ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой второй том трехтомной монографии, посвященной вопросам квантовой теории поля и теории элементарных частиц. Первый том, вышедший на английском языке в 1970 г., был переведен на рус- Ский язык и опубликован в издательстве «Мир» в 1973 г. Третий том в настоящее время еще не вышел из печати.

Рассмотрение центральных для современной физики проблем квантовой теории поля и теории элементарных частиц ведется Швингером с позиций развитого им специального подхода, названного теорией источников и объединяющего элементы стандартной квантовой теории поля и теории 5-матрицы, Принципиальные основы данного подхода и используемый в нем формальный аппарат были разобраны в первом томе. Этот том вызвал большой интерес, и его русское издание быстро разошлось. Подобный интерес не оказался неожиданным, поскольку появление каждой книги Швингера — одного из наиболее активно работающих в настоящее время физиков-теоретиков ——значительное научное событие.

Второй том посвящен в основном квантовой электродинамике, в развитии которой сам автор сыграл выдающуюся роль. Расчеты квантовоэлектродинамических эффектов сейчас уже прочно вошли в науку — они с высокой степенью точности согласуются с экспериментом и изложены во многих учебниках. На примере такой сравнительно хорошо изученной динамической системы, как квантовая электродинамика, Швингер и иллюстрирует особенности теории источников. Развиваемая при этом своеобразная техника расчета заслуживает внимания в первую очередь в связи с тем, нто она, как обещает автор, может быть распространена на задачи теории сильного и слабого взаимодействий. Поэтому посвященный таким задачам последний том будет определяющим для оценки всего направления, развиваемого Швингером в данном издании. Однако логические и расчетные усовершенствования в схеме изложения квантовой электродинамики, содержащиеся во втором томе, представляют несомненный самостоятельный интерес. В частности, здесь можно выделить оригинальное рассмотрение двухчастичной задачи, совместный анализ высокоэнергетических и низко- энергетических составляющих лэмбовского сдвига, улучшенную трактовку задач позитрония и мюония.

Отметим одну интересную особенность книги. Автор уделяет некоторое внимание истории квантовой электродинамики в ее «героический период» второй половины сороковых — начала пятидесятых годов. Точнее говоря, отмечается главным образом вклад самого автора в эту историю, причем все это делается в своеобраз-

ной форме вкрапленного в текст иронического диалога Швингера с воображаемым вдумчивым, хотя и несколько простоватым, читателем.

В конце английского издания второго тома содержится обширный список опечаток, обнаруженных автором в первом томе. Основная их часть представляет собой простые описки, почти неизбежные в книге со столь большим объемом математических выкладок. Эти, а также некоторые не замеченные автором опечатки были в основном исправлены в русском издании первого тома. Однако в процессе издания в нем появились, к сожалению, и новые опечатки. Их список, составленный редактором и переводчиком (не без помощи читателей), приведен в приложениях.

И в заключение еще одно замечание. В книге довольно много перекрестных ссылок и на формулы к данной главе, и на формулы других глав. Ради краткости мы во втором томе придерживаемся следующей системы. Если, например, в гл. 4 автор ссылается на формулу (2.11), то она содержится в § 2 той же главы. Но если написано (3-2.11), то эту формулу следует искать в гл. 3, § 2.

А. М. Бродский

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ТОМУ

Этот второй том был написан за два года и на двух континентах. Значительная его часть была написана в Токио, где я, пользуясь очередным годовым отпуском, предоставленным мне Гарвардским университетом, и дополнительной помощью из Гуггенхеймовского фонда, провел первые восемь месяцев 1970 г. Как-нибудь, когда я не буду занят никакими книгами, я вновь вернусь в Японию с тем, чтобы по-настоящему вкусить ее прелести. Книга завершалась на протяжении 1971—1972 гг., в период моего пребывания в качестве приглашенного профессора в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе.

Данный том почти полностью посвящен квантовой электродинамике, так что по своей тематике он носит ретроспективный характер. Но, концентрируя внимание на такой сравнительно простой динамической ситуации, мы имеем целью изыскание и разработку путей и методов, которые были бы пригодными и в области сильного и слабого взаимодействий. И мы исходим из того, что квантовая электродинамика новых поколений будет представлять собой некое замкнутое развитие теории источников с ее большими концептуальными и вычислительными упрощениями Пишущим об этом предмете не придется более совмещать восторженные высказывания о точности количественных выводов теории с бормотанием о ее неудовлетворительном концептуальном обосновании.

Одно-два слова нужно, пожалуй, сказать о небольших отступлениях исторического характера, которые иногда появляются на последующих страницах. Это отнюдь не заявки на приоритет. Теперь, когда прошло столько лет? Мне просто Хотелось зафиксировать отдельные моменты своих собственных воспоминаний о разного рода событиях, которые вряд ли могут быть почерпнуты из какого-либо другого источника.

Требует пояснения также один пункт, касающийся плана изложения (или его отсутствия). Иногда к тому или иному вопросу, с которым, казалось бы, уже покончено, я возвращаюсь вновь с тем, чтобы некоторые его стороны проанализировать более подробно. Это соответствует истории развития данной темы, в ходе которого разные тонкости выяснялись лишь спустя неко-

8 I ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ТОМУ

торое время. Единственная альтернатива такому плану изложения —зто переписывать различные разделы по достижении большей ясности. Но, как показал мне многократный опыт, встав на путь постоянных переделок, мы не придем ни к какой книге вообще, а потому такая альтернатива была мною отвергнута.

В заключение считаю долгом еще раз поблагодарить талантливых и любящих свое дело машинисток из Гарвардского и Калифорнийского университетов С. Уейдженсил и Р. Бона.

一 Ю. Швингер

Глава 4 | ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

Теория источников строится на принципах причинности и однородности пространства-времени. Принцип однородности пространства- времени имеет также допол нит ел ьный смысл, соответствующий переменным импульс —— энергия. Эта его сторона ил л юстрир уется концепцией обобщенного источника. Понятие источника определено и наполнено содержанием не только в частном случае баланса энергии и импульса при испускании или поглощении одной частицы. Когда имеется достаточный избыток энергии над импульсом —избыток массы,— возможно испускание и поглощение нескольких частиц. Описание связи между источниками должно учитывать подобные акты многочастичного обмена.

Процесс добавочного испускания (или поглощения) одного фотона, которым может сопровождаться действие источника заряженных частиц, мы уже рассматривали. Он описывается примитивным взаимодействием. То же самое примитивное взаимодействие позволяет также обобщенному фотонному источнику испускать (или поглощать) нейтральную пару заряженных частиц. Указанные двухчастичные процессы ——это простейшие примеры процессов многочастичного обмена, дополняющих одночастичный обмен и дающих определенные добавки к соответствующей функции распространения. Замена исходных одночастичных функций распространения модифицированными носит уциверсальный характер, но ею не исчерпывается сущность многочастичного обмена. Модификация функций распространения принимает в учет то общее, что свойственно всем реальным источникам определенного класса, но она не затрагивает их индивидуальные характеристики. Чтобы проиллюстрировать этот дополнительный аспект проблемы, рассмотрим обобщенный фотонный источник, испускающий пару заряженных частиц. Такой процесс можно представлять себе как превращение виртуального фотона в пару реальных частиц. Описание процесса примитивным взаимодействием относится к условиям, в которых эти две частицы не взаимодействуют. Чтобы получить механизм, приводящий к модификации функции распространения виртуального фотона, нужно учесть взаимодействие частиц в дальнейшем. Как мы уже видели в гл. 3, § 12 и 13, гДе речь шла о частицах со спином 0 и %, в случае рассеяния античастицы на частице имеются два разных механизма. Один из них ——простой процесс рассеяния, с которым мы имеем дело и при рассеянии частицы на частице; при таком рассеянии частицы продолжают существовать, пока они обмениваются пространственно-подобным виртуальным фотоном (фотоном с пространственно-подобным импульсом). Другой механизм ——аннигиляция пары частица — античастица с рождением времениподобного

40 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I виртуального фотона, который вновь быстро распадается на частицы. Именно этот последний процесс и приводит к модификации фотонной функции распространения, поскольку конечная пара заряженных частиц связана с обобщенным фотонным источником цепочкой событий, в которой виртуальный фотон рождает пару частиц, рекомбинирующих затем и рождающих виртуальный фотон. Это и есть дополнительная связь между обобщенными фотонными источниками. Но модифицированная фотонная функция распространения не полностью описывает явление взаимодействия между частицами, так как она не учитывает процесс простого рассеяния, при котором происходит обмен пространственноподобным фотоном.

Примитивное взаимодействие можно характеризовать как локальную связь полей. Это —— произведение полей двух заряженных частиц и электромагнитного векторного потенциала, причем все три величины берутся в одной пространственно-временной точке. При введении модифицированных функций распространения изменяются численные значения полей, но не нарушается локальный характер их связи. Однако такая полная локальность исчезает, если рассматривать простое рассеяние лротивоположно заряженных частиц, которое может происходить на некотором расстоянии (во времени и в пространстве) от той точки, где виртуальный фотон распался на пару частиц. Действительно, поля, описывающие конечные частицы, соответствуют области их рождения, тогда как электромагнитный векторный потенциал соответствует акту рождения начальных частиц и, стало быть, другим координатам. В результате такой нелокальной модификации примитивного взаимодействия изменяются электромагнитные характеристики, приписываемые заряженным частицам. Могут возникнуть новые связи, причем нелокальность всех связей выражается в появлении формфакторов, учитывающих эффективное пространственно-временное распределение электромагнитных характеристик частиц. К количественному анализу такого рода усложнений, возникающих на динамическом уровне при учете двухчастичного обмена, и будут ниже применены методы Теории Источников.

君 1 ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Чтобы описывать испускание или поглощение заряженной частицы w фотона обобщенным источником частиц, нам нужно выбрать некоторую электромагнитную модель для этого источника. Как мы видели в гл. 3, § 10 и 11, наиболее естественная — ковариантная ——модель источника подавляет излучение заряда, движущегося с ускорением. При таком выборе модели заряженные частицы со спином 0 не сопровождаются фотонами и соответствующая

§ 1. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ заряженных частиц I 11 модификация в функции распространения не возникает. В случае же частиц со спином ^2 излучение имеется, и мы исследуем ниже этот случай.

Примитивное взаимодействие, входящее в функционал действия (3-10.63), содержит произвольное гиромагнитное отношение g. При частном значении g = 2, очень близком к экспериментальному значению g для электрона и мюона, эффективный источник испускания частицы и фотона будет иметь вид [формула (3-11.79)]

i* (田 t|2 (р) |9фф =击 i/egz (Р),(1-1)

где мы опустили член

若一炉(口)=若一醬=一拼(1.2)

отвечающий ускорению заряда, так как он не дает вклада в излучение:

е%=0.(1.3)

Амплитуда вероятности для двухчастичного процесса испускания дается выражением

<lfe%lpOg 10-产=i (dsj/z e院J2" (к) i(2m dap)1/2 畴畋丫。％ ® |зфф, (1.4) или

(Ift^lpog 10_产=ie9 (d(,)h2m dtOp产 i4aqy°ykyet%i\2 (P)西鼻,(1.5) где использованы следующие эквивалентные формы записи:

Р2 + т2= 2кр, ,куе/ =阑G»/.'(1.6)

Аналогичный вывод можно было бы провести и для процесса двухчастичного поглощения. Но амплитуду вероятности такого поглощения можно получить, просто взяв с обратным знаком величину, комплексно-сопряженную амплитуде испускания:

<°+ 11 融род〉％ = ieq (d(Oh2m dap//2 ^^ П1 (Л* 丫°网入丫施女.(1.7)

Для этого у нас те же основания, что и в случае одночастичногд испускания ——ортогональность вакуумного состояния той совокупности состояний, в которые слабые источники испускают или из которых они поглощают.

Рассмотрим теперь причинно-упорядоченную пару обобщенных источников частиц и вычислим вклад двухчастичного обмена

12 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I в вакуумную амплитуду:

2 (O+ll^l^d^lpadO-f^•

=-е2 j а3a dak w % (尸)* Y°Y^W (m一YP)Y"界鼠% (0)穽;硒三；

(1.8) здесь мы учли условие полноты всевозможных состояний частицы с определенным значением импульса в виде

3 upaqu^0 = i (m- YP)•(1・9)

Из алгебраического соотношения

(Y田2 = _ 奴=0(1.10)

следует, что

ук (т — ур) ук = 2kpyк,(1.11)

тогда как

'｛怡入，丫储=—2ем^ = 0.(1.12)

Воспользуемся, далее, правом выбора вещественных векторов поляризации, т. е. примем '

("АК)2 = -1.(1-13)

В результате получим

S y^kKyk (w —ур) 丫左丫％九—』2kpyк= 2 (夕2 + 7n2)丫％ (1.14)

Поскольку источники задают только полный импульс Р, следует провести интегрирование по всем возможным его распределениям между частицей и фотоном. Эта задача упрощается, если взять за переменную интегрирования полный импульс, а его кинематическую связь с импульсами р л " учесть при помощи соответствующей 6-функции. Введем множитель, равный единице, (2л)3 j ■^•谷仍一卩一向二偿口尸 J d9PdM2Mp— р— к), (1.15) где энергетическая переменная интегрирования заменена величиной

"2 =—户(1.16)

согласно соотношению

2P4P°=dMK(1.17)

Тогда вклад в вакуумную амплитуду оказывается равным

2^ j d№ d(oP M2lw2 П1 (^)* У°УЦП2 (Л h (^)-(1-18)

где

儿(夕)=(2n)3 J出0/出0女5(尸一p 一左).(1.19)

В последнем интеграле выделенное направление для А卩 может быть связано только с вектором Р^, и потому к^ можно заменить его проекцией на 尸卩：

祭儿(1-20)

Сл едовател ьно, в ел ичина

4(p)=笠萨儿/(m)，(1-21)

где -

/ (7И) = (2冗)3 J do)p &о)2 (尸一■ р—向，(1.22)

есть скалярная функция переменной —Р2 = М?》тп2.

Подобный интеграл мы уже вычисляли в случае произвольных масс та и 恤，когда речь шла о сечениях рассеяния. Выполнив в формуле (3-12.75) интегрирование по угловым переменным и разделив результат на 2л, получим

/(М та, 〃比)=(2л)3 ) &3а 弘前(Р — Ра — Рь)=

=备口一(УyП」(中)丁&(L23)

Отметим два частных случая этой формулы:

/(m W,现)=备(1-需户，(1.24)

ЦМ, m,0) = -^(l-^).(1.25)

Мы проводили выкладки в системе покоя, отвечающей времениподобному вектору Р^. Теперь в поисках разных способов вычисления повторим расчет, пользуясь совсем.другой координатной системой, с которой мы также уже не раз имели дело. Речь идет о системе отсчета, в которой скорость, ассоциированная с вектором Р% близка к скорости света. Такие координатные системы часто называют системами бесконечного импульса. Все импульсы разлагаются на две компоненты: продольную (£) и поперечную (Т) относительно направления вектора Р. Обозначив модуль этого вектора через 尸工，получим для соответствующей ему энергии

Р。=(胃 + АГ产厶 + 先，(1.26)

где знак приблизительного равенства означает, что данное соотношение становится точным асимптотически при Рь -> оо. Для

отдельных частиц 01Mb мы будем записывать, например, РаЪ = Р

р2 = (р記 + РаТ + ^)1/2 « PLI иа | + 爲~；： .(1.27)

Инвариантная мера в импульсном пространстве становится равной

儿、_(办n)阪产工一 £_ (dpar) dua

@5 - (2 冗)32 曲 〜W 2|%|'

а четырехмерная дельта-функция переходит в функцию

6(Р—Ра — Р»* § (Par + Pbr) 6[Pl(1 —Ua—U6)] X

ИЛИ

6(Р — ра—Рь) « 6 (Par + рЬг)6(1 —Иа—"力 Т] (%)嚟陶 X

X 26 (里誉• +吗戶—М2).(1.30)

Из второй формы записи сразу видно, что если иа и и& не являются положительными, то множители, отвечающие энергии и продольному импульсу, оказываются несовместными. При工атом используется свойство дельта-функции

|Z |6 仇力=6 (办(1.31)

Проводя непосредственное интегрирование по переменным одной из частиц, мы теперь получим

/ ("^\ m^a,加6)

(4冗)2 JJ \u(l —u)/ Lw(l —w) “ i — U J

о 0

Ступенчатая функция здесь задает условия, при которых интеграл не обращается в нуль. В общем случае (та, тъ 声 0) ее аргумент отрицателен на обоих пределах интегрирования и становится положительным внутри области интегрирования лишь при М > >та + ть. Величина интеграла по " равна длине интервала, на котором этот аргумент положителен. Она находится путем вычитания двух корней квадратного уравнения

М^и (1 — и)—啮(1 — и) — т^и = 0.(1.33)

В итоге мы вновь приходим, конечно, к результату (1.23).

Вернемся теперь к вкладу (1.18) в вакуумную амплитуду и воспользуемся полученной формулой (1.25). Подставив в выражение (1.18) величину

а=左，(4・34＞

для этого вклада будем иметь

許，察 叫(1-^-) ^(РГ ^Р^(Р)-(1-35)

Причинная упорядоченность в пространстве-времени становится явной, если написать

小(Р)= [ (М)ехр(—ХРК)т]2 (花)

Г(1-36)

巾(Р)* =)(彰)％(2)exp (iPx),что приводит к следующей пространственно-временной связи:

7/ J 黑(1-济)J ")@0%(幼Y° X

X(Y；°)[" j dcopexpHPR—花')]]т)2 (花)(1.37)

В выражении, соответствующем причинной упорядоченности е° ＞力°‘, мы узнаем инвариантную функцию распространения 花。＞№': A.h(Х'~х,, М2) == i j d(oP exp \iP (a： — xr)},(1.38}

где в явной форме фигурирует массовая переменная М. Добавление этой связи к связи, обусловленной одночастичным обменом, учитывается модифицированной функцией распространения

G+ （花一花‘）=G+ 估一花'）+

+ 設 j 體（J 济）（一*0）A（*-* "）

(1.39) которая обладает свойством антисимметрии

(Y 唁+侬一2))т=-Y 唁+3-吟，(1.40)

требуемым статистикой Ферми — Дирака.

В импульсном пространстве имеем

£(卩)=i/ q吧) 一ур—

YP 十 m—ie 丁 4л J “IYP 十 m—ie 丁 4л J “I\ / yp+俏一记 I 4л J m2 \аp /戌 + m2—注-

YP 十 m—ie 丁 4л J “I

YP 十 m—ie 丁 4л J “I

М2 / L YP+“一 i£ ' ^p~ M -\^г

В последнем выражении учтено, что нижним пределом спектрального интеграла по массе должна быть точка М — т и что, поскольку интеграл сходится (как это явствует из первой формы записи), мы можем попытаться распространить интегрирование на большие значения масс.

Другой способ проведения такого расчета основан на рассмотрении того члена вакуумной амплитуды для случая невзаимодействующих частиц, который описывает обмен одним фотоном и одной заряженной частицей:

(0+10-严=1 +…+ij (阳(龙)片僅)0+代一⑦％(F)义

X Z J (d宏)(d花‘)% (ё)Y°G+ (/一花‘)斗2 (%')+ •一•(1.42)

В этот член

J (嗎)…(姦，)方公位)%(2) Y叨+ (ET') G+(2 - % 2乙(9 小 3) (1-43) введем эффективный источник (3-11.66) c g = 2

t j“ (§ n(2)|зфф = eg ［ 3 代一2)产屮⑺一产(E — 2)Т］ ®］,(1.44)

применимый равным образом и в случае испускания и в случае поглощения. Правда, во втором случае более предпочтительным оказывается выражение

"“但)n(Z)歐 Ьфф =［屮(2)Y°Y%(2・一§ — iT］ (ж) 丫。尸(久一日］eg. (1.45) В импульсном пространстве такие источники будут иметь вид

iJ^ (*)小(Р)Ьфф =旳［у也(Р) —尹(”)小(Р)］，

〃h —仅％ (— Р) Y° 匾由=［也(一尸)УУ — i”( 一 P) TV"(砌 eg.

(1.46)

Прежде всего выделим вклад, который не содержит фотонов, испущенных или поглощенных источниками, и для которого, следовательно, несущественна электромагнитная модель источника. Подставив в формулу (1.43) выражения для функций распространения, отвечающие причинной упорядоченности, получим

-X j do)p dcohS (-0) Y V1 (m一YP)打也(p)=

=一外 J dM2 d^ (- P) f^F (P) y^2 (P),(1.47)

где

F(P)= (2л)3 J d(op d(oft6 (P — p—k) (m — ,p) =

=备(」%)(加-5Y叫 М8)

Единственное отличие от вычисления 1Ц (Р) здесь в том, что производится замена

P"一器4=鸟拼4，(丄49)

которая впрочем также следует из соотношения (1.20), ибо р = =Р — А. Матрица F (Р) входит в комбинации

丫喈(P)Y产麻 К一济)(-4-^^")，(1-50) где учтены свойства

Y%t= —4,

Y-叫以= (-2g2-屮y)次=2屮.(1.51)

Таким образом, рассматриваемая часть вакуумной амплитуды жазывается^ равной

专 j dM2dsp (1 -济)S (_Р) Y。(4 + ^J^ ") 5 仍)=

="^T J d"2d①p X

(1.52)

Матрица, фигурирующая во второй строке, допускает алгебраическое упрощение, которое достигается путем введения проекторов для матрицы ?Р, соответствующих ее собственным значениям 士

/卩［(4^4-"2爲吧Yp)=(уР +加)2 \1 加2 • /

_?Р + М「… 2тМ ］丄 yP-M「《 2mM ］ 彳冃力 一 2M2 ［丄十(M + m)2」「2M2~L — (M-/n)2 J- N・UQ丿

Заметим, что при М》т полученная связь источников сводится к (1.35). Пространственно-временная экстраполяция осуществляется так же, как и раньше, а поскольку коэффициенты фиксируются асимптотическим совпадением выражения в области М ^ т с результатом прежних вычислений, мы можем сразу же написать неполную модифицированную функцию распространения в импульсном пространстве:

况(P)=况(P)=11aayp+m —话 I 4лyp+m —话 I 4лXXг . 2тМ1一(加一⑺2I_ ур-\~М—话'г . 2тМ1一(加一⑺2I_ ур-\~М—话'设⑴十("工质 ур—Л/十话设⑴十("工质 ур—Л/十话m \ 新)Xm \ 新)X

况(P)=

况(P)=

1

1

a

a

yp+m —话 I 4л

yp+m —话 I 4л

X

X

г . 2тМ

1一(加一⑺2I

_ ур-\~М—话'

г . 2тМ

1一(加一⑺2I

_ ур-\~М—话'

设⑴

十("工质 ур—Л/十话

设⑴

十("工质 ур—Л/十话

m \ 新)X

m \ 新)X

2-0983

В противоположность выражению (1.41) теперь имеется инфракрасная расходимость — логарифмическая особенность на нижнем пределе спектрального интеграла. Однако было бы преждевременным делать какие-то количественные заключения об этом явлении, так как полученная функция распространения не является полной. Заметим также, что опять-таки в противоположность (1.41) весовой множитель (ур + М)-1 не всегда положителен.

Проведенный расчет позволяет нам оттенить те физические требования, которые до сих пор оставались скрытыми. Допустим, что пространственно-времеиная экстраполяция производится на основе первой формы записи (1.52), учитывающей связь полей, а не на основе второй ее формы записи, в которую входит связь источников. Д опол ните л ьный член в действии, получаемый таким путем, будет иметь вид

一T J (^) (^) ^ W у^m {x—xf) ф (^)»(1.55)

где

М (р)~ М (ур) =

=一次)犷c一可)!. YP+WTe + YP_M + 珀」•(丄56)

Здесь имеются две неточности. Во-первых, если выразить поля через источники, то мы получим модифицированную функцию распространения

11ур^т — i811ур^т — i811ур+ тп—舱ур+ тп—舱м（YP）м（YP）Rp + m — igRp + m — ig(1.57)(1.57)

11

ур^т — i8

11

ур^т — i8

1

1

ур+ тп—舱

ур+ тп—舱

м（YP）

м（YP）

Rp + m — ig

Rp + m — ig

(1.57)

(1.57)

Поскольку М (ур) * 0 при ур + ?п = 0, поведение функции распространения оказывается сильно измененным в окрестности ур ^ т ^ Q. Но это противоречит феноменологическим основаниям теории, о которых подробно говорилось в гл. 3, § 9, где речь шла о нормировке массы. Во-вторых, пространственно-временная экстраполяция, проводимая при выводе формулы (1.55), неверна, так как интеграл (1.56) не существует, если область интегрирования простирается до бесконечно больших значений М.

Связи между источниками, выводимые на основании пространственно-временной экстраполяции их причинной упорядоченности, всегда можно дополнить контактными взаимодействиями. Если нет никаких других физических соображений, то контактные члены остаются произвольными, и их можно отбросить.

Но если перейти от источников к полям, то такие члены локального взаимодействия имеют физический смысл; необходимо выяснить условия, при которых они существуют, и связать это

с соответствующими физическими требованиями. Поскольку контактные связи в координатном пространстве возникают из полиномов в импульсном пространстве, правильное выражение для М(YP)можно получить, добавив к выражению (1.56) некоторую полиномиальную функцию аргумента у+ т. Квадрат и более высокие степени этой удобной комбинации добавляют к функции распространения (1.57) постоянное слагаемое или полиномиальные функции импульсов. Нас не интересуют контактные добавки к функции распространения, достаточно взять константу и членыг содержащие первую степень ур + т. Они фиксируются тем физическим требованием, чтобы второе слагаемое в выражении (1.57) не имело особенностей в окрестности yp-j-m — 0, чему соответствуют условия

М^р= -т) = 0, =0. (1.58>

При любом значении спектральной переменной М это достигается следующими контактными модификациями:

• 7Р+М—isТР + М—记M—m 十(M—m)2

(1.59)(1.59)=(YP + m)21

(1.59)

(1.59)

(M — th)2 yp-\-M — is

И

(1.60)(1.60)(1.61)(1.61)(yp+m)21

(1.60)

(1.60)

(1.61)

(1.61)

(Af + m)2 7p —M+ie

С такой поправкой будем иметь

M(YP)=-(YP + zn)*j^(l_^)X

Г12тМ

叫2 ] 1 + &И+тП)2

一 yp+М 一加 ^斤 Р二 m + 艳_

Функция распространения, получаемая теперь из (1.57), в точности совпадает с функцией (1.54).

Рассмотренная нами частичная функция распространения имеет свой аналог и в случае спина 0. Согласно формуле (3-11.16), эффективные источники в импульсном представлении имеют вид

再(舟 & (Р) |вфф = eq [(р“ + 叫屮2 (尸)一产(куКй (Р)],

仕.62)

zJh — 田 & (― р) |эфф =仲](_ Р) (р" + W) 一 &( 一 P)炉(初 eg.：

Если в выражении для связи

j(雜)...@У)〃卜9EG)|эфф4(Е-V)х

х А+(2 -s') i% (F)品(^)|8фф,(1.63)

обусловленной двухчастичным обменом, опустить члены с /匕 то вклад в вакуумную амплитуду будет равен

(1.64)(1.64)—с? J d^p 如互ср, (— Р) (р + Р)2ф2 (Р)= е? j dsp 询^ 壽士為爲(一Р) К. (Р)= =* ［堂 嚣+ % ааРК^ — Р)К2 (Р).

(1.64)

(1.64)

Неполная модифицированная функция распространения, получаемая путем пространственно-временнбй экстраполяции этой связи, записывается как

д/ / <—1а Г d№ M24-wi21〃

J (Р)=力47n J®后 JАР —m p^ + M—记 * (T.03)

где интегрирование по М2 можно распространить до бесконечности, но при “2 т /п2 имеется инфракрасная особенность.

Чтобы выявить структуру модифицированной функции распространения, рассмотрим сначала более простой случай спина 0, соответствующий электромагнитной модели источника, в которой ускоренный заряд излучает. Если в выражение (1.62) подставить функцию (3-10.44)

炉“・)=*，(1-66)

то при вычислении вакуумной амплитуды в формуле (1.64) следует произвести замену

Q М2+т2о М2-\-т2,2(rf пР - \1

(m2一М)2 -厶(妝2一從)2 十 ЛР 一京、厶元一 J -T^F・

(1-67)

Обратные степени nk нужно усреднить по всем возможным разбиениям полного импульса Р; введем с этой целью обозначения

(2⑴з J dsp d®ft6 (P-p-k)(nkyl- в =击(1 —备卜(泌)т, > (1.68)

В системе покоя, отвечающей'вектору Р% единственной существенной переменной является z ——косинус угла между вектором отно-

сительного импульса частиц и вектором п. Таким образом,

(1.69)(1.69)

(1.69)

(1.69)

причем на основании соотношения

(1-70)(1-70)кР _ М2 —m2 衣=~

(1-70)

(1-70)

можно заключить, что здесь содержится также информация об энергии фотона в системе покоя вектора Р^. Интеграл в формуле (1.69) зависит лить от комбинации

(1.71)(1.71)(1.72》(1.72》(п0)2 — I и |2 = 1,

(1.71)

(1.71)

(1.72》

(1.72》

и в результате получаем

/ 1 \ _ / 2M /弋研戸/ = \ М2 —П12丿

Интеграл же, возникающий при вычислении《孔％)“〉в системе покоя вектора Р^, содержит явным образом | п |2. В ковариантном виде эта величина записывается как

п|2=(/)2_1= (*『_[=济，(1.73>

где

Q2=50)2-峻P2= _ _^(*pV_胪产)(人网一人私).(1.74)

Хотя этот второй интеграл столь же элементарен, как и предыдущий, нам будет удобнее сохранить здесь интегральную форму записи:

11

"2 —m2 /пР\ 4 i 硕 1 f л(硝2

—2M2 、诉/ =彳 J a”o—|n|z=E J az(n0)2 —InpR

—1-1

^祭产,+d…)^祭产,+d…)(1.75)(1.75)

^祭产,+d…)

^祭产,+d…)

(1.75)

(1.75)

Теперь^подстановка (1.67) принимает вид

(М2 —龍2)2“ @2 —吁(М2 —龍2)2“ @2 —吁dzdz1+备(…1+备(…

(М2 —龍2)2“ @2 —吁

(М2 —龍2)2“ @2 —吁

dz

dz

1+备(…

1+备(…

В результате всего этого из неполной функции распространения (1.65) получим

△+(p，0)=p2+m一胞+

1- ?2- z2

,2a ff 戸“ 1М2 z〃

十* J 万二J "z p2十"2一泣二二一炉二一~#U・‘)

-m20£+血Jlf

где q2 — величина, образованная из произвольного вектора р^ согласно формуле (1.74). Заметим, что неравенство。含 >0 остается справедливым, поскольку 孔陽 —— времениподобный вектор. В противоположность тому, что мы имеем в формуле (1.65), весовой множитель при каждой комбинации (р2 + М2 — ie)-1 оказывается теперь положительным числом. Интеграл по М2 в выражении (1.77) быстро сходится с возрастанием М^^ но при М2 f тп2 он обладает инфракрасной особенностью. Для функции распространения (1.77) возможно и другое представление, соответствующее переменной “

"2 =占，(1.78)

а именно

(" G =p?+m2一加+

十Т J М^ — m^ 、丄 初2丿 綻+ Л/2一记！研+初2 .(丄"叫

Структуры типа (1.41) и (1.65), описывающие спектр масс одночастичных и двухчастичных возбуждений, представляют собой простые спектральные формы. Функция же (1.79) содержит двойную спектральную форму. Но на основании чисто математического вывода этой структуры невозможно сказать, какому именно типу возбуждения отвечает масса Мг.

Поскольку спектральные формы характеризуют возможность возбуждений с переменными значениями массы, весовой множитель при стандартной функции распространения, скажем при (「' + № ——te)-1, должен служить мерой эффективности источника, т. е. он должен давать относительную вероятность возбуждения данного типа. Таким образом, нефизический характер частичных функций распространения, общий вид которых иллюстрируется выражением (1.65), обнаруживается в появлении отрицательных весовых множителей. В целях проверки этой интуитивной вероятностной интерпретации мы выделим уже известный нам результат, исследуя функцию распространения (1.77) в области М^ 〜тп\ соответствующей частице, которая сопровождается

ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ | 23 мягким фотоном:

М2 = 一(р +及)2 =— 2рк = т^ + 2тЛ° 〜пг2.

(1.80)

Величина А0 (А0《т) есть энергия фотона в системе покоя частицы. Для простоты ограничимся случаем, когда

W《l・(4怨)

Если его интерпретировать в системе покоя единичного вектора 叫где

备=罟=V2《1,(1.82)

то он будет соответствовать случаю медленно движущихся заря- Яченных частиц. В результате часть функции распространения, выделяемая условиями (1.80) и (1.81), примет вид

Л+(Р，9)^ р2 + ；2 —设 +舒 丫2 j в p2 + ^m2 + 2mk0) — is '口.83)

Так как при выводе этого выражения мы пренебрегли множественным испусканием фотонов, фигурирующая здесь дифференциальная вероятность

2a 9 dk^

3TV

Дает среднее число йспущенных фотонов. Это полностью согласуется с выражением (3-11.60). Там, где приводится указанное выражение, подчеркивается ложный характер математической особенности при Л° = 0. Интегрирование в формуле (1.83) следует обрезать на таком значении А0, чтобы т? и тп^ + ^тпА:。были уже неразличимы экспериментально. Вклад всех меньших значений "° уже учтен при описании испускания и поглощения заряженной частицы без детектируемого сопровождающего фотона. Возникновение инфракрасной особенности — это весьма общее явление, которое мы будем каждый раз комментировать при анализе разного рода приложений.

Чтобы провести аналогичный расчет в случае спина х/2, вернемся к эффективным источникам (1.46) и подставим в них функ цию (1.66), соответствующую определенной электромагнитной модели. Тогда в вакуумной амплитуде (1.52) нужно будет произвести замену

1/,. M2+zn2 n\ 1

уР+m ( ^丫尸)уР + т f

f _〈(^^Y"_黑)(加_YP)(Y“：^-架)〉，(1.84)

где угловые скобки имеют такой же смысл, как и в формуле (1.68). Раскрывая скобки в правой части и подставляя в нее выражения для некоторых известных интегралов, получаем

^^（4m + ^J^ Y尸）爲十T^^^ （тп一Y尸）+〈誌〉+

+评三（〈黑）-i）+2yn〈粉-

17p+017p+0〈"Й"〉?儿-Y儿〈若〉：^Л.〈"Й"〉?儿-Y儿〈若〉：^Л.(1.85)(1.85)

1

7p+0

1

7p+0

〈"Й"〉?儿-Y儿〈若〉：^Л.

〈"Й"〉?儿-Y儿〈若〉：^Л.

(1.85)

(1.85)

Мы уже вычислили величину [формула (1.75)]

М^ — w2М^ — w2Z(紹,Z(紹,(1.86)(1.86)гдеz 儡)=iогдеz 儡)=iо,z21 f d”2 /,z21 f d”2 /"2 \1/2"2 \1/2“2q2+m2“2q2+m2

М^ — w2

М^ — w2

Z(紹,

Z(紹,

(1.86)

(1.86)

где

z 儡)=i

о

где

z 儡)=i

о

,z21 f d”2 /

,z21 f d”2 /

"2 \1/2

"2 \1/2

“2q2+m2

“2q2+m2

(1-87)

Необходимо знать также величины〈干/(汽友)屮〉，в которых у играет роль некоторого произвольного постоянного вектора. После интегрирования остаются только комбинации ум и 丫尸, и эти выражения полностью фиксируются результатами, которые получаются при замене у на п и на ^. Последние же нам известны, а потому не требуется никаких новых интегрирований. В итоге будем иметь

〈庄>=赛-你+岩"(备)，

%〈商〉=-晋+(器 + 器)Z(备)•(1-88)

Проводя алгебраические преобразования различных слагаемых в формуле (1.85), мы получаем возможность ввести пространственно-подобный вектор

Q^ — р^ j^. №?гР, К = 0.(1.89)

Такое определение правильно, поскольку

Q^Q^ = (ZlP)2 —峻戶2 = Q2(1.90)

Полученный нами результат можно представить и в другом виде: :^ + (M：f；2)2 (Y尸一加)* Z (备)+ •■而2 :b YQZ (务)= _VP+M 1Г.,8 М.

_2М 京—

+ ^^Й^ $ [ 1 + 丛2 二萨一 >^ О%] + к f “2- YQZ. (1.91)

Если положить здесь Q = 0, то это даст ,Р/М”, что соответствует выражению (1.35). Возникающая теперь модифицированная функция распространения представляет собой смесь простой и двойной спектральных форм:

£(р, д)= yp+“二*

8Г1

а Г Ш 而 J IT L*

та

丽

8М (М — т)

CZ (品)

ур+Л/ — is

+

№新

m(m+向 CZ

TP—M 十 jg

Ш]

8Z "一

(1.92>(1.92>g Г dM2 ”2

(1.92>

(1.92>

л ¥' J № р^+ЛР—ism2

Все инфракрасные особенности сконцентрированы здесь в одном слагаемом. Если оставить лишь ту часть спектрального интеграла,, для которой

1^ = М — тп《тп,(1.93}

и принять также упрощающие условия (1.81) и (1.82):

鳥《1： Z (告)=$，(1.94>

то функция распространения примет вид [для мягких фотонов выполняются неравенства к0《(力弘《 т]

(p, о) ：：—v2 \ ——~~— .(1.95)

Как и следовало ожидать, для испускания мягких фотонов мы получили ту же дифференциальную вероятность, что и в формуле- (1.83), соответствующей спину 0.

Спектральное представление (1.92) затемняет один аспект характеристик распространения, свойственных двухчастичным возбуждениям, а именно различие в их четности. Основная функция распространения для объектов со спином ^纟,величина (ур+7И— 2е)т, отличается от (ур + т — Ze)-1 только массой. Обе эти функции описывают возбуждения, для которых в соответствующей системе отсчета у°‘ = + 1, т. е. четность которых одинакова. Функция же распространения (ур — 7И + ie)"1 описывает возбуждения спина х/2 с разной четностью. Этим, кстати, объясняется, почему в частичной функции распространения (丄95) отсутствуют члены такого типа. Необходима некая гибкость, позволяющая проводить различие в описании между электроном, сопровождаемым детектируемым фотоном, и электроном, сопровождаемым недетектируемым фотоном, что возможно лишь-

тогда, когда в обоих этих случаях четность одинакова. Но в последнем слагаемом в функции (1.92) нет классификации по четности, которая имеется в предыдущих членах. Поэтому мы попытаемся найти другое представление, в котором два упомянутых типа возбуждения выступали бы в более явном виде.

Вернемся с этой целью к формуле (К 91) и введем пространственно-подобный вектор Qt：

Q'=Q+p 紹 Q'p=。，

Q'2=Q2(i+ 釦•(1-96)

Умножив выражение (1.91) на М, чтобы сделать его безразмерным, получим

-8Tst$~Q2Z + ［1 + 4喪亲0Z］吟 +

+ 4而竺小%(1.97)

Далее, 丫戶 и yQ‘ антикоммутируют, так как векторы Q' и Р ортогональны, а это означает, что квадрат линейной комбинации уР и yQ‘ кратен единичной матрице. Обозначив соответствующее число через имеем

m=［中舞备Q竹一 ［4試/了豁(1 +备卜=［I +8 (№ —ТП2)2 0叫［I + 8(М2 —緑)2 0Z］—

_16@岂；2)2 Q2Z2.(1.98)

Достаточно весьма слабого неравенства

Z (备)d・99) для доказательства соотношения

NZR+O-^g^Qzzy.(1.100)

Слагаемое с yQf можно исключить путем преобразования Лоренца. Действительно, мы можем написать

［中喪S^Z］器+ 4"Z号=厶电豹" (1.101)

где

Матрица преобразования имеет следующий вид:

£=Q+备 Y尸Y0'，£=Q+备 Y尸Y0'，(1.103)(1.103)

£=Q+备 Y尸Y0'，

£=Q+备 Y尸Y0'，

(1.103)

(1.103)

причем ее параметры, задаваемые равенствами

2述=击口+4飞券署Q2Z] + 1,

2 接糸(1 + 金)=+[1 + 4 需群 Q2Z] - 1, (1.104) удовлетворяют соотношению

Л』(1 +缶).(1.105)

В такой реализации подразумевается положительность N, а потому произведение аЪ должно быть также положительным, что позволяет нам приписать положительные значения как параметру а, так и параметру Ъ,

С учетом сказанного выражение (1.97) можно переписать как

5 [%+与竺+ М号护勺J (1-Ю6) где

貝%+ + N.) = N, ^(N+—N一)=(冗孝咚2)2 Q2z, (1.107)

причем неравенство (1.100) гарантирует положительноСть обоих чисел N+ и ЛС・ Поскольку матрицы (М 土 уР)/2М — это проекционные матрицы для уР, то, основываясь на выражениях

乙= Q + b^" +鳥 YPyQ，

L = Q 十匕谷+ 备 yQyP(1-108)

комбинацию (1.106) можно записать иначе:

N+%脸竺人+m厶一h护Lj(1.109)

причем

%="+"济干器)•(1-110)

Эти последние матрицы таковы, что

(Y 也土产=一Y 也*(1.111)

Они удовлетворяют также соотношению

•厶+告沪厶屮 " =(1-112)

В результате функция распространения приобретает тот вид» к которому мы и стремились:

а (р,―+ ( dM[A+L+―； * .厶+ +

+yP — M + ie5(1/13)

где

A-^i^-^}N- a」出

Как положительные числа /土, так и матрицы L± являются функциями М и вектора

q^= р^^-п^пр9妆=0,(1.115)

которые получаются путем замены в приведенных выше выражениях Q на д. Условие нормировки (1.112) остается справедливым при замене Р произвольным вектором р, поскольку оно основывается только на соотношении

pq =产(1.116)

Свойство антисимметрии, требуемое статистикой Ферми — Дирака, выглядит теперь следующим образом:

[丫喔(-р, у)]，= - 丫囁(р, g),(1.117)

где обращение знака у q диктуется изменением знака р. Эта операция необходима для того, чтобы снова получались матрицы L+ и L_, которые при транспонировании переходят друг в друга [формула (1.111)]. Наличие дополнительных матриц преобразования L士 не изменяет интерпретацию функции распространения (1.113) как суперпозиции возбуждений, обладающих переменной массой и четностью, причем величина A±dM служит мерой относительной вероятности. Это также полностью согласуется с предельным случаем мягких фотонов, когда при упрощающем предположении ,2/7n2《1 мы имеем

М-т=2《&■№・• N・《N+«4儡，(1-118)

так что величин?

4+dW^ 亲告告(1-119)

воспроизводит вероятность испускания мягких фотонов.

ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА

В предыдущем параграфе был изложен метод расчета, в котором поля играют роль источников. При таком подходе мы вынуждены в явном виде учитывать определенные физические требования, возникающие при анализе процессов многочастичного обмена,— исходное феноменологическое описание одночастичных процессов не должно изменять своей формы. Нам уже ясно, что поведение свободных частиц удовлетворяет этому условию. Но, когда речь заходит о движении во внешних электромагнитных полях, возможны отклонения от примитивного электромагнитного взаимодействия. Дело в том, что о примитивном электромагнитном взаимодействии можно говорить лишь в случае элементарных процессов, в которых отсутствуют какие-либо последующие взаимодействия. Если же, как это бывает^в различных экспериментальных установках, подобные взаимодействия имеют место, то они приводят к модификации эффективной электромагнитной связи. Это станет ясным в ходе дальнейшего изложения. Но уже сейчас мы в состоянии извлечь из данного обстоятельства одно важное с экспериментальной точки зрения следствие, для чего потребуется лишь незначительно видоизменить вычисления, проведенные в § 1.

