ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯКВАНТОВАЯМЕХАНИКА

Классическая теория. Как известно, завершением развития классической электродинамики является теория Максвелла—Лоренца и классическая механика с учетом релятивистских эффектов.

Согласно классической теории свет представляет собою волны, поведение которых описывается волновыми уравнениями вида

%需一w9=0. (1.1)

Этому уравнению должны удовлетворять компоненты векторов электрической и магнитной напряженностей поля световой волны, распространяющейся со скоростью света с.

В то же время электроны представляют собою точечные частицы, движущиеся по законам механики под действием силы Лоренца. Их движение описывается или уравнением Ньютона, или уравнением Лагранжа, или уравнением Гамильтона, или, наконец, уравнением Гамильтона — Якоби.

Все эти уравнения должны приводить к одному и тому же результату (они представляют собою, по существу, различные представления уравнения Ньютона) и легко могут быть обобщены на релятивистский случай.

Волновой процесс характеризуется частотой v и длиной волны %, которые связаны соотношением v% = с. Поэтому в простейшем случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, решение (1.1) имеет вид

Ф = Ае^Ш("' F)・ (1.2)

Вместо обычной частоты v часто вводят круговую частоту s = = 2jxr а вместо X ——волновой вектор й. Тогда в случае плоской волны, распространяющейся по направлению kt мы будем иметь

Ф = 4бТ®—г). (1.3)

Подставляя (1.3) в (1.1), находим

s = с居 (1.4)

т. е. модуль волнового вектора связан с длиной волны X соотно- щением

*•=瓦(1.5)

Свободное движение электрона, рассматриваемого как тсн чечная частица, характеризуется энергией £ и импульсом час-» тицы р. Эти величины в нерелятивистском случае связаны со отношением

(1.6)

В релятивистском случае это соотношение принимает вид 手6力=“舟2；流^(1.7)

Если масса покоя частицы то = 0, то соотношение (1.7) пере-* ходят в следующее:

ЕРе“ = ср・(1.8)

При переходе к нерелятивистскому случаю (р 《т°с, т. е. 俨=(券)《1) из соотношения (1.7) получим

e=?^一恤e2 = 器.(1.9)

Если вместо массы покоя 恤 ввести величину

加=廿(LIO) W 一俨

то тогда вместо (1.7) мы можем написать *)

Ерел=тс29 p — mv.(1,11)

Квантовая теория света. Корпускулярные свойства света были впервые обнаружены при изучении так называемого рав^ новесного излучения, которое возникает внутри полости, окру-* женной стенками, нагретыми до некоторой постоянной темпе-* ратуры. Иначе оно часто называется излучением абсолютно черного тела.

Рассмотрим спектральную плотность равновесного излучения р((о), связанную с обычной плотностью электромагнитной энергии 〃нзл = *(^ + ^2) при помощи соотношения

〃нзл=\ P®)ds・(1.12)

Здесь W н 彩—напряженность, соответственно, электрического и магнитного полей.

Поскольку спектральная плотность не должна зависеть от материала стенок и определяется только их температурой, при определении р((о) можно выбрать простейшую модель стенок, аппроксимировав ее совокупностью гармонических осцилляторов. Оказалось, что, ограничиваясь рамками классической теории, невозможно построить разумную теорию равновесного излучения (см. ниже).

Для того чтобы построить теорию, находящуюся в согласии с опытом, Планк в 1900 г. выдвинул совершенно новую гипотезу, коренным образом изменившую ряд фундаментальных представлений классической физики. Согласно гипотезе Планка энергия микроскопических объектов (атомов, молекул) может принимать не любые непрерывные, а только определенные дискретные значения. В частности, для осциллятора энергия должна быть кратной некоторой минимальной энергии 力(о, где ①一частота колебаний осциллятора, a fi — некоторая постоянная величина, т. е.

n/ls,(1.13)

где п = 0, 1, 2, 3,・・・

Заметим, что Планк записывал соотношение (1.13) нескольт ко иначе:

Еп = nhv.(1.13а)

Последняя запись совершенно эквивалентна (1.13), если учесть, что обычная (не круговая) частота v =(о/2п, а постоянная й = =2лЙ. В дальнейшем выяснилось, что использование о) н % вместо V и А представляет определенные удобства.

Исходя из формулы (1.13а), Планк получил следующее вьр ражение для спектральной плотности равновесного излучения:

二D，(S4)

где 々в ——постоянная Больцмана.

Из формулы Планка легко получить формулу для обычной плотности излучения

〃нзл=\ р(®)das = -^здз' т4 =~^9(1J5)

о

известную как закон Стефана — Бюльж-а^а, открытый эмпирически еще до появления формулы Плашка, д также закон -смещения Вина

%мак<7 = % 爲％ =4(1」6)

определяющий ту длину волны Хмакс, которая соответствует максимуму излучения, если от плотности р(со) перейти к плотности р(А)・

Поскольку значения постоянной Стефана — Больцмана (а = 5,67• 10-5 г・с-з.град-4), а также постоянной Вина (Ь = =0,29 см-град) были известны из эмпирических данных, Планк нашел численное значение для величины Л = 6,626-10~27 эрг-с, получившей название постоянной Планка ), а также и значение для постоянной Больцмана йБ == 1,38 • 10"16 эрг • град"\ причем численное значение для постоянной 月в было известно из других данных (например, из классической статистики, так как постоянная 々в определяет функцию распределения Максвелла—Больцмарга / = Ае^Е/къТ\ Подчеркнем, что дату введения Планком его постоянной (1900 г.) можно считать днем рождения всей современной квантовой теории.

При переходе от квантовой к классической теории мы должны положить Й = 0. Тогда формула Планка переходит в из* вестную классическую формулу Рэлея — Джинса

Р®) = £^вТ, (1 •⑺ приводящую для суммарной плотности излучения к расходящемуся результату:

%зл = \ р ®) dco = "^^ \ s2 d①=8.о о

Это означает, что, вопреки всем опытным данным, в классической теории не может быть установлено состояния термодинамического равновесия между нагретым телом и излучением.

Вообще говоря, классическая формула Рэлея — Джинса правильно определяет кривую спектрального распределения лишь в области малых частот (力＜о《々в『)・ В области же больших иастот (九(0》々вТ)она дает явно абсурдный результат, названный Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой». Только после появления квантовой теории Планка «ультрафиолетовая катастрофа» была ликвидирована.

При выводе своей формулы Планк предположил, что энергия осциллятора может принимать лишь дискретные значения. Однако это новое свойство осциллятора в первоначальном варианте теории осталось физически необоснованным (точнее, сам Планк «особые свойства» старался скорее приписать только на-

гретому телу, т. е. осцилляторам, а не электромагнитному излучению).

Эйнштейн сделал второй крупный шаг на пути развития теории «квантов», а именно, он выдвинул новую гипотезу, согласно которой вопрос о дискретности энергии осциллятора са* мым тесным образом должен быть связан с тем фактом, что само электромагнитное излучение состоит из отдельных корпускул —фотонов, несущих энергию 力з.

Согласно Эйнштейну, электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность частиц — фотонов с массой покоя, равной нулю, и энергией

е = Й(о.(1.18)

Для импульса фотона при этом получается соотношение

р = kP ^^ = * 4 = hh,(1.19)

где k = ^- -— волновой вектор, й° — единичный вектор в на* правлении импульса фотона, = дволновое число.

На основе этих представлений Эйнштейном в 1905 г. была построена количественная теория фотоэлектрического эффекта. Это явление, открытое Г. Герцем в 1887 г., было подробно исследовано выдающимся русским физиком А. Г. Столетовым. Одно из проявлений фотоэффекта заключается в том, что при освещении светом достаточно большой частоты искра между двумя заряженными шариками проскакивает при значительно меньшем значении разности потенциалов между ними посрав* непию с тем, когда свет отсутствует. Для объяснения этого явления Эйнштейн предложил простое уравнение

представляющее собой баланс энергии и означающее, что кине- mQv2“

тическая энергия —^— вылетевшего электрона должна быть равной разности энергии поглощенного фотона 力о и работы выхода W электрона из металла. Очевидно, что если 力① V 呼，то электроны не могут выйти из металла. Только в том случае, когда энергия падающих фотонов превысит величину IF, электроны вырываются из металла.

Экспериментальная проверка теории фотоэффекта Эйнштейна блестяще подтвердила основной вывод о том, что энергия вылетевших электронов зависит только от частоты (но не ст интенсивности) падающего света, причем фотоэлектроны начинают вылетать тогда, когда частота света ш будет превышать

некоторое предельное аначение

Весьма убедительно выводы теории фотонов были подтвержу дены экспериментально в 1923 г. при исследовании рассеяния рентгеновских лучей свободными электронами ——эффекта Комптона. Эффект Комптона интересен еще и в том отношении, что им проверяется не только закон сохранения энергии (как в теории фотоэффекта), но и закон сохранения импульса.

Как известно, в классической теории при рассеянии света свободными электронами его частота не изменяется (g/ =(o). Может уменьшиться лишь интенсивность падающего пучка, так как часть энергии идет на раскачку электронов. По квантовой же теории часть энергии фотона е = %(о передается электрону, и поэтому энергия рассеянного фотона е‘ =亢叽 а вместе с тем н его частота, вообще говоря, должны быть несколько меньше (е‘ V е, со' V(о)・

Чтобы найти зависимость частоты от угла рассеяния, напи-< шем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая не только электроны, но и фотоны как частицы (см. рис. 1.1):

Йео — ^^ == с2(m — m0), 标一^' = mu. (1.20)

Здесь 恤 и m = m0/Vl — p2— масса электрона соответственно до (электрон покоится) и после столкновения, 0 — его скорости

Рис. 1.1. Рассеяние света на свободном электроне (эффект Комптона).

0 = и/с,力也=力®/с и 自肥=力е//с — импульс фотона соответ^ ственно до и после рассеяния*

Перепишем уравнения (1.20) в виде

(о —d =今(/п —加0),论—& = 2^L.(1.21)

Возводя эти равенства в квадрат и вычитая затем первое ра+ венство из второго, получаем

cos' (1 — cos •&) = -^ (cs — с硝.(1.22)

Замечая далее, что 九= 2лс/(о и %7 = 2лс/(о,, после деления (1.22) на соз' находим выражение для увеличения длины волны рассеянного света

ДХ = ЛЛ—九=2九о sin?万， (1.23)

где Ло — комптоновская длина волны электрона

a九 h с / 1 —io

(1.24)(1.24)九===2,4 • 10 см.

(1.24)

(1.24)

и m^citiqC

Таким образом, мы видим, что с точки зрения квантовых представлений длина волны рассеянного света А/ должна быть больше начальной 九(V > 九)，так как о/ < s. Это увеличение тем существеннее, чем больше угол рассеяния 今.Поскольку комптоновская длина волны Хо ——малая величина, комптоновское рассеяние экспериментально наблюдалось, как правило при сравнительно малых длинах волн (рентгеновское излучение, гаммя кванты). В самом деле, для видимого света (又〜 〈~ см)

毕.〜务〜io、ют%, (1.25)

для рентгеновских же лучей (九 ~ Ю-8 十 10~9 см)

争〜КГ」］。％.(1.26)

Волновые свойства электронов. Согласно гипотезе пе Бройля поток свободных электронов, обладающих энергией £ и импульсом р, связанными между собою соотношениями (1.7) и (1.11), должен обладать и волновыми свойствами.

Соответствующая частота и длина волны должны быть- равны

E = g Х = А.(1.27)

Длина волны X для пучка электронов получила название de- бройлевской. Таким образом, соотношения Эйнштейна, сформулированные им для фотонов, обобщаются и на электроны, т. е. носят универсальный характер. В том и другом случаях мы можем их записать в виде:

£ = Й(о, р =力在.(1.28)

Прежде всего определим порядок величины дебройлевской длины волны, которую практически можно получить для пучка электронов.

Для того чтобы исследовать волновые свойства электронов, необходимо прежде всего получить монохроматический

(по скоростям) пучок электронов. Такой пучок может быть получен в приборе, называемом «электронная пушка》, где электроны в вакууме ускоряются, проходя некоторую разность по- тенциалов между электродами. Скорость электронов и может быть найдена из соотношения

где Ф — потенциал между катодом и анодной сеткой, женный в вольтах, а е0 — значение заряда электрона, мощью (1.27) находим соответствующую дебройлевскуюгде Ф — потенциал между катодом и анодной сеткой, женный в вольтах, а е0 — значение заряда электрона, мощью (1.27) находим соответствующую дебройлевскуюволныволныhhm（）um（）uЛ V150V/По^оФЛ V150V/По^оФ“3“3СМ.СМ.выра- С по-*длину(1.30)выра- С по-*длину(1.30)

где Ф — потенциал между катодом и анодной сеткой, женный в вольтах, а е0 — значение заряда электрона, мощью (1.27) находим соответствующую дебройлевскую

где Ф — потенциал между катодом и анодной сеткой, женный в вольтах, а е0 — значение заряда электрона, мощью (1.27) находим соответствующую дебройлевскую

волны

волны

h

h

m（）u

m（）u

Л V150

V/По^оФ

Л V150

V/По^оФ

“3

“3

СМ.

СМ.

выра- С по-*

длину

(1.30)

выра- С по-*

длину

(1.30)

Заметим, что выбор величины потенциала Ф ограничен некоторым минимальным значением 15——20 В. Такой потенциал должен сообщить электронам энергию, большую, чем энергия хаотического движения электронов в металле. При этом деброй- левская волна электронов будет иметь примерно ту же длину X q 10-8 см, что и мягкие рентгеновские лучи.

Впервые волновые свойства электронов были обнаружены в опытах по дифракции электронов Дэвиссона и Джермера (1927). Поскольку длина волны де Бройля для электронных пучков имеет порядок Ю^8 см, в качестве дифракционной решетки, так же как и в случае мягких рентгеновских лучей (опыты Лауэ), был выбран кристалл, постоянная решетки которого соизмерима с длиной дебройлевской волны X. Обобщая методику, разработанную Дебаем — Шеррером для рентгеновских лучей, на случай электронных волн, П. С. Тартаковский и Г. П. Томсон (1928) пропустили через поликристаллическую пленку не рентгеновские лучи, а пучок электронов. Они получили вместо рентгенограмм так называемые электроно- граммы *).

В настоящее время электронограммы наряду с рентгенограммами находят большое практическое применение при изучении строения кристаллов.

Следует заметить, что формула де Бройля применима не только к электронам, но и к другим частицам, например протонам и нейтронам, даже к сложным атомам и молекулам. Правда, благодаря сравнительно большой массе этих частиц длина их дебройлевской волны чрезвычайно мала. Однако Штерну и Эстерману удалось наблюдать дифракцию атомов гелия и молекул водорода при отражении от кристаллов LiF.

Весьма эффективным оказался метод исследования структуры вещества, основанный на дифракции нейтронов. Дело в том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом и поэтому даже в случае малой энергии (так называемые тепловые нейтроны), когда длина волны де Бройля практически еще отлична от нуля, свободно проходят сквозь вещество.

Все перечисленные выше факты с полной убедительностью говорят о том, что волновые свойства в принципе должны обнаруживаться у всех частиц.

Гипотеза де Бройля заложила основы развития новой отрасли физики ——электронной оптики, изучающей волновые свойства электронных пучков. Важным приложением электронной оптики явилось создание электронного микроскопа, разрешающая способность которого гораздо выше, чем у обычных оптических приборов ). Действительно, верхний предел разрешающей силы (а значит, и увеличение) обычного микроскопа определяется длиной волны света. Чтобы сделать увеличение по возможности большим, необходимо было как можно сильнее уменьшить длину волны света. Однако такое уменьшение возможно только до некоторого предела. Нельзя, например, построить рентгеновский микроскоп, поскольку для рентгеновских лучей не существует соответствующих линз. Вместе с тем электронные пучки достаточно легко могут фокусироваться с помощью воздействия на них электрического и магнитного полей («электрические» и «магнитные» линзы). Этот принцип использован в электронных микроскопах.

г) Фазовая скорость. Как известно, движение монохроматической плоской волны вдоль оси х можно описать функцией

(р =1%).(1.31)

Скорость распространения волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы

со/ —々％ = const.(1.32)

Тогда, если время изменится на величину Д/, то для того, чтобы соблюдалось условие (1.32), координата должна измениться на величину Ах, которая может быть найдена из равенства

о (/ + А/) — (х + Дх) = W —々居

т. е.

(о А/ — Л Дх = 0.

(1.33)

(1.34)(1.34)Отсюда находим скорость распространения постоянной фазы, получившую название фазовой скорости

(1.34)

(1.34)

w= дГ = Т-

(L7))*)(L7))*)В частности, как для света, так и для электронов имеем (см・

(L7))*)

(L7))*)

(1.35)(1.35)£ с^р2 + т^с2р

(1.35)

(1.35)

8=方=Йa=元，

т. е. фазовая скорость фотонов (/п()= 0), как и следовало ожидать, равна скорости света

и — -^ — с.(1.36)

Для того чтобы определить фазовую скорость в случае электрона, движущегося со скоростью v, можно вместо (1.35) на пн” сать (см. (1.11))

Тогда фазовая скорость должна быть равна и^^>с,(1.38)

т. е. она становится больше скорости света, поскольку и V с. Результат (1.38) говорит о том, что фазовая скорость не мо“ жет соответствовать движению частицы или же переносу какой-либо энергии.

0) Групповая скорость и волновые пакеты. Согласно прин-» ципу суперпозиции сумма (или интеграл) частных решений фДх, /) (или их линейная комбинация) также должны быть решением волнового уравнения, т. е.

屮(％ 0=Z &的(*，0,(1.39)

где G — некоторые постоянные коэффициенты, которые, не на< рушая общности, можно положить равными единице (С, = 1)< Принцип суперпозиции имеет место лишь для линейных вол・ новых уравнений, как, например» для уравнений классической

влектродинамики, описывающих распространение тлектромаг- нитных волн в вакууме, или для уравнения Шредингера, которое описывает движение электронов (см. ниже). Для нелинейных уравнений, например уравнений Эйнштейна для гравитационного поля или уравнений нелинейной оптики, принцип суперпозиции не выполняется. Волны де Бройля, по предположению, являются линейными, и поэтому для них принцип суперпозиции оказывается справедливым.

Введем теперь понятие групповой скорости. Как известно, реальный волновой процесс не может быть чисто монохроматическим (左=const)・ Он всегда должен обладать определенной шириной, т. е. состоит из набора волн, обладающих, например, близкими волновыми числами, а вместе с тем и частотами.

С помощью набора волн можно построить так называемый волновой пакет, амплитуда которого отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую естественно можно связать с местоположением частицы. Найдем скорость распространения максимума амплитуды волнового пакета, которая и получила название групповой скорости. Для примера образуем волновой пакет из набора плоских волн, для которых волновое число изменяется в пределах от hq 亠岭 до 尼° + 竽・ Ради простоты предположим, что каждая из этих волн имеет постоянную амплитуду A/^k = const. Тогда согласно принципу суперпозиции (1.39) общая волновая функция должна равняться сумме или интегралу этих плоских волн

/+丁

叫%，Г)=負 \ ьm或i公dk. (1.40)

Частота ① в данной задаче является функцией волнового числа 々.Если эту зависимость пока что не конкретизировать, то тогда, раскладывая частоту ① в ряд Тейлора, будем иметь

s(粉=s(月)+ (々一瓦)g/(瓦)+ ^=^^8"(瓦)+ ...(1.41) или

CD (k) = (Oo + «>] + «2 + ...

Если мы ограничимся членами первого порядка малости, то тогда будем иметь

s(h)=仰+ (尼一瓦)風+・・・，(1.42)

причем отброшенный член, который определяет предел точно* сти нашего разложения, равен

电=卫:产吋 ~(№)2 %(1.43)

(1・44)(1・44)Подставляя (1.42) в (1.40), найдем:

(1・44)

(1・44)

Ф(х, /) = Be-f (伽f-瓦幻, причем коэффициент В равняется

爲+丁

л®—л®—j e-f ("坛)&i) dk = A Afej e-f ("坛)&i) dk = A Afe(1.45)(1.45)гдегде自=等（% - %），自=等（% - %），(1.46)(1.46)

л®—

л®—

j e-f ("坛)&i) dk = A Afe

j e-f ("坛)&i) dk = A Afe

(1.45)

(1.45)

где

где

自=等（% - %），

自=等（% - %），

(1.46)

(1.46)

Отсюда видно (см. (1.33)), что амплитуда В будет распростра-* няться со скоростью

"=此=(黑)7(I")

получившей название групповой.

Если иепользовать еоотношения (1.35), то групповая ско-

рость равна

(1.48)

В частности, для фотонов (加о = 0) групповая скорость, так же как и фазовая, равна скорости света в вакууме

(1.49)(1.49)й — и = с.

(1.49)

(1.49)

Для дебройлевских волн мы будем иметь, учитывая (1.37),

(1.50)

е. групповая скорость совпадает со скоростью движения час-* тицы.

Рассмотрим далее пространственное распределение волнового пакета. Полагая / = 0, имеем согласно (L46)

Е = ¥"元(1.51)

Квадрат амплитуды волнового пакета

32 = 42 警.(1.52)

достигает главного максимума в точке & = 0

52(0) = 42.(1.53)

Относительные максимумы для В2 в остальных точках g = ± 譬, 士豐 н т・ л・ будут резко уменьшаться:

环(±岑■) =煮■"~击优

炉(±等)=嘉■^优 h T. Д.,

причем в точках g = 士冗,土2n и т. д. квадрат амплитуды обращается в нуль.

Учитывая все это, можно считать, что область локализации основной части волнового пакета Дх находится в окрестности главного максимума. Практически эта область не меньше, чем половина расстояния между первыми нулями функции 自(±зх), т. е・ АЕ = л.

Отсюда согласно (1.51) имеем

е. ширина волнового пакета Ах связана с интервалом волновых чисел △少 соотношением

Дй • Дх > 2л.(1.55)

Для наглядной иллюстрации приведем графики дебройлев- ских волн при f = 0 как для монохроматической волны

Рис. 1.2. Форма монохром этической волны при f=0. Амплитуда указана штриховой линией, волн а — сплошной.

(рис. 1.2), так и для группы волн (волновой пакет) (рис. 1.3). Для простоты положим амплитуду 力=1.

Поскольку для монохроматической волны А^ = 0, 胃基=1, то по оси абсцисс (см. рис. 1.2) мы откладываем координату х. Фазовая скорость равна 〃.

Для группы волн по оси абсцисс мы откладываем 自・ Амплитуда ^^ G =竽尤)изображена пунктирной линией, а волновая функция — сплошной. Мы видим, что волновая функция практически сосредоточена в главном максимуме Д^ 〜冗.Вол^ новая функция распространяется с фазовой скоростью и — -^-.

а амплитуда с групповой й =

斗/斗/；и.sin£、——^- Групповая скорость 互=〃；и.sin£、——^- Групповая скорость 互=〃6a§o8cm 佻орость6a§o8cm 佻оростьРис. 1.3. Форма волнового пакета пр区 f=0 для дебройлевских волн (厶也=*)• Амплитуда «~г— указана штриховой линией, волна—сплошной.Рис. 1.3. Форма волнового пакета пр区 f=0 для дебройлевских волн (厶也=*)• Амплитуда «~г— указана штриховой линией, волна—сплошной.Аналогичным способом мы можем исследовать временную локализацию волнового пакета.

斗/

斗/

；и.

sin£

、——^- Групповая скорость 互=〃

；и.

sin£

、——^- Групповая скорость 互=〃

6a§o8cm 佻орость

6a§o8cm 佻орость

Рис. 1.3. Форма волнового пакета пр区 f=0 для дебройлевских волн (厶也=*)• Амплитуда «~г— указана штриховой линией, волна—сплошной.

Рис. 1.3. Форма волнового пакета пр区 f=0 для дебройлевских волн (厶也=*)• Амплитуда «~г— указана штриховой линией, волна—сплошной.

△々dco△々dcoAsAs(1.56)(1.56)Полагая в (1.46) х = 0, найдем

△々dco

△々dco

As

As

(1.56)

(1.56)

Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, мы из ра， венства (1.56) получаем

(1.57)(1.57)As • А/》2冗.

(1.57)

(1.57)

Выражения (1.54) и (1.57) имеют место для любых волновых процессов (линейных), В частности, выражение (1.57) хо^ рошо известно из оптики и связывает ширину спектральной лгв нии с длительностью излучения.

Член второго порядка малости (см. (1.43)), который мы отбросили в разложении (1.41), определяет время расплывания волнового пакета. В самом деле, когда величина 82f становится порядка 2冗,линейное разложение (1.42), входящее под знаком sin g, теряет свой смысл.

Если волновой пакет образован в момент f = 0. то тогда имеем f = Af, где величина А/ равна искомому времени распльь вания, Из соотношения (1.43) находим

(A守需a/〜2冗，

т. е.

А/ ~А/ ~2л2л（М）贫（М）贫(1.58)(1.58)

А/ ~

А/ ~

2л

2л

（М）贫

（М）贫

(1.58)

(1.58)

Если воспользоваться соотношением (1.55), имеем

А/〜А/〜(А%)2(А%)22л2л△со△со(1.59)(1.59)

А/〜

А/〜

(А%)2

(А%)2

2л

2л

△со

△со

(1.59)

(1.59)

Напишем выражения (1.55), (1.57) и (1.59) для дебройлев- ских волн пучка электронов.

С помощью соотношений (1.35) мы можем их представить соответственно в виде

Др • Дх ^ й,(1.60)

Д£-Д/>й(1.61)

и

А'~~鵰-(L62)

2冗力丽"

Соотношение (1.60) называют обычно соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем уже Ар, тем шире А%・ В частности, для монохроматической волны Ар —0 величина Дх-> оо (см. рис. 1.2), где амплитуда во всем пространстве имеет одно и то же значение, т. е. положение частицы (одномерный случай) во всем пространстве — равновероятное. Выражение (1.60) легко обобщить и на трехмерный случай. Тогда оно будет иметь место не только для координаты %, но и для координат у и z (три соотношения). Более точный вывод соотношения неопределенностей мы произведем ниже.

Выражение (1.61) получило название четвертого соотноше-» ния неопределенностей.

Исследуем, наконец, время расплывания волнового пакета, определяемое равенством (1.62).

В частном случае фотонов Е = ср. Поэтому 胃声=0, а вре« мя расплывания волнового пакета обращается в бесконечность (Д/ -> оо), т. е. пакет фактически не расплывается.

Для дебройлевских волн, т. е. для частиц с массой покоя, отличной от нуля, получаем из (1.35)

dE = с2р _ с2р _ р dp — Е — тс2 一 m *

Если мы ограничимся рассмотрением нерелятивистского случая (т = /и。), то будем иметь

(1.63)(1.63)炉石 1

(1.63)

(1.63)

▼=而

Тогда для времени расплывания волнового пакета находим выражение

Af 〜箒(А»2.(1.64)

В случае макроскопической частицы, масса которой равна, например, 1 г, а размер А% 〜0,1 см, время расплывания чрезвычайно велико:

Af 〜1025 c. (1.65)

В случае же электрона атома) волновой пакетВ случае же электрона атома) волновой пакетто 〜Ю~27 г, А% 〜1()т см (размеры расплывается практически мгновенно

В случае же электрона атома) волновой пакет

В случае же электрона атома) волновой пакет

(1.66)(1.66)Д/- Ю~17 с,

(1.66)

(1.66)

е. для описания электрона в атоме мы должны использовать волновое уравнение.

Явления, которые подтверждают волновые свойства электронов, были упомянуты нами выше.

После того как мы рассмотрели качественную картину связи корпускулярных и волновых свойств, мы перейдем к строгим уравнениям, описывающим волновые свойства электронов. В последующих параграфах этой главы мы рассмотрим волновое уравнение Шредингера, с помощью которого можно исследовать движение электронов с нерелятивистскими скоростями.

§ 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Уравнение Гамильтона — Якоби. Как известно, в классической механике движение частицы можно описать, задав ее функцию Гамильтона Н = H(r, р, /) и решив соответствующие канонические уравнения при определенных начальных уело* виях. Если Н не зависит от времени явно, т. е. dH/dt — 0, то канонические уравнения имеют интеграл — интеграл энергии

(2.1)(2.1)Н ~Е9

(2.1)

(2.1)

где Е ——энергия частицы, а функция Гамильтона при наличии потенциальной энергии V(г) равна

"Т+")(2・2)

(р ——импульс частицы, /и。— ее масса). Функция Гамильтона (2.2) соответствует нерелятивистскому случаю, когда скорость V = p/恤 частицы много меньше по величине скорости света е《с).

С другой стороны, для описания движения частицы можно воспользоваться уравнением Гамильтона — Якоби. Для этого рассматривают действие частицы как функцию конечного положения частицы，и времени f

S(r,力=“財(2.3)

о

где L = L(f, ”, f)——функция Лагранжа частицы (L = ар — ”). Частные производные определенной таким образом функции действия S(r, /), как известно, равны

VS = p,(2.4)

(2.5)

После подстановки в функцию Гамильтона (2.2) значения импульса (2.4) соотношение (2.5) приводит к уравнению

一^^ =*(^(乙/))2+匕(2.6)

Это дифференциальное уравнение для S носит название уравнения Гамильтона ——Якоби.

В том случае, когда потенциальная энергия V не зависит от времени, уравнение (2.6) имеет интеграл

S&, f)=— 瓦+ S&).(2.7)

Подставляя это выражение для S (г, /) в уравнение (2.6), для определения функции S(r) получаем следующее уравнение:

Е=2^^(г)У+У(г)9(2.8)

называемое стационарным уравнением Гамильтона — Якоби.

Волновое уравнение для электронов. Для того чтобы учесть волновые свойства электронов, характеризующиеся деб- ройлевской длиной волны 九，необходимо произвести обобщение уравнения Гамильтона — Якоби, записав волновое уравнение

Шредингера. О строгом выводе подобного уравнения не может быть и речи. Его следует рассматривать как некое постулиро-* ванное уравнение

一4•需=一亲v绅+u也(2.9)

где 屮 ——волновая функция, физический смысл которой будет выяснен ниже.

Для комплексно-сопряженного уравнения Шредингера имеем

午等=一薪%" +⑵10)

Уравнение Шредингера должно удовлетворять ряду предельных условий. Прежде всего при Й ->0 оно должно переходить в уравнение Гамильтона ——Якоби, т. е. волновые свойства электронов должны исчезать. В справедливости такого перехода легко убедиться, если вместо волновой функции г|)ввести функцию S при ггокгощи соотношения

屮(乙 f) = 4e(〃*s(r，f).(2.11)

Учитывая равенства

V^= -у (VS)也

^ = -^(VS)2屮 + ； (V2S) ф,(2; 12)

霊г(*)也

преобразуем уравнение (2.9). Поскольку волновая функция ф в результате данного преобразования должна входить во все члены лишь множителем, мы ее можем сократить. Тогда полу、 чаем:

Полагая в последнем уравнении Й -> 0, находим уравнение Га* мильтона ——Якоби (2.6), причем функция S в данном предельном случае представляет собой функцию действия.

Уравнение (2.13) совершенно эквивалентно уравнению Шре^ дингера. Если бы нам удалось решить точно уравнение (2.13), то мы могли бы найти и волновую функцию.

Второй предельный случай, который мы хотим рассмотреть на базе уравнения (2.9), — это случай свободного движения.

Когда гготенциальная энергия отсутствует (V = 0), уравне・ Hire (2.9) допускает точное решение.

Волновая функция в этом случае равна

^ = Ae-^<Et-pr\^ = Ae-^<Et-pr\(2Л4)(2Л4)

^ = Ae-^<Et-pr\

^ = Ae-^<Et-pr\

(2Л4)

(2Л4)

(2.15)(2.15)Подставляя (2.14) в (2.9), получим известное классическое соотношение между энергией и импульсом частицы при отсут-* ствии внешних сил:

(2.15)

(2.15)

В случае, если ось х мы направим по импульсу р, то будем иметь

屮==：/«—(〃方)(Ef—p%).

Принимая во внимание, что движение плоской волны опре^ деляется соотношением

•ф = /е-z(з—х) = Ae~2ni ^ ^^(2.16)

найдем

£ = Й(о = ftv, р = hk.

Отсюда для одномерного движения получаем известное выра-* жение для дебройлевской длины волны:

диди(2.17)(2.17)

ди

ди

(2.17)

(2.17)

Переход от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона—Якоби эквивалентен в теории света переходу от волнового уравнения к уравнению эйконала, т. е. к геометрической оптике-

Заметим, что волновое уравнение для фотонов содержит вторую производную по времени, в то время как в уравнение Шредингера входит первая производная по времени. Это связано с тем обстоятельством, что уравнение Шредингера описьь вает движение нерелятивистской частицы, в то время как фен тоны всегда являются релятивистскими. Если же исходить из релятивистского соотношения между энергией и импульсом (см. (1.7)), то тогда релятивистское волновое уравнение принимает вид (свободная частица)

一力2 =一力2 V纯+产他患2也

Полагая m0 = 0, мы найдем волновое уравнение для фото-* нов. Уравнение же Шредингера из него получается, если мн положим £рел = Е + т“2 и предположим, что р《mQct тогда можно отбросить члены второго лорядка малости (丄).

Таким образом, уравнение Шредингера удовлетворяет не・ обходимым предельным условиям. При й == 0, т. е. когда мы

можем пренебречь дебройлевской длиной волны, оно переходит в уравнение Гамильтона — Якоби. Свободное же движение электронов является волновым с длиной волны, определяемой формулой де Бройля.

Заметим, что, когда потенциальная энергия не зависит от времени, в уравнении Шредингера мы можем сделать замену

гр (г, /) = е-(询 е绅⑺.(2.18)

Тогда волновая функция -ф(г) будет удовлетворять стационар^ ному уравнению Шредингера

^ 6 =-驀V師⑺+ ^⑺，(2・19)

которое при й~>0 переходит в стационарное уравнение Гамильтона—Якоби (см. (2.8))・

6)Физический смысл волновой функции 屮.Для того чтобы выяснить физический смысл волновой функции “， или, точнее, выяснить вопрос, какую ей можно дать интерпретацию, найдем плотность заряда р и плотность тока /, которые связаны между собою уравнением непрерывности *)

^ + div/ = 0.(2.20)

Для этого умножим уравнения Шредингера (2.9) и (2.10) соответственно на волновые функции -ф* и ф и, вычитая одно равенство из другого, найдем

m + 跣V仲^* -炉V吻=°-(2・21)

В последнем уравнении волновая функция зависит и от г, и от /. Соотношение (2.21) можно записать также в виде

曹磊m帥 grad 屮* 一炉 grad 2)=0.(2.22)

*) Уравнение непрерывности выражает собою закон сохранения заряда. В самом деле, умножая (2.20) на 公％ и интегрируя полученное соотношение по всему пространству» мы найдем

^> , р d3x = - , div / cP% = — § (j dS),

где поверхность S удалена на бесконечность, так как охватывает весь объем. Предполагая, что на бесконечности токи отсутствуют, мы найдем, что полный заряд остается величиной постоянной:

\ р d3x = е = const.

Умножая (2.22) на элемент объема (fix и интегрируя по всему пространству, имеем:

илиили(2.23)(2.24)(2.23)(2.24)齐，炉中^ = 0,

или

или

(2.23)

(2.24)

(2.23)

(2.24)

)фф d3% = const.

Поскольку уравнение Шредингера — линейное, то волновая функция 屮 определена с точностью до постоянного численного коэффициента. Мы всегда можем выбрать его так, чтобы нормировочный интеграл (2.24) равнялся единице )

，炉фсГл:=1. (2.25)

При этом еще остается произвол относительно умножения волновой функции на постоянный фазовый множитель, по модулю равный единице:

гр -► ^ = eia^pf ip* f 也*，== 6-m中*,

где а — постоянное действительное число (\eia\— 1). Заменяя 中 на 1|/ = 6值屮 и г|)* на e-以屮*, Мы видим, что равенство (2.22) не нарушается и интеграл (2.25) не меняет своего значения.

Сопоставляя уравнение (2.22) с (2.20) и полагая заряд электрона равным е, находим для плотности заряда и для плотности тока, соответственно, выражения

р = eib*ib,

(2.26)

7 =繇仲 grad ф* —屮* grad *)•

Таким образом, квадратичные комбинации волновых функций ф и 2* (2.26) удовлетворяют уравнению непрерывности (2.20), известному еще в классической физике. Однако имеется принципиальное различие в интерпретации этого уравнения в квантовой и классической физике.

В классической физике существует возможность проследить за движением отдельных частиц постольку, поскольку известны их траектории. Поэтому в уравнении непрерывности типа (2.20)

р понимается как плотность числа частиц, а /—как плотность потока частиц материи.

В квантовой механике, напротив, импульс и местоположение частицы в каждый момент времени 力 одновременно не известны точно. Соответствующие неточности находятся из соотношения неопределенностей. Поэтому для волновой функции 屮，описы- вающей состояние частицы (или в общем случае — квантовой системы), принимается вероятностная интерпретация, предложенная Борном. Согласно Борну произведение p*(rji|)(rj сле^ дует понимать как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства с радиус-вектором г. Это означает, что квантовая механика даже для одной частицы является вероят-» ностной теорией.

Умножая 屮*屮=|屮]2 на элемент объема d3x, получим |屮 12dз% — вероятность обнаружить частицу в области пространства объемом d3x вокруг точки г. Равенство (2.25) при этом означает, что частица обязательно находится в какой-то из точек пространства и поэтому полная вероятность всех значений ее координат равна единице.

г) Линейные операторы в теории Шредингера. Введем понятие линейных операторов, с помощью которых запишем урав-» некие Шредингера.

Линейные операторы при действии на обычные функции f(r) должны обладать следующими свойствами:

MS + %) = Mf 1 + М%, МС/ = СМД (2.27)

где С — постоянное число.

В качестве линейных операторов можно выбрать, например, операцию дифференцирования *) или умножения на обычные функции ).

Если сравнить обычное классическое уравнение (см. (2.1) и (2.2)) с волновым уравнением Шредингер.а (см. (2.9)), то для перехода от классического уравнения к волновому необходимо энергию Е заменить оператором энергии:

EfE = —今宗，(2、28)

а импульс р— оператором имиульеа:.

р — р = К⑵ 29)

и подставить эти операторы в классическое уравнение. Тогда будем иметь

E = U；p2+")，(2.30)

Сами по себе операторы, т. е. в данном случае символы дифференцирования, лишены какого бы то ни было физического содержания. Поэтому, чтобы соотношение (2.30) приобрело физический смысл, необходимо подействовать операторами на волновую функцию -ф.

Тогда вместо (2.30) получится уравнение для 屮

EW = HW，(2.31)

где для оператора функции Гамильтона имеем

Подставляя в (2.31) операторы (2.28) и (2.29), получим уравнение Шредингера (2.9). Заметим, что замена энергии и импульса в классических уравнениях их операторными значениями (2.28) и (2.29) имеет универсальный характер. Такой заменой можно получить волновое уравнение при наличии магнитного поля, а также и в релятивистском случае. Так, например, волновое уравнение для нерелятивистской частицы с зарядом е при наличии электромагнитного поля, характеризуемого векторным потенциалом А и скалярным потенциалом Ф, должно быть получено из уравнения Шредингера в свободном случае путем замены операторов Е и р следующими операторами: Е->Е — е①，pf р —卷4 В результате находим уравнение

Е2 =［肃(Р 一 £ "У + °①］电(2.33)

Если подействовать оператором энергии на монохроматическую волну (2.18), соответствующую волновой функции свободного движения, то оказывается, что она удовлетворяет уравнению на собственные значения

Е\|)= Е1|),(2.34)

где Е является собственным значением оператора энергии. Точно так же в случае свободного движения волновая функция (2.18) удовлетворяет уравнению на собственные значения для оператора импульса

pW = p2,(2.35)

гда р — собственное значение импульса.

Таким образом, полученные выше соотношения фактически оправдывают выбор (2.28) и (2.29) для операторов энергии и импульса.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Стационарный случай. Стационарное уравнение Шредингера (2.19), которое имеет место, когда потенциальная энергия не зависит от времени, запишем в виде

炉巾 + 欝(£-У(г))” = 0・ (3.1)

В уравнении (3.1) потенциальная энергия V(r) задается как функция координат. Наша задача заключается в том, чтобы найти энергию Е и волновую функцию -ф. На волновую функцию как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма — Лиувилля, должны быть наложены следующие условия. Она должна быть непрерывна, иметь непрерывную производную. Это приводит к тому, что заряд и плотность тока (см. (2.26)) также должны быть непрерывными. Кроме того, волновая функция должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям. В случае дискретного спектра, когда на бесконечности (r-> со) V > £, волновая функция стремится к нулю (р->0).

Эти требования приводят к тому, что решение волнового уравнения (3.1) существует лишь при определенных значениях параметра. В данном случае таким параметром является энергия Е, а возможные ее значения, получившие название собственных, определяют энергетические уровни системы:

%, %，£3,…，旦，・，， (3.2)

Соответствующие этим значениям решения волнового уравнения

*Ф1> 电2,屮3，• • •，*Ф/г» • • • (3.3) называют собственными функциями, а нумерующие их числа 几 обычно называют квантовыми числами.

Собственные значения и собственные функции нумеруются одним квантовым числом для одномерного случая (например, движение вдоль оси %). В трехмерном случае волновые функции гр зависят от трех квантовых чисел. Собственные же значения энергии Е также могут зависеть от трех квантовых чисел, хотя бывают случаи, когда энергия зависит от двух квантовых чисел или даже от одного. В последних случаях мы имеем так называемую вырожденную систему, когда одному и тому же уровню энергии соответствует несколько волновых функций. Та*

ким образом, в общем случае под п можно понимать несколько квантовых чисел.

Согласно (3.1) собственные значения и собственные функции связаны между собою уравнением

w必+翁(当一卩)" =0,(3.4)

или

(晶一Н)必=0,(3.5)

где оператор функции гамильтона Н определяется соотношением (2.32).

Определение собственных значений для энергии Е представляет собою квантование энергетического спектра, на необходимость которого для гармонического осциллятора впервые указал Планк (см. (1.13)). В полуклассической теории Бора квантование производилось на основе постулата устойчивых состояний, в то время как из уравнения Шредингера энергетический спектр (3.2) получается совершенно автоматически.

Определив энергетический спектр, мы можем частоту излучения найти как результат перехода из состояния и в состояние %’ (Е < EQ. Рассматривая при этом фотон как частицу с энергией Йо, мы можем написать закон сохранения энергии:

力sеП e紋,

из которого находим частоту излучения

①—=^•(3.6)

Соотношение (3.6) представляет собою второй постулат Бора и носит название условия частот,

В квантовой механике оно также получается автоматически на основе квантовой теории излучения (см. ниже). Важно при этом определить квантовые вероятности переходов или интенсивность излучения, которые зависят от собственных значений волновых функций 1|)〃.

Общее решение. Определив собственные значения Еп и собственные функции р% мы можем найти частные решения уравнения Шредингера (2.9) и (2.10), которые будут иметь соответственно вид *)

九(，，i) = e^ilh}E^n(r\ 眩(厶 /) = *)%£%⑺.(3 7)

Поскольку уравнение Шредингера является линейным, для него имеет место принцип суперпозиции, согласно которому об” щее решение равняется сумме или, точнее, линейной комбнна- цип частных решений, т. е.

少=zg【側分‘办，(3.8)

w* = ?g評对分’%(3.9)

где Сп и Сп — некоторые произвольные постоянные коэффициенты.

Для того чтобы проверить решение (3.8), подставим его в уравнение Шредингера (2.9). Тогда будем иметь

(Е — Н)巾=£ Cgam е/ (/ - Н)必=0.

При выводе последнего соотношения мы приняли во внимание стационарное уравнение Шредингера (3.4).

Подставляя выражения (3.8), (3.9) в условие нормировки (2.25) и заменяя в равенстве (3.9) индекс п индексом n\ найдем

£ Cn.Cne^wt^E^ \ %屯 d3% = 1.(3.10)

Для того чтобы выполнялось соотношение (3.10) для невырожденной системы, т. е. для того случая, когда каждому собствен* ному значению Еп соответствует лишь одна-единственная волновая функция 2〃, собственные волновые функции должны удо* влетворять условию ортогональности, т. е.

，屮；2〃 &з% = 0 при 九‘，乙(3.11)

В противном случае левая часть (3.10) будет зависеть от времени, и тогда для произвольных значений постоянных коэффи^ циентов Сп это равенство не может иметь места.

Далее, не нарушая общности рассуждений, мы можем при п = 〃', когда левая часть (3.10) не зависит от времени, выбрать волновые функции таким образом, чтобы они были нормированы на единицу:

\^nd^ = i.(3.12)

Вводя дельта-символ Кронекера — Вейерштрасса:

(1 при п — п\""一 (0 при 以 干紋,

условия (3.11) и (3.12) можно объединить в одно, получившее название условия ортонормированности\

卜；心 d% = 6“(3.14)

При наличии же вырождения, когда одному и тому же значению энергии Еп соответствует несколько волновых функций, например, две:也 и 峭 они могут оказаться и не ортогональными друг к другу:

\ 也:3^3%= В#= 0.

Тогда из них всегда можно составить такие линейные комбинации (в данном случае две), которые будут ортогональными. Например, в случае вещественного В такими комбинациями являются следующие:

"i = WW,巾成=而В •

Поэтому при наличии вырождения мы можем всегда выбрать волновые функции таким образом, чтобы условие ортонормиро- ванности имело вид

，(3・15)

причем в нашем простейшем случае индекс m = 1, 2.

Если воспользоваться условием ортонормированности (3.14), то выражение (3.10) мы можем представить в виде

£*=1・(3.16)

Отсюда мы можем дать следующую интерпретацию коэффициентов Сп. квадрат модуля СпСп = \ Сп I2 должен характеризовать вероятность нахождения частицы в состоянии %. Например, когда частица с полной достоверностью находится в квантовом состоянии 〃, мы можем положить С〃 = 1, а все остальные коэффициенты Сп^ (九'#=/:) равны нулю (Сп = 0). Тогда для волновой функции находим частное решение (3.7). В то же время, согласно Борну (см. § 2 пункт 6), величину

(3.17)(3.17)%⑵П|w/2

(3.17)

(3.17)

следует трактовать как плотность вероятности распределения по пространству электрона, находящегося в квантовом состоянии *%

Квантовые ансамбли. В квантовой механике можно ввести понятие квантовых ансамблей, объединяющих совокупность одинаковых невзаимодействующих друг с другом частиц (например, электронов или фотонов), описываемых одной и той же волновой функцией.

В самом деле, если электроны обладают отличной от нуля вероятностью нахождения в двух квантовых состояниях ni и 九2, то тогда общая волновая функция должна представлять собою линейную комбинацию волновых функций этих состояний, которая согласно (3.8) равна

屮=%金個 ％%| + JeY 冏 *叫н (3.18)

Выражение (3.18) являете^ следствием принципа суперпози-« ции, который должен иметь место для уравнения Шредингера благодаря тому, что оно является линейным.

При определении плотности вероятности распределения электрона по пространству находим

享*=4 J%№i + 4%寓嘉,+ 4%f"为"阳L/')%+ +

+ C\Cn^4^r^^ (3.19)

Ансамбль, описываемый волновыми функциями, которые можно складывать, как в (3.18), называется чистым (квантовым) ансамблем. В этом случае смешанные члены, пропорций* нальные произведению С；2c齿 и。萩&八 определяют статистическую связь между невзаимодействующими электронами, находящимися в различных квантовых состояниях. Наличие этой связи приводит к волновым явлениям интерференции и дифракции дебройлевских волн. Чистые ансамбли, связанные с принципом суперпозиции, могут встречаться в любом волновом процессе. В волновой оптике они образуют так называемый когерентный свет.

Наряду с чистыми ансамблями существуют смешанные ансамбли. Они, как правило, встречаются в классической теории частиц, когда складываются не волновые функции, а вероятности, т. е.

ICp-lC^ + ICsP. (3.20)

В этом случае никакой статистической связи между различными состояниями не возникает, и поэтому должны отсутствовать ти* личные волновые процессы, такие, как интерференция и дифракция.

В волновых процессах смешанный ансамбль возникает при исчезновении членов, пропорциональных UG и &&・ Это воз* можно, когда фаза между различными квантовыми состояниями

быстро изменяется со временем. В волновой оптике подобная ситуация имеет место для так называемого некогерентного света, возникающего от двух (или нескольких) независимых источников.

О статистической интерпретации волновой функции. Итак, волновые свойства электронов и фотонов связаны со статистической интерпретацией волновой функции.

При наличии многих электронов статистическая интерпретация волновой функции не вызывает каких-либо трудностей. В этом случае величину /= \^\2 следует рассматривать как функцию распределения. Дифракционную картину мы можем интерпретировать следующим образом: на светлые пятна попадает наибольшее число электронов, т. е. функция / достигает максимума： Вероятность же движения электронов по направлению темных пятен, наоборот, будет наименьшей.

Большие затруднения в статистической интерпретации волновой функции возникли при описании движения одного электрона. В самом деле, квантовая механика не может точно указать, по какому направлению он начинает двигаться после прохождения дифракционной щели. Неправильно было бы говорить, что электрон представляет собою и частицу и волну. Если бы один электрон представлял собою волну, то тогда одна его часть пошла бы по одному направлению, а другая часть — по другому. На самом же деле электрон представляет собою чрезвычайно малую частицу, размеры которой еще не определены. Эксперименты по изучению столкновения электронов очень большой энергии, например, с позитронами говорят лишь о том, что электронный радиус меньше чем 10~16 см ). Поэтому при прохождении одного электрона сквозь дифракционную щель на экране мы будем наблюдать лишь одну точку. Однако, если начать последовательно пропускать отдельные электроны, то одиночные точки будут постепенно сливаться, образуя в совокупности на экране дифракционную картину, совпадающую с той, которая возникает от одновременного пропускания многих электроцов. Это напоминает до некоторой степени стрельбу по мишени, когда попадание одной пули дает как будто бы случайную отметку. Однако при большом числе выстрелов можно установить некоторый закон попадания. Отличие заключается в том, что пули представляют собою смешанный (классический) ансамбль, и поэтому возникает лишь один максимум, лежащий в центре

(гауссова кривая). Совокупность электронов представляет собою чистый (квантовый) ансамбль, и поэтому вместо гауссовой кривой мы получаем дифракционную картину, т. е. наряду с главным максимумом, лежащим в центре, мы будем иметь ряд относительных максимумов, расстояние между которыми зависит от размеров дифракционной щели и от дебройлевской длины волны. Такую же картину мы получим при последовательном пропускании отдельных фотонов.

Таким образом, приходится пересмотреть вопрос о причинности в теории движения точечных частиц. Если по классической механике при известных силах и начальных условиях мы можем точно и однозначно предсказать траекторию движения частицы и ее скорость, то по квантовой механике мы можем предсказать лишь вероятность того, по какому направлению и с какой скоростью или импульсом точечный электрон будет двигаться, причем точность предсказания ограничена соотношением неопределенностей (см. (1.60))

Дрх • ^x^h. (3.21)

Вокруг этого вывода разгорелись большие методологические дискуссии. Одна из попыток объяснить некоторую «свободу» поведения основана на введении так называемого принципа дополнительности (Бор, Гейзенберг).

Согласно этому принципу соотношение неопределенностей возникает благодаря тому, что воздействие наблюдателя на объект нельзя свести к нулю. Для иллюстрации принципа дополнительности можно привести следующий пример.

Допустим, что мы хотим определить положение электрона с помощью ультрамикроскопа. Если электрон будет двигаться на таком расстоянии от объектива, что угол между падающим и рассеянным пучками света с длиной волны X окажется равным ф, то согласно законам оптики координату электрона % в некотором направлении, параллельном плоскости объектива, можно измерить с точностью до величины

(3.22)

Однако в силу того, что фотоны обладают импульсом р = •—, который частично передается электрону (эффект Комптона), составляющая импульса электрона вдоль оси % может быть определена с точностью до величины порядка

Ap%~±sin(p・ (3.23)

Произведение Дх и Ар* приводит к соотношению неопределенностей (3.21),

яма)яма)Общее решение уравненияОбщее решение уравнения(4.2) будет (потенциальная(4.2) будет (потенциальная屮=4 sin (也％ + d),屮=4 sin (也％ + d),(4・4)(4・4)

яма)

яма)

Общее решение уравнения

Общее решение уравнения

(4.2) будет (потенциальная

(4.2) будет (потенциальная

屮=4 sin (也％ + d),

屮=4 sin (也％ + d),

(4・4)

(4・4)

Тем не менее объяснение возникновения вероятностного характера теории движения электрона с помощью введения неконтролируемого воздействия наблюдателя не является удовлетворительным, так как с его помощью нельзя понять все выводы квантовой механики. Вероятностный характер квантовой теории (т. е. отсутствие однозначной предсказуемости результатов измерений) свидетельствует лишь об ограниченности применимости лапласовского детерминизма и носит, бесспорно, объективный характер. Таким образом, квантовая механика независимо от приборов и способов наблюдения должна описывать объективные закономерности микромира.

ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТРУРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

о) Потенциальная яма. Рассмотрим одномерные задачи (движение вдоль оси %) и выберем простейшую зависимость потенциальной энергии от расстояния» Для так называемой пря・ моугольнай потенциальной ямы эта зависимость определяется выражением (см. рис. 4.1)

"о

при

—8 V х V 0

(область /),

У(%) = «

0

при

0 ^^ х ^^ /

(область //),(4.1)

.Ио

при

/ < X < ОО

(область 〃/):

Для дискретного спектра энергия £ должна быть меньше потенциальной энергии на бесконечности, т. е. должно выпо«ъ няться соотношение £ V 匕).Тог-

да стационарное уравнение Шредингера (см. (3.1)) для области 〃 должно иметь вид

屮" + 胪屮=0,(4.2)

где

v纯=礬=旷，

а

々=哼1 =方 (4.3)

где 从2 н 6 — произвольные постоянные.

В областях / и III уравнение Шредингера может быть представлено в форме

旷屮=仇(4.5)

где

…匹耳三亙*

(4.6)

Решение уравнения (4.5) (потенциальный барьер % > Е)

^1,з = ^1.з^ + Вьзе-^

(4・7)

(力 1,з и Bi, з — произвольные постоянные) содержит две части: экспоненциально убывающую и экспоненциально возрастающую (см. рис. 4.2).

Собственные значения для энергии электрона находятся из граничных условий, согласно которым экспоненциально возрастающее решение должно обращаться в нуль. Для этого мы

должны положить в первой области А[ = А и 3【=0, в

勿

〃

Экспоненциально вырастающее решение

Рис. 4.2. Волновая функция при некотором зна， чении Е. За ось абсцисс для волновой функции взят энергетический уровень.

^слоненциаль- наубь18aHкце& решение

третьей области В3 = В*. Тогда иметь:

Л3 = 0, будем

t|)] = /е"* = Л^~х I ” I при х < 0,

*з = Bgf (D

при х > Z.

(4・8)

(4・9)

«Сшивая» волновые функ・ ции *ф1 н *2 в точке х = 0,

а также -фг и г|)3 в точке х = / (под «сшиванием» мы будем по-

нимать приравнивание волновых функций и их в заданных точках), получим

для точки % = 0Л2 sin д = Л,乙々 cos d = хЛ,

производных

(4.Ю)

т. е. находим

tg6 = ^・

(4.11)

Точно так же получим

в точке x = Ztg 侬+ » = 一卷.

Равенства (4.11) и (4.12) могут быть приведены к виду sin б = -^- и sin (必+ 6)=—击，

(4.12)

(4.13)

где %="2〃%%/小 T. е. 乂 =7/一舘.

Исключая из уравнения (4.13) величину б, находим для определения собственных значений уравнение

kl = пл —2 arcsin 告, (4.14) где и = 1, 2, 3, ... — целые положительные числа. Поскольку величина 力>0 (см. (4.3)), а аргумент 春匸^/备 <L MbI всегда можем (учитывая, что п — целое число) считать arcsin ~ лежащим в пределах от 0 до -у. В общем случае уравнение (4.14) можно решить графически.

Рассмотрим сначала более подробно случай 14》Е), например, когда потенциальная яма ограничена бесконечно высокими потенциальными стенками (击^。)。Тогда из уравнения (4.14) находим

h = * (4.15)

Отсюда для энергии Еп (собственные значения) и для соответствующей волновой функции (собственные функции) получаем

(4.16)(4.16)(4.17)(4.17)* _л2方2%2

(4.16)

(4.16)

(4.17)

(4.17)

、

^п = Ansinmy ・

В этом случае фаза 6 согласно (4,13) обращается в нуль, а выражение для волновой функции (4.17) имеет место внутри потенциальной ямы ()《％&/• В потенциальном барьере рп обращается в нуль (х-> оо). Коэффициент Ап может быть найден из условия нормировки

I/

,屮左或=畧,sin2 лп у- dx = у Л^ = 1.(4.18)

оо

Отсюда находим собственные функции

% = Уj- sin лп у,(4.19)

которые удовлетворяют и условию ортонормированности

，2公屮〃 d% == 0 при nz 喚 п.(4.2С)

о

из-из-частиц.Для плотности заряда по той же формуле находим значениячастиц.Для плотности заряда по той же формуле находим значенияппхппх(4.22)(4.22)

из-

из-

частиц.

Для плотности заряда по той же формуле находим значения

частиц.

Для плотности заряда по той же формуле находим значения

ппх

ппх

(4.22)

(4.22)

В этом нетрудно убедиться, подставляя в (4.20) вместо 屮紋 и *фл их значения из (4.19).

Выпишем некоторые конкретные выражения для собствен- ных значений Еп и собственных функций 屮％ соответствующие наименьшим квантовым числам п = 1, 2, 3:

屯=“^ sin

при

n = 1,

Е2 = 4£*i，

①2 = Д/俘 sin

2几%

T-

при

n = 2,

Ез==9Е1，

Фз =sin

3冗%

при

tt •—— 3»

(4.21)

Эти решения изображены на рис. 4.3. Они очень похожи на вестные решения для колебаний струны, которые образуют стоячие волны. Случай п = 1

соответствует основному тону, случай п = 2 — первой гармонике и т. д.

Наконец, найдем плотность заряда и плотность тока при движении частиц в потенциальной яме.

Прежде всего заметим, что для вещественных волновых функций согласно (2.26) плотность

высокими стенками.тока всегда равняется

нулю (/х = 0). Этот ре・ зультат вполне естествен, так как колебания представляют со- бою стоячие волны, которые не могут образовывать потоки

GT)GT)

GT)

GT)

и узлы (р = 0)и узлы (р = 0)которые представляют собою пучности

и узлы (р = 0)

и узлы (р = 0)

колебаний. Например, при п — 1 пучность будет находиться в точке х = т. е. в середине. Вообще же квантовое число п бу

дет определять число пучностей.

Непрерывный спектр. Непрерывный спектр мы рассмотрим на примере свободного движения частиц. В простейшем одномерном случае, когда на всем интервале изменения коорди-

наты х (—оо V % V 8) потенциальная энергия обращается в нуль (Y = 0), уравнение Шредингера принимает вид

@〃 +々2也=6(4.23)

где

^ = f.(4・24)

Оно имеет решение

^ = Aeikx + Be^lkx.(4.25)

Отсюда видно, что первое решение Ас-"®'-后幻 описывает движение волны в одном направлении оси х, а второе Ве-j(①力+论*)— в противоположном. Волновое число k может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Тогда одно первое решение может описать оба случая.

Ограничиваясь одной бегущей волной, движущейся вдоль оси % или против нее, для стационарной части волновой функции находим

巾=/с'丝(4.26)

Нетрудно убедиться, что интеграл

+<»\ 屮*业/3%f8

расходится, и поэтому стандартный способ нормировки (см. (2.25)) требует пересмотра.

Существует два способа нормировки этих волновых функций: метод Борна и метод использования дельта-функции Дирака.

б) Метод Борна. В методе Борна вместо граничных условий на волноную функцию накладывается условие периодичности.

Так, например, в одномерном случае, вводя длину периодичности Борна L (которую в конечном случае можно выбрать сколь угодно большой (L-> оо), поскольку она тем или иным способом исключается иа конечного результата), мы должны на волновую функцию наложить условие периодичности

巾(%) =屮(无 + L),(4.27)

или

А^х —力е 优(*+，)•

Отсюда находим

*=1,(4.28)

т・е.

尼=普=普.(4.29).

Квантовое число я может принимать как положительные, так и отрицательные значения, включая нуль, т. е.

п = 0, ±1, ±2, ±3,・・・(4.30)

Тогда для спектра энергии (свободное движение) получаем согласно (4.24):

e _ p2 _方 2A2 — 2门2 力 2%2П 一 2力0 — 2恤—znoZ?e _ p2 _方 2A2 — 2门2 力 2%2П 一 2力0 — 2恤—znoZ?Если предположить, что частица находится J-《％《E， то из условия нормировки

e _ p2 _方 2A2 — 2门2 力 2%2П 一 2力0 — 2恤—znoZ?

e _ p2 _方 2A2 — 2门2 力 2%2П 一 2力0 — 2恤—znoZ?

L/2

\屮*屮融=1

Т/2 находим

4 =丄

(4.31)(4.31)на отрезке(4.32)на отрезке(4.32)[[ j 2也1#[[ j 2也1#(4.33)(4.33)Поэтому нормированная функция равна

(4.31)

(4.31)

на отрезке

(4.32)

на отрезке

(4.32)

[[ j 2也1#

[[ j 2也1#

(4.33)

(4.33)

Легко показать, что волновые функции являются не только нормированными, но и удовлетворяют условию ортонормированно- сти, в чем нетрудно убедиться путем непосредственного интегрирования

〃22/22 冗-L/2-L/2〃22/22 冗-L/2-L/2sin л (n — nz)sin л (n — nz)л (n -献)л (n -献)= 6”・= 6”・(4.34)(4.34)

〃22/22 冗

-L/2-L/2

〃22/22 冗

-L/2-L/2

sin л (n — nz)

sin л (n — nz)

л (n -献)

л (n -献)

= 6”・

= 6”・

(4.34)

(4.34)

Таким образом, вводя искусственным путем длину периодичности, мы делаем непрерывный спектр дискретным. Однако, если в конечном результате длину L, не имеющую особого физического смысла, стремить к бесконечности, то дискретный спектр становится непрерывным. В самом деле, из равенства (4.31) находим для разности Д£ между двумя соседними уровнями:

а ь2 几2 力 22%

АЕ =гт- Ап.

Учитывая, что Дп= 1, а р = та = ^^-, находим

АЕ = ^и・(4.36)

Отсюда видно, что, полагая L~> оо, мы найдем, что ДЕ今0, т. е. спектр энергии будет непрерывным.

Обобщим указанную задачу на трехмерный случай движения свободной частицы.

Уравнение Шредингера в этом случае принимает вид:

(备+詣+名+必)『。，(4・37)

где

統=需£.(4.38)

Накладывая на волновую функцию условие периодичности для всех трех координат

V (居 у, 2)=屮(％ + Ь, у, 2),

W(X, у,力=屮(X, у + L, z),(4.39)

巾(X, у, 2)=屮(X, yt z + L), находим, что общее решение равно

w6工备川叫(4.40)

где

瓦=瓦=賢二局=史匕庵=怨丄. (4.41)

Величины ль,几2 и Пз могут принимать любые целые как положительные, так и отрицательные значения, включая нуль. Полученные решения, так же как и в одномерном случае, удовлетворяют условию ортонормированности d% = dx dy dz)

\ 也他d“i”2"3”' = £严&2臨3%'(4.42)

а волновая функция, зависящая не только от координат, но н от времени, будет равна

W = f^eT//o(Ef-w),(4.43)

где

标，e =金=需(片+ % + 片)・(4・44)

г) Дельта-функция Дирака. Прежде чем излагать нормировку на дельта-функцию, необходимо остановиться на некоторых ее основных свойствах. Она представляет собою обобщение дельта-символа Кронекера — Вейерштрасса на непрерывные функции.

Допустим, мы раскладываем некоторую функцию по полной системе ортонормированных функций

fW = £fAW,(4.45)

где система функций *ф”(х) подчиняется условию ортонормигро- ванности:

":，(%)⑵⑺放=6〃小(4.46)

т. е. представляет собою орты в бесконечномерном, так называемом гильбертовом, пространстве. Этому условию, в частности, удовлетворяют собственные функции уравнения Шредингера.

Умножая (4.45) на -ф*, (х) и интегрируя по всему пространству, мы найдем обобщенные коэффициенты Фурье 〃：

fn-\t^W)d/.(4.47)

Подставляя (4.47) в (4.45), имеем.

f (%) = £ \ df f^)屮；(f) 2〃 (x).(4.48)

В равенстве (4.48) вначале необходимо взять интеграл по d%[ а затем вычислить сумму по п, поскольку сумма

£ 屮 К*)外(%)(4・49)

всегда явлй^г^ расходящейся. Однака, если мы введем некоторый «обрезающий» множитель, например,干仪网(а * @) та* ким образом^ чтобы сумма

鹏(*№(%)(4.50)

стала сходящейся, то равенство (4.48) мы можем представить в виде:

fW =上％，" f W) 2 e-a g % 停)弘(х).(4.51)

Величина

£e~aI п|«ф*(/)屮几(x) = 6(xz — x, a)(4.52)

становится размазанной. Можно ввести и другие множители, которые делают сумму (4.52) сходящейся. Поскольку в конечном результате (т. е. после интегрирования) мы полагаем множив тель а равным нулю, то способ введения этого множителя может быть самым разнообразным.

Величина (4.52) носит название размазанной дельта-функции. Саму же дельта-функцию можно ввести следующим образом:

(4.53)(4.53)б(хл —x) = Z С 3)弘(х).

(4.53)

(4.53)

Рассмотрим конкретное выражение 6-функции Дирака в случае свободного движения. В этом случае решения для ортов в гильбертовом пространстве принимают в-ид (см. (4.33))

%(%)=涼k:(4.54)

Из равенства (4.54) следует условие ортонормированности 厶/2

С九一紋)力sin п(п — nf)

-L/2

Согласно (4.53) дельта-функция Дирака в этом случае равна

6(*，一*)=4 £ 羚"j)・(4.56)

Введем далее новую переменную 々 = ^Ь и учтем, что

Ajfe = (誉)А〃 =筹，(4.57)

поскольку Дп= 1.

Если длину периодичности L стремить к бесконечности (ДА -> 0), то сумма (4.56) перейдет в интеграл

6(炉—％) = £ \ dk eik^^ = ^\ d^ cos 左(/ — %),(4.58)

— ОО0

а для функции f (х) вместо (4.45) будем иметь

f (х) = dk d£ f(xf) cos k (л/ — x).(4.59)

о

В равенстве (4.59) порядок интегрирования является весьма существенным: вначале по х\ затем по 瓦

Если же мы хотим изменить порядок интегрирования, то мы должны ввести размазанную дельта-функцию (а > 0):

(/ —尤，а) = ^，dke^ak cos k (%' — x).(4.60)

о

Тогда равенство (4.59) принимает вид

f^= lira，d%' f (%') g，dG с」％ cos k (/ — %).(4.61)

Если вычислить интеграл (4.60), то размазанная дельтафункция становится равной (см. рис. 4.4)

63一居 a) = 士 球*多-".(4.62)

В самом деле,

когда x = V

6(炉一居 a) = ；^-f оо при а~>0,(4.63)

когда % 峻%'

(£ — х, а) = —• 1 产三产=0 при а f 0,

т. е. дельта-функция обладает следующим свойством:

Г

ю при xf ~х9、

п у4.64

0 при к f к.

В случае интеграла Фурье дельта-функция равна

6 停 一 ％)=去 J dk e*(%'т)= ±\ dh3sh (V 一 x), (4.65) —OO0

т. e. имеет ту же форму записи (4.58), что и в результате предельного перехода для ряда Фурье (4.56).

Поскольку окончательный результат не зависит от способа размазывания, Дирак предложил равенство (4.59) записать в виде

〃%) Т，" f (К) J dk cos k (f - x),(4.66)

о

понимая его в смысле предельного перехода (см. (4.61)).

Учитывая равенства (4.65) и (4.66) при наличии под интегралом дельта-функции, будем иметь

，6 (f 一 х) f (犬)dX = f (*)・(4.67)

Точно так же, принимая выражение (4.64), имеем (Ь > а)

Ьа

"(/)6(^-X)^ = - \1(^)6(^ 一 %)dX =

(fM при Ь>х>а9

^ I 0 при х > 6 или % V а,( •)

т. е. для того, чтобы получить отличный от нуля результат, точка х должна лежать в области интегрирования a <Z х <. Ь. Несмотря на то, что дельта-функция обладает необычными для функции свойствами (см・ (4.64)), с ней мы можем обра-

щаться как с обычной функцией, т. е. взять от нее производную или рассматривать ее как производную от разрывной функции. Для этого проще всего взять размазанную дельта-функцию

а в окончательном результате параметр размазывания а стремить к нулю. Тогда производная от размазанной дельта- функции будет равна

©6(Х —%,а) — 2а (X —%)

俞 ——л (а2 + (xz - х)2)2 *丿

Производная от размазанной дельта-функции изображена на рис. 4.5. Интеграл при наличии производной от дельта-функции

равен

，6’ (炉 一 х) f (V) d%‘ = 一尸(x).(4.70)

Точно так же легко показать, что дельта-функция представляет собою производную от разрывной функции. Для этого введем размазанную функцию

Y (л/ — %, а) = ^ f с-а左罩”毕二立 dh = g arctg (471)

предел которой при а->0 становится разрывным:

Y (%' — %) = lim у (V — X, а) = g , 一任士书.77 %) dh =

о

{

—%при%’ < 叫

0приxf =х»(4・72)

%При/ > X.

Размазанная ^-функция изображена на рис. 4.6 — сплошная линия, а ее предельное значение изображено пунктирной линией.

Рис. 4.6. Функция (в пределе разрывная), производная от которой дает дельта функцию.Рис. 4.6. Функция (в пределе разрывная), производная от которой дает дельта функцию.Взяв производную ОТ у(xz — л), мы получим дель* та-функцию:

Рис. 4.6. Функция (в пределе разрывная), производная от которой дает дельта функцию.

Рис. 4.6. Функция (в пределе разрывная), производная от которой дает дельта функцию.

S (У — х) = У (%' — %)=

=/ \ cos 6 (/ - %) d瓦(4.73) о

Дельта-функция позволяет описать производную от разрывной функции.

В самом деле, пусть функция f(x) равна fi(x) при х < х0 и равна %(%) при

f2 aо) 一 fi (xo) = a・f2 aо) 一 fi (xo) = a・(4・74)(4・74)х > хо> в точке же х « %о она претерпевает разрыв, равный

f2 aо) 一 fi (xo) = a・

f2 aо) 一 fi (xo) = a・

(4・74)

(4・74)

Указанную функцию мы можем представить в виде

f W = fi (力信 一 Y (4 一加))+ % W (y + V U -向)).(4.75)

Тогда производная от этой функции будет равна

f 〃(%) при х<х0,

Г(х) = аб(х-Хо) + |/,(х) при(4.76)

Напишем некоторые полезные формулы, описывающие свойства дельта-функции:

6 (%) = 6 (—%),

т. е. дельта-функция является четной функцией;

*(%) = — *(—%),(4.77)

т. е. производная от дельта-функции является нечетной функцией;

$3) =晋；(4.78)

Ъ^ = Ху^(479)

S

где xs ——простые корни уравнения (р(х) = 0, лежащие в рассматриваемом интервале. Для вывода последнего соотношения необходимо учесть, что дельта-функция имеет особую точку при Ф(х) = 0. Поэтому функцию(р(%) мы можем представить в виде (в окрестности точки %$)

屮(%) = (% — &)(pz (&),

а затем должны воспользоваться соотношением (4.78).

В частности, из формулы (4.79) следует, что

6 (х2 -/)=9%専(" + %(4.80)

В равенстве (4.80), не нарушая общности, мы всегда можем положить а > 0.

©) Нормировка непрерывного спектра на дельта-функцию. Ограничимся рассмотрением свободного движения, когда волновая функция в одномерном случае может быть представлена в виде (см. (4.26))

Нормируя (4.81) на дельта-функцию, можно найти коэффициент А из соотношения

\ 屮*(Р〔 #)2(〃 ％) dx = /2 § J"-。dx =

=Д2Й2л *，ei 9-6)& dg = 6 (р‘ 一 р), (4.82) где & =专.

Учитывая, что

^e^^d^btp^p),(4.83)

(4.84)(4.84)мы находим значение для нормированного коэффициента А

(4.84)

(4.84)

т. е. нормированное на дельта-функцию решение (4.81) прини

мает вид

"3 ")=刁就*向*"3 ")=刁就*向*(4.85)(4.85)

"3 ")=刁就*向*

"3 ")=刁就*向*

(4.85)

(4.85)

причем

，2* (р「х) -ф (р, %) d% = 6 (р‘ 一 р)・(4.86)

Сравним нормировку дискретного спектра на дельта-сим вол Кронекера — Вейерштрасса:

，脸，")％(%)d% = %，，脸，")％(%)d% = %，(4・87)(4・87)

，脸，")％(%)d% = %，

，脸，")％(%)d% = %，

(4・87)

(4・87)

с нормировкой непрерывного спектра на дельта-функцию (см. (4.86)). Оба условия нормировки могут быть представлены в виде:

для дискретного спектра

吁空九(4.88) 总] I 0 при n < Пх или п>пц

для непрерывного спектра

У 尸(О при p<pi или р>р2.

Заметим, что в последнем равенстве случаи р — р\ или р — р2 требуют особого исследования и зависят от выбора раз* называния дельта-функции.

В трехмерном случае, когда движение совершается по направлению импульса р, вместо волновой функции (4.85) мы должны написать

"3')= 誌可"御3.(489)

Нормировка в этом случае равна )

，外(Р‘,「)屮(Р, г) Л = 6 (р； р),(4.90)

где трехмерная дельта-функция

3 — р) = 6 (К — Pi) 6 (& — 02)W Рз)=表"①f * d3g.

(4.91)

e) Решение уравнения Пуассона для точечного заряда. Как известно, уравнение Пуассона имеет вид

屮①⑺=—4冗р(г)・(4.92)

С помощью трехмерной дельта-функции легко описать плотность точечного заряда

р⑺=6⑺=鳥 \бУЗ 瓦(4.93)

где полный заряд мы положим равным 1 ).

Подставляя (4.93) в (4.92), для определения потенциала, получаем уравнение

▼①=一费，eS瓦(4.94)

Решение уравнения (4.94) имеет вид

①R*，?"瓦(4.95)

Для того чтобы убедиться в этом, необходимо подействовать оператором Лапласа V2 на функцию (4.95). Тогда, принимая во внимание равенство

W级々2e叫

докажем, что решение (4.95) удовлетворяет уравнению (4.94). Для того чтобы раскрыть интеграл (4.95), введем сфериче

ские координаты вектора k. Тогда

d眈=论2 dk sin 0 dSdQ

Направляя ось kz = k3 по вектору г, представим уравнение (4.95) в виде

ООЛ2л

①=杀 \ dJfe J е询 © е sin В d8 \ d(p.(4.96)

оо0

Илгегржфуя (4-96) ло углам 0 虱 屮，лайдем

6=*;用"瓦(4.97)

о

Принимая во внимание, что

С srn^r л о

найдем для иско^аго лотенцидла Ф значение

Ф = ~.(4.98)

Отсюда легко показать, что

W； = —4 威⑺.<4.99)

Последнее выражение неоднократно используем в дальнейшем, например, при вычислении контактных сил.

5. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯУРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Квазиклассич^ское приближение. Как было показано в § 2, уравнение Шредингера для волновой функции

<ф ：= Ае"冏 s'(5.1)

эквивалентно уравнению для функции S (см. также (2.13))

盡(grad 于 + У - Е -备 WS = 0.(5.2)

Если сравнить это уравнение с классическим уравнением Гамильтона — Якоби для функции действия S

蒜(gradS)2+Y — E = 0,(5.3)

то видно, что последнее слагаемое в квантовом уравнении (5.2), пропорциональное постоянной Планка Й, даст небольшие поправки к классическому уравнению при соблюдении условия

(gradS)2 >ft|V2S |.(5.4)

Приближение, определяемое неравенством (5.4), носит название квазиклассического.

Принимая во внимание, что р = grad S, последнее условие можно записать в виде

% divp|《1.

В частности, для одномерного случая имеем:

加泉Н嘤Н鳥眾)

Таким образом, квазиклассическое приближение оказывается достаточно точным в том случае, когда дебройлевская длина волны — величина постоянная или слабо изменяющаяся. Уточним последний вывод на конкретном примере.

Принимая во внимание, что

р = “2/По(Е - V) ,(5.6)

условие (5.5) мы можем записать в виде

今|碧Н嚮|《1，(5.7)

„ dV°

где 尸—классическая сила, действующая на частицу.

Отсюда, в частности, следует, что квазиклассическое при* ближение становится неприменимым при малых значениях импульса частицы и в особенности в тех точках, где по классической теории частица должна остановиться (Z = У, р = 0)- Такое положение имеет место, например, в случае, когда частица, находясь в потенциальной яме, в результате отражения от потенциального барьера начинает возвращаться обратно (точка поворота). Все это может найти простое объяснение, если учесть, что при р->0 дебройлевгкая длини волны стремится к бесконечности, и поэтому волновые свойства частицы будут проявляться особенно сильно.

Приближенный метод Вентце ля — Крамерса — Бриллюэна (метод ВК5). Как было отмечено^ уравнение (5.2) совершенно эквивалентно уравнению Шредингера. Поэтому можно попытаться в основу волновой теории положить именно уравнение (5.2), рассматривая член, пропорциональный 九，как некую дополнительную квантовую потенциальную энергию

尸=一戸 us (5.8)

в уравнении Гамильтона — Якоби.

Однако в общем случае решить нелинейное уравнение (5.2) значительно сложнее, чем линейное уравнение Шредингера, и поэтому многочисленные попытки повести развитие квантовой теории по пути точного решения уравнения (5.2) успеха не имели. Тем не менее Вентцелю, Крамерсу и Бриллюэну удалось, ограничиваясь членами порядка 九 найти приближенное решение уравнения (5.2), которое оказалось пригодным для исследования ряда задач квантовой механики. Этот метод решения, при-

Рис. 5.1. К решению волнового уравнения по ме ТОДУ ВКВ.Рис. 5.1. К решению волнового уравнения по ме ТОДУ ВКВ.менимый лишь к одномерным задачам, получил название приближенного метода ВКБ.

Рис. 5.1. К решению волнового уравнения по ме ТОДУ ВКВ.

Рис. 5.1. К решению волнового уравнения по ме ТОДУ ВКВ.

Будем считать, что потенциальная энергия является гладкой функцией х (рис. 5Л). Пусть частицы обладают энергией Е, тогда весь промежуток изменения х мы можем разделить на две обла

сти. В первой области / (尤 V *о) энергия Е больше потенциальной энергии: Е > У, а во второй области II (х > х0), наоборот, Е V К Очевидно, что на границе этих двух областей (х = х0) имеем Е = V(xo). Исходное уравнение (5.2) в одномерном случае принимает вид

S’’ 一优 S〃 = 2m0 (E^V) = /A(5.9)

Сначала найдем решение этого уравнения для первой области (Е > У), когда величина р? > о играет роль квадрата классического импульса. Решение ищем в виде ряда

(5.10)(5.10)S = Sq + S[ + S? + • • • >

(5.10)

(5.10)

где величина So не зависит от ft, Si пропорциональна Й, S2 пропорциональна Й2 и т. д. Подставляя ряд (5.10) в уравнение (5.9) и пренебрегая величинами, пропорциональными Й2 и выше,

получаем

S# + 2s6$ -汾 S% =成(5.11)

Приравнивая друг другу члены в левой и правой частях, не зависящие от Й, а также пропорциональные 力(при этом необходимо учитывать, что величина Si пропорциональна 力)，находим

S『 = p2, 2s6Sf = i^S6・(5.12)

Отсюда следует, что

So = ± ^ р dx9 Sj = /й In Vp •(5.13)

Поэтому, ограничиваясь членами порядка Й, имеем:

S = So + S] = ±，р d% + 诡 In “р ・(5.14)

Подставляя (5.14) в (5.1), находим следующее выражение для волновой функции в области / (% V %о)：

也V 4 -~=r [a sin (z + Y)+ b cos (г + W],(5.15)

где

z = ^^pdx>р = “ 2 恤(Е — Р)・

Точно так же для области II (х > %о), в которой р2 V 0, полу* чаем

弘4 «^ (4еТ ^ + Ве^ •),(5.16)

где *)

I г 1 = у ^ \ p\dx> 09 I р |= “2/Ио(У — £)•(5.17)

Постоянные а, Ь, А и В и фазы у и у' не являются произвольными, поскольку, как будет видно из дальнейшего изложения, они должны быть связаны между собой определенными соотношениями, вытекающими из условия сшивания решений вблизи точки х = Хо перехода из области / в область //.

Волновые функции (5.15) и (5.16) и представляют собой приближенные решения по .методу ВКБ. Из этих решений видно, что при f > V волновая функция изменяется, как в потенциальной яме (см. (4.4)), т. е. по закону косинуса или синуса, а при V > Е — как внутри потенциального барьера, т. е. по экспоненциальному закону (см. (4.7)).

Сравнивая решения, найденные при Vo = Const, с решениями, полученными в том случае, когда потенциальная энергия является функцией х, мы видим, что переход от одних решений к другим заключается в замене площади прямоугольного барьера, образуемого осью % и осью, на которой отложена величина

“2恤(％-£) —

соответствующей площадью, учитывающей, что V является функцией х. Схематически этот переход можно изобразить следующим образом:

唔％ f ；卜 р |d%・ (5.18) о

Аналогичный переход можно сделать также и в случае потенциальной ямы.

Таким образом, конкретный вид зависимости потенциальной энергии от х не изменяет характера решения; последний определяется лишь знаком разности между Е и V.

Решения (5.15) и (5.16) дают хорошее приближение лишь для областей, сравнительно удаленных от особой точки %о, где величина р2 относительно велика. Вблизи же особой точки (尤т %о) величина р2 f 0, и поэтому знаменатель в выражениях (5.15) и (5.16) обращается в нуль, а само решение становится расходящимся.

Если бы мы могли выразить постоянные Л и В через а и Ь, то найденное приближение было бы вполне достаточным для многих задач, так как область |х ——Хо|->0 является сравнительно узкой. Однако соотношение между этими коэффициента^ ми может быть найдено только в результате сшивания функций, которое следует производить именно на границе областей, т. е. в точке % =хо (под сшиванием мы будем понимать приравнивание на границе области х = х0 волновых функций и их первых производных) •

Поэтому приближенное выражение для 屮 необходимо представить в таком виде, чтобы при больших р2 имело место соотношение (5.15), а при х + хо, когда

р2 = — (х — Хо) 2加()修(хо) н — ай2 (х — %。)，

приближенное решение удовлетворяло бы уравнению

旷—а (工一％о)屮=0,(5.19)

где постоянная

а = -^^ У7(№)•

Введем вместо % новую переменную

^ = а,/з (х — Хо),(5.20)

тогда уравнение (5.19) принимает вид

箒帥=0・(5.21)

Линейно независимыми решениями уравнения (5.21) являются так называемые функции Эйри U(&) и У隽)), которые можно представить в виде следующих интегралов:

(5.22)(5.23)(5.22)(5.23)u⑧=去 j [港-3 + sin鱷+ %力]叱. V(g) = -^j cos(^ +'//)dt

(5.22)

(5.23)

(5.22)

(5.23)

Можно легко убедиться, что эти интегралы действительно удовлетворяют уравнению (5.21). Так, например, подставим второй интеграл (5.23) в уравнение (5.21) и, изменяя порядок дифференцирования и интегрирования, получим

一备+ 9\ COS供+%/3)由=

=\ (户 + 出 CQS 传+ //3)成=\ d [sin 传：+ %#)] = 0九(5.24) о0

причем последний интеграл следует понимать как предельное значение

lim，d [e-w sin (港+ %户)]=0.(5.25)

б-»о ^

Аналогично подстановка первого интеграла (5.22) в уравнение (5.21) показывает, что и в этом случае оно также уДовлетво-

ряется ). Асимптотическое выражение функций Эйри V(^) и U(S при |&|》1 имеет в случае 匕 > 0 вид

У(&) 4 $『％-%•； u(2l№У(&) 4 $『％-%•； u(2l№(5.26)(5.27)(5.26)(5.27)

У(&) 4 $『％-%•； u(2l№

У(&) 4 $『％-%•； u(2l№

(5.26)

(5.27)

(5.26)

(5.27)

т. е. функция У(Е) является экспоненциально убывающей с ростом &, а функция U(E)—экспоненциально возрастающей.

В случае же больших отрицательных значений g V 0 функции V и U являются осциллирующими:

У (_I & I) 乂&「“ Sin (|| g F + 千)，(5.28)

U(一同)2自「%05得1次十千).(5.29)

Вычисляя значения z н |z] в равенствах (5.15) и (5.16) соответственно при х хо — 0 и х -> %о + 0, получим

N = ^\ pd%~|>| & р, %f %о — О,

Поскольку решения (5.26) — (5.29) и решения (5.15), (5.16) должны совпадать в тех областях, где они одновременно справедливы, то, приравнивая оба асимптотических решения, получим, что

Я = -, B = 6, y = y'=专・(5.30)

Таким образом, полагая в равенствах (5.15), (5.16)

& = 0, а，0, находим первую пару сшитых решений

电 V/4侖^(2+：),(5.31)

(5.32)

где экспоненциально убывающее решение (5.32) в области х > Хо представляет собой аналитическое продолжение синусоидального решения (5.31) для области х V %о.

Чтобы определить аналитическое продолжение экспоненциально возрастающего решения при х > Хо, мы должны положить

а = 0, b^Q.(5.33)

Тогда для второй пары сшитых решений имеем:

产% 8s(Z+宁)，(5.34)

也(5.35)

в) Квантование потенциальной ямы в квазиклассическом приближении. Полученные формулы позволяют произвести квантование (т. е. найти энергетические уровни) частицы, находящейся в потенциальной яме, в приближении ВКБ. Допустим, Ч1О мы имеем потенциальную яму произвольной, но гладкой формы (рис. 5.2).

Очевидно, что процесс квантования по методу ВКБ будет заключаться в нахождении таких условий, при которых экспоненциально возрастающее решение с обеих сторон потенциального барьера (х < xi и х > х2) обращалось бы в нуль. В этом случае согласно (5.31) волновая функция в области потенциальной ямы, прилегающей к границе барьера, имеет вид (х -> х2):

屯 v**sin(gpdx + ^}屯 v**sin(gpdx + ^}(5.30(5.30

屯 v**sin(gpdx + ^}

屯 v**sin(gpdx + ^}

(5.30

(5.30

3 А. А. Соколов и др.

Точно так же для области потенциальной ямы, граничащей с другим барьером х = Xi, мы можем написать:

(5.37)(5.37)

(5.37)

(5.37)

Оба решения должны быть тождественны между собой в любой точке Xi V % V %2 потенциальной ямы, лежащей на достаточно большом расстоянии от границ потенциальных барьеров.

Произведя в одной из точек х сшивание обоих решений (5.36) и (5.37), т. е. приравнивая в этой тоаке волновые функции.и их производные, имеем

优 sin (内 р dx + 子)—a sin (^ , p dx + 今)=0,

a7 cospdx + 千)+ a cos (/ \ p dx + ?) = 0.

Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо потребовать обращения в нуль ее определи-.

теля. Тогда получимтеля. Тогда получимсоотношение

теля. Тогда получим

теля. Тогда получим

sin (^ J р dx + g) == 0.

Отсюда, учитывая,Отсюда, учитывая,величиной, так каквеличиной, так какчто \ р dx не может быть отрицательной р = V2恤(Е — У)》0, находим

Отсюда, учитывая,

Отсюда, учитывая,

величиной, так как

величиной, так как

j，pd% + ^ = (%+ 1)л, n = 0, 1, 2, ... (5.38)

Таким образом, правила квантования, полученные с помощью приближенного метода ВКБ, т. е. с точностью до членов порядка 瓦 принимают вид

(5.39)(5.39)^ pdx = 2лЙ (〃 + %) — h(n+ %)•

(5.39)

(5.39)

Эти правила квантования, правда, без члена %% были постулированы Н. Бором в 1913 г. еще до создания квантовой механики. Они известны как правила квантования Бора ——Зоммер- фелъда (постулат стационарных состояний). Появление отлич-

ного от нуля члена 1/2力 в квазиклассическом условии квантования (5.39) несущественно для высоковозбужденных состояний с квантовыми числами 〃》1, однако оно становится важным для наинизшего, т. е. основного состояния п = 0. В частности, решение задачи о гармоническом осцилляторе (см. § 7) показывает, что энергия основного состояния — нулевая энергия,— соответствующая члену，2九 обязательно должна быть отличной от нуля. Тем не менее неучет этого члена не сказывается на спектре излучения, поскольку, как будет показано в § 9, частота излучения определяется разностью значений энергии стационарных связанных состояний системы. Этот вывод квантовой теории также согласуется со вторым постулатом Бора ——условием частот.

