 г. В .последуюЩ|Ие годы квантовая механика обогатилась многими новыми методами, приложениями, а главное ——дальнейшими исследованиями ее ф и 3iH ко -филоюо фского 1содержа,ния. Некоторые проблемы квантовой механики (и прежде всего проблема измерения) продолжают исследоваться и в наши дни. Однако, мы закончим(наш краткий истор(ический экскурс на 1927 г., полагая, что дальнейшая мстория квантовой механики требует специального рассмотрения.

Читателям, желающим более подробно пюанако- млтнся ic историей (возникновения ih становления квантовой механики, можно порекомендовать следующие труды: [47—50].

ЛИТЕРАТУРА

В. А. Фок. Об интерпретации квантовой механики. В сб-ке «Философские вопросы современной физики》.М., Изд-во АН СССР, 1959.

У. Лэмб. Измерения в квантовомеханических системах и интерпретация нерелятивистской квантовой механики.——УФН, т. 99 (1969), с. 719.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Пер. с англ. т. 8. М.,《Мир》，1966.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Пер. с англ. т. 9. М., «Мир》，1967.

Р. Фейнман, А. X и б с. Квантовая механика и интегралы по' траекториям. Пер. с англ. М., «Мир》，1968.

Н. Бор. Атомная физика и человеческое познание (сб. статей). Пер. с англ. М., ИЛ, 1961.

В. А. Ф о к. Начала квантовой механики. Л., 《Ky6yq》， 1932.

В. Паули. Общие принципы волновой механики. Пер. с нем. М. —Л., ГИТТЛ, 1947.

П. Дирак. Принципы квантовой механики. Пер. с англ. М., Физматгиз, 1960.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М., «Наука», 1974.

Д. И. Блохинцев. Основы квантовой механики. М., «Высшая школа», 1961.'

Э. Ферми. Квантовая механика. Пер. с англ. М., «Мир», 1965.

Л. Шифф. Квантовая механика. Пер. с англ. М., ИЛ, 1957.

М. Борн. Физика в жизни моего поколения. Пер. с англ. М., ИЛ, 1963.

If П. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей. Пер. с фр. 1908.

П. Ланжевен. Атомы и корпускулы. В сб.: Избранные произведения. Пер. с фр. М., ИЛ, 1949.

И. В. Савельев. Курс общей физики, т. 3. М.,《Наука》, 1968.

Л. Розенфельд, Э. Рюдингер. Годы перелома. В сб.: «Нильс Бор — жизнь и творчество». М.,《Наука», 1967.

Н. Бор. Воспоминания о Резерфорде — основоположнике науки о ядре. —УФН, т. 80 (1963), с. 219.

В. Гейзенберг. Открытие Планка и основные философские проблемы атомной теории. — УФН, т. 66 (1958), с. 163.

В. Гейзенберг. Физические принципы квантовой теории. Пер. с нем. М. —Л., ГТТИ, 1932.

В. С. Вавилов. Действие излучений на полупроводники. М., Физматгиз, 1963.

Л. д е Бройль. Введение в волновую механику. Пер. с фр. Киев, ГНТИ, 1934.

Л. В. Тарасов. О длине волны электрона в потенциальной яме. Сб. «Физика», вып. 2： МВССО СССР. М., «Высшая школа», 1972.

Д. Бом. Причинность и случайность в современной физике Пер. с англ. М., ИЛ, 1959.

Л. Купер. Физика для всех, т. 2. Пер. с англ. М., «Мир», 1974.

Г. Я. М я к и ш е в. Динамические и статистические закономерности в физике. М., «Наука», 1973.

Д. Бом. Квантовая теория. Пер. с англ. М.,《Наука》, 1965.

С. И. Вавилов. Ленин и физика (сб. статей). М., Изд-во АН СССР, 1960.

Дж. Тригг. Решающие эксперименты в современной физике. Пер. с. англ. М., «Мир», 1974.