Рассмотрим сначала некоторые характерные свойства функции распространения Gg (х, е‘) частицы со спином г/2 в слабом однородном электромагнитном поле. В матричных обозначениях типа тех, которые были введены в гл. 3, § 12, дифференциальное уравнение (3-12.2), определяющее функцию распространения, примет вид

(уП + тп)専=1,(2.1)

где

□ = р — eq А.(2.2)

Далее, напишем

一 吁吟叩m金，(2.3)

откуда

[―(丫口尸 + 峭 А| = 1112—6,0^ + ^2] Af = 1.(2.4)

При выводе этого уравнения использованы алгебраические свойства

-(叩)2 = -^ {у, Т^П^Щ-1 [产，河 I [Пи, nv]=

=g2U“Uv + 加叫 1. e^v,(2.5)

где

[Пц, IIV] = [рцз — eqAv] — [pvl — eqA^ =了6浊吟(2.6)

и введено сокращенное обозначение (следует обратить внимание на коэффициент %)

0p=^0因乎炉.(2.7)

Из матричной записи сразу ясно также, что выражение (2.3) можно представить в форме

G^=^ (m—уП),(2.8)

ибо А季 является функцией только матрицы уП.

Уравнение, определяющее А* нам хорошо знакомо. Оно отличается от уравнения (3-11.40) для фикции Грина частицы со спином 0 лишь наличием члена —ego月.Если же 歹内 一 однородное поле, то этот дополнительный член представляет собой постоянную матрицу, которую можно объединить с 症.Мы знаем также, что после выполнения фазового преобразования (3-11.37) в случае однородного поля (3-11.46) и в предположении его слабости в уравнении (3-11.52) можно пренебречь членами, квадратичными по полю. В результате преобразованная функция распространения примет тот же вид, что и для свободной частицы. Таким образом, величина А? в случае слабого однородного электромагнитного поля равна

A? Q, %') = exp [ieq <р (力，以)]А+ (х —力'，тп2 — eq^F)、 (2・9) где через <р обозначен фазовый интеграл по отрезку прямой:

<р(Ж, ^)= j^M^^).(2.10)

Возвращаясь к функции 専，мы встретимся с соотношением

(—X% 一eqA^ (х)) exp [ieq 屮(力，吟]=

=exp [ieq <p (x, x')] ^ — id^eq — F^ (x—xz)vj,(2.11)

которое учитывает калибровочное преобразование, приводящее к векторному потенциалу (3-11.46). Еще одно соотношение такого рода получается путем взаимной замены а: на %’ с обращением знака у 戸"

exp Reg (p (%，%')](一切丁一eg/y, (%)=

=(—»d『+eg万 Fp1V (e‘一 E)”) exp [ieg (p Q, %')],(2.12)

где символ 5Г введен для указания того, что оператор дифференцирования действует налево с одновременным изменением знака*

Если взять среднее арифметическое выражений (2.3) и (2.8), то члены y^F^v (х — 比')寸,возникающие при использовании соотношений (2.11) и (2.12), будут обладать противоположными знаками. Это слагаемое не удается исключить лить потому, что оно не коммутирует с о?. Однако соответствующий вклад квадратичен по напряженности поля, и поэтому мы его опустим. В итоге получим

證(勺 d) = exp[%g(p (瑞 К)] J-^rexp[ip (х—xz)]x

、”丿p2 十 7n2 — eg0尸一乃，、/

где подразумевается, что произведение двух матричных сомножи- тел ей симметризовано.

Обратимся теперь к связи (1.43), обусловленной двухчастичным обменом, и зададимся вопросом, к каким ее изменениям приводит наличие слабого однородного электромагнитного поля Изменение в физических условиях находит свое выражение во введении только что построенной функции распространения заряженной частицы. Опуская, как и в (1.47), всякие указания на фотоны, испущенные или поглощенные непосредственно источникамиг мы для члена в вакуумной амплитуде, описывающего связь, получим

0 J (d%) (de‘) 5 3) ?°?№+(之一")G?(伤片)Y以5(e)(2.14>

Используя более удобную для наших целей причинную последовательность, суммируем некоторые из наиболее существенных моментов проведенных ранее вычислений, написав

XР > е。‘： d+(/-支')G+ (x— 右')=

=—J dM2 dcop exp [iP (x — x')] F (P),(2.15)

где

歹(p)=部(1 一務)m_"^■冲)•(2-16>

Соответствующая функция, получаемая путем пространственновременной эстраполяции, имеет вид

D+ (х—xr) G+(x—xz)=

m2

+ контактные члены.+ контактные члены.(2.17》(2.17》

+ контактные члены.

+ контактные члены.

(2.17》

(2.17》

Структура выражения (2.13) показывает, что переход к 鹭 достигается путем введения фазового множителя

Ф = exp [ieq 屮(х, ")](2.18)

и замены тп2 на тп2 — eqaF, а тем самым № на № — egcrF, с расстановкой матриц у" на концах всех произведений симметричным образом:

2 (/——公)鹭(/ ")=

dM Mi-eqop\m~V~2 M^-egoF^XT) 5J X m2

X A式花一x\ 7lf2—eqoF) + контактные члены, (2.19)

Заметим, что мы не позаботились о выделении матриц у ——подразумевается, что матричные множители расставлены в надлежащем порядке.

Поскольку мы ограничиваемся анализом лишь случая слабых полей, выражение (2.19) можно заменить эквивалентным ему выражением

Z>+ (x-xf) Gf (/,花‘)=

=①击了如2(1-蕾)e-“?(；")x

х4(2—z'，〃2一做")+①备)需(1-龄)egFx

X (m—■^Y (4j@) AJr—力‘，7И2) + контактные члены. (2.20)

Чтобы можно было на основании соответствующих физических соображений фиксировать контактные члены, необходимо завершить выкладки, включив в рассмотрение сомножители у^, которые имеются в формуле (2.14). Основное свойство матриц Дирака состоит в том, 4toJ

Y"*Yu = 0J (2.21)

ибо две у-матрицы коммутируют, а две другие антикоммутируют с любой из матриц а. Поскольку мы ограничиваемся эффектами> линейными по полю, из этого свойства вытекает, в частности, равенство

УА+ (花一о/, " — eqoF^ 丫以=—4Д+ (х —力'，№)・ (2.22)

Кроме того, нам нужны две следующие комбинации: 产汕力7出=一2?0(/，(2.23)

?看8A+ (x —/‘，TH2 — eqoF) yu =

=—2ydA+ (ж 一 x\ № — egoF) + 4ydA+ (x —力‘，ТИ) (2.24)

Желательно также вновь восстановить комбинацию 7И2 ——equF* Это достигается применением соотношения

A+Q—а/, №) = А+ (ж—Z, М2 — eqeF) + eqaF -^ А+ (х — х\ М2),

(2.25) получаемого путем интегрирования по частям по переменной М2; при этом никакие вклады от пределов интегрирования, равных /п2 и бесконечности, не возникают. Проделывая все зти выкладки, мы опять придем к функции распространения (2.9), соответствующей теперь переменной массе 7Й2:

^D+ (z — z') Ge (х, х') Yu =

焉 fd胱(1 -济)(4m + 2^ 叩)睇(/ “'，叫 + m2

+击 J T^-(2m + T^-Vn) eg尸Af(z, z', №) +

,+ контактные члены.(2.26)

Формальная матричная запись

М= _1(2.27)

+ ' 丿一(уП)2 + М2 — Ze'，

позволяет нам представить (2.26) в виде

(M + m)2 + 2mMY口—M 十 ie(M + m)2 + 2mMY口—M 十 ieГ дМ / - 絞 \「(М — m)2 — 2тМ

(M + m)2 + 2mM

Y口—M 十 ie

(M + m)2 + 2mM

Y口—M 十 ie

(4л)2(4л)2J k l 丄一经 / L 一Y口 十 m—%

(4л)2

(4л)2

(4л)2 J M M2 “丫口 + 川一Zb ' yll — “+»£_ 十

+ контактные члены,(2.28)

где по-прежнему подразумевается, что произведение матриц сим- метризовано. Физические требования, которыми фиксируются контактные члены, относятся к случаю, когда отсутствует электромагнитное поле. Они находят свое выражение в подстановках 3-0983

и (1.60), хотя мы и сохраняем калибровочно-ковариантный символ л, который в любой заданной калибровке можно отождествить с ?• В результате первое слагаемое в (2.28) заменяется на 焉"(Y口十^户j需h 一济)х

「 2mM2mM

X L 力口 + М —ie —~1 仙一M+珀 一 -l〃・4TJ

Таковы, и ничуть не более, требования феноменологического характера. Дополнительный член в действии, который теперь возникает взамен (1.55), имеет вид

-у j (dx) (dx')屮⑺ ^M 他 公，F)屮(公).(2.30)

гдегде

где

где

m （尸）=一（叩+時姦j礬（1一升

x (M-8)2 丄 т(" + "户.

L Y口十必一记 'Y口-」十

(2.31)(2.31)a ?(’-瑞y 上('+方)2

(2.31)

(2.31)

2л" J0 r L yu+м-6 十 yii二庙十施-

Он складывается с исходным выражением для действия

—4" j('")“(‘)丫'(叩 +7n)2 ⑺，(2.32)

Ограничим наше дальнейшее рассмотрение движением частицы вдали от ее источника. В отсутствие электромагнитного поля величина 屮 в этой области удовлетворяет уравнению

(2.33)(2.33)(叩 + m)屮=0・

(2.33)

(2.33)

Использование этого уравнения при упрощении выражений (2.30) и (2.31) находит свое оправдание в том, что мы ограничиваемся предельным случаем слабого поля. В итоге получим

М (尸)一蚩亲也"『学济哥y =-粉击• ед。凡(2.34)

Комбинируя (2.32) с (2.30) и (2.34), для эффективного действия при рассматриваемых условиях имеем

一^ J （加）w（力产（Yu+^一善豈0尸）W⑺，（2-35）

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАГНИТНОГО МОМЕНТА | 35 откуда видно, что дополнительный спиновый магнитный момент оказывается равным а/2л магнетонов. Выразим этот результат через g-фактор, входящий в действие (3-10.63):

^Ч^^)-(2・36)

Взяв для постоянной тонкой структуры значение

а = 17137,036,(2.37)

т. е.

粉= 0,00116141,(2.38)

получим для величины т/2 g значения, блестяще согласующиеся с экспериментальными значениями этой величины для электрона (1,0011596) и для мюона (1,001166). Небольшие расхождения, вполне значимые, естественно приписать еще не учтенным процессам обмена с участием более двух частиц. Итак, мы приходим к следующему выводу относительно электрона и мюона: для этих частиц g-фактор примитивного взаимодействия не совпадает с экспериментальными значениями величины g; вместо этого мы имеем точное равенство ^Прим = 2.

Наше заключение о динамическом происхождении малого отклонения величины 寸贈 от единицы и о том, что мы не должны приписывать его локальному примитивному взаимодействию, находит дополнительное подтверждение в следующем. Выражения для действия (2.30) и (2.32) устанавливают связь поля 屮 с его источником через посредство модифицированной функции распространения:

屮=G+ (F) Т|,(2.39)

причем

[уП + т + М (F)]G+(F) = 1(2.40)

(мы по-прежнему пользуемся матричной символикой в пространственно-временных координатах). В такой более общей форме записи та часть М (F), которая зависит от поля, т. е. второе слагаемое в формуле (2.31), оказывается нелокальной, так как в нее в качестве составных элементов входят функции распространения [丫口 ± (М——Ze)]-L Если рассматривать это взаимодействие, отвечающее распределенному магнитному моменту, в течение очень малых промежутков времени, что описывается по дополнительности предельным переходом уП-> оо, то асимптотически оно примет вид '

祭呐尸击，(2.41)

обращаясь тем самым в нуль без всяких следов остаточного локального взаимодействия.

Существует еще один способ вычисления магнитного момента, еще более феноменологический, а именно: в исходное электромагнитное взаимодействие мы включим в качестве наблюдаемой величины отклонение величины V2g от единицы. При таком подходе это отклонение определяется на основании добавочной гипотезы о динамической природе эффекта возникновения дополнительного магнитного момента, который подавляется, если ограничиться рассмотрением очень малых промежутков времени. В дополнение к m в уравнение （2.40） дл月 модифицированной функции рас- прострапепия будет входить теперь взаимодействие, обусловленное магнитным моментом, т. е. слагаемое

_&gT）箫"（2・42）

Разумеется, при изменении электромагнитных характеристик меняется и динамический член М （/}. Но при учете только эффектов порядка а/2л всеми добавками такого рода можно пренебречь, ибо опи имеют более высокий порядок малости. Однако на этот раз в соответствии с предположением, что g есть экспериментально установленный g-фактор, мы должны наложить на М （F） феноменологическое условие нормировки. Мы должны добавить к М （尸）кот актный член, который исключал бы зависимость от sneKTpojrarnnTUoro поля при условиях, символически описываемых соотношением уП + /п — 0. Для этого необходимы следующие замены:

[11

yll 士 （m 一饱）f ?й ± （Af二石） 干 M^ m 一

=干 篇£ YH 士力一间•（2.43）

В результате слагаемое, отвечающее полному магнитному моменту, примет вид

2 2m2 2m_ Y口十m—ieyll—M 十3e J J_ Y口十m—ieyll—M 十3e J Jx許设(e)x許设(e)・（2.44）・（2.44）

2 2m

2 2m

_ Y口十m—ieyll—M 十3e J J

_ Y口十m—ieyll—M 十3e J J

x許设(e)

x許设(e)

・（2.44）

・（2.44）

Для очень малых промежутков времени （при уЛ f оо） асимптотический предел множителя, заключенного в фигурные скобки, равен

4"gT-W・ （245）

Если в соответствии с предположением о динамическом происхождении разности Vjg ——1 потребовать, чтобы это предельное выра-

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ | 37 жение обращалось в нуль, то мы вновь придем к полученной ранее формул? (2.36). Принятая здесь точка зрения обладает теи преимуществом, что при таком взгляде некоторые из малых поправок порядка (а/2л)2 оказываются обязанными своим происхождением условию самосогласованности: величина g вычисляется с учетом динамических процессов, которые в какой-то степени характеризуются самой этой величиной. Но здесь мы не будем заниматься усовершенствованными расчетами такого рода.

П;,авд , 「дин из пунктов требует некоторых пояснений. Мы пока еще совсем не упоминали об испускании или поглощеппи фотонов непосредственно источниками, хотя и зпаем, что такие процессы весьма существенны для физической непротиворечивости всей схемы в целом. Дело, конечно, в том, что на вычислении магнитного момента подобные процессы, вместе со всеми присущими им элементами произвола, не сказываются. При соответствующем расчете одно или оба поля 屮 заменяются источником т|, т. е. фактически выражением (уП + т)屮.Поэтому упомянутые процессы не дают никаких вкладов в физических условиях, при которых измеряется магнитный момент, ибо тогда выполняется соотношение 丫口 + m = 0. Но они вызывают изменения некоторых деталей в структуре функции G+ (尸),хотя непротиворечивость описания и требует, чтобы качественно поведение магнитного взаимодействия оставалось тем же, что и прежде.

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

В рамках схемы примитивного электромагнитного взаимодействия для заряженных частиц со спином V2 выше массового порога, т. е. при условии

—/ = 2 > (2m)*—/ = 2 > (2m)*(3.1)(3.1)

—/ = 2 > (2m)*

—/ = 2 > (2m)*

(3.1)

(3.1)

электромагнитный векторный потенциал можно отождествить с эффективным обобщенным источником, испускающим или поглощающим пару противоположно заряженных частиц. Поскольку мы считаем, что частицы не взаимодействуют друг с другом, будем сравнивать вакуумную амплитуду для элементарного процесса

i j (dx) у 2 (z) у>ету“ (х)厶口 (z) ■ (3.2)

с вакуумной амплитудой, описывающей распространение двух невзаимодействующих частиц,

■ 4■口 j (办)屮 g)Y师⑺]2П

=—у j (dx) (dx*> 屮(花)Y°" (%) Л (立‘)Y°屮 Q)・(3.3)

Последняя представляет собой квадратичный член в разложении зкспоненты

ехр 卜 j (dx) (d%‘)％ (x) y°G+ (%—")小(K)L (3.4)

где через т| (/) обозначен интересующий нас испускающий или поглощающий источник, а 屮(£)есть соответствующее поле частицы. Сравнивая выражения (3.2) и (3.3), придем к матрице

Гт)⑺n 3) I呦巾=6估一公)e弁屮儿 (/).(3.5)

Антисимметрия относительно перестановки всех индексов, соответствующая в левой части этого равенства статистике Ферми — Дирака, в его правой части обеспечивается антисимметрией зарядовой матрицы.

Связь между источниками двухчастичного испускания и поглощения описывается квадратичным членом в разложении экспоненты (3.4). Исходное выражение для нее

■^ [t j 闽 @') % (z) y>G+ (к—吟电 3)]2 =

=у j (dx) ... (dxm) ir]2 («m) y°G+ (x'" — x") i% (立”)X

X Th (z) yG+ (x — z')小(%').(3..6)

можно представить целиком в матричной форме:

~Y j(壶)• • •(彰*) Sp [»%(/") % 3) ^G+ (x — xr) iT]a 侬)x

ХП2М fG^(xm-x^、(3.7)

К ней приводит цепочка равенств

П ⑺ М«) = "а &) МаЬЛь СИ =

=—MabT\b ⑺ Т|а (/) = — Sp [Мп О" (/)],(3.8)

в которой учтено, что в интересующем нас случае матрица М перестановочна с антикоммутирующими источниками. Кроме того, использовано свойство цикличности следа произведения. Если ввести затем два эффективных источника, связанных через векторные потенциалы <4% с обобщенными фотонными источниками J亡2, то мы придем к вакуумной амплитуде, описывающей двухчастичный обмен между обобщёнными фотонными источниками:

—^ j (d%) (dc‘)Sp [eqyA{ Q) G+ (x—公)匆丫厶纟(％') 6十(犬一胃)]=

=—у J (d/) (da/)/f (/)Sp[cgY限％ (力一a/)egT\G+(公一花)]4；侬)・ (3.9)

Подставив сюда соответствующие причинные выражения для функций распространения, получим

—у j dwpd^A^ (— к) Sp [eq^{m~yp) eg% (—m —yp')]抬(舟， (3.10)

где 左=p + 炉(ЗЛ1)

есть импульс, которым обмениваются между собой обобщенные фотонные источники. Умножив это выражение на величину

j dakdMz(2n)3&(p + p' — k) = l,(3.12)

для члена в вакуумной амплитуде, описывающего связь, будем иметь

—决 J dM2 do)h 4f (—及)/цл» (用 /^ (左)，(3.13)

где

(*(左)=j ^p dsy (2h)3 6 (p + p‘ - A) X

X Sp【w (m—yp) yv (— m— »)]•(3.14)

Подчеркнем, что символ следа здесь относится только к четырехмерному пространству матриц Дирака. Дополнительный же множитель 2, связанный с зарядовым пространством, выделен в явном виде.

Тензор J^v (А) обладает двумя важными свойствами ——он симметричен по индексам |л и v и удовлетворяет соотношению

""з (盍)=0・(3.15)

Для доказательства симметрии тензора заметим, что

Sp [уц (т — ур) Yv (—т — ур')] = — Sp [^丫^ (—m — ур') X 义 丫口("• 一 YP)丫5】=Sp E (m — у//) 丫口 (—m — ”)].

(3.16) Проверку свойства

厶依)=/vu (助(3.17)

завершает замена в интеграле р на р‘ и наоборот. Для доказательства соотношения (3.15) достаточно воспользоваться равенством

Y左=(YP + ⑺ + (w' -m)(3.18)

и Учесть, что первое слагаемое его правой части дает нуль под знаком следа при умножении на т — ур, а второе — при умножении па ——т ——ip'. Доказанные нами свойства являются необходимыми с физической точки зрения. В частности, соотношение

выражает калибровочную инвариантность связи. Указанными свойствами обладает тензор вида、

小的=& +臨•)，(М)；(3.19)

его форма говорит о том, что возбуждение с конечной массой, испущенное векторным источником, ведет себя подобно частице с единичным спином. Скалярную функцию / (7И2) можно вычислить, взяв след тензора /出”(支)：

3/(M2)= gsG3)=

=j d(^p d(op* (2л)3 ^(p + Pr ^Ц Sp y(m —

—YP) W (— m —”')],(3.20)

где след комбинации матриц Дирака равен просто

Sp [(—4m — 2ур) (—m — у//)] = 4 (4m2 — 2p//)=

=4 (“2 一 2zn2).(3.21)

Остающийся в (3.20) интеграл в точности совпадает с величиной (1.24), так что

• Jm^^kM^^ (1 - ^12.(3.22)

Калибровочная инвариантность связи позволяет выбрать векторный потенциал в виде

"出=备厶伙)=一备川(矶(3.23)

Условие же

к^ 的=0,(3.24)

соответствующее обращению в нуль дивергенции источника, позволяет представить вакуумную амплитуду в следующей форме:

Z 轰 j 體(1 + 謂)(1 -祭广个(一向以3Mli (")• (3.25) В интеграле

(3.26)(3.26)J Jf (—期 idshJ2a (田=j (d%) (d/‘)J^ Q) XX p j d(o& exp [次(/—%')]]厶卩力‘)

(3.26)

(3.26)

мы узнаем величину, описывающую причинно-упорядоченный обмен источников возбуждением с массой М. Необходимая пространственно-временная экстраполяция достигается путем введения функции распространения А+ (х —— 力‘, М2). Складывая полученную связь со связью, обусловленной обменом фотоном^

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 41 придем к следующей модифицированной фотонной функции распространения:.

D+ (/一吟=D、@ 一公)+

+ 嘉 j 零•(1 +零)(1 -筹产 Mi"). (3.27) (2m)2

В импульсном пространстве она имеет вид

■fj /т \1 I a f dAP /2m2 \ ,

2 (用=—庐—艳J "zP" С + M-) x

(2m)2

-X (1-需)及而先^.(3.28)

Поскольку интеграл по М? оказывается всюду сходящимся, мы распространили область интегрирования от порогового значения (2m)2 до бесконечности.

Мы проводили расчет для частиц со спином V2, так как это соответствует важному физическому случаю заряженной частицы с минимальной массой ——электрону. Но не менее интересно проследить и за параллельными вычислениями для заряженных частиц со спивом 0. Заметим, что при учете только двухчастичного обмена заряженные частицы различных сортов дают аддитивные вклады в функцию D^ (左).Примитивное взаимодействие в случае спина 0 приводит к вакуумной амплитуде

i j (dx)屮(x) eq ~ 卽屮⑺ /^ (с),(3.29)

которую следует сравнивать с комбинацией

T D J ^^ к ⑺屮⑷]2 = - ^ j (d力)(女‘)中⑺ к (/)к (力’) Ф 3)，

(3.30) Это дает

近(х)'К侬')|о41ф=ед [Ли-同十川(х')]^-д^(х — х')(3.31)

гДв симметрия левой части, свойственная статистике Бозе — Эйнштейна, согласуется с симметрией правой части. Двухчастич- ны立 обмен описывается выражением

鼾i J (dz)(改)К^ Д+ (% - У) К2 (% 了 =

«-^- j (dx) ... (dx'") Sp [iK] (a/) A\ (z) △+ (z —%') X

X 近2 3) & (俨)A+ (俨一吟],(3.32)

в котором след берется по переменным зарядового пространства и в которое нужно подставить эффективные источники (3.31).

В целях упрощения записи мы представим эту связь в виде выражения в импульсном пространстве, соответствующего наличию причинной упорядоченности. При этом используется следующий эквивалент источника (3.31):

近(р) К S') %фф = iK (—Р') К (—р) |эфф =

=也(р — р')”“(回，(3-33)

откуда ясно, что мы имеем дело с противоположно заряженными частицами. Вакуумная амплитуда равна

—} j dsp 蟲у4扌(—^) Sp [eq (p— p'^eq (p— P%]厶"向—

=-е? j dAT dakA^( _ 用 /心(k)期(旬，(3.34)

где теперь тензор

厶V 依)=j d®p d” (2n)3 d(p + p'~k) (p—pz)n (p— p')v (3.35) очевидным образом симметричен по индексам ja и v, а также обладает необходимым свойством калибровочной инвариантности (3.15), поскольку

衣(Р — Р‘)=» — Р‘2 = 0.(3.36)

Скалярный множитель выражения (3.19) оказывается равным

/")=4■备阳中-器产(3・37)

так как

(р 一 р，)2 = М2 - 4т\(3.38)

Итак, модифицироваиная фотонная функция распространения, в которой учитываются только заряженные частицы со спином 0, имеет вид

8

°+3)= 必—з + 1^7 J ~1F"(I^)加2十必2—记，(3.39)

2m)2

Для модифицированной фотонной функции распространения можно указать ряд прямых применений. Прежде всего она позволяет решать динамические задачи с использованием выражения для вакуумной амплитуды,

(0+J 0./ — exp [ t ^ j (d%) (dd) /£(况)步+ (%— *') J\i (%')], (3.40)

которой определяется вероятность возмущения вакуумного состояния, дополняющая до единицы вероятность его сохранения. В случае слабого обобщенного источника отсюда получается следующая вероятность испускания источником одной пары:

I〈0+10_/р = 1-j 咼*(舟*Im瓦(")几(")，(3.41)

где в случае спина х/2

—依="2 >(2号：Im力+ (句=等备(1 +普)(1 一猾广.

(3.42)

Таким образом, для вероятности испускания пары имеем

告j器• £( 1 +翁)(1 -謂户F(")*人(取(3・43)

Этот результат можно получить также из амплитуды (3.2) путем непосредственного расчета.

Как явствует из соотношения

尸 3)* guJ” (fc)=尸(")* (guv + 备 &底)尸(句=

=%1嘅几(用产，(3.44)

квадратичная комбинация источников в формуле (3.43) положительна. Кроме того, данное соотношение свидетельствует и о том, что в системе покоя вектора 乃 две частицы обладают единичным угловым моментом. Это позволяет в какой-то мере объяснить различие между результатами, полученными в случаях спина х/2 и спина 0. Для частиц со спином х/2, которые рождаются почти покоящимися, единичный угловой момент может быть реализован в 35-состоянии, отвечающем нулевому орбитальному моменту. Вероятность перехода вблизи порога будет изменяться как относительная скорость частиц, т. е. пропорционально (М ——2zn)i/2. Для бесспиновых же частиц равенство углового момента единице вынуждает их рождаться в P-состоянии орбитального момента, причем вероятность перехода содержит две дополнительные степени относительного импульса и вблизи порога изменяется как (М — 2тп)з/2.

Введение модифицированной фотонной функции распространения означает, что изменяется взаимодействие покоящихся зарядов —нужно изменить кулоновский потенциал. Кулоновская

44 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I - функция (2-3.92) заменяется теперь на

至(х) = j d^D+ ⑷—

4门 I k I14njx[4门 I k I14njx[а Г d“2 /2m2 \ / - 4ma \ Va exp ( —M | x |)

4门 I k I

14njx[

4门 I k I

14njx[

3iT J4л |x|=

(2m)2

+ 京产一Gexp [ - 万 J , (3.45)

где при переходе к последней строке введена переменная

—器广(3.46)

Соотношение (3.45) показывает, что интегрирование по времени превращает четырехмерную функцию Грина в трехмерную, а именно в функцию Грина дифференциального оператора ——V2 + М2. Выражение для нее можно получить, например, подстановкой в интеграл (3-14.35) значения р° = 0. На расстояниях, удовлетворяющих условию

2m |х I > 1,(3.47)

кулоновский потенциал не претерпевает сколько-нибудь существенных изменений. В другом же предельном случае имеем

2zn|x|《l:彥(х)=#[1+^(1п击一С —^)} (3.48) где‘

С = 0,57721...(3・49)

есть постоянная Эйлера. Появление добавочного логарифмического члена при этих условиях обязано своим происхождением интервалу интегрирования по М

I х Г1 > М > 2加，(3.50)

в котором интеграл (3.45) сводится к 2 j dM/M. Выражение (3.48) получается в результате разбиения всего промежутка интегрирования такой точкой, в которой М удовлетворяет неравенствам (3.50).

Эффект, рассматриваемый нами, называется обычно поляризацией вакуума. Он приводит к увеличению интенсивности кулоновского взаимодействия на малых расстояниях. Правда, при всех достижимых расстояниях это возрастание оказывается чрезвычайно малым. Так, при 27n ] х | 〜10~3, что для массы электрона

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ У 45 соответствует приблизит ел ьно расстоянию 10"14 см, увеличение интенсивности взаимодействия составляет около 1%. Поскольку зависимость эффекта от расстояния логарифмическая, этот порядок величины не может быть существенно изменен никакими мыслимыми достижениями в области экспериментальной техники. Чтобы увеличить интенсивность взаимодействия на 10%, нужно приблизиться на расстояния около 10~37 см! Да к тому же задолго до того, как такие расстояния будут достигнуты, ситуация качественно изменится из-за возрастающей роли частиц, более тяжелых, чем электрон. Несмотря на их малость, эффекты, обусловленные поляризацией вакуума, можно обнаружить уже при существующем состоянии развития экспериментальной техники. Проще всего случай атомов водорода, в которых из-за усиления притяжения между электроном и ядром снижается энергия состояний с нулевым орбитальным моментом, поскольку в них электрон вполне ощутимое время проводит вблизи ядра.

Чтобы вычислить изменение энергии взаимодействия, можно воспользоваться простой теорией возмущений для

67 (х) = — 2置 纟)(х),(3.51)

где через ЬЗ) (х) обозначена разность между «25 (х) и

切(х)= *・(3・52)

В состоянии с нерелятивистской волновой функцией 屮(х), которую можно применять при условии Za《1, имеем

6Е = j (dx) 67 (х) I 屮(х) |2 ^―4jrZa］屮(0) |2 j (dx) 6炒(x).(3.53)

Здесь учтено то обстоятельство, что возмущение играет заметную роль лишь на расстояниях, малых по сравнению с размерами атома. Необходимое в данной формуле интегрирование эквивалентно вычислению предельного значения функции 6°+ (Л) для нулевого импульса, и поэтому

j(^WW = ^ J鵠"需)(」需宀

f曲决(1一之标)=亲_々.(3.54)

л (2m)2 J \3/15л M' 丿

о

Мы должны рассматривать только s-состояния. Для главного квантового числа п имеем

1Wns(0)1=£ (学■吟,1Wns(0)1=£ (学■吟,(3.55)(3.55)

1Wns(0)1=£ (学■吟,

1Wns(0)1=£ (学■吟,

(3.55)

(3.55)

46 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

так что

3%s = —-^г；： т,(3.56)

ИЛИ

bEns8 2匕3/о 6

причем в последней формуле сдвиги отнесены к боровским значениям энергии. Здесь мы не будем вникать в детали этой проблемы, поскольку из дальнейшего станет ясным, что рассматриваемый эффект весьма мал по сравнению с другим эффектом, благодаря которому s-состояния смещаются в противоположном направлении. О существовании поляризации вакуума приходится судить по результатам количественного сравнения теории с экспериментом; если допустить, что поляризации нет, то останутся малые, но значимые расхождения с экспериментальными данными.

В свете сказанного чрезвычайно интересно то, что имеются экспериментальные данные, прямо указывающие на явление поляризации вакуума. Речь идет об измерениях ^-фактора электрона и мюона, в которых обнаруживается небольшое расхождение

4" g^—^" ?е = 0,66 • 10-5.(3.58)

Отклонение величины ^zg от единицы обусловлено процессами обмена фотонами и заряженными частицами, каждый из которых описывается соответствующей функцией распространения. Подставляя D+ вместо /)+, мы должны учитывать и более сложные обменные процессы, в нашем примере ——трехчастичный обмен. Асимметрия между электроном и мюоном возникает благодаря тому, что в добавке 6Р+ доминирующую роль играют процессы поляризации вакуума с участием легкого электрона. Масштаб для наиболее существенных актов обмена задается массой каждой частицы. Поэтому тяжелый мюон оказывается более подверженным влиянию явлений поляризации вакуума. С кинематической точки зрения безмассовый фотон и электронно-позитронные пары с массой М《т^ не различаются сколько-нибудь существенно, и в таком приближении модифицированную фотонную функцию распространения в случае мюона можно считать равной

方+б)~占口+筹J券下 (3-59)

Пределы интегрирования фиксируют область значений М. для которой можно повторить простые рассуждения, проведенные в связи с выражением (3.48). Возникающий здесь множитель

(3.60>(3.60>-.2а ,叫I

(3.60>

(3.60>

1+而e元"

служит мерой превышения величины ^zg^ над г/&:

可gu 一方ge〜苏丽1П« =

=1.16.10-3 х 0,825.10-2 - 10-\(3.61)

что качественно согласуется с экспериментальным результатом (3.58). Несколько позже в этом параграфе будет проведен более точный анализ, в котором найдет свое доп о л нител ьно е подтверждение интерпретация различия между gg и ge как эффекта, обусловленного поляризацией вакуума.

Но сначала вернемся вновь к члену в вакуумной амплитуде, описывающему связь [формулы (3.13) и (3.19)]:

一32]期2/("2)皿/(一用®"编•)弱("),(3.62)

и преобразуем его так, чтобы калибровочная инвариантность выступала в явном виде. Для этого введем напряженности поля

^nv (论)=放M!v (后)一济v^v (论)(3.63)

согласно соотношению

一扌岁(一а)%,(舟=м?*(т)(guv+给)期(出.(3.64)

Результат, который получается из (3.62),

м j 箒 / m(-4-)^v(-*)f 如/2з(*),(3.65)

допускает непосредственную пространственно-временную экстраполяцию. Соответствующее выражение мы представим в виде некоторого действия:

j dMzM2a "2)( 一扌)j 画 @，)F^ ^ X

X[A+(% —况\ М2) + конт. чл.] Fuv(^),(3.66)

где

M2a /)=普/(m2)=金(1+得)(1-需广(3.67)

(последняя форма записи отвечает случаю спина ^厶).Указанный здесь контактный член необходим для сохранения физического

условия нормировки —— действие, отвечающее фотонам (/с2 = 0), не должно изменяться. Это достигается использованием комбина- дии

A+(Z -d, "2)一击3(2一2，)=击＞a+仅一"m2),(3.68)

или, в записи в импульсном пространстве,

iL- = — Je!(―(3 6。) /十加2—花ар女2由2+w2一加.

Таким образом, более полное выражение для действия электромагнитного поля имеет вид

W= j (麻)!＞ ⑺ / (Х)-± 严V (幼 ％ (叨一

-j dM2a (“2)( _ }) j (加)(d±，)决歹2 Q) *

X a+ (2 - 2'，m2)纵%V 3).(3.70)

Локальность, необходимая для того, чтобы можно было определить функцию Лагранжа, вообще говоря, уже не имеет места. Но если рассматриваются поля, которые мало меняются на интервалах ИМ V 1/ (2тп), то выражение (3.70) можно упростить, подставив в напряженности 胃 вместо х\ Тогда, с учетом равенства j ddA+ (z _公，“2)= A+ 伯=о, “2)=备， (3.71)

а также соотношения (3.54)

f 墻-a(Mg展V»(3.72)

(2ш)2

мы можем заменить последнее слагаемое в действии (3.70) величиной

一爲备 j (没)(一})挟胃V (z) 经"V (z).(3.73)

В рассматриваемом пределе существует функция Лагранжа

£= —4•[胃 v”v-备扌决砂 va/；v]・(3.74)

Ей соответствуют следующие модифицированные полевые уравнения Максвелла:

(1+备$冴)％歹^位)=戸位).(3.75)

Точное решение этих уравнений было бы бессмысленным занятием, так как они справедливы лишь при условиях, когда ＞《т?.

Поэтому с точностью до калибровочного члена мы ограничимся приближенным решением вида

лн(^)=(1-ч^^52) J m^(^-^)^(и^

=j (dOD+(z —公)几(У)+搐青几3)・(3.76)

Тогда для действия W получаем выражение

W = ^^ 0况)产(х) % Q)=

(3.77)(3.77)=} j (d况)(d况‘)J"(况)D+ (胃——吟儿(/')+j (汲)(况)儿(叫

(3.77)

(3.77)

которому соответствует модифицированная энергия взаимодействия двух стационарных распределений зарядов и токов

(3.78)(3.78)$ = _ j (dx)(改)片(x)炒(X-x') J如(X') -1"I^i■亲 J (dx)片(X)/加(X)，

(3.78)

(3.78)

Дополнительный контактный член в энергии воспроизводит полученный ранее результат (3.53) и (3.54), отвечающий случаю двух распределений заряда с плотностями Ze6 (х) и —е | 屮(х) |2. Оправдывается данный подход как раз незначительным изменением последней плотности заряда.

В общем случае полевые уравнения, которые получаются из действия (3.70), приводят к модифицированной функции распространения

(3.79)(3.79)& （况）=J（d况'）0+ （况一%‘）儿 3）+ 醯九（况）,

(3.79)

(3.79)

удовлетворяющей условию

胪[1—/ jd№_^^p+(")=l.胪[1—/ jd№_^^p+(")=l.(3.80)(3.80)

胪[1—/ jd№_^^p+(")=l.

胪[1—/ jd№_^^p+(")=l.

(3.80)

(3.80)

Таким образом, теперь мы получаем

(3.81)

вместо прежнего выражения [формула (3.28)]

(3.82)

4—09RR

Последнее можно снова получить, оставив только первые члены в разложении дроби, фигурирующей в формуле (3.81). Благодаря тому что при выводе модифицированных полевых уравнений мн пользовались принципом стационарного действия, нам удалось точнее учесть изменения в характеристиках распространения, обусловленные явлениями поляризации вакуума. Кстати, именно в таком контексте и обретает свой смысл подобная терминология —— модифицированные полевые уравнения можно представить в форме уравнений Максвелла с некоторым добавочным током в областях, где поля претерпевают резкие изменения. В соответствии с физической картиной, лежащей в основе всего нашего рассмотрения, должно существовать представление функции распространения (3.81) в виде (3.82), но с другим положительным весовым множителем:

》+(〃)=二占+J如2川丁(3・83)

Функцию А (М2) можно найти путем сравнения мнимых частей в точке —А:% = М2, используя соотношение

=尸+ 沅3 (М'2 —"2).(3.84)

Тогда мы получим величину

「一М2P j dM'^ ^.^-^ + [ПМЧ (Л/2)]2

которая положительна.

В качестве не слишком радикального упрощающего предполо^ жения примем, что в а (М2) все добавки вида (2т)2/М2 пренебрежимо малы, т. е.

脐：＞(2加)2： a(〃2)^ 蚩亲•(3.86)

Тогда необходимые интегралы вычисляются совершенно элементарно:

部 fl 导 In + 1) ,(3.87)

J加2 十初2一比3Л 、 4m ' / '''

M2P ((3.88)

В случае отрицательных значений к2 + 4т2 в формуле (3.87) к ним следует подходить из нижней половины комплексной плоскости, что соответствует правилу обхода полюсов, которое находит свое выражение в записи &2 ——ie. В результате логарифм приобретает мнимое слагаемое — гл, согласующееся с наличием мнимой части Е (—М2) а (М2) у величины, стоящей слева.

Такой упрощенный вариант дает

房（舟=房（舟=1点一舱1点一舱I-晶 m(W+，)I-晶 m(W+，)(3.89)(3.89)

房（舟=

房（舟=

1点一舱

1点一舱

I-晶 m(W+，)

I-晶 m(W+，)

(3.89)

(3.89)

И

万+(")=』-

广m-亲m(卷一)T +『)}'(396

十京J 一^H庐一Ie• 9・”U)

(2m)2

Действительно ли эквивалентны эти два выражения? При решении этой математической задачи лучше всего рассматривать 加纟 как комплексную переменную. Функция (3.89) имеет полюс при 胪 = 0 и точку ветвления при / = — 4 /п2, причем обе эти особенности надлежащим образом представлены и в формуле (3.90). Но у функции (3.89) есть также полюс при

(3.91)(3.91)*2 = 4тп2^ехр (学■) — 1] 7

(3.91)

(3.91)

который не содержится в (3.90), поскольку он является нефизической особенностью при пространственно-подобном значении 乃. Это чисто математическое противоречие, несущественное с физической точки зрения； Как и в случае функции (3.48), значения импульсов, или расстояний, при которых логарифмический мно житель может скомпенсировать малую константу а/Зл, лежат неизмеримо ниже всякого физически мыслимого уровня. Для всех физических целей функция распространения (3.89) и ее более точное выражение (3.81) оказываются корректными, без каких бы то ни было ограничений на рассматриваемые физические процессы. У нас здесь нет никаких причин полагать, что формальное противоречие обусловлено чем-то иным, кроме физической незамкнутости схемы, которая выявляется при слишком уж неправомочной экстраполяции. Кстати, фотонная функция распространения (3.89) дает указания и на более общую формулировку асимметрии между электроном и мюоном, проявляющейся в различии их ^-факторов,——к ней приводит замена

1п-^--> .(3.92)

1 —l 1П ——Зя те

Это обстоятельство действительно представляло бы собой самый важный аспект эффектов высшего порядка, если бы логарифм был большим числом, однако In (т^/те) — 5,3.

Последнее замечание возвращает нас к проблеме улучшения оценки (3.61). Для этого следует отказаться от сверхупрощающих предположении, приводящих к представлению (3.59), в котором полностью препебрегается массами электронно-позитронных пар. Мы должны вновь повторить расчет, проведенный в § 2, заменив теперь фотонную функцию распространения D^ (ж — а/) на Д+ (х — а/, АГ®), а затем взяв интеграл по спектральному распределению величины М，2, входящей в модифицированную функцию распространения А (ж — ж7)- Непосредственные кинематические изменения в комбинации (2.17) определяются подстановками

2ЛР *(&У‘)

И

。-笳(中)(中)了=

=j dun (“2—4占)，(3.94)

где мы использовали значения интегралов (1.23) и (1.32). Замена тп2 на т? 一 eqop вновь объединяется с подстановкой М2 f М2 —— —eqoF. Но, вместо того чтобы изменять комбинацию 1 —(加〃“， по способу, вытекающему из рассмотрения (2.19), теперь мы должны пользоваться подстановкой (3.94) и разложением, отвечающим случаю слабого поля:

Т(М-4■-告)+^egF3("2—^-告).(3.95)

В результате комбинация (2.20) переходит в 7(4")2(1)%(2：一疗，m2)G，(z, m)=

j dMdun (6一 "2+^」"".Y(4~) a) Д+(2-z'，Mz - equF) + + J dM^duS二^~egF (加一”范忆二”入(4) б)^^-^,"2)+

+ j dM2 dux\eqaF ^У^^^' Y (4")办+ 位一公，"叽(3.96)

где ради упрощения записи перенесены в левую часть некоторые общие множители и опущены одинаковые аргументы у ступенчатой функции т] и у дельта-функции. Проводя выкладки по тому

ясе образцу, что и при получении (2.26), теперь будем иметь

—i (4л)2 у»А+ (n— а* М2) G+ (ж, 土‘) у» =

=J dM2dudeqaF〔4m + "'十^；一"'工^" yll] А： (ж, ж\ М2)—

-J dM2du^eqoF-^^^-?ПА^ (х, М, Л/2),(3.97)

где представлены лишь члены, явно зависящие от поля. Входящую сюда ступенчатую функцию можпо превратить в дельтафункцию, проводя интегрирование по частям, при котором возникающий внеинтегральный член обращается в нуль:

j duT)=(u —1)т)|*+j du(u —1) (-J(二：户)6・(3.98)

К эффективному зпачепию связи, включающей зависимость от поля и соответствующей величине 屮,которая удовлетворяет уравнению (2.33), мы придем, произведя подстановки

?П->-т, А£= ма」(”)з — Um「 (3'99) Зависимость М2 от параметра и определяется дельта-функцией, которая дает

+■ (3.100)

В результате получаем следующее выражение для коэффихщента —(а/2л) (l/2m) eqcF в эффективном действии:

11

2 ( dq /(匸,:b% f duu(1 -u)Т2从z二万二

J(1—14)2 十 X»弘J* L 1 — U-\- Л14 (1 —14)® AU

оо

I —壮+入小"I/о 101)

(3.102)

Оно было получено путем лишь алгебраических преобразований. Но отсюда видно также, что подынтегральное выражение во втором слагаемом представляет собой полный дифференциал функции

. u(]-a). 1 (1 - "尸+71a

1十(%十1)a1十仇一1) u

обращающейся в нуль на конпах интервала интегрирования. Тогда, в случае фотона, рассматривая возбуждение с массой ЛГ,

54 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I вместо единицы можно подставить выражение

2 ( dun七^工 ・(3.104)

о

При грубом анализе, который приводил к оценкам (3.60) и (3.61), этот множитель мы заменяли единицей при Mf <тп и нулем при М' >т. Теперь же он объединяется с весовым множителем

+ 2= 2(3/05)

Зя М 2 \1 М 2 ) \М，2 /• л1 — m ，\，

фигурирующим в формуле (3.28), где

(3.106)

а тг ——масса заряженной частицы, которая дает вклад в поляризацию вакуума. В результате мы приходим к двойному интегралу

^ j duu(l —u)2 J dvv2 (1 —^ №)Xоо

(1 —и)2 (1 —Р2)+^—— J и(1 —и)2 (1 —Р2)+^—— J и(3.107)(3.107)

(1 —и)2 (1 —Р2)+^—— J и

(1 —и)2 (1 —Р2)+^—— J и

(3.107)

(3.107)

Отметим, что вклад поляризации электронного ^вакуума в ge и вклад поляризации мюонного вакуума в g^ одинаковы, поскольку для них тп‘ = т. Асимметрия же возникает благодаря различию вкладов поляризации электронного вакуума в g^ (m‘ = wie, т = mJ и поляризации мюонного вакуума в ge 阮'=тпи, т =电).В последнем случае большое отношение масс позволяет упростить интеграл:

赛(^)2 卜“(1)子觎2(1 -m)=務(詣 广 (3.108) 0 0

Этот эффект чрезвычайно мал. При приближенном анализе случая тЧт = Ше/т^《1 преобразуем интеграл (3.107) к виду

2a Г

3JT J о

duu

f 近， 2—(1_叫 —(1—峭)2

]—)+(*)^

(3.109)

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 55 и пренебрежем величиной (2те/т^2 всюду, кроме первых трех членов. Проводя интегрирование по переменной 么 получим 筹卜叫m(箒生)一百=筹(m^-翁)(з.11О)

О

и в результате вместо (3.61) будем иметь

11а 2а /]%25 \/о а лл\

Желательно улучшить эту оценку, сохранив члены порядка те/т^ что вполне можно сделать. Такие члены возникают из-за того, что при значениях и, близких к единице, в области с размерами ~т』т» величина ^те1т^ и/ (1 — и)2 уже не является малой. Один из способов их вычисления —— выполнить сначала интегрирование по р в формуле (3.109):

兼!产吐T十 " ( 1 一扌叫(1 +呼2 In需罔], ・(3.112)

где

(3.113)

Затем нужно разбить область интегрирования по и на два промежутка, в первом из которых величина х всюду мала по сравнению с единицей, а во втором может принимать большие значения, но и столь мало отличается от единицы, что справедливо дифференциальное соотношение

〃〜1: du^—^-手.尸 (3.114)

Преобразовав далее два члена так, чтобы исключить произвольную точку сшивания, получим следующую добавку (к 3.110): 祭詣j黑#宀盘+(;#):口+力^党蒙芬].