При нахождении номировочного коэффициента в квазиклас- сической волновой функции достаточно ограничиться интегрированием по интервалу %i V % V %2 (потенциальная яма), поскольку вне его волновая функция экспоненциально убывает, т. е. ее практически можно положить равной нулю. Тогда имеем

@2 \ 詈 sin2 内 pd% + 今=1.(5.40)

Синус представляет собой быстро осциллирующую функцию, и поэтому его квадрат, с достаточной степенью точности, можно заменить средним значением, равным ']* В этом случае равенство (5.40) приведем к виду

%。7 岩=L(5.41)

Далее учтем, что период колебаний т = — равен

где у = -~- — скорость частицы.

Отсюда для нормировочного коэффициента получаем выражение

Следовательно, собственная функция (5.37) в приближении В КБ может быть записана в виде

jpdx + 普).jpdx + 普).(5.42)(5.42)

jpdx + 普).

jpdx + 普).

(5.42)

(5.42)

а) Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер (туннельный эффект). Согласно классической теории частица может находиться только в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия V меньше ее полной энергии Е. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы

всегда должна быть положительной величиной. В области Ь > Е — потенциальный барьер — импульс имеет мнимое значение, и присутствие там частицы в рамках классической тео

рии является совершенно недопустимым.

Поэтому если две области пространства, для которых £ > V, отделены друг от друга потенциальным барьером, внутри которого V > Е, то по классической теории просачивание частицы из одной области в другую область сквозь потенциальный барьер невозможно. По волновой же теории мнимое значение импульса соответствует лишь экспоненциальной зависимости волновой функции от координаты. Поскольку волновая функция внутри потенциального барьера в нуль не обращается, то вполне возможно и просачивание частицы сквозь потенциальный барьер. Для микрочастиц

Рис. 5.3. Схема потенциального барьера произвольной, но достаточно гладкой формы. Падающая и проходящая волны изображены сплошными кривыми; отраженная —штриховой.Рис. 5.3. Схема потенциального барьера произвольной, но достаточно гладкой формы. Падающая и проходящая волны изображены сплошными кривыми; отраженная —штриховой.это явление может стать даже вполне наблюдаемым.

Рис. 5.3. Схема потенциального барьера произвольной, но достаточно гладкой формы. Падающая и проходящая волны изображены сплошными кривыми; отраженная —штриховой.

Рис. 5.3. Схема потенциального барьера произвольной, но достаточно гладкой формы. Падающая и проходящая волны изображены сплошными кривыми; отраженная —штриховой.

Прохождение сквозь потенциальный барьер получило название туннельного эффекта. Оно является специфическим лишь для волновой тео-

рии и не имеет какого- либо аналога в классической механике.

Рассмотрим гладкий

потенциальный барьер

произвольной формы 1/(х) (рис. 5.3). Если энергия Е по величине не превышает высоту барьера, то можно выделить три области изменения потенциальной энергии —оо V % V %i и х2 < х < оо (1/(%) VE)； %1&%&尤2 (Р ⑴ >Е), где коорди-

наты %i (начало барьера) и *2 (конец барьера) находятся из

условия

г(勺)=г(%2)=e

Для того чтобы получить вероятность прохождения микрочастицы через барьер V(x), обратимся к явному виду волновой функции, полученному в квазиклассическом приближении (5.31) —(5.35).

В области / (—8 V % V %i) (рис. 5.3), где Е > V(x), имеется две волны: падающая на барьер и отраженная от него, поэтому общее квазиклассическое решение уравнения Шредингера согласно (5.31), (5.34) таково:

切=君sE色+十)+爲cos(/ +f) =

Здесь, как и ранее,Здесь, как и ранее,沙里+(5.43)沙里+(5.43)

Здесь, как и ранее,

Здесь, как и ранее,

沙里+(5.43)

沙里+(5.43)

^i = y J pdx>

X

а произвольные постоянные а и & мы подобрали таким образом, чтобы коэффициент перед падающей волной обратился в единицу (это можно сделать, так как нас интересует лишь отношение потоков, а не вероятности), при этом коэффициент перед отраженной волной Bi пока произволен:

a = *&— 1), ь = 1 +В[.(5.44)

Решение в области II (%i W%W%2), где £ < V(x), в силу конечной ширины барьера должно содержать как затухающую, так и возрастающую экспоненту и согласно (5.32), (5.35) и (5.44) имеет вид

2VI7T 十 ViTF 2VI7T，

(5.45) где

l^| = | ^\p\dx.(5.46)

Воспользовавшись равенством

X*2*2

I ^i I +1 г2 I = \ I P I。％ + \ \p\dx— , I p I d% 三 丫， (5.47)

Xix%c

мы можем решение 屮〃 переписать так:

2〃 _ £3二)6-丫壅21«y«Tn2 I.(5.48)

2 Vlp IVI P I

Наконец, в области III (x2 < -^ < °°), где опять f > V(x), по условию задачи должна распространяться только прошедшая волна

^т = f - J G 七)，(5.49)

где

z2 = ~ \ р dr,(5.50)

а коэффициент перед отраженной волной положен равным нулю. Амплитуда прошедшей волны (5.49) не может быть произвольной, так как согласно (5.31), (5.32), (5.34), (5.35) осциллирующее решение (5.49) в области /// является аналитическим продолжением решения (5.48) в области //:

(5.51)(5.51)Л = у(^1 — De”

(5.51)

(5.51)

券=(&+ 1) e丫.

Решение этой системы имеет вид

(5.52)введем(5.52)введем=3…л _1

(5.52)

введем

(5.52)

введем

円3一 《Y+/门).

Для характеристики величины туннельного эффекта

коэффициент прозрачности барьера, под которым будем понимать модуль отношения плотности потока частиц, прошедших через барьер, к плотности потока падающих частиц

= | 兽(5.53)

I /над I

Для определения потока частиц воспользуемся формулой

i-^^^-^^У(5・54)

Подставляя в эту формулу решения уравнения Шредингера (5.43), (5.49), для коэффициента прозрачности D находим

J_/npl_ = | л р= 5_(5.55)

|/пад1(”+%。一丫)2、’

В том случае, когда величина у значительно больше единицы (заметим, что именно этот случай представляет практический

интерес), коэффициент прозрачности (5.55) будет равен

(5.56)(5.57)(5.56)(5.57)D 4 of = exp I — "I* \ д/2恤(V — Е) dx

(5.56)

(5.57)

(5.56)

(5.57)

Если теперь ввести коэффициент отраженияп I/отр I

где /отр — ток отраженной волны в решении (5.43), то R будет выражаться через коэффициент 3：

(5.58)

или при у》1

火4 1 — C-2Y.(5.59)

Из сравнения последних формул для D и R следует, что сумма коэффициента прозрачности и коэффициента отражения равна единице

D + R= 1.(5.60)

При переходе к классическому пределу (Й -> 0, у-> оо), как видно из формул (5.56), (5.59), коэффициент прозрачности обращается в нуль, а коэффициент отражения ——в единицу, т. е. прохождение частиц сквозь потенциальный барьер становится невозможным.

Рис. 5.4. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы.Рис. 5.4. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы.В квантовой же области,когда у =# оо, движение внутри потенциального барьера представляет собой типичное проявление волновых свойств микрочастиц. Это явление имеет свой аналог в любой волновой теории. В частности, в оптике хорошо известно явление полного внутреннего отражения, которое может наблюдаться при отражении света от оптически менее плотной среды.

Рис. 5.4. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы.

Рис. 5.4. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы.

Случай прямоугольного барьера. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы

высоты Vo и ширины а (рис. 5.4). Барьер такой формы интересен в том отношении, что для него задача о туннельном эффекте допускает точное и вместе с тем простое решение. Кроме того, на его примере можно исследовать так называемое надбарьерное

отражение, когда энергия частицы Е больше высоты барьера (£>%)•

Пусть частица, энергия которой меньше высоты барьера (Е V Vo), движется в положительном направлении оси %. Тогда решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеют вид (см. (4.26) и (4.7))

(ф/ = eikx + 816-‘"% 屮〃 =А^-^ + В2екх *ф〃/ = A^eik^x~a^(ф/ = eikx + 816-‘"% 屮〃 =А^-^ + В2екх *ф〃/ = A^eik^x~a^при х < О при 0 < х < а при х> апри х < О при 0 < х < а при х> а(область 7), (область //),(5.61)(область ///).(область 7), (область //),(5.61)(область ///).

(ф/ = eikx + 816-‘"% 屮〃 =А^-^ + В2екх *ф〃/ = A^eik^x~a^

(ф/ = eikx + 816-‘"% 屮〃 =А^-^ + В2екх *ф〃/ = A^eik^x~a^

при х < О при 0 < х < а при х> а

при х < О при 0 < х < а при х> а

(область 7), (область //),(5.61)

(область ///).

(область 7), (область //),(5.61)

(область ///).

ЗдесьЗдесь火=爭，炉=翁"0一ё),火=爭，炉=翁"0一ё),(5.62)(5.62)

Здесь

Здесь

火=爭，炉=翁"0一ё),

火=爭，炉=翁"0一ё),

(5.62)

(5.62)

причем коэффициент перед падающей волной eikx за счет выбора нормировки положен равным единице, B\e~ikx характеризует отраженную волну, а справа от барьера (х > а) присутствует только прошедшая волна Azeik{x~a\

Для определения неизвестных коэффициентов в решении (5.61) воспользуемся условиями непрерывности волновой функ* ции и ее первой производной на границах барьера.

При х = 0 имеем

1 + 81 = % +

/(1 - В』"一%),2 '

а при х — а

/2e一^ + 32产a=4，

А2е~^а — "ex。= — i ^ 4 ・('64)

Из последних двух уравнений находим

(5.65)(5.65)4 = ―2"^^М3,

(5.65)

(5.65)

В2=—y^L%

Подставим 42 H 82 в уравнения (5.63) и, исключая 51, получаем

%=卜•(5.66)

2 ch ха + t ( -г-J sh *а

Коэффициент прохождения D можно вычислить по общей формуле (5.53), используя коэффициент (5.66):

0 =黑"=Мз Р =(依+ “2)2農+ 4胪片•(5.67)

Для достаточно широкого барьера, когда ха》1, из точного выражения (5.67) приближенно находим

D 4 号需T「Х" =加-2叫(5.68)

Экспоненциальный множитель для прямоугольного барьера, играющий основную роль, может быть получен из формулы (5.56), соответствующей гладкому барьеру. Отличие заключается в том, что для прямоугольного барьера появляется коэффициент Du, имеющий порядок единицы.

Подставляя в (5.68) значение 乂 из (5.62), можно коэффициент D записать в виде (ха》1)

D = Dq6 方.(5.69)

Как видно, в случае ха》1 выражение (5.69) с точностью до коэффициента Dq порядка единицы совпадает с результатом, который может быть получен методом ВКБ по формуле (5.56)), если учесть, что

Q

^ “2то 亿一£) = I \ “2恤(％ — £) dx. (5.70) о

Пусть теперь энергия частицы больше высоты барьера (Е > Vo). В этом случае решения уравнения Шредингера вне барьера р/ и p/〃 имеют точно такой же вид, как и при Е V Vo, и определяются формулами (5.61). В области II над барьером решение р〃 можно получить из формул (5.61) с помощью замены

乂 =面，h\ = «帶也_ Vo),(5.71)

поскольку теперь f > Vo и решение должно содержать падающую и отраженную от второй границы барьера (х = а) волны. Проводя сшивание волновой функции и ее производной на границах барьера, точно так же как и в случае Е V Vo, для коэффициента отражения находим следующее выражение:

& I =(庐一就ysiC^a

I/пад I -4庐/+ (庐-硝2shi2"。・◎〃)

Заметим, что этот результат можно получить также из выражения (5.67) для коэффициента D с помощью замены (5.71) и соотношения

R = 1 — D (5.73)

При k\ = k, т. е. когда высота барьера обращается в нуль (Vo == 0), мы находим, что D = 1 и 7? == 0, т. е. отраженная волна отсутствует, и мы будем иметь на всем интервале изменения х свободное движение (см. (4.26)).

Таким образом, в квантовой механике волна, соответствующая частице с энергией, превышающей высоту барьера (Е> Vo), также должна частично отражаться. Это явление носит название надбарьерного отражения.

Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия. Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных приложений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось понять ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в классической физике. К числу таких явлений следует в первую очередь отнести холодную эмиссию, т. е. вырывание электронов из металла под действием электрического поля, а также возникновение контактной разности потенциалов. Однако прежде всего скажем несколько слов о теории «электронного газа》, лежащей в основе электронной теории проводимости металлов.

Высокая электропроводность металлов говорит о том, что электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энергии, так называемой работы выхода. Это наводит на мысль рассматривать простейшую модель металла как свободный электронный газ, движущийся в потенциальной яме, внутри которой (т. е. в металле) потенциальная энергия равна нулю Р = 0, а вне, т. е. в вакууме, V = Vo > 0.

Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому в некоторых пределах является вполне разумной. Она была введена еще в классической теории (теория Друпе, Лоренца и др.). В этом случае к электронам применялась классическая статистика Максвелла ——Больцмана, которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетической теории газов.

Однако в классической теории модель «электронного газа» встретила большие затруднения при построении теории теплоемкости. В самом деле, согласно известной теореме классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы средняя кинетическая энергия

электрона равна

Еср = з/2^т,(5.74)

где 々в — постоянная Больцмана.

Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в общей теплоемкости такая жеэ как и свободного атома

С 岁1 = f = % 既.

Это противоречит экспериментальным фактам, согласно которым теплоемкость одноатомного металла определяется лишь теплоемкостью атомов решетки, т. е. свободные электроны в первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не вносят.

Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который показал, что к электронам в металле необходимо применять не классическую статистику с функцией распределения

f = Ze-E/竺

а квантовую статистику Ферми — Дирака с функцией распределения

-4 =工产前+1 •А 1

В основе квантовой статистики Ферми — Дирака лежит принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом уровне может находиться максимум два электрона (два квантовых состояния, отличающихся направлениями спинов).

Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической формы с длиной стороны, равной L, то составляющие импульса р =九々 согласно (4.41) будут связаны с целыми числами пь п2, 九з, характеризующими энергетический уровень, соотношениями

2冗力也12冗力几22门方也3

= ~~»Ру= ~Z~= — —•

Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел (А© = —А〃2 = А〃з — 1)

Д^1 * А〃2 • А& = ^г d3p(5.75)

приходится лишь один уровень, на котором могут находиться два электрона.

Поэтому, если в единице объема находится ро электронов, то максимальный импульс, которым может обладать электрон при абсолютном нуле температуры (Г = 0), определяется из

Рис. 5.5. модель потенциальной ямы для металла. Емакс—верхняя граница заполненных уровней при 7=0 (энергия Ферми).Рис. 5.5. модель потенциальной ямы для металла. Емакс—верхняя граница заполненных уровней при 7=0 (энергия Ферми).оо"2 (j3p2mo 8炉也3"2 (j3p2mo 8炉也3暂0.暂0.(5.79)(5.79)

Рис. 5.5. модель потенциальной ямы для металла. Емакс—верхняя граница заполненных уровней при 7=0 (энергия Ферми).

Рис. 5.5. модель потенциальной ямы для металла. Емакс—верхняя граница заполненных уровней при 7=0 (энергия Ферми).

о

о

"2 (j3p

2mo 8炉也3

"2 (j3p

2mo 8炉也3

暂0.

暂0.

(5.79)

(5.79)

соотношения < "макс3

p。^"2а々•△汝•△饱=考誥[Р2如Н徐卜 (5.76) о

или

Р = Рмакс =冇(3冗2ро) 4(5.77)

Соответствующая максимальная кинетическая энергия электронов равна

е方 2

Емакс н Ef =嗡^ = ^ (3吸о)%・(5.78)

Эта максимальная энергия при Т = 0 называется уровнем Ферми или энергией Ферми. Схема заполнения электронных уровней в металле изображена на рис. 5.5.

Оценим значение энергии Ферми, например, для серебра. Плотность серебра равна 10,5. атомный вес 107,9. Считая, что

число свободных электронов равно числу атомов серебра в единице объема, имеем:

Р。=綜 6,02 ・ 1023 = 5,8.〔(Я.

Здесь мы использовали число Авогадро, т.е. число атомов в одном грамм-атоме, равное 6,02 X ХЮ23- Отсюда по формуле (5.78) находим, что

Ер — 8,5 • 10""12 эрг = 5,3 эВ.

Поскольку для серебра работа выхода W = 3,7 эВ, то глубина потенциальной ямы в серебре оказывается равной 9 эВ.

Пользуясь известным определением среднего значения, для средней энергии электрона в металле при Т = 0 получим выражение

Детальный расчет показывает, что при сравнительно низких температурах (k^T《£尸)теплоемкость электронного газа имеет порядок 々b(^bT/Ef) и дает пренебрежимо малый вклад в полную теплоемкость металла.

Исходя из описанной модели (рис. 5.5), мы видим, что для вырывания электрона из металла необходимо сообщить ему энергию, не меньшую, чем работа выхода

Г=1/0-^макс. (5.80)

Как известно, в случае внешнего фотоэффекта электрон получает от поглощенного фотона энергию Йео. При этом электрон может покинуть металл, обладая кинетической энергией

1/26^2 =力①—呼 (5.81)

(уравнение Эйнштейна). Отсюда следует, что работа выхода есть минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы энергия электрона стала больше высоты потенциального барьера.

Если электроны в металле (электронный газ) имеют температуру выше абсолютного нуля, то часть электронов заполняет энергетические уровни выше уровня Ферми. Если увеличить кинетическую энергию электронного газа путем нагревания металла, то некоторая часть электронов может иметь энергию, превышающую энергию потенциального барьера, благодаря чему возникает ток из металла. Это явление, получившее название термоэлектронной эмиссии, используется, в частности, для получения пучка электронов в электронных лампах. Однако возникновение тока электронов возможно и при низких температурах под влиянием постоянного внешнего электрического поля

Рис. 5.6. Потенциальная энергия электрона в металле без поля и при наличии внешнего электрического поля. Штриховой линией показан ход потенциальной кривой с учетом сил электрического изображения.

напряженности /, приложенного к поверхности проводника по направлению к ней. В этом случае потенциальная энергия электрона заряда —ео равна (рис. 5.6)

丿(％)=& —«о/乂(5.82)

Помимо внешнего электрического поля, на электрон действует так называемая сила электрического изображения. Дело в том, что электрон, обладая зарядом ——《о, создает в металле индуцированный заряд Со (рис. 5.7).

Таким образом, полная сила, действующая на электрон,

равна

尸(％) = е。冒 一 -j戸•尸(％) = е。冒 一 -j戸•(5.83)(5.83)Эффективная потенциальнаяЭффективная потенциальнаяМета/и?Мета/и?+%+%Рис. 5.7. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.Рис. 5.7. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.энергия, учитывающая силы элек-трического изображения, равнаэнергия, учитывающая силы элек-трического изображения, равна九ФФ=匕)一。修% 一第.(5.84)Величина Уэфф имеет макси* мум в точке %。：—=_e0歩 + —2 = °，—4х°(5.85)九ФФ=匕)一。修% 一第.(5.84)Величина Уэфф имеет макси* мум в точке %。：—=_e0歩 + —2 = °，—4х°(5.85)

尸(％) = е。冒 一 -j戸•

尸(％) = е。冒 一 -j戸•

(5.83)

(5.83)

Эффективная потенциальная

Эффективная потенциальная

Мета/и?

Мета/и?

+%

+%

Рис. 5.7. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.

Рис. 5.7. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.

энергия, учитывающая силы элек-трического изображения, равна

энергия, учитывающая силы элек-трического изображения, равна

九ФФ=匕)一。修% 一第.(5.84)

Величина Уэфф имеет макси* мум в точке %。：

—=_e0歩 + —2 = °，

—4х°(5.85)

九ФФ=匕)一。修% 一第.(5.84)

Величина Уэфф имеет макси* мум в точке %。：

—=_e0歩 + —2 = °，

—4х°(5.85)

Vo, так какVo, так какпричем максимальное значение Уэ^ меньше

Vo, так как

Vo, так как

匕акс=%-同•(5・86)

Учет сил электрического изображения показывает, что при наложении внешнего поля работа выхода уменьшается и становится равной

Wf = W- “密.(5.87)

Однако силы электрического изображения не в состоянии объяснить холодную эмиссию. Действительно, оценка максимального тока (при W = 0) приводит, например, для вольфрама к значению

/ =学 4 2 ・ 108 В/см,(5.88)

между тем как на опыте достаточно сильный ток появляется уже при поле S — 4-106 В/см (Милликен).

Таким образом, в рамках классической теории невозможно объяснить с количественной стороны явление холодной эмиссии.

В квантовой теории, когда допустимо прохождение электронов сквозь потенциальный барьер, для потенциальной энергии можно ограничиться выражением (5.82) и не учитывать сил электрического изображения, поскольку последние лишь весьма

незначительно изменят окончательный результат. Из графика потенциальной энергии (рис. 5.6) видно, что внешнее электрическое поле создает потенциальный барьер конечной ширины. Благодаря туннельному эффекту электрон может преодолеть этот барьер, причем коэффициент прозрачности равен

D = ехр [— ^ V2mo \ “ Y (%) — £・(5.89)

Интеграл в экспоненте должен быть взят по всей ширине барьера от точки х = 0 до точки % = Xi, которая определяется из условия

匕)一%因修=еT. e.修=今萨.(5.90)

Тогда

XiXi

\ “!/(%) — £* d%=\ “}()— %/% — £■ dx — оо

Xi

7 队一х—(5.91)

о

Окончательно для коэффициента прозрачности D получаем выражение

D = ехр [-% «而(，諺" ]=eхр (一争)，(5.92)

где величина 風 зависит от работы выхода из металла свободных электронов. Ток холодной эмиссии пропорционален коэффициенту прозрачности

j =/о。=/о ехр (^") •(5.93)

Отсюда следует, что холодная эмиссия должна наблюдаться при напряженности электрического поля S 〜106 В/см, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

宛)Альфа-распад. Важное применение туннельный эффект нашел также и в теории атомного ядра. Одним из возможных типов спонтанного превращения радиоактивных ядер является альфа-распад, в результате которого ядро теряет альфа-частицу (т. е. ядро атома гелия, состоящее из двух протонов и двух нейтронов) и превращается в новое ——дочернее ядро с зарядом, меньшим на две единицы. Задача об альфа-распаде как теория

прохождения частицы сквозь потенциальный барьер с^ала одной из классических задач квантовой механики Шредиш ера.

Экспериментальное исследование этого явления показало, что оно обусловлено исключительно внутренними свойствами ядер. Поэтому естественно предположить, что число ядер dN, распадающихся в течение времени df, пропорционально этому промежутку времени и числу ядер ^ в момент f, т. е.

dN = fNdt.(5.94)

Интегрируя это уравнение, получаем закон радиоактивного распада Кюри

^ = 牝(5.95)

Входящая в это выражение постоянная радиоактивного распада имеет смысл вероятности распада и может быть связана с периодом полураспада 7%, т. е. со временем, в течение которого распадается половина исходного количества вещества. Обозначая первоначальное количество ядер через N& для определения времени полураспада Т% получаем очевидное соотношение

М)宀2 = 1^0 = №「叱(5.96)

из которого следует, что

(5.97)(5.97)т In 20,693

(5.97)

(5.97)

Закон Кюри был впервые установлен чисто эмпирическим путем. Теоретическое объяснение явления альфа-распада оказалось возможным лишь после появления квантовой механики.

Оставляя в стороне механизм образования альфа-частицы в процессе распада ядра, рассмотрим систему, состоящую из вторичного (дочернего) ядра и альфа-частицы. Потенциальная энергия взаимодействия альфа-частицы (заряд 2«о) и дочернего ядра (заряд (Z ——2)ео) должна, помимо потенциальной энергии кулоновских сил отталкивания

昨昨2 (Z — 2)若2 (Z — 2)若(5.98)(5.98)

昨

昨

2 (Z — 2)若

2 (Z — 2)若

(5.98)

(5.98)

了 口空二2）若了 口空二2）若

了 口空二2）若

了 口空二2）若

У = 0У = 0при г > R, при г < /?.при г > R, при г < /?.(5.99)(5.100)(5.99)(5.100)содержать также потенциальную энергию ядерных сил притяжения, действующих лишь на малых расстояниях г W R, имеющих порядок 10-13—10~12 см. Для приближенных оценок можно аппроксимировать потенциальную энергию следующим выражением (рис. 5.8):

У = 0

У = 0

при г > R, при г < /?.

при г > R, при г < /?.

(5.99)

(5.100)

(5.99)

(5.100)

С точки зрения квантовой механики альфа-распад представляет собой типичное явление прохождения частицы сквозь потенциальный барьер (1928 г. Гамов, Кондон, Герни).

Для построения теории необходимо прежде всего связать постоянную радиоактивного распада X с коэффициентом прозрачности барьера (см. (5.56)):

(5.101)(5.101)

(5.101)

(5.101)

где М — масса альфа-частицы, a R н R — начало и конец потенциального барьера (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Схема потенциальной энергии альфа-частицы в поле радиоактивного ядра.Рис. 5.8. Схема потенциальной энергии альфа-частицы в поле радиоактивного ядра.

Рис. 5.8. Схема потенциальной энергии альфа-частицы в поле радиоактивного ядра.

Рис. 5.8. Схема потенциальной энергии альфа-частицы в поле радиоактивного ядра.

Поскольку коэффициент прозрачности представляет собой вероятность прохождения частицы сквозь барьер при одном ее ударе о стенку барьера, закон распада можно записать в виде

dN = 一 入N 成=一几 DN 山， (5.102)

где п — число ударов в 1 с. Величину п можно легко оценить из следующих простых соображений. Предположим, что альфа-частица движется внутри потенциальной ямы с радиусом R. Тогда очевидно, что п 〜％/R, где 卽一скорость альфа-частиц внутри ядра (rVR). Нетрудно связать эти последние величины друг с другом. Действительно, согласно соотношению неопределенностей импульс Ми。частицы и область ее локализации R связаны

друг с другом соотношением MvqR 弋 п. Поэтому

(5.103)

С учетом этих замечаний пада % с коэффициентом лойЛ = nD =С учетом этих замечаний пада % с коэффициентом лойЛ = nD =力力связь постоянной радиоактивного рас- прозрачности D определяется форму-связь постоянной радиоактивного рас- прозрачности D определяется форму->>££

С учетом этих замечаний пада % с коэффициентом лой

Л = nD =

С учетом этих замечаний пада % с коэффициентом лой

Л = nD =

力

力

связь постоянной радиоактивного рас- прозрачности D определяется форму-

связь постоянной радиоактивного рас- прозрачности D определяется форму-

>

>

£

£

Логарифмируя обе части равенства, получаем

eA=m歳一代而/,(5.105)

где интеграл

/=\ ^V-E dr(5.106)

должен быть взять между точками R (радиус ядра) и Ri. Последний радиус может быть найден из условия, что полная энергия равняется потенциальной, т. е. в данном случае кулоновской 2(混2)爲=£(5.107)

Подставляя выражение для V = -^- в интеграл (5.106),

находим

/ = "声、，乎_ 1公，

(5.108)

или, после

замены переменных r = R%2, имеем: 1

/ = 2R“E \ "1-%2〃.

(5.109)

Производя

новую замену переменных х= sin ср и

полагая

sin ср。= «石，получаем интеграл

л/2

/ = 2Ri“£，cos2 ср dq),

Фо который легко может быть вычислен

(5.110)

1 = —- п— (л — 2ф0 — sin 2фо)-

(5.111)

Учитывая, далее, что обычно 备《1，можно в последнем выражении положить

фо ^ Sin Фофо ^ Sin Фо2"备卜2"备卜(5.112)(5.112)

фо ^ Sin Фо

фо ^ Sin Фо

2"备卜

2"备卜

(5.112)

(5.112)

Исключая теперь R〔 с помощью соотношения (5.107) и вводя обозначения

В = Е爲 + 粤"MR(Z-2) -InIn2,(5.113)

4=2〃(Zj2)W«丽,(5.114)

находим для периода полураспада Т^

тт% = ^^-в.(5.115)

Последнее соотношение устанавливает связь между периодом полураспада Ь/2 = -~^- и энергией вылетевших альфа-частиц. Соотношение (5.115) представляет собой современную формулировку закона Гейгера — Неттола, установленного еще до появления квантовой механики чисто эмпирическим путем.

Из закона Гейгера ——Неттола видно, что, чем больше энергия Е, с которой альфа-частица вылетает из ядра, тем меньше время полураспада, причем небольшое увеличение энергии, например, с 4 МэВ до 9 МэВ (примерное значен?1е крайних энергий вылета альфа-частицы в радиоактивном семействе урана), приводит к сильному уменьшению среднего времени жизни с нескольких миллиардов лет до нескольких десятимиллионных долей секунды. Это связано с тем обстоятельством, что хотя изменение энергии не очень сильно изменяет площадь потенциального барьера, но значение этой площади входит в показатель степени, определяющей среднее время жизни.

Понятие о квазиуровнях (квазиОискретный спектр). В только что рассмотренной задаче об альфа-распаде постоян< ная распада 九 оказалась связанной с коэффициентом прозрачности D барьера, при прохождении которого частица может перейти из связанного состояния внутри потенциальной ямы в свободное состояние вне ее пределов. Поэтому, строго говоря, состояние частицы внутри ямы не является связанным и, следовательно, энергетический спектр Е при отличном от нуля значении 九 перестает быть дискретным. Если вероятность прохожде-

ния через барьер мала, т. е. постоянная распада 入〜 О также мала, то изменение спектра оказывается незначительным и в этом случае получается так называемый квазидискретный спектр, состоящий из квазиуровней.

Для того чтобы найти квазиуровни, рассмотрим простой пример прямоугольной потенциальной ямы ширины а, с одной стороны ограниченной бесконечно высокой стенкой (% = 0), а с другой (х = /)—потенциальным барьером высоты Vo и ширины а = 1\ — / (рис. 5.9).

Волновая функция для трех областей: / (0V%V/), II (/ < х < /1) и III 仏 V%), показанных на рис. 5.9, будет

屮/〃 = /за" оз, где& к'屮/〃 = /за" оз, где& к'Рис. 5.9. Квазиуровни.Рис. 5.9. Квазиуровни.иметь вид:

屮/〃 = /за" оз, где

& к'

屮/〃 = /за" оз, где

& к'

Рис. 5.9. Квазиуровни.

Рис. 5.9. Квазиуровни.

^i = Ах sin йх,

2〃 = А^(%т)+ 当产(%-/),

(5.116)

层=第（%一上）＞0.

Решение р/ для первой области выбрано таким образом, чтобы при х = 6 оно обращалось в нуль, а в решении в третьей области у^щ оставлена только уходящая от барьера волна, что и обеспечивает появление в системе квазиуровней. Из условия не- прерывности волновой функции на границах барьера находим: при х = /

(5.117)(5.117)(5Л18)(5Л18)(5.119)(5.119)4 sin kl — А2 + В2,

(5.117)

(5.117)

(5Л18)

(5Л18)

(5.119)

(5.119)

A[ cos hl = ^ (32 一4),

При Х = /[

Л2е-ха + В2^ = Л3,

4«та — В?俨 а = —

Из последних двух уравнений следуют соотношения

1

4 = —

% = —y^ef,

подстановка которых в уравнения (5.117) дает

4 ( sin 班 + ^ cos 班)=(1 + i I) e-乂。Аз,

sin 必一巴 cos

必) = (1—号 ^M3.

(5.120)

Условие совместности этой системы, т. е. равенство нулю определителя, приводит к уравнению для определения энергии

tg 班一 7■

(5.121)

Следует заметить, что амплитуда уходящей волны <з будет в этом случае много меньше амплитуды стоячей волны в яме Ai

|4|~4e宀

(5.122)

При а->оо решение в области III обращается в нуль (Д3 = 0), и тогда из уравнения (5.120) следует уравнение для определения дискретных энергетических уровней в потенциальной яме в области /

tg瓦/ = 一自仅0,

(5.123)

где индексом нуль обозначены величины ^ и 乂 при а -> оо.

Покажем далее, что с учетом экспоненциально малых членов порядка е-^а при условии ха》1 н х/》1 решение уравнения (5.121) будет описывать квазиуровни. Для этого выделим в величине k малую мнимую часть 々'，а в действительной части отбросим дополнительные малые добавки, не имеющие принципиального значения:

^ =々о — /',

(5.124)

где 々о связано с дискретным спектром энергии Е° следующим соотношением:

Тогда, подставляя соотношение (5.124) в уравнение (5.121) с учетом равенства (5.123) и условия xZ》1, в первом порядке по величине。田° находим

При этом для энергии получим следующее выражение:

Е = Е°Т 曲,.(5.127)

где

入=°。宣 exp [— 2〃 aJ^^ "о — %)}(5.128)

а величина Do равна

(5・129)

Наличие мнимой части в выражении для энергии (5.127) свидетельствует о том, что волновая функция в потенциальной яме будет со временем убывать по экспоненциальному закону. В самом деле, для квадрата модуля волновой функции будем иметь (см. (5.95)):

I 2 F = const(5.130)

т. е. X -— так называемая постоянная распада — будет характеризовать убывание вероятности нахождения частицы внутри потенциальной ямы. Вместе с тем вне ямы, как видно из записи волновой функции 2〃/ в равенстве (5.116), решение должно возрастать при удалении от ямы %->+оо за счет малой мнимой добавки к волновому числу Н (5.126):

I 屯〃 |2 = conste2Q%,(5.131)

и поэтому нормировочный интеграл для функции р при больших значениях % расходится. Однако этот рост функции р вне ямы при х —> оо компенсируется ее экспоненциальным убыванием при /-> оо согласно равенству (5.130), что обеспечивает выполнение уравнения непрерывности (2.20).

В самом деле, вычислим ток прошедшей волны p/〃 согласно (5.54):

姦优+ ^)12〃/Р = ^Р = Рб

где р = I 屮〃/12 ——плотность вероятности.

Отсюда и из (5.131) находим

箓=°需=2®р・

Далее, согласно (5.130) имеем

Таким образом, с учетом (5.126) и (5.128):

需 + 亲=(一九 + 2^zy) p = О,

т. e. уравнение непрерывности выполняется, как и следовало ожидать.

Соотношение (5.128) для постоянной распада 九 позволяет также определить коэффициент прозрачности барьера D. Действительно, между величинами К и D существует связь, установленная в задаче об альфа-распаде:

九=$2 (5.132) где -^——число соударений с барьером в единицу времени. Отсюда для D находим выражение

D aDq ехр[— 2 (。/力)V2mo(^o — &) ]• (5.133)

Это значение для D было получено нами ранее иным путем при решении задачи о прохождении через прямоугольный барьер (см. (5.69)).

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Средние значения операторов. Как известно, в классической теории движение отдельной материальной точки вполне определяется зависимостью координат от времени, что однозначно может быть найдено из основного закона движения Ньютона

тог = — grad V (г), (6.1)

если при этом заданы еще и начальные условия (динамическая закономерность). Определив г как функцию времени, можно найти также импульс и энергию материальной точки.

Несколько иначе обстоит дело при наличии многих частиц, например, в кинетической теории газов. В этом случае проявляются новые, присущие большому коллективу частиц, статистические закономерности.

Оказывается, что частицы такого коллектива имеют определенный закон распределения, вообще говоря, как в координатном, так и в импульсном пространстве. При этом можно говорить только о вероятности того или иного значения координаты или импульса частицы. Функция распределения f позволяет найти средние значения координаты и импульса

元=\xfd3xd3p, 広=\ Pxfd3xd3p, (6.2)

или средние квадраты этих величин

х2 = ^ x2fd3xd3pх2 = ^ x2fd3xd3pи т. д.,и т. д.,

х2 = ^ x2fd3xd3p

х2 = ^ x2fd3xd3p

и т. д.,

и т. д.,

которые и должны совпадать согласно закону больших чисел с соответствующими экспериментальными значениями.

Обратим внимание на одну особенность статистической закономерности. Эта статистическая закономерность в классической физике появляется в результате усреднения по так называемым скрытым параметрам, определяющим точное движение каждой частицы согласно уравнению Ньютона. В окончательные же результаты эти скрытые параметры не входят. Вообще, классическая теория, по крайней мере в принципе, позволяет указать (хотя это и очень сложно математически), почему в каждый момент времени координаты и импульсы отдельных частиц имеют данное наблюдаемое отклонение от средних значений.

Поведение частиц в микромире описывается волновой функцией г|)(у,/), которая носит вероятностный характер, причем даже в том случае, когда описываемая ею система состоит всего лишь из одной-единственной частицы. В связи с этим квантовая механика позволяет определить лишь средние значения физических величин независимо от того, имеется много микрочастиц или только одна. Следует подчеркнуть, что, ограничиваясь рамками квантовой механики, даже в принципе невозможно объяснить отклонение наблюдаемых величин от средних ). Вычисляются же эти средние значения в квантовой механике подобно тому, как это делается в статистической теории, т. е. по формуле:

M = №(f)M2(f)d3% (6.3)

где М может быть любым оператором (в том числе и числом), а величина 2* (f)2(f) играет роль функции распределения f.

В настоящее время средние квантовомеханические величины все чаще начинают обозначать с помощью угловых скобок. Эти обозначения мы и примем в дальнейшем.

Тогда формула (6.3) будет иметь следующую запись:

〈M〉=，W*(f)Mp(f)d3%.(6.4)

Чертой же в дальнейшем мы будем обозначать лишь классические усреднения.

Средние значения координаты и импульса являются числами и будут определяться фактически по одному и тому же закону

⑴=\ 屮* (f) W (/) d3x, ； а я(6.5)

〈心=)2*(/)｝备屮(0 d尢

несмотря на то, что % является числом, а 尹—оператором производной. При этом <х> будет координатой центра тяжести волнового пакета, а <рх> — импульсом этого центра тяжести.

Для того чтобы средние значения соответствовали физически наблюдаемым величинам, они должны быть вещественными

〈М〉* =〈М〉，(6.6)

т. е.

,\|)*M2d3% = ( , 2*M2d3%)・(6.7)

Это условие накладывает определенные требования на операторы М. Для того чтобы их выяснить, необходимо ввести понятие эрмитово-сопряженного оператора. С этой целью рассмотрим сходящийся интеграл

\ y*M(pd3%,(6.8)

где 屮 и % — какие-либо произвольные функции, удовлетворяющие некоторым граничным условиям в зависимости от вида оператора М.

Определим эрмитово-сопряженный оператор М+ следующим уравнением:

,X*Mq)d3x = \ (М+х)*фЛ.(6.9)

Если оператор М совпадает с эрмитово-сопряженным к нему оператором М+ (М = М+), то

,X*M(p d3x = (М%)*(pd3x.(6.10)

В этом случае оператор М называется самосопряженным (или эрмитовым),

Полагая в этом равенстве Q = % =也 приходим к условию (6.7). Таким образом, если оператор является самосопряженным,

м = м+,(6.11>

то соответствующие средние значения, как это следует из равенств (6.7) и (6.6), представляют собой вещественные величины.

Покажем, в частности, что оператор р* удовлетворяет условию (6.7) или (6.11), несмотря на то, что по внешнему виду он является чисто мнимым.

Докажем для этого прежде всего важную для дальнейшего теорему о《перебросе》производной. Заключается она в следующем. Допустим, что мы имеем интеграл

G= j〃um)d%,(6.12)

где и(〃)= dnv/dxn. Тогда, если все подстановки пределов типа

["/T]工，["⑴濟-2)]%,[小-呵工 (6.13)

обращаются в нуль, то результат интегрирования G не изменится, если мы в (6.12) м-ю производную от функции v «перебросим» на функцию и и поставим при этом перед интегралом множитель (——l)rt:

\ dx = (—l)n , 〃⑻udx.(6.14)

В самом деле, производя в (6.12) n-кратное интегрирование по частям и учитывая нулевые значения подстановок (6.13), приходим к соотношению (6.14). В случае дискретного спектра уело- вия (6.13) будут всегда выполнены, так как волновая функция убывает на бесконечности по экспоненциальному закону. В случае же свободного движения (непрерывный спектр) эти выражения обращаются в нуль вследствие условия периодичности. Физически условие (6.13) означает, что на бесконечности нет никаких частиц и никаких токов.

Возвращаясь к доказательству самосопряженности оператора в равенстве (6.14), мы должны положить

"=2*0),u =-访 2(f),n = 1.

Отсюда автоматически следует, что

〈Р%〉= — \ 2* ⑴访晶屮(0 d% = \ 2 (/)访 ± 屮* (/) dt =〈р%〉*, т. е. условие самосопряженности (6.7) для рх оказывается вьн полненным. Заметим, что в противоположность оператору рх =——ihd/dx вещественный оператор д/дх не является самосопряженным, и его среднее значение не имеет физического смысла.

Если оператор М имеет только одно собственное значение X (и одну собственную функцию р), то оно, как нетрудно видеть, будет совпадать со средним значением этого оператора. Дей-

ствительно, следуя общему правилу (6.12) определения среднего значения оператора и учитывая, что

М2 = Лд|),(6.15)

получаем:

(М) = , 2*М2dз% =九 \ 2*2^3% =九.

Пусть теперь оператор М уравнения (6.15) имеет несколько собственных значений 储，九2,...,九％ ..., соответствующих функциям i|)i, р2, ..., фп, ... В этом случае в квантовой механике принимается, что в результате точных измерений физической величины, соответствующей оператору М, должны получаться лишь его собственные значения Хп.

Предположим теперь, что квантовая система находится в некотором состоянии, описываемом волновой функцией ф. Спрашивается, с какой вероятностью при измерении физической величины М будет обнаружено, что она принимает одно из возможных собственных значений 九〃？

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны разложить функцию ф в ряд по собственным функциям 2〃 оператора М:

2=2以必.(6.16)

Представление (6.16) аналогично разложению в ряд Фурье, когда функциями 2〃 являются собственные функции оператора импульса. Обычно в квантовой механике предполагается, что набор собственных функций любого оператора таков, что по ним можно провести указанное разложение произвольной непрерывной функции. Это свойство собственных функций, называемое полнотой, для довольно широкого класса операторов может быть доказано строго математически. Коэффициенты при 以 в разложении (6.16) имеют вполне определенный физический смысл. Именно, в квантовой механике принимается, что квадраты их абсолютных значений, т. е. \ Сп\2, пропорциональны вероятностям с которыми получаются при измерении собственные значения 九〃.

Можно легко показать, что собственные функции самосопряженных операторов, отвечающие различным собственным значениям, должны быть ортогональными (для оператора Гамильтона это уже было сделано выше в § 3). Пусть

m^ =从⑵，m2紋=九球也,，(6.17)

причем 入九=/=入九‘・ Для самосопряженного оператора М = М+ можно написать (см. (6.9), (6.10)):

\ %М屮紋 0%= J (Мгрл)' ^nfdsx.

Отсюда с помощью уравнений (6.17) получаем

(%-%)=

и, tак как九九=5邑九紋，tо

\ 2:屮球"% = 0 при и =# k

Нормируя собственные функции на единицу, запишем условие ортонормированности с помощью символа Кронекера в виде

\ %爾3% = 6m(6.18)

Это условие дает следующее значение для интеграла от квадрата модуля волновой функции гр, разложенной согласно (6.16): ，丨 212dз% = ?|С/・

Если волновая функция 2 также нормирована на единицу, то отсюда следует

S I ^п Р = 1 >

что соответствует полной вероятности обнаружить систему в состояниях фи. При этом \Сп\2 суть вероятности измерения возможных значений физической величины, равных 九〃•

Если же мы теперь вычислим среднее значение величины М в состоянии *ф, т。по общей формуле (6.4) с учетом разложения (6.16) и условия (6.18) получим

〈М〉= \ 巾*М20% = £ 統 I С/・(6.19)

п

Это равенство еще раз оправдывает вероятностную интерпретацию коэффициентов Сп в разложении (6.16).

Вывод соотношения неопределенностей. Как мы указали в предыдущем разделе, наблюдаемые физические величины, т. е. величины, которые мы можем измерять, следует математически характеризовать лишь средним значением, вычисляемым по формуле (6.4).

Покажем, что если двум физическим величинам соответствуют некоммутирующие друг с другом операторы, то в рамках квантовой механики они не могут быть одновременно измерены точно. Наиболее важным в этом отношении является вычисление стклонения от средних значений операторов двух канонически сопряженных величин: координаты 无 и импульса р%. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда волновая функ-

ция не зависит от времени (стационарный случай). Тогда средние значения координаты и импульса могут быть найдены соответственно из соотношений

(6.20/(6.20/〈%〉= , ^х^сРх,〈厶〉=，2？需НУ

(6.20/

(6.20/

Прежде всего заметим, что, хотя средняя ошибка, или отклонение от среднего, вычисляемая по формуле

〈А%〉= \ 2* (% —〈%〉) 2dз% =〈%〉——〈%〉= 0,(6.21)

и равна нулю, это все же никоим образом не означает отсутствия других возможных положений частицы, отличных от 〈X〉， поскольку отклонения могут иметь относительно центра тяжести 〈%〉 различные знаки и, следовательно, в среднем взаимно компенсировать друг друга.

Поэтому отклонение от среднего значения следует характеризовать средней квадратичной ошибкой, которая при любом отклонении от 〈％〉имеет положительный знак. Эта средняя квадратичная ошибка для координаты (дисперсия) может быть вычислена по формуле:

〈(△%尸〉=\ 屮* (% —〈%〉)2 2&з% =

=〈%2〉一 2〈%〉2 +〈%〉2 =〈%2)一〈%)2.(6.22)

Обращение в нуль средней квадратичной ошибки, например, 〈(А%)2〉= 0, означает, что вероятность пребывания электрона в пространстве отлична от нуля лишь при 无=<х>. В этом случае среднее значение равняется точному, т. е. соответствующая вероятность пребывания частицы будет описываться 6-образной функцией.

Аналогично для средней квадратичной ошибки по импульсу имеем:

〈(A。J〉= \ 炉(Р% -〈&〉)22dз% = <Рх)-<Рх)2.(6.23)

Чтобы установить связь между <(Ах)2> и <(Арх)2>, мы можем, без ограничения общности доказательства, выбрать систему координат с началом в центре тяжести волнового пакета (<х> = 0), причем выбрать ее так, что она движется вместе с последним (<рх> = 0). В этом случае получаем:

((Ах)2) = (х2) = (

'Гк 2(6.24)

〈(А%У〉=〈Р》=、2*(—沛77)如3尤

Рассмотрим следующий интеграл:

/ (а) =，(ах屮* + ^~) (а%2 + 碧)不居(6.25)

где а — некоторая произвольная вещественная величина, не зависящая от %. Последнее выражение можно представить в виде

/(а) = /а2-5а + С,(6.26)

где

/ = \ 2*无22d3% =(%2)> О,

В=-，(陪х屮+ X状翁)=

=一X 号丿 °3% _ j 2*屮出"=1，(6.27)

C=\兽装"х = *，炉(一访箱2d3% =绰>0.

Так как подынтегральное выражение в (6.25)—положительная величина или нуль, то

/(а)>0.(6.28)

Условие (6.28) накладывает определенное ограничение на коэффициенты Л, В и С. В самом деле, это соатношение будет иметь место для любых вещественных значений а, если оно выполняется при а = а。， отвечающем минимуму функции /(а). Значение ао может быть найдено из условия

1Г(«о) = 2Ла0 — В == 0, т. е. °。=导， а

/〃 Зо) = 24 >0.

Поэтому минимальное значение / (а) равно

R2

/мин = / (а°) =^^ + С》0.(6.29)

Отсюда следует, что неравенство (6.28) имеет место для любых вещественных значений а, если выполняется условие

52&44С.

Подставляя сюда значения для А, В и С из (6.27) и принимая во внимание (6.24), находим соотношение между〈(Ар%)2〉 и <(Дх)2>:

〈(Ах)2〉〈(Ар%)2〉》号.(6.30)

Это неравенство и представляет собой формулировку соотношения неопределенностей.

Если учесть, что рхх — хр% = —/Й ), то последнее соотношение можно записать в виде

<(Дх)2>〈(Ар J〉》｝〈 I р%% — 冲％ I2).(6.31)

Обобщая последний результат, мы можем вообще сказать, что если два оператора Mi и М2 не коммутируют друг с другом, то для них всегда имеет место соотношение неопределенностей

〈(АМУ〉<(AAf2)2)>4〈 I М1М2 — М2Mli2〉，(6.32)

где

〈(АМ,)2〉= \ 2* (М» — (М^)2 2dз%, (i = 1, 2).(6.33)

Как мы указывали, соотношение неопределенностей является следствием корпускулярно-волнового дуализма, лежащего в основе квантовой механики, и не связано с субъективной стороной опыта, т. е. с наблюдением. Эксперименты могут только подтвердить выводы теории.

Смысл соотношения неопределенностей заключается в том, что распределения плотности по переменным, которым соответствуют некоммутирующие операторы, принципиально не могут одновременно иметь вид 6-функций (рис. 6.1). Более того, чем ближе к 6-функции распределение вероятности по одной переменной, тем более размытым становится это распределение по другой. В пределе, когда, например, распределение по %, т. е. 伸(％) 12, примет вид 6-функции [<(Ах)2> = 0], по импульсу рх оно станет таким, что для всех значений рх величина |ф(/?х) |2 будет постоянной, т. е.〈(Ар%)2〉= сю.

Условие коммутативности двух операторов является необходимым условием того, чтобы соответствующие им физические переменные могли быть одновременно точно измерены.

Классические и квантовые скобки Пуассона. Как известно, состояние системы в классической механике определяется так называемыми динамическими переменными. Эти величины для системы, заданной функцией Гамильтона "(打，р〃，f), зависят,

как правило, от координат х：, импульсов 卩 и времени /, т. е. f = /(х〃 р，, /). При этом %» и pi подчиняются каноническим уравнениям Гамильтона

玩，川=一京(6・34)

Изменение величины f со временем в силу уравнений (6.34) определяется равенством

祭= * + {""%,(6.35)

где выражение

^/u=X(t<-«)(6.36)

получило название классических скобок Пуассона.

Рис. 6.1. Распределение плотности вероятности в координатном (а) и импульсном (6) пространствах:

(《А%力 «Ар)»% = ± •

Если распределение в координатном пространстве (а) сужается, то распределение в импульсном пространстве (6) расплывается.

Если f не зависит явно от /, то -—• = 0 и поэтому ее изменение будет полностью определяться скобками Пуассона

祭={""}к“・(6.37)

При обращении последних в нуль ({Я, /}кл = 0) величина f не должна зависеть от времени, т. е. будет сохраняться:

f = const.(6.38)

Например, если энергия явно от времени не зависит, то dH/dt = 0 и в силу очевидного равенства {”, Я}кл — 0 мы найдем, что функция Гамильтона (т. е. в данном случае энергия}

является величиной постоянной (// == const). Заметим также, что, подставляя в (6.37) вместо f координату Xi, а затем р『,находим равенства (6.34), т. е. канонические уравнения Гамильтона.

Произведем обобщение классических скобок Пуассона на квантовый случай.

Прежде всего заметим, что в квантовой механике физический смысл имеют, как мы указали в п. а), только средние значения операторов (координаты, импульса и т. д.), изменение со временем которых мы и хотим найти.

В общем случае среднее значение произвольного оператора f дается в квантовой механике формулой (6.3), причем время / входит в нее как параметр. Учитывая эту формулу, найдем полную производную </> по времени

*= 4，屮*(f)fW)"3x= W(/)>g•屮⑴网4-

(6.39) выра-(6.40)(6.41)(6.39) выра-(6.40)(6.41)+ \f屮(/) 0% +、炉(/)f 噌• d3x.

(6.39) выра-

(6.40)

(6.41)

(6.39) выра-

(6.40)

(6.41)

Подставляя сюда вместо —— и …-咨соответственно жения +(Нф)* и — *Н也 приведем (6.39) к виду 鲁=，炉⑴"屮⑺小% +

+T \ т ⑴)*(郎(切一^4d f (hw ⑺)］不%, где

h=i^+k

Пользуясь теперь условием самосопряженности (см. (6.10)) для оператора Н, получаем

\ (HW С))* (f屮⑴)d3x =，炉(f) HfW ⑴ d%・(6.42)

Вследствие этого изменение〈/〉со временем должно определяться формулой

•^ =像)+内中*⑴(Hf - fH)中(Е)也=

=傷〉+〈旧，%В〉.(6.43)

Выражение

{Н, f% = * (Hf — fH)=今［H, f］(6.44)

4 А. А. Соколов к др.

представляет собой обобщение классических скобок Пуассона (6.36) на квантовый случай и поэтому носит название квантовых скобок Пуассона, а связанная с ними величина

[Н, f] = Hf - fН

называется коммутатором операторов Н и f. Для двух произвольных операторов А и В точно так же имеем

[А, В] = АВ — ВА・

Очевидно, в том случае, когда 〈糸〉=° (как правило, оператор f явно не содержит времени), уравнение (6.43) принимает вид

-^-=({Н, f}KB) = |<[H, ф.(6.45)

Отсюда следует, что изменение〈f〉со временем в этом случае полностью определяется квантовыми скобками Пуассона. Если к тому же оператор f коммутирует с оператором Гам льтона Н, то соответствующая оператору f физическая величина </>, как это видно из (6.45), сохраняется.

С помощью (6.45) легко доказать, что энергия частицы, движущейся в потенциальном поле V(г) f не зависящем от времени, должна сохраняться. В самом деле, в этом случае выражение

{Н, Н}кв=4(НН — НН)

обращается в нуль, и поэтому на основании (6.45) имеем: 〈"〉=const.

С другой ст)роны, согласно стационарному уравнению Шредингера Н必=£帥〃，и поэтому, когда 2 = 2(?) = £&“«),

〈"〉=J 2*Н2必= ^\Сп^Еп = Е. (6.46)

т. е. (6.46) представляет собой не что иное^ как закон сохранения энергии (Е = const) для частицы, движущейся в силовом поле, не зависящем от времени.

Заметим, что равенство нулю коммутатора Н с каким-либо оператором означает наличие некоторой симметрии в системе. Покажем это. Энергия системы, находящейся в состоянии гр, определяется согласно формуле

Е =〈Н〉= \ ^Нф 0%.

Рассмотрим вместо 屮 и 屮* новые функции

U = F4> и 炉=2*f+,

где F — некоторый оператор, a F+ — эрмитово сопряженный оператор. Тогда в состоянии 2’ получим

& = , 2“Н2"з%/\ 屮"屮％3无=

=，“*F+HFW d3%/\ W*f+FW d3%・

Энергия £' будет совпадать с £, если

F+F = I и F+HF = H,(6.47)

где I — единичный оператор. Поскольку из первого равенства следует, что обратный оператор F~! = F+ (унитарное преобразование) ,то второе равенство можно переписать в виде

HF = FH.(6.48)

Таким образом, преобразование волновой функции с помощью унитарного оператора F (F+ = F"), коммутирующего с гамильтонианом Н, не изменяет энергию системы, что и означает наличие симметрии в системе.

Если преобразование F = F(a) является непрерывным и зависит от действительного параметра а, причем F(0) = I — тождественное преобразование, то для, малых значений а имеем:

у = F2 ^ 屮 + а ^ f^,

где (〃九)f — оператор бесконечно малого преобразования. В этом случае условия (6.47), (6.48) с линейной точностью по а приводят к равенствам

f = f+ и Hf = fH,

т. е. оператор f должен быть эрмитовым и коммутировать с Н.

Примером подобного оператора может служить оператор импульса р% =—(出)d/dx, задающий трансляцию вдоль оси 尤. Действительно,

2 (% + а) 2 ⑴ + а 禦=屮(%) + а р%2・

Аналогично, для бесконечно малого поворота вокруг оси z на угол а《1 получим

23 + а)^ 屮(ср) + а窯=屮(ср) + а^ J 也

где Lz = —{iK)d/d^ ——оператор проекции момента импульса L на ось z (см. ниже).

Коммутативность операторов р* или L с гамильтонианом Н означает симметрию системы соответственно относительно трансляций вдоль оси х или вращений вокруг оси z. При этом согласно (6.45) сохраняется импульс рх или момент импульса L&

г) Теоремы Эренфеста. Найдем квантовый аналог классических уравнений! движения (6.34); для этого используем квантовые скобки Пуассона. Замечая, что х и р% не содержат времени явно, воспользуемся для определения производных соотношением (6.45), полагая в нем соответственно f = х н f = р%・ В случае f = х находим

含〈》=〈｛Н, HQ = у〈Нх — хН>, (6.49) где

2 mo

Учитывая при этом коммутативность х и V(x)t можно привести (6.49) к виду

融〉=*〈Р%7Р〉

Добавляя в правую часть этого выражения величину (рххрх — РхХрх), равную нулю, имеем

俳〈尤〉="5^〈Р %(Р%% — %Р> +(Р%“ - %Р> Р%〉・(6.50)

Принимая, далее, во внимание формулу (6.30а), получим

易〈力=噜・(6・51)

Чтобы определить изменение импульса со временем, мы должны в формулу (6.45) вместо оператора f подставить оператор импульса р%. Тогда, замечая, что р%р? — p^px = 0, находим

备〈Р#〉=〈｛Н, pJQh^VPPl р/〉= —〈募〉；(6.52) отсюда, используя (6.51), получаем

恤备〈力=-(黑)=〈尸(%)〉・(6.53)

Уравнения (6.51) и (6.53) представляют собой теоремы Эренфеста, согласно которым для обобщения основных уравнений классической механики на квантовый случай мы должны в соответствующие классические соотношения подставить средние значения операторов.

О) Переход от квантовых уравнений движения к классическим. Сравним классическое уравнение движения

他戒=尸(%)(6.54)

с соответствующей квантовой формулой (6.53).

Как было отмечено, роль классической координаты в квантовой теории играет величина <х>. Поэтому мы могли бы считать, что квантовое уравнение совпадает с классическим, если бы вместо (6.53) имели

团。备〈力=F《%》，(6・55)

т. е. если бы в классическое соотношение между силой и координатой было подставлено вместо х его среднее значение <х>. Однако согласно теореме Эренфеста в уравнения движения в квантовом случае входит среднее значение самой силы, т.е. 〈尸(％)〉. Поэтому, чтобы перейти от квантовых уравнений движения к классическим, прежде всего следует установить связь между〈尸(%)〉и 尸(〈%〉)•

Представим для этого оператор силы 尸(％) в виде

尸⑴=尸(<力+ a%),(6.56)

где Ах = х ——〈％〉，и разложим 尸(尤)в ряд Тейлора вблизи точки 尤=〈％〉. Тогда получаем:

尸(％)=尸(〈») + (Ах)尸(⑴)+ 粤 F" (〈％〉)+ ... (6.57)

Производя усреднение этого выражения по формуле (6.3) и принимая во внимание, что〈Ах〉=〈％ — <х» = 0, получаем:

〈尸(х))=尸(〈») + 吟货 F〃 (⑴)+ ...(6.58)

Поэтому квантовые уравнения движения (6.53) принимают вид m。备〈%〉=尸(〈%〉)+"用"(〈力)・(6.59)

//Д^\2\

Здесь выражение -~尸"(〈％〉) является квантовой поправкой к классическому уравнению Ньютона. Очевидно, критерием перехода квантовых уравнений движения в классические является неравенство

Однако следует заметить, что выполнение этого условия еще не означает возможность применимости всех классических понятий для описания движения микрочастицы. В самом деле, в квантовой механике среднее значение кинетической энергии 〈7〉опре-

деляется выражением

〈т（Р%）〉=縛=綜+繚導，〈т（Р%）〉=縛=綜+繚導，(6.61)(6.61)

〈т（Р%）〉=縛=綜+繚導，

〈т（Р%）〉=縛=綜+繚導，

(6.61)

(6.61)

где Ap% = p% —〈p%〉，〈Ap%〉= 0.

В то же время классическим аналогом кинетической энергии следует считать величину

7(〈厶〉)=翳・(6.62)

Отсюда следует условие перехода от квантового выражения кинетической энергии (6.61) к классическому (6.62)

〈(Ар J〉《〈Р〉2 = 2恤7 (〈心)・(6.63)

Умножая неравенство (6.63) на (6.60), находим общее условие возможности использования классического приближения в микромире

〈(А%»〈(Ар『〉＜ 4恤7«рх» I/§■ |.(6.64)

Если к тому же учесть еще соотношение неопределенностей (6.30), то последнее условие принимает вид

то7(〈Р，)|~Я^|》%・(6.65)

§ 7. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ-ОСЦИЛЛЯТОР

Задача об одномерном гармоническом осцилляторе является одной из важных задач теоретической физики. Она находит свое применение при построении простейшей теории колебаний, которая имеет большое значение в самых разнообразных областях физики (в механике, классической электродинамике, радиофизике, оптике, атомной физике и т. д.). Новые теории, которые за последнее время появлялись в атомной физике, как правило, «испытывались» на ряде простейших задач, в том числе и на построении теории гармонического осциллятора.

Часто оказывается возможным свести изучение движения сложных систем к рассмотрению совокупности нормальных колебаний, эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. Для нас построение теории гармонического осциллятора интересно еще и в методическом отношении. В самом деле, эту задачу можно решить точно и тем самым проиллюстрировать на наиболее простом примере применение уравнения Шредингера для исследования конкретных задач. Задача о гармоническом осцилляторе сыграла большую роль также при создании квантовой теории поля (вторичного квантования) и при анализе

так называемой нулевой энергии электромагнитного вакуума.

Конкретное применение задача о гармоническом осцилляторе нашла в теории равновесного излучения, а также при построении теории спектров и теории теплоемкости двухатомных молекул (см. ниже).

Осциллятор в классической теории и в приближении ВКБ. Рассмотрим сначала классическую теорию линейного гармонического осциллятора ). Для этого представим себе, что на некоторую материальную точку с массой то действует упругая сила

尸=一々%,(7.1)

где 尼一коэффициент упругости. Тогда классическое уравнение движения гармонического осциллятора запишется в форме

加0元=-kxt(7.2)

описывающей простейший колебательный процесс.

Решение этого уравнения имеет вид

х = а cos со力(7.3)

круговая частота, а а — амплитуда коле-круговая частота, а а — амплитуда коле-2л где(0=—=

круговая частота, а а — амплитуда коле-

круговая частота, а а — амплитуда коле-

баний. Из (7.3), в частности, видно, что ускорение

侬=尤=—as? cos sf(7.4)

отлично от нуля. Следовательно, колебание заряженной частицы должно сопровождаться излучением, интенсивность (средняя энергия, излучаемая в 1 с) которого в соответствии с классической электродинамикой будет с учетом (7.4) определяться выражением

/кл =器/=争二(7.5)

При выводе (7.5) мы учли, что среднее значение cos2 a)t равно

?\cos2 皿山=^・(7.6)

о

Выразим теперь интенсивность излучения 1ГКЛ через полную энергию Е = Т + V гармонического осциллятора. Воспользо-

вавшись

известными выражениями для потенциальной энергии

X

1/(6 = 一、尸(％) dx =丄吟1=卫啰竺 cos2©/(7.7)

0

и кинетической энергии:

находим

т = Л^ = m^L. sin2 叫(7.8)

E=V(x) + T =卫嗒竺=const.(7.9)

Исключая с помощью последнего соотношения величину а2 из (7.5), имеем

(7.10)(7.10)2е 沁?Е

(7.10)

(7.10)

Итак, с помощью классической теории определяется как интенсивность, так и частота излучения, причем последняя совпадает с механической частотой колебания гармонического осциллятора. Энергия же гармонического осциллятора может принимать любые непрерывные значения.

Согласно квантовой механике энергетические уровни осциллятора должны быть дискретными. Наиболее просто спектр энергии можно определить методом ВКЕ с помощью правила квантования Бора — Зоммерфельда (5.39)

^ pxdx = 2лй (п + %), (7.11)

где квантовое число n = 0, 1, 2, 3, ..., а импульс р* равен

Рх= V 2m0 (E—V (%))・Рх= V 2m0 (E—V (%))・(7.12)(7.12)

Рх= V 2m0 (E—V (%))・

Рх= V 2m0 (E—V (%))・

(7.12)

(7.12)

Учитывая значение V (х) = т0«>2^2/2, вычислим интеграл

pxdx -2^ "2%? -飞0)2%2dX =

где Xi и %2 находятся из уравнения V(%i) = V(х2) =Е. Подставляя этот интеграл в условие квантования (7.11), находим спектр энергии осциллятора

旦= %<о (%+%).(7.13)

Заметим, что полученный результат для осциллятора оказывается точным, несмотря на то, что при его выводе использова- лйСь Кёазгий^ассическая формула (7.11). Постулат квантования Вора г?|)и百одит к неточному результату, отличающемуся от (7.13) членом %・

Собственные функции и собственные значения энергии. Чтобы определить характер волновой функции г|)в задаче о гармоническом осцилляторе, прежде всего представим графически зависимость потенциальной энергии V от х (рис. 7.1)

y =恤實2 .

Из графика видно, что в области потенциальной ямы, где полная энергия Е гармонического осциллятора больше И

(£ > У), решение для 屮 должно иметь характер гармонической функции. В области же потенциального барьера (£ V V) эти решения должны содержать две части: убывающую и возрастающую (рис. 7.1). Очевидно, что решение задачи сводится к нахождению таких условий, при которых возрастающее решение должно отсутствовать. Это возможно, так же как и в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. § 4), лишь при некоторых дискретных значениях энергии, которые мы и должны здесь определить.

Так как потенциальная энергия V гармонического осциллятора зависит лишь от координаты %, то уравнение Шредингера для него можно записать в виде

礬 + 芻(Е-¥* = 0.(7.14)

Полагая здесь

2/〃оЕс 1"门①а с 2Е

自2Xq h力8

и вводя новую переменную

W ==(7.15)

получаем

旷 +仇一曾)2 = 0,(7.16)

где

Прежде всего найдем асимптотическое поведение волновой функции при Е~> 士оо, когда постоянной величиной % по сравнению с |2 можно пренебречь. Тогда

屹一孰8 = 0・(7.18)

Решение этого уравнения будем искать в виде

也。= е 喈.(7.19)

Учитывая, что

曬 =(4唸2 + 2е) с喈^ 4唸2c吋 находим:

e = ±%(7.20)

и, следовательно,

28 = &6-%& + &6%&.(7.21)

Поскольку при gf ±оо волновая функция должна быть ограниченной, коэффициент С2 необходимо положить равным нулю; коэффициент же G можно считать равным единице, так как волновая функция не является еще нормированной. Таким образом, асимптотическое поведение волновой функции 屮 будет следующим:

也о = с-% 乳 (7.21а)

Общее решение для волновой функции будем искать в виде )

2 =屮®〃 = с-%『〃,2 =屮®〃 = с-%『〃,(7.22)(7.22)

2 =屮®〃 = с-%『〃,

2 =屮®〃 = с-%『〃,

(7.22)

(7.22)

(e-% 氏)〃 _ ["〃 _ 2自公 + (廿_1)〃]e-%片,(e-% 氏)〃 _ ["〃 _ 2自公 + (廿_1)〃]e-%片,учитывающем особенности поведения на бесконечности. Подставляя последнее выражение в (7.16) и принимая во внимание, что

(e-% 氏)〃 _ ["〃 _ 2自公 + (廿_1)〃]e-%片,

(e-% 氏)〃 _ ["〃 _ 2自公 + (廿_1)〃]e-%片,

получаем следующее уравнение для и:

"〃 一2自他 + (入 一 1) " = 0.(7.23)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда

〃=2 院F；(7.24)

к=0

подставляя последнее выражение для и в уравнение (7.23), находим

£ 限 к 依 一 1)Г~2 一 (2к + 1 — 九)f] = 0. к=0

Производя преобразование индекса суммирования таким образом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями &, получаем:

X 守[吼+2 依 + 2) (к + 1) — 暁(2к + 1 — Л)] = 0. к=0

Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при 守，найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов Ьк\

暁+2 = Ьк(М^；к ；])•(7.25)

Последнее соотношение связывает коэффициент Ьк с 6«+2 и т. д. Аналогично можно найти связь коэффициента Ьк+i с 匕先+з и т. д. Поэтому мы получаем два независимых решения, определяемых рядом (7.24). Первое независимое решение связывает между собой коэффициенты, например, при четных степенях 短 второе — коэффициенты при нечетных степенях | или наоборот.

Как видно из соотношения (7.25), один из этих рядов мы можем оборвать (т. е. сделать полиномом) на некотором члене и (и — целое положительное число, включая нуль). Для этого мы должны положить

九= 2%+ 1.(7.26)

В этом случае Ьп =/= 0, в то время как

^п+2 = ^п+4 = ^п+6 == 0・(7.27)

Из (7.26) и (7.14) находим дискретный спектр возможных значений энергий

к%),(7.28)

где квантовое число и = 0, 1, 2, 3,...

В отличие от теории Бора нулевая энергия (п = 0) не обращается в нуль и равна

&)=%九(о・(7.28а)

Ниже мы покажем, что появление нулевой энергии связано с соотношением неопределенностей, т. е. с волновыми свойствами частиц. На частоте излучения она не сказывается.

Другой ряд с коэффициентами b〃+i, Ь^+з и т. д., образующий второе независимое решение, при помощи введения условия (7.26) мы оборвать не можем. В этом ряде отношение двух последующих коэффициентов согласно (7.25) при s f оо стремится к пределу

(7.29)

и будет таким же, как у функции 决；разложенной в ряд

(7.29а)(7.29а)s=0,1,…s=0,1,…

(7.29а)

(7.29а)

s=0,1,…

s=0,1,…

т 〃(〃 一 1)т 〃(〃 一 1)九 一4 = 2"九 一4 = 2"-4 〃 m — 1）（九一2）（〃 一 з）-4 〃 m — 1）（九一2）（〃 一 з）И т. д.И т. д.(7.31)(7.31)

т 〃(〃 一 1)

т 〃(〃 一 1)

九 一4 = 2"

九 一4 = 2"

-4 〃 m — 1）（九一2）（〃 一 з）

-4 〃 m — 1）（九一2）（〃 一 з）

И т. д.

И т. д.

(7.31)

(7.31)

Поэтому при g—> ±оо имеем и —► eg2, т. е. мы вновь получим расходящееся решение Wgf е%&, которое следует отбросить ). Первый же ряд (см. (7.24)) должен представлять собой конечный полином порядка и.

Полагая коэффициент при максимальной степени /Смаке =九 равным )

Ьп = 2\(7.30)

находим:

Ограничиваясь первыми п членами степенного ряда для функции 〃，получим так называемый полином Эрмита

и=нп (自)=(20 - 曾а(2 旷 2+

я (я — 1) (п — 2) (/z — 3)

Отсюда, в частности, следует, что

(7.33)(7.33)儿倡)=1,"熊)=2" "2倡)=婚一2,"3(& = 8自3-12自.

(7.33)

(7.33)

Полином Эрмита "九(三)можно записать в замкнутой форме %⑹=(一1)"仅^^・(7.34)

Примечание. Чтобы это показать, введем функцию и = еТ, удовлетворяющую уравнению

i十2自0=0

Дифференцируя последнее уравнение п + 1 раз, используя при этом формулу Лейбница:

(族)⑺=У®7 + ^^^ + ^犷」)yST)2〃 十...，(7.34a)

находим:

川+2)+ 2纷九+1)+ 2 (/г + 1"⑺=0.

Производя далее замену

小九)=6一±%,

получим, что функция w удовлетворяет уравнению (7.35), т. е. будет пропорциональна полиному Эрмита

一g d%Y⑷=еd^~ = /九〃〃•

Множитель пропорциональности 4〃 может быть найден путем приравнивания друг другу коэффициентов при 聲".В результате оказывается 4 = (—1)л, откуда мы и получаем формулу (7.34).

Из (7.32) видно, что Нп(^ подчиняется уравнению (7.23), если в последнем положить 九=2〃 + 1:

俏 一2自篤+ 2% = 0・(7.35)

Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора согласно (7.22) и (7.32) имеет вид

^п = Спе-^Нп^(7.36)

причем 三 связано с координатой х соотношением (7.15). Коэффициент Сп можно определить из условия нормировки. Рассмотрим для этого интеграл

/〃〃，= \ ^п^п' dx — XQCnCnf ^ е~^Нп (^) H^^j d^,(7.37)

где, не ограничивая общности, можем предположить, что п》〃'. Подставляя сюда полином "〃(&) в виде (7.34), получим после n-кратного интегрирования по частям

= (—1)，! ХйСпСп' Нп''，誑 d& = x()CnC,/，eT —~^~ d*.

Если п > п\ то n-кратное дифференцирование полинома Нп степени 几‘ дает нуль /九九，=0. Тем самым доказывается ортогональность функций 屮九 и 屮九，при п7 声 п.

В случае п7 = и, принимая во внимание, что согласно (7.32)

春 нп 位)=2"献，J eY 恋=仮，(7.39)

и требуя, чтобы функции ^п были нормированы на единицу (厶〃 =1), находим

“2〃/г! Vя %о“2〃/г! Vя %о(7.40)(7.40)

“2〃/г! Vя %о

“2〃/г! Vя %о

(7.40)

(7.40)

Таким образом, волновые функции

2〃 (х) =(石)Нп(7.41)

оказываются ортонормированными, т. е.

\ ^ndx = ^

Примечание. Как видно из формулы (7.32), квантовое число %, кроме энергии (см. (7.28)), характеризует также четность волновой функции 屮“(％). Действительно, при четных п полином Эрмита "% а вместе с ним и волновая функция фп(х) являются четными, т. е. при замене х на —х не изменяют своего знака

% (— х) = 2九(х) (п — четно).(7.42)

При нечетных же п функция 屮“(％) является нечетной, т. е.

2〃(一％) = — 2" (%) (п — нечетно).(7.43)

Заметим, что если X в уравнении (7.16) не удовлетворяет условию (7.26), то решение не может быть выражено через полиномы Эрмита. В этом случае, полагая z=“2g и 九= 2v+l, получим линейно независимые решения уравнения (7.16)

^ = CiDv ⑶ +02% (一之)， выраженные через функции параболического цилиндра (функции Вебера — Эрмита) Dv (г) и Dv (— г). При условии v = п = 0, 1, 2,... функции % (± г) выражаются через полиномы Эрмита 〃九(г/“2), и мы вновь получаем решение (7.41).

123-2 52123-2 52В области малых квантовых чисел, например, для n=0, 1, 2, имеем

123-2 52

123-2 52

2o = C^-^\

(7.44)(7.44)电= &・2証-%/, 屮2 = C2・(4『一2)e」"&.

(7.44)

(7.44)

График собственных значений и собственных функций осцил

лятора представлен на рис. 7.2. Мы видим, что по внешней фор

ме он напоминает аналогичный график, полученный для потенме он напоминает аналогичный график, полученный для потенциальной ямы (рис. 4.3). Функция i|)o соответствует основному

ме он напоминает аналогичный график, полученный для потен

ме он напоминает аналогичный график, полученный для потен

тону, функция 屮 1 — первой гармонике, функция 血一второй гармонике и т. д.

Когерентные состояния. Выше мы нашли, что минимальная энергия гармонического осциллятора (7.28а) отлична от нуля, в то время как по классической теории или по теории Бора она равна нулю. Покажем, что наличие основного состояния осциллятора с минимальной энергией £0 =岑 связано с соот

Рис. 7.2. График собственных значений и собственных функций осциллятора для n=0, 1, 2.Рис. 7.2. График собственных значений и собственных функций осциллятора для n=0, 1, 2.ношением неопределенностей

Рис. 7.2. График собственных значений и собственных функций осциллятора для n=0, 1, 2.

Рис. 7.2. График собственных значений и собственных функций осциллятора для n=0, 1, 2.

<(Дх)2)<(Др)2)>4- (7・45)

В случае осциллятора для стационарных состояний можно сделать замену〈(А%)?〉на〈%?〉и <(Ар)2> на <р2>. Это следует из того, что волновые функции 2% вещественны и являются либо четными, либо нечетными. Поэтому в силу нечетности выражений ^х^п и — f力2；d屮Jdx имеем

〈%〉=\ 屮：%2九 dx = 0, 〈p〉=，% (皆曾)d% = 0.

Отсюда

<(Дх)2) = <х2)-<х)2 = <х2),

<(Др)2) = <р2)-<р)2 = <р2).

Подставляя значение для <р2> из (7.45) в выражение для полной энергии

получаемполучаем力2 丄 /ИоСО2 a2〉t / 8恤〈%2〉г2— ё

получаем

получаем

Приравнивая нулю производную 七 ное значение Е:

по〈/〉，находим мнннмалапо〈/〉，находим мнннмалае》%Н =粤 nРИ〈%2〉==4 哈

по〈/〉，находим мнннмала

по〈/〉，находим мнннмала

Таким образом, Емнн совпадает со значением для Яо, найденным по волновой теории (см. (7.28а)).

Существование конечной нулевой энергии гармонического осциллятора является одним из наиболее характерных проявлений волновых свойств частиц. В связи с этим экспериментальное подтверждение нулевых колебаний имело большое значение для всей квантовой механики.

Впервые нулевая энергия Со была обнаружена экспериментально в опытах по рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах. Если бы никаких колебаний решетки при низких температурах не было (Ео = 0), как это, например, следует из теории Бора, то взаимодействие рентгеновских лучей с кристаллической решеткой, а следовательно и рассеяние, не имело бы места. Наоборот, если минимальная энергия будет отличной от нуля (Ео#=О), то эффективное сечение рассеяния при низких температурах должно стремиться к некоторому конечному пределу. Эксперимент доказал последнее, т. е. подтвердил правильность выводов волновой теории Шредингера.

Чрезвычайно важным является то, что в основном состоянии осциллятора с минимальной энергией Ео =九①/2 при (%2) = ~- имеем〈р2〉= 2团(旦一嗚о?〈%?〉= —”■, т. е. в этом случае произведение неопределенностей (7.45) принимает наименьшее значение

〈(А力〉〈(АрУ〉= ? (7.46)

Распределение по координатам в этом состоянии 〃 = 0, как следует из (7.44), является гауссовым:

I 4>o I = —г=— е '・

Построим теперь наиболее общую волновую функцию, описывающую состояние частицы, в котором произведение неопределенностей для % и р принимает наименьшее значение (7.46). Для этого вместо функции фо следует взять функцию г|)а, которая получается из гр0 заменой переменной х f х — к® 川工、где а ——произвольное комплексное число. В результате для нормированной на единицу функции получим

必 =7人亠e%他—3ь_% (石一归 '.(7.47)

V "冗%0

При этом распределение по координатам имеет гауссов вид

где Re а ~ действительная часть а = Re а + i Im а. Из послед^ него равенства следует, что состояние (7.47) приводит к среднему значению:—

〈" = %0"2 Rea,

вообще говоря, отличному от нуля. Для среднего значения р в состоянии (7.47) получим

Легко убедиться в том, что дисперсия координаты в состоянии 2a равна

〈(А%)2〉=〈%2〉— <х)2 = ~^,

т. е. она совпадает со своим значением в состоянии ро. Для среднего значения р2 находим

储=卜% (- Й2京)必点=

="；等I ^^ _ Re a _ *m a 2必dx = 录〈(A货 +伪产

Отсюда следует выражение для дисперсии импульса 《Ар)2〉=誤，

и для произведения неопределенностей снова получаем минимальное значение (7.46).

Найденное нами состояние 2a (7.47) может быть представлено в виде разложения по полному набору волновых функций осциллятора (7.41)

% (%) = 2 以"(办

Для вычисления коэффициентов разложения Сп следует поступить так же, как это было сделано выше при вычислении нормировочного интеграла (7.37), т. е. использовать замкнутый вид (7.34) для полиномов Эрмита Нп

%= S <^dx= V==，也ё%&辭•恋，以xQn\2n S

где 5 = ~- Подставляя сюда выражение для 《％ (7.47) и интегрируя п раз по частям, получим

&=а〃(/г!『％та『/2.

Таким образом,

也(х) = сТ а 因2 £ 看必(办(7.48)

п

Отсюда следует, что распределение по квантовым числам и в состоянии (7.48) является распределением Пуассона

|С„|г = Цре-И12

со средним значением 〈〃〉= |а|2. Переходя в (7.48) к зависящим от времени волновым функциям ^п (х, /) = 0一"*〃"力屮九(％), получим следующее решение:

必(％ 0 = е-% I а 卩。-必〃2 £ i^?：必(%),(7.48a)

удовлетворяющее нестационарному уравнению Шредингера для осциллятора. Как видно, отличие $а(%, /) от 4>а(%), если не учитывать общего фазового множителя ^一庙吗 сводится к замене а на а。-'叫 и поэтому средние % и р в состоянии (7.48а) изменяются во времени как

〈％〉= «2 %о Re (а*%〈Р〉= “2 ~^ Im (ае/,

т. е. по законам классической механики. Суперпозиция стационарных состояний осциллятора типа (7.48а) описывает так называемые когерентные состояния и представляет собой нерас- плывающиеся волновые пакеты, минимизирующие соотношение неопределенностей. Они были введены впервые Шредингером в 1926 г. как состояния, наиболее близкие к классическим, и в настоящее время широко используются для описания когерентных свойств электромагнитного излучения в квантовой теории поля (Р. Глаубер, 1963).

а) Элементы теории представлений s квантовой механике. В рассматриваемой нами теории Шредингера волновая функция г|)зависит от пространственных координат. Согласно принятой статистической интерпретации квадрат модуля функции связан с плотностью вероятности обнаружить частицу в точке пространства с координатами г, г + dr. В этом случае принято говорить, что волновая функция (а также и все операторы) задана в координатном представлении. Такое представление, как мы уже убедились, удобно для решения ряда конкретных задач. Однако это представление не является единственно возможным. Кроме координатного представления, в квантовой механике рассматриваются также импульсное, матричное (знергетииеское) и другие представления.

На конкретном примере гармонического осциллятора рассмотрим более подробно этот вопрос.

С этой целью напишем гамильтониан (в нашем конкретном случае для гармонического осциллятора), сохраняя связь с импульсом и координатой, которая была установлена в классической теории:

"=昜+券l(7.49)

Затем потребуем, чтобы р и х были не обычными величинами, коммутирующими друг с другом (т. е. так называемыми с-чис- лами), а какими-то операторами (т. е. (/-числами), закон перестановок между которыми должен иметь вид

(7.50)(7.50)力рх — хр = ~.

(7.50)

(7.50)

Удовлетворить последнему соотношению мы можем несколькими способами, каждый из которых соответствует одному из представлений в квантовой механике, различающихся по зависимости волновых функций от координат или импульсов. В связи с этим сформулируем основные представления и установим связь между ними.

РРКоординатное представление (х - п редет а- вление) мы получим, полагая импульс оператором ((/-число)

Р

Р

(7.51)

оставляя в то же самое время координату х обычным с-числом.

Тогда величина 九/i является собственным значением оператора (7.50) при действии его на волновую функцию *ф(х), зависящую от координаты х:

(р% — %р) 2 (%) = / 屮(%).(7.52)

Подставляя (7.51) в уравнение (7.49), мы находим, что гамильтониан становится также оператором:

Н = Т 爲 + 呼*(7・53)

задача о собственных значениях которого приводит к уравнению Шредингера (х-представление) для гармонического осциллятора

где

(£ — 4%2 + в 思~) 2 (%) = 0,

(7.54)

Вводя величину

и

(7.57)

находим собственные значения (см. (7.26) и (7.28)) для постоянной

九〃 =2п + 1.(7.58)

Отсюда следует, что

当h自8仇+ %),(7.59)

где п = 0, 1, 2, 3,

Собственные функции определяются равенством (7.41)

^п (%) = ~т====- е /?(石)Н〃)(7.60)

и удовлетворяют условию нормировки

+ 8

，l^(x)|2dx=l.(7.61)

Согласно основным принципам теории наблюдаемыми величинами являются средние значения соответствующих операторов. Сама же волновая функция играет вспомогательную роль. Так, в частности, в теории гармонического осциллятора существенная роль принадлежит матричным элементам координаты

+ 8

^П= \ %，w〃d%(7.62)

и импульса

+оо

)屮:产言也也(7.63)

которые, как будет показано ниже, характеризуют процесс излучения.

Для того чтобы раскрыть последние интегралы, воспользуемся следующими соотношениями, которым удовлетворяют волновые функции гармонического осциллятора:

戏^h%oI勺厶^必一1 + 7生拦-办+1)，(7.64)

Y^F^ — Моз%о(д/Y^rt~l — д/ 八 t*丄 “,+)•(7・65)

Для того чтобы обосновать эти соотношения, найдем производную от полинома Эрмита

Я； = 2п[(2^ - ±LZL^LZ^L(2^-3 + ・・・]=2忆工_]・(7.66)

Аналогичным путем легко показать, что Я^ = 2п2 (п — 1) Нп_2.

Подставляя эти значения для производных в (7.35) и производя замену /if 〃+ 1, находим рекуррентное соотношение между полиномами Эрмита

自从=〃"一+^儿+1.(7.67)

С помощью равенств (7.66) и (7.67) легко обосновать соотношения (7.64) и (7.65), если при этом учесть еще (7.41).

Подставляя (7.64) и (7.65) соответственно в равенства (7.62) и (7.63) и учитывая условие ортонормированности, находим следующие отличные от нуля значения для матричных элементов координаты:

%1,九=%0 д/专，%〃+i, 〃 = %0 N2考'，(7.68)

и импульса:

Рп~1, п = — im^xn_^ 〃，Pn+1, п = 1т^хп^ 九. (7.69)

Импульсное представление (р-представ- л е н и е) мы получим, если в операторном соотношении (7.50) мы, наоборот, импульс р будем считать обычным с-числом, а координату—оператором (^-числом)

х = -^ 击.(7.69а)

Нетрудно убедиться тогда, что при действии этого оператора на волновую функцию, зависящую теперь от импульса р ), должно соблюдаться равенство

(рх — хр) ф(р) = -~-(р (р).(7.70)

Построим теорию гармонического осциллятора в импульсном представлении.

Подставляя значение оператора (7.69а) в уравнение (7.49), найдем

(ё-4炉+今崇)中g)=0,(7.71)

гдегде(7.73)(7.73)

где

где

(7.73)

(7.73)

(7.72)(7.72)Л1D加 ott)2力2

(7.72)

(7.72)

4 = W81=-T-

Отсюда видим, что для гармонического осциллятора при переходе от х-представления к р-представлению волновое уравнение при введении новых масштабов

тождественно переходит само в себя:

屮"+ &一們9=0(7.74)

(здесь штрихом обозначена производная по п). Поэтому мы можем воспользоваться решениями (7.28) и (7.41) и написать в р-представлении )

Е〃 = &黑=Йо (п + %),(7.75)

必(р) =,(7.76)

V 2〃加 Vn ро'

причем волновая функция ^п(р) должна удовлетворять условию ортонормированности

\ dp^(p)^P)-^(7.77)

Нетрудно проверить, что в этом случае q)(p) является фурье- образом функции 2(%)

屮⑴R歳、屮(Р)展方"dp,(7.78)

Q(P)：^^\ ^(x)e~l ^xdxf(7.79)

поскольку в этом случае

модуля KOTO-модуля KOTO-以盼=壶 J °/屮(%')J dp J 宕 d),(7.80)

модуля KOTO-

модуля KOTO-

в чем нетрудно убедиться, если учесть соотношение

Наконец, получим формулу (7.76) с помощью фурье-преобразования (7.79). Подставляя сюда значение для г|)м(%) из (7.41), имеем

/ 与;…\晦-快£‘岑" H'®. (7.81)

Как известно, фурье-образ функции (7.60) переходит сам в себя ) с коэффициентом «2л (―炉：

屮〃 (р)=:二丫Нп (為)L("Н ・(7.82)

V2"加"冗Ро' р。，

Этим и оправдывается введение множителя (——i)“ в волновую функцию (7.76).

Определив волновую функцию 屮九(р) в пространстве импульсов, можем найти по следующим формулам матричные элементы координаты

匕少=\嗚(t ^)中九"Р(7.83)

и импульса

Р^п=\^Р^п dP>(7・84)

для которых получим те же значения, которые были найдены в координатном представлении (см. (7.68) и (7.69)).