Я. М. Гельфер, В. Л. Л ю б о ш и ц, М. И. Подгорец- кий. Парадокс Гиббса и тождественность в квантовой механике. М., «Наука», 1975.

Д. И. Блохинцев. Принципиальные вопросы квантовой механики. М., «Наука》，1966.

Н. Бор. О понятиях причинности и дополнительности. Избранные труды, т. 2. М.,《Наука》，1971.

В. И. Коган, В. М. Галицкий. Сборник задач по квантовой механике. М., ГИТТЛ, 1956.

3. Ф л ю г г е. Задачи по квантовой механике, т. 1 и 2. Пер. с англ. М., «Мир», 1974.

В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2. М., «Наука», 1969.

Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М” Гостехиздат, 1953.

Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. М., Физматгиз, 1960.

Дж. 3 а й м а н. Принципы теории твердого тела. Пер. с англ. М., «Мир», 1966.■

Г. Джон с. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. Пер. с англ. М.,《Мир》, 1968.

Л. В. Тарасов. Физические основы квантовой электроники. М.,《Сов. радио», 1976.

Е. Вигнер. Этюды о симметрии. Пер. с англ. М.,《Мир》，1971.

В. И. Ленин. Материализм и эмпириокритицизм. Гос. изд-во политической литературы, 1953.

М. План к. Сб. статей «Единство физической картины мира». М., «Наука», 1966.

А. Эйнштейн. Сб. статей «Физика и реальность». М.,《Наука》, 1965.

М. Планк. О работах Шредингера по волновой механике. Избранные труды. М.,《Наука》，1975.

У. И. Франкфурт, А. М. Френк. У истоков квантовой теории. М., «Наука», 1975.

А. Зоммерфельд. Сб. статей «Пути познания в физике». М., «Наука», 1973.

Н. Бор. Сольвеевские конгрессы и развитие квантовой физики,—УФН, т. 91 (1967), с. 737.

Под ред. Я. А. Смород и нс к ого. Сб. статей «Теоретическая физика 20 века». М., ИЛ, 1962.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Амплитуда вероятности перехода —84 и д.; 106, 118 ,правила работы — 85, 86, 114—116

—плотности вероятности — 151

—состояния — 106 и д.; 117, 118

,изменение во времени —— 140—142

,основное уравнение— 134, 137, 190, 191

,в виде, не зависящем от выбора базисных состояний --192

Анализатор —117—121

Атом водорода, модель по Бору —25, 26

,строгая теория — 55, 56, 234, 235

Бозоны — 17, 97—100, 127

Вектор плотности потока вероятности —229

——состояния — 151—153

Векторная аналогия—193—195, 266, 267

Вероятность в квантовой механике—59, 60, 131, 161, 162, 164—166, 268

Взаимопревращения микрообъектов —19, 20

Виртуальные микрообъекты — 60, 61

—переходы — 41, 60, 61

Волна-пилот — 52, 53

Волновая функция——154—158 и д.

свободно движущегося микрообъекта— 157, 158, 207

электрона в кристалле (функция Блоха) — 240, 249—251

Волновой пакет — 33

Вырождение — 182

——энергетических состояний —— 235, 236, 254

перестановочное — 254, 255

,снятие вырождения — 236, 255

Гамильтониан— 196, 233—241

—атома водорода — 234

, собственные значения —234

,—функции — 234, 235

——взаимодействия электрона с излучением — 240, 241

—кристалла — 236—239

,адиабатическое приближение—237, 238

,одноэлектронное приближение —238, 239

—осциллятора — 233

в импульсном представлении —244

,собственные значения — 233

,—функции 233, 234

Гамильтонова матрица—134, 135, 137 и д. ,диагонализация— 142, 143

для электрона в магнитном поле — 146, 147

,изменение базисных состояний --191

,роль недиагональных элементов —138, 141

Гипотеза де Бройля ——30

—Планка — 24

Дельта-функция Дирака — 156, 158

Детектор — 120—123

Зоны Бриллюэна — 249

Измерение в квантовой механике— 119—122, 124, 125 ,роль анализатора —— 119, 121

,—детектора — 120, 121, 123

Измерение в квантовой механике, специфика — 121, 122

Интегралы движения — 21, 22, 201, 203

Интерференция амплитуд вероятностей—87, 91, 92 и д. ,бозоны и фермионы — 97, 98

,разрушение — 88—90, 93

,рассеяние микрообъектов —96, 97, 102

,суперпозиция состояний —113, 114

—микрообъектов — 72—75 ,разрушение — 76—78 Испускание света индуцированное —100

спонтанное —100

Квантование — 22 и д.