(3.115)

Проводя интегрирование по частям, будем иметь

3“％ 产 2 & 十"2 尸/—([ + 叫(З.МЬ)

Вводя снова вспомогательную переменную р, мы для коэффициента при комбинации (4а/л) ijnelm^ получим

ОО 11

{ ^ j 彰厂；；?/ =?) do(l-呀/2 =告・(3.117) о о0

В итоге (3.111) заменяется следующим более точным выражением:

41 а 2а /[ W 25 . 39 те \ /о 才才力、

Если воспользоваться численным значением

1П-?—4+4 絞器=3,285,(3.119)

то вместо оценки (3.61) будем иметь

■^ g“ 一扌 ge = d, 161 • IO')(5,085 • IO"3) = 0,590• 10-®. (3.120)

Общее согласие данного результата с последним экспериментальным значением (0,66 ± 0,03) ИО-5 убедительно свидетельствует о том, что основной вклад в рассматриваемый эффект дает поляризация вакуума. Относительно же реальности имеющегося здесь расхождения заметим, что, помимо всевозможных малых поправок типа (3.92) (к этому вопросу мы, по-видимому, еще вернемся в следующих главах), существуют не учтенные нами физические процессы, в которых, помимо электрона и мюона, участвуют другие частицы. Так, например, л-мезон ненамного тяжелее мюона, и он может давать существенный вклад в асимметрию. Этот эффект можно оценить, заменив весовую функцию (3.105) величиной, соответствующей спектральному представлению (3.39) для частиц со спином 0:

=(3.121)

12л М 2 \ М / 6л1—г2''

Тогда вместо интеграла (3.107) будем иметь

?11

<<-Д- f dug (1 — q)2 f du р4^~ 2m 12

<

<

3\』3d~)2 ”№)+(*『〃

V看霏)2Jd"(l — u)2 j 初济=論(肃)2.(3.122)

оо

Даже этот верхний предел отличается от величины (3.120) только победней значащей цифрой. Однако при таком расчете совершенно не учитываются свойства л^мезона, связанные с его участием в сильных взаимодействиях. Пара противоположно заря-

§ 3. ФОТОННАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ I 57 женных л-мезонов посредством сильного взаимодействия связана с нейтральным р-мезоном, который обладает теми же квавтовыми числами, что и фотон. Вне сферы действия электрон-мюонных процессов наиболее существенную роль в явлениях поляризации вакуума может играть как раз непосредственная связь фотона с р° (а также с <о и <р). Мы еще не подготовлены к количественному анализу этой проблемы, но все же на пути к ее решению можно сделать один шаг, заметив, что для столь массивных частиц вместо (3.104) применимо более простое выражение

(冬)2》1： 2(»门也(1-")2=我各)2.(3.123)

Добавка к фотонному эффекту, обусловленная сильным взаимодействием, получается путем усреднения (3.123) по распределению тяжелых частиц в фотонной функции распространения. В определении среднего значения обратного квадрата массы мы будем явным образом выделять электромагнитный фактар а/л. Тогда дополнительный вклад сильного взаимодействия примет вид

(T^-tge)№工Вз =羲器(哪一呜〈杀〉•(3424>

Если подставить сюда для прикидки массу р-мезона, то сразу будет видно, что рассматриваемые явления дают существенный вклад в последнюю значащую цифру величины (3.120).

Последнее приложение модифицированной функции распространения из числа рассматриваемых в данном параграфе также несколько выходит за границы области явлений, в которых участвуют фотоны и заряженные лептоны. Нейтральный л-мезон распадается главным образом на два фотона. Некоторую долю распадов составляют процессы с образованием фотона и электрон- позитронной пары, в гораздо мепьшей части событий испускаются две электрон-позитронных пары. Описание соотношений между этими процессами дается модифицированной фотонной функцией распространения.

Эффективная связь для двухфотонного распада пиона 0" сходна с выражением (3-13.75), описывающим двухфотонную аннигиляцию электрон-позитронной пары,——роль квадратичной по полю комбинации 】厶屮(х) уоу51р (力)играет псевдоскалярное пион- ное поле 屮(n)：

%。-2L7 j (&0中(/)(一4•『严V⑺"№), (3.125)

где / ——соответствующая константа связи. Функции поля <р (а) как эффективного двухфотонного источника становятся ясными

58 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

из сравнения величины 2y с

4ф j@)J“® &⑷]2,(3.126)

которое дает

»尸(х) J" (У) I Эфф = /£炉心%3大[8 (х 一吟 ф (力)].(3.127)

Двум таким источникам при их причинно-упорядоченном расположении отвечает следующая связь, обусловленная двухчастичным обменом:

4■卜j (da)(曲/)必任)方十g一吟几以3)][哪巾=

=产 J(d力)@力)中 1 (%)①"8"0+ (力一a')8以%0+(%— M)—

—>4 (%—公)尹。+(X— %')]屮2 3),(3.128)

где использовано соотношение

一犷飞m—就—6您(3.129)

Комбинацию в квадратных скобках удобнее представить как

4 0)2【£ (а—а')]2—尹[万+ (力—Н) 82ag—а/)] +

+ -LD+(X-X，) (>)2 Р+ (力一曲—皆尹力十 3 一吟尹力+(重一力)

(3.130)

К квадратичному по полю действию добавляется выражение, получаемое путем пространственно-временнбй экстраполяции этой связи с учетом требований нормировки массы. Если рассматривается поле вдали от источника, где его поведение в основных своих чертах определяется уравнением

(—> + 呜)屮⑺=0,(3.131)

то эффективный лагранжиан примет вид

—^ [^Ф^иФ + (ml— 1тяу) ф2].(3.132)

Величина (〃2) m^yq? здесь представляет собой дополнительный член, записанный в приведенной форме. (Изменение величины т^ исключено нормировкой массы.) Эта величина характеризует нестабильность частицы. В случае слабой нестабильности

?《飞:喝一йn“ур (%-^Y)2(3.133)

и поле, соответствующее частице, в ее системе покоя изменяется во времени по закону

(3.134)

Отсюда видно, что константу у, обратную среднему времени жизни, следует отождествить с полной скоростью распада. Вычисляя Т с помощью модифицированной функции распространения。十, можно явным образом выделить вклады всевозможных двухфотонных, однофотонных или безфотонных процессов.

Проиллюстрируем сказанное на примере расчета константы двухфотонного распада. В этом случае следует учесть лишь функцию причем в условиях причинной упорядоченности источников, соответствующей формулам (3.128) и (3.130), мы имеем 3鹭D+ = 0. Тем самым выражение для связи сводится к

4•产j (d*) (d冷尹% 3)屮+ g一疗)f62%3)-

-> ^"产暇 j (da) (da/) ф! (x) [D+(x—x,)]2 <p2 (a) (3.135)

При переходе к последней форме записи мы учли то обстоятельство, что поле, соответствующее рассматриваемой связи, должно будет удовлетворять уравнению (3.131). Заметим теперь, что в соответствии с выражением (1,23), взятым при та — ть = 0, мы имеем

力°>а°‘： [D(x—a')]2=[z J do)ft exp [iA(x—%')]『 =

=i j d”2 j 加也 ds丸，(2jt)3 6 伍+ 火一P) J 22 X

X i J dspexp [iP(2 — 疗)]=^^ J dM^+(£-2‘，“2). (3.136)

При пространственно-временной экстраполяции произведение 屮1屮2 заменится величиной 】%屮屮，и, отбросив множитель i, мы получим выражение для дополнительного действия. Из того обстоятельства, что мы ограничиваемся рассмотрением поля, удовлетворяющего уравнению (3.131), вытекает возможность замены

j (da‘) Д+ (力一У, М2) ф (xf)=

=1Й2-尹一记中(a) f m2-喉—i6 中(а)，(3/37)

Взяв мнимую часть этого множителя, равную шб (М^ — zn^), мы выделим интересующую нас добавку к действию

'忐■福"И @)2®怡(3'38)

что дает

卜=念"m^

(3.139)

Соотношение скоростей процессов с образованием одной и двух пар можно быстро оценить путем упрощенных рассуждений типа приведших к формуле (3.59), положив тп в качестве верхнего предела для масс электрон-позитронных пар. Поскольку лере* множаются две функции распространения, скорость распада приобретает множитель

毒 Е*)2.(3-140)

Им и определяются относительные скорости процессов с образованием одной и двух пар:

Z〜攀.In生,’ z〜伊 in ⑺ 2.(3.141)

Теперь мы проведем более точный расчет отношения у7у. После подстановки общего выражения (3.83) для функции распро* странепия следует выделить вклады с одной функцией D+ (а — а') и одной функцией Д+ (а — а/, М/2). Имея в виду, что операторы 52, действие которых можно отнести к полям, заменяются множителем 7Пл, эффективную комбинацию (3.130) для рассматриваемых процессов запишем в виде

У J dM,^A (m")("一m空)2°+ 位一公)△+3-廿，m，2).(3.142)

Эти произведения функций распространения таковы:

0+(①-%')A+(立—х\ m'2)=

=f j dM^ dto 也 d&p (2 л)3 6(% + p — P)| a ^x

X i j d(Op exp [iP (x—公)]=

=焉 J djf2(l —給)A(z—" “2),(3.143)

где использовано значение интеграла (1.25). Из сравнения с результатами предыдущих вычислений для искомого отношения получаем

時

•^■ = 2 j d"，24(M，2)(i—警)з.(3.144)

(2me)2Я /

В случае весовой функции (3.67)

А^ = ^^^^}^-^12(3・М5)

интеграл может быть вычислен с достаточной точностью. Нужно лишь разбить промежуток интегрирования на два, взяв значение ”з = М：, удовлетворяющее неравенствам

開《ЛГ：《嗚，(3.146)

что приводит к следующим упрощениям:

У 2a f dM'2，/ I 2 屐 \ (л4唠 \ 1/2 I

亏" = 京 J 而十('十十 (2me)a

(3.147)(3.147),2a f ММ” /л М'2\3

(3.147)

(3.147)

Для вычисления первого интеграла может быть использована параметризация (3.105). В итоге получаем

尹籌(т*4)+警&將Т)=

= ^(1п*Т)，(3圾)

что согласуется с оценкой (3.141). Получаемый таким способом численный результат

^•=1,18.10-2(3.149)

блестяще согласуется с экспериментальным значением, равным (1,17 士 0,04)・10一2. Относительно же у" заметим лишь, что уточненный расчет приблизительно сохраняет простое соотношение, вытекающее из (3.141):

(3.150)(3.150)^。传

(3.150)

(3.150)

ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ .

В начале данной главы мы отмечали, что, хотя модифицированные функции распространения имеют очень важное значение, они все же не обеспечивают полного описания процессов многочастичного обмена. Когда речь шла о примитивном взаимодействии и процессах взаимодействия, порождающих модифицированную фотонную функцию распространения, мы указывали, что наличие таких процессов взаимодействия приводит и к другим следствиям, которые описываются модифицированными электромагнитными ■связями. Теперь мы перейдем к подробному рассмотрению этих вопросов.

Примитивное взаимодействие для частиц со спином 0 отожде^ ствляет электромагнитный векторный потенциал

4 tl (舟=D+依)Ju (舟(4.1)

с эффективным источником испускания двух частиц [формула (3.33)]

^2(Р)马 S') I афф = eg S — р'}^А^(4.2)

при условии, что выполняется соотношение

-依 >(2咽(4.3)

означающее, что превышен массовый порог. Соответствующие противоположно заряженные частицы рождаются в условиях, которые отвечают отсутствию взаимодействия между ними. Однако с течением времени эти частицы могут вступать во взаимодействие по схеме, изложенной в гл. 3, § 12 при анализе рассеяния. Рассматривавшуюся там вакуумную амплитуду (3-12.83) будем представлять теперь в более удобной форме, содержащей многокомпонентные источники в зарядовом пространстве:

м"! J daPi d% 6/% 眺咨(一Pi)陷(p2)К2 (呦 а (一р；) X

X(2寸63 + 我一Р2 -£)[一*戮产+若箒产]■

(4.4)

Такая форма записи будет верна при условии, что обеспечивается отбор противоположно заряженных частиц, соответствующий выражению (4.2). После его подстановки связь примет вид

у j dco% dwp/ (2л)4 6 (pj + р[ —к) dM2 da)kKi (— 〃)X

X eqKi (— p；) /"& (乃)+ 廿；j dco% dtop； (2л)4 (pA + p；—泾)X

X 硕亨而)丸衣1 ( — Pi) eq 3 — p^ Ki( — p^ /UV^V (向'(4・5) где'

片=j dcopzd3p$(2n)3 5 5 + p-k) s；⑶严3一py (4.6) И„

小=j ds% dg>； (2w)3 <c (p2 + P；—乃)3 — P^(Рз — P；)v =

=(如+密"靑"y-笳广(4.7)

Выражение для последнего интеграла мы написали, вспомнив, что он уже встречался нам, когда речь шла о поляризации вакуу-

§ 4. ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ | 63 ма для частиц со спином 0 [равенства (3.35), (3.19) и (3.37)]. Заметим также, что вектор тока

产(2)=中1(2)60；尹也(2) (4.8)

в области, предшествующей во времени действию детектирующего источника равен

产 ® = j ^i &«₽/£ ( — Pi) eg y(A—А)И^1( —X) X

X exp[7(pi + p；)用.(4.9)

Следовательно, второе слагаемое в формуле (4.5) имеет вид

X p j dco^exp [/(n 一吟]]几期)=

=Z j (da) (d/‘)产(n) [D+ (x—/') — !>+ (犷一吟"h(n')・(4.10)

Здесь мы узнаем выражение для модифицированной фотонной функции распространения (3.39) в случае частиц со спином 0. Это тот самый механизм, который мы заранее предполагали, обеспечивающий замену D+ на D+ в векторном потенциале примитивного взаимодействия.

Ниже все наше внимание будет сконцентрировано на первом слагаемом в формуле (4.5) и на интеграле (4.6). Вектор, определяемый последним интегралом, должен представлять собой некоторую линейную комбинацию конечных импульсов pf и р^. Перестановка их одновременно с перестановкой р2 и р； приводит к изменению знака у /^ [напомним, что (р；——р；)? = (р工一Р^- Отсюда заключаем, что

» = 3 — P；)"S(“)2, (4.11)

где

S (ЛГ) = j da)p* rfcop，(2л)3 б 飙 + А - 〃) х

、*(p1 + p2)(网+ p；)(办一p；)⑶一区)

=1 А — 4m~2 V/2 /(Pi + P2)(P； + P$) (〃一P；)(P2 —优)\

=(4Л再 I 一 M^ /\(卩1— p2户 m2 -4М / -

(4/2)

В системе покоя, отвечающей вектору к, энергии всех четырех частиц равны 1/2ТЙ, и в процессе вычисления (4.12) интегрирование проводится по углу рассеяния 0 —— углу между векторами р工 =

也 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

—№ — (№—4m2)cos2，~ л—-- cos 0 =

(№—4zn2) sin2 万

=—2(〃2_2欣)j ^―Л~^+4^^- &询

_1(№ — 4zn3) sin2 —

Здесь мы вынуждены констатировать, что интеграл по углам обладает логарифмической особенностью при 0 = 0. Это оказывается -следствием того, что в случае дальнодействующего кулоновского потенциала сечение рассеяния вперед неограниченно. Формализм напоминает нам, что схема примитивного взаимодействия, основанная на представлении о свободных частицах, не может быть реализована полностью, когда частицы заряжены. Здесь мы имеем «еще один аспект инфракрасной проблемы, ибо за неограниченность радиуса действия кулоновского потенциала ответственна нулевая масса покоя фотона. Поэтому можно думать, что данная трудность всего лишь внешняя и исчезнет при учете дополнительных процессов с участием мягких фотонов. Однако пока мы обойдем зту проблему, представив себе, что фотон имеет очень малую, но конечную массу 卩.Вспомнив происхождение комбинации <Р1 — Pl* в фотонной функции распространения, получим, что сингулярный интеграл (4.13) принимает вид

f 峥5 8)1=11n 吃一4m2(4 伍)

」](Af2 — 4лп2) Sin2 E 十炉

к поэтому

о/к 小2〃 4zn2 \ -Va /. 2zn2 \ / М2 —zn2 о\

S("2)=—而Г (1 一寸)(1 ―材)(In』一_2)-

^0.15)

Внимательно посмотрев на первое слагаемое в формуле (4.5) после подстановки в него выражения (4.11), мы увидим, что и в нем присутствует векторная комбинация, совпадающая с током (4.9). В итоге это слагаемое может быть представлено в форме

.а j,,9 / 4 4m2 \ -1/2 / .2 \ М2 — 4m乞

X j @r)(彰/)产(n) p j dcoh exp 您(/ — /')]] 4(%)(4.16)

Однако до пространственно-временной экстраполяции, которую мы должны теперь осуществить, следует остановиться на одном

пункте, касающемся калибровочной инвариантности полученного выражения. В рассматриваемых условиях причинной упорядоченности источников оно действительно калибровочно-инвариантно, так как.

&U 卅(с) =04 (Р1 — К) = 0].(4.17)

Но это свойство существенно связано с кинематикой свободных частиц и не сохранится после проведения пространственно-временной экстраполяции. Следовательно, мы должны переписать выражение (4.16) таким образом, чтобы обеспечить его калибровочную инвариантность в общем случае, не прибегая к рассмотрению причинных связей. Возвращаясь на мгновение к импульсному пространству, заметим, что комбинация

备 ^-g^)^ (Ji)=A^k)^ [^Mv(*)] (4.18)

отличается от Л ц (友)лишь калибровочным преобразованием и векторный потенциал в формуле (4.16) можно заменить этой величиной. Такая замена соответствует подстановке

& ⑺ fj^ а"尸uv ⑺，(4.19)

после которой выражение, получаемое путем пространственновременной экстраполяции величины (4.16), принимает вид

-i J ^-im^ (d^j^^^x-x', M^d^F^x'), (4.20) (2m)2

где введено обозначение

〃吁言(」需)"謂)33-2)，(4.21)

Ту часть действия, в которую примитивное взаимодействие входит в комбинации с двумя только что вычисленными поправками, порождаемыми вторичными взаимодействиями, можно представить в форме

，(d/) (d公)产(х) /” 估一公)彳v (У),(4.22)

где.

/p.v 3 % ) = А?|1(N '~ %)—

=g11Vsg-O—^Az—gwaz) J 嘗"М2)а+(*_£，，М2), (4.23) хотя эта конструкция и не совсем укладывается в рамки прямой расчетной схемы, включающей модифицированное поле

А^)^ j {dx')D+(x-x')J\x').(4.24)

5—0983

Эквивалентном функции (4.23) в четырехмерном импульсном пространстве служит функция

fa(傍=gy/v+ (“航一gy、2) j л/成依 j*丄浓•(4.25)

Если подчинить векторный потенциал калибровке Лоренца и переписать (4.24) с учетом этого условия, то члены с к业、или —^Ц5У исчезнут и мм получим

九V (初= g^F (例，(4.26)

где

f(乃)=1-打察寻鼻・(/27)

Тогда выражение (4.22), описывающее взаимодействие, примет вид j (&) (d/‘)产(n) F (/—公)A^ 侬)三 j (dx)产⑺］林 4Ml (/)・ (4.28) Такой формой записи подчеркивается, что ток, эффективно взаимодействующий в данной точке с векторным потенциалом, получается путем усреднения с некоторым весом локальной комбинации полей /乩 по всему пространству-времени. Называя функцию F (х — /') или F (А) «формфактором», мы указываем на роль этой функции в создании дополнительного распределения или конфигурации заряда, отвечающего локальному току /^ (х). Следует иметь в виду, что один-единственный формфактор F (田 служит лишь упрощенной заменой тензорного формфактора /gv (论).

Прежде чем исследовать физический смысл формфактора, воспроизведем наши проведенные ранее выкладки для частиц со спином 1/?・ Согласно формуле (3.5), эффективный источник испускания двух частиц, ассоциируемый с электромагнитным векторным потенциалом, имеет здесь вид

•川2(Р)小 S') 1эфф = еуу屮 4 H (%)•(4.29)

Поскольку теперь совершенно ясно, что аннигиляционный механизм рассеяния порождает модифицированную фотонную функцию распространения, мы будем рассматривать только вакуумную амплитуду для кулоновского отклонения частиц. Чтобы представить ее в форме, пригодной для наших целей, проще всего вернуться к выражению для члена взаимодействия у j @) @‘)必⑺ y°y^eq^2 (х) £>+ (х—У)屮2 (吟 Y°*浊侬)(4・30) и ввести поля, отвечающие наличию причинно-следственных связей:

屮t(2)Y°= f d3pi%( —P)Y° (пг —YP}exp( —ipz),

'；(4.31)

屮 1 (z)= — I d©pexp( —ip^；) (—m—yp)ir)i ( —P)

и

屮2(£)= \ dap exp(ipx) (т—ур)訂2(Р),

J(4.32)

也(2)Y° = — J dSpir)2 (p) Y° (—加一YP) exp (ipc) •

Это приводит к такому слагаемому в вакуумной амплитуде:

# у j Ло,] deep； d(Op2 dcop； (2冗)& 6 (p【+ p[—迎一P；)(力二皮戸 X

(4.33)(4.33)(4.34)(4.34)(4.35)(4.35)" X % (-Pi)俨(加一Y科)yM (九一呐)% 3)小 侬)?° X X (—他—丫硝 Y词(—7П — YP；) % (— %) •

(4.33)

(4.33)

(4.34)

(4.34)

(4.35)

(4.35)

Подставив сюда эффективный источник (4.29), получим

^ j d(op, dwp^ (2л)4 6 (рА + р；—向 dM2 dsh x

X % ( — Pi) Y° (加一丫科)eql^ (—m - у") ni(~P；) A (向， где

片=j d(op2 d^2 (2л)3 6 (^2 + p； — *) ?v (m — v^2)评乂X(f— 历)YvW* .

Калибровочная инвариантность этой связи, т. е. соотношение

“厂.=0,(4.36)

является следствием а л геб р аических свойств проекционных матриц т ——ур? и —— 7Р；：

(т~ур^ук(—т — ур^ =

=(т —ур2) [(№ + m) + (vp； — т)] (— m—ур；) = 0. (4.37)

Приведение матриц в /^ осуществляется при помощи проекционных матриц т ——丫尸】и ——тп ——丫卩；，входящих в выражение (4.34). Благодаря их наличию масса т эквивалентна матрице —"г стоящей слева от /匕 и матрице 叫，стоящей справа от J". Учитывая это, а также алгебраические свойства матриц, имеем

?v (他-师)Yn一加一Y砌 № =

=[2内 + (^ + YA) Yv] Тц [2/>2v + Yv (—血 + 丫広)]f

f【2内一丫 (Pi—A) Yv]产[2p2v—Tv? ("—P；)l =

=4P2P；产 + 2Y即Р2? (科一Р2)- 2? (a - p2) yp^-

-2Y 山一m)y?(A -迎)，(4.38)

причем мы здесь воспользовались также соотношениями

«；—広=—(А — Р2), YvYgYv = 2y.(4.39)

5*

равен*(4.45)(4.46)(4.47)(4.48)равен*(4.45)(4.46)(4.47)(4.48)

равен*

(4.45)

(4.46)

(4.47)

(4.48)

равен*

(4.45)

(4.46)

(4.47)

(4.48)

68 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 工

Дальнейшие упрощения таковы:

Y"YP2Y(Р1 —也)=丫呼科丫 (Pl — Р2)+(Р1 — Р2)2 У f

f 加产丫 (Pi—〃) — ^P^(Pi—P2)+ (Pl 〃)2 Y% (4.40)

—Y (Pi — /М YP；YU = —Y(A —Рг) YP；产 + (%—Pj Y“ f

f M(Pi — P“ Y" + 2р?у (pi — P2)+ (Pi — Pa)?們 (4.41)

В результате придем к выражению, которое можно проинтегрировать:

yv(тп—ур2) Vй(—加一YPj Yvf — 2 (M2—2m2)产+

+ 2 3 — 〃)2 Y" — 4тп (и — Р2)" + 4(P；—悶"у (и — Pz)•(幺42) Используя обозначение, введенное в формуле (4.12), теперь будем иметь

'“= 一靑"一搭)"1初2—2硝<^^〉产一产+

+ 2-<та->-2 <>IZ(^(4働

Заметим, прежде всего, что

〈赛需〉…3，(4.44)

поскольку при перестановке импульсов рх и р；, а также р2 近 р； этот вектор изменяет свой знак. Умножив обе части этого ства на 2plg, получим

@= ЛР—4m2，

так как

2Р1 3 — р2) = S — Р2)*

2Pl Si — рЭ = Si — pF = АР — 4m2.

Далее, основываясь на преобразованиях

(p1 一 加)=—У {Y叱 YP1 — YP；} f-讶 时 (y友一2向一

—у (—ук—2тп) у 口 = 2my + будем иметь

2加 < ”賞二兇：)f 小 2, 2 (2?пу + iw%)

、(戸1—р2)3/m2_4;n2I V丿

S 丸 ФОРМФАКТОРЫ I. РАССЕЯНИЕ I 69

Сходный вклад можно выделить из последнего слагаемого в формуле （4.43）:

2 （p，- Р^〈雷三卷〉Ь=萨当就（5 -或"Y 3 -血f

f - X线声（2m"+ M派）.（4.49）

Рассмотрим, дале% равенство

〈吋鹤好吟 5 （g“+需）+，（n—p/（. — p；）v, （4.50） в правой части которого стоит общее выражение для симметричного тензора, не изменяющегося при перестановке рх и pj и обращающегося в нуль при его умножении на &. Свертывая индексы в обеих частях равенства, получаем одно соотношение между b

1 = 36 + （ЛГ2 — 4m2） с.（4.51）

Другое соотношение получим, умножив （4.50） на （рх — р% = =（2网一^）ц*

^ = b + （M2 — im?）c,（4.52）

где учтено, что

<^>=4（^+p*）v-（厶53）

В результате будем иметь

b = W， с =（4.54）

так что

2 / 3 — P2）“（Pi—?2）v \ м 一

=一扌（y"+若»）一^孙」43（PlP；）"Y（〃一E）f

—~T Y“+加2r4m2（2f+ 力巾冗）,（4.55）

где произведена эффективная замена

7% = （YPl+ 加）+（YP； — m） f 0・（4.56）

Объединив все наши выкладки, придем к выражению

/“—/（」需М（…2峭〈^〉—

-4 产一加2r4渭 RS" + i^] •（4.57）

Как и при анализе случая частиц со спином 0, оставшийся интеграл заменяется на

\(Pl -p2产 + 炉 / =京一4Ти2 m ^，口.吗

и в итоге мм получаем

е2/“= -А т7И+ (Ig_ 1) _L /2 (М^) i^kv,(4.59)

где

一九("m

а / л4加2 \ ii/z「/ - 2т2 \ , М2—4m23 , 4加？ 1 〃 йпч

И

信gT%("2)=最(「需广器•(4・6"

Хотя величина 1^ первоначально зависела от каждого из импульсов pi и р； [формула (4.35)], чисто кинематические преобразования привели нас к выражению (4.59), в которое входит только полный импульс к. Поэтому конечные частицы в (4.34) фигурируют лишь в двух локальных комбинациях полей

у 电(с) Y°egy屯(z) = "I J d(Op]"%% (— Pi) Y° (加一YPi) еду" X

X ( —m—ур；)%( —P；)exp[—八р-р；)司(4.62)

у 屯(2)Y%gG“v 屯(2)= ^. j d呵 d坞％ ( — Pi) Y° (加—电)egNv x

X ( —m — YP；) % (— P；) exp [ — "Pl + p^x].(4.63)

Тем самым связь (4.34) будет записываться в виде

т J "^ /1 ("2) ](&)(&，) у W (с) уеду屮(х) X

义 口 j Лоа exp [ik(£—z')]] a'v&v 3) +

a” (2)x(4.64)a” (2)x(4.64)+ * ("h-l) J dK/2 (АР) j @)(改)打(c)y。許 X p j dcofe exp [ik(ж—с')]] У ^M-v (公).

a” (2)x

(4.64)

a” (2)x

(4.64)

Чтобы сделать это выражение в явной форме калибровочно-инвариантным, мы произвели подстановку (4.19). Проводя пространственно-временную экстраполяцию дополнительной связи и объеди-

няя результат с примитивным взаимодействием, получим следующее слагаемое в действии:

j (dx) (dx') [у 屮(z) 丫勿妤叫(с) f^ (z—")才v 3)_[_

+ (4" g -1)扛(“)Y° 務 011V屮 Q) %(2- У) ^. 丁 ⑺],(4.65)

где

Axv(〃) = g“v+(%“一g“v兴)J 謂N$S^・(4S6)

В лоренцевской калибровке этот тензор можно заменить тензором Aw (") = guvK (") ,(4.67)

с зарядовым формфактором

F^=l~kZ^^^-(468)

Отметим равенство

耳侬2 = °)= ],(4.69)

означающее, что в случае медленно меняющихся полей (| Р ]《 《т2) примитивное взаимодействие не подвергается никаким модификациям. Такое же условие нормировки мы наложим и на второй формфакт。р:

(4.70)(4.71)(4.70)(4.71)尸 2的=jdй2 京怨%,及(*=0)=1.

(4.70)

(4.71)

(4.70)

(4.71)

В соответствии с тем, что

С dM需 2т2 / 42 \-i/2С , / л 4иг2 \ 1/2

J ~m^~m^Vм2"/ = J W)=

(2m)2(2m)2

оно будет выполняться при

%M) =器(1一拱尸"，(4.72)

а поэтому

*-1=粉.(4.73)

Как показывают обозначения, последний результат представляет собой полученный иным способом дополнительный магнитный момент, соответствующий однородным полям [формула (2.36)]. Динамическое происхождение этого магнитного момента проявляется здесь в том, что магнитный формфактор F2 (乃)обращается в нуль при Л:2foо. В асимптотической области имеем

/》優/(田~響m糸，(4.74)

что вытекает из общего выражения

1

歹2 (*) = f dv—1=

(4.75)(4.76)(4.75)(4.76)0 '+請再а一讲)一也_2^2 /4m2\-〃2j 〈十十

(4.75)

(4.76)

(4.75)

(4.76)

耳"\ H~ -W )4 m2 卩/2 二

в которомв которомdr) -1

в котором

в котором

47n2 、1/2

Попутно отметим, что при —А2 >4тп2 фаза логарифма выбирается так, чтобы мнимая часть интеграла была равной 1л/а (—А2). Ситуация оказывается иной, чем в случае зарядового формфактора, для которого

С d№ 厶(М")_ а 1 ( , & + №)1п (-^，二2—2»"

”十加/缜…)一访

~ ^Rn Rn 不，(4.77)

где мы сохранили лишь главные логарифмические члены. Так как в выражении для F、(А) эта функция умножается на —胪，добавка к примитивному взаимодействию не обращается в нуль при 胪 т- оо. Но при восстановлении тензорного формфактора 加(乃) на эту проблему можно взглянуть и с другой точки зрения, ибо величина

及0 (舟=4 (") - J察号览石严冗v (") (4.78)

содержит две разные связи. Одна из них представляет собой примитивное взаимодействие, модифицируемое эффектами поляризации вакуума, а другая ——связь с полем dvF^, имеющая динамическое происхождение и не обращающаяся в нуль при 乃2 f оо.

Хотя в принципе последнее утверждение справедливо, практически из выражения (4.68) для зарядового формфактора вытекает, что соответствующее взаимодействие постепенно ослабевает с возрастанием А2. Это должно проявляться в сдвигах энергетических уровней и в изменениях сечений рассеяния. Чтобы как-то оценить подобные эффекты, рассмотрим в качестве первого приближения тот случай медленно меняющихся полей, в котором для 歹工(А)

можцо принять упрощенное выражение

K(")^l-"2 j 湍九”2).(4.79)

(2m)2Согласно формуле (4.77), входящий сюда интеграл равен鲁嘉储[(1 +呼П(警』)」-2吗=

=蚩$(1咔一^)，(4.80)

так что

Л(А)«1-^,^(1п^-4).(4.81)

Этот эффект можно сравнить и объединить с усилением связи за счет поляризации вакуума, которое в рассматриваемых условиях описывается формулой (3.76):

^=^^-^^А^-(4-82)

В итоге приходим к равенству

乙伍)&(") = [> —击昌(1п^-|-春)]&("), (4.83) которое свидетельствует о том, что усиление связи, обусловленное поляризацией вакуума, полностью подавляется ее ослаблением из-за уменьшения формфактора, хдтя здесь еще нужно выяснить, какая эффективная замена отвечает временно введенному параметру 卩.Так, например, вполне возможно, что при анализе сдвигов энергетических уровней вместо 卩 придется подставлять какие- то из энергий возбуждения атома ДЕ. Если произвести замену

~5-^1п ЛЁ

и пренебречь аддитивными константами, то формула (3.57) для поляризации вакуума перейдет в формулу

(4.84)(4.84)6Ens 辰* 8 Z2a3 , m

(4.84)

(4.84)

矛 a2~丄口

Этот путь оказывается действительно правильным, но мы пока отложим более точный анализ и обратимся к рассмотрению модификаций, возникающих при исследовании рассеяния.

Начнем с частиц со спином 0, которые рассеиваются кулоновским полем. При отклонении частихця из состояния с импульсом р晋

в состояние с импульсом р^ кулоновское поле передает ей импульс

(4.85)(4.85)q = Pi — р2-

(4.85)

(4.85)

Из-за наличия эффектов, о которых мы говорили вьппе, дифференциальное сечение приобретает множитель

"鵰⑷j"2q2 )加"鵰⑷j"2q2 )加犷/(К) i (М2)犷/(К) i (М2)-1——%罂f dvо-1——%罂f dvо(l+^)pn((l+^)pn(4тп2 р24тп2 р2qa + M2「)—2］一^泱qa + M2「)—2］一^泱1十缜…）1十缜…）(4.86)(4.86)

"鵰⑷j"2q2 )加

"鵰⑷j"2q2 )加

犷/(К) i (М2)

犷/(К) i (М2)

-1——%罂f dvо

-1——%罂f dvо

(l+^)pn(

(l+^)pn(

4тп2 р2

4тп2 р2

qa + M2

「)—2］一^泱

qa + M2

「)—2］一^泱

1十缜…）

1十缜…）

(4.86)

(4.86)

содержащий только тот вклад в поляризацию вакуума, который дают частицы со спином 0 (поправочные члены, нелинейные по а, опущены). К данному упругому сечению следует добавить как минимум сечение рассеяния с испусканием мягких фотонов, энергия которых принимает все значения, меньшие "^нн 一 минимальной энергии фотона, детектируемой экспериментальной установкой. Тогда мы получим сечение «почти упругого» рассеяния, которое имеет физический смыся и которое всегда можно дополнить сечением рассеяния, сопровождающегося излучением, с любой степенью неупругости.

При расчете мягкофотопной добавки мы должны быть последовательными. Введение массы фотона требует, чтобы он рассматривался в качестве частицы с единичным спином, со свойственными ей тремя состояниями поляризации. Но с практической точки зрения существенно лишь изменение соотношения между энергией фотона и его импульсом:

"。=(k2 + 卩 2)1色 (4.87)

Элемент матрицы перехода для отклонения частицы кулоновским полем с испусканием мягкого фотона входит в формулу (3-14.61) в виде произведения двух сомножителей. Один из них описывает процесс упругого рассеяния, другой равен

(恥》5〈今 f)， 依.88)

Если говорить точнее, то знаменатели следует слегка изменить, так как

伐+〃)2 + m一=2^1-p＞，伐+〃)2 + m一=2^1-p＞，1(—Aj + P2)2 十 m21(—Aj + P2)2 十 m2号*（489）号*（489）

伐+〃)2 + m一=2^1-p＞，

伐+〃)2 + m一=2^1-p＞，

1

(—Aj + P2)2 十 m2

1

(—Aj + P2)2 十 m2

号*（489）

号*（489）

Но поправки не превышают отношения массы 卩 к энергии частицы, которое пренебрежимо мало, поскольку мы требуем, чтобы выпол-

нялось условиенялось условиеn《階ин♦n《階ин♦(4.90)(4.90)

нялось условие

нялось условие

n《階ин♦

n《階ин♦

(4.90)

(4.90)

Здесь может вызвать некоторое смущение то обстоятельство, что сумма векторов поляризации

2唸嚨=g。2唸嚨=g。册Q册Q(4.91)(4.91)

2唸嚨=g。

2唸嚨=g。

册Q

册Q

(4.91)

(4.91)

содержит множитель 1/р,2, ибо эффективный фотонный источник (4.88) при изменении его знаменателей не будет сохраняться. Но комбинация

寺一^)5(亡訐

1

7, 1 .左P2 + W m

(4.92)

имеет достаточно высокие степени 卩 в числителе, чтобы все обстояло благополучно. И, конечно, величина (4.88) есть лишь некоторое приближение к выражению, для которого справедлив точный

закон сохранения.

В итоге для относительной вероятности фотонов получаем

испускания мягких

=4ла

или

為 jdM|k|矶(2M + q2)J

dv

2 Гй<>ро—к-

(4.93)

—Pi+—P2)J

(fe0p0-k.P1)2 — (fe0p0-k-p2)a J •(4・94)

При переходе к последней форме записи мы воспользовались комбинаторикой, основанной на преобразовании (3-14,116). После интегрирования по угловым переменным будем иметь

feMHH

筝J刈k1

[(1 + 嘉)*

где

(4.96)(4.96)р2=р：=р：.

(4.96)

(4.96)

Оставшейся интеграл имеет вид (風.н》卩) лмин

Jm4(%。)2-炉卅丽』评

и в результате для (4.95) получаем

(4.97)

dv

(4.98)

Хотя параметры v вводились в (4.86) и (4.98) совершенно разными способами, все же два эти выражения можно сложить, и фиктивная масса р, действительно полностью сократится. Рассмотрим сначала нерелятивистский случай, когда q2《тп2, р2《тп2т р° 公;т. Элементарные выкладки дают для двух наших слагаемых

口T爲(吋-露卄[薔臬(m券-割=

= l—£/(ln^；+^)・(499〉

У нас имеется также и нерелятивистское выражение для дифференциального сечения всех неупругих процессов с энергиями фотона, принимающими значения от 〃^нн до Т ——кинетической энергии падающей частицы [формула (3-14.70)]. Если этот вклад неупругих процессов представить в виде доли дифференциального сечения упругого рассеяния, то получим для него

2а q2

】F—("-2

COS 0 I 1

.(4.100)

«Почти упругое» и неупругое сечения складываются и дают дифференциальное сечение рассеяния в состояния без фиксированного значения конечной энергии частицы. Оно составляет следующую долю резерфордовского сечения:

1 ~ зл м2 皿祈+痴+包一e)tg"yHто-ln~■—е- • (4/01)

LCOS2ySin у J

Такого рода динамические модификации сечений рассеяния остаются совсем малыми, пока мы не вступаем в релятивистскую область. Чтобы облегчить анализ высоких энергий, введем обозначения

(4.102)(4.102)(4.103)(4.103)=靑(p-yF产8*

(4.102)

(4.102)

(4.103)

(4.103)

и, кроме того, введем в явном виде угол рассеяния 0: q2 = 4p2 sin2-|-.

При возрастании и от 0 до 1 новая переменная 占 будет изменяться в пределах от р cos (0/2) до р. В этих обозначениях сложный интеграл по р во втором слагаемом выражения (4.98) принимает вид

(‘+ 薪)(^) J 曲T^'F'11п4^|,(4.104)

где мы воспользовались также соотношением

4 +名 0-哨=(*)2(4—毋・4105)

Заметим, далее, что имеет место тождество

i —守Е丄丄丄н —Е十l-g2 ш 4

，(4•1。6)

правая часть которого обладает весьма слабой сингулярностью при gf 1・ Справедлива также аналогичная формула с заменой 己 на 0. Если ввести величину

*=("薪小出一tlЬг-J-

о

t Г1п1(1 + р) lnl(l-₽)bL ~WI+₽—

то выражение (4,98) можно будет представить следующим образом:

а д22л ш2а д22л ш2InIndp一寸」——1+事"叫dp一寸」——1+事"叫a了 I2h (pо户l十a了 I2h (pо户l十(争号)) о(争号)) оdudu1屮+品（"一叫1 +簾…1屮+品（"一叫1 +簾…(4.108)(4.108)

а д2

2л ш2

а д2

2л ш2

In

In

dp一寸」——

1+事"叫

dp一寸」——

1+事"叫

a了 I

2h (pо户l十

a了 I

2h (pо户l十

(争号)) о

(争号)) о

du

du

1屮+品（"一叫1 +簾…

1屮+品（"一叫1 +簾…

(4.108)

(4.108)

（1+毋）J彰 о（1+毋）J彰 оIn「+提…）］l +毎…）In「+提…）］l +毎…）4 m24 m2

（1+毋）J彰 о

（1+毋）J彰 о

In「+提…）］l +毎…）

In「+提…）］l +毎…）

4 m2

4 m2

Но и такая форма записи еще не окончательна — последнее слагаемое в (4.108) допускает более удобное представление, кото

рое основывается на тождестве

；(1+#)Ее初，

0"+薪…)

(4.109)

справедливом для пространственно-подобного вектора q. Докажем прежде всего это тождество. Как нетрудно убедиться путем интегрирования по переменной и,

=蠢卜寸总「中7“沪(4・"。)

Обозначим теперь параметр и в первом слагаемом правой части через г/ и положим

1 — у2 = (1 — г/®) u.(4.111)

Новая переменная р также пробегает значения от 0 до 1. Это преобразование приводит к равенствам•

"m=醬，加="m=醬，加={u[u—(1 —У2)]}1/2 *{u[u—(1 —У2)]}1/2 *(4.112)(4.112)из которых становится очевидным условие u> 1 ——и2 при фиксированном р. В новой форме записи величина (4.110) принимает видиз которых становится очевидным условие u> 1 ——и2 при фиксированном р. В новой форме записи величина (4.110) принимает вид品н；品н；1 +碑1 +碑XXdudu—~5- (1— У2)4m2 ''—~5- (1— У2)4m2 ''X 丄2 -^ L { u [u—(1一评)]产2X 丄2 -^ L { u [u—(1一评)]产213U-J色}，…)013U-J色}，…)0

"m=醬，加=

"m=醬，加=

{u[u—(1 —У2)]}1/2 *

{u[u—(1 —У2)]}1/2 *

(4.112)

(4.112)

из которых становится очевидным условие u> 1 ——и2 при фиксированном р. В новой форме записи величина (4.110) принимает вид

из которых становится очевидным условие u> 1 ——и2 при фиксированном р. В новой форме записи величина (4.110) принимает вид

品н；

品н；

1 +碑

1 +碑

X

X

du

du

—~5- (1— У2)

4m2 ''

—~5- (1— У2)

4m2 ''

X 丄2 -^ L { u [u—(1一评)]产2

X 丄2 -^ L { u [u—(1一评)]产2

13

U-J色}，…)0

13

U-J色}，…)0

и к тождеству (4.109) мы придем^ подставив сюда значение интеграла по w, равное In [4^/(1 — у2)].