Матричное представление. Мы сможем удовлетворить также перестановочным соотношениям квантовой механики (7.50), если операторы импульса и координаты станем описывать с помощью матриц, которые в общем случае, как известно, не коммутируют друг с другом.

Обозначая матричные величины круглыми скобками, соотношение (7.50), а также гамильтониан для гармонического

осциллятора (7.49) мы можем представить в виде

(рх) Txp) = "l,(7.85)

(")=翳 + 哼(力，(7.86)

где / — единичная матрица.

Кстати, заметим, что законы квантовой механики были впервые сформулированы Гейзенбергом именно с помощью подобных матричных уравнений, из которых и были найдены (х), (р) Н (〃)•

Ради краткости мы воспользуемся найденными в случае гармонического осциллятора значениями для матричных элементов и покажем, что они удовлетворяют соотношению (7.85). Затем с помощью формулы (7.86) найдем спектр энергий.

Оказывается, решением уравнения (7.85) являются матрицы, составленные из матричных элементов координаты и импульса, полученных нами в х-представлении (или р-представлении).

Матричные элементы (7.68) и (7.69) образуют при этом следующие бесконечные околодиагональные матрицы ):

о V7T о0 о

，(7・87)，(7・87)0—i VV2000 ...===ITIqI^Xqi V770—/ “2/200 ...00一 i“％0 ...0—i VV2000 ...===ITIqI^Xqi V770—/ “2/200 ...00一 i“％0 ...(7.88)(7.88)W7 上"% 上0о "% о о ...

，(7・87)

，(7・87)

0

—i VV2

0

0

0 ...

===ITIqI^Xq

i V77

0

—/ “2/2

0

0 ...

0

0

一 i“％

0 ...

0

—i VV2

0

0

0 ...

===ITIqI^Xq

i V77

0

—/ “2/2

0

0 ...

0

0

一 i“％

0 ...

(7.88)

(7.88)

Эти матрицы являются эрмитовыми, так как соблюдается соотношение

Рп^п — Рппг*

Учитывая, что матричные элементы произведения двух матриц равняются сумме произведений соответствующей строки на

столбец

(Р%)〃'九=X Риккп，(7.89)

к=0

мы находим с помощью (7.87) и (7.88)

(р^)пГП — (хр)^% = ^^ (Рп'к^кп — ^п'кРкп) = ~ "и小(7.90)

т. е. правая часть этого равенства образует единичную матрицу, умноженную на 九〃*). Поэтому основное соотношение (7.85) квантовой теории в матричном представлении будет удовлетворено.

Вычислим теперь матричный элемент гамильтониана (7.86), который равен

"M = 2CiРпкРкп и 2 %h%%〃) •

Подставляя сюда значения для матричных элементов координаты и импульса из равенств (7.87) и (7.88), находим

现7 =自8(九+ %) 6風.

Таким образом, гамильтонианТаким образом, гамильтониан(〃)образует диагональную(〃)образует диагональнуюматрицуматрицу(H)= hJl 3^2(H)= hJl 3^2(7・91)(7・91)

Таким образом, гамильтониан

Таким образом, гамильтониан

(〃)образует диагональную

(〃)образует диагональную

матрицу

матрицу

(H)= hJl 3^2

(H)= hJl 3^2

(7・91)

(7・91)

Если рассматриваемая величина образует диагональную матрицу, то это означает на языке волнового уравнения Шредингера, что данный оператор обладает спектром собственных значений, определяемым диагональными элементами.

Таким образом, на примере гармонического осциллятора мы убедились, что все три представления (^-представление, р-пред- ставление и матричное представление) приводят к одному и тому же результату для матричных элементов координаты, импульса и энергии. Заметим, что при возникновении квантовой механики казалось, что матричный и волновой подходы могут привести к различным результатам, но дальнейшие исследования показали их полную тождественность.

Понятие вектора состояния. Существует более общий метод, который позволяет сформулировать основные по-

ложения квантовой механики, не обращаясь к какому-либо конкретному представлению. Он основан на понятии вектора состояния квантовой системы, который принадлежит некоторому абстрактному пространству, носящему название гильбертова пространства, Такой вектор зависит от полного набора квантовых чисел /г, соответствующих собственным значениям коммутирующих между собой операторов, и полностью описывает квантовомеханическое состояние системы.

Следуя Дираку, будем обозначать вектор состояния угловой скобкой

I 巾〉一кет-вектор(7.92)

или же |п> ——с явным указанием квантовых чисел (под п подразумевается полный набор f квантовых чисел пь ••・, м,)・

Введем также сопряженный вектор

〈21 — бра-вектор,(7.93)

однозначно связанный с кет-вектором |ф〉 и принадлежащий к некоторому сопряженному пространству *).

Скалярное произведение двух векторов |屮〉н | 屮〉в этих обозначениях имеет вид'

纣1屮〉・(7.94)

Как было выяснено выше, волновая функция системы в х-пред- ставлении ^п{х) является амплитудой плотности вероятности местоположения частицы |4>九(％)「・ В обозначениях Дирака такая функция равна

弘(%) =〈％ I 九〉仲：(%) =⑺ ％〉)(7.95)

и задает, таким образом, координатное представление вектора состояния |〃〉.

Соответственно для волновой функции в р-представлении получим

必(Р)=〈Р1»,(7.95а)

т. е. импульсное представление вектора |п>.

С математической точки зрения величины <х|и> являются компонентами вектора |п> в базисе |%〉，т. е.

\ п) = ^ \ х) {х \ п) dx = ^ \ х) ^п (%) d%・(7.96)

Векторы этого базиса |х〉представляют собой собственные векторы оператора координаты

х|%,〉= %/1/〉・(7.96а)

Выражение <х|м> можно рассматривать также как элемент матрицы, строки которой «нумеруются» непрерывно меняющимися индексами %, а столбцы — индексом м.

Интегрируя плотность вероятности

l^n W ^ = {п\х) <х|и)(7.97)

по %, получим полную вероятность, значение которой равно

\ 1% ⑶『d%= \ 屯(%) ^п (х) dx =

= ^{п\х) (х\п) dx = {n\n) = 1. (7.98)

Заметим, что это значение не зависит от представления, так как в р-представлении имеем также

\ 丨 Ф« (р) I2 dp = <п I и) = 1.(7.99)

Очевидно, что условие ортонормированности волновых функций ^п и ^п^ запишется теперь в виде

\ % (盼 ^п (%) dx = \〈九‘ I %〉〈％ \ri)dx = <nz I и) = 6九,九,(7.100)

что означает ортонормированность векторов |п> и \nf}.

Система векторов \п) по основному предположению квантовой механики должна быть полной. Это означает, что всякое состояние 屮〉может быть представлено в виде суперпозиции состояний

\^=Z\n)(n\^.(7.101)

Здесь сумма распространяется на все возможные значения, которые могут принимать квантовые числа п.

Таким образом, условие полноты системы состояний |п> представляется равенством

Zin) <n| = I,(7.102)

где в правой части стоит единичный оператор. Выбирая х-представление, мы получим

〈%12〉=X〈%1九〉〈九 1屮)(7.103)

или явно для волновой функции (см. также (6.16)):

2 (%)=£&〃(办(7.104)

Матричные элементы Апгп некоторого оператора А, действующего на векторы состояний |п>, могут быть в обозначениях Дирака записаны как (n^AJn) ). Как видно, при записи матричных элементов в виде скобок Дирака (п7)А|п> используется оператор и векторы состояния в абстрактном смысле, без выбора какого-либо представления.

Для вычисления матричных элементов можно всегда перейти к некоторому конкретному представлению оператора А и векторов \п) и \nf}. Например, в ^-представлении

(х71А I х) = б(Xх — х) А (х),〈工历〉，〈工| 鼠〉 получим

〈公 IА |〃〉=，“I л/〉〈%] А I х) (х I n) dx d/ =

=，〈// I %〉А (х) (х I и) dx = ^ 屯,(x) А (%)办(x)dx = 4〃紋(7.105) что совпадает с данным выше определением матричных элементов (7.62).

Однако, как мы увидим ниже на примере гармонического осциллятора, для расчета матричных элементов не обязательно пользоваться системой волновых функций 2^(%) или фл(р), достаточно знать общие свойства операторов и векторов состояний, не зависящие от выбора конкретного представления.

Если известны матричные элементы двух операторов А и В, то матричный элемент их произведения АВ согласно условию полноты системы состояний |п> (7.102) может быть вычислен с помощью соотношения

〈公 I АВ I 〃〉=〈・ IAIB I 〃〉= Z 61Al М)〈"' |В|п), (7.106)

что, как указывалось выше (7.89), есть просто правило умножения матриц ⑷ и (В) для операторов А и В, заданных в матричном представлении.

Покажем теперь, как можно решить задачу о гармоническом осцилляторе, не прибегая к конкретному представлению.

Оператор Гамильтона линейного гармонического осциллятора имеет вид

Введем операторы а и а+, представляющие собой линейные комбинации р и х:

2古(堂+ ^Р> а+ = ^(^-亨 р)，(7.108) где

%о = “ Й/т0®.

Поскольку операторы х и р эрмитовы, то оператор а+ представляет собой эрмитово-сопряженный оператор по отношению к оператору а.

Используя коммутатор

рх — хр = — /Й,(7.109)

находим

[а, а+] = аа+~а+а = 1.(7.110)

Оператор Гамильтона (7.107) с помощью операторов а и а4- (7.108), удовлетворяющих условию коммутации (7.110), можно теперь переписать так:

Н = *^(аа+ + а+а) = йо (а+а + %).(7.111)

Имеем, очевидно,

На4* = а+ (Н + 力 з)(7.112)

и вообще

Н(а+)〃 = а+(Н + %(д)(а+)〃т= ...=伯+广(Н + %%з), (7.113) где и = 0, 1, 2,...

Предположим, что имеется состояние |0>, для которого

а|0) = 0,(7.114)

тогда

Н|0〉=粤 |0〉，(7.115)

е. |0> — собственный вектор Н, принадлежащий собственному значению 力①/2.

Рассмотрим вектор состояния

(а+)〃|0〉 (〃 = 0, 1, 2, 3,・・・)・(7.116)

Тогда и он в силу соотношений (7.113) будет являться собственным вектором Н,

Н (а+『10〉=力со 仇 + %) (а+)〃 10),(7.117)

принадлежащим собственному значению ti^{n + V2). Собственные же значения оператора а+а — целые числа 〃^ 0, причем оператор а+а не может иметь других, т. е. отрицательных, соб-

ственных значений 九，поскольку

九=〈九 I а+а I А〉= \〈九 I а+ \х){х | а |九〉dx =

= \1〈%|a1 九〉12厶》0,(7.118)

если собственные векторы нормированы на единицу:〈九 |%〉= 1.

Обозначим нормированные на единицу собственные векторы оператора Н, принадлежащие собственным значениям 力①(％+%), символом |п> (<п|п> = 1, п = 0, 1, 2, ...). Ясно, что они только г-числовым коэффициентом отличаются от векторов (7.116):

|и) = С(а+Г |0).(7.119)

Запишем условие нормировки

1=@|〃〉= С*С〈0|аа ・・・ а а+а+ ... а+|0〉・(7.120)

пи

Переставляя все операторы а направо, последовательно коммутируя их с операторами а+ и используя определение (7.114), получим

1 = С*Сп! <0|0) = С*Сп!,(7.121)

е. для коэффициента С мы можем выбрать вещественное значение С = 1/V^!« Следовательно, нормированные собственные векторы оператора Н равны:

丨%〉=(7.122)

Отсюда находим единственные отличные от нуля матричные элементы—

(п — 1 I a |n) = (n I а+ I п — 1〉= “％ ・(7.123)

Подставляя сюда в явном виде (7.108) операторы а и а+, полу

чимчим〈%— 1 |х|п) = х0 “£‘〈%— 1 |х|п) = х0 “£‘<п + 1 I х I п) = Хо к<п + 1 I х I п) = Хо к

чим

чим

〈%— 1 |х|п) = х0 “£‘

〈%— 1 |х|п) = х0 “£‘

<п + 1 I х I п) = Хо к

<п + 1 I х I п) = Хо к

(7.124)(7.124)〈％ — 1 Iр I %〉= — im^〈％ — 1 Iх |忆〉, (n + 1 I р I n) = im^ (n + 11 x I n),

(7.124)

(7.124)

e・ те же матричные элементы %〃勿 и р〃勿(см. (7.68) и (7.69)), которые были вычислены на основе х-представления волновых функций осциллятора.

Убедимся теперь, что построенные нами векторы состояний (7.122) дают известные волновые функции осциллятора (7.41) в

^-представлении. Для этого воспользуемся определением основного состояния (7.114). Записывая оператор а в х-представ- лении

для волновой функции 2о(х) =<х|0> получим уравнение *)

(К + а)мо・

Его решение

业=000-"々，

нормированное на единицу

\ ^l dx = %备 \(«-% #)2 成=х0С2 “f = 1,

так что С()=、NXqNа , совпадает с волновой функцией (7.41) для 几=0. Волновые функции возбужденных состояний 4>〃(％) = =〈"〃〉получаются из функции основного состояния t|)oU) по формуле (7.122), в которой также нужно перейти в координатное представление. Так, например, для первого возбужденного состояния n = 1 находим

巾1 = a + 'ф0 = ——厂 土：工- cт/2 = -j ,「自3一?/2

в полном соответствии с формулой (7.41).

д) Различные представления по отношению к зависимости вектора состояния от времени. Воспользуемся обозначениями Дирака, для того чтобы выяснить, как изменяется со временем / матричный элемент〈屮(f) | A|i|)(/)> некоторого оператора А. При этом, так же как и по отношению к зависимости от координат х, возможны несколько представлений, соответствующих различной зависимости векторов состояния и операторов от времени.

Представления Шредингера и Гейзенберг а. Предположим, что сам оператор А явно не зависит от времени (GA/Of = O), между тем как волновые функции, а вместе

*) Заметим, что когерентные состояния, которые были введены выше на стр. 112, удовлетворяют задаче на собственные значения

а I а〉= а I а〉，

т. е. являются решет ием уравнения

表质+表质+2a (%) = а®。(%)•2a (%) = а®。(%)•

表质+

表质+

2a (%) = а®。(%)•

2a (%) = а®。(%)•

с ними и векторы состояния |屮(力〉и 〈<p(f) | изменяются с течением времени согласно уравнению Шредингера для кет-вектора

力九詛屮(f)〉= Hg(/)〉(7.125)

и для бра-вектора

—访寻〈9(01 = <Ф (/)|Н+,

и поэтому матричный элемент оказывается, вообще говоря, функцией /・

Учитывая эрмитовость оператора Гамильтона Н+= Н, последнее уравнение можно переписать в виде

一访宗® (/)1 = 3(/) |Н・(7.126)

Принимая во внимание уравнения (7.125) и (7.126), а также тот факт, что оператор А явно от / не зависит (dA/dt = 0), для матричного элемента находим следующее уравнение:

方〈屮(0 |А| г|)(/)> =

=〈中(川a靑hI2⑴〉一〈9(川hA击I2(/))= =〈<P(/)l£[H, А]件(/)〉・ (7.127)

Выбирая в частном случае 屮(f) = W(f), находим известную уже нам формулу (6.43) для производной по t от среднего значения.

Рассмотрим теперь новые, не зависящие от t состояния | 屮〃〉 и 〈屮〃|, причем такие, что старые, зависящие от / состояния получаются из них действием некоторого оператора U (/)

IW)〉= u(f)№〉，

<Ф(/)1 = <Фн1и+(/).

Для этого необходимо, чтобы оператор U(f) удовлетворял уравнению

熊^U(f) = HU(f),(7.129)

точно такому же, как и для состояний |中(/)〉и |2(/)〉・ Можно записать формальное решение этого уравнения (при условии, что Н не зависит явно от времени)

U(/) = e-(询吗(7.130)

которое следует понимать как оператор, представляющий собой разложение экспоненты в ряд

U(/)=l-gHf + g (京 hJ—(7.131)

причем константа в решении (7.130) выбрана так, что состояние 体⑴〉в начальный момент / = 0 совпадает с №〉•

Подставляя (7.128) в равенство (7.127) и учитывая уравнение (7.129), получим

4〈＜Рн IU+ (/)AU(/)件G =〈屮川俨 I [Н, A] U 12“〉・ (7.132)

Введем теперь новый оператор А〃(/), связанный со старым оператором А с помощью преобразования

_侬

Ан(/) = U+AU = /田俱厶«-(7.133)

Оператор A〃(f), в отличие от А, зависит от времени, и, как видно из равенства (7.132), подчиняется уравнению

4Ая(0 = {[Н, A“(f)]・(7.134)

Это же уравнение может быть, очевидно, получено и в результате формального дифференцирования по / определения (7.133).

Таким образом, матричные элементы точно так же, как и средние значения, могут быть вычислены в двух различных представлениях, отличающихся тем, куда перенесена зависимость от времени. Представление, в котором состояния |2(£)〉 явно зависят от времени и подчиняются уравнению Шредингера (7.128), а операторы А от времени не зависят, называется представлением Шредингера. Если зависимость от / переносится на операторы Ая(0 согласно соотношению (7.133), а состояния №〃〉, полученные из 体⑴〉с помощью обратного оператора U",

l% = uT(f)2(f)〉=尸 12(/)〉，(7.135)

остаются постоянными во времени, то в этом случае мы имеем представление Гейзенберга.

В обоих случаях в силу так называемой унитарности оператора U, т. е. свойства (см. также § 6, стр. 99)

и+ = и-,(7.136)

которое очевидно из определения (7.130) и эрмитовости Н, мы получаем одно и то же значение для матричного элемента:

〈屮⑺ |А| 唄⑴=期 |U+UAhU+U|屮н〉=〈(рн |Ah|i|)h〉・ (7.137)

5 А. А. Соколов и др.

Представление взаимодействия. В ряде случаев квантовую систему удается представить в виде совокупности подсистем, так, чтобы эти подсистемы без учета взаимодействия между собой описывались гамильтонианом Но, называемым свободным гамильтонианом. Тогда полный гамильтониан Н с учетом взаимодействия между подсистемами можно записать в виде суммы свободного гамильтониана Но и так называемого гамильтониана взаимодействия V

Н = Но +V.(7.138)

При этом оказывается удобным перейти в новое представление, в котором гамильтониан взаимодействия явно выделен. Для этого свяжем вектор состояния |i|)(/)> представления Шредингера с новым вектором | 屮/(f)〉 с помощью унитарного оператора

Uo = е~~, 5 = IV =产嗯(7.139)

так что

I 电⑴〉=U] g (/)> =产“偿I ф(/)〉.(7.140)

Тогда для того чтобы матричные элементы некоторого оператора А, вычисленные по состояниям |2(f)〉，при переходе к новым состояниям (7.140) остались без изменения

〈2(/)|A|2(f)〉= (2/(f)|A/⑴仲/(f)〉，

необходимо преобразовать сам оператор по закону

АД/) = е»н 岗方 Ае-’нм.(7.141)

Оператор взаимодействия согласно (7.141) в новом представлении имеет вид

V/(/) = ei^t/hye-i^t/ht(7.142)

Представление векторов состояния и операторов, заданное равенствами (7.140) и (7.141), носит название представления взаимодействия.

Подействуем на новый вектор состояния |屮/«)〉оператором 力力鼎 и воспользуемся уравнением Шредингера для вектора 件⑴〉用

(f)〉= H|2(f)〉・(7.143)

В результате получаем

i九41电⑴〉=一 Ho*l〃rw(少+时山力访^]"(/)〉=咿仆|2⑴〉.

Переходя к оператору V；(/), заданному равенством (7.142), окончательно запишем уравнение для вектора состояния в представлении взаимодействия

，力鼎办(Z)〉= V/(f)l2«)〉， (7.144)

в котором свободный гамильтониан Но отсутствует.

Наконец, дифференцируя определение (7.141) по времени f, находим уравнение, которому подчиняется произвольней, оператор в представлении взаимодействия:

—АД/)]. (7.145)

Таким образом, в представлении взаимодействия векторы состояния описываются уравнением типа уравнения Шредингера, в котором в качестве гамильтониана стоит только гамильтониан взаимодействия V/(f), а операторы удовлетворяют уравнениям Гейзенберга со свободным гамильтонианом Но.

Преобразования от шредингеровского к гейзенберговскому представлению или представлению взаимодействия, осуществляемые с помощью унитарных операторов (7.130) и (7.139), представляют собой частные случаи общих унитарных преобразований, оставляющих инвариантными матричные элементы. Поскольку реально наблюдаемыми величинами являются именно матричные элементы и средние значения, а не векторы состояний или операторы, то для расчетов можно выбрать то или иное представление в зависимости от особенностей решаемой задачи.

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Постановка задачи. В квантовой механике только ограниченное число задач может быть решено точно, как это было сделано, например, для осциллятора. Для нахождения решения волнового уравнения во многих случаях приходится прибегать к различным приближенным методам. Одним из таких методов, получившим наиболее широкое распространение, является метод возмущений. Он применяется тогда, когда потенциальная энергия взаимодействия частицы V может быть разбита на два слагаемых

}=%+『.

Потенциальная энергия Vo выбирается таким образом, чтобы уравнение Шредингера с гамильтонианом Но = Т + Vo имело бы точное решение, а энергия возмущения Vх давала бы небольшие поправки к решению основного уравнения с потенциалом Vq.

Последовательное вычисление этих поправок (первое, второе, третье и т. д. приближения) дает, как правило, разложение по некоторому малому параметру.

В квантовой механике развиты различные варианты метода возмущений, основными из которых являются следующие:

Метод Шредингера, или стационарная теория возмущений, используется в тех случаях, когда энергия возмущения не зависит от времени или же когда время может быть исключено из уравнений с помощью какого-либо преобразования. Этот метод позволяет, например, определить поправки к спектру энергии системы в стационарных задачах.

Нестационарная теория возмущений (метод Дирака), применяемая для приближенного решения задач, в которых возмущение явно зависит от времени, дает возможность вычислять вероятности переходов системы из одного стационарного состояния в другое и находит применение, например, в теории излучения и в теории рассеяния (см. ниже §§ 9 и 15).

Основные уравнения стационарной теории возмущений Шредингера. Изложим метод теории возмущений, применяющийся в случаях стационарных задач, когда гамильтониан системы не зависит от времени. Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

Н = Т+У = Т+У°+Г, (8.1)

причем здесь энергия возмущения равна У', а основная часть потенциальной энергии М выбрана таким образом, чтобы уравнение Шредингера

(Е — Н) 2 = 0 (8.2)

при отбрасывании возмущения V’ (V' = 0) имело точное решение, характеризуемое величинами Е° и 2°. Тогда, обозначая Т + V0 = Н° (нулевое приближение) и принимая во внимание (8.1), приводим (8.2) к виду

(Е — Н0—『)2 = 0・ (8.2а)

Задача заключается в том, чтобы из этого уравнения найти (хотя бы приближенно) как значения энергии Еп, так и соответствующие им волновые функции 屮〃 с учетом энергии Vх. Согласно теории возмущений решения для £* н *ф ищутся в виде рядов

Е = ® + Е，+ Е〃+ ・.・， (8.3) где 1|/ н £'——величины первого порядка малости по отношению к ®° и Е°,屮〃 и £*〃——величины второго порядка малости и т. д.

Как правило, энергию возмущения Vf можно представить как произведение энергии, имеющей порядок Vю, на некоторый малый параметр 九(九《1).

Тогда решения (8.3) должны представлять собой разложения по этому малому параметру X, т. е. Е° н 屮° не должны зависеть от этого параметра, Е‘ и пропорциональны 九，Е〃 и 屮〃 пропорциональны 九2 и т. д.

Подставляя (8.3) в (8.2а), получаем

(Е° + Е‘ 一 Н。一 Н)件。+ 峭=0.(8.4)

Группируя члены одного порядка малости, находим

(£° — Н°)屮。+ [(£'—片)2° + (Е°—Н°)屮1 + (Е — Иф7 = 0. (8.4а)

Первое приближение. Чтобы получить первое приближение теории возмущений, следует отбросить в (8.4а) члены второго порядка малости (Е‘ ——V7)^ и учесть, что для нулевого приближения имеет место уравнение

(Ё。一屮)2。= 0.(8.5)

Из последнего уравнения могут быть найдены в нулевом приближении все собственные значения

?0?0尸0

七2,七3，• • • > ^П9 • • •

и собственные функции

Ф?,吟嘿，…，鸣，.…

связанные между собой соотношением

(空— Н。)电, = 0・(8.6)

Принимая это во внимание, переходим к исследованию уравнения первого приближения теории возмущений

(Е° 一 Н。) U = — (厅 一 Н)岐(8.7)

Предположим, что в отсутствие возмущения система находилась в некотором квантовом состоянии пЛ = п. Тогда, в связи с тем, что в нулевом приближении EQ = Е^ и 2° = 2?, при нахождении первого приближения Е，= Е；, 2’= 2： получаем

(绍 一 h。)也=一因一片)岐.(8.7а)

Замечая, что любую функцию всегда можно представить в виде разложения по полной системе ортонормированных функций с теми же граничными условиями (см. (6.16)) (в данном случае этой системой являются функции 叫，破，...,碗)，реше-

ние для 屮;будем искать в форме

^LCn^.(8.8)

В (8.8) мы должны определить неизвестные коэффициенты С加 обобщенного ряда Фурье. Подставляя (8.8) в (8.7а), имеем

J &，(^ — % 吋,=—冏 一 V) С (8.9) или, принимая во внимание (8.6), находим

J J© 一取，)嵋=一(耳一片)%(8.9a)

Невырожденный случай. Если рассматриваемая система является невырожденной, т. е. если каждому собственному значению энергии Еп соответствует одна и только одна собственная функция 2：, то, умножая уравнение (8.9а) слева на 2： и интегрируя затем по всему пространству, можно привести его к виду

2 4 (空一取，)*，= 一 耳 + \ 明W婚関.(8.Ю) nr

Здесь мы учли ортонормированность собственных функций ф® ，嵋嶋壮% = %,.

Поскольку величина, стоящая в левой части (8.10), равна нулю (при п! = п имеем £« —• Е^ = 0, а при //=/=九 имеем 6rt^ = 0), для искомой дополнительной энергии Е； находим выражение (первое приближение):

風=吸 л,(8.11)

где матричный элемент

Kn=\^nv^nd3x-(8・11а)

Таким образом, дополнительная энергия Е/ системы оказывается равной среднему значению энергии возмущения Vf.

Следует заметить, что выражение (8.11) для дополнительной энергии Еп было получено в результате приравнивания нулю левой части уравнения (8.7а) после его умножения на волновую функцию 2f и интегрирования по всему пространству. Отсюда следует, что правая часть неоднородного уравнения (8.7а), записанного кратко в форме

(8.12)(8.12)Мгр =厶

(8.12)

(8.12)

должна быть ортогональной к решению соответствующего однородного уравнения М*ф° = 0, т. е.

^07 d3x = 0.(8.13)

Для того чтобы найти коэффициенты С^ в уравнении (8.8), воспользуемся формулой (8.9а), которую перепишем в виде

多叁(竺一冷)%=一冏一片)嘿.

Тогда, умножая ее слева на 屮%(孔’ =Л п) и принимая во внимание условие ортонормированности, после интегрирования по всему пространству находим:

&*' = 諄京？(8」4)

где

吸吆”銀(8.15)

Таким образом, для 屮；имеем

« = GX+Z'&%，(8・i6)

причем здесь штрих у символа суммы означает, что суммирование ведется по всем и\ кроме п! = и.

Наконец, неизвестный пока что коэффициент Сп при волновой функции в нулевом приближении может быть найден из условия нормировки

，也 W*%=1(8.17)

полной волновой функции

% = % + * = С駕 + Е‘ ％，％(8.18)

где

С^=1+Сп.(8.19)

Подставляя (8.18) в (8.17) и оставляя члены не выше первого порядка малости, имеем

|明2\吸%^ +

+ f { %*%八峭嶋"％ + %,% \ 崂吋d% ) = 1. (8.20)

Отсюда, учитывая условие ортонормированности, с точностью до фазового множителя, который нас не интересует, находим

С^=1,(8.21)

т. е.

& = 0.

В результате для волновой функции 5 с учетом первого приближения теории возмущений окончательно получаем выражение

% =吧+吋，(8.22)

где

Отсюда, а также из (8.11) видно, что как% так и Е： пропорциональны энергии возмущения в первой степени (т. е. пропорциональны параметру 九).

Заметим, что развитый нами метод теории возмущений может быть оправдан только в том случае, если каждый последующий член разложения (8.3) окажется меньше предыдущего. Для этого, как можно заключить из равенства (8.22), необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство

I吸呼一用，卜(8.22а)

Таким образом, необходимым условием применимости теории возмущений является малость недиагональных матричных элементов оператора возмущения по сравнению с разностью значений энергии соответствующих невозмущенных состояний.

Вырожденный случай. Построим теперь теорию возмущений применительно к вырожденному случаю, когда одному и тому же собственному значению энергии 戌 при отсутствии возмущения соответствует / собственных функций (для упрощения ограничимся двумя функциями):

< и%

Тогда, очевидно, любая линейная комбинация этих функций

吋=<% + &明 2(8・23)

является решением волнового уравнения в нулевом приближе* НИИ

固— Н。)吧=0.

Как и в случае невырожденных состояний, любое частное решение однородного уравнения (8.6) должно быть ортогональ-

ным правой части неоднородного уравнения. Для доказательства этого умножим (8.7а) слева на %； и проинтегрируем по всему пространству. Тогда получаем « = 1, 2)

,嘿;(置一 h。)也小工=_、吋；(学一片)吧d%.(8.24)

Применяя теорему о перебросе производной (см. (6.14)), имеем

\ 电(取一h。)吧/3% = _ J 喊,(题 一 ^) ^x.(8.25)

Отсюда, замечая, что 屮^ является решением уравнения Шредингера © —屮)2^ = 0, находим окончательно:

\ 吧;(司一片)dh(C^+ C^ = 0.(8.26)

Без ограничения общности можно допустить, что все собственные функции 吧(ортонормированы *). Тогда, учитывая, что

вместо (8.26) находим уравнение

q (同一%) =5,匕Г('，方(&27)

где

心=\明了宓产%(8.28)

匕，=\%:仆%取.(8.29)

Поскольку индекс i в (8.27) может принимать значения 1 или 2, для определения искомых неизвестных величин энергии Еп и коэффициентов С? мы получаем систему двух однородных

уравнений:

q（/一%） 一缢% = 0, 一з% +绍（典一吗2）=0.

(8.30)

Поскольку волновая условию нормировки

функция 晚 должна еще удовлетворять

б/з% = 1,

(8.30а)

*) Если функции 吧.не

являются ортонормированными, то путем линей-

ных преобразований из них всегда возможно построить новые функции, о6・ ладающие свойством ортонормированности.

то как поправка £*； к энергии 铝 невозмущенного состояния системы, так и коэффициенты С? (а тем самым и 吧)станут при этом однозначно определенными.

В частности, замечая, что система (8.30) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, для нахождения EZ получаем уравнение

(%-陶一%Y (%-%)(%-陶一%Y (%-%)(8.31)(8.31)

(%-陶一%Y (%-%)

(%-陶一%Y (%-%)

(8.31)

(8.31)

получившее название векового, унаследовав этот термин из небесной механики. Точно так же это уравнение легко обобщить с двух на случай j > 2 вырожденных состояний.

Если это вековое уравнение имеет для определения энергии возмущения EZ несколько корней (максимальное число их может равняться /), то каждому из них будут соответствовать со* вершенно определенные коэффициенты С?. Благодаря этому учет первого приближения для энергии может понизить кратность вырождения или вообще снять вырождение, выделив определенные линейные комбинации в волновой функции (8.23) в нулевом приближении.

Второй порядок теории возмущений. Ангармонический осциллятор. Прежде всего найдем поправку к энергии системы во втором приближении теории возмущений.

Ограничиваясь в разложениях волновой функции гр и энергии £ (см. (8.3)) членами до второго порядка малости включительно и подставляя их в уравнение Шредингера (8.2а), получаем для второго приближения

(铝-H。)卄=-(图一片) < -當% (8.32)

Учитывая, что решение 吸 однородного уравнения должно быть ортогональным к правой части и что выражение для 屮; задается формулой (8.22), находим

，嵋也 d3% = 0,

盟=\ 崂у”依X•(8.33)

Здесь значение для У4勿 определяется формулой (8.15). При этом мы воспользовались равенством

卜4献=VZ九，

имеющим место для эрмитовых операторов.

Заметим, что поправка (8.33) второго приближения к энергии наинизшего состояния всегда отрицательна, поскольку все остальные уровни £*2’ лежат выше £?, т. е. Е；‘ > 國.

Применим полученную формулу для определения энергетического спектра ангармонического осциллятора.

Допустим, что частица находится в потенциальной яме с потенциальной энергией V(x). Поместим точку положения равновесия в начало координат У(%) = 0 (при х = 0) и возьмем такой отсчет потенциальной энергии, чтобы в точке равновесия она обращалась в нуль (У(0)=0). Тогда, раскладывая потенциальную энергию в ряд, найдем

VW=V(0) + хГ(0) + 4 %(0)+ 4 片〃(。)+ 斗 н(0)+ …

Учитывая, что У(0)= 1/Л(0) = 0, и полагая (в случае устойчивого равновесия в точке х = 0)

•^”(0) = 一喈 V0,靑片〃(о)=а,

%HV(o)= b,

т. е. решая задачу не в нулевом приближении, а с учетом членов высшего порядка, мы будем иметь так называемый ангара монический осциллятор, нашедший применение в теории молекул.

Уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора принимает вид

豐+爷(e 一若当一片)也=0,(8.34)

где энергия возмущения Vr —仪陋十胱，а постоянные а и р не зависят от 九.

Найдем энергию возмущений с учетом членов порядка Й2. Как известно, энергия гармонического осциллятора (нулевое приближение) равна

^ = h^(n+{l^(8.35)

Рассматривая энергию М как энергию возмущеяия, в первом приближении находим

風=Vn« = a (^)пп + В (%4储・(8.36)

Легко показать, что

+ 8

поскольку подынтегральное выражение — нечетная функция.

При вычислении же матричного элемента 0(尤4)〃〃 можно воспользоваться правилом умножения матричных элементов (см. (7.89)). Тогда будем иметь

(/爲=2 停)^ (%2兀=((%%, ”2)2 + ((%% J + ((%2к 计2)2. (8.37)

К

Далее, принимая во внимание значения для матричных элементов xnfn (см. (7.68)), с помощью формулы (7.89) найдем следующие три отличных от нуля значения матричных элементов (%2у：

х2

—2, V/t (и — 1),

(х%+2,产年”仇+ 2)(〃+ 1),(&38)

停)%% =耳仇+ %).

Подставляя эти значения (用“抬 в равенство (8.37), для энергии возмущения (8.36) в первом приближении EZ получим выражение “

爲=3/2 Л2 事｛^ + п+ %)・(8.39)

Однако наша задача решена еще не до конца, так как вклад, вносимый первым членом энергии возмущения ад?, Во втором приближении пропорционален %$/力 ^ А2 и поэтому также должен быть учтен. Что касается вклада во втором приближении от члена рх4, то он пропорционален 鹿/力〜 力寸口 поэтому в рассматриваемом приближении может быть отброшен.

Поправка к энергии во втором приближении теории возмущений может быть вычислена по формуле (8.33)

(х3)〃, 〃_ 1 =併)& «0(炉)& 〃_3 =出)& n-1(/)小 П+1 =(严〃+1, г(%%, n+3 -(炉)%+3, J：)& n—i+Cx2)他〃一2 (Х)”2,1=3琼 Ду/(£)3， /—(8.40；=3# “(”^У '% =妳,,M + 3)(臂2)5+1) ,(&41(х3)〃, 〃_ 1 =併)& «0(炉)& 〃_3 =出)& n-1(/)小 П+1 =(严〃+1, г(%%, n+3 -(炉)%+3, J：)& n—i+Cx2)他〃一2 (Х)”2,1=3琼 Ду/(£)3， /—(8.40；=3# “(”^У '% =妳,,M + 3)(臂2)5+1) ,(&41Отличными от нуля будут только следующие матричные элементы (см. (7.68) и (8.38)):Отличными от нуля будут только следующие матричные элементы (см. (7.68) и (8.38)):pv _ 02 5П("%球(炉)〃例J =而乙-(% 一公).

(х3)〃, 〃_ 1 =併)& «0

(炉)& 〃_3 =出)& n-1

(/)小 П+1 =(严〃+1, г

(%%, n+3 -(炉)%+3, J

：)& n—i+Cx2)他〃一2 (Х)”2,1=3琼 Ду/(£)3， /—(8.40

；=3# “(”^У '

% =妳,,M + 3)(臂2)5+1) ,(&41

(х3)〃, 〃_ 1 =併)& «0

(炉)& 〃_3 =出)& n-1

(/)小 П+1 =(严〃+1, г

(%%, n+3 -(炉)%+3, J

：)& n—i+Cx2)他〃一2 (Х)”2,1=3琼 Ду/(£)3， /—(8.40

；=3# “(”^У '

% =妳,,M + 3)(臂2)5+1) ,(&41

Отличными от нуля будут только следующие матричные элементы (см. (7.68) и (8.38)):

Отличными от нуля будут только следующие матричные элементы (см. (7.68) и (8.38)):

Отсюда находим

叱氯"++笫，(&42)

Формулы (8.39) и (8.42) дают ангармоническую поправку к энергии осциллятора с учетом членов порядка й2.

宛)Нестационарная теория возмущений. Предположим, что оператор возмущения зависит явно от времени: V' = V'(f). В этом случае применяется метод возмущений Дирака, который позволяет, в частности, построить теорию переходных процессов для уравнения Шредингера

(—与寻一Н。一 V"“)屮(/) = 0.(8.43)

Допустим, что мы знаем собственные значения и собственные функции невозмущенного ” = 0) стационарного уравнения Шредингера

^п^п =印必・(8.44)

Тогда полное решение невозмущенного уравнения Шредингера (一:m一w)屮°(/) = 0(8.45)

мы можем представить в виде

网/)=2&еТ%《，(8.46)

п

где Сп ——некоторые постоянные коэффициенты, квадрат модуля которых характеризует вероятность нахождения частицы в квантовом состоянии и.

При учете в уравнении (8.43) энергии возмущения V’ мы общее решение также ищем в форме (8.46) (5 и Еп — собственные функции и собственные значения стационарной задачи (8.44)), но вводим дополнительное условие, согласно которому коэффициенты Сп должны быть функциями времени. Математически этот метод соответствует решению дифференциальных уравнений способом вариаций постоянных коэффициентов. Поскольку под действием возмущения вероятностные коэффициенты Сп сами должны быть функциями времени, становится возможным описать переход электрона из одного квантового состояния в другое.

Подставляя решение (8.46) в уравнение (8.43) и считая, что коэффициенты Сп зависят от времени, мы найдем, учитывая еще равенство (8.44):

一 S 4＜绅/一 М“" = £ U(f) &，“+"・ (8.47)

Умножим обе части равенства на ^е 〃 ％ ц проинтегрируем по всему пространству. Тогда, принимая во внимание условие ортонормированности

\%@/з% = 6九“，(8.48)

получаем систему следующих уравнений для определения коэффициентов См：

一 ^金=2 以彩…5"%" (/),(8.49)

где частота

s〃“=」-万九,(8.50)

а матричный элемент

吸“(/)=、％，『(/)弘,团尤・(8.51)

Заметим, что система уравнений (8.49) является точной, т. е. совершенно эквивалентной начальному уравнению (8.43). Однако в общем случае решить ее точно невозможно, и аппроксимация теории возмущений состоит в том, что решение ищется в виде разложения

点=0，+ 爲 + 4，+ …，(8.52)

где коэффициенты нулевого приближения С% не должны зависеть от 卜'.Коэффициенты же первого приближения С", второго приближения Ch и т. д. должны быть пропорциональны соответственно V\ (У)? и т. д.

Подставляя (8.52) в (8.49) и учитывая лишь члены нулевого и первого приближений, находим следующую систему уравнений для определения коэффициентов С^:

С^— 0(нулевое приближение),

——у С^ = £ 偽。"”厶”匕“⑴(первое приближение) (8・53) п№

и т. д.。

Первое из уравнений (8.53) показывает, что искомые коэффициенты в нулевом приближении не должны зависеть от

времени, т. е.

С% = const.(8.54)

Их значения задаются начальными условиями и характеризуют начальное состояние электрона до того, как на него начинает действовать возмущение.

Допустим, что в начальный момент времени, т. е. при / = О, электрон находится в состоянии п. Тогда можно написать

吟= 6“・(8.55)

Последйее выражение определяет начальные условия нашей задачи. Подставляя (8.55) в (8.53), находим (几'，九)：

以=&，(/) = -|$ 由叩%(f).(8.56)

о

Как правило, в квантовой механике вычисляется вероятность перехода w за единицу времени. Учитывая, что вероятность нахождения частицы в состоянии "' равна квадрату модуля амплитуды I С%"?, для вероятности перехода n-^nf ъ единицу времени получаем выражение

恤匸=鳥储献义(8.57)

Формулы (8.57) и (8.56) и лежат в основе исследований многих квантовомеханических задач первого приближения нестационарной теории возмущений. С помощью этих формул можно, в частности, построить квантовую теорию излучения.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Спонтанные и вынужденные переходы. Согласно классической электродинамике источником излучения света может стать, например, ускоренно движущийся заряд, причем количество излучаемой энергии в единицу времени определяется известной формулой )

取кл=|_^.丸(9.1)

где г — ускорение частицы.

Если источником излучения является одномерный гармонический осциллятор

% = a cos о/,(9.2)

то частота излучения будет совпадать с механической частотой колебания осциллятора, а интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды а? (см. (7.5)).

В том случае, когда движение заряда происходит по более сложному периодическому закону % = f(f) с периодом т = ~» функцию f (0 можно разложить в ряд Фурье

х = ^ак cos ①(9.2а)

и рассматривать излучение так, как будто оно порождается системой осцилляторов с частотами сок = ко)$ где ^ = 1, 2, 3,... При этом излучаться будет как основной тон(о (^ = 1), так и гармоники ксо (к = 2, 3, 4, ...), причем интенсивность излучения соответствующей гармоники пропорциональна 。合

Таким образом, согласно классической теории излучение системы полностью определяется ее механическими свойствами: частота излучения оказывается либо равной, либо кратной механической частоте колебаний системы, а интенсивность излучения соответствующей гармоники пропорциональна квадрату амплитуды.

В квантовой механике к вопросу об излучении следует подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой теории происходит только при переходе частицы (или системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более низкое, или, как говорят, «сверху вниз》.

Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в 1917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты А и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна). Они характеризуют соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием внешнего электромагнитного поля) переходы системы с одного энергетическое го уровня на другой.

Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной системы находится на возбужденном уровне п с энергией Е小 Тогда для такого электрона существует определенная вероятность АПп^ отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в более низкое энергетическое состояние nz с энергией £〃，・ При этом происходит испускание фотона с энергией fto = —Еп—Еп^ Если число подобных возбужденных атомов равно N^ то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спонтанными переходами, может быть записана в виде

Если же атомы подвергнуть воздействию со стороны внешнего электромагнитного излучения, то последнее будет в свою очередь вызывать так называемые вынужденные переходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы снизу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов.

Обозначим, следуя Эйнштейну, вероятности вынужденного перехода с уровня п на 〃' через Вт а с уровня %’ на % через В紋小 Тогда, считая, что число вынужденных переходов должно быть пропорционально спектральной плотности р(со) падающего излучения, находим соответственно для энергии излучения и поглощения, обусловленной вынужденными переходами,

W 忠Г = N цВцпГ^б, 呼:鶉=W 忠Г = N цВцпГ^б, 呼:鶉=(9.4)(9.4)

W 忠Г = N цВцпГ^б, 呼:鶉=

W 忠Г = N цВцпГ^б, 呼:鶉=

(9.4)

(9.4)

где Nnf — число атомов в состоянии %'•

Рис. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).Рис. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).Рассмотрим случай, когда должно наступить состояние термодинамического равновесия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействующим на эти атомы, т. е. когда число переходов сверху вниз и обратно одинаково (рис. 9.1):

Рис. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).

Рис. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).

N п^пп, + N прВпп/ = N п，оВп/п.(9.5)

Учитывая, что в этом случае распределение электронов по энергиям задается распределением Максвелла — Больцмана

Nn = Ce~En/kbT,汽球=CeF 屮 В, получаем

Ам，е-Еп*вт + pB^e-Jgr =「в九"-%少职

принимая во вни-принимая во вни-(9.6)(9.6)Отсюда, сокращая на множитель e~Enlk^ и мание, что Еп — Еп，=力(о, имеем

принимая во вни-

принимая во вни-

(9.6)

(9.6)

= 3一~产一勺!” 方(O信5Т

Выражение для коэффициента спонтанного излучения Лпп^ может быть написано, если исходить из принципа соответствия путем сравнения квантовой формулы с соответствующей формулой классической теории.

Подобное сравнение мы произведем на примере гармонического осциллятора: по классической теории энергия, излучаемая

гармоническим осциллятором в единицу времени, определяется формулой (7.10):

(9.7)(9.7)П77КЛ ^в2©2^

(9.7)

(9.7)

用 —3团0炉.

Пэ квантовой же теории она определяется выражением (9.3), которое при наличии одного осциллятора (乂九= 1) дает

呼 кв = ^“4е(9.7а)

Предположим, что коэффициент спонтанного излучения пропорционален квадрату матричного элемента *)

4九九,==СI х*п F •

При переходах сверху вниз (〃->/г') отличным от нуля будет только матричный элемент (см. (7.68))

碌т, П = 2mos = 2mos2 I 纥—七01，

причем

Еп — Еп—\п-1 =д= 0

Отсюда, приравнивая классическое приближение (力 f 0) квантового выражения для энергии излучения (9.7а)**) соответствующему классическому выражению (9.7), мы найдем уравнение для определения постоянной С:

СЕ力со2 ш2^2

2т（）с）2 — з 团乂3 •

Определив постоянную С, найдем значение для коэффициента спонтанного излучения ***)：

= уР»(9.8)

Далее, если считать известной еще формулу Планка (см. (1.14))

/、— Йо3 1

Р8丿=林3一 胆出7-]，

*) При этом мы можем исходить из аналогии с классической теорией, где излучение пропорционально квадрату амплитуды колебаний (см. (7.5)).

**) Математически это приводит к отбрасыванию нулевой энергии Ео = =Vs^w, имеющей в классическом приближении, т. е. в области больших квантовых чисел (м》1), по сравнению с энергией Еп ——Ео порядок 1/儿

***) Здесь мы сделали переход от одномерного случая к трехмерному путем замены матричного элемента координаты | х^п |2 матричным элементом радиус-вектора

I % 勿 F QI % 勿 I2 + 1 у 球〃 F +1 znfn『•

то, сопоставляя ее с формулой (9.6), можем написать также и коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов

瓦出=&例=需 4球=!^-I 7心 I2.(9.8a)

Для интенсивности излучения согласно (9.7а) имеем:

吃出=4普1мР・(9.86)

Хотя этот вывод и дает точные квантовые результаты для так называемого дипольного излучения (см. ниже), тем не менее его нельзя признать последовательным (это относится также и к первоначальному выводу формулы Планка, см. § 1). При первом чтении книги, однако, можно ограничиться этими простыми соображениями.

Для того чтобы действовать в рамках последовательной квантовой теории излучения, следует прежде всего получить коэффициенты Эйнштейна Л и В, а затем, подставляя эти значения в формулу (9.6), дать строгое квантовое обоснование формулы Планка.

Все это будет проделано ниже в оставшейся части § 9. Здесь же мы ограничимся некоторыми общими замечаниями о квантовой теории излучения.

В общих чертах квантовая теория излучения сводится к следующему. В рамках теории Шредингера можно объяснить лишь вынужденные переходы, происходящие в результате взаимодействия электронов атома с внешней электромагнитной волной. Спонтанные же переходы из возбужденных энергетических состояний в более низкие остаются в этом случае фактически не- объясненными, поскольку отсутствует внешнее воздействие, которое могло бы привести к этим переходам. Ответ на этот вопрос был найден только после создания квантовой геории излучения, в которой был использован аппарат квантования электромагнитного поля (вторичное квантование). При этом электроны и поле излучения рассматриваются как две взаимодействующие квантовые системы, причем это взаимодействие не исчезает даже при отсутствии реальных фотонов. Фотоны, которые в данный момент не существуют, но могут появиться, называются виртуальными. Они образуют так называемый электромагнитный вакуум.

Классическим аналогом взаимодействия электронов с полем виртуальных фотонов является действие на движущийся электрон силы лучистого трения Планка

обусловленной электромагнитным полем, создаваемым самим же электроном. Именно это поле и может отрываться от электрона в виде светового излучения. На языке вторичного квантования это соответствует переходу фотонов из виртуального состояния в реальное.

Прежде чем приступить к построению квантовой теории излучения, остановимся на вопросах, связанных с квантованием свободного электромагнитного поля.

Квантование свободного электромагнитного поля. Как известно, поле фотонов (поперечные электромагнитные волны) можно описывать вектор-потенциалом, удовлетворяющим уравнению Даламбера

WA-% 齢=0・(9.9)

Решение уравнения (9.9) будем искать в виде ряда Фурье

4 =含243 f)e”(9.10)

наложив на волновую функцию (9.10) условие периодичности gix (r+L) ___ е»хг, причем

(см. также (4.41)).

Тогда для составляющих волнового вектора м мы имеем

2л2冗2冗

乂 y =，乂g =乂 2 =九3-2~，(9.11)

где

%i,役,〃3 = °，±1，±2, ±3,...

Подставляя (9.11) в (9.9) и учитывая, что

We 仅 Г = - x2鼠"，

найдем, что амплитуды А(х, /) подчиняются уравнению, которому удовлетворяет также гармонический осциллятор

А(х, /) +，2乂24(% /)= о,(9.12)

с решением

А (х, t) = A (*) e"t + в (х) eicmt(9.13)

Для того чтобы вектор-потенциал 4 был вещественным, следует положить

В(х) = А*(~ х).(9.14)

Последнее соотношение легко доказать, если подставить (9.13) в (9.10) и в сумме, составленной из коэффициентов В(х)> сделать замену

Х-> — X.

Учитывая еще равенство (9.14), разложение (9.10) приведем

к виду

(9.15)(9.15)4 Н备2(4⑺С」ic”f+ Zxr + 4*(乂)收一").

(9.15)

(9.15)

Поскольку последнее выражение представляет собой сумму двух комплексно-сопряженных величин, оно является вещественным.

Найдем далее полную энергию поля фотонов, которая, как известно, равна

〃 =*，(參 +彩2)d3居(9.16}

причем в случае наличия только поперечных электромагнитных волн

Ф = 0, div4 = 0(9.17>

имеем

鋁=一^需，能=叩4(9.18)

Примечание. Вообще говоря, в переменном во времени электромагнитном поле наряду с вектор-потенциалом Аг должен быть отличным от нуля также и скалярный потенциал Фл. Однако в вакууме мы всегда можем произвести калибровочные преобразования

ф==ф^ + 1 А, А = £ —gradf,

которые не изменяют связи векторов электрической

и магнитной

^=rotA

напряженностей как со штрихованными, так и с нештрихованными потенциалами. Точно так же и условие Лоренца (div 4 + ； ^^^ = 0)не изменится, если калибровочная функция f будет удовлетворять уравнению Даламбера

Поскольку для вакуума все составляющие потенциалов также должны удовлетворять уравнению Даламбера, то, не нарушая общности, мы можем по- 1 df

ложить у = -- Ф , что автоматически ведет к условию поперечности (9.17), а также к выражению (9.18).

Подставляя разложение (9.18) в (9.16) и принимая во внимание соотношение

=X dх ё 警 包+吟 ^\dy^' 3+忌)±Jdze^ 的+喲=

=6〃] f j ・ 6固一诚• 6〃з —M = 4 _/,(9.19)

а также (9.15), найдем гамильтониан

以=费?{$ (^21 也萨))+(也43，0]м(-h./)))}.

“(9.20)

При дальнейших вычислениях учтем, что согласно (9.14) равенство (9.13) мы можем представить в виде

А(х, f) = 4@)eif + а*(—*)收(9.21)

Кроме того, при вычислении гамильтониана необходимо учесть еще выражение для производной

^坦旦萨丄=一伙[Д (х) с-"毋 一 Л* (— у) eicnt^ (9.22) а также условие поперечности поля фотонов, которое следует из (9•⑺

(кА (х)) = (хА*(х)) = 0.(9.23)

Подставляя последние соотношения в (9.20), легко показать, что гамильтониан не зависит от времени и равен

" = ★2 2 "2 [《(乂)4⑺+4⑺ 4(也(9.24)

х s= 1, 2, 3

В последнем члене правой части равенства (9.24) мы сделали замену х —* —х.

Из условия поперечности (9.23) следует, что нельзя все три составляющие амплитуды вектор-потенциала считать независимыми переменными. За независимые переменные можно выбрать только две, что связано с двумя возможными поляризациями фотона. Хотя разложение амплитуд потенциалов по состояниям поляризации не является однозначным, однако конечный результат не должен зависеть от этого, если произвести усреднение или суммирование по состояниям поляризации. Поэтому мы выразим три составляющие амплитуды вектор-потенциалов через две независимые таким образом, чтобы автоматически выполнялось условие поперечности и сохранялась бы квадратичная форма связи гамильтониана через независимые амплитуды. Для

этого мы полагаем

儿3）="孚出="寧（欝ь+ ^矶（9.25）

4（乂）=・”f〃尸一"事辱6" где

% = "x；2 + %^ ^ VXx + 4 ^" %2

Зависимость амплитуд 历 и b2 от Виктора 乂 мы ради краткости писать не будем, т. е. Ь\ =仇(х), а *)

(9.27)(9.27)введен для того, чтобывведен для того, чтобы仇(f)=dё一"Y厶bt (t) = bteiCHt.

(9.27)

(9.27)

введен для того, чтобы

введен для того, чтобы

Точно так же мы введем обозначение

瓦=瓦(Y‘).

Нормировочный коэффициент д^ 号%

правила перестановок (см. ниже (9.32)) были нормированы на

единицу.

Подставляя (9.25) в выражение для гамильтониана (9.24), мы найдем

W==4 X 2说分(阮九a +阮必)0.28}

|Л'==1,2 W

Если волновое уравнение рассматривать как результат первого квантования (более строго это замечание относится лишь к уравнению Шредингера, а не Максвелла), то в результате первого квантования могут быть описаны волновые свойства процесса, когда постоянные амплитуды 6Ц являются обычными числами (стнсла), т. е. должны коммутировать друг с другом.

Можно ввести дополнительную гипотезу, что квадрат амплитуды описывает число частиц, однако это число не должно изменяться со временем. В процессах же излучения и поглощения фотонов должно изменяться общее число частиц. Поэтому для списания подобного процесса необходимо создать теорию с воз-

можным изменением числа частиц, считая амплитуды & операторами (^-числа). Математически это можно осуществить, про- квантовав выражение (9.28). Заметим, что квантование волнового уравнения получило название вторичного. В основу вторичного квантования мы положим квантовое уравнение движения (см. (6.45)), с помощью которого можно произвести также и первое квантование. Учитывая зависимость амплитуды 6(f) от времени (см. (9.27)), мы будем иметь

一 ic 乂 b@ = I {Hb^ —九〃)•(9.29)

Аналогично легко показать, что

加"疝("窟一涼").(9.30)

Подставляя сюда гамильтониан (9.28), преобразуем соотношение (9.29) к виду

-e" 瓦= 2 2号m"体瓦-瓦浓)+ (心%快一近礎")浓+ ^=1,2 /

+ 妝 3?■瓦一bM) + 例仇 一 b^)见打.(9.31)

Мы удовлетворим последнему равенству, если положим

［瓦，瓦打=6/岁一瓦十瓦=加А『，(9.32)

［ь中6沙］П阮林，一6［仇=0.(9.33)

Из (9.30) следует еще

［結，分打=0.(9.34)

Последние равенства и определяют вторичное квантование амплитуды электромагнитного поля.

Примечание. Заметим, что перестановочные соотношения (9.32)— (9.34), которые соответствуют гамильтониану (9.28), описывают вторичное квантование частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. В случае, если бы гамильтониан имел другой вид

〃=扌 £ с似'(С'+С‘ - СР"),(9.35)

как, например, для частиц, подчиняющихся уравнению Дирака (см. § 18), то тогда квантовое уравнение движения (9.29) привело бы к так называемым ферми-дираковским перестановочным соотношениям

С,+С + СС,+ = д，,

..,.(9.36)

СР + ссх = с,+с+ + с+сх+ = 0.

В частности, из (9.32) следует, что некоммутирующими друг с другом будут только амплитуды, соответствующие одному и

/ О7Г0_00・・I 00“芽00й = I оооVTоI о о о о V?../ О7Г0_00・・I 00“芽00й = I оооVTоI о о о о V?..(9.38)(9.38)(9.39)(9.39)Отсюда следует, чтоОтсюда следует, что1 о о о1 о о оо 2 о оо 2 о оо о з оо о з оо .. о .. о .. 4 .•о .. о .. о .. 4 .•(9.40)(9.40)(9.41)(9.41)

/ О7Г0_00・・

I 00“芽00

й = I оооVTо

I о о о о V?..

/ О7Г0_00・・

I 00“芽00

й = I оооVTо

I о о о о V?..

(9.38)

(9.38)

(9.39)

(9.39)

Отсюда следует, что

Отсюда следует, что

1 о о о

1 о о о

о 2 о о

о 2 о о

о о з о

о о з о

о .. о .. о .. 4 .•

о .. о .. о .. 4 .•

(9.40)

(9.40)

(9.41)

(9.41)

тому же импульсу и поляризации *):

(9.37)(9.37)^цйц — Ь^Ьц = 1,

(9.37)

(9.37)

поэтому амплитуды 6膜 не могут быть обычными с-числами. Они должны быть операторами, т. е. ^-числами (наподобие операторов р* и х в первично квантованном уравнении).

Мы удовлетворим равенству (9.37), положив операторы & и 力 + равными следующим эрмитово сопряженным бесконечным матрицам **):

или

(9.42)(9.42)

(9.42)

(9.42)

Эти матричные значения для амплитуд b и Ь+ удовлетворяют равенству (9.37).

Физически вторичное квантование электромагнитного поля приводит к описанию квантовой системы с переменным числом фотонов. Иными словами, мы сможем описывать испускание и поглощение фотонов, учитывая их корпускулярную структуру.

Для того чтобы удовлетворить последним соотношениям, выберем функцию f(N) от числа фотонов М на которую действуют матрицы 6 н Ь+, в следующем виде ):

оf (2) = ооf (2) = о(9.43)(9.43)О

о

f (2) = о

о

f (2) = о

(9.43)

(9.43)

где f (0) описывает состояние, когда фотоны отсутствуют, f ⑴一 состояние с одним фотоном, f (2)—с двумя фотонами и т. д.

Учитывая значение матриц (9.38) и (9.39), легко показать, что—

什(0) = 0,什⑴=f (0),bf⑵="沙⑴，

или

冴(N) = “^T f(M — 1)・

Точно так же действие сопряженных амплитуд определяется соотношениями

戸〃0) = f(l)，b+f(D = V2f(2), ...

・・・，b+f (М) = VF+Tf (М + 1),(9.44)

т. е. оператор & является оператором поглощения (или уничтожения) (N f N—1), а оператор 6+ — оператором испускания (или рождения) (У -> ^ + 1) фотонов.

Из последних равенств следует:

戸讨(N)= W(M，(9 45)

bb+f(N) = (N+Df(N),*

т. е. операторы &+& и 儿+, действующие на функцию числа фотонов, имеют собственные значения, которые равны или числу фотонов ^ (для произведения &+&), или на единицу больше, чем число фотонов N + 1 (для произведения bb+).

Как видно из формулы (9.45), в каждом квантовом состоянии может находиться любое целое число частиц. Поэтому перестановочные соотношения (9.37) ведут к статистике Бозе — Эйнштейна,

Примечание. Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотношениям вида (9.36), из которых следует единственная, отличная от нуля, антикоммутирующая комбинация

с+с + СС+ = 1, (9.46)

мы должны были бы вместо бесконечных матриц (9.38), (9.39) и (9.43) выбрать соответственно матрицы

〃* = (；) н f ⑴= (：)•

Тогда автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения (9.46). Кроме того,

Q (0) = 0, С/⑴= /(0),c+/(o)= f(D, c+f ⑴=о・

Отсюда видно, что С+ является оператором рождения, а С — оператором уничтожения, причем, в отличие от статистики Бозе — Эйнштейна, в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (статистика Ферми — Дирака), т. е. действие квадратов амплитуд на функцию от числа частиц определяется другим по сравнению с (9.45) выражением

C+Cf (^) = M(N\ СС+/ (N) = (1 - N) f (N).(9.48)

Если в начальный момент фотоны отсутствуют (^ = 0), то b+b = 0, в то время как bb+ = 1. Последние соотношения говорят о том, что квантовая система (например, атом) должна взаимодействовать с вторично квантованным полем фотонов (или, как говорят, электромагнитным вакуумом) даже в том случае, когда реальные фотоны отсутствуют (^ = 0). Зная перестановочные соотношения для амплитуд Ьц, мн, учитывая еще (9.25), легко можем найти перестановочные соотношения для амплитуд поля фотонов

[4，4广]=l，(睡，一 乂然)(9，49)

или для амплитуд, имеющих одинаковый импульс (х = xz),

[% 噂]=J —嘴吟，(9.50)

где х° ——единичный вектор в направлении импульса фотона. Для того чтобы удовлетворить последнему соотношению, мы

должны положить (см. также (9.45)) )

%唠= (1 + М(Н，—吧吗)，

где ^ ——общее число частиц, обладающих импульсом Йх, усредненное по двум возможным состояниям поляризации. В частности, если в состоянии х частицы отсутствуют, то N = 0.

Из (9.51) и (9.24) получаем

2c版(2(*) + ^)・(9.52)

Коэффициент 2 соответствует двум возможным поляризациям. Кроме того, в случае отсутствия частиц (^(x) = 0) остается нулевая энергия, равная

Яо = ^2сйх~.(9.53)

Математически она обязана сумме нулевых энергий бесконечного числа осцилляторов, образующих поле фотонов. Физически сна соответствует наличию электромагнитного вакуума, представляющего собой своеобразный резервуар, откуда «извлекаются» реальные фотоны при их испускании и куда они «переходят» при их поглощении (например, атомом).

6) Вывод коэффициентов Эйнштейна по квантовой теории излучения. Для описания движения электронов в поле фотонов, реально существующих (обусловливающих вынужденные переходы), а также виртуальных, т. е. еще не появившихся (обусловливающих спонтанные переходы), воспользуемся нестационарным уравнением Шредингера, которое при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает вид (см. (2.33))2

(一号万—盡(Р—^4))^ = 0.(9.54)

Отбрасывая величины второго порядка малости, пропорциональные А2, и учитывая условие поперечности электромагнитных волн поля фотонов (div А = 0), а также соотношение

(рА) 2 = (Ар)屮 + 2 ? div А,

что приводит к коммутативности (в скалярном произведении) оператора р с вектор-потенциалом А

(рА) = (Ар),(9.55)

мы можем уравнение (9.54) привести к виду

(一今早一Н。一片⑴)2=0.(9.56)

Здесь гамильтониан Н° при отсутствии поля фотонов не зависит

ст временист времениНО=У + *Р2,НО=У + *Р2,

ст времени

ст времени

НО=У + *Р2,

НО=У + *Р2,

а потенциальная энергия V7, которую мы будем рассматривать как энергию возмущения (см. § 8, 口.宛)),явно зависит от времени:

片⑴= -*Г(4(/)Р)・ &57)

При определении энергии возмущения в формулу (9.57) мы подставим вместо вектор-потенциала (см. (9.15) и (9.25)) выражение

А =木 2 “"^ [а (х) «-%£+奴г +。+(X)窿^一打，(9.58) при условии, что амплитуды as (х) подчинены перестановочным соотношениям (9.50), а частота о = сх.

Тогда для коэффициентов Сп^ (/) согласно (8.56) найдем

&'⑴=就讶 ZV^rtS d3^>ixr(a(”)p)也 X

Xd3*e~(Q+(Y)p)wy®i)J (9.59)

Если мы хотим исследовать излучение фотонов, то в последней формуле следует оставить член, пропорциональный а+ (х) (оператор испускания). Тогда имеем:

c"⑴=声 ? V乎:二 一：)7 \ 融%启5 (а+р)屯.(9.60)

Отсюда для суммарной вероятности перехода (спонтанный плюс вынужденный переход)

叫"=Апп^ + р(о) Вт = 1 С，。Сп^ (/)(9.61)

получаем

限=血2

4n sin t (tt) — G)nnz)

(aP九%)(0+P九，九),

(9.62)

где матричный элемент

Р九勺=\ &%寸：,e-'xrp九.(9.63)

Сделаем далее переход от ряда к интегралу при помощи соотношения *)

♦ 2 f 志"，(9.64)

а также учтем, что при достаточно больших значениях времени мы можем положить

I sin (о — С)м) fI sin (о — С)м) f冗 ①-%，冗 ①-%，=6 (①一ow)・=6 (①一ow)・(9.65)(9.65)

I sin (о — С)м) f

I sin (о — С)м) f

冗 ①-%，

冗 ①-%，

=6 (①一ow)・

=6 (①一ow)・

(9.65)

(9.65)

Примечание. Равенство (9.65) означает, что при / -> оо

(9.66)(9.66)1 Г sin (о —(о„„,) t о

(9.66)

(9.66)

Для доказательства последнего соотношения в левой части равенства (9.66) сделаем замену

3 - %)/=自，

тогда оно принимает вид

3 i ,胃1f (”+})dgf(%,)^ \ 讐處.fin'—

Здесь мы перешли к пределу f -> со. Учитывая затем, что

мы докажем соотношение (9.66), а вместе с тем и (9.65). Вообще говоря, сама функция, стоящая в левой части равенства (9.65), имеет острый максимум при о = шпп/. Однако для конечных моментов времени Z = AZ, прошедших от начала процесса, эта функция допускает «разброс» (т. е. будет практически отлична от нуля) для интервала частот | As | = | о —(дпп，|, лежащих

(9.67)(9.67)в области I Д(о IД/ 〜1, что эквивалентно разбросу энергии I АЕ I Af〜九

(9.67)

(9.67)

Последнее соотношение можно рассматривать как четвертое соотношение неопределенности. Оно хорошо известно в любом волновом процессе. В частности, в классической оптике оно характеризует уширение спектральных линий, связанных с конечным значением длительности излучения (см. также § 1).

Формула (9.65) для достаточно больших времен f-> 8 приводит к постулату частот Бора или к квантовой формулировке закона сохранения энергии

①=①九九',①=①九九',гдегде①九出①九出Еп — EnfЕп — Enf(9.68)(9.69)(9.68)(9.69)

①=①九九',

①=①九九',

где

где

①九出

①九出

Еп — Enf

Еп — Enf

(9.68)

(9.69)

(9.68)

(9.69)

Таким образом, излучение возможно только при переходе с более высоких энергетических уровней на более низкие: Еп > Ем. Используя далее перестановочные соотношения (9.51), легко показать, что

(qPK) m+P^) = s (1 + N(G)xO)),(9.70)

где

S = (P3P^) —(*PK) MP/)・(9.71)

Перейдем далее к сферическим координатам волнового вектора 乂 (％=^-，0,9)， когда

где dQ = sin ^d^d^ — элемент телесного угла.

Предполагая, что внешнее излучение изотропно, т. е. число частиц не зависит от сферических углов 今 и 屮(N = N((o)), найдем после интегрирования с помощью 6-функции следующее значение для вероятности перехода сверху вниз (с излучением света) *):

脸=^^^ С + N (*)) § dQ S.(9.73)

Напомним теперь равенство (9.61)

(9.74)(9.74)5” = Annf + рВпп\

(9.74)

(9.74)

Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что вероятность спонтанного перехода (^ = 0) определяется выражением

4加Н^^§"QS.4加Н^^§"QS.(9.75)(9.75)

4加Н^^§"QS.

4加Н^^§"QS.

(9.75)

(9.75)

Для вероятности же вынужденного перехода имеем

В пт = ^ Лпп\(9.76)

Для того чтобы число частиц ^ выразить через плотность р, будем исходить из следующих соображений.

Плотность энергии электромагнитного поля равна

〃нзл ==，Р (s) do.(9.77)

о

С числом же частиц N(s) ее можно связать при помощи формулы (изотропное излучение)

〃нзл = 2必察(⑺=^L \^d^N^)=^l@3dsN(о). (9.78) X0()

Из последних формул находим 竺= V —力G)3・

Отсюда, учитывая еще (9.76), имеем

Bnnf =依• Апп\(9.80)

Определим, далее, вероятность перехода с нижнего уровня п, на верхний и, т. е. найдем вероятность перехода с поглощением света.

Для этого в формуле (9.59) мы должны поменять местами уровни и (в данном случае конечный) и // (в данном случае начальный), а также оставить члены, пропорциональные амплитуде а(м) (оператор поглощения).

Тогда имеем

a⑺=) d3叫严(0p)V (9.81)

Сопоставляя формулы (9.81) и (9.60), мы видим, что их правые части представляют собой две комплексно-сопряженные величины.

При вычислении квадрата модуля обе величины должны дать как будто один и тот же результат. Однако здесь, благодаря тому что амплитуды а и а+ являются операторами, возникает одно существенное различие, имеющее большое принципиальное значение.

Как видно из формулы (9.51),

& 喈〜(1+N),a^as^N^asa^

света Wn^n множителясвета Wn^n множителяПоэтому при вычислении вероятности поглощения мы получим результат (9.73), в котором вместо (l + N((0wi，)) будет стоять множитель N (о^)，т. е.

света Wn^n множителя

света Wn^n множителя

我%勿=pв 〃勿=我%勿=pв 〃勿=2冗啮e3力2冗啮e3力N ^} Ф dQ S・N ^} Ф dQ S・(9.82)(9.82)

我%勿=pв 〃勿=

我%勿=pв 〃勿=

2冗啮e3力

2冗啮e3力

N ^} Ф dQ S・

N ^} Ф dQ S・

(9.82)

(9.82)

Отсутствие единицы говорит о том, что поглощение может быть только вынужденным (спонтанное поглощение, как и следовало ожидать, должно отсутствовать).

Сравнивая формулу (9.82) с формулой (9.73), имеем

(9.83)(9.83)Bnfn == В ft 小

(9.83)

(9.83)

т. е. вероятности вынужденных переходов сверху вниз и снизу вверх оказываются равными и пропорциональными соответствующей вероятности спонтанного перехода (см. (9.80)).

Подставляя соотношения (9.80) и (9.83) в формулу (9.6), дадим квантовомеханическое обоснование формуле Планка

р((о)=嶼—.(9.84)

характеризующей распределение спектральной плотности равновесного излучения.

Напомним, что первоначально формула Планка была получена из принципа соответствия (см. § 1) путем обобщения соответствующей классической теории на квантовый случай.

а) Дипольное, магнитное (дипольное) и квадрупольное излучения. Исследуем спонтанное излучение в приближении, более точном, чем дипольное. Полагая в формуле (9.73) ^ = 0, найдем для вероятности перехода следующее выражение:

=(9.85)

где S определяется формулой (9.71), а для матричного элемента Р^п мы имеем выражение (9.63).

Определив вероятность спонтанного перехода, можно легко вычислить также и соответствующую интенсивность излучения

取 пП,=6 8〃九/〃球，(9.86)

6 А. А. Соколов и др.

а также п вероятности вынужденных переходов по формулам (9.80) и (9.83).

При вычислении матричного элемента (9.63) следует учитывать, что величина (хг)〜г/九 является малой. В самом деле, длина волны излучаемого света X 〜10-5 см, а размеры атома г 〜10-8 см. Поэтому 〃入 ~ 10"~3《1.

В дальнейшем наряду с дипольным членом, не зависящим от (хг), мы учтем еще члены, пропорциональные (хг), которые позволяют определить так называемые квадрупольное и магнитное (дипольное) излучения.

Тогда, полагая

—рг),(9.87)

найдем для матричного элемента (9.63) значение

Р球产 Р^-*3「)Р*中(9・88)

где рп^п = ^РФ^3^ — матричный элемент оператора импульса. Воспользуемся далее следующим тождеством:

嶋(Hr)u=I (Hf ⑺一f ⑺ н*〃=

=(9・89)

которое легко получить, если подставить сюда выражение для гамильтониана

H = W? + V (办(9.90)

Заметим, что в (9.89) оператор V действует только на функцию Дг).

Полагая в формуле (9.89) функцию f равной х, найдем, что

/ 、

или в векторной форме

吗勿=-历го(О^乙力.(9.91)

Полагая далее f = x(w)t получаем

一8S(尤(灯))* = 詣(зr)厶+ % (冲)-历乂山付

Заметим, что последний член правой части равенства в силу ортогональности собственных функций (%' ：/= и) равен нулю;

(%%)〃勿=^х^п'п = 0.

Поэтому в векторной форме последнее соотношение можно записать в виде

一 ％(「他叽〃 =7~(W)Р +，(*P)U-(9・92)

Учитывая (9.92), второй член правой части равенства (9.88) можно представить следующим образом:

1111

侬打 р = ~ (хг) р + 万(хг) р =万(кг) Р —万，(Yp)2~ Г 佃力・

Отсюда для матричного элемента (9.88) в нашем приближении находим следующее выражение:

Рп^п = — im^n^r^n + 万([乂 [”]])心^j^ (r (xr)Vrt« (9.93)

Первый член в правой части равенства (9.93) описывает обычное дипольное излучение, второй — магнитное (дипольное) и, наконец, третий — так называемое квадрупольное.

Найдем прежде всего вероятность дипольных переходов.

Подставляя первый член правой части равенства (9.93) в формулу (9.71), получим

S =d%，[储3勿)一"小)""〃)]・

Последнее равенство легко проинтегрировать по углам с помощью соотношений

§ dQ = 4эт,

(9.94)

§ (х°А) (х°В) dQ =萼(АВ).

Тогда находим значение для вероятности дипольного перехода ^ = ^^^\г^(9.95)

где

I%』= |%J2 + |%，J+|%%|2・(9.96)

Если ввести матричный элемент дипольного момента d^n = ern^n,(9.97)

то выражение (9.95) можно представить в виде

跚'=4 卷 1%/・(9.98)

Вычислим далее вероятность переходов, обусловленных магнитным излучением,'

Подставляя второй член выражения (9.93) в формулу (9.71) и вводя оператор

"鼻叩1，

который в классическом приближении играет роль магнитного момента (более подробно см. § 16), найдем

S = *[(咤此勿)-"乩)(砲%Л(9.100)

Учитывая при интегрировании по углам равенство (9.94), для вероятности магнитных переходов получаем следующее выражение:

禮炉= ^1%'/・(9.101)

Так же как и в классическом случае, магнитное излучение отличается от электрического заменой дипольного электрического момента дипольным магнитным моментом.

Как мы увидим в дальнейшем, вероятность магнитных переходов (в особенности в атоме) во много раз меньше вероятности электрических переходов.

Наконец, вычислим вероятность квадрупольных переходов.

Подставляя третий член правой части равенства (9.93) в формулу (9.71), будем иметь:

s=警1 [(% (乂%)z(% 佃喲)紋九一(a%(乂。，)):加 ^r)m)n^9 (9.102)

причем по индексу s, входящему дважды, мы должны просуммировать от 1 до 3 (%i = %,也=协 х3 = г).

В данном случае при интегрировании по углам, кроме (9.94), следует учесть еще выражение

§ (乂。4)個。5) (mе)出叨)dQ =

=芻[(AB) (CD) + (AC)(BD) + (AD) (ВС)]. (9.103)

Тогда с помощью равенства (9.85) для вероятности квадрупольного перехода находим

碌”』箫[3 (抬公儿(r^U -(产)7 (产* J (9.104)

Вводя далее квадрупольный момент (тензор)

Qss，= e(3%s% —产 ％)，

мы окончательно получаем

爲产=蠢（Qss'）7 @九加-（9.1°5）

д) Излучение гармонического осциллятора. Рассмотрим на примере гармонического осциллятора вопросы, связанные со

спонтанным излучением.

координаты:координаты:(9.106)(9.106)гдегдеКак было показано в § 7 (см. формулы (7.68), (7.69)), отличными от нуля будут только следующие матричные элементы

координаты:

координаты:

(9.106)

(9.106)

где

где

т. е. дипольные переходы возможны лишь между соседними уровнями и правила отбора для дипольного излучения имеют вид

厶九=〃 一〃 =± 1.(9.107)

В частности, спонтанный переход возможен по схеме и ~> и — 1 (рис. 9.1). Соответствующая частота излучения

=至含二=8(9.108)

равна механической частоте колебаний. Здесь мы учли, что, согласно (7.28), Еп =加0(忆+ %).

Для интенсивности излучения на访дем согласно (9.86) и (9.95) выражение

卄釁т Т/з 需 ^ = 2/з 鑑(晶一 Ео)，(9.109)

где

£|0 = % 加).

Полагая Й-*0, мы получим для энергии излучения гармонического осциллятора известное классическое выражение (см. (7.Ю))2

吸誤 Е0ЛЮ)

Переходы в более высокие энергетические состояния n -> п + 1 возможны лишь при вынужденном поглощении.

Спрашивается: возможно ли в случае гармонического осциллятора излучение гармоник?

С этой целью мы подсчитаем интенсивность квадрупольного излучения, которая пропорциональна матричному элементу М川九，поскольку

Qyy = Qzz = — с (尤2), Qxx = 2e (%2)・(9.111)

С помощью формул (9.86) и (9.105) находим следующее выражение для интенсивности квадрупольного излучения:

步霭"p=鲁4%2)農.(9.112)

Принимая во внимание значения для матричных элементов (%2)〃/ (СМ. (8.38)),

(%%—2,九=* "% (〃- 1)，

(%)+2, n =号 "(% + 2)(%+1),(9.113)

出)…=妳(" +》)’

правила отбора для квадрупольного излучения осциллятора можно записать в виде

А% = % —疝=0, ± 2.(9.114)

В частности, в случае спонтанного излучения, когда и ~> и ——2, должен излучаться не основной тон (как для дипольных переходов), а первая гармоника

孤，п-2 =旦二戶=2ш.(9.115)

Учитывая формулы (9.115) и (9.113), найдем

号*2 =搭粵 /г (" 1)・(9.116)

Производя замену в классическом приближении йоп ~> Е, получим

步 квапр=^”・(9.117)

15c5啮\ 丿

Сопоставляя формулы для дипольного и квадрупольного излучений, мы видим, что дипольные переходы происходят при Дп = ±1, а квадрупольные при Ап = 0, ±2. Так как квантовое число характеризует четность волновой функции (см. (7.42)), то дипольные переходы возможны из четного состояния в нечетное или наоборот. Квадрупольные же ——из четного состояния в четное или из нечетного состояния в нечетное.

Определим, далее, отношение интенсивностей излучения. Из формул (9.117) и (9.110) находим

Гквадр _ 8£ 仆

ц/м 一 5 江〜О(9.118)

где 絞= 而&•——квадрат классической амплитуды колебаний. Отсюда видно, что в нерелятивистском приближении (Е《т0с2) вероятность квадрупольных переходов будет во много раз меньше, чем для дипольных.

Таким образом, выпишем окончательно правила отбора для дипольных переходов при излучении осциллятора

An=± 1(9.119)

и для квадрупольных переходов )

Дп = 0, ±2.(9.120)

Заметим, что магнитные переходы для гармонического осциллятора будут отсутствовать, так как при прямолинейном движении механический момент, а вместе с тем и магнитный, должны обращаться в нуль.

Понятие о квантовых усилителях “ генераторах. Вынужденное, или индуцированное, излучение за последнее время нашло весьма большое применение благодаря созданию советскими учеными Басовым и Прохоровым квантовых усилителей и генераторов.

Для простоты рассмотрим систему с двумя энергетическими уровнями Ei и £2 > £ь

Спонтанное излучение, связанное с самопроизвольными переходами E?fE\ (вероятность перехода 41), испускается по различным направлениям с беспорядочной фазой, т. е. представляет собой некогерентное излучение.

Направление распространения, фаза и поляризация вынужденного индуцированного излучения (вероятность перехода рВ21, где р — спектральная плотность внешнего излучения) должны совпадать с направлением распространения, фазой и

поляризацией внешнего электромагнитного излучения. Это приводит к тому, что вынужденное излучение должно быть когерентным.

Полная вероятность перехода с более высокого уровня на нижний (£2f Ei) определяется выражением *)

侬 21 = An + Р%，(9.121)

причем частота внешнего излучения со должна лежать в пределах ширины линии резонансного перехода с частотой

施尸旦萨^>0・(9.122)

Ради простоты мы ограничимся рассмотрением только резонансных переходов (s =(02i)・ В этом случае система может под действием внешнего излучения также переходить с нижнего на более высокий энергетический уровень, поглощая при этом соответствующий квант энергии.

Вероятность такого процесса равна

t^i2=== Р^12»(9.123)

Обозначим число атомов в единице объема с энергией £*2 через “2, а с энергией Ei — через Mi・ Числа ^2 и N\ носят названия населенностей уровней.

Тогда интенсивность (мощность) индуцированного излучения будет равна

а нх Й(о2^2В21р.(9.124)

Точно так же для индуцированного поглощения имеем

p12 e=为812" 1812P ===一力0)21"1812p。(9.125)

Принимая во внимание, что согласно формуле (9.83)

для суммарной мощности индуцированных излучения и поглощения находим значение

Р = Р21 + Р12=力 S21PB21 (М — N ])・(9.126)

В случае термодинамического равновесия температура Т вполне определяет населенность уровней, т. е. распределение атомов по энергетическим состояниям

鬲纥

№ = 研,М = С)甫，(9.127)

что всегда дает

^l > N2.(9.128)

Поэтому электромагнитное излучение, проходящее сквозь вещество, находящееся в состоянии термодинамического равновесия, должно всегда им поглощаться (р V 0).

Для того чтобы излучение не поглощалось, а, наоборот, усиливалось, необходимо нарушить состояние термодинамического равновесия и создать такой ансамбль атомов или молекул, для которых населенность нижних уровней была бы меньше верхних (Ni V 乂2)・ Говорят, что такой ансамбль имеет инверсную населенность. Усиление, основанное на инверсной населенности, мы можем создать в принципе для любой частоты.

Если формально ввести понятие температуры, воспользовавшись соотношением

Е^—Е\

备=(9.129)

то при инверсной населенности (^2 > № значение для температуры Т должно быть отрицательным (Т < 0). Заметим, что понятие отрицательной температуры носит совершенно условный характер и может относиться лишь к паре уровней, и то для промежутков времени, малых по сравнению с временем релаксации (состояние не является термодинамически равновесным) ). В противоположность этому в случае термодинамического равновесия температура характеризует распределение населенностей по всем энергетическим состояниям и для любого момента времени.

Следует подчеркнуть, что спонтанное излучение может уменьшить время пребывания электронов на верхнем уровне, т. е. уменьшить время жизни инверсного состояния.

Допустим, что переход Е2-^ Е{ может быть осуществлен дипольным путем, т. е. является разрешенным. Тогда время пребывания Тсп электрона на верхнем уровне, обусловленное спонтанным переходом, может быть найдено из соотношения )

1 皿1 СС?

总=仆~前.»(9」3°)

匕0 1 V

где 府 ^ "у^г носит название постоянной тонкой структуры, а амплитуда колебаний а ~ 10-8——10~9 см. В случае радиодиапазона (九 〜1 см) время дипольного спонтанного излучения будет сравнительно большой величиной (тсп ~ Ю7 с), поскольку оно пропорционально V, в то время как тИнд согласно (9.80)

[ ре*不〜е

не будет зависеть от 九，и при сравнительно большом значении р его можно сделать много меньше тсп. При этом интенсивность вынужденного излучения будет много больше спонтанного, благодаря чему спонтанное излучение обусловливает лишь шумы.

В оптическом же диапазоне (九 ~ 10~4 или 10-5 см) в случае разрешенных переходов (формула (9.130)) находим для времени жизни: Тсп ~ Ю"-7 с. Для того чтобы его увеличить, желательно взять возбужденный уровень, переходы с которого на основной являются запрещенными (т. е. должны отсутствовать дипольные переходы: А^ = 0).

Если предположить, что между уровнями возможны квадрупольные переходы, то тогда время перехода может быть найдено из соотношений (9.130) и (9.118):

±=/步3〜⑺(9.132)

В частности, для светового диапазона (九 〜10~5 см) время квадрупольного перехода может быть увеличено до одной секунды.

Все современные квантовые усилители, а также генераторы (мазеры или лазеры) основаны на создании тем или иным способом инверсной населенности, в результате чего после прохождения электромагнитных волн должно происходить или усиление, или даже генерация излучения.

Основы теории дисперсии. Теория возмущений нашла применение при изучении взаимодействия света с веществом. Дело в том, что результаты, полученные по квантовой теории, отличаются от классических, а экспериментальная проверка дает подтверждение выводов квантовой теории.

Рассмотрим теорию дисперсии (т. е. теорию рассеяния света в среде) для диэлектрических сред, характеризуемых согласно классическим представлениям показателем преломления

п = Vе»

где е ——диэлектрическая проницаемость (магнитная проницаемость 卩 при этом положена равной единице: к=1). Как известно, если с увеличением частоты света, проходящего через

вещество, показатель преломления п возрастает > ОJ, то такая дисперсия называется нормальной. Типичным примером нормальной дисперсии является спектральное разложение видимого света стеклянными или кварцевыми призмами, когда фиолетовые лучи отклоняются от первоначального направления сильнее, чем красные.

Аномальная же дисперсия (^> < 0)наблюдается в области частот, которые поглощаются средой.

Для определения показателя преломления и воспользуемся .связью между вектором электрической напряженности 冒 электромагнитного поля, вектором индукции 券 и вектором поляризации 货：

= 8存=存 + 4 冗步.(9.133)

Отсюда, учитывая, что е = п2, находим

货=与况(9.134)

Таким образом, для определения и нам необходимо, исходя из микроскопических представлений о строении вещества, установить связь между 货 н 鋁 *)•

Перейдем теперь к построению квантовой теории дисперсии. При этом предположим, что все электроны атомов находятся в одном и том же квантовом состоянии к. Для решения нашей задачи используем метод теории возмущений, поскольку энергия взаимодействия с внешним полем, как правило, мала по сравнению с энергией связи электронов в атоме.

Замечая, что внешняя сила, действующая на электрон, в нерелятивистском случае (т. е. при отбрасывании «магнитной» силы) равна

Fx = — е^0 cos о/, Fy = Fz = 0, для энергии возмущения получаем выражение )

Vх = е/济о cos 血・(9.135)

В связи с этим уравнение Шредингера для электрона запишется в форме

(-4^ 一h。一片)必(f) = 0,(9.136)

где Н° — гамильтониан в отсутствие возмущения.

Допустим, что при Н = 0 уравнение (9.136) имеет точное решение

嘰⑴=呎肉e/ =喙一5(9.137)

где 屮^ и £к удовлетворяют уравнению

(J — H0)« = 0・(9.138)

Тогда в соответствии с теорией возмущений решение ищем в виде

也(f)=嗽(/) +也(/)-(9.139)

Учитывая далее равенство

(_^М—Н。)嘰(f) = 0,(9.140)

для определения 巾;(/) (первое приближение) получаем уравнение

(_ 与3 — Н。)也(/)=片噥(/)・(9.141)

Подставляя сюда Vх из (9.135), находим

(—今鼎一Н。)此(f) = %е/%嘰｛«т 3…)+ e-f W+叫.(9・ 142)

Чтобы в этом уравнении исключить время % ищем решение 屮：(/) в форме

<(/) = MR) + ue-及 Зк+8)・(9.143)

Тогда для определения функций 〃 и и получаем уравнения

｛九但一s) — Н。｝ 〃 = %е/济о嘰，(9.144)

｛九(练 + s) — Н。｝ и = %е/格 0嘰・(9.145)

Заметим, что два последних уравнения имеют совершенно одинаковую структуру. Поэтому нам достаточно найти лишь функцию 〃・ Тогда для вычисления функции и необходимо заменить (о на —со.