—момента — 27, 213, 214, 225

Квантовые переходы — 23, 40, 41, 108 и д.

, вычисление вероятности —259, 260

,противоречия — 28, 29, 40. 41, 108

Квантовые числа — 27, 39, 55, 213, 214, 235, 254

Классический детерминизм — 9—11

Комбинационный принцип Ритца -24

Коммутирование операторов — 188, 189, 201, 203, 210, 212, 215

, условия сохранения —— 201, 203

Корпускулярно-волновой дуализм —30 и д.; 54

Коэффициент отражения барьера. —232

—прохождение барьера — 231— 233

«Кризис физики^» — 270, 271

Метод возмущений — 258, 259

Микрообъект в интерферометре—71—78, 90—94

Микрообъект в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками 一 219, 220 , вероятность значений импульса —245

со стенками конечной высоты — 220—224

сферически симметричном поле — 224—227

——，основные характеристики — 15 и д.

Модельные представления ―- 50—56, 65—68

Молекула аммиака — 137, 144, 145, 152, 153

в электрическом поле —— 144, 145

Неразличимость — 58, 85, 87, 94, 96, 97, 102, 103, 164

Нестабильность микрообъектов —17, 18 ,время жизни — 17 Нулевые колебания — 44 Обобщенные полиномы Лягге- ра — 234, 235

Оператор — 180 и д.

—импульса — 206, 241

,собственные функции — 206, 207

—инверсии—212, 213

—квадрата момента — 209, 210

,собственные значения—214, 225

—■,— функции — 214, 225,

—комплексно-сопряженный —— 181

—координаты — 205, 243

—линейный ——180

—проекции момента — 209

, собственные значения —213

,—функции — 214

Оператор, собственные функции —182

——сопряженный ——181

―-,спектр собственных значений —182

Оператор транспонированный — 181

—унитарный — 182

,переход от одного представления к другому — -186, 187

——эрмитовский (самосопряженный) —182

в собственном представлении —185

, основные свойства — 182—184

Операторы в квантовой механике— 179, 180, 196, 197— 204 и д.

,перестановочные соотношения —210—212, 215

Опыт Юнга — 71, 72

Полиномы Лежандра — 214

—Эрмита — 233, 234

Полный набор величин — 38, 39, 109

Поляризация вакуума — 62, 63

—фотона — 39, 80

Постоянная Планка——16, 24 и д.

,роль в квантовой механике—31—33, 217, 272

—Ридберга — 23, 26

Потенциал Кронинга — Пенни —251

Правило частот Бора — 25

Представление—111, 155, 184 и д.

——взаимодействия ——265——267

—Гейзенберга — 263, 264, 267

—импульсное— 157, 241—249

—координатное — 13^, 157, 205 И д.

Представление, переход от координатного к импульсному-241—243, 246

—Шредингера — 208, 262, 264, 267

—энергетическое — 237, 258

Принцип дополнительности — 169—171

Принцип запрета Паули — 17

—микроскопической обратимости —101

—соответствия — 275

——суперпозиции состояний — 105—107

Присоединенные функции Лежандра —214

Причинность в квантовой механике — 129—131, 134, 136 и д.