С учетом формул (4.108), (4,109) и (4.86) получаем для динамического поправочного множителя выражение

2 mт22 mт21)(加—• о 141)(加—• о 141+№1+№品…)品…)оо4m24m2^+係)"]・^+係)"]・(4.114)(4.114)

2 mт2

2 mт2

1)(加—

• о 14

1)(加—

• о 14

1+№

1+№

品…)

品…)

о

о

4m2

4m2

^+係)"]・

^+係)"]・

(4.114)

(4.114)

Все самые сложные моменты вычисления ^той структуры сосредоточены в интеграле Е, даваемом формулой (4.107), где мы имеем довольно сложную зависимость величины

ee)=0[1一(1一吁也2炉ee)=0[1一(1一吁也2炉(4.115)(4.115)

ee)=0[1一(1一吁也2炉

ee)=0[1一(1一吁也2炉

(4.115)

(4.115)

от независимой переменной v. Правда, можно выделить два простых предельных случая. При низких энергиях

р。〜тп: Z, = — (1 — In 2) + -|-,(4.116)

откуда мы вновь приходим к формуле (4.99). В области высоких энергий, когда 0 т 1, имеем

р°》тп: L = —Ц-(Р (cosyj ,(4.117)

где

/ 6ч Г龙 pnRl+E) lny(l-g)1

(4.118)

Этот интеграл можно вычислить аналитически в случае рассеяния на угол 0 = л:

Ч>(0)Т，(4.119}

причем результат оказывается весьма точным даже при 0 = л/2> Вблизи к направлению вперед

(4.120)

Выражение (4.114) в области высоких энергий принимает вид

1一萼"1生一判(13sin — 九 L' ^2шн £2八 m 22 } 1

.5.1. 0/0 \q

(4.121)энергиях)(4.121)энергиях)+ 72 + ■2SmT<P (C0S7)J >

(4.121)

энергиях)

(4.121)

энергиях)

где использованы предельные значения (при высоких следующих интегралов:

女 —I _1口仇+仇2+1)工闾

(4.122)(4.122)К 一 匕 ・ №(1 + 2KI

(4.122)

(4.122)

4一 J加1+小(-2' —*2，

о

о

В случае рассеяния частиц со спином，появляется нечто новое, ибо в этом случае вступает в игру также и магнитное взаимодействие. По сравнению с тем, что у нас было в гл. 3, § 14, связь изменится за счет динамических поправок. В соответствии с выражениями (4.65) и (4.67) это изменение выражается подстановкой

■M(g)f%(g)Y 彳⑷ + 静鳥尸 2®^^ 兄 “о). (4.123)

Если нас интересует только скалярный потенциал, описывающий модифицированный кулоновский потенциал, то она сводится к замене

Y*。(q) + ["(q) Y°+ 鼻嘉邑⑷ 酬。・q]不(q)- (4.124)

В элемент матрицы перехода, заменяющий (14.11), входит

吗□(储(q)+费嘉尸2 (q)*Ysgq)也。2@(q)，(4-125)

Если использовать спиральные состояния, как это делается в формуле (3-14.13), то возникнет комбинация

畸。/叫5。・(Pt - Р2)%% = IРI (% -。2)^^!>Up^(4.426)

где [вспомним соотношения (2-6.90)]

(後广+^(*ПЧ，

峭。Jk,[(零)1 圖»” J.

Следовательно

Up^iysUp^ = (с2 — %)兽峭у%

(4.128)

И

up^^iy^.q^^ — (1—。声 2)界虎产。2(4.129)

откуда вытекает, что магнитное взаимодействие дает' вклады только в переходы с изменением спиральности. Если обратиться к формуле (3-14.13), то мы увидим, что интенсивность рассеяния будет содержать теперь множитель

[О? с* 4 居(q)2 + sin21 ( К (q)[О? с* 4 居(q)2 + sin21 ( К (q)a p22л Т?Лa p22л Т?Л/④白矛⑷工(4.130)/④白矛⑷工(4.130)

[О? с* 4 居(q)2 + sin21 ( К (q)

[О? с* 4 居(q)2 + sin21 ( К (q)

a p2

2л Т?Л

a p2

2л Т?Л

/④白矛⑷工

(4.130)

/④白矛⑷工

(4.130)

Что же касается дифференциального сечения (14.14), рассматриваемых эффектов приводит к следующей его ческой модификаций：Что же касается дифференциального сечения (14.14), рассматриваемых эффектов приводит к следующей его ческой модификаций：то учет динами-то учет динами-

Что же касается дифференциального сечения (14.14), рассматриваемых эффектов приводит к следующей его ческой модификаций：

Что же касается дифференциального сечения (14.14), рассматриваемых эффектов приводит к следующей его ческой модификаций：

то учет динами-

то учет динами-

'„₽2 sin2K(q)z_费得l-ps sin2y1= l-2q2 f dM2 —'„₽2 sin2K(q)z_费得l-ps sin2y1= l-2q2 f dM2 —т計т計1122K（q）（粼）:K（q）（粼）:fi (M^)-a(M2)不十防fi (M^)-a(M2)不十防l_p2 sin2 у 4ml_p2 sin2 у 4mq2 + “2，q2 + “2，(4.131)(4.131)

'„₽2 sin2

K(q)z_费得

l-ps sin2y

1

= l-2q2 f dM2 —

'„₽2 sin2

K(q)z_费得

l-ps sin2y

1

= l-2q2 f dM2 —

т計

т計

1

1

2

2

K（q）（粼）:

K（q）（粼）:

fi (M^)-a(M2)

不十防

fi (M^)-a(M2)

不十防

l_p2 sin2 у 4m

l_p2 sin2 у 4m

q2 + “2，

q2 + “2，

(4.131)

(4.131)

где мы оставили лишь члены, линейные по а.

С некоторыми незначительными изменениями анализ частиц со спином 0 можно перенести и на случай спина V2. При этом, помимо явного включения члена с магнитным моментом, необходимо учесть лишь небольшую разницу в зарядовых формфакторах 九必)-/(m2)=*(I—器尸£(4.132)

а также подставить функцию, описывающую поляризацию вакуума Для частиц со спином V2:

^2«тспин1/2-М^а(М^пин о = -^ (1—需产(1 +需)=

=誥("需 Г口-(需门 (4/33)

6—0983

Комбинация, входящая в формулу (4.131), изменяется на величину也(〃2) 一 ”2〃 (М2)СПЙН 1/2] - |/(М2) - "2〃 (Л/2)спин °)=

THTH4wi2 К —1/2 / 4дг2 \ 21^ // 14wi2 К —1/2 / 4дг2 \ 21^ // 1(4.134)(4.134)

TH

TH

4wi2 К —1/2 / 4дг2 \ 2

1^ // 1

4wi2 К —1/2 / 4дг2 \ 2

1^ // 1

(4.134)

(4.134)

4wi2、-1/2 / 4加2 \ 24wi2、-1/2 / 4加2 \ 2которая дает очень быстро сходящийся вклад в спектральный интеграл. Это обстоятельство весьма существенно с точки зрения высокоэнергетического поведения, ибо оно означает, что все члены, логарифмически возрастающие с энергией, в обоих случаях одинаковы. Действительно, если отбросить последнее слагаемое в формуле (4.131), то разность между этим выражением и выражением (4.86) будет равна

4wi2、-1/2 / 4加2 \ 2

4wi2、-1/2 / 4加2 \ 2

8[ 1 —

q2 十 М2q2 十 М22冗"J(2m)2

q2 十 М2

q2 十 М2

a q2a q2л 4m3л 4m3許，q2》M.(4,135)許，q2》M.(4,135)

a q2

a q2

л 4m3

л 4m3

許，q2》M.(4,135)

許，q2》M.(4,135)

рО 13 事一无"рО 13 事一无")(ln-?-sinT-4)+)(ln-?-sinT-4)+T[(mT[(mБлагодаря наличию множителя (тп/р0)2 влиянием дополнительного магнитного момента при высоких энергиях можно пренебречь, и мы сразу же приходим к аналогу выражения (4.121) для случая частиц со спином V2:

рО 13 事一无"

рО 13 事一无"

)(ln-?-sinT-4)+

)(ln-?-sinT-4)+

T[(m

T[(m

(4.136)(4.136).17 ( 1 . е / е м+ 72+Т sm 彳屮(cos-gjj.

(4.136)

(4.136)

В нерелятивистском пределе, прибавив к величине —(2а/3л)何2/加2尸/久 получаемой из (4.135), вклад магнитного момента—(2a/3ji)(q2/m2) (3/8), мы вместо (4.99) придем к выражению

1"否(inЗл m£ \1"否(inЗл m£ \znzn19192冷ин 丁 302冷ин 丁 30(4.137)(4.137)

1"否(in

Зл m£ \

1"否(in

Зл m£ \

zn

zn

19

19

2冷ин 丁 30

2冷ин 丁 30

(4.137)

(4.137)

и, следовательно, аналогом величины (4.101) будет величина

4 2a q?3Л川4 2a q?3Л川m 而+ 丽+5一e)^тm 而+ 丽+5一e)^тcos 0 [cos 0 [11m2」11m2」・(4.138)・(4.138)

4 2a q?

3Л川

4 2a q?

3Л川

m 而+ 丽+5一e)^т

m 而+ 丽+5一e)^т

cos 0 [

cos 0 [

11

m2」

11

m2」

・(4.138)

・(4.138)

a q2a q2Общая формула в случае спина г/2, записанная с учетом обозначений (4.122), имеет вид

a q2

a q2

2л T»22л T»2m -т^— 1)(ко+к。+ 万к。—к】十耳 к2-р"МИН'4◎

2л T»2

2л T»2

+(^)2^4(Я

1

1 —P2 sin2

(4.139)

2

Относительно экспериментальной проверки этих выводов для спина 1/2, касающихся рассеяния электронов, мы заметим лишь, что согласие с экспериментом наблюдается и рассмотренные выше эффекты в настоящее время всегда учитываются при анализе тех экспериментов по рассеянию электронов с очень высокими энергиями, в которых предметом исследования является внутренняя структура протона.

Здесь вмешивается Гарольд и с особым историческим блеском в глазах задает вопрос.

Гарольд. Как мне известно, изложенные выше результаты для частиц со спином % впервые были получены Вами много лет тому назад. Мой вопрос касается сделанного вскоре после этого и время от времени повторявшегося замечания, что в своих прежних расчетах Вы допустили две ошибки, которые каким-то образом скомпенсировались, так что в итоге был получен правильный ответ. Не могли бы Вы прокомментировать это замечательное достижение ?

Швиигер. Я думаю, что мои заслуги сильно преувеличены. Нет на свете людей, столь умных, чтобы сделать две такие сложные и в точности компенсирующиеся ошибки. На самом деле все гораздо проще. Сечение «почти упругого» рассеяния искусственным образом разбивается на чисто упругую часть и на мягкофотонную добавку к ней. Ни одна из этих компонент не имеет по отдельности физического смысла, и разные методы расчета будут давать для них различные выражения, хотя сумма и окажется правильной. В частности, две эти составляющие допускают перестройку, причем каждая из них по отдельности может и не быть оправданной, но полное выражение окажется все же правильным. Таким образом, существует несколько вариантов представления двух компонент, оставляющих неизменным ответ для их суммы. Придется, видимо, признаться, что тогда у меня не было и тени сомнения относительно правильности результата, так как я выполнил расчет двумя разными способами и получил одинаковый ответ. В те времена я всячески настаивал на том, что работать следует только с физическим безмассовым фотоном, поскольку используемый тогда операторный метод скачкообразно менялся при изменении числа степеней свободы, сопутствующем введению конечной массы фотона. Тем не менее я все^же провел вычисления, используя конечную массу фотона, но не опубликовал их результаты, ибо такой подход был нарушением запретов, которые я сам на себя наложил. На страницах же данной книги никакие препятствия подобного рода к использованию массы фотона не возникают, поскольку мы знаем, что описание массивной частицы со спином 1 связано с описанием фотона непрерывным образом. Конечно, самый важный вывод из всей этой истории ——это то, что должен

существовать более совершенный метод расчета, который сразу давал бы физическое сечение рассеяния, без всякого разбиения, не имеющего физического смысла. Один такой метод будет изложен ниже.

§ 5・ ФОРМФАКТОРЫ II. ПРОСТАЯ И ДВОЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ① ОРМЫ

Обсуждавшееся примитивное взаимодействие, линейное по фотонному полю и квадратичное по полям заряженных частиц, находит два разных применения, в которых только один источник действует как обобщенный, испуская две невзаимодействующие частицы. Последующее взаимодействие этих частиц модифицирует способность испускания или поглощения таким источником двух частиц. Подобный эффект мы рассматривали для обобщенных фотонных источников, испускающих пару заряженных частиц. Теперь же мы обратимся к источнику частиц, который испускает заряженную частицу вместе с фотоном, и исследуем, к каким модификациям приводит учет взаимодействия, ответственного за рассеяние частицы и фотона. Описание источника заряженных частиц предполагает выбор той или иной электромагнитной модели. Простейшей из них является ковариантная модель, в которой ускоренные заряды не излучают. Но. тогда нам не следует останавливаться на спине 0, а нужно сразу же обратиться к спину V2, ибо в рамках такой модели частицы со спином 0 вообще не излучают.

Вспомним выражение для эффективного двухчастичного источника:

^伯）%9）乩0 =明俨必（尸）一步（自尸）小（p）],（5.1）

где

严依Р）=醫=:^・（5.2）

Процесс последующего рассеяния описывается вакуумной амплитудой （формула （3-14.137）1

ie2 j d^ ds/ &恤2 如% （2冗）4 6 （科 + 自一3 一自）X

xJ^ — k^^^ — Pi） 丫° （ni —YE） X

Y“] XY“] X（5.3）（5.3）[y2 Y（P2 十A2）+ 爲 Yv + Yv y（P2-以）+ 爲

Y“] X

Y“] X

（5.3）

（5.3）

X （иг — YA） П2 （?2 北（厶2）匾巾,

ИЛИ

許 j daPi 血瓦(2л)4 6 (凸十冗一P) dM^P (1-^-) XxJ^t — ki) m( — A) Y° (m — YP1) eg X

一 X也屮以Р)十提中S門2(P)].(5.4)

Здесь, используя обозначение

j曲)/编&(28)36(42+?2 -Р)(・・・)=思声(4 -济)〈・♦-〉，(5.5) мы ввели величины

%=〈(Y觇 "^Г Yv+ Yv ? 位一:"Тm Y j з一 YP" yv〉 (5.6) И

凡=〈3“ ^^Г Ь+ %(p」;$Y“)侬一 丫凡)W〉. (5.7)

Благодаря наличию здесь проекционной матрицы т ——ур^ а в формуле (5.4)——проекционной матрицы т — 丫卩工 для эффективных источников испускания фотонов выполняется закон сохранения:

^(Тц-^г Yv + Tv v {Pi-k^m Yu) (^-VP2)=

=[-(YP, + ® ^^r Yv + Tv y(J,)+ m(YP2 十叩 X

X (^―TP2)~^O.(5.8)

Мы начнем наш расчет с преобразований, цель которых состоит в том, чтобы удовлетворить этому требованию явным образом:

(^ 评? Yv + Yv ?(/…Y J (* Y凡)=

f ( “2_加2十 2P2丫] 〃2-絞 g —YP・2), (b・9) где выражения с матрицей ‘р^ + ^, стоящей слева, опущены. Три члена в последней строке (5.9) удовлетворяют каждый по отдельности условиям закона сохранения, так как

(Т左1)2 — 0, — 2瓦 pi = № — тп2. (5.10) Заметим, кстати, что между 丫从丫瓦 и —丫及丫貝 нет никакого существенного различия, ибо всякую величину, кратную 衣1卩,можно

/ 2M \2 1 М2=（汴一加2）1"m寸，/ 2M \2 1 М2=（汴一加2）1"m寸，

/ 2M \2 1 М2

=（汴一加2）1"m寸，

/ 2M \2 1 М2

=（汴一加2）1"m寸，

просто выбросить, если она входит в вирансение （5.4）. Каждое из этих матричных произведений можно заменить на

Проиллюстрируем процедуру интегрирования, необходимого при вычислении величин типа〈…〉，на примере расчета величины 〈1/（—卩2自）〉в системе покоя:

（5.11）

где z ——косинус угла рассеяния. Другие интегралы подобного рода содержат дополнительные множители р2ц npanPav То обстоятельство, что члены, кратные 面貝，можно опустить, упрощает все эти выкладки. Так, например,

куда слагаемое, кратное 丛中 которое в принципе могло бы возникнуть, не входит, так как левая часть обращается в нуль при ее умножении на k^t Аналогичные преобразования дают

〈+ М*；2 "zv〉— 一 （ Pl^lV +g"V ）鳥％ （M）2,

（5.13）

где

，伊）=（宀）2［中j心m祭］.（5/4）

Эта положительная функция изменяется в пределах от т/3 до 1: первое значение она принимает в точке М2 = тп2, а последнее — при 儿片》加2 Проведя все указанные выкладки, получим

＜（Y"^H^ % + ” у （豆_%）¥£ Y j （吁 YPz）〉=

к YvYPWY&击 ％ （АР） + У#/瓦Y「（脓二病一壶 ％ W）+

+亲 y也叫（工产 " （К）- 黑普）+

十Yd鼠Yv "2匕声（吁北措%P）•（5/5）

Нужные нам величины содержат дополнительно справа сомножитель у^ ИЛи 尸八 Искомые результаты получим путем простых

преобразований, которые дают

4= ц^£ [热+爲(х("2)+^^ 卜YР + 肉],

S尸一匹vE 羲 x(〃2)(/+方

Для комбинации, входящей в формулу (5.4), имеем

乙河2 (p) + лp!^-^ (尸)=箱 5/屮2 (p)+ 5v"： X

一切“冰：*而三T X("2)(YР + m)小(尸).(5.17)

Импульсы отдельных конечных частиц фигурируют только в матрице Шцу^, и поэтому вся зависимость от характеристик этих частиц в вакуумной амплитуде (5.4) может быть представлена посредством следующего локального произведения полей:

j 而)?,强打(2n)4 6 (〃 + m 一 Р)片(一自)^ (—p^^ (m - YR) X

в который поля амплитуда (5.4)в который поля амплитуда (5.4)X egiOg/c； = 一 j (彰)屮1 Q) ^eq 扌仃屮尸产⑶ exp (iPx).(5.18)

в который поля амплитуда (5.4)

в который поля амплитуда (5.4)

Если ограничиться рассмотрением лишь члена, частиц входят явным образом, то вакуумная примет вид

券）加提（1券）加提（1ж） J @）@‘）也（纪）Y°器4"*鍔v⑺Xж） J @）@‘）也（纪）Y°器4"*鍔v⑺X

券）加提（1

券）加提（1

ж） J @）@‘）也（纪）Y°器4"*鍔v⑺X

ж） J @）@‘）也（纪）Y°器4"*鍔v⑺X

(5.19)(5.19)X [" j ^pexp [iP (x一况‘)]]屮2(胃')"

(5.19)

(5.19)

Проводя пространственно-временную экстраполяцию этого выражения, получаем

(5.20)(5.20)券J （血：）（及：'）"（2）Y。舞扌Ojrv尸2仅）xX G?（况—X ） 1|）обобщ （^ ）?

(5.20)

(5.20)

d(p)= p^^(l:-^)^_, m2

где 屮обобш ——поле обобщенного источника..

От получившейся асимметрии можно, конечно, избавиться. Заметим, что

G«) = l —(卢+峭 f 箒缶吊f (5.21) m2

где использовано тождество

11炉丄 7n21^ 99

庐三初2—记 = “2_ m2 —■历匸肝再е;7ё3/幻

и равенство

鱼(炉 +絞= 0)= j 舞备=1.(5.23)

В результате действия на поле "фобобщ оператора m + ур，содержащегося в разложении р? + тп® = (тп — ур) (тп + ур), возникает соответствующий источник. Мы сгруппируем его с другими членами, явно зависящими от источников. Тогда оставшаяся комбинация полей, если ее представить в виде некоторого действия с единым полем частиц, примет вид

J闽4■屮⑺Y°言誤告%尸2 (紡2⑺•(5.24)

Мы снова получили для дополнительного спинового магнитного момента значение, равное сс/2л магнетонов.

Рассмотрим теперь причинно-упорядоченную пару из одного обобщенного источника частиц и одного обобщенного источника фотонов, считая, что последний порождает пространственно-подобные импульсы. На этот раз мы будем иметь дело с частицами со спином 0. Обобщенный источник частиц 衣纟 испускает заряженную частицу и фотон. Две эти частицы пролетают вблизи обобщенного фотонного источника, где происходит процесс рассеяния с участием виртуального фотона от обобщенного источника, а затем рассеянная заряженная частица детектируется простым источником Aj. Вакуумная амплитуда для процесса рассеяния имеет вид [см. выражение (3-12.92), но без использования лорен- цевской калибровки]

j d(Dp Jd初 d(oP2 da)^b (科 + 自—△—甸 4“ (一抬)X

X Ki (-R) e22P2K2 (网)4 体2),(5.25)

где

9Т7(2厶 +无加(2皮 +场2)V(2p2 — *1)U (2pj — fc2)v9 /R 94

/喉=(皮+%p+m2 b 旧一质产+齡"3

и.

〃1电)К2 (△) 18фф = eq [(2P一居户中2 (p)一『他)&(尸)]•(5.27)

В эффективном источнике мы будем учитывать л ишь Jcji а га емо е с 屮2, описывающее излучение заряженной частицей, а не самим источником. Тут меня прерывает Гарольд.

Гарольд» Может быть, мой вопрос покажется не совсем деликатным, но я думаю, что его все же следует задать. Я слышал, что в своих лекциях по теории источников Вы часто приводите пространственно-временные схемки физических процессов, называя их каузальными (причииными) диаграммами. Совпадают ли они с общеизвестными фейнмановскими диаграммами? И почему каузальные диаграммы не используются в этой книге?

Швингер. Ценность схем и диаграмм при обучении зависит от обстоятельств. На лекции, где необходимо постоянное внимание к излагаемому предмету, без иллюстраврий такого рода иногда совершенно невозможно обойтись. Чтение же книги ——это совсем другое дело. Читатель вполне может привлекать свои собственные дополнительные материалы, и ему следует поступать так всякий раз, когда это имеет смысл. Я предпочел не помещать в тексте никаких диаграмм — как для того, чтобы подчеркнуть ведущую роль аналитической структуры теории, так и для того, чтобы несколько снизить стоимость книги. Но, пожалуй, мне все же следует воспользоваться рассматриваемым сейчас причинным расположением источников и проиллюстрировать способ построения каузальных диаграмм. Для графического представления трех членов вакуумной амплитуды (5.25) —(5.27) требуются три такие диаграммы.

При этом приняты следующие условности: ось времени направлена вертикально; источники изображаются кружками, тонкая прямая линия указывает на причинное распространение реальной частицы; тонкая зигзагообразная линия соответствует причинному распространению реального фотона; толстая прямая и толстая зигзагообразная линии описывают некаузальное распространение виртуальной частицы и виртуального фотона. Различные линии можно маркировать полями или функциями распространения, которым они соответствуют, или же, как на наших картинках, импульсами отдельных реальных или виртуальных частиц.

Каузальные диаграммы не совпадают с фейнмановскими диаграммами. В последних не проводится различия между реаль-

ными и виртуальными частицами; фейнмановские диаграммы некаузальны.

Возвращаясь (к вакуумной амплитуде (5.25)——(5.27), заметим, что тензор Vuv обладает следующими свойствами калибровочной инвариантности:

础2Vуд, = (2卩2 + ^2)v 一 (2/>i —海)v — 2/C]v =

причемпричем~ 2 s2+ 储一Pi - ^1)V =。，(5.28)

причем

причем

где использованы соотношения между

импульсами

p2 +

*2 = Pl + 自，Pl 一 及2

=p2 一自；

(5.29)

аналогично этому

%v觴=0.

(5.30)

Рассматриваемый

вклад в вакуумную

амплитуду

принимает

теперь вид

一12/

j dcopi 3自)dmP 2加25 (a + 自一p)х

X/"一自）&（一死）eqV^2 ①），

(5.31)

где

d(dk2 d①@2 (2冗)3 6 (卩2 + 饱—尸)V^PVf

(5.32)

2%vR =（2厶 + 自）“ （^^+ ^_）十

力严+川+好一』-（М2 一齡）

十（2网一自久步2%.（5.33）

При выводе формулы (5.33) были использованы кинематические соотношения

一2РP2 =助2 + m\ -2p& = 〃2 — 7n2, - 2ppi =

M2 + m? + 孫(5.34)

Все соотношения такого рода основываются на свойстве физического фотона, для которого /с； = 0. Снова пользуясь для обозначения интегралов типа (5.32) символом среднего значения, представим Уи следующим образом:

几=-^" а ~й")[(2р，+闻林(幫2 二 ^2—■^)—儿“+

Входящее сюда среднее значение обладает векторной структурой вида

/ p2-；財\

\—就一/ = (2〃 + h)a + 自氏(5.36)

Далее, так как

〃i (卩2 —2~ 及1) = &卩i,(5・37)

то мы видим, НТО

1 = — (М2 —加2)〃 + 抬氏(5.38)

Второе соотношение можно получить, если умножить обе части равенства (5.36) на рг и воспользоваться формулой

〃1 (卩2 ^"自)=一 P1^2 ^ (Л/2+ б2 +務)—^-加2,(5.39)

что дает нам

=_("2十号2+鳍 + 7n2)a一吃必-球 + /)氏(5.40)

В результате для коэффициента а получаем

一A" = “2一欣一/(：： +偿("2十,+"？ +m2)〈__^〉， (5-41) где

А = (” — т^ +2 (№ + и?)优 + 阳)2 =

=(M2 + m2 + 硝 2 — 4ЛАп2.(5.42)

Среднее значение, входящее в формулу (5.41), проще всего вычислить в системе покоя вектора Р:

1

2М j dz1

A/2一М ) T 4/2 丁 m2+ 时「/加2+m2 + 研\2TF^

1

("2 + 加2 + ^1) j dz А(1—z2) + 4W2m2 •(5.43)

Вектор Fu представляется в виде линейной комбинации векторов 2Pl + &! и 几.С точностью до множителя (4л)-2 [1 — (т/М)2], коэффициент при 2Pl + 瓦 равен

捺:暮-扌+w2 +m+优一$ (АT 一加)"=一居/, (5.44)

92 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

где

△/= [a+4M27n2一质(〃2一欣)+("2+济十硝(2m—^^)J X

Х^〈 一 ^■〉_(^s" 一 ^) [2("2 + 加2)+ 后]_

-(№ + m2 +1^ +4 {M2-m2).(5.45)

После некоторых перегруппировок членов величина / может быть представлена следующим образом:

1

/ (М2, 硝 ~\ dz кт^2、\лЛЕ Г 阳 + 47n2)力力；“一-z? —

一扌(Л^—戍—硝(1一公)+"2].(5.46)

Коэффициент при 瓦 полностью определяется свойством калибровочной инвариантности

碎乙=0,(5.47)

из которого получаем комбинацию

一/С: (2P1 +月)快+月小(2p1 +砲=

=—(/gz — ％瓦 J (2夕1 + ^i)v*(5.48)

Теперь можно видеть, что вклад (5.31) имеет вид выражения, которое содержит только поля:

一 X检J "〃2 ( 1 一篇)J (衣)(")/實ьз(。)也(％)义

X (}况 +；%",「j d(t)p exp[iP (x — xf)]^ 中2侬)，(5.49) где

%(N)涼=—а“％ (办(5.50)

Величина I входит сюда в качестве нелокального в пространстве, но локализованного во времени оператора, действующего на напряженности электромагнитного поля. Чтобы провести пространственно-временную экстраполяцию выражения (5.49), нужно подста вить функцию А + {х — 花‘, №) вместо ее причинного выражения при ж0〉а0'. Однако, как и раньше в этом параграфе, чтобы представить связь в виде единого выражения, включающего поля 中^ и <р2, следует обратиться к разложению (5.22). Возникающий в итоге член в действии, если его объединить с примитивным взаимодействием, можно записать как

(5.51)(5.51)j (d%)(彰‘)产(z) /gv Q— xz) Av (хг)7

(5.51)

(5.51)

гдегде产(/)=中(%) eq ；/9(力)产(/)=中(%) eq ；/9(力)(5.52)(5.52)

где

где

产(/)=中(%) eq ；/9(力)

产(/)=中(%) eq ；/9(力)

(5.52)

(5.52)

и

九v(") = g“v+(时底一g收/)券 j 雾^(〃2, F).(5.53)

Получаемый таким способом формфактор должен совпадать с формфактором, задаваемым формулами (4.25) и (4.21). Точнее говоря, так должно было бы быть, если бы для устранения инфракрасной особенности в интеграле (5.53) мы ввели массу фотона. Мы удостоверимся лишь в том, что совпадают логарифмические инфракрасные особенности двух выражений, и опустим все дополнительные обстоятельства, сопутствующие ненулевой массе фотона. Сингулярностью в формуле (5.46) обладает член с разностью № ——тп2 в знаменателе. Его вклад в интеграл (5.53) таков:

1ОО

.2 ("2 + 4m2) ( dzz? fU"《'-т-7；2* /л/2 2 =

'1 丿 J JМ2 一 щ2 Д (1—z2) + 4M2

О(m+阳您

1

=2 f 厶/ 订,g 丄/ ^力47n 外 工k 2、2 (ln-….(5.54)

J к2 (Л2 + 4m2) (1 — z2) + (2zn2)2 \ о

Здесь введение массы фотона в нижний предел интегрирования — существенная, но не единственная необходимая модификация; тем не менее нам достаточно выяснить зависимость от массы фотона. Требуется убедиться^ в справедливости следующего тождества:

c , 2/+4加2一 j…2g

J威2而2出+4呐 口」汗(2叫2 = J au 4m2牛川(［一调).^-00^

о0'

Можно просто выполнить два сходных интегрирования, и в итоге мы придем к одному и тому же выражению

备［招a)+目@)］,m=基， (5.56)

где использованы обозначения (4.122). Выглядит все это, конечно, не очень элегантно. Более предпочтительно было бы отыскать такое хитроумное преобразование переменных интегрирования,* которое прямо связывало бы два эквивалентных выражения. К этому идеалу приблизимся в дальнейшем.

А пока, в продолжение анализа частиц со спином 0, рассмотрим причинно-упорядоченную пару двух обобщенных источников частиц — Кх и К?. Между ними причинно расположен обобщен-

ный фотонный источник, способный передавать пространственноподобные ившульсы. Обобщенный источник частиц испускает или поглощает фотон и заряженную частицу. Фотон распространяется между двумя обобщенными источниками, оставаясь свободным, а заряженная частица отклоняется обобщенным фотонным источником. Таким образом, здесь описывается некоторое обобщение схемы, которая использовалась в § 2 для первого вывода дополнительного спинового магнитного момента частиц со спином V2. Однородное магнитное поле теперь заменяется произвольным полем. Вакуумная амплитуда, описывающая историю двух частиц, равна

J @) .. •(嘴')^ (? К, (^) \афф & 代一门 х (5.57)X А, (%,"')，丿2从(V)区2 (%') I зфф,

где эффективные источники определяются формулами типа (5.27). Мы будем сохранять только линейный по Л член разложения (3-12.28):

а£ = А+ + Д+ eq (рА + /р) А+ + . . . .(5.58)

Кроме того, если пользоваться только теми частями эффективных источников, которые зависят от полей, то в результате мы придем к следующему выражению для члена вакуумной амплитуды:

~屁 j dsh do)p] С?®2 (2p1 —儿)(2，2 —向屮i (—戶,也 X

X (E + A-2力)А (К)中2 (尸2),(5.59)

где

К = Pi - %(5.60)

и

尸1 = Pl + ”，尸2Hp2 + k(5.61)

Удобно учесть эти кинематические соотношения, записав

J dspi d%2 = J ~^" -^- S 侬 * 疗)6 (р： + m2)=

=J 蹲爵 6[(а_货+ 欣]6[(2 - 初2 + 戍];(5.62)

здесь подразумевается, что все энергии^положительны. В итоге величина (5.59) превращается в

加2 j dM^ dMl do)pi d®pz MkB (2kPt + M\ — m2) 6 (2кР? + 〃； 一 тп2) x

X (2R2 + м： + 此 + 2m2) ср】(一 E) eq (2 + % — 2向 4 (К)恥仍2)•

(5.63)

Входящий сюда основной инвариантный интеграл

J d^hb (24Р] + М^~т2) 6 (2"鼻 + Л^— ш2)(5.64)

может быть вычислен в системе покоя любого из импульсов. Так, выбирая Ръ будем иметь

•^^ j 融 @fc° dz8 (— 2熙М] + Л/ ； — m2) х

Хб(-2依g + 2/ IР21 之十 М： — 滓),(5.65)

где z — косинус угла между векторами к и Р2. Компоненты Р2 имеют инвариантный смысл, как это видно из записи

0_01P2 _ к^+м^щ

2 — 也一 丽 ，

гдегде因=[(醬)彩， ◎66)

где

где

Д = (2/\p2产一 4MM；=(戸 + 此 + m^-Ш\m1 (5.67)

Для того чтобы интеграл по z не обращался в нуль, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

囱一^一小乎与需：題|<誓产金,(5-68)

ИЛИL

(M： 一 加;)2 V 糸("：一叫(此一硝.(5.69)

При таких условиях интеграл (5.65) имеет следующее значение:

f 施А6 (2"2 + 此一硝 6 (2kP, + Ml-硝=.(5.70)

Чтобы учесть неравенство (5.69), удобно ввести новые переменные ZHU：

"；=病+ ^化体2 + 4质+川К2 (R2+4m2)产｝,

(5.71)

死=戍十号Z依2+4加一D [№ (R2 + 4硏产｝.

Тогда наше неравенство примет вид

< 1,(5.72)

а х будет пробегать значения от 0 до оо. Имеем также

А = К? (К2 + 4m2) (1 + 2а + /2%(5.73)

dM} dM： = + (R2 + 4m2) [К2 (及2 + 47n2)]〃％ dx d% (5.74)

Эффективная замена для Pt + P2 —— 2k в интеграле (5.63) имеет вид

(Л + А — 2田=(Л + %) а + (匕一 ％) Р・(5.75)

Умножив это равенство сначала на Р2 + Р2| а затем на /\ — /\, придем к двум уравнениям

及2 + м： + м： + 27n2 =(长2 + 2М： + 2М：) а 十(М：—М ；) р,(5.76)

0= 一 (m：一〃:)a+К2仇

В итоге получим

〈2 十厶一 2〃〉尸马巫^i±2^ (K^^K^ (Pi + P^,

(5.77) где

к2 + Mf + M^+2ffl211+七?E 7只；

ЛH1+汲+七2詆•9 s

Заметим также, что

2K2 +М} + Ml + 27n2 =及2十(区2 _|_ 4m2) (1 + ©・(5.79)

Скомбинировав все эти соотношения, для вакуумной амплитуды будем иметь

^j^ 如*近等(¥ + 4М) «+工亲硬「Х

X [2 + N+零(1 + 工)]<р, (— ?) eg佻(2) (2 + 尸2)X

X [Х24 (К) — ККА (К)].(5.80)

Замечая, далее, что

屮I (— 2) 4 (К)中2 (尸2)= j (责)％ (n) exp (ZP闽 X

X J (龙)ехр — МР-З)目 4 隽)X

X j (dx) exp (— Z%/')中2 (疗)，(5.81)

можно написать

一 J dcopj dspg中1 (一 Pi) 4 (К)中2 (°2)=

=j (dx) (d^) (dxf)物⑺卜 j Aopiexp N2 (花一§]] X

X Л (B) p j do)p2exp [iPz (I —^)] J ф2(^)»(5.82)

откуда сразу видно, что в вакуумную амплитуду входят причинные выражения двух функций распространения. Проводя пространственно-временные экстраполяции, удобно произвести подстановки

i J如Р, exp ［歩«T)— j黑鄒常科，

(5.83)

i j d^xV［iP^-x')\ f J •黑!•普%品^",

а затем вернуться к четырехмерному импульсному пространству по следующему рецепту:

-J do）Fi @0）?2中，（一B） 4 （k）中2 （p2）f

-j醫%総?他（一P，）宣+爲二/ （例丽击』佻的，（5・84） где

及-—у?]~-p2，（5.85）

Не следует забывать, что к каждой из двух спектральных форм можно добавлять контактные члены. Учитывая это, напишем выражение, которое получается путем пространственно-временной экстраполяции вакуумной амплитуды (5.80), в виде двойной спектральной формы

診 J "§^ ^^ 5( — А)随屮2 (а)(Р1 + Рг)兴4 (А) (/ + 4m2) х

x j "也^石2：二卢产［2 + z +学(1 +叫X

"灰十加？一拖 蔭"戸国，(5.86)

где для простоты мы приняли лоренцевскую калибровку:

(5.87)(5.87)кА (к) = 0.

(5.87)

(5.87)

Самый элементарный случай, в котором можно применить эту вакуумную амплитуду,—— это случай, когда нет никаких полей. В лоренцевской калибровке из пропорциональности векторов Л и " вытекает, что к2 = 0. Отметим, что при этом условии величина (5.86) не обращается в нуль, так как она содержит член с 1/Р; таким образом, имеется вакуумная амплитуда, зависящая от потенциала. Согласно формуле (5.71), при К% f 呼 мы имеем

(5.88)(5.88)к2 = 0:〃： = 〃： = m2 (1 + 2%) = М2.

(5.88)

(5.88)

7-0983

(5.89)(5.89)(5.90)(5.90)，）（总試一）=，）（总試一）=一p?十 m2 —纶 р^+Д/2 -花，一p?十 m2 —纶 р^+Д/2 -花，(5.91)(5.91)

(5.89)

(5.89)

(5.90)

(5.90)

，）（总試一）=

，）（总試一）=

一p?十 m2 —纶 р^+Д/2 -花，

一p?十 m2 —纶 р^+Д/2 -花，

(5.91)

(5.91)

В этом случае в выражении (5.86) можно вьшолнить интегрирование по у：

1

J 斤（1 + 汲+£2评）3/2 - a工 方）（1十泓）

В результатеВ результатеэто выражение принимает вид

В результате

В результате

-i 畫 j тйуг■^ %( —Л) ед% (/) (Р1 + А)厶伯)X

Г dM2 M2 + zn2 / М2 一 m2 - \ / Л/2 一 ^2、

J ~/W2*M2 —/n2 (pf+^-^£— 1 / 1р^ + “2—配一？丿，

где мы указали и те контактные члены, которые диктуются физическими соображениями. Они служат для того, чтобы заменить поля источниками. Для этого достаточно воспользоваться тож

деством

после чего выражение (5.90) преобразуется к виду

у « f d"2 册 + 加2 (dp“(М) ° / ч 1 vf 凉 J W必二^而in而济 i丿声％匸*

x eg (А + p2) Л (k) ^-^—^ X2 (p2).(5.92)

Корректность этой процедуры подтверждается сравнением с выражением (1.65) для соответствующей модифицированной функции распространения в отсутствие электромагнитного поля и в калибровке / = 0. Мы придем к более общему описанию случая, когда отсутствует поле, если произведем матричную -подстановку р f р — eq Аг

(р — eqAf -|- М2 — zs 卩2十弘2 —1£ '彳1

+ 2 I “2~+ Ар) ■ 2 . л,2—-+ . . . .(5.93)

р2 + Д/2 — ZE 4 \厂p2-\-M2 —1£ 1、/'

Дополнительный член в связи двух источников, который линеен по 4, в точности совпадает с величиной (5.92). Это как раз и требуется условиями нормировки феноменологической теории.

Вернемся теперь к выражению (5.86) и выделим в нем члены с полями частиц, отбрасывая все члены, содержащие явным образом источники. Для этого воспользуемся тождественными пре-

(5.94)(5.94)(5.95)(5.96)(5.95)(5.96)

(5.94)

(5.94)

(5.95)

(5.96)

(5.95)

(5.96)

образованиями вида

1_1p； +加21

pf + Mf — i£ 一 “F — ^2MJ — ma pl + Mf — Ze

которые эквивалентны подстановке

1=р；+“？—igp^ + M望一l&^~ Mf 一m2 4吗一加2

1

一依十4m2 —r Г 1 12*

m2 + — Л2 (1 —p2)

Кроме того, напишем

47nz1一 41 — №

絞+普火仕一吟 左 Ш2+±.k2 (1-y2)

и опустим слагаемое с 1/к2 — как было только что показано; его функция заключается лишь в том, чтобы включить в модифицированную функцию распространения калибровочно-ковариантную комбинацию р — eqA. Результат может быть представлен в форме действия, зависящего от поля. Объединив его с примитивным взаимодействием, получим

где

尸⑹亠爲J 2叫 g(5.98)

И

y®)=wj子亦』^+a+“)再(5・99)

Здесь мы вновь сталкиваемся с неизбежной логарифмической особенностью на нижнем пределе интегрирования. На этот раз представляется уместным ввести конечную массу фотона pt, чтобы можно было провести детальное сравнение с нашими прежними результатами. Наличие массы у фотона существенным образом сказывается на неравенстве (5.68), которое теперь будет записываться так:

m+*济—也噹』.亡嚼产к

V［（5A—г簧（5仰）

7*

100 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I (вместо 及2 сюда входит /с2), или

(5.101)(5.101)化2(1 — №)(声 + -^-) >*((+化).

(5.101)

(5.101)

В интеграле (5.99) достаточно лишь заменить вижний предел на

& = 士(1 一吁r1 +為)5(5-102)

Выполнив интегрирование по %, получим

叭0)=京 -2口- a + ”)2)-2+ 1 十评 +

+ ln(，+磊)]•(5.103)

Но имеет место тождество, несколько напоминающее (4.109):

j dv (1 + №)—о丄j dv (1 + №)—о丄A2 \47n2 丿A2 \47n2 丿InX -InX -十4m2 (中)2十4m2 (中)2(1 —У2)(1 —У2)1 一済 1 — f 21 一済 1 — f 2114滙4滙j dy (1 +喲 x оj dy (1 +喲 x о\ 2у厂丿一一1平诅(1 —吟\ 2у厂丿一一1平诅(1 —吟(5.104)(5.104)

j dv (1 + №)—о丄

j dv (1 + №)—о丄

A2 \

47n2 丿

A2 \

47n2 丿

In

X -

In

X -

十4m2 (中)2

十4m2 (中)2

(1 —У2)

(1 —У2)

1 一済 1 — f 2

1 一済 1 — f 2

1

1

4滙

4滙

j dy (1 +喲 x о

j dy (1 +喲 x о

\ 2у

厂丿一一1平诅

(1 —吟

\ 2у

厂丿一一1平诅

(1 —吟

(5.104)

(5.104)

Его можно проверить либо путем алгебраических преобразований, либо рассматривая —部/4病 как комплексную переменную. В последнем случае обе части формулы (5.104) представляют собой функции комплексной переменной, обращающиеся в нуль на бесконечности и имеющие разрезы вдоль вещественной оси от 1 до оо. Заметив, что на этом интервале обе мнимые части совпадают, мы и убеждаемся в справедливости тождества (5.104). В итоге получаем следующую функцию, эквивалентную функции (5.103): . .

