Глава 2. Одномерное движение ・••・《.•••■

Стационарные состояния дискретного спектра • § 2. Состояния непрерывного спектра. Прохождение иерез потенциальные барьеры

Глава 3. Момент импульса • ■••••・・•・•

Общие свойства момента .・・•・••・・•

Момент £ = 1 . Ф . .

Сложение моментов

Тензорный формализм в теории момента • •.

Глава 4. Движение в центральном поле ・・•••・ § 1. Системы с аксиальной симметрией § 2. Состояния дискретного спектра в центральных полях

Глава 5. Спин

§ 1. Формализм спина s = %

§ 2 Пространственные состояния частицы со спином

Глава 6. Движение в магнитном поле

§ 1. Бесспиновая заряженная частица в магнитном поле

§ 2・ Частица со слипом в магнитном поле . . •.

§ 3. Магнитное поле орбитальных токов н спинового магнитного момента •・・•

Глава 7. Изменение состояния во времени .・・.• § 1. Бесспиновые частицы § 2 Частицы со спином

9 9

и

53

535358

Решения

126

(126)

(130)

(138)

144

(144)

(167)

181

(⑻) (189)

(194)

(204)

208

(208)

(220)

240

(240) (253)

258

(258)

(271)

(275)

(280)

Задачи Pc me пил

Глава 8. Теория возмущений. Внезапные н адиабатические воздействия

§ L Стационарная теория возмущений . • • • •

Нестационарная теория возмущении, Переходь в непрерывном спектре

Внезапные воздействия * - •

Адиабатическое приближение

Глава 9. Квазиклассическое приближение ■ ■ • •

Квантование энергетических уровней. Квазиклас сические волновые функции

Прохождение через потенциальные барьеры .

Глава 10. Тождественность частиц ••■••・••

Симметрия волновых функций

Основы 4)orm勲изма цториуиси'о ^квантованин •

Системы из большого чцела N》i частиц ..

Глава 11. Атомы и молекулы

Стационарные состоянии атомов с одним и двум электронами

Д1ногоэлектрочные атомы* •

§ 3・ Основные представления теории молекул •.

§ 4, Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимо действие атомов и молекул ・•

Нестационарные явления в атомах и молекулах

Глава 12. Атомное ядро • • •-

Основные представления о ядерных снлах・ Дей трои

Модель оболочек

Глава 13. Теория столкновений .

Борновское ,прлб»чиа<ецие

Фазовая теория рассеян 1гя. Рассеяние медленных частиц. Резонансные явления при рассеянии .

Рассеяние быстрых частиц (приближение эйко нала). Рассеяние частиц со спином ...-

Рассеяние составных частиц. Неупругие столк говения ・ № ...-

а в а л

12

§§

14. Квантовал теория излучения •・•♦・•

Излучение фотонов •

Рассеяние фотонов. Излучение фотонов npi столкновениях

Глава 15. Релятивистские волновые уравнения • • •

Уравнение Клейна — Гордоиа

Уравнение Дирака

Глава 16. Законы сохранекня ••••••・•・■

Кинематика распадов и столкновений • • •

Интегралы движения

Сохранение момента и четности в распадах столкновениях. Изотопические соотношения • • Дополнение

Литература • . . • • *

6060^^^69697274747679808083858892949497()0()00305070909Н12121Б181820224748

1 1 1 1 —11 1 111 111 1 & &

9 9 о о

3 3

^я^^* 3

253540

%J VJ*\7 2 2 10 8 9 о 3 3 4

476

ПРИНЯТЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

у. ш. — уравнение Шредингера в. ф. — волновая функция с. ф. — собственная функция с. з. — собственное зпачснке

Д. с. — дискретный спектр

с п. и —система центра инерции

"—сггмвол оператора (матрицы), оддако над оператором умно冰еннн ои, как правило, не ставится

s —знак пропорциональности

〜一знак порядка величины

-"|g三力也三雷三\封"整-"|g三力也三雷三\封"整dx — матричный элемент оператораdx — матричный элемент оператора

-"|g三力也三雷三\封"整

-"|g三力也三雷三\封"整

dx — матричный элемент оператора

dx — матричный элемент оператора

НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в решении каждой задачи. Одпако имеется ряд величии, встречающихся во многих задачах, для которых мы старались придерживаться стандартных обозначений. Обозначения таких величин во всех случаях, когда зю не может привести к недоразумениям^ 口 тексте зе поясняются.

里F (。)— при записи волновой функции, как правило, q обозначает со

вокупность переменных используемого представления, a f — собственные значения соответствующих физических величин или квантовые числа рассматриваемого состояния

?；с“— с. ф. линейного осциллятора

е c《//£gAl/《vdе c《//£gAl/《vd—заряд частицы )

е c《//£gAl/《vd

е c《//£gAl/《vd

—скорость света — гамильтониан —энергия

3L — напряженности элеюрического н магнитного полей

—векторный потенциал

— потенциальная энергия

— оператор возмущения

—дипольный момент

a。— боровский радиус

也一фазовый сдвиг

единицу вре-единицу вре-6— матрицы Паулн

единицу вре-

единицу вре-

w> W— вероятность перехода, вероятность перехода б

мени

Z, Ze— заряд ядра

我—радиус потенциала

/п, М — масса, магнитное квантовое число

>х一масса, магнитныймомент

р, Р—импульс

к—волновойвектор

Я—массовоечисло ядра

е—частота

/, L, /, / — момент (орбитальный и полный) s, S— спип

Jv (а)—ФзпжцияБесселя

Нп (х)—полиномЭрмита

Уцп (0, ф) — шароваяфункция

ПОСТОЯННЫЕ

Решение значительного числа задач по физике атома, молекз5H и ядра предполагает проведение численных расчетов для Сравнения результата решения с экспериментальными данными (приводимыми в условиях задач). Для удобства вычислений ниже приведены численные значения основных физических величин ).

Постоянная Планка й = 1,054-Ю-27 эрг-с

Элементарный заряд е = 4,80-IO~10 ед. СГСЭ

Масса электрона пге = 9.11-I0-28 г

Скорость света с — 3,00-1010 см/с

Боровский радиус (ат, ед. длины) а。= 0,53-10-8 см

Атомная единица энергии 吸〃/九②=4,36」0一" эрг = 27,2 эВ

Атомная единица частоты 叫屛焦？ = 4,13-Ю16 с-1

Атомная единица напряженности электрического поля е/а]=5.14,10й В/см

Постоянная тонкой структуры сс = е2/^с = 1/137

Масса протона nip = 183&& = 1,67-10-24 г

Разность масс нейтрона и протона тп — тр 号 2,5me

Энергия покоя электрона 恨炉=0,51 МэВ

Радиус ядра R п 1,2-10~13 Ах^ см

эВ = 1,60> 10~12 эрг

ЗАДАЧИ

Глава 1

ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

§ L Основные понятия теории линейных операторов

Рассмотреть следующие операторы (—с© <С jc <； -j- 00)1

отражения 7: 7Т (%，田 W (—х)；

сдвига ?0: faЧг(x)^，卜+ а)';

изменения масштаба 爪：府。中(％) = V^ 'Г (с%), с > 0;

а) комплексного сопряжения К: KW(%) w 屮•(％).

Являются ли эти операторы линейными?

Найти вид операторов, которые по отношению к указанным являются： транспонированными, комплексно сопряженными, эрмитово сопряжеииыми, обратными.

Для указанных ниже операторов найти операторы, ко- торые по отношению к ним являются транспонированными, комплексно сопряженными, эрмитово сопряженными:

id/dxt —00 V х 之-}-со;

id/dr. г — радиальная переменная сф叩идескоЛ системы координат (0 W г V оо).

Для произвольного линейного оператора £ 】)показать следующее:

(£+)+ = £;

операторы £+£ и ££+ являются эрмитовыми.

операторы £十£+ н /(£ — £+) эрмитовы.

Показать, что если оператор С эрмитов, то оператор G — ACA+ также является эрмитовым.

Показать, что произвольный оператор 户 можно предста- внтъ в виде 戶=追 + 疋，где Л н Ё — эрмитовы операторы.

Показать, что если операторы А и S эрмитовы, то опера- т°ры 月以 + 月Д' и i®以一SA) также эрмитовы.

I) В дальнейшем все рассматриваемые операторы предполагаются линей- ннмн и термин «линейный» для краткости опускается.

Оператор F неэрмнтов. В каком случае оператор F2 является эрмитовым?

Показать, что при алгебраических действиях с коммутаторами справедлив закон дистрибутивности, т. е. что коммутатор суммы равен сумме коммутаторов: ^ 4, £ 瓦]=&【％,瓦].

Даны три оператора： А, В,。Выразить коммутатор произведения 力В н С через коммутаторы [Л, С] и [В, С].

Доказать тождество Якобн для коммутаторов операторов А, В, С:

[丸広,С]] + [友® Л]] + [С, [Д В]] = 0.

Могут ли две матрицы Р, Q конечного ранга»' удовлетворять коммутационному соотношению [Р, ^]=—i j?

Оператор F вида F = F(f), где F(z) — некоторая функция переменной z, представимая в виде ряда ^ (г) = 52 cnzn, можно понимать как оператор, равный 户=£ cjn.

Используя это определение, найти явный вид следующих операторов:

а) ехр (ш/); б) 3 = ехр(а 去)

'(оператор 7 определен в 1.1). В связи с данной задачей см. также 1.51.

Предполагая X малой величиной, найти разложение оператора (Л —入2)т по степеням X.

Доказать следующее соотношение:

Д§е-а=》+ Е 闻+ g[4[4 即+ ...

В общем случае линейный оператор £ можно рассматривать как линейный интегральный оператор, т. е.

6(e=Z屮因=，丄& y)屮(Г)留，

где L (Е, У) — ядро оператора £ (Е — совокупность переменных используемого представления).

Как ядра операторов £*,工 £+ связаны с ядром 丄(自.g) оператора £? Найти ядра операторов 7, Мс, 2, £ 三 к,户三一ihd/dxt Операторы 7,励小 Те определены в 1.1.

Ядро L(”, х') оператора £ является функцией вида:

а)丄=?(% + *); 6) L =J(x — x')\ в) L = f(x)g(xr).

Какие ограничения на функции f(x) н g(%) вытекают нз эр- митовостн оператора £?

Какой вид имеет ядро Е(х, к') оператора £, если этот оператор коммутирует с оператором:

а) координаты £ wx； 6) импульса р = —/Ы/dx?

Показать, что ойёратор 戶，коммутирующий с оператора* ми £ п / (в одномерном случае), кратен единичному, т. е.启= 口 Fo = const.

§ 2. Собственные функции, собственные значения, средние

В состоянии, описываемом волновой функцией вида屮(/) = сeхр深-气注］,

где po, %o,。——вещественные параметры, иайти функцию распре* деления по координатам частицы. Определить средние значений и флуктуации координаты и импульса частицы.

1-20. Волновая функция состояния частицы имеет вид

屮(%)= С ехр (力 ох伍)<р (х),

<Р(х)—вещественная функция. Показать, что р0*~ средний мм， пульс частицы в рассматриваемом состоянии.

Показать, что среднее значение дипольного момента системы заряженных частиц в состоянии, характеризующемся определенной четностью, равно нулю.

Показать, что средине значения эрмитовых операторов £+£ и ££+ (£ ——некоторый линейный оператор) в произвольном состоянии неотрицательны.

Показать, что собственные значения оператора квадрата любой физической величины неотрицательны.

Эрмитов оператор / удовлетворяет соотношению 产=с/, где с — некоторое вещественное число. Каковы собственные значения такого оператора?

Найти собственные функции и собственные значения физической величины, представляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и координаты: f = сер + 0£. Убедиться в ортогон альности полученных функций и иормиро- ватъ их соответствующим образом. Рассмотреть предельные случаи: a —U; ?—°・

Найти собственные значения и собственные функции эрмитова оператора F, ядро которого имеет вид 尸(％,/) = =f (?)/*(*')• Какова кратность вырождения собственных зна* чений этого оператора?

1*27. Эрмитов оператор (матрица) f имеет N различных соб* ственных значений. Показать, что оператор 严 линейно выра- жается через операторы 工力…，产Т В качестве примера рассмотреть оператор отражения (инверсии) 7.

Эрмитов оператор /(1), обладающий дискретным спектром собственных зиаченйй, зависит от некоторого параметра 九

Доказать соотношение

姉⑴孤

в котором индекс п нумерует собственные значения, а усреднение в правой части равенства проводится по состоянию 屮《)*)• . ■.

【.29. Эрмитовы операторы А, в, £ удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям： [А, £] = О, [В, Z] «= О, [А, В] * 0. Показать, что средн собственных значений оператора Е обязательно есть вырожденные.

Коммутатор операторов 遂 м 启 двух физических величин имеет вид [А, 5] = jC (б — эрмитов оператор). Доказать справедливость соотношения неопределенности

一一一2(一一可》d%,

где все средние значения, входящие в приведенное выражение, относятся к одному н тому же, произвольному состоянию системы.

Рассмотреть, в частности, операторы 戈 н р и иайти для этого случая явный вид волновых функций состояний частицы, в которых произведение неопределенностей принимает минимальное значение.

1^1. В состоянии кваитовомехаиической системы, описываемом волновой функцией 联，физическая величина А имеет определенное значеине. Имеет ли в этом состояини определенное значение также н величина В в случаях, если операторы А и Я:

а) не коммутируют; 6) коммутируют?

Показать, что операторы компонент радиус а-вектор а г и импульса р частицы антикоммутируют с оператором отражения Г, а операторы компонент момента L коммутируют с 7.

В состоянии, описываемом волновой функцией Тсь, физические величины Л и В имеют определенные значения. Что можно сказать о собственных значениях о, Ь этих величии, если операторы А и 5 антикоммутируют друг с другом? В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть операторы £н Г.

Как известно, эрмитовы операторы (точнее, самосопря- женные) обладают следующими свойствами: собственные значения таких операторов — вещественные числа; собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортого-

нальны и образуют полную систему. Если же линейный оператор не является эрмитовым, то его собственные значения и собственные функции могут обладать самыми различными свойствами. Следующие инже примеры, в которых требуется найти собственные значения н собственные функции указанных неэрмитовых операторов и выяснить нх свойства, иллюстрируют эти различные возможности： "

а) % — d/dx; б) % + d/dx; в) 6а) % — d/dx; б) % + d/dx; в) 62)『С)2)『С)

а) % — d/dx; б) % + d/dx; в) 6

а) % — d/dx; б) % + d/dx; в) 6

2)『С)

2)『С)

Проекционным оператором Р(「), проектирующим на состояния с определенным значеинем 力 физической величины £ называют линейный оператор, действие которого на функций 中％ состоит в следующем:

户(/,)%=%』产户(/,)%=%』产f严%f严%

户(/,)%=%』产

户(/,)%=%』产

f严%

f严%

Показать, что оператор Р (厶)обладает свойствами:

》P(fD — зрмнтов оператор; б) Р2(^) «= Р(^),

Люжно также говорить о проекционных операторах P({f}) проектирующих на со стони ня, в которых физическая величина f имеет не одно определенное значение Д, а принимает какое-либо значение нз некоторого набора ⑴二亿,，九，При этом сохраняются указанные выше ^свойств а проекционных операторов, В часпюсти, оператор Р = 1 —户(/金)также является проекцион- ны吹 На какие состояния проектирует этот оператор?

0TMeтнм, что понятие проекционного оператора очевидным образом может быть обобщено на случай, когда в роли f/ выступает совокупность физических величин, составляющих часть полного набора (или весь полный набор).

Какой физический смысл имеет среднее значение проекционного оператора Р 仏)в произвольном состоянии, описываемом волновой фх^нкцией ф?

Найтн оператор, проектирующий на состояния, в кото- ры[ координата частицы удовлетворяет условию х ^ О.

Найти проекционные операторы Р±, проектирующие на четные % н нечетные 户—относительно инверсии координат состояния частицы.

L39 主)казать, что эрмитов оператор F, рассмотренный в задаче 1.26, умножением на некоторую постоянную величину с может быть превращен в проекционный оператор：戸=сА На какое состояние проектирует оператор Р?

wJf"戶曾叱т°в оператор / имеет N различных собственных ачении. Найт и вид нроекциошюго оператора Р (力)на состоя- ния с заданным значением 厶 величины f..

§ 3. Элементы теории представлений. Унитарные преобразования

Написать нормированные соответствующим образом собственные функции радиуса-вектора %。и импульса 4f& в г- н в р-представлениях.

Найтн в импульсном представлении волновую функцию состояния частицы, рассмотренного в 1.19.

По заданной волновой функции ^ (х, у, z) вычислить вероятность нахождения частицы в интервалах значений z от z( ДО Z2 Н pg ——от pl ДО р2.

Найти вид операторов отражения 7 н сдвига ?с в импульсном представлении.

Показать, что при переходе от координатного представления к импульсному четность волновой функции относительно ее (соответствующего) аргумента остается неизменной.

Как известно, произвольный линейный оператор в общем случае является интегральным оператором. Установить соотношение между £ (х, Z) и L (р, р') — ядрами одного и того же оператора £ в х- и р-предста в лен иях.

Найтн вид операторов г"1 н г~2 в импульсном представлении. Проверить равенство 尸^二尸广乙

Даны два эрмитовых оператора А и S. Указать связь между собственными функциями оператора А в В-представле- нии и собственными функциями оператора Е в А - представлении. В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть операторы £ н 0.

Обозначим через 4fz 三 9% нормированные соответствующим образом волновые функции полного набора К. Выразить через матричные элементы f^^^ произвольного оператора f:

результат действия оператора f на функции 屮。

результат действия оператора f на волновую функцию произвольного состояния в Х-представлении.

Сравнить полученные результаты.

Каков вид проекционного оператора ^(fi) на состояние с определенным значением fi физической величины f в f-лредставленин?

Какой смысл можно придать оператору F видз 户= = F(f), где 户(2)——произвольная функция переменной z, / — эрмитов оператор? Насколько существенно предположение об эрмнтовости /? В качестве примера рассмотреть on叩атор 1/〃一 А, где Д — лапласиан.

Показать, что если функция F(z) представима в виде ряда 尸(z) = X 02”， то оператор F, введенный в этой задаче, совпадает с оператором F из 1.12.

Найти внд оператора F = F(f), где / ——эрмитов оператор, F(2)— произвольная функция, в случае, когда оператор / имеет ^ различных собственных значений. Рассмотреть, в частности, случаи ^^2 и N = 3, причем в последнем считать спектр собственных значений состоящим из величин О, ±/о-

Найти явный вид оператора /* = F(P)f где 尸(？)——заданная функция, Р — некоторый проекционный оператор.

Какие из операторов, рассмотренных в 1.1 и L2, яв> ляются унитарными?

Унитарный оператор удовлетворяет уравнению 0?= о. Найти явный вид этого оператора.

Оператор О — унитарный. В каком случае оператор °' = сО, где с — некоторое число, также является унитарным оператором?

Показать, что произведение D1& двух унитарных операторов является унитарным оператором.

Может 月н унитарный оператор (матрица) являться одновременно н эрмитовым? В качестве примера рассмотреть оператор инверсии 7.

・59. Показать, что оператор вида О = ехр (炉)является унитарным, если 戶一эрмитов оператор.~

Показать, что если Л н В — коммутирующие друг с другом эрмитовы операторы, то оператор

0=彳士声

A-IB

является унитарным. Представить в указанном виде унитарный оператор 0 = exp(J) (см. 1.59).

Показать, что при унитарных преобразованиях операторов ^ ~ СА0+ алгебраические соотношения между операторами вида “

F(^i)^ ^оЧ" 22 ci^i 4- 52 CikAiAk -]-…=0iЛ ft

сохраняют свой внд, т. е. F (々) = 0.

Квадратные матрицы 支 н 才,одного ранга связанн унитарным преобразованием Af = ОАО+. Показать, что шп^фы и детерминанты этих матриц — одинаковые.

Чем примечателен детерминант унитарной матрицы? Показать, что, используя преобразование унитарной матрицы внда 0'= с。, рассмот|)«1йюго б 1.56, унитарную матрицу можно сделать уннмсдулярно% т. е. det О'=工

Найти детерм-инант унитарной матрицы вида 0 = и exp (if). где F — эрмитова матрица.

Сколько имеется независимых квадратных матриц ранга М которые являются: а) эрмитовыми； 6) унитарными? Каково число унимодулярных унитарных матриц ранга №

Переход от одного представления к другому можно рассматривать как унитарное преобразование. Убедиться в этом на примере перехода от ^-представления к р-представлеиию.

Найти закон преобразования операторов £ и р при уни- тарных преобразованиях, осуществляемых операторами:

а) отражения 7; б) сдвига 7а； в) изменения масштаба 7ЙР.

Операторы 7, 7% ^с введены в 1.1.

Глава 2

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра

Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а, т. е.

г〃 \ /0， 0Ю,

%V0, %>а・

Выяснить свойства симметрии полученных функций при инверсии координат относительно центра ямы (преобразование вида х— х' = —х + d). “

В стационарных состояниях частицы нз предыдущей задачи найти функцию распределения по координатам и импульсам частицы, средние значения этих величин и их флуктуапии.

Найти среднюю кинетическую энергию н ее флуктуацию в стационарных состояниях из 2.1.

Состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (0 V * V а) описывается волновой функцией вида:

а)屮(*)=「*(* —а); 6) 'F(х) = В sin2(лх/а).

Найти распределение вероятностей различных значений энергии частицы, среднее значение н среднюю квадратичную флуктуацию энергии.

Для частицы из задачи 2.1 определить вид операторов координаты и импульса в энергетическом представлении.

Найтн изменение энергетических уровней н волновых функций стационарных состояний заряженного линейного осциллятора прн наложении на него однородного электрического поля, направлеииого вдоль осн колебаний.

2.7. Найти четные н нечетные энергетические уровни дискретного спектра частицы в симметричной потенциальной яме вида (рнс. 1)2.7. Найти четные н нечетные энергетические уровни дискретного спектра частицы в симметричной потенциальной яме вида (рнс. 1)u(%)=u(%)=о.о.|x|kl|x|kl<а, > а.<а, > а.

2.7. Найти четные н нечетные энергетические уровни дискретного спектра частицы в симметричной потенциальной яме вида (рнс. 1)

2.7. Найти четные н нечетные энергетические уровни дискретного спектра частицы в симметричной потенциальной яме вида (рнс. 1)

u(%)=

u(%)=

о.

о.

|x|kl

|x|kl

<а, > а.

<а, > а.

Каково число состояний частицы в дискретном спектре в за” висимостн от глубины ямы? Каково условие появления нов&х состояний дискретного спектра при углублении ямы?

Найти энергетические уровни нижней части спектра в случае глубокой потенциальной ямы 4》九2/加&2 н определить смещение этих уровней по сравнению с энергетическими уровнями частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (см. 2.1).

Рассмотреть симметричную по<

теицнальную яму (см. предыдущую зада

чу) малой глубины “《方2/用戌 Показать, что в такой яме

имеется одни уровень дискретного спектра, и получить прнблн* женные выражения для энергии и нормированной волновой функ< инн этого состояния. Найти средаие значения t/(x) н Т==芯說 2.9. Используя результат предыдущей задачи, найти функций распределения по координатам и импульсам частицы в основном

состоянии в мелкой потенциальной яме. Определить вероятносПУ нахождения частицы в яме. Вычислить произведение неопределенностей координаты и импульса..

Потенциальная энергия имеет вид 0(疗=0(%)王'

-|- аб (х — хс), где Р(х) — ограниченная функция. Как ведут

себя решение 屮(尤)уравнения Шредингера

и его производная в окрестности точки х0?

Найтн уровни энергии н нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в поле U(%) = =—ab(*), а > 0 (рис. 2). Найтн средние значения кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях. Сравнить с результатом задачи 2.8.

Найти соответствие между энергетическими уровнями дискретного спектра и нормированными волновыми функциями стационарных состояний частицы в полях Г7(х)' и О(х), связан-* ннх между собой следующим образом：

°а)=°а)=U (х), * > 0.8.х<0.U (х), * > 0.8.х<0.

°а)=

°а)=

U (х), * > 0.

8.х<0.

U (х), * > 0.

8.х<0.

причем потенциал U(%> симметричен, т. е. и(х^= Ш—х)] (рис. 3).

Используя вариационный принцип, показать, что в любом поле U(х), удовлетворяющем условиям： U(x)-> 0 при %т

f 土8 и ) U (х) dx < О, всегда имеется хотя бы одно состояние дискретного спектра.

Частица находится в поле вида U(%)= Uof (尤/а). Найта зависимость знергетнч&ских уровней Еп н средних значений 无, (Ах)? в стационарных состояниях дискретного спектра от параметра тюля “)(или о) при условии mMafl^ = const.

Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии частник в -однородном поле тяжести g для случая, когда движение частицы ограничено снизу идеально отражающей плоскостью.

Найтн энергию £о и волновую функцию основного состояния частицы в поле t/(x) =—Utt exp (-— | х | /а). Специально рассмотретьслучаймелкой ямы

做G{ma2U0/h2 «：I;сравнитьс результатом

1задачи 2.11.

么н2.17. Найти энергетические уровни

必8月匕〃 =8 частицы в поле С/(х) вида

3豚При выполнении условия tnaa/h2^!

(^~>■ исследовать структуру уровней нижней

-а О а л часТи спектра. Показать, что энергетиче- Рис. 4.ский спектр состоит из последовательно

сти пар близко расположенных уровней, и иайтн расстояние между этими близко расположенными уровнями (рис. 4).

Каков спектр сильно возбужденных с<х:тояний частицы?

Какова картина энергетических уровней при а V О?.

Частица находится в потенциальной яме U(x), удовлетворяющей условию: U(x)f 0 при %—土оо. Исследовать поведение решения уравнения Шредингера прн %—士8 в случае £ = 0-

Показать, что не возрастающее прн %—士8 решение 里&=° .уравнения Шредингера существует только прн определенных параметрах потенциала, отвечающих появлению новых состоя” ний дискретного спектра при утл у бдении потенциала.

Применить полученный результат к полю вида

U(x) =U(x) =0,—и。.0,—и。.% V о, х > 2а, 0 < 力 V 2а.

U(x) =

U(x) =

0,

—и。.

0,

—и。.

Сравнить с результатом задачи 2.7.

Для частицы в поле U(x) вида (рис. 5)

и（#）=и（#）=8，—аб (% — о),8，—аб (% — о),х<0,%>0,х<0,%>0,

и（#）=

и（#）=

8，

—аб (% — о),

8，

—аб (% — о),

х<0,

%>0,

х<0,

%>0,

найти зависимость числа состояний дискретного спектра от ntf* раметра E=znaa"2,

Для частицы в поле U ⑻ вида (рис. 6}

，5, %<0,

U (%) = ‘ 0,0 V х V а,

.5, х> а,

найти условие существования состояний дискретного спектра. Рассмотреть предельные случаи： а) ■ = сю； 6) U【=U2.

Показать, что среднее значение силы, действующей на частицу в стационарном состоянии дискретного спектра, равно

Частица находится в бесконечно глубокой потенцналь- Иой яме. Вычислить среднюю силу, с которой частица действует

на каждую из стенок ямы в стационарных состояниях. Сравнить с результатом классической механики.

То же, что и в предыдущей задаче, но для основного состояния частнцы в мелкой потенциальной яме (см. 2.8).

Задачу предлагается решить двумя способами：

а) используя метод решения предыдущей задачи; 6) непо

средственно усредняя оператор силы.

Частица находится в поле U (#) вида

и(*)=и(*)=8,8,х> О, х< 0.х> О, х< 0.

и(*)=

и(*)=

8,

8,

х> О, х< 0.

х> О, х< 0.

Выразить среднюю силу, с которой частица действует на стенку х = 0 в стационарном состоянии дискретного спектра, через значение Фл (0)нормированной волновой функции.

Применить полученный результат к случаю частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, и сравнить с задачей 2.22.

Частица находится в поле, имеющем вид двух одинаковых потенциальных ям, расположенных на некотором расстоянии друг от друга так, что потенциальная энергия имеет вид, указанный иа рис. 7 (и(0)=0).

Показать, что средняя сила, с которой частица действует на ямы в стационарных состояниях дискретного спектра, приводит эффективно к взаимному прмтхженню ям в четных состояниях и к нх взаимному от^ талкиванию в нечетных состояниях.

Получить приближенное значение энергии основного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (0 < х <： о) вариационным методом, используя пробные функции вида:

а)，(％) = %х(х —а)； 6) 'F(х) = В3in2(пх/а); в) Т(х) = =С (а/2 — jx — q/2 I).

Сравнить с точным значением. Объяснить, почему именно пробная функция вида а) дает результат, наиболее близкий к

точному.

Найти приближенное значение энергии основного состояния гармонического осциллятора вариационным методом» используя пробные функции вида:

a)中(%)==4(1+月/吟-1； 6) 9(尤)=6(1+//a2)-2,

где а — вариационный параметр. Сравнить с точным значением. Если рассмотреть пробную функцию вида 屮(х) = «=/(1+*2/。2尸(а и V — вариационные параметры), то при каком выборе этих параметров варнацноиный расчет даст нан- лучшее приближение?

Используя пробные функции вида, приведенного в пре- дЁВущей задаче, найти вариационным методом энергию основного состояния частнцы в поле 日(尤)=—а5(х). Сравнить с точным решением.

Для частнцы, находящейся в поле U(х) вида

〃,、f 払 х>03>0),

I 8, Л<0,

найтн энергию основного состояния вариационным методом, используя пробные функции вида (х > 0)：

а) Т(х)==Лхехр(—ах); 6) Т(х) == Вхехр(—ах2/2)

(а — варнацноиный параметр). Сравнить с точным значением (см. 2.15k

Получить приближенное значение энергии первого возбужденного состояния частнцы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины q (0 V% V а), аппроксимируя волновую функцию этого состояния полиномом третьей степени, удовлетворяющим необходимым граничным условиям. Сравнить с точным значением.

Используя пробную функцию вида 4f (%)= = <кехр(—а|л:|) (а ——вариационный параметр), найтн энергию первого возбужденного состояния гармонического осциллятора. Сравнить с точным значением.

Для частнцы, находящейся в поле U(尤『вида, приведенного в 2.19, найтн вариационным методом значения параметров потенциала, при которых в поле имеется состояние днскретт кого спектра. При расчетах использовать пробные функции вида (х>0):

а)中(％) = Ахехр(—их)； б)屮⑴=Вхехр(―%好/2).

Сравнить полученные результаты с точным решением.

Найтн в импульсном представлении внд стационарного уравнения Шредингера для частицы, находящейся в поле (7(х),

Найти энергетический уровень н нормированную волновую функцию состояния дискретного спектра в поле U(x)= =——аб(х) нз решения уравнения Шредингера в импульсном представлении.

Сравнить с результатом задачи 2.11.

Найти энергетический спектр и нормированные волновые функции стационарных состояний гармонического осцнлли- тора в импульсном представлении, исходя нз решения уравнения Шредингера в этом представлении.

Найтн функцию Грина Ge (%,*') уравнения Шредингера Для свободной частицы прн F < 0, убывающую при |尤——/|~> —оо. Функция Грина удовлетворяет уравнению

(后-E)Ge^ —^喘^Gr _ EGe ==6(x 一%)

С помощью функции Грина записать уравнение Шредингера для состояний дискретного спектра в поле l/(x) (U(х)->0 при к— f ±8)в виде интегрального уравнения.

Найтн энергетический уровень Ео н нормированную волновую функцию %(*) основного состояния частицы в поле U(%) = —表(％) из решения уравнения Шредингера в интегральной форме (см. предыдущую задачу). Сравнить с 2.11.

Используя результат из 2.36, показать, что значения энергетических уровней Еп дискретного спектра частицы в произвольном поле U(x)&0 ((/(%)-► 0 при х—> ±оо) удовлетворяют условию

1&1《券"[ 、 U(*)d*].

В каких случаях достигается равенство (илн приближенное равенство) в этом соотношении? В качестве иллюстрации полученного результата см. задачи 2.8 и 2.16.

Найти функцию Грнна уравнения Шредингера для свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой потенциальной стенкой (рис. 8), т. е.

〃，\ /°， х>°，uaxQ х<о.

(Е V0). Функция Грнна удовлетво' Ge(*==0, /) = 0 н убывает при(Е V0). Функция Грнна удовлетво' Ge(*==0, /) = 0 н убывает приРис. 8.Рис. 8.при отрицательно員 энергии ряет граничному условию |х —х'| — ОО.

(Е V0). Функция Грнна удовлетво' Ge(*==0, /) = 0 н убывает при

(Е V0). Функция Грнна удовлетво' Ge(*==0, /) = 0 н убывает при

Рис. 8.

Рис. 8.

Используя интегральную форму уравнения Шредингера, показать, что условие

、芯10(%) I d%》力 £/2m

о

является необходимым условием существования состояний днс- кретного спектра в поле “(х) вида (рис. 9)

&(*)' %〉。 Са)&°，u(%)f о 叩耳 *f 8),

Применить полученный результвт к случаю

OG)= f—4, °<х<°・I О, x>at

н сравнить с точным условием.

Найтн функцию Грина 6Е (х, У) частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (0 < У * V。).

Обсудить аналитические свойства функции Грина Ge как функции переменной Е. Показать, в частиостн, что она имеет полюсы, и установить соответствие положений этих полюсов в плоскости комплексной переменной £ с энергетическими уровнями Ея частицы в яме.

Рассмотрим потенциальные ямы различного вида U(x)； удовлетворяющие условиям:

U(»《0; U(x)f 0 при х->± оо; \ U(xjdx = ci — const.

Какой конкретный вид имеет потенциальная яма, в которой;

а) глубина энергетического уровня |Ео| принимает максимальное значение; 6) содержится наибольшее число состояний дискретного спектра, возможное в полях U(%)； удовлетворяющих указанным выше условиям?

спектра. Прохождениеспектра. Прохождение§ 2. Состояния непрерывного через потенциальные барьеры

спектра. Прохождение

спектра. Прохождение

движение которой ограниченодвижение которой ограниченоXV О, х> О,XV О, х> О,Для свободной частицы,, непроницаемой стенкой, т. е.

движение которой ограничено

движение которой ограничено

XV О, х> О,

XV О, х> О,

и(*)={/

幽I幽Iнайтн волновые функции стационарных состояний. Нормировать их на 6-функцию по энергии. Убедиться в полноте полученной

幽I

幽I

системы функций на интервале * > 0.

%%Найти волновые функции ста* ционарных состояний частицы в поле (рис. 10)

%

%

U(*)= fO，亢v0，

1%, %>0 (5>0),

для случая, когда энергия частицы Е —

меньше высоты потенциальной стен-~5"

ки Uo. Убедиться в ортогональностиРис 10

полученных функций и нормировать

нх на 6-функцию по энергии. Образуют ли полученные функции

полную систему?"

Исходя из решения уравнения Шредингера в импульс- ном представлении, найти волновые функции стационарных со-

стояний частицы в однородном поле U(х) = —Fo* Нормировать нх на 6-функцию по энергии н убедиться в полноте полученной системы функций.

Определить коэффициент отражения частиц от потенциальной стенки из 2.44 прн энергии частиц Е > U。.

Рассмотреть предельные случаи Е->8 н Ef Uo.

Определить коэффициенты прохождения и отражения частиц в случае 6-функцнонного потенциала D(%) = a6(x). (рнс. 11). Рассмотреть предельные случаи £->оо и £->0.

Обсудить аналитические свойства амплитуд отражения А (£) и прохонсдеиия В (Е) частиц как функций комплексной переменной Е. Убедиться, что точки £==0 н Е = 8 являются точками ветвления этих функций. Проведя в плоскости комплексной переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной полуоси £ >• 0, найти особенности функций А(Е) н В{Е) иа первом, так называемом физическом, и других листах нх римановой поверх- вости (физический лист фиксируется условием, что фаза точек £ на вещественной полуоси £> 6 сверху равна нулю). Показать, что такими особенностями являются полюсы, и установить соответствие между положением полюсов и уровнями дискретного спектра.

Найти коэффициент прохождения частиц через прямоугольный потенциальный барьер (рнс. 12)

и®=и®=О, а,О, а,xVO и х>а, О V х V а (Uo > 0).

и®=

и®=

О, а,

О, а,

Специально обсудить следующие частные случаи:

Е『8 (фактически £ » С/о)；

случай барьера малой прозрачности (Uo —切相炉/广》1;

£->0 (фактически Е《пгМЛ& н E《Uo);

г) mdUJ/^Mi м тагЕ!^-^\.

В последнем случае сравнить с результатом предыдущей задачи.

То же, что и в предыдущей задаче, но в случае потенциальной ямы»

Найти значения энергий, прн которых частицы не отражаются от потенциального барьера вида (рнс. 13)

С/(х)=а[д(х)4-6(х-а)].

2.51. Найти коэффициенты прохождения и отражения частип в случае потенциала вида (потенциальная ступенька, см. рис. 14)2.51. Найти коэффициенты прохождения и отражения частип в случае потенциала вида (потенциальная ступенька, см. рис. 14)U(x) =U(x) =■>■>1 + exp (— x/a) *1 + exp (— x/a) *Uo>0, a>0.Uo>0, a>0.

2.51. Найти коэффициенты прохождения и отражения частип в случае потенциала вида (потенциальная ступенька, см. рис. 14)

2.51. Найти коэффициенты прохождения и отражения частип в случае потенциала вида (потенциальная ступенька, см. рис. 14)

U(x) =

U(x) =

■>

■>

1 + exp (— x/a) *

1 + exp (— x/a) *

Uo>0, a>0.

Uo>0, a>0.

ka \ 1；ka \ 1；%%ча-ча-быстрые частицыбыстрые частицыквазиклассическо-квазиклассическо-

ka \ 1；

ka \ 1；

%

%

ча-

ча-

быстрые частицы

быстрые частицы

квазиклассическо-

квазиклассическо-

Рассмотреть предельные случаи Е—8 к E-^Uq.

Определить коэффициент прохождения частиц через потенциальный барьер вида

Ua)= UJch2(x/a), 4>р.

случаи:случаи:Специально обсудить следующие предельные

случаи:

случаи:

и медленные частицыи медленные частицыслабое поле Е 三机炉仇/护 « 1

и медленные частицы

и медленные частицы

々а《1;

слабое поле и ие очень медленные частицы в) барьер малой прозрачности Е》1

々《》1;

барьер малой прозрачности н |Е— Uof《%;

барьер малой прозрачности и £->0;

барьер (или яма) произвольной величины и £-> оо.

(Такой подробный анализ различных предельных случаев предлагается провести с той целью, чтобы в дальнейшем

продемонстрировать на примере рассматриваемого потенциала применение приближенных методов (теории возмущений го), а также ряда общих результатов теории прохождения стиц через потенциальные барьеры.)•

Найти коэффициент прохождения частиц через потенциальный барьер вида (рис. 15)

U(x)=j&*V О，

、Uq(1—x簡,х>0(%>0, а>0).

Специально обсудить случай барьера малой прозрачности В ^ (2та2и0/Н2У1л > 1 при энергиях частиц, удовлетворяющих условию ||£— Uo[/Uo》1.

Показать, что для барьера произвольной формы автоматически выполняется соотношение

R(E) + D(E)=1,

где R — коэффициент отражения, D — коэффициент прохождения частиц.

Показать, что для барьера произвольной формы коэффициент прохождения (н отражения) частиц с данной энергией Е не зависит от того, с какой стороны частицы падают на барьер.

Поле U (л) имеет внд потенциальной ступеньки, т. е. U{x)-^Q прн х->—8 и U(x)-> t/0 > 0 при х-> 8. Найти энергетическую зависимость коэффициента прохождения частиц при Е-> Uo (иллюстрацией результата могут служить задачи 2.46, 2,51,2,53).

Найти функции Грина G苗)(％, х7) уравнения Шредингера Для свободной частицы при энергии £ > 0. Индексы (土)у функций Грнна означают, что онн имеют асимптотику G告)s exp (土 i /у/*；；/ I x — x' I)при I x — /〕f 8.

Используя полученный результат, представить уравнение Шредингера в виде интегрального уравнения, решения которого описывают процесс отражения и прохождения частиц с импульсом р в поле U(%), удовлетворяющем условиям: V(х)->0 при Х-> 土8.

Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты прохождения н отражения частиц в поле U(x)e = а6(х). Сравнить с решением 2.47.

На основании результата 2.57 получить выражения для коэффициентов прохождения и отражения частиц в поле U(x), обращающемся в нуль прн %—±8, через волновую функпию Wp(%) в области действия потенциала.

Г л а в a 3

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

§ 1. Общие свойства момента

Выразить оператор поворота 左(w), описывающий преобразование волновой функции системы ” частиц при вращении системы координат на угол (р0 относительно оси, направление воторой в пространстве определяется единичным вектором По, через оператор момента системы.

Является ли оператор А((ро)； а) эрмитовым? 6) унитарным?.

Дать простую интерпретацию коммутативности операторов проекций импульса и некоммутативности операторов проекций момента импульса, исходя из кинематического смысла этих операторов, связанного с бесконечно малыми переносами н поворотами.

Показать, что равенство L2 = /(/ + О получается с помощью элементарных формул теории вероятностей, исходя из того, что возможные проекции момента на произвольную ось равны /и (团=——厶—/ 4- 1/) и все эти значения проекции

момента равновероятны, а оси равноправны.

Найти следующие коммутаторы:

а) R/, %], [£,, /j,[乙，而)],[%,研卉；

6)亿，(箭)6]，[I/, (Р?)?]„ [Д<» (аг + ftp)];

6)I%,—],I丘,PkPl\i U-h 鳥闻，

где г, р, L — операторы раднуса-вектора, импульса и момента импульса частицы; а и b ——постоянные величины.

Найти коммутатор [£/, ft], где L и S? — операторы мо мента импульса частицы по отношению к двум центрам, находящимся на расстоянии а друг от друга.

Используя коммутационные соотношения для оператора момента, найтн Sp£/, где £/—матрица i-й компоненты момента L

Представить оператор момента системы нз двух частиц в виде двух слагаемых, описывающих момент частиц в с. ц. и. (момент относительного движения) и момент центра инерции системы.

Показать, что момент количества движения системы из двух частиц относительно их центра инерции перпеидикулярен к оси, проходящей через обе частицы.

Найти нормированные соответствующим образом волновые функции ^г^т, описывающие состояния частицы, находящейся на расстоянии ，о от начала координат и имеющей момент 2 и его проекцию tn на ось n

Найти собственные функпии операторов квадрата момента частицы и его проекции на ось z в импульсном представлении следующими двумя способами：

с) непосредственно из решения задачи на собственные функции и собственные значения операторов I2 и /г в импульсном представлении；

6) используя соотношение между волновыми функциями в г- и р-представлениях.

Вид собственных функций У/т(6, ф) в координатном представлении считается известным.

Показать, что функции, получающиеся в результате де电 ствня операторов 厶=乙 土 Ци на собственные функции 屮.

оператора проекции момента иа ось z (1^¥т —切屮小)，также я в- ляются собственными функциями оператора 厶 отвечающими собственным значениям 加十1 и tn — 1 в случаях 厶 и Z- соответственно.

Показать, что в состоянии 里帆 с определенной проекцией в坦мента т на ось 2*

Л；=厶=0;

txty = —lytx =加/2;

8)任П孫

В состояинн 屮痴 с определенными значениями^момента I и его проекции tn на ось z найти средние значения ZJ,廳

В состоянии 'Г/т с определенными значениями момента I и его проекции tn на ось z иайти среднее значение и среднюю квадратичную флуктуацию проекнин момента на ось г, составляющую угол а с осью г.

В состоянии частицы, характеризующемся угловой зависимостью волновой функции вида 4f = d cosn 屮(屮 ——угол поворота относительно некоторой оси z, п ——целое), найти вероятности различных значений т проекции момента на ось 2.

В состоянии частицы, волновая функция которого имеет угловую зависимость вида ¥ = Аехр(2йр)(屮一азимутальный угол сферической системы координат), найти вероятности различных значений / момента частицы.

Доказать соотношение

Г I匕m0祖2 =醬丄。

m・T

Ue Yim(Q,<р) —шаровые функции.

В пространстве различных состояний момента величиям L найтн проекционные операторы Р(Л4) на состояния с определенной проекцией момента М на ось z.

Найтн закон преобразования волновой функции состояния частицы с определенным значением момента Z в Zz-пред- ставленин при вращении системы координат на угол 屮。 (см. 3.1).

Показать, что нз коммутационных соотношений [£,, /J = =0 оператора физической величины f с компонентами момента £/ системы следует, что матричные элементы величины f вида

—厶 ЛИ"& L,M)

(где п означает набор квантовых чисел, которые вместе с L н М образуют полный набор) отличны от нуля лишь при М = М^ ц прн этом не зависят от 府.

Найти закон преобразС|Вания волновой функции частицы в //z-представлении при отражении координат, т. е. при пре> образовании 7r = —г.

§ 2. Момент 2 = I

В случае момента частицы / = 1 найти угловую зависимость волновой функции 里济-о(8, <р) (0, (р— угловые переменные сферической системы координат с полярной осью z) состояния с определенной проекцией момента m = 0 на ось г, направление которой в пространстве определяется полярным а и азимутальным р углами.

Найтн угловые зависимости волновых функций '%(& 9)н ^^(0, ф) состояний частицы с моментом / = 1 н определенным значением проекции момента на осн х н у со- ответстаенно. Воспользоваться известным видом шаровых Оунк- ИН貞 Н, m(e,g).

Частица находится в состоянии с моментом /= 1 и его проекцией tn (/и = 0, ±1) на ось N Найти вероят1юсти w(m\ m) различных значений проекции момента /и' на ось，составляющую угол а с осью г.

Задачу предлагается решить одним из следующих способов:

Q)используя результат задачи 3.14;

путем нахождения коэффициентов разложения с (s', т) заданной волновой функции в ряд по собственным функциям оператора 厶，(при решении задачи этим способом ограничиться каким-либо частным значением т, например，九= 0).

Рассмотреть, в частности, случай^ когда ось / перпендикулярна осн 2.

Показать, что в случае момента частицы I = 1 три функции 屮/*_{)(& g), 4r%=D(B, g), 4rq-o。9). описывающие состояния частицы с равной нулю проекцией момента на осн х, g, z, образуют полную систему функций (в пространстве угловых переменных 0, д).

Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой функции произвольного состояния частицы с моментом /== 1 в ряд по этим функциям?

Указать в ^-представлении явный вид операторов компонент момента, повышающего /+ н понижающего I- операторов «± = Z* 土 广?)для момента £ = 1.

Каков вид операторов /1?

Найтн из решения уравнения на собственные функции волновую функцию состояния частицы с 2=1 н проекцией момента Zx = 0 в 4-представлеиии.

В состоянии частицы с моментом_ /== 1 и его проекцией m на ось z найтн следующие средние: ^ 啞(п — целое число).

Найтн явный вид оператора F = F(al)； где а — обычный вектор, F(x) —некоторая функция переменной х, 1 ——оператор момента частицы. Оператор 戶 действует в пространстве Состояний частицы с моментом / = 1 (или же 1 являются матрицами момента 2=1).

Найти явный вид оператора G (①J' поворота системы координат на угол 屮о (см. 3.1 и 3.19), действующего в пространстве состояний частицы с моментом 2=1,

Используя результат предыдущей задачи, найти угловую зависимость волновой функции ①希-о (0, <р) состояния иа・ ^ицы с моментом 2=1 н его проекцией 血=0 на ось 2, на- йравление которой определяется углами а, р. Сравнить с 3.22.

Ё пространстве состояний частицы с моментом I = 1 ■найти проекционные операторы Р(/п) (т = 0, 土1) на состояния 4 определенной проекцией момента tn на ось n

Обобщить результат предыдущей задачи на случай Произвольно направленной оси z.

Используя полученный вид операторов Р(^), найти (в 厶一 рредставлении) волновую функцию состояния частицы с проекцией момента 吊=0 на ось г.

Найти также указанным способом волновую функцию Tjr-o(6, ф)состояния частицы с моментом 2=1. Сравнить с результатами 3.22 и 3.31.

§ 3. Сложение моментов

Моменты 厶 н 厶 двух слабо взаимодействующих систем складываются в результнрзаощий момент величины L. Показать, что в таких состояниях (с определенным значением £) скалярные произведения Т^, Ц/2 также имеют определенные значения.

Каков спектр физической величины, представляющей собой квадрат векторного произведения двух моментов fl и /2?

Найти следующие коммутаторы:

а)【£*, @,2)］,［厶■ (гip2)I» 広“ 6心)1；

б)区“£館,［3，gJ g^ftb］；

81 &• 土屈偽力，［丄員&比Rd, - с人

где £, 7 — операторы моментов двух частиц, L = L + % — оператор суммарного момента.

Имеются две слабо взаимодействующие системы 1 и 2, состояния которых характеризуются квантовыми числами (/i, т() и (为，/иг) момента н его проекции на ось г.

Указать возможные значения полного момента_£ совокупной системы (1+2) и вычислить средние аначення L и L2 в рассматриваемом состоянии.

Усреднить полученное выражение для L2 по всем состояниям с различными значениями т н 加与 считая их равновероятными, и результат сравнить с соответствующим средним анаиением, вытекающим из классического рассмотрения.

В условиях предыдущей задачи вычислить вероятности различных значений суммарного момента 厶 для частного случая ли】=介,相2 = /2 — 1.

Моменты двух слабо взаимодействующих систем, одинаковые по величине (厶=友=/), складываются в результирующий момент £. Показать, что волновая функция WL(tn^tn^ состояния системы с определенным значением величины 丄 в ^z/гг-представлен ин имеет определенную симметрию по отношению к перестановке местами переменных пц и .阳2*)・ Как зависит характер симметрии волновой функции от значения величины £?

Используя результат предыдущей задачи, иайти вероятности различных значений суммарного момента £ в состоянии двух систем с единакзвыми моментами 2 н определенными проекциями складываемых моментов на ось z, равными пп = 2 и 祖2 = £ — L Сравнить с результатом задачи 3.38.

Две системы, имеющие одинаковые моменты 2, находятся в состоянии с определенным значением Е суммарного момента, равным： а) £ == 2/; б)丄=2?——I ——и проекцией суммарного момента на ось г, равной М = 2/—1 (в обоих случаях).

Найти вероятности различных значений проекций складываемых моментов на ось г в рассматриваемом состоянии.

Используя результаты задач 3.37 и 3.39, найти вероятности различных значений суммарного момента в состоянии двух систем с моментами, равными единице, н проекциями этих моментов на ось z, равными нулю.

Обобщить результат задачи на случай произвольных (ио одинаковых) значений моментов / каждой из систем и одинаковых проекций складываемых моментов на -ось 2, равных 筑 1 = m2 = = 2—L

То же, что и б предыдущей задаче, но в случае /(= = /2 = 1 н 〃力=],叫=—L

Обобщить результат на случ-ай произвольных значений моментов 厶=& = I каждой из систем н проекций моментов на ось z, равных g = /, гпз = 1 — 2.

Используя результат нз 3.39. показать, что в состоянии Двух слабо взаимодействующих систем с одинаковыми моментами /, отвечают豊 определенному значению £ суммарного момента и его проекции Ж на ось 乙 вероятности значений про®玄、 ций на ось z складываемых моментов /и®) r 加 н tn^ = Af-— tn равны.

Основываясь на результатах 3.37 и 3.39, иайти ограни, чення сверху и снизу на вероятности возможных значений £ Суммарного момента двух слабо взаимодействующих систем, имеющих одинаковые моменты 11gl 2 = 2 й их проекции йа Ось г, равные % =恤=0.

Моменты двух систем, одинаковые по величине (厶 j 0厶=2), складываются в результирующий момент L, равный нулю: 2 = 0.

Найти волновую функцию этого состояния в /1г/й2-представ- ленни н вероятности различных значений проекций складываемых моментов на произвольную ось.

При решении задачи воспользоваться операторами £±.

Моменты двух частиц равны /, = /2 == 1- Построить волновые функции 里lm состояний с определенным значением £ суммарного момента и его проекции М на ось %

Специально обсудить угловую зависимость состояния с L = 0.

Найти в рассматриваемых состояниях Ч^аг веронтности различных значений проекннй складываемых моментов на ось 2.

Задачу предлагается решить на основе результатов задач 3.39 и 3.46.

Произвести классификацию возможных состояний системы, состоящей из трех слабо взаимодействующих подсистем с моментами 厶；=産=1 н 右=厶 п。значениям суммарного момента 厶 системы.

В пространстве различных состояний моментов 厶 и /2 Двух слабо взаимодействующих систем найти проекционные операторы Р(£) на состояния с заданным значением £ суммарного момента.

В пространстве различных состояний моментов 厶 н & двух слабо взаимодействующих систем найтн проекционные операторы Р (厶 М) на состояния с заданным значением £ суммарного момента н его проекции М на ось n

Моменты двух слабо взаимодействующих систем равны ft = /2 ^ 1. Используя технику проекционных операторов, найти (в /и/гг-представлении) волновую функцию Ч7=о состояния с значением 厶=0 суммарного момента. Сравнить с результатом 3.47.

Исходя из коммутационных соотношений [£/, f*]= ^31 i^ikifi для операторов компонент момента £，н произвольной векторной величины 〃, характеризующих некоторую систему, показать, что*

иеднагональпые матричные элементы оператора fz равны нулю:

〈％ 厶 Mjfjn, L, ЛГ〉= 0, М*М‘，

где п — совокупность квантовых чисел, которая вместе с £ н М образует полный набор;

диагональные матричные элементы /г имеют зависимость от М вида

£, Mlf\n,厶 М〉= а(& 厶)М,

где а (% 丄)一некоторое число, зависящее только от квантовых чисел п н L (но не от М).

Таким образом из а) н б) вытекает «условное» равенство

f = a(ft, l^Lzt

которое следует понимать в том смысле, что матричные элементы обеих частей равенства между произвольными состояниями, отвечающими одним н тем же значениям п и £ (и произвольным М М'), равны.

Обобщить результаты а) н 6) на случай х-, ^-компонент операторов н установить 《условное» равенство (в указанном выше смысле)

f = G(n, L)匸.

е) Показать, что величина а(п, £) равна

“ ■(£ + - •

Так как оператор (f L) — оператор скалярной величины, коммутирующий с L, то диагональные матричные элементы этого one-* ратора не зависят от М (см. 3.20).

Используя результат предыдущей задачи, иайти матричные элементы оператора физической величины f = [ЪЦ между состояниями, отвечающими определенному значению L суммарного момента (L = li 4-务).

Найти средние значения компонент векторной физиче* ской величины ji = g]^ Ц- ^2 в состояниях с заданным значе< ни ем L суммарного момента (L™li +^) н его проекции М яа ось 2.

Определить li и 12 в таких состояниях.

Как известно, проблема сложения моментов двух ся* стем 厶 н % в результирующий момент £ решается в общем вида следующим соотношением:'

中山=e е擱зh取屮%, m=加1 +侬,

зжзж2 В, Мя Галицкий и др.

зж

зж

где Cfjmjjmj — коэффициенты Клебша — Гордана (для которых существует замкнутое выражение) ；4;1^2) — нормированные вол* новые функции, описывающие системы, моменты которых скла， дываются и результирующий £; 4rLM ——нормированная волновая функция совокупно宓 системы.

Используя технику повышающих (понижающих) операторов 厶土，найти коэффициенты Клебша — Гордаиа в частном случав 丄=厶+Ь

То же, что н в предыдущей задаче, но в частном случае 6 =厶,L = 0.

§ 4. Тензорным формализм в теории момента

Показать, что функция вида

吗(г)-ё続...応4 。 • • %卜)，

где f(г) — произвольная функция, е«л...я — симметричный по любой паре индексов тензор ранга / с равным нулю следом, £/.₽... л — 0, является собственной функцией оператора квадрата момента частицы, отвечающей значению момента, равному I.

Показать, что число независимых компонент у симметричного тензора ранга / с равным нулю следом (см. предыдущую задачу) равно 2，+ 1, как и число шаровых функций Yim. Тем самым будет доказано, что угловая зависимость волновой функции, рассмотренная в предыдущей задаче, является наиболее общей для состояний частицы с моментом /.

Согласно задаче 3.57 наиболее общая зависимость от угловых переменных 仇斗 волновой функции состояния частицы с моментом Z = 1 имеет внд 明=1 = (еп) , п = г/г. Какому условию удовлетворяет вектор е в случае нормировки волновой функции на единицу:

，旧g】FdQ = l?

В частных случаях значений момента частицы【=1 н / = 2 найти компоненты соответствующего тензора (е,(пг),也力(те)), при которых функция 屮厶 введенная в 3.57, описывает состояние частицы с определенным значением момента и его проекции т на ось z, т. е. является шаровой функцией У,т.

Используя значения компонент векторов 名(利),полученные в предыдущей задаче, иайти компонента тензора вида

X弓⑺%⑺.jn=—1

В соответствии с результатом задачи 3.57 наиболее общая завг5симость от угловых переменных волновой функции состояния частицы с моментом I = 1 имеет вид 4^1=1 ==(»п), где е — произвольный комплексный вектор. Каким условиям должен удоалетворнть этот вектор, чтобы можно было указать такую ось в пространстве, проекция момента на которую имеет определенное значение, равное

а) т = 0; 6) m = ±1?

Показать，что для произвольного состояния частицы с моментом / = 1 можно указать такую ось z в пространстве, вероятность проекции момента яг — 0 на которую равна нулю.

Угловая зависимость волновой функции состояния частицы с моментом / = 1 имеет вид 4rl = (еп), где е — произвольный комплексный вектор. Найти вероятности различных значений проекции момента на ось z, направление которой определяется единичным вектором по.

Найти средние значении компонент тензора nmk в произвольном состоянии частицы с моментом 1 = 1. Угловая зависимость волновой функции такого состояния, согласно 3.57, имеет вид 也—=(еп).

Найти средине значения компонент вектора момента I в произвольном состоянии частицы с моментом 2 = 1 (вид волновой функции такого состояния приведен в предыдущей задаче) .

Согласно 3.57 угловая зависимость воляобой функции произвольного состояния частицы с моментом 1 = 1 имеет вид ^/=1 =(ап), т. е. полностью определяется комплексным вектором а. Поэтому прн рассмотрении состояний с моментом I = 1 можно перейти к представлению (назовем его векторным), в котором волновой 巾ункцне員 является совокупность компонент вектора а*, т. е.里氐三 а& (А = 1, 2, 3).

Найтн явный вид операторов компонент момента в векторном представлении.

Установить соответствие между векторным н /г-представле- ннем.

Для системы из двух частиц, имеющих моменты 厶= =为=1, найти:

наиболее общий внд угловой зависимости волновой функции;

наиболее общий вид угловой зависимости волновых функций 47, описывающих состояния системы с определенным значением L (丄=0, 1, 2) суммарного момента;

угловую зависимость волновых функций 里丄用.описывающих состояния системы с определенным значением L суммарного момента н его проекции М на ось z.

При решении использовать результаты задач 3.57 и 3.60. 2*

Глава 4

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

§ 1. Системы с аксиальной симметрией

Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского ротатора ) с моментом инерции /.

Какова кратность вырождения уровней?

Состояние плоского ротатора описывается волновой функцией вида ^ — Сcosn (р {п ——целое). Найти функции распределения ротатора по энергиям и проекциям, момента, а также средние значения этих величин в указанном состоянии,

Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии пространственного ротатора с моментом инерции /.

Какова кратность вырождения уровней?

Состояние пространственного ротатора описывается волновой функцией вида：

a) 3=Ccos2 6； б)屮= Се2т

В указанных состояниях найти функции распределения ротатора по энергии, квадрату момента и его проекции иа ось z, а также средние значения этих величин.

Найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний плоского гармонического осциллятора.

Определить кратность вырождения энергетических уровней.

В стационарном состоянии 11fli плоского осциллятора (см. решеине 4.5) найтн вероятности различных значений проекции момента на ось, перпендикулярную плоскости колебаний.

Частица находится в аксиально симметричном поле U(p)： Какую кратность вырождения имеют в общем случае (т. е. в отсутствие случайного вырождения) энергетические уровни дискретного спектра «поперечного» движения частицы (т. е. движения в плоскости, перпендикулнриой оси симметрии поля)?

Может лн кратность вырождения первого возбужденного уровня «поперечного» движения быть равной 3; 4?

Найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой двумерной потенциальной яме

〃/、 J 0，Р<。，⑥=i 8, р>а.

Нантн энергетические уровни дискретного спектра ча」 стицы в двумерной потенциальной яме U (р) вида

U(P)=t О, p》a,

отвечающие значению m = 0 проекции момента частицы па направление, перпендикулярное плоскости движения.

Специально обсудить случай мелкой ямы [ka^Uo/t^ <S 1; сравнить с одномерным движением.

То зке, что и в предыдущей задаче, но в случае т#0.

Получить условие существования состояний дискретного спектра частицы с отличным от нуля значением проекции момента т.

Для частицы, находящейся в двумерном поле U(p) = =—а6(р—g), найти энергетические уровни дискретного спектра с проекцией момента, равной нулю: т = 0.

Спсцпально обсудить предельные случаи мелкой |лаа/力^《1 и глубокой ^аа/И2》1 ям. Сравнить с одномерным движением.

То же, что и в предыдущей задаче, но в случае 粗声 0.

Получить условие существования состояний дискретного спектра частицы с отличным от нуля значением проекции момента т.

Найтн энергетические уровни частицы дискретного спектра в двумерном поле U(p)=—а/p. Определить кратность вырождения уровней. Сравнить со случаем кулоновского поля U (г) = —а".

Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой двумерной потенциальной яме вида, указанного в 4.8, найти приближенно энергию основного состояния вариационным методом, аппроксимируя волновую функцию выражениями вида (р VQ)：

〃)屮о(р) = /(а —р); б) V0(p)= Bcos(np/2fl)..

Сравнить полученные результаты с точным значением.

То же, что н в предыдущей задаче, но для энергии Е“р-о. I ”"=1 первого возбужденного состояния частицы с проекцией момента \т\ = 1. Радиальную волновую функцию аппро^ ксимировать полиномом второй степени, удовлетворяющим необходимым граничным условиям в точках р = 0 н р = а.

Получить приближенное значение энергии основного состояния плоского осциллятора вариационным методом, используя пробную функцию вида

%(Р)= С ехр (— ар), где а — вариационный параметр.

Сравнить с точным значением (см. 4.5).

В двумерном случае найти функцию Грина уравнения Шредингера для свободной частицы при энергии £ V 0, убывающую прн р-> оо.

В двумерном случае найти функции Грина 喏)(Р, р') уравнении Шредингера для свободной частицы при энергии Е >0. Индексы (土)у функции Грнна указывают на характер ее асимптотики при р-> оо：

G史 s exp [士 г “2р£俾 р]・

Найти функцию Грина Ge@ </) плоского ротатора (см. 4.1).

Рассматривая функцию Грииа О£ как аналитическую функцию комплексной переменной 石，показать, что она имеет особые точки — полюсы, — и установить соответствие между положениями этих полюсов в плоскости Е и энергетическими уровнями ротатора.

§ 2. Состояния дискретного спектра в центральных полях

Как изменяются значения E„ri энергетических уровней частицы в дискретном спектре:

при фиксированном значении』с увеличением 〃,；

при фиксированном знаиенмн %■ с увеличением Z?

Для частицы, находящейся в центральном поле,

могут ли быть двукратно вырожденные уровни?

какую кратность вырождения может иметь первый возбужденный уровень?

е) что можно сказать о квантовых числах уровне, если его кратность вырождения равна 7; 9?

Обозначим через 屍 значение энергии "-го уровня дискретного спектра частицы в центральном поле (нумерация уровней ведется в порядке возрастания энергий; основному состоянию соответствует ^ = 1). Указать ограничения на максимально возможные значения:

момента частицы в состояниях, имеющих такую энергию En；

кратности вырождения такого уровня.

Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний сферического осциллятора U(r) = = 々「2/2, используя метод разделения переменных в уравнении Шредингера в декартовых координатах. Определить кратность вырождения уровней.

Произвести классификацию четырех нижних уровней осциллятора по значениям квантовых чисел 〃,，/ и четности, исходя только нз известного значения (см. предыдущую задачу) кратности вырождения уровней.

Какая комбинация волновых функций 屮他论小 отвечает состоянию осциллятора с моментом 2 = 0 (при /V = гц 十拉а +； 十何-2) ?

Найтн уровни энергии и собственные функции ^nrim (г, 0, <р) оператора Гамильтона сферического осциллятора 皆 решения уравнення Шредингера в сферических координатах. Произвести классификацию состояний осциллятора, относящихся к N-му энергетическому уровню, по квантовым числам nr, Z и четности. Какова кратность вырождения уровней?

Показать, что для пространственного осциллятора операторы

3& = PiPkl\^ + h£± 殳卜

коммутируют с гамильтонианом 力=p2/2)i + ^r2/2.

Убедившись в том, что коммутатор операторов I2 и Гц отличен от нуля, объяснить «случайное» вырождение энергетических уровней осциллятора.

В классической механике прн движении частицы в кулоновском поле U (「)= —&〃 вектор А = 1рМ] /ц — ar/л яв- ляется интегралом движения. Указать вид эрмитова оператора А, который можно сопоставить классической векторной величине А.

Найтн коммутаторы [Н, 4] н 便，АД и иа основании полу- ченпых результатов объяснить «случайное» вырождение энергетических уровней частицы в кулоновском поле.

В основном состоянии водородоподобного атома (иона) найти для электрона г".

Найти эффективный (средний) потенциал g(r)； дей- ствующий на заряженную частицу, пролетающую сквозь невозбужденный атом водорода (пренебрегая поляризацией последнего) .Получить предельные значения 屮(г) для больших и малых расстояний частицы от атома.

Найти среднее электрическое поле атома водорода в 2р-состоянии с определенным значением 切=0 проекции момента электрона на ось 2 на больших расстояниях от атома.

Найтн среднее электрическое поле и его флуктуацию (флуктуацию компонент поля) на больших расстояниях от атома водорода, находящегося в основном состоянии.

Обратить внимание на характер убывания найденных величин с увеличением расстояния.

Стационарное состояние электрона в атоме водорода характернзуетсн «параболическими» квантовыми числами г” = =】，门2 = 0 н магнитным квантозым числом /и =0.

Найти распределение вероятностей координаты электрона г и его момента I в этом состоянии (z—ось параболического квантовании). Определить средний дипольный момент атома в указанном состоянии.

Найтн уровни энергии Enri и волновые функции ^nrim стационарных состояний частицы а бесконечно глубокой сфе-

ри ческой ямери ческой ямеи（，） =и（，） =о, У О, оо, г > а.о, У О, оо, г > а.

ри ческой яме

ри ческой яме

и（，） =

и（，） =

о, У О, оо, г > а.

о, У О, оо, г > а.

Найтн энергетические уровни частицы в поле U (，)= — а“，— о).

Каково условие существования состояний дискретного спектра с моментом /?з

Найти уровни энергии дискретного спектра s-состояннй частицы а поле

U (г) = — Uo exp (— r/a).

Получить условие существования таких состояний.

Каково условие появления новых s-состояний дискретного спектра частицы при хтлублении ямы? Специально обсудить случай глубокой ямы |ia2t70/?i2》1.

Найти соответствие между энергетическими уровнями £П/П и нормированными волновыми функциями 屮“户в(г\ стацио- вариых s-состояннй (/ = 0) дискретного спектра частицы в центральном none U(г) н уровнями Е« и нормированными функциями 屮“ (х) в одномерном поле О (х) вида

方仪）=方仪）=U(x),8,U(x),8,х>0,*V 0.х>0,*V 0.

方仪）=

方仪）=

U(x),

8,

U(x),

8,

х>0,*V 0.

х>0,*V 0.

Используя установленное соответствие, найти условие суше- ствования состояний дискретного спектра в поле

U(r) =U(r) =一 Us 0,一 Us 0,г < а,г^а.г < а,г^а.

U(r) =

U(r) =

一 Us 0,

一 Us 0,

г < а,г^а.

г < а,г^а.

Обобщить результат задачи 2.18 на случай s-состояиий частнцы в центральном поле U(r).

Найти условие существования дискретного спеитра в поле

{

оо, г < й,

— а/尸，г>а (拉 >2).

Обозначим через Еп и Еп значения м-го уровня энергии дискретного спектра в полях U(r) и 0(*), связанных условием

0(r) = U(r) + 6U(r), 6U (心 0.

Показать, что £п》Еп.

Показать, что если параметры центрального поля U(r)=-Uo/sh2(r/a)

таковы, что в поле нет《падения» частип на центр поля, то состояния дискретного спектра в таком поле отсутствуют.

Найтн среднее давление, оказываемое частицей, находящейся в стационарном состоянии в бесконечно глубокой сферической яме (см. 4.33), на《стенку» ямы.

С (а — г), г < а,0, г>а.С (а — г), г < а,0, г>а.Получить приближенное значение энергии основного состояния частицы в кулоновском поле U = —а" варнаиион- ннм методом, используя пробные функции вида:

С (а — г), г < а,

0, г>а.

С (а — г), г < а,

0, г>а.

a) 4f =■ С ехр (—(?#)； 6)屮=

где а, а — вариационные параметры. Сравнить с точным значением.

С (а —г), г <а, 0,г > а.С (а —г), г <а, 0,г > а.То же, что н в предыдущей задаче, для осциллятора U =氏产/2 и пробных функций вида:

С (а —г), г <а, 0,г > а.

С (а —г), г <а, 0,г > а.

а)屮(г) =»Сехр(—аг); б) 4f⑺=«

Получить приближенное аиачеиие энергии 2р-состояиия частицы в кулоиовском поле вариациоииым методом, используя пробную функцию вида

屮(г) = (аг) ехр (—xV),

где а — постоянный вектор (см. 3.59 и 3.60), « — вариационный параметр. Сравнить с точным значением.

То же, что и в предыдущей задаче, но для первого возбужденного состояния осциллятора с моментом /= 1 и пробной функции

4f (г) = (аг) ехр (— аг).

Найтн функцию Грина G*(r, г，) уравнения Шредингера для свободной частицы при энергии Е V 0, убывающую при г-> оо. С помощью фуяиции Грииа записать уравнение Шредингера для состояний частицы в дискретном спектре в поле 0(г$, убывающем при г-> оо, в виде интегрального уравнения.

Как известно, у частицы в центральном поле прнтяже- ння U(，)<0, U(，)-> 0 при г->оо, не всегда имеются состояв ня дискретного спектра. Показать, что необходимым условием су- ществования таких состояний является выполнение неравенства

r|U(r)|dr> 肥/2 卩.

Установленное необходимое условие сравнить с точным условием существования состояний дискретного спектра в полях: а) прямоугольная яма (см, 4.36)： б) экспоненциальная яма, рассмотренная в 4.35.

Показать, что выполнение неравенства g

6，也k)画》(以十1)花/2卩

является необходимым условием существования в невральном поле притяжения U(r)W°, U(r)f 0 при '—8, хотя бы одного уровня дискретного спектра частицы с моментом /-

Исходя из вариавдонного принципа и используя проо- ную функцию вида W = Cexp(—хг) (х> 0 — вариационным параметр), получить достаточное условие существования в центральном поле и&)<0, U(，)f 0 при，—8, хотя бы одного уровня знергнн дискретного спектра частпцы-

Применить полученное условие к полям:

б функционная яма (см. 4.34); б) экспоненциальная яма г(см. 4.35}—и сравнить с точным условием.

449» Для указанных ниже полей сравнить следующие три вначения параметра Е =卩戒1Л/九° (характеризующего г-пу)н? соответствующей потенциальной ямы):专、—значение параме - pa Е, которое является необходимым для существования в :噥 состояний дискретного спектра согласно результату задачи 4广为 &一значение, соответствующее точному, и §а — достаточному условию (согласно предыд)тцей задаче) существования состояний дискретного спектра.

с) б-функционная яма (см. 4.34): V{r)^= —1/оаб(г —

экспоненциальная яма (см. 4.35);

потенциал Юкавы。(，)=—Uoaexp (—《,)"(знз 】е“ 勤=0,84 — результат численного расчета на ЭВМ).

То же, что и в 4.48, для частииы в поле

U ⑺=一5 exp (一产/明

и пробной функции вида

屮=С ехр (— ХУ).

Найти также и необходимое условие существования состояний дискретного спектра согласно 4.46.

То же, что и в 4.48, но для состояния дискретного спектра с моментом /~ I. Пробную функцию выбрать в виде

屮=(atjexp (— xr)・

Применить полученное условие к потенциалу Юкавы U = z= —aL'a/r и сравкить с необходимым условием, рассчитанным согласно 4.47.

Найти распределение по импульсам частицы в основ- ном состоянии в кулоновском поле U = —а/「・

Для основного состояния частицы в бесконечно глубокой сферической потенциально玄 яме (см. 4.33) наити функцию распределения по импульсам частицы.

Решить задачу о состояниях дискретного спектра с моментом / = 0 в поле U(r)=—а§(，——а), исходя из решения уравнения Шредингера в импульсном представлении.

Найти решение уравнения Шредингера предыдущей задачи при граничном условии ф(р) = 0 при р£ро (/?о > 0), Показать, что в такой постаиовке задачи в яме произвольной глубины имеется состояние дискретного спектра» б котором частица локализована в ограниченной области пространства, и найти энергию связи частицы в случае мелкой ямы 卩仪〃/力？《I (сравнить е результатом предыдущей задачи).

Образование связанного состояния частицы в рассмотренной постановке задачи при наличии сколь угодно слабого притяжения составляет содержание так называемого феномена Купе- ра — явления, лежащего в основе микроскопического механнзма сверхпроводимости.

4方6. Найти квазидискретные уровни энергии (их положение и ширину) s-состояний частицы в поле 17(г)= <хб(г — о).

Специальйс обсудить случай малопровицаемого барьера |лаа/Й2》I к не очень сильно возбужденных квазидискретных уровней.

Глава 5

СПИН

§ 1. Формализм спина s=l/2

Для частицы со спином s= 1/2 найти из решения за・ дачи па собственные функции и собственные значения спиновые функции 叫 0=1, 2, 3), описывающие состояния частицы с определенной проекцией спина на оси *, g, z системы координат.

52 Указать вид оператора проекции спина §)на произвольное направление, определяемое единичным вектором п.

Чему равно среднее звачение проекции спина на ось п в состоянии с определенной проекцией спина 坛=±】/2 на ось г?

Коковы вероятности проекихв спина ±1/2 на направление и в указанных состояниях?

Найти собственные значения оператора f — a-\-bo (а—* число, b — обычный вектор, о—матрицы Пгули).

5・4・ Могут ли квадраты проекций электронного едина на оси х, у, z иметь одновременно определенные значения?

5Л. Произвольный линейный оператор £, действующий в пространстве спиновых переменных частицы с s = 1/2, является квадратной матриией 2-го ранга. Какие ограничения накладьь вает эрмитовость оператора Z на элементы этой матрицы?

Найтя собственные значения такого эрмитова оператора.

6・6・ Убедиться в полноте системы из четырех двухрядных матрни /, 6, R, &.

Показать, что коэффициенты в разложении произвольной квадратной матрицы 2-го ранга А по этим матрицам

N = %7 + & 仇 + ауёу + & 仇 w Go + ао

могут быть вычислены по формулам

Оо=у Sp %, а = у sp (оД).

Каков явный вид операторов | 仇 |, |о|, о [на]?

5・8. Упростить выражение (аа)я, где а —обычный (число

вой) вектор, о — матрицы Паули,拉一целое число.л

Найти явное выражение оператора вида Р = F(a + Ьо), где F(x)—произвольная функция переменной х, а = const, Ь — обычный вектор.

Рассмотреть, в частности, оператор F = ехр (ша).

Указать возможный вид операторов проекций электронного спина 6“ 6“ Q в s*・npe口ставленнн.

Найти вид унитарного оператора £?, осуществляющего переход от Sz- к 5л-представленню.

Для стша s == 1/2 указать вид повышающего и понижающего операторов s± н рассмотреть их действие на собствен- 11не функции W^. Каковы операторы Д?

Показать, что д.пя состояния, описываемого спиновой волновой функцией

(

cosa \

(эго есть наиболее общий вид нормированной волновой функции спинового состояния частицы со спином s = 1/2； 0《а《л/2, О sg р < 2л), можно указать такую ось в пространстве, проекция спнна на которую имеет определенное значение 4-1/2. Найти полярный и азимутальный углы этой оси (ср. с результатом 3.62 для момента L = 1).

Используя полученный результат, решить задачу 5.1.

Найти проекционные операторы Ps^±ii2 на состояния с определенным значением проекции спина s% = ±1/2 на ось z.

Найти проекционные операторы A$〃・±i/2 на состояния с определенным значением проекции спина ±1/2 на ось. направление которой определяется единичным вектором п.

С помощью этих операторов найти спиновые функции 里3fl.±V2・ Сравнить с результатом задачи 5.12.

Для частицы со спином s = 1/2 указать закон преобразования спиновой волновой функции 屮=(：；) при враще-

нии системы координат на угол 值 относительно оси, направление которой определяется единичным вектором по・

Показать, что величина ①”屮 曰 中；巾］+ 侬2 не изменяется при указанном преобразовании, т. е. является скаляром.

Показать» что при вращении системы координат величины У = Ф*оУг (U<= X《(d)a,«8)преобразуются как компоненты вектора.

Для двух частиц со свином s = 1/2 найти собственные функции 屮SS/ операторов суммарного спина (точнее, его квадрата) и его проекции на ось г.

Вид функций 屮io к 4rпо найти одним пз следующих способов (учитывая наиболее общий вид функции, отвечающей Sz = 0:

—(；)С)е + С2(〉С))

〃)непосредственно из уравнения на собственные функции оператора S2;

行)воспользовавшись операторами S士；

е) основываясь на свойствах симметрии функций Vs по отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц, аналогичных установленным в 3.39.

Показать, что оператор <ria2 в состояниях системы из Двух частиц, отвечающих определенному значению суммарного спина, также имеет определенное значение.

Две частицы со спином s = 1/2 находятся в состоянии, описываемом спиновой функцией вида 屮顕=“ZB Е, р = =I. 2 — спиновые переменные каждой из частиц; спиновые функции обеих частиц нормированы на единицу, так» например, Ф=(X)* 15 F +15F = 1)，工匕 между спиновыми состояниями частиц нет корреляции.

Каковы вероятности различных значений суммарного спина в этом состоянии? Чему равно значение S2? Рассмотреть, в часгпоств, случай, когда(ра = Хс

Представить выражение (后吸产 в виде, содержащем матрицы Паулн а1г 2 б степени не выше первой. Индексы I, 2 у матриц означают, что эти матрицы являются операторами, действующими в пространстве спиновых переменных 1-й и 2-й частиц.

Найти явный вид оператора F = F(a + Ьще^, где F(x) —произвольная функция переменной х. а и b—некоторые числа.

Используя результат задачи 5.18, найти проекционные операторы Psr, । на состояния .двух частиц со спином s == 1/2r отвечающие определенному значению суммарного спнна частиц.

Для системы пз двух частиц со сшшом s = 1/2 найти оператор спинового обмена С, действие которого на спиновую функцию 屮《б (а, Р = I, 2—стиновые переменные 1-й и 2-й частиц) состоит в следующем:守《В =匕屮仁已=屮卽,т・ е. этот оператор переставляет спиновые переменные обеих частиц (задача состоит в явном выражении оператора С через матрицы Паули),

Для системы из двух частиц со симном s = 1/2 найти проекционные операторы Pssz на состояния с определенным значением суммарного спина S и его проекции Sz на ось г.

Найти собственные функции и собственные значения след^тоших операторов:

%=G(6iz+62』+力呕

Р2 = Ol^iz + a^z + Ъ^^

Параметры g, Ь — вещественны, так что операторы Vi,2—* эрмитовы

Спины N частиц, равные s каждый, складываются в результирующий спин S = Ns. Каков суммарный спин любых 2; 3; ...; п чаепщ в указанном состоянии?

Спиновая функция системы из N частиц со спином s =】/2 имеет вид

屮=(；)1С)2 …(；)"С)Е …(lV

Найти в указанном состоянии среднее значение квадрата суммарного спина системы частиц.

В условиях предыдущей задачи в частных случаях п— 1 и n = N —[ найти вероятности различных значений величины S суммарного спина системы частиц.

Состояние частпцы со спином s = 1/2 характеризуется определенными значениями квантовых чисел I, т, Sz. Найти в указанном состоянии вероятности различных значений полного момента j = 1 + s частицы.

Состояние некоторой системы характеризуется определенными значениями квантовых чисел / (момент системы) и Л = /. Найти вероятности различных значений проекции мо мента J、на ось, направление которой в пространстве опрепе- ляется единичным вектором п.

5-31. Моменты двух слабо взаимодействующих подсистем, равные 1 н 1/2, складываются в результирующий момент /. В следующих состояниях совокупной системы:

0) / = 3/2.%=±1/2; 6) ? = 1/2,(=±1/2

—найти вероятности различных значении проекций складываемых моментов на ось г и их средние значения. При решении задачи воспользоваться операторами J土.

Показать, что спиновая функция системы из N частиц со спином s = 1/2, отвечающая состоянию с максимально воз-

можным значением S = N/2 суммарного слнна, симметрична по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух частиц.

Имеют ли определенную симметрию спиновые функции, отвечающие другим значениям суммарного спина? сравнить со случаем ^ = 2.

В системе трех частиц со спином s = I /2 имеется восемь различных спиновых состояний. Произвести классификацию этих состояний по значениям суммарного спина системы.

Найти полную систему спиновых функцн在 описывающих состояния с определенными значениями суммарного спина.

5・34・ Произвести классификацию спиновых состояний системы из четырех частиц со спином s = J/2 по значениям суммарного спина S системы.

Какие отличные от нуля средние значения мультиполь- пых моментов (4 — электрического дипольного, ц； — магнитного дипольного» Din — электрического квадрупольного) может иметь система, характеризующаяся определенным значением / полного момента, равным：

a) J = 0; 0) 7 = 1/2?

§ 2. Пространственные состояния частицы со спином

Состояния частицы с определенным значением проек- инн спина на направление импульса называют спиральными состояниями. Для частицы со спином s = 1/2 найти волновые функции 屮р、а, описывающие состояния с определенным “м- лулъсом ро и спиральностью А = ±1/2

Указать вид оператора спиральности м показать, что этот оператор коммутирует с оператором полного момента j = =I + s частицы.

5-38. Для частицы со ciwhom s = i/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния р% частицы (т. е. состояния с орбитальным моментом / = f и полным моментом j = 1 /2) имеет вид

屮и&1)%, т. е・屮а=б«产厶，

где % = ( ^ ) — произвольный спинор, не зависящий от направления вектора п (п = г/г или п = р/р в зависимости от того, какое представление — координатное или импульсное — используется) .

Нормировать на единицу указанную волновую функцию.

Каково распределение по нанравленмям импульса частииы в указанном состоянии? Сравнить со случаем Sya-состояния.

Вычислив среднее значение вектора суммарного момента частицы в рассматриваемом состоянии, выяснить, как j зависит от конкретного выбора спинора %. Найта вид функций, описывающих состоянии с определенным значением /г = ±1/2 проекции полного момента на ось 2.

Произвести анализ состояний частицы со спином s = =1 尸,волновые функции которых имеют в импульсном пред- ставленнн спин-\тловую зависимость вида

屮 ± = (1 土 Gn)x, n = p/p

(спинор 幺=(\) не зависит от вектора и), по значениям следующих квантовых чисел, полного момента частицы /, орбитального /, четности, спиральности 入

Для частицы со симном s = J/2 показать, что наиболее общая спин-угловая зависимость волновой функции состояния рз/2 имеет вид'

屮={2 (сп) + / [сп] о} %

(произвольный вектор с и спинор %=(，) не зависят от век- тора п).

При каком конкретном выборе компонент вектора с и спинора х указанная выше функция описывает р3^-состояние ча^ стицы' с определенным значением 心=±1/2, 士3/2 проекции полного момента на ось г?

Для частицы со спннох £ — 1/2 найти спин^угловую зависимость волновых функций 屮山% состояний с определенны- ми значениями орбитального момента /. полного момента j и проекции /г полного момента на ось 2 в случае / == / + 1/2.

Зкдаиу предлагается решать след)?ющими двумя способами：

&) используя проекционные операторы Pj；

6} используя повышающие (понижающие) операторы /±.

То 用爲 что и в предмдутце玄 задаче, но в случае / = /—1/2.

Показать, что функции 屮/〃炉 рассмотренные в двух предыдущих задачах, связаны соотношением

^i\^ =(9^u^ h,2=/±l/2, n=F (или n=?・

Следствием этого соотношения является одинаковый вид угловых распределений по направлениям импульса частицы в состояниях с заданными значениями / н /г и различными зна- чениями орбитально! о момента 厶& = j 土 1/2.

Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловую зависимость волновых функций 屮〃込(в импульсном представлении), описывающих состояния частицы с определенными^значе- 46

Ниями / ности 兀Ниями / ности 兀полного момента, его проекции /г на ось г и спира аь-

Ниями / ности 兀

Ниями / ности 兀

со спином sсо спином s5・45. Для заряженной частицы

со спином s

со спином s

среднее значение вектора магнитного момента

=1/2 найти в состояниях=1/2 найти в состоянияхОператор магнитного момента 匸 имеет вид

=1/2 найти в состояниях

=1/2 найти в состояниях

一— 丁力 х4

「r画+砧1，

где Цо — спиновый магнитный момент частицы (для электрона 卩е =—向力/妬丁，для протона(д> = 2,79eofi/2mpe и т. д., ^ > 0 — величина заряда электрона), е — ее заряд.

Глава 6

ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

§ 1. Бесспинооая заряженная частица в магнитном поле

Показать, что при определенной калибровке векторного потенциала гамнльтоинаы заряженной qacn【u& в магнитном поле *)

А=*(р~4а(г)У

можно представить в виде

方=击一含a0 +白"A%

Убедиться в эрмитовости гамильтониана.

Найти оператор скорости v заряженной частицы в магнитном поле. Установить коммутационные соотношения между различными компонентами этого оператора ［6厶。左］,а также 1@,鳥］.

Для заряженной частицы в постоянном однородном магнитном поле найти операторы координат центра орбиты р° поперечного (перпендикулярного магнитному полю) движения, квадрата радиуса-вектора этого центра 髭 и квадрата радиуса орбиты 片.

Установить коммутационные соотношения для этих операторов друг с другом “ с гамильтонианом.

Найтн нормированные соответствующим образом в》нно- вые функции стационарных состояний н уровни энергии заря-

•J В задачах данной главы иа|Ользуется координатное иредогаелеиме, так что A(t/J—A(r,f)・

женной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле при следующих калибровках векторного потенциала;

■* = 0. 4 =冬丫, Аг = 0;

Ах =—箔吗儿=C9 Az = G.

В предыдущей задаче были найдены две полные системы функций ^прург и 屮п&р?・ описывающие стационарные состояния заряженной частицы в однородном магнитном поле Э10 при двух различных калибровках векторного потенциала. Найти соотношение между этими волновыми функциями.

Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие им уровни энергии зарюкенной бесспиновой ча* стицы в однородном магнитном поле, используя следующую калибровку векторного потенциала： А=~[Э1оГ]. Какова крат- н℃ть вырождения энергетических уровней поперечного движе- нщ частицы? Нормируемы ли на единицу волновые функции стационарных состояний поперечного движения?

6・7・ Найти спектр собственных значений операторов квадра- тсв радиуса-вектора 0。центра орбиты поперечного движения и радиуса орбиты р^ частицы в однородном магнитном поле (см, 6_3).

Показать, что волновые функции Wn^ стационарных состояний частицы в однородном магнитном поле, найденные в предыд^тцей задаче, являются собственными функциями этих операторов.

6・8. Охарактеризовать поперечное пространственное распределение заряженной частицы в однородном магнитном поле в стационарных состояниях ^птрг (см. 6.Q) в случае т = — *р~рпв

Специально обсудить случай 〃》1 н произвести предельный переход к классической механике.

То же, что и б предыдущей задаче, но при п =0. Специально обсудить случай \т\》1.

В задачах 6.4 н 6.6 было установлено, что энергетические уровни поперечного движения заряженной частицы в однородном магнитном поле являются дискретными, причем соответствующие этим уровням собственные функции гамильтониана обладают интересным свойством： согласно 6.4 они нс могут быть нормированы на единицу (и таким образом, не описывают частицу, локализованную в ограниченной области пространства), а согласно 6.6 существуют стационарные состояния, в которых частица локализована в ограниченной области пространства.

Объяснить указанное свойство собственных функций: возможность их выбора как нормируемыми, так и неиормируемыми на единицу. Сравнить со случаем стационарных состояний дискретного спектра частицы в потенциальном поле Г/(г).

Найти уровни энергии и нормированные соответствую- щнм образом волновые функции стационарных состояний заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно перпендикулярных однородных магнитном и электрическом полях.

Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных состояний заряженного сферического осциллятора (заряженная частица в центральном поле U(r)=我产/2), находящегося в однородном магнитном поле.

В случае слабого магнитного поля найти магнитную вое* приимчивость осциллятора в основном состоянии.

То же, что и в предыдущей задаче, для плоского заряженного ротатора (заряженная частица, совершающая движение в плоскости на заданном расстоянии а от некоторой точки), находящегося в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости вращения.

Показать, что энергетический спектр поперечного движе* ния заряженной бесспиновой частицы, находящейся в магнитном поле соленоида (соленоид имеет бесконечную длину и круговое сечение, так что магнитное поле вне соленоида равно нулю, а внутри—однородно и направлено вдоль его оси), является непрерывным н магнитное поле не может <связать» частицу, т. & отсутствуют стационарные состояния, в которых частица локализована в поперечном направлении в ограниченной области пространства.

В пределе, когда радиус соленоида R = 8, получается однородное во всем пространстве магнитное поле, в котором спектр поперечного движения частицы является дискретным н существуют локализованные стационарные состояния (см., например, задачу 6.6)・ Объяснить,исаким образом из непрерывного спектра при R 步 8 получается дискретный спектр при R = 8.

Показать, что магнитное поле N(t), отличное от нуля в ограниченной области пространства, ее может «спязать» заря* женную бесспиновую частицу, т. и не существует стационарных состояний частицы» в которых она локализована в ограниченной области пространства.

Как известно, в одномерном и двумерном случаях в любом поле притяжения у частицы всегда имеются состояния дискретного спектра, в которых она локализована в ограниченной области пространства. В трехмерном случае такнх состояний может и не быть, если потенциальная яма достаточно «мелкая».

Показать, что прн наличии в пространстве однородного маг* питного поля у заряженной частицы в произвольном поле притяжения U(г), удовлетворяющем условиям U(，)W0, U(r)f О при г —8, всегда имеются стационарные состояния, в которых она локализована в ограниченной области пространства (и не только в поперечном направлении!), т. е. что при наличии магнитного поля любая яма может «связать» частицу.

§ 2. Частина со слмном в магнитном поле

Найти волновые 寺ункинн стационарных состояний и соответствующие им энергетические уровни нейтральной части- цы, имеющей спин s = 1/2 и спиновый магнитный момент м (так что(1= Рос), в однородном магнитном поле.

Найти энергетические уровни и волновые функции стационарных состояний дискретного спектра поперечного движения нейтрона в магнитном поле соленоида.

Нейтрон находится в стационарном магнитном поле вида

*0 =為9 = 0,施、=施8)

(цилиндрическая система координат). Свести задачу нахождения волновых функций стационарных состояний нейтрона и со- ответствуюиких мм энергетических уровней к решению одномер- horo волнового уравнения.

6・20. В полупространстве х > 0 имеется однородное магнитное поле вида Ж =為у =0,搖=鑑о. В области х V 0 магнитное поле отсутствует. Найти коэффициент отражения поляризованных нейтронов (т. е. нейтронов с определенным значе- ннем проекции спина на ось z) от поверхности раздела.

Рассмотреть случаи падения нейтрона как из области пространства, где имеется магнитное поле, так и из области, свободной от магнитного воля. Найти соотношения между углами падения, отражения и преломления. Падающие нейтроны имеют определенный импульс р.

Найти волновые функции стационарных состояний и уровнн энергии заряженной частицы со спнном s = 1/2 и магнитным моментом 卩о в однородном магнитном поле. Сравнить с результатами задач 6.4 н 6.6.

Показать, что гамильтониан Паули для электрона (а также и для 卩-мвзона) в электромагнитном поле может быть представлен в виде

方=—q；A“))，.+"⑺

Справедливо ли указанное представление гамильтониапа для других частиц со спшюм s = 1笈(протона, нейтрона н т. п.)?

Показать, что при движении электрона в стационарном магнитном поле проекция спнна на направление скорости электрона является интегралом движения.

Сохраняется ли утверждение задача для произвольной частицы со спином s = 1/2?

Показать, что магнитное поле Э1(г), отличное от нуля в ограниченной области пространства, не может <связатъ> электрон, г. е. не существует стационарных состояний электрона;

в которых он локализован в ограниченной области пространства (сравнить с 6 15).

Сохраняется 白以 утверждение задачи для других частиц со спином s = 1/2?

§ 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента

Найти среднее магнитное поле 31(0), создаваемое в начале координат заряженной бессппновой частицей, находящейся б кхлоковском поле ядра U = —Ze?/，в (s- и 2р-состояпиях.

В условиях предыдущей задачи найти матричные элементы оператора магнитиого момента частицы между различными состояниями, относящимися к уровню энергии с главным квантовым числом п = 2.

Установить соотношение между средними значениями векторов орбитального момента f и магнитного момента 世 для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в магнитном поле.

Показать, что найденное соотношение не противоречит ка“ лцбровочной инвариантности.

Найти компоненты плотности тока для заряженной бес- снпиовой частицы, находящейся в однородном магнитном поле в стационарном состоянии 屮,小 (см. 6.6).