Поскольку в уравнение (9.144) время явно не входит, при определении функции и мы можем воспользоваться методом теории возмущений для стационарных задач, когда решение следует искать в виде разложения по собственным функциям невозмущенной задачи (см. (8.8))

и^Ск„^(9.146)

где 嘰〃 удовлетворяет уравнению

(纥〃 一Н。)屮% = 0・(9.147)

Из последних равенств находим

(9.148)(9.148)力2 S" (练心- 8)嘰" =嘰，

(9.148)

(9.148)

Здесь частота излучения

一 й一 й(9.149)

一 й

一 й

Умножая (9.148) слева на 屮户 и интегрируя затем по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функций, для коэффициентов С%，получаем выражение

С—蜜肃Е(9.150)

Подставляя (9.150) в (9.146), находим искомую функцию

"=?(一嚼)^ЭГT 岐，，(9」51)

где матричный элемент %卜京 равен

九欠=\ 2$%2阮％，(9.152)

Заменяя в (9.151) о на —о, получаем

。=?(-嚼)肃号电"(9」53)

Общая же волновая функция %(/) согласно (9.139) и (9.143) запишется в виде

0(0 = e-心好［映-¥l 2 萨金 ®" cos啦一心sin血］J.

Iк， KfKJ

(9.154)

Определив волновую функцию 屮卜(/) электрона во внешнем поле, мы легко сможем найти вектор поляризации среды 歹. В самом деле, по классической теории

9x = 9 = Np = — NeQx9

где ^ — число атомов в единице объема.

Чтобы это выражение обобщить на квантовый случай, вместо р следует взять его среднее значение. Тогда

0 = N〈р〉= — %%，喔(/) хфк (/) d3x. (9.155)

Подставляя сюда 屮&(/) из (9.154) и оставляя только члены пер вого порядка малости относительно 君о, находим

(9.156)(9.156)2N% С 8心於 I XKfK I2 GO 2@=斤2 Hz^% COSW.

(9.156)

(9.156)

к к

При выводе этого соотношения мы учли, что

\ 嘰*%屮2d% = ^ I <q)o |2 xd3x = О,

поскольку подынтегральная функция является нечетной функцией.

Сравнивая (9,156) с (9.134), получаем дисперсионную формулу

"_1 - 2"* V 明| %Qk I2传 1

Fn L 唸・(9」57)

Вводя новую переменную

*K =讐练，кМ/,(9.158)

получившую название силы осциллятора, преобразуем равенство

N君9N君9(9.159)(9.159)(9.157) к виду

N君9

N君9

(9.159)

(9.159)

九？一

4n

Рис. 9.2. Кривые дисперсии, а) положительная дисперсия (^к — ^к^к)^ 6) отрииатель ная дисперсия(8k=8&k，)■Рис. 9.2. Кривые дисперсии, а) положительная дисперсия (^к — ^к^к)^ 6) отрииатель ная дисперсия(8k=8&k，)■Заметим, что если бы с самого начала была учтена квантовым путем сила радиационного трения, то для частот о), близких к cdK，K, мы имели бы (аналогично классическому случаю) в области аномальной дисперсии конечное значение для и2 (рис. 9.2, а — штриховая линия).

Рис. 9.2. Кривые дисперсии, а) положительная дисперсия (^к — ^к^к)^ 6) отрииатель ная дисперсия(8k=8&k，)■

Рис. 9.2. Кривые дисперсии, а) положительная дисперсия (^к — ^к^к)^ 6) отрииатель ная дисперсия(8k=8&k，)■

Формула (9.159) напоминает по своей структуре классическое выражение. Однако по сути дела квантовые резуль< таты принципиально отличаются от классических. В самом деле, согласно квантовой тео

рии аномальная дисперсия лежит в области частот, соответствующих разрешенным переходам, а не в области собственной механической частоты колебаний электрона, как это вытекает из классической теории. Такой вывод следует из того, что в дисперсионной формуле (9.159) существенную роль играет сила осцил-

лятора/к%, определяемая матричным элементом хк^ (см. (9.158)), характеризующим правила отбора, т. е. разрешенные переходы.

Д. С. Рождественский, используя так называемый метод крюков, экспериментально подтвердил эти выводы квантовой теории.

Вторым очень важным отличием квантовых результатов от классических является то, что согласно квантовой теории наряду с обычной положительной дисперсией може! также существовать еще и отрицательная дисперсия (рис. 9.2,6), не имеющая классического аналога.

Действительно, если рассеяние света происходит на возбужденных атомах, то следует учитывать состояния с Ек > £^, для которых

Екг — Ек九%〜％ = —^—<°-

Для этих состояний дисперсионная формула (9.159) принимает

видвид(9.160)(9.160)

вид

вид

(9.160)

(9.160)

а кривая дисперсии изображается штриховой линией на рис. 9.2, 6.

Экспериментально явление отрицательной дисперсии было обнаружено Ладенбургом. Таким образом, и этот вывод квантовой теории также получил свое подтверждение.

Найдем значение силы осциллятора 『《%, а следовательно, и дисперсионную формулу в случае гармонического осциллятора. Замечая, что при этом отличными от нуля будут только матричные элементы (см. (9.106))

2mos° И Хк~^к = У * (9」61) которым соответствуют квантовые частоты излучения, «случайно» совпадающие с соответствующими механическими частотами колебаний

S/C+1, к=8о И tozc-l, № — ©о,(9.162)

находим

九+i, % = (к + 1)，= - &，(9.163)

т. е.

营必=1・(9.164)

Поэтому дисперсионная формула (9.159) запишется в виде

/ — 1А嗡к + 1%е^ к %房 1

4ntnQ(Oq —①2〃％ 0q —co2 %嗡一

Отсюда следует, что в этой частной задаче квантовая и классическая теории дают для показателя преломления и одно и то же значение. Явление отрицательной дисперсии здесь не наблюдается. Это связано с тем обстоятельством, что для гармонических осцилляторов область отрицательной дисперсии, благодаря тому, что |(Ок-ы, к|2=|(ок-：, к|2, совпадает с соответствующей областью положительной дисперсии, которая ее и перекрывает.

韦ЗукШ韦ЗукШ灰"方3灰"方3Рис. 9.4. Комбинационное рассеяние света: й©—энергия падающего фотона; 方о/ и й(й,/—энергии рассеянных фотонов, отвечающие «стоксовым» и «антистоксовым» линиям.Рис. 9.4. Комбинационное рассеяние света: й©—энергия падающего фотона; 方о/ и й(й,/—энергии рассеянных фотонов, отвечающие «стоксовым» и «антистоксовым» линиям.Комбинационное рассеяние света. Проанализируем явление дисперсии с точки зрения энергетической схемы.

韦ЗукШ

韦ЗукШ

灰"方3

灰"方3

Рис. 9.4. Комбинационное рассеяние света: й©—энергия падающего фотона; 方о/ и й(й,/—энергии рассеянных фотонов, отвечающие «стоксовым» и «антистоксовым» линиям.

Рис. 9.4. Комбинационное рассеяние света: й©—энергия падающего фотона; 方о/ и й(й,/—энергии рассеянных фотонов, отвечающие «стоксовым» и «антистоксовым» линиям.

Рис. 9.3. Энергетическая схема рассея ния фотона; й©—энергия падающего фотона; й(о, —энергия рассеянного фотона; /, // — упругое рассеяние фотона (九3取h3К，ки再(1)耍方3кm); III, /V -вынужденные переходы (方8 ~ 方8(，( или ^^^)-

Предположим, что на атом, обладающий всего лишь тремя уровнями £> < Ек< £> (рис. 9.3), падает фотон с энергией

е = Йео.

Вообще говоря, рассеяние этого фотона представляет собой эффект второго порядка и может происходить двояким путем: 1) вначале произойдет поглощение падающего фотона (при этом электрон, находящийся в начальный момент на уровне к, перейдет в некоторое промежуточное состояние, которое, вообще говоря, может быть и запрещенным *) (/ на рис. 9.3)), а затем испускание рассеянного фотона; 2) сначала атом испустит фотон (// на рис. 9.3), а потом только произойдет поглощение падающего фотона. Если электрон после этих двух процессов возвратится в свое прежнее состояние, то согласно закону сохране-

ния энергии частота о/ рассеянного фотона равна частоте па- дающего фотона(о ).

Может оказаться, что из промежуточного состояния электрон перейдет не на начальный уровень к, а на уровень к', лежащий выше, или на уровень к〃， лежащий ниже, чем уровень к (рис. 9.4). Тогда частота рассеянного света (о/ или(о〃)не будет равна частоте ① падающего света. В таких случаях говорят о так называемом комбинационном рассеянии, или раман-эф- фекте. Экспериментально комбинационное рассеяние света впервые было обнаружено в жидкостях индийскими физиками Ч. В. Раманом и К. С. Кришнаном, а в твердых телах — советскими физиками Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом (1928).

Как видно из рис. 9.4, частота рассеянного фотона в раман- эффекте может быть как меньше, так н больше частоты падающего.

В первом случае линии

с/= S _ 孤入 < со,(9.166)

называемые стоксовыми линиями (смещение происходит в сторону «красной» части спектра), соответствуют возбуждению ато*

Рис. 9.5. Наложение молекулярных частот на частоту падающего света: а) спектральная линия G)без учета молекулярных колебаний; б) смещение спектральной линии, обусловленное молекулярными колебаниями: s'==со—®&，к，tt/'nS + S/cK%Рис. 9.5. Наложение молекулярных частот на частоту падающего света: а) спектральная линия G)без учета молекулярных колебаний; б) смещение спектральной линии, обусловленное молекулярными колебаниями: s'==со—®&，к，tt/'nS + S/cK%ма, так как в результате рассеяния атом оказывается в энергетически более высоком состоянии. Во втором случае возникают так называемые антистоксовы линии (смещение происходит в сторону «фиолетовой» части спектра)

Рис. 9.5. Наложение молекулярных частот на частоту падающего света: а) спектральная линия G)без учета молекулярных колебаний; б) смещение спектральной линии, обусловленное молекулярными колебаниями: s'=

=со—®&，к，tt/'nS + S/cK%

Рис. 9.5. Наложение молекулярных частот на частоту падающего света: а) спектральная линия G)без учета молекулярных колебаний; б) смещение спектральной линии, обусловленное молекулярными колебаниями: s'=

=со—®&，к，tt/'nS + S/cK%

(о〃 =(о + со“ > о, (9.166а)

причем они могут появиться только в том случае, когда свет рассеивается на возбужденных атомах (рис. 9.5).

Важную роль комбинационное рассея-

ние играет при исследовании строения

молекул. В самом деле, ротационные и вибрационные (а также вибрационно-ротационные) спектры расположены в глубокой инфракрасной области (см. ниже § 11) и поэтому труднодоступны наблюдению. Изучая же комбинационное рассеяние, мож

но иметь дело с видимым светом и судить о спектре молекул лишь по изменению частоты в результате рассеяния.

§ 10. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ

Движение частицы в центрально-симметричном поле представляет собой наряду с гармоническим осциллятором одну из фундаментальных задач квантовой механики. Эта задача легла в основу построения квантовой теории атома водорода, многоэлектронных атомов, молекул, теории рассеяния. Дело заключается в том, что зависимость волновой функции частицы от сферических углов в центрально-симметричном поле не связана с конкретным выбором вида потенциальной энергии. Поэтому угловая часть волновой функции (шаровые функции) относится к любому центрально-симметричному полю.

Уравнение Шредингера 6 криволинейных ортогональных координатах. Потенциальная энергия частицы V(r) в центрально-симметричном поле зависит только от расстояния частицы г

Рис. ЮЛ. Ортогональная система в сферических координатах.Рис. ЮЛ. Ортогональная система в сферических координатах.до некоторой фиксированной точки пространства, называемой силовым центром. Поместим начало координат в силовом центре и введем сферические координаты г, ",ф, связанные с декартовыми %, у、2 (рис. 10.1) соотношениями

Рис. ЮЛ. Ортогональная система в сферических координатах.

Рис. ЮЛ. Ортогональная система в сферических координатах.

x — r sin 今 cos ф,

у —г sin'О' sin ф, z — r cos 今

(O^r < oo, 0&9《2冗，

0<^<л).(10.1)

Уравнение Шредингера для частицы, движущейся в центрально-симметричном поле ^(г), в сферических координатах всегда можно решить методом разделения переменных.

В важном частном случае, когда центральное поле является кулоновским и описывает, например, взаимодействие ядра с зарядом Ze。и электрона с зарядом е = —с。,

Ze?

(10.2)(10.2)Р(『) =Т2

(10.2)

(10.2)

задача допускает решение методом разделения переменных также и в параболических координатах Е, ", ф：

^ = Vin cosqp, у = Vin sin qp, nh%倡一⑴，

厂=V^+y+^ = % (& + 哈 (Ю.З) т. e.

自=广 + 之， п = r - z, (р = arc tg~

(0式自< 8, 0《n<8, 0<(р<2л).(10.4)

Рассмотрим вначале общую запись уравнения Шредингера в произвольных ортогональных системах координат (%, 〃2, 〃з), когда направление, связанное с дифференциальным изменением одной из координат, перпендикулярно к соответствующим направлениям двух других координат. При этом радиус-вектор г является функцией этих координат, т. е. у (%, «2,《з)・

.Если запишем радиус-вектор через декартовы координаты

r = j^ + ЬУ + %zr = j^ + ЬУ + %z(10.5)(10.5)

r = j^ + ЬУ + %z

r = j^ + ЬУ + %z

(10.5)

(10.5)

и учтем, что направление ортов декартовых координат /л (“ = ==1, 2, 3) остается неизменным, легко получить

為=小蒜+龙箫+)3崙，(10.6)

т. е.

I 奇I=“嵐у+(器у+(崙у外 а。?)

Отсюда для дифференциала длины /； находим

(10.8)(10.8)dlI — Н j dq卜

(10.8)

(10.8)

т. е. составляющая градиента на направление // будет равна

(10.9)(10.9)о” — д-ф可=HjdqJ

(10.9)

(10.9)

Тогда элемент объема в ортогональной системе координат можно записать в виде

d% = d/[ d%2 d/3==：： H 1Н?Н3 dq【dq? d%・(10.10)

Чтобы получить выражение для оператора Лапласа, запишем в координатах %, «2, 9з выражение для дивергенции произ-

вольного вектора В

(В dS)

5V “ _ mu ―^—=

S-»0 a 无

(10.11)(10.12)Лапласа(10.13)(10.11)(10.12)Лапласа(10.13)В] dq\ dS】+昆對2 dS? + 内 & dq^ dS?

(10.11)

(10.12)

Лапласа

(10.13)

(10.11)

(10.12)

Лапласа

(10.13)

一"也"3 dq* 對2 2《3

где dS[ —— d%2 d/3 ■—■ H2H3 d«2 "«3,

dS?=== d/3 d/[ — "з"[ d«3 dq 1,dS§ — d/[ d/2 =^ H\H2 dq、dq?.

Полагая в (10.11) 5 = grad 屮,найдем для оператора W屮=div grad 屮 следующее значение:

(10.14)

В частности, в декартовой системе координат 力=%, 92 =协 禽=z, когда H[ = H2 = H3 = 1, имеем

口2_ J 1621d2

Для сферических координат (см. рис. 10.1)

力=广，92 =仇д3 =屮

согласно (10.1) и (10.8) получаем

нг — 1, н®：— г, "ф и2 广 sin е.

Из рис. 10.1 видно, что направления изменения координат перпендикулярны друг другу, т. е. система является ортогональной

d/[ — Н \ dr,成2 — 〃2 &也 d/з — H3 dtp.

На основании полученных формул находим выражение для элементов объема и лапласиана (т. е. оператора Лапласа) в сферических координатах*.

d3x = г2 dr sin 今 de йф,

^vi{r2 ^) + ^[llHT^(sin^^) +и^¥矗]•(1615)

,получаем,получаем(10.20)(10.20)

,получаем

,получаем

(10.20)

(10.20)

Точно так же в параболических (ортогональных) координатах

^^ = 4 *д/^ + ^ » ^т)=Т д/^ + ^ » / = "&П получим

d3% = ^(g + n)dg 力)dqp,

吟％+讨=击陵(自备)+言代告)]+专注

(10.16)

Шаровые функции. Для центрально-симметричного поля уравнение Шредингера

山2+炉⑺屮=0(10.17)

будем решать в сферических координатах. В (10.17) следует положить

居⑺=^ЧЕ—Ма)，(10.18)

а лапласиан определяется формулой (10.15).

Уравнение Шредингера следует решать по методу разделения переменных, полагая

^ = R(r)Y^ ф).(10.19)

Умножая исходное уравнение на

Так как слева здесь стоит величина, зависящая только от г, справа ——только от углов *& и ф, это равенство может иметь место лишь в том случае, когда и левая, и правая части равны по отдельности некоторой величине X, называемой постоянной разделения.

Таким образом, для радиальной и угловой частей волновой функции находим соответственно уравнения

0r + (居一%)/? = 0,(10.21)

%У + %У = 0・(10.22)

Важно подчеркнуть, что последнее уравнение для угловой части не содержит переменной г и не зависит от конкретного вида потенциальной энергии К Поэтому, как мы уже отмечали в начале параграфа, его решение должно быть справедливым для любых центральных сил.

Полагая далее

У = 0(#)Ф((р),(10.23)

произведем разделение шаровой функции У (8, <р) по сферическим углам, причем для функций 0(^) и Ф(屮)находим, соответственно, уравнения

%+G一品)© = 0,(10.24)

嗚①+病①=0.(10.25)

Здесь m2 является постоянной разделения; кроме того, мы ввели обозначения

墙=击备(5汨"晶)，(10・26)

% =备(10.27)

в которых частные производные заменены полными, поскольку каждая из функций 0 и Ф зависит только от одной переменной.

Таким образом, для определения собственных значений энергии Ei и соответствующих им собственных функций 切 мы получили три уравнения: (10.21), (10.24), (10.25), причем если последнее из них содержит только один параметр 卢，т0 второе и первое (см. ниже (10.40))—по два.

Поскольку при решении одного уравнения можно найти собственные значения только для одного параметра, решение всей задачи мы должны начинать с решения уравнения (10.25), а затем, зная ап2, переходить к решению уравнения (10.24) и, наконец, к решению уравнения (10.21) для радиальной функции.

При нахождении нормировочного коэффициента можно воспользоваться соотношением

ооЛ2л

\ 少*3&3% = \ R Rd dr , 0*0 sin 8 dО \ ①*<!)d^tооо

из которого видно, что нормировку можно производить для каж* дой из функций по отдельности:

^r*“公=1,

(10.28)

0

л

\ @*0 sin 今 &今=1,

(10.29)

0

2л

\ Ф*Ф d(p = 1. 0

(10.30)

Частное решение для азимутальной функции (см. уравнение (10.25)) может быть представлено двояким способом: либо

О)= СМ 呻，(10.31)

либо

Ф = A cos (团屮 + фо)-(10.32)

Эти два частные решения имеют различную физическую интерпретацию. В самом деле, решение (10.31) соответствует бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномерному вращению электронов, в то время как решение (10.32) связано со стоячими волнами и соответствует, например, колебаниям электрона по некоторой дуге. Чтобы функция Ф описывала вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в виде бегущих волн (10.31). Так как второе решение, пропорциональное e~im^, может быть получено путем замены т на —m, то, не ограничивая общности, решение следует вообще выбрать в виде

ф = Ceim^,(10.33)

причем величина 〃z может пробегать как положительные, так и отрицательные значения.

Учитывая, что волновая функция должна удовлетворять требованию однозначности (см. § 3), на функцию Ф((р) необходимо наложить условие периодичности

① @) = 0)(屮 + 2n)，(10 34)

из которого следует, что

^1ят =]

Отсюда для величины т, получившей название магнитного квантового числа, имеем

т = 0, ±1, ±2, ±3, ...(10.35)

Из условия нормировки (10.30) находим С= £^ . Непосредственным вычислением легко показать, что функции

%=矗i(10.36)

будут удовлетворять условию ортонормированности 2л

\①初①/и ^ф = 6/n/n'・ 0

Поскольку собственные значения m известны, а также найдена волновая функция, зависящая от азимутального угла ф, можно приступить к решению уравнения (10.24).

Вводя новую переменную

х = cos *&(10.37)

и обозначая производные по х штрихами, вместо (10.24) получаем уравнение

[(I -炉)&У + (% - -^-)0 = 0.(10.38)

Нетрудно видеть, что последнее уравнение имеет особые точки при % = ±1. В этих точках один из коэффициентов при 0 обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную расходимость, будем искать решение 0 в виде

@ = (1一%2)$/2〃(10.39)

Подставляя (10.39) в (10.38) и сокращая все равенство на (1 —— 炉严，получаем

(1 —炉)〃“ 一2%(s + 1)优 + [九一s2 — s + -y£ ^ ^ к = 0. (10.40)

Мы исключим особенность в последнем члене, полагая s = ± I m I.

Решения, отвечающие этим двум значениям s, удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению, поскольку основное уравнение (10.38) зависит лишь от т. Следовательно, эти решения могут отличаться друг от друга только постоянным множителем

0(1 m 1) = Л0(— I m I).(10.41)

Учитывая последние соотношения, будем искать решение уравнения (10.40) при

s = m>0・(10.42)

В силу же соотношения (10.41) оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения /и.

При условии (10.42) уравнение (10.40) принимает вид

(1 — %2)〃"一2%(m+ l)uf + (к —т(т+ 1))〃 = 0・ (10.43)

Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его решение может быть представлено в виде ряда

и = Л(10.44)

в результате подстановки которого в уравнение (10.43) получаем

Группируя члены с одинаковыми степенями %, приходим к равенству

Е {(长 + 2) (к + 1) а&+2 + [入 一 (к + /п) (к + m + 1)] а" Xх = 0,

из которого следует рекуррентное соотношение

(к + 2) (к + 1) ах+2 = — [Л — (к + т) (/с + m + 1)]а«, (10.45) связывающее между собой все коэффициенты ряда (10.44). Ввиду того, что коэффициенты а& связаны лишь с ак+2, т. е. через один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависимости от того, является ли старший член (см. ниже) четным или нечетным.

Требуя, чтобы ряд (10.44) был ограничен некоторой максимальной степенью к = д, т. е. был бы полиномом порядка q, мы должны ввести условие

“q+2 = 0，G>q 耍 0*

Отсюда на основании (10.45) получаем

九=(9 + 加)(9 + 加 + 1),(10.46)

где

g = 0, 1, 2, 3,・・・，(10.47)

т. е. равно той степени, на которой мы обрываем ряд. Вводя орбитальное квантовое число I

l = q + mt(10.48)

находим, что оно может принимать, так же как и числа q ■ т, лишь положительные целые значения, включая нуль, т. е.

Z = 0, 1, 2, 3,・・・，(10.49)

причем в силу (10.48)

/>т.(10.50)

Принимая во внимание, что согласно (10.48) и 10.46)

Л ==/(/+1),(10.51)

уравнение (10.40) можно привести к виду

(1 — %2)〃" 一 2%(дп + 1) н, + (/(/+ 1) — m(m + 1)] 〃 = 0, (10.52) где

и = az-.mxf-m + at^^m^ + ...・(10.53)

Мы не будем выражать коэффициенты 以 через 以+2 с помощью рекуррентного соотношения (10.45), а представим сразу последнее решение в свернутой форме.

Для этого введем функцию

и = (%2 — М(10.54)

подчиняющуюся уравнению

(1 -%2)『 + 2%〃 = 0,(10.55)

которое нетрудно получить, взяв первую производную от и по г. Дифференцируя (10.55) с помощью правила Лейбница (см. (7.34а)) (/ + m + 1) раз и полагая

м 停—1)' = 〃i，(Ю.56)

для функции % получаем уравнение

(1 一炉)必一2工(团+ 1)必+ [/(/+ l) — m(m+ l)]〃i = 0, (10.57) точно совпадающее с дифференциальным уравнением (10.52) для функции и. Следовательно, функции 〃 и 〃i должны быть пропорциональными друг другу

и = const 〃i・(10.58)

Поскольку нормировочный коэффициент функции 0 пока еще не 。1

определен, эту постоянную положим равной ^у， исходя из тех соображений, чтобы при m = 0 последнее решение переходило в полином Лежандра

力 、1 dl (х2 - 1/

=・(1659)

Таким образом, будем иметь

2〃！ dd+m ''

Отсюда с помощью (10.39) находим значение для функции 0

®『 = С『Р『(％)・(10.60)

Здесь Р『一присоединенный полином Лежандра, определяемый выражением/

р『(Х) = (1 -7 [吗詐]•(10・61)

а С『一нормировочный коэффициент.

Второе решение (10.38) при А = /(/ + 1) будет пропорционально функции q? =(Т 严 и 一 公严2 誤 Q/ ⑴，(10.61a)

где функция Лежандра второго рода

1

Qi W = 4 \工^ 匕(％)m — 听27 (%),(10.616)

2 J X — у ZI 一 X

—1

a 步/-i(x) является неким полиномом степени 2—1 (причем 取_](%) = 0), не содержащим никаких расходимостей. Поскольку первый член правой части равенства (10.61а) дает для функции Q^ (х) расходимость в особых точках (х = ±1), то это решение следует в случае уравнения Шредингера вообще отбросить.

Хотя выражение (10.61) было получено для положительных значений т, в силу известного соотношения

Р『(%) = (— 1 产 ^^ РТт (х)(10.62)

оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения т.

Для доказательства выражения (10.62) преобразуем его с помощью равенства (10.61) к форме

(I 向)！(%2T)m 詣F兩(炉一1)‘ = (/ + I m I)!江•向•(炉一1)‘.(10.63)

Поскольку же Р} и Р~^т должны быть связаны между собой линейным соотношением (см. (10.41)), нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства (10.63) совпадают друг с другом, т. е.

в этом нетрудно убедиться, учитывая, что

注3)!尸"ПРИ尤《％

(0при к > п.

Из равенств (10.61) и (10.62) можно окончательно установить область изменения квантового числа т:

т = 0, ±1, ± 2,・・.，士 Z;(10.64)

это следует из того факта, что при \ т\> I решение Р『обра， щается в нуль.

Коэффициент С『в (10.60) может быть найден из условия нормировки

л1

J ©Г©Г Sin^d^= J©r(x)©r(x)dx=l.

Подставляя сюда решение (10.60) и учитывая (10.62), полу

чаем

；2加；士嘘門г［热(D］［晶(1)卜

Перебрасывая производную co второго множителя на первый (/ + т) раз, т. е. раскрывая последний интеграл (I + т) раз по частям, имеем〔

(2/)2 (/ - m)\ 1 J/、 丿

Принимая во внимание равенство (см. также (10.63))

^ 九_(2"仇=2/),

R I 0(” 2Z),

а также учитывая, что

+ 1

\ (1-喲’厶=<?^,

находим

克骑修。。.65)

Тогда

陳=V1^^^ p『(办(i°・66)

Для шаровой функции У『(2, ср), удовлетворяющей уравнению (10.22), на основании (10.23), (10.36) и (10.66) имеем

yГ (仇屮)=ёГФ. = V^wir 7 (cos 5 e 吗(10・67) причем условие ортонормированности для шаровых функций принимает вид

§ (У歹)* У『dQ = Ъц^.(10.68)

Чтобы доказать условие ортонормированности (10.68), следует подставить в это равенство для шаровых функций их выражение (10.67). Тогда, интегрируя по углу ф, легко показать, что 2л о

При интегрировании же по углу 今 в полиномах Лежандра следует положить mf = m. Тогда, не ограничивая общности, можно выбрать，V 厶 Случай Г = / мы только что рассмотрели при определении нормировочного коэффициента. С помощью аналогичного способа легко показать, что при /' V / в результате переброса производных с функции, характеризуемой индексом / + т, на функцию с индексом Г — m интеграл (10.68) обратится в нуль.

С помощью соотношения (10.62) мы можем выражение для шаровой функции (10.67) представить в виде

(10.67а)(10.676)(10.67а)(10.676)y『(也ф) ="(2告*高;JI Р严(COS切d吗

(10.67а)

(10.676)

(10.67а)

(10.676)

где

41 при m》0,

(-1 产 при m<0.

Заметим, что многие авторы вообще полагают коэффициент ат === 1.

В том случае, когда можно ограничиться нахождением шаровых функций, удовлетворяющих только условию ортонормиро- ванности (10.68), оба решения являются совершенно равноправными, поскольку а%= 1. Однако там, где необходимо использовать рекуррентные соотношения между шаровыми функциями с различными индексами т (см. ниже формулы (11.17), (11.18)), например, при нахождении правил отбора для ротатора (см. § 11) или в релятивистской теории центральных сил (см. § 19), следует брать значение для коэффициента ат в виде (10.676).

Наконец, найдем четность шаровой функции, т. е. ее поведение при инверсии пространства, сводящейся к изменению направления всех трех осей декартовых координат. Тогда

(р->п +(р,令一>п —® или cos2-> — cos9・

Как видно из формулы (10.61), в этом случае

ааР『W f Р『(一х)=(—以+m Р『(х),

а

а

eim^ f ^im^^inm = (— ])m ^/力①.

Поэтому шаровая функция при инверсии пространства будет преобразовываться по закону

У?(也中)=$e*?(%)/呻f(-1)勺『(今，ф).

Отсюда видно, что орбитальное кванювое число I характеризует четность шаровой функции. При четных / шаровая функция будет четной (при инверсии пространства она не изменяет своего

знака), а при нечетных / — нечетной (при инверсии пространства она изменяет свой знак на противоположный).

в) Физический смысл квантовых чисел m и I. Момент количества движения. Выше мы нашли, что квантовое число / характеризует собственное значение К = 1(1^ 1) оператора ——同,$ (см. (10.22) и (10.51)), входящего в квантовое операторное выражение функции Гамильтона (т. е. в гамильтониан):

力 2рА2?2й2?1

=+=(1°・69)

Сравнивая последний гамильтониан с классической функцией Гамильтона

"=军+ 联)鹏+ 点+ Mr), (10.70)

где pr = mor, a L =俏。产而，мы видим, что оператору (—• ft2V|, ф) в классическом случае соответствует квадрат момента количества движения L2, а оператору (— ft2V^)——квадрат радиального импульса ®・

Исследуем это соответствие более подробно. Как известно из классической механики, момент количества движения £ определяется формулой

1 = [гр].(10.71)

Заметим, кстати, что если имеется момент М. = [rF] внешних сил 尸，то изменение £ со временем будет происходить по закону

% = М(10.72)

причем в случае центральных сил (F || г) момент внешних сил М обращается в нуль, и мы имеем

£ = const.

Этот результат известен в классической механике как закон сохранения момента количества движения и используется, в частности, в проблеме Кеплера как закон сохранения секториальной скорости.

Чтобы обобщить классическое выражение момента количества движения на квантовый случай, мы должны в выражении (10.71) классический импульс р заменить оператором импульса р = -~ V. Тогда будем иметь

L = [rp] = |[rV],(10.73)

ИЛИ

Lx = f/Pz — 卽⑦

Ly = zp% — %Pz，(10.74)

Lz = XPy 一 ypx.

Прежде всего заметим, что операторы компонент момента количества движения L*, Ly и Lz не коммутируют между собой. В самом деле, определяя, например, перестановочные соотношения между L% и Ly, находим

LJy - L J% =匂pz - zp/ (zp% 一砥)一(грх -冲J 匂Pz -叫).

Пользуясь далее перестановочными соотношениями между импульсом и соответствующей координатой (см. (6.30а)), находим

L%Lg ******* LyL% —- ih (ур% ~~ %Pg) — z自Lz・ (10.75) Аналогично можно показать, что

LJn — LJy =访 L%,LzLx-LxLz = ihLy.

Чтобы выразить в сферических координатах оператор квадрата момента количества движения

L2 = U + L^ + lI(10.77)

вычислим сначала в сферических координатах составляющие Lx, Ly и Lz・ Принимая во внимание соотношения (10.1) между декартовыми и сферическими координатами, имеем 外 d-ф дх . d” ду . d-ф дг

=r cos # cos ф -|~ + r cos й* sin ф -|~ —r sin 今需=

=君碧+ ¥ 芻-P@，W78)

дф — дх dtp * ду d(p т dz d(p —

=亠广sin今sin屮需 + r sin行cos屮需=—у需 + %窮.(10.79) Умножая (10.78) на у-, а (10.79) на (—請)и учитывая, что р2 = %2 + у2, после сложения этих двух равенств придем к соотношению

Если же равенства (10.78) и (10.79) умножить соответственно

(一 £) и (- -^f-^, то аналогичным способом получим

У 碧-z%=- ｛sin $ 欝 + coscpctg 令器｝. (10.81)

Отсюда, учитывая равенства (10.79) и (10.74), находим, что

L% = —兴 sin ①鳥 + cosqpctg^击｝,(10.82)

Ly = ；｛cos屮烏一sin qpctg®^｝,(10.83)

j=号击・(10.84)

Вводя переменную n = cos®, выражения (10.82) и (10.83) можно представить в виде

(10.85)

\ V1 — ц2 д(р 丿

Чтобы определить действие этих операторов на шаровые функции, воспользуемся тем обстоятельством, что одну и ту же шаровую функцию можно представить двояким образом: либо в виде (10.67а), либо в виде

У『 = (—Г、/写I括需РГт (cos ^eim\(10.86)

Действуя оператором Ьг непосредственно на шаровую функцию, находим

Ь2УГ = ЙтУГ.(10.87)

Отсюда следует, что квантовое число т характеризует проекцию момента количества движения на ось г.

При определении же действия оператора L* + iLy на шаровую функцию подставим вместо У『ее выражение (10.67), а при действии оператора L% ——iLy — эквивалентное выражение (10.86). Тогда из равенства

ё±师gё±师g洁声i干иe詛е（1-的±侬〃卩）=洁声i干иe詛е（1-的±侬〃卩）=

ё±师g

ё±师g

洁声i干иe詛е（1-的±侬〃卩）=

洁声i干иe詛е（1-的±侬〃卩）=

=干 e阿m 土 I)(1 — g2)~T- *也 *)

(10.88)

следует, что

(L%士 江办У『=一力 “(/+1 士 m)(/干 m) УГ±1. (10.89)

С помощью последних соотношений находим

1?У『=[4 (Lx + D (L% - D +

+ J (Lx 一 辽 у) (L% + ①分 + L|] У『=

=-力卡,ФУ?=力2/ (/ + 1) У『・(10.90)

Отсюда видно, что У『 является собственной функцией операторов Lz и L2. Это возможно, так как операторы Ьг и L2 коммутируют друг с другом, а также с гамильтонианом Н. Поскольку же операторы L% и L? не коммутируют с L2, то поэтому нельзя подобрать такую волновую функцию, которая являлась бы собственной функцией как оператора Lz, так и операторов L% или Ly. Это, однако, не означает, что произвольное направление z является каким-то преимущественным. Можно записать шаровую функцию таким образом, что она будет собственной функцией операторов L% и L2. Тогда она не будет собственной функцией оператора Lz (см. ниже (11.38)).

а) Анализ полученных результатов. Как видно из формул (10.90) и (10.87), для квадрата момента количества движения и его проекции на ось z имеем соответственно значения

厶2 =视(/+ ]),/ = о, 1,2, 3,(10.91)

Lz = Йт,— 1《гп《1・(10.92)

Отсюда видно, что L2 при / = 0 обращается в нуль, в то время как по классической теории эта величина не может вообще обращаться в нуль *). Таким образом, состояние с / = 0 не имеет классического аналога. Из L2 = 0, в частности, следует, что механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии атомов целиком подтверждают этот квантовомеханический результат.

Далее, по классической теории следовало бы ожидать, что

L == ^Лмакс ===右 2/2,(10.93)

в то время как по квантовой теории

А2 =力2产+右=必макс +济・(10.94)

*) Обращение в нуль классического момента L = [гр] означало бы одно из двух: либо скорость равна нулю (р = 0), либо происходит движение через центр. Эти особые случаи мы здесь не рассматриваем.

7 А. А. Соколов и др.

Появление дополнительного орбитального момента Й2/ связано с некоммутативностью операторов проекции момента L%, Ly и L друг с другом, вследствие чего их все одновременно невозможно задать точно. Действительно, когда Lz = £zMaKc =九厶 средние значения проекций <LX> и {Ly} равны нулю, в то же время квадратичные отклонения〈(AL%)2〉=〈匕〉и ((AL^)2) = <L^) не обращаются^ в нуль и принимают некоторое минимальное значение, в связи с чем

〈厂〉=兄 макс +〈(AL/〉мнн +〈(АЗАНН.(10.95)

Минимальное значение {(ALX)2) и〈(ALJ〉может быть получено с помощью соотношения неопределенностей (см. (6.32)):

〈(AL/〉мнн〈似 J〉mhh = 41 L Jg - L.Lx I2 =

=} Й2Лгмакс = }力/・(10.96)

В силу симметрии задачи относительно осей хну можно положить〈AL%〉mhh =〈А£д〉мнн, откуда получаем

<Д£х)мин —〈AL 力 мнн = ^2 у J(10.97)

сумма же(ALx)MHH и〈AL^〉mhh как раз и равна дополнительному моменту 力2/. В результате приходим к соотношению (10.94).

Таким образом, природа этого дополнительного члена та же, что и природа нулевой энергии гармонического осциллятора, т. е. связана с соотношением неопределенностей.

§ 11. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧВ СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Ротатор, Ротатор представляет собою частицу, свободно движущуюся по сфере заданного радиуса г — a — const.

Задача о ротаторе является частным случаем движения под действием центральных сил, когда потенциальная энергия постоянна. Не нарушая общности, эту постоянную величину мы можем положить равной нулю

Ю = 0・

Поскольку задача о ротаторе является задачей на центральные силы, угловая часть описывается шаровыми функциями, а для определения радиальной функции согласно (10.21) имеем

Здесь мы положили потенциальную энергию равной нулю и подставили согласно (10.51) X = /(/ + 1). Поскольку для ротатора г — a — const, то функция R (г) = R (а) = const, т. е. V奴(а) = 0. Отсюда для энергии Ei найдем значение

Е/ =Е/ =承/（/+ 1）2他0。2承/（/+ 1）2他0。2_椀(/ + [)=2/_椀(/ + [)=2/(Н.2)(Н.2)

Е/ =

Е/ =

承/（/+ 1）2他0。2

承/（/+ 1）2他0。2

_椀(/ + [)

=2/

_椀(/ + [)

=2/

(Н.2)

(Н.2)

где 丿=人"2 — момент инерции.

Модель ротатора, в частности, с успехом используется для описания движения двухатомных молекул *), а также для описания вращательного движения ядер.

Согласно (11.2) энергия ротатора Ei зависит от орбитального квантового числа 厶 магнитное же квантовое число, характеризующее проекцию момента L на ось z (т. е. ориентацию момента в пространстве), в выражение для Е/ не входит. Однако соответствующие собственному значению Е/ собственные функции УГ (см. (10.67)) зависят еще и от т. Поскольку т может изменяться от ——/ до +/ (см. (10.64)), каждому значению энергии Ei будет соответствовать (2/ + 1) взаимно ортогональных собственных функций, описывающих состояния ротатора, отличающиеся лишь ориентацией момента L относительно оси z. В этом случае говорят, что уровень энергии Ei является (2/ + 1)-кратно вырожденным.

При I = 0 мы имеем однократно вырожденный уровень, который называют просто невырожденным.

Напомним, что данный уровень называют N-кратно вырожденным, если одному и тому же собственному значению энергии соответствует ^ линейно независимых собственных функций.

Вырождение энергетических уровней ротатора физически связано с тем обстоятельством, что ротатор представляет собой систему, обладающую центральной симметрией, вследствие которой все направления, проходящие через начало координат, оказываются равноценными. Из этих же соображений следует, что это вырождение должно иметь место для любых центрально-симметричных систем.

Если же существует какое-то выделенное направление, определяемое, например, направлением магнитного поля, то центральная симметрия нарушается и возможные направления для момента £ становятся уже неравнозначными, благодаря чему вырождение либо снимается полностью, либо кратность его уменьшается.

*) В этом случае момент инерции следует положить равным

/ = ^+ т24

где /и】н 加2 — массы атомов, а и и гг —их расстояния до центра инерции.

Состояние, соответствующее Z — 0, называют s-состоянием, состояние с / = 1 называют p-состоянием. Для d-состояния /=2. Для /-состояния / = 3. Для ^-состояния Z = 4 и т. д.

Рассмотрим более подробно s- и p-состояния ротатора. Поскольку в s-состоянии I — т — Q, согласно (10.67) собственная функция У&, соответствующая нулевому собственному значению энергии £0 = 0, будет равна

== -"•(11・3)

Отсюда для плотности вероятности |丫8产 наймем

闾=w.(11.4)

В р-состоянии / = 1, а квантовое число m может принимать три значения: —1, 0, +1. Следовательно, собственному значению энергии % =九2/j соответствуют три собственные функции:

у」=一“备 仰 sin 仇(11.5)

y；=“±COS 也(11-6)

У』"1?声 sin 仇(1L7)

Плотности вероятности определяются при этом формулами

卜寸=闿2 =备S由2也(11.8)

I У? I2 = -^-cos2 ^.(11.9)

Величина ] У『|2 sin 今 d^dqp представляет собой .вероятность обнаружить частицу на сфере постоянного радиуса в области углов ф и ф + d(p,行 и 心 + dO. Поскольку квадрат модуля | YT |2 не зависит от угла ф, вероятность обнаружить частицу в одном и том же интервале углов d(p становится одинаковой. В силу этого произведение

|У『|22л sinOd"

соответствует плотности вероятности обнаружить частицу между углами О н 今 + dO.

Графически распределения плотности вероятности (11.4), (11.8) и (11.9) представлены на рис. 11.1, причем, учитывая независимость модуля |У『『 от угла ф, изображение дано только в плоскости yz.

Чтобы получить полную картину, график нужно вращать вокруг оси z. Как видно из (11.4) и рис. 11.1, а, направление момента £ относительно оси z для ротатора в s-состоянии не зависит от угла *&. Это и понятно, так как момент L2 = Й2/(/ + 1) в этом случае равен нулю. Покоящаяся же материальная точка

Рис. 11.1. Распределение плотности вероятности для ротатора.

может с равной вероятностью находиться в любом месте сферической поверхности радиуса а, т. е. все положения ротатора возможны и равноправны. Классического аналога s-состояние не имеет.

Из (11.8) и рис. 11.1, б следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в p-состоянии с /= 1 и m = ±1 является та, которая расположена в плоскости (ху), причем состояния с m = 1 и с m = —1 отличаются одно от другого направлением оси вращения: при т = 1 ротатор обладает правым вращением (момент количества движения £ параллелен оси 2), а при m =——1 ——левым (момент L антипараллелен оси 2).

При I = 1 и m = 0 наиболее вероятной орбитой ротатора является та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось z (см. (11.9) и рис. 11.1, в). При этом момент направлен перпендикулярно оси z.

Аналогичным способом легко исследовать состояния с / = 2 (пять значений m = 0, 土1, ±2), с / = 3 и т. д.

Правила отбора. Для того чтобы найти правила отбора, необходимо вычислить матричные элементы

^fmf\r\l т} = ^^У rYT dQ・(11.10)

Если при каком-либо изменении квантовых чисел матричный элемент равен нулю, то такие переходы запрещены (излучения не будет) ). Зная правила отбора, можно сразу найти как частоту, так и интенсивность излучения (см. (9.86)).

Введем в (11.10) вместо координат 尤,р и z (т. е. вместо г) следующие переменные:

г = a cos ^,(11.11)

% + W = a sin 心е",(11.12)

х —/у = а sin 仇一叫(11.13)

С физической точки зрения это эквивалентно разложению движения ротатора на три части: на колебание вдоль оси z, описываемое состаЕляющей z, а также на лежащие в плоскости ху правое и левое вращения, характеризуемые соответственно составляющими х + iy и х ——，у; при этом в совокупности все три составляющие должны описывать полное движение материальной точки по сфере.

Определение правил отбора в новых переменных сведется к

вычислению следующих матричных элементов:

〈/%' I 2 "团〉=§ (ГгУ cos 今У『dQ,(11.14)

^m^x + iyUm)^^ (*)* sin 佻仰}T dQ,(11.15)

{lfmf\x-iy\ 岳z〉= § (У歹)* sin 佻一即丫？ dQ,(11.16)

где ради простоты мы положили а — \.

Учитывая рекуррентные соотношения между шаровыми функциями

cos 被『=AY^ + 8巾i,(11 •⑺

sin 8e± 叮『=A±Y^ 1 + В土У”l,(11.18)

а также условие ортонормированности для шаровых функций (10.68), имеем

〈/'〃 |z I/т〉= 6加”(46匕 ％ + 啟，,”i),(11.19)

{lrmf\x + iy\ 1g=6忙 m+](人也,,/+1 + в^Г (и.20) 〈/%' I % - iy I 历2〉= % 〜](А_Ь^ И1 + В汶，，小i)・(11 ・21) Примечание. Коэффициенты Л и В могут быть найдены сравнительно просто. Для этого в формулу (11.17) следует подставить разложения

(10.67), положив в них

m :⑵)！

12% (/ - /и)!

(1

xl-m _ (/ 一 "z) (/ _ 〃z _ 1) %/一m一2 ,

2⑵一 1)十

Тогда, сокращая все равенство на etm^ (1 — х2) и приравнивая в левых и правых частях коэфициенты при 炉-团+1 и 仆-团-'(приравнивание коэффициентов при остальных степенях % ничего нового не дает), получаем

Л n =人/ (/ + 1 一加)(/ + 1 + 加) ⑵+1)(2/ +3)'

г» н 、/ (/ + /%) (/ — m)

8 U,加)=V(2/+ 1)(2/- 1) -

Аналогичным путем находим

/ m) — ± 7⑵+ D ⑵ + 3)

5±(/,m一十7一⑵+1)⑵一 1) •

(11.17a)

(11.18a)

Из этих формул легко найти численные значения для отличных от нуля матричных элементов (а = 1)

(/+ 1, m\z\lm)=^ aJ(2)А)'⑵ + 1)，

国而⑵二1广

(11.19a)

a +…11』1厶吁土 “喙割铝評 〈/-1, m±l|%±3|/,加〉=干、/乂詔g/37，

(11.20a)

причем в последних двух равенствах мы должны всюду взять или только верхние, или только нижние знаки.

Отсюда получаем следующие правила отбора:

соответствующие колебаниям вдоль оси г

Ат = т — тг = 0, А/ = / —，= ±1；(11.22)

соответствующие правому вращению (% + iy)

Am = —1, А/=±1;(11.23)

соответствующие левому вращению (х — iy)

Am=+1, A/ = ±L(11.24)

Таким образом, разрешенными будут только те переходы, Аля которых изменения магнитного квантового числа m и орби-

тального квантового числа / равны

(11.25)(11.26)(11.25)(11.26)А/п = 0, ± 1,А/ = ± 1.

(11.25)

(11.26)

(11.25)

(11.26)

Заметим, что эти же правила отбора для квантовых чисел m и I имеют место для любых центрально-симметричных систем и, в частности, для атома водорода.

Зная правила отбора, найдем для ротатора возможные частоты излучения (или поглощения)

ЕI —

^ц, = 2nv/r =^.(11.27)

丨丨丨 一^10 з21 叫2 ^^Рис. 11.2. Спектр ротатора.丨丨丨 一^10 з21 叫2 ^^Рис. 11.2. Спектр ротатора.Подставляя сюда выражение для энергии Ei (см. (11.2)) и случае момент инерции ротатора остается неизменным, формулу (11.27) можно привести к виду 5〃，=合口(/+1)-人‘+1)1-(11.28)

丨丨丨 一

^10 з21 叫2 ^^

Рис. 11.2. Спектр ротатора.

丨丨丨 一

^10 з21 叫2 ^^

Рис. 11.2. Спектр ротатора.

Отсюда на основании (11.26) получаем

吗…=“(11.29)

%/+[ =—gа +1), (н.зо)

причем частота 电,一 соответствует переходу с верхнего энергетического уровня на нижний (т. е. сверху вниз), а ®, * наоборот, снизу вверх.

Ротационные спектры встречаются, например, при исследовании спектра молекул.

В случае, когда излучение молекулы обусловлено только ротационными переходами, его частота определяется выражением (11.29).

Из этой формулы видно, что чисто ротационный спектр представляет собой набор равноотстоящих (рис. 11.2) друг от друга линий. Эти линии расположены в далекой инфракрасной области (с длиной волны порядка 100——300 мкм), и поэтому их исследование сопряжено с рядом экспериментальных трудностей. Промер расстояния между спектральными линиями позволяет судить о моменте инерции молекулы. Чаще всего ротационный спектр наблюдается в виде полос, когда он накладывается на вибрационный спектр молекулы или даже на спектральные ли-

нии атомов. Более подробно мы разберем это в § 26, специально посвященном молекуле.

е) Вырождение по магнитному квантовому числу. На примере ротатора рассмотрим еще вопрос о квантовом вырождении. Полученные нами волновые функции ротатора, равные шаровым функциям У『,согласно (10.87) и (10.90) являются собственными для оператора Гамильтона

2加()a22/'

а вместе с тем и для квадрата момента L2 = — Й2У^, ф и проекции момента на ось г

= 7'而.

Учитывая, что эти три оператора коммутируют между собой, мы можем написать

НУ『(仇 Ф)= да-УГ(^ 屮)=£乃『(也 ф),(11.31)

LJ7 (仇屮)=hmYT (仇(p)・(11.32)

Исходя из общего выражения для волновой функции

^^^l^CimYTe 方(11.33)

(энергия зависит только от орбитального квантового числа /), нетрудно показать, что средние значения рассматриваемых операторов не зависят от времени:

〈"〉= §W*(f) HW (/)得=2 EQ；, m3, 〃，(11.34)

m

〈厶〉=§ 屮* (f) LzW (0 d% = £ htnC；mCim・(11.35)

Это связано с тем обстоятельством, что временной множитель исчезает в силу ортогональности волновых функций.

Среднее значение любых других операторов, для которых У『 не является собственной функцией, как правило, должно зависеть от времени. Так, например, для среднего значения оператора координаты z, коммутирующего с L, но не коммутирующего с Н, мы получим с учетом соотношений (11.17)

&〉= а 2 {8С；т mClt 毎一叫，“ + 4G+ijG, /叱+i，?}> (H.36)

где коэффициенты А (/, т) и В(/, т) определены формулами (11.17а).

Рассмотрим теперь еще два оператора: L% + iLy и L — iLy, которые, наоборот, коммутируют с гамильтонианом Н, но не коммутируют с оператором Ьг. На основании (10.89) для среднего значения этих операторов нетрудно получить выражение

〈厶〉士 *4〉= 一 £ 力 V(Z- l±m)(lTm)Cl 〃hG,也(11.37) m

которое не зависит от времени, так как хотя среднее значение этих операторов пропорционально сумме квадратичных комбинаций амплитуд Сц m±\Clm, относящихся к различным состояниям, но эти состояния обладают одним и тем же значением энергии, поскольку уровни являются вырожденными. Очевидно, что если бы не было вырождения энергетических уровней, т. е. энергия зависела бы не только от /, но и от магнитного квантового числа т, то в полной аналогии с (11.36) средние значения операторов L% 土 iL^, для которых У『не является собственной, также были бы функциями времени *). Таким образом, на основе анализа этого примера можно сделать общий вывод о том, что наличие двух и более операторов, коммутирующих с гамильтонианом Н, но не коммутирующих между собой, говорит о наличии вырождения квантовой системы.

а) Свободное движение. Другим простейшим примером движения под действием центральных сил является случай свободного движения, когда потенциальную энергию можно вообще положить равной нулю (V = 0). Тогда решение можно искать в виДе плоской волны (см. § 4), либо в виде сферической волны, поскольку случай V = 0 можно отнести также и к сферически- симметричному. При решении задачи в сферических координатах для определения радиальной функции имеем уравнение (см. (10.21))

(11.38)(11.38)需十(胪一 ^^^) " = 0, (11.39)

(11.38)

(11.38)

гдегде々=""%>0, u = rRh々=""%>0, u = rRh

где

где

々=""%>0, u = rRh

々=""%>0, u = rRh

Вводя новую функцию X = Vr ^z =» преобразуем (11.39)

к виду

V + ；父 + (必一 ^Ц^) Х=о. (11.40)

Последнее уравнение представляет собой уравнение Бесселя по- луцелого порядка 士 (/+ 1/2) от вещественного аргумента. Учитывая, что волновая функция должна оставаться конечной в точке г-> 0, мы должны оставить в решении только функцию Бесселя положительного порядка, когда )

Ri =Ri =幾l优Г)•幾l优Г)•(11.41)(11.41)

Ri =

Ri =

幾l优Г)•

幾l优Г)•

(11.41)

(11.41)

Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения для свободной частицы в сферических координатах с заданной энергией может быть представлено в виде (см. (10.19))

ОО I

W(也 Ф，г)=У У т(О, Ф)Ji+%(hr)・ (11.42)

Коэффициенты СГ могут быть найдены из дополнительных условий, а функция Y『является шаровой функцией (см・ (10.67)).

С помощью последней формулы мы сможем произвести разложение плоской волны -ф = с*" которая также удовлетворяет уравнению Шредингера для свободного движения

(11.43)(11.43)w屮+尼2屮=0,

(11.43)

(11.43)

по сферическим волнам.

Представляя плоскую волну в виде

^ikz^ikr cos ^ = ^iyx([] 44)

где у = ^г, % = cos®, мы должны для шаровой функции положить m = 0 (поскольку 废以 не зависит от угла ф) и искать решение в виде разложения только по полиномам Лежандра

eiy^^Bl{y}pl{xy(11.45)

Учитывая условие ортонормированности для полиномов Лежандра

\ dxPi (%) Pv(X)= ^^7r M，，(11.46)

которое легко получить из равенств (10.67) и (10.68), полагая в последних m = 0, находим

1

В】匂)=% ⑵ + 1)，。必匕(％) dx.(11.47)

Подставляя сюда для полиномов Лежандра выражение (10.59) и перебрасывая / раз производную с функции (х2— 1)" на функцию с% имеем

1

8心)= 高⑵+l)6/ \ (l—%2)K"d%・(11.48)

Далее, воспользовавшись известным из теории бесселевых функций равенством )

\ (1一%2)%^厶=«i/!(春)中"丿中/2 (力(11.49)

находим значение для коэффициента

以匂)= л/^⑵+1)也+% (/

Отсюда искомое разложение плоской волны по сферическим волнам принимает вид

。询cos о = 勺診 £ i/⑵+ 1)丄時*匕(cos纵 (11.50)

Как известно, при г-> оо мы можем воспользоваться асимптотическим выражением для функции Бесселя

(砌 4 7三 sin(,卢〉,(11.51)

и поэтому асимптотическое поведение плоской волны будет определяться равенством

；sin (kr

е削 cos о = £ Y ⑵ + 1)_' 就Р/ (cos О).(11.52)

d) Асимптотическое решение в случае короткодействующих сил, В общем виде уравнение Шредингера для любых центральных сил согласно (10.21) имеет вид )

衆 + (必—欝 у⑺ 一^^^)^ = 0,(11.53)

где и' = rRh

В случае V = 0 (свободное движение — это простейший случай короткодействующей силы) решение определяется равенством (11.41), которое, учитывая асимптотическую формулу (11.51) в случае больших г-> оо, дает

& (砌=早一、一2 丿.(11.54)

Поскольку решение (11.54) принадлежит непрерывному спектру, коэффициент С/ может быть найден из нормировки на 6-функцию

j 产Ri (kr) Q (月广)" =6 (左一公).(11.55)

о

Отсюда, принимая во внимание, что

\ sin [kr -学)sin (尼夕一导)dr = о OOoo

=У cos (尼一狂)广dr — ^(― 1)" \ cos (k + kf)rdr — ^b(k — »), о0

мы найдем

& =瓦(11.56)

Поэтому нормированное радиальное решение для случая свободного движения для достаточно больших значений г принимает вид

Зная решение для свободного движения, мы сможем найти также асимптотическое решение для других короткодействующих сил при условии, что V(r) при г-> 0 возрастает слабее, чем г~2, а при г f 8 убывает, наоборот, сильнее, чем г~? (например, по экспоненциальному закону).

Зависимость асимптотического выражения от синуса при наличии короткодействующей силы мы можем написать сравнительно просто, а именно, отбрасывая при г-> оо в (11.53) члены, пропорциональные V(г) и ~мы имеем )

= ——Г一~ • (11 ・58)

Единственной неопределенной величиной является фаза б/, которая должна быть пропорциональна короткодействующему потенциалу V, так как при V = 0 она обращается в нуль (свободное движение).

Наша задача заключается в том, чтобы найти 6/ пока что в линейном приближении по К

Для этого мы умножим уравнение (11.39) на 〃', а уравнение (11.53) на 〃，и вычтем одно уравнение из другого. Тогда будем иметь

备(优案-芻(1L59)

Интегрируя последнее выражение от 0 до достаточно больших значений г, мы имеем право в левую часть (11.59), зависящую после подстановки пределов только от конечного значения г, подставить асимптотические решения (11.57) и (11.58), После простых преобразований мы найдем

sin * = —^^，dr.о

Верхний предел интегрирования в правой части для короткодействующего потенциала мы имеем право распространить до бесконечности, и при малых значениях & 〜sin 6/ ограничиться лишь линейными членами относительно V. В правой части последнего равенства в функции 〃‘ мы вообще можем пренебречь Р, т. е. положить 〃‘ = и. Тогда, подставляя в правую часть равенства выражение (11.41) и полагая Ci = k (см.

(11.56)), получаем

М = 一 甯 \ VrJi^2 优广)dr.(11.60)

о

Формулы (11.58) и (11.60) и определяют асимптотическое поведение радиальной части волновой функции при малых значениях & (6/ <С 1).

§ 12. ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА(ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА)

Исследование движения одного электрона в кулоновском поле ядра (водородоподобный атом) с помощью квантовой механики открывает путь к изучению структуры атома вообще.

Эта теория представляет собой в математическом отношении квантовое обобщение классической теории движения планеты вокруг Солнца (проблема Кеплера). Она интересна еще и в методическом отношении, так как наряду с задачей о гармоническом осцилляторе и ротаторе допускает точное решение.

а) Радиальное уравнение. Энергия взаимодействия электрона с ядром равна

展一学

где г ——расстояние между ними, Z — порядковый номер атома (для водорода Z = 1, для гелия Z = 2 и т. д.), а заряд электрона и заряд ядра равны соответственно ——ео н Zeo.

Во многих задачах ядро в атоме можно считать покоящимся ), и естественно поместить туда начало координат. Тогда угловую часть У? волновой функции 屮 можно считать известной (см. (10.67)), а для нахождения уровней энергии и радиальной части R⑺ воспользоваться уравнением (10.21), которое в нашем случае принимает вид

喰+争(e +草一空护)…(12.2)

Введем эффективную потенциальную энергию электрона

^эфф =^эфф =Z"I 科(/+1)"7* 2zno戸~Z"I 科(/+1)"7* 2zno戸~(12.3)(12.3)

^эфф =

^эфф =

Z"I 科(/+1)

"7* 2zno戸~

Z"I 科(/+1)

"7* 2zno戸~

(12.3)

(12.3)

первый член которой обусловлен кулоновским взаимодействием, а второй — центробежными силами.

Попытаемся дать интерпретацию выражения (12.3) с точки зрения классической теории. Будем исходить из классического соотношения (см. также (10.70))

Учитывая, далее, что для центральных сил р^ = const, можем написать:

%фф%фф「 十2加（）产•「 十2加（）产•

%фф

%фф

「 十2加（）产•

「 十2加（）产•

盡（｝力y盡（｝力yДля того чтобы обобщить это выра кение на квантовый случай, следует вместо Рф подставить его квантовое значение Рф = А2/ (/ + 1). Точно так же

盡（｝力y

盡（｝力y

можно согласно классическойможно согласно классическойв формуле (12.2) выражение

можно согласно классической

можно согласно классической

Рг теории трактовать как 2m .

Графически Узфф представлена на рис. 12.1. Из этого графика, в частности, следует, что если полная энергия электрона отрицательна £ < 0, то его движение будет происходить в области, ограниченной с обеих сторон потенциальными барьерами (классический аналог — эллиптические орбиты), благодаря чему энергетический спектр должен иметь дискретный характер.

При Е > 0 барьер справа (г-> оо) будет отсутствовать, и положение электрона перестает быть ограниченным со стороны больших 广(классический аналог — гиперболические орбиты).

Так как в атоме положение электрона должно быть ограничено некоторым значением гмаКс (эллиптические орбиты), то при построении теории атома следует считать Е < 0. Тогда уравнение (12.2) принимает вид

礬卄+(Т +吟屮)R =。，(124)

где

■^^• = 8>0 и -^-=Д >0.(12.5)

Вводя новую переменную

(12.6)(12.6)р==2 V4 г,

(12.6)

(12.6)

получаем уравнение

*鳥一〜}…*鳥一〜}…(12.7)(12.7)R" + 2r‘ +

*鳥一〜}…

*鳥一〜}…

(12.7)

(12.7)

где R‘ = (dR/dp).

Исходя из графика для Уэфф, можно судить об общем характере решения. Ясно, что внутри ямы 「мнн V 厂 V「макс оно будет иметь колебательный характер, а вне ее (г->0 и г-> оо)

Рис. 12.1. График зависимости эффективной потенциальной энергии (сплошная кривая) от расстояния (см. формулу (12.3)). Штрихпунктирной кривой показан ход волновой функции.Рис. 12.1. График зависимости эффективной потенциальной энергии (сплошная кривая) от расстояния (см. формулу (12.3)). Штрихпунктирной кривой показан ход волновой функции.

Рис. 12.1. График зависимости эффективной потенциальной энергии (сплошная кривая) от расстояния (см. формулу (12.3)). Штрихпунктирной кривой показан ход волновой функции.

Рис. 12.1. График зависимости эффективной потенциальной энергии (сплошная кривая) от расстояния (см. формулу (12.3)). Штрихпунктирной кривой показан ход волновой функции.

возникнут как неограниченно возрастающие, так и убывающие решения. Необходимо подобрать такие условия, которые позволят исключить неограниченно возрастающие решения. Это требование, так же как и в задаче гармонического осциллятора, должно привести к нахождению дискретных уровней энергии электрона.

Поскольку яма не обладает симметрией, асимптотические решения будем искать по отдельности, как при р —> 0, так и при р -> ОО.

Асимптотическое решение при р -> оо можно найти согласно (12.7) из уравнения

RJLRg = 0,(12.8)

т. е.

小=“-%Р +e2/吗(12.9)

Чтобы исключить экспоненциально возрастающее решение, следует положить Сг=0. Коэффициент же Ci может быть вклю-

чен в общий нормировочный множитель волновой функции, и поэтому его можно приравнять единице. Тогда

小=i.(12.10)

Для определения асимптотического решения при р -> 0 на основании (12.7) будем иметь уравнение )

RX +专凡一岭Р& = 0,(12.11)

откуда, полагая &()=「，, находим: q(q + 1) — / (/ + 1) = 0, т. е. 91 =，％ = 一 U + 1)・ Следовательно,

Ro = C" + C2p-—・(12.12)

Полагая Сг = 0 (при этом неограниченно возрастающее решение при р = 0 исключается), a Ci = 1, получаем

Ro = p'・(12 •⑶

Общее решение уравнения (12.7), которое можно также записать в виде

喏+ T —=(12.7а)

dp? (4 р УДр2 J

выберем в форме

П = /<А〃・(12/4)

В этом случае

pR = p/+le"W — vu,и для определения неизвестной функции и получаем уравнение

〃"+ 2〃h《；4彳产 $ 〃 = 0. (12.76)

V I и 4 р УЛ р2 J

Замечая, что

In v = —-~р + (/ + 1)1пр, находим .

•^=(1пи)，=-Н 耳工 Т. е. o/=(-y + -£^-L) Далее имеем

“ + D“ + Dчленачленаи =—(一万+ 力

“ + D

“ + D

члена

члена

а

卄 1/ + 1 丄 / (/ + 1)

Пользуясь найденными формулами, преобразуем

к виду

р〃〃 + [2(/+1) — р]〃' +

(12.76)

(12.15)

б) Круговые орбиты. Разберем вначале частный случай, когда коэффициент перед функцией и в уравнении (12.15) обращается в нуль:

1=0,(12.16)

у А

и поэтому уравнение имеет _решение “ = const = С. Отсюда следует, что отношение B/V^ равно целому положительному числу n = 1, 2, 3,.・・:

= п = / + 1 = 1, 2, 3,・..,

(12.17)

которое носит название главного квантового числа. Решая последнее уравнение (12.17) с помощью определения (12.5), находим спектр энергии водородоподобного атома

_Z2^m0 _R 力 Z2

Еп=2 力％2 = k，

(12.18)

где постоянная Ридберга

D 一兩。

2方з •

Радиальная функция (12.14) при условии (12.16) имеет осо-

бенно простой вид

R” = Cpb-%。,

(12.19)

где С — нормировочная константа. Для ее определения необходимо вычислить интеграл

$ 产R%d「=l, о

(12.20)

который в силу условия нормировки должен равняться единице. Величина

。⑺=「2R2()

(12.21)

стоящая под знаком интеграла (12.20), характеризует распределение плотности вероятности по радиусу. Принимая во внима-

ние вид функции (12.19) и соотношения ( .6), [12.17), для плотности Ь(г) найдем следующее значение:

D (г) = const р2〃е~р.D (г) = const р2〃е~р.(12.22)(12.22)

D (г) = const р2〃е~р.

D (г) = const р2〃е~р.

(12.22)

(12.22)

Эта функция имеет только один максимум (рлс. 12.2), и поэтому условие (12.16) соответствует движению по круговым ор-

Рис. 12.2. Распределение радиальной плотности вероятности в случае круговых орбит.Рис. 12.2. Распределение радиальной плотности вероятности в случае круговых орбит.

Рис. 12.2. Распределение радиальной плотности вероятности в случае круговых орбит.

Рис. 12.2. Распределение радиальной плотности вероятности в случае круговых орбит.

битам. Определяя то значение г, при котором функция D(r) до стигает максимального значения

находим рп = 2п, т. е. радиусы круговых орбит равны

=个询・(12・23)

Здесь величина

а。= ~ о 々 0,5 • 10"8 см(12.24)

является радиусом первой боровской орбиты. Она соответствует наинизшему, т. е. основному состоянию атома водорода (Z = 1) при п = 1. С учетом значения боровского радиуса а。 связь (12.6) г и р можно записать теперь в виде г = na^/2Z. Тогда, вычисляя нормировочный интеграл (12.20) для функции (12.19) с помощью соотношения

\ р2%-。dp = (2矶 о

получим нормировочный коэффициент

/ -8Z5~

V 〃з*(2/г)Г

Таким образом, радиальная функция Rni в случае круговых орбит оказывается равной

R …=д/壽F(嘗Г'-尙(12-2б)

Отсюда, в частности, для основного состояния п = 1 (/=и—1=0> /п = 0), когда угловая часть Y^ волновой функции ^nlm = Rn^ представляет собой константу У&=1/“4冗，получим

5оо = а°У； = % (3)3-警•(12.27}

Заметим, однако, что состояние грюо не имеет классического аналога.

в) Эллиптические орбиты. Найдем теперь радиальную функцию (12.14) в случае, когда коэффициент перед и в уравнении (12.15) отличен от нуля: 3/“4 — / — 1 =/= 0. Как будет видно из дальнейшего, этот случай в классическом приближении соответствует движению по эллиптическим орбитам. Заметим, что уравнение (12.15) является частным случаем дифференциального уравнения с произвольными комплексными параметрами а и В

x^- + ^^x^^aF = ^(12.28)

где переменная % может быть также комплексной. Уравнению (12.28) удовлетворяет вырожденная гипергеометрическая функция F = Ф(а, Р, х))

①(％ р,%)=1 + т备+善+ ...(12.29)

Как видно, эта функция принимает конечное значение в нуле % = 0, т. е.①(а, р, 0) = 1. При |х| -> оо функция Ф имеет асимптотический вид )

①(а, ₽, ”)二 f，а)(_%)-а[1 +£(В —а — 1) + • • +

++包二"Qi) + ・・・]‘ (12.30)

где Г (а)——гамма-функция, а выражения в квадратных скобках представляют собой асимптотические ряды по обратным степеням х.

Из (12.6) следует, что и — СФ(а, Р，р), причем параметры а и 0 имеют следующие значения:

а=1 十/一与，В = 2«+ 1),

а С — произвольная постоянная.

R = cep@{ — (房R = cep@{ — (房—1), 2(/+ 1), р}・(12.31)—1), 2(/+ 1), р}・(12.31)Таким образом, радиальная функция (12.14) становится равной

R = cep@{ — (房

R = cep@{ — (房

—1), 2(/+ 1), р}・(12.31)

—1), 2(/+ 1), р}・(12.31)

Асимптотическое поведение гипергеометрической функции (12.30) показывает, что она возрастает при р-> оо как *. Поэтому, для того чтобы обеспечить условие конечности радиальной функции J12.31), следует положить параметр а = =1 + / — В/^А равным целому отрицательному числу, включая нуль, а =——Иг = 0, —1, —2, .... При этом условии гамма- функция Г(—пг) обращается в бесконечность, и экспоненциально возрастающая ветвь в (12.30) исчезает. Отсюда для определения энергии, связанной с величинами Л и В соотношениями (12.5), получим уравнение

■^=г = 〃г + / + 1 =儿■^=г = 〃г + / + 1 =儿(12.32)(12.32)

■^=г = 〃г + / + 1 =儿

■^=г = 〃г + / + 1 =儿

(12.32)

(12.32)

Здесь квантовое число п, на единицу большее суммы орбиталь- ного

/ = 0, 1, 2, 3, •・・

и радиального

% = 0, 1, 2, 3, ...(12.33)

квантовых чисел, получило название главного квантового числа п. Оно, так же как и в случае круговых орбит (12.17), может принимать значения

п— 1, 2, 3,・・・(12.33а)

При условии а = —nr гипергеометрический ряд (12.29) обрывается и становится полиномом степени пг

①(一№ 2/+ 2, Р)= Д2^т^(12.34)

Здесь Q^+Yp) обозначает так называемый обобщенный полином Лагерра, имеющий вид

Q；(p) = £(—l「pi 八伍二威工一沙，(12.35) /=0

где s = 2/ + 1, к == пг. Полином (12.35) может быть представлен в замкнутой форме

〃 =QKP)=内要 £『)・(12.36)

dp

Примечание. Покажем, что функция “，записанная в замкнутой форме (12.36), действительно удовлетворяет уравнению (12.15). В самом деле, функция u = e—°p*+s подчиняется уравнению ри'+ (р ——к — s)u = 0, в чем нетрудно убедиться, взяв от и первую производную по р. Дифференцируя это уравнение (&+1) раз по правилу Лейбница, легко приведем его к виду

ри("+2)+ (р — s + 1) Jk+D + (л + 1) и的=0.

Отсюда, вводя новую функцию w = vh^ep^st получаем для нее уравнение

р" + (s + 1 — р) " + &5 = 0,

совпадающее с уравнением (12.15) для функции и (так как (В/УТ) — / — —1 = &). Поскольку при этом легко показать, что коэффициент при старшем члене р* функции

⑷=舛7 金(e-PpK+s)

будет совпадать с соответствующим коэффициентом равенства (12.35), мы тем самым доказываем справедливость соотношения (12.36).

Таким образом, для радиальной функции Rm (г) окончательно имеем

&山(Р)= C/-%PpQ什3(Р)，(12.37)

где р = -^- и Ло — боровский радиус (12.24).

Полученное решение (12.37) при / < п——1 (пг =/= 0) описывает эллиптическое движение. При анализе этого движения в квантовом случае мы должны исследовать распределение плотности вероятности по радиусу

2Zr

£)(г) = const r2Z+2e 曲。(Q狀L J? = const p^+2e-p (Q壯乙【尸.

Нетрудно показать, что функция D (г) имеет при р = 0, р= оо и Q把L] = 0 (п — I — 1=пг корней) Пг + 2 минимумов, когда она обращается в нуль, и пг + 1 максимумов, которые могут быть найдены из уравнения dD/dr = 0. Область изменения радиуса (% < г < /*2), в которой функция D(r) описывает колебательный процесс, соответствует в классическом приближении эллиптической орбите, когда расстояние частицы до центра также изменяется в этих пределах.

Наконец, вычисляя коэффициент Cnt из условия нормировки j 产R%dr = ' D⑺dr=l,(12.38)

получаем

以? =(為)% V九(九一2告)!r+力，U2.39)

т・е.

/d Ji)「(E「(筹丫 ekQ壯3 爲)•

(12.40)

Примечание. Вычисление коэффициента Cni проводится следующим образом.

Подставляя в условие нормировки (12.38) вместо Rni его выражение

и заменяя г на ~^- р, получаем (〃，= &)

端⑶3 宀"Q沖dp =о

Представим теперь один из полиномов Q%+， в виде ряда (12.35), оставив для другого замкнутую форму (12.36). Тогда условие нормировки, записанное выше/ примет вид

唸(^Т)3 $ ^^к {p^^z+Dp^^ ...}^(^+^1) dp = L о

Отсюда, пользуясь теоремой о перебросе производной (см. (6.14)), найдем 或/ (診У j「叫仇 + IN p2'+"+2 — 枷⑵ + « + 1) p2/+"+i] dp 1.

0

Легко видеть, что остальные члены ряда для функции Q^ дают нуль, так как от них берутся производные более высокого порядка, чем соответствующий показатель степени р.

Используя далее известный интеграл \ e-°p$dp = s!, легко находим для о

гдегдеCni выражение (12.39)*). Аналогичным способом можно определить также

где

где

средние значения〈厂-"〉(v = 1, 2, 3, 4), которые нам понадобятся в дальней» шем:

〈厂”〉=(^nlmr~^nlm d% = j 胃“一计？ dr.

о

На основании приведенных выше формул последнее выражение можно представить в виде

〈广”吟(體 У (體)f \ pf+I(—1)屮К-«(«+2/+1)р1+ ... о

2cdM2宀+1)! 2 .к(21+к + \)\

I "21⑵+ 3)!P十I и ⑵+2)! P十

+1尸您詔产}看

Полагая в этом выражении соответственно v = 1, 2, 3 и 4 и вновь прибегая к теореме о перебросе производной, после несложных выкладок нахо* дим

〈—〉=(*)%，L〉=段丫^^，

L〉= £(*) (/-%)/%+^W])(2 + 3/2)・

Здесь при вычислении (г-1) мы должны оставить в полиноме Q^ лишь старший член р± При вычислении же {г^, наоборот, — один последний р°, для (г~3) — два последних и т. д. Выражения для (г~3) и (г~4) получены в предположении /，0. Для s-состояний (/ — 0), как правило, вместо взаимодействий, пропорциональных подобным членам, появляется контактное взаимодействие (см. ниже § 20).

Спектр энергии водородоподобного атома легко может быть найден из формул (12.32) и (12.5)

z2若z2若RRZ?〃2RRZ?〃2(12.41)(12.41)

z2若

z2若

RRZ?

〃2

RRZ?

〃2

(12.41)

(12.41)

Заметим, что это выражение для энергии полностью совпадает с соответствующим выражением (12.18), полученным в случае круговых орбит, когда главное квантовое число принималось равным /г = / + 1, а радиальное число пг == 0. В общем случае эллиптических орбит выражение для энергии (12.41) также зависит лишь от одного главного квантового числа /г = =I + пг + 1, т. е. от суммы орбитального / и радиального пг

квантовых чисел, и не зависит от магнитного квантового числа т. В то же самое время волновая функция ^ntm == RniY^ зависит от всех трех квантовых чисел nt I и т по отдельности. Следовательно, уровни энергии, согласно волновой теории Шредингера, оказываются вырожденными. Поскольку т изменяется в пределах от ——/ до +/, принимая 2/ + 1 значение, то полная кратность вырождения с учетом изменения / от 0 до п——1 будет равна

£⑵+ 1)=/.

Как мы видели в § 11, вырождение по т характерно для любого центрального силового поля и связано с равноправностью всевозможных направлений, проходящих через начало координат.

Вырождение же по орбитальному квантовому числу / имеет место в теории Шредингера только в случае чисто кулоновского взаимодействия. В других же центрально-симметричных системах вырождение по / отсутствует, т. е. уровень энергии с заданным значением п расщепляется на п подуровней, отвечающих различным I ). Если же система находится еще и в некотором внешнем поле (например, в магнитном), снимающем центральную симметрию, то исчезает вырождение и по т, т. е. энергетический уровень будет состоять в этом случае из п2 различных подуровней.

а) Исследование вырождения мо / для кулоновского поля, С точки зрения формального математического аппарата вырождение по / связано с наличием в случае кулоновского поля еще одного оператора е, мы назовем его вектором эксцентриситета, который является интегралом движения и который не коммутирует с оператором L2.

В классическом приближении этот вектор имеет вид

g = gi + g2, (12.42) где

加=#42矶 吻=上，l=[咽・ (12.43)

Принимая во внимание, что в классическом случае

£ = 0,

P = "2()0 =

г3 f

(12.44)

получаем

=

亿円

(12.45)

Ze衿）

Точно так же

d&2 ___

rr2 — r (rr)—

(12.45а)

dt

г3

"7>"3 •

Отсюда находим закон сохранения для вектора эксцентриситета

de 一陷 dt — dt

I de? 八 + k = °・

Для венствоДля венствовыяснения физического смысла вектора е умножим ра-

Для венство

Для венство

скалярно на вектор г и, учитывая (12.43), бу-

дем иметь

Отсюда находимОтсюда находим(re)= 一(re)= 一Ze麺оZe麺о厶2厶2

Отсюда находим

Отсюда находим

(re)= 一

(re)= 一

Ze麺о

Ze麺о

厶2

厶2

(12.46)(12.46)Zm()*

(12.46)

(12.46)

I — I £ I COS (p

2L2£2L2££2=1£2=1881 + Z2^m0 *1 + Z2^m0 *2UE^Х72UE^Х72Z?e 版 о2Z?e 版 от. e. модуль вектора |e| s 8 играет роль эксцентриситета, а сам вектор направлен от фокуса по большой оси к наиболее удаленной точке эллиптической траектории. Абсолютную величину эксцентриситета нетрудно найти, возводя равенство (12.42) в квадрат:

2L2£

2L2£

£2=1

£2=1

8

8

1 + Z2^m0 *

1 + Z2^m0 *

2UE

^Х7

2UE

^Х7

2

Z?e 版 о

2

Z?e 版 о

ИЛИ

(12.47)

т. е. при Е < 0 мы будем иметь эллиптические орбиты (eV 1), при Е > 0 — гиперболические (8 > 1), а при Е = 0 — параболические (8 = 1).

Квантовое обобщение вектора эксцентриситета е мы выберем в виде оператора

et + G,(12.48)

где

5 = (Ер] — [pL]), £2 =工・(12.49)

Покажем, что в кулоновском поле, когда гамильтониан имеет

видвидр22/Иор22/Ио(12.50)(12.50)

вид

вид

р2

2/Ио

р2

2/Ио

(12.50)

(12.50)

оператор вектора эксцентриситета е сохраняется.

В самом деле, учитывая изменение квантовых величин

■^ = ^(HL-LH) = 0,

令= ^(Нр-рН) = ^(р手一手р) = _簪，(12.51) для которых имеют место по существу классические законы (см. (12.44)), мы найдем

Раскрывая последнее выражение, получаем

ЧГ^-^^Р-^-^-Т^У(12・52)

Точно так же находим

"> = %(H 千一％h)=*(迄聶)，(12.53) ИЛИ

器= + (；p-京叩)-今£)，(12。54)

Из (12.52) и (12.54) следует квантовый закон сохранения для оператора е:

* = 0・(12.55)

Однако оператор эксцентриситета не коммутирует с квадратом орбитального момента. Действительно, взяв проекцию этого оператора на ось г

% = 2 Ze2m(L*Py — Lgp% — p%Ly + p?L%) + 二，(12.56) нетрудно получить следующие правила коммутации:

Lх8n - £丄% = 7%,(12.57)

L?% — £丄^ = 一 ^ &%,(12.58)

Lz% 一 £，2 = 0.(12.59)

ё2=1+赤（U +仍h，ё2=1+赤（U +仍h，(12.61)(12.61)ееZ吋附Z吋附([LP] 一 访p) + f ・([LP] 一 访p) + f ・

ё2=1+赤（U +仍h，

ё2=1+赤（U +仍h，

(12.61)

(12.61)

е

е

Z吋附

Z吋附

([LP] 一 访p) + f ・

([LP] 一 访p) + f ・

Отсюда, в частности, следует, что оператор e2, хотя и коммутирует с гамильтонианом Н и проекцией момента L2, но он не коммутирует с оператором L2:

L4 一 $2 = — 毕([&L]z + / %) , (12.60)

что автоматически ведет к вырождению по 厶 являющемуся специфической особенностью лишь для кулоновского поля, поскольку для других центральных сил мы не можем ввести сохраняющийся оператор 8.

Заметим, что проблему Кеплера наряду со сферическими координатами, когда сохраняются операторы Н, L2, L (квантовые числа п, /, т), мы можем решать также в параболических координатах, когда сохраняются операторы Н, &z, Lz (квантовые числа и,儿 т) (см. § 13, п. а)).

Физически это означает, что при одной и той же энергии возможны различные орбиты, отличающиеся друг от друга различными значениями эксцентриситета е.

Для определения эксцентриситета возведем равенство (12.48) в квадрат.

Тогда мы будем иметь )

где Н — гамильтониан системы (см. (12.50)).

Учитывая, что для водородоподобного атома собственные значения операторов Н и L2 соответственно равны

9=视(/+ 1),(12.62)

мы найдем

£="1 一丄彳十二(12.63)

Отсюда видно, что эксцентриситет достигает минимального значения при I = п — 1

Анн = 7~2~"(12.64)

и при классическом сопоставлении соответствует круговым орбитам. В частности, при /г = 1 (наинизшее энергетическое состояние) эксцентриситет 8 обращается в нуль(8 = 0). Посколь-

ку в этом случае орбитальный магнитный момент не имеет преимущественного направления (заметим, что в s-состоянии / = m = 0), поэтому мы по существу будем иметь равновероятное пребывание электрона на сфере. Для всех других состояний (〃 =2, 3, 4, ...) минимальное значение для s будет отлично от нуля при / =/г——1 = 1, 2, 3, ... В этом случае мы будем иметь преимущественную ориентацию орбиты внутри некоторого телесного угла, характеризуемого квантовым числом /п.

Правила отбора. Спектр излучения водородоподобных атомов. Чтобы определить правила отбора в проблеме Кеплера, необходимо вычислить матричные элементы

〈"Пт/ 卜|nZm) = \ ^Vm^nlmcP%.(12.65)

Подставляя сюда ^nlm= ^^nP получаем

^lfm,\r\nln^=^ dQ (У 歹)子 У『j 此，"次” 〃• (12.66) о

Интегрирование по углам 2 н 屮 дает, как известно (см. (11.24)— (11.26)), правила отбора для орбитального квантового числа А/ = /— Г=±1 и магнитного квантового числа Ат=/几一m'= =0, ±1, пользуясь которыми, вместо (12.66) будем иметь

{п'Гпг' I г I nlni) = const f Ifir, /±i [Rn\ i±\r3Rni dr. (12.67) (0生m±l)

Однако если вычислить интеграл (к = 〃г)

\「3R小,Rm “〜\「3+2』\「3R小,Rm “〜\「3+2』оооо(12.68)(12.68)

\「3R小,Rm “〜\「3+2』

\「3R小,Rm “〜\「3+2』

о

о

о

о

(12.68)

(12.68)

то легко показать, что он не обращается в нуль ни при каких значениях 〃', т. е. для всех разрешенных переходов главное квантовое число может изменяться произвольно.

В общем случае этот интеграл выражается через гипергеометрические функции (см., например, Бете Г. Квантовая механика простейших систем.— Л. — М.: ОНТИ, 1935, с. 230). В частности, при переходе электрона на наи- низший энергетический уровень 1s (серия Лаймана) легко показать, что

r^RioRni dr оr^RioRni dr о28〃 s - 1严一5 =(/l + 1 严+5—28〃 s - 1严一5 =(/l + 1 严+5—Q（）・Q（）・(12.69)(12.69)

r^RioRni dr о

r^RioRni dr о

28〃 s - 1严一5 =(/l + 1 严+5—

28〃 s - 1严一5 =(/l + 1 严+5—

Q（）・

Q（）・

(12.69)

(12.69)

Отсюда видно, что при любых возможных значениях /г = 2, 3, 4, ... этот интеграл отличен от нуля.

Принимая во внимание правила отбора водородоподобного атома, перейдем к исследованию его спектра излучения. Для этого введем некоторые условные символы для обозначения энергетических уровней в атоме. Прежде всего спектральные

E豳 14 屬圮

73

12 〃' /О

9

S

7

6

6

4

О

nHodEN3lf6IED9mg geqgL《nnhDBnxon UDntguJW

倒=劎仰丿吟

《2sH2Pz

、Qs)=R

Рис. 12.3・ Спектральные серии атома водорода. Длины волн, соответствующие указаннымпереходам, выражены в ангстремах.

термы атомов (—七加/%), зависящие в общем случае не только от п, но и от 厶 будем обозначать через (п/), т. е.

(一粤)=(喲，(12.70)

где n = I, 2, 3, ..., а для /, как уже указывалось в § 11, приняты буквенные обозначения: s, р, d、储 g、 h、….、соответствующие /=0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Поскольку квантовые числа / W /г ——1, то могут быть только термы Is； 2s, 2р; 3s, Зр, 3d; 4s, 4р, 4d, 4f; 5s, 5p, 5d, 5f, 5g, ... и т. д., но не может быть, например, терма 1р, поскольку здесь и = 1 и / = 1, или не может быть терма 3f, так как при этом /г = / = 3 и т. д. Частота излучения в обозначениях (山)принимает вид

Еп — Е

<W =g=(〃"‘)一(几/),(12.71)

для орби-еще пред-(12.72)для орби-еще пред-(12.72)(12.73)(12.73)唸= RZ2（靑一£）•唸= RZ2（靑一£）•(12.74)(12.74)Отсюда видно, что в случае атома водорода (Z= 1) для серии Лаймана, соответствующей переходу на наинизший энергетический уровень 〃'= 1, т. е. на уровень 1s, имеем (рис. 12.3)Отсюда видно, что в случае атома водорода (Z= 1) для серии Лаймана, соответствующей переходу на наинизший энергетический уровень 〃'= 1, т. е. на уровень 1s, имеем (рис. 12.3)饴饴Рис. 12.4. Спектральная серия Бальмера. Длины волн, соответствующие видимым линиям %, Яр, % и %，приведены в ангстремах (А); ”8 дает теоретическое положение границы серии.Рис. 12.4. Спектральная серия Бальмера. Длины волн, соответствующие видимым линиям %, Яр, % и %，приведены в ангстремах (А); ”8 дает теоретическое положение границы серии.ЗЛа^м ==(1s) — (пр) = R (% —青｝(12.75)ЗЛа^м ==(1s) — (пр) = R (% —青｝(12.75)ней 〃 > 2, имеем три типаней 〃 > 2, имеем три типагде п = 2, 3, 4,...Для серии Бальмера (рйс. 12.4), соответствующей переходу на уровень 〃' = 2 c уров-где п = 2, 3, 4,...Для серии Бальмера (рйс. 12.4), соответствующей переходу на уровень 〃' = 2 c уров-возможных частот *):возможных частот *):咻 альм =(29-(叩),咻 альм =(29-(叩),哈…=(2p)-侬),<：льМ =(2р)-(^).哈…=(2p)-侬),<：льМ =(2р)-(^).(12.76)(12.76)*) Для вероятности дипольного перехода npfls согласно (9.95) имеем*) Для вероятности дипольного перехода npfls согласно (9.95) имеем4i修)4i修)m0。2 28 /г(九一1 严一22 方 Т 5+1 产+2m0。2 28 /г(九一1 严一22 方 Т 5+1 产+2т. е. время жизни для атома водорода (Z = 1) в состоянии 2P равно т = —г— а 1,5 • 10一％•т. е. время жизни для атома водорода (Z = 1) в состоянии 2P равно т = —г— а 1,5 • 10一％•

для орби-

еще пред-

(12.72)

для орби-

еще пред-

(12.72)

(12.73)

(12.73)

唸= RZ2（靑一£）•

唸= RZ2（靑一£）•

(12.74)

(12.74)

Отсюда видно, что в случае атома водорода (Z= 1) для серии Лаймана, соответствующей переходу на наинизший энергетический уровень 〃'= 1, т. е. на уровень 1s, имеем (рис. 12.3)

Отсюда видно, что в случае атома водорода (Z= 1) для серии Лаймана, соответствующей переходу на наинизший энергетический уровень 〃'= 1, т. е. на уровень 1s, имеем (рис. 12.3)

饴

饴

Рис. 12.4. Спектральная серия Бальмера. Длины волн, соответствующие видимым линиям %, Яр, % и %，приведены в ангстремах (А); ”8 дает теоретическое положение границы серии.