)—2} (5.105)

Отсюда видно, что / (г?) совпадает с функцией / (ЛР), определяемой формулой (4.21).

В трактовке конечной массы фотона возникают некоторые тонкости, требующие дополнительного исследования. Но мы пока отложим этот вопрос и обратимся к соответствующему анализу частиц со спином

§ 6・ ФОРМФАКТОРЫ III. СПИН % Анализ случая частиц со спином г/2 основывается на двухчастичной амплитуде '

J @)...(阳)〃貿W) % 3)Y。|ЭффР+ (Е — &)' X

xG/3,z')也"(w')小(公)晶中(6.1)

с сохранением только зависящей от поля части источника:

iJn (?) 1] (ж) |эфф =，eq8 (ж — ?) ^^ (а；) + .. . .(6.2)

При этом учитывается лишь линейный по полю член разложения G^ = G+ + G+ eqyAG+ 十....(6.3)

Соответствующая вакуумная амплитуда равна

—ie2 j dMl dMl d(oP1 dmP2 dmh 6 (p； + 相2)6 (p；+ m2) x

X 屮 1 (— В) Y°YV (相一 YPi) eqyA (^(пь — ур^ yv^2(P^(6・4)

где

Pi = Pi —冗 P2 = % — k(6・5)

Прежде всего мы упростим матрицу

Mtl = yv (m—7^4) ^(m—yp^^,(6.6)

основываясь только на кинематических соотношениях

■ —р2= —р2=т2.'(6.7)

При этом мы хотим сделать очевидным свойство калибровочной инвариантности

К^ = 0,(6.8)

являющееся следствием равенства 、К = (ум + т)—(叩2 + т).(6.9)

Первый шаг соответствующего упрощения состоит в преобразовании

""=[2р； + (w+VPi) Yv] YH2P2” +丫屮 W + Y「2)I == —2(2 + 27n2)产 + 2 (m 十 у/?。у。2y +

+ 2丫即卩1 (^ + ye) + 2 (m + ум)产(m+ 丫必)・ (6.10) На следующем этапе систематически используется соотношение K=Pi —「2；(6.11)

например,

(иг + 叩1)w2 = (m + "0 ("1 - Ук)=

=т(т + 叩1) — (т + ур。уК.(6.12)

В итоге приходим к следующему выражению:

М^= — ^2уи + К^уК — im (pt + р^ — у у (Pi + с) io^Kv—

—аз^к^у(pt + р2)—(pt + р^ (pj + р^ yv. (6.13)

В него входят четыре набора слагаемых, каждый из которых по отдельности обладает свойством (6.8). Для двух из них это условие удовлетворяется тождественно, а для двух других его вьшолнимость основывается на соотношении ортогональности

к (Pl + Р2)= 0.(6.14)

В процессе интегрирования в формуле (6.4) возникает среднее значение вектора 卩工 + р?，В силу равенства (6.14) в ма обозначениях оно должно иметь следующий вид:

(6.15)(6.16)(647)(6.18)(6.15)(6.16)(647)(6.18)(Pi + P2〉= a (1 - _^~卜Р1 + Р2)。

(6.15)

(6.16)

(647)

(6.18)

(6.15)

(6.16)

(647)

(6.18)

Используя алгебраическое соотношение

(P1+乙)(Pl + &)=(P1+ P^ 一 2论(厶+乙)=

=一(k2 + 此 + / + 2m2) и замечая, что

一(a + Р2)(箇 一 кК) (рI + 乙)=a， получим

К2 (Н ++ М贽十 2m2)

д，

т. е. мы вновь приходим к результату (5.77). Другое необходимое нам среднее значение дается симметричной матрицей

〈(Р1 + Р2)(Pi 十Р2)〉=а (1 — -^~) + 匕(1组")*

><(2+Р2)(e+马)(1 一笑)•(6/9)

Образуя след этой матрицы и умножая обе части равенства (6.19) иа вектор 7\ + Р2» мы приходим к системе двух уравнений для коэффициентов а и Ь:•

—(К2 + 4m2) = За — b ,

А / А \2(6・20)

(8+此十此+ 2呜2=蔚+ m国)♦

Ее решение таково:

а = _|_ ［ R2（М： _ 7n2）（М： 一 m2）—戍（М：—加疔］,

8 =产（名^^2）_ + 零［p（此 一 欣）（m? --（）

-тп 2（М：-М：）2］.

Через переменные （5.71） три параметра а, а и & выражаются еле* дующим образом:

а = （К2 + 47n2）±2（；”）,（6.22）

,1 , 3 d（l-/）

где введена величина.

6 = 1 + 2/ + Л2.（6.23）

Заметим, что от № зависит только а, причем линейным образом. Теперь, когда в （М^ входят только векторы Ръ Р2 и их разность К, нам достаточно выполнить еще одно, последнее, преобразование. Оно основывается на тождествах типа

（Е + 2）" - — （丫尸产 + У YA） + ja^v（6・24）

и на сравнительно сложном тождестве

（Л +尸护［y （Л +三）+变萨Y引=

=一 2Y尸mY三一（此+應+人"萨匕）十

+ （1 + *^?偿）Y尸也叫软 + （1 + 型无"）i^KvyP2. （6.25）

Эти тождества позволяют выразить {М^） через базисные матричные векторы 丫乩 и Xg^v К、、справа от которых могут стоять множители 丫匕，а слева — множители уРг, Поступая таким образом, мы принимаем одно упрощение, а именно вводим лоренцевскую калибровку, заменяя тем самым 丫乩 ——（К^уК/К?） на 丫乩・ Это не приводит к потере общности, поскольку проекционная матрица 1 ——（КК/К2） индуцирует калибровочное преобразование, после которого векторный потенциал удовлетворяет лоренцевской

Напомним, чтоНапомним, чтоXp{+Ml-ie Pi + i-ieXp{+Ml-ie Pi + i-iedMf dMl — 1 x dz dvdMf dMl — 1 x dz dv(/ + 47n2).(/ + 47n2).(6.28)(6.29)(6.28)(6.29)

Напомним, что

Напомним, что

Xp{+Ml-ie Pi + i-ie

Xp{+Ml-ie Pi + i-ie

dMf dMl — 1 x dz dv

dMf dMl — 1 x dz dv

(/ + 47n2).

(/ + 47n2).

(6.28)

(6.29)

(6.28)

(6.29)

104 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

калибровке. Окончательный результат таков:

〈加〉二[—d + a)K2_a + b (此 + 此+ ^Щ^)]у +

+ 4?na (yP^ + ?匕。2)+ 2匕?匕?从y。2 - ^mai0^Kv -

-[a + & (1 + ^~М" ) ] yPli^'iKv —

-[«4 & (1 + Щ^1 )] i^KvyP2. (6.26)

Это выражение входит в вакуумную амплитуду (6.4), которую теперь можно записать как

Т 备 J 瓦円 d% ^^ 也(一乙)y%g (M^ 4 (К) 5(%). (6.27)

Если провести пространственно-временную экстраполяцию этой вакуумной амплитуды, не учитывая, как и в формуле (5.84), контактные члены, то мы придем к двойной спектральной форме:

,а Г (dp» (dp?) 4Л J TW" (2口尸,а Г (dp» (dp?) 4Л J TW" (2口尸"；}山(一?，)Y%g g)& 的屮2 (■) X

,а Г (dp» (dp?) 4Л J TW" (2口尸

,а Г (dp» (dp?) 4Л J TW" (2口尸

Рассмотрим сначала случай, когда отсутствует электромагнитное поле. В такой ситуации в формуле (6.26) следует опустить все члены с "卩％у и 优 так что остается

(М^) = 27n2卽乩 + ima (丫卩汴乩 + 丫叫歹2)+ 2Ьур^ур2, (6.30)

где

в = (1 十2更 + 2标土2)b"&U).(6.31)

Нам нужны следующие интегралы по переменной и:

f 1 Лч> 113 f 1 用，1 一评1

(а曾飞(1 +工)a十2%)，t Qu 55/2一(1+%)(4+2斤)2，

炉 J 皆如^ = §m(l+2z)_母，(6.32)

5 f 1 J у2 (1—У2)1 ! /4 . 9 х . х 1X3

Х° ] —；T- dv，у=^- In (1 + 2%)H—3~~;5" "71~~i—Г71~_। g \ •

J 26財22' 1/'1+2 ' 3 (1+%)(1 十2，)

Они позволяют вычислить интегралы

11

fl, а 1 Г 1 , р 1+%

)~2dv^г'==Г^, J Т ®Р ~^7Г = Г+2?'

-1-1，

(6.33)(6.33)，1力 b 一 1+忆

(6.33)

(6.33)

Ja+2z)2 .

—1

В итоге для эффективного значения {М^} получаем

(Ми)-> 斎[(М2 + m2) (7И2у^ + YPiY叫с) + 4?пЛ/2 (丫科评十 т^р2)Ь

(6.34)

чем и вводится массовый параметр простой спектральной формы:

Л/2 = ?п2 (1 + 2»Л/2 = ?п2 (1 + 2»(6.35)(6.35)

Л/2 = ?п2 (1 + 2»

Л/2 = ?п2 (1 + 2»

(6.35)

(6.35)

С точностью до множителя (п^12М^) только что полученный результат можно записать также в виде

[(М — иг)? — 2тМ] (М — YE) 丫眛(М — ypj +

+ К" + ⑺2 + 2ntM] {M + YP0 у (М + vp2).(6.36)

Это дает возможность представить унифицированное выражение для вакуумной амплитуды (6.28) - в следующем виде:

а Г (切)(dp?) f dM (а * \〔山,八、兩 у

X { [(M-my-2mM] ^^ eqyA (©福占元十

+ [(M+m^ + 2mM]加^小 呐4 (向^4^-

—2 口 —-吊m2 ]也Y4 (用}屮(p2).(6.37)

Чтобы удовлетворить физическим требованиям нормировки, сюда добавлен также полностью локальный контактный член. Эти требования вытекают из калибровочно-ковариантного обобщения модифицированной функции распространения. Удобнее и естественнее всего пользоваться при этом выражением для дополнительного вклада в действие, которое дается формулами (1.55) и (1.56) с контактными модификациями (1.59) и (1.60), не прибегая, однако, к тождественным алгебраическим преобразованиям, которые были произведены в формуле (1.60). Указанное обобщение, к которому приводят замены

11111

» 士 mf 丫(p-eg4) 士 m = тр ± "十yp土"也y"yp 土 m十.一 (6.38)

ИИ(6.39)(6.39)TP -> TP —哂4

И

И

(6.39)

(6.39)

сразу же дает нам выражение (6.37).

Кстати, совершенно аналогично можно было бы действовать и в случае частиц со спином 0. Сохраняя в (1.64) только поля и добавляя к этому выражению подходящее контактное взаимодействие, для вакуумной амплитуды получаем

恭）金*/:（貉+叫（m2-硏中式一?）Х

[?2 十 "2一况—m2 —m2 +（京二叫2 ]①2 （p） ，（6 . 40）

Тогда калибровочно-ковариантная подстановка будет приводить к следующему дополнительному члену в выражении для связи:

—Z 券,"^^ ^g^ % ( 一 〃)《屮2(Р2)(Pl + P2)A 的 X

X J ~M^ M^ — m^ \ pf+M^-ie 臓十”?一庇一丨丿，(b.41)

В итоге воспроизводится двойная спектральная форма (5.90), но с заменой фигурирующих там дополнительных контактных членов, которые содержат простые спектральные формы, одним полностью локальным контактным членом. Различие между двумя этими выражениями сказывается только на связях, в которые явным образом входят источники; с точки же зрения связей, зависящих от полей, они полностью эквивалентны. Такой подход к рассмотрению случаев и спина 0 и спина V2 обладает определенным преимуществом, так как он показывает^ что можно обойтись без простых спектральных форм.

Возвращаясь к двойной спектральной форме (6.28), рассмотрим каждый член с магнитным моментом по отдельности. Соответствующие выражения мы применим в трех случаях, в которых нам уже известны простые спектральные формы. Первым из этих членов [формула (5.20)] определяется зависимость от поля связи обобщенного источника частиц с простым источником частиц и с простым источником фотонов (胪=0). Явно зависящие от источников члены отбрасываются в формулах (6.26) и (6.28) подстановками 丫歹工―一иг, 丫歹2 f 一 т и» если отождествить 屮工 с полем простого источника частиц, подстановкой (р； + М2)~1 —> f (М2 — иг?)-* В итоге коэффициент при —2mia^vkv в формуле (6.26) оказывается равным а — Ъ. Он входит в интеграл [ср. с формулами (6.33)] 、

J У^-^ =(Г+2^ = т (6.42) -1

В результате мы придем к простой спектральной форме:

2言）■^■■^dm2 亲（1 一務）屮（一例）Y。景OX

X W) ^Обобщ (?2)爲十 Л/2一把，(6.43)

которая совпадает с выражением (5.20), если его записать в переменных импульсного пространства.

Простая спектральная форма, задаваемая равенствами (4.65), (4.73) и (4.75), целиком относится к простым источникам частиц. Знаменатели двойной спектральной формы приводятся в этом случае к виду

41_ 111/6 4厶

m； —М 而 —加2 - 哀-为2+4现2论2" •2.44)

丄zm2 + — (1 —р2)

На этот раз нам следует выполнить интегрирование по перемен

ной х. Используя интегралы

х dx 1° 不/г-—(1+I и |)2 'х dx 1° 不/г-—(1+I и |)2 '(6.45)(6.45)f dx _1

х dx 1

° 不/г-—(1+I и |)2 '

х dx 1

° 不/г-—(1+I и |)2 '

(6.45)

(6.45)

J мГн

будем иметь

产—尸丁) •(6.46)

J X 6】/2 J L §3/22§5/2 J 2'/

В результате мы получаем искомую простую спектральную форму

._о_ f (dp" (d?2)Г С而 • ] 乂

J (2“)4 (2n)4 J “ 血 J X

х 4"屮（一科）屮券 oF（"）屮（P2）.（6.47）

Третье применение относится к случаю, рассмотренному в § 2. Электромагнитное поле здесь однородно, так что интересующие нас члены в (М^) А (/с) имеют вид

6(Р1— р2)l^rnaoF + 2 (а + 力 yp<sF],(6.48)

где р = рх — р2 и подразумевается, что' произведение ур на gF симметризовано. Выполним интегрирование по переменной и:

J 4■初总[4TnaoF+ 2 9+6) Y3歹]=4 济(тw+ Y?)0р一

一3~(1-%)Y"(649)

Получающуюся при этом вакуумную амплитуду

啬 j 喝-7?+器二把戸^中（一?）叫2.（1 一器）（m + yp）~

—4"（I 一崙）％］ eg"2（p）（6-50）

можно представить в виде обычного однократного спектрального интеграла. Для этого достаточно выполнить интегрирование по частям по переменной М2. Поскольку вклады граничных точек интервала интегрирования （?п2 и оо） равны нулю, мы приходим к следующему слагаемому в действии （множитель i опущен）: '—ЙT J 禺学為^屮（一?）俨［jg + Y?） +

+ 2 V-^^p］也0尸屮（P）•产$二元,（6，5分

причем входящую сюда комбинацию можно переписать в виде

_ 4（”ур）十2（1_君）丫p（1一备广 （十若/

p2 十力/'2一比-уP-\-m-18ур 一 Л/十记 . （ . ）

Если не считать, что теперь вместо П стоит р, то полученное выражение совпадает с той частью действия （2.30） и （2.31）, которая зависит от электромагнитного поля.

Наша конечная задача здесь состоит в том, чтобы из двойной спектральной формы получить известное выражение для простой спектральной формы зарядового формфактора частицы со спином V2. Производя подстановки 丫卩；1f — иг и ур2 т — т, которыми отбрасываются члены с явной зависимостью от источников, мы получаем следующий коэффициент при 丫眛 в среднем значении

一）/一8^2斗三一吕（/十47n2）十

+ （4+4 ”°b"卜％ + /№）（依 + 4*）.（6.53）

Как и при выводе выражения для магнитного формфактора в рассматриваемых условиях （—р：, —p；f 絞），мы имеем также

dMg dM^' 力： 女1 伟 ez\

一释 （m；一m2）（m口后）--2 и蒜F絞十导仕_叫. 9 ‘

Поскольку член с векторным потенциалом, который получается при 友2 = 0, следует включать в модифицированную функцию рас-

пространения, мы избавимся от него путем эффективной подстановки

47n2 f — (1 —吩胪(6.55)

{равенство (5.96)]. Возникающий при этом коэффициент —胪у匕 который определяется на основании формулы (6.53), можно представить в виде

(1+%) [1+睥(1+%)] I x^v2 (1 — р2) ( 3 х2 (1 —р2)2

б ：[26^Т ^.

一 [^ 十^巴惊也](2 + /№)卢.(6.56)

В первом слагаемом мы узнаем полное выражение для формфактора частицы со спином 0, даваемое формулой (5.99). Это сразу же приводит к соотношению

一（备+ ^干"）（1+纪叫卢］•（6-57）

Поведение полученного интеграла на нижнем пределе говорит о том, что при обоих рассмотренных значениях спинов возможны одни и те же рассуждения, основывающиеся на введении конечной массы фотона, и повторять их здесь нет никакой необходимости. Подынтегральное выражение можно несколько упростить, приведя его к виду

、3 х (1 — р2) (1 +^y2)(1+%)/

2§5/2§3/2

После этого, пользуясь соотношениями (у >0)

33х (1 + а：у2) —1х (1 + а：у2) —1£/2£/21 + и，1 + и，(6.59)(6.59)

3

3

х (1 + а：у2) —1

х (1 + а：у2) —1

£/2

£/2

1 + и，

1 + и，

(6.59)

(6.59)

мы получим

• 哂 @) 一办俨)=券(1 — Зи)・(6.60)

В то же время, согласно формуле (4.132), имеем .

(и)—•(6-61)

Может показаться, что мы потерпели неудачу.

Такое заключение было бы слишком поспешным. Но здесь, несомненно, можно видеть указание на то, что в своих вычисле-

ниях мы упустили какие-то тонкости. Пора, видимо, подчеркнуть, что то, чем мы здесь занимаемся, относится скорее к области искусства, чем науки. Мы пытаемся воспроизвести результаты, уже известные из анализа простой спектральной формы, пользуясь одной только двойной спектральной формой без привлечения добавочных простых спектральных форм. Будет ли такая попытка успешной или нет, зависит от того, как мы построим процедуру вычислений. Объяснить эффекты, связанные с магнитным моментом частиц со спином %, нам удалось, вне всякого сомнения, благодаря отсутствию здесь контактных членов, что характерно для явлений, индуцируемых динамикой. Несогласованность же результатов для зарядовых формфакторов частиц со спином О и со спином V2 ведет свое происхождение, видимо, от существования в последнем случае двух разных типов функций распространения, характеризующихся противоположными значениями внутренней четности. Как видно из выражения (6.37), они не смешиваются в отсутствие электромагнитного поля. Но при наличии поля эти функции сливаются в единое целое за счет некоторого механизма, необходимость в детальном рассмотрении которого у нас пока не возникала. В такой ситуации встает вопрос, нельзя ли указанную трудность обойти, построив процедуру вычислений для частиц со спином % по тому же образцу, что и в случае спина 0.

С подобной процедурой мы уже знакомы. Она состоит в замене функции распространения 専，удовлетворяющей уравнению (2.1), функцией распространения А?, которая подчиняется уравнению ⑵4):

[П2 - eqaF + ?п2] =「 (6.62)

и которая отличается по внешнему виду от соответствующей функции для частиц со спином 0 лишь наличием дополнительного члена eqoF. В сущности замена G+ т Д+ сводится к следующему изменению линейной связи с электромагнитным полем:

eqyA-^-^lpA + Ap + aF]. (6.63)

Чтобы подробнее ознакомиться с таким методом расчета, вернемся к анализу, который проводился в § 4. Напомним, что там исследовался обобщенный фотонный источник, испускающий пару заряженных частиц, которые затем взаимодействуют друг с другом. Попытаемся теперь ввести комбинацию (6.63), описывающую взаимодействие, путем чисто алгебраических преобразований известного выражения для частиц со спином %. Обратимся для этого к векторной величине (4.35), в которую входит следующее произведение матриц:

yvg —丫卩2)产(一《г —YP；)Yv・ (6.64)

Наличие проекционных матриц слева и справа от 丫乩 позволяет произвести подстановку

^[(_；У?2)У+У(^У?；)] =

= *[(Р2 —Р# —讶％>】・(6-65)

Вспоминая, далее, что в (4.34) содержатся еще и проекционные матрицы т — 丫卩工 и — т —加，напишем

Yv т — YP2)= (^ + YP2)Vv + 2p； f y(02 — a) Vv + 2pl =

=(Pl + P2)V —力产(Pi — P2)X(6.66)

И

(—^ — TPD Tv Tv (— ^+ VP2) + 2P2V -> YvY(P；—P；) + 2p3v =

=(p； + P^ + ZUv% (p；—歹；世・(6.67)

В результате величина (6.64) заменяется произведением

"^Г [(P1 + P2)V—^х(Pi Рг)х] [(Р2 — Р^—»0出死р] X

X [(Л + P；)v + Ш¥Х (р； — р^],(6.68)

что и соответствует подстановке (6.63). (С точностью до некоторых степеней 2?п, которые можно включить во внешние сомножители.) Если опустить здесь спиновые члены, то в этом выражении мы узнаем комбинацию, отвечающую частицам со спином 0, которая входит в выражение (4.6).

Раскрывая произведение (6.68), полезно иметь в виду равенства [напомним, что р； — р；= —(卩工一р^\

[—ZE”(P1 — P2)“][—釈％ (% — ?2)H =

=[—Y (Pl — P2)干—(Pi — P2)U [YvY (Pl — ₽2)亠

+(P1—?2)J = —3(Pi—Ра)?(6.69)

И

[—2V" (P，— P2)内 MP [ — &% (Pl—卩2尸]=

=[—Y(Pi — ?2)yv — (pi —灰户]0叩[丫皿(Pi — P2)+

+(P1 — />2)vl =(P1 — P2)2 ^P-(6.70)

Здесь учтено соотношение

На этом этапе интеграл (4.35) с точностью до простых множителей принимает вид

粤也8—r)”〉一5%[〈%丝爵电〉+1]-

十漑叫也入〈空端号尹匕〉十

一十5m(出唠绊)U吟如叫，(6.72)

где мы воспользовались тем обстоятельством, что

〈(〃 一项〉= 0.(6.73)

Нам уже известен интеграл

＜仞卷等*(『介〉=

= (plp卅[—2(胱_2噌〈^^〉+ 4^|^](6.74)

[формула (4.13)], а аналогичные выкладки дают

/(Pi + a) (瓦 + p，)\ 丄 4 =

\ (Pi —p2)2/

=-2出2-2叫=-2出2-2叫(6.75)(6.75)/1\ j / “2 — 2m2 o 〃2

=-2出2-2叫

=-2出2-2叫

(6.75)

(6.75)

\7pi —P2)2 /十 & 加二碎—Z К —47n2

Еще один знакомый нам интеграл [формулы (4.44) и (4.45)J входит в два последних слагаемых выражения (6.72), где можно произвести подстановки'

((円+ P2)V(P1-P2)K、 2pv /丄"二上2)匕、—2pv]

\(Pi-P2)2, Pl \ (Pl P2)z , _ Pl"2—4^2

(6.76) и

〈生崎2需尹)"〉f 2%⑵一*而为,(6.77)

поскольку нужны лишь антисимметричные части тензоров. В итоге остается интеграл

〈^^^〉=5*)+

+ b(Pi-p'^(pi-p^.(6.78)

Структура правой части показывает, что он симметричен относительно перестановки р上 н р： м что при умножении на кя или к^ этот

интеграл обращается в нуль. Две скалярные комбинации, которые получаются при образовании следа и при умножении на (Pi —— 卩；)乂Si ——р；)рл дают нам систему уравнений

—I = За + (Л/2 — W) &, 0 = а + (Л/2 — ^ 仇 (6.79) решив которую, получим

"=-^，J^j^^，"О)

Комбинируя все эти соотношения, можно будет представить (6.72) как

[3_р；)「5%] [ — 2(М」2硏〈亦餐〉+ 4黑舞•卄

+ 16叫 北士需 + J4m2 [-»加v支 (р, - p» (Л - P')” +

+ 打阳％用75A (Pi—p^ + 渺也* (Pi—р'^ йт"%].(6.81)

Упростим последний спиновый член, записав его в виде

Y你(р, — Р；) 3 — Р^ +(Y吁 + 砂)阿(Р1-Л)+ ?(Р1 — Р；)耽 X

X(Y卸»+眇)=-(的乩+ Yp汴田(p1一p3» —

"-M2(p,-p#f-мд,-")»,(6.82)

где на конечном зтапе преобразований мы воспользовались наличием проекционных матриц и сделали подстановки ур4 -> —щ, TP； f m. Получающееся при этом выражение,

[(门一p；)”一打”吗][-2 (游—2峭〈阮%戸〉+

+ 4 др —4ni2M2-4M%内冗 др _4nt2，(6.83)

после его умножения на 1/2т и на (1/4л)2 [1 — (in^/M2)]1^ полностью совпадает с (4.57). Нельзя сказать, чтобы этот расчет был намного короче предыдущего, но зато отсюда сразу вытекает соответствующий результат для частиц со спином 0.

Обратимся теперь к причинному расположению источников, которое приводит к двойной спектральной формё, и рассмотрим следующую комбинацию, входящую в вакуумную амплитуду (6.4):

?v [иг — у (Р,—切 у [加一у (Ра —砌 №・(6.84)

Соответствующие подстановки имеют здесь вид

у-^_ 7(p1一论))У+У (一扌 7 (p2—左))]=

= ^^P^P^~2^~iQWK^(6.85)

И

Т[т-у (Л- *)1 = W + Y-Pi) Г + (2Pi-用 V —炉％,

[m — у (P2 — A:)] yv = y4 (m + yP2) + (2P2— A:) v + iavXJ^.'' Матричные сомножители m + 丫7\ и m+ у/\, действуя на поля, превращают их в источники. Если отбросить эти члены, то комбинация (6.84) заменится на

言[(2Л-守-м%][(巴 + 乙 一2研一 io^p] X

X [(2Р2 ^-)v"1~ ^vX.^1 •(6.87)

Опустив здесь спиновые члены, мы придем к комбинации для частиц со спином 0, которая входит в вакуумную амплитуду (5・59).

После замены в формулах (6.69) и (6.70) импульса р* — р金 импульсом реального фотона (—А2 = 0) эти члены никаких вкладов давать не будут и величина (6.87) примет вид (с точностью до множителя 1/2иг)

(2p,一田(2A-田 KE + A- 2田以 一 Z/v^j ++ (B +%一 2"屮2公内映眇一

—i^K^Plic^ + 2P^i^k^^K^(6.88)

где

(2PD(2Pz— 归)=—(2Р +此 + 此+ 2 叫(6.89)

Согласно равенствам (6.15) и (6.19), интегрирование по переменной 论 сводится к подстановкам

凡 + 4 -24 тa(1一 簪)(門 + 巴) (6.90)

И

(尸,+ p2-2")宙1+p2 - 2")->

f a d¥■)+b(‘ - "^)(p1 + p2)(p1 + A)(1 - ^^).

(6.91)

Все входящие сюда коэффициенты задаются формулами (6.22). В итоге комбинация (6.88) в лоренцевской калибровке принимает вид

(Л + %)Н— а (24 + м： + 應十 2球)+ (а-b) 2P^ia^} +

+ io^Kv [2^2+M： + M； + 2球 + 司一

—(1—a) {ia^Kp, P^o办招}—

導丝 a {i^Kp, P\i^P^.(6.92)

Заметим далее, что

ie^K^Plio^P^ = у^К (уКуР2 十 KP^j = — К2у^уР2 —反А»。"吹山

(6.93)

P\iG^PiiG^Kp = {уР^К + КР) уйГу" — — КгуР^ + KPfiG^K^ откуда получаем

{ioMKp, Р汨v/動=R2(В + 厶)口(6.94)

И

[吋p聋，舛а/幻=用(舛产一旷Y2)+(因一因)了。з爲.(6.95)

Нам потребуется также соотношение

2Р*о 办Р^ =、Р^К 一 уКуР2 + 左 2.(6.96)

Для дальнейшего упрощения исключим члены, явно зависящие от источников, т. е. отбросим комбинации

(yPi + Z71)Y^ _ VU (VP2 4- zn), (?Pt -I- zn) Y^ — у К (yP2 + m). (6.97)

В результате для (6.92) будем иметь

(Е + Р^[ 一 а (2^2 ++ 2m2) + (а—b) Г — (1 - а) К2] +

+ i^Kv [2R2 + "： + "： + 2m2十 а— а 两工严尸],(6.98) или, если подставить сюда явные выражения для коэффициентов а, а и & [формулы (6.22), а также (5.79)],

[(e+ %)「娩也][-(±!#3+号+

+ 4 ”(葭叨)"-1^ (4絞 + P (1 _ №))] +

十з叫[-4叫书尹)+

+ (^^ + ^^ + ^-4^а)(¥ + 4М)].(6.99)

Ранее, когда речь шла о частицах со спинами 0 и х/2, мы опустили члены, йропорциональные 4加纟 + К2 (1 —— v2), положив * Р； = —m2. Аргументировалось это тем, что необходимое сокращение обеспечивается соответствующим контактным членом. Однако такой подход не вполне удовлетворителен, поскольку отдельные члены обладают инфракрасными расходимостями и при введении конечной массы фотона с ними нельзя оперировать по тому же самому рецепту. Вместо этого будем действовать следующим образом. Благодаря соотношению

(К^+ 4М) [4济十衣2(1 —吩]= £(〃；一加2)(М；—加2)(6.100)

вся зависимость подобных вкладов в двойную спектральную форму от К2 концентрируется в множителе

где уже добавлен соответствующий контактный член, не зависящий от ”. Если положить здесь р： и р： равными —加纟,то эта комбинация, которая является обобщением соответствующей комбинации^ фигурирующей в формуле (6.41), обратится в нуль.

Чтобы получить связи, содержащие у" и 力仃区”论^, которые нам нужно сравнить с результатами предыдущих вычислений, достаточно поделить величину (6.99) на 2т. В итоге коэффициент при —у咏2, заменяющий (6.56), оказывается равным

где снова первое слагаемое совпадает с соответствующим результатом для частиц со слипом 0. Соотношение (6.57) заменяется теперь соотношением

d九e) 一⑺切=嶽j dx [/十|■工(后2叨•].(6/03)

Используя интегралы [формулы (6.45) и (6.59)1

jd“-^T = *^'3 j&£篇~=仕工2 ,(6.104)

будем иметь

p/i (p)—v/ (v)= -^-.(6.105)

В отличие от формулы (6.60) это выражение дает нам тот результат, который мы и хотели получить.

Правда, если обратиться к магнитному формфактору, то мы увидим, что здесь ситуация изменяется на противоположную. Первое слагаемое в коэффициенте при ia^kv то, которое нам и нужно. Но во второй вклад входит интеграл

J 或叫抬/2 十 263/2 十 6% 2 ”2 」2 и， О '

так что при попытке воспроизвести выражение для магнитного формфактора мы терпим неудачу. Однако в обоих случаях нежелательные добавочные члены имеют примерно одинаковый вид, и возникает естественное предположение, что трудность лишь кажущаяся- Добавки к зарядовому и магнитному формфакторам,

возникающие при двух разных способах расчета, пропорциональны в первом случае интегралу

=］硏击一^^),(6.107)

а во втором—интегралу

»也2 (即 Q _僭+ 4?n2) f 一 "_ 4—

4M J ° t J / (j 产)一(佇十卽)J “2—4^2 胪+ M2 一

=f2)，(6.108)

причем вектор к по-прежнему считается пространственно-подобным: А：2 >0. Но каковы здесь области интегрирования ? Обычно они задаются квадратным корнем, входящим в качестве сомножителя и определяющим порог процессов многочастичного обмена. Тут же нет никаких пороговых множителей. Как мы увидим и в следующем параграфе, при обобщении исходного причинного расположения • источников также снимаются первоначальные .ограничения на массы, которые накладываются только пороговыми множителями. В такой ситуации область изменения величины ЛГ2 становится безграничной. Эта величина изменяется от ——оо до оо, поскольку именно такие значения принимает величина —р2 в четырехмерном импульсном пространстве. Два слагаемых в выражении (6.107) обладают особенностями при вещественвжСх значениях М2 = 0 и ЛР =—胪；аналогично, в выражении (6.108) имеются особенности при Л/2 = 4тп2 и № =——А2. Однако эти члены связаны друг с другом конечным сдвигом переменной №. Ограниченный, но бесконечно удаленный интервал не дает в отдельные интегралы никаких вкладов. Таким образом, два зти члена взаимно уничтожаются, а потому интегралу (6.107) и интегралу (6.108) следует приписать нулевые значений.

Тут меня прерывает Гарольд.

Гарольд. У меня одно замечание, которое будет Вам полезно, и один вопрос. В ходе анализа частиц со спином 0, проводимого на основе одного обобщенного источника частиц, возникла проблема установления эквивалентности с известными результатами. Она свелась к доказательству тождества (5.55), а доказательство проводилось путем независимого вычисления обеих его частей. При этом Вы сказали, что хорошо бы найти подходящее преобра-

зование, которое связывало бы два выражения, полученных разными способами. Вот то преобразование, которое Вам хотелось иметь:

(%+1) /2 —Q—1) /2u(%+1) /2 —Q—1) /2u(6.109)(6.109)

(%+1) /2 —Q—1) /2u

(%+1) /2 —Q—1) /2u

(6.109)

(6.109)

где обе переменные z и р пробегают значения от —1 до +1. Так как

dz =dz =2m2mмы получаем1мы получаем1[(工+1 尸/2—(%—l)1/2p]2'[(工+1 尸/2—(%—l)1/2p]2'(6.110)(6.110)ttJ[h 十 (%2—人)"2%J[h 十 (%2—人)"2%=j J-1 (+^(工一1)(1一球)=j J-1 (+^(工一1)(1一球)(6.111)(6.111)

dz =

dz =

2m

2m

мы получаем

1

мы получаем

1

[(工+1 尸/2—(%—l)1/2p]2'

[(工+1 尸/2—(%—l)1/2p]2'

(6.110)

(6.110)

t

t

J[h 十 (%2—人)"2%

J[h 十 (%2—人)"2%

=j J

-1 (+^(工一1)(1一球)

=j J

-1 (+^(工一1)(1一球)

(6.111)

(6.111)

или, вычитая из обеих частей этого равенства 2/力 и некоторые перегруппировки,или, вычитая из обеих частей этого равенства 2/力 и некоторые перегруппировки,производяпроизводя

или, вычитая из обеих частей этого равенства 2/力 и некоторые перегруппировки,

или, вычитая из обеих частей этого равенства 2/力 и некоторые перегруппировки,

производя

производя

2(况+1) I dz2(况+1) I dz1_|_(Л2 — 1)(1—Z2)1_|_(Л2 — 1)(1—Z2)оЕсли положить затемоЕсли положить затем1о1о1+评1+评z+^ (1)(1-叫z+^ (1)(1-叫(6.112)(6.112)4 г 产 /= 1 +"Г~Т , 1 4m2 '4 г 产 /= 1 +"Г~Т , 1 4m2 '(6.113)(6.113)

2(况+1) I dz

2(况+1) I dz

1_|_(Л2 — 1)(1—Z2)

1_|_(Л2 — 1)(1—Z2)

о

Если положить затем

о

Если положить затем

1

о

1

о

1+评

1+评

z+^ (1)(1-叫

z+^ (1)(1-叫

(6.112)

(6.112)

4 г 产 /= 1 +"Г~Т , 1 4m2 '

4 г 产 /= 1 +"Г~Т , 1 4m2 '

(6.113)

(6.113)

то мы получим искомый результат.

Теперь вопрос. Мне не совсем ясна цель того, что Вы делаете. Разными способами получены одни и те же динамические модификации электромагнитных характеристик. Зачем зто нужно? Не достаточно ли одного вывода ?

Швингер, Благодарю Вас за преобразование. Что же касается Вашего вопроса, то именно совпадение результатов разных методов расчета и важно, поскольку тем самым подтверждена согласованность принципов причинности и равноправности точек в пространстве-времени. Разные причинные комбинации источников, которые в одном случае действуют как простые, а в другом ——как обобщенные источники, приводят к одним и тем же выводам. Кроме того, попутно мы рассмотрели два обобщенных источника частиц, которые нам очень пригодятся в различных приложениях. Но прежде чем к ним переходить, нам следует получше познако* миться с простой и двойной спектральными формами.

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН

Проблемы, на которых мы теперь сосредоточим свое внимание, строго говоря, выходят за рамки чистой электродинамики. Они лежат в области ядерной физики низких энергий. Тем не менее

в нашем анализе ядерные силы явным образом не будут фигурировать. Помимо фотона, нас интересуют нейтрон, протон и дейтрон. Последний будет описываться чисто феноменологически, хотя у нае и нет никаких сомнений в сложной природе этой частицы. Для простоты все указанные частицы рассматриваются так, как если бы они были бесспиновыми объектами. Мы не учитываем различия в массах нейтрона и протона, обозначая их массу через т. Масса дейтрона будет записываться как

砌)=2m — е,(7.1)

где 8 — энергия связи дейтрона, весьма малая по сравнению с т. Физическая взаимосвязь между дейтроном, с одной стороны, и нейтроном и протоном, с другой,— учитывается путем введения обобщенного источника. Если взять энергию, весьма большую ло сравнению с импульсом (достаточный избыток массы), то источник, обычно испускающий дейтрон, сможет испускать также нейтрон и протон. Такая взаимосвязь описывается примитивным взаимодействием

(7.2)(7.2)%Dpn = 4л/ j (dx)(pD(2)фр(2)(рп (х),

(7.2)

(7.2)

в которое входит скалярное произведение в зарядовом пространстве, общем для протона и дейтрона.

Прежде всего мы рассмотрим модификацию дейтронной функции распространения, обусловл енную примитивным взаимодействуем, которое позволяет представить дейтронное поле в виде эффективного двухчастичного источника:

近р (况)Кп (х1) |Эфф = 4n/(pDS (宓一吟.(7.3)

Возникающее при этом выражение для связи двух причинно-упорядоченных обобщенных источников дейтронов получается из вакуумной амплитуды

(d况)• •・(dyf) iKpi (n) ^ni (力 |a巾Ф X

X Ap (况一况)Ап(У—У )近pz (况)衣口2(У) |эфф*(7・4)

Оно имеет вид

(4m/)2 ( (dx) (dxt)(pDi (ж) аp (况一宓‘)ац (宓一公)(pD2 (况‘).(7.5)

Благодаря наличию причинной упорядоченности для произведения функций распространения имеем

迪 > 即：дp (宓—xf) An (方-xr)=

=—J dojpdojn exp [iP Q—e')]=

=—J d"2 扁N」謂广%SpexpHP (z — a/)] =

=击 J @"2h一 需广 A+(2 _ z，,M2),(7.6)

(2m)«

где использован кинематический интеграл (1.24). Чтобы удовлетворить физическим условиям нормировки, к этому выражевию следует добавить контактные члены. Эти условия требуют, чтобы добавочная связь относилась к источникам, а не к дейтронному полю. В противном случае изменялось бы исходное описание дейтрона, которое дается его функцией распространения. Необходимые добавочные члены вводятся с помощью подстановки

р2+ М2 — ig f 尸2 十 J/2 —把M2 — zng 十(Л/2 工 mg)2 —

_产+响2(

-("2 — 7n訳]2 十 m2 — ig ・M

Получаемый таким способом дополнительный член в выражении для действия имеет вид

产 j ^г "I 屮D ( - р) (р2 十優)2(PD (р) х

丫 f—\ 1/21n 04

X J (Af2_m2)2 ^ 1 ~^~ /p2* 濟—加•■。/

Если добавить его к исходному выражению для действия

J 後}[仆(Р)(Pd( — Р)— -|-(Pd( — Р)(Р2 + ^-d)(Pd(P)} (7.9)

то. принцип стационарного действия будет приводить к полевым уравнениям, которые решаются с помощью модифшщрованной функхщи распространения

Ad(Р)=

P^^D-^+^d)2 /2 j (Л/2粵3)2 ('-芻)"尸+；2 —ie

(2m)2

Хотя для получения этого результата мы воспользовались релятивистскими методами, весьма важной областью его применения является нерелятивистский случай. Переход к нему можно осуществить, записывая

рО=2иг+Е +蚩，M^2m + W, E,W,^^m. (7.11).

Предельное выражение для функции распространения имеет вид.

瓦D(P)f —畫 G(E),(7.12)，

где

G ® ^• (7.13),

Е + г-(Е+^^^ J 初％工呼飞+ i；_亦

О

Чтобы не путать 8, энергию связи дейтрона, с параметром е -> +0г мы для последнего ввели обозначение 刀 f +0・ Входящий сюда интеграл может быть вычислен методами контурного интегрирования, либо примененными непосредственно, либо в более простой форме, с использованием новой переменной интегрирования! …/2 = X：

ооК% 1(%十e再Z + »n一方К% 1(%十e再Z + »n一方de J x2 + s л2 —(后十加)de J x2 + s л2 —(后十加)Это даетЭто дает=屮=屮e - 8花+联e - 8花+联Е】/2啰+司2Е】/2啰+司2G（E）= "7 『尹』\ Г-（4-専击■卜e+ё）+ Т备[8 + 2旷2]G（E）= "7 『尹』\ Г-（4-専击■卜e+ё）+ Т备[8 + 2旷2]где введено обозначениеY =(吸产.где введено обозначениеY =(吸产.(7.⑷(7Л5>(7.16>(7.⑷(7Л5>(7.16>

о

о

К% 1

(%十e再Z + »n一方

К% 1

(%十e再Z + »n一方

de J x2 + s л2 —(后十加)

de J x2 + s л2 —(后十加)

Это дает

Это дает

=屮

=屮

e - 8花+联

e - 8花+联

Е】/2啰+司2

Е】/2啰+司2

G（E）= "7 『尹』\ Г-

（4-専击■卜e+ё）+ Т备[8 + 2旷2]

G（E）= "7 『尹』\ Г-

（4-専击■卜e+ё）+ Т备[8 + 2旷2]

где введено обозначение

Y =(吸产.

где введено обозначение

Y =(吸产.