6С9・ Найти компоненты плотности тока для заря^кепной частицы со спином s == 1/2 н магнитным моментом 皿 находящейся в однородном магнитном поле в стационарном состоя-* ним ^птр^ (см. задачу 621 и сравнить с результатом преды* дущей).

Электрон находится в кулоновском поле ядра с зарядом Ze в основном состоянии. Найти среднее магнитное поле, создаваемое электроном в пространстве.

Найти среднее магнитное поле, создаваемое в начале координат частицей со спином s = 1/2 н магнитным моментом 世断 находящейся в стационарном s-состоянии в центральном ноле.

Глава 7

ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ

§ I. Бесспиновые частицы

Вывести правило дифференцирования по времени произведения двух операторов.

7・2. Найти вид оператора скорости v = r заряженной бесспи- новой частицы, находящейся в произвольном электромагнитном поле. Сравнить с 62.

Найти оператор ускорения w = v заряженной частицы в электромагнитном поле.

Показать, что среднее значение производной по времени физической величины, не зависящей явно от времени, в стаций* нарном состоянии дискретного спектра равно нулю.

Показать, что среднее значение силы» действующей на частицу в стационарном состоянии дискретного спектра, равно нулю.

Задачу предлагается решить двумя способами：

а) используя результат предыдущей задачи; б) непосредственно усредняя оператор силы.

Доказать теорему вириала в квантовой механике.

Задачу предлагается решить тремя способами:

усреднением оператора d(pr)/d/ (аналогично тому, как эта теорема доказывается в классической механике)；

используя экстремальные свойства собственных значений оператора Гамильтона (энергетических уровней системы) и рассматривая масштабное преобразование волновых ф)^нкций стационарных состояний системы;

используя результат задачи 1.28.

Показать, что для системы ^ заряженных частиц, двн， жущнхся в ограниченной области пространства, справедливо равенство (так называемое «правило сумм»; см. также 14.18)

备 2 (% - 耳)3元 p= Nq = 1,2,3),

где (di)nm — матричные элементы дипольного момента системы, суммирование проводится по всем стационарным состояниям системы, 卩 и е—масса и заряд каждой частицы.

7-8. Обсудить вопрос о сохранении нормировки волновой функции состояния (в интегральной н локальной форме) частицы в случае, когда ее взаимодействие с внешним полем списывается нелокальным эрмитовым потенциалом, т. е. когда опера* тор потенциальной энергии (в координатном представлении) является интегральным оператором с ядром U(「,r‘)；

Ow (r) = Ju (г, /)屮(гЭ diz‘・

Сравнить с обычным случаем локального потенциала »= =Ujr).

Рассмотреть уравнение Шредингера, в котором потен， циальная энергия является комплексной функцией: U(г)= ~ 1^0(Г) + Ш1 (г); 1/0| их — вещественные функции (так называемый оптический потенциал).

Выяснить, сохраняется ли во времени нормировка волновой функции при движении частицы в таком поле. Изменение со вр年

менем нормировки волновой функции состояния можно интерпретировать как поглощение (или рождение) частиц во внешнем ио/е. Как связан знак мнимой части потенциала с характером такого процесса?

7・10. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины а (0 < л < а), в начальный момент времени имеет вид

屮(％, f = 0) = 4sln3噤.

Найгн волновую функцию в произвольный момент времени- Показать, что через некоторое время Т частица возвращается в исходное состояние.

7・11. Как изменяется во времени состояние плоского ротато- ра, если в начальный момент (f = 0) оно описывалось волно* вой функцией

中 @ ^ = 0) = Д si口29？

7・12・ Пространственный ротатор при f = 0 находится в со- стояпни, описываемом волновой функцией 里=% cos2 0. Найти волновую функцию ротатора в произвольный момент времени.

Состояние свободной частицы в момент времени f = 0 описывается волновой функцией вида

屮(х“0)”ехр(Т +毕).

Найтн изменение состояния частицы во времени н следую- нше средние：丽,而.(&丽产,函° 产(см. также зада- ЧИ 7.19 и 7・36)・

В условиях предыдущей задачи показать, что ширина волнового пакета (Дл«))2 в момент времени t независимо oi параметров, определяющих волновую функцию частицы при f = 0, не может быть произвольно малой.

Рассмотрим при £=0 нормированный волновой пакет

^(х, f = O)=,c(E)屮七⑴産，，［屮Fdx=l,

составленный из собственных функций Wffjr) гамильтониана ча^ стицы, отвечающих энергетическим уровням £ непрерывного спектра.

Показать, что в рассматриваемом состоянии плотность вероятности нахождения частицы в любой фиксированной точке пространства при ff 8 стремится к нулю (это обстоятельство не противоречит сохранению нормировки волновой функции, так как одновременно с уменьшением плотности вероятности увеличивается ширина пакета — пакет расплывается).

7J6・ Состояние частицы в поле б-функииониой ямы (см. 2.11)* в начальный момент времени описывается волновой функцией

屮® / = 0) = Дехр(—PIxIX Р> 0・

Какова вероятность обнаружить частицу на отрезке У 方 + 厶)ирн f —8? Найтн значение интеграла

00

,I屮(x,f = 8)pdx

и сравнить его с первоначальным знаиеннем. Объяснить полученный результат.

Состояние свободной частицы в момент времени f =。 описывается нормированной волновой функцией 4ro(х) (при атом волновая функция Фо(р) в импульсном представлении также считается известной). Найти асимптотическое поведение волновой функции 屮(х, f) при ff 8. Убедиться в сохранении нормировки волновой функции.

В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть ирн Е —8 вид волнового пакета, обсуждавшегося в 7.13.

7」8・ Гармонический осциллятор ори f=0 находится в состоянии, описываемом волновой функцией вида

里…Ofexp[-幺謬 +等斗

где 。=(论//по)*. Найти изменение состояния осциллятора во времени и следующие средние:穴⑺,p(f),(心⑺此.(△"«)产 (см. также 7.36).

Найти времеияую функцию Грина G(x, t; /, f') для свободной частицы. Эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера (по переменным % 0 и при f = Р равна 6(% — /),

С помощью найденной функции Грина решить задачу 7.13.

Обобщить полученный результат на случай свободного Движения частицы в пространстве, т. е. наЛтн функцию Грина C(r,f; г', U).

7-20. Найти временную функцию Грина G (р, /; р\ Г) свободной частицы в импульсном представлении.

Найти временную функцию Грина в случае свободного движения частицы на полуоси, т. е. в поле

Г 8| и(*)={о.Г 8| и(*)={о.л< 0.л< 0.

Г 8| и(*)={о.

Г 8| и(*)={о.

л< 0.

л< 0.

видвидНа непроницаемую стенку, описываемую потенциалом предыдущей задачи, падает волновой пакет, имеющий при / = 0

вид

вид

V(x,t^0) = A ехр[^- 一 ”妙丄]

So > О, хо > °； предполагается 尤о》а, так что можно считать 屮(х」=0} = 0 при х》0).

Рассмотреть отражение волнового пакета от стенки, исполь- зуя временную функцию Грина, найденную в предыдущей за-

7•智• Для частицы, находящейся в однородном поле U(x) = ~ найти временную функцию Грина в импульсном представлении.

♦ Для/аст覚цн, находящейся в однородном поле U(x) = н —Гох, найти временную функцию Грнна в координатном представлении.

Используя полученный результат, рассмотреть расплывание волнового пакета, имеющего при f = 0 вид

屮(X, f = 0) = 4ехр[^ —^^].

・ Найти временную функцию Грина гармонического осциллятора.

・ Найти унитарный оператор, соответствующий преобразованию Галилея, т. е. переходу в новую инерциальную систему отсчета. Убедиться в инвариантности уравнения Шредингера относительно этого преобразования.

Как изменяется при этом преобразовании волновав функция частшда в координатном и импульсном предстаалениях?

. Найти унитарный оператор, соответствующиЙ калибровочному преобразованию потенциалов электромагнитного поля. Убедиться в инвариантности уравнения Шредингера относитель- нс этого преобразования.

. Как необходимо преобразовать оператор Гамильтона системы, чтобы при унитарном преобразовании, зависящем явно ст времени, уравнение Шредингера сохраняло свой вид? Срав- ннтъ с каноническими преобразованиями в классической механике.

7・29. Найти операторы координаты н импульса в гейзенберговском представлении для свободной частицы.

Задачу предлагается решить двумя способами:

°) используя унитарное преобразование, связывающее one* раторы физических величин в гайзенберговском н шредингеровском представ, еннях；

/) непосредсгвенным решением уравнений движения для гайзенберговских операторов.

То же, что и в предыдущей задаче, для частицы, находящейся в однородном поле U(x)=—尸此

То же, что и в двух предыдущих задачах, для линейного гармонического осциллятора.

Для заряженной частицы, находящейся в однородном магнитном поле, найти ^операторы радвуса-вектора, скорости и импульса частицы в гайзенберговском представлении. Воспойь-

зеваться калибровкой векторного потенциала вида А = = (0,%м,0) (магнитное поле направлено вдоль оси z).

Задачу предлагается решить двумя способами, указанными в условен 7血

Исходя из уравнений движения для гайзенберговских операторов, показать, что fД (/). £少 «)] = } &・

Найти значение «разновременного» коммутатора {^(0.^(0] Для:

свободной частицы； б) частицы в однородном поле;

6) осциллятора.

7・35. Для систем, рассмотренных в 729—7.31, найти гамильтониан В(0 н сравнить с B(t =0).,,

Используя вид гайзенберговских операторов 户(f),兑(0； найти зависимость от времени следующих средних: х(0,"⑴， 衣《))2, (Ар⑴)2-мя

а) свободной частицы； б) частицы в однородном поле; в) осциллятора

в состоянии, описываемом волновой функцией вида

屮(х) = 4ехр 审一•^|

Гамильтониан системы имеет вид /? = /?()+ О, где «не- возмущеяный» гамильтониан Яо не зависит явно <п времени. Рассмотреть унитарное преобразование от шредннгеровского представления к жжому. так называемому представлению взаимодействия, осуществляемое унитарным оператором О = =exp«/?of//l) (при РмО это преобразование описывает переход к гайзенберговскому представлению).

Какова связь между операторами физических величин в шре- дингеровском представлении и представлении взаимодействия? Как изменяются во времени операторы и волновая функция системы в представлении взаимодействия?

Найти вид операторов координаты и импульса, а также вид волнового уравнения в представлении взаимодействия для частицы в однородном поле, выбрав в качестве невозмущенного гамильтониана оператор Гамильтона свободной частицы.

7・39. То же, что н в предыдущей задаче, для осциллятора-

2. Частицы со спином

Найти операторы скорости v и ускорена貝 w (в шреднп- геровском представлении) нейтральной частицы с отличным от вуля спиновым магнитным моментом (например, нейтрона), на* ходящейся в магшгтном поле.

Найти зависимость от времени спиновой волновой функции и средних значений компонент спина нейтральной частицы 58

со спином s = 1/2 и магнитным моментом 卩，находящейся в однородном стационарном магнитном поле.

7・42・ Обобщить результат предьщущей задачи на случай однородного нестационарного магнитного поля, направление ко- которого остается неизменным, т. е. 31(/) = JK(/) Do.

Показать, что при движении заряженной частицы с отличными от нуля спином и спииовыы магнитным моментом в однородном, переменном во времени магнитном поле 31(0 (и произвольном электрическом) зависимость волновой функции частицы от спиновых н простр анствен н их переменных разделяется.

Частица со спнном s = f/2 н магнитным моментом и находится в однородном магнитном поле Э1 (/) вида

Ж х = 5i?o cos <о(/г Зв у = З^о sin <o(/t 後二'^ 後、、

где 5i?o,兆1, to。一 постоянные величины.

При / = 0 частица находилась в состоянии с проекцией спина на ось 2, равной $z = I/2. Найти вероятности различных значений проекции спина на ось 2 в момент времени f. Обсу дить, в частности, случай, когда |彌о幽i|《1; обратить внимание на резонансный характер зависимости вероятности «переворота» спина от частоты о в этом случае.

Для частицы со спином s= 1/2 н магнитным моментом 口，находящейся в однородном стационарном магнитном иоле, найти операторы вектора спина s(f) в гайзенберговском представлении.

Задачу предлагается решить дсуыя способами：

о) используя унитарное преобразование, связывающее one* раторы физических величин в гайзенберговском и шредингеров- ском представлениях;

непосредственным решением уравнений движения для гайзенберговских операторов.

Определить зависимость от времени средних значений компонент спина (сравнить с 7.41).

7・46・ То же, что и в предыдущей задаче, в случае однородного нестационарного магнитного поля, направление которого остается неизменным.

Решить задачу 7.44. используя представление взаимо* действия (см., например, 7.37) и выбрав в качестве невозмущенного гамильтониана

仇=-p為危.

Частица со спином s = 1/2 и магнитным моментом 卩 находится в однородном стационарном магнитном поле вида

%x=附)，第9 = 0,第2 =隔.

Используя представление взаимодействия (см„ например, 7.37) с невозмущенным спиновым гамильтонманои % =

=—,i%i6石 найти вероятности различных значений проекции спина па ось 2 в момент времени f, если при / =0 проекция спина частицы на ось z равна sz ^ 1/2.

В услойиях задачи 7.41 найти временную спиновую функцию Грина 6аВ(‘，')частицы (индексы а, 0 = 1, 2 описывают спиновую переменную, т. е. а, р — спинорные индексы).

То же в условиях задачи 7.42.

Для нейтральной частицы со спином s = 1^ и магнитным моментом р, находящейся в однородном стационарном магпитиом пиле, найти временную функцию Грина <?強(「，£;「'，，) (а, 0 — спиновые переменные) • “

Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного нестационарного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. 31 (f) = % (f) п。.

Глава 8

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ.

ВНЕЗАПНЫЕ И АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

§ 1, Стационарная теория возмутени員

Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (0 V х V а), найти в первом

порядке теории возмущений смещение энергетических уровней под действием возмуп^евия вида (рис. 16):

口)v(*)=*d2*-a6

…={:?…={:?Ь <х <а — Ь9

…={:?

…={:?

0 <х <&, a — b<x<a.

Указать условия применимости полученного результата.

82 Показать, что поправка первого порядка 用'к энергетическим уровням частицы из предыдущей задачи для произвольного возмущения У(л) при достаточно больших значениях п не зависит от п.

На заряженпый линейный осциллятор наложено одно-* родное электрическое поле 8, направленное вдоль оси колеба-* ний. Рассматривая действие электрического поля как возмущение, рассчитать в первых двух порядках теории возмущений сдвиг энергетических уровней осциллятора. Полученный результат сравнить с точным решением (см. 2.6).

Представим гамильтониан осциллятора в виде

h=而+ 丁 + 丁.

Рассматривая формально слагаемое ax?/2 как возмущение, рассчитать в первых двух порядках теории возмущений сдвиг энергетических уровней осциллятора. Ответ сравнить с точным решением. Каково условие сходимости ряда теории возмущений?

На частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а (0 < х < а) наложено возмущение вида

V(x) = V0cOS2^.

Рассчитать изменение энергетических уровней частицы в первых двух порядках теории возмущений.

8*6. В условиях предыдущей задачи найти поправку третьего порядка к энергии основного состояния частицы.

8-7. Найти в первых двух порядках теории возмущений сдвиг энергетических уровней частицы в условиях задачи 8.1 под действием возмущения V(*) = a6(x—а/2). Указать условия применимости полученного результата.

8-8, Как известно, приближенное вычисление собственных функций гамильтониана по теории возмущений в первом порядке приводит к выражению вида

中产理)+?嘿%噁=与空沪丘".

z значение коэффициента 嘿 остается неопределенным (и обычно выбирается равным нулю: с^ = 0).

Объяснить происхождение этой неопределенное™ в значении с弁.Сохраняется ли подобная неопределенность при вычислении с^ в высших порядках теории возмущений?

Плоский ротатор с моментом инерщш / и электрическим хипольным моментом d помещен в однородное электрическое поле Е& лежащее в плоскости вращения. Рассматривая действие поля как возмущение, на@1м поляризуемость основного состояряя ротатора.

8-10. В условиях предыдущей задачи найти в первых двух порядках теории возмущений сдвиг н расщепление энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Указать правильные функции нулевого приближения. Специально обсудить случаи первого возбужденного уровня.

Пространственный ротатор с моментом инерция / и дипольным моментом d, параллельным оси ротатора, помещен в однородное электрическое поле &, рассматриваемое как возмущение. Найти поляризуемость основного состояния ротатора-

8」2. В условиях предыдущей задачи рассчитать в первом неисчезающем порядке теории возмущений сдвиг энергетических уровней возбужденных состояний ротатора. Каков при этом характер святия вырождения уровней? Происходит ли в высших порядках теории возмущений дальнейшее снятие вырождения?

Найти расщепление первого возбужденного уровня энергии плоского гармонического осциллятора под действием возмущения вида У = а*р (плоскость х. ^—плоскость колебаний) в первом порядке теории возмущений. Указать правил田 ные функции нулевото приближения. Сравнить с точным решением.

То же, что и в предыдущей задаче, для второго воз・ бужденного уровня энергии осциллятора.

Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида вращения, т. е.

8,8,中+ …

8,

8,

中+品＞］，

причем ［。一 6|С с. Найти в первом порядке теории возмущений сдвнг энергетического уровня основного состояния частицы по отношению к уровню частицы в сферической яме такого же объема, как и у эллипсоида.

Обобщить результат предыдущей задачи на случай возбужденных состояний частицы. Обсудить вопрос о характере снятия вырождения по проекциям момента частицы в первом и высших порядках теории возмущений.

Частица находится в центральном поле вида

U(r) =U(r) =exp (ria} — 1exp (ria} — 1

U(r) =

U(r) =

exp (ria} — 1

exp (ria} — 1

причем та”4"2》］.В первом порядке теории возмущений найти отличие энергетических уровней нижней части спектра от уровней энергии в кулоновском поле О(г)=—仇鏡/r. Обратить внимание на святие «случайного» кулоновского вырождения )фовней. Указать условие применимости полученного результата.

То же, что и в предыдущей задаче, для потенциала Юкавы U(г) — —аехр(—г/g)" при условии m“G/幣》1.

Найти приближенный вид волновых функций стаинсн нарных состояний и энергетические уровни нижней части спек『 ра плоского ротатора, имеющего дипольный момент d. в силы ном электрическом поле £0, таком, что /d圏。/自？》1. Указать условие применимости результата-【

Для частицы, находящейся в центральном поле видаи(г)=-<хН 0<р<2,

найти энергетические уровни Enrt дискретного спектра с боль шим значением момента 2》1 (н не слишком большим значе* нием радиального квантового числа п「). Указать условие при* меннмости полученного результата. В случае кулоновского поля (р = 1) сравнить с точным решением задачи.

Найта энергетические уровни «поперечного» движения заряженной частицы в поле бесконечной однородно заряженноЦ пнтн при больших значениях проекции момента частицы на направление нити. Указать условия применимости полученного результата.

包22. Основываясь на результатах задач 2.57 и 2.59, в которых была установлена интегральная форма уравнения Шредингера и для коэффициентов отражения и нрохожденн兄 частиц получены выражения иерез значения волновой функции в обла* сти действия потенциала, обсудить возможность вычисления этих коэффициентов со теории возмущений (в первом порядке). Указать условия применимости проведенного рассмотрения. Сравнить с результатом 837.

Применить полученный результат к полю 17(х), допускающему точное решение задачи (например, 2.47, 2.48» 2.52).

§ 2. Нестационарная теория возмущений.

Переходы в непрерывном спектре

На частицу, находящуюся при f# —8 в основном состоянии в бесконечно глубокой яме шириной а, накладывается слабое однородное поле, изменяющееся во времени по закону：

Р(%, 0 = —"о ехр (—"/);

V(xt 0= —xfoexp(—р|/т);

V(x,，)= -%入/口 +(駆)2].

Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятности возбуждения различных состояний частицы при f f 8. Ука* зать условия применимости полученных результатов.

Линейный осциллятор подвергается воздействию однородного электрического поля, изменяющегося во времени по закону：

а) »")=斜ехр [—(%)智

6)^ (0 в ^о ехр (― I /1/т).

Считая, что до включения поля (при f-^—8) оститлятор находился в л-м стационарном состоянии, найти в нервом по-

рядке теории возмущений вероятности возбуждения различных его состояний при £ — 8.

Решить предыдущую задачу для поля, изменяющегося ио закону

冴(2)s[l +(〃翁]，

при задалпом импульсе силы Pg Обсудить предельные случаи ®Т « 1 Н ST》I.

На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d, нагадывается однородное, переменное во времени электрическое поле &(，) = /Q)8> До включения поля ротатор имел опре- делешюе значение т проекции момента. Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятности различных значений проекции момента и энергии ротатора при / -»- оо. Рассмотреть конкретные зависимости ^(/) вида, указанного в условии задачи 8 24.

Решить задачу, аналогичную предыдущей, для пространственного ротатора, дипольный момент которого параллелен его осн. До включения поля ротатор находился в состоянии с квантовыми числами /,厶匸〃】；электрическое поле направлено вдоль ОСИ 2.

Получить выражение для амплитуды перехода системы из начального (при f ~> —оо)親-го состояния дискретного спектра в конечное (при /-> -}-оо) Л-е во втором порядке нестационарной теории возмущений. Предполагается, что возмущение при / f 士8 равно нулю.

Как известно, применение нестационарной теории возмущений к расчету вероятностей перехода системы из начального п-гс состояния в конечное А-е в первом порядке приводит к амплитудам перехода, равным

8

%=圖=一彳[乙』)//或；匠心

—8

8

/" — 1—弥 § Ущ1(。或.

—8

Величина Wn ~ \аПп]2 представляет вероятность системе остаться в первоначальном состоянии. Если воспользоваться приведенным выше выражением для амплитуды п〃п, то получится Wn > 1» что противоречит сохранению нормировки волновой функции состояния. Объяснить возникающий парадокс и получить закон сохранения нормировки волновой функции состояния с учетом переходов в первом порядке теории возмущений.

В условиях задачи 8.24 нз力ти во втором порядке тем рнн возмущений вероятности переходов осциллятора, запрещен-

ы

ных в первом порядке ). Сравнить вероятности W(n -*■ л ± 2)" и W("f а士 1).

На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и находящийся в основном состоянии, накладывается слабое од- иородное электрическое поле 8(f)三 &(f)n。，лежащее в плоскости вращения ротатора и изменяющееся во времени по закону

才")= [0， У О,一1 玩ехр (—〃■), />0.

Найти во втором порядке нестационарной теории возмущений вероятности переходов ротатора (при ff 8), запрещенных в первом порядке. Сравнить со значениями вероятностей переколов, разрешенных в первом порядке теории возмущений.

8-32. То же, что и в предыдущей задаче, но для пространственного ротатора, находящегося до включения поля в основном состоянии (см. также 8.27).

На систему, находящуюся при / < 0 в n-м стационарном состоянии дискретного спектра гамильтониана 瓦，при / > 0 накладывается возмущение вида 0(。== Rosin з。厶 где 卩Ь от времени не зявйсйт. Найти волновую функцию системы при £ > 0 в первом порядке теории возмущений. Указать условия применимости рассмотрения. Специально обсудить случай когда частота возмущения з。близка к одной из частот перехода ®猊=(聖—Е幣[h (ft-e состояние также относится к дискретному спектру гамильтониана /?о).

На систему, находящуюся при ff —8 в пгм стационарной состоянии дискретного спектра гамильтониана /?о, относящемся к двукратно вырожденному уровню 礫，накладывается возмущение вида R =%[(/), где Ро от времени не зависит, ]〃W 1，"1)f0 при f f—8. Найти волновую функцию системы в «нулевом» приближении в произвольный момент времени. Для простоты считать, что матричные элементы возмущения обладают свойствами

(%)м尸(％)м к °，修)研尸(％)м 三'о；

〃i, 〃2 — два независимых состояния, относящихся к двукратно вырожденному уровню £?)невозмущенного гамильтониана /?о.

При выполнении какого условия для вычисления волновой функции 屮«} в первом порядке теории возмущений можно использовать стандартный подход, изложенный, например, в ре・ теннн задачи 8.28?

На частицу, находящуюся при tvO в основном состоянии в поле 1/(*)』亠窃8(外(см. 2.11), при / >0 наклады- вается слабое однородное поле вида V(л, /) = —xFo sin(»)ot

Найти вероятность 步d«) того, что частица к моменту £ останет* ся связанной в поле ямы. Считать h^Q^ |Ео| (|£о|——энергия связи частицы; для частиц с энергией £》|£0| действие потен* пиала можно рассматривать как возмущение, см. 8.22 и 8-37)< 8-38. Решить предыдущую задачу при произвольной частоте соо возмущения. Может ли частица «покинуть» яму» если 痴о V |Ео|?

Частица находится в одномерном поле U(x); U(x)f О при х->±оо. Рассматривая действие поля как возмущение, найти коэффициенты отражения и прохождения частиц с энергией Е с помощью теории возмущений в непрерывном спектре. Указать условия применимости рассмотрения. Сравнить с результатом задачи 8.22.

§ 3. Внезапные воздействия

В рамках нестационарной теории возмущений получить выражения для вероятностей переходов системы под действием возмущений, характеризующихся следующей временной зависимостью:

мгновенное включение: Р(/)= Pg(£), т. е.

₽(/) =₽(/) =О, /<о,Vo, />0 仇О, /<о,Vo, />0 仇от времени не зависит);от времени не зависит);

₽(/) =

₽(/) =

О, /<о,

Vo, />0 仇

О, /<о,

Vo, />0 仇

от времени не зависит);

от времени не зависит);

«импульсное» действие: P(f)=^o6(/).

Каково условие применимости полученных выражений, если включение (и выключение в случае б)) возмущения происходит не мгновенно, а за конечное время т?

8-39. Система, описываемая гамильтонианом /?о, находится в п-м стационарном состоянии дискретного спектра. При / = 0 гамильтониан системы внезапно изменяется и становится равным (при f >0) Я = Я0+ 底о (自奥 Ко от времени не зависят). Найти вероятности различных стационарных состояний системы при f > 0. В случае малого возмущения 0。сравнить с результатом предыдущей задачи.

40. Гамильтониан системы имеет вид Й = Йо + Т^сб(/)\ При £ V0 система находилась в zi-м стационарном состоянии дискретного спектра. Найти вероятности различных стационар- ных состояний системы при f > 0. Для слабого возмущения 0= %6⑴ сравнить с результатом задачи 8.38.

Для случая % 二—хРс дать наглядную интерпретацию полученного результата.

41. Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной о (0 < х < fl). В некоторый момент времени правая стенка ямы за короткий интервал времени т смещается в точку Ь (6 > а). Найти вероят* ности возбуждения различных стационарных состояний частицы

после остановки стенки. Указать условия применимости полученных результатов. Рассмотреть случай b = 2а.

8-42. Частица находится в основном состоянии в мелкой прямоугольной потенциальной яме шириной о. Внезапно ширина ямы изменяется до значения 6 〜。，глубина ямы яри этом не изменяется. Какова вероятность того, что при этом частица покинет яму? Какова средняя энергия частицы, покидающей яму?

Решить задачу типа предыдущей в случае, когда внезапно изменяется в п раз (п 〜1) потенциальная энергия, т. е_ глубина ямы, а ширина ямы остается неизменной.

8・44・ Частица находится в основном состоянии в б-функцион- ной яме, т. е. !/(»= —а6(%)・ Внезапно параметр а, характеризующий «глубину» ямы, изменяется и становится равным а Найти распределение по импульсам частиц, покидающих яму в результате такого процесса. Считать, что волновые функции непрерывного спектра можно аппроксим ировать плоскими волнами. Указать услсвня применимости полученного результата.

Частица находится в основном состоянии в поле U{x) = =—аб(л). При t =0 яма начинает двигаться со скоростью 匕 Найти вероятность того, что яма увлечет частицу за собой.

Ь.46. На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии» внезапно накладывается однородное электрическое поле, направленное вдоль оси колебаний. Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора после включения поля.

.47. У линейного осциллятора, находящегося в основном состоянии, в момент времени £ = 0 «точка подвеса» начинает двигаться с постоянной скоростью К Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора при f > 0.

4. Адиабатическое приближение

а) Адиабатическое приближение s нестационарных задачах.

&48・ Гамильтониан /?(Д $, ^(/)) некоторой системы, совершающей одномерное финитное движение), явно зависит от времени. Для каждого момента времени f предполагаются известными спектр собственных значений 瓦(f) «мгновенного» гамильтониана и полная система соответствующих ортонормиро- ванных собственных функций 屮《(д, 0*

Записать волновое уравнение для системы в представлении, базисом которого является система функций 屮式q, t).

8Л9_ Гамильтониан системы, охарактеризованной в предыду* щей задаче, является медленно меняющейся функцией времени А Предполагая систему находящейся прн £ = 0 в n-м квантовом

состоянии, найтн ее волновую функцию при f > С 8 первом порядке адиабатической теории возмущений м указать условия применимости результата.

На заряженный осциллятор, находящийся при /->—оо в основном состоянии, накладывается однородное электрическое поле вида:

G 器«)=斬ехр(-|£|/т);

功吁3°(1—>0・

НаПтн вероятности возбуждения различных состояний осциллятора при £— +оо в первом порядке адиабатической теории воз- мущеннй. Указать условия применимости полученных результатов.

На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и находящийся в основном состоянии, при f > 0 накладывается однородное электрическое поле вида 8(/) = ^ (f)n°, где 3(，)= — ^oll ——ехр(—//т)I. Найти функцию распределения по проекциям момента ротатора при £ —十8 в случае dMJ》肥,но 4疗0戸《т%з (сильное медленно включаемое поле),

Частица находится в поле двух б-функцнонных ям

I/У。= 一 а [4 (* — 上也/2)斗 6(х +』(/)/2)].

При ff—8 ямы находились на бесконечно большом расстоя- нии друг от друга и частица была связана одной из ям. Рас- стоянтте между ямами 丄(£) медленно уменымаетси, и в некоторый момент времени Г ямы «сливаются» в одну: U(x) = = —2<х6(х). Какова вероятность того, что при этом частица останется в связанном состояний?

Адиабатическое приближение 日 стационарных задачах.

Гамильтониан системы, состоящей из двух подсистем» имеет вид

方П方也)+ V(修Е)+仇⑥，

где 孤 I——координаты 1-й и 2-й подсистем, V(x, Е) описывает взаимодействие между ннмн. Считая, что характерные частоты 1-й («быстрой») подсистемы много больше характерных частот 2-й («медленной»), свести задачу приближенного вычисления энергетических уровней и соответствующих им волновых функций совокупной системы к решению уравнений Шредингера для отдельных подсистем.

Чапица находится в двумерном лоле U(x,y) вида

^(^^А 戸 /

，■ •： I 8•中 +*> L

•причем b»а. Найти энергетические уровни нижней части спектра и соответствующие им волновые функции.

Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида

вращения, т. е・вращения, т. е・О,О,8，^^"+糸＞8，^^"+糸＞

вращения, т. е・

вращения, т. е・

О,

О,

8，^^"+糸＞

8，^^"+糸＞

причем b « а (сильно сплюснутый эллипсоид). Найти энергетические уровни нижней части спектра и сс^ответствующие им волновые функции.

То же, что и в предыдущей задаче, но в случае b》а (сильно вытянутый эллипсоид).

8-57. Гамильтониан системы имеет вид

育9亲+晶+ '"』■ +。琢|а【＜А.

причем М》m (два связанных осциллятора с сильно различающимися массами)« Найти уровни энергии системы н соответствующие им волновые функции, используя адиабатическое приближение.

Указанная задача допускает точное решение. Найти его и сравнить с результатом адиабатического рассмотрения.

Две частицы с сильно различающимися массамн М》' » m находятся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной а. Частицы взаимодействуют друг с другом как ненр» ницаеыые точки» т. е.

也加—产一叱…《4|Х| —х2|＜е

(迎 2 — координаты частиц) • Найти энергетические уровни ннж・ ней части спектра и соответствующие им волновые функции.

Глава 9

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

1. Квантование энергетических уровней.

Квазиклассические волновые функции

Получить квазиклассическое выражение для уровней энергии линейного гармонического осциллятора. Указать условие применимости полученного результата. Сравнить с точным решением.

Получить правило квантования энергетических уровней и набти соответствующие им квазиклассические волновые фукк- ции в случае потенциала вида, приведенного на рис. 17.

9・3. Получить квазиклассическое выражение для уровней энергии частицы в однородном поле тяжести в случае, когда ее движение ограничено снизу идеально отражающей плоскостью. Указать условие применимости полученного результата (несмотря на то, что для нижних энергети- U佃)*нескнх уровней n ~ I квазиклассическое

приближение формально неприменимо,

才полезно сравнить полученный результат

夕/ для п — 0 с точным значением энергии

，^彳 ^Z^ — основного состояния (см. 2.15)).

/『 z 9.4・ Для частицы, находящейся в поле

” U(x) = t/0|x/af; I/。〉" v>0,

为найти в квазиклассическом приблли<е-

Рис. 17.нии, как изменяется расстояние между

соседними уровнями энергии с увелнче- иием п в зависимости от значения параметра v. Какова плотность состояний дискретного спектра?

Найти в квазиклассическом приближении плотность состояний дискретного спектра частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с одним минимумом у потенциальной энергии.

Потенциальная энергия частицы вблизи точки 均 имеет вид 1/(х)а 士а|% —*o[f; ”>0. При каких значениях параметра V решение уравнения Шредингера в окрестности этой точки имеет квазиклассический вид? Имеет ли решение квазн・ классический вид при v = 2?

Для частицы в центральном поле U(r) = —aL; а >0, V >■ 0, выяснить, в какой области пространства решение уравнения Шредингера для «-состояния с энергией £ = 0 имеет ква- зиклассический вид.

Используя квазиклассическое приближение, найти верх・ «ие энергетические уровни дискретного спектра (т. е. уровни с £л-э-0) частисы в поле U(x) вида

U ⑺吟 *>a 3>®

I 8» х<а.

Указать условия применимости результата.

9£・ Получить в квазиклассическом приближении волновые функции и энергетические уровни s-состояний частицы в куло・ невском поле 0 (，) = —а/r. Результат сравнить с точным решеч нием задачи.

9J0. Обобщить результат предыдущей задачи на случай центрального поля вида U(r)= ——ccL; 0 V『V 2. '

9Л t. Обобщить результат задачи 9.9 на случай стационарных состояний частицы в кулоновском поле с отличным от нуля мен ментом.

Используя квазиклассическое приближение, найти значения параметров потенциала

1/(*) = -1/(*) = -劣足 ("十吟4 ,劣足 ("十吟4 ,

1/(*) = -

1/(*) = -

劣足 ("十吟4 ,

劣足 ("十吟4 ,

отвечающие появлению новых состояний дискретного спектра частицы при углублении ямы. Указать условия применимости результата.

То же, что и в предыдущей задаче, в случае потенциала

U(x) =U(x) =%d鄒十炉.%d鄒十炉.

U(x) =

U(x) =

%d

鄒十炉.

%d

鄒十炉.

Частица находится в потенциальной яме U(x). имеющей при %f ±оо вид U(x)s]x]f; V > 2.

Получить в квазиклассическом приближении формулу, определяющую значения параметров потенциала, при которых в поле появляются новые состояния дискретного спектра по мере углубления ямы.

Для частицы, находящейся в поле U(x) = U^\xla\^ ；(Uo > 0, v >0), выяснить, при каких значениях параметра v можно использовать стандартные формулы квазиклассического рассмотрения: правило квантования Бора — Зоммерфельда и условия сшивания квазиклассических волновых функций в окрестности точек поворота, основанные на линейной аппроксимации потенциальной энергии.

Исходя из правила квантования Бора — Зоммерфельда, получить выражение для смещения энергетических уровней частицы при изменении потенциальной энергии на малую величину 61/(х).

Показать, что результат согласуется с полученным в первом порядке стационарной теории возмущений.

Доказать теорему вириала в рамках квазиклассического приближения.

Считая известным энергетический спектр частицы Е〃, найти ее среднюю кинетическую энергию в n-м стационарном состоянии при 〃》L

9-19. В квазиклассическом приближении наАтн матричные элементы Fmn оператора F вида А=尸(尤)в случае |т — 〃| 〜1, т. е. между близкими по энергии состояниями. Установить соответствие между матричными элементами Fmn и фурье-компо- нентав】"戶$ функции F(*(f)) в классической механике:

F(x(£))= £ Ее吗 E = ；\Fa(f))eT$w風

S・一80

где Г = 2л/о — период движения в рассматриваемом поле классической частицы с энергией, равном Еп а £«.

Найти в квазиклассическом приближении матричные элемент ты координаты осциллятора и Сравнить их с точными значениями.

9.20. Обобщить результат предыдущей задачи на случай оператора F«=F(6)・ Функцию F(2)считать представимой в виде ряда F==Eca上.

9.2L Поле U(к) представляет собой две одинаковые потенциальные ямы (/ и I/, см. рис. 18), разделенные барьером. Если бы барьер был непроницаем для частицы, то существовали бы уровни энергии» отвечающие движению частицы только в одной из ям (первой или второй)» одинаковые для обеих ям. Возможность прохождения через барьер

4^ приводит к снятию вырождения н расщёплению каждого из этих уровней на два близких уровня, соответствующих состояниям, в которых частица двн・

Рмс. 18.жегся одновременно в обеих

ямах.

Определить величину расщепления уровней в квазиклассяче- ском приближении.

9・22. Используя квазиклассическое рассмотрение, получить правило квантования момента 駐 найти асимптотический вид ша・ ровых функций 匕加.

Указать условия применимости полученных результатов.

9.23, То же, что и в предыдущей задаче, но в случае 2 -1叫~ 1 (]"1》1).

9,24. То же» что и в предыдущих двух задачах» в случае |т| ~ !•

9・25・ Исходя из решения уравнения Шредингера для линей* него осциллятора в квазиклассическом приближении, найти асимптотику полиномов Эрмита Нп(х) при /if ©о (и @нкснро・ ванном х).

§ 2. Прохождение через потенциальные барьеры

Вычислить в квазиклассическом приближенш] коэффициент прозрачности параболического барьера вида

〃“、一，"a-*%9 "IV/

Указать критерий применимости полученного результата (при этом специально обсудить случай медленных частиц Ет —0).

Оценить в квазиклассвческом приближении коэффи* пиент прозрачности барьера вида

正设-①,正设-①,х<0,х> 0.х<0,х> 0.

正设-①,

正设-①,

х<0,х> 0.

х<0,х> 0.

Какова точность полученного результата (сравнить с 9.31 и 9.32)?

0.28, То же, что и в предыдущей задаче, для барьера вида

U(х) -{ %ехр(—戈/力,U(х) -{ %ехр(—戈/力,兀<0.х> 0兀<0.х> 0

U(х) -{ %ехр(—戈/力,

U(х) -{ %ехр(—戈/力,

兀<0.

х> 0

兀<0.

х> 0

(см. также 9.31).

Вычислить в квазиклассическом приближении коэффициент прозрачности барьера

"（*）= $（：/沪

Полученный результат сравнить с точным (см. 2.52).

В квазиклассичесйом приближении найти коэффициент прозрачности барьера

叱毋

при Достаточно малой энергии частиц.

Найти предэкспоненциальиый множитель 日 ква^иклас- смчешом ш^жшнп для коэффициента проэрачности барьера вида

"("={£),"("={£),х<ах>0х<ах>0

"("={£),

"("={£),

х<а

х>0

х<а

х>0

(предполагается, что при * > 0 выполнены условия примени* мости квазиклассического рассмотрения).

В выражении для коэффициента прозрачности барьера, рассмотренного в 9.27, сделать поправку на предэкспонениналь- ный множитель согласно результату предыдущей задачи и срав- вить с точным решением (см. 253).

Обсудить условия применимости стандартного квазн・ классического выражения для коэффициента прозрачности барьера Q(E) =ехр[—"I"，l,|d%] в случае потенциала, убывающего при 尤f 土8 степенным образом: t/(x)oo|x|^*—для ма・ 刁нх энергий частицы £+0. Найти закон убывания Р(£) при Е f 0» когда эти условия выполнены.

9-34. Найти коэффициент прохождения частиц через квази- классический барьер при энергии частиц £()=厶継三 U(№), т. е. равной максимальному значению потенциальной энергии

(р«с. 19). Предполагается U"(哦#6 Указать условия приме* нимости полученного результата и в случае потенциала, указанного в задаче 9.29, сравнить с точным значением (см. 2.52).

Глава 10

ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ

§ 1. Симметрия волновых функций

Для системы из двух одинаковых частиц со спином s найти число различных спиновых состояний, симметричных и антисимметричных по отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц.

Каков характер симметрии спиновых состояний с определенным значением суммарного спина обеих частиц?

Пусть функции q)j (г) представляют пространственные

части волновых функций стационарных состояний частицы в некотором внешнем поле. Две такие одинаковые частицы, имею* щие спин s и слабо взаимодействующие друг с другом, находятся в этом поле в орбитальных состояниях с заданными квантовыми числами fi и 没

Найти общее число состояний с учетом спиновых степеней свободы, считан, что частицы являются； а) бозонами; 6) фер・ мионами. '

Рассмотреть случаи одинаковых и различных квантовых чи* сел 扭 2.

Ю.З. Показать, что если п тождественных частиц со спином

с находятся в различных орбитальных состояниях<₽ь (г), <р^(г),...

спиновыхспиновых• ・・，Ф (г), то общее число состояний с учетом

спиновых

спиновых

степеней свободы равно О =(2у + Ъл независимо от того, ка・ кой статистике подчиняются частицы.

Пусть W/,(&) являются нормированными на единицу волновыми функциями одночастичныл состояний ①一совокупность квантовых чисел полного набора; | = (г,а), о — спиновая пе- ременная). Написать нормированные на единицу волновые функции состояний системы из трех тождественных бозонов, находящихся в состояниях с квантовыми числами fi, &,，з・

Три тождественных бозона со спином s = 1 находятся в одинаковых орбитальных состояниях, описываемых волновыми функциями <р(г). Написать нормированные волновые функции возможных независимых состояний системы указанного вида с учетом спиновых степеней свободы. Каково число таких состояний?

Три одинаковых, слабо взаимодействующих друг с другом бозона со спином s = 0 находятся в стационарных состояниях с одинаковыми квантовыми числами 九.и /, причем /= 1, в некотором центральном поле. Каково чмыо различных состояний системы указанного вида?

В условиях предыдущей задачи показать, что суммарным момент 厶 системы трех бозонов не может принимать значения £ = 0.

10-8. Для состояния системы из двух одинаковых бозонов со спином 5 = 0, описываемого нормированной волновой функцией 屮(ri,;—, указать вероятность того, что одна частица находится в объеме dVi, а другая — в dV^ Убедиться в правильности нормировки полученного выражения.

Каковы вероятности того, что

с) обе частицы находятся внутри некоторого объема 匕

одна частица нахолится внутри объема V» а другая — вне этого объема?

В системе из двух одинаковые бозонов со спином s = 0 одна частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией 巾|(「)，2 другая —*2(г)・ Эти функции нормированы на единицу и имеют определенные» причем противоположные, четности. Найти в указанном состоянии системы распределение по координатам одной частицы при произвольном (не фиксированном) положении другой. Каковы вероятности того, что

а) одна частица; б) обе частицы

находятся в области пространства 2^0? Сравнить полученные значения со случаем различимых частиц.

Решить задачу, аналогичную предыдущей, для случая системы, состоящей нз двух одинаковых фермионов, находящихся в одном и том же спиновом состоянии.

Для системы из двух одинаковых бозонов со спином s = 0 найти функцию распределения по относительному рае стоянию между частицами. Как проявляется в получением распределении тождественность частиц? Какой смысл имеет

выражение

J|V(r,r)prfr

(屮(ri,「2)—нормированная волновая функция системы)?

Как известно, в задаче двух тел движение центра масс и относительное движение незавнсимы. Убедиться в том, что условие симметрии волновой функции системы тождественных частиц по отношению к их перестановке не нарушает этой независимости.

Какие значения может принимать суммарный спин S двух тождественных бозонов со спином s в состоянии с относительным орбитальным моментом £ (£—момент в с.ц.и.), т. е. какие состояния 2S^L возможны в системе из двух тождественных бозонов? Рассмотреть, в частности, случай бозонов со спином s =0.

То же, что и в предыдущей задаче, но для тождествен* ных фермионов. Специально рассмотреть случай фермионов со спином 1/2.

Два тождественных бозона со спином s = 0 связаны потенциалом 0 =应(门一収产/2. Каков энергетический спектр системы?

Система состоит из трёх Тождественных частиц; И.2, з — радиусы-векторы частиц в системе центра инерции. Как ведет себя величина 门门 при перестановке местами Ьй н 3-й частиц? Снмметрнзоватъ указанную величину по отношению к перестановке любых двух частиц системы.

I0J7. Показать, что в системе из трех частиц (не обязательно тождественных) состояния с суммарным орбитальным моментом £ =0 в с-ц-и. имеют определенную, положительную четность.

2. Основы формализма вторичного квантования

Найти коммутационное соотношение для операторов, представляющих эрмитову и аитиэрмитову части бозевского one-* ратора уничтожения А (или рождения &+)・

Построить из операторов координаты £ н импульса 户 частицы операторы 6 и £+, обладающие свойствами бозевских операторов уничтожения и рождения.

Найти волновую функцию 也(%) состояния частицы, которое в терминах фиктивных «частиц», операторами уничтожения и рождения которых являются введенные выше 6. £+. является вакуумным.

Найти собственные функции и собственные значения операторов рождения и уничтожения. В рассматриваемых состояниях найти распределение по числу частиц.

Обсудить случаи бозевскик н фермиевских операторов.

Исходя из антикоммутацио1шых соотношений для фермиевских операторов уничтожения b и рождения 我 показать, что собственные значения оператора числа частиц п — Ь^ равны 0 и 1.

*0.22. Является ли переход от операторов 6, 6+ к новым операторам V = d + а, 6, = 6+ + а・(а— комплексное число) унитарным преобразованием? Рассмотреть случаи фермиевских и бозевских операторов рождения и уничтожения.

Провести анализ состояния вакуума <новых> частиц ”〉 (частиц, операторами уничтожения н рождения которых являются 〃,6'+) в терминах исходных частиц, т. е. найти распределение по числу этих частиц.

То же. что и в предыдущей задаче, для преобразовав ния вида

夕=0«+做。"+ = а«* + р4

(а, р — вещественные числа； предварительно выяснить, при каких значениях а, р указанное преобразование является унитарным).

Можно ли для преобразования вида

V =介，产Пd

рассматривать d‘. &'+ как операторы уничтожения н рождения некоторых новых частиц?

Провести анализ состояний |п*> (т. с_ состояний с определенным значением п новых частиц) в терминах исходных частиц.

Пусть операторы 婚 являются операторами рождения частицы в состоянии 屮龟(厶一совокупность квантовых чисел полного набора). Произвольное одночастичное состояние J!> можно представить в виде

]1)=中附"

Какой квантовомеханический смысл имеют коэффициенты GJ Рассмотреть, в частности, одночастичное состояние бесспино- вой частицы вида

|!)=Jq)(r)W+(r)rfr|O>.

Операторы 寸才,6& и 6之,&賑 являются операторами рождения н уничтожения частицы в состояниях, определяемых квантовыми числами 力 и gk двух различных полных наборов.

Указать соотношения между этими операторами.

ДвукчастичнОе состояние системы тождественных бозонов (или фермионов) уписывается вектором состояния

77

12〉=6扌竺I 0), где 筲一оператор рождения частицы в состоянии, определяемом квантовыми числами ft некоторого полного набора.

Нормировать вектор состояния на единицу. Рассмотреть слу・ чаи одинаковых н различных квантовых чисел fi и &• Указать вид нормированных волновых функций рассматриваемых состоянии в координатном представлении (как для бозонов, так и для фермионов).

То же, что и в предыдущей задаче, для трехчастичного состояния |3)=州纬£計6・ Для определенности ограни- читься случаем, когда все три набора квантовых чисел fi, %, h различны.

Ю_29. Для системы тождественных частиц определенного сорта указать вид следующих операторов в пространстве чисел заполнения:

гамильтониана /?, считая частицы свободными;

суммарного импульса Р;

радиуса-вектора центра инерции Кц. и.

10血.Используя результаты предыдущей задачи, найти оператор скорости центра инерции VUrH системы из N тождественных свободных частиц.

. Для системы, состоящей из одинаковых частиц, найти в представлении чисел заполнения вид операторов плотности числа частиц й(г) (в точке г пространства) и числа частиц №(и), находящихся в некотором объеме о.

Доказать соотношения

匝 ®(可-=熊左中(0 [Р,审V)L =小小审文必

где Р, Ф(г) *— операторы импульса и поля (屮-операторы) в представлении чисел заполнения для системы тождественных бозонов со спином S = 0.

Обобщить соотношения на случай бозонов с отличным от нуля спином и на случай фермионов.

Найти в представлении чисел заполнения сид оператора 产 квадрата аддитивной величины (尸= Efa)・

Задачу предлагается решить двумя способами:

о) исходя из равенства F2 = FF и используя известный вид одночастичного оператора (см. 10.29“

б) исходя из равенства

(S f 脸)У = . f 2 %) + 卫 J &) f 脸)

и используя стандартный вид одно- и двухчастичных операторов в схеме вторичного квантование

Сравнить полученные результаты,

Найти в представлении чисел заполнения оператор произведения плотностей числа частиц zii& в различных точках пространства г】，г2 (门喚 r2).

Отметим, что среднее значение й^ используется для описания пространственной корреляции флуктуапнй плотности (см. 10.36 н 10.38).

§ 8. Системы из большого числа V》1 частиц

В основном состоянии бозе-газа из N невзаимодействующих частиц со спином s =0, находящихся в объеме 匕 найти среднюю плотность числа частиц, среднее число частиц в некотором объеме и и флуктуацию этого числа частиц.

Задачу предлагается решить усреднепием соответствующих операторов в представлении чисел заполнения.

В условиях предыдущей задачи рассмотреть пространственную корреляцию флуктуаций плотности числа частиц. Для однородной системы она характеризуется корреляционной функцией v(r) (г = 口 一「2), равной

а (г)=瓦｛"@ -献｝的 三 «fri) и т. д.),

где й—средняя плотность числа частиц.

Сравнить с соответствующим результатом для системы из N классических не взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся в объеме 忆

В основном состоянии системы из N не взаимодействующих друг с другом фермионов» находящихся в объеме У (идеальный фермн-газ), найти среднюю плотность чмела частиц и среднее число частиц б некотором объеме v.

Задачу предлагается решить усреднением соответствующих операторов в представлении чисел заполнения. __

В условиях предыдущей задачи рассмотреть корреляцию плотностей числа частиц с определенными значениями проекцин енмна на ось 2 в различных точках пространства; найти л(гь s^i)л(Гг, s^2)и сравнить с произведением "«i.&DX Х〃(г?, s^2)・ Рассмотреть случаи различных и одинаковых значений Sz| и Sa

Найти корреляционную функцию плотности (см. 10-36)<

Рассматривая взаимодействие между частицами как возутущенпе, найти в первом порядке теории возмущений энергию основного состояния бозе-газа, содержащего ^ часгиц со спином 5 = 0 в объеме V (взаимодействие частиц друг с другом описывается короткодействующим парным потенциалом отталкивания l/(iro — rfc |)^：0).

То же, что и в предыдущей задаче, для фермн-газа частиц со спином s = 1/£. Предполагается, что потенциал

парного взаимодействия не зависит от спина и удовлетворяет условию 犬гАо《1, где R。—радпус потенциала, ftftF—гранича ный импульс.

・ Идеальным ферми-газ нейтральных частиц со спином £=1/2, имеющих спиновый магнитный момент цо (так что |1 = 1十输),находится во внешнем однородном магнитном поле.

Для основного состояния рассматриваемой системы найти:

числа заполнения одночастичных состояний;

магнитную восприимчивость газа (в случае достаточно слабого поля).

Взаимодействие магнитных моментов друг с другом пренебрежимо мало.

Глава 11

АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ

1. Стационарные состояния атомов с одним

н двумя электронами )

Найти поправку к уровням энергии водородоподобного атома ) за счет релятивистской зависимости массы частицы (электрона) от скорости в первом порядке теории возмущений. Сравнить величину поправки со значениями энергетических уровней атома.

Для бесспиновой частицы полученный результат дает тонкую структуру уровней водородоподобного атома. В случае же электрона, как это следует из уравнения Дирака, кроме рассмотрен- ной поправки в гамильтониане имеется еще одно слагаемое, описывающее так называемое спин-орбитальное взаимодействие, вклад которого в смещение уровней атома имеет такой же порядок величины, как и рассчитанная в данной задаче поправка.

Вычислить в первом приближении теории возмущений сдвиг энергетического уровня основного состояния водородоподобного атома, обусловленный неточечностью ядра. Ядро считать сферой радиуса R, по объему которой равномерно распре， делен заряд Ze. Оценить численное значение поправки н срав- нить ее с релятивистскими эффектами (см. предыдущую задачу). Насколько существенна неточечность ядра 心я ji-мезоатома?

Исследовать движение отрицательно заряженного ^мезона (мюона) в поле ядра заряда Ze (рассматриваемого как

сф^ра радиуса R, однородно заряженная по объему; R = =1,2"1/3.]0-13 см, A a 2Z, А — атомиый номер ядра); вэакмо действие мюона с ядром имеет чисто электростатически! характер.

Найти волновые функции стационарных состояний и уровнн энергии мюона в предельных случаях малых и весьма больших значений Z. Оценить энергию ^-квантов, излучаемых при атом- ных переходах в нижней части энергетического спектра рмезо^ атома.

11・4. Рассмотреть сверхтонкую структуру уровней s-состояний водородоподобного атома, связанную с взаимодействием магнитных моментов электрона н идра_ Ядро имеет спин / и магнитный момент 兩，так что 口=乎f\ и предполагается точечной частицей. Оценить величину сверхтонкого расщепления и сравнить ее с интервалами тонкой структуры (см. задачу 11.1; характерные значения магнитных моментов ядра имеют величину eh/ntpC, mp — масса протона, /〜1).

В случае атома водорода сравйить полученный результат с экспериментальным значением сверхтонкого расщепления (HFS) основного состояния Avhfs 三 AEhfs/2冗亢=1420 МГц); магнитный момент протона равен рр = lt39efi//?ZpC_

t L5. Рассчитать в перовом порядке теории возмущений мер- гию основного состояния' Двухэлектронного атома (или иона)г рассматривая взаимодействие между электронами как возмут* нне. Получить значение потенциала ионизации системы н срав- нйтъ его с экспериментальными данными для атома гелия и ионов лития, бериллия, углерода: /(Не) = 24,5 эВ; /(Li+) = =75,6 эВ； /(Ве++)= 153,6 эВ； /(С"+) = 393 эВ.

*1.6. Рассчитать в первом порядке теории возмущений 9нер・ гию основного состояния н потенциал ионизации двухэлектрон* ного атома (или нона), выбрав невозмущенный гамильтониан в виде

а0П _ 白& + %)- %4 G + 3

(использована атомная система единиц). Параметр Z^ в этом гамильтониане выбрать из условия обращения в нуль поправки первого порядка к энергетическому уровню системы. Сравнить с результатом предыдущей задачи (см. также следующую задачу).

“・7. Найти анергнго н потенциал ионизации основного состояния двухэлектронного иона, исходя из вариационного принципа. В качестве пробной функции взять произведение водородных функций с некоторый эффек^Авным зарядом Z」@, играю- щкм роль вариационного параметра. Сравнить с, результатом

задачи 115 и с приведенными там эксперимеитальными данными.

Можно ли на основании полученного результата сделать вывод о существовании устойчивого иона водорода Н~?

Найти среднюю энергию двухэлектронного иона с зарядом ядра Ze в состоянии, описываемом волновой функцией вида

中 S,厶)=c[exp (- он - 0在)+ exp (- РГi —0初.

Воспользовавшись полученным выражением и выбрав значения параметров а = 1, 6 = 0,25, доказать существование стабильного иона водорода Н_,

1L9. Найти приближенно энергетические уровни дискретного спектра и соответствующие им волновые функции для системы, состоящей из ядра с зарядом Z爲 электрона и ц_-мезона.

Рассчитать сверхтонкое расщепление триплетного 235-состояния атома гелия с ядром §Не (спин ядра / = 1/2, магнитный момент ц =—1,064е克/т“)・ При вычислениях использовать приближенный вид волновой функции 235-состояния, получающийся в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом Сравнить полученный результат с экспериментальным значением величины сверхтонкого расщепления △*hfs = AEhfs/2rA 冷 6740 МГц.

1L1L Какие значения может принимать момент относительного движения электронов в орто- и парасостояниях гелнеподоб- ных атомов?

[1.12. Найти уровни энергии и потенциалы ионизации воз・ бужденных состояний гелиеподобных атомов в приближении, в котором взаимодействие между электронами эффективно учитывается как экранирование заряда ядра электроном, находящимся в основном, ls-состоянии. Сравнить полученный результат с экспериментальными данными, приведенными в решении задачи.

Рассчитать энергетические уровни и потенциалы ионизации синглетного и триплетного 25-состояний двухэлектронного атома (или иона), рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение.

Сравнить полученные результаты с эксперимента л ьпыьти данными для атома гелия- /не (23S)« 0,175 ат. ед. « 4,76 эВ, /не (2〔5) «0,146 ат. ед. « 3,97 эВ —и иона лития Li+: /Li+ (23S) a j 比&605 ат. ед.冷 16,5 эВ-

IIJ4. Найти энергию и потенциал ионизации 2а5хостояния гсл неподобного атома вариационным методом. В качестве пробной функции взять должным образом симметризованное произведение водородных функций 1s- н 25-состояний с некоторым эффективным зарядом ядра 2эффг играющим роль вариацион^ ного параметра.

в случае атома гелия и иона лития L1+ сравнить полученный результат с экспериментальными данными (см. 11.13).

Показать, что у гелиеподобных атомов все устойчивые возбужденные состояния (т. е. стабильные относительно распада на соответствующий водородоподобный атом и свободный электрон) имеют электронную конфигурацию Isnl, т. е. один нз электронов обязательно находится в основном, Is-состоянии-

Обобщить результат предыдущей задачи на случай литиеподобных атомов (три электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze, Z > 3): показать, что устойчивыми являются только такие состояния системы, электронная конфигурация ко- торнх имеет вид (ls)2nlf т. е. два электрона обязательно находятся в основном, 15-состоянии.

• •.17. Оценить значения потенциалов ионизации основного 2S- (электронная конфигурация (ls)22s) н первого возбужденного 2Р-состояний (электронная конфигурация (ls)22p) литиеподобного атома, считая, что взаимодействие электронов, находящихся в основном состоянии, с «возбужденным» электроном сводится к экранировке на 2 величины заряда ядра-

В случае атома литая сравнить полученные значения с экспериментальными: /(2S) = 5,37 эВ и 1^Р) = 3,52 эВ.

1L1& Рассчитать вариационным методом энергию основного состояния литиеподобного атома. Волновые функции электро^ нов выбрать в виде соответствующих водородных функций с эффективным зарядом ядра 2Эфф, играющим роль вариацион' ного параметра.

Расчет провести двумя способами:

с) пренебрегая обменными эффектами;

) взяв в качестве волновой функции должным образом снм・ метризованное произведение одночастичных волновых функций.

В случае атома лития сравнить полученные результаты с экспериментальным значением Е° # —2ОЗД эВ а —7,48 ат. ед-

2. Многоэлектронные атомы

• 1.19. Найти возможные термы возбужденных состояний атома с электронной конфигурацией (сверх заполненных оболочек; 九，f/):

a) nsn'p; б) пргг'р； в) npKd.

Н.20. Найти возможные термы атома со следующей элек- тронной конфигурацией (сверх заполненных оболочек):

а)(叩户；6)(叩)s； а)(冊)4; г) (nd)2.

Пользуксь правилом Гуида, указать нормальный терм атома.

1L21. Определить основные термы атомов N, С1 и ионов №. С1+.

11・22. Какова четность атомных термов, имеющих электрон* ную конфигурацию (сверх заполненных оболочек)上

。)«$)/； 6) К摩尸；в) (ш/)、a) inp)^nd)^

41・23・ Указать атомные термы, возможные длй электронной конфигурация (就)，

Каковы мультиплетность 2S + 1 и полный орбитальный момент L основного состояния атома с электронной конфигурацией (л/)* сверх заполненных оболочек?

Каково число различных независимых состояний (не термов!) атома, отвечающих электронной конфигурации (川尸 сверх заполненных оболочек?

Какое число различных независимых состояний атома, имеющего электронную конфигурацию (п/)8, отвечает значению S =3/2 суммарного спина электронов?

Возбужденным состояниям атома, имеющим электронную конфигурацию nsn'l (〃，『/), отвечают два терма:必 н 也 (L—суммарный орбитальный момент, L = /). Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение, показать, что энергия триплетного терма ниже энергии синглетного. Вид радиальных функций ns、и ^/-электронов не конкретизировать,

Атом содержит сверх заполненных оболочек два эквивалентных лр-электрона. Рассматривая взаимодействие между электронами как возмущение, найти порядок расположения эпергетических уровней возможных термов 】S,⑵，2Р атома. Убедиться в том, что значения квантовых чисел S н L нормального терма подтверждают правило Гунда.

Указание. При составлении правильных функций «нулевого» приближения, отвечающих определенному значению L момента, удобно использовать тензорный формализм (см. задачи § 4 главы 3). Явный вид радиальной зависимости волновых функций лр-электронов не конкретизировать.

Используя выражение для электронной плотности не*， трального атома согласно модели Томаса — Ферми, найти зависимость от Z среднего расстояния электрона от идра н_сред- него значения квадрата этой величины- Каково значение гп для 心3?

Найти распределение электронов по импульсам в нейтральном атоме с зарядом ядра Z согласно модели Томаса—^ Ферми. Учесть, что универсальная функция %(х) этой модели» определяющая объемную плотность электронов, монотонно убывает с ростом *・

Используя полученный результат, найти зависимость от заряда ядра 2 средних величии импульса и кинетической энергии электрона.

В рамках модели Томаса — Ферми для нейтрального 紀тома найти зависимость от заряда ядра Z:

характерной величины орбитального момента электрона;

энергии полной монизащ|и атома. ,

11.32. Определить зависимость от Z числа электронов распределения Томаса —Ферми, находящихся в s-ёостоянищ

3. В модели Томаса — Ферми для нейтрального атома выразить через электронную плотность л (г) кинетическую энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с другом н с ядром.

Используя полученные выражения, теорему вириала и поведение на малых расстояниях г—>0 электростатического потенциала самосогласованного поля электронов и ядра

①⑺q_l,80Z叱

получить численное значение энергии полной ионизации атома.

В приближении Томаса — Ферми получить выражение для полной энергии нейтрального атома через электронную плотность п(г).

Рассматривая функционал Е[п(г)], показать» что нормнро、 ванная функция ^n(r)dV = Z^3 минимизирующая этот функционал, является решением уравнения Томаса — Ферми.

Используя полученный результат, найти энергию полной ионизации атома вариационным методом, выбрав универсала ную функцию х(х) модели в виде %Проб(х) = А ехр(—ах), а 一 вариационный параметр. Срайнить полученное выражение плк энергии ионизации н пробную функцию %прос(х) при малых л с известными результатами точного численного решения.

Используя экстремальные свойетва функционала Е [〃(/)], установленные в предыдущей задаче, доказать в рамках модели Томаса — бермн:

а) теорему вириала; 6) соотношение 6姫=TUg между энергиями взаимодействия электронов друг с другом С/е® и с ядром U^^

Основные представления теории молекул

Произвести классификацию возможных термов молекулярного иона водорода Н扌•). Указать, какие значения может прнннмать орбитальный момент электрона L (по отношению к центру симметрии иона) для различных термов иона_

Состояние системы из двух электронов описывается волновой функцией 史=履評(门,心)，где х«₽ — спиновая функция, а функция ф(Г1, г2) пространственных переменных имеет вид：

•) Отметнм, что в задачах, связанных с класспфшиищей термов молекул, речь идет об описании некоторых формальных свойств атомных систем при фиксированкО1в положении ядер, так как ори этом остается открытым вопрос об устойчивости такой системы по отношению к «развалу» ее на отдельные атомы (или ионы). В случае иона Н[ устойчивым является только одно, £g-состояние (А=0).

a)池=f(门"2)；

G < = (Г1По + T^f[rU /-2)；

6)t =([Г1Г2]По)^(ГЬГ2)；

г) ♦ = (гто + 门现)(『同 no)f(，1•，2)

(n0——постоянный вектор).

Произвести принятую в теории двухатомных молекул классификацию указанных состояний.

Указать термы молекулярного иона водорода Н$» которые могут получиться при соединении протона и атома водорода, находящегося в состоянии с главным квантовым числом л =2.

Определить термы двухатомных молекул Nq LiH, HCi, NO, которые могут получиться при соединении соответ- ствующнх атомов, находящихся в основном состоянии.

11-40. Могут ли в результате адиабатического разведения ядер — протонов из термов молекулы водорода Н2 полниться два атома водорода, оба находящиеся в возбужденных состояниях?

Может ли в результате адиабатического разведения ядер из термов молекулы LiH получиться атом водорода, находящийся в возбужденном состоянии (напомним, что потенциал ионизации основного состояния атома лития равен / = = 0,20 ат. ед.)?

11Л2. Для двухатомной молекулы оценитьж по порадку величины, отношение сле^ющих величин:

интервалов мевду электронными, колебательными и вращательными уровнями；

межъядерного расстояния н амплитуды нулевых колебаний ядер;

характерных периодов н скоростей электронных и ядер- нмх движений.

Считая известными следующие характеристики моле^ кулы водорода Н2:

энергию диссоциации основного состояния молекулы на два невозбуждеиных атома водорода /о = 4,46 эВ;

частоту колебаний Se молекулы, Йо)г = 0,54 эВ;

ротационную постоянную 屍= 7,6・ i(H зВ, найти соответствующие величины для молекул HD и Dg, т. е- молекул, в которых одно или оба ядра —протоны заменены на дейтрон.

Сравнить величины эффекта изотопического смещения у ров* ней атома и молекулы водорода.

Каковы возможные вращательные состояния молекул водорода Н% дейтерия D2 и HD, находяшнхся в основном,货《со стоянии» в зависимости от значения суммарного ядерного спина молекул (s(i = 1}?

1L45. Обсудить вопрос о возможности существования отличного от нуля среднего электрического дипольного момента двух* атомной системы в стационарных состояниях:

электронного терма, т. е. электронной подсистемы с фиксированным положением ядер;

молекулы.

Рассмотреть состояния с различными значениями Л (Л =0 и Л^О) и случаи, когда ядра атомов являются：

а) тождественными; б) изотопами одного н того же элемента； в) различными.

Получить выражение для энергии Ec(R) основного терма молекулярного иона водорода Н； вариационным методом, аппроксимируя волновую функцию терма функцией вида

аг

где г — расстояние электрона от центра отрезка, соединяющего ядра — протоны, а — вариационный параметр.

Выбрав в полученном выражении 瓦(R, а) параметр а == 1,9 (при таком значении а функция двух переменных Ео(/?»а), имеет абсолютный минимум при некотором R% подлежащем определению), найти размер нона Ro (/?©—расстояние между ядрами иона в положении равновесия)» минимальную энергию терма Со н энергию нулевых колебаний ядер — протонов нона £кол. о- Сравнить полученные результаты с экспериментальными данными R。■ 2,0 ат. ед., Е。——0,60 ат. ед., Екол.о« 右 0,0044 ат. ед・

Можно ли на основании решения данной задачи сделать вывод о существовании стабильного иона Н；?

Для системы из двух частиц, одна из которых имеет момент h = 1. найти угловую зависимость волновых функций 4/%а состояний системы, отвечающих определенным значениям ее суммарного момента J = 0,i, его проекции Л на ось z н проекции момента Л на направление радвуса-вектора второй частицы (при этом ограничиться случаем Л =0).

Обобщить полученные результаты на случай произвольных значений величин 厶,J, Л (но по-прежнему Л = 0).

Указание. При решении задачи удобно использовать тензорный формализм (см. 3.68). Состояния подобного типа реализуются в двухатомных молекулах, причем в роли «первой» ча« стицы выступает электронная подсистема, а в роли «второй» — ядерная (правда, орбитальные моменты электронов и ядер в отдельности не имеют определенного знаиення).

Для частицы со спином s= 1/2 найти спин-угловую еавнсимость волновых функций 屮丿》состояний частицы с определенными значепиями /= 1/2 суммарного момента ча* Станы, его проекции Jx = ±1/2 на ось z н с определенной

проекцией Л (Л= ±1/2) спина частицы на направление ее ра， дмуса-вектора. Каковы орбитальный момент частицы и четность таких состояний?

11-49. Найти уровни энергии и соответствующие волновые функции стационарных состояний асимметричного волчка с моментом J = 1 в /г/с-представленин.

Главные моменты инерции асимметричного волчка удовлетворяют условиям ，i ~ "》4- Найти уровни энергии волчка в первом порядке теории возмущений. Каков характер энергетического спектра и, в частности, какова кратность вырождения уровней в этом приближении? В каком порядке теории возмущений происходит дальнейшее снятие вырождения уровней?

То же» что н в предыдущей задаче, в случае, когда главные моменты инерции удовлетворяют условию ]/】一/玄|《 «厶~/3.

§ 4- Атомы и молекулы во внешних полях.

Взаимодействие атомов и молекул

Как известно, поляризуемость 氏 основного состояния атома определяется выражением (предполагается」= 0)

氏-2聖-革， ⑴

где

—оператор дипольного момента атома (суммирование прсво・ днтся по всем влектронам); п© — произвольный единичный вектор； сумма в выражении (1) берется по всем возбужденным состояниям системы (причем если состояния |А> относятся к непрерывному спектру, то под суммой следует понимать ннте・ грал).

Показать, что поляризуемость В。удовлетворяет неравенству (очевидно, Ро > °)

自< § £嘗二硼)Zj(。"範"X

где E}°)— энергия первого возбужденного состояния атома.、 Получить также ограничение сннзу на величину 限 взяв в сумме (1) лишь первое отличное от нуля слагаемое,

В случае атома водорода рассчитать указанные ьранниенна снизу и сверху на величину 氏 и сравнить с точным значением, равным В。= 9/2 ат. ед.=9а^/2, aQ — боровский радиус.

Ь8

Уточнить ограничения снизу н сверху на значение поляризуемости Во основного состояния атома водорода, полученные в предыдущей задаче, включив в рассмотрение еще одно слагаемое (возбужденное состояние) в сумме (1) (см. предыдущую задачу).

Рассчитать поляризуемость основного состояния атома водорода вариационным методом. При решении задачи воспользоваться пробными функциями вида:

^npo6=CWo(r)U +a8or|^CWo(r)(i +ar^ccosej;

%p°6 = COFo + a%4U где

3力E3遥3。赤…

—волновые функции основного 5=1,/ = 0, т=0) и первого возбужденного (2,1,0) состояний атома водорода в отсутствие внешнего электрического поля; ось z направлена вдоль поля» a — вариационный параметр. Сравнить полученные результагы с точным значением Pj =9a^/2 (см. также следующую задачу)<

П.Б5. Уточнить результат предыдущей задачи, используя пробные функции вада

屮。阿=6中。+ a凯晋冃■ 京^"一'十a芻"Y6 rcos飴亠山i

где a, V — вариационные параметры.

При получении численного значения поляризуемости реар принять значение параметра、=0乃：

Рассмотреть эффект Штарка для возбужденных состояний атома водорода с главным квантовым числом 〃=2 в первом порядке теории возмущений. При решении задачи воспользоваться собственными функциями невозмущенного га мн』& тоннана в сферических переменных 屮〃【帆.Указать условия применимости полученных результатов (при этом учесть то обстоятельство, что при решении задачи пренебрегается релятивистскими эффектами, приводящими к тонкой структуре уровня; нн・ терва』тонкой структуры для уровня с 〃 = 2 составляет A£f§ «； » 4,5-10*5 эВ).j

g g

Используя известное значение ₽0=亍電==/ ат. ед. поляризуемости атома водорода в основном состоянии» получить приближенное значение поляризуемости основного состоя- ння атома гелия:

полностью пренебрегая взаимодействием электронов друг с другом;

учитывая взаимодействие между электронами, результативно, как частичное экранирование заряда ядра (эффективный заряд ядра выбрать равным 2Эфф = 27/16, см. 11,7).

Рассчитать диэлектрическую проницаемость гелия при нормальных условиях и сравнкть с экспериментальным значением ео。1,000070 (такой величине е0 соответствует значение поляризуемости р = 1,40 ат.ед.).

Оценить порядок величины поляризуемости томас* фермиевской модели атома, т, е. отношение дипольного момента d «томас-фермиевских> электронов, возникающего под действием приложенного электрического поля, к величине напряженности поля 冒.

Сравнить с вкладом в поляризуемость атома валентных электронов.

Для двухатомных молекул оценить порядок величины поляризуемости р основного состояния в случаях, когда:

средний дипольный момент молекулы d = 0 (в системе координат, жестко связанной с осью симметрии молекулы);

d*U・

Считать, что основной терм молекулы 】£・

Сравнить полученные величины друг с другом и с характерной величиной пол яр изуемости атома.

Найти штарковское расщепление вращательных компо, нент электронного терма lS двухатомной молекулы, имеющей постоянный дипольный момент (штарковское расщепление предполагается малым по сравнению с расстоянием между соседки* мн вращательными уровнями). Сравнить с результатом задачи 8 12.

Рассмотреть эффект Зеемана для водородоподобного мезоатома со спином мезона s = 0・ Взаимодействие мезона с ядром (предполагаемым точечным) считать чисто электростатическим. Каков характер снятия вырождения уровней с 171aB~ нам квантовым числом п?

То же, что и в предыдущей задаче, для атома водорода. Магнитное поле считать настолько сильным, что зееманов・ ское расщепление много больше тонкой структуры уровней. Для уровня с п ^ 2 указать условия применимости полученных результатов (интервал тонкой структуры этого уровня составляет △£fsQ4,5・I07sB)・

Рассмотреть эффект Зеемана для триплетной и снн・ глетной компонент сверхтонкой структуры основного состояния атома водорода (ядро атома — протон), предполагая зеемановское расщепление малым по сравнению с величиной сверхтонкого расщепления.

Выяснить влияние конечности массы ядра на эффекты Штарка и Зеемана в водородоподобном атоме (или мезоатоме).

Найти зеемановское расщепление уровней позитрония (связанное состояние электрона н позитрона), предполагая его много большим тонкой структуры. Сравнить со случаем атома водорода.

П・66・ Найти магнитную восприимчивость %ат атома гелия в основном состоянии, используя приближенный вад волновой функции, устаиовленный в li.7. Рассчитать магнитную вос- приимчивосгь 1 см3 газа из атомов гелия %ras при нормальных условиях и сравнить ее с экспериментальным значением пав- пым —8.6-10-11.' у

В случае триплетного 23Р-состояния атома гелня воз・ можны следующие термы:吸，зр 吗，которые при учете лятивистских эффектов имеют различные энергии (тонкая структура). Оценить магнитную восприимчивость атома в 8P©• состоянии > сравнить ее с магнитной восприимчивостью и поляризуемостью основного состояния атома.

1L68. Найта зеемановское расщепление вращательных ком** поиент электронного герма !S двухатомной молекулы (зеема- новское расщепление предполагается малым по сравнению с расстоянием ^между соседними вращательными уровнями).

Найти энергию взаимодействия заряженной частнцы (протона, мезона, электрона н т. д_) с невозбужденным атомом водорода на больших расстояниих друг от друга.

1L70. Рзссмотрнм систему, состоящую из двух заряженных частиц и не宓трального атома водорода, находящегося в основ- ном состоянии, причем расстояние между атомом и заряженны- ми частицами много больше боровского радиуса. Найти знер・ гию взаимодействия указанной системы. Имеет ли она аддитивный характер?

Найти энергию взаимодействия заряженной частицы и двухатомной молекулы, находящихся на большом расстоянии Друг от Друга. Предполагается, что молекула обладает иостоян- UHM дипольным моментом d (в снстеме координат, жестко связанной с осью молекулы) н находится в основном состоя- ннн по всем квантовым числам. Электронный терм моле- кулы『・

Найти энергию взаимодействия двух атомов водорода находящихся в основном состоянии на большом расстоянии R друг от друга, вариационным методом- При расчетах использо* ватв пробные функции вида：'

夕屮проб = CK(，i)Vo(，2)[I + azj^];

屮叩。6 = c4fo(n)%(，A 11 + a(力#2 + 妨»2 - 2当勾],

где 里о (，)=、/靑 ст/' —волновав функция основного состоя- нмя атома водорода; гь г2 —радиусы-векторы электронов перво， го н второго атомов относительно своих ядер, ось г направлена

оси, проходящей через ядра; а — вариационный параметр.

Н принятых обозначениях оператор взаимодействия между атомами в дилоль-дяпольном приближении имеет вид '

J - 01r一3（砧）偉但_d （2z卢2 一小勲一以物）

丑5k炉*

Найти энергию взаимодействия на больших расстояниях двух молекул, обладающих постоянными дипольными моментами di и d2. Предполагается, что молекулы находятся в основных состояниях по всем квантовым числам; электронные термы молекул А.

§ 5_ Нестационарные явления в атомах и молекулах

Атом водорода находится в основном состоянии. Ядром атома является тритон — сверхтяжелый изотоп водорода< В результате p-распада тритий превращается в гелий:

8H->e + v + 8He.

Найти вероятность того, что нон гелия, образующийся в результате распада, окажется в основном состоянии.

При расчете явления учесть то обстоятельство» что эффект изменения заряда ядра является доминирующим по сравнению с эффектами отдачи ядра (см. по этому поводу И.77 и 11.78) и взаимодействия электрона р-распада и атомного электрона (скорость p-распадного электрона много больше скорости атом- НОГО： и > 1Ооат)・

В условиих предыдущей задачи найти вероятности возбуждения различных состояний иона гелия (водородоподоб- иый атом с Z = 2) с главным квантовым числом п = 2_

В условиях задачи 11.74 найти среднее значение энергии, приобретаемой атомным электроном в результате Р-распада ядра.

Ядро атома, находящегося в стационарном состоянии %, испытывает внезапный толчок длительности т, в результате которого приобретает скорость v (например, за счет отдачи при излучении ^-кванта возбужденным ядром).

Предполагая выполненными неравенства т《Г и т « 〃о. где 丁 н а —порядки величин электронных периодов и размеров электровной оболочки соответственно, выразить в общем виде вероятность перехода атома в состояние 屮〃 в результате такого «встряхивания».

Используя результат предыдущей задачи, вычислить суммарную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода (первоначально находящегося в основном состоянии) в результате внезапного «встряхивания», при котором ядру — протону сообщается импульс Р.

Указать условия применимости результата.

»・79・ Обобщить результат 11.77 на случай двухатомной мо- мекулн, т, е_ получить общее выражение для вероятности пере-

хона молекулы из стационарного состояния 屮о в состояние 屮「 в результате внезапного «встряхивания», при котором одному из ядер молекулы сообщается импульс Р.

П-80, В условиях предыдущей задачи найти вероятность юго, что молекула останется в исходном состоянии, если вне- запное изменение скорости ядра У много меньше характерных скоростей электронов в молекуле. Электронный терм молекулы |工,и она находится в основном состоянии по всем квантовым числам (и = К = 0).

На атом водорода» находящийся при £ = 0 в нормальном состоянии, действует однородное» периодическое во времени (зависимость от времени вида sin 硝 электрическое поле.

Пользуясь теорией возмущений, вычислить отнесенную к единице времени вероятность ионизации атома. Электрон в конечном состоянии считать, для простоты, свободным-

Найти вероятность выбрасывания К-злектрона из атома при дипольном переходе ядра в результате прямого электростатического взаимодействия электрона с протонами ядра (внутренняя конверсия в. пренебрежении запаздыванием).

* В качестве начальной волновой функции использовать V-функцию /(^электрона водородоподобного атома. Скорость электрона в конечном состоянии считать много больше атомной.

IL83. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда начальное и конечное состояния ядра имеют равный нулю момент (такие процессы называют конверсией при монопольном» или £0-переходе).

IL84. Найти вероятность выбрасывания /(-электрона из возбужденного состояния g-мезоатома (атом содержит один ц-・мезон, находящийся на возбужденном уровне) в результате эффекта Оже (т.е. ц-мезон переходит в более ннзхое энергетическое состояние, а энергия перехода передается атомному электрону в результате электростатического взаимодействия мюона » электрона).

Ограничиться рассмотрением так называемого дипольного^ или P-перехода Оже, При котором изменение орбитального момента мюона |Д/|= 1.

При проведении расчетов считать размеры мюонной орбиты много меньше электронных н электрон в конечном состоянии свободным.

Указать условия 1тркменимости полученного результата. Рассмотреть, в частности, мюонный переход 2pf Is.

IL85. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае Д/ = 0 (S-переходы Оже). Для простоты ограничиться случаем, когда орбитальный момент электрона в начальном и конечном состояниях равен нулю. •

Рассмотреть, в частности^ ^мюонный переход 2s—is.

Глава 12

АТОМНОЕ ЯДРО

§ 1. Основные представления о ядерных силах.

Дейтрон

Как известно, ядерные силы характеризуются малым радиусом и большой интенсивностью. Так, качественные за ко номерности низкоэнергетического нуклон-нуклонного взаимодействия можно объяснить, только предположив, что радиус сил &о 右 2・10тз см (на больших расстояниях ядерные силы очень быс!ро убывают), при этом характерная величина потенциала вдерных сил составляет U© 弋 40 МэВ.

Найти характерные значения потенциалов кулоновского взаимодействия двух протонов и магнитного взаимодействия спиновых магнитных моментов двух нуклонов на указанном расстоянии % и сравнить «х с величиной U°.

Каким был бы магнитный момент дейтрона, если бы дейтрон находился в состоянии *)；

G) $; б) 8S1； 6)%; £) 3%; ©) 8Р1； е) SD1?

Напомним, что магнитные моменты свободных протона н нейтрона (в ядерных магнетонах) равны: р,р = 2,79;卩口 =——l,9i; экспериментальное значение магнитного момента дейтрона 囚=0,85, а его спин 〃 = L

Указание. Воспользоваться результатом задачи 3.54.

Для дейтрона оценить среднее значение г丸(г = =Гр — гп), исходя из условия слабой связанности протона и нейтрона и имея в виду, что с подавляющей вероятностью дейтрон находится в состоянии SS.

12Л. Каким был бы квадрупольный момент дейтрона, если бы дейтрон находился в состоянии:

а) 0; 6) 8Si； £)屮1； a) SPO?

Выразить квадрупольный момент дейтрона через среднее квадратичное расстояние，?； сравнить с результатом следующей задачи

12-5. То же, что и в предыдущей задаче, в предположении 3Р1-состояния дейтрона.

Произвести численную оценку Q。； сравнить с результатом предыдущей задачи и с экспериментальным значением квадрупольного момента дейтрона Qe = 2,82-10~27 см2.

Каковы собственные функции и собственные значения изотопического спина (его величины н проекции Г§) для сн- стемы из двух нуклонов?

Каково значение изотопического спина системы, состоящей из протона и нейтрона, в состоянии системы с опреде* ленными значениями суммарного спина S и момента относи^ тельного движения £ нуклонов?

Указать изотопическую часть волновой функции дейтрона.

Указать наиболее общий вид изотолически'инвариант- ного оператора взаимодействия двух нуклонов.

Выразить найденный оператор О через операторы нуклон* нуклонного взаимодействия в состояниях с определенным значением изотопического спина &=о；卜

Для двухнуклоняой системы указать изотопическую структуру оператора кулоновского взаимодействия нуклонов.

I2J0. На основании изотопической инвариантности ядериых сил и экспериментального факта существования единственного связанного состояния системы «протон + нейтрон» — дейтрона — показать, что не должно существовать связанных состояний системы из двух протонов или двух нейтронов.

Учесть значения квантовых чисел дейтрона: спин 厶=1； четность R = + L

От каких свойств инвариантности реальных ядерных сил пришлось бы отказатьсн, если бы состояние дейтрона представляло суперпозицию 】Pi + 3Pl (а не 3sl + '。卜 как у реального дейтрона)?

Указать возможный вид взаимодействия, которое могло бы привести к указанному состоянию.

Предположив, что взаимодействие двух нуклонов имеет следующую изотопическую структуру:

0=匕+ %殺噌，

где Pi, 2 — операторы» уже не зависящие от изоспиновых переменных (они — операторы в пространстве координат и спинов, симметричные по отношению н перестановке нуклонов), иайти внд взаимодействия в системе из:

а) двух протснов； б) двух нейтронов; в) протона и нейтрона磅 Согласуется ли рассматриваемое взаимодействие е;

изотопической инвариантностью; 2) зарядовой симметрией реальных ядерных сил?

12.13, Какие свойства дейтрона указывают на зависимости лротон-нейтронного взаимодействия от спинов нуклонов?

Рассмотрев зависящие от спина потенциалы!

“)0 = 1/(rJopGn = V(г) (2S2—3);

6) 0= V(/(спин-орбнталъное взаимодействие);

вj О = V(r) [6(Sn|2 — 2S2] (тензорные силы)

^n=r/r. r = fp —Гп,、=豆阮 + 哨一оператор суммарного спина нуклонов), выяснить, какие из них могут быть использованы для объяснения сбсуждавшихся выше свойств дейтрона-

Указать интегралы движения для рассматриваемых потенциалов.

. Показать, что потенциал тензорных сил

UT«V(r)[6(Sn)2-2S2]

(W = J (5 + К) — оператор суммарного спина нуклонов), рассматриваемый как возмущение центрально симметричного потенциала Lo(r), приводит к сдвигу уровня S-состояния лишь во втором порядке теории возмущений.

. Показать, что при учете тензорных сил, когда 0 = =U。(г) + &т, где Ut=V (г) Sl2r SI2 曰 6 &n)* — 2sА волновая функция дейтрона, представляющая суперпозицию 3sl + 3Du может быть записана в виде

¥Tfo&) + f 向&21 必

Здесь S =*sp + sn — оператор суммарного спина нуклонов, %=(。) 一 произвольная спиновая функция спина S = 1 в S^-представлении (соответственно оператор S и волновая функция 屮，отвечающая суммарному спину нуклонов 5 = 1» также определены в Sz-представлении)・

При каком выборе спиновой функции % рассматриваемая волновая функция W описывает состояние дейтрона с опреде^ ленным значением Л?

Найти в рассматриваемом состоянии <J>.

. Как известно, магнитный момент дейтрона» представляющего суперпозицию 3sl + 3f>i, равен

Pd = (1 — в) Р CSi) + W СВ) ^ 0,85 яд. маг.,

где 从('SJ и м(3£>】)一магнитные моменты системы «протон + + нейтрон» в состояниях sSi, sDi (см. 12.2),切弋 0,04 — вероятность нахождения дейтрона в 3Ргсостоянии.

Объяснить, почему для квадрупольного момента дейтрона нет соотношения, аналогичного приведенному выше для магнитного момента. В связи с этим отметим, что квадрупольный момент 35гсостояния равен нулю, в состоянии 8Di он отрицателен. Q(3Di) V 0, а его экспериментальное значение для дейтрона Qd у 2,82*10-27 см，> 0.

_ Оценить размеры «зеркальных» ядер трития 8Н к ге лия 3Не, исходя из того, что при ₽-распаде 'Н — 3Не 十 е 十 С максимальная кинетическая энергия электрона Со= 17 кэВ.

Учесть 1130Toпндескую инвариантность пдерпых сил 魅 отсутствие у рассматриваемых ядер возбужденных состояний. Напомним следующие численные значения: (Мп —Л/р)с?右 129 МэВ 切心白 0,51 МэВ.''

珍野，Kaq узвеспк), размеры ядер определяются соотноше- ннем R = “А I, где А — число нуклонов в ядре.

Оценить значение п> из данных。р+-распаде ядра, содержа- где「。Z + i протонов и Z нейтронов (так что / =2Z+ i), вы- разнв его через максимальное значение энергии в。позитронов распада. Считать, что распадающееся ядро и ядро — продукт распада (являющиеся зеркальными ядрами) находятся в одинаковых состояниях (т. е. имеют одинаковые квантовые числа, за исключением значений 73-компонент^изоспина). Энергию кулоновского взаимодействия протонов в ядре считать равней электростатической энергии равномерно заряженного шара, имеющего такие же заряд и радиус, как и ядро.

Получить численную опенку 均 из распада uSi -> ^Ai +е‘ + + V, для которого Бо = 3,48 МэВ.

I*%' Т° *工 что и в предыдущей задаче, из распада 启Cif 瑞S+K + * для которого 功=5,32 МэВ.

§ 2. Модель оболочек

, В модели оболочек каждый нуклон в ядре рассматривается как движущийся в некотором среднем (самосогласо^ ванном) поле, создаваемом остальными нуклонами ядра н являющемся сферически симметричным.

Предполагая, что самосогласованный потенциал можно агт・ проксимировать потенциалом

Ug = — Uo +J 酎 2,

на買тн одночастичиые энергетические уровни.

К каким значениям магических чисел приводит такая ме・ Дель самосогласованного потенциала?

Какие качественные изменения в картине одночастичных уровней происходят прн малом (но сферически симметричном) возмущении 6Lr(r) рассматриваемого потенциала?

Каковы предсказания модели в отношении моментов и четностей основных состояний ядер?

L Как известно, объяснение свойств основных и ннжннх возбужденных состояний ядер на основе оболочечной модели может быть получено лишь при введении, наряду с центральным самосогласованным потенциалом U(r), также с п ин-орбита л ьн о- го взаимодействия 齿§・

В рамках модели, в которой

и(г) = —5 +彳 4产.Rs = —afS (a > 0)

旦 М. Г8А*屮lh« ti др.gy

(сравнить с предыдущей задачей)» найти одночастичный энер- гетический спектр. Для а 右力s/iO (s = “位/ЛТ) нарнсовать кар， тину нижних одночастичных уровней (такая модель правильно передает порядок располом<еиия одиочастичных уровней, суще- ственный для описания свойств не слишком тяжелых ядер).

В рамках рассматриваемой модели найти моменты (спины) и четности основных состояний ядер: ‘Не, 6Li, 5В, ^С» 13С, ^N. “С Ко Jo, Mai,意 а.

Найти нижние одночастичные уровни для осциллятор- ного потенциала при наличии спин-орбитального взаимодействия вида

Zs= — а 产f&

Обсудить характер расщепления уровней невозмущениого гамильтониана. Сравнить с результатом предыдущей задачи.

В рамках модели оболочек найти спин-изоспиновую часть волновых функций основных состояний ядер трития SH и гелия 3Не.

Указать возможные значения полного момента / и изотопического спина Г ядер, содержащих сверх заполненных оболочек два нуклона в состоянии ,1〃 (с одинаковым л). Ядрами, имеющими такую конфигурацию, являются еС, ；N, «О (два нуклона сверх заполненных оболочек (151/2)4(^Рзе)в)

То же, что н в предыдущей задаче, для двух нуклонов В СОСТОЯНИИ Рз?

В модели оболочек найти магнитный момент и гиромагнитный множитель для ядра, содержащего сверх заполненных оболочек лишь один нуклон (или имеющего одну дырку в незаполненной оболочке).

Применить полученный результат к основным состояниям следующих ядер *): 3Н (J = i/2;卩=2,91); 3Не (i/2; —2,13); 能(3/2; 2,69)；与С (i/2; OJO);号N (1/2; -0,28)； %O (5/2; -i£9); 斜i (i/2; -0,55).

При решении задачи воспользоваться схемой одночастичных уровней, установленной в 12.21.

То же, что и в предыдущей задаче, но для ядра, со・ держащего сверх заполненных оболочек по одному протону и нейтрону (или имеющего по одной протонной и нейтрон л ой дырке в незаполненных оболочках) в одинаковых состояниях (т. е. с одинаковыми значениями % /, /).

Расчет провести для различных значений момента (спина) ядра, возможных при данной нуклонной конфигурации. Сравнить с экспериментальными данными для ядер *) 2Н (/ = 1; Н = 0,85); |Li (1; U,82);盥(3; i,80);号N (i; 640).

Рассчитать магнитный момент ядра, содержащего сверх заполненных оболочек по одному протону и нейтрону (или имеющего по одной протонной н нейтронной дырке в незаполненных оболочках) в одинаковых состояниях в условиях LS-свя- @и (при этом одночастичные уровни характеризуются кванто- внмн числами % 2, а не п,厶 j, как в схеме //^связи).

Применить полученный результат к основному состоянию ядра cLi, имеющему спин / = i. Найти 卩 для различных возможных значений £ и S и сравнить с экспериментальным знаве- ннем Цэксп = 0,82 и результатом предыдущей задачи. Нуклоны сверх заполненной оболочки (is)《 находятся в 1р-состоянии (т. с. имеют /= 1).

б〔『аков изотопический спин рассматриваемых состояний ядра

• 2-29. Найти в схеме //-связи магнитный момент ядра, имеющего одинаковое число протонов и нейтронов сверх заполненных оболочек в одинаковых состояниях 叫.

Применить подученный результат к ядру 筹Na, имеющему спин / ="3 и магнитный момент н?кв= 1,75.

То 氷е, что н в предыдущей задаче, но в условиях 丄S-связн (см. i2.28).

В рамках модели оболочек найти соотношение между магннтннмн моментами основных состояний зеркальных ядер. Ограничиться рассмотрением ядер, у которых все нуклоны (обоих зарядовых состояний) сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях пЦ.

Применить полученный результат к ядрам 8Н и 3Не н сравнить его с данными эксперимента, учитывая, что ^КСп (8Н)= =2,91; ^эксп(3Не) = —2,13.

Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх заполненных оболочек лишь один протон в состоянии:

а) $1/2； 6) Рз/2； 8)&5/2・

Выразить Q。через 彳・

Каков квадрупольный момент ядра, имеющего лишь одну протонную дырку в указанных оболочках?