Рис. 12.4. Спектральная серия Бальмера. Длины волн, соответствующие видимым линиям %, Яр, % и %，приведены в ангстремах (А); ”8 дает теоретическое положение границы серии.

ЗЛа^м =

=(1s) — (пр) = R (% —青｝

(12.75)

ЗЛа^м =

=(1s) — (пр) = R (% —青｝

(12.75)

ней 〃 > 2, имеем три типа

ней 〃 > 2, имеем три типа

где п = 2, 3, 4,...

Для серии Бальмера (рйс. 12.4), соответствующей переходу на уровень 〃' = 2 c уров-

где п = 2, 3, 4,...

Для серии Бальмера (рйс. 12.4), соответствующей переходу на уровень 〃' = 2 c уров-

возможных частот *):

возможных частот *):

咻 альм =(29-(叩),

咻 альм =(29-(叩),

哈…=(2p)-侬),<：льМ =(2р)-(^).

哈…=(2p)-侬),<：льМ =(2р)-(^).

(12.76)

(12.76)

*) Для вероятности дипольного перехода npfls согласно (9.95) имеем

*) Для вероятности дипольного перехода npfls согласно (9.95) имеем

4i修)

4i修)

m0。2 28 /г(九一1 严一22 方 Т 5+1 产+2

m0。2 28 /г(九一1 严一22 方 Т 5+1 产+2

т. е. время жизни для атома водорода (Z = 1) в состоянии 2P равно т = —г— а 1,5 • 10一％•

т. е. время жизни для атома водорода (Z = 1) в состоянии 2P равно т = —г— а 1,5 • 10一％•

причем здесь необходимо учитывать правила отбора тального квантового числа /: /, = / ± 1.

Пользуясь выражением (12.41), терм (nZ) можно ставить в форме

々W Z? RZ2

где постоянная Ридберга

Для частоты излучения ®〃球 при этом получаем формулу

Так как для атома водорода по орбитальному квантовому числу имеет место вырождение, то эти три линии сольются в одну:

ЗВальм = R (扌一％) •

Аналогичная картина получается и для серии Пашена:

<°паш = R (击—5),

где п = 4, 5, 6,...

Схема энергетических уровней в атоме водорода (с учетом как дискретных уровней, так и непрерывного спектра) представлена на рис. 12.3. На этой схеме наглядно демонстрируется вырождение по /, проявляющееся в слиянии всех уровней с одинаковым п в один.

Помимо обычных переходов, между дискретными уровнями в атоме возможны по существу еще два обратных друг другу процесса, а именно процессы ионизации и захвата. При ионизации электрон переходит с дискретного уровня (Е V 0), например, из низшего состояния, в область положительных энергий (Е > 0), образующих непрерывный спектр (гиперболические орбиты). Этот процесс происходит с поглощением энергии.

Наоборот, при захвате свободный электрон переходит на один из возможных дискретных уровней, выделяя при этом соответствующую энергию. Для того чтобы перевести электрон из низшего энергетического состояния (九=1) в область Е > 0, необходимо затратить энергию (рис. 12.3)

^ = T-Ex = Rh + T,

где Г = -^кинетическая энергия электрона, практически не связанного с ядром. Энергия Е”。11 определяет так называемую энергию ионизации атома. Своего минимального значения энергия ионизации достигает при 7 = 0, что соответствует переводу электрона с уровня 孔=1 в состояние непрерывного спектра с минимальной энергией (Е = 0), когда электрон может покинуть атом. Для атома водорода

Е^ =13,5 эВ.

Учет движения ядра. До сих пор все наши расчеты про* изводились без учета движения ядра. Поэтому построенная выше теория водородоподобного атома будет строгой лишь в случае, когда масса ядра бесконечно большая, что, вообще говоря, в особенности для легких элементов (например, для водорода и гелия) можно принять лишь в первом приближении.

8 А. А. Соколов и др.

Учет движения ядра привел к объяснению ряда экспериментальных фактов.

С учетом движения ядра оператор Гамильтона системы двух тел — ядра и электрона ——записывается в виде

нТр什击 PigF),(12.77)

где mo и М являются соответственно массами электрона и ядра, a ri и ?2 ——их координатами. Энергия взаимодействия электрона с ядром У(|?1 — ?2丨)зависит от относительного радиус-вектора

Введем вектор центра масс системы

р_ ш0Г1 + Мг2 式+ m

и перейдем от переменных 片,q, pi =——i九Vi, p2 =——/%% к новым координатам у, R и импульсам р =——应卡「，р& м・=——访Vr・ Для этого необходимо воспользоваться известным правилом дифференцирования сложной функции, например

dxi * дх\ 1 дх\

и т. д. В новых координатах уравнение Шредингера теперь примет вид

(^Р2+2(^^(1278)

где приведенная масса определяется равенством

"%р m0 M *

т. e.

恤ip= m；〃s 4恤(1 лг) •(12.79)

Волновая функция 屮，удовлетворяющая уравнению (12.78), может быть записана в виде произведения 3=2(r)2(R), где $(R) описывает свободное движение центра масс

屮(R) = const е 加 u・ м.к/匕

Предполагая, что центр масс покоится, т. е. соответствующий импульс рц. м. = 0, для функции, описывающей относительное движение 屮⑺，находим уравнение

(為 + и G-Е)屮 6 = 8(12.80)

Это уравнение отличается от соответствующего уравнения для атома водорода тем, что вместо массы покоя электрона т^ следует взять приведенную массу 团叩.

Поэтому для спектральных уровней мы получим то же самое выражение, что и для покоящегося ядра с заменой постоянной

Ридберга /? = /?оо = • -^- для бесконечной массы ядра (М -> оо) постоянной Ридберга, соответствующей конечной массе ядра М,

Rm = *^QR8(1 -贵)-(12.81)

В этом случае несколько изменяются и значения для термов:

（心祭（1一*.（心祭（1一*.(12.82)(12.82)

（心祭（1一*.

（心祭（1一*.

(12.82)

(12.82)

Поэтому частота излучения будет определяться выражением

* =(1 -芻)，(12.83)

отличающимся от прежнего (см. (12.74)) наличием множителя

(Т)・

В силу зависимости частоты излучения атомов от массы ядра М определение атомного веса можно производить не только обычными химическими, но и спектроскопическими методами. Благодаря этому удалось, в частности, доказать существование тяжелого водорода, ионизованных атомов гелия и т. д. Как известно, атомный вес водорода был определен в среднем относительно кислорода на основании химических исследований. Для каждого же атома в отдельности атомный вес был найден с помощью масс-спектрографа.

При этом были получены несколько отличающиеся значения

Мхнм/му. 100% =0,0145%.(12.84)

Мхнм

На основании этого Берджем и Ментцелем было выдвинуто предположение о существовании изотопа водорода—дейтерия D = ；H (или тяжелого водорода), имеющего атомный вес, в два раза больший, чем у обычного водорода. В самом деле, при определении атомного веса естественной смеси водорода вклад должен внести и дейтерий; в масс-спектрографе же измеряется лишь атомный вес ；Н， поскольку спектральные линии атомов 1Н ложатся в другом месте шкалы.

Так же как и водород, дейтерий может вступить в реакцию, образуя, например, так называемую тяжелую воду D2O. Впервые

тяжелая вода была открыта Юри и Осборном в 1932 г. Основной метод получения дейтерия — это электролитическое разложение воды. Скорость выделения обычного водорода на катоде значительно превосходит скорость выделения дейтерия, в результате чего происходит значительная концентрация дейтерия в остатке жидкого электролита, где он может быть обнаружен. Ввиду же малого количества тяжелого водорода в естественной воде обнаружить его там почти невозможно. Наличие дейтерия подтверждается спектроскопическими исследованиями, показавшими, что в серии Бальмера (九‘ =2) наряду с линиями

喑 а =《(1 —姦)(_%) (12.85)

существуют линии (рис. 12.5), расположенные несколько правее и укладывающиеся в формулу *)

喑 ль』а0-蠢_)(击—亲)，(12.86)

которую нетрудно получить из (12.83), если положить там массу М равной удвоенной массе ядра атома водорода и Z = 1.

Следует заметить, что ввиду большой относительной разницы в массах атома дейтерия и атома водорода они отличаются по

Sadopod(fW )Sadopod(fW )Рис. 12.5. Схема относительного расположения спектральных линий атома водорода и его изотопов.Рис. 12.5. Схема относительного расположения спектральных линий атома водорода и его изотопов.своим физическим и химическим свойствам гораздо сильнее, чем изотопы других элементов. Так, например, хотя тяжелая вода внешне и похожа на обыкновенную воду, по физическим свойствам она отличается от обыкновенной. В частности, температуры плавления и кипения ее при 1 атм равны соответственно 3,81 ℃ и 101,4 ℃. Она имеет большую вязкость и хуже растворяет соли, чем обычная вода. В связи с развитием ядерной физики тяжелая вода приобретает особое зна

Sadopod(fW )

Sadopod(fW )

Рис. 12.5. Схема относительного расположения спектральных линий атома водорода и его изотопов.

Рис. 12.5. Схема относительного расположения спектральных линий атома водорода и его изотопов.

чение, так как она является хорошим замедлителем быстрых нейтронов, а также используется как источник получения дейтерия. В настоящее время известен еще один изотоп водорода — тритий ?Н, ядро которого состоит из двух нейтронов и одного протона. Его соединения с кислородом образуют так называемую тритиевую воду. В природной воде отношение числа атомов трития к числу атомов }Н равно примерно 10-18, в то время как

отношение числа атомов 彳Н к числу атомов водорода }Н равно 1/6800. Тритий в смеси с дейтерием является важнейшим веществом для осуществления термоядерных реакций.

Спектральные линии атома трития несколько сдвинуты как относительно водородных, так и относительно дейтериевых линий (рис. 12.5) и находятся по формуле

瞰a = R8(l -靑)($-$)•(12.87)

Другим очень важным следствием учета движения ядра было открытие ионизованного атома гелия, обнаруженного впервые спектроскопическим способом на Солнце. При исследовании солнечного спектра была найдена серия линий, располагающихся по закону

®2Л1 = R (击一十}(12.88)

где /г】 принимает значения

勿= 5/2, 3, 7/2, 4, %,・・・(12.89)

Эта серия представляла собой по существу водородную серию Бальмера (hi = 3, 4, 5, ...) с рядом промежуточных линий, образующих серию, получившую название серии Пикеринга, характеризующуюся полуцелыми квантовыми числами п\ = 5/2, 7/2, 9/2，. • • Вначале для объяснения серии Пикеринга предполагали, что водород на Солнце находится в особом состоянии, так что квантовое число может принимать полуцелые значения. Однако в дальнейшем оказалось, что экспериментальные линии располагаются правее, нежели это следует из формулы (12.85). Поэтому выдвинутое предположение пришлось оставить. Затем была предложена другая гипотеза, согласно которой обнаруженный спектр обязан своим происхождением однократно ионизованному атому гелия ^Не*，масса ядра которого М = 7360zn0, заряд Z = 2, а частоты согласно (12.83) определяются выражением

(ОНе = 22/?Не (力 一 J ・(12.90)

Полагая здесь м' = 4, приводим (12.90) к виду

ЗНе = Кне (击(二 у)，(12.91)

где /г = 5, 6, 7, 8,…

Чтобы решить вопрос о том, обязана ли серия Пикеринга излучению атомов водорода (с предположением, что квантовые числа могут принимать полуцелые значения) или излучению

ионизованного атома гелия (с нормальным значением квантовых чисел), необходимо было найти экспериментальное значение постоянной Ридберга. В случае водорода

Rh = Rs (1 —j^g ) •(12.92)

Для атома гелия

RHe = Roo(l -壷)・(12.93)

Тщательное изучение этого вопроса спектроскопистами подтвердило для постоянной Ридберга значение (12.93), и тем самым однозначно было доказано, что серия Пикеринга представляет собой спектр ионизованного атома гелия.

Атом водорода в квазиклассическом приближении. В случае эллиптических орбит (Е V 0) уравнение для радиальной функции атома водорода может быть записано в виде (см. (12.4))

d2u , /—2В/(/ + 1)、 с/〔с с八

-+^А + -=(12.94)

где и = rRi, значения коэффициентов Л и В определены формулой (12.5). Поскольку особенность уравнения (12.94) при г->0, определяемая членом —^—, лежит вблизи потенциального барьера, сшивание решений с помощью функции Эйри (см. § 5) не может дать хорошего результата, так как в области 0 нельзя перейти к асимптотике этой функции. Поэтому можно попытаться с помощью введения нового аргумента г = ех удалить эту особенность из точки г ~> 0 в точку % -> ——оо.

Переходя к аргументу х с помощью замены г = ех п вводя новую волновую функцию

〃 =е"2% (х),

приведем уравнение (12.94) к виду

爲 + «2%(一 4 + 2В「一 (/ + %)? е-2%)% = °.(12.95)、

К этому уравнению применима аппроксимация ВКБ, и с помощью формулы (5.39) мы можем найти спектр собственных значений

卜％ (— 4 + 28ет — (/ + %产 с"*)% dx = n (пг + %), (12.96)

где пг = 0, 1,2,... — радиальное квантовое число.

Возвращаясь в последнем интеграле к прежней переменной г = «%, будем иметь

£(—% + *— " *@3% dr = n(n, + %),(12.97)

где 片 и 厂2 > n ——корни подынтегральной функции.

Вычисляя последний интеграл (точно), найдем:

Я(^Д% — %)=冗(％ + %)•(12.98)

Подставим сюда вместо Л и В их значения из (12.5) и введем главное квантовое число и = / + иг + 1. Тогда для спектра энергии получим ту же самую формулу, которая была найдена по теории Шредингера (см. (12.32)):

力8 "价Z*V^ 〃一 2£力8 "价Z*V^ 〃一 2£йп.йп.

力8 "价Z*

V^ 〃一 2£

力8 "价Z*

V^ 〃一 2£

йп.

йп.

Этот вывод не является случайным, поскольку в теории Шредингера квантовые уровни получаются в членах, пропорциональных Й, а квазиклассический метод позволяет их точно учитывать.

Из формулы (12.97) можно сделать важный вывод о том, что при использовании квазиклассических выражений для центральных сил в орбитальном моменте необходимо сделать замену

M+l)f (%+%产.M+l)f (%+%产.(12.99)(12.99)

M+l)f (%+%产.

M+l)f (%+%产.

(12.99)

(12.99)

§ 13. АТОМ ВОДОРОДА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Если атом поместить во внешнее постоянное электрическое поле, то его спектральные линии, вообще говоря, могут расщепляться. Такое явление было обнаружено в 1913 г. в опытах Штарка. В этом параграфе построена квантовая теория эффекта Штарка для атома водорода.

Внешнее электрическое поле выделяет определенное направление в пространстве. Поэтому решение уравнения Шредингера для атома водорода в электрическом поле удобно искать не в сферических координатах, как в § 12, а в параболических координатах. Рассмотрим вначале решение уравнения Шредингера для атома водорода, разделяя переменные в параболических координатах.

а) Квантование атома водорода в параболических координа* тах. Вырождение в кулоновском поле по квантовому числу / связано с тем, что переменные в уравнении Шредингера могут

быть разделены не только в сферических координатах, как в любом другом центральном поле, но также и в параболических координатах. Эта возможность является специфической для кулоновского поля.

Если в сферических координатах имелись три коммутирующих оператора Н, L2 и Lz, собственные функции которых определяли полный набор состояний атома водорода, то в параболических координатах мы можем выбрать другую тройку операторов Н, & и Lz, которые также, согласно (12.55) и (12.59), коммутируют между собой и, стало быть, сохраняются. Новый набор состояний, задаваемый этими операторами, из-за некоммутатив- ности операторов L2 и 8г (см. (12.60)) не будет, очевидно, совпадать с прежним.

Для того чтобы отыскать собственные функции операторов Н, £z и Lz, запишем уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле ядра

в параболических координатах с помощью полученного выражения (10.16) для лапласиана V2:

翁(л十-SD+{pr後G备)+

+备(盛)]+专奈卜=0.

Разделяя переменные

2 怎 П,屮)=% (Е) %(П)①(Ф),

получим для функций Ф, fi и % уравнения

击(自爸)+[一乱-墨+司厶=。，

где так же, как и в (12.5),

Л — 2mQE

a m2, Bi и 8? — постоянные разделения, причем

(13.1) в § Ю(13.2)(13.3)(13.4)(13.5)(13.1) в § Ю(13.2)(13.3)(13.4)(13.5)51+32 = 3 =上階.

(13.1) в § Ю

(13.2)

(13.3)

(13.4)

(13.5)

(13.1) в § Ю

(13.2)

(13.3)

(13.4)

(13.5)

Решение первого из этих уравнений

Ф (ф) == eim^(13.7)

при m = 0, ±1, ±2, ±3, ... является, очевидно, собственной функцией оператора L2. Остальные два уравнения после введения новых переменных

Pi = д/Л g, р2 = “^П(13.8)

и параметров

自=务，卷'自+用=备 (13,9) запишем в виде

騎+ 丄乎+ |■-} +区一 黄^=°，a3」0)

dpi Pl dpi L 4 Pi 4P1 J

и точно такое же уравнение получится для ，2(Р2) с параметром р2-

Предположим вначале, что m ^ 0. Тогда, аналогично тому, как это было сделано при решении уравнения (12.7), отделяем конечные при pi -> оо и pi -> 0 асимптотики

片(pJ = ef/2pT/2%(pJ・(13.11)

Функция 〃i(pi) удовлетворяет уравнению

①叁+ 5+1-Р)計+ 值-2^) "尸。•(13.12)

Подобно решению уравнения (12.15) функция 〃i будет полиномом, и характер поведения решения fi(pi) в нуле и на бесконечности будет определяться множителями перед 〃i в формуле (13.11), если коэффициент в последнем члене уравнения (13.12) 自一^Г^ =九1(13.13)

удовлетворяет условию

П1 = 0, 1, 2, 3,...例》0).П1 = 0, 1, 2, 3,...例》0).(13.14)(13.14)

П1 = 0, 1, 2, 3,...例》0).

П1 = 0, 1, 2, 3,...例》0).

(13.14)

(13.14)

В этом случае 〃i представляет собой полином Лагерра степени гм, определенный равенством (12.36)

hi (Pi) = Q^ (pi),(13.15)

а 〃1 называют параболическим квантовым числом.

Второе уравнение для 〃2(Р2) решается точно так же, и мы получаем

〃2(P2)= Q^(p2),(13.16)

где

九 2 = 62—(13.17) причем

敢=0, 1,2,・・・(m>0).(13.18)

Аналогично мы могли бы рассмотреть случай отрицательных т, однако проще всего это сделать с помощью соотношения

Q«(p) = (- 1Гр~^；^(Р),(13.19)

которое выполняется для полиномов Лагерра (12.36). Тогда этот случай сводится к предыдущему с той разницей, что следует ввести новые квантовые числа 亢i и 亢2, которые должны быть целыми и неотрицательными:

пх = пх + m = Q, 1, 2,

n2 = n2 + /n = 0, 1, 2, ... (m<0).I '

Таким образом, стационарное состояние атома водорода можно задать тремя квантовыми числами: магнитным m = 0, 士 1, ±2, ... и двумя параболическими п\ и 〃2, пределы изменения которых при m ^ 0 и /п V 0 задаются соответственно условиями (13.14), (13.18) и (13.20). Волновая функция, определяющая это состояние, может быть записана в виде

_ 伙+0，

办gzn =к(Р1Р2产/2QZ| (Pl) Q^ (P2)。吗 (13.21)

где C%%m ——нормировочный коэффициент.

Складывая (13.13) и (13.17) с учетом (13.9), находим

■^г =佝 + 枕2 + 加 + 1 =亢1 + & —加+ 1 =n.(13.22)

Отсюда следует, что главное квантовое число п принимает только целые положительные значения и = 1, 2, 3, ... и, согласно (13.5), определяет уровни энергии, для которых получаем прежнее выражение (12.41). Из равенства (13.22) ясно также, что уровень с номером /г вырожден по m и одному из чисел %i или 〃2, причем 〃1 изменяется в пределах от 0 до п — т — 1 при фиксированном значении m 0.

Точно так же легко найти изменение квантового числа 亢i в пределах от 0 до /г — | т | ——1 при m V 0. Поэтому кратность вырождения равна

九十 2 ^ (п — т) — л2,т=1

т. е. она такая же, как и при использовании сферических координат.

Учитывая выражение (10.16) для элемента объема в параболических координатах и вычисляя интегралы по g и т| так же, как это было сделано в примечании после формулы (12.40), можно доказать ортонормированность функций ^П1п2т

\ "%屮；修/2勺w=ЬттгЬп^п24ВАЗ)

при соответствующем выборе коэффициента С%%т・ Вводя функции Лагерра

Ins (Р) =宀丁ql (р)，(13.24)

запишем нормированные волновые функции атома водорода в параболических координатах

电гm加丁) /7f，-也忆(Pl) /勿+人勿(p2),(13.25)

где 〃о =——=^ —— радиус первой боровской орбиты.

b 价气

Покажем теперь, что ^п^т, будучи собственными функциями операторов Н и Ьг с собственными значениями соответственно Еп и т, удовлетворяют также уравнению

殳“1 九 2m = ^^n.nitrii(13.26)

т. е. являются собственными функциями оператора проекции эксцентриситета (см. § 12) на ось г. Оператор в2 можно записать в следующем виде:

"亳囲-(I+Z 圜+ ? (13.27)

Воспользуемся далее выражением для V2 в параболических координатах (10.16) и соотношением

（1 + 内）將=告（廿臺十自靑一唄矗一谣г），（13.28）

после чего, переходя к новым переменным pi и рг (см. (13.8)), получим

2 九[Pl + Р2 I dp； Pi dpi <M p2 勿2 丿

(13.29)(13.29)序 p| — p2 ] I Pl — P2

(13.29)

(13.29)

2 pp2 J Pi + P2

где мы учли, что оператор £z действует на 2九卩？加，и поэтому ввели главное квантовое число /г, а оператор —д21д^ заменили его собственным значением т2.

Действуя теперь оператором (13.29) на функцию 屮％〃2 m (13.25) и принимая во внимание уравнения (13.10), которым подчиняются функции In^m.n, и Iп^т.п^» получаем собственное значение

九=小;伙(13.30)

Величина X при заданном п принимает 2M ——1 значение, изменяясь в пределах

一与11《九《先土(13.31)

Выражение (13.30) для собственного значения 九 вектора эксцентриситета 8г помогает понять физический смысл квантовых чисел ni и 〃2・ В квазиклассическом приближении вектор е направлен от фокуса по большой оси эллипса, и поэтому при ni > 〃2 величина % > 0, т. е. большая часть орбиты расположена в области z > 0, а при ni V 〃2, наоборот, в области z < 0.

Эффект Штарка. Расщепление спектральных линий атома, помещенного в электрическое поле, т. е. эффект Штарка, не нашло своего объяснения в классической теории, и только квантовая механика позволила построить теорию этого эффекта.

В самом деле, согласно классическим представлениям движение электрона в атоме всегда можно разложить на три взаимно ортогональных колебания. Направим ось г параллельно постоянному электрическому полю ^ (^х = ^y = 0f 普==勢. Тогда энергия взаимодействия электрона с полем 鋁 будет равна

Vх = — егё = еог^ (е = — %),(13.32)

а колебания вдоль оси г будут описываться уравнением

%£ + т0о>^ = — е^,(13.33)

где /и。— масса электрона, а ①。—круговая частота его колебаний.

Нетрудно видеть, что решение уравнения (13.33) имеет вид

г =逆^ + A cos (®о^ + Ф).(13.34)

Таким образом, действие постоянной силы (——е()^) по классической теории приводит лишь к изменению положения точки

равновесия системы, но никоим образом не сказывается на частоте колебаний. Следовательно, в соответствии с классическими представлениями частота излучения атомов, определяемая частотой механических колебаний атомных электронов, вопреки экспериментам, не должна зависеть от того, помещен ли атом в электрическое поле или нет.

Рассмотрим теперь эффект Штарка, основываясь на квантовых представлениях.

Существуют линейный и нелинейный штарк-эффект.

Первый из них характерен лишь для водородоподобных атомов. Это связано с тем обстоятельством, что для водородоподобных атомов имеет место вырождение не только по магнитному квантовому числу т, но и по орбитальному квантовому числу / (см. § 12), и поэтому состояние с определенной энергией является суперпозицией состояний с различными значениями /. Следовательно, такое состояние не обладает определенной четностью (см. § 10) и среднее значение оператора возмущения (13.32), пропорциональное электрическому дипольному моменту атома, может быть отлично от нуля, что и обусловливает линейный штарк-эффект. Для всех же других атомов вырождение по / отсутствует, дипольный момент равен нулю и линейный эффект Штарка не наблюдается.

Рассмотрим более подробно теорию линейного эффекта Штарка для атома водорода.

Поскольку внешнее электрическое поле / (в опытах оно имело порядок 104—105 В/см) много меньше внутриатомного, создаваемого ядром и равного

/映=号^5. 109b/ем

(здесь ао — радиус первой боровской орбиты), для решения поставленной задачи можно использовать теорию возмущений, относящуюся к вырожденному случаю, причем в качестве возмущения мы должны взять потенциальную энергию электрона во внешнем электрическом поле в внде (13.32).

Внешнее электрическое поле выделяет в пространстве направление (ось z), и поэтому для расчета штарк-эффекта удобнее использовать в качестве базисных функций нулевого приближения решения уравнения Шредингера в параболических координатах ^п^т (13.25). Каждому энергетическому уровню п соответствуют И2 СОСТОЯНИЙ ^nxn2m С КВанТОВЫМЙ числами Mb п2 и т, удовлетворяющими условию

Оператор возмущения (13.32) в параболических координатах

『=呉修(& — Л)『=呉修(& — Л)(13.36)(13.36)

『=呉修(& — Л)

『=呉修(& — Л)

(13.36)

(13.36)

имеет только диагональные матричные элементы в группе состояний, соответствующих уровню /г,

(%%加 1『I公曲б〉=

=4 臟 I dj 對 f d^nf^-^)也 = ООО

=*0旬醫(%g-%2m)6吁%向6股б(13・37)

Действительно, диагональность по /и очевидна в силу независимости 『от угла ф, а диагональность по параболическим квантовым числам следует из ортогональности функций Лагер- ра 乙+s, s

(13.38)(13.38)(13.35).(13.35).и условияи условия\ dp Il + sf,S/ (р) //+s,$ (р) ^1 6s$z О

(13.38)

(13.38)

(13.35).

(13.35).

и условия

и условия

Интегралы 勿两 и %尸 力严=\ p2/2j+/n,〃j(Р)dp = о

^^(/=1,2) (13.39)

о

вычисляются с помощью мотода, примененного в § 12 при нормировке радиальных функций атома водорода. Один из полиномов представляется в виде ряда, а другой — в замкнутой дифференциальной форме (12.36), после чего интегрирование по частям соответствующее число раз дает

vn.m = (2ni + m+ 1)(2nf + m + 2) + 2(^ + m)^ (i=l, 2). (13.40)

Для разности интегралов и〃［勿—vnzm с учетом соотношения (13.35) находим

%冲-?м = 6九(九1 -砌・(13.41)

Поскольку возмущение (13.37) диагонально, то оно не смешивает вырожденные состояния, а лишь расщепляет их, причем величина расщепления определяется средним значением V’

Подставляя (13.41) в соотношение (13.37), находим

Е：九=у ^о^о^枕(枕 1 — М2) = у «о/助九％,(13.43)

где X = (/ii —枕2)/枕—собственное значение проекции ег вектора эксцентриситета. Как видно из данного равенства, величина расщепления уровня /г зависит от разности квантовых чисел дм——〃2 (или от 入)，которая принимает, как было показано выше, 2п— 1 значение от —(/г— 1) до п— 1. Поэтому электрическое поле расщепляет уровень /г на 2〃 一 1 подуровней, снимая таким образом /г2-кратное вырождение не полностью.

Рассмотрим для примера первый возбужденный уровень п = 2 ), вырожденный четырехкратно. В отсутствие возмущения его энергия равна

力/4,(13.44)

(13.45)(13.45)а состояния ^nin2m задаются выражениями (13.25). Под влиянием электрического поля данный уровень расщепляется на 3 подуровня, соответствующие значениям Л = ±72, 0,

(13.45)

(13.45)

及九=士 3e()a修，0.

Таким образом, в состояниях с m = 0

(13.46)(13.46)屯。o = *(R2K-R2K)，九=4，

(13.46)

(13.46)

e2,% = -+ 30他0 對,

2。1。=这(旦K+旦片)，九=一^，

£,2,-72 = ^3e0a0 齒

вырождение снимается, а состояния с m = ±l

(13.47)(13.47)*фоо ± 1 = /?21^ 1 \ 九=0,

(13.47)

(13.47)

-4

остаются вырожденными даже при наличии электрического поля.

Заметим, что если бы мы в качестве базисных состояний выбрали решения невозмущенного уравнения Шредингера ^nimt являющиеся собственными функциями операторов L2 и Ьг, то в этом случае возмущение не было бы диагональным. Оно привело бы согласно изложенной в § 8 теории к смешиванию

240 нерелятивистская КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА [Ч. I невозмущенных состояний, и в результате получились бы правильные комбинации функций ^nim нулевого приближения и соответствующие им уровни энергии первого приближения теории возмущений, совпадающие с только что полученным результатом (13.46) — (13.47).

Качественно эффект Штарка можно интерпретировать следующим образом: в силу того, что возбужденные состояния не обладают центральной симметрией и не имеют определенной четности, у атома водорода появляется отличный от нуля средний электрический дипольный момент <р>. Поскольку энергию возмущения (13.32) можно также записать в виде ^ = — (рЕ), то, сравнивая это выражение с выражением для поправки к энергии (13.43), получим z-компоненту электрического дипольного момента атома в состоянии (", Л, т)

〈p) = - 3/220a弹2 九 (13.48)

В рассматриваемом выше примере с уровнем /г = 2 в состояниях 入=±1/2, m = 0 электрон находится преимущественно либо в области z>0 (при 入=+〔/2), либо в области 2 Vo (при 入=—1/2)・ Поэтому и дипольный момент в этих состояниях направлен либо против внешнего поля (Л = +V2, <р2> = =—Зсо^о), либо вдоль поля (入= ——1/2, <pz> = Зеоао). В состояниях % = 0, m = ± 1 (и определенным значением Z = 1) дипольный момент равен нулю <рг> = 0, и поэтому никакой дополнительной энергии £, не возникает.

Таким образом, причиной, обусловливающей линейный эффект Штарка у атома водорода, является присущий ему в возбужденных состояниях электрический дипольный момент.

Результаты, полученные на основе линейного приближения, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными только в слабых полях (/ 〜104 В/см). В более сильных полях (吝 〜105 В/см) появляется дополнительное расщепление (квадратичный эффект Штарка), вызванное снятием вырождения по магнитному квантовому числу т. Наконец, в полях, напряженность которых превышает величину 105 В/см, эффект Штарка вообще исчезает. Это связано с появлением автоионизации атомов, т. е. с вырыванием электронов, находящихся на возбужденных уровнях.

УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ

Рассмотрим вначале рассеяние частиц силовым центром, потенциальная энергия которого уменьшается на бесконечности сильнее, чем lL

В этом случае на бесконечности (“—8) волновая функция может быть аппроксимирована плоскими волнами. Предельный

случай кулоновского потенциала I/ 〜 l】(т. е. силу дальнего действия) также в ряде случаев можно включить в рассматриваемое приближение, поскольку, как будет показано ниже, искажение плоской волны на бесконечности кулоновским полем дает лишь логарифмический сдвиг фазы, который оказывается несущественным при определении дифференциального эффективного сечения при сравнительно больших углах рассеяния.

Борновское приближение. Допустим, что в течение времени £《0 частица была свободной, т. е. двигалась равномерно и прямолинейно с импульсом р — hk и энергией

E = g； = ^K,(k=费，叫.

Пусть, начиная с момента времени f = 0, на нее начинает действовать возмущение, характеризуемое потенциальной энергией Р(г). Тогда частица обладает определенной вероятностью перейти в другое состояние с импульсом р‘ = hkf п энергией = с力К'= "^), т. е. в результате действия возмущения должно произойти рассеяние частицы.

Волновые функции начального и конечного состояний, описывающие свободное движение (нулевое приближение), будут в

этом случае равны

(U.1)(U.1)必 ^t) = L-^e-icKi^ikr9

(U.1)

(U.1)

где L3 — объем основного куба периодичности, а составляющие импульса ki и ki (i== 1, 2, 3) связаны с целыми числами П/ и п? с помощью соотношений

2^- _ 2 叫

色i — £ ,色f — 工 •

Волновые функции (14.1) уравнению Шредингера九д-ф ГВ"Волновые функции (14.1) уравнению Шредингера九д-ф ГВ"удовлетворяют невозмущенномуудовлетворяют невозмущенному■Ъ嶽屮*=0■Ъ嶽屮*=0(14.2)(14.2)

Волновые функции (14.1) уравнению Шредингера

九д-ф ГВ"

Волновые функции (14.1) уравнению Шредингера

九д-ф ГВ"

удовлетворяют невозмущенному

удовлетворяют невозмущенному

■Ъ嶽屮*=0

■Ъ嶽屮*=0

(14.2)

(14.2)

и являются частным случаем общего его решения

С“一 icK^ik^^С“一 icK^ik^^(14.3)(14.3)

С“一 icK^ik^^

С“一 icK^ik^^

(14.3)

(14.3)

где коэффициенты С зависят от импульсов 廿.

При учете энергии возмущения Vz = V(г) решение будем искать по нестационарной теории возмущений, согласно кото-

рой следует предположить, что вероятностные коэффициенты С' должны стать функциями времени. Поскольку в начальный момент времени частица находилась в состоянии fe, мы должны положить

С (/ = 0) = 6^.(14.4)

Тогда для коэффициентов C^t)(々，у=左)получаем (см. (8.56))

Сх = _ + \ dleict z-K、Vhk(14.5>

о

где

Vk^k =，屮；，丿(г)屮左 d3x.

Подставляя сюда вместо волновых функций их значение (14.1)， найдем после интегрирования по времени

1 — jcf (К'-К)

с力(К— К)， где

几=\ е"р ⑺ d3%, 乂 = А — К(14.6)

Отсюда для вероятности перехода имеем

侬=宗29|2 =%〉匕?带启产-(14・7)

Учитывая далее равенство

(14.8)(14.8)lim 良口 с'(£ T К)— &— К)

(14.8)

(14.8)

宀 л(К-К) ° 6

мы приведем (14.7) к виду

2 л2 лgl 匕FMK —К).gl 匕FMK —К).(Н.9)(Н.9)

2 л

2 л

gl 匕FMK —К).

gl 匕FMK —К).

(Н.9)

(Н.9)

Наличие 6-функции под знаком суммы приводит к сохранению энергии рассеивающейся частицы, т. е. К' = К. Такое рассеяние называется упругим ).

При переходе в равенстве (14.9) от суммы к интегралу мы должны использовать соотношение

£ (誉У =,产dh‘ dQ= \ 赋,dK dd(14.10)

Обычно рассеяние хара геризуют эффективным сечением, равным отношению вероятности перехода w к числу частиц М падающих в единицу времени на единицу поверхности S=1 см2, перпендикулярной падающему пучку частиц ——потоку частиц. На эту поверхность в единицу времени, очевидно, попадут те частицы, которые расположены от нее на расстоянии, не превьь шающем значения скорости частицы и, т. е. находящиеся в объеме vS = v. Это число ^ равно произведению плотности числа частиц ро —厶一3 на объем, численно равный скорости частицы

N =MID

С помощью соотношений (14.9) — (14.11) для эффективного сечения рассеяния находим следующее выражение:

0=希=00(仇(p)dQ,(14.12)

где подынтегральное выражение, характеризующее число рассеянных частиц, попадающих в телесный угол JQ (d« = ==sin 今 d" d(p) (0 и 屮一сферические углы рассеяния, т. е. вектора 々),называется дифференциальным эффективным сечением. Оно определяется выражением

0(我屮)=(隸)2|匕r(14•⑶

В частности, когда рассеивающий центр обладает сферической симметрией, имеем

о

где &' — телесный угол в пространстве вектора г, в то время как в формуле (14.12) dQ — телесный угол в пространстве вектора К,

Интегрируя последнее выражение по телесному углу, найдем

匕=乎，г sin xr • V (г) dr.о

Отсюда видно, что дифференциальное эффективное сечение упругого рассеяния равно

o(C) = lf(e)F,(14.14)

где

м = | 左—М | = 2也 sin等、(14.14а)

а величина

〃0) = -鬻卜 sinxr・U ⑺勿 (14.15) о

называется амплитудой рассеяния.

Формула (14.14) описывает упругое рассеяние частиц в первом приближении теории возмущений, которое носит название борновского приближения.

Заметим, что эта же задача может быть решена и по стационарной теории возмущений, так как потенциальная энергия взаимодействия не зависит от времени. Однако для получения эффективного сечения рассеяния мы использовали нестационарную теорию возмущений, математический аппарат которой обладает большей общностью. Он, в частности, позволяет решать многие задачи современной квантовой электродинамики с учетом взаимодействия электронов с вторично квантованным электромагнитным полем.

Выражение для о("), найденное по методу теории возмущений, имеет определенные границы применимости. В случае короткодействующих сил (ядерные силы, нейтральный атом, непроницаемая сфера и т. д.), которыми на расстояниях г от центра, превышающих некоторый эффективный радиус а, можно пренебречь, величина эффективного сечения (даже когда эти силы создают барьер, абсолютно непроницаемый для частиц) не может превышать геометрического сечения области действия этих сил (если при этом не возникает резонансного рассеяния, см. ниже). Поэтому для короткодействующих сил находим следующее условие применимости метода теории возмущений:

а<< (14.16) где

(/ 〜ла2.

Рассеяние на потенциале Юкавы. Как известно, потенциальная энергия взаимодействия, введенная Юкавой, имеет следующий вид:

嗅一 4一, (14 .⑺ где 4 — некоторая постоянная, а величина * = Q представляет собой эффективный радиус действия сил. Взаимодействие (14.17) может найти самое широкое применение.

Этому закону удовлетворяет простейший потенциал ядерных сил (потенциал Юкавы). В этом случае величина А = g{ где g ——ядерный заряд, превышающий электрический более чем в 10 раз, а радиус действия ядерных сил равен комптоновской

длине волны пи-мезонного поля

с13Q =〜IUГП"с13Q =〜IUГП"см.см.(14.18)(14.18)Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа- частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выражением (14.17) *).В последнем случае величина А = Z色 (где Z ——порядковый номер атома), а эффективный радиус атома в модели Томаса — Ферми равен (см. ниже (25.66))Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа- частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выражением (14.17) *).В последнем случае величина А = Z色 (где Z ——порядковый номер атома), а эффективный радиус атома в модели Томаса — Ферми равен (см. ниже (25.66))(14.19)(14.19)где у — коэффициент порядка единицы.Наконец, полагая а -> оо, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения (14.17).Подставляя (14.17) в формулу (14.14) и учитывая, чтогде у — коэффициент порядка единицы.Наконец, полагая а -> оо, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения (14.17).Подставляя (14.17) в формулу (14.14) и учитывая, что)г sin иг * V if) dr — — А у оо)г sin иг * V if) dr — — А у ооsin хг ・ е-&" dr = — Asin хг ・ е-&" dr = — Aххприходим к следующему выражению для дифференциального эффективного сечения упругого рассеяния:приходим к следующему выражению для дифференциального эффективного сечения упругого рассеяния:4時猫4 0（行）=公（炉出十у•4時猫4 0（行）=公（炉出十у•Здесь согласноЗдесь согласно(14.14а)%2 = 4居 sin 2 ^ = 4 殆 sin2-y,(14.14а)%2 = 4居 sin 2 ^ = 4 殆 sin2-y,(14.20)(14.21)(14.20)(14.21)где р — импульс частицы.При исследовании формулы (14.20) следует различать два случая:1. Случай расеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых углов рассеяния 乂〃《1.Как видно из формулы (14.20), при этом величина。(⑴ не будет зависеть от угла 今 и становится равнойгде р — импульс частицы.При исследовании формулы (14.20) следует различать два случая:1. Случай расеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых углов рассеяния 乂〃《1.Как видно из формулы (14.20), при этом величина。(⑴ не будет зависеть от угла 今 и становится равной。（出=。（出=(14.22)(14.22)

с13

Q =〜IU

ГП"

с13

Q =〜IU

ГП"

см.

см.

(14.18)

(14.18)

Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа- частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выражением (14.17) *).

В последнем случае величина А = Z色 (где Z ——порядковый номер атома), а эффективный радиус атома в модели Томаса — Ферми равен (см. ниже (25.66))

Точно так же при рассеянии быстрых электронов (или альфа- частиц) нейтральным атомом потенциальную энергию, следующую из модели Томаса — Ферми, можно аппроксимировать выражением (14.17) *).

В последнем случае величина А = Z色 (где Z ——порядковый номер атома), а эффективный радиус атома в модели Томаса — Ферми равен (см. ниже (25.66))

(14.19)

(14.19)

где у — коэффициент порядка единицы.

Наконец, полагая а -> оо, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения (14.17).

Подставляя (14.17) в формулу (14.14) и учитывая, что

где у — коэффициент порядка единицы.

Наконец, полагая а -> оо, получаем потенциал кулоновского поля ядра, который также можно рассматривать как частный случай выражения (14.17).

Подставляя (14.17) в формулу (14.14) и учитывая, что

)г sin иг * V if) dr — — А у оо

)г sin иг * V if) dr — — А у оо

sin хг ・ е-&" dr = — A

sin хг ・ е-&" dr = — A

х

х

приходим к следующему выражению для дифференциального эффективного сечения упругого рассеяния:

приходим к следующему выражению для дифференциального эффективного сечения упругого рассеяния:

4時猫4 0（行）=公（炉出十у•

4時猫4 0（行）=公（炉出十у•

Здесь согласно

Здесь согласно

(14.14а)

%2 = 4居 sin 2 ^ = 4 殆 sin2-y,

(14.14а)

%2 = 4居 sin 2 ^ = 4 殆 sin2-y,

(14.20)

(14.21)

(14.20)

(14.21)

где р — импульс частицы.

При исследовании формулы (14.20) следует различать два случая:

1. Случай расеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых углов рассеяния 乂〃《1.

Как видно из формулы (14.20), при этом величина。(⑴ не будет зависеть от угла 今 и становится равной

где р — импульс частицы.

При исследовании формулы (14.20) следует различать два случая:

1. Случай расеяния сравнительно медленных частиц, когда для любых углов рассеяния 乂〃《1.

Как видно из формулы (14.20), при этом величина。(⑴ не будет зависеть от угла 今 и становится равной

。（出=

。（出=

(14.22)

(14.22)

Независимость сечения рассеяния от угла 令(изотропность) является характерной чертой рассеяния частиц сравнительно низких энергий центром короткодействующих сил.

При рассеянии сравнительно быстрых частиц для углов, удовлетворяющих условию ха》1, дифференциальное эффективное сечение не будет зависеть от величины радиуса действия сил а и становится равным

0①)=下A(14.23)

Отсюда видно, что для таких углов рассеяние на потенциале Юкавы будет таким же, как и при рассеянии на кулоновском центре. Поэтому при рассеянии быстрых электронов или а-ча- стиц нейтральным атомом на сравнительно большие углы атомные электроны особой роли не играют, а рассеяние определяется лишь потенциалом ядра.

Полагая в (14.20) Л = Z^ и 乂 =率 sin -~, приходим к формуле Резерфорда

。⑼=(14.24)

4P4 sin4-y

Из формулы (14.24) видно, что для сил с большим радиусом действия имеет место сильная зависимость сечения от угла рассеяния.

Однако для любых больших значений волнового вектора 左=十 найдутся такие малые углы 行,при которых будет выполняться неравенство

爷sin^《1.(14.25)

В частности, при *& ~> 0 формула Резерфорда дает для о(*&) расходящееся значение; в этом случае должен сказаться короткодействующий характер сил, что обусловлено экранирующим действием электронной оболочки. Условие (14.25) в этом случае определяет область, где формула Резерфорда неприменима.

Из равенств (14.19) и (14.20) при 6 = 0, т. е. для рассеяния вперед, находим следующее выражение для дифференциального эффективного сечения:

о»。(8) = 4丫％//，〜备Z%.(14.26)

Для полного эффективного сечения согласно (14.21) после интегрирования по углу 今 получим выражение

16пт^А2а410 16пт^А2а410 而 4依02 + 1 •而 4依02 + 1 •(14.27)(14.27)

16пт^А2а41

0

16пт^А2а41

0

而 4依02 + 1 •

而 4依02 + 1 •

(14.27)

(14.27)

Отсюда с помощью формулы (14.16) можно найти следующие пределы применимости метода теории возмущений для нашей задачи в двух крайних случаях:

» =号”《1 при ^《1,(14.28}

丫2 =号件《1 при ka > 1 *),(14.29}

т. е. при ka《1 параметром разложения является величина уь а при 左а》1 ——величина 丫2・ Только при этих условиях мы можем ограничиться борновским приближением. В противном случае следует использовать более точные методы решения задачи (см. ниже).

е) Парциальные эффективные сечения. Для того чтобы найти эффективное сечение рассеяния не только при малых, но и при больших значениях у】и 丫2 (см. (14.27), (14.28), (14.29)),. мы должны искать решение в виде суммы парциальных эффективных сечений, каждое из которых зависит от орбитального квантового числа 厶 Тогда мы должны прежде всего падающук> плоскую волну

“над = е''“ = е'"「с。'е(14.30)

для частиц, распространяющихся вдоль оси г со скоростью hkэ,

V = ~» разложить по сферическим волнам, т. е. согласно (11.52) представить в виде

~sin (好

喈^尸 »>(2Z + 1) 、亍2••厶匕(cos 導(14.31)

2=0

Для частицы в потенциальном поле V(r) асимптотическое выражение для волновой функции следующее (см. (11.45) и (11.58)):

黑sin

рае ^ 2 &P/(cos 出而,(14.32)

2=0

*) Критерий (14.29) ka》1 может быть применен и для кулоновского потенциала (а-> оо). Полагая 4 = Ze* hk = mocp = mou, найдем, что бор- новское приближение применимо для не слишком малых скоростей

где а = •―— =— постоянная тонкой структуры.

0自 137

причем в первом приближении фазу & можно определить формулой (11.60). Однако в некоторых частных случаях она может быть найдена более точно (см. ниже).

Рассеянная волна, очевидно, определяется формулой

^Фрасс = Wac —屮nan = 7 ^ "5^ Pl ^C°S 今)义 I =0

X {J 3T)[C^i1 ⑵ + 1)]-「e 号)[Gei _* ⑵+1)]} •

Неизвестный коэффициент Ci может быть найден из условия, что функция 屮расе должна представлять собой расходящуюся сферическую волну. Для этого коэффициент при сходящейся сферической волне е '?丿 необходимо положить равным

нулю. Тогда

& = 7 ⑵ + 1) J%

и для рассеянной волны получим

■Фрасс == f^ 标丝

Функция f(今)является амплитудой рассеяния (см. (14.15)), для которой по точной теории находим

f ⑼=击 2 ⑵ + 1)(产"-1)巳(cos 令).(14.33)

z=o

Как известно, дифференциальное эффективное сечение, характеризующее рассеяние частиц на угол й, равно отношению вероятности рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент сферической поверхности dS =

d步расе = иМасЗрасс产 dQ = V\fW^Q

к падающему потоку, т. е. к числу частиц, падающих в единицу времени на единицу поверхности, перпендикулярной их скорости:

^падПи^аМпадП"

Отсюда для дифференциального эффективного сечения находим выражение

do =饗^ = I f (切 F 2冗 sin 心 d®.(14.34)

Здесь, предполагая аксиальную симметрию рассеивающего поля, мы положили телесный угол равным

dR = 2л sin "d仇

Подставляя сюда полученное значение для амплитуды рассеяния и учитывая при интегрировании по углам условие ортогональности для полиномов Лежандра

л

\ Pi (cos 今)Р/ (cos 今)sin 心 d"=類：т 6〃，， о

находим следующее выражение для полного эффективного сечения:

a=£az,(14.35)

? =0

где парциальные сечения равны

о?=簪(2/+ 1) sin2M.(14.35а>

При I = 0 имеем s-рассеяние, при / = 1 имеем р-рассеяние и т. д.

Сопоставляя друг с другом формулы (14.35) и (14.33), а также учитывая, что Р/(1) = 1, докажем так называемую оптическую теорему

° = ^[f(0)T*(0)]=flmf(0),

устанавливающую связь между полным эффективным сечением о и мнимой частью (Im) амплитуды /(*&), соответствующей рассеянию вперед, т. е. 4 = 0.

Заметим, что точное выражение для амплитуды рассеяния (см. (14.33)) переходит в приближенное, найденное в борнов- ском приближении (см. (14.15)), когда выполняются следующие два условия:

6%《1, и поэтому для амплитуды рассеяния (14.33) мо~ жем написать:

f ⑼⑵+ l)MB(cos^);(14.35б>

для 6/ имеет место приближение (11.60), согласно которому

6z = —^^\ V ⑺ rJ，％(hr) dr.(14.36)

В самом деле, подставляя (14.36) в равенство (14.356), находим

~ОО

f⑼=一爷卜р⑺dr £ £⑵+ 1) В (cos仇九％・(14.37) 02=0

Принимая во внимание далее соотношение

}2 ⑵ + 1)匕(cos8) J^kr) = ^^t(14.38)

где

х = sin -у,

амплитуду рассеяния (14.356) можно привести к виду, найденному в борновском приближении (см. (14.15)):

(14.39)(14.39)f ⑼=—票 j r sin xr • V (r)力.0

(14.39)

(14.39)

а) Рассеяние потенциальным барьером. Исследуем рассеяние частиц сферически-симметричным прямоугольным потенциальным барьером, когда потенциальная энергия изменяется по закону:

Ч

У0 при г < а,

八 、 (14.40)

0 при г> а. '

Этот пример имеет большое методическое значение, так как он допускает точные решения и позволяет выйти за рамки борнов- ского приближения.

Конкретно теория рассеяния потенциальным барьером нахо* дит свое применение в ядерной физике. При не слишком высоких энергиях результаты исследования с короткодействующими ядерными силами практически не зависят от формы потенциального барьера и в основном зависят от его высоты (т. е. %) и радиуса действия (т. е. расстояния а).

Поскольку прямоугольный потенциальный барьер (или потенциальная яма) представляет собой простейшее описание короткодействующих сил, то, естественно, им и следует аппроксимировать ядерные силы.

Исследуем случай, когда 左а《1. Физически он означает, что дебройлевская длина волны много больше радиуса потенциального барьера

入=醬》2m (14.41)

Прежде всего с помощью приближенной формулы (11.60) найдем фазу 6/ рассеяния в зависимости от /.

При малых значениях kr W ka функцию Бесселя, входящую в (11.60), мы можем представить в виде

Тогда для фазы 6/ находим

也=бо^тЪ" (тйУ 他叫 где

义 2znoVo ”论

(14.42)(14.43)(14.44)(14.42)(14.43)(14.44)Отсюда видно, что основной вклад вносит s-волна (/ = 0). Парциальные волны с / = 1 (р-волна), / = 2 (d-волна) и т. д. дают вклад, примерно в (ka)21 меньший по сравнению с 6о, и поэтому в первом приближении ими можно вообще пренебречь.

(14.42)

(14.43)

(14.44)

(14.42)

(14.43)

(14.44)

равноравно%%i^rn^QC^i^rn^QC^9力49力4(14.45)(14.45)Эффективное сечение, которое дает s-волна, согласно (14.35)

равно

равно

%

%

i^rn^QC^

i^rn^QC^

9力4

9力4

(14.45)

(14.45)

(14.46)(14.47)(14.48)(14.49)(14.46)(14.47)(14.48)(14.49)

(14.46)

(14.47)

(14.48)

(14.49)

(14.46)

(14.47)

(14.48)

(14.49)

Оно фактически и определяет полное эффективное сечение. Аналогичный результат мы получим, если вычислим а в борновском приближении с помощью формулы (14.12). Наконец, найдем фазу рассеяния из точных уравнений. При этом мы ограничимся вычислением фазы для s-волны (/ = 0), которая, как было указано выше, дает при ka《1 основной вклад в эффективное сечение. Согласно (11.53) для радиальных функций при наличии потенциальной энергии (14.40) имеем уравнения:

“〃 + 胪〃 =0 при г > а, ” 一к"〃 = 0 при 广 V а, где

" 胪=體e, / =爷(几 一 Е)= k2 —底

Кроме того, мы введем условие, что 匕)> Е > 0・

Решение уравнений (14.46) можем записать в виде

и = Asin (kr + 60) при г > а,н = В sh х7при г <а.

Решения выбраны таким образом, чтобы функция 〃 при г->0 обратилась в нуль.

Приравнивая на границе области г = а волновые функции и их производные, легко сможем найти искомую s-фазу

б0 = arctg («^ th к%) — ka.(14.50)

Последнее выражение мы можем упростить при ха》ka (Уо》Е)： 仇^月a(墻^一 1).(14.50а)

где

^а = 7 空沪 а.(14.51)

Подставляя (14.50а) в (14.35а) и учитывая, что при 々а《1 основной вклад дает s-рассеяние, найдем следующее выражение для эффективного сечения:

% = 4冗"2 (^^ - 1 )2 .(14.52)

В случае

ха < 1(14.53)

можно положить th ха 11

__^ 1-^.(^

Тогда, подставляя последнее выражение в (14.52), найдем эффективное сечение для о。, соответствующее борновскому приближению (см. (14.45)).

При ха 3 1 (например %-> 8)эффективное сечение (14.52) достигает своего максимального значения

\ ха ха /

и становится равным (см. также (14.16))

а0 = 4ла2, (14.54)

т. е. эффективное сечение в четыре раза превышает классическое значение, равное площади поперечного сечения, образуемого сферическим потенциальным барьером (аКл = ла2).

Причина этого, на первый взгляд парадоксального, результата заключается в том, что рассеяние следует учитывать дважды: первый раз ——непроницаемой сферой (классический результат); второй раз ——в теневой области, возникающей благодаря тому, что рассеивающая сфера вырезает в пучке падающих частиц цилиндр с основанием ла2 и нарушает равномерность распространения плоской волны.

Если бы рассеивались классические частицы, то после прохождения сферы они продолжали бы двигаться равномерно и прямолинейно, оставляя пустым это цилиндрическое пространство. Волны же так распространяться не могут. Они частично начнут заполнять это пространство (дифракция), благодаря чему будет происходить новое их рассеяние. Это и увеличивает значение эффективного сечения.

Дифракционные явления сохраняются и при больших энергиях ka》1 (Л-> 0), приводя при учете всех парциальных составляющих к удвоенному, по сравнению с классическим, сечению рассеяния о = 2ла2.

Выражение (14.54) не может быть получено в борновском приближении. Отсюда мы получаем критерий применимости бор- новского приближения

2 12m0V0«2 ~ 1

или ―< 1,

который для случая ka《 1 совпадает с соответствующим выражением, полученным нами выше (см. (14.28)).

Последние формулы легко обобщить на случай рассеяния прямоугольной потенциальной сферически-симметричной ямой. В этом случае в формуле (14.40) следует сделать замену Уо~^—Vo. Если производить вычисления в борновском приближении, то мы получим результат (14.45), поскольку квадрат % при такой замене остается без изменения.

Если производить расчет при больших значениях Vo, то при изменении знака у % мы должны в формуле (14.50) сделать замену /х.

Тогда для определения нулевой фазы вместо (14.50) находим выражение

б0 = arctg ("^tg/a) — ka,(14.55)

где

/2 =需(% +切=疟+庄

Сопоставляя формулы (14.55) и (14.50), мы видим, что в области малых значений х'а получим одинаковые значения фаз, а вместе с тем и эффективных сечений.

При возрастании % (а также х'а) в случае потенциального /th/

барьера величина -储口 монотонно убывает, в то время как соответствующая величина в случае потенциальной ямы ^^ начинает изменяться периодически в пределах от 0 до оо. В частности, при х^ =^ фаза обращается в -у (sin So= 1), а для эффективного сечения (14.35), соответствующего s-волне, мы получаем резонаноное значение

4Лa2

которое при 々а《1 во много раз превышает классическое эффективное сечение. Аналогичные резонансы должны иметь место при рассеянии других гармоник. Однако более детальные вычис- 』ения мы здесь опускаем. Основные особенности, которые на зтом простом примере были нами установлены, в качественном

отношении должны проявляться при рассеянии и от потенциалов других короткодействующих сил.

д) Рассеяние в кулоновском поле. Рассмотрим теперь рассеяние потока частиц с зарядом Z^o в поле ядра с зарядом Ze。. Энергия взаимодействия в этом случае определяется законом Кулона

V(r) = ^. (14.56)

Этот потенциал, в отличие от короткодействующих потенциалов типа потенциала Юкавы (14.17), слабо убывает с расстоянием г, что приводит, как мы увидим ниже, к существенным особенностям в поведении волновой функции в асимптотической области больших г.

Задаче о рассеянии в кулоновском поле (14.56) в классическом случае соответствуют гиперболические орбиты и, соответственно, положительные значения энергии частицы Е > 0. В квантовой механике эта задача, так же как и проблема Кеплера для Е V 0 (см. § 12), может быть решена точно.

Поскольку рассеяние предполагает аксиальную симметрию относительно направления падающих частиц (ось z), то удобнее перейти от сферических координат г, 9, ср к параболическим

e = г+ 2=广(1 +cos 许，

x\ = r — z = r(l —cos#), (1457) (p = a「ctg±,

в которых, как было показано в § 13, уравнение Шредингера в случае кулоновского поля также допускает разделение переменных.

Для аксиально-симметричного решения уравнения Шредингера угловая часть волновой функции Ф((р) не должна зависеть от ф, и поэтому мы положим

Ф (<р) = const = 1, (14.58) и, таким образом, полная волновая функция г|)может быть представлена в виде произведения

屮= 3(Е)%(П)， (14.59)

где функции %(Е) и /2(т)) удовлетворяют уравнениям

而(n丽)+ [彳n+闻% = 0.

В этих уравнениях k =“零，?>0, a постоянные разде^ •ления Bt и В2 связаны соотношением

ZZ’e?

8 + 82=一m。-^.(14.61)

Будем искать частное решение уравнений (14.60), которое для волновой функции 屮(14.59) при z~>—оо обеспечивает следующее асимптотическое поведение:

2 а 勿丝z-> — 8,(14.62)

что соответствует плоской волне, падающей из бесконечности в положительном направлении оси z на кулоновский центр. В параболических координатах это условие примет вид

ge®D/2(14.63)

при т| -> оо и произвольных значениях 自

Поэтому для 厶(&) выбираем частное решение

后⑹吟，(14.64)

которое удовлетворяет первому уравнению (14.60), если постоянную разделения Bi положить равной

B{ = -^k.(14.65)

.При этом, для того чтобы обеспечить асимптотическое условие (14.63), функция /г(Л)должна вести себя следующим образом:

%(п) = е2, t|f оо.(14.66)

Во втором уравнении (14.60) вместо т| введем новую безразмерную переменную

Р = М(14.67)

и будем в соответствии с условием (14.66) искать его решение в форме

，2(Р)= е ' %(Р)・(14.68)

Тогда для определения неизвестной функции 〃(р) получаем уравнение

р〃〃 + (1 — ip) 〃'一 Y〃 = 0, 1где

ZZze2m0

Этому уравнению удовлетворяет вырожденная гипергеометрическая функция (см. также (12.29))

①(а, в, %)=1+点■千 + 器招^+ ...(14.70)

при следующих значениях параметров а, р и аргумента %:

а = — Гу, р= 1, % = ip.(14.71)

Таким образом, для волновой функции 屮 получим частное решение

ik ~~

*ф = Се 2。2①(_也 I»)(14.72)

с неопределенной пока нормировочной константой С. Это решение конечно при р = 0, а его поведение при р -> оо определяется асимптотикой функции Ф в соответствующей области. В § 12 была приведена асимптотическая формула (12.30) для вырожденной гипергеометрической функции Ф(а, р, х) при | х | —> оо. Применяя эту формулу в случае (14.71), следует иметь в виду, что величины % и ——％ при воздействии в степень берутся с наименьшими по величине значениями аргумента, т. е.

(—%)-а = е 2 eiYlnp

Y(14.73)

д.а-р _2 e-/Y In p#

P

Учитывая эти равенства, с помощью разложения (12.30) находим при р》1

2

①(一油叫 1+^+ …］一

—叩 +(1474)

Воспользуемся этим результатом, чтобы найти асимптотическое значение ф-функции (14.72) при —оо (р —十8):

吟

^^С т^р^ e^z+R ш р.(14.75)

Как видно из этой формулы, в показателе экспоненты возникает дополнительный логарифмический член iy In р, который искажает плоскую волну даже на бесконечности. Полагая

С = ^ тГ(1+/у),(14.76)

получим, что требуемое асимптотическое условие (14.62) удовлетворяется с точностью до кулоновского логарифма у In р.

Найдем теперь асимптотическое поведение г|)-функции (14.72) при г-> оо, включая в рассмотрение, таким образом, не только прошедшую, но и рассеянную волну. В этом случае (% = =г — z-> 8) также применима асимптотика (14.74), с помощью которой, переходя к исходным переменным г и *0 и учитывая (14.76), будем иметь при г — 8：

g[l +g[l +У?L 1 pikz+i^ In kr (1 -cos 今) i既(1 -cos9)十• •

g[l +

g[l +

工(1 + W)Ypikr—i^ In kr (1- cos ^) Г1 JО + 伊)2 一 I

r(l~/Y)2厄切2^^r(l-cosO)

(14.77)

Ясно, что это разложение применимо для не слишком малых углов рассеяния й, т. е. когда

旣(1 Jcose《[，厉•(】」cos®)《L (14.78)

Это ограничение, однако, ослабляется с ростом г и на очень больших расстояниях от кулоновского центра становится прак

(14.77) с функцию(14.79)(14.77) с функцию(14.79)тически несущественным.

(14.77) с функцию

(14.79)

(14.77) с функцию

(14.79)

Отбрасывая малые члены в квадратных скобках учетом неравенств (14.78), можно записать волновую в виде суммы

屮=^ikz+iy In [kr (1-cos 心)1 + / ⑼一 e係r—iy In 2kr ,

где первое слагаемое представляет собой прошедшую волну (не плоскую, а искаженную логарифмическим членом), а второе слагаемое — рассеянную сферическую волну, также искаженную кулоновским логарифмом, зависящим от г. Амплитуда рассеяния f(9) в кулоновском поле согласно (14.77) равна

f (切=_f (切=_Г (1 + /у)T(I-zy)Г (1 + /у)T(I-zy)—iy In sin2 告—iy In sin2 告2々 sin2 -y2々 sin2 -y(14.80)(14.80)

f (切=_

f (切=_

Г (1 + /у)T(I-zy)

Г (1 + /у)T(I-zy)

—iy In sin2 告

—iy In sin2 告

2々 sin2 -y

2々 sin2 -y

(14.80)

(14.80)

Если определить дифференциальное эффективное сечение рассеяния по общей формуле (14.34)

то зависимость от логарифмической фазы исчезает, и мы найдем

do = ―dQ =俘 У е呼 /(14.81)

4胪 sin4 丁 4p4 sin4 丁

9 А. А. Соколов и др.

т. е. формулу Резерфорда (14.24) для рассеяния заряда Z^o в кулоновском поле заряда 2匈・

Полученная нами волновая функция (14.79) в отличие от случая короткодействующего центра (14.30), (14.32) содержит дополнительную логарифмическую зависимость от г и *&. Поэтому при выводе разложения амплитуды рассеяния (14.80) по сферическим волнам (14.33) в кулоновском случае эта зависимость должна быть учтена.

Рассмотрим интеграл S/ от произведения амплитуды f(行) (14.80) на полином Лежандра P/(cos 今)：

зт

ik \ d" sin 今/ (今)Pt (cos 今)=

COS 00

=一川4!注爲 2"，) 厶(1 一犷ifp{) = S/, (14.82)

где в качестве нижнего предела интеграла по 今 мы выбрали некоторый малый угол 今о 忿 1 такой, чтобы для всех 今 > "о выполнялись неравенства (14.78), обеспечивающие асимптотическое разложение волновой функции.

Умножив правую и левую части равенства (14.82) на Pi (cos ^) при 仇 и просуммировав по / с помощью условия полноты полиномов Лежандра

2 2'^ 1 Р/ (cos 今)Р/ (cos У) = S (cos 今一cos &), (14.83) 7=0

запишем амплитуду в форме

f^ = iX 門丄 S/Р/ (cos 吼 (14.84)

причем здесь угол 今 > "о.

Однако для того чтобы получить разложение /(*&) по полиномам Лежандра в виде (14.33), мы должны исключить зависимость от угла 今о в интеграле Si путем перехода к пределу "of 0. Такой переход непосредственно в интеграле (14.82) приводит к неопределенности вида 今仅況* связанной с неприменимостью выражения (14.80) для амплитуды f^) при *& = 0. Мы можем обойти эту трудность с помощью следующего приема. Заменим у в интеграле (14.82) комплексной величиной, содержащей малую мнимую добавку ?->丫 + 沌,причем е > 0. Тогда, перейдя к пре-

делу 今о —0, вычислим интеграл по %

(14.85)(14.85)\ d% (1 —幻T+"iY Pt (х),—1

(14.85)

(14.85)

после чего устремим е к нулю.

Представим полином Р/(%) в дифференциальной форме

?（%）=备?（%）=备/(/-I)»dxl/(/-I)»dxl

?（%）=备

?（%）=备

/(/-I)»dxl

/(/-I)»dxl

и возьмем интеграл I раз по частям. Тогда вместо (14.85) получим

1

\ d%(l — х)х Pi (х)=

1

=(—1)/厶(％ — 1)j『T + l)J(1 -х/(1 +x)zdx, (14.86)

где 入=—1 +е — iy.

Воспользуемся далее известным интегралом 1

卜1 一炉(1 +方d% = 2宀+1Ц^^，

справедливым, когда Re X >—1 (Re — действительная часть). Подставим этот интеграл в выражение (14.86) и устремим & к нулю; это дает

3 (1*_『Л (Х)= 2*(I + iY)(jK)+，Y)riY) еМ。(14.87)

Поскольку — /уГ (•"• ^Y) = Г (1 — /у), то окончательно найдем

о _ F (/ + 1 + 蟀)/14 оо\

Г — Г (/ + 1 — /у) *(14.88)

Таким образом, разложение амплитуды может быть записано в виде

f(吁 贵 £ ⑵ + 1)購㈡^ Pl (cos 纵 (14.89} z=o

причем оно справедливо при 9 > 0. Как видно, это разложение соответствует общей формуле (14.33), при применении которой

нужно учесть, что согласно (14.83) при *0* =# 0

玄⑵+l)Pz(cose)= 0・ 【■о

Сравнивая (14.89) и (14.33), определяем фазу рассеяния 6/：

di = -argr(/+ 1 - /у).(14.90)

Нужно, однако, учитывать, что фаза 6i отличается от полной фазы рассеяния на величину кулоновского логарифма (см. (14.79)), который растет с ростом г, но не зависит от 厶

Если бы мы с самого начала искали решение уравнения Шредингера с определенным орбитальным моментом /, то уравнение для радиальной функции и = rRi можно было бы записать в виде

窮 + (公—竿一 1(HJ1) 〃 = °. (мд。

При больших значениях г, когда можно пренебречь величинами порядка -Д-, асимптотическое решение уравнения (14.91) принимает вид

sin (好 一 丫 In 2就一孚 + 〃 )

1;(14.92)

В этом нетрудно убедиться, если подставить последнее выражение в (14.91). Тогда сократится не только основной член, пропорциональный 〃，но благодаря введению фазы у In 2kr и член, пропорциональный £・ Фазу -у- мы написали для того, чтобы при 7 = 0 величина & также обратилась в нуль, поскольку асимптотическое решение (14.92) должно перейти в асимптотическое решение для свободной частицы.

Для того чтобы найти фазу б/, мы должны прежде всего написать точное решение уравнения (14.91), которое имело бы место как при малых, так и при больших значениях г. Это решение может быть записано через вырожденную гипергеометрическую функцию Ф(а, ₽, у) (14.70) при помощи соотношения

Ri = const 尸江一加①(/ + 1 — Zy> 2/ + 2, 2ikr).

Затем следует учесть поведение функции Ф при г—>оо, которое следует из асимптотической формулы (12.30). Тогда найдем, что

^fer—~- Z— у In 24г)— i (々г -*^» Z— у In 2kr

汉(1 + 1 一 仪),T(/ + 1 + W)

Далее, полагая

门/+ 1干2 = I门， + 1 一你)I e干气

где

6/ = -argr(/+ 1 -改)，(14.93)

получаем асимптотическую формулу (14.92), но уже с заданной фазой 6/, которая совпадает с выведенным выше значением (14.90).

В случае, когда 卩一iy|》l, воспользовавшись формулой Стирлинга

К(/ + 1 i) 旧(±Ц*广…，

можно найти для фазы значение

& 比(/ + i/Jarctg»^^ + Y (in “(「+%)2 + 丫2 一 1).(14.94)

Как и следовало ожидать, при у->0 (отсутствие кулоновских сил) 6/->0.

МЕТОД РЕДЖЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

Понятие 。 полюсах Редже. При исследовании движения частиц в центрально-симметричном поле и в задаче о рассеянии весьма плодотворным оказался метод Редже, который заключается в том, чтобы рассматривать волновую функцию и амплитуду рассеяния как функции комплексной переменной орбитального момента /. Покажем, как с помощью метода Редже может быть установлена связь между задачей о рассеянии и проблемой отыскания дискретных уровней энергии связанных состояний в поле У(г).

Запишем уравнение Шредингера (11.53) для радиально立 функции u = rR (г) в центрально-симметричном поле V{r)

争+ (必一争У⑺一号% =伸力

где

胪=2恤£7胪.

Общий вид решения этого уравнения при малых г, когда можно пренебречь членом k2 — 2moV(r)/ft2, таков (см. (12.12)):

щ c^C{rl+1 + C2r^1.

r-»0

Исключим неограниченно возрастающее при г = 0 решение, полагая Сг == 0, и выберем G = 1, тогда

Ui^rl^\ г->0.(15.2)

Будем считать, что величина / может принимать также и произвольные комплексные значения, тогда выделить второе решение на фоне первого можно только, если

Re(/+l)>Re(T),

где Re ——действительная часть, т. е.

Re(/+%)>0・(15.3)

Если же Re(/ + 7г) < 0, то второе решение убывает быстрее первого и его всегда можно добавить к первому, не изменяя характера асимптотического поведения функции щ при малых г. Ясно, что в этом случае теряется однозначность выбора решения. Итак, уравнение (15.1) и граничное условие (15.2) с учетом (15.3) определяют функцию щ единственным образом.

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение ш при больших значениях г. При г-> оо потенциал V(r) -> 0 и в уравнении (15.1) можно пренебречь членами, пропорциональными У (г) и /(/ + 1)/г2, тогда

芻+依仰=0・(15.4)

Общее решение этого уравнения

4/ =力(胪)e-加 + gi 他2)即，(15.5)

，今8

описывает асимптотическое поведение любого решения уравнения (15.1) и, в частности, искомого, удовлетворяющего граничному условию (15.2). При этом считается, что поле V(r) убывает на бесконечности быстрее кулоновского.

Поскольку уравнение (15.1) и граничное условие (15.2) содержат зависимость от параметра / аналитическим образом, то решение Ui(r) также должно быть аналитической функцией переменной /. При вещественном / и А2 > 0 из вещественности функции ui следует, что

gz = f；・(15.6)

Если же / комплексно, то из условия (15.2) получаем

〃/*&) = 〃；(「)，(15.7)

и поэтому в случае А2 > 0 соотношение (15.6) заменяется следующим:

&* =足(15.8)

С другой стороны, согласно полученному ранее выражению (14.32) функцию Ui =向 при г-> оо можно записать в виде ,(г) = G sin (旣一^ + 仇)=

导 ^ini^i^(«-血—e-ini+2idleikry (15.9)

При этом необходимо отметить, что для комплексных значений / фаза б/ уже не будет вещественной.

Сравнивая (15.9) с (15.5), для функции

& = /叱(15.10)

входящей в разложение (14.33) амплитуды рассеяния /(*&) по парциальным волнам, получим следующее выражение:

$ =产吃=一鲁/e,(15.11)

определяющее аналитическое продолжение функции S/ на комплексную область переменной /. Учитывая связь (15.8) при комплексных /, вместо условия ] S/ ]2 = 1 будем иметь

S/S；*=L(15.12)

Функция 〃/(г), а вместе с ней fz и gt представляют собой, как уже отмечалось, аналитические функции I в полуплоскости Re / > —1/2・ Поэтому функция S/ в этой же области не может иметь никаких особенностей, кроме полюсов в тех точках, где 厶 обращается в нуль:

力伐 2) = 0.(15.13)

Решения этого уравнения будем нумеровать индексом i:

/ =勿(必).(15.14)

Полюсы функции S/ в комплексной /-плоскости обычно называются полюсами Редже. Функции а/(А2), определяющие движение полюсов Редже в /-плоскости при изменении энергии, называются траекториями Редже.

Покажем теперь, что при 左2 > о полюсы Редже расположены в верхней полуплоскости 1ш/ > 0. Для этого запишем уравнение (15.1) и аналогичное уравнение с комплексно-сопряженным значением L

Умножив первое уравнение на “戸, а второе на ш, вычтем одно из другого:

d2Ujd2u^亠亠 UfUt*

"厂-^5Щ dr2 = (^ — 0 (^ + ^ + 1) 7厂.(15.15)

Проинтегрируем это равенство по г в пределах от 0 до оо, учитывая, что

Подстановка нижнего предела г = 0, благодаря условию Re / > —7г, дает нуль, а на верхнем пределе подставляем асимптотическое выражение (15.5)

之二察一"z ^" = 2我(g厶_g/)"

Принимая во внимание соотношение (15.7), в результате находим

2Im/-Re(/ + %) \ 学公=论值力* 一 出力). (15.16) о

Интеграл в левой части равенства сходится, так как на нижнем пределе согласно (15.2) и (15.3) имеем

疗 4 产，Re2/>- 1,

а на верхнем пределе щ при 左2 > о осциллирует по закону (15.5).

Пусть / лежит на траектории Редже I = az (А2) при А2 > О, т. е. £ > 0, что соответствует несвязанным состояниям в задаче о рассеянии. Тогда, вспоминая равенство (15.8) и принимая во внимание, что на траекториях Редже L = 0, получим

2Im/・Re(/+%)\ ^^dr = k\gl Р. (15.17) о

Отсюда, очевидно, следует неравенство 1т/>0, если А > 0 и Re/>-】/2・

Рассмотрим теперь траектории Редже в области отрицательных энергий Е < 0, когда А2 < 0 и следует положить

k = int х > 0.(15.18)

В этом случае вместо решения (15.5) будем иметь при г-> оо щ (г) = gi (— к?) е-кг + h (— 乂2)产.(15.19)

Г->оо

На траектории Редже / = а《一х2) коэффициент fi(—х2) = 0, поэтому экспоненциально возрастающее решение отсутствует и

остается только затухающее при г + оо решение

щ (г)=且传一乳，(15.20)

Г->оо

Условие (157) при 左=配(% > 0) дает

g/* = g；，% =，；，

и тогда из соотношения (15.16), в котором сходимость интеграла очевидна из равенства (15.20), следует Im / = 0, т. е. в этом случае полюсы Редже лежат на вещественной оси.

При изменении вдоль вещественной оси величина /=а/(—х2) может принимать физические значения, т. е. равняться целому неотрицательному числу

/ = %(—%2) = о, 1, 2, ...(15.21)

При этих значениях / функция ш{г) описывает связанные состояния системы, затухающие на бесконечности согласно (15.20) и отвечающие дискретным уровням энергии EvO, которые определяются из уравнения (15.21). На одной траектории с номером / может лежать несколько связанных состояний, отвечающих значениям / = 0, 1, 2, ... Они образуют семейство, характеризуемое квантовым числом i.

Полученные таким образом уровни энергии системы должны совпадать со спектром энергии, задаваемым решением уравнения Шредингера.

Рассмотрим в качестве примера кулоновское поле, в котором, как было показано выше (см. (14.88)):

"22)

где у = ZZ^mQl^k. Как известно, гамма-функция обращается в нуль, когда ее аргумент равен целому отрицательному числу или нулю. Поэтому полюсы функции (15.22) будут лежать на траекториях

/+ 1 -/Y = -% = 0, - 1, 一2,...(15.23)

Как видно, на каждой траектории Редже имеется бесконечное число связанных состояний, которые характеризуются общим квантовым числом пг, т. е. числом нулей радиальной функции R/, и разными значениями /, так что при / = 0, 1, 2, ... находим пг + / + 1 = ^ = h 2, 3,...

Пусть заряд ядра Z > 0, а заряд частицы Z7 = —1 (элек* трон). Поскольку

то из уравнения (15.23) получаем энергетический спектр водородоподобного атома (12.41)

_Z2e^0

£九=2力2饋.

Таким образом, наряду с уравнением Шредингера мы получаем эквивалентный ему способ описания стационарных связанных состояний по траекториям Редже.

Резонансы. Заметим, что, помимо связанных состояний, полюсы Редже могут определять и так называемые квазистацио- нарные состояния, или резонансы. Им отвечают комплексные значения «энергии»

Е = Е0-/ЙЛ/2,(15.24)

где Ео > 0, а малая величина 九 > 0 равняется вероятности распада резонанса, поскольку квадрат модуля волновой функции, равный вероятности исходного состояния 侬о：

g = I 2 F = const е~",

оказывается экспоненциально убывающим с течением времени (см. также § 5, формула (5.130)). При этом в асимптотическом при г —> оо решении остается только расходящаяся волна

что как раз и соответствует тому, что в результате распада частица уходит на бесконечность.

Для того чтобы определить постоянную распада %, предположим, что траектория Редже проходит недалеко от действительной оси рядом с физическим значением момента h — целым и положительным:

а (£0) = lQ = h + ilu,(15.25)

где h = Re а(Ео) = 0, 1, 2, ..., а мнимая добавка /〃，согласно доказанному выше, положительна (/〃 > 0) и при этом 历《1.

Тогда вблизи полюса /0 имеем разложение

力(?) 4 (М(2 - /。)+ (器)°一瓦)•(15・26)

На траектории Редже 九(综)=0, очевидно,

(果)。出+(%m=a

* *g//SE)o — Г а/ \ = да

(32% 一 一丿0_一 西，

Тогда в гочках / = // = 0, 1,2,... имеем

力(e)=(器I b-瓦 + ""/(盜)]•(15・27)

Как видно из этого соотношения, нулям функции 〃(Е) соответствуют комплексные значения энергии вида (15.24), причем величина % равняется

九=2/"/九(議)(15.28)

Для того чтобы состояние было затухающим во времени, производная да/дЕ^ должна быть положительной.

Таким образом, траектория Редже, проходя через положительные целые значения / на вещественной оси при отрицательных значениях энергии, определяет связанные состояния. С ростом энергии, когда она становится положительной, траектория Редже выходит в комплексную верхнюю полуплоскость Im Z > О и, проходя вблизи физических значений /, может обеспечивать появление резонансных состояний.

Метод комплексных полюсов Редже, некоторые применения которого в нерелятивистской квантовой механике мы только что продемонстрировали, в настоящее время находит широкое применение в физике высоких энергий. При этом оказывается возможным не только обобщить классификацию связанных состояний и резонансов по траекториям Редже для систематики элементарных частиц, но также и сделать весьма существенные выводы об асимптотическом поведении сечений реакций частиц при высоких энергиях.

АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Напишем уравнение Шредингера при наличии не только статического электрического поля (скалярный потенциал Ф), но и статического магнитного поля (вектор-потенциал А).

При этом будем исходить из классического выражения для энергии

e=贏 + 皿(16.1)

где

Р = Р-^А(16.2)

—кинетический импульс.

Для того чтобы сделать переход к квантовому уравнению, мы должны, как обычно, в (16.1) вместо импульса р подставить оператор

р f р =—簿 V

и подействовать операторным выражением на волновую функцию ф (см. также (2.33)):

[e - 誌"(Р - ^ ay -ё①"=0・(16・3)

Раскроем далее соотношение

(р —^а)屮=(р2—/(рА)—/(ар) + ±42)也

где мы в линейном приближении имеем право отбросить члены второго порядка малости &A?J®、а для статического магнитного поля (div А = 0) можно положить

(р4)«ф = (4р)屮.

Тогда уравнение Шредингера для электрона при наличии не только электрического, но и магнитного поля принимает форму

(E-昂+ 謚(4p)-g* = °・(16.4)

Эффект Зеемана. В 1896 г. Зееман обнаружил, что спектральные линии атомов, помещенных в магнитное поле, расщепляются на несколько компонент. Это явление получило название эффекта Зеемана.

С тех пор эффект Зеемана играет большую роль в исследовании строения атома и в особенности его магнитных свойств. Вместе с экспериментальным обнаружением все новых особенностей зеемановского расщепления развивалась также и его теория.

Рассмотрим прежде всего с помощью уравнения (16.4) зеемановское расщепление спектральных линий водородоподобного атома, помещенного в постоянное и однородное магнитное поле, которое мы направим по оси z.

Полагая в этом случае

g =-, 制*=能" = 0,能2 =能，(16 5)

4% == y^^/2, Ay：s= x^^/2；

находим

где оператор проекции момента на ось z равен

Подставляя последние соотношения в (16.4), запишем уравнение Шредингера для атома в постоянном магнитном поле

{屮+争(Е_ 鍛 Lz + W)}2 =。.(16.6)、

Последнему уравнению удовлетворяет волновая функция вида 2Ml = &《)У7(仇屮)，(16・7)

где У『一шаровая функция (см. (10.67)), a Rni(r) —радиальная составляющая функции водородоподобного атома (см. (12.37)).

В этом нетрудно убедиться, если учесть соотношение L/h = =ЙтУГ, с помощью которого (16.6) можно привести к виду

К+争 9+单)}2=。’(16.8)

где =(16.9)

2/ПоС' 丿

Уравнение (16.8) точно совпадает по математической форме с уравнением Шредингера для водородоподобного атома, собственные функции которого описываются формулой (16.7), а для определения собственных значений имеем соотношение

р， 力RZ2

Отсюда находим энергию водородоподобного атома, помещенно

R%Z2 . e^h h+^h・R%Z2 . e^h h+^h・(16.10)(16.10)го в магнитном поле,

R%Z2 . e^h h+^h・

R%Z2 . e^h h+^h・

(16.10)

(16.10)

Епт =

Из последней формулы видно, что магнитное поле нарушает центральную симметрию, а вместе с тем снимает вырождение по магнитному квантовому числу /л, свойственное любым центральным силам.

При переходе электрона из квантового состояния п, т в квантовое состояние 忆 т7 должна излучаться частота

s = *也 %峯电一=①m + o(m -加)，(16.11)

где ларморова частота

(16.11а)(16.11а) «о彌0 — 2moe

(16.11а)

(16.11а)

Отсюда видно, что на частоту спектра водородоподобного атома

*一网(十一 J

должно накладываться зеемановское расщепление спектральных линий, которое, учитывая правила отбора для магнитного квантового числа (Am = 0, ±1), дает триплет (нормальный эффект Зеемана)

As = о Д/п = 0, 土 о.

Последний результат совпадает с известным результатом, полученным по классической теории Лоренца, согласно которой каждая спектральная линия атома, помещенного в магнитное поле, расщепляется на три или две линии (по направлению поля, так как несмещенная компонента, обязанная колебаниям вдоль оси z, должна отсутствовать).

Заметим, однако, что нормальное зеемановское расщепление спектральных линий (триплеты и дублеты) встречается сравнительно редко, а именно, в следующих случаях: 1) в сильных магнитных полях (эффект Пашена — Бака); 2) когда суммарный спин электронов в атоме равняется нулю (например, в парагелии, у которого на внешней оболочке имеется два электрона с противоположно направленными спинами).

В противном случае мы имеем более сложное расщепление (более чем на три линии), получившее название аномального эффекта Зеемана, который связан со спиновыми свойствами электронов. При этом так называемое спин-орбитальное взаимодействие приводит к возникновению мультиплетной структуры спектра атома, и приложенное магнитное поле расщепляет отдельные компоненты мультиплетов. Это расщепление не нарушит мультиплетную структуру, если энергия расщепления будет меньше расстояния между компонентами мультиплета. Для этого необходимо, чтобы магнитное поле не было слишком сильным. Теория аномального эффекта Зеемана может быть построена только на основе уравнения Дирака, что и будет сделано в § 20.

В теории, не учитывающей спин электрона, появление дополнительного члена для энергии при включении магнитного поля (см. (16.10)) может быть интерпретировано как наличие у атома орбитального магнитного момента, который и дает дополнительную энергию

аемагн _ -(m箔)=-卩z非="^^m非.

Отсюда для орбитального момента получаем значение

厌=—卩 о®(16.12)

где элементарный магнитный момент

眯• КГ' эрг • Гс"1

получил название магнеюна Вора、

Магнетону Бора должны быть кратны все магнитные моменты атомов.

Принимая во внимание, что для проекции механического момента на ось n мы имеем

Lz = titn.

находим соотношение между моментами (гиромагнитное отношение)

(16.13)(16.13)Kzе。

(16.13)

(16.13)

Lz —2moe

известное также и из классических соображений.

Спин электрона. Теория Шредингера объясняет наличие лишь орбитальных механического и магнитного моментов, т. е. моментов, возникающих благодаря движению заряженного электрона в атоме. Основными формулами, которые характеризуют эти свойства, являются формула (16.13) для отношения орбитального магнитного и орбитального механического моментов и формула (16.12), указывающая на то, что число возможных ориентаций магнитного момента относительно оси г должно быть обязательно нечетным, так как число состояний с различными квантовыми числами m равняется 2/ + 1.

Экспериментальная проверка показала, что выводы теории Шредингера не укладываются в общую схему опытных данных, анализ которых привел к открытию спиновых свойств электрона. Остановимся кратко на результатах этих экспериментов.

В опытах Эйнштейна — де-Гааза (1915 г.) по экспериментальной проверке гиромагнитного отношения (16.13), которое мы представим в виде

巻= — (16.14)

значение множителя Ланде g, вопреки теории Шредингера (а также и классической механике), было найдено равным не единице, а двум (g = 2).

В опытах Штерна и Герлаха (1921 г.) изучалось поведение пучков атомов в неоднородном магнитном поле.

Исследуя расщепление пучка атомов в s-состоянии, когда орбитальные (механический и магнитный) моменты атома согласно (16.12) равны нулю (т = 0), Штерн и Герлах нашли, что атомы в s-состоянии обладают все же магнитным моментом, причем проекция этого момента на выделенное направление z принимает два значения:

Результаты измерений величины 眯 показали, что этот магнитный момент равен магнетону Бора

(16.16)

Чтобы объяснить и согласовать между собой результаты этих двух классических опытов, Уленбек и Гаудсмит выдвинули гипотезу, согласно которой электрон наряду с орбитальным моментом должен обладать еще собственным механическим, а следовательно, и собственным магнитным моментом. Этот механический момент получил название спина электрона в связи с попыткой связать его с внутренними вращательными степенями свободы (классическая модель вращающегося волчка; по-английски to spin — вертеть). Следует сразу же подчеркнуть, что никакой классической теории спина не существует. Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита, собственный механический момент электрона должен быть равен〔/2九，так что

Sz = ±* (16.17)

т. е. квантовое число, которое характеризует проекцию спина на ось z, должно принимать не целые, а полуцелые значения (加8 = ±1/2) • Характерное отличие целых (например, орбитального 厶 магнитного 加)от полуцелых (спинового ш^ квантовых чисел сводится прежде всего к числу возможных состояний. Целые числа всегда дают нечетное число состояний (при I = О существует одно состояние m = 0; при Z = 1 — три состояния 加=0, +1, —1 и т. д.). Полуцелые же квантовые числа дают четное число состояний (например, при s = 1/2 мы имеем два состояния: /и§ ===+%, —72； при s = 3/г — четыре и т. д.).