Проекционные амплитуды — 147—149

Пространственная четность — 39, 212, 215

Прохождение микрообъекта над барьером — 232, 233 под барьером — 230—232 ——света через поляризаторы — 79—81, 111—113

Различимость — 86, 87, 89, 93, 95, ПО, 165

—частичная — 94, НО, 164, 165 Рассеяние микрообъектов — 81—83, 94—97, ПО

——нейтронов на кристалле —— 101—103

когерентное — 102

некогерентное— 102

Редукция волнового пакета — 120, 122

Серия Бальмера — 23, 24

—Лаймана — 24

—Пашена — 24■

Соотношения неопределенностей —34—36 и д.

,дифракция микрообъектов -37

,оценка размытия полосы поглощения в эффекте Франца — Келдыша — 45 ,——энергии нулевых колебаний осциллятора —— 44

,основного состояния атома водорода — 43

,траектория микрообъекта —47, 48

Состояния микрообъекта ——38— 40, 105, 106, 154 и д.

базисные — 111, 136, 137, 163

Состояния микрообъекта ——переход от одной системы к другой—142, 143, 190, 191

взаимно ортогональные — 109, НО

—стационарные — 25, 138, 140, 208

Спин — 16, 27 и д.

—,прецессия — 149, 150

Спиновые матрицы Паули — 153.

Среднее значение физической величины— 195, 196, 201, 202

,изменение со временем —202, 203

Статистический коллектив— 133

—характер квантовой механики

—132 и д., 161

Суперпозиция состояний —— 105—109 и д.

, квантовые переходы —— 108, 109, 256, 257

,неопределенность результатов измерений—107, 108

,переход от одного представления к другому — 142, 155, 156, 190, 202, 241, 242, 245, 256

,полная и частичная различимость—109, ПО

,прохождение фотонов через поляризаторы — 111— 113

,разрушение в измерительном акте — 120

,роль анализатора—116, 119

Сферические функции — 214, 214, 225, 226, 234

Теоремы Эренфеста — 216, 217

Тождественность микрообъектов —57, 58

Туннельный эффект — 48, 49, 230—232

Унитарные инварианты — 187, 188, 204, 243

Уравнение Шредингера — 207, 208, 218, 219, 221, 225— 227, 238, 239

в импульсном представлении —243, 244

энергетическом представлении —258

,зависящее от времени —— 208, 218, 228, 256

,,гидродинамическая аналогия ——227——229

Фейнмановские диаграммы — 61—63, 260, 261

——интегралы по траекториям — 103, 104

Фермионы— 17, 97, 98

Формула де Бройля — 30

Электрон в магнитном поле -- 145—153

периодическом поле — 248—255

Электронное облако — 55, 56

Энергетические зоны — 239, 247—249, 254, 255

Эффект Зеемана — 236

—Комптона — 30

—Франца — Келдыша — 45, 46

—Штарка — 236

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Интермедия. Можно ли считать систему представлений классической физики логически совершенной? 9

Глава первая

Специфика физики микрообъектов

§1.Некоторые характеристикиисвойствамикрообъектов15

§2.Две основополагающие идеиквантовоймеханики....22

§3.Соотношения неопределенностей33

§ 4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей 43

§ 5. Невозможность классической интерпретации микрообъекта • • 50

§ 6. Отказ от представлений классической физики57

Интермедия. Возможна ли наглядная модель микрообъекта? 65

Глава вторая

Физические основы квантовой механики

§7.Некоторыепринципиальныеопыты70

§8.Амплитудывероятностейпереходов(формулировка

основных принципов)84

§9.Амплитудывероятностейпереходов(демонстрация

основных принципов). 90

§ 10. Суперпозиция состояний 104

§ 11. Измерение в квантовой механике116

Интермедия. Те ли это волны? или еще раз о волнах в квантовой механике126

§ 12.Причинность в квантовой механике129

§ 13.Микрообъекты с двумя базисными состояниями .... 136

§ iL4.Электрон в магнитном поле145

§ 15.Волновая функция153

§ 16. Квантовая механика как качественный скачок в процессе познания человеком законов природы159

Интермедия. Противоречат ли квантовомеханические представления «здравому смыслу»?174

Глава третья

Линейные операторы в квантовой механике

Экскурс в теорию линейных операторов .