Обобщить результат предыдущей задачи на случай протона в состоянии с произвольным значением / н / = =/ + 1/2.

Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх заполненных оболочек лишь один протон в состоянии с произвольным значением I и j = 2 — i/2.

Сравнить с результатами предыдущих двух задач.

Найти квадрупольный момент ядра, имеющего сверх заполненных оболочек лишь один нейтрон в состоянии с орбитальным моментом I и полным моментом / = /± 1/2.

Указание. Ядро рассматривать как систему, состоящую из двух подсистем: не京трона сверх заполненных оболочек н

нуклонов заполненных оболочек (как целого), движущихся относительно центра масс ядра ).

Как известно, модель оболочек с самосогласованным потенциалом осцилляторного вида

и ⑺=—Uo + 4■厄 2

позволяет понять и объяснить (при учете спин-орбиталыюго взаимодействия) многие свойства не слитком тяжелых ядер.

Предполагая» что осцилляторный характер самосогласованного потенциала сохраняется и для тяжелых ядер 4》1, на основе квазиклассических соображений получить выражение для плотности нуклонов в таких ядрах. При решении задачи пренебречь кулоновским взаимодействием протонов и рассмотреть ядра с одинаковым числом протонов и нейтронов.

Согласуется ли полученное выражение с экспериментальными данными?

То же, что и в предыдущей задаче, для самосогласованного потенциала вида

(—Us г V R,

18,' > R・

Выбрав в соответствии с экспериментальными данными параметр R модели в виде 7? = г0Д,/Э (Д — радиус ядра, « = =1,2・10—з см), найти грашшнн就 импульс р「нуклонов в ядре. Какова при этом максимальная скорость нуклонов?

Глава 13

ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИИ

§ 1・ Борновское приближение

Показать, что амплитуда рассеяния частицы в произвольном внешнем поле может быть выражена через волновую функцию в области действия потенциала:

f (k。，k) = 一募卜毋切⑥w于(r)d匕

гле ко, к — волновые векторы частицы до и после рассеяния, Чг^1 — волновая функция, имеющая при rf 8 асимптотическое поведение вида

里求&)右e* + "包®2叫

Как должен убывать потенциал взаимодействия на больших расстояниях ,f 8, чтобы асимптотика волновой функции "W при ff оо имела вид, указанна^ в предыдущей задаче, т. е. чтобы на больших расстояниях плоская волна не искажалась внешним полем? Ограничиться потенциалами, имеющими при г—>8 степенное убывание U(，)sl.

Выяснить, на каквх расстояниях от силового центра волновая функция 屮壮)(г) может быть представлена в асимпто тическом виде, приведенном в 13.1. Считать, что при ,> & потенциал пренебрежимо мал (Я—«радиус» потенциала).

Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния н полное сечение рассеяния частиц в полях Lr(0> указанных ннуе. Исследовать предельные случаи малых и больших энер- гий частиц. Указать условия применимости рассмотрения.

〃)口 (О=аб (/ — &); б) U (л)=U歩HR; в) U (г) ~ у e-〃R ；

a) U(r)ua〃。a) U(r)ua〃。切"「）= ｛；“切"「）= ｛；“YR,，>R；YR,，>R；е) и(г)^и^г^.е) и(г)^и^г^.

a) U(r)ua〃。

a) U(r)ua〃。

切"「）= ｛；“

切"「）= ｛；“

YR,，>R；

YR,，>R；

е) и(г)^и^г^.

е) и(г)^и^г^.

Для потенциалов U(r), рассмотренных в предыдущей задаче (i3.4.a,6), найти значение 屮廿)(0)в первом порядке теории возмущений (屮9)(1r) 一 волновая функция, описывающая процесс рассеяния частиц с импульсом /гк).

13・6. Показать, что в условиях применимости борцовского приближения полное сечение рассеяния частиц а(Е) в произвольном центральном ноле U(，) как функция энергии удовлетворяет неравенству

4 回(Е)］》0,

т. е. Ео(Е) —монотонно растущая функция энергии Е.

13・7・ Показать, что при рассеянии частиц в поле притяжения (т. е. при U(r) & 0) или в поле отталкивания (U(r)》0) н условиях применимости борцовского приближения максимальное значение сечения рассеяния о(Е) имеют частицы с энергией £ = 0.

Получить выражение для амплитуды рассеяния частиц в борновском приближении в случае потенциала, имеющего обменный характер, т. е. Осбм¥(г)曰 и(，)У(—г)・

Как амплитуда рассеяния в этом случае связана с амплитудой рассеяния в обычном поле U(r)? Каково различие в характере рассеяния быстрых частиц на «обычном* и «обменном» потенциалах?

Показать, что при больших энергиях частицы kR》I (/?——радиус взаимодействия) полное сечение рассеяния в поле U(r) wU(p, 2)в борновском приближении может быть

представлено в видепредставлено в виде。（用倉8遇。（用倉8遇

представлено в виде

представлено в виде

。（用倉8遇

。（用倉8遇

Импульс частиц до рассеяния направлен вдоль оси г; р ——двумерный радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной осн z.

Применить указанную формулу к случаю поля U(r) = =Uo「尸低'и сравнить с результатом задачи i3.4,e.

В борновском приближении амплитуда рассеяния частиц вперед (на угол 6 — 0) является вещественной величиной (Imf (6 —0)= 0) и, такнм образом, не удовлетворяет оптической теореме, согласно которой и(Е) = 4nlmf(Ef 6 = 0)/k

Объяснить, почему такой результат является естественным л нарушение оптической теоремы не противоречит успешному описанию дифференциального и полного сечений рассеяния в рамках борновского приближения (естественно, в условиях его применимости; см. также следующую за дачу)-

Написать выражение для амплитуды рассеяния во втором порядке теории возмущений. Найти 1m 产)(8 = 0) н объяснить полученный результат.

При исследовании амплитуд процессов столкновения частиц важной характеристикой процесса является величина

n(£) = Ref(E, 6=0)/Imf(rt 6 = 0)

—отношение вещественной части амплитуды рассеяния на угол «нуль》к мнимой.

Выразить |г](Е)| через полное сечение рассеяния и дифференциальное сечение рассеяния частиц вперед. Как ведет себя величина ч(£) в условиях применимости борновского приближения?

Выразить в борновском приближении амплитуду рас， сеяния на двух одинаковых силовых центрах, находящихся на расстоянии а друг от друга, т. е. U(r)= Uo(r)+ U“r —а), через амплитуду рассеяния 店 на одном центре Lrc(r).

Найти соотношения между сечениями рассеяния на двух и на одном центре в случаях:

Аа《i (при этом величина kR может быть произвольной, R — радиус действия сил отдельного центра);

AR 〜1 н а》R (т. е. расстояние между центрами много больше радиуса действия сил отдельных центров).

Получить в борновском приближении выражение для амплитуды рассеяния на системе из N одинаковых центров, расположенных в точках а〔 п — i, 2» ..., N, т. е・ U(r) = =Z 5( Ir — a^ I).

Применить полученный результат к анализу углового распределения рассеянных частиц в случае, когда центры располо- К2

жены вдоль прямой линии, причем расстояния между ближайшими центрами одинаковы и равны Ь, а импульс налетающих частиц направлен вдоль осн, па которой расположены рассеивающие центры. Специально обсудить случай N》I.

Считая выполненными условия: R & b (R —радиус действия потенциала отдельного центра), bk « 1, но Nbk》I, найти полное сечение рассеяния частиц указанной цепочкой центров.

Найти во втором порядке теории возмущений амплн- туду рассеяния частиц в поле U (г) = U^^ при больших передачах импульса qR》L Сравнить с борновской амплитудой.

Сравнить при энергии частиц Е = 0 значения точной амплитуды рассеяния 尸(£ = 0) в поле。(г) с амплитудой рассеяния в борцовском приближении /Б(0) в этом поле в случаях:

а) поля отталкивания U(г)学 0;

6)поля притяжения U(r)W0, в котором, однако, нет состояний дискретного спектра (потенциальная яма достаточно «мелкая»).

Показать, что в случае о) борновское значение сечения рассеяния больше точного, а в случае 6). наоборот, меньше.

§ 2・ Фазовая теория рассеяния. Рассеяние медленных частиц. Резонансные явления при рассеянии

Получить выражение для фазовых сдвигов 岳(走)в условиях применимости борновского приближения непосредственно из разложения по парциальным волнам амплитуды рассеяния в центральном поле.

Указание. Воспользоваться известным из теории функций Бесселя соотношением (х,д>0) [12]:

sin “戸 + у2 — 2ху cos Q _

〃Х? + *2 — 2*у cos ф

8

=^— 2 (2/ + I)厶+1/2 伏灯厶+1 已(ky)Pi (cos(P).

Получить выражение для фазовых сдвигов в борнов- ском приближении в случае обменного потенциала (см. 13.8).

•3.19, В условиях применимости борновского приближения иайти поведение фазовых сдвигов при энергии частицы Ef 0. Oipaкичиться потенциалами U(r), убывающими при /• —8 быстрее любой степени г (наирнмер, 4 s /〃&).

Найти поведение борновских фазовых сдвигов 6? (Д с фиксированным значением / при 4—8. Ограничиться случаем потенциалов, поведение которых при，f U удовлетворяет условию rU(，)f 0.

Используя квазиклассическое выражение для фазовых сдвигов, найти их поведение при фиксированном значении / м £f 8. Сравнить с результатом предыдущей задачи.

Найти в борцовском приближении фазовые сдвиги s-волн (/ = 0) в ПОЛЯХ：

п) 1/(г)=адб(г-/?); б) и(г)= и^.

Используя полученный результат, найти для указанных полей сечение рассеяния медленных частиц. Указать условия прн’ меннмостк и сравнить с результатами 13.4,。, б.

Восстановить потенциал взаимодействия U (г) по фазе рассеяния би(用(/ =0), считая ее известной при всех энергиях частицы 財 предполагая, что |6о(为)|《 I-

В качестве иллюстрации полученного результата рассмотреть зависимости 6о(й) вида：

0)拆(田=const; 6) &伏)=Tq邛庐• В случае 6) сравнить с результатом 13 22,6.

Найти точные значения фазовых сдвигов s-волн в

полях:

f оо, г V R.f — 4・，< A,

°)ие={ о,〉凡 6) и(а={ 0, 「>肥 日)u任)=一u虑-'四.

Используя полученные результаты, найти для указанных полей сечения рассеяния медленных частиц. Указать условия применимости полученных выражений.

Найти длину рассеяния и сечение рассеяния медленных частиц в поле 1/(г) = а/г4, а > 0.

Найти длину рассеяния и сечение рассеяния частиц с энергией Е = 0 в поле

J8, ^< + ^<1, Qb,u⑺0,*+ “

Специально обсудить предельные случаи с = b и с》Ь.

Найти энергетическую зависимость сечения рассеяния частиц о(£) в ноле, спадаюшем па больших расстояниях по закону

U (г) q a/r", г f 8, 2 V 九 < 3, при энергии частиц Е—0.

То же, что и в предыдущей задаче, в случае потенциала, имеющего на больших расстояниях вид U(r)七 a/r3.

Найти фазовые сдвиги 6/(Л) в поле U (г) = a/产，а > 0. Выполнить суммирование ряда, представляющего разложение амплитуды по парциальным волнам» в случаях:

та/府《1, при произвольных углах рассеяния;

ma/力史 П 1, при достаточно малых углах рассеяния;

та/^2》1, при рассеянии частиц назад (В = я).

Ь1айти в указанных случаях дифференциальное сечение рассеяния частиц м сравнить его с результатами расчетов в бор- повсксм приближении и согласно классической механике.

Вычислить полное сечение рассеяния быстрых частиц 》1 идеально отражающей (непроницаемой) сферой радиуса Воспользоваться квазиклассическим выражением для фазовых сдвигов п оптической теоремой.

В условиях предыдущей задачи найти амплитуду п дифференциальное сечение рассеяния для малых углов рассея- ния^О^!)."

То же, что и в предыдущей задаче, но в случае не oueiib малых углов рассеяния e£{AR)—【. Сравнить с результатом классической механики.

Найти длину рассеяния в полях притяжения:

a) U(r) = -UoRO(r-R)；⑨^⑺二^、"。' r：?

как функцию параметров потенциала Uo, R

4ем примечательны значения параметров поля, при которых Д^ина рассеяния обращается в бесконечность?

Вычислить сечение рассеяния медленных частиц в поле U(r) = —а6(г — R) в условиях резонанса в s-волне.

13：05・ То же, что и в предыдущей задаче, в случае сферической потенциальнй ямы глубины Uo и радиуса R.

Найти парциальную амплитуду рассеяния частиц с ! =。в поле 17(г) = сс6(г—欠).В случае aR》榕]т определить положение & и ширину Г нижних квазндискретных уровней {Ео ~ 力2/mR2)

Сравнить сечения рассеяния частиц с энергией Е ~ 九&/祖R? на 6-функционной и непроницаемой сферах одинакового радиуса R. Каково значение разности этих сечений при энергии частиц, близкой к энергии квазидискретного s-уровня?

§ 3. Рассеяние быстрых частиц (приближение эйконала). Рассеяние частиц со спииом

Получить выражения для амплитуды рассеяния быстрых частиц в приближении эйконала (д丄 a q х А0)

〃瓦 0) = /А J 11 — exp ^ — ~ jU(/+#) £fzj|/0(Ар0)рdp =

=一"{ I Гp 卜瑞iи (倔+ 别 dz]'一"丄。Gp

непосредственно из разложения ее по парциальным волнам.

*) Рассеяние под малыми углами б условиях, подобных данной задаче, называют дифракционным, так как по своей физической природе оно а нале- гн?ю дифракции плоскопараллельного пучка света, падающего на непрозрач-

Указать условия применимости полученного результата.

Показать, что в приближении эйконала для амплитуды рассеяния выполняется оптическая теорема (сравнить с 13.10 и 13.11).

Показать, что полное сечение рассеяния частиц в поле U(r) быстрых частиц 々R》1 (&—радиус потенциала) может быть вычислено по формуле

o(E) = 4rto(E) = 4rtU ("口三工)dz] } p dpU ("口三工)dz] } p dp

o(E) = 4rt

o(E) = 4rt

U ("口三工)dz] } p dp

U ("口三工)dz] } p dp

независимо от соотношения между энергией частиц и потенциальной энергией, т. е. для справедливости формулы не требуется выполнения условий применимости приближения эйко- нала.

Применить полученный результат к вычислению сечения рассеяния частиц потенциальным барьером: U=0 при，>& м U = Uo при г V R

Найти полное сечение рассеяния в поле U(r) = a/r° (а > 0) частиц с энергией, удовлетворяющей условию

"穿"零》1.

Выразить в приближении эйконала амплитуду рассеяния частиц в поле двух силовых центров, находящихся на расстоянии а друг от друга, т. е. U(r)= ■(「)+i/o(|r — а|), через амплитуду рассеяния fo на одном центре Uo(，)・

Оператор взаимодействия частицы со спином 6 = 1/2 с бесспмновой частицей имеет вид

O=Uo(，) + Ui(r)G£

где г = г〕一 г2 — относительный радиус-вектор частиц, 1 = =—f[rVJ — оператор орбитального момента системы относительно центра масс.

Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния при столкновении таких частиц друг с другом.

Найти б борновском приближении амплитуду и дифференциальное сечение рассеянна быстрых нейтронов кулоновским полем.

Получить выражение для сечения рассеяния частиц со спином s = l/2 на бесспиновых частицах в борновском приближении. Оператор взаимодействия частиц имеет вид, приведенный в 13.42.

Какова энергетическая зависимость полного сечения рассеяния при больших энергиях? Сравнить со случаем рассеяния бесспиновых частиц-

Какие ограничения накладывает условие эрмитовости гамильтониана на вид оператора взаимодействия частнцы со спином s = 1/2 н бесспиновой частицы (см. 13.42)

D=Uo(y) + UW)Gi?

Какова поляризация рассеянных частиц в первом Сорнов- ском приближении, если первоначально (до столкновения) они были не поляризованы?

Частицы с。спином s = 1/2 до рассеяния на 6есспн~ но?* частицах были поляризованы： вектор поляризации p = 2s#o. Показать, что в борновском приближении в резуль- тате рассеяния происходит лишь поворот вектора поляризации, так чтогде Р? — вектор поляризации частиц после

рассеяния (сравнить с предыдущей задачей).

Найти амплитуду рассеяния медленных нейтронов на протонах, учитывая, что мх взаимодействие обладает следующими свойствами:

при квантовых числах / = 0 н 5=1 имеется связанное состояние — дейтрон, энергия связи которого мала (ей « 九2/祖曜 択一радиус взаимодействия);/

при / =0 и S = 0 имеется мелкий виртуальный уровень;

при малой энергии системы ^нейтрон + протон» потен- инал взаимодействия можно считать центральным, зависящим, однако, от^ величины S суммарного спина, т. е. 0=劣(，｝工 + ^i(r)oncrp-

Рассеяние составных частиц.

Неупругие столкновения

13・48・ Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния быстрых электронов атомом водорода, находящимся в основном состоянии

То же, что и в предыдущей задаче, для атома гелия. Волновую функцию атома выбрать на основании Еариационного расчета, проведенного в 11.7.

Найти полное сечение возбуждения 2s-состояния атома водорода при столкновении быстрых электронов с атомами водорода, находящимися в основном состоянии.

Найти дифференциальное и полное сечения возбу;кде- ння ядра электронами при монопольном (или £0-) переходе ядра, т, е. когда начальное и конечное состояния ядра имеют одинаковые момент / = 0 и четность. Электроны в начальном м конечном состояниях считать быстрыми.

Сферический ротатор, имеющий момент инерцли 厶 заряд е = 0 и электрический дипольный момент d, параллели оси ротатора (простейшей моделью такого ротатора "в・ ляется система из двух частиц с зарядами противоположного

знака, находящихся на заданном расстоянии друг от друга), находится в основном состоянии.

Вычислить в первом порядке теорнн возмущений дифференциальное и полное сечения неупругого рассеяния заряженных иастни ротатором с возбуждением его /-го уровня.

Найти сечение "рассеяния тяжелых заряжеппых частиц (например, протонов или ионов) нейтральными атомами, имеющими момент, равный нулю. Скорость рассеиваемых частиц считать много меньшей скоростей атомных электронов. Указать условия применимости полученного результата.

Указание. Предварительно показать, что в процессе рассеяния существенны расстояния, много большие атомных. Воспользоваться квазиклассическитл выражением для сечения рассеяния (см. 13.39).

Определить сечения упругого и неупругого рассеяния медленных частиц комплексной потенциальной ямой

小 S ин, ‘<" s>o,

(по поводу физической интерпретации мнимой части потенциала см. 7.9). Считать выполненными условия |Uo, J《胪/租R2.

Найти полное сечение。口。』“,сечение упругого Оупр и не- упрутого Онеулр рассеяния быстрых частиц &/?》1 поглощающей («черйои») сферой радиуса К. Сравнить с результатом 13.30.

Указание. Воспользоваться квазиклассическими представлениями о движении частиц. Считать, что все частицы, достигающие поверхности сферы» поглощаются ею.

В условиях предыдущей задачи найти дифференциальное сечение упругого рассеяния частиц. Сравнить с результатом 13.3L

Найти соотношения между амплитудами и дифференциальными сечениями упругого рассеяния нейтрона на протоне и нейтрона на атоме водорода, находящемся в основном состоя- пии. Взаимодействием магнитного момента нейтрона с электроном пренебречь. Указать условия применимости полученного результата.

Как известно, в результате взаимодействия электрона с позитроном может произойти их аннигиляция, т. е. превращение пары в фотоны. Поэтому уровни энергии позитрония {водородоподобного «атома», состояшего из электрона н позитрона) имеют конечное время жизни.

Найти соотношение между временем жизни основного состояния позитрония и сечением аннигиляции пары при столкновении медленного позитрона с электроном. Считать, что взаимодействие, ответственное за аннигиляцию, имеет радиус, малый по сравнению с размерами позитрония, и его можно рассматри' 108

вать как возмущение (конкретный вид этого взаимодействия несуществен).

С помощью принципа детального равновесия связать сечения радиационного захвата нейтрона протоном и фоторасщепления дейтрона.

Указание. Принцип детального равновесия н основанное на нем соотношение между сечениями взаимно обратных двухчастичных реакций в курсах квантовой механики обычно выводятся для нерслятивистских частиц (см., например, [3]). Однако если в соответствующих окончательных выражениях понимать под величиной импульса относительного движения двух частиц величину импульса этих частиц в с. ц. и., то они непосредственно переносятся на случай релятивистских частиц. В связи с этим напомним, что в нерелятлвистской механике рОтн = ji^oth = = |Pi| = |P2|, где pi=—Р2 — импульсы частид в с. ц. и., р — их п пиведенная масса, vOTH = v, — v2.

Найти соотношение между сечениями фотоэффекта с основного состояния атома водорода и радиационной рекомбинации электрона с протоном (процесс» обратный фотоэффекту) в основное состояние атома водорода. Спином протона и связанным с ним магнитным моментом можно пренебречь.

Глава 14

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Излучение фотонов、

Найти время жизни и ширину возбужденного 2р-состоя- пия атома водорода (спином электрона пренебречь).

Применить полученный результат к р-мезоатому и сравнить со временем жизни свободного мюона(Tu = 221g с).

Найти время жизни первого возбужденного уровня заряженного сферического осциллятора.

Показать, что дипольные (электрические) переходы между:

уровнями атома с различной мультиплетностью (например, между состояниями орто- и парагелия),

компонентами тонкой структуры одного и того же терма атома (т. е. между различными уровнями одного и того же мультиплета)

запрещены.

Для 2s, .2-состояния атома водорода оценить вероятность электромагнитного перехода (в единицу времени )) в 2р1/гсо- стоянне

Напомним, что разность энергий 2syr н 2р|/гуровней (так называемый лэмбовский сдвиг) . составляет A£ls — 4,4 X X КН эВ.

Полученный результат сравнить с вероятностью перехода 2si/2T』S"2 с излучением двух фотонов, равной w2Y « 7 сг1, и с результатом 14.8.

14Д Найти вероятность электромагнитного перехода сфе， рическсго ротатора, находящегося на первом возбужденном уровне, в основное состояние.

Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный момент d, направленный вдоль оси ротатора.

Указание. Взаимодействие ротатора с полем излучения имеет вид V =—盒遍，где 北d (г) — оператор электрического поля фотонов.

Найти вероятность электромагнитного перехода между ротационными уровнями двухатомной молекулы, имеющей 口。~ стоянный дипольный момент d. Электронный терм молекулы }2- Ограничиться случаем первого возбужденного ротационного уровня.

Произвести численную оценку вероятности перехода.

Свободная нейтральная частица со спином s=l/2, имеющая спиновый магнитный момент р (так что ц = jw), на、 ходится в однородном магнитном поле Э1п в состоянии с определенным значением проекции спина на направление поля. Найти вероятность излучения фотона в единицу времени в результате переворота спина.

14Д Найти вероятность однофотонного перехода атома водорода М3 возбужденного 251/2-СОСТОЯНИЯ В основное 1Si/2"COCTOJ1・ ние. Сравнить полученное значение с результатом 14.4.

Найти вероятность электромагнитного перехода между компонентами сверхтонкой структуры основного состояния атома водорода (см. 11.4).

Какова мультипольность излучения для доминирующих электромагнитных переходов между компонентами тонкой структуры одного н того же терма атома?

Оценить численное значение вероятности соответствующих электромагнитных переходов в единицу времени.

Показать, что один фотон не может находиться в состоянии с равным нулю полным моментом.

Указание. При отыскании волновых функций (в импульсном представлении) состояний фотона с определенным значением / воспользоваться тензорным формализмом, развитым в задачах § 4 главы 3.

Показать, что система из двух фотонов не может находиться в состояниях с равным единице полным моментом 丿=1 (в системе центра инерции). См. указание к предыдущей задаче； учесть тождественность фотонов,

§ 2. Рассеяние фотонов. Излучение фотонов

при столкновениях

Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния фотонов свободной заряженной частицей. Сравнить с результатом классической электродинамики.

Найти дифференциальное м полное сечения упругого расеяния фотонов сферическим ротатором, находящимся в основном состоянии.

Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный момент d, направленный вдоль оси ротатора.

Найти дифференциальное и полное сечения упругого рассеяния фотонов заряженным сферическим осциллятором, находящимся в основном состоянии.

Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния фотонов нейтральной частицей со спином s = 1/2, имеющей магнитный момент р {так что 口 =向.

Рассмотреть следующие случаи:

〃)до рассеяния частица находится в состоянии с определенным значением проекции спина на ось z (вдоль которой направлен импульс падающих фотонов) sz~ 4-1/2, н в процессе рассеяния спиновое состояние частицы не изменяется;

то же, что и в предыдущем пункте, но в процессе рассеянна происходит переворот спина частицы, т. е. в конечном состоянии (после столкновения) sz = —l/2；

рассеяние на неполяризованных частицах.

Найта дифференциальное и полное сечения неупругого рассеяния фотонов сферическим ротатором в основном состоянии, сопровождающегося возбуждением ротатора, во втором порядке теории возмущений. Какие состояния ротатора при этом возбуждаются?

Ротатор имеет момент инерции / и электрический дипольный момент d, направленный вдоль оси ротатора ).

Для частицы в поле U(r) доказать справедливость следующих соотношений (так называемых «правил сумм》)；

а) £|(^|х|п)12={и|х2|п＞；

6)?%〃【伽|光m〉|2 =击； л：

6)，％］〈m|*m〉F=±⑺阳吟 m

?)2%|〈加1%1力f=备⑺器I力，

где м — масса частицы, суммирование проводится по всем стационарным состояниям, |л> — стационарное состояние дискретного спектра.

14-19. Выразить сечение рассеяния фотоков малой энергии 勿о-> 0 атомом, находящимся в стационарном состоянии с моментом, равным нулю, через ноляризуемость атома.

Найти сечение фотоэффекта для водородоподобного атома, находящегося в основном состоянии. Предполагается, что энергия фотонов удовлетворяет условию 在соЗ/, где /—потенциал ионизации

Найти сечение радиационной рекомбинации быстрого электрона с покоящимся протоном (процесс, обратный фотоэффекту) с образованием атома водорода в основном состоянии»

Найти дифференциальное и полное сечения фоторасщепления дейтрона, т. е. процесса 丫 + 6-> р + п.

Указание, Для волновой функции дейтрона воспользоваться приближенным выражением, установленным в 12.3. Протон 4 нейтрон в конечном состоянии рассматривать как свободные. Расчет провести в дипольном приближении.

14・23・ Найти дифференциальное сечение тормозного излучения злектропа в кулоновском поле ядра. Исследовать угловое и спектральное распределения излучаемых фотонов. Взаимодействие электрона с ядром рассматривать как возмущение.

Глава 15

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ВОЛ НОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ f. Уравнение Клейна — Гордона

Показать, что если 咿士) {г, f) представляет волновой макет, составленный из частных решений уравнения Клейна — Гордона, отвечающих энергии (или частоте) определенного знака (либо е》祖"，либо е & —тс2), то независимо от конкретного вида такой суперпозиции значение сохраняющейся во времени величины

Q出4严亿0 d展金，{里田嚟一喀' 中±>} .

является зиакоопределенным.

Показать, что уравнение К刀е宓на ——Гордона для свободной частицы инвариантно относительно антилинейного пре・ образования функции

уf уe仁,0 = 6屮心0=屮"亿。.

Преобразование С представляет зарядовое сопряжение. Оно позволяет поставить в соответствие не имеющим непосредственного физического смысла решениям У)(г,») уравнения 112

(屮心—суперпозиция частных решений, отвечающих формально отрицательной энергии частицы) функцию Ч^'=64f♦', отвечающую уже положительным энергиям и интерпретируемую как волновая функция античастицы.

Убедиться в том, что если функция В является собственной функцией какого-либо из операторов 仓=优《，р,厶，I2, то соответствующая зарядово-сопряженная функция 也 также яв^ ляется собственной ф^^нкцией. Как связаны собственные значения указанных операторов для таких функций?

q) Како員 ввд принимает уравнение Клейна — Гордона для заряженной бесспиновой частицы во внешнем электромагнитном поле при преобразовании функции

V->^(r.C = С^ {г")三 У (г, П?

Какое преобразование электромагнитного поля следует осуществить одновременно с указанным преобразованием функции 屮{「，»), чтобы получающееся при этом уравнение имело такой же вид, как и исходное?

На основании полученных результатов дать интерпретацию преобразования С как преобразования зарядового сопряжения, осуществляющего переход от частицы к античастице (сравнить с 15.2).

Показать, что внешнее скал兄рное (по отношению к нре〜 образованию Лоренца) поле оказывает одинаковое действие на бесспиновую частицу и соответствующую ей античастицу- Сравнить со случаем частицы во внешнем электромагнитном поле (см. 15.3).

Указание. Уравнение, описывающее бесспиновую частицу во внешнем скалярном поле U{r, /), имеет вид

{e窗 + /nV + 2侬汽7}屮=一力2累中.

Не следует путать скалярное поле с э^ ектростатическим (последнее представляет временную компоненту 4-вектора). В не- релятивнстском пределе U{r, 1) имеет смысл обычной потенциальной энергии.

15Е・ Показать, что внутренние четности бесспиновой частицы м соответствующей ей античастицы ——одинаковые.

Основываясь на сохранении величины Q (см. 15.1), о6< судить вопрос об ортогональности н нормировке функций 屮丛亞仕，D，являющихся решениями уравнения Клейна—Гордона, отвечающими определенным значениям энергии (обоих знаков) н импульса.

15а7. Показать, что для бесспиновой частицы в релятивистском случае можно сохранить обычную интерпретацию волновой функции в импульсном представлении как амплитуды

"3

вероятности импульса (в отличие от координатного представления, см. 15.1).

Какова связь волновых функций частицы и античастицы в импульсном представлении с решениями 叩土)｛「,，) уравнения Клейна — Гордона?

Сравнить с не релятивистским случаем

15-8・ Получить выражение для среднего значения энергии свободной бесспиновой частицы в произвольном состоянии, описываемом решением 里(+)(「,f) уравнения Клейна -Гордона.

То же, что и в предыдущей задаче, по для среднего значения импульса частицы.

То же, что и в предыдущих двух задачах, но для среднего значения момента частицы.

Найти в релятивистском случае энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы, находящейся в однородном магнитном поле.

Сравнить с нерелятивистским случаем.

Найти энергетический спектр s-состояний бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле (см. i5.4) вида

U⑺= /[%，f10, r>a.

Каков энергетический спектр античастицы в таком поле?

Обсудить трудности в интерпретации энергетического спектра. возникающие при значительном углублении ямы.

Найти энергетические уровни дискретного спектра за« ряженной бесспиновой частицы (заряд —£)в кулоновском поле яДра с зарядом Ze (ядро считать точечным и бесконечно тяжелым).

В случае Za《I (а = е2/Йг а 1/137) сравнить полученный результат с соответствующим выражением нерелятивистской теории.

Обратить внимание на трудности, возникающие в ннтерпре- Т2цин энергетического спектра при достаточно больших значениях заряда ядра, и объяснить их причину.

Непосредственно из уравнения Клейна — Гордона для свободной частицы:

о) получить в нерелятивистском пределе уравнение Шредингера;

б) найти первую релятивистскую поправку к полученному уравнению.

15.15. Непосредственно из стационарного уравнения Клей- ма ——Гордона для заряженной бесспиновой частицы, находя^ Щсйся в постоянном электромагнитном поле:

получить в нерелятивистском пределе уравнение Шредингера;

найти первую релятивистскую поправку к полученному уравнению.

15-16. Показать» что в достаточно сильном электростатическом поле заряженная бесспиновая частица испытывает притяжение (в квантовомеханическом смысле) независимо от знака ее заряда.

Найти в борновском приближении амплитуду и диф^ фереициальное сечение рассеяния релятивистской заряженной (заряд %) бесспнновой частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (ядро считать бесконечно тяжелым).

Сравнить со случаем нерелятивистской частицы.

Указать условия применимости полученных результатов.

Найти в борновском приближении энергетическую за висимость сечения рассеяния о(е) заряженной бесспиновой частицы во внешнем электростатическом поле <р(г) при в-> 8.

Указать условия применимости полученного результатаf сравнить его с результатом нер елятивистской теории.

Найти в борновском приближении энергетическую зависимость сечения рассеяния а(е) бесспнновой частиць］ во внешнем скалярном поле U(/j (см. указание к 15.4) при 8f 8・

Указать условия применимости полученного результата! сравнить его с результатами нерелятивистской теории и предыдущей задачи.

Уравнение Дирака

В задачах этого параграфа использовано следующее представление четырехрядных матриц Дирака;

а = О —(；；)' ₽ = V4 = (J_M

y =渺=(上却0 )>右=门四乔4=_(； J)*

где о, 1, 0 означают двухрядные матрицы Паули, единичную н нулевую*).

Выяснить, какие из указанных ниже операторов ком* мутируют с гамильтонианом свободной релятивистской частицы со спином s = l/2 (и тем самым являются интегралами дви* жения):

1)e=_"現；2自=彳［而=一小死；3) I2; 4) g=/e；5) s2;

6) j = l + s; 7) p; 8) Л = р2; 9) f［河任)=屮(一力］；10) Рм既 11)窝.

Сравнить со случаем свободной нерелятивистской частицы.

Найтн решения уравнения Дирака, описывающие свободную частицу, имеющую определенные импульс н энергию.

Для конкретизации спинового состояния частицы воспользоваться коммутативкостыо оператора А = Хр с операторами р н 月(см. также 15.26).

Найти компоненты 4-вектора плотаости тока свободной дираковской частицы в состоянии, характеризующемся определенным значением ее импульса.

Сравнить с соответствующими выражеинями нерелятивистской теории.

Найти среднее значение вектора спина дираковской частицы, имеющей определенный импульс (прн этом спиновое состояние частицы ——произвольное). Считать для простоты, что

импульс направлен вдоль оси г.

Сравнить с результатом нерелятнвистской теории.

Рассмотреть унитарное преобразование биспиноров, задаваемое унитарным оператором (матрицей)» = ~^ ( [ — i ) •

Какой вид имеют в новом представлении оператор спина частицы н уравнение Дирака для двухкомпонентных спиноров (у=оЦ)?

Считая известным спиновое состояние в системе покоя частицы, найтн биспииор “(р) в произвольной системе коордн- нат, в которой частица имеет импульс р.

Используя полученный результат, найти связь средних значений вектора спнна частицы в указанных системах координат.

Как известно (см. 15-21), для частицы со спином s~ 1/2 волновая функция состояния с импульсом р и энергией е= VР2c2 + б%' имеет вид

% = 〃(Р)』"—"；〃(₽) = ( ЕР ) •

\ е + тс*

Указанное состояние является двукратно вырожденным (существует два независимых способа выбора спинора ф), что связано со спиновой степенью свободы. Рассмотрим два таких независимых состояния, различающиеся выбором спинора 屮 в виде q給 где

(on)耿=为耿

(n — произвольный единичный вектор, А = ±1, см. 5.12).

Убедиться в ортогональности спиновых состояний релятн、 вистской частицы, отвечающих различным значениям Л.

Учитывая результат предыдущей задачи, выяснить физиче^ ский смысл вектора п и соответствующих собственных значе- яий I

116

Каков смысл вектора ^Ф*<^Ф при нормировке ф*ф= 1?•

энергией функцией н опредеэнергией функцией н опредеНайти явный вид волновой функции состояния ан・ тичастицы, соответствующего решению уравнения Дирака' с определенным импульсом р н отрицательной е = — ^^U + т%4 частицы. Сравнить с волновой физического состояния частицы (с энергией е ^，〃〃

энергией функцией н опреде

энергией функцией н опреде

спираль-спираль-ленным импульсом).

спираль-

спираль-

Какие квантовые числа — импульс, энергию и

ностъ — имеет антачастица в состоянии, отвечающем решению 屮ре入 уравнения Дирака с отрицательной энергией частицы?

Показать, что для дираковской частицы с массой т = 0 оператор (матрица)負 коммутирует с гамильтонианом

свободной частицы.

Найти собственные значения указанного оператора и выяснить их физический смысл.丨

Показать, что операторы (матрицы)广± = %(1±招) являются проекционными.

Для диракОБСКОЙ частицы с массой т = 0 эти операторы коммутируют с гамильтонианом. На какие состояния частицы и античастицы проектируют указанные операторы Р±?

Квантовомеханическое описание 而0тона может быть осуществлено с помошью двух векторов 8 (г, 0 и Э1(г, f), удов- летворяюших таким же уравнениям, как уравнения Максвелла классической электродинамики для свободного электромагнитного поля 8(г, /), 3€ (г, 0 (т. е. для электромагнитных волн в • вакууме).1

Показать, что эти уравнения можно представить в виде, аналогичном уравнениям Днрака для двухкомпонснтных сл» лоров (следует учесть, что масса фотона т = 0, а его спин s= 1)・

Найти нерелятивистскяй предел (с точностью до членов порядка «1/с» включительно) выражений для плотности заряда и тока дираковской частицы, находящейся во внешлем электромагнитном поле.

Гамильтониан частицы со спином s = 1/2, нахо/я щейся во внешнем электромагнитном поле, имеет вид

后=с&6 + 团呼 + — FpvPVhVvr

где 弘——некоторый параметр, характеризующий частицу, Fuv — тензор электромагнитного поля.

Рассмотрев нерелятивистский предел (с точностью до чле нов порядка «1/с» включительно) волнового уравнения •) 〃i 亩 U' = //里,выяснять физический смысл параметра к, т. е.

•) Это уравнение можно записать в явно ре ля тнвистскп -инва pit антнс-м пиле:

(ic0 + 爸 ^vYmYv + f№)督=0(户三飴丫从=pY — A Y< 5)・

установить его связь с электромагнитными характеристиками частицы. Сравнить со случаем заряженных дираковских ча стнц—электрона и мюона, гамильтониан которых имеет вид

Ад = С0 (р — ! А)+ 切丹 + £%.

Найти энергетический спектр заряженной дираковской частицы в однородном магнитном поле.

Найти в первом порядке теории возмущений дифференциальное сечение рассеяния дираковской частицы в кулоновском поле ядра с зарядом Zc. Ядро считать бесконечно тяжелым!

Указание. Воспользоваться теорией возмущений для перехо нов в непрерывном спектре под действием стационарного возмущения； см. также 15.37.

Найти в первом порядке теории возмущений энергетическою зависимость сечения рассеяния о(ё) заряженной дираковской частицы во внешнем электростатическом поле Л о (г)* при Ef 8.

Сравнить с результатом 15.18.

Найти функции Грнна ©籍厶亿 г') стационарного уравнения Дирака для свободной частицы при энергнн в R 祖с] удовлетворяющие уравнению

(Я — е) &三(一i/lcW + mef — e) & = 3 (г — г')

и имеющие при，—8 асимптотики вида

G оо—е ，左―V——•

Найти также функцию Грина 片 уравнения Дирака, записанного в симметричной форме: Цср + tnc?)屮& = 0,户三一ifivv + +牛V4.

Найти в борновском приближении амплитуду рассеяния дираковской частицы во внешнем постоянном электромаг* нитном поле.

Применить полученный результат к случаю электростатического поля Ло = Ze/r и сравнить с 15.34.

Глава 16

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Кинематика распадов и столкновении

Покоящаяся частица А распадается на три частииы а: Af За. Энергия распада *) равна Q»

В каких пределах заключены кинетические энергии еа распадных частиц?

Покоящаяся частица А распадается на три частицы а： А+За. Энергия распада равна Qo. Так как \%=Qo (帖― Л

кинетическая энергия л-й частицы), то можно поставить в соответствие распаду точку внутри равностороннего треугольника с высотой А = Qo такую, что расстояния от этой точки до сторон треугольника определяют энергии распадных частиц. Одаако, в силу закона сохранения импульса в распаде, не всякой точке внутри треугольника можно сопоставить разрешенный по кинематике распад частицы А.

Показать, что точками треугольника» которым можно сопоставить распад А— За, являются точки круга, вписанного в тре・ угольник.

Пусть Ра, Еа； рь, £ь~ импульсы и кинетические энергии частиц а н b в некоторой системе координат.

Показать, что следующая комбинация этих величин:

S = — (Ра + Рь产 + 2 (g + Sb) (E@ + Еь),

во всех инерциальных системах отсчета имеет одно и то же значение, т. е. является га л илеевски- инва р и аитной величиной.

Считая, что частицы а и b являются продуктами распада некоторой частицы A: A f а + Ь, найти связь s с энергией рас- пада Qo・

То же, что 卩 в предыдущей задаче, но для величины £ = — (Ра — Рь)2 + 2 (祖8 — mb) (4 ~ &)♦

При столкновении частицы а с покоящейся частицей b происходит возбуждение частицы Ь. Энергия возбуждения равна Qo・、

Найти минимальное (так называемое пороговое) значение кинетической энергии частицы а, при котором может идти такой процесс. Рассмотреть предельные случаи 叫《ть и 恤》皿・

16・6・ В результате столкновения частиц а и b происходит возбуждение частицы Ь. Энергия возбуждения равна Qo・

Построить диаграмму столкновений, позволяющую графиче- ским способом определять соотношения между импульсами ча* стиц до и после столкновения в системе центра инерции н в лабораторной системе координат. В чем отличие диаграммы столкновений такого процесса от случая упругого рассеяния (см. [4]) ?

Рассмотреть следующие величины, характеризующие кинематику упругого столкновения частиц а н Ь:

5 = — (Ра + РьУ + 2 (飞 + 飞)(J + Е^ < = -(Ра- Р：У，

〃 =~ (Ра — Р伊 +2(%—恤)© — 4)，

где Ра，£а; р；, Е： — лмлульс и кинетическая энергия частицы а соответственно до и после столкновения (аналогичные обозначения —для частицы Ь).

Показать, что значения указанных величин не зависят от системы отсчета, т. е. они — галилеевски-ипвариантаые величины.

Выразить s, С и через кинетическую энергию частиц и угол рассеяния в системе центра инерции.

Являются лн все три величины независимыми?

В результате столкновения составных частиц Л и В гроисходит реакция А + В—*а+Ь + с, т. е. в конечном состоянии образуются три частицы.

Возможны два механизма такого процесса.

частицы а и b являются продуктами распада некоторой нестабильной частицы R, т. е. процесс Л+ В->а 4-b4~ с идет в две стадии：

А + В f R + с」а + b

(энергия распада Rf а + b равна Qc);

все частицы в конечном состоянии образуются независимо в том смысле, что между их импульсами нет жесткой динамической корреляции (не считая, конечно, кинематической корреляции, обусловленной законами сохранения энергии и нм・ пульса).

Как, зная распределение по импульсам частиц в конечном состоянии, различить эти два механизма реакции?

Указание. Рассмотреть распределение по величине

s = — (pa + Рь)2 + 2 (g +，九ь) (Еа + Еь)・

Интегралы движения *)

16-9. Показать, что если некоторое преобразование координат системы оставляет ее гамильтониан неизменным, то оператор этого преобразования коммутирует с гамильтонианом. В частности, рассмотрев для системы из N частиц преобразования координат:

Q)сдвига гп->г^ = гп+ а;

♦) Интегралы движения использовались при решении многих задач из др\1 их глан (см, например, сноематлчсское использование шп еграле момента в задачах с центральной симметрией).

В запахах даниого параграфа особое лпимание уделяется вопросу отыскания лшегралон движения, связанных с определенными свойстнамн симметрии рассматриваемых квантовомеханических систем (без копире!изаиии виза взаимодейстпия).

Разумеется, пекоторне звлачн из других глав (такие, как 1.29, 4 26, 4 27, 6 19 в др.) можно было би поместить х и дашюм параграфе.

б) поворота па угол 屮Q — gg (п0 — единичный вектор вдоль оси поворота системы координат,物一величина угла поворота);

е) отражения г〃—г；= —% 〃=1,2, ・・・，N,

показать» что из инвариантности гамильтониана относительно этих преобразований следует существование у рассматриваемом системы механических интегралов движения: импульса, орбитального момента п четности.

Указать, какие из механических величин или их комбинаций (энергия, проекции н квадрат момента, проекции импульса, четность) сохраняются при движении системы N бес- спиновых частиц в следующих полях:

при свободном движении;

в поле бесконечного однородного цилиндра;

в поле бесконечной однородной плоскости;

в поле однородного шара;

в поле бесконечной однородной полуплоскости;

в поле двух точек;

в однородном переменном поле;

в поле равномерно заряженного прямого провода с пе- ременным зарядом;

в поле однородного трехосного эллипсоида;

в поле бесконечной однородной цилиндрической вннто・ вой линии;

в поле однородного конуса: а) однополостного, 6) двухполостного;

в поле кругового тора.

Показать, что если /| н /2 — интегралы движения некоторой системы, то 5 =(Л为+ f，i) и &2 = М"2 —/#) также являются интегралами движения.

Показать, что если у некоторой системы Р* н J& — мптегралы движения, то Ру также является интегралом движения.

Объяснить полученный результат, исходя из свойств симметрии рассматриваемой системы, обеспечивающих сохранение Р* н Jg.

Показать, что если у некоторой системы J* и Jy — интегралы движения, то Лг и, соответственно. J? также являются интегралами движения.

Объяснить полученный результат, исходя из свойств сим- ме1рии рассматриваемой системы, обеспечивающих сохранение

・

Гамильтониан частицы со спином 6=1/2 имеет вид: ")白=月+ u。(，)十a&)而0;

①方=爲十5(Г)+3⑺g!).

Указать интегралы движения^

Найти спин-угловую зависимость волновых функций стационарных состояний дискретного спектра.

Нейтральная частица со спином s ^ 1 /2t имеющая спиновый магнитный момент 卩。(например, нейтрон), находится в аксиально симметричном магнитном поле вида (в цилиндрических координатах);

о)彌р = З^ф = 0,非z= (р)；

6)符=旅=0,场=為你).

Указать интегралы движения.

Показать, что для частицы в однородном поле оператор

{Fo ——сила, действующая на частицу) является интегралом движения.

Какой смысл имеет среднее значение <G>?

Сравнить с результатом классической механики.

3. Сохранение момента и четности в распадах

и столкновениях. Изотопические соотношения *)

Установить, какие ограничения на квантовые числа (спнн Ja и внутренняя четность 尸а) нейтральной частицы А0 следуют из факта существования распадов этой частицы на два л-мезона (/л = 0-)):

а) А°->几+冗-;б) А。。2д°.

Считая, что покоящаяся распадающаяся частица находится в состоянии с определенным значением проекции спина /? = Л/ на ось г, найти угловое распределение продуктов распада.

Для распада векторной частицы V (/р= к) на два л-мезона: V ^л+я~ — найти наиболее общий вид углового распределения продуктов распада в системе покоя частицы V.

Состояние частицы V описывается поляризационной матри- ней плотности Pgm，, где т — проекция спина частицы на ось г.

Установлено, что в реакинн 冗一 + df n + 目 захват медленного л~-мсзона (его спин 厶=0) происходит из основного состояния мезодейтерия с сохранением четности.

Учитывая, что внутренние четности протона и нейтрона одинаковы и квантовые числа дейтрона/§= 1+, иайти внутреннюю четность к-мезона.

Какова внутренняя четность частицы т, имеющей спин Jk = O, если возможен ее распад на три 九-мезона: т—3“ (внутренние четкости пионов — отрицательные) ?

Может ли такая частица распадаться с сохранением четности на два пиона?

Найти угловое распределение продуктов распада нестабильной частицы В со спином /в = 1/2: В-> ^N, если:

о) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В — отрицательная;

в распаде сохраняется четность, н четность настнцы В — положительная;

8)распад происходит с несохранением четности.

Предполагается, что спиновое состояние распадного нуклона не фиксируется»

Известно, что в распадах частиц А “ В вида А— 2冗, В f 奧N четность не сохраняется.

Можно ли результат о несохранении четности в указанных распадах получить вепосредственно из анализа угловых распределений продуктов распада? Считать распадающиеся частицы поляризованными, так что среднее значение их вектора спина отлично от нуля.

Показать, что векторы поляризации у-квантов, обра- зуютнхся в распаде псевдоскалярной частицы (J，= °一) на два у-кванта (например,拉т2у), взаимно ортогональны, а в случае распада скалярной частицы (" = >)—параллельны-

При столкновении пиона с покоящимся нуклоном в реакции ?х + N f 乳 + В образуется нестабильная частица В, спин которой /в》1・

Найти углевое распределение продуктов распада 實ак。百 частицы Bf jtN (в ее системе покоя) в случае, когда специально отбираются такие события реакции nN —> лВ, в которых импульс частнны В направлен по или против направления импульса налетающего пиона.

Указание. В силу условия /в》1 в рассматриваемой задаче можно пренебречь спином нуклона (считать его равным нулю)生 16.25. Заряды (в единицах заряда протона с) различных частиц, входящих в один и тот же изотопический мультиплет, в общем случае следующим образом выражаются через значение компоненты изоспина Ts, соответствующее данной частице!

4 = . + 7з,

где У—так называемый гиперзаряд (так, для нуклона У=1, для пиона У = 0 н п д.)4

Показать, что сохранение изотопического спина автоматически влечет за собой н сохранение гиперзаряда.

Найти наиболее общий вид изотопически-инвариант- ного оператора взаимодействия пиона с нуклоном.

Как операторы nN-взаимодействия в состояниях с определенным значением изоспина D (Т= 1/2, 3/2) связаны с найденным оператором О?

Выразить оператор О через операторы О (Г).

То же, что н в предыдущей задаче, для системы из двух ИМОНОВ.

Выразить оператор О через операторы лл-взаимодействия в состояниях с определспным значением изоспина О (Г = 0, 1, 2).

Для двухпионной системы указать изотопическую структуру оператора кулоновского взаимодействия пионов.

То же, что н в предыдущей задаче, для кулоновского взаимодействия в nN-системе.

Изотопическая инвариантность предполагает, что различные частицы, относящиеся к одному н тому же изотопическому мультиплету, следует рассматривать как тождественные частицы, находящиеся в различных состояниях, отличающихся значением Тз-компоненты нзоспина (и соответственно заряда). При этом квантовомеханический принцип неразличимости тождественных частиц, требующий определенной симметрии волновой функции по отношению к перестановке переменных любых двух таких частиц, должен быть распространен и на различные частицы одного и того же язомультиплета.

Выяснить, какие при этом возникают огрзнниення на возможные значения суммарного изотопического спина двухпионной системы в состояниях с определенным значением L орбитального момента относительного движения.

Для системы, состоящей из двух л°-мезонов, найти вероятности &(7) различных значений суштарного изотопического спина системы Г и среднее значение Т2.

Указание. Воспользоваться результатами 3.37 н 3.39.

Найти вероятности w(T) различных значений суммарного изотопического спина 7 пион-нуклонной системы н среднее значение Т2 в следующих изотопических состояниях:

Л*р,冗4 口, Л°р, ~口,几—p, Л~П.

Указание. Воспользоваться результатом 3.37.

Нейтральная частица [° с изотопическим спином 7 = 0 распадается на два пиона: [°->2л. Возможные каналы распа， да: fo>k, 1с->2л°.

Найти соотношение между вероятностями распада частицы f° по указанным каналам.

Показать, что изоспиновая часть волновой функции системы из трех анонов в состоянии с полным изотопическим спи^ 124

пом системы T(3nf=0 имеет определенную симметрию по отношению к перестановке изоспиновых переменных любых двух пионов, н выяснить характер этой симметрии. „

На основании полученного результата показать, что нейтральная частица ю° с изотопическим спином Т = ? не может распадаться на три л°-мезо«а, т. е. распад б《—Зл запрещен.

Частица А, имеющая изотопическим спин ' = и зарядовые состояния Af А+, А0, — отвечающие соответственно зпачеш1ям +3/2, +1/2, -1/2, -3/2 проекции Гз изоспина, распадается на пион и нуклон： A—jiN.

Указать возможные каналы распада для различных зарядовых состояний А и найти соотношения между вероятностями

распадов по этим каналам.N*

То же, что и в предыдущей задаче, для частицы н , имеющей изотопический спин Т=】/2, зарядовые состояния №+(7з=1/2), №・о(Тз = —1/2) и распадающейся на пион и иуклон: N*f nN.

Показать, что

do ( р + р f d + 久十)к 2

Nu(n + p6d +哂 г

где do — дифференциальные сеченля соответствующих реакций, взятые при одних и тех же относительных энергиях, углах раз・ лета и взаимных ориентациях спннов.

Показать, что

■<у (р 十 d -> d + п + 兀+) — 2 dG(p + d->d + p + "}

где смысл du такой же, как и в предыдущей задаче.

Предполагая, что рассеяние пионов нуклонами происходит главным образом через промежуточное состояние Д^-си- стемы с полным изотопическим спином Г = 3/2 (при этом взаимодействие в состоянии с Т = 1/2 пренебрежимо мало), наити при одинаковых относительных энергиях, углах разлета и ориентациях спинов соотношения между дифференциальными сеие- ешями следующих трех реакций:

п++р —乳++ Р,

(И) п^ + p-*-^-bn,

л- + р—口一 + р・

Основываясь на зарядовой симметрии нуклон-нуклон- пых и пнон-нуклонных взаимодействий, найти соотношения между дифференциальными сечениями процессов

п + ртр + р+冗-,n + p~*n + n +釘工

РЕШЕНИЯ

Глава 1

ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Операторы 7, 7% ^с—линейные, R — нелинейный.

Все указанные операторы совпадают со своими комплексно сопряженными, т. е. являются действительными: 7* = 7 и т. д.

Вид оператора Мс следует из цепочки равенств

8

,^ (л:) Л14Ф (х) dx = ^{^^/с ^(cx)dx~

-^ , W* (尤/e)①(力dx三卜应”* (X))Ф⑴d尤.

—8

т. е.處屮，(尤)w—屮，(х/с) =疝扣屮•(办 или Мс = Мш. Соответ- ственно Mr w 腕= Л?м

Аналогично находим: 7^ — 1 = 1. Ta = fa= ?“・一

Так как оператор К нелинейный, то понятия операторов А и К+ к нему не применимы (такие операторы не существуют).

Все приведенные операторы имеют обратные: ? -, = /, К°〔=

=К, Та1 = 7-а，而丁 =疝3一

1-2. При отыскании вида операторов f и f+ из соотношений

I ① 7Чмн=§ 向*)чму "广①)”^I ① 7Чмн=§ 向*)чму "广①)”^(1)(1)

I ① 7Чмн=§ 向*)чму "广①)”^

I ① 7Чмн=§ 向*)чму "广①)”^

(1)

(1)

следует иметь в виду, что произвольные функции V и Ф в (1) удовлетворяют некоторым ограничениям. В частности,

⑵⑵卜屮卩打 < оо, JI ф |2dr < oo, 126

⑵

⑵

что накладывает, например, ограничения на их убывание при гт оо.

Из равенств (id/dx)，= —id/dx н

ОО

\仃⑴(，喘屮⑺)"=献屮[二T，(±и)у〃=

—8

=一八(会")у厶='(巨①')中心

имеем i-^= — l-^ и (£《)* = £言，т- е- оператор id/dx эрмитов.

При отыскании id/dr необходимо учесть, что diw/dr dQ= = dV, так что

\①*後屮)产"血=卜6*屮円J 。 dQ -\{(3+9)叫空奸= =_MG十给①'}屮w三\(.中.)屮"匕⑶

т. e.т. e.△一J -1. таким образом,(喲♦=一蘇，(£给*Н

т. e.

т. e.

=2丁 + -^—оператор 1д{дг не является эрмитовым. Отметим, что в (3) мы положили ①•屮产覃=0, как это следует из условии существования интегралов (I), (2) при f = O/dr・ 一 八

1.3. При доказательстве следует учесть свойства (£*)* = Lt

炙 с 久X ~ k

L = L, ЛВ = ВА9 вытекающие из определения операций комплексного сопряжения и транспонирования операторов.

户一尹户一尹1.5. 4=飞亡,自=1.5. 4=飞亡,自=2/2/14 否=髭余=気先云 G+ sG* =(A+)+C+A^ = ЛСЛ+= G.

户一尹

户一尹

1.5. 4=飞亡,自=

1.5. 4=飞亡,自=

2/

2/

1-6. Проверяется непосредственным вычислением. Х> ^х ^4 ^^ ^^ ^^

1.7. Представим F в виде F = Л + <В, где А, В — эрмитовы операторы (см. L5);戸=Z?—衣十 *屈十 ВЛ). Если АВ + + 心％ = 0, т. e. операторы Л и /5 — эрмитова и антнэрмитова части оператора 尸一антикоммутируют, то 戸—эрмитов опе

ратор.

t.8. [ЕЛ, £瓦]=§&£瓦一§瓦£4=3【4，&]・

1.9・ Искомое соотношение вытекает из цепочки раветств [АВ, С\ = АВС — САВ = АВС — АСВ + АСВ — САВ = А[ВГС] + + [Л, С] В.-

Аналогнчио можно получить [Л, ВС] = [Л, В]С±В[А, С]・

^1.10. Тождество проверяется непосредственным вычислением.

.tt. Нет, не могут. Условие [Р, Q] = —〃 означает

£ (P»Qkm—Qn/P痴)=—%”⑴

k=l

Возьмем след матриц в правой и левой частях равенства (I). Учитывая, что Sp(PQ) =» Sp(QP), Sp 7 = N, находим, что соотношение (1) противоречиво н не может быть реализовано матрицами конечного ранга. Матрица, являющаяся коммутатором двух произвольных матриц конечного ранга, имеет равпый пулю след.

Читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о том. почему это утверждение теряет силу в случае матриц бесконечного ранга.

1-12. а) Учитывая, что 户=1, находим

8

п=0п=0

п=0

п=0

Представив оператор Та в виде ряда» получаем

к屮а)=у喘(外уw出=2/屮冋任)=屮а+3山

Последнее равенство в соотношениях (1) является разложением функции в ряд Тейлора. Таким образом, оператор ТЛ = =exp (ad/dx) является оператором сдвига, тождественным введенному в 1.1.

L13. Представим искомое разложение в виде

■8

(Л - кву1 = X ^яс„.(I)

гг=О

Подействуем на обе части (1) слева оператором (片——入疗)：

1=(才一法)！＞〃&•(2)

Приравнивая члены при одинаковых степенях 入 в (2), находим

猶十I ==熊, Таким образом, имеем猶十I ==熊, Таким образом, имеем&4]"一m，с。 = a」.&4]"一m，с。 = a」.

猶十I ==熊, Таким образом, имеем

猶十I ==熊, Таким образом, имеем

&4]"一m，с。 = a」.

&4]"一m，с。 = a」.

方一疝方一疝=n7 + 壮为z-1+ …=^-I£r(BA-l)n.

方一疝

方一疝

п-0

Продифференцируем по X оператор вида f (入)=6始е-*& 备=届4瓦一箱- 0番届-出=^[a9 в] e-4

Анадогично находим производные второго й более высоких по- РЯДКОВ1

鲁=眇②[4 [%, Q]]ef，и т. д.

Окончательно:

е族-У а А 1) =，А (黑)X

===■ + )【4 8] + 春[А [А ВЦ + …

飞,Е')=上倡g犷。怎E')="匕乳L怎訂="(匕认 Представив действие Мс на функцию ^(л) в виде

8

而»(*)="了w(3=夜 J 6(cx-xr)^(xf}dxf9

—8

находим Л1е(х, *)n“c 6(сх ——V). Аналогично:

13 刈 и6(尤 + Z); Ta(x, /) = 6Q — / + а);

X (х, /) = хб (к — хЭ — ядро оператора £ = х:

Р(&/) = 4•去6(% — /) —ядро оператора p=g 嚙＞.

〔.16. Учитывая, что ядра операторов £ и £+ связаны соотношением L+(x, хЭ «= [Цх\ х)]*, находим из равенства £«£+:

а) /(*) —вещественная функция переменной х；

6)вещественная часть f(x) является четной функцией 丈, а мнимая часть — нечетной функцией;

в) f (%) = ср (х), где с—вещественное число

.17, Учитывая вид ядра оператора С = Аб

сз /)=卜 а, %〃)в а〃, /)«%"(I)

и вид ядра Х(х, х')= %6(* —%') оператора £, каходим из условия АС —储=О

\(F(% х")*〃6(%" - хЭ 一必(尤一%")F(*〃，Z))厶"=

=g-力尸&/)=0. (2)

Из (2) вытекает вид ядра F(x, /):

FG.切=**)可4一/).(3)

где f(x) — произвольная функция.

В, М. ГалицкиЛ и др.|29

Аналогично, из условия С0 —0С = О и вила ядраР(х, Z) =» 4 -^- в (х — лЭ следует после простых преобразований(备+备)g(尤切=°，

т. е. G(х,У) является функцией вида G(x,/)m g(“一/)・

Из условия [F,£] =0 вытекает (см. предыдущую задачу)

尸(х.切=f(*)6(*-/),⑴

⑵⑵23 условия [A £] = o следует

⑵

⑵

戶(右切= g(x-/).

F(x,『) =Fc.F(x,『) =Fc.Соотношения (1) м (2) одновременно могут иметь место лишь при условии /(“)=« Fu=> const; при этом =Fg6(x —*')・ Оператор с таким ядром имеет вид F

F(x,『) =Fc.

F(x,『) =Fc.

находимнаходимНормировка в. ф. на единицу дает | С ]« (яа2)",м- Используя квантовомеханнческую формулу для средних значений.

находим

находим

与，O = d/2 +峪（瓦冴=#一尸=紀/2,

而 F=花+肥/加2.（项2=*/2.

1.20. При \CT2^^^Mdx в・ 0П,屮)屮 d不-一优 |CF\{qp")1.20. При \CT2^^^Mdx в・ 0П,屮)屮 d不-一优 |CF\{qp")ф. нормирована на единицу иф. нормирована на единицу и4喑叫»2= |CPpoW(x)dx = "o‘4喑叫»2= |CPpoW(x)dx = "o‘

1.20. При \CT2^^^Mdx в・ 0П,屮)屮 d不-一优 |CF\{qp")

1.20. При \CT2^^^Mdx в・ 0П,屮)屮 d不-一优 |CF\{qp")

ф. нормирована на единицу и

ф. нормирована на единицу и

4喑叫»2

= |CPpoW(x)dx = "o‘

4喑叫»2

= |CPpoW(x)dx = "o‘

⑴⑵⑴⑵

⑴

⑵

⑴

⑵

Средний дипольный момент системы равен

8nЛ

d=,屮•(「" •・・♦「о) g cJq屮(гь • • •» %)П ^гь*

—8стВт

Сделаем в (I) замену переменной r°f《=—г。：

d=-:1>£1w(一г，…，一口fn^》

—8 а%

Учитывая» что согласно условию задачи

屮(—『]♦・•・,—Г-) =PV(!*],•・・,Г J

где 1= ±1 — ^етность состояния системы, находим из (1) н (2), d = —d, т. е. d ==Q・

赤=,屮女+3厶=,(z+w).£+中dt > 0.

Аналогично £+£ = \ [ Zw Fdt >0・

Так как f+ = f, то, согласно предыдущей задаче, в произвольном состоянии системы 尸及 0, в том числе и в состоянии, отвечающем минимальному значению величины f2; но в последнем случае 产=(尸)ев > 0.

ft = cfi9 т. е. спектр сз・ величины f состоит нз двух значений- f】=6,% = С

Уравнение для с. ф. и с.з. оператора f н его решение:

一该条屮f W) + ^f^>=八圻(A(I)

巧合匸Cexp{-△蓊注}⑵

(a = aft). Из (2) следует, что с. з. f — произвольные веществен* ные числа, спектр — непрерывный и с.з. — невырожденные.

Выбор коэффициента С в (2) из условия нормировки ，旺 a)*a)dx=6(f-r) приводит к значению |С]и(2на)-"2

Убедиться в полноте системы функций (2) и рассмотреть предельные случаи а—0, 0—0 предоставляется читателю самостоятельно.

ОО

1-26. Уравнение для с.ф. и с. з. f (х) \ 尸(吊屮(彳)4%=/屮(*) —8

имеет следующие решения:

а) имеется одна с. ф. K = cf(x). отвечающая с. s., рав- пому fo=，L20; б) все другие с. з. оператора равны нулю. Им отвечают с, ф. ^, (х), обладающие свойством \ 「(%)Wj W)dx=0, т. е., как и должно быть, эти функции ортогональны к функции Wo = f(x)： Очевидно, что число таких функций бесконечно, т. е. с. з. ^ = 0 имеет бесконечную кратность

вырождения.

Подействовав оператором О, равным

©=出『一打=『一"(；-均…(/一励， (П

на произвольную функцию 4f. получим 64f = 0, так как произвольную функцию можно представить в виде ряда по с. ф. 4fA оператора f:屮=2/屮月(с. ф. эрмитова оператора образуют полную систему) t а (/ — f*)^ = 0. Итак, G 三 0, м. учитывая

(1), находим

产一力严一‘+左е "严“+…+(-1严市l0，(2)

1-1Ckii^ki-*l

т. е. оператор ，内 линейно выражается через операторы £ 厶…，*T

В частности, при N = 2 нз (2) следует

竹=d+而一"2.9)

В д-яучас оператора 7 имеем 八=—& = 1 и ив (3) вытекает 戸尸I.

При N = 3 и с. з., равных fi —0 и 力=—fs 三瓜 из (2) вы〃 текает

rП也⑷

1・28)Продифферениирлем по 入 обе части уравнения для с. ф.:

•t^n(M-fnWM(1)

(0整(斯+曝匕仇)П紫％的+力备咒仰⑵

Умножим обе части (2) слева на Чг« и проинтегрируем по координатам q, от которых зависят функции 屮n(A,g)・ Учитывая равенство

w才4屮洞тl*/屮J Л-^d^f^^立％

вытекающее из эрмнговости оператора f, получаем искомое со- отношение.

. Из операторного равенства /£ —工力=0, примененного к с.ф.屮l, оператора £ (厶一с. з.), следует, что функция 如卩力 также является с. ф. £, отвечающей тому же с. з. £,. Если с. з_ Li является невырожденным, то А^^ = ^^Lr Точно так же в этом случае 屮厶,является с. ф. оператора б, т. е.豆屮乙,=B^¥Ll. Если бы все с. з. Li были невырожденные, то во всех состояниях 屮口 (i = 1, 2, • •・)имело бы место соотношение

(М — ВЛ)中 а = 0向 一 BiA^Li = 0.(1)

Равенство (1), справедливое для всех с.ф.屮七*, образующих полную систему, означает АВ — ВА = 0, что противоречит условию задачи. Таким образом, среди с. з. £/ обязательно есть вы・ рожденные.

・ Рассмотрим интеграл

J^^fflA^iB^?^.(1)

где At = A — a. Bi = В — 6; а, а, & — вещественные параметры.

В силу неотрицательности подынтегральной функции имеем при всех а

/(<х)>0.(2)

Переписав (1) в виде

J =，(。彳；+ 威)W • (аЛ| — iB^dr, используя эрмитовость операторов Аг и Вь а также определение среднего (в. ф. предполагается нормированной на единицу), имеем

Jg，W*(a4 +岳 1)(а4 —£瓦)УН =

,-=^(aMi-faJA,瓦]+ 留)中以=

=6 甭一勿位 Bd + Ж (3)

Учитывая, что fАь BJ — |Л. В] => iC, имеем из (2),⑶

出商二^ +語+ -一-2》0.(4)

Условие положительности квадратного трехплена (4) по а требует

(Л-а)2 -(月一诉》d/4.(5)

Выбрав в (5) а — А. 6 = В, приходим к утверждению задачи

Случай равенства в (5) реализуется, как это следует из (I) и (4), при выполнении условия (аД|—；5])屮=0. В частности, для операторов А = л, S = р*,匕=九 это условие принимает 回~力差)屮=”(6)

(f = aa ——Zfe — произвольная комплексная величина). Решение уравнения (6) (a V 0)

W = Gexp[^q 三爲ехр[粤-В]

представляет явный вид в. ф., минимизирующей соотношение неопределенности для операторов координаты н импульса.

Необходимо подчеркнуть, что при приложениях формулы (5) следует соблюдать осторожность. Это видно, например, уже кз результата ее применения к случаю операторов A — tz= —id/d^

8 = 3 曰屮(для которых [%,0]=—£, так что С= — 1)； 函•砌?1/4,

физическая бессмысленность которого очевидна, так как (爲Р может принимать произвольные значения (в том числе и быть равным нулю)» а величина (Д<р)2 во всяком случае не превосходит л2.

Дело в том, что соотношение, определяющее зрмнтов оператор f (которое существенно использовалось при переходе от выражения (1) к (3)):

，吟К "=,(/%)•«", (7)

вообще говоря, не выполняется тождественно, а справедливо лишь для определенного класса функций, входящих, как говорят, в область определения оператора f как эрмитова оператора. Так, для оператора 厶=—M/d<p в общем случае имеем вместо (7) соотношение 2Я2江

\ k(一备皿)勾=， (一喻勾•也叫一&列限△(8) ои

Соответственно для всех функций 屮[,&(§), входящих в область определения оператора —id/d^ как эрмитова, должно быть выполнено условие

5抑I e二？三 明 0几)中I (2m一取(0) * (0) = 0,(9)

т e

型曲1=(3血丫 = const(9)

屮 ](0)伽)丿I ‘

или 屮i・2(0)= Wi. 2(2п)=0, причем, как легко сообразить, const w схр (第» 0 — вещественное число (9") (при этом различным значениям р соответствуют различные же реализации оператора ——/d/dq как эрмитова). Имея в виду физическую интерпретацию оператора /г = —M/d屮 как оператора проекции момента и, соответственно, физическое условие тождественности точек @ = 0 н <р = 2н, требующее выполнения равенства ф(0)=Чг(2л) для в. ф-, принимаем р =0.

Уточнив деталь, связанную с важной ролью области определения в понятии эрмитова оператора, вернемся к выводу соотношения (5). Легко заметить, что справедливость формулы (5) определяется только возможностью использования соотношений (干触 rfx = Т W (而 dT, с；(1。)

f WBT dr = \ (加 Y。屮)dr

н аналогичных им, получающихся в результате взаимной пере< етановки операторов А и В. Формальное обоснование этих со отнсилений состояло в ссылке на эрмитсвосгь операторов, Те~ □ерь же, имея в ваду сказанное выше об области определения оператора как эрмитова» замечаем, что возможность использования соотношений (10) предполагает, что не только в. ф.屮, но также и функции А^ и 月屮 принадлежат областям определения операторов А и б как эрмитовых.

В физических приложениях в. ф.屮 относится к области опре* деления рассматриваемых операторов как эрмитовых; однако для функций ・4屮 и ЕВ аналогичное утверждение может быть несправедливым, и в этом случае соотношение (5) теряет силу.- В этом смысле в случае операторов х и рх не возникает никаких ограничений при использовании соотношений (10).

В случае же операторов & н @ ситуация иная, и соотношение (5) дня них в общем случае неприменимо. Формально это связано с тем, что для в. ф.屮(<р), входящей в область опреде- ленн只 оператора —id/d屮 как эрмитова (и тем самым удовлетворяющей условию Ф(0)= ^(Зл)), функция @'Р 三屮屮 3) таковой уже не является, и поэтому

2л 2л

,屮工03 dq) ¥=,(力屮).@屮询. с о

Однако в рассматриваемом случае довольно просто учесть возникающее осложнение и получить соотношение, являющееся обобщением (5)

Действительно, полагая в (1) 1 =厶，В =亂 (так что С = = ——1), сразу выбрав q = L,力=@, и учитывая соотношение

2л2л

\心屮).。屮産=\屮？#屮勾+ 2叩屮(2力R 。e

легко находим *)

/ = 6位一目一a(l — 2nl 屮(2兀)卩)+ (/ — Ф2) >0(11)

(подчеркнем» что использовано условие нормировки \ | 屮 Fdqn о

=1)-

Из (11) следует соотношение неопределенности для 厶 и ф；

ВД -砌 >}(1 一 2 兀 №(2л) FF・

_ 2л

♦)E=，〃zWFd恥

0

Ответы на поставленные вопросы, вообще говоря, неоднозначные. Неком му татпвность операторов не означает^ что отсутствуют такие состояния, в которых соответствующие физические величины имеют одновременно определенные значения. Строгое утверждение: в. ф. таких состояний, если онн и ест， не образуют полной системы. Пример： операторы компонент момента не коммутируют друг с другом, но в состоянии с моментом £ = 0 все компоненты момента имеют определенное еначение 厶=0. См. также 1,33.

Если операторы коммутируют, то это не означает^ что если А имеет определенное значение, то н 5 一 тоже. Строгое утверждение： состояния, в которых Л и В одновременно имеют определенные значения, существуют, и в.ф. таких состояний обра- >уют полную систему. Пример: в случае одномерного движения ©лерагоры импульса。= 4"育 и кинетической энергии 7 匸 ==「2/2加 коммутируют, однако в состоянии 4f(*) = Csin(p()x") кинетическая энергия имеет определенное значение, а импульс не имеет. Если же спектр с.з. величины Л является невырожденным, то любой оператор, коммутирующий с А, в состоянии 屮/‘также имеет определенное значение (см. 1.29).

/г'Р (г) =7 卜中(г)] = — г屮(一г) w — г 7屮(г), откуда вы- текеет 工 ；]十=/r + ?f=O. Аналогично находим: {/, р]х = 0, 自匸L = o.

(АВ + £4)中超=(孤 + 6а)屮祉=2ab 屮超=0. Таким образом, ab = 0, т. е. либо а, либо b равно нулю. Пример： Ц ^1х=л 0, н имеется только одна в.ф.电о = 6(х), являющаяся с. ф. операторов £ м 7 одновременно, при этом с. з. координаты хо = 0.

Отметим, что антикоммутирующие операторы могут и не иметь ни одной общей с. ф. (см. матрицы Паули, гвава 5 ♦Спмн》).

g) Решение уравнения для с. ф. и с.з. оператора f = *—^^ приводит к с.ф. вида Wf = Сехр [(尤―П?/2]・ Эти функции при любом «с.з.» f являются растущими при х —±8. Т；акие функции исключаются из рассмотрения, так что следует считать, что оператор f вообще не имеет с. ф.

С) Уравнение для с, ф. и его решения имеют вид

^^^ + ^)^^^ 屮 f =c exp [- -^1]. (1)

Из (1) следует, что с. з. f—любое комплексное число. С.ф・. отвечающие различным с.з., не являются ортогональными.

136

Представив с. з. / в виде , = 〃 +协 G,& вещественны) и введя с. ф. Ф/т нормированные на единицу；审,《=^_/'*Г2*'

находим, что они образуют полную систему, так как

8

2，[肉8)肉⑴％ % = 6(* _ /)・

—8

в) Решение задачи на с. ф. ^Л=(^) и с, з. матрицы (оператора) G

叫иe :)а)по 鸣。().

очевидно, следующее： одно с.з. 〃 = 1, ему отвечает с. ф. 皿0(0)； второе с・3‘ ан。，ему°тве-тсф7『表(；)• 蓋為上 н к не ортогойалькы, но, очевидно, образуют полную

йенейене(1)(1)а) Приведенный оператор (матрица) имеет только одно вырожденное с. з. & *=* 0. Соответствующая с. ф. 4fo =(；) образует» конечно, полной системы.

йе

не

йе

не

(1)

(1)

Представим произвольные 中ункинн W и Ф в виде

屮А?明,*沙叫

«читаем, для простоты записи, спектр с.з. // невырожденный.

°)Эрмдаовость оператора Р(力 следует из цепочки ра«ен«тв

,©5О 屮 d2，^P(f^ £ 4*/g / J 6*产=

=a月=，伊(Q叫•中"三,[A+(f,)叫屮".⑵

S) Ad)"户(您叫「叫,，• (3)

p4fdxv-p(f^(hm^(4)

胆(3) и⑷следует叫人)ПР色).

Оператор P=l—戶(厶)проектирует на состояния со значениями величины 厶 не равными 力.Легко найти, что Р2 == р.

L36. Физический смысл Р(/0 становится очевидным, если представить 屮 в виде 屮=£。比屮&н воспользоваться форму- /ой (2) предыдущей задачи (считаем в. ф.屮 нормированной на

187

единицу)!

师 П、W中(川屮也=IG F三[e (М F.

1・37・户(*》0) = 1)(%), где nW —ступенчатая функция, рав・

маямаяfl,心 О, "(*)=1о, х<0・fl,心 О, "(*)=1о, х<0・

мая

мая

fl,心 О, "(*)=1о, х<0・

fl,心 О, "(*)=1о, х<0・

Очевидно, а“ > 0)。「(％ > 0).

1-38. Произвольную функцию 屮(г) можно представить в ваде суперпозиции функций 也，четной (+) и нечетной (——) относительно преобразования инверсии Т (/V (г) = У (—г)):

屮何=[屮⑹ + 屮(一T)1/2 + [Ф (г) 一屮(一r)]/2.

По смыслу операторов Р土 должно быть Р土屮=[屮(г) 士 ±屮(一г)]/2; таким образом, /\. = (1 +。/2, Р_=(1—7)/2.

Очевидно,窮ь =Р土，Р+ + Р-= 1.

Оператор 户 с ядром, имеющим вид

Р(“, M) = cf(6「(/)，сР(“, M) = cf(6「(/)，сr = \lf(6F奴r = \lf(6F奴

Р(“, M) = cf(6「(/)，с

Р(“, M) = cf(6「(/)，с

r = \lf(6F奴

r = \lf(6F奴

является проекционным. Он проектирует на состояние» описываемое в. ф.屮(х)三 f (х) •

户伉)=寸,_})，где штрих у символа произведения означает, что в произведении отсутствует сомножитель с 力, равным /.

% (г) = 6(『 一г。)，屮中(「) = (2 兀旷岭 ехр (油"毋，

d (P) = (2лЛ)-* exp (— /рг0/Л), Фр, (р) = 6 (р — &)・

O(p)n.Cexp|-^V^-^^^q

Искомая вероятность равна

Ni С со

侬=,,,1尸仇外 z)^dxdpydzt

当 Pi —ОС

гдегдеFk ft,为=^^‘丁*屮' 弘 z)dg.Fk ft,为=^^‘丁*屮' 弘 z)dg.

где

где

Fk ft,为=^^‘丁*屮' 弘 z)dg.

Fk ft,为=^^‘丁*屮' 弘 z)dg.

причем функция 屮口也 z) предполагается нормированной на единицу.

138

1・44・ Умножим обе Части соотношения 74r (*?= ^(―л^ слева на 屮；(无)и проинтегрируем. Учитывая, что 屮р(%)=里▼(—*), находим

©О8

而®а , WJG)泣財取=、屮】р(-%)屮(一*)d%u<D(-p), т・ е, m®=e(—р).

Вид оператора сдвига 2В (х)=屮(х +。> в импульсном представлении легко найти, если учесть, что согласно задаче 1.12,6 его можно представить в виде

=ехр (ш/5/Л). Так как в импульсном представлении А = р, то % = exp(iap/%)・

〔•45. Из условия 4f(г)=ГР(—г), где / = ±1—четность состояния, имеем

①(р)=\в\(г)屮(r)dV=4%(r)屮(_r)4Vu

=/Jv：p(-r)¥(-r)dr«/O(-p)(1)

(при преобразовании (1) учтено свойство ^р (г) = V-p (—r))・ 1.46.

屯(%)三而Ч» = “(%,比‘)屮仕')d/・(1)

Подставим в (1)屮(%') = ^^^，<I)(p')exp('^-)dp1 умножим обе части (1) на 屮；(力)слева и проинтегрируем по 尤.Получаем

⑵(3)⑷⑵(3)⑷ф (р) w £е (р) =，£ з р') Ф(рЛ) dp\

⑵

(3)

⑷

⑵

(3)

⑷

L^ р")= 2^JJexp[j(/xr—px)]l(x, /)dxdxj纟(尤,f)=*\\exp[/(px—р'л/)]£(р, p')dpd/A

Обобщение (1) — (4) на трехмерный случай очевидно. Так, 丄(Р, Р')и75^иехр[《(рУ —pr)]L(r, e)dVdVf.

Оператор G — г"1 имеет в г-представлеиии ядро G(r,r*)^ t==戸 6 (г— г'). Ядро этого оператора в р-представлении, согласно предыдущей задаче, равно

С(Р> Р')=^ip- J 7СХР[^ ^-r]dV = \2^h(р — рТГ1-⑴

Аналогично находим ядро оператора 3=»,:

G2(p.p') = [4爪結伟一/|尸.(2)

При вычислении интегралов, входящих в (1). (2). учтено

8

,"^^ dx = ”'2・\ 7" exp Qqr) dV = 4n/q2.

Проверить равенство 0=G・6, т. е.

G«P, Р')=，G(P，P")G(P"・ р'Мр〃,

читателю предлагается самостоятельно.

Обозначим через 屮/(9)и 屮％句)С-Ф- операторов Л и В в некотором ^-представлении. W ® — в. ф. произвольного состояния в том же представлении. В.ф. этого произвольного состояния в Л- и В-представЛениях а (Л„) н й (5。) определяются соотношениями вида

屮(9)= e。(4)叫(办。(4)=，屮入屮%

二 .⑴

屮(g) = еь(ет)中』(办№Е)=\叫”《 т

(для простоты ограничимся случаем, когда спектр операторов А и Я дискретный; обобщение на случай непрерывного спектра или общий с〃у”а力，когда одновременно есть и дискретный, и непрерывный спектры, представляется очевидным).

Взяв в качестве в.ф. произвольного состояния с.ф. Vb^, найдем вид в. ф. этого состояния в ^-представлении:

0%(4)=,屮^(03"(g打.(2)

и аналогично получаем вид с. ф.屮/ в В-представлении：

"(反)=，屮勾(g)中、(q) %.(3)

Из выражений (2) н (3) вытекает “％ (儿)=%〃(В*)・

а) f屮]=Х 褊屮а； б) f&=£fnA, где G — в.ф. про・ кзвольного состояния в 1-представлении,

Pnn {fi) = ^nif>n i9 если спектр 扭 дискретный. В случае непрерывного спектра 也亿 f') => 6 —厶)° (Г — f^-

Оператор f = F(/) следует понимать как оператор, с. ф. которого совпадают с с. ф. оператора 厶 а соответствующие с. з. равны Fi=^F(fi). Так как система функций 屮,является полной (при этом существенна эрмнтовость оператора /)• то действие оператора 戶 на произвольную функцию W определено:

^^^=戶 § с@)*“(д)= §с(%)尸(厶)屮口办 (1)

Из (1) легко получить, что ядро F(g, /) оператора F (в д-пред・ ставлении), рассматриваемого как линейный интегральный оператор, равно

F® q) = & F(n”%(q)4^“),

где сумма берется по всем с. ф. оператора f. В /-представлении оператор F является оператором умножения на F(f).

Записав (—厶尸竺二力[(—律Vp]-” замечаем, что оператсф

(—△)-' с точностью до множителя является оператором у^・ Его вид в координатном представлении определяется ядром (сравнить с 1.47):

йр-1 (г, г') = [2^(г — г')2]「

Так как с. ф. оператора 尸(/) являются с. ф. оператора f н у него, как н у ], имеется N ра^ичных сз., его можно лред- с塞зшть в виде (см. также 127)

戸=fC)=£c/(f^ /).(I)

Значения c〃 находятся из системы уравнений ат

尸(二)一纟曝心, l=l・2".(2)

В частном случае N = 2 система (2) принимает вид F (川=% + c』i, F (/J = е + с 辰 откуда находнм Q и С| и вид оператора 户 согласно (1):

A 一 〃一(八)一 // (:力,Q (八)一「(fг f

В случае /V = 3 при указанных в условии задачи с. з. Л коэффи- ииенты с〃 п формуле (I) равны

一 F/Q\ г —尸(fo)~F(—%)戶(fo) + 产(一fo) —2戶(0)仆

£o —Cl—，C2 n^・(4)

〔•53. Проекционный оператор имеет два с. з., равные 0 и 1. Учитывая формулу (3) предыдущей задачи, находим явный

вид 凡с

F^F(P)=F(O) + [F(l)-F(O)]P.

Унитарными являются операторы 1,笃,府。・

1・55・ Из 6?2 => О и 00+ = 0+0 н 1 следует U = L

[с|= 1, т. е・ с = ехр(йх), а —вещественное 叫5?八

Из tj = 0四 следует。+ =。扌Of, откуда 应Л = =0切=1.

L58. Из унитарности U следует UU+= 1. Если О к тому же эрмитов оператор, тг. е. U+=U, то 02= 1. Эрмитов оператор, удовлетворяющий такому уравнению, имеет сз., равнь^ ±1 (и только). Таким образом, эрмитов оператор, имеющий с.з., равные 土I, является также и унитарным. Примером такого оператора является оператор отражения 1 (еще один пример — матрицы Паули, см. гл. 5).._

Так как 0+ = ехр (—iF+) = exp (—if). то 00+^ п 0+0 ^ 1.

Унитарность оператора легко установить, если предварительно доказать соотношение (£-i)+ = (*)T・ Искомое представление оператора O = exp«F)вытекает из преобразовании

八〜cos 的2) + i Sin (戸2)

exp (注)=exp(*/2) [exp(-fF/2)] - -§(戶我)一 j 融(丽Г'

Ff=UFU^ == U^cQ + £сЛ + £ СхИ/Л + …]0'n

н Co + § CiVAfi^ + 4 CitfiAiA^ + …=。・(О

Учитывая! что 0^0 = 1, произвольный член суммы, входящей в выражение (i), можно записать в виде

“"財 4 ・• •即+=〃nwW+ ••■ ^W+-=〜…n&用・•• 4’

安・ e. (1) принимает вид

0十 E C禹 + 2 %44 + …A F(也)=。,

что по форме совпадает с исходным соотношением и доказывает инвариантность этого соотношения по отношению к унитарному преобразованию операторов.

Из условия Jf = UAV^ следует SpX' = SK&Z02 = н Sp (AO^U} n Sp Z, так как U+U = 1 и Sp (ЛВ …D)= =« Sp (B ・・.DA).-

Аналогично det 4 = det (0/U‘)= det {AU^U) = det Z・

・63・ С одной стороны» det (00*) = det f = 1; с другой, det{W+) = det 0 • йеШ+, но det 力+ = det 6*=[det 6『=[det 行. Таким образом, | dett/12= 1, т. е. det U =» exp (fa), где а — ве* шественное число. Если ввести матрицу & = ехр (— iaJN) &t /V — ранг матрицы 0. то det 0'= 1.

1.64,

dett7==exp(ZSp F).⑴

Дли доказательства (1) следует учесть результат 1.62 н со вершить унитарное преобразование, диагонализирующее эрмитову матрицу 户.В новом представлении свойство (1) очевидно, но, в силу инвариантности детерминанта и следа матрицы относительно унитарных преобразований, соотношение (1) будет иметь место и в произвольном представлении.

L65. Всего имеется № независимых матриц Апт (например, набор матриц 力既=与也绢；厶 А = 1, 2,…，N). О'1евидно, столько же имеется независимых эрмитовых матриц. Число независимых унитарных матриц также равно №, так как между эрмитовыми и унитарными матрицами имеется соответствие! С = ехр (iF) (см. 1.59). -Чтобы унитарная матрица была уни* модулярной, необходимо Sp户=0 (см. предыдущую задачу). Из этого условия следует, что число независимых унимодуляр- нмх унитарных матриц ранга N равно 炉一1, как и число независимых эрмитовых матриц с равным нулю следом.

〔•66. Связь импульсного и координатного представлений определяется преобразованием

①(Р> А ^^ 卜F"叩(Г) d V 曰。中(Г),

т. е. оператор С является интегральным оператором с ядром ^(Р»г) = (2лй)-3^2 ехр (—фг/й) (оператор действует на функции 、Р(г))・ Ядро оператора 0+, действующего на функции Ф(р), равно

U* (г, р) = (2冗力)т/2 ехр (фг/Л).

Оператор СО^ имеет ядро, равное

(2лй)-3，ехр (——Zpr/Й) ехр (ipzr/ft) dr=6 (р — р'),

т. е. является единичным оператором (в пространстве функций Ф(р)). Аналогично находим 力+0=1 (в пространстве функций 屮(г))・

Таким образом, UU+= 0+0=1, та е. оператор О — унитарный*

1.67. Операторы 尸=Р£0+, р'= 0/0+ имеют вил： g£' = 一£," = -/ 6)炉=2+a,"=仇

в) U=c£, 〃=：爪

Приведенные соотношения между операторами #'.「' н 9. Р получаются наиболее просто в координатном представлении- Так, для 0 = Та имеем

U = U = f_a

И

必 ГЛ, (к) = faxf_^ (х) = ffl[xV (% — а)]== (* + №*)=(丘+ GV(*

т. e. £' = £ + 〃,

0；会o。屮6)=鶴?显亍_卩任)=露今备屮a一力=

=4尤e中任)=4言v⑴，

Т. ё. 0'=人 И T. ".

Глава 2

ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.1・

Е“ = Л!=^；"/п"^11^，°＜、＜а，

IО, х＜0,》＞а・

(I)

При инверсии координат относительно точки х~ а/2 в. ф. преобразуются следующим образом:

и% (х)三*仅)= ^П(-л + a) = (一1广巧(耳

т. е. имеют определенную четность» равную (—1)“・ Это обстоятельство полезно иметь в виду при вычислении интегралов (матричных элементов и т. и.), содержащих в.ф. ¥〃(%) *).

Функция распределения по координатам:

d朔a)=l%(力Fd% М=a/2,-=a居一 2,($讲］；

(aх)2 = a2 ［』一2」(:+1/］.

B.Q. n-го стационарного состояния в импульсном представлении

a0=忌姦哼nхр(一警)d- о

=—2л^^5 + 1)ехр(_"а/2А)」cos(pa/2A),n - четное,

p%% —刀*" (л + О1［f sin (pa/2A), л — нечеткое,

определяет распределение по импульсам частицы da^(p)=* =1ФЛ(Р)МР. Имеем

3

力=\ 屮;(*)0V“(*)d%=O,

一：⑴

砌=^=.，1段、⑴Fd¥=史牛上止.

—8

Используя полученные значения (Ах)2 и (АрУ, находим 西P砌、护［吗й一正鼻宀季

Напомним, что в обшем случае (см- L30)

碎砌＞肉4.

Отметим, что рй можно найти и по формуле

8

Pk^\pk dwn (р) = ”10 (力 Fdp.

—8

Однако вычисление таким способом более трудоемко, чем по формулам (1).

Тпп = р2/2т = Еп_ (см. предыдущую заначу). 72 = оо(!) Бесконечное значение Т2 следует, напрнмер, из вида функции распределения по импульсам частицы, найденной в предыдущей задаче, при |川f 8. Так как |Ф«(р)|сор-2 при |p|f 8, то d5rt(p)sdp/p$ и интеграл, определяющий среднее значение Т2 s р* расходится. Этот же результат можно получить иначе с помощью квантовомеханической формулы для средних

значений

弦=1需屮”住歴， — ОО

если учесть, что /5^ (х) = — fi2^ (х) содержит слагаемые, пропорциональные 6(х), 6(х —а) (при первом дифференциро- ваннн 屮с(х) получается функция, разрывная в точках х = 6 н 尤=а, пронзводная же разрывной функции пропорциональна 6 функции; \ б2 (%) dx = со).

а) В. ф. нормирована на единицу при Л = “ЗО/йЛ Коэффициенты Сп в разложении в. ф.屮(х) по с, ф. гамиль* тониана ¥〃(％), указанным в 2.1. равны (^ (х) = Х^ СПЧ;Л (л)) 。尸遮.(_。)5Л^〃 = 一嚕母，⑴

т. е. отличны от нуля лить для четных 〃，

Согласно принципам квантовой механики вероятность нахо, ждения частицы в n-м стационарном состоянии равна 侬力= =I&『.Уинтнвая (1), находим 切(氏)=960/л6 а 0,999, w (£2) ^ 0,001 и т. д.

Используя известные значения сумм (см., например, [13])

£ (2А + I)- = //да g 供 + I)" = //8, Л-0fe-0

находим

Е=^^п=^Е^^ 1,014£с；彦=2 皮剣=累感v^w=¥&

6) В.ф. нормирована на единицу при В = Vs/За • Вероятно、 сти wn отличны от нуля лишь для четных п и равны

2561

叫=1^ 诵ЕЛ1)=4『，л - тетное;

w (£с) = 0,961 ； w(£s) 4 0,038 и т. д.；

£= 4財3,戸=16&/3, Д£ =“^界=4 彼Е(/3・

В энергетическом представлении операторы £, р являются матрицами

Хтк，屮"% 4爲 p„m=，里；1P屮n 心,(1)

где 屮避疝一С・ф・ гамильтониана, приведенные в 2.1.

Вычисление интегралов, входящих в (1)\ дает

'4a (m+1)5+1}[(一1严+"一1]

X —声(m —л)2И + л4-2)я•

2簿(-+1)6+1)[1 一(一1严+/1]

—a(m —。) (m + n + £)*

О,

Эти матрицы (операторы) действуют на в.ф.

m#% m=n, m#& 加=龙.в энергетиче-m#% m=n, m#& 加=龙.в энергетиче-ском представлении, которая описывается столбцом

m#% m=n, m#& 加=龙.

в энергетиче-

m#% m=n, m#& 加=龙.

в энергетиче-

где Сп ——коэффициенты разложения в. ф・ ¥(%), отличной от нуля лишь в области ямн 0 < л < а, в ряд по с.ф-屮“％)： гамильтониана.

Сделав в у. Ш

-会w W+[粤■-函司匕⑴=&四⑴(I)

(|/(х)= —eS^x — потенциальная энергия заряженной частицы в однородном электрическом поле /о) замену переменной х f z= =х — е&о/左,приводим (1) к виду, представляющему у. Ш. для обычного гармонического осциллятора (без поля), и получаем решение (1):一

Еп = По (〃 + 1/2)—言陶2k* s — 一左/m,n = 0t 1,・・•，

^П (x) = V：cu(力 _ ipr(X 一 e/遥田，

где Vn0'1 (х)представляют хорошо известные в.ф. стационарных состояний гармонического осциллятора. Отметим, что под дей* ствием однородного поля все уровни энергии осциллятора смещаются на одинаковую величину.