Предположение о существовании полуцелых квантовых чисел было введено еще до гипотезы Уленбека и Гаудсмита как попытка объяснить дублетное расщепление термов одновалентных атомов. Опыты Штерна и Герлаха показали, что возможны два внутренних состояния электрона в одновалентных атомах, т. е. доказали, что спин электрона следует характеризовать полу- целыми квантовыми числами, которые соответствуют двум его противоположным ориентациям. Поскольку из опытов Эйнштейна—де Гааза следовало, что в формуле (16.14) множитель Ланде g = 2, то принимая во внимание значение для соответствующего механического момента (16.17), было установлено, что проекция собственного магнитного момента на ось г должна равняться магнетону Бора

После введения спина электрона не только магнитные свойства, но и мультиплетное расщепление спектральных линий атомов нашли свое объяснение.

6)Уравнение Паули. Нерелятивистское волновое уравнение, учитывающее собственный магнитный момент электрона, впервые бьйю предложено Паули. С этой целью обычный гамильтониан уравнения Шредингера был дополнен членом, который учитывал еще взаимодействие собственного магнитного момента электрона с внешним магнитным полем Ж:

1/口 =一(m能).(16.19)

Тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид:

{Е - Нш + (м箔)}巾=0,(16.20)

где гамильтониан уравнения Шредингера

нШ = '2Ь(р_7 АУ + еФ- (16.21)

Далее необходимо было найти соответствующие величины для описания собственного магнитного момента электрона. Как известно, введение спина связано с введением четвертого квантового числа, которое должно характеризовать внутренние свойства электрона. Волновая функция 屮 частицы может зависеть только от трех квантовых чисел, соответствующих квантованию трех пространственных координат. Для описания спина и введения четвертого квантового числа Паули вводит вместо одной волновой функции 屮 две волновые функции 4rl и 4r2・ В этом случае одна волновая функция будет описывать состояние с одним направлением спина, а другая — с противоположным; само же волновое уравнение должно представлять собой систему двух уравнений.

Как известно, система двух уравнений, например

"1浬1 + 52% = 0, a21K+q22% = 0, может быть представлена одним уравнением в матричной записи：

⑷俚)= (：；； ：；；)©)=。，(16.23)

если учитывать при этом закон умножения матриц (с) = (а) (&): элементы матрицы-произведения равны сумме произведений элементов строк первой матрицы на соответствующие элементы столбцов второй матрицы, т. е.

с,&= £ ain^nk*(16.24)

Паули предложил выбрать волновую функцию 4r в виде матрицы с одним столбцом 屮=（屮；），а собственный магнитный момент электрона положить равным

现=一模0（匕（16.25）

где 因一магнетон Бора,『一три двухрядных матрицы Паули

《=（；：），а=с -；），《=С _；），（16.26） которые будем обозначать буквой о； （той же буквой без штриха описываются четырехрядные матрицы Дирака）. Матрицы （16.26） характеризуют проекции вектора спина на оси координат.

Используя правила умножения матриц （16.24）, легко показать, что матрицы Паули обладают следующими свойствами.

Квадрат каждой матрицы равен единице:

о： = of = о? = Г,（16.27）

где через Г обозначена двухрядная единичная матрица （； ；）.

Различные матрицы антикоммутируют друг с другом, причем

*=一喇=a，

0网=一0网=%（16.28）

о& = — о& = io^-

Учитывая значения матриц, нерелятивистское уравнение Паули можно представить в виде

{（Е —Нш）（； °） — Но［（,练+ （；—；）猶 +

+ （； 一：）爲J}（16.29）

Это матричное уравнение эквивалентно системе двух обычных уравнений:

（Е 一 h111 一 卩o%z）用 一 но （Ж 一 力務）中2 = 0, 什

（Е ~ Нш + 岡舒J 屮2 — 眯0 （%% + ЭД^1 = о.

В частности, рассмотрим случай движения электрона в магнитном поле, направленном по оси г （筛=殯=0，搖=非）• Учитывая при этом гамильтониан уравнения Шредингера при наличии магнитного поля （16.8）, находим для описания движе-

ния электрона два уравнения:

{ е + e（）①一卩0為fn 一模0翁{ e + е0①-卩o%Z71 + 模0%{ е + e（）①一卩0為fn 一模0翁{ e + е0①-卩o%Z71 + 模0%2/По р2 2/по2/По р2 2/по№=о,}% = о,№=о,}% = о,（16.31）（16.31）

{ е + e（）①一卩0為fn 一模0翁{ e + е0①-卩o%Z71 + 模0%

{ е + e（）①一卩0為fn 一模0翁{ e + е0①-卩o%Z71 + 模0%

2/По р2 2/по

2/По р2 2/по

№=о,}% = о,

№=о,}% = о,

（16.31）

（16.31）

где энергии 卩о匏加 и ±卩（）箔 характеризуют соответственно взаимодействие орбитального и спинового моментов с магнитным полем 箔.В частности, для s-состояний магнитное квантовое число т равно нулю, и поэтому уравнение Паули принимает вид

（е + e。①一зо能一聶）用=0,（е + e。①一зо能一聶）用=0,（e +例①+卩0能（e +例①+卩0能（16.32）（16.32）

（е + e。①一зо能一聶）用=0,

（е + e。①一зо能一聶）用=0,

（e +例①+卩0能

（e +例①+卩0能

（16.32）

（16.32）

т. е. волновая функция 用 описывает состояние, в котором собственный механический момент электрона （т. е. спин） направлен по оси г, а волновая функция 4f2 — против оси г. Эти две возможные ориентации собственного магнитного момента, направленного антипараллельно механическому, и наблюдались в опытах Штерна и Герлаха.

В качестве функции W+ Паули предложил выбрать так называемую эрмитово сопряженную волновую функцию, т. е. матрицу 屮+ =（屮;，屮；），элементы которой не только комплексно сопряжены, но и транспонированы, т. е. строки заменены столбцами. Иначе говоря, если 中 есть матрица ——столбец, то Т+ будет матрицей ——строкой с комплексно сопряженными элементами. Тогда для плотности вероятности будем иметь выражение 屮+可=（哨叫）停:）=屮浊+吨4r2,（16.33）

в котором учтена возможность двух направлений спина.

Аналогичным образом должны образовываться и другие матричные элементы.

Например,

屮％Х =（叫屯）© _；）（：；）=呜用一叫屮2,（16.34）

т. е.屮;4rl и 吟1% характеризуют плотности вероятности состояний, в которых электрон имеет ориентацию спина соответственно по и против оси N. Зная выражение для собственного магнитного момента в теории Паули

ц=/

М 2/ИоС “ '

а также соотношение ническим моментами, штейна — де Гаазаа также соотношение ническим моментами, штейна — де Гаазанаходим, чтонаходим, чтоS = ^ 力『，(16.35)S = ^ 力『，(16.35)

а также соотношение ническим моментами, штейна — де Гааза

а также соотношение ническим моментами, штейна — де Гааза

находим, что

находим, что

S = ^ 力『，(16.35)

S = ^ 力『，(16.35)

между собственными магнитным и меха- которое следует из экспериментов Эйн-

т. е. в согласии с другими опытными фактами проекция механического момента на ось г равна ±Й/2.

Поскольку оператор спина выражается через матрицы Паули, его составляющие не должны коммутировать между собой, и 双ля них с помощью равенств (16.28) и (16.35) можно найти перестановочные соотношения:

SxSy — SySx = i 力 Sz,

S“Sz - S^y = ihSX9(16.36)

SZSX1 S*Sz = ihSy.

Следует указать, что аналогичные перестановочные соотношения были установлены для составляющих орбитального момента (см. (10.75) и (10.76)), которые были операторами, составленными из производных.

Заметим также, что в теории Паули абсолютное значение собственных механического и магнитного моментов вводится по существу эмпирически.

Разделение спиновых и координатных функций. Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле 歌 Покажем, что в этом случае решение уравнения Паули распадается на произведение координатной и спиновой частей.

Для этого решение ищем в виде

(挑 3)=2(小(第)•(16.37)

Тогда легко показать, что «координатная» часть волновой функции 屮 &,/) удовлетворяет обычному уравнению Шредингера, не учитывающему спин

协吗,f)「н114 g /),(16.38)

а спиновая часть волновой функции может быть найдена из уравнения

呜(^3) Н m。第(獄:).(16.39)

Нормировка спиновой части волновой функции будет

©%(*；)= &G + С；С2 = 1.(16.40)

В случае постоянного во времени магнитного поля в послед* них уравнениях легко вычислить еще и временную часть. Для этого следует положить

2(?，f) = e-市科一/)%(?).(16.42}

Тогда для определения не зависящих от времени частей волновой функции, а также энергии имеем

(Е — Е$) 2 = Нш<ф,(16.43)

旦(^) = №(。图(^).(16.44}

Далее найдем собственные значения проекции спинового момента, если ось г направлена по магнитному полю. Тогда исходное уравнение принимает вид

邑(м)=秋(з，(16.45)

где

Sz=4(； -；)•(16・46)

Матричное уравнение (16.45) эквивалентно двум однородным алгебраическим уравнениям

十& -九& = 0,

1(16.47)

万С2 +九С2 =。.

Нормированные решения этих уравнений имеют вид

% = }, с (у) = ( J ) И л = —у, С (—+) = (；)• (16.48〉

Первое, очевидно, соответствует случаю, когда спин направлен по оси 2, второе — случаю, когда спин направлен против оси 2・

Согласно (16.44) энергия для обоих состояний соответственно равна

旦=卩0非 для 九 u*^ и Es =一 No彌 для Л = —^-. (16.49}

Электрон в магнитном поле. Предположим, что электрическое поле равняется нулю, т. е. Ф = 0, и имеется постоянное и однородное магнитное поле Ж. В этом случае уравнение Шредингера для электрона, так же как и в задаче Кеплера, может быть решено точно. При этом спиновая часть волновой функции и соответствующий член в энергии определяется формулами (16.48) и (16.49), полученными в предыдущем п. г).

Рассмотрим уравнение Шредингера (16.3), в котором положим Ф = 0, и, кроме линейных, учтем также квадратичные члены по вектор-потенциалу А. Тогда с помощью соотношений (16.5), в которых для потенциальной энергии следует взять значение заряда ядра Z = 0, получим следующее уравнение:

{說■+嚣停+方+縱J}2 = e业 (16.50)

Решение этого уравнения, в которое вектор-потенциал А подставлен в симметричном виде (16.5), необходимо искать в цилин・ дрических координатах г, ср, г. Они связаны с декартовыми координатами %, у, 2 соотношениями

так чтотак чтоx = r cos qp, у = г sin ф, 2 = 2,(16.51)

так что

так что

(16.52)(16.52)Г2 = X2 + у2.

(16.52)

(16.52)

Принимая во внимание обшие формулы для лапласиана в криволинейных координатах (10.14), в цилиндрических координатах с помощью (16.51) уравнение (16.50) запишем в виде

一奈［备+ ；导+ =轰+禽-Y2产+ 2押击］2=e也

(16.53)

где у = Со箔/2%с.

Решение последнего уравнения ищем в виде, явно учитывающем разделение переменных:

/阿 JEN"标"匸/阿 JEN"标"匸R()R()(16.54)(16.54)

/阿 JEN

"标"匸

/阿 JEN

"标"匸

R()

R()

(16.54)

(16.54)

где l — азимутальное квантовое число, принимающее значения I = 0, ±1, ±2,...,々з — проекция волнового вектора на ось 2. Тогда для определения радиальной функции R(r) получаем уравнение

含一与一2Y/一Y2产 + 等一忌)R = 0, (16.55)

которое можно привести к более удобной форме, вводя безразмерную переменную р = 丫产：

(Р矗+击+九一彳_今—亲)火=a (16・56)

гдегде(16.57)(16.57)2/n（）е -力%々

где

где

(16.57)

(16.57)

4Y力2

Будем вначале считать, что орбитальное число /^ 0, тогда решение уравнения (16.56), учитывая асимптотическое поведение радиальной функции

R 〜е-о/2 (р —8), R 〜р〃2 (р —0),(16.58)

может быть выражено через функции Лагерра, введенные в § 13 (см. (13.24)). Таким образом, решение (16.56), конечное в нуле и на бесконечности, будет следующим:

R〃s (р) = const 厶$ (р),.(16.59)

где функция Лагерра равна

〃s (р) =(Р),(16・60>：

Vnls!

a Qf-S —полином Лагерра (см. (12.36)).

Решение (16.59) характеризуется радиальным квантовым числом s = 0, 1,2,..., задающим степень полинома Qs~s- При этом для того чтобы остающаяся после выделения асимптотик (16.58) функция были полиномом, как было показано в § 12, коэффициенты уравнения (16.56) должны быть связаны с s соотношением

九一4•一 ■4± = s，(16.61)

2гhgе 一力後12гhgе 一力後1(16.62)(16.62)т. e.九= Z + s+ -^ = 〃+ J, где 九=厶 Z+1, /十2,...— главное квантовое число. Подставляя сюда значение % из (16.57), получим уравнение для энергии

2гhgе 一力後1

2гhgе 一力後1

(16.62)

(16.62)

магнитном полемагнитном полеЕ = /Ю(м + ? +祟Е = /Ю(м + ? +祟(16.63)(16.63)Из последнего равенства находим спектр энергий электрона в

магнитном поле

магнитном поле

Е = /Ю(м + ? +祟

Е = /Ю(м + ? +祟

(16.63)

(16.63)

где Q = eo%/gc — циклотронная частота, а 切гз — значения (непрерывные) проекции импульса на ось 2 вдоль направления магнитного поля (—оо < й3 < оо).

Первое слагаемое в формуле (16.63)

e丄=自2(几+扌)(16.64}

представляет собой энергию поперечного движения, которая, в отличие от энергии свободного продольного движения 廿圈2mq, квантуется. Таким образом, для поперечной энергии в магнитном поле мы получаем дискретные уровни (Ландау, 1930 г.), которые задаются главным квантовым числом 几(уровни Ландау).

Полное нормированное на единицу решение уравнения Шредингера для электрона в магнитном поле, после объединения равенств (16.5鱼 н (16.59) и введения нормировочной постоянной const = V2у, принимает вид

屯№ =卷赛"(丫产).(16・65)

Отсюда видно, что спектр энергий (16.63) вырожден, так как он не зависит от радиального квантового числа s, входящего в волновую функцию (16.65). Это вырождение физически связано с тем обстоятельством, что в классическом случае в однородном магнитном поле при заданной энергии Е фиксируется только радиус орбиты вращения, но не центр орбиты.

Смысл квантовых чисел 几 и s выясняется при переходе к классическому пределу. Для этого запишем классическое соотношение между радиусом и скоростью при движении в магнитном поле, предполагая, что продольное движение отсутствует (々з = 0):

等1 =署箔и.(16.66)

Отсюда находим выражение для энергии

р _ /л" _ (匈箔R)2

% 丄== 2 moe2 '

сравнивая которое с квантовой формулой (16.64), получим:

Вычислим теперь среднее квадратичное расстояние электрона от начала координат в состоянии ^nski：

〈产〉=J %自产%s拓现="+ ；+1 •(16.68)

При получении этого равенства необходимо использовать соотношение для функции Лагерра /〃§(%):

gins = (^ "Ь 5)1п9 — 2 (以/ + “^ /〃Т, s-l)

и учесть условие ортонормированности (13.38). Результат (16.68) можно интерпретировать следующим образом. Пусть классическое движение происходит по ликроскопической круговой траектории с радиусом R, центр которой отстоит от начала координат на расстоянии а и лежит на оси %. Тогда уравнение траектории электрона будет иметь вид

产=R2 + 〃2 + 2aR cos ф.(16.69)

Среднее квадратичное расстояние в этом классическом случае будет равно 2л

戸=盡，d(p (R2 + @2 + 2〃r cos qp) dqp = R2 + *(16Jo>

0

Заметим теперь, что волновая функция ^nski описывает состояние электрона, симметричное относительно оси г, проходящей через начало координат. Поэтому, сравнивая классическое (16.70) и квантовое (16.68) средние для 产，мы можем заключить, что квантовое число s связано со среднеквадратичным расстоянием а между началом координат и центрами круговых траекторий, расположенных симметрично относительно оси г и соответствующих классическому движению, т. е.

a2 =注区.(16.71)

Заметим, что при I = п — s > 0 начало координат будет лежать внутри круговой орбиты (R > а), а при I = п — s V 0 — вне ее (R V а)・

Состояния с отрицательными I = —1, —2, —3, ... также можно описать с помощью решения (16.65), если учесть соотношение для полиномов Лагерра

Q"p) = (-以 p"IqL"(P)・(16.72)

В этом случае необходимо, чтобы нижний индекс, т. е. степень полинома Q以/， был положительным： s + Z = s — | I | > 0. Отсюда следует, что при I V 0 область изменения квантовых чисел п и s изменяется по сравнению со случаем Z > 0 и записывается так:

n = 0, 1, 2, ...; s = |Z|, |/|+1, |/| + 2, ...(16.73)

При этом уровни энергии Е丄 по-прежнему определяются формулой (16.64), т. е. зависят от главного квантового числа 几.

Заметим также, что квантовое число / представляет собой собственное значение оператора проекции канонического момента L = [гр] z, связанного с каноническим импульсом р. При на-

личии магнитного поля (векторный потенциал А =/= 0) он отличается от кинетического момента, связанного с кинетическим импульсом Р = р +号 4 Поэтому независимо от знака / вращение электрона, как и должно быть в магнитном поле, сохраняет свое положительное направление.

Рассмотренная в данном пункте задача позволяет объяснить магнитные свойства металлов. Основной вклад в намагниченность металла должны давать электроны проводимости, которые согласно современным представлениям являются почти свободными. С учетом спина электронам необходимо приписать собственный магнитный момент, который в магнитном поле может ориентироваться либо вдоль, либо против его направления (см. (16.49)). Наиболее выгодным с энергетической точки зрения представляется ориентация вдоль поля, что приводит к положительному вкладу в магнитную восприимчивость металла. Таким образом, восприимчивость, связанная с собственными магнитными моментами электронов металла, или парамагнитная вое- приимчивость, оказывается положительной (Паули, 1927 г.).

В то же время квантование орбитального движения свободных электронов металла в магнитном поле (16.64) приводит к тому, что возникает суммарный магнитный момент, направленный против магнитного поля. Связанная с этим моментом диамагнитная восприимчивость металла дает, таким образом, отрицательный вклад в суммарную магнитную восприимчивость (диамагнетизм Ландау, 1930 г.). Величина магнитной восприимчивости зависит в конечном счете от температуры и напряженности приложенного магнитного поля.

При относительно высоких температурах Т и слабых магнитных полях Ж (AQ = 1ге^в!ш^с <С kBTf йБ — постоянная Больцмана) электронный газ в целом обладает положительной восприимчивостью, т. е. парамагнетизм превышает по величине диамагнетизм. С ростом напряженности поля, а именно, в случае hQ ^ йБГ, средний магнитный момент электронного газа носит осциллирующий характер.

Атом водорода в экстремально сильном магнитном поле. Относительно слабое магнитное поле, приложенное к атому, приводит к расщеплению энергетических уровней атома, т. е. к эффекту Зеемана, рассмотренному выше. При этом сам атом не деформируется. Предположим теперь, что атом водорода находится в настолько сильном магнитном поле, что движение электрона в плоскости, перпендикулярной направлению поля, целиком определяется этим магнитным полем, а не кулоновским полем ядра, и поэтому в поперечном направлении атом оказывается деформированным. В то же время на продольное движе-

ние магнитное поле не должно оказывать влияния, и в этом направлении атом не изменяет своих размеров.

Можно легко оценить величину напряженности магнитного поля, при которой наступает деформация электронной оболочки атома. Для этого необходимо сравнить величину боровского радиуса а。=力2/加0或 с характерным размером области локализации электронов в магнитном поле в основном состоянии при п = 0, s = 0, который получается из формулы (16.67), т. е. с величиной а箔=1/“2у = д/力с/е。％. Если а^ < а0, то магнитное поле оказывает определяющее воздействие. Это условие приводит к следующей оценке величины экстремально сильного поля:

彌〉^[ = %№ = 2,35 ・ 109 Гс,(16.74}

при котором деформируется атом.

Рассмотрим задачу об атоме водорода в сильном магнитном поле более подробно. Прежде всего запишем уравнение Шредингера для электрона при наличии одновременно магнитного и кулоновского полей. При этом удобно воспользоваться цилиндрическими координатами г, qp, г. Тогда уравнение будет отличаться от (16.53) только слагаемым с потенциальной энергией У = =—во/ Vf2 + W (мы положили заряд ядра Z = 1):

一薪[备 + ；糸 * 君 + ■S■ 一 Y2产 + 2iY 号"一

一 ^^^•2 =耳 (16.75>

В последнем уравнении из-за наличия кулоновского слагаемого переменные не разделяются. Поэтому точного решения получить не удается. Однако при условии (16.74) можно найти приближенное решение уравнения (16.75), если учесть, что поперечное движение должно определяться только магнитным полем.

Рассмотрим основное состояние в магнитном поле п = 0 при s = 0, / = 0, тогда решение можно искать в виде

屮亿 ф, г) = —т==-/оо(Р)%(^),(16・76>

где функция /оо, зависящая от радиальной переменной р = ^г2г согласно (16.29) равна

4)(р) = е-叱(16.77)

а функция %(z), зависящая от г, подлежит определению. Подставим (16.76) в уравнение (16.75) и, учитывая, что функция

(16.77) удовлетворяет уравнению (16.56) с собственным значением X = %, получим

++ з=。.(16.78)

L dz2 h2 \2 丿力2 “戸 + ” J"2冗

Умножим это уравнение на е~叫“2小 и возьмем интеграл по плоскости ху в координатах г и ср. Поскольку интеграл по Ф равен 2冗,а от г зависит только последнее слагаемое в квадратных скобках в (16.78), то в результате находим

［亲名+ Е-等+ ^“Т?Т；；^•卜⑵=°・(16・79)

Рассмотрим такие состояния атома, в которых размеры .атома вдоль оси 之 определяются кулоновским полем, т. е. 〈z2〉~a『)・ По условию имеем 旬》〃箔，что означает〈力》吸 или, иначе, 丫它〉》】.Таким образом, в уравнении (16.79) можно пренебречь величиной р под корнем в подынтегральном выражении. Это дает нам

备目 + 得%+(e"_等)% =。(1&80)

—уравнение Шредингера в одномерном кулоновском поле 圖|z|・ С помощью подстановки % = г(р(г) оно приводится к стандартному виду

备+ ^ +取客)吁。,(16-8D который имеет уравнение для радиальной функции в задаче Кеплера (12.4) для состояний с / = 0・ Соответствующий спектр известен. Он описывается формулой (12.18), т. е. в данном случае

Е一-=16.82)

2唠

где 〃z = 1，2, 3,・・.Решения <р(г) также известны и выражаются формулой (12.40) при / = 0. Характерной особенностью этих решений является их экспоненциальное спадание при z> а^. Так, в случае пг= 1 мы получаем

打=e26一次. (16.83)

*) Заметим, что кроме указанных состояний, возможно еще одно (основное) состояние, волновая функция которого отлична от нуля при |z|Moq. Это состояние мы здесь не рассматриваем.

В то же время волновая функция в поперечном направлении ведет себя согласно (16.77) как ехр (— р/2) = ехр (— г2/4а^), т. е. затухает на существенно меньших расстояниях 尸~。箔《％ от начала координат. Таким образом, экстремально сильное магнитное поле деформирует атом в поперечном направлении, благодаря чему он приобретает своеобразную «игольчатую» форму. Заметим, что необходимые для этого магнитные поля, напряженность которых определяется условием (16.74), по современным представлениям, могут существовать на поверхности некоторых астрофизических объектов. К ним относятся нейтронные звезды (или пульсары), возникающие в результате коллапса вспыхивающих сверхновых звезд. Поэтому дальнейшее изучение строения вещества в условиях экстремально сильных магнитных полей представляет несомненный интерес.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

РЕЛЯТИВИСТСКАЯКВАНТОВАЯМЕХАНИКА

§ 17. СКАЛЯРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА - ГОРДОНА

Классическая релятивистская механика и уравнение Клейна — Гордона. Уравнение Шредингера, подробно рассмотренное нами, применимо для описания движения частиц, скорость которых V значительно меньше скорости света с. Нерелятивистское волновое уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований специальной теории относительности (преобразований Лоренца), поскольку координаты времени и пространства входят в него неравноправно: уравнение содержит первую производную по времени и вторые, производные по координатам, в то время как специальная теория относительности требует такой записи уравнения, чтобы пространственные и временные координаты формально входили на одинаковых основаниях.

Для того чтобы получить релятивистское волновое уравнение, будем исходить из классического релятивистского соотношения между массой и энергией, которое вначале запишем для свободных частиц:

E — y>Jc^p^+^(17.1)

Далее следовало бы использовать тот же прием, что и при получении нерелятивистского уравнения, Шредингера, т. е. вместо энергии и импульса ввести операторы

EfE=_?禺，р~>р = у V.(17.2)

Однако неизвестно, как операторы, стоящие под знаком квадратного корня, должны действовать на волновую функцию. Поэтому при переходе от классического к волновому уравнению в релятивистском случае мы должны прежде всего избавиться от квадратного корня. Это можно сделать двояким путем: либо возвести обе части равенства в квадрат и получить скалярное Уравнение Клейна — Гордона, либо с помощью матриц извлечь квадратный корень и получить спинорное уравнение Дирака, учитывающее наряду с релятивистскими (так же как и уравнение Клейна — Гордона) еще и спиновые эффекты.

В настоящем параграфе мы рассмотрим первый способ, развитый также и Фоком. Возводя обе части равенства (17.1) в

10 Аг А. Соколов и др.

(17.3)(17.3)квадрат, имеем:

(17.3)

(17.3)

£2 — e2P2 —m証4 - 0

Подставляя сюда значение операторов (17.2), мы найдем уравнение Клейна — Гордона для свободной частицы ):

(М力2V2 一力2济一妳d) 2 = o.(17.4)

При наличии электромагнитного поля вместо (17.2) следует подставить обобщенные операторы ):

(17.5)(17.5)e f F = 一 Д -^— e ①, "f р=КТ・

(17.5)

(17.5)

Тогда получаем релятивистское уравнение при наличии поля

[(- / 糸一e①)一 e2 0 V - "^ a)一戒e["=0.(17.6)

В отличие от уравнения Шредингера релятивистское волновое уравнение (17.6), так же как и классическое выражение (17.1), инвариантно относительно преобразований Лоренца, поскольку время и пространственные координаты входят формально в уравнение (17.6) на равных основаниях, и равенство (17.6) может быть записано в релятивистски инвариантной форме

(p/ 一 p2 - /n储в 2=0, где

Плотность заряда и плотность тока. Выражение для плотности заряда и тока найдем для случая отсутствия электромагнитных полей (①=4 = 0).

Так же как и в теории Шредингера, в основу вывода положим уравнение непрерывности

由叮 +需=0，(17.7)

имеющее, как известно, релятивистски инвариантную форму. Умножая уравнение (17.4) слева на 2*, а комплексно-сопряженное уравнение (аналогичное (17.4), но с заменой 屮 на 屮*)——на 也 и производя вычитание, получаем

屮"22-(ф?2^* —%•(2* 鼎-2-2号rW*) = 0.(17.8)

Последнее равенство можно преобразовать к виду

div {wgrad -ф* - 2* gradw} +3禺{2*為化一中禺屮*} = 0， (17.9)

Определяя теперь плотность заряда и плотность тока соответственно выражениями

P = ^W 碧-爲 *]，Q7」0)

)= 隸小一а峭电，(17.11)

замечаем, что они удовлетворяют уравнению непрерывности (17.7) и, кроме того, образуют четырехмерный вектор:

■為 W 誥 _ (誅)可，(17.12)

где

x& = ict, ，4 = /ср.(17.13)

Формула для плотности тока (17.11) совпадает с нерелятивисг- ской формулой (2.26). Плотность заряда переходит в нерелятивистское выражение при и 《с (см. (2.26)). Действительно, воспользовавшись заменой ih^-^E (см. (17.4)), с помощью (17.10) для плотности заряда получаем выражение

Р = 6%(17.14)

которое в нерелятивистском приближении Е ^ т0с2 переходит в обычную формулу р = ег|)% Однако в релятивистской теории возможно и второе решение с отрицательными значениями Е (Е v0)・ Тогда для плотности р мы получим знак, противоположный е.

Таким образом, релятивистское уравнение в принципе может описывать частицы не только с отрицательным, но и с положи-

тельным зарядом (например, заряженные пи-мезоны, к которым применимо это уравнение).

Понятие же плотности частиц (в отличие от плотности заряда)

= 2 =(17.15)

в общем случае теряет свой смысл, поскольку это выражение не является положительно определенной величиной в отличие от соответствующего выражения нерелятивистской теории )

Ро = Гф.(17.16)

б) Релятивистская теория водородоподобного атома (без учета спина электрона). Эту задачу мы должны решать с помощью волнового уравнения (17.6), в котором следует положить

4 = 0, еф=у = -^.(17.17)

Тогда имеем

У绅 + 姦｛(Е - ю2 -酬吟 ф = о.(17.18)

Поскольку потенциальная энергия в последнем уравнении от времени не зависит, можно перейти к стационарному случаю, выделив из общей энергии, которую мы считаем положительной Е + пг()с2 > 0, собственную энергию частицы /Пос2:

屮(乙 /)=屮⑺ exp [— ^ (Е + 加0虑)/].(17.19)

Далее, учитывая действие оператора энергии

Ер (г, /) = (Е 十团0合)巾(г)exp[― ~(£ + fnQc2) ф (17.20)

приведем уравнение (17.18) к виду

w2 + 詣[(е + m.e2 + 草 J 一 d。"屮=0・(17.21)

Так же как и в теории Шредингера, решение последнего уравнения ищем в форме

^ = R(r) Y?(^ ф).(17.22)

Тогда для радиальной части получим уравнение:

случая, когдаслучая, когда(望 _4 +負-9产)r = 0.(17.23)

случая, когда

случая, когда

Здесь а = *4 闻 является безразмерной величиной, получившей название постоянной тонкой структуры,

(17.24)(17.24)

(17.24)

(17.24)

При с2foо последние выражения точно переходят в соответствующие выражения нерелятивистской теории (см. § 12).

Несколько уточненные (путем учета релятивистских эффектов) значения для постоянных Л и В не могут каким-либо образом сказаться на характере решения релятивистского волнового уравнения по сравнению с решением уравнения Шредингера.

/2а2

Появление же в уравнении (17.23) дополнительного члена —^― можно формально рассматривать как введение дополнительной релятивистской потенциальной энергии притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, которая может при некоторых условиях изменить характер решения, что будет более подробно проанализировано ниже.

Прежде всего исследуем асимптотическое решение Rq при г->0.

В этом случае уравнение (17.23) принимает вид

1 d2(「R°)"(/ + i)— z2(x2

(17.25)

Решение последнего уравнения ищем в форме Ro = &<

Тогда для определения s получаем уравнение s(s+ 1)-/(/ + 1) + Z2a2 = 0 с решением

(17.26)

Si,2= — %±“(/ + %)2 — Z2a2.

В этом случае

Ro = C/S1 + С2rs2.

Если

Za < %,

(17.27)

(17.28)

то оба корня Si и s? при любых значениях / = О, 1, 2, ... будут вещественными величинами и мы можем ограничиться решением Ro, для которого rRo не расходится в нуле, т. е. можем положить С2 = 0. Кроме того, при £ < 0 (когда Л > 0) в выражении для волновой функции при 厂 f оо следует ограничиться экспоненциально убывающим решением.

Ограничение с обеих сторон убывающими решениями дает для определения спектра энергии такое же выражение, какое было получено по теории Шредингера (см. уравнение (12.32), если в последнем / заменить на si). Тогда для определения собственных значений будем иметь уравнение

房=& + % + “Q + %)2 —Z2a2.(17.29)

Подставляя сюда вместо постоянных В и 4 их релятивистские значения (17.24), получаем (п = nr + I + 1)

/1 +(“, + % + K:：%)2_z2a2户广-加通(17 30)

Разлагая последнее выражение в ряд по Z2a2 и оставляя первые два не обращающиеся в нуль члена, находим спектр энергии

= - 叫1隔-%)] •(17.31)

Первый член совпадает с соответствующим выражением нерелятивистской теории; второй член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры а ^ 1/137, дает релятивистские поправки.

Учет релятивистских поправок для атома водорода (Z = 1) интересен в том отношении, что он снимает вырождение по /, благодаря чему уровни с заданным значением п расщепляются на п близких (ввиду малости а2) подуровней, поскольку орбитальное квантовое число / может принимать п значений (I = О, 1,2,..., 〃 — 1).

Для сравнения с экспериментом можно рассчитать дублетное расщепление для серии Бальмера (п — 2). Для величины этого расщепления с помощью (17.31) получим

=―(17・32)

Сравнение результатов с данными эксперимента показывает, что истинная величина расщепления для серии Бальмера оказывается примерно в три раза меньшей, чем это следует из формулы (17.32). Причина этого противоречия заключается в том, что тонкая структура уровней атома водорода не исчерпывается релятивистской зависимостью массы от скорости. Как будет показано ниже, при этом следует учитывать также и спин электрона, т. е. собственный механический момент. Вначале предполагалось, что уравнение Клейна ——Гордона пригодно для описания релятивистского электрона. Однако это — уравнение движения частицы со спином, равным нулю, в то время как спин электронов оказался равным Уг. Уравнение Клейна ——Гордона,

по-видимому применимо для пи-мезонов — частиц со спином, равным нулю. Оно, в частности, может описывать движение отрицательных пи-мезонов вокруг ядра. Подобные так называемые пи-мезоатомы уже получены экспериментально.

Примечание. Наконец, рассмотрим другой случай, когда в уравнении (17.27)

Za > %•(17.33)

При этом появляется принципиально новое решение.

& П圾& П圾（G户+g宀）,（G户+g宀）,(17.34)(17.34)В самом деле, когда / = 0, оба корня S)и s2 становятся комплексными, и поэтому асимптотическое решение (17.28) принимает вид

& П圾

& П圾

（G户+g宀）,

（G户+g宀）,

(17.34)

(17.34)

где y= “Z2(x2 — %. Мы не можем ограничить нашу задачу условием С@ = ==0 или Ci = 0, так как оба решения имеют одинаковую сингулярность при г f 0.

Поэтому при I = 0 получается непрерывный спектр, что, в частности, девает возможным «падение» частицы на центр.

§ 18. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА

Как было указано в предыдущем параграфе, в основе построения квантовой релятивистской механики лежит известное релятивистское соотношение между энергией Е, импульсом р и массой покоя частиц mQ (см. (17.1)).

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, можно обе части равенства возвести в квадрат. Этим способом было получено уравнение Клейна — Гордона, которое описывает движение бесспиновых частиц. Поэтому оно не применимо к электронам, спин которых равен % (в единицах Й).

Другой путь был предложен Дираком в 1928 г. Он сводится к «линеаризации» соотношения (17.1). Это привело к открытию релятивистского волнового уравнения для электрона со спином ，2・ Следует заметить, что после уравнений классической электродинамики Максвелла — Лоренца следующий важный этап развития учения об электроне связан с уравнением Дирака. Нерелятивистская квантовая механика Шредингера и уравнение Паули могут быть получены как некоторые приближения уравнения Дирака.

а) «Линеаризация» оператора энергии. Для «линеаризации» релятивистского соотношения между энергией и импульсом или «извлечения» квадратного корня из четырехчлена представим (17.1) в следующем виде:

з

E^caJp2 + tnlc2 =с ^ а^,(18.1)

где

(18.2)(18.2)Ро = ^0^> Р1 = Рх^ Pz = Рд, Рз = рг.

(18.2)

(18.2)

При этом мы имеем:

3

审=。2 & %% = с2 (р2 + п^с2).(18.3)

Чтобы установить, каким условиям должны удовлетворять величины а, возведем обе части соотношения (18.1) в квадрат. Тогда в случае, если импульсы 凡 и %, коммутируют друг с другом. *), найдем

£2 =経 £ 2 PnPAV=-rXS %Р*(4%，+ %а J (18.4) и и7и Y

Последнее равенство совпадает с (18.3) только в том случае, когда

%% + %% = 26M(18.5)

т. е. если все четыре величины а* антикоммутируют друг с другом:

W + %% = 0,卩，匸(18.6)

и квадрат каждой из них равен единице

哈=1.(18.7)

Напомним, что аналогичными свойствами обладают также двухрядные матрицы Паули (см. (16.26))

& = (； ；)，& = (；—；)，& = (； —；)，(18.8)

а именно: все они антикоммутируют между собой (см. (16.28)), и квадрат каждой из них равен единице (см. (16.27)).

Однако для «извлечения» квадратного корня из четырехчлена необходимо иметь четыре соотношения (18.5) (ц=0, 1, 2, 3), а не три, которым удовлетворяют матрицы Паули.

Чтобы обойти эту трудность Дирак предложил взять совокупность четырехрядных матриц 。八 и р^, связанных с двухрядными матрицами при помощи соотношений

о〃 = ( о： / ) (д = 1, 2, 3),(18.9)

Р1 =(Г (Г 丿，「2 = (〃， о，丿，Рз = ((у 一〃)，(18.10)

где а« — матрицы Паули,

н Г = (； ；)•(18.11)

Эти четырехрядные матрицы удовлетворяют тем же соотношениям, что и матрицы Паули:

0

0 0\

< = Рп = /= J

1

0

0 0 1

1 0 г

(18.12)

\о

0

0 1/

OS = — еб =沁 з

и

Т. д.,

(18.13)

P1P2= — Р2Р1 = Фз

и

т. д.

(18.14)

Последние соотношения мы можем записать в виде о$* 十 °*% = Р科，+ Р^Р^ = 26巾. (18.15) К этим равенствам мы должны добавить коммутативность матриц。九 и р*: OR，= Р/Л，(18・16)

что проще всего доказать непосредственным вычислением, исходя из формул (18.9) и (18.10).

В качестве матриц а^ в равенстве (18.1) Дирак предложил выбрать следующие:

% = Pldi = I I (д = 1, 2, 3),

° 丿(18.17)

0,、 因=Р3 = ( 0,_r丿，

которые согласно (18.15) и (18.16) удовлетворяют условиям (18.5). В самом деле,

а； = Р：о； = /, ао = Р5= Ь

。2。3 + аза2 ^ Р； (%% + %%) =。，(18.18)

%。1 + а^о = 5 (РзР1 + Р1Рз) = 0 и т. д.

Расписывая

эти

матрицы,

мы найдем

/0

0 0

/о

0

0

1 0

0 1

0 1

~ 1 0

0

/

0 1

1

0

1 0

о丿，

。2= о -

•i

0

0

г

0 0

0/

0

0

0/

/0

0

1 0、

T

0

0

0\

1 0

0

0 -1 1

0

1

0

0 1

.(18.19)

аз = [ 1

0

00к

。0 = Рз =[

0

0

-1

0

\о

-1

0 0/

\

<0

0

0

Уравнение Дирака, Плотность заряда и тока. Переходя к операторам в линеаризованном с помощью матриц аи релятивистском соотношении между энергией и импульсом (18.1), мы получаем уравнение Дирака для свободной частицы

(Е-Н)г|)= 0,(18.20)

где операторы Е и р, как и обычно, равны

e =诡备，p =一访V,

а гамильтониан Н определяется выражением

Н = с (ар) + р3/По^2.(18.21)

При движении электрона в электромагнитном поле, заданном векторным и скалярным (儿①)потенциалами, мы можем пользоваться теми же уравнениями (18.20) и (18.21), только в соответствии с общими правилами волновой механики в качестве операторов энергии и импульса должны быть взяты их обобщенные значения (см. (17.5)):

F 一力宗一е①，р =-访v - ^ А(18.22)

Поэтому волновое уравнение Дирака при наличии электромагнитного поля может быть записано в виде

(F - с (аР) - рзтос2)2 = о(18.23)

В соответствии с числом строк и столбцов матриц а и рз волновая функция 巾 должна иметь четыре компоненты, которые мы объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца:

понимая под сопряженной функцией эрмитово-сопряженную матрицу, состоящую из одной строки:

屮 + = (2；%Ф；2；)・(18.25)

Таким образом, матричное волновое уравнение Дирака 48.23) эквивалентно системе четырех уравнений:

(F -恤尚21 - e (pх -中")也一cP 押 3 = 0,

(F — ^c2)电 一 с (P% + 力P“) G + cP押4 = 0，

(F + 恤。2)2з — c (P* — jpj 電一cPz2i = 0,' •)

(F + /ШС2) S — с (Р* + »Р“)屮 1 + cPz^2 = 0.

Комплексно-сопряженное волновое уравнение также может быть представлено в виде одного матричного уравнения

旷(F — с (аР) -「3恤/) = °,(18.27)

в котором действие операторов ih-^ и ——i^V на волновую функцию, стоящую слева от них, следует понимать в несколько необычном смысле

—*ф+访V —> i%Vi|)+, *ф+访"^—►一 ifi-^- *ф+*(18.28)

Таким образом, уравнения (18.23) и (18.27) могут быть записаны в виде

(‘自足 -e①)2一е (а (一访V——蝮4))"——p3恤画)=0, (18.29) (一 th -^—e①)*ф+ 一 с ((诡V — Л,) *ф+(х) —боС^+рзнО.

'(18.30)

Умножая уравнение (18.29) слева на ф+, а (18.30) справа на 屮 и вычитая второе уравнение из первого, получаем соотношение

^禺2+巾 + div 2+研)=0,(18.31)

которое можно рассматривать как уравнение непрерывности для плотности вероятности р и плотности тока /:

导p + divj = O,(18.32)

где

р = е*ф+也 / = ебгф+сй]).

Из последней формулы видно, что матрицу са можно интерпретировать как оператор скорости.

Если раскрыть равенства (18.32), найдем:

Ро= 7 = Ф+Ф = (Ф；屮評;2；) ( Г )=時Ф1 + 晦屮2 + 屮押з + 屮冲 4，

“(18.33)

т. е. ро является матрицей, состоящей из одного элемента, и поэтому представляет собой обычную функцию.

Точно так же легко показать, что

/0 0 0 1、(5、 今=旷。我=仲；崂晒；)心：:^心=(0Ж：)*卜

'1000/丿丿

=2押4 +喝巾3 + 2評2 +屮押1・(18.34)

Заметим, что здесь в отличие от уравнения Клейна — Гордона плотность ро является положительно определенной величиной. Однако это не означает, что в теории Дирака ро следует рассматривать как плотность числа частиц. Так же как и в теории Клейна — Гордона, в теории Дирака наряду с электронами должны существовать частицы противоположного заряда — позитроны (см. ниже § 22).

Трансформационные свойства волновой функции при преобразованиях Лоренца “ пространственных вращениях. Согласно специальной теории относительности физические законы не должны зависеть от выбора лоренцевой системы координат. Поэтому как уравнение Максвелла, так и уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца,

Исследуем трансформационные свойства волновой функции Дирака. С этой целью прежде всего запишем преобразования Лоренца

“』〃chY — %shy, xz = xchY — f/shу, yf = у, 幺=之，(18.35) где

sh 7 = -7==-, 6 =卫.

Этому же преобразованию должен удовлетворять любой четырехмерный вектор и, в частности, плотность заряда и тока:

ер丿 = ер ch y 一厶 §h y，%=厶 ch Y 一 ер sh y，厶 ^ =九才

Исходя из определения этих величин, по теории Дирака имеем 巾丿+屮丿=中+ (ch Y 一 cq sh Y) i!)=屮+葭Y"也

"%川=2+ (cq ch Y 一 sh y)2=屮+a16一Y8也 (18.36) 少‘%2,3巾'=屮%2,3屮.

Здесь мы приняли во внимание, что

6一傾=ch yai — sh усц = ch 丫 一 s sh у, поскольку a；几=1, ajrt+1 ^ap где п — целое число.

Чтобы удовлетворить последним соотношениям, мы должны положить

屮,=(ch ^ _ ai sh 子)2 = 6一万 %,

屮"=屮+(ch ^ — сц sh ^)=屮+e 2 ".(18.37)

Тогда, принимая во внимание, что

a^ 2 =e 2 ab a2e 2 =e2 a2,(18.38)

легко показать справедливость соотношения (18.36). Из (18.37) видно, что волновые функции преобразуются не как вектор (целые углы у) и не как тензор (двойные углы у), а как полувектор, преобразование которого характеризуется углом у. Величины, преобразующиеся по закону (18.37), получили название спиноров или тензоров половинного ранга.

Аналогичным способом* можно показать, что при обычном пространственном вращении (например, вокруг оси z на угол qp) спинор преобразуется по закону

2' = е 2也 *z =屮"2.(18.39)

Последние соотношения следуют из преобразований для вектора тока

%=厶cos9+％ sin(p,

jy = jy cos 屮一/% sin ф,(18.40)

которые в теории Дирака могут быть представлены в виде

1|/+a11|/ =2 + (cq cos(p + a2 sin qp) i(),

г|),+а3/ф, = A|)+a3i|)(18.41)

и t. д. Подставляя сюда значения для 屮‘ из (18.39) и принимая во внимание, что

(cos ^ + za3 sin 长)=(cos 强—/a3 sin 手)щ =

приходим к соотношениям (18.40).

ДВИЖЕНИЕ ДИРАКОВСКОГО ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

Орбитальный, спиновый и полный моменты количества движения. Исследуем прежде всего законы сохранения момента количества движения в поле центральных сил:

У = е①⑺.(19.1)

Как было показано в нерелятивистской теории Шредингера, в этом случае сохраняется орбитальный момент количества движения

L = Кр]・

Однако в теории Дирака, где учитывается также и спин электрона, оператор орбитального момента количества движения не коммутирует с гамильтонианом, т. е. не является интегралом движения. В самом деле, представив гамильтониан в виде

Н = gp% + ca2Pp + ш3рг + Рз^о 巒 + V (г),(19.2)

мы видим, что с составляющей ) L2 = (хру — урх) не коммутируют два первых его члена

HJ — LH = сад (р%% —冲%) — сс^р% (р^ — ypj (19.3)

Принимая во внимание, что

(P%% - %p%) = 8用一通)=У, находим

HL — L^H = -у- (ад — a2px)耍 0.(19.3а)

Для того чтобы найти закон сохранения момента для частиц, обладающих спином, воспользуемся еще соотношением

н0з - 03h = еp%p1 (0103 —03。1)+ CpyPl (02。3 -03。2)=

2c

=丁 (a2Px — «ipy)- (19.36)

Вводя понятие оператора полного момента количества движения

J = L + S,(19.4)

равного сумме орбитального L и спинового

S = -~ йа(19.4а)

моментов, мы видим из равенств (19.3а) и (19.36), что только составляющая полного момента (в данном случае Jz) коммутирует с гамильтонианом, т. е. удовлетворяет закону сохранения.

Перестановочные соотношения для операторов момента. Как было показано в § 10, составляющие оператора орбитального момента не коммутируют между собой и подчиняются перестановочным соотношениям

LxLy — LyLx = ihL7(19.5)

И Т. Д.(X f у f Z f X ...).

Оператор собственного момента (спин) пропорционален матрицам Дирака

S = ^ 力и,(19.6)

поэтому его составляющие также не должны коммутировать между собой. Поскольку двухрядные матрицы Паули а7 и четырехрядные матрицы Дирака с подчиняются одним и тем же правилам коммутации (см. (16.28) и (18.13)), мы найдем для дираковского спина (19.6) такие же перестановочные соотношения, какие были установлены нами для паулевского спина (см. (16.36)), т. е.

SxSy — SySx = ihSz(19.6а)

и т. д.

Несмотря на то что компоненты орбитального и спинового моментов являются операторами и подчиняются совершенно тождественным перестановочным соотношениям, друг с другом они коммутируют, поскольку операторы, образующие эти составляющие, носят совершенно различный и независимый характер (производные и матрицы).

Учитывая эти замечания для составляющих оператора полного момента (19.4), легко получить аналогичные с (19.5) и (19.6а) перестановочные соотношения

J也一J"% =(L% + S%)(L“ + S?) — (L“ + S?)(L% + S%) =

= ^(Lz+ S) Отсюда находим

J*Jp JyJ% ===访 Jz，

"Л — JJy =访 J%，(19.7)

JJxJ%Jz === /力 J g・

Два последних соотношения получены из первого путем нм лической перестановки координат: х — у, У > z, z-> %,..,

Оператор квадрата полного момента

J2 = L2+S2 + 2(LS)(19.8)

содержит три члена.

Первый член

L?= 一价隘(19.9)

соответствует квадрату оператора орбитального момента. При действии на шаровую функцию У『его собственное значение равно

Ь2->Й2/(/+1),(19.9а)

т. е. он описывает состояния, когда орбитальный момент равен I (в единицах 九).

Второй член

S2 = ~Й2 (а^ + q2 + q2) = -|-й2 = s(s + 1)й2(19.10)

является числом и описывает спин (в единицах 九),равный половине (s = %) •

Наконец, третий член

2 (LS) = 2 (L*S“ + LySy + LzSJ(19.10а)

характеризует так называемую спин-орбитальную связь. Следует отметить, что составляющие моментов Lz и 5г коммутируют по отдельности как с оператором (19.9), так и с (19.10), но со спин-орбитальной связью они по отдельности не коммутируют.

В самом деле, учитывая равенства (19.5) и (19.6а), легко показать, что

L, (LS) 一(LS) J = z力(LyS* — L“S J

Sz(LS) — (LS) S, = ih(L*Sy — LySJ

Отсюда видно, что только составляющая полного момента должна коммутировать с этим членом

(L2 + SJ (LS) — (LS)(L2 + SJ = 0,(19 •⑵

а вместе с тем и с квадратом полного момента

J/2 — J2Jz = 0・(19.13)

Поэтому в задачах, в которых сохраняется полный момент количества движения (например, спиновая частица в поле центральных сил), квадрат полного момента и любая из его составляющих (например, на ось г) могут иметь общие собственные функции. Заметим, что две составляющие полного момента одновременно не могут иметь общей волновой функции, по* скольку они не коммутируют между собой (см. (19.7)).

) Сложение моментов. Найдем угловую часть волновой функции, которая удовлетворяет закону сохранения для полного момента. Поскольку полный момент равняется сумме орбитального и спинового, подобная задача называется задачей на сложение моментов.

Для простоты ограничимся приближением Паули, когда спин описывается двухрядными матрицами и'. В этом случае решение следует искать в виде двухкомпонентной матрицы

屮=(；；)，(19.14)

между элементами которой может быть установлена связь, учитывающая закон сохранения полного момента количества движения:

jy；) =(L + M)&) =矶+D&)，

где L = [гр] — оператор орбитального момента,(/ — двухком- понентные матрицы Паули. Решение системы уравнений (19.15) ищем в виде )

屮1 = &У『； ^2 = С2У?,(19.16)

где У? — шаровые функции (см. § 10). Тогда, принимая во внимание, что

L2(：；) =税(/+1)(：：)，(19.17)

согласно (19.15), (19.12) и (19.13) имеем

+(『L)(^) = U(j*l) —《+l)-3/M^), или

^[(L%TLy)% + LM] = qK,

1(19.18)

где

g =/0 + 1) — /(/ + 1) — %.(19.18а)

Воспользуемся далее соотношениями (10.87) и (10.89)

L£『=一访詣 У『=шПУГ,(19.19)

(U 士 ①“)УГ = -Й “(Z + 1 土/п) «干/и) У?±i. (19.20)

Отсюда видно, что мы сможем сократить в левых и правых частях (19.18) шаровые функции, если положим т! = т—1. Тогда найдем следующие соотношения между коэффициентами:

(9 —т+ 1)& + 〃《+ 1 —/и)(/ + /и) С2 = 0,

VG + 1 — /и) (/ 十 m) & +(4 + m) & = 0-

Из условия равенства нулю определителя системы находим два значения величины д, соответствующие двум возможным типам решения:

=厶 j = / + ^, с2 = — д/-Ц-^^ С{ *), (19.22)

g = —(%+D，Л —家。2= “广£% &♦(19.23)

Коэффициенты Ci и С% определяющие соотношения между шаровыми функциями, при сложении двух моментов (в данном случае орбитального и спинового) носят название коэффициентов Клебша — Гордана.

Воспользовавшись также условием нормировки С? + С1 = 1, решение первого типа, когда / = / + '瓜 / = 0,1,・•》, запишем в виде )

/ + 加 у/П-1\

(19.24)(19.24)V 2/+ 1/]=y尸+%)

(19.24)

(19.24)

马/7丿—宀・

В случае же, если j = /—Уг, / = 1, 2,・・・(второй тип решения), волновая функция равна

w(70)-%)_w(70)-%)_/ /- /п + 1V 2/ + 1v^^/ /- /п + 1V 2/ + 1v^^(19.25)(19.25)

w(70)-%)_

w(70)-%)_

/ /- /п + 1

V 2/ + 1

v^^

/ /- /п + 1

V 2/ + 1

v^^

(19.25)

(19.25)

где У“ 一 так называемые шаровые спиноры, условие ортонормированности для которых имеет вид

§ dQV 開у “ = 6〃,6"心mmS§ dQV 開у “ = 6〃,6"心mmS(19.26)(19.26)

§ dQV 開у “ = 6〃,6"心mmS

§ dQV 開у “ = 6〃,6"心mmS

(19.26)

(19.26)

где j = / + 1/2 соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный моменты параллельны, а / = /—】/? — когда они анти-

♦) Кроме того, имеется также другое решение с отрицательными значе* ниями /, которое мы просто отбрасываем.

параллельны. Условие (19.26) может быть легко получено, если учесть, что шаровой спинор Y^ представляет собой матрицу с одной строкой, и также принять во внимание условие орто- нормированности шаровых функций. Шаровые спиноры (19.24) и (19.25) являются спинорным обобщением обычных шаровых функций (см. § 10) и представляют собой угловую часть решения для любых задач, связанных с движением частицы с полу- целым спином в поле центральных сил.

Подставляя эти решения для функции 4f в (19.14), находим, что проекция /г полного момента количества движения принимает значения Jz = hmj, причем квантовое число т； равно /И/ = /и — i/2・ Для решений первого типа (/ = / + 1/2), как видно из (19.24), т может изменяться в пределах от —I (mj = =—I — % = —/) до Z + 1 (/п/ = Z + l/2 = /). Точно так же согласно (19.25) для решений второго типа (/=/— %) число m может изменяться в пределах от —I + 1 (/л/ = —j) до I [mj = /)). Таким образом, наши результаты сводятся к следующему: квадрат полного момента количества движения имеет собственные значения

/2 = ^/(/ + 1), / = I %( = 0(19.26а)

т. е. квантуется подобно орбитальному моменту, но при этом квантовое число /, называемое внутренним квантовым числом ), принимает полуцелые значения. Собственные значения проекции момента на ось 2 также характеризуются полуцелыми квантовыми числами

Jz = tun" /и； = — /, ..., + /.(19.27)

Исходя из соотношений (19.8) — (19.10), а также правил квантования (19.26а), нетрудно получить важные в спектроскопии формулы квантования скалярных произведений

(LsT(j2-L2 —S2)y ио+ 1)-/(/+ l)-s(s + l)}

(19.28) и

(JS)=貝户—I? + S2)=等 и (j + 1) 一 / (/ + 1) + s (S + 1)}・ (19.29)

а) Движение частиц, обладающих спином, в поле центральных сил. Ротатор, Если мы хотим исследовать движение частицы в поле центральных сил в нерелятивистском приближении, но с учетом спиновых эффектов, то вместо шаровых функций "片 характеризующих соотношения, в которых сохраняется орбитальный момент количества движения, мы должны использовать шаровые спиноры 嘘，характеризующие состояния, в которых сохраняется полный момент количества движения (орбитальный плюс спиновый).

Поскольку шаровые спиноры в нерелятивистском приближении составляются из шаровых функций, имеющих одно и то же значение квантового числа /, то для радиальной части в этом случае получим то же самое уравнение, что и для нерелятивистской бесспиновой частицы, т. е.

唳+ (当甚—丄"岁)R = 0.(19.30)

Таким образом, волновые функции для электрона в поле центральных сил имеют вид

W = /?y^,(19.31)

где шаровой спинор У/m определяется выражениями (19.24) или (19.25).

В частности, для ротатора мы можем положить г = а = const, а радиальную часть волновой функции положить равной единице (J? = 1). Тогда спиновые эффекты в данном приближении не дадут каких-либо дополнительных членов для энергии ротатора, которая будет определяться выражением, установленным для бесспиновой частицы, т. е.

р(/ + 1)

Что касается волновой функции, то она характеризуется шаровым спинором У像；поэтому мы должны прежде всего для квантовых чисел /, /и； и / установить правила отбора, которые должны иметь место не только для задачи о ротаторе, но и для любой задачи о движении частицы в поле центральных сил, в том числе и для атома водорода.

Вместо формул (см. § 11), на основе которых были установлены правила отбора для бесспиновых частиц, теперь имеем

〈Пи了⑺ Imj} = § (У爆，)％У窑 dQ,(19.33)

причем в последней формуле q может принимать три значения:

4 = z = cos 仆，q = x±iy—sin <fte± /ф (19.34) (для простоты примем радиус ротатора равным единице: а==1).

Если вместо шаровых спиноров подставить их значения (19.24) или (19.25), то для этого матричного элемента получаем {Гт^Г I q I Itnj)=

=小")§ (1<т)* 疗尸 dQ + С(")§ (У歹)％У『dQ (19.35) Отсюда видно, что оба интеграла в (19.35) будут точно совпадать с интегралами (11.14) — (11.16). Поэтому для квантовых чисел I и т находим, такие же правила отбора, какие были установлены для ротатора без спина, т. е.

Д/ = / —厂=士1, A/n = 0 (g = N), Д/n = ± 1 (g = %±%)・

(19.36)

Найдем далее правила отбора для квантовых чисел /и； и j. Поскольку mj для обоих типов решений связано с m одним и тем же соотношением: mj = т—%, правила отбора для mj и m должны быть одинаковыми, т. е.

△加了 = 0, ±1・(19.37)

Если при определении правил отбора для / рассматривается случай, когда переходы совершаются между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений (f = Г + Уг-^/ = =/ + 1/г или j = Г — %f j = 2 ——％), коэффициенты。(〃力 и С^^9 как видно из (19.24) и (19.25), всегда положительны, и поэтому подобные переходы разрешены. В этом случае возможное изменение j должно также совпадать с изменением орбитального квантового числа /, т. е. Д/ = Д/ = ±1.

В том же случае, когда переходы совершаются между состояниями, характеризуемыми различными типами решений (『= =〃 + %fj =/ —% или『=〃一％т j = / * %), то, учитывая, что Д/ = ±1, получаем три возможных значения для А/ = 0, +2, —2. Однако здесь следует учесть то обстоятельство, что коэффициенты D^^ и С(/“) имеют различные знаки. Более того, оказывается, что при Д/ = 土2 оба члена взаимно компенсируют друг друга, благодаря чему этот переход становится запрещенным. При А/ = 0 эта разность не обращается в нуль, однако благодаря тому, что оба члена входят с разными знаками, интенсивность излучения становится слабее, чем при переходах между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений, когда А/ = ±1.

Итак, окончательно правила отбора для квантовых чисел в поле центральных сил с учетом спина принимают вид

AZ = ± 1, Ат； = 0, ±1,

.(±1 (нормальная интенсивность),

"'—(0 (ослабленная интенсивность).

Уравнение Дирака в нерелятивистском (паулевском) и слаборелятивистском приближениях. Если с помощью уравнения Дирака мы хотим описать движение электронов со сравнительно небольшими скоростями (и/с《1), то влияние магнитного поля на движение электрона, связанное с проявлением спина, сказывается уже при учете членов порядка v/c (нерелятивистское приближение Паули), в то время как при движении в электрическом поле спиновые эффекты проявляются в членах второго порядка, пропорциональных (v/c)2 (слаборелятивистское приближение) ). Поэтому при сравнительно небольших скоростях мы запишем уравнение Дирака в приближенной форме, учтя в нем лишь величины порядка не выше (уД)2. Как будет показано ниже, при таком приближении особенно отчетливо вырисовывается роль как релятивистских, так и спиновых членов.

С этой целью прежде всего представим уравнение Дирака (18.23) в виде матричного уравнения [fG: П-Че：分p)-恤(7:)]侬:卜

Тогда, разбивая его на два матричных уравнения с двухрядными матрицами (см. (18.17) и (18.11)), мы получаем вместо одного уравнения с четырехрядными матрицами два уравнения с двухрядными матрицами:

(Ff2)(*)i'P)C：)，

Заметим, что последнее уравнение является по форме хотя новой, но точной записью того же уравнения Дирака (см. (18.26)).

Вообще говоря, в уравнении (19.39) компоненты волновой функции г|)р зависят от времени, т. е. 2p(，f). Если же электрическое и магнитное поля не зависят от времени, то мы можем перейти к стационарному случаю

Фр (г, /) = ехр [―专(Е + 恤。2)" %(r)(19.40)

и ограничиться только положительными значениями энергии

Е + то。？ > °, выделив из общей энергии собственную энергию т^с2. Это оказывается очень удобным при исследовании движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены.

Подставляя (19.40) в (19.39) и сокращая все члены уравнения на временной множитель ехр[—(e + ^2)ф мы получим

(E-g)Q)i"P)(»(19.41}

^т^ + £-еФ)(^) = с (“)(：；)•(19.42}

Из последнего уравнения следует

C：)=^(l+^)T”P)Q)・(19・43)

В отличие от (19.39) в уравнениях (19.41) и (19.43) компоненты волновой функции не должны зависеть от времени.

Рассмотрим прежде всего переход от уравнения Дирака, представленного (19.41) и (19.43), к уравнению Паули, в котором учитываются лишь члены порядка и/с (нерелятивистское приближение).

Принимая во внимание, что Е — еФ = ~^- , мы можем в данном приближении пренебречь величиной《晖。厂 по сравне* нию с единицей.

Тогда из (19.43) найдем

器，)(1944)

Отсюда видно, что при положительной энергии компоненты (,) являются «малыми» и имеют порядок v/c относительно «боль- 111HX》(沙 поскольку

Подставляя (19.44) в (19.41), мы исключим «малые» компоненты, а для определения《больших》получаем

一 (Е -働 Q )=盡 “Р)”Р)«；) •

*) Для отрицательных энергий £-> — | £ | — т^с1 мы найдем, что, на* оборот, компоненты ( ： ) будут «малыми》,а компоненты (：) 一《боль- Шимм».

Далее, принимая во внимание равенство )

9")(c%)=(aь)+ »(/m6]),9")(c%)=(aь)+ »(/m6]),(19.45)(19.45)

9")(c%)=(aь)+ »(/m6]),

9")(c%)=(aь)+ »(/m6]),

(19.45)

(19.45)

справедливое как в случае матриц Паули, так и в случае матриц Дирака, имеем

(『Р)”Р) = р2 + *『[рр])・

Подставляя сюда значение для

Р=Р—~Л

находим

[РР]ф= —±([рД] + [Ар])屮.

Учитывая, что оператор р действует на все функции, стоящие справа от него, можем написать:

[р4] 2 = — [Ар] 2 + 2 [рЛ] = — [Ар]屮 + ｝衫ф,

где 箔 =rot А — напряженность магнитного поля. Следовательно,

[pp]2 =一答能也

и поэтому

(атХ0Ф) = p2 -号((/能).

Таким образом, уравнение Дирака при учете членов, пропорциональных только и/с, переходит в уравнение Паули (см. (16.20))

(e - g T 十磊何密)2=。・(19.46)

Появление дополнительного выражения для энергии электрона в магнитном поле

умагн=_(蹂)

автоматически приводит к существованию магнитного момента

(19.47)(19.47)электрона

(19.47)

(19.47)

尸 2/п0с'

величина которого в теории Паули постулировалась, исходя из анализа экспериментальных данных.

Заметим, что, поскольку этот магнитный момент (его называют кинематическим или дираковским магнитным моментом) появляется при переходе к нерелятивистскому приближению, учитывающему только члены первого порядка малости по и/с, дополнительная энергия умагн относительно нерелятивистских энергий должна иметь порядок v/c.

Принимая во внимание значение механического момента электрона (см. (19.4а))

(19.48)(19.48)как следствие теории Дирака находим соотношение

(19.48)

(19.48)

которое ранее было введено для объяснения опытов Эйнштейна —де Гааза.

Рассмотрим теперь влияние релятивистских и спиновых эффектов на движение электрона в электрическом (например, кулоновском) поле. Для этого в уравнении Дирака мы должны удержать наряду с нерелятивистскими членами также члены порядка (и/с)?, отбрасывая при этом вектор-потенциал (А = 0), т. е. полагая Р = р.

Кроме того, при переходе в указанном приближении от четырехкомпонентных функций к двухкомпонентным мы должны произвести «перенормировку», исходя из соотношения

ПолагаяПолагаяWW：) ( *)=(屮関)(：；)•(1949)

Полагая

Полагая

a:)="(» (啊=(屮叫)m

получим следующее выражение «малых» компонент через «большие» с точностью до величины порядка (и/с)2：

(：：) =磊("^Я"Р)"(：；)・ WO)

Принимая во внимание, что (с'р) (о'р) = р2, и удерживая в дальнейшем только члены, не превышающие второго порядка мало-

сти по (и/с)2 с помощью условия «перенормировки» (19.49), находим

(m(№ + N (：:)=(中乂汾

(19.51)преды-(19.52)(19.51)преды-(19.52)Отсюда получаем

(19.51)

преды-

(19.52)

(19.51)

преды-

(19.52)

в чем нетрудно убедиться, подставляя это значение ^ в дущее равенство. Поэтому в данном приближении ()=("$)(»

(т ① #№)&)•

Между прочим, заметим, что в приближении Паули (учитывающем только члены порядка v/c) перенормировочный коэффициент обращается в единицу.

Подставляя последние выражения в уравнение (19.41), нахо* дим

=[£ 一 (『р) £^明(『р) —(19.53)

Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими соотношениями *):

(『р) (Е — е①)(『р) = (Е — еФ) р2 — ihe (a^) (dp)=

=(E — еФ) p2 — 访 e 侈 p) + eh (『[%)])(19.54)

и

聶=p2 (£ 一 6ф) = (е - eф) p?十芈他 p) + 自 2第2 ①，(19.55)

где 行=—V①一вектор напряженности электрического поля, а операторы V и £2 действуют только на потенциал Ф.

Из (19.55) следует, что

(Е — g) р2 = ^• + 2/е 俸 р) — fi^e^.(19.56)

Подставляя (19.54) и (19.56) в (19.53), найдем уравнение Дирака в рассматриваемом приближении:

a-2-嶽)*:)=片(»(1957)

где дополнительная к нерелятивистскому уравнению Шредингера энергия, имеющая порядок (и/с)?, равна

'=-毋-1>(°'啰 Р】)+冷 V也(19.58)

Левая часть уравнения (19.57) описывает движение частицы в нерелятивистском приближении в постоянном во времени электрическом поле. В правой части этого уравнения стоит дополнительная энергия взаимодействия, описывающая релятивистские и спиновые эффекты.

Первый член в правой части последнего равенства

(19.59)

дает поправку на релятивистскую скорость частицы. Аналогичная дополнительная энергия должна появиться также и в релятивистском уравнении Клейна — Гордона. Классический аналог этого члена мы получим, если релятивистское выражение для гамильтониана разложим в ряд, удерживая члены порядка (и// 24

Следующий член разложения характеризует так называемое спин-орбитальное взаимодействие

которое описывает взаимодействие магнитного момента движущейся частицы с электрическим полем.

Примечание. Появление этого взаимодействия может быть интерпретировано по классической теории следующим образом: магнитный момент частицы, движущейся со скоростью v, как пространственная составляющая тензорной величины приобретает дополнительный электрический момент, являющийся пространственно-временной составляющей той же тензорной величины

Мэл =；【叩]=[PN-(19.61}

Благодаря появлению 卩分口 электрон получает дополнительное взаимодействие с электрическим полем ядра

Н"= 一 便％л) = 一(В 倚例)・(19・62>

Это классическое выражение для энергии взаимодействия в два раза больше соответствующего квантового выражения (см. 19.60)). Заметим, что еще aq появления теории Дирака была сделана попытка объяснить тонкую структуру с помощью полуклассического введения спин-орбитального взаимодействия. Однако, чтобы получить согласие с экспериментом, Л. Томас и советский теоретик Я. И. Френкель предложили в классическом выражении для энергии взаимодействия (19.62) поставить коэффициент V2- Этот коэффициент» который совершенно автоматически следует из теории Дирака, полу： чил название поправки Томаса — Френкеля,

В частности, для кулоновского поля ядра

Ф =—--,乡===”^^=, е = — е°.(19.63)

ZW(SL) 2唸2「з 'ZW(SL) 2唸2「з 'уС.-О.уС.-О.(19.64)(19.64)Взаимодействие движущегося магнитного момента с ядром согласно (19.60) становится равным:

ZW(SL) 2唸2「з '

ZW(SL) 2唸2「з '

уС.-О.

уС.-О.

(19.64)

(19.64)

где S = ^~ с'——спиновый, a L = [гр] — орбитальный моменты.

Заметим, что спин-орбитальное взаимодействие (19.64) должно отсутствовать для s-состояния, у которого орбитальный момент обращается в нуль.

Последний член взаимодействия, который в случае кулонов-

(19.65)(19.65)ского поля равен

(19.65)

(19.65)

o/HqCZITIqC

носит название контактного взаимодействия. Соответствующая ему дополнительная энергия

А^конт = \ гр+уконт^ d3%, (19.65а) пропорциональная | Т(0) |2, отлична от нуля лишь для s-состояния (/ = 0), поскольку только в этом случае | Т(0) |2 =/= 0. Для всех же других состояний (/ 耍 0) этот квадрат волновой функции при г = 0 обращается в нуль. В этом смысле контактный член можно рассматривать как спин-орбитальное взаимодействие для s-состояний. Таким образом, два последних члена в энергии взаимодействия (19.58) характеризуют спиновые свойства электрона.

Уравнение Дирака для нейтрона 〃 протона. Как известно, уравнение Дирака описывает движение частиц со спином %• Оно применимо не только к электрону, но и к протону, и к нейтрону. При наличии электромагнитного поля следует учитывать наличие заряда лишь у протона, а также наличие у протона и нейтрона особого врожденного магнитного момента, который

получил название аномального. Здесь следует напомнить, что энергия взаимодействия заряженной дираковской частицы с электромагнитным полем

(呉)(呉)Ре = еФ-е(а4) (19.66)

(呉)

(呉)

благодаря наличию собственного механического момента

содержит в себе также в нерелятивистском приближении еще и дираковский магнитный момент

%%2moe2moe(19.66а)(19.66а)

%

%

2moe

2moe

(19.66а)

(19.66а)

Однако при переходе к релятивистскому случаю в последнем выражении вместо массы 恤 мы должны подставить ее релятивистское значение 而==^=, и поэтому с увеличением скорости движения до ультрарелятивистской (и 〜с) дираковский магнитный момент обращается в нуль.

Наряду с дираковским магнитным моментом, который проявляется только в нерелятивистском приближении и величина которого определяется зарядом, частица может обладать еще аномальным магнитным моментом, не исчезающим даже в ультра-

релятивистском случае и не зависящим от заряда частицы.

Составим теперь выражение для энергии взаимодействия аномального магнитного момента с электромагнитным полем. Энергия взаимодействия (19.66) электрона с электромагнитным полем с точки зрения четырехмерного пространства представляет собой скаляр. В самом деле, скалярный и векторный потенциалы образуют четырехмерный вектор

Z①===44，"% — 4], /g -42，4之 43。

Точно так же единичная матрица / есть четвертая составляющая матрицы скорости 必=").

Отсюда энергию взаимодействия (19.66) мы можем представить в четырехмерной записи как скалярную величину

4

匕=—е£ &1&.(19.666)

Ц=1

Как известно, электромагнитное поле образует антисиммет-

dAv —dAv —dxvdxvрпчный тензор 2-го ранга:

dAv —

dAv —

dxv

dxv

(19.67)

где

无4 •—- ZCf •

Отсюда имеем:

(19.68)(19.68)^^尤 <^^23, ^^^ — ^^31> ^^2 1— ^^12,芯=能41, i^y = 5^42，f醫2 =能43・

(19.68)

(19.68)

Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного момента 卩 с электромагнитным полем должна определяться формулой4

^т= И Z a|iv^nv>(19.69)

从V=1

где ocjxv — тензор 2-го ранга, составленный из матриц Дирака *)• Воспользовавшись правилом преобразования волновой функции как при лоренцевых (см. (18.37)), так и при пространственных поворотах (см. (18.39)), можно показать, что матрицей, образующей тензор 2-го ранга, являются величины )

a23 = р3°Ъ a31 = p302, a12 = рза3> a41 = 一 iр25,

・(19.70)

a42 = 一 zp2G2,a43 = 一 ZP203，

Поэтому энергия взаимодействия аномального магнитного момента с электромагнитным полем принимает вид

Р；п = Мрз(и^) + р2(и^)]・Р；п = Мрз(и^) + р2(и^)]・(19.71)(19.71)

Р；п = Мрз(и^) + р2(и^)]・

Р；п = Мрз(и^) + р2(и^)]・

(19.71)

(19.71)

В качестве единицы измерения магнитных моментов протона, нейтрона и вообще ядер выбирается ядерный магнетон

^д=2^ = 5-Но=击 Но = 0,505 • 10-23 эрг *「с?

который равен дираковскому значению магнитного момента протона (м^”р= ияд) и связан с наличием у протона заряда (ер=ео) и собственного механического момента (т. е. спина). Здесь тр является массой протона, а 卩о ——магнетоном Бора. Кроме этого момента, протон, как показывают экспериментальные данные, обладает еще и аномальным магнитным моментом, равным

吋3=1,79m世，

который и следует подставлять во взаимодействие (19.71).

В противоположность дираковскому магнитному моменту аномальный момент не только сохраняет свое значение в нерелятивистском приближении, но и не исчезает в ультрареляти- вистском приближении.

Таким образом, в нерелятивистском приближении общий магнитный момент протона равен

Ир =崂 нр + 眯产м = 2,79%.

Поскольку электрический заряд нейтрона равен нулю, то дираковский магнитный момент у него должен отсутствовать. Однако, как показали опыты Блоха — Альвареца, нейтрон обладает аномальным магнитным моментом, равным

%=:— 1,91няд.

Возникновение аномальных моментов протона и нейтрона связано с их ядерным взаимодействием с пи-мезонным полем (сильное взаимодействие )).

ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРАВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА

Постановка вопроса. Теория движения электрона в кулоновском поле ядра (водородоподобный атом) по уравнению Шредингера дает выражение для энергии (см. § 12)

成=(20.1)

согласующееся с экспериментальными данными. Однако это значение энергии можно принять только в качестве нулевого приближения. Более детальное изучение спектров атомов показывает, что спектральные линии обладают тонкой структурой, которую не может описать теория Шредингера, где не учитывается релятивистская зависимость массы электрона от скорости и спиновые эффекты.

Теорию атома водорода с учетом тонкой структуры можно построить с помощью уравнения Дирака.

Заметим, что проблему Кеплера по теории Дирака можно решить точно. Однако это решение в математическом отношении требует весьма громоздких выкладок, более сложных, чем по теории Шредингера. За этими выкладками не всегда удается уловить физический смысл полученных результатов. Поэтому мы используем более элементарный метод решения, основанный на приближенных формулах предыдущего параграфа. Этот метод позволяет не только получить с точностью до членов порядка y~J формулы, характеризующие тонкую структуру, но и дать

интерпретацию отдельных членов как результат проявления релятивистских или спиновых свойств электрона.

Учет релятивистских и спиновых эффектов. Как следует из § 19 (см. (19.24) и (19.25)), волновая функция частицы с учетом спина имеет вид

^ = RnA(20.2)

Здесь У/m —шаровой спинор, причем при j = / + 】/? спин параллелен орбитальному моменту, а при / = I —】/? — антипарал- лелен; Rm — радиальная часть волновой функции.

Хотя решение (20.2) формально относится к нулевому приближению, однако оно может быть использовано для определения энергетических уровней с учетом членов порядка (?) , которые содержат спин-орбитальное взаимодействие пропорциональное (LS) (см. (19.64)).

Это связано с тем обстоятельством, что с оператором спин- орбитального взаимодействия коммутирует лишь составляющая полного момента Jz (см. (19.11) и (19.12)), а решение (20.2) как раз и является собственной функцией этого оператора ).

Поэтому решением (20.2) можно пользоваться, когда на атом не действуют еще какие-то внешние возмущающие силы, по порядку величины превышающие спин-орбитальные. Иначе спин- орбитальная связь, как говорят, рвется, и соотношение между шаровыми функциями, входящими в (20.2), должно быть установлено, исходя из новой постановки задачи.

Шаровые спиноры, так же как и шаровые функции, удовлетворяют уравнению

^Л^-Ц1+1)У^(20.3)

поэтому, учитывая равенство (10.21), для определения радиальной функции в равенстве (20.2) находим то же самое уравнение, которое было установлено в нерелятивистской теории Шредингера:

丄。恤爲 I 27no 编 H^ + 0 \vr, + (下一 + 万-一^^-丿凡2=0-

Волновая функция (20.2) полностью определяет правила отбора для всех квантовых чисел: правила отбора для квантовых чисел I, j к rrij задаются формулой (19.38), а правила отбора для главного квантового числа п, очевидно, будут такими же, как и в теории Шредингера (см. (12.68)). Учитывая все это, приходим к следующим правилам отбора в теории водородоподобного атома с учетом спиновых эффектов:

А/ = ±1, А/ = 0, ±1, Лт/ = 0, ±1,

Ам — любое целое число.*

В данной задаче, зная нулевое приближение волновой функции (20.2), а также дополнительную энергию взаимодействия, описывающую релятивистские (см. (19.59)) и спиновые (см. (19.64) и (19.65)) эффекты, мы можем найти соответствующую поправку к энергии (20.1) нулевого приближения.

Согласно формуле (19.59) релятивистская поправка к энергетическим уровням равна

(20.5)(20.5)(20.6)(20.6)аерe“=)(中⑺)+誤尸

(20.5)

(20.5)

(20.6)

(20.6)

В рассматриваемом случае

*吸=(成+生)*(叫+萇=(叫

это дополнительное взаимодействие не зависит от сферических углов О, ср. Поэтому, учитывая, что при интегрировании по телесному углу

§dR (嗡)+喊=1, (20.7)

для дополнительной энергии, характеризующей релятивистские эффекты, получаем

2" = - $ [©У + 2用 Z%〈L〉+ Z2* L〉]=

—屮(#7r~4)，(20.8)

W 1

a =— постоянная тонкой структуры.

11 А. А. Соколов и др.

При выводе последней формулы мы воспользовались равенством (12.40а), согласно которому

/ Z 1 2R力Z

f —— 1 一 2RZ?m。

V '一3。丿m(2+%) 一 力*(/ + %) .

Формула (20.8) точно совпадает с выражением для дополнительной релятивистской энергии, которая была вычислена в том же приближении при помощи релятивистского уравнения Клейна — Гордона (см. (17.31)).

Аналогичным способом с помощью формулы (19.64) найдем дополнительную энергию, обязанную спин-орбитальному взаимодействию

А^е = (Sb)〈厂3〉・ (20.9)

Воспользовавшись далее для (г~3) выражением (12.40а)

1淤/a+ %)(/+1)‘1淤/a+ %)(/+1)‘

1

淤/a+ %)(/+1)‘

1

淤/a+ %)(/+1)‘

а для (S£) — выражениями (19.28) и (19.18а)

(SL) = l^q ПРИ

I 0 при / = 0, получим для энергии (20.9) следующее значение:

人戶С.一0._R力 Z4(x20(1 一配)(20 1

В последних формулах

.( I при /=/ + %,

g = J(/+i)-"/+i)-s(s+i) = { 一《+1)11PH j = /_%,

(20.11) а величина

,0 при /#=0,^zo —t 1 при I = 0.

Наконец, для энергии, соответствующей контактному взаимодействию, согласно (19.65) получаем

гдегде(20J3)(20J3)и军中(0)已

где

где

(20J3)

(20J3)

I中(0)f=此"0) у燈у然.

Принимая далее во внимание выражение для

|^(о)р=4б„(Ау

(см. (12.40)), а также, что 丨丫像产=展 при / = 0 и /==%, находим

I中⑼?=祭(£)3，"IQ

т. е.

А^конт = RR ^L б/0 )・(20.15)

Отсюда для дополнительной энергии, в которой учтены релятивистские эффекты, а также спин-орбитальные и контактные взаимодействия, находим:

А£ =厶酬"+ &『"+ А^конт =

_Z4(x2 Г п _ 3 _夕г(1 —甸0)吝]・

_ _ R力L + % _ 彳 _ 2/(/ + %) (/ + 1)—也。]

Подставляя сюда значение q из (20.11), имеем

=- т)-(20・⑹

Учитывая оба результата (20.1) и (20.16), получаем формулу тонкой структуры спектра водородоподобного атома

£„/ = £^ + △^/=--^[1 +^(7^--|)]-(20-17)

Отсюда видно, что расщепление уровней пропорционально квадрату постоянной тонкой структуры.

Примечание. Точное решение уравнения Дирака дает следующее обобщение формулы (17.30), учитывающей релятивистские эффекты, на случай наличия также и спина:

[

72а2

1 + 7:一m0产.(20.17а)

伍一/ 一 ％ + 7(/+ %产一Z2a2)2 J

Формула (20.17) может быть получена из (20.17а), если последнюю разложить в ряд по 22a2 и ограничиться первыми двумя членами. Взяв минимальное значение j = V2, мы найдем, что устойчивое движение в кулоновском поле точечного ядра согласно теории Дирака простирается до Zkp = 137, в то время как в теории Клейна ——Гордона оно было ограничено Zkp =，2・137 (см. (17.33)). Такое увеличение Zkp связано с тем обстоятельством, что спиновые эффекты несколько компенсируют релятивистские.

Таким образом, устойчивое состояние (включая наинизшее) электрона в zW。

кулоновском поле Р = — —— (т. е. движение с отрицательной энергией

Е V 0) ограничено некоторым максимальным значением потенциальной энергии (Zkp = 137), что приводит к критической энергии Екр =——m。。?.

При Z > Zkp в кулоновской потенциальной яме становится возможным появление электрон-позитронных пар (парадокс Клейна), и проблема одного Тела теряет свой смысл.

В связи с этим следует заметить, что мы сможем получить устойчивые связанные состояния (включая наинизшее состояние) при любых энергиях, если поместим электроны в постоянное и однородное магнитное поле ).

耽〃耽〃Исследование тонкой структуры по теории Дирака, С учетом тонкой структуры энергетические уровни атома водорода оказываются зависящими также от внутреннего квантового числа j. Соответствующие термы равны

耽〃

耽〃

RZ2 Г Z2(x2 / п 3\1、

-2?3h e 2з“2，畛2- ⑸佗Рис. 20 1. Схема энергетиче-ских уровней атома водо-рода.-2?3h e 2з“2，畛2- ⑸佗Рис. 20 1. Схема энергетиче-ских уровней атома водо-рода.才(5一力・(20/8)

-2?3h e 2з“2，畛2

- ⑸佗

Рис. 20 1. Схема энергетиче-ских уровней атома водо-рода.

-2?3h e 2з“2，畛2

- ⑸佗

Рис. 20 1. Схема энергетиче-ских уровней атома водо-рода.

схемы видно, чтосхемы видно, чтоИз этой формулы видно, что тонкая структура по теории Дирака зависит лишь от главного квантового числа п и внутреннего квантового числа /. От орбитального же квантового числа 厶 в противоположность бесспиновой теории Клейна—Гордона, тонкая структура уровнен не зависит. Из приведенной на рис. 20.1 термы являются двукратно расщеплен

схемы видно, что

схемы видно, что

ными, так как каждому значению I соответствуют два значения /; например, вместо одного терма 2P (/ = 1) имеем теперь два терма: 2р% и 2р%・ Исключение представляют s-термы (/ = 0), для которых j может принимать лишь одно значение (/ = %)• Таким образом, учет релятивистских и спиновых эффектов несколько понижает, но не расщепляет s-термы (рис. 20.1). Заметим, что благодаря расщеплению энергетических уровней кратность вырождения несколько изменяется. В самом деле,

главное квантовое число может принимать следующие значения: 九=1, 2, 3, 4, ... Орбитальное квантовое число / изменяется в пределах от / = 0 (s-состояние) до п——1. Внутреннее квантовое число / принимает значения / = / ± 】/? (Z #= 0) и / — 7г (/=0), и, наконец, для квантового числа mj имеем: т； = —/, ..., +/, т. е. при заданном / оно принимает 2/4-1 полу целых значений. Таким образом, кратность вырождения, характерная для любого центрального поля, связанная с равноправностью различ* ных направлений, для частиц спина 1/2 равняется 2/ + 1 (напомним, что для бесспиновых частиц она равнялась 2/ + 1)« Кроме того, в случае кулоновского поля остается еще специфическое вырождение по I (так как энергия от / не зависит). Поскольку при заданном / квантовое число / может принимать два значения: / =，士 1/2, то полная кратность вырождения в кулоновском поле равна 2(2/ + 1). Исключением является состояние с максимальным значением j = п ——!/2, поскольку / в этом случае может принимать лишь одно значение: / = / — % (напомним, что состояние / = п запрещено). Для него кратность вырождения будет равна 2/ + 1. Заметим, что учет любого нарушения кулоновского поля точечного заряда (учет конечности размеров ядра, учет вакуумных поправок) полностью снимает вырождение по 厶

При определении величины расщепления спектральных линий необходимо учесть правила отбора (20.4). Тогда вместо одной линии серии Лаймана имеем две:

s⑴= (%)-(%/)

(линия слабой интенсивности, так как А/ = 0),

s⑵=(1s%)-(叫)・(20.19)

Для линий серии Бальмера находим следующие расщепления:s⑴= (2sQ 一(叫)，s⑵= (2s%)-(〃P%),

s⑶= (2p%) — (g/J,

s ⑷=(2~) 一 (几%),(20.20)

s⑸=(2%) 一 (g/2),

s⑹=(2。%)-(叫)，

причем линия (2夕％)—(几％) должна отсутствовать, так как в этом случае Ду = 2 (запрещенный переход).

Заметим, что если вырождение по / не снято, то линии(о⑴ и &)(з)(а также ①卩)и со^)) совпадают друг с другом, поскольку начальный и конечный уровни имеют одно и то же значение для главного п и внутреннего / квантовых чисел. Аналогичным способом можно определить закон расщепления для других линий. При этом низшим энергетическим уровнем, претерпевающим расщепление, является уровень м = 2. В случае атома водорода <Z=1) расщепление этого уровня наиболее тщательно изучалось экспериментально. Вообще говоря, уровень п = 2 должен расщепляться на три, причем согласно изложенной здесь теории два из этих уровней оказываются слившимися:

(2sQ = (2pQ = ^[l +4(2~Т)]-

(2Р%) = $[1 +"Т(1 ~4)]-

Для частоты переходов между этими уровнями, согласно теории Дирака, находим

АМ = (2%) -(2р%) = R^,(20.22)

что составляет 1,095-104 МГц.

В то же время с учетом лишь релятивистских эффектов (уравнение Клейна — Гордона) соответствующее расщепление равно (см. (17.32))

AsK-r =(2s) 一 (2р) = ^ 筹，(20.23)

т. е. почти в три раза больше расщепления, найденного по теории Дирака. Таким образом, учет спиновых свойств частиц несколько уменьшает влияние релятивистских эффектов.

Эксперимент с большой точностью подтвердил правильность выводов теории Дирака.

В связи с этим интересно отметать, что тонкая структура спектра атома водорода теоретически впервые была рассчитана Зоммерфельдом по полуклассической теории Бора, причем в основу теории было положено релятивистское выражение для гамильтониана. Зоммерфельд получил для бесспиновой релятивистской теории выражение (см. 20.22):

А^зомм =(2» — (2р)=等•(20.24)

Однако такое совпадение результатов Зоммерфельда и Дирака оказалось до некоторой степени случайным, поскольку в теории Зоммерфельда не были учтены спиновые эффекты, и поэтому он не мог получить при п = 2 трех уровней, наличие которых затем было подтверждено экспериментально.