(7.⑷

(7Л5>

(7.16>

(7.⑷

(7Л5>

(7.16>

При -больших значениях Е (Е》* асимптотическое поведение- этой функции таково:

G(з賞:产 专•(7-17)

8 my

Примитивное взаимодействие с электромагнитным полем имеет вид

)0Z)严(£)&(£)=

j @£)[ <Pd (x) eq у 5n(pD (%)厶”(z) +(pp (2) eq 扌 8”(pp (力& (z) ] •

(7.18>

Чтобы установить, каким образом электромагнитные характеристики дейтрона модифицируются динамикой, рассмотрим следующую совокупность причинно-упорядоченных источников. Пусть имеются два обобщенных дейтронных источника и обобщенный фотонный источник с пространственно-подобными импуль- *сами. Виртуальный дейтрон, испускаемый обобщенным источником, распадается на нейтрон и протон. Протон рассеивается фотонным источником, а затем рекомбинирует с нейтроном, образуя виртуальный дейтрон, который детектируется другим дейтронным источником. Такая схема рассматривалась в предыдущих параграфах, но теперь происходит не обмен фотоном, а обмен нейтроном. •Соответствующая вакуумная амплитуда дается формулой (7.5), в которой протонная функция распространения имеет теперь вид

Др = Др + Ар eq (рА + 4р) Ар + ... .(7.19)

Подставив причинные выражения трех функций распространения, для вакуумной амплитуды интересующего нас процесса получим

—t (dir# J &% 蟲〃 d3p(PDi (— В) eq (p, +〃) 4 (К) Фю2 (尸2)=

=—i (4л/)2 J <Ш： dM^ tfopi «Лор? &3р6 [(尸,一р)? + m2] x

X 6 [(% - PF + 加円(pD1(- E) eq^2{P^ (Л + P2-2p) A (K). (7.20) Здесь через p обозначен импульс нейтрона; другие символы имеют тот же смысл, что и раньше. Существенное изменение по сравнению < прежним анализом состоит в замене соотношения между энергией и импульсом фотона соответствующим соотношением для яейтрона:

р^ + т2 = 0.(7.21)

Вследствие этого основной интеграл, возникающий в ходе вычислений, принимает теперь вид

j d(oP6 (20尸,+應)8 (202+m)=

=姦j^1跖。成3(-2;)。m]+ m："(一2p。马+2巾||爲12 + "；)=

-0-(7.22)

(4я)2/

Мы приходим к тем же значениям, что и раньше, при

А = ¥ + 2Р (М： + ”；) + (М； — Ml )2,(7.23)

но условие, при котором интеграл отличен от нуля, оказывается теперь иным. Оно получается из требования

I 熙—К К什患十竺 ^^-Ы^^(7.24)

я записывается как

累照熙，(7.25)

ИЛИ

т2 (АГ： -ЛГ：)2 < ¥ [(Ml - 2m2)(Af： - 2w2) 一 笳(R + 4成)]・(7.26) Выполнение этого неравенства обеспечивается, если выбрать переменные

Ml-2m2 = m (七 + 4欣产 х + тК (ж2 - 1产 ％

М|-2m2 = m (К2 + 4ma)"? x — mK ㈠ _ 1严吃 где

№ V 1，х > 1.

Вот как выражаются через эти переменные некоторые нужные нам величины:

a =К2 毎2 + 8絞 + 4hI (к2 + 4^2产① + 4球 Q2—])叫， dM： dMl = 2m2K (箇+《酒产(x2 -1)1/2 dx dv. Алгебраическим соотношением

К (Е + А —2p) = (pi — pz)(Pi + Pz) =。 вновь фиксируется вид векторного среднего значения 0 +A一2p〉= "1一醬)俨，十三)， где・

.a= -号(2 + %)(?+ 2-2Px 呼吃±^+死).

(7.27)(7.28)Другие(7.29)(7.30)(7.31)(7.32)(7.27)(7.28)Другие(7.29)(7.30)(7.31)(7.32)Если не учитывать контактных членов и взять лоренцевскую калибровку, то выражение, получаемое путем пространственно-временной экстраполяции вакуумной амплитуды, будет даваться двои- ньтм спектральным интегралом:

(7.27)

(7.28)

Другие

(7.29)

(7.30)

(7.31)

(7.32)

(7.27)

(7.28)

Другие

(7.29)

(7.30)

(7.31)

(7.32)

产J嚮器券^啰+園十战)X

X TD1 (―Pl)eg(P1 +〃)胪4 (舟(pD2 (p“ x

入 pl+Mf-ie pl + Ml-ie °

В случае свободного поля, когда 渉=0, мы имеем

Ml =М^==М2=2ш2(1+х) и

胪dM? d腿 =工(£2 -1)"2山;如

(7.33)(7.34)(7.35)(7.33)(7.34)(7.35)-^N [2(1+£)十(£2 -1)睥『/2 .

(7.33)

(7.34)

(7.35)

(7.33)

(7.34)

(7.35)

Пользуясь формулой

1

讶!" [2(1+比)+(第2-()p2广/2 т (П^2，(736)

получим, что величина (7.33), как это и должно быть, принимает вид

i/2 J 另籍 ^^г 屮di ( — И)匆 3 + A) 4 (用屮D2(3)X

X dM2 (1-需2丄 A ,，(7・37> \ M2 / „ L pf + "2 — 28 p|+"2—i&("2 — m£)2」，' 丿

куда мы включили чисто локальный контактный член, к которому приводит калибровочно-ковариантное обобщение комбинаций (7.7) и (7.8).

Применим двойной спектральный интеграл (7.33) к дейтрон- ным полям, ассоциируемым с простыми источниками. Член в выражении для действия, получающийся в результате замен р；, p^f f —тЪ9 равен

产j酱^黑发效(一Р1)也(Pl + p2)"2" 3)畋82)X

T dMfdMl з+峻+蹈7

где

(m一电)(m：一加3)=

=[т (/с24- 4m2)1/2x + 2m2 — mb]2—炉左？ (x2 — 1)戌.(7.39)

Здесь мы ограничимся нерелятивистским случаем, которому соответствуют условия и упрощения типа

依《疗(7.40)

и

mi = (2т — е)2 ~4济一4M(7.41)

В такой ситуации

(Ml — niD)(Ml — niD)笈

W [卜_1 +需+誥 0)2一募岁-1"2] ,(7.42)

откуда видно, что наиболее существенны малые значения х ——1, порядка 依/加2 и УЧН. Положим поэтому упрощенно х2 — 1 а; 2 3 — 1), а также напишем

£-1 = (/2.(7.43)

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 125

Тогда спектральный интеграл, фигурирующий в (7.38), примет вид (с учетом множителя 峪

〜2』f炉初曲

J / 2 I依丄2屮\2一左2(产+方寿+才)一豆百调炉

Переменная у изменяется в пределах от 0 до оо. Но выражение (7.44) с точностью до множителя 2T2]т^ можно записать в следующей эквивалентной форме:

Производя затем преобразование сдвига

(7.46)(7.46)…什読U'

(7.46)

(7.46)

получаемполучаем

получаем

получаем

=-2-T-^47-(7・47)

Как показывает равенство

不^电硏遊，(7，48)

4y

зависимость соответствующего множителя в формуле (7.42) от 左 имеет вид спектральной формы. Нам нужно еще исключить связь с векторным потенциалом при А2 = 0, которая должна учитываться модифицированной функцией распространения. (Это автоматически обеспечивается введением контактного члена.) Следовательно, в действительности спектральный интеграл входит в форме

i(з+"2 一击)=一胪 f 需%2；m? •(7.49)

4?4?

Складывая возникающий при этом член действия с примитивным электромагнитным взаимодействием дейтрона, получаем следую-

126 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

щее выражение для дейтронного формфактора:

"田=1 -胪^ ^ j需胪十2-。.(7-50)

При больших значениях к (к》4у) формфактор стремится к постоянному пределу:

F⑻-Т±・(7・5今

Эта комбинация встречалась нам и раньше, в асимптотическом выражении (7.17) для дейтронной функции распространения. Очевидно, что особенно важную роль играет нулевое значение этой комбинации, которым определяется соотношение между константой связи / и энергией связи дейтрона:

При таком соотношении эффективное электромагнитное взаимодействие дейтрона с высокочастотными фотонами должно обращаться в нуль и дейтронная функция распространения утратит свою форму, характерную для функции распространения частицы. Из этого явствует, что дейтрон представляет собой составную частицу, которая с полной определенностью диссоциирует при воздействии на нее внешнего возмущения с достаточно высокой энергией. При таких условиях можно объединить два члена формфактора (7.50), что приводит к выражению

胪十必•(7・53)

Для пространственных компонент векторов к можно интерпретировать эту формулу обычным образом на основе представления о распределении заряда. Вспоминая, что

1 Г / 1 \/1x1 ехр(—

Ем = J & (彳г) exp ( Tk.^r)而j, (7.54)

где i/2r——вектор, характеризующий положение, мы получаем

"舟=j (dr)exp ( Тk$)[(聂广生守『(7.55>

Сюда рходит волновая функция дейтрона, зависящая от расстояния между нейтроном и протоном; вектор V^ указывает положение протона относительно центра масс дейтрона. Эта волновая функция носит название предела нулевого эффективного радиуса^

Она является решением уравнения Шредингера, отвечающие внутренней энергии ——е, в случае, когда при любом конечном расстоянии между частицами отсутствует взаимодействие.

Мы можем принять, что соотношение (7.51) выполняется при значениях 左，больших по сравнению с » но все же малых по срав^ нению с импульсами виртуальных частиц, которыми обмениваются нейтрон и протон. Тогда дейтрон будет не полностью диссоциировавшим и предельное значение (7.51) не обязано равняться нулю^ Обозначим последнее через — 丫％/(1 — 丫&), так что

Формфактор примет вид

Р (向=一彳三 + J (办)exp ( Tk.貝)I 我(r)汽(7.57> где

屮。(r)=(說金广汕戸・(7・58>

Распределение заряда мы по-прежнему характеризуем движением- протона и нейтрона, подразумевая при этом, что нейтрон-протон- ные силы обусловлены обменом какими-то частицами. Это означает, что плотность заряда определяется некоторой волновой функцией* 屮(г)：

尸(舟=J (dr) exp ( — ik-у г) 11|)(г) I2 =

=J (dr)exp ( Tk$ г) (I 屮(r)卩-| 屮(,(r)p)+

+ J (而)exp ( —ik.Ar) I j(r) I2.(7.59>

Выражения (7.57) и (7.59) согласуются с такой интерпретацией^ Волновые функции 屮(г) и 巾。(г) совпадают при всех значениях ту кроме тех, при которых кт мало в рассматриваемой ограниченной; области переменной 左，что приводит к отождествлению

J @) (I 业(г) |2_ I 屮(г)р)= ^^.(7.60)，

Это соотношение станет более прозрачным, если ввести радиальные волновые функции и (г) и и0 (г), написав

屮(r)=(*』产乎，中。(г)=(费金广乎，(7.61)， где .

и0 (г) = exp (—yr), uo(O) = l.(7.62%

i28 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

Тогда соотношение (7.60) примет вид

(7.63)(7.63)j dr 储一公)=^%,

(7.63)

(7.63)

о

融 это не что иное, как обычное определение эффективного радиуса ге. Из обычного же граничного условия и (0) == 0 следует, что %, как и должно быть, представляет собой некоторое положительное расстояние.

Интересно, оставаясь на развиваемой здесь точке зрения, вывести известные результаты двух разных классов, включающие эффективный радиус. Один из них относится к сечениям фоторасщепления дейтрона. Примитивное взаимодействие усиливается, когда на заряженные частицы воздействует электромагнитное поле. Весьма существенно, что этот эффект связан не с влиянием фотона на движение дейтрона, а с искажением внутреннего состояния, которое обусловлено действием на протон. Поэтому соответствующий член взаимодействия, получаемый из величины

4л;/ j (dx)(pD (花)[j (磁‘)Др (n,①')Кр (片)]фп (с), . (7.64)

имеет вид

4л;/ j (dr) (dxz) q)D (花)Ap (①一d) eq (p4 十』P)3) q)p (立‘)(pn (办(7.65)

Для элемента Г-матрицы, т. е. для коэффициента при произведении источников

^Рр Q^ рп^рр5^Л А.»

получаем (д = +1)

《PpPn I t I A)^) = 4n/e (d(Opp 叫n曲*з时产(pD：嘉1川,(7-66) где в соответствии с законом сохранения импульса

Р = Рр + Pn = Pd + 左..(7.67)

Мы пользуемся калибровкой, в которой у вектора поляризации нет временной компоненты в системе покоя импульса Р. В этом и находит свое оправдание полное пренебрежение электромагнитным взаимодействием с дейтроном. Согласно формуле (3-12.70), множитель, отвечающий инвариантному потоку, равен

2 (М2—zng) ds% doA,(7.68)

а интегрирование по конечным состояниям в системе центра масс при заданном значении телесного угла dQ выполняется с помощью

рирование по полное сечениерирование по полное сечениео = ^- ао = ^- аУУ1-We (严 + Y2)3 .1-We (严 + Y2)3 .(7.77)(7.77)

рирование по полное сечение

рирование по полное сечение

о = ^- а

о = ^- а

У

У

1-We (严 + Y2)3 .

1-We (严 + Y2)3 .

(7.77)

(7.77)

равенства (3-12.75), которое в нашем случае записывается в виде

j d®Pp d<DPn (2л)4 б (рр + pn - Р) = ^- (1 - ^-)1/2 dQ. (7.69)

В итоге для дифференциального сечения получаем

备=43%备=43%(7.70)(7.70)4m2、I/1 г е*Рр

备=43%

备=43%

(7.70)

(7.70)

W) М2-т^1.2риРп 十唾

Эта формула будет применяться в нерелятивистской области, где

М 27n + Е = 2т — & + А0,(7.71)

а значит,

к° = Е + г.(7.72)

В выражение

Е』(7.73)

для кинетической энергии нейтрона и протона входит относительный импульс этих частиц, вычисленный в системе центра масс:

Рр = — Рпр.(7・74)

Мы имеем также

—2pDPn—^гЗа ^(Зрп — ^п) ^ 2zn(^4-е),(7.75)

что приводит к следующему нерелятивистскому выражению для сечения:

瑞=2а \ (證沔~(е・Р)2,(776)

где мы воспользовались соотношением (7.56), с тем чтобы исклю- • чить /2. Проводя усреднение по начальным поляризациям и интег-

конечному угловому распределению, получим

Максимального значения оно достигает при р = % причем

к nil«макс у а Y-уГе^к nil«макс у а Y-уГе^(7.78)(7.78)

к nil

«макс у а Y-уГе^

к nil

«макс у а Y-уГе^

(7.78)

(7.78)

В итоге мы приходим к хорошо известным результатам теории эффективного радиуса.

,Вторым из упомянутых выше примеров служит нейтрон-про- тонное рассеяние. Оно происходит за счет обмена дейтроном, описываемым модифицированной функцией распространения. Необходимый нам член взаимодействия имеет вид

(4л/)2-i- j (d况)(財)фр (况)q)n (х) Ad (n —公)Фр (/') Фп (况')，(7.79)

9-0983

откуда для соответствующего элемента Т-матрицы получаем

(PpiPni\Т I Рр2Рп2) = (4л/)2 (eta%] dwPn] dcoPp.如％?产 X

X [Ad (Р) + Ad(Рп2 — Ppi)],

(7.80)

Р — Ppi + pnl = Рр2 + Pn2

(7.81)

Рп2 — Ppi = pnl — Рр2・

(7.82)

ТаК/Как рассматриваемый процесс представляет собой упругое столкновение, кинематические множители, входящие в определение сечения, сокращаются и мы имеем

器=讐&①)+ &52」拼列一』三6(研.

(7.83)

Вторая форма записи здесь отвечает нерелятивистскому случаю. В этом пределе член Ad (pnz ——Ppi), необходимость которого диктуется соображениями кроссинг-симметрии, пренебрежимо мал. Мы воспользовались также формулой (7.56) для константы связи. Если подставить последнее соотношение в (7.15), то получим

-—=.

一'~ 皿—? +у % (p2+v2) —

= ~^tg；—ip=^sin3exp(i3),(7.84)

где 6 — вещественный угол, определяющийся уравнением

■ pctg5= 一Y十0山(炉+产).(7.85)

Дифференциальное сечение

^ = Wsin2 3(7.86)

обычным образом выражается через фазовый сдвиг 6, отвечающий s-волне, а формула (7.85) для этого фазового сдвига представляет собой хорошо известный результат теории эффективного радиуса. Кроме того, в выражении (7.84) мы узнаем обычную комплексную форму записи амплитуды рассеяния через фазовый сдвиг. Это означает, что условие унитарности выполняется автоматически.

Здесь с серьезным видом вдруг заговорил Гарольд.

Гарольд. По-моему, ученые, подобно полководцам и политическим деятелям, должны писать мемуары. Как бы ни было велик» влияние субъективной точки зрения и естественной человеческой

§ 7. ФОРМФАКТОРЫ IV. ДЕЙТРОН | 131 склонности к самовозвеличению, свидетельство человека, непосредственно участвовавшего в событиях, ничем нельзя заменить. Ясно ведь, что весьма значительная часть истории науки, механически воспроизводимой в статьях и книгах, написанных людьми, которые сами «там не были»,——сплошная фантазия. Я говорю все это в связи с формулой для фазового сдвига, выраженного через эффективный радиус. Качественные соображения на этот счет наверняка высказывались и раньше. Но я думаю, что именно Вы первым осознали все важное значение указанной формулы и представили ее [вывод, в котором эффективному радиусу, как Вы его назвали, был придан совершенно точный смысл, допускающий распространение этого понятия и на другие задачи. Ваш вывод основывался на вариационном методе. Позднее другими были предложены более элементарные выводы, причем один из них вошел в учебники так, словно его автор первым и получил соответствующую формулу. Трудно поверить, чтобы Вы ничего не знали о возможности элементарного вывода. Почему же Вы все-таки предпочли не совсем привычный вариационный подход?

Швингер. Этот вопрос о мотивировке очень интересен. Видимо, стоит указать, что и вариационный метод для рассеяния, и формула для эффективного радиуса ведут свое происхождение от задач распространения электромагнитных волн в волноводах. Частично история данного вопроса изложена в нашей книге Schwinger Saxon £). S・，Discontinuities in Waveguides, New York, 1968. Там можно найти формулы для производных по частоте от некоторых электромагнитных величин, которые также обладают свойствами стационарности. Каждая из этих производных представляется в виде разности между полным и асимптотическим выражениями для энергии. Мне была очень хорошо известна соответствующая аналогия, которая имеет место для уравнения Шредингера. В этом случае электромагнитные величины заменяются тригонометрической функцией фазового сдвига, а ее производная по энергии определяется вероятностью, появляющейся вместо электромагнитной энергии. Однако нужна была не точная формула с неопределенной варьируемостью параметра по энергии, а приближенная, справедливая в ограниченной энергетической области. По этой причине представлялось более предпочтительным воспользоваться свойством стационарности фазового сдвига. К тому же формула с эффективным радиусом была первым воплощением неспекулятивной точки зрения, которая впоследствии нашла свое полное выражение в теории источников. Поэтому весьма приятно вывести результаты приближения эффективного радиуса еще раз, на основе теории источников.

В предыдущих параграфах мы получили выражения для электромагнитных формфакторов, рассматривая обобщенные фотонные 9*

источники, которые испускают времениподобные импульсы. Применим такой подход к дейтронному формфактору. Виртуальный фотон распадается на протон и антипротон. Зятем эти частицы взаимодействуют, обмениваясь виртуальным нейтроном, и образуют дейтрон-антидейтронную пару. Реакция рассеяния описывается членом взаимодействия

(4л/)2у j (dz) (de')(pD (с)(pp (2) Дп (z—с') % (^) q)D (с'),(7.87)

где эффективный двухчастичный источник протонов вводится равенством

Хкp (p2)кp (p2)1эфф - ед (p2 - рг) 4 (次)，(7.88)

причем

衣=Р2 + Р；・(7.89)

Амплитуду вероятности, которая получается отсюда, можно представить в форме

(4н/)2 ^_ j d@p] d(Opj (2冗)4 6 (卩1 + "—向乂

X dM2 d^Ki) (— Pi) «Rd (— а) /^ц (句，(7.90)

где

A = J d®p2 出切(2л)3 6(P2 + P； — 〃) g — p' + mZ(P2 — P；)"=

^{p.-p^S^).(7.91)

Возникающая здесь скалярная функция записывается через среднее значение:

s (М2) = J 出％ do)p< (2л)3 6(Р2 + Р；-衣)丽_赤归2 X

v (Pi -p；)(夕2 —尸之)=(/ 4 _ 4健、"2

(Pi-Pi)2— (4赤 IX

X 、g一P2)2十m旧一p:)2/-U>勺

Пока мы действовали в полной аналогии с тем, что делалось в § 4. Но теперь необходимо проводить различие между начальными сталкивающимися частицами, каковыми являются протоны, и конечными частицами ——дейтронами. Это различие проявляется в абсолютных величинах пространственных импульсов частиц, вычисляемых в системе центра масс:

讨=理=4 М, I р/ = I P；.| =传 М2 —加旷2；

4一3(7.93)

我=碎，=^m mi = I吧=(4•呪一m2 产

Соответственно этому

1

(扌 〃2_ 磽 у/'^з—м)(扌 〃2_ 磽 у/'^з—м)石义石义

(扌 〃2_ 磽 у/'^з—м)

(扌 〃2_ 磽 у/'^з—м)

石义

石义

(7.94)(7.94)

(7.94)

(7.94)

伤心一磽广'

где 么——косинус угла рассеяния.

Прежде чем переходить к подробному обсуждению полученного интеграла, закончим формальную пространственно-временную экстраполяцию. Запишем скалярную функцию S (М2) в виде

5m = W^°(M)(7・95)

и введем дейтронный вектор тока. Тогда для вакуумной амплитуды получим

円挙噌J@)(")带(С)*

乂卜 j d(j)k exp [ik (^ —^)] j (—"尸|iv3)),(7.96)

где мы к тому же произвели калибровочно-инвариантную подстановку (4.19). Как и обычно, пространственно-временная экстраполяция осуществляется путем замены причинного выражения для функции распространения величиной А+ (①——况',Л/2). Добавив примитивное взаимодействие дейтрона, мы для его формфактора, записанного в лоренцевской калибровке, будем иметь

尸的 = 1 J第屮汴占•(797)

Явное выражение для G (М) имеет вид

0 (m)=-一丄 In 4±比一2] ,(7.98)

где、

..("2—4 歩尸/2(m2 _ 47И分/2

卩一71/2 —2磽・(/ • У订

Поскольку рождается пара дейтронов, может показаться, что при М — 2/wd, т. е. при 卩 = 0, должен быть порог. Но функция переменной 卩，входящая в формулу (7.98), четна, и при малых р. можно написать

却罟一2=4 炉(7.100)

что дает

Mf2^D±0: о (%) = •!■州U^.(7.101)

Здесь нет никакого порога. Когда М становится меньше 2恤),

величина 卩 оказывается мнимой:

но функция о (М) остается действительной. Поэтому никакой

разницы между iv и

—iv нет. Если написать

I±iv -ехр 回(АГ)],

(7.103)

где

屮=

2 arctg v, ср (2®) — 0,

(7.104)

то мы будем иметь

M<2mD:

'/—\ V/

(7.105)

(7.102)

.(М2—4wi2)1/2 (4w|)—М2)1/2.

卩=e m 一2喝 =/

следующий порог при 2m. Если бы выполня-следующий порог при 2m. Если бы выполня-(7.106)(7.106)Порождается также и пара протонов, и уменьшении М достигается в точке М = лось неравенство

следующий порог при 2m. Если бы выполня-

следующий порог при 2m. Если бы выполня-

(7.106)

(7.106)

mD V 21/2m,

отвечающее очень большой энергии связи, превышающей (2 ——21/2) т, то знаменатель в выражении для v, равный М2 — 2тЬ, оставался бы на всем интервале положительным, а угол (р при М = 2т возвращался бы к нулевому значению. Точнее, мы имели бы

ОО1 (М2—4 叫 3/2 6" (2m2 —^2j)21 (М2—4 叫 3/2 6" (2m2 —^2j)2,(7.107),(7.107)

О

О

1 (М2—4 叫 3/2 6" (2m2 —^2j)2

1 (М2—4 叫 3/2 6" (2m2 —^2j)2

,(7.107)

,(7.107)

что соответствует нормальному пороговому поведению.

Однако неравенство (7.106) не выполняется. При значении М, лежащем между 2д)и 2тп, а именно при М = 21/2mD? величина v обращается в бесконечность, а ср = л. Затем при Mf 2m + 0 величина v стремится к нулю со стороны отрицательных значений, a q)f 2л. Соответствующее предельное значение таково:

吁 2^。：。(m)=4$^・吁 2^。：。(m)=4$^・(7.108)(7.108)

吁 2^。：。(m)=4$^・

吁 2^。：。(m)=4$^・

(7.108)

(7.108)

Можно ли спуститься ниже точки М ——2тп? Да. В этой области

(7.109)(7.109)(〃2 - 4加户2 = ± "4病一加2)1/2

(7.109)

(7.109)

И

± 卩，卩—2^з—м2，(7.110)

тогда как

<р = 2л±у1п4^-(7.111)

Оставив неоднозначные члены в том виде, как они есть, будем иметь "2侬。阿=(党吉｝[普干方信In忠一2)]. (7.112)

Поскольку мы не можем выбрать тот или иной знак из каких-либо физических соображений, возьмем среднее двух этих выражений, как это делается при вычислении главного значения. В результате придем к действительной функции

2 嵋一Л/2

"2“ 0(双)=28(4唯一m2)*一,

которая непрерывным образом сшивается с функцией (7.108). Когда же застопорится такая экстраполяционная процедура?

Есть еще одна особая точка, при 卩=1, что явствует из выражения (7.112). Если учесть, что значение, принимаемое величиной 卩 при Л/ = 0, а именно 2т/т^, очень близко к единице, то станет ясным, что равенство 卩 = 1 достигается при весьма малых М, и мы можем воспользоваться разложением

м《® 卩= 1+*—盜.(7.114)

Таким образом, особенность возникает при М = Мо, где

(7.115)(7.115)Мо = 4у.

(7.115)

(7.115)

Но на этот раз, когда мы окажемся ниже особой точки, где 卩 >1, неоднозначная мнимая часть логарифма будет приводить к появлению неоднозначных действительных членов в функции о (Л/). Неопределенность при М = М& вынуждает нас остановиться.

При нерелятивистских значениях 6 основной вклад в формфактор (7.97) дают малые М, при которых мы имеем

MQ<M^. а(М) = ^.(7.116)

Таким образом, дейтронный формфактор имеет вид

1%2十ЛГ —观1%2十ЛГ —观(7.117)(7.117)

1

%2十ЛГ —观

1

%2十ЛГ —观

(7.117)

(7.117)

т. е. совпадает с (7.50). Этот независимый результат дает нам дополнительную уверенность в правильности процедуры экстраполяции по массе.

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ

Мы разобрали эффекты многочастичного обмена, приводящие к модификации скелетного взаимодействия. Перейдем теперь к вопросу о том, каким образом за счет многочастичного обмена вводятся новые классы взаимодействий. Простейшим примером, который, несмотря на отсутствие пока прямой связи с экспериментом, имеет огромное значение с точки зрения анализа исходных принципов, служит процесс рассеяния света на свете.

Процессам, в которых участвуют два источника частиц со спином V2 и источники фотонов (число их может быть любым), соответствует следующий член в выражении для связи:

W2 .. . —у j (dx) (dxf) т](况)у℃+ (况,况)т]侬)，(8 分

G+ = G+ + G^eqyAG^.十 G^eqyAG^eqyAG^ + ....

Так, например, величина

w22 = У j (d比)(山/) 2 (比)y°eqyA (比)G+ (x-У) eqyA (公)2侬)(8.2)

описывает комбинацию двух фотонных полей как эффективный электрон-позитронный источник:

Й 3) Т](况')1эфф = eqyA (况)G+ (况一")eqyA (况，)у0.(8.3)

Соответствующий физический процесс представляет собой столкновение двух фотонов с образованием электрон-позитронной пары или обратную ему реакцию (гл. 3, § 13). Рассмотрим теперь следующую причинно-упорядоченную систему источников. Фотонными полями, обозначаемыми через Л2, порождается электронно зит ройная пара, а ее последующая аннигиляция в два фотона детектируется источниками, поля которых обозначим через 4工. Вакуумную амплитуду, которая описывает связь между эффективными источниками, обусловленную двухча стичным обменом, удобно представить в форме, аналогичной (3.7), с использованием соответствующего следа:

—у j (dx) .. . (d^) Sp 网1 (e)小伍')Y。|эфф G+ 3 — Z) X

X 油(±")小 3") Y° |эфф G+ (c"—c) ].(8.4)

Подставив сюда выражение (8.3), получим

—у j (d况)...(dxNI) Sp [eqyAi (况)G+ (冢一况')eqyA^ (^) G+ 侬一n") X

Х eqyA2 (Z) G+ (d 一叫 匆Y人(吟 G+ (出静一切， (8.5) или, в более компактных обозначениях, в которых пространственно-временные координаты выступают в роли матричных индексов и объединяются со спиновыми и зарядовыми переменными,

—2 SP [eqyAiG+eqyAlG-^eqyA2G+eqyAiG+].(8.6)

Вакуумную амплитуду можно представить в виде некоторого унифицированного члена в выражении для действия:

叩04 =»歹 SP [eqyAG+eqyAG+eqyAG+eqyAG+]仁

=» ^ SP (eqyAG^.(8.7)

Наличие дополнительного множителя V4 объясняется тем, что начало заданной последовательности А1А1А2А2 можно фиксировать четырьмя разными способами, и в силу свойства циклической симметрии следа мы во всех случаях получим один и тот же вклад.

Это и есть тот самый процесс, который не имеет аналога в скелетном взаимодействии из гл. 3, § 12, так как в нем не участвует явным образом ни одна заряженная частица. Он описывается выражением, применимым во всей области изменения пространственно-временных переменных. Но справедливость этого не очень определенного утверждения должна быть проверена на основе физических критериев. Таких критериев имеется два ——калибровочная инвариантность и существование. Если допустить, чта рассматриваемое выражение действительно существует, то в его калибровочной инвариантности можно убедиться путем формальных выкладок с матрицами, причем достаточно ограничиться инфинитезимальным калибровочным преобразованием

34 = @缺=X [р,欹].(8.8)

При таком преобразовании

3叩假=—^8Р [(едгуЛС+)3 [ур,匆3入]Gj,(8.9)

а из цепочки тождеств

eqyAG+ [ур, е恥入]G+ = eqyAG+ (G；1, e恥入]G+ =-

=eqyA [e恥％, G+] = [e^6X, e^yXG+] (8.10) вытекает, что

3叩04= —-|- SP [e^6X, {eqyAG^f} = 0.(8.11)

Проблема существования возникает, когда четыре поля полностью перекрываются, т. е. в случае, который не предусмотрен исходным расположением причинно-упорядоченных источников. В качестве самой крайней возможности рассмотрим столь малую область пространства-времени, что в ее пределах векторные потенциалы можно считать практически постоянными. Тогда, если не учитывать численных множителей, для кратных интегралов, входящих в вакуумную амплитуду (8.7), получаем

J (dx) . .. (dW") Sp [eqyA (①)G+ (况一况')eqyA 位)G+ (У —х) X

X eqyA (比)G+ (况"一况醉)eqyA (/)G+ (况"'一比)]=

= f .(d券翳 Sp r eqyA ⑺一〜

J (2л)4“ 一 + 记」

C (姦)(dp) Sp [egM ⑺ 汕4/о л ox

где последнее выражение записано при дополнительном ограничении случаем очень больших импульсов. Эта комбинация, конечно, должна обращаться в нуль, так как она не является калибровочно-инвариантной. Правда, с первого взгляда вовсе не очевидно, что интеграл по импульсам существует. Но в соответствии с тем, что >йы исходим из первоначально неперекрываю- щихся полей, к бесконечно большим импульсам следует переходить в самую последнюю очередь. При таком условии правильное значение, которое нужно приписать этому интегралу, оказывается все же равным нулю. Этот результат есть следствие лоренцевской инвариантности процедуры интегрирования, выражением которой служит возможность ковариантной замены

PxPX&Pvf "^ (Г?)? (g^g“v+ gwgXv + gxvg%)(8.13)

Но тогда элементарные выкладки сразу же показывают, что

Sp (уАур) 4 fo.(8.14)

Если ввести производные от векторного потенциала, которые необходимы, чтобы получить напряженности поля, то появятся соответствующие обратные степени импульсов и интегралы станут абсолютно сходящимися при больших импульсах.

Выражение (8.7) допускает обобщение и на случай произведений произвольного числа полей (w》4). Рассмотрим два эффективных источника, которые обмениваются парой частиц, причем с одним из них ассоциировано очень слабое поле 6Л, а с другим — произвольно распределенное поле Л. Первый эффективный источник имеет вид

iT](2)1] 3') 1эфф = е^убл (с) у°б (с — с'),(8.15)

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. | 139

тогда как другой, получаемый из сравнения iW^.. с

4[Z J @) п(2)YW(2)Т，(8-16)

представляется эффективным произведением полей

河 Q) W 3) 1эфф = G? (х, X) у0.(8.17)

Связь между двумя источниками, даваемая вакуумной амплитудой i6W (А) = ~у j (dz) (М) Sp [in (^) n (力)T° |эфф W (况)屮(况')Y° |эфф], (8.18) имеет вид

бж (Л) = 4 i SP (eqybAGi).(8.19)

Тут содержится и обмен парой между источниками nojfe立 3/, а также однократно действующими источниками полей А, который мы не хотим учитывать еще раз. Проще всего, однако, выкинуть этот член из окончательного результата. Как явствует из самого обозначения 8W (Л), при добавлении к исходному полю А бесконечно малого поля 6Л порождается некоторое дифференциальное выражение для члена действия W (Л), содержащее все WOv с и》4. Формальное интегрирование осуществляется с помощью интегрального уравнения (3-12,21)

G/ =母 + G^AG^(8.20)

и его формального решения (3-12.22)

匿=(4 - G+e纤4)TG+ = G+ (1 一 e妤/GQ。(8.21)

Это дает .

，3釈(/) = ^ Z SP [(1 -eqyAG+)~l eqy8AG+]=.

=—у j6 SP In (1 —eqyAG^) — —^ j6 In det (1 — eqyAG^), (8.22) где последняя форма записи основывается на дифференциальном свойстве определителей

б In det X = SP (X-dX). ，(8.23)

Проинтегрировав, будем иметь

W(A) = - yiln det(l -eqyAG+) = -yiSPln (i-eqyAG+), (8.24) или, разложив в ряд и опустив член с v — 2,'

W (A) = i 3 isp {eqyAG^.(8.25)

v—4, 6,♦..

Нечетные степени здесь отсутствуют, так как след матрицы q равен нулю. Заметим, что для члена W^^ мы получили уже мзвест「 ное выражение. Это еще раз напоминает нам, что для вывода одной и той же общей пространственно-временной связи источников можно пользоваться разными причинными последовательностями заданного числа источников.

Проведенный нами анализ легко перенести и на частицы со спином ^0. Связь частиц задается выражением

^2 =у j (dx) (dx') К (х) А+ (х, /) К (^),(8.26)

которое описывает фотонные источники посредством эффективного двухчастичного поля

.即⑺ Ф (") Ьфф = Д+ (瑞况)(8.27)

Слабое же электромагнитное поле описывается следующим эффективным двухчастичным источником:

iK (况)К (xz) |Эфф = eq (рбЛ + бЛр) (^) 3 (况一况')(8.28)

[сравн. с формулой (3.31)]. В таком случае причинная связь между двумя фотонными источниками, с которыми ассоциированы поля 34 и /, может быть выражена при помощи вакуумной амплитуды

治叩(Л) = у j (dx) (dxr) Sp [iK (况‘)К (^) |9фф 即⑺ Ф (^) |Эфф1 =

= ^SP[eg(p34 + 34p)Af].(8.29)

Однако здесь имеется одна тонкость, которая выявляется при формальном решении уравнения для А? [формулы (3-12.27) и (3-12.28)]:

a? = [1 — a+ (e0 (рa + 4Р)一發力2)]一5+ =

=Д+ [1 -(匆(р4 + Ар)—合力2)д+]-1.(8.30)

Чтобы можно было проинтегрировать выражение для б РИ (Л) так, как это делалось в случае частиц со спином %, величину (8.29) следует заменить величиной

i3W (Л) = "I SP [(eq (рб4 + 64р) — 2е2бЛЛ) А，].(8.31)

Такая замена не вызывает возражений, поскольку при той причинном упорядоченности, для которой выводилось выражение (8.29), поля 6Л и Л не связаны друг с другом и их произведение

§ 8. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ I. I 141

равно нулю. Итак, мы можем утверждать, что

W (A) =-|-iln det [1 — (eg {рА~\~ Ар) — еМ2) Д+]=

=^- i SP In [ 1 - (е? (М + ^Р) -еМ2) Д+].(8.32)

В частности

%4 = т 皆 SP 闷(М +4р) A+代 +

+ i-| SP[(e9(р/ + Ар) А+)2еМ2Д+] - Z ^ SP [е2Л2Д+]2. (8.33)

Это выражение можно вывести иначе, рассматривая обмен частицей между двумя парами фотонных источников. Его существование и калибровочная инвариантность проверяются почти так же, как и в случае частиц со спином %.

Возможны и другие представления для W ⑷，особенно удобные при некоторых специальных условиях. Начнем со случая спина 0 и напишем (И = р ——eq А)

А+ = n24-m2-ie = f j ds exp [ — is (П2 + m2)],(8.34)

О

причем в интеграле в неявной форме учитывается условие е —> + О множителем ехр (—喲，обеспечивающим сходимость. Тогда дифференциальное выражение (8.31) примет форму

ОО',

6Ж(Л) = —4 j ds SP[6 (IP) ехр ( — is (IP+ 〃*))],(8.35)

0

откуда,

Ж(Л)= -i| j ^-SPexp[-is(n2+m2)],(8.36)

0

хотя здесь и следует оставить только члены, содержащие по меньшей мере четыре полевых сомножителя. Калибровочная инвариантность доказывается теперь весьма просто, поскольку замена Л -> Л + 0% влечет преобразования

П -> ехр «е必)П ехр (—旭必)(8.37)

и

ехр (—ZsEP) -> ехр (»е办)ехр (—ZsIP) ехр (—ieqX),

(8.38) при которых след не изменяется.

Вывод аналога выражения (8.36) для частиц со спином V2 основывается на конструкции [формулы (2.1), (2.3) и (2.4)]

G+ 一 Y11+加一注 一 例一Y□)П2 — egcF4-wi2 — ie —

=中~2—— ①—叩)，(8.39)

П2 — eqcF 4-/

где теперь мы будем записывать

n2-egg-/+m2_fe = i j ds exp { - JS [П2 -eqaF + m2]}. (8.40) ，0

Так как след произведения, содержащего нечетное число матриц у, равен нулю (матрицы у» и —у屛=丫計丫屛丫5 эквивалентны) и так как

—е^убЛуП — уПе^убЛ = 6 [(уП)2] = — 6 [П2 — equFl,

(8.41)

дифференциальное выражение (8.19) принимает вид

6ТУ (Л) = у j ds SP {5 (ГР—eg尸)exp [ — is (ГР—eg尸十 7n2)]},(8.42) о'

откуда

ТУ (Л) = iу j -^ SP exp [ - is (П2- eqaF + m2)l.(8.43)

0

Полученные выражения удобны в случае медленно меняющихся полей, практически -постоянных в пределах соответствующих областей пространства-времени. В подобной ситуации можно воспользоваться формальным сходством комбинаций П2 + /п2 или П2 — eqaF 4- тп2 с гамильтонианом частицы, а параметра s — с временной переменной. Хотя такая аналогия имеется всегдаг в данном случае результаты оказываются простыми благодаря постоянству коммутатора.

[Пц, nv] = ieqF^.(8.44)

Заметим, что

[口卩？ П2] = 2ieqF^vBy,(8.45)

а, следовательно, векторная величина

Пи (s) = exp (ZsIF) Пи ехр (—话IF)(8.46)

удовлетворяет уравнению движения

要旦= 2ед%Т ⑹.(8.47)

Решение его, записанное в матричных обозначениях, имеет вид

П (s) = exp (2eqFs) П = П exp (—2eqFs),(8.48)

где учтена антисимметрия тензора F^. Рассмотрим теперь следующий тензор, задаваемый следом, который не затрагивает индексов, относяпщхся к зарядовому пространству:

?灯=SPZ [nunv exp (一疝2)] = SPUj exp (-tsn2) 口” ⑼ =

=SPZ [nv ⑸ 口屛 exp (Ts П2)],(8.49)

или, в другой, эквивалентной форме записи,

窃” =SPZ [ПИПУ (s) exp (-tsn2)] 一

-SP'UHm，nv (s)] exp (—疝 2)]・(8.50)

Для входящего сюда коммутатора имеем

[口屛，Пу (s)] = [Пи, IF [exp (~2eqFs)]Kv]=

=ieq [尸 exp (—2eqFs)]^v,(8.51)

так что, возвращаясь к матричным обозначениям, получаем

Т = Т exp (—2ед尸s) — ieqF exp (—2egFs) SP‘ [exp (—isll2)],

(8.52> или

SP'[Unexp(-isII2)] = -jeg 冤衣為』sP'[exp(TsH2)]. (8.53) Этот результат позволяет вычислить

""^ SP‘ [exp (— "ГР)】=SPZ [П2exp ( — fsll2)]=

=—历/р'[砌為丁] SP'[exp(—isIF)]. (8.54) Решение вытекающего отсюда дифференциального уравнения имеет ВИД

SP' [exp (— isn2) ] = С exp [ — у Spz In ㈡筹)]=

= 3[det (焉)『，(8.55)

причем в последней форме записи мы учли размерность пространства-времени и то обстоятельство, что знак заряда q на ответе не сказывается.

Постоянную С можно определить, рассматривая предел при малых s, В этом случае основной вклад дают большие значения П и некоммутативность различных компонент II становится несущественной. Пользуясь четырехмерной записью обычных кванто-

144 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I вых соотношений, получим

s -> 0: SP' ехр (— zsll2(da)〈况 | exp (— isp2) | 况〉=

(8.56)(8.56)=J ■^^■exp(Tsp2).

(8.56)

(8.56)

Четырехмерный интеграл по (3 + 1)-мерному импульсному пространству берется следующим образом:

J 籌■exp(Tsp2) = [ j 栗exp(—s砲У j 嚮exp«sp^) =

так чтотак что1/2]34」涼1/2]34」涼СС/就 )1/2—11\~/= (4冗)2 声，/就 )1/2—11\~/= (4冗)2 声，1"CW"1"CW"i j (d况).i j (d况).(8.57)(8.58)(8.57)(8.58)

так что

так что

1/2]34

」涼

1/2]34

」涼

С

С

/就 )1/2—11

\~/= (4冗)2 声，

/就 )1/2—11

\~/= (4冗)2 声，

1

"CW"

1

"CW"

i j (d况).

i j (d况).

(8.57)

(8.58)

(8.57)

(8.58)

Чтобы завершить вычисление W (Л) для частиц со спином 0, нам осталось лишь добавить множитель 2, возникающий из следа по зарядовым индексам. В итоге получаем

W^chhh 0 (4) = j (d况)£спин О (Л，

к ^спин 0 (^) = --^ j $- exp (-im^s) [det.()

О

Функция Лагранжа действительна, что становится очевидным, если деформировать контур интегрирования по is так, чтобы он совпал с положительным участком действительной оси (см., однако, замечание ниже):

%спнн О伊）=靑）鲁eхp（一^）х

xt^tra-)?-1-!^2^}'(8.60)

где теперь уже нежелательные члены выброшены. Здесь мы ввели величину

攵= -}f"v&v = ^(E2-H2),(8.61)

в дополнение к которой введем

乡=—"*尸"号尸=Е. Н(8.62)

И

翅士 = 2 (乡* 士 Z乡)=(E 士 2H)2.(8.63)

Для вычисления определителя в общем виде достаточно отыскать собственные значения тензора F. При зтом удобно пользоваться само дуальными тензорами

尸土 = F±i*F, *F± =干 /士.(8.64)

Рассматриваемые в качестве матриц, два эти тензора коммутируют друг с другом, а квадрат каждого из них кратен единичной матрице. В этом можно убедиться непосредственной проверкой, взяв небольшое число независимых компонент. Для квадратов имеем (■^±Vv = g^v成夕士 •(8.65)

Чтобы установить, что коэффициенты здесь равны именно 觇土、 достаточно взять след от обеих частей равенства. Ему эквивалентны соотношения

L^-^^g^, ^F^^^FF^^g^,(8.66)

из которых вытекает следующее уравнение для тензора F:

(产)uv -2f (户)户一或guv = 0.(8.67)

Собственные значения представляют собой две пары одинаковых величин с противоположными знаками ±W и ±W", причем

Г,月"=У [擱y 士 施*.(8.68)

Следовательно,

「det/ eFs №一 Ws__eF"s :

LU I I sin e尸s / Jsin e尸's sin e尸"s

—2(es)2 熠—(es)2 乡

cos (us%%) — cos (е<^?У2) Im cos (es^?%)'

где в последнем выражении мы вместо 曲-написали просто 盛. В итоге для частиц со спином 0 приходим к следующему результату:

^?спин 0 (尸)=

=儡 j* exp (一加s) [1^^_ 1 _貝同2 名].(8.70)

Но нам нужен только член, пропорциональный 4-й степени поля. Поэтому проще, видимо, вернуться к функции Лагранжа (8.60) и воспользоваться разложением определителя

detd+y)=I+SpY + }[(Spy)2_Sp(y2)]+... . (8.71)

10—0983

Это дает

(8.72)(8.72)国(淼)Г = ' + ^(es)2 行十击(es)4 (7仔2 + 券)+ ..