В. ф. четных стационарных состояний д. с. имеют вид 及m0)

屮■ 8s[“2m(Uo — I Е|)佇a HI&Q，

'—I 6exp[- «2加E海Ix|],">&

Непрерывность в. ф. и ее производной в точке х — а приводит к трансцендентному уравнению, определяющему спектр четных уровней:

-%ТЕ| tg “2т (и。一] ED明护=“Г両(2)

147

(при этом в точке х = —а условия сшивания в.ф будут выполнены автоматически в силу четности функции).

Аналогично находим уравнение для нечетных уровней частицы；

/Uo-IElctg"2m(仇一|目无2冲=-M■両.(3)

Анализ уравнений (2), (3) удобно проводить графически. Так как этот анализ очень прост (и доступен даже школьнику), приведем лишь окончательные результаты.

Уравнение (2) при О V(E|V % имеет Л+ корней (N十一 число четных состояний д. с.), определяемых условием

(心一 1)九V 7/加同肥 < 必%⑷

т・ е. ври любых параметрах ямы есть хотя бы один четный уровень.

Число N一 корней уравнения (3) определяется соотношением

■N一兀一 #2 <"%瓦丽 《a一九+制2,(5)

т. е. нечетные состояния д. с. существуют лишь при условии 以4)出》彳.

б) По мере увеличения энергии четные и нечетные уровни чередуются» причем самый нижний уровень ——четный.

г) Соотношения (4), (5) можно объединить в одно:

(N - 1)冗/2 V w'^T^^ < Nn/2,(6)

где N—общее число уровней д. с.: N =叫 + N_.

力)Реализация знака равенства в правых частях соотношений (4)——(6) соответствует условию появления нового уровня: (N-^+ 1)-го четного, (AL+Q-ro нечетного или вообще (川 + 1)-го уровня, соответственно, при увеличении глубины ямы, т. е. при увеличении параметра ^ = та^и^/К2.

В случае глубокой ямы Е》i введем величину 虞=U。——［日 |—— энергию уровня, отсчитываемую от «дна» ямы. Для нижних уровней частицы (таких, что £7《Uc) из уравнений (2), (3) можно получить следующее приближенное выражение:

ЕВ^^^Ч】一л/3« = °- 1，2,… ⑺

Отметим, что согласно (7) нижние энергетические уровни в глубокой яме лежат несколько ниже уровней в бесконечно глубокой яме такой же ширины 2а,

В случае мелкой ямы mdUo/榕《1, как это следует пз решения предыдущей задачи, имеется только одно, чепюе со- 148

сгоянне д. с. Для нахождения энергии уровня нз уравнения (2) предыдущей задачи следует учесть малость аргумента тангенса и записать это уравнение в виде

q仅一1 瓦 I <2m(Uo -| 昂|)4护 ^ 1/j^j,⑴

задачи для в. ф,. еслизадачи для в. ф,. еслиТак как 々‘2m(Uo —— |£ol)a%&2《I» то из (1), очевидно, следует |瓦|《&, н, пренебрегая в левой части (1) величиной [&»| по сравнению с U。，находим

задачи для в. ф,. если

задачи для в. ф,. если

IE。.縹吧 U°《Uo, (2) т. е. глубина уровня в мелкой яме много меньше глубины ямы (рис. 20). Приближенный вид нормированной и. ф. основного состояния в мелкой яме

%W — Вехр[—д/^^А|х|], 8 = (2m1瓦|/的屮(3)

следует из выражения (1) предыдущей

учесть, что как точная, так и приближенная в. ф. в области ямы 卜]w G почти постоянны.'

硝弓硝弓4та?匠4та?匠ft2ft2'2Ео,'2Ео,-2而%T 右 -~~ Q - &•-2而%T 右 -~~ Q - &•Искомые средние равны

硝弓

硝弓

4та?匠

4та?匠

ft2

ft2

'2Ео,

'2Ео,

-2而%

T 右 -~~ Q - &•

-2而%

T 右 -~~ Q - &•

Учитывая приближенный вид в, ф. (см, формулу (3) предыдущей задачи), находим: 3 = 0, 毎戸=F = (5产)一1 x 壬 2mUGa/h2. Вероятность нахождения частицы внутри ямы

W0 ，|屮oFd兀右2«а《1. —а

Легко заметить, что малая вероятность нахождения* части* Цы в области ямы связана с тем обстоятельством, что в. ф. вне ямы лишь медленно убывает с ростом |х[. Действительно, |屮。|2 so-?司同，так что частица с заметной вероятностью может находиться на расстоянии | х | 〜1/х ==屮例2囲| 瓦1》а Имея это в виду» нетрудно сообразить, что и в случае произвольной потенциальной яме, характерные размеры которой порядка а, частица с подавляющей вероятностью будет находиться вне ямы (в классически недоступной области), если ее энергия удов* летворяет условию |Еп|《1^/2т出(такие энергетические уров- ни называют мелкими).

Приближенный вид в. ф. в импульсном представлении:

■®К 嘉1-号%(x)d"Q.命理4「)，⑴

p = o, 砌="=(就)2, (A—p尸=//2.

2Л0.一券屮〃 + [0{x) + ^(x-x^=EW.(1)

Из у.UI. (1) вытекают непрерывность в.ф. ¥(х) в точке № и разрывный характер производной в. ф. в этой точке. Величина скяика производной в. ф. должна быть такой, чтобы 6-функцион- ное слагаемое в функции 屮"(/) (производная разрывной функ~ чин пропорциональна 6-функции) компенсировало слагаемое а6(х —Ло)^(хс) в левой части уравнения (1). Проннтегриро ван (1) по области №—eVxV№ + e, е > 0, и устремляя Ef 0, находим

АУ (先)=屮‘侑 + 0) - У (Хо 一 0) = (2"W的屮(Ло),屮 5 + 0) =屮(Хо-0).()

亲中"一03a)屮=e里；e亲中"一03a)屮=e里；eУ. Ш. и его решение имеют вид

亲中"一03a)屮=e里；e

亲中"一03a)屮=e里；e

等,乂>。；

Дехр(—«х), Вехр(^х),Дехр(—«х), Вехр(^х),屮⑴={屮⑴={%>0,

Дехр(—«х), Вехр(^х),

Дехр(—«х), Вехр(^х),

屮⑴={

屮⑴={

*<0.

Используя соопюшеиия (2) предыдущей задачи (с учетом

замены a-> —а), находим А =В и “ =乜。=am/力攵， 氏= ——力2口2/2也2, т. е. имеется только одно состояние дискретного спектра, нормированная в.ф. которого имеет вид % (х)= = V^oехр[—хо|х]]. Эта функция, как н следовало ожидать, является четной.

Имеем

8

U=-a，6(*)4^(%)厶=-mult^ = 2£c； — ОО

8

7 =*\1岬。a)f4=32/2产=一瓦. -8

Потенциал U(*)=—аб(х)' можно полнить предельным переходом о-> 0, &-*■ 8. 2fiUo = a из потенциала, рассмотренного в 2.7 и 2.8. Прн таком переходе Е = та?и“沁 f о, т. е. яма является мелкоП. Ках легко увидеть, приближенные результаты для энергии и в. ф. основного состояния частицы в мелкой яме являются точными для 6-функционного потенциала.

Обозначим Еп,屮口(*), л = 0,1, ...» уровни энергии и нормированные в.ф. стационарных состояний в поле V(х). Эти в. ф. имеют определенную четность (—1尸，и в. ф. нечетных уровней при х = 0 равны 里2A+i(0)=0. Для частицы в поле О(х) введем аналогичные обозначения: Ёк,巾★(%)； А = 0. L •••； ①(0)0。.

Функции Vft(x) н нечетные функции %(炉 удовлетворяют (при х ^0) одному и тому же у. Ш. и одинаковым граничным условиям в точках х = 0 и % = 8； между ними имеется следующее соответствие (рис. 21):

反=%+h 恥⑴ 0 “» 里2*+I (%).

Если в поле U(x)' имеется ^ состояний д. с.» то число таких состояний в поле О(х) равно N/2 при четном N и (А‘一 1)/2 при нечетном № В случае ^^ 1 в поле О(х) состояний д.с. нет.

Рис. 21.

Найдем среднее значение энергии частицы в состоянии, описываемом нормированной в. ф. V(х, а) = “^ехр|—а|х |), а > 0 — некоторый параметр. Учитывая, что Т = /2т =

ОО

\ 0^ 屮)2 厶=/\浓% имеем —8

£ (а)=论％2/妬 4-а Jexp[—2а| x|J£/(x)rfx.

Второе слагаемое в (1) при а —0 равно

а 卜хр【一2а| хI]U(л)dxк а，U(х)dx < 0.

Используя (J) и (2), легко заметить, что при достаточно малых значениях параметра а величина £(а) отрицательна; но Е(а)》Ео, где £о—энергия основного состояния. Таким образом» 瓦 V 0 к основное состояние относится к дискретному спектру.

2・14・ Введя обозначения £ = ^(2та29 z — x/a, запишем у- W. в виде

一窘+修⑵¥=ёw(刍=驾绊).⑴

Обозначив е„(|), ^(г, |) с. з, д. с. и нормированные с. ф. уравнения (1), получаем решение у.Ш. в поле UqUd(x/aj:

吸(х) = *i (к闷*，£» = г^12та? ^ %UjE,хлп =叫小(м2 =炉(ML-

- Величины ел» 2, (Az)" (усреднение проводится по функциям 必)зависят только от значения параметра Е・

2Л5. Потенциальная энергия частицы имеет внд (рис. 22)

U(N} =U(N} =mg厶 8,mg厶 8,2>0,2<02>0,2<0

U(N} =

U(N} =

mg厶 8,

mg厶 8,

2>0,2<0

2>0,2<0

(напрдвление (—g) ©си 2, отражающая(напрдвление (—g) ©си 2, отражающая

(напрдвление (—g) ©си 2, отражающая

(напрдвление (—g) ©си 2, отражающая

принято за положительное направление плоскость z = 0). Так как движение вдоль осей х, у является свободным н в данной задаче не представляет интереса» в дальнейшем будем рассматривать движение частицы только вдоль оси z.

Заменой переменной л = =(2Mg/也2) “з (а _ E/mg) у. Ш. в поле U (?) приводится к виду

屮〃 (%) —у 屮⑺=0.(1)

Рис. 22.Решением уравнения (1), убывающим

при 尤f 8, является функция Эйри 叫幻，工e屮⑵二网(陪)"3(2-壶)]■ Квантование знер гетических уровней возникает в силу граничного условия

屮(2 = 0)=①[一 (2"g俨产 £/mg] = 0.(2)

Обозначив (——口々)(ft = I, 2,・・)последовательность корней функции Эйри в порядке возрастания aft, находим нз (2) энергетический спектр:

/=(m必涉2严明1, 〃 = 0, 1» ...

В частности, энергия основного состояния равна (n —0, -ai ^ & 2,34)

3 — 2,34g必/用2严=1>86让咤2綻严.

В.ф. основного состояния является четной: 4ro(亢)二 =%(—х), и достаточно найти ее при %》0 (при этом ^о(О) = О). У.Ш. при х》0 с помощью подстановок у = =Е ехр(—х/2а), £ ——力?炉/2ап, g = ^mdHJJt^ , v = 2ха (х>0) приобретает вид уравнения Бесселя:

器+点警+(1-乃們屮=°・⑴

Так как при %—8 (при этом д—0) в. ф. 屮(х『 должна убывать решение уравнения (1) следует выбрать в виде gO)

屮(х)=CI、(g) = CA,也 exp (— */2 胡.(2)

Условие ^(х = 0) = 0 определяет спектр четных уровней： 4(E)=厶т— ("8 叫呐)=о；(з)

при этом основному уровню отвечает наибольшее значение |Е|・

В случае мелко访 ямы Е《1, воспользовавшись формулой

Мg希fT(у2)"一謀捻訥2严，ELуравнение (3) можно приближенно записать в виде■H+l)-W+2)F/440,

Откуда

■ =『9 —产/2, *『=2maUJ肥,/ = —#喲2m.(4)

Нетрудно заметить^ что при этом нормированную в. ф. gchq& ного состояния можно приближенно записать в виде (так как 厶 ®)Q f &% ®2)” при у《D

也(л) = CJV^exp(― I л |/2а)] ^ 仮exp(—xol^ll.(5)

Результаты (4) и (5) для основного состояния в мелкой яме находятся в согласии с результатами задач 2.8 и 2.11: потен

циал U(x) =——€хб(х) можно получить предельным переходом Qf 0» U。—8 из потенциала рассматриваемой задаиМ] отождествив а с величиной а = — ^U{x)dx = 2аС/0. Такнм образом» в случае мелкой ямы произвольного вида U(x) энергия Ео и в. ф.屮。(*) основного состояния определяются, по существу, не конкретным видом {/(л), а значением интеграла，U(x)d”.

При решении у. Ш. следует учесть условия сшивания решения для 6-функцнонного потенциала (см. формулы (2) задачи 2.10), граничные условия ¥(a)=««W(—a) = 0. а также определенную четность в.ф. стационарных состояний.

В. ф. четных уровней при 0 V |х| & а имеют вид

Условия сшивания решения отношениюУсловия сшивания решения отношениюV(х) в Л sin [А (|%| —喇.А= «^^ > 0.⑴

Условия сшивания решения отношению

Условия сшивания решения отношению

(1) в точке x^0 приводят к со-

…吟隽三看G=胃)，⑵

определяющему спектр четных уровней.

При Е》I для нижних уровней (таких, что Аа《Е) в пра- вой части уравнения (2) стоит малая величина. Отсюда следует, что Ас@ = пл — е, где е《I, а х = I, 2,・・・—порядковый номер корня. Учитывая это, имеем из (2) —tgA^G q в 4 瓦a/g 右 а пл/|, т. е.

成*誓（1一啕,成*誓（1一啕,或以察0T同或以察0T同(3)(3)

成*誓（1一啕,

成*誓（1一啕,

或以察0T同

或以察0T同

(3)

(3)

(мы ввели индекс (+), указывающий на положительную четность уровней).

Для нечетных уровней в. ф. в области |х| < а имеет вид 屮(х)= Bsin(Ax) и условие Чг(«) = 0 определяет спектр нечетных уровней:

总-% = "% 政) =協面/2г?优北=[,2,...

(отметим, что в нечетных состояниях частица «не чувствует» наличия 6-функционного потенциала U(x)= аб(х)).

Сравнение (3) и (4) подтверждает указанный в условии задачи характер нижней части спектра： расстояние 6ЕЛ — 2£р)/； между четным и нечетным уровнями с одинаковым значением 〃

много меньше расстояния ДЕ =丨氏 ± i — Ес 丨〜 冏F /" до соседней пары уровней (n « Е)

Спектр четных уровней в области энергий Аа》Е (например, сильно возбужденные уровни) легко найтн из ⑵，положив AaQ = (〃 一1/2)л+ et £ 定 1 (л = 1, 2, ... — порядковый номер четного уровня).

-1g %аk i/e — 4/作—(以 -1/2)噬，

碍%25一1/2)八+m〃一1/2)%或*史畤磊u+醬•⑸

Первое слагаемое в выражении для hl/° описывает спектр четных уровней в бесконечно глубокой потенциальной яме, второе——смещение этих уровней под действием потенциала аб(х).

Объяснить характер нижней части спектра при Е》1 н рас-

смотреть случай а < 0, лп|а|а/й2 >> 1 читателю предлагается самостоятельно,

При достаточно быстром убывании U(x) в у. Ш. при хт 土8 можно пренебречь U(x)， так что у. ILL и его решение принимают вид (£ = 0)

屮〃 (*) = 0, Ф (х) ^ Л± + В±х, Xf±8,

т. е. решение является, вообще говоря, возрастающим при х—土8. При произвольных параметрах потенциала не существует решения y.ILL, которое не возрастало бы как при %— —；8, так и при %—■—оо (совершенно аналогично тому, как не существует убывающего при *—土8 решения у. ILL при произвольной энергии Е V。). Только при специальном выборе параметров потенциала (например, параметра % если записать U(x) в виде €/(%) = а0(х)) такие, не возрастающие при %— f 土8 решения у. Ш. существуют. При этом поле U(xj‘ является критическим в том смысле, что при малейшем углублении потенциала, г. е. при изменении поля на величину 8U(a)< W 0, в поле появляется новое состояние дискретного спектра, т. е. число состояний д. с. возрастает на единицу.

Чтобы понять описанный выше характер решений у. ILL с Е = 0, рассмотрим самый верхний энергетический уровень Ея Д. с. Его в. ф. %(*) имеет при 犬—土8 вид

屮“(X)sсхр(—х| *I), хо w'2执 1 Ед |/修.

При уменьшении глубины потенциала все уровни д. с. смещаются вверх (т. е. \Еп\ также уменьшается)> и самый верхний иэ них при некотором значении параметров поля принимает значение frt =0, при этом его в.ф. при 尤f 土8 имеет вид 屮£〃・о(х) к const. Число нулей функции Ч^еп^ не возрастающей при х— 土 8, определяет число состояний 工 с с £ V 6・

Не возрастающее при %-► 士8 решение у. Ш. для указанного в условии задачи потенциала при £ = 0 должно иметь вид (х=^ 72mUd码

{

Ах<0,

В cos (ха:+ 6), 0 < х < 2с»(I)

С,х> 2 風

Условия непрерывности в.ф. и ее производной в точках х—0 н % = 2q приводят к соотношениям

fi = 0, А = В9 Bcos(2xa)=^C. sin(2xa) = 0,(2)

последнее из которых определяет условие существования такого решения. Таким образом, условие 2ха = “8团口/昭=〃打,л= =1, 2, .. о дает значения параметров ямы, при которых в ней появляются новые состояния д.с, по мере ее углубления^ Так

155

как в, ф.也=0 имеет при этом п нулей» то полученное условие есть условие появления (л + 1)-го уровня (наисмннм, что в・ф・ основного состояния не имеет нулей). ”

2-19. Используя соображения» высказанные в предыдущей задаче, найдем условие существования не возрастающего при %—8 решения у- Ш. при Е — 0:

, f 4外h旣) = { 8, f 4外h旣) = { 80《》＜00《》＜0俚 ЕЕ (0) = 0),俚 ЕЕ (0) = 0),(П(П

, f 4

外h旣) = { 8

, f 4

外h旣) = { 8

0《》＜0

0《》＜0

俚 ЕЕ (0) = 0),

俚 ЕЕ (0) = 0),

(П

(П

Условия сшивания решения в точке х = а (см. 2.10) дают

аА = В, 2Е 三 Znaa/= 1, (2)

Т- е. невозрастающая в. ф. V£te0 существует только при одном значении параметра ^ = go = 1 /2, причем эта в、ф・ не имеет нулей. Полученные результаты для 屮е=о и 区 означают, что при 自 V Е。= 1/2 в рассматриваемом поле отсутствуют состояния Д. с.» а при Е > Ео имеется только одно такое состоя»«е.

2-20. Считаем, для определенности, U\> U* Состояниям Д. с. отвечает энергия £ V 心一 Найдем условие существования не возрастающей при х —士8 в. ф.屮e-g” являющейся решением у.Ш. с Е— £/展

{

5 ехр(— х! £ I), * < 0(х = Т2m &lU焼1松),

В cos (Ах + 6), 0 < х < a (fe = .2碗而&2),(1)

&х > а.

Условия сшивания в. ф. и ее производных в точках х = а а % = 0 дают

3 е — ka9 В = & Л-=В cos kat «= ft tg ka. (2)

Последнее из соотношений (2) есть условие существования решения у. III. вида (1), не возрастающего при х —士оо. Используя соображения задачи 2.18, заключаем, что это условие является также условием появления новых состояний д. с. по мере углубления ямы. Если в. ф. (1) не имеет нулей (т. е・ йд < я/2)» то речь идет о появлении первого состояния д. с. Таким образом» искомое условие имеет вид

72та2d拚 > arctg 'W'-UjlU*(3)

В частности, при ■ = 8 условие ⑨ принимает вид “》 江 r2A2/8т〃2. При Ui — U2 условие (3) выполнено при любых оараметрах ямы, т. е. состояние д. с. всегда существует.

Оператор силы (в координатном представлении) имеет вид Р(*) = ——dU/d”. и равенство 戶碗=0 вытекает из следую* 156

щмх преобразований：

Em=- \為(如川力屮。厶= —eo те8

=-\ ^(u\^dx+ J ^m+^n^dX= — CO—8

=马 \助治F小- A，((«)其+屮"屮П}rfx =

При преобразованиях были учтены равенства V(x) = ^*(л), «ю

［含［UI%,"dx — O и использовано у. Ш. для 屮舞,屮;. —8

Бесконечно глубокую потенциальную яму можно получить предельным переходом 5+8 из ямы конечной глубины U©. В последнем случае оператор силы в координатном пред-

⑴⑴ставлении имеет ввд

⑴

⑴

F = —dU/dx—Uq ［6 (x) — 6(x —砌

той функциитой функции/О, х<0, 佃=3. х>&/О, х<0, 佃=3. х>&(при нахождении (1) было учтено, что производная ступенча^

той функции

той функции

/О, х<0, 佃=3. х>&

/О, х<0, 佃=3. х>&

равна dn (*) /dx = 6 (х))・

Два слагаемых в выражении (I) представляют операторы сил, действующих на часгицу со стороны левой и правой стенок ямы. Рассмотрим силу Аф = —Uo6(x—а) со стороны правой стеики. Легко заметить, что ее можно записать в виде Fnp — =dV/да = дЩда (так как оператор кинетической энергия не зависит от а).

Используя результат задачи 1.28, находим

(ApL =^№Й№й = ОЕ/да,冗р = — 2EJa < 0.(2)

В последнем из соотношений (2) для Еп было использовано значение энергетических уровней частицы в бесконечно глубокой яме.

Сила, действующая на частицу со стороны левой стенки, равна R==——Fnp, так как суммарная средняя сила, действующая на частицу, равна нулю (см. предыдущую задачу).

Мы нашли среднюю симу, действующую на частицу со стороны каждой из стенок ямы. Сила, действующая со стороны 157

частицы на стенки ямы, имеет противоположный знак и направлена, естественно, изнутри в сторону соответствующей стенки.

Выражение (2) совпадает с результатом классической меха- ннкн для средней по времени силы, действующей на частицу со стороны стенки.

2-23- а) Среднее значение силы, действующей на частицу со стороны правой стенки ямн, согласно первой из формул (2) предыдущей задачи равно

Fnp = ОМ。(2а) = RJa,氏а- 2тМ/^ (1) где 2a — ширина ямы и для величины Е° использован результат задачи 28

Усредняя on叩атор силы Fnp = —U(^(x~ о), действующей на частицу со стороны правой стенки ямы, по в. ф. основного состояния, найденной в 2.8, снова приходим к (1).

Результат классической механики для средней по времени силы, действующей на частицу со стороны правой стенки ямы: 『к力=—KUo —— [Eo|)/o・ Сравнение этой величины с результатом (1) квантовой механики показывает, что |^|<|^|<

Такое резкое различие сил в классическом и квантовом слу* чаях можно было ожидать заранее, если иметь в виду результат задачи 2.9, согласно которому связанная мелкой ямой частица находится в области ямы с малой вероятностью (в противоположность классическому случаю, где эта вероятность равна 切к力=i). .

2・24. Среднее значение силы, действующей на частицу в ста・ инонарном состоянии д. с., равно нулю согласно 2.21. Эта сила складывается из силы, действующей на частицу со стороны стенки, и силы, действующей на частицу со стороны поля О (л) в области х> 0. Для последней, используя преобразования» аналогичные проделанным в 2.21, получаем выражение

СО

戸.=一 V屮〃 WP(du/dx)dx = -(fi72m)|吗(0)R (1) о

Величина (1) представляет также среднее значение силы, действующей со стороны частицы на непроницаемую стенку, расположенную в начале координат (х = 0).

Подставляя в формулу (1) значение Wn (0) для в, ф. частицы в бесконечно глубокой яме (см. 2.1), приходим к результату задачи 2.22.

Среднее значение силы, действующей со стороны частицы на правую яму, в стационарном состоянии д. с. дается интегралом

8

匐й =，I % ⑴ F (dU/d*) dx. (1)

Используя преобразования интеграла (1). ян алогичные проделанным в 2.21, находим

£"W戸(O)I'VO,畳№/(0)「>0.

где индекс (土)’ указывает на четный или нечетный характер в. <Ь. При получении (2) было учтено, что Ул (0) = 0 для четных и 4<n (0) = 0 для нечетных в. ф.

Приведенные в условии задачи в・ф. имеют много общего с в.ф. %(х) основного состояния частицы: они удовлетворяют необходимым граничным условиям, не имеют нулей б интервале 0 V % V а, обладают положительной четностью при инверсии координат относительно центра ямы. Поэтому можно ожидать, что среднее значение энергии частицы в этих состоя* нпях будет достаточно близко к энергии основного состояния и тем самым являться приближенным значением величины £р.

При вычислении средней энергии следует учесть, что U(x) = =0, так как в. ф. равна тождественио нулю при * W0 и к>а* а бесконечно глубокую потенциальную яму можно получить предельным переходом 5—8 нз ямы конечной глубины. Поэтому вклад в U(真)от областей х£0, х^а равен нулю, как и вклад от области 0 V х V а, так что Е=Т.

Учитывая» что Г = (t^/2ni) J | 4м (л：) pdx. легко найти среднее значение £» предварительно пронормировав в.ф. на единицу (см. также 2.4):

Д2 = 30/* 后=5 肥例/=1,014品

В2=8/За» £ = 2^/3ma2= 1.333』 (1) 6)0=1加3,后=6狩/т犀=1,216耳.

Как и должно быть» найденные значения 広 больше точного значения &=肥#/2т〃 знершн основного состояния. Из (Ц следует, что наиболее близкое к 瓦 значение дает в.ф. вида а)・ В случаях б) и в) отличие Е ст & достаточно большое — 20—30%. Эти результаты вполне естественны: внд в. ф. а) нан・ более близок к в. ф. ^ (х) = V2/« sin (лх/а) основного состояния частицы. Вид в. ф. б) вблизи стенок ямы сильно отличается ог точной в・ф・； так» при ” — 0 屮(*)s%，а 屮o(x)s* (аналогичное различие при Xf а)・ В.ф. вада в) имеет разрывную при х — = а/2 производную, в то время как производная в. ф.屮с(*£ в этой точке непрерывна.

27. Нормируя в. ф. на единицу, найдем Е(а), При любом значении параметра а имеет место неравенство 后(а)》&, где & — энергия основного состояния. Выбрав значение а = а。 из условия Е(а°)= niin Е(а), заключаем» что Е(о。)’ представляет наиболее точное приближенное значение (на рассматриваемом

159

классе пробных функций) величины 员(при этом &WE). Чем ближе пробная функция к в. ф. основного состояния^ тем точнее Е(а。)воспроизводит значение &.

Расчеты в данной задаче очень просто продэвести, если Учесть значение интеграла (6 >0, п — целое)

8

S

dx 口］_1/ d* f 成

_ 8 (6 3 "尸+1 0 旭 志") ) + / =

=(T产 d'力-吟=n3-1-

^-諭'2n川济代丹'

。)А=(2/м),『=阳2加［I 屮'⑴ Fd"=肥/4m*

U rA封2 = Ы72» £ (a)=也号4切a2 + fea會/2］

E Q) = mln £ ⑷=As/«W q 0,71 As

(④=Vfi2/2ftmt s = W”/m)；

6B2= 16/5na, Г = 7 肥"Ст* " _ 々炉八仇

宮(“Jh7^ 论®/5q0,53As& q “7ft 滋m)(2)

Результаты (1) и (2) следует сравнить с точным значением

£@ =冇о/2. Отметим» что в обоих случаях а) и б) имеет место соотношение 7 (со) = 0 (дп) в согласии с теоремой вириала.

Точная в. ф. основного состояния осциллятора» как известно, имеет вид

屮。(*)=(声冋)-%хp (一式/汝献хо д,%他.

Учитывая, что ехр(—%)= lini (I 4- x/v)^\ замечаем, что ис- v->»

пользование пробной функции вида ¥ = А(1 +炉/。2)力 при выборе вариационных параметров 出= 2v% v—8 дает Ff 瓦, т. е. точное значение энергии основного состояния.

2・28・ а) £д =罔4m小一2aRa,

£(«o) = minF (a) = — 4mMl諸护—O,81Eo;

6)E (a) — 7/l0ma2 — 16a/5na,

E(%) — min豆⑷=—256ma*770叱力2 弋 0,74E&

2・29・ a) При 42 = 4^3 в фж нормирована на единицу. Имеем:-

_亍=:欣闸2团，u=3加2生 户(0)=华产/2m+朝2备

£(M = mine(a) = (243/16产期配/2⑺w-2>48依2紀/加r⑴

6)阱=4"泅，?=3自2a/4加，"二2献"而，

后他)-=min£(a) = (81/2n)l/3伍统V2小了a 2,345伍宏/2m)吗 ⑵

160

Рассчитанные приближенные значения (1) и (2) величины £. следует сравнить с точным значением Ео == 2,338 (А2Й2/2гя) ^.

Отметим, что в обоих случаях имеет место соотношение 2Т(а0)=，(а)) в согласии с теоремой вириала.

.30. Наиболее общий вид полинома третьей степени, удов- летворяющего граничным условиям 屮(0)=屮(〃)=0, следующий:

屮(х) ~Ах{а — *) (х — b).(I)

Для того чтобы воспользоваться в.ф. вида (I) для приближенного вычисления энергии первого возбужденного состояния ча・ стицы вариационным методом, необходимо выбрать эту функцию ортогональной к в. ф. основного состояния. Этому условию легко удовлетворить, если учесть различную четность в. ф. основного и первого возбужденного состояний по отношению к инверсии координат относительно центра ямы (* = а/2): параметр b необходимо выбрать равным Ь = а/2, так что в. ф. принимает вид

屮(х) = Ах(а — х)(х — а/2).(2)

При вычислении £ в состоянии, описываемом в.ф. (2), удобно сделать замену переменной х->%'==* ——а/2. Простые вычисления приводят к результатам： Л2 = 840/а7 из нормировки в. ф. и

£7=0, £=f=21Й2/та2 = 1>06£|.(3)

Как и следует, величина Е дает ограничение сверху на значение энергии £| = 2fi2n2/^fl2 первого возбужденного состояния. Найденное значение (3) величины £ по смыслу расчета представляет приближенное значение энергии первого возбужденного состояния частицы £Р

2・31. Так как приведенная функция является нечетной функцией % и поэтому ортогональна к точной в. ф. основного состоя-» ния осциллятора, являющейся четной, то значение £(а) в состоянии, описываемом в, ф.屮(工,&), представляет ограничение сверху на значение £t энергии первого возбужденного состояния. Минимизируя Е，а) по а, найдем £((хо) — min£(a). Это значение £(а0) можно рассматривать как приближенное значе- ние величины &

Нормируя в. ф. (А” = 2а3). находим

! =他2/2m)"里:⑴f"=AV/2m, U=3旬2*

£ (吩=V^ 施氏 1,73fto)(s = V 4/m)・(1)

Значение (1) для 月(а。)следует сравнить с Точным £< = =ЗАш/2.

2Л2. Найдем £(х)・ Если Е V 0, то, так как 国< £ V 0, можно утверждать, что в рассматриваемом иоле имеются состояння

в. М)Гялиакяй и др.1М

д.с. ]Ео—энергия основного состояния). Таким образом, уело* вие Ё(х)^0 является достаточным условием существовання в поле состояний д. с, (при этом параметры потенциала выражаются через к). Выбирая оптимальное значение параметра х = хо из соотношения Е(хо) = О, получаем приближенные значения параметров потенциала, при которые в поле имеются состояния д. с.

q) f = fi2| Л iV&wx; 0 = — а/| Л 12ехр(— 2хс).

Условие £(х) W 0 принимает вид

Е = таа]松》exp р/4g》е/4 戸 0,68(у 曰 2ха).(1)

Г=3 V^ 力乃 ER/16m ^/ST; U=— аа2| В ]2ехр(— v^}.

Условие 広(乂) W0, гарантирующее наличие состояний д. с., принимает вид

А誓。)^^ -a77 (/ =皿 ⑵

Минимальные значения параметра 占 в правых частях соотношений (1) и (2) следует рассматривать, по смыслу ирове・ денных вычислений, как приближенные значения параметров поля, при которых появляются состояния д. с., и эти значения полезно сравнить с точным значением ^о = 0,5. Как н следовало ожидать» вариационный расчет параметра 瓦 приводит к завышенному значению глубины ямы» при котором в ней появляются состояния д. с.

Оператор кинетической энергии f = ^/2tn в импульсном представлении имеет вид Т =产/2т. Оператор потенциальной энергии U, являющийся в координатном представлении сне- ратором умножения О =^И(х)\ в импульсном представлении является интегральным оператором с ядром t/fp^p*). равным

U (р, /) ■ О(Р — Р‘)，U(Р)=心 J。W ехр (— ipx]h)dx. (I)

Таким образом, у. Ш. в импульсном представлении имеет вид

ОО

ЯФ(Р)= ^-Ф(р) + \ °(р —p')6”)d" = E0)(")・(2) —8

В случае £/(х) = —аб(х) имеем

V(Р)= ^" J U(*)ехр (— '"/加 dx = —а/2лй»

и y.ILL в импульсном представлении (см, предыдущую задачу) принимает вид

嗚。⑵一喘Г Jo(p)^=£O(₽).(1)

ОбозначивОбозначив

Обозначив

Обозначив

(2)(2)^ф^ар^С,

(2)

(2)

находим решение уравнения (1) в виде (£= —[Е| < 0)

6(Р)=墨 р2 + М]Е] •(3)

Соотношения (2) и (3) должны быть согласованы друг с другом. Исключая из этих выражений С, получаем

8

1=対J pе/|£] =丁а可T!•⑷

Уравнение (4) определяет энергетический спектр частицы. Oqq видно, оно имеет только одно решение £0 = —ma2/2ft2. Этому уровню отвечает в.ф. (3), которая при выборе С = 〃痴痴沥 нормирована на единицу.

Ядро оператора О =心尸/2 в импульсном представлении имеет вид

ОО

и(р'")=心 \ 炉ехp[-京р-/)小* =

=—芻 5 , ехр [_ *р —山 л:] d* =—岑券 6 (р _ р) и у. Ш. в импульсном представлении принимает вид

■-岑掰①® =加(»

в координат-в координат-совершенно аналогичный у. Ш. для осциллятора ном представлении. Его решение очевидно:

в координат-

в координат-

ехр」一尸2/2用竺1，р 、

а (р)=а (р)=#2"加莉荷Й "L "ms力丿'

а (р)=

а (р)=

Е〃 о As 仇 + 1/2),几=0, 1, 2, •・■

Решение уравнения для Ос при % V / имеет видGe(х, /) = 4(*)ехр伙(х — /)] + В(*')ехр[—х(х — /",n=“2叫e旧>0.

Условие убывания Ge при (尤—л/)——8 требует В (л/) = 0. Аналогично, при %> / имеем 0ь = С8)ехр [—м(# —/)]« В точке х = / функция СЕ непрерывна, а производная dGE/dx в этой точке имеет скачок» равный (сравнить с решением задачи 2.J0)

Ge(х=/ + 0. х') — G%(x = / — 0.吟=—2m/fi2<

Условия -сшивания функции Грина G^ в точке ” = *' дают А(Xх) = С (xz) = tn/^t в она представляется в виде

/3 *') =亲~ехр(—间兑一/|).(1)

Отметим, что Ge(x, Z) зависит только от [х —*'] (а не от х и У в отдельности). Это свойство функции Грина связано с однородностью пространства (в данной задаче — одномерного) для свободных частиц.

С помощью функции Грина общее решение уравнения (Е < <0)

一4 若屮 a)-EPG)=fa) ⑵ можно записать в виде

8

屮(х) 0 /1 exp (— xx) + В exp (хх) + j 6広(x, x') f (/) d*‘.(3)

—8

Если в уравнении (2) положить f(x)= —U(x)屮(х), то оно будет представлять у. Ill., а его формальное решение (3) при этом является у. Ш. в интегральной форме. Так как д刀я физических приложений обычно представляют интерес решения у. Ш., не возрастающие при хт> 土8, в так как при этом интегральное слагаемое в (3) оказывается убывающим при 亢―±8 (это легко заметить, если учесть поведение Ge при хт»±8), то в (3) следует положить 力=6 = 0, так что у. Ш. в интегральной форме принимает вид

8

，(*)= —彖[exp(— хIх — ZI)U(Z)^(/)4л\(4)

Уравнение (4) эквивалентно у. Ш. с учетом граничных условий—убывания решения при 无 + ±8. Оно имеет решение лишь при значениях Е V 0, принадлежащих к энергетическому спектру частицы.

К вопросу о функции Грина можно подойти и с несколько иисй точки зрения: ее можно рассматривать как линейный one* ратор Се, ядро которого в координатном представлении имеет вид Gf(xt Z). При этом из уравнения для Ge(x, %) следует

(H-E)Ge=19 fl =仍 12m.(5)

Уравнение (5) справедливо в любом представлении. Его формальное решение:

@"/••(6)

Учитывая результат задачи 1.51» находим Ge (к. Z) — ядро оператора Ос (6) в координатном представлении (Е < 0):

&(х，/)=［号s型噁产竺功二

= ^ехр(—х|х —/1% что совпадает с выражением (i).

Уравнение (4) предыдущей задачи для U(x)= —аб(х) принимает вид

屮(幻=翳屮(О)ехр(-х М)・(1)

Из (1) следует условие am/yh2= 1, определяющее значение единственного уровня д.с. Ео=—та2/2炉 и вид н.ф. %(х) = =Д ехр(—хо|х|).

2・38. Рассмотрим Wo(%)—в. ф. основного состояния частицы. £о V ° (l£n|W|£u|)・ Эта функция не имеет нулей при конечных значениях х и является вещественной функцией, причем Wo(x)尊 0 (последнему условию всегда можно удовлетворить соответствующим выбором фазового множителя). Функция 屮。(月)удовлетворяет интегральному уравнению — уравнению (4) задачи 2.36. Возьмем в этом уравненнн х = х& где 痴一точка максимума функции 屮。(真)

8

屮"m)= 55r S exp(—x0|x0 —xr|)|(/(r)|4rv(Z)d/. (1) —8

Замечаем, что подынтегральная функция в правой части (t)— неотрицательная и замена ехр (—х01 х0 — ^|) Wo (xz) в интеграле на 屮о(痴)может только увеличить правую часть (1). Таким об- разом, находим

R(尤о) &^8 '卩о(№)卜 U(x) Id*.

Отсюда

2 2 Г才

I耳 1<1 与 1=爱《亲［J U(x)dx^ ,(2)

что н требовалось показать.

Знак равенства в формуле (2) реализуется только в случае б-функцмонного потенциала £/(*)=—а6(лг — а). Приближелное равенство (2) имеет место для «мелких» потенциальных ям. удовлетворяющих условию |阮［相〃2/自*《1, где U° н а—ха- рактерные величины потенциала и раднуса его действия.

Функцию Грина Ge(k,x') (х,*‘》0) можно найти не- посредственно из решения уравнения для С^ аналогично 2.36,

и она имеет вид

О£(х, лг')=^[ехр(—如х — /|) — ехр(—允I* + /])](1)

(вид (I) функции Грнна представляется очевидным и без вы- числений, если иметь в виду результат задачи 2.36).

2Л0. У.Ш. для состояний д. с. в интегральной форме (при G W °) имеет вид

8

屮(%)=斎，]ехр(—х|х —xzl) —

-ехр(-м|х + /|川0住‘)|Wa')d/.(1)

Будем понимать под 屮(к) в уравнении (1) в. ф 屮“了) основного состояния частицы с энергией £0=——й^/йт < 0, предполагая, что в рассматриваемом поле состояния д.с. существуют, Функция 屮с (%) нс имеет нулей (не считая нулей при х = 0 и * = 8), % не ограничивая общности, ее можно считать вещественной функцией, удовлетворяющей условию Фс(х)^： 0. Возьмем в (I) 又=№, где хо—точка максимума функции %(х), и вынесем из-под знака интеграла в (]) функцию R，) в точке / = № — при этом правая часть (I) может только увеличиться (так как подынтегральная функция неотрицательна); сокращая на 屮о(注)> 0, получим

8

I V ^^\ [ехр(— м0| х0 — х I) — ехр(— х0 |х0 -ь X1)]Ш(л) Idx. (2) о

Так как |хЦ-хЛ| —|х —хЛ]^2лг (напомним» что х, xz^0)r то 0<ехр(—х|х —хЛ|) —схр(—x|x + Zl) =

= eхр(-w|x-xz|)[l - exp(一Y|* + *'1 + 式|方一*'|)]《 《exp(一乂|力一%'|)[I -exp(- 2乩/)]<2天工。(3) и» учитывая б соотношении (2) неравенство (3), находим

со

謂卜|0(x)W》I・(4)

0

Условие (4) по смыслу вычислений представляет необходимое условие существования в рассматриваемом поле U(x) со・ стояний а. с.

Напомним, что достаточное условие существования состояний а с. может быть получено с помощью вариационного ме* года (см. 2.32).

Применение соотношения (4)耳 потенциальной яме, указанной в условии за〃аи% дает необходимое условие существования 166

состояний д. с. в виде 1Л)筑〃朋/护 N 1; точное условие: Зта?/板》 > 汽2/8 а 1,24 (см., например, 2.20).

Отметим, что условие (4) для потенциала О(л) =——аб (亢—а) является достаточным условием существования состояний д. с.

Функция Грина。“尤,*') @ < 尤，/ <а) удовлетворяет уравнению

Т 若 Gi&=6d)

граничным условиям Ge(x = 0, %')= Ge(x = а, %') = 0 и поэтому имеет вид (х = V2n;£/ft2)

О£(х, х') =О£(х, х') =Л (хЭ sin^ О^х < х\

О£(х, х') =

О£(х, х') =

В 3) sin Y (* — а), / < х W а ⑴

Условия сшивания функции Ge(x,*，) (!) в точке х — х\ со вершенно аналогичные использоваиным при решении задачи 2 36, позволяют найти Л(х#) и 8(*') и получить окончатель' ное выражение:

&(*, *') =

亠一2m sin 伙“ + %' —! / —无 I)/2]sin [x (x -；■ V + | / — * [ — 2G/2|⑺

-證 sin хи""('

Пз вида (2) функции Грина 6е следует, что она является аналитической функцией комплексной переменной £ (х= “2тЕ/自2), имеющей следующие особые точки:

〃 6 *〃 6 *точка £ = 0 — устраннмая особая точка;

〃 6 *

〃 6 *

точка £ = оо — существенно особая точка；

точки % =色牝/%, где X汽0=(门斗1)冗，/I = 0, I, 2,...,

являющиеся полюсами функции Грина G&

Очевидно, положение полюсов £八 функции Ge в плоскости комплексной переменной Е совпадает со значениями £п зпер” гетических уровней частицы в яме.

2Л2. о) Ответом на вопрос является результат задачи 2.38, т. е. U(x)~ —а6(х — с).

Максимальное число состояний д. с. б условиях данной задачи равно бесконечности. Это следует нз того, что условиям задачи удовлетворяют потенциалы U(x), имеющие при %—土8 вид U(x)8>—а|#|"\ I < v < 2. В полях с таким поведением на больших расстояниях, как известно [3], имеются состояния д. с. со сколь угодно малой энергией £ V 0 — происходит сгущение энергетических уровней д. с. в точке £ = 0.

Решение у. Ш. для свободной частицы при х 法 0, удов・ летворяющее условию Ф(0)=0, имеет вид 4f々(％) = 4伍)sin(4х), 6 = V^^7^>0- Выберем Л(й) из условия нормировки

ОО

，卜 1М» 吸3 右=6(А-А').(I)

Учитывая хорошо известные формулы

е

11exp (決*)厶=3(A),exp (決*)厶=3(A),

1

1

exp (決*)厶=3(A),

exp (決*)厶=3(A),

；} cos (kx}dx = fi(k)t

находим

зз[咻(X)里〉(х) dx = }人(А) л* (//) J[咻(X)里〉(х) dx = }人(А) л* (//) J(cos [伏一归')x] —Г(cos [伏一归')x] —Г

з

з

[咻(X)里〉(х) dx = }人(А) л* (//) J

[咻(X)里〉(х) dx = }人(А) л* (//) J

(cos [伏一归')x] —Г

(cos [伏一归')x] —Г

—cos l仃十 H) л]} dx^^A (й) Д*(*Э 6 (А — 〃)=

=夕4伏）］時值一切.

Таким образом, /伐)=\/2!п и нормированные на ^-функцию по 4 с. ф. гамильтониана имеют вил 1РЛ(х) = V2/я sin (Лл), *>0・

С ф. гамильтониана Чг£(л), нормированные на б-функцшо по энергии,

吸(*)= Д/器 *1гбМ=(-да-)/ 81п(^欝 х)-

Полнота систем функций、Р贪(х),屮е(х】(х > 0)

8СО

卜瞑(/) % (х) dk =，畦(Z) We w dE^6(x-』) 00

является очевидной в силу симметрии в. ф.屮比(х) по отношен Hino к перестановке местами переменных А н х н свойства (1).

Решение у.Ш при л < 0 и л > 0, убывающее при

*f 十8, имеет вид

,f /sin(辰+ », х<0U = V2mW),

'"*) I C exp (*- xx),x > 0 (x = “2m (5 — £)— )•⑴

Условия непрерывности в. ф. и ее производной в точке х = 0 дают

Л sinb = С, А4 cos б= — хС,(2)

т. е. tg 6 = — A/乂 V 0, н, считая для определенности, что —л/2 W 3 V 0, имеем из (2) С = 一 д/胪/(庐斗淌 Л.

Непосредственное вычисление (довольно простое, но несколько громоздкое; его предлагается читателю провести самостоя- 168

тельно) подтверждает ортогональность te. ф. (1) ирн различных значениях £

Для нормировки в. ф. (I) на d-функцию по энергии или по переменной А значение коэффициента А в (I) следует выбрать таким же, как и в предыдущей задаче» т. е. A(k) = ^/2Jn и 71(Е) = “^Ё4(/?)・

Найденные в. ф.屮£(х) (1) при 0 < Е W U。не образуют полной системы, так как полная система фуикций — с. ф. гз・ мильтониана ——включает и в. ф. состояний частицы с энергией Е> 5.

У. Ш. в импульсном представлении и его решение имеют вид

^ U)£ (0 — ihF口矗 ФЕ (р) = Е ①Е (р),(1)

фН₽) = С(Е)ехр[-^ + >].⑵

Нормнрз&а в. ф. (2) на б-функнию по энергии

8

J <1)е(Р)倨，S)dp = 6(E-£)

—8

дает C(£) = (2n&Fo)-"2. Используя это значение для С(Е), легко установить полноту системы функций ①七伊)(2)：

8

，Wp^B^dE^p-py

—8

Решение у. Ш., описывающее отражение (и прохождение) частиц с энергией £>(/q от потенциальной стенки» при * V 0 н х > 0 имеет вил (частицы падают на стенку слева)

%（力=%（力=匹 + 4(А)е-% х<0 (*= 〃石丽> 0),

%（力=

%（力=

В (А)〃匕冗 > 0(V = .2-(£ —UJ/护 > 0)•⑴

Непрерывность в.ф. (I) и ее производной в точке х = 0 приводит к соотношениям

+ 4 =民 4(1-/) = *8； 4a)=節;.5值)=告戸.⑵

Коэффигшснты отражения /? = |Л j2 и прохождения 0 = =A传产/

“£)=(而後 J -=(2咎急戸(3)

Из (3) вытекает, как и следует, соетнешение &・(Е) + О(£) = 1.

Предельные случаи：

r(七)a园16£2f0при еf8，

0(e)2 4也ё一a)瓦-►0 при Ef%。

2・47. Считаем для определенности, что падающие частицы движутся в положительном направлении оси х. Решение у. Ш., описывающее отражение таких частиц, при х< 0 и х>0 имеет

х Г е'舐 + Л (А) е-% х<0(A^ 〃 2m■得 >0),⑴

В(»№%>o・

Условия сшивания в.ф. (1) в точке * = 0 (см. соотноше^ ния (2) задачи 210) дают

]^A = Bt 沦(В — 1 + Л) = 2таВ/62;

力 . ma а彻2(2)

力伏)=丽匸加，8 (外一m2 _ ma .

Коэффициенты отражен ия р(£)= |В|2 обладают, как иКоэффициенты отражен ия р(£)= |В|2 обладают, как иR(£)=|Д |2 и прохождения следует, свойством R + О = 1,R(£)=|Д |2 и прохождения следует, свойством R + О = 1,

Коэффициенты отражен ия р(£)= |В|2 обладают, как и

Коэффициенты отражен ия р(£)= |В|2 обладают, как и

R(£)=|Д |2 и прохождения следует, свойством R + О = 1,

R(£)=|Д |2 и прохождения следует, свойством R + О = 1,

причемпричем

причем

причем

А(Е)足 т喇2£护f 0 при Ef 8,刀(£)免 2e附6a2f о при £f 0.

Учитывая, что б соотношениях (2)左=〃2团£传\ замечаем, что функции 4(F) и в(£) являются аналитическими функциями комплексной переменной £, имеющими следующие особые точки:

а) точки £ = 0 и £ = 8 — корневые точки ветвления;

полюс в точке £©, определяемой условиемi ^2fnEQ^tna/fh Так как функции А(Е) н В(£) имеют точки ветвления, то они являются ыноголистными функциями (в Данной задаче — двухлистными). Д•吗 однозначного

Аопределения функций А(Е) и В(£)

© в точках плоскости комплексной переменной £ проведем в этой пло- /скости разрез вдоль вещественной

—полуоси £>0 (рис. 23) и опреде^ ”дим физический лист условием, что

рнс 23для точек плоскости £» непосред-

亠ственно прилегающих к верхнему

«берегу» разреза (точки типа / натжсунке), фаза числа £ рав- на нулю (физический лист —один из листов римановой поверхности многолистных функций). Таким образом, при значениях переменной Е на верхнем «берегу» разреза физического листа значения аналитических функций Л (£) и В (£) совпадают со значениями физических амплитуд отражения А(上)н прохожде- иия 5 (£) частиц при соответствующих значениях энергии 立 > и«

Выясним, на каком листе римавовой поверхности — физическом или нефизичсском ——находится точка £0, являющаяся полюсом функций Д (£) и В(Е). Так как фаза точек £ на отрица* тельной полуоси £ < 0 (1гп£ = 0) физического листа равна л, то для таких точек на физическом листе V^ = f| V^l・ Учитывая это обстоятельство, замечаем, что точка £。находится на физическом листе при а V 0, т. е. в случае потенциальной ямы, и значение Е。совпадает со значением единственного уровня д. с・ в поле ^/(x)^ —|a|S(x)e В случае потенциального барьера а > > 0 состояния д. с. в иоле отсутствуют и полюс функций А(Е) и В(Е) находится на нефизическом листе (фаза £о равна Зл)・ Этот полюс отвечает, как принято говорить» виртуальному уровню.

2.48. Считаем, что падающие частицы движутся слева направо. В. ф., описывающая прохождение и отражение частиц с знер・ гией Е от потенциального барьера, является решением у, Ш. и имеет вид

g = "^^>0), (x= 72m(E —U硏吟⑴g = "^^>0), (x= 72m(E —U硏吟⑴卜"+ 4-叫 " VO

g = "^^>0), (x= 72m(E —U硏吟⑴

g = "^^>0), (x= 72m(E —U硏吟⑴

以(x) = j В*，+ Ce-* 弋 0<х<с

I Ge 我 ат,*>a

Условия непрерывности в. ф. (I) и ее производной в точках № 0 и х = а приводят к соотношениям

［十 4 = 8+С,虫I-G=y(5-C),В*。十 Ce-痴=G, 乂 仍e痴—Ce~痴)=AG.

Решение системы уравнений (2) позволяет найти амплитуды отражения 4 и прохождения G частиц:

- _(范一明 sinn口 Г雖-

—(xs + A2) sin ха + 2/fex cos ха，— (x2 + Л^) sin ха 4- 2ik% cos ха *()

Приведенные выше результаты справедливы при любом соотношении между £ и и» Однако следует иметь в виду, что при Е V U® величина х—чисто мнимая. Коэффициенты отражения /? = |/|2 н прохождения Q = |G|2 удовлетворяют соотношению /?十力=1一 Поэтому приведем значение лишь коэфф1ь пдента £>(£):

^=^===. E>U^(4)

4£(Е— 4) + 况 sin2^2^ (Е — ■))必婚

Q(E)= j 4E(&U「E<U..(5)

.4 E (% 一.十%如、2И吐一纷d优f出

Из точных выражений (4) и (Б) для 0(E) следует：

O(W 箒 sln2“^ 浩 Т^-[, E》Uo, (6)

O(£)r2^器今 exp[一 2“ 亘零巨]《1.

Л5»h

砂 D(£)Q養[sh“2m(t/o-£)*"]-2< 1;

£《~jji~ ・ E < Uo,

К■£)" 1 + m输2Eh『⑺

В последнем случае Q(£) имеет такое же значение, как и в случае б-функционного потенциала U(x) = аб(л) с а = U# = =，U (尤)dx (см. 2.47)・

49・ Задачу можно решить по образцу предыдущей. Однако легко сообразить, что для коэффициента прохождения D(£) можно непосредственно воспользоваться формулой (4) предыдущей задачи, если в ней заменить (/о на —U。：

⑴⑴4£(E+Vg)

⑴

⑴

О(Е) =О(Е) =4Е (Е 十 ％) + % sin2 “2m』(E + U^

О(Е) =

О(Е) =

где Uo > 0 — глубина ямы.

В предельных случаях а) и г) (см. условия предыдущей задачи) значение коэффициента 力(£) определяется формулами (6) н (7) предыдущей задачи (с заменой Uo на ——Uo).

В пределе £f 0 нз выражения (1) следует

О(Е) =О(Е) =4£4£Uq sio8 /2"1。"(4)/配Uq sio8 /2"1。"(4)/配

О(Е) =

О(Е) =

4£

4£

Uq sio8 /2"1。"(4)/配

Uq sio8 /2"1。"(4)/配

Однако формула (2) несправедлива, если выполнено уело- вне =лл, n = 1, 2,・・・. определяющее те значения параметров ямы, при которых в ней появляются новые уровни д. с. по мере ее углубления (см. 2.18). При выполнении отмененного условия, как легко заметить из (1). O(E)f 1 прн £f 0 (сравнить с (2)).

Считаем, что падающие частицы движутся слева направо. В.0., являющаяся решением у. Ш. при искомых значе* ниях энергии, имеет вид

!

ехр(淡х), х<0 (Л= V2fnE/h*> 0),

Л sin kx + В cos kxf 0 < г < a, ([) С exp [ik (x — a)], *>a.

В области *V 0 отраженная волна Gexp(——i/?x) отсутствует в соответствии с условием задачи.

Выполняя сшивание в.ф. (I) в точках х = 0 н х = а (условия сшивания даются соотношениями (2) задачи 2.10). находим

В= I» kA — ik~2ma]tft Л sin ka +В coska = С, ikC — kA cos ka + kB sin ka = 2waC/ft2.化)

Система алгебраических уравнений (2) для определения величин Л, U. С, вообще говоря, переопределена. Она имеет решение лишь при выполнении условия

tg Аа = — kt瞬т,(3)

о л редел я ющего значения энергий £ = Л2Л2/2ш, при которых частицы не отражаются от рассматриваемого потенциального барьера.

Заменой переменной jc —z =——ехр(—x/q) у. Ш. приводится к виду

一点口仁-嘉2也+卷里=W。⑴

Перейдя в уравнении (I) к новой ©ункинн w(z) согласно соотношению Ф (г) *= w ⑵ z~ikta9 где 左]=“2m (£ — U&ltfi > 0» находим

z(I — z) W + (I — z) (I — 2乗卢)/ + (&； — k2)dlw = 0. (2)

Уравнение (2)—уравнение для гипергеометрической функции 尸У, Р. V» 2) с параметрами

a= — l(k + k^)a9 P~i(k — ki)at т=1—2決逐・ (3)

Решение уравнений (1) и (2) для описания процесса отра・ жсннн частиц, падающих слева, следует выбрать в виде

w^Ffa. В, 乂 戏 ％(х) = Се*®¥(а, 0, 乂 —。一加)，(4)

так как именно такое решение приводит к требуемой асимптотике в.ф. при %f 十8 (при этом 2—0):屮式xja Сехр(淡荘)・ Используя известную формулу, связывающую гмпергеомет- ричсские функции от аргументов г и 1/г [12], находим асимпто тику в.ф. (4) при %f —8：

4fA (力=С exp (割闻 F(a, P, 丫，一 е-м°)右

EY)F(B-a}г(₽)r(Y — ЧEY)F(B-a}г(₽)r(Y — Че-ме-м++Cf(Y)r(a —0)r(a)t(Y-R)Cf(Y)r(a —0)r(a)t(Y-R)

EY)F(B-a}г(₽)r(Y — Ч

EY)F(B-a}г(₽)r(Y — Ч

е-м

е-м

+

+

Cf(Y)r(a —0)r(a)t(Y-R)

Cf(Y)r(a —0)r(a)t(Y-R)

Первое слагаемое в формуле (5)(Л = ^2mE/h2 > 0)описывает отраженные частицы, а второе — пада!ощие Используя найденные асимптотики в.ф/ при л-*±со, случаем коэффи-

пиент прохождения частии?。=嗚=为пиент прохождения частии?。=嗚=为r(a)r(v-₽)ГЬ)Г(аЩr(a)r(v-₽)ГЬ)Г(аЩ历I门一〃A +声）a]F[l 一，伏+ -）矶『 =T1门1-2阳"（一2网 I -历I门一〃A +声）a]F[l 一，伏+ -）矶『 =T1门1-2阳"（一2网 I -(6)(6)Это выражение может быть преобразовано к виду пользоваться известными свойствами Г-функции【12])Это выражение может быть преобразовано к виду пользоваться известными свойствами Г-функции【12])(если вое-(если вое-

пиент прохождения частии?

。=嗚=为

пиент прохождения частии?

。=嗚=为

r(a)r(v-₽)ГЬ)Г(аЩ

r(a)r(v-₽)ГЬ)Г(аЩ

历I门一〃A +声）a]F[l 一，伏+ -）矶『 =T1门1-2阳"（一2网 I -

历I门一〃A +声）a]F[l 一，伏+ -）矶『 =T1门1-2阳"（一2网 I -

(6)

(6)

Это выражение может быть преобразовано к виду пользоваться известными свойствами Г-функции【12])

Это выражение может быть преобразовано к виду пользоваться известными свойствами Г-функции【12])

(если вое-

(если вое-

⑺(8)⑺(8),、—sh (2冗包a) sh (2пАа)

⑺

(8)

⑺

(8)

Из (7) следует

。⑹е[—^^ехр[-4кад/^]->1, £—8,

0(0* 4吋电cth G。 д/零)"右瓦8 "瓦=瓦Т 。, e —►仇.

У. Ш. при переходе к новой переменной z = th (х/д) и введении новой функции w(z) согласно формуле (k=^/2mE/^>0)

少=（1一刃一血/%3少=（1一刃一血/%3(1)(1)

少=（1一刃一血/%3

少=（1一刃一血/%3

(1)

(1)

принимает вид2mlz 炉

(I _〃)/ — 22(1 —ikaj^-^^k^^ika割=°・(2)

Заменой переменной (1—г) = 2п уравнение (2) приводится к уравнению для гипергеометрической функции F& р» V» “)

■(1一切曲 и+[1-/Лa-2(1 一住力矶4 +

+ ^+ ika -号比)& = 0 (3)

с параметрами

а=(1 — 2/М/2 + 小/4 —2—2。" *⑷

p = (I - 2i)ta)/2 - - 1/4 一妬02uJ叫 Y = 1 - 2龙公

В задаче о прохождении частиц, движущихся слева направо, решение уравнения (3) следует взять в виде m = С尸(％0,弘红)， так как именно при таком выборе w в.ф, W (1) имеет необходимую асимптотику при х+十8：

屮(*) a е⑷-條"2时储场%- + 8(5)

(при этом 2*1 — 2exp(—2x/c)-> I, “—0 и

([-疗係可 2 а н exp (- 2欢)]-2 8 exp (我 %))•

Таким образом, в. ф. K¥kM имеет вид

时⑺= C[ch«皿)产尸30, Y, J产)•(6)

Учитывая, что при %т—8 аргумент 〃 = (1 — th(x/a))/2 гипергеометрической функции в (6) равен и а I — ехр(2%/о)— 1, и используя соотношение

「(％ В, У, 2)= ；•；；)「〉г(；_& "(% 隹 а + В+ 1 — Y, 1 —z)十 十 f 紺护也(I -2严i尸(Y —Q，丫 — B，Y+ I -a-B, 1 — z).

находим асимптотику в. ф. (6) при х— —8：

’公⑴。е⑷-s4况；結尸)exp恤)+

+ С(4)"®^ехр(…⑺

"3)I r(Y)Ja+P7)I"3)I r(Y)Ja+P7)IС помощью формул (4), (5), (7) находим коэффициент прохождения:

"3)I r(Y)Ja+P7)I

"3)I r(Y)Ja+P7)I

slF (nka) + со炉(几"白一2幫必)

Выражение (8) справедливо при любых значениях параметров потенциала, в том числе н при 仇 V 0, т. е. е случае потен， циальной ямы. При 8/ndU避1 > ! аргуммт косинуса в (8) чисто мнимыйt и удобна замена以虫е^=仆九乳百三"2母出仇/密—1/4 ).

Отметим интересное свойство коэффициента 0(E): в случае потенциальной ямы Uo V 0 при выполнении условия

-1/4 + 脸*u0係2 =九十 1/2, n=l, 2, .…

коэффициент прохождения D(E)9 согласно (8), при любой энергии частиц равен единице:力(£)=1, т, е. частицы проходяг поле без отражения.

Рассмотрим некоторые предельные случаи формулы (8).

о) Слабое поле (巾叫 al"?《I) и медленные частицы (Аа《1):

—E + 2/шЛ施.⑼

6) Слабое поле и не очень медленные частицы 优aRl):

О (£) Q 1 — 4#m2a4 圖护 sh2(^fai)右 L(10)

6)Барьер малой прозрачности (m^UJ^》1) н быстрые частицы (也。》I):

D(E)aг1——二?.(11)

I+exp[-^ v^ (Va—迎)]

?) Барьер малой прозрачности п |Е —Uol《〃，

D(E)^{1+eхp[-书"翟(£-仇)]} •(12)

0) Барьер малой прозрачности и Ef 0:

rwm 〜8#"砂£ С/ 2m0汕、 c

D (£)々一砲一exp2л 々一严一丿-> 0.(13)

о) Барьер (или яма) произвольной величины н £f <»:

/?(f) 2 I - 4 cos2 G “J -":厶)exp [- 2n "^^] f I .

(14)

В. ф., описывающая отражение от потенциального барьера частиц с энергией £. движущихся слева направо, в области х V 0 имеет вид

%(*) = /“ + /!(£)«-• G^“攀〉0).(!)

Для х > 0 у. Ш. заменой переменной 勿=[^^^]"(犬一& + + 喘*) приводится к виду

(2)(2)备+"昨0・

(2)

(2)

Как известно, решения уравнения (2) выражаются через ин- /шндрические функции Z. с v = 1/3:

^9=C^Z^^.

брать в видебрать в видеМ = e(e)痴神得产),М = e(e)痴神得产),⑶⑶В рассматриваемой задаче решение уравнения (2) следует вы

брать в виде

брать в виде

М = e(e)痴神得产),

М = e(e)痴神得产),

⑶

⑶

где W^i — функция Ганкеля, так как именно такое решение имеет необходимую асимптотику («уходящая* волна) при

*f +8 (при этом yf +8)；

―"露exp(唱严一詛].

Учитывая, что плотность потока частиц в состоянии, описываемом в. ф. (3), при х— +8 равна

小尸嘉国会…噥叫а詠⑥底魯广⑷ а одот&ость потока задающих частии Для в. ф. (1) при 亢一―8 1"

равна fma 三厶左/m. находим жоэффипиент прохождения

Q⑹『№/ладQ⑹『№/лад3 Г2тГУ01МЗ 封寻J IC(£)R3 Г2тГУ01МЗ 封寻J IC(£)R

Q⑹『№

/лад

Q⑹『№

/лад

3 Г2тГУ01МЗ 封寻J IC(£)R

3 Г2тГУ01МЗ 封寻J IC(£)R

Величина С(Е) находится нз условия сшивания в.ф. (1) и '(3) в точке х = 6. Непрерывность в. ф. и ее производной при х = 0 дает

i + A^C^QH^(ly^). iak(l-А) = С^0Н^(|yj/2). (6) где введены обозначения

占=t^nu^U^^\ Уо=J/ (“=0) = & (切U° —[)・

Из (6) следует.

c = 2淡m%/吗з (j戏)+ ika V%叫隽歐)J’.⑺

Учитывая (5) и (7), находим окончательное выражение для 。(E)：

о(e) (——^——喘"、~一一片 …. ⑻

叫e 一为巾碗吗/3 (言2)+痴喚(急严)I

В случае барьера, для которого 占》1, и энергии частиц, удовлетворяющей условиям £ < U^ &(1—E/UJ》！. формулу (8) можно преобразовать к виду *)

0(耽呼NUxp[7 产紀q《L (9)

При E》* и E> U* 目 1 —EfUq]》1 выражение (8) дает

D(E)»D(E)»4“Е(Е—3(肝+/-商ж4“Е(Е—3(肝+/-商ж(Ю)(Ю)

D(E)»

D(E)»

4“Е(Е—3

(肝+/-商ж

4“Е(Е—3

(肝+/-商ж

(Ю)

(Ю)

(И)(И)При £—0 из выражения (9) следуетО(£)8 & s “£—0.

(И)

(И)

Как легко заметить из (8). такое поведение D(E) при £f О имеет место при произвольном значении параметра g

Рассмотрим барьер наиболее общей формы, когда поле U(*) имеет вид потендиальной ступеньки, т. е. U(x)f 0 при 尤—一оо и U(尤)—5 при х—+8 (полученный результат можно обобщить и на случай, когда потенциальная энергия U (х) — —8 при *f —8 и (или) xf 十8)・ Считаем для опре・ деленности, что падающие частипы движутся в положительном направлении оси х.

В. ф. рассматриваемой задачи удовлетворяет у・И1.

一受嘅十U3叫=村反⑴

и имеет следующие асимптотики при х — ±8】

/ 〃* 十 А 伏)，t” * f — со,

，式》4 { в gw。*— + 8,3

где

狗=喪冠丽>0, - = "2而ё一仇)佯 >0

Напишем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (I): 一会囉"十U⑴叩= £4£(3)

Умножив (1) слева на 好》а (3) — на 里在 и вычтя почленно друг нз друга» находим

ш 一 ^М三会(%吸-屮川Y) - 0, т. е.

叫出囉(х) - % (х) W (%) = const⑷

Вычислив вначения левой части соотношения (4) при /—±8 с помощью выражений (2), находим

4(MF +非 в 伏)F=I,(5)

что и доказывает требуемое равенство, так как R=] Д Р и D = ^\B?.

Подчеркнем, что соотношение (5) является непосредственным следствием равенства (4), являющегося, в свою очередь, следствием закона сохранения числа частиц (уравнения непрерывности) в квантовой механике: divj 4-d|W|2/dZ = 0, кото* рый применительно к стационарным состояниям (д|Ф|2/д/~0) принимает вид div j=0. Последнее соотношение в одномерном случае (djx/dx = O) эквивалентно (4).

Рассмотрим потенциальный барьер наиболее общего вида, описанный в начале решения вредыдущей задачи. Обозначим W-(x) и W+(x) в. ф. стационарных состояний, описывающие процесс прохождения частиц с энергией Е» падающих на рассматриваемый потенциальный барьер справа в с〃ева соответ- 178

ственно. Эти в.ф. имеют при 犬―士8 вид

гдегде屮一(%) 2屮一(%) 2砂*+ 4(А)еТ", 8(А)—а叱砂*+ 4(А)еТ", 8(А)—а叱,B(k)e-^9leТ秘十才伏)e+競%,B(k)e-^9leТ秘十才伏)e+競%%— — 8, tf +8, %f「8, 尤f + 8,%— — 8, tf +8, %f「8, 尤f + 8,(1)(1)』"讐＞о■m产笋心a』"讐＞о■m产笋心a

где

где

屮一(%) 2

屮一(%) 2

砂*+ 4(А)еТ", 8(А)—а叱

砂*+ 4(А)еТ", 8(А)—а叱

,B(k)e-^9

leТ秘十才伏)e+競%

,B(k)e-^9

leТ秘十才伏)e+競%

%— — 8, tf +8, %f「8, 尤f + 8,

%— — 8, tf +8, %f「8, 尤f + 8,

(1)

(1)

』"讐＞о■m产笋心a

』"讐＞о■m产笋心a

и удовлетворяют одному и тому же у. Ш.

一会屮2 + U(力з± = cЧ4.

Умножив уравнение для Ф+ слева на 里_, а уравнение для 'Р- — на 屮+ и вычитая их почленно, находим

屮一 (х) 4fl (х) — Ф+ (х)屮二(х) = const,(2)

Вычислив левую часть (2) при “一±8 с помощью в. ф. (I). получаем kB =丸【5, или

a(七) = "1月产=告1鮮=r(Е),

что и доказывает равенство коэффициентов прохождения частиц с данной энергией £ через потенциальный барьер независимо от того, с какой стороны (справа или слева) они на него падают< 2-56. В.ф., описывающая прохождение частиц через потен- ииальный барьер, имеет при х-> 士со вид

屮⑴а

е^х + а(А)e-呪尤f — 8 (左="^^ > 0),

5伏)eкр (試闺，Xf + 8 (用二" 2m防 UJ > 0).

Коэффициент прохождения O(E) равен

0(e)一年1В伽)f.⑴

При Ef "口 имеем 济—O. B(kt)-^B(0) ^= 0 и из (I) находим Q(£) 8 TE — Uo — 0.(2)

2石7・ Задачу можно решить по образцу решения задачи 2.36, в котором была найдена функция Грина G£(x,/) при E<Oj

叁(乱切=佘 eхр (一 /1 % - V 仇 % = V-2me而 >0. (1) 179

Легко, однако, сообразить, что вид функций 産‘ (％, *') при Е>0 может быть установлен непосредственно из выражения (1), если в нем перейти к £>0 н представить 乂 в виде

w= V~2тЕ!^ =干於，А = Т%пЕ[咨 > О, т. е.

G伊(А /) = ± 爲 exp (士淡 I * — /1)・(2)

С помощью функций Грина (2) у.Ш. при £ > 0 можно записать в виде интегрального уравнения (Е = р2/2т):

8

可『(х)=加中4А + 8e-’p"偿一 ' ^(х, x^Ukx^^d/.—©о

Легко заметить, что если в последнем уравнении выбрать функцию Грина G史 положить В = 0 н 4 = 1* то решение 可)(义)получающегося при этом интегрального уравнения

то

屮“*)=/户仅一 J G^(^ ^U^p^)^⑶

—8

」 ©Рис. 24.」 ©Рис. 24.описывает прохождение через потенциальный барьер частиц с импульсом р, причем первое слагаемое в правой части (3) описывает падающие частицы, а интегральный член в уравнении (3) DDH х -> 土8 описывает отраженные частицы и изменение в. ф. свободных частиц ехр (фл/ft) лод действием потенциала (последнее замечание станбвится очевид- ныму если рассмотреть асимптотику второго слагаемого в правой части уравнения (3) при х-> 土 8 и учесть, что 矗= |р|/力).

」 ©

Рис. 24.

」 ©

Рис. 24.

Отметим, что функции Грина свободной частицы G史 при Е > О

и & при £ V 0> найденную в 2.36, можно рассматривать как различные граничные значения единой аналитической функции

Ое(* — Ю =，д/場^ exp卜“爷 1%_%'|]

комплексной переменной £.

Точка £ = 0 для этой функции является точкой ветвления. Проведя разрез вдоль вещественной полуоси плоскости Е от точки £ —0 направо (рис： 24), будем рассматривать функиию Грийа。石 на физическом листе ее римановой поверхности (см. по этому поводу решение 2.47). Легко заметить, что на верхнем «берегу》разреза ". е. в точках £ * Ю, £ > 0) функция 叁 сов- 比0

падает с G仗'，на нижнем «берегу» разреза — с G曲* а на полуоси вещественных отрицательных значений Е функция Ьв совпадает с функцией Грина Gg задачи 2.36.

Отметим также, что на физическом листе |Gf|—>0 при |E|f 8.

Уравнение (3) предыдущей задачи для в. ф. 屮好(•), описывающей прохождение (и отражение) частиц с импульсом р, для потенциала U(x)= аб(х) принимает вна

4G)=с’’皿-器 * к 里 р(0) (М = |р|= V^f)- (1)

Из уравнения (!) находим %(0) (а тем самым и решение этого уравнения)：

屮/0)一(1 +痴迎的Т.⑵

Учитывая (1) н ⑵，находим коэффициенты прохождения

К(Е) =К(Е) =加q2/2饋Е + тМ/2"'加q2/2饋Е + тМ/2"'и отражения：

К(Е) =

К(Е) =

加q2/2饋

Е + тМ/2"'

加q2/2饋

Е + тМ/2"'

°(—= е +」〈2/2Л2，

2・59. Учитывая в уравнении (3) задачи 2.57 явный внд функ- 1ши Грина G仗‘(*,*') н перейдя в этом уравнении к пределу *-> ±8, легко приходим к следующим выражениям для коэффициентов прохождения и отражения：

со

0（匀。1 一饰，e-s/%⑴中pb）厶，0（匀。1 一饰，e-s/%⑴中pb）厶，(1)(1)r⑥=濡r⑥=濡2融中u（x）斗⑴dx ,2融中u（x）斗⑴dx ,⑵⑵

0（匀。1 一饰，e-s/%⑴中pb）厶，

0（匀。1 一饰，e-s/%⑴中pb）厶，

(1)

(1)

r⑥=濡

r⑥=濡

2

融中u（x）斗⑴dx ,

2

融中u（x）斗⑴dx ,

⑵

⑵

一 8

где 里卩(％)—в-恥 описывающая процесс отражения частиц с импульсом р и нормированная на единичную плотность частиц в падающем поюке.

Глава 3

МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

Искомый оператор до』х:ен преобразовывать произвольную в.ф. координат системы 屮(门，北・••・■巾)в ту же функцию 屮，но от координат» повернутых на заданный угол, т. е.

*'&厶)=£出)屮("…，")三屮(匸…•，啕，(1)

где rf ^Rr — радиус-вектор точки пространства, в которую пе・ реходит в результате поворота точка с радиусом-вектором г. Равенство (1) означает, что значение в, ф. состояния системы ^ частиц не зависит от того, в переменных какой системы коор・

динат (исходной г' или повернутой г) описывается положение точек пространства, т. е. в. ©_ 屮 является скаляром.

Для нахождения явного вида оператора R(vo) введем вре・ менно цилиндрическую систему координат с полярной осью вдоль оси поворота. В этих переменных соотношение (1) принимает вид

*p (Ph益硒，.…P", ％喲=

=屮(рь Ni, <Pi + 屮09 ・・•, Pm 勿“ 0n + Фо)=

=exp (ср。N 4^фа)里(Pi, Ni, <PiPn，勾，①n) (2)

(сравнить с 1.12, где обсуждался оператор сдвига %)・ Так как Zz = —f£d/M(Pa является оператором проекции момента им- пульса системы N частиц на ось г, то искомый оператор поворота имеет вид 八-

我(<Ро) = ехр (йрД)二 ехр «啦£),(3)

причем второе из представлений (3) оператора А является наиболее общим в том смысле, что оно не зависит от конкретного выбора системы координат для описания положений точек лро~ странства (однако существенным является то обстоятельство, xito момент определяется по отношению к (произвольной) точке, лежащей на оси поворота)-

Операторы импульса Р и момента L системы связаны простыми соотношениями с операторами преобразования в.ф. при бесконечно малых переносах и поворотах системы координат (см. задачи 1.12 и 3.1)：

7 (ба) а 1 + 玄 баР,々(й(р0) а I 十 igL

Любой перенос системы координат перестановочен с любым другим переносом, поэтому коммутируют и операторы комп。， пент импульса. Два вращения вокруг двух непараллельных осей не перестановочны друг с другом, что и соответствует неком му^ тативности операторов различных проекций момента.

В силу равноправности осей х,，，2 имеем

1/0户=11+w+会=-3и.(。

Ввиду равновероятности различных значений проекции момента, получаем

Ц = (2/+1Г，£ т2=/(/+1)Д⑵

Е・Т

(Значение суммы, входящей в выражение (2), можно найти следующим образом:

Г "4鳥 Z Н H^^^Lo^1^™^)- m=0 L m—0」a-«D

Учитывая (I) и (2)r находим 1? = 1(1+1).

3・4・ Указанные коммутаторы очень просто вычислить^ если использовать соотношения

[Лвс]х=и,в]с+в[дс],⑴

広,鳥]=丽&【3, PM = i^iki^

Так» например, коммутатор [£й г2] равен

[厶，幻如~区"戏]爲+ ^k [L*.勾~。(8wj&£i = 0).

Аналогично находятся остальные коммутаторы. Приведем ответ.

Все коммутаторы равны нулю, что является проявлением общего свойства равенства нулю коммутатора вида

[U Л = 0.⑵

где f — оператор скалярной величины.

Коммутаторы имеют структуру вида

[Д> fkl^i^ikifi,(3)

где 厶一оператор 々-它 проекции соответствующего векторного оператора (так, для f =(рг)р имеем 〃=(р『)户比 и т. а.)・

е) Указанные коммутаторы имеют структуру

広a fz] = ^(eikp^ni + efM^p) f「言,(4)

где f”一операторы компонент соответствующего тензора (так, в первой задаче этого пункта 脑=戈疯 и т. д.).

Установленная универсальная структура (2)—(4) коммутаторов оператора компонент момента Li со скалярными» векторными и тензорными операторами является отражением свойства оператора L как оператора» описывающего преобразование в.ф, при вращениях системы координат,肘 того обстоятельства, что при вращениях системы координат все тензоры одинакового ранга преобразуются одинаковым образом (независимо от кон- кретпого вида тензора),

Операторы L и V связаны следующим образом：

£' =「一《佰仇 頂=3 — ； eitnnQmpn.

Учитывая вид коммутатора |£/, РД = itimpi н воспользовавшись известным соотношением ^imn^km = &述血一6〃“*, находим

広,Ц] = &zm£i + ~ fiife(ap) — / QiPk-

Из ком мутационных соотношений для матриц момента

3。— Z動 3 = iEuaL[

с учетом формулы Sp(/&)= Sp(B/) находим Sp £/ = 0.

Оператор момента L системы из двух частиц имеет вид

I + 一班嫌]+上丑0)

Перейдем от переменных гь г2 к новым переменным г, R согласно формулам

Г = Г2 —口，R=H”M r】=R——Г,"1析.十，心1m1+m2

用+矶

Учитывая» что

ОWj丄0 d — 机？ 0」3

6rl - f«i +m2 ORdr * 0r2 -m1+m2 -R '否‘

выражение (1) можно представить в виде

2=一小眼-@喘].⑵

где первое слагаемое является оператором момента системы двух частиц в с. н. н., а второе представляет оператор момента, связанного с движением центра масс.

3・8. В классической механике момент двух частиц относительно центра масс равен М= [гр], где г — относительный радиус-вектор частиц, р — относительный импульс 卩=卩^。门=卩； (р—приведенная масса), и равенство (гМ) = 0 очевидно.

В квантовой механике для доказательства утверждения задачи требуется убедиться в эрмитовости оператора (rL) и равенстве его нулю. Так как одноименные компоненты 禽 и £>

X*. х^■、 、■、《^ ✓^ ^Ч

коммутируют, то (rL)+ = (L^r+)= L「=rL Далее,

" = т(司『总) = т(向傍) = 0・

Искомые функции 屮,/„, (г» 8. <р) являются решением системы уравнений на с. ф.

产『痴 м，屮® (г, 0, <Р)= r^Tjm (г,仇 Ч>),

F 屮3 m =，"+ 1)屮，碗，1^Гг1т = т^т и, очевидно, имеют вид

^rdm 亿 6, <р) = С (Го) б (г — Го) V® (6, q).

Коэффициент С, определяемый иэ условия нормировки

\ У,。” 亿 °-⑪屮“№ & GdV=b(，o- 力与/i，.

равен С (го) = 1〃с.

ЗЛО. о) Оператор момента в координатном и импульсном представлениях имеет вид (так как в импульсном представлении г = Гй d/Op)

J —4T4} f=i[^p}=T[₽±]・

Сравнивая эти выражения н учитывая известный вид с. ф. операторов 3 м I? в r-лредставлении» заключаем, что в р-представ- лелии эти с. ф. имеют вид

屮」. = У姉(0，社

где 6, <р — полярный и азимутальный углы вектора р в сферических координатах (в р-, как и в r-представлении, оператор момента действует в пространстве угловых переменных).

При нахождении с. ф. I2 и /,зтнм способом следует иметь в виду соотношение

、力m (n) exp (— /fernno) dQn — (— i)‘ 4л д/^^ 厶+皿(A/j Yim (По),

где п, по—единичные векторы, Yim(n)= У^(0, <р) (0. ф —полярный и азимутальный углы направления вектора п),厶+1/2— функция Бесселя.

. Учитывая коммутационные соотношения для компонент момента, легко находим

О)О)以土=，土 Cn ± 1).

О)

О)

Применив операторное равенство (1) к с.ф. Wm, получаем 厶0 土国m)=(m±1)@*屮ё)，

т. е. функции t^¥m также являются с. ф, оператора 1金(в частных случаях одна из этих функций (или обе при 1 = 0) может оказаться равной нулю тождественно).

・ Учитывая результат предыдущей задачи и ортогональность с, ф. эрмитова оператора, отвечающих различным с. з.г находим

g|\ |rn)<x> (m| m+ 1) = 0,伽|"|m〉= 0・(I)

Так как，+=，+ —“，то из первого из соотношений (1) следует

/ А + % = °・/ А + % = °・(2)

/ А + % = °・

/ А + % = °・

Средние значения 1Х н 7“一 вещественные числа, поэтому равенство нулю комплексного числа (2) означает L = b=0・

Второе из соотношений (1) эквивалентно равенству

■-■ + — +///=0, или (fj^ 4- Z/x — вещественное число)

e =君，鹏+，人=0.(3):

Из ко м му тационного соотношения [*,'/ = & следует ； 厶北一l/х =/т, что дает при учете (3) /几=—f/* = i旬2.

3・13. Так как 隹 +岱三下一改= 〃/+1)—/и) то с учетом результата предыдущей задачи находим

■=1 = U(，+l)-M]/2・

. Оператор проекции момента на ось 2 имеет вид

厶=cos а • fz + sin а cos р •厶+ sin a sinp •乙， (1)

где а, р—полярный и азимутальный углы направления оси 2.

Усредняя оператор (1) по состоянию 4r[布,находим

/z = mcosa

(согласно задаче 3.12 九=乙=0)・

У читывая при усреднении оператора Л результаты двух предыдущих задач, легко находим

й = у |/(/+ 1) *-机円 sin% + m2 cos2a,

丽=雇一輕u^HQ+l) —机弓 siMa./

・ Разложение в.ф. в ряд по нормированным с.ф.屮切(屮)= =霁上 оператора 上 имеет вид (coscpud + ef/%

w(9)=黃e评+ ef』式C沙…)ф =

=辱竺a屮…(矶⑴

где《= w(9)нагде《= w(9)намг2мг22 ьн ・ Определяя | Л р из условия нормировки в. ф. единицу:

где《= w(9)на

где《= w(9)на

мг2

мг2

2л2n

2n 罕^~YC^ ei^~^^^an =2n 罕^~YC^ ei^~^^^an =w (2〃 一 1)11w (2〃 一 1)112〃—也 I2〃—也 IA=0A=0в (2) использованов (2) использованоо\ dwd(p = 2几仇，加 находим из (1) отлич-0丿о\ dwd(p = 2几仇，加 находим из (1) отлич-0丿=Т COS* q d中匸击\ (e加+ c-可产dcp =

2n 罕

^~YC^ ei^~^^^an =

2n 罕

^~YC^ ei^~^^^an =

w (2〃 一 1)11

w (2〃 一 1)11

2〃—也 I

2〃—也 I

A=0

A=0

в (2) использовано

в (2) использовано

о

\ dwd(p = 2几仇，加 находим из (1) отлич-

0丿

о

\ dwd(p = 2几仇，加 находим из (1) отлич-

0丿

иые от нуля вероятности проекций момента:

ttj(m) =ttj(m) =2冗 I 人 122冗 I 人 12л!л!2п(2л—1)!I2п(2л—1)!I

ttj(m) =

ttj(m) =

2冗 I 人 12

2冗 I 人 12

л!

л!

2п(2л—1)!I

2п(2л—1)!I

гп = 〃, п —2,

В разложении нормированной в. ф. по с. ф.力小 опера〜 торов 0 и (г, очевидно, отличны от нуля лишь члены суммн с m = 2, т. е.

屮三屮三i.tni.tn88⑴⑴f=2f=2

屮三

屮三

i.tn

i.tn

8

8

⑴

⑴

f=2

f=2

Учитывая явный вид шаровых функций (i> 2)

厶2 =丄72 NX a一刃姿外⑵/' N = 8S仇

получаем выражение для коэффициентов & в разложении ⑴:

& и \ 屮 片, 2d0=（一庁“伽 j U-餘窮 ，（I 一行网 Q）dz.

(2)

Интеграл в выражении (2) вычисляется элементарно, если учесть соотношения

(1 -—р7=2/ 一 /(/十 1)自，а ⑴=р“一 i) •(一 iy = 1,

5 PiG)虑= “0, -1

так что вероятность различных значений момента оказывается равной

♦.=tGF=仪統駐 + U + (-i)R J》A (3)

W

二=心（弓+二=心（弓+Используя нзвестнсе соотношение между шаровыми

二=心（弓+

二=心（弓+

+3ё 説)，+3ё 説)，имеемимеемфункциями У；т = (— l)l^mYi^m н вид оператора

+3ё 説)，

+3ё 説)，

имеем

имеем

厶e1""йe(一 1)5行5厶匕m十七/Y j}.

Учтя в (i)

厶匕桁 Q Ф)^ “(l + mTTW —m)匕.mN (В, Ф)

и переобозначив во второй сумме выражения (1) индекс суммирования m на тг = т — 1, находим, что выражение (1) равно нулю.

Указанная в условии задачи сумма, очевидно, не зависит от ср. Учитывая явный вид F十 и равенство нулю выражения (t), находим, что эта сумма не зависит и от 6, т_ е. является постоянной величиной Значение постоянной находим, положив в сумме 0 = 0. Так как

I 匕m (8=0, G F=⑵ + 1)端.J4%

то утверждение задачи доказано.

Задачу можно решить также, воспользовавшись теоремой сложения для шаровых функций

R (cos а) = ^у £ Yim。ф) У儿(心 U),⑵

m——幺

где cos а = cos 6 cos O' + sin 0 sin 9' cos(cp—守)'，взяв в (2) 0 = 0', g=g‘； при этом cosa= I,吊⑴=1.

Так как при значении момента L проекция момента на ось г принимает конечное число (2丄+ 1) значений 丄,L— t, …，一Z, то искомый оператор Р(А1) имеет вид (см. 1.40)

Р吁ff始誤

m・一L

где штрих у знака произведения означает отсутствие сомножителя с т = М.

В формуле, описывающей согласно 3.1 преобразование в. ф. в координатном представлении:

3'亿 & <f) = exp (М口 屮仁比 ср),⑴

запишем в. ф. в виде (с учетом определенного значения момента /)

y = e(X ⑺匕Ё (6> 中)，屮=e Cm g уe Q 屮)， em

где Cm> С% — в. ф. исходного - и ггреобразо日анпсг。 состояний в /г-представлении-

Умножив (I) слева на Yim (比 <f)« проинтегрировав по углам, находим

Cm (г) ^ ехр (ZlfoL) Ст (г) = Z 1ехр (/ф(Х)1тт# Cm* (г),⑵

где (£>)тл — матрица i-й компоненты момента величины I. Соотношения (2) определяют искомый закон преобразования в. ф. (о том, как следует понимать матрицу (ехр д)тл, см. 1.12 и 152).

Из коммутационного соотношения £才一也=0 следует

^^^мфем)9

т. е- функция f^w, как и Ум» является с. ф. £z, отвечающей тому же с.з. М, н равенство <ЛГ|ЛЛ!> = 0 при АГ*川 очевидно.

Используя коммутационное соотношение [£+,f] =0 (£+ = =£* + i&), находим

(几厶 М 十 I |Z+f m, L, M) =s，丄，M + 1 |f£+ EL M>・(1)

Так как L^lm = “(丄一M)亿 + M + 1)屮…i, 5,丄，M + 1 広+三広一 I % 厶 м + DF=<(丄一ММ + 川 + D X Х<л, LtM\. то равенство (I) эквивалентно условию^мм~/м+ьм+ь что и доказывает независимость диагональных элементов fMM от М

3_21. Представив произвольную в. ф. в виде

3(г) и Е &т ⑺ Vfm (比 <р)

и учитывая свойство шаровых функций 7 ym (®,<р) = =(—1)%巾(仇 V), а также связь между в. ф.屮(「)в координатном представлении (в данной задаче точнее было бы говорить о представленнм угловых переменных, так как радиальная зависимость в.ф. фактически не имеет непосредственного стнотс- ния к описанию состояний частицы с точки зрения момента) и Qm в //г-яредстаелении, легко находим искомое преобразование в. ф.:宀

Clm (，)= f&m(Г)= (— 1)' &т (О-

? ^редставив шаровую функцию У1с(6. <р) в виде

Ую=，д/亲 cosB = i“《9 =i“白苧’々 = (0, 0, 1),

пространстве.пространстве.находим -4尹?1находим -4尹?1м учитывая равноправность всех направлений в

пространстве.

пространстве.

находим

-4尹?1

находим

-4尹?1

= 3、Д^ {cos6cosa+ sin6sinacos((p—p)j

(вектор по направлен вдоль оси z).

. Представив шаровые функции У〕, 土] в виде

уЬ 土尸R "譚sin。用=R "言号

в учитывая равноправность различных ориентаций системы ко- ординат, находим с помощью циклической перестановки пере- менных *, у, г

叫т =干'з/白.丁 =千/ q/^GE © sln④ 士icosU).

Вид в. ф.屮f/°o получается непосредственно из результата предыдущей задачи при выборе а = л/2, 0 = 0. Совершенно ана* погично устанавливается вид в. ф. W^(0, ср).

尸：3 ^tul尸：3 ^tul3-24. а) Обозначим через 趾⑴ н 硏一I) вероятности проекций момента m = ±1 на указанную в условии задачи ось 5.

尸：3 ^tul

尸：3 ^tul

На основании результатов задачи 3.14 имеем

⑴⑴⑵⑵& = e回你)兩=回⑴一юy(- l) = mcosa,m・

⑴

⑴

⑵

⑵

君=2 w(/n) m2 —юу(1) + 例一l) = m?+ (1 —^-) sin2a.

Из (1) и (2) легко находим

w(lt m) = w{l) — [2m2 + 2m cos a 十(2 — 3/n2) sln2ct]/4t回(一L m)w 硏一1) = (2m2 — 2m cos a + (2 — 3m2) sin2 a]/4,w(0> m) = 1 — юу⑴一w(— 1).

Решить задачу этим способом предлагается самостоя- тельно.

3.25. В. ф. К「о (& ср) Н= 1, 2, 3) имеют вид

&=Vilcosg勾* *

環3。=環3。=j"去 +=j^/^Sl口 °8S%j"去 +=j^/^Sl口 °8S%

環3。=

環3。=

j"去 +=j^/^Sl口 °8S%

j"去 +=j^/^Sl口 °8S%

也厂=/"会予- a/* sin в sin 0,

н их независимость н полнота (в указанном в условии задачи смысле) очевидны (в случае i= 1 имеется три независимых в. фв в пространстве угловых переменных 6, <р частицы).

Легко заметить, что различные в.ф,屮〃・。ортогональны：

\整.()(а<р)屮".0 (仇(p) d0=心痴

н поэтому коэффициенты С/ в разложении произвольной (но нормированной) в.加 刈—ь отвечающей моменту частицы /= 1в

в ряд по этим функциям 4f£.1 = £ С*4ro.о определяют веро$?г- пость w(t)~\Ci\2 того» что проекция момента частицы на i ю ось равна нулю.

Отметим, что полученный в задаче результат не имеет никакого отношения к обычному разложению произвольной в ф. в ряд по с- ф. эрмитова оператора (операторы % не комыугк* руют друг с другом).

3・26・ Используя стандартные формулы для матричных эле- ментов операторов 仏)他* при значении момента ?=1, находим вид искомых матриц, являющихся операторами в 4*преД' ста влении, действующими на в.ф. в этом представлению

Уравнение для искомой в.ф-厶環％.о=О б /^-представлении имеет вид

о l屮〃.0三1/仮0о l屮〃.0三1/仮0ь№（口十闻收=0； "6ь№（口十闻收=0； "6

о l屮〃.0三1/仮

0

о l屮〃.0三1/仮

0

ь№

（口十闻收=0； "6

ь№

（口十闻收=0； "6

%""(:)•

откуда 6 = 0,。= —с.

