КВАНТОВАЯМЕХАНИКА

ИЗДАНИЕ 2-е, ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ» Москва 1965

Книга посвящена систематическому изложению основ квантовой механики, т. е. теории движения атомных частиц.

В первой части книги изложена нерелятивистская квантовая механика Шредингера, где наряду со стандартными приложениями (гармонический осциллятор, ротатор, атом водорода и т. д.) рассматриваются также и другие приложения квантовой теории, например основы теории твердого тела, теория дисперсии и т. д.

Во второй части рассматривается теория Дирака, позволяющая учесть не только релятивистские, но и спиновые эффекты, а также теория многоэлектронных атомов и простейших молекул.

Наконец, третья часть посвящена некоторым общим вопросам теории атомного ядра и элементарных частиц, а также некоторым положениям метода вторичного квантования, являющегося дальнейшим развитием квантовой механики.

Изложение строится таким образом, чтобы помочь читателю разобраться не только в физических основах, но и овладеть математическим аппаратом квантовой механики.

Книга может быть использована в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов, педагогических институтов и других вузов, а также для желающих самостоятельно изучать квантовую механику.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга посвящена изложению основ квантовой механики и ее применению главным образом для изучения движения атомных частиц.

Перед нами была поставлена трудная задача. Мы считали необходимым изложить в одном томе основные положения учения об атоме, а именно: нерелятивистскую теорию Шредингера (часть I), релятивистскую теорию Дирака и теорию сложных атомов (часть II), а также основные приложения квантовой механики к твердому телу (§ 6), к физике атомного ядра и элементарных частиц (часть III).

Мы хотим наряду с изложением некоторых общетеоретических вопросов также научить студентов использовать математический аппарат квантовой механики для анализа конкретных вопросов, связанных со строением атома. Чтобы при этом не очень сильно увеличить объем книги, мы пошли на сокращенное изложение некоторых разделов, носящих узкоспециальный характер. В этом случае мы, как правило, будем отсылать читателя к соответствующей литературе (монографиям и статьям, опубликованным у нас в Советском Союзе).

Если в учебной литературе решение конкретных задач с помощью уравнения Шредингера разработано сравнительно хорошо (основной математический аппарат при этом базируется на дифференциальных уравнениях 2-го порядка с использованием специальных функций и в первую очередь полиномов Эрмита, Лежандра, Лагерра) и может быть изложено в компактной форме, то применение теории Дирака к исследованию конкретных вопросов (например, атома водорода) обычно излагается либо с чрезвычайно громоздкими выкладками, за которыми трудно усмотреть физический смысл полученных решений, либо с использованием некоторых физических соображений, так что результаты приводятся фактически без вывода и в лучшем случае доказательства даются лишь 《на пальцах». Поэтому для решения задачи о движении электрона в атоме водорода в рамках теории Дирака мы

использовали уравнение Дирака в приближенной форме (§ 19), с помощью которой была получена не только формула для расщепления уровней с необходимым приближением, но и найдены правила отбора (§ 18, 20). Кроме того, мы привели в несколько упрощенной форме анализ некоторых последних открытий в области строения атомов и атомного ядра: лэмбовского сдвига уровней, обусловленного электронно-позитронным вакуумом (§ 22), фермиевской теории бета-распада (§ 30) и оболочечной модели ядра (см. § 28) и т. д.

Мы сочли целесообразным ограничиться хотя бы качественным описанием некоторых последних достижений в области атомной физики и теории атомного ядра, а именно: молекулярного (квантового) генератора, эффекта Мёссбауэра и его применений (§ 29), проблемы несохранения четности (§ 30), систематики элементарных частиц (§ 31) и т. д.

Поскольку в настоящее время появилось сравнительно много хороших сборников задач по квантовой механике, мы ограничились рассмотрением лишь некоторых характерных задач, порой поясняющих и дополняющих общую теорию).

В основу нашего курса «Квантовая механика» были положены лекции, прочитанные мною в Московском областном педагогическом институте (с 1945 по 1948 г.) и в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова (начиная с 1945 г.) для студентов-физиков.

Кроме исправлений некоторых опечаток и неточностей, которые были нами замечены в первом издании, а также уточнения некоторых математических выводов, мы сочли целесообразным поместить ряд дополнительных задач, в которых рассмотрены следующие вопросы: задача о гармоническом осцилляторе в матричном представлении (см. задачу 10.8), определение волновых функций методом ВКБ для гармонического осциллятора (см. задачу 10.2). Введены три задачи, посвященные обобщенному трехмерному единичному вектору спина, СРТ-преобразованию, а также применению уравнения Дирака к описанию нейтрино, т. е. частицы со спином 1/2 и массой покоя, равной нулю (см. задачи 18.6, 18.7 и 18.8), которые могут найти свое применение при построении теории несохранения четности. Был написан новый раздел о квантовой теории ферромагнетизма и ван-дер-ваальсовых сил, который дополнил § 27. Точно так же в § 27 существенной

переработке подвергся раздел, посвященный квантовым генераторам. Мы уточнили некоторые принципиальные вопросы, связанные с философским обоснованием квантовой механики. В частности, в задаче 31.3 рассмотрена новая попытка (конечно, далеко еще не апробированная) обосновать соотношение неопределенности как результат воздействия вакуума на точечную заряженную частицу.

Первая часть этого курса была написана мною совместно с Ю. М. Лоскутовым, вторая — совместно с проф. И. М. Терновым. Большую помощь при написании курса оказала М. М. Колесникова, составившая конспекты моих лекций по квантовой механике. Кроме того, она оказала существенную помощь при подготовке рукописи к печати; ею же подготовлен и предметный указатель ко второму изданию настоящей книги.

Отдельные параграфы рукописи, а именно § 25 и 28, внимательно просмотрел Н. Н. Колесников, сделавший ряд важных замечаний. Мне хотелось бы также отметить большую и весьма плодотворную работу С. И. Ларина по редактированию рукописи первого издания.

А. А. Соколов

Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

март 1964 г.

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая механика, представляющая собой один из важнейших разделов современной теоретической физики, была создана сравнительно недавно — в 20-х годах нашего столетия. Ее основной задачей является изучение поведения микрочастиц, например движения электронов в атоме.

По своей сущности квантовая механика представляет собой дальнейшее развитие классической механики, электродинамики (включая электронную теорию и теорию относительности), кинетической теории материи и других разделов теоретической физики.

В истории развития каждого раздела теоретической физики следует различать два основных этапа: во-первых, накопление экспериментальных фактов, открытие отдельных полуэмпириче- ских законов и создание предварительных гипотез и теорий, во-вторых, открытие общих закономерностей, позволяющих с единой точки зрения понять совокупность многих явлений. Так, например ,первый (доньютоновский) этап развития механики был связан с открытием отдельных, казалось бы, не связанных между собой законов: закона инерции, закона свободного падения тел, законов Кеплера, определяющих движения планет, и т. д.

Необходимо отметить, что открытие каждого из этих законов сопровождалось, как правило, кропотливой работой многих ученых в течение десятков, а порой даже и сотен лет. Например, открытию законов Кеплера предшествовали многочисленные астрономические наблюдения за движением планет. Вспомним, сколько трудов было вложено Коперником, Бруно, Галилеем и другими для доказательства того, что в центре нашей планетной системы находится Солнце, а не Земля, которая сама является такой же планетой, как и Марс, Венера или Юпитер. И только на основе весьма ценного экспериментального материала, полученного Тихо де Браге при наблюдении движения планет, Кеплер в результате пятнадцатилетней обработки этих экспериментальных данных сумел, наконец, открыть правильные (правда, полуэмпирические) законы движения планет вокруг Солнца. Лишь после такого предвари-

тельного этапа Ньютону удалось под все эти казавшиеся несвязанными законы подвести единый фундамент. С этого момента начинается новый этап развития теоретической механики, основанной на трех законах движения Ньютона и на законе всемирного тяготения. На базе ньютоновских законов механики были объяснены законы Кеплера и интенсивно начала развиваться теоретическая астрономия. Триумфом развития механики Ньютона является предсказание французским ученым Леверье (по возмущениям движения планеты Юпитер) новой планеты Нептун, которая сразу же была обнаружена астрономами по вычислениям Леверье.

Точно так же созданию электродинамики Максвелла предшествовало (в XVIII в. и в первой половине XIX в.) открытие различных эмпирических законов электрических и магнитных явлений. По аналогии с ньютоновским законом тяготения были открыты законы Кулона для электрических зарядов и магнитных полюсов'), а также законы электрического тока и его взаимодействия с магнитными полюсами (закон Био——Савара) и т. д. Все эти явления находили объяснение с точки зрения дальнодействия, согласно которой один электрический заряд действует непосредственно на другой заряд через все разделяющее их пространство.

Совершенно независимо от изучения электрических и магнитных явлений примерно со времен Ньютона усиленно развивалась оптика ——наука о свете). Хотя сравнительно быстро было установлено, что свет представляет собой поперечные волны, распространяющиеся с конечной скоростью с^З-10 см/сек, природа световых волн долгое время оставалась невыясненной.

Все эти предварительные исследования можно отнести к первому этапу развития электродинамики, подготовившему почву для создания теории Максвелла, играющей в электродинамике примерно такую же роль, какую играют законы Ньютона в механике.

Уравнения Максвелла оказались мощным орудием в руках физиков при исследовании электрических, магнитных и световых явлений. Было предсказано существование электромагнитного поля, переносящего взаимодействия непрерывно от точки к точке,

')Поскольку свободных магнитных полюсов пока что не обнаружено, то непосредственно закон Кулона в магнетизме проверяется в применении к магнитным диполям.

т. е. появилась теория близкодействия, которая нанесла решающий удар дальнодействию. Одним из важнейших следствий теории Максвелла является предсказание существования электромагнитных волн, открытых впоследствии Герцем. В настоящее время теория распространения электромагнитных волн лежит в основе всей современной радиотехники, начало которой было положено изобретением радио А. С. Поповым. Открытие электромагнитных волн было первым триумфом теории Максвелла.

Вторым важнейшим следствием теории Максвелла является доказательство того, что свет представляет собой те же электромагнитные волны, но с малой длиной волны (入〜10~5 см); таким образом, теория Максвелла ознаменовала новый этап в развитии учения о свете.

Наконец, большую роль в появлении квантовой механики сыграло также развитие атомистического учения о веществе вообще и в особенности об атомизме электричества. Атомистическая гипотеза о строении вещества была высказана еще в античное время. Научное же обоснование она получила сравнительно недавно, когда был открыт фундаментальный закон химии — закон кратных отношений. Большую роль в развитии атомизма сыграло построение кинетической теории материи и, в частности, кинетической теории газов. В основе этой теории лежит созданная Больцманом и Максвеллом классическая статистика.

Следует заметить, что классическая статистика Максвелла—- Больцмана, основанная на теории вероятности, не может быть полностью объяснена механикой Ньютона и содержит новые закономерности, свойственные совокупности большого числа частиц (например, необратимость некоторых процессов).

С помощью статистических методов удалось объяснить ряд макроскопических свойств вещества (температуру, теплоемкость и т. д.), что представляет собой лишь косвенное доказательство его атомного строения.

Одним из решающих доказательств в пользу атомизма явилось открытие флуктуаций, т. е. обусловленных движением отдельных молекул отклонений физических характеристик вещества от средних макроскопических значений. В первую очередь здесь следует отметить открытие броуновского движения, которое со всей очевидностью подтверждает наличие молекулярного движения в жидкости.

Еще более внушительным доказательством атомистического строения твердого тела явилось открытие Лауэ дифракции рентгеновских лучей в кристаллах и масс-спектрографического анализа, с помощью которого Астону удалось измерить атомный вес каждого изотопа в отдельности, а не в среднем, как это делалось прежде.

Из атомизма вещества, как неизбежное следствие, вытекает атомизм электричества. Исходя из анализа законов электролиза Фарадея, Гельмгольц показал, что должны существовать атомы положительного и отрицательного электричества, абсолютное значение заряда которых одинаково и всегда равно или кратно элементарному заряду е0 = 4,8 • 10 10CGSE.

Исследование анодных лучей показало, что положительные заряды всегда встречаются в виде ионов, т. е. связаны с основной массой атома. Самый легкий положительный ион, а именно ион атома водорода, обладает массой, приблизительно равной массе атома водорода. Он получил название протона. Что касается носителей отрицательного электричества, то ими могут быть как ионы (связанные с основной массой атома), так и отделенные от атомов отрицательно заряженные частицы, получившие название электронов.

В опытах по отклонению катодных лучей, т. е. потока электронов, в электрическом и магнитном полях, была найдена масса электрона, причем она оказалась примерно в 1836 раз меньше массы протона).

На основе этих открытий была построена электронная теория Лоренца, явившаяся своеобразным синтезом электродинамики Максвелла для вакуума и атомистических представлений о веществе, как о среде, состоящей из положительно и отрицательно заряженных частиц. Значения диэлектрической и магнитной про- ницаемостей, проводимости и т. д. получались в теории Лоренца путем усреднения уравнений Максвелла для вакуума по зарядам и токам образующих вещество частиц. В этой теории проводник рассматривался как некоторая среда, заполненная свободными электронами или, как говорят, «электронным газом» .

Только с помощью теории Лоренца удалось показать, что диэлектрическая проницаемость не есть в самом деле постоянная величина, как это предполагалось в теории Максвелла, а зависит от частоты электромагнитных волн. Таким образом, теория Лоренца смогла объяснить явление дисперсии света.

Вместе с электронной теорией Лоренца началось развитие электродинамики движущихся сред, завершившееся созданием специальной теории относительности.

(инерциальные системы),(инерциальные системы),инерциальной системы от- примем условно за непод- движущейся вдоль оси 尤инерциальной системы от- примем условно за непод- движущейся вдоль оси 尤ния Лоренца:ния Лоренца:

(инерциальные системы),

(инерциальные системы),

инерциальной системы от- примем условно за непод- движущейся вдоль оси 尤

инерциальной системы от- примем условно за непод- движущейся вдоль оси 尤

ния Лоренца:

ния Лоренца:

Как известно, формулируя математически те или иные зако- нь\движения материи (будь то законы движения Ньютона или законы движения электромагнитного поля, нашедшие свое отражение в уравнениях Максвелла), мы должны связывать их с какой-либо системой отсчета. В частности, Ньютон считал, что сформулированные им законы механики относятся к абсолютно неподвижной системе отсчета. Вместе с тем такое понятие абсолютно неподвижной системы отсчета оказалось даже в его учении понятием чисто метафизическим. Сам Ньютон открыл в механике принцип относительности, согласно которому невозможно обнаружить равномерного и прямолинейного движения тела (или систем отсчета) относительно этой абсолютной системы, поскольку все системы отсчета, движущиеся равномерно и прямо

линейно друг относительно друга равноправны между собой.

В самом деле, переходя от одной счета (нештрихованной), которую мы вижную, к другой (штрихованной),

с постоянной скоростью и, в соответствии с преобразованиями Г алилея — Ньютона:

%' = % — и/, у —у, / = 2, Т

мы найдем, что ускорения и силы в обеих системах отсчета будут одинаковыми; поэтому уравнения механики (куда выражение для скорости не входит) останутся при этом переходе неизменными, т. е. инвариантными.

У=У z' = z,У=У z' = z,Если же преобразование Галилея ——Ньютона применить к уравнениям Максвелла ——Лоренца, то последние в каждой инерциальной системе координат будут иметь различный вид, поскольку в эти уравнения входит скорость распространения электромагнитных волн, которая согласно закону сложения скоростей в механике Ньютона в каждой инерциальной системе будет иметь свое значение. Однако многочисленные опыты (в первую очередь опыты Майкельсона) показали, что скорость света во всех инерциальных системах координат должна быть по всем направлениям одной и той же. В связи с этим Эйнштейн предложил обобщение ньютоновского принципа относительности, из которого автоматически следовали так называемые преобразова-

У=У z' = z,

У=У z' = z,

представляющие собой обобщение преобразований Галилея —— Ньютона. Преобразования Лоренца оставляют законы электродинамики во всех инерциальных координатных системах неизменными (инвариантными). В частности, при таких преобразованиях скорость света в различных инерциальных системах отсчета должна иметь по всем направлениям одно и то же значение с.

Для того чтобы уравнения механики Ньютона также оставались инвариантными относительно преобразований Лоренца, их пришлось заменить релятивистскими уравнениями, из которых, в частности, следует, что масса т движущейся частицы связана с ее скоростью и и массой покоя 恤 соотношением:

тт

т

т

Заметим, что в случае малых скоростей движения, когда можно положить р2^ 0, уравнения релятивистской механики переходят в уравнения Ньютона.

Уравнения Максвелла ——Лоренца для электромагнитного поля и релятивистское уравнение движения электрона оказались завершающим этапом классической электронной теории. Согласно этой теории свет должен представлять собой электромагнитные волны, а электроны ——частицы, движение которых должно описываться законами релятивистской механики.

По мере того как с помощью теории Максвелла — Лоренца объяснялось все большее число явлений микромира (распространение света, дисперсия света в средах, движение электронов в электрическом и магнитном полях и т. д) постепенно стали накапливаться и такие экспериментальные факты, которые уже не укладывались в рамки классических представлений.

Все эти эксперименты будут сравнительно подробно рассмотрены в § 1—3, и поэтому мы здесь ограничимся лишь кратким их перечислением.

С одной стороны, для построения теории равновесного теплового излучения, фотоэффекта и эффекта Комптона необходимо было ввести предположение о том, что свет наряду с волновыми должен обладать также и корпускулярными свойствами. Это было учтено в теории квант Планка ——Эйнштейна. Дискретная структура света нашла свое отражение в постоянной Планка Л = 6,62 • 10'27 эрг-сек. Теория квант была с успехом также использована при построении первой квантовой теории атома ——теории Бора, которая опиралась на модель атома, следовавшую из опытов Резерфорда по рассеянию альфа-частиц различными веществами.

С другой стороны, целый ряд экспериментальных данных, таких, как дифракция, интерференция пучка электронов, говорил

о том, что электроны наряду с корпускулярными свойствами проявляют также и волновые. Длина волны электрона, введенная де-Бройлем, также содержала постоянную г Планка h. На базе этого позднее возникла целая отрасль науки ——электронная оптика, лежащая в основе расчетов разнообразных электронных устройств, и в первую очередь разрешающей способности электронных микроскопов.

Первым обобщающим результатом тщательного анализа всех экспериментальных данных, подтверждающих квантовую природу света и волновые свойства электронов, а также отдельных, носящих предварительный характер теорий (Планка, Эйнштейна, Бора, де-Бройля), явилось волновое уравнение Шредингера (1926), позволившее вскрыть законы движения электронов и других атомных частиц и построить сравнительно последовательную теорию излучения с учетом квантовой природы света). С открытием уравнения Шредингера ученые, исследовавшие атом, получили в свои руки такое же мощное оружие, какое в свое время получили астрономы после открытия основных законов механики Ньютона, включая закон всемирного тяготения.

Поэтому не удивительно, что с открытием уравнения Шредингера многие явления, связанные с движением электронов внутри атома и проблемой излучения и поглощения атомом света, получили теоретическое объяснение (см. § 4——14).

Однако, как оказалось в дальнейшем, теория Шредингера описывала далеко не все свойства атомов; с ее помощью нельзя было, в частности, правильно объяснить взаимодействие атома с магнитным полем (например, аномальный эффект Зеемана), а также построить теорию сложных атомов. Это было связано главным образом с тем обстоятельством, что в теории Шредингера не учитывались спиновые свойства электрона.

Дальнейшим развитием теории Шредингера явилась релятивистская теория Дирака (см. § 15—17). Уравнение Дирака позволило описать как релятивистские, так и спиновые эффекты движущихся электронов (см. § 18——20). При этом оказалось, что если учет релятивистских эффектов в атомах приводит к срав-

нительно небольшим количественным поправкам, то учет спиновых эффектов играет при изучении строения атомов с несколькими электронами решающее значение (см. § 23, 24). Только после того как были приняты во внимание спиновые свойства электронов, удалось, наконец, объяснить правило заполнения электронных оболочек в атоме и дать периодическому закону Менделеева, открытому им при изучении химических свойств атомов (см. § 25, 26), строгое обоснование.

С появлением уравнения Дирака принципиальные вопросы, связанные со строением электронной оболочки атома, можно было считать в основном разрешенными, хотя углубление наших знаний в области отдельных деталей должно все время продолжаться. В связи с этим следует заметить, что в настоящее время подробно изучается влияние так называемого электронно-позитронного вакуума, а также влияние магнитных моментов ядер и размеров ядер на энергетические уровни атомов (см. § 21, 22).

Помимо атома, квантовая механика нашла свое применение при исследовании простейших молекул (см. § 27), при построении теории твердого тела (см. § 6), а также при объяснении ряда явлений в атомном ядре (§ 28——30).

В настоящее время накоплен и продолжает накапливаться обширный экспериментальный материал и начала уже создаваться общая теория элементарных частиц, число которых уже более тридцати (см. § 31).

Одной из характерных особенностей первого этапа теории элементарных частиц, получившей название квантовой теории поля, является описание взаимной превращаемости элементарных частиц. В частности, в теории Дирака было предсказано возможное превращение гамма-квантов в пару электрон-позитрон и обратно, что впоследствии было подтверждено экспериментально.

Таким образом, если в классической теории между светом и электронами было два различия: а) свет — волны, электроны — частицы; б) свет может появляться и поглощаться, число же электронов должно оставаться неизменным, то в квантовой механике со свойственным ей корпускулярно-волновым дуализмом было стерто первое различие между светом и электронами. Однако в ней так же, как и в теории Лоренца, число электронов должно было оставаться неизменным. Только после появления квантовой теории поля, описывающей взаимную превращаемость элементарных частиц, было фактически стерто и второе различие.

Следует заметить, что развитие теоретической физики самым тесным образом связано с математикой. В самом деле, основной метод исследования физика-теоретика ——вычисления. Поэтому для изучения теоретической физики необходимо обладать определен-

ной суммой знаний в области математики и уметь применять эти знания для проведения различных расчетов.

Далее, поскольку одной из основных задач теоретической физики является изучение реального мира и прежде всего простейших форм его движения, определяющих также и более сложные явления, то естественно, что все эти вопросы всегда связаны с общефилософскими вопросами и, в частности, с вопросом познаваемости микромира.

Поэтому не удивительно, что многие крупные физики, сделавшие важнейшие открытия в области физики, пытались вместе с тем интерпретировать эти открытия с той или иной философской точки зрения.

К сожалению, предлагавшаяся интерпретация была не у всех удачной. К числу подобных физиков в первую очередь следует отнести Маха и Оствальда. Достаточно сказать, что результаты физических исследований Маха в настоящее время играют исключительно важную роль, например, при изучении движения тел со сверхзвуковыми скоростями. Однако, с другой стороны, Мах, исходя из идеалистической теории «принципиальной координации субъекта и объекта», вместе с Оствальдом до конца жизни боролся против «атомистической гипотезы», рассматривая ее как нечто искусственное, введенное учеными лишь для удобства понимания явлений в микромире.

Точно так же известный французский математик и философ А. Пуанкаре, который независимо и почти одновременно с Эйнштейном сформулировал ряд положений специальной теории относительности, усмотрел в появлении новой физики XX века исчезновение материи, т. е. крах материализма. Все эти неправильные методологические выводы, сильно мешавшие пониманию развития современной физики, подверглись резкой критике В. И. Лениным в его известном труде «Материализм и эмпириокритицизм».

В. И. Ленин показал, что наше познание природы, существующей независимо от сознания субъекта, идет по линии асимптотического приближения к истине, и появление новой теории означает не крушение старой, а лишь ее дальнейшее развитие и уточнение, связанное с получением новых экспериментальных фактов. Поэтому те новые открытия в области физики, которые ограничили применимость механического мировоззрения, никоим образом не означают исчезновения материи. Подобного рода неверные интерпретации были связаны с тем обстоятельством, что физики просто не знали диалектики.

Мысль В. И. Ленина о том, что электрон так же неисчерпаем, как и атом, действительно оказалась той путеводной звездой, которая указывает единственно правильный путь развитию современной физики.

Поэтому несмотря на то, что квантовая механика, вскрыв многие закономерности микромира, дала в руки исследователей атома неоценимый математический аппарат, ее нельзя рассматривать как теорию, позволяющую абсолютно точно познать все закономерности микромира.

Если в рамках квантовой механики какие-то явления остаются необъясненными, то это никоим образом не означает, что не надо создавать более совершенных теорий для их объяснения.

ЧАСТЬ I

нерелятивистская квантовая МЕХАНИКА

§ 1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА

В период, предшествовавший появлению квантовой теории (до начала XX в.), т. е. в период господства классической физики, явления, связанные с движением корпускул, резко отличали от явлений, связанных с волновым движением. В связи с этим и окружающий нас мир представлялся состоящим из корпускул (например, электронов и ионов) и полей (например, света), для которых после построения теории Максвелла (1873) как будто окончательно была установлена волновая природа,

Однако уже в конце XIX и в особенности в начале XX в. появились экспериментальные факты, которые не укладывались в рамки классических представлений.

С одной стороны, стали известны такие опытные факты, которые можно было понять только на основе корпускулярных свойств света (распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, фотоэффект, комптон-эффект и т. д.), а с другой стороны, были обнаружены волновые свойства электронов (например, их дифракция), на основе чего в настоящее время создана квантовая, или волновая механика, получившая широкое практическое применение.

Основные положения электронной теории

Как известно, поведение электромагнитного поля при заданных распределениях зарядов и токов описывается в общем случае уравнениями Максвелла — Лоренца:

(М)(М)向ё十^票=。，

(М)

(М)

divE = 4",div〃=0,

где Е и Н ~ напряженности соответственно электрического и магнитного полей, р ——плотность заряда (например, электрона), а V — его скорость.

Электромагнитное поле, во-первых, может переносить взаимодействие между зарядами. Взаимодействие между неподвижными зарядами е переносится электростатическим полем, обусловливающим, в частности, закон Кулона

а между движущимися ——электрическим и магнитным полями, поскольку движущийся заряд можно рассматривать как электрический ток, который, как известно, взаимодействует с магнитным полем. Существование этих полей, обусловливающих взаимодействие, всегда связано с существованием соответствующих источников, например зарядов.

Во-вторых, электромагнитное поле может представлять собой распространяющиеся со скоростью света с электромагнитные волны (радиоволны, световые волны). Источником излучения световых волн является, в частности, ускоренно движущийся заряд, причем количество энергии, которую он излучает в единицу времени, определяется выр ажением:

呼嘗， (1.2)

где е — заряд, a w — его ускорение. После того как электромагнитные волны возникли, они могут существовать самостоятельно без наличия зарядов или других источников.

Уравнение, описывающее распространение световой волны, может быть получено из уравнений (1.1), если в них плотность заряда р положить равной нулю.

Тогда, исключая из второго уравнения Максвелла вектор Н (для этого достаточно взять от него rot и воспользоваться первым уравнением) и принимая во внимание, что divE = 0, вследствие чего:

rot rot Е — grad div Е — v?E = —

мы получим следующее волновое уравнение для составляющих вектора Е (а также 〃)：

^冬=0, (L3)

где / ——одна из составляющих вектора Е или вектор а //.

Более детальный анализ уравнений Максвелла ——Лоренца показывает, что электромагнитные волны являются поперечными* т. е. векторы напряженности электрического (Е) и магнитного (〃)

полей ортогональны волновому вектору Е, в направлении которого электромагнитная волна распространяется, а также ортогональны друг другу, причем образуют такую тройку, что при вращении винта с правой нарезкой от Е к /7 он будет двигаться по направлению Е:

H=[k^EY (1.4)

где 胪=总/々一единичный вектор.

вует сила:вует сила:(1.5)(1.5)На заряд, движущийся во внешнем электрическом и магнитном поле (например, на электрон), со стороны последнего дейст

вует сила:

вует сила:

(1.5)

(1.5)

получившая название силы Лоренца.

Уравнение движения электрона во внешнем поле с учетом релятивистского изменения массы должно принимать вид:

гдегде(1.6)(1.6)

где

где

(1.6)

(1.6)

Мы можем подобрать функцию Лагранжа Z таким образом, чтобы из вариационного принципа:

т. е.т. е.из уравнения:из уравнения:8 JЛ? (xi( м, /) dt = О,8 JЛ? (xi( м, /) dt = О,d dZ ~dt dX(d dZ ~dt dX(筹=。(』1，2,筹=。(』1，2,3),3),(1.7)(1.8)(1.7)(1.8)

т. е.

т. е.

из уравнения:

из уравнения:

8 JЛ? (xi( м, /) dt = О,

8 JЛ? (xi( м, /) dt = О,

d dZ ~dt dX(

d dZ ~dt dX(

筹=。(』1，2,

筹=。(』1，2,

3),

3),

(1.7)

(1.8)

(1.7)

(1.8)

следовало бы уравнение движения электрона (1.6). Здесь xt = x, %2=у, %з = 2 ——пространственные координаты, a xf ——соответствующие скорости. Для этого мы должны положить:

① =—恤镇/I二干—e①十春®4),(1.9)

где 4 и Ф ——векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, связанные между собой условием Лоренца:

由"+』裟=0.(1-10)

полейполей(1.И)(1.И)Векторы напряженности электрического и магнитного выражаются через 4 н ① с помощью соотношений:

полей

полей

(1.И)

(1.И)

Е = —grad ①—~^捐

Н— rot А.

Тогда для импульса электрона мы найде^ выражение:

Точно так же для действующей на электрон обобщенной силы будем иметь:д^е I дА \л

Q尸京尸一e丽十740友7)・(L13)

Подставив (1.12) и (1.13) в (1.8) и приняв во внимание (1.10) и (1.11), получим уравнение движения для электрона (1.6), что оправдывает сделанный нами выбор для функции Лагранжа.

' Зная Z, можно определить также функцию Гамильтона //:

н = £ р% — += ,^^- + 恤成 / П^ + еФ =

р 1 —俨 I

Как известно, функция Гамильтона должна зависеть не от скорости 哂 а от обобщенного импульса:

Р=Р — .А,

связанного благодаря (1.12) с с° равенством:

С2p十 ^ =芸誓+ d成=-j^ .

Поэтому релятивистское выражение функции Гамильтона прини

мает вид:мает вид://= / e2 P + zn 疗 + e①.//= / e2 P + zn 疗 + e①.(1.14)(1.14)

мает вид:

мает вид:

//= / e2 P + zn 疗 + e①.

//= / e2 P + zn 疗 + e①.

(1.14)

(1.14)

Заметим, что если потенциалы не зависят от времени, то функция Гамильтона будет равна полной энергии:

Е = Н・

В нерелятивистском приближении (Р《/ПоС) выражение (1.14) может быть представлено в форме:

"=斤十恤吟

где /Г приближенно равна нерелятивистской части функции Гамильтона:/ е 『

Н，^〃нере“.①=V①.(1.15)

Отсюда видно, что релятивистское выражение функции Гамильтона (1.14) включает в себя и собственную энергию покоящегося электрона т^, учет которой является весьма существенным при изучении превращений одних элементарных частиц в другие.

Классическая теория равновесного излучения

Среди широкого круга явлений, связанных с электромагнитными полями, особое место занимает так называемое равновесное излучение, возникающее внутри полости, окруженной со всех сторон теплонепроницаемыми стенками, нагретыми до некоторой постоянной температуры Т. Кстати сказать, небольшое отверстие, сделанное в стенке этой полости, можно рассматривать как абсолютно черное тело, так как внешние лучи, падающие на это отверстие, практически не смогут вернуться обратно, т. е. полностью будут поглощены им, точнее, с оответствующа я вероятность обратного выхода будет ничтожно мала. Таким образом, равновесное излучение следует рассматривать как излучение абсолютно черного тела (его часто называют также черным излучением).

Анализ равновесного излучения сыграл исключительно важную роль в создании квантовой теории.

Дело в том, что все попытки построить полностью удовлет- ворящую эксперименту непротиворечивую теорию равновесного излучения, оставаясь на позициях классических представлений, неизбежно терпели неудачу, в то время как многие другие явления находили в классической теории более или менее разумное объяснение.

Только после того как в начале XX века было введено новое понятие планковского кванта, сыгравшее в дальнейшем большую роль при создании первоначальной квантовой теории атома, а затем и квантовой механики, была, наконец, построена последовательная теория черного излучения.

Рассмотрим теперь теорию равновесного излучения, основываясь пока что на классических представлениях. Будем характеризовать излучение спектральной плотностью pj), связанной с обычной плотностью электромагнитной энергии:

и = ^Р + ^)(1.16)

соотношением:

РзТ：，(1.17)

где d〃 一 плотность энергии излучения в интервале частот от ⑷ до ⑴+ dОчевидно, что при этом

尻=Jp^w.(1.18)

о

В литературе в качестве спектральной плотности употребляется также функция Ру. Выбранная нами рш связана с ру соотношением:

•1

Рз = КРу，

так как з

=2tcv.

Кирхгоф на основе второго начала термодинамики показал, что плотность рш определяется только температурой стенок замкнутой полости и совершенно не зависит от материала стенок, т. е. Рз = /® Т). '

Принимая во внимание это обстоятельсаво, стенки полости можно отождествить, например, с некоторой совокупностью осцилляторов. Тогда средняя энергия последних будет полностью задаваться спектральной плотностью равновесного излучения. Покажем это, исходя из уравнения движения осциллятора с учетом иланковской силы лучистого трения:

2…2…(1-19)(1-19)

2…

2…

(1-19)

(1-19)

Здесь е и т0 — соответственно заряд и масса покоя осциллятора, о — частота его собственных колебаний, а Ех—х-компонента напряженности электрического поля черного излучения.

Представляя Ех в виде ряда Фурье:

(1.20)

n——oo

где Exn——амплитуда отдельного колебания поля с частотой:

(1-21)(1-21)S九=Ло)0}

(1-21)

(1-21)

для 尤(f) из уравнения (1.19)для 尤(f) из уравнения (1.19)найдем выражение:

для 尤(f) из уравнения (1.19)

для 尤(f) из уравнения (1.19)

九=—8九=—8°2 а (叫)3—(吟)°2 а (叫)3—(吟)(1.22)(1.22)

九=—8

九=—8

°2 а (叫)3

—(吟)

°2 а (叫)3

—(吟)

(1.22)

(1.22)

e =/炉=小0e =/炉=小0(切3。)^ Exneina^ '92 а(ЛО)0)3(切3。)^ Exneina^ '92 а(ЛО)0)3Средняя же энергия осцилляюра, равная согласно теореме вириала удвоенному значению средней кинетической энергии, определится при этом формулой:

e =/炉=小0

e =/炉=小0

(切3。)^ Exneina^ '

92 а(ЛО)0)3

(切3。)^ Exneina^ '

92 а(ЛО)0)3

(1.23)

где черта означает }среднение по времени. Замечая, что

ООоо

{2n=一О0П,九'=-0o

причем /_л = /^, а также принимая во внимание равенство:

2

(1.24)(1.24)330t 5一出)=上С工沁0〃%一户)必=11 npИ几'=小

(1.24)

(1.24)

—т J— )0 при пг ф л,

22ЧАСТЬ / нерелятивистская квантовая механика

где т = 2я/<оо, выражение (1.23) можно привести к виду:

（吟）

mo 炉=2俐）у ■（2 е2 （п<л НГ

自｛（叫）-3屮+修謀門

Это выражение в окрестности частоты з имеет весьма резкий максимум, и поэтому вся энергия осциллятора будет определяться фактически только теми членами ряда, для которых пв)о^<о. В связи с этим в последнем выражении квадрат модуля амплитуды | Ехп 户 можно заменить его значением I Ехп |2, где п0 = —, а от суммирования при этом можно перейти к интегрированию. Тогда, учитывая, что согласно (1.21) »):

так как dn = 1, получаем:так как dn = 1, получаем:d9fl = 3q d几=8q = £•d9fl = 3q d几=8q = £•(1.25)(1.25)吟叫吟叫m0 з ' o'm0 з ' o',2 3、：普i屮+甘論｝,2 3、：普i屮+甘論｝(L26)(L26)Заменяя здесь всюду за исключением разности з〃一① частотуЗаменяя здесь всюду за исключением разности з〃一① частоту(ол на з(ол на зи вводя переменную интегрирования £ = з% — з, в результате расширенияи вводя переменную интегрирования £ = з% — з, в результате расширенияпределов интегрированияпределов интегрированиядо 土 со, находим:до 土 со, находим:万=2万=2人e?人e?^0^0IF |2 8—3 J —00IF |2 8—3 J —00dgdg一 3冗办о с8I尸 I一 3冗办о с8I尸 I(1.27)(1.27)С другой стороны, плотность энергии а, связанная с электромагнитным полем излучения равенством (1.16), также может быть выражена через I ЕХПо |2. В самом деле, в силу изотропности излучения на основании (1.16)С другой стороны, плотность энергии а, связанная с электромагнитным полем излучения равенством (1.16), также может быть выражена через I ЕХПо |2. В самом деле, в силу изотропности излучения на основании (1.16)имеем:имеем:u = ±k而=余成+考+國,u = ±k而=余成+考+國,(1.28)(1.28)или, учитывая разложение (1.20) и правило усреднения по t (1.24),ООсол=—ооООтсюда, принимая во внимание (1.18), а также соотношение:= ―- = л0 —,Sosили, учитывая разложение (1.20) и правило усреднения по t (1.24),ООсол=—ооООтсюда, принимая во внимание (1.18), а также соотношение:= ―- = л0 —,Sosнаходим:находим:(1・29)(1・29)(1.30)(1.30)

так как dn = 1, получаем:

так как dn = 1, получаем:

d9fl = 3q d几=8q = £•

d9fl = 3q d几=8q = £•

(1.25)

(1.25)

吟叫

吟叫

m0 з ' o'

m0 з ' o'

,2 3、：

普i屮+甘論｝

,2 3、：

普i屮+甘論｝

(L26)

(L26)

Заменяя здесь всюду за исключением разности з〃一① частоту

Заменяя здесь всюду за исключением разности з〃一① частоту

(ол на з

(ол на з

и вводя переменную интегрирования £ = з% — з, в результате расширения

и вводя переменную интегрирования £ = з% — з, в результате расширения

пределов интегрирования

пределов интегрирования

до 土 со, находим:

до 土 со, находим:

万=2

万=2

人e?

人e?

^0

^0

IF |2 8

—3 J —00

IF |2 8

—3 J —00

dg

dg

一 3冗办о с8I尸 I

一 3冗办о с8I尸 I

(1.27)

(1.27)

С другой стороны, плотность энергии а, связанная с электромагнитным полем излучения равенством (1.16), также может быть выражена через I ЕХПо |2. В самом деле, в силу изотропности излучения на основании (1.16)

С другой стороны, плотность энергии а, связанная с электромагнитным полем излучения равенством (1.16), также может быть выражена через I ЕХПо |2. В самом деле, в силу изотропности излучения на основании (1.16)

имеем:

имеем:

u = ±k而=余成+考+國,

u = ±k而=余成+考+國,

(1.28)

(1.28)

или, учитывая разложение (1.20) и правило усреднения по t (1.24),

ООсо

л=—ооО

Отсюда, принимая во внимание (1.18), а также соотношение:

= ―- = л0 —,Sos

или, учитывая разложение (1.20) и правило усреднения по t (1.24),

ООсо

л=—ооО

Отсюда, принимая во внимание (1.18), а также соотношение:

= ―- = л0 —,Sos

находим:

находим:

(1・29)

(1・29)

(1.30)

(1.30)

Читателя не должно смущать приравнивание дифференциала ds^ к конечной величине <»0 = 2я/т. В самом деле, период 弋 всегда можно выбрать настолько большим, что будет иметь место соотношение: <оо <^ о. Математически это соответствует переходу от ряда к интегралу Фурье.

при з九=з (几=〃о) получаем:

3打0 I1

2а 3

(1.31)

Сравнивая (1.31) и (1.27), находим зависимость между средней энергией £ = т0 х3 осциллятора и спектральной плотностью из

лучения рз：

(1.32)

которая и положена в основу теории равновесного излучения.

В классической статистической физике распределение частиц по энергиям задается функцией:

%(Е) = 4 宀(1.33)

где 包=^> ^= 1,38* 10~16 эрг • град^1 ——постоянная Больцмана, а Т ——температура среды. В связи с этим средняя энергия будет равна:оо

)со

Е = Т= -4 111 § е』Е =

А \ е-аЕ dE0

= ^\"“ = hT ')•(1.34)

i) Вообще говоря, среднюю энергию одномерного осциллятора вычислять по формуле:

—A、dx \ dp Ее-аЕ

A^dx dp е~®Е， где

Е = -2^ + т^ 2>

следует

(1.34а)

а интегралы по х и р берутся в пределах от —со до 4~ со. В формуле (1.34а) сделаем замену:

р = ]/"2т0 Е cos 屮

и учтем, что

где модуль определителя:

dp dx = DdEd%

D =

电 d? дх dy

Тогда после интегрирования по ?(0W?W2冗)получаем для Е значение (1.34). Результат (1.34) является вполне очевидным, поскольку линейный осциллятор обладает двумя степенями свободы (поступательное движение центра тяжести и колебание около центра тяжести), а на каждую степень свободы, как известно, приходится в среднем энергия J/2 々Т.

Подставляя это значение £ в соотношение (1.32), получаем формулу Рэлея —— Джинса:⑴纟

Ро)== к2 ci kT,(1.35)

Эта формула удовлетворяет тер мод инам ическому закону Вина:

полученному им после ряда работ — в том числе важных работ русских физиков В. А. Михельсона и Б. Б. Голицина — на ос-

Штриховая (жирная) линия—кривая Рэлея—Джинса % — рол-, спюшная линия — кривая Планка рш = ро^3/(ех — 1), совпадающая с экспериментальной Здесь ^a = {kT^/v^h^c^t о)=а>о¥, о>о = /г77/Ь

нове термодинамики и электромагнитной теории света, и в области длинных волн (малых частот) находится в хорошем согласии с экспериментальными данными. Однако в коротковолновой части расхождение с экспериментом (см. фиг. 1.1) становится значительным.

Точно так же, если воспользоваться формулой Рэлея ——Джинса для вычисления плотности энергии излучения и [см. (1.18)], то мы найдем, что соответствующий интеграл расходится, т. е. получаем явно абсурдный результат:

ОО ОО

% = j Pt0 d0)= . j& “ ,u)2du)= CO. (1.37)

Это было названо Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой». Таким образом, классическая теория оказалась не в состоянии дать сколько-нибудь удовлетворительное описание равновесного излучения.

в. Формула Планка

Для устранения «ультрафиолетовой катастрофы» Планк в 1900 г. выдвинул существенную гипотезу, коренным образом изменившую ряд основных положений классической физики. А именно, Планк предположил, что энергия микроскопических систем (атомов, молекул и т д ) может принимать не любые непрерывные, а только определенные дискретные значения. В частности, при построении теории черного излучения Планк выбрал модель осциллятора, предположив, что его энергия может принимать только определенные дискретные значения, кратные минимальной энергии £：

Е = пе,(1.38)

где 九=0, 1, 2,....

В связи с этим при определении среднего значения мы должны интеграл (1.34) заменить суммой:

Е =In £ ее』』

п — О

=—™ in ——£ 不 =―~.(1.39)

da 1 — 6 as gcu — 1' 丿

Подставляя это значение £ в (1.32), для спектральной плотности излучения получаем формулу:

со®е

Рз Т •(1.40)

Чтобы эту формулу привести в соответствие с термодинамическим законом Вина (1.36), достаточно положить е пропорциональным ш：

г —(1.41)

Тогда получаем формулу Планка:

Ро)亢⑴，(L42)

冗％з(ekr— 1)

явившуюся блестящим достижением квантовой теории.

Величина ^ = 1,05-10 27 эрг • сек, имеющая размерность действия, получила название постоянной 口几анк»).

V В литературе чаще постоянной Планка называют величину 力=2冗方= =6,6249 • 10~27 эрг • сек, которая связывает энергию £ с частотой v:

£ = Av.

Для небольших частот ^ <^ 1^ экспоненту ^kT можно представить в виде разложения в ряд по (力о)/^Т); тогда, ограничиваясь линейным членом разложения, имеем:

^Лсо/АГ小十蘇

При этом формула Планка (1.42) переходит в формулу Рэлея —— Джинса (1.35).

В случае же больших частот (~|^》1) в знаменателе (1.42) можно пренебречь единицей и тогда рш запишется в форме:

如？ТС2С3如？ТС2С3^—Йсо/АГ^—Йсо/АГ(1.43)(1.43)

如？

ТС2С3

如？

ТС2С3

^—Йсо/АГ

^—Йсо/АГ

(1.43)

(1.43)

Формула Планка (1.42), описывающая зависимость спектральной плотности теплового излучения рш от частоты о), находится в прекрасном согласии с экспериментом (см. фиг. 1.1).

На основании формулы (1.42) и соотношения (1.18) можно найти интегральную плотность излучения:

M=}da)=备 j弟二.(1.44)

Вводя переменную l = h^jkT и учитывая, что

兀4 1)兀4 1)

兀4 1)

兀4 1)

I) Для того чтобы раскрыть этот интеграл, мы должны разложить

подынтегральное выражение в ряд:

^^=『 {е^+е-^+е^+

Тогда, принимая во внимание, что

легко докажем искомое равенство.

получаем известный закон Стефана ——Больцмана4):

“=与黑= "*，(1-45)

где

。=^^Ф" = 7,56 • 10-1Вэрг • см ? • гра^,(1.46)

Как видно из формулы (1.42), спектральная плотность равновесного излучения при некотором о)должна иметь максимум, положение которого зависит от температуры (закон смещения Вина). Однако закон смещения Вина обычно записывается для спектрального распределения р入 по длинам волн 入. Чтобы определить рх, воспользуемся выражением для и:

и = jp%d入.о

Учитывая, что 入= 2кс/о), при переходе к спектральному распределению по частотам будем иметь:

"=J聂「入“3 = §Рз"з・(1.47)

Оо

Отсюда находим:

16я2сЙ八

Рх = —рш = ―^•(148)

入5伯)

Чтобы определить значение Хмакс, при котором р入 имеет мак- симальное значение, производную —■ следует приравнять нулю:

Полагая 2^/^TXMaKC>=j/, приходим к уравнению:

『5(1一吟，

1) Обычно измеряют не плотность а, а энергию аТ* излучаемую в 1 сек черным телом с 1 ел/? его поверхности в одну сторону (Q = 2a). Здесь постоянная Стефана — Больцмана:

о = 2冗 萨 о = £。= 5,67 • 1 От 3p2 . с*т • 2P而一‘.сект1.

у^5(\ — 6书=4,965.у^5(\ — 6书=4,965.Фиг. 1.2. Закон смещения Вина.Фиг. 1.2. Закон смещения Вина.Кривые распределения энергии в спектре абсо-Кривые распределения энергии в спектре абсо-лютно черного тела в зависимости от температуры: 入м介7^0,29 см-град.лютно черного тела в зависимости от температуры: 入м介7^0,29 см-град.макс.макс.

у^5(\ — 6书=4,965.

у^5(\ — 6书=4,965.

Фиг. 1.2. Закон смещения Вина.

Фиг. 1.2. Закон смещения Вина.

Кривые распределения энергии в спектре абсо-

Кривые распределения энергии в спектре абсо-

лютно черного тела в зависимости от температуры: 入м介7^0,29 см-град.

лютно черного тела в зависимости от температуры: 入м介7^0,29 см-град.

макс.

макс.

в виде:в виде:решение которого с большой точностью может быть представлено

в виде:

в виде:

Таким образом, Хмакс оказывается связанным с температурой Т при помощи соотношения:

(1.49)(1.49)入макс?=謐=6 = 0,29 см-град,

(1.49)

(1.49)

выражающего закон смещения Вина, причем b называется постоянной Вина. Согласно этому закону при повышении температуры абсолютно черного тела максимум интенсивности излучения смещается в сторону более коротких длин волн (см. фиг. 1.2).

Равенства (1.46) и (1.49) связывают постоянные Планка /г и Больцмана k с постоянными а и Ь.

Зная же численные значения а а Ь, мы можем определить 力 и 々.Таким образом,

впервые было найдено численное значение для 力 и уточнено значение для k.

Резюмируя, можно сказать, что, согласно гипотезе Планка, такие процессы, как

излучение и поглощение, должны обладать квантовым

характером, т. е. изменение энергии микрочастиц в этих процессах должно происходить скачкообразно, а не плавно, как это следует из классической физики.

г. Теория фотонов Эйнштейна

При выводе своей формулы Планк предположил, что осцилляторы могут принимать лишь дискретные значения энергии. Однако это новое свойство осциллятора в первоначальном варианте теории осталось физически не обоснованным (точнее, сам Планк «особые свойства» старался скорее приписать только нагретому телу, а не электромагнитному излучению).

Эйнштейн сделал второй крупный шаг на пути развития теории «квант». А именно, он выдвинул новую гипотезу, согласно которой осцилляторы могут порциями поглощать и испускать

электромагнитную энергию благодаря тому, что само электромагнитное излучение состоит из отдельных корпускул ——фотонов, несущих энергию 力о). Таким образом, Эйнштейн считает, что формула Планка характеризует прежде всего корпускулярные свойства света.

Попытаемся теперь построить элементарную теорию фотонов. Согласно классической теории, энергия световой волны определяется равенством:

6 = + \(? + "2)也=士,Ё2 d：%,(1.50)

где d'x — элемент объема, и интегрирование проводится по всему пространству. Электромагнитное же количество движения (т. е. импульс) л световой волны дается в классической теории формулой:1 「

8(1.51)

(1.51 а)(1.51 а)которую, согласно (1.4), можно записать также в виде:

(1.51 а)

(1.51 а)

Сравнивая (1.51 а) с (1.50), находим связь между импульсом л

(1.52)(1.52)и энергией &:

(1.52)

(1.52)

Такое же соотношение между энергией и импульсом имеет место и в теории относительности для частиц с нулевой массой покоя, что может быть легко получено из равенства (1.14), полагая в последнем т0 = 0,①=0, 4 = 0.

Исходя из этих соображений, Эйнштейн пришел к заключению, что электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность частиц ——фотонов с массой покоя, равной нулю, и энер- гие^: $ =力⑴. (1.53)

Для импульса фотона при этом получается соотношение:

R =胪丁=依?=探，(1.54)

где 力=2兀力，й = —-волновой вектор—— волновое

число).

На основе этих представлений Эйнштейном в 1905 г. была построена количественная теория фотоэлектрического эффекта, открытого Герцем (1887) ^. Сущность фотоэффекта заключается

Большую роль в исследовании фотоэффекта сыграли также опыты русского физика А. Г. Столетова.

в том, что искра между двумя заряженными шариками проскакивает при меньшем напряжении между ними, если осветить катод, по сравнению с тем, когда катод не освещен. Для объяснения этого явления Эйнштейн предложил простое уравнение: 呼=标一步,(1.55)

представляющее собой баланс энергии и означающее, что кнне- тическая энергия —— вылетевшего электрона должна быть равной разности энергии поглощенного фотона йо)и работы выхода W электрона из металла. Очевидно, что если 力出<呼，то электроны не могут выйти из металла. Только в том случае, когда энергия падающих фотонов превысит величину W, электроны смогут покинуть металл.

Экспериментальная проверка теории фотоэффекта Эйнштейна блестяще подтвердила основной вывод о том, что энергия вылетевших электронов зависит только от частоты (но не от интенсивности) падающего света, причем фотоэлектроны начинают вылетать тогда, когда частота света о)будет превышать некоторое предельное значение:

Весьма убедительно выводы теории фотонов были подтверждены

экспериментально в 1923 г. при исследовании рассеяния рентгеновских лучей свободными электронами (эффект Комптона). Эффект Комптона интересен еще и в том отношении, что в нем проверяется не только, закон сохранения энергии (как в теории

Фиг. 1. 3. Рассеяние света на свободном электроне (эффект Комптона).Фиг. 1. 3. Рассеяние света на свободном электроне (эффект Комптона).фотоэффекта), но и закон сохранения импульса.

Фиг. 1. 3. Рассеяние света на свободном электроне (эффект Комптона).

Фиг. 1. 3. Рассеяние света на свободном электроне (эффект Комптона).

Как известно, в классической теории при рассеянии света свободными электронами его частота не меняется (ц/ = о)). По квантовой же теории часть энер

гии фотона е = %о) передается электрону (см. фиг. 1.3) и поэтому энергия рассеянного фотона е'=%“，а вместе с тем и его частота, вообще говоря, должны быть несколько меньше (&'<% w'^w).

Чтобы найти зависимость частоты от угла рассеяния, напи

как частицы:как частицы:шем законы сохранения энергии и импульса, рассматривая фотоны,

как частицы:

как частицы:

(1.56)(1.56)力 СО —力 со = С* (/72 — /71о),力也一H^ = mv.

(1.56)

(1.56)

Здесь т0 и m = т0/ ]/1 — ₽2 — масса электрона соответственно до и после столкновения, к ——его скорость, р = и/с, Hk = H^[c и НК = 11^1 с ——импульс фотона до и после рассеяния.

Перепишем уравнения (1.56) в виде:

о)— о/ = g-(加一m0),

元一川元一川HIV ~~hHIV ~~h(1.56 a)(1.56 a)

元一川

元一川

HIV ~~h

HIV ~~h

(1.56 a)

(1.56 a)

Возводя эти равенства в квадрат и вычитая затем первое равенство из второго, получаем:

за/(1 — cos$) =讐(сз —сз').(1.57)

Замечая далее, что 入= 2кс/о)и V = 2^cj^t после деления (1.57) на о)о/, находим выражение для увеличения длины волны рас

(1.58)(1.58)сеянного света:

(1.58)

(1.58)

где 入о ——комптоновская длина волны электрона:

% =浊= "- = 2,4.10-1。см.

Таким образом, мы видим, что с точки зрения квантовых представлений длина волны рассеянного света 入'должна быть больше начальной 入(入'〉入),так как u/<u). Это увеличение тем существеннее, чем больше угол рассеяния 8. Поскольку комптоновская длина волны Хо сравнительно малая величина, комптоновское рассеяние можно наблюдать при сравнительно малых длинах волн (рентгеновское излучение, гамма-кванты). В самом деле, для видимого света (入〜10-в см):

牛〜乎〜10-»= Ю-3 %,

для рентгеновских же лучей (Х^ 10~8-ь 10-9 см):

¥~10"=10%・

Поэтому только во втором случае комптоновское смещение может наблюдаться экспериментально.

Опыты Комптона представляли собой исследование рассеяния излучения рентгеновской трубки на графите или другом веществе (литии, бериллии, натрии, калии, железе, никеле, меди и т. д.) под различными углами 8. Спектральное же распределение интенсивности рассеянного излучения под различными углами измерялось при помощи ионизационной камеры.

наряду с этим максимумом появляетсянаряду с этим максимумом появляетсяДлина ЬолныДлина ЬолныqEQQHgnoHBEHWqEQQHgnoHBEHW

наряду с этим максимумом появляется

наряду с этим максимумом появляется

Длина Ьолны

Длина Ьолны

qEQQHgnoHBEHW

qEQQHgnoHBEHW

На фиг. 1.4 изображено спектральное распределение падающей и рассеянной волны. Если в падающей волне (верхняя кривая) имеется один максимум, то в рассеянной (нижняя кривая)

дополнительный максимум, смещенный в сторону длинных волн.

Поскольку длина волны, соответствующая этому дополнительному максимуму, смещается в соответствии с формулой (1.58) тем сильнее, чем больше угол рассеяния, и не зависит от рода вещества, то он должен соответствовать комптоновскому смещению). Несмещенный максимум соответствует рассеянию на электронах атома, сильно связанных с ядром (точнее на электронах, у которых энергия связи с ядром больше энергии кванта рентгеновских лучей). Смещенный

же ма ксимум соответ-

宀 сствует рассеянию на

Фиг. 1.4. Спектральные распределения рент- 丿 卜 геновских лучей в эффекте Комптона до электронах, СЛЭОО СВЯ- (верхияя кривая) и после (нижняя кривая) занных С ядром, когда рассеяния.практически их можно

считать свободными.

Таким образом, результаты опытов Комптона полностью подтвердили квантовую природу света (теорию фотонов).

Рассмотрим, наконец, весьма интересные опыты С. И. Вавилова с флуктуациями видимого света. Если световой поток действительно представляет собой совокупность отдельных фотонов, то согласно законам статистической физики он может флуктуировать, т. е. число фотонов в единице объема может с тече

нием времени хаотически изменяться.

Известно также, что для человеческого глаза существует резкий зрительный порог ощущения: если энергия излучения, падающего на сетчатку глаза, меньше некоторой определенной величины, то глаз совершенно не ощущает света. Этими двумя свойствами и воспользовался С. И. Вавилов для непосредственного наблюдения квантовых флуктуаций света.

По оценке Вавилова, приближенное число фотонов, необходимых для того, чтобы вызвать зрительное ощущение глаза, достаточно долго пробывшего в темноте, составляет около 200. При этом небольшое уменьшение (примерно на 10 фотонов) мо

с отдерстиемс отдерстиемФиг. 1.5. Схема опытов Вавилова с флуктуациями света.Фиг. 1.5. Схема опытов Вавилова с флуктуациями света.жет привести к тому, что свет уже не будет воздействовать на глаз наблюдателя.

с отдерстием

с отдерстием

Фиг. 1.5. Схема опытов Вавилова с флуктуациями света.

Фиг. 1.5. Схема опытов Вавилова с флуктуациями света.

Пропуская лучи зеленого света (к этому цвету глаз человека наиболее чувствителен) через отверстие диска (см. фиг. 1. 5), вращающегося с частотой, подобранной таким образом, чтобы глаз мог отдыхать (вспышка создавалась длительностью 0,1 сек, а в течение 0,9 сек глаз отдыхал), наблюдатель мог фиксировать вспышку, нажимая кнопку хро-

можно было непрерывноможно было непрерывнонографа. Яркость светового источника

можно было непрерывно

можно было непрерывно

уменьшать.

В результате опыта оказалось, что вначале наблюдатель отмечает каждую вспышку. При дальнейшем же понижении яр

кости вспышки перестают соответствовать каждому прохождению света через отверстие диска, т. е. начинают наблюдаться флуктуации: в одном случае вспышки видны, в другом нет, хотя яркость при этом не изменяется. Это говорит о том, что при понижении интенсивности число фотонов в данном пучке флуктуирует настолько сильно, что изучаемый пучок может стать то видимым, то невидимым.

Таким образом, С. И. Вавилов показал, что пучок света наряду с интенсивностью, частотой и поляризационными свойствами должен характеризоваться также и флуктуациями. Последнее же обстоятельство может быть понятно только в том случае, если свет имеет дискретную структуру. Большой экспериментальный материал, полученный С. И. Вавиловым, окончательно подтвердил фотонную природу света, в соответствии с теорией Эйнштейна.

Более того, как нам кажется, эти опыты Вавилова с флуктуациями световых пучков дали новое понимание связи волно-

2 Квантовая механика

вых и корпускулярных свойств света, которые мы постараемся использовать при интерпретации корпускулярное волнового дуализма в квантовой механике (см. § 3 и 7)).

§ 2. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ БОРА

а. Основные сведения о свойствах атомов

Построению теории атома предшествовало получение надежных экспериментальных данных при изучении следующих эффектов.

Излучение света атомами. В результате тщательного изучения излучения атомов было установлено, что спектр атомов является линейчатым и образует определенные серии. Например, все линии в атоме водорода можно было объединить известной •формулой Бальмера):

б)

где R ——постоянная Ридберга, п! и п ——целые числа. Полагая здесь пг = 1 и 〃 = 2, 3, 4,..., получим серию Лаймана, лежащую в ультрафиолетовой части спектра.

При 〃' = 2 и 几=3, 4, 5,... будем иметь расположенную в видимой части спектра и в связи с этим наиболее доступную для изучения серию Бальмера и т. д.

Формулу (2.1) можно также представить в виде разности двух величин:

⑴=Т , , (2.1а)

получивших название спектральных термов. Для атома водорода эти термы равны:

Возможность представления частоты излучения как разности двух термов следует из так называемого комбинационного принципа Ритца), имеющего большое значение при изучении спектра не только атома водорода, но и более сложных атомов.

Заметим, что вначале для атома водорода были обнаружены две серии, соответствующие //=1 (серия Лаймана) и п' = 2 (серия Бальмера). На основе комбинационного принципа Ритца была предсказана третья серия с 几'=3 и 几=4, 5, 6,..., которая затем была экспериментально открыта Пашеном в инфракрасной области спектра.

Поведение атома во внешнем электрическом и магнитном полях и в особенности взаимодействие атома с быстрыми частицами, проходящими сквозь вещество.

В этом отношении наиболее существенными оказались опыты Резерфорда, которому удалось найти распределение положительного заряда внутри атома путем исследования рассеяния быстрых альфа-частиц при прохождении их через вещество.

Наконец, важные данные о 'свойствах атомов были получены при анализе различных свойств молекул. Образование простейших гомеополярных молекул, а также теория валентности получили свое объяснение только на основе современной квантовой теории атома.

6, Классическая модель атома

После того как было установлено, что атом состоит из положительно заряженной части, связанной с основной массой атома, и легких отрицательно заряженных электронов, были сделаны попытки построить статическую модель. Такой подход подсказы-

вался тем обстоятельством, что, согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся электрон должен излучать.вался тем обстоятельством, что, согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся электрон должен излучать.Количество энергии, ляется формулой:Количество энергии, ляется формулой:излучаемое им в единицу времени, опреде-излучаемое им в единицу времени, опреде-(2.2)(2.2)электрона (% = 4,80-10~10 CGSE — элемен-электрона (% = 4,80-10~10 CGSE — элемен-где е=——％ ——зарядгде е=——％ ——заряддорода по Томсону.дорода по Томсону.Положительный заряд е° равномерно распределен по объему сферы радиуса R°. Электрон (с зарядом—^о) находится на расстоянии к от центра атома.Положительный заряд е° равномерно распределен по объему сферы радиуса R°. Электрон (с зарядом—^о) находится на расстоянии к от центра атома.2.1). Плотность заряда2.1). Плотность зарядажением:жением:тарный заряд), ну — ускорение электрона, с — скорость света в вакууме. Знак минус перед dE/dt показывает, что благодаря излучению энергия электрона уменьшается. Поскольку в основном состоянии атомы не излучают, то согласно классической теории, заряды в них должны покоиться.Наиболее интересной классической моделью оказалась модель Томсона, согласно которой положительный заряд атома должен равномерно заполнять весь атом, а внутри него находятся практически точечные отрицательные заряды —— электроны.Например, в атоме водорода его положительный заряд с。должен равномерно заполнять сферу радиуса 旦 (см. -фиг. внутри сферы будет определяться выратарный заряд), ну — ускорение электрона, с — скорость света в вакууме. Знак минус перед dE/dt показывает, что благодаря излучению энергия электрона уменьшается. Поскольку в основном состоянии атомы не излучают, то согласно классической теории, заряды в них должны покоиться.Наиболее интересной классической моделью оказалась модель Томсона, согласно которой положительный заряд атома должен равномерно заполнять весь атом, а внутри него находятся практически точечные отрицательные заряды —— электроны.Например, в атоме водорода его положительный заряд с。должен равномерно заполнять сферу радиуса 旦 (см. -фиг. внутри сферы будет определяться выраВ основном состоянии по этой теории электрон должен находиться в центре сферы, где электрическое поле равняется нулю. На расстоянии r = K<R® от центра электрическое поле Е будет направлено по радиусу, причем его значение может быть найдено по теореме Гаусса:Ej = p%3=普’В основном состоянии по этой теории электрон должен находиться в центре сферы, где электрическое поле равняется нулю. На расстоянии r = K<R® от центра электрическое поле Е будет направлено по радиусу, причем его значение может быть найдено по теореме Гаусса:Ej = p%3=普’откудаоткудаЕ 一网厂Е 一网厂(2.3)(2.3)

вался тем обстоятельством, что, согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся электрон должен излучать.

вался тем обстоятельством, что, согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся электрон должен излучать.

Количество энергии, ляется формулой:

Количество энергии, ляется формулой:

излучаемое им в единицу времени, опреде-

излучаемое им в единицу времени, опреде-

(2.2)

(2.2)

электрона (% = 4,80-10~10 CGSE — элемен-

электрона (% = 4,80-10~10 CGSE — элемен-

где е=——％ ——заряд

где е=——％ ——заряд

дорода по Томсону.

дорода по Томсону.

Положительный заряд е° равномерно распределен по объему сферы радиуса R°. Электрон (с зарядом—^о) находится на расстоянии к от центра атома.

Положительный заряд е° равномерно распределен по объему сферы радиуса R°. Электрон (с зарядом—^о) находится на расстоянии к от центра атома.

2.1). Плотность заряда

2.1). Плотность заряда

жением:

жением:

тарный заряд), ну — ускорение электрона, с — скорость света в вакууме. Знак минус перед dE/dt показывает, что благодаря излучению энергия электрона уменьшается. Поскольку в основном состоянии атомы не излучают, то согласно классической теории, заряды в них должны покоиться.

Наиболее интересной классической моделью оказалась модель Томсона, согласно которой положительный заряд атома должен равномерно заполнять весь атом, а внутри него находятся практически точечные отрицательные заряды —— электроны.

Например, в атоме водорода его положительный заряд с。должен равномерно заполнять сферу радиуса 旦 (см. -фиг. внутри сферы будет определяться выра

тарный заряд), ну — ускорение электрона, с — скорость света в вакууме. Знак минус перед dE/dt показывает, что благодаря излучению энергия электрона уменьшается. Поскольку в основном состоянии атомы не излучают, то согласно классической теории, заряды в них должны покоиться.

Наиболее интересной классической моделью оказалась модель Томсона, согласно которой положительный заряд атома должен равномерно заполнять весь атом, а внутри него находятся практически точечные отрицательные заряды —— электроны.

Например, в атоме водорода его положительный заряд с。должен равномерно заполнять сферу радиуса 旦 (см. -фиг. внутри сферы будет определяться выра

В основном состоянии по этой теории электрон должен находиться в центре сферы, где электрическое поле равняется нулю. На расстоянии r = K<R® от центра электрическое поле Е будет направлено по радиусу, причем его значение может быть найдено по теореме Гаусса:

Ej = p%3=普’

В основном состоянии по этой теории электрон должен находиться в центре сферы, где электрическое поле равняется нулю. На расстоянии r = K<R® от центра электрическое поле Е будет направлено по радиусу, причем его значение может быть найдено по теореме Гаусса:

Ej = p%3=普’

откуда

откуда

Е 一网厂

Е 一网厂

(2.3)

(2.3)

Поэтому на электрон с зарядом е =——％ и массой т0, удаленный от центра атома на расстояние %, должна действовать квазиупругая сила притяжения к центру:

F = - %e = 一 — х ——叫%%.

Учитывая эту силу, можно написать следующее дифференциальное уравнение:殳十吟％ =(),(2.4)

х = А cos 3(/+ 幻，вместо % основную частоту, наблюдаемую находим для радиуса атома вполне разумное см. Эта величина во много оаз больше клас-х = А cos 3(/+ 幻，вместо % основную частоту, наблюдаемую находим для радиуса атома вполне разумное см. Эта величина во много оаз больше клас-описывающее движение электрона. Решение этого уравнения имеет вид: где

х = А cos 3(/+ 幻，

вместо % основную частоту, наблюдаемую находим для радиуса атома вполне разумное см. Эта величина во много оаз больше клас-

х = А cos 3(/+ 幻，

вместо % основную частоту, наблюдаемую находим для радиуса атома вполне разумное см. Эта величина во много оаз больше клас-

Подставляя сюда в серии Бальмера, значение 凡〜10'8 сического радиуса электрона:

Модель Томсона вполне соответствовала классической теории Лоренца, согласно которой атомы должны были представлять собой гармонические осцилляторы.

В то же время модель Томсона не могла объяснить законы линейчатых спектров атомов и, в частности, возникновение спектральных серий в атоме водорода, описываемых формулой (2.1), поскольку, согласно классической теории, томсоновский атом мог излучать в лучшем случае, кроме основной частоты о)0, лишь ее гармоники: 小=%%, (2.5) где 九=1, 2, 3,....

Однако против модели Томсона говорили опыты Резерфорда, в которых было показано, что положительный заряд распределен не по всему объему атома, а сосредоточен в объеме с радиусом много меньше атомного, т. е. с точки зрения атомных размеров——в одной точке. Тем не менее томсоновский потенциал внутри ядра конечных размеров с зарядом ZeJ), равномерно распределенным по объему:

①=登修一隔, (2，6)

играет известную роль, в особенности, когда следует учитывать небольшие поправки на объем ядра. Необходимо также заме-

Если заряд ядра равен Ze。, то вектор напряженности электрического поля внутри ядра будет равен:

Отсюда, учитывая граничное условие, согласно которому при г = /?0 потенциал должен переходить в потенциал точечного заряда, т. е. в

приходим к соотношению (2.6).

тить, что при образовании мезоатомов (вместо электрона в состав атома входит отрицательный мю-мезон, масса которого в 207 раз больше массы электрона) при больших Z могут быть такие состояния, когда отрицательный мю-мезон все время будет находиться внутри ядра. В этом случае движение мю-мезона будет в основном определяться потенциалом (2.6). Однако законы его движения будут не классические, а квантовые (более подробно см. § 21).

в. Опыты Резерфорда. Строение атома по Резерфорду

Современная модель атома была установлена на основе знаменитых опытов Резерфорда (1911), исследовавшего прохождение альфа-частиц сквозь вещество. Как известно, альфа-частицы, образовавшиеся в результате ядерного распада, обладают достаточной энергией, чтобы проникнуть в глубь атома. В то время не было еще известно других источников получения достаточно тяжелых (т. е. по массе соизмеримых с массой ядра) частиц, обладающих столь большой энергией, чтобы проникнуть внутрь атома.

Пропуская альфа-частицы через тонкие металлические пластинки (фольги), Резерфорд показал), что большая часть прошедших сквозь вещество альфа-частиц отклоняется от своего первоначального направления движения (рассеивается) на сравнительно малые углы (2——3°). Эти небольшие отклонения можно было трактовать в рамках томсоновской модели с точки зрения статистической теории случайных процессов как результат сравнительно слабых воздействий атомов на альфа-частицы. Однако наряду с рассеянием на малые углы Резерфорд и его сотрудники обнаружили отклонение отдельных альфа-частиц и на очень большие углы, доходящие порой до 180°. Хотя число таких отклонений было ничтожным (например, при прохождении пучка альфа-частиц от RaC через платиновую фольгу из 8000 падающих альфа-частиц всего лишь одна отклоняется на угол, больший 90°), оно все-таки намного превышало то значение, которое следовало ожидать, если исходить из возможности наложения ряда малых случайных отклонений.

Рассеяние на большие углы наблюдалось также и при прохождении альфа-частиц через газы. Это легко можно было обнаружить на фотографиях в камере Вильсона.

Обобщая результаты проведенных опытов, Резерфорд устано- вил, что, во-первых, атомы по своей природе в значительной мере прозрачны для альфа-частиц, т. е. имеют сравнительно «ажурную» структуру, и, во-вторых, что отклонения на большие углы возможны только в том случае, если внутри атома имеется очень сильное электрическое поле, создаваемое положительным зарядом, связанным с большой и сконцентрированной в очень малом объеме массой. В связи с этим заметим, что, согласно формуле (2.6), наибольшее поле, создаваемое ядром радиуса R» определяется выражением:

士маке. 凡,

Для объяснения этих опытов Резерфорд предложил планетарную модель атома, согласно которой атом построен по типу планетной системы: в центре в весьма малом объеме радиуса Ro 〜IO"?——10'12 см сосредоточено положительно заряженное ядро, определяющее почти всю массу атома, а вокруг него по замкнутым орбитам движутся, как планеты, отрицательно заряженные электроны. Попутно отметим, что зависимость потенциальной энергии ньютоновского притяжения планеты с массой т Солнцем (массы М) от г:Х?пМ

У ньют.3,

где X——гравитационная постоянная, по форме совпадает с кулоновской потенциальной энергией притяжения электрона к ядру:

^кул. ——^кул. ——Z雷Z雷

^кул. ——

^кул. ——

Z雷

Z雷

Мцрнв・Мцрнв・МоМяд.此 + Mu.МоМяд.此 + Mu.

Мцрнв・

Мцрнв・

МоМяд.此 + Mu.

МоМяд.此 + Mu.

Исходя из этих представлений, Резерфордом была развита количественная теория рассеяния. В основу расчетов было поло- жено кулоновское взаимодействие альфа-частицы с ядром. При этом влиянием атомных электронов в первом приближении пре- небрегалось, так как их энергия значительно меньше энергии налетающих частиц.

Найдем, следуя Резерфорду, траекторию альфа-частицы, движущейся в поле бесконечно тяжелого) точечного ядра, обладаю-

(более подробно о приведенной массе см. § 12) в/

щего зарядом Ze。. Исследование будем проводить в системе координат, начало которой совмещено с ядром (см. фиг. 2.2). Замечая, что поле, создаваемое ядром, обладает центральной симметрией, для определения траектории альфа-частицы мы можем, кроме закона сохранения энергии:

(2.7)(2.7)£ = const,

(2.7)

(2.7)

использовать еще закон сохранения момента количества движения:

Фиг. 2.2. К выводу формулы Резерфорда для сечения упругого рассеяния альфа-частиц на ядрах.Фиг. 2.2. К выводу формулы Резерфорда для сечения упругого рассеяния альфа-частиц на ядрах.£ = Мо [rv] = const, (2.8) где АГ。——масса альфа-частицы, а 尸 и о——^е координата и скорость.

Фиг. 2.2. К выводу формулы Резерфорда для сечения упругого рассеяния альфа-частиц на ядрах.

Фиг. 2.2. К выводу формулы Резерфорда для сечения упругого рассеяния альфа-частиц на ядрах.

Вводя полярные координаты /■ и ^ и учитывая, что скорость частицы определяется равенством:

№ = и2ц + № 丄—产十 г%*(2.9)

где v\\ = r и 0丄=厂电一соответственно параллельная и перпендикулярная радиусу-вектору 尸 составляющие скорости о, а г = =-^ и 中=号~, вместо (2.7) и (2.8) получаем уравнения:

e =竽十 1/=争(产十个2)+ 干 = const,(2.10)

Lz = Mq [rv]z = M,結—const.(2.11)

Принимая расстояние, на котором бы альфа-частица прошла от ядра в отсутствии взаимодействия, равным b (это расстояние Ь называется прицельным расстоянием или параметром удара) и считая начальную (т. е. при го н ?f 穴;см. фиг. 2.2)

скорость, равной ^0, соотношения (2.10) и (2.11) можно привести

к виду:

(2.12)

网飞| =m如，

(2.13)

где начальная энергия 当 связана с начальной

скоростью 4

соотношением:

附О% 尸

(2.14)

Вводя новую переменную:

(2.15)

и замечая, что в связи с этим, согласно (2.13):

闸=將=%bu&,

(2.16)

а

阳=嗡电1 = 1哂а

(2.17)

где и = ^, преобразуем (2. 12) к виду:

'〃 ！9 14Z雷1

〃 1 4 ，м°%а〃—庐

(2.18)

Дифференцируя это уравнение еще раз по ?, получаем:

(2.19)

и" 4 и

откуда находим:

и = A cos 7

8 cjn 92Z纬,

(2.20)

"。1口 屮m。*

Неизвестные постоянные коэффициенты А исходя из начальных условий:

и В определим,

и

lim г =

lim =оо

，

(2.21)

lim г sin 干

1 •sin ср ,

=ит —^ = 6.

爭Т亦"

(2.22)

Полагая в (2.20)

? = К И W =

=0, получаем:

_2Z缁

一 %啲'

(2.23)

в результате чего примененное к (2.20) условие (2.22) дает:

551万1万(2.24)(2.24)

5

5

1万

1万

(2.24)

(2.24)

仅=8丿仅=8丿M V 办 v 62 V 63 V 68.M V 办 v 62 V 63 V 68.конечность т.е. и~конечность т.е. и~

仅=8丿

仅=8丿

M V 办 v 62 V 63 V 68.

M V 办 v 62 V 63 V 68.

конечность т.е. и~

конечность т.е. и~

Таким образом, окончательно имеем:

〃=与^屮一後(l + cos.%・(2.25)

Это соотношение устанавливает связь между абсолютным значением радиуса-вектора 尸 и полярным углом 屮 и описывает тем самым траекторию альфа-частицы в кулоновском поле ядра. Оно представляет собой выраженное в полярных координатах уравне

ние гиперболической траектории.

Замечая, что угол рассеяния 8 согласно определению равен углу 屮(中 W 屮0=n), при котором длина радиуса- вектора г обр ащается в бес/1

=0 ; см. фиг. 2.2^ , из (2.25) находим:

(2.26)

Отсюда следует, что с умень-

шением b угол рассеяния увеличивается и при Ь = 0 достигает 180° (см. фиг. 2.3).

Формула (2.26) может быть проверена экспериментально путем фотогр афир ова ни я следов альфа-частиц в камере Вильсона, причем по максимальному значению угла рассеяния можно было вычислить минимальное значение параметра Ь, имеющего значение порядка радиуса ядра. Однако более точно закон взаимодействия между альфа-частицей и ядром был установлен на основе исследования эффективного сечения рассеяния альфа-частиц на ядрах. Для этого Резерфорд нашел относительное число частиц, рассеянных на угол 8, точнее, число частиц, попадающих после рассеяния внутрь телесного угла:

(2.27)(2.27)dQ = 2冗 sin3d&.

(2.27)

(2.27)

Пусть в единицу времени на единицу поверхности, расположенной перпендикулярно к 'первоначальной скорости, падает ^ частиц. Тогда, как видно из (2.26), угол рассеяния будет зави-

сеть только от значения прицельного расстояния Ь. Точнее, для того чтобы в результате рассеяния частица отклонилась на угол 8, она должна попасть внутрь кольца с радиусами b и 6 ——db. Площадь такого кольца равна 2^bdb. Поэтому число альфа-частиц, попадающих в единицу времени на эту площадь, а затем в результате рассеяния попадающих внутрь телесного угла dQ, будет равно:

dN = N*2K\bdb\. (2.28)

Отсюда для относительного числа рассеянных на угол 8 частиц, согласно (2.26), получаем выражение:

需=元*=穴(普)!^ctg3 y|.需=元*=穴(普)!^ctg3 y|.(2.29)(2.29)

需=元*=穴(普)!^ctg3 y|.

需=元*=穴(普)!^ctg3 y|.

(2.29)

(2.29)

Отношение dN/N имеет размерность площади и называется дифференциальным эффективным сечением. Обозначается оно обычно через 厶.Взяв в (2.29) производную от ctg?£, приходим к фор

новском центре:новском центре:(2.30)(2.30)муле Резерфорда для упругого рассеяния альфа-частиц на куло

новском центре:

новском центре:

(2.30)

(2.30)

не зависящей уже от параметра Ь.

厶 sin4厶 sin488dQ = constdQ = constЕсли в этом выражении изменять только угол 8, оставляя все остальные величины постоянными, то нетрудно видеть, что должно иметь место равенство:

厶 sin4

厶 sin4

8

8

dQ = const

dQ = const

(2.31)

Однако при 8一冗 величина sin& ^do перестает быть постоянной и начинает несколько уменьшаться. Этот факт был объяснен учеником Резерфорда Блеккетом, изучавшим границы применимости закона Кулона. Блекнет сделал большое число фотографий следов альфа-частиц в камере Вильсона и подсчитал, как часто встречаются те или иные углы рассеяния. В результате обработки экспериментальных данных им было установлено, что в случае больших углов рассеяния [это, согласно (2.26), соответствует малым значениям параметра Ь] число рассеянных частиц, полученное на опыте, заметно меньше того числа, которое следует из формулы (2.30). На основании этого Блекнет пришел к выводу, что для воздуха, например, закон Кулона справедлив до расстояний порядка 3-10~12 см. На меньших же расстояниях имеет место отклонение от закона Кулона. А именно, при Ь<—1()72 см взаимодействие альфа-частиц с ядром происходит

таким образом, как если бы между ними действовали силы взаимного притяжения. Дальнейшие экспериментальные исследования подтвердили существование на расстояниях, меньших 10*12 см, специфических сил притяжения, быстро убывающих с удалением от ядра (см. ниже формула (28.43)).

Формула Резерфорда (2.30) позволяет путем экспериментального определения dN и N найти число Z. Это было проделано другим учеником Резерфорда Чадвиком. В результате им было показано, что значения 2 очень близки по своей величине к порядковому номеру элемента, который характеризует его положение в периодической системе Менделеева. Позже это совпадение было доказано строго.

Таким образом, опыты Резерфорда и его сотрудников окончательно подтвердили планетарную модель атома, доказав, что положительный заряд атома сосредоточен в ядре, имеющем размеры IO"'— 10-12 см, и что внутри атома действуют кулоновские силы, которые и удерживают движущиеся вокруг ядра электроны. Размеры атома равны по порядку величины 10~8— 10'7 см.

г. Теория Бора.

Попытаемся прежде всего с помощью классической теории построить планетарную модель атома, установленную Резерфордом. При этом мы ограничимся исследованием так называемого водородоподобного атома, когда вокруг ядра с зарядом Ze0 вращается один электрон (заряд е ———е/. Это может быть либо атом водорода (Z=l), либо ионизированный атом Не+ (Z = 2) и т. д.

Вводя полярные координаты г и ^ (x = r cos ▼，卫=r sin?), для кинетической энергии и потенциальной энергии кулоновского притяжения соответственно получаем выражения:

7 = *(产+产中2),

V = — —.Г

Отсюда для функции Лагранжа (лагранжиана) будем иметь:

Z = 手(产十7岁)+ 毕，(2.32)

где "% — масса электрона 9-

1) В дальнейшем в нерелятивистской теории массу электрона мы будем обозначать через т0, так как через т мы будем, как правило, обозначать магнитное квантовое число.

% =加о 产中=const,% =加о 产中=const,(2.35)(2.35)Из этого лагранжиана находим следующие уравнения движе-

% =加о 产中=const,

% =加о 产中=const,

(2.35)

(2.35)

ния электрона:

d

=0,

=0.

(2.33)

Здесь

P产

тогЦ

и

(2.34)

〃=

恤Г

обобщенные импульсы, соответствующие координатам ср и г. Так как ср не входит в Z явно (в связи с этим она называется циклической координатой), то -^ =0 и поэтому соответствующий обобщенный импульс будет представлять собой интеграл движения:

что соответствует закону сохранения момента количества движения классической механики. Второй закон сохранения, а именно закон сохранения энергии:

Е = Т ~\~ V = const(2.36)

мы получим из условия, что время / не входит явно в лагранжиан.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением простейшего случая круговых орбит, когда / = 0. Тогда в силу обращения в нуль pr — m^r из (2.33) находим:

奈=叫个2一鲁=0,(2.37)

откуда имеем:

炉=/.(2.38)

Поэтому для энергии электрона получаем выражение:

? =粤产歐_ 多 = 一^^1 =w.(2.39)

Выразим теперь основные параметры, характеризующие атом, через так называемые адиабатические инварианты системы, введенные Эренфестом. Согласно Эренфесту, в случае периодического движения величины:「

,р〃修=厶，(2.40)

получившие название адиабатических инвариантов (pz — обобщен、 ный импульс, Х{——обобщенная координата), должны оставаться

постоянными при медленном (адиабатическом) изменении параметров системы (например, заряда).

В нашем случае имеется одна степень свободы (尤=屮)，и поэтому условия (2.35) и (2.40) приводят к выражению:

или

% =他旷纯=^,(2.41)

中=鳥丁(2・42)

Тогда из соотношений (2.38) и (2.42) находим выражение для п 中 через адиабатический инвариант:

Для энергии же

/2 г—(2.43)

¥ = з° = —7f~!i.(2.44)

электрона согласно (2.39) имеем:

£ = —2п?門守.(2.45)

Отсюда следует, что частота механического колебания v0 определяется производной от энергии по адиабатическому инвари-

анту:

少=穿=史%".(2.46)

Эта связь имеет

место не только для рассматриваемого случая,

но и для любых жений 1).

периодических пли условно-периодических дви-

Под периодическим движением нонимае^ся 1акос движение, koi на через определенный промежуток времени материальная точка возвращается в свое первоначальное положение. Например, 1аковым является гармоническое движение:

% = a cos з£ или движение по эллипсу:

% = а cos sf и _у = 6 sin sf,

частным случаем которого является движение по окружности (а = Ь). Под условно-периодическим движением подразумевается такое, при котором материальная точка, как правило, не возвращается в свое первоначальное положение, но зато каждая из координат через некоторый промежуток времени (для каждой из координат различный) вновь принимает первоначальное значение. В качестве примера условно-периодического движения мы можем привести следующий:

X = a COS

y = b cos

причем частота 卽 не соизмерима с(%.

Если учесть, что система, совершающая какое-либо периодическое движение, может в общем случае излучать не только основной тон 龙=1, но и гармоники 々 = 2, 3, 4, . . . , то для классической частоты излучения будет иметь место выражение:

" =々"0 =々券. (2.46а)

Классическая теория планетарной модели атома встретила на своем пути ряд трудностей при объяснении излучения атомов.

В самом деле, эта модель является динамической, и поэтому, согласно законам классической электродинамики, электрон, вращаясь вокруг ядра, благодаря наличию центростремительного ускорения (侬=%, где v — его скорость, а а — радиус орбиты), должен терять энергию:

d£_2 ^w2— =

до тех пор, пока не упадет на ядро.

Однако в действительности этого не происходит, и атомы в свободном состоянии существуют сколь угодно долго.

Кроме того, частота излучения по классической теории должна равняться механической частоте колебаний(п = о)о = 2ку0 (основной тон) или хотя бы быть кратной ей о)л = по)0 (/г = 2, 3, 4, ...; гармоники), что также не может объяснить формулу Бальмера (2.1) для спектральных линий излучения, установленную экспериментально.

Выход из создавшегося затруднения был найден в 1913 г. Нильсом Бором, который дополнил классические законы движения двумя постулатами.

Во-первых, Бор предположил, что каждый атом имеет ряд дискретных стационарных состояний, в которых электрон не излучает, хотя и движется с ускорением (постулат стационарных состояний). Эти стационарные состояния согласно теории Бора можно определить путем квантования адиабатических инвариантов: 「

Ф pidqi = nh, (2.47)

где п — так называемое квантовое число, которое принимает лишь целочисленные значения: л=1, 2, 3, . (Напомним, что согласно классической механике адиабатический инвариант / может принимать любые постоянные значения.)

Во-вторых, Бор предположил, что при переходе электрона из одного ——начального ——стационарного состояния с энергией Еп в другое — конечное ——с энергией Е^<Еп атом должен излучать квант с энергией h^ = Й(о (постулат частот), круговая час-

тота о)излучения при этом находится из соотношения:

(2.48)

Ф и г. 2.4. Зависимость тока от энергии электронов в опытах Франка — Герца (1 98 =бо/ЗОО= 1,6 • Юз эрг).Ф и г. 2.4. Зависимость тока от энергии электронов в опытах Франка — Герца (1 98 =бо/ЗОО= 1,6 • Юз эрг).Последнее выражение может быть записано в форме, напоминающей классическое выражение (2.46а) для частоты излучения:

Ф и г. 2.4. Зависимость тока от энергии электронов в опытах Франка — Герца (1 98 =бо/ЗОО= 1,6 • Юз эрг).