а) Экспериментальная проверка теории тонкой структуры. Большим достижением теории Дирака является объяснение тонкой структуры атомных спектров как проявления релятивистских и спиновых эффектов. Однако более тщательный анализ не дал полного согласия теории и опыта. Предметом специальных исследований явился вопрос об уровнях 2s% и 2р%> которые, согласно теории Дирака (см. (20.21)), в атоме водорода должны точно совпадать друг с другом. Начиная с 1934 г.» спектроскописты высказывали некоторые сомнения в правильности такого теоретического вывода, однако эти исследования с помощью оптического метода были далеки от совершенства. Полная уверенность в правильности экспериментальных данных о сдвиге уров> ней появилась значительно позднее, после их промера радиоспектроскопическим методом.

Радиоспектроскопический метод возник и получил бурное развитие только в послевоенные годы в результате технического прогресса в микроволновой радиотехнике ). Радиоспектроскопия, выделившаяся сейчас в особую область физики, дает цен- ные результаты при исследовании ядер, атомов и молекул. Радиоспектроскопические методы находят приложение также в физике твердых и жидких тел и др.

В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд применили радиоспектроскопический метод к исследованию положения уровней 2s% и 2р%・ При этом они воспользовались особым свойством 2&1/г-состояния. Это состояние является метастабильным, т. е, дипольный переход из него в нижнее состояние 1s% запрещен правилами отбора, поскольку в этом случае А/ = 0 ).

Переход из метастабильного состояния возможен или с испусканием двух фотонов (вероятность такого перехода уменьшается по сравнению с разрешенным переходом в 108 раз), или с предварительным переходом на уровни 2P. Лэмб и Ризерфорд поставили своей целью исследовать последний способ перехода.

Опишем в общих чертах схему их опыта (рис. 20.2). Пучок атомов в невозбужденном ls^-состоянии получается в результате диссоциации молекулярного водорода при высокой темпе-

ратуре (вольфрамовая печь). Бомбардирующий поток электронов возбуждает далее некоторую часть атомов пучка (примерно один из ста миллионов) до метастабильного состояния 2s%. Me- тастабильные атомы, в противоположность невозбужденным, при попадании на металлическую мишень легко отдают свою энергию возбуждения, вырывая электроны из металла. Электронный ток измерялся чувствительным гальванометром.

Если пучок метастабильных атомов подвергнуть воздействию возмущения, которое вызывает переходы 2s—>2р, то атомы практически мгновенно вслед за этим переходят в ls-ссстояние, не успевая достигнуть мишени, в результате чего ток в гальванометре уменьшается.

Рис. 20.2. Схема опытов Лэмба — Ризерфорда по экспериментальному обнаружению pad* щепления уровней 2Si/? и 2р%・ /—вольфрамовая печь, испускающая пучок атомов водорода; 2—поток электронов, возбуждающих атомы водорода; 3—радиочастотное поле;

4—мишень; 5—гальванометр.

Такие переходы в опыте Лэмба и Ризерфорда индуцировались радиочастотным излучением (вероятность соответствующего спонтанного перехода исчезающе мала), причем при некоторой частоте наблюдается сильное гасящее действие, в результате которого ток на мишень прекращается. Эта частота(о истолковывается как резонансная, вызывающая вынужденные переходы 2s%— 2р% или 2s% f 2Pб% с последующим практически мгновенным переходом на уровень ls%・ Энергия 九① соответствует разности энергий между этими состояниями. Таким образом, открывается возможность весьма точного измерения относительного положения уровней

2s%, 2р% и 2/?3厶 )•

В результате проведенных измерений было установлено, что уровень 2s% сдвинут вверх относительно уровня 2р% примерно на 7ю часть расстояния между уровнями дублета (2р%) 一 (2рз/), равного 而 R・ Расположение уровней водородоподобного атома при п = 2, полученное на основе опытов Лэмба и Ризерфор- да, приведено на рис. 20.3. Для сравнения на том же рисунке

Рис. 20.3. Расщепление термов в атоме водорода, а —экспериментальные данные； б—по теории Дирака (без учета вакуумных эффектов). Частоты соответствующих переходов указаны в мегагерцах.

приведено расположение тех же уровней по теории Дирака. Расстояния между уровнями даны в мегагерцах. Согласно новейшим данным сдвиг уровня 2s% составляет примерно 1057,86 МГц, или в длинах волн。28 cM.

Это, казалось бы, ничтожное расхождение теории и эксперимента привело к замечательному прогрессу в квантовой электродинамике (более подробно см. § 21).

0) Сверхтонкая структура спектра атома водорода. Сверхтонкая структура спектральных линий связана с взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным моментом электрона.

Если ядро атома водорода (Z = 1) обладает магнитным моментом рр = нр(Гр(<jp — спиновые матрицы протона), то оно создает магнитное поле

4 =『0t¥l, /=rot a (20.25)

Это магнитное поле ядра должно действовать на магнитный момент электрона 卩=—卩о(/ ((/ — спиновые матрицы электрона), в результате чего между ядром и электроном возникает дополнительное взаимодействие, приводящее к сверхтонкой структуре

рс・т・=一(卩翁)=ИоИр (『rot rot 学)=

=网年(SV)(中V) 7 一 (丁中)V2 ；). (20.26)

В первом приближении можно считать, что нет выделенных направлений, и поэтому, учитывая равенства

(o'V) (%▽) = } О%) W и V2~ = -4jiS (г),(20.27)

будем иметь

尸=零阳\。哈6(办(20.28)

т. е. в первом приближении взаимодействие магнитных моментов, так же как и контактное взаимодействие, окажет влияние лишь на s-состояние. Выражение (о'о；)， входящее в формулу (20.28), может быть найдено из следующих простых соображений.

Из матриц протона и； и электрона(/ можно построить one* ратор суммарного спина

S = ^S + %)，(20.29)

квадрат которого имеет собственные значения h2S (S + 1), т. е.

S2 = 4 Ь + 播 + 2 (『&)] f S (S + 1).

Величина суммарного спина S может равняться либо нулю (спины антипараллельны), либо единице (спины параллельны).

Принимая во внимание, что o" + of = 6, находим

(о^；) f 2s (S + 1) — 3.(20.30)

Поскольку интегрирование при наличии 6-функции дает

\ 屮+В6(г〃з% = |У(0)К

для сдвига s-уровней атома водорода (сверхтонкая структура，] получим следующее выражение:

А/ = 4 НоРр 4т【2S (S + 1) — 3],(20.31)

3 冷飞

方2

где ао =——^ —— радиус первой боровской орбиты, а значение

для 14f(0) 12 взято из равенства (20.14).

В последней формуле следует различать два случая:

спины протона и электрона антипараллельны (S = 0); тогда

спины протона и электрона параллельны (S= 1); тогда АЕ$=1 = ^ 同卩 р-^^»・(20.33)

Разность между этими уровнями характеризует расщепление s-терма благодаря взаимодействию электрона с магнитным моментом ядра

As = 空三二9史父=艺曳也事.(20.34)

力3 力n3ag

Если подсчитать по последней формуле расщепление s-уровня для случая n = 1, подставив туда значение 卩р, найденное из эксперимента Раби, а вместо 卩о — магнетон Бора, то найдем

д(отеор= 1417 МГц.

С другой стороны, тщательная экспериментальная проверка расщепления этого уровня с помощью радиоспектроскопических методов показала, что

А®9ксп= 1420 МГц ).

Учет релятивистских поправок или конечности массы ядра не дает увеличения частоты Дй)теор до требуемого Д(оэксп. Магнитный момент протона также весьма точно измерен экспериментально. Поэтому для объяснения этой аномалии осталось лишь одно, а именно, принять, что магнитный момент электрона не равен точно магнетону Бора, а несколько больше его. Чтобы получить согласие с экспериментом, как было показано Кушем и Фолли, для магнитного момента электрона следует взять значение

Нэл = — Но(! + 6),(20.35)

причем согласно последним данным

6 = 0,00116.

Таким образом, электрон наряду с дираковским, т. е. кинематическим (—цо), магнитным моментом должен обладать весьма

малым аномальным магнитным моментом 卩;^°“=—卩。^。 О природе аномальных магнитных моментов мы несколько слов скажем в § 22.

Нормальный и аномальный эффект Зеемана. В § 16 мы рассмотрели эффект Зеемана по нерелятивистской теории Шре- дин1ера, которая может объяснить лишь нормальный эффект Зеемана, т. е. триплетное расщепление спектральных «пиний атомов, помещенных в магнитное поле.

Полная теория эффекта Зеемана как аномального (т. е. мультиплетное расщепление спектральных линий), так и нормального (триплетное расщепление), может быть построена только на основе теории Дирака, в которой учитываются не только релятивистские, но и спиновые эффекты. Поскольку аномальный эффект Зеемана обусловлен спиновыми эффектами, то ни классическая теория, ни волновая механика Шредингера не могли его объяснить.

В основу теории достаточно положить уравнение Дирака (19.57) в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются спиновые эффекты. Пусть магнитное поле направлено по оси z, т. е. Жх —= 0,= %・ Тогда согласно (16.4)

- 4 等 1—(Аp) == 卩(/%,(20.36)

и поэтому уравнение (19.57) принимает вид

(e+单_萇)(；；)=(^рел+ 尸心 + 片。" + 片^) ( 二；) ，

(20.37)

где Урел, ус.-о. и уконт определяются соответственно формулами (19.59), (19.64) и (19.65) и при своем усреднении

Д£п/ =卜叫明)(产1 + 尸・。・ + уктт) ( ；：) d3%(20.38)

дают формулу тонкой структуры (20.16), т. е.

AEn『-R号(户脑 一 4) •(20.39)

При наличии магнитного поля в правой части (20.37) появляется еще взаимодействие

(о： — матрица Паули (16.26)), которое дает для дополнительной энергии атома следующее значение:

^ТЛ = ^ \ (中;)(一礫 +《)(:;)办.(20.41)

Заметим, что в правой части уравнения (20.37) от соотношения между дополнительными энергиями и зависит появление либо аномального (случай слабого магнитного поля), либо нормального (случай сильного магнитного поля) эффекта Зеемана.

Допустим, что мы имеем сравнительно слабое магнитное поле, взаимодействие атомных электронов с которым будет меньше, чем релятивистское или спин-орбитальное взаимодействие.

Тогда за нулевое приближение мы должны взять волновую функцию (20.2), которая получена при учете спин-орбитальной связи.

Подставляя эту функцию в (20.41), для дополнительной энергии получаем выражение

А£МаГН = Ио^$ I R/ г dr § (喲+ (一 i謚 +《)壊 g (20.42) о

В последнем равенстве следует принять во внимание, что интеграл по г равняется единице

\\Rnlfr4r^\. о

Подставляя же вместо шаровых спиноров их значения из (19.24), (19.25) и учитывая при этом условие нормировки для шаровых функций

§(У『)* (УТ) dQ=l,находим следующее выражение для дополнительной энергии при

А^магн _ 尧告[{I + т)т + (I + 1 - т)(т^ 1)]=^ =固能(仅一%)用抖.

Точно так же при j = / —% имеем:

△屮=点告皿一俏+1)^+(/ +m)(吁1)]=

=No爲(加-%)方言丁.

Отсюда, учитывая, что т^ = т ——1/2, оба последних выражения можно записать в виде одной формулы:

А^магн =阿非 g/用=oftgm；, (20.43) где 0 = -^^-— частота ларморовой прецессии, а множитель Ланде равен

g=锻・ (20・44)

Таким образом, в случае аномального эффекта Зеемана в дополнительной энергии появляется множитель Ланде g, который в случае нормального эффекта Зеемана (см. (16.10)) равняется единице. Дополнительная энергия (20.43) ведет не к обычному триплетному расщеплению (нормальный эффект Зеемана), а дает более сложную картину расщепления (аномальный эффект Зеемана).

Ввиду того что nif может принимать 2/ + 1 различных значений, каждый уровень при аномальном эффекте Зеемана расщепляется на 2/ + 1 отдельных подуровней, т. е. внешнее магнитное поле полностью снимает вырождение, имеющее место даже в релятивистской теории атома водорода.

Для получения картины расщепления необходимо учесть значения множителя Ланде g = 2 для s^-состояний, g = % для р^- состояний, g = 4/з Для р3/г-состояний и т. д., а также правила отбора для магнитного квантового числа mj. В частности, при Ат； = 0 испускаются компоненты, поляризованные параллельно оси г (т. е. параллельно магнитному полю), а при Д/и； = ±1 находим компоненты, поляризованные перпендикулярно магнитному полю.

Формула (20.43) приводит нас к следующему значению для частоты излучения:

s =(% + о (gQ/n? — g 吗)， (20.45) где о)о — частота излучения в отсутствие магнитного поля (^ = 0), g° и g — множители Ланде начального и конечного состояний; магнитное квантовое число т〕 конечного состояния может принимать три значения: 勺=叫 叫土 1.

На рис. 20.4 изображено расщепление спектральных уровней l?s% и 2?р% в слабом магнитном поле, причем за единицу расщепления взята ларморова частота. На рис. 20.4, б видно, что в этом случае мы будем иметь не три (как в случае нормального эффекта Зеемана), а четыре смещенные линии. Величина смещения определяется формулой (20.45). В случае слабого поля согласно (20.44) находим

g° = %, g = 2.

Отсюда

А® = со】一(о0 = 2/3 о, Ад = — 4/з°，

А(Оз = % О,Ао)4 = — 2/з о.

(20.46)

Формула (20.44) для множителя Ланде применима для атома водорода, а также для атомов, обладающих одним валентным электроном. В общем случае множитель Ланде принимает зна

чение

g=I

/(/+1)-L(L + 1) + S(S+1)

2/ (/+1)

(20.47)

где L, S, J — общие орбитальный, спиновый и полный моменты атомов, причем

/ = |L — S|, IL-S+Ц, ..., L + S-l, L + S.

В частности, для элементов первой группы (J — j, L = I, s=l/2)

Рис. 20.4. Эффект Зеемапа: а — расположение уровней без поля; б—аномальный эффект Зеемана: в—нормальный эффект Зеемана.

формулы (20.47) и (20.44) тождественно совпадают друг с другом. Для s-состояний (2 = 0, j = s = 1/2) множитель Ланде достигает максимального значения

(20.48)(20.48)gs = 2.

(20.48)

(20.48)

Для атомов с двумя электронами на внешней оболочке (например, атомов гелия) наряду с триплетным состоянием S = 1 возможны также одиночные линии (S = 0, J = L). Для последних спиновые эффекты должны отсутствовать. Поэтому мы должны при любых полях наблюдать нормальный эффект Зеемана.

Случай сильных магнитных полей. Эффект Пашена 一 бака. Как было указано, аномальный эффект Зеемана появляется в случае слабых полей, когда внешнее магнитное поле не мо- “、ет нарушить спин-орбитальную связь.

Математически это означает, что Д£'магн ~ 卩搬(см. (20.43)) будет много меньше естественного расщепления линий

определяемого формулой (20.39), т. е.

厶炉」°・》А^магн.(20.49)

В последнем случае сначала мы должны решить задачу с уче* том спин-орбитального взаимодействия и установить связь ме~ жду шаровыми функциями, образующими шаровой спинор, а за- тем найти дополнительную энергию, которая приводит к ано。 мальному эффекту Зеемана, поскольку множитель Ланде g не равен единице.

В случае сильных полей, когда, наоборот, расщепление за счет внешнего магнитного поля больше, чем за счет спин-орбитального взаимодействия

А^магн》аес“・，(20.49а)

магнитное поле «разрывает» спин-орбитальную связь, и решение для нулевого приближения через шаровые спиноры (см. (19.24) и (19.25)) не должно иметь места.

Тогда в (20.37) мы можем пренебречь взаимодействием Н", Vе- *°- и VK0HT, и поэтому это уравнение с учетом (20.40) принимает вид

(е + 学-薪)(：；)=%捲(-展 + 4)( ；；) •(20.50)

Поскольку в этом уравнении спиновые и координатные перемен* ные разделяются, то решение его можно искать в виде (см. (16.37)):

^-^ = ^Лг}^(20.51)

где координатная часть волновой функции

屯咻26 = &2⑺уТУ也9)

является решением уравнения Шредингера для атома водорода и описывает невозмущенное состояние атома с энергией

М =М =MZ2

М =

М =

и определенными значениями орбитального момента 厶窑= =Й2/(/ + 1) и его проекции на ось z, равной /Ьп】,2・

Для того чтобы волновая функция 4f удовлетворяла уравнению (20.50), ее спиновая часть должна быть собственной функцией оператора проекции спина S2 на направление магнитного поля.

Согласно (16.47) соответствующие спиновые функции представляются следующими столбцами C(ms):

。(％)=(；),恤=% и С(—%) = (：), /и5= —7г- (20.53)

Решение 0(%) соответствует ориентации спина вдоль магнитного поля (ms = Уг), а С(—1/2) — против поля (ms = —Уг)- Таким образом, полная волновая функция для уравнения (20.50) должна иметь вид

匕 = ( ：；) = ^У^СМ (20.54) при этом уровни энергии атома в магнитном поле будут определяться выражением

Е=-* + 卩 °% (g, 2 + 2m)(20.55)

где магнитное квантовое число mi, 2 = —/, —I + 1, ..., / ——1,厶 а спиновое квантовое число ms = ±〔/2・

Как видно из равенства (20.55), магнитное взаимодействие приводит к расщеплению уровня Е2 на две системы подуровней, отвечающих значениям ms = —%, т. е. Д£магн = \и^(т1 — 1), и ms — 1/2, т. е. АЕмагн _ 林°施(/^ + 1). Вводя вместо комбинации /Hi, 2 + 2ms одно квантовое число /и, запишем энергию в виде

4 俏=一堂 + М。非九(20.56)

где m = g, 2 + 2ms.

Заметим, jto квантовое число m может принимать 2/ + 3 значения: ——(/ + 1) W m W / + 1, т. e. каждый уровень £； расщепляется на 2/ + 3 подуровня (эффект Пашена — Бака). На рис. 20.4, в изображено расщепление 2P-уровня атома водорода. Состояние 2р с т = 0 оказывается двукратно вырожденным, и волновая функция определяется суперпозицией

^п1 = СА/Г ( ； ) + C2R2M ( ； )(20.57)

при условии, ЧТО С1 + С2 = 1.

Заметим, что состояние Is с т = 0 оказывается запрещен* ным.

Рассмотрим теперь переходы между уровнями атома, связан^ ные с излучением. С достаточно хорошим приближением можно Считать, что при таких переходах спиновое квантовое число не меняется, т. е. Ams = 0. Действительно, для его изменения необходимо, чтобы с полем излучения взаимодействовал спиновый магнитный момент электрона, пропорциональный матрицам Паули и равный по величине магнетону Бора, а это взаимодействие очень мало по сравнению с обычным дипольным взаимодействием. Для магнитного квантового числа имеют место известные правила отбора Ag, 2 = 0, ±1・

Как следует из (20.56), переходы между уровнями при излучении с учетом указанных правил отбора дают обычное триплетное расщепление частот

До = оД/и; А/п = 0, ± 1,(20.58)

где

о =固捲/力=Bq 制 12mqe ・(20.59)

Таким образом, в сильных полях (см. (20.49а)) аномальный эффект Зеемана переходит в нормальный, т. е. вместо четырех компонент расщепления мы получаем три. При этом, как видно из рис. 20.4,8, с учетом еще правила отбора Д/и = 0, ±1 триплетное расщепление, так же как и в теории Шредингера (см. § 16), определяется соотношением

Ад = Д(о2 =(t>i — со。= 0, Асоз = Д04 = ®з —例=о,

А а(20.60)

= 85 —铀=—о.

Формально нормальный эффект Зеемана можно получить и из рис. 20.4, 6, т. е. из аномального эффекта, если положить g = 1.

В особых случаях, когда для одного энергетического уровня Afc.e V А£магн, а дЛЯ другОГО, Наоборот, А#., о. > А^магн или когда для обоих уровней AEc-'°- и Д£магн имеют одинаковый по* рядок, зеемановское расщепление становится еще более сложным. Поскольку эти вопросы имеют узкоспециальный характер, мы не будем здесь на них останавливаться.

§ 21. ЛЭМБОВСКИЙ СДВИГ УРОВНЕЙ

Электромагнитный вакуум. При движении электрона в атоме он взаимодействует не только с атомным ядром, но также и с нулевыми колебаниями свободного электромагнитного поля, т. е. с электромагнитным вакуумом. Действительно, как было показано в § 9, даже в отсутствие реальных фотонов, т. е. при N% % = 0, флуктуации электромагнитного поля отличны от нуля (см. (9.53)). Взаимодействие с вакуумом приводит к тому, что электрон в атоме начинает «дрожать» на своей орбите. В результате он как бы размазывается в пространстве, и вследствие

этого меняется его взаимодействие с ядром. Притяжение к ядру ослабевает, и уровни энергии стационарных состояний повышаются.

Теория сдвига атомных уровней за счет взаимодействия с электромагнитным вакуумом основывается на вторичном квантовании электромагнитного поля. Поскольку соответствующий расчет довольно сложен, то мы приведем здесь полуклассиче- скую нерелятивистскую теорию движения электрона под влиянием нулевых флуктуаций вакуума, предложенную Вельтоном.

Метод Вельтона. В грубом приближении учтем взаимодействие вакуумного поля с электроном с помощью обычного классического уравнения

恤疗=С罟вак十7 [3；箔вак] 儲вак,⑵• 1)

где 6г — отклонение электрона от равновесной орбиты в атоме, а 鴿ак— вакуумное поле. Заметим, что в нерелятивистском приближении мы отбросили в правой части этого уравнения член с магнитным полем 箔вак, пропорциональный (| 6/ |/с)《1.

Разложим напряженность вакуумного поля в ряд Фурье

嘱ак = £ % COS (%川一騎^& ^м COS①諸 ⑵・2) где ®м = ^с, а зависимостью от координат можно пренебречь, поскольку kr <С 1 (в справедливости этого предположения мы в дальнейшем убедимся).

Каждой гармонике k соответствуют две различные поляризации: 4=1,2.

Подставляя (21.2) в уравнение (21.1) и интегрируя, находим смещение координаты электрона под действием вакуумного поля

m =e 君^九2 .(21.3)

Средний квадрат смещения будет равен

丽5 =矗g(鴉严/%，(2L4)

поскольку

cos (О/ COS Cd" = у 必心

при этом » = 0, так как cos(о£ = 0.

Вспомним, что согласно (9.53) энергия нулевых колебаний равна

e =亲，藍aм% = ?巽咻⑵包

Подставим сюда разложение (21.2), сохранив зависимость от /*, и учтем, что

& ,= 6犷・

Тогда после интегрирования по объему в равенстве (21.5) получим

备2%=2昇端， ⑵6)

k, К瓦九

т. е. квадрат фурье-компоненты вакуумного поля равен

% =书力%.(2L7)

Это выражение можно теперь использовать для вычисления среднего квадрата смещения (21.4):

斫=舞2六(2L8)

В последнем равенстве заменим сумму на интеграл по частотам 3尼％ =々0 с помощью соотношения

击2 = 2 击卜』741sрг、 со2 ds dQ =不& \ co2 d(o, (21.9)

где учтено, что частоты(о не зависят от поляризации 九=1, 2, и в силу сферической симметрии интегрирование по телесному углу Й дает 4л.

Таким образом, для (бг)2 получаем следующий, вообще говоря, расходящийся интеграл

研=4(盜)」粤・(21」。)

В последнем интеграле можно выделить сходящуюся (наблюдаемую) часть, если учесть, что по предположению движение электрона должно быть нерелятивистским. Это значит, что импульс, приобретаемый электроном при дрожании за счет взаимодействия с вакуумом, не должен превосходить mQct т. е. hk V т^с, откуда следует верхний предел интеграла

® < <0маКс «^.(21.11)

Нижний предел сомин получается из условия, чтобы частота дрожания (о была не меньше частоты, соответствующей энергии

связи электрона в атоме:

S > Smhh = —両Г"，(21.12)

где Z — заряд ядра.

Подставляя пределы (21.11) и (21.12) в интеграл (21.10), находим

丽=^а(為户n爲，⑵.13)

где а = е^/йс= 1/137 — постоянная тонкой структуры ).

Как видно из последнего выражения, вакуумные колебания приводят к некоторой эффективной размазанности точечного электрона, причем размеры соответствующей области, по которой «размазан» электрон, определяются средним геометрическим между классическим радиусом электрона гКл = е2/тос2 и КОМПТОНОВСКОЙ ДЛИНОЙ ВОЛНЫ 九=九//ПоС：

При этом величина fer, которой мы пренебрегли в равенстве (21.2), имеет порядок (тос/Й) гвак Va《】•。

Вследствие этой размазанности электрона его взаимодействие с ядром вместо обычного выражения

V = — %①(г)(ео= — е > 0)(21.15)

примет теперь вид

У+ЗКак=— 的① Т+Н) = - ео『1 + (”V) +(62)2 + ・・.]①⑺.

(21.16)

Усредним это выражение по дрожанию электрона с учетом соотношений

6г = 0, (6х)2 = (Зу)2 = (6z)2 = $硏.

Тогда

(5?^ =!研 V2,(21 .⑺

следовательно, дополнительная энергия взаимодействия электрона с ядром за счет вакуумных колебаний равна

ML-串硏屮①=4ZW(鳥У ln^6(r). (21.18)

При получении последнего равенства учтено, что потенциал кулоновского поля ядра атома водорода удовлетворяет уравнению Пуассона

^ = — 4nZeQb(r). (21.19)

Для того чтобы найти окончательное выражение для сдвига уровней в атоме водорода, необходимо усреднить величину бУвак по соответствующему состоянию атома 屮")• Тогда формула для сдвига уровней примет вид

6£вак =卜* ⑺ 6 曦帥(「)^ =4 Z咖(誥)1 屮(°)I2 ln "W'

(21.20) т. e. этот сдвиг, который получил название лэмбовского смеще^ ния, определяется значением волновой функции в начале координат. Поэтому он имеет место только для s состояний, а для других состояний (Z = 1, 2, ...) величина |2(0)|2 в рассматриваемом приближении обращается в нуль. Но для «-состояния (см. (12.40))

m。)卩=鳥' (21.21)

где а0 = t^/m^ — боровский радиус, а и — главное квантовое число. Если теперь подставить это значение в (21.20), то для сдвига s-уровней получим формулу

бЕваки^гаЗ^^Е 鬪(21.22)

впервые установленную Г. Бете (1947 г.). В этой формуле R =加0雷/2也з — постоянная Ридберга.

Как видно, лэмбовское смещение уровней водородоподобного атома по отношению к энергии невозмущенных уровней имеет порядок

бЕвак 〜Cf3Z4R% —IЕI ~ R 力 Z2 =

По отношению к расщеплению уровней АЕ叫 соответствующему тонкой структуре (20.16) и имеющему порядок R力Z4a?, лэмбов- ский сдвиг оказывается в а раз меньшим.

Рассмотрим состояния 2s% и 2р% в атоме водорода (Z = 1). Даже с учетом тонкой структуры они обладают одинаковой энергией, так как соответствуют одинаковым значениям квантового числа / = i/2・ Вакуумное взаимодействие приводит к лэм- бовскому сдвигу уровня 立s%, так что уровень 2s% будет лежать выше уровня 2р%・ Такое положение этих уровней и было экспе* риментально обнаружено в опытах Лэмба и Ризерфорда (1947 г.) (см. §20).

Численная оценка результата (21.22) для 25-состояния (п = 2):

6£вак== 17,8/? = 1040 МГц (21.24)

показывает сравнительно хорошее согласие с последними экспериментальными данными для лэмбовского сдвига уровней 传七=1057,86 МГц).

Заметим, что полное исследование сдвига уровней атомных электронов, проведенное на базе релятивистской квантовой теории поля, дает значительно лучшее количественное совпадение результатов теории и эксперимента, чем по пол укл а ссическо й формуле (21.22). Расхождение составляет менее 10~3 МГц.

§ 22. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

В настоящем параграфе мы хотим более подробно исследовать полное решение уравнения Дирака, учитывая состояния не только с положительной, но и с отрицательной энергией. В связи с этим заметим, что анализ решений с отрицательной энергией привел к предсказанию существования позитрона, т. е. к открытию нового фундаментального свойства элементарных частиц, а именно к существованию античастиц и возможности превращения одних элементарных частиц в другие.

Решение уравнения Дирака для свободной частицы с учетом положительных “ отрицательных энергий. Исследуем прежде всего уравнение Дирака для свободной частицы, которое имеет вид

(—y^ — Н^ ф = 0, (22.1) где гамильтониан определяется выражением

H = ^(aV) + p3mo^ (22.2)

Свободное движение можно рассматривать как частный случай движения под действием центральных сил, и поэтому должен соблюдаться закон сохранения полного момента (см. (19.4))

J = [”] + уйо = const. (22.3)

На языке квантовой механики это означает, что полный момент количества движения должен коммутировать с гамильтонианом.

Мы можем избавиться от орбитального момента [гр], если возьмем проекцию полного момента на направление импульса, поскольку проекция орбитального момента на направленна

импульса обращается в нуль:

(ркр]) = P无 ШТ -叫)+ Py Qp% 一砥)+ Pz (叽一通)=0■

Для дальнейших расчетов нам более удобно ввести оператор проекции момента количества движения на направление импульса (в единицах 1/2%)

S _ 2(Н)「(w)с(w)Прik

где импульс р =力財 а собственное значение оператора V2 равно 一依.

Этот оператор, очевидно, должен коммутировать с гамильтонианом (22.2), в чем нетрудно убедиться с помощью непосредственной проверки HS — SH = 0.

Частное решение уравнения Дирака мы будем искать в виде

屮(电=备 Ье-игкшкг^(22.5)

где

(22.6)

—четырехрядная матрица, L3 — объем основного параллелепипеда, а составляющие волнового вектора 々(论卜左2,论з) связаны с целыми числами пь п2, п3 = 0, ±1, 土2, 土3, ... соотношениями k\ — — n{ и т. д. (см. § 4, решение уравнения Шредингера в случае свободного движения). Энергия Е связана с величиной ^ = V^2 + ^о ,

где 々=“届 + 咫 + 忌 н 々о = ^^, соотношением

Е = сИеК,(22.7)

причем параметр 8 остается пока что неопределенным.

Учитывая коммутацию оператора S с гамильтонианом (22.2), мы можем волновую функцию подчинить дополнительному условию:

书?屮他)=帥(風(22.8)

где величина s представляет собой собственное значение оператора (22.4).

Подставляя волновую функцию (22.5) в уравнения (22.8) и (22.1), мы найдем для определения матрицы Ь следующие два уравнения:

(ks —(0k))b = Of(22.9)

(еК — spiE — рз 岛)6 = 0.(22.10)

Учитывая значения для матриц а〃 и р〃 (18.9) и (18.10), а также равенство (22.6), мы запишем два последних матричных уравнения в виде системы уравнений:

(Sk ——々3)b1,3=厉2b2, 4,

(S归 + 局)&2, 4 =也2з, 3,您

(吹一屁)仇,2 = 5々63,4，ё

(瞋 + 々о)厶,4 = s^b], 2, где

瓦2 = 瓦 +力々2, 力:2 = k\ 一力々2・

Последним уравнениям мы сможем удовлетворить, если положим

B1B2B1B2 Л1Л1Л2Л2 zn\1 -2B1B2B1B2 Л1Л1Л2Л2 zn\1 -2

B1B2B1B2 Л1Л1Л2Л2 zn\

1 -2

B1B2B1B2 Л1Л1Л2Л2 zn\

1 -2

Тогда для определения AL2 и В112 получаем: (s力一砌Bi =局2以,

(sk + k^B2 = ki2B{iI '

二替(22」3a)

(eK + 々о) 7^2 — shА、.

Из равенств (22.13) легко найти собственные значения для s:

s = ± 1,(22.14)

а из (22.13а) значения для 8：

8 = ± 1,(22.14а)

т・ е. параметр е определяет знак энергии.

Учитывая далее условие нормировки

b+b =勿仇+厉岳+图出 + &：&4

=% (4А + Т4) (8出 + 反员)=1,(22.15)

найдем:

4 = д/1 + е 赍，^2 = 85 д/1 — £ 體，

Bi = se~% 仰 д/1 + s cos -ft,(22.16)

B2 = e%仰 “1 — s cos О,

где ^ и qp являются сферическими углами волнового вектора k (々12 = k sin 8е@,论з =良 cos •&).

Для анализа полученных решений, не нарушая общности, мы направим импульс по оси z (^ = 0, <р = 0, kx = ky = О, 屉=左).

Этому импульсу соответствуют четыре решения, отличающиеся друг от друга знаком или энергии (е = ±1), или спина (s = ±i), которые дают следующие значения для матриц Ь：

& (fe, s = 1,& (fe, s = 1,8 = ±1)=^Т8 = ±1)=^Т"1±务о"1±务о

& (fe, s = 1,

& (fe, s = 1,

8 = ±1)=^Т

8 = ±1)=^Т

"1±务о

"1±务о

оооо(22」7)(22」7)

оо

оо

(22」7)

(22」7)

& (^, s = — 1,& (^, s = — 1,£ = ±£ = ±D =寺D =寺"1±今о干"1干冷"1±今о干"1干冷

& (^, s = — 1,

& (^, s = — 1,

£ = ±

£ = ±

D =寺

D =寺

"1±今о干"1干冷

"1±今о干"1干冷

Решение с s = 1 описывает случай, когда спин направлен по импульсу, а с s = —1—против импульса. Знак величины е определяет знак энергии. Нетрудно показать, что эти матрицы удовлетворяют условию ортонормированности

b 伍，S , e ) ^ (瓦 S, 8)6馳心&8，.

Исследование спиновых свойств свободного электрона. Исследуем прежде всего спиновые свойства частиц, органичи- ваясь лишь состояниями с положительными энергиями (8 = 1). Тогда волновая функция (для случая, когда импульс направлен по оси г) принимает вид

屮(々，8=1) =屮(々，8=1) =eTcKf+侬.(22.18)eTcKf+侬.(22.18)

屮(々，8=1) =

屮(々，8=1) =

eTcKf+侬.(22.18)

eTcKf+侬.(22.18)

Оказывается, можно ввести такое понятие спина, когда не только его составляющая вдоль импульса, но и вообще любая составляющая спина (без орбитального момента) остается интегралом движения. Этот сохраняющийся в случае свободного

движения спин равен (в единицах %力))

。。=卡" + р3*晔.(22.19)

Сохранение спина, определяемого равенством (22.19), следует из того обстоятельства, что любая его составляющая коммутирует с гамильтонианом (22.2).

Если импульс направлен по оси N, то составляющая оператора а0 по импульсу 02H составляющие, направленные перпендикулярно к импульсу, 0^ и о；, соответственно равны

理=缪=%，0^ = P3Gi，。沪р3%.

Обозначая собственные значения этого оператора через s°, находим:

для продольной составляющей

s'=，屮%3业/3%=CiCi -C-iC-i；

для поперечных составляющих

s； = \ 2飞。出％ = С：£ + С*С_р 5~(%g一0；%).

Если мы выберем волновую функцию как сумму состояний, обладающих различной энергией (в том числе и отрицательной), то при вычислении средних значений временные члены исчезнут» так как оператор обобщенного спина коммутирует с гамильтонианом. Некоммутативность же друг с другом различных операторов, являющихся в то же время интегралами движения (т. е. коммутирующими с гамильтонианом), говорит о том, что система является вырожденной (заданному импульсу и энергии могут соответствовать различные направления спина), и поэтому средние значения вектора s° зависят от различных комбинаций амплитуд Ci и С-1・ Можно показать, что вектор 6° является трех* мерным единичным вектором, так как (s^)2 + ($籽 +($籽= =(eg + C二iC_[)2= ], а его компоненты при лоренцевых по* воротах преобразуются по закону

S30 = S3 cos 丫 + s； sin y,

sf° = Si cos 丫 一 S3 sin y, s£° = sg,(22.20)

где

— В cos ОВ 1 — В； sin 3

C0S 丫 = —В—，‘in Y =в•(22.21)

в = “佃 一 В cos 仆)2 + 俨(1 -用 sif}2 卷・

Здесь c§i = с 灭一скорость частицы в первоначальной системе координат направлена по оси г, причем сВ — скорость штрихованной системы координат, составляющая с осью г угол 8,—— должна лежать в плоскости zx. Под s^ следует понимать продольную составляющую спина относительно нового направления импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором.

Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляризации относительно импульса, когда s?= 1 (& = 1, Ст = 0). В этом случае, как видно из (22.18),

吸ф=-沁脚.(22.21а)

Учитывая еще зависимость волновой функции от времени 2 〜e-tcKt, находим, что вращение будет совершаться в плоскости ху (от оси % к оси у), расположенной перпендикулярно к импульсу (ось 2). Следовательно, в правой системе координат случай s；=l описывает правовинтовую спиральность, а в левой системе координат — левовинтовую. Этот результат является вполне естественным, так как в скалярном произведении s；=(s%°) вектор fe° — единичный полярный вектор импульса, а s° ——единичный аксиальный вектор спина. При переходе от правой системы координат к левой направление 々° изменяется на противоположное, a s° остается без изменения, т. е. в этом случае изменяется лишь математическая форма описания спиральности.

8) Состояния с отрицательной энергией. Дираковская теория ^дырок». Открытие позитрона. Наряду с состояниями с положительной энергией (£ = 1) (см. решение (22.18)) теория Дирака допускает также решения, соответствующие отрицательным энергиям(8 = —1)

E = — chK.(22.216)

Заметим, что решения с отрицательной энергией являются характерными не только для теории Дирака ——они должны появляться в любой релятивистской теории, включая даже классическую. В самом деле, в релятивистской механике энергия свободной частицы, как известно, связана с ее импульсом и массой

покоя соотношением, допускающим два равноправных решения: Е = ± “с2P2 + т^с49

причем две области значений энергии (положительных и отрицательных) оказываются разделенными интервалом 2т()с2 (рис. 22.1). Состояния, соответствующие отрицательной энергии, с первого взгляда кажутся нереальными, поскольку область отрица- 斗 тельных энергий простирается до ，■•-‘ _z

бесконечности (Е = —оо), и поэто-〜—三 4mlic?

му не должно существовать наиниз- шего энергетического состояния.—乒〃

Это означает, в частности, что ни 勿 #

одно из обычных состояний не мо- | 一 二 0 жет быть устойчивым, ибо всегда…“一….

возможен спонтанный переход в бо

лее низкое энергетическое СОСТОЯ- Рис. 22.1. Схема возможных уронив. Кроме ТОГО, частица С отрица- вней энергии свободной дираковской тельной массой (отрицательной энергией) должна обладать рядом

странных свойств: например, притягиваясь частицей с положительной массой, она должна отталкивать последнюю. В частности, при гипотетическом взаимодействии двух электронов, обладающих различным знаком массы, электрон с положительной массой должен «убегать», а электрон с отрицательной массой должен его «догонять», так чтобы центр тяжести (с учетом отрицательной массы) оставался неподвижным.

В классической физике состояния с отрицательной энергией вообще не имеет смысла рассматривать, ибо при движении частицы ее энергия может изменяться только непрерывным образом и переходы из состояния с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией, когда энергия меняется скачком на величину Д£ ^ 2mQc2t являются невозможными. Поэтому, исключив в начальный момент времени состояния с отрицательной энергией, мы можем в дальнейшем их вообще не рассматривать.

Совершенно иное положение в квантовой теории, согласно которой возможны переходы между состояниями не только непрерывного, но и дискретного спектра. Теперь состояния с отрицательной энергией не могут быть механически исключены, так как вероятность перехода между уровнями с энергией -^т^с2 и —тос? оказывается отличной от нуля.

Чтобы избежать перехода электрона в состояние с отрицательной энергией, Дирак предложил (1931 г.) считать все Уровни с отрицательной энергией заполненными электронами

(рис. 22.2), благодаря чему электроны с положительной энергией не могут в обычных условиях переходить на эти уровни.

Допустим теперь, что гамма-квант с энергией Е > 2mQc2, действуя на электрон вакуума, т. е. на электрон с отрицательной энергией, переводит его в состояние с положительной энергией.

тосгтосгРис. 22.2. Схема нулевого состояния электрон-позитронного вакуума.Рис. 22.2. Схема нулевого состояния электрон-позитронного вакуума.Рис. 22.3. Схема образования парыРис. 22.3. Схема образования парыэлектрон—позитрон.электрон—позитрон.

тосг

тосг

Рис. 22.2. Схема нулевого состояния электрон-позитронного вакуума.

Рис. 22.2. Схема нулевого состояния электрон-позитронного вакуума.

Рис. 22.3. Схема образования пары

Рис. 22.3. Схема образования пары

электрон—позитрон.

электрон—позитрон.

В этом случае вместо поглощенного, например, ядром, гамма- кванта (рис. 22.3) появляются электрон с положительной энергией и одновременно «дырка» в фоне заполненных электронами отрицательных энергетических уровней.

Решающий успех гипотезы Дирака заключается в том, что эту «дырку» он интерпретировал как частицу с положительной массой, равной массе электрона, но с зарядом, противоположным заряду электрона (позитрон). Действительно, пусть в начальный момент частицы отсутствуют, тогда «нулевая» энергия фона Евак равна сумме энергий электронов в отрицательных энергетических состояниях п_

Евак = X Е/， (22.22)

а 《нулевой» заряд равен

%ак= —2向・ (22.23) 孤С.

Таким образом, когда реальная частица отсутствует, с точки зрения теории «дырок» это означает, что все состояния с положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты. Это состояние мы примем за нулевое состояние (рис. 22.2).

В случае же перехода электрона из состояния с отрицательной энергией и- в некоторое состояние с положительной энергией 伙 общее изменение энергии системы

ae = e +а£—一平上, (22.24)

ИЛИ

АЕ = Еп+ —易—=马 + + I I (22.25)

будет уже соответствовать сумме положительных энергий двух образующихся частиц ). Аналогичные рассуждения, проведенные в отношении заряда, показывают, что знак заряда одной из образовавшихся при этом частиц, соответствующей «дыркех противоположен знаку заряда электрона:

е = — с% — ?' е()+ £ % = — е〃+ + еп_ = —е0+ %・(22.26)

Таким образом, переход электрона из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией (очевидно, в результате поглощения гамма-кванта с энергией, большей чем 2moe2) ведет к рождению двух частиц. В этом случае незаполненное состояние электрона с отрицательной энергией («дырка») может рассматриваться как состояние, занятое частицей с положительным зарядом +ео и положительной энергией ). Такая частица, предсказанная Дираком, получила название позитрон и была открыта Андерсоном (1932) в составе космических лучей<

Теперь теория Дирака естественным образом включает в рассмотрение, наряду с электроном (частицей), позитрон (античастицу), волновая функция которого подчиняется уравнению Дирака с положительным значением энергии и положительным знаком заряда (см. ниже).

Последняя теория не исключает возможности процесса, обратного только что рассмотренному: при наличии «дырки» электрон с положительной энергией может перейти на свободный уровень состояний с отрицательной энергией. В этом случае электрон и позитрон превращаются в гамма-кванты. Законы сохранения энергии и импульса, которые должны соблюдаться при этом превращении, требуют, чтобы число гамма-квантов было не менее двух.

г) Понятие об электрон-позитронном еакруме. Формула (21.22) для лэмбовского сдвига уровней была получена в результате учета взаимодействия электронов с электромагнитным

вакуумом. Но наряду с электромагнитным вакуумом существует электрон-позитронный вакуум и вакуум других частиц. Метод вторичного квантования, являющийся в известной степени общим для всех полей, позволяет учесть влияние электрон-пози- тронного вакуума.

В современной квантовой теории поля изучение свойств вакуума различных частиц играет исключительно важную роль. Вакуум обусловливает прежде всего взаимодействие между частицами. В частности, электромагнитное взаимодействие (закон Кулона) можно рассматривать как результат взаимодействия между двумя зарядами через электромагнитный вакуум, когда один электрон испускает «псевдофотон», а другой его поглощает. Таким образом, электрическое поле представляет собой возбужденное состояние электромагнитного вакуума.

С другой стороны, вакуум представляет собой своеобразный резервуар, откуда «извлекаются» реальные частицы при их порождении и куда они «переходят» в результате аннигиляции. Электрон-позитронный вакуум по существу является знакомым нам фоном электронов в состояниях с отрицательной энергией. К сожалению, он не имеет классического аналога и поэтому не допускает полуклассической интерпретации, которая возможна в случае электромагнитного вакуума. Кулоновское поле ядра может поляризовать этот вакуум (т. е. электрон находится как бы в диэлектрике), благодаря чему возникает дополнительная энергия взаимодействия, определяемая выражением

匕=(誌•户(г)・ (22.27)

Сопоставляя последнюю формулу с формулой (21.18), мы вн・ дим, что сдвиг уровней, связанный с флуктуациями электромагнитного поля, имеет по сравнению с (22.27) противоположный знак.

Особенно сильное влияние электрон-позитронный вакуум оказывает на магнитные свойства электрона, благодаря чему магнитный момент электрона, как показал Швингер, становится несколько большим, чем магнетон Бора:

n=一阿(1 +若). (22.28)

Дополнительная поправка к магнитному моменту электрона, вычисленная с учетом следующих членов:

А%—= 一 (盡一 °,328罢 + 0,13 糸)阿=一 0,0011596но, (22.29) находится в хорошем согласии с экспериментальными данными, полученными с помощью радиоспектроскопических методов (см. (20.35) )•

Волновое уравнение для позитрона. Для выяснения физического смысла решений с отрицательными значениями для энергий при наличии электромагнитного поля наряду с основным уравнением Дирака

{—■足一е①一с® СМ_^4)+а2(/±_/4)+

+a3(^"^-^4)]_Рз^о，?}《=0(22.30)

запишем также и комплексно-сопряженное уравнение

{4"糸_0①+ с® (4^ + 7Л-)-а2(7^- + 7Л)+

+ аз (今 亲 + ^-”z)] — Рзто。?}屮* = 0, (22.31)

которое легко может быть получено, если учесть, что а； = а[ а* = — а2, а* — а3, р* = р3, а комплексно-сопряженная волновая функция

(22.32)

(2233)совершен-(2233)совершен-как видно, отличается от эрмитово-сопряженной 旷=停；屯%哨).

(2233)

совершен-

(2233)

совершен-

Заметим, что комплексно-сопряженное уравнение но эквивалентно эрмитово-сопряженному уравнению ^{(~т4-еф)-с[а>(т^-тл-) + +a20•备一^儿)+a3(}搭_£儿)]_p3%e2} = 0, (22.34) в чем нетрудно убедиться, если расписать в виде системы четырех уравнений как уравнение (22.31), так и уравнение (22.34), и учесть при этом правило действия оператора, стоящего после волновой функции:

旷备屮+診(22.35)

Сделаем замену в комплексно-сопряженном уравнения Дирака

炉=Sp。«•(22.36)

12 А. А, Соколов и др.

Тогда, учитывая правило коммутации матриц Дирака, мы найдем для волновой функции уравнение

{~Т^ + еф~с[а1 С^" + ^4)+а2С"^ + £А/) +

+。3 G -^ + ~ 4)] 一 卩3加0経} $ = 0,(22.37)

которое описывает движение позитрона, поскольку отличается от основного (22.30) заменой заряда е на —е. Кроме того, принимая во внимание, что состояние *ф(г, t) — e 九 *ф (г) трактуется как состояние с положительной энергией, а состояние ^(r, t) — e 力 *ф*(г) — как состояние с отрицательной энергией, мы должны у функции « трактовать знак энергии иначе, чем у функции х|)*. Иными словами, состояние с положительной энергией уравнения (22.37) следует отнести уже к позитронам, а состояния с отрицательной энергией — к электронам.

Понятие о теореме Людерса — Паули. Заметим, что уравнение Дирака должно быть инвариантным относительно слабого обращения времени (СГ-преобразование), сводящегося к совместному зарядово-сопряженному преобразованию (е —е, С-преобразование) и сильному обращению времени (t т—/, Ф~>—Ф, Т-преобразование).

В самом деле, в случае СТ-преобразования уравнение (22.30) принимает вид

{т^~еф~с^ (4 +тЛ^) + 02 G + +£/J +

+a3(宀⑴] —Рз"2оС?}屮=0・(22.38)

Последнее уравнение в результате замены i|)f о^р* переходит в комплексно-сопряженное уравнение (22：31) (аналогично комплексно-сопряженное уравнение переходит в основное).

Можно также показать инвариантность уравнения Дирака относительно инверсии пространства (г -> —г, А —► —4, Р-пре- образование).

В самом деле, в результате 尸-преобразования уравнение Дирака принимает вид

{_т4"_еф + с[а1(4^Г_7'Л*)+а2(TW Л^) +

+。3 (у 备一~ 4)] —• Рз^ос?}屮=0・(22.39)

Сделав в этом уравнении замену i|)f Рз也 мы преобразуем его к первоначальному виду (22.30).

Таким образом, уравнение Дирака должно быть инвариантным относительно совместного тройного СГР-преобразования (теорема Людерса — Паули).

Волновое уравнение для нейтрино. Для описания движения частиц со спином, равным половине, и массой покоя, равной нулю (нейтрино), можно использовать либо уравнение с двухрядными матрицами Паули (уравнение Вейля), либо уравнение Дирака, расщепляющееся на два независимых уравнения.

В самом деле, как видно из (18.1), квадратный корень при 恤=0 может быть извлечен с помощью двухрядных матриц Паули, и поэтому вместо уравнения Дирака можно написать уравнение с двухкомпонентной функцией <р — ( "；) (уравнение Вейля):

(Е-с(『р))(р = О・ (22.40)

Это уравнение, в противоположность уравнению Дирака, не инвариантно относительно инверсии пространства, поскольку после замены pf——р мы никакими преобразованиями волновой функции не сможем вернуть его к первоначальному виду. С другой стороны, для частиц с 加。=0 четырехкомпонентное уравнение Дирака разбивается на два независимых волновых уравнения.

Для первого решения выбираем

S；=-2 = 一击， (22.41)

т. е. будем считать, что частицы с положительной энергией е= 1 (нейтрино) обладают левой спиральностью^ а с отрицательной е = —1 (антинейтрино)—правой.

Тогда для второго решения имеем

$? = е = Т?Р (22.42)

т. е., наоборот, частицы с положительной энергией е = 1 (нейтрино) должны обладать правой спиральностью, а с отрицательной (антинейтрино) — левой.

Соотношения (22.41) и (22.42) остаются инвариантными от* носительно преобразований Лоренца. Это видно из равенств (2220) и (22.21), где следует положить 仇=1.

В связи с открытием явлений, известных под названием ие« Сохранения четкости, что оказалось связанным со спиральностью нейтрино, Ли и Янг, а также Ляндау предложили массу нейтрино положить равной нулю, а для е^о описания взять двух- комтшнентное уравнение Вейлям

Неинвариантность уравнения Вейля относительно Р-преобра- зования они предложили скомпенсировать неинвариантностью относительно С-преобразования (при переходе нейтрино к антинейтрино спиральность нейтрино должна измениться). Таким образом, уравнение Вейля должно остаться инвариантным относительно совместного CP-преобразования (комбинированная инверсия), а также Т-преобразования для того, чтобы выполнялась теорема Людерса ——Паули (СРТ = const).

С другой стороны, для описания нейтрино можно также взять уравнение Дирака с массой покоя, равной нулю, и выделить в нем нейтрино определенной спиральности. Однако в четырехкомпонентной теории наряду с одним решением (нейтрино — левовинтовое, антинейтрино ——правовинтовое) имеется второе совершенно равноправное решение (нейтрино — правовинювое, антинейтрино ——левовинтовое). Было бы весьма странным, если бы второе решение не имело никакого физического применения.

Недавно наряду с электронным нейтрино (т. е. нейтрино вылетает с позитроном, а антинейтрино — с электроном) было открыто второе, так называемое мюонное нейтрино, которое, по- видимому, и описывается вторым решением уравнения Дирака.

В этом случае с отрицательным мюоном должно вылетать правовинтовое нейтрино, а с электроном — правовинтовое антинейтрино. По этой теории электроны (е~) и отрицательный мюон (и-) должны обладать различным лептонным зарядом (электрон ——нейтринным; а отрицательный мюон — антинейтрин- ным), и поэтому распад 卩一一＞。一 + 丫 должен быть запрещенным.

Вторичное квантование уравнения Дирака. Ограничимся рассмотрением случая свободного движения. В этом случае полное решение уравнения Дирака может быть записано в виде (см. (22.5))

屮(г, /)=备 £ b (瓦 s, е) С (瓦 s, е) e-iceKt^ikr, (22.43) 无，% s

где 力(財 s, e)——матрицы (22.12), удовлетворяющие условию нормировки

b+ (瓦 s', К) b® s, e) = 6$$，6吆， (22.44)

a C(瓦 s, e)—амплитуды (не матрицы), квадраты модулей которых определяют вероятность нахождения частицы в состоянии (瓦 S, 8).

Если уравнение Дирака рассматривать как результат первого квантования, то *ф(г, /) описывает состояния одной частицы, причем постоянные амплитуды С (Л, s, е) являются обычными числами (б?-числа), т. е. должны коммутировать друг с другом.

Вычисляя средние значения по состоянию (22.43), мы полу

чим:чим:

чим:

чим:

для функции Гамильтона

Н ^=^^Н^^х=- £ с 毎 КС+С;(22.45)

ft. S, 8

для трехмерного импульса частиц

(22.46)(22.46)G = ] *+pi|)d'x = 2 hhC*C;

(22.46)

(22.46)

для заряда частицы

Q = e，p+Wd3% = e £ С*。；(22.47)

k, s. е

для проекции спина на направление импульса (см. (22.4))

S = \ "+ 粤蜘з% = £ sC+C,(22.48)

A, s, 8

где

C = C(fe, s, в).(22.49)

При получении выражений (22.45)——(22.48) мы использовали решение (22.43) и учли соотношение

.,川丸“)「d3% = W眺“3忌=%,(22.50)

а также условие ортонормированности (22.44).

Для вторичного квантования уравнения Дирака, т. е. для описания системы с переменным числом частиц, мы, аналогично квантованию электромагнитного поля (см. § 9), воспользуемся квантовыми скобками Пуассона (см. (6.45)), которые имеют вид

一 icKuC = ^ (НС — СН),(22.51)

т. е.

-zWC = -£ c/i£'K[(C"( +СС")С‘一

匕 s', ez

-С"(СС' + С'С)1(22.52)

где

Для (22.52),Для (22.52),С' = С (匕 s', 8‘)・

Для (22.52),

Для (22.52),

того чтобы удовлетворить соотношениям (22.51) и мы должны написать следующие перестановочные

соотношения:

С,+С + СС,+ = длл«ее,,

СХ + CU = О, С"С+ + С+С,+ = 0,(22.53)

т. е. отличным от нуля будет только один антикоммутатор

С+С + СС+ = 1.(22.54)

Эти перестановочные соотношения соответствуют статистике Ферми — Дирака (см. ниже § 24). В этом случае мы сможем сделать так, что энергия всех частиц будет положительной как с е = 1, так и с е = —1.

Вообще говоря, если гамильтониан имеет вид

〃 = 2с%К[с+(е=1)С(е=1)±С+(Е = —1)С(е = —1)],

то при наличии знака плюс (см., например, поле фотонов, § 9) при вторичном квантовании мы должны ввести бозевские перестановочные соотношения, при наличии же знака минус — фермиевские. Мы сможем удовлетворить перестановочным соотношениям (22.54), если положим

С+С = М СС+ = 1-М(22.55)

где ^ — число частиц в состоянии (fe, s, е). Поскольку эти произведения входят симметрично, то вторым решением, удовлетворяющим уравнению (22.54), будет

С+С=1-М СС+ = М(22.56)

Для того чтобы энергия частиц оставалась положительной величиной, мы должны для частиц с £ = 1 выбрать соотношения (22.55), а для частиц с е = —1 соотношения (22.56).

Кроме того, в соответствии с формулами (22.45) — (22.48) мы должны положить

С(瓦 s, e=l) = C(fe, s), С+ (fe, s)C(fe, s) = M®,(22.57)

C(fe, s, g=— 1) = C+(-瓦 s), C+(-fe, s)G(—瓦 s) = ^s(-A).

Тогда находим:

для функции Гамильтона )

Н=^СПК ® + 北一2),(22.58)

〃в= £ chK〈Ns-百J.〃в= £ chK〈Ns-百J.(22.58а)(22.58а)s

〃в= £ chK〈Ns-百J.

〃в= £ chK〈Ns-百J.

(22.58а)

(22.58а)

для трехмерного импульса

G = £ 餌(М +府J,,22.59)

$

для заряда частицы

Q = eZ(M —忆+ 2),(22.60)

s

для проекции спина на направление импульса

S=2s(& + ^s),(22.61)

где

m 3) = m(耳 e=1),儿出)=m(一电 £ = 一1).

Отсюда можно сделать следующее заключение: только решения, соответствующие статистике Ферми — Дирака, ведут к тому, что оба сорта частиц ^s и Ns обладают положительной энергией. Знак заряда обоих сортов частиц будет противоположным, т. е., если частицы М соответствуют электронам, то частицы Ns — позитронам (античастицам). Величина s = ±1 описывает две возможные ориентации спина как у электронов, так и у позитронов. Вектор спина S, так же как и вектор импульса 瓦 при переходе от частиц с отрицательной энергией к частицам с положительной энергией изменяет свое направление, а величина s, равная скалярному произведению соответствующих единичных векторов, s = (feM), должна оставаться без изменения. Кроме того, у нас появляется бесконечная нулевая отрицательная энергия

%=— Е2сйК(22.62)

и бесконечный нулевой заряд

Qo=?2e;(22.63)

нулевое же значение спина и импульса исчезает.

Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотношениям Бозе — Эйнштейна (например для поля фотонов), мы ввели бесконечные матрицы как для вторично квантованных амплитуд (см. формулу (9.38)), так и для состояний, описывающих различное число частиц (см. (9.43)). Эти бесконечные матрицы соответствовали тому, что в любом квантовом состоянии могло быть любое число частиц.

Для того чтобы удовлетворить перестановочным соотноше* ниям Ферми — Дирака:

(22.64)(22.64)c+c + cc+ = i,

(22.64)

(22.64)

мы должны вместо бесконечных матриц выбрать двухрядные матрицы как для амплитуд:

D，С+ = (； ?).(22.65)

так и для числа частиц:

〃°)= (；)，『⑴= (：)，(22.66)

причем f(0) описывает состояние, в котором частицы отсутствуют, a f(l)——состояние с одной частицей. Тогда автоматически будут удовлетворены перестановочные соотношения (22.64). Кроме того, амплитуды С являются операторами уничтожения, поскольку их действие на функцию от числа частиц по законам матричного исчисления равно

С/(0) = 0,С〃1) = 〃0),(22.67)

а амплитуды С+ — операторами рождения

C+f(O) = f ⑴，C+f ⑴=0.(22.68)

Отсюда видно, что в каждом квантовом состоянии может быть не более одной частицы.

С помощью равенств (22.67) и (22.68) легко показать, что

C+Cf (N) = Nf (N), CC+f (N) = (1 - М f (N),(22.69)

т. е. квадраты амплитуд имеют собственные значения (22.55) и (22.56)・

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ТЕОРИЯМНОГИХ ЧАСТИЦ

ТЕОРИЯ АТОМА ГЕЛИЯБЕЗ УЧЕТА СПИНОВЫХ СОСТОЯНИЙ

а) Основные положения. Атом гелия представляет собой простейший многоэлектронный атом. Вокруг его ядра с Z = 2 движутся два электрона. Однако уже в такой простой системе отчетливо проявляются основные качественные особенности кван* товой теории многих частиц.

В классической теории при наличии двух электронов всегда можно одному электрону приписать индекс 1, а второму — индекс 2, а затем пр(>слегщть от начала до конца за движением каждого из этих электронов по отдельности.

Согласно квантовой теории только в том случае, когда электроны находятся на большом расстоянии друг от друга, практически их можно перенумеровать.

Когда электроны 1 и 2 находятся настолько близко друг к другу, что имеются такие точки в пространстве, где волновые функции обоих электронов отличны от нуля, в силу тождественности электронов мы не сможем различить, в какой точке пространства находится электрон 1 и в какой электрон 2.

Подобная неразличимость (или тождественность) электронов является специфической особенностью микромира. Она приводит к специфическим обменным силам, не имеющим классического аналога.

Кроме того, в атомах со многими электронами доминирующее значение приобретают спиновые свойства, которые ни в классической, ни в боровской теории не учитываются. Кстати заметим, что только в атоме с одним электроном спиновые силы играют роль поправок, которыми в первом приближении вообще можно пренебречь. Поэтому теория Бора смогла объяснить ряд явлений только в водородоподобных атомах с одним электроном. Теорию же атомов с двумя и более электронами по боровской теории построить было нельзя, так как в ней нельзя учесть ни обменных сил, ни спиновых состояний.

Чтобы уяснить сущность квантовой теории многих тождественных частиц со всеми ее особенностями, рассмотрим более подробно проблему гелиеподобных атамов, каковыми являются, например, сам нейтральный атом гелия, однократно ноннзован- ный атом Li+, дважды ионизованный атом бе^ и т. д.

б) Основные уравнения. Прежде всего выясним физическую природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с неразличимостью электронов. В этом параграфе мы не будем учитывать спиновых свойств частиц *).Допустим, что положение первого и второго электронов характеризуется соответственно радиус-векторами 片 и & (при этом их начало совпадает с неподвижным ядром) (рис. 23.1).б) Основные уравнения. Прежде всего выясним физическую природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с неразличимостью электронов. В этом параграфе мы не будем учитывать спиновых свойств частиц *).Допустим, что положение первого и второго электронов характеризуется соответственно радиус-векторами 片 и & (при этом их начало совпадает с неподвижным ядром) (рис. 23.1).Состояния ветственно разумеваяСостояния ветственно разумеваяс квантовыми числами (ni,乙,mJ и (п2,厶,加2) соот- будем обозначать ради краткости через ni и 冷2，под^ под ними совокупность квантовых чисел (九，/, т).Для определения движения каждого из электронов в отдельности без учета взаимодействия между ними мы имеем уравнение Шредингера вида(旦/—Н/)гЦ&/) = 0, (23.1)с квантовыми числами (ni,乙,mJ и (п2,厶,加2) соот- будем обозначать ради краткости через ni и 冷2，под^ под ними совокупность квантовых чисел (九，/, т).Для определения движения каждого из электронов в отдельности без учета взаимодействия между ними мы имеем уравнение Шредингера вида(旦/—Н/)гЦ&/) = 0, (23.1)а индекс / принимаета индекс / принимаетгдегдеН/ = Т/+ Vh ^^ 2^(4 V/) •Н/ = Т/+ Vh ^^ 2^(4 V/) •匕=匕=ZWZW(23.2)(23.2)два значения: / = 1 ——в случае первогодва значения: / = 1 ——в случае первогоэлектрона, / == 2 — в случае второго.Для энергии Е〃/ при этом получаются значения (см. § 12) = 一 詈，(23.3)а собственные функции 屮勺 должны совпадать с волновыми функциями водородоподобного атома, удовлетворяющими условию ортонормированностиэлектрона, / == 2 — в случае второго.Для энергии Е〃/ при этом получаются значения (см. § 12) = 一 詈，(23.3)а собственные функции 屮勺 должны совпадать с волновыми функциями водородоподобного атома, удовлетворяющими условию ортонормированности№产屮叮⑺歯=%“№产屮叮⑺歯=%“(23.4)(23.4)

б) Основные уравнения. Прежде всего выясним физическую природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с неразличимостью электронов. В этом параграфе мы не будем учитывать спиновых свойств частиц *).

Допустим, что положение первого и второго электронов характеризуется соответственно радиус-векторами 片 и & (при этом их начало совпадает с неподвижным ядром) (рис. 23.1).

б) Основные уравнения. Прежде всего выясним физическую природу обменных сил, связанную с тождественностью, т. е. с неразличимостью электронов. В этом параграфе мы не будем учитывать спиновых свойств частиц *).

Допустим, что положение первого и второго электронов характеризуется соответственно радиус-векторами 片 и & (при этом их начало совпадает с неподвижным ядром) (рис. 23.1).

Состояния ветственно разумевая

Состояния ветственно разумевая

с квантовыми числами (ni,乙,mJ и (п2,厶,加2) соот- будем обозначать ради краткости через ni и 冷2，под^ под ними совокупность квантовых чисел (九，/, т).

Для определения движения каждого из электронов в отдельности без учета взаимодействия между ними мы имеем уравнение Шредингера вида

(旦/—Н/)гЦ&/) = 0, (23.1)

с квантовыми числами (ni,乙,mJ и (п2,厶,加2) соот- будем обозначать ради краткости через ni и 冷2，под^ под ними совокупность квантовых чисел (九，/, т).

Для определения движения каждого из электронов в отдельности без учета взаимодействия между ними мы имеем уравнение Шредингера вида

(旦/—Н/)гЦ&/) = 0, (23.1)

а индекс / принимает

а индекс / принимает

где

где

Н/ = Т/+ Vh ^^ 2^(4 V/) •

Н/ = Т/+ Vh ^^ 2^(4 V/) •

匕=

匕=

ZW

ZW

(23.2)

(23.2)

два значения: / = 1 ——в случае первого

два значения: / = 1 ——в случае первого

электрона, / == 2 — в случае второго.

Для энергии Е〃/ при этом получаются значения (см. § 12) = 一 詈，(23.3)

а собственные функции 屮勺 должны совпадать с волновыми функциями водородоподобного атома, удовлетворяющими условию ортонормированности

электрона, / == 2 — в случае второго.

Для энергии Е〃/ при этом получаются значения (см. § 12) = 一 詈，(23.3)

а собственные функции 屮勺 должны совпадать с волновыми функциями водородоподобного атома, удовлетворяющими условию ортонормированности

№产屮叮⑺歯=%“

№产屮叮⑺歯=%“

(23.4)

(23.4)

Если далее учесть еще взаимодействие двух электронов

(23.5)(23.5)

(23.5)

(23.5)

то их движения нельзя рассматривать как независимые, и поэтому для описания полной системы, имеющей гамильтониан

H = Ht + H2+ У'тН°+ Г,H = Ht + H2+ У'тН°+ Г,(23.6)(23.6)

H = Ht + H2+ У'тН°+ Г,

H = Ht + H2+ У'тН°+ Г,

(23.6)

(23.6)

♦) Это можно сделать, так как задача в данном приближении допускает решение путем разделения пространственных и спиновых переменных. Спин частиц мы учтем в § 24.

мн должны взять уравнение Шредингера в виде (Е-Н0-%)26, г2) = 0,(23.7)

где Е — суммарная энергия, а ^(歹1，？2)—общая волновая функция, зависящая от координат как первого, так и второго электронов.

Здесь, как и в случае одноэлектронной задачи, величина «(Г1,歹2)4>(歹1，歹2) характеризует плотность вероятности обнаружения первого электрона в положении 门，а второго — в положении 尸2・ Поэтому для ±(夕1,丿2)условие нормировки принимает вид 、中*(门，小)山(白，r2) d6x= 1,(23.8)

где d6x — </3%屮％2 и интегрирование проводится по координатам обеих частиц.

Поскольку точное решение уравнения (23.7) встречает непреодолимые трудности, воспользуемся развитым в § 8 методом теории возмущений Шредингера *), предполагая, что взаимодействие электронов между собой (энергия Vх) вносит лишь малое изменение в независимое движение каждого электрона в кулоновском поле ядра (в дальнейшем точность такого приближения мы оценим более подробно).

Рассмотрим сначала нулевое приближение, в котором энергией возмущения Vх можно пренебречь. Тогда уравнение Шредингера (23.7) принимает вид

(Е° —Н°)г|)°&1, q) = 0・(23.9)

В связи с тем, что гамильтониан Н° распадается на сумму двух гамильтонианов Hi + Нг, каждый из которых зависит только от одной переменной (либо от ri, либо от 方)，волновая функция в нулевом приближении может быть записана в виде "=%«)巾勿(飞)・(23.10)

В самом деле,, подставляя (23.10) в (23.9) и учитывая (23.1), имеем

(加 一 h。)"三{e。一(h] + h2)}%(厶)%"2)= ="-{%«)на%(厶)+外仏)н^^(%)}= =严〃-但(％)纥丸(h) + 外 4) % К(Г2)} = ={0_(/十纥)}" = 0・

Отсюда находим значение энергии в нулевом приближении

Е^ = ЕП. + ЕП2,(23,11)

где ЕЛ1 и £tt2 — энергии каждого из невзаимодействующих между собой электронов.

Этот результат можно интерпретировать следующим образом. При отсутствии возмущения V движение электронов определяется их взаимодействием с ядром Ze。，т. е. полностью опи* сывается уравнением Шредингера (23.1), имеющим в качестве решений собственные значения £Л/ (см. (23.3)) и собственные функции ^п^ Так как один из электронов находится в состоянии Mi, а второй — в состоянии м2, то при V’ = 0 полная энергия системы равна £加 + 易?・

В силу же независимости движения электронов общая волновая функция, имеющая, как известно, статистический характер, равна произведению соответствующих двух независимых одноэлектронных волновых функций. Однако путем непосред^ ©твенной подстановки в уравнение (23.9) нетрудно убедиться, что наряду с первым решением (23.10) при том же значении энергии (23.11) существует еще второе решение (屮。= v)

0 = %К2)%《),(23.⑵

отличающееся от и перестановкой электронов. Теперь уже первый электрон находится в состоянии «2, а второй — в состояНИИ Пь

Таким образом, рассматриваемое состояние системы имеет дополнительное вырождение, которое целиком и полностью обусловлено неразличимостью электронов, его называют обменным вырождением.

Если оба электрона находятся в одинаковых состояниях П1 = «2, то волновые функции и и п становятся равными, и обменное вырождение не должно иметь места, так как

" =0 =弘«|)⑵1(乙)-(23.12а)

В случае же «1 * п2 функции и и v различны, и поэтому в качестве общего нулевого решения г|)° уравнения Шредингера (23.9) следует взять линейную комбинацию

^ = C{u + C2v9(23.13)

где Ci и С2 — произвольные постоянные коэффициенты, связанные между собой лишь условием нормировки

，屮0*少。d% = 1.

Для того чтобы найти значения коэффициентов Ci и С2, а также уровни энергии Е возмущенной системы (т. е. при учете взаимодействия Vх)» следует искать согласно методу теории возмущений решения для £ и -ф в виде

(23.14)(23.14)e=eq + e\

(23.14)

(23.14)

•ф = 2)。+ 弋),・

Для решения этой задачи используем первое приближение уравнения Шредингера (23.7), которое в данном случае может быть записано в форме

(£° - Н°) *' = — (Е‘ 一『)(G〃 + C2v).(23•⑸

Пользуясь теоремой об ортогональности, согласно которой решение однородного уравнения невозмущенной задачи должно быть ортогональным правой части соответствующего неоднородного уравнения (см. (8.13)), и учитывая, что в нашем случае решениями невозмущенной задачи являются функции и и v, имеем

J 〃* (£ -『)(&〃 + Qu) d6% = 0,(23.16)

，〃* (E‘ 一片)(&〃 + &u) d6x = 0.(23.17)

Если теперь в уравнении (23.17) сделать замену & на 片 и 门 на ，2, то в силу того, что функция V (см. (23.12)) при этом перейдет в функцию и (см. (23.10)) и наоборот, причем энергия возмущения остается при этом без изменения, так как |片一电| =卜2 —门I，второе уравнение примет форму

，“* (£ 一 H) (Q〃 + &S d6x = 0.(23.17a)

Поэтому, проделав в дальнейшем преобразования лишь с уравнением (23.16), мы можем обобщить полученные результаты также и на уравнение (23.17а) путем замены в конечных результатах & и С2->Сь

Подставим в уравнение (23.16) вместо функций и и v их явные выражения из (23.10) и (23.12) и введем обозначения:

% 4) %«) = 〃《)， (23.18) %«№Ю = Р22&2)， (23.19) %«)%2(h) = Pi2(Q (23.20) <(r2)%>(r2)= P2i(G)- (23・21)

Здесь рн(ri) и р22(^2) характеризуют распределение плотно- стк вероятности в пространстве электронов, находящихся соот-

ветственно в состояниях П\ и n2, a pi2(片)и Р21&2) описывают так называемую плотность смешанного *) (или обменного) состояния, когда каждый из электронов частично находится и в СОСТОЯНИИ 〃1, И В СОСТОЯНИИ 〃2・

Принимая во внимание также, что з силу условия ортонор- ыированности

аа〃*〃 d6x = ^ рп (ri) d3Xj〈 Р22 (б) d'3%2 = 1,

а

а

“％ dQx = , p12 (ri) “3修 \ p2i (r2) d3x2 = О,

приводим (23.16) к виду

£‘&-也% \ ^1^^- Л + e^ \ 勺彳工W"吗=0-

(23.22)

Первый из интегралов в выражении (23.22) представляет собой энергию кулоновского взаимодействия двух электронов

К = %\ 喑W"%.(23.23)

Второй же интеграл характеризует так называемую обменную энергию

/Н备、端端也"%(23.24)

соответствующую взаимодействию двух электронов, когда каждый из них находится в смешанном состоянии /“ и 九2・

В противоположность кулоновской энергии К, обменная энергия Л не имеет классического аналога и носит сугубо квантовую природу.

Пользуясь соотношениями (23.23) и (23.24), вместо (23.22) получаем уравнение

& (Е‘ 一 К) 一 С# = 0.(23.25)

Второе уравнение, т. е. уравнение (23.17а), мы найдем, если, как было уже указано, в (23.25) произведем замену С2-> Ci и

С1・

f С2：

С2(£-К)-&4 = О.

(23.26)

Из

двух

последних уравнений находим:

и

1)

£ = К + 4 G = G,

(23.27)

2)

£ = К 一 4 & = — &•

(23.28)

*) Заметнм, что эти плотности не имеют классического аналога.

В соответствии с этим для волновой функции (см. (23.13)) и для полной энергии находим также два решения:

симметричное

炉=&(〃 + ?),(23.29)

Ес = е。干 К + 4(23.30)

и

антисимметричное )

^ = &(〃一吟(23.31)

Е^Е^К-А.(23.32)

Чтобы определить коэффициент Ci, воспользуемся условием нормировки ВОЛНОВЫХ функций 2c и 2a

\ г|)*сг|)сd6x = , %a d# =].

Тогда получим 2С；=1, или С[=—Таким образом, для tpc и 屮а окончательно имеем **)

-фс = -^ (и + и),(23.29а)

炉=壶(〃一0).(23.31а)

В том случае, когда оба электрона находятся в одном и том же квантовом состоянии (〃i = 〃2), функции и и у, как уже отвечалось выше, будут тождественными. В этом случае уравнения (23.16) и (23.17) сводятся к одному:

JzZ(£z -片)〃 Л = 0.(23.33)

Отсюда легко видеть, что

Е' = К,(23.34)

т. е. никакой обменной энергии здесь не возникает.

Для волновой же функции получается одно-единственное симметричное решение:

屮。=〃=屮切(仆)(%),(23.35)

соответствующее энергии системы

(23.36)(23.36)£ = Е° + К・

(23.36)

(23.36)

Резюмируя, можно сказать, что, применяя метод возмущений к рассматриваемой проблеме, мы приходим к одному из двух типов решений — либо симметричному, либо антисимметричному, что находится в полном согласии с общей теорией систем тождественных частиц (см. ниже).

е) Кулоновское взаимодействие электронов. Найдем выражение кулоновской энергии двух электронов, которые находятся в наинизших энергетических состояниях (ni = п2 = 1). В этом случае энергия каждого электрона и его волновая функция будут соответственно равны

Е尸*Ф1 (И =(—) e-zr/叱 (23.37)

2ao〃冗 \ а0 /

力2

где а()=——2—радиус первой боровской орбиты.

Для кулоновской энергии взаимодействия двух электронов имеем

К = \咁(h)听色)而冬T小%・(23.38)

Здесь |h — ?2| = “彳+ 吟一 2rj2cosО, а •& — угол между век* торами，i и，2・

При интегрировании в (23.38) направим ось г по “ Тогда, подставляя сюда вместо волновых функций “i их выражение (23.37), в результате интегрирования по углам находим

(23.38а)(23.38а)К = 32^里 § /«2 dr^22^ r2e~2Zr^ drv

(23.38а)

(23.38а)

Примечание. При интегрировании по углу 0(% = cos О) мы учли соотношение

S

1」—при Г1 <「2,

dx「2

—厂…- =j p

—1 V rf + r2— 2r/2х、石- при 门 > E

Принимая во внимание, что выражение Ф? (^) Ф?(^2)симметрично отно- Ъительво переменных п и п, мы можем при вычислении интеграла заменить В случае п 之額 радиус 门 на г2 и радиус「2 на rb Тогда найдем для (23,38.)

тот же результат, если положим

(3 при Г1 < 厂2,

I 0 при Г[ > 广2.

Далее, интегрируя по г{ и г2» окончательно получаем

5К=@*・(23.39)

Учитывая, что нулевая энергия в этом случае будет равна

Z2， e。= 2吕=^,(23.40)

получаем для полной энергии двух электронов, находящихся в низшем состоянии, следующее выражение:

Z245 党

Е = Е° + К= —W + ^Z 言.(23.41)

В качестве примера применения формулы (23.41) найдем теперь энергию ионизации атома гелия, т. е. ту энергию, которую необходимо затратить, чтобы вырвать из атома один электрон, находящийся на первой орбите.

Для однократно ионизованного атома гелия (т. е. водородоподобного атома) энергия связи электрона с ядром равна просто £\ (см. (23.37)). Отсюда для энергии однократной ионизации гелиеподобного атома находим

ркж = в — £ =亲卜2 一 ^ z),(23.42)

Т. е. для гелия (Z = 2) будем иметь

Енон = о,75 萨(23.43)

Энергия ионизации гелия хорошо известна из эксперимента £эксп = 0,9 U = 24,48 эВ.(23.43а)

Такое расхождение теоретического значения с экспериментальными данными связано с тем обстоятельством, что энергия 5吟

возмущения К =不芯 не очень мала по сравнению с нулевой энергией | £° | = (их отношение оказывается порядка 1/з)・ Поэтому метод возмущений в данной задаче позволяет сделать

лишь ряд правильных качественных заключений. Точность же этого метода в количественном отношении, в силу того что К и |Е°| сравнимы между собой, не очень велика.

а) Вариационный метод. Вариационные методы, развитые в работах Ритца, Хиллерааса и других, были с успехом использованы для нахождения энергий основных состояний атомов.

Как известно, средняя энергия системы может быть найдена с помощью формулы

〈Е〉=，2*НгМЗ 兀(23.44)

Если волновую функцию представим в виде

屮=2 以必，(23.44a)

где коэффициенты Сп характеризуют вероятность пребывания электрона в состоянии и, то, как было показано в § 6, среднее значение энергии определяется формулой (см. (6.19))

〈E〉=ZlC/斗.(23.45)

Заменяя в последней сумме каждое собственное значение Еп наименьшим собственным значением fo и принимая во внимание, что для нормированных функций

2 I & I2 = 1, находим, что

旦《，屮*Нг|)d3x.

Наименьшее же значение интеграла ^ t|)*Hip d3x = FMHH дает возможность определить верхний предел энергии основного состояв ния системы

Ео<£мин.(23.46)

Вариационный метод можно использовать в том случае, когда дополнительная энергия взаимодействия • Ех соизмерима с энергией £° нулевого приближения, и поэтому метод возмущений не может дать хороших результатов.

При решении задачи вариационным методом в гамильтониане Н уравнения (23.7) можно оставить на равных правах не только основную часть, но и дополнительную энергию взаимодействия V7. Затем следует подобрать пробную функцию 屮 как функцию некоторых параметров таким образом, чтобы интеграл мог быть вычислен точно. После этого энергия Е становится функцией введенных параметров. Минимальное значение этой функции должно приближаться к действительному.

Наибольшая трудность в этой задаче заключается в выборе пробной функции. При выборе ее используется любая доступная информация о свойствах системы.

В общем случае нельзя указать определенного выбора проб' ной функции. Здесь порой вопрос решает изобретательность или, точнее, физическая, а также математическая интуиция автора.

Очень часто пробные функции подбираются таким образом, чтобы они хотя бы по форме напоминали решения уравнения без возмущения. .

Конкретно с помощью вариационного метода решим задачу об определении низшего энергетического состояния атома гелия (Хиллераас, 1927 г.). Мы только что показали, как эта задача решается методом теории возмущений, и поэтому сможем сравнить результаты обоих методов.

В качестве пробной функции Хиллераас выбрал функцию основного состояния атома водорода (23.37), заменив в ней заряд Z некоторым эффективным зарядом Z'. Величина Z' и представляет собой тот неизвестный параметр, который следует определить из вариационного принципа. Пробная функция

S ⑺=亠(二yсy饱， (23.47)

так же как и функция (23.37), нормирована на единицу, поскольку ее нормировка не зависит от значения Z'. Гамильтониан же Н в соотношении (23.44) должен включать не только гамильтониан Н° нулевого приближения, но и потенциальную энергию возмущения. Тогда имеем

Н = Г + 匕 + Т2 + % + 匕 (23.48)

где Т/ и V/ (j = 1, 2) определяются равенством (23.2), а потенциальная энергия возмущения Vх задается соотношением (23.5).

Учитывая нормировку волновых функций, а также то, что оба электрона находятся в одном и том же квантовом состоянии, когда <Т1> = <Тг>,〈％〉=〈％〉，для среднего значения га^ мильтониана находим:

〈"〉=2 ⑴〉+ 2〈%〉+〈/〉，(23.49)

где

①>=*，5 (门)g %y 5 (门)d3修， (23.50)

〈匕〉=一\ 听(Q 学卢修，(23.50a)

〈片〉=卜;(Q 听(.)p^y- d%.(23.506)

Поскольку интеграл (23.506) точно совпадает с интегралом (23.38), если в последнем положить Z = Z‘, для 〈Р'〉согласно (23.39) имеем

(23・51)

В формуле (23,50) величина〈7» представляет собой среднее значение кинетической энергии водородоподобного атома с порядковым номером Z', когда электрон находится в низшем состоянии.

Это среднее значение, как известно, связано с соответствующей полной энергией водородоподобного атома соотношением

(23.52)(23.52)

(23.52)

(23.52)

Точно так же мы получили бы среднее значение для потенциальной энергии водородоподобного атома, которая, как известно, равна удвоенной полной энергии (〈％〉= 2Ei), если в формуле (23.50а) вместо Z поставили бы Z'. Следовательно, можем написать

Отсюда для(23.49) находимОтсюда для(23.49) находим〈%〉=^2旦=一密. (23.53)

Отсюда для

(23.49) находим

Отсюда для

(23.49) находим

среднего значения энергии согласно формуле выражение

E(Z) = W(Z* — 2ZZ' + ^、Z),(23.54)

являющееся функцией параметра Z'・

Определим теперь значение параметра Z', соответствующее минимуму энергии системы.

Дифференцируя выражение для E(Z') по Z' и приравнивая нулю полученное выражение, находим:

Z' = ZZ' = Z5Тб •5Тб •

Z' = Z

Z' = Z

5

Тб •

5

Тб •

Отсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелия поОтсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелия по

Отсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелия по

Отсюда для минимальной энергии электронов в атоме гелия по

лучаем

EMHH —— (z-4j*・(23.55)

При этом для энергии ионизации имеем

f-=自一?“ H = 最(Z2_^Z +嘉).

В частности, в случае атома гелия (Z = 2)

Ен°н^о,85*・(23.56)

Это значение значительно ближе к экспериментальному (см. (23.43а)), чем (23.43), найденное методом теории возмущений. Хиллераас впоследствии получил еще лучшее совпадение с экспериментом, вводя не один, а несколько вариационных параметров.

Результат (23.55) для £мин находит простую физическую интерпретацию, а именно: действие одного электрона на другой сводится к экранировке положительного заряда ядра.

Вариационный метод можно использовать также для нахождения верхнего предела энергий одного или нескольких возбужденных состояний. Для этого пробную функцию следует выбрать таким образом, чтобы она была ортогональной всем волновым функциям более низких состояний.

Получение уравнения Шредингера вариационным методом. Рассмотрим один из наиболее общих случаев вариационной задачи, когда выбор пробной волновой функции 屮 при отыскании среднего значения гамильтониана

<5)=，中?业激:(23.57)

для движения одной частицы ограничен только условием нормировки

，2*w3%=1.(23.58)

Варьируя <£*> по 2 и учитывая самосопряженность оператора Н, получаем

6 ⑵=卜6屮*!42 + 改 Н*2*) 0% = 0.(23.59)

Здесь вариации 6* и 5** мы не можем считать независимыми, так как они связаны между собой условием нормировки (23.58); чтобы эти вариации сделать независимыми, проварьируем условие (23.58)

,i|)6^*d3x + ,屮*6屮成％ = 0.

Умножая последнее равенство на постоянный множитель Лагранжа 九 и подбирая его так, чтобы вариации были уже независимыми, сложим полученное равенство с (23.59). Поскольку теперь все вариации 6V и 6г|)* произвольны, из вариационного принципа автоматически следует уравнение Шредингера для ф

и屮*:

(Н — Е)巾=О, (Н* 一 Е) W* = 0,(23.60)

и становится ясным физический смысл параметра X, равного энергии с обратным знаком (X =——Е)・

Таким образом, вариационный принцип с учетом лишь условия нормировки приводит к уравнению Шредингера. Из полученного результата видно, что собственные значения уравнения Шредингера (23.60) дают экстремумы вариационного интеграла. Более детальный анализ показывает, что эти экстремумы являются минимумами, причем энергии основного состояния соответствует абсолютный минимум ——наименьшее возможное значение энергии. Расчет возбужденных состояний, как было только что отмечено, требует подчинения волновых функций не только условию нормировки, но и дополнительным условиям ортогональности волновым функциям более низких энергетических состояний, что в теории Шредингера выполняется автоматически.

Метод самосогласованного поля Хартри — Фока. Мы рассмотрели два крайних случая вариационного метода решения задачи. В одном случае (метод Ритца — Хиллерааса) вариация волновой функции сводилась к нахождению «наилучших» значений параметров, введенных в выбранное выражение для волновой функции. В другом же выбор пробных функций ничем (кроме условия нормировки) не ограничивался. Последний случай привел нас к уравнению Шредингера.

Возможен также и промежуточный случай. Волновая функция хотя и остается неопределенной, но равняется произведению функций, каждая из которых зависит лишь от коорДйнат, характеризующих положение одного электрона. Конкретный вид этих отдельных функций может быть найден путем решения методом последовательных приближений некоторого уравнения, следующего из вариационного принципа.

Один из таких методов был предложен Хартри (1928 г.). Суть этого метода с точки зрения вариационного принципа, который впоследствии был сформулирован Фоком, состоит в следующем.

Запишем вариационный принцип для двух частиц в общем виде *)

〈£)=，炉(门，力)Н屮(门，г2)d^x^x2 = min.(23.61)

В качестве дополнительного условия потребуем, чтобы общая волновая функция равнялась произведению функций, зависящих

♦) Аналогичным путем этот принцип можно обобщить также на случай трех и более частиц.

от координат каждой из частиц в отдельности:

2 (门，r2)=电(门)我(Q)・(23.62)

Кроме того, необходимо учесть условие нормировки

\屯屯屯电^尤d/=1,(23.63)

которое может быть записано отдельно для каждой частицы\ %21d3/ = \ ”押2dз%2 = 1・

Подставляя пробную функцию (23.62) в выражение для энергии (23.61) и варьируя его отдельно по 21 и 屮2, получаем

$[(Ф；Н； + ^6ф；)(乩 + 也十暑)2意+

+ 屯% (乩 + 也+ *)(% 6% + 电 6屯)]d\d\ = 0, (23.64) где HjU^^p号 + 匕(勺)一гамильтониан, описывающий движе- ние одного электрона (/ = 1, 2), а — представляет собой энергию взаимодействия двух электронов.

Из условия нормировки (23.63) находим связь между вариациями:

，3Ф；%Ф1“2+屮;6暇屯屯+屮；期621我+2；嗎电6电)6/3占小%2 = 0. Умножая последнее соотношение на множитель Лагранжа X =——Е и складывая его с (23.64), можем выбрать 入 таким образом, чтобы все вариации б*ф*, 6《；и т. д. были бы независимыми. Отсюда получаем уравнения Хартри

(乩+，%也也网2 + \嘰* 22d3々一 Е)% = 0,

(Н2 + ";H2d* + 卜;4•也也 一 E)(Н2 + ";H2d* + 卜;4•也也 一 E)(23.65)

(Н2 + ";H2d* + 卜;4•也也 一 E)

(Н2 + ";H2d* + 卜;4•也也 一 E)

恥=°，

Аналогичные уравнения находим также и для комплексно-сопряженных функций.