Таким образом» нормированная с. ф. 皿 -о равна Wi .0= т(」)・

3・2& С з. оператора проекции момента на произвольную ось в случае / = 1 равны 0, 士^так что, согласно L27, имеем

(0(0烈=f*, tl = ly

(0

(0

(при желании соотношения (1) легко проверить в /я-представ-

умножениеумножением матриц, приведенныхм матриц, приведенныхлении непосредственным в 3.26),

умножение

умножение

м матриц, приведенных

м матриц, приведенных

В состоянии с заданными значениями / = 1 и 厶=也 со、 гласно 3.12 и 3.13, имеем

ix—iy=о, К == 4=(2 —硝/2.⑵

Учитывая (1) и (2), находим

尸=戸=!0, 〃一 нечетное,

“ I (2—机2)/2, n — четное (л > 0).

Оператор (al) является оператором проекции момента на направление вектора а (умноженным на величину о), н в случае / — 1 его с. з. равны 0, ±а. Явный вид оператора F следует из результата задачи 1.52:

户=户(0)+;户=户(0)+;FS) 一户(— a>FS) 一户(— a>2o2o画)+画)+戶⑷+ F D- 2F (0)戶⑷+ F D- 2F (0)2at2at(做(做

户=户(0)+;

户=户(0)+;

FS) 一户(— a>

FS) 一户(— a>

2o

2o

画)+

画)+

戶⑷+ F D- 2F (0)

戶⑷+ F D- 2F (0)

2at

2at

(做

(做

Учитывая вид оператора 々(<po) = exp(fq)oi), на основа- иии результата предыдущей задачи представим его в виде

0)0)友(啦)=1 +/sin фо (По ij—(1 —cos Фо) (По。2

0)

0)

(no==q)o/(po,嫉=1).

Выберем вектор поворота <р0 системы координат таким, чтобы в результате вращения ось z исходной системы координат • (проекция момента на которую имеет определенное значение т} по отношению к осям повернутой системы координат имела бы такую же ориентацию, как и ось 2 по отношению к исходной системе. При этом в. ф.股(&叫=费匕旭(& <р) будет описывать состояние частицы с моментом / и его проекцией m на ось г (направление которой определяется углами а, §} в соответствии со смыслом оператора 夾(学。)как оператора вращения см・ стемы координат,

Легко заметить, что для этого компоненты вектора ф0 следует внбрать равными q>0===(a sin ₽, —a cos p. 0). Учитывая явный вид операторов

Zx = isln(p^ + /cos(pctge^-»

力=—icos q>^ + i sin(pclg 0 諳，

RMo)=l + lslna0¥sin6 —，cosp) —

—(1 — cos a) Cx sinp —f^cosp)2 и шаровой функции Yi()~i д^~ cos 8, находим после простых вычислений

屮危=。(0, v) = i q备{cos a cos e + sin a sin 0 co”屮一0)}

в согласии с результатом задачи 3.22. Аналогично можно найти функции Wm-±i(6. <р)-

Согласно 3.18 находим

f(0) = I — fi,a⑴=(哇 + 厶)/2,户(-1) n 偿一厶)/2.(1)

В ^-представлении эти операторы имеют вид (см.3.26)

(

000、/1о 0\/оо0\

0 10),₽(!)=[ о00),А(—1)=(ооо I

ООО/\оо О/\0О1/

в согласии с результатом задачи 1.50.

Легко установить свойства 戸(河=P(m) н £ Р(/п) = Г.

m

Действие оператора Р(т) на произвольную в. ф. приводит, вообще говоря, к функции, являющейся с. ф. оператора %. отвечающей с. а. т (или пает ^{т)^ = 0). Так, напрнмер.

0(0)w三(叫Hi 7)

Проекционные операторы Р(/й) получаются непосредственно из выражений (I) предыдущей задачи заменой в них оператора 厶 на оператор проекции момента на ось г, направление По которой в пространстве определяется полярнкм а и азимутальным 0 углами：

厶=п" =cosoL + sln<xcos₽/x+ sin a sin ₽fy.

В частности, оператор Р(й = 0) в ^-представлении имеет

ввд(sin2 a)/2 А(/Й = О)= —〃6 {sin 2a)/2“^—MS (sin2a>/2ввд(sin2 a)/2 А(/Й = О)= —〃6 {sin 2a)/2“^—MS (sin2a>/2—e-培(sin 2а)/2^^cos8 a/В (sin2ay2-v^—e-培(sin 2а)/2^^cos8 a/В (sin2ay2-v^—e-2尊 “in2 a)/2e-ifi {sin 2a}/2V^{sin* a)/2—e-2尊 “in2 a)/2e-ifi {sin 2a}/2V^{sin* a)/2

ввд

(sin2 a)/2 А(/Й = О)= —〃6 {sin 2a)/2“^

—MS (sin2a>/2

ввд

(sin2 a)/2 А(/Й = О)= —〃6 {sin 2a)/2“^

—MS (sin2a>/2

—e-培(sin 2а)/2^^cos8 a

/В (sin2ay2-v^

—e-培(sin 2а)/2^^cos8 a

/В (sin2ay2-v^

—e-2尊 “in2 a)/2e-ifi {sin 2a}/2V^{sin* a)/2

—e-2尊 “in2 a)/2e-ifi {sin 2a}/2V^{sin* a)/2

Подействовав этим оператором на произвольную функцию (которую удобно выбрать в виде, например, ^ = Q^' нахо' дим C-ф. Чгт-о оператора /*, отвечающую с.з.雨=0:

((sin a)/V2屮京.0=(一強cos a

V 一或中(sin词t^

193193Аналогично можно найти вид 氏* 屮市=о(&@) частицм в пространстве угловых переменных, подействовав проекционным оператором Р(т = 0) на какую-либо в. ф” отвечающую момен- - ту /=± I частицы (например, Ую(6, ср)).

193

193

7 В, М, Галицкий н др.

Обозначив через 屮以厶 с. ф. операторов L легко находим

瑜Ч&И"d 一生仏严也爪办Q ■“"• >+ 】)+ "*±Dl!"St 1)屮〃厶, ■“ n丄"1旺厶警上二厶生止D Vu^

Обозначив V= [hE], легко убеждаемся, что операторы компонент этого вектора 力=&同厶心！ являются эрмитовыми. Учитывая коммутационные соотношения для операторов компонент момента [厶，厶]=ittkih и равенство е^<€ар/ = 6хаЙлр ^： —心必а, находим после простых преобразований вид оператора V2：

yi^v^x^-a^-a^⑴

С.з. этого оператора с учетом результата предыдущей задачи представляются очевидными, н мы их не выписываем.

Если же исходить из тождества [abj8 = а2Ь2 — (ab)2, справедливого для обычных (иеоператорных) векторов, то можно было бы определять оператор V2 следующим образом:

尸=血一(3瓶⑵

что отличается от выражения (I).

Различие (I) и (2) показывает, что однозначного соответствия квантовомеханического оператора классической физической величине» вообще говоря, не существует.

Указанные коммутаторы вычисляются точно так же, как и в 3.4, и их структура имеет точно такой же вид, т. е.: в случае а) коммутаторы равны нулю, в случае б) [£厶]= =i^ikifi и т. д.

Возможные значения момента 厶 совокупной системы удовлетворяют условиям

шах {] /| —，21, I物+电I)《厶&厶斗&

Учитывая коммутативность операторов /н к А* и равенство нулю средних значений 2* =右=0 в состояниях с определенным значением & (см., например, 3.12), легко находим искомые сред， ние(L2=l?+^+2hi2):

Lx — Ly = Ot Lz=mi + m^(I)

产=。(厶+ I)+ A出+ I)十2,■也(2)

Возможные значения суммарного момента L суть Л + fe и 厶 + 厶―1・ Обозначим через w(L) вероятность значения L суммарного момента. Учитывая соотношение «J (厶 + &)土

斗亜0 + L—1)=1 и результат предыдущей задачи, представим L в виде

已匸石丄(丄+ 1)w(L) = (/1 + /2)(/1 + Z2+ I)w(Zi + « + + “I + % — 1) ("1 + “2)[1 — W (A + 砌—

Из (1) следуетИз (1) следует(1)(1)u&Ci + l) + &(%+ 1) + 2Ii (/2 -— I).

Из (1) следует

Из (1) следует

(1)

(1)

侬(4十厶)=#二，矶厶+友-1)=7先。 ⑵

Пусть функция Wlm("“，力功)отвечает определенному значению L суммарного момента и его проекции Л1 на ось z (очевидно, она отлична от нуля лишь при "“ + m2 = ЛТ).

Рассмотрим функцию Ф(ть m2^ \LM(^9m^a В силу симметричности операторов L2 и fг (L = 1( + 立)по отношению к взаимной перестановке 1| и Ь н универсального вида операто ров А компонент момента в /z-представлении (при определенном значении Г) очевидно, что функция 屮 также является с. ф. операторов О к G, отвечающей тем же с.з. L, М Известно, однако, что при сложении двух моментов /( и Z2 в результирующий момент L состояние с определенными значениями L и М может быть получено единственным способом (если такие L и М вообще возможны). Это означает, что 屮(恤，д)= =СЧ&^т, m2), и, переставив еще раз местами переменные т} н 侬・ находим С^= 1, т. е. С = ±1.

Для выяснения характера симметрии в. ф. при различных значениях L можно поступить следующим образом. Рассмотрим в ф„ отвечающ^то L = 2/ и М = 2/, 47==弘 財7“帆1, f7?2)= ~^mlt .Ййь /-Эта функция, очевидно, симметрична по отношению к перестановке переменных 砌 и 〃扱.Очевидно также, что характер симметрии в. ф. зависит от значения L н не зависит от Л1 (так как при вращениях системы координат в.ф. с различными значениями М и одинаковым L преобразуются друг через друга； более формально это утверждение можно доказать с помощью оператора £-：

吸，M^L-n = CL-Vl. m-о

учитывая его симметричность по отношению к перестановке складываемых моментов: £_ = 1{к + А* — И\у —必?)・ Таким образом, в. ф. состояния с моментом 2/ и М = 2/ — 1 также симметрична и поэтому имеет вид

屮2ш他к出и

= 方{屮Qt(砲)晦7-】(* +电"一(叫嗯Tg* П

匸4^ {""饱"T + %・,/-Дук"}・(I)

Далее, наиболее общий вид функции 里тт. “一/(пн,切2) следующий:

К，Т・ 21-1(ГПЦ /fl2)= Cl6mj< 1бт1л J-I + Р%・，i-i*^ 厶 ⑵ и, учитывая ее ортогональность к в.ф. (1), находим а =—自 т. е. функция, отвечающая моменту L = 2/ — 1, антисимметрична.

Расписав, лалее, гналогнчно ⑴ н (2) функции, отвечающие М = 22—2 и 丄=2厶 2/—I, 2i —2, и учитывая установленный выше характер симметрии функций с L = 2/, 2i——I, легко на- ходим, ито в. ф. состояния с L = 2i —2 симметрична по отношению к перестановке переменных g и ш如

Продолжая такое рассмотрение дальше, можно прийти к выводу, что в•巾.состояний с данным значением L имеют следующую симметрию:

L = 2厶 2/ — 2, 2/ — 4,・・.一симметричные в. ф.»

L *= 2/ — 1, 2/ — 3,・・・—антисимметричные в. ф.

Отметим, что при решении задачи не использовалось конкретное значение момента /. Установленный характер симметрии в.ф. имеет место как при целочисленных значениях /, так и при полуцелых, появляющихся при рассмотрении спина частиц (см.「几 5).

Представив нормированную в. ф. рассматриваемого состояния в ^^-представлении 屮=6mi,/6mb/-i в виде

*=方{("出，力Е，，-| + %"，-1%& D + (%" дуh〃-1 - % J一祖师 0) и учитывая характер симметрии в. ф. при различных L по отношению к перестановке переменных "“ и т% установленный в предыдущей задаче, находим» что вероятности двух возможных в условиях данной задачи значении момента £ = 2/, 2/——1 одинаковы и равны 切(2。=切(2/— 1) = 1/2.

Нормированные в. ф. указанных в условии состояний в /и/гх-представлении, согласно 3.39. имеют вид

屮£-2/・ Л!-?/-1(^1» 机2)— ~^^т„ /ЙЖ2, /_| 十。布”，-亦码 «},⑴

屮工-2/7. ,М-2/-1 (恤，机2)= "^^(%，.隔 JT -3仙. —%，, /}•⑵

Из (1) н (2) непосредственно следует, что в рассматриваемых состояниях проекции на ось г складываемых моментов могут принимать лишь значения / и / — I и вероятности этих значений одинаковы si равны 1/2.

В. ф. рассматр иваемого состояния V =Й/ли об^2, о (в 11г/2.г-представлении) симметрична по отношению к переста- >ювке переменных mi н т?, и согласно 3.39 в этом состоянии 碗

суммарный момент может принимать лишь два значения L = =0; 2. Вероятностн этих значений L вычисляются совершенно аналогично тому, как это было сделано при решении 3.38. и равны 3(L = 2) = 2/3, w(L = 0)= 1/3.

В случае произвольного значения i и /|Z == /2Л = /— 1 вероит- ностн возможных значений L = 2厶 2i — 2 суммарного момента равны

w(L = 2/)=2//(4Z-1), 3(L=2/ - 2) = ^4.

Нормированную в.巾，рассматриваемого состояния представим в виде (в /^гг-представлснии)

屮=，m・ I%* -1 = ^^ {-^^ 0/щ. №?, -1 + %” -1“м I)+

+ Н，@m】・ 1$E2, — 1 — b/Wl. — |3mi. I)} •(I)

Возможные значения суммарного момента равны L = 0, 1, 2. Учитывая характер симметрии в.ф. состояния с определенным значением L по отношению к перестановке переменных т\ и д, устаиовленный в 3.39, замечаем, что второе слагаемое в фигурных скобках выражения (1) представляет нормированную в. ф. состояния с L = 1, а первое описывает суперпозицию состояний cL = 2hL = 0. Очевидио, вероятность значения 丄匸 1 равна w{L= 1)= 1/2 и 3(L = 0)= 1/2 —з(丄= 2). Записав L2：

0=e 丄(L+ 1)6") = 6廿(厶=2)+ 1,

и учипявая, чю, согласно 3.37, 9To среднее значение равно L2 = =2, находим

功(L = 2) = 1/6,切(L = 1) = 1/2, u1 (L = 0) = 1 &

Обобщение на случай произвольных значений А указанный в условии задачи, дает

山仏= 2。= ^^, з(£ = 2/— 1) = 4*

w(L = 2/ —2) = ^^-.

Утверждение задачи является непосредственным следствием двух очевидных обстоятельств:

л) в силу определенной симметрии в. ф. Vt/w (mi, m2) по от- гошенню к перестановке переменных т【и т* вероятности одного н того же значения m для обоих моментов одинаковы, т. е.

9i(m)= 6(g)=亜同(I)

(W|. 2 — функции распределения по проекциям 1-го и 2-го моментов) ;

6) в состоявши, описываемом в. ф 屮丄財(т】.，％??, проекции 〃〃 и 伍2 однозначно связаны друг с другом, тзк как mj + 姉=此 и поэтому вероятность значения 勿"для первого момента равна вероятности значения m? = М — т( для второго, т. е.

Wi (/Л|)=吟(М — mi).(2)

Из (I) и (2) следует утверждение задачи：

叫 2 (т) = 31.2 (М —吻・

Учитывая симметричность в.ф. 3=6,小，С, о рассмат- риваемого состояния по отношению к перестановке переменных mi и 。切，находим, что возможные значения суммарного момента L равны L = 0, 2, 4. Вероятности w(L) этих значений L удовлетворяют условию

^ (L = 0) + ta (Д = 2) + w{L— 4)= i,(1)

fi 0, согласно 3.37, равно

百=20m(L = 4) + 6&，(L = 2)u 12・(2)

Из условий (1) и (2) нетрудно получить следующие ограни* чения на вероятности (w(£)^： 0):

3/7<w(L = 4)<3/5t 0<w(L=2)<4/7,

0&“U = 0)《2/5・

Точные значения этих вероятностей могут быть найдены с помощью коэффициентов Клебша — Гордана и равны

侬(L = 0) = 1/5, з (L из 2) = 2/7 н w{L — 4)= 18/35.

В. ф. состояния с L = 0 представляется в виде

%з= 2 Cm哪鸣.(I)

гл——i

где 3f ——нормированные на единицу в. ф. состояний систем с моментом / и его проекцией m на ось z. Действие оператора £# = £”+i£y = L+ +厶+ на функцию (I) должно давать, очевидно,-

厶屮工=0 a^ (11++ 厶+) 4fL.о= 0・(2)

Учитывая соотношение

厶屮 m= 〃Q —■)« + ■+ 1)屮E+I,

из равенства (2) после простых преобразований находим

厶义 АО и Е ■^■mW + m+l) (Cm + Cm+1)碑川腸=0, m

т. е. Cm+I = — Ст, так что |Cm|«const = 1/”2i4- 1 — из условия нормировки в. ф.屮丄.о на едиинцу.

1货

Таким образом, в состоянии с суммарным моментом L = 0 вероятности различных значений проекций складываемых моментов на ось 2 одинаковы и равны 侬=(2/+1尸.В силу сферической симметрии состояния с L = 0 и эквивалентности различных каправлений в пространстве вероятность любого значения проекции каждого нз складываемых моментов (/,i — 1, •・.,—/) на произвольную ось также равна (2/Ц- 1)一】・

Найдем вид нормированных функций 屮丄乂 в /и^г-пред- ставлении. Очевидно»

и ниже столбцы 屮iи ниже столбцы 屮iз@()з@()1 (2) частицы (или подсистемы)1 (2) частицы (или подсистемы)представляют в. ф.представляют в. ф.22(I)(I)ставлении).Вид в. ф.屮【/иставлении).Вид в. ф.屮【/ис моментом 1=1 в се 5ред・с моментом 1=1 в се 5ред・а также L = 1, Ма также L = 1, М,отвечающих состояниям cL=1,2hA4 = ±1,отвечающих состояниям cL=1,2hA4 = ±1симметрии в. ф. посимметрии в. ф. поО, непосредственно следует из характераО, непосредственно следует из характераотношению котношению ки 团2, установленного в 3,39:и 团2, установленного в 3,39:перестановке переменных 恤перестановке переменных 恤

и ниже столбцы 屮i

и ниже столбцы 屮i

з@()

з@()

1 (2) частицы (или подсистемы)

1 (2) частицы (или подсистемы)

представляют в. ф.

представляют в. ф.

2

2

(I)

(I)

ставлении).

Вид в. ф.屮【/и

ставлении).

Вид в. ф.屮【/и

с моментом 1=1 в се 5ред・

с моментом 1=1 в се 5ред・

а также L = 1, М

а также L = 1, М

,отвечающих состояниям cL=1,2hA4 = ±1

,отвечающих состояниям cL=1,2hA4 = ±1

симметрии в. ф. по

симметрии в. ф. по

О, непосредственно следует из характера

О, непосредственно следует из характера

отношению к

отношению к

и 团2, установленного в 3,39:

и 团2, установленного в 3,39:

перестановке переменных 恤

перестановке переменных 恤

屮—喘0①±①0)}⑵小T№)位士①(小0)

Знак «+》в выражениях (2) н (3) отвечает L = 2, знак «—» относится к L = L

Вид в. ф, 'Ро, о следует из результата предыдущей задачи:

“MC)G)Y)(»@)(力…

ф. Ч;2, о при yqere ее свойства симметрии по отношению к перестановке переменных 叩 и 加2 можно записать в виде

…№)(» (必讣咐0…

Из условия ортогональности в. ф.屮幻 0 и К. о находим, что G = 2d【，и, выбрав в (6) G= 1，为宙，С? = 2/“6, получаем нормированную в. ф. ^ о-

Вероятности различных проекций складываемых моментов па ось г в состояниях Ч7м легко находятся из установленного вида (1)—(6) в. ф. 47M.

Для нахождения угловой зависимости в. ф_ 4^01(61, <й» 6s)Ф2) системы из двух частиц, имеющих моменты 厶=»办=1, воспользуемся соотношением

"'3(斗，%,%学2)= e中3(/,叫)Y的四，9】)，%m% %)，⑺

списывающим представление угловых переменных с /и/гг-пред- ставленнсм. Учитывая вид (б) в. ф. состояния с L = 0 в к&- представлении и конкретный вид шаровых функций Yim(0, <р) (зтн функции приведены в решениях задач 3.22 и 3.23), согласно (7) получаем после простых преобразований угловую зависимость в. ф. состояния с L = О：

"‘I =吟｛cos 6)cos 62 -J- sin 4 sin 坊 cos (例一屮J)=芻(川叱)(8)(n = r/r).

3・4& Всего имеется 3・3・(2，+I) = 9(2，+1) различных состояний системы. Эти состояния следующим образом классифицируются по возможным значениям L суммарного момента систем н：

(2/ + 5) состояний отвечают L = f + 2「

⑵+ 3)»»L = i+1.

3(2/+1)а»L = /,(1)

⑵一1)»»l=/一1,

(2/ — 3)»»L = / —2.

Лля решения задачи удобно сначала сложить моменты двух подсистем, имеющих /=1, в их результирующий момент L^ принимающий значения L^ = 0» 1, 2, а затем сложить моменты Lu н /§ = J в суммарный момент L всей системы. При этом следует учесть, что данное значение L можно получить, вообще юворя, несколькими способами Так, значение L ~1-\-\ можно получить путем сложения с моментом / третьей подсистемы как момента £12= 1» так к Li2 = 2.

При получении (1) считалось, что /》2・ Случай 1=1 читателю предлагается рассмотреть самостоятельно.

3・49. Учитывая, что с.з. оператора 21也 + 厶仏+ 1)4- feCfc+l) равны L(L -|- I), где L — значение суммарного момента, нахо* ннм проекционный оператор，(丄)(сравнить с задачей 1.40):

/〃、_□'—十-5斗 1)斗Т依 + 】)一丄'Н' + 4/n

⑷丄a十1)一1a41)*⑴

где произведение берется по всем значениям £', удовлетворяющим условию |厶一友| & " W А + 2% за исключением U =厶 на что указывает штрих у символа произведения.

Очевидно, проекционный оператор P(L, Л1) можно представить в виде P(L, M) = P(M)P(L), где P(L) — проекционный оператор на состояния с заданным значением L суммарного момента, найденный в 3.49, а Р(Л1) — проекционный оператор на состояния с определенной проекцией М суммарного момента 厶 uliz + G? на ось % Как легко сообразить, Р(М) имеет вид

户制=и'1^生啓

т

где произведение берется по значениям т, удовлетворяющим условиям — L^m ^L, за исключением т^ М.

В случае 厶 ~t2^l проекционный оператор P(L = 0), согласно формуле (1) задачи 3.49. имеет вид

Р亿=0)=鱼f1.

Подействовав этим оператором на произвольную в. ф.屮 со・ стояния двух систем с моментами ii~lz~ lf получим (ненормированную) с. ф. оператора суммарного момента, отвечающую L = 0, т. е.

“)=CA(L = O)W

(С— нормировочный коэффициент).

Представив оператор 二* в виде

[1% = 1/% + (1[+/2- +h」2 十)/2.

где 1±—повышающие и понижающие операторы, и выбрав для удобства в.ф. V в виде (в/и/гг-представлении)

находим после простых преобразований

WL^=CP(L^0) W=CP(L= 0)Q^ (；)=

-{(DXOrQhbfDIDJ-

Выбрав в последнем выражение С = V^> получим нормированную в.ф. состояния с 2 = 0 в согласии с результатом задачи 3J7.

Из коммутационного соотношения £/% —fz£z = 0 следует, что недиагональные матричные элементы оператора 厶

равны нулю:

«, ", п\£Л -fEl L, М 輝=(ЛГ - М)& М', Мf/L, М 力=0 (как и матричные элементы оператора 厶)；

Из коммутационных соотношений

[%’ f』= ±& (W* 土 .)

непосредственно вытекает

(ЛГ — Mj^iLM^^ nLM) = ± QLAIT f ± I nLM).(1)

Из (1) следует, что оператор /+ имеет отличные от нуля матричные элементы (『+)“* лишь при М' = М+ 1, а (/_)川,乂 отличны от нуля лишь при 汕=М — 1 (аналогично свойствам (L土)ми).

Взяв матричный элемент вида〈％ 丄,М +2]•・/%£«, М〉от обеих частей операторного равенства {£+，，+] =0 (являющегося непосредственным следствием коммутационных соотношений для операторов Л и 露)н учитывая соотношения

£+1 心 L Л1>= “(l-m)(l+m+Di & l м + D： ⑵ (也厶 _£+ = “(』一№+D(L+M5, l, M-1L

легко находим

0+)ая■2Aна = “.一M-i),2 + M七2[一(e+)m+幺m*1..(3)

(『+)Af+i, м “{丄一м)(£ + м +1)(l+)m+ и м

Из (3) следует

^„ = а^ L^M.,^⑷

м, учитывая сказанное выше о матричных элюентах операторов /+ и £+, заключаем» что (4) эквивалентно «условному» равенству (в указанном в условии задачи смысле)

f+ = a(«t L)L^(б)

Совершенно аналогично из условия [£-, /-] =0 находим

f^ — b(nt L)L_，⑹

Взяв диагональный матричный элемент от обеих частей операторного равенства [£_,/+]=—2“，легко находим (f力мм = ~a(ntL)M, т. е.

f 2 = a (n,L)，.⑺

Аналогично нз соотношения [J, f_] = 2f« следует (&)%м = =6(n, L)M> QT。доказывает равенство a(n, L)= 6/п, L), так что выражения (5)—(7) можно записать в виде、

f=a(n, £)Ь(8)

Для нахождения величины a(nt Lf рассмотрим дпагоняль^ ный матричный элемент оператора (fL) (так как оператор (fL)—оператор скалярной величины, он коммутирует с £< и его диагональные элементы не зависят от М, см. 3.20),

Непосредствен ное вычисление дает

SLM|(iX)gLM〉= a(% L}8DW|£2|/zLM〉=a(& £)L(L+ 1)»

откуда

。《й)-史嘰咨•(9)

3・53・ Согласно предыдущей задаче имеем

5l/1A面丿位加=。—以九.， где

а(п, 1)^{пЬМЦШ L)|nWL(L +1).

Так как L = h + h» то, учитывая коммутационные соотношения Ri,M = iZiftrfn для операторов компонент каждого из моментов 工，12 и коммутативность I】,н I” друг с другом, легко находим с =0, т. е. все матричные элементы оператора |lils]j между состояниями» отвечающими одному и тому же ввяче- нию £ суммарного момента системы, равны нулю.

3_54. На основании результатов задач 3.52 и 334 имеем ^^LM^nL^a^, . = Z(" 曳*窑常产%业±Я.

Аналогичное выражение (с заменой индекса i на 2 и наоборот) имеет место для |2.

Учитывая, что в состоянии с определенным значением М средние значения 厶 & равны кулю, находим

忆=а %=“

-_ Si ± &)一仁 十 D 十 в】一也]□仏 +1) - " V ± DJ m ) 也2£(工十1)神.

В данной задаче будем понимать под 丄 его конкретное значение L =厶 + 友.Очевиден вид в. ф. ^, м^

3-=屮出吟,.⑴

Учитывая свойство оператора £_:

Е-Нм = ML-M+1)(A + M)也,⑵ имеем

均ит各綜гm一尸財或ё.⑶

Так как £- = 1卜 + (^ и операторы 力_ и 1 妹 коммутируют друг с другом, то, учитывая явным вид б. ф. (1) и своВство《2).

легко находим из (3)

时m = G&切工况一述-严&-六-i嘲咽=

= G(L, М^С^мО^Цъ L-m)G-'& M + m-QX X^u^/nVS i^^+m^Lc^mAA (M^mx + rn^ (4) где введены обозначения

G3, m=[占)版F4=^^-⑸

Из (4) следует значение коэффициентов Клебша — Гордана: CBw^=G(£, M)g7® mi)G-l(fe,恤)功二齎(M = m. + m^

Li + bLi + bУчитывая (5), находим окончательное выражение: 宀 「—®j)! (24)!(丄 + М)1 (L —」)t [и

Li + b

Li + b

5MM — I (2£)Ц/| + mi)l (h - П；!)! (h + m^ (/2 - m2)l J

Коэффициенты Клебша—Гордана для этого случая были фактически найдены в 346. Выбрав коэффициент Ст в решевни указанной задачи при т = I равным С, = (2!十1)一吗

находимнаходимC??m> 1・—тC??m> 1・—т(_])5w+f(_])5w+f

находим

находим

C??m> 1・—т

C??m> 1・—т

(_])5w+f

(_])5w+f

Рассмотрим в. ф. вида

^l = ^lk .；r^lKk ^ • Kn^eik...^^к • — пУ•

Учитывая, что оператор квадрата момента частицы ® пропорционален угловой части оператора Лапласа в сферических переменных, точнее,

г=一「込6个=产(a, 一a), '=』5产/.⑴

находим

「込角=r%…„n№…勺A/ =小+ 1)也，《

№ = (4%№0%) e^...占4马…4 =

=8神...〃(%%分，・/+…)= 1m.》p…/+…=0・

Из (1) и (2) непосредственно следует

1吨="+1)中i.

Очевидно, в. ф.屮М-указаннах в условии задачи, также является с. ф. оператора I2-

Сначала найдем число независимых компонент g(0 тензора 厶го ранга 瓦*,,,检 симметричного по любой паре индек^

сов. Обозначим: /и — число индексов некоторой компоненты этого тензора, равных 1, ns — равных 2 и "§ = (1 —为一価)一 равных 3. В силу симметричности тензора его компоненты с одинаковыми числами m и п2 равны и отличаются друг от друга при различных П| н п2. При фиксированном значении п： число 九② может быть равным 0, 1.・・・,(/ —Л1). т. е. число различных компонент тензора при данном /ц равно (Z — Л| +1). Общее число различных компонент g(l) равно

敏)=£(2-为+1) = «+1)2一力也=(石丄士2).

"lQщ-*0

Чтобы найти число независимых компонент g(/) симметричного тензора &&..・〃 с равным нулю следом е^р... п = 0, замечаем, что последнее условие представляет совокупность линей* ных соотношений между компонентами тензора 0雑...〃・ Число этих дополнительных соотношений равно, очевидно» 《(»—2). Такнм образом,

g(9 = A0)一飢2 -2) = 21+1, что и требовалось показать.

3・59・ Используя запись | ^м |2 = I (сп) |2 = ^^пк и учитывая значение интеграла

]п^ dR = 4«d^3t

находим из условия нормировки в・巾• I £ F =京 (следует помнить, что вектор е, вообще говоря, комплексный).

Учитывая явный вид шаровых функций У1т (они приведены, например, при решеияи задач 3.22 魅 3.23). находим значения компонент вектора е(т), при которых в. ф.屮，—■=

= (е(ш)п) совпадает с соответствующей шаровой функцией:

е (т = 0)= д/^。°. 0. £倆=± 1)= д/击(干 i. 1. °)・

В случае / = 2 компоненты е^(/и) равны

4d=-〃患 q 4 ；)•

е,*(т=1)-д/盜(:；*).

时№ = 0}= “念0 * j)

e*m匸一1)=一上読(加r 1)\

/ 恤=—2}=f е|А (m = 2)「・

8.Ф1. Простое вычисление дает

e唄叫依)t-

m——1

8^2. Представим комплексный вектор £ в виде е = fti +1^ где Hi, а? — вещественные векторы,

В случае, если аЛ|а2> т. е. е = спо (по—вещественный вектор), проекция момента на ось, направленную вдоль и。* имеет определенное значение, равное нулю. Есяи же векторы а【 и а2 не параллельны, то такой оси, проекция момента на которую имеет определенное значение й = 0г не существует.

В случае &〔丄出 и oi = с2 проекция момента на ось, направлетаую вдоль вектора [&1铀],имеет определенное значение in= 1 {и т = —1 на противоположное направление).

В общем же случае, когда ие выполнено ни одно из этих двух условий, не существует такой осн, проекция момента на которую имеет определенное значение. Это утверждение справедливо для любого значения момента £ 扭 1 (исключением является случай момента, равного 1/2, см. 5.12).

Представив вектор в (см 3.62) в виде е = ai + fa^, где ai9 а?—вещественные векторы, и учтя результат задачи 3.6。, легко сообразить, что вероятность значения проекции момента /п = 0 на ось, направленкую вдоль вектора 同出], равна нулю. Если ail|a2, то вероятность значения проекции момента /п=0 на любую ось, перпендикулярную этим векторам, равна нулю.

та(т=о)=I (м^Е 功佈=士 1)=弓I(2力1)手 2WBwhDP- (0

В выражениях (I) вектор e считается нормированным на единицу» |^|2= 1, П1 — вещественный единичный вектор, перпендикулярный по (выбор вектора Hi неоднозначен; однако от конкретного его выбора значения выражений (1) не зависят) • Для решения задачи удобно ввести новую систему координат с осью М направленной вдоль п0, осью х— вдоль ni и осью у—*• вдоль вектора [noth], и воспользоваться известным видом компонент векторов e(w), соответствующих состояниям с определенной проекцией момента на ось z (см. 3.60).

Положив с = д^^а, где |а| = 1 из условия нормировке в. ф. на единицу, находим искомые средние:

而=小§ ^^А初=

R *"：%醤(％Ли +&/Л什％镰)=T (& +叭+唳》⑴

Если записать комплексный вектор а в виде a =ai4-iaa, где &ь »2—вещественные векторы, то выражение (1) принимает вид一

功*=百№/+ 2 зНа球十02/2孙

3・66・ Так как £^-i = - hiknxk ■— ew-^ = — ielkrflnnk и в случае нормированной на единицу в. ф. 2=勺/姦即 где 1а |= 1, легко находим

% = - i A ~W&，仆醜如=-网.К т. е.

1=-1[^.⑴

Полагая а = а【+ /аг r(ai, 2~вещественные векторы), выражение (1) молено записать в виде

1 = 2[街a2b

ЗЛ7. Учитывая, что действие оператора % =—也『痴暇 ^* на функцию вида W = (ап) дает

口曰f浬=加W証=-饵碗/醒曰玩歩玄，

находим вид onqaTopa h в векторном представлении:

&人 k 三j]珠=-i^l^nt

т. е. если в этом представлении записывать в. ф. в виде стол£- да 9 =(奥)； та операторами компонент момента являются матрицы Ь с элементами (厶).=—诧?府：

(

00 и、 / О О/0Т0\

о о т Iи о о 卜 4 = ( *о о ・

О iО/、Т О О/ 1оО О/

Легко убедиться, что коммутационные соотношения для матриц h компонент момента имеют, как и должно быть, стандарт-* нук> форму, т. е. [h, tk]=耐痴几 а матрица Р равна 12 = 2-/ (/ — единичная матрица).

В.ф. «а .(为=1, 2, 3) в векторном представлении и в.ф. ст (т = 1, 0, —1) в /г-представл^яии связаны унитарным щ>еебра* зеванием 〃& = £ 4加，切・ Вид унитарной матрицы Uhm читателю m

предлагается найти самостоятельно.

ЗЖ. а) Наиболее общий вид угловой зависимеети в.杀 си- стены из двух частиц, имеющих моменты Zr=fe = l, следую*- щий:

史=侑/"3，,(I)

где tij =Г|/гь П2 = Г2/，2. о像—произвольный тензор второго ранга, имеющий девять независимых компонент, что соответствует девяти различным независимым состояниям (в пространстве угловых переменных) системы из двух частиц с А =厶=1,

Представив тензор aik в виде

G" = -f^ 必 + 偿-А，+ у (。掠 + «А，—百 anrfilk)-⑵

запишем в, ф. (1) следующим образом:

屮=c (gm) + e1m啕+/或1/2軌(3)

где

С = % J3,巴誤=^^ik + % — 2c4 J

2〃 = ^iaik> “掠—〃* = 2“a 岡

(飢欠一симметричный тензор с равным кулю следом. 2“ = 0).

Учитывая результат задачи 3.57, нетрудно сообразить, что представление в.©, в виде (3) является представлением ее в виде трех слагаемых, каждое из которых отвечает определенному значению L = 0. 1, 2 суммарного момента системы;

⑷⑷4S2 = £/卢1声2*三4S2 = £/卢1声2*三^•"［研叫+ "1或2： 一等（口"）6偿］■^•"［研叫+ "1或2： 一等（口"）6偿］■Ч7-о=С(П1П2), Vj = s 1力同,

⑷

⑷

4S2 = £/卢1声2*三

4S2 = £/卢1声2*三

^•"［研叫+ "1或2： 一等（口"）6偿］■

^•"［研叫+ "1或2： 一等（口"）6偿］■

Выражение для 屮丄=о согласуется, естественно, с результатом занаим 3.47.

Для того чтобы приведенные в.巾.屮匕(4) отвечали состоянию с определенным значением М проекции суммарного момента на ось z, компоненты вектора 白(М) и тензора е« (Л1) должны быть выбраны в виде, установленном в 3.60.

В частности, в. ф.屮％ 2 при этом оказывается имеющей вид %・2=— д/裁 sin 0| sin。步処e's = « 半 У” (d,屮【)Гн(02> 屮2),

т. е. действительно является с, ф. (ненормированной) операторов L2 и 厶，отвечающей с. з. £ = 2 и Л! = 2.

Глава 4

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

. Оператор Гамильтона, соответствующий функции Гамильтона классического плоского ротатора Н = М^/21 (應*「@ — проекция момента ротатора на ось, перпендикулярную плоско-

сти вращения), имеет вид 〃 =可-=—市■両「

Решение стационарного у. Ш.

自屮®)三一多屮" @) = e屮(①)

с дополнительным условием 4f(q> + 2n) = W(q>) дает энергетические уровни Ет и норм!фоваиные с. ф,治(ф):

£m =*.屮m(* =痣eg 机=±1机I,£m =*.屮m(* =痣eg 机=±1机I,(I)(I)

£m =*.屮m(* =痣eg 机=±1机I,

£m =*.屮m(* =痣eg 机=±1机I,

(I)

(I)

\т\—целое число, \m\ — 0t 1,2, ... Все уровни энергии пло・ ского ротатора, за исключением основного 加=0, двукратно вырождены. С. ф. (1) оператора /? являются также с. ф. оператора 办=—iH/dq. Составив из них линейные комбинации (加，0)

唱島@）=型*3唱島@）=型*3-=СО5(/Лф),

唱島@）=型*3

唱島@）=型*3

—rsln(my)t V”

получим с. ф.屮鬧，имеющие определенкую четность 士 1 при отражении координат относительно оси % (в плоскости вращения).

Задачу очень просто решить, если учесть результаты решения задачи 3.15,

Отличные от нуля вероятности различных значений проек~ 1даи момента т н энергии Ет н их средние значения равны:

功（机）=功（机）=«I«I2n(2n — 1)П2n(2n — 1)ПГ rL2112Lcn 2 J , m = 4 ГТ — 2,…，一&Г rL2112Lcn 2 J , m = 4 ГТ — 2,…，一&

功（机）=

功（机）=

«I

«I

2n(2n — 1)П

2n(2n — 1)П

Г rL2112

Lcn 2 J , m = 4 ГТ — 2,…，一&

Г rL2112

Lcn 2 J , m = 4 ГТ — 2,…，一&

w(£m) = w(z«)-r w(—m) — 2^(т), m=n9 〃一2,…，2(1),w (£o) = ю (ди=0) ^ 0 лишь для четных м,

2л

Й = 0,后=T屮‘自屮&P =

Me? F

2/ (2n - 1) *2/ (2n - 1) *—^ \ cos^t屮Wcos?屮一п(“一 1))即=

2/ (2n - 1) *

2/ (2n - 1) *

Функция Гамильтона классического пространственного ротатора равна Я = М2/2Д и, соответственно, оператор Гамильтона имеет вид Я = f^P/21 (Р—оператор квадрата момента)-

Уровни энергии и нормированные с. ф. гамильтониан рмнн

'£1"，)，^im^^-Ylm(S9^

1 = 0, L •••； m=4 4—1■….一L

%е — шаровые функции. Каждый энергетический уровень дх>- татора вырожден ⑵十 1)-кратно (основной уровень с / = 0—< невырожденный). Уровни энергии имеют определенную четность, равную (—1)'・

«) Проекция момента имеет определенное значение m = 0. Записав в. ф. в виде

W = Ccos2G=叵三А]

и учитывая явный вид шаровых функций Ym и У%*), легко найти, что в указанном состоянии момент ротатора может принимать лишь два значения: / = 0 и 4 = 2» с вероятностями

/(1 = 0) = 5/9, ^(/ = 2) = 4/9;云=雪=4蜉3厶

Проекция момента имеет определенное значение m = 2. Функция распределения по значениям момента / ротатора (и соответственно по его энергии) дается выражением _(3) задачи 3.16. Среднее значение энергии ротатора (как и I2) оказывается бесконечным, что означает, что рассматриваемое состояние ротатора не может быть реализовано <экспериментально>.

Так как операторы

方2 02A炉"i至粛^^^二."2 =方2 02A炉"i至粛^^^二."2 =五Г/十f五Г/十f

方2 02A炉

"i至粛^^^二."2 =

方2 02A炉

"i至粛^^^二."2 =

五Г/十f

五Г/十f

коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осциллятора, равным Я = /?| 4- flj, то с. ф. гамильтониана А, образующие полную систему,, могут быть также выбраны с. ф. операторов fli 11 fl2- Учитывая это обстоятельство н хорошо известный вид с. ф. и уровней энергии обычного линейного осциллятора, находим нормированные в. ф. стационарных состояний и энергетические уровни плоского осциллятора в виде

Вм(х,加=眠；(»屮般®, Ен=М+11 ^ = 0. L ...

з = ^7Й. N = 〃i + rt2； Л| = 0, 1» 2,.・•■ «2=0, 1, 2,・・・

4.6. Используя яввый вид в. ф.屮沪《％),4.6. Используя яввый вид в. ф.屮沪《％),запишем в. ф.屮изапишем в. ф.屮иЭнергетическому уровню E^ с данным значением N отвечают линейно независимые с.ф. Фг^, с «1 = 0, 1,・・・，N (при этом n& = М N — I, .... 0)г т. е. этот уровень осциллятора (2V + 1)-кратно вырожден.

4.6. Используя яввый вид в. ф.屮沪《％),

4.6. Используя яввый вид в. ф.屮沪《％),

запишем в. ф.屮и

запишем в. ф.屮и

в виде

用产為"p（一安）=咋替.p（一粉6

匕0 =匕0 ="嗚(i-зсме)."嗚(i-зсме).

匕0 =

匕0 =

"嗚(i-зсме).

"嗚(i-зсме).

<P. ①一полярные координаты). С учетом равенства xcos屮 sin 屮=sin 2© =(〃岬一c-w)/2i из (1) следует, что в состоянии, описываемом в. ф. фц, проекция момента на направление, перпендикулярное плоскости колебаний, может гтрннн- «ать лишь два значения т^=±2 с одинаковой вероятностью, равной 1/2.

・ Гамильтониан в цилиндрических переменных имеет вид 后n一图已专Р轰十青晶 十器I+ие%

Операторы 玲 и /2 коммутируют друг с другом и с гамильтонианом; поэтому существует полная система функций, яв* ляющихся с. ф. зтих операторов и имеющих вид

叫М=7^ехр[/ 仔十/иф)卜/т](Р), ⑴ где фПр|mi является решением радиального у. Ш. для спопереч- хого» движения частицы

蚩(~/亲0帰十汩 WpIml + US)%.『

=E, I m2》I m|, (2)

определяющего также энергетическиА спектр «поперечного» движения Е^ jmq； Лр ~ радиальное квантовое число, совпадаю^ пхее с числом нулей радиальной в. ф. (не «считая нулей при р = 0 и р = <?о)・

Волновой функции (1) отвечает энергия частицы, равная£,1 к I % = £% g + Р1/2ц-

Каждому эн^)гетическоыу уровню дискретного спектра «по- перечвого» движения £^.|т| (или, короче, уровню в двумерном поле 〃(р)) отвечает либо одна с.ф- (при т = 0), лнЕо две (при т=/=0). Если же имеется случайное вырождение (т. е. энергетические уровни £知冋 прн различных значениях пар чисел лр и \т\ совпадают), то кратность вырождения уровней может принимать и другие значения (см., напрямер, 4.5).

Основной уровень в двумерном поле 0(р) имеет квантовые числа лр = 0,加=0 и является невырожденным. Первый воз- бужденный уровень может иметь следующие квантовые числа: либо лр = 0, \т\ =1, либо лр = 1, т=0 (при случайном вырождении может оказаться, что уровни с указанннмл квант。- выми числами совпадают). Никаких других квантовых чисел первое возбужденное состояние иметь не может. Таким обра- зом. кратность вырождения g = 3 первого возбужденного уров~ ня в принципе возможна, а значения g = 4 быть *не можеь

・ Учитывая коммутативность операторов А н £乞,с. ф. га・ мильтонмана можно представить в внде 屮打「也(卩,Ф)= =%р |т1(Р)球呻；При ЭТОМ

b两+器击+唾Jm|一旨］他)1砲1(p)= °，р<a， ⑴

Флр I m I(Р =。) = 0. ", I m ］ = Т^рЕпр I tn |/Л2；⑵

ri。一радиальное квантовое число, равное числу нулей функции

W% imi (р)> не считая нулей при р = а и р = 0 (в случае /п#=0)・

Решение уравнения (1), имеющее необходимое поведение при pf 0 (фактически не возрастающее при р-*-0), представляется в внде•

W% I е I(Р)= СЛп (к, I m ip),⑶

prb Jm — функция Бесселя. Граничное условие (2) определяет энд)гетнческий спектр частицы：

£np|m| = %+I.m/W,£np|m| = %+I.m/W,(4)(4)

£np|m| = %+I.m/W,

£np|m| = %+I.m/W,

(4)

(4)

-彖陽--彖陽-Im 陶pl ml， 0)Im 陶pl ml， 0)Учитывая конкретный вид потенциала и граничные условия Для хЛ^|т| при р-*-0 и р—8, находим решение уравнения (1):Учитывая конкретный вид потенциала и граничные условия Для хЛ^|т| при р-*-0 и р—8, находим решение уравнения (1):、1т［（Р）=、1т［（Р）=&4m i(“2卩(€70 — I £«р 1 m11 )/Й2p), p <C,&4m i(“2卩(€70 — I £«р 1 m11 )/Й2p), p <C,C2&m|("2u|Enp|mJ/#P),C2&m|("2u|Enp|mJ/#P),P>a.P>a.⑵⑵

-彖陽-

-彖陽-

Im 陶pl ml， 0)

Im 陶pl ml， 0)

Учитывая конкретный вид потенциала и граничные условия Для хЛ^|т| при р-*-0 и р—8, находим решение уравнения (1):

Учитывая конкретный вид потенциала и граничные условия Для хЛ^|т| при р-*-0 и р—8, находим решение уравнения (1):

、1т［（Р）=

、1т［（Р）=

&4m i(“2卩(€70 — I £«р 1 m11 )/Й2p), p <C,

&4m i(“2卩(€70 — I £«р 1 m11 )/Й2p), p <C,

C2&m|("2u|Enp|mJ/#P),

C2&m|("2u|Enp|mJ/#P),

P>a.

P>a.

⑵

⑵

где а*т >0一 А-й корень функции Бесселя Jn(ctAm)= 0 (в порядке возрастания сс); в частности, аю « 2,40, ап « 3,83 и соответственно Емл；2,88~5 . £。1#7,33"^~・

4・9・ Не конкретизируя пока значения 九 представим с. ф. гамильтониана в виде ^ш = ХЛр|т|(Р)^ф, где 儿八福 удовлетворяет уравнению (ЕПр । m | < 0)

不］"% « m I + U (р) %% I 吨］==F

где K［机［——функция Макдональда.

Условия непрерывности в. ф. (2) н ее производной б точке р = а приводят к соотношению

“Г可【ml］厶 m 132v (Uo — I” IE11)4*/昭)X

X№叨I(^2^IЕПрIm11а^1Ь^=/^и^ — |£npimj| X

x二d("2北(仇二1£.莉w//)К皿(/2両"|而曲叫,(3) определяющему энергетические уровни д・ с・(―"о < £% t m［ V 0). 212

В случае мелкой ямы | =卩。?。。/自* « I аргументы цилиндрических функций в соотношеини (3) малы. При т = 0 с учетом формул

/оМ« 1, J6 (к) а — %/2, Ко (%) Q In ⑵», Кб (х) а — 1/х,

справедливых при 比《1, соотношение (3) принимает внд

“ (“ 一 I %о I) dL in “2紋/商 IE/0 H1.⑷

Последнее уравнение имеет только один корень 碗

小 ^ 一 鬻 exp (一苗)三一2"店 T exp(- 2用，(5)

который легко найти, если заметить, что из (4) следует [Е«ро| С t/o, и пренебречь |”о| в сомножителе перед логарифмом.

Для г%#0, как это следует из соотношения (3), состояния Д- с. в мелкой яме отсутствуют (см. следующую задачу). Таким образом, в мелкой двумерной яме, как и в одномерном случае (см, 2.8), имеется лишь одно состояние д. с. Энергия этого состояния мала по сравнению с глубиной ямы;

I £oo!/Uoa ⑵&ехр (— 2/& < 1

(сравнить с соответствующим значением |Е0|/(/0 ~ Е《1 в од~ номерном случае).

. Энергетические уровни д. с. определяются из решения трансцендентного уравнения (3), полученного в предыдущей задаче.

В случае мелкой ямы § = “已^仆/克？ « 1, учитывая известный вид функций KeQ) и KJQ) при 2—0 (т=/=0), легко убедиться, что указанное уравнение не имеет корней (правая и левая части уравнения имеют разные знаки), т. е. состояния д. с. с т#0 отсутствуют. Такие состояния появляются лишь при достаточном углублении ямы. Чтобы найти значения параметр ров ямы, при которых это происходит, следует учесть» что в условиях, когда уровень только появился, он имеет малую энергию. Рассматривая именно такой случай, запишем уравнение (3) предыдущей задачи в виде

1r一[句，“«奪一嘗改山e(1)

(мы учли, что при Zf 0 Кт(2} Q ^ ( I加 I — 1)!圈)1 )-

На основании (1) можно сообразить, что условие

"发Zml("用)十1m卩е(也1) = 0⑵

方3

определяет параметры ямы, при которых в ней появляются по мер，ее углубления состояния 〃. с, с проекцией момента 加=# 0・

Условие (2) эквивалентно следующему；

⑶⑶厶神-1("笼)=0.

⑶

⑶

В частности» учитывая значение 修万 2,40 первого корня функции Бесселя /о(х), находим согласно (3) условие существования в рассматриваемой яме состояний д.с. € \т\ = к

@)2,88青(返)必.

деляют параметры ямы, при которых в ней появляется первый уровень д. с. с 加 *0 (первый, наименьший корень (3)), но и вообще являются условиями появленияделяют параметры ямы, при которых в ней появляется первый уровень д. с. с 加 *0 (первый, наименьший корень (3)), но и вообще являются условиями появленияуравнения новых со-уравнения новых со-р<а, р>。.⑴р<а, р>。.⑴Отметим, что полученные условия (2) и (3) не только опре

деляют параметры ямы, при которых в ней появляется первый уровень д. с. с 加 *0 (первый, наименьший корень (3)), но и вообще являются условиями появления

деляют параметры ямы, при которых в ней появляется первый уровень д. с. с 加 *0 (первый, наименьший корень (3)), но и вообще являются условиями появления

уравнения новых со-

уравнения новых со-

р<а, р>。.⑴

р<а, р>。.⑴

стояний д. с. с 加娱 0 по мере углубления ямы.

4・»・ Задача решается аналогично 4.9.

Функция %,fm|(P)имеет вид

f CJm (X/ipEp) (*外誕=V29 1e电 J m I l/Л2)> %919) = 1 8^(飞河)，

Условия сшиианвя функции (1) в точке р = а, совершенно аналогичные условиям сшивания в. ф. для 6-функцнонного потенциала в одномерном случае (см. 2.10), приводят к соотно^ шенню

x［心(х)/m (X) 一 Km ⑴心 G)］= - 普 Kr g"加(X)

(*=Y中山>⑵

определяющему энергетический спектр частицы. Учитывая значение вронскиана 1т(х)Кт (х) — /^(х)Кт(х) = — 1/х» запишем ⑵ в виде

Кт (%/?) % а,.)=招［2р(Ю・伺

Можно заметить, что левая часть уравнения (3) F^Q)三 曰 Кт(2)% (z), z = 0Pg》0, является монотонно убывающей

—8 (так Докажем—8 (так Докажемкаи при этом монотонностькаи при этом монотонностьфункцией z, причем Fm(z)—0 при z

—8 (так Докажем

—8 (так Докажем

каи при этом монотонность

каи при этом монотонность

4(力。術*厶⑵“遮l).

Лп(2)： Предположим противное, т. е. что Fm{^ — не монотов- ная функция. Тогда график этой функции при достаточно больших значениях z будет иметь вид, указанный на рис. 25, и при значении правой части (3), равном 扣 уравнение (3) будет

иметь по крайней мере два корня:勾 и 徵.Это означает, что в рассматриваемом поле имеется два уровня с одним и тем же вначением ^, при зтом радиальная зависимость соответствующих в. ф. определяется формулой (1). Но таких двух уровней быть ие может, таз как соответствующие им с. ф. гамильтониана не были бы ортогона л ьны ми друг другу (действительно, в.巾“ вида (I) При любом 均* е является знакоопределенной—функции /т(2)и Кт(2)не имеют нулей —и две такие функции при различных хЛрт не могут быть ортогональными). Таким образом, Fm(z) — монотонно убывающая функция z (z》0)・

Так как для т = 0 при л^О

/。⑶毋+右KoQ)^E等.⑷

то в этом случае F“z)f 8. Графики функций в правой и левой частях уравнения (3) изображены на рис. 26, из которого вид」 но, что при т = 0 имеется один (и только один) уровень д. с<

Рнс. 25.Рнс. 25.

Рнс. 25.

Рнс. 25.

Для мелкой ямы Е = уаа/%2《1 (при этом правая часть (3) велика) находим согласно (3) н (4)

m击n泰' т, е.

昂。a-等。j (I痴《备)•

В случае глубокой ямы Е》1, используя приведенные выше асимптотики цилиндрических функций, находим

Е*Е*2Л2 '2Л2 '

Е*

Е*

2Л2 '

2Л2 '

. Задача решается аналогично предыдущей. Различие проявляется лишь в том, что в случае m 遇 0 максимальное значение функции Fe(n) = Aw(z).KeG) равно /m(0)/Cm(0J= 1/2|т[

216.

(рис. 27), и поэтому уравнение (3) предыдущей задачи имеет один (и только один) корень при выполнении условия

род/力2 > \ т |.

В противном случае состояния д. с. с данным m * 0 отсутствуют.

Р肘с. 27.Р肘с. 27.

Р肘с. 27.

Р肘с. 27.

， У. Ш. для радиальной части с. ф. гамильтониана %m=%1ml(P)E

勿 L dp" p dp p2 J Алр I m I p OplF,1 办闷 plmfзаменой функции Х%|т| = Чу/，‘Р приводится к виду勿 L dp" p dp p2 J Алр I m I p OplF,1 办闷 plmfзаменой функции Х%|т| = Чу/，‘Р приводится к виду

勿 L dp" p dp p2 J Алр I m I p OplF,1 办闷 plmf

заменой функции Х%|т| = Чу/，‘Р приводится к виду

勿 L dp" p dp p2 J Алр I m I p OplF,1 办闷 plmf

заменой функции Х%|т| = Чу/，‘Р приводится к виду

Это уравнение и граничные условия иЛрт (0) = 0> «лрт(«>) = 0 совершенно аналогичны тем, которые возникают при нахождении радиальной в.巾.Unri н уровней энергии частицы в кулоновском поле 〃(，) = —а/，, если записать с.ф. гамильтониана в вмде^^/т = У/т«л/ WA- Различие состоит только в замене множителя /(/+ 1) (вцентробежной энергии) на величину 加*— 1/4. Учитывая хорошо известное выражение

Enri =—Enri =—2护5,干元B2护5,干元B⑵⑵

Enri =—

Enri =—

2护5,干元B

2护5,干元B

⑵

⑵

для энергетических уровней частицы в кулоновском поле и заменяя, согласно сказанному выше, величину /+1/2 на |т|. находим энергетический спектр частицы в двумерном поле “р)=—а/р:

E% I m I = - 2/(% +高+1/2T・ ⑶

Из выражения (3) видно, что в рассматриваемом поле, как и в кулоновском, имеет место случайное вырождение, так 216

как энергия зависит только от комбинации %+ |加]квантовых чисел лр и т. Если ввести квантовое число N = %+ |т| +1 (являющееся еналогом главного квантового числа n = nr 4~ / + + 1 в кулоновском поле)» то выражение (3) можно записать в виде

% = - 2肝彦"2)1，N=1.2,…(4)

Энергетический уровень En имеет» очевидно, следующую кратность вырождения:

g(")=l + £ 2=2N-LJ m 1—1

4-14. Так как приведенные функции имеют много общего с в. ф. основного 户 гояння — отвечают значению 加=0 н не имеют нулей на интервале 0 V р V а,—то следует ожидать, что среднее значение энергии частицы в уназанннх состояниях бу* дет достаточно близким к энергии основного состояния, являясь для нее верхним пределом.

В, ф. нормирована на единицу при |Д|2 «в/ла4. Имеем!

了匸朋= _^W(p)击嗚 р 弥屮(p)]2“pdp =0.,击"明如=器・

Так как в. ф. при р > о равна тождественно иулю, а 6еско・ нечво глубокую яму можно рассматривать как предел ямы ко・ нечной глубины, то {/(р) = 0. Таким образом» находим

氏埔 E%i e・q — E = ~^^ •(0

IВ「2= (п2 — 4)а5/2л — из нормировки в. ф. В результате получаем:

晒=。，/=試亡驾 备.白*后=了上2,92备.(2)

Приближенные значения (1) и (2) для энергии £。основного состояния частицы следует сравнить с точным значением 氏=2,88 ^р согласно 4.8.

4.15. По условию задачи в. ф. состояния частицы с квантовыми числами Пр —0, т = ±1 предлагается аппроксимировать функцией внна

%. ±1 = Ср (о — р) ехр (± 始.(1)

Эта функция имеет много общего с точной в.ф.: правильное поведение при р—0, отсутствие нуле負 у радиальной части на

217

интервале О V рМ g, выполнение граничного условия при р = о. Поэтому можно ожидать, что среднее значение энергии частицы в указанном состоянии будет близким к точному значению Eot энергии первого возбужденного состояния с |加|= 1, в соответствии с идеями вариационного метода (следует напомнить» что в.ф. состояний с |m|= 1 ортогональны в.ф., отвечающим т = 0).

Нормировка в.ф. (1) на единицу дает |。俨=30/兀。6. Далее, 7=一量“屮“侍备р击+表毋)切如面=

_ TU［哥"今吗dp受7备

Так как U (р) = 0» то в качестве приближенного значения энергии Ес】 (в рамках простейшего варианта вариационного ме・ тода) получаем

Еи»Е = Г = 7,50-^г,

九，

что следует сравнить с точным значением Е(и =7.33^г соглас- во 4.8.

4・16・ Указанная в условии задачи функция нормирована на единицу при |С］2 = 2а2/л. Простые вычисления дают

/н 备 О* 屮(P)|&PdP =等.

加=粤=4丁%。)=「+0=甯+ ］今.

Минимизируя величину £(а) по а, находим в соответствии с основной идеей вариационного метода приближенное значение для энергии основного состояния:

氏 к min £ (а) = “3/2 As = 1,22Л(о.

Точное значение £0=Л®.

4*17. Функция Грина удовлетворяет уравнению у V-2p£/ft2 > 0)

(1)(1)—若(А—吟％3 Р')=6(р —р)

(1)

(1)

Вводя переменную р = р — р，и учитывая, что А『=纯 /так как А = д^/д^ + д2/ду2), запишем уравнение (1) в виде

费代一炉)G8 = 6G).费代一炉)G8 = 6G).⑵⑵

费代一炉)G8 = 6G).

费代一炉)G8 = 6G).

⑵

⑵

Из (2) следует, что функция Грина в переменных р, р，не зависит от р，и, как легко сообразить, имея в виду аксиальную 818

симметрию уравнения (2), является функцией только величины р = ]р — pz|. Решение уравнения (2) при р*0 имеет вид

Ge(0) = G/oG0) + C2Ko(X0・

Условие убивания функции Грина при р —8 дает С] = 0« Для определения G проинтегрируем обе части уравнения (2) по кругу малого радиуса е с центром в точке 0 = 0. При этом в правой части получаем единицу. Интегрирование второго слагаемого в левой части уравнения дает нуль при е —0. Интеграл же от первого слагаемого преобразуем с помощью теоремы Остроградского — Гаусса:

Jag d展 §VG dS・

В двумерном случае dV = dS, dS = dl н n 由 *)・ Так как при х—0 Kq(x)q 1п2Д, то VKoQp) — —р/р2 при р—0, и в результате интегрирования получаем ^-С2= 1, так что окончательное выражение для функции Грина имеет вид

Gr(Р, Р') = НК。仅 IР——р'I)/九肥.

Зависимость функции Грина только от ]р —р'| является отражением однородности н изотропности пространства (в данном случае — плоскости) для свободных частиц.

Рассмотрение, совершенно аналогичное проведенному в предыдущей задаче, приводит к следуюшему виду функций Грина:

偿(Р, p)=±i养邯•药(х|р —VI), х=л^^>0,

где Н^ ^ (х) — функции Ганкеля.

4・19. Функция Грина удовлетворяет уравнению (х= =征2/£/力 2)

—备(专 +。) @(Ф» <Н =。@ — <)•(*)

Из соображений симметрии очевидно, что Ge является функцией вида Gf= GM|q —<р'|), н из уравнения (1) при ©孑■ следует

СЕ—С cos [x|q> — <р‘ I+可.

Значение С =，庐;也 а вытекает из условия сшивания фум* цин Ge в точке <р = <р' (сравнить с решением задачи 2.36), а

#)Обращаем вниманне на то, что орт п — орт «внешней нормали» — перпендикулярен контуру интегрвровянин1 В данной задаче

dl = и d/ = Е р dq = р d@(р = е).

величина а находится из условия равенства функции Грина н ее производноП в точках <р — q>' = 士几，соответствующих одной и той же точке пространства •), и равна а = —хл.

、 Таким образом, функция Грина имеет вид

Ue = 粉 sin—

Функция Грина Ge имеет полюсы в точках х = ±т (т — Целые числа, гп = 0, 1, 2, ...), т. е. в точках Ет = й2т2/2/ пло- скости переменной Е, так что положения полюсов совпадают со значениями энергетических уровней ротатора.

Если с. ф. гамильтониана частицы в центральном поле представить в виде 4;„^ = ^ri (г) Ylm (6, @)/г, то энергетические уровни Еп/ и радиальная часть 灭门丿 в. ф. определяются из ре・ шения уравнения

蚩[一白十‘""十字"U⑺]R、i = E/iRnj(0

с граничными условиями /?з(0)= 0 и 凡川 3J= 0.

Уравнение (1) имеет вид, совершенно аналогичный одномерному у. IR в поле

0(» =0(» =U(a + M(/+l)/2.2,8,U(a + M(/+l)/2.2,8,*>0, х <0.*>0, х <0.

0(» =

0(» =

U(a + M(/+l)/2.2,

8,

U(a + M(/+l)/2.2,

8,

*>0, х <0.

*>0, х <0.

и согласно так называемой осцилляционной теореме, гласящей, что в одномерном случае с. ф. гамильтоииана, отвечающая N-му уровню (в порядке возрастания энергии), имеет N—1 нулей (не считая нулей при х->-]-оо； если движение частицы ограничено непроницаемой стенкой, так что в. ф. равна нулю «на стенке》, то такой «нуль» также не учитывается), можно утверждать, что Enri при фиксированном / с ростом % возрастает, причем самому нижнему уровню (при данном Z) отвечает значение Лг = 0.

Рассматривая формально Е。丿 при данном ", как функцию параметра Z, изменяющегося непрерывно (так что непо- П)едствеиный физический смысл — значения энергетического уровня — эта функция имеет лишь в точках, отвечающих зна・ чеиням / = 0, 1, 2,・・・), на основании результата задачи 1.28, примененного к уравнению ⑴.имеем

dEnrddl =。砲=庐⑵—1)/2財 * > 0,

что м доказывает возрастание величины Enri с ростом I (при фиксированном значении л,).

с) Двукратно вырожденных уровней быть не может (подчеркнем, что речь идет о бесспиновых частицах).

Так как квантовые числа основного уровня 九/ = 0, Z = 0t то у первого возбужденного уровня, согласно предыдущей задаче, могут быть только следующие квантовые числа: либо 〃,=1,，= 0 (при этом уровень является невырожденным), либо Л/ « 0, / = 1 (уровень трехкратно вырожден). Конкретное значение инантовых чисел гервого возбужденного состояния зависит от внда поля (/(，)・ Наконец» при наличии случайного вырождения может оказаться, что величины Е^- при указанных рыше значениях & н ! совпадают. В этом случае будет иметь место 4-кратаое вырождение уровня. Никвких других значений (кроме полученных выше 1, 3, 4) кратность вырождения первого возбужденного уровня принимать не может.

Энергетическому уровню частицы в центральном поле с кратностью вырождения q = 7 соответствуют состояния ”а・ стнз с определенным вначением момента / = 3.

Если g = 9. то могут быть две возможности: либо данному уровню Отвечают состояния частицы с определенным значением 7=4 момента и уровень является четным, либо — при случайном вырождении — этому уровню соответствуют значения момента частицы, равные Z = 0, 1, 2 (и уровень не имеет спреде^ ленной четности). Последний случай реализуется, например, в кулоновском поле.

4・22・ а) Учитывая результат задачи 4.20 о характере изменения Еп， с ростом I, легко сообразить, что, независимо от конкретного вида поля U(，), в N-м состоянии д. с. значение момента частицы не может превышать /mx = N— 1 (причем если / == Ьах, 70 Пг ^ 0).

Максимально возможное значение кратности вырождения уровня получается в том случае, если этому уровню соответствуют состояния частицы со значениями момента от / = 0 до 1=Im = N— 1, н равно

NTg血(河=£»⑵+D = №NTg血(河=£»⑵+D = №

NT

g血(河=£»⑵+D = №

NT

g血(河=£»⑵+D = №

(отметим, что уровни с одинаковыми значением 刀，(или Z) й различными / (лг), очевидно» вырожденными быть не могут).

Полученное значение (1) для gmax(N) реализуется в куло* невском поле притяжения.

Отметим, что если для' некоторого N величина g(N) принимает максимально возможное значение, то для N < N величин на g(W) также принимаетг максимально возможное значение (1) с N」9・ Прн этом для данных значений 〃 н Z однозначно определяется квантовое число 〃『 = & — /——1.、

Используя соображения, высказанные при решении задачи 4.5 о плоском осцилляторе» легко лаходнм решение в виде

&м (%,劣 z) = ^Г(х)年乂®)W> ⑵；

解i, Л^,人3 = °> L 2» .. "(1)

En=A(MN + 3/2),扭=为十勿 + "3, N=6, 1, 2, •••

Кратность вырождения Мго уровня {основному состоянию Отвечает значение W —0) равна

вм=£ с—勾+1)= ■十屮“士а.(2)

Поле / = ЛгУ2 является центральным, поэтому энергетические уровни н с. ф. гамильтониана можно классифициро* рать с помощью квантовых чисел nr, L т (см. также следующую задачу). Основному состоянию отвечают квантовые числа & = 』0, / =0 (действительно, в. ф. 4foоо предыдущей задачи не ^мЗет нулей н является сферически симметричной, т. е. отвечает Z = 0)л

Возможнее значения квантовых чисел первого возбужден- роЛ уровня следующие (в сковах указано значение 1фатпо- стн вырождения уровня при соответствующих квантовых Числах):

4=1. 1=0 依==1)； 也=0, !=1 3 = 3).

Так как согласно предыдущей задаче для осциллятора т:р.и W = 1 (первый возбужденный уровень) кратность вырождения равна G =骂，牙о немедленно заключаем, что этому уровню отвечает значекяе «момента J = 1 (кваитовые числа уровня % = О, И)・

При квантовых числах п, =0, 2=0 основного и nz = 0, 1=1 первого возбужденного состояний возможны только следующие квантовые числа у второго возбужденного уровия:

%=1, 1=0 Q=l)； «г=0. / = 2 Q=5)(1)

(см. 4.20). Так как у осциллятора G = 6 при N=2, то согласно (1) такое значение G можно получить единственным способом —в случае равенства энергий En =i. i・o = Ео. 2» соответствующего 《случайному》вырождению уровней.

Учитывая установленные выше квантовые числа осциллятора при W = 0, L 2, находим возможные значения &. I при W = 3:・*»

%=©, 2H3 (g=7)；勿=1, 1=1 (gn3); nr = 2,

E = 0匕=D⑵

Так как G(N = 3) = 10f то согласно (2) уровню осциллятора с N = 3 отвечают квантовые ч-исла % = G,，= 3 期 勿= I,」=1“

Классификацию произвольного осциллятора по значениям квантовых

энергетического уровня чисел П/, / см. в следуюэнергетического уровня чисел П/, / см. в следующей задаче.

энергетического уровня чисел П/, / см. в следую

энергетического уровня чисел П/, / см. в следую

Учитывая явный вид в.ф.

中产④=(2%向而)-%一科%1式灯唸

н выражения для полиномов Эрмита 仇=1.仇=4炉一& легко найти для N = 2 Ьсзмрв функцию *=® (являющуюся сферически симметричной):

屮，.。=% (』+中w+ « =片电/ё"％ •

4k25. Представив с. ф. гаикльтонианэ в ввде 电.丿抽=

=%/(，)匕m(0, ф); имеем уравнение

｛备十9/+翁上-中一圖】加⑺=。■⑴

Вводя новую переменную л= V*Kr7^t преобразуем (I)

к виду

｛造卡田[羲-叱Т1｝3，⑵

Решение уравдения ⑦ «^^ 乱碑№

丑=e-鸣"З.⑶

Для функции w М3 ⑵ М ⑶ следует уравнение

，芸+(1十9-"需十(豪-9-弓"=°.

Так как при г —0 (при этом х-*0) в. ф. R? должна иметь вид R^r1^ j^r то ©-^const npir х—D и решение уравнения (司 следует выбрать в видеwM = Cf (- Е/2Л® +1)2 + 3/4, 1 + 3/2, *)>Так как при г —0 (при этом х-*0) в. ф. R? должна иметь вид R^r1^ j^r то ©-^const npir х—D и решение уравнения (司 следует выбрать в видеwM = Cf (- Е/2Л® +1)2 + 3/4, 1 + 3/2, *)>где F(a, 0,幻一вырожденная гипергеометрическая функция. •

Так как при г —0 (при этом х-*0) в. ф. R? должна иметь вид R^r1^ j^r то ©-^const npir х—D и решение уравнения (司 следует выбрать в виде

wM = Cf (- Е/2Л® +1)2 + 3/4, 1 + 3/2, *)>

Так как при г —0 (при этом х-*0) в. ф. R? должна иметь вид R^r1^ j^r то ©-^const npir х—D и решение уравнения (司 следует выбрать в виде

wM = Cf (- Е/2Л® +1)2 + 3/4, 1 + 3/2, *)>

Для того чтобы радиальная в.ф- (3) убывала при г->-оо, необходимо, чтобы гпгергеаметряческая функция (5) свелась к полиному (иначе Foo с* при *一-卜8 и Rse”？ расходится ^рк %, г->-оо)

Функция (5) сводится к полиному прв выполнении условия 一 El2hs+1/2+ 3]4 = - %, %=0» 1, Z ・・•，(6)

определяющего эмерретическнй спектр частшш- £a=•a+%+3/2)三痴(ЛГ+/2),抵=2%+1 = 0,上2,

В. ф., отвечаюшие энергетическому уровню (7), имеют вид

^nfim = СИ ехр (— |i©r2/2ft) F (— nr> » + 3/2,肥严论)打.(8,屮).

Очевидно, что данному значению N соответствуют состояния частицы с моментом /, равным l — N9 N —2,…Кратность вн、 рождения уровня равна

gw)= х ⑵+1)=屮山 “MN-2 …

в согласии с результатом задачи 4.23.

Так как возможные значения момента частицы в состояниях, отвечающих данному значению N, отличаются друг от друга на величину, пратную 2, то энергетические уровни осциллятора имеют определенную четность, равную (—l)w.

4・26・ Простое вычисление (при этом удобно использовать соотношения задачи 1.9) дает [Я, 7次]=0. В то же время операторы Тт не коммутируют с оператором F. Так,

[罵 f»J =(%g色 + 2)(P加 一 a-)-

一(?f6 + 6)(隹/D-aР) # °-

Из коммутативности операторов I2 и 加 с гамильтонианом и их взаимной некоммутативности следует, на основании результата задачи 1.29, наличие в спектре гамильтониана «слу* чайного» вырождения. Как известно (см. предыдущую задачу), случайное вырождение уровней осциллятора обладает тем свойством, что вырождены уровни E%i с различными значениями / одинаковой четности (либо I четные, либо нечетные). Это обстоятельство является следствием того факта, что операторы 7/攵 ие коммутирующие с 車,коммутируют с оператором отражения f так что уровни осциллятора имеют определенную четность (сравнить со случайным вырождением в кулоновском поле, обсуждаемым в следующей задаче).

Естественно в соответствие А поставить эрмитов вектор。 ный оператор

kи会｛[而T砲｝-子.

Простое (хотя и несколько утомительное) вычисление дает [[/?,А] = 0・ Однако компоненты оператора А не коммутируют с Р. Это очевидно и без вычислений: если бы было [吟 А] = °・ то существовала бы полная система с. ф. оператора R и одной из компонент оператора А; эти функции были бы также сф・ оператора отражения (имели бы определенную четность) г ко этого не может быть, так как операторы А и 7 не коммутируют (онн антикоммутируют). Коммутативность операторов отраже-

tf^i / и компонент* А с гамильтонианом и ях взаимная яеко*шу- тггивность объясняют (или, точнее» помогают понять) случайное вырождение уровней частицы в кулоновском поле и свойство дтого случайного вырождения, состоящее в том, что энергетические уровни не имеют определенной четности (сравнять со случайным вырождением уровней осциллятора).

Учитывая вид нормированной в. ф. основного срстоядм

Wo (И =(兀叫一 "2 ехр (— r/a), а = A^Z^x, находнм

尸П,日%卩在=含卜техр(一字)*dQ = l^居『

4・29・ Искомый потенциал представляет электростатические потенциал 屮(，)системы, характеризуемой объемной плотностью наряда вида •'

P(g/r) —е%(", (1)

где W。—в. ф. основного состояния электрона в атоме водорода (она приведена в предыдущей задаче» Z = 1)・ Первое слагаемое в (I) описывает плотность заряда, связанную с наличием протона, второе представляет объемную плотность заряда электронного <облака>.

Найдем ф(г), используя общее решение уравнения Пуас- сона, 1(звестноЁ из* электростатики:

(2)(2)*)N僧т"="4卷丼叱

(2)

(2)

Используя формулы

8

г£Р/(соз0)(г7г)\ 〃<，,

£5

LILIоо

LI

LI

；XR(co$©)(/7力)产〉г.

/-0

где 0 —угол между векторами г и г[ выполним интегрпрование в формуле (2), используя сфервческую систему координат с полярной осью z вдоль вектора г. При интегрировании по углу 6 из》мм, входящих в (3), остается только первое слагаемое с /=0 (из-за ортогональности полиномов Лежандра), и (2) прн・ нимает вид

,&}=7-^{гЙ гг/а('?^ + $ e-^dr^.⑷

Выполняя интегрироваяие в (4), находим

9(，) =е (J +：) е-吸(6)

В，№ Галвакнй ■ др、痴

Предельные с^учаи> -

@T)Q%@T)Q%中《'} &捺 6-2r'"， ，f 8中《'} &捺 6-2r'"， ，f 8r->G (кулбновскбе поле протона)；

@T)Q%

@T)Q%

中《'} &捺 6-2r'"， ，f 8

中《'} &捺 6-2r'"， ，f 8

(практически полная экранировка протона электроном).

4.30. Искомое среднее электрическое поле представляет электростатическое поле системы, характеризуемой объемной плот* ностью заряда

р(г) = еб(г) — е I 屮210 (г) F.

Me 屮21"，, в, д) = V^^，cos8e-m —в・4)・ 2р-состоянйя эле* ктрона (п = 2> /= 1) в атоме водорода с /л = 0, а — боровский радиус.

• Как известно из электростатики, поле системы зарядов на больвю)г расстояния представляется в виде ряда поле^ мульти- полеА. Так как рассматриваемая сктема имеет равные нулю суммарный заряд * дипольным момент (см” напрвмер, 12% тс коле сшгвемн на больших раестаяниял будет полем квадруполя.

Компоненты тензора квадрупольного момента

0m н J Р (3*М —，飞浦 d V = — е У Wao F 产{Зл/ц — 3 衣⑥

«легко найти, если написать cos20=п^^п^ и учесть

так чтотак что，tlinbninmdQ =箒 ^ik^im，tlinbninmdQ =箒 ^ik^im+ M j&m + ^bffi^f+ M j&m + ^bffi^f(I)(I)% H - 1如2 (阿3妬-6係),% H - 1如2 (阿3妬-6係),

так что

так что

，tlinbninmdQ =箒 ^ik^im

，tlinbninmdQ =箒 ^ik^im

+ M j&m + ^bffi^f

+ M j&m + ^bffi^f

(I)

(I)

% H - 1如2 (阿3妬-6係),

% H - 1如2 (阿3妬-6係),

т. е. тензор имеет диагональный вид н его отличные от нуля ком- гбченты равны

.小==—2% = — 2%= — 24е/ < 0.

Электростатический потенциал <р(г) и электрическое поле Е(・) иа^еедятся теперь ио известным формулам элеитростатики.

4.31. Среднее значенье нэгфяженисюти электрического поля на болыоих расстостиях от атома, согласие 4.29. равно

(1)(1)豆例=—W (Я> R 芻 ехр (- 2R/a),

(1)

(1)

т. e. экспоненциальио убывает с увеличением расстояния.Электрическое пвле E(R), создаваемое протоном, находящимся в начале кеординат» н элеетронсм в точке г, равно (R »，)，т. e. экспоненциальио убывает с увеличением расстояния.Электрическое пвле E(R), создаваемое протоном, находящимся в начале кеординат» н элеетронсм в точке г, равно (R »，)，E(R)="^fE(R)="^f。供一叫=。供一叫=“■ — 3N，d№"“■ — 3N，d№"

т. e. экспоненциальио убывает с увеличением расстояния.

Электрическое пвле E(R), создаваемое протоном, находящимся в начале кеординат» н элеетронсм в точке г, равно (R »，)，

т. e. экспоненциальио убывает с увеличением расстояния.

Электрическое пвле E(R), создаваемое протоном, находящимся в начале кеординат» н элеетронсм в точке г, равно (R »，)，

E(R)="^f

E(R)="^f

。供一叫=

。供一叫=

“■ — 3N，d№"

“■ — 3N，d№"

гле п=г/П N = W&

Используя «редставлеиие (2) для £t(R» я усредняя выражение Е(£* по различным иоложекиям электрона в просгран- стве, характеризующимся функцией распределения dw = = |Wooo(，“MV (Wwo — в. ф. основного состояния электрона в атоме водорода), находим

瓦而瓦画=畐，I ^(б?г^3^пМ^^

=穿8绕+ 3M"a)・(3)

Сравнение (1) н (3) показывает, что, хотя среднее поле убывает с увеляченжем расстояния экспоненциально, флуктуационные значения электрического поля, имеющие порядок ве* лмчинъ! “£2国),убывают лишь по степенному закону 8 汗々.

4；32・ Квантование в параболических координатах язложеио, например, в книге [3]. Норлгиреваинне в.©, стационарных состояний д. с. в параболических координатах

Е二，+n, ^~r — z, <p = arctg(^/x) имеют вид (в этой задаче мы используем атомные единицы е =九=р = 1)

&М (^- IЬ ^^^ ам 阳啦5 (制会，

где fnm(x) =高 "("TWexp (一专"向竹(一%I /h I + 1,现 n = (n(4-л2 + |т|+ 1) — главное квантовое число.

В. ф. рассматриваемого состояния, относящегося к первому возбужденному уровню (〃 =2}, имеет вид

+Q=}ka-")exp(-中).(1)

Для нахождения функции распределения по координате z электрона уЛобно перейти от переменных 三，q g к цилиндрическим р. г, <р и проинтегрировать по плоскости, перпендикуляр* ной оси z:

со2Л

w(z)dz = dz J , |W】ooFprfpd(p = о о

=等亢]-必亨业卜*“=

0

=字也屮)，+印jzl+DTzj5}dz.⑵

8*W

тиб«и натожлейия элек^рбй»тиб«и натожлейия элек^рбй».■€ пем<ущъю *(2) «аходим 射0时乂 в полупространствах z》0 и z<

тиб«и натожлейия элек^рбй»

тиб«и натожлейия элек^рбй»

8

步Q》0)』，初Q)&r7/8, /QWS=l/& о

а также 2 и средний дипольный момент атома:

2 = 3,瓦=%=0,疋=-3=-3 ат. ел.=-3g好仇

Записав в. ф. (I) в виде

*L指(一屮М(-〃 2)

И учтя явный вид в. ф_ ^trn электрона в атоме водорода, легко найти, что в рассматриваемом состоянии момент зле^ трона может принимать два значения / = 0; 1 с одинаковой вероятностью TF (/ = 0) = IF (/ = 1) = 1/2.一

4.33・ Представив в・ ф. в виде ^nrim=Yim (6. <Р)%nrt ^Ыг» находим из у. IU.

• ◊+；打+[%，一屮:к，=。 (%尸学)

с Граничны № условиями ^^=^1(^ = ^ радиальную в. ф.

н энергетические уровни частицы:

欣吃Н."%*)=0.抽(%尸)，e“ =-亚-> %*=%产.r

где ал2 > 0 — п-й корень (в порядке возрастания» не считая нуля при *=0) функции Бесселя 厶+1找(耳 Т. ё.乙+1找94)=0，

В частности, основному состоянию (% = 0, 2 = 0) соответствует значение аю=л (九2(力="-~sinx)k

'4・34・ Представив в. ф. в виде 屮“加二丫座“/乃，находим из у- Ш. (Е^ = 一 方2%«1/2» < 0)

功+ %+[%«+翠 3D-U5

радиальную в. ф・

Y (г}Цс^2М^ '<&(1)

Условия сшивания функции (1) в точке г = а (совершенно аналогичные условна сшивания в случае одномерного « фун^

ционного потенциала, установленным в 2J0) приводят к соотношению

%Ц2(Г网 Кз及 g戸)=~^~.⑵

определяющему энергетический спектр частицы (сравнить с 4.11).

В задаче 4.11 отмечалось, что функция F“G)=/“*)&“■ на полуоси % N 0 является монотонно убывающей функцией причем при хтоо эта функция стремится к нулю, а ори *f 6 принимает максимальное значение, равное Fv(0)= l/2v (v>0). Поэтому уравнение (2) при фиксированном значении I имеет либо один корень, если ^аа/白& > I + 1 /2, либо вообще ие имеет корней, если указанное условие не выполняется. Таким обра， зом. условие маа/力*>1+1/2 является условием существования состояний д. с. с моментом 1.

Очевидно, что число уровней N дискретного спектра частицы в рассматриваемо м поле определяется условием

раа/Й2 - 1/2 V N < .叱/朋+ 1/2.

4・85. Если в. ф. ^s для стационарных «-состояний (£ = 0) частицы представить в виде 屮.а=/?%(，)" и сделать замену переменной х = ехр(—"2а), то у. Ш. принимает вид

£&『+；£&> + 卜 _ W]&, = 0.⑴

где

-^- >0, p=V——s^—>0■

Решение уравнения (1) имеет вид

/?Лг=С|/р(м + с2/-д(м

(7р(х) — функция Весселя). Так как при，f оо (при этом *f 0) в. ф. W“,oo должна обращаться в нуль, то необходимо выбрать 02=0. При этом требование ограниченности в. ф. в точке ，= 0 приводит к условию

/р(3) = 0, ИЯЙ ^ASS^G/^JnO. ⑵ определяющему энергетический спектр «-состояний частицы.

Так как положение на оси к ifepBoro нуля функции Бессели /р(л) с ростом р смещается вправо (р》0. ж > 0; нуль при 尤=0 исключается нз рассмотрения) и минимальное значение, равное 司 а 2,40, имеет первый нуль функции Бесселя с индексом р=0: /о(Х1)=0» то условие существования в рассматриваемом поле s-состояний д. с. (а тем самым и состояний л・а

2»

вообще)：имеет w^-- ■

2д2"

"> 詛' * 0/2 育.(3)

Учитывая, что новые состояния д. с., появляющиеся по мере углубления ямы, имеют малую энергию' связи (в условиях, ко， гда у ревень только появился), из формулы (2) получаем значе* нмх параметров ямы, отвечающие появлению в ней N・to ・s-co， {ГГОЯННЯ д. с.:

；г/8/%收

丿=a 5=丽一(4)

где *n — №屯 корень функции 无仇)・ В частности» при "》1. используя асимптотическое представление функции 7©(х), нахо- дим

xN к 靠"一л/4.(5)

Соответствен。число ^-состояний д. с. для частицы в глубокой яме определяется условием

--"端5"千m…,

Если представить в. ф. в виде 屮.,8=欠.,(，)必 то 「Ш. для функции R. и граничное условие А,(0) = 0 имеют точно такой же вид, как в случае одномерного двнження. Поэтому» как легко сообразить,

3% ^г^=^^-

Учитывая установленное соответствие и результат задачи 2.20, находим, что условие существования в указанном поле s-состояний д. с. (а тем самым и состояний дискретного спектра вообще) имеет вид 卩炉仇/然 > #/8・

При，f 8 в.ф.屮ел(，Т имеет, вообще говоря, поведение вида Woo -► const (что соответствует поведению в. ф. 里£』s” при х —оо в одномерном случае, см. 218). Однако если параметры поля выбраны таким образом, что при малеА- шем углубления в поле появляется новое (или первое, если состояния д. с. отсутствовали) состояние дс., то в. ф. при таких значениях параметров поля имеет при，—со вид %о(，)а а/г (отметнм, что для справедлявостн высказанных утверждений требуется достаточно быстрое убывание потенциала при г—8】 он должен убывать быстрее, чем L).

Для указанного потенциала у.ill. при Е = 0 н /=0 имеет вид

&"斗銀 R = 0(a<r<w)(1)

砌

理<» = R《，)/r)・ Решение уравнения (V) следующим образом выражается через цилиндрические функции (12J：

R(，)=G 被厶(Pr-'H + G " 乂伽-g),(2)

w

■ = n 丄£>。, P = 2v 通"t/尸.

Первое слагаемое в (2) при , —8 принимает постоянное значение^ а второе расходится пропорционально г. Поэтому определение параметров поля, соответствующих появлению новых «-состояний 工 с, требует выбора Са = 0. При этом граничное условие R(〃)= 0 в неявном виде определяет искомые значения параметров потенциала：

厶(啟Т8) = 0・(3)

Наименьшее значение корня функции Бесселя в (3) определяет параметры потенциала, при которых появляется первое s-состояние д. с. (а тем самым и первое состояние д. с. вообще)^ В частности, при п = 3 имеем v = I и» учитывая значение xi = =3乃3 первого корня фуккции 」i(x) (не считая * = 0}. нахо・ дим условие существования состояний д・С в поле рассматриваемого вида прн м = 3:

ра/ай2>х?/8«1,83.

Обозначим через £Я(Л) энергию л-го уровня в поле вида и(О=и(г)+ми ⑺.

На основании результата задачи 1.28 имеем 蹴匸(翳…… н утверждение задачи очевидно, так как £я = £л(Л = 0), Еп = = &(%=〕)(знак равенства в установленном соотношении реализуется только при 3U 曰 0).

Как известно (см~ нанрнмвр» [3]), в поле U ^ —。俨 при цех V 九2/8 состояния д. с отсутствуют, а при ра > Й2/8 имеет место падение частицы на центр поля.

Так как —Uo/sh2(r/a)> —Uoa^/r2, то, согласно предыдущей задаче, можно утверждать, что при условии 卩炉仇 < ft2/8 в рассматриваемом поле отсутствуют состояния д.с, В случае же 卩。£仇 > 冊/8 имеет место падение частицы на центр пол儿 так как при г—0 имеем U(r)= — 4炉"[8 условие падения определяется лишь поведением потенциала на малых расстояниях г-> 0.

Рассмотрение, аналогичное проведенному при решений задачи 222, приводит к следующему (феднему значению;

4лж* да ~ Вла8 伫〃卢

期

4Л1. Имея в виду общие соображеййя о простейших вариз- Нмонннх расчетах энергии основного состояния частицы, высказанные при решении задачи 2.27, находим:,

а) |С|2 = (2繕/翼产2 — из ус^бвня нормировки пробной в. ф~ 了匚罢 T”WFdV=等,

U=—9 = —а，JlWFdV = — Д^— ах.

Минимизируя значение E(^—T + U по х. > аходим

(自U> = mln丽)一一泰礬比一0,42暮.(1)

'5 1^=^. T，』T・⑵

闯皿=T带-- 0>31時.

Значения (J), (2) величины (fo)вар, по смыслу вычислений, представляют приближенное значение Ео энергии основного состояния частицы в кулоновском поле. Точное значение &』 ==—ga2/2A2.

Так как вариационный расчет энерши основного состояния всегда приводит к несколько завышенному значению 瓦 (&W(&)sap), то с самого навала，даже не зная точного значения £о. можно было утверждать» что значение (i) более близко к точному, чем (2).

о) |С|2 = ав/л — из условия нормировки пробной в. ф.9

f=ft2a72p» U=3h]2*

(I)⑵(I)⑵(岡)sp = min Е (а) = V^ As * 】,73。叫 ，)6=盛，"器.d=粤，

(I)

⑵

(I)

⑵

(£o)8ap =2 min Е (о) = 2 д/^ А® * 1,69方通

Результаты (1), (2) простейшего вариационного расчета энергии основного состояния осциллятора следует сравнить с точным значением 瓦=3九(о/2 (см_, например, 4.23)・

Указанная пробная функция описывает состояние частицы с моментом /= I. Она, как и точная в. ф. состояния с Лг = 0, 1 = 1, имеет требуемое поведение при，—0 (屮sr'), н ее радиальная часть ие имеет нулей. Поэтому можно ожидать» что среднее значение энергии частицы после минимизации по вариационному параметру х будет достаточно близким к точ* ному значению Ел^, |.ь Вычисляя интегралы в сферических 234

координатах и учитывая соотношение

［为/公=手6m,

после довольно простых расчетов находим:

|а? = 8"Ь，2/лЗ 一 ms Условия пормировки пробной в.巾

7=；T皿卩村=且竺，/7=_=__ 4辺з

⑴⑴丽一瑞将=-0，113罟.丽一瑞将=-0，113罟.(&【％“ = min(&【％“ = min却г 3*T ^

⑴

⑴

丽一瑞将=-0，113罟.

丽一瑞将=-0，113罟.

(&【％“ = min

(&【％“ = min

Последний результат следует сравнить с точным значением Рас：］7P*аемоА величины, равным —^/^ = —ОДЙбЗ/^ нахадим С У『м замечаний к решению предыдущей ^ачн

了一"依2万 156

(1)(1)(£ =(£ =(I)(I)l-丁. U=k

(1)

(1)

(£ =

(£ =

(I)

(I)

(与九” =min ^J='^ 痴=2,74 A®.

Точное значецие рассчитываемой энергии равно 5Лз/2・

Функция Грина удовлетворяет уравнению =-r%2/2 R V 0)

器(—А + 炉)&(г, Г) = 6(г — г)

Из соображений симметрии представляется очевидным, что она является функцией вида O£ = /(|r —rz|) (т. е. зависит только от |г — г'］)・ При этом функция /(г) удовлетворяет урав・ нению

(_A+Mf(,)B*5(r).(2)

Так как в сферических координатах А = Д, + А₽дг = --^ г, уравнение (2) при '#0 можно записать в виде名 W)f2(") = 0・

Его решение:

〃「)= ? с* + 今修(х> 0).

Условие убывания функции Грина при г — оо требует выбора С2=0, а соотношение △『=—4〃Ь(「)позволяет определить значение постоянной С| и окончательный вид 龟：

你，XX盛『?「(3)

С помощью функции Грияа у・Ш. для состояний д.с. можно- записать в виде интегрального уравнения:

+ (【)=-，砧亿 Tf)U^^}dVr^

=-盜^詳3；UgV(r')dV'⑷

(сравнить с решением задачи 236).

Применим уравнение (4) предыдущей задачи к в.ф・ основного состояния частицы (/ = 0) с Е。V0, считая, что такое состояние существует. Так как в. ф. ^(г) основного состояния сферически симметрична и не имеет нулей (так что, не ограничивая общности рассмотрения, ее можно считать неотрицательной, %〈，) Э&О), то в уравнении

七。⑺=如, ^^[- u-]%(/)dV'0)

подынтегральное выражение тоже является неотрицательным.

Обозначив через е значение г, при котором функция 4fo принимает максимальное значение, имеем из (I) неравенство

W"" < 喘&叩 ％М TF^B4 U(「')闻匕⑵

справедливое при любом значении переменной , (в том числе и при『=с).

Учитывая соотношение

которое получается интегрированием по углам разложения |г —У|т п0 полиномам Лежандра, приведенного в 4.29, нахо* дим из (2)

七係&翁j/MS",俐

и так как максимальное значение левой части этого соотноше^ ния равно I, то нз (3) непосредственно следует искомое нео6~ ходимое условие существования состояний дискретного спектра в поле U(，)・

Имея в виду связь энергетического спектра частицы в центральном поле со спектром в одномерном случае, установленную в 4.36, легко заметить, что результат данной задачи яв- ляется аналогом результата задачи 2.40 для одномерного движения.