Ф и г. 2.4. Зависимость тока от энергии электронов в опытах Франка — Герца (1 98 =бо/ЗОО= 1,6 • Юз эрг).

v =(" 一"，)等=左磐，(2.48a)

где целое число k = n ——几'можно интерпретировать как соответствующую гармонику. Кроме того, производная Е по /, входящая в классическое выражение, заменяется отношением конечных приращений.

Постулированная Бором дискретностьустойчивых

энергетическихсостояний

атомов нашла свое подтверждение в экспериментах, по ставленных в 1913 г. Франком и Герцем. Пропуская пучок электронов (ток) через пары ртути, они показали, что в случае, когда энергия электронов меньше 4,9 兆, столкновения электронов с атомами ртути не влияют на величину тока. Когда же

энергия электронов достигает величины 4,9 эв (см. фиг. 2.4), наступает внезапное спадание тока. При дальнейшем росте энергии электронов наблюдается периодически повторяющееся (примерно через 4,9 эв) резкое уменьшение тока. Это явление очень просто интерпретировать с точки зрения теории Бора. В самом деле, принимая энергию «невозбужденного» атома ртути (т. е. атома до столкновений) равной Ео и предполагая в соответствии с первым постулатом Бора следующее возможное значение энергии равным • Д = £0 -}- 4,9 зь, легко видеть, что если энергия электронов в пучке Е<4,9 зб, то она недостаточна для того, чтобы перевести атомы в «возбужденное» состояние; поэтому соударения будут упругими, т. е. ток не изменится. Если же 4,9 %, то электроны в пучке могут отдавать часть энергии (равную 4,9 зб) атомам; вместе с тем будет меняться и ток. Если же энергия принимает значение в интервале 14,7 38〉£〉

〉9,8 эв, то электроны могут передавать энергию атомам дважды: в результате первого соударения 4,9 5в и в результате второго еще 4,9 兆.

Применим теперь первый (2.47) и второй (2.48) постулаты Бора для построения теории водородоподобного атома. Тогда, подставляя в выражение для радиуса орбиты г [см. (2.43)] и энергии Е [см. (2.45)] квантовое значение адиабатического инварианта /, которое согласно (2.47) равно:

/=2адй,

имеем:

k — i 2紋方2k — i 2紋方2(2.49)

k — i 2紋方2

k — i 2紋方2

(2.50)

При n = 1 получаем энергию низшего (основного) состояния атома:

=(2.51)

и соответствующий радиус:

Й2 1/С гп\

m°Z爲=2。°'⑵ 52)

где радиус первой боровской орбиты:

а0 = -^ ^0,529- 10 scm.(2. 53)

На основании второго постулата Бора (2.48) в соответствии с (2. 50) для частот излучения 切汽# находим выражение:

一 еП 一 Е住，—码.Z储 / 11 \

т. е. при Z— 1 получаем формулу Бальмера (2.1). Теория Бора позволила связать установленное эмпирически значение для постоянной Ридберга с постоянной Планка й:

R = ^-(2-55)

Получение формулы Бальмера со значением для постоянной Ридберга, совпадающей с экспериментом, было одним из самых больших успехов теории Бора. Однако, несмотря на указанные успехи, теория Бора обладала рядом существенных недостатков, которые все сильнее сказывались при дальнейшем ее развитии.

Теория Бора, нося явно полуклассический характер, позволяла вычислять только частоты спектральных линий, но не их интенсивности. Для нахождения же интенсивностей приходилось прибегать к классической электродинамике на основе так называемого принципа соответствия).

Затем с помощью постулатов Бора не удалось построить теорию многоэлектронных атомов, в том числе и атома гелия, обладающего всего лишь двумя электронами.

Поэтому мы ие будем более детально рассматривать дальнейшее развитие боровской теории. Последняя явилась лишь переходным этапом от классической теории к квантовой, которая позволяет определить не только частоты, но и интенсивности излучения атомов.

Однако мы сочли целесообразным хотя бы кратко осветить основные положения теории Бора, которые и до настоящего времени сохраняют большое методическое значение. В частности, теория Бора часто является отправным пунктом при анализе многих результатов, связанных с процессом квантования.

Выводы, которые следуют из формулы (2.54), мы рассмотрим в § 13, когда задача о водородоподобном атоме будет решена на основе квантовой механики.

Задача 2.1. Произвести квантование (т. е. найти спектр энергетических уровней) водородоподобного атома в случае эллиптических орбит по боровской теории. Показать, что в нерелятивисгском приближении частоты изменения координат г и ср одинаковы, т. е. движение является периодическим. Убедиться, что формула для частоты излучения атомом остается такой же, как и в случае круговых орбит.

Какой новый момент в теорию вносит учет эллиптических орбит?

1/2%Е;粤竺一冬，1/2%Е;粤竺一冬，

1/2%Е;粤竺一冬，

1/2%Е;粤竺一冬，

Решение. Пользуясь условием (2. 40) и замечай, что в рассматриваемой задаче обобщенные импульсы, соответствующие координатам <р и г, будут равны соответственно:

% = m0r2^ = const, п 力=加"= находим

Последний интеграл был вычислен с помощью формулы:

2 j У一at一旨〃 =2n (告一m 不］)(2.56)

'mrh.

Отсюда для энергии Е получаем выражение:

Е = —Е = —4л2т0/2^^2(/. + %)*4л2т0/2^^2(/. + %)*

Е = —

Е = —

4л2т0/2^^

2(/. + %)*

4л2т0/2^^

2(/. + %)*

НепосредствеИным дифференцированием этого соотношения по переменным % и Zr нетрудно убедиться, что частоты изменения координат г и ср:

дЕдЕ丽И 3广西дЕдЕ丽И 3广西

дЕдЕ

丽И 3广西

дЕдЕ

丽И 3广西

квантования величинамиквантования величинамибудут совпадать друг с другом. Заменяя согласно правилу Бора (2.47) адиабатические инварианты /尸 и /^ соответственно nrh и нфй, получаем:

квантования величинами

квантования величинами

L ，

где и = пг +『"，пг = 0, 1, 2, 3, ... и п? = 1, 2, 3, ... . Это выражение полностью совпадает с выражением (2.50), выведенным в случае круговых орбит; поэтому частоты излучения остаются прежними.

Состояния с заданным и и различным n? xorrf и обладают одинаковой энергией, но отличаются друг от друга эксцентриситетом е：

В частности, при п^ = п будем иметь круговую траекторию. При уменьшении п? эллиптическая траектория становится более вытянутой.

Новым в случае учета эллиптических орбит являются правила отбора А孔屮= ±1, Ам = ± 1, ±2, ±3, ... , объясняющие возникновение серий, которые могут быть найдены из принципа соответствия. В случае же круговых орбит Ам =厶孔屮=± 1 (см. также § 13).

1) Более подробные указания о вычислении этого интеграла будут даны в задаче 13.5.

Задача 2.2. Найти классическое уравнение движения и траекторию электрона вокруг ядра по релятивистской теории. Показать, что в этом случае

с соответ-с соответ-частоты изменения координат г и 勺 являются различными, т. е. движение будет условно периодическим. Определить угол, на который смещается перигелий электрона за врЗмя 《одного» оборота. Получить формулу для энергетических уровней и найти величину их расщепления. Сравнить

с соответ-

с соответ-

ствующей нерелятивистской задачей 2.1.

Решение. Используя релятивистскую функцию Лагранжа:

⑵57)⑵57)z = -干+§，

⑵57)

⑵57)

Me

俨= ^ = %(产+ r审),

получаем уравнения движения в виде:

dd乙"乙"г3г3дХw и за-дХw и за-находим-находим-сохранениясохранениямечая, что рг энергии:мечая, что рг энергии:Определяя из (2.57) обобщенные импульсы р^ = ^^ и рг =Определяя из (2.57) обобщенные импульсы р^ = ^^ и рг =

d

d

乙"

乙"

г3

г3

дХ

w и за-

дХ

w и за-

находим-

находим-

сохранения

сохранения

мечая, что рг энергии:

мечая, что рг энергии:

Определяя из (2.57) обобщенные импульсы р^ = ^^ и рг =

Определяя из (2.57) обобщенные импульсы р^ = ^^ и рг =

Отсюда получаем уравнение траектории:

(2.58)(2.58)q

(2.58)

(2.58)

1 + £ COS 7屮‘

где

/'.Z2 纬

Из (2.58) видно, что движение будет условно периодическим. Для смещения Ау перигелия, согласно (2.58), имеем:

2冗（1 - 7）兀乃绪

~7—R而.

С помощью соотношений (2.40) и (2.56) находим:/单~- 2冗0中,

гдегдеЛ =了屛* 1Л =了屛* 1炉炉

где

где

Л =了屛* 1

Л =了屛* 1

炉

炉

=2兀=2兀— М2卜— М2卜

=2兀

=2兀

— М2卜

— М2卜

8 二等，C = 件 一資.

Гогда для энергии Е получаем выражение:

E = in0c2 1E = in0c2 1Z2缁Z2缁(2.59)(2.59)О1сюда видно, что частотыПринимая во внимание формулу (2.59) к виду:О1сюда видно, что частотыПринимая во внимание формулу (2.59) к виду:3产記…=器 будут различными.правила квантования Бора (2.47), преобразуем3产記…=器 будут различными.правила квантования Бора (2.47), преобразуемЕ”,勺=Е— т^ = тосЧ1 +Е”,勺=Е— т^ = тосЧ1 +Z%?Z%?［几广+ |/4 - 2%斗［几广+ |/4 - 2%斗>—卸户,(2.60)>—卸户,(2.60)где а =奩㊂^постоянная тонкой структуры.Разлагая формулу (2.60) в ряд по а2 и ограничиваясь величинами порядка а4, получаем формулу Зоммерфельда:где а =奩㊂^постоянная тонкой структуры.Разлагая формулу (2.60) в ряд по а2 и ограничиваясь величинами порядка а4, получаем формулу Зоммерфельда:与,w与,wRhZ&RhZ&筝倚吊筝倚吊(2.61)(2.61)

E = in0c2 1

E = in0c2 1

Z2缁

Z2缁

(2.59)

(2.59)

О1сюда видно, что частоты

Принимая во внимание формулу (2.59) к виду:

О1сюда видно, что частоты

Принимая во внимание формулу (2.59) к виду:

3产記…=器 будут различными.

правила квантования Бора (2.47), преобразуем

3产記…=器 будут различными.

правила квантования Бора (2.47), преобразуем

Е”,勺=Е— т^ = тосЧ1 +

Е”,勺=Е— т^ = тосЧ1 +

Z%?

Z%?

［几广+ |/4 - 2%斗

［几广+ |/4 - 2%斗

>—卸户,(2.60)

>—卸户,(2.60)

где а =奩㊂^постоянная тонкой структуры.

Разлагая формулу (2.60) в ряд по а2 и ограничиваясь величинами порядка а4, получаем формулу Зоммерфельда:

где а =奩㊂^постоянная тонкой структуры.

Разлагая формулу (2.60) в ряд по а2 и ограничиваясь величинами порядка а4, получаем формулу Зоммерфельда:

与,w

与,w

RhZ&

RhZ&

筝倚吊

筝倚吊

(2.61)

(2.61)

ной энергии:ной энергии:

ной энергии:

ной энергии:

Из (2.61) следует, что уровень энергии, определяемый главным квантовым числом м = м尸 + м单,расщепляется на п близко расположенных друг к другу (вследствие малости а2) подуровней, поскольку 孔屮 изменяется от 1 цо п.

Для величины расщепления находим значение:

АЕ = Е — Е = d'Z4Rtl 一小勺一吃个 n. 〃屮一1 —m理(作— i)- '

Полеченное расщепление, или тонкая структура уровней, является харак- герным результатом релятивистских эффектов, существенно отличающим выводы релятивистской теории от выводов нерелятивистской теории (см. задачу 2.1)

Задача 2.3. Электрон находится в центральном ноле:

Определить, при каких значениях s возможны устойчивые состояния системы. Ответ, s V 2.

I/ —妳_4**фф•—而/ FI/ —妳_4**фф•—而/ FУказание. Воспользоваться выражением для эффективной потенциаль-

I/ —妳_4

**фф•—而/ F

I/ —妳_4

**фф•—而/ F

и учесть то обстоятельство, что устойчивое движение возможно, если 吸фф. имеет минимум.и учесть то обстоятельство, что устойчивое движение возможно, если 吸фф. имеет минимум.Задача 2.4. Найти эффективное сечение рассеяния нерелятивистских электронов ядрами (точечным кулоновским центром). Сравнить с сечениемЗадача 2.4. Найти эффективное сечение рассеяния нерелятивистских электронов ядрами (точечным кулоновским центром). Сравнить с сечениемрассеяния а-частиц. Ответ.рассеяния а-частиц. Ответ.do =do =dQdQ• 4 &Sln Т •• 4 &Sln Т •Задача 2.5. Показать, что в релятивистском случае в отличие от нерс- лягивистского электроны при рассеянии могут быть «захвачены» ядрами. Получить полное эффективное сечение《захвата».Решение. Траектория движения электронов в кулоновском поле ядра, согласно нерелятивистской теории, определяется уравнением:1 + е cosy' гдеq = ——— е — 1 J恤Z雷，!/ 十际•Задача 2.5. Показать, что в релятивистском случае в отличие от нерс- лягивистского электроны при рассеянии могут быть «захвачены» ядрами. Получить полное эффективное сечение《захвата».Решение. Траектория движения электронов в кулоновском поле ядра, согласно нерелятивистской теории, определяется уравнением:1 + е cosy' гдеq = ——— е — 1 J恤Z雷，!/ 十际•При £" > 0 это уравнение описывает движение гиперболического типа и поПри £" > 0 это уравнение описывает движение гиперболического типа и поэтому《захват» электронов оказывается невозможным.Согласно же релятивистской механике, уравнение траекторииэтому《захват» электронов оказывается невозможным.Согласно же релятивистской механике, уравнение траекторииимеетимеетвид (2.58). Если в этом выражении величина ©紡& А 1, то значение 7 станет мнимым и поэтому при ср — со г —> 0, т. е. произойдет падение частицы навид (2.58). Если в этом выражении величина ©紡& А 1, то значение 7 станет мнимым и поэтому при ср — со г —> 0, т. е. произойдет падение частицы нацентр, или《захват».Поскольку' момент количества движения 〃中 электрона связан с начальным импульсом р и прицельным расстоянием Ь соотношением р = pb, условие 《захвата» можно представить в форме Z^W ―r~F, откуда для полного эффективного сечения 《захвата» получаем выражение:центр, или《захват».Поскольку' момент количества движения 〃中 электрона связан с начальным импульсом р и прицельным расстоянием Ь соотношением р = pb, условие 《захвата» можно представить в форме Z^W ―r~F, откуда для полного эффективного сечения 《захвата» получаем выражение:°захв.=冗炉 макс.°захв.=冗炉 макс.

и учесть то обстоятельство, что устойчивое движение возможно, если 吸фф. имеет минимум.

и учесть то обстоятельство, что устойчивое движение возможно, если 吸фф. имеет минимум.

Задача 2.4. Найти эффективное сечение рассеяния нерелятивистских электронов ядрами (точечным кулоновским центром). Сравнить с сечением

Задача 2.4. Найти эффективное сечение рассеяния нерелятивистских электронов ядрами (точечным кулоновским центром). Сравнить с сечением

рассеяния а-частиц. Ответ.

рассеяния а-частиц. Ответ.

do =

do =

dQ

dQ

• 4 &

Sln Т •

• 4 &

Sln Т •

Задача 2.5. Показать, что в релятивистском случае в отличие от нерс- лягивистского электроны при рассеянии могут быть «захвачены» ядрами. Получить полное эффективное сечение《захвата».

Решение. Траектория движения электронов в кулоновском поле ядра, согласно нерелятивистской теории, определяется уравнением:

1 + е cosy' где

q = ——— е — 1 J

恤Z雷，!/ 十际•

Задача 2.5. Показать, что в релятивистском случае в отличие от нерс- лягивистского электроны при рассеянии могут быть «захвачены» ядрами. Получить полное эффективное сечение《захвата».

Решение. Траектория движения электронов в кулоновском поле ядра, согласно нерелятивистской теории, определяется уравнением:

1 + е cosy' где

q = ——— е — 1 J

恤Z雷，!/ 十际•

При £" > 0 это уравнение описывает движение гиперболического типа и по

При £" > 0 это уравнение описывает движение гиперболического типа и по

этому《захват» электронов оказывается невозможным.

Согласно же релятивистской механике, уравнение траектории

этому《захват» электронов оказывается невозможным.

Согласно же релятивистской механике, уравнение траектории

имеет

имеет

вид (2.58). Если в этом выражении величина ©紡& А 1, то значение 7 станет мнимым и поэтому при ср — со г —> 0, т. е. произойдет падение частицы на

вид (2.58). Если в этом выражении величина ©紡& А 1, то значение 7 станет мнимым и поэтому при ср — со г —> 0, т. е. произойдет падение частицы на

центр, или《захват».

Поскольку' момент количества движения 〃中 электрона связан с начальным импульсом р и прицельным расстоянием Ь соотношением р = pb, условие 《захвата» можно представить в форме Z^W ―r~F, откуда для полного эффективного сечения 《захвата» получаем выражение:

центр, или《захват».

Поскольку' момент количества движения 〃中 электрона связан с начальным импульсом р и прицельным расстоянием Ь соотношением р = pb, условие 《захвата» можно представить в форме Z^W ―r~F, откуда для полного эффективного сечения 《захвата» получаем выражение:

°захв.=冗炉 макс.

°захв.=冗炉 макс.

§ 3. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ

а. Волны де-Бройля

Как мы уже отмечали (см. § 1), развитие современной квантовой теории началось с того, что у света наряду с волновыми свойствами, характеризуемыми длиной волны 入 и частотой о), были обнаружены также и корпускулярные. Значения для энергии е и импульса л кванта света были установлены Эйнштейном： 、

' е = Йео = Av, jt — ЙЙ = -^~ А°. (3.1)

Анализируя эти соотношения, французский физик де-Бройль выдвинул гипотезу о возможности их обобщения и на обычные частицы и в первую очередь на электроны. Другими словами, де-Бройль предложил, что такой дуализм волна ——частица должен быть свойственен не только свету, но и электронам и любым другим частицам).

Согласно идее де-Бройля, поток свободных электронов, обладающих релятивистской энергией Е и импульсом /?, связанных со скоростью 刃 соотношениями ):

должен обладать также и волновыми свойствами.

Соответствующая частота и волновое число определяются при этом соотношениями, подобными эйнштейновским:

f = йо) и p^hh, (3. 3) т. е. длина де-бройлевской волны движущихся частиц будет равна:

Т = (3.4)

Таким образом, соотношения Эйнштейна (3.1), полученные им при построении теории фотонов, в результате гипотезы, выдвинутой де-Бройлем, приобрели универсальный характер и стали одинаково применимыми как для анализа корпускулярных свойств света, так и при исследовании волновых свойств движущихся электронов. Следует отметить, что такая двойственность в поведении частиц и света полностью исчезает, если постоянную Планка А стремить к нулю (принцип соответствия).

Беря за основу дальнейших рассуждений предложенные де-Бройлем соотношения (3.3), движение свободных частиц (например, вдоль оси %) будем описывать так называемой волновой функцией, представляющей собой в рассматриваемом частном случае по аналогии со светом плоскую волну:

屮(х,/) = 4е 、 % ' = Ае = Ае 小 .(3.5)

Если теперь с этой новой точки зрения посмотреть на описание движения частицы и попытаться объяснить постулат устой - чивых состояний Бора [см. (2.47)], то последний получает следующую физическую интерпретацию: согласно де-Бройлю, возможными оказываются только те круговые орбиты, на которых укладывается целое число волн де-Бройля, т. е.

' 一х 一=冷.(3.6)

В самом деле, только при этом условии волновая функция 屮 будет однозначной.

Принимая далее во внимание, что в нерелятивистском случае:

Wov

вых состояний:вых состояний:(3.7)(3.7)из (3.6) получаем боровское условие для определения устойчи

вых состояний:

вых состояний:

(3.7)

(3.7)

б. Экспериментальное обнаружение волновых свойств частиц

Чтобы экспериментально исследовать волновые свойства элек

тронов и доказать существование определенной длины волны 入，

лучения пучка движущихся с определенной скоростью электронов:лучения пучка движущихся с определенной скоростью электронов:К — катод, А — анодная сетка.К — катод, А — анодная сетка.необходимо прежде всего получить монохроматический пучок электронов, т. е. пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью.

лучения пучка движущихся с определенной скоростью электронов:

лучения пучка движущихся с определенной скоростью электронов:

К — катод, А — анодная сетка.

К — катод, А — анодная сетка.

Такой пучок может быть получен, например, с помощью так называемой «электронной» пушки (см. фиг. 3.1), испускающей электроны определенной скорости V.

В нерелятивистском найдена из уравнения:В нерелятивистском найдена из уравнения:случае (и*с) эта~2~ —"зоб-5случае (и*с) эта~2~ —"зоб-5скорость может бытьскорость может быть(3.8)(3.8)

В нерелятивистском найдена из уравнения:

В нерелятивистском найдена из уравнения:

случае (и*с) эта

~2~ —"зоб-5

случае (и*с) эта

~2~ —"зоб-5

скорость может быть

скорость может быть

(3.8)

(3.8)

где Ф ——выраженный в вольтах ускоряющий потенциал анодной сетки А относительно катода ^. Следовательно, движению электронов, прошедших сетку А (где они уже перестают ускоряться), соответствует де-бройлевская волна:

入—力=W=1,2 • 10-7

Электронная пушкаЭлектронная пушкаКристалл ” никеляКристалл ” никеляФ и г. 32 Схема опытов по дифракции электронов Дэвиссона -— Джермера.Ф и г. 32 Схема опытов по дифракции электронов Дэвиссона -— Джермера.d sin =几入=几」—…d sin =几入=几」—…(3. 10)(3. 10)

Электронная пушка

Электронная пушка

Кристалл ” никеля

Кристалл ” никеля

Ф и г. 32 Схема опытов по дифракции электронов Дэвиссона -— Джермера.

Ф и г. 32 Схема опытов по дифракции электронов Дэвиссона -— Джермера.

d sin =几入=几」—…

d sin =几入=几」—…

(3. 10)

(3. 10)

Чтобы проявление волновых свойств стало более заметным, необходимо добиваться возможно больших значений длины волны 入，что можно сделать, уменьшая Ф. Однако, в силу того,

что на вырывание электронов из металла затрачивается некоторая работа, называемая работой выхода (она имеет величину порядка нескольких электронвольт и приводит к некоторому разбросу электронов по скоростям), наименьшее значение для потенциала Ф,

при котором пучок становится сравнительно монохроматическим, должно быть не менее, чем 15——20 8. При этом де-бройлевская

примерно ту же длину волныпримерно ту же длину волныволна электронов будет иметь (入〜10-8 см), что и мягкие рентгеновские лучи.

примерно ту же длину волны

примерно ту же длину волны

Прежде чем перейти к рассмотрению физической природы волновых свойств пучка электронов, рассмотрим некоторые эксперименты, позволившие непосредственно обнаружить > де-бройлевские волны.

Остановимся сначала на опытах по дифракции электронов Дэвиссона и

Джермера, впервые экспериментально обнаружив-

ших электронные волны.

Ввиду того что длина де-бройлевской волны К имеет порядок 10~8 см, в качестве дифракционной решетки, так же как и в случае мягких рентгеновских лучей, был выбран кристалл, постоянная решетки которого соизмерима с длиной де-бройлевской волны 入.

На фиг. 3.2 изображена схема опытов Дэвиссона — Джермера.

От электронной пушки пучок электронов с энергией 50 эв

падал перпендикулярно к поверхности кристалла, рассеиваясь затем от поверхностной решетки на различные углы. Поскольку при рассеянии можно пренебречь проникновением электронов в глубь кристалла, рассеяние следует считать происходящим от плоской дифракционной решетки.

В этом случае положение дифракционных максимумов будет определяться условием равенства разности хода s = dsin8 (d —— постоянная плоской решетки, а 8 — угол рассеяния) целому числу длин волн (см. фиг. 3.3), т, е.

где целое число п характеризует порядок дифракционного мак-

Ф и г. 3.3. Рассеяние электроФ и г. 3.3. Рассеяние электросимума. Эти дифракционные максимумы были обнаружены экспериментально с помощью гальванометра, фиксировавшего интенсивность пучка рассеянных электронов под различными углами (см. фиг. 3.2).

Ф и г. 3.3. Рассеяние электро

Ф и г. 3.3. Рассеяние электро

Был проверен и другой вывод, следующий из теории де-Бройля, а именно вывод о том, что с увеличением потенциала Ф, согласно формуле (3.10), угол 87n соответствующий 〃-му дифракционному максимуму, должен уменьшаться.

от плоской дифракционной решетки.от плоской дифракционной решетки.новновПроведенные исследования полностью подтвердили справедливость соотношений де-Бройля.

от плоской дифракционной решетки.

от плоской дифракционной решетки.

нов

нов

Как известно, для рентгеновских лучей дифракционную картину можно

наблюдать не только от монокристаллов, но и от полик'ристал- лических образований. Это было показано, например, в опытах Дебая ——Шеррера. Обобщая их методику на случай электронных волн, т. е. пропуская через пленку не рентгеновские лучи, а пучок электронов!), П. С. Тартаковский и Г. П. Томсон независимо по-

лучили аналогичные рентгенограммам так называемые электроно- граммы.

Теоретически дифракционную картину электронов можно объяснить следующим образом. Электронный пучок с энергией несколько тысяч или даже десятков тысяч

Ф и г. 3.4. Отражение от простран- электронвольт, попадая в поликри- ственной кристаллической ре- сталлическую фольгу и встречая шеткп.на своем пути отдельные монокри

сталлы, (будет отражаться от последних. В связи с этим разность хода s двух лучей (см. фиг. 3.4) будет связана с постоянной d пространственной кри

сталлической решетки соотношением:

(3.11)(3.11)s = 2d sin ср,

(3.11)

(3.11)

где ср ——угол, составляемый лучом с плоскостью решетки.

Поскольку отдельные монокристаллы фольги расположены хаотически, луч может выйти из пленки под любым углом по отношению к первоначальному направлению (см. фиг. 3.5). Однако

Для уменьшения поглощения электронов пленкой толщина последней выбиралась сравнительно малой и достигла поряцка 10~5 см.

среди всех кристаллов найдутся такие, для которых будет выполнено условие Вульфа — Брэггов:

2d sin ^ = пк = п ~,(3.12)

где п ——целое число. В этом случае должен наблюдаться дифракционный максимум, т. е. на экране получится светлое пятно Q. В силу цилиндрической симметрии установки светлые пятна бу-

прохождении сквозь поликристаллическое тело (опыты Тартаковского — Томсона).

дут образовывать дифракционные кольца, радиусы Rn которых могут быть найдены с помощью соотношения (см. фиг. 3.5):

tg2Y=%(3.13)

где L ——расстояние от экрана до поликристаллической пленки. Принимая во внимание, что угол 屮 в этих опытах является малой величиной (cp~sincp~tg¥), из (3. 12) и (3. 13) находим:

п£ 1,2 • g

《=九方，(3.14)

е. при постоянных L, d а гг:

^- У Ф = const.(3.15)

Последние соотношения и были целиком подтверждены экспериментами Тартаковского — Томсона.

В настоящее время электронограммы наряду с рентгенограммами Дебая ——Шеррера находят большое практическое применение при изучении строения кристаллов!).

Следует заметить, что формула де-Бройля применима не только к электронам и другим частицам, например, протонам и нейтро-

См. П. С. Тартаковский, Экспериментальные основания волновой механики, ГТТИ, Л. — М., 1932; Э. В. Шпольский, Атомная физика, т. I, М., 1950, глава X.

нам, из которых состоят ядра атомов, но и к сложным ядрам, сложным атомам и даже молекулам. Правда, благодаря сравнительно большой массе этих частиц длина их де-бройлевской волны чрезвычайно мала. Несмотря на это, Штерну и Эстерману удалось наблюдать дифракцию пучков атомов гелия и молекул водорода при отражении от кристаллов LiF.

Весьма эффективным при исследовании структуры вещества оказался метод, основанный на дифракции нейтронов. Дело в том, что нейтроны не обладают электрическим зарядом и поэтому даже в случае очень малых энергий (так называемые тепловые нейтроны), когда де-бройлевская длина волны остается сравнительно большой величиной, свободно проходят сквозь вещество.

Все перечисленные выше факты с полной убедительностью говорят о том, что волновые свойства в той или иной степени должны обнаруживаться у всех частиц, а формула де-Бройля для 入 имеет всеобщую значимость.

Опираясь на известную аналогию световых и электронных волн, стала развиваться новая отрасль физики ——электронная оптика, изучающая волновые процессы в электронных пучках. На ее основе рассчитывается, в частности, разрешающая способность электронного микроскопа.

Верхний предел разрешающей силы (а значит, и увеличение) обычного микроскопа определяется длиной волны света. Чтобы увеличение сделать по возможности большим, необходимо уменьшить длину волны используемого света. Однако такое уменьшение возможно только до некоторого предела: нельзя, например, построить рентгеновский микроскоп, так как для рентгеновских лучей не существует соответствующих линз.

В отличие от рентгеновских для электронных волн удалось создать соответствующие линзы: «электрические» и «магнитные». Первые представляют собой электрический конденсатор с отвер- стием в середине обкладок, а вторые конструируются из обычных магнитных катушек!).

в. Волновые пакеты. Групповая и фазовая скорости

Следуя идеям де-Бройля, движение свободной материальной частицы, обладающей энергией £ =加炉 и импульсом 〃 = т中, можно описать с помощью плоской волны (3. 5).

Современные оптические микроскопы дают увеличение примерно в одну-две тысячи раз. Электронный же микроскоп позволяет получить увеличение более чем в сто тысяч раз.

В настоящее время, кроме электронного микроскопа, широкое распространение получает протонный микроскоп, разрешающая сила которого может превышать разрешающую силу электронного микроскопа.

При этом скорость 〃 распространения де-бройлевской волны может быть найдена как скорость перемещения постоянной фазы:

Et — рх = const,(3.16)

е. фазовая скорость будет определяться соотношением 】)：

"=崂=二=旦.(3.17)

dt р v'/

Поскольку скорость d частицы согласно теории относительности не может быть больше скорости с света в вакууме, для фазовой скорости и волны получается значение, превышающее величину с. Этот результат говорит о том, что монохроматическая волна принципиально не может переносить частицу или какую- либо энергию, поскольку последние согласно теории относительности не могут передвигаться со скоростями, превышающими скорость света.

Чтобы выйти из этого положения и в то же время сохранить за частицами их волновые свойства, нашедшие столь блестящие экспериментальные подтверждения, на первых же порах развития

1) Эта формула может быть получена из следующих простых соображений. Волновая функция зависит только от фазы у = (Е£——Р%)五 и поэтому если время f изменится на величину А£ и станет равным £[ = » + △£, го эга

Фиг. 3.6. Распространение монохроматической волны. В течение временн А/ волна в целом перемещается на величину А*. Фазовая скорость волны равна и ==—.

фаза перейдет в точку х】=尤 + Ах, которая может быть найдена из равенства:

瓦 1 —= Е£ — рх = const,

т.

Е А£ — р Дх = 0.

Отсюда найдем, что скорость распространения постоянной фазы, а вместе с тем и волны в целом (см. фиг. 3.6) будет равна:

квантовой механики стали сопоставлять частицам не отдельные монохроматические волны, а набор волн, обладающих близкими частотами. Такой подход подсказывался еще и тем обстоятельством, что наблюдаемые на опыте дифракционные линии электронных волн всегда характеризовались вполне определенной шириной, т. е. дифрагировали как бы не одна, а несколько волн, очень близких друг к другу по частоте.

На эту мысль наводили также и спектроскопические исследования, показавшие, что любая спектральная линия всегда характеризуется определенной шириной.

Кроме того, если использовать не одну монохроматическую волну, а набор волн с близкими частотами, то с их помощью всегда можно построить такой волновой пакет, результирующая амплитуда которого окажется заметно отличной от нуля лишь в некоторой небольшой области пространства, которую можно связать с местоположением частицы.

Исходя из этих соображений, построим для описания движения частицы волновой пакет из непрерывной совокупности волн, предполагая, что импульс р‘, связанный с волновым числом 兴 соотношением де-Бройля 似= р'/方，изменяется в пределах от р до р + ¥，где Ар《р. Амплитуды же 4(р') отдельных волн будем при этом считать равными:

о,рУр—等，

4(")= Р —等 +(3.18)

0，p>p+券.

Тогда результирующая волновая функция 屮 принимает вид:

屮=,(3. 19)

Перейдем в этом выражении от переменной р‘ к переменной р" = р，—р (—等 Vp" V等，dp，= dp") и разложим £ в ряд около средней точки р' = р:

e，= “卢十侬發~е十Р"窮十^"，2薪十....(3.20)

Ограничиваясь пока что членами первого порядка малости (про-

порциональными 旷〜Ар), в результате интегрирования (3. 19) по dpr получаем:

屮=反，(3.21)

где амплитуда волнового пакета:

В = АВ = Аsin Еsin Е

В = А

В = А

sin Е

sin Е

(3.22)(3.22)—з（尤де力

(3.22)

(3.22)

-2灯乃一万少

Из этого выражения следует, что В не остается постоянной ни в пространстве, ни во времени.

Чтобы определить скорость движения волнового пакета в целом, т. е групповую скорость и, соответствующую перемещению определенной амплитуды, поступим так же, как мы поступали при нахождении фазовой скорости. Выбирая некоторое постоянное значение амплитуды так, чтобы

=雾卜 _^/)=snst，=雾卜 _^/)=snst，(3.23)(3.23)

=雾卜 _^/)=snst，

=雾卜 _^/)=snst，

(3.23)

(3.23)

для и получаем следующую формулу:для и получаем следующую формулу:— dx дЕПоскольку для свободной частицы Е = с/р2十加力炉 идЕ — с2рdp==~Ei— dx дЕПоскольку для свободной частицы Е = с/р2十加力炉 идЕ — с2рdp==~Ei(3. 24)(3.24а)(3. 24)(3.24а)находим:находим:

для и получаем следующую формулу:

для и получаем следующую формулу:

— dx дЕ

Поскольку для свободной частицы Е = с/р2十加力炉 и

дЕ — с2рdp==~Ei

— dx дЕ

Поскольку для свободной частицы Е = с/р2十加力炉 и

дЕ — с2рdp==~Ei

(3. 24)

(3.24а)

(3. 24)

(3.24а)

находим:

находим:

и =и =V, и ，V, и ，(3.246)(3.246)

и =

и =

V, и ，

V, и ，

(3.246)

(3.246)

т. е. групповая скорость % перемещения волнового пакета как целого оказывается точно совпадающей со скоростью v движения самой частицы.

Принимая во внимание выражение для амплитуды В (9 = л Sin е

=4 -у5 волнового пакета, записанного для момента времени / = 0, т. е. когда Е = ^х (см. фиг. 3.7), легко видеть, что своего наибольшего значения В(0) = А эта амплитуда достигает в точке Е = 0 (при / = 0 это соответствует х — 0). Во всех же остальных точках, соответствующих относительным максимумам, она будет

меньше. В частности, придавая аргументу Е различные значения,меньше. В частности, придавая аргументу Е различные значения,будем иметь:будем иметь:

меньше. В частности, придавая аргументу Е различные значения,

меньше. В частности, придавая аргументу Е различные значения,

будем иметь:

будем иметь:

В точке же Е = ^ эта амплитуда обращается в нуль: В(例) = 0. Благодаря этому при / = 0 волновой пакет можно считать лока

лизованным в области первого максимума, т. е. в области АЕ =黑 Ах 〜m Отсюда следует соотношение:

АрАх 〜儿 (3.25)

получившее название соотношения неопределенности.

Так как центр тяжести волнового пакета (т. е. его главный максимум) движется со скоростью частицы (近= 〃)， то волновой пакет будет описывать локализацию частицы.

В частности, положение частицы согласно выдвинутым гипотезам характеризуется квадратом модуля амплитуды ф-волны, t. е. величиной: !8f=屮*屮.

В силу этого величины Ах и Ар можно рассматривать как неточности, с которыми мы можем вычислить по волновой теории импульс и положение частицы в пространстве.

Далее, необходимо было выяснить, можно ли отождествить ф-волны со структурой частиц, или эти волны характеризуют только их движение. '

Первая интерпретация связи между корпускулой и волной была предложена Шредингером. Согласно его гипотезе, частица должна представлять собой образование из волн, причем плотность ее «размазывания» по пространству равна 屮*屮.

Теоретически всегда возможно с помощью группы волн образовать волновой пакет с размерами порядка радиуса частицы (например, электрона). Однако такая частица будет неустойчивой. Это связано с тем обстоятельством, что, как следует из формулы (3.17), фазовая скорость каждой из монохроматических волн, образующих в совокупности волновой пакет, зависит от волнового числа, или от импульса р, и поэтому каждая из этих волн будет распространяться со своей фазовой скоростью !):

Благодаря этому волновой пакет должен с течением времени постепенно расползаться. Время расползания будет определяться, очевидно, тем промежутком, за который отбрасываемая первоначально часть фазы 屮 в (3.21) [согласно (3.20) она пропорциональна /Л?〜(Ар户]станет соизмеримой с 兀.Иными словами, в согласии с (3.20)от начала образования волнового пакета до его расползания должно пройти время А/, определяемое из равенства:

А于 (m)纱е 一

* 部〜 ,

Отсюда для времени, через которое уже нельзя будет пренебрегать расползанием волнового пакета, находим выражение:

Д/Д/28方(АР)~ /28方(АР)~ /(3.26)(3.26)

Д/

Д/

28方

(АР)~ /

28方

(АР)~ /

(3.26)

(3.26)

Подставим сюда вместо Ар его значение из соотношения (3.25) и примем во внимание, что, согласно (3.24 а), в нерелятивистском елучае (Р《m时)： 亦 。

др? —'

i) Отсюда видно, что только для движущихся в вакууме частиц с массой покоя, равной нулю: /п0 — 0 (например, для фотона), возможно образование устойчивого волнового пакета, поскольку только в этом случае фазовые скорости всех составляющих волнового пакета независимо от волнового числа будут одни и те же.

3 Квантовая механика

Тогда для времени расползания волнового пакета получаем выражение:

А/〜果(А%)? (3.27)

Для макрочастицы с "力〜1 а и Ах 〜0,1 см время расползания А/〜1025。《冗，т. е. волновой пакет фактически не будет расплываться.

В случае же электронов "% 〜 10 " г, Ах 〜 10 13 см и поэтому через 1/10 26 сек, т. е. практически мгновенно, волновой пакет начнет расплываться. Таким образом, по теории размазанного электрона Шредингера, электрон не может представлять собой устойчивого образования. Это, однако, находится в явном противоречии с экспериментальными фактами. Кроме того, невозможно объяснить явление дифракции, если монохроматическую волну, описывающую движение многих электронов, заменить множеством волновых пакетов.

В настоящее время принята другая, а именно статистическая интерпретация волновой функции, предложенная Максом Борном.

Согласно этой интерпретации, квадрат модуля волновой функции, т. е. величина | 屮卩=屮*屮，характеризует плотность вероятности нахождения электрона в различных точках пространства. Статистическая интерпретация Борна не затрагивает структуры электрона. Электрон может оставаться точечным (точнее, его радиус 勺 может быть не более, чем 10 13 см).

При изменении волновой функции 屮 со временем изменяется только вероятность нахождения электрона в различных точках пространства. Строение же электрона при этом совершенно не затрагивается.

При наличии многих электронов, находящихся в одинаковом квантовом состоянии, исследования квантовой механики с точки зрения статистической интерпретации Борна в методическом отношении напоминают собой исследования с помощью функции распределения Максвелла различных вопросов кинетической теории газов (хотя следует отметить, что в квантовой механике функция распределения f =屮*屮 не содержит температуру). Дифракционную картину пучка электронов можно интерпретировать согласно Борну следующим образом: светлые пятна соответствуют максимуму /= |<bf2, а вместе с тем и наибольшему числу электронов, которые пойдут по направлению этого светлого пятна. Вероятность же движения электронов по направлению темных пятеи, наоборот, будет наименьшей.

Большие трудности в интерпретации волновой функции, данной Борном, возникли в связи с трактовкой f =(p*Q в применении к движению одного электрона.

Развивая опыты С. И. Вавилова с квантовыми флуктуациями фотонов (см. § 1), советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин и В. Фабрикант!) показали, что по мере уменьшения интенсивности пучка электронов дифракционная картина начинает становиться менее отчетливой и, наконец, когда пучок будет состоять из отдельно летящих электронов, на экране возникнет не дифракционная картина, а изображение отдельных точек.

Однако, если вслед за одним электроном в течение достаточно длительного времени пропускать и другие, то одиночные точки на экране будут постепенно сливаться, образуя в совокупности дифракционную картину, совпадающую с дифракционной картиной, возникающей от пучка электронов). Этот опыт еще раз демонстрирует несостоятельность гипотезы «размазанного» электрона, поскольку в них отдельный электрон сохраняет свои корпускулярные свойства, а волновая теория может предсказать лишь вероятность его пребывания в том или ином месте пространства.

Отметим также, что волновая теория не может объяснить, почему электрон попадает именно в точку М. дифракционного кольца, а не в точку N、если вероятности попадания в обе эти точки, вычисленные по волновой теории, оказываются одинаковыми. Вокруг этого вывода разгорелись большие методологические дискуссии.

Одна из попыток объяснить некоторую «свободу поведения» электрона основана на введении так называемого принципа дополнительности (Гейзенберг, Бор и др.) (см. также § 7).

Согласно принципу дополнительности наши познания микромира должны быть принципиально ограничены некоторым, пусть малым, но конечным пределом, поскольку измерительная установка вносит элементы неконтролируемого воздействия на объект (т. е. на электрон). В частности, для канонически сопряженных величин (координата ——импульс) точность измерения определяется соотношением неопределенности. ~

Гейзенберг пытался более точно обосновать принцип дополнительности с помощью следующего мысленного эксперимента. Допустим, что мы хотим определить положение электрона с помощью ультрамикроскопа, т. е. такого прибора, который позволяет

Л. Биберман, Н. Сушкин, В. Фабрикант, ДАН СССР 66, 185 (1949). Недавно аналогичные опыты по дифракции отдельных фотонов были выполнены венгерским физиком Л. Яноши (см. «Вопросы философии», № 4, стр. 98, 1958).

фиксировать положение электрона, используя для этого пучок света с соответствующей длиной волны (реально такой оптический микроскоп пока что построить невозможно, и поэтому подобный эксперимент следует рассматривать как мысленный).

Если электрон будет двигаться на таком расстоянии от объектива микроскопа, что угол между падающим и рассеянным пучком света с длиной волны 九 окажется равным 屮，то согласно законам оптики его координату в направлении, лежащем в плоскости, параллельной плоскости объектива, можно измерить с точностью до величины:

&х (3.28)

Sin Y \ /

Однако в силу того, что свет обладает импульсом р = ~, часть последнего будет передаваться электрону (эффект Комптона), и поэтому импульс электрона в том же направлении можно также определить лишь с некоторой точностью:

Ар* 〜sin 中, (3. 29)

которая в произведении с Ах н дает соотношение неопределенности (3. 25).

Из равенства (3.28) видно, что для более точного определения координаты электрон следует освещать светом с возможно меньшей длиной волны 入.Однако, как видно из (3.29), чем меньше 入，тем больший импульс (канонически сопряженная с координатой величина) будет получать электрон при таком освещении.

Таким образом, согласно принципу дополнительности должны существовать два класса экспериментальных установок. Один класс допускает измерение с любой точностью пространственных координат (в приведенном примере это приборы с 入一0), а другой класс ——соответствующих составляющих импульса (приборы с 入一8). Поскольку наблюдатель, использовавший первый класс установок, вносит неконтролируемую часть воздействия на импульс, а использовавший второй класс, наоборот,——на координату, то, по мнению представителей копенгагенской школы, мы никогда не сможем для заданного момента времени узнать значение координаты и импульса, хотя по отдельности каждая из этих величин может быть измерена с любой точностью.

Таким образом, сторонники принципа дополнительности рассматривают соотношение неопределенности не как объективное проявление волновых свойств микрочастиц, а связывают его с воздействием наблюдателя. Основная методологическая ошибка, которую они совершают при анализе квантовой механики,

связана с тем обстоятельством, что они абсолютизируют ее выводы, например, соотношение неопределенности вместо того, чтобы попытаться найти объективное объяснение проявления статистических закономерностей в микромире!).

В свое время это делалось также сторонниками механического мировоззрения, абсолютизировавшими законы классической механики. Механисты считали, что все высшие формы движения материи могут быть сведены к элементарным движениям атомов, совершаемым по законам механики. Наивысшего развития механистическое мировоззрение достигло в учении Лапласа, который считал, что на основе законов классической механики и знания начальных условий в принципе можно однозначно предсказать развитие того или иного явления, если удастся при этом преодолеть сложность математических расчетов.

В учении Лапласа содержатся две принципиальные ошибки. Первая ошибка заключается в утверждении, что с помощью классической механики можно до конца познать движение отдельной частицы. В действительности же законы классической механики позволяют получить правильное представление лишь о простейшем, механическом движении частиц и то лишь в определенных границах. Точно так же другие, более совершенные теории (например, квантовая механика) позволяют точнее выявить новые свойства движения микрочастиц. С развитием наших знаний можно сколь угодно точно и глубоко познать любые отдельные формы движения материи, постепенно приближаясь к истине. Однако при этом следует учитывать, что даже простейшие законы движения частиц не могут быть познаны до конца.

Как мы уже отмечали в предисловии, в начале XX века были открыты такие явления, которые не укладывались в рамки классической механики. На этом основании последователи механистического мировоззрения стали говорить о «кризисе» в физике и о конце материализма. Анализируя этот вопрос, В. И. Ленин в своем знаменитом труде «Материализм и эмпириокритицизм», написанном еще в 1908 г., показал, что «кризис» в физике связан с незнанием диалектики. На самом деле новые открытия привели не к «кризису», а к дальнейшему развитию физики, что позволило более точно исследовать явления природы. В связи с этим мы еще раз хотим напомнить высказывание В. И. Ленина о неисчерпаемости даже простейшей из частиц ——электрона.

Вторая ошибка, сделанная Лапласом, заключается в том, что более сложные формы движения материи он пытался целиком

1) Критические замечания относительно анализа этого мысленного эксперимента Гейзенберга сделаны также Л. И. Мандельштамом (см, Поли. Собр. трупов, т. V, М., 1950, стр. 397).

свести к простейшим; но, как было замечено Энгельсом в его известном труде «Диалектика природы», это в принципе невозможно сделать. Сокрушительный удар по идее Лапласа был нанесен фактически еще в период господства механистического мировоззрения так называемой Н-теоремой Больцмана, согласно которой необратимость процессов в кинетической теории газов представляет собой специфическую закономерность коллектива частиц и никоим образом не может быть полностью получена из уравнений, определяющих элементарные движения.

Заметим также, что вторая ошибка механистической концепции повторяется и в настоящее время. В связи с развитием квантовой химии некоторые теоретики пытались целиком свести химические процессы к элементарным, заменив лишь при этом классические законы движения квантовыми. Подобного рода попытки свести химию только к квантовой механике были заранее обречены на неудачу. Конечно, как мы увидим в дальнейшем, квантовая механика правильно объяснила многие химические закономерности, например, образование простейших гомеополярных молекул. Однако все многообразие химических явлений, помимо простейших, должно содержать в еще большей степени, чем кинетическая теория газов, свои специфические закономерности.

Таким образом, квантовую механику следует рассматривать как весьма важный последующий, но не последний этап познания движения отдельных микрочастиц.

Если квантовая механика не дает ответа на некоторые вопросы, то это не означает, например, что ее вероятностный характер, приводящий к соотношению неопределенности, связан с проявлением индетерминизма (т. е. с отсутствием причинных связей) в микромире. Явления же, которые в настоящее время остаются еще непонятными, когда-нибудь должны найти свое объяснение, что вовсе не означает возвращения к другой крайности, а именно к теории с однозначной предсказуемостью 】).

Как указывал В. И. Ленин, основной теоретике-познавательный вопрос, разделяющий философские направления, состоит не в том, могут ли причинные связи быть выражены в точной математической формуле, а в том, являются ли источником познания внешнего мира свойства нашего ума или объективная закономерность природы.

За последнее время появилось много работ как советских, так и зарубежных авторов, в которых делаются различные по-

Кстати заметим, что простота и цельность лапласовского детерминизма, как будто позволяющего до конца вскрыть все причины возникновения того или иного явления и отождествить хотя бы в принципе причинность с однозначной предсказуемостью, в действительности оказались ограниченными областью применимости классической механики.

пытки найти объяснение статистического характера движения отдельного электрона, не связывая это с воздействием на него прибора. Хотя многие из этих попыток оказались неудачными, но в конце концов должна появиться такая теория, по всей вероятности выходящая за рамки квантовой механики '), которая, как нам кажется, должна дать объективное объяснение статистического характера науки о микромире. На одном из возможных вариантов новой интерпретации соотношения неопределенности мы кратко остановимся в § 7, где мы еще раз вернемся к этому вопросу.

Отметим, наконец, что в последнем издании монографии известного английского физика П. Дирака «Принципы квантовой механики» взгляды автора на принципиальные вопросы квантовой механики претерпели изменение. Если первое издание монографии Дирака было написано в духе «копенгагенских воззрений», то в четвертом издании он постепенно начинает отходить от этих воззрений. Дирак пишет, что наши представления об основах физического мира меняются последовательными этапами, и современный этап не является последним. Главное же, что само понятие состояния Дирак считает принадлежащим исключительно атомным объектам и не требующим введения наблюдателя.

Задача 3.1. Показать, что в случае эллиптических орбит число волн де-Бройля на электронной орбите равно целому числу.

Решение. Отбор устойчивых эллиптических орбит согласно Бору производится при помощи дв〉х условий:

т. е,

2 §dqk=пЛ,

%А бА

где

п = п? -|- пп a 2Td£ = ;%и ds =天 ds,

i) Как известно, Эйнштейн не раз высказывал критические замечания о копенгагенской интерпретации квантовой механики. Однако сделанные им попытки найти более точное, чем допускаемое соотношением неопределенности, значение координаты и импульса электрона оказались неудачными. Иначе не могло и быть, так как в своем анализе он ограничивался рамками квантовой механики.

находим искомый результат:

п.п.

п.

п.

Задача 3.2. Показать, что волна:

при конечных значениях / не является монохроматической. Найти интервал волновых чисел kh=h — /г0, в котором амплитуды отдельных гармоник можно считать отличными от нуля.

Решение. Представим 屮(尤)в виде интеграла Фурье:

со

? (х) =〔А (田 6话* d/г.

где амплитуды А (左)даются формулой:

A (田=R ］屮(х) 6一幻 dx.

Подставляя сюда заданное выражение для 屮(х), находим:

sin父(少一々0) 2小 ® = Z加出一也)Z ,

Отсюда следует, что наибольшая амплитуда, соответствующая k = kQI равна А (用0)= //2尼 Хотя все остальные амплитуды не равны нулю, однако практически отличными от нуля можно считать только те амплитуды, которые 6\дут иметь тот же порядок, что и А (初* Эти амплитуды будут заключены в интервале Дй =) й——/г。J 〜-厂.Величину ^k 2^/Z можно рассматривать как размытие волнового вектора вследствие конечной ширины волнового пакета. Полагая Д/г = ~^~, а /〜Ах, из последнего условия снова можно получить соотношение неопределенности:

Др Ах 〜й.

Задача 3.3. Найти среднюю скорость движения, а 1акже врема расползания волнового пакета： ОО

Y (х, /) = j А 伊)e-i «"**)dk,(3.30)

-co

если амплитуда Л (k) имеет вид гауссовой кривой:

?2?2A (k) = еA (k) = е他一女0)2

?2

?2

A (k) = е

A (k) = е

Решение. Подставляя заданное выражение для А (/г) в (3. 30) и инге* 1 рируя, находим при f = 0:

屮(х, 0) = 了兀 qe " e^Qx.

Отсюда след} ет, что в начальный момент времени частица была локализо- Ма 2

вана в области 〜——，что, в сущности, эквивалентно соотношению не- определенности (3・25).

Чтобы получить форму волнового пакета в любой другой момент времени, )чтем, что

方心2 =片©4 + с2/；2й2;

тогда в нерелятивистском приближении (/г《加战/亢)нахоцим:

Подставляя это выражение в (3.30), после интегрирования получаем:

где

%С⑨丄充用芸

й 十 2mo

Отсюда для плотности вероятности находим:

炉 " -7，0/)?炉 " -7，0/)?I 屮 К 0 Is =I 屮 К 0 Is =囱2囱2;心（鑑）1;心（鑑）1

炉 " -7，0/)?

炉 " -7，0/)?

I 屮 К 0 Is =

I 屮 К 0 Is =

囱2

囱2

;心（鑑）1

;心（鑑）1

здесь 。0= -^——скорость центра тяжести волнового пакета. Из последней формулы видно, что максимум волнового пакета, т. е. точка х = vot движется со скоростью частицы %.

Эффективная ширина волнового пакета в момент времени £ оказывается равной:

A"产^A"产^1 +1 +方产V斫丿-方产V斫丿-

A"产^

A"产^

1 +

1 +

方产V斫丿-

方产V斫丿-

Полагая в 'последней формуле q 〜，尤，получаем для времени расползания волнового пакета выражение, совпадающее с формулой (3.27).

Задача 3.4. Показать, что учет затухания в колебательном движении: х (/) = ef cos приводит к уширению спектральной линии.

Решение. Затухающее колебание представим в виде интеграла Фурье:

х (Z) = \。3) cos

где

2 了

0

Для наибольшей амплитуды находим значение:

Тот же порядок будут иметь амплитуды, которым соответствуют частоты, лежащие в интервале:

A3= I 3 % I 〜/ 7.

Последнее выражение и принимается за уширение линии, поскольку только амплитуды, соответствующие этим частотам, будут практически отличны от нуля.

Еслй принять во внимание, что коэффициент затухания 7 связан со средним временем жизни затухающих колебаний соотношением А£ 〜l/厶 из последнего условия получим известную из оптики связь между уширением спектральных линий и средним временем жизни атома:

Af As 〜1.

Отсюда, учитывая соотношение As = АЕ/方,получаем так называемое четвертое соотношение неопределенности:

АЕАЕ 〜Л.

§ 4. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Теория квант Планка, постулаты Бора, а затем и гипотеза де-Бройля были важнейшими этапами в процессе развития теоретических основ физики атома. Однако эти работы явились лишь предварительным этапом для получения основного дифференциального уравнения, описывающего движение электрона с учетом волновых свойств, а также построения теории излучения света с учетом его квантовой структуры. *

Фундаментальный шаг в этом направлении сделал Шредингер (1926). Он предложил дифференциальное волновое уравнение в частных производных, с помощью которого оказалось возможным описать движение, как правило, заряженных частиц в нерелятивистском случае (d乏с). Это уравнение представляет собой обобщение классического уравнения Гамильтона ——Якоби на случай, когда де-бройлевская длина волны отлична от нуля.

Уравнение Шредингера находится примерно в таком же отношении к уравнению Гамильтона — Якоби, в каком находится волновая оптика к геометрической.

Получение стационарного уравнения Шредингера

Покажем, как можно наиболее просто получить уравнение Шредингера. Сразу же заметим, что ни о каком строгом или сколько-нибудь общем выводе этого уравнения не может быть и речи, поскольку, вообще говоря, любую новую теорию нельзя построить, базируясь лишь на старых представлениях. Излагаемый ниже метод по существу представляет собой разумное обобщение волнового уравнения, известного, например, в классической электродинамике или оптике:.

(4.1)

на случай распространения де-бройлевских волн. Здесь ——функция, описывающая волновой процесс, распространяющийся со скоростью и. Если волна является монохроматической, то решение уравнения (4. 1) можно искать в виде:

М尸，/) = е"“"屮⑺，(4.2)

где w = 2uv ——круговая частота, а пространственная часть 屮(尸) волновой функции подчиняется уравнению:

V2屮⑺+景屮⑺=0.(4.3)

В последнем уравнении вместо двух параметров о) и и мы можем ввести только один, а именно длину волны:

Тогда будем иметь:

V纯(尸)+ *屮(尸) = 0.(4.5)

Для того чтобы из этого волнового уравнения, имеющего, вообще говоря, универсальный характер, получить волновое уравнение, позволяющее описывать волновое движение электронов, подставим сюда вместо 入 выражение для де-бройлевской длины волны:

(4.6)(4.6)九 2П方加点—~~Р~

(4.6)

(4.6)

Учитывая далее закон сохранения энергии: 蟲+ U (尸)= E = const,

находим:

察=岩[e一V(小(4.7)

Подставляя это выражение в уравнение (4.5), получаем стационарное (т. е. не зависящее от времени) уравнение Шредингера:

V?屮(尸)^^[E-V (г) ]ф т = 0.(4.8)

Определив из уравнения (4.8) пространственную часть волновой функции 屮(尸)，мы можем воспользоваться соотношением (4.2), имеющим место для любых монохроматических волн, и получить полную волновую функцию, зависящую как от пространственных, так и от временной координат.' Полагая а)= — , имеем 】)：

,(4・9)

Для комплексно сопряженного уравнения, пространственная часть волновой функции которого также удовлетворяет уравнению (4.8), будем иметь:е

(4.9а)

Условия, налагаемые на волновые функции. Собственныезначения и собственные функции

Функции 屮(£), применяемой для описания поведения частицы, в теории Шредингера может быть дана статистическая интерпретация. В частности, величина 屮* (f)屮(t)=屮* 屮，играющая роль функции распределения, характеризует плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства.

Если плотность вероятности 屮* 屮 отлична от нуля только в некоторой, пусть сколько угодно большой, но конечной области пространства Q, то мы с достаточной степенью точности можем сказать, что частица находится где-то в этой области, т. е. вероятность обнаружить частицу в области Й должна равняться единице. Математически это можно записать в виде:

f 屮* 屮Вх=1. (4.10)

Выражение (4.10) в квантовой механике носит название условия нормировки.

Следует, однако, заметить, что не всегда область отличной от нуля плотности вероятности бывает ограниченной. Есть такие случаи (простейший из них ——свободное движение частицы, которое мы рассмотрим ниже), когда во всем пространстве величина 屮*屮 не обращается в нуль. В таких примерах J 屮*屮d% расходится, и условие нормировки требует несколько другой формулировки.

Перейдем теперь к общему анализу уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера (4.8) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Его решение должно напоминать решение некоторых классических задач математической физики, например, уравнения колебания струны и т. д.

Прежде всего заметим, что на волновую функцию 屮，как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма ~ Лиувиля, должны быть наложены следующие условия. Она должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную; кроме того, она должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям.

Эти требования приводят к тому, что решения волновых уравнений, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, существуют, вообще говоря, не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название собственных значений; в данном случае таким параметром является энергия Е с собственными значениями:

£\, Яз, Ез,(4.11)

Соответствующие же этим собственным значениям решения волнового уравнения:,,,/л 1пч

%,屮2,屮з,…(4.12)

называются собственными функциями.

Возможные значения энергии образуют так называемый энергетический спектр. Ниже мы увидим, что если движение частицы не ограничено в пространстве, то ее энергетический спектр будет непрерывным. Если же положение частйцы в пространстве ограничено, то энергетический спектр будет дискретным.

Покажем, что собственные функции 办 будут удовлетворять условию ортбнормированности:

№*“，屮，成Х = ^,,(4.13)

где В〃献 ——символ Кронекера ——Вейерштрасса, равный единице при ri =п (условие нормировки) и равный нулю при " W 〃 (уело-

вие ортогональности). Чтобы показать это, напишем уравнение Шредингера для 办 и 屮*J

V"%十樂"(当一V)屮/1 = 0，(4.8a)

V? %，+争(％—})%，= 0.(4.86)

Умножая первое из них на 屮:,，а второе на (—— 屮/ и складывая затем первое со вторым, получаем:

€v2^-W^+ 券(邑一Е“，)％% = 0.(4.14)

Отсюда, учитывая, что

屮;，% vR：，= div В, где

после интегрирования (4.14) по всему пространству находим:

Jdiv5〃3% + ^(E“ — E“,)§屮；爲〃3% = 0.(4.15)

Принимая во внимание стремление (p-функции на бесконечности к нулю, получаемх):

j div В d2x = ^ BndS = 0r

т. е. вместо (4.15) будем иметь:

(ElJ,) J%,屮dx = o.(4.16)

Предположим теперь, что Еп ^ Еп, (т. е. ил ^ и); тогда согласно (4.16) должно выполняться равенство (условие ортогональности):

，屮:，屮館 3Х = 0.(4.17)

Поверхность S = 4нг? стремится к бесконечности при г —► со. Поэтому данный интеграл обращается в нуль, когда волновая функция 屮 при г —> со стремится к нулю быстрее, чем г-1. Для дискретного спектра это условие всегда выполняется, так как волновая функция 屮 на бесконечности обращается в нуль, как правило, по экспоненциальному закону. Случай же непрерывного спектра мы исследуем особо.

Если же Н = п (или 石也=々,)，то последний интеграл будет отличен от нуля; мы можем потребовать, чтобы он равнялся единице (условие нормировки):

、屮:屮節з%=1) (4.18)

Таким образом, собственные функции 屮「％,屮з, соответствующие собственным значениям Еь Е?> 53) действительно обладают свойством ортонормированности (4.13), являющимся одним из важнейших свойств собственных 巾ункннй.

в. Частица в потенциальной яме

В качестве примера определения собственных значений и собственных функций рассмотрим движение частицы в одномерной потенциальной яме.

Поскольку эта задача имеет главным образом методическое значение, мы выберем простейшую зависимость потенциальной энергии от расстояния (см. фиг. 4.1):

'Vo при*—8<Х<0 (область I),

U (х) = ■ 0 при 0<х</ (область II), (4.19) ■ 匕j при Z<X<cxd (область III).

Условия ортонормированности (4.17) и (4.18) получены в предположении, что каждому собственному значению энергии Еп соответствует только одно собственное значение волновой функции 屮小 Этот случай носит название невырожденного.

При наличии же вырождения, когда одному и тому же значению энергии Еп соответствуют несколько волновых функций (например, две)屮九 и 屮二，мы всегда можем их нормировать на единицу. Однако, как видно из (4.16), они могут оказаться и неортогональными друг к другу, т. е.

， 屮；屮；"* = S W 0.

Тем не менее мы всегда можем составить из них такие линейные комбинации (в данном случае две), что новые волновые функции будут ортогональными друг к другу.

Например, в случае вещественности величины S такими комбинациями являются следующие:

屮：+屮；

Поэтому функцииПоэтому функциимы можем всегда выбрать волновые ортонормированности примет вид:мы можем всегда выбрать волновые ортонормированности примет вид:■ ni = yT(\ +S)；при наличии вырождениятаким образом, что условие

Поэтому функции

Поэтому функции

мы можем всегда выбрать волновые ортонормированности примет вид:

мы можем всегда выбрать волновые ортонормированности примет вид:

ОдинОдин•5 п'т' пт«л 团团

Один

Один

из наиболее важных примеров вырожденных функций будет рассмотрен нами более подробно в § 12 (задача о ротаторе).

Тогда уравнение Шредингера для области II (^^ V = 0, потенциальная яма) принимает вид:

帽十々屮h = 0,帽十々屮h = 0,гдегде山"一叫 а屮一瓦сa公=誓e =爲＞0.山"一叫 а屮一瓦сa公=誓e =爲＞0.(4.20)

帽十々屮h = 0,

帽十々屮h = 0,

где

где

山"一叫 а屮一瓦сa

公=誓e =爲＞0.

山"一叫 а屮一瓦сa

公=誓e =爲＞0.

(4.20а)

VMVMЗаметим, что в данной задаче случай Е<0 не имеет физического смысла.

VM

VM

Общее решение уравнения (4.20), носящее колебательный характер, будет:

5T = В】 cos kx + Ап sin kx.

(4.21)

ШШФиг. 4.1. Движение частицы в потенциальной яме.Фиг. 4.1. Движение частицы в потенциальной яме.77Что касается уравнения Шредингера для областей I и ^П, то оно имеет там вид:

Ш

Ш

Фиг. 4.1. Движение частицы в потенциальной яме.

Фиг. 4.1. Движение частицы в потенциальной яме.

7

7

屮"+争(E -%)屮=0.

(4.22)

Здесь следует различать два

случая. В первом случае (Е〉％) решение в этих областях также будет носить колебательный характер (уравнение эллиптического типа), определяемый уравнением (4.21), причем величина k имеет значение:

專/2恤(Е—

Каких-либо ограничений на бесконечности для волновой функции при этом вводить не следует, и поэтому энергия Е может принимать любые непрерывные значения. Однако случай непрерывного спектра лучше исследовать не на этом примере (наличие потенциальной ямы только усложнит в математическом отношении задачу, но не изменит общего характера решения), а на примере свободного движения частицы (см. ниже).

Во втором случае (Е <^ VQi потенциальный барьер) решение уравнения (4.22) имеет экспоненциальный характер (уравнение гиперболического типа), и поэтому его общее решение может быть представлено в виде:

гдегдеФиг. 4.2. Волновая функция при некотором значении Е.Фиг. 4.2. Волновая функция при некотором значении Е.За ось абсцисс для волновой функции взят энергетический уровень.За ось абсцисс для волновой функции взят энергетический уровень.

где

где

Фиг. 4.2. Волновая функция при некотором значении Е.

Фиг. 4.2. Волновая функция при некотором значении Е.

За ось абсцисс для волновой функции взят энергетический уровень.

За ось абсцисс для волновой функции взят энергетический уровень.

%2=42т。(吟一Е) = *〉0.(4.24)

Заметим, что волновая функция при произвольном значении энергии (0<^Е<^ Vo) внутри потенциального барьера будет содержать как экспоненциально возрастающее, так и экспоненциально убывающее решения (см. фиг. 4.2). Поэтому мы должны выбрать такие значения Е, при которых экспоненциально возрастающие решения внутри потенциального барьера будут отсутствовать.

Для этого мы должны потребовать, чтобы в области I (х<0) коэффициент 5 = 0, а в области III (%〉/) коэффициент 411 = 0〔).

Тогда будем иметь:

中 1 = аe"" =固，

屮ш ==(4.25)

причем в последней формуле ради простоты мы положили:

Bui = Вё^.

Сшивая решения) на границах областей I и 11 (х = 0), а также II и III (х = 1) при условии, что экспоненциально возрастающее решение обращается в нуль, находим уравнение для определения собственных значений энергии Е.

В дальнейшем мы еще несколько упростим нашу задачу, а именно потребуем, чтобы потенциал 匕)，а вместе с тем и величина 乂 обратились в бесконечность (см. фиг. 4.3).

Тогда, как видно из (4.25),屮 1 =屮山=0 и поэтому граничные условия для решения (4.21) внутри потенциальной ямы (область II) принимают вид:

фп = О при х = 0 (4.26) и

屮н = 0 при (4.27)

Ф и г. 4.3. Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Отсюда, из общего решения (4.21) в области II находим, что Вн = 0, а для определения собственных значений будем иметь соотношение:

sinfe/ = 0,(4.28)

из которого следует:

kl = mf(4.29)

где 九=1, 2, 3, 4, ... . Значение п = 0 мы исключаем из рассмотрения, так как при этом волновая функция тождественно обращается в нуль. Точно так же отрицательные значения п могут быть опущены, поскольку волновые функции при отрицательных значениях п будут равны волновым функциям для положительных и, взятым с обратным знаком. Учитывая, что 々？= =涼£, получаем следующее выражение, определяющее спектр энергии (собственные значения):

соответствующие этим значениям энергии волновые функции (собственные функции) будут равны:

% = 4$也К吟.(4.31)

Коэффициент Ап может быть найден из условия нормировки:

J ^dx=Al Jsin^n ydx = ^ 為=1, оо

откуда.

Подставляя это значение для коэффициентов Ап в (4.31), окончательно находим:

% = ]/戸由冗孔£・(4.32)

Волновые функции (4.32), представляющие собой собственные функции уравнения Шредингера, согласно общей теореме о собственных функциях [см. (4.17)], должны удовлетворять условию ортогональности:

^ndx = 0 при 九(4.33)

в чем нетрудно убедиться простым интегрированием, подставляя сюда вместо волновой функции % ее выражение (4.32).

Выпишем теперь некоторые конкретные собственные значения

Еп и собственные функции 必，которые изображены на фиг. 4.3:

(4・34)

旦=4凸，％=]/ у sin(4.35)

& = 9Ei, ^y^sm^ — .(4.36)

Приведенные здесь решения очень похожи на известные решения для колебания струны с закрепленными концами, которые образуют стоячие волны. Случай п— 1 [см. (4.34)] соответствует основному тону, случай п = 2 [см. (4.35)]——первой гармонике и т. д.'

г. Свободное движение частиц. Нормировка волновых функцийв случае непрерывного спектра

Рассмотрим свободное движение частицы (сначала одномерный случай), когда во всем пространстве (一оо<%<8)уравнение Шредингера (4.8) может быть записано в форме:

缪十树=о，(4.37)

где

必=需=告.(4.38)

Его решение имеет вид:，

屮=4产工十氏7(4.39)

Чтобы в последнем равенстве выяснить физический смысл каждого члена, напишем полную волновую функцию:

' 屮⑺=尸3‘屮=4е」(з」ЬО 十 Be-i^Mx)t (4.40)

Отсюда видно, что первое решение Ае~!^1 克*)описывает движение частицы в положительном направлении оси х, а второе Be "8’+*”)一 в противоположном направлении. Ограничиваясь одной бегущей волной, распространяющейся вдоль оси х, находим:

屮=/公 (4.41)

Нетрудно убедиться, что выражение ，屮*屮dx расходится, и, следовательно, прежний способ нормировки [см. (4.10)] на единицу требует пересмотра.

Существуют два основных способа нормировки таких ф-функ- ций. Разберем более подробно первый из них, предложенный Борном. Этот способ заключается в том, что вместо граничных условий на волновую функцию 屮 накладывается условие периодич- Н0ctи： 中(%)=中(%+厶)， (4.42)

где длина £ получила название длины периодичности. Эта длина может быть выбрана сколь угодно большой (£ — 8). Она, как правило, не входит в конечный результат.

переписать в виде:переписать в виде:Аёкх A^x^lkL,Аёкх A^x^lkL,Согласно условию (4.42), которое в нашем случае можно

переписать в виде:

переписать в виде:

Аёкх A^x^lkL,

Аёкх A^x^lkL,

мы получаем, что е"" = 1. Отсюда находим:

kk2芯门2芯门

k

k

2芯门

2芯门

где 几=0, ±1, ±2, ±3, При этом для уровней энергии согласно (4.38) и (4.43) имеем:

_沼胪 2兀紡%2_沼胪 2兀紡%2(4.44)(4.44)

_沼胪 2兀紡%2

_沼胪 2兀紡%2

(4.44)

(4.44)

Так как функция 屮 является периодической на отрезке L, то условие нормировки принимает вид:

У ^^dx— 1.(4.45)

—2/2

Подставляя сюда выражение (4.41) для 屮，получаем:

』=* 一(4・46)

Поэтому нормированные решения будут равны:

I1,2ип

3产厂^=「户*・(4.47)

Легко показать, что функции (4.47) будут не только нормированными, но и ортогональными, в чем легко убедиться путем непосредственного интегрирования:

£/2Z/2 _

прим'w北, при rf = п.прим'w北, при rf = п.(4.48)(4.48)У 屮击％d% = z , е一力2，/2

прим'w北, при rf = п.

прим'w北, при rf = п.

(4.48)

(4.48)

_ sin к (п —力)—(0一 大(/2 _吟一II

Таким образом, вводя искусственным путем длину периодичности, мы делаем тем самым непрерывный спектр дискретным. Однако если в конечном результате длину L стремить к бесконечности, то этот дискретный спектр станет непрерывным. В самом деле, учитывая, что 左= ^="^^ и Ап=1, для разности ЛЕ соседних энергетических уровней находим значение:

ЛЕЛЕ(4.49)(4.49)h2k 2大 2兀九

ЛЕ

ЛЕ

(4.49)

(4.49)

= , =и-"Т"-

"仆厶 L

Отсюда непосредственно следует, что, если L —со, то ДЕ —0, т. е. спектр энергии будет непрерывным.

Обобщим рассмотренную задачу на трехмерный случай движения свободной частицы. Уравнение Шредингера при этом следует записать в виде:

(备十薪十备 +火)屮=°，(4・50)

Здесь, как и в одномерном случае,左纟 определяется формулой (4.20 а).

Решение уравнения (4.50) будем искать методом разделения переменных, т. е. в виде:

屮=屮(%)屮日)屮⑶.(4.51)

Подставляя это выражение для 屮 в уравнение (4.50) и умножая

полученное соотношение на:

находим:находим:11O = «%"W，z)，11O = «%"W，z)，屮"(％) I 屮"(У)屮(*) 丁 屮(у)屮"(％) I 屮"(У)屮(*) 丁 屮(у)(4.52)(4.52)

находим:

находим:

11

O = «%"W，z)，

11

O = «%"W，z)，

屮"(％) I 屮"(У)屮(*) 丁 屮(у)

屮"(％) I 屮"(У)屮(*) 丁 屮(у)

(4.52)

(4.52)

где штрихи обозначают производные по аргументу соответствующей ф-функции.

Замечая, что такое уравнение может удовлетворяться только в том случае, когда каждая из дробей не зависит от координат и равна некоторой постоянной, для функции 屮(％),屮(у) и ф (г) получаем уравнения:

屮"(%) + 硒(尤)=0,屮"®) + 属屮 0)=0,

屮"(z)十抬屮(z) = 0,(4.53)

причем

竹+局十总=抬.(4.54)

Выбирая в качестве решений полученных уравнений (4.53) бегущие волны в некотором определенном направлении, будем иметь:

屮(％) = ▲*% 山(у) = Ве的匕屮 Сг) = Се*#・(4.55)

Определяя неизвестные коэффициенты At В и С из условия нормировки, а также считая, как и в одномерном случае, функции 屮(%),巾&) к 屮(z) периодическими на некотором отрезке L, находим:

Здесь

屮(%) = L 2屡以1Х，屮3)= L 2 "电了 ,屮(z) = L 2 eik.Z

(4.56)

,22 九

々1 =几1 Z，々2 =孔2 ，々3 =孔3 丁,

а 孔i,几2,孔30, it 1, 土 2, 士 3,...

Для значений энергии частицы в этом случае

「2式暗2 , 2 I 2 J /2式味2及2

E"=M ("+猫+畸=W，

будем

(4-57)

иметь:

где

几z(4.59)

Подставляя в (4.51) соотношения (4.56), находим:

% = L ' 2 е说工(4.60)

Эти волновые функции будут удовлетворять условию ортонорми- рованности:

J 屮＞1 吟出 з 屮九3d3% = ^П1Гг,Лл2«,2^з«,з,(4.61)

Полная же волновая функция ф (/), зависящая как от координат, так и от времени, запишется в виде:

з

^t) = L~(£62)

ЕДе

卩=力论，e =魂.(4.63)

Отметим попутно, что энергетический спектр в данном случае, как и при одномерном движении, оказывается непрерывным. В этом нетрудно убедиться, если по аналогии с линейной задачей найти разность энергий двух соседних уровней и положить затем £ —оо.

д. Основные свойства ^-функции. Нормировка непрерывного спектрана 5-функцию

Одно из основных свойств собственных функций состоит, как мы уже указывали [см. (4.13)], в том, что они являются ортонормированными. Это позволяет любую функцию 户(％), если она не обладает какими-либо специфическими особенностями, разложить в ряд по полной системе ортонорми- рованных функций:

尸(％) = £ &屮九(％)・ (4.64)

Умножая последнее равенство ^ (х) dx и интегрируя по всей области изменения переменной л\ получаем:

\ 屮紋(％)£(%)"%=£ с% § 屮紋(％)屮л (%)е%・

Отсюца, учитывая условие ортонормированности, будем иметь:

С“ = § % (х)尸(х) dx.

Подставляя в разложение (4.64) это значение для коэффициента С„, предварительно заменив переменную интегрирования х через х\ чтобы функцию 屮；г (х) можно было подвести под знак интеграла, находим:

尸(*)=』,dx'尸(书屮;(й)中“(X).尸(*)=』,dx'尸(书屮;(й)中“(X).(4.66)(4.66)

尸(*)=』,dx'尸(书屮;(й)中“(X).

尸(*)=』,dx'尸(书屮;(й)中“(X).

(4.66)

(4.66)

Последнее разложение представляет собой обобщенный ряд Фурье. Чтобы получить из него обычный ряц Фурье, мы должны вместо 屮孔 подставить гармонические функции (4.47).

Заметим, что сумма по п в (4.66) представляет собой S-функцию:

(4-67)(4-67)У 屮；(*')屮“ (*) = в (х — M),

(4-67)

(4-67)

так как она переводит функцию 尸(％') в 尸(％).

В этом отношении S-функция напоминает собой S-символ Кронекера —— Вейерштрасса, который обладает аналогичным свойством в отношении индексов п и п\

nf

Отсюда следует, что В-функция отлична от нуля только в очень узкой области %'〜％, так же как и В-символ отличен от нуля лишь при п* = п. В частности, полагая в (4.66) функцию 尸(х')=1, мы получаем одно из основных свойств S-функции:

(4.68)(4.68)6 (х — М) dx' = 1.

(4.68)

(4.68)

Интересно отметить, что соотношения (4.66) и (4.68) совершенно нс зависят от того, из каких ортонормированных функций построена S-функция.

В наиболее простом случае можно построить В-функцию из ортонормированных функций (4.47), по которым производится разложение в ряд Фурье:

S (% —о =今］е.(4.69)

п,2,2兀а

Вводя далее новую переменную fe — ^- и учитывая, что № =工^注=

2兀

=—(так как кп= 1), вместо (4.69) будем иметь:

& (-V — £)=密 £厶 he•

Если теперь длину L стремить к бесконечности (厶论— 0), то последняя сумма превратится в интеграл:

S (十一х') = —\ dke.(4.70)

Здесь пределы интегрирования по 论 следует рзять ,от ——со до + 8. Отметим, что S-функция относится к числу так называемых несобственных функ-

ций. Это проявляется в том, чго интеграл (4.70) мы не можем вычислить непосредственно, так как при % = %’ он вообще расходится. Поэтому чтобы получить представление о S-функции, мы должны несколько «размазать» подынтегральное выражение (4.70). Размазывание S-функции можно произвести, например, следующим образом:

1 「 , - a I * 1 + Z (.v - xf) k 6 (x x', a) = -—i dke

1 Г, _ a 用01 Г, _ a 用0cos k (x ——％r) dk =^ ^cos k (x ——％r) dk =^ ^аа+(% —% 产+(% —% 产(4.71)(4.71)График размазанной S-функции изображен на фиг. 4.4. В пределе a —»• ОГрафик размазанной S-функции изображен на фиг. 4.4. В пределе a —»• ОS-функция должна обладать следующими свойствами:6 (% — £) = 0 при % W %、В (х — £) = 8 при % = J 丿S-функция должна обладать следующими свойствами:6 (% — £) = 0 при % W %、В (х — £) = 8 при % = J 丿причем в случае предельного а —0 площадь между В-функцией остается неизменной:причем в случае предельного а —0 площадь между В-функцией остается неизменной:перехода и осью Лперехода и осью Л8 (л: — л:') dx'=8 (л: — л:') dx'== lim LfdxJar 0冗 J a’= lim LfdxJar 0冗 J a’аа+ (£ — л:);+ (£ — л:);=1.=1.(4.73)Аналогичным способом можно определить трехмерную В-функцию:(4.73)Аналогичным способом можно определить трехмерную В-функцию:加一无a)加一无a)7=77=7Фиг.Фиг.В (r) = 8 (x) S ®) 6 ⑶=В (r) = 8 (x) S ®) 6 ⑶=d^ke^r. (4.74)d^ke^r. (4.74)4.4. График размазанной В-функции.,4.4. График размазанной В-функции.,

1 Г, _ a 用

0

1 Г, _ a 用

0

cos k (x ——％r) dk =^ ^

cos k (x ——％r) dk =^ ^

а

а

+(% —% 产

+(% —% 产

(4.71)

(4.71)

График размазанной S-функции изображен на фиг. 4.4. В пределе a —»• О

График размазанной S-функции изображен на фиг. 4.4. В пределе a —»• О

S-функция должна обладать следующими свойствами:

6 (% — £) = 0 при % W %、

В (х — £) = 8 при % = J 丿

S-функция должна обладать следующими свойствами:

6 (% — £) = 0 при % W %、

В (х — £) = 8 при % = J 丿

причем в случае предельного а —0 площадь между В-функцией остается неизменной:

причем в случае предельного а —0 площадь между В-функцией остается неизменной:

перехода и осью Л

перехода и осью Л

8 (л: — л:') dx'=

8 (л: — л:') dx'=

= lim LfdxJ

ar 0冗 J a’

= lim LfdxJ

ar 0冗 J a’

а

а

+ (£ — л:);

+ (£ — л:);

=1.

=1.

(4.73)

Аналогичным способом можно определить трехмерную В-функцию:

(4.73)

Аналогичным способом можно определить трехмерную В-функцию:

加一无a)

加一无a)

7=7

7=7

Фиг.

Фиг.

В (r) = 8 (x) S ®) 6 ⑶=

В (r) = 8 (x) S ®) 6 ⑶=

d^ke^r. (4.74)

d^ke^r. (4.74)

4.4. График размазанной В-функции.,

4.4. График размазанной В-функции.,

Она удовлетворяет следующим условиям:

S (г) = 0, если г £0,

(4.75)(4.75)S (г) d3x = 1,

(4.75)

(4.75)

причем интегралы (4.74) и (4.75) являются трехмерными и их следует распространить соответственно по всему объему пространства волновых чисел (由)или обычного координатного пространства (г).

Трехмерной S-функцией очень удобно задавать плотность точечного заряца:

(4.76)(4.76)р (г) = еЗ (г).

(4.76)

(4.76)

Используя эту запись в уравнении Пуассона:

у^Ф = — 4兀еб (г)=—у^Ф = — 4兀еб (г)=—不既i/l不既i/l

у^Ф = — 4兀еб (г)=—

у^Ф = — 4兀еб (г)=—

不既i/l

不既i/l

мы можем определить потенциал точечного заряда 】)：соr е С 小产‘ 2е С sinRr е2K2 J R2 Tzr J 论 rимы можем определить потенциал точечного заряда 】)：соr е С 小产‘ 2е С sinRr е2K2 J R2 Tzr J 论 rи(4.77)(4.77)Таким образом, трехмерная 6-функция позволяет описывать в точке г —> 0 оператора Лапласа, действующего на 1/г：?2； = _ 4兀6 (Г).Таким образом, трехмерная 6-функция позволяет описывать в точке г —> 0 оператора Лапласа, действующего на 1/г：?2； = _ 4兀6 (Г).особенностьособенность(4.78)(4.78)Мы не будем останавливаться 69rleе подробно на свойствах S-функции 2) и лишь используем ее для нормировки непрерывного спектра в случае одномерного свободного движения, когда волновые функции согласно (4.41) имеют вид:Мы не будем останавливаться 69rleе подробно на свойствах S-функции 2) и лишь используем ее для нормировки непрерывного спектра в случае одномерного свободного движения, когда волновые функции согласно (4.41) имеют вид:(4.79)(4.79)Тогда нормировку этих функций мы нием:Тогда нормировку этих функций мы нием:можем связать с S-функцией соотноше-можем связать с S-функцией соотноше-

мы можем определить потенциал точечного заряда 】)：

со

r е С 小产‘ 2е С sinRr е

2K2 J R2 Tzr J 论 r

и

мы можем определить потенциал точечного заряда 】)：

со

r е С 小产‘ 2е С sinRr е

2K2 J R2 Tzr J 论 r

и

(4.77)

(4.77)

Таким образом, трехмерная 6-функция позволяет описывать в точке г —> 0 оператора Лапласа, действующего на 1/г：

?2； = _ 4兀6 (Г).

Таким образом, трехмерная 6-функция позволяет описывать в точке г —> 0 оператора Лапласа, действующего на 1/г：

?2； = _ 4兀6 (Г).

особенность

особенность

(4.78)

(4.78)

Мы не будем останавливаться 69rleе подробно на свойствах S-функции 2) и лишь используем ее для нормировки непрерывного спектра в случае одномерного свободного движения, когда волновые функции согласно (4.41) имеют вид:

Мы не будем останавливаться 69rleе подробно на свойствах S-функции 2) и лишь используем ее для нормировки непрерывного спектра в случае одномерного свободного движения, когда волновые функции согласно (4.41) имеют вид:

(4.79)

(4.79)

Тогда нормировку этих функций мы нием:

Тогда нормировку этих функций мы нием:

можем связать с S-функцией соотноше-

можем связать с S-функцией соотноше-

屮* W)屮(？)d% = * \ dxe 〈* 九丿=

=Д22кйВ (/? — ")*= 3 (р — р)Отсюда находим, что=Д22кйВ (/? — ")*= 3 (р — р)Отсюда находим, что(4.80)(4.80)т. е.т. е.仁占，仁占，屮⑺=^=У 2炭屮⑺=^=У 2炭(4.81)(4.81)

=Д22кйВ (/? — ")*= 3 (р — р)

Отсюда находим, что

=Д22кйВ (/? — ")*= 3 (р — р)

Отсюда находим, что

(4.80)

(4.80)

т. е.

т. е.

仁占，

仁占，

屮⑺=^=

У 2炭

屮⑺=^=

У 2炭

(4.81)

(4.81)

Сравним обычную нормировку волновых функций с нормировкой на S-функцию. С этой целью условие ортонормированности функций, нормированных обычным способом, представим в виде:

1) При определении потенциала Ф мы воспользовались правилом деления показательной функции на оператор:

Akr

В этом нетрудно убедиться, если учесть, что

^w-leikr = ^± = eikr

九2(

(4.82)(4.82)мы по-мы по-(4.83)(4.83)V f 山* 山 壮* =丿 L если “ лежит внутри интервала “】V"?, Zj ) тп'гп — ]0, если п лежит вне интервала пх < п2.

(4.82)

(4.82)

мы по-

мы по-

(4.83)

(4.83)

%，=I

Аналогично, для волновых функций, нормированных на S-функцию, лучим следующее обобщение:

Раf

f dp' f% если Р лежит внутри интервала 厶<网,

j м j Y и g ] о, если р лежит вне интервала рх <р^.

Анализируя найденные решения в случае потенциальной ямы, а также в случае свободного движения, мы приходим к следующему заключению. Если во всех точках пространства, находящихся на бесконечности, будет выполнено условие V >> F)то спектр энергии будет дискретным; если же на бесконечности существуют такие области, для которых V< Е, то спектр будет непрерывным.

Этот вывод фактически сделан на основании анализа решений, полученных в случае прямоугольной потенциальной ямы. Однако если потенциальная энергия является непрерывной функцией х, у, z, то это не изменит ни общего характера решения (более подробно см. следующий параграф), ни тех признаков появления дискретности спектра, на которые мы только что указали.