Умножая первое уравнение на，； и интегрируя его по всему пространству первой частицы, а второе — натр* и интегрируя его по всему пространству второй частицы, и взяв полусумму от по-

лученных уравнений, находим выражение для энергии

e =乡卜;乩2尸3々+^乡?」V押；言7抻/%(13々,,(23.6G) причем в случае двух частиц /, /^ = 1, 2. Однако этим же выражением с успехом можно пользоваться также и в случае большего числа частиц.

Если пренебречь энергией взаимодействия, т. е. положить члены, содержащие 匐г*» равными нулю, то, принимая во внимание, что

Е = Е. + Е^ и £. = J ^Н^^3^, уравнение Хартри можно разбить на систему двух независимых уравнений

(Н/ — £/) 2/ = 0,описывающих движение каждой частицы в отдельности.

Поскольку в задачах, решаемых методом Хартри, электроны (или другие частицы), как правило, движутся во внешнем поле (например, в поле ядра) и в поле самих же электронов, этот метод получил название метода самосогласованного поля.

Фок (1930 г.) обобщил метод Хартри, последавательно проведя учет обменных эффектов. Согласно Фоку, пробная функция в первоначальном уравнении (23.61) выбирается с учетом принципа Паули. Поэтому класс пробных функций ограничивается еще требованием антисимметрии (более подробно выбор антисимметричных функций, удовлетворяющих принципу Паули, будет рассмотрен нами в следующем параграфе).

Система уравнений Хартри (а также Фока), например, для электронной оболочки атома, решается методом последовательных приближений. Вначале определяется волновая функция в нулевом приближении (без учета потенциала взаимодействия между электронами). Учитывая далее потенциал взаимодействия между электронами, получают уравнения первого приближения. Затем решение с учетом первого приближения вновь подставляется в уравнения Хартри — Фока, и находится следующее приближение н т. д.

Расчет повторяется до тех пор, пока решения не начнут воспроизводить друг друга, т. е. пока не будет получено самосогласованное решение. Заметим, что эффективное решение этой системы возможно только численными методами интегрирования. С помощью современных счетных машин удалось определить энергии, а также волновые функции не только для легких, но и для тяжелых элементов.一 、

Кроме этих приближенных методов, для исследования тяже- лых атомов применяется также статистический метод Томаса — Ферми, который, хотя и не является столь точным, как метод самосогласованного поля Хартри — Фока, но позволяет вскрыть сравнительно просто многие закономерности в сложных атомах. Этот метод мы используем в наших дальнейших исследованиях и рассмотрим его в § 25 в связи с теорией периодической системы элементов Менделеева.

Исследование обменной энергии. Остановимся несколько подробнее на выяснении физической сущности полученной нами выше обменной энергии (23.24), которая, как мы уже упоминали, представляет собой среднее значение кулоновской энергии взаимодействия двух электронов, когда оба они находятся в смешанных состояниях, т. е. частично в состоянии Mi и частично в состоянии %2・ Согласно формулам (23.30) и (23.32) общая энергия системы связана с кулоновской энергией К и обменной Л соотношением

Е = ® + К±4 (23.67)

причем здесь знак плюс соответствует функции “ а минус — функции 2%

Чтобы проанализировать обменную энергию более детально, рассмотрим поведение системы с течением времени при учете обменной энергии. Волновые функции симметричного и антисимметричного состояний можно записать в виде

(23.68)(23.68)2С(/)=w、力 и炉^力=炉e方 .

(23.68)

(23.68)

Вводя обозначения

且产=® 4 = s，(23.69)

(23.70)(23.70)соотношение (23.68) можно представить в виде г|)с (f) = ^r(〃 + u)eTWT6/, 炉⑺=- u) gTs上+叫

(23.70)

(23.70)

Рассмотрим состояние системы, описываемое суперпозицией решений *с ⑴ и 2a (/)*):

Y(/)= cv(0 + cv(/)・Y(/)= cv(0 + cv(/)・(23.71)(23.71)

Y(/)= cv(0 + cv(/)・

Y(/)= cv(0 + cv(/)・

(23.71)

(23.71)

Нетрудно убедиться в том, что функция ^(Z) представляет собой общее решение уравнения Шредингера (23.7) для первого приближения теории возмущений.

Предположим далее, что в начальный момент времени (/ = 0) один из электронов находится в состоянии ni, а второй ——в состоянии 拉2・ Тогда функция

屮(0) = {(Сс + <?)〃 + © 一 ⑺ и}(23.72)

должна быть равной функции 〃• Отсюда следует, что

или

0С=(^ =表(23.73)

Из последних равенств для функции (23.71) находим

屮(/) = e-i矶{“ cos 6/ —历 sin &} = е-'м {。第十 с*}, (23.74) где

Си —cos 6/,& = —，sin 6/.(23.75)

Очевидно, что амплитуды Си и С”, удовлетворяющие условию нормировки

|С」+ |С/= 1,(23.76)

характеризуют соответственно вероятности пребывания системы в состоянии, описываемом либо функцией и, либо функцией и.

При / = 0 коэффициенты равны Су = 0, Си = 1. Это означает, что система в начальный момент времени находилась в состоянии, описываемом функцией и. Однако спустя время

七=去(23.77)

коэффициенты Си и Со согласно (23.75) становятся равными

С“ = 0 и С。—"~" z,

т. е. состояние системы описывается уже не функцией 〃, а функцией V. Это говорит- о том, что если в момент времени f = 0 один из электронов находился в состоянии «1, а другой — в состоянии 九2, то по истечении промежутка времени т, наоборот, первый электрон окажется в состоянии Пг, а второй в состоянии Пь Время т, за которое происходит «обмен» электронными

состояниями, называется временем《обмена》. Оно связано с обменной энергией 4 простым соотношением:

T =去=符。 (23.78)

В частности, отсюда следует, что если обменная энергия отсутствует (Л = 0), то т = оо.

В заключение укажем, что обменная энергия играет заметную роль только в том случае, когда волновые функции, а вместе с тем и плотности вероятностей различных состояний, перекрываются между собой ). Если же перекрытие волновых функций незначительно, то обменная энергия практически исчезает. Все это напоминает собой перекачку энергии от одного связанного маятника к другому. Известно, что если в начальный момент качается только один из связанных маятников, то через некоторый промежуток времени его амплитуда станет равной нулю, поскольку вся энергия колебаний перейдет ко второму маятнику. При этом время обмена энергией колебаний зависит от соотношения между собственными частотами колебаний маятников, достигая максимального значения, когда эти частоты совпадают (случай резонанса).

Следует подчеркнуть, что приведенная аналогия является чисто внешней и имеет место только в силу проявления волновых свойств в обоих явлениях.

§ 24. УЧЕТ СПИНА В ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМАХ

Симметричные и антисимметричные состояния. Как было указано в начале § 23, квантовая теория многих одинаковых частиц обладает рядом специфических особенностей, не имеющих классического аналога. Основная особенность связана с принципом тождественности, согласно которому состояние системы остается неизменным при обмене частиц местами. Рассмотрим проявление этих свойств на простейшем примере двух тождественных частиц. Состояние отдельной частицы с радиус-вектором г будем характеризовать тремя пространственными квантовыми числами (п — главное, / — орбитальное, m — магнитное), обозначаемыми сокращенно через и, и четвертым — спиновым квантовым числом s. Волновая функция двух частиц согласно упрощенным обозначениям имеет вид

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к первой и второй частицам.

Введем далее оператор перестановки частиц Р, действие которого на волновую функцию заключается в том, что он меняет местами квантовые числа 拉i, Si и Нг, s? ) у частиц, т. е.

p中("1，S1,门；改，S2, /*2)=中(〃2, S2,门；九1, S1，/•2).(24.2)

Нетрудно найти собственные значения этого оператора

p4@1, Si，门；n2, S2, /*2)=九4 51，S[,门；n2, S2,力).(24.3)

В самом деле, как следует из (24.2), двукратное применение этого оператора Р должно привести систему к исходному состоянию

Р24fs 1，S1，门；П2, S2,，2)=屮仇1，S[,门；九2, S2, Q)・(24.4)

С другой стороны, из (24.3) следует, что

P24f (勿，S], /*1； M2, S2, 1*2)=炉屮(%，Sl，门；"2, S2,力).(24.5)

Таким образом, собственные значения оператора перестановки равны

Л = ± 1.(24.6)

Этот результат означает, что при перестановке частиц местами волновая функция либо остается без изменений: X = 1 (такие функции называются симметричными)

уС (%, S[,门；m2, S2, Q)=屮С(也2, S2,门；Ml, Si，方)，(24.7) либо меняет знак:九=——1 (такие функции называются антисимметричными)

4f'(%-, S[,门；九2, S2, &) = —P 的，S2,门；九l，Si，&)•(24.8)

Квантовая механика утверждает, что совокупность тождественных частиц может находиться в состояниях только с определенным типом симметрии. В частности, в природе реализуются либо симметричные состояния (волновая функция симметрична), либо состояния антисимметричные (волновая функция антисимметрична).

Статистики Ферми ——Дирака 〃 Бозе — Эйнштейна. Как известно, тождественные частицы делятся на два класса с принципиально различными статистическими свойствами. Различия в статистических свойствах оказываются существенно связанными со спином частиц.

В частности, оказывается, что частицы с полуцелым спином (в единицах постоянной Планка 九；s = '瓜 3/г,.・•) подчиняют

ся статистике Ферми — Дирака (фермионы). К числу фермионов относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, мю-мезоны (спин у всех равен %)• В отличие от фермионов частицы с целым спином (s = 0, 1, ...) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (бозоны). К числу бозонов относятся, например, пи- мезоны, ка-мезоны (спин равен 0), фотоны (спин равен 1) и т. д.

Не имея возможности детально останавливаться на анализе статистических свойств совокупности частиц, укажем, что в случае статистике Бозе — Эйнштейна в каждом состоянии может находиться любое (без ограничения) число частиц. В случае же статистики Ферми — Дирака в каждом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, может находиться не более одной частицы (см. § 22). Эта характерная для фермионов осо бенность была установлена эмпирически Паули (1923 г.) еще до создания квантовой статистики и известна под названием принципа Паули (запрета Паули).

Для того чтобы установить связь типа симметрии состояния со статистикой, рассмотрим систему двух частиц, каждая из которых описывается функциями

砲冋6) и02s«)■

Для описания фермионов мы должны составить из этих фуню ций антисимметричное решение )

屮『靑(％ ⑺ ％(%) - % S) 2K (%))，(24.9)

поскольку состояние, когда обе частицы обладают одними и теми же квантовыми числами

九1 =九2, S[ = s?,(24.10)

становится невозможным, так как волновая функция (24.9) обращается в нуль:

4r3mh Si,门；nb Si, /*2)= °,(24.11)

что находится в согласии с принципом Паули.

Точно так же для описания бозонов следует взять симметричное решение

^ = -^ (%同 G) %呦(6)+ %也(h)⑵鬲仏))，(24.12)

которое не запрещает наличия в одном и том же квантовом состоянии (см. (24.10)) обеих частиц, поскольку

屮C(〃1, Si,%; nb S]/2)*0・(24.13)

Связь Рессела ——Саундерса 〃 (jj)-cs兄зь. Поскольку в дальнейшем мы будем иметь дело с двумя электронами, то для их описания следует взять антисимметричное решение (24.9).

Одной из важнейших задач, которая при этом возникает, является установление порядка сложения четырех моментов: двух орбитальных (厶 и 勾)и двух спиновых ⑶ и 北).

По классической теории этот порядок был бы совершенно безразличен. По квантовой же теории это не так! Согласно векторной модели сложение векторов должно происходить под такими углами, чтобы в геометрической сумме мы имели либо целое, либо полуцелое значения в зависимости от того, является ли алгебраическая сумма целым, либо полунелнм числом.

Поэтому сложение этих четырех векторов мы можем произвести двумя путями.

Можно сначала сложить по отдельности орбитальные и спиновые моменты (в сумме мы должны иметь целые числа)

Ь^1^1Ъ(24.14)

S = S] + §2,(24.15)

а затем найти общий момент (целое число)

J = £ + S.(24.16)

Такая связь носит название LS-связи или связи Рессела ——Саундерса.

Она соответствует наличию двух независимых законов сохранения для орбитальных (см. (24.14)) и спиновых (см. (24.15)) моментов. Чаще всего она осуществляется у легких элементов (см. ниже). Возможна и другая схема сложения моментов, а именно: вначале можно сложить для каждого электрона спиновый и орбитальный моменты (полуцелые значения):

九=厶 + *,(24.17)

为=为 + S2,(24.18)

а затем найти полный момент обоих электронов (целое значение)

/ = /1 + /2.(24.19)

Такая связь называется (//) -связью и встречается преимущественно у тяжелых элементов. Очевидно, что суммарное зна・

чение всех моментов в обоих случаях по квантовой геометрической модели может быть различным:

L + S^h + h-(24.20)

Осуществление той или другой связи зависит от соотношения между кулоновской энергией двух электронов и энергией спин- орбитального взаимодействия. Кулоновская энергия взаимодействия между двумя электронами (см. формулу (23.39)) равна

k =苗吧~ZR肌(24.21)

U J I Г1 — Г2 I

Спин-орбитальное же взаимодействие определяется выражением (см. (20.9))

£• ° = ^^〈(LS) g〉~ R % Z4 а2.(24.22)

Оно при Z — 2 оказывается значительно меньше кулоновского, поэтому для атома гелия осуществляется рессел-саундерсовская связь.

Как видно из последней формулы, порядок величины спин- орбитального взаимодействия сильно зависит от заряда ядра Z (〜Z4), так что для больших значений Z (тяжелые элементы) величина °- может оказаться существеннее, чем кулоновская* В этом случае реализуется (//) -связь.

а) Волновая функция атома гелия с учетом спина. Рассмотрим более подробно волновую функцию атома гелия, где взаимодействие спинов и орбитальных моментов электронов долж^ но носить характер рессел-саундерсовской связи.

Поскольку в последнем случае независимо складываются орбитальные и спиновые моменты, волновая функция может быть записана в виде произведения двух частей, одна из которых зависит от спинов частиц, другая — от их координат.

Учтем, что волновая функция должна быть антисимметрична относительно перестановки четырех квантовых чисел

В = С(S], S?)必削(“，2)= - С (S2, S])弘制(Гр /«2)=

=-С ($2, S)勿&2"1)，(24・23)

причем здесь перестановка координат эквивалентна перестановке не четырех квантовых чисел (пространственных и спиновых), как в (24.9), а только трех пространственных. Это реализуется в двух случаях: либо в случае, когда функция является симмет・ ричной относительно спинов и антисимметричной относительно координат, либо наоборот. Поэтому мы имеем следующие два

13 А. А. Соколов и др.

типа решений *):типа решений *):(24.24)(24.25)(24.24)(24.25)

типа решений *):

типа решений *):

(24.24)

(24.25)

(24.24)

(24.25)

骑m 4, △) = (〃十吟

(24.26)

% （人，2）=表（〃一*

(24.27)

где

"="小4）2勿仏），

u=M%)也«)■

(N4./0 丿

屮‘ =^С (si> $2)曬勿(「г/)，

中$2)%小①1，%)■

Напомним, что координатная часть волновой функции нами получена (см. § 23). При Hi ：/=九2 имеем

Обратимся теперь к исследованию спиновой части волновой фунвдм двух „электротв. В случае связки RecceJiz — Саундереа спиновое моменты гк^адьвваются леэависммс от орбитальные.

Спиновые функции для каждого электрона выберем в вине собственных функций оператора праекши спиш на шь г

(24.29)

а также оператора квадрата спинового .момента

S2 = *0+g +喲.(24.30)

Здесь двухрядные матрицы Паули ,а (см. (16.26)) мы „будем писать без штриха:

5 = (； ；)'~i). 6=(； _1)-

Спиновая функция С=(；：) одной частицы удовлетворяет, таким образом, двум уравнениям:

SzC = 4а3С=|<т3(^) =力％ С；),(24.31)

S2c =普04-吟+硝(*)=也(-J).(24.32)

Учитывая, что af —1 и т. д., из уравнения (24.32) находим 入2 = 3/4. Матричное же уравнение (24；31) для определения X?

эквивалентно системе нений:эквивалентно системе нений:двух однородных3 (% — 入 1) = О，。2 (% + 入i) = О,двух однородных3 (% — 入 1) = О，。2 (% + 入i) = О,алгебраических урав-

эквивалентно системе нений:

эквивалентно системе нений:

двух однородных

3 (% — 入 1) = О，。2 (% + 入i) = О,

двух однородных

3 (% — 入 1) = О，。2 (% + 入i) = О,

(24.33)

из которых следует, что существуют два решения, соответствующие двум возможным ориентациям спина относительно оси г:

1)入]==М2, 3 — 1, С? ■~' 0.

При этом спин направлен параллельно оси г. Волновая функция, принадлежащая собственному значению 1/2, имеет вид (см. (16.48))

С(%}=(；)；(24.34)

2)%i = -%, a = 0,e2=1.

В этом случае спин направлен антипараллельно оси z. Соответствующая волновая функция равна

С(-%)= (；)・(24.35)

В решениях (24.34) и (24.35) в скобках у амплитуд С указано значение проекции спина на ось г. Нетрудно заметить, что обе спиновые части волновой функции удовлетворяют условию орто- нормированности. Действительно, если под сопряженной (точнее, эрмитово-сопряженной) спиновой функцией понимать, как обычно, матрицу из одной строки

с+ =(*),

то из (2434) и (24.35) следует, что

с+ (%) С (%) = С+ (-%) С (—%) = 1, а

с+(%)с(-%) = о・

Действие же матриц Паули на спиновые функции (24.34) и (24.35) будет следующим:

00 (土%) = c (干%),6c (±%) = 士 iC(干%),

。3。(±%) = ±5±%).

При наличии двух электронов оператор проекции полного спина на ось г, а также оператор квадрата полного спина соответственно равны

^z = ^+^ = l/2fi^ + ^(24.37)

S2 = A2(3/2 + 72(aW(24.38)

Здесь штрих и два штриха у матриц Паули означают, что эти матрицы должны действовать на спиновые функции соответственно первого C(±i/2)) и второго (，〃(土力))электронов.

Из спиновых функций обоих электронов мы можем составить три симметричные комбинации:

С； = 0(%) С" (%),

3 = О(_%)С〃(—％),(24.39)

С； = 士 [С (%) С〃 (一％) + С (—%) С〃 (％)], и одну антисимметричную:

с』卷 с (%) С〃 (一%) - С (—%) С〃 (％)]・(24.40)

Для того чтобы найти ориентацию спина относительно оси г, подействуем на спиновые симметричные функции оператором (24.37).

С помощью равенств (24.36) можно показать, что

SzC^hCt(24.41)

Sz5=— 力X,(24.42)

SzC； = O,(24.43)

т. e. в состоянии С； спины обоих электронов направлены по оси г(|j), в состоянии С^— против оси z(J() и в состоянии Сз — перпендикулярно к оси г(з$).

Для того чтобы найти абсолютное значение общего спина, воспользуемся соотношением, которое легко получить, учитывая (24.36):

s2ct 2,з = Й2[72 + % 9、〃)] Ct 2,3 =力2s (S + 1) Ct 2,3，(24.44)

где S = 1, т. e. общий спин симметричного состояния равен единице (спины обоих электронов параллельны).

Учитывая (24.36), равенства (24.41) — (24.44) можно получить по следующей схеме:

& + О С； = С〃 (％) 0c (%) + С'(%)。” (％) = 2С‘ (％) С" (%) = 2价, (『，〃)6 0 c (%)。7。" (％) + 0 c (%)或С" (%) +

+ 0 c (%) %‘C" (%) = C‘(一％) C〃(一％) — CZ (-%) C〃(一 ％) +

+ C‘(％) C〃(％) = С； и т. &(24.45)

При действии спиновых операторов на антисимметричную спиновую комбинацию (24.40) аналогичным путем легко пока-.

зать, чтозать, чтоs2ca = л2(3/2 + %(『『))Са = О,

зать, что

зать, что

S2Ca = 0,

(24.46)(24.47)(24.46)(24.47)т. е. антисимметричное спиновое состояние Са описывает случай, когда спины обоих электронов направлены антипараллельно друг Другу.

(24.46)

(24.47)

(24.46)

(24.47)

В случае, если оба электрона находятся в одном и том же состоянии ni = «2, существует только одно решение с симметричной координатной частью (см. замечание к формуле (24.24))

ус = Са®, sj 峭 (24.48)

少с = 〃 = (24.49)

Рис. 24.1. Ориентация спинов электронов в атоме гелия.Рис. 24.1. Ориентация спинов электронов в атоме гелия.Пара-, ортогелий. Мы получили волновые функции, которые характеризуют две системы состояний. Одна система состояний (парагелий) имеет место, когда волновая функция симметрична относительно перестановки координат (см. (24.25)) и общий спин равен нулю, другая (ортогелий)—когда волновая функция антисимметрична относительно перестановки координат (см. (24.24)) и общий спин равен единице (рис. 24.1). Заметим, что оба типа атомов гелия — парагелий и ортогелий ——являются замкнутыми, т. е. не переходящими

Рис. 24.1. Ориентация спинов электронов в атоме гелия.

Рис. 24.1. Ориентация спинов электронов в атоме гелия.

друг в друга. В замкнутости обеих систем можно убедиться непосредственным расчетом. Действительно, матричный элемент, соответствующий дипольному переходу из ортогелия в парагелий (дипольный момент системы пропорционален г^ + г2) •

〈％. а〉= \ Wc(门，72)(门 + y2)^9 (门，r2)^6X =

=5 У &2,打)⑴2 + 门)(Ф8 (方，门)d6X =

=—\ У (片，尸2)6 + Г2)炉(ГЬ Г2) d6x,(24.50)

"с・ а) — — "с. а〉— 0・"с・ а) — — "с. а〉— 0・(24.51)(24.51)оказывается равным нулю, поскольку *)

"с・ а) — — "с. а〉— 0・

"с・ а) — — "с. а〉— 0・

(24.51)

(24.51)

и ВОСПОЛЬ-

Энергетический спектр атома гелия. Общий орбитальный Момент L, получающийся в результате сложения орбитальных моментов двух электронов 1\ и Z2 (рессел-саундерсовская связь)', должен принимать целочисленные значения. В частном случае, если Zj = /2 = 1 (оба электрона в p-состоянии), общий орбитальный момент может быть равным 厶=2, 1, 0. Это соответствует сложению моментов по векторной модели:

Z^

4

L = 2. Моменты параллельны: 1^]12, £ =厶 + 勾=2・

2 = 1. Складываемые моменты расположены под углом 60°: L = l\ + I2— 1 = 1.

L — 0. Моменты антипараллельны:厶1(勾,L = Zi —/2 = 0・ В общем случае при 厶》Z2 число L принимает всевозможные целые значения

厶=?] +勾，厶+勾一1,厶+ "2 - 2,・・・，A一为.(24.52)

В отличие от водородоподобного атома, .термы сложных атомов с определенным орбитальным моментом L обозначаются большими латинскими буквами:

厶=0, S-состояние;

L = 1, Р-состояние;

厶=2, ^-состояние;

厶=3, F-состояние и т. д.

Мультиплетность этих термов определяется согласно векторной модели числом значений, которые может принимать при заданном 厶 полный момент количества движения

/ = L + S, L + S-1, ・・・，|L-SI・ (24.53)

Отсюда видно, что число этих значений при L》S равно

” = 2S+ 1,(24.54)

а при L V S

v = 2L+ 1.(24.55)

Поэтому все уровни парагелия (5 = 0) должны быть синглетными (V = 1, / = L) и при любых полях должен наблюдаться нормальный эффект Зеемана.

Для ортогелия (5 = 1) уровни, как правило, должны представлять собой триплеты (v=3a J =厶 + 1, Lt L —1), за исклю-

чением состояния с L = 0 (см. (24.55)), когда уровни должны быть синглетными *).Несмотря на это исключение, все уровни ортогелия обозна* чаются индексом v = 3. В случае слабых магнитных полей в ортогелии г должен наблюдаться аномальный эффект Зеемана.Перечислим теперь наиболее низкие уровни атома гелия с ni = 1 и 九2 = 1,2.В случае парагелия мы можем написать следующие термы:(Is, 1s)圆 (Is, 2s) $, (Is, 2p)p・В скобках указаны состояния отдельных электронов, образующих атом гелия. Большой буквой обозначен суммарный орбитальный момент. Индекс вверху указывает принадлежность его той или иной мультиплетной структуре (V = 1 — парагелий, v = 3 —чением состояния с L = 0 (см. (24.55)), когда уровни должны быть синглетными *).Несмотря на это исключение, все уровни ортогелия обозна* чаются индексом v = 3. В случае слабых магнитных полей в ортогелии г должен наблюдаться аномальный эффект Зеемана.Перечислим теперь наиболее низкие уровни атома гелия с ni = 1 и 九2 = 1,2.В случае парагелия мы можем написать следующие термы:(Is, 1s)圆 (Is, 2s) $, (Is, 2p)p・В скобках указаны состояния отдельных электронов, образующих атом гелия. Большой буквой обозначен суммарный орбитальный момент. Индекс вверху указывает принадлежность его той или иной мультиплетной структуре (V = 1 — парагелий, v = 3 —步步167416741212WW44aa叩аз"血叩аз"血ОсноЗно^ уровеньОсноЗно^ уровень◎ Ортошии'(1$2s)3新◎ Ортошии'(1$2s)3新方公同伤方公同伤Рис. 24.2. Схема энергетических уровней атомагелия. Расщепление 3Р-уровней дано не в ма(；«штабе. Длина волны задается в ангстремах (А),причем 1 А =10—8 см.Рис. 24.2. Схема энергетических уровней атомагелия. Расщепление 3Р-уровней дано не в ма(；«штабе. Длина волны задается в ангстремах (А),причем 1 А =10—8 см.

чением состояния с L = 0 (см. (24.55)), когда уровни должны быть синглетными *).

Несмотря на это исключение, все уровни ортогелия обозна* чаются индексом v = 3. В случае слабых магнитных полей в ортогелии г должен наблюдаться аномальный эффект Зеемана.

Перечислим теперь наиболее низкие уровни атома гелия с ni = 1 и 九2 = 1,2.

В случае парагелия мы можем написать следующие термы:

(Is, 1s)圆 (Is, 2s) $, (Is, 2p)p・

В скобках указаны состояния отдельных электронов, образующих атом гелия. Большой буквой обозначен суммарный орбитальный момент. Индекс вверху указывает принадлежность его той или иной мультиплетной структуре (V = 1 — парагелий, v = 3 —

чением состояния с L = 0 (см. (24.55)), когда уровни должны быть синглетными *).

Несмотря на это исключение, все уровни ортогелия обозна* чаются индексом v = 3. В случае слабых магнитных полей в ортогелии г должен наблюдаться аномальный эффект Зеемана.

Перечислим теперь наиболее низкие уровни атома гелия с ni = 1 и 九2 = 1,2.

В случае парагелия мы можем написать следующие термы:

(Is, 1s)圆 (Is, 2s) $, (Is, 2p)p・

В скобках указаны состояния отдельных электронов, образующих атом гелия. Большой буквой обозначен суммарный орбитальный момент. Индекс вверху указывает принадлежность его той или иной мультиплетной структуре (V = 1 — парагелий, v = 3 —

步

步

16

74

16

74

12

12

W

W

4

4

a

a

叩аз"血

叩аз"血

ОсноЗно^ уровень

ОсноЗно^ уровень

◎ Ортошии

'(1$2s)3新

◎ Ортошии

'(1$2s)3新

方公同伤

方公同伤

Рис. 24.2. Схема энергетических уровней атомагелия. Расщепление 3Р-уровней дано не в ма(；«штабе. Длина волны задается в ангстремах (А),причем 1 А =10—8 см.

Рис. 24.2. Схема энергетических уровней атомагелия. Расщепление 3Р-уровней дано не в ма(；«штабе. Длина волны задается в ангстремах (А),причем 1 А =10—8 см.

ортогелий) и, наконец, индекс внизу указывает значение полного момента количества движения.

Точно так же низшими термами ортогелия являются:

(Is, 2s)з&, (1s, 2炉2, (Is, 2P)зр, (Is, 2р)зр°.

Состояние, для которого щ = П2 = 1, в ортогелии в силу запрета Паули должно отсутствовать, и поэтому наинизшим уровнем в ортогелии является уровень (Is, 2s)3Sb который оказывается метастабильным, ибо переход на более низкий уровень

(Is, Is), принадлежащий парагелию, запрещен правилами отбора.

Общая схема энергетических уровней пара- и ортогелия приведен а на рис. 24.2.

Для элементов третьей группы (S =】/? или 3/2) мы будем иметь соответственно дублеты и квартеты и т. д. Таким образом, общее число валентных электронов полностью определяет характер расщепления спектральных линий.

СТРОЕНИЕ СЛОЖНЫХ АТОМОВ

а) Общие сведения. Согласно современным представлениям атомы состоят из атомных ядер, вокруг которых вращаются электроны. Число протонов Z в ядре характеризует порядковый номер атома, а общее число протонов и нейтронов (т. е. нуклонов) определяет массовое число А (модель Иваненко — Гейзенберга, 1932 г.).

Поскольку число электронов в нейтральном атоме также должно равняться Z (напомним, что заряды протона и электрона равны по абсолютному значению, но имеют противоположные знаки), то порядковый номер Z должен определять основные свойства атома.

Атомы, имеющие одно и то же значение Z, но разные значения Л, образуют изотопы. Например, изотопы урана 2||и и 2||U имеют одно и то же число протонов и электронов (Z = 92), но разное число нейтронов (Л—Z = 146 и 143). Несколько слов скажем о массе атома и единице ее измерения. В атомной физике массу частицы принято выражать в единицах ее собственной энергии, которая в свою очередь задается в миллионах электронвольт (МэВ). Простой расчет показывает, что масса в 1 МэВ = 1,8 • 10-27 г

В энергетических единицах массы покоя электрона (т0), протона (Alp) и нейтрона (Afn) соответственно равны:

恤= 0,51 МэВ,

Мр = 938,3 МэВ,

Мп = 939,5 МэВ.

Экспериментальные данные показывают, что масса атома всегда меньше суммы масс свободных электронов, протонов и нейтронов (в первом приближении массой электронов вообще можно пренебречь).

Это уменьшение обусловлено ядерным взаимодействием нуклонов. Энергия, удерживающая нуклоны (т. е. протоны и нейтроны) в ядре, отрицательна, и поэтому масса ядра должна

быть равна

M = MpZ + Mn(4 — Z)— 亨.

Дефект массы AAf = как показывают эмпирические данные, примерно пропорционален массовому числу 4, так чю отношение -^- = AAf0 (удельный дефект массы) для большинства элементов лежит в пределах от 7 до 8,5 МэВ. Исключение составляют лишь самые легкие ядра (1,1 МэВ у 1Н, 2,8 МэВ у ?Н и достигает практически насыщения 7 МэВ у 之Не). У тяжелых элементов АМ。слабо понижается с увеличением Л. Максимум для АМо наблюдается примерно в середине периодической системы.

Из сказанного выше становится ясным, что за атомную единицу массы следует выбрать массу любого достаточно тяжелого элемента, деленную на А. В этом случае масса других элементов будет примерно кратна этой массе ). До 1961 г. за единицу массы выбиралась единица, равная 1/16 массы атома кислорода. Однако после открытия редких изотопов кислорода 彳О и 号О появились две единицы: химическая и физическая.

В химических единицах Лх за единицу массы берут 1/16 средней массы естественной смеси кислорода ), а в физических единицах Лф— 1/16 массы изотопа ^О.

Переход от химической шкалы (до 1961 г. фактически ее главным образом и использовали) к физической повел бы к заметному увеличению атомных весов (Аф = Ах* 1,000275). Приемлемой оказалась углеродная единица "с), равная 1/12 части массы изотопа ‘久 С прежними химическими весами она связана соотношением: Лс = Лх -1,000043, что практически на многих химических расчетах просто не скажется. В 1961 г. углеродная единица была окончательно принята.

В другие детали строения атомного ядра мы вдаваться не будем, а остановимся здесь более подробно на вопросе о распределении электронов по энергетическим уровням атома.

При нахождении энергетических уровней в атоме необходимо учесть не только кулоновское притяжение электронов к ядру, приводящее к энергии водородоподобного атома

尸一二 Z2R力

но и взаимодействие между всеми электронами, которое должно уменьшить по абсолютному значению эту энергию.

Каждый электрон в сложном атоме, так же как и в атоме водорода, характеризуется четырьмя квантовыми числами. При наличии связи Рессела — Саундерса, когда спиновые и орбитальные моменты отдельных электронов складываются независимо друг от друга, за эти квантовые числа следует взять:

главное квантовое число n= 1, 2r 3,...,

орбитальноеZ = 0, 1, 2(п — 1),

магнитноет = 0, ±1, ..., 士厶

спиновоет$= ±%, характеризующее про

екцию спина на ось г.

При наличии же (//)-связи в качестве четырех квантовых чисел выбираются:

главное п,

орбитальное /,

внутреннее/= I/士 ％ I，

m； = —/, —/ + 1, ..., / — 1, j, характеризующее проекцию полного момента количества движения на ось z.

Как известно, для легких элементов имеет* место связь Рессела—Саундерса, а для тяжелых (//)-связь. Оказывается, оба типа связи дают одинаковое число состояний с заданными значениями / и и.

Группа энергетических уровней, описываемых одним и тем же значением главного квантового числа п, образует так называемый слой.

В зависимости от значения п для слоев введено следующее буквенное обозначение (рентгеновская классификация слоев):

К仇=1), Цп = 2), М (п = 3),% ①=4),

О 仇=5), Р (п — 6), Q (п = 7).

Внутри слоя электроны, обладающие различными значениями орбитального квантового числа / = 0, 1, 2, 3, ..., образуют s-, р-, d・,f- и т. д. оболочки. При заполнении слоев и оболочек следует учитывать принцип Паули, согласно которому в каждом квантовом состоянии, характеризуемом четырьмя квантовыми числами, не может находиться более одного электрона.

Поэтому в состоянии с фиксированными значениями n, /, т может находиться максимум, два электрона, отличающихся друг от друга направлением спина (ms = ±1/г). Принимая также во внимание, что квантовое число т, изменяющееся в пределах от ——/ до +/, может принимать 2/ + 1 значений, находим следующее выражение для максимального числа электронов в заданной оболочке:

М/ = М = 2(2/+1)・(25.2)

Из последней формулы следует, что максимальное число электронов в заданной оболочке s (/ = 0), р (/ = 1), d (2 = 2) и / (/ = 3) будет соответственно равно

& = 2, Мр = 6, %=10， М=14・

Оболочки с более высоким значением / в невозбужденных атомах не встречаются.

Наконец, найдем максимальное число электронов, которое может находиться в заданном слое:

w〃 = £ М = 2(1 + 3+ ... +(2п- 1)) = / ==о

=2п 丄土 ^二L = 2/. (25：2а)

Отсюда видно, что в К-слое может находиться максимум 2 электрона, в L-слое — 8 электронов, в М-слое — 18 электронов, в TV-слое — 32 электрона и т. д.

Чтобы установить порядок заполнения слоев, и в особенности оболочекгв сложных атомах, необходимо учесть еще взаимодействие между электронами.

Квантовая механика позволила развить приближенные методы, которые в применении к сложным атомам дают правила за” лол нения оболочек и,энергию связи.

Наиболее простыми в этом отношении являются, как указы* валось в.§ 23, вариационные методы (Ритца, Хиллерааса и др.), которые применимы к исследованию легких атомов (примерно до калия). Более полный анализ строения атома можно производить с помощью метода самосогласованного поля, развитого в работах Хартри и Фока (см. § 23). Этим методом удалось определить распределения электронов по слоям и оболочкам не только в легких, но и в тяжелых атомах. Метод самосогласованного поля позволяет даже обнаружить оболочечную структуру сложных атомов.

К сожалению, использование этого метода связано с очень большой вычислительной работой, которая может быть выполнена только при помощи сложных вычислительных машин; при этом для собственных функций, характеризующих распределение электронов, получаются не аналитические выражения, а лишь числовые таблицы.

Менее точные результаты могут быть получены с помощью статистического метода Томаса — Ферми. Однако благодаря своей сравнительной простоте он нашел довольно широкое применение к расчетам сложных атомов . (см. конец этого пара'» графа).

Спектр щелочных металлов. При исследовании спектральных линий в сложных атомах следует различать внешние и вну^

тренние слои»В атоме водорода имеется только внешний слой, в котором находится один электрон (К-слой). У гелия (Z = 2) заканчивается построение /(-слоя (инертный газ). У лития (Z = 3) вну・ тренний слой (^-cлoй) заполнен,тренние слои»В атоме водорода имеется только внешний слой, в котором находится один электрон (К-слой). У гелия (Z = 2) заканчивается построение /(-слоя (инертный газ). У лития (Z = 3) вну・ тренний слой (^-cлoй) заполнен,Н0Н0Рис. 25.1. Схема заполнения электронных оболочек в различных атомах. Слева —атомы, у которых начинается заполнение внешних оболочек (водород, тело чные металлы); справа —атомы с заполненными оболочками (инертные газы). Черными точками обозначены электроны, а светлыми кружками (с плюсом)—ядра.Рис. 25.1. Схема заполнения электронных оболочек в различных атомах. Слева —атомы, у которых начинается заполнение внешних оболочек (водород, тело чные металлы); справа —атомы с заполненными оболочками (инертные газы). Черными точками обозначены электроны, а светлыми кружками (с плюсом)—ядра.а во внешнем L-слое находится один электрон (щелочной металл, элемент первой группы); у Ne (Z = 10) заканчивается заполнение L-слоя. Далее, у натрия (Z=ll) внутренние слои К и L заполнены полностью, а во внешнем М-слое находится один электрон (щелочной металл) и т. д. Заполнение слоев у этих атомов изображено на рис. 25.1.

тренние слои»

В атоме водорода имеется только внешний слой, в котором находится один электрон (К-слой). У гелия (Z = 2) заканчивается построение /(-слоя (инертный газ). У лития (Z = 3) вну・ тренний слой (^-cлoй) заполнен,

тренние слои»

В атоме водорода имеется только внешний слой, в котором находится один электрон (К-слой). У гелия (Z = 2) заканчивается построение /(-слоя (инертный газ). У лития (Z = 3) вну・ тренний слой (^-cлoй) заполнен,

Н0

Н0

Рис. 25.1. Схема заполнения электронных оболочек в различных атомах. Слева —атомы, у которых начинается заполнение внешних оболочек (водород, тело чные металлы); справа —атомы с заполненными оболочками (инертные газы). Черными точками обозначены электроны, а светлыми кружками (с плюсом)—ядра.

Рис. 25.1. Схема заполнения электронных оболочек в различных атомах. Слева —атомы, у которых начинается заполнение внешних оболочек (водород, тело чные металлы); справа —атомы с заполненными оболочками (инертные газы). Черными точками обозначены электроны, а светлыми кружками (с плюсом)—ядра.

Следует заметить, что энергия связи, приходящаяся на один электрон внутреннего слоя,гораздо больше, чем для электрона, находящегося во внешнем слое. Так, например, отрыв первого валентного электрона у лития требует затраты энергии только 5,39 эВ. При отрыве же второго и третьего

электронов, лежащих во внутренних слоях, требуется соответственно энергия 76 и 122 эВ.

Поскольку у атомов первой группы (Li, Na, К, Rb, Cs и т. д.), получивших название* щелочных металлов, во внешнем слое находится, так же как у атома водорода, по одному электрону, то поэтому их оптические и химические свойства в основном должны напоминать свойства атома водорода (например, как извест

но, все эти элементы являются одновалентными, и у всех у них обнаруживается дублетное расщепление спектральных термов).

Оптический спектр возникает, когда переход совершает валентный электрон (т. е. электрон внешней орбиты), оказавшийся до этого благодаря возбуждению атома на более высоком

уровне.

Возбуждение же электронов внутренних орбит требует, как правило, значительно большей энергии, а переходы электронов

из возбужденных состояний обратно в основные состояния внутренних орбит сопровождаются рентгеновским излучением.

Ядро атома вместе с электронами внутренних орбит образует так называемый атомный остов, заряд которого равен Za = =Z — М где N — число электронов на внутренних орбитах. Для щелочных металлов (Li, Na и т. д.) величина N — Z—1 и заряд «атомного остова» для них равен единице (Za =1). Поэтому основная часть потенциальной энергии, удерживающая внешний электрон в щелочном металле, будет такая же, как и в атоме водорода, т. е.

V0=^ Za = — -у-；

в основу исследования спектра щелочных металлов мы можем положить соответствующее выражение энергии, полученное для атома водорода (см. § 12):

皮=一谷.(25.3)

Точно так же за основное приближение волновых функций мы можем взять волновые функции атома водорода

"фОиЧ^т(25.4)

Однако в щелочных металлах при рассмотрении взаимодействия между валентным электроном и атомным остовом, помимо кулоновского взаимодействия, следует также учитывать силы поляризации и эффект размазанности атомного остова по некоторому объему, что дает в энергии (25.3) некоторые добавки и снимает вырождение по /, которое имеет место для атома водорода.

В боровской полуклассической теории орбиты валентных электронов строго разделялись на «непроникающие» и «проникающие» внутрь атомного остова.

В случае «непроникающих» орбит (каковыми являются орбиты с траекторией, близкой к круговой) следует учитывать лишь силы поляризации, так как потенциал за пределами атомного остова (т. е. за пределами внутренних орбит) при сферически- симметричном распределении заряда совершенно не зависит от закона распределения этого заряда по радиусу. Только для «проникающих» орбит (вытянутых эллипсов) этот закон распределения заряда является весьма существенным (рис. 25.2).

В квантовой теории понятие траектории теряет свой смысл; само же разделение на «непроникающие» и «проникающие» орбиты является условным и означает: можно ли положить внутри атомного остова волновую функцию, описывающую движение валентного электрона, равной нулю (для «непроникающих» орбит), или нет (для «проникающих» орбит).

В связи с этим следует заметить, что s-орбита электрона в сложном атоме всегда является «проникающей», так как ее волновая функция отлична от нуля не только внутри атомного остова, но даже и в центральной части атома, т. е. в области ядра,

I 屮(°)F = -4t・ (25.5)

Вычислим прежде всего силы поляризации, которые возникают между внешним электроном и атомным остовом. Внешний электрон должен отталкивать электроны внутренних слоев и притягивать ядро. Благодаря этому атомный остов поляризуется,

^принимающаяte орбита

„Проникающая 叩бита

Рис. 252 «Непроникающие» и «проникающие» орбиты в атомах щелочных металлов.

и между ним и внешним электроном возникают дополнительные силы поляризации

%。" =-伍一1)雷)<

X [т5& +尤产

2^(Z- 1)х

]=

• (25.6)

Величина ео (Z — 1) % = р представляет собой поляри

зацию атомного остова.

Рассматривая атомный остов как упругий диполь, мы можем, с другой стороны, положить

p = p歩,

(25.7)

где р — поляризуемость атома, а

咨Н賢

(25.8)

—абсолютная величина электрического поля, создаваемого электроном внешней орбиты в центре атомного остова. Учиты^ вая последние соотношения, получаем следующее выражение для потенциальной энергии поляризации:

(25.9)

Тогда для дополнительной энергии поляризации, которую в данной задаче можно рассматривать как возмущение, находим:

△Eg" = J KimVnAm "3% =-毕住〉•(25.10)

Так как согласно (12.40а)

М \ = __3I 一 з乃2 -

\~/ —腐涵(/-%)/(/ + %)(/+ 1)(/ +з订

соотношение (25.10) можно привести к виду

гдегдеМ_竺2ao п3М_竺2ao п3(25Л1)(25Л1)6 = 6]6 = 6]

где

где

М_竺2ao п3

М_竺2ao п3

(25Л1)

(25Л1)

6 = 6]

6 = 6]

(25.12)(25.12)6 =_^^

(25.12)

(25.12)

4碍 “ 一%)/(/ + %)« + 】)" +з/R

6尸屮^

Отсюда для полной энергии, которая в данном случае зависит не только от п, но и от / (спиновые поправки мы пока не учитываем), находим

邑1 =—樂 + ^пол-

Подставляя сюда вместо АЕпол значение (25.11) и принимая во внимание соотношение

R力_W 一 2"0九2 ' получаем

* — W W 26*

七%产—而2 ao (九-6)2、(25.13)

поскольку

-_— 丄+丝(九一6)2 rt2 V 〃丿 九2十九3 ，

Вводя далее эффективное главное квантовое число 〃?轴= =九一6, имеем

Заметим, что формулой (25.12) мы не можем пользоваться для s-состояний, поскольку при I — 0 коэффициент 61 обращается в бесконечность. Это обусловлено тем обстоятельством, что силы поляризации имеет смысл вводить лишь в случае, когда внешний электрон удален достаточно далеко от атомного остова. Для s-орбиты волновая функция не обращается в нуль даже при г = 0 (см. (25.5)).

Влияние внутренних электронов на s-орбиты, которые являются «проникающими», связано главным образом с размазанностью электронного облака атомного остова. Вообще же дополнительная энергия, обусловленная размазанностью электронов по объему атомного остова, должна определяться выражением

AE°6=\a(7)”。6d3%,(25.14)

где Уоб ——разность потенциальных энергий, создаваемых электронами атомного остова с учетом реального распределения их по некоторому объему и эквивалентным зарядом, сосредоточенным в центре.

Для того чтобы оценить хотя бы порядок величины поправки 6 для s-орбит, предположим, что Z ——1 электронов внутренних орбит равномерно заполняют объем радиуса R. Тогда имеем

匕6 = _(1 _3/2彳 + %鼻).(25.15)

Далее, заменяя волновую функцию ее значением в нуле (см. (25.5)), найдем следующее приближенное выражение для дополнительной энергии s-орбит:

А飞。-%军(25.16)

причем величина

6 = %嘗(25.⑺

уже не расходится.

Здесь следует учесть, что согласно модели Томаса — Ферми (см. ниже) радиус атома равен

R =券，(25.18)

где y — коэффициент, характеризующий закон распределения заряда внутри атома, — имеет порядок единицы.

Следовательно, для полной энергии электрона в случае «проникающих» s-орбит вновь получаем формулу вида (25.13):

上…—一1^7上…—一1^72&^фф2&^фф(25.19)(25.19)

上…—一1^7

上…—一1^7

2&^фф

2&^фф

(25.19)

(25.19)

где 〃зфф = 〃 — 6, но теперь 6 определяется выражением (25.17).

Для того чтобы проанализировать различие поправок для «проникающих» и «непроникающих» орбит, рассмотрим для примера атом Li.

У него р-орбита (/ = 1) является «непроникающей». Формула (25.12) дает для наинизшего состояния (гг = 2) значение 6Р 〜0,04. В то же самое время для «проникающей» s-орбиты соответствующее выражение для 65 согласно формуле (25.17) должно быть на порядок больше.

Следует заметить, что с увеличением п при I = const эксцентриситет орбиты приближается к единице, т. е. эллиптические орбиты становятся все более вытянутыми (см. (12.63)):

£2=1 一二号十丄, (25.20)

благодаря чему к числу «проникающих» орбит для тяжелых ядер следует постепенно относить не только орбиты с / = 0, но и все орбиты с большими значениями /.

Примечание. Заметим, что поправка 6 для «проникающих» орбит значительно больше, чем для «непроникающих».

Соответствующие значения, установленные на основе эмпирических данных, приведены в следующей таблице (табл. 25.1) (6 для «проникающих» орбит отмечены звездочкой), которая заимствована из книги 8. Н. Кондратьева. Структура атомов и молекул. — М.: Наука, 1959, с. 181.

Таблица 25.1

Поправка д к спектрам щелочных металлов

z

Элемент

6 s

6d

6f

1

н

0,000

0,000

0,000

0,000

3

Li

0,412*

0,041

0,002

0,000

11

Na

1,373*

0,883*

0,010

0,001

19

К

2,230*

1,776*

0,146*

0,007

37

Rb

3,195*

2,71 !♦

1,233*

0,012

55

Cs

4,131*

3,649*

2,448*

0,022

Рассмотрим теперь основные спектральные серии атомов щелочных металлов.

Как известно, энергетические термы атома водорода без учета релятивистских поправок определяются соотношением

Е , R (砌=一(25.21)

Отсюда находим

(ls) = f = R,

(2s) = (2p) = / = ?,(25.22)

(3s) = (Зр) = (3d)=亲=告，

Н Li NaН Li NaРис. 253. Схема энергетических уровней одно валентных атомов. Обычно отсчет потенциала (в эВ) ведется, начиная с нижнего уровня вверх. Здесь же мы хотим сравнить энергетические уровни различных атомов, и за нулевой уровень взяли потенциал внешнего простран ства.Рис. 253. Схема энергетических уровней одно валентных атомов. Обычно отсчет потенциала (в эВ) ведется, начиная с нижнего уровня вверх. Здесь же мы хотим сравнить энергетические уровни различных атомов, и за нулевой уровень взяли потенциал внешнего простран ства.

Н Li Na

Н Li Na

Рис. 253. Схема энергетических уровней одно валентных атомов. Обычно отсчет потенциала (в эВ) ведется, начиная с нижнего уровня вверх. Здесь же мы хотим сравнить энергетические уровни различных атомов, и за нулевой уровень взяли потенциал внешнего простран ства.

Рис. 253. Схема энергетических уровней одно валентных атомов. Обычно отсчет потенциала (в эВ) ведется, начиная с нижнего уровня вверх. Здесь же мы хотим сравнить энергетические уровни различных атомов, и за нулевой уровень взяли потенциал внешнего простран ства.

т. е. в атоме Н состояния являются вырожденными не только по 俏，но и по /. Схема энергетических уровней в атоме водорода изображена на рис. 25.3.

В случае атома Li энергетические уровни К・сло只(п = 1) заполнены (рис. 25.1), и поэтому внешним слоем является L-слой.

Наиболее сильное влияние К-слой оказывает на s-орбиты, причем соответствующий сдвиг оказывается настоль ко большим, что трудно бы* ло экспериментально определить, к какому состоянию и или 〃 — 1 он относится. Поэтому, чтобы обозначение термов напоминало обозна* чение термов атома водорода, спектроскописты первоначально относили его к со- стояниюп ——Г*)

(〃s) = (n*s)=

— R _ R

—S —6s)2 一 5* + s)2 '

(25.23)

где и* = n — 1; ds = 0,412; s = 1 — 6s = 0,588. Для отличия первоначального обозначения этого терма (n*s) от истинного (ns) мы в пер* вом случае будем ставить звездочку.

Сдвиг других термов атома лития (/=1, 2) по сравнению с соответствую

щими термами атома водорода ничтожен, и принадлежность их к тому или иному слою решается однозначно.

Таким образом, если в старых обозначениях в атоме Li термы р, d и т. д. размещались в тех слоях, которые были найдены для них и теоретически (п* = п), то для s-терма главное квантовое число было понижено на единицу (п*=п— 1) (рис. 25.3)・

В спектрах щелочных металлов известны следующие серии, которые обозначаются различными буквами, входящими в переменные термы...

Главная серия. Переменным является р-терм (principal —главный). Для этой серии можно записать

s = (l*s)—仇*р), что означает:

для Н: (1s) — (пр) (серия Лаймана), п* = п, для Li: (2s) —(叩)，п* = п,(25,24)

для Na: (3s) — (пр), п* = п — 1.

Вторая побочная (или резкая) серия. Переменным является s-терм (sharp ——резкий.):

s = (2*р) — (“*S)y что означает:

для Н: (2р) —(〃s) (серия Бальмера), п*~= п^

для Li: (2р) — (ns), п* = п — 1,(25.25)

для Na: (Зр) — (ns), 〃* = 〃一 2.

Первая побочная (или диффузная) серия. Переменным является d-терм (diffuse ——размытый):

co = (2»-(n*d).(25.26)

Фундаментальная серия

со = (3*d) - (n*f).(25.27)

Переменным является f-терм (fundamental).

Эти серии приведены с учетом правила отбора, согласно которому

AZ = ± 1.

Названия этих серий отчасти отражают характер их мультиплет* ной структуры.

Как и в атоме водорода, мультиплетная структура спектральных линий щелочных металлов объясняется влиянием спиновых и релятивистских эффектов.

Чтобы найти расщепление термов, воспользуемся формулой, учитывающей релятивистские и спин-орбитальные поправки для водородоподобного атома (см. (20.18)):

(25.28)

где а — еЦНс— 1/137 — постоянная тонкой структура.

В щелочных металлах действие электронов внутренних слоев можно учесть, заменив, например, Z на некоторое эффективное значение 2зфф V Z:

一宇_ =尊 Z/фф (磊-%). (25.29)

Для «непроникающих» орбит, очевидно, можно положить 2$фф = 1, так как для них все Z ——1 электронов экранируют положительный заряд ядра. Для «проникающих» орбит С^фф лучше всего подобрать из сравнения с экспериментом.

Поскольку внутреннее квантовое число / принимает значения

j = % при I = 0,

j = / ± % при / =/： 0,

можно заключить, что все спектральные термы щелочных металлов должны быть дублетными, кроме s-терма, который вообще не расщепляется.

Чтобы найти величину расщепления, вычислим значение спектральных термов для двух случаев: во-первых, когда спин и орбитальный момент параллельны друг другу:

-竺产=- %)(25.30}

и, во-вторых, когда они антипараллельны (/ 耍 0)

_叫丁一%—空統 G_3/,.(25.31)

(25.31)(25.32)(25.31)(25.32)и (25.30), получаеми (25.30), получаемRa"第Ra"第=几統（2十1）=几統（2十1）Для расщепления термов, равного разности выражений

(25.31)

(25.32)

(25.31)

(25.32)

и (25.30), получаем

и (25.30), получаем

Ra"第

Ra"第

=几統（2十1）

=几統（2十1）

Отсюда видно, что расщепление До)л убывает обратно пропорционально кубу главного квантового числа п.

Поскольку в главной серии начальный s-терм не расщепляется, а бегущим является расщепленный р-терм (/ = 1), ее спек* тральные линии должны представлять собой сужающиеся дублеты:

Па”；фф

в то время как для второй побочной серии, наоборот, расщеп* ленным р-термом (/ = 1) является начальный (п = 2), а бегущим является s-терм, поэтому расщепление для всех линий се-

рии оказывается неизменным (эквидистантные дублеты):

Для остальных серий мультиплетное расщепление носит более сложный характер, так как и начальный, и конечный терм оказываются расщепленными.

Рентгеновские спектры атомов. Экспериментальные сведения о строении внутренних слоев атома были получены при изучении рентгеновских спектров. Напомним, что рентгеновские лучи возникают при бомбирдировке пучком быстрых электронов антикатода электронной трубки (рис. 25.4).

Рис. 25.4. Схема рентгеновской трубки: «—катод; Д/< —ан!икатод, с которым соединен также анод, что является необязательным.

Анализ спектров рентгеновского излучения обнаруживает два различных типа спектров: сплошной и линейчатый. Сплошной спектр возникает вследствие торможения электронов при попадании их на антикатод, в связи с чем его называют также спек* тром торможения. Когда энергия падающих на антикатод электронов превосходит некоторую критическую величину, то на фойе сплошного возникает линейчатый, или характеристический спектр.

Свойства линейчатого спектра остаются неизменными для всех химических соединений данного вещества. Здесь проявляется отличие характеристического спектра от оптического спектра, поскольку последний зависит от того, находится ли вещество в атомном или молекулярном состоянии.

Спектральные линии характеристического излучения, так же как и оптические линии атомов, образуют закономерные последовательности, или серии. Эти серии обозначаются латинскими буквами К» L, Mf N и т. д., самой коротковолновой из этих серий является /(-серия, затем идет L-серия и т. д.

Механизм возникновения характеристического (рентгенов

ского) спектра, зависящего от материала антикатода, был объяснен Косселем (1914 г.). Падающий на антикатод электрон, выбивая электрон, например, из /(-слоя атома антикатода, оставляет в /(-слое одно вакантное место (рис. 25.5). На это вакантное место может перейти электрон со слоя 丄,М, W, ... /образуя

Рис. 25.5. Схема возникновения характеристического спектра ло Косселю: ■—влектрбны. Штриховой линией показан процесс выбивания электрона с К-оболочки.Рис. 25.5. Схема возникновения характеристического спектра ло Косселю: ■—влектрбны. Штриховой линией показан процесс выбивания электрона с К-оболочки.тем самым рентгеновские линии, обозначаемые 鹿，^p, Лу，…При таком переходе электронов с одного внутреннего слоя на другой и возникает характеристический спектр. Поскольку энергия связи электронов на внутренних орбитах гораздо больше энергии связи внешних электронов, для возбуждения характеристического рентгеновского спектра следует использовать электроны гораздо больших энергий

Рис. 25.5. Схема возникновения характеристического спектра ло Косселю: ■—влектрбны. Штриховой линией показан процесс выбивания электрона с К-оболочки.

Рис. 25.5. Схема возникновения характеристического спектра ло Косселю: ■—влектрбны. Штриховой линией показан процесс выбивания электрона с К-оболочки.

(несколько десятков кэВ), чем для возбуждения оптических спектров (несколько десятков эВ).

При построении теории сложного

атома с учетом взаимодействия атомных электронов возможны два подхода. В первом за основной

потенциал можно взять потенциал ядра, полностью экранированного внутренними электронами. Этот подход был нами ис

Q = * (Z — (Z — 1)) = *.Q = * (Z — (Z — 1)) = *.(25.33)(25.33)пользован при построении теории оптических спектров щелочных металлов. При этом основной потенциал определялся зарядом ядра Zeo и зарядом электронов внутренних орбит ——(Z——1)е0. Суммарный потенциал в этом случае равнялся

Q = * (Z — (Z — 1)) = *.

Q = * (Z — (Z — 1)) = *.

(25.33)

(25.33)

Затем в качестве возмущенного потенциала выбирался дополнительный потенциал, учитывающий поляризацию и объемное распределение электронного облака. Этот путь целесообразно использовать для описания движения внешних электронов, например, в атамах щелочных металлов.

Наоборот,. при исследовании движения электронов внутренних слоев за основу.удобно взять потенциал ядра

(25.34)(25.34)、①=今,

(25.34)

(25.34)

а дополнительный потенциал, создаваемый электронным - слоем, рассматривать как поправку. В этом случае учет электронного слоя приводит к экранировке (эффективному уменьшению) заряда ядра на величину Sne^ благодаря чему общий потен-

циал становится равным、

(D =乌二浑里.(25.35)

Например, при исследовании гелиеподобных атомов (см. § 23) было показано, что учет взаимодействия электронов К<лоя сводится в конечном счете к уменьшению эффективного, заряда ядра, который формально можно положить равнымZF = Z —^, т, е. величина Sn в этом случае равнялась 5/16.

Поправка на экранирование Sn может быть функцией не только п, но и /. С увеличением п эта пътгра&ка возрастает； так как следует учитывать все； большее число электронов, экранирующих ядро. С увеличением же / она также должна (но не так сильно) возрастать, так как орбиты будут становиться все- менее «проникающими», и поэтому* эффективный зар^д должен， в среднем несколько уменьшаться В первом прибиштк^йят^люж- но считать, что поправка на экранирование не зависит от /.

Потенциал (25.35) дает для > спектральных термов формулу, полученную для водородоподобного атома, в которой величину Z следует заменить на 2 — S*

留=一幺二^)^ .(25.36)

Из последней1 формулы для частоты линии Ка находим выражение

秋产中=网0評-安 斗(25.37)

Отсюда вндно, что частота линии рентгеновского спектра монотонно возрастает с увеличением порядкового номера Z. Этот закон впервые был открыт из анализа эмпирических данных Мозли (1914 г.), который записал его в несколько другом^ виде:

®ка = R(Z — S)2 (% —g),

Эта формула может быть получена из (25.37), если в последней положить, что поправка на экранирование для К・ и L-слоев одна и та же, т. е. Si = S2 = S.

Однако мы знаем, что это не совсем так, и поэтому при исследовании рентгеновских спектров, как и при исследавании оптических спектров； следует сделать пересчет частот на соответ- ствукнвде терм% которые согласно (25.36) можно представить в виде

= V~ 森=马言.(25.38)

Последняя зависимость и получила название закона Мозли; она, как правило, исследуется графически.

"吾=中"吾=中лилолилоРис. 25.6. Диаграмма Мозли.Рис. 25.6. Диаграмма Мозли.

"吾=中

"吾=中

лило

лило

Рис. 25.6. Диаграмма Мозли.

Рис. 25.6. Диаграмма Мозли.

Придавая главному квантовому числу % различные значения, имеем (см. рис. 25.6):

для 驳-термов (п = 1)

f(25.38а)

для £-термов (〃 = 2)

(25.386)

для Al-термов (п = 3)

(25.38b)

Исследование экспериментальных кривых д/竇 ^f(Z) позво-

найти значения поправок на экранирование, которые в

среднем оказались равными S】=1, S2 = 3,5, S3 = 10,5 и т. д. Кроме того, было установлено, что рентгеновские спектры изменяются с увеличением Z монотонно и никаких периодических закономерностей не наблюдается. Это представляет собой еще одно отличие их от оптических спектров, где обнаруживается перио

дичность.

Заметим, что более детальное исследование показало мультиплетную структуру рентгеновских спектров. С одной стороны, следует учесть, что поправка на

экранирование зависит не только от главного квантового числа, но и от орбитального квантового числа /.

С другой стороны, при учете релятивистских поправок, которые зависят еще от внутреннего квантового числа /, в основу исследований должны положить формулу (20.18). Тогда вместо формулы (25.38) имеем

"孕=у+%Е^(3-? ”39)

Из (25.39) следует, что для К・термов расщепления нет, так как возможно лишь одно состояние Is% (n = 1, / = 0, j = 1/2). Для L-термов имеем три компоненты:

厶i(2s%)‘ 'и С。％) и 厶ш (2「%)・

Учитывая зависимость поправки на экранирование от L когда S2s = 3 и S2P = 4, для L-термов получаем

J Z - 35a2。

-^ = -T- + 5Z-3)3，

丄 н： V 争=^" + 嘗 3 — 4)3,(25.39a)

厶口： "今‘ = q± + *(Z-4)3.

Параллельные дублеты L【и Lu, связанные с различной экранировкой ядра, получили название иррегулярных дублетов; расходящиеся же Li и £ш, обязанные учету спиновых и релятивистских эффектов,——регулярных дублетов.

Точно так же Л1-термы должны содержать пять компонент

(3s%, Зр%, Зр%，3dз/『3d%).

Изучение характеристических рентгеновских спектров имеет не только практическое, но и большое теоретическое значение. В самом деле, кривые Мозли показывают, что периодические свойства атомов обязаны лишь валентным, а не внутренним электронам. Окончательно было выяснено, что порядковый номер Z, введенный Менделеевым, определяется лишь зарядом ядра.

По некоторым аномалиям кривых Мозли можно было судить о заполнении внутренних оболочек: например, 3d (ферромагнитные элементы) и 4d (лантаниды). Наличие мультиплетной структуры и спин-релятивистских поправок может быть правильно понято только после введения спина. Таким образом, теория рентгеновских спектров хорошо укладывается в квантовую теорию атомов, в основе которой лежит теория Дирака и проблема многих частиц с учетом спина.

г) Открытие периодического закона Менделеева. Менделеев расположил известные в то время элементы в порядке возрастания атомного веса и обнаружил, что через определенное число элементов химические свойства элементов повторяются. Например, натрий, калий и т. д. (щелочные металлы) повторяют химические свойства лития; хлор, бром, иод и т. д. (группа галогенов) повторяют химические свойства фтора.

Менделеев приписал каждому элементу порядковый номер, определяющий его положение в периодической системе. Хотя возрастание Z идет обычно параллельно возрастанию массы атома элемента, имеется ряд исключений:

儂Ar — 歙)，(嚼Те-】纵

в которых элемент с большим атомным весом предшествует более легкому элементу. Кроме того, в настоящее время открыто множество изотопов, т. е. разновидностей атомов, обладающих одинаковым Z, но разной массой (например ；Н, ；Н. ?Н).

Сам Менделеев не раз подчеркивал, что будущее не грозит периодическому закону разрушением, а обещает только надстройку и дальнейшее развитие.

В свете последних открытий в областистроения атома и ядра периодический знаков приобрел оеобенно важное значение.

В^ч^етноета/ изучение рентгейавски^ спектров и в особенно* ст» эк€перим€^т^ по^ расс^нию5 альф^-частиц- на атомах окон* тателшо доказали^ что порядковый номерZ характеризует заряд ядра, а вместе с тем и количество электронов в нейтраль- homi атоме;

Во время открытия периодического закона (1869 г.) было известно 63 элемента. Менделеев предсказал существование еще более40 элементов, прочем для трех были предсказаны даже их основные： химические и- физические свойства: скандий (2iSc), галл^ (siQa) и германий (^Ge). В конце XIX в. были открыты инертные- газы- Во времена Менделеева были известны только три элементаиз группы лантанидов (редких- земель): церий, ди- дам (см€сь празеодима и неодима)^ и арбий, В настоящее время изучены свойства всех 14 редкоземельных элементов.

К 1937 г. был» известны 92 элемента, за исключением четырех элементов, ^которые, как потом выяснилось, оказались радно- активными и практически не встречаются в природе. Эти четыре элемента были получены в лабораторных условиях.

В 1937 г. Э. Cerpt путем бомбардировки молибдена дейтро* нами получил элемент с Z = 43, названный технецием. Период полураспада наиболее устойчивого изотопа 芻Тс равен 2 • 105 лет.

Первое сообщение о получении изотопа последнего редкоземельного элемента с Z = 61 в результате бомбардировки неодима дейтронами было сделано в 1§38 г. Однако в сравнительно большом количестве (1,5 г) он был получен лйшь в 1947 г. и назван прометием： Период полураспада наиболее устойчивого изотопа 嶋Pm составляет примерно 2,5 года.

В 1940 г. Э. Сегре открыл элемент с Z = 85, названный им астатином, который получается при облучении висмута альфа- частицами. Период полураспада наиболее устойчивого изотопа 脸At составляет всега 8,3 часа.

Короткоживущий элемент с Z= 87, названный францием, был открыт в 1939 г. французом М.. Пере. Период полураспада наиболее устойчивого изотопа 駕Fr равен 22 минутам.

Наконец, следует подчеркнуть, что с .развитием ядерной физики оказалось возможным получить транеурано-вые элементы, начиная с нептуния (Z = 93).

В настоящее время синтезировано уже 14 трансурановых элементов. Последним из надежно установленных является химический элемент с порядковым номером Z = 106. Было также предварнте』ьное сообщение о наблюдении в Дубне короткоживущего спонтанноделящегося изотопа элемента с Z = 107.

Заполнение слоев. Заполнение уровней электронных слоев согласно квантовой механике происходит в соответствии ко следующими правилами:

В силу принципа Паули в каждом квантовом состоянии не может быть более одного электрона; поэтому максимальное число электронов с заданным 2 равно 2(2/ + 1). Так, в оболочках s, pt d и f соответственно может находиться максимум 2, 6, 10 и 14 электронов.

Электроны стремятся занять более низкие энергетические уровни. Поэтому вначале должны заполниться слои с п = 1, затем с п = 2, с п = 3 и т. д.

Такое заполнение имело бы место _в тзк называемой идеальной схеме, когда в атоме с порядковым номером Z действие ядра и оставшихся Z ——1 электронов определяется потенциалом (25.33) в предположении, что все эти заряды находятся в центре. Тогда для оставшегося электрона мы получаем вырожденную по / систему уровней атома водорода.

Однако, как было показано при исследовании щелочных металлов, учет взаимодействия между электронами снимает вырождение по /. Оболочки в определенном слое (т. е. с фиксированным значением главного квантового числа и) располагаются в порядке возрастания /.

Поэтому сначала заполняются s・,затем р- и, наконец, (/-(Оболочки. Более того, оболочка 4s оказывается расположенной ниже оболочки 3d (точно так же 5s ~ ниже 4d), а оболочка 6s ниже не только оболочки 5d, но даже ниже оболочки 4f (аналогично 7s ниже 5/).

,В итоге оказывается, что внешний слой (для невоабужден- ных атомов) может состоять только из оболочек sup.

Оболочки d и f могут заполняться, когда они лежат cqotjbct- ственно в первом и втором внутреннем слое, если за первый внутренний слой взять слой, расположенный непосредственно вблизи к внешнему, и т. д.

Примечание. Последовательность заполнения электронных оболочек наиболее просто можно запомнить, исходя нз следующего правила: заполнение уровней происходит в порядке возрастания .суммы главного -и.рр^таль- ного квантовых чисел п + /, причем уровни с одинаковым значением этой, сум-

мы заполняются, как правило, в порядке возрастания л (правило Клечков- ского). Учитывая, что / принимает значения 0, 1, 2, ..., п — 1, мы найдем правило заполнения термов в любом слое. Например, последовательность заполнения четвертого периода (см. ниже) должна быть:

4s (п + Z = 4), 3d (/г + / = 5), 4P (м + Z = 5)

или шестого периода:

6sS + / = 6), 4fS + Z = 7), 5d(% + Z = 7), 6р (n + / = 7)

и т. д. (Клечковский В. М. — ДАН СССР, 1951, 80, с. 603. См. также: К儿е中 ковский 8. М. Распределение атомных электронов и правило последовательного заполнения (п + /)-групп. — М.: Наука, 1968).

Попробуем это показать на конкретных примерах. В пределах первого и второго периодов системы Менделеева порядок заполнения уровней согласуется со схемой уровней в атоме водорода. В слое п = 1 заполняется только s-оболочка; в слое п = 2 сначала заполняется s-, а затем и р-оболочка.

Если бы для сложных атомов была применима эта идеальная схема, то можно было бы ожидать, что у калия с Z = 19 должна начать заполняться оболочка 3d.

Однако, согласно таблице 25.1, для калия 6^ = 0,146, а 6s = 2,23, поэтому энергии электронов, находящихся в состояниях 3d и 4s, соответственно равны:

尸—Rh—Rh

工34 = — (3 - 0.146)2 = — 2,8542 '

P R力_R也

C4s =(4 一 2,23)2 —1,772 •

Отсюда следует, что % > Е^, а поэтому раньше будет заполняться более глубокий уровень 4s и лишь затем 3d. Следовательно, третий период содержит так же, как и второй период, только восемь элементов (nNa — ieAr) и состоит из 3s. и Зр-обо- лочек.

После того как оболочка 4s у кальция (Z = 20) будет заполнена, можно ожидать, что у скандия (Z = 21) начнет образовываться 4р-оболочка. Однако изучение спектров показывает, что у последующих элементов (2iSc — 28Ni) заполняется сначала оболочка 3d (включая ферромагнитные элементы), а затем уже, начиная с гэСи и кончая 3oZn, продолжается нормальное заполнение оболочек. Таким образом, четвертый период содержит 18 элементов и состоит из оболочек 4s, 3d, 4P.

Следующий, пятый, период целиком повторяет четвертый период (37Rb — 54Хе), т. е. содержит также 18 элементов (запол- няются оболочки 5s, 4d, 5р).

Шестой период содержит 32 элемента (55CS — 8бКп), так какШестой период содержит 32 элемента (55CS — 8бКп), так каккоторый определяет не только оптические, но и химические (см. ниже § 27) свойства атомов. Поэтому в зависимости от числа электронов на внешней орбите все элементы делятся на восемь групп (см. таблицу Менделеева на форзаце книги).У элементов первой группы (водород и щелочные металлы) во внешнем слое имеется один электрон. Это приводит к тому, что оптические термы (за исключением s-терма) имеют дублеткоторый определяет не только оптические, но и химические (см. ниже § 27) свойства атомов. Поэтому в зависимости от числа электронов на внешней орбите все элементы делятся на восемь групп (см. таблицу Менделеева на форзаце книги).У элементов первой группы (водород и щелочные металлы) во внешнем слое имеется один электрон. Это приводит к тому, что оптические термы (за исключением s-терма) имеют дублет72^ 80^9 wCe-7/LU 57^ 55 抬-% 8a72^ 80^9 wCe-7/LU 57^ 55 抬-% 8a^1п-лхе 3“-48 cd^1п-лхе 3“-48 cd勿.^2) период勿.^2) период仇/"4幽，倒"物^仇/"4幽，倒"物^54'6s54'6s44 屮8) период'万s44 屮8) период'万s•3d^o)\(JB) период•3d^o)\(JB) период■4s -■4s -•勿•勿И! периодИ! периодпериодпериод外 A%Ar〃Na)2Mg外 A%Ar〃Na)2MgQ/Ne評冲8Q/Ne評冲8

Шестой период содержит 32 элемента (55CS — 8бКп), так как

Шестой период содержит 32 элемента (55CS — 8бКп), так как

который определяет не только оптические, но и химические (см. ниже § 27) свойства атомов. Поэтому в зависимости от числа электронов на внешней орбите все элементы делятся на восемь групп (см. таблицу Менделеева на форзаце книги).

У элементов первой группы (водород и щелочные металлы) во внешнем слое имеется один электрон. Это приводит к тому, что оптические термы (за исключением s-терма) имеют дублет

который определяет не только оптические, но и химические (см. ниже § 27) свойства атомов. Поэтому в зависимости от числа электронов на внешней орбите все элементы делятся на восемь групп (см. таблицу Менделеева на форзаце книги).

У элементов первой группы (водород и щелочные металлы) во внешнем слое имеется один электрон. Это приводит к тому, что оптические термы (за исключением s-терма) имеют дублет

72^ 80^9 wCe-7/LU 57^ 55 抬-% 8a

72^ 80^9 wCe-7/LU 57^ 55 抬-% 8a

^1п-лхе 3“-48 cd

^1п-лхе 3“-48 cd

勿.

^2) период

勿.

^2) период

仇/"

4幽，倒"物^

仇/"

4幽，倒"物^

54

'6s

54

'6s

44 屮8) период

'万s

44 屮8) период

'万s

•3d^o)\(JB) период

•3d^o)\(JB) период

■4s -

■4s -

•勿

•勿

И! период

И! период

период

период

外 A%Ar

〃Na)2Mg

外 A%Ar

〃Na)2Mg

Q/Ne

評冲8

Q/Ne

評冲8

наряду с внешним слоем 6s, 6р оболочка 5d (10 электронов) и (14 элементов группы лантанидов).

Точно так же седьмой период должен был бы целиком повторить шестой период, т. е. содержать 32 элемента (оболочки 7s, 5力 6d, 7р)・

Однако к настоящему времени открыто лишь 18 элементов этого периода. Так называемые актиниды, у которых происходит заполнение второй внутренней оболочки 5f (9oTh— юзЬг), должны повторить свойства лантанидов.

Итак, первый период содержит всего 2 элемента, второй и третий по 8, четвертый и пятый по 18, а шестой и седьмой по 32 элемента (седьмой период является незаконченным). Порядок заполнения слоев и оболочек в атомах изображен на рис. 25.7.

Периодичность свойств элементов. Периодичность свойств элементов, открытая Менделеевым, получает на основе квантовой механики естественное объяснение. Она связана с периодичностью в заполнении внешнего слоя, на котором может быть максимум 8 электронов (s- и р-термы) и

заполняется первая внутренняя вторая внутренняя оболочка 4f

113*-118*吧,105*7炉蜀h讨г

册Ac

戸—g^Rn

J;Ga^Kr 力 ScrZti 承力Ca

二二1s(2) }(2}лврио^

ную структуру, а сами элементы, как будет показано ниже, яв-.ную структуру, а сами элементы, как будет показано ниже, яв-.Рис. 25.7. Схема заполнения электронами энергетических уровней в атомах т ерио; и- ческой системы элементов Менделеева. Оболочки s н р могут лежать во внешнем слое. Оболочки d могут лежать, начиная с первого внутреннего слоя. Оболочки f могут лежать, начиная со второго внутреннего слоя (звездочкой обозначены номера неоткрытых элементов).

ную структуру, а сами элементы, как будет показано ниже, яв-.

ную структуру, а сами элементы, как будет показано ниже, яв-.

ляются одновалентными ). У элементов второй группы ——щелочноземельные металлы (бериллий, магний, кальций и т. д.) —— имеется два валентных электрона, и поэтому спектральные тер* мы их должны быть синглетными и триплетными, а валентность равняться двум. У элементов третьей группы во внешнем слое находится три электрона, и поэтому максимальное расщепление их оптических термов должно равняться четырем (квартеты), & максимальная валентность — трем.

В седьмой группе галогенов (фтор, хлор и т. д.), наоборот, не хватает до заполнения слоя одного электрона； Поэтому наряду с максимальной положительной валентностью, равной семи, они мо吋т быть в так называемых ионных соединениях однова^ент- ны^Ид т. е. обладать одной отрицательной валентностью. Наконец, 6 группе инертных, газов (неон, аргон, криптон и т. д：) старый внешний слой полностью заполнен, а новый еще не начал заполняться, благодаря чему их относят к восьмой группе.

Однако из этого общего правила (наличие в каждом периоде восьми элементов) имеется ряд исключений. Первое исключение представляет собой водород (Z = 1)и гелий (Z = 2), образующие первый период. В этом периоде имеется не восемь элементов, а всего лишь два. Это связано с тем обстоятельством, что К・слой не включает р-оболочки. Следовательно, эти элементы обладают до некоторой степени двойственными свойствами.

В самом деле, по числу электронов во внешнем слое водород, как мы уже отмечали, должен повторять химические и оптические свойства щелочных металлов. Как известно, у тех и других максимальное расщепление спектральных термов равняется двум, а валентность — единице. Однако по числу недостающих электронов водород напоминает группу галогенов (не хватает до заполнения внешнего слоя одного электрона), а поэтому он может присоединять лишний второй электрон, образуя, подобно галогенам^ отрицательно заряженный ион.

Гелий по числу электронов во внешнем слое (два электрона) должен напоминать собой щелочноземельные элементы второй группы. Как у гелия, так и у щелочноземельных элементов спектральные термы должны представлять собой либо синглеты !(спин равен нулю), либо триплеты (спин равен единице). Однако по своим химическим свойствам гелий является типичным представителем инертных газов, так как у него внешний К-слой полностью заполнен, и поэтому он ни в какие химические реакции в принципе не должен вступать (см. стр. 453).

Как видно из периодической таблицы Менделеева (см. форзац книги), начиная со скандия (Z = 21) и кончая никелем (Z = 28), идет заполнение внутренней Зй!-оболочки. Если в последнем случае группу определить общим числом электро нов, находящихся в оболочках 3d и 4s, то приходится вво* дить еще группы (IX) и (X). Последние носят формальный ха« рактер и никоим образом не характеризуют валентность, определяемую вообще числом нескомпенсирозанных спинов (см“ стр. 452), которых не может быть более восьми. По своим свой， ствам железо (Z = 26), кобальт (Z = 27) и никель (Z = 28) похожи друг на друга, и поэтому, если исходить из химических или физических свойств, их часто объединяют в одну группу. “

В частности, они обладают особыми ферромагнитными свой^ ствами, обусловленными нескомпенсированными спинами 3d-электронов во внутреннем слое. Это связано с тем обстоя* тельством, что при образовании кристаллической решетки тер*» мы 3rf. оказываются энергетически более выгодными, чем оставшиеся т^рмы, где спины этих электронов скомпенсированы *)^

После ферромагнитных атомов, начиная с меди (Z = 29) и кончая криптоном (Z — 36), заполняются сначала 4s-, а затем 4р-оболочки. Криптон завершает построение At-слоя (п = 4), и поэтому по своим оптическим и химическим свойствам относится к инертным газам. Как мы отметили, пятый период, начиная со щелочного металла рубидия (Z = 37) и кончая инертным газом ксеноном (Z = 54), целиком повторяет четвертый период и никаких новых особенностей не содержит.

Квантовая теория позволила также вскрыть особенности заг полнения электронных слоев элементов группы лантанидов.

Для атомов этих элементов характерно последовательное за・ полнение глубоко лежащей 4/-оболочки (второй внутренний jV-слой), начиная от церия (Z=58) и кончая лютецием (Z=71)・ Поскольку химические свойства определяются в основном электронами внешнего слоя, все элементы группы лантанидов оказываются еще более близкими в химическом отношении, чем элементы, у которых заполняется первая внутренняя оболочка d, В связи с анализом группы лантанидов следует заметить, что долгое время гафний (Z = 72) также относился к этой 「руине. Однако теоретический анализ, проведенный Бором, показал, что в этой группе не может быть более 14 элементов (возможное число /-состояний). Тщательные эксперименты подтвердили, что гафний повторяет свойства циркония.

Аналогом группы лантанидов в последнем, седьмом, периоде является группа актинидов. Для элементов этой группы, следующих за актинием, начиная с тория (Z = 90), характерно заполнение глубоко лежащих 5/-термов О-слоя (14 элементов) при полностью заполненных 6s-, 6р- Ts-термах. Заканчивается группа актинидов лоуренсием (2 = 103).

Статистический метод Томаса — Ферми. Наряду с при* ближенными методами, в основе которых фактически лежат методы квантовой механики, развивались, в особенности применительно к случаю тяжелых атомов, статистические методы, основы которых были заложена в работах Томаса и Ферми.

При статистическом подходе электроны атома по аналогии с теорией металла рассматриваются как вырожденный электронный газ при Г — 0. Статистический метод Томаса ——Ферми дает, конечно, меньшую точность, чем метод самосогласованного поля Хартри — Фока, поскольку при статистическом подходе нельзя учесть многих деталей, относящихся к поведению отдельных электронов.

Несмотря на эти общие недостатки, метод Томаса — Ферми играет существенную роль, поскольку он позволяет достаточно просто объяснить многие важные свойства атома в среднем.

Хотя этот метод и не дает возможности обнаружить оболочечную структуру атома, с его помощью были объяснены некоторые важные особенности заполнения электронных оболочек.

После этих замечаний перейдем к выводу уравнения Томаса —Ферми.

В сравнительно тяжелых атомах положительно заряженное ядро окружено облаком отрицательно заряженных электронов, которые частично экранируют электрический заряд ядра. В ионизированном атоме на расстояниях, превышающих его размеры, потенциал в первом приближении определяется выражением

① 二半。, (25.40)

где Z — порядковый номер, а ^ — число электронов.

Для нейтрального атома Z = ^, и поэтому Фоо = 0, т. е. электроны полностью экранируют заряд ядра.

При построении статистической теории следует учесть три вида энергии взаимодействия:

Электростатическую энергию притяжения электронов к ядру. Эта энергия связана с плотностью электронов ро (число электронов, находящихся в единице объема) соотношением

兀т = — %，РоФя ~з%, (25.41) где 6? = — е0 — заряд электрона, а Фя = -^ потенциал.

Электростатическую энергию отталкивания между электронами

%С п 一号K0包网，(25.41 a)

где

r8=一з\宙工7風-

Кинетическую энергию электронов атома. Так же как и при построении теории твердого тела при абсолютном нуле температуры, средняя кинетическая энергия отдельного электрона согласно формулам (5.78) и (5.79) ) связана с плотностью электронов ро соотношением (Тер = Eg)

% =峭， (2546)

гдегде%=爲霁（3喲" = 4•也（3间厶・%=爲霁（3喲" = 4•也（3间厶・(25.42)(25.42)

где

где

%=爲霁（3喲" = 4•也（3间厶・

%=爲霁（3喲" = 4•也（3间厶・

(25.42)

(25.42)

Отсюда для кинетической энергии электронов находим:

T=4p/dk(25.43)

Таким образом» полная энергия электронного газа в поле ядра, равная сумме потенциальной, состоящей из двух частей (см. (25.41) и (25.41а)), и кинетической (см. (25.43)) энергий, равна

Е = Т+Ря.т+匕.7 =

=4 Р?出尤一е° \ р0Фя d3x + } е J Р。⑺；；，,；"*'. (25.44)

При этом плотность электронного газа должна удовлетворять условию

\ру/з%=м(23.45)

где ^ — число электронов в атоме.

Исходя из вариационного принципа, который при дополнительном условии (25.45) можно сформулировать следующим образом:

б{5 + воФо^} = О,(25.46)

находим соотношение между полным потенциалом Ф = Фя + Фэ и плотностью электронов ро

ро -而:部,(260% (①一Фо))8/з>(25.47)

где множитель Лагранжа Фо, играющий роль некоторого постоянного потенциала, должен быть найден из граничных условий. При выводе последнего соотношения мы учли, что

б \ Ро①fld3尤

=变m⑺Р。^空¥迫。")1 d%川，一e。 ,像po d%.

(25.48)

Подставляя найденное выражение (25.47) для плотности электронов в уравнение Пуассона (в случае сферически-симмет* ричного распределения электронов)

W ①=—~^- г ①=4не()ро(25.49)

и принимая во внимание, что Фо = const, получаем уравнение Томаса — Ферми, лежащее в основе статистической модели атома,

；备 М①一①。)=磊(2恤ё/ (① 一 0)/.(25.50)

Для исследования конкретных вопросов уравнение (25.50) следует решать при определенных граничных условиях. В случае ионизованного атома граничные условия могут быть заданы в виде

①一①0 =乡 при f->0, (25.51)

①；(Zi)%①；(Zi)%при Г =小・при Г =小・(25.52)(25.52)

①；(Zi)%

①；(Zi)%

при Г =小・

при Г =小・

(25.52)

(25.52)

Здесь г。определяется условием, что при г = Го плотность элек* тронов можно считать равной нулю, т. е. ро(「о) = О・ Отсюда согласно (25,47) находим

5 = «-(25.53)

Принимая во внимание уравнение Пуассона (25.49) (см. так* же (25.50)), условие (25.45) можно представить в виде

f г &(胪9"“ dr = N?q・(25.54)

о

Из (25.53) следует, что для нейтрального атома (^ = Z) Фо=О, а「° = оо. Поэтому вместо (25.54) имеем

о

а вместо (25.52)

limrO = 0.(25.55)

Г->оо

Заметим； что уравнение Томаса — Ф^рмиЗаметим； что уравнение Томаса — Ф^рмиточное решениеточное решение①一①尸也讐丄.°8〃蘭 k①一①尸也讐丄.°8〃蘭 k(25.50) имеет одно(25.56)(25.50) имеет одно(25.56)

Заметим； что уравнение Томаса — Ф^рми

Заметим； что уравнение Томаса — Ф^рми

точное решение

точное решение

①一①尸也讐丄.

°8〃蘭 k

①一①尸也讐丄.

°8〃蘭 k

(25.50) имеет одно

(25.56)

(25.50) имеет одно

(25.56)

в чем нетрудно убедиться, подставляя (25.56) в (25.50).

Это решенйе для нейтрального атома (Фо = 0) удовлетворяет одному из граничных условий при г+8 (25.55), Однако второе граничное условие при г->0 (см. (25.51)) при этом не выполняется.

К сожалению, решения уравнения Томаса — Ферми, удовлетворяющие обоим граничным условиям, не могут быть выражены в простой аналитической форме.

Примечание. Заметим, что чгисленное интегрирование этого уравнения имеет известное преимущество перед численным интегрированием уравнений Хартри — Фока в двух отношениях: во-первых, уравнение Томаса — Ферми значительно проще уравнений Хартри ——Фока, во-вторых, это уравнение, а также граничные условия (например, для нейтрального атома Z = ^,①о = =0) можно преобразовать к универсальному виду, не зависящему от Z«

Для этого мы должны вместо Ф(г) ввести новую функцию

гдегде①(Г)=今/“)，

где

где

)%•)%•Г/ 9 兀2

)%•

)%•

Тогда уравнение (25.50) принимает вид

(25.50а)

Из граничных условий (25.51) и (25.55) следует:

(25.51а)(25.51а)/(х) = 1 при х-*0, /(х) =0 при 汇 f у

(25.51а)

(25.51а)

Последние уравнения носят универсальный характер, т. е. не зависят от величины 2. Поэтому, проинтегрировав численно уравнение Томаса — Ферми, мы можем с помощью изменения масштаба (зависящего от Z) использовать его для исследования любых тяжелых атомов.

Подставляя (25.51) в (25.47), находим закон изменения плотности ро при г ~>0, который имеет вид

Ро = const 厂％・ (25.57)

Решение (25.56) для нейтрального атома дает завышенное значение для Ф при г ~> оо. При гоо более точный метод Хартри ——Фока показывает, что плотность электронов должна изменяться по экспоненциальному закону.

Поскольку нас интересует лишь принципиальная сторона вопроса, то мы построим статистическую теорию атома приближенно с помощью вариационного метода, что позволят сформулировать решение задачи в аналитической форме, с несущественными для нас количественными отступлениями»

Решение задачи Томаса — Ферми вариационным методом Ритца. При решении задач вариационным методом Ритца можно предложить бесчисленное множество пробных функций, зависящих от различных вариационных параметров 九.