Необходимое условие:史=rq'Uo/力*》1;

точное условие:Е > л2/8 ^ 1,24.

| = iia2UQ/h2 > 1/2 КЕ 妄0,72—точное условие).

4・47. Применим уравнение (4) задачи 4.45 к 践 ф. состояния д. с. с квантовыми числами 丸г='9 и произвольным /, считая, ЧТО такЬе состеяние. Существуй： Рассмотрим, для определенности, значение m = 0, так что в. ф. имеет вид

▽%-△，• >wi —R (cos 0) 〃(巾(1)

% исходное уравнение ^

~ (cos 6)力⑺=序］彳：二；［-U (/)1 吊(cos g 力- dK ⑵

Функция 力(г) в (1) не имеет нулей (йе считая нулей при г = 0, со), и, не ограничивая общности, ее можно считать »ео?. ркцательной» fj》0. Так как иас интересует условие существования состояннй д. с_ которые появляются по мере углубления ямы, а ■ условиях, когда уровень трлько появился, он имеет сколь угедно малую эв^гию связи» то. вме気 в виду именно такую ситуацию, можно в уравненнн (2) заменять ехр (—х I г — * I) единицей. Далее, используя разложение |『—г'|-| в ряд по полиномам Лежандра, приведенное при ре・ шешш задачи 4.29, и учитывая теорему сложения для полиномов Лежандра

В (cos у) = Р］ (cos 6) Р/ (созв7) +

+ £ 2》石；尸尸(cos ① PF (cos『)cos m 仰一g) ж*1

COS：V= СОв.6 €0S 6’ +，sg @ sin 3' COS位一8)

(у —угол между векторами г » 切；в правей части ур»вК・ НИЯ (2) можно выполнить интегрирование пе углам и подучить неравенство (сравнить с решением предыдущей задачи)*

8

厶("0^Г^,力&')|U(〃)|/dU(3)

Взяв в (3) значение г равным。при котором 方⑺、Прин申 мает максимальное значение» и вынося из-под знака интеграла функцию 力(/) в точке / = % (от чего неравенство (3J может только усвлнтъся), легко прнзодим к искомому услоюю

4・48・ Найдем среднее зпачецм sHqjrmr чмтацы в рассматриваемом СОСТОЯНИИ 4|С|2 = И8/л^ИЗ условия нормировки

пробной B・OJ:.亍=a、忤，D =пробной B・OJ:.亍=a、忤，D =M⑺宀dr,后=7+氏M⑺宀dr,后=7+氏

пробной B・OJ:.

亍=a、忤，D =

пробной B・OJ:.

亍=a、忤，D =

M⑺宀dr,后=7+氏

M⑺宀dr,后=7+氏

Так как &<Е (&一энергия основного состояния), то при Е W 0 в поле заведомо имеется хотя бы одно состояние д. с. Таким образом, если при каком-либо значении параметра х>0 выполнено неравенство

м，I uн［产6-版dr ＞桃%м，I uн［产6-版dr ＞桃%(В(В

м，I uн［产6-版dr ＞桃%

м，I uн［产6-版dr ＞桃%

(В

(В

то в поле имеется состояние д. с.

Очевидно, что оптимальным значением параметра х (при котором выполняется условие (I)) является такое, при котором выражение в левой части (I) как функция х принимает максимальное значение. Так что искомое достаточное условие существования состояний д. с. принимает вид

maxmax8 n\\U(r)\r^^dr8 n\\U(r)\r^^dr>fiw.>fiw.

max

max

8 n\\U(r)\r^^dr

8 n\\U(r)\r^^dr

>fiw.

>fiw.

а) Условие (2) принимает вид

состояний д. с.Ек = "4 а 0,68;金= 27/32 а 0,84;&=1・состояний д. с.Ек = "4 а 0,68;金= 27/32 а 0,84;&=1・тах^оха%-2^｝〉*. или Е="^*>,а°，68・ Точное условие существования состояний д. с: Е>0,5. б) Е = ^*^в >-55-» 0»84 — достаточное условие; £>0,72 —

состояний д. с.

Ек = "4 а 0,68;

金= 27/32 а 0,84;

&=1・

состояний д. с.

Ек = "4 а 0,68;

金= 27/32 а 0,84;

&=1・

точное условие существования 4・49・ а｝厶= 0.5; % = 0,6;

⑨ Еж =0.5； % ” 0,72;

8) % 00.5;%= 0,84;

Отметим, что» как и следовало ожидать, & W & < &•

Вычисления^ аналогичные проведенным при решении задачи 4.48, приводят к достаточному условию существования состояний д. с. вида £ = ц^и^> ^^ а 1,94・

Необходимое условие: Е N 1; точное условие (результат численного расчета на ЭВМ): &》1.34・

Достаточное условие существования хотя бы одного уровня энергии д. с. с моментом (= I имеет вид

max^Wir^^d^^max^Wir^^d^^(1)(1)

max^Wir^^d^^

max^Wir^^d^^

(1)

(1)

• Для потенциала Юкаш условие. (J) .принимает* вид-{^» ="оа/亢2 > 128/27 а 4,74. а необходимое уровне, согласно 4.47, Хает Е > 3/2.

4・5?・ В. ф. Ф0(р) основного состояния частицы в импульсном представлении имеет вид

6昨^4%⑺…""=

(. + 】—(a=古)，

Распределение ио импульсам частицы: dw(p) = |Фо(р) |W- 4.63. Нормированная в. ф. основнрго состояния частицы» согласно результату задачи 4.33, имеет &ид (п, = 0, 1 = 0)

…•%, в w("间,у &

ф. в импульсной представлении

■"p)=$,—小川=修［职歌,

определяет функцию распределения по импульсам частицы d吁 I ОМр) Fdp=—(嘉竺饰 dp.

У. Ш. в импульсном представлении имеет вид (см. задачу 2.33)

岩①(Р) +，0 (Р - 口 ①(Р。dp = BD (р),(1)

где

°(q)=(2^7 $ ^WexpWqr/Й)呷・

Для Д-функционного потенциала имеем

0(沪一蟲，3"a)eidV = -蕊一吗侬.(2) Подставив (2) в уравнение (1) и учтя, что для состояний с / = 0 в. ф. Ф(р) не зависит от угловых переменных, запишем его в виде•

仁—研①S)—丄仁(jyi) X

(卷 /W，兀炉J介+ - -2师-8人

'X ①齿严 sinOdCd万=0. (3)

Педеле элементарного интегрирования по угну © уравнение (3) принимает вид

ОО

图-e)бр)-蒜痴Ю，血匿2®，益=0•域о

Обозначив в уравнении (4)

8

卜1口(0心)① W)/d0=C,(5)

запишем его решеиие：

(6)(6)

(6)

(6)

Условие согласования выражений (5) и (6) прияодит к соотношению

8

4晔f 3蛆3但)一g

о

определяющему уровни энергии д. с- Е = —hb^f2^ V О.

Переписав соотношение (7) в виде

8

на ( l-ss3(/)/]

и вычисляя интеграл с помощью теоремы о вычетах (используя еще соотношение cosx = (e'* + ь")/2), находим

翠■([-£『 = "・翠■([-£『 = "・(9)(9)

翠■([-£『 = "・

翠■([-£『 = "・

(9)

(9)

Соотношение (9), определяющее энергетический спектр «-состояний д_ с., естественно, эквивалентно аналогичному условию (2) задачи 4.34 при 1 = 0, полученному лз решения у, Ш. в ко ординатном представлении.

Из соотношения (9) следует, что при E = pao/ft2> 1/2 в яме имеется одно «-состояние д.с., а при £ < 1/2 состояний д.С. нет (яма ие может «связать» частицу).

Решение данной задачи может быть получено в результате простых замен в формулах решения предыдущей задачи.

Для 9ToiX)достаточно учесть два обстоятельства.

Решение исходного уравнения — уравнения (1) предыдущей задачи — должно удовлетворять условию Ф(р) = 0 прй Р<Ро・ Поэтому формулы (3)—(5}, (7) предыдущей задачи сохраняют свою силу и в условиях данной задачи, если в них нижний предел интегрирования по переменной р (равный нулю) заменить на значение р° (при этом в. ф. имеет вид, приведенный в выражении (6) предыдущей задачи, лишь при р > р^

23s

2’ Смздняому состоянию (состоиимрд, с.) теперь отмщают зиачеиия энергии Истицы £<品=腐/2卩(а не £<0> как 6Мло в предыдущей задате)» так как именно величина £0 пред- Еавляет минимальное значение энергии «свободных» частиц^ Поэтому энергетические уровни д.с. вдствды определяются из уравнения

答i喋嘿dp=， ⑴

причем искомые значения Е должны удовлетворять условию Е <С Ео・

Легко заметить, что уравнение (I) при любых значениях п» раметров потенциала1 (ио, естественно, а> 0) имеет одно (и только одно) решение, так как левая часть уравнения (1) как функция переменной Ё монотонно возрастает с унеличением £ от значения, равного нулю, при £—>—со до значения +©о при 広—瓦(предполагается, что 夕。/ ллй/а)・

Для нахождения величины энергий с&язн частицы в =Eq~ —Ё> 0 в случае мелкой ямы Е = ца@/护《I замечаем, что при Е;0 нз уравнения (I) следует, что £->£(), е->0 (при е = =0 иотеграл в (1) расходится на нижнем пределе), в значение интеграла в (I) определяется областью значений 0> близких и нижнему пределу.

Таким образом, при £-> Сумеем

t與嘤Р仁sm『)f -^-^— 总一 M蛇段ln二

?P 一用+加 1力"^^f^+^2P04备

⑵

и из уравнения (1) при 七« I находим энергию связи частицы： е ~ &ехр {—笈叩/201 sin^fpoa/A)).(3)

Поскольку при вычислении интеграла (2) для е->0 мы огра* кичились лишь вычислением сингулярной (расходящейся) ча« сти интеграла, то формула (2) справедлива с точностью до некоторого постоянного (при е—0) слагаемого (которое мы не вычисляем). Поэтому в формуле (3) мы не пишем приближен* ного равенства, имея в виду, что для вычисления предэкснонен* циального множителя следовало бы провести более точное вн・ числение интеграла (2).

Отметим, что при Е—©• эвергня связи частицы стремится к нулю пс экспоненциальному закону: &〜£^ехр(—с/Е}・

Представив 耳.ф. стационарных состояний частицы а /=0 в виде 雑卜“т-s『凡(，肌 ГД。* = “2闽尤2, нолучаем для функции Ra уравнение

-理+警 6(，—а)№=А2/.(I)

• ：г Для .нахождения ивазндискредаых - уровней^следует'4 найти .такое решения уравнения . (1) t «вторые ^ при「—з имеют вад &*«)8ехр［丸，)(как известно, в такой постановке задачи решение сущестцгет лишь при некоторых комплексных значениях величины Л »=晶—妬，財с>0; при этом Е = Во — /Г/2. & — энергия уровня, Г = 2昭％%2，н—ег。ширина).

Решение уравнеияя (1), удовлетворяющее требуемым условиям, нмеет вид

,G sin (Ar), г < а,t С2ехр(/йг)р г>а.,G sin (Ar), г < а,t С2ехр(/йг)р г>а.&仍=

,G sin (Ar), г < а,t С2ехр(/йг)р г>а.

,G sin (Ar), г < а,t С2ехр(/йг)р г>а.

Условия сшивания в.ф. в точке ，=а (см. 2 10) приводят к соотношению

♦Аа — Ла ctg ka = <^^ ・(3)

определяющему спектр квазидискретных уровней (с / = 0)<

Из уравнения (3) в случае Е ^ на。/九乞》】следует» что значения величины ka для нижних уровней (таких, что ［丸а|《Е)： близки к (п+ 1)〃・ и. представив значения корней уравнения (3) в виде

总a==S+1)冗+物一他 5=0.L •••: |4.2|《1),

из (3) легко находим приближенные значения е. и в2:

Ei*Ei*(п4-1)я(п4-1)яе2« еJ»е2« еJ»S + 1尸 eS + 1尸 e

Ei*

Ei*

(п4-1)я

(п4-1)я

е2« еJ»

е2« еJ»

S + 1尸 e

S + 1尸 e

а с ними и энергию 月 квазидискретного уровня и его ширину Г:闯4^Ч・3 ге^^・

Энергии квазидискретных уровней близки к энергетическим уровням частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ра・ днуса а {см_ 4.33). При £->оо, когда потенциальный барьер становится непрозрачным для вд^тиц, квазидискретные уровни переходят в соответствующие уровни д. с.

Г^ава 6

СПИН

&1・ С- ф. W%= ( ； ) н с・ s・ $* оператора 6毒=6算/2 находятся из решений уравнения

b=2s寞а. а = 2^6.b=2s寞а. а = 2^6.⑴⑴§*%尸阮弘*; 1(1 :)(;)=/(:)=&(;)' откуда

b=2s寞а. а = 2^6.

b=2s寞а. а = 2^6.

⑴

⑴

ь^Негрнвяальчое решение снстеьш-уравнений (1) существует 7<мько при услрвни 4^ ==1, * определяющем -«озмжше «Мое- ння (спектр) величины 齢—±1/2・ Из (1｝晔關親：「—<вгжри *—i/2 н q=—b при s« = —l/2. Нормированные на едйнмцу |屮勺『н[а 卩 +16『=1 с. ф.明 имеют вид

弘尸№=&•（；）,弘尸№=&•（；）,"-L 春(-；)♦"-L 春(-；)♦

弘尸№=&•（；）,

弘尸№=&•（；）,

"-L 春(-；)♦

"-L 春(-；)♦

Аналогично находим

*.~+駆П金(：)•%广-駆=苏(J)，

里V+M2 =(：).里》--駆=(；)，

Оператор спина s = o/2 является оператором векторной (точнее, псевдовекториой) величины; поэтому оператор проек* Ш(н спияа Sn на произвольное направление n (n2 = 1) должен выражаться через операторы компонент спина 甫厶 翫,6彦 так ж% как и в случае обычного (неоператорного) вектора, т. е,

5n = ns=y по^у (sin6cos<p*dx + sinGslnqp- d^+cosG -d^)t

где 6, <р *^ полярный и азимутальный углы, олределяюшие направление вектора п. Используя явный вяд матриц Паули» оператор 嘉 можно представить в виде квадратной двухрядной матрицы:

4一丄/ COsB 81ns，2一"、

“2 \ sin6*er* —сзЗ 丿

Значение Sn в состоянии % с определенным значением & проекции спина на ось z при 齢=+1/2 равно

跳=/。)q談£广)(：)7З。■

Аналогично» при $名=—1/2 находим 負= —(cos 6) /2.

Отметим р что значение sn — sz cos 6 можно было -бы наши сать и без вычислений, основываясь на результате задачи 3.14.

Обозначим w(+) вероятность значения проекции Сшпш sn = 1/2, w(—) = 1 — w(+)—вероятность значения s” = —1/2, Учитывая, что £л = s名 cos 0, находим

sn =切(十卄 + w(T (―扌)=^-[2w(+) — 1] = % cos 6.

m+)=[+津婆二 叫一｝=1-尊续

В частности^ прн » = +1/2 имеем w (+)= cos2(B/2)# 切(—£= = sin2e(6/2).'

,53 Оператор имеет двачг. &, равные 九 2 = с 主5・

5・4. Так как проекция1 спкяа на любую ось принимвет лишь два вначшия, равные ±1/2, то квадрат проекции едина (на любую ось) в произвольном состоянии всегда имеет определенное значение 1/4.， .

Из эрмиторости оператора — матрицы £ = £+ следует £ = (；• ： )• где а, с—вещественные числа. Эта матрица £, как и всякий эрмитов оператор» унитарным преобразованием может быть приведена к диагональному виду £? = ( °’ ： ). где вещественные числа /1>2 — с. з. соответствующей матрицы (оператора) £. Инвариантность следа я детерминанта матрицы относительно унитарных преобразовании (см. 1.62) приводит к соотношениям

Sp £ =а + с =厶 + Ь det L^ac — |fe|2= l^

иэ которых находим искомые с. s:

3牛士 V^+面.

Полная система квадрупшх матрни 2-го ранга состоит из четырех независимых матриц. Независимость четырех матриц А 5 иредсгэвляется отевидиов (см. также замеч&пие в конце решетшя задачи).

Вэяв шпур от обеих частей рассматриваемого сооотвониния A=a(J + aa = a^i ^atdi(I)

и учитывая» что Sp^ = 0, Sp3 = 2, находим aQ= V2Sp А . Умножив равенство Q^ справа на матрицу 灯 н используя свойство матриц Пвули 56 =» 6，g+ie&/C,, находим (вычислив шпур) 4 = %Sp(方&) = %Sp(6』3).

Отметим» что установленные значения величин 以金 о« доказывают независимость матрнн /. 5, так как при Л = 0 в равенстве (1) имеем а° = 0. «/= 0.

・ ]%]= «外=/• ]о[= V^ = “3 7.

Так как ix。—痴，^3K это иеносредств^нно следует нз ком- мутационных соотношевий для матриц Паули, то (е^аХ<т)«= и=6П・

. Так как 句如=6雄十 ％“#厶 то (аа)2« д^^а^а^^ а2 и (篇旷.打一 четное,

t 0n-i &), л — нечетное.

F& Таи как оператор，= &+恥 имеет два различных с.з. (см, б.З) , то вид оператора F = F (/) легко находится из резуль・ 發

тата задает I.5S:

^^ fg+速)38他一* + F / + 6)/5f M.(1)

На основания (I) имеем

exp(/aa) = cosa+，sin aexp(/aa) = cosa+，sin a(吟)■(吟)■

exp(/aa) = cosa+，sin a

exp(/aa) = cosa+，sin a

(吟)■

(吟)■

В Sx-представления оператор (матрица) & дяагояалея н имеет тако* же вид, как оператор & в «^представлении: 3* =豆(° —[)・ Ban операторов 6“ и & в 5х-представлении не определен однозначно: имеется бесконечно много способов выбора этих операторов (все эти различные способы выбора связаны унитарным преобразованием, оставляющим диагональной матрицу 备].Однако при любом выборе операторов §& 6% ме・ жду нкмн (к 6.) должны сохраняться коммутацяоаные соотношения для компонент момента 陶 &j=■屏

Один из таких наборов операторов s имеет вид

& = 6j2, §“ = 6j2, 6z=6j/2(1)

(он получается циклической перестановкой из стандартного представления операторов компоыеит спина:乱= &/2, % к =%/2,务=仇/2).

Приведем еще один возможный набор операторов соина в 5х-предстааленни: % =6/2,与=%/2, se = —dx/2.

Вид операторов компонент спина (i) может быть получен из их стандартного представления с/2 с помощью унитарного преобразования О: £ = 0(о/2)0+. Читателю предлагается самостоятельно показать, что овератор О имеет вйд

tЛ 二)• 5.И.

d = §* +，％ = C о)* §-=右一蝎=(；о)* 詳=閉=。・

Найдем с.ф. %〃.噂= (；) оператора проекции слина на ось, направление которой в пространстве определяется единичным вектором п (см. 5.2). Учитывая явный ввд оператора В“， из уравнения на с.ф. Лл%я-1/2=у^<п-V2 легко находим

с sin(e/2)=te-^cos^/2).(1)

Прн a = cos (6/2) согласно (1) 6=d$shi(e/2) и 屮、・1枕 принимает вид, указанный в условии задачи, причем 6= 2a, ф = р представляют полярный и азимутальный углы направлений

W

вектора 富，проекция ебмна на которое имеет определенное зна* чение5Лта1/2_・？

Взяв 6 = 2а =制2 и <р = 0=О» находим с. @・ 屮"・】/2・ Пфн 0 = я/2 и <р = я получаем с. ф.屮$ —1/2 и т. д.

Проекционный оператор Р,-и2 должен обладать следующими свойствами.

При действии на в. ф. состояния с проекцией спина $澀= ==—1/2 на ось 2 он должен давать нуль. Из этого свойства 毋нтекает Q,_»2=Q(i + %) (Л~произвольная постоянная).，

При действии на в.ф. состояния с sz = i/2 он должен оставлять ее неизменной, что дает а = 1/2.

Таким образом,

户%・± 4/2 == 4" ([± 6J(1)

Проекционные операторы (1), как н следит, являются зр・ китовыми и удовлетворяют соотношению Az-± V2 = ^ -生 1/2 (см. 1・35)・ '

14. Рдп-± i/2 = y (1 ± 5п).

Подействовав оператором 户％・1/2 на произвольную спиновую функцию W, получаем с. ф.吋卄申 оператора sn> отвечающую с. з. sn = i/2. Выбрав 4f в виде W = (：), .инеем

w…=*^=屮(:)7(:鑑:卜

-6 ( cos (0/2) \

=85方1/痴包2)丿.

Найденный вид спиновой функции W^-1/2 (ненормирован« ной) согласуется с результатом задачи 5.12 (6, <р — полярный и азимутальный углы направления вектора п).

Преобразование спиновой функции 屮 при вращениях системы координат — преобразование спинора — аналогично преобразованию в.ф. состояния частицы с определенным значением момента / в 4*представлении, приведенному в 3.19：

W = (：；) =ехр(鹏劫屮=(cos-^ + £ sin ~ on0)屮.(i)

Из (i) следует закон преобразовании спиновой функции 8.=回明：

①紅=6(cos ^- — i sin-у- Wn, •⑵

Учитывая (I) и (2), легко находим, что ①，74r =。，屮・

БЛв. Используя соотношения (L) и (2J предыдущей 8ад#чв и формулу 6,办=6僞+ $叨以也，после простых преобразований находим

Vr=Ф*^Л=созфе • V — sin Фе • [п(У] + 2 sin2 号-no(noV)9 (i)

что представляет закон преобразования вектора при указанном в условии предыдущей задачи вращении системы координат. В частности при По = (0,0t I) (поворот системы координат относительно оси z) из (!) следует

V； = cos<Po・ V1c+sin%・ V屮 V；= —sin%，匕+ cos@o・ V,吸=%.

Вид спиновых функций %1 = (；\(；)2 н %・т = = (：)С)2呻呐・

Из условия §川％0=0 следует

(v^^=^^=^m^+^s^\p+^^^

так что

§Л=0

или

5x^w^|[^i+M{Ci(J)i(?)2 + C2(J)|(q)J^

=©+3{(：)G),+(2(R=。，

что дает G = —G в случае функции %)♦ Так как функции 小 и Wg ортогональны, то С|=С2 для функции 屮通

Таким образом, нормированные с・ ф. %。н %о имеют вид

3—{(：)C)"C)(：)J・

-=♦{(:)/)「(;)()}・

Найденные фуккции 屮払 имеют определенную симметрию по отношению к перестановке спиновых переменных обеих частиц (они симметричны при 5 = 1 и антисимметричны при S = =0) в соответствии с результатом задачи 3.39.

Так как §2=；6 + &2)2 и / = з, то 屍&= —3+2宇 и с. ф. оператора S2 являются также с. ф. н оператора а^ отвечающими с. з.—3 (при S=0) н +1 (при S=l%_

Отметим, что если усреднить значения оператора <п(и по четырем кезависимым состояниям с определенными згачениями S

fi Sz, считая их равновероятными, то вреднее значение ок4зн・ #ается равный нулю.

Представим спиновую функцию в виде

屮" П玄回嚥+5WP J +1［0就6—%哪］.（О

Учитывая результат задачи 5.17 о симметрии спиновых функ^ Цнй ^ssz по отношению к перестановке местами спиновых переменных обеих частиц, замечаем, что первое слагаемое б право。 части выражения ⑴ отвечает значению S = 1 суммарного спина, а дторое — значению 5=0.

Так как исходная функция 屮通 нормирована на единицу, то нормировка каждого из двух слагаемых в выражении （1） определяет вероятность соответствующего значения суммарного Репина. Таким образом, имеем

@（s=o,］）=弓（©；干点喉）（%期干及必）=4（|干I屮工F）.

где .знак «+» относитсн к S = 1, знак «—> — к S = 0; S?= = 2w（S=bl>：，

Так как эрмитов оператор 叫仇 имеет только два раз* личных с-з^ равных ^-3 и +i （£м. 5,1g）, то имеет место соотношение （质& — i} 6広 + 3） = 0 или （£風产=3 — 2&& （сравнить с 1.27）.

На основании результатов задан 1.52 и 5.18 легко на・ ходим

合 3F（а 十 b） + »fa — 3>） . F（а 斗 6） — F（a — 36） ^ —

尸=^145电.

Вид проекцнеетых операторов легко найти, еслв учесть, что с ф. оператора S2 являются также с. ф. оператора <ь&:

в1—6自.$ з+а&

/ 35 =4. Пгт =4•

5.23・ Представим произвольную спиновую функцию в виде

%6=4性&+W鉀1 + i^-呼J⑴

где первое н второе слагаемые в правой части являются спиновыми функциями, вписывающими состояния с определенным значением суммарного спина S = 1 и S = 0 соответственно» что следует из характера симметрии этих функций по отношению 丛 перестановке спнноннх переменных о&еих частиц. По смыслу лроекдаовных еп^раторав Ps^t > имеем .

&・州“П11%+w2 区.。屮%=$ N.-屮減.⑵

*

⑶⑶Согласно отр^делеяию оператора С-

⑶

⑶

6中/=W/=｝及%+w._g ［屮"-呼J

君=a7 一区7 = 1^君=a7 一区7 = 1^⑷⑷м ЯЗ (2), (3) с учетом явного вида проекционных операторов, установленного в предыдущей задаче» имеем

君=a7 一区7 = 1^

君=a7 一区7 = 1^

⑷

⑷

Отметим следующие свойства оператора С- Он—эрмитов оператор. Его с. ф. — спиновые функции, отвечающие определенному значению суммарного спина S，а соответствукнцие с. зк равны +1 при S = i н —1 при S = 0_ Очевидно» что C2==i.

&24・ Легко сообразить, что проекционные операторы на состояния с олределеяной проекцией суммарного спина на ось & равной ±i, имеют вид - …*1. j 冷1) (&=*)・

Далее, очевидно:

Ps・L S『I = P与i Pl,-1 = P%"-“

Poo= Ps-o~4-^—*向)(см. 5.22)・

Из ссютнршеиия £ °6Sz= А»+Ao + Ki + А. -1=1 Н2ХО-

дии вид оператора：Ао =дии вид оператора：Ао =I 一叫 z%z + WKI 一叫 z%z + WK

дии вид оператора：

Ао =

дии вид оператора：

Ао =

I 一叫 z%z + WK

I 一叫 z%z + WK

а) Спиновые функции Ws邑 являются с, ф. оператора Рь н им соответствуют с. в. этого оператора, равные

(V %&=^ - 36 + 26S (S + 1)

(так как S2=(diz + 6Q/2 и аха2=— 3 + 2S2).

6) Найдем вид оператора

%=色尹(配+包)+美0(%- %)+稿&

В SS,—представлении. В этом представлении он является мат・ рицей с элементами, равными

(%)昭=(%&/%)⑴

Используя в матричных элементах следующую нумерацию состояний, определяемых квантовыми числами SS«:

S=itS2=i->i； 1, — if 2; L 0->3; 0, 0-*4,

и учитавая явный вид спиновых функций ^ss^ найденных в 5.17, находим матрицу (1):

人口01+a2 +瓦

В~ —щ -%+瓦

， С =瓦 £=Е* = flj —佻，

0=一3瓦

Унитарным преобразованием эта эрмитова матрица может быть приведена к диагональному виду, непосредственно определяющему ее с.3. Из вида матрицы % легко заключить, что два ее с. а. равны Л и В и им отвечают с. ф., равные 屮$т.&т и V,, _) соответственно. Унитарный оператор (матрица), диагонализирующий матрицу %, в 55Х'Представлении «перемешивает» лишь состояния с квантовыми числами 1,0 и 0,0, и задача отыскания двух других с- з. матрицы сводится к диагонализа-

Учитывая сказанное выше и результат задачи 5.5. находим с. з. оператора %：

询询4=⑴ + 奥+瓦(%)2=В = -Q] 一何 + 瓦 (为3.4 = _ 6 ± "(/ - 电)2+ 4户

询

询

Читателю предлагается самостоятельно найтн с. фч отвечаю- шие аз.(匕)з,4・

В указанном состоянии суммарный спин любых п частиц имеет определенное значение, равное S(〃)= ns.

Учитывая, что

%Т /\。0*6/

読=3 и что в рассматриваемом состоянии между спинами отдельных частиц нет корреляции н средние значения оа равны

—f 0. 1=1,2,

(8j = J I,，口 3, 0<o,

I —1, i = 3, a^n+ if

легко находим

⑴⑴$ = } {№ — 4n^ + 2N + 4d}・

⑴

⑴

Отметим, что значение (1) можно было бы написать и без всяких вычислений, на ©сновании результата задачи 3.37, если формально рассматривать систему из N частип как состояодю 248

йз двух подсистем, одна из которых объединяет' первые я Частиц и имеет спии Si = n,2, Sj$ =几/2, а вторая содержит остальные частицы и характеризуется квантовыми • числами S& = (N — 〃}/2» Szz — — (N^— л)/2.

Суммарный спин может принимать лишь два значения:. S = N/2 н S = (N —2)/2 (N》2), вероятности которых легко найти, учитывая значение * в рассматриваемом состоянии:

向(s=?)H%， ^(s^^-)=~^.

Вероятности двух возможных значений полного мо・ мента частицы j = / 士 1/2 равны (сравнить с 3.38)

—+3)=/+籍口 .^-l-^1^-

,5・30・ Рассмотрим систему, состоящую нз N = 2/ частиц со спином s = l/2, причем все частицы имеют определенную проекцию спина 玲= + 1/2 на ось г, т, е. состояние характеризуется значениями S = J. S% = J полного спина системы.

Согласно 5.2 в состоянии отдельной частицы с 輪=1/2 вероятности значений проекции спина ±i/2 на ось, направленную вдоль вектора и, равны ^ (sn « + i/2) = cos2 (6/2) и w(sn = =—i/2)=sln2(6/2)t где 0 ——угол между осями п и z. Выберем m=J + J〃 частиц (из общего числа 2/) н найдем вероятность того, что для этих частиц sn = + i/2t а для остальных sn = =—i/2:

切=[cos2 (6/2)]z+,«[sin2 (W2)]J-% (1)

Если величину (i) умножить на общее число способов, которыми можно выбрать такие m частиц, из общего числа 2J:

W (/„) = С^« [cos2 (6/2>]/+7«[sin2 ^~\ ⑵

то получим вероятность W(Jn) того, что в рассматриваемом со- стоянии проекция суммарного спина на направление вектора п равна 厶(」〃 = U + JJI/2 + U — JJ(—[/2))・

Формула (2) решает поставленную задачу, так как искомая вероятность не зависит от «природы» момента (орбитальный или спиновый, «элементарный» или составной и т. п.)・

Отметим, что переход от формулы (1) к (2) может показаться некорректным с точки зрения квантовой меканнкн, так как при этом, грубо говоря, произведено сложение вероятностей (а не амплитуд!). Разъяснение этого кажущегося противоречия сосгоит в том, что указанные амплитуды ортогональны (из-за ортогональности спиновых функций (；)н(；))мне интерферируют друг с другом.

-Б.81? В.ф. состояния с J = 3/2, J^=3/2 в /и/гг-предетавле-

◎ С»◎ С»Подействовав наПодействовав навих, очевидно, нмеет вид 里*3/2

◎ С»

◎ С»

Подействовав на

Подействовав на

эту функцию оператором 7_=乙一丸=九 + ④一. находим

функцию Ws/2.1/2：

喂2L表依喘：) + (； ：)№)(：) =

={"乱)(：)+宕 С)(：)}⑴

(вид операторов 九&_ приведен в 3.26 н 5.1 i, множитель i/V3 в выражении (1) введен для нормировки).

Из (I) следуют значения вероятностей проекций складывае- мых моментов на ось z в состоянии с J=3/2, /± = i/2: w(/l2= 1)=切&= _ ]) = % 切(九=0)=W(乱=J) = ^.

Представив в. ф. состояния с J = 1 /2,厶=1 /2 в виде

s=gQ)(；)+4)(：)

и >£чнтивая ортогональность этой функции к V3/2, ш» находим значения Q = — 〃2 С2=“^§ (с учетом нормировки). а с ними и вероятности проекций складываемых моментов в состоянии с J = 1/2. Л = i /2：

w(/i2= i)=w(/22= — l/2)=2/3, ®Oiz=O) =研乱=i/2)= 1/3.

Аналогично можно рассмотреть н другие состояния, указанные в условии задачи.

В состоянии с максимально возможным значением спина 5 = N/2 спин любых двух частиц равен I и спиновая функ・ ция симметрична по отношению к перестановке спнновнх переменных этих (а значит, и любых других) частиц (см., напри- мер, 5.17).

Для состояний с S V N/2 при ^ > 2 спиновая функция, во- обше говоря, не имеет определенной симметрии по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух частиц (см. 5.33).

Возможные значения суммарного спина: 5 = 3/2, i /2.

Спиновые состояния с определенными значениями 5 и S« при 5 = i/2 являются двукратно вырожденными, так как суммарный сини S= i/2 может быть получен двумя независимыми способами: 1) путем сложения спинов первых двух часпщ в их

результирующий спнн，512 =。； 2） путем слсжеиия реэульгирул &п> спина Si2=l первых двух частиц ср спином третьей в суммарвый.спин S = 1/2. ■

Так как число независимых спиновых состояний прн данном значении S равно 2S + [ （в отсутствие вырождения ро S）, то общее число различных спиновых состояний равно（2 .^ + 1） + + 2（2 • /+ I）=8, хак и следует.

Bi以 спиновых функций 鶴т% s尸土昵 очевидеи：

（BCM）（BCM）屮眈,骐=（：I （ ； к （ J） ）$'屮亜 Т/2

（BCM）

（BCM）

Спиновые функции состояний с 5 = 3/2. 5г = ±1/2 легко найти, если учесть свойство симметрии функций во отношению К перестановке синновых переменных частиц （см, предыдущую задачу）:

2』｛（；）СМ：）+（：）（：）С）+

+（:—»•

外 Т2=^｛（：1（：）2（；）8+（；）1（；）2（；）з +

+ （；）《）&讣

Если спиновая функция отвечает результирующему слн町 первых двух тастим, равному Si5=6. то она, очевидно, описывает состояние с S = 1/2. Поэтому.

哪 L嗚｛ОСЬ （：）〔（；））（：％哪』=青｛（：М：）2-（：）C）J（A

Как отмечалось выше, спиновые состояния с S = i/2, S#« ==±1/2 являются двукратно вырождевными. Вторую пару функций Ч^.±1/2, линейно везависнмых по отношению к функциям （i）v легко найти, рассмотрев состсяния с результирующим спином 5如=О второй и Третьей частиц:

噸广力сможем:）｝

嚼'"喘（：\｛（：）С）з-ОС）》 I

Отметим, что, хотя функции （1J и （2） Л1йтсйна нез*ввснмн， они не являются ортогональными （при одинаковый яначетмх

豳

&｝ Наиболее общая спиновая фуикиия-свстояния-^с £=^^/2 Представляет суперпозицию функций (I), (2). Читателю ap"> лагается самостоятельно рассмотреть состояния с результируя> 卅нм моментом Sc = О и ныразнть спиновые функции таких состояний через функции ([). (2).

- Б.34. Возможные значения суммарного спина: S =0, 1, 2.

Спиновые состояния с определенными значениями S, S. имеют следующие кратности вырождения: go = 2 при 5 =0. & =3 при S = I, g》=[(вырождение отсутствует) при S =2.

Таким образом, общее число состояний равноG=£ ^(25,+ 1)« =16, как н следует. (Сравнить с решением 3.48.)

5.35, а) Так как состояние системы с полным моментом J = =0 является сферически симметричным — в.ф. не изменяется при вращении системы координат вокруг любой осн, проходя* щей через точку, по отношению к которой момент имеет определенное значение J = 0, — то среднее_значение любого мульти- польного момекта равно нулю (d = 0,卩=0, IX* = 0 н т. д.).

6) Рассмотрим матричные элементы вида

(& J=I/2 J；| 叫 “|& J=1/2,Q(I)

где 〃 означает совокупность квантовых чисел, которые вместе с / и Л образуют полный набор, а 用｛，)一символическое представление оператора произвольного мультипольного момекта (так, 麻〃｝三 & = £ eaxai для дипольного, 角,“=瓦％ = -=£ с。(3xe/xe> — "6蛛)для квадрупольного момента н т. д・)・

После выполнения в выражении (Ц интегрирования по координатам частиц (включая и суммирование по спинам отдель* ннх частиц) его можно представить в виде

(41瓦" 卩)⑵

где 而“]являются матрицами, действующими в пространстве спиновых переменных спина i/2 (так как/ — 1/2).

Рассмотрим возможный вид матриц /Й«).

В случае квадрупольного момента D“ из одних лишь соображений тензорной структуры рассматриваемого выражения можно написать следующее соотношение:

(%)佚=&м%+比，通 ID

но условие симметрии (по индексам I и А) требует 8 = 0, а равенство нулю следа, О〃=0. дает А』0. т. е матричные элементы тензора квадрупольного момента (в том числе « era средние значения) в случае момента J== i/2 системы тождественно равны нулю.

' \Для .двпблъиого мвгийтйого 4иемента системы 制сжме напк.

са$ьса$ь（吟九『9：阳」）（吟九『9：阳」）(3)(3)

са$ь

са$ь

（吟九『9：阳」）

（吟九『9：阳」）

(3)

(3)

и нет никаких оснований считать, что 〃 = 0, т. е. среднее зНа〈 ^енне 肚厶 вообще говоря, отлично от нуля.

В случае дипольного электрического момента можно записать, аналогично (3),

@)必=此向。

Так как вектор дипольного момента d — полярный (истинный) вектор, а матричные элементы оператора спина являются компонентами аксиального (псевдо-) вектора, то величина b должна быть псевдоскаляром (если 6 — истинный скаляр, то с необходимостью 6 = 0). Для того чтобы Ь#0, необходимо, чтобы рассматриваемая система не имела определенной четности, в противном случае (см. 1.2i) d = 0, ft = 0.

Указанные функции легко найтн, имея в виду результат аадачи 5.12:

w，-。吧( ^3(ё/2))w2吁他俨l而何2)認》

_户*( sin侬)、"九一皿一而严I -соз(g/2)^/

где G, ф — полярный и азимутальный углы, определяющие ^направление вектора ро.

Б.37. Так как в импульсном представлении оператор импульса является ^ператороц умножения, то в этом представлении, имеем 2 = (sn), где и = р/р. Коммутативность операторов. {/4Д} = 0 можно проверить непосредственным вычислением, од・ нако она представляется бчевндиой и без вычислений как ьы- ражение общего свойства — коммутативности оператора полного момента системы с оператором произвольной скалярной (или псевдоскалярной) величины» относящейся к данной системе. Отметим, что оператор спиральности можно записать также в виде 2 ={Jn), так，как Тп = О.

Подействуем на указанною функцию оператором f: ，

『屮g(i+善)2而啦(j)

Учитывая соотношения [力「(on)] =0, 1% =。, выражение (I)' можно представить в виде ,°

j2у = (ап) ^l^x^k(Мх—sA^.t v.⑵

■ EGporo следует непосредственно» что функция 屮 отае4ает состоянию со значением / = 1/2 полного момента.

То обстоятельство, что указанная функция отвечает состоя* вию со значением »= i орбитального момента, очевидно на бсмвашш результата задачи 3.57.

Так как V^W=х*(м)^ = Х*Х2=3 const (не зависит от ■), то распределение по направлении м импульса частицы является взотропным. как и в случае Si/2-состояния, а условие корми* ровки

J^dQ^4лx•%=l>%=(；)•

0удет выполнено при ^~\а^^\Ь^= 1/4я.

Из соотношения

王河三七&1)0+#)02%=%・乱

следуем что свойства момента в рассматриваемом состоянии точно такие же, как у вектора спина в состояния» описываемом

спиновой функцией %. Поэтому, выбрав х = "^^ ( о )' ПОЛУЧИМ функцию W, описывающую pi/2-состоянме частицы с определен- вой проекцией 厶=1/2 полного момента на ось г.

заключаем»заключаем»Учитывая результат предыдущей задачи» заключаем, что приведенные функции описывают состояния частицы с определенным значением j = 1/2 полного момента. Орбитальный момент / частицы в указанных состояпйях не имеет определенного значения я с одинаковой вероятностью, равной 1/2, мЪМет НрнМимать два значения:，= 0, L Поэтому в рассматрн-

заключаем»

заключаем»

ваемнх состояниях четность частицы также не имеет опр^яе- ленньго зиачения.

Приведенные функции описывают состояния частицы с определенной спиральностью 入(см. 5.37"

£屮± = % (dn) (I ± Gn}% = % 0n 士。％ = ± % 屮士.

Наиболее общий вид спин-угловой зависимости в.ф. состояний частицы со спином s = l/2. отвечающих моменту /= i, следующий:

О)О)^ = (сп)Х,

О)

О)

где с — произвольный вектор. % = (：) — произвольный спинор (с и % не зависят от вектора п).

Функция вида (1) не отвечает, вообще говоря, определенному значению / полного момента к представляет суперпози- 威

ци^.,с©с1рянмй .<kJ(= i/2.H j*3/*. Чтобы выделить ea yrei функции часть, отвечающую состоянию с / = 3/2, подействуем на функцию (1) проекционным оператором，/у/2・ Вид этого оператора.

八R・3/2=%(2 +，}

следует из результата задачи 3.49. Легко находим

屮/-3/2 =片・з養=7з {2 (сп) + "сп] о)х(2)

в согласии с условием задачи.'

Читателю предлагается самостоятельно нормировать функцию вида (2) и убедиться в ортогональности ее к в. ф. р“2・со・ стояния» обсуждавшейся в 5.38.

Отметим, wo общее число независимых функций впда (1J равно шести (три независимых способа выбора компонент век： тора € .и два — спинора х)- Независимых же функций вида (2), как и следует, только четыре.

Функция (i) при выборе с = (0,0» 1) н%=(：) описывает состояние частицы с 厶 и。 (с*., например, 3.22) и s*r1/2, а9 следовательно, и с определенным значением /, = 1/2 (при утом полный момент / не имеет определённого значения!). Функция 《2) пр» указа№10М выбсфе € и х имеет вид

屮/"/-必=}(_:=:‘・)

я иппсыаает еостоймве часпты с J = 3/2 и % = *拉 (проекционный оператор Р, коммутирует, очевидно, с %, и если функция (1) являете» с. ф jz, то функция (2) также является с. ф. %, отвечающей тому же с. з.心)・

Аналогично можно найти явный вид в.ф. Рз/2-состояинй частицы с другими значениями /г.

а) Рассмотрим в. ф. вида

"=””)•(О

отвечающую состоянию частицы с определенными значениями / и jx = m+i/2. Эта функция не является, вообще говоря, сф. оператора f, а представляет суперпозицию состояний с i = и 7 + 1/2 п / = / — 1/2

Подействовав на в.ф. (i) проекционным оператором =/ + 1/2) на состотт с заданным значением ，=2

вид котороговид которогоP^i+i^^r^P^i+i^^r^

вид которого

вид которого

P^i+i^^r^

P^i+i^^r^

Ж

следует из результата задачи 349,-н-учнтамва ^оотнепё^Й-〜 15-2行=以&+?+£一斗!_Л+.

1叫=Mr)(卄庁1)4屮， ⑵ 2Ц(М)(Г+1)%.

легко находим явный вид искомых функций:

吗т+批九 /ж-.«+ц2=СР(/ = /+1/2)Ф =

где коэффициент С выбран из условия нормировки спин-угло* ро* в. ф. на единицу.

) Вид в. ф. состояния с определенными значениями квантовых чисел 1, /=』+ i/2, /,=/+ i/2 очевиден:

—…2=(”'8).

Подействовав на эту функцию оператором 己 где п = 1^ +'班一“ получим функцию 吗仙爲&加 Учитавая, что J_ = =7_+ g—, 51=0 н поэтому

己=(L+§_)"=片+於-*_, а также соотношения (2), приходим к уже известному виду (3) функций:,

^.^^

БЛ2. P(i^l~H2)=~~f.

W/7T/& 厶 &зе+1П =

=CP^t^^

.43・ Утверждение задачи можно проверить непосредственным вычислением, но проще его подтвердить следующим рае суждением, основанным на каммутативности операторов 兀 и (on) ([/б (<^п)1 —0) и псевдоскалярном характере оператора (оп).八-公

Пусть 屮“办一с. ф. операторов 卜戸，£, причем /2 = /— 1/2. Эта функция имеет определенную четкость, травную /2=(—i)4 .256

Рассмотрим функцию 审==(而}既血・《Легко находим

(I)(I)偉==% Gm w*=(前)％3"山=厶砧w"爲=这， 褪=j2 &^双,产g!/双山=j(j + 1)Ф, 拽=7血О w〃m=- 6п)№з?==(-】}""立，

(I)

(I)

Из выражений (1) следует, что функция 田 является с. ф. операторов р. Z，Л причем четность этой функции противопо- 纖1a Отнести функции 叫垢 Так как при данном / возможные значения орбитального момента f равны 儿2=丿 士 V2. а четность состояния равна (-i)*, очевидно, что если в состо； янни 皿払 орбитальный момент равен % то в состоянии ^ он равен ^ = /+J/2： Так吧 образом, функция 屮 явмся с. ф. операторов j2, X &：守三屮“厶，

Отметим, что

中吨=w九]式而尸屮"山=鸣中3"% следует одинаковый вид функций распределения по 黑踹вленнн： импульса частицы в состояниях, описываемых в ф ф и 空“必，и одинаковая нормировка этих функций.

屮.」》£-±1/2 =亲0士碗9

Учитывая явный вид функций ^ц1я (см. 5.4。，находим

屮“у i = д/暮Г{叫 +m+ i 8s(峭Ylm +

+ 小一m sin (%2}e"%mx} ( sf ；：；2J

屮f. & *12 = “ 毋Г "1 + 加 + । sE(8/2)У痴一

-任不cosm2)e-“.m+»(一；：爲%).

г摩盆7 +謡雄 значение магнитного момента непосредственно следует из результата задачи 3.54:

@Х三(认也国3=%=a

口z『"Д^г {[/а + D Т" + D+部。+

+ [/(/ + О + /(/ + 0 -1] 7^-}>

257

g в, М, Галицкий s ДР-

илиили

или

или

口尸厶愕+安1鲁]，『，7/2,

口之Н售h一回+(2/ + 3)^^]. / = )+ i/2.

Глава 6

ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

На векторный потенциал должно быть наложено дополнительное условие div А = 0 (так называемая кулоновская ка- либровка); прн этом рА = Ар.

Как известно, в классической физике скорость и обобщенный импульс заряженной частицы в электромагнитном поле связаны соотношением

v=*(p-》(*■))•

Естественным квантовомеханическим обобщением этого соотношения является эрмитов оператор скорости частицы

9=/(6-《A(r))(D

(отметим, что более последовательный квантовомеханический способ установления вида оператора скорости (1) состоит в вычислении коммутатора ^=劇必 г], см. 7・2)・

Используй соотношение (1), легко находим

[心,匐=^%，

[%紐== 舍([瓦同+ [4闻｝=

=瑞｛奇-證｝ =需e皿夠.⑵

Второй из коммутаторов ⑵ можно записать в векторной форме:

vXv=^-3l(r)(3)

(если читатель недостаточно свободно владеет формулами векторного анализа, то для получения соотношений (2), (31 ему предлагается рассмотреть конкретные коммутаторы [&. 6自]； [%,仇]и т. д- и учесть, что 3l=rotA).

В классической механике движение заряженной частицы в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной магнитному полю> происходит по окружности (ларморовская 258

орбита!, квадрат радиуса которой р： равен

(I)(I)рА*.=.(巧+端

(I)

(I)

где /=|е|為/rc н ось z направлена вдоль магнитного поля.

Векторы р, ро, V1 — раднусы^векторы частицы, центра орбн， ты (окружности) и скорость частицы в плоскости х, у — связа* ны соотношением

［矶 р —Po)］=V_L,(2)

где компоненты вектора ❾ равны ❿=(0,0» о = ~^-=-^р』).

Формула (2) выражает характер движения частицы в плоско

сти х, у — равномерное вращение, причем знак ❿ определяет направление вращения.

Из выражения (2) следует:

/=х一А% %=岁+!% 績=場+崛

В качестве квантовомеханнческого обобщения величин 玲 先，嗚 Рл естественно ввести операторы соответствующих вели- чин вида

*。=£-/%=一击(-例*一：4)，

&=。+2&,铸=备+维 /=A(年+6〉

где оператор скорости v был введен в предыдущей задаче. Легко установить следующие коммутационные соотноше，

иия *):

匹/］=出,我］=［反阅=［冗圈=0,

［%，始=一篇，成，匐=0

(при вычислении коммутаторов полезно иметь в виду результаты предыдущей задачи и задачи i.9). Ком мутативность рае сматрнваемых операторов с гамильтонианом означает, что величины Ло, go, р^ н pj являются интегралами движения, как н в классическом случае.

*) Напомним: 〃*) Напомним: 〃G-河G-河# £Н — rot А = (0,0,勿.# £Н — rot А = (0,0,勿.

*) Напомним: 〃

*) Напомним: 〃

G-河

G-河

# £Н — rot А = (0,0,勿.

# £Н — rot А = (0,0,勿.

Решение задачи можно получить, не коикретизнруя калибровку вектор

ного потенциала, однако вычисления несколько упрощаются* если воспользоваться выбором А в виде А 三(0盛匕 0)・,

9・9・知

9・

9・

в.4, с) Операторы 仇 и fiz коммутируют друг с другом и с гамильтонианом'

自=*{我+(%-?冲f+0»，

н поэтому с- ф. гамильтониана одновременно могут быть выбра* вы н с. ф. операторов 仇 и 佐 Эти функции имеют вид

屮吗&(局払* =誌'ехр[+(р心+ г/)卜(*}・(i)

Энергетические уровни частицы и зависимость с. ф, от переменной * определяются из уравнения

矗巾"（分十击（ра - W^y巾的=砲⑴，（2）

где введена энергия & поперечного движения:

0=ё一闻2*.

Так как решение уравнения (2) очевидным образом выражается через хорошо известное решение у. Ш. для линейного гармонического осциллятора, то находим с. ф. и энергетические уровни частииы в виде

%”》%（*，协分=矗exp[J（比什Pi）]屮*（"罄）,

与年一 一丁 М ^^） + ^：^与年一 一丁 М ^^） + ^：^n —0,1,2,...n —0,1,2,...

与年一 一丁 М ^^） + ^：^

与年一 一丁 М ^^） + ^：^

n —0,1,2,...

n —0,1,2,...

Отметим, что энергетические уровни поперечного движения частицы

(Е*%= ■〈海(门 + g),力=0,1,2,・.”

являются дискретными. Кратность их вырождения бесконечна (энергия не зависит от величины р“, принимающей произвольные значения —оо V р^ V +8). «Поперечная» часть с.中. ^npypz не является нормируемой на единицу. Поэтому в этих стационарных состояниях частица не является локализованной в ограниченной области пространства (в поперечном направлении) ,несмотря на дискретный характер энергетического спектра (см. также 6.10).

В ^^=^^ ^+PZ^VT(У + ^)^

уровни энергии ЕПря не зависят, разумеется, от калибровки векторного потенциала, т. е、 выражаются той же формулой, что И В П. G ■

Так как обе системы с. ф. гамильтониана: ^пруре(х9 у, z) и ^лр^Сх, у> г) — являются полными, то каждая функция нз одной системы может быть представлена в виде суперпозиции с. 0・* относящихся к другой; в частности,

^P^y>^=Z\C^n^⑴

Коэффициенты в этом разложении можно вычислить по об' шей формуле .,,

(?""=*¥•-，屮 Л dV.⑵

吗网 J「%齢叫打

Так как рассматриваемые системы функций описывают одну и ту же физическую систему — частицу в однородном магнитном поле, энергия поперечного движения которой однозначно определяется квантовым числом л (или。, то на первый взгляд может показаться, что коэффициенты《篇仝 отличны от нуля лишь при п = л\ Однако это не так! Дело в том, что хотя физическая система одна и та же, но формально она характе* ризуется различными гамильтонианами, вид которых зависит от конкретного выбора калибровки векторного потенциала. Соот- ветственног с. ф. гамильтониана при одном выборе калибровки уже не будут его с. ф. при другом выборе.

Для получения соотношения между рассматриваемыми в. ©.. в которое входили бы лишь в. ф. с л = п\ следует учесть, что калибровочное преобразование потенциалов можно рассматривать как унитарное преобразование, осуществляемое ояера* тором

0 = ёхp(如}

где f определяет калибровочное преобразование

А" = А + ?Л

Для рассматриваемого случая А=(0,3^л, О),А'=

=(—滋弘&0卜 так что f =—為%协 Так как сф.里收“工 гамильтониана Я (в калибровке А) при унитарном преобразоваиии 屮'=e%Pg% становятся с. ф. гамильтониана Н' (для калибровки А'}, отвечающими тем же самым с, s., то искомое соотноше* ние имеет вид

W勲*%—exp (^" W)]心?⑺屮勲Рр,如场

Гамильтониан имеет вид (й! — [?р] = — /Й [rV])

- 人金一器痴+备岡小

Вмбрав ось я направленной вдоль еом Х«, эам^чяемд что операторы % и 仇 коммутируют друг с другом м с гамильтсжиа^ ном. Поэтому с_ф оператора /? можно выбрать одновременно и с. ф. операторов 匕 н 瓦.Эти функции имеют вид (б цилиндрн* ческих координатах)

W^mPz(P, n, <₽)= ^^ expp (m<₽+ 若)]f(Р»°)

где функция f(p) удовлетворяет уравнению^

Id d『2呜m2 em/言宓紂1 r

3而 Р^/ + [~Й5р+^йwj/ = o，⑵ определяющему также энергетический спектр поперечного движения: Ef = E —p42ji・

Вводя ©бозначеяия

a ="而>°，月=擎=$(2阳一Р3(3)

и сделав замену переменной х = р5/2а2, можно преобразовать уравнение (分 к виду

嘉+ J^ +[整一卷+备费_ 珏 = 0.(4)

Решение этого уравнения ищем в виде

f(» =©72*1 娯 ^^(5)

При зтом уравнение (4) принимает вид

хх^^(1т\+ I —л)”一^(1 +|/nf—占加一用 Р)9=0・(6)

Решение этого уравнения следует выбрать в форме

w(x)^CF^(l + \ml^^tn—k^9\rnl+ i,x],(7)

где F — вырожденная гипергеометрическая функция (второе, лмкейно независимое от (7) решение уравнении (б\ расходится нри х (и P)f 0 叫 следовательно, не удовлетворяет условию ко・ нечности в. ф. при р->0).

Функция w(x) (7) должна сводиться к полиному: в противном случае она ведет себя как ея при х—8. и функция / (ас нею в с. ф. гамильтониана) оказывается растущей при ж |(и р)—8 как ?"2 = ехр (炉/彳〃，Функция (7) сводится к полиному при выполнении условия

g(l +1加I—亩 S —碎0?)=—%r=0,1,2…一

определяющего, тем самим, энергетический спектр поперечного движения частицы в однородном магнитном поде.

Введя обозначение

2九+［三2，+I+1加|一亩加.*=0,1,2,…,(8)

получаем следующее выражение для энергетических уровней поперечного движения:

(ЕМ =禿雨(о + J/2),極—喑^(9)

Из соотношений {8) jm (9) следует, что энергетическому уровню (Eijn с данным значением п соответствуют состояния частицы со значениями проекции момекта /и, равными

/п= —% —/г十［,•••, —1, 0, + I, •••• + 8 прн е> О,

加=—8,…，一1； О, + ［…•，4прн е<0,

так что каждый уровжь 留меет бесконечную кратность вырождения.

С. ф. гамильтониана 疗 имеют вид

^птРг=С(^т\^\и^^^р^--^Г{-гАгп\^1^М，

(10;

где г выражается через л, т согласно (8).

Отметим, что найденные с. ф. гамильтониана (10) описывают стационарнне состояния частицы в рднородаом .магнитном поле, локализованные в поперечном направлении, и, следова” тельно, они могут быть вормироваяы на единицу {в плоскости л, у).

Спектр с. з. операторов 緩 и 医 проще всего установить, используя формальную аналогию с оператором Гамильтона лм： «ейного осциллятора, для которого из одних лишь соотношений

月=£■+<■•庐，@=5

вытекает вид энергетического спектра: En=h&(n+ 1/2), s =

= Y^/N‘ 打 н。，】-•…

Представив . в виде (см. 6-2 н 6.3)

07 =营(0+ ④М考 + 金‘° = %' Qm%'⑴ 庄初=臺.

(ось 2 направлена вдоль магнитного поля), замечаем, что выражения (I) описывают «осциллятор» с 卩=畴/2 и 女=2/端,при* чем роль h играет величина \е\ЦЖ^с^ (отметим, что ^пектр рг не зависит от знака правой части коммутатора в выражении (i))

Ж

Таким образом, находим спектр с. в. оператора 除

(p，К叫2入+1)，襄К0,1,2,…(a2K痴/w爲J:

Совершенно аналогично находим спектр оператора р沫

确=4+稀网，州=一访恥殯,

(1＞版=02(2也+1), fe^O, !t2, ...

Отметим» что имеют место соотношения

片=2瓦/応，⑵

2鲁一訂2(8 =-靑5).。

где fft — гамильтониан поперечного движения частицы в магнитном поле (Н / = Н —腐/2|л). При получении (3) была использована следующая калибровка векторного потенциала: А = =白31演］.Из (2) и (3) следует, что в. ф・叫叫，полученные в предыдущей задаче, являются с. ф- операторов 砾 и р* отвечающими С. 3.：

(唸=叭2入+ I)，(p版=a2侬+ 1), 人 =九+备^

Обозначив через 屮厶 в. ф. рассматриваемых состояний, имеем, согласно 66,

|屮/ = 0你斯产0-阳丝⑴

Используя хорошо известные формулы

8

r(v)= е—炉7 dx, Г(п) = (п— 1)!, о

Г(2х)=寄 2*什(%) Г G + 1/2).

легко нормировать выражение (I) на единицу (в плоскости к, у) и найти следующие средние:

0=ip|%F2npdp = aVT 斗需R” О

8

歹=2吓 p3|%Fdp = 2a2® + I),欣它n^+TS + Df1.

0

Наиболее вероятное значение рНвВ переменной р, которому отвечает максимум функции 2яр | ^п р — плотности вероятности респределения по р, — равно 卩必旧= o.“2v+1 ・

В состояниях, описываемых в. ф. %, операторы 餚 и Q； имеют определенные значения (см. предыдущую задачу), равные (嗡。=* (吟" = /(2〃+1).

В случае /г》1 (квазиклассический предел), учитывая асимптотическое поведение Г (ж) при х—8：

Г(X)Q -^Л 尤а"%т.

ийходнм согласно (2) р^а^2^» и» таким образом, Pn^=^JJ^ ^^ ^Q^a^n^a.(3)

Соотношения (3) означакя, что радиальное (по р) распре- деление частицы при м》I имеет узкий максимум вблизи значения рн.в. Величину 2лр|У〃|2 при этом можно преобразовать к виду

2npl^J=C (р/а)2"Х ехр (— р2/2а2)=

= Cexp{-^ + (2/i+I)ln^}^Cexp{-^^}» (4)

й V^

(здесь показатель экспоненты разложен в ряд вблизи максимума, достигаемого в точке рв. J. Из (4) следует

Др м-Р? —F ^叭仞《Q・

Таким образом, вероятность нахождения частицы заметно отлична от нуля лишь в узкой кольцеобразной области с радиусом 口 “2" н шириной порядка а. Это соответствует переходу к классической картине—круговой орбите частицы, причем найденный радиус орбиты связан с энергией частицы точно так же, как и б классической механике. Отметим, что равенство /п = — jt]■紅,справедливое для рассматриваемых состояний частицы. при 紅》I после подстановки m=MJh н п ^ £г/Йо)о переходит в классическую связь между моментом частицы относительно центра орбиты и энергией ее поперечного движенияз 马=。=噌4m1.

Это соотношение легко получить нз классических выражений

М = |гр], Н = тн, 3 H—f

Г = р—^^Акр —農[Э1оГ[

(оо 1ТОВОДУ ® см. 6.3), проделав следующее преобразование:弓=4 = 2喇(Р + 白 Ml)=

в-9- Для рассматриваемых состояний n = 0, m = j^y|m[ имеем, согласно 6.6,

I 叫7 倣'РJ = 0(р/。)" m I £-絞叫(I)

Так как выражение (1) отличается от соответствующего выражения (1) предыдущей задачи только заменой л на |/п], то все характеристики пространственного распределения частицы： р» р\ р«.» и вид ]У|2 при |s|》l получаются велосредствен- но из резз^льтатов предыдущей задачи (мы их не выписываем).

Однако интерпретация рассматриваемых состояний имеет мало общего с предыдущей задачей. Энергия поперечного движения при н = 0 принимает минимальное значение, равное (Ef)o = йоо/2, и такие состояния являются существенно «не- классическими».

В рассматриваемых состояниях операторы 證 и 丞 имеют определенные значения (см. 6.7), равные

(脸並=m⑵ml+1)，(唸=*

При I m |» I, когда

О土亦 —Рн.в=《Р析句"©V方千I》。, радиальное распределение частицы имеет узкий максимум вблизи рн. в, причем ширина этого максимума имеет порядок величины & (ем. предыдущую задачу). Рассматрнваемым состоя* нйям можно сопоставить следующую классическую картину: однородное распределение орбит минимального радиуса (равного “(р^о в о) по узкой кольцеобразной области с радиусом Ц=а д/2| т]》аи шириной порядка а.

6-10. В стационарных состояниях д, с. в поле (7(г) частица всегда локализована в ограниченной области пространства.

Необычное свойство состояний д. с4 поперечного движения частицы в однородном магнитном поле связано с тем обстоятельством, что энергетические уровни имеют бесконечную кратность вырождения.

Рассмотрим волновой пакет, составленный из с. ф. ¥»% (см. 6.4, зависимость в.ф. от переменной 2 опускаем)：

■ \с(рЖр»，处/(О

Очевидно, что в. ф- (1) является с- ф. гамияь^оин&иа ^ причем если

，jcs)F4&=i,⑵

то эта функция нормирована на единицу, т. е. описывает ло* кализованную частицу. В частности, в.ф.必加(см. 6.6) удовлетворяют условиям (1) и (2).

И наоборот, из нормированных с. ф, ^пт можно составить в. ф. вида

也=24何屮ё

которые также являются с, ф. оператора fi/, однако в случае ，丨CmF=8 эти функции описывают частицу, не локализован* ную в ограниченной области плсскости *, у.

L Направив ось z вдоль магнитного поля, ось х — вдоль электрического и используя калибровку векторного потенциала вида Лх = 0, Л^^^х, Лг—Ot имеем гамильтониан частицы 心飴也纪"+『也(1)

Так как операторы А» и р9 коммутируют друг с другом н с гамильтонианом, то с. ф. гамильтониана можно выбрать в виде 屮血必=磊expf-j- (р出+ р^ / (х),⑵

где функция f(x) удовлетворяет уравнению

2(门1*應

一击尸一e嚴*f+4一京一心f = gf,弓=£一e/2*. ⑶

Уравнение (3) легко сводится к хорошо известному у<Ш^ для л履немного осциллятора,為 учитывая это обстоятельство, находим ефг гамильтониана (1) н соответствующие им уровнй энергии в виде '

屮板"『嘉exp [-("捋+阑中产("簿-粤^)，

- I或С妬^ 一⑷

日%咳=孤0(紅 + 1/2) + 2jj^2^, 也=°‘ L 2, ■."

где 理c"(n) 一 в. ф. стационарных состоящий осциллятора с соб* ственной частотой <оо — |е|%/м.;

При 嚴=0 выражения (4) сводятся к решению задачи 6.4, q 6Л2. При калибровке векторного иотенциала А — ^- [Э1г1 га< мильтоняан принимает вид (в цилиндрических координатах《 画

осью 乙 направленно阪 вдоль магнитного поля)

Ла ft д 0 冴 т d?_一 俯箔 d ]]

—2卩 I p Op P Op 十 p1 dj ' 0# сЛ ^ф J

十丁十еT+p・

Операторы 1Х и "* = —至胃 + 亍 коммутируют друг с другом и с гамильтонианом, поэтому с.ф. оператора Й можно выбрать одновременно и с. ф. этих операторов, так что

VEmni^^eim^(z)f(p),电=0.1，…,(1)

а у. Ш. сводится к следующему уравнению для функции f(p)：

-玄小亲+因一等+(嘗+登)p-w=。，⑵

где—

蟲= "/，坤=系4=參卢一施4+1/2)].

Сделав замену переменной | = р72а2, где

g(斋+年)"，

уравнение (2) можно преобразовать к виду

両21 df Г А：а* e^wa2 m2 1 ]

rf? + K+L^r+W福■一力 f⑶

совершенно аналогичному виду уравнения (4) задачи 6.6 (с еднн- ствениой заменой величины 用d 工 ет/|е| на 稀а? + еЗ密na^/hc).

Используя решение задачи 6.6, находим нз уравнения (3) /лт=с^^"ехр(— ^a^F^n^lml+t р，/2吟

闻mm =--+ П V +胃?产0 +1mI +柄)，

гц = 0# 1,2,…

Выражения (!) н (4) определяют с. ф. гамильтониана Wn^^ и энергетические уровни

Eg = 一 -^ + 力“国 + 轟(2% +1 m I + 1) + М (& +1/2).

/(5J

痴

Согласно (5) основному уровню соответствуют квантовые числа Гц = Па = w = 0 и в слабом магнитном поле |矶徹/卩「《蠡 耳оо-3施/2+^^"，(6)

Из (6) находим значение хо магнитной восприимчивости:

砍=_7^^ (△耳= _ "^)，

6.13. При калибровке векторного потенциала А = !А [Э1г] гамильтониан поперечного движения заряженной частицы име

ет вид

Q方* 1 0 д - Л2 #2 efl3^ ? . е?鑑2р&

也=_苏Q而p而+ 碇:?一衣厶+ '_₽^⑴

Положив в (1) p = a = const, находим гамильтониан плоского ротатора в магнитном поле (/ = рл2):

护#丄ie方為 d丄〃*7

"亓左十2心左十8'%2 .

Очевидно, с. ф. оператора 乙=—i 融① являются н с. ф. гамильтониана, н решение задачи имеет вид

"m(")=^^"叫 机=0* ± 1, ±2, ...»

Р _ 护МеО/л . С為V

Последнее слагаемое в выражении (2) для Ет можно опустить, так как оно является постоянной величиной, не зависящей от состояния ротатора. Как видно из (2), магнитное поле снимает двукратное вырождение возбужденных энергетических уровней свободного ротатора.

Интерпретация выражения (2) для Ет очевидна: в состоянии, описываемом в. ф.屮府 ротатор имеет магнитный момент 叫=喘^". энергия взаимодействия которого с магнитным по^ лем равна

м= 一*.

иметь в виду следующие обстоятельства: 1) с. з. £/ гамильтониана поперечного движения частицы 科£=盡(P# —《Af)， ляются положительными (см. 1.23); 2) вне соленоида частицаиметь в виду следующие обстоятельства: 1) с. з. £/ гамильтониана поперечного движения частицы 科£=盡(P# —《Af)， ляются положительными (см. 1.23); 2) вне соленоида частицаяв-яв-6-14. Утверждение задачи представляется очевидным, если

иметь в виду следующие обстоятельства: 1) с. з. £/ гамильтониана поперечного движения частицы 科£=盡(P# —《Af)， ляются положительными (см. 1.23); 2) вне соленоида частица

иметь в виду следующие обстоятельства: 1) с. з. £/ гамильтониана поперечного движения частицы 科£=盡(P# —《Af)， ляются положительными (см. 1.23); 2) вне соленоида частица

яв-

яв-

является фактически свободной, однако при Ее > 0 не существует убывающих при р — 8 решений у. Ш. для свободной ча* стицы.

Можно убедиться и непосредственно мз вида у. Ш.» что спектр оператора fh{Et > 0) является непрерывным. Для этого

воспользуемся следующим выбором векторного потенциала; АнА^к^ f (р) InorJ, где единичный вектор и。направлен вдоль оси соленоида» а функция f(p) и 31 = rot А — (0,0, 5^ (р))' равны:f 制0,р V R,"「Г (釘练 p>R，воспользуемся следующим выбором векторного потенциала; АнА^к^ f (р) InorJ, где единичный вектор и。направлен вдоль оси соленоида» а функция f(p) и 31 = rot А — (0,0, 5^ (р))' равны:f 制0,р V R,"「Г (釘练 p>R，爲(p) =爲(p) =爲0,0,爲0,0,P<R,P>RP<R,P>R

воспользуемся следующим выбором векторного потенциала; АнА^к^ f (р) InorJ, где единичный вектор и。направлен вдоль оси соленоида» а функция f(p) и 31 = rot А — (0,0, 5^ (р))' равны:

f 制0,р V R,

"「Г (釘练 p>R，

воспользуемся следующим выбором векторного потенциала; АнА^к^ f (р) InorJ, где единичный вектор и。направлен вдоль оси соленоида» а функция f(p) и 31 = rot А — (0,0, 5^ (р))' равны:

f 制0,р V R,

"「Г (釘练 p>R，

爲(p) =

爲(p) =

爲0,

0,

爲0,

0,

P<R,P>R

P<R,P>R

Гамильтониан А, принимает вид

д 1「护3 e 1 方2 出 z^f(p)e丄卢P?尸⑷1 "L哥^丽 P而一了■丽 + 一^ 一而十 一^一1

С. ф・ этого оператора можно выбрать в виде

吗、矗小嘿.

При этом у. Ш. принимает вид обычного одномерного у. Ш. (хО=о)：

上"丄r产仰9-1/4） _ e-mf S）工 理干俗）］

—耳Т%十L 万存f如？' Фfа

с эффективной потенциальной энергией

^(p)=^{(^--^F)2^^}-

график которой приведен иа рис. 28 (конкретный вид графика зависит от значений параметров т9 爲о н др.; в этом смысле рисунок соответствует случаю т*0 八4。。и достаточно большому значению 為&

У

,так что 為оК?》方 с/| е |)・

/Имея в виду общие соображения

' —в о характере энергетического спектра

в зависимости от вида потенциала» легко заметить, что для &ф。данной 、 задачи при любом 5 > 0 существует ^； одно (и только одно) решение у. Ш. 、а (второе решение расходится ирн

/ р-> 0). Это решение, очевидно, не убывает при р — 8, так что оно опи- Рнн 28.сывает частицу, не локализованную в

ограниченной области пространства.

В то же время рисунок позволяет понять качественное раз« личие между случаями R =# 8 н R = 8. При R =# 8 в рассматриваемой задаче существуют квазидискретные уровни энергии (нижние из них изображены на рисунке). При R —8 ширина этих уровней стремится к нулю н они переходят в обычные уров- нн д. с. заряженной частицы в однородном магнитном поле.

Решение задачи легко получить, основываясь на отображениях, высказанных при решении предыдущей задачи.

Для решения задачи воспользуемся вариационным методом.一

При калибровке векторного потенциала А = Vg [3tof] гамильтониан частицы имеет вид

H=H^ + ^ + U(r)9(1)

где

外00丄/戸e嚥％/為V

=_丽"而P而 十药済“而一卽冴一

(ось z направлена вдоль магнитного поля, используется цилиндрическая система координат).

Рассмотрим нормированные на единицу в. ф. вида

V=仮6一小必.仇т(p, g),(2)

где ^п^,т — нормированная на единицу (в плоскости х, у) «поперечная» часть в. ф・ 屮加？ задачи 6・6. Найдем среднее значение гамильтониана (1) в состоянии, описываемом в. ф. (2Х 后(吟=，屮喳Vpdpd中dz =

=手 + 警+小u")…1" 中x,ddv(3)

(<^=х|е|Ж(/М- Из выражения (3) следует (U(r)WO), что при достаточно малых значениях параметра х

Е 60 <飢办⑵(4)

а так как минимальное значение энергии частицы в однородном магнитном поле равно Й©о/2, то неравенство (4) означает, чтб гамильтониан (1) имеет с. з., меньшие 自©о/2, и в соответствующих состояниях частица не может уйти на бесконечность, т. & локализована в ограниченной области пространства (как в плоскости х,协 так и вдоль оси z). Отметим, что число таких состояний бесконечно велико, как и число различных знааенм" величины т.

Направив ось z вдоль магнитного поля, имеем гамильтониан частицы

^=i—^-^~卩幽亀 ⑴

Так как операторы р н §& = 6』2 коммутируют друг с другом и с гамильтонианом (1), то с. ф. и с. з. оператора Я имеют вид

%%=幾严expgt)年 马%=+一2м阳》，

где

6J8・ Выбрав ось z в направлении вектора 3U внутри соле』 иоида, имеем гамильтониан поперечного движения нейтрона

гдегде房—^" - n我(p)也，

где

где

鑑о, P V R (R — радиус соленоида), 0> p>R

¥е& = 〃Р，屮)Xv¥е& = 〃Р，屮)Xv(No — магнитный момент нейтрона). Так как оператор Sz ~ =6丿2 коммутирует с гамильтонианом, то с®. Н, можно выбрать в виде

¥е& = 〃Р，屮)Xv

¥е& = 〃Р，屮)Xv

где 厶―с.ф・ оператора 6*, отвечающие с.з. s2 = ±1/2. При этом задача определения функции f(р, <р) сводится к решению у.Ш. в двумерном поле U(p) вида

и®=｛；и®=｛；—2/遡& м — I/。,—2/遡& м — I/。,PVR, P>R.PVR, P>R.⑴⑴

и®=｛；

и®=｛；

—2/遡& м — I/。,

—2/遡& м — I/。,

PVR, P>R.

PVR, P>R.

⑴

⑴

Так как у нейтрона 冊 V0, то прн $玄=斗1/2 потенциал (I) представляет потенциальный барьер и состояния д.с. отсутствуют. При s2 = —1/2 поле U(p) является потенциальной ямой радиуса R н глубины。0=加戲<4・ Стационарные состояния д.с・ в такой яме были рассмотрены ранее в задачах 4.9 и 4.10.

Гамильтониан частицы в цилиндрических координатах с осью z, направленной вдоль магнитного поля, имеет вид

月=-蛋济会^ +名+十襄! 一 М我。）6"

Операторы 6% 0% L коммутируют друг с другом и с гамильтонианом, и поэтому сф. оператора Й можно представить в виде

^Bp^nsx = =訳聲ё寸('" +管)]f。l

где %s —спиновая в.ф. частицы, отвечающая определенной проекции s, спина на ось 2. Для определения функции /(р>： имеем уравнение

而"［不而Р有两］'-3叫第（P）f = £力，⑴

где Е『Е —疋f2p. Уравнение (1) определяет .также и анерге- тический спектр поперечного движения частицы.

572

Гамильтониан имеет вид

方=S一m避(")"・

Операторы 4,仇,仇 коммутируют друг с другом и с гамнл” тоннаном, и поэтому с. ф. этих операторов могут являться одновременно и с, ф. гамильтониана. В рассматриваемом процессе отражения нейтрона от поверхности раздела «вакуум — магнит- ное поле» он имеет по условию задачи определенные значения величин s& р〃 р* и энергии Е. Поэтому в. ф. может быть представлена в виде

^Epv^r =—^ [4 (&什 pw] 〃*%'

где %s —спиновая функция нейтрона, отвечающая определенному значению & проекции спниа на ось г.

Функция f(x) удовлетворяет уравнению

一蛋 f〃一 2—% (*)/ =£/,(1)

где

心=£一(用+虚)例.

Значения энергии частицы Е и энергии «продольного» 从в”~ *ення £, определяются условием задачи и равны

(р：/2「,если частицы падают из областиж<0.

Iпрн этомрх > 0(в дальнейшем— слу-

E/=(q油矶

I р"2(1 — 2p/z%8 если частицы падают из области *>0.

Iпри этомр“ < 0(случай 6).

-Уравнение (1) следует решать при граннииом условии» соответствующем физической постановке задачи об отражении и прохождений частиц:

f (尤)а'"* *f + 8. pi > 0(случай a),

I c/内* * f — 8, p〈 V 0 (случай 6),

где % — соответствуюн(ая компонента имцульса прошедших частиц:

片=±返±4叱#°・(2)

Задача определения функции /(л) и коэффициента отражения нейтронов от поверхности раздела совершению аналогична 2.46, н, используя результат решения последней задачи, находим

273

коэффициент отражения：

(3)(3)R=(|р』Tе I '=(I & I - "修 ± 4卩n№#j y ll&l+l 園丿 11 Px 1 + MP? ± 4外〃#0 丿

(3)

(3)

(знаки «土》в выражениях (2) и (3) относятся к случаям а и б соответственно).

Векторы (р*, ру, Pn), (—Рх, Ри, Pz), (Р* Ра，Р», представляющие импульсы падающих, отраженных и прошедших частиц, лежат в одной плоскости. Очевидно, угол падения равен углу отражения (углы отсчитываются от направления нормали к поверхности раздела, см. рис. 29), а связь углов преломления и падения определяется выражением 地евад =施『)■——-0阿・⑷ Формулы (3) и (4) справедливы при условии, что подкоренное выражение в них — неотрицательное. В противном случае имеет место полное отражение нейтронов от поверхности раздела (/? = 1).

В частности, при калибровке векторного потенциала, использованной в 64, а, получаем с. ф. и с.з. гамильтониана:¥”■—='”,％(*д 弘 2)Х^>В частности, при калибровке векторного потенциала, использованной в 64, а, получаем с. ф. и с.з. гамильтониана:¥”■—='”,％(*д 弘 2)Х^>Гамильтониан частицы отличается от гамильтонианов, рассмотренных в 6.4 н 6.6, дополнительным слагаемым ——肚画0七・ Решение задачи очевидным образом внра， жается через решения задач 6.4 и 6.6.

В частности, при калибровке векторного потенциала, использованной в 64, а, получаем с. ф. и с.з. гамильтониана:

¥”■—='”,％(*д 弘 2)Х^>

В частности, при калибровке векторного потенциала, использованной в 64, а, получаем с. ф. и с.з. гамильтониана:

¥”■—='”,％(*д 弘 2)Х^>

Евр^ = —^ (« + 4) + v~2冋&.

Используя свойства матриц Паули и соотношения задачи 6.2, находим

{з • G -5 a)}2= 6,6鼠闯产=

=卩2 （% +何同仇）"队=ме一?—任启,

и утверждение задачи представляется очевидным, если учесть, что значение магнитного момента электрона и ц-мезона равно М^е九悻с (с, Ц —заряд и масса соответствующей частицы).

Мо^ЭЬ+ефМо^ЭЬ+ефДля других частиц со спином s=l/2, у которых №耍■器, гамильтониан Паули

Мо^ЭЬ+еф

Мо^ЭЬ+еф

отличается от приведенного в условии задачи^ 274

Гамильтониан электрона (а также позитрона н 产-ме^ зонов, имеющих магнитный момент *о =旗/2цс), согласно пре， дыдушей задаче» можно записать в виде

方=号(讷，

н, очевидно, оператор (而 коммутирует с гамильтонианом.

6^4. Гамильтониан электрона, согласно 6.22, имеет вид

月=击｛捺 0-а(r))у，

и его С-З. являются неотрицательными, Е》0・ Отсутствие связанных состояний электрона легко понять, если иметь в виду соображения, высказанные при решении задачи 6.14.

Согласно классической электродинамике магнитное поле тока с объемной плотностью ](г) равно

现禺)=.丄唯‘与小4匕(0

⑵⑵В отсутствие внешнего магнитного поля

⑵

⑵

]=—岩~(WV 屮，-4fVP)

(—e—заряд частицы), н, учтя вид в.фм легко находим, что в случае 15-состояния | = 0 и 31=0.

ф. произвольного 2р-состояния частицы имеет вид

屮0"蓋阿L"⑶

где а =左2/2。/ и |е|2= 1 (по поводу угловой зависимости в.ф, (3) см. 3.59 и 3.60). На основании (1)—(3) имеем

^(0=- "й^ ) W 卜"•(峭一е &叨 dV(4)

(при получении (4) полезно учесть, что в выражении (2) для тока следует действовать оператором V лишь на сомножители (ег) и (z'r) в в.ф., так как [rVf(r)j =0; V(er) = e)# Введя вектор b == [е'е], легко находим

К"，(гг) — e(fiV)J = [г [гЬЦ = г (rb) — b产， и интеграл» входящий в выражение (4), принимает вид

J % е-加｛г(гЬ) - b 产｝ dV^L(5)

Для вычисления вехтора 1 рассмотрим интеграл

(6)275(6)275J 占 ®т% 暇 d V=<?%•

(6)

275

(6)

275

Взяв в соотношении (6) свертку по индексам i я А, имеем

3C = J 皿产L dV = 4叱 (7) м из (5)—(7) следует 1 = —^- b и окончательное выражение для магнитного поля:

现（°）=爲自也

В частности, в 2р-состояниях частицы с определенным значением m проекции момента на ось г, учитывая вид векторов е(т) (см. 3.60), имеем согласно выражению (8)

Я(о)ш^=о, ^^-(у^^^).

Оператор магнитного момента бесспиновой частицы в отсутствие внешнего магнитного поля имеет вид (—е—заряд частицы)

犯一豈i，

и, очевидно, в условиях задачи его матричные элементы

(断)叩=一备，^1dV(1)

отличны от нуля лишь в том случае, если обе в. ф.屮八 н Vm относятся к 2р-состояниям частицы (суперпозицию состояний 2s н 2P мы не рассматриваем).

Представив в. ф. ¥п и 屮析 в виде, аналогичном выражению (3) предыдущей задачи^ можно найти

(戰-=錯区m⑵

(формулу (2) можно получить вычислением интеграла (1) аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче; од* нако ее можно написать н без всяких вычислений, если вое、 пользоваться результатом задачи 3.66).

&27・ Оператор орбитального момента частицы имеет вид \ — — [гр]. Магнитный момент заряженной частицы в классической теории имеет вид

断 fKv]=^[r(p_?A)].(1)

Квантовомеханическим обобщением соотношения (1) является оператор И магнитного момента бесспиновой частицы:

豌mA"

ЕЛИ

船=殻‘-血1ra*

Усредняя обе части соотношения (2), находим

毓=费1-嘉爾，

Установленное равенство (3) не противоречит калибровочной инвариантности. В заданном физическом состоянии частицы_от калибровки потенциала не зависит значение 91, а величины 1 ч ДгА] от нее зависят. При калибровочном преобразовании векторного потенциала А' = А +vf значение 1 изменяется по той причине, что изменяется в. ф.:

嗖=时(勤)屮

(в. ф.屮 при первоначальной калибровке потенциала и в. ф.屮' при новой его калибровке описывают одно и то же физическое состояние частицы!). При этом изменение величины I полностью компенсируется изменением второго слагаемого в правой части соотношения (3) вследствие калибровочного преобразования.

Отметим» что равенство (3) можно также получить, исходя из определения магнитного момента тока:

断=—,旧用匕

если использовать -известное выражение

⑷⑷в магв магj =会(VV屮.-叶V49 -翁A屮"

⑷

⑷

в маг

в маг

для плотности тока заряженной бесспиновой частицы

нитном поле.

Учитывая явный вид в.ф ^птря (см. формулу (10) задачи 6.6), используемую прн этом калибровку векторного потенциала А = у[Э1йН и выражение для плотности тока заряженной бесспиновоб частицы в магнитном поле (см. формулу (4) предыдущей задачи), находим (в цилиндрической системе координат)

LL=堂133r%=(*嗡，2.

Плотность тока заряженной частицы, имеющей спиновый магнитный момент, представляется в ваде

j = Jop5 + Jen»

где первое слагаемое связано с орбитальным движением части-

277

цы и имеет вид, приведенный в формуле (4) задачи 6.27, а вто рое представляет ток спинового магнитного момента н для спина $= 1/2 равно

]6 =睦г出俚后屮)・

В, ф. рассматриваемых состояний имеют вид

屮0屮ЮТО2sz = %m4%$炉

где х^ —с. ф. оператора 負.Таким образом, 阿屮•。屮=(0,0,23 石 13fl^

Учитывая, что величина \^nmpzf зависит только от переменной р, находим

(/сл)р = (jcn)z = 0, (/сп)ф = 2RqCSz "^" J ^nmpz |2«

Ток орбитального движения в рассматриваемых состояниях имеет такой же вид, как и в 6.28.

В- ф. электрона имеет вид

¥= ^^ге-"% (о =辞Ze/),

где % — спиновая функция. В рассматриваемом состоянии плот-ность тока, евязамнадо с орбитальным движением электрона,равна нулю и ток определяется санновнм магнитным моментом»J = js =晔 rot (V施)=—мс【而PL

где.-

d=%・&* p"}=^e-"e

Согласно извеетной формуле электродинамики векторный потенциал искомого магнитного поля равен

A(R)=ai^ = f。卜，各飼.

Выполнив преобразования

\ 7^5? = НутЙт 一 pv ТГ^т}川=% \ if^FT 数

(1)

(мы воспользовались теоремой Остроградского — Гаусса и соотношением Vrf(R —г) =—▽"(/? — !•) j и учтя, что интеграл, входящий в формулу (I), был вычислен в 4.29:

，鹏H-G+%*f网

находим выражение для векторного потенциала:

А(Г)= —Po[5vf(r)j.

j Мы не будем выписывать выражения для магнитного поля 3t ^=rot А при произвольных значениях г» а приведем лишь пре* дельные выражения:

3to=唬 ЗЧ「)_ зз”-м, ⑵

т. е, на больших расстояниях от атома магнитное поле является полем магиигного диполя, равного g =岬・

В условиях задачи ток, создающий магнитное поле, яв* ляется током спинового магнитного момента, равным

j=I1З= 叱迅(屮常%)=一UoC 1◎yp (也

P=l 屮⑺ F, G = 3C，a，M0RqG

(мы учли, что в. ф_ рассматриваемого состояния частицы имеет вид史=少卜)名).

Для нахождения магнитного поля в начале координат

(1)(1)= 9 )弊^ d V =-卄［Н 四PlI d 展 =—卄(H(rVp)—(iV)Vp}dK

(1)

(1)

рассмотрим интеграл

，/修去 р()d"=ем⑵

Выполнив в выражении (2) свертку по индексам ^ и А и учитывая соотношение

Гур(г) = хх^-р(г)=х^4-р(г)=г-^р(г), находим

ЗС = , 3 м 备р⑺ W= !』/ р")”= — 4яр。・(3)

Согласно (1),⑵ и (3) имеем

3t。 =警叫0)=等m巾OR⑷

В частности, в случае ls-состояния частицы в кулоновском поле из формулы (4) вытекает первое из соотношений (2) ”ре< дыдущей задачи. 、

Г л а в a 7

ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ

Из соотношения

♦(祠и啬(祠+劇氏附

после очевидных преобразований с использованием результата задачи 1-9 получаем требуемое правило дифференцирования:

-^•(лв)«Ав+лв.

7-2. Учитывая вид гамильтониана (в координатном пред* ставлении)

月。口产+约值)

где p= —IAV. легко находим

&=』貞反 Н=/(Е-£а)，

73

w=M=等+孑【瓦句=砕8+党*{[vaj - [av]}, (i) где

&u—R«_三端^ Я = rot A.

Соотношение (I) является естественным кваитовомеханнче- скнм обобщением уравнения движения заряженной частицы в влектром агнитном поле

|iw = pr = F = eS + y[v3Q.

Усредняя оператор £ находим

г=[叫m而=一右，立面一圻)W"d工=0.(1)

При получении соотношения (1) учтено, что /?ТЯ = £nW«, н нс・ пользована эрмнтовость оператора й.

а) ^Оператор силы F в координатном представлении имеет вид F = — VU. Так как Й = р/2从 + U, то

F=-ди м气氏百0 а，

н на основании результата предыдущей задачи находим F = 0.

Утверждение задачи можно доказать непосредственным усреднением оператора силы, выполнив следующие преобра- 加

зования:

f = -\^(graAU)WndV =

=-j У (屮詆屮〃)dV +，{值1^ £) UW, + W：U grad ^^dV =

=一，v (用u%)"+&，v w4ydy +

+ ~ $ ((TO №) + (ЛЧ^)(V>Pn)} dV (1)

(мы учли, что в. ф. 明 является с. ф. гамильтониана, т. е, U^n — (£Л — р2/2^)屮好).Воспользовавшись теоремой Остроградского—Гаусса, легко заметить, что выражение (1) равно иулю. При этом следует иметь в виду, что последний интеграл в выражении (1) можно преобразовать, учитывая коммутативность операторов V и Д и эрмнтовость оператора Д, к виду

，{(W；) (А&) + (AW) (VWn)} dV =，V (屮:AWQ d V = 0・

7・6・ Теорема вириала классической механики утверждает, что если потенциальная энергия механической системы является однородной функцией ее (декартовых) координат и движение системы финитно, т. е. происходит в ограниченной области пространства, причем не происходит «падения» частиц друг на друга, то средние по времени значения кинетической и потенциаль- ной энергии системы связаны соотношением

ntf =2Т9 (1)

где п—степень однородности функции Ug, xs> ...» 畑儿 N — число частиц системы» так что по теореме Эйлера об однородных функциях

3N〃U = Z 七3N〃U = Z 七⑵⑵0U R • 0U

3N

〃U = Z 七

3N

〃U = Z 七

⑵

⑵

石a方「a-1

Теорема (I) остается справедливой и в квантовой механике, если только под усреднением понимать квантовомеханическое усреднение по в. ф. стационарного состояния д. с, (это означает» что если рассматриваемая система является замкнутой, то из рассмотрения исключается движение ее центра масс).

q) Учитывая операторные соотношения

результат задачи 7.1 и равенство (2), находим

А 2 рЛ= £ (рЛ + p}^ = 2T-nU. (3)

Доказательство квантовомеханической теоремы внрнала сле< дует непосредственно из усреднения операторного равенства (3}' "° в. ф. стационарного состояния 凡 с、если учесть результат задачи 7.4.

При доказательстве этим способом мы ограничимся случаем движения одной частицы во ^нешкем иоле вида U = a尸. Обозначим через 暇(г) нормированные с. ф. гамильтониана, отвечающие с. з. д.с. Рассмотрим в.ф. вада

中&6)=а + М%% [(1 + 入)打，(4)

которые, как и с. ф_ 里&壮),йормнрованы на единицу, и найдем среднее значение энергии частицы в состояниях, описываемых 此Ф・(4):

屋(入) 7 軌(一警厶+ U)灯dV=(1 +守九+( 1+£)-" &力⑸

где 7\九 °在а — средние значения кинетической и потенциальной энергии частицы в состойвйи 叫(г).

При 入—力 из соотйошедия 闾;следует

瓦俟"人+(方林一〃瓦◎儿

и условие экстремальности с. з. гамильтониана, требующее

—^—— 0, дает доказательство теоремы вирлала.

Степенной потенциал V = а尸 характеризуется лишь од・ ним раамерным параметром а. Поэтому удобно представить аотеыццалы парного взаимодействия。亜 частиц о н 力 в виде

1/аъ=оС flft[ гс 口 Г»

где Саь — уже безразмерные величина. Удобно также представить массы частиц в ®иде та =胸加,где m — некоторая эталонная масса, так что 卩口 — безразмерные величины_ При этом га- мнльтхжиан системы N частиц, взаимодействке которых друг с другом и с Фяептим полем {центдз которого находится в точке г = @) описывается степенными потенциалами с одинаковым по・ ка&ателем п» принимает внл

月=-券2 芻十 Е аС^^а-ГЬГ + 2«С£.aaVbо

С. з. д. с. этого гамильтониана E^tn.h, a; С& &力 卩斬 п) за- висят только от трех размерных параметров: т,瓦 ％ из которых единственным способом можно составить комбинацию, нмеющую размерность ввергни;

8=。(鲁严，

■ ue^baft ейрааевать ни* одного 6呼 аам^нзо* 独叫кмегра» тав что из соображений размерности следует

昂=С 毎{&，G*，%，碌

Учитывая» что V ^адЯ/Ле, на основании результата аада* чи 1.28 находим

必L噜=各厶

Из этого соотношения и равенства £怠=Таа+ 0«* следует, oqe* видно, утверждение теоремы нириала.

7.7・ Оператор дипольного момента системы имеет вцд

d*=e £ 尤以. Вводя оператор производной по времени от ди* aт小

польного момента ① и воспользовавшись формулой

6)” i坛卢⑷山

где £m — энергетические уровни системы, легко получаем еле’ дуюшуки неяочку равенств:

У (Em — £J Wnm (膝)mn =W* £ (^/Xw^Xtt 一 mm

一岑e M)g嵐М=*也源-d心hm (1}

m

(при этом мы использовали правило умнозкения матриц^

Принимая во внимание определение & и коммутативность операторов координаты 先]и скорости х^=—^^ для раз- личных частиц 価 * 6>» так что

&遥“-融九，=甫6/小

находим из соотношения (1) при i — k с утетом равенства (dJ/zmU (由)тп再

J^(EM — En)l(^nmF^^ ^(XaiXai~Xa^a^M=^ (2) mGT

что н требовалось доказать *X

♦) Обращаем внимание н” то, что б (2) нет суммирования по индексу £ (т. е. оио елрав^ьявв для всех трех иомпсн«ят|. При. выполнении такого суммированнн следует ааменкть ИА)ятР на [&小，а правую часть (2) умножить на 3.