§ 5. ПОЛНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Как было показано в предыдущем параграфе, решение стационарного (т. е. независящего от времени) уравнения Шредингера (4.8) сводится к определению собственных значений, т. е. спектра уровней энергии Еп, и соответствующих нм собственных функций ф„. Волновая же функция некоторого состояния 弘(/), зависящая как от координат, так и от времени, получалась при

—(i/力)e九f

этом умножением фл на величину е . Поэтому функция фп (t) могла описывать лишь процессы, протекающие строго монохроматически (т. е. с одной энергией).

Наряду со стационарным существует также явно зависящее от времени (полное, или нестационарное) уравнение Шредингера, позволяющее исследовать более широкий круг вопросов.

а. Переход к полному уравнению Шредингера

Чтобы получить полное уравнение Шредингера, необходимо в стационарном уравнении исключить энергию Е, играющую роль постоянного параметра. Представим для этого стационарное уравнение Шредингера (4.8) в виде:

Е 屮⑴ + (薪 V* —")屮 «)= 0,

(5.1)

Тогда, исключая из него параметр £ с помощью соотношения:

(5.2)(5.2)= e屮⑺,

(5.2)

(5.2)

получаем полное уравнение Шредингера:

矗炉—力屮(/)= °・ (5.3)

Это уравнение имеет более общий характер и пригодно, в частности, для описания процессов, в которых потенциальная энергия V является функцией не только координат, но и времени.

Если потенциальная энергит V от времени не зависит, то нам достаточно решить стационарное уравнение Шредингера и определить все возможные собственные значения энергии Еп и принадлежащие им собственные функции 屮仆 Волновая функция, удовлетворяющая уравнению (5.3), будет связана с этими частными решениями линейным соотношением:

В самом деле, подставляя (5.4) в (5.3) и являются постоянными коэффициентами, аВ самом деле, подставляя (5.4) в (5.3) и являются постоянными коэффициентами, ауравнению:уравнению:V2 屮“ТV2 屮“Т2%2%护护(斗一 U) % = °，(斗一 U) % = °，убедиться, чтоубедиться, чтоявляется общимявляется общим(5.4)учитывая, что Сл % удовлетвор яют(5・5) решением уравне(5.4)учитывая, что Сл % удовлетвор яют(5・5) решением уравне

В самом деле, подставляя (5.4) в (5.3) и являются постоянными коэффициентами, а

В самом деле, подставляя (5.4) в (5.3) и являются постоянными коэффициентами, а

уравнению:

уравнению:

V2 屮“Т

V2 屮“Т

2%

2%

护

护

(斗一 U) % = °，

(斗一 U) % = °，

убедиться, что

убедиться, что

является общим

является общим

(5.4)

учитывая, что Сл % удовлетвор яют

(5・5) решением уравне

(5.4)

учитывая, что Сл % удовлетвор яют

(5・5) решением уравне

ния (5.3), так как

(一合十紀炉一小⑴=

=』J и)屮“ =0.(5.6)

п

Случай монохроматической волны является частным случаем общего решения (5.4). Для этого мы должны положить в (5.4):

С恤=1 и &г = 0 (если 孔 w%)・

Следует также заметить, что переход от стационарного уравнения (5.1) к полному (5.3) эквивалентен в сущности простой замене энергии £ величиной 力力-為，называемой в квантовой механике оператором энергии〔)：

e ="力与，(5.7)

Действие этого оператора на какую-либо функцию сводится к обычному дифференцированию этой функции по времени, т. е. Е является так называемым линейным дифференциальным оператором.

Для монохроматической волны, когда '

имеем:имеем:屮0) = e 屮"，

имеем:

имеем:

E 屮(/) = £“ 屮(/).

Отсюда видно, что энергия Еп является собственным значением оператора энергии Е.

Кроме оператора энергии в квантовой механике есть и другие операторы, наиболее важным из которых является оператор импульса: 方 方 d

который носит такое название потому, что его собственное значение для свободного движения совпадает с классическим импульсом.

Например, действуя оператором р на волновую функцию свободной частицы [см. (4.62)], получаем:

—3/2 —(Е/ — рг)

Рф(О= —v{^ е }=〃屮(/)•

В данном случае собственным значением оператора р является классический импульс р.

11ользуясь операторной символикой, полезной в том отношении, что она более наглядно иллюстрирует связь между квантовыми и классическими законами движения, уравнение Шредингера (5.3) можно представить в виде:

Таким образом, чтобы совершить формальный переход отТаким образом, чтобы совершить формальный переход откласклас(Е —Ю 屮(А(5.9)

Таким образом, чтобы совершить формальный переход от

Таким образом, чтобы совершить формальный переход от

клас

клас

сической теории к закона сохранениясической теории к закона сохраненияквантовой, следует в классическое выражение энергии 1):

сической теории к закона сохранения

сической теории к закона сохранения

Е ———У = 0,

2mo

1) Если электрон находится не только в электрическом, но и в магнитном поле, характеризуемом вектор-потенциалом А, то, учитывая классическое выражение (1.15) для гамильтониана, стационарное уравнение Шредингера можем записать в виде:

вместо энергии Е и импульса р подставить соответствующие операторные значения и подействовать ими на волновую функцию. Оператор ^- называют оператором кинетической энергии Т, а Т + ^ ——оператором функции Гамильтона Н, который ради краткости в дальнейшем мы будем называть просто гамильтонианом.

Учитывая значения этих операторов, уравнение (5.9) можно записать еще в виде:.

(Е-НМ(/) = 0・(5.10)

В случае, когда потенциальная энергия V не зав'исит от времени, в силу соотношения:

Е%(/) =以打⑴(5.11)

стационарное уравнение Шредингера приводится к форме;

(Е% —Н)% = 0.(5.12)

Отсюда видно, что для стационарных процессов собственное значение гамильтониана равняется собственному значению энергии, точно так же, как и в классическом стационарном случае, функция Гамильтона равняется энергии частицы.

Плотность заряда и плотность тока. Квантовые ансамбли

В классической электродинамике большую роль играет уравнение непрерывности:

居+ div/=0,'(5.13)

которому подчиняются плотность заряда р и плотность тока j.

Соотношение (5.13) представляет собой по существу универсальную запись закона сохранения заряда. Чтобы это показать, умножим соотношение (5.13) на 妆 и проинтегрируем его по всему пространству：

£% 成％-卜 J div jdM = 0.(5.14)

Изменяя в первом интеграле порядок дифференцирования и интегрирования (это возможно, так как время здесь играет роль параметра), а во втором переходя от объемного интеграла к поверхностному, получаем:

糸,pd3% + §j“dS = 0.(5.15)

Если на бесконечности заряды, а также и токи отсутствуют, то

поверхностный интеграл обращается в нуль, и мы будем иметь закон сохранения заряда:

е = \ р 綢=const.(5.16)

Найдем теперь по волновой теории выражения для плотности заряда и плотности тока. Обратимся с этой целью к уравнению Шредингера (5.3), которое запишем в виде:

岑*'口(')= °，(5」7)

Аналогично для комплексно сопряженного уравнения имеем:

t+2^vT(0-t^W = °--(5・18)

Умножая первое из них на 屮*(/), а второе на 屮(/), а затем складывая оба уравнения, получаем:

^£^ + 盡"屮(?) ▽屮* (/) 一屮* (?) ▽屮《)} = 0. (5.19)

Сравнивая последнее уравнение с уравнением непрерывности (5.13) и учитывая, что плотность заряда должна равняться произведению заряда отдельной частицы е на плотность числа частиц, которая в данном случае равняется плотности вероятности, будем иметь:

р =叫來(/)屮(/).(5.20)

Учитывая два последних соотношения, для плотности тока находим следующее выражение:

」=跷{屮(/)grad 屮* (0 —屮* (0 grad 屮(/)}.(5.21)

Следует заметить, что для монохроматической волны, т. е. когда

屮(/)= e-和瓦屮， плотность заряда:

Р = е屮*,(5.22)

и плотность тока:

/=鑽(屮 g^d 屮*-屮* grad 中)(5.23)

не будут зависеть от времени.

В случае вещественных волновых функций (ф* = ф) плотность тока всегда будет равной нулю. Например, для электрона, находящегося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме (см. фиг. 4.3), выражение для плотности тока обращается в нуль

(у = 0), что является вполне естественным, так как колебания в потенциальной яме, описываемые вещественными волновыми функциями, представляют собой по существу стоячие волны, а стоячие волны не могут образовывать потока частиц.

Иное положение вещей мы будем иметь при исследовании свободного движения частицы, когда волновая функция согласно (4,60) задается бегущей волной:

屮=£一 з&5га.(5.24)

Подставляя это выражение для 屮 в (5.22) и (5.23), для плотности заряда и плотности тока соответственно находим:

0 =绅*电=L3%

Отсюда видно, что если заряд распределен по всему объему с равной вероятностью, то его плотность, как и следовало ожидать, будет равна величине этого заряда, деленной на весь объем, а плотность тока будет связана с плотностью заряда таким же соотношением, какое имеет место в классической электродинамике.

Выясним теперь физический смысл коэффициентов Сл, входящих в полное решение 0 (/) волнового уравнения [см. (5.4)]. Подставим для этого значение 屮(/) в соотношение (5.16), определяющее сохранение полного заряда. Тогда, учитывая (5.20), получаем: f]C^C“eT(E"S 戰,％衣1. п

Поскольку волновые функции должны удовлетворять услойию ортонормированности:

\ 屮条屮/3% = ^nnrt имеем:

£8&=£5=1・(5.25)

Отсюда непосредственно следует физический смысл коэффициентов Сп как величин, характеризующих вероятность пребывания частицы в квантовом состоянии п. Действительно, если нам точно известно, что частица находится в состоянии п^{Е=：Еп^у то все коэффициенты СЛ} за исключением СЛо, должны быть равными нулю, т. е. мы должны положить Сп = ВЛЛо. Если частица имеет отличную от нуля вероятность нахождения не в одном, а в авух и более состояниях, то отличными от нуля будут соответственно два и более коэффициентов. При этом вероятность пребывания

в том или ином состоянии будет характеризоваться величиной I Сп |9, в то время как плотность вероятности распределения их по пространству определяется

В тех случаях, когда в пространстве имеется большое число, например М частиц, то вместо (5.25) будем иметь:

При этом коэффициенты Сп будут характеризовать распределение частиц по различным квантовым состояниям.

В связи с этим в квантовой механике вводится понятие квантовых ансамблей, объединяющих совокупность тождественных квантовых состояний, описываемых одной и той же волновой функцией 屮.С помощью квантового ансамбля можно описать электронный пучок, поток фотонов и т. д.!).

Характерным отличием квантового ансамбля от классического является его когерентность, связанная с принципом суперпозиции. Допустим, что частицы имеют определенное распределение по различным квантовым состояниям:

IС也『 = "“,，\Cn^ = Nn„ |С„3 ^ = Nn„..., (5.26) причем

В последнем случае движение частиц, находящихся, например, в состояниях п=П] и п = п?, нельзя рассматривать независимо друг от друга, потому что, если возможны состояния 6Л1 и ФЛо, то общая волновая функция линейного уравнения Шредингера будет представлять собой суперпозицию (наложение) отдельных состояний, т. е.

屮(2) = С%】屮м (/)十 Сп^п2 (/) -j-…《

Это существенно при определении полной вероятности состояния, пропорциональной произведению ф* (/) ф (/). В этом произведении наряду с 屮訂(/)屮勺(/) должны появляться также и смешанные члены вида 解乂/)加U). Иными словами, каждая частица будет обладать определенной вероятностью нахождения в обоих квантовых состояниях.

Наличие смешанных членов, которые будут отличны от нуля для когерентных 屮-волн (чистый ансамбль), ведет к интерферен-

Анализ волновой природы частиц с помощью квантовых ансамблей был произведен рядом советских физиков. (К. В. Никольский, Квантовые процессы, М. — Л., 1940, стр. 35; см. также Д. И. Блохинцев, Основы квантовой механики, М. — Л., 1961, стр. 51.)

4 Квантовая механика

ции де-бройлевских волн, что не имеет места для некогерентных волн (смешанный ансамбль), т. е. в чистом ансамбле складываются волны, а в смешанном——интенсивности. Исследование квантовых ансамблей интересно еще и в том отношении, что оно дает статистическую интерпретацию результатов волновой теории. В самом деле, при наличии большого числа частиц или большого числа повторяющихся с одиночными частицами состояний вероятность того или иного процесса, вычисленного по квантовой механике, согласно закону больших чисел, должна совпадать (так же, как и в классической статистической физике независимо от природы «скрытых» параметров) с реальным распределением, которое можно наблюдать экспериментально (более подробно см. § 7)1).

Связь между теорией Шредингера и классическим уравнением Гамильтона—Якоби

Уравнение Гамильтона ——Якоби, описывающее в классической механике движение материальной точки в поле потенциальных сил, является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка. Напомним вкратце его вывод.

Будем исходить из классического закона сохранения энергии： E = ^ + V-T + V-(527)

Введем функцию действия:

S ⑴=\ £ dt = \QT — Е) dt = S — Et, (5.28) о0

где t

S = \2Tdt.(5.29)

Покажем, что в формуле (5.29) зависимость S от / будет неявной, а именно S = S(x(/), у(/), %(/)), и поэтому в отличие от полной функции действия S (/) эту стационарную функцию действия S мы будем писать так же, как и стационарную волновую функцию 屮,без аргумента (в скобках)九

Если при рассмотрении стрельбы по мишени (см. примечание 2 иа стр. 67; смешанный ансамбль) мы получили просто гауссово распределение с одним максимумом попадания (в центре), то попадание на экран поочередно летящих электронов, предварительно прошедших сквозь щель, дает дифракционную картину (чистый или когерентный ансамбль). В последней максимумы будут расположены и в центре, и на концентрических окружностях, радиусы которых зависят от соотношения между де-бройлевской длиной волны и размерами дифракционной щели. Классическая теория вероятностей, очевидно, применима только к смешанным ансамблям.

Чтобы показать это, возьмем полный дифференциал величины S, определяемой (5.29):

dS = 2T df*

Учитывая равенства:

"$ =翁必+寫 d% + ^dy + ^|dZ'(5.30)

2T dt = m0 (炉 +丄2 + 2”)dt = pxdx + pydy + p2dz,

находим, что

(т. е. S не зависит от / явно), а

р = gradS.(5.31)

С помощью уравнений (5.31) и (5.27) находим стационарное уравнение Гамильтона — Якоби:

壶(gradS^+IZ —Е = 0.(5.32)

Если ввести в это уравнение полную функцию действия, явно зависящую от времени:

S(/) = S —項，

и принять во внимание, что р = grad S = grad X (/), а Е =—端^, то, исключая параметр £ из уравнения (5.32), находим полное уравнение Гамильтона ——Якоби, пригодное для описания нестационарных процессов:

亲(grad S (/))2 + У + * =0.(5.33)

Стационарное и полное уравнения Гамильтона ——Якоби соответствуют стационарному и полному уравнениям Шредингера.

В частности, нетрудно показать, что в случае свободного движения частицы (Р = 0, /? = const, E = const) функция действия определяется выражением:

S (%) = — Е/ 十 рг.S (%) = — Е/ 十 рг.(5.34)(5.34)

S (%) = — Е/ 十 рг.

S (%) = — Е/ 十 рг.

(5.34)

(5.34)

В этом легко убедиться, подставляя S (/) из (5.34) в (5.33).

Заметим, что функция ф(/) для свободного движения равна [см. (4.60)]:iz

屮(/) = /痺(5-35)

При переходе от уравнения Шредингера к классическому уравнению Гамильтона ——Якоби связь (5.35) волновой функции с функцией действия следует сохранить также и в общем случае.

4*

Ограничимся при этом переходе рассмотрением стационарной задачи, когда丄$

^― Аеп .(5.36)

Будем исходить из уравнения Шредингера, записанного в операторном виде:

(毫+ V —Е)屮=0.(5.37)

Принимая во внимание конкретный вид оператора р =——i力V, согласно (5.36) имеем:

Р屮= (grad S)屮，(5.38)

贏屮=盡((grad S)? 一犷 S)屮.(5.39)

Из уравнения (5.38) мы видим, что соотношение (5.36) приводит к той же связи между оператором импульса р и функцией действия S, какая была установлена в классической теории, если при этом оператор импульса заменить классическим импульсом р. Подставляя (5.39) в (5.37), получаем уравнение:

击(骐<1寸+U — E 一盡?岭=0,(5.40)

которое является преобразованным уравнением Шредингера.

Чтобы получить уравнение Гамильтона — Якоби, мы должны пренебречь последним членом, т. е. положить й = 0. Как известно, при 力=0 квантовые уравнения должны переходить точно в классические. Если же 力 W 0, то при соблюдении условия:

(gradS)2>ft|V2S|

квантовые члены дадут небольшие поправки к классическому уравнению. Соответствующее приближение носит название квази- классического.

Принимая во внимание, что р = gradS, последнее условие можно записать в виде:

提Idivp У】

В частности, для одномерного случая будем иметь:

Д 1^1 I d (方勿) р2 1dxl — I dxД 1^1 I d (方勿) р2 1dxl — I dx=］爲1vi=］爲1vi(5.41)(5.41)

Д 1^1 I d (方勿) р2 1dxl — I dx

Д 1^1 I d (方勿) р2 1dxl — I dx

=］爲1vi

=］爲1vi

(5.41)

(5.41)

Таким образом, квазиклассическое приближение оказывается достаточно точным в том случае, когда де-бройлевская длина волны будет либо постоянной, либо мало меняющейся на расстояниях порядка этой длины волны.

Принимая во внимание, что

р =2% (£— "),

последнее условие мы можем записать в виде:

開警| = 1皆|《1，(М2)

где 尸=—族一классическая сила, действующая на частицу.

Отсюда, в частности, следует, что квазиклассическое приближение становится неприменимым при малых значениях импульса частицы и в особенности в тех точках, где по классической теории частица должна остановиться (七=匕 р = 0). Такое положение имеет место, например, в случае, когда частица, находясь в потенциальной яме, в результате отражения от потенциального барьера начинает возвращаться обратно (точки поворота). Этот вывод может найти простое объяснение, если учесть, что при р->0 де-бройлевская длина волны стремится к бесконечности, и поэтому волновые свойства частицы будут проявляться особенно сильно.

Приближенный метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна(Метод ВКБ)

Как было отмечено, уравнение (5.40) совершенно эквивалентно уравнению Шредингера. Поэтому можно попытаться в основу волновой теории положить именно уравнение (5.40), рассматривая дополнительный к классическому уравнению член, пропорциональный й, как некую новую квантовую потенциальную энергию:

S =-盡 VS(5.43)

которой следует дополнить уравнение Гамильтона ——Якоби.

Однако в общем случае решение нелинейного уравнения (5.40) значительно сложнее, чем решение линейного уравнения Шредингера, и поэтому многочисленные попытки повести развитие квантовой теории по пути дальнейшего анализа уравнения (5.40) успеха не имели. Тем не менее Вентцелю, Крамерсу и Бриллюэну удалось найти приближенное решение уравнения (5.40), ограничиваясь членами порядка 力，которое оказалось пригодным для исследования ряда задач квантовой механики. Этот метод решения, применимый лишь к одномерным задачам, получил название приближенного метода ВКБ.

Будем считать, что потенциальная энергия является сравнительно гладкой функцией х (см. фиг. 5.1).

Для частиц с энергией £ весь промежуток изменения х мы можем разделить на две области. В первой области (х <^ х0) энергия £ больше потенциальной энергии: f^ V, а во второй области (%〉/), наоборот, £<^V. Очевидно, что на границе этих двух областей (% = /) мы будем иметь Е = 1/ (%). Исходное уравнение (5.40) в одномерном случае принимает вид：

S'2 一 访s〃 = 2mo (E-V) = p\ (5.44)

Сначала найдем решение этого уравнения для первой области (E〉U), когда величина 6〉0 будет играть роль квадрата классического импульса. Решение будем искать в виде ряда:

S = S。十 S］十 S?十…， (5.45)

где величина So не зависит от 力，Si пропорциональна 加 S2 пропорциональна 力2 и т. д. Подставляя ряд (5.45) в уравнение (5.44) и пренебрегая величинами, пропорциональными %? и выше, получаем 】)： s『+ 2SjS； — 力岷=pt (5.46)

Приравнивая друг другу члены в левой и правой частях, не зависящие от 加 а также пропорциональные 力(при этом необходимо учитывать, что величина St пропорциональна 力)，будем нметь： S『 = p2, 2SjS； = i帆. (5.47)

Отсюда следует, что

S° = ±\ pdx, Si — ih In Уp.(5.48)

Этот приближенный метод решения задачи является по существу методом возмущений, успешно применяемым также для решения уравнения Шредингера (см. ниже § 14)*

Поэтому, ограничиваясь членами порядка 加 имеем:

S = So + Si=±, pdx-^iHln^p.(5.49)

Подставляя .(5.49) в (5.36), находим следующее выражение для волновой функции в первой области (х^х。)：

屮хе%。— у—(厶 cos — j pd% + В sin , p dx).(5.50)

Точно так же для второй области (х^>х0), в которой р&<0, получаем:**

*^\ |p|dx— -^ ^ \ p\dx

屮х>"。=言(De *。 +Ce "。),(5.51)

где

⑺=/2恤⑪— £)•

Волновые функции (5.50) и (5.51) и представляют собой искомые приближенные решения по методу ВКБ. Из этих решений видно, что при E〉V волновая функция будет изменяться как в случае потенциальной ямы [см. (4.21)] или как при свободном движении [см. (4.47)] по закону косинуса или синуса, а при и〉Е——как в случае прохождения через потенциальный барьер, т. е. по экспоненциальному закону [см. (4.23)].

Сравнивая решения, найденные при V = const, с решениями,

сой х и кривой V (х). Схематически этот переход можно изобразить следующим образом:粤％f ； \ \p\^Xt(5.52)осой х и кривой V (х). Схематически этот переход можно изобразить следующим образом:粤％f ； \ \p\^Xt(5.52)ополученными в том случае, когда потенциальная энергия является функцией х, мы видим, что переход от одних решений к другим заключается в замене площади прямоугольного барьера, образуемого осью х и осью, на которой отложена величина х —匕2”丿—Е)= =屮，соответствующей площадью, заключенной между абсцис

сой х и кривой V (х). Схематически этот переход можно изобразить следующим образом:

粤％f ； \ \p\^Xt(5.52)

о

сой х и кривой V (х). Схематически этот переход можно изобразить следующим образом:

粤％f ； \ \p\^Xt(5.52)

о

Аналогичный переход можно сделать также и в случае потенциальной ямы.

Таким образом, конкретный вид зависимости потенциальной энергии от х не изменяет характера решения; последний определяется лишь знаком разности между Е и V, о чем было указано в конце предыдущего параграфа.

Решения (5.50) и (5.51) дают хорошее приближение лишь для областей, сравнительно удаленных от особой точки х0, где величина | р | относительно велика. Вблизи же особой точки (% -> х0) величина 炉->0, и поэтому знаменатель в выражениях (5.50) и (5.51) обращается в нуль, а само решение становится расходящимся.

Если бы мы могли выразить коэффициенты С н D через А и В, то найденное приближение было бы вполне достаточным для многих задач, так как область ；% ——х01 ->0 является сравнительно узкой. Однако соотношение между этими коэффициентами может быть найдено только в результате сшивания функций, которое следует производить именно на границе областей, т. е. в точке х = х0 (под сшиванием мы будем понимать приравнивание на границе области х~х0 волновых функций и их первых производных).

Поэтому приближенное выражение для 屮 необходимо представить в таком виде, чтобы при больших р2 имело место соотношение (5.50), а при х->х0, когда

户=—(% — /) 2mW (х0) = — ай2 (х— х0), приближенное решение удовлетворяло бы уравнению:

屮"一а (х — х0) ф = 0.(5.53)

Как известно, при больших z косинус асимптотически выражается через функции Бесселя порядка п при помощи соотношения:,、

cos (z———y 号((2).(5.54)

Поэтому, если положить:

2 =而、pdxt(5.55)

Т0屮=舍]⑵.(5.56)

При больших г (и любых /г) решение (5.56) в силу асимптотической формулы (5.54) переходит в решение (5.50), найденное по методу ВКБ. Попытаемся подобрать порядок бесселевой функции п таким образом, чтобы решение (5.56) удовлетворяло уравнению Шредингера не только при больших/, когда х《％о, но и вблизи особой точкит. е. при “

]/а(х0 — х)f 0 и % = 2 ?.f(% — Ху% f о. (5.57)

В этом случае (х->х0——0) асимптотическое выражение для 屮В этом случае (х->х0——0) асимптотическое выражение для 屮принимает вид:屮Х = Х0 —0 二принимает вид:屮Х = Х0 —0 二1(X0一%)У ЗЙ1(X0一%)У ЗЙJ“(*(xD%)・J“(*(xD%)・(5.58)(5.58)

В этом случае (х->х0——0) асимптотическое выражение для 屮

В этом случае (х->х0——0) асимптотическое выражение для 屮

принимает вид:

屮Х = Х0 —0 二

принимает вид:

屮Х = Х0 —0 二

1(X0一%)

У ЗЙ

1(X0一%)

У ЗЙ

J“(*(xD%)・

J“(*(xD%)・

(5.58)

(5.58)

Подставляя (5.58) в (5.53), получаем, что /л должно удовлетворять уравнению:

岩—/)* 芸 +卜国_X)_4(*。，*))厶 =°•

Наконец, вводя в последнем уравнении новый аргумент z = 2 ?。(х0 ——х)〃2, от которого зависит бесселева функция, и обозначая штрихом производную по этому аргументу, получаем:

〃 +!〃 + (1—詛厶=о.(5.59)

Чтобы бесселева функция удовлетворяла уравнению (5.59), а вместе с тем волновая функция подчинялась асимптотическому уравнению (5.53), мы должны положить /г = ±}. В этом случае вместо приближенного решения (5.50) мы будем иметь:

BJ-1/зBJ-1/з%0 pdx)}.(5.60)%0 pdx)}.(5.60)

BJ-1/з

BJ-1/з

%0 pdx)}.(5.60)

%0 pdx)}.(5.60)

Аналогично для второй области £<^ V вместо (5.51) получаем:

(5.61)(5.61)

(5.61)

(5.61)

где /1/3 и /_1/з—бесселевы функции мнимого аргумента.

Для того чтобы сшить оба решения, мы должны найти асимптотические выражения (5.60) и (5.61) в области х->х0. Значения z и р при этом будут определяться равенством (5.57); для бесселевой функции мы можем ограничиться лишь первым членом разложения:

『л ⑵=Ai (z) = г 5 + (у ("2") '(5.62)

Тогда решения (5.60) и (5.61) принимают соответственно вид:

,—А /^ (За)"屮亢％Г(1/3)「_。方(За)%屮』о + о = П1/3),—А /^ (За)"屮亢％Г(1/3)「_。方(За)%屮』о + о = П1/3)(/ — %)+ //2(3Qi/6[(2/3)，Х —瑞)十 方"в (За) % Г (2/3)'(/ — %)+ //2(3Qi/6[(2/3)，Х —瑞)十 方"в (За) % Г (2/3)'

,—А /^ (За)"

屮亢％Г(1/3)「

_。方(За)%

屮』о + о = П1/3)

,—А /^ (За)"

屮亢％Г(1/3)「

_。方(За)%

屮』о + о = П1/3)

(/ — %)+ //2(3Qi/6[(2/3)，

Х —瑞)十 方"в (За) % Г (2/3)'

(/ — %)+ //2(3Qi/6[(2/3)，

Х —瑞)十 方"в (За) % Г (2/3)'

Сшивая оба решения в точке 工二工。,находим: D = В,С — — А.

Учитывая асимптотические выражения как для обыкновенной бесселевой функции [см. (5.54)], так и для бесселевой функции мнимого аргумента):

⑶〜忐伫十eTcosK(a+})), (5.64)

Как известно, функция Бесселя мнимого аргумента связана с функцией Бесселя первого рода соотношением:

In (z)=厂”厶伊)=Г (*),гдех = ze .

Асимптотическое же выражение для функции Бесселя при х = | % ] 0ttp мижев быть вычислено либо для ¥ =多十0;

J” (*) 2 户S+'/» j/"^ cos ^х + у > (а + 1/2) ) , при у < ? < -|- П, (5.64а) либо ДЛЯ ¥ = ? — 0:

Jn (х) у — cos ^х—歹冗(拉 + 1/2)) при —§~<屮<彳，(5.646) (см., например, Ф. Морс и Г. Ф е ш б а х, Методы теоретической физики, том 1, ИЛ, 1958, стр. 583). Поэтому асимптотическое выражение для 1п при вещественных n претерпевает разрыв (явление Стокса). В самом деле, пользуясь формулами (5.64а) и (5.646), соответственно находим:

а также принимая во внимание связь между коэффициентами, находим, что формулы (5.60) и (5.6 П при больших z принимают вид:

屮у。=亡{"cos(т J Pdx~^ +

+ 8 cos (%、pdx—勖卜(5.65)

心L斤号*一伙X。 +

—»\p\dx

+出 + 4)cos*e "。}.

ПолагаяПолагаяв последнем равенстве 5 = А = -^=, находимв последнем равенстве 5 = А = -^=, находимпервуюпервуюпару сшитых решений:пару сшитых решений:

Полагая

Полагая

в последнем равенстве 5 = А = -^=, находим

в последнем равенстве 5 = А = -^=, находим

первую

первую

пару сшитых решений:

пару сшитых решений:

(5.66)(5.66)(5.67)(5.67)屮y尸病sin (^

(5.66)

(5.66)

(5.67)

(5.67)

w" >*0- 2]/"向

для которых экспоненциально убывающее решение (5.67) в области %〉％。 представляет собой аналитическое продолжение синусоидального решения (5.66) для области х<^х0.

Чтобы определить аналитическое продолжение экспоненциально возрастающего решения (х^>х0), мы должны положить:

В = — А = Ь.

Тогда получим вторую пару сшитых решений:

(5.68)(5.68)

(5.68)

(5.68)

Выражение для 屮 при х<^х0, представленное равенствами (5.66) и (5.68) в виде стоячих волн, можно записать также в виде бегущих волн. Действительно, полагая:

6 = (g + /i),a = i(g — h),

будем иметь:

1 唱\小 + ^) i(hMx + f)

屮 *vxo=7^[ge“十呢 *]•(5.70)

Появление множителя ]/р в знаменателе (5.70) означает, что вероятность пребывания частицы в единице объема, пропорциональная I 屮；2, будет тем меньше, чем больше скорость ее движе-

Ф и г. 5.2. Квантование потенциальной ямы по методу ВКБ.'

ния. Соответствующее сшитое с ним экспоненциальное решение внутри потенциального барьера принимает вид；

十巡F^e*。].(5.71)

В случае, если потенциальный барьер будет слева от особой точки, мы должны будем поменять местами пределы интегрирования так, чтобы нижний предел всегда был меньше верхнего.

Полученные формулы позволяют произвести квантование (т. е. найти энергетические уровни частицы) потенциальной ямы в приближении ВКБ. Допустим, что мы имеем потенциальную яму произвольной формы, изображенную на фиг. 5.2.

Очевидно, что процесс квантования по методу ВКБ будет заключаться в том, чтобы найти такие условия, при которых экспоненциально возрастаю-

щее решение с обеих сторон потенциального барьера (xv； и х > х2) обращалось бы в нуль.

В этом случае, согласно (5.66), волновая функция в области потенциальной ямы, прилегающей к границе барьера (точка х — ^2)( внутри которого должно иметь место только экспоненциально убывающее решение, имеет вид:

屮*vxL^^sin^ ,pd* + B).(5.72)

Ограничение лишь экспоненциально убывающим решением в области потенциального барьера (尤 vx, приводит в области х > х】потенциальной ямы к следующему решению:

(5.73)(5.73)

(5.73)

(5.73)

Оба решения должны быть тождественны между собой в любой точке *1 V х V %2 потенциальной ямы, лежащей на достаточно большом расстоянии от границ потенциального барьера.

¥¥Произведя в одной из точек х сшивание обоих решений (5.72) и (5.73), т. е. приравнивая в этой точке волновые функции и их производные, будем иметь: ' х» -

¥

¥

o' sin (^ ^ р dx-\~^^ — a sin

р dx-^ 子)+ a cosр dx-^ 子)+ a cosd" + f)=0，d" + f)=0，

р dx-^ 子)+ a cos

р dx-^ 子)+ a cos

d" + f)=0，

d" + f)=0，

Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевое решение для а и а', необходимо потребовать обращения в нуль ее определителя. Тогда получим соотношение:

sin(l Jpdx + ^-) = 0.

Отсюда, учитывая, что ) р dx не может быть отрицательной величиной, так как р= М2% (Е —1"三 0, находим:

*^，/?d尤+ * =(及+1)冗，拉=0, 1, 2,(5.74)

Таким образом, правила квантования, полученные с помощью приближенного метода ВКВ, т. е. с точностью до членов порядка Й, принимают вид:

^р dx = 2冗亢卜 + ；) •(5.75)

Эти правила квантования отличаются от правил квантования Бора наличием отличного от нуля qjieHaqZ冗加 соответствующего наинизшему состоянию

(孔=0). Более точное решение подобной задачи по волновой теории (например, задачи о гармоническом осцилляторе) показывает, что нулевая энергия обязательно должна присутствовагь, хотя на спектре излучения она и не сказывается.

Найдем теперь нормировочный коэффициент волновой функции при наличии потенциальной ямы.

При нормировке рассматриваемой функции достаточно ограничиться интегрированием по интервалу xt С х < ха (потенциальная яма), поскольку вне его 屮 экспоненциально убывает.

Тогда нормировочный коэффициент может быть найден из равенства:

(5.76)(5.76)

(5.76)

(5.76)

Учитывая, что синус представляет собой быстро осциллирующую функцию, его квадрат с достаточной степенью точности можно заменить средним зна

*2*2чением, т. е. Тогда будем иметь:

*2

*2

◎77)

Как известно, период колебаний т = — (з ——круговая частота) равен:

dxdxdx万dx万

dx

dx

dx

万

dx

万

где и = ^скорость частицы.

Отсюда для нормировочного коэффициента получаем выражение:

Следовательно, собственная функция (5.73) в приближении ВКБ будет иметь внд：—х

^― Уё Sin(T J^^ + t)-(5・78)

Задача 5.1 J). Определить собственные функции и собственные значения энергии частицы, находящейся в трехмерной потенциальной яме, ограниченной бесконечно высоким потенциальным барьером:

(О ух, у, z) = {s(О ух, у, z) = {sпри OvxvA, Ovy V%， о < г < z8, вне ямы.

(О ух, у, z) = {s

(О ух, у, z) = {s

1) Эти задачи относятся к § 4 и 5.

Найти условия, при которых различным волновым функциям будет соответствовать одно и то же значение энергии Е, т. е. при которых уровни энергии будут вырожденными.

1r 8 ..加办y .mn0z

(拉i,拉2，拉31，2, 3,...).

В частности, при 厶=厶 для различных волновых функций 屮启山纟』и ^n3ninj имеем вырождение:

尸 =尸П1ПhП3 一 〃2几1"3.

Задача 5.2. Найти два класса решений (симметричные и антисимметричные) для частицы в одномерной симметричной потенциальной яме:

при при припри при приX <^ — /—I -^ X "^ /X <^ — /—I -^ X "^ /(область I), (область И), (область III).(область I), (область И), (область III).(5.79)(5.79)

при при при

при при при

X <^ — /

—I -^ X "^ /

X <^ — /

—I -^ X "^ /

(область I), (область И), (область III).

(область I), (область И), (область III).

(5.79)

(5.79)

Показать, что при любых значениях Vo только симметричное решение обязательно будет иметь хотя бы один энергетический уровень. Найти условие, при котором возможно антисимметричное решение. Показать, что антисимметричные решения, соответствующие 尤 >6, будут описывать также полное решение системы в том случае, когда V (尤)изменяется по закону:

丿(尤)=< 0I吟丿(尤)=< 0I吟при XV О, при 0 < х < Z, при х > Z.при XV О, при 0 < х < Z, при х > Z.(5.80)(5.80)

丿(尤)=< 0

I吟

丿(尤)=< 0

I吟

при XV О, при 0 < х < Z, при х > Z.

при XV О, при 0 < х < Z, при х > Z.

(5.80)

(5.80)

Построить графики для потенциальной энергии, а также симметричной и антисимметричной волновых функций.

Решение. Выражения для волновых функций в областях I, П и 111 имеют соответственно вид:

屮1 =0宀 + 0(xv - /),

屮u =儿 sin kx + 区 cos kx (— / < .%и=Сзе-"*-‘)(*>/)，

где

х=]/帶亿—E),х=]/帶亿—E),а экспоненциально возрастающие решения в силу их расходимости были отброшены. Это обстоятельство в конечном счете и дает дискретные значения энергии.Из граничных условий при х = =Г / следует, что 屮【 ш (%)=屮"(％)иа экспоненциально возрастающие решения в силу их расходимости были отброшены. Это обстоятельство в конечном счете и дает дискретные значения энергии.Из граничных условий при х = =Г / следует, что 屮【 ш (%)=屮"(％)и^1, ш (х) — d屮[I (х)^1, ш (х) — d屮[I (х)dxdxdxdx.Отсюда находим, что возможно или симметричное ре-.Отсюда находим, что возможно или симметричное ре-шение, когда 屮(х)=屮(——х), или антисимметричное, когда 屮(％)=—屮(——х)・шение, когда 屮(х)=屮(——х), или антисимметричное, когда 屮(％)=—屮(——х)・

х=]/帶亿—E),

х=]/帶亿—E),

а экспоненциально возрастающие решения в силу их расходимости были отброшены. Это обстоятельство в конечном счете и дает дискретные значения энергии.

Из граничных условий при х = =Г / следует, что 屮【 ш (%)=屮"(％)и

а экспоненциально возрастающие решения в силу их расходимости были отброшены. Это обстоятельство в конечном счете и дает дискретные значения энергии.

Из граничных условий при х = =Г / следует, что 屮【 ш (%)=屮"(％)и

^1, ш (х) — d屮[I (х)

^1, ш (х) — d屮[I (х)

dx

dx

dx

dx

.Отсюда находим, что возможно или симметричное ре-

.Отсюда находим, что возможно или симметричное ре-

шение, когда 屮(х)=屮(——х), или антисимметричное, когда 屮(％)=—屮(——х)・

шение, когда 屮(х)=屮(——х), или антисимметричное, когда 屮(％)=—屮(——х)・

Для симметричного решения Д3 = 0 и С3 = D^ а энергетические уровни находятся из равенства:

(5.81)(5.81)下/产二3]/ У

(5.81)

(5.81)

где

а =а =Поскольку 了02 — а*/。> 0, то минимальное значение для угла а должно лежать в первой четверти и может быть найдено из условия:Поскольку 了02 — а*/。> 0, то минимальное значение для угла а должно лежать в первой четверти и может быть найдено из условия:COS аCOS аааU 1+tgBaU 1+tgBaПоследнее уравнение при любых значениях ₽ в области 0 v a v 多 всегда будет иметь хотя бы один корень, что легко показать графически, так как ₽ == =const > 0.Для антисимметричного решения [屮(х)=—— 屮(——％)] имеем В2 = 0, & = =——D° а энергетические уровни определяются из соотношения:Последнее уравнение при любых значениях ₽ в области 0 v a v 多 всегда будет иметь хотя бы один корень, что легко показать графически, так как ₽ == =const > 0.Для антисимметричного решения [屮(х)=—— 屮(——％)] имеем В2 = 0, & = =——D° а энергетические уровни определяются из соотношения:tg а =>...tg а =>...(5.82)(5.82)Поскольку правая часть последнего выражения имеет отрицательный знак, минимальное значение угла а должно лежать уже во второй четверти и может быть найдено из условия:Поскольку правая часть последнего выражения имеет отрицательный знак, минимальное значение угла а должно лежать уже во второй четверти и может быть найдено из условия:sin а =——sin а =——吆&吆&ааВводя обозначениеВводя обозначениеH+tg%H+tg%a = 千 + "a = 千 + "где угол 7 лежит уже в первой четверти, находим:где угол 7 лежит уже в первой четверти, находим:Отсюда видно, что последнее только приОтсюда видно, что последнее только при7Г7ГТак как волновая функцияТак как волновая функцияcost=2₽ + 7-уравнение будет иметь хотя бы один корень"冗2九2т・е. при V0>w.антисимметричного решения обращается приcost=2₽ + 7-уравнение будет иметь хотя бы один корень"冗2九2т・е. при V0>w.антисимметричного решения обращается прих = 0 в нуль, то антисимметричное решение при х>0 является также решением для частицы в потенциальном поле вида (5.80).х = 0 в нуль, то антисимметричное решение при х>0 является также решением для частицы в потенциальном поле вида (5.80).

а =

а =

Поскольку 了02 — а*/。> 0, то минимальное значение для угла а должно лежать в первой четверти и может быть найдено из условия:

Поскольку 了02 — а*/。> 0, то минимальное значение для угла а должно лежать в первой четверти и может быть найдено из условия:

COS а

COS а

а

а

U 1+tgBa

U 1+tgBa

Последнее уравнение при любых значениях ₽ в области 0 v a v 多 всегда будет иметь хотя бы один корень, что легко показать графически, так как ₽ == =const > 0.

Для антисимметричного решения [屮(х)=—— 屮(——％)] имеем В2 = 0, & = =——D° а энергетические уровни определяются из соотношения:

Последнее уравнение при любых значениях ₽ в области 0 v a v 多 всегда будет иметь хотя бы один корень, что легко показать графически, так как ₽ == =const > 0.

Для антисимметричного решения [屮(х)=—— 屮(——％)] имеем В2 = 0, & = =——D° а энергетические уровни определяются из соотношения:

tg а =>...

tg а =>...

(5.82)

(5.82)

Поскольку правая часть последнего выражения имеет отрицательный знак, минимальное значение угла а должно лежать уже во второй четверти и может быть найдено из условия:

Поскольку правая часть последнего выражения имеет отрицательный знак, минимальное значение угла а должно лежать уже во второй четверти и может быть найдено из условия:

sin а =——

sin а =——

吆&

吆&

а

а

Вводя обозначение

Вводя обозначение

H+tg%

H+tg%

a = 千 + "

a = 千 + "

где угол 7 лежит уже в первой четверти, находим:

где угол 7 лежит уже в первой четверти, находим:

Отсюда видно, что последнее только при

Отсюда видно, что последнее только при

7Г

7Г

Так как волновая функция

Так как волновая функция

cost=2₽ + 7-

уравнение будет иметь хотя бы один корень

"冗2九2

т・е. при V0>w.

антисимметричного решения обращается при

cost=2₽ + 7-

уравнение будет иметь хотя бы один корень

"冗2九2

т・е. при V0>w.

антисимметричного решения обращается при

х = 0 в нуль, то антисимметричное решение при х>0 является также решением для частицы в потенциальном поле вида (5.80).

х = 0 в нуль, то антисимметричное решение при х>0 является также решением для частицы в потенциальном поле вида (5.80).

Шредингера для различных областейШредингера для различных областейЗадача 5.3. Найти коэффициент прохождения D частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы (см. фиг. 5.3), если энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера Vo.

Шредингера для различных областей

Шредингера для различных областей

при х < 0 (область I),при 0 < х < а (область П),при х < 0 (область I),при 0 < х < а (область П),Решение. Решение уравнения имеет вид:

при х < 0 (область I),

при 0 < х < а (область П),

при х < 0 (область I),

при 0 < х < а (область П),

屮1 = /也施* + 816**

屮 н = А© хх + В 卅*

屮и】=厶訳询а。)+ 8зб~柒о。) при х > а (область 111).

Здесь 胪=怨止，&2 =第^（匕—Е）, Ateikx и Bxe~ikx характеризуют соответственно падающую и отраженную волны, AaeikiX~a} — прошедшую, а ^^-ife（x-a）— отраженную, идущую из бесконечности. Поскольку последняя в нашем случае отсутствует, необходимо положить Вг = 0.

Для определения коэффициента прохождения воспользуемся граничными условиями при х = а и .г = 0 и выразим сначала 4纟 и 8? через Л3т учитывая, что ха 夕 1,

4 =与里4外。，

4=话%产吟0,

Фиг. 5.3. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.Фиг. 5.3. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Фиг. 5.3. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Фиг. 5.3. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

а затем 儿 через Л3:

（1一加）1+元

4 =5———宀.

Тогда для коэффициента прохождения （диффузии） D получаем выражение:

DDгдегде=14产〜16M一14产=（1+汨严 1=14产〜16M一14产=（1+汨严 1

D

D

где

где

=14产〜16M

一14产=（1+汨严 1

=14产〜16M

一14产=（1+汨严 1

пс16几2

Вводя величину: Do = @+通，получаем:

m了 2mo （匕t - E）

D*Dq2 厶,

где Do порядка единицы.

При 九=0 получаем классический результат 0 = 0:

Задача 5.4. Частица находится в потенциальном поле вида:

8, XV О, О, Ovxvz 匕，■/ < X < ；i О, Zi <х8, XV О, О, Ovxvz 匕，■/ < X < ；i О, Zi <х(область 1), (область П), (область HI).(область 1), (область П), (область HI).(5.83)(5.83)

8, XV О, О, Ovxvz 匕，■/ < X < ；i О, Zi <х

8, XV О, О, Ovxvz 匕，■/ < X < ；i О, Zi <х

(область 1), (область П), (область HI).

(область 1), (область П), (область HI).

(5.83)

(5.83)

Показать, что хотя в этом случае мы будем иметь непрерывный спектр, однако при х/》1 и х (厶 ——/) = ха》1 (0 < Е < Уо) должны существовать квазиуровни, т. е. такие состояния, когда в области III будет распространяться только прошедшая волна (см. предыдущую задачу).

Построить график волновой функции, соответствующей квазиуровню. Найти квадрат модуля волновой функции внутри потенциальной ямы и объяснить экспоненциальное спадание его со временем.

Решение. Волновая функция для различных областей будет иметь соответственно вид (см. обозначения предыдущей задачи):

屮I = Ai sin йх,

屮 н = Q°f'*т‘ + О^х^1у^屮山=C3eikix^-\- Оз&-及"т/・

Из граничных условий находим:

^}=4 …0土小^&贝不% I =( sin /г/ cos kl ].

Последние соотношения имеют место при любых значениях Е, т. е. спектр будет непрерывным.

Квазиуровни мы получим, если потребуем, чтобы во внешнем пространстве (область Ш) существовала только прошедшая волна, т. е. волна, движущаяся в положительном направлении оси х. Полагая при этом Dz — О, для определения энергии квазиуровней получаем следующее уравнение:

tgadtgadJ修一QJ修一Qm产一仪+em产一仪+eМ 产—Q —iaМ 产—Q —iatgatgaPF^3PF^3(5.84)(5.84)

tgad

tgad

J修一Q

J修一Q

m产一仪+e

m产一仪+e

М 产—Q —ia

М 产—Q —ia

tga

tga

PF^3

PF^3

(5.84)

(5.84)

Следует заметить, что амплитуда С3 будет в этом случае много меньше амплитуды Лр@

Уравнение (5.84) при а = 8 точно переходит в уравнение (5.82) для определения энергетических уровней потенциальной ямы (5.80).

(5.85)(5.85)Обозначая через Ео выражение для энергии частицы в потенциальной яме, найденное из уравнения (5.82), и отбрасывая дополнительные вещественные добавки к Ео, не имеющие принципиального значения, из уравнения (5.84) найдем следующее выражение для энергии:

(5.85)

(5.85)

Е ^^? Е° ■—2* 燈А

где

а величина:

при условии, что х/ > 1.

Наличие мнимой части в выражении энергии (5.85) говорит нам о том, что волновая функция в потенциальной яме будет со временем убывать по экспоненциальному закону. Коэффициент прохождения сквозь потенциальный барьер в нашем случае может быть найден также из (5.85).

В самом деле, для квадрата модуля волновой функции внутри ямы будем иметь:

I 屮『=const • 0一 ％

т. е.入一так называемая постоянная распада — будет характеризовать убывание вероятности нахождения частицы внутри потенциальной ямы. Величина 入 связана с коэффициентом прохождения частицы D сквозь потенциальный барьер, соответствующим одному соударению с барьером, соотношением:

где 斤——число соударений с барьером в единицу времени. Отсюда для D находим выражение:

-2。］/架'（卩。一七。）

D^D^e '務

Это же значение для D было получено нами иным путем (см. задачу 5.3) и будет в дальнейшем обобщено на случай, когда потенциальная энергия является произвольной функцией координат (см. § 6).

Постоянная 入 определяет также длительность излучения ^изл< = -i-

(см. также задачу 3.4) и поэтому величина АЕ 〜亢入 должна также характеризовать ширину энергетического квазиуровня.

Задача 5.5. Определить уровни энергии частицы, находящейся в двух связанных потенциальных ямах:

1

[со

0 -

XV - a - b

— а — b <zx <z — b

(область I),

ю =

匕

—b V к V 方

(область 11),

0

b <Z x C a b

(область III),

1

1 8

a +方V大

когда ее энергия 0 < Е < Vo. Показать, что по сравнению со случаем изолированных потенциальных ям (6 = 8)в случае связанных потенциальных ям (Ь ——конечно) каждый уровень энергии должен расщепляться на два подуровня.

Решение. В областях I, II и III волновые функции имеют соответственно вид:

% = 4 sin /г (х + а + Ь) + В» cos /г (х -|- а -|- Ь),

屮 н = 4е~х * + В0х,

屮〔и =幺3 sin k (x — а —方)83 cos Й (x — а — 6),*

где

々2 = 2加疝/方％x2 = 2加0(%一e)/断

Из граничных условий находим: BL=.BZ — О,

今g ka =今g ka =区0-通+ 4外". 昆C一x匕一420苏;区0-通+ 4外". 昆C一x匕一420苏;今g ka =今g ka =4味汕+ &0劝 儿i一旦e而.4味汕+ &0劝 儿i一旦e而.

今g ka =

今g ka =

区0-通+ 4外". 昆C一x匕一420苏;

区0-通+ 4外". 昆C一x匕一420苏;

今g ka =

今g ka =

4味汕+ &0劝 儿i一旦e而.

4味汕+ &0劝 儿i一旦e而.

Требуя обращения в нуль определителя системы двух последних уравнений, получаем для нахождения собственных значений следующее приближенное выражение (xb》l):

tg 力g —買 1 下 2L吗. (5.86)

Отсюда видно, что в случае изолированных потенциальных ям (Ь = 8) мы для определения уровней энергии будем иметь уравнение:

tg = —,

которое в нулевом приближении (匕一>8)дает следующий спектр энергий

伊0=冗拉)：尸。 _冗2紋护

Как видно из (5.86), при конечных b и Уо каждый уровень должен расщепляться на два.

§ 6. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПРОВОДИМОСТИ

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер(туннельный эффект)

Согласно классической теории, частица может находиться только в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия V меньше ее полной энергии £. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы:

(6.1)

всегда должна быть положительной величиной. В области 丿〉七 (потенциальный барьер) импульс имеет мнимое значение и присутствие там частицы в рамках классической теории является совершенно недопустимым.

Поэтому, если две области пространства, для которых E^>V, отделены друг от друга потенциальным барьером, внутри кото-

рого 1/〉Е, то по классической теории просачивание частицы из одной области в другую область сквозь потенциальный барьер невозможно. По волновой же теории мнимое значение импульса (см. § 5, приближенный метод ВКБ) соответствует лишь экспоненциальной зависимости волновой функции от координат. Поскольку волновая функция внутри потенциального барьера в нуль не обращается, то вполне возможно и просачивание частицы сквозь потенциальный барьер. Для микрочастиц это явление может стать даже вполне наблюдаемым.

Прохождение сквозь потенциальный барьер получило название туннельного эффекта, Оно является специфическим лишь

Фиг. 6.1. Схема потенциального барьера произвольной, но достаточно гладкой формы.

Падающая и проходящая волны изображены сплошной кривой; отраженная — пунктирной.

для волновой теории и не имеет какого-либо аналога в классической механике.

Метод ВКБ позволяет сравнительно просто определить вероятность просачивания микрочастицы сквозь потенциальный барьер, имеющий произвольную, но достаточно гладкую форму (см. фиг. 6.1).

Допустим, что частица, движущаяся в положительном направлении оси х в области I (—8《％<修)，где E^>V (х), встречает на своем пути в точке х = х} потенциальный барьер (修<%<%2), где £<^ У (х), а затем попадает в область III (%〉％?), в которой снова E^>V (х). Начальная и конечная точки потенциального барьера могут быть найдены из условия:

V (%) = Е.(6.2)

Де-бройлевские волны, соответствующие движению этой частицы, частично отразятся от этого потенциального барьера, а частично пройдут сквозь него и будут р асп р остр а н ятьс я в области III(Х>%2)・

Определение вероятности просачивания частицы сквозь потенциальный барьер начнем с исследования волны в области III, где решение будет иметь наиболее простой вид, поскольку там волна, движущаяся в отрицательном направлении оси х (т. е. в направлении—х), должна отсутствовать.

Согласно (5.70) решение в области III должно иметь вид:

X¥

屮1"=乃開6+hme 心

где

p — V 2mo疋一U (尤)).(6.4)

Под коэффициентом прозрачности будем понимать модуль отношения плотности потока частиц, прошедших через барьер, к плотности потока падающих частиц:

0=1巫 I Упад.

(6.4а)

Для определения же потока частиц воспользуемся формулой (5.23). Полагая в ней постоянные е и 团。равными единице (это возможно сделать, так как нас интересует только отношение потоков частиц), будем иметь:

Подставляя

(6.3) в (6.5), находим:

/ш ~ I fflll Р ПРИ ”п【=。'

jiii = —I 仙и『при giu=O.

(6-5)

(6.6)

(6.7)

Отсюда видно, что амплитуда g^ будет характеризовать волну, распространяющуюся в направлении х, а амплитуда 也山——в направлении 一х.

Поскольку волна, распространяющаяся в направлении ——х, в области III должна, как мы только что указали, отсутство

вать, следует положить % = 0.

Т0ГДа /№. = &$

(6.8)

а соответствующее сшитое решение внутри потенциального барьера (область II) может быть найдено по формуле (5.71). Полагая в последней А = 0 и 且二徵口，находим:

Фи

(6.9)

§6. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПРОВОДИМОСТИ119

где

|р|= /2т0(У —£).(6.10)

Воспользовавшись равенством:

-*2*

у J |р|^ = 7 —у J\p\dx,(6.11)

где

*2*2

了 = }, |p|dx = ^§ /2m0(l/ — f)dx,(6.12)

решение (6.9) можно преобразовать к такому виду, который позволил бы с помощью формулы (5.70) сшить его с решением в области I. Тогда будем иметь:

XX

中十?帥1f1- (6-13)

Решение для области I (х<%0 согласно (5.70) должно иметь

вид:

Подставляя это решение в (6.5), находим для падающей и отраженной волн соответственно выражения:

]^-\^,(6.15)

/отр. = —I&R(6.16)

Формулы (5.70) и (5.71) позволяют связать коэффициенты:

gi и % с коэффициентами g^e1 и ^ig^^\

& + % = ^g"7,(6.17)

(6.18)

Отсюда находим:

々 = igm® +》eT),(6.19)

g 尸一如伫一％т).(6.20)

В соответствии с определением (6.4а) для коэффициента прозрачности имеем:

0=旣4時=f1力…(6.21)

Точно так же для коэффициента отражения находим:

R= -^4 = 4——у^^l-e'L(6.22)

Из последних формул следует, что сумма коэффициента прозрачности и коэффициента отражения равна единице:

R + O=l.(6.23)

Для случаев, когда величина у значительно больше единицы (заметим, что рассмотрение этих случаев только и представляет практический интерес), для коэффициента прозрачности (6.21) получаем следующее выражение'):

—元、V^{V-E)dxD^e^ — e %i—元、V^{V-E)dxD^e^ — e %i(6.24)(6.24)

—元、V^{V-E)dx

D^e^ — e %i

—元、V^{V-E)dx

D^e^ — e %i

(6.24)

(6.24)

Отсюда видно, что, как и следовало ожидать, при переходе к классическому случаю (力->0) коэффициент прозрачности обращается в нуль, т. е. прохождение частиц сквозь потенциальный барьер становится невозможным.

Туннельный эффект как проявление волновых свойств

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер есть типичное проявление волновых свойств микрочастиц. Поэтому он должен иметь какой-то свой аналог в любой волновой теории.

В оптике этим аналогом может служить хорошо известное явление полного- внутреннего отражения, которое может наблюдаться при отражении света от оптически менее плотной среды.

Решая аналогичную задачу при прохождении частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы (см. задачу 5.3), мы нашли, что помимо выражения, стоящего в экспоненте, которое может быть получено из (6.24), перед показательной функцией должен стоять еще множитель

16 几 2т/ В*

--；~где 〃 = [/ 777— порядка единицы; последний в случае

(1+出 У，У (у0—Е)，

сглаженного барьера обращается точно в единицу.

в стекле (показатель пре-в стекле (показатель пре-Фиг. 62 Распространение света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную.Фиг. 62 Распространение света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную.

в стекле (показатель пре-

в стекле (показатель пре-

Фиг. 62 Распространение света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную.

Фиг. 62 Распространение света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную.

Допустим, что луч света распространяется в стекле и попадает на границу стекла с воздухом (оптически менее плотной среды) (см. фиг. 6.2). Тогда величина, характеризующая волновое поле (в качестве нее можно выбрать вектор напряженности электрического или магнитного поле'

ломления 1) н в воздухе (〃= 1), принимает соответственно вид:

(х sin 6] + у cos 8])

(6.25)

(x sin 9ц + у cos U[[) Ъ1 = А11е c

(6.25a)

Приравнивая эти функции，) на границе раздела (плоскость у = 0), находим известные законы преломления:

о)и = %; sin% =〃§in 耳； cos 9П = /Г—n^sin^ Подставляя эти значения в выражение (6.25а), для преломленной волны будем иметь:

—加]f 十—(хп sin 8] + у Ml — "2 sin20[) 屮n=4ie°.

Отсюда видно, что если zisin8<l, то в области II будет распространяться обычная волна. В случае же 〃sinq〉l мы будем иметь полное внутреннее отражение, физический анализ которого геометрическая оптика не может дать.

С точки зрения волновой оптики в этом случае будет иметь место экспоненциальное убывание электрического и магнитного полей:

у/z^sin2 9( — 1 v —/ -|xn sin 9i

Если в случае полного внутреннего отражения луч света опять на своем пути встречает стекло (область III), т. е. два стекла отделены друг от друга воздушной прослойкой, то в области III опять начнет распространяться волна по закону (6.25),

Выражения для отраженной волны мы не будем здесь записывать^

но с убывающей по экспоненциальному закону ширины прослойки / амплитудой:

., /п2 Sin2 6l —1 Z

с ■

с увеличением

(6.26)

На фиг. 6.3 изображена схема туннельного тике.

эффекта в оп-

В заключение физического анализа прохождения частиц сквозь

потенциальный барьер следует ваемом парадоксе туннельного

Ф и г. 6.3. Схема туннельного эффекта в оптике (полное внутреннее отражение).

' остановиться еще на так назы- эффекта. Он заключается в том, что с первого взгляда может показаться, якобы внутри потенциального барьера реальные частицы находятся в каком-то непонятном состоянии, характеризуемом мни-

мым импульсом.

Фактически в товом явлении альному закону

этом чисто кван- по экспоненци- будет убывать

лишь вероятность нахождения ча

стицы по

границы в глубь барьера.

Внутри же

мере удаления ее от

потенциального

потенциального

барьера микрочастица обладает реальным импульсом и координатой в рамках обычного соотношения неопределенности. Чтобы

это показать, рассмотрим потенциальный барьер ным V.

Тогда в первом приближении волновая функция тенциального барьера будет изменяться по закону:

с постоян-

внутри по-

(6.27)

где

■^ — ~У 2m0 (V — Е) == const.

(6.28)

Однако правую часть (6.27) можно представить в виде интеграла Фурье:

ОО

е ** = ^f(k) cos kx dk,о

(6.29)

где

j З) = к (х； + 依)，

(6.29а)

т. е. представить как набор волновых функций, обладающих вещественными импульсами. Амплитуды f(fe), очевидно, практически будут отличными от нуля при изменении k лишь в области от 0 до

Таким образом, неопределенность в значении импульса по порядку величины будет равна:

аР〜方х.

Принимая во внимание, что согласно волновой механике положение микрочастицы внутри потенциального барьера определено лишь с точностью до величины порядка его ширины:

/— %i, Ах /,

получаем:АрА% 〜力必

Поскольку наши формулы пригодны лишь для случая х2》1, точность определения импульса и положения частицы внутри потенциального барьера не будет противоречить соотношению неопределенности.

Движение электронов в металле')

Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных приложений как в теории металлов, так и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось понять ряд явлений, которые, как уже отмечалось, не нашли своего объяснения в классической физике, например, удалось объяснить холодную эмиссию, т. е. вырывание электронов из металла под действием электрического поля, или возникновение контактной разности потенциалов и т. д. Однако прежде чем приступить к анализу этих явлений, скажем несколько слов о теории «электронного газа», лежащей в основе электронной теории проводимости металлов.

Высокая электропроводность металлов говорит о том, что электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энергии, так называемой «работы выхода». Это наводит на мысль рассматривать металл в первом приближении просто как потенциальную яму, внутри которой (т. е. в металле) потенциальная энергия электрона равна нулю: V = 0, а вне металла, т. е. в вакууме, V = Vr0>0.

Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому в некоторых пределах является

См. Г, Бете и А. Зоммерфельд, Электронная теория металлов, М. — Л.» 1938.

вполне разумной, тем более, что основные результаты, полученные для свободных электронов, в известной мере можно перенести затем с помощью волновой механики на тот случай, когда учитывается еще периодическое поле кристалла (см., например, ниже простейшую одномерную модель Кронига ——Пенни, описывающую хотя бы с качественной стороны многие результаты).

Модель металла как «электронного газа» р ассматр и в ал ась еще в классической теории (теория Друде, Лоренца и т. д.). В этом случае к электронам применялась классическая статистика Максвелла——Больцмана, которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетической теории газов.

Однако в классической теории модель «электронного газа» встретила большие затруднения при построении теории теплоемкости. В самом деле, согласно известной теореме классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы, на одну степень свободы в среднем должна приходиться энергия '):

} Еср. = ~^~ АТ,(6.30)

где k ——постоянная Больцмана.

Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в общей теплоемкости будет такая же, как и свободного атома:

еэл——=3女% — дТ 2 а

Это противоречит экспериментальным фактам, согласно которым теплоемкость одноатомного металла должна быть такой же, как и теплоемкость атомов решетки, т. е. свободные электроны в первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не дают.

Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который показал, что к электронам в металле необходимо было применять не классическую статистику, характеризуемую классической функцией распределения:

Е

f = Ae"研,

а квантовую статистику Ферми — Дирака с функцией распределения:I

不е +1

В основе квантовой статистики Ферми ——Дирака лежит принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом уровне

Более подробно теплоемкость одноатомных веществ будет рассмотрена в § 1-2 [см. формулу (12.67)].

может находиться максимум два электрона (два квантовых состояния, отличающиеся направлениями спинов).

Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической формы с длиной стороны, равной 厶，то составляющие импульса p — Hk согласно (4.57) будут связаны с целыми числами 几I,几2, Из, характеризующими энергетический уровень, соотношениями:

Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел:

(А% = А 侬=А〃з = 1)

/3

А% А出 А〃з =每审吗(6.30а)

приходится лишь один уровень, на котором могут находиться два электрона.

Поэтому, если в единице объема находится р0 электронов, то максимальный импульс, которым может обладать электрон при абсолютном нуле температуры (Т = 0), определяется соотношением:

Рмакс.з

р。 = "±a〃/a2a〃3 = ^^ J p"p = -^~(6.31)

О или

加^.=力(3叫。产.(6.32)

Соответствующая максимальная кинетическая энергия электронов будет равна:

尸=筹=薪(3叫。宀(6・33)

Эта максимальная энергия при Т = 0 соответствует уровню Ферми.

Оценим значение этой энергии, например, для серебра. Плотность серебра равна 10,5, атомный вес 107,9. Считая, что число свободных электронов равно числу атомов серебра в единице объема, будем иметь:

p。=綜6,02.吁=5,8.必；

десь мы использовали число Авогадро, т. е. число атомов в одном грамм-атоме, равное 6,02-1023. Отсюда по формуле (6.33) находим, что•

尸о = 8,5* [(У4?叩а = 5,3 %.

(6.34а)(6.34а)

(6.34а)

(6.34а)

Поскольку для серебра работа выхода W = 3,7 非,то глубина потенциальной ямы в серебре оказывается равной 9 эв. Схема заполнения электронных уровней в металле изображена на фиг. 6.4..

Средняя энергия электрона в металле будет определяться выражением:гмакс.

%5娱黑=4尸。■(633a)

О

Отсюда видно, что при сравнительно низких температурах электронный газ в согласии с экспериментом никакого вклада в теплоемкость не должен вносить,

Если температура отлична от нуля, то часть электронов будет переходить на более высокие энергетические уровни. Распределение электронов по более высоким уровням будет характеризоваться не максвелловской функцией распределения, а функцией распределения Ферми:

Фиг. 6.4. Модель потенциальной ямыI

для металла.f =、. (6.34)

*макс =尸。一верхняя граница заполненных不 ^+ 】

уровней при Г — 0 (уровень Ферми).

Эта функция при Т = 0 (этот случай мы только что рассматривали) равна единице, если ^〈尸。，и нулю, если Е〉户。.При TWO для средней энергии можно получить выражение:

Отсюда для доли теплоемкости каждого электрона находим:

% дТ 2尸0《^■瓦(6.35)

Эта теплоемкость при Т -> 0 обращается в нуль. При высоких температурах, когда величина ^е^1кТ становится много больше единицы, функция распределения (6.34) переходит в классическую: f =(6.36)

1) См. примечание на стр. 127.

которая, как известно, дает следующее значение для средней энергии свободного электрона:

(6.37)(6.37)嗨=巽7.

(6.37)

(6.37)

Сопоставляя это выражение со средней энергией, найденной при низких температурах [см. формулу (6.33а)], из условия:

(6.38)(6.38)琢>%,

(6.38)

(6.38)

можно определить так называемую температуру вырождения:

九№〜詁（3時。宀九№〜詁（3時。宀(6.39)(6.39)

九№〜詁（3時。宀

九№〜詁（3時。宀

(6.39)

(6.39)

выше которой (Т^> TBbip.) для электронов в металле можно пользоваться классической статистикой.

Если подставить сюда значение р0, например, для серебра, то найдем, что Твьф 10 ——20 тысяч градусов, т. е. при всех температурах, при которых металлы вообще могут существовать в твердом состоянии, имеет место так называемое вырождение, когда следует применять только статистику Ферми и когда основной член кинетической энергии свободных электронов от температуры не зависит.

Заметим, что столь большое значение температуры вырождения связано с малой массой электрона т0. Для ионов и молекул масса в тысячи раз больше массы электрона, и поэтому к ним при обычных температурах вполне применима классическая статистика. 1

Примечание.

Для получения формулы (6.34 а) прежде всего необходимо воспользоваться значениями для:

ОО

Ро =工結3 §勿2 dp,

о

ооE^=-^-\Efp2dpо

при『W0.

Выражая постоянную Д в функции распределения (6.34) через уровень Ферми F:

a=m/ь

и вводя новую переменную:

~ kT =

мы найдем после интегрирования по частям:

где

/"/尸,(1+拠严一(1糸呼de.

—i/a

В случае малых значений:

а =а =kTkT《1,《1,

а =

а =

kT

kT

《1,

《1,

01 раничиваясь членами порядка а2, найдем:

гдегде4/20儿+玄^ia 44/20儿+玄^ia 4п (и ——2)8~п (и ——2)8~以2炉+…，以2炉+…，ООdxdx88

где

где

4/20儿+玄^ia 4

4/20儿+玄^ia 4

п (и ——2)

8~

п (и ——2)

8~

以2炉+…，

以2炉+…，

О

О

dx

dx

8

8

+ 84 с €6宫成1= [a+吁+ 84 с €6宫成1= [a+吁О,О,поскольку подынтегральное выражение в 4 наконец,поскольку подынтегральное выражение в 4 наконец,является нечетной функцией е и,является нечетной функцией е и,

+ 8

4 с €6宫成

1= [a+吁

+ 8

4 с €6宫成

1= [a+吁

О,

О,

поскольку подынтегральное выражение в 4 наконец,

поскольку подынтегральное выражение в 4 наконец,

является нечетной функцией е и,

является нечетной функцией е и,

448!№戸=48!№戸=4С е (/еС е (/е3…3…

4

4

8

!№戸=4

8

!№戸=4

С е (/е

С е (/е

3…

3…

При вычислении последнего интегралаПри вычислении последнего интегралапринято во внимание, чтопринято во внимание, что

При вычислении последнего интеграла

При вычислении последнего интеграла

принято во внимание, что

принято во внимание, что

С ds = * И ,1а2С ds = * И ,1а2£(—)*= л = 1£(—)*= л = 1л212*л212*

С ds = * И ,1а2

С ds = * И ,1а2

£(—)*= л = 1

£(—)*= л = 1

л2

12*

л2

12*

В этом приближении мы будем иметь:

/"/2=1 + /"認

Отсюда, учитывая (6.33), получаем зависимость уровня Ферми от темпера

туры:

где 尸。一величина уровня Ферми при Т=0 [см. (6.33)]. Отсюда для Е§ получаем соотношение (6.34а).

Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия

Исходя из модели движения электронов в металле (см. фиг. 6.4), мы видим, что для вырывания электрона из металла необходимо сообщить ему энергию не меньшую, чем работа выхода:

W = Va~E^. (6.40)

Как известно, в случае внешнего фотоэффекта электрон получает от поглощенного фотона энергию Й(о. При этом электрон может покинуть металл с кинетической энергией:

^恤唄=力3一呼 (6.41)

(уравнение Эйнштейна). Отсюда следует, что работа выхода есть минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы энергия электрона стала больше высоты потенциального барьера.

Если электроны в металле (электронный газ) имеют температуру выше абсолютного нуля, то часть электронов заполняет энергетические уровни выше уровня Ферми. Если увеличить кинетическую энергию электронного газа путем нагревания металла, то некоторая часть электронов может иметь энергию, превышающую энергию потенциального барьера, благодаря чему возникает ток из металла. Это явление, получившее название термоэлектронной эмиссии, используется, в частности, для получения пучка электронов в электронных лампах. Однако возникновение тока электронов возможно и при низких температурах под влиянием внешнего электростатического поля. Рассмотрим влияние постоянного внешнего электрического поля g, приложенного к поверхности проводника и направленного против оси — х. В этом случае потенциальная энергия имеет вид:

V (%) = Vо — &&%, (6.42) где е =——с。——заряд электрона, & ——напряженность электрического поля (см. фиг. 6.5).

Помимо внешнего электрического поля, на электрон действует так называемая «сила электрического изображения». Дело в том, что электрон, обладая зарядом ——е。, создает на поверхности металла индуцированный заряд е0 (см. фиг. 6.6).

Таким образом, полная сила, действующая на электрон, равна: 尸(х) = е°& —摂. (6.43)

Эффективная потенциальная энергия, учитывающая силы электрического изображения, имеет вид:

V эфф.=九一—泉• (6.44)

5 Квантовая механика

Величина Уэфф, имеет максимум в точке х0:

(6.45)(6.45)

(6.45)

(6.45)

причем максимальное значение 丫^力力.меньше Уо, так как

几 акс. = %—/^・(6-46)几 акс. = %—/^・(6-46)Фиг. 6.5. Потенциальная энергия электрона в металле без поля и при наличии внешнего электрического поля.Фиг. 6.5. Потенциальная энергия электрона в металле без поля и при наличии внешнего электрического поля.

几 акс. = %—/^・(6-46)

几 акс. = %—/^・(6-46)

Фиг. 6.5. Потенциальная энергия электрона в металле без поля и при наличии внешнего электрического поля.

Фиг. 6.5. Потенциальная энергия электрона в металле без поля и при наличии внешнего электрического поля.

Пунктирной линией показан ход потенциальной кривой с учетомсил электрического изображения.

Учет сил электрического изображения показывает, таким образом, что при наложении внешнего поля работа выхода уменьшается и становится равной:

呼，=呼一/殺. (6.47)

Однако силы электрического изображения не в состоянии объяснить холодную эмиссию. Действительно, оценка максимального тока (при 步'=0) приводит, например, для вольфрама к значению:

g —— ^ 2 • 108 е[см,g —— ^ 2 • 108 е[см,(6.48)(6.48)

g —— ^ 2 • 108 е[см,

g —— ^ 2 • 108 е[см,

(6.48)

(6.48)

между тем как на опыте достаточно сильный ток появляется уже при поле g^4-106 в/см (Милликен).

Ф и г. 6.6. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.Ф и г. 6.6. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.точки х = хь которая определяетсяточки х = хь которая определяется*1*1/%i — xdx=~-^ e0gXi/2*/%i — xdx=~-^ e0gXi/2*(6.51)(6.51)

Ф и г. 6.6. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.

Ф и г. 6.6. Силы электрического изображения: на находящийся вне металла электрон действуют силы притяжения индуцированным зарядом.

точки х = хь которая определяется

точки х = хь которая определяется

*1

*1

/%i — xdx=~-^ e0gXi/2*

/%i — xdx=~-^ e0gXi/2*

(6.51)

(6.51)

Таким образом, в рамках классической теории невозможно объяснить с количественной стороны явление холодной эмиссии.

В квантовой теории, когда допустимо прохождение электронов сквозь потенциальный барьер, для потенциальной энергии можно ограничиться выражением (6.42) и не учитывать сил электрического изображения, поскольку учет последних лишь весьма незначительно изменит окончательный результат. Из графика потенциальной энергии

электрическое поле создает потенциальный барьер конечной ширины. Благодаря туннельному эффекту электрон может преодолеть этот барьер, причем коэффициент прозрачности равен:

—力 У5/П0 \ У V (х) — Е dx

D=e °

(6.49)

Интеграл в экспоненте должен быть взят по всей ширине барьера от точки х~0 до из условия:

V.-e^x^E, т. е. /=(6.50)

Тогда

\ ]/У (х) — Е dx— \ ]/Vo — %&% — Е dx = оо

D=eD=e(6.52)(6.52)Окончательно для коэффициента прозрачности D получаем выражение:

D=e

D=e

(6.52)

(6.52)

где величина g0 зависит от работы, выхода из металла свободных электронов. Ток холодной эмиссии пропорционален коэффициенту прозрачности:

(6.53)(6.53)/ = JqD — J ое 協.

(6.53)

(6.53)

Отсюда следует, что холодная эмиссия должна наблюдаться при напряженности электрического поля &〜10$ в/см, что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Контактная разность потенциалов

На основе туннельного эффекта можно объяснить и явление так называемой контактной разности потенциалов, которое было открыто еще Вольта.

Рассмотрим два металла различной природы, обладающих различными работами выхода, а вместе с тем и уровнями Ферми

Вакуум Металл IВакуум Металл Л Вакуум

Фиг. 6.7. Два металла до сближения.

Wt и VTa — работы выхода; Е°( и £02 —верхние границы заполненных уровней (уровни Ферми),

(см. фиг. 6.7). Если привести их в соприкосновение, то они оказываются разделенными потенциальным барьером конечной ширины. Поскольку часть занятых электронами энергетических уровней в металле I лежит выше границы заполненных уровней металла II, возможен туннельный переход электронов на свободные уровни металла II. Обратный переход, как видно из фиг. 6.7, исключен, поскольку электроны металла II при таком переходе будут иметь энергию, соответствующую заполненным уровням металла I. Очевидно, далее, что возникший электрический ток прекратится только в том случае, когда верхние заполненные уровни металлов сравняются.

В результате туннельного эффекта металл II, получив избыток электронов, заряжается отрицательно и соответственно металл I заряжается положительно. При этом начало отсчета энергетических уровней металла II поднимется вверх по отношению к началу отсчета уровней металла I (см. фиг. 6.8). После того

как наступит термодинамическое равновесие, при котором уровни Ферми в обоих металлах должны сравняться, электрический ток прекратится, но зато между металлами возникает разность потенциалов, пропорциональная разности работ выхода:

=—(6.54)

Эта величина и получила название контактной разности потенциалов.

Фиг. 6,8. Два металла после сближения. Возникновение контактной разности потенциалов.

Движение электронов в периодическом электрическом поле(одномерная модель Кронига—Пенни)，)

Как мы упоминали, представление о движении электрона в металле как в потенциальной яме является приближенным и соответствует некоторому усреднению периодического потенциала.

Ряд весьма характерных особенностей движения электронов в кристаллах выявляется лишь при учете периодического изменения потенциала. В общем случае подобная задача решается сложно; поэтому, чтобы выяснить некоторые особенности этого движения хотя бы с качественной стороны, рассмотрим движение электронов в простейшей модели кристаллического тела.

В одномерной модели Кронига ——Пенни периодическое электрическое поле положительных ионов кристалла апроксимируется потенциалом типа «зубчатой стенки», изображенным на фиг. 6.9. Ширину каждой ямы обозначим через о, а ширину барьера между двумя последовательными ямами ——через Ь. Таким образом, период потенциала, соответствующий в данной модели постоянной решетки, равен с = а~[-Ь. Высоту барьера полагаем равной Vo.

См. Я. И. Френкель, Волновая механика, т. I, М.——Л., 1935.

Тогда решение уравнения Шредингера для ^-го участка будет иметь вид:

для потенциальной ямы:

фл = Ап sin kxn + В„ cos %,(6.55)

для потенциального барьера:

屮左=Д п sh х (xrt — с) + Bn ch x (xn — c).(6.56)

Здесь «= j/"缥纟 к = |/~物。(僚h0, x„ —x—cn; коорди-Здесь «= j/"缥纟 к = |/~物。(僚h0, x„ —x—cn; коорди-Фиг. 6.9. Одномерная модель кристаллического тела Кронига — Пенни.Фиг. 6.9. Одномерная модель кристаллического тела Кронига — Пенни.

Здесь «= j/"缥纟 к = |/~物。(僚h0, x„ —x—cn; коорди-

Здесь «= j/"缥纟 к = |/~物。(僚h0, x„ —x—cn; коорди-

Фиг. 6.9. Одномерная модель кристаллического тела Кронига — Пенни.

Фиг. 6.9. Одномерная модель кристаллического тела Кронига — Пенни.

Аналогично, для (〃+1)-го участка можно написать:

фп+1 = /“+1 sin kxn^ + 当屮 cos kxn^.(6.57)

Произведем прежде всего «сшивание» решений (6.55) и (6.56) в точке % = с〃 +。，т. е. при хп — а. Тогда будем иметь:

Ап sin ka + Вп cos ka — ~ An sh.xb + Bn ch x&,(6.57a)

Лл cos ka — Bnsinka — ^ (An ch x6 —舔 sh хб).

в точке % = с(〃+1) и получаем:(6.58)в точке % = с(〃+1) и получаем:(6.58)Сшивая далее решения (6.56) и (6.57) учитывая при этом, что хп~с, хп+1 —О,

в точке % = с(〃+1) и получаем:

(6.58)

в точке % = с(〃+1) и получаем:

(6.58)

Bn = Bn+li

4 = ^4十「

Подставляя (6.58) в (6.57а) и переходя ради упрощения задачи к предельному случаю Кронига — Пенни, когда ширина «зубца» (т. е. барьера между двумя ямами) стремится к нулю (6 — 0), а высота Vo к бесконечности, в то время как величина, характеризующая площадь《зубца》，остается неизменной:

乌2= Р = const,

и учитывая, что при этом ch х& —> 1, sh%6—х6, находим:

(6.59)(6.59)A；sin ka + Вп cos ka = В叶朽

(6.59)

(6.59)

An cos ka — Bn sin ka = An^\ —^ 旦十卜

Равенства (6.59) представляют собой линейные разностные уравнения, решения которых следует искать в виде:

Ап — &d, Вп = C^rnt(6.60)

Подставляя (6.60) в (6.59) и сокращая оба равенства на г", получаем уравнение для определения величины г и соотношения между коэффициентами & и &：

Ctsin ka — C^(r — cos 々а),

C2 (若厂 一 sin ka^ =Ci (г — cos ka).(6.61)

Перемножая левые и правые части последних уравнений и сокращая обе части равенства на произведение С©, получаем уравнение для определения величины г:

产一2r cos 玄о 十 1 = 0,(6.62)

где cos На определяется выражением:

cos £о — — sin ka + cos ka.(6.63)

Как мы увидим ниже, равенство (6.63) представляет собой основное уравнение для определения энергетических уровней в периодическом поле кристалла.

Решение уравнения (6.62) имеет вид:

г — cos На ± I sin 足а — е±ik，a.(6.64)

Заметим, что если правая часть равенства (6.63) будет больше единицы, то величина 比 будет мнимой, и в этом случае будем иметь экспоненциальное решение:

r = e±ga.(6.65)

Рассмотрим более подробно решение в случае вещественных значений 玄：

г=6访'气

Тогда, согласно (6.61) и (6.60), будем иметь:

с —п r — coska- —r (eik，a —cos ka) eik，an

5 = 5 sin ka，&

Подставляя найденные значения Ап и Вп в (6.55) и принимая во внимание, что в результате предельного перехода (6—*0) хп — х ——ап, находим выражение для волновой функции в кристалле:

^ — C^eik，xUn,(6.66)

где IJп ——функция, обладающая периодом потенциала в кристалле:

ип = ^^ [етм(х“一а)sin kxn — e-w*a sin k (x〃 — a)]. (6.67)

В частности, если 尸=0, т. е. барьера нет, то из (6.63) найдем, что 女'=々；в этом случае функция Un обращается в единицу.

Из формулы (6.66) следует, что электрон сможет свободно двигаться в кристалле, если 力 является вещественной величиной, т. е. когда правая часть равенства (6.63) меньше единицы.

Основы электронной теории проводимости кристаллов

Квантовая теория движения электронов в кристаллической решетке дает ключ к пониманию различия между проводниками и диэлектриками, а также полупроводниками, которые занимают в некотором смысле промежуточное положение. Мы не собираемся здесь останавливаться на количественной стороне вопроса, а ограничимся, основываясь на выводах одномерной модели Кронига ——Пенни, некоторыми качественными замечаниями.

В основу нашего краткого анализа положим формулу (6.63) для определения возможных энергий электрона в кристаллической решетке. Эта формула имеет вид:

cos Wa = — sin ka + cos 论a, (6.63)

где a ——постоянная решетки, а величина fe —-^2— определяет энергию электрона. Возможные значения энергии электрона могут быть найдены из условия вещественности величины 川.Последнее означает, что правая часть равенства (6.63) должна быть меньше единицы.

Положив 力=8, мы получим энергетический спектр изолированных атомов (в этом случае атомы будут отделены друг от друга непроницаемым барьером). Тогда энергетический спектр будет представлять собой изолированные для каждой ямы уровни:

也-—也——а,

紋紋胪(6.68)

где /z== 1, 2, 3,....、

Мы не будем рассматривать отрицательные значения и, так как они дадут те же значения для энергии, но будут соответствовать движению электрона в обратном направлении, т. е. в направлении——х. Первые два уровня (п = 1, 2):

冗2方2

旦当=4耳(6.69)

изолированных атомовизолированных атомовизображены на фиг. 6.10.изображены на фиг. 6.10.

изолированных атомов

изолированных атомов

изображены на фиг. 6.10.

изображены на фиг. 6.10.

Если величина Р [см. (6.63)] является конечной, то возможные энергетические уровни проще всего определить графически (см. фиг. 6.11). Разрешенные значения для величины /г, т. е. для энергии, будут соответствовать таким значениям правой части равенства (6.63), которые будут лежать в пре-

Фиг. 6.10. Схема образования энергетических зон в кристаллической решетке.Фиг. 6.10. Схема образования энергетических зон в кристаллической решетке."一一写'

Фиг. 6.10. Схема образования энергетических зон в кристаллической решетке.

Фиг. 6.10. Схема образования энергетических зон в кристаллической решетке.

" 一 ……£

Энрргетичесние уробникристаллической решетки

Фиг. 6.11. Определение возможных энергетических уровней в кристаллической решетке.Фиг. 6.11. Определение возможных энергетических уровней в кристаллической решетке.делах от ——1 до + 1. На фиг. 6.11 эти возможные значения изображены жирной линией. Таким образом, изолированные уровни ^ атомов при образовании кристаллической решетки расщепляются на ^ уровней (см. также (5.86)), образуя так называемые зоны. Эти расщепленные уровни изображены также на фиг. 6.10.

Фиг. 6.11. Определение возможных энергетических уровней в кристаллической решетке.

Фиг. 6.11. Определение возможных энергетических уровней в кристаллической решетке.

Электроны, находясь в кристалле, будут стремиться занять энергетически более низкие состояния, причем, как уже указывалось, согласно принципу Паули на каждом уровне не может быть более двух электронов с противоположными направлениями спинов.

Жирной линией по оси абсцисс отмечены возможныезначения Аа (разрешенные зоны).Жирной линией по оси абсцисс отмечены возможныезначения Аа (разрешенные зоны).Если мы имеем, например, кристаллическую решетку щелочного металла, то на ^aтoмoв будет приходиться ^ валентных электронов. Они займут

Жирной линией по оси абсцисс отмечены возможныезначения Аа (разрешенные зоны).

Жирной линией по оси абсцисс отмечены возможныезначения Аа (разрешенные зоны).

только половину нижней зоны (так как на каждом уровне может бьиь максимум два электрона). В основном состоянии половина электронов будет двигаться в одном направлении, другая половина ——в противоположном, и поэтому ток в среднем будет равняться нулю. Если включить электрическое поле, то некоторая часть электронов сможет двигаться преимущественно в одном направлении, создавая тем самым электрический ток и переходя на более высокие энергетические уровни. Поэтому в металле должно быть достаточное количество незаполненных уровней в основной зоне, являющейся в то же самое время и зоной проводимости.

В идеальном диэлектрике, наоборот, все уровни основной зоны заняты» а уровнм зоны проводимости свободны. Энергетическое расстояние между этими зонами, как правило, составляет несколько электрон-вольт. Поэтому при включении поля электроны не могут приобрести преимущественное направление движениях).

В самом деле, если один из электронов изменит направление своего движения на противоположное, это будет означать, что он перейдет в другое энергетическое состояние. Но так как все энергетические уровни заняты, то это возможно лишь в том случае, когда электрон, занимающий это другое энергетическое состояние, перейдет обратно в то состояние, которое первоначально занимал первый электрон. Поэтому в среднем преимущественное направление движения электронов даже при включении поля

"06 альныи ди электрик"06 альныи ди электрик0有50工工学3L0有50工工学3Lоное ко-о舌Ооное ко-о舌ОnEQON--oauaxQmnEQON--oauaxQm

"06 альныи ди электрик

"06 альныи ди электрик

0有50工工学3L

0有50工工学3L

оное ко-о舌О

оное ко-о舌О

nEQON--oauaxQm

nEQON--oauaxQm

Ф и г. 6.12. Схема энергетических уровней металла н диэлек-трика.

не может возникнуть. Схема энергетических уровней металла и диэлектрика изображена на фиг. 6.12.