(8.72)

(8.72)

так чтотак что

так что

так что

спин 0：期4=需$（7尹 十 亨）=

嚣 4&(Е2_Н2)2+(Е.Н)2].嚣 4&(Е2_Н2)2+(Е.Н)2].(8.73)(8.73)

嚣 4&(Е2_Н2)2+(Е.Н)2].

嚣 4&(Е2_Н2)2+(Е.Н)2].

(8.73)

(8.73)

К соответствующему результату для частиц со спином % мы придем, подставив в подынтегральное выражение функции Лагранжа % следующий след по (2 X 4)-мерному зарядово-спиновому пространству:

—у Sp(8)exp (eqaFs) = —^Sp⑷ ch (esc尸)， (8.74)

где уже произведена замена 笈 f s. В силу алгебраических свойств спиновых матриц выполняется соотношение

玄{5(牆 dw} = gxM>g^一gxvgw一£乂£而?5・(8.75)

Следовательно,

(m)2 = 2(一% + Y5号)(8.76)

и собственные значения тензора gF таковы:

(0歹)'=士 磁空 士 吸.(8.77)

Это дает

—^Sp(&)ch(esM)=—2Recos (es(^“2), .(8.78)

так что

^СПИН 1/2 ⑺=-焉' J 嘗 exp (—Ms) X о

хГ (es)2 乡..丝吧约嗚+ 1 (es)2 jrl. (8.79)

,L'， Im cos (es^?1/2)' 3、丿，」、/

Чтобы найти интересующий нас член, воспользуемся разложением

Re cos (es<J^/2) = 1 - (es)2^ +1 (es)« (卢2—乡2)十 ….(8.80)

В итоге будем иметь“

спин 4： 土破=警$(4卢+ 7g2)=

= ^£г【(Е2-Н2)2 + 7(Е・Н)2]・(8.81)

Полученные выражения для низкознергетической функции Лагранжа имеют несколько различных применений. Ввиду того что вопрос о сравнении с экспериментом пока не стоит на повестке дня, мы довольствуемся оценкой общих порядков величин, опуская все численные множители (кроме л). Элемент Т-матрицы для фотон-фотонного рассеяния получается из iTy04KaK коэффициент при

辞拉卩/片“"在2总厶也.

В системе центра масс, где энергии всех фотонов равны V2 М, из-за наличия четырех напряженностей поля появляется множитель (“2 МУ，И •

〈5/明 I Т| 嘉2入21 恥〉~ (d碼…d%)“2a2 (亲у • (8.82)

Так как рассматриваемый процесс представляет собой упругое столкновение, отношение кинематических множителей, входящих, по определению, в дифференциальное сечение, равно 〜(1/л2) (1/М2), и для полного сечения получаем

М《2m"~*(黑『$・(8.83)

Отметим как один из случаев фотон-фотонного рассеяния, что область с макроскопическим электромагнитным полем является средой, анизотропной для распространения фотона. Так, в случае магнитного поля с напряженностью Н отклонение характеристик распространения от единицы имеет порядок а2№/тп4. Квар- тичный характер связи фотонных полей приводит также к тому, что обобщенный фотонный источник может испустить или поглотить три реальных фотона. Такой процесс интересен тем, что он может протекать, хотя и слабо, ниже массового порога М = 2т для обмена парой частиц. Весовой множитель а (7Й2) в выражении (3.82) для модифицированной фотонной функции распространения имеет вид

М 冬 2m: d(AP)|~ 祭 結"j (砂)2 do)/ (/")2 如風(砂")2 d®km x

x (2咽6 (M + M +心_就〜(匀4(薪斤左.(8.84)

Из существования этого эффекта, порог которого лежит при М = 0, вытекает, что первоначально дальнодействующее отклонение от кулоновского взаимодействия покоящихся зарядов характеризуется не экспоненциальной, а степенной зависимостью от расстояния:

2т|х|》1：⑫(Х)—赤〜由仔)4(出)8.(8.85)

10*

И, наконец, еще одно применение общего выражения для функции Лагранжа, скажем (8.79), относящегося к частицам со спином V2. Оно касается области с сильным электрическим полем Е. В предельном случае исчезающего магнитного поля (который инвариантным образом можно охарактеризовать условиями ^ = О, .尹 >0) имеем

今СПИН 1/2 (Е)=

=—表 f 5" ехр (—废s)［必 ctg (eEs) — 1 + 扌(必产］.(8.86)

Правда, здесь необходимо одно замечание. Значения переменной, обозначаемой теперь через s, первоначально лежали на положительном участке мнимой оси, а затем контур интегрирования был деформирован так, что они стали принадлежать положительному участку действительной оси. Следует вспомнить, что мы условились подходить к действительной оси сверху, так как на ней имеются особые точки подынтегрального выражения

еЕ$кZX3T)汽—1, 2,・・・•(8.87)

Необходимая в связи с этим деформация контура вблизи указанных особых точек в верхнюю полуплоскость приводит к функции Лагранжа % с мнимой частью, равной

Im £сшщ 1/2 (Е)=鳥』专 exp ( — m2sn), (8.88)

ИЛИ

21ш^СПИн1/2(£)=-^ (-^У 2 $ехр(—〃喏)》

П=1

(一督.(8.89)

Поскольку вероятность всех процессов с сохранением вакуумного состояния дается величиной

I exp (IW) |2 = exp (—21m W),(8.90)

величиной 21mH определяется вероятность рождения злектрон- позитронной пары эа единицу времени в единице трехмерного объема.

Такой процесс интересен лишь с принципиальной точки зрения, ибо никакое конечное число столкновений (в смысле схемы рассеяния) со статическим электрическим полем не может дать энергию, требующуюся для рождения частиц.

В предыдущем параграфе мы получили пространственно-временные выражения для связей с участием только электромагнитного поля, а также применили эти выражения для конкретных расчетов в частном случае медленно меняющихся полей. Но в более общих случаях обычно удобнее рассматривать подходящую причинную последовательность источников и затем проводить пространственно-временную экстраполяцию. Тут мы видим, что теория источников оказывается весьма гибкой. Она не обязывает придерживаться какого-то одного способа расчета и позволяет свободно выбирать наиболее удобный из них. Больше того, именно сочетание и синтез разнообразных вычислительных схем, наиболее подходящих к тем или иным конкретным условиям, и составляет суть общего метода расчета теории источников.

Рассмотрим случай, когда два сталкивающихся'фотона порождают пару частиц, а затем детектируются два фотона, испущенных при последующей аннигиляции этих частиц. Для частиц со спином 0 мы можем использовать связь (8.33), подставив туда

Л = А + Л2(9.1)

и оставив только члены вида АГАГА2Л2, которые описывают рождение или аннигиляцию частиц, обусловленную совместным действием двух простых фотонных источников, а не отдельными обобщенными фотонными источниками. Соответствующая вакуумная амплитуда имеет вид

у Sp {^.eqpA^^eqpAi — (eqA,)2) Д+ ^eqpA^^eqpA^—{eqA^ А+],

(9.2) где мы для упрощения записи заменили рА + Ар на 2P4, что отвечает выбору лоренцевской калибровки. Здесь мы видим отдельные множители, соответствующие эффективным двухчастичным источникам, которые описывают двукратное воздействие электромагнитного поля. Именно из этого причинного выражения можно было бы исходить при выводе вакуумной амплитуды (8.33). Подставив. в выражение (9.2) причинные разложения полей

М (с) = S iJktki {dain^ 需工 exp (—肉с),

M(2)= S (dsJ/2 或亦2 exp (施2)力厶加，(9-3)

在2%2

а также причинные выражения для функции распространения А+, мы придем к следующей вакуумной амплитуде:

一& //J电闷喻"к2九2”/期？^ (^Wftl • • •d叫У/2 X

X (2П)4 6 (见+ 发 - @ —砌 ё*/在认 1 …中方(9.4)

ГдеГде

Где

Где

I = I d(Op dcopr (2л)" 3(〃 + p —' &2 ~~"左■>) X

「_ 2 е^е^ о 勺Р'бР

L 一 / S 一自)2十絞一4(p -硝2十M 一

9 ⑪p或"0一庵)2 +m9 ⑪p或"0一庵)2 +m(9.5)(9.5)* Г 0 応“2n

9 ⑪p或"

0一庵)2 +m

9 ⑪p或"

0一庵)2 +m

(9.5)

(9.5)

X 1. - ("一代)2+ 絞尸

Здесь использованы упрощенные обозначения, а векторы поляризации выбраны действительными. Основываясь на кинематических свойствах импульсов, приведем зту величину к виду

J== j do)p dti)pr (2тс)^ § ^Р "^ р‘ -^左2 —及2)X

x[W+喏[袴+*-/•(9.6)

В дальнейшем полученные формулы будут применяться только для вывода связи, которая описывает рассеяние фотонов вперед (и назад). Если мы рассматриваем систему покоя полного импульса, то для такого процесса имеется лишь одно выделенное направление, совпадающее с направлением движения фотонов. В нашем случае все они распространяются вдоль одной прямой, ибо их импульсы связаны соотношениями

к】=—к； = к? = —к；,窗：=窗]=代=期'=*^~ ЛГ・(9.7)

Выберем калибровку, в которой у векторов поляризации имеются только пространственные составляющие. Все они перпендикулярны общему направлению движения фотонов. В формулу (9;6) входят интегралы по переменной z, являющейся косинусом угла между импульсом р = — р' и выделенным направлением, и по углу в плоскости, перпендикулярной этому направлению. Средние значения, возникающие при вычислении второго интеграла, даются формулами

〈е・ре'・р〉= ^е・е' (1 — z2) ^(-^-j2--m2j(9.8)

И

〈е>ре；・рв2・ре；・р〉=

= у(е1-е；е2• е；十 е「е?е；• е；十е【• е；е；-е2)(1 — z2)2 ^^-У~т2^.

(9.9)

С учетом этих выражений получим

/二煮(1一需)"[аеге他.ё； +

+ у ^(ei-eJeo-e^ + e^eaeJ.e^ + epeX.ea)] ,(9.10)

где(Z(М2) = 1-где(Z(М2) = 1-(9.11)(9.11)ии1b (М2) = ^ [ dz1b (М2) = ^ [ dz一（」謂卜—尸一（」謂卜—尸=_a(М2)+土萨.口=_a(М2)+土萨.口2d2dInIn1 + u -|1 + u -|(9.12)(9.12)

где

(Z(М2) = 1-

где

(Z(М2) = 1-

(9.11)

(9.11)

и

и

1

b (М2) = ^ [ dz

1

b (М2) = ^ [ dz

一（」謂卜—尸

一（」謂卜—尸

=_a(М2)+土萨.口

=_a(М2)+土萨.口

2d

2d

In

In

1 + u -|

1 + u -|

(9.12)

(9.12)

Результаты интегрирования мы выразили через переменную

(9.13)(9.13)/ ▲4m* \ 1/2

(9.13)

(9.13)

Чтобы подчеркнуть причинный характер рассматриваемого явления, напишем

(2打)4 6 (届+左；一儿2 —硝=

=j (2门)45的+ e-&)&Dh 翼~(2九)43(出一禽—硝=

=-2 j -^- f (前)(女‘)exp [ — "自 + r) n] X

х[» j dco^exp [滋位一/')]] exp [2 (左2 +砲n'L(9.14)

где в явном виде представлена зависимость от координат отдельных напряженностей поля и функции распространения, устанавливающей причинную связь между двумя областями. Чтобы для вакуумной амплитуды получить ковариантное пространственновременное выражение, нам нужно заменить комбинацию (9.10), составленную из векторов поляризации, эквивалентными комбинациями из напряженностей поля. Рассмотрим сначала случай, когда все векторы поляризации параллельны, а, стало быть, выражение (9.10) сводится к выражению

Заметим, что в самом общем случае炉 №)=4(е：—н;)® =Заметим, что в самом общем случае炉 №)=4(е：—н;)® =

Заметим, что в самом общем случае

炉 №)=4(е：—н;)® =

Заметим, что в самом общем случае

炉 №)=4(е：—н;)® =

=-2 W露九 J电^ (&d也 ds")" exp [ - i (网十八)n] X

X -因磯e財м.e中:-kj X e儿2瓦X e吶](9.16)

и что при рассматриваемых теперь условиях множитель, содержащий векторы поляризации, сводится к

—扌自抬=—}(自十硝2 = ^〃2.(9.17)

Аналогичное замечание справедливо и для 炉纟(^ )- Следовательно, в частном случае параллельных поляризаций вакуумную амплитуду (9.4) можно представить в форме

i^ j dM2( 1 - ^)1/2^ («+4 &) т，@)@，)义

X 于式重)А+(力-", AР)手2位‘).(9.18)

Cootветствующее выражение для действия имеет вид

8a2 j 舞(1-零广 S + ^9(M2)j g)(加)x (2m)2k

XA(力)A+付一认 M2)乡7 (吟.(9.19)

Если рассматривается предел слабо переменных полей, в котором масштаб длины задается величиной 1/2т, то в формуле (9.19) величину 尹(ж7) можно заменить величиной 乡(n), и в результате возникает интеграл

j (d，)A+(z-K 〃2)=鳥・(9.20)

Тогда член действия можно будет представить функцией Лагранжа, которая равна

8ad S>(1-需广(。+ ^卜m)［炉⑻』 (2m)2

=J 八吗1一/)卜 + ^)爲［.歼(叨2.(9.21)

о

Поскольку

j dvv2 (1 —v2) a =-^« j dia；2(l—№) 6 = *,(9.22)

о0

коэффициент при (a2/^4)^2 оказывается равным 7/90 в согласии с соответствующей частью функции Лагранжа, фигурирующей в формуле (8.73). Заметим, что исходное требование рассматривать лишь случай рассеяния вперед, которое фактически представляет собой условие, накладываемое на импульс, передаваемый в процессе столкновения, в данном пределе малых импульсов перестает быть ограничением на угол рассеяния.

Выбрав параллельные^поляризации, мы получаем один из примеров, когда векторы поляризации фотонов не меняются в процессе рассеяния. Другой пример такого рода дают нам перпендикулярные поляризации начальных фотонов и конечных фотонов:

(9.23)(9.24)(9.25)(9.23)(9.24)(9.25)场♦ е； =е；=呪• е； = О,

(9.23)

(9.24)

(9.25)

(9.23)

(9.24)

(9.25)

3 •呪=е；・е； = 1.

В этом случае величина (9.10) равна

/=急a-需广貝

а соответствующая ей комбинация полей имеет вид 乡上(n) = Е4 (х) • Hz (①)=I

=—2 /阪関喻(d% d叫产 exp [ — i (k^ + 砲 z] x

X m附e^yk； X呵%十偿'叱儿:.瓦义e財m].

Фигурирующий здесь множитель общего вида, который составлен из векторов поляризации, при рассматриваемых условиях сводится к

^Мк「е]Хе； = ±^М2,(9.26)

где знаки 士 определяются конкретной ориентацией взаимно^пер- пендикулярных^векторов ©工 и е；. Но, поскольку векторы поляризации не изменяются в процессе рассеяния, тот же самый знак войдет и в 乡2 (吟.Поэтому в данном случае вакуумная амплитуда (9.4) оказывается равной"

必j期2 ( 1 一需广鷗^6缈)J @)(М) X

X 瓦(N)A+(N-y М2)：% 侬)，(9.27)

а соответствующее выражение для действия имеет вид

4a2 {鵰(，-需)"》(M2)J(d2)(彰')S1 ⑺ A+(c-“'，M2)g(z').

(2m)2 '

(9.28) В пределе слабо переменных полей возникает член с функцией Лагранжа

4a2 j 鋼(1 -需)% 必)因 ⑶产 = (2m)2

=})如吗1一/6爲由(叨2 =备*啰®f，(9.29) 0

также согласующийся с соответствующим слагаемым в выражении (8.73).

Теперь, когда путем исследования частных ориентаций векторов поляризации установлена связь с результатами предельного случая низких частот, что можно сказать об общей комбинации векторов поляризации, фигурирующей в формуле (9.10)? Слагаемое с коэффициентом а весьма просто представляется в калибровочно-инвариантной форме, так как множитель в произведении ,Л 1 (б).尹2 (寫'),составленный из векторов поляризации, равен (1м2)2е1.е；е2.е；.(9.30)

Более же сложную комбинацию с коэффициентом Ъ в общем случае не удается выразить через произведения двух скаляров 页1 位).尹2 (n‘)и 乡I ⑺ 乡2 (%'). Приходится использовать также и тензор

尸(N)z _⑺ F^(N).(9.31)

Далее,

W：(①尸尸:侬)内=S4麻M池办启J明 X

X (й(ой1…d叭)"2(/呐严(/喇е (九入加(几九心，(9.32) где с точностью до компенсирующихся множителей 土 i

(9.33)

Проводя вычисления в системе центра масс и ограничиваясь рассеянием вперед, мы на самом деле для поляризационного фактора, входящего в формулу (9.32), получим

—М4 (е! • е；е2• eg + et • е2е；«е^ + et ■ e^ej-е2).(9.34)

Как мы уже видели, в двух случаях, в которых поляризация не изменяется, тензорную комбинацию можно заменить скалярами:

尸(方严尸(У) - ( 6吊 3) (паранлельн.), 八口)内 f 1 2乱 8)g2 (第')(перпендикулярн.). " 丿

Тогда искомый дополнительный член дается разностью

FU^V 輦 ^-^х W 炉2 s) — 2乡,(z)男 S).(9.36)

Казалось бы, мы должны добавить выражение, получаемое путем пространственно-временной экстраполяции этой связи, к уже известным нам выражениям, задаваемым формулами (9.19) и (9.28). Но тогда изменится статическое взаимодействие. Это вытекает из того, что если х полояшть равным 瑞 то величина (9.36),

записанная в унифицированной форме, не будет равняться нулю:

Sp （产）- 602— 2乡2 工 2 （多2+ 乡2）方 0.（9.37）

Надлежащая процедура должна быть совершенно очевидной. Статическое взаимодействие дает условие нормировки для более общих расчетов. Чтобы избежать изменений в уже полученных правильных результатах, пространственно-временную экстрапо- поляцию вклада, содержащего разность （9.36）, следует проводить с дополнительным контактным членом. Его роль состоит в том, чтобы исключить этот вклад при низких частотах. Возьмем

А+ （х-~х', М^ — ^^х-х^^-^-д2^ （х—х'^М2）.（9.38）

Получаемое таким способом полное выражение для действия, записанное в импульсном пространстве, имеет вид

U4a2 f 也（］M『/2fg1 x

（2m）2

X ［（2a 十 3d） （M2）.尹（—〃）炉（〃）+ 6 （〃2）乡（—© g （A）-

-4 b （TH2）品（f2 （一 用"" 户（初w一

или, в иной форме,

%=击善｝譌T[7.歼（一"）疹（"）+y（—舟S（初一

_4a« F ^3 /44^4 УгГ （办） 犷

J （M2）3、 丄 以 2 / J （2n）4 公+m2一 记入 （2m）2

x[2a （M2）乡（一曾笏（舟 + ^ b （ДГ）户（_曾и” 产（〃）"/. （9.40）

Тензорную комбинацию можно переписать также как

户（- ©"V ?2 （田uv = 4/ （一期于伊）+ % （F^V）（- 用 （凡入41V）（向 +

十扌（*歹添严V）（一舟（居不F2 （初（9.41）

Тогда соответствующий член в формуле （9.39） примет вид

户（一砂觇V尸国髙一 6炉（一"）炉（厶）一 2乡（一舟3 （期=

=I （尸a?uv）（一 "）（%/2）（伤 一 2灰（一田名«） +

+1（*№Р喲（一期（%炉&V）（厶）-2g （ 一 舟 3 佑）.（9.42）

Подчеркнем, что наличие в формуле (9.39) дополнительного сомножителя —Л2/7И2 не обязательно с точки зрения существования спектрального интеграла. Его наличие диктуется исключительно условием нормировки, накладываемым при низких частотах.

В случае заряженных частиц со спином % все подобные явления фотон-фСРгонного рассеяния можно исследовать с применением одного из двух методов расчета. Первый из них исходит из выражения (8.6) для вакуумной амплитуды, а второй основывается на сходстве связей в случаях спина 0 и спина 工厶・ Из сравнения (8.36) и (8.43) можно заключить, что после подстановки П2 т

П2 — eq^F и добавления множителя —V2 величина W (Л)СПин о переходит в W (Л)СПин i/2- При этом считается, что след берется также и по спинорным индексам. Второй метод более экономен, так как большая часть вычислений оказывается одинаковой при обоих значениях спина. Вакуумная амплитуда, получаемая таким способом из выражения (9.2), отвечающего спину 0, равна

一% Sp [的(2p4[+ 叫)A+eg (2。4 + M"一(约4产)Д+ X

X (eq (2рЛа + o*F2)厶十匆(2рЛ2十 о%)—㈣4产)厶十1・(9.43)

Вычисление ее спиновой части упрощается, если написать

о歹=а・ Н + ?5(т・Е = — (丫5办+ Z(t • V)(Т• А,(9.44)

где использованы формулы для напряженностей поля в радиационной калибровке, вдали от источников. Если сохранить для вакуумной амплитуды представление (9.4), то соответствующее выражение для /спин v2 мы получим, введя спинорный оператор ——V2Sp и осуществив следующие подстановки:

ерр-^ерр— уМ(淋 + о・п) о・&,

—е；・р' т—е；・р‘一у М (гу5 — ст-n) о・е；,

1(9.45)

е2'р--> е2-р + ^-^(^5 + а*п)。・已2,

—e；・p'f — е；.р，+ 彳 Af (勿5 —о・п)о・е；,

где п ——единичный^вектор, фиксирующий выделенное направление (9.7). Заметим также, что

(力丫5 ±0п) о・е = о・е (М 干。・口)(9.46)

и

(通 ±.o・n)2 = 2 (1 ±/Y№・n)・i(9.47)

§ 9. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ II. | 157

Входящие сюда следы по спиновым индексам таковы：

■^ Sp о.ео・е，= е・е\(9.48)

} Sp и • еи • е'и • effo • е"‘ = е ・ е'е" • е" — е • eV • е"‘ + е • е'"е'・ е"・(9.49)

Последний из них можно получить, приводя произведения матриц о или поеледовательно переставляя по одному множителю под знаком следа слева направо. В результате таких выкладок будем иметь

X [с(S • е^е2 • е； — q ・ е；е； •呪十 е「е2е；・爲)十 2d (% • е；е； ♦⑸一色• е；е2 ♦©；)], (9.50) где

с(7Ц2)= f ~In :+〈

](9.51) d(M2)= j 办君餐品 =^(1+ 叫CW)—‘.

Отметим также, что

j dyy2 (1 — №)c = g*・(9.52)

Это единственный интеграл, который требуется при анализе низкочастотных пределов в случаях параллельных и перпендикулярных поляризаций, не изменяющихся в процессе рассеяния. При этом множители, входящие в формулы (9.21) и (9.29), заменяются следующим образом:

J d勿2(1-喲(仪+"|.Ь)f о

f—2 j dvv2 (1 — №) (〃 + "|"b)+j du№(l—№)%(9.53)

оо

а11

у j dvv2(i — №)6~^— j dvv2(i~v2)b^~ j dpp2 (1一卢)％

ооо

так что соответствующие численные значения оказываются равными

京2：，2：京2：，2：7901而7901而45 十 3 — n X 45 ,45 十 3 乙 X 45 •45 十 3 — n X 45 ,45 十 3 乙 X 45 •（9.54）（9.54）

京2：

，2：

京2：

，2：

790

1而

790

1而

45 十 3 — n X 45 ,

45 十 3 乙 X 45 •

45 十 3 — n X 45 ,

45 十 3 乙 X 45 •

（9.54）

（9.54）

Они действительно совпадают с коэффициентами в формуле （8.81）.

Чтобы провести пространственно-временную экстраполяцию в случае произвольной ориентации векторов поляризации, перепишем две векторные комбинации, фигурирующие в формуле （9.50）, следующим образом:

•区氏•纥一•的 + 3 •=

,=е〔 ♦е’е? •电 + （®i X %） •（氏 X е?）,

2 （ер е；е； • с? — е厂 eje2 • е；） =（9.55）

=（% ・€投2 • & + е【• е^% ・与 + e【• ％£[ • ©2）— Зе】 ・e；e2 • e2—

—（3 x e；）-（e2 x e》

В первой из них можно узнать поляризационный фактор, входящий в выражение 于工（寫） 乡纟（力‘）+ 乡工（力）乡2 （%'）, а вторая соответствует разности （9.36）. Эта последняя не дает вкладов ни в одном из случаев рассеяния без изменения поляризации, и при ее пространственно-временной экстраполяции необходимо ввести контактный член, который исключает из данной связи вклад низких частот. Результат таков:

W^04, спин 1/2 — ~ 2Жо4, спин 0 + ^а j 诬玄产（〔JfT ） X （2m）2

X J粽存修К [2c （m2）（炉（一舟炉（向+s （一"）乡（初一

-d （ЛT）备（『（一舟"产（田内- 6/ （一初夕（田一 2双一舟g （a））].

（9.56）

Его можно представить и в иной форме:

W о* спин 1/2 =2%4,спин 0 +W о* спин 1/2 =2%4,спин 0 +义⑵（AТ）（多（一份于（力）+乡（一用3（初++ d （〃2）（严（一厶尸产（厶加一 6疹（一"）.尹佑）一 2乡（一舟g （初］.（9.57）义⑵（AТ）（多（一份于（力）+乡（一用3（初++ d （〃2）（严（一厶尸产（厶加一 6疹（一"）.尹佑）一 2乡（一舟g （初］.（9.57）

W о* спин 1/2 =2%4,спин 0 +

W о* спин 1/2 =2%4,спин 0 +

义⑵（AТ）（多（一份于（力）+乡（一用3（初+

+ d （〃2）（严（一厶尸产（厶加一 6疹（一"）.尹佑）一 2乡（一舟g （初］.

（9.57）

义⑵（AТ）（多（一份于（力）+乡（一用3（初+

+ d （〃2）（严（一厶尸产（厶加一 6疹（一"）.尹佑）一 2乡（一舟g （初］.

（9.57）

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ Ш.

ДВОЙНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Мы подошли, наконец, к общему случаю фотон-фотонного рассеяния. Чтобы получить требуемую связь, рассмотрим следующую причинную последовательность. Обобщенный фотонный источник J2 испускает пару заряженных частиц. Каждая из них независимо от другой отклоняется обобщенными фотонными источниками Ja и /ь, порождающими пространственно-подобные импульсы, а в конце две эти частицы детектируются обобщенным фотонным источником J「 Поля, ассоциируемые с четырьмя источниками, не перекрываются, причем в причинной последовательности поле Аа + Аъ лежит между Аг и Л2. Соответственно этому вакуумная амплитуда для частиц со спином 0, получаемая из (8.33), имеет вид

-у Sp [2едрА^+2едрАа^+2едрАъ^+2едрА^+] +(а^Ь).(10.1)

Здесь мы приняли во внимание, что каждый；из полевых сомножителей, скажем Л1? можно поместить в четыре эквивалентных положения. Согласно нашей причинной последовательности, множители Аа и должны находиться между Аг и Л2. Характерная особенность такого причинного расположения состоит в том, что все четыре функции распространения описывают реальные частицы. Поля четырех обобщенных источников мы будем записывать в виде

."⑺=j 為 exp (ifcc) Л 伍)，1(10.2)

а вакуумную амплитуду для рассматриваемого процесса представим как

J ^^^^(2я)4 6 ^ + К + къ + к^ еV.(10.3)

Фигурирующий здесь скалярный интеграл / обладает следующей структурой:

443

T(nds)m2Р/)(П(2 疗 6)・(10.4)

Это связано, во-первых, с тем, что имеется четыре инвариантные меры в импульсных пространствах, по числу реальных частиц. Во-вторых, должны входить четыре векторных потенциала, которые описывают действие отвечающих им источников. И, в-третьих, возникают три дельта-функции, что обусловлено сохранением импульса при со отв етств ующих взаимодействиях [четвертая дель- та*функция подобного типа уже включена в формулу (10.3)]. Удобнее заменить трехмерные меры в импульсном пространстве

четырехмерными:

加 f 舞"6（炉+ 襁），pC＞；°，（10.5）

а затем, используя дельта-функции, исключить все импульсы частиц, кроме одного. Выбор последнего произволен, Возникаю- щие"ири этом возможности видны из выражения

/ = j （dp） 5 ［ （p + ｝他）+ ^2J 5 j- （-卩+"^鱼）+疗］Xх5［（p+"^" 自+ '。） + б］5［（-卩+■g■自 +"Ь） + ^2J X

X （2夕+ ka -色）4 （自）（20+危+亀）/a （自）（20一"2-及Ь） /Ь （包）义

X 2% （及2）+ （а -ь）.（10.6）

Переменная р здесь не является импульсом какой-то частицы; настоящие импульсы частиц входят во всевозможные дельта-функции. Каждый векторный потенциал умножен на сумму импульсов двух соответствующих частиц с надлежащими знаками заряда. Благодаря этому снимается ограничение на векторные потенциалы, накладываемое на них выбором определенной калибровки, позволяющей заменить комбинацию рА + 4р величиной 2рА.

Четыре дельта-функции, фигурирующие в формуле （10.6）, можно записать также в виде

6^рк^） 6 ^ 1^ + ^^ + ^^ 5Qph + 医自 + ^o）S（— 2夕包 + 卷禽+麻）.

（10.7）

Они накладывают на р четыре условия, которыми этот вектор определяется （почти） однозначно. Наличие первого сомножителя в*（10.7） ведет к тому, что в системе покоя времениподобного вектора к2, в которой к^ = М^ мы имеем р° = 0 • Второй из них фиксирует абсолютную величину импульса р:

|p|2 = ^W^（Ю.8）

Две оставшиеся дельта-функции дают проекции р на направления векторов ka и к（）, определяющих некоторую плоскость. Абсолютную） величину （но не знак） компоненты р, перпендикулярной этой плоскости, можно найти из равенства （10.8）. Если она не является^действительной, то интеграл оказывается равным нулю. Итак, с точностью до знака вектор р определяется единственным образом. Поэтому весь процесс вычисления величины （10.6） сводится к интегрированию произведения дельта-функций. Этот инвариантный интеграл легко взять, выбрав систему координат так, чтобы векторы ka и к& лежали в плоскости ху, а вектор ka

§ 10. РАССЕЯНИЕ СВЕТА НА СВЕТЕ III. | 161 был направлен вдоль оси х:

.7о=$№)(П8)=|№^.”9)

Перепишем этот результат так, чтобы не было никаких указаний на систему координат:

I 8 (一А尸/2，\/

где

(—А)%=|“^磯儲成少|・(Ю.И)

Введя величину (—А)1/2, мы предусмотрели возможность представления определителя, входящего в формулу (10.11), в явно инвариантной форме (в виде определителя Грама), для чего достаточно возвести его в квадрат и воспользоваться свойством мультипликативности. Правда, здесь имеется одно опасное место, связанное с индефинитностью метрики Минковского, но эту трудность можно преодолеть, записав все векторы в евклидовой форме (卩4 = iV°). Поскольку тогда в определитель (10.11) явным образом вводится множитель 書 мы заключаем, что

(

优，k需ке及2瓦，卷p、

；:；:I.(10.12)

卩&, P%, P瓦，p2 /

Ниоткуда не следует, однако, что эта формула дает нам самый простой способ построения величины А.

Общее выражение для вектора р, удовлетворяющего условию Л2р = 0, таково:

p^ = a(ka~k2^y + b(kb-k2^y + c^kavkbKk^. (10.13)

Последнее слагаемое здесь дает нам ковариантную запись компоненты pz・ Умножив обе части равенства (10.13) на векторы ка и кь, получим уравнения

他"。 +硝="磯一岑)+Ъ g-域泸),

I ф2кь + ^а( kakb- "2/2 瓦)+ U 屁一^^ ), (10.14) которыми определяются коэффициенты а и b. Чтобы найти с, возведем обе части равенства (10.13) в квадрат. При этом возникнет комбинация

(k2住)2、 _(10.15)(k2住)2、 _(10.15)遵(肤一^^)+2а&(какь-叱产& ]+b2^-

(k2住)2、 _

(10.15)

(k2住)2、 _

(10.15)

-^。(医自+必)+ q 6 ("2屏+隔),

11—0983

162 J ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I а также

(映"唸ka^kbxka (2卩\?，х'}/龍或筋)=-k^D^(10.16)

где D — определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений (10.14):

0=(脑—墻2!)(后一瓚"一卜。自—"产Ь )2 =

=必麻一(色饱)2 一 言[隋(瓦瓦)2 + 睡(卷色)2 - 2kakbkzhakM. (10.17) Условие р® >0, при котором интеграл Zo отличен от нуля, принимает вид

一片灰2 = ^а(卷包+硝一^ь(儿饱+硝一成一^燈>0 (10.18)

(для краткости мы оставили его в нераскрытой форме). Еще один полезный результат можно получить, умножив обе части равенства (10.13) на р^. Он воспроизводит выражение, возникающее при возведении (10.13) в квадрат, с той разницей, что член с d заменяется членом, линейным по с. Сравнивая их, приходим к соотношению [которое содержится также и в формуле (10.9)]

-А = 0|Dc)2 =(-优О)(一伤0喲・(10/9)

Последняя комбинация включает величины (10.16) и (10.18) и дает нам другой способ вычисления А.

В рассматриваемой причинной последовательности имеются только обобщенные фотонные источники, причем импульсы кх и 左2 являются времениподобными, а 左。и "匕 ——пространственноподобными. Теперь, когда установлен вид соответствующей связи, мы экстраполируем ее на весьма интересный случай, когда 左： = =屍=左月="；=0. Проиллюстрируем рассмотренные выше алгебраические соотношения с учетом тех кинематических упрощений, которые свойственны реальным фотонам. В качестве двух переменных, необходимых при анализе фотон-фотонного рассеяния, удобно выбрать

Ма =—(左2 + "а)? f — 2A：?靑a，

(10.20)

Mb =-(及2 + 归Ь)2 T" - 2左2左b，

где вторая форма записи отвечает случаю реальных фотонов. При этом условии получаем

_^0->-| МЖ (Ml+Ml),

1 也1л/2(10.21)

ат"一"2 М^+Щ , 1三也十死，

где мы воспользовались равенством

Е = —(包 + h+ fc2)2 т 0,(10.22)

из которого можно заключить, что

2包瓦f賜 + 腸.(10.23)

Критерий положительности (10.18) теперь принимает вид

扌磕為>崎(m24)

а из (10.19) получаем

А = 4 мЖ (腸 + М)(| ^^ - m2).(10.25)

Конечно, к тому же результату лителя (10.12),Конечно, к тому же результату лителя (10.12),ооetd=etd=1-2 1-21-2 1-2о 4 М2о 4 М20 '4 (Ml+Mg)4•此,(10.26)0-4•腕—И120 '4 (Ml+Mg)4•此,(10.26)0-4•腕—И12ОА(М： + М|)ОА(М： + М|)можно приити, исходя из опреде-можно приити, исходя из опреде-

Конечно, к тому же результату лителя (10.12),

Конечно, к тому же результату лителя (10.12),

о

о

et

d

=

et

d

=

1-2 1-2

1-2 1-2

о 4 М2

о 4 М2

0 '

4 (Ml+Mg)

4•此

,(10.26)

0

-4•腕

—И12

0 '

4 (Ml+Mg)

4•此

,(10.26)

0

-4•腕

—И12

О

А(М： + М|)

О

А(М： + М|)

можно приити, исходя из опреде-

можно приити, исходя из опреде-

но выкладки при этом оказываются более громоздкими. Если ввести переменные'

Ua.6=l-^—,(10.27)

которые изменяются от 0 до 1, то неравенство (10.24) примет вид

〃а + 〃Ь >1,〃а + 〃Ь >1,а выражение для А будет таким:а выражение для А будет таким:А = (4тп&)2А = (4тп&)2十 〃Ь—[ (1一%)2(1一%)2十 〃Ь—[ (1一%)2(1一%)2(10.28)(10.29)(10.28)(10.29)

〃а + 〃Ь >1,

〃а + 〃Ь >1,

а выражение для А будет таким:

а выражение для А будет таким:

А = (4тп&)2

А = (4тп&)2

十 〃Ь—[ (1一%)2(1一%)2

十 〃Ь—[ (1一%)2(1一%)2

(10.28)

(10.29)

(10.28)

(10.29)

(10.30)(10.30)Комбинации импульсов, входящие в формулу (10.20), 招=左2 +左。=-(施工十瓦)， кЬ=场2 +坛=-(场1 + %,

(10.30)

(10.30)

соответствуют двум разным способам рассмотрения причинной связи между источниками через двухчастичные обмены (Matb > > 2тп). Источники J? + J。обмениваются парой реальных частиц с источниками Jx + Jb, a J? +」匕 обмениваются парой частиц

11*

с А + Jа- Введем эти импульсы Ка и Къ явным образом, включив единичный множитель

1 = J {dKa) (dKb) 3 (Ка —Аг —自)3 (Къ —左2 —瓦)=

=j (龙a) (d&)凿.):;* exp [i (k。一及一自)&] X

X exp [i (厚匕一A?—禽)&]•(10.31)

Объединив его с дельта-функцией полного импульса,

(2зт)4 5 (自十 ka 十"ь + 左2) = j (de) exp [ X (自 + 自 + 包 + 左2)况],(10.32)

получим

(2冗)4 6 (自+靑П +а+左2)~

7闽匾）（眼）尝響7闽匾）（眼）尝響d(0a do)b exp (iKa^a) exp (iK^ xd(0a do)b exp (iKa^a) exp (iK^ x

7闽匾）（眼）尝響

7闽匾）（眼）尝響

d(0a do)b exp (iKa^a) exp (iK^ x

d(0a do)b exp (iKa^a) exp (iK^ x

X exp (X自况)exp [ika (况一&)] exp [ikb Q —&)] exp [ik2 (况一& — &)]• (10.33)

Причинный характер этой формы становится очевидным из рассмотрения выражения

J *^^~ * * * 喈笨(2^)4 3 (自 + • • • + 后2)41 (^i) . - - ^2 (^2)==-J ЪГ-^Г J (汲)(d&)(d&b) 4 (%) Aa 3-&) X

X Ab （况一&）/2（况一Ea 一区）X Ab （况一&）/2（况一Ea 一区）口 j d^a^^iK^.^ p j dtObexp(脸&)]・

X Ab （况一&）/2（况一Ea 一区）

X Ab （况一&）/2（况一Ea 一区）

(10.34)

В соответствии с причинной упорядоченностью полей векторы Еа и Еь времениподобны, а их временные компоненты положительны. Мы видим, что в (10.34) входят причинные выражения для функций распространения

д /t д/2)_ f (d左)exp (泣b) _

△十(%, &, M%ь)一J再声收+m^ь一况-

=i jdcda, ьехр«Ка, b&, b),鼠!>>0.(10.35)

Здесь еще остается учесть другие детали, в том числе вопросы калибровочной инвариантности и контактных членов, но полученный результат составляет основу для процедуры пространственновременной экстраполяции. Чтобы представить его в более удобном виде, вернемся к четырехмерному импульсному пространству и запишем выражение, получаемое путем пространственно-вре-

(d財)(d左2)75i^ …12^ f dMl dMlX J ~2rT~2iT(d財)(d左2)75i^ …12^ f dMl dMlX J ~2rT~2iTменной экстраполяции амплитуды (10.34), в виде двойной спектральной формы

(d財)(d左2)

75i^ …12^ f dMl dMl

X J ~2rT~2iT

(d財)(d左2)

75i^ …12^ f dMl dMl

X J ~2rT~2iT

（2л）4 6（自 + ... + 禽）4 （自）• • • 4 （應）X

（坛十統）2:此一ie （如十例）2+屹一记•（'°， 36）

Очень полезно применить полученные нами сведения к упрощенной задаче для скалярного поля и сравнить некаузальный расчет связи, аналогичной (10.1), с вычислениями, основанными на двойной спектральной форме. Соответствующие выкладки будут проделаны только в пределе, когда импульсы всех фотонов стремятся к нулю. Термин «некаузальный расчет» относится к непосредственному использованию функции распространения в ее четырехмерной записи в отличие от каузального метода вычислений, приводящего к двойной спектральной форме. Двум этим альтернативам отвечают левая и правая части равенства

f (@Р)1f ^g 11 11

J 尊戸(矿 + 絞一沱)4 -J NT "^[ Ml 而fM ( _ A# ・ k 4

JIesyro часть можно вычислить разными способами. Во-первых, ее можно преобразовать к евклидовой метрике (р()—切《)，а затем выполнить однократное интегрирование по радиальной составляющей импульса и учесть, что площадь поверхности единичной сферы в четырехмерном пространстве равна 2лЛ В итоге получим

2冗2 f%P：dp2 _1] 38)

‘(2几)4 J (标十峻尸‘(4л)2 6m4 ,(丄U~S

Можно поступить иначе, основываясь на представлении типа (8.34) и используя его здесь в форме

(10.39)(10.39)啰十二2―蓊只=康 J dss3 exp {~is^ + ^)].0

(10.39)

(10.39)

f (dp) 1—J (2R)4 (标+絞一工£)4一f (dp) 1—J (2R)4 (标+絞一工£)4一Применяя затем формулу (8.57), будем иметь

f (dp) 1—

J (2R)4 (标+絞一工£)4一

f (dp) 1—

J (2R)4 (标+絞一工£)4一

薪* Jdssexp(Ts呜=i鳥贰.0

(10.40)

Если обратиться к правой части равенства (10.37), то выяснится один важный аспект экстраполяционной процедуры. В случае причинной последовательности, приводящей к интегралу (10.9), (10.10), величина А обязательно отрицательна. Но, как видно

из формулы (10,25), после экстраполяции на случай реальных фотонов эта величина становится положительной. Возникает вопрос, какой квадратный корень из ——1 следует выбрать, вычисляя (—А)1/2. Сравнение двух частей равенства (10.37) показывает, что

(-A)1/2 = iA1/2.(10.41)

Эта проверка будет завершена, если мы убедимся в численном совпадении правой й левой частей равенства (10.37). В обозначениях (10.27) нам следует установить, что

где иа и иь пробегают значения в интервале от 0 до 1 и удовде- творяют условию положительности (10.28), которое здесь содержится в знаменателе интеграла. Проводя последовательные интегрирования, получим

扌 j duad (“a + u6— 1)1/2 =； j diia* =春，(10.43)

что и требовалось доказать.

Теперь нам нужно перейти к векторным потенциалам, входящим в качестве сомножителей в выражение (10.6), и попытаться записать это выражение в такой форме, в которой калибровочная инвариантность выступала бы в явном виде. При причинном расположении источников это условие выполняется, но необходимо, чтобы оно сохранялась и после пространственно-временной экстраполяции. Поскольку фотон-фото иное рассеяние интересует нас лишь методологически, мы будем избегать сложностей, связанных с произвольными по ляриз а днями. Их преодоление вознаграждается в весьма малой степени, а потому рассмотрим лишь простейший случай, когда все векторы поляризации параллельны друг другу и перпендикулярны плоскости рассеяния. В такой ситуации вторая группа сомножителей в формуле (10.6), включающая векторные потенциалы, принимает вид

的护11厶=(^^-4 庐 У44&4.(10.44)

Входящие сюда функции представляют собой единственные отличные от нуля компоненты векторов, а именно компоненты, перпендикулярные плоскости рассеяния. Чтобы ввести напряженности поля, рассмотрим произведение

严支(田尸尸(加‘)=[ik^ (〃)一这%" (к)] [ik,^ (^)- ik,vAK O =

==kk,A^ 伯)灰停)+ k^k,vA 伯)A (川)，(10.45)

где мы положим кгА （左）и кА （А/） равными нулю, что соответствует случаю, когда пространственные составляющие векторов поляризации перпендикулярны плоскости рассеяния. Один из способов использования этого соотношения для представления произведения четырех векторных потенциалов в виде калибровочноинвариантного выражения состоит в том, что мы записываем

仍（舟 F （〃'）） （歹（М）歹（/'））=

=（减'）（加"公）/ （〃）Л （火）Л （""） A /"'），（10.46）

где введено обозначение

（歹伯）F （硝）=4-F^^ % （*）.（10.47）

В зависимости от того, как спариваются напряженности поля, одно и то же произведение четырех однокомпонентных потенциалов допускает разные калибровочно-инвариантные интерпретации. Вот соответствующие примеры:

（F/a） （FbF2）=（尸/b）（尸°F2）

（修尸2）（几尸外一（尸/。）（尸声2）一 S/b） （%/） . qo 48） 4MaMb'

При исходном причинном расположении источников все эти представления совпадают, но после пространственно-временной экстраполяции они оказываются неодинаковыми. Три комбинации полей, фигурирующие в формуле （10.48）, всегда могут быть представлены в виде произведения /】.• • Л2, взятого с импульсным множителем, равным в этих трех случаях

^к^^ Г （期+生产12 Г「（3+方/口「 他 2+在）2 1

J，L J L JL

（10.49）

Применительно к двойной спектральной форме （10.36） все эти возможные варианты различаются простыми спектральными формами, примером чему служит соотношение

/ / \ 2/ 玄 2

（胪+〃2）仇，2_|"М，2）（庐+ М2）（М2 + М，2） н

к2 Г 1111 I4n 耳6

Элемент произвола, возникающий при формулировке калибровочной инвариантности, указывает на возможное присутствие дополнительных простых спектральных форм, а значит, требуется

некоторая добавочная физическая информация. Такую информацию мы почерпнем из простой спектральной формы, соответствующей рассеянию вперед, которая была получена в предыдущем параграфе.