От гамильтоновой матрицы к оператору энергии ....

Линейные операторы в квантовой механике

Основы аппарата квантовой механики в координатное представлении

Уравнение Шредингера в работе

Гамильтониан в некоторых характерных задачах ....

Переход к импульсному представлению

Электрон в периодическом поле

Вероятность квантовых переходов

Способы описания эволюции микросистемы во времени К истории возникновения и становления квантовой механики (небольшая историческая справка)

Литература

809097^^^ ^^^^ ^ ^^111 2222222 222809097^^^ ^^^^ ^ ^^111 2222222 222Предметный указатель

809097^^^ ^^^^ ^ ^^111 2222222 222

809097^^^ ^^^^ ^ ^^111 2222222 222

Лев Васильевич Тарасов

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Редактор Кузнецова Л. Г. Художник Коленков А. Е. Художественныйредактор Пономаренко В. И. Технический редактор Родичева Р. С.

Корректор Кострикова Г. И.

ИБ № 1133

Изд. № ФМ—593 Сдано в набор 31.05.77. Подп. к печати 05. 01. 78.

Формат 84ХIO8V32 Бум. тип. № 1 Гарнитура литературная. Печать высокаяОбъем 15,12 усл. печ. л. 14,20 уч.-изд. л. Тираж 20 000 экз. Заказ 2819

Цена 65 коп.

Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14

Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Хохловский пер., 7.

3Не. В этом случае измеренная вероятность рассеяния оказывается равной 2侬.Такой результат представляется естественным ——удвоение вероятности w связано с реализацией двух альтернатив, показанных на рис. 7.8.

Третий пример. Заменим ядра 3Не па а-частицы. Пусть теперь а-частицы рассеиваются на а-частицах. Казалось бы, в этом случае вероятность рассеяния должна быть такой же (или приблизительно такой же), как и в (предыдущем случае, т. е. 2侬.Опыт, однако, дает существенно иной результат ——4侬.«Невинная» замена ядер 3Не ядрами 4Не изменила вероятность рассеяния в два раза!

Еще более неожиданные результаты обнаруживаются при учете спиновых состояний сталкивающихся частиц (в случае а-частиц вопрос об учете спиновых состояний

* Это замечание будет обосновано позднее (см. § 13).

ЛВ ТАРАСОВ

ОСНОВЫКВАНТОВОЙМЕХАНИКИ

ДопущеноМинистерствомвысшего и среднегоспециальногообразования СССР6 качествеучебного пособиядля студентоввысших учебныхзаведений

е

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1978

530.1

T19

УДК 530.145 (075)

Рецензенты:

кефедра теоретической ядерной физики МИФИи докт. физ.-мат. наук М. И. Подгорецкий

Тарасов Л. В.

Т19 Основы квантовой механики: Учеб, пособие для вузов.— М.: Высш, школа, 1978.— 287 с., ил.

В книге дано обстоятельное и систематическое изложение основ нерелятивистской квантовой механики, предназначенное для лнц, впервые знакомящихся с предметом. В первой главе в качестве введения в квантовую механику рассмотрена специфика физики микрообъектов. Во второй главе на основе представлений об амплитудах вероятностей рассмотрены вопросы физики микроявлений (интерференция амплитуд, принцип суперпозиции, специфика измерительного акта, причинность в квантовой механике); подробно проанализированы простейшие квантовомеханические системы —- микрообъекты с двумя базисными состояниями. В третьей главе рассмотрен аппарат квантовой механики как синтез физических идей и теории линейных операторов. Для демонстрации работы аппарата приведен ряд специально отобранных примеров и задач.

Предназначается для студентов технических и педагогических вузов. а также может быть использована инженерами различного профиля.

20408—135001(01)—7820408—135001(01)—7840—7840—78530.1530.1

20408—135

001(01)—78

20408—135

001(01)—78

40—78

40—78

530.1

530.1

© Издательство «Высшая школа», 1978.