Тем не менее любой диэлектрик все же при комнатной температуре обладает некоторой (правда, весьма небольшой) проводимостью. Особенно сильно эта проводимость возрастает у полупроводников, где расстояние между зонами значительно меньше, чем у диэлектриков (около 1 38, а иногда и меньше; так, например, для германия при Т = 300°К ширина запрещенной зоны составляет всего 0,66 эв). При абсолютном нуле полупроводники ведут себя как диэлектрики; однако их проводимость возрастает с повышением температуры и в особенности при наличии примесей других элементов. При комнатной температуре удельное сопротивление полупроводников оказывается порядка 10~——102 ом • см. В то же время удельное сопротивление диэлектриков лежит в пределах 10——1013 ом • еж, а металлов —1 Of—10-8 ом * см.

Проводимость диэлектриков и полупроводников может носить двоякий характер.

С одной стороны, часть электронов под действием теплового возбуждения или внутреннего фотоэффекта (поглощение электронами света) переходит из основной зоны в зону проводимости. В основной зоне при этом остаются вакантные состояния, так называемые «дырки». Электроны, попавшие в зону проводимости, в полной мере приобретают способность переносить электрический заряд, т. е. создавать ток. С другой стороны, коль скоро в основной зоне некоторые состояния оказались свободными, появляется возможность создания электрического тока и за счет движения электронов в самой основной зоне. Можно показать, что движение системы электронов в основной (почти целиком заполненной) зоне можно рассматривать как движение совокупности вакантных состояний ——«дырок». Последние, очевидно, перемеща

ряда и, следовательно, о двух типах носителей электрического тока в твердом теле ——электронах и дырках.Исходя из зонной теории, можно сразу с качественной стороны объяснить ряд эффектов.Например, проводимость металлов с понижением температуры должна возрастать, поскольку их сопротивление связано с взаимодействием свободных электронов с колебаниями решетки. С понижением температуры колебания последних уменьшаются, а число носителей тока не зависит от температуры. Про-ряда и, следовательно, о двух типах носителей электрического тока в твердом теле ——электронах и дырках.Исходя из зонной теории, можно сразу с качественной стороны объяснить ряд эффектов.Например, проводимость металлов с понижением температуры должна возрастать, поскольку их сопротивление связано с взаимодействием свободных электронов с колебаниями решетки. С понижением температуры колебания последних уменьшаются, а число носителей тока не зависит от температуры. Про-ются в направлении, противоположном перемещению электронов, т. е. ведут себя как положительно заряженные частицы. Таким образом, можно говорить о двух способах переноса за

ряда и, следовательно, о двух типах носителей электрического тока в твердом теле ——электронах и дырках.

Исходя из зонной теории, можно сразу с качественной стороны объяснить ряд эффектов.

Например, проводимость металлов с понижением температуры должна возрастать, поскольку их сопротивление связано с взаимодействием свободных электронов с колебаниями решетки. С понижением температуры колебания последних уменьшаются, а число носителей тока не зависит от температуры. Про-

ряда и, следовательно, о двух типах носителей электрического тока в твердом теле ——электронах и дырках.

Исходя из зонной теории, можно сразу с качественной стороны объяснить ряд эффектов.

Например, проводимость металлов с понижением температуры должна возрастать, поскольку их сопротивление связано с взаимодействием свободных электронов с колебаниями решетки. С понижением температуры колебания последних уменьшаются, а число носителей тока не зависит от температуры. Про-

Ф и г. 6.13. Схема энергетических зон полупроводника с примесной прово- водимость же полупроводников, на-димостью.

оборот, с понижением температуры

должна уменьшаться, так как число носителей тока будет становиться все меньше и меньше. Существование дырочной проводимости в полупроводниках было доказано при исследовании эффекта Холла и термо-э.д.с. Знак разности потенциалов, возникающей в этих случаях, определяется знаком носителей тока. Опыт показывает, что в то время как в одних полупроводниках знаки эффекта Холла и термо-э.д.с. соответствуют случаю,

когда носителями тока являются электроны, в других полупроводниках знаки обратные, т. е. носителями тока являются как бы положительно заряженные частицы. Представление о дырках дает этому естественное объяснение.

Эти [выводы о проводимости, связанной с переходом электронов из основной зоны в зону проводимости и движением дырки в основной зоне, относятся к идеальному кристаллу, и этот тип проводимости носит название собственной проводимости.

Помимо собственной проводимости, в полупроводниках существенную роль играет так называемая примесная проводимость. Она связана с наличием в решетке посторонних примесей или иных структурных дефектов. Подобного рода нарушения идеальной периодической структуры решетки приводят к локальным отклонениям поля от чисто периодического. В результате в энергетическом спектре электронов могут появиться дискретные уровни, лежащие в запрещенной зоне (см. фиг. 6.13). Волновые функции, соответствующие этим уровням, практически отличны от нуля лишь в некоторой области вблизи данного дефекта, благодаря чему дискретные уровни иногда называются локальными. Сами по себе дискретные уровни непо-

средственно не дают вклада в ток (электроны, их заполняющие, не свободны). Благодаря им, однако, может изменяться число электронов как в зоне проводимости, так и в основной зоне. -

Примесные состояния (короткие стрелки справа на фиг. 6,13) можно разделить на два типа： донорные и акцепторные. Донор способен отдавать свои электроны в зону проводимости, благодаря чему в последней появляются свободные электроны. Акцептор, в противоположность донору, принимает электроны; тогда в заполненной зоне образуется «дыркам и электроны этой зоны получают возможность перейти в более высокое энергетическое состояние (дырочная проводимость).

Если локальные уровни расположены достаточно близко от границ соответствующих зон, то ионизация (или другой эффект) за счет энергии теплового движения решетки осуществляется сравнительно легко. Поэтому в зонах может оказаться заметное число свободных электронов (или дырок)' даже в условиях, когда непосредственное возбуждение электронов из основной зоны в зону проводимости весьма маловероятно.

При этом величина и тип проводимости определяются в основном природой и концентрацией примесей. Варьируя их, можно в широких пределах управлять величиной проводимости, а также задавать ее тип (электронный или дырочный)х). Это обстоятельство широко используется в полупроводниковой электронике. Именно на нем основана работа современных высококачественных кристаллических диодов и триодов ——полупроводниковых приборов, способных выпрямлять переменный ток, а также усиливать и генерировать электрические колебания (транзисторы).

В заключение обратим внимание на две важные апроксимации, которыми мы молчаливо воспользовались в электронной теории твердого тела. Ро- первых, до сих пор, говоря о теории металлов и полупроводников, мы рассматривали по существу лишь задачу об одном электроне, благодаря чему соответствующая теория получила название одноэлектронной. Свойства же коллектива электронов в твердом теле принимались во внимание лишь в связи с заполнением свободными электронами энергетических уровней, что было нами использовано при вычислении некоторых статистических величин (уровни Ферми, теплоемкости и т. ц.). Однако и при этом мы полностью пренебрегли взаимодействием между электронами. В то же время фактически они испытывают, например, взаимное кулоновское отталкивание. Нетрудно убедиться, что при реально наблюдаемой плотности электронов в металле средняя энергия этого отталкивания отнюдь не обязательно мала по сравнению с уровнем Ферми. Возникает естественный вопрос: в какой мере подобная грубая одноэлектронная модель передает свойства реального металла и передает ли она их вообще?

Ответ на этот вопрос дается в многоэлектронной теории твердого тела, на которой мы не можем здесь сколько-нибудь подробно останавливаться, поскольку эта теория, получившая свое развитие сравнительно недавно, пока что носит сравнительно узкоспециальный характер. Отметим лишь, что основные качественные представления об электронном газе как свободном носителе тока, подчиняющемся статистике Ферми (одноэлектронная теория), сохраняются и в многоэлектронной теории. Соответственно остаются в силе полученные в одноэлектронной теории закономерности чисто статистического характера, например, линейная связь электронной теплоемкости

Так, четырехвалентный германий в чистом виде обладает большим сопротивлением (собственный полупроводник: число электронов равно числу дырок). Небольшие же примеси пятивалентной сурьмы (донорная примесь) придают ему электронную проводимость (полупроводник n-типа), а трехвалентного галлия (акцепторная примесь) — дырочную проводимость (полупроводник р-типа).

с температурой (при этом могут несколько измениться лишь численные коэффициенты, связанные с конкретным видом волновых функций системы электронов; однако эти уточнения связаны с исключительно большими вычислительными трудностями).

С другой стороны, в задачах динамического характера, где учет взаимодействия между электронами необходим по существу, изложенный выше упрощенный подход (одноэлектронная теория) оказывается недостаточным. К числу таких задач относится, например, проблема прочности металла.

Во-вторых, кристаллическая решетка в одноэлектронной теории рассматривалась просто как источник некоторого статического поля. Фактически, однако, дело обстоит сложнее, ибо ионы решетки испытывают колебательное движение, не прекращающееся, как мы знаем, даже при абсолютном нуле температуры (нулевые колебания). Желая принять во внимание это обстоятельство, следует рассматривать решетку кристалла не просто как источник поля, а как квантовомеханическ} ю систему (см. § 12, г). Существенно, что она не является изолированной, а связана с системой электронов, так как последние взаимодействуют с ионами решетки. Энергию этого взаимодействия можно однозначно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое из них есть потенциальная энергия взаимодействия электронов с неподвижной решеткой. Движение'электронов в таком поле рассматривалось на простом примере модели Кронига—Пенни. Второе слагаемое связано с отклонениями ионов от положений равновесия. Оно называется энергией взаимодействия электронов с колебаниями решетки. Средняя энергия этого взаимодействия весьма мала по сравнению с энергией электронов, находящихся на уровне Ферми, так как малы амплитуды колебаний ионов решегки (исключая область, близкую к точке плавления).

Однако наличие колебаний решетки может начать играть принципиальную роль при низких температурах. А именно, через взаимодействие каждого электрона с колебаниями решетки возникает дополнительное взаимодейсгвие между парой электронов, причем последнее взаимодействие (в отличие от электростатического), когда спины электронов направлены противоположно, может носить характер притяжения. В результате эта пара электронов начинает двигаться в известной степени коррелированно.

Оказывается, что подобная система обладает свойством сверхпроводимости ). Малость взаимодействия, ответственного за корреляцию, объясняет, почему сверхпроводимость наблюдается лишь при весьма низких температурах ).

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Некоторые сведения из теории линейных операторов

При общем исследовании уравнения Шредингера (см. § 5) мы видели, что классическому импульсу р частицы в квантовой теории сопоставляется оператор импульса р = — j^V, энергии Е —

оператор энергии Е =访况，функции Гамильтона Н — оператор функции Гамильтона или гамильтониан Н и т. д.

В связи с этим, прежде чем перейти к анализу физического смысла величин, изображаемых операторами в квантовой теории, рассмотрим некоторые общие вопросы, связанные с теорией операторов.

Подобно тому как функция переводит каждое число х в другое у = /(%), оператор М позволяет каждому значению одной функции /(х) сопоставить другую функцию:

屮(%) = Mf(x),(7.1)

вычисленную по тому или иному заданному правилу.

Для того чтобы в квантовой механике не нарушался принцип суперпозиции, необходимо использовать только линейные операторы, обладающие следующими двумя основными свойствами:

М 伉+ %)=М"十М"

MCf = CMf,(7.2)

где С — произвольная постоянная.

В качестве линейных операторов выбирают чаще всего символ дифференцирования, например М = ?鳥 (оператор импульса), М = V2 (оператор Лапласа) и т. д.; а также символ интегрирования.

В уравнении Пуассона:

V7(r) = P(r)(7.3)

в качестве оператора выбирается оператор Лапласа, который переводит функцию f(尸)в другую функцию р (尸).

Обратно, мы можем разрешить уравнение Пуассона и найти:

f (г) v-2p (г) = — ^Р (/) к (Г, /) ^'. ■(7.3а)

Здесь оператор L представлен в виде определенного интеграла, причем ядром оператора 尸 является функция:

К(г" — —研厂①——4冗 M，Ux')2 -P(y—y')2W(z 工 z')F *

Операторы V2 и V~2, последовательное действие которых дает единицу, называются обратными друг другу.

Если взять оператор функции Гамильтона:

Н = Т +V,то он состоит из суммы оператора кинетической энергииТ= - п—V2, пропорциональной оператору Лапласа, и потенци-

альной энергии V, представляющей собой просто функцию координат.

Действие потенциальной энергии V (%) на волновую функцию мы можем также рассматривать как действие некоторого линейного оператора, так как при этом будут выполнены условия (7.2). Поэтому в квантовой механике наряду с дифференцированием н интегрированием в качестве линейного оператора может быть выбрана некоторая функция координат, действие которой на другую функцию сводится просто к их перемножению.

Например, в квантовой механике наряду с оператором импульса р = — £%『，представляющим собой операцию дифференцирования, координату 尸 можно также назвать оператором координаты г).

В связи с этим интересно отметить, что 尸 уже не определяет собой координату частицы, а является аргументом волновой функции и определяет значение последней в координатном пространстве.

Величина же, которая должна играть роль координаты, может быть найдена из оператора г и функции 屮(尸)примерно тем же способом, как и импульс частицы находится по оператору импульса, т. е. путем усреднения (см. ниже).

Элементы теории представлений

Очевидно, что все операторы координат х, у, z являются коммутирующими между собой, так как их действие эквивалентно действию обычных чисел, и поэтому ху=ух, xz — zx и т. д. Аналогично и операторы р% = —»%点’Ру = — ^Й^, р^ =—力碌 оказываются коммутирующими друг с другом, поскольку результат дифференцирования не зависит от того порядка, в котором оно ведется:

дхду = дудхJ 齿 ％=dzdy И「Д*

Нетрудно также видеть, что операторы р* и v, р」и % ц т. д. также коммутируют друг с другом:

P.J屮=一力為У屮=一出案 =урА屮， т. е. .

РхУ=УРх^

Особенно отчетливо это видно, если написать уравнение Шредингера в импульсном пространстве- (см. ниже), когда волновая функция зависит от р. В этом случае оператору импульса р соответствует обычная функция (число), а оператору координаты х соответствует производная по р.

Некоммутирующими операторами являются, например,尤 и р#・

Действительно:

%p*屮— -/%祭，

(7.4)

в то же время:

Р/屮—

一"力黎Н一"力（1勘屮.

(7.5)

Следовательно,

(p/-xp*)<p = —i抑，

(7.6)

т. е.

рл% - %рЛ-—-访.

(7.7)

Аналогичным образом

легко убедиться, что

Р^-

—»Py = PzZ—ZPz = — 2力.

(7.8)

Некоммутативность этих операторов, выраженная соотношениями (7.7) и (7.8), является фундаментальной особенностью, характерной для всей квантовой механики.

Наш конкретный выбор вида операторов 尤 и p* = —— i% 糸， который удовлетворяет соотношениям (7.7) и (7.8), соответствует так называемому координатному представлению, когда волновая функция считается зависящей только от координат 尸[屮=屮(尸)]・

Уравнение Шредингера можно записать также в импульсном представлении. Для этого рассмотрим ради простоты одномерный случай и, пользуясь S-функцией [см. (4.70)], разложим 屮(%) в интеграл Фурье:

^ \ dRd%。(％')е詠(“-“')•

Учитывая, что R =专，где р — рХ1 последнее равенство можно записать в виде:

中(%)=亍蚩/中(p)/元"d/?,(7.9)

к' dx'.(7.10)

Фурье-образ функции 屮(％)——функция 屮(р), зависящая от импульса, носит название волновой функции в импульсном представлении. Соотношения (7.9) и (7.10) связывают между собой волновые функции в координатном и импульсном представлениях.

Найдем, чему будет соответствовать оператор координаты х в импульсном представлении. Заметим, что теперь р можно не писать в виде оператора, т. е. прямым шрифтом.

Для этого в формулу (7.10) вместо 屮(х) подставим х屮(％). Тогда для последней функции в импульсном представлении будем иметь:

т. е. в импульсном представлении оператор х имеет вид:

X = 2龙丽.

Нетрудно проверить, что соотношение (7.7) сохраняет свою силу и в импульсном представлении. В самом деле:

(хр — рх)中(р) = 1Й (^^ — Р ^^~)=，力=Р (р)・

Точно так же основному соотношению (7.7) можно удовлетворить, если вместо х и р ввести соответствующие матрицы, которые также могут не коммутировать друг с другом. Последнее представление можно назвать матричным). Оно было введено Гейзенбергом несколько раньше появления уравнения Шредингера.

Дальнейшее рассмотрение операторов мы поведем, как правило, в координатном представлении.

Средние значения операторов

Как известно, в классической теории движение отдельной материальной точки вполне точно определяется зависимостью координат от времени, что однозначно может быть найдено из основного дифференциального уравнения движения механики (динамическая закономерность):

恤产=—grad V (г).

Определив 尸 как функцию времени, можно определить также импульс и энергию материальной точки.

Несколько иначе обстоит дело при наличии многих частиц, например, в кинетической теории газов. В этом случае проявляются новые присущие большому коллективу частиц статистические закономерности.

Оказывается, что частицы такого коллектива имеют определенный закон распределения, вообще говоря, как в координатном, так и в импульсном пространстве (т. е. по скоростям, а вместе с тем и по энергиям). Функция 厶 характеризующая эти распределения, называется функцией распределения. При этом

можно говорить только о вероятности того или иного значения координаты или импульса частицы. Функция распределения позволяет найти, например, средние значения координаты и импульса:

三\ xfd3xdpt 无=\ Pxfd3xd3P, средние квадраты этих величин:

*2 = \%2加3%成P и т. (ц., которые и должны совпадать согласно закону больших чисел с соответствующими экспериментальными значениями.

Обратим внимание на одну особенность статистической закономерности. Эта статистическая закономерность в классической физике появляется в результате усреднения по так называемым скрытым параметрам, определяющим точное движение каждой частицы согласно уравнениям Ньютона. В окончательные же результаты эти скрытые параметры не входят. Вообще, классическая теория по крайней мере в принципе позволяет указать (хотя это и очень сложно математически), почему в каждый момент времени координаты и импульсы отдельных частиц имеют соответствующие наблюдаемые отклонения от средних значений.

Поведение частиц в микромире описывается волновой функцией 屮(г, /), которая носит вероятностный характер, причем даже в том случае, когда описываемая ею система состоит всего лишь из одной-единственной частицы. В связи с этим квантовая механика позволяет определить лишь средние значения физических величин независимо от того, имеется много или одна микрочастица. Следует подчеркнуть, что в квантовой теории даже в принципе нельзя объяснить отклонение наблюдаемых величин от средних!). Вычисляются же эти средние значения в квантовой механике подобно тому, как это делается в статистической теории, т. е. по формуле2):

羽=，屮* (/)М屮(/)0%,(7.12)

где М может быть любым оператором (равно как и числом), а величина ф* (/) ф (/) играет роль функции распределения 厶 при условии, что волновые функции 屮“)являются нормированными:

\ Ф* (0 屮(0 或％= 1.

Средние значения координаты и импульса, как мы уже отмечали, будут определяться фактически по одному и тому же закону:

〈%〉=、屮 * (/)碎(/) d3x,

〈公〉=)屮*(f)?^屮(f)或%.(7.13)

При этом〈尤〉будет координатой центра тяжести волнового пакета, соответствующего функции 屮 «), а(рх)——импульсом этого центра тяжести. *

Для того чтобы средние значения являлись реальными величинами, они должны быть вещественными, т. е. должно иметь место равенство:

〈〃> =〈〃〉. (7.14)

Когда это требование выполняется, соответствующие операторы называются самосопряженными (или эрмитовыми).

Покажем, в частности, что оператор р* удовлетворяет условию (7.14), несмотря на то, что по внешнему виду он является чисто мнимым.

Докажем для этого прежде всего важную для дальнейшего теорему о «перебросе» производной. Заключается она в следующем. Допустим, что мы имеем интеграл:

0= \〃и⑺ d%,(7.15)

где W = ^^. Тогда, если все подстановки пределов типа:

[M^^1^,["⑴0("7)1,["g)q(7.16)

-—ОО— со— со

обращаются в нуль, то результат интегрирования G не изменится, если мы в (7.15) n-ю производную с функции v «перебросим» на функцию 〃 и поставим при этом перед интегралом множитель (—1)〃:

\〃#)d% = ( — 1)" ^u^vdx.\〃#)d% = ( — 1)" ^u^vdx.(7.17)(7.17)

\〃#)d% = ( — 1)" ^u^vdx.

\〃#)d% = ( — 1)" ^u^vdx.

(7.17)

(7.17)

В самом деле, производя в (7.15) п-кратное интегрирование по частям и учитывая нулевые значения подстановок (7.16), прихо-

дим к соотношению (7.17). В случае дискретного спектра условия (7.16) будут всегда выполнены, так как волновая функция убывает на бесконечности по экспоненциальному закону. В случае же свободного движения (непрерывный спектр) эти выражения обращаются в нуль вследствие условия периодичности. Физически выполнение условий (7.16) означает, что на бесконечности нет никаких частиц и никаких токов.,

Возвращаясь к доказательству самосопряженности оператора р#, в равенстве (7.17) мы должны положить:

我=屮*(/), V ——访屮(f) и n= 1.

Отсюда автоматически следует, что:

〈Рх〉= —)屮 *(/)1 力忠屮 G)dx = § 屮⑴访言屮*(/)dx =〈p*〉*, т. е. условие самосопряженности (7.14) для р* оказывается выполненным. Заметим, что в противоположность оператору р* =——zE/ вещественный оператор 族 не является самосопряженным и его среднее значение не имеет физического смысла.

Если оператор М имеет только одно собственное значение X (и одну собственную функцию 屮)，то оно, как нетрудно видеть, будет совпадать со средним значением этого оператора. Действительно, следуя общему правилу (7.12) определения среднего значения оператора и учитывая, что

М 屮(/) =入屮(Z),(7.18)

для〈/И〉получаем:

〈М〉= S 屮* ⑴m屮⑴ *% =入、 屮* (/)屮(/)*% =入.(7.19)

Если оператор М [уравнение (7.18)] имеет несколько собственных значений: Хь 入2, …，入几，...,соответствующих функциям 屮i(f),屮2«), - • •, % О • • • (например, это может иметь место для оператора энергии E = i%£ , ^ = EJ то, принимая во внимание, что общее решение 屮(%) может быть записано в виде:

屮 «)=£&%«),(7.20)

для среднего значения оператора энергии E = i%^ находим:

〈Е〉=£|С/Е〃・(7.21)

Здесь I Сп |2 суть вероятности осуществления того или иного квантового состояния микрочастицы. Если все Сл за исключением

одного, С„о, равны нулю, то (£) — £Ло, т. е. средняя энергия совпадет с собственным значением ЕЛо и, следовательно, последнее будет соответствовать той энергии, которую можно наблюдать на опыте. В том же случае, когда отличны от нуля несколько коэффициентов Сл: С“ Cnv ..., Сп^ .... в результате экспериментального измерения мы уже будем получать либо то, либо другое значение энергии. При многократном повторении опытов число случаев, когда обнаруживаются частицы с энергией Е„., должно быть пропорционально соответствующим теоретическим вероятностям I&J.

Статистическая интерпретация волновой функции

Итак, в настоящее время окончательно установлено, что квантовая механика является статистической наукой. Исходя из этого положения возникает другой вопрос: будут ли вскрыты причины, которые позволяют лишь с некоторой вероятностью предсказать значение координаты и импульса электрона? В связи с этим напомним, что в основе классической статистики должны лежать «скрытые параметры», к числу которых можно отнести, например, динамические закономерности, т. е. уравнения Ньютона, определяющие движения отдельных частиц!). В отличие от этого в основе статистических закономерностей квантовой механики не лежат подобные динамические закономерности, поскольку квантовая механика описывает одними и теми же волновыми уравнениями как поведение отдельного электрона, так и квантового ансамбля. Поэтому, оставаясь в рамках самой квантовой механики, нельзя ввести никаких «скрытых параметров», объясняющих ее статистический характер (теорема Неймана). Однако если не придавать квантовой механике абсолютного значения, то можно надеяться, что статистический характер явлений микромира будет объяснен с помощью более совершенных теорий. Этот вопрос является далеко еще не разрешенным и поэтому мы ограничимся некоторыми возможными высказываниями в связи с его постановкой.

Сторонники интерпретации квантовой механики в духе принципа дополнительности считают, что причины, приводящие к статистическому характеру явлений микромира, никогда не будут вскрыты. В связи с этим необходимо прежде всего подчеркнуть

Как было указано в § 3? хотя динамические закономерности не могут полностью объяснить даже в классическом случае всех статистических закономерностей, например необратимости процессов (Н-теорема Больцмана), однако там отсутствует какой-либо принципиальный предел познания того или иного явления.

различие между соотношением неопределенности и принципом дополнительности.

Соотношение неопределенности следует из волновой теории (строгий его вывод мы дали в § 8). Из соотношения неопределенности вытекает, что в рамках квантовой механики невозможно точно теоретически предсказать для одного и того же момента времени и координату, и импульс электрона. Сторонники интерпретации квантовой механики в духе принципа дополнительности пытаются это объяснить особым влиянием на микромир макроприборов, воздействие которых при одновременном измерении двух канонически сопряженных величин (например, координаты и импульса электрона) нельзя сделать сколь угодно малым. Возводя это в особый принцип, они приходят к выводу, что должен существовать некий конечный предел познания микромира. Таким образом, принцип дополнительности скорее носит мировоззренческий характер и имеет примерно такое же отношение к квантовой механике, какое в свое время имело механистическое мировоззрение к классической механике.

Как известно, механистическое мировоззрение на сравнительно ранней ступени развития классической физики дало ряд положительных результатов. Однако в дальнейшем, будучи абсолютизированным, оно начало тормозить развитие науки. Точно так же принцип дополнительности на первых этапах появления квантовой механики, бесспорно, сыграл некоторую положительную роль. Например, с помощью принципа дополнительности было установлено, что статистические закономерности микромира имеют особую природу и, во всяком случае, они не должны сводиться к динамическим. В дальнейшем выяснилось, что принцип дополнительности может быть использован лишь для интерпретации поведения квантового ансамбля, где причины, приводящие к статистическим закономерностям, не существенны. Однако если его абсолютизировать, то можно прийти к выводу, что никакая будущая теория о микромире не сможет не только предсказать, но даже вскрыть причин, почему, например, отдельный электрон при попадании на экран дает не дифракционную картину, как предсказывает теория, а какую-то определенную точку, по которой можно судить о координате и импульсе электрона (хотя бы для прошедшего момента времени), значительно точнее, чем с помощью вычислений по квантовой механике.

Более того, введение элементов микромира принципиально непознаваемых неминуемо в конце концов должно начать тормозить развитие науки о микромире, которая в настоящее время вплотную подошла к изучению структуры элементарных частиц и их флуктуационному взаимодействию с другими частицами и полями.

Квантовая механика должна прежде всего отражать объективные закономерности микромира, не зависящие от приборов, с помощью которых производятся наблюдения. Следует также учитывать, что наши представления о внешнем мире складываются не только на основе показаний приборов, от которых может зависеть лишь быстрота нашего познания микромира. Человек способен обобщать результаты своих наблюдений путем установления взаимосвязи между различными явлениями. В связи с этим напомним, что различные свойства атомов были познаны задолго до непосредственного их обнаружения на основе анализа ряда экспериментов, относящихся к изучению макроскопических свойств вещества.

Другая точка зрения заключается в том, что хотя причины, приводящие к статистическому характеру квантовой механики, еще не вскрыты, однако нельзя считать, что они не могут быть вскрыты и в будущих более совершенных, чем квантовая механика, теориях. В качестве примера остановимся на одном из возможных объяснений (далеко еще не апробированном) статистического характера науки о микромире.

Если проводить аналогию с классическими явлениями, то движение отдельного электрона до некоторой степени должно напоминать собой движение броуновской частицы.

Для описания поведения броуновской частицы, движущейся благодаря флуктуационным ударам со стороны молекул вещества, классическая теория также использует статистический метод, причем, как и в случае движения электрона, теоретически можно найти лишь вероятность нахождения броуновской частицы в том или ином месте пространства, хотя экспериментально мы можем проследить за всей ее траекторией движения. Вместе с тем здесь следует подчеркнуть различие между движением броуновской частицы и движением электрона. Это различие сводится к тому, что статистическая теория броуновского движения получается как результат усреднения по скрытым параметрам хаотического движения молекул, в то время как обычная квантовая теория таких скрытых параметров не содержит.

Однако если выйти за рамки квантовой механики и воспользоваться ,например, результатами квантовой теории поля, то тогда становится возможным провести более глубокую параллель между этими двумя видами движения. В самом деле, согласно современной квантовой теории поля, электрон всегда окружен облаком виртуальных фотонов, со стороны которых он и испытывает хаотические «удары», напоминающие те, которые испытывает броуновская частица, хотя полной аналогии здесь все же нет. В самом деле, в случае броуновского движения частица сохраняет свои индивидуальные свойства, в то время как при

движении электрона в вакууме наряду с взаимодействием электрона с флуктуациями электромагнитного поля, к тому же не зависящего от температуры, необходимо также еще учитывать взаимодействие электрона с электронно-позитронным вакуумом, что может привести к аннигиляции первоначального электрона и появлению вторичного (более подробно см. § 22).

Флуктуационные удары со стороны виртуального поля фотонов, а также электронно-позитронного вакуума могут быть наблюдаемы. Они приводят, в частности, согласно Вельтоиу ) к лэмбовскому сдвигу уровней в атоме водорода и дополнительному собственному магнитному моменту электрона (подробнее см. § 21).

Более того, как было показано нами совместно с В. С. Тумановым ), если в уравнении движения для классического электрона (конкретно это было сделано для гармонического осциллятора) учесть флуктуации со стороны фотонного вакуума, а также силу лучистого трения Планка (это необходимо для учета силы самодействия), то мы автоматически получаем соотношение неопределенности.

Таким образом, если в классической теории можно выбрать некоторую замкнутую область, содержащую конечное число материальных точек (или конечное число степеней свободы), для которых принципиально можно сформулировать точные классические уравнения движения (динамическая закономерность), то в квантовой теории этого сделать уже невозможно, поскольку даже конечная область с конечным числом электронов будет содержать с учетом флуктуационных ударов со стороны виртуального поля бесконечное число степеней свободы. Иными словами, если в классической теории на базе поведения отдельных частиц изучают движение их совокупности (классическая статистическая физика), то в квантовой механике, наоборот, на базе статистических закономерностей пытаются судить о движении отдельной частицы.

При учете же флуктуационных сил, появляющихся в рамках квантовой теории поля, статистические закономерности квантовой механики следует рассматривать как результат усреднения по другим более «элементарными движениям, не зависящим (в противоположность утверждению последователей принципа дополнительности) ог наблюдателя (например, флуктуационные взаимодействия электрона с электромагнитным вакуумом). Последние описываются также статистическими закономерностями и только в некоторых частных случаях, когда влиянием этих фчуктуационных ударов на движение элементарной частицы можно пренебречь, они переходят в динамические. Подобная гипотеза представляет собой одну из возможных предварительных интерпретаций соотношения неопределенности, с выходом за рамки волновой механики. Во всяком случае мы можем утверждать, что непознаваемых закономерностей в природе нет. Их надо только суметь познать. В будущих теориях по с} ществующим данным, возможно, нельзя будет предсказывать точные значения для координаты и импульса электрона одновременно, но

Перевод статьи Вельтона напечатан в сборнике «Вопросы причинности в квантовой механике》，ИЛ, М., 1955.

в лих, бесспорно, будет дано физическое объяснение тому факту, почему в микромире имеют место статистические закономерности.

Оставаясь же в рамках квантовой механики, наиболее объективное истолкование появления волновых свойств частиц можно дать с помощью введения квантовых ансамблей (см. § 5), согласно которым волновые свойства должны наблюдаться либо при одновременном наличии большого числа частиц, либо при многократном повторении одинаковых состояний с отдельными невзаимодействующими частицами. Этот вывод, если угодно, можно рассматривать как обобщение на квантовый случай эргодической гипотезы, играющей большую роль в классической статистике, поскольку при этом для стационарного состояния средние по времени заменяются средними по пространственной совокупности.

Объяснить же вероятностный характер теории в применении к элементарному акту квантовые ансамбли не позволяют, и этот вероятностный характер можег быть объяснен, как нам кажется, только с помощью теории, выходящей за рамки квантовой механики.

Мы только что указали, что в качестве такой предварительной теории может быть взята теория, учитывающая вакуумные флуктуации. Возможно, что это будет объяснено и с помощью других гипотез 】).В частности, не исключено, что причины вероятностного характера квантовой механики будут вскрыты с помощью создаваемой нелинейной теории поля, в которой в настоящее время фактически учитывается структура элементарных частиц.

8・ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ. ИЗМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН СО ВРЕМЕНЕМ

Вывод соотношения неопределенности

Как мы указывали в предыдущем параграфе, наблюдаемые физические величины, которым сопоставляются операторы, независимо от того, коммутируют эти операторы с гамильтонианом или нет, т. е. являются ли соответствующие физические величины интегралами движения или нет, можно характеризовать лишь средним значением, вычисляемым по формуле (7.12).

Более подробно различные точки зрения на принципиальные вопросы квантовой механики изложены в журнале «Вопросы философии» № 2, 72 (1959) (общая дискуссия); № 10, 31 (1959); № 7, 108 (1963) (статьи Д. И. Б лохи н ц е в а); № 4, 57 (1959) (статья Я. П. Терлецкого); № 6, 74 (1959) (статья Д. Д. Иваненко)； № 6, 155 (1959) (статья Г. А. Свечникова); № 4, 98 (1958) (статья Г. Я- М я к и ш е в а);沁 12, 83 (1963) (статья Д ир а к а) и т. д. Философские взгляды В. Г ейзенберга изложены в сборнике статей «Философские проблемы атомной физики», М., 1953. Критические замечания к этим работам даны во вступительной статье, написанной И. В. Кузнецовым. См. также статьи: Н. Бор, УФН. 66, 571 (1958); 67, 37 (1959); В. А. Ф о к, УФН, 66, 599 (1958); М. Борн, УФН, 69, 173 (1959). Попытки зарубежных авторов дать новое обоснование квантовой механики даны в цитированном выше сборнике «Вопросы причинности в квантовой механике». См. также сборник «Философские проблемы физики элементарных частиц», изд. АН СССР, 1963 г. (доклады на Всесоюзной конференции по философским вопросам естествознания, Москва, апрель 1962 г.).

Покажем, что, если физическим величинам соответствуют некоммутирующие друг с другом операторы, в рамках квантовой механики они не могут быть одновременно вычислены точно. Наиболее важным в этом отношении является вычисление отклонения от средних значений операторов двух канонически сопряженных величин: координаты % и импульса рх.

Дальнейшее исследование будем проводить в координатном представлении и ограничимся рассмотрением случая, когда волновая функция не зависит от времени (стационарный случай). Тогда средние значения координаты и импульса могут быть найдены соответственно из соотношений!):

〈%)=)屮*%屮或%,(8.1)

〈厶〉=一］屮"力靠数.(8.2)

Прежде всего заметим, что, хотя средняя ошибка, или отклонение от среднего, вычисляемая по формуле:

(Дх) = \ 屮* (% —〈%〉)屮 d3x =〈X〉一〈工〉=0,(8.3)

и равна нулю, это все же никоим образом не означает отсутствия других возможных положений частицы, отличных от〈％〉，поскольку отклонения могут иметь относительно центра тяжести〈％〉 различные знаки и, следовательно, в среднем взаимно компенсировать друг друга.

Поэтому отклонение от среднего значения следует характеризовать средней квадратичной ошибкой, которая при любом отклонении от 〈%〉 имеет положительный знак. Эта средняя квадратичная ошибка для координаты может быть вычислена по формуле:

《Ах)2〉= \ 屮*(%—〈尤〉У 屮 d?% =

=〈/〉— 2(%〉2 十(%)2 =(炉)-(»2.(8.4)

Заметим, кстати, что если средняя квадратичная ошибка, например, {(Дх)) = 0, то это означает, что вероятность пребывания

электрона в пространстве отлична от нуля лишь при % =〈％〉. В этом случае среднее значение равняется точному, т. е. соответствующая вероятность пребывания частицы будет описываться ^-образной функцией.

Аналогично для средней квадратичной ошибки по импульсу имеем:

〈(аР"户〉=］屮 * (p" 一 (рх)r 屮敝=出〉一〈厶〉2.(8.5)

Чтобы установить связь между〈(А%)?〉и〈(ApJ〉，мы можем без ограничения общности доказательства выбрать систему координат с началом в центре тяжести волнового пакета (〈％〉= 0), причем так, что она будет двигаться вместе с последним ((рх) —0) В этом случае получаем:

〈(А%)?〉= (х2) = \ 屮*%2屮 tP居(8.6)

〈(" J〉=з〉=§屮* (-访^『屮以.

Рассмотрим следующий интеграл:

)他)=)回中*+需)3屮十紛或%,(8.7)

где а — некоторая произвольная вещественная величина, не зависящая от х. Последнее выражение можно представить в виде:

/® = 4а2 —Ва + С,(8.7a)/® = 4а2 —Ва + С,(8.7a)

/® = 4а2 —Ва + С,(8.7a)

/® = 4а2 —Ва + С,(8.7a)

Так как подынтегральное выражение в (8.7) — существенно положительная величина, то

(8.9)(8.9)/(а)^0.

(8.9)

(8.9)

Условие (8.9) накладывает определенное ограничение на коэффи- циенты Д, В и С. В самом деле, это соотношение будет иметь место для любых вещественных значений а, если оно выполняется при а — а0) отвечающем минимуму функции / (а). Значение а0 может быть найдено из условия:

Г (а0) = 2Ла0 — В = о, т. е. а° =負，

а

Г (а) = 24>0.

Поэтому минимальное значение 1 (а) будет равно:

/мнн. = / (а。)= —д + С К 0.

Отсюда следует, что неравенство (8.9) будет иметь место для любых вещественных значений а, если выполняется условие:

82 V 44c.(8.10)

Подставляя сюда значения для X, В и С из (8.8) и принимая во внимание (8.6), находим соотношение между〈(“J〉 и <(Дх)2>:

〈阳尸〉〈(Ар挤(8.Н)

Это неравенство и представляет собой строгую формулировку соотношения неопределенности.

Если учесть, что р/—хрх = — z力 [см. (7.7)], то последнее соотношение можно записать в виде:

〈(△х户〉〈(Арх)2〉К；〈(Рт —%PJ〉・(8.12)

Обобщая последний результат, мы можем вообще сказать, что если два оператора Mt и М2 не коммутируют друг с другом, то для них всегда имеет место соотношение неопределенности:

〈(АМУ〉〈(AM?)?〉A j-〈(ММ? - М2М,)2>,(8.13)

где

抬財户〉=\ 屮* (М — {М^ 屮也，(t = 1,2).(8.14)

Как мы уже указывали, соотношение неопределенности является следствием корпускулярно-волнового дуализма, лежащего в основе квантовой механики, и никоим образом не связано с субъективной стороной опыта, т. е. с наблюдением. Соотношение неопределенности является объективным, т. е. независимым от внешних условий следствием теории, и эксперименты могут только подтвердить те выводы, которые из него следуют.

Смысл соотношения неопределенности заключается в том, что распределения плотности по переменным, которым соответствуют некоммутирующие операторы, принципиально не могут одновременно иметь вид В-функции (см. фиг. 8.1). Более того, чем ближе к S-функции распределение вероятности по одной переменной, тем более размытым становится распределение по другой. В пределе, когда, например, распределение по %, т. е. |ф(х) |2, примет вид

В-функции ［〈(А%)2〉= 0］, по импульсу рх оно станет таким, что для всех значений рх величина | 屮(/?%)『 будет постоянной, т. е. 〈(АР*У〉= 3

Условие коммутативности двух операторов является необходимым условием того, чтобы соответствующие им физические переменные могли быть точно вычислены одновременно.

Ф и г. 8,1. Распределение плотности вероятности в координатном (а) и импульсном (б) пространствах:Ф и г. 8,1. Распределение плотности вероятности в координатном (а) и импульсном (б) пространствах:К(а»〉Зр)2〉］1/2 = Е・К(а»〉Зр)2〉］1/2 = Е・

Ф и г. 8,1. Распределение плотности вероятности в координатном (а) и импульсном (б) пространствах:

Ф и г. 8,1. Распределение плотности вероятности в координатном (а) и импульсном (б) пространствах:

К(а»〉Зр)2〉］1/2 = Е・

К(а»〉Зр)2〉］1/2 = Е・

Если распределение в коордииатиом пространстве (а) сужается, то рас-пределение в импульсном пространстве ⑹ расплывается.

Классические и квантовые скобки Пуассона

(8.15)(8.15)Как известно, состояние системы в классической механике определяется так называемыми динамическими переменными. Величины, фигурирующие в классической механике в канонической (гамильтоновой)而орме, зависят, как правило, от координат 修, импульса pi и времени т. е.

(8.15)

(8.15)

f = f<Pi,看，О-

Например, в одномерной стационарной задаче функция Гамильтона зависит лишь от х и р^:

昨小八初(8・16)

Отсюда с помощью канонических уравнений (уравнений Гамиль

тона) находим:

(8.17)(8.17)・ дН рхдН dV

(8.17)

(8.17)

ИЛИ

При наличии п степеней свободы (i=l, 2, ..., п) уравнения (8.17) принимают вид:

仍=—近？(8/7a)

Отсюда изменение величины / [см. (8.15)] со временем определяется выражением:

Учитывая далее канонические уравнения (8.17а), будем иметь: 寫=窮+на(8.18)

где выражение:

["，月=ё僚爲Г絹紛(8/9)

получило название классических скобок Пуассона.

Если / не зависит явно от /, то |^ = 0 и поэтому ее изменение будет полностью определяться скобками Пуассона:

窮=阳，丹，(8.20)

а при обращении последних в нуль ([Я, /] = 0) величина / не будет зависеть от времени, т. е. будет сохраняться:

f = const.

Например, если энергия явно от времени не зависит, то dHfdt= =0 и в силу очевидного равенства [Н, Н] = 0 мы найдем, что функция Гамильтона (т. е. в данном случае энергия) будет величиной постоянной (Я = const). Заметим также, что, подставляя в (8.20) вместо / координату 修，а затем 加 находим равенства (8.17а), т. е. канонические уравнения Гамильтона.

Произведем обобщение классических скобок Пуассона, позволяющих найти изменение во времени любой динамической переменной, на квантовый случай.

Прежде всего заметим, что в квантовой механике физический смысл имеют, как мы указали в предыдущем параграфе, только средние значения операторов (координаты, импульса и т. д.), изменение со временем которых мы и должны исследовать.

В общем случае среднее значение произвольного оператора f дается в квантовой механике формулой (7.12), причем время t входит в нее как параметр. Учитывая эту формулу, найдем полную производную от〈力 по времени:

(8.21)(8.21)嘗=^ § / （/） f屮（0融=,屮*（/）^屮（0典-卜+ J号"f屮（0也十，屮*（?）f陪秋.

(8.21)

(8.21)

Подставляя сюда вместо -^- и —^2 соответственно выражения (专Ну) и 卜-;-出)，приводим (8.21) к виду:

*=§屮*(/務屮⑴效+

+ 品§ [(Н 屮*(£))(炽/)) —屮*(Z)f(H 屮⑺)]阳，(8.22)

где

H=E +口 2%十人

Пользуясь теперь теоремой о перебросе производной [см. формулу (7.17)] и принимая во внимание, что потенциальная энергия V является обычной функцией, легко получаем:

,(Н屮* (/)) (ftp (/))成％= \ 屮* ⑴ Hf 屮(0 d3x.

Вследствие этого изменение (/) со временем будет определяться- выражением:

甯=爲〉+ Н 屮*(/)(Hf-fH)屮(0成%=爲〉+({H,f}>• (8.23)

Выражение:

{H, f}=^(Hf — fH)(8.24)

представляет собой обобщение классических скобок Пуассона (8.19) на квантовый случай и поэтому носит название квантовых скобок, Пуассона.

Очевидно, в том случае, когда (—) = 0 (как правило оператор f явно не содержит времени), уравнение (8.23) принимает вид:

争=({乩斗〉=〈分〉(8.25)

Отсюда следует, что изменение〈力 со временем в этом случае полностью определяется квантовыми скобками Пуассона. Если к тому

же оператор f коммутирует с оператором Гамильтона Н, то соответствующая оператору f физическая величина (/), как это видно из (8.25), будет сохраняться.

С помощью (8.25) легко доказать, что энергия частицы, двиг жущейся в потенциальном поле V (г), не зависящем от времени,- будет сохраняться. В самом деле, в этом случае выражение {Н, Н} = ~ (НН 一 НН) обращается в нуль, и поэтому на основании (8.25) имеем:

〈"〉= const.(8.26)

С другой стороны, согласно стационарному уравнению Шредингера Щп~ E^nt и поэтому когда 屮=屮(£) [см. (7.20)]:

〈〃〉=\ JH^ 遣％ = £ I 二 E,

t. e. (8.26) представляет собой не что иное, как закон сохранения энергии (£ —const) для частицы, движущейся в силовом поле, не зависящем от времени.

Теоремы Эренфеста

Найдем квантовый аналог классических уравнений движения (8.17); для этого используем квантовые скобки Пуассона. Замечая, что % я р* не содержат времени явно, воспользуемся для определения производных соотношением (8.25), полагая в нем соответственно i — x и f = p*・ В случае f — х находим:

*%〉=〈{Н, %}〉=Ц〈Н%—хН〉，(8.27)

где

Н = »Х办(8.28)

Учитывая при этом коммутативность 尤 н V (х), можно привести (8.27) к виду:

我%〉=姦侬х7р込(&29)

Добавляя в правую часть этого равенства величину (р*%р% — р^хр^), будем иметь:

£〈％〉=為〈р*(PN 一 ％Рх)+ (Рх% —冲*)Рх〉•(8・3°)

Принимая далее во внимание формулу (7.7), находим:

我Х〉=黨・(8・31)

Чтобы определить изменение импульса со временем, мы должны в формулу (8.25) вместо оператора f подставить оператор импульса р*. Тогда, замечая, что р*р工——р：р* = О, для 〈広〉находим;

融р*〉=〈{Н, px})^-L(Vpx~pxV) = -^y,(8.32)

отсюда, используя (8.31), получаем:

人爲〈Х〉= 一黑〉=〈尸(冷〉.(8.33)

Уравнения (8.31)——(8.33) представляют собой теоремы Эренфеста, согласно которым для обобщения основных уравнений классической механики на квантовый случай мы должны в соответствующие классические соотношения подставить средние значения операторов.

Переход от квантовых уравнений движения к классическим

Сравним классические уравнения движения:

т^х = F (х)(8.34)

с соответствующей квантовой формой (8.33).

Как было уже отмечено, роль классической координаты в квантовой теории играет величина 〈尤〉・ Поэтому мы могли бы считать, что квантовое уравнение совпадает с классическим, если бы вместо (8.33) имели:

人爲〈》=尸("〉)，(8.35)

т. е. если бы в классическое соотношение между силой и координатой было подставлено вместо % его среднее значение〈％〉. Однако, согласно теореме Эренфеста в уравнения движения в квантовом случае входит среднее значение самой силы, т. е.〈尸(％)〉. Поэтому, чтобы перейти от квантовых уравнений движения к классическим, прежде всего следует установить связь между〈尸(％)〉 И 尸(〈»)•^

Представим для этого оператор силы 尸(％) в виде:

尸(%)=尸(〈%〉—卜 Ах),(8.36)

где Ах = х——〈尤〉，и разложим 尸(％) в ряд Тейлора вблизи точки % =〈％〉. Тогда получаем:

尸(х)=尸(3) + (Ах) F' (〈») + 竽 P (〈») + ....(8.37)

6 Квантовая механика

Производя усреднение этого выражения по формуле (7.12) и принимая во внимание, что 〈△%〉=〈％ ——〈％〉〉= 0, получаем:

〈尸(х)〉= F (〈%〉) + 出户F"^ +(8.38)

Поэтому квантовые уравнения движения (8.33) принимают вид:

m0塞沁=尸(〈%〉) +《孚2?(⑴).(8.39)

Здесь выражение '" J / 尸"(〈％〉) является квантовой поправкой к классическому уравнению Ньютона. Очевидно, критерием перехода квантовых уравнений движения в классические будет неравенство:

3%户〉《2|誅開.(8.40)

Однако следует заметить, что выполнение этого условия еще не означает возможность применимости всех классических понятий для описания движения микрочастицы. В самом деле, в квантовой механике среднее значение кинетической энергии (Т) определяется выражением:

〈Т(Рх)〉=騎，(8.41)

в то время как классическим аналогом кинетической энергии следует считать величину;

7(〈厶〉)=號・(&42)

Выразим теперь квантовое определение кинетической энергии 〈Т(р*)〉через ее классический аналог (Т (рл)\ Для этого воспользуемся соотношением:

Т(рА) = Т (依〉+ Ар J = ^Ц^2,(8.43)

где Ар* = р* —〈〃*〉. Раскрывая в последнем равенстве скобки и принимая во внимание, что при усреднении:

'<ДРл-> = <(Р.г —〈Рх〉)〉= 0

будем иметь:

〈Т (Рх)〉= Т (SQH £°〈(“ J〉.(8.44)

Отсюда имеем условие перехода от квантового выражения кинетической энергии (8.41) к классическому:

〈。厶户〉<〈心 2 = 2m°T (g〉).(8.45)

Умножая возможности мире:Умножая возможности мире:равенство (8.45) на (8.40), находим общее условие использования классического приближения в микро- 〈国力〈。厶力＜4恤?(〈历〉)I黄務|. (8.46)

Умножая возможности мире:

Умножая возможности мире:

Если ,к тому же учесть еще соотношение неопределенности:

〈(Ax)2〉〈(ApJ〉A^,

то последнее условие принимает вид:

m。7（〈厶〉）1标%1》^m。7（〈厶〉）1标%1》^(8.47)(8.47)

m。7（〈厶〉）1标%1》^

m。7（〈厶〉）1标%1》^

(8.47)

(8.47)

Применим это условие к атому водорода, когда:

小一一尸，昼"一方，尸=_£!,产=—-弊.

Подставляя последние равенства в (8.47), получаем неравенство:

(8.48)(8.48)3方2

(8.48)

(8.48)

4血0磊.

Отсюда, замечая, чтоОтсюда, замечая, что方2方2恤备恤备%, где % — радиус первой боровской%, где % — радиус первой боровскойорбиты, и г = Ма(), вместо (8.48) находим:орбиты, и г = Ма(), вместо (8.48) находим:

Отсюда, замечая, что

Отсюда, замечая, что

方2

方2

恤备

恤备

%, где % — радиус первой боровской

%, где % — радиус первой боровской

орбиты, и г = Ма(), вместо (8.48) находим:

орбиты, и г = Ма(), вместо (8.48) находим:

(8.49)

т. е. в области больших квантовых чисел результаты квантовой теории должны совпадать с классическими.

Задача 8.1 х). Определить в р-представлении волновую функцию свободно движущегося электрона. Записать условие нормировки в р-представ- лении.

Найти средние значения операторов импульса и энергии частицы. Решить задачу в одномерном случае, обобщить на трехмерный случай.

Решение. Выберем ось х по направлению движения электрона. Волновая функция свободного электрона в х-представлении, нормированная на 6 (р；—卩о), будет иметь вид [см. (4.由)]:

屮 Sa = М而 е '.

Используя при переходе к /^-представлению формулу (7.10):

1) Задачи, помещенные в настоящем параграфе, относятся также к§ 6 и 7*

получаем:получаем:‘3’ р） = тЬУ‘3’ р） = тЬУ屮（Ро,屮（Ро,（8.50）（8.50）屮（Ро» р） =6 9—”））•屮（Ро» р） =6 9—”））•

получаем:

получаем:

‘3’ р） = тЬУ

‘3’ р） = тЬУ

屮（Ро,

屮（Ро,

（8.50）

（8.50）

屮（Ро» р） =6 9—”））•

屮（Ро» р） =6 9—”））•

Условие нормировки как в х-, так и в р-представлениях будет иметь одинаковый вид:

，屮*3'）屮（A，x）dx =

=\ ¥*（Ро> Р）屮 So，р） "р = 6（Ро —尸о）.•

Среднее значение операторов следует вычислять по формулам:

〈М〉=

Ро + АрРо + “

=，"区 \ 屮* 3，х） М（х）Ф （р0, х） dx= \ dpi \ 8 （/4 р） М（р）у（Ро, р） dp.

Ро — АрРо — А/>

Отсюда находим:

"〉= %,〈£〉=聂

В трехмерном случае будем иметь:

Задача 8.2. Определить вероятность различных значений импульса частицы в основном состоянии, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Проверить нормировкуЗадача 8.2. Определить вероятность различных значений импульса частицы в основном состоянии, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Проверить нормировку屮（А，Р） = $ （Р "Ро）-

Задача 8.2. Определить вероятность различных значений импульса частицы в основном состоянии, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Проверить нормировку

Задача 8.2. Определить вероятность различных значений импульса частицы в основном состоянии, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Проверить нормировку

в ^-представлении.

Решение. С помощью формулы （8.50） и значения волновой функции

（см. § 4）一'

屮（х）曲个尤

имеем:

屮（p）=—I sin^- xe dx.V м J/

Вычисляя последний интеграл и определяя квадрат его модуля, получаем искомое распределение вероятности:

/4f?方3pl

丨¥ S）丨=（紋裁—p用）2 cos 2й-

удовлетворяющее условию нормировки:

+ со

\丨屮S）『dp=L

-0о

При вычислении последнего интеграла можно воспользоваться соотношением: + ОО

С cos ар dp — sin I « 丨 b

J 加一产=冗一—，

которое следует затем продифференцировать по параметру Ь.

Задача 8.3. Исследовать движение заряженной частицы в постоянном и однородном электрическом поле &.

Решение. Эту задачу проще всего решать в пространстве импульсов. Учитывая, что в пространстве импульсов потенциальную энергию согласно (7.11) можно представить в виде:

У =-圖*=—Fx = — Fltl

g 孙g 孙соответствующее уравнение Шредингера, записанное также в пространстве импульсов, будет иметь вид:

g 孙

g 孙

贵户+ /方而卜(e")"贵户+ /方而卜(e")"Решение последнегоРешение последнегоуравнения будет:* 丿J尸2冗方尸уравнения будет:* 丿J尸2冗方尸3(助3(助侶一

贵户+ /方而卜(e")"

贵户+ /方而卜(e")"

Решение последнего

Решение последнего

уравнения будет:

* 丿J尸2冗方尸

уравнения будет:

* 丿J尸2冗方尸

3(助

3(助

учитывая непрерывность спектра, нормировочный коэффициент был найден из условия нормировки на ^-функцию:

\(Р* (F, р) ¥ (Е, p)dp = 3(E，一 Е). -со

Волновую функцию в обычном пространстве можно определить с помощью (7.9):

屮(*)=吉器)/%(-8),

где

ОООО

ОО

ОО

—функция Эйри, пропорциональная функциям Бесселя порядка 1/3 (см. § 5), а

Ф (—gФ (—gЕ= (х + ^) (2；丁.) ". Учитывая асимптотическое поведение функции Эйри:

Ф (—g

Ф (—g

設 疝信 £3/2 + ^) при 5 > О,

легко показать, что область больших отрицательных значений х, когда

——квазиклассична.——квазиклассична.——& > Е, представляет собой потенциальный барьер, а область, где г "как:

——квазиклассична.

——квазиклассична.

1 S— 11 S— 11 -方 2 -31 -方 2 -3М2加° (Е + Fx) dx + const —М2加° (Е + Fx) dx + const —Е% + const.Е% + const.

1 S— 1

1 S— 1

1 -方 2 -3

1 -方 2 -3

М2加° (Е + Fx) dx + const —

М2加° (Е + Fx) dx + const —

Е% + const.

Е% + const.

Задача 8.4. Электрон движется в постоянном и однородном магнитном поле. Найти производную по времени от среднего значения координаты и

импульса электрона, т. е. обобщить теорему Эренфеста на случай движения в магнитном поле.

Решение. Гамильтониан электрона в магнитном поле согласно (5.9а)

равен:

Выбрав направление однородного магнитного поля по оси z (Hz ф О, Нх = Ну = 0), можно задать его вектор-потенциалом:

Ах~Аг~ 0, Ау = xHz.

Чтобы определить изменение координаты электрона со временем, воспользуемся квантовым уравнением движения:

"=專{ нг - гн }.

Подставляя сюда Н, легко находим:

(8.51)(8.51)

(8.51)

(8.51)

Для производной от проекции оператора импульса на ось 尤 получаем:

常=?НР* — РхН}=託®勺当

Аналогично можно показать, что

dtdt吗—吗—=0.=0.

dt

dt

吗—

吗—

=0.

=0.

Обобщая последние соотношения, имеем:

dPdP=4^-=4^-(8.52)(8.52)Соотношения (8.51) и (8.52) и представляют собой искомый результат.Соотношения (8.51) и (8.52) и представляют собой искомый результат.Задача 8.5. Известно, что поведение электрона в металле (х < 0) с доЗадача 8.5. Известно, что поведение электрона в металле (х < 0) с достаточной степенью точности можно описывать следующей потенциальнойстаточной степенью точности можно описывать следующей потенциальнойэнергией (см. § 6):энергией (см. § 6):0,0,% V 0,% V 0,У0>0, х>0.У0>0, х>0.

dP

dP

=4^-

=4^-

(8.52)

(8.52)

Соотношения (8.51) и (8.52) и представляют собой искомый результат.

Соотношения (8.51) и (8.52) и представляют собой искомый результат.

Задача 8.5. Известно, что поведение электрона в металле (х < 0) с до

Задача 8.5. Известно, что поведение электрона в металле (х < 0) с до

статочной степенью точности можно описывать следующей потенциальной

статочной степенью точности можно описывать следующей потенциальной

энергией (см. § 6):

энергией (см. § 6):

0,

0,

% V 0,

% V 0,

У0>0, х>0.

У0>0, х>0.

Определить коэффициент ^отражения электронов, находящихся внутри металла (х < 0), от его поверхности в двух случаях: а) при Е < Уо и б) при Е > 乙. Показать, что, хотя в случае《а》электроны и попадают в область 尤 > 0, в конечном счете они все же возвращаются обратно в металл. Построить график изменения потенциальной энергии, а также волновой функции движущихся электронов.

Ответ.

При £ V 匕，R = 1, хотя 屮(％ > 0) W 0.

При е>У0,r=穽耳+У可.

Указание. При выборе решения при 尤 >0 (внешнее пространство) в случае 《а» следует оставить только экспоненциально убывающее решение, а в случае 《6》一только решение, соответствующее волне, движущейся nq направлению оси лг. '

Задача 8.6. Найти коэффициенты отражения R и прохождения D падающих частиц энергии Е, когда потенциальная энергия имеет вид:

V(x)V(x)匕ch2 —匕ch2 —

V(x)

V(x)

匕

ch2 —

匕

ch2 —

где Уо и а — положительные константы.

Рассмотреть случаи отражения от потенциального барьера (£ < Vo) и надбарьерного прохождения (/? > 匕)，а также предельный случай

Решение. Переходя в уравнении Шредингера к новому аргументу

sh2sh2

sh2

sh2

и функциии функции=（e吟广屮,=（e吟广屮,гдегде

и функции

и функции

=（e吟广屮,

=（e吟广屮,

где

где

8mo 匕J。？1^18mo 匕J。？1^1

8mo 匕J。？1

^1

8mo 匕J。？1

^1

находим:

z（1 _ z）需十以一（1 _ 2叫Z摆一卜+ 等）u = 0,

где

厶2 _ 2加0后 AQ.2m0%)

" 一 ~，"0 一 ^•

Общее решение этого уравнения имеет вид:

с 口(. ikaIka 1\ .

а = CtF ^—а +—а彳；z)+

.厂 х 1/г? /< i力а < 1ikd I 1 3、

+ &Zy_zF(—a +，+ 2，—a —〒十矛歹；Z卜

Здесь гипергеометрическая функция F(p, 7, 6; z) определяется рядом:

г国%1十1.6叶 1.2-80 + 1) z十…

I b偉+ 1)…偉+注)， T (丁 + 1)…(7 +注)计1 I = 「. 2 二(冷下 1)5(6 %1)…(6 + 3 -

+ 瑞欧二;;(-z)7 F 卜,Т 十］一 6,「卜1 Т； 4) - а знаковая функция 「сшивает решения в точке % = 0.

В асимптотическом приближении (% — — 8 и 尤一 + 8)находим:

屮(十 一一8)〜(一1 产 j (C^i -С2Д2) (一 ；)e优* +

+ (CR — C/J (—刍仙e-优*},f1 \—ika/ 1 \ ika

屮(X一+8)〜{(&A「+ С.л^ ^У)h/* 4(&& 十 5丛"讶)eikx

I neI ne[ 旧尸（一,%。）[ 旧尸（一,%。）F (万)Г (- ika)F (万)Г (- ika)

I ne

I ne

[ 旧尸（一,%。）

[ 旧尸（一,%。）

F (万)Г (- ika)

F (万)Г (- ika)

Г [勺户傑。）t 旧尸（沦。）

Г ~十啜р + а +喲"а +際）「（+ +第

Требуя далее отсутствие отраженной из z = 8 волны (C^j + С2Д2 = 0) для коэффициента прохождения, получаем следующее выражение:

(8.53)(8.53)q = I /прош.! = I &当 + С02 J： = 'sh® 冗力。

(8.53)

(8.53)

I /пад. I I && — C/z 户sh?冗论a + ch2 (冗 p论沁2 — %)

Ограничиваясь в (8.53) первым членом разложения, получаем (论/》1)：

при £ V 匕)(потенциальный барьер)

D = e兀<1 и ^ = 1—Z)«=l,(8.54)

при Е > Vo (надбарьерное прохождение)

R = e八《1 н D=l—R«=l,(8.55)

при E~V0

D = R = ^.(8.56)

Оз сюда видно, что в случае потенциального барьера основная часть волны будет отражаться, а в условиях надбарьерного прохождения, наоборот, основная часть волны будет проходить.

Заметим, что формула (8.54) может быть получена из приближенной формулы (6.24), найденной методом ВКБ.

Выражение же (8.55) эквивалентно формуле:

—I \ У2mo (Е— Ю) dx J

К = е *1,(8.57)

вывод которой требует обобщения метода ВКБ для гладко меняющегося потенциала на случай мнимых корней (хх и -r2) уравнения Е—И(х) = 0. Формула (8.56) может быть получена с помощью метода ВКБ, если в особой точке решение экстраполировать функциями Бесселя с индексом %.

Эта задача поучительна в том отношении, что позволяет хотя бы на данном конкретном потенциале оценить точность обобщенного метода ВКБ в применении к гладкому потенциалу.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Спонтанные и вынужденные переходы

Согласно классической электродинамике, источником излучения света может быть, например, ускоренно движущийся заряд, причем количество излучаемой энергии в единицу времени определяется известной формулойг):

啓 к“. = ^^ 戸， (9.1)

где r — W—- ускорение частицы.

Если источником излучения является одномерный гармонический осциллятор: 工= acos 叫 (9.2) то частота излучения будет совпадать с механической частотой колебания осциллятора, а интенсивность излучения будет пропорциональна 球.

В том случае, когда движение заряда происходит по более сложному периодическому закону % = /(/) с периодом 亏=^, функцию /(/) можно разложить в ряд Фурье:

%=2ak cos ⑴近， (9.2а)

и рассматривать излучение так, как будто оно порождается системой осцилляторов с частотами q = bo, где k= 1, 2, 3,.... При этом излучаться будет как основной тон (々=1), так и гармоники 々9, причем интенсивность излучения соответствующей гармоники будет пропорциональна 碗.

Таким образом, согласно классической теории, излучение системы полностью определяется ее механическими свойствами. А именно, частота излучения оказывается либо равной, либо кратной механической частоте колебаний системы, а интенсивность соответств ующей гармоники пропорциональна квадрату амплитуды.

В квантовой механике к вопросу об излучении следует подходить несколько иначе, поскольку само излучение по квантовой

Чтобы отличить квантовомеханические средние [см. (7.12а)] от величин, усредненных по времени, последние будем писать в этом параграфе с чертой. Квантовомеханические же средние будем по-прежнему обозначать угольными скобками.

теории происходит только при переходе частицы (или системы) из одного квантового состояния в другое, энергетически более

низкое состояние, или, как говорят, «сверху вниз».

Впервые квантовое рассмотрение проблемы излучения было предложено в 1917 г. Эйнштейном, который ввел коэффициенты Л и В (называемые теперь коэффициентами Эйнштейна), характеризующие соответственно спонтанные (самопроизвольные) и вынужденные (происходящие под действием каких-либо внешних

причин) переходы системы с одного энергетического уровня на

другой, а также установил связь между этими коэффициентами.

Основные идеи квантовой теории излучения заключаются в следующем. Пусть один из электронов какой-либо атомной

системы находится насистемы находится наФиг. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).Фиг. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).возбужденном уровне п с энергией Еп, Тогда для такого электрона существует определенная вероятность 4孔孔，,отнесенная к единице времени, спонтанного перехода в более низкое энергетическое состояние // с энергией Еп>. При этом происходит испускание фотона с энергией П^ — Еп ——Е*. Если число подобных возбужденных атомов равно Nni то энергия излучения в единицу времени, обусловленная спонтанными переходами, может быть записана в виде:

системы находится на

системы находится на

Фиг. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).

Фиг. 9.1. Переходы сверху вниз (спонтанные и вынужденные) и снизу вверх (вынужденные).

W^ = NnAnn^. (9.3)

Если же атомы подвергнуть воздействию

со стороны внешнего будет в свою очередьсо стороны внешнего будет в свою очередьэлектромагнитного излучения, то последнее вызывать так называемые вынужденные пе

со стороны внешнего будет в свою очередь

со стороны внешнего будет в свою очередь

реходы как сверху вниз, так и снизу вверх, причем переходы снизу вверх будут происходить, конечно, с поглощением фотонов.

Обозначим, следуя Эйнштейну, вероятности вынужденного перехода с уровня п на п через В^, а с уровня м‘ на п через В^п. Тогда, считая, что число вынужденных переходов должно быть пропорционально еще спектральной плотности рад этого излучения, находим соответственно для энергии излучения и поглощения, обусловленной этими вынужденными переходами:

W^^' = NnBnn^f(9.4)

W^r-="苏总加,(9.5)

где N〃，——число атомов в состоянии п\

Рассмотрим случай, когда число переходов сверху вниз и обратно будет одинаковым (см. фиг. 9.1):

NnAnn' + №品约“'=Nn’pBy,(9.6)

т. е. когда должно наступить состояние термодинамического равновесия между нагретыми атомами и излучаемым ими светом (черное излучение), обратно воздействующим на эти атомы; при этом атомы и излучаемый свет образуют в совокупности замкнутую систему.

Учитывая, что распределение электронов по энергиям задается распределением Максвелла:

"“ = Ce-E"S, Nn.==Ce~En，!kT,

получаем:

(9.7)(9.7)Ann^E-/kT + ?iaBnn.e-En/kT = ?шВп，пе~Е^т

(9.7)

(9.7)

(9.8)(9.8)Отсюда, сокращая на множитель е-£п/*г и принимая во внимание, что £„e歩=力% будем иметь:

(9.8)

(9.8)

Ps = g

8m

Поскольку спектральное распределение черного излучения совершенно не зависит от конкретного строения атомов или молекул, можно сопоставить (9.8) с формулой Планка [см. (1.42)]:

(9.9)(9.9)_ 亢 0)31

(9.9)

(9.9)

%=心iJ・

Тогда из сравнения (9.8) и (9.9) находим:

Вп£ = В""=危"^ПП,*Вп£ = В""=危"^ПП,*(9.10)(9.10)

Вп£ = В""=危"^ПП,*

Вп£ = В""=危"^ПП,*

(9.10)

(9.10)

Отсюда видно, что вероятности вынужденных переходов как сверху вниз, так и снизу вверх оказываются равными и пропорциональными коэффициенту спонтанного перехода Апп'. Поэтому для описания излучения атомов или молекул нам достаточно определить лишь один из этих коэффициентов.

Определение вероятностей спонтанных и вынужденныхпереходов

Согласно квантовой механике, вынужденные переходы объясняются взаимодействием электронов атома с внешним электромагнитным излучением. Вопрос же о выяснении причин, которые заставляют электроны спонтанно переходить с возбужденных энергетических состояний на более низкие, в теории Шредингера остался фактически открытым.

Ответ был дан лишь после создания теории излучения, где был использован аппарат квантования электромагнитного поля (вторичное квантование). В общих чертах последняя теория сводится к следующему: электроны взаимодействуют не только с реально существующими фотонами, но и с так называемыми виртуальными (пока еще не появившимися) фотонами, или, как говорят, с электромагнитным вакуумом (более подробно об электромагнитном вакууме см. § 22). Это взаимодействие и обусловливает спонтанные переходы. Классическим аналогом взаимодействия электронов с полем виртуальных фотонов является действие на движущийся электрон силы лучистого трения Планка:

^изл. = W представляющей собой своеобразное самодействие на ускоренно движущийся электрон электромагнитного поля, создаваемого им же самим. При некоторых условиях это электромагнитное поле может отрываться от электрона в виде светового излучения. На языке квантовой электродинамики это означает переход фотонов из виртуального состояния в реальное.

Следуя квантовой электродинамике, можно найти точное выражение для коэффициентов Д и В, а значит, полностью решить задачу об излученииг).

В настоящем же параграфе найдем коэффициент Л с помощью соответствующих обобщений результатов классической теории излучения на квантовый случай. Следует подчеркнуть, что указанное обобщение приводит к такому же результату, что и строгий аппарат вторичного квантования.

Наш вывод будет основан на обобщении классического выражения для энергии излучения (9.1) (с помощью принципа соответствия) на квантовый случай. Для этого мы должны классическую величину г заменить квантовомеханической:

〈力=、屮* (/)г屮(/)小%.(9.11)

С другой стороны, следует учесть, что в соответствии с квантовой теорией энергия излучения в единицу времени равна:

呼КВ. == gngn巾"Ann',(9.12)

где коэффициенты gn и gn> характеризуют наличие электронов в состояниях п и п\ так как, согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии не может быть двух электронов (более подробно см. § 24).

1) См. также § 30, где коэффициент А будет найден с помощью методов квантовой электродинамики.

Сопоставляя равенство (9.12) с (9.1) и учитывая (9.11), находим:

gngn^Ann^^{r^ •(9.13)

Заметим, что в последней формуле мы имеем два усреднения: одно — квантовомеханическое, обозначаемое угловыми скобками, а другое ——усреднение по времени, обозначаемое чертой.

Предположим теперь, что электрон имеет только два возможных состояния: с энергиями Еп и Е». Тогда волновая функция может быть записана в виде:

屮(/) = C〃eF " % + &，厂产 “"％，.(9.14)

В соответствии с этим для среднего (по квантовомеханическим состояниям) значения радиус-вектора находим;

〈:〉=1 e/r，"十 I〃，"，+

+ C*Cn^rnn. + C，C“e-%“，“，(9.15)

где

①=脸=”也方 献,(9.15a)

а матричные элементы:

〃勿=\ 屮力r%d改 1)(9.16)

образуют некоторую бесконечную матрицу:

которая, как видно из (9.16), при замене строк столбцами, а столбцов строками переходит в комплексно-сопряженную матрицу:

Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются эрмитовыми, или самосопряженными. В квантовой механике рассматриваются только эрмитовы матрицы. Подчеркнем также, что матричные элементы (9.16) не зависят от времени, и поэтому после подстановки (9.15) в (9.13) будем иметь:

4°2

g忠“，力з4““，=募垃 I с/1 C“，F I 〃，“ |2.(9.18)

i) См. примечание на стр. 174.

Здесь мы приняли во внимание, что среднее по времени значение периодической функции обращается в нуль, так как

■о

При дальнейшем анализе формулы (9.18) нам придется ввести одно дополнительное предположение, строгое обоснование которого дается лишь в квантовой электродинамике. В самом деле, квантовая механика рассматривает стационарные процессы, и поэтому никаких недоразумений с трактовкой величины | Сл |2 = const, как вероятности нахождения электрона на уровне п, не возникает.

Как же быть в случае 'излучения, когда коэффициенты Сп изменяются скачкообразно? На этот вопрос обычная квантовая механика ответа не дает. Поэтому мы будем исходить из простых физических соображений, которые получают строгое обоснование лишь в квантовой электродинамике (более подробно см. § 30).

Примечание.

В современной кзантовой механике часто пользуются записью матричных элементов в форме, предложенной Дираком. Дирак воспользовался тем обстоятельством, что условие ортонормированности волновых функций:

напоминает собой условие ортонормированности для ^ортов /^(5=1, 2, 3) обычных декартовых координат:

(%,/$)= %,.

При таком подходе волновые функции 屮也 можно рассматривать как систему своеобразных ортов в обобщенном n-мерном пространстве с бесконечным числом степеней свободы. Дирак сопоставил им систему «л:е/п-векторов», обозначаемых через | п〉. Кроме «кет-векторов», следует ввести еще《勿а- векторы»〈 nF [, сопоставленные сопряженной волновой функции 屮肌 Термины 《бра》и《кет》(так сокращенно называют эти обобщенные векторы) происходят соответственно от первого и второго слога английского слова bracket^ что означает скобка.

«Ера» и《кет》, очевидно, связаны между собой простым соотношением:

〈壮产=I п').

Под скалярным произведением 《бра» и 4：кет»-векторов будем понимать выражение:

'〈〃'丨〃〉=\摊弘戸X,

которое в данном случае представляет собой запись условия ортонормированности:

Матричный элемент может быть представлен в обозначениях Дирака в следующем виде:

Гп'п =〈加 I г I 〃〉= § 帷叫“ d^x.

Для сопряженного же значения мы будем иметь:

(J”)* =〈〃|rl〃’〉= J“，・

Подставим в формулу (9.18) начальные значения для коэффициентов С，учитывая при этом, что, согласно принципу Паули, переход будет возможным только в том случае, когда в начальный момент времени квантовое состояние п будет занято, а квантовое состояние ——свободно.

Полагая тогда:

g僞，=I円&，卩=评(1 一 I &，F),(9.19)

находим, что при С% = 1 и С% = 0 произведение gngn' = 1, и поэтому:

<4济不

Ат =\гп,п \，

(9.20)

0 — 0 — 4冗红2 .|2

^пп'与'九3力2 1 ЛП*М 1 *

(9.21)

(9.22)

В последних формулах:

\rn^^\xn^^\yn^ + \Zn^,

(9.23)

где

^п,п \屮"%屮館也，

И Т. Д.

Таким, образом, собственные значения энергии позволяют найти частоту, а собственные функции — интенсивность излучения. Следовательно, теория Шредингера позволяет полностью обобщить все основные классические характеристики излучения на квантовый случай.

Из последней формулы видно, что интенсивность излучения будет отличной от нуля только при таких переходах, для которых хотя бы один из матричных элементов %〃紋,у*献 или z也献 не обращается в нуль. Такие переходы в квантовой механике называются разрешенными.

Следует заметить, что во многих задачах квантовой механики достаточно ограничиться вычислением лишь матричных элементов, с помощью которых можно установить так называемые правила отбора, т. е. установить такие изменения квантовых чисел,- при которых переход является разрешенным. Зная правила отбора, можно ответить на вопрос, какие частоты излучения возможны. На языке классической электродинамики правила отбора соответствуют нахождению различных гармоник, которые может излучать данная система. Если же при данном изменении квантового числа матричные элементы равны нулю, то излучение будет отсутствовать, а о переходах говорят, что они являются запрещенными.

Заметим, что термин запрещенный переход в данном случае относится к так называемым дипольным переходам, пропорциональным матричным элементам:

尸п,п =3 \屮^t屮也成%.

Однако наряду с дипольными возможны также квадрупольные переходы и переходы с более высокой мультиплетност^ю или магнитные переходы. Интенсивность последних оказывается во много раз меньше интенсивности разрешенных дипольных переходов.

Так, например, если интенсивность дипольного перехода пропорциональна:

(9.24)(9.24)где &—размеры атома, то интенсивность квадрупольного излучения будет пропорциональнаг):

(9.24)

(9.24)

В частности для атома & 〜10-8 см^ 入〜ю § ^加，丁 е. интенсивность квадрупольного излучения будет в 106 раз меньше интенсивности дипольного излучения. Тем не менее квадрупольное излучение в ряде явлений играет весьма большую роль.

В самом деле, если при некотором изменении квантового числа дипольный переход запрещен, то не исключено наличие пусть весьма слабого квадрупольного излучения, которое можно обнаружить с помощью весьма чувствительного спектрографа. Заметим, что дипольное излучение отсутствует в системе, состоящей из частиц, которые обладают одинаковым отношением заряда к массе. Действительно, электрический дипольный момент такой системы будет пропорционален координате центра тяжести гц т [р — е (rj 4-/*2)= 2егц TJ, и поэтому производная от него по времени обращается в нуль.

Это условие должно иметь место для гравитационного излучения, поскольку гравитационный заряд (точнее, гравитационная масса) пропорционален инертной массе т0. Поэтому, если гравитационное излучение вообще существует, то оно должно иметь лишь квадрупольный характер. Квадрупольное излучение имеет также большое значение в физике атомного ядра, поскольку заряженные частицы последнего (протоны) обладают одинаковым зарядом и массой).

На примере гармонического осциллятора этот вопрос будет более подробно рассмотрен в § 10 (см. задачу 10.4).

Задача 9.1. Путем обобщения классической формы для квадрупольного излечения, т. е. с помощью принципа соответствия, найти вероятность квадрупольного излучения в квантовом случае.

Решение. В классическом случае интенсивность квадрупольного излучения определяется выражением:*

8二京或诚(9.25)

где квадрупольный момент:

Dab == 6 ^^а^Ъ Г%а匕)(。，方==1 >2,3).

Чтобы соотношение (9.25) обобщить на квантовый случай, необходимо )честь, что, согласно квантовой теории, излучение происходит вследствие перехода системы из одного квантового состояния п в другое ——п\ В результате повторения вычислений (9.13)—(9.18) классическое выражение для квадрупольного момента Daf)мы должны заменить матричным элементом:

Далее, принимая во внимание формулу (9.3), связывающую интенсивность 吃，也 излучения с вероятностью Ап，п излучения, получаем:

乙，'=献(4'“底(%“)动；(9.26)

при этом частота ⑴ излучения будет определяться равенством (9.15а).

Задача 9.2. Найти правила отбора для дипольного и квадрупольно! о излучения частицы, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Ответ. Для дипольного излучения Дп должно быть равно нечетному числу, а для квадрупольного излучения — четному числу.

Указание. С помощью волновой функции (4.32) можно показать, что среднее значение координаты равно:

\屮济屮а"Х = у.

Поэтому матричные элементы, соответствующие дипольному (/=1) и квадрупольному (j = 2) излучению, следует вычислять по формуле:

§ 10. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Задача об одномерном гармоническом осцилляторе является одной из важных задач теоретической физики. Она находит свое применение при построении простейшей теории колебаний, которая имеет большое значение в самых разнообразных областях физики (в механике, классической электродинамике, радиофизике, оптике, атомной физике и т. д.). Новые теории, которые за последнее время появлялись в атомной физике, как правило, «испытывались» на ряде простейших задач, в том числе и на построении теории гармонического осциллятора.

Часто оказывается возможным свести излучение движения сложных систем к рассмотрению совокупности нормальных колебаний, эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. Для нас построение теории гармонического осциллятора интересно еще и в методическом отношении. В самом деле, эту задачу можно решить точно и тем самым проиллюстрировать на наиболее простом примере применение уравнения Шредингера для исследования конкретных задач. Задача о гармоническом осцилляторе сыграла большую роль также при создании квантовой теории поля (вторичного квантования) и при анализе так называемой нулевой энергии электромагнитного вакуума.

Конкретное применение задача о гармоническом осцилляторе нашла в теории равновесного излучения, а также при построении теории спектров и теории теплоемкости двухатомных молекул (см. § 12).

Осциллятор в теории Бора

Рассмотрим сначала классическую теорию гармонического осциллятора ^, Для этого представим себе, что на некоторую материальную точку с массой т° действует упругая сила:

F = ^kx.(10.1)

где & — коэффициент упругости. Тогда уравнение движения гармонического осциллятора запишется в форме:

m^x — — kx,(10.2)

описывающей обычный колебательный процесс.

Решение этого уравнения имеет вид:

% = & cos 叫(10.3)

где w = --= I/круговая частота, а а—амплитуда колебания. Из (10.3), в частности, видно, что ускорение:

w — x = — ad cos s/(10.4)

отлично от нуля и, следовательно, колебание заряженной частицы должно сопровождаться излучением, интенсивность (излучаемая энергия) которого будет, согласно (10.4) и (2.2), определяться выражением:

=(10.5)

В данном параграфе мы рассмотрим случай одномерного движения и в дальнейшем будем вместо выражения «линейный гармонический осциллятор» говорить просто «гармонический осциллятор».

При выводе (10.5) мы нашли среднее значение cos?位 noJ формуле:т

；\ cos2о)/di —у.(10.6)

о

Выразим теперь интенсивность излучения 取仆.через полную энергию Е = Т -Р V гармонического осциллятора. Воспользовавшись известными выражениями для потенциальной энергии:

I/(X)= - j ?(%) dx . "学丁一 = '"。；"。 COS? 3/(10.7)

0

и кинетической энергии:.

，т = ^ = rn^ sin(J wZ(10.8)

гармонического осциллятора, находим:

E=U(%) + T = &JC = const.(10.9)

Исключая с помощью последнего соотношения величину а? из (10.5), будем иметь:

(10.10)(10.10)% _ 2е 储 Е^кл.и 3加°сЗ ・

(10.10)

(10.10)

Итак, с помощью классической теории определяется как интенсивность, так и частота излучения, причем последняя совпадает с механической частотой колебания гармонического осциллятора. Энергия же гармонического осциллятора может принимать любые непрерывные значения.

Ряд новых моментов в теорию гармонического осциллятора был введен квантовой теорией Бора. Например, энергетические уровни этой теории должны быть дискретными и могут быть найдены из правил квантования:

§ рхйх = 2%Нп,(10.11)

где

рх 我^^ 恤儿，(10.12)

Подставляя в (10.11) выражение для pxdx = mox — dt = =mQi^c^si^tdt и учитывая равенство (10.9), в результате интегрирования по всему периоду находим:

(10.13)(10.13)Еп н м 力(D, причем квантовое число п —0, 1, 2, 3,....

(10.13)

(10.13)

Таким образом, согласно теории Бора, энергия гармонического осциллятора может принимать лишь дискретные значения, а излучение будет происходить лишь при переходах осциллятора с одного энергетического уровня на другой.

Как известно, доказательство существования дискретного спектра энергетических уровней гармонического осциллятора дает, в частности, обоснование формуле Планка для черного излучения, которая впервые была получена из гипотезы, что осциллятор может испускать и поглощать свет лишь порциями 力⑴.

Собственные функции и собственные значения энергии

Чтобы определить характер волновой функции 屮 в задаче о гармоническом осцилляторе, прежде всего представим графически зависимость потенциальной энергии V от %:

- 2~

(см. фиг. 10.1). Из графика видно, что в области потенциальной ямы, где полная энергия Е гармонического осциллятора больше V

Ф и I. 10.1. Волновая функция гармонического осциллятора при произвольном значении энергии.

(Е〉Р), решения для 屮 будут типа гармонических функций. В области- же потенциального барьера (Е<Р) эти решения будут содержать две части: экспоненциально убывающую и экспоненциально возрастающую (см. фиг. 10.1). Очевидно, что решение задачи сводится к нахождению таких условий, при которых экспоненциально возрастающее решение будет отсутствовать.

Это возможно, так же как и в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. § 4), лишь при некоторых дискретных значениях энергии, которые мы и должны здесь определить.

Так как потенциальная энергия V гармонического осциллятора зависит лишь от координаты %, то уравнение Шредингера для него можно записать в виде:

舞+讐_写£)屮=0.(10.14)

Полагая здесь:

и вводя новую переменную:

(10.15)

получаем:

屮"+（人一0）屮=0,

(10.16)

где

(10.17)

Прежде всего найдем асимптотическое поведение

волновой

функции при Е->±со, когда постоянной величиной

入 по срав-

нению с 守 можно пренебречь. Тогда

Ф^О - 0屮8 = 0.

(10.18)

Решение этого уравнения будем искать в виде:

屮8 = е*・

(10.19)

Учитывая, что

以=(4説2 + 2е) e# Q 4 酰，2,

находим:

е —— 2

(10.20)

и, следовательно,

屮 8 = &6-1/爲+(:0/2已

(10.21)

Поскольку при Е — ±сю волновая функция должна быть ограниченной, коэффициент С2 необходимо положить равным нулю; коэффициент же & можно считать равным единице, так как волновая функция не является еще нормированной. Таким образом,

асимптотическое поведение волновой функции ф будет характеризоваться функцией:

屮 8 = е—(10.21а)

Общее решение волновой функции будем искать в виде:

屮=屮8〃 = 6-心炉〃，(10.22)

учитывающем уже особенности поведения на бесконечности. Подставляя последнее выражение в (10.16) и учитывая, что

(e-%联 иу = [〃" — 2打‘十(守—1) 〃] ё- %®, получаем следующее уравнение для и:

必—2EJ + (入 一 1) 〃 = 0.(10.23)

Решение этого уравнения будем искать в виде ряда:

〃 =X 6牝(10.24)

подставляя последнее выражение для и в уравнение (10.23), находим:

£ bk [k (k - \)^ _ (2fe + 1 - к) ^] = 0.

Производя преобразование индекса суммирования таким образом, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми степенями Е, получаем:

£ У [伍 + 2)他 + 1)%+2 一随(2々 + 1 一 人)]=0. 用=0

Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при 1, найдем рекуррентное соотношение для определения коэффициентов 6々：

6力+2 = bk '■^^■^Ду •(10.25)

Последнее соотношение связывает коэффициент bk с bk^, и поэтому ряд (10.24) будет либо с четными (если максимальный индекс k ——четный), либо с нечетными (если максимальный индекс k — нечетный) степенями Е.

Заметим, что если ряд (10.24) не ограничить некоторой максимальной степенью, то, начиная сон перестает быть

знакопеременным и, следовательно, при больших Е будет расходиться, приводя тем самым при Е —8 Ko второму асимптотическому решению 屮ас.〜е%^, которое мы отбросили, поскольку

оно является расходящимся]). Поэтому, чтобы удовлетворить граничным условиям для волновой функции на бесконечности (где она должна обращаться в нуль), мы должны потребовать, чтобы ряд (10.24) обрывался при некотором ^макс. = ^> т. е. должны потребовать, чтобы

b" W0，%+2 = 0「(10.26)

Принимая во внимание последние соотношения, с помощью равенства (10.25) находим:

入=2几+ 1,(10.27)

т. е.

以=%о)(л + ；) ,(10.28)

где п может принимать любые целые положительные значения, включая нуль. Только при этих значениях энергии волновая функция обращается в нуль на бесконечности.

Сравнивая это выражение с тем, которое было найдено по теории Бора [см. (10.13)], мы видим, что здесь появляется так называемая нулевая энергия:

纥=^%3.(10.29)

Ниже мы покажем, что появление нулевой энергии связано с соотношением неопределенности, т. е. с волновыми свойствами частиц. Однако нулевая энергия не скажется на частоте излуче- Еn -

ния, поскольку при вычислении 切忆‘=」 力 она просто исключается.

Найдем теперь волновую функцию гармонического осциллятора. Рекуррентное соотношение (10.25) для коэффициентов bk при 入= 2〃4~1 принимает вид:

人厶论他—1)

小=一 2(几—论 + 2)，

1) Это следует из того обстоятельства, что между коэффициентами ^-^-^^^ будет£牌,разложенной в ряд:А = 0, 2, 4. ••[区广Последняя формула относится и ко второму составленному из коэффициентов типа bk+i.при больших 尼 соотношение таким же, как и у функции-寵решению уравнения (10,14),1) Это следует из того обстоятельства, что между коэффициентами ^-^-^^^ будет£牌,разложенной в ряд:А = 0, 2, 4. ••[区广Последняя формула относится и ко второму составленному из коэффициентов типа bk+i.при больших 尼 соотношение таким же, как и у функции-寵решению уравнения (10,14),

1) Это следует из того обстоятельства, что между коэффициентами ^-^-^^^ будет

£牌,разложенной в ряд:

А = 0, 2, 4. ••[区广

Последняя формула относится и ко второму составленному из коэффициентов типа bk+i.

при больших 尼 соотношение таким же, как и у функции

-寵

решению уравнения (10,14),

1) Это следует из того обстоятельства, что между коэффициентами ^-^-^^^ будет

£牌,разложенной в ряд:

А = 0, 2, 4. ••[区广

Последняя формула относится и ко второму составленному из коэффициентов типа bk+i.

при больших 尼 соотношение таким же, как и у функции

-寵

решению уравнения (10,14),

где k^n. Полагая коэффициент при максимальной степенигде k^n. Полагая коэффициент при максимальной степени々макс. = " раВНЫМ1)：々макс. = " раВНЫМ1)：Ь〃 = 2\Ь〃 = 2\(10.30)(10.30)находим:находим:瓦-2 =_27瓦-2 =_27п (п ——1)п (п ——1)1!1!

где k^n. Полагая коэффициент при максимальной степени

где k^n. Полагая коэффициент при максимальной степени

々макс. = " раВНЫМ1)：

々макс. = " раВНЫМ1)：

Ь〃 = 2\

Ь〃 = 2\

(10.30)

(10.30)

находим:

находим:

瓦-2 =_27

瓦-2 =_27

п (п ——1)

п (п ——1)

1!

1!

Ьп^ = 2я-4 ,n(n-l)(w--2)(n-3) н т. Д. (10.31)

Конечный степенной ряд для функции и образует так называемый полином Эрмита:

〃 = 〃“《) = (29" — ^^ (2旷 2 +

+ WT("萨).("T(2/4+「j+ WT("萨).("T(2/4+「jпри гг нечетном при п четномпри гг нечетном при п четном• (10.32)• (10.32)

+ WT("萨).("T(2/4+「j

+ WT("萨).("T(2/4+「j

при гг нечетном при п четном

при гг нечетном при п четном

• (10.32)

• (10.32)

Отсюда, в частности, следует, что

Но(9 = 1, "1(9 = 22,丛(E) = 4F —2, %G) = 8T—12Е.(10.33)

Полиномы Эрмита Нп (Е) можно записать в замкнутой форме2):

% (9 = (—1)"战穹U% (9 = (—1)"战穹U(10.34)(10.34)

% (9 = (—1)"战穹U

% (9 = (—1)"战穹U

(10.34)

(10.34)

Заметим, что этот коэффициент всегда можно выбрать произвольно, поскольку нормировочный множитель волновой функции 屮也 еще не.определен.

Чтобы это показать, введем функцию а = ^一** удовлетворяющую уравнению:

и' + 2^v = 0.

Дифференцируя последнее уравнение п + 1 раз, используя при этом формулу Лейбница:

(yz)g =歹僞》+ 政 st)n' +,И (п-— 1)…0、,

+ I 2! 3")z + …， находим:

口⑵+ 25(计1)+ 2 (/: + 1) 口g=0.

Производя далее замену:

0｛也)__ e一號w, находим, что функция g будет удовлетворять уравнению (10.35), т. е. будет пропорциональна полиному Эрмита:

■ w ~e^^ — = ^п^п'

Множитель пропорциональности Ап может быть найден путем приравнивания друг другу коэффициентов при ^2л- В результате оказывается Ап = (—1)", откуда мы и получаем формулу (10.34).

Из (10.32) видно, что Нп (^) будут подчиняться уравнению (10.23), если в последнем положить 入= 2〃 + 1:

Н'； ~2Шп-^2пНп = 0.(10.35)

Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора согласно (10.22) и (10.32) имеет внд:

^ = Спе^^Нп (?),(10.36)

причем Е связано с координатой х соотношением (10.15). Коэффициент Сл можно определить из условия нормировки:

+ 8+ 8

\ ^ndx = x0Cl \ е^Нп G)//„ G)d?=l.(10.37)

Подставляя сюда вместо одного полинома Нп (Е) замкнутый вид (10.34), находим:

(一1)%a 、 /(94「或=1.(10.38)

Учитывая далее правило переброса производной с одной функции на другую [см. (7.17)], т. е. совершая п раз интегрирование по частям, получаем:

+ со

(10.39)(10.39)堂杠或=1.

(10.39)

(10.39)

* — ОО

Принимая во внимание, что согласно (10.32):

аанаходим;находим;т. е.т. е.矗 Н〃(Е) = 2"п!,+.8_\ e-^di — Y^>矗 Н〃(Е) = 2"п!,+.8_\ e-^di — Y^>& =& =/ 2小孔! mrк。/ 2小孔! mrк。(10.40)(10.41)(10.42)(10.40)(10.41)(10.42)

а

а

находим;

находим;

т. е.

т. е.

矗 Н〃(Е) = 2"п!,

+.8_

\ e-^di — Y^>

矗 Н〃(Е) = 2"п!,

+.8_

\ e-^di — Y^>

& =

& =

/ 2小孔! mrк。

/ 2小孔! mrк。

(10.40)

(10.41)

(10.42)

(10.40)

(10.41)

(10.42)

Аналогичным путем легко доказать и условие ортогональности для волновых функций. Для этого достаточно один из полиномов Эрмита, а именно с большим и, представить в свернутом

виде (10.34). Условие ортогональности вытекает также и из общего исследования уравнения Шредингера, согласно которому собственные функции должны быть ортогональны друг другу.

Фиг. 10.2. Собственные значения энерши, ход собственных функций гармонического осциллятора при малых значениях квантовых чисел (〃 =0, 1, 2) и сравнение с классической теорией (см. пунктирные линии для рл).

В случае гармонического осциллятора условие ортонормиро- ванности принимает вид:

十8

\ 崎冲“dx = b““，.(Ю.43)

Заметим, что в области малых квантовых чисел, например, для 孔=0, 1, 2, ... , когда

ЕI =］加)，屮［ = &2也 2(10.44)

e2 =2方叭 屮2 =0式4守-2)e 2,

распределения плотности вероятности (см. фиг. 10.2) | % 卩 будут значительно отличаться от соответствующих плотностей вероятности пребывания частицы в различных точках пространства в клас

сической теории гармонического осциллятора [последние пропорциональны времени пребывания частицы в данной точке и, следовательно, обратно пропорциональны ее скорости, т. е. величине )(a2--х$-1北，где а -наибольшее отклонение классического осциллятора от положения равновесия], и только в области больших квантовых чисел, как и следовало ожидать, их совпадение в среднем будет сравнительно близким (см. фиг. 10.3).'

Нулевая энергия гармонического осциллятора и соотношение неопределенности

Выше мы нашли, что минимальная энергия гармонического

Фиг. 10.3. Сравнение результатов квантовой и классической теории для осциллятора в области больших значений квантовых чисел (здесь п = 10).Фиг. 10.3. Сравнение результатов квантовой и классической теории для осциллятора в области больших значений квантовых чисел (здесь п = 10).осциллятора, согласно квантовой теории, определяется формулой (10.29) и не может обратиться в нуль, в то время как в классической теории или в теории Бора она равна нулю.

Фиг. 10.3. Сравнение результатов квантовой и классической теории для осциллятора в области больших значений квантовых чисел (здесь п = 10).

Фиг. 10.3. Сравнение результатов квантовой и классической теории для осциллятора в области больших значений квантовых чисел (здесь п = 10).

Покажем, что появление в теории Шредингера нулевой энергии (10.29) самым тесным образом связано, как мы упоми-

нали, с соотношением неопределенности (8.11), которое в нашем случае можно представить в виде:

〈炉〉〈吟書•(10.45)

При этом сделана замена {(Ах)2) на〈炉〉и ((Др)2) на〈炉〉.Это следует из условия, что волновые функции вещественны и являются либо четными, либо нечетными. В самом деле, в силу нечетности выражения 屮*%屮=%屮，имеем:

〈» = \ 屮*х 屮 dx = 0.

Отсюда

((А守)=(炉〉—(%第=〈炉〉.

Точно так же, используя граничные условия на бесконечности, находим:

〈p〉=4,屮黑衣=4叩：=0,

''〈(М)2〉=〈Р2〉一〈” = /〉•

Подставляя значение для 〈卩纟〉из (10.45) в выражение для полной энергии:

e =("〉=察 + 空产，(10.46)

получаем:-

旧^^ + ^14^(Ю.47)

Отсюда видно, что ни при каких значениях (У2) энергия Е не может обратиться в нуль. В самом деле, хотя при (х^) = 0 второй член обращается в нуль, но зато первый обращается в бесконечность. Точно так же, наоборот, при (л：2) =： оо первый член обращается в нуль, а второй в бесконечность.

Таким образом, отличное от нуля £мин_ непосредственно связано с соотношением неопределенности (10.45), т. е. с тем, что координата и импульс одновременно не могут быть точно вычислены.

Найдем, при каких 〈％纟〉выражение (10.47) будет минимальным. Приравнивая производную от этой функции по 〈％纟〉нулю, получаем:

/& 护 -n

~~28%〈*〉" ~~，

ИЛИ•

_ 1 22^ = 2%。.

Подставляя это значение в (10.47), будем иметь:

岑 + 号=^・(10.48)

Отсюда Емнн.=号，что точно совпадает со значением для Ео, найденным по волновой теории [см. (10.29)].

Существование конечной нулевой энергии гармонического осциллятора является одним из наиболее характерных проявлений волновых свойств частиц. В связи с этим экспериментальное подтверждение нулевых колебаний имело большое значение для всей квантовой механики.

Впервые нулевая энергия Е° была обнаружена экспериментально в опытах по рассеянию рентгеновских лучей в кристаллах при низких температурах. Если бы никаких колебаний решетки при низких температурах не было (Ео = О), как это, например, следует из теории Бора, то взаимодействие рентгеновских лучей с кристаллической решеткой, а следовательно, и рассеяние, не имело бы места. Наоборот, если при Т — 0 минимальная энергия будет отличной от нуля (Ео ^ 0), то эффективное сечение рассеяния при низких температурах должно стремиться к некоторому конечному пределу. Эксперимент доказал последнее, т. е. подтвердил правильность выводов волновой теории Шредингера.

Правила отбора. Интенсивность излучения

Рассмотрим проблему излучения гармонического осциллятора на основе квантовой механики. Для этого нужно, как мы показали в § 9 [см. (9.22)], вычислить матричные элементы：

^п'п — \ 崎，X屮打”居(10.49)

где 屮％ определяется формулой (10.36).

Выведем предварительно одно рекуррентное соотношение между полиномами Эрмита, которым мы воспользуемся в дальнейшем. Из определения (10.32) полиномов Нп (S) найдем:

Н7 ⑹= 2“(2Е)〃т _ (1)][Т 绍尸 + .. J = 2叫—1 (Е), откуда следует, что

"2(Е) = 2nH^(e)= 2n-2(n-l) Н— (Е).(10.50)

Далее, подставляя эти значения для производных в (10.35) и производя замену и —* и' 4- 1, находим рекуррентное соотношение между полиномами Эрмита:'

也,(9+4" н〃'+1 «)•(10.51)

Используя это соотношение, матричный элемент (10.49) можно привести к виду:

з =湍g&，口t е^нп^)нП^+^ e-〃”，Т(9%(9成}.

Возвращаясь обратно к волновым функциям 屮，получаем:

%閭=%0 {^黑 J中"'+乩厶+川^^ \屮疝-也d%}. (10.52)

Отсюда, принимая во внимание, что функции % ортонормиро- ваны, находим:

斗=%。{т 寝沙+1，“ +(九 + 1)曾'“т “ } ■(1853)

Из этого выражения следует, что отличными от нуля будут только те матричные элементы, для которых ri = п——1 или 孔'=孔+1, т. е. правила отбора для квантового числа гг будут определяться формулой:

Дгг = гг —几'=± 1,(10.54)

свидетельствующей о возможности переходов лишь между соседними уровнями.

Пользуясь выражением (10.42) для волновой функции, в соответствии с (10.53) получаем:

(10.55)

где л:。 определяется из (10.15), а для частоты излучения находим выражение, точно совпадающее с классическим:

3…=芷户=3.(10.56)

Энергетические уровни и разрешенные переходы изображены на фиг. 10.4.

Поскольку спонтанное излучение возможно только в том случае, когда переходы совершаются сверху вниз (Еп^>Еп_^у согласно (9,22), для интенсивности излучения гармонического осциллятора W = Wn> 办一 1 находим следующее выражение:

Сравнивая это выражение с выражением (10.10), полученным по классической теории, можно сказать, что только в области

Ф и г, 10.4. Разрешенные переходыгармонического осциллятора.12, спектры двухатомных мо-Ф и г, 10.4. Разрешенные переходыгармонического осциллятора.12, спектры двухатомных мо-больших квантовых чисел (〃》1), когда Er》Ед, они будут практически давать один и тот же результат. Переходы на более высокие энергетические уровни 〃—孔+1 возможны или при вынужденных переходах, или даже при спонтанных, когда потеря энергии в гармоническом осцилляторе одновременно компенсируется большей энергией, освобождающейся, например, при переходах электронов в атомах (см. § лекул).

Ф и г, 10.4. Разрешенные переходыгармонического осциллятора.

12, спектры двухатомных мо-

Ф и г, 10.4. Разрешенные переходыгармонического осциллятора.

12, спектры двухатомных мо-

Задача 10.1. Найти с помощью метода ВКБ собственные значения гармонического осциллятора.

Решение, Согласно (10.14), волновое уравнение для гармонического осциллятора имеет вид:

屮"十e一俨炉)屮=0,

уравнение:уравнение:Отсюда, согласно (5.75), для определения собственных значений имеем

уравнение:

уравнение:

г«/р

\ (Ла — Г炉 dx =兀(孔 - ■—^.

-и%/0

Вычисляя последний интеграл, находим для энергии собственные значения, совпадающие с (10.28), т. е. учитывающие нулевую энергию.

Задача 10.2. Построить теорию гармонического осциллятора в р-пред- ставлении (в одномерном случае). Найти уравнение движения, собственные значения и собственные функции.

Решение. Учитывая, что в р-представлении х?=——丸？^^， записываем уравнение Шредингера в виде:

62爲，S)=。，

т. е. для гармонического осциллятора при переходе от х-представления к p-представлению волновое уравнение при введении новых масштабов:

(де(де入=fc—7]=—

(де

(де

тождественно переходит само в себя:

¥" + (入一^)中=°

(здесь штрихом обозначена зоваться решениями (10.28)(здесь штрихом обозначена зоваться решениями (10.28)?n е)=?n е)=]/2厶"^%]/2厶"^%

(здесь штрихом обозначена зоваться решениями (10.28)

(здесь штрихом обозначена зоваться решениями (10.28)

?n е)=

?n е)=

]/2厶"^%

]/2厶"^%

производная по 力 Поэтому мы можем восполь- и (10.42) и написать в о-представлении:

斗=丸3卜+ g

Легко проверить, что последняя волновая функция удовлетворяет усло

вию нормировки:

5 I ?« (р)『dp= 1.

Задача 10.3. Найти собственные функции и спектр энергии электрона (с = —с0 V 0), движущегося в постоянном и однородном магнитном поле. Показать, что «электронный газ» по квантовой теории должен быть циамаг-

нитным.

задачу 8.4):задачу 8.4):蔡则瞎嘴+ 6繇吁д。.蔡则瞎嘴+ 6繇吁д。.Решение. Направим магнитное поле по оси z (%= % = 0, Н2=^Г). Тогда для вектор-потенциала можем записать Ay = kg%^, Ах — Az = 0. Для описания движения электрона имеем уравнение Шредингера (см. также

задачу 8.4):

задачу 8.4):

蔡则瞎嘴+ 6繇吁д。.

蔡则瞎嘴+ 6繇吁д。.

Замечая, что координаты у н n в последнее уравнение явно не входят, решение будем искать в виде:

Для определения функции /(х) получаем уравнение:

гдегде礬^(X十3)力=0,礬^(X十3)力=0,

где

где

礬^(X十3)力=0,

礬^(X十3)力=0,

которое, как нетрудно видеть, совпадает с уравнением (10.14) для гармонического осциллятора.

Следовательно, для определения собственных функций и собственных значений можно использовать решения (10.27) и (10.36). В результате находим:

屮唸l今川邛*一（0,屮唸l今川邛*一（0,(10.58)(10.58)

屮唸l今川邛*一（0,

屮唸l今川邛*一（0,

(10.58)

(10.58)

где Нп (^)——полиномы Эрмита, о = ^^ ^-——частота ларморовой прецессии,

„ Г 2加о°。,

Сп — j '^Q^nXf j —нормировочным коэффнцисн!, а

Е叫Е叫3+g3+g一2恤С一2恤С

Е叫

Е叫

3+g

3+g

一2恤С

一2恤С

Последний член представляет собой кинетическую энергию электронов, свободно движущихся вдоль оси z, и особого интереса не представляет.

Первый же член, равный:

以=也方(2"+1),(Ю.59)

где и。一 магнетон Бора, соотвегствуег дополнительной энергии, которую приобретает электрон, будучи помещенным в магнитное поле. Эта дополни- 1 ельная энергия представляет собой энергию движения электрона в плоскости ху, перпендикулярной к магнитному полю.

Последний вывод вполне согласуется с классической теорией, согласно которой электрон, помещенный в магнитное поле, должен вращаться с ларморовой частотой о в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Однако в классической теории энергия электрона, помещенного в магнитное поле, целиком определяется его неквантованной кинетической энергией. Поэтому по классической теории диамагнетизм «электронного газа》 должен вообще отсутствовать.

В квантовой же теории энергию (10.59) можно интерпретировать как проявление дополнительного магнитного момента электрона 世,который даст следующий добавок к энергии:

(10.60)

Сопоставляя (10.60) с (10.59), находим:

Hz = — Но(2^+ 1).

Поскольку число 2孔 + 1 принимает лишь положительные значения (孔= =0, 1, 2, 3, ...), у каждого электрона этот дополнительный момент будет направлен в отрицательном направлении оси г, что естественно должно привести к диамагнетизму свободных электронов в металле.

Следует заметить, что в квантовой механике решение (10.58) соответствует гармоническим колебаниям лишь вдоль оси х, в то время как в классической теории круговая траектория означает гармонические колебания не только по оси 司 но и по оси у с разностью фаз, равной

Это связано с тем обстоятельством, что энергия не зависит от импульса 丸尼2* Благодаря этому имеет место вырождение, и решение при заданной энергии имеет вид:

屮…з=0 = 2 С用2 屮/2&=仇(10.61)

где Ск^—произвольные амплитуды, удовлетворяющие условию нормировки:

В классической теории мы также имеем неоднозначность, поскольку центр круговой траектории не фиксируется.

Общее решение (10.61) соответствует набору круговых траекторий, обладающих различными центрами, расположенными вдоль оси у.

Таким образом, решение (10.61) включает в себя не только гармонические колебания вдоль оси х, но и вдоль осй у. Это видно также из выражения энергии (10.59), которая при учете равенства 步。^^ = о力 представляет собой сумму энергии двух гармонических осцилляторов:

%=2% (八十0).

7 Квантовая механика

Задача 10.4. Показать, что матричный элемент произведения двух операторов М (х) и N (х), не зависящих от квантовых чисел, равен сумме произведений матричных элементов этих операторов, т. е.

(М№“” = 2Х，%(10.62).

Решение. Можно записать:

(MN““ =内惰，(х) М (х) 8 (х — х') N(X，)屮〃 (£) dx dx'.

Далее, учитывая соотношение (см. § 4):

3 (X — X，)= 2 遞(X，)如(x),k

а также то, что операторы М (х) и N (尤')не зависят от квантовых чисел, легко доказываем равенство (10.62).

Задача 10.5. Найти правила отбора для квадрупольного излучения гармонического осциллятора. Найти интенсивность спонтанного квадрупольного излучения и сравнить с дипольным. Показать, что в этом случае имеет место соотношение (9.24), связывающее интенсивность квадрупольного излучения с дипольным.

Решение. Согласно соотношению, полученному в задаче 9.1, квадрупольное излучение пропорционально матричному элементу, который в соответствии с результатами предыдущей задачи может быть представлен в виде:

(-V2)/1^ = 2 XnrkXkn,

А=0

Принимая во внимание значения (10.55) для матричных элементов 尤孔，施,находим следующие отличные от нуля матричные элементы квадрупольного излучения:

(炉)“т,“ =等八(I)；

(炉)"+2," =岑 m("十2)("+ 1),(炉)","=淄卜 +可， (10.63) т. е. правила отбора для квадрупольного излучения осциллятора будут:

厶孔=0, ±2.

Вероятность спонтанного излучения (^ = п ——2, ^n = 2) может быть вычислена по формуле (9.26). В области больших квантовых чисел, когда Е = пй(1)( имеем:

~ 15 т1съ *

Принимая во внимание, что интенсивность дипольного излучения определяется, согласно (10.57), выражением:

ууд.тол,= 2 £W_0^

3 moc3 丿 у，

для искомого отношения находим：

кквапр._ 4 产 W 〜产)2 у^ДИПОЛ. У \Т/ а

колебаний.колебаний.ПоследнееПоследнее2Е

колебаний.

колебаний.

Последнее

Последнее

где “2=—квадрат классической амплитуды

соотношение находится в согласии с (9.24).

Задача 10.6. Показать, что центр тяжести волнового пакета, составленного из решений для гармонического осциллятора, будет двигаться по законам классической механики.

Убедиться, что волновой пакет не расплывается со временем. Сделать переход к квазиклассическому случаю (孔》y》1, где 2y4*1—число волн, образующих волновой пакет).

Решение. Для простоты составим волновой пакет из 2丫+1 собственных функций одинаковой амплитуды:

屮？/)屮？/)1M2v 十 i1M2v 十 i丿丿22

屮？/)

屮？/)

1

M2v 十 i

1

M2v 十 i

丿

丿

2

2

где 屮孔+j——собственные функции гармонического осциллятора, a w——механическая частота колебаний.

Для центра тяжести〈尤〉волнового пакета имеем:

〈尤〉=\ 屮* (x, t)尤屮(匕£) dx =

=2^ 2 х“+，〃+/，・еЛ)‘= A・cos嗚

Lj'=— Y причем

л a V ]/2(几+) + 1)

где a= J—классическая амплитуда колебаний.

Отсюда следует, что 〈幺〉точно подчиняется классическому уравнению движения гармонического осциллятора:

鳥〈х〉+ з«〉= 0.

Вычислив аналогично (х2), для среднего квадратичного отклонения 〈(厶尤)2〉=〈炉〉-(х)2 получим значение:

〈(ал■户)=(G —")+ 色2^) cos 2*

где

0一 炉中一炉 1 У2 /(" + )+1)(" + ) + 2)

С-2，В -22ЯП- 2

Следовательно, величина ((Дх)2) осциллирует около некоторого среднего значения и поэтому не расплывается со временем.

При переходе к квазиклассическому случаю будем иметь:При переходе к квазиклассическому случаю будем иметь:(х) ==; a cos(0^ ((Д.г)2)(х) ==; a cos(0^ ((Д.г)2)=const.=const.а2^27=н

При переходе к квазиклассическому случаю будем иметь:

При переходе к квазиклассическому случаю будем иметь:

(х) ==; a cos(0^ ((Д.г)2)

(х) ==; a cos(0^ ((Д.г)2)

=const.

=const.

Отсюда видно, что, чем больше взято число волн, тем меньше будет ширина пакета и, наконец, при (2”十1)》1 она стремится к нулю.

Задача 10.7. Найти в приближении ВКБ собственные функции гармонического осциллятора, а также асимптотические выражения для полиномов Эрмита при малых значениях аргумента.

Решение.

Собственные функции могут быть найдены с помощью соотношений (5.66) и (5.67):

У 矗(2叶 1T厂1/，cos愕一^E 了2" + 1Tx

屮Xarcsin71^]при ^2<2n+1>

Гдеa /=m為.

При 孔》1 воспользуемся формулой Стирлинга, которую мы представим в виде:

Тогда последнее выражение в случае Е》|/"2/г + 1 дает старший член точного решения (10.42). В случае же ^《了2孔+1 с помощью тех же формул

можно полечить следующее асимптотическое выражение для полиномов Эрмита:

%(0 = М强р^厂 //貝cos (у- /2^

Задача 10.8. Наряду с матричным элементом координаты [см. (10.55)] найти также в случае гармонического осциллятора матричный элемент импульса и гамильтониана. Написать также соответствующие матрицы и установить связь между ними (задача о гармоническом осцилляторе в матричном или в Е-представлении).

Решение. Для искомых матричных элементов (п, иг = 0, 1)2, ...) будем иметь:

0»“ = — \ ^ЛПдх %"Х = im^n'nxn'n =加。(〃‘ —п) ЗХ“〃，

%” =，屮办屮〃 dx，(10.64)

H"F =,屮京H屮/X = E也,〃=力卜 + _^) зЗ“,.

Отсюда видно, что у матрицы импульса, так же как и у матрицы координаты [см. (10.55)], отличными от нуля будут только около диагональные элементы (nf = п 4* 0> а У матрицы гамильтониана ——только диагональные элементы (п1 = п).

На языке матричной механики наличие диагональной матрицы эквивалентно оператору, имеющему собственные значения, которые и равны диагональным элементам.

Вспоминая правила умножения матриц (произведение строки на столбец), мы можем написать следующие соотношения:

S) (Х) — (х) S)=—优厶

или для матричных элементов

(10.67)

S(Pn'kxkn — XnfkPkrd н — »亢％*

или

-(10.68)

= 2 (Pn'kPkn 卡 *x“,/q ,

где /—бесконечная единичная матрица.

Таким образом, некоммутативность величин можно описать не только с помощью операторов дифференцирования (см. § 7), но и с помощью матриц. В частности, матричное соотношение (10.67)

определяет некоммутативность величин р и х [о помощью операторов оно было задано соотношением (7.7)]. Выражение (10.68) представляет собой матричную запись уравнения Шредингера (10.14) для гармонического осциллятора.

§ 11. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ

Наряду с гармоническим осциллятором движение частицы в поле центральных сил (потенциал которых есть функция только расстояния, но не зависит от углов) представляет собой также одну из стандартных задач квантовой механики.

Эта задача легла в основу построения квантовой теории ротатора, играющего большую роль йри изучении спектра двухатомных молекул, теории атома водорода, нерелятивистской теории дейтрона и т. д. Интересно отметить, что зависимость волновой функции от углов 8 11yB поле центральных сил (шаровые функции) совершенно не связана с конкретным выбором потенциальной энергии и поэтому шаровые функции имеют универсальный характер, поскольку они относятся к любому центрально-симметричному полю. Классическим аналогом квантового исследования угловой части является вывод закона сохранения момента количества движения для поля центральных сил в классической механике, который также не зависит от конкретного выбора потенциальной энергии.

а. Уравнение Шредингера в сферических координатах

Задача о движении частицы в поле центральных сил

F=F 哨,(H.l)

как правило, решается в сферических координатах г, 8 H 中,связанных с декартовыми (см. фиг. 11.1) при помощи соотношений:

% = р cos у, у = р sin 孔 z = rcos8, p = r sin^. (11.2)

Запишем уравнение Шредингера в сферических координатах.

силе Е имеем:силе Е имеем:dV =-(尸"").dV =-(尸"").(И.З)(И.З)Прежде всего, следуя общему определению потенциальной энергии V как величины, градиент которой равен действующей

силе Е имеем:

силе Е имеем:

dV =-(尸"").

dV =-(尸"").

(И.З)

(И.З)

Отсюда в случае центральных сил (11.1) находим:

dV = —，(xdx -\-ydy + zdz) = — Fdr,(11.3a)

т. е.

г

и (г)= —，尸(г) dr,(11.4)

ОО\

где нижний предел интегрирования мы выбрали из тех соображений, чтобы на бесконечности величина V (厂)обращалась в нуль.

Фиг. 11.1. Сферические координаты. Элемент объема в сферических координатах.Фиг. 11.1. Сферические координаты. Элемент объема в сферических координатах.

Фиг. 11.1. Сферические координаты. Элемент объема в сферических координатах.

Фиг. 11.1. Сферические координаты. Элемент объема в сферических координатах.

В частности, если центральные силы обязаны кулоновскому взаимодействию, т. е. если

где Ze0 ——заряд ядра (е ———е0 ——заряд электрона, вращающегося вокруг ядра), то для потенциальной энергии имеем:

鲁办=一毕.(11.5а)

Далее выразим в сферических координатах лапласиан ^2, для qeio воспользуемся тождеством:

V” = div grad 屮.(11.6)

Найдем сначала компоненты вектора:

В = grad 屮(117)

в сферических координатах.

Принимая во внимание, что градиент всегда характеризует изменение скалярного поля по некоторому направлению: В? = grad?屮=嘗,в соответствии с фиг. 11.1 будем иметь:

(11.8)(11.8)8 一些&一竺b

(11.8)

(11.8)

_0屮一 d屮——7 sin 3。屮' дивергенции:_0屮一 d屮——7 sin 3。屮' дивергенции:§ （BdS）=左t訪（当呢）d分§ （BdS）=左t訪（当呢）d分⑴.9)⑴.9)Воспользуемся общим определением

_0屮一 d屮

——7 sin 3。屮' дивергенции:

_0屮一 d屮

——7 sin 3。屮' дивергенции:

§ （BdS）

=左t訪（当呢）d分

§ （BdS）

=左t訪（当呢）d分

⑴.9)

⑴.9)

где d^尤——элемент объема в сферической системе координат:

0尤=г2 sin 8 dr d8 d^(11.10)

(尤z ——координаты: г, 8 н <р), a dS^ ——элементарные площадки, перпендикулярные соответственно направлениям dr, rd8, pd^:

dSr = r2 sin 8 d8 d%

d§8 = r sin 8 dr d%(11.11)

dS^ = r dr d8.

Тогда с помощью (11.8) получим:'

m8=叫=产丽3^停機Г"in 3d8函"+

+鳥（^Г疝^甸勿+^卜磊^打叱叫卜 "12）

Отсюда легко найдем выражение оператора Лапласа в сферических координатах:,

72 = Р^(г2Й + М^ЕТ^(51п9^) + '^'^]' (11-13)

Полагая в (11.13):

韬(Г鳴)=?:，UM)

旦(Sin3 黑 Н二=(11.15)

丿 1 sm2& * 宀 будем иметь:

力十 ^Vjy；(НЛО)

в результате уравнение Шредингера (4.8) принимает вид:

俨十^晖,0屮+胪⑺屮=°，(Н.17)

где

必 &)=誓[£-V(r)](11.18)

и, согласно (11.4), зависит только от радиуса 厂.

б. Разделение переменных. Собственные функции

Будем решать уравнение (11.17), основываясь на методе разделения переменных. Представляя искомую волновую функцию в виде произведения радиальной части на угловую:

屮= R&)・y®, ср),(11.19)

и умножая исходное уравнение на (焉｝ получаем:

,(11.20)

Так как слева здесь стопт величина, зависящая только от г, а справа — только от углов 8 н % это равенство может иметь место лишь в том случае, когда и левая и правая части равны по отдельности некоторой постоянной величине 入，получившей название постоянной разделения.

Таким образом, для радиальной и угловой частей волновой функции будем иметь соответственно уравнения:

学R 十 俨 一尚袂=0,(11.21)

(11.22)(11.22)vg,y 十入У=0,

(11.22)

(11.22)

причем весьма важно то обстоятельство, что последнее уравнение для угловой части не содержит переменной г и не зависит от конкретного вида потенциальной энергии 匕 вследствие чего, как мы уже отмечали в начале параграфа, его решение будет справедливым для любых центральных сил.

Полагая далее:

У = ®(8)① 3),(11.23)

с помощью способа, использованного при отделении радиальной части от угловой, находим для разделенных функций 0 и Ф следующие уравнения:

V祀Т(人一鳥)9 = 0，(11-24)

可①+川①=0.(11.25)

Здесь m2 является постоянной разделения; кроме того, мы ввели обозначения:

急駅 sin 噜)，(11-26)

V=鳥(11.27)

в которых частные производные заменены полными, поскольку каждая из функций 0 и Ф зависит только от одной переменной.

Таким образом, для определения собственных значений энергии & и соответствующих им собственных функций % мы получили три уравнения: (11.21), (11.24), (11.25), причем, если последнее из них содержит только один параметр т2, то второе и первое ― по два.

Принимая во внимание, что при решении одного уравнения можно найти собственные значения только для одного параметра, решение всей задачи мы должны начинать с решения уравнения (11.25), а затем уже, зная m^t переходить к решению уравнения (11.24) и, наконец, к решению уравнения (11.21) для радиальной функции.

При нахождении нормировочного коэффициента можно воспользоваться соотношением:

со化

\ 屮*屮 d'% = \ R*R产dr" 0*0 sin 8d8 \ Ф*Фб/ср,ооо

из которого видно, что нормировку можно производить для каждой из функций по отдельности:

\ R*R产"=1,

(11.28)

0

j 0*0 sin^d&= 1,

(11.29)

0

\① dy = 1.

0

(11.30)

Частное решение для азимутальной функции [см. уравнение 11.25)] может быть представлено двояким образом:

' @ = Се^(11.31)

или

Ф = Л cos (дар + %).(11.32)

Каждое из этих частных решений имеет различную физическую интерпретацию. В самом деле, решение (11.31) соответствует бегущей по окружности волне и отвечает, например, равномерному вращению электронов, в то время как решение (11.32) связано со стоячими волнами и соответствует, например, колебаниям электрона по некоторой дуге. Чтобы функция Ф описывала вращение электрона вокруг ядра, она должна быть выбрана в виде бегущих волн (11.31). Так как второе решение, пропорциональное 。7叫 может быть получено из первого путем замены (т) на

(—m), то, не ограничивая общности, решение следует вообще выбрать в виде：ф = Се；т<(,)(11.33)

где величина m может пробегать как положительные, так и отрицательные значения.

Учитывая, что волновая функция должна удовлетворять условию однозначности (см. § 4, п. ”6“)，на функцию ①®) необходимо наложить условие периодичности:

①(?) =①(中+2П)，(11.34)

из которого следует, что

0北Пm]

Отсюда для величины т, получившей название магнитного квантового числа, имеем:

(11.35)Непосред-(11.35)Непосред-(11.36)(11.36)/72 = 0, ±1, ±2, ±3,

(11.35)

Непосред-

(11.35)

Непосред-

(11.36)

(11.36)

Из условия нормировки (11.30) находим С = ~~- ственным вычислением легко показать, что функции:

m /2л

будут удовлетворять условию ортонормированности:

0

Поскольку собственные значения т уже известны, а также найдена волновая функция, зависящая от азимутального угла 屮, можно приступить к решению уравнения (11.24). Вводя новую переменную: %=cos& (11.37) и обозначая производные по % штрихами, вместо (11.24) получаем уравнение:

[(1一炉)ь了 +卜一名)® = 0. (11.38)

Как нетрудно видеть, последнее уравнение имеет особые точки х = ± 1, т. е. такие точки, в которых один из коэффициентов при 0 обращается в бесконечность. Чтобы исключить указанную расходимость, будем искать решение 0 в виде:

(11.39)(11.39)0 = (1 一炉)5%

(11.39)

(11.39)

Подставляя (11.39) в (11.38) и сокращая все равенство на (1—炉)б*, получаем:

(1 —炉)J —2%(s+ 1)^ + [^_s2-s-|-^=^]u = 0. (11.40)

Мы исключаем особенность в последнем члене, полагая: s — ±m.

Поскольку основное уравнение зависит лишь от т2, решения, отвечающие этим двум значениям s, удовлетворяют одному и тому же уравнению и, следовательно, должны быть связаны между собой простым линейным соотношением:

0 (т) = АВ (一m).(11.41)

Учитывая последнее соотношение, будем решать уравнение (11.40), полагая:-

s — m^0.(11.42)

В силу же соотношения (11.41) оно автоматически будет распространено также и на отрицательные значения т.

При условии (11.42) уравнение (11.40) принимает вид:

(1 —炉)〃"一2х (m-(- 1) 〃‘ + (入一zn (『几+ 1)) " = 0. (11.43)

Поскольку последнее уравнение не имеет особенностей, его решение может быть представлено в виде полинома:

и= £арЛ(11.44)

в результате подстановки которого в уравнение (11.43) получаем: £{左但一1)a/"2 +a/人一优 + 加)他 + 他+1)#} = 0.

々=0

Группируя члены с одинаковыми степенями %, приходим к равенству:

У {(А + 2) (А + 1) &十2 + В (А + /и) (А + /и 十 1)］廟 xk — 0t = 0

из которого следует рекуррентное соотношение:

但十2)但+1)北”=一［人一他+他)(々+认+1)］电, (11.45)

связывающее между собой все коэффициенты ряда (11.44). Ввиду того, что коэффициенты ak связаны лишь с 〃々丁力 т. е. через один, функция и будет либо четной, либо нечетной в зависимости от того, является ли старший (см. ниже) член четным или нечетным.

Требуя, чтобы ряд (11.44) был ограничен некоторой максимальной степенью k = q, так, что

旬十2 =~。，% W。，

на основании (11.45) получаем:

人=(<7 + 他)(什加 + 1),(11.46)

гдеg = 0, 1, 2, 3,,(11.47)

т. е. равно той степени, на которой мы обрываем ряд. Вводя орбитальное квантовое число I：

I — q -\- ту(11.48)

находим, что оно может принимать так же, как и числа q и tn, лишь положительные целые значения, включая Нуль, т. е.:

/ = 0, 1, 2, 3, ... ,(11.49)

причем в силу (11.48):

Qm.(11.50)

Принимая во внимание, что согласно (11.48) и (11.46):

入=/(/+1),(11.51)

уравнение (11.40) можно привести к виду:

(1 -/)"" —2%(加+ 1)" + [/(/ + 1) - zn (团十 1)] " = 0, (11.52) гдеz

и^а^^ + а^х^ *+ …+ {(11.53)

Мы не будем вычислять соотношение между коэффициентами aq и @д+2 с помощью рекуррентного соотношения (11.45), а представим последнее решение в свернутой форме.

Для этого введем функцию:

?=(炉一1巾(11.54)

подчиняющуюся уравнению:

(1 —/)d + 2"u = 0,(11.55)

которое нетрудно получить, взяв первую производную от и по 尤. Дифференцируя (11.55) с помощью правила Лейбница [см. (10.34а)] (/干抗+1)раз и полагая:

…三 £(炉一1) j，(H-56)

для функции % получаем уравнение:

(1 —炉)〃；一2х (m-|- 1) 〃； + (/ + 团+ 1) (/ —/и) Wt —0, (11.57) точно совпадающее с дифференциальным уравнением (11.52) для функции 〃.

Следовательно, функции и и ut должны быть пропорциональ- ннмн друг другу： u = const.uL.(11.58)

Поскольку нормировочный коэффициент функции 0 пока еще не определен, эту постоянную мы положим равной 击，исходя из тех соображений, чтобы при т = 0 последнее решение переходило в полином Лежандра:

Р(х)= /勺戸•(1L59

Таким образом, мы будем иметь:

"=而 ^рта(% — D'・

Отсюда с помощью (11,39) находим значение для функции в:

^ = С?РТ (х).(11.60)

Здесь РГ ——присоединенный полином Лежандра, определяемый выражением:

.p7(%) = (1 -炉严2 篇产加工],(11.61)

а С『—нормировочный коэффициент.

Хотя последнее выражение было получено для положительных значений т, в силу известного соотношенияJ):

p『(%) = (-1)"浒需 Р”(X),(11.62)

оно автоматически распространяется также и на отрицательные значения т. Из равенств (11,61) и (11.62) можно окончательно установить область изменения квантового числа т:

m = 0, ± 1, ±2,士/;

Для доказательства выражения【(11.62) преобразуем его с помощью равенства (11.61) к форме:

(Z—I т|)!(炉一1уе(Z—I т|)!(炉一1уе急而(炉 一 1 y = (Z + I 加 I)!鼠而(炉一旧 (11.63)

(Z—I т|)!(炉一1уе

(Z—I т|)!(炉一1уе

Поскольку же Р? и Р^т должны быть связаны между собой линейным соотношением [см. (I I.4I)], нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства (11.63) совпадают другПоскольку же Р? и Р^т должны быть связаны между собой линейным соотношением [см. (I I.4I)], нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства (11.63) совпадают другс другом, т. е.(/ -1也|)!长mс другом, т. е.(/ -1也|)!长m^l+imt %2Zd*Z+m^l+imt %2Zd*Z+m="+1加伊="+1加伊К;К;

Поскольку же Р? и Р^т должны быть связаны между собой линейным соотношением [см. (I I.4I)], нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства (11.63) совпадают друг

Поскольку же Р? и Р^т должны быть связаны между собой линейным соотношением [см. (I I.4I)], нам достаточно показать, что коэффициенты при старшей степени х в обеих частях равенства (11.63) совпадают друг

с другом, т. е.

(/ -1也|)!长m

с другом, т. е.

(/ -1也|)!长m

^l+imt %2Zd*Z+m

^l+imt %2Zd*Z+m

="+1加伊

="+1加伊

К;

К;

в э*1Ом нетрудно убедиться, учитывая, что

и!(二翩0и!(二翩0xn~kxn~kпри hv% при /г > и.при hv% при /г > и.

и!

(二翩

0

и!

(二翩

0

xn~k

xn~k

при hv% при /г > и.

при hv% при /г > и.

это следует из того факта, что при |m|^>Z решение Р『 обращается в нуль.

Коэффициент СТ в (11.60) может быть найден из условия нормировки:

к1

\ ®『sin® d® = \ ОГ (%) ®h (х)dx=\. 0-1

Подставляя сюда решение (11.60) и учитывая (11.62), получаем:

为2户仁爲田壮[*3 -川黑(炉—iy|dx= 1.

Перебрасывая производную со второго множителя на первый (/ -]~т) раз, т. е. раскрывая последний интеграл 1-\-т раз по частям, получаем:

(2叫产 ^―^ipI С； F，( 1 —炉У 石^ (х2— l)z dx=\.

Принимая во внимание равенство [см. также (11.64)]:

产 п_( 2/1 5 = 2/),

[ о (H<2Z),

а также учитывая, что

(1 —炉)'d%=(1 —炉)'d%=(/!)222Z+1-⑵斗1)「'(/!)222Z+1-⑵斗1)「'

(1 —炉)'d%=

(1 —炉)'d%=

(/!)222Z+1

-⑵斗1)「'

(/!)222Z+1

-⑵斗1)「'

находим:

c『=(11.65)

Тогда

®т= ]Л^^^ pt(X).(11.66)

Для шаровой функции У7(8,屮)，удовлетворяющей уравнению (11.22), на основании (11.23), (11.36) и (11.66) имеем:

У『(8,叫=®『①“=J* ^р貰cos8)e” (11,67)

причем условие ортонормированности для шаровых функций принимает вид):

0"賢)*)7源=%腕小*)(11.68)

Определив собственные значения параметров m и X, 'можно перейти к решению уравнения (11.21) для радиальной части, в котором остается лишь один неизвестный параметр. Однако, поскольку радиальное решение требует задания потенциальной энергии V (г), нахождение этого решения мы отнесем к следующим параграфам, где будут рассматриваться конкретные проблемы.

в. Физический смысл квантовых чисел Z и т.Момент количества движения

Выше мы "нашли, что квантовое число I характеризует собственное значение k = Z(Z-p 1) оператора — ▽$,屮[см. (11.22) и (11.51)], являющегося частью оператора Гамильтона:

/（，）=/（，）=2Й72Й7號+2・號+2・(11.69)(11.69)

/（，）=

/（，）=

2Й7

2Й7

號+2・

號+2・

(11.69)

(11.69)

гдегдеЧтобы доказать условие ортонормированности (11.68), следует подставить в это равенство для шаровых функций их выражение (11.67). Тогда, интегрируя по углу % легко показать, что

где

где

Сравнивая последний гамильтониан с классической функцией Гамильтона:2球 厂

"=察+门’)=盡+方+/Г)，d；。)

где 〃 =团0九 a L — m^^, мы видим, что оператору (——方2V就， в классическом случае соответствует квадрат момента количества* движения Л, а оператору (—^г) — квадрат радиального импульса 戌

Исследуем это соответствие более подробно. Как известно из классической механики, момент количества движения L определяется формулой:厶=[力](11.71)

Заметим, кстати, что если имеется момент М — [rF] внешних сил F, то изменение L со временем будет происходить по закону:

Й = М,(11.72)

причем в случае центральных сил (尸|| 尸)момент внешних сил М обращается в нуль и мы имеем:

£ = const.

Этот результат известен в классической механике как закон сохранения момента количества движения и используется, в частности, в проблеме Кеплера как закон сохранения секториальной скорости.

Чтобы обобщить классическое выражение момента количества движения на квантовый случай, мы должны в выражении (11.71) классический импульс р заменить оператором импульса р = /. Тогда будем иметь:й

L = [rp] = /[p,(Н.73)

или

Lxzpy,

Ly = 2Px %Pn，(1L74)

Lz = %Py —JPx・

Прежде всего заметим, что операторы компонент момента количества движения L*, Ly и L^ не коммутируют между собой. В самом деле, определяя, например, перестановочные соотношения между L* и 匸户 находим:

LJ» — LJ* = Up? — ZPy) (zp* — xpj — (zpx — xpj ®Pz — zp»).

между (7.8)],(11.75)между (7.8)],(11.75)Пользуясь далее перестановочными соотношениями импульсом и соответствующей координатой [см. (7.7) и находим: т т т т z

между (7.8)],

(11.75)

между (7.8)],

(11.75)

' L*Ly — LyL* = —/* (,VP x ~%py)==访 L/.

Аналогично можно показать, что

LyL? -- L^Ly = iKL.XiLyL? -- L^Ly = iKL.Xi(11.76)(11.76)

LyL? -- L^Ly = iKL.Xi

LyL? -- L^Ly = iKL.Xi

(11.76)

(11.76)

LJ% L^L? = iM-,y.

Чтобы выразить в сферических координатах оператор квадрата момента количества движения:

L2 = U + L^ + U,L2 = U + L^ + U,(11.77)(11.77)

L2 = U + L^ + U,

L2 = U + L^ + U,

(11.77)

(11.77)

вычислим сначала в сферических координатах составляющие L*, Lv и L?. Принимая во внимание соотношения (11.2) между декартовыми и сферическими координатами, будем иметь:

0屮_0屮Ox丄0屮2У丄d屮On _OS dx d& 十 dy d8■十 dz 08=r cos 8 cos屮堂 十尸co0屮_0屮0% I= 尸sin & sin平黑 + 尸sin0屮_0屮Ox丄0屮2У丄d屮On _OS dx d& 十 dy d8■十 dz 08=r cos 8 cos屮堂 十尸co0屮_0屮0% I= 尸sin & sin平黑 + 尸sinod屮ш8od屮ш8舛方竺Р舛方竺Р^" +- 方一西 舛&^" +- 方一西 舛&5吟5吟变⑪ с ov变⑪ с ov=(11.78)嘿⑴・79)\=(11.78)嘿⑴・79)\

0屮_0屮Ox丄0屮2У丄d屮On _

OS dx d& 十 dy d8■十 dz 08

=r cos 8 cos屮堂 十尸co

0屮_0屮0% I

= 尸sin & sin平黑 + 尸sin

0屮_0屮Ox丄0屮2У丄d屮On _

OS dx d& 十 dy d8■十 dz 08

=r cos 8 cos屮堂 十尸co

0屮_0屮0% I

= 尸sin & sin平黑 + 尸sin

od屮ш8

od屮ш8

舛方竺Р

舛方竺Р

^" +- 方一西 舛&

^" +- 方一西 舛&

5吟

5吟

变⑪ с ov

变⑪ с ov

=(11.78)

嘿⑴・79)\

=(11.78)

嘿⑴・79)\

*7黑=3 嚼一Sincpctg 嗯.*7黑=3 嚼一Sincpctg 嗯.(11.80)(11.80)Умножая (11.78) на у, а (11.79) на :—賞)и учитывая, что р2 — =炉 十у* после сложения этих двух произведений придем к соотношению:

*7黑=3 嚼一Sincpctg 嗯.

*7黑=3 嚼一Sincpctg 嗯.

(11.80)

(11.80)

Если же равенства (11.78) и (11.79) умножить соответственно

нана(—yj и (—乎)，то, повторяя только что использованный

на

на

прием, получаем:

У患一2需=一卜也中黑+cos”tg嗤｝.(11.81)

N=i帝N=i帝Отсюда, учитывая равенства (11.79) и (11.74), находим, что:

N=i帝

N=i帝

(11.82)

(11.83)

(11.84)

L* ±江尸心力L* ±江尸心力Вводя переменную % = cos 8 (эту переменную не следует путать с декартовой координатой х), выражения (11.82) и (11.83) можно представить в виде:

L* ±江尸心力

L* ±江尸心力

(1L85)

Чтобы определить действие этих операторов на шаровые функции, воспользуемся тем обстоятельством, что одну и ту же шаровую функцию можно представить двояким образом: либо в виде (11.67), либо в виде:

у? = (— 1尸 J"%t黑 Рг 加(cos 8)以叫(11.86)

Действуя оператором L? непосредственно на шаровую функцию, находим:

ЬУ? = %тУ?・、(11.87)

Отсюда следует, что квантовое число m характеризует проекцию момента количества движения на ось г.

При определении же действия оператора Lx + zLv на шаровую функцию подставим вместо У? ее выражение (1 i.67), а при действии оператора L% —乙一эквивалентное выражение (11.86).

Тогда из равенства:

е± %，у^^ 干 /Е 才^ (1 —炉)土 务(%)=

二干叁5±1)(1 一炉)丿 следует, что:

(к 士 /Ц) 丫厂=—力 /(/+l±m) (l^mj У『± L (11.88)

С помощью последних соотношений находим:

LW7=信(Lх +吗)也一乙)十黄I^ 一吗)X

X(Ц 十必)+L*?=-力у, у у?=

=视(/+1产？.(11.88а)

Отсюда видно, что F『является собственной функцией операторов L? и 1Л Это следует из того, что операторы Ьг и L2

i) В этом равенстве следует положить:

dl±m

(X2—1)>.

коммутируют друг с другом, а также с гамильтонианом Н. Поскольку же операторы Lx и Lv не коммутируют с L2J то поэтому нельзя подобрать такую волновую функцию, которая являлась бы собственной функцией как оператора L?, так и операторов Lv или Lv. Это, однако, не означает, что произвольное направление z является каким-то избранным.

Можно записать шаровую функцию таким образом, что она будет являться собственной функцией операторов L# и L2. Тогда она не будет собственной функцией оператора L? (см. задачу 12.2).

г. Анализ полученных результатов

Как правило, при анализе квантовых результатов или находятся их классические аналоги, или производится сравнение с полуклассической теорией Бора, результаты которой имеют простую физическую интерпретацию.

При исследовании движения в поле центральных сил по теории Бора прежде всего воспользуемся классическим законом сохранения момента количества движения, из которого следует, что движение должно происходить в одной плоскости, а момент, направленный перпендикулярно к этой плоскости, должен иметь значение:

丄=% =患=团旷竺—const. (11.89)

Применяя правила квантования, находим дискретные значения, которые может принимать этот момент:

откуда

册=呜力 2,(11.90)

где квантовое число:

〃中=1, 2, 3,(11.91)

Кроме того, если ось z направлена не перпендикулярно к плоскости орбиты, то, следуя боровской теории, можно произвести квантование проекции момента на ось z, т. е. произвести так называемое пространственное квантование. Тогда

(")?=%%,(11.92)

где квантовое число:

〃屮=一"守-%一卜］,…，0, ... , %-1, 〃它 (11.93)

Отсюда следует, что угол а между направлениями момента 厶 я осью z определяется формулой:

cos а = 2屮，(11.94)

п-р

т. е. может принимать лишь некоторые дискретные значения.

Пространственное квантование изображено на фиг. 11.2, откуда видно, что случай 〃屮=〃中 отвечает параллельности момента L оси z (см. фиг. 11.2, а), а случай 孔屮=—〃屮 一 их антипараллельности (см. фиг. 11.2,6). Наконец/в случае 孔屮=0 эти векторы будут расположены перпендикулярно друг другу (см. фиг. 11.2, в). Очевидно, что пространственное квантование есть смысл производить, когда имеется какое-то выделенное направление, например направление вектора напряженности магнитного поля 1). В случае отсутствия выделенного направления ось z можно направить перпендикулярно к плоскости орбиты.

Само собой разумеется, что при наличии магнитного поля центральная симметрия будет нарушена.

Произведем сравнение квантовомеханических результатов с результатами боровской теории для квадратов моментов и их проекций на ось z:

4$ =胪/(/+1), 量=力2*

Z = 0, 1, 2, 3,..., 〃屮=1, 2, 3, 4,...,

厶 = %/72,(上/z=3%〃中，

—IVmVl,—旬 V 〃屮

Отсюда видно, что Акв. при / = 0 обращается в нуль, в то время как Аб не может вообще обратиться в нуль. Таким образом, состояние с / = 0 не имеет классического аналога. Отсюда, в частности, следует, что механический момент атома, находящегося в наинизшем состоянии, вопреки результатам теории Бора, обращается в нуль. Экспериментальные данные из области спектроскопии атомов целиком подтверждают этот квантовомеханический результат.

Далее, согласно боровской теории, за направление орбитального момента можно выбрать направление оси z. В этом случае

门中=〃中 и поэтому门中=〃中 и поэтому^Б =(丄Е)2 макс.^Б =(丄Е)2 макс.(11.95)(11.95)

门中=〃中 и поэтому

门中=〃中 и поэтому

^Б =(丄Е)2 макс.

^Б =(丄Е)2 макс.

(11.95)

(11.95)

По волновой же теории такой случай соответствует т = 1, когда

Смакс.= %4,(11.96)

в то время как

LLt =视2 + 力"=£ макс.+ 力力(Н.97)

Появление дополнительного орбитального момента ЙЧ связано с некоммутативностью операторов проекций момента L*, Ц и L? друг с другом, благодаря чему их все невозможно задать точно. Поэтому, когда L2 — L2 Какс. = ^Л проекции Lx и Lv не обращаются в нуль и принимают некоторое минимальное значение, в связи с q«M：

Акв. = 1Л макс. + (А£%)%н. + (ААу)мин5(11.98)

минимальное значение (厶厶产 и {^L^ может быть получено с помощью соотношения неопределенности [см. (8.13)]:

(А厶鳥及(Аа)爲.=^|丄/一£厶|，眼筛* =扌%屮・(1L99)

В силу симметрии задачи относительно осей х и у можно положить (厶厶)％н. = (А%，)Зн., откуда получаем:

(АС*)統н. = (А〃)％н.=加 ^;' (11.100)

сумма же (厶厶％)3氏 и (厶厶卫)3H как раз будет равна дополнительному моменту W. В результате приходим к соотношению (11.97).

Таким образом, природа этого дополнительного члена та же, что и природа нулевой энергии гармонического осциллятора, т. е. связана с соотношением неопределенности.

Заметим, что в области больших значений орбитального квантового числа / членом VI в (11.97) по сравнению с 亢?/? можно пренебречь, и мы будем в этом случае иметь фактически полу- классическое боровское решение.

§ 12. РОТАТОР

Шаровые функции, как собственные функции квадрата момента количества движения, находят прежде всего свое применение в квантовой теории ротатора, т. с. при квантовом описании свободного движения материальной точки по сфере.

Результаты теории ротатора могут быть непосредственно использованы при изучении спектров двухатомных молекул. В то же самое время при исследовании движения частицы в поле центральных сил угловая часть волновой функции 屮 также описывается шаровыми функциями, и поэтому многие выводы теории ротатора (например, угловая зависимость волновой функции или правила отбора для квантовых чисел / и т) целиком относятся также и к теории движения частицы в центральном поле, в частности в кулоновском поле (теория атома водорода).

Собственные функции ротатора

Прежде всего выпишем основные результаты квантования ротатора по теории Бора, которыми мы воспользуемся как отправным пунктом для нашего дальнейшего анализа.

Поместим начало системы координат в центре сферы радиуса r = 〃 = const, Fo которой движется материальная точка. В этом случае потенциальная энергия V (г) будет постоянна:

У (г) = V (q) = const. (12.1)

В силу того, что отсчет потенциальной энергии можно производить от любого значения, принимая его за нулевое, положим:

V(q) = 0. (12.1а)

Тогда полная энергия ротатора будет равна его кинетической энергии:

Е = Т = (12.2)

Отсюда для обобщенного импульса р中,имеющего смысл момента количества движения, найдем:

(12.3)

Производя квантование по Бору, получаем:

а, значит,

一皆，

(12.4)

(12.5)

где 丿= /?М — момент инерции.

Переходя к квантовомеханической теории что эта задача представляет собой частный движение в поле, центральных сил. ^Поэтому

ротатора, учтем, случай задачи на для определения

радиальной функции 欠(尸)воспользуемся уравнением (11.21):

▽*(，) + ]禦一^^7P |R(r) = 0.

(12.6)

Здесь мы положили потенциальную энергию равной нулю и подставили, согласно (11.51),入=/(；十1). Поскольку для ротатора г = а = const, функция R (尸)=R (а) = const, т. е. v；R (а) = 0. Отсюда для энергии £z найдем значение:

Е]=

й2/ (/+1)_ 2/п0^—

Й2/ (/+1)

27

(12.7)

Сравнивая это выражение с (12.5), мы видим, что в боровской теории энергия 巨〜〃& а в квантовой механике £〜/(/十 1). Это различие обусловлено, как уже говорилось в § 11 (п. ,,г(1), некоммутативностью компонент Lv, L? и L^ оператора момента количества движения и является характерной особенностью всей квантовой механики. Совпадение обоих решений будет иметь место лишь в области больших значений квантовых чисел /, когда 尸》2：

Согласно (12.7), энергия ротатора Ег зависит только от орбитального квантового числа /; магнитное же квантовое число т, характеризующее проекцию момента L на ось 2 (т. е. ориентацию момента в пространстве), в выражение для 石七 не входит. Однако соответствующие собственному значению Ег собственные функции Ур [см. (11.67)] зависят еще и от т. Поскольку m может изменяться от ——/ до + / [см. (11.50)], каждому значению энергии Ez будет соответствовать (2/Ц-1) взаимно ортогональных собственных функций, описывающих состояния ротатора, отличающиеся лишь ориентацией момента L относительно оси z. В этом случае говорят, что уровень энергии Е» является (2/-}~ 1)-кратно вырожденным.

Вообще, состояние системы (или данный уровень) называют Мкратно вырожденным, если одному и тому же собственному значению энергии соответствует N линейно независимых собственных функций.

Вырождение энергетических уровней ротатора физически связано с тем обстоятельством, что ротатор представляет собой систему, обладающую центральной симметрией, вследствие которой все направления, проходящие через начало координат, оказываются равноценными. Из этих же соображений следует, что вырождение должно иметь место для любых центрально-симметричных систем.

Если же существует какое-то выделенное направление, определяемое, например, направлением магнитного поля, то центральная симметрия нарушается и возможные направления для момента L становятся уже неравнозначными, благодаря чему вырождение либо снимается полностью, либо кратность его уменьшается.

Различные уровни энергии в спектроскопической терминологии называют термами. Так уровень, соответствующий / = 0, называют s-термом, уровень с I— 1 называют р-термом. Для d-терма / = 2. Для /-терма / = 3. Для g-терма / = 4 и т. д. При этом о ротаторе говорят, что при / = 0 он находится в s-состоянии, при I— 1 в p-состоянии и т. д.

Рассмотрим более подробно s- и p-состояния ротатора. Поскольку в s-состоянии / —т = 0, согласно (11.67) собственная функция У&, соответствующая нулевому собственному значению энергии 旦=0, будет равна:

Y^y=-. (12.8)

Отсюда для плотности вероятности | 挣卩 найдем:

(12.9)

В р-состоянии / — 1, а квантовое число m может принимать три значения: —1, О, Ц-1. Следовательно, собственному значению энергии Ei — -j будут соответствовать три собственные функции:

= —l/^e』sin8, (12.10)

y；=M*cos8, (12.11)

yj = |/^-^sin&. (12.12)

Плотности вероятности будут определяться при этом формулами: 1w"2 = 3|2 =不也28,(12.13)

\Y[ P = ^cos4.(12.14)

Графически распределения плотности вероятности (12.9), (12.13) и (12.14) представлены на фиг. 12.1, причем в силу независи-

Ф и г, 12,1. Распределение плотности вероятности для ротатора.

мости I Y^ |2 от угла 屮 изображение дано только в плоскости (гу). Чтобы получить полную картину, график нужно вращать вокруг оси z.

Как видно из (12.9) и фиг. 12.1, а, направление момента L относительно оси z для ротатора в s-состоянии не зависит от угла 8. Это и понятно, так как момент L?=九?1 (I 十 1) в этом случае равен нулю. Покоящаяся же материальная точка может с равной вероятностью находиться в любом месте сферической поверхности радиуса а, т. е. все положения ротатора возможны и равноправны. Классического аналога s-состояние не имеет.

Из (12.13) и фиг. 12.1, 6 следует, что наиболее вероятной из всех траекторий ротатора в p-состоянии с I— 1 и т — ± 1 является та, которая расположена в плоскости (秒),причем 'состояния с m=l и с т =——1 будут отличаться одно от другого направлением вращения: при m= 1 ротатор будет обладать

правым вращением (момент количества движения L параллелен оси г), а при т — — 1 —левым (момент L антипараллелен оси z).

При /= 1 и т — 0 наиболее вероятной орбитой ротатора будет та орбита, которая лежит в плоскости, проходящей через ось г [см. (12.14) и фиг. 12,1, в]. При этом момент будет направлен перпендикулярно оси г.

Отметим также, что подобный анализ угловой части волновой функции справедлив для всех систем, обладающих центральной симметрией.

Правила отбора'

Определение правил отбора, указывающих, при каких изменениях квантовых чисел переходы являются разрешенными, как указывалось, характеризуются матричными элементами:

^'rY^ d2.(12.15)

Если при каком-либо изменении квантовых чисел матричный элемент равен нулю, то такие переходы будут запрещенными (излучения не будет). Зная правила отбора, можно сразу найти как частоту, так и интенсивность излучения [см. (9.22)].

Введем в (12.15) вместо координат х, у и z (т. е. вместо 尸) следующие переменные:

z = acos&,(12.16)

Е = % + (у = a sin 8е£(12.17)

т] = х — (у =(7 sin Be』.(12.18)

С физической точки зрения это эквивалентно разложению движения ротатора на три части: на колебание вдоль оси z, описываемое составляющей z, а также на лежащие в плоскости лу/ правое и левое вращения, характеризуемые соответственно составляющими Е и 笃；при этом в совокупности все три составляющие должны описывать полное движение материальной точки по сфере.

Определение правил отбора в новых переменных

сведется

к вычислению следующих матричных элементов: (Z)禽，=§ (У#')* cos 8 У『da.

(12.19)

⑸禽，=§ (У歹)* sin 8叁y『dQ,

(12.20)

⑺禽，=§ (У#，)* sin 8e「評 У? dQ,

(12.21)

где ради простоты мы положили а= 1.

Учитывая рекуррентные соотношения между шаровыми функциями 1):

cosayy/y；* 十 зу*, sin 呢士 М У? = А± у中十 В土 y『f J,

(12.22)

(12.23)

а также условие ортонормированности для шаровых

функций

(11.68), имеем:

(噺'=const%,/,”],

(12.24)

^llm = 8nst 6加,由 + 】％ z± p

(12.25)

⑺禽'=const

(12.26)

Отсюда получаем следующие правила отбора: а) соответствующие колебаниям вдоль оси z:

—团'=0, Д/ = / 一一 Г— ± 1,

(12.27)

б) соответствующие правому вращению:

△т = —1, А/ = ±1,

(12.28)

в) соответствующие левому вращению:

A/72 =十1, a2 = ±1.

(12.29)

Таким образом, разрешенными будут только те

переходы,

для которых изменения магнитного квантового числа

m и орби-

тального квантового числа / равны:

А/п = 0, 土 1,

(12.30)

Д/ = ±1.

(12.31)

i) Коэффициенты А и В могут быть найдены сравнительно просто. Для этого в формулу (12.22) следует подставить разложения (11.67), положив в них:

pm _ ⑵)！(1 _卢等*二吟 а — m一т)7 斗 1

2一2"!(/一切)！U大)r2⑵-1) 大 十…j.

Тогда, сокращая все равенство на ©加中(1—炉严奴 и приравнивая в левых и правых частях коэффициенты при xl~m¥i и х~тт (приравнивание коэффициентов при остальных степенях х ничего нового не дает), получаем:

В (/,加)=В (/,加)=д а (/+⑺ a-m)У ⑵+1) (2/-〉д а (/+⑺ a-m)У ⑵+1) (2/-〉А 〃(/ + 1 — /л) (Z + 1 + m)

В (/,加)=

В (/,加)=

д а (/+⑺ a-m)У ⑵+1) (2/-〉

д а (/+⑺ a-m)У ⑵+1) (2/-〉

(12.22а)(12.23а)(12.22а)(12.23а)S(/, ^)- У (2/+1)(2/+3)

(12.22а)

(12.23а)

(12.22а)

(12.23а)

Аналогичным путем находим:

似(厶у ⑵+ i)⑵+ з) /仏加)_+ I/⑵石1)(2，- 1)，

Заметим, что эти правила отбора для квантовых чисел т и I будут иметь место для любых центрально-симметричных систем и, в частности, для атома водорода.

Зная правила отбора, найдем для ротатора возможные ча^ стоты излучения (или поглощения):

%，= 2吗"='^.(12.32)

Подставляя сюда выражение для энергии Et [см. (12.7)] и учитывая, что в данном случае момент инерции ротатора остается неизменным, формулу (12.32) можно привести к виду:

%,=机/(/+1)一/(，+1)].(12.33)

Отсюданаосновании (12.31) получаем:

%「尸号1，(12.34)

2,上十1 =—号《+ 1)，(12.35)

причемчастота% 上一 соответствует переходус верхнего энерге

тического уровня на нижний (т. е. сверху вниз), а 曲 & +「 наоборот, снизу вверх.

Спектры двухатомных молекул

Известны три основные разновидности спектров: непрерывный спектр, испускаемый нагретым телом (например, излучение абсолютно черного тела, спектральное распределение которого характеризуется формулой Планка), линейчатые спектры (или атомные), обусловленные переходами электронов в атомах с одних энергетических уровней на другие (примером может служить серия Бальмера для атома водорода), и, наконец, полосатые спектры излучения молекул. Последние представляют собой светлую полосу с резкой границей со стороны более низких частот н с размытой границей со стороны более высоких частот. Лишь только спектрографы с высокой разрешающей силой позволяют установить, что полоса состоит из множества отдельных линий.

Как мы увидим ниже, эти полосатые спектры непосредственно связаны с вращательным характером движения молекул.

Рассмотрим молекулу, состоящую из двух атомов с массами mi и т2, расположенными друг от друга на постоянном расстоя-

нии г (см. фиг. 12.2). Примером такой молекулы может быть в первом приближении двухатомная молекула HCI.

(12.36)(12.36)Как известно, при наличии двух или большего числа частиц центр тяжести движется как одна частица с массой, равной сумме масс всех частиц:

(12.36)

(12.36)

дмм尸 £®,

а относительное движение характеризуется так называемой приа относительное движение характеризуется так называемой приоо©©веденной массой тпр_, обратная величина которой равняется сумме обратных величин масс всех частиц:веденной массой тпр_, обратная величина которой равняется сумме обратных величин масс всех частиц:@ =0@ =0(12.37)(12.37)

а относительное движение характеризуется так называемой при

а относительное движение характеризуется так называемой при

о

о

©

©

веденной массой тпр_, обратная величина которой равняется сумме обратных величин масс всех частиц:

веденной массой тпр_, обратная величина которой равняется сумме обратных величин масс всех частиц:

@ =0

@ =0

(12.37)

(12.37)

Ф и г. 12.2. Схема двухатомной моле-кулы.Ф и г. 12.2. Схема двухатомной моле-кулы.?n1卷I飞招?n1卷I飞招V “I ■— -Vg),V “I ■— -Vg),(12.38)(12.38)

Ф и г. 12.2. Схема двухатомной моле-кулы.

Ф и г. 12.2. Схема двухатомной моле-кулы.

?n1卷I飞招

?n1卷I飞招

V “I ■— -Vg),

V “I ■— -Vg),

(12.38)

(12.38)

Чтобы показать это, запишем лагранжиан £ системы, состоя-

щей, например, из двух взаимодействующих друг с другом частиц с массами тх и д:

где %i и %в ——координаты первой и второй частиц соответственно, а (%2 ——％i) — расстояние между ними. Вводя относительную координату 尤=尤1 —— 尤а и координату центра тяжести:

получим:

z=厶嘤Ly眸^ 一 Ю，

откуда, пользуясь уравнением Лагранжа:

色丝_丝=0

dt д戈tдк» —

^сумм. *И. т. — COnst,^сумм. *И. т. — COnst,(12.40)(12.40)находим, что движение центра тяжести будет характеризоваться общей массой:

^сумм. *И. т. — COnst,

^сумм. *И. т. — COnst,

(12.40)

(12.40)

а относительное перемещение частиц ——приведенной массой: 加吧.尤=-^，)(12.41)

Если центр тяжести покоится (工口.「= 0), то тогда координаты xY и х.2 будут связаны j относительной координатой х при помощи соотношений:

加 0%т,х

% =——г—，修=—.

Отсюда для момента инерции двухатомной молекулы находим выражение:

J — тхх\ 十 tru^ — mnpx2,(12.42)

подобное выражению момента инерции для одной материальной точки, масса которой равна приведенной массе, а координата — относительной координате. Поэтому во всех результатах, полученных для ротатора, мы должны вместо момента инерции подставить выражение (12.42), положив при этом х = а.

В случае, когда излучение обусловлено только ротационными переходами, его частота, согласно (12.34), будет определяться выражением:“

з/「= 2团，(12.43)

где

8 =多=宀，(1244)

Отсюда видно, что спектры подобных молекул, совершающих ротационные переходы и называемые в связи с этим ротационными спектрами, представляют собой набор равноотстоящих (см. фиг. 12.3) друг от друга линий.

1) Этот вывод легко обобщить и на квантовый случай.

Для этого надо написать волновое уравнение для двух частиц с координатами Г] и г2:'

(Е — 0(г, —%) —*g —盡陶屮=0, где

Pi = — j九 V" р2 —诡 %.

В случае покоящегося центра инерции, что на языке квантовой механики означает:

Pi = — р2 = р = 一 iH V, r = r】一г*

находим для описания относительного движения волновое уравнение:

V"屮 + 警・(Е —”))屮=0,(12.41а)

которое может быть получено из уравнения Шредингера (4.8), если в последнем массу частицы mQ заменить приведенной массой.

Z=43：,332 =3叫02г_1— ^21 =2匂0Z=43：,332 =3叫02г_1— ^21 =2匂03〃 з2，毋2 343Фиг. 12.3. Спектр ротатора.3〃 з2，毋2 343Фиг. 12.3. Спектр ротатора.

Z=4

3：

,332 =3叫0

2г_1—

^21 =2匂0

Z=4

3：

,332 =3叫0

2г_1—

^21 =2匂0

3〃 з2，毋2 343

Фиг. 12.3. Спектр ротатора.

3〃 з2，毋2 343

Фиг. 12.3. Спектр ротатора.

Однако ротационный спектр находится в далекой инфракрасной области (длина волны излучения порядка 100—300 卩)и его исследование сопряжено с рядом трудностей. Подобные линии обнаружены, например, в молекуле НС1, как линии поглощения. Промер расстояния между линиями позволяет судить о моменте инерции молекулы.

Наряду с чисто ротационными спектрами существуют еще вибрационно-ротационные спектры, возникающие в том случае, когда вместе с вращением молекулы учитываются также и ее внутренние колебания. Заметим, что этот спектр расположен уже

не в такой далекой инфракрасной части, как ротационный, и более доступен изучению.

Рассмотрим в общих чертах теорию двухатомной молекулы, расстояние между атомами которой не является постоянной величиной. В этом случае молекула представляет собой осциллирующий ротатор.

Не вдаваясь в подробности взаимодействия атомов, образующих молекулу, найдем, следуя простым качественным соображениям, общий ход кривой потенциальной энергии V (г).

В о-первых, учитывая, что

атомы не могут находиться сколь угодно близко друг к другу, мы должны положить V (г ->0) со. Во-вторых, при г —8 взаимодействие атомов должно стать пренебрежимо малым, и поэтому У (г->сю)->0. Далее, поскольку молекула представляет собой устойчивую систему, при некотором конечном значении расстояния (г = а) между атомами потенциальная энергия V должна быть отрицательной величиной и достигать некоторого минимального значения. В самом деле, при 廿^0 молекула немедленно бы распалась (более подробно об энергии связи атомов в молекуле см. § 27). Общий характер изменения потенциальной энергии атомов в молекуле в зависимости от расстояния между атомами изображен на фиг. 12.4.

Если отклонения х~г ——а молекулы от равновесного состояния (определяемого значением а) сравнительно невелики (%々о), то потенциальную энергию V (г) можно разложить в ряд вблизи

точки г — аг

Ограничиваясь первыми тремя членами разложения и учитывая, что в точке г = а функция V имеет минимум, т. е. V'(q) = 0, a V"(a)〉0, выражение (12.45) можно привести к виду:

]/(/•) = _£)+加*•产.')(12.46)

Здесь V" (а) = "%р. d и V (〃)=—£)представляют собой соответ-

V(r)

Ф и г. 12.4. Кривая потенциальной энергии двух,атомной молекулы.

ственно коэффициент упругости и энергию диссоциации молекулы 2).

Обычно в качестве V(r) выбирают эмпирический закон:

-М毒3

y(r) = D(\ — e 2D

введенный Морзе, который при соответствующем подборе постоянных приблизительно правильно передает зависимость потенциальной энергии молекулы от межатомного расстояния. Физическая сторона вопроса о возникновении межмолекулярных сил с учетом квантовой теории будет рассмотрена нами в § 27.

Энергия диссоциации D определяется работой, которую необходимо совершить (с точностью до нулевой энергии колебаний), чтобы разорвать молекулу. Эта энергия по порядку величины, как правило, равна нескольким электронвольтам.

Квантовая механика

Чтобы найти энергетические уровни рассматриваемой молекулы (а тем самым и ее спектр), обратимся к уравнению Шредингера (11.21) для радиальной части волновой функции, поскольку потенциальная энергия (12.46) в нашем приближении обладает сферической симметрией.

Поскольку нас интересует только относительное движение атомов, заменим в (11.21) массу т па тпР1. В результате полу

чим уравнение:

一"門R = 0.

(12.47)

Замечая, что

制r=

dr? I r dr

二 1 d*R)

(12.48)

и вводя функцию:

rR=U,

(12.49)

после подстановки (12.46) в (12.47) будем иметь:

^ + 堂В也+。一/^等一^Д}" = 0. (12.49a)

Tag как 尤《а, то в этом уравнении можно считать ~ =

~厘.Тогда, полагая:

E^D~Btll(l+ 1) = Е,(12.50)

где В = ^, a J = m^aii приведем (12.49а) к виду:

”十密(£ — %.零)а = 0.(12.51)

Это уравнение точно совпадает с уравнением (10.14) для гармонического осциллятора, и поэтому

廿=力3快十百，.(12.52)

где fe = 0, 1, 2, 3,....

Таким образом, для энергии Е молекулы при учете не только ротационного, но и колебательного движения имеем:

Е = — Q + 5加(/十 1)十力(о 但十 ％).(12.53)

Здесь первый член является энергией диссоциации, а второй и третий обусловлены соответственно вращением и колебанием молекулы.

Заметим попутно, что для молекулы существует лишь конечное число дискретных энергетических уровней. Это связано с тем обстоятельством, что при

ВМ (/ + 1)十方со也十；В D молекула должна распасться.

Качественно распад молекулы при больших квантовых числах можно пояснить следующим образом. При 左》1 амплитуда колебаний может стать настолько большой, что атомы на этих расстояниях практически уже не будут взаимодействовать и молекула как связанная система перестанет существовать. В случае же слишком больших орбитальных квантовых чисел /, характеризующих энергию вращения, центробежные силы также могут разорвать молекулу.

Положительная бетбьПоложительная бетбьФ и г. 12.5. Вибрационно-ротационный спектр двухатомной молекулы.Ф и г. 12.5. Вибрационно-ротационный спектр двухатомной молекулы.Перейдем теперь к изучению вибрационно-ротационного спектра. При этом учтем, что положение на шкале спектра в основном будет определяться вибрационной энергией, так как она по

Положительная бетбь

Положительная бетбь

Ф и г. 12.5. Вибрационно-ротационный спектр двухатомной молекулы.

Ф и г. 12.5. Вибрационно-ротационный спектр двухатомной молекулы.

своей величине превосходит ротационную энергию (Хвибр ~ Юр-, а 入рот.〜 10°Р)・ Тогда, принимая во внимание, что спонтанные переходы могут происходить только сверху вниз, т. е. с изменением k на k ——1 [квантовое число I при этом согласно правилам отбора может измениться как в сторону меньших (/f/ —— 1), так и в сторону больших (/->/-{- 1) значений], для частоты излучения,

,e (玄，Z) — Е 他—1( / ± 1)

согласно (12.53) находим:

и/ = ю(12.54)

Здесь в соответствии с (12.34) и (12.35)(oz л=2也，(о/ 七十1 = =—2В(/+1), а''

Таким образом, получаем две ветви (см. фиг. 12.5):

з+ = %ибр. + 2В/ и о)- =(овибр —2В (/+ 1).(12.55)

Подобные вибрационно-ротационные спектры наблюдаются, например, в молекулах HCI и СО.

Исследование вибрационно-ротационных спектров имеет важное значение для изучения структуры молекул. С их помощью можно, например, определить моменты инерции молекул, их изотопический состав (моменты инерции молекул, состоящих из различных изотопов того или иного элемента, будут несколько различны) и т. д.

В заключение рассмотрим спектр молекулы, когда один из атомов находится в возбужденном состоянии, т. е. когда наряду с вибрационно-ротационным излучением один из электронов атома переходит с одного, более высокого энергетического уровня (п) на другой, более низкий (几').

Энергию такой молекулы можно записать в виде:

EM^En^Ek^Elt(12.56)

где £л ——энергия возбужденного атома, определяемая, например, для атома водорода формулой Бальмера (см. § 2):

邑=一颦..(12.57)

Для энергии колебательного и вращательного движения соответственно имеем:

Ek^ — D^h^{k^-^(12.58)

ИE^Bhl (/+1).(12.59)

В результате перехода энергия Ем， молекулы изменится и станет равной:

EM- = En' + Ek'^-Ei-(12.56а)

Поскольку теперь основная часть энергии излучения будет уже обязана электронному переходу 孔 f п' в атоме, квантовые числа k и / могут как увеличиваться, так и уменьшаться:

玄=左±1,，= /± L(12.60)

При этом в целом будет иметь место потеря энергии на излучение за счет перехода электрона в атоме.

В этом случае возникает еще одна важная особенность, а именно энергия связи атомов в молекуле очень сильно зависит от номера той оболочки, на которой находится электрон. Поэтому в результате переходов энергия связи, естественно, должна изменяться, что приводит в свою очередь к изменению расстояния а между атомами. Конкретно мы рассмотрим прежде всего случаи, когда при переходах с возбужденного уровня на основной это расстояние, а вместе с тем и момент инерции J = тпр^ увеличиваются,

eu = b%1’ (T+1),eu = b%1’ (T+1),-(12.59a)-(12.59a)а величина B = ^ уменьшается. Благодаря же изменению величины В —В' ротационная часть энергии еще несколько изменяется и становится равной:

eu = b%1’ (T+1),

eu = b%1’ (T+1),

-(12.59a)

-(12.59a)

причем в рассматриваемом случае В'<В.

Для частоты излучения ^м — с учетом всевозможных

гдегде3加=-й— ±⑴丁g,力3加=-й— ±⑴丁g,力(12.61)(12.62)(12.61)(12.62)вибрационных и ротационных переходов найдем:

где

где

3加=-й— ±⑴丁g,力

3加=-й— ±⑴丁g,力

(12.61)

(12.62)

(12.61)

(12.62)

(о/( /, = В/(/十 1) —BN(厂十 1).

E — ,

Вводя обозначения(о0 =——^——±(о, приведем (12.61) к виду

з加=铀 +、〃•(12.61а)

Отсюда для полосатых спектров молекулы получаем три ветви частот:

(о+ = д + д z — (R-ветвь),(12.63)

旷=恤 + 3上(р-ветвь),(12.64)

(0° =铀 +铀/(Q-ветвь).(12.65)

В этих формулах первая, положительная ветвь (К・ветвь) соответствует переходам между ротационными уровнями сверху вниз, вторая, отрицательная (Р-ветвь)——снизу вверх и, наконец, третья, так называемая нулевая ветвь (Q-ветвь) возникает при отсутствии переходов между ротационными уровнями и всецело обязана изменению момента инерции, обусловленному переходами внутри атома.

Принимая во внимание (12.62), представим『，(о_ и(о° в форме:

(о+ =(о。十(5 _ 8” + (в 十》)/,(12.63а)

ь =铀十(5 — В) (/ 十 I)? 一 (В + В) (2 十 1),(12.64а)

⑴。=铀十(5 一 В)俨 + %(12.65а)

и изобразим эти ветви графически (см. фиг. 12.6), откладывая по оси абсцисс частоту, а по оси ординат — орбитальное квантовое число / (диаграмма Фортра). Отсюда следует, что в результате

наложения ротационных линии ⑴上，〃 на электронно-вибрационную, определяемую частотой о)0, вместо одной линии получится целая

(диаграмма Фортра):(диаграмма Фортра):о)+ — положительная R-ветвь; (о~ — отрицательная Р-ветвь; о>0 — нулевая Q-ветвь.о)+ — положительная R-ветвь; (о~ — отрицательная Р-ветвь; о>0 — нулевая Q-ветвь.z %/5/4/Jzz"/,7，J7 夕 5432/〃тz %/5/4/Jzz"/,7，J7 夕 5432/〃т

(диаграмма Фортра):

(диаграмма Фортра):

о)+ — положительная R-ветвь; (о~ — отрицательная Р-ветвь; о>0 — нулевая Q-ветвь.

о)+ — положительная R-ветвь; (о~ — отрицательная Р-ветвь; о>0 — нулевая Q-ветвь.

z %/5/4/Jzz"/,7，J7 夕 5432/〃т

z %/5/4/Jzz"/,7，J7 夕 5432/〃т

полоса с резкой границей слева и размытой границей справа, что находится в полном согласии с экспериментальными фактами.!)

В данном случае кант полосы обусловлен точкой поворота Р-ветви. Остальные линии полосы, как говорят, будут оттенены в сторону меньших длин волн, т. е. в фиолетовую сторону. В другом случае, когда 8 v 8', в формулах (12.63а), (12.64а) и (12.65а) знак у членов, пропорциональных коэффициенту (В — 8，)，изменится на противоположный. Тогда кант полосы будет обусловлен точкой поворота 7?-ветви и будет ограничивать всю полосу справа. Остальные линии полосы получат оттенение в сторону больших длин волн, т. е. в левую сторону.

Наконец, при 8 =方’параболическая зависимость частоты от квантовсго числа / вырождается в линейную. При этом мы получим спектр, изображенный на фиг. 12.5 (^Вибр. —* «о)> в котором Q-ветвь будет вообще отсутствовать, /^-ветвь будет направлена в фиолетовую сторону, а Р-ветвь — в красную.

г. Элементарная теория теплоемкости одноатомных и двухатомныхвеществ

Как известно, в основе классической теории теплоемкости одноатомных твердых тел лежит закон Дюлонга ——Пти. Закон Дюлонга — Пти находит следующее простое объяснение в классической теории.

Будем считать в простейшем случае, что молекулы твердого тела представляют собой трехмерные гармонические осцилляторы. Тогда для средней энергии молекулы будем иметь значение 】)：

оэ

Ee~ElkT dE

Ё = 3 J Зй Т,(12.66)

\ e-E/krdE О

где 々==1,38・К)-18 эрг/град——постоянная Больцмана. Заметим, что величина kT представляет собой среднюю энергию одномерного осциллятора, обладающего двумя степенями свободы (поступательное движение центра тяжести и колебание около центра тяжести). Отсюда получаем закон Дюлонга—Пти, согласно которому теплоемкость одноатомных твердых тел, приходящаяся на отдельную молекулу, т. е. на шесть степеней свободы, должна быть при любых температурах величиной постоянной и равной ):

% =等=3瓦(12.67)

Закон Дюлонга — Пти нашел экспериментальное подтверждение для одноатомного вещества в области не очень низких температур. При Т—>0 по закону Дюлонга ——Пти с1f также должна оставаться величиной постоянной, в то время как согласно экспериментальным данным она стремится к нулю. Это можно объяснить, если для средней энергии гармонического осциллятора воспользоваться не классической формулой, а квантовой формулой Планка:

巨一3 力8

где w ——частота колебаний осциллятора. Тогда для теплоемкости одноатомного вещества найдем следующий установленный Эйнштейном закон:

% =行=3一，(12.68)

(ь一1尸

где 6 =友 зависит от частоты колебаний з. Последняя формула качественно правильно передает действительный ход зависимости % от температуры.

Влияние свободных электронов на теплоемкость твердого тела будет ничтожным, что рассмотрено в § 6 [см. формулу (6.35)].

При относительно высоких температурах Т》6 мы вновь получаем закон Дюлонга — Пти. так как

，—1)士佇у, еТ^1.

При низких же температурах Т《6 получаем:

св = Зй^Уе~Т,(12.69)

т. е. при Т—0 теплоемкость с^ также обращается в нуль, что, кстати сказать, находится в согласии с теоремой Нернста. Заметим, что теория Эйнштейна не дает полного количественного совпадения с экспериментом. Физически это связано с тем обстоятельством, что теория Эйнштейна полагает твердое тело состоящим из гармонических осцилляторов, обладающих строго одной и той же частотой колебаний <о.

Следующий шаг в развитии теории теплоемкости был сделан Дебаем. Дебай считал, что твердое тело состоит не из осцилляторов, обладающих одной и той же частотой, а рассматривал его как непрерывную среду и рассчитывал спектр продольных и поперечных упругих собственных колебаний на основе теории упругости. Тогда средняя энергия собственных колебаний будет определяться формулой:

七=3 23^，(12.70)

0

где Д^род. и Д^опер. — число продольных и поперечных колебаний, соответственно приходящихся на интервал As, a N—общее число атомов. Мы получим результат Эйнштейна, если предположим, что лишь для какой-то определенной частоты w, соответствующей частоте колебаний гармонических осцилляторов, АМпрод. + ANnouep. = §N (число степеней свободы), в то время как для остальных частот АХ?проД. = ANnonep・=。・ Вообще же величины Д^род. и Д^опер. могут быть найдены из следующих соображений.

Если тело имеет форму куба с объемом L3, то, как было показано в § 4, волновые числа 0*,顾 kz будут связаны с этим объемом при помощи соотношений:

№屏*卜卜戸№屏*卜卜戸приходится лишь одно состояние, поскольку Дпх = Дп^ = Дпг ~ 1. В случае сферической симметрии следует положить ^k^ky^kz — ^k^dk. Тогда, принимая во внимание, что 也= (где。——скорость распространения упругихприходится лишь одно состояние, поскольку Дпх = Дп^ = Дпг ~ 1. В случае сферической симметрии следует положить ^k^ky^kz — ^k^dk. Тогда, принимая во внимание, что 也= (где。——скорость распространения упругихколебаний), находим, что состояний:колебаний), находим, что состояний:на интервал частот do приходится следующее числона интервал частот do приходится следующее числоА^прод.А^прод.L3co2ds2兀2桶род.L3co2ds2兀2桶род.(12.71)(12.71)ANnonep.ANnonep.n2炉n2炉попер*попер*

№屏*卜卜戸

№屏*卜卜戸

приходится лишь одно состояние, поскольку Дпх = Дп^ = Дпг ~ 1. В случае сферической симметрии следует положить ^k^ky^kz — ^k^dk. Тогда, принимая во внимание, что 也= (где。——скорость распространения упругих

приходится лишь одно состояние, поскольку Дпх = Дп^ = Дпг ~ 1. В случае сферической симметрии следует положить ^k^ky^kz — ^k^dk. Тогда, принимая во внимание, что 也= (где。——скорость распространения упругих

колебаний), находим, что состояний:

колебаний), находим, что состояний:

на интервал частот do приходится следующее число

на интервал частот do приходится следующее число

А^прод.

А^прод.

L3co2ds

2兀2桶род.

L3co2ds

2兀2桶род.

(12.71)

(12.71)

ANnonep.

ANnonep.

n2炉

n2炉

попер*

попер*

где пн п2 и 汽3 ——целые числа. Отсюда находим, что па единичный интервал квантовых чисел:

Здесь мы учли, что число поперечных колебаний, поскольку они могутЗдесь мы учли, что число поперечных колебаний, поскольку они могутсовершаться по двум взаимно перпендикулярным направлениям, больше числа продольных.совершаться по двум взаимно перпендикулярным направлениям, больше числа продольных.в два разав два разаПределы интегрирования устанавливаются в соответствии с допущением, что непрерывный спектр собственных колебаний следует оборвать наПределы интегрирования устанавливаются в соответствии с допущением, что непрерывный спектр собственных колебаний следует оборвать нанекоторой от 0 до 'некоторой от 0 до 'частоте Змакс.，частоте Змакс.，«макс.- Частота g«макс.- Частота gтак чтобы все частоты заключались в интервалетак чтобы все частоты заключались в интервалеобщее число частот степеней свободы:общее число частот степеней свободы:'макс.'макс.определена Дебаем таким образом, чтобыопределена Дебаем таким образом, чтобыв интервале от 0 до шмакс#в интервале от 0 до шмакс#равнялось общему числуравнялось общему числу"макс.3N = 】(А&род. + ANnonep.)= 0"макс.3N = 】(А&род. + ANnonep.)= 011=疆（崂=疆（崂"макс.^попер.' V"макс.^попер.' VОтсюда находим:Отсюда находим:：род.：род.Змакс.=Змакс.=18 兀2%L+_2_')од. попер.18 兀2%L+_2_')од. попер.(12.72)(12.72)в (12.70) и переходя после дифференцирования по Т отв (12.70) и переходя после дифференцирования по Т отПодставляя (12.71) i 、,.…*

Здесь мы учли, что число поперечных колебаний, поскольку они могут

Здесь мы учли, что число поперечных колебаний, поскольку они могут

совершаться по двум взаимно перпендикулярным направлениям, больше числа продольных.

совершаться по двум взаимно перпендикулярным направлениям, больше числа продольных.

в два раза

в два раза

Пределы интегрирования устанавливаются в соответствии с допущением, что непрерывный спектр собственных колебаний следует оборвать на

Пределы интегрирования устанавливаются в соответствии с допущением, что непрерывный спектр собственных колебаний следует оборвать на

некоторой от 0 до '

некоторой от 0 до '

частоте Змакс.，

частоте Змакс.，

«макс.- Частота g

«макс.- Частота g

так чтобы все частоты заключались в интервале

так чтобы все частоты заключались в интервале

общее число частот степеней свободы:

общее число частот степеней свободы:

'макс.

'макс.

определена Дебаем таким образом, чтобы

определена Дебаем таким образом, чтобы

в интервале от 0 до шмакс#

в интервале от 0 до шмакс#

равнялось общему числу

равнялось общему числу

"макс.

3N = 】(А&род. + ANnonep.)= 0

"макс.

3N = 】(А&род. + ANnonep.)= 0

1

1

=疆（崂

=疆（崂

"макс.

^попер.' V

"макс.

^попер.' V

Отсюда находим:

Отсюда находим:

：род.

：род.

Змакс.=

Змакс.=

18 兀2%

L+_2_'

)од. попер.

18 兀2%

L+_2_'

)од. попер.

(12.72)

(12.72)

в (12.70) и переходя после дифференцирования по Т от

в (12.70) и переходя после дифференцирования по Т от

суммы к интегралу, получаем формулу Дебая для теплоемкости твердого

=行=3e=行=3eЗх ]Зх ](12.73)(12.73)тела:

=行=3e

=行=3e

Зх ]

Зх ]

(12.73)

(12.73)

где 尤=洋，а 6 — так называемая характеристическая температура Дебая:

(12.74)(12.74)а方 Змакс.

(12.74)

(12.74)

Отсюда для больших Т(Т》8) находим формулу, дающую лишь небольшие поправки к закону Дюлонга — Пти:

cv = 3也(1 -备 + 一)•cv = 3也(1 -备 + 一)•(12.75)(12.75)

cv = 3也(1 -备 + 一)•

cv = 3也(1 -备 + 一)•

(12.75)

(12.75)

Для малых же Т(Т《8) имеем:

(12.76)

т. е. теплоемкость при Г—>0 будет также стремиться к нулю. Формула Дебая правильно передает ход теплоемкости как при высоких, так и при низких температурах. Следует, о диако, иметь в виду, что она по существу является лишь приближенной, ибо получена в предположении о возможности замены кристаллической решетки упругим континуумом. Учет дискретной структуры решетки приведет к тому, что простая связь частоты с волновым вектором заменится более сложным соотношением, вид которого определяется спецификой данного вещества. Лишь для достаточно длинных

волн приведенная выше формула дает сравнительно хорошее количественное совпадение с экспериментом. В общем же случае теорию Дебая следует рассматривать как приближенную теорию, а аебаевскую температуру 6 — как эмпирически определяемый параметр.

Наконец, сделаем несколько замечаний о теплоемкости газов.

Имеющиеся расхождения классической теории теплоемкости для одноатомных газов с экспериментальными данными наблюдаются лишь в области низких температур, когда вместо классической статистики следует учитывать уже квантовую.

Применяя классическую теорию теплоемкости к газу, состоящему из двухатомных молекул, следует учитывать, что на каждую молекулу газа приходится 6 степеней свободы: три степени свободы за счет поступательного движения, две — за счет вращения молекулы (ротационное движение) и одна—■ за счет колебательного (вибрационного) движения. Тогда получим, что теплоемкость двухатомного газа, приходящаяся на одну молекулу, должна быть в два раза больше, чем для одноатомного газа:

cv = 3 冗

и равной теплоемкости твердого тела, где учитывается еще три степени свободы, связанные с потенциальной энергией упругой силы. Однако многочисленные экспериментальные данные находятся в противоречии с этим результатом даже при сравнительно высоких температурах. Как известно, большинство газов, состоящих из двухатомных молекул, обладают теплоемкостью, равной cv = ~ k. Никакие классические теории не смогли объяснить этот экспериментальный факт. Только с помощью квантовой теории удалось построить теорию теплоемкости двухатомных молекул в области средних энергий.

Если при температуре 7 средняя энергия ^ ^^> приходящаяся на поступательное движение, меньше разности энергий между двумя вибрационными уровнями, то колебания за счет столкновений (тепловое движение) не смогут возбуждаться (точнее, будут возбуждаться очень редко), и молекулу можно рассматривать как жесткий диполь, который имеет лишь пять степеней свободы (три за счет поступательного движения и две за счет вращательного). При этом говорят, что вибрационная степень свободы «замораживается». Температура, при которой происходит это «замораживание», определяется, очевидно, равенством:

歹々Твн6р・ = %4 (12.77)

Для молекулы водорода, например, 7^Ибр. = 4300° К, и поэтому при средних температурах Т V Твнбр. водород имеет теплоемкость ~|■財 а не 3瓦 Только в случае, когда Т> Гвибр., т. е. когда средняя поступательная энергия ~ kTz>^ становится достаточной для возбуждения колебаний, теплоемкость должна увеличиваться до 3瓦

При температурах ниже Трот, должен наступить такой момент, когда поступательная энергия станет меньше ротационной, причем

3亢2

■у 々Трот.=西，(12.78)

где J—момент инерции молекулы.

При Г< Грот, двухатомная молекула будет эффективно обладать уже только тремя степенями свободы (поступательными), вследствие чего ее

3 , теплоемкость станет равной -у к.

Для молекулы водорода Грот. = 55° К. Однако в большинстве ,случаев при столь низких температурах законы классической статистики неприме

нимы, и поэтому двухатомная молекул公р этом случае будет вести се&я как одноатомная, к которой при определении средней энергии следует применять не классическую, а квантовую статистику, т. е. формулу Планка. С учетом квантовых эффектов примерный ход кривой зависимости теплоемкости от температуры изображен на фиг. 12.7 (при условии, чго %т. >6).

Фиг. 12.7. Ход кривой теплоемкости двухатомной молекулы.Фиг. 12.7. Ход кривой теплоемкости двухатомной молекулы.Задача явный вид функций в орбитальноеЗадача явный вид функций в орбитальное1). Найти сферических

Фиг. 12.7. Ход кривой теплоемкости двухатомной молекулы.

Фиг. 12.7. Ход кривой теплоемкости двухатомной молекулы.

Задача явный вид функций в орбитальное

Задача явный вид функций в орбитальное

случаях, когда

квантовое число / = 2,3. Непосредственным вычислением убе

диться в их 土 1, ±2.Ответ.диться в их 土 1, ±2.Ответ.ортонормированности. Построить графики для | /^ |2 при m = О,

диться в их 土 1, ±2.

Ответ.

диться в их 土 1, ±2.

Ответ.

Ж =Ж =± 1^ 4^ s® & cos 呢± 坤，± 1^ 4^ s® & cos 呢± 坤，Y^=V ^ 偿 СОУЗ—励，

Ж =

Ж =

± 1^ 4^ s® & cos 呢± 坤，

± 1^ 4^ s® & cos 呢± 坤，

厅2=4"]/^疝2呢±2竺

疗^ = ±； 了^疝3(5 cos23—1)е±У步= _^j/醤 sin2 3 cos 呢 ±2气

Задача 12.2. Найти собственную функцию оператора L#, если известно, что его собственное значение равно нулю, а орбитальное квантовое число / = 1.

Решение. Решение уравнения при / = 1 и

L#(p = О

Задачи в настоящем параграфе относятся и к § 11.

будем искать в виде:

Пользуясь затем (11.88), где полагаем / = 1 и т = +1, —1, 0, а также условием нормировки:

\ 屮叫 sin &d&dp = 1,находим:—

屮=方(片 У”)= ]Z± sin a COS 用

Задача 12.3. Исследовать свободное движение частицы в сферических координатах в общем виде. Определить нормированные функции с / = 0 (s-состояния).

Решение. Уравнение Шредингера в сферических координатах для свободного движения может быть записано в форме:

гдегде(12.79)

где

где

必 2m0e

Вводя новую функцию “L=Vir R、преобразуем (12.79) к виду:

вого рода» когдавого рода» когдаconstwconstw/I (配).’+彳/I (配).’+彳Решение последнего уравнения представляет собой функцию Бесселя полуцелого порядка. Учитывая, что волновая функция должна оставаться конечной в точке г —*0, мы должны оставить только функцию Бесселя пер

вого рода» когда

вого рода» когда

constw

constw

/I (配).

’+彳

/I (配).

’+彳

Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения для свободной частицы в сферических координатах с заданной энергией может быть представлено в виде: со I

屮伊,r)=t У Cfy?®,! (fer). (12.80)

В частности, при Z = 0 (s-состояние) будем иметь:

R (用 г)= — sin kr.(12.81)

Поскольку спектр является непрерывным, то последнее выражение мы должны нормировать на Ь-функцию:

R* (忆 r) R 伏，r)产dr = & (々一也)

Отсюда находим:

Задача 12.4. Найти правила отбора для квадрупольного излучения ротатора.

Решение. Необходимо найти такие переходы, при которых матричный элемент квадрупольного момента

Qss，屮方田(3%尤s，―' @%s，)屮z/Q =

=e (3 S АА，屮方m，％m dQ -炉* S ^,m^lmdQ)

был бы отличен от нуля. Здесь

s, s' = 1, 2, 3; л3 = 2 = a cos 2,

хь 2 = л ± i^ = fl sin 8е± 冷={:.

Учитывая, что матричный элемент от билинейной комбинации выражается через сумму произведений линейных матричных элементов (см. задачу 10.4) 您'=5(%)禽*"(/，隔‘，，

а также то, что согласно формулам (12.24), (12.25) и (12.26) отличными от нуля должны быть только линейные матричные элементы вида:

Н±1,加十1 Z± 1, m — 12i± 1, m

находим следующие правила отбора для квадрупольного излучения ротатора:Дш = 0, ±1, ±2; Д/ = 0, ±2.

Как мы увидим в дальнейшем, четность шаровой функции определяется только значением / и не зависит от т (см. § 17), поэтому, если при дипольном излучении возможны лишь переходы из нечетного в четное состояние или наоборот (А/= ± 1), то при квадрупольном — только из четного в четное или из нечетного в нечетное.

Задача 1,2・5. Произвести разложение плоской волны:

^ = ?^= ei*r cos а(12.82)

по сферическим волнам.

Решение. Вводя обозначения hr=y и cos^ = x, решение будем искать в виде разложения по полиномам Лежандра:

со

е'"= Ц В1(у)Р1(х).

Отсюда, учитывая условие ортонормированности для полиномов Лежандра [см. (11.68)], находим:

8‘ = ('+В) , e'"B(x)dx.

Подставляя сюда для полиномов Лежандра выражение (11.59) и перебрасывая / раз производную с функции (№—1/ на функцию cU#, получаем:

I

B，=壶“ + ^卜旷f(1 -炉)好"dx.

Далее, воспользовавшись хорошо известным в теории бесселевых функций равенством 】)：

j(1=昨小守 + % + 14(>),

находим значение для коэффициентов В^ Тогда искомое разложение плоской волны по сферическим принимает вид:

ОО

”7"=М 号 I "Q/+1)台 厶十％ 阿)匕(COS8).(12.83)

Е = 0У Г

Следует подчеркнуть, что плоская волна е*? удовлетворяет уравнению Шредингера для свободной частицы:

V?屮4-々2屮=0.

Поэтому заранее можно было предвидеть, что коэффициенты 8/ будут пропорциональны функции Бесселя 了土内丛卜八 потому что правая часть (12.83) также должна представлять собой линейную комбинацию частных решений свободного уравнения Шредингера, записанного в сферических координатах [см. (12.80)].

Задача 12.6. В задаче ротатора найти среднее значение операторов Н и L-, для которых шаровая функция У? является собственной функцией. Кроме того, вычислить среднее значение операторов L# 土 忆(коммутирующих с Н, но не с Ьг) и 2 (коммутирующего с Ьг( но не с Й), для которых даровая функция не является собственной. Какой вывод можно сделать о характере решений при наличии нескольких операторов, коммутирующих с гамильтонианом, но не коммутирующих между собой.

Решение. Исходя из общего выражения волновой функции:

屮⑺=£G/7e-(f

m

и равенств (11.87), (11.88) и (12.22), можно показать, что

〈"〉=2 Еe加 Clm,т

〈厶〉=£ ^mCTfnClmi

〈上〉* ±，〈£〉У = 一 £ 丸 m(/ - 1 ± m)(2 不"2)а, m ± £m

〈z〉= X 2 (/,例 Cf — 1,c1nle-叫,I / +

+ A(/, /n)Q+1 „C^+i, ?].

Здесь значения коэффициентов 力仏 т) и 8(厶 加)заданы формулой (12.22а).

Поскольку функция У? является собственной функцией операторов Н и Lz, среднее значение этих операторов равно линейной комбинации квадра-

См., например, Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции, М.—几,1935, стр. 65.

тов модулей коэффициентов CfmC[mi характеризующих одно и то же состояние, и поэтому оно не должно зависеть от времени.

Среднее значение остальных операторов, для которых V? не является собственной функцией, как правило, должно зависеть от времени. Однако среднее значение операторов L# ± iLy (коммутирующих с гамильтонианом Н) не зависит от времени, так как эти операторы пропорциональны сумме квадратичных комбинаций амплитуд Cf т^_(Q т, относящихся хотя и к различным состояниям, но зато эти состояния обладают одним и тем же значением энергии. Таким образом, наличие двух и более операторов, коммутирующих с Н, но не коммутирующих между собой, говорит о том, что данная квантовая система должна быть вырожденной.

§ 13. ТЕОРИЯ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА(ПРОБЛЕМА КЕПЛЕРА)

Боровская теория водородоподобного атома (см. § 3) имеет полуклассический характер и далеко не полностью может объяснить многие основные свойства атома. Как мы уже отмечали, с помощью боровской теории нельзя рассчитать интенсивности излучения атомов или построить теорию атома не с одним, а с несколькими электронами. Все эти вопросы не вызывают каких- либо принципиальных затруднений при построении теории атома при помощи волновой механики. Проблема же движения одного электрона в атоме, представляющая собой в математическом отношении обобщение классической задачи движения планеты вокруг Солнца (проблема Кеплера), интересна еще и в методическом отношении, так как допускает наряду с теорией гармонического осциллятора и ротатора точные решения. В настоящем параграфе мы рассмотрим эту задачу более подробно.

а. Собственные функции и собственные значения энергии

Заметим прежде всего, что энергия взаимодействия электрона с ядром:狗

зависит только от расстояния г между ними. Поэтому задача водородоподобного атома, вокруг ядра которого движется один электрон, будет представлять собой типичную задачу на движение в поле центральных сил. Совмещая начало системы координат с ядром атома, угловую часть У『волновой функции 屮 можно считать известной [см. (11.67)], а для нахождения уровней энергии и радиальной части R (г) воспользоваться уравнением (11.21), которое в нашем случае принимает вид:

必R+誓{е + §—兰^1)}R=O.(13.2)

Введем эффективную потенциальную энергию электрона ():

匕 ФФ. = 一穹 + 嘅护， (13.3) первый член которой обусловлен кулоновским взаимодействием, а второй ——центробежными силами.

эфф* г 2m0r2 *Штрнхпунктирной кривой показан ход волновой функции.эфф* г 2m0r2 *Штрнхпунктирной кривой показан ход волновой функции.

эфф* г 2m0r2 *

Штрнхпунктирной кривой показан ход волновой функции.

эфф* г 2m0r2 *

Штрнхпунктирной кривой показан ход волновой функции.

можно, согласно классическойможно, согласно классической

можно, согласно классической

можно, согласно классической

Графически У9фф> представлена на фиг. 13.1. Из этого графика, в частности, следует, что если полная энергия электрона отрицательна Е<0, то его движение будет происходить в области, ограниченной с обеих сторон потенциальными барьерами (классический аналог — эллиптические орбиты), благодаря чему энергетический спектр должен иметь дискретный характер.

При Е〉0 барьер справа (г—>оо) будет отсутствовать и положение электрона со стороны больших г становится неограниченным (классический аналог — гиперболические орбиты).

Так как в атоме положение электрона должно быть ограниченным некоторым значением гмакс> (эллиптические орбиты), то при построении теории атома следует считать Е<0. Тогда уравнение (13.2) принимает вид:

где。

^1 = в〉о и -竽= А〉0.(13.5)

Вводя новую переменную:

р = 2/&,(13.6)

получаем уравнение:

R"+^R+T 十 К 一修Ч*。，аз?

где R' = (dR/dp).

Исходя из графика для Уэфф>, можно судить об общем характере решения. Ясно, что внутри ямы гмин> <^г <^ гмакс> оно будет иметь колебательный характер, а вне ее (г —0 и г —>оо) возникнут как неограниченно возрастающие, так и убывающие решения. Необходимо подобрать условия, которые позволят исключить неограниченно возрастающие решения. Это требование так же, как и в задаче гармонического осциллятора, должно привести к нахождению дискретных уровней энергии электрона.

Поскольку яма не обладает симметрией, асимптотические решения будем искать по отдельности, как при р —0, так и при р—>8.

Асимптотическое решение при р —сю можно найти, согласно (13.7), из уравнения:

原。—；-Roo = 0,(13.8)

т.

Rs = 2P +СС"Р.(13.9)

Чтобы исключить экспоненциально возрастающее решение, следует положить С^ — 0. Коэффициент же Ct может быть вклю~

чен в общий нормировочный множитель волновой функции, и поэтому его можно приравнять единице. Тогда

小=8一1/沖.(13.10)

Для определения асимптотического решения при р—>0 на основании (13.7) будем иметь уравнение1):

r:十费飞一组尹当 = 0，(13.11)

откуда, полагая /?0 = р7, находим g(«+1)——/(/十 1) = 0, т. е. «i = j, ,2 =——" + i)・ Следовательно,

& = &J + Gp"t.(13.12)

Полагая C^ — 0 (при этом неограниченно возрастающее решение при р = 0 исключается), а &=1, получаем:

R)= p'・R)= p'・(13.13)

R)= p'・

R)= p'・

Общее решение уравнения (13.7), которое можно также записать в виде: ,

聚十一之+岛—用障=°，Q3・7a）

выберем в форме:

R = RsRgU.

В этом случае

(13.14)

pR = р"%— “2嗔=vu,

(13.15)

и для определения

неизвестной функции 〃 получаем уравнение；

н烏—屮｝〃=°・（36）

Замечая, что согласно (13.15):

1пи = — %р 十(/十 1) In Р, находим：

о

члена 晔 и поэтому могут быть отброшены.

и.

1/+1 I /" + 1)

4

порядку будут много меньше

Пользуясь найденными формулами, преобразуем (13.16) к виду:

Р〃"十[2(/+1) — р]〃‘十隐一/一屮=0.(13.17)

Чтобы характер решения для R в нуле и на бесконечности определялся асимптотическими формулами (13.10) и (13.13), необходимо найти условия, при которых функция 〃 будет представлять собой некоторый конечны!! полином степени 々 без отрицательных степеней:

〃 =£ /pl(13.18)

v = 0

Подставляя (13.18) в (13.17) и группируя члены с одинаковыми степенями р, будем иметь:

之｛4吸一-T+

十a叶6(V+1) + 2(V + 1)(2+1)]｝ = 0.(13.19)

Отсюда, учитывая, что аА+1 = 0 и 〃力 W 0, получаем:

昌=々十/+1=м.(13.20)

Здесь квантовое число п, на единицу большее суммы орбитального:

I = 0, 1, 2, 3, и радиального:

k = 0, 1, 2, 3, ...(13.21)

квантовых чисел, получило название главного квантового числа п. Оно может принимать значения：

/1=1, 2, 3,(13.22)

Принимая во внимание равенство (13.20), для определения неизвестных коэффициентов 。丫 ряда (13.18), согласно (13.19), получаем рекуррентное соотношение:

а,色 一 у)= —。叶](у + 1)(у + 2/十 2).(13.23)

Полагая в (13.18) коэффициент при старшей степени 〃力= =(——1)" и вычисляя с помощью (13.23) все остальные коэффициенты, для функции “，находим выражение:

〃 =(—1尸｛ р「^2^ р*т +»(月【1 塊好伊卄 s—1)一｝=

k

=E 1，(13.24)

где s = 2/ + l. Ряд (13.24) называется обобщенным полиномом Лагерра Q式р) порядка 々 и может быть представлен!) также в замкнутой форме:

u = Ql(p) = ePp-^(e-Ppft+9， (13.25)

имеем:имеем:(13.26)(13.26)Таким образом, для радиальной функции Rnl (г) окончательно

имеем:

имеем:

(13.26)

(13.26)

где р = 2 V Аг. Принимая во внимание, что = п, а также учитывая значение для В [см. (13.5)], находим:

(13.27)(13.27)2Zp = —г‘閣0

(13.27)

(13.27)

力2

чаем:чаем:п (п — I — 1)!(相 + /)!，п (п — I — 1)!(相 + /)!，44где величина а0 = —^ является радиусом первой боровской орбиты. Вычисляя коэффициент Cni из условия нормировки, полу-

чаем:

чаем:

п (п — I — 1)!(相 + /)!，

п (п — I — 1)!(相 + /)!，

4

4

(13.28)

т. е.

凡2=(為)Aj 做几一//單(几+少(箫)6吗Q牡(務)

(13.28a)

Как известно, условие нормировки для радиальной части волновой функции имеет вид:

со

W/dr=l.

Покажем, что функция и, записанная в замкнутой форме (13.25), действительно удовлетворяет уравнению (13.17). В самом деле, функция о = =е一歐+$ подчиняется уравнению "+(р —也一■ s) t/ = 0, в чем нетрудно убедиться, взяв от о первую производную по р. Дифференцируя это уравнение (也 4-1) раз по правилу Лейбница, легко приведем его к виду:

叩泣 м)+(р_ $+ 1)。麻” +伊+ 1)。肉=0.

Отсюда, вводя новую функцию w = vlkie^^~st получаем для нее уравнение:

+ (s + ] — р)» + 也w = О,

совпадающее с уравнением (13.17) для функции и [так как (8/У А)——Z—1 =同. Поскольку при этом легко показать, что коэффициент при старшем члене (р*) функции:

w = ePp-s —^ (e~P*+s)

будет совпадать с соответствующим коэффициентом равенства (13.24), мы тем самым доказываем справедливость соотношения (13.25).

Подставляя сюда вместо Rni его выражение (13.26) и заменяя, согласно (13.27), г на ^^ р, получаем:

8

笏)"卜戸У + %р = 1.о

Представим теперь один из полиномов Q^~^ в виде ряда (13.24), оставив для другого замкнутую форму (13 25). Тогда условие нормировки, записанное выше, примет вид:

6M雾、Р(— 1 产｛рI 伊 + 2/ + 1)沪I + ...｝备(е-р尸宀)dp=l. О

Отсюда, пользуясь теоремой о перебросе производной (см. § 7 п. в), найдем:

j е-Р [(k + 1)! 1耳k+e —川也(2/ + 也 + 1)俨 *+i] dp = 1. О

Легко видеть, что остальные члены ряда для функции Q^ дают нуль, так как от них берутся производные более высокого порядка, чем соответствующий показатель степени р.

Используя далее известный интеграл:

\『Рр$ dp = s!,(13.29)

о

легко находим для С^? выражение (13.28)】).Аналогичным способом можно определить также средние значения от (广”)(v — 1, 2, 3, 4), которые нам понадобятся в дальнейшем:

со

〈厂”〉=\ nimr~^mmdx = \ R^-^ dr.

О

На основании приведенных выше формул последнее выражение можно представить в виде:

〈L〉=4麽『置厂『+1 (- 1产G 一但+ 2/ + 1)用+ 0

十■十(一，^马嚼俨粤+一济'&济产…

十(一严端帮居Р凸

〈厂"=(打 W^，03.29a)31紋/(/ + %)(/+1)' =丄3絞一/(/+1)〈厂"=(打 W^，03.29a)31紋/(/ + %)(/+1)' =丄3絞一/(/+1)〈个华〈个华Полагая в этом выражении соответственно ^ — 1, 2, 3 и 4 и вновь прибегая к теореме о перебросе производной, после несложных выкладок находим:

〈厂"=(打 W^，03.29a)

31

紋/(/ + %)(/+1)' =丄3絞一/(/+1)

〈厂"=(打 W^，03.29a)

31

紋/(/ + %)(/+1)' =丄3絞一/(/+1)

〈个华

〈个华

' -2a5)(/一%)/(_%)(/+1)(/ + %)•

Здесь при вычислении〈L〉мы должны оставить в полиноме Q^ лишь старший член р*. При вычислении же (н2), наоборот, один последний р°. При вычислении〈L〉一два последних и т. д. Выражения для (г-3) и (г-4) получены в предположении Z^： 0. Для s-состояний (Z = 0), как правило, вместо взаимодействий, пропорциональных подобным членам, появляется контактное взаимодействие (см. ниже § 19, 20).

Наряду с этим общим исследованием покажем для примера, как найти нормировочный коэффициент волновой функции фл/т = =Rr11y7 основного, т. е. наинизшего, энергетического состояния, характеризуемого квантовыми числами:

孔=1, l = m = k — 0.

Замечая, что при / = /п = 0 шаровая функция У}, согласно (12.9). так же как и полином Q^ + I при /г = 0, есть величина постоянная, для ф100 в соответствии с (13.26) имеем:

屮100 = Се-(13.30)

и, следовательно, условие нормировки принимает вид:•

Подставляя сюда явное выражение волновой функции ф100 и учитывая ее независимость от углов & и ср, получаем:

С24M而，％，= 1.ОС24M而，％，= 1.О(13.31а)'(13.31а)'

С24M而，％，= 1.

О

С24M而，％，= 1.

О

(13.31а)'

(13.31а)'

Отсюда, вводя переменную х венство (13.29), находим:Отсюда, вводя переменную х венство (13.29), находим:2Zr.— и принимая во внимание ра-2Zr.— и принимая во внимание ра-

Отсюда, вводя переменную х венство (13.29), находим:

Отсюда, вводя переменную х венство (13.29), находим:

2Zr

.— и принимая во внимание ра-

2Zr

.— и принимая во внимание ра-

Это же значение может быть получено из общих формул (13.28) и (11.67), если положить в последних 孔=1, / = 0 и т = 0.

Поэтому значение волновой функции наинизшего состояния будет определяться соотношением:

(13.32)(13.32)Возможный спектр может быть найден изВозможный спектр может быть найден изэнергии водородоподобного формул (13.20) и (13.5):энергии водородоподобного формул (13.20) и (13.5):атома легкоатома легкогде постоянная Ридберга:где постоянная Ридберга:Z?绵 __ RhZ2 20疗=一耳Z?绵 __ RhZ2 20疗=一耳(13.33)(13.33)RR

(13.32)

(13.32)

Возможный спектр может быть найден из

Возможный спектр может быть найден из

энергии водородоподобного формул (13.20) и (13.5):

энергии водородоподобного формул (13.20) и (13.5):

атома легко

атома легко

где постоянная Ридберга:

где постоянная Ридберга:

Z?绵 __ RhZ2 20疗=一耳

Z?绵 __ RhZ2 20疗=一耳

(13.33)

(13.33)

R

R

Заметим, что это выражение для энергии, кстати сказать, полностью совпадающее с соответствующим выражением боровской теории [см. (2.50)], зависит лишь от главного квантового числа п = / + ^+ h т. е. от суммы орбитального I и радиального k квантовых чисел и не зависит от магнитного квантового числа т. В то же самое время волновая функция 6nlm = RnlYT зависит от всех трех квантовых чисел пу I и т по отдельности. Следовательно, уровни энергии, согласно волновой теории Шредингера, оказываются вырожденными, причем кратность вырождения в смлу изменения т от (— /) до (4- 0 и I от 0 до (孔一1) [см. (13.20)] будет равна:

п— 1 Iп — 1

У У他=2⑵十1) = m.

1 = 0 т = — ZN = 0

Как мы видели в § 12, вырождение по т характерно для любого центрального силового поля и связано с равноправностью

248248ЧАСТЬ /. нерелятивистская квантовая механика

248

248

любых различных направлений, проходящих через начало координат.

Вырождение же по орбитальному квантовому числу I имеет место в теории Шредингера только в случае чисто кулоновского взаимодействия. В большинстве же других центрально-симметричных систем вырождение по / отсутствует, т. е. уровень энергии с заданным значением п расщепляется на п подуровней, отвечающих различным /1). Если же система находится еще и в некотором внешнем поле (например, в магнитном), снимающем центральную симметрию, то исчезает вырождение и по 加，т. е. энергетический уровень будет уже состоять в этом случае из п различных подуровней.

Полуклассическая интерпретация основных результатов квантовомеханической теории водородоподобного атома

Как известно, в классической теории величина:

击 р； = Е+卓一备(13.34)

[см. (13.3а)] должна быть больше нуля. Отсюда видно, что для эллиптических орбит (Е = —— |Е|<0) это возможно лишь тогда, когда радиус г лежит в пределах 尸mhh.W『Ермаке，которые могут быть найдены путем приравнивания правой части равенства (13,34) нулю.

Отсюда, учитывая еще квантовое выражение для энергии (13.33), находим:

'齡，=争"±/J囂4(13.35)

Нетрудно видеть, что если записать уравнение эллипса в полярных координатах:

где параметр Р — ~ определяется отношением квадрата малой полуоси о к большой полуоси а, а е = а является эксцентриситетом эллипса, характеризующим его вытянутость (в

частности, при е = 0 эллипс превращается в окружность), то для гмакс. и гмин. из (13.36) получаются формулы:

(13.37)(13.37)%акс. = а(1 + 力&=。(1一力

(13.37)

(13.37)

Сравнивая их с (13.35), находим:

(13.38)

献方2献方2е.е.(13.39)(13.39)

献方2

献方2

е.

е.

(13.39)

(13.39)

Таким образом, классическим аналогом величины ^1 оказывается большая полуось эллипса, эксцентриситет которого определяется выражением (13.39).

Подставляя в (13.39) соответственно боровское значение р^ = =力％$ =力20+1)2 и значение, найденное по квантовой механике, 诉=力2/(2+1), получаем:

£кв£кв(13.40)(13.40)(13.41)(13.41)(+)2п2 '

£кв

£кв

(13.40)

(13.40)

(13.41)

(13.41)

п2

Отсюда видно, что эксцентриситет может обратиться точно в нуль лишь в боровской теории (1 = п——1). По волновой механике он при 1 = п——1 достигает лишь минимального значения:

(13.42)

Поэтому в квантовой механике можно говорить лишь о классическом аналоге состояний с круговыми ©рбнтамн, когда число 1 — п——1. Кроме того, следует подчеркнуть, что s-состояние (/ = 0) дает в классическом приближении 彳产=],что соответствует параболическим орбитам. Однако этот случай никак нельзя сопоставить с параболическим, поскольку в квантовой механике при этом энергия остается [как видно из (13.33)] величиной отрицательной (напомним, что в классическом случает для параболических орбит энергия обращается в нуль), и поэтому радиус оказывается ограниченным со стороны максимального значения [см. (13.34)] выражением:

'макс.'макс.一回一回

'макс.

'макс.

一回

一回

Такое расхождение квантового решения для s-состояния с клас-

сическим связано с тем обстоятельством, что случай / —0 просто не имеет классического аналога.

Вообще же, поскольку в волновой механике можно говорить только о вероятности того или иного события, все результаты, найденные нами по теории Шредингера, должны истолковываться с вероятностной точки зрения. Покажем, например, что в случае круговых орбит [1 — п— 1) величина а = ^^ [см. (13.38)], являющаяся в боровской теории просто радиусом круговой траек-

Ф и г. 13.2. Распределение радиальной плотности вероятности в случае круговых орбит.

тории, в волновой теории соответствует наиболее вероятно1| значению координаты электрона г = а.

В самом деле, согласно условию нормировки:

ОО

,\ UR}dr=l,

О

распределение плотности вероятности D (г) по радиусу определяется формулой:

D(r) = r^(13.43)

В случае круговых орбит, когда 1 = п——1, а радиальное квантовое число /г = 0, последнее выражение дает:

D(r)=：r2^ ь(13.43а)

Принимая во внимание, что согласно (13.25) и (13.26):

^л, л-1 = const е 2Рр"Т,

для функции D(r) найдем следующее значение (см. фиг. 13.2):

2Zr

D (г) = construe "叫(13.44)

Отсюда, определяя то значение г, при котором эта функция достигает максимального значения:

(嚟)f =0，

имеем:„2

分=0 = 2网.(13.45)

Заметим, кстати, что если положить Z=1 я 九=1, то наивероятнейшим радиусом орбиты будет радиус а0 первой боровской орбиты.

В том же случае, когда радиальное квантовое число /г#0, т. е. когда орбиты можно назвать эллиптическими, распределение плотности вероятности D(r) принимает вид:

”D (г) = const r^ e~ 丽(Q^ 岁户，(13.46)

и уравнение, определяющее экстремальные значения функции D(r), запишется в форме:

纥戶=const 卩2*储 p{(2/+2)Q^+1 —

— pQ^+i+Zp^QM^Q"』。-(13.47)

В силу того, что Q^ + i является полиномом 力-й степени, уравнение (13.47) имеет k корней (не считая точек 尸=0 и г = оо), а также (k-\~ 1) максимумов, что в значительной мере напоминает картину распределения плотности вероятности при свободном движении частицы внутри потенциальной ямы (волновая функция изменяется по синусоиде, см. § 4) или при движении осциллятора (см. § 10, фиг. 10.2).

Правила отбора. Спектр излучения водородоподобных атомов

Чтобы определить правила отбора в проблеме Кеплера, необходимо вычислить матричные элементы:

(咽^"' = §屮凯，卅叫曲洞九(13.48)

Подставляя сюда 3ntm = YTRni, получаем:

8

⑺歸卅=『dQ(y£j* -^УГ J R"，“咏也dr.(13.48a)

*0

Интегрирование по углам 8 i{中 дает, как известно [см. (12.24)— (12.26)], правила отбора для орбитального квантового числа: А/ = / — Г = ± I, и магнитного квантового числа: Дт = т —

一加= 0,±1, пользуясь которыми вместо (13.48а) будем иметь:оо

(力爲m' = const]｝配,±1 f R%±1 产Rn’dr. (13.486)

Однако если вычислить интеграл】)：

f r^Rn.vRnldr^ J r^±^ 6一^6 + 少(?"務)X Оо

X Q伊 1 (^^j ",(13.48в)

то легко показать, что он не обращается в нуль ни при каких значениях 孔‘,т. е. для всех разрешенных переходов главное квантовое число может изменяться произвольно. •

Принимая во внимание правила отбора водородоподобного атома, перейдем к исследованию его спектра излучения. Для этого введем некоторые условные символы для обозначения энергетических уровней в атоме. Прежде всего спектральные термы атомов (——Ёлг/Й), зависящие в общем случае не только от п, но и от /, будем обозначать через (nZ), т. е.

(—*) = (砌， (13.49)

где 孔=1, 2, 3,..., а для /, как уже указывалось в § 12, приняты буквенные обозначения: s, р, d, f, g,九，...， соответствующие /==0, I, 2, 3, 4, 5,... . Поскольку квантовые числа 几——1, то могут быть только термы:

Is; 2s, 2р; 3s, 3〃 3d; 4s, 4р, 4d, 4f; 5s, 5〃 5d, 5/, 5g;… и т. д., но не может быть, например, терма 1р, поскольку здесь п= 1 и /=1, или не может быть терма 3〃 так как при этом 〃 = / = 3 и т. д. Частота излучения в обозначениях (nl) принимает вид:е —Е

" J 九"-=(叫一(叫,(13.50)

причем здесь необходимо учитывать правила отбора для орбитального квантового числа /: Г —1± 1.

Для того чтобы вычислить этот интеграл, следует ввести новую пере менную р =—-(—-]——г). Затем, представив Q% и Q*» в виде полиномов, интеграл можно взять почленно. В силу ортогональности в нуль обращается только интеграл вида:

\产加dr = O (几'之几).

о

Пользуясь выражением (13.33), терм (nZ) можно еще представить в форме:

(砌=符^ =警，(13.51)

где постоянная Ридберга:

£,加1353121110£,加13531211107 65 43 2 /О7 65 43 2 /О— 04i — &;— 04i — &;G 亦 GzHM§G 亦 GzHM§Серия бальмераСерия бальмераСерияЛайманаСерияЛайманаСерияПашенаСерияПашена^^^ 4nптиепноп UDnYlHaEQU^^^ 4nптиепноп UDnYlHaEQUDHOdEXBye UJDg'-DeDHOdEXBye UJDg'-De

£,加

1353

12

11

10

£,加

1353

12

11

10

7 6

5 4

3 2 /

О

7 6

5 4

3 2 /

О

— 04i — &;

— 04i — &;

G 亦 GzHM§

G 亦 GzHM§

Серия бальмера

Серия бальмера

СерияЛаймана

СерияЛаймана

СерияПашена

СерияПашена

^^^ 4nптиепноп UDnYlHaEQU

^^^ 4nптиепноп UDnYlHaEQU

DHOdEXBye UJDg'-De

DHOdEXBye UJDg'-De

атома водо-атома водо-псреходам, вы-псреходам, вы-получаем формулу:получаем формулу:

атома водо-

атома водо-

псреходам, вы-

псреходам, вы-

получаем формулу:

получаем формулу:

Фиг. 13.3. Спектральные сериирода.

Длины both, cooiветствующие указаннымражены в ангстремах.

Для частоты излучения ⑴山广 при ^гом

5LRZ2 假一扑 (13.52)

Отсюда видно, что в случае атома водорода (Z=l) для серии Лаймана, соответствующей переходу на наинизший энергетический уровень 孔'=1, т. е. на уровень 1s, имеем (см. фиг. 13.3)

где 几=2, 3, 4, ... . Для ветствующей переходу на

-4, swq 2g领

Фиг. 134 Спектральная серия Бальмера.

серии Бальмера (см. фиг. 13.4), соот- уровень п' = 2 с уровней 孔〉2, имеем три типа возможных частот:

脸 m = (2s)一(叩)， 喝 альм. = (2p) 一(孔5), ^Бальм, '— (2卩)(/id).

(13.54)

Длины волн, соответствующие видимым ли-ниям %, Н Н и Я§, приведены в ангст-ремах (А);日区 даЗт теоретическое положениеграницы серии.

Так как для атома водорода по орбитальному квантовому числу имеет место вырождение, то эти три линии сольются в одну (см. фиг. 13.3), в результате чего получим:

(13.55)

Аналогичная картина получается и для серии Пашена, определяемой частотами (см. фиг. 13.3)

(13.56)

где 孔=4, 5, 6,....

Движение частицы в кулоновском полев случае непрерывного спектра

Хотя при исследовании непрерывного спектра волновую функцию можно выразить через вырожденную гипергеометрическую функцию, однако при исследовании гиперболического решения чаще всего используют асимптотическое поведение этой гипергеометрической функции при больших значениях г. Эти асимптотические решения могут быть непосредственно получены с помощью квазиклассического метода ВКБ.

Прежде чем использовать этот метод для исследования гиперболических орбит (Е〉0), получим в квазиклассическом приближении некоторые общие формулы в применении к центральным силам.

Уравнение для радиальной части в случае центральных сил может быть представлено, согласно (11.21) и (11.51), в виде:

" + * 一 誓^ ⑺一型尹)a = 0,(13.57)

где

Потенциальная энергия V (г) при г ->0 должна убывать в рассматриваемом случае медленнее, чем 厂上 Кроме того, мы всегда можем выбрать потенциальную энергию таким образом, чтобы

V (г->со) = 0.

Поскольку особенность уравнения (13.57) при г -> 0, определяемая членом /(/十 1)гЛ лежит вблизи потенциального барьера, соответствующие асимптотические выражения для 屮 вблизи барьера, которые используются при сшивании решений (см. § 5), не дают хорошего приближения. Поэтому в методе ВКБ мы должны либо использовать другие асимптотические выражения (не бесселевы функции порядка %), либо с помощью введения нового аргумента % = 1пг удалить эту особенность из точки г = 0 в

точку х ———сю.

функцию / (%):функцию / (%):〃=6月/2*(%).〃=6月/2*(%).(13.59)(13.59)Воспользуемся вторым методом и введем новую волновую

функцию / (%):

функцию / (%):

〃=6月/2*(%).

〃=6月/2*(%).

(13.59)

(13.59)

Тогда уравнение (13.57) примет такой вид:

芸 + 巒* (贄 Е — 竿 W (е“)一 « + ^了е「2)X = 0, (13.60)

к которому уже применим метод ВКБ. В частности, для аргумента z, от которого зависит асимптотическое выражение 屮[см. (5.55)], будем иметь значение:

Z = ^ ,u ]/]2恤e—2恤了(e‘) 一%即 +^)%%厶=

= ^\P\dx,(13.61)

причем в данном случае |р| не является уже импульсом.

Возвращаясь к первоначальной независимой переменной г,

получаем:

Т J )/] 2恤Е(г)-I(1362)

Отсюда, в частности, вытекает, что при использовании квазиклас- сических выражений, полученных для одномерного уравнения, в радиальной части необходимо в орбитальном моменте сделать замену:

/(/_f_l)f « + . (13.63)

Применим теперь формулу (13.61) для исследования движения частицы в кулоновском поле:

К(『) =一卓

в случае гиперболических орбит (Е〉0).

При квазиклассцческом рассмотрении необходимо воспользоваться «сшитыми» асимптотическими решениями (5.66)——(5.69).

Для этого в нашем случае [см. (13.62)] необходимо вычислить интеграл:

гдегдеT 4户T 4户_ Kiln 2c+ " + 2/厅22c十加一2了万In 2ar+ь+ 2 M号2如+ 6 —2 У of '_ Kiln 2c+ " + 2/厅22c十加一2了万In 2ar+ь+ 2 M号2如+ 6 —2 У of '++(13.64)(13.64)/=仃2+6Г+&/=仃2+6Г+&(13.65)(13.65)

где

где

T 4户

T 4户

_ Kiln 2c+ " + 2/厅

22c十加一2了万

In 2ar+ь+ 2 M号

2如+ 6 —2 У of '

_ Kiln 2c+ " + 2/厅

22c十加一2了万

In 2ar+ь+ 2 M号

2如+ 6 —2 У of '

+

+

(13.64)

(13.64)

/=仃2+6Г+&

/=仃2+6Г+&

(13.65)

(13.65)

а значение для г0 находится из условия f(r^ = O.

Прежде всего определим асимптотическое решение для волновой функции при /■()》/*->0. Тогда, полагая в (13.64):

=(/十計，」一峥1, a =一替

и вводя обозначения:

Ь _К 2矶Е 加()Z雷 2绪/1 q ra、

后一一Й 一，T —卞-元Г，N JPO)

будем иметь:

Z = ^ yp|dln…_(/十刍,Z = ^ yp|dln…_(/十刍,

Z = ^ yp|dln…_(/十刍,

Z = ^ yp|dln…_(/十刍,

На основании формулы (5.51) асимптотическое решение в этом случае будет иметь вид:

причем в последнем равенстве, согласно (13.61):

Учитывая, что радиальная волновая функция R связана с /, согласно (13.58) и (13.59), соотношением：

R = /x，(13.67)

находим:

R = Crl + Dr^.

Чтобы решение в нуле оставалось сходящимся, мы должны положить 力=0, т. е. выбрать решение в виде:

R = C 人(13.68)

Это находится в полном согласии с асимптотическим решением, полученным другим способом [см. (13.13)].

В другом крайнем случае г -> сю мы будем иметь следующее асимптотическое решение [см. (5.67) и (5.66)]:

力署sm(zT 子)，(13.69)

причем для величины р, согласно (13.61), будем иметь:

p = rhk,(13.70)

Выражение (13.69) является аналитическим продолжением другого асимптотического решения при г -> 0.

При определении величины z, согласно (13.62), можно также воспользоваться интегралом (13.64), если в последнем положить:

一 2%Е厶 2%Z绪一 2%Е厶 2%Z绪c = ~(l+^-(13.71)c = ~(l+^-(13.71)

一 2%Е厶 2%Z绪

一 2%Е厶 2%Z绪

c = ~(l+^-(13.71)

c = ~(l+^-(13.71)

Тогда при r-> co, учитывая, что У f ^ kr -j- » будем иметь:

屮十 或 7 +，(" + T)2kr

^kr^— In —一/ +1 In—(13.72)

9 Квантовая механика

Воспользуемся далее соотношениями:

In卜+力卜+y))-

=1пУd十(/ +y) + ［皆-arctg —(13.73) In 卜一i « + ；))=

= ln|/ f + «+^『+(^ + arctgyq^T)). (13.73a)

Здесь, записывая мнимую часть, мы учли, что 丫〉0 и ，+q)〉0, и поэтому угол, определяющий мнимую часть логарифма в равенстве (13.73), лежит в первой четверти, а в равенстве (13.73а) — в четвертой.

Тогда выражение для аргумента z может быть преобразовано к следующему виду:

z = fer + Iln2fer-yZ-™ + В?,(13.74)

где фаза В； равна):

卜籽+ i・(13.74a)卜籽+ i・(13.74a)8? = - 0+占arc tg」i——7 E J(/

卜籽+ i・(13.74a)

卜籽+ i・(13.74a)

Соотношения (13.73) и (13.73a) легко могут быть прлучепы при логарифмировании равенств：

р + Е = )/ 俨 ЦГа2 /、一8 ± е = )/伊干？/(*⑴，

В — Е = )/ 俨十 а2/3т),(13.736)

где

? = arc tg у = у — arc tg ,

а величины 0 и а положительны. Аргумент у комплексной величины выбран таким образом, чтобы он лежал в первой четверти, благодаря чему логарифм комплексной величины становится однозначно определенным.

В частности, при / = 0 и 丫》1 можно приближенно положить: 端=i(i — h4T.

Отсюда, принимая во внимание равенства (13.69), (13.67) и (13.70), находим:

e sin (也r -+ m)

R (fe) =•(13.75)

Здесь С является нормировочным коэффициентом, а полная фаза: 为=鍔 + T1112 左匚(13.76)

Если в последнем равенстве мы положим величину ? = 0, то найдем асимптотическое выражение для радиальной функции свободного движения:

e sin (论r ——™ /)

R0=0)但)=\—丄1.(13.77)

Таким образом, потенциальная энергия в поле центральных сил для асимптотического решения учитывается с помощью сдвига фазы:

Г = — j |/收-(/+1)2 厂 dr 十

+ J 了火一誓!/(/•)_(/+刍2l dr, (13.78)

где ri — корень первого подынтегрального выражения.

В случае кулоновского поля эта фаза определяется выражением (13.76). Наличие в фазе логарифмического члена, зависящего от г, вытекает из дальнодействующего характера электростатических сил, оказывающих влияние на частицу даже при очень больших значениях г.

Фазы 3, являются функциями не только /, но и величины /г2 {т. е. энергии Е=^-), и представляют собой существенные характеристики собственных функций непрерывного спектра.

Значение для фазы не может быть найдено в общем виде. Для каждой конкретной задачи величины “ определяются, как правило, приближенно. Особенно большую роль фазы играют в задачах рассеяния, где через них записывается выражение для эффективного сечения (см. § 29).

Волновая функция непрерывного спектра нормируется на В-функцию. Учитывая, что фактически в бесконечной части про-

9*

странства волновая функция определяется выражением (13.75) и только в очень небольшой области вблизи центра закон изменения волновой функции становится несколько другим, при определении коэффициента С будем считать, что во всем простран-、 стве волновая функция изменяется по закону (13.75).

При подобном подходе волновая функция нормируется соотношением:

/ = §w他)Rl (*)# dr = 3 伏一*)•о

Подставляя сюда вместо Rt (k) выражение (13.75) и принимая во внимание, что логарифмический член, входящий в выражение для фазы %, растет медленно по сравнению с г и им можно практически пренебречь, находим:

/ = У cos г (/г — kr) dr — У cos [r (k 十笈)一应十 2汩 dr 〜кв (^ -用).

Отсюда находим значение для нормировочного коэффициента:

(13.79)

в асимптотическом решении для поля центральных сил.

Схема энергетических уровней в атоме водорода (с учетом как дискретных уровней, так и непрерывного спектра) представлена на фиг. 13.3.

На этой схеме наглядно демонстрируется вырождение по /, проявляющееся в слиянии всех уровней с одинаковым п в один.

Помимо обычных переходов, между дискретными уровнями в атоме возможны по существу еще два обратных друг другу процесса, а именно процессы ионизации и захвата. При ионизации электрон переходит с дискретного уровня (Е<0), например, из низшего состояния, в область положительных энергий (Е〉0), образующих непрерывный спектр (гиперболические орбиты). Этот процесс происходит с поглощением энергии.

Наоборот, при захвате свободный электрон переходит на один из возможных дискретных уровней, выделяя при этом соответствующую энергию.

Для того чтобы перевести электрон из низшего энергетического состояния (孔=1) в область Е〉0, необходимо затратить энергию (см. фиг. 13.3):

Е^он. = т — ЕI = Rfl 十 Т、 '

где Т = кинетическая энергия электрона, практически не связанного с ядром. Энергия 七口°氏 определяет так называемую энергию ионизации атома. Своего минимального значения энергия ионизации достигает при Т = 0, что соответствует переводу электрона с уровня n = 1 в состояние непрерывного спектра с минимальной энергией (Е — 0), когда электрон может покинуть атом. Для атома водорода:

Е喘尸R』费=13,59 аз.

Учет движения ядра

До сих пор все проводимые нами расчеты производились без учета движения ядра. Поэтому построенная выше теория водородоподобного атома будет строгой лишь в случае, когда масса ядра бесконечно большая, что, вообще' говоря, в особенности для легких элементов (например, для водорода и гелия) можно принять лишь в сравнительно грубом приближении. Учет движения ядра привел к объяснению ряда важных экспериментальных фактов.

Чтобы учесть массу Л1 ядра, поступим так же, как и при исследовании спектров двухатомных молекул [см. формулу (12.41а)], заменив всюду массу электрона 团。приведенной массой:

^=事~ 恤(1一")•(13.80)

Тогда постоянная Ридберга станет равной:

Rm =写紹=(13.81)

благодаря чему несколько изменятся и значения для термов：

3)=编(1—察).(13.82)

Поэтому частота излучения будет определяться выражением:

^ = 2^ет(1 —知偿-4),(13.83)

отличающимся от прежнего [см. (13.52)] наличием множителя'

В силу зависимости частоты излучения атомов от массы М ядра атомов, определение атомного веса можно производить не

только обычными химическими, но и спектроскопическими методами. Благодаря этому удалось, в частности, доказать существование тяжелого водорода, ионизованных атомов гелия и т. д. Как известно, атомный вес водорода был определен в среднем относительно кислорода на основании химических исследований. Для каждого же атома в отдельности атомный вес был найден с помощью масс-спектрографа.

При этом были получены несколько отличные значения:

"хн 号&・cm 100% ^0,0145%.(13.84)

На основании этого Берджем и Меитцелем было выдвинуто предположение о существовании изотопа водорода — дейтерия D = jH2 (или тяжелого водорода), имеющего атомный вес, в два раза больший, чем у обычного водорода. В самом деле, при определении атомного веса естественной смеси водорода вклад должен внести и дейтерий; в масс-спектрографе же измеряется лишь атомный вес ^Н, поскольку спектральные линии атомов гН2 ложатся в другом месте шкалы.

Так же как и водород, дейтерий может вступить в реакцию, образуя, например, так называемую тяжелую воду D2O. Впервые тяжелая вода была открыта Юри и Осборном в 1932 г. Основной метод получения дейтерия ——это электролитическое разложение воды. Скорость выделения обычного водорода на катоде значительно превосходит скорость выделения дейтерия, в результате чего происходит значительная концентрация дейтерия в остатке жидкого электролита, где он и может быть обнаружен. Ввиду же малого количества тяжелого водорода в естественной воде, обнаружить его там почти невозможно. Наличие дейтерия подтверждается спектроскопическими исследованиями, показавшими, что в серии Бальмера (// = 2) наряду с линиями:

噌IBM.=氏8 (1 —忐—正)(13.85)

существуют линии (см. фиг. 13.5), расположенные несколько правее и укладывающиеся в формулу)

噌= R8(1 — 矛一斤)，(13,86)

которую нетрудно получить из (13.83), если положить там массу М равной удвоенной массе ядра атома водорода и Z=l.

Водород (Н )Водород (Н )атома водорода и его изотопов.атома водорода и его изотопов.Следует заметить, что ввиду большой относительной разницы в массах атома дейтерия и атома водорода они отличаются по своим физическим и химическим свойствам гораздо сильнее, чем изотопы других элементов. Так, например, хотя тяжелая вода внешне и похожа на обыкновенную воду, по физическим свойствам она несколько отличается от обыкновенной. В частности, температуры плавления и кипения ее при 1 атм равны соответственно 3,81° и 101,4J. Она имеет большую вязкость и хуже растворяет соли, чем обычная вода. В связи с развитием ядерной физики тяжелая вода приобретает особое значение, так как она является хорошим замедлителем быстрых нейтронов, а также используется как источник получения дейтерия. В настоящее время известен еще один изотоп водорода ——тритий (Т = 1Н，，ядро которого состоит из двух нейтронов и одного протона. Его соединения с кислородом образуют так называемую тритиевую воду. В природной воде отношение числа атомов трития к числу атомов jH равно примерно в то время как отношение числа атомов D к числу атомов водорода равно

Водород (Н )

Водород (Н )

атома водорода и его изотопов.

атома водорода и его изотопов.

Тритий в смеси с дейтерием является важнейшим веществом для осуществления термоядерных реакций: при взаимодействии ядер D и Т образуются 2Не и нейтрон, при этом за один акт вьь деляется энергия свыше 17 м兆】).Тритий является бета-излучателем (время жизни——12 лет), благодаря чему он широко используется также в качестве радиоактивного индикатора при некоторых химических и биологических исследованиях.

Спектральные линии атома трития несколько сдвинуты как относительно водородных, так и дейтериевых линий (см. фиг. 13.5)

и находятся по формуле:

畤…= /Ц1—5^ 俵—±).(13.87)

Другим очень важным следствием учета движения ядра было открытие ионизованного атома гелия,, обнаруженного впервые спектроскопическим способом на Солнце. При исследовании солнечного спектра была найдена серия линий, располагающихся по закону:

⑴2几1 = R (g -房)， (13.88)

где 〃i принимает значения:

(13.89)(13.89)5Q7.9

(13.89)

(13.89)

"1 =讶，3, -y, 4,万,

Эта серия представляла собой по существу водородную серию Бальмера (% = 3, 4, 5,…)с рядом промежуточных линий, образующих серию, получившую название серии Пикеринга, харак-

57

теризующуюся полуцельши квантовыми числами % =歹，у, g

2 ,… .Вначале для объяснения серии Пикеринга предполагали, что водород на Солнце находится в особом состоянии, так что квантовое число п может принимать полуцелые значения. Однако в дальнейшем оказалось, что экспериментальные линии располагаются правее, нежели это следует из формулы (13.85). Поэтому выдвинутое предположение пришлось оставить. Затем была предложена другая гипотеза, согласно которой обнаруженный спектр обязан своим происхождением однократно ионизированному атому гелия (2Не4)+, масса ядра которого М = 736Ото, заряд Z = 2, а частоты, согласно (13.83), определяются выражением:

3He = 22RHe 体一办(13.90)

Полагая здесь 〃' = 4, приводим (13.90) к виду:

⑴Не = RHe 偿一74^1，(13.91)

где 几=5, 6, 7, 8,....

Чтобы решить вопрос о том, обязана ли серия Пикеринга излучению атомов водорода (с предположением, что квантовые числа могут принимать полуцелые значения) или излучению ионизированного атома гелия (с нормальным значением квантовых

чисел), необходимо было найти экспериментальное значение постоянной Ридберга. В случае водорода:

Rh = Rs(1 -(13.92)

Для атома гелия:

RHe = Rs(l —т^)・(13.93)

Тщательное изучение этого вопроса спектроскопистами подтвердило для постоянной Ридберга значение (13.93), и тем самым однозначно было доказано, что серия Пикеринга представляет собой спектр ионизованного атома гелия.

Задача 13.1. Исходя из соотношений (13.26) и (13.28), показать, что радиальные волновые функции 火九工 при значении главного квантового числа 72=1,2,3 имеют вид:

Qo = 2Ne-P/2,

&。Г^Т NeT" (2 — р),

凡° = гй3 "е—"2 8 - 3 十力

凡 1Afe- “2 p (4 — p),

9 J/ b

3書…中'

где

2Zr2Zr

2Zr

2Zr

На этих конкретных примерах убедиться, что функции R^1t являются ор- тонормированными, т. е.

\ г2A就 ^л7 dr =.

о

Указание, При доказательстве ортонормированности учесть, что при различных и и nf соответствующие значения для р буцут также отличаться друг от друга.

Задача 13.2. Показать, что средний электростатический потенциал в пространстве, создаваемый водородоподобным атомом, находящимся в основном, т. е. в наинизшем, состоянии, равен:

2Zr

e°(Z—1) I , 1 \

Указание. Найти среднее значение электростатического потенциала, создаваемого электроном:

Фэл. (г) = — е°、屮* (г‘)「，г，I 屮(г') "х'，

и сложить его с потенциалом ядра. При интегрировании по телесному углу Q' учесть следующее равенство:

Задача 13.3. Показать, что максимумы плотности вероятности D = rl в состояниях 1s, % н 3d при Z= 1 находятся на расстояниях от ядра, соо

Фиг. 13.6. График радиального распределения плотности вероятности D =产必 для различных состояний.

ветственно равных а。, 4а0 и 9ao (круговые орбиты). Почему в состояниях 2s, 3s и 3/? имеется несколько максимумов (см. фиг. 13.6)?

Задача 13.4. Пользуясь конкретными функциями, приведенными в задаче 13.1, проверить при 几=1, 2, 3 равенства:

Найти средний разброс ((Дг)2) = (г2) — (г)2 радиальных отклонений для этих состояний.

Исходя из фиг. 13.6, а также из соотношения неопределенности, объяснить, почему в квантовой теории для круговых орбит ((Дг)2) не обращается в нуль.

Задача 13.5. С помощью квазиклассического метода ВКБ найти дискретный спектр энергий водородоподобного атома.

Решение. Собственные значения дискретного спектра (Е<0), согласно (5.75) и (13.62), могут быть найдены по формуле:

подынтегрального выражения, аподынтегрального выражения, аЛЛ2〃?оЕ r—加 oZ舔2〃?оЕ r—加 oZ舔】де 「1 и Го являются корнями

подынтегрального выражения, а

подынтегрального выражения, а

Л

Л

2〃?оЕ r—加 oZ舔

2〃?оЕ r—加 oZ舔

Принимая во внимание, что последний интеграл равен х):

для энергии водородоподобного атома получаем формулу, точно совпадающую с соответствующей формулой, найденной пи теории Шредингера.

Задача 13.6. Определить напряженность магнитного поля в центре атома водорода, создаваемого орбитальным движением электрона. Найти его численное значение для состояния 2р.

Ответ. (Нх) =〈"у〉= О,

中、一 一。方 （加咽31

0 k

Для СОСТОЯНИЯ 2P (тп=1)

〈"/〉〜104 гаусс.

Указание.Указание.Пользуясь классическим выражением для напряженности маг-Пользуясь классическим выражением для напряженности маг-иитного поля,иитного поля,создаваемого движущимся зарядом: Нсоздаваемого движущимся зарядом: Н/1/1к квантовомук квантовомутос г3тос г3[гр], перейти[гр], перейтирассмотрению, заменив [гр] оператором момента количестварассмотрению, заменив [гр] оператором момента количествадвижения L, а затем, используя формулу (13.29а), вычислить среднее значе-движения L, а затем, используя формулу (13.29а), вычислить среднее значе-ние〈"〉.ние〈"〉.

Указание.

Указание.

Пользуясь классическим выражением для напряженности маг-

Пользуясь классическим выражением для напряженности маг-

иитного поля,

иитного поля,

создаваемого движущимся зарядом: Н

создаваемого движущимся зарядом: Н

/1

/1

к квантовому

к квантовому

тос г3

тос г3

[гр], перейти

[гр], перейти

рассмотрению, заменив [гр] оператором момента количества

рассмотрению, заменив [гр] оператором момента количества

движения L, а затем, используя формулу (13.29а), вычислить среднее значе-

движения L, а затем, используя формулу (13.29а), вычислить среднее значе-

ние〈"〉.

ние〈"〉.

Этот интеграл может быть легко вычислен с помощью равенства (13.64), если в нем положить а = — Л,匕= 28, с = —(/ 十彳) и Учесть, что поскольку г】и г? > 尸1 являются корнями уравнения / (г) = 0, то значения логарифмов, входящих в (13.64), будут определяться формулой [см. (13.736)]:

.0 + 沁—f — 2欣，при р > 0, а —+ О,

“В — га —I 0, при Р С 0, а —>0.

Знак величины 0 при г = rlj2 легко может быть найден, если принять во внимание равенства:

2〃г + Ь =尸(г),方+ 2。= 2/(г)-г尸(г),/ S) > 0, /' (f) V 0.

СТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Основные идеи решения задач по теории возмущений

Далеко не все задачи квантовой механики могут быть решены современными математическими методами точно. Более торо, в подавляющем большинстве случаев как для энергии, так н для волновых функций удается найти лишь приближенные решения. При этом приходится прибегать к различного рода приближенным методам вычислений. Одним из таких методов является получивший наиболее широкое распространение метод теории возмущений, пришедший в квантовую механику из небесной механики, где он был впервые развит.

Как известно, в- классической механике Ньютона точно решается лишь задача двух тел: например задача движения системы Земля 一Солнце или системы Луна — Земля и т. д. Однако если при изучении движения планет принимать во внимание только притяжение Солнцем и не учитывать их взаимодействия между собой, то результаты теории в ряде случаев не смогут описать более тонких явлений, возникающих вследствие дополнительных взаимодействий (в связи с этим следует напомнить, что по отклонениям движения от эллиптической орбиты Юпитера на основе теоретических расчетов Леверье предсказал существование планеты Нептун, которая затем была открыта астрономами). Поэтому необходимо было включить в рассмотрение и взаимодействие планет друг с другом, которое может привести к важным результатам. Таким образом, возникла задача многих тел, которая в классической механике не имеет точного решения. В небесной механике для исследования такой задачи был разработан приближенный метод, основанный на том, что взаимодействия планет между собой по своей величине значительно меньше основного взаимодействия планеты с Солнцем.

Согласно этому методу прежде всего решается задача двух тел (нулевое приближение). Затем принимаются во внимание «возмущения» и находятся поправки к решению (первое приближение). Иначе говоря, следуя «методу возмущений», в первую очередь следует выделить из всей совокупности действующих на некоторое материальное тело сил основные силы, для которых можно получить точное решение. После этого необходимо учесть «возмущающие» силы.

Аналогично в квантовой механике при изучении движения электронов в атоме в качестве основных сил следует выбрать, например, силы, действующие между ядром и электроном. Возмущениями же при этом могут быть кулоновские силы взаимного отталкивания, действующие между электронами. Если атом поме-

щен во внешнее электрическое или магнитное поле, то в том случае, когда оно по своей величине будет в рассматриваемой области малым по сравнению с электрическим полем ядра, за возмущение может быть взята энергия электрона в этом электрическом или магнитном поле.

Основные уравнения теории возмущений

Изложим метод теории возмущений, применяющийся в случаях стационарных задач, когда гамильтониан системы не зависит от времени. Пусть гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид:H = T + V = T + V« + V,,(14.1)

причем здесь энергия возмущения М《М, а основная часть потенциальной энергии V0 выбрана таким образом, чтобы описывающее систему уравнение Шредингера:

(£ —Н)ф = 0(14.2)

при отбрасывании возмущения V'(V' = 0) имело точное решение, характеризуемое величинами £° и ф°. Тогда, обозначая Т -j- V°= =Н° (нулевое приближение) и принимая во внимание (14.1), приводим (14.2) к виду:

(Е —Н。一丿)屮=0.(14.2а)

Задача заключается в том, чтобы из этого уравнения найти (хотя бы приближенно) как значения энергии Eni так и соответствующие им волновые функции % с учетом энергии возмущения V. Согласно теории возмущений, решения для Е н 屮 ищутся в виде рядов:■屮=屮0十屮，十屮"+…，(14.3)

e = e。十 £+£‘十…，(14.4)

где 屮'и £ ——величины первого порядка малости по отношению к ф° и Е。，旷 и £'——величины второго порядка малости и т. д.

Как привило, энергию возмущения V’ можно представить как произведение потенциальной энергии, имеющей порядок V0, на некоторый малый параметр 入(入 <^1).

Тогда решения (14.3) и (14.4) должны представлять собой разложения по этому малому параметру 入,т. е. Е° и ф° не будут зависеть от этого параметра, £ и У пропорциональны 入，Ег и 旷 пропорциональны X2 и т. д.

Ограничиваясь в выражениях для 屮 и Е только членами первого порядка малости (т. е. оставляя члены, не зависящие от 入 и пропорциональные 入),после подстановки (14.3) и (14.4) в (14.2а) для определения 屮'и £ получаем уравнение:

(Е° 十 £ — Н° — У)佻。+ 勿=0.(14.26)

Группируя члены одного порядка малости, находим:

(£。一 Н°)屮。+ [(Г — У)屮。+ (Е° — Н。)屮1 + (F 一 丿)炉=0. (14.2в)

Поскольку мы здесь еще не отбрасывали никаких членов, а под у и £ можйо понимать сумму величин всех порядков малости (т. 6.十中"十？一e十Е"十…)，то уравнение (14.2в) можно считать точным.

Чтобы получить первое приближение теории возмущений, следует отбросить в (14.2в) члены второго порядка малости (£ —— V')歹 и учесть, что для нулевого приближения имеет место уравнение:

(£° —Н°) ф° = 0.(14.5)

Из последнего уравнения могут быть найдены в нулевом приближении все собственные значения:

ро ро роро

乙1， 乙*2， 乙3， * • • * 乙九,• , •,

и собственные функции:

明明，明，…，明

связанные между собой соотношением:

仍％ 一刑)屹，=0.(14.6)

Принимая во внимание эти соотношения, переходим к исследованию уравнения первого приближения теории возмущений:

(Е° — Н°) У = — (£ — Г)屮。.(14.7)

Предположим для дальнейшего, что в начальный момент времени система находилась в некотором квантовом состоянии п = п. Тогда, в связи с тем что в нулевом приближении £° = £^ и 屮о = М，при нахождении первого приближения: £ = £"工 屮，=屮2 из (14.7) получаем:

(圆 - НО)屮；г = 一(七九一丿)帽.(14.7а)

Замечая, что любую функцию всегда можно представить в виде разложения по полной системе ортонормированных функций с теми же граничными условиями (в данном случае этой системой являются функции 屮:，屮：，...,фл), решение для 弘 будем искать в^ме：% = £&，咪,.(14.8)

Таким образом, наша задача будет сводиться к тому, чтобы определить неизвестные коэффициенты С九，обобщенного ряда Фурье. Подставляя (14.8) в (14.7а), имеем:

2以，(然一ь)中分=一(或一m№， (14.9)

или, принимая во внимание (14.6), находим:

n 以，(型一编)收，=一 (Е7 一 к)携.(14.9а)

Невырожденный случай%

Если рассматриваемая нами система является невырожденной, т. е. если каждому собственному значению энергии Е% соответствует одна и только одна собственная функция 帙，то, умножая уравнение (14.9а) слева на 屮片 и интегрируя затем по всему пространству, можно привести его к виду:

£ С“，(或 一 Е储 6”，=—爲十 \ 啖屮硼 d3x.(14.10)

п,'

Здесь мы учли ортонормированность собственных функций 叫：

Поскольку величина, стоящая в левой части (14.10), равна нулю (при 孔' = 〃，ЕпЕ% = 0, а при 〃'/п, 瓦疋= 0), для искомой дополнительной энергии £„ находим выражение:

房=吸"，(14.11)

где

啖取.(14.11а)

Таким образом, дополнительная энергия 以 системы естественно оказывается равной среднему значению энергии возмущения У\

Следует заметить, что выражение (14.11) для дополнительной энергии Еп было получено в результате приравнивания нулю левой части уравнения (14.7а), после того, как оно было умножено на 屮戸，являющееся решением однородного уравнения, т. е. уравнения (14.7а) без правой части, и проинтегрировано по всему пространству. Отсюда следует, что правая часть неоднородного уравнения:

Мф = /(14.12)

должна быть ортогональной к решению соответствующего однородного уравнения Мф° = 0, т. е.

"。号0% = 0(14.13)

Возвращаясь к определению волновых функций (т. е. коэффициентов С“‘) уравнения Шредингера (14.7а), записанного в пер-

вом приближении теории возмущений, преобразуем уравнение (14.9а) к виду:

£ 以，，(e2 — E分，)屮3 = -(EZ — M)以.

Тогда, умножая его слева на 屮歌(n" W п) н принимая во внимание правило ортонормированности, после интегрирования по всему пространству находим: где

= \ 憐丫帮也.(14.15)

Таким образом, для 屮7 имеем:

屮；^ = CM 十 三'以，屮3(14.16)

причем здесь штрих у символа суммы означает, что суммирование ведется по всем 几‘，кроме fY — п. Наконец, неизвестный пока что коэффициент С九 при волновой функции в нулевом приближении может быть найден из условия нормировки:

\^ndh=l(14.17)

для полной волновой функции:

^п = ^^^ = с^ + ^Сп^п；(14.18)

п'

где

以=1 + &.(14.19)

Подставляя (14.18) в (14.17) и оставляя члены не выше первого порядка малости, имеем:

1С评，屮产幌也+

+ £' {с«сл. S 帆*明，d3x + С*.С» \ 屮胪焼 d3x} = 1.(14.20)

Отсюда, учитывая условие ортонормированности, с точностью до фазового множителя, который нас не интересует, находим:

С»=1,(14.21)

т* е* С九

В результате для волновой функции 屮九 в первом приближении теории возмутцени无 окончательно получаем выражение:

办=愕十号'/每屮》(14.22)

Отсюда, а также из (14.11), видно, что как 屮;,так и Еп пропорциональны энергии возмущения в первой степени (т. е. пропорциональны параметру X). Заметим, что если бы мы вычисляли поправки к энергии и волновой функции во втором приближении теории возмущений, то как Е{, так и 屮Z оказались бы уже пропорциональными второй степени 丿'，т. е. пропорциональными X2.

， г. Вырожденный случай

Построим теперь теорию возмущений применительно к вырожденному случаю, когда одному и тому же собственному значению энергии Ел при отсутствии возмущения соответствует / собственных функций:

Тогда, очевидно, любая линейная комбинация этих функций:

Ф» = 2 с^.(14.23)

будет также являться решением волнового уравнения в нулевом приближении:

(風一h。)屮?=0,

имеющего собственное значение энергии, равное Е?・

В случае же, когда появляется возмущение 匕 такой произвол исчезает и коэффициенты С； могут стать связанными друг с другом. Покажем это, предварительно доказав, что, как и в случае невырожденных состояний, любое частное решение однородного уравнения (14.6) должно быть ортогональным правой части неоднородного уравнения (14.7а) первого приближения теории возмущений. Умножим для этого (14.7а) слева на 叫:и проинтегрируем по всему пространству. Тогда получаем:

、 味:(或-h。)屮，d% = 一 \ 嶙(以-h)%d% (14.24)

Применяя теорему о перебросе производной [см. (7.17)], имеем:

$屮'旧—h。)屮題困=_ \嘱(以一 Т)%(14.25)

Отсюда, замечая, что 啖:является решением уравнения Шредингера (Е^ — Н°) фй* — 0, приходим к равенству:

Без ограничения общности можно допустить, что все собственные функции 屮右，——ортонормированны ]). Тогда, учитывая, что

\屮白屮3 d3x -瓦产尸， вместо (14.26) находим уравнение:

2(以一火，)=£'С%%,，，(14.27)

где.

Уи^ТУ^^х,(14.28)

必，=(14.29)

а штрих у символа суммы означает, чтосуммирование ведется

по всем 几 кроме，= i.

Поскольку индекс i в (14.27) может принимать любые значения от 1 до /, для определения искомых неизвестных величин: энергии Еп и коэффициентов С?, мы получаем систему j однород-* ных уравнений:

сне” -VG с%? 一c”j=o,

—С；/】+ С：(Еп 一 V22)一 …一CjV2/= О, • • (14.30)

一 2%]一源吟2 一…十2(以一%力-0.

Если теперь учесть, что волновая функция 屮分 должна еще удовлетворять условию нормировки:

，屮『Md%=l,(14.17а)

то как поправка 以 к энергии Еп невозмущенного состояния системы, так и коэффициенты С? (а тем самым и 屮?)станут уже однозначно определенными.

В частности, замечая, что система (14.30) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю, для нахождения Еп получаем уравнение:

.(ел-%1),一%2,…，一*了

=0,(14.31)

一匕1,- %勺，…，(Е2-V力)

Если функции ^nit не являются ортонормированными, то путем линейных преобразований из них всегда возможно построить новые функции, уже обладающие условием ортонормированности.

получившее название векового, унаследовав этот термин из небесной механики.

Если это вековое уравнение имеет несколько корней (не обязательно j), то каждому из них будут соответствовать совершенно определенные коэффициенты С/, найденные с помощью (14.17а) и (14.30) при En — Enki где Е7〃 - какой-либо из корней уравнения (14.31). Следовательно, и волновые функции для различных дополнительных значений Е] (даже в нулевом приближении) могут стать различными. Таким образом, если при отсутствии возмущения V состояние системы было j-кратно вырожденным, то при его наличии кратность вырождения может понизиться или даже вообще исчезнуть [если уравнение (14.31) имеет / различных корней].

д. Эффект Штарка

Если атом поместить в электрическое поле, то его спектральные линии, вообще говоря, могут расщепляться. Такое явление было обнаружено в 1913 г. в опытах Штарка.

Как показал эксперимент, действие электрического поля на атом водорода и другие атомы проявляется по-разному. А именно, при небольших напряженностях поля энергетические уровни атома водорода (например, серия Бальмера) испытывают расщепление, пропорциональное первой степени поля (так называемый линейный эффект Штарка)] для всех же остальных атомов вызываемое расщепление пропорционально второй степени поля (квадратичный эффект Штарка). При более сильных полях (порядка 15 в/см) появляется дополнительное расщепление, пропорциональное высшим степеням поля (для атома водорода ——квадрату поля, и т. д.). Наконец, при очень больших электрических полях спектральные линии вовсе исчезают.

Эффект Штарка не нашел своего объяснения в классической теории, и только квантовая механика позволила построить теорию этого эффекта.

В самом деле, согласно классическим представлениям движение электрона в атоме всегда можно разложить на три взаимно ортогональных колебания. Возьмем одно из колебании, которое происходит вдоль оси z, совпадающей по направлению с вектором постоянного электрического поля Е (Ех = Еу = 0, Е^ = &). Тогда для определения движения электрона по оси z】)получаем уравне- 睜(e = —ё。)： 加疟+佻唯=_0播 (14.32) где //г。一 масса электрона, а ю0 ——круговая частота его колебаний.

1) На остальные два колебания по направлениям х и у, перпендикулярным к £ вектор электрического поля действовать не будет.

Нетрудно видеть, что решением уравнения (14.32) будет:

Z = 一鳥 + 厶 cos 3" + 中).(14.33)

Таким образом, действие постоянной силы (— eog) по классической теории приводит лишь к изменению положения точки равновесия системы, но никоим образом не сказывается на частоте колебаний. Следовательно, в соответствии с классическими представлениями частота излучения атомов, определяемая частотой механических колебаний атомных электронов, также не должна зависеть от того, помещен ли атом в электрическое поле или нет. Таким образом, никакой сдвиг спектральных линий в этом случае не должен возникать.

Рассмотрим теперь эффект Штарка, основываясь на квантовых представлениях.

Как мы только что указали, существуют два основных вида штарк-эффекта: линейный и нелинейный. Первый из них характерен лишь для водородоподобных атомов. Это связано с тем обстоятельством, что для водородоподобных атомов имеет место вырождение не только по магнитному квантовому числу т, но и по орбитальному квантовому числу / (см. § 13), что и обусловливает линейный штарк-эффект. Для всех же других атомов вырождение по /, вообще говоря, уже отсутствует, и поэтому для них линейный эффект Штарка не наблюдается.

Исследуем более подробно теорию линейного штарк-эффекта для атома водорода. Для примера ограничимся рассмотрением второго квантового уровня (〃 = 2))

Поскольку внешнее электрическое поле (&) (в опытах оно имело порядок 104— 10s в/см) много меньше внутриатомного, создаваемого ядром и равного:

&яд.= % 2 5 • 1()9 б/см

(здесь а0 ——радиус первой боровской орбиты), для решения поставленной задачи с успехом можно использовать теорию возмущений, относящуюся к вырожденному случаю, причем в качестве возмущения V мы должны взять потенциальную энергию электрона во внешнем электрическом поле:

/ = е。蹤(14.34)

В невозмущенном состоянии электрон имеет энергию [см. 筑=一空，

Первый квантовый уровень (и = 1) является невырожденным и поэтому не будет расщепляться.

которой соответствуют четыре волновые функции:

屮;=屮2,仇0 = Rm (г)叫=与^ Rio (г),(14.35)

У 4冗

明=屮2,1,0 = &W) У； = У ^ &1 ⑺ COS »,(14.36)

峭= 5±,i,i = Ri ⑺匕二

=m^区«)患!e 叱(14.37)

峭%. itR?i (r)y J =

-了証")罟e、叱(14.38)

принимающие при замене 8 к 平 декартовыми

координатами вид:

明=fi (г),

(14.35а)

%=%(『)2,

(14.36а)

%= %(r)

(14.37а)

(14.38а)

где

(14.39)

Общая же волновая функция электрона при этом равна:

4

Ф°=Ф°=(14.40)

Ф°=

Ф°=

Очевидно, поскольку в рассматриваемом случае кратность вырождения равна четырем (j = 4), для определения неизвестных коэффициентов С? и поправки 员 к энергии 筑 невозмущенного состояния, согласно (14.30), имеем следующую систему четырех уравнений:

С；(马一%1) 一 С"；2 一 с銀；3 一 &%4 = 0,

一+ 2出；一%2)一 С"翦 一 С"24 = 0,

— a%i — C；%2 + C；(E；—VG—C"/ = 0,

—— C3匕2—C"狷+C?(瓦一展4)=0, где

%"=\ 憚V"f d3x = e。8 \ 帽*Z屮?或*.(14.42)

При интегрировании по объему матричные элементы:

匕1，几2，V33，%3，丿23，匕4，丿24 Ир£

обратятся в нуль, так как подынтегральное выражение каждого из них будет обязательно нечетной функцией относительно хотя бы одной из координат: г, % или у. Только матричные эле-

менты:менты:匕2И匕]=h2,匕2И匕]=h2,являющиеся четными функциями трех координат, будут отличныявляющиеся четными функциями трех координат, будут отличныот нуля:от нуля:匕2 = %i = е偈 $ 九(厂)〃 О) # "&•匕2 = %i = е偈 $ 九(厂)〃 О) # "&•(14.43)(14.43)Подставляя сюда вместо Д (г) и Д (г) их значения (14.39) и замечая, что в соответствии с (13.28а):Подставляя сюда вместо Д (г) и Д (г) их значения (14.39) и замечая, что в соответствии с (13.28а):аа/?20 —7^=Т (22 H 2 屛 ％、/?20 —7^=Т (22 H 2 屛 ％、г \ — J——]e 2aoг \ — J——]e 2ao1после интегрирования (14.43) по углам а н 平(при этом необходимо учесть, что z — r cos &) находим:1после интегрирования (14.43) по углам а н 平(при этом необходимо учесть, что z — r cos &) находим:сог匕尸吗尸鶏W(2一力ОДалее, принимая во внимание равенство: fe-ydp = r(s+l), Осог匕尸吗尸鶏W(2一力ОДалее, принимая во внимание равенство: fe-ydp = r(s+l), О(14.43а)(14.43а)получаем:получаем:匕2 =: V21 == - 3ё0&a0.匕2 =: V21 == - 3ё0&a0.(14.44)(14.44)

менты:

менты:

匕2И匕]=h2,

匕2И匕]=h2,

являющиеся четными функциями трех координат, будут отличны

являющиеся четными функциями трех координат, будут отличны

от нуля:

от нуля:

匕2 = %i = е偈 $ 九(厂)〃 О) # "&•

匕2 = %i = е偈 $ 九(厂)〃 О) # "&•

(14.43)

(14.43)

Подставляя сюда вместо Д (г) и Д (г) их значения (14.39) и замечая, что в соответствии с (13.28а):

Подставляя сюда вместо Д (г) и Д (г) их значения (14.39) и замечая, что в соответствии с (13.28а):

а

а

/?20 —7^=Т (2

2 H 2 屛 ％、

/?20 —7^=Т (2

2 H 2 屛 ％、

г \ — J

——]e 2ao

г \ — J

——]e 2ao

1

после интегрирования (14.43) по углам а н 平(при этом необходимо учесть, что z — r cos &) находим:

1

после интегрирования (14.43) по углам а н 平(при этом необходимо учесть, что z — r cos &) находим:

сог

匕尸吗尸鶏W(2一力О

Далее, принимая во внимание равенство: fe-ydp = r(s+l), О

сог

匕尸吗尸鶏W(2一力О

Далее, принимая во внимание равенство: fe-ydp = r(s+l), О

(14.43а)

(14.43а)

получаем:

получаем:

匕2 =: V21 == - 3ё0&a0.

匕2 =: V21 == - 3ё0&a0.

(14.44)

(14.44)

Е?30*偈0030*信筑0000房0000Е\также представитьввидеЕ?30*偈0030*信筑0000房0000Е\также представитьввиде=0,=0,которое можнокоторое можно(14.45)(14.45)

Е?

30*偈

0

0

30*信

筑

0

0

0

0

房

0

0

0

0

Е\

также представить

в

виде

Е?

30*偈

0

0

30*信

筑

0

0

0

0

房

0

0

0

0

Е\

также представить

в

виде

=0,

=0,

которое можно

которое можно

(14.45)

(14.45)

Пользуясь найденными значениями матричных элементов 丿力, для определения поправки Е；, согласно (14.31), будем иметь вековое уравнение:

Е/ (Е『-9 研镐&2)= 0.

Это уравнение имеет четыре корня:

⑴——3aoeо&,

⑶=3禽ё搐

⑻=ё广‘=仇

(14.45а)

，2 ‘ 2 ‘ 2

Е Е Е

(14,46)

причем каждому из них, согласно (14.41), должно соответствовать вполне определенное значение коэффициентов:

J №，G(2) C2).С『 = С£ = 0；Cf = c『0；J №，G(2) C2).С『 = С£ = 0；Cf = c『0；су=с? = о, c^.crvo.су=с? = о, c^.crvo.(14.47)(14.47)

J №，

G(2) C2).

С『 = С£ = 0；

Cf = c『0；

J №，

G(2) C2).

С『 = С£ = 0；

Cf = c『0；

су=с? = о, c^.crvo.

су=с? = о, c^.crvo.

(14.47)

(14.47)

Здесь верхний индекс j коэффициентов Ср — С? указывает, какому решению (корню) уравнения (14.45а) они принадлежат. Таким образом, уровню с энергией:

峭』£； + £『＞ = —學— Зе。硒(14.48)

в нулевом приближении, согласно (14.40) и (14.47), соответствует волновая функция:

屮°"' =С?(屮2,0,о + 屮2, 1,0), которая, если учесть еще условие нормировки:

:屮。⑴*旷⑴小%=1, .•

принимает вид:.

屮。⑴他+ 屮％i,o)・(14.49)

Аналогично нетрудно показать, что состояние с энергией:

毁=e；+E产=一空十за向8(14.50)

будет описываться в нулевом приближении функцией:

(14.51)(14.51)屮О ⑻ ~ P^f"(屮丸 °'0 —屮 2, 1/))•

(14.51)

(14.51)

Для описания состояний с энергией:

月⑻—戶⑷一r0匕2 乙2 乙2,

которые электрическое поле в первом приближении не возмущает, с одинаковым успехом можно пользоваться как функцией:

屮。⑶=屮?丄1(他=1),

так и функцией:

屮。⑷=屮2丄T⑺=-1)

или же их линейной комбинацией, так как система при т — ±\ остается вырожденной даже при наличии электрического поля.

Таким образом, в том случае, когда проекция момента количества движения на ось z отлична от нуля (zn = ± 1 в единицах 力)，т. е. когда движение электрона происходит преимущественно в плоскости (切)(см. § 12, п. «а»), расщепление энергетических уровней (а значит, и спектральных линий) в электрическом поле будет отсутствовать. Если же ориентация момента такова, что его проекция на ось z равна нулю (т = 0), т. е. когда электрон движется в плоскости, содержащей ось 2 (см. § 12, п. «а»), то электрическое поле приводит к расщеплению (см. фиг. 14.1).

Качественно эффект Штарка для п = 2 можно интерпретировать следующим образом. В силу того, что при/г = 2 характери-

曾+%% 8

@4@4@4@4-3% “€-3% “€

@4@4

@4@4

-3% “€

-3% “€

Фиг. 14.1. Расщепление второго спектрального терма атомаводорода в электрическом поле (линейный эффект Штарка):а - энергетический уровень без поил (信—0); 6 — энергетические уровнив поле (& #0).

зующая движение атомного электрона волновая функция (см. фиг. 12.1) не будет обладать центральной симметрией, у атома появляется электрический момент р, благодаря чему атом, будучи помещенным в электрическое поле:

(Е* =马=0,邑=&), приобретает дополнительную энергию:

V' = — ("£) = — pg, cos г (14.52) где т—угол между направлением электрического дипольного момента атома и осью z.

Сравнивая это выражение с (14.46), мы видим, что электрический момент атома равен р = За0^0> причем решение 屮。⑴ соот_ ветствует случаю 丁 = 0, а решение 屮°®——случаю у = к. Для третьего и четвертого решений следует положить 丁 = ± 多.Таким образом, в последнем случае электрический момент будет направлен перпендикулярно электрическому полю, благодаря чему никакой дополнительной энергии не возникает.

Иными словами, причиной, обусловливающей линейный эффект Штарка, является- присущий атому водорода при уг = 2 электрический момент р. s

Результаты, полученные на основе квантовой механики, находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными только в случае слабых полей (招〜10& в/см). В более сильных полях (&〜 10& s/см) появляется дополнительное расщепление (квадратичный эффект Штарка), вызванное снятием вырождения по магнитному квантовому числу т. Наконец, в полях, напряженность которых превышает величину 10s в/см, эффект Штарка вообще исчезает. Это связано с так называемой автоионизацией атомов, т. е. с вырыванием электронов, находящихся на возбужденных уровнях.

Основы классической теории дисперсии

Теория возмущений нашла применение при изучении взаимодействия света с веществом. Дело в том, что результаты, полученные из квантовой теории, отличаются от тех результатов, которые следуют по классической теории, а экспериментальная проверка дает блестящее подтверждение выводов квантовой теории.

Рассмотрим теорию дисперсии (т. е. теорию рассеяния света в среде) для диэлектрических сред, характеризуемых согласно классическим представлениям показателем преломления:

及=■/ e, где £ ——диэлектрическая проницаемость (магнитная проницаемость а при этом положена равной единице:卩=1). Как известно, если с увеличением частоты света, проходящего через вещество, показатель преломления п увеличивается, т. е. если 案〉0， то такая дисперсия называется нормальной. Типичным примером нормальной дисперсии является спектральное разложение видимого света стеклянными или кварцевыми призмами, когда фиолетовые лучи отклоняются от первоначального направления сильнее, чем красные.

Если же в некоторой области 窮 <0, то эта область называется областью аномальной дисперсии. Как правило, аномальная дисперсия наблюдается в области, связанной с поглощением света соответствующей частоты средой.

Для определения показателя преломления п (это является одним из важнейших моментов теории дисперсии) воспользуемся связью между напряженностью Е электромагнитного поля, вектором индукции D и вектором поляризации Р):

D — ^E = E-\- 4^Р.(14.53)

Отсюда, учитывая, что 忘=九纟,находим:

Р = ^Е・(14.53а)

Таким образом, для определения п нам необходимо, исходя из микроскопических представлений о строении вещества, установить связь между Р и Е.

Чтобы яснее понять, что нового в теорию дисперсии вносит квантовая теория, вспомним основы классической теории дисперсии.

Согласно классической теории Лоренца, атомы можно рассматривать как гармонические осцилляторы, в которых электроны колеблются в простейшем случае с одной и той же круговой частотой з. Тогда, направляя ось z по движению световой, т. е. электромагнитной волны, в силу ее поперечности можем вектор Е направить по оси % (Ех —g, Еу== Ez~0)} а вектор Н по оси у. Пренебрегая силой, действующей на атомные электроны со стороны магнитного поля (так как она в ~ раз меньше силы, действующей со стороны электрического поля Е^ колебание электронов в атоме можно описывать уравнением (е = —е。)：

itiqX —р 端工=—的&.(14,54)

Предположим, далее, что частота падающей световой волны равна со. Тогда

8 =跣(：0s(8/一浮).(14.55)

Если в рассматриваемом нами случае энергия, которую несет волна, значительно меньше энергии связи электронов в атоме, то в силу того, что длина волны 入 будет порядка 10~в см, отношением g в пределах атома (х 〜а 〜10-8 см) можно пренебречь. Таким образом, внутри атома электрическое поле волны при сделанных выше предположениях можно считать квазиста- ционарным. В результате этого упрощения уравнение (14.54) принимает вид:

尤十唠尤=—* & — — ~ §0cosсо/.(14.54а)

Умножая (14.54а) на (—%М), где N―число атомов в единице объема, и учитывая, что

gox = рх, а Р* — Nрк毋,РуР% = О, приводим это уравнение к виду:

於+ (о證=迫g0 COS 3九

(14.546)

Отсюда находим:

Д7Ь2 1

毋=丸"=Kcos@■

(14.56)

Сравнивая это выражение (14.53а), для показателя преломления получаем формулу:

М —j 然 1

4冗加0稣一<0-

(14.57)

хорошо известную из оптики.

Заметим, что если бы в атоме имелись электроны, обладающие различными собственными частотами:

%, wl> ①2，…，，"，* • * ?

то формула (14.57) приняла бы более общий вид:

п2 — 1 —磊, k

(14.57a)

где Nk 一一 число электронов в единице объема, движущихся с частотой (о力.

Для радиочастотного диапазона (w ^ о^0) показатель преломления, согласно (14.57), с большой степенью точности может счи

таться величиной постоянной, определяемой соотношением:

〃2 — 1 Nel

——2-

4冗 用心6

(14.58)

Наоборот, для частот ①》©。 значение показателя преломления следует находить из соотношения:

ns —1

4冗

_ Nel

(14.59)

т. е. при(o«g)показатель преломления будет величиной постоянной и больше единицы, а при ①》①。一меньше единицы, приближаясь при со—>сю к единице.

В области же частот со, близких к wOt

случае:

0=繇

показатель преломле-

ния по абсолютной величине неограниченно возрастает, а при (о =(о0 испытывает разрыв (см. фиг. 14.2).

Это связано с тем обстоятельством, что в уравнении (14.54) не учитывается сила радиационного трения электрона: Рр-=

2

— ^~ХУ являющаяся результатом действия на электрон его соб

ственного поля.

Если бы 尸тр・ была включена в уравнение, то

кривая дисперсии в области з 〜з。имела бы вид, изображенный

на фиг. 14.2 штриховой линией. Из этого следует, что вблизи резонансной частоты (о0 Дисперсия становится аномальной. Поскольку область аномальной дисперсии совпадает с областью собственных механических частот колебаний электронов в атоме, то аномальной дисперсии всегда должно сопутствовать сильное поглощение.

Квантовая теория дисперсии

Перейдем теперь к построению квантовой теории дисперсии. При этом по аналогии с классическим случаем будем предполагать, что все электроны атомов находятся в одном и том же квантовом состоянии ^). Для решения нашей задачи используем метод возмущений, поскольку энергия взаимодействия с внешним полем, как правило, мала по сравнению с энергией связи электронов в атоме.

Замечая, что внешняя сила, действующая на электрон, в нерелятивистском случае (т. е. при отбрасывании «магнитной» силы), согласно (14.55), имеет вид9):

Fх = — eogo cos со/, Fv =匕=О, для энергии возмущения получаем выражение:

V' = %%&о cos со九(14.60)

В связи с этим уравнение Шредингера для электрона запишется в форме:

ТАно")%(/)= О，(14.61)

где Н° ——гамильтониан в отсутствие возмущения.

Допустим, что при Vz = 0 уравнение (14.61) имеет точное решение:

屮2(/)=屮肥一因冷即 =屮肋一加序，(14.62)

где 娱 и Ek удовлетворяют уравнению:

(瓦一Н。)娱=0・(14.63)

Тогда в соответствии с теорией возмущений решение будем искать в виде:

也⑴=崂()(14.64)

Принимая во внимание, что, согласно (14.62) и (14.63), имеет

место равенство:место равенство:(14.63а)(14.63а)

место равенство:

место равенство:

(14.63а)

(14.63а)

для определения 屮式/) и поправки к энергии Ek в первом приближении получаем уравнение:

(14.65)

Подставляя сюда V' из (14.60), находим:

(—?%- Н。)屮力(/) = ~&隔唄｛e-^^kГ + e-^^k + 叫.(14.65a)

Чтобы в этом уравнении исключить время 厶 будем искать функцию 屮*/) в форме:

屮式/) = 〃6一" ®内-6)宀實一"(8｝З儿(14.66)

Тогда для определения функций 〃 и и будем иметь уравнения: ｛力 3 尼一①)一Н。｝ 〃 = ^~е()%&0 屮 2,(14.67)

｛充(吗+ О0 - h。｝ u =&0屮%.(14.68)

Заметим, что два последних уравнения имеют совершенно одинаковую структуру. Поэтому нам достаточно найти лишь решение и уравнения (14.67). Тогда решение и уравнения (14.68) получим с помощью простой замены со на — со.

Поскольку в уравнение (14.67) время явно не входит, при определении функции 〃 мы можем воспользоваться методом возмущений для стационарных задач, когда решение можно искать в виде разложения по собственным функциям невозмущенной задачи [см. (14.8)]:

“ = £С"喉，，，(14.69)

где 魄"удовлетворяет уравнению:

(М" — Н°)屮笳=0.(14.70)

Принимая во внимание это обстоятельство, приведем (14.67)

к внду:充』См，3^，，一叫屮册=乎幅.(14.67а)

Здесь частота излучения:

W 亠产.(14.71)

Умножая (14.67а) слева на 屮隣 и интегрируя затем по всему пространству с учетом ортонормированности собственных функций g屮統娱"0% =近我,} для коэффициентов &，и функции " соответственно находим выражения:

-繚％:(14.72)

" = 1(-警)肃% 哦，，(m.73)

где матричный элемент х少左 равен:

尤?，汽=卜屮版联成汇.(14.74)

Заменяя в (14.73) w на ——со, находим выражение для функции V：

Т(-縹屮乳(14.75)

Общая же волновая функция 屮左«) при этом, согласно (14.64), (14.66), (14.73) и (14.75), запишется в виде:

也⑴=i明{璃—轉丄£?吧［со尼“ cos ①方一Zw sin 呐}. (14.76)

Определив волновую функцию 屮尼«) электрона во внешнем поле, мы легко сможем найти вектор поляризации среды 杯. В самом деле, по классической теории:

翁—Np = — Neg

Чтобы это выражение обобщить на квантовый случай, вместо р следует взять его среднее значение. Тогда

^ = N{p) = —N如，屮弘/)尤也(/) d3x.(14.77)

Подставляя сюда 屮尼(/) из (14.76) и оставляя только члены первого порядка малости относительно g0> находим:

砂=翠1*号亂cos к. (14.78)

При выводе этого соотношения мы учли, что

,幅*X暇 4tх = i 屮讦* d% = 0,

поскольку подынтегральная функция является нечетной функцией X. Сравнивая (14.78) с (14.53а), получаем дисперсионную формулу： 絞з^|4,諸

4冗 Й乙3声少—(о2 , ( . J

Вводя новую переменную：

(14.80)(14.80)fkrk - 8比'左IХ版左

(14.80)

(14.80)

получившую название силы осциллятора, преобразуем равенствополучившую название силы осциллятора, преобразуем равенство(14.79) к виду:(14.79) к виду:п2—1 Nelп2—1 Nel4 冗一m04 冗一m0V fwkg哈尼二V fwkg哈尼二(14.81)(14.81)

получившую название силы осциллятора, преобразуем равенство

получившую название силы осциллятора, преобразуем равенство

(14.79) к виду:

(14.79) к виду:

п2—1 Nel

п2—1 Nel

4 冗一m0

4 冗一m0

V fwk

g哈尼二

V fwk

g哈尼二

(14.81)

(14.81)

Заметим, что если бы с самого начала была учтена квантоЗаметим, что если бы с самого начала была учтена кванточастот <о, близкихчастот <о, близкихФ и г. 14.3. Кривые дисперсии.Ф и г. 14.3. Кривые дисперсии.

Заметим, что если бы с самого начала была учтена кванто

Заметим, что если бы с самого начала была учтена кванто

частот <о, близких

частот <о, близких

Ф и г. 14.3. Кривые дисперсии.

Ф и г. 14.3. Кривые дисперсии.

вым путем сила радиационного трения, то для

к о%屮,мы имели бы (подобно классическому случаю) в области аномальной дисперсии конечное значение для 几2 (см. фиг. 14.3а —— штриховая линия).

Формула (14.81) напоминает по своей структуре классическое выражение (14.57). Однако по сути дела квантовые результаты принципиально отличаются от классических. В са-

МОМ деле, согласно Кван- а — положительная дисперсия (①月=①々咕)；6 — отрм・ ТОВОЙ теории, аномальнаяцательная дисперсия {^^ ==

дисперсия лежит в области частот, соответствующих разрешенным переходам в квантовой теории, а не в области собственной механической частоты колебаний электрона, как это вытекает из классической теории. Такой вывод следует из того, что в дисперсионной формуле (14.81) существенную роль играет сила осциллятора 力*左，определяемая матричным элементом x^k [см. (14.80)], характеризующим правила отбора, т. е. возможные переходы.

Д. С. Рождественский, используя так называемый метод крюков, экспериментально подтвердил эти выводы квантовой теории.

Вторым очень важным отличием квантовых результатов от классических является то, что, согласно квантовой теории, наряду с обычной положительной дисперсией может также существовать еще и отрицательная дисперсия (см. фиг. 14.36), не имеющая классического аналога.

Действительно, если рассеяние света происходит на возбужденных атомах, то следует учитывать состояния с £尼〉£勿,для которых:

Ek. — Ek

力削з加尼=х、

Для этих состояний дисперсионная формула (14.81) принимает

ВИД：

(14.81a)(14.81a)м-1 = _ 2 + |%6|

(14.81a)

(14.81a)

4冗一 m0 4З%内-s"

а кривая дисперсии изображается пунктирной линией на фиг. 14,36.

Экспериментально явление отрицательной дисперсии было обнаружено Ладенбургом. Таким образом, и этот вывод квантовой теории также получил свое подтверждение.

Найдем значение силы осциллятора 『勿左，а следовательно, и дисперсионную формулу в случае гармонического осциллятора. Замечая, что при этом отличными от нуля будут только матричные элементы [см. (10.55)]:

которым соответствуют квантовые частоты излучения, «случайно» совпадающие с соответствующими механическими частотами колебаний:

⑴比+1,左=①0 и (0月一1,比= 一⑴0,

находим:

(14.82)(14.82)//?+1, А ^―— (^ ~Н 0» /^―I, А *—瓦

(14.82)

(14.82)

В связи с этим дисперсионная формула (14.81) запишется в виде (так как £%% = 1)：

(14.83)(14.83)必一1 _ Nel 左+ 1 _ №j 用 一蝸 [4注 Wg (03——w2 in0 w§ ——32 一 /по WJ -公2

(14.83)

(14.83)

Отсюда следует, что в этой частной задаче квантовая и классическая теории дают для показателя преломления 〃 одно и то же значение. Явление отрицательной дисперсии здесь не наблюдается. Это связано с тем обстоятельством, что для гармонических осцилляторов область отрицательной дисперсии, благодаря тому что I wfe_pi^|2=|(oA_ii^|2J совпадает с соответствующей областью положительной дисперсии, которая ее перекрывает.

Комбинационное рассеяние света

Проанализируем прежде всего явление дисперсии с точки зрения энергетической схемы.

Предположим, что на атом, обладающий всего лишь тремя уровнями Е*<Е^<Е” (см. фиг. 14.4), падает фотон с энергией:広=如.(14.84)

Вообще говоря, рассеяние этого фотона (т. е. явление дисперсии) будет представлять собой эффект второго порядка. В самом деле, может произойти так, что вначале произойдет поглощение

падающего фотона [при этом электрон, находящийся в начальный момент на уровне k, перейдет в некоторое промежуточное состояние, которое, вообще говоря, может быть и запрещенным) (см. фиг. 14.4, /)], а затем испускание. Если электрон в результате испускания возвратится в свое прежнее состояние, то, согласно закону сохранения энергии, частота 6 рассеянного фотона будет равна частоте w падающего фотона.

Кроме того, может случиться и наоборот: сначала атом испустит фотон (см. фиг.

Фиг.Фиг.14.4. Энергетическая схема рассеяния фотонов:14.4. Энергетическая схема рассеяния фотонов:Л<о — энергия падающего фотона;九а/ ——энергия рассеянного фотона; /, // — упругое рассеяние фотона (Лш ф九3炉々и九з W九8月九")，"人?V - вынужденные переходы (九3~九3々，用или九① ~7lco肋内").Л<о — энергия падающего фотона;九а/ ——энергия рассеянного фотона; /, // — упругое рассеяние фотона (Лш ф九3炉々и九з W九8月九")，"人?V - вынужденные переходы (九3~九3々，用или九① ~7lco肋内").//), а потом только произойдет поглощение падающего фотона. При этом, так же как и в предыдущем случае, частота рассеянного фотона о/ будет равна частоте со падающего фотона,

Фиг.

Фиг.

14.4. Энергетическая схема рассеяния фотонов:

14.4. Энергетическая схема рассеяния фотонов:

Л<о — энергия падающего фотона;九а/ ——энергия рассеянного фотона; /, // — упругое рассеяние фотона (Лш ф九3炉々и九з W九8月九")，"人?V - вынужденные переходы (九3~九3々，用или九① ~7lco肋内").

Л<о — энергия падающего фотона;九а/ ——энергия рассеянного фотона; /, // — упругое рассеяние фотона (Лш ф九3炉々и九з W九8月九")，"人?V - вынужденные переходы (九3~九3々，用или九① ~7lco肋内").

окажется в первона-окажется в первона-если в результате поглощения атом вновь

окажется в первона-

окажется в первона-

чальном состоянии.

Наконец, может быть случай резонанса, когда ①〜①犷々.Тогда наряду с рассеянием фотоны могут также поглощаться (см. фиг. 14.4, ///), а электроны в атоме совершать вынужденные переходы. Вероятность вынужденных переходов будет определяться коэффициентом Эйнштейна 3片方[см. (9.21)]. Наличие внешнего поля может также усилить переходы сверху вниз (см. фиг. 14.4, IV), что даст дополнительное излучение, пропорциональное коэффициенту Bkk".

Выше мы рассмотрели случаи, в которых атомы после рассеяния возвращаются в свое первоначальное состояние. Однако

может оказаться и так, что после того, как атом поглотит падающий фотон, переход из промежуточного состояния совершится не на уровень 也 а на уровень 汇 или на уровень Q (см. фиг. 14.5). Тогда частота рассеянного света (6 или『)уже не будет равна частоте со падающего света. В таких случаях говорят о так называемом комби наци онном рассеянии, или раман-эффекте. Экспериментально комбинационное рассеяние света впервые было обнаружено в жидкостях индийским физиком Раманом, а в твер-

Фи г. 14.5. Комбинационное рассеяние света:Фи г. 14.5. Комбинационное рассеяние света:九 <0 ——энергия падающего фо гона;九 о»， и九з” _ энергии рассеянных фотонов, от-вечающие «стоксовым» и «антистоксовым»линиям.九 <0 ——энергия падающего фо гона;九 о»， и九з” _ энергии рассеянных фотонов, от-вечающие «стоксовым» и «антистоксовым»линиям.дых телах — советскими физиками Л. И. Мандельштамом и Г. С. Ландсбергом (1928).

Фи г. 14.5. Комбинационное рассеяние света:

Фи г. 14.5. Комбинационное рассеяние света:

九 <0 ——энергия падающего фо гона;九 о»， и九з” _ энергии рассеянных фотонов, от-вечающие «стоксовым» и «антистоксовым»линиям.

九 <0 ——энергия падающего фо гона;九 о»， и九з” _ энергии рассеянных фотонов, от-вечающие «стоксовым» и «антистоксовым»линиям.

Как видно из фиг. 14.5, частота рассеянного фотона в раман- эффекте может быть как меньше, так и больше частоты падающего.

В первом случае линии:

о/ =(0——⑴闕左< О),

называемые стоксовыми линиями (смещение происходит в сторону «красной» части спектра), соответствуют возбуждению атома, так

как в результате рассеяния атом оказывается в энергетически более высоком состоянии. Во втором случае возникают так называемые антистоксовы линии (смещение происходит в сторону «фиолетовой» части спектра):

о/' = О) -J— 3々厶〃 ^> О)；

они могут присутствовать только в том случае, когда свет рассеивается на возбужденных атомах.

Очевидно, что при низких температурах могут наблюдаться только стоксовы линии. При повышении температуры, по мере того как атомы среды будут переходить в возбужденные состояния, будут появляться и антистоксовы линии.

Важную роль комбинационное рассеяние играет при исследовании строения молекул. В самом деле, в § 12, п. «в» мы видели, что ротационные и вибрационные (а также вибрационноротационные) спектры, по которым можно судить о структуре молекул, расположены в глубокой инфракрасной области и поэтому труднодоступны наблюдению. Изучая же комбинационное рассеяние, можно иметь дело с видимым светом и по изменению его частоты судить о спектре молекул, поскольку последний при этом будет налагаться на спектральные линии падающего света.

Определяя 6 и со" (см. фиг. 14.6) из опыта, можно найти молекулярные частоты:/

со加力=(0 ——о/ и ^kk,f = W^ —切,

ио которым, в частности, можно получить также и правила отбора. В настоящее время комбинацион

36II 1136II 11Фиг. 14,6. Наложение молеку-лярных частот на частоту па-дающего света:а -- спектральная линия ш без учетамолекулярных колебаний; б — смеще-ние спектральной линии ш, обусловлен-ное молекулярными колебаниями:5 = 3 — 8卜也,со" = з + ^kk^'Фиг. 14,6. Наложение молеку-лярных частот на частоту па-дающего света:а -- спектральная линия ш без учетамолекулярных колебаний; б — смеще-ние спектральной линии ш, обусловлен-ное молекулярными колебаниями:5 = 3 — 8卜也,со" = з + ^kk^'ное рассеяние используется как один из ведущих методов молекулярной физики.

3

6II 11

3

6II 11

Фиг. 14,6. Наложение молеку-лярных частот на частоту па-дающего света:

а -- спектральная линия ш без учетамолекулярных колебаний; б — смеще-ние спектральной линии ш, обусловлен-ное молекулярными колебаниями:

5 = 3 — 8卜也,со" = з + ^kk^'

Фиг. 14,6. Наложение молеку-лярных частот на частоту па-дающего света:

а -- спектральная линия ш без учетамолекулярных колебаний; б — смеще-ние спектральной линии ш, обусловлен-ное молекулярными колебаниями:

5 = 3 — 8卜也,со" = з + ^kk^'

Задача 14.1. Найти поправку к энергии системы во втором приближении теории возмущений.

Решение. Ограничиваясь в разложениях волновой функции 屮(14.3) и энергии Е (14.4) членами до второго порядка малости включительно и подставляя их в \ равнение Шредингера (14.2а), получаем V равнение:

(州一h。)%=一(以一 r)弘一然廿.

Учитывая, что решение 屮倉 однородного

(14.85)(14.85)При этом мы вос-При этом мы вос-х равнения должно быть ортогональным правой части и что выражение для 屮7 задается формулой (14.22), находим:

(14.85)

(14.85)

При этом мы вос-

При этом мы вос-

"一4然一 "J п'

Здесь значение для У^Гп определяется форм} пой (14,15). пользовались равенством:

叱〃，=4"

имеющим место для эрмитовых операторов.

Заметим, что поправка (14.85) второго приближения к энергии низшего состояния всегда отрицательна, поскольку все остальные уровни Е^, лежат выше 然，т. с. £*«, > £*«.

Задача 14.2. Используя теорию возмущений, с точностью до величин порядка Й2 найти энергию ангармонического осциллятора, гамильтониан которого равен:

н Р2 , т0^х2

I де V' = ах3 -f- рх4, а постоянные аир являются классическими величинами.

Решение. Как известно, энергия гармонического осциллятора (^ = 0) равна:

然=方公(几+ %)•

Рассматривая энергию V' как энергию возмущения, в первом приближении находим:

^л = Илл = а (х8)лл + В (*")м・

Легко показать, что

(М%/1 = \ 丨屮/г 产炉 dx = О,

поскольку подынтегральное выражение является нечетной функцией.

При вычислении же матричного элемента Р (х')^^ можно воспользоваться правилом умножения матричных элементов (см. задачу 10.4). Тогда будем иметь:

(Х%〃 = £ (Х%А “％” = (“％,…产 + ((Х%, 5 + ((炉)“,…产 k

Подставляя сюда значения для (х‘)理汽 из задачи 10.5, находим для энергии возмущения в первом приближении Еп следующее выражение:

以=力* ^^+ 几 + ^) •(14.86)

Однако наша задача решена еще не до конца, так как вклад, вносимый первым членом энергии возмущения 号炉，во втором приближении будет пропорционален ?〜方2 и поэтому также должен быть учтен. Что касается вклада во втором приближении от члена 耳'，то он будет пропорционален 寸〜方з м поэтому в рассматриваемом приближении может быть отброшен.

Энергия второго приближения теории возмущения может быть вычислена по формуле (14.85):“

р* —岁_ 中(尤3)7171，(*")%F林一•n'

Отличными от нуля будут только следующие матричные элементы [см. формулу (10.55) и задачу 10.5]:

(-^3)л,=(六)/1, Л (尤)п, Л-1 + (%*")% Л-2 (-^)^-2, Д-1 =

=3財

(-^2)л, л-2 (-^)л-2, /г -з =用(工3)/1, л+l = (-^3)л+1, Л> (X%, л+з =(*%Т 3, &(-^2)л, л-2 (-^)л-2, /г -з =用(工3)/1, л+l = (-^3)л+1, Л> (X%, л+з =(*%Т 3, &Т/ 几（北-1）（孔一2）Т/ 几（北-1）（孔一2）(炉辰Д-З

(-^2)л, л-2 (-^)л-2, /г -з =用

(工3)/1, л+l = (-^3)л+1, Л> (X%, л+з =(*%Т 3, &

(-^2)л, л-2 (-^)л-2, /г -з =用

(工3)/1, л+l = (-^3)л+1, Л> (X%, л+з =(*%Т 3, &

Т/ 几（北-1）（孔一2）

Т/ 几（北-1）（孔一2）

Отсюда находим:

爲=—¥ 杷部 W + 〃 + ^>(1487)

ЧАСТЬ II

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

СКАЛЯРНОЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕКЛЕЙНА-ГОРДОНА

Классическая релятивистская механика и уравнениеКлейна — Гордона. Релятивистская инвариантность

Уравнение Шредингера, подробно рассмотренное нами, применимо для описания движения частиц, скорость которых и значительно меньше скорости света с. Нерелятивистское волновое уравнение Шредингера неинвариантно относительно преобразований специальной теории относительности (преобразований Лоренца), поскольку координаты времени и пространства входят неравноправно: уравнение содержит первую производную по времени и вторые производные по координатам, в то время как специальная теория относительности требует такой записи уравнения, чтобы пространственные и временные координаты формально входили бы на одинаковых основаниях.

Вместе с тем можно сформулировать теорию так (см. 3.2), что соотношения де-Бройля:

p — hk, £ =方3 (15.1) будут трансформироваться при лоренцовом преобразовании как четырех-вектор 卩卩 с составляющими:

卩 1, Pi• (15.2)

Это свидетельствует, в частности, о том, что возможно обобщение волновой механики на случай движения частиц со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Один из возможных путей обобщения нерелятивистского волнового уравнения, совместимый с формулами преобразований специальной теории относительности, был предложен Клейном и Гор-

доном, а также Фоком (1926). Наиболее простой способ получения волнового уравнения для свободной частицы сводится к следующему: в классическое релятивистское соотношение между энергией Е, импульсом р и массой покоя т^ частицы:

炉一产百一优虑=0 (15.3)

(15.4)(15.4)следует подставить операторы энергии и импульса: E = i九 ^, p =——th V,

(15.4)

(15.4)

действующие на волновую функцию 屮(尸，/). Заменяя, кроме того,действующие на волновую функцию 屮(尸，/). Заменяя, кроме того,массу 加° величиной hk^jc. получаем 〉массу 加° величиной hk^jc. получаем 〉1 *1 *с2 dt2с2 dt2ЗдесьЗдесь,после сокращения на величину 方?с?,после сокращения на величину 方?с?山山(X 0х“(X 0х“0.0.(15.5)(15.5)Х^ ~-^, X?У, %зХ^ ~-^, X?У, %з芻=let芻=let(15.6)(15.6)

действующие на волновую функцию 屮(尸，/). Заменяя, кроме того,

действующие на волновую функцию 屮(尸，/). Заменяя, кроме того,

массу 加° величиной hk^jc. получаем 〉

массу 加° величиной hk^jc. получаем 〉

1 *

1 *

с2 dt2

с2 dt2

Здесь

Здесь

,после сокращения на величину 方?с?

,после сокращения на величину 方?с?

山

山

(X 0х“

(X 0х“

0.

0.

(15.5)

(15.5)

Х^ ~-^, X?У, %з

Х^ ~-^, X?У, %з

芻=let

芻=let

(15.6)

(15.6)

(по индексу [х, входящему дважды, предполагается суммирование от 1 до 4). Поскольку мы исходили из релятивистского соотношения (15.3), полученное уравнение является релятивистски инвариантным, и поэтому оно симметрично относительно пространственных и временных координат. Мы не будем здесь более строго доказывать релятивистскую инвариантность уравнения и перейдем к изучению его свойств.

Плотность заряда и тока

Выражения для плотности заряда и тока можно найти тем же путем, что и в нерелятивистской теории, положив в основу уравнение непрерывности:

(15.7)(15.7)div/+^ = °・

(15.7)

(15.7)

Умножая уравнение (15.5) слева на 屮*, а комплексно-сопряженное [аналогичное (15.5), но с заменой 屮 на 屮*]——на 屮 и производя вычитание, получаем:

屮卡屮-屮V纯* 一員屮嚼屮一碟屮*) = 0. (15.8)

Последнее равенство можно преобразовать к виду:

div ｛屮grad屮* 一屮* grad屮｝糸｛屮*专屮一屮^屮*｝ = 0. (15.9)

Вводя теперь плотность заряда и плотность тока соответственно выражениями:

L蕊［屮噜ТТН'(15」。)

片盡［屮*，屮-(w*)以(HU)

замечаем, что они удовлетворяют уравнению непрерывности (15.7) и, кроме того, образуют четырехмерный вектор:

，产编［中*畫-微)屮］'(К」2)

где

х4 = id, j&= Sp.(15.13)

Плотность тока (15.11) совпадает с нерелятивистской формулой (5.21), плотность заряда переходит в нерелятивистское выражение (5.20) при и«с. Действительно, воспользуемся заменой ，力^fE ［см. (15.4)］; тогда с помощью (15.10) для плотности заряда получим выражение:

Р=志屮屮，(15.14)

которое в нерелятивистском приближении Е 〜加^с? переходит в обычную формулу р = е屮*屮.Таким образом, мы выбрали такую нормировку, чтобы релятивистские значения для ри/ при ^^ 《1 переходили бы в соответствующие нерелятивистские выражения.

Заметим, что введение плотности частиц (в отличие от плотности заряда):

в релятивистской теории встречает трудности. Волновое уравнение Клейна ——Гордона является дифференциальным уравнением второго порядка, поэтому возможно произвольное задание 屮 и II для некоторого момента 九 Следовательно, плотность р0 (15.15) в общем случае не является положительно определенной величиной в отличие от нерелятивистской плотности вероятности:

Ро = ф*^. (15.16)

Вследствие этого вьфажение (15.15) является плотностью заряда, а не плотностью числа частиц. Это связано с тем обстоятельством, что релятивистское уравнение описывает движение частиц как с положительным, так и с отрицательным зарядом (пи-мезоны,' к которым применимо это уравнение, могут обладать и положительным и отрицательным зарядом). Поэтому величина р0 может иметь оба знака. '

Релятивистская теория атома водорода(без учета спина электрона)

Чтобы ввести в рассмотрение взаимодействие частицы с элек^ тромагнитным полем, заданным, как обычно, векторным А и скалярным Ф потенциалами, мы, так же как и в нерелятивистском случае, введем операторы:

F = z力—е①，Р = —i^V-~А.(15.17)

Тогда с помощью (15.3) находим уравнение Клейна -—Гордона]):

｛ Й ^ — е①，一或 #%v + ± 4 j 一 m^｝屮=0.(15.19)

Применим это уравнение к исследованию спектра водородоподобного атома. Полагая 4=0 и V = еФ =, из (15.19) получаем:1

▽纯十费｛(E 一『『一嘲叫屮=0.(15.20)

Поскольку потенциальная энергия в последнем уравнении от времени не зависит, можно перейти к стационарному случаю, сделав замену:

屮(г, /)=屮(г) е ".

В последнем выражении мы выделили собственную энергию частицы т^. Тогда уравнение (15.20) принимает вид:

(e +什《:学y - -嘲f屮=0.

Это уравнение можно получить также нз классической функции Г а- мильтона для частицы в электромагнитном поле:

Н=\「d (р—/ 4)" + m四+ еФ.[(15.18)

Для этого после переноса еФ в левую часть и возведения обеих частей в квадрат нужно сделать замену классических величин соответствующими операторами, действующими на волновую функцию.

Так же как и в теории Шредингера, решение последнего уравнения будем искать в форме:

屮= R(“y?e， ?).(15.22)

Тогда для радиальной части получим уравнение:

(15.23)(15.23)

(15.23)

(15.23)

Здесь 口 =倉4而 является безразмерной величиной, получившей название постоянной тонкой структуры,

(15.24)(15.24)

(15.24)

(15.24)

При с2 -> сх^ последние выражения точно переходят в соответствующие выражения нерелятивистской теории (см. § 13).

Несколько уточненные (путем учета релятивистских эффектов) значения для постоянных Л и В не могут каким-либо образом сказаться на характере решения релятивистского волнового уравнения по сравнению с решением уравнения Шредингера.

Появление же в уравнении (15,23) дополнительного члена Z2a2

можно формально рассматривать как введение дополнительной релятивистской потенциальной энергии притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, которая может при некоторых условиях изменить характер решения, что будет более подробно проанализировано ниже.

Прежде всего исследуем асимптотическое решение R。 при г0.

В этом случае уравнение (15.23) принимает вид:

■凡=о.(15.25)

Решение последнего уравнения будем искать в виде: R尸СА

Тогда для определения s получаем уравнение:

s (s + 1) — Z (Z1) + Z^ = 0,(15.26)

с решением:

S1, .2=V'^+^1 -Zi^-(15.27)

В этом случае

& = &广门+0产." (15.28)

ЕслиЕсли(15.31)(15.31)

Если

Если

(15.31)

(15.31)

то оба корня & и s? при любых значениях Z = 0, 1, 2, ... будут вещественными величинами и мы можем ограничиться решением для fRq, нерасходящимся в нуле, т. е. положить С.2 = 0. Кроме того, при Е<^0 (когда 4〉0) в выражении для волновой функции при г -> оо следует ограничиться экспоненциально убывающим решением.

Ограничение с обеих сторон убывающими решениями дает для определения спектра энергии такое же выражение, какое было получено по теории Шредингера [см. (13.20)], если в последнем I заменить на s「 Тогда для определения собственных значений будем иметь уравнение:

= &—Z%t (15.29)

Подставляя сюда вместо постоянных В и Л их релятивистские значения (15.24), получаем (几=比4~/十1)：

邑, = md 1+-一,——手十2一m户(15.30) (^ + т +]/ (z + t) 一 Z&Q)

Разлагая последнее выражение в ряд по Z?：^ и оставляя первые два не обращающиеся в нуль члена, находим спектр энергий с учетом релятивистских членов:

Первый член совпадает с соответствующим выражением нерелятивистской теории; второй член, пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры 仪 ~ 1/13 力 дает релятивистские поправки.

Учет релятивистских поправок для атома водорода (Z=l) интересен в том отношении, что он снимает вырождение по /, благодаря чему уровни с заданным значением п расщепляются на п близких (ввиду малости а2) подуровней, поскольку орбитальное квантовое число / может принимать п значений (/ = 0, 1, 2,..., п 一 1).

Для сравнения с экспериментом можно рассчитать дублетное расщепление для серии Бальмера (九=2). Для величины этого расщепления имеем:

Аз = 丁備. (15.32)

Сравнение результатов с данными эксперимента показывает, что истинная величина расщепления для серии Бальмера оказывается примерно в три раза меньшей, чем это следует из формулы (15.32).

Причина этого противоречия заключается в том, что тонкая структура уровней атома водорода не исчерпывается релятивистской зависимостью массы от скорости. Как будет показано в § 19, при этом следует учитывать также и спин электрона, т. е. собственный механический момент, который автоматически приводит к магнитному моменту. Вначале предполагалось, что уравнение Клейна ——Гордона пригодно для описания релятивистского электрона. Однако противоречия с опытными фактами помогли установить, что это уравнение описывает движение частицы со спином, равным нулю, в то время как спин электронов равен %* Уравнение Клейна ——Гордона, по-видимому, применимо к описанию движения пи-мезонов ——частиц со спином, равным нулю.

Наконец, рассмотрим другой случай, когда в уравнении (15.27):

(15.33)(15.33)Za%・

(15.33)

(15.33)

При этом будем иметь не поправочные к нерелятивистскому уравнению члены, а принципиально новое решение.

В самом деле, при / = 0 оба корня 邑 и & будут комплексными, и поэтому для асимптотического решения (15.28) будем иметь выражение:

%=六(&小+以产)，(15.34)

У Г

где i = l/~Z%2— —. Тогда мы не можем ограничить нашу задачу условием С2 = 0 (или С\ = 0), так как оба решения имеют одинаковую сингулярность при г 0.

Поскольку в этом случае решение даже при Е<^0 со стороны малых г остается неограниченным потенциальным барьером, спектр энергии для / = 0 будет непрерывным, в результате чего должно произойти «падение» частицы на центр.

Вопрос об устойчивости движения частиц имеет весьма важное значение при исследовании центральных сил.

方2产方2产Полученный результат может быть использован при анализе решения уравнения Шредингера, когда на частицу действуют силы притяжения вида:

方2产

方2产

(15.35)

Составляя асимптотическое решение при гт0 [см. (15.26)], находим, что исчезающее в нуле решение может быть получено

только для максимального значения (q = 2), причем частица не упадет на центр, когда

В связи с этими замечаниями следует также отметить, что потенциальная энергия, обратно пропорциональная кубу расстояния, встречается в теории элементарных частиц сравнительно часто, поскольку она описывает взаимодействие двух элементарных магнитных диполей.

При этом следует различать два случая. В первом случае I/ 〜厂 з лишь на сравнительно больших расстояниях, а на малых расстояниях V убывает не быстрее чем г-2. Такой закон изменения V имеет место, например, для так называемого спин-орби- тального взаимодействия в теории Дирака. Тогда эта расходимость не вызывает никаких трудностей. Более того, если по релятивистской теории Клейна — Гордона устойчивость в кулоновском центре ограничена сравнительно небольшими значениями Z<-^・137, то при учете спиновых эффектов, которые несколько уменьшают влияние релятивистских эффектов (см. § 17), это условие будет соответствовать Z, лежащим за пределами существующей периодической системы (Z<^ 137).

Во втором случае, когда закон притяжения ]/〜厂'остается справедливым также и в случае гт 0, соединение элементарных частиц в атомоподобные системы становится невозможным. Подобный закон имеет место, например, в мезонной теории ядер- ных сил, где существенная роль принадлежит квазимагнитным взаимодействиям. В этом случае потенциал приходится обрезать на некоторых малых расстояниях таким законом изменения V, чтобы стало возможным образование атомоподобной системы.

Задача 15.1. Найти выражение для ри/ при наличии электромагнитного поля в релятивистском скалярном уравнении.

Решение. Воспользовавшись заменой р —*ру Л, Е —Е — еФ, за

пишем уравнение Клейна ——Гордона для частицы в электромагнитном поле:

V _ ^4『 一十罕）一胫" = 0・

ей 2moiей 2moiЗатем, повторяя расчет, приведший к формуле (15.12), легко получить ее обобщение:

ей 2moi

ей 2moi

где четырехмерныйгде четырехмерныйпотенциал 厶祖 имеет компоненты：\ = { 4 tm }•

где четырехмерный

где четырехмерный

Задача 15.2. Показать, что в случае независимости от времени потенциалов Д и Ф пространственные координаты и время в уравнении Клейна —— Гордона разделяются и волновая функция может быть представлена в виде:

屮(г, /)=屮(Г) е ' " •

Задача 15.3. Найти волновую функцию свободной частицы, описываемой уравнением Клейна—Гордопа, использовав для нормировки выражение для плотности р. Показать, что в релятивистском случае р является плотностью заряда, а не плотностью числа частиц.

Решение. Пусть импульс частицы направлен по оси z и пусть частица движется на отрезке длиной L (одномерный случай). Тогда решение уравнения Клейна—Гордона можно записать в виде:

屮— 1_ { 4g— MKf + /2 + BeicKt 一 ikz },

где E = ± c方К—энергия частицы.

Учитывая, что плотность заряда определяется выражением:

—iehР — 2тйс—iehР — 2тйс中嚐-禁н,中嚐-禁н,

—ieh

Р — 2тйс

—ieh

Р — 2тйс

中嚐-禁н,

中嚐-禁н,

находим для общего заряда значение [см. также (15.14)]：

-V/2°

Отсюда следует, что р является плотностью распределения заряда (а не числа частиц), поскольку для интерпретации последней формулы следует предположить, что частицы, описываемые амплитудой В (отрицательные энергии), имеют противоположный заряд по сравнению с частицами, описываемыми амплитудой Д (Е > 0).

§ 16. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНАВ МАГНИТНОМ ПОЛЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА

В 1896 г. Зееман обнаружил, что спектральные линии атомов, помещенных в сравнительно сильное магнитное поле, расщеплены на несколько компонент. Это явление получило название эффекта Зеемана.

С тех пор эффект Зеемана играет особую роль в исследовании строения атома и в особенности его магнитных свойств. Вместе с экспериментальным обнаружением все новых особенностей зеемановского расщепления развивалась также и его теория.

Поскольку эффект Зеемана сыграл одну из решающих ролей в открытии многих свойств движения электронов в атоме и в первую очередь спина (т. е. собственного механического момента) и магнитного момента электрона, остановимся более подробно на теории этого эффекта.

а. Классическая теория эффекта Зеемана

Согласно электронной теории Лоренца, в простейшей модели излучающего атома электрон движется в нем под действием упругой силы:

F= — № (16.1)

Здесь коэффициент упругости k связан с массой электрона и круговой частотой колебаний о)0 соотношением:

万="用唠.万="用唠.(16.2)

万="用唠.

万="用唠.

Поэтому уравнение колебания электрона при наличии однородного и постоянного магнитного поля 〃 принимает вид:

■— у [гЩ-(16.3)

Здесь е ———е° ——заряд электрона. Проектируя последнее уравнение на оси координат (ось z выбрана по направлению поля Н, так что "х = "у = 0, H2 = ^)t находим:

”十啲一急尤"=。，芝十*2 = 0.”十啲一急尤"=。，芝十*2 = 0.(16.4)(16.4)

”十啲一急尤"=。，芝十*2 = 0.

”十啲一急尤"=。，芝十*2 = 0.

(16.4)

(16.4)

Умножив второе уравнение на мнимую единицу t и сложив его с первым, получим:

W 十味 -210^ = 0,(16.5)

Ре-Ре-где о= ^^——ларморова частота колебаний, а ^ = х-г1у, шение уравнения (16.5) при oV% имеет вид!):

Ре-

Ре-

Е = 3〃 { j\et^t ^ Ве~~®£},(16.6)

а для координаты z из (16.4) следует, что

(16.7)(16.7)z = Се- w。'

(16.7)

(16.7)

Из последних выражений видно, что под влиянием магнитного поля частота колебаний электрона (трехмерного осциллятора)

Величина о даже в случае очень сильных полей q%^ 〜10е гаусс имеет порядок。〜IW 优厂,в то время как частота колебаний электрона в атоме (оптический спектр) %〜10^ сокУ Поэтому соотношение о《％ практически всегда имеет место.

изменяется. Атом, помещенный в магнитное поле, должен испускать излучение трех частот:

⑴0 —о,铀，Wo + °-(16.8)

Согласно классической теории, осциллятор не излучает в направлении своего колебания. Поэтому, наблюдая свет, излученный атомом по направлению оси z (т. е, по направлению силовых линий магнитного поля), мы должны обнаружить лишь две линии (несмещенная компонента о)0, обязанная колебаниям по оси z, будет отсутствовать); в других направлениях должны наблюдаться все три компоненты (нормальный эффект Зеемана).

Представление колебания электрона с помощью формул (16.6) и (16.7) означает разложение колебаний на продольную составляющую, направленную по магнитному полю, т. е. по оси z, и на две поперечных, которым соответствуют два вращения: правое и левое. Это означает, что магнитное поле на продольные колебания не действует, оно действует только на круговые вращения, расположенные в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

Как известно, в квантовой теории изменение частоты колебаний связывалось всегда с изменением энергии. Поэтому с первого взгляда может показаться странным, что магнитное поле изменяет энергию электрона, поскольку сила Лоренца 尸= =? “] перпендикулярна скорости, и поэтому ее работа, так же как и работа любой центростремительной силы, должна равняться нулю. Однако, с другой стороны, хорошо известно, что вращающийся по окружности электрон, подобно круговому току, образует диполь, энергия которого в магнитном поле равна:

…(16.9)

Эти два на первый взгляд противоположных заключения могут быть разъяснены следующим образом. В течение всего времени изменения магнитного поля от нуля до некоторого постоянного значения "之=滋 на электрон должна действовать по направлению движения составляющая электрического поля &, которая и сообщает электрону дополнительную энергию. Величина этой составляющей может быть найдена из закона индукции Фарадея (второе уравнение Максвелла):

$&d/ =dS.

Предполагая, что 05r и & зависят только от времени и что включение магнитного поля не изменяет радиуса стационарной орбиты, находим:

Дополнительная скорость, сообщаемая электрону со стороны этого электрического поля, может быть найдена из уравнения (е = =—联 ! d 严m= e。^ ； re。d犷

dt —加 о — 2ш0с dt '

Отсюда для дополнительной скорости получаем выражение:

—2w0c *

совершенно не зависящее от закона включения магнитного поля. Поскольку это магнитное поле направлено по оси z, а индуцированное им электрическое поле (а вместе с тем и 刃悶期壮)направлено перпендикулярно магнитному полю и-радиусу траектории, можно записать в векторной форме:

Отсюда видно, что магнитное поле сообщает электрону дополнительное вращение (ларморову прецессию) с угловой скоростью

2шос

ум1nH.= 号⑨ 卜0ма"户ум1nH.= 号⑨ 卜0ма"户22Мы можем теперь определить искомую дополнительную энергию, которую получает вращающийся электрон при включении магнитного поля. Поскольку энергия электрона, помещенного в магнитное поле, целиком определяется его кинетической энергией, будем иметь:

ум1nH.= 号⑨ 卜0ма"户

ум1nH.= 号⑨ 卜0ма"户

2

2

где и ——скорость электрона до включения магнитного поля. Учитывая в последнем уравнении лишь члены, линейные относительно ^магн., получаем:

(16.10)(16.10)"•UU. = ^ ⑺〃]) = /(〃[“]).

(16.10)

(16.10)

Сопоставляя формулу (16.10) с (16.9), мы видим, что магнитный момент вращающегося по окружности электрона определяется

выражением:выражением:『一机尸矶『一机尸矶(16.11)(16.11)

выражением:

выражением:

『一机尸矶

『一机尸矶

(16.11)

(16.11)

Учитывая, что его механический момент равен:

находим простое соотношение между магнитным и механическим моментами при движении электрона по орбите:

n=——n=——盡?(盡?((16.12)(16.12)

n=——

n=——

盡?(

盡?(

(16.12)

(16.12)

Заметим, что эта же величина магнитного момента может быть найдена из других соображений. Как известно, магнитный момент замкнутого тока равен:

JS о

где л'* — единичный вектор нормали к плоскости контура с током.

В последней формуле следует считать, что сила тока равна:

J —7 —

где Т — ~ ——период вращения, а величина обтекаемой им площади:

S =冗/Л

Тогда для величины 卩 мы вновь получим выражение (16.11).

Эффект Зеемана в нерелятивистской теории Шредингера.

,Чтобы записать волновое уравнение Шредингера для электрона, движущегося в магнитном поле, воспользуемся общим правилом перехода от классического гамильтониана к квантовому (см., например, § 5).

Для этого, написав классическое выражение для энергии движения электрона при наличии электростатического и магнитного полей, мы должны вместо импульса р подставить оператор импульса р.

Тогда уравнение Шредингера для электрона в поле центральных сил при наличии еще магнитного поля, характеризуемого вектор-потенциалом Л, принимает вид:

(£ —Нш)ф = 0,(16.13)

где гамильтониан уравнения Шредингера:

1/・=叫0*指(16.14)

а оператор Р — р - у Л носит название оператора обобщенного импульса. Для случая постоянного и однородного магнитного поля, направленного по оси z (Нх — Hv — 0, "之=弊),мы можем написать:

Ах — — у 、Лу = -^- к説.

Принимая во внимание, что

(pZ)屮=—2力(VZ)屮 + (Zp)屮，

причемпричем(V4) = divZ =0,(V4) = divZ =0,а также отбрасывая члены, пропорциональные квадрату женности магнитного поля 弊；находим:

причем

причем

(V4) = divZ =0,

(V4) = divZ =0,

{Е-е①(「)一薪十訂(/р)" = 0.

Учитывая, чю

訖(4p)=嘉l，

где

L -/，

приводим уравнение Шредингера к виду:

产十剃Е 十落Lle①(咏屮=0.

напря-(16.15)(16.16)(16.17)напря-(16.15)(16.16)(16.17)Нетрудно убедиться в том, что этому уравнению удовлетворяет волновая функция для центрально-симметричного поля [см. (11.19) и (11.67)]:

напря-

(16.15)

(16.16)

(16.17)

напря-

(16.15)

(16.16)

(16.17)

，p = R(r)Y?(8,叫. (16.18)

В самом деле, подставляя это решение в (16.17) и принимая во внимание, что

LzY? = %mY?,

получаем уравнение:

в котором учтено влияние магнитного поля на атом. Последнее уравнение можно представить в виде:

(Е—Н^)屮=0,

н"=矗—ea(r) + ^^〃2,(16.19)

причем здесь учтено, что заряд электрона:

е —~е。.

Последний член в выражении для гамильтониана можно объяснить наличием у атома орбитального магнитного момента, который дает дополнительную энергию:

Е“агн. = — з“)= — з弊=端也宛.(16.20)

Поэтому для орбитального магнитного момента из теории Шредингера автоматически получаем выражение:

Принимая во внимание, что для проекции механического момента на ось z мы имели значение:

установ- (16.12)]:(16.22)момента(16.23)установ- (16.12)]:(16.22)момента(16.23)Lz = Hm, находим соотношение между моментами, которое было лено также на основе классических соображений [см.

установ- (16.12)]:

(16.22)

момента

(16.23)

установ- (16.12)]:

(16.22)

момента

(16.23)

Lz — 2w0c *

Отсюда следует, что проекции орбитального магнитного кратны некоторому единичному магнитному моменту:

%=-因"Z,阿=肃^ =9,273, 10 2i эрг-гаусс~,

получившему название магнетона Бора.

Магнитный момент электрона является одной из основных характеристик магнитных свойств атома. Как видно из формулы (16.20), для дополнительной энергии орбитального электрона, помещенного в магнитное поле, получаем выражение:

Емат =?J^^ т = 九т,(16.24)

где о — частота ларморовой прецессии.

Учитывая правила отбора для магнитного квантового числа (А『тг = О, ±1), находим, что дополнительная частота излучения благодаря зеемановскому расщеплению по теории Шредингера будет такой же, как и по классической теории [см. (16.8)]:

а г-магн.

—— = 0 Дт = 0, ± о.(16.25)

Как известно, нормальное ^ зеемановское расщепление спектральных линий (триплеты и дублеты) встречается сравнительно

редко, а именно в следующих случаях: 1) в сильных полях (эффект Пашена — Бака), 2) когда общий спин электронов в атоме равняется нулю (например, в парагелии, у которого на внешней оболочке имеется два электрона с противоположно направленными спинами). В противном случае мы имеем более сложное расщепление (более чем на три линии), получившее название аномального эффекта Зеемана. Аномальный эффект Зеемана свя-

Ф и г. 16.1. Схема опытов Эйнштейна ——деГааза по определению множителя Ланде g:Ф и г. 16.1. Схема опытов Эйнштейна ——деГааза по определению множителя Ланде g:7 — кварцевая нить; 2 — ка-тушка с током; 3—ферро-магнитный стержень.7 — кварцевая нить; 2 — ка-тушка с током; 3—ферро-магнитный стержень.зан со спиновыми свойствами электронов. Его теория может быть построена только на основе теории Дирака, учитывающей спиновые эффекты (см. § 20).

Ф и г. 16.1. Схема опытов Эйнштейна ——деГааза по определению множителя Ланде g:

Ф и г. 16.1. Схема опытов Эйнштейна ——деГааза по определению множителя Ланде g:

7 — кварцевая нить; 2 — ка-тушка с током; 3—ферро-магнитный стержень.

7 — кварцевая нить; 2 — ка-тушка с током; 3—ферро-магнитный стержень.

Экспериментальное открытие спинаэлектрона

Как было только что показано, теория Шредингера объясняет наличие лишь орбитальных механического и магнитного моментов, т. е. моментов, возникающих благодаря движению заряженного электрона в атоме. Основными формулами, которые характеризуют эти свойства, являются формула (16.22) для отношения орбитального магнитного и орбитального механического моментов и формула (16.24), указывающая на то, что число возможных ориентаций магнитного момента относительно оси z должно быть обязательно нечетным, так как число состояний с квантовыми числами m равняется 2/十1.

Экспериментальная проверка показала, что выводы теории Шредингера не уклады

ваются в общую схему опытных данных, анализ которых привел к открытию спиновых свойств электрона. Остановимся кратко на

результатах этих экспериментов.

Прежде всего остановимся на опытах Эйнштейна ^де-Гааза (1915) по экспериментальной проверке соотношения (16.22):

卩z厅 е()

где множитель Ланде g для орбитальных моментов должен равняться единице. Этот опыт заключается в следующем (см. фиг. 16.1). Ферромагнитный стержень подвешивается на кварцевой нити. При его намагничивании путем пропускания тока через катушку вместе с магнитным возникает также и механический

момент, величина которого может быть определена ванию кварцевой нити.

Если этот образец перемагничивать при помощи тока, то будет возникать переменный механический приведет ферромагнитный образец к крутильным

по закручи-переменного момент, что колебаниям.по закручи-переменного момент, что колебаниям.Для усиления эффекта поворота использовалось еще явление резонанса. Экспериментальное измерение гиромагнитного отношения (16.22) показало, что знак этого отношения отрицательный, т. е. вполне однозначно можно было сделать вывод о том, что

по закручи-

переменного момент, что колебаниям.

по закручи-

переменного момент, что колебаниям.

IIпIIп⑴⑴Фиг. 16.2. Схема опытов Штерна и Герлаха по определению магнитных моментов одновалентных атомов.Фиг. 16.2. Схема опытов Штерна и Герлаха по определению магнитных моментов одновалентных атомов.намагничение ферромагнитного образца обусловлено движением

IIп

IIп

⑴

⑴

Фиг. 16.2. Схема опытов Штерна и Герлаха по определению магнитных моментов одновалентных атомов.

Фиг. 16.2. Схема опытов Штерна и Герлаха по определению магнитных моментов одновалентных атомов.

электронов. Однако значение множителя Ланде g было найдено равным не единице, как этого требовала классическая теория или теория Шредингера, а двум (g = 2). Это значение для g получило объяснение только после создания теории спина (см. ниже).

Штерн и Герлах (1921) в своих экспериментах (см. фиг. 16.2) изучали поведение пучка атомов в неоднородном магнитном поле, пытаясь проверить теоретическую формулу (16.23):

卩z =一/m,

описывающую пространственное квантование. В этих классических опытах пучок одновалентных атомов (водорода, лития, серебра), движущихся по направлению оси %, встречал на своем пути магнитное поле, направленное по оси z, т. е. перпендикулярно к его движению (Нх — Ну~0, 乩= о%) Это магнитное поле обладало большой неоднородностью, т. е. являлось сильно меняющимся. Тогда на магнитный диполь:

(16.26)(16.26)N ^магн."，

(16.26)

(16.26)

где емагн.——магнитный заряд, а /——длина магнитного диполя, будет действовать сила, направленная также по оси г'):

Fz = емагп. {"⑵一疗(z — / cos 叫=

(16.27)(16.27)//cos a字%率.магн-OZI Z @2

(16.27)

(16.27)

Рассчитаем в упрощенной схеме величину смещения, которое получит частица, находящаяся под действием силы Fz в течение времени /. Если частица движется со скоростью и перпендикулярно магнитному полю (т. е. оси z) и проходит при этом расстояние L — vt, то смещение по направлению оси z будет равно:

没=^如产没=^如产上炉也d方上炉也d方(16.28)(16.28)

没=^如产

没=^如产

上炉也d方

上炉也d方

(16.28)

(16.28)

При этом мы учли, что ускорение w = ^, сила & определена формулой (16.27), а М—масса атома.

Отсюда следует, что пучок частиц, обладающих магнитным моментом 卩，при прохождении через неоднородное магнитное поле должен претерпевать расщепление, причем число компонент определяется возможным числом проекций магнитного момента 卩 на направление поля.

В опытах Штерна и Герлаха изучалось расщепление пучка атомов в s-состоянии. Как известно, в s-состоянии механический, а следовательно, и магнитный момент атома равен нулю (/ = т = 0), и поэтому никакого расщепления вообще не должно было быть. Если бы электрон находился в р-состоянии (2=1), то тогда должно было бы наблюдаться тройное расщепление пучка, соответствующее трем возможным значениям магнитного квантового числа:

6z = 0 (m = 0),运=乎^4甥(m = ± 1).

(16.29)(16.29)Однако опыты на водороде, литии, серебре и др. показали, что расщепление пучка происходит только на две компоненты. Тем самым было доказано, что атомы в s-состоянии обладают все же магнитным моментом, причем проекция этого момента на выделенное направление г принимает лишь два значения. Результаты измерений над величиной ［丄 показали, что этот магнитный момент равен магнетону Бора:

(16.29)

(16.29)

i) Заметим, что при определении движения центра тяжести магнитного диполя совершенно безразлично рассматривать его как жесткий диполь, или как круговой ток.

Чтобы согласовать результаты этих двух классических опытов, Уленбек и Гаудсмит выдвинули гипотезу, согласно которой электрон наряду с орбитальным моментом должен обладать еще собственным механическим, а следовательно, и магнитным моментом. Этот механический момент получил название спина электрона в связи с попыткой связать его с внутренними вращательными степенями свободы (классическая модель вращающегося волчка; по-английски «to spin» — вертеть). Следует сразу же подчеркнуть, что строгой классической теории спина не существует. Согласно гипотезе Уленбека и Гаудсмита, собственный механический момент электрона должен быть равен 1厶力，так что

瓦=士^九(16.30)

т. е. квантовое число, которое характеризует его проекцию на ось z, должно принимать не целые, а полуцелые значения fm5 — ±yj. Характерное отличие целых (например, орбитального магнитного『孔)от полуцелых (спинового т5) квантовых чисел сводится прежде всего к числу возможных состояний. Целые числа всегда дают нечетное число состояний (при / = 0 существует одно состояние 团=0; при / = 1 —три состояния 团= =0, +i, —1 и т.- д.). Полуцелые же квантовые числа дают 。/1

четное число состоянии например, при s—у мы имеем два со- ,113\

стояния:тS = 十 一一芽；прн S =逐 ——четыре и t. д. j.

= —誅 Sz = ^ 師.= —誅 Sz = ^ 師.Предположение о существовании полуцелых квантовых чисел было введено еще до гипотезы Уленбека и Гаудсмита для объяснения дублетного расщепления термов одновалентных атомов. Опыты Штерна и Герлаха показали два возможных внутренних состояния электрона в одновалентных атомах, т. е. доказали, что спин электрона следует характеризовать Ьолуцелыми квантовыми числами, которые соответствуют его двум противоположным ориентациям. Поскольку из опытов Эйнштейна——де-Гааза следовало, что в формуле (16.29) множитель Ланде g = 2, то, принимая во внимание значение для соответствующего механического момента (16.30), находим, что проекция собственного магнитного момента на ось z должна равняться магнетону Бора:

= —誅 Sz = ^ 師.

= —誅 Sz = ^ 師.

(16.31)

После введения спина электрона не только магнитные свойства, но и мультиплетное расщепление спектральных линий атомов получили правильную интерпретацию.

г. Уравнение Паули

Нерелятивистское волновое уравнение, учитывающее собственный магнитный момент электрона, впервые было предложено Паули. С этой целью обычный гамильтониан уравнения Шредингера он дополнил членом, который учитывает еще взаимодействие магнитного момента электрона ц с внешним магнитным полем Н\

= — "〃). (16.32)

Тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид:

{Е-Н" + (м")2 = 0,{Е-Н" + (м")2 = 0,(16.33)(16.33)

{Е-Н" + (м")2 = 0,

{Е-Н" + (м")2 = 0,

(16.33)

(16.33)

где гамильтониан уравнения Шредингера:

Н"'' = ；Ь—3/『 + е»(16.34)

Далее необходимо было найти соответствующие величины для описания собственного магнитного момента электрона. Как известно, введение спина связано с введением четвертого квантового числа, которое должно характеризовать внутренние свойства электрона.

Волновая функция 屮 частицы может зависеть только от трех квантовых чисел, соответствующих квантованию трех пространственных координат.

Для описания спина и введения четвертого квантового числа Паули вводит вместо одной волновой функции 屮 две волновые функции 屮1 и W?. В этом случае одна волновая функция будет описывать состояние с одним направлением спина, а другая —— с противоположным; само же волновое уравнение должно представлять собой систему двух уравнений.

Как известно, система двух и более уравнений, например:

((16.35)((16.35)小%亠^% = 0,的浬1 + 电2寸2 == °,

((16.35)

((16.35)

может быть представлена одним уравнением в матричной записи:

⑷(屮)=⑷(屮)=JI% 丿 'JI% 丿 '(16.35a)(16.35a)

⑷(屮)=

⑷(屮)=

JI% 丿 '

JI% 丿 '

(16.35a)

(16.35a)

если учитывать при этом закон элементы матрицы-произведения ментов строк первой матрицы столбцов второй матрицы, т. е.если учитывать при этом закон элементы матрицы-произведения ментов строк первой матрицы столбцов второй матрицы, т. е.умножения матриц (с) = (а)(В): равны сумме произведений элена соответствующие элементыумножения матриц (с) = (а)(В): равны сумме произведений элена соответствующие элементы

если учитывать при этом закон элементы матрицы-произведения ментов строк первой матрицы столбцов второй матрицы, т. е.

если учитывать при этом закон элементы матрицы-произведения ментов строк первой матрицы столбцов второй матрицы, т. е.

умножения матриц (с) = (а)(В): равны сумме произведений элена соответствующие элементы

умножения матриц (с) = (а)(В): равны сумме произведений элена соответствующие элементы

：(16.36)：(16.36)&% 二］j ^in^nk*п

：(16.36)

：(16.36)

Паули предложил выбрать волновую функцию 里 в виде матрицы /ФА-

с одним столбцом Ф = 11, а собственный магнитный момент электрона положить равным:

Паули:(16.38)Паули:(16.38)матрицыматрицыЦ =^ 囱"，Ц =^ 囱"，где »и ——магнетон Бора, ог ——три двухрядныхгде »и ——магнетон Бора, ог ——три двухрядных(16.37)

Паули:

(16.38)

Паули:

(16.38)

матрицы

матрицы

Ц =^ 囱"，

Ц =^ 囱"，

где »и ——магнетон Бора, ог ——три двухрядных

где »и ——магнетон Бора, ог ——три двухрядных

которые мы будем обозначать буквой з со штрихом (той же буквой без штриха будем обозначать четырехрядные матрицы Дирака). Эти матрицы характеризуют проекции вектора спина на оси координат.

Используя правила умножения матриц (16.36), легко показать, что матрицы Паули обладают следующими свойствами.

Квадрат каждой матрицы равен единице:

1 О О 1 с другом, причем(16.40)1 О О 1 с другом, причем(16.40)матрицаматрицао『=о『=Оу2 = Г,(16.39)

1 О О 1 с другом, причем

(16.40)

1 О О 1 с другом, причем

(16.40)

матрица

матрица

где через Г обозначена двухрядная единичная Различные матрицы антикоммутируют друг

=： — о 产 з =

можно представить в виде:можно представить в виде:(16.41)(16.41)Учитывая значения матриц, нерелятивистское уравнение Паули

можно представить в виде:

можно представить в виде:

(16.41)

(16.41)

Это матричное уравнение эквивалентно системе двух обычных уравнений, каждое из которых соответствует одной из строк матрицы:

(Е _hш・—№。/)% 一同(当一因，)国2 = 0， …g e (16.42)

①一刖.+因儿)% 一削(%+ f%)% = 0，

В частности, рассмотрим случай движения электрона「в магнитном поле, направленном по оси 2(必="^ = 0, Hz~<^). Учитывая при этом гамильтониан уравнения Шредингера при нал и-

чии магнитного поля (16.19), находим для описания движения электрона два уравнения:

{е 4- е0Ф — не5rm —囱影，—器} % = 0,

{E + е0Ф — we5r m 十 囱竺—矗} % = 0,

где энергии %)%т и 土出。^" характеризуют соответственно взаимодействие орбитального и спинового моментов с магнитным полем 究、В частности, для s-состояний магнитное квантовое число "Z равно нулю, и поэтому уравнение Паули принимает вид:

十旬①一网纱一= 0,

；(16.44)

т. е. волновая функция ^г описывает состояние, когда собственный механический момент электрона (т. е. спин) направлен по оси z, а волновая функция Ф2 ~~против оси z. Эти две возможные ориентации собственного магнитного момента, направленного антипараллельно механическому, и наблюдались в опытах Штерна и Герлаха.

В качестве функции Ф+ Паули предложил выбрать так называемую эрмитово-сопряженную волновую функцию — матрицу ф+ — (Ф*^), элементы которой не только комплексно-сопряжены, но и транспонированы, т. е. строки заменены столбцами. Иначе говоря, если 屮 есть матрица-столбец, то 屮十 будет матрицей-строкой с комплексно-сопряженными элементами. Тогда для плотности вероятности будем иметь выражение:

旷 W = (В；野)(；1)=野％ + 旷押2,(16.45)

в котором учтена возможность двух направлений спина.

= 叫•%—吟明，(16.46)= 叫•%—吟明，(16.46)Аналогичным образом должны образовываться и другие матричные элементы. Например,

= 叫•%—吟明，(16.46)

= 叫•%—吟明，(16.46)

也*%3中=

т. е. Ф*^! и 审^里2 характеризуют плотности вероятности состояний, в которых электрон имеет ориентацию спина соответственно по и против оси г. Зная выражение для собственного магнитного момента в теории Паули:/

а также соотношение между собственным магнитным и механическим моментами, которое следует из экспериментов Эйнштейна —де-Гааза:

—S, находим, что

S = lw,(16.47)

т. е., в согласии с другими опытными фактами, проекция механического момента на ось z равна 土 ％.

Поскольку оператор спина выражается через матрицы』，составляющие спина, так же как и составляющие орбитального момента, которые являются операторами, зависящими от производных [см. (11.75) и (11.76)], не будут коммутировать между собой и будут удовлетворять аналогичным перестановочным соотношениям, которые легко установить на основе равенств (16.40) и Н6.47):

S*Sj, — SyS* =，力 Sg,

SzS『 = /Sx,(16.48)

'S^S^ — SXS2 — itlSy.

Таким образом, как теория Клейна ——Гордона, учитывающая только релятивистские эффекты, так и теория Паули, где, наоборот, не учитываются релятивистские, а учитываются только спиновые эффекты, явились предшественницами более строгой теории электрона — теории Дирака, из которой все основные свойства электрона следуют автоматически. Заметим, кстати, что в теории Паули абсолютное значение собственного магнитного момента вводилось эмпирически.

Задача 16.1. Показать, что в нсрелятивистской квантовой механике, так же как и в классической теории, эффект Зеемана обусловлен прецессионным движением орбиты в магнитном поле с частотой, равной частоте Лармора.

Решение. Учитывая выражение для гамильтониана уравнения Шредингера в случае электрона, движущегося в магнитном поле, направленном по оси z:

находим производную по времени:

争= ^(HL* —ЬН) = — °0%厶=必，糸 Lz = 0.

Здесь о — ларморова частота. Отсюда следует, что проекция момента количества движения на направление поля (ось с) является интегралом движения. Проекции же на оси х и у прецессируют вокруг оси z с частотой о.

Задача 162 Показать, что оператор спина S обладает векторным характером, т. е. если составить линейную комбинацию:

S* — °4$% + PiSj + 71^2»Sy — a2sx + %S), + 7sSz,

Sz — «зЗд； + SSy + 73S2,где a, p, 7 ——направляющие косинусы углов, то 'SQ；-S；S； = ^S； и т. д.

•V у у л*

Задача 16.3. Показа1ь, что в однородном магнитном поле, переменном лишь во времени, волновая функция уравнения Паули распадается на произведение координатной и спиновой функций. Какой вид примет это решение, если поле не будет зависеть от времени?

Решение. Решение уравнения ПаУли следует искать в виде:

Тогда легко показать, что «координатная^ часть волновой функции 屮(г. £) удовлетворяет обычному уравнению Шредингера, не учитывающему спин:

из уравнения:из уравнения:=No (сН)=No (сН)а спиновая часть волновой функции может быть найдена

из уравнения:

из уравнения:

=No (сН)

=No (сН)

Нормировка спиновой части волновой функции будет：

(80扌)(80扌)=CfCt + C*C2 = 1.=CfCt + C*C2 = 1.

(80扌)

(80扌)

=CfCt + C*C2 = 1.

=CfCt + C*C2 = 1.

В сл) чае посюянного во времени магнитного поля в ниях легко определить еще временную часть. Для этогоВ сл) чае посюянного во времени магнитного поля в ниях легко определить еще временную часть. Для этогопоследних уравне- следует положить:последних уравне- следует положить:

В сл) чае посюянного во времени магнитного поля в ниях легко определить еще временную часть. Для этого

В сл) чае посюянного во времени магнитного поля в ниях легко определить еще временную часть. Для этого

последних уравне- следует положить:

последних уравне- следует положить:

屮(г, Z) = е 九屮(г).

Тогда для определения независящих от времени частей волновой функции, а также энергии Es, имеем:

Es — ^о (a^)

Задача 16.4. Найти собственные значения оператора проекции спинового момента на направление, характеризуемое сферическими углами 8 и ?. Исследовать частные случаи, когда этими направлениями являются соответственно оси X)у, z.

Решение. Рассмотрим прежде всего случай, когда спин направлен по оси z. Тогда исходное уравнение принимает вид:

гдегде

где

где

Это матричное уравнение эквивалентно двум однородным алгебраическим уравнениям:

—入& = 0,

■у ^2 + ХС2 = 0.一

Нормированные решения этих уравнений имеют вид:

Первое, очевидно, соответствует случаю, когда спин направлен по оси z, второе - - случаю, когда спин направлен против оси z.

Оператор проекции спина на направление, образующее с осями координат сферические углы 3 и % будет равен:

S = sin 8 cos 中 S* + sin 3 sin у S, + cos 3 S^,

где

卜 'к 2 30〃〜一2〔0—1丿，

Отсюда из уравнения:

как и в предыдущем случае, находим два решения:а) решение, соответствующее случаю, когда спин параллелен этомукак и в предыдущем случае, находим два решения:а) решение, соответствующее случаю, когда спин параллелен этомунаправлению:направлению:入入12,12,/3'5 [sin “\2/3'5 [sin “\2

как и в предыдущем случае, находим два решения:

а) решение, соответствующее случаю, когда спин параллелен этому

как и в предыдущем случае, находим два решения:

а) решение, соответствующее случаю, когда спин параллелен этому

направлению:

направлению:

入

入

1

2,

1

2,

/3'

5 [sin “\2

/3'

5 [sin “\2

б) решение, направлению:б) решение, направлению:соответствующее случаю, когда спин антипараллелен этому

б) решение, направлению:

б) решение, направлению:

у cos ~2^^

Полагая 8 = 0, ? = 0, получаем предыдущее решение.

Случаи, когда спин направлен по оси х или у могут быть получены, если соответственно положим:

8 =号，g = o8 =号，g = oплипли8 ——2，8 ——2，y=亏y=亏

8 =号，g = o

8 =号，g = o

пли

пли

8 ——

2，

8 ——

2，

y=亏

y=亏

Задача 16.5. Спин электрона направлен параллельно оси z. Найти вероятность того, что проекции спина а) на направление, параллельное оси х, и б) на направление, составляющее с осью z угол 8, будут иметь значения 1 . 1 .

11 一万九

Указание. Взять волновую функцию, описывающую состояние, в котором спин направлен по оси z, и затем разложить ее по функциям, соответствующим случаям, когда спин параллелен и антипараллелен направлению, составляющему с осью z угол & Обе эти функции приведены в задаче 16.4. Без ограничения общности можно положить угол 中=0.

Тогда коэффициенты разложения (квадрат модуля) дадут вероятности:

w1/2=cos2yw1/2=cos2y.2 8 j产 sm”.2 8 j产 sm”

w1/2=cos2y

w1/2=cos2y

.2 8 j产 sm”

.2 8 j产 sm”

проекций спина на соответствующие направления, равных соответственно:

Если мы будем проектировать спин на направление оси .г, то в последних формулах следует положить 6 =歹.

§ 17. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 工)

а. «Линеаризация» оператора энергии. Матрицы Дирака,их связь с матрицами Паули

Как было указано в § 15, в основе построения квантовой релятивистской механики лежит известное релятивистское соотношение между энергией £, импульсом р и массой покоя частицы 恤：

e = e /^ + m：*(17.1)

Для получения волнового уравнения, описывающего свободную частицу, в этом соотношении необходимо перейти к операторам:

р = — гй V，р = — гй V，(17.2)(17.2)

р = — гй V，

р = — гй V，

(17.2)

(17.2)

и подействовать ими на волновую функцию. Однако непосредственный переход к операторам в (17.1) невозможен, поскольку нельзя определить действие операторов дифференцирования, стоящих под знаком радикала. Поэтому прежде всего необходимо освободиться от квадратного корня в соотношении (17.1).

Для этой цели можно возвести (17.1) в квадрат; тогда (см. § 15) мы придем к релятивистскому волновому уравнению Клейна —— Гордона с однокомпонентной волновой функцией г).

Как мы уже отмечали, это уравнение описывает движение бес- спиновых частиц и не применимо к электронам, спин которых равен % (в единицах 力).

Другой путь получения линейного релятивистского волнового уравнения и притом первого порядка избрал Дирак (1928). Он предложил произвести «линеаризацию» соотношения (17.1). Это привело его к открытию релятивистского волнового уравнения для электрона, играющего фундаментальную роль в релятивистской квантовой механике и в квантовой теории поля, поскольку оно оказалось пригодным для описания движения частиц со спином 〔А (в единицах 力). Следует заметить, что после уравнений классической электродинамики Максвелла― Лоренца следующий важный этап развития учения об электроне связан с уравнением Дирака. Полуклассическая теория Бора и нерелятивистская квантовая механика явились лишь как бы промежуточными теориями.

Для линеаризации релятивистского соотношения между энергией и импульсом или «извлечения» квадратного корня из четырехчлена с помощью матриц представим (17.1) в следующем виде:

. з

Е = с/р^л-俏；*2 = с N(17.3)

где

Po = moC, pi = px,Pi = Ру, p* = Pz・ (17.4)

При этом легко заметить, что

炉二度艺必死尸镇疗+他涉)..(17.5)

Чтобы установить, каким условиям должны удовлетворять величины аи, возведем обе части соотношения (17.3) в квадрат.

Точнее, в этом случае мы будем иметь фактически двухкомпонентную функцию с составляющими 屮】=屮 и 屮2 = ^*, поскольку в основное уравнение входит вторая производная по времени. Одна степень свободы cooi- ветствуёт частицам с положительной энергией, другая ——с отрицательной. Как было показано в работе Паули и Вайскопфа, чтобы исключить состояния частиц с отрицательной энергией, необходимо произвести вторичное квантование скалярного уравнения и наряду с бесспиновыми частицами одного знака заряда ввести бессииновые частицы, обладающие противоположным зарядом. (Более подробно см. А. А. Соколов, Введение в квантовую электродинамику, § 10, 11.)

Тогда в случае, если операторы 〃俨 и 〃祖，коммутируют друг с другом ) имеем:

炉=с? 22 РП，％%, = у 22 Pv-Pv(%.%,十 ％%). (17.6)

Последнее если:

равенство

совпадает с (17.5) только в том случае,

%%,2%丄,，(17.7)

т. е. если гом:

все четыре величины % антикоммутируют друг

%%『十 %，%。出 R 出

с дру-

(17.8)

и квадрат

каждой из

них равен единице: 砧=1.

(17.9)

Напомним, что аналогичными свойствами обладают также двухрядные матрицы Паули (§ 16):

(17.10).(17.10).0"-/0 1\(0—八

(17.10).

(17.10).

ojOf "[0—]丿，

а именно все они антикоммутируют между собой [см. формулу (16.40)] и квадрат каждой равен единице [см. формулу (16.39)]. Однако для «извлечения» квадратного корня из четырехчлена необходимо иметь четыре соотношения (17.7)(出=0, 1, 2, 3), а не три (16.39) и (16.40), которым удовлетворяют матрицы Паули.

В связи с этим Дирак предложил взять совокупность четырехрядных матриц ол и рп, связанных с двухрядными матрицами при помощи соотношений:

0,г0,г22。”=；设 (〃=1,2,3), (17.11) 」0T'\ 」0'一〃'\

0,г

0,г

2

2

Pl —О'J = О'

о 1о 1где о； — матрицы Паули,

о 1

о 1

О，= (о о) н Т' = 1；

Эти операторы будут коммутировать друг с другом, когда отсутствует электромагнитное поле. Таким образом, Дирак предложил сначала извлечь квадратный корень из оператора 工口я свободной частицы, а затем уже обобщить полученное уравнение на случай наличия полей.

Отсюда находим:

/О 1 0 0、

_ ； 1 0 0 0 '0 0 0 1 '

'О 0 1 О；

и т. д. Свойства этих матриц аналогичны свойствам матриц Паули, что можно легко проверить непосредственным умножением, в частности, оказывается, что квадраты их равны единице: * = р』1,(17.13)

точнее, равняются четырехрядной единичной матрице:

о о о L о о 1 о о 1 о о loomо о о L о о 1 о о 1 о о loom

о о о L о о 1 о о 1 о о loom

о о о L о о 1 о о 1 о о loom

Как и в случае матриц Паули, имеем:

(17.15)(17.15)%&= — %% = »&, Р1Р2 = —Р2р1 =『Рз И Т. Д.алРл' ?п,сп (孔，孔=1, 2, 3).

(17.15)

(17.15)

Отсюда следует, что различные матрицы 。 антикоммутируют между собой (аналогичное заключение относится также к системе матриц р):

слал^ + сл^л = РлР^+ Рл^Рп = *2(17.16)

Матрицы же 仃也 и рл, коммутируют друг с другом.

Дирак предложил в качестве матриц %, которые были введены при линеаризации релятивистского выражения для полной энергии, выбрать следующие:

% = Pi% =，；^j (几=1, 2, 3),(17.17)

% = p3=]j，—?j・(17.18)

В обычной форме записи эти четырехрядные матрицы имеют

вид:

/0

0 0 1\

/0

0 0

/0 一/。

0

1

0、

0

0 1 0\

0

0 i

о\

0

0

%=0

1 0 0「

出一［0

—i 0

0 ；

0

0

0卜

\1

ООО/

0 0

о/

\0

—1

0

0/

/1 0 /(J 1 ，0 0

0

а0 = р3 —

0

—1

о] 0

(17.19)

\о 0

0 一

11 Квантовая механика

Отсюда, умножая матрицы друг на друга, легко показать, что они удовлетворяют соотношениям (17.7), т. е.

6=1, а2а3--j-сс3а2 = о и т. д.

Уравнение Дирака. Плотность заряда и тока

Переходя к операторам в линеаризованном с помощью матриц 仪卩 релятивистском соотношении между энергией и импульсом (17.3), мы получаем уравнение Дирака для свободной частицы!).

(Е—Н№ = 0,(17.20)

где операторы Е и р, как и обычно, равны:

E = i%g,р =—访 V，

а гамильтониан Н определяется выражением:

Н — с (ар) + р/г()с2.(17.21)

При движении электрона в электромагнитном поле, заданном векторным и скалярным (Л, Ф) потенциалами, мы можем пользоваться теми же уравнениями (17.20) и (17.21), только в соответствии с общими правилами волновой механики в качестве операторов энергии и импульса должны быть взяты их обобщенные значения:

F = i%^—е①，Р =— 访 v —(17.22)

Поэтому волновое уравнение Дирака при наличии электромагнитного поля может быть записано в виде:

(F 一с (аР) — p3m0c2)屮=0.(17.23)

工)Наличие четырех компонент волновой функции 屮 означает, что каждое состояние может иметь два знака энергии (положительное и отрицательное; см ниже) и два направления спина (более подробно см. § 18).

В классическом сл)чае соотношение между энергией и импульсом (17 1) может быть представтено в виде, похожем на формулу (17 20):

Е —(叩)—/1—В2 moe2 = 0.

Это равенство легко проверить, ес^н принять во внимание, что для свобо「 ной частицы'

Отсюда следует, что матрица а —> — должна играть роль скорости, а рз — М 1—R2 ——некоторого скаляра, характеризующс! о юренцево сокращение.

В соответствии с числом строк и столбцов матриц а и pt волновая функция 少 должна иметь четыре компоненты, которые мы объединим в виде матрицы, состоящей из одного столбца:

屮(17.24)

понимая под сопряженной функцией эрмитово-сопряженную матрицу, состоящую из одной строки:

旷=(屮:遞%中;).(17.25)

Таким образом, матричное волновое уравнение Дирака (17.23) эквивалентно системе четырех уравнений：

(F —恤或)屮I — с (Р< — iP J R — cP/} = О,

(F—"2d)5—с(Р| TPJ 屮 з I сР/% = 0,/17 26)

(F卜加們屮,一c(P、—PJ屮「cP用=0,丿

(F + 仅。2) S — c (P\ + iP J 屮「卜 cP仙2 = 0.

Комплексно-сопряженное волновое уравнение также может быть представлено в виде одного матричного уравнения:

旷(F — с (аР) — р 3团炉)=0,(17.27)

в котором действие операторов i方 м ——力方v на волновую функцию, стоящую слева от них, следует понимать в таком же смысле, как и в уравнении (17.20), но только с обратным знаком, т. е.

-屮+1方V = z斤中+;^iH ^-一，%為屮三(17.28)

Таким образом, уравнения (17.23) и (17.27) могут быть записаны в виде:

1方加—e①У屮—е (а (■-1方V^Й 4))屮—p^团“2屮：^ 0, (17.29)

(_'%£—° ①:屮—c((i%v — -|- А^ ф!а^—团0叫飞=0・(17.30)

Умножая уравнение (17.29) слева на 屮"，а (17.30) справа на 屮 и вычитая второе уравнение из первого, получаем соотношение: ^^ 屮+屮丄 div 屮”中=0,(17.31)

которое можно интерпретировать как уравнение непрерывности для плотности вероятности р и плотности тока /:

鳥 p + div/=O，

“р = е@+屮，/=ес 屮+а 屮.(17.32)

Если в последнем равенстве от матричного представления перейти к компонентам волновых функций, то его следует понимать следующим образом:

Ро = у = ф"ф = (ФЖФзФ1) I jjn^S'^^S + ^ST—%%, (17.33)

т. е. р0 является матрицей, состоящей из одного элемента, и поэтому представляет собой обычную функцию.

Точно так же легко показать, что

(ООО 1\ /5\/Ф1\

j.Jec =屮%屮=(屮冲時屮:)I о j o 0 I j：：=(屮f屮*%屮*)II =

\1 0 0 о/ \屮:/

=屮帥4+%5 + 5办+屮帥Г\17.33a)

Заметим, что в отличие от уравнения Клейна ——Гордона плотность р0 будет положительно определенной величиной. Однако это не означает, что в теории Дирака р0 следует рассматривать как плотность числа частиц. Так же как и в теории Клейна ——Гордона, в теории Дирака наряду с элеюронами должны существовать частицы противоположного заряда — позитроны !). Из формулы (17.32) можно еще раз заключить, что величину са следует рассматривать как оператор скорости.

Трансформационные свойства волновой функции припреобразов ан и ях Лоренца и пространственных вращениях

Согласно общим принципам специальной теории относительности, физические законы не должны зависеть от выбора лорен- цевой системы координат. Поэтому как уравнение Максвелла, так и уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца.

Исследуем трансформационные свойства волновой функции Дирака. С этой целью прежде всего запишем преобразования Лоренца:

cf = ci ch 7—xsh% %‘ = %ch 丁一 Msh『 У=у z' = z, (17.34)

工)При вторичном квантовании, если р0 является положительно определенной величиной, то это означает лишь, что к частицам следует применить статистику Ферми (например, в случае уравнения Дирака), если р0 может принимать как положительные, так и отрицательные значения (например, в случае уравнения Клейна — Гордона), то ——статистику Бозе.

гдегдеchT=7^， shL^^，。=不chT=7^， shL^^，。=不

где

где

chT=7^， shL^^，。=不

chT=7^， shL^^，。=不

Этому же преобразованию должен удовлетворять любой четырехмерный вектор и, в частности, плотность заряда и тока:

q/ = cpch7 — j*sh%/v = jvch —с? sh^, h,z = ]v,^ (17.35)

Исходя из определения этих величин, по теории Дирака будем иметь:

屮'坤'=屮’(ch 7 - a, sh *()屮=中〃中叩，

屮一%中，=少+ (a] ch ? — sh *()中=中%出一*"叩，(17.36)

屮/出,3屮‘=屮%2,抖.

Здесь мы приняли во внимание, что е i^1 = ch ^at ——sh^^i —ch у—— at sh 7，поскольку a^ = 1, ^^1 =ab где n ——целое число.

Чтобы удовлетворить последним соотношениям, мы должны

положить:

(17.37)

Тогда, принимая во внимание, что

(17.38)(17.38)

(17.38)

(17.38)

легко показать справедливость соотношений (17.36). Из (17.37) видно, что волновые функции преобразуются не как вектор (целые углы 力 и не как тензор (двойные углы 丁)，а как полувектор, преобразование которого характеризуется углом *. Величины, преобразующиеся по закону (17.37), получили название спиноров, или тензоров половинного ранга.

Аналогичным способом можно показать, что при обычном пространственном вращении (например, вокруг оси г на угол 屮) спинор преобразуется по закону:

У = е з 2 屮， у ^：屮气 з 2 • (17.39)

Последние соотношения следуют из преобразований для вектора тока:

h = jx COSCf>+j,,sincp,

b' = A'COS? —yxsin?,(17.40)

которые в теории Дирака могут быть представлены в виде:

=屮+ (a】 cos 屮 + 勺 sin 叫屮，(17.41)

y%3屮，=屮%3屮и т. Д.

Подставляя сюда значения для 屮，из (17.39) и принимая во внимание, что

приходим к соотношениям (17.40).

§ 18. ДИРАКОВСКАЯ ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В ПОЛЕЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ

Орбитальный, спиновый и полный моменты количества движения. Законы сохранения

Для определения механического момента электрона мы воспользуемся законами сохранения, рассматривая движение электрона в поле центральных сил:

V = е①(г)(18.1)

(например, при движении электрона в кулоновском поле ядра Как было показано в нерелятивистской теории Шредингера, в таком силовом поле, сохраняется орбитальный момент количества движения:

L = [гр].(18.2)

Однако в теории Дирака, где учитывается также и спин электрона, проекция орбитального момента количества движения не -коммутирует с гамильтонианом:

н = с (ар) + ?3гп^ + V (г),(18.3)

или

H = ccqpx + 仅通 + c%Pz +p3m0合 + 丿(厂)，(18.3a)

и поэтому не является интегралом движения. В самом деле, с составляющей L2 = (урх ——％打,) не будут коммутировать два первых члена гамильтониана (1о.3а):

HL — ЦН =呢屮少(р*% ——仇 2Px (р/ —ypj

Принимая во внимание, что

(Р% — %Рх) = (РуУ 一 JPj') —у»находим:г方…

HQ — LgH =7 (%py — spj W 0.(18.4)

Чтобы обобщить закон сохранения момента на частицы, обладающие спином, воспользуемся еще соотношением:

Но? — 03H — CPxpi (%% —仃3%)十

•+ Cp5，pi (о.2а3 — a33j) = у (a2p.r — aiP.y)-(18.5)

Отсюда следует, что любая составляющая оператора (например, по ОСИ 2)：1с

J = L+*龙 <r = LT—S(18.6)

коммутирует с оператором Гамильтона Н и, следовательно, является интегралом движения г).

Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Электрон обладает собственным механическим моментом количества движения (спином). При этом сохраняется лишь полный момент (орбитальный плюс спиновый). Для s-состояний орбитальный момент равен нулю; в этом случае мы будем иметь закон сохра、 нения спина, причем для квадрата спина получаем:

S2 = |^(a； + a| + Oy = S(S+1)^ = 4^,(18.7)

1 т. е. спин электрона принимает полуцелые значения s = »・ (в единицах 方).

Свойства оператора полного момента.. Квантованиеполного момента. Векторная модель

Покажем теперь, что операторы проекций полного момента количества движения в теории Дирака подчиняются тем же перестановочным соотношениям, что и компоненты орбитального момента в нерелятивистской квантовой теории (см. § 11). Замечая, что операторы L и S коммутируют друг с другом, так как действуют на разные переменные, находим, в частности:

J J 一 "J* = (L* + SJ (Ц,十 Sj) — (Ly + S, (L* + SJ =

=LXLV — LjL* + SxSy — SySx =，方(L# 十 SJ.(18.8)

Таким образом,Таким образом,J«Jy J_yJ* ^^ 力方Jz，J у J% ^Z^ у 力方 J %,J Z'J X ~―' JjfJ z 访J v.

Таким образом,

Таким образом,

(18.9)(18.9)Два последних соотношения получены из первого путем циклической перестановки координат:

(18.9)

(18.9)

Отсюда для оператора квадрата полного момента количества движения получаем выражение:

. J2 = (L + S)2 = L2 + S2 + 2 (LVS.V + ЦБ, + L.S.), (18.10) с которым коммутирует не только гамильтониан, но и проекция полного момента количества движения на любую ось координат,

(18.11)(18.11)например на ось z:j2j _ j 户 °

(18.11)

(18.11)

По аналогии с орбитальным н спиновым моментом мы можем сделать вывод о том, что квадрат полного момента и одна из его проекций (например, JJ одновременно могут иметь собственные значения.

Правила квантования полного момента количества движения можно найти по известным правилам квантования его составляющих——орбитального (для бесспиновой частицы):

厶2 =方2/ (/ + 1), (/ = 0, 1,...),厶=Htn, (ш = — /,..., + /) (18.12) и спинового (например, для / = 0) моментов:

S‘2 = %2s(3十 1), (s= ；j, Sz — Hmsi (% = ±专.(18.13)

Подобная задача называется сложением моментов и в теории Дирака решается точно в общем виде. Однако для простоты расчетов решим эту задачу в приближении Паули, т. е. когда учитывается спин частицы, но сама частица является нерелятивистской.

Если частица движется в поле центральных сил, то между компонентами волновой функции:

(18.14)

J?""—小)*J?""—小)*(18.15)(18.15)подчиняющейся уравнению Паули (см. § 16), может быть установлена связь в силу законов сохранения для момента количества движения:

J?""—小)*

J?""—小)*

(18.15)

(18.15)

где L = [rp] —оператор орбитального момента,(/ — двухкомпонентные матрицы Паули. Решение системы уравнений (18.15) будем искать в виде】)：

% = &У?', 工=&匕\ (18.16)

где Yf — шаровые функции (см. § 11). Тогда,где Yf — шаровые функции (см. § 11). Тогда,принимаяпринимаяво вни-во вни-мание, чтомание, чтоL明;）=机（-1）（办L明;）=机（-1）（办(18.17)(18.17)

где Yf — шаровые функции (см. § 11). Тогда,

где Yf — шаровые функции (см. § 11). Тогда,

принимая

принимая

во вни-

во вни-

мание, что

мание, что

L明;）=机（-1）（办

L明;）=机（-1）（办

(18.17)

(18.17)

будем, согласно (18.15), (18.12) и (18.13), иметь:

T (。'L) (；J =}(/ + 1) 一 ? (?十 1) 一 力(霜，

ИЛИ1

4 [(L,—江丿，)％ 丄 L。％] = q%,(18.18)

京[(l+吗)%—L”/= M，

гдео

夕=/ (/ + 1) — / (/ + 1)—(18.18a)

Воспользуемся далее соотношениями (11.87) и (11.88):

LY7= — %Y7 = tnhY\(18.19)

(L*±iLJY『=—%]】/十 1 士优)(/^^У尸 L(18.20)

Отсюда видно, что мы сможем сократить в левых и правых частях шаровые функции, если положим ^ = m——1. Тогда найдем следующее соотношение между коэффициентами:

(д —团 + 1) &+)/ (2 十 1 一т) (l^m) С.2 = 0, 门父9八 ]/(/ Ч- 1 — m) (/ + m) ci (^ 十 m) & = 0.

Из условия равенства нулю определителя системы находим два значения q, соответствующие двум возможным типам решения:

9 = /，i = l+ 士' С尸一 У ＞；上甘&, 2)(18.22)

q = —1)，/ = / —^，C・2 = |/£^工 &. (18.23)

При эюм выборе 6} дет сохраняться лишь квадрат орбитального момента, но не его проекция на ось z.

Кроме того, имеется также другое решение для J, которое равно J — — Z—2 ПРИ 9 = / и / = — / —讶 при g = — Z — 1. Эти решения должны быть отброшены, так как 'соответствуют отрицательным значениям у, хотя величина /(/十1) остается такой же, как и при положительных значениях /.

Коэффициенты Ci и С?, определяющие соотношения между шаровыми функциями, при сложении двух моментов (в данном случае орбитального и спинового) носят название коэффициентов Клеб~ ша — Жордана.

Воспользовавшись также условием нормировки С；十 藹= 1, решение первого типа, когда / = /-[-у, / = 0, 1, , запишем в виде г):

=好吃 + "" (18.24)=好吃 + "" (18.24)w(丿=2+外)=

=好吃 + "" (18.24)

=好吃 + "" (18.24)

В случае же, если / = / ——у, /= 1, 2, ... (второй тип решения), волновая функция будет равна:

®g'i»=иИ^-'Ч (18.25)

где Y^m——так называемые шаровые спиноры, условие ортонор- мированности которых имеет вид:

§ dQ Y^.Y^ = 3川〃，^，，(18.26)

где / = 1 + ^~ соответствует случаю, когда спиновый и орбитальный моменты параллельны, а / = /—у —когда они антипарал- лельны. Это условие может быть легко получено, если учесть, что шаровой спинор У，)】 представляет собой матрицу с одной строкой, и также принять во внимание условие ортонормирован- ности шаровых функций. Шаровые спиноры (18.24) и (18.25) представляют собой спинорное обобщение обычных шаровых функций (см. § 11) и представляют собой угловую часть решения для любых задач, связанных с движением частицы с полуцелым спином в поле центральных сил.

Подставляя эти решения для функции W в (18.15), находим, что проекция Jz полного момента количества движения принимает значения Jz = Нтj, причем квантовое число т； равно

Заметим, что эта связь между шаровыми функциями устанавливается только при наличии спин-орбитального взаимодействия, которое мы учли с помощью соотношения (18.15). Если же оно отсутствует, то оба решения будут совершенно независимыми.

т； = т —— ；.Для решений первого типа (j = / + ^), как видно из (18.24), т может изменяться в пределах от ——/ (m；=——/ —— ——L— — j] до <+ 1(Hlj = / + ~^= j), поскольку множитель при несуществующей для последнего значения т функции УГ обращается в нуль. Точно так же для решений второго типа (/ = / ——^) число т может изменяться в пределах от ——/一卜 1 (mу = /) A。J (『〃/ /) •

Таким образом, наши результаты сводятся к следующему: квадрат полного момента количества движения имеет собственные значения: / )

1W0,

戸=加〃，+1), /= 1 (18.26a) I %, / = о,

е. квантуется подобно орбитальному моменту, но при этом квантовое число /, называемое внутренним квантовым числом, принимает полуцельге значения [). Собственные значения проекции момента на ось также характеризуются полуцелыми квантовыми числами: 厶=方团力 ,十 j. (18.27)

Исходя из соотношений (18.6) и (18.7), а также правил квантования (18.26а) и (18.27), нетрудно получить важные в спектроскопии формулы квантования скалярных произведений (LS) и (JS): (LS) = ； (J「U 一 S?) =4{/ (j 十 1) 一 / (/ + 1) — s (s + 1)}, (18.28)

и по аналогии:

(JS) = ：(J2—L—S2) = ^ {/•(/•十1)一/(/十 l) + s(s+l)}.(18.29)

Остановимся также на векторной модели сложения моментов, которая, несмотря на известную математическую условную нестрогость )} позволяет решать ряд сложных вопросов и дает при этом часто точные результата.

Как мы уже упоминали, в квантовой механике вектор момента не имеет определенного направления в пространстве： одновременно определенные значения имеет его абсолютная величина (квадрат) и одна из проекций, например, на ось N. Мы можем это выразить геометрически, представив вектор момента описывающим конус, ось которого совпадает с осью г. Тогда проекция момента на ось 2 будет иметь определенное значение, в то время как проекции на оси 尤 и у остаются неопределенными.

Фиг. 18.1. Сложение спинового и орбитального моментов.Фиг. 18.1. Сложение спинового и орбитального моментов.cos，s*) = 2^ ｛尸° —产一s*，,cos，s*) = 2^ ｛尸° —产一s*，,(18.30)(18.30)и т. д.и т. д.守R + (号£ _ ^^^Р) R = 0.守R + (号£ _ ^^^Р) R = 0.(18.32)(18.32)

Фиг. 18.1. Сложение спинового и орбитального моментов.

Фиг. 18.1. Сложение спинового и орбитального моментов.

cos，s*) = 2^ ｛尸° —产一s*，,

cos，s*) = 2^ ｛尸° —产一s*，,

(18.30)

(18.30)

и т. д.

и т. д.

守R + (号£ _ ^^^Р) R = 0.

守R + (号£ _ ^^^Р) R = 0.

(18.32)

(18.32)

Эти соображения можно в равной мере отнести и к спиновому моменту, поскольку он обладает такими же коммутационными свойствами, что и орбитальный момент. Эти векторы ориентируются в пространстве так, что их .сумма образует вектор，постоянный по величине. Таким образом, векторы 厶 и S направлены не произвольным образом, они как бы прецессируют около J как два связанных гироскопа 2).

На фиг. 18.1 отложены безразмерные величины J3 /*, s*. Каждый из векторов 产，5* определен па своем конусе. Оба эти вектора ^прецессируют» вокруг у* как связанная система. Заметим, что, согласно формулам (18.26), сложение вектора /* с целыми значениями орбитального квантового числа / = 0, 1, 2, ... и вектора s* с полуцелыми значениями спинового кв антового числа s = ±% приводит к вектору полного момента у* с полуцелыми значениями внутреннего квантового числа / = /±彳.

Векторная модель позволяет быстро находить ряд величин. Например, найдем правила квантования угла между векторами /* и s*. Из косоугольного треугольника получаем:

(18.31)

в. Движение в поле центральных сил с учетом спиновых эффектов. Теория ротатора

Если мы хотим исследовать движение ча-

стицы в поле центральных сил в нерелятивистском приближении, но с учетом спиновых эффектов, то вместо шаровых функций У% характеризующих состояния, в которых сохраняется орбитальный момент количества движения, мы должны использовать шаровые спиноры УУМ, характеризующие состояния, в которых сохраняется полный момент количества движения (орбитальный плюс спиновый). Поскольку шаровые спиноры в нерелятивистском приближении составляются из шаровых функций, имеющих одно и то же значение квантового числа /, для радиальной части в этом случае получим то же самое уравнение, что и для нерелятивистской бесспиновой частицы, т. е.

Таким образом, волновые функции для электрона в поле центральных сил будут иметь вид:产

^ = КУ2,(18.33)

где шаровой спинор Y^m определяется выражениями (18.24) н (18.25).

В частности, для ротатора мы можем положить r = a = const и радиальную часть волновой функции R=L Тогда спиновые эффекты в данном приближении не дадут каких-либо дополнительных членов для энергии ротатора, которая будет определяться выражением (12.7), установленным для бесспиновой частицы, т. е.帮/(，+

Что касается волновой функции, то она будет характеризоваться шаровым спинором Y^m； поэтому мы должны прежде всего установить правила отбора для квантовых чисел /, т； и /, которые будут иметь место не только для задачи ротатора, но и для любой задачи о движении частицы в поле центральных сил, в том числе и для задачи атома водорода.

Вместо формул (12.19), на основе которых были установлены правила отбора для бесспинных частиц, теперь будем иметь:

(q)焉了=§(y 点,)+川"洞2,(18.35)

причем в последней формуле q может принимать три значения

q = z = cos8, g = %± W = sin 隗上环 (18.36)

(для простоты примем радиус ротатора равным единице: а= 1). Если вместо шаровых спиноров подставить их значения из (18.24) и (18.25), то для этого матричного элемента получаем:

⑺爲/= №'/)§ (У歹qYL d2 +

+(Y7，'j* qYT dQ.(18.37)

Отсюда видно, что оба интеграла в (18.37) будут точно совпадать с интегралами в формулах (12.19) — (12.21). Поэтому для квантовых чисел / и т находим такие же правила отбора, как и для ротатора без спина, т. е.

М~1— Г = ± 1, Дт —0(£/ —г), Am = ±l (q — x±iy).

Найдем теперь правила отбора для квантовых чисел ш； и /. Поскольку nij для обоих типов решений связано с m одним и тем

же соотношением т； = т一一правила отбора для mj будут такие же, как и для т, т. е.

Лш;. = 0, 士 1.

Если при определении правил отбора для j рассматривается случай, когда переходы совершаются между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений (，= Г + ^ -> j = 2 +± или jf — Г ——f / = % …-g)，коэффициенты D〈『n и 0(产力，как видно из (18.24) и (18.25), будут всегда положительны и поэтому подобные переходы всегда разрешены. В этом случае возможное изменение / должно также совпадать с изменением орбитального квантового числа 厶 т. е. Л/ = Д/ — ± 1.

В том же случае, когда переходы будут совершаться между состояниями, х ар актер изуемыми различными типами решений

вая, что А/ = ±1, получаем три возможных значения для Aj = 0, + 2, — 2. Однако здесь следует учесть то обстоятельство, что коэффициенты /Ж‘)и。力)будут иметь разные знаки. Более того, оказывается, что при Aj = ±2 оба члена будут взаимно компенсировать друг друга, благодаря чему этот переход становится запрещенным. При Д/ = 0 эта разность не обращается в нуль, однако благодаря тому, что оба члена входят с разными знаками, интенсивность излучения будет слабее, чем при переходах между состояниями, характеризуемыми одинаковыми типами решений, когда Д/ = ± 1. Покажем это на конкретном примере. Выберем начальное состояние j = Z— g, а конечное /，=厂一卜;и рассмотрим случай Am = mz — m = 0.

Тогда, учитывая равенство (12.22), приведем соответствующий матричный элемент (18.37) к виду:

+ %/ — |17>/"В(/,优一1) + С"'，/)8(/,优)],(18.38)

где 广=厂十-^, a j = l — ~ .

Подставляя сюда значения:

Г(2Г + 1)(27+1) 丁 у '

И»

C(fi /)= 一_ 1=//'+1 —加 /ГГт

/ (2Z' +1)(2/4-1)11

из равенств (18.24) и (18.25), а также значения Л и В из (12.22а), находим, что коэффициент при 为，，卜】обращается в нуль, т. е. переход Aj = ——2 является запрещенным. В то же самое время коэффициент при 3，、£ —i в нуль не обращается, т. е. переход Aj = O является разрешенным, но интенсивность линии будет ослаблена по сравнению с А/ = ±1. Аналогичным путем легко показать, что переход А/= 2 также является запрещенным не только для q = z, но и для q = x±iy (A〃z = ± 1).

Итак, окончательно, правила отбора для квантовых чисел, характеризующих состояния частицы в поле центральных сил с учетом спина, принимают вид:

А/ = ± 1, А/Я/ = 0, 士 1,(18.39)

./ ± 1 (нормальная интенсивность),

」[0(ослабленная интенсивность).

г. Четность состояния

В связи с формулировкой закона сохранения момента количества движения для дираковских частиц уточним смысл квантовых чисел / и / в задаче о движении частицы в поле центральных сил по теории Дирака. В нерелятивистской квантовой теории орбитальное квантовое число / было связано с абсолютной величиной момента количества движения £? = %?/(/+1), который является там интегралом движения. Таким образом, в теории Шредингера, а также в теории Паули, где учитываются лишь спиновые, но не релятивистские эффекты, число I представляет сохраняющуюся во времени величину.

В теории Дирака орбитальный момент не коммутирует с гамильтонианом и поэтому не является интегралом движения; вследствие этого роль квантового числа / как характеристики закона сохранения момента имеет лишь приближенный смысл.

Однако оказывается, что / характеризует еще одно свойство квантовой частицы, которое носит название четности состояние. Под четностью состояния мы будем понимать поведение волновой функции при инверсии пространства:

% = — z = — /. (18.40)

Введем далее оператор инверсии пространства I ^, действие которого по определению состоит в том, что

Ц(г) = 'Н-^)- (18.41)

1) Этот оператор превращает нравовинтовую систему координат в лево- виитовую и наоборот. В теории Дирака вводится оператор Р = р31 (см. задачу 18.6).

т. е. он изменяет знаки у координат на обратные. Собственные значения 入 этого оператора можно найти путем двукратного его

применения:применения:F屮=*屮,F屮=*屮,(18.42)(18.42)

применения:

применения:

F屮=*屮,

F屮=*屮,

(18.42)

(18.42)

которое возвращает нас к прежним значениям координат. Из двух последних соотношений следует, что

入=± 1,(18.43)

т. е. волновые функции либо не меняются при действии оператора инверсии (четные функции,入=1), либо меняют свой знак на противоположный (нечетные функции,入=—1).

Найдем теперь величины, определяющие четность волновой функции для частицы в поле центральных сил. В сферической системе координат г, 8,屮 преобразование инверсии касается только угловой части:

> =几 # = 77 - &, ? = ? + 不，(18.44)

в чем нетрудно убедиться, если учесть, что при этом координаты: х = г sin 0- cos со, y = r sin^sin^, z = rcos8 (18.45) изменяют свои знаки на противоположные. Заметим, что радиальная часть волновой функции при преобразовании инверсии остается неизменной, тогда как угловая часть изменяется по следующему закону:

1У『®,叫=У7 (П _ 3,п + ?) = 8"Р?(-《« 3)产(叶")=

=(一1)，外(18.46)

ибо

pн(一 %) = (-- 1)U mp7⑴

Таким образом, четность состояния в центрально-симметричном поле определяется четностью числа /.、

Далее нетрудно заметить, что гамильтониан в поле центральных сил при инверсии пространства не меняется; поэтому оператор инверсии I (или в теории Дирака оператор Р) и оператор Гамильтона Н коммутируют между собой. Из этого следует, что четность состояния является интегралом движения, ибо:

^ I = ； (HI -- IH) = 0.(18.47)

Закон сохранения четности не имеет классического аналога в отличие от других законов сохранения (энергии, импульса, момента). Следовательно, в нерелятивистской волновой механике число / характеризует две сохраняющиеся величины: квадрат момента количества движения и четность состояния. В теории Дирака

число / теряет смысл квадрата момента количества движения, но связь этого числа с четностью состояния сохраняется.

В дальнейшем мы узнаем, что проблема четности играет исключительно важную роль в физике элементарных частиц. Все волновые функции как одной, так и двух и т. д. частиц строго разделяются на четные и нечетные. В частности, дипольные переходы возможны между состояниями, обладающими различным значением четности (правило Лапорта). При наличии двух и более частиц с четностью связывается общий спин системы, а также статистика, которой должны подчиняться частицы. Более подробно все эти вопросы будут проанализированы в дальнейшем при рассмотрении конкретных эффектов.

д. Решение уравнения Дирака для свободной частицы

Рассмотрим движение свободной частицы спина % (например, электрона) с постоянным импульсом. Без ограничения общности исследования можно выбрать направление оси г по направлению импульса, т. е. в уравнении (17.20) положить:'

Рх = Р『 =。，PzW0・(18.48)

Тогда уравнение Дирака примет вид:

[ih-^-\-ca.3ih ^―рз优0或)屮=0.(18.49)

Решение этого уравнения будем искать в форме:

屮=工^乩_觊к，+旧,(18.50)

где Z? — объем основного куба, волновое число 瓦 как и в случае свободной частицы в нерелятивистской теории Шредингера, равно:

^ = 2р(« = 0, 1, 2,...),

岛=竿，

а четырехрядная матрица:

удовлетворяет условию нормировки:

b^b = b^bx ++ &^3 + 6^4 = 1.(18.51)

九 вос-九 вос-Для определения величины е, а также коэффициентов пользуемся системой уравнений (17.24), положив

九 вос-

九 вос-

р* = р『 = О, Е@ = с屉К 屮， pz@ = %々屮.

Тогда получим:

(ek -九0)仇-厶力3。， (，K 一厶0)力2 +々仇=0,

(次 + 耳)ьл — kb. = 0,(次十%)仇 + kb. = 0.(18.52)

Отсюда для величины 己 находим два значения:日=1 (энергия электрона положительна) и 己=—1 (энергия электрона отрицательна). Умножая (18.52) на г и учитывая, что

孑=£ 丿(K — S岛)(К + »о),

преобразуем эти четыре уравнения к двум независимым:

К К -I- sfe0 ЬА — г }/ К £岛仇，(18.52а)

『K十孑0仇=一£ ГК 一e焉友. (18.526)

При нахождении решения (18.52а) мы должны положить % = =仇=0, а при решении (18.526)仇= 〃, = 0. Принимая во внимание далее еще условие нормировки (18.51), получаем четыре независимых решения: два из них относятся к состояниям с г = 1:

а два—к состояниям с г = 一一1:

т. е. состояния (18.53) отличаются от состояний (18.54) знаком энергии.

Чтобы выяснить физический смысл состояний 力⑴ с различными i=l, 2, 3, 4, найдем проекцию спина на направление движения,

т. е. на ось г. Прежде всею заметим, что так как при движении частицы вдоль оси 2 L^ = xpv——урл — 0. то проекция спина на ось г должна сохраняться, в чем нетрудно убедиться непосредственно, поскольку матрица % будет коммутировать с гамильт. е. на ось г. Прежде всею заметим, что так как при движении частицы вдоль оси 2 L^ = xpv——урл — 0. то проекция спина на ось г должна сохраняться, в чем нетрудно убедиться непосредственно, поскольку матрица % будет коммутировать с гамильтонианом, соответствующим уравнению (18.49). Найдем собственные значения этого оператора,тонианом, соответствующим уравнению (18.49). Найдем собственные значения этого оператора,непосредственно Тогда будем100онепосредственно Тогда будем100от. е. для этогот. е. для этогок спиновым функциям Ь{п.к спиновым функциям Ь{п.иметь:0 0- 1 00 1о оиметь:0 0- 1 00 1о о= ^*),(18.55)= ^*),(18.55)решения собственноерешения собственное1равно 彳.Точно так же легко показать, что1равно 彳.Точно так же легко показать, что；q/(2)= -^b^\ ^^ = \b^；q/(2)= -^b^\ ^^ = \b^применив егоприменив его•1значение оператора 彳 外•1значение оператора 彳 外И!配）=—~力⑷.И!配）=—~力⑷.

т. е. на ось г. Прежде всею заметим, что так как при движении частицы вдоль оси 2 L^ = xpv——урл — 0. то проекция спина на ось г должна сохраняться, в чем нетрудно убедиться непосредственно, поскольку матрица % будет коммутировать с гамиль

т. е. на ось г. Прежде всею заметим, что так как при движении частицы вдоль оси 2 L^ = xpv——урл — 0. то проекция спина на ось г должна сохраняться, в чем нетрудно убедиться непосредственно, поскольку матрица % будет коммутировать с гамиль

тонианом, соответствующим уравнению (18.49). Найдем собственные значения этого оператора,

тонианом, соответствующим уравнению (18.49). Найдем собственные значения этого оператора,

непосредственно Тогда будем

1

0

0

о

непосредственно Тогда будем

1

0

0

о

т. е. для этого

т. е. для этого

к спиновым функциям Ь{п.

к спиновым функциям Ь{п.

иметь:

0 0

- 1 0

0 1

о о

иметь:

0 0

- 1 0

0 1

о о

= ^*),(18.55)

= ^*),(18.55)

решения собственное

решения собственное

1

равно 彳.

Точно так же легко показать, что

1

равно 彳.

Точно так же легко показать, что

；q/(2)= -^b^\ ^^ = \b^

；q/(2)= -^b^\ ^^ = \b^

применив его

применив его

•1

значение оператора 彳 外

•1

значение оператора 彳 外

И!配）=—~力⑷.

И!配）=—~力⑷.

Таким образом, четыре возможных состояния соответствуют четырем возможным комбинациям знака энергии и направления спина. Решение 力⑴ соответствует положительным энергиям (е= 1) и случаю, когда спин направлен по оси г (s=l). Аналогичным образом для решения 力⑶)имеем е = 1, s = —— 1, а для решения и Ь“)соответственно имеем £= — 1, s= 1 и е = — 1, s=」l, где s — удвоенная проекция спина на направление импульса.

Кстати заметим, что для состояний с положительной энергией (&=1) при сравнительно малых скоростях волновые функции 屮з и R будут иметь порядок 冗〜,относительно волновых функций % и 5 (屮з 〜子 屮i) • Для состояний с отрицательной энергией [см. формулы (18.54)], наоборот,屮i 〜 ：一屮；・

Мы рассмотрели частный случай движения частицы вдоль оси а. Однако все это не ограничивает общности исследования свободного движения. tB самом целе, если направление импульса характеризуется сферическими углами 8 и % то всегда можно выбрать друг}ю штрихованную систему координат таким образом, чтобы ось z' была направлена по импульсу. Затем, совершая два поворота: один па угол 8 вокруг оси у', направленной перпендикулярно к плоскости Z2', другой на угол 中 вокруг оси 2, можно перейти от решения в штрихованной системе координат (ось z' направлена по импульсу) к общему случаю (направление импулься характеризуется сферическими углами », у).

в этом общем случае:в этом общем случае:можем записать решениеможем записать решениеУчитывая, что при повороте системы координат волновая функция изменяется по закону (17.39), мы

в этом общем случае:

в этом общем случае:

можем записать решение

можем записать решение

е—Ас№+詠/■,(18.56)е—Ас№+詠/■,(18.56)1 一 j (尸з+ 8g2)1

е—Ас№+詠/■,(18.56)

е—Ас№+詠/■,(18.56)

L^2

_Е/ГГ7^1_^у/2

которое является обобщением формул (18.50), (18.53) и (18.54).

Задача 18」】)• Показать, что операторы энергии £ =访^ и импуль р ———(ftV преобразуются при преобразованиях Лоренца как четырехмерн1| вектор：

Е 看+Рх + ^3,,

у ； ； Рх —^ 一:z~z, Р .. — Рм Р « — Pz,

e俨'尸Х—洋…У叱I，尸2尸N，

где

Указание. Воспользоваться известными лоренцевыми преобразованиями координат (17.34) и сделать переход при дифференцировании от одних переменных к другим.

Задача 18.2. Доказать релятивистскую инвариантность скалярного уравнения для свободной частицы.

Указание. Для этого надо доказать инвариантность операторного соотношения:

Е，2 — с2р，2 = Е2 — №р2, что легко сделать, если использовать результаты предыдущей задачи.

Задача 18,3. Показать, что в случае пространственного поворота системы координат вокруг оси у на угол 8 волновая функция преобразуется по закону:&

ф* = ( cosy+(а2 sin у Ф = е / ф.

Указание. Воспользоваться методом, который приводит к формулам (17.39).

Задача 18.4. С помощью векторной модели сложения моментов найти углы с учетом геометрического сложения векторов в квантовой механике, т. е.

cos (j*s*); cos (j*Z*).

Указание. Использовать метод, которым получены формулы (18.30) и (18.31).

Задачи в данном napai рафе относятся и к § 17.

Задача 185 Показать, что волновая функция 巾=。屮* (C==/a2p3f 屮* ——комплексно-сопряженная, а не эрмитово-сопряженная функция, т. е. не ф+) уравнения Дирака для электрона с отрицательной энергией, 6｝ дет удовлетворять уравнению Дирака с положительной энергией и противоположным (положительным) знаком заряда, т. е. будет описывать движение позитрона (преобразование зарядового сопряжения).

Решение. Уравнение Дирака имеет вид:

丄（方0丄（方0++

丄（方0

丄（方0

+

+

(18.57)(18.57)+ аз (；^- у "" 一рзтое2 ｝屮=。；

(18.57)

(18.57)

для комплексно-сопряженного уравнения мы можем написать (с учетом того, ЧТ。се* = aj» а* &2, аз —= &з，Рз Рз)：

方0 小I _„_еф+с方0 小I _„_еф+с

方0 小I _„_еф+с

方0 小I _„_еф+с

+ % С ^ + "^ А с) I — РМ 您｝屮* = 0.+ % С ^ + "^ А с) I — РМ 您｝屮* = 0.(18.58)(18.58)Заметим, что комплексно-сопряженная функция 屮* лово-сопряженной), а именно:Заметим, что комплексно-сопряженная функция 屮* лово-сопряженной), а именно:отличается от 屮十(эрми-отличается от 屮十(эрми-

+ % С ^ + "^ А с) I — РМ 您｝屮* = 0.

+ % С ^ + "^ А с) I — РМ 您｝屮* = 0.

(18.58)

(18.58)

Заметим, что комплексно-сопряженная функция 屮* лово-сопряженной), а именно:

Заметим, что комплексно-сопряженная функция 屮* лово-сопряженной), а именно:

отличается от 屮十(эрми-

отличается от 屮十(эрми-

в то время как:

屮+=(屮帥а押»

Сделаем замену в комплексно-сопряженном уравнении Дирака, полагая 步=沁皿屮*. Тогда мы найдем, что 帀 будет удовлетворять исходному уравнению, если в нем заряд е заменить на —е. Принимая во внимание, что -i\E\f

состояние 屮(尸，f) = е 冇 屮(尸)трактуется как состояние с положитель-

пой энергией (Е=|Е[), а состояние 屮* (г*, f) = e п 屮* (尸)——как состояние с отрицательной энергией (Е =——| Е |), мы должны у функции 巾 трак- говать знак энергии иначе, чем у функции 屮*.

Задача 18.6. Доказать инвариантность уравнения Дирака относительно инверсии пространства: г ——尸，4 一 一 А (P-преобразование) и относительно слабого обращения времени (СТ-преобразование), которое эквивалентно сильному обращению времени: £一一^ Ф —*—Ф (Т-преобразование), сделанному совместно с зарядово-сопряженным преобразованием: е — — е (С- преобразование).

Решение. В результате P-преобразования уравнение (18.57) принимает вид:

+ аз^-у у *z) I —「抑卢斗屮=0.(18.59)

Сделав в этом уравнении замену 屮一* р抻，мы преобразуем ei о к первоначальному виду (18.57).

В результате слабого обращения времени вместо (18.57) будем иметь:

р"%”｝屮= ().р"%”｝屮= ().I h д еI h д еЕ i①一中 I姍aх) +a2皆搭 4) +

р"%”｝屮= ().

р"%”｝屮= ().

I h д е

I h д е

(18.60)

сопря- (18.58)сопря- (18.58)Последнее уравнение в результате замены 屮一％炉 примет вид жениого уравнения (18.58). В свою очередь сопряженное уравнение

сопря- (18.58)

сопря- (18.58)

после аналогичных преобразований примет вид основного (18.57).

Таким образом, уравнение Дирака должно быть инвариантным относи

тельно совместного тройного РСТ-преобразования (теорема Людерса — Паули).

Задача 18.7. Объяснить, почему в случае свободного движения только продольная составляющая вектора спина коммутирует с гамильтонианом.

Произвести в случае свободного движения такое обобщение понятия спина, чтобы все его составляющие коммутировали с гамильтонианом.

Найти средние значения составляющих обобщенного спина и закон их изменения при лоренцевых преобразованиях. Исследовать спиральность частицы, когда спин параллелен импульсу.

Решение. Так же как и в случае поля центральных сил, для свободного электрона лишь полный момент количества движения (18.6) будет коммутировать с гамильтонианом свободного поля:

Н = е(ар)4-р3т0с2.

Поскольку продольная составляющая орбитального момента обращается в нуль, то продольная составляющая оператора спина:

S3=：= ~2~S3=：= ~2~\р\\р\

S3=：= ~2~

S3=：= ~2~

\р\

\р\

должна быть интегралом движения, в чем нетрудно также убедиться и непосредственно, показав, что оператор S3 коммутирует с оператором Н.

В случае свободного движения можно найти такое обобщение понятия оператора спина:

S=^%G。，

гдегде_Р@Р)「吁一Р@Р)-下一十р3 р_Р@Р)「吁一Р@Р)-下一十р3 р(18.61)(18.61)

где

где

_Р@Р)「吁一Р@Р)

-下一十р3 р

_Р@Р)「吁一Р@Р)

-下一十р3 р

(18.61)

(18.61)

когда все его составляющие будут коммутировать с гамильтонианом Н, причем продольные составляющие обычного и обобщенного спина совпадают друг с другом. Если мы напишем решение для волновой функции, соответствующее положительной энергии (см. 18.53):

(18.62)(18.62)

(18.62)

(18.62)

где импульс *направлен по оси г, то для средних значений s° оператора(г° находим:

для продольной составляющей:

s? = \ 屮七3屮d3* = Cf & ——ОЗ。—；1

для поперечных составляющих:

，s? = \ 屮十pg屮d3尢=03& +с£еТ

s2 = i(U& — CfC_)

Если мы выберем волновую функцию как сумму состояний, обладающих различной энергией (в том числе и отрицательной), то при вычислении средних значений временные члены исчезнут, так как оператор обобщенного спина коммутирует с гамильтонианом Н. Некоммутативность же различных операторов, являющихся в то же время интегралами движения, говорит о том, что система является вырожденной (заданному импульсу и энергии могут соответствовать различные направления спина) и поэтому в средние значения вектора s° входят различные комбинации амплитуд Сх и С_ (см. также задачу 12.8). Можно показать, что векюр s° является трехмерным единичным вектором, так как (s$)2 + (sS)2 + («з)2 — (QG + С^^^)2 = 1 и при лоренцевых поворотах преобразуется по закону:

гдегдеs：o = s§ cos 7 + s? sin 7,s；。= s? cos 7 — sg sin 7,Q '0 — мs：o = s§ cos 7 + s? sin 7,s；。= s? cos 7 — sg sin 7,Q '0 — м(18.63)(18.63)ВI — 8 cos 8.cos 7 =—g, sin 丫ВI — 8 cos 8.cos 7 =—g, sin 丫3 了1 -財 sin 83 了1 -財 sin 8ВВ8= H(瓦一В cos 8产十俨(1 —阳 sin" 8.Здесь c§i = f ——скорость частицы в первоначальной системе направлена по оси г, причем с?——скорость штрихованной системы8= H(瓦一В cos 8产十俨(1 —阳 sin" 8.Здесь c§i = f ——скорость частицы в первоначальной системе направлена по оси г, причем с?——скорость штрихованной системы(18.64)(18.64)координаткоординат,координаткоординат,составляющая с осью z угол 0, должна лежать в плоскости zx. Под S30 следует понимать продольную составляющую спина относительно нового направления импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором.Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляризации относительно импульса, когда s?=l (&=1, C_L = 0). В этом случае, как видно из (18.621:составляющая с осью z угол 0, должна лежать в плоскости zx. Под S30 следует понимать продольную составляющую спина относительно нового направления импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором.Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляризации относительно импульса, когда s?=l (&=1, C_L = 0). В этом случае, как видно из (18.621:咽=га{ф.咽=га{ф.

где

где

s：o = s§ cos 7 + s? sin 7,s；。= s? cos 7 — sg sin 7,

Q '0 — м

s：o = s§ cos 7 + s? sin 7,s；。= s? cos 7 — sg sin 7,

Q '0 — м

(18.63)

(18.63)

ВI — 8 cos 8.

cos 7 =—g, sin 丫

ВI — 8 cos 8.

cos 7 =—g, sin 丫

3 了1 -財 sin 8

3 了1 -財 sin 8

В

В

8= H(瓦一В cos 8产十俨(1 —阳 sin" 8.

Здесь c§i = f ——скорость частицы в первоначальной системе направлена по оси г, причем с?——скорость штрихованной системы

8= H(瓦一В cos 8产十俨(1 —阳 sin" 8.

Здесь c§i = f ——скорость частицы в первоначальной системе направлена по оси г, причем с?——скорость штрихованной системы

(18.64)

(18.64)

координаткоординат,

координаткоординат,

составляющая с осью z угол 0, должна лежать в плоскости zx. Под S30 следует понимать продольную составляющую спина относительно нового направления импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором.

Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляризации относительно импульса, когда s?=l (&=1, C_L = 0). В этом случае, как видно из (18.621:

составляющая с осью z угол 0, должна лежать в плоскости zx. Под S30 следует понимать продольную составляющую спина относительно нового направления импульса. Отсюда видно, что трехмерный единичный вектор в результате лоренцевых преобразований остается трехмерным единичным вектором.

Определим спиральность, т. е. вращение вектора поляризации относительно импульса, когда s?=l (&=1, C_L = 0). В этом случае, как видно из (18.621:

咽=га{ф.

咽=га{ф.

Учитывая еще зависимость волновой ф} нкции от времени 屮〜©一‘°"', находим, что вращение будет совершаться в плоскости ху (от оси .г к оси у)> расположенной перпендикулярно к импульсу (ось г). Следовательно, в правой системе координат случай s§ = 1 будет описывать правовиитовую спиральность, а в левой системе координат — левовинтов) ю. Этот результат является вполне естественным, так как sg = (s%°), где А6 ——единичный вектор импульса, s°——единичный аксиальный вектор спина. При переходе от правой системы координат к левой направление 向 изменяется на противоположное, a s°— остается без изменения, т. е. в этом случае изменяется лишь математическая форма описания спиральности.

Задача 18.8. Показать, что для описания движения частицы со спином половина и массой покоя, равной нулю (волновое уравнение для нейтрино),

может быть использ^ано либо уравнение с двухрядными матрицами Па》пн (уравнение Вейля), либо уравнение Дирака, расщепляющееся на два независимых уравнения.

Решение. Квадратный корень из (17.1) при mQ = 0 может быть извлечен с помощью дв} хрядиых матриц Паули и поэтому вместо)равнения Дирака можно написать уравнение с двухкомпонентной 巾)нкнме访 勺=(；【) (уравно ине Вейля): (Е — с (а'р)) ® = 0. (18.65)

Это уравнение в противоположность уравнению Дирака (см. задачу 18.6) не инвариантно 'относительно инверсии пространства, поскольку после замены р—>—р мы никаким преобразованием волновой функции ? не сможем вернуть его к первоначальному виду.

Для частиц с тп0 = 0 четырехкомпонентное уравнение Дирака разбивается на два независимых волновых уравнения. ”

Для первого решения выбираем:

s? = —e=—向， (18.66) т. е. будем считать, что частицы с положительной энергией е = 1 (нейтрино) обладают левой спиральностью, а с отрицательной е = —1 (антинейтрино)—правой.

Тогда для второго решения будем иметь:

s= = m， (18.67)

т. е., наоборот, частицы с положительной энергией е=1 (нейтрино) должны обладать правой спиральностью, а с отрицательной (антинейтрино)——левой.

Соотношения (18.66) и (18.67) остаются инвариантными относительно преобразований Лоренца [это видно из равенств (18.63) и (18.64), где следует положить §1 = 1], слабого обращения времени и инверсии пространства (при переходе от правой системы координат к левой, хотя знак у величины s； изменится на противоположный, однако зависимость спиральности от знака энергии остается без изменений).

Примечание. В связи с открытием явлений, известных под названием иесохрансния четности, что оказалось связанным со спиральностью нейтрино, Ли и Янг, а также Ландау предложили массу нейтрино положить равной нулю, а для его описания взять двухкомпонентное уравнение Вейля.

Неинвариантность уравнения Вейля относительно P-преобразования они предложили скомпенсировать неинвариантностыо относительно С-преобразо- вания (при переходе нейтрино к антинейтрино спиральность нейтрино должна измениться). Таким образом уравнение Вейля должно остаться инвариантным относительно совместного CP-преобразования (комбинированная инверсия), а также Т-преобразования для того, чтобы выполнялась теорема Людерса — Паули (СРТ == const).

С другой стороны, для описания нейтрино можно также взять уравнение Дирака с массой покоя, равной нулю, и выделить в и см нейтрино определенной спиральности. Однако там наряду с одним решением (нейтрино ——левовинтовое, антинейтрино ——правовинтовое), имеется второе совершенно равноправное решение (нейтрино—правовинтовое, антинейтрино ——левовинтовое). Было бы весьма странным, если второе решение не имело никакого физического применения.

Недавно наряду с электронным нейтрино (т. е. нейтрино, вылетает с позитроном, а антинейтрино — с электроном) было открыто второе, так называемое мюонное нейтрино, которое, по-видимому, и описывается вторым решением уравнения Дирака (см. также § 30 п § 31).

Уравнение Дирака в приближенном форме

Во многих задачах, которые решаются по теории Дирака, в окончательных результатах можно ограничиться либо членами порядка^-, если учитывать влияние спина на движение электрона в магнитном поле (уравнение Паули), либо членами порядка ^yV, если учитывать влияние спиновых и релятивистских поправок на движение электрона в электрическом поле.

Поэтому мы запишем уравнение Дирака в приближенной форме, отбросив в нем величины порядка выше ^у] . Как будет показано ниже, в таком приближенном уравнении особенно отчетливо вырисовывается роль как релятивистских, так и спиновых членов.

С этой целью прежде всего представим уравнение Дирака (17.26) в виде двух матричных уравнений: '

(F — md) ^；) = с(『Р)(F — md) ^；) = с(『Р)（F + 恤吟閱= с（『Р）閱•（F + 恤吟閱= с（『Р）閱•(19.1)(19.1)

(F — md) ^；) = с(『Р)

(F — md) ^；) = с(『Р)

（F + 恤吟閱= с（『Р）閱•

（F + 恤吟閱= с（『Р）閱•

(19.1)

(19.1)

В эквивалентности (19.1) и (17.26) нетрудно убедиться, если подставить в (19.1) вместо двухрядных матриц Паули и' значения (16.38), а вместо операторов F и Р значения (17.22) и расписать каждое из двух матричных уравнений как систему двух уравнений.

Вообще говоря, в уравнении (19.1) компоненты волновой функции % зависят от времени, т. е. фр (г, /). Если же электрическое и магнитное поля не зависят от времени, то мы можем перейти к стационарному случаю:

ииограничитьсяограничитьсяe十恤或〉0.В последнемe十恤或〉0.В последнемфр (г, /) = е-£т(£ + тос2)/%("(19.2)только положительными значениями энергиифр (г, /) = е-£т(£ + тос2)/%("(19.2)только положительными значениями энергиипреобразовании мы в общей энергии выделилипреобразовании мы в общей энергии выделилисобственную энергию 碎炉，что оказывается очень удобным при исследовании движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены.собственную энергию 碎炉，что оказывается очень удобным при исследовании движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены.Подставляя (19.2) в (19.1) и сокращая все члены на временной множитель ^一〃九(七十加口壮)‘，представим (19.1) в виде:几 \、У 一e①麻) = С3р咪)，—eФ)你= e(/p)(必Подставляя (19.2) в (19.1) и сокращая все члены на временной множитель ^一〃九(七十加口壮)‘，представим (19.1) в виде:几 \、У 一e①麻) = С3р咪)，—eФ)你= e(/p)(必уравнения уравненияуравнения уравнения(19.3)(19.3)(19.4)(19.4)

и

и

ограничиться

ограничиться

e十恤或〉0.

В последнем

e十恤或〉0.

В последнем

фр (г, /) = е-£т(£ + тос2)/%("(19.2)

только положительными значениями энергии

фр (г, /) = е-£т(£ + тос2)/%("(19.2)

только положительными значениями энергии

преобразовании мы в общей энергии выделили

преобразовании мы в общей энергии выделили

собственную энергию 碎炉，что оказывается очень удобным при исследовании движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены.

собственную энергию 碎炉，что оказывается очень удобным при исследовании движения при сравнительно малых скоростях, когда основной вклад дают нерелятивистские члены.

Подставляя (19.2) в (19.1) и сокращая все члены на временной множитель ^一〃九(七十加口壮)‘，представим (19.1) в виде:几 \、

У 一e①麻) = С3р咪)，

—eФ)你= e(/p)(必

Подставляя (19.2) в (19.1) и сокращая все члены на временной множитель ^一〃九(七十加口壮)‘，представим (19.1) в виде:几 \、

У 一e①麻) = С3р咪)，

—eФ)你= e(/p)(必

уравнения уравнения

уравнения уравнения

(19.3)

(19.3)

(19.4)

(19.4)

Из последнего уравнения получаем:

分賢厂（叫加分賢厂（叫加(19.5)(19.5)В отличие от (19.1) в уравнениях (19.3) и (19.5) компоненты волновой функции не должны зависеть от времени. Рассмотрим прежде всего переход от уравнений Дирака, представленных равенствами (19.3) и (19.5), к уравнению Паули, в котором учитывается влияние спиновых эффектов при наличии магнитного поля,В отличие от (19.1) в уравнениях (19.3) и (19.5) компоненты волновой функции не должны зависеть от времени. Рассмотрим прежде всего переход от уравнений Дирака, представленных равенствами (19.3) и (19.5), к уравнению Паули, в котором учитывается влияние спиновых эффектов при наличии магнитного поля,т. е. члены порядка —, и отбрасываются релятивистские поправт. е. члены порядка —, и отбрасываются релятивистские поправки, т. е. величины порядка ^У，Принимая во внимание, что 七一еФ = ^~, ном приближении пренебречь величиной ^~ ^ единицей.Тогда из (19.5) найдем:ки, т. е. величины порядка ^У，Принимая во внимание, что 七一еФ = ^~, ном приближении пренебречь величиной ^~ ^ единицей.Тогда из (19.5) найдем:мы можем в дан- по сравнению смы можем в дан- по сравнению с屮 з； = "Р)%1屮J2叫e[屮J屮 з； = "Р)%1屮J2叫e[屮J(19.6).(19.6).Отсюда еще раз убеждаемся, что при«малые» компоненты (扌：)имеют порядокОтсюда еще раз убеждаемся, что при«малые» компоненты (扌：)имеют порядокположительной энергии у^ относительно «боль-положительной энергии у^ относительно «боль-ших» (^), поскольку 矗〜^• Подставляя (19.6) в (19.3),ших» (^), поскольку 矗〜^• Подставляя (19.6) в (19.3),мы исключим «малые» компоненмы исключим «малые» компоненты, а для определения «больших» получим уравнение:ты, а для определения «больших» получим уравнение:（Е 一ё明蹴=载（叫”p）（М・（Е 一ё明蹴=载（叫”p）（М・Далее, принимая во внимание равенство ^: (『а) “匕)=(ab)十“『[а^]),Далее, принимая во внимание равенство ^: (『а) “匕)=(ab)十“『[а^]),(19.7)(19.7)1) Для того чтобы обосновать это равенство, представим левую часть (19.7) в виде:(^а)^^)=(寸倣+ 0勿+。甩)(。也Х +冤勾+。久)•Учитывая, что о? = Г н т. 口，0；貳=—££ = 2； и т. д. [см. (16.39), (16 40)], будем иметь:(б&) (bb) = axbx + aybv 十 azbz 十 h\(axby —avb^ 十十 山；(a^X - a^z) + 为I (аy勿-a2%)，откуда и следует (19.7).1) Для того чтобы обосновать это равенство, представим левую часть (19.7) в виде:(^а)^^)=(寸倣+ 0勿+。甩)(。也Х +冤勾+。久)•Учитывая, что о? = Г н т. 口，0；貳=—££ = 2； и т. д. [см. (16.39), (16 40)], будем иметь:(б&) (bb) = axbx + aybv 十 azbz 十 h\(axby —avb^ 十十 山；(a^X - a^z) + 为I (аy勿-a2%)，откуда и следует (19.7).

分賢厂（叫加

分賢厂（叫加

(19.5)

(19.5)

В отличие от (19.1) в уравнениях (19.3) и (19.5) компоненты волновой функции не должны зависеть от времени. Рассмотрим прежде всего переход от уравнений Дирака, представленных равенствами (19.3) и (19.5), к уравнению Паули, в котором учитывается влияние спиновых эффектов при наличии магнитного поля,

В отличие от (19.1) в уравнениях (19.3) и (19.5) компоненты волновой функции не должны зависеть от времени. Рассмотрим прежде всего переход от уравнений Дирака, представленных равенствами (19.3) и (19.5), к уравнению Паули, в котором учитывается влияние спиновых эффектов при наличии магнитного поля,

т. е. члены порядка —, и отбрасываются релятивистские поправ

т. е. члены порядка —, и отбрасываются релятивистские поправ

ки, т. е. величины порядка ^У，

Принимая во внимание, что 七一еФ = ^~, ном приближении пренебречь величиной ^~ ^ единицей.

Тогда из (19.5) найдем:

ки, т. е. величины порядка ^У，

Принимая во внимание, что 七一еФ = ^~, ном приближении пренебречь величиной ^~ ^ единицей.

Тогда из (19.5) найдем:

мы можем в дан- по сравнению с

мы можем в дан- по сравнению с

屮 з； = "Р)%1

屮J2叫e[屮J

屮 з； = "Р)%1

屮J2叫e[屮J

(19.6).

(19.6).

Отсюда еще раз убеждаемся, что при«малые» компоненты (扌：)имеют порядок

Отсюда еще раз убеждаемся, что при«малые» компоненты (扌：)имеют порядок

положительной энергии у^ относительно «боль-

положительной энергии у^ относительно «боль-

ших» (^), поскольку 矗〜^• Подставляя (19.6) в (19.3),

ших» (^), поскольку 矗〜^• Подставляя (19.6) в (19.3),

мы исключим «малые» компонен

мы исключим «малые» компонен

ты, а для определения «больших» получим уравнение:

ты, а для определения «больших» получим уравнение:

（Е 一ё明蹴=载（叫”p）（М・

（Е 一ё明蹴=载（叫”p）（М・

Далее, принимая во внимание равенство ^: (『а) “匕)=(ab)十“『[а^]),

Далее, принимая во внимание равенство ^: (『а) “匕)=(ab)十“『[а^]),

(19.7)

(19.7)

1) Для того чтобы обосновать это равенство, представим левую часть (19.7) в виде:

(^а)^^)=(寸倣+ 0勿+。甩)(。也Х +冤勾+。久)•

Учитывая, что о? = Г н т. 口，0；貳=—££ = 2； и т. д. [см. (16.39), (16 40)], будем иметь:

(б&) (bb) = axbx + aybv 十 azbz 十 h\(axby —avb^ 十十 山；(a^X - a^z) + 为I (аy勿-a2%)，

откуда и следует (19.7).

1) Для того чтобы обосновать это равенство, представим левую часть (19.7) в виде:

(^а)^^)=(寸倣+ 0勿+。甩)(。也Х +冤勾+。久)•

Учитывая, что о? = Г н т. 口，0；貳=—££ = 2； и т. д. [см. (16.39), (16 40)], будем иметь:

(б&) (bb) = axbx + aybv 十 azbz 十 h\(axby —avb^ 十十 山；(a^X - a^z) + 为I (аy勿-a2%)，

откуда и следует (19.7).

справедливое как в случае матриц Паули, так и в случае матриц Дирака, будем иметь:

(dP)(『P) = P2+ i ((/[РР))・

Подставляя сюда значение для:

Р — р — ~ А ,

находим:

' [РР]ф = -|([рЛ] + [Лр])ф.

Учитывая, что оператор р действует на все функции, стоящие справа от него, мы можем написать:

[Р* 屮=—[4р]屮 + 屮[р4] = — [/р]屮十 ^ 〃屮，

где /7 = rot4 ——напряженность магнитного поля. Следовательно,

[pp]屮=一^"中，

и поэтому

(о'Р) (о'Р) = Р‘2 — *9Н).

Таким образом, уравнение Дирака при учете членов, пропорциональных только ^у^ , переходит в уравнение Паули [см. (16.33)]: (е —e ①一薪+裁9切中=0.(19.8)

Появление дополнительного выражения для энергии электрона в магнитном поле:

^магн = —3") автоматически приводит к существованию магнитного момента электрона:

величина которого в теории Паули постулировалась, исходя из анализа экспериментальных данных.

Заметим, что, поскольку этот магнитный момент (его называют кинематическим или дираковским магнитным моментом) появляется при переходе к нерелятивистскому приближению, учитывающему только члены первого порядка малости по『 дополнительная энергия умагн относительно нерелятивистских энергий будет иметь порядок у.

Принимая во рона [см. (18.6)]:

внимание значение механического момента элект-

находим требуемое из опытов Штерна-Герлаха соотношение:

е с n =--S

(19.10)^

являющееся следствием теории Дирака.

Рассмотрим теперь влияние релятивистских и спиновых эффектов на движение электрона в электрическом (например, кулоновском) поле. Для этого в уравнении Дирака мы должны удержать наряду с нерелятивистскими членами также члены порядка ^2.

Кроме того, при переходе в указанном приближении от четырехкомпонентных функций к двухкомпонентным мы должны произвести «перенормировку» исходя из соотношения:

(屮就屮也)[：=(屮卡(19.11) Полагая в (19.5) / = 0, а также

献=n阳，(嵋騎)=(叮驾)m

получим следующее выражение «малых» компонент через «боль

шие»:

［的=蟲（1 _^?卜电）"ой，（19.12）

Принимая во внимание, что (п'р) (а'р) = р2, и удерживая в даль

нейшем только члены, не превышающие второго порядка малости / О \2

H-J с помощью условия «перенормировки» (19.11), находим:

Отсюда получаем:

俚悝:）

(19.13)

в чем нетрудно убедиться, подставляя это значение N в предыдущее равенство, и поэтому в данном приближении:

Между прочим заметим, что в приближении Паули (учитывающем только члены порядка —^ перенормировочный коэффициент обращается в единицу.

Подставляя последнгие выражения в уравнение (19.3), будем иметь:

[е一e①一急(Е 一叫叫点片

=战 -аp)-協]假)

Для дальнейших преобразований воспользуемся следующими соотношениями〔)：

(『р) (Е — е①)(『р) = (Е —。①)р — ihe ^Е)(огр)=

=(Е — е①)р?…Ole (Ер)十 е% (<f [Ер])(19.15)

и''

聶=р・2 (Е 一 е叫=(Е —叫 Р2 4-罕(Ер) + 力好①，(19.16)

где Е ==——▽① ——вектор напряженности электрического поля, а операторы V и V2 действуют только на потенциал Ф.

Тогда уравнение Дирака в рассматриваемом приближении примет вид:

где дополнительная к нерелятивистскому уравнению Шредингера энергия, имеющая порядок , равна:

V，=-热-讓(/[ер])十审 2①.(19.17)

Левая часть уравнения (19.17) описывает движение частицы в нерелятивистском приближении в постоянном во времени электрическом поле. В правой части уравнения (19.17) стоит дополнительная энергия взаимодействия, описывающая релятивистские и спиновые поправки.

Первый член в правой части последнего равенства:

Vpe“. = —&(19.18)

дает поправку на релятивистскую скорость частицы. Аналогичная дополнительная энергия должна появиться также и

в релятивистском уравнении Клейна——Гордона. Классический аналог этого члена мы получим, если релятивистское выражение для гамильтониана разложим в ряд, удерживая члены порядка

‘ 〃 =Mm記"十Р耍=他。您+ 6 —鳥.

Следующий член разложения характеризует так называемое спин- орбитальное взаимодействие:

S =-誘”側)，(19.19)

которое описывает взаимодействие движущегося магнитного момента с электрическим полем.

Появление этого взаимодействия может быть интерпретировано в классической теории следующим образом: движущийся со скоростью 舒 магнитный момент, как пространственная составляющая тензорной величины, приобретает дополнительный электрический момент, являющийся пространственновременной составляющей тон же тензорной величины:

N?П户:[叩]=六[卩咁(19,20)

Благодаря появлению р,эл. электрон получает дополнительное взаимодействие с электрическим полем ядра:

,К・=-(Е%.) = —2蔡 93).(19.21)

Это классическое выражение для энергии взаимодействия в два раза больше соответствующего квантового выражения [см. (19.19)]. Заметим, что еще до появления теории Дирака была сделана попытка объяснить тонкую структуру с помощью полу классического введения спин-орбитального взаимодействия. Однако, чтобы получить согласие с экспериментом, Томас и Я- И. Френкель предложили в классическом выражении для энергии взаимодействия (19.21) поставить коэффициент 】厶.Это взаимодействие, которое совершенно автоматически следует из теории Дирака, получило название поправки Томаса—— Френкеля 】)•

В частности для кулоновского поля ядра:

0» =乡，Е =察，е = —е°.(19.22)

Взаимодействие движущегося магнитного момента с ядром, согласно (19.19), становится равным:'

Vc.o.= .%(SL)(19 23)

V2偌丿

где S = y(/ — спиновый, a L = [гр] ―орбитальный моменты.

Заметим, что спин-орбитальное взаимодействие должно отсутствовать для s-состояния, у которого орбитальный момент обращается в нуль. Наконец, последний член взаимодействия, который в случае кулоновского поля равен ^:

(19.24)

носит название контактного взаимодействия. Соответствующая ему дополнительная энергия:

АЕконт. = \ ^ьуконт.ф №х,(19.25)

пропорциональная | 巫(0)卩,будет отлична от нуля лишь для s-состояния, поскольку только в этом случае, согласно (13.28а), I 巫(0) у 力 0. Для всех других же состояний (/ £ 0) этот квадрат волновой функции при 尸=0 обращается в нуль. В этом смысле контактный член можно рассматривать как спин-орбитальное взаимодействие для s-состояний. Таким образом, два последних члена в энергии взаимодействия (19.17) характеризуют спиновые свойства электрона.

Задача 19.1. Показать, что матрица са является оператором скорости и что в случае свободного движения а не является, в противоположность оператору импульса (р =——访v), интегралом движения. В чем должно проявляться это различие? Определить, в каком случае средние значения, вычисленные по формуле:

гг — ^ ф+саф dzx и т. д.,,

будут связаны между собой классическим соотношением:

и = М*(19.26)

Указание. Исходя из гамильтониана (17.21) можно определить оператор скорости:.

i =五(Нг —尸H) — са,

а также можно показать, что скорость не является интегралом движения, так как а/0. Это приводит к тому, что если с заданным 左 взять линейную комбинацию состояний как с положительной энергией [см. (18.53)], так и с отрицательной [см. (18.54)], то останутся интерференционные члены, зависящие от времени (^ e^lcKt\ благодаря чему теоремы Эренфеста в теории Дирака будут выполняться лишь в среднем. Интерференционные члены должны отсутствовать при вычислении среднего значения оператора импульса.

Соотношение (19.26) будет иметь место, если оставигь состояния лишь с положительной энергией (е — 1).

ТОНКАЯ СТРУКТУРА СПЕКТРА ВОДОРОДОПОДОБНОГОАТОМА

Постановка вопроса

Задача о движении электрона в водородоподобном атоме (проблема Кеплера) по праву считается пробным камнем любого варианта квантовой теории. Это связано с двумя основными причинами. С одной стороны, это исследование имеет большое методическое значение, поскольку поле кулоновских сил допускает точное решение; с другой стороны, полученные результаты можно с высокой степенью точности сравнить с экспериментом, например, со спектрами излучения атомов, наблюдаемыми методами оптической спектроскопии и радиоспектроскопии.

Решение задачи о движении электрона в кулоновском поле ядра (атом водорода) на основе уравнения Шредингера, проведенное в § 13, дает выражение для энергии:

= —安， (20.1)

хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Это выражение для энергии можно принять за нулевое приближение. Однако более детальное изучение спектров атомов показывает, что спектральные линии обладают тонкой структурой, которая, естественно, должна быть связана с мультиплетной структурой энергетических уровней. Теория Шредингера оказывается недостаточной для описания закономерностей в спектрах вследствие того, что она не учитывает по крайней мере двух важных факторов: релятивистской зависимости массы от скорости и спиновых свойств электрона. Оба эти фактора, как мы уже знаем, учитываются в теории Дирака, и поэтому применение уравнения Дирака в проблеме Кеплера дает результаты, хорошо описывающие мультиплетную структуру энергетических уровней.

Как было только что указано, решение проблемы Кеплера в теории Дирака можно произвести точно. Однако это решение в математическом отношении требует весьма громоздких выкладок (гораздо более сложных, чем по теории Шредингера, так как в данном случае мы будем иметь не одно, а четыре уравнения). Кроме того, за этими громоздкими выкладками не всегда удается уловить физический смысл полученных результатов, анализ которых для нас представляет основную ценность. Поэтому мы используем более элементарный метод решения, основанный на приближенных формулах предыдущего параграфа. Этот метод позволяет не только получить с точностью до членов порядка (子)

формулы, характеризующие тонкую структуру, но и дать интерпретацию отдельных членов как проявлений релятивистских или спиновых свойств электрона.

Учет релятивистских и спиновых эффектов

Как следует из § 18 [см. формулы (18.24) и (18.25)], волновая функция частицы, описываемой уравнением Дирака, с учетом спиновых свойств имеет вид:

史=此j僞 (20.2)

Здесь У，^——шаровой спинор, причем при / = / + ~^ спин параллелен орбитальному моменту, а при / = /——~ эти векторы будут антипараллельными, a Rnl ——радиальная часть волновой функции.

Хотя члены порядка (у/с/ в уравнении (20.2) формально и не учтены, связь между шаровыми функциями в шаровом спиноре, определяющем нулевое приближение волновой функции, устанавливается спин-орбитальным взаимодействием, имеющим порядок (峭г)

Поэтому шаровым спинором можно пользоваться, когда на атом не действуют еще какие-то внешние возмущающие силы, по порядку величины более интенсивные, чем спин-орбитальные. Иначе спин-орбитальная связь будет нарушена, и соотношение между шаровыми функциями должно быть установлено исходя из новой постановки задачи.

Шаровые спиноры, так же как и шаровые функции, удовлетворяют уравнению:

—窑； (20.3)

поэтому, учитывая равенство (11.17), для определения радиальной функции в (20.2) находим такое же уравнение, которое было установлено в нерелятивистской теории Шредингера:

V浓(黑2+讐 争一竺却)R就=0.

Волновая функция (20.2) полностью определяет правила отбора для всех квантовых чисел. Правила отбора для квантовых чисел /, / и т7 задаются формулой (18.39), а правила отбора для главного квантового числа и, очевидно, будут такими же,

В квантовой механике известны случаи, когда малая энергия возмущения позволяет установить соотношение между коэффициентами функции в нулевом приближении. С анало!ичным положением мы уже встречались при рассмотрении эффекта Штарка (см. § 14).

12 Квантовая механика

как и в теории Шредингера [см. (13.48в)], поскольку радиальную функцию мы оставляем без изменения. Учитывая все это, приходим к следующим правилам отбора в теории водородоподобного атома с учетом спиновых эффектов:.

A/ = ±l, Aj = O, ±1, ^mj — 0, ±1, Ли―любое целое число.

(20.4)

Что касается выражения для энергии, то мы не можем ограничиться в данной задаче ее нерелятивистским значением (20.1), так как последнее не определяет тонкой структуры энергетических уровней.

Зная же нулевое приближение волновой функции (20.2), а также дополнительную энергию взаимодействия, описывающую релятивистские [см. (19.18)] и спиновые [см. (19.23) и (19.24)] эффекты, можно найти соответствующие энергетические уровни, характеризующие мультиплетную структуру спектра.

Согласно формуле (19.18), релятивистская поправка к энергетическим уровням будет равна:

АЕрз. = _ f (叵⑺)+屮5 d^x.(20.5)

Поскольку в рассматриваемом случае:

(屮 S)+暴= (4W))+(E"卜争)，.(20.6)

мы видим, что это дополнительное взаимодействие не будет зависеть от сферических углов 8,屮，т. е. при интегрировании по телесному углу мы будем иметь:

§dQ("2)Y，2=l・§dQ("2)Y，2=l・(20.7)(20.7)

§dQ("2)Y，2=l・

§dQ("2)Y，2=l・

(20.7)

(20.7)

Тогда для дополнительной энергии, характеризующей релятивистские эффекты, получим:

(20.8)(20.8)А"e"， = -焉[(e/ 十 2比Ze:(厂]〉+ Z^〈厂〉]=_ A亢Z『 И 3)

(20.8)

(20.8)

где а =成三]^7-—постоянная тонкой структуры.

При выводе последней формулы мы воспользовались равен

ством (13.29а):

、/ —aQ п2 ~ 缁几2，

_ 2Az2叫

、2 -h； #（中/厂加什兀厂

Формула (20.8) точно совпадает с дополнительной релятивистской энергией, которая была вычислена в том же приближении при помощи релятивистского уравнения Клейна——Гордона [см. (15.31)].

Аналогичным способом с помощью формулы (19.23) найдем дополнительную энергию, обязанную спин-орбитальному взаимодействию:

3=認HSL)〈L〉. (20.9)

Воспользовавшись далее для 〈г~з〉выражением (13.29а):

' \aj 紋/(/+%)(/+1)

а для (SL) выражением (18,28):

(SL) = { 2夕(SL) = { 2夕при / 力 0, при / = 0,при / 力 0, при / = 0,

(SL) = { 2夕

(SL) = { 2夕

при / 力 0, при / = 0,

при / 力 0, при / = 0,

получим для энергии (20,9) следующее значение1):

ДЕс--°- = RHДЕс--°- = RH(20.10)(20.10)Z4a2 g(i—»o)讨/(/+%)(/+D'

ДЕс--°- = RH

ДЕс--°- = RH

(20.10)

(20.10)

В последних формулах:7 — / (/1) — / (/ + 1) — s (s 十 1)=В последних формулах:7 — / (/1) — / (/ + 1) — s (s 十 1)=а величина:а величина:0 при / W 0, 1 при / = 0.0 при / W 0, 1 при / = 0.一"1)一"1)при Jпри /при Jпри /1 ~2 1 -2 п1 ~2 1 -2 п(20.12)(20.12)

В последних формулах:

7 — / (/1) — / (/ + 1) — s (s 十 1)=

В последних формулах:

7 — / (/1) — / (/ + 1) — s (s 十 1)=

а величина:

а величина:

0 при / W 0, 1 при / = 0.

0 при / W 0, 1 при / = 0.

一"1)

一"1)

при J

при /

при J

при /

1 ~2 1 -2 п

1 ~2 1 -2 п

(20.12)

(20.12)

Наконец, для энергии, соответствующей контактному взаимодействию, согласно (19.24) получаем:

2。"・5辘1w(0)f，

где 2(0)户=怨上(0/£4么(20.13)

Принимая далее во внимание выражение для:

[см. (13,28а), а также, что ；У]疗=；^ при / = 0 и j= * находим:、

з(。)卩=架守，(2。」4)

т. е.

AE-m = R% 等 ％」).(20.15)

Отсюда для дополнительной энергии, в которой учтены релятивистские эффекты, а также спин-орбитальные и контактные взаимодействия, получаем следующее выражение:

-几5川-几5川ДЕ = Afpe工十 А£с.р 一卜 д^конт.=空 г 九qn а г。)

-几5川

-几5川

E/ + %— 4 """W+WTi)

Подставляя сюда значение q из (20.11), имеем):

(20.16)(20.16)

(20.16)

(20.16)

Поэтому, суммируя оба результата (20.1) и (20.16), получаем

формулу тонкой структуры спектра водородоподобного атома):

Enj ^^ 七^ + 'eе =Enj ^^ 七^ + 'eе =华"1一部（2。•⑺V +至力华"1一部（2。•⑺V +至力

Enj ^^ 七^ + 'eе =

Enj ^^ 七^ + 'eе =

华"1一部（2。•⑺V +至力

华"1一部（2。•⑺V +至力

^nj~ 加о，"^nj~ 加о，"+ w==^ "一加炉.(20.17a)+ w==^ "一加炉.(20.17a)

^nj~ 加о，"

^nj~ 加о，"

+ w==^ "一加炉.(20.17a)

+ w==^ "一加炉.(20.17a)

Отсюда видно, что расщепление уровней пропорционально квадрату постоянной тонкой структуры.

в. Исследование тонкой структуры по теории Дирака

С учетом тонкой структуры положение энергетических уров

ней атома водорода оказывается зависящим также от внутреннего квантового числа /. Поэтому термы будем обозначать сле

дующим образом:

(20.18)(20.18)，—零=胃7小刃・

(20.18)

(20.18)

Из этой формулы видно, что тонкая структура по теории Дирака зависит лишь от главного квантового числа п и внутреннего квантового числа /. От орбитального же квантового числа /, в противоположность бесспиновой теории Клейна—Гордона, тонкая структура уровней не зависит. Из приведенной на фиг. 20.1 схемы видно, что все термы являются двукратно расщепленными, так как каждому значению / соответствуют два значения /; например, вместо одного терма 2/?(/=1) имеем теперь два терма 2pi/2 и 2.3/“ Исключение представляют s-термы (/ = 0), для которых j может принимать лишь одно значение " = £]. Таким об-

Формула (20.17) может быть получена из (20.17а), если последнюю разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами.

Поскольку минимальное значение / = ~, мы наедем, что устойчивое движение в кулоновском поле точечного ядра будет, согласно теории Дирака, простираться до ZKp, = 137, в то время как в теории Клейна—Гордона оно было ограничено ZKp.==~. 137 [см. (15.33)]. Такое увеличение ZKp. связано с тем обстоятельством, что спиновые эффекты, как было уже отмечено, несколько компенсируют релятивистские.

разом, учет релятивистских и спиновых эффектов несколько понижает, но не расщепляет s-термы (см. фиг. 20.1).

E/h=o3"勿—'ЗРз/2>Зс!з/23S$/2i Bp*/?"' 2P3/2 ,/勿2Фиг. 20.1. Схема энергетических уровней атома водорода.E/h=o3"勿—'ЗРз/2>Зс!з/23S$/2i Bp*/?"' 2P3/2 ,/勿2Фиг. 20.1. Схема энергетических уровней атома водорода.Заметим, что благодаря расщеплению энергетических уровней кратность вырождения несколько изменяется. В самом деле, главное квантовое число может принимать следующие значения: 〃=1, 2, 3, 4,... . Орбитальное квантовое число / изменяется в пределах от / = 0 (s-состояние) до п ——1. Внутреннее квантовое число / принимает значения j = l±~ (/V 0) и / = ^- (/ = 0) и, наконец, магнитное квантовое число т7 = — /, ... , +j, т. е. при заданном j оно принимает 2/十 1 полуцелых значений. Таким образом, кратность вырождения, характерная для любого центрального поля, связанная с равноправностью различных направлений, для частиц спина равняется 2/+ 1 (напомним, что для бесспиновых частиц она равнялась 2/ Ц- 1). Кроме того, в случае кулоновского поля остается еще специфическое вырождение по / (так как энергия от I не зависит). Поскольку при заданном j квантовое число / может принимать два значения / = =j ± то полная кратность вырождения в кулоновском поле будет рав

E/h=o

3"勿

—'ЗРз/2>Зс!з/2

3S$/2i Bp*/?

"' 2P3/2 ,

/勿2

Фиг. 20.1. Схема энергетических уровней атома водорода.

E/h=o

3"勿

—'ЗРз/2>Зс!з/2

3S$/2i Bp*/?

"' 2P3/2 ,

/勿2

Фиг. 20.1. Схема энергетических уровней атома водорода.

на 2 (2j + 1)・ Исключением является состояние с максимальным значением ] = п — поскольку I в этом случае может принимать

лишь одно значение / = /——у (напомним, что состояние z 1 = п запрещено). Для него кратность вырождения будет равна 2/十 1. Заметим, что любое нарушение кулоновского поля точечного заряда (учет конечности размеров ядра, учет вакуумных поправок, который будет рассмотрен в § 21) полностью снимает вырождение по /.

При определении величины расщепления спектральных линий необходимо учесть правила отбора (20.4). Тогда вместо одной линии серии Лаймана будем иметь две:

⑴⑴=(1Si/2)(/lpi/2),

(линия слабой интенсивности, так как Ду = 0),

心2)=(瓜小_ (叩8/J(20.19)

Для линий серии Бальмера будем иметь следующие расщепления: o)()= (2si/2) —(пр1/2), 3(2)=QSi/J—曲/，， 3(3) = Qpi/J—(吟2),

3(4)= (2川/2)一(風耽)，(20.20)

3(5) =(2曲()一3%), w(e)= (2p3/2) — (nd3/2), 3(7) =(2Р*) 一(九或%)，

и, наконец, линия (2р1/2)——(nds/2) будет отсутствовать, так как в этом случае А/ = 2 (запрещенный переход).

Заметим, что если вырождение по / не снято, то линии ⑴。)и ⑴。)(а также ⑴偉)и 0)(幻)будут совпадать друг с другом, поскольку начальный и конечный уровни имеют одно и то же значение для главного п и внутреннего / квантовых чисел. Аналогичным способом можно определить закон расщепления для других линий. При этом низшим энергетическим уровнем, претерпевающим расщепление, является уровень м = 2. В случае атома водорода (Z=l) расщепление этого уровня наиболее тщательно изучалось экспериментально. Вообще говоря, уровень п = 2 должен расщепляться на три, причем, согласно изложенной здесь теории, два из этих уровней оказываются слившимися:

(2s%) = (2p%) = $[l +貝2—争], (20/J=射1+里1 -4)|.(20.21)

Отсюда для частоты переходов между этими уровнями, согласно теории Дирака, находим:

狐工=(2卩/J — (2%) = R 患，(20.22)

что составляет 1,095- 104 Мг^1).

В то же время с учетом лишь релятивистских эффектов (уравнение Клейна——Гордона) соответствующее расщепление равно [см. (15.32)]:о па2

Аа)к.-г. =(2s) — (2р) J ^ >(20.23)

т. е. почти в три раза больше расщепления, найденного по теории Дирака. Таким образом, учет спиновых свойств частиц несколько уменьшает влияние релятивистских эффектов.

Эксперимент с большой точностью подтвердил правильность выводов теории Дирака.

В связи с этим интересно отметить, что тонкая структура спектра атома водорода теоретически впервые была рассчитана Зоммерфельдом по классической теории Бора, причем в основу теории было положено релятивистское выражение для гамильтониана, Зоммерфельд получил [см. (2.61)] для бесспиновой релятивистской теории выражение (20.22):

А" 戸。m". =(2s) (2p)=常. (20.24)

Однако такое совпадение этого результата Зоммерфельда с выводом теории Дирака оказалось до некоторой степени случайным, поскольку в теории Зоммерфельда не были учтены спиновые эффекты, и поэтому с помощью его теории невозможно было предсказать существование при 几=2 трех уровней, наличие которых затем было подтверждено экспериментально.

Экспериментальная проверка теории тонкой структуры

Большим достижением теории Дирака является объяснение в хорошем согласии с экспериментом тонкой структуры атомных спектров, как результата проявления релятивистских и спиновых эффектов. Однако более тщательные исследования не давали убедительных данных о полном согласии теории и опыта. Предметом специальных исследований явился вопрос об уровнях 2si/2 и 2р1/2, которые согласно теории Дирака [см. (20.21)] в атоме водорода должны точно совпадать друг с другом. Уже примерно в 1934 г. спектроскописты высказывали сомнение в правильности этого теоретического заключения; но так как опыты не позволяли повысить точность измерений, а обнаруженное ими оптическим методом расхождение с теорией, т. е. расщепление этих уровней, было весьма незначительным, на это обстоятельство не было обращено особого внимания. Полная достоверность в экспериментальных данных относительно указанного расщепления была достигнута значительно позднее после применения наряду с оптическими также и радиоспектроскопических методов исследования.

Радиоспектроскопический метод возник и получил бурное развитие в послевоенные годы в результате технического прогресса в микроволновой радиотехнике ^. Радиоспектроскопия, выделив-

Поц микроволновым свсрхвысокочастотным радиоизлучением понимают область электромагнитного спектра, заключенную между длинами волн от миллиметра цо десятков сантиметров (10е — 103 Мгц). Успех радиоспектроскопии в применении к исследованию спектров атомов связан с тем обстоятельством, что расстояния между компонентами уровней, расщепленных благодаря релятивистским, спиновым и вакуумным эффектам, соответствуют длинам волн радиочастотного диапазона.

шаяся сейчас в особую область физики, дает ценные результаты при исследовании ядер, атомов и молекул. Радиоспектроскопические методы находят приложение также в физике твердых и

жидких тел и др.

В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд применили радиоспектроскопи

ческий метод к исследованию положения уровней 2si/2 и 2pi/v

При ЭТОМ ОНИ воспользовались особым СВОЙСТВОМ 251/.)-СОСТОЯНИЯ.

Это состояние является реход из него в нижнее состояние lsi/2 запрещен правилами отбора, поскольку в этом случае А/ = 0, а для разрешенных переходов А/ = ±1 [см. формулу (20.4)] 1).

Переход из метаста- бильного состояния возможен или с испусканием двух фотонов (вероятность такого перехода уменьшается по

метастабильньш, т. е. дипольный пе-метастабильньш, т. е. дипольный пе-Ф и г. 20.2. Схема опытов Лэмба — Ризерфорда по экспериментальному обнаружению расщепления уровней 2§1/ и %〃*：Ф и г. 20.2. Схема опытов Лэмба — Ризерфорда по экспериментальному обнаружению расщепления уровней 2§1/ и %〃*：сравнению с разрешенным переходом в 10s раз), или с предвари-сравнению с разрешенным переходом в 10s раз), или с предвари-/ — вольфрамовая печь, испускающая пучок атомов водорода; 2 — поток электронов, возбуждающих атомы водорода; 3 — радиочастотное поле; 4 — мишень； 5 — гальванометр.

метастабильньш, т. е. дипольный пе-

метастабильньш, т. е. дипольный пе-

Ф и г. 20.2. Схема опытов Лэмба — Ризерфорда по экспериментальному обнаружению расщепления уровней 2§1/ и %〃*：

Ф и г. 20.2. Схема опытов Лэмба — Ризерфорда по экспериментальному обнаружению расщепления уровней 2§1/ и %〃*：

сравнению с разрешенным переходом в 10s раз), или с предвари-

сравнению с разрешенным переходом в 10s раз), или с предвари-

тельным переходом на

уровни 2р. Лэмб и Ризерфорд поставили своей целью исследовать последний способ перехода.

Опишем в общих чертах схему их опыта (см. фиг. 20.2). Пучок атомов в невозбужденном к1/2-состоянии получается в результате диссоциации молекулярного водорода при высокой температуре (вольфрамовая печь). Бомбардирующий поток электронов возбуждает далее некоторую часть атомов пучка (примерно один из ста миллионов) до метастабильного состояния 2sf/3. Метаста^ бильные атомы, в противоположность невозбужденным, при попа

дании на металлическую мишень легко отдают свою энергию возбуждения, вырывая электроны из металла. Электронный ток измерялся чувствительным гальванометром.

Если пучок метастабильных атомов подвергнуть воздействию возмущения, которое вызывает переходы 2sf 2р, то в этом случае атомы практически мгновенно вслед за этим переходят в lsi/2-co-

1) Это справедливо для дипольного перехода, однако расчет показывает, что между состояниями Is】％ и 2s% запрещен также и квадрупольный переход.

стояние, не успевая достигнуть мишени, в результате чего ток в гальванометре уменьшается.

^Рд/2^Рд/2Ns，?Ns，?термов втермов ватоме водорода:атоме водорода:ii10581058Такие переходы в опыте Лэмба и Ризерфорда индуцировались радиочастотным излучением (вероятность соответствующего спонтанного перехода, пропорциональная о?, исчезающе мала вследствие малости ①)，причем при некоторой частоте наблюдается сильное гасящее действие, в результате которого ток на мишень прекращается. Эта частота ① истолковывается как резонансная, вызывающая вынужденные переходы 2si/2f 2P1% или 2si/3-^2p.j/2 с последующим практически мгновенным переходом на уровень lsi/2; энергия 力① соответствует разности энергий между этими состоя-

^Рд/2

^Рд/2

Ns，?

Ns，?

термов в

термов в

атоме водорода:

атоме водорода:

i

i

1058

1058

а

Фиг. 20.3. Расщепление

а — экспериментальные данные; 6 — по теории Дирака (безучета вакуумных эффектов). Частоты соответствующих перехо-дов указаны в мегагерцах.

ниями. Таким образом, открывается возможность весьма точного измерения относительного положения уровней:

2si/2, 2р% и 2рз//).

В результате проведенных измерений было установлено, что уровень 2s1/纟 сдвинут вверх относительно уровня 2pi/3 примерно на 7ю часть расстояния между уровнями дублета (2pi/J ——(2рз%) равного 而 R. Расположение уровней водородоподобного атома при /г = 2, полученное на основе опытов Лэмба и Ризерфорда, приведено на фиг. 20.3. Для сравнения там же приведено расположение тех же уровней по теории Дирака. Расстояния между уровнями даны в мегагерцах. Согласно новейшим данным сдвиг

1) В опытах Лэмба и Ризерфорда фиксировалась волна радиочастотного излечения, а условие резонанса, которое соответствовало разности зеемановских компонент между состояниями 261/纟 и 2P“& или 2/?3/,(, подбиралось путем изменения магнитного поля ^Г・ Затем, экстраполируя результаты на случай = 0, авторы находили сдвиг уровня.

уровня 2si/2 составляет примерно 1057,77 Мгц, или в длинах волн 〜28 см.

Это, казалось бы, ничтожное расхождение теории и эксперимента привело к замечательному прогрессу в теоретической физике, и, в частности, в квантовой электродинамике. Этот вопрос будет рассмотрен более подробно в § 22.

Аномальный эффект Зеемана

Полная теория эффекта Зеемана как аномального, так и нормального может быть построена только на основе теории Дирака, в которой учитываются не только релятивистские, но и спиновые эффекты.

Это связано с тем обстоятельством, что аномальный эффект Зеемана обусловлен спиновыми свойствами атома и поэтому, естественно, ни классическая теория, ни волновая механика Шредингера не могли его удовлетворительно объяснить.

В основу теории положим приближенное уравнение Дирака (19.17), в котором с точностью до членов 号)учтены эти эффекты. Пусть магнитное поле направлено по оси z, т. е. Нх = —Яу = 0, 〃z = "^ Тогда, учитывая, что, согласно (16.16),

薪^設十蒜(4Р)=嶽—如》急 (2°-25)

приводим уравнение (19.17), описывающее движение электрона в кулоновом поле ядра, к виду:

(Е十卓 _薪)(霜= (Kf 十 Ксе 卜仆°нт.十 умат)3；), (20.26)

где уре『 Ус--°- и Уконт- определяются соответственно формулами (19.18), (19.23) и (19.24) и при своем усреднении:'

^Enj =,(幻覺)(У ре“.十 ус.-о.十 у КОНТ.) (；［ d 此 (20.27)

дают формулу тонкой структуры (20.16), т. е.】)