Отметим также, чт соотношение (2) очевадным осотом может 61m обобщено на случаи системы, состоящей из частиц с различнымв значениями варяда н массы»<_

， 7.8. Запишем у. Ш. и уравнение, комплексно сопряженное к нему:

访噴^ ^-^^(Г^)+\и(г.吟屮(М。W, (1) 一熊叫＞L= 一费 W(* 0+ \ 5r，门屮.(匕 f)W.(2)

Умножив уравнение (I) слева на 屮'(г,。, (2) —на V(г,/) н произведя почленное вычитание, легко находим соотношение ^5^- + diVj(г,;Г)-4{V(r, 0 J U僞门屮(匕 /) W'_

一屮(г, 0 , £Г(г, /)屮• (1, f) dV'} (3) (вместо обычного уравнения непрерывности 罟+ &vJ = 0), где

р=|屮(r,f)R J =—贵(VW-屮W).

Так как правая часть уравнения (3) отлична от нуля (за исключением случая локального потенциала, когда U(r,r') = =U(г)6 (г — Y)), то локального закона сохранения вероятности нет (сравнить с 7.9). Легко, однако» заметить, что в интегральной форме в случае эрмитовости нелокального потенциала закон сохранения нормировки волновой функции состояния (числа частиц) имеет место: проинтегрировав соотношение (3) по всему пространству, находим

］卜屮(r,0FdV = 0, J|W(nOPdV = const

(интеграл от правой части (3) равен нулю в силу эрмитовости оператора О9 равенство нулю интеграла от второго слагаемого в левой части (3) следует из теоремы Остроградского—Гаусса).

Отсутствие локального закона сохранения вероятности можно интерпретировать как рождение н уничтожение частиц в различных точках пространства. Сохранение же нормировки волновой функции состояния означает, что эти процессы имеют одинаковую интенсивность, что обеспечивается эрмитовым характером оператора О.

Стандартное рассмотрение (см., например, 7,8) приводят к соотношению вида

^^+ dW j(r. 0 = ■! S (г) I屮心 /) F,(1)

где, нак обычно,

р = | 屮(r,OF, j = 一翁(屮▼_ 屮 w)

Проинтегрировав уравнение (1) по произвольному объему, находим

方Ь 屮(r,0FW = -§jd6 + "tA(r)|W(r,，)FdX(2)

УSV

При Ui 胃 0 соотношение (2) представляет закон сохранения вероятности в том смысле, что изменение вероятности нахождения частицы в объеме V за единицу времени равно (со знаком минус) потоку вероятности через окружающую этот объем поверхность S. При Ui=#U второе слагаемое в правой части выражения (2) нарушает этот баланс и тем самым представляет дополнительный «механизм》изменения (со временем) вероятности, а тем самым и нормировки в. ф. состояния» что можно интерпретировать как изменение числа частиц в системе. Очевидно, что при 1Л > 0 этот дополнительный «механизм» увеличивает число частиц, а при Ui V 0 — уменьшает, т. е. частицы поглощаются. Отметим, что интенсивность этих процессов (рождения и поглощения) в данной точке пространства пропорциональна плотности вероятности нахождения частиц J里|&・

Представив в. ф. в виде

W(x,/ = 0) = 4(3sin-^-sin^)

и учитывая вид с. ф. и с. з. гамильтониана частицы (см. 2.1), находим согласно общей формуле, определяющей временную зависимость в. ф.,

屮(%, 0 =+(3 sin ?ёхp(一瑞")-sin 个exp(一零。)=

= 4exP(~^S") О 痴? 一 exp (— ^9 sin 礬).

Через время T = ра2/2л^ частица возвращается в исходное состояние.

Учитывая результат задачи 4.1, легко находим 屮 3 f) = J [1 _ ехр (— ~-) cos (2ф)].

Через время Т =冗//Н ротатор возвращается в исходное состояние.

7-12, Представив в. ф. в виде

屮(е,/ = о)=л cos2 e=4((3cos2e-i)+i](1)

н учитывая, что первое и второе слагаемые в квадратных скобках пропорциональны соответственно шаровым функциям V20 и Уоо, являющимся с. ф. гамильтониана (см. 4.3), находим

屮 Q 0=4{，+(3 С8'е - 1)ехр (—翠)} •

Через время 才=2冗//3力 ротатор возвращается в исходное соостояние.

7・13・ Разложим в. ф. по с. ф. оператора импульса (и гамильтониана):

W(x,/ = O) = Jc(p) * (x)dp,屮戸(х) = (2лй)-%ехр (架)， где

С 3 =з，屮(居‘=°)exp (-喻 dx Н

Интеграл в выражении (1) просто сводится к интегралу Пуассона» н'

с(Р)=榦exp [-~ (mvoa - pa)2].

В.ф. W(x,/) состояния частацы в произвольный момент вре- менн, согласно общим принципам, может быть найдена по формуле

W (х, /) =，с(р)ехр(—瘍)町(x)dp =

=需，咖[-舞■十号一豪(叫一间亜⑵

Интеграл в выражении (2) аналогичен интегралу в формуле (1), и его вычисление дает после простых, но несколько громоздких преобразований

版，。=砲十罢]-%x

YГ 一 та2fts (算—"分2 + 鏡8r，+ e4m%0A 化" 一©m)]

20(0駅2 +一7/加2)

Согласно (3) имеем

1屮(■，ОХ” /£кехр『—・戶喘、]•⑷

Легко найти, что при ]Л|2= (№)'~IZ2 в. ф. W(х, /)' является нормированной на единицу. Учитывая это обстоятельство, на・ ходим

兩=卜 I 屮(х,。F dx=v^, (5Д^=_一 而 2 = .(1 +黑).⑸

Функция

c(p,f) = exp(—踪)с(р)

представляет в.ф. частицы в импульсном представлеиии, % учитывая вид с(р), находим

^=，p|c(P,l)Fdp=/n% (Ap([))2=备.(6)

Полученные результаты (4)—(6) имеют простой смнс电 функция распределения по координатам частицы согласно (4} имеет бид гауссовского пакета,吧нтр которого х(/) перемещается со скоростью и。(равной р/m); при этом ширина пакета, имеющая порядок величины “(Ах《))*, унеличивается (пакет расплывается). Расплывание пакета связано с тем, что нмпульс частацы не имеет определенного значения.

Ширина пакета увеличивается вдвое за время f。, равное

4=V^m*4.(7)

Приведем численную оценку времени f。.

Для частицы с массой т = Ю^27 г (электрон) при 〃 = =16-8 см (атомные размеры) находим согласно (7) % 7 ~ IO* с.

Для макроскопической частицы (m = 10-8 г, о =10-8 см) формула (7) дает 4 ~ 1018 с ~ 10й лет!

Согласно предыдущей задаче

码配40+黑)三学•⑴

Из выражения (1) следует

HClmm = Wm，те 歩©»th]tn.

В. ф. состояния частицы в произвольный момент времени:

屮У0==к回ех】(一粤)屮E(*)d£,(0

и убывание величины |屮(%,f)「При /—>©о представляется очевидным ввиду быстрой осцилляции подынтегральной функции (точнее, осцилляции ее вещественной и мнимой частей) в вы* ражении (1).

Отмеченное условие убывания 11P (拓 f) ]2 c учетом сохранения нормировки в. ф. означает, что частица при ff 8 уходит на бесконечно большое расстояние. Этот результат соответствунт инфинитному характеру движения частицы в классической ме* ханнке.

Разложив функцию W(x, / = 0) по с. ф. гамильтониан? частицы в поле "(%) = —а6(х), представим в.ф.屮(%, Г) в вндб

8

屮(х, 0 = ехр (— 暑)QK (х)十 J С 电 e-‘咿専E (x) d瓦(0

где

К(х)^ V«o exp (— «J” 以 &=К(х)^ V«o exp (— «J” 以 &=2。'2。'ma% = ¥ma% = ¥

К(х)^ V«o exp (— «J” 以 &=

К(х)^ V«o exp (— «J” 以 &=

2。'

2。'

ma

% = ¥

ma

% = ¥

представляют нормированную в. ф. и энергию единственного состояния д.С・ в рассматриваемом поле (см. 2.11).

Второе слагаемое в выражении (1) (вклад непрерывного спектра в в. ф.) при tfg обращается в нуль из-за быстрой осцилляции вещественной и мнимой частей подынтегральной функции. Таким образом, имеем

I 屮(м f = 8)卩=]СоКОО Р=хо|Со Рехр(— 2х0| 尤|).⑵

Выбрав значение коэффициента Л в в. ф. W(x, / = 0) из условия нормировки: Л2 = ₽ — и вычислив величину

Со=，屮(%, f = 0)弘⑺"=2“稀(《о + 旷‘，

перепишем выражение (2) в виде

w(%/= со)=| W(x./ = 8)F=(苔,2 exp(一2x0|XI),

в котором оно представляет функцию распределения по координатам частицы при £->8. Условие нормировки этой функции имеет вид

WM，昭(爲 f=co)d%=4他о(痴+ 0)Т《1・

—DO

• Тот факт^ что функция W нормирована на значение, меньшее единицы^ означает, что частица с конечной вероятностью, равной (1—з), уходит на бесконечно большое расстояние от силового центра. Для понимания результата задачи следует иметь в виду неравенство

J J W(х, / = со) pdx= J Ши[屮(%,Opdx 声

*馳，I屮(尤/)f以=1.

В. ф.屮3, f) имеет вид

Ч；伉')=靑卜ХР [- !僚-Р')]①。® "Р・⑴

При f-> 8 (и 尤-> ±8)фаза в показателе экспоненты в выражении (1) сильно изменяется уже прн небольшом изменении переменной р, что приводит к быстрым осцилляциям веществен* ной н мнимой частей подынтегральной функции и к взаимному уничтожению вкладов от различных областей интегрирования.

288

Наименее скомпенсированным (а поэтому й доминирующим) является вклад тех областей интегрирования, в которых показатель экспоненты изменяется наиболее медленно, т. е. областей, близких к экстремальным точкам этого показателя как функции переменной р, определяемым из условия

齧(窑—Р") = °,向=皇.

Вынося из-под знака интеграла значение функции Фо(ро) в экстремальной точке н вычисляя получающийся при этом интеграл. находим искомый асимптотический вад в. ф. при /->оо： 屮6年曾”吊图-pх*p =

=3/号6。(手)Е.⑵

Отметим наглядный смысл результата (2): значение в. ф. прн f f 8 в точке “-> ±8 (так, что x/t = const 三 坊=Po〃O определяется в. ф. 6о(ро) в импульсном представлении — именно такой импульс ро должна иметь свободная частица в классической механике, чтобы за время t сместиться на расстоя-* ние爲

7Л8. Разложив в. ф. по с. ф. гармонического осциллятора, имеем 8

屮' 0= Z сл ехр (— iEnt/h) Уп (х)»⑴

где

吸⑴=(2ma両)fеXр(-炉/2尚"- (w矶

Q=，屮(x,f=0)%(x)〃 =

一(2"川 st)T2 j 也(х/П) eхp [-衣-"粛史 + "^]手 ⑵ —8

(мы выбрали Л = (а^\5^) 1/1 из условия нормировки в. ф-).

Для вычисления СЛ воспользуемся производящей функцией полиномов Эрмита

OQ

ехр (―力 + 2飢)=£ % % Ш ^-(3)

л—0

Умножим обе части соотношения (3) на ехр[—F+ 岩"•-F 十店片匕]匕 проинтегрируем no 《.При этом в правой части коэффициент при 2” очевидным образом выражается через СЛ.

28928910 В】Мй Галицкий к др.

289

289

Интеграл от л^вю故 части преобразуем следуюпшм. образом:

8

\ eXp[一逑一产十2親十gxo/a+ip屣/雑恋=

f=*exp®住 + 警)gp[a(年+ 噌)卜

=бехре (年+幣)]三 % (晉+.》以

«—0

Приравнивая коэффициенты при z” в соотношении, получающемся б результате интегрирования обеих частей равенства

(3), находим

Ci%产俘+罕)％хр[_/ +警-О・

Учитывая, что Ел = ^(п + 1/2) и найденное значение &, перепишем соотношение (1) в виде

4也0=u2?2鳥仁十際)“名("")Х

"h炉

Хeхp[一台_■一塞 +■^■一心("+ ])’]•⑷

С помощью формулы (3) ряд (4) легко просуммировать:

屮(右 0=Wv< exp [ 一 М _ 鶉一 ^£- + -§^] х

Хeхp[_4•传+*)%一加+ (年+粤)аeв「号] Последнее выражение удобно записать в виде

屮 & f) = (л^т’ехр [—4(Т~^ 8s 國—幣 sin ®/)2 十

+ V (喈3w-晉痴叫+与也sin2血+

十崇 s1n 2d 一^"£m 23 -嚟].(5)

Из (5) следует (напомним, что а2= hlm^

[屮(%, f)卩=^^exp[一专9—与cosof 一 ^'蜀n0，y], (6) т.е. распределение по координатам частицы имеет вид гауссовского пакета, центр которого /(f) перемещается 8 временем по закону

^(/)SX(0 = ^COSO/+-^- slnof

"(осциллирует с частотой ©У, а ширина остается неизменной (отсутствует расплывание пакета) и равна (А% ⑴)2=aN2・

Учитывая вид в. ф. (5), находим характеристики распреде^ ления осциллятора по импульсам：

р ①=ро cos of — ms%。sin of, (Ар (/))2= fi72a2 = const.

Отметим,电то величины х(/) и р(2) изменяются со временем так же, как коорданата и импульс классического осциллятора.

Читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос о вероятностях возбуждения различных стационарных состояний осциллятора в состоянии, рассмотренном в данной задаче (т. е. исследовать величину wn= |СЯ|2).

Так как временная функция Грина удовлетворяет у. UL но переменным 力./, она может быть представлена в биде

GQ, /;У, Г)= ] ар[-爲0-川&«б + (x)dp9 (1)

где 屮「(х)=(2几论)-I" exp (ip尤/й) — сф- оператора имцульса и гамильтониана свободных частиц.

Коэффициенты С*(х\ У) в разложении (1) определяются из условия обращения функции Грнна при f = f' в б-функиию: 6(* —/)・ Из соотношения (1) при / = Г и равенства

，雑(/)屮Р(х) dp = 6(х — /) следует

еp = 4；①).⑵

Согласно (1) и (2) находим искомый вид функции Грина:

С(%，；/,/)=，eхp[一黒&一行]野(*')屮"齢功=*

=(2确7 J exp[_ \ (卢髭")+ p/亠p0]dp =

= V 2ftrt ■一吗 e时*；三- (3)

Обобщение формулы (3) на трехмерный случай представля* ется очевидным:

С&М «•，• Г)= Ы^=ТгГ exp[w^7?]-

С помощью временнбй функции Грина в. ф. W(x, /)' частицы йо известной в. ф. W(x, / = 0) можно найти по формуле

屮G,。=，G(x,右 W, 0)W«/ = 0)盘'・

Отметим, что зависимость функции Грина от координат и времени в виде (х —，)и R — Г) связана с однородностью

10*291

пространства н времени для свободных частиц< 『

7・20. G(p, /; р「Г) = ехр[ —^炉爲а]б(Р-рО.

Функция Грина отлична от нуля при х, Z < 0. По переменным л, ，она удовлетворяет у. Ill. для свободной частицы и граничному условию С (х = 0; /; ', f)= 0.

Учитывая результат задачи 7.19, легко сообразить, что искомая функция Грина имеет вид

сКХ /，力=V 2ЕА" —价｛ехр 2力(Г—/)ехр 幼"一冒 j•

Подставив в формулу

屮 а,。= Jc(x, с м r=o)w«/=o)dxz ⑴

значение в. ф.屮(х,0), указанное в условии задачи, и функцию Грина, найденную в предыдущей задаче, и вычисляя получающиеся при этом интегралы, находим вид в. ф.:

屮* f)=｛"・/‘焉｛exp % a +总/而叫产(一任+此一

一噜У十烏g +尤。产+审(X +城-曙一

一整(。卄黑))]一exp【(—一硼⑵

где exp[(XL—х)] означает выражение, совершенно аналогичное первому экспоненциальному слагаемому в формуле (2) с единственной заменой х на (—х)・

мое, описывающее падающие частицы- При / > 卫生 в ромое, описывающее падающие частицы- При / > 卫生 в рослучаеслучаеф. (2) представляет суперпозицию двух Волковых пакетов, первый из которых описывает частицы, падающие на стенку, а второй — отраженные. В начальные моменты времени в выражении (2) наиболее существенным является первое слагае-

мое, описывающее падающие частицы- При / > 卫生 в ро

мое, описывающее падающие частицы- При / > 卫生 в ро

случае

случае

Ро》4')‘ наоборот, доминирующим является второе слагаемое, описывающее отраженное частицы.

7・23. Функция Грина в импульсном представлении имеет вид

С(р」；р',Г)= , ехр[-^=^1]①％3)63阳⑴

—8

Г№ Фе{р}^пР^^представляет с. ф.

гамильтониаиа частицы (см. 2.45).

Бычисление интеграла в выражении (1) дает

С (р，'； р'，')= ехр[—半論*"]з(Р 一 р' _ 尸0& — У».

Учитывая соотношение между функциями Грина в коор* динатном и импульсном представлениях

С(х, f; х； Г)= (2лй)^' J ехр，3；Р")]С(р,，р‘, f')dp'dp

И явный вид функции G(p, f; Р*У), найденный в предыдущей задаче, легко получаем'

С(" f； ”'功=八諦Т')exp{-彎/ +

十鲁(— + /)4■喘二：,，卜

Движение волнового пакета читателю предлагается рассмотреть самостоятельно. Отметим лишь, что плотность вероятности |W(xr /) Р имеет вид распределения Гаусса, причем

而一№+p• +尸典2払(XT^F=30+黑).

Для нахождения функции Грина следует вычислить сумму 8

G以 /； < *)=2 eхp[二呼二^]屮:(/)屮“(以(1)

rqe Wn(x)= ^a^nntY^exp (— ~j Hn (^),

£л ?= ftco (n + 1/2), 4 = “-/ms：

Учитывая известную из теории полиномов Эрмита формулу (см. [12])

.(1 ^т^^^

легко вычислить сумму (1) и найтн явный вид функции Грина

С(хи；^,Г)==С(хи；^,Г)==2х，一(£ + (丁产)cos s « - Г)]2х，一(£ + (丁产)cos s « - Г)]2/G2sin«(/-r)2/G2sin«(/-r)“2oiia%in。" — V)“2oiia%in。" — V)

С(хи；^,Г)==

С(хи；^,Г)==

2х，一(£ + (丁产)cos s « - Г)]

2х，一(£ + (丁产)cos s « - Г)]

2/G2sin«(/-r)

2/G2sin«(/-r)

“2oiia%in。" — V)

“2oiia%in。" — V)

Пусть система К' движется со скоростью V вдоль оси 郭 по отношению к системе К, так что х = j^ +Vtf t = t\

Потенциальные энергии в этих двух системах связаны соотношением U'(/,「)w U'(x— V。f)=U(拓 4 (мы ограничиваем* ся для простоты случаем одномерного движения, обобщение на

Унитарный оператор。寧).соответствующий преобразованию Галилея, находится из того условия, что если в. ф.屮(х, f) удовлетворяет у. Ш_ (в системе К)

熊小中(*, 0 =*屮=傷+и保。]屮(X, 0,(1)

то функция

屮，a，0= 0屮 к 0(2)

является решением у. Ш. в системе К' (и наоборот)

伍4屮，(二0 =科屮'=陽 + u”，可屮'"，/)-(3)

Так как обе функции W, 4r описывают одно и то же физическое состояние частицы (только в различных системах коор* динат), то должно быть выполнено условие

I屮‘(7")f习屮'a一",/)f=i屮a,。f,⑷

выражающее независимость от выбора системы отсчета плотности вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Из равенства (4) вытекает, что оператор О в соотношении (2) имеет вид

U=exp {»(%/)).(5)

где S(x, 6 — вещественная функция. Подставив

呼'(ко= exp (m (/ 0)屮片。⑹

в уравнение (3) н переходя в нем к новым переменным (x.f), получим

必号屮("，‘)=_畳名屮&0)叫一《衆一吟雾+

+["(.,0一需察+譽隱y十絃需+自需]屮(% о-⑺

Потребовав, чтобы уравнение (7) было тождественно (1), получаем систему уравнений для определения вида

•) Не путать с U (х> /).

М4

функции S(xt t)l

⑻⑻京西+昨0，

⑻

⑻

施2 32s 縛,dS\2 3s 丄爲 0s л麻石m +石t［京)+w-d^ + h^r = ^

Из первого уравнения (8) следует

s@,o = -* + f(f),

а второе уравнение позволяет найти /(/), так что

S«f) =S«f) =+曙+ С+曙+ С(9)(9)

S«f) =

S«f) =

+曙+ С

+曙+ С

(9)

(9)

Выражение (9) (в котором можно опустить несущественную постоянную С), согласно формуле (5). определяет вид искомого унитарного оператора.

Учитывая соотношения (6) и (9), легко установить следую, щий закон преобразования в. ф. частицы в импульсном представлении при преобразовании Галилея:

①'(Р「t) = 6(p = p' + fnV,f) ехр (- »^^ + -^), (10) из которого вытекает соотношение wf(p — mV. t)=w (р, /) между функциями распределения по импульсам частищя в системах К' и К.

• 7.27. Пусть в. ф_ 屮(г, /) является решением у. Ш.

議等=去(6 —《А(г, "У*十"(г,。屮 (1)

прн некоторой калибровке А(г,。，屮(г, f) потенциалов внешнего электромагнитного поля, в котором движется заряженная частица.

Инвариантность у. Ш. относительно калибровочного преобразования потендаалой означает, что если перейти к новой калибровке потенциалов

A，= A + V/(r,f),(/7 —J//(r,儿

то должен существовать такой унитарный оператор О, что в. 0. 屮'=Ор, описывающая то же самое физическое состояние частицы, что и в. ф_ 屮(но только в новой калибровке), и потому удовлетворяющая соотношению

1联(中)卩=［屮(r,0匕⑵

является решением у. Ш.

切券=嘉 G 一0 А')’+еф*'、(3)

Для нахождения оператора О замечаем, зто согласие (2) сн должен иметь вид

t/=exp(ZS(r, 0).(4)

где S (г, 0 ——вещественная функция. Подставив в. ф. вида

屮'(г, O=exp(/S(r,/)｝屮(А 0(5)

б уравнение (3) и потребовав, чтобы получающееся при этом уравнение для в. ф.屮 имело вид (1), находим уравнения для определения функции S(r, /) (сравнить с решением предыдущей задачи):

AVS (Г, а = ? w (Г・ а,汽 A s (г, о = ^ 3 f (「, о・⑹

Решение системы уравнений (6) дает

S(r,f) = ^f(r,f) + C(7)

и тем самым, согласно (4), определяет вид искомого унитарного оператора (несущественную постоянную С в выражении (7) можно опустить).

Очевидно обобщение на случай системы произвольного числа заряженных частиц:

eaf(rat /)

где сумма берется по всем заряженным частицам.

7.28. При унитарных преобразованиях (в том числе и зависящих явно от времени) в. ф. и операторы физических величин преобразуются, как известно, следующим образом:

屮一屮，=="卩，fff = 4B+.

В частиости, 自'=0片0七(1)

Выясним, какой вид принимает у. Ш.距衣屮=ЯУ при унитарном преобразовании 0(f), зависящем явно от времени. Из у. Ш. для в. ф.屮 следует

険0《屮三修喘(备9一流(手)屮一0片屮.(2)

Учитывая, что。*。=1,屮'=仃里 перепишем (2) в виде

历《屮'=｛0后0+ +助(普)°*｝，(3)

представляющем у. Ш. с гамильтонианом А", равнымпредставляющем у. Ш. с гамильтонианом А", равным

представляющем у. Ш. с гамильтонианом А", равным

представляющем у. Ш. с гамильтонианом А", равным

(легко убедиться, что оператор А" эрмитов). Выражение (4) решает поставленную задачу.

Таким образом, при унитарном преобразовании 0(f) в соответствие гамильтониану В можно поставить два оператора: А' и /?"・ Для понимания полученного результата и выяснения роли операторов В', /?" необходимо иметь в виду следующее обстоятельство.

Гамильтониан В выполняет, вообще говоря, две функции:

он определяет временную эволюцию в. ф. системы в со- ответствии с у. Ш.;

в случае, если оператор Н не зависит явно от времени, он является интегралом движения, а его с. з. имеют непосредственный физический смысл, представляя энергетические уровни системы.

Однако если 円(f) зависит явно от времени, то он утрачивает вторую функцию (энергия не сохраняется; с.з. же мгновенного гамильтониана /?(/) для рассматриваемой системы не имеют, вообще говоря, глубокого физического смысла).

Если исходный гамильтониан Й не зависит от времени н тем самым выполняет обе указанные выше функции, то йри зависящем явно от времени унитарном преобразовании эти функции распределяются между операторами А' и 丑〃二 оператор /?" определяет временную эволюцию в. ф.г а /?' принимает на себя вторую функцию оператора Й как оператора сохраняющейся величины. Очевидно, спектры с.з. /? и Н' совпадают. При этом го обстоятельство, что оператор R' является интегралом движения. можно подтвердить и непосредственным вычислением:

方后『3"+之仍.百']=0・

Если же гамильтониан Й (f) зависит от времен% то он утрачивает свою функцию интеграла движения. Соответственно в этом случае оператор » не имеет непосредственного физического смысла, а оператор 月"по-прежнему является оператором, определяющим временную эволюцию в. ф. системы.

Иллюстрацией проведенного рассмотрения является переход к гайзенберговскому представлению, осуществляемый унитарным оператором (в случае 导方= 0):

0 = ехр((角).

В этом снучае 贷=Й, й/х = 0 и из ув Ш в новом, гайзен- берговском представлении следует независимость в. ф_ от времени.

Имея в виду, что унитарные преобразования в квантовой механике являются аналогом канонических преобразований в классической механике, нетрудно сообразить, что соотношение

(4) является квантовомеханическим обобщением формулы ^(P9Q.f) = H(P9Q9t) + ^-

класснческой механики, выражающей преобразование функции Гамильтона при каноническом преобразовании, осуществляемом производящей функцией f(/), зависящей явно от времени [4].

а) Для нахождения вида гайзенберговских операторов

£g) = ##%-玄"0©=3钮館三钮,疗=倒2也

воспользуемся импульсным представлением, в котором, как известно,

£ = р, £=3也 д/др.

Тогда легко находим

P(gP = d

?&)= eхр (舞)鏡&ёхр(一磊)=统若+若="之心

т. е. соотношения между операторами точно такие же, как между соответствующими классическими величинами, причем операторы £, / играют роль начальных условий для операторов 兑⑴Ю

б) В гайзенберговском представлении операторы £(f), p(f)' зависят явно от времени и уравнения движения для них имеют вид

喀П白育,金例喀一聚瓦以处 (1)

где производные d/dt понимаются как производные по времени, явно входящему в гайзенберговскне операторы; гамильтониан Й = B{p[t)9 £“))выражается через операторы f(f),戈(f), удовлетворяющие каноническому коммутационному соотношению

口0身(切=一血

Для свободной частицы /? = p2(f)/2m и уравнения (1) при- нима ют вид

Из уравнений (2) имеем

0(9 =仇=力,(3)

т. е. оператор р (/) не зависит явно от времени. При f = 0 гай* зенберговские операторы совпадают с операторами в шредин- геровском представлении, поэтому р° 三夕一обычный оператор импульса в шредингеровском представлении^

298

Из первого уравнения (2) с учетом (3) легко находим

£0=《鱼+馬=4p+£，

где 鳥三 £—оператор координаты в шредингеровском представлении.

а) Учитывая вид гамильтониана Я = ^—Fg операторы £(力 и P(f) легко найти, используя результат задачи 1.14:

£ (f) = exp (IHtfK} * ex р (— iHt{tij = # 十]力十嗡，

型⑴

Учитывая формулы

fi^=-^-F^f tp(f),£M=—访，

находим уравнения движения для гайзенберговских операторов

*=为方社£砌=零，

噌"=4成①,通=Ль⑵

решение которых приводит к установленному выше виду (1) этих операторов (ыапомним, что 1f.夕一оператор耳 в шредвнге* ровском представлении, играющие роль начальных условий для гайзенберговских операторов £(，)，£(/)).

а) Учитывая, что для осциллятора

5=心+手.来疗,£]=A，《色£]=_紘

легко находим, воспользовавшись результатом задачи ].14】

£ ⑴=expQ 疗f/»£exp(- tfh陇=

=*+扌家反*]+击(N)21反1打制+…H

= £eos也十备sin做⑴ 0(9 = ^ccs s/ ——m<o£ sin о/.

Уравнения движения для гайзенберговских операторов имеют вид

噜=系公办2町=华，需=为后e“(3=-a；ес.

Эту систему уравнений для операторов £(f), /5(/) в силу ее линейности можно решать так же» как для обычных (неоператорных) функций, так как при этом не возникает трудностей, связанных с некоммутативностью операторов Решение имеет вид

£ (0 = 6[ cos©/ + ^sln 吼 A (f) = — znw[Ci sin W —底 cos 砌，

где Ci и C2 — не зависящие от времени операторы, вид которых находится из совпадения при / = 0 гайзенберговских операторов с операторами £, р в шредингеровском представлении:

爲=£ (0)=爲侬心=/5 (0) = р.

Задача решается аналогично предыдущей. Приведем ответ (® = е非J/KC):

£ ⑴=£ cos W + ；^"$т s/+О — cos ©Qr

P“ (Q = p* cos ©/ + p, sin s/ — m<o£ sin ©/,

A(f) =，— £ sin W + 嗚(cos W — 1)+ 白 sin s/,

P“(Q = A屮 2 鶴=2+ 功Jm. fiz(f} = ^

Оператор скорости частицы v (/) = dr {t)/di находится непосредственным дифференцированием по времени оператора r(f).

Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть соотно- шения между операторами г (О, v(/) и r(0) = r, v(0)=v и на основании полученных соотношений обсудить задачу 6.3.

Используя уравнения движения для гайзенберговских опеоаторов r(f), р(/)а находим после несложных преобразований

5恤(Q,益(01 =【瓦。),外(川十[仇⑴,丸(0】=

=4 3或①，执0】，益S]+[山俏由①,%(/)]d=0.

т. е. значение коммутатора [庇(0.£牝«)] не зависит от времени, н так как при / = 0 оно равно 晩(0),歸(0)] =» [住,£々]= =——iMik9 то доказана совместность канонических коммутационных соотношений для гайзенберговских операторов с уравнениями движения.

Используя вид операторов £(f)； /5(f), установленный в 7.29—31. легко находим:

a) S。£ Ю]= 一 沟 б) [Р (/), £ (〃)] = - Ш;

е) tP (0> ■ (OJ = — 1 COS 8 (f — f，

7Ж Подставив в гамильтонианы указанных систем /?(，，=» =П(夕⑴$(')) явное выражение для операторов /5(/) н £(，)， убеждаемся в том, что /?(/) = /?(0),

Последний результат очевиден и в общем случае ), так как

Я(0 = ехр (由(0)//Й) Н (0)ехр(- /Я。〃母=Н (0).

7-36, В гайзенберговском представлении в. ф. состояния сн・、 стемн не зависит явно от времени и временная зависимость средних значений физических величин полностью * определяется заеисимостыо от времени .соответствующих гайзенберговских операторов.

Учитывая значения следующих средних в состоянии, указан* ном в условии задачи (в. ф. нормирована нй единицу при i4 = (V^)皿)：

定=，I屮⑺F * 〃 = %,乃=尤+d/2,г=一叫W)去屮⑴厶=外，/=加+#/2*

2» + M =-叫屮'(》("4 +言")屮(*)厶=2/西，

и используя вид гайзенберговских операторов рассматриваемых систем, установленный в 7.29—7.3I, легко находим:

力而=加= m+，Po/m,瓦硬=長(1+爵). 而= р0, 33a))2 =肥/2*

① *(f)==*o +，Po/m + f2Fj2m, ^t) — pQ +FJ/mf (△%(》= =产q)一g(0)2=专(1 +*/m%) (Ap(f))2 =肥/2*

в) %(/)―尤 cos(0/ + «^ sin s/, р (о = % COSO/ — м®向 sin s/・ (△%"))2=导(3?W + Ю Sin2cor)» 画⑴)2 = 3(8S?3 十 + # S*“

(отметим, что в случае осциллятора при a2 =A/ms флуктуации координаты н импульса оказываются не зависящими от времени).

Снабжая индексом int операторы и в. ф. в представлении взаимодействия и учитывая вид оператора

О = ехр （冶of/H）, находим

褊=ехр（戍財A）f ехр（— iH^/h）.（1）

Vrnf （/） = exp （戍0f向屮（0,（2）

伍会均 t - AMWtnt = %m屮 mt,（3）

/?:M=exp（由窗母（及＞+ P）exp （一虎"/*+

+読偿exp（优伍））exp（-曲財力=

=exp （iH^/h） R exp （—亩d隅=Vint

（при установлении вида волнового уравнеиия （3） в представлении вз аим о действия учтен результат задачи 7.28）.

Продифференцировав по времени обе части соотношения （1）, находим вид уравнений движения для операторов в представлении взаимодействия:

方儿П（専）地+4 ［魚储］

（обычно операторы физических величин f в шредингеровском представлении не зависят явно от времени и для них %f =

=（前）血=。），

В рассматриваемом случае Но =庁/2团，Р = —ЛЛ и, воспользовавшись результатом задачи 7.29, находим

■ ехр（瑞）£ехрС = £+《р, “р,

VM^-F^ + -^^読禺屮mt = PmtWint =—戶。（£ +』p）屮皿・

Точно так же, как и в предыдущей задаче, находим

Н0=р212т. Р = А£2/2.角/ = £ +《/, 瓶一仇 %=（画/纵严字（％ +小/）\ 法务屮t*= Pin!屮1成=等（£ ++£）2屮m*.

Учитывая вид гамильтониана частицы

月■露•一眼“6。&

抽

находим согласно стандартным формулам•

、Т 碗=4，

%==&=小旧,用=裁仇［夠,詣］=%办瑞■•

Оператор ускорения можно записать в весьма наглядном виде:

mw = — grad 0, где

U == — p3L = — рЭ1с

(проведенное рассмотрение относится к частице со спином s = =1/2； однако обобщение на случай нейтральной частицы с произвольны спином s тривиально и сводится к замене а на »s).

Направив ось z вдоль магнитного поля, представим спиновую часть гамильтониана и волновое уравнение для спиновой в. ф. в вмде

。=一r羯也，屮⑴=(空:：；)，法境■里(9=0屮⑴， или

访d［ = - p為心 ihc2 =r%心2・(1)

Решение уравнении (1) имеет вид

& (0 = ехр (Is/)Ci(0), С2(0 = ехр(—如)С2(0),(2)

где <о = рЖо/й, а значения постоянных С%2(0) определяются из начальных условий; для нормированной епиновой функции IGP + 1GF=L

Средние зиачеиия компонент вектора спина изменяются со временем по закону

両="j■屮'(0 6 屮 e), —=6.(0) cos 2 同 + 耳(加 sin 2同，

syU)=%(0) cos 況—s* (0) sin 2M £而=备(0}=const,

т. е. вектор s(f) прецессирует с угловой скоростью 2з вокруг направления магнитного поля (оси а).

Результат предыдущей задачи очевидным образом обобщается на случай переменного во времени по величине, но постоянного по направлению магнитного поля9 т. е・ поля видя 制 c)=(0, 0,能⑴).

Волновое уравнение для спиновой в. ф. принимает вид

叫=一咪")备 *=砂⑺弓(1)

803

Решение уравнений (1):

CW)=G ◎ ехр 啃(/)). G(Q - С2 (0) ехр(-弯①)， где£，) = ^[%«)由.

Средние значения компонент спина изменяются со временем по закону

S* (，) = s* (0) cos 2g (。十■❿ sin 2^(0.

sy (/)=sy (0) cos 2g(0 — — sin 2g (i), 4(。= M0)>

T. e. вектор s(/) вращается (вообще говоря, неравномерно) вокруг оси г, вдоль которой направлено магнитное поле.

Оператор Гамильтона частицы имеет вид

A=*(Q —? А(г, /))2 + ^Ф(гО —вЗИ(/)о. (О

Пусть при I = 0 в. * частицы представима в виде

屮(г〃 = 0) = ”(*/ = 0)х(£ = 0),⑵

где %('№) = (：《；)—произвольная спиновая в. ф. (не зависящая от г!), т. е. при / = 0 нет корреляции между спиновыми и пространственными переменными. Легко убедиться в том» что в. ф. вида

屮(r〃) = W(r,f)X(。(3)

является решением времен116ro у. ILL с гамильтонианом (I), если функции ф и х удовлетворяют у. Ш

掠警=[*(6一?Aу十e<Р]也/祭=一同也，

первое из которых не содержит спиновых, а второе — пространственных переменных частицы, так что между пространственными и спиновыми переменными нет корреляции н в произвольный последующий момент времени 厶

Учитывая, что в. ф. произвольного состояния частицы при ，工 0 можно представить в ваде

屮(r」=0)=(躲;二1)Ко(小-0)(；) 十收(г“0)(；).

(4) где каждое из двух слагаемых представляет в. ф. с разделен* ными спиновыми и пространственными переменными (т. е. имеет вид в. ф. (2)), на основании выражений (2) и (3) и лн、 нейности у. Ш. приходим к доказательству утверждения в уело вин задачи. Итак, в.而.(4) состояния частицы в произвольный

момент времени представляется в виде,

屮(г. о 千 фиг, ою (о+а《0必。(5)

где смысл функций фь 力，ф2> %2 очевиден.

Ясно, что утверждение задачи остается справедливым и для частицы с произвольным значением спина.

Спиновый гамильтониан н у. III. для спиновой в. ф. имеют вид

方-沁fQK小)獨，衆№)•屮一(瑞)，

Zftd = — цЭ^1С一в%0ехр (― &)()/)瓦(О

ihb = — в 彌oexp 依巾)a 十 p3^ib.

Перейдя к новым функциям й(/)> 6(。согласно формулам G = ехр (—岑•) й, Ь = ехр (岑-)R

перепишем систему уравнений (1) в виде

/6 = - y3 — 二品 4 = - Y 点十 V 瓦(2)

гле Y1=号l+ 号■. ^=_!£^

По общим правилам находим решение системы уравнений (2) в виде

й (/) = G ехр 他)。十 G ехр (— /©0»

В(')="^^" G exp (is。+ —^咨 C2exp(—M.

где о=“— + 峻•

Учитывая, что согласно начальным условиям б(0) = a (0) = I, 6(0)—Ь(0)=0» находим окончательный вид нормированной в. ф.：

1 (1(з + vi) J"' + (з — V)，-'叫 ехр (— '^»))

"()2s I2玲2 Sin сог- ехр (号^)丿

так что вероятность переворота спина (т. ев значения проекции j = —1/2) в момент времени f равна

昭 &= — 1/2, /) = (^У sln2(o/sg 痴£ 叽

輔十巒1+枷"2从）2 .

Величина g (а с нею. и вероятность^в^мворота спина) при I旅|《|%】| мала по сравненню с единицей при всех значениях частоты ©о, за исключением узкой области частот вблизи точки (Зо)рез = —2»図/Л шириной порядка |Дс)д| ^ <3^op/fi.

а) Оператор Гамильтоиа и унитарный оператор, осуществляющий преобразование к гайзенберговскому представ* лению, имеют вид

方=—口施б* 0 匸 exp (iHt/h) 0 exp (— imfd^ (ось z направлена вдоль магнитного поля).

Воспользовавшись результатом задачи 1.14 и учитывая ком- мутационные соотношения для матриц Паули ［б?,瓦］= 2/6“, & 6j = — 2i瓦，находим

Sx(f) = % exp (— йо/仇)6“ exp ［i^td^ =

=9 {G十土 (【i砌瓦%］十g (一 fa"他，E仇］］+・.・}= =}{б* 十 7f 2s伤一片卢％十・•・} = & cos2ci)/十晶 sin 2©/» 8 W = % cos 2<й/ —金 sin 2W & (0 ^ %

Так как в гайзенберговском представлении в.ф. не зависит от времени, то из внла операторов s(/) непосредственно следует вид s(0，

б) Гамильтониан, выраженный через гайзенберговские one- раторы, имеет вид。(，)=—2pJ然式。・ Временная завися мое гь операторов 6；(f) определяется уравнениями

⑴⑴务義(0 =力旧(0>舐(3 = 2叫(0. d% (f)d

⑴

⑴

• df и — 2s 亀。历 &(')^ °，

где, как и выше, <0=»国伍 и при получении (I) учтены коммутационные соотношения I&U),翫(。］=毘偿咼(0.

из (1) следует &9) = §0(0) = %亀.

Введем операторы 您 «) = §*(，) 士与(,). Согласно (1) имеем

*8上(0二中2底8上(9.⑵

Уравнения (2) для операторов §±(/) ввиду их линейности можно решать так же, как и для обычных (неоператорных) функций; решение имеет вид

£ ⑴=ехр (干 2 砌。(0) = % ехр(Т 2i 砌(Q ± i%).(3)

Из соотношений (3) следует установленный выше (в разделе а)) вид гайзенберговских операторов ©又(。и it (/).

006

Задаиа решается совершенно аналогично предыдущей. Следует иметь в виду, что, несмотря на явную зависимость от времени гамильтониана в шредингеровском представлении: %") = —р^(，)6., унитарный оператор, описывающий переход от шредингеровского представления к гайзенберговскому, имеет простой вид:

0 — ехр(； J 几(Г) 〃) W ехр(— * \ % (/) & е) (1)

(при / = 0 оба представления совпадают); для справедливости выражения (1) существенно, что операторы Я(/) в шрединге- ровском представлении в различные моменты времени коммутируют.

Приведем явный вид операторов компонент спина в гайзен' берговском представлении：

&①-|fcoS(2U0)生 + sin (2g(/)) ej &(Q =/ %

^Ю=4 Kos(2&(56“一 sin (2g(0)6』E。=作\%(，)Л. о

7・47・ В шредингеровском представлении гамильтониан имеет вид

// н—В舞j仇一卩捲° (仇 cos ©о/ + 与 sin gf) и 〃。十 У (f)・

Переход к представлению взаимодействия осуществляется оператором 0 = ехр(А%) = ехр(—，а*6) где 旨=口第例・ Операторы компонент спнна в представлении взаимодействия имеют вид г а йзен бер говских операторов для гамильтониана Яо и на основании результата задачи 7.45 равны

&川①=%[4cos2炊十 dvsin 2Gf],《壮①-%%

斗 inf (Q = % [% cos 2©/ —d,sln 2町

В у. Ш. в представлении взаимодействия

(I)(I)(2)(2)孤寻％壮二亿m(0叩血

(I)

(I)

(2)

(2)

оператор心①равен

忆喊=—口％) [6* cos (o0 + 2各)，+ dy sin (g十 26) "•

Уравнение (1) с гамильтонианом 0皿 (2) имеет вид уравнения, рассмотренного в 7.44 (в формулах задачи 7.44 следует за， мвйиТь о© на о)о + 26 и положить 非i — 0). Используя результат задачи 7.44, находим В・ ф. в представлений взаимодействия^

307

!g+2却f!g+2却fудовлетворяющую начальным условиям 屮 11n(О)= (；)“：

!g+2却f

!g+2却f

喝7 [S+喝7 [S+用ё“ +(9 一奇一号)8-3卜2/y sin sf exp 笈(妣 + 2G) f]

喝7 [S+

喝7 [S+

где y = u把J队<0= 小部仔近产FS^.

Так как оператор §m(i)=6j2 не зависит от времени (и сохраняет диагональный вид), то смысл верхней и нижней компонент в. ф. Vim(/) такой же, как н в шредингеровском представлении: они являются амплитудами вероятностей значений проекции спина на ось г, равных *1/2 н —1/2 соответственно.

Квадрат модуля нижней компоненты в. ф.屮【“(0 определяет вероятность переворота спина в согласии с результатом задачи 7.44.

Гамильтониан в шредингеровском представлеиии имеет вид с •

"=-n非16z - u第СбХ三/?0十匕

Переход к представлению взаимодействия осуществляется унитарным оператором 0 = ехр (А %) =ехр(—/б/дг), где G== 一 I陷

Операторы компонент спина и у. Ш. в представлении взаимодействия:

§* тМ =4 (心 COS 2砲十 ％ Sin 2硝，储m(О =务.

4 UK (f) ^ 右电 cos 2(5/ —仇 sin 2砌.

ih~4fM=VM(l)WM,(I)

Rint(0 ^ — 2 卩非昆 1|]t(/) = — R%0 (£ cos 2€&f 十％ sin 26/).

%dC…%dC…Уравнение (1) имеет вид уравнения, которое было решено в 7.44 (если в формулах задачи 7.44 заменить <оо на 2G н положить 3^1 «=0). Учитывая результат решения указанной задачи, находим в.ф. 4W(0. имеющую при t = 0 вид%пК0) = (；)：

%dC…

%dC…

).).6沁，十 g一硏「£叫「i而， 2iy sin cof exp (16/)

).

).

где у = ц%拡 з=・..

Так как оператор 6zMi(f)=6z/2 не зависит от времени, то компоненты в,ф,屮mt(。имеют обычный смысл и вероятность

значения проекции Sz = —1/2 в момент времени，равна

/ & = 一 %，Q = 0 =肃硏 SE2M

'7.49. Функция Грина Ga^[t.f)t удовлетворяющая по переменным а, / у. III. с гамильтонианом 月=—•仇(ось z направлена вдоль магнитного поля) н при ，= Р равная баз = ба^, имеет вид

q/)=L”T'Lp 一島Т，広，f硒 7.50.

。"八一 г蜂時О °)

每&。) 一 I о ехр[-片《, /)]丿才

EG 0=7- JзеЮЛ-

% (г, /; г'.，') = G(r. /; г；，‘) ％ (/, О*Х

где G (г, /; г*, Г)—временная функция Грина свободной 6есспн・ новой частицы/ найденная в 7.19, Gap (/, Г) — временная спнна вая функция Грина, вид которой установлен в 7.49.

。即(г,，；匕 Г) = 0 (г, С 匕 /z) % (/, О *).

где вид временной спиновой функции Gap(/, tr) установлен в 7.50.

Глава 8

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ. ВНЕЗАПНЫЕ

И АДИАБАТИЧЕСКИЕ воздействия

8.1. С. ф. н с. з. невозмущенного гамильтониана имеют вид (см. 2.1)

噂」“^冊^^,隋vJ^^, " = 0.1,2,...

Простое вычисление дает：

0)國Н匕《 = %｛半+露$｝；

⑨ £"=% = *｛a_2b+ “為/sln *(吋。丄.卜

Условие примеиимости теории возмущений | Vnm | < [國一部 L как легко сообразить, принимает вид

"。1《霭('叶1)。(I)

Соотношение (1) означает, что при возмущении пронзволь， ной величины сдвиг энергетических уровней с достаточно большим значением 〃 может быть рассчитан по теории возмущений^

В выражении для 郡) 碎』

⑴{|—С8吗业}厶⑴{|—С8吗业}厶V⑴善siM皿抖* d*=Ij V

⑴{|—С8吗业}厶

⑴{|—С8吗业}厶

второе слагаемое под знаком интеграла, содержащее cos 空丁3”Ч при 勿》I быстро осциллирует, так что прн п—8 соответствующий интеграл —0:

"⑺8s吗业厶-石磊1r i纂sm里亭匹d…。. оо

Таким образом, при "— со

а

碎а^"(*)乙(I)

о

Фактически значения % при которых имеет место соотношение (1), определяются условием 〃》о/厶 где / представляет интервал переменной л, на котором существенно изменяется функция U(x)・ Иллюстрацией полученного соотношения (1) мо< гут служить результаты предыдущей задачи.

Учитывая вид нормированных с. ф, ненозмущеиного гамильтониана

Q喫(х)=(炉胸。献)嗔хр[— %(лт/а)4%(х/о), а = “血/п血

рекуррентное соотношение для полиномов Эрмнта

冃Md (Х) - 2хЯя (х)十 2пНп_^ = 0

и ортогональность с. ф^ легко находим матричные элементы координаты 厶加(а с нмми и матричные элементы возмущения Мш» = —е 雷痴J，

{

〃«阪抖 прн т^-п+1.

J⑴

О в остальных случаях.

По стандартным формулам теории возмущений находим

耳*礫十碎）+磴=或+Уз十2‘就喘 =

二标（叶义）一"^^ =胸（打+劫一塔話.（2）

Полученное во втором порядке теории возмущений значе- нме £л совпадает с точным （см. 2.6）. Поэтому представляется очевидным, что поправки третьего и более высоких порядков теории возмущений к энергетическим уровням тождественно равны нулю.

xnm н учитывая соотношениеxnm н учитывая соотношениеМатричные элементы 匕小 возмущения У 二 ах?/2 легко вычислить» используй результат предыдущей задачи для зна・

xnm н учитывая соотношение

xnm н учитывая соотношение

чений матричных элементов

W%m = g ^nkxkm-

1

*（2 沱十 1}п~т9

粤“（"+ 1）（九十2）,m =九+ 2,⑴

Ов остальных случаях.

Учитывая значения （1） матричных элементов, по стандартным формулам теории возмущений находим значения энергетических уровней с точностью до членов второго порядка включительно в виде （о = Уfe/m ）

&*礎+或十或"М（"+劫（1十贵一篇）・

Полученный результат полезно сравнить с точным выражением для энергетических уровней:

^п=л д/^~- （«+4） ^ft V^ V1 十丑”十釘=

=力（0 （"+春）（1 + 热一品+ 1£Г—…），（2）

т. е. первые два члена £«* 为 ряда теории возмущений совпадают с соответствующим и членами разложения в ряд по параметру a/在 точного значения £л. Этого и следовало ожидать. Представляется очевидным, что н дальнейшие члены ряда теории возмущений 或）совпадут с соответствующими членами разло, жения （2）・ Условие сходимости ряда теории возмущений, как И ряда （2）, имеет вид |а/А] < 1.

матрич-матрич-Простое вычисление дает следующие значения ных элементов Vnm возмущения:

матрич-

матрич-

%桁=警，COS*sin ^^ Sin气02厶=

/Ус/4,п=т = 09

jУ/2,л^m ^ 0»

IUo/4,n=m ± 2,О

I0в остальных случаях.

следует из (1). по стандартнойследует из (1). по стандартнойw = 0, n=l, 心2.w = 0, n=l, 心2.Значение поправки первого порядка Еп— Vnn Поправка второго порядка просто находится формуле и равна

следует из (1). по стандартной

следует из (1). по стандартной

w = 0, n=l, 心2.

w = 0, n=l, 心2.

礫=尸上上一山I :

J理一礎一96高2・j -I.I市/1 + 2)・

Условие применимости теории возмущений:

"。I《窗5+)

户一 #J. — й)241" •

С. ф. невозмущенного гамильтониана приведены, например, в решении задачи 8.1. Матричные элементы возмущения У』отличны от нуля лишь при четных значениях нити равны

%=手sin当t"痴吗❷=今(T等%=手sin当t"痴吗❷=今(T等⑴⑴

%=手sin当t"痴吗❷=今(T等

%=手sin当t"痴吗❷=今(T等

⑴

⑴

так что поправки первого £>, второго £j? (и вообще произвольного) порядка к нечетным уровням энергии равны нулю — в согласии с точным решением, см. 2.17.

Поправка первого порядка к четным уровням равна 或=2m л — четное. Поправка второго порядка к четным уровням имеет внд (т= 2р)

e⑵一『_扣—一8奨小fI

〃 一4瓚у 言"善江T正二万不".⑵

Р*限

Сумму, входящую в выражение (2), легко вычислить, если за- 312

писать ее в виде (л = 2為)

£ (2丸 + о» —(2р + 1尸=4 (2А + I)£ (2丸 + о» —(2р + 1尸=4 (2А + I)р—Ом* *р—Ом* *£ (т+хтт£ (т+хттр—огм*р—огм*4(2力+1户4(2力+1户4(я+1)4(я+1)

£ (2丸 + о» —(2р + 1尸=4 (2А + I)

£ (2丸 + о» —(2р + 1尸=4 (2А + I)

р—Ом* *

р—Ом* *

£ (т+хтт

£ (т+хтт

р—огм*

р—огм*

4(2力+1户

4(2力+1户

4(я+1)

4(я+1)

(все слагаемые суммы взаимно уничтожаются, за исключением одного: (р — А)т прп р = 3论 + 1). Таким образом,

礫=一病磊力，-•

Условие применимости полученных результатов имеет вид

囲《黑К〃+1)，

Нормированные с. ф. любого оператора определены с точностью до фазового множителя Лй = ехр(хал), где % — вещественное число. Считая, что число а〃 имеет вид

%=1+*+吸+吸+…, (0

где в последовательности чисел С? каждый последующий член имеет относительную малость порядка параметра теории возмущений по сравнению с .предыдущим, приходим к выводу, что в любом порядке теории возмущений при расчете коэффициента 忍 имеется неопределенность, соответствующая произвольному выбору коэффициента * в выражении (1), так как функции Y7 и 4% с равным правом могут быть выбраны в качестве нско・ мнх с. ф. гамильтониана.

С. ф. и с. з. невозм)тценного ротатора имеют вид (см. 4.1) 屮弁=%/2 E^)=譬.m=0, ±1,±2,...

Возмущение равно У = — d&°= — d洗 cosq)・ Используя формулу 8s 9=(标年 +e一w)/2, находим

—&5d2， 〃=A±L

лЛ (0 в остальных случаях.'

Применение стандартных формул теория возмущений к основному состоянию ротатора (т н 0)》являющемуся невырожденным, дает

б。 -國)+罵“民3= 一『跄加Л ⑵

Поляризуемость ротатора а определяется как Отношение индуцированного дипольного момента к напряженности внешнего поля. Так как энергия индуцированного диполя в воле 氏 равна

313

AE== — a甘沥，то согласно (2) поляризуемость основного состояния ротатора равна

%=2m2/絕.

Возбужденные состояния невозмущенного ротатора являются двукратно вырожденными, и следует воспользоваться секулярным уравнением ).

Так как все четыре матричных элемента %“ между состоя* ниями т и 加‘,относящимися к одному и тому же энергетиче- скому уровню (加，―=±]加|), равны нулю» то поправка первого порядка к энергетическим уровням невозмутценного рота- тора тоже равна нулю.

Для вычисления поправки второго порядка 或｝ к возбужденным уровням следует воспользоваться общей формулой [3]

У •为之喘—城%П，— 0. £噌一亜У •为之喘—城%П，— 0. £噌一亜⑴⑴

У •为之喘—城%П，— 0. £噌一亜

У •为之喘—城%П，— 0. £噌一亜

⑴

⑴

в которой индексы m, m'= ±]m| нумеруют различные состояния, относящиеся к рассматриваемому двукратно вырожден, кому уровню, а индекс k нумерует остальные состояния невоз* пущенисго ротатора.

При применении формулы (1) к первому возбужденному уро, вню |m|= 1 (см. 8.9) под т9 т‘ следует понимать значения ±1, а под й—все остальные： 0, ±2,・•・ С учетом соотношений (1) 1федадушей задачи выражение ") принимает вид

別3-城l4/2鏡

(2)(2)№舟3-増Т =。，"=+-

(2)

(2)

Из (2) следует

6炉6炉碎—碎—5/%-^Г"5/%-^Г"(3)(3)

6炉

6炉

碎—

碎—

5/%

-^Г"

5/%

-^Г"

(3)

(3)

*=• СОЗ /Нф,*=• СОЗ /Нф,嘅产表痴呻，嘅产表痴呻，

*=• СОЗ /Нф,

*=• СОЗ /Нф,

嘅产表痴呻，

嘅产表痴呻，

т. е. двукратно вырожденный уровень ротатора с |т|=1 в однородном электрическом поле расщепляется на два (вырождение снимается). '

и ори расчете смещений диергетячеоо^ уровней Em； ]a S можно «сдользоватъ более простые формулы теории возмущении без вырождения,

814

Правильные функции «улевоя)，нриближеаня, соотоетству^ шие расщепленным энергетическим уровням (3), имеют вид

屮督 I = -^ sin s 唱％=£r cos фж

очевидный заранее нз соображений симметрии.

Применение формулы (1) к уровням невозмущенного рота- тора с |т|》2 дает (при этом недиагоналъные элементы матрю цы в левой части уравнения (1) равны нулю)

—-"小"一口‘

т. е. в рассматриваемом приближении происходит лишь сдвиг уровня, но не его расщепление (внимательный читатель сообразит, что расщепление происходлт в 2|ги]-м порядке теории возмущений) ・

С. ф. н уровни энергии невозмущенного ротатора (см.

и возмущение имеют вид

^=У，Е他立或= £f = ^±^・

V = — dSo= —d雨 cos О

(ось г направлена вдоль электрического поля). Учитывая срто- гональность шаровых функций и соотношение

Ую=/ V3/4zcos 0 工了加 V^cosB,

легко находим нужлне матричные элементы возмущения：

Л…｛经喝i I

*0 в остальных случаях.

м энергаю основного состояяия ротатора ео втором порядке теории возмущений:

(I)(I)晶a项+瑞十成=諦^

(I)

(I)

Из 0) следует значение tc0 лоляризуемоста основного состояния ротатора (срашшть с 8.9):

°°=寥•

&12 Используя нзвестяое соогноигетае〉 (cose)r/m«=G/mr/4.Ljrl+bi^f^tm.

—(2Z+1)(^ + 3)，刃m：2/+l)@-l)，

легко находим матричные элементы возмущения：

j %, F=，+L

^Гт\ 1т ~^ ^O^mm* • | 勿州， Ш・I 0 в остальных случаях.

Так как матричные элементы между в.巾” относящимися к одному и тому же невозмущенному энергетическому уровню (т. е. с одинаковым значением /), равны нулю, то н поправки первого порядка к уровням энергии равны нулю.

Для расчета поправок второго н более высоких порядков к уровням энергии нет необходимости использовать теорию возмущений при наличии вырождения, если учесть» что оператор % коммутирует с гамильтонианом ротатора и при наличии возмущения, и, следовательно, точные с. ф. гамильтониана могут быть выбраны в виде с. ф,厶 Так как при заданном значении m не- возмущенному уровню Ef)отвечает только одна с. ф. Ytmt то для расчета сдвига энергетического уровня состояния с квантовыми числами 厶 m можно использовать теорию возмущений без вырождения, и поправка второго порядка равна (I > 1)

W2端以3 + 3产+1一川(户+6/ + 3)

=-ft5~ M" 1)(2/ — 1)(2/ + 1)(2/ + 3)⑴

(из секулярного уравнения очевидным образом получается такое же значение для Е紀).Согласно (I) (2，+ 1)-кратное вырождение уровня невозмущенного ротатора с моментом t частично снимается： он расщепляется на / + 1 уровней, из которых один (с m = 0) является невырожденным, а остальные f——дв}^- кратно вырожденными (т = ±1, ±2, .... 土 i)・ Дальнейшего снятия вырождения в высших порядках теории возмущений не яроисходит. Это связано с тем, что, с одной стороны, величина т =厶 является интегралом движения и может иметь опреде- ленное значение одновременно с энергией возмущенного ротатора. а с др)той стороны, энергия состояний» отличающихся лишь знаком проекции момента на направление оси г, вдоль которой направлено электрическое поле, одинакова в силу инвариантности гамильтониана относительно зеркального отражения в любой плоскости, проходящей через ось 2 (при таком отражении проекция аксиального вектора (момент импульса) на

направление полярвого wur^pa (электрическое поле) меняет знак).

Рассматриваемый уровень осциллятора является двукратно вырожденным. Отвечающие ему с.ф. выберем в виде (см. 4.5)

蛉w里加=¥га (х)吟" (办 攻 曰Yoi = 叱年)屮广 (处,：

где 里片 (х)—хорошо взвеётйые с.ф. линейного осциллятора」 Матричные элементы возмущения легко вычисляются (см., напрнмер, решение задачи 8.3) и равны '

・V“ 0 V22 = О, У I? = %[ === аа2/2.

Секулярное уравнение r его решение имеют вид

т. е. вырождение Уровня снимается.

Правильные функции нулевого приближения находятся eg гласно стандартным формулам

哒)16=(唬中崂)/服.

Отметим, что рассматриваемая задача может быть решена точно, так как путем вращения системы координат в плоскости л. у потенциальная энергия U(х# у) = А(х2 + g2)/2 + аху может быть приведена к диагональному виду [/ =晶//2十也吟*/2・ Читателю предлагается самостоятельно получить точное решение задали и сравнить его с расчетами по теории возмущений.

Второй возбужденный уровень невозмущенного осциллятора является трехкратно вырожденным. Ему отвечают с. ф. ,(см. решение предыдущей задачи)

5們=吟"(力吟"®, W-W(X)屮严®),吸= W(X)+沪®).

Матричные элементы возмущения, отличные от нуля, равны

У12 = %1 = % = % = *2/、^，

Решение секулярного уравнейия дает следующие значения поправок первого порядка теории возмущений к энергетическому уровню:•

£?1 =-@诡理% = 0,或% = <хa： т е. уровень расщепляется на три и вырождение полностью сни* мается.•

Правильные функции нулевого приближения, отвечающие расщепленным энергетическим уровням, имеют вид

噂i = M「施吟 + 喊)/2,哦2 =(哟-4f)/V?,屮% =(吸)+喪里紀十喈))/2.

При замене переменных xf — xt tf = yf ，口 az/b y. III. н граничное условие для с ф гамильтониана принимают вид

-去仁十券十戻壊)吟爪.

4r (/=0)=0.

Так как ］а —5}《а, то, обозначив а=(1+£)瓦］е［《1, представим гамильтониан в виде月二房+亿 где

厶T僚十矗十自)J-好…)备

С. ф. и энергия основного состояния для невозмущенного та， жшльтонма叫 согласно 4.33, рАвнн (，У «)

V2an г а2加十

Поправка первого порядка по малому параметру е к энергии

основного состояния равна

а" =，唠吵中华/JН 一*，哂(/)与嘲(H痴'.(1)

Для вычисления интеграла, входящего в выражение (1), за- метим, что в силу сферической симметрий в. ф. W

—М=明犷=明疗R } m

а так как а'4^=一善嚼"),то

砂Н黯， £。a或十成=等(1+字)•

Учитывая, что объем эллипсоида равен и = 4ла26/3 = —4ла3(1 + е)-1/3 士 4ла3(1 — в)/3 三 4лЛ3/3, находим 瓦 ® а "2几2/2疝?2, где К — радиус шара, имеющего такой же объем, как и эллипсоид. Таким обравом, в первом порядке теории возмущений по параметру е энергия основного состояния частицы определяется лишь объемом эллипсоида.

8J& Задана решается аналолмнс дредвд^ше瓦 С@・ и с・,& невозмущенного гамильтониана имеют внп (см・ 4.33)

2“2“у%т =卷="〃中盟(%+1,15)'痴 Е& ~

2“

2“

и уровень является (2!十 1)-кратно вырожденным. Так как оператор tz коммутирует с гамильтонианом» то, очевидно, правиль* ннмн функциями нулевого приближения для возмущенного га* мильтонмана являются приведенные выше в. ф. и для расчета смещения уровня можно воспользоваться формулой

碎%«=\9；；/寸臨，&=一*\45„备部“也(i)

Для вычисления интеграла в (1) воспользуемся условным равенством, аналогичным установленному в 3.52 для векторных операторов:

编『痴毎+现京+ С砾+簡.

Из условия симметрии левой части соотношения (2) по индексам ink следует 8 = 0, условие // -^ s 0 приводит к《ра・

вецству»вецству»A+C[2l(l+l)-l] = Q9A+C[2l(l+l)-l] = Q9(3)(3)

вецству»

вецству»

A+C[2l(l+l)-l] = Q9

A+C[2l(l+l)-l] = Q9

(3)

(3)

(4)(4)(5)(5)

(4)

(4)

(5)

(5)

а свертка выражения (2) по индексам i и Л дает ЗЛ + 2/(£4- 1)Се=А.

Из (3) н (4) находим А и С и, учитывая соотношение

-芸 j ^« △**=%.

согласно (1) и (2) получаем

-2eе% ⑵"十*一！ -2加，

Cnflm — —J ⑵二 1)(勿+ 3) *

Из (5) следует, что (2/ + 1)-кратное вырождение уровня ча* стимно снимается： он расщепляется на / + 1 подуровней, нз которых один (с /п = 0) является невырожденным, а остальные— двукратно вырожденными. В высших порядках теории возму* щений дальнейшего снятия вырождения ие происходит. Легко найти среднее по всем подуровням значение поправки первого порядка;

m

и среднее значение энергии подуровней в первом порядке по м@・ лому параметру е:

…瓦』=碟+磷痴=2^^，

т.е. £“丿加 определяется только объемом эллипсоида (。= =妬个戶).

При г《а потенциал имеет вид U а — ■&〃 (рис. 30).

В таком кулоновском поле в. ф. нижних энергетических уровней

^=та2и^ » п2 (I)^=та2и^ » п2 (I)локализованы на расстоянии порядка ог нентра ноля, н если это расстояние много меньше величины а. т. е.

^=та2и^ » п2 (I)

^=та2и^ » п2 (I)

(л — главное квантовое число в кулоновском поле), то, очевидно, в «нуле^ вом> приближении энергетические уровни нижней части спектра и соответствующие им в. ф. будут иметь вид

嘿小=唠先，

碎)=-т/优侬72 n _ {^2從

где 屮躅n — хорошо известные с. ф- гамильтониана частицы в кулоновском поле U = — а/，с а = □<)«. Отличие рассматриваемого в задаче потенциала от кулоновского играет при этом роль возмущения:

〃&)=_“ j (扃」一а (2)

Так как функции 屮?,須 являются с.ф. операторов!2 и 厶,коммутирующих с гамильтонианом частицы и при наличии возмущенна, то они являются правильными ф^кПими «нулевого» приближения, и поправка первого порядка к энергетическим уровням равна

E^[v(r)\^lmfdv. ⑶

Разлагая возмущение (2) в ряд по степеням (г/а)：

У任）=一仇（一；+蟲+0（g）），⑷

и учитывая известное значение интеграла (см., например, [3])

卜I嚨力&；/• — “,♦+现耳. (5)

находим согласно (3) — (5)

畧= “{] —去[3，T(/+D]}, n^nr+l + l. ⑹

'Отметим, что при расчете пой'Отметим, что при расчете пойучет слагаемого О (rs/a8) в формуле (4) первого порядка к уровням энергии яв-

'Отметим, что при расчете пой

'Отметим, что при расчете пой

ляется превышением точности, так как соответствующее слагае-» мое 0(Uo/T) в выражении для £(" имеет такой же порядок ве< личины, как н поправка BToporq порядка те“нн возмущений. Как видно из полученного выражения (6), «случайное» вн・ рождение уровней в нулоновском поле под действием возмуте* ния снимается и остается лишь обычное (2/ -Ь 1)-кратное вы< рождение (по проекциям момента) уровней в центральном поле

Рис. 3；・Рис. 3；・8Л 8. Задача решается совершенно аналогично предыдущей.

Рис. 3；・

Рис. 3；・

Возмущение имеет вид (Е 口 aam/ft2)

V(r)=U任)+手。丑1 一金).

Сдвиг уровней в первом порядке теории возмущений равен

£^/ a手{ 1亠*[3胃+ 6小0+ 1) + + (I+D⑵十3)]}・

Условие применимости:陰》п2.

В сильном электрическом поле в.巾. нижних уровней ротатора локализованы в области малых углов |屮]« L так как

припри<р ~ 0 потенциальная энергия U =

при

при

d^o cos ф имеет глубокий минимути (рнс・ 31). Разлагая

£/(ф) в ряд и ограничиваясь первыми членами разложения:

U(Ф)= — d&0cosq)a—d&o + ^^Q? (1口1«1),(1)

приводим в 《нулевом》приближении гамильтониан ротатора к гамнльтоннану линейного осциллятора, и в этом приближении с. ф. и с. з. имеют вид

噌他)=『J府产(一4)%阳.住y"， 嚟=—d泓+h ^^iт+勾；n=o, i,..., <p0=(

Условие применимости проведенного рассмотрения состоит в малости с.ф. при 同~ I. Так как в.ф.噌(①)существенно отличны от нуля лишь в области углов

d叫fl)8,痴伊十】А), т・e. q?W嘀S+1),

3外3外11 В,外 ГалацкяА “ др.

3外

3外

то условие применимости полученных результатов принимает вид

帽5十1)《1, или筑》备■("十»

Взяв в выражении (1) следующие члены разложения по ^9 можно уточнить значения энергетических уровней ротатора. Лег-< ко заметить, что поправка первого порядка имеет порядок величины

然)=一要"'I号T^~ 资®式"十1产=一史脱^

8*20- Для приближенного решения у. Ill для «радиальной настн» с. R гамильтониана 孤t,g = R”/(г) У，/:

определяющего также энергетический спектр частицы, разло* жмм эффективную» потенциальную энергию

—/十 2" в ряд вблизи точки

I需/

в которой и^фф имеет минимум:

《週=一疑住一力叱+^^譬①•?严冊一横十...(1)

При 什一г(4《го в выражении (1) можно ограничиться лишь первыми двумя слагаемыми, и если в. ф. ЦПг1 (г) существенно отличны от нуля лишь в области таких значений переменной г, то для приближенного расчета R,/ и уровней знер- ™и Enri мы приходим, фактически, к задаче о гармоническом осцилляторе с точкой равновесия г = % н упругостью А = U歸© (rj・ При этом

禮h')= / . 1 exp [一 业蕾与 hлгi[r -飞)/叫

Vs 一心”

磯一叫4G屮 V半戶方%+ %),⑵

Для справедливости полученных выражений (2) требуется выполнение использованного при их получении условия; в, ф. 322

R，должна быть существенно отлична от нуля лишь прн |г — го|《П)・ Учитывая» что в. ф.&曝，существенно отлична от нуля прн

等(г一也2w枷%+ "0,

находим условие применимости проведенного рассмотрения

附Г+1)严》(号±*)"'・(3)

которое прн достаточно больших значениях / (и не слишком больших Пг) всегда может быть выполнено* (существенно, что PV2)・

Точная в. ф. Rnri равна нулю при г=。, в то время как приближенная R/ этому тотаому условию не удовлетворяет. Однако /?：& при г = 0 является экспоненциально малой величиной, так что условие /?/【(0)内 0 приближенно выполняется.

В случае кулоновского поля точное значение энергии уровня Еп можно представить в виде ("=勿 + ?+1)

旦一鬪一叫中昂斤В

m"加0^/、

a - 诉西与，十 7"+%" W十/2；»

согласующемся с найденным выражением (2) для Е〃 (следует учесть, что согласно (3) 1^ \9 так что ?«+1)q (?+%)').

Задача решается аналогично предыдущей. «Радиальная часть /?» с< ф.屮5=%mS$/“p гамильтониана поперечного движения и соответствующие уровни энергии находятся из уравнения

-畳嘗+至崎評"R + 2|询也占K = ER,(1)

в котором 久—линейная плотность заряда нити, хе < 0, а — произвольная постоянная. Введем для удобства

-Г 砲 Т_d(*-z)Y找

Эффективная потенциальная энергия при m * 0

心(P)= 2Ee]ln^ + y/l

имеет минимум в точке р№ Вблизи этой точки (|р —— Ро[《Ро)

U. ipi^V^+警(р -城•⑵

И»823

В приближении (2) уравнение (1) сводится *к у.Ш. для осциллятора н имеет решение

"書礼叫-守也愕).⑶

，(呼)3 = %。(同+ A/^^&+ %).⑷

В. ф・(3) существенно отлична от нуля лишь при

S3W…寓L品『

так что использованное при получении (2) условие I р — ро I« Ро принимает вид 両开及《 叩伝1 чем и определяется область применимости полученного приближенного решения.

Рассматривая в уравнении (см. 2.57)

8

屮А ⑴= £*Н - ^Г，絆■ 1 7 ⑵(/)屮爲(К)"(1)

потенциальную энергию как возмущение и представив в. ф в виде 屮A=WP +中£>，легко находим

8

№ = е碗,屮¥内一^^，U(/)exp【決/ + 〃A||%-/|］dW・

При получении соотношений (2) было предположено, что |驾)|《1屮£)| и выполнение этого неравенства определяет область применимости рассмотрения. Обозначив через а и U^ радиус и характерную величину потенциала, легко находим оценку величины I 理)| и условие применимости теории возмущений (с учетом |屮？|= 1)

|A］肥• ［AIM《

Отметим, что полученная опенка величины ］屮對］справед* лива при произвольной энергии частицы.

В условиях применимости теории возмущений для коэффициента отражения частиц получается следующее выражение (£ = t^k2/2m):

I 82

(3)(3)&叱制,U(x)〃”《L

(3)

(3)

I —Op

ес』н в соответствующей формуле задачи 2.59 заменить точную в.ф. на приближенную 4rs>=exp(ffex).

Матричные элементы возмущения V = — xF^(f} равны (см. задачу 2.1)

吃о(0 =—《Fof g ) * sin S+丁二 sin ^dx =

0,8as+l)zwg)黄1Ms十2y0,8as+l)zwg)黄1Ms十2yn — четное (л * 0), n 亠 нечетное.

0,8as+l)zwg)黄1Ms十2y

0,8as+l)zwg)黄1Ms十2y

У читывая значения интегралов (о^) = Ллтд (л + 2У2/ла2)

8

/] = [ exp(g0f — Pli^dt^^KXехр(—嗚严/4),

—8

8

4= ) exp(加汕f -N A)必= 2T(1 +端/广, _8

ОО

厶=\ exp/soOT^^njnexp.cwc)

—те

(первый из которых легко сводится к интегралу Пуассона, вт?< рой берется элементарно, а последний вычисляется с помощью вычетов), согласно стандартной формуле теории возмущений находим вероятности возбуждения различных состояний частицы (в первом порядке теории возмущений) при，—8 в виде

О,О,л — четное (п*0).л — четное (п*0).ГГ^(О->«) = < 64a2諸但十]尸ГГ^(О->«) = < 64a2諸但十]尸jifn* (п4-2)4Л2jifn* (п4-2)4Л2п — нечетное.п — нечетное.

О,

О,

л — четное (п*0).

л — четное (п*0).

ГГ^(О->«) = < 64a2諸但十]尸

ГГ^(О->«) = < 64a2諸但十]尸

jifn* (п4-2)4Л2

jifn* (п4-2)4Л2

п — нечетное.

п — нечетное.

где значения А = 1, 2, 3 соответствуют трем различным времен， нАм зависимостям поля, приведенным в условии задачи. Отме-* тим, что в первом порядке возбуждаются лишь нечетные уровни частицы, причем с ростом п величина 胴⑴(0 —紋)быстро умень- шается； так, ""(О —3)/步(%0—1) V О.0О7. Условие применимости рассмотрения: ma&F0《 力冬2

Возмущение имеет вид Р = —ех^(/), и его матричные элементы равны (см. 8.3)

%м=Т%м=Т，п+1, 仮 О，п+1, 仮 О左=〃+1.

%м=Т

%м=Т

，п+1, 仮 О

，п+1, 仮 О

k=n— I, в остальных случаях.

Отличные от нуля вероятности переходов осциллятора в пер- вом порядке теории возмущении равнн

W^(n->k) =

e%2[“&

•{

5+1), Л—л+1» п9А = п — 1,

(1)

ОО

w /= § 彦Ссхр(土幻f)d/ (знак《土》здесь относится к значе- —со

ниям 左=/1十1 it R=n—1 соответственно; величина |/|2 не зависит от этого знака).

Для указанных в условии задачи зависимостей 5(f) величина / равна

“冗丁各о©хр(—9^~)； 6) /

2価0

1 + ©2т« "

Согласно (1) отличны от нуля в^оятности переходов оснн』< лятора из п-го состояния лишь в ближайшие по энергии (п — 1)- и (门 + 1)-сосгояния. Условие прнменимсмгш рассмотрения: еа芻“〃+ 1《й®.

8.25. В выражении ^(/)=⑤о(1 + (^Л)2]"' величина ^0 определяется мз условия

88

Ро= F{f}dt = e § Sifjdt = eS^x9 т. е. €^ = Р^/пт,

С учетом значеияя интеграла (он вычисляется с помощью вычетов)

/= *&(f)e±W=&o ' e±'* 亠%6=冗喷^一5 —8—i

вероятности переходов осциллятора определяются формулой (1) предыдущей задачи, в которой величина 研|"& равна

〃[/F=P^t叫

Искомые вероятности при фиксированном том т монотонно убывают и при т

8.26. Возмущение имеет вид 丨

значении 尸。с рос-

иые элементы равны (см. 8.9) к昨{Т實2,

т = оо равны нулю.

Р = — d&(f)cos 屮，н его матрич-

m'=/n 土 1,

в остальных случаях.

Е°т""”нне °т нуля вероятности переходов ротатора в первом ]器t1「"亜В°3m冲з呜определяк?гся выраженmем 而П

~2

*⑴(加-硏П% ] 岁C)exp(MП")df .(1)

Значения интеграла в формуле (1) для укаааш<ых в условии задачи зависимостей 3(fj приведена в решении задачи 8.24 (следует учесть, что величины %小 равны (2m + 1)й/2/ и — (2m — 1)й/2/ для тЛ = m + 1 r m7 = m— К соответственно)• Условие применимости полученных результатов: d&o 之 《我2(|叫+i)〃・

Нз полученного выражения для W^(m—>m) следует, что в первом порядке теории возмущений возбуждаются лишь бли^ жайшие по энергии уровни ротатора.

Матричные элементы возмущения Р = —d/{f)cosO были вычислены в 8.12:

{

-d^(f)alm9 У = £+1,

—d另(9 历 g f = /—i,О в остальных случаях.

Видно» что в первом порядке теории возмущений возбуждаются только состояния ротатора с моментом Г = г ± 1 (при этом проекция момента m на направление поля не изменяется; отсутствие переходов с изменением значения m связано с тем, что проекция момента является интегралом движения). В^)оятности указанных переходов:

/⑴ 6->Г)=/⑴ 6->Г)=犬［l%〃S/+i“)Rr = /+i,

/⑴ 6->Г)=

/⑴ 6->Г)=

\Ь1тГ^М r=f-l,

где / (w)^ \ 各(，)exp(fsf)d。а частоты переходов。以 равны — DO

h(i + l)/f и —初// соответственно для ? = '+1 нГ=£ — 1・ Значения интеграла 7(о) для временных зависимостей ^(t) вида, приведенного в 8.24, указаны в решении этой задачи.

Условие применимости результата (1): dM° «九气1十1}〃・

В. ф.屮(П состояния системы с гамильтонианам /?= =ff0 + ^(Oi где 0(，)一зависящее от времени возмущение, представим в виде разложения по с. ф. гамильтониана 叫：

中⑴=£ / (О^ехр(-/£^/Й),

Из у. Ш. следуют уравнения для коэффициентов разложения: 叡 0 = — / X % (0 % 0) expG®%),

批0⑴

%(Q =，哦*6嘯%.遮=与空，

Считая, что до включения возмущения (т.е. при f ———оо) система находилась в л-м состоянии невозмущенного гамильтониана, т. е・ &欠口 — —8)=6师(в дальнейшем пишем akn(l)

327

вместо а人(f)), и рассматривая возмущение как малое, представим с* (/) в виде ряда по степеням возмущения：

^п(0 = a^а^+ ...=与，+ 纯乂9 +a輝С)+ ...(2)

В выражении (2) мы учли, что из (1) следует а^ = 0, т. е. й^= =const=6ftn> Подставив (2) в (1) и приравнивая в обенх частях равенства члены одинакового порядка малости по возмущению, находим (с учетом равенства 嚼=“J

硯(0=一戸ё小嘅 噜=-AX%C)鳴ё喲•(3) m

Из (3) следует с учетом начальных условий с*；2)« = — 8)= О：

嚼0)= t ，匕(毋eхp(碑У)忆

嚼《)=(4)

= -%Х，匕乂毋exp(f«)，La〃)exp(toer)“". m —в—DP

Вероятность перехода системы из начального л-го в конечное А・е (после выключения возмущения) состояние равна (也力 л)Вероятность перехода системы из начального л-го в конечное А・е (после выключения возмущения) состояние равна (也力 л)и еслн 0懿"= + 8)= 0, то величинаи еслн 0懿"= + 8)= 0, то величина

Вероятность перехода системы из начального л-го в конечное А・е (после выключения возмущения) состояние равна (也力 л)

Вероятность перехода системы из начального л-го в конечное А・е (после выключения возмущения) состояние равна (也力 л)

и еслн 0懿"= + 8)= 0, то величина

и еслн 0懿"= + 8)= 0, то величина

/P)(nf 九)=|嚼(/= + со)|2(5)

представляет вероятность перехода системы в соответствующее состояние во втором порядке теории возмущений.

Парадокса в действительности нет: для вычислелня ква・ лр,та модуля величины а = 1 + 鏡⑴ +。⑵十 ,представляющей разложение в ряд по некоторому малому параметру 入《1 (тан что ]а(п)| 〜Хл) с точностью до членов второго порядка ма- ностн включительно, необходимо знать величину q также с точ- ностью до членов второго порядка. Действительно,

Ief=l + 2Re小 +1 小 F+ 2 Rea倒 + О (2； (I 小 F 〜Re 产〜A,

На основании результата предыдущей задачи имеем

8

%«=8)Q1—V \ 匕U0 必一 — ОО

-靑£ i 〃“„,(/)/嘿姉 J V^^e^dfdt. (1)

f?l """CO^" co

Согласно (1) вероятность системе остаться при f—+8 в исходном n-м состоянии с точностью до членов второго порядка малости по возмущению включительно равна

Vnn^dtVnn^dt8*8*

Vnn^dt

Vnn^dt

8*

8*

-At S ^m^W)，Vmn(^(i^dt^ m —в— <9

©ов

-%£，％m(f"xp(-r増")，Г；й(0ехр^1<0^Л ⑵ m —8—8

(напомним, что Vnn (0 — вещественная величина). Учитывая, что 嚼=—s& 吸/»&)= %№ (В силу зрмктовссти онера， тора Р). и свойство интеграла

,由 J dtff^ 行=J df[ dtf^ C> —8—8—8*'

e嚼%卜e嚼%卜выражение (2) легко преобразовать к виду

e嚼%卜

e嚼%卜

昨｝=1+京昨｝=1+京曾"神①出]-去? ".(0

昨｝=1+京

昨｝=1+京

L—8」m —8

= 1-%Х'| [%(府愿m I —в= 1-%Х'| [%(府愿m I —в2〃 =1—£》】)(—m), (3)2〃 =1—£》】)(—m), (3)

= 1-%Х'| [%(府愿m I —в

= 1-%Х'| [%(府愿m I —в

2

〃 =1—£》】)(—m), (3)

2

〃 =1—£》】)(—m), (3)

где штрих у символа суммы означает отсутствие слагаемого с т — п.

Полученное соотношение (3) выражает, очевидно, закон сохранения нормировки в.ф. состояния системы с точностью до членов второго порядка по возмущению включительно.

8-30. Из выражения для амплитуды перехода во втором порядке теории возмущений, установленного в 8.28:

©о£

嚼(f=8)=_%X ,匕/)/痴7 心 СМ"也m -8-co

с учетом значений матричных элементов возмущения Г = =—ех至(f) для осциллятора, приведенных в решении 8.24» следует, что во втором порядке появляются переходы осциллятора из л-ого в (л+ 2)-ое н (п—2)-се состояния, запрещенные в первом порядке (см. 8,24). Учитывая значения Vj«(f), легко

829

находим

齊 2,〃（+8）=齊 2,〃（+8）=0%2 畳 +1m" + 2'0%2 畳 +1m" + 2'2¥2¥—8—8冒06痴 J ^^)^dfdt= •—ОО冒06痴 J ^^)^dfdt= •—ОО

齊 2,〃（+8）=

齊 2,〃（+8）=

0%2 畳 +1m" + 2'

0%2 畳 +1m" + 2'

2¥

2¥

—8

—8

冒06痴 J ^^)^dfdt= •—ОО

冒06痴 J ^^)^dfdt= •—ОО

击仪讀喘机+1№ + 2）［［冒（0〃函出］

и, аналогично.и, аналогично.^^ 8)=^^ 8)=4籽4籽罟（06一心"/］.罟（06一心"/］.Используя обозначения задачи 8.24: 1(^=、歩(介星確必, —<юнаходим во втором порядке теории возмущений вероятности пе-Используя обозначения задачи 8.24: 1(^=、歩(介星確必, —<юнаходим во втором порядке теории возмущений вероятности пе-реходов осциллятора, которые запрещены в первом видереходов осциллятора, которые запрещены в первом видепорядке, впорядке, в呼叫…力=1嗯|2=彌・呼叫…力=1嗯|2=彌・(«+l)(n+2)|Z(co)|\ m=〃+2,(«+l)(n+2)|Z(co)|\ m=〃+2,л («-IM ЛЬ co) |\л («-IM ЛЬ co) |\т = п ——2.т = п ——2.

и, аналогично.

и, аналогично.

^^ 8)=

^^ 8)=

4籽

4籽

罟（06一心"/］.

罟（06一心"/］.

Используя обозначения задачи 8.24: 1(^=、歩(介星確必, —<ю

находим во втором порядке теории возмущений вероятности пе-

Используя обозначения задачи 8.24: 1(^=、歩(介星確必, —<ю

находим во втором порядке теории возмущений вероятности пе-

реходов осциллятора, которые запрещены в первом виде

реходов осциллятора, которые запрещены в первом виде

порядке, в

порядке, в

呼叫…力=1嗯|2=彌・

呼叫…力=1嗯|2=彌・

(«+l)(n+2)|Z(co)|\ m=〃+2,

(«+l)(n+2)|Z(co)|\ m=〃+2,

л («-IM ЛЬ co) |\

л («-IM ЛЬ co) |\

т = п ——2.

т = п ——2.

Значения I для некоторых конкретных зависимостей 3(。 приведены в решении задачи 8.24, причем для них |“W 署о/з, и сравнение вероятностей переходов, происходящих в первом н втором порядках теории возмущений, дает

昭⑵ eV I Г |2 5 + 1) с%2鏡 m + D

в услови-ях применимости теории возмущений,

&31・ Согласно 8.26 в первом порядке происходят переходы ротатора из основного состояния (т — 0) лишь в первое воз^ Сужденное (m，= ± I}, н для указанной в условии задачи зависимости 8 (0 вероятности этих переходов равны

尼哧2碎一塔 叁

仍4(駆=0—" = 土 1)=仍4(駆=0—" = 土 1)=硏口而，聞=—_=-.

仍4(駆=0—" = 土 1)=

仍4(駆=0—" = 土 1)=

(О

Используя выражение для амплитуд перехода во втором порядке, полученное в 8.28» н значения матричных элементов возмущении, приведенные в 8.26, легко находим, что во втором порядке теории возмущений появляются переходы ротатора из основного (т=0) во второе возбужденное состояние (执'=土2) с амплитудой (сравнить с решением предыдущей задачи}

8，

。⑵(Of ±2)=—品，歩俗尹遍，S^^dfAt. (2)

— В—8

Для указанного в услозан задачи вида 冒(0 интеграл в выражении (2) легко вычисляется, з вероятности переходов (т=0)—(加==士 2), запрещенных в первом порядке, оказываются равными

睜(0f± 2)二同--Q+丁承1+脸可•(3)

Сравнение вероятностей переходов (1) и (3) дает

- 一崎I --

¥^~ 16一 0 +9畸■)、150A2碣

в соответствии с условием прямен»гмостя теории возмущений.

8.32. Задача решается аналогично предыдущей. В первом порядке теории возмущеияЁ возбуждается лишь состояние с，= 1, м = ◎ с вероятностью

/君紡肆一曙 Й

…。…=玄疗斫

Во втором порядке появляется переход в состояние с 1 = 2, m =Ю с вероятностью

4掰F

—0м。)=声 "遥 0+砲.

8・33・ В выражении для в,. ф. вида 屮 *) =)%〃(QW到 е~诚" коэффициенты akn 出 при / >0 равны (см. 8-28, й =#л)

端⑺“嚼《)=—《(％)妬)痴®)ехр(嚼f)df =

/、「-exp 口(/ +噢)(］1-叩［式硼-，)"1 ⑴

Из выражения (1) видно, что условием применимости теории возмущений j。器［之 1 является выполнение неравенства

|(V)J《比1闷-1嚼仁饵” ⑵

которое при условии близости / к одной из частот перехода @乳(так что %〃《|9難|) существенно ограничивает применимость теории возмущений. Напомним, что возмущений 書 в рамках стационарной теории возмущений можно рассмат* ривазъ как малое нрн услюнни

1"。入』《朗殲И (3)

” Отметим, что в случае возмущения, удовлетворяющего условиям (3), но нарушающего (2), можно получить приближенный ввд в. ф. (см., например. [3]); при этом выражение (1) определяет временную зависимость в. ф. при f W ?， где значение Г ограничено неравенствами Tzkn С 1,井(％)届| « ft, вытекающие ми из (1), если потребовать，器 | « 1.

Если бы рассматриваемое n-е состояние относилось к невырожденному уровню, то в случае возмущения, удовлетво^ ряющего условию

丨％ L《川&nk I.走次％

переходы системы из 标го состояния были бы малы и в. ф. 3(。 в первом порядке теории возмущений определялась бы стандартными формулами (случай резонансного периодического возмущения, обсуждавшийся б предыдущей задаче, мы не рассма* триваем). Ситуация несколько изменяется в случае, когда пге состояние относится к вырожденному уровню: хотя переходы системы в состояния, отличающиеся от исходного по энергии, малы, переходы между состояниями, относящимися к рассматриваемому вырожденному уровню, могут происходить с вероят^ ностью пбрядка единицы, и задача состоит в приближетном вычислении в. ф. с учетом этих переходов.

Представив приближенно в. ф. в виде W (0 а [%4fp + + а^¥^е~^ (мы пишем для краткости % вместо о巾 и т. д), имеем» как обычно, систему уравнений для коэффициентов q (О：

ihti^Vua^ 匕/2=匕＞，e)6,

動的 a %6 + %融=Vof(f)ai.⑴

Из (1) следует

/(01±02)Н干孑 %/9&±a2).⑵

Уравнения (2) легко решить. С учетом начальных условий 0[(_8)=1,电(一8)= 0 находам

勿C = cosE(f), a2(f) = -^sing(0, E«) =糸，f(t)dt. (3) —8

Из выражений (3) следует, что если возмущение действует достаточно длительное время Т, так что |Е(01 Wl 及|〃力 * 1， то, действительно, переходы между состояниями л( и п^ существенны, и это обстоятельство необходимо иметь в виду при расчете переходов системы в состояния, отличающиеся от рассматриваемых по энергии (в рамках стандартных формул нестационарной теории возмущений считается аЛ1« 1, н, как видно из прсшедекного рассмотрения» при наличии вырождения это спра« ведливо при выполнении условия | %*[Г « й).

8-35. Сначала вычислим вероятность перехода (в единицу времени) частицы из состояния д.с. в состояния непрерывного спектра под действием периодического возмущения частоты со。 по стандартной формуле [3J

也=\ d% =尊，]U 6 (Е,—珊一丸/) dv,(1)

где оператор 戶 входит в оператор периодического возмущения： P=-aF€ sin》е 戸「3 + 产/叫

так что в рассматриваемой задаче 户=—ixFo/2. В.力.W九 в матричном элементе (п — набор квантовых чисел, определяю； щих в. ф. д. с.)

F削=、3：?Я1dt «—*)

соответствует в. ф_ 4%(х) единственного состояния д. с. в поле Ф-фуккционной ямы (磚mJ%—энергия этого состояния):

义(х)о V^xp(—x|“|), & = —^^，乂=翳， ⑵

Под V — набором величин, определяющих в. ф. сташюнарных состояний непрерывного спектра для невозмущенного гамильтониана,—будем понимать волновой «вектор> k = p/h частиц, «падающих» на яму; при этом в качестве % следует взять в. ф- 屮*(”)，описывающие процесс прохождения н отражения частиц с импульсом р =启力(вцд этих функш1й обсуждался в 2.47), при* чем если эти функции выбрать нормированными на б-функпию по 电 то dv 曰 aft: £v = h2k2/2m.

С учетом сказанного выше в выражении (1) можно выполнить интегрирование по v (т. е. по А):

w=~(|FftiO P+I^w Р) |^；|> 阮2 = ± + М2m(As。十 &)• (3) Так как в матричные элементы в выражении (3) входят в. ф. Ч^А(х), отвечающие значениям Л, удовлетворяющим неравенству 肉2|衣》ma, при котором потенциальную энергию можно рассматривать как возмущение, то в качестве в. ф- WM%) можно выбрать в. ф. свободных частиц:

W* (х)=(2 力-皿 exp(ZAx).

Учитывая явный вид в. ф. и возмущения, .находим

F»^~ 2^" [ Хexp(f I хI -俄?) dx 一多二蜘.⑷

2九耳[皖产班日可

3 = mlw ・冋

Искомая вероятность % связана с w следующим образом! %(，) — ехр(—啾).

8Лв- Выражение (5) для вчюятности 明 полученное в преды* дущей задаче формально при условии 赢》|£" (при этом вмесго точных в. ф. непрерывного спектра были использованы в. ф. свободных частиц), на самом деле справедливо при произвольной частоте внешнего поля (ftcoo > |Ео|)- Действительно, изменим способ описания состояний частицы в непрерывном спектре: воспользуемся в. ф. ^¥^±(^ являющимися с. ф. гамиль* тониана и имеющими определенную четность (±1)伏= =&пЕ/縛 >0, в то время как в предыдущей задаче —oa<zk < + со). Явный вид в.。，четных состояний нам не потребуется, так как для соответствующих функций матричный элемент возмущения тождественно равен нулю» а в. ф- нечетных состояний в случае б-функционного потенциала такие же, как и Для свободных частиц, т. е.

里А・—(％) = "^ 8>П kx.

Под V теперь следует понимать набор (A, gf, где g =王，а «интегрирование» по v означает интегрирование по Л и суммирсь вание по индексу g. Учитывая сказанное выше, легко находим

Ff в』0, Fj з =仮 ”о.

где F*o дается выражением (4) предыдущей задачи, н приходим к вероятности 切，определяемой формулой (5).