Собрав воедино имеющиеся у нас на данный момент результаты, мы можем выражение для действия записать следующим образом:

Ww = a2 )鵲...箒(2п)46("+・..+О/(") ... 4(f)x

L J М2 “吉 k a, Ъ> (к' + кт)2 +ге (F + fcw)2- ге '

+ j 需% (М2)号(計；'窝i ] ,(Ю.51)

где

спин 0: s(A^, "b)=寻7T(死+SW) = •

- 1 (1-mа)(1 - mЬ)(%+m匕一I)%

(2—ua—U&)2

Мы предпочли воспользоваться наиболее симметричным из калибровочно-инвариантных представлений (10.48) и (10.49). Видно также, что благодаря симметрии по 〃" и симметриям, вытекающим из равенств

(火 + L)2 =出 + М)2, (» + ")2 = ^ + 火)2, (10.53)

описание исходного причинного процесса содержится в восьми эквивалентных членах (10.51). Однократный спектральный интеграл с неизвестной еще весовой функцией 屮】(М2) по своей структуре совпадает с выражением (9.19), если записать последнее в импульсных переменных и заменить в нем напряженности поля векторными потенциалами согласно равенству

(歹(")尸("'))= --^-{к^ к')2 А {к) А {к').(10.54)

Импульсы четырех фотонов удовлетворяют соотношению

依 + a)2 + 出 + L)2 + 3" + 口)2 = 0.(10.55)

В случае рассеяния вперед одна из этих трех комбинаций обращается в нуль, а две другие равны по величине, но противоположны по знаку. Это приводит к следующей эффективной подстановке:

(A/十我")2伊"+我")2

(必+L)2+M^一记 (/ + 那)2+〃^ 二铝 f

1[出+我")2]2

A^十党"(廿十my + M^ 一把

в справедливости которой можно убедиться, если сравнить три члена, которые получаются путем симметризации входящих сюда величин по к, кг,左",используя при этом симметрию (р2 п0 Ма и Мъ^ Отождествляя получающуюся простую спектральную форму с (9.19), получаем

需广(〃+^)") =

=£d + »!_D(1 _№)+ }([一№) [_|_ (1 _或)一1] h ：士: • (10.57) После соответствующего интегрирования будем иметь (и =歩) спин 0: q?! (M2) = ~v-\- (1 — р2) ^2р— In -|~—) •(10.58}

Тем самым полностью определяются спектральные формы, фигурирующие в формуле (10.51).

Чтобы прийти к со отв етствующим результатам для частиц со спином I/?, нам достаточно произвести подстановку

JJ 2рА -> —~ Sp [(2р4 + а%) (2рАа + oFa) х

X (2pA2 + aF^ (2pAb+aF&)].(10.59)

Порядок перемножения здесь [формула (10.1)] соответствует причинной последовательности. Для правой части соотношения (10,59) имеем

-2[^Р^А. А2 + ^р^Т, + Т^ (Ю.60> где，

Т^^АА^- Sp oFaF^A^a (Р2Рь)+ А2Аь(Р^а) +

+ AiAb(F2Fa) + A2Aa (F/ь) + 44 (FaF^ +AaAb (F^ (10.61> И

厶=£ Sp (GFpFaGFQFb)=

=(W (ВД + (冗正)(％居x) — (K尸2)(歹Mb)・(10.62}

Последнее равенство, аналогичное равенству (9.49), относится к той конкретной рассматриваемой нами ситуации, когда все электрические поля перпендикулярны магнитным полям. В условиях причинной упорядоченности величина Т* дается выражением T工Н-[(左2 + 互П)2 + (靑2 + 左b)2 + (左a + 左b)?l ^1 • ■ •{2 Н。?

(10.63)

тогда как

T^ = ^l^+W+{{k2+k^^{{ka + ^^... л2=

-^ МаМ^А^ ...厶2・-^ МаМ^А^ ...厶2・(10.64)(10.64)

-^ МаМ^А^ ...厶2・

-^ МаМ^А^ ...厶2・

(10.64)

(10.64)

Соответственно этому весовой множитель двойной спектральной формы можно получить из весового множителя, отвечающего частицам со спином 0, путем подстановки

(2”)4 f 一 2 (2pz)4 + МЖ.(10.65)

так что

СПИН -у ： ф2 (Л^а, Мъ) = -у(2Za + U& — 1)~1/2 —

(10.66)(10.66)(]-~Уа) (( — 乂匕)За + 伤一[)3/2(2 - Мa -m匕)2

(10.66)

(10.66)

Чтобы закончить анализ, нужно воспользоваться информацией, соответствующей случаю рассеяния вперед. Метод такой тке, как и при выводе соотношения (10.57), но удобнее применять «го к комбинациям

屮 1 (М?)=屮1 (М2)СПИН 1/2 十 2屮](Af2)С11ИН о,(10.67)

Ф； (Л/：, Mg)^<p2 (ML ^)СПИН1/2 + 2(р2 (М^ М|)сшшо =

.=等(〃а + — 1) ‘2

и к аналогичной комбинации амплитуд рассеяния вперед [ср. 崂 подстановками (9.53)]

[-2 (а+4ь)+с] + 2(а+4ь)=ст = А1П4^-. (10.68)

Проводя интегрирование

屮;”)—M2j翳需詳■【扌m告，(10.69) мы получим

网(М2) = In 告，(10.70)

а следовательно,

спин 彳：6 (Л/2) = t?+(3 — 2卢)In (*|^2и)・ (10.71)

В реальном случае фотон-фотонного рассеяния в системе центра масс с полной энергией М и углом рассеяния 9 три комбинации импульсов, которые входят в соотношение (10.55), будут

такими:

—Л/2, 7if2sin2_Le) м2cos2*8.(10.72)

(10.73)(10.73)Элемент Т-матрицм имеет вид

(10.73)

(10.73)

〈篇山；IТI 篇2毁〉=(dco^i …ds毁У" 8а2/,

где

AMI Ш1AMI Ш1皖也皖也中2照，制）中2照，制）M2 cos2 ^~M2 cos吟+皖M2 cos2 ^~M2 cos吟+皖++dM'2dM'2屮1（小）屮1（小）М2 sin2 -|-屛一M-把 I , 0 , ..„ +。\ "2 Sln2 _ 十 MgМ2 sin2 -|-屛一M-把 I , 0 , ..„ +。\ "2 Sln2 _ 十 MgM2 siM -|"M2 siM -|"加2加2№ cos2 -|-№ cos2 -|-№ sin2 ~|~+M^ М2 cos2-y-H7l/g№ sin2 ~|~+M^ М2 cos2-y-H7l/gДРДРМ'2 —“2—花М'2 —“2—花++〃4sin4-|> .M2sin2-|- + M(2〃4sin4-|> .M2sin2-|- + M(2

AMI Ш1

AMI Ш1

皖也

皖也

中2照，制）

中2照，制）

M2 cos2 ^~

M2 cos吟+皖

M2 cos2 ^~

M2 cos吟+皖

+

+

dM'2

dM'2

屮1（小）

屮1（小）

М2 sin2 -|-

屛一M-把 I , 0 , ..„ +。\ "2 Sln2 _ 十 Mg

М2 sin2 -|-

屛一M-把 I , 0 , ..„ +。\ "2 Sln2 _ 十 Mg

M2 siM -|"

M2 siM -|"

加2

加2

№ cos2 -|-

№ cos2 -|-

№ sin2 ~|~+M^ М2 cos2-y-H7l/g

№ sin2 ~|~+M^ М2 cos2-y-H7l/g

ДР

ДР

М'2 —“2—花

М'2 —“2—花

+

+

〃4sin4-|> .

M2sin2-|- + M(2

〃4sin4-|> .

M2sin2-|- + M(2

(40.74)(40.74)М4 cos4 —

(40.74)

(40.74)

М2 cos2 -|-+М，г

так что для дифференциального сечения получаем

(10.75)

Относительно деталей углового распределения мы заметим лишь, что при низких энергиях (М《т) амплитуда рассеяния t пропорциональна величине '

1 + sin4 -|- + cos4 -^ ^ Т ^ + cos2 6)J (10.76)

а при высоких энергиях (М》т) зависимость от угла рассеяния носит' логарифмический характер.

I 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.

НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИЗ

Как-то мимоходом уже упоминалось о сдвигах энергетических уровней связанных систем. Даже была приведена одна явная формула (4.84), но точный смысл энергии возбуждения атома в ней остался нераскрытым. В противоположность рассеянию (§ 4), которое представляет интерес главным образом при высоких энергиях, достижимых экспериментально, в проблеме энерге-

тических сдвигов оп р ед еляющую роль играют низкие энергии, характеризующие связанные системы. В соответствии с этим мы начнем исследование энергетических сдвигов jff-частиц с нерелятивистского анализа.

Раньше часто рассматривались нерелятивистские пределы для релятивистских динамических расчетов. На этот раз мы будем оперировать непосредственно с нерелятивистской динамикой, хотя и используя при этом без пространного объяснения методы, которые уже получили свое общее пространственно-временное описание. В нерелятивистском случае, которому отвечает запись энергии в виде

ро«пг + Г(р), ?切=募，(H-l)

причинные выражения для функции распространения А+ Q — 第‘) будут (力° — t) такими:

第0＞第°'： a+ (第一第‘)大；i exp1一号片-*°h x

X J 覇exp{Hp・(r-C — 7(p)«T，)]},(11.2)

必( V W: A+ (第一疗)и^ г exp皿孤忆0 )] x

XJ W-exP＜-z[p^r-r，^-7(pHf-01}-

Чтобы перейти к нерелятивистскому началу отсчета энергий, нужно умножить величину А+ {х ——х) на exp [im (/ —第°')]・(Этому эквивалентно умножение на ехр [——im (第° —— 力°')], при котором меняются ролями частица и античастица, допускающие в нереля- тивиетском пределе раздельное описание.) В пределе, когда т сколь угодно большая энергия, мы приходим к следующему нерелятивистскому выражению для функции распространения:

G (г—г', t —廿)=lim{( —2m) exp [im (x° —x°')j A+ (第一第')}= =卜＞'：T j ^rexp{"p.(r-r，)一 ？(p)(力一У)]},仕]3)

1力 V廿：0.

Эта запаздывающая функция является функцией Грина неоднородного уравнения Шредингера

口备一l^(；V)[G(r —М t — H)”f・(И-4)

В импульсном пространстве данное уравнение записывается в виде 口备一7(P)]g(P, 力7') = 3(力一，)，(U.5)

где

G(p,力一尸)=J (dr)exp [ — ip• (г—rz)] G(г — r\ f—f).(11.6)

Преобразованные по времени функции

G ( , £*) = J dt exp [iE (t —力')]G( , t —力‘)(11.7)

удовлетворяют уравнениям, соответствующим выбору пространственных переменных:

[E-*(；V)[g(Г-Г‘，Е) = 3(г-г'),(11.8)

ИЛИ

[Е (р)] G (р, Е) = 1.(И.9)

Поскольку функция Грина является запаздывающей по времени, преобразованная функция (11.7) существует при комплексных значениях Е, лежащих в верхней полуплоскости: Im Е >0. Таким образом, соответствующее решение уравнения (11.9) мы получим, подходя к действительной оси сверху：

G(p,笈)=R 记 _т(р)~，+0・(11.10)

Прямая проверка показывает, что вытекающее отсюда поведение во времени оказывается как раз таким, какое и должно быть в случае запаздывающей функции:

<?(р"-У)= j 舞exp[—近(/ — У)]戸 J_/而-=

=П В - У) ； exp [ — 次(p) « T')].(11.11)

Выражение для действия, которое приводит к неоднородному уравнению Шредингера, имеет вид

*⑺*,叫=j (dr) di [ - т]* (r, £)W(r,力)一屮* (r,力)n (r,力)+

+ 屮*(力 f)(^4-i-(TV)2)^(r'斗 ”12)

Из него получаются следующие полевые уравнения:

[4•—嘉(；▽)]屮(г，t)= n(r, /), г d 1/1\ 2-1(11.13)

[т而-而( —『▽) ]w*(r”) = s*(r,力

Как явствует из самих обозначений, эти уравнения комплексно сопряжены друг другу. Решение полевого уравнения для 屮 имеет вид

屮(厶力)=j (dr) d，G(r —г',力一У)п(“ f).(11.14)

На основе^этого решения найдем явную зависимость W от источников:

W (тГ,叫=—j (厶)威тГ (% 0 屮(г, 0 =

=—J (dr) dt(drf) dt^* (r, t) G(r—г\ 力一，)刀(匸 f). (11.15)

В отличие от релятивистских формул здесь появился знак «——», что объясняется наличием знакового множителя в соотношении (11.3) — он был введен для того, чтобы наши обозначения согласовались с общепринятыми о бо значениями нерелятивистских функций Грина. Соответствующее определение полей, к которому приводит принцип действия, выглядит следующим образом: bW (т]*, т]) = — j (dr) dt [бт]* (г, t) г|)(г, t) 4~л|)* (г, t) 6т)(г, f)], (11.16)

Из него вытекает выражение еще для одного поля:

屮*(г\ ')= j (dr)威"* (г,力)G(r—J,力一У).(11.17)

Заметим, что это поле не является комплексно-сопряженным с 屮(г\ %')・ Поле 屮 связано со своим источником % действующим в предшествующие моменты времени, тогда как 屮* определяется значениями “* в последующие моменты времени. Выбирая переменные другими способами, можно будет явное выражение для W представить, например, в таких формах, как

加(瞋，П)= -J-§j3-^^V(P,力)G(p, i-OnCP,力')，(11-18) при

п(р,力)=[(dr)exp(―加・г) Т] (г,力)，

；(11.19)

П*(Р, 0 =)(赤)exp (tp-r)瞋(г, /)

И

W(^,•I^n*(P，E)G(p, £)n(P, E), (11.20)

где

n( , E) = f dtexp(iEt) T] ( ■, i),

；(11.21)

■q*( , E)= dt exp (— iEt) ij* (,力).

§ 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Л-ЧАСТИЦ. | 175

Электромагнитные взаимодействия вводятся путем подстановок 十▽ +?V+eA(r,力)，V-A(r, f) = 0,

e a”22>

2备一备一卩(小)，Mr,力)=-"(r，力)，

которые записаны для частиц с зарядом —е, причем выбрана радиационная калибровка. В этой калибровке все внимание концентрируется на векторном фотонном источнике J. Если отбросить мгновенное кулоновское взаимодействие плотности заряда J。[ср. с выражением (3-15.51)], то затем временную компоненту можно исключить на основании закона сохранения

▽ •J(r, t) + ^J0(r, £) = 0.(11.23>

Тогда вклад фотонов в действие W может быть представлен в следующей диадной форме [ср. с (3-15.52) и (3-15.53)]:

Ж (J) = A J(dr)dt (йг;) df J (г,力)・D(r — “ 力一 y)・J(F, f), (11.24> где

t > f: D (r —% — %') =

= i\d^ exp {i [k-(r-Y)—依(力一尸)]} (1 一雋卜(И-25)

В нерелятивистских задачах, которые мы будем рассматривать, импульс, переносимый фотоном, весьма незначителен, или, иначе говоря, длина волны фотона велика по сравнению с пространственными размерами системы, т. е. | к • (г — г') |《1. В таком случае выражение для фотонной функции распространения (умноженной на 巒)можно упростить:

力>，：e2D；(t-t')^i-^- J dWexpl-j^^-f)]!. (11.26)

Чтобы получить это выражение, мы ввели сферические координаты в к-пространстве,

(11.27)

冃 (2n)3 2砂 4л2 4n I I\

выполнили интегрирования по углам,

kkfglkjl,(11.28)

а поеле^ этого воспользовались свойством импульса фотона

(11.29)

Выведем сначала некоторые уже известные нерелятивистские формулы для модифицированных функций распространения

и формфакторов. Из выражения для слагаемого действия 、

—j (dr)dh|)*(r,力)gp・A(r,力)屮(г,力)，р= — iV (И.30) явствует, что обобщенный источник частиц “纟(г* 0 можно рассматривать как эффективный источник, испускающий две частицы:

5(Г‘，Г) п4(г,力或巾= 3(г-г，)3«Т')^р5(г,力)，(11.31)

и точно так же для обобщенного поглощающего источника т]* (г, t) имеем

^? (г, ”1(4 О1эфф = ^ (г,力)糸 р5(г-г')5а-У)・(1L32)

В действительности существенна только поперечная часть этих векторов, но она автоматически отбирается фотонной функцией распространения (11.25). Член вакуумной амплитуды, который описывает обмен фотоном и свободной частицей, дается выражением

j ‘"" d£l . . .加?(门，方 1) L (厶，方I)!эфф • D (门一г2: "I 一"2)X

X G (门—Г2,玄一力2)•订2 (г；,玄)“2 (「2, ^2)|эфф —

=—^- J (dr) dt (drz) df^l (г, f) p-D (г —r\ 力一У)Х

X G (г - J, t -力‘).p屮2(“ ％')•(11.33)

Если воспользоваться упрощенной фотонной функцией распространения (11.26) и функцией распространения частиц (11.3), то эта вакуумная амплитуда станет равной

Т器44泌。叫普近杀，唸(р, 0 4-х

X exp {- i [Г (р) + ^] (t- tr)}y^2 (р, Г).(11.34)

В комбинации

子ехр{ — 〃Т (р) + /]传—У)}

мы узнаем выражение (взятое при t〉f) для функции распространения частицы, которая имеет энергию Т (р) + АЛ Ее общий вид дается формулой (11.11), если произвести подстановку Т -> Т + А°. Сюда можно добавить временные контактные члены,

т. е. дельта-функцию 5(% —— У) и конечное число ее производных. Таким образом, в результате временной экстраполяции амплитуды (11.34) мы получим

一声目抑叫等W*(P，E)x

x [百+抬_7 (p)_枳 十 контактн. “лены] р2屮(р, Е),(11.35)

куда контактные члены входят теперь в виде полиномиальных функций энергетического параметра Е. Конкретная их форма фиксируется условием, согласно которому полученная добавочная связь должна относиться не к полям, а к источникам, чтобы не изменялось первоначальное описание свободной частицы. Необходимые для этого сомножители, фигурирующие в уравнениях

[Е — Т (р)]屮(р, Е) = т] (р, Е),

4)* (р, Е^Е-Т (р)] =(р, Е),

возникнут, если образовать комбинацию

Е — Т , _ / Е—Т )2 “] 37) E + i&—T — k^ Т 旭丁(М)2\ * 丿 E+i&—T~k9 * I丄丄丿

В итоге для модифицированной функции распространения будем иметь

方/ m1. 2а ра f dkQ1〃/ 力。

G(p, E)= E + ie — 7(p)J E-\-is-T {p)-k» • (I"38)

Здесь можно узнать результаты, которые были получены при анализе, основывающемся на рассмотрении мягких фотонов, а именно формулу (1.83) для частиц со спином 0 и формулу (1.95) для частиц со спином %•

В случае частицы, движущейся в статическом поле с потенциалом V (г), нужно сначала взять другое уравнение для функции Грина:

口 4—Р(г)-击 ©WlGlr, “ 力―У) = 3(г_г，)6(1У).

(11.39)

Ему эквивалентно интегральное уравнение в абстрактной записи

GV = G + GVGV.(11.40)

Формальное решение последнего имеет вид

歹=(1 一 GF)-% = G + GPG + ・• •・(11.41)

В более явной форме эти первые члены записываются как

G«(p,力；р',尸) = 5(р —P‘)G(p,力一У)十

+ J dtfi (p, t—幻卩(p — p‘)G (p‘，t*一 门+ -.(11.42) где

卩(P — P‘)= j (*)exp[ —i(p —рЛ).г] 7(г).(11.43)

Модифицированную вакуумную амплитуду для движения в поле с потенциалом V мы получим, подставив в формулу (11.33) функцию распространения GK

12-0983

Рассмотрим сначала линейный по V член в разложении (11.41). Он соответствует эффекту однократного рассеяния на потенциале в случае причинно-упорядоченной пары обобщенных источников частиц, которые обмениваются частицей и фотоном. С учетом того, что

ехр [ — ХА。(％ —У)] j dti exp [— iT (p)传一“)]V (p —p‘)X

X exp [ — iT (p‘)(％ —切=j d% exp [ — i (T (p)十 k°) (f—幻]X

X V (p-p') exp [ T (T (p) + 胪)伍一，)],(11.44)

мы придем непосредственно к выражению, которое получается путем экстраполяции вакуумной амплитуды:

立 3n M J && & (2n)3 (2n)3 2л 屮(Р' ^'LP E十记一T(p) —眇 * x ° (p — p) E-He — 6(p') — A:。P‘ —

-(♦)2£(P叩(P—P')+ P(P-P')P'2)]屮(M E)・(11.45)

Сюда введен также контактный член, не зависящий от Е. Необходимость в нем диктуется тем требованием, чтобы добавление постоянного потенциала V приводило лишь к изменению начала отсчета энергии: Е f Е — К Произведя такую подстановку в формулах (11.35) и (11.37) и выделив члены, линейные по константе V, мы увидим, что они аналогичны двум вкладам в амплитуду (11.45), где произведение р2P записано в общей форме, получаемой путем его симметриз ации.

Если вакуумную амплитуду (11.45) применить к случаю однократного рассеяния на потенциале, то поля будут подчиняться уравнениям

屮* (р, Е)[Е^Т (р)] = О, [Е — Т (р* 屮(р\ Е) = О,

(11.46)

так что сама эта вакуумная амплитуда сводится к

alf W (dp) (dp‘) dEalf W (dp) (dp‘) dEЗл тп：Зл тп：m (2Л)3 (2冗)3 2冗m (2Л)3 (2冗)3 2冗屮* (р，Е) (р — р')2 Р (р— р')屮(Р‘, Е・) (11.47)屮* (р，Е) (р — р')2 Р (р— р')屮(Р‘, Е・) (11.47)

alf W (dp) (dp‘) dE

alf W (dp) (dp‘) dE

Зл тп：

Зл тп：

m (2Л)3 (2冗)3 2冗

m (2Л)3 (2冗)3 2冗

屮* (р，Е) (р — р')2 Р (р— р')屮(Р‘, Е・) (11.47)

屮* (р，Е) (р — р')2 Р (р— р')屮(Р‘, Е・) (11.47)

Таким образом, эффективный потенциал, которым обусловлено рассеяние частицы с переходом из состояния с импульсом р‘ в состояние с импульсом р, равен

［「爵生J学"р—p')・

(11.48)

Мы видим, что по своей структуре это выражение сходно с зарядовым формфактором (4.81). Для более детального сравнения возьмем для спектрального интеграла j d硏2 верхний предел К, соответствующий границе области применимости нерелятивистского подхода, и нижний предел, соответствующий конечной массе фотона р. Тогда изменится выражение для импульса:

I k I =[3°)2 - D叩/2，(11.49)

что скажется на формулах (11.25) и (11.27) и приведет к следующей модификации:

f 也 f ]k|W 3「《1 |kp 1

J 丁 一(枳)2 2 L з J 一

^ln*—■!，亲》1.(11.50)

Заметим, что при вычислении данного интеграла удобно произвести замену переменной

(11.51)(11.51)2 = М ch 0.

(11.51)

(11.51)

Сравнив теперь (11.48) и (11.50) с зарядовым формфактором (4.81) для частиц со спином %, мы можем точно указать предел применимости нерелятивистского анализа:

спин T* = T —后=石・ (11.52)

Согласно соотношению (4.132) и вытекающему из него следствию

ОО1

{ 瑞伉(m)一7(〃2)】=含^4初=急*, (H.53)

(2m)2%

в случае частиц со спином 0 предел иной:

спин 0: In礬(11.54)

В случае, когда возможно любое число взаимодействий с потенциалом 匕 нужно подставить в амплитуду (11.33) полную функцию Грина Gy. Она удовлетворяет двум разным интегральным уравнениям

Gv = G + GH = G + "М(11.55)

в чем сразу можно убедиться, исходя из алгебраического тождества

GP = (1 — GV)~^G = G (1 —吋L(11.56)

12»

Два этих уравнения можно объединить в одно уравнение

G^ = G + GVG + GVGVVG,(11.57)

в которое входит точное выражение для суммы всех членов разложения по степеням 7, кроме двух первых. Формальное рассмотрение этого остаточного выражения проводится просто. При умножении Gv на фотонную； функцию распространения к кинетической или полной энергии частицы добавляется энергия фотона, и больше нет каких-либо дополнительных физических условий нормировки, которые требовали бы введения контактных членов. Окончательный результат мы представим в виде добавочного слагаемого в действии:

——j ") ^ (^) dt1^ (r,力)5?(r,力；r\ f)屮(匕廿)，(11.58) где (в матричных обозначениях)•

6了=筹备J或/俨(耳 Jt" +E+將)+

+ P• E + 访一7—疝厂 E+ie—T—kfi ₽— ( *»") T(Р叩 + 方)+

+ Р，e + 旭—Т-M「E+ie—Н-" V E + tB-T-lfi PJ(伍・59)

И

H^T + V.(11.60)

Это добавочное взаимодействие мы применим к связанным состояниям, которые первоначально удовлетворяют уравнениям на собственные значения

(11.61)(11.61)^ (Е — Н) = 0, (Е — Я) W = 0・

(11.61)

(11.61)

Учет этих уравнений в формулах (11.58) и (11.59) приводит к взаимному уничтожению членов с р2 (Е — Г) и —V2 (p2V 4- 7р2). Дальнейшее упрощение обеспечивается алгебраическим тождеством (совпадающим по существу с формулой2(И-55)]

1E十记一T—^01E十记一T—^0=и=и1男十加一7 一/1男十加一7 一/叮叮1百+花一h一/1百+花一h一/11-E -|-te—H -而О-E -|-te—H -而О1一卩1一卩11E + i& — T — k^E + i& — T — k^(11.62)(11.62)

1

E十记一T—^0

1

E十记一T—^0

=и

=и

1

男十加一7 一/

1

男十加一7 一/

叮

叮

1

百+花一h一/

1

百+花一h一/

1

1

-E -|-te—H -而О

-E -|-te—H -而О

1一卩

1一卩

1

1

E + i& — T — k^

E + i& — T — k^

(11.62)

(11.62)

Если применить его к первому члену в формуле (11.59), то станет ясным, что зависимость этого члена от потенциала V линейна. Получающееся в результате выражение мы представим в форме

67 = 6РП + 3『367 = 6РП + 3『3(11.63)(11.63)

67 = 6РП + 3『3

67 = 6РП + 3『3

(11.63)

(11.63)

где

6к =許占j М^Р2齐把Lt Р十卩е+Jo P2十

+ 2/p・中Jb京占bp](11.64)

и

SF(2)= ^_ J_ [ да^Ор.т VX

x ° 石+i&—T—胪 P-(” .65)

Заметим, что в приближении однократного рассеяния, в котором полевые уравнения (11.61) заменяются уравнениями (11.46), из 6『"еще раз можно получить добавку к рассеивающему потенциалу, даваемую формулой (11.48). В нерелятивистском случае величина 6 卩强)определена совершенно корректно. Благодаря наличию трех множителей с Аг° в знаменателе спектральный интеграл сходится при высоких энергиях. Кроме того, не возникают какие-либо инфракрасные трудности, так как для связанных состояний, для которых Е V 0, разность Т ——Е никогда не обращается в нуль. Даже существование нулевого собственного значения у оператора Н — Е, в связи с чем появляется сингулярный множитель —1/庇,не играет роли, поскольку в пределе： при 乃° f 0工 ^тр^ные элементы, входящие в виде сомножителей, обращаются в нуль:

〈…Е|』Р 各Н…Е〉=〈…e|Wp|…Е〉=

=〈…е|；[г,叫…Е〉= 0.(11.66)

Все это позволяет с полным основанием считать, что вклад 6У<2> весьма незначителен. Если пока совсем не учитывать логарифмическую зависимость при большом значении энергии К, то основная часть сдвига энергетического уровня будет обусловлена именно членом 6 Va\

Чтобы/упростить расчет этого основного вклада, перепишем 6 Va> (опустив добавку ie, которая ни на что не влияет) в виде

只巾八а 1 W「决 m г「Tzu 旭

困=3л m2 JT — E + A»【P'【叩内】T—E+M —

一(」1J簿г)卩匸録E(й67>

Кулоновский потенциал

U(r)=—冬(11.68)

обладает тем свойством, что

-[р, [-Р，V]J = V2v = 4nZa6 (г).(11.69)

Для интересующего нас состояния с волновой функцией 屮(г) введем вспомогательную волновую функцию, определяемую равенством

%(г，收)=7二^+后。屮(r)，(H-70)

ИЛИ

(一畫^-E十部)%г，收)=后纯(f)■(11-71)

Благодаря наличию в формуле (11.69) дельта-функции вклад % в соответствующий член будет определяться значением в начале координат. Энергетический сдвиг дается формулой

(6i=泰3 J券[4册*(0,依)卩十

+ 4m 便。+1EI) J (dr) ^|4)(r)-X(r，*°)l2-

-4m|E|ReJ (dr)屮(r)* 冬(屮(r)f(r,硝)].(11.72)

Для удобства перепишем это выражение в безразмерных переменных, построенных из боровского радиуса

。。=志 .(也73)

и из боровских значений энергии

\Еп\ = т 2^2 = 2m (吗户=声 Ry， (14.74)

(Здесь Ry — так называемая ридберговская единица энергии.) Новые переменные таковы:

xf，7AL高， 出.75)

соответственно чему волновые функции переопределяются следующим образом:

(11.76)(11.76)2(X)= [Л (吟)3尸/22(г)，%(х, S)= [л (nao)3]1^ X (г, /),

(11.76)

(11.76)

что даетчто дает

что дает

что дает

=备等RyJ勺告[l%(0，s)仔+О

+ (告П罂丨屮(x)-%(x，s)『一

-Rej"^W(x)*(W(x)-%(x, s))].(11-77)

Простейшим примером подобного расчета служит рассмотрение основного состояния (孔=4, Z = 0), для которого

屮io (X) = eхp (一力，

(11.78)

Хю (х, s) = exp( —с)Хю (х, s) = exp( —с)(1 —s)2 exp(—a) —exp { —[«+s)/a —s)]吗

Хю (х, s) = exp( —с)

Хю (х, s) = exp( —с)

2s/

ииХю (°, s) = s.Хю (°, s) = s.(11.79)(11.79)

и

и

Хю (°, s) = s.

Хю (°, s) = s.

(11.79)

(11.79)

Проводя последовательные интегрирования, придем к результату

〈6”%。=备 Z&Ry jf告[sy^i^ln』 О

(11.80)(11.80)(11.81)(11.81)Т( i[=备 Z3 Ry [ m 占―传 一 2 In 2)}

(11.80)

(11.80)

(11.81)

(11.81)

в который входит величина

^•-2 In 2 =2,8637.

Относительно же вклада 67<2> заметим, что, вводя полный набор волновых функций 屮魂(г), в общем случае мы будем иметь

小Т72、2a 1 Г dk° v I f @) %nbn (г,浓)* рГфЕа (г) |2

〈0У %Z= 武 JE-En + k» — ie•

Ea

(11.82

В частности, для основного состояния все входящие сюда матричные элементы таковы, что Е —— £\ > 0, и этот дополнительный энергетический сдвиг оказывается отрицательным. Он следующим образом 1) изменяет аддитивную постоянную (14.81):

2,8637 + 0,1105 = 2,9742. (11.83)

{) Наиболее эффективно необходимые вычисления были выполнены путем построения функции Грина Я-частицы в импульсном пространстве, изложенного в нашей монографии «Квантовая кинематика и динамика» (/. Schwinger, Quantum Kinematics and Dynamics, W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park, 1970). Подробности можно найти в диссертации Либера (М. Lieber^ Thesis, Harvard, 1967); см. также M. Lieber, Phys. Rev., 174, 2037 (1968).

Стало быть, если полностью отвлечься от играющего основную роль логарифма In (тп/[ £\ |) ^ 10,5, то в результате проведенных элементарных выкладок аддитивная постоянная фиксируется с точностью до 4%.

При аналогичном анализе других s-состояний целесообразно исходить из производящей функции

(」)2 ехр {— [(1 + £)/(1 — t)} ж}= 2 疗‘初по (х),(11.84)

п=1

которая почти совпадает с производящей функцией для полиномов Лагерра. У нее такое же экспоненциальное поведение, как и у волновой функции 屮io (х), и она сводится к последней, если положить 才=0. Соответственно этому производящая функция для Хпо (х, s), а именно

%(х, S,力)=$ 产т砍no(x, s),(11.85)

П=1

также похожа на %10 (х, £). Эта производящая функция является решением дифференциального уравнения

[一守 + (告)]%(X，S, 0 =

=笹才 7Г^ ехр{-[(1 + 0/(1 т)】2}(11.86)

и равна

X(X, 5, t)—»2(匸£)2一 /1 + i \2 X

х exp{ — [(1 + Q/(l — t)] ж} — 2 7 к$ j~；]十£、2 X

一 exp {一[d + 切a一上)]*}-exp { —[a + s)/(l -s)]叫〃彳 o7v

Вычислив ее значение в начале координат, получим

сов

ее啖。 (0, S)=在勺=备2 (就广， (11.88)

Tl=[П=1

а следовательно,

Xno (0? $)=肝・(11.89)

Хотя можно было бы построить и производящие функции' для интегралов, которые входят в (11.77), мы ограничимся рассмотрением s-состояния с 孔=2. Нужные для этого волновые функции даются выражениями

屮20 (х) = (1 — 2)exp (—2),

%20 (х) — Wo(2)= — -J-2 [exp ( - 2)— ^^ X

X exp (— г) — exp { — [(1 十s)/(l — $)]叫X exp (— г) — exp { — [(1 十s)/(l — $)]叫XX(11.90>(11.90>

X exp (— г) — exp { — [(1 十s)/(l — $)]叫

X exp (— г) — exp { — [(1 十s)/(l — $)]叫

X

X

(11.90>

(11.90>

〈6宀=，炉Ry J岑告卜+里尹0

穿 in 占 T -书 T (一)2 (1 ")]=

=急 ZYRy [in $—(聲—* In 2)] •(H.91>

Численные значения входящей сюда константы и дополнительнога вклада от 6 卩露、по-прежнему содержащего только отрицательные- члены, таковы:

(11.92>(11.92>2,5463 + 0,2655 = 2,8118.

(11.92>

(11.92>

Несмотря на увеличение вклада от 6?*)по сравнению со случаем и = 1, он все же составляет лишь несколько процентов всега эффекта в целом.

Рассматривавшиеся состояния 1s и 2s специфичны тем, что они стабильны. (Конечно, уровень 2s не полностью стабилен, но мы не- будем учитывать зто при нашем несколько упрощенном с физической точки зрения подходе.) Нестабильность других уровней проявляется в том, что у величины 6V<2), даваемой формулой (11.82), возникает мнимая часть

Im〈6卩⑵儿=—争亲 j dk<> 218(E-En + ka)^\{nlm\p\Ea)\2.

Ea

(11.93}

Здесь учтено ограничение на энергию, накладываемое дельтафункцией, которое позволяет упростить интеграл, фигурирующий в формуле (11.82):

一 f (dr)崛,mp (7-Е^Еа=-к0(П1т\р\Еа}.(11.94}

В полученном выражении мы узнаем структуру вероятности спон* тайного испускания (3-15.69), отнесенной к единице времени. Сум-

ммруя такие вероятности, получаем полную скорость затухания 1ср. с формулой (3-16.41)]

—у 2 Уе”тц = —^丫孔广(11.95)

При такой модификации энергии временной фазовый множитель становится равным

ехР [ —»(Eiu —g- J?nz) »]・(11.96)

Тем самым правильно описывается нестабильность п/-состояния4 обусловленная переходами в состояния ZT-частиц с меньшей знер* тией, сопровождающимися испусканием фотона. (Напомним, что ранее мы подходили к вопросу о значениях энергии чисто феноменологически. Теперь же мы постепенно уясняем себе структуру энергетических уровней.)

Для состояний с ненулевым моментом обе волновые функции 4> (г) и % (г,论°) обращаются в нуль в начале координат, так что главный член в выражении (11.77) для 6Va, исчезает. Объединив оставшийся вклад с вкладом от 6F(2), мы получим чрезвычайно малый сдвиг. Примером может служить уровень 2р, для которого

Re (67(1> + 6『2%i =备 ZB Ry (0,0300).(11.97)

Релятивистские эффекты в интересном с точки зрения эксперимента случае спина % частично учитываются соотношением (11.52). Воспользовавшись им, мы вместо формул (11.91) и (11.92) будем иметь

(6V<1> + 6O20 = ^Z^Ry[ln 备— 2,8118+ 芸].(11.98)

Кроме того, имеется эффект, связанный с магнитным моментом, который описывается, например, формулой (4.124). Он приводит к следующему энергетическому сдвигу:

舒贵J陸)中屮Y56▽卩叭(H-99)

Фигурирующие здесь волновые функции удовлетворяют уравнению Дирака, которое можно записать в виде

(т + Е V)^ = (у5о-V + т^)卡 (11.100)

и

(11.101)(11.101)屮* (?П + е一0)=中*(Y5仃，▽"十07О),

(11.101)

(11.101)

Комбинируя эти уравнения, получаем

2 (m + E-V)屮*7О?5u.▽0屮=

=2*у0(G-VT<^* ^F— (T•▽卩》♦▽)屮=

= 4)*y)(vr-VV-VF-V + Za (Vr x VV-W x V)) 4). (11.102)

Затем пользуясь нерелятивистским приближением, в котором разность Е — V пренебрежимо мала по сравнению с тп, можно будет представить энергетический сдвиг (11.99) в виде

爵譌•〈▽▽ + 2о”Рхр〉.(П-103)

Как показывает сравнение с формулами (11.67) и (11.69), проведенное с учетом входящего туда коэффициента (а/Зл) (1/тп2), первое слагаемое в формуле (11.103), которое дает вклад только в ^-состояниях, добавляет к главному логарифмическому члену константу, равную 3/8.

В состояниях с ненулевым орбитальным моментом и с заданным квантовым числом j = 2 士 厶 полного момента выражение (11.103) принимает вид

磊〈堂〉叫=輦〈4%X ( =("」。学

Напомним, как выводятся фигурирующие здесь известные средние значения. Будем исходить из того, что в стационарном состоянии среднее значение радиальной силы обращается в нуль:

G (壮一年)〉一屮 仆〉+ Za 住〉=。，

(11.105) а из二общеизвестной линейной зависимости главного квантового числа п от орбитального квантового числа % (孔=孔^ + % + 1) вытекает

鲁.(11/06) dln \ dZ/、产/，/

Это дает

〈靑〉『П^17专〈%〉「靑《+$(/T 8'°'

так что для энергетического сдвига, индуцируемого дополнительным магнитным моментом в состояниях с Z > 0, получимтак что для энергетического сдвига, индуцируемого дополнительным магнитным моментом в состояниях с Z > 0, получим員"М*х員"М*хт 1^=z+t:7 1J = Z一0：т 1^=z+t:7 1J = Z一0：1中11中1(11.108)(11.108)

так что для энергетического сдвига, индуцируемого дополнительным магнитным моментом в состояниях с Z > 0, получим

так что для энергетического сдвига, индуцируемого дополнительным магнитным моментом в состояниях с Z > 0, получим

員"М*х

員"М*х

т 1

^=z+t:

7 1

J = Z一0：

т 1

^=z+t:

7 1

J = Z一0：

1中

1

1中

1

(11.108)

(11.108)

Отметим, что ранее установленный результат для уровней syz также вытекает из этой формулы.

Собрав вместе все рассмотренные эффекты, в том числе и эффект поляризации вакуума, мы получим следующее выражение для относительного сдвига первоначально вырожденных уровней 2团历 и 2PI/ в атоме водорода:

Е^1г — ^2Р1/2 =-^-Z4a3Ry [in ~^r — 2,8118 + |—^]_一击2”[0,0301]=

=*毋则鳥)、у[m(姦中)一2,8必8+磊].

(11.109)

В последнюю строку мы включили некоторые из наиболее очевидных массовых поправок для реальных ZT-частиц. Они учитывают, что именно приведенная масса электрона (тп) и нуклона (М) входит в боровский радиус

и в боровские значения энергии

仍鼠 2n2 м + т п2 м+m иу(丄丄.口丄)

(ридберговскую единицу мы сохранили в прежнем виде, отнеся ее к бесконечной массе). Взяв численное значение

06 = "137,06(11.112)

и энергетическую единицу (которая обычно приводится в частотном выражении)

费 a3Ry = 135,644 МГц,(11.113)

мы по формуле (11.109) для частотного сдвига в атоме водорода получим

Н: E2s“ 一砲由/2= 1050,55МГц.(11-114)

Последние измерения дают для расщепления уровней 1057,90 土 ±0,10 МГц. Такое совпадение с погрешностью меньшей 1 %, представляется поразительным, тем более что можно надеяться ва уточнение этого результата за счет релятивистских эффектов, которые имеют относительную величину порядка a — 7,3 ИО-8.

Тут задает вопрос Гарольд, по-прежнему поглощенный древней историей.

Гарольд. Поскольку Вы первым указали ва дополнительный магнитный момент, а также вычислили радиационную поправку к рассеянию электрона, было бы удивительно, если бы не Вы первым получили и формулу для энергетических сдвигов, вывод которой был только что воспроизведен. Ведь Вы, не так ли?

Швингер. Мне кажется, да, хотя в то время (1947 г.) я вовсе не был убежден в правильности полученного результата. Позвольте мне кратко напомнить историю этого периода, которую можно проследить также по многочисленным статьям, помещенным в сборнике «Избранные работы по квантовой электродинамике» (Selected Papers on Quantum Electrodynamics, Dover Publications, Inc., New York, 1958). Моя дискуссия с Вайсскопфом, которая предшествовала конференции, проходившей в Исландии в июне 1947 г., и продолжалась в ходе ее работы, выявила общность наших взглядов на то, что вычисления с использованием релятивистских методов должны давать конечное расщепление энергетических уровней водорода. Вскоре после этого Бете провел нерелятивистский расчет, при котором оставалось неопределенным значение константы, добавляющейся к основному логарифмическому слагаемому. В ту пору, в июне 1947 г., в моей жизни произошли два знаменательных события ——я бросил курить и женился. Свой продленный медовый месяц я провел, путешествуя по стране, после чего снова занялся релятивистской задачей. В рамках модной тогда нековариантной операторной теории поля я ввел некоторое каноническое преобразование, позволившее выделить физические эффекты, связанные с заданным внешним электромагнитным полем. После подстановки однородного магнитного поля был получен дополнительный магнитный момент, равный а/2л магнетонов. Неоднородное же электрическое поле приводило в точности к тем самым результатам, которые даются формулой (11.98), Однако возникающая при