При 力®0Vl £о[ рассчитываемая вероятность 切，очевидно» равна нулю. Это не означает, что переходы частищл в состояния непрерывного спектра вообще отсутствуют: они происходят в высших порядках теории возмущений, т. е. с существенно меньшей вероятностью. Так, при |£0|/2 < 八询 <|£0| вероятность 切 отлична от нуля во втором порядке.

В стандартной формуле теории переходов в непрерывном спектре [3J

d% =全I %。Р6(& - EG dv. / 旱加 (I)

в качестве v, v()выбираем волновые «векторы» свободных частиц; соответствующие в. ф.

%(%)= “泰出叫*，任)=矗成蛇

нормированы на единичную плотность потока для «падающих» частиц с импульсом p — hkuHa 6-функнию по А' для《рассеян- ных> (отраженных), при этом dv 曰 dA\ Выполнив в выражении (1) интегрирование по v (т, е. по 比'),находим вероятность пере-*

削

кодов в виде2

у 依f А'=-*) = £г| jua/gdx •(2)

т. е. переходы происходят только в состоянии частицы с F——总 отвечающие отраженным частицам, п выражение (2) представ* ляет коэффициент отражения частиц R.

Обозклчив через о, U© радиус действия и характерную вели* чину потенциала, в случае Ао & 1 (нс очень быстрые частицы) согласно (2) имеем оценку W ~ n^U^ltf呪.Малость величины V^ (грубо говоря, амплитуды перехода) по сравнению с единицей определяет условие применимости теорян возмущений： ma\Uz\^kt^.

Учитывая йэвестаое выражение для коэффициентов • (f) в разложении в. ф.屮(/)= £。妨(046?%一'"‘(см・，напрн・ мер, 828):

^(0 = -4 ,匕/О』”諸小=

=6 f '/ 等力一實/"，%(-8)=。

(в выражении для 碾乙 выполмеио интегрирование по частям)» находим прн />0:

。)咄⑴。心(外"一直(%V⑴

(при интегрировании было учтено, что dn(0/^ = fi(/))-

Используя полученное значение (1) коэффициентов "", представим в. ф.屮(f) в виде (напомним, что 0fm")々噜=1) 屮①=(噌一 2 轡吸)J%，+ 2去(fоЫЛМЧ

I k^n Лл 丿Ag An

из которого следует, что вероятность перехода F")(п— А) определяется квадратом модуля первого слагаемого в выражении (1), т. е.

иЛ*>(п-> й)= .：「I (%)а〃 F, А # 〃，(2)

в то время как второе слагаемое в этом выражении определяет изменение в. ф, п-го стационарного состояния системы при / > О под действием возмущения Ро・

б) »"!〃—&) = $(取5』，А#о・ (3)

Если возмущение включается за время т, то формулы (2) я (3) определяют вероятности переходов, для которых |ci)ah|i W i.

Обозначим через fl0 н Я = Яо + Ро гамильтонианы системы при / < 0 и / > 0 соответственно (они не зависят от времени!); Vn и ^л — с. ф. этих гамильтонианов. В. ф. системы при f V0 имеет вид W(/) = V«exp(— /Ея//й)； такой же вид она имеет и в первые моменты времени после включения возмущения % (не обязательно малого), так как под действием ограни- ченного воздействия р0 в. ф_ не успевает измениться за бесконечно малый промежуток времени его включения (сравнить с результатом следующей задачи), как это следует из у- Ш. В дальнейшем прн />0 временная зависимость в.ф. определяется га* мильтонианом 户 и имеет вид

^^ = Za^e~^ akn=\^Wndt.

Коэффициенты。无门 в этом разложении в. ф. определяют амплитуды рассматриваемых переходов, так что вероятность перехода равна 也(〃 —R)=|g碗『.В случае малости возмущения Р。гамильтониана (в смысле применимости стационарной теории возмущений)» учитывая приближенный вид 8. ф. V*, приведенный, например, в условии задачи 8.8, непосредственно приходим к формуле (2) предыдущей задачи.

Для определения изменения в. ф. под влиянием б-функ- ционного воздействия будем рассматривать последнее как предельный переход при т —0 в возмущении вила Р(厶 т)— =QJ"/t)/% где функция f(g) обладает свойствами

，® = 0 при |g|》l; J fW)dy=l.

У. Ш. принимает вид (мы опускаем слагаемое Ло в гамиль^ тониане, так как нас интересует изменение в.ф. в течение бесконечно малого промежутка времени 2т (т-^0))

佈等=!?。'(‘片)屮，l"Y%

и решение этого уравнения определяет при 霉—0 изменение в. ф. за бесконечно малое время включения и выключения 6・©ункин・ онного воздействия:

屮(0 = ехр[-《％ t S)n]屮(一.限⑴

丄命

W(f = O+)=e'"* W(f = O-)・

Так как в. ф. рассматриваемой системы при f V 0 имеет внп w = ¥R>exp(—i£J/A), то сразу после окончания 6-функ、 иконного воздействия она» согласно (1), равна

屮(f = 0 +)=eхр (一孑乳)碎\

и по общим принципам вероятности возбуждения различных стационарных состояний при f > 0 даются выражением

m,дГ а) = " W eхр (一亲乳)吟心「(2)

В случае малого возмущения |(%)*,|《Й, разлагая в формуле (2) экспоненту в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получаем результат задачи 8.38,б).

Воздействие вида V(x, 0 = — xP^fi(t) на классическую частицу состоит в мгновенном сообщении ей импульса Р° = =\ F") df. Согласно (1) это утверждение остается справедливым и в квантовой механике. Действительно, сравним в.ф. состояний частнцы в импульсном представлении непосредственно до н после воздействия：

V(t-0^)=\a(p)Wp(x)dp9 屮(f = 0+) = \bS)Wp(%)dp =

=e,p^ J a (p) V„ (л) dp ^ J a(p) Wp4-p.(x) dp =，“ (p —PJ，p(x)dp,

t. e・ Ь3н&(" — Ро)・

Решение задачи получается по общей формуле для пе реходов, приведенной в 8.39*

tt>(0f ')= I §电Wo/ =去"sin “优扌丄)不 sin —■ dx =

4。" T ? я (ft + 1)«

=n""也+1户一天F Sin d 1■

Условие применимости: xh^(k + l)2/ma2《1.

В.ф. единственного состояния д.с. в мелкой яме и его энергия (а также в. ф. нижних стационарных состояний непрерывного спектра) почти такие же, как в случае 6-функционного потенциала U〃)=» — a6(x) с a = qU° (cm. 2.8 н 2.11), и удобно исходить из точного решения для этого потенциала. Указан- ное^изменение ширины ямы эквивалентно замене параметра a на & = ab/a

Вероятность вылета частнцы нз ямы равна w — I ―恥 где w0 — вероятность частице остаться связанной; последнюю легко найти по общей формуле, прн&еде^ноА в 8.39, если воспользо-

‘337

2e-^^^dx 以文2e-^^^dx 以文ваться впдом в.ф. состояния л.с. в 6-функционной яме (cm.2.11)j"

2

e-^^^dx 以文

2

e-^^^dx 以文

也产功(Of 0)=也产功(Of 0)=4%x_ 4 研

也产功(Of 0)=

也产功(Of 0)=

('+牙=(旺犷，

Далее, найдем среднюю энергию частицы при / >0- Для это- го усреднпм гамильтониан Я = fi2/2m—ccS(x) по состоянию с В・。, ％<*)?

E(/>O)=J 一 ■% dx = А, — 佰 一 6b 任)=

=& - ^^ 2自=(2/0一 I) 0(0

Среднюю энергию ё “астн乜 покидаюших яму, легко иайти из очевидного представления Е (/ > 0) в виде

后 С > 0) = g (Ь) + (1 —陶斩 EJb) = %Eo・(2)

Из (1) и (2) следует

e = (l + 2i/c)|E0| = (l+ 2山)察・(3)

Если 5 = 0, то при / > 0 частица становится свободной и ее средняя энергия, равная согласно (3) |£о|, совпадает со средней кинетической эиергпей б исходном состояини (при fV°), как и следовало ожидать.

Задача полностью аналогична предыдущей. Изменение глубины мелкой ямы в п раз приводит к таким же последствиям, как н изменение в л раз ее ширины. Таким образом, решение задачи получается непосредственно из решения предыдущей за- меной величины b/а на 九.

&44・ Общее выражение для вероятностей переходов прн внезапных воздействиях, приведенное в решении задачи &39, в слу” чае переходов в сосгояния непрерывного спектра модифицируется очевидным образом:

dwnv = I \與屮с d<『d、・

В условиях рассматриваемой задачи под v следует понимать змнульс р частицы, а в роли 我 выступают, соответственно, с. ф< импульса

屮,(х) = ^л^^Црх1П).

Учитывая вид. в.ф. основного состояния в б-функционной яме (см. 2.11), легко находим, что в принятом приближении вероятность вылета частицы из ямы с импульсом в интервале (р, р + d/i) дается выражением

"3=市声十逐呼"3=市声十逐呼та小

"3=市声十逐呼

"3=市声十逐呼

X = W・(1)

&та вероятность нормирована на единицу, т, е. в рассматрмае* /ом приближении вероятность частице остаться связанной ямой пренебрежимо мала. Как видно из (i)t характерная величина импульса вылетающ>гх частиц порядка р 〜 乳论〜 ma/Й. Условие применимости полученного выражения (1) состоит в том, чтобы такие частицы можно было рассматривать как свободные, т. е. пренебречь потенциалом U(x) = —&6(*)・ Согласно 8.22 (или 8.37) для этого требуется выполнение неравенства тб《 义應，т.е. G《а (в случае б-функционного потенциал^ об/。= к а) • Как следует из результата предыдущей задачи, при этом действительно вероятность частице остаться связанной ямой мала.

⑴⑴Для расчета искомой вероятности перейдем в систему координат К- движущуюся вместе с ямой, V =х—V/. В.ф< частицы непосредственно до н после начала движения ямы в но ходней системе координат имеет вид (см. 2.11)

⑴

⑴

% (х) = “^ ехр(—х|%1)， *=з储，

В. ф. этого состояния частицы в системе координат К' связана с в. ф. (1) следующим образом:

中。 а') 。 exр (- 然三)Wo h)

^соотношение (2) выражает тот факт, что преобразование в・ф. состоит в Замене импульса р на р ——m 匕 его формальное обоснование основано на результате задачи 726 прн f = f' = O)・ Так как в. ф. связанного состояния частицы в системе К' имеет вид (1) с заменой х на х\ то искомая вероятность равна

勧=1，里四我3)*『=

Учитывая вид с. ф. осциллятора (см. 2.6), находим со< гласно общей формуле для переходов, полученной в 8.39,

оо2

切(О—〃)= J ^(x-e»lk)^(xjdx =

—8

=^Г i〃©)exp[-身-W 片⑴ ■ 8

eg

»=月-衣 н* —M>

Интеграл в выражении (1) был вычислен в 7.18. Итак,

岬一成=A倍)exp(-盜)(%=-T).

Задача решается аналогично 8.45. Учитывая в выраже- ■ии

82

m(0f 0)0，W(4exp(一等)吟"(力成

—8

явиий вид с. ф. осциллятора и значение интеграла, вычисленного в 7.18, получаем

• mJ / mW"、力 / m2W、

叫i)F(FH exp(—^而l)・

8,& Представим в. ф. V(q, Z) в 1зиде

屮(。,0 = [%⑴屮"(g. Oexp(-4jf„(G^).(1)

где 屮Mg,，), EM。— с.ф. и с.з. «мгновенного» гамильтониawaf т.е.

月(А，а 入(9)吸依 /)=£Л(О^Я(^ /),⑵

и коэффициенты Сп(/) представляют в.ф. системы в требуемом Представлении. Подставив в нестационарное у_Ш_ в. ф. (1), умножим обе части этого уравнения слева на Ф£(/) и проинтегрируем по координатам системы д. Учитывая ортогональность 自力，%〃(，)■ легко находим у. Ш. в рассматриваемом представлении:

《(/) = -£ а С) ехр & 卜Е* 一 旦)"]\ 屮必询,(3)

Это уравнение в случае, когда спектр оператора А является кевырожденным, удобно преобразовать следующим образом. Во^ первых, выберем 屮“£) вещественными (это всегда можно еде- латьт если отсутствует магнитное поле, так что Н = й2/2т 弋 + U («А (f)))・ При этом

，里波“對=4,道對=0.

Во-вторых, продифференцируем no f соотношение (2), умножим обе части равенства на 屮区=屮動 с А * п н проинтегрируем по координатам системы- В результате легко получим

\屮曲仙一暴五\ *(%%dq传，班

\

и уравнение (3) принимает вид

59 = 2'Ог&(。(飢“ехр卜 i■皿4 ⑷ где штрих у суммы означает отсутствие слагаемого с п*% hsAn = Ek — E% (dH/dt)kn — матричные элементы оператора дП/dt.

8.49. Если производная дЙ/dt достаточно мала (см_ ннже). то из уравнения (4) предыдущей задачи следует СЛ。0, т. е. С* » С^ = const = 6fcnno условию задачи. В следующем приближении адиабатической теории возмущений для А，п имеем

魂(О =^Й■(粤)*/xp(d% 的"} (9

Интегрируя (1) при заданном начальном условии, получаем&?(0Т(9г(4Мехр(，\")"，К(А，〃)」2)

Как следует из вывода, необходимым условием справедливости выражений (2) является неравенство ]c£L|《i (丸声九).Оценка С呪 согласно (2) дает

闺~1一-肥*一e/

Справа стоит отношение изменения гамильтониана за время по- ридка боровского периода s^J к разности энергий соответствующих уровней, и малость этого отношения представляет искомое условие применимости адиабатической теории возмущений.

Полезно иметь в виду следующее. Несмотря на медленное изменение гамильтониана (в указанном выше смысле). за достаточно длительное время он может измениться очень существенно (даже не иметь ничего общего с первоначальным). Тем не менее система с подавляющей вероятностью в произвольный Момент времени будет находиться в состоянии 里〃(f)・ Наглядно этот результат можно сформулировать как сохранение номера (в порядке возрастания энертии) квантового состояния, что представляет обобщение закона сохранения энергии для не зависящего от времени гамильтониана на случай его адиабатического изменения-

Полученный результат о (приближенном) сохранении номера квантового состояния является квантовомеханическим аналогом сохранения адиабатического инварианта (/ = ~ § р dg) в

классической механике (см. [4]). Последнее обстоятельство ста* новится особенно наглядным в квазнклассическом случае (см・ следующую главу), если иметь в виду правило квантования Бора — Зоммерфельда,

850・ Задача решается с помощью общих результатов адна- батической теории возмущений, изложенных в двух предыдущих задачах

С.ф. и с. з. «мгновенного» гамильтониана А = f^l^m +左，?/2— —е函(。были найдены в 26

W-G f)=V产(х-e&e派)，Ert(/) = Mn+ 1/2)一死十/如

Оператор dR/dt равен —ex^(t)9 н его матричные элементы "H/dt)ko отличны от нуля (при А 味 0) лишь в случае Л = 1 (см. 8.3), причем (дН/д!)^ = — еаУ/ V2 • С учетом сказанного об щая формула (2) предыдущей задачи для адиабатических пере* ходов принимает вид

8

СЙ(/ = + со)=--誅7餐 f 祭.或 (1)

—8

(мы заменили нижние пределы инт€1рнрования #«")== 0 на 仪"> =—8, так как по условию задачи начальное состояние осциллятора задано при f — — 8, и по той же причине положили « = + со).

Фазовый множитель ехр(/оо) появился в результате интегрирования

i ©ю dt = to、由=is/+ 心8・

Формально его лроисхождеине связано с тем обстоятельствомt что мы считали V (/ =——8)равной Vocl4(x)—в. ф. начального со- стояния осциллятора, при этом фаза в. ф. при / « 0, когда включается поле, бесконечна (так как, гру*бо говоря,屮(/) ~, ~ ехр(—iEf/九)).

Квадрат модуля амплитуды перехода (1) определяет нероат-

剧ость единственного разрешенного в первом порядке адиабати* ческой теории возмущений перехода осциллятора 用｛0—1)・

выключается, то ннте-выключается, то ннте-Если электрическое поле при ?—+8

выключается, то ннте-

выключается, то ннте-

грированием по частям в выражении (1) вероятность перехода можно преобразовать к виду

銅。銅。/(Of °=關 J ^(0exp(fto/)^L

銅。

銅。

—8

аналогичному полученному ранее {см. 8.24) в рамках обычной нестационарной теории возмущений (однако у этих формально одинаковых выражений различные условия применимостиф)).Окончательные выражения для вероятностей возбуждений Йот » 1):аналогичному полученному ранее {см. 8.24) в рамках обычной нестационарной теории возмущений (однако у этих формально одинаковых выражений различные условия применимостиф)).Окончательные выражения для вероятностей возбуждений Йот » 1):2统2肾.

аналогичному полученному ранее {см. 8.24) в рамках обычной нестационарной теории возмущений (однако у этих формально одинаковых выражений различные условия применимостиф)).

Окончательные выражения для вероятностей возбуждений Йот » 1):

аналогичному полученному ранее {см. 8.24) в рамках обычной нестационарной теории возмущений (однако у этих формально одинаковых выражений различные условия применимостиф)).

Окончательные выражения для вероятностей возбуждений Йот » 1):

О)呼(Of i)=方％2

与w^Of D=加击.

8-51. Условие •諸《通§ обеспечивает применимость адна， батического приближения^ так что» согласно 8-49, в.ф. ротатора в момент вр&менн f является в. ф. основного состояния ротатора в поле ^(/). В частности, при f—8 эта в.ф. имеет вид (см. 8.19)

囁3>к (V« 6)т，хр(—才2磅，恥=(论2〃d&o)"《L

Вероятности разлитых значений проекции момента опреде* лякутся. согласно общим принципам, выражениями

Я8

C№=—\еТвФЬ@)4за(2ялЛЕо)皿，е

Ттф^蹄0 d@ =Ттф^蹄0 d@ ==A/呑-*

Ттф^

蹄0 d@ =

Ттф^

蹄0 d@ =

研用=忙/Н岩gF抬

(мы заменили интервал интегрирования (—л, л)' по <р на (亠 8» 十8), так как в.ф. Т0(ф) при |ф[^* 1 пренебрежимо мала).

У рассм атр и в а ем ofl системы, очевидно» сохраняется четность. Поэтому удобно анализировать временную зависимость четной п нечетной составляющих в.ф. отдельно. Обозначив 屮и(дс) в.ф. основного состояния часпщы в случае одной ямы U(x) =—仁6(尤)(см. 2.11) и считая для определенности, что при ff—8 частица была связана правой ямой, запишем в. ф.

•> -Легко со。幻знт4 что в дантюй задаче причиной совлалеяия результата адиабатмчеошго расглютрения (уилов1Я примеяимостн которого 睿 >-^, 喘黑 < I) с результатом теории возмушеп^А (условие прякенямо сти 竺吧《 I)является специфическое действие однородного поля на осцил- ЛО /

лятор, сводящееся фактически лпигь к сдвигу «точки падвеса».

начй^П>ного состояния в виде

W (f - - 8)=金｛3川 + 3-)

3*=存｛w。(一失辿)±%(х + /門卜⑴

При бесконечном расстоянии между ямами £(—оо)= 8 как четная, так и нечетная составляющие в. Q. (1) описывают части- цу，находящуюся в связанных состояниях в поле двух ям с оди- наксвой энергией, равной энергии основного состояния в поле °Ди°й ямы (уровень двукратно вырожден).

Каким бы ни был закон «сближения» ям, можно утверждать, /то, когда ямы сливаются в одну, нечетная составляющая в. ф. описывает несвязанную частицу, так как в поле о дней С-функци- °^ной ямы имеется только одно, четное состояние /ьс. Времен- Н^Я 芥е зависимость четной в. ф. и вероятность частице остаться в связанном состоянии существенно зависят от характера сбли- м<еннл ям. Но если процесс сближения ям носит адиабатический характер (см. 8.49), то результат очевиден: частица будет оставаться в основном состоянии. Так как в начальном состоянии вероятность четного состояния частицы равна 1/2, то в условных дадачи вероятность частице остаться в связанном состоянии при медленном сближении ям также равна i/卦 Условие применимости полученного результата: |£|《 а/丸.Фактически это условие должно выполняться, лишь когда ямы сближаются на достаточ- но малое расстояние L ~ /та 伍》/т<х — характерное расстояние, на котором локализована в.ф. частицы в б-функцион- ^ой яме). На больших расстояниях такого жесткого ограничения на скорость дБижения ям нет, так как в этом случае частица, локализованная вблизи одной из ям» не «чувствует» наличия другой, а при движении ямы с произвольной (но постоянной) скоростью в соответствии с принципом относительности никаких переходов не происходит. Фактически прн L》力'/та требуется лишь, чтобы не было слишком большим ускорение £ (читателю предлагается самостоятельно получить соответствующее ограничение).

В заключение еще раз подчеркнем, что при решении задачи мм использовали адиабатическое приближение только прн рассмотрении четной части в. ф. Что же касается нечетной части в.巾.，то при рассмотрении ее временной зависимости адиабатическое приближение заведомо неприменимо» когда ямы сближаются до расстояния 丄％ при котором нечетный уровень дискретного спектра исчезает (сливается с непрерывным спектром г 厶=力 2〃па).

8・53. Обозначим через 4fH (% R £nj (& с. ф. и с. з. оператора А = Ai (*) + V (х, &) при фиксированных значениях & координат 344 .

«медленной» подсистемы, т. е.

由 1 + У У 削 4% (*, Е)-反电 4% У &)・(1)

В адиабатическом приближении точные с. ф. полного гамильтониана системы Я представляются приближенно в виде

Wk Е)е叫电住，E) = Sg(E)WmK а

где в. ф.①巾叫 и приближенные значения 与，电 энергетических уровней системы определяются из у. III.，

W1 + V(х, 0+ 月2)①м© Wm(*, &)比 Еп.п^т.« Е), (2) если в этом уравнении проделать следующие преобразования： учитывая соотношение (1), умножить обе ч^сти уравнения (2) слева на 屮％(х, g), проинтегрировать по координатам х «быстрой* подсистемы н пренебречь действием оператора /?2(t) ня переменную |> входящую в в. ф. 4%(х, Е) (т. е. считать ЛаФ^ » 比 ^ЯаФ). В результате для определения в. ф.①内％ н энергетических уровней £Л|П| получается у. Ш.'

(月2 (日+ £П1间)①仙,陶^Е^①研,R),

в которое входят только координаты «^едленной> подсистему а* взанмоле員ствме ее с «быстрой» подсистемой эффективно характеризуется «потенциальной>энергией, равной Е〃. (Е)・

Задача решается в адиабатическом приближении» расчетные формулы которого приведены в предыдущей задаче. В роли «быстрой» подсистемы выступает движение частины вдоль оси х, в роли «медленной» — движение вдоль оси у (такое рассмотрение бозможно в силу условия а《Ь). Используй обо* значения предыдущей задачи (с единственной заменой | на у) и выбрав ЯI = pxf^m9 百2=^2т, V (х, J/) — I/ (х,处 легко находим

w q~Si+D(*+“(y)/2) F .力力I» (小+ 1)*

w小(X,处=V刀万sin砌 • %似)-2m炉⑥

(движение частицы вдоль оси х при фиксированном у —движение частицы в бесконечно глубокой яме шириной а(у) = -20 "i 一g2/力2).

Движение частицы вдоль осн у, согласно уравнению (2) предыдущей задачи» определяется «потенциалом»

" ®」МУ)= 8爲(忆—前"Y瓦I*\y\>b.

У. UL с такой потенциальной энергией точно решено быть Яе может. Однако можно заметнть, что в случае не очень сильно возбужденных состояний в таком поле в. ф. стационарных состояний локализованы на расстоянии |у|《瓦 а в этой облаете

345

потенциал можно разложить в ряд

卩（力比卩（力比黎№ （双+1产8用砂 十黎№ （双+1产8用砂 十护#0h + I)2护#0h + I)2

卩（力比

卩（力比

黎№ （双+1产

8用砂 十

黎№ （双+1产

8用砂 十

护#0h + I)2

护#0h + I)2

При этом задача вычисления ①面奥包)и Е%® сводится к задаче о гармоническом осцилляторе.

Окончательные выражения для нижних уровней энергии рассматриваемой системы и приближенных с. ф. имеют вид

肥炉（他+步方2窘佃干I）0 I

еn⑸еn⑸8根炉十2mab四十" 一 5 1…・，

еn⑸

еn⑸

*的（船g）=3 V孰）出!）-""*的（船g）=3 V孰）出!）-""咖（一君）咖（一君）Нт(城у63п*(х, у)Нт(城у63п*(х, у)

*的（船g）=3 V孰）出!）-""

*的（船g）=3 V孰）出!）-""

咖（一君）

咖（一君）

Нт(城у63п*(х, у)

Нт(城у63п*(х, у)

(%=勺勺遥nr成(/+1/2)《》

8-55, Задача решается аналогично предыдущей. В роли быстрой подсистемы выступает движение частицы вдоль оси & в роли медленной — движение в плоскости х, д. В. ф. к уровни энергии быстрой подсистемы при фиксированных координатах х, у медленной имеют вид

%3.必="急，-回牆»1,反(8 嚅評，

где Ь (力=26 小—(N * /■ н 2b “】一р卽2 •Движение медленной подсистемы (после усреднения по дви- женшо быстрой) характеризуется эффективной потенциальнойгде Ь (力=26 小—(N * /■ н 2b “】一р卽2 •Движение медленной подсистемы (после усреднения по дви- женшо быстрой) характеризуется эффективной потенциальноймергиеймергиейU(P)=U(P)=Е电（Р）,Е电（Р）,ООООР V4р>@・Р V4р>@・

где Ь (力=26 小—(N * /■ н 2b “】一р卽2 •

Движение медленной подсистемы (после усреднения по дви- женшо быстрой) характеризуется эффективной потенциальной

где Ь (力=26 小—(N * /■ н 2b “】一р卽2 •

Движение медленной подсистемы (после усреднения по дви- женшо быстрой) характеризуется эффективной потенциальной

мергией

мергией

U(P)=

U(P)=

Е电（Р）,

Е电（Р）,

ОО

ОО

Р V4р>@・

Р V4р>@・

Разлагая V(р) в ряд вблизи точки минимума (р = 0):

U(P)aU(P)a护力 （由+ 1户碗-3护力 （由+ 1户碗-3方%9(m+ 1产方%9(m+ 1产8wo^8wo^(D(D

U(P)a

U(P)a

护力 （由+ 1户

碗-3

护力 （由+ 1户

碗-3

方%9(m+ 1产

方%9(m+ 1产

8wo^

8wo^

(D

(D

замечаем» что задача вычисления в. ф. медленной подсистемы и энергетических уровней системы сводится к задаче о плоском осцилляторе (см. 4.5). Уровни энергии частицы в адиабатическом приближении представляются в виде

р仍^储［%］产 方』(拉—и% м\

e，/ =-脸—+-2^-^+0 他，"=0，L・，，)，

("+1)《(色+1)4，

(N—главное квантовое число соответствующего плоского ос- циллятора; ограничение на значение ^ вытекает из условия локализации в. ф. медленной подсистемы на расстониях р《&, при котсфых справедлйво разложение (1)).

8^・ Выстрой подсистемой является данжение частицы в плоскости "g, медленной -^движение вдоль оси 2. В.ф. быстрой

подсистемы и соответствующие им уровни энергии при фиксиро^ ванном значении координаты z (см. задачу 4.8 о частице в бес- конечно глубокой двумерной нме;以(2)=@ * — z實")имеют вид ^(Р，ф)==Св^и(±^). —R^gf^，

Разлагая эффективную йотенциальную энергию медленной под< системы в ряд вблизи точки минимума (точно так ?ке, как это было сделано при 聯шенми двух предыдущих -задач), лриходий к выр-ажению

еп)тп. ~ -篇" 4-磊"^ 做+】⑵，办?一a 1, ， • -$

для нижних энергетических уровней частицы fi адаайатическом приближении.■

8-57. Быстрая подсистема — осциллятор, характеризующийся координатой %- При фиксированном значении у—координаты медленной подоистемы — в. ф, и уровни энергии быстрой иод上 ежтеми имеют ввд (со = ^k]m )

治(X, g)=屮沪(％ + 包岁闽，％ 匂)=А®(Л1 + 1/2) — aV/2A-

В. ф. и уровни энергии медленной подсистемы -определяются согласно уравнению (2) задачи 8.53

(一笈备 +.S + 1/2) +上押 &2)о… ® = % A%/(办

и, очевидно»I

反通广加)g+l/2) +的"瑞(1-礬)(物+]/2L(I)

Для получения точного решения задачи сделаем замену пере< менной z = y ^М{т. При этом гамильтониан -системы прини* мает вид

否 А" / #2 [ ©2、I 矗炉2m

"=一加(衣+声)+丁+配2 +aV京感

Далее, перейдем к новым переменным 灾，2 согласно формулам x — xcos Фо + 2 sin <por z = 2 cos Фо —^ sin фо»

tg 2фо = —2а 7豆面]艮(1 — m}M).

При этом преобразовании, представляющем поворот в плоскоста £ 2 (так 4To А = А), гамильтониан принимает вид

0=一合A +冬产+手守，

耳2 一—2土至 A/U-Zj + 而

(т. е. координаты 戈，乞—нормальные) и его с. з. — энергетиче^ скне уровни системы, — очевидно9 равны

e"翡[/ +尹"0 -引修®+联)+ - +V1"(1-器У+需他 + и?)]⑶

(отметим, что наиболее простой способ определения собственных частот состоит не в явном выполнении преобразования (2), а в вычислении главных значений тензора 屍 входящего в потен- Щ1альную энергию осцилляторов U —】/?启пХ〔*а； главные значе- 鳥兄 тензора 论％ легко находятся из условий инвариантности следа и детерминанта матрицы kin при вращениях системы координат) •

Из выражения (3) легко увидеть, как получается результат (1) адиабатического рассмотрения.

При решении задачи используем адиабатическое приближение (см. 8.53). В роли быстрой подсистемы выступает легкая частица (ее координата xj, медленной подсистемы ——тяжелая частица. Уровни энергии и в.0. быстрой подсистемы при фиксированной координате 尤？ медленкой имеют вид (считаем для определенности, что тяжелая частица находится слева от легкой; в.ф. равна нулю при xt > а и Л| < х2)

%（乱刈=A/言痴迫嘲户.%（乱刈=A/言痴迫嘲户.国,（*2）=国,（*2）=AW (，"+1》 2m (а — ”2 户AW (，"+1》 2m (а — ”2 户

%（乱刈=A/言痴迫嘲户.

%（乱刈=A/言痴迫嘲户.

国,（*2）=

国,（*2）=

AW (，"+1》 2m (а — ”2 户

AW (，"+1》 2m (а — ”2 户

Энергия Enj(Х2)выступает в роли эффективном потенциаль- *2访 энергии для медленной подсистемы при О V *2 V а； при *2 V 0 и Xz> а потенциальная энергия равна бесконечности. Для нахождения энергетических уровней системы, соответствующих не слишком сильно возбужденным состояниям медленной подсистемы, разложим эффективную потенциальную энергию при № > 0 日 ряд вблизи точки минимума %2 = О：

方3 g 士 IF ［肥用（% + 1炉

勲> 0,尤2Vo勲> 0,尤2VoU（%2）a —"一而L

勲> 0,

尤2Vo

勲> 0,

尤2Vo

8，

(ср. с решением задачи 8.54). При этом из уравнения (2) зааа・ чи 8.53, определяющего в. ф. ФП1Я1 медленной подсистемы и энергетические уровни системы, легко находим уровни энергии системы в адиабатическом приближении (с учетом результата задачи 2.15):

р _ —飙士厅 I Г АЗg+ 1)4 уз ・力t小

七桁也分肃J-1 2mtМал丿Q饱+1. «1Л -0> I •--<⑴

Читателю предлагается самостоятельно убедиться в .том, что условием применимости результата (I) является выполнение неравенства “

0小+］《冗g + 12(M/m"

(напомним, что ал с ростом л возрастает； см. 2.15).

Глава 9КВ АЗИ КЛАССИ ЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ8.1. Искомые уровни Fn определяются правилом Бора — Зоммерфельда6Глава 9КВ АЗИ КЛАССИ ЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ8.1. Искомые уровни Fn определяются правилом Бора — Зоммерфельда6квантованияквантования~^p(x)dx==n(n+ 1/2),~^p(x)dx==n(n+ 1/2),〃к 0,1,2,・・・■〃к 0,1,2,・・・■(О(О

Глава 9

КВ АЗИ КЛАССИ ЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

8.1. Искомые уровни Fn определяются правилом Бора — Зоммерфельда

6

Глава 9

КВ АЗИ КЛАССИ ЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

8.1. Искомые уровни Fn определяются правилом Бора — Зоммерфельда

6

квантования

квантования

~^p(x)dx==n(n+ 1/2),

~^p(x)dx==n(n+ 1/2),

〃к 0,1,2,・・・■

〃к 0,1,2,・・・■

(О

(О

где р (*) к 江2,九(国一〃&)) ； Q, fc •*- точки поворота, определяемые условием р(д)=卩(3)』0. В случае осциллятора (17 — Ах72, Ь —。尸仔訴)левая часть в соотношении (1) оказывается равной Q』х д/旬左о, з = “^加)

так чтотак что4厶、誉(viKd-噤. 。 -1

так что

так что

En^hib(n+l/2)9(2)

что совпадает с точным значением» хотя по способу получения применимость результата (2) ограничена формально условием

п» 1.

В.ф. справа от правой точки остановки Ь имеет обычный квээмклассический вид:

3百骨3百骨'加(--j"'*""*)' х>'・ (1)'加(--j"'*""*)' х>'・ (1)

3百骨

3百骨

'加(--j"'*""*)' х>'・ (1)

'加(--j"'*""*)' х>'・ (1)

* < 瓦 (2)* < 瓦 (2)Этой в・ ф. в области х<Ь соответствует в. ф. вида w仇)匸新痴 阿F),

* < 瓦 (2)

* < 瓦 (2)

Напомннм, что значение фазы л/4 в выражении (2) для в. ф. получается прн помощи сшивания квазиклассических решений (1)9 (2) у.Ш. в окрестности точки х—Ь (где эти решения неприменимы) с помошью точного решения у. Ш. в этой области в предположении справедливости линейной аппроксимации по・ тенциала.

Длй рассматриваемого потенциала квАэвклассичеекое решение (2> справедливо» вообще говоря, вплоть до значений 瑞 ие- посредстеенно примыкающих к левой точке поворота * = 0, н граничное условие W(0)=0 определяет искомое правило квантования

илиили}\pa)d% +十= л(〃+ 1),}\pa)d% +十= л(〃+ 1),н = 0, L 2, • •・,н = 0, L 2, • •・,〃2加U - U(x)) d*=与g+ 十4)〃2加U - U(x)) d*=与g+ 十4)

или

или

}\pa)d% +十= л(〃+ 1),

}\pa)d% +十= л(〃+ 1),

н = 0, L 2, • •・,

н = 0, L 2, • •・,

〃2加U - U(x)) d*=与g+ 十4)

〃2加U - U(x)) d*=与g+ 十4)

Чотметим, что условие квантования (3) можно также легко по- Лучить из правила Бора — Зоммеофельда, примененного к симметричному потенциалу О(л)— U(|x|), если воспользоваться результатом задачи 2.12).

Используя формулу (3) предыдущей задачи с U(x)^ ■ mg/ легко находим

^Еп=[^1\т^Цп + 3/4)4(1)

приближеприближеВыражение (1)9 полученное в квазиклассическом

приближе

приближе

квазиклассическиеквазиклассическиении, применимо при n » L Однако обычно

квазиклассические

квазиклассические

выражения для энергетических уровней и при 打 ~ 1 не сильно Отличаются от точных значений. Так, в рассматриваемой задаче формула (1) при 几=0 дает £о — it84(wg2^2)1/3, а точное значение энергии основного состояния частицы равно 1,86(mg?力2)“з

Используя правило квантования в квазиклассическом «лучае

《,V2/n[Ел — t/o(!х \t^\ dx=n(n^ 1/2), Го

после простых преобразований находим

⑴⑴凡』(氯〈吐1/2))2啲+2)匹他+q

⑴

⑴

ВДе 6= , “i — „А

о

Используя выражение (1), получаем (打》1)

ае. К与姆一反比器-e12v历(v + 2),

и так как £я <х> п^^Ч то при 2v/(v4-2)> 1, г. е. v > 2» расстояние между соседними уровнями с ростом п увеличивается; ври v<2 это расстояние уменьшается; при v工2 (т, е, в случае осциллятора) уровни эквидистантны.

aw

Плотность состояний декретного спектра равна

g(E)g(E)盒=喘—"…♦盒=喘—"…♦

g(E)

g(E)

盒=喘—"…♦

盒=喘—"…♦

В квазиклассичёском правиле квантоваинн уровней

力冉

■^^ ] “£-6/.厶比仲〃它)

рассматриваем формально л как функцию переменной Е Эта функция п(Е) представляет число состояний д. с. с энергией, меньшей Е, и дифференцирование ее по энергии Е дает искомую

плотность СОСТОЯНИЙ Д.С.：1

8把)■

g(e)=色=包1 T /\J_\q = _L^.(1)

Е ， d£2n亢 义)“E— U(x) nft J и⑺Ло(£)

где 8(f) имеет простой смысл: Т = 2тт/о)представляет период движения в рассматриваемом поле классической частицы с 9»^ гией Е. Так как плотность состояний д.с равна g (£)=1/△耳 где Д£ — расстояние между соседними уровнями, то согласно (1)Л£ТзЗ)・

Условие применимости квазиоассического рассмотрения Ирм*—Хо ■ 圏-自1含V^卜#"Х。心У ⑴

выполнеио в случае v > 2 и нарушается при v< 2. При v =2 решение у. Ш. в окрестности точки *о имеет квазиилассический вид лишь при выполнении неравенства “та 》Й.

(W=x(，)〃)(W=x(，)〃)5条一^lО■5条一^lО■У. III. при Е = 0 для «-состояний (/ = 0) имеет вид

(W=x(，)〃)

(W=x(，)〃)

5条一^lО■

5条一^lО■

Решения этого уравнения имеют квазикласснческий вид при выполнении условия

ft I — -i— I ― Г—《1.(1)

I dr p (г) I 2,

Для v > 2 условие (i) выполнено при у《(“碗/»方尸"一力* т. е. квазиклассика применима лишь на малых расстояниях; прн wV2* наоборот» квазиклассика применима на больших рас* стояниях г》(“/па 人否(一刁化一二.В случае ”—2 при выполнения условия Vma》Я решение y. W. имеет квазикдассический внд во всем пространстве; при “加а <А квазиклассика вообще неприменима.

При решении задачи квазиклассика может быть использована только при выполнении условия "Ма》Л (сравнить с 9.7). Еслм указанное условие выполнено» то в. ф. имеет ква・ знклассический вид при всех аиачениях *》@ (при ，V。 屮曰0), 6а исключений 5уакой области вблизи правой ToqkH остановки x = fc = Vo/jcf. Энергетические уровни определяют- ся правилом квантования, установленным:в 9.2, т. е.

引“2m［一］皐1 +糸］ 0引“2m［一］皐1 +糸］ 0dx = “(" + 3/4)dx = “(" + 3/4)(Е“ = —|Е“［<0).⑴(Е“ = —|Е“［<0).⑴

引“2m［一］皐1 +糸］ 0

引“2m［一］皐1 +糸］ 0

dx = “(" + 3/4)

dx = “(" + 3/4)

(Е“ = —|Е“［<0).⑴

(Е“ = —|Е“［<0).⑴

С помощью замены переменной z = "l—禺|*^ инте- ^^ в этом выражении легко вычисляется, и оно принимает

гдегде茫含)-+ 3/4).茫含)-+ 3/4).⑵⑵物="i -雨凡血.物="i -雨凡血.(3)(3)

где

где

茫含)-+ 3/4).

茫含)-+ 3/4).

⑵

⑵

物="i -雨凡血.

物="i -雨凡血.

(3)

(3)

“爷(-l + ln2 + ；in“爷(-l + ln2 + ；inИз соотношений (2) и (3) явное выражение для Ея можно получить только в случаях |ЕП| < а/^ и |Е„|« a/as. В первом случае (верхние уровни) из (2) и (3) получаем в резуль* тате разложения по малому параметру |£п|о*/а

“爷(-l + ln2 + ；in

“爷(-l + ln2 + ；in

了船 + ° (/ f‘))= “ 8 + 3/4),

откуда

凡К一点 exp{ 一 指 S + 3/4) - 2}. (4)

Из выражения (4) следует, что расстояние между верхними уровнями энергии (число которых бесконечно велико) умен— тается экспоненциально с ростом л, так что плотность состоя- bhS д. с# (сравнить с 9.5) при |E|f О растет как |Е|-«・

Явный внд в. ф. Wn (х) легко получить» если воспользоваться общими выражениями для в. ф. справа и слева от правой точки поворота, установленными в 9.2, и при вычислении интеграла ，р(х) dx сделать указанную выше замену переменной.

Найдем в квазнклассическом приближении вид функ* пии %(，)• связанной с в. ф. ^Уп/т соотношением % = г屮“「«). Эта функция удовлетворяет одномерному у. Ш. с потенциалом 1/ = =~а〃 и граничному условию %(0)=0. Точками поворота яв* ляются г = а = 0 и г^Ь~а/\Е\. Квазикласснческое решение 852

справа от правой точки поворота имеет вид

-=2.•吊 ё冊(一■1我)")'>]

(Р = “2/п (—IЕ1+刃).

Такому решению соответствует при г < 6 в. ф.

人 к^Т$т(+$Р ⑺"+?)' r<b, ⑴

причем для справедливости этого выражения требуется выполнение условия применимости квазиклассики; но в кулоновском поле на малых расстояниях (，—0) это условие не выполняется (см., например, 9.6 и 9.7). Поэтому, чтобы воспользоваться граничным условием % (0) = 0, определяющим фактически энергетический спектр, квазиклассическое решение (1) следует на ма・ лых расстояниях сшить с точным решением у. Ш. (если же просто потребовать Хк» (0)=0, то получаемый результат для уровней энергии будет менее точным).

, На малых расстояниях /《а/|Е] у.Ш. принимает вид

а，"' + (а/г) Х = 0» 6 = 2ma/t^.

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию х(0) = 0# выражается через функцию Бесселя (см„ например, [12]):

%。) = А #厶(2 皆7),

н при V而》1 имеет асимптотическое поведение

4 .

х(" - А д/会 sin(2 «а—手).⑵

Квазиклассическое решение у. Ш. при г V 瓦 очевидно, можно представить также (наряду с (1)) в виде

(3)(3)

(3)

(3)

При значениях г в интервале, определяемом условиямиг《aJ\E\, 1®а《石.(9

имеем |眼亦 I 〜(dr)-"? « 1, т. е. применима квазяклассика, и в. ф. (3) с учетом соотяошения р (，) а /2та/г =» 力“ —3

12 В, М» Галжц1ш1 ■ др・Зб?

справедливого в интервале《4), принимает вид

加в(г) ==С /^sin(2 皆7+ Y)-(5)

В то же время в интервале (4) точное решение у. Ш. имеет вид (2), и сравнение выражений (2) и (5) для в.ф. позволяет найти значение параметра у = —зт/4. Условие же совпадения квазиклассических выражений (1) и (3) для в. ф. приводит к соотношению

гЬ6. 一

3p"+y +牙 pdr +左= %\д/2 加(£-U|)力= OrО

=#(外+1),(6)

представляклдаму искомое условие квантования энергетических уровней s-состояний частицы в кулоновском поле в квазиклас** сическом приближении (门「= 0, 1・•.・—радиальное квантовое число).

Из соотиовпемяя (6) легко находим

% = -«о№&+У,(7)

что совпадает е точным значением при произвольном 电,хетн формальное условие нримекимости выражения (7} определяется сушествованием интервала (4J переменкой 厶 использованного для сшивания тоявогсг м ывазннлосе騒/纪ского ретний, и требует, как обычно, п,》1.

§J能 Задаче решает» аналогмвдо предыдущей. Кваэкклас* сиадское peaewtfe у-ИЛ в ©&»асти ©ивйюго движения класс ческой частицы имеет вид (сравнить с выражением (3) предыдущей задачи)

5制产6")”)，⑴

Р ") = «2 制(—IE【+ —^ •

У. Ш, на малых расстоянкях 户《а/]£| прпявмает вад 会+ 5%=0，e = 2та/A2.

Его решение, удовлетеоряющее гравичиому условию % (0)=0.nM)=aV7』【(А^Уб产г )

имеет при “бе2r》1 асимптотическое поведенве

Х(П“辜…(言〃叱-^^U).(2)

Интервал зна^еня^方中缥旧竄崩г

r^C«/|£C 4《VS^~(3)

является властью «перекрытиям (г.电.областью, в которвй применимы и точные и квазиклассические выражения для в. ф.), м сравнение в.巾.(4) в этой области

Хкв 比 С(г*&21代 Sin(2^ 痴к + 丫)

2<2 — V)2<2 — V)с точной в. ф. (2) позволяет найти значение Y=f

2<2 — V)

2<2 — V)

тем самым получить условие квантования уровней энергии (сравнить с выводом формулы (6) предыдущей задачи):

可"2加(一 J|+ g " = «+ ； +i^)，⑷

Из соотношения (4) следует

гдегде8v8v破/“加 証М 十始手号2(2-切1破/“加 証М 十始手号2(2-切1

где

где

8v

8v

破/“加 証М 十始手号2(2-切1

破/“加 証М 十始手号2(2-切1

Условие применимости полученного выражения (5):親,》1・

Задача решается аналогично 9s. Основная проблема — сшивание точного и квазиклассического решений на малых рао стояниях. Исходам из уравнения для фувкцки % {связанной с в.巾.в следующим образом:w/碗=力m新/")：

В этом уравнении при малых г можно опустить слагаемое 『и оно принимает вид

"廿"/к0, а=2та/И^я

Решение этого уравмения, удовлетворяющее условию *(GJ= —О («м^ иаяример^ {1SJ),

% (г) — Л V^^+i(£ 皆乃

при 候 *22+1 имеет асимптотическое поведение

12*12*一m—^).一m—^).КбКб

12*

12*

一m—^).

一m—^).

Кб

Кб

В интервале переменной г, определяемом условиями

г««/|£|,⑵ *1)《W，⑵

применимы как точное решение (I), так и квазиклассическое представление в. ф.

•= :^ Sln (М ° ⑺办 + J(3)

где с—левая точка остановки, причем в выражении для р'(，工 можно опустить слагаемое, содержащее Е. Простое вычисление интеграла

；jрdrQ }(“2团(£ -”*¥*)> "2 倫- ас

-“*"+1)⑷

позволяет, согласно выражениям (1), (3), (4), найти значение параметра у — — л! —■十冗 “/“+】)и получить условие квантования уровней с моментом / в квазиклассическом приближении (сравнить с 9.9):

十，"2用［一I耳川+多一里結当"=。(%+1)-Y一号•(5)

Учитывая зиачение интеграла

)；^(b — r)(r — of dr~^{a-Yb — 2 V^)，

из выражения (5) после простых преобразований находим

(6)(6)та'

(6)

(6)

2?(«г + Ш戸'

что совпадает с точным значением при произвольных % и », хотя по квазиклассическому способу получения формулы (6) она формально применима лишь для rv》1.

В связи с полученным в данной задаче правилом квантова。 ния (5) необходимо сделать следующее замечание. Это правило отличается от стандартной формулы Бора — Зоммерфельда (со* гласно последней правую часть (5) следовало бы заменить на 冗(“,十］/2), и получающийся результат был бы менее точным). Причина этого в том, что во всей области малых г (О V，M 〃). в эффективной потенциальной энергии важную роль (доминирующую при 足—6) играет центробежный потенциал tfil(l + l)/2tnr\ а, как было установлено в 9.6, для такого по-

тенциала квазиклассическое рассмотрение применимо лишь прн ^1(1+ 1) » 1. Соответственно в случае Г~ 1 квазиклассика неприменима» и именно поэтому пришлось искать точное решение у. Ш. в области малых г.

Однако в случае /》1 уже применимо стандартное квазиклассическое рассмотрение и с самого начала можно было бы воспользоваться правилом квантования Бора — Зоммерфельда. Действительно, в этом случае в выражении для у можно положить *(/+ 1) »/+ 1/2, так что (5) принимает вид формулы Бора—Зоммерфельда.

С известной точностью (см. ниже) дня решения задачи можно воспользоваться правилом квантования Бора — Зоммерфельда

吟二J “4 — UW) dx = n(n^ 1/2), (1)

положив в нем n = N——1 ("—порядковый номер уровня; напомним, что первому, основному уровню отвечает п —0) и устремляя Ent к нулю. Учитывая явный вид U(x)r легко находим искомые значения параметров потенциала:

*=(1Г ⑵

По поводу точности формулы (2) следует заметить, что учет в ней в правой части слагаемого (—i/2) является превышением точности (так же как учет слагаемого 1/2 в правой части формулы (1) при расчете «верхних* энергетических уровней Еп-^ —О). Это связано с тем, что при выводе формулы (1) 'Предполагается, как известно, что потенциал удовлетворяет условию квазиклассичности при всех х. за исключением узких областей вблизи точек остановок (поворота). В задачах же, подобных данной, точки поворота при Е,—О《уходят» на бесконечность (Mf их», В—十8), а условие применимости квазиклассики выполнено лишь 如я конечных значений х. В данной задаче условие применимости квазиклассики |dX/d*|«l для Е = 0 принимает вид

[Mg J《"2旭壮/护 三自 ⑶

Изменения в условиях сшивания квазиклассического и точного решений по сравнению с теми, которые были использованы при выводе (1), проявляются обычно результативно в замене множителя (zi-f-1/2) в правой части (i) на (〃 + у), где у за・ висит от конкретного вида потенциала и обычно у ~ 1 (иллкя страцией этого обстоятельства являются результаты задач 9.2. 9・9,9.10,9・11)・

Имея в виду сказанное выше, уточним результат (2) (так как квазиклассическое рассмотрение предполагает п» 1, то

такое уточнекие может показаться лишним; однако это не 寄ак, потому что при корректном вычислении значения у квазиклас* сический результат к при n ~ 1 имеет высокую точность). Вспомним, что условию появления нового (ио счету) состояния 〃. с, частицы при углублении потенциальной ямы отвечает существо- нание не возрастающего при 上—±8 решения у. Ш. для Е = О (см. 2.18). Для нахождения решения у. Ш. поступим следую、 щим образом: при больших }л| получим точнее решение, при конечных |л| — квазиклассическое и «сошьем» решения.

На больших расстояниях |х|》а у. Ш. принимает вид

W〃+*W = O, ^2mU^lt^^^

к его решение, не возрастающее при *->±8 (см., например, Ц2])»

屮к At VHd厶/2 (胸力* D， или

屮=4±龙 4^S也q =4±尤、/零■ sin冬■(4)

При g》1 (именно этот случай в представляет интерес с тонки зрения применения квазиклассики) в интервале а《％《 《。百 摩имешшн как точное решение (4), так и мвазмклас€Иче-< с кое, которое представим в виде

%”=^йгsin G [卩兩+%)=

" 晶痴传-胸咤十十Y尸

a Cx《2m"ec■尸* sfti &/光 + vJ-(5)

Сравнение 0) и (5) дает 力=0・

Кв^звклассическое реикяне можвс записать также в виде

"*вк vfe sE (+ \。(*)d*+ Va)'⑹

в котором его удобно сшивать с точным решением в иэтержаяе а < —%《。髭 очевидно, уз = 0.

Условием совпадения решений (5) и (6). представляющих одну и ту же ©ункцню, является, отевлдно» равенство

8

；§，"№%==""■ mar &=м(7)

которое и представляет искомое уточненное условие появления нового. 2V-ro, уровня^д. с. при углублении ямы.

=№・=№・Из выражения (7) следует

=№・

=№・

2m П^а1

Следует указать» что рассматриваемая задача допускает точное решение, согласно которому

(9)(9)2%^" 一№— L

(9)

(9)

Сравнение (2), (8), (9) показывает» что, действительно» уточненное условие (8) лучше согласуется с точным, чем <упро- щенное> (2). Так, для ^^ iO различие правых частей в (8) н (9) составляет 1 %, а различие между (2) и (9)—10%. Отметим также, что даже для “ = 2. когда квазиклассика формально неприменима, различие между (8) и (9) составляет лишь 25% (что же касается случая N= 1, то напомним, что, согласно 2.13, в рассматриваемом поле при любых значениях параметров всегда имеется хотя бы одно состояние д. с.).

呼『鼻…呼『鼻…—8—8Задача решается аналогично предыдущей. Условие появления нового. "・го. уровня д. с. (основной уровень — первый) имеет вид

呼『鼻…

呼『鼻…

—8

—8

Т. е. и"=戶*- где С= J ：^=т=3，电

—в

Задача решается аналогично 9.12. На болылкх расстоя- нми* «вазиклассика неприменима. Поэтому квазиклассическое решение (Е=0)

%в = -4痴 , V—2W(xf d%+ 伙｝(i)

следует сшить нз большом расстоянии с точным решением, не возрастающим при 左+土― У. Ш. на больших расстояниях (心 Q—OL)

W" + (^)屮=0 @ = 2та倡^

нмеет не возрастающее при #—■+* решение (см^ налример» [i2J)

N = A市5 (4空如-呵.⑵

V-2

При

M”M<H/(v — 2)(3)

359

負負

負

負

функция (2) имеет вид

w*4屮，、/就痴(後/一，”一缶+ 9.⑷

и если на расстоянии, удовлетворяющем неравенству (3), потенциал уже имеет асимптотичестое поведение “*)内一aL, то в этой области переменной х, наряду с точным решением (4), справедлив。и квазиклассическое (1), имеющее при этом вид

^ = f|二м Sin (呼^ 与/一 M 4- V)•(5)

Сравнение (4) и (5) дает

Yi = —用 2 (v — 2) + я/4・

Представив квазиклассическое решение в виде

^ъ = ~—^sinI^ [声:^肃硏厶+仇｝'

〃一2mU(x) I -8J

при аналогичных предположениях находим у2 = Vi и получаем искомое выражение (сравнить с решением задачи 9』2):

8

А \ “—2mU(%)—=* +』—亲(6)

определяющее значения параметров потенциала U(x)； отвечающие условию появления нового, "-го по счету, состояния д/с. при углублении потенциальной ямн.

9-15. Разложим потенциал вблизи правой точки поворота 痴 в рад по степеням (х — х。)，ограничиваясь линейным члеыом;

и 住)。и (w) +『и (4 ^^ • и Go) = Е (О

Область применимости этого разложения очевидна: |х—х()|《 《№. Для того чтобы можно было использовать стандартные формулы сшивания квазиклассических решеннй справа и слева от точки поворота и правило Бора — Зоммерфельда, необходимо, чтобы на границе области ]% —№|《*q，где еще справедливо разложение (1), уже было выполнено условие применимости квазиклассики |dX/dx|《1, Положив (% —痴)三 ум, |у|《％ легко находим '

作k/|g产3出亠吗 ⑵

Так как для сильно возбужденных уровней £„->(» и соответственно *о— оо, то из выражения (2) следует, что в рассмат- 360

риваемсм случае v > 0 стандартные условия сшивания кваз士 классических в. ф. выполнены.

Обозначим через 成'и Еп — ^ + ^п энергетические уровни в квазикл ассяческом приближений в полях Uo(%) и U(x)^ Uq(x) + 6U(x) соответственно. Они определяются правилом квантования Бора — Зоммерфельла. В частности,

\ "2/或+ 5凡一仇() - 6U (*)] d* -通5+ 1/2). (1) •4。。

Разлагая подынтегральную функцию в этом выражении с учетом малости б£п н 6口(%), находим искомое смещение уровня*):

6£"^4$-^^> "х)=避[彦‘-仇⑴].⑵

а

Полученный результат находится 日 согласии с известной формулой первого порядка теории возмущений ЬЕп 内 Е? ^ =VM = lfiU)nn, если в ней при вычислении матричного элемента воспользоваться квазиклассическим видом в. @. При этом следует иметь в виду, что доминирующий вклад в матричный элемент (6U)nnt как и в нормировочный интеграл J | Ч^« ^)!2 rfx = 1, вносит область между точквми поворота ♦*) (область финитного движения классической частицы), и поэтому можно ограничиться следующим приближенным представлением нормированной ма единицу в. ф.:

W&)右遥”[#同厶+斗Ю'

°,”Q, *> 瓦

(из-за быстрой осцилляции функции sin [.. J величину sin2 [•・ J в подынтегральных выражениях для нормировочного интеграла

м матритаого элемента (6£/)\ можно заменить ее средним зна* чением, равным 1/2).

Рассмотрим частицу в поле и<*}=а|^|# (при v> О также ct>q грн v<0, наобс^ют:, а<Ю; в противном случае в та^оы поле вообще отсутствуют состояния д.с.)_ Для доказательства теоремы вириала (см. 7.6) непосредственно в рамках квазиклассического приближения найдем Unn и Гпя и сравним их.

П郎 вычислении среднего значения 弘尺 в м-м состоянии в квазиклассическом случае (龍》1) следует учесть, что доминирующий вклад в матричный элемент Unn9 как и в нормировочный интеграл, вносит область значений 覚 между точками пово^ рота» и зюэтому можко ограничиться приближенным видом в. ф. 屮。(比)，приведенным в предыдущей задаче, а в получающемся интеграле быстро осциллирующий множитель sin2 ［；, J следует заменить его средним ана^ением. равным J/2 (сравнить с 9.i6). Таким образом,

(т й и\^\ приведены в 9.16).

Учитывая симмегрячиость потенциала (так что @』一出 и § ... =2 ( -•・)и его конкретный вид. проделаем в (i) сле- дующее преобразование:

(者^一挎“嘱r一筈咽К 仁十

Ъ6

^15 "当一"& = 7^$p⑴厶(2)

(внелитегральное слагаемое равно нулю, так как % = Ь—точка остановки, а при подстановке нижнего предела 尤=0 учтено, что V > Т, *品 в противном случае вевникало бы《падение； частиц на “емтр л@&缠 ％=0； более того, специального рлссмот， рения требует уже случай поля притяжения с『W——1, так что рассматриваемый потенциал является «хорошим» лишь для V > —1).

Имея в ваду (2) и правило кваятевания Вора — Зоммер- фельда, получаем

% =翌8+1/2),⑶

価

Аналогичное используя тождество ТПп—{Еп — Щх\)Ппг легко находим

北产磊 i缶鴇dx=白 jp(*)dx =展3+1/2). (4) —6'—ь

Сравнение (3) и (4} дает 2丁碗=、爲小 что и составляет содержание теоремы вириала.

В заключение отметим, что для рассматриваемого потенция- ла правило Бора — Зоммерфельда позволяет легко получить энергетический спектр частицы (см. 9.4).

Так как "» 1, то, вообще говоря, применимо квазн- классическое приближение и среднее аначение кинетической энергии частицы может быть представлено в виде (см. форму* лу (4) предыдущей задачи)

之""П學宀)，T = d諾"j吏(e：：方丽⑴ (мы написали (紆+ 丫) в правиле кваятования вместо белее привычного значения (九+1/2) по правилу Бора — Зоммер- фельда» имея в виду общи» слуадй, когда стандартные условия сшивания квазиклассических решений в&чизи точек поворота могут н не выполняться; см., например, 9.2. 9.9 и др.)-

Замечая, что

согласно (1) находим искомое среднее:

了0厶7包+Y)爵

亂 19・ Дош^шруюшлш вклад в матричный элемент внеси? ©б* л&сть между точками поворота» и можно воспользоваться прн- ближеяным* еядом нормированных ».ф., 1фнваденн»м в 9,М. При этом, ввиду предполагаемой близости состойннИ 用 н，% значения точек поворота и величин t для этих состояний м<0жно считать одинаковыми. С учетом сказашого матричный элемент ?е〃 легко преобразовать к виду

⑴⑴Fmn =卜P^fW” dx R《］4^" 8&快、俏-Ai) d*］疝- T J 謂 COS ［l j Si 得)〃 + 手k

⑴

⑴

Подаитегральная функция во втором слагаемом в (1) быстро осциллирует, так что его значение много меньше первого ела， гаемого, и им можно пренебречь. Используя известный результат, что в квазиклассике разность энергий соседних уровней равна 方④(см., например, 9,5), причем о = п/т, представим Ет в виде Ет^ Еп + 亢s(m — п). Разлагая в ряд

Pm = V2M^Hh^■外 + ■嚼守)•

я учитывая сказанное выше, выражение (1) можно записать в виде

备]"工(2)

Сделаем замену переменной х = х(0 и, соответственно, ，= "*), где х(/) представляет зависимость от времени координаты классической частицы с энергией, равной Ет = ЕП9 причем считаем для определенности х(0)= о. При этом ^(7/2)= =6, где 7 = 2т — период финитного движения классической на- стицы. Выражение (2) принимает вид

Г/2

^тп=^\ ^ U W) COS [0>(ZTZ — П)/J Л,

О или г F^^Fix^e^^dl

(изменению / от 0 до Т соответствует изменение к от а до 6, и обратно), т. е. имеет место равенство Fmn = Fs=»〃・

Для осциллятора х = А cos о/ и, очевидно, отличны от нуля только фурье-компоненты 无]=х_( = А/2. Так как энергия классического осциллятора равна E^c^k^/2. то отличные от нуля матричные элементы координаты осциллятора в квазккласси- ческом приближении равны (х)п+1. 〃 =(队仲=“』?，"史) (сравнить с 8-3).

Задача решается аналогично предыдущей. Следует учесть, что при действии оператора А на квазиклассическую функцию нужно дифференцировать по переменной х лишь в аргументе синуса. Простое вычисление дает

7/2

. о Г -fcos [® (т — л) /],А — четное»

(Р )m» = -y- J d(P(0 *£ sin 心(m ―切"，，А — нечетное.⑴

；•) Нр曾 этом мы положен £<Д1сс»(£я 4- £«)/2 к учли, что Е» *=■ =Лсо(л + %j.

ЭМ

，Так как знаки импульса при временах 0＜，УТ/2 й Т/2 V y，vT противоположны, то оба выражения (1) можно объ* единить в одно:

9%n = *\р ① ef 山或,

и соответственно

г

^тл=(ХС^} ^\F{p(i})e^^dt.

х ft 丿 тл 。

В силу симметричности потенциала U(x) стационарные состояния частицы имеют определенную четность, так что ква・ зиклассические в. ф, в области барьера между ямами имеют вид

吟=；ЙЛ 卜 №(■ Р з) ± М~М Р ")}•

Эти функции можно переписать в виде

屮比）屮比）Rexp(玄 jwidx)±RTexp(-： jpSx)}.Rexp(玄 jwidx)±RTexp(-： jpSx)}.

屮比）

屮比）

Rexp(玄 jwidx)±RTexp(-： jpSx)}.

Rexp(玄 jwidx)±RTexp(-： jpSx)}.

—и (х)) I dx } (-b — правая точка—и (х)) I dx } (-b — правая точка

—и (х)) I dx } (-b — правая точка

—и (х)) I dx } (-b — правая точка

\|"^®

остановки при движении классической частицы в первой яме; строго говоря, индексы〈土％ относящиеся к четным н нечетным решениям, следовало бы указывать и у р(х) и у точек останов^ кн. во мн этого не делаем, чтобы не загромождать формул).

1) в классической области между точками остановки _с и —6 соответствуют квазиклассические в. ф, вида

屮拝=习而屮拝=习而卩心+子十Y土)■

屮拝=习而

屮拝=习而

cosy士 singI m* + 普)+

+ sin y± cos(4 j₽dx+■?))• ^

это — наиболее общий вид квазиклассического решения, причем констаиты С, т± и Е^ (Е仕)входит в выражение для р(х)) определяются из условия сшивания этого* решения £・ решением 365

О) в области барьера между ямами и с убывающим решением нрн %——8 в классически недоступной области слева от лево* т°кк& остановки (при этом условия сшивания решений в правой яме будут выполнены автоматически в силу определенной чет- но廿н в.ф.)- Последнее из указанных условий сшивания реше- ннП приводит, как известно, к квагиклассическому решению вида

吸k為池吸k為池prfx + y^prfx + y^(3)(3)

吸k為池

吸k為池

prfx + y^

prfx + y^

(3)

(3)

а из тождественности решений (2) и (3) следует условие кван， тованин

*-》

T 卜〃+ 左+.\ р^ + ^ + у± = ^+^ -«Л

или

彳,,(х) d* н л (гг + 幼一‘J(4)

Для определения 丫士 требуется сшить решения (1) н (2) Чтоб? это сделать, рассмотрим два частных решения в области ЯМЫ (—а<х< —8) вида

Первому из них, как известно, в области барьера (*>—勿 соответствует убывающее квазиклассическое решение

*，1，ет 昂兩 ехР(一 i^P 同*).(6)

Возрастающее решение в области барьера соответствует даст， ному решению 赤％?Возрастающее решение в области барьера соответствует даст， ному решению 赤％?

Возрастающее решение в области барьера соответствует даст， ному решению 赤％?

Возрастающее решение в области барьера соответствует даст， ному решению 赤％?

(более детальное обсуждение вопроса о виде в. ф,巾⑵ в обла- сти барьера подготовленному читателю предлагается провести самостоятельно).

Учитывая, что 屮虫點 являются решениями одного и того же уравнения—у, Ш.

1嘉备®+ U⑴2£也

j^erxo найти, что для них

(8)(8)Г =下1/⑵一単】冲⑵'=const.

(8)

(8)

Вычислив (8) для %V—^ft (т. е. с использованием функций (5)), находим 昭=—I"; для 冗＞—6 (с учетом (6) и (7)J IT = —Сг/Й, так что

С2=1 (9)

(при вычислении W следует дифференцировать по переменной * лишь в аргументах синуса, косинуса и экспоненты, как более быстро меняющихся, по сравнению с |р|7/] множителей в ква* зиклассических функциях).

Так как в,ф. (1) и (2) описывают одно и то же решение у, Ш. (в различных областях х), то они представляют одну и ту же линейную комбинацию в. ф. р"，2),飯,учитывая полученные выше формулы «сшивания» (5)—(7), (9), легко находим соот* ношения

e cos y土 Н 士 2伙一\ C sin Y土=CR, откуда

tgY± = ±%R (10)

В случае полностью непроницаемого барьера R = 0 согласно (10) ¥±=О н из (4) сж^ует 磴)=政＞=碎｝*7・ е, энергии четного и нечетного уровней одинаковы и раины энергии 邸 в поле одной ямы. Для барьера конечной проницаемости R《Т сдвиги четного и нечетного уровней △咸^=£^)—碎'лепю яо ручаются из соотношений (4) и (W), если в левой части 5J провзвеств разложение в ряд подынтегральной функция с уте* том малости

，卩厶=\ d2疝礫一方⑴+ Д^ЛTа ТЖ^М^^^

7/十加孝

где

-b

С dx

? А/•［嚟一"可

—период финитного движения в яме классической частицы с энергией Е；?, а в выражении 丫士 Q tg v± ограничиться несметен-

867

ным значением 碎 энергетического уровня. Таким образом,唯 кодим「

(so = 2“/7); как и следовало ожидать, четный уровень лежит ниже соответствующего нечетного. Искомое расщепление уровня равно 6Е〃=£^)—或).Отметим, что экспоненциальный множитель в (11) можно связать с коэффициентом прозрачности барьера, разделяющего ямы, для частиц с энергией 風＞ (см. за・ дачи § 2 данной главы).

9・22. Шаровые функции являются с. ф. операторов 厶 м 下 и могут быть представлены в виде)

Уьт^1ьт ^Z^(0

(в (I) мы учли не представляющее проблемы решение задачи на с.ф. и с.з・ оператора &). При этом уравнение P?Lm = I^yLm принимает вид

■^■ + 两崎 + ["-'^']，=。。Q)

Перейдя к новой функции %= “sin ", получаем из (2)

%" + ["+}-寄—L 0，(3)

что ио форме совпадает с одномерным у. III. дли частицы с массой g = 1/2 и Й = t, при этом "+ 1/4 выступает в роли знер・ гнн £, а 0(6) =的2 — l/4)/sin20 — в роли потенциальной энергии; координата частицы 6 W 6 W 九,н в точках 0 = 0,打 в. ©. х удовлетворяет граничным условиям х(0)=х(л) = 0.

Легко заметить, что при т‘》1 (и /Д не слишком близком к т2) для решения (3) можно воспользоваться квазиклассиче- ским приближением (условие т‘》1 является необходимым, в противном случае, при т?〜1, квазиклассика заведомо неприменима при В《1 н (л — е)С 1; сравнить с 9.6), что позволяет для определения £% воспользоваться правилом Бора—Зоммер. фельда» принимающим в данном случае вид

，而豆二需照隅='5+1/2), " = 0, 1,…；(4) с

а, Ь — точке поворота, в которых подкоренное выражение об- ращается в нуль. Так как /?》1 и М》[,то легко сообра-

зить> что обе «1/4» в подкоренном выражении в (4) можно онустить (их учет в левой части (4) дал бы вклад в интеграл порядка 1/L, так как V^+1/4 а 2 + 1/8L и т. д„ что находится за пределами квазиклассической точности; сравнить со значением правой части), и, воспользовавшись значением интеграла

W三爲S隹零三一

—…gWi^E^I(5}

(интеграл легко взять, сделав замену г = tg2 В), получить

(L-\m\) = (n+1/2)(6)

(отметим» что точки поворота, для которых sin26 =т2Д2. рао положены симметрично относительно точки Э = л/2)・

Полученный результат (6) можно переписать в виде

Г = (п +1 mI + 1/2)2^(/ + I/2)2; / = 0, I，…；1>\т\. (7)

Хотя проведенное рассмотрение предполагает L》1 (и тем самым I》i), мн в выражении (7) указываем и значения / = =0,1,・・・,т・ е・ Z ~ L чтобы подчеркнуть смысл целого числа I как нумерующего с. з. I? в порядке их возрастания *). Поэтому квазиклассическое значение L2 = (/ + 1/2)2 следует сраинить непосредственно с точным Z(/+1)-

Используя общие формулы квазиклассического приближения, можно также найти явный вид функции к, а с нею и

&- (D』；-m，产• { j "а -焉心 + ^}(8)

(значение интеграла в (8) указано выше, приведенное выражение для ftm относится к наиболее существенно員 области — между точками поворота).

Имея в виду, что значение нормировочного интеграла для квазиклассическйх в. ф. определяется в основном областью между точками поворота, легко найти величину С в (8) из условия нормировки ( \ IYLm FdQ = 1)：

л6

，也m F sin е&=| с I2、(U sin2e-机旷妙 4n气・・ J № е de=

т. е

|CF=2L/，= (2/+l)m

(в (9) мы заменили быстро осциллирующий множитель sin2 {.. J его средним знаиеннем, равным 1/2, и сделали замену переменной z = cos 6),

Читателю предлагается самостоятельно найти фазовый множитель у С = efct|C|— eia((2l 4- 1)/л)1у2, чтобы можно было отождествить полученные выражения с асимптотикой стандартным образом определенных шаровых функций, а также рассмотреть предельные случаи 7 —|m|«|m| и /》m2, для которых возможно дальнейшее упрощение полученных выражений-

Начальная стадия решения задачи дублирует решение предыдущей задачи (вплоть до формулы (3) включительно). Однако теперь при решении уравнения (3), очевидно, нельзя воспользоваться квазиклассическим рассмотрением (п ~ 1).

Для решения указанного уравнения в рассматриваемом случае (加2》1,丄一|m| 〜1) замечаем, что «потенциальная энергия» U(0) имеет глубокий минимум при е=п/2 и в. ф. нижних «уровней» локализованы вблизи этой точки. Соответственно, разлагая U (0) в ряд

V(8)"丝詰^ Q遥■-呻十(8 7)]

и сделав замену переменной х = 6 — л/2, преобразуем рассмат« риваемое уравнение к виду

鲁+1"-м—Ех=0,

представляющему у. III. для. осциллятора. Учитывая известный вид с. ©・ и с.з_ гамильтониана осциллятора, находим

X, =е(Im切严件旷%Xp[一-写剪产]X

ХНя(^(е-|-)).

d-/ = 2|m](n+l/2), или 1^^(1т]+п+1^lf^^]m |)э 自=0, 1，…

Полученное правило квантования момента согласуется, есге- ственно, с результатом предыдущей задачи.

Для отождествления функции (L=/+l/2=]m[+п+1/2),

с асимптотикой шаровой функции Ytm фазовый множитель С в (1) следует выбрать равным

/н+1/н I

CH(-l)—L.

В заключение отметим, что при 1《心《|/п[ справедливы рассмотрения как данной задачи, так и предыдущей. Читателю предлагается самостоятельно убедиться в совпадении соотвег- ствующих результатов 久м. в связи с этим также и 9.24).

9-24. Начальная стадия решения задачи дублирует решение 9.22 (вплоть до формулы (3) включительно). Однако теперь (при т?〜I)даже для L》I квазиклассика неприменима при BL《1 н (о — 6)L « L Для решения задачи поступим следующим образом: найдем приближенное решение вне указанных нн・ тервалов, а затем «сошьем» его с точным решением в области значений 6, близких к 0 = 0 и 6=п.

В уравнении

M+^+^-^fe^1]%"。(1)

при £》1 к m2 ~ 1 во всем интервале изменения переменной 6, за исключением узких областей 0L^ 1 и (л —0)£^ 1, можно пренебречь слагаемым [1/4 — (m2 — 1 /4)/sin*6]% и получить ph шение в виде

X = VslnB / а 4 sin (£0 + Y).(2)

Значения L и у определяются из условия сшивания (2) с точным решением уравнения (1) в окрестности точек 0=.О н 6 = п. удовлетворяющим требуемым граничным условиям (%(Q) = =хИ=0).

При ©« 1 уравнение (1) для функции f = x/“sln 6 прими* мает вцд (см. 9.22)

产十白'+①一备]』。.

и его решение, не возрастающее прн 0 — 0,

при 丄В》1 имеет асимптотическое поведение

faC、/謚sln(£® —丹」+?).(4)

В интервале t/L《6《I справедливы оба представления решения: (2) и (4), так что

А=С Т±，V=y—^Т^-(5)

Вместо сшивания решения (2) с точным в окрестности той， кв В = п проще поступить следующим образом: учесть симметрию уравнения (1) по отношению к преобразованию переменной Q — 8’ =兀—6, приводящую к соотношению

х(л —е)=±х(е)-(6)

•71

Согласно (2), (5), (6) получаем правило квантования^мо- мента

£2=(/+1/2)^ / = 0, 1,…，1^\т\(7)

(знаки «+》и «——》в (6) относятся соответственно к четным и нечётным значениям величины (/ —Jzn|))-

Проведенное рассмотрение предполагает L》1 (и тем самым /》I). Однако, как и в предыдущих задачах» мы укааы- ваем в (7) и значения / = 0,1т. е. / ~ 19 чтобы подчеркнуть смысл целого числа / как нумерующего с. з. 〃 в порядке их возрастания.

Для определения А (или С) из условия нормировки

Лл

Jlfl2sinede=Jixi2de = i(8)

замечаем, что доминирующий вклад в интеграл (8) дает о& ласть переменной 仇 в которой справедливо представление (2), и легко получаем

|力卩=2/% |Cp=L = (2/+l)/2・(9

Для отождествления полученных выражений со стандартным образом определенными шаровыми функциями следует выбрать

л产戶I.

9・25・ Как известно» точное решение у. Ш. лля осциллятора

一皆爲里"善％ = eМh)

(используем осциллятора; ванные в. ф.(используем осциллятора; ванные в. ф.⑵⑵систему единиц h = m = k = l. k~ упругость при этом со=1) дает Еп—(п + 1/2) и нормиро-

(используем осциллятора; ванные в. ф.

(используем осциллятора; ванные в. ф.

⑵

⑵

Решение уравнения (I) в квазиклассическом приближении в области финитного движения классической частипы (U =

—*2/2 V &) имеет вид

4kL流Г C0S G Р⑴或+ а)⑶

где

，任)=〃2(£, ——) = “2〃+ I — L

(мы учли, что квазиклассический результат для Еп совпадает с точным, см. 9.1).

372

Так как с. ф. имеют определенную четность, равную (——1)\ то величину а в (3) выберем равной а =——п〃/2.

Для нормировки в. ф. значение С в (3) следует взять равным С=“2/л (при нормировке в. ф. следует учесть, что доминирующий вклад в нормировочный интеграл "屮/乙=1 вноси? область финитного движения классической частицы, причем ввиду быстрой осцилляции множителя cos2(...) его можно за* менить средним значением, равным 1/2; сравнить с 9.16).

Учитывая сказанное» запишем (3) в виде

/^^^^ + 1 - *2/^^^^ + 1 - *2cos 0 л/2п+ 1 — x^dx —芋).(4)

/^^^^ + 1 - *2

/^^^^ + 1 - *2

Сравнение （2） и（4） дает

%的龍貢罂萼产产侬0МА"一芋）⑸

где б = ±1 еще подлежит определению.*■

Выражение (5), справедливое при 几》1 (н при | х |<〃2叶1\ причем X не должен быть слишком близок к точкам остановки 土 “2м + i), представляет асимптотику полиномов Эрмита- Если “ фиксировано, а 〃 —叫 то (5) можно упростить, опустев слагаемое 户 в подкоренных выражениях» и получить

域)氏噌学产8s ("К1 一?У(6)

Наконец, учитывая формулу Стирлинга nt七“乐护+*生一*

находим искомое а сим птотическое выражение:

Нп(л)^ 2 2 л^е^2е2 cos(“2"+1х —譬)

28、，

(мы положили С=+1, квк это следует из сравнения (6) для малых х—0 с известными значениями Н«(0) и М(0)}・

Элементарное интегрирование в хорошо известном выражении для коэффициента прозрачности (коэффициента про* хождения) в квазиклассическом приближении дает

= ехр[—兽 ^J^^-E^ #oi“l —Е/4 (1)= ехр[—兽 ^J^^-E^ #oi“l —Е/4 (1)

= ехр[—兽 ^J^^-E^ #oi“l —Е/4 (1)

= ехр[—兽 ^J^^-E^ #oi“l —Е/4 (1)

(勲=—м =痴一координаты точек поворота)»

Для справедливости полученного результата (1) требуется выполнение двух условий； ，

|dk{t}/2%|« 1 во всей области переменней /, за исключением узких интервалов^ непосредственно примыкающих к точкам поворота;

расстояния Дх1#2 = (х —х1(2) от точек поворота, на кото* рнх уже выполняются условия применимости квазмклассик!» fdX/dx|《I, должны быть такими, чтобы при. этом можне было сгранитаться линейным разложением потенциальной энерги>?

U ⑴ a U (见 2)+ U'd 2)Ам. 2(2)

(при дальнейшем увеличении [Axi.?! выполнения условия (2), конечно, не требуется).

В рассматриваемой задаче при |х[>а имеем \d\ldx\~ = 0《1・ Прн \х\<а

回I г蛆gl封А|х|а间

|以]商ME-"⑺产"硒，一年产’

н в случае

V^MW》1⑷

выражетпте (3) много меньше единицы при1 всех зтгатенйях *, зл исключением узких областей в о冊естностн течек тижц)ота^ причем низина ©блаети ненвазнклассичностя жх порядку величины равна

♦=1"-七Г~%二賀(必-「 (5)

(для получения этой оценил Дх в ш^ражении (3} следует поло- жить |?а%м|“2-圖戶卜2-磺2|=[(*-/.2)住 + 以2)|Q » 2 Ахх0). Применимость квазиклаесикн требует выполнения оче« видного неравенства

А%《。 или "二*一》[ ⑹

(в противном случае в интервале между точками поворота 枚 fV*o уелсттвт применимости квдзнклассик 卄 не вмполнены пи прн каких значениях 尤}. Условие (6) дает, еоглаено (J)f 〃《I, /тб как известно, является необходимым (но не деета* течтам!} уетюанем лрименимеети квазиклассичееког^ рассмотрения.

Условие (6) является реализацией первого из отмеченных выше условий применимости квазиклассикя. Легка убедиться в том. что в рассматриваемой задаче оно почти эквивалентно (см. ниже) второму из указанных условий, налагающему ограничения на характер поведения потенциала в окрестности точек поворота. Различие этих условий проявляется лишь в случав медленных частиц, когда точхи поворота лрнближакггся к зна・ 874

чениям 士а. Очевидно, разложение (2) потенциала справедливо лишь при |x|Wa (при |*|>n U")mO), так что |厶修,&|< & а —— хо・ Так как величина (а —х。) должна быть много боль

⑺⑺ше интервала неквазиклассичности (5). то /3啕3

⑺

⑺

Ах《а —尤°, или Е > —笳，

Условия (4). (6), (7) определяют пределы применимости выражения (1).

Отметим, что неприменимость квазиклассического результата (1) для Р(Е^ в дакной задаче при Е—С проявляется в том, что, согласно (1), D(£ = 0) принимает хотя н малое» н。конечное значение, в то время как для барьера произвольной формы имеет место точное равенство D{E = 0) = 0.

Стаядартяая формула для коэффшшеита тфозрачмости барьера в квази классическом приближении

D^exp^—|^ \ lp|d%] =

=ехр[— -| j "2m«Uo-E-咏莉/ (1)

в рассматриваемой задаче непосредственно не применим at так как в окрестности левой 賓оикн поворота * = 0 нарушаются условия сшивания квазиклассических решении, использованные при выводе {!) (эти условия приведены в решеийи лредыдущей задачи). Тем tie меяее формулу (1) можно кспользовагь для сцен- з коэффициента прозрачности. Эдемедтариое интегрирввание

наст

D~exp[-谭好-砂1

Выражение (2) определяет коэффициент прозрачности л*шн» по порядку величины (илиэ как говорят, с точностью до пред- экспоненциального множителя, который при Е ~ U。имеет ве- личину норадка единицы; следует, одяако, «меть в в^ну, что при £—6 этдт эиножнтелъ обращается в нуль—см, 9.32). ©диаке в случае, когда под знаком зкстоненти в этом ©ыражеияж стоит большое во величине отрицателъиое число, формула (2) правильно передает основное — эксгюненциальиую малость коэффя- цие11та прозрачности.

Согласно формуле для коэффициента прозрачности барьера в результате 今刀总輸心口負丑丛加。штегрироваиия находим

О~ ехрО~ ехр[-±jlp"]=[-±jlp"]=

О~ ехр

О~ ехр

[-±jlp"]=

[-±jlp"]=

=ехр|—^ V^^{«*~ ] —aAg"^■—】]卜

◎29. В выражении

=eхp{一啓^ ("^證耐_""} ⑴ интеграл заменой переменной

sh(x/a) у х sin f, « = V Uo/E — 1»

приводится к виду

71/2—

幼*J 1 芋二2"Н一(" 1 + 戸-1) = JUJ ("幣-1).

н коэффициент прозрачности оказывается равным

0(£) # ехр { — ^~ 〃石(V^ — “后)} •(2)

Условие применимости выражения (2) предполагает D《1 (более точно: требуется, чтобы был велик модуль показателя экспоненты)t т. е.

早恒("灰-"后)》1.(3)

Кроме этого имеется еще ограничение на энергию частицы Е, так как при Е —0 в окрестности точек поворота нарушаются стандартвые условия сшивания квазиклассических решений, основанные на линейной аппроксимации потенциала н приводя， щие к выражению (1) для прозрачности барьера (сравнить с 9,26). Внимательный читатель легко получит, что указанное ограничение имеет вид _

"е》V我2加丁・(4)

Легко заметить, что при выполнении условий (3) и (4) квазн・ классическое выражение (2) для коэффициента прозрачности совпадает с точным значением, найденным в 2.52.

9<30・ Интеграл в показателе экспоненты в выражении для D(E) заменой переменной * = a shl приводится к виду (m20="几西二1三方-1)

Ха*0

J \p\dx=2a “2— (Uo — Е) ] “[ — T^r sh" a.(1)

*j°'

Интеграл в выражении (1) представляет собой эллиптический интеграл второго рода. При £ « U。этот интеграл легко бычислшь приближенно, есин учесть, что при этом подкоренное 376

выражение равно единице во всем иятервэле интегрирования, за исключением узкой области вблизи верхнего предела интегрирования, в которой sh I » I, н поэтому можно положить sb2/»^/^ (причем бс всем интервале ннтегрироиания!), так что интеграл принимает вид

(2)(2))]1 -0%1?，或右\ V1 -斗小由. Оо

(2)

(2)

С помошью замены переменной (6/2)e，= sin2 интеграл (2) легко вычисляется и оказывается равннм (b《 1)

-1 + 1п[4 Y価]・(3)

Таким образом,

D (£)比(E/16Uq)t ""痴"exp (£ Q 一2m—)・(4)

явля1дтся(5)явля1дтся(5)Условиями примепимости полученного результата

явля1дтся

(5)

явля1дтся

(5)

/ “2mUc》1, Е « 2 д/^-

первое из которых обеспечивает применимость квазиклассики. Второе из условий (5) заменяет условие Е《5, использован^ ное при вычислении интеграла в выражении (1). Причина этой замены состоит в том, что при приближенном расчете величины j вида f=8, когда приближенно вычисляется значение 力,для того чтобы было выполнено условие 衣睜小1fHбл а 1, требуется |ДТОЧН—Лприбл|《1 (а не просто А^„//]арисл « 1, и это обстоятельство следует учитывать в случае |力|》1). Внимательный читатель легко убедится в том, что именно второе из условий (5) (а не условие £《 仇)обеспечивает справедливость полученного значения коэфф>щиента прозрачности.

9ЛЕ Задачу можно решить аналогично тому, как получается известная формула для коэффициента прозрачности в квазиклас- сическом приближении 0 = ехр [一 糸 \ I 户 I"%]・

Считая для определенности, что падающие на барьер частицы движутся слева направо, представим в. 0. справа от правой точки поворота Ь в виде (0(х)<£)

¥(*)= *ехр(0Ь&—*}¥(*)= *ехр(0Ь&—*}(1)(1)

¥(*)= *ехр(0Ь&—*}

¥(*)= *ехр(0Ь&—*}

(1)

(1)

「 Соответствующая (1) в. ф. в области барьера 0W*Vb К〃(х) > £) имеет бидь

-呼吁-鳥，[；""]⑵

(s выражении (2) мы,如к ©бнчио. преиебрегли слагемым» екс* поненшально убывающим в глубь области * V 6) • Подчеркнем, §то в.ф. в области барьера в условиях данной задачи имеет вид (2) дачл&ть до 比=0 (левая точка поюрота).

0. при х V 0 имеет вид (А = ^2mE{ff)

4r (*)=喘；0a" + 上7円(3)

(так что коэффициент прохождения равен D =|С]2).

Сшивая в. ф.，2) и (3) в точке * = Q (используя иепрерыв- вость в. ф. и ее производной), 1амеем

矗0 +用E- 3r編■方町斎и-用右

afC/ГЖ/"叱(4)

где

I以明="茄価而一£)=一碗07()~E),

•% = exp(-分陣叫

Согласно (4) легко находи1M знатеаие С:

L一1””一 一 9，

a £ яим я коэффициент ирозрачноста барьера:

I 强三亙现- 餐互m-m。叫

Цредмсжшещнальны^ множитель в этом вы^внсенж при £ ~ 以一！©|>ют也 единицы,亜 ври 岳—U он обращается s 吗屮ь.

32. На основании результатов задач 9.27 и 9.31 коэффициент прозрачности барьера в квазиклассическом приближении» оче- 、мдае, равен

0回=4"三互eхp(-多癖口-切?(0

Условием применимости выражения (1) является выполнение йеравенства—

1^(%一Ё严》].⑵

Легко заметить, что точное значение коэффициента прозрачности рассматриваемого барьера, иайденное в 2.53, при выпол- кеннн условия (2) совпадает с квазикяасс«ч^ским выраже* Йием ⑴.

WB

й.ЗЗ. Легко убедиться (совершенно аналогично тому, как это было сделако цри. решении, задачи 9.15} в том, что при v < 2 н Е—0 на больших расстояниях *, при которых аотенциал имеет асимптотическое поведение U ~ 1%厂,вылолнены услонх兄 при* менимости квазиклассики, причем при сшивании квазикдасенче- ских в. ф, в окрестности точек поворота можно ограничиться ли* нейной аппроксимацией потенциала. Если к тому же у еловая применимости квазиклассикн вьшолвены и при конечных значениях х» то при V <2и Е—>0 коэффицаент прозрачности барьер ра определяется обычным квазиклассическим выражением —

D = ехр [ — , \ “2/п —(*) — £]d* 卜

Интеграл б этом выражении при Е —0 расходится на боль* ших расстояниях |尤 |・ Расходящуюся 亜€【卜 интеграла легта вычислить. Так, на верхнем пределе интегрирования (вблизи правой точили иов(叩ота) имеем

*2 位)1

, 痴[端炉一司d* = 逐a#E YT聞「*/■二7由"

。тт0

=両冲日宀

(& — расстояние, начиная с которого потенциал при ]尢|一 8 уже имеет асимптотический вид; ири вмчисленни иите^ала сделана замена переменно* f = х/*2(玄)=х，(Е/а*)"~). Амалогичво вычисляется расходящаяся часть ка вижлем рред^ле юстет^фо —а

вания j|p|d*.

Вклад интервала интегрирования —& Vx Va при Е—е яв* ляется комеадь^м. Таким； ебраэш^

物

§ ]車麻科玄寸笳储广1叫母千畐№) 勲

и ееответетвевио (нри Е—®]

0(£) 8 eхp [一会灰g丁2断6产+啜)]f 0

(ем. замечание вю воведу то^тоети выражений вдда ей яри приближенном вычисление величины 力.сделанное и》н ретеюш задали 9.30).

При V > 2 квазиклассическое вкражеяме для R(1rx при Е —6 неприменимо^ так как при сшйвяннн квааиклассических решений в окрестности точек остановки уже нельзя ограничиться линейным разложением потенциала. Квазиклассика рриводвд

379

к отличному от нуля значению коэффициента прозрачности D(E = 0), в то время как точное его значение равно нулю」！

В случае v = 2 квазиклассическое выражение для О(£) при Е—0 применимо лишь при условии тсц, 2/左？》i. Энергетиче» ская зависимость коэффициента прозрачности при этом определяется результатом задачи 9.30.

9.34. Задачу можно решить следующим образом: квазиклас- сические в. ф. справа и слева от точки остановки хо сшить с помощью точного решения у. Ш. в окрестности этой точки.

Считая для определенности, что падающие на барьер частицы движутся слева направо, имеем в. ф. в квазиклассической области при х > Хо в виде

При х V *о (в квазиклассической области) эта функция имеет вид

^^^^{^(к j р4%)+ Вехр(— 4 Jpd J } (2)

(так что коэффициент прозрачности равен D =|С|2; R =|В|2). Решение у. III. в окрестности точки х0

屮〃+ a(x —兩〉24f = о, 口 = — m"〃(Xo)/ft2 > 0,

представляется в виде (см. [12])

寸④=df {С声}*(哮(* 一甯)+ G啕(等(-%y)}， ⑷ где "С，'} — функции Ганкеля. Учитывая асимптотику этих функ- имй

М%‘)⑵右"^ехр{ ±《2 —兽)卜 n》1, u) замечаем, что в области z = f (先一*炉》1 справедливы как Toquoe (4), так и квазиклассическое (1) решения (при этом предполагается, что существуют такие значения z》1, при которых потенциал еще имеет вндиа%+ "卢“(用一*/. и это

условие определяет применимость получающегося ниже результата для D). Так как при этом р = *"а |х —&|,то сравнение (1), (4), (5) дает С2=0, С】=4状声副,и точное решение

(4) у. Ш. (3) принимает вид

(6)

Бесселя:⑺Бесселя:⑺При использовании решения уравнения (3> в виде (6) (илн '(4)) следует соблюдать осторожность при переходе от значений (л — х0) > 0 к (х — №)V 0, так как у функций ГанкедЯ HiJj2) (z) точка 2 = 0 является особой точкой—точкой ветвления. В рассматриваемой задаче прн (х —勾)V 0 фаза аргумента z=-^"(x — Хе)， фунюцш Ганкеля в выражении (6) равна 2л (фаза (х ——ло)< 0 равна л), и в такой форме решение (6) неудобно для анализа. Его следует выразить через соответствующие шитидрнческие функции от переменной с равной нулю фазой. Это легко сделать, записав (6) через функции

Бесселя:

⑺

Бесселя:

⑺

屮=G Л6T^{(1 + D儿4 (» - 喪〃-з⑵}.

(8)(8)(8)(8)Так как функции Бесселя J.(z) имеют вид

(8)

(8)

(8)

(8)

где /(2。уже не имеет особенности при z = 0, то согласно имеемгде /(2。уже не имеет особенности при z = 0, то согласно имеем人⑶=村(/),

где /(2。уже не имеет особенности при z = 0, то согласно имеем

где /(2。уже не имеет особенности при z = 0, то согласно имеем

儿俨EzD="iM|n|), J-i"俨山|2|)= -"-中(冋) (|г| по определению имеет фазу, равную нулю).

Таким образом, решение (6) у-Ш- при (к —死)V 0 удобно переписать в виде (при этом ““二№ = / “х — ”oD

屮=&介一茄{— (1+0/v4(I^|)-V2 〃』(121)}. (9)

Воспользовавшись小)Воспользовавшись小)асимптотикой функции Бесселя (jarg^Kасимптотикой функции Бесселя (jarg^KJ、（“N急S初（2 -号+左）・J、（“N急S初（2 -号+左）・

Воспользовавшись

小)

Воспользовавшись

小)

асимптотикой функции Бесселя (jarg^K

асимптотикой функции Бесселя (jarg^K

J、（“N急S初（2 -号+左）・

J、（“N急S初（2 -号+左）・

запишем (9) при ]z|》1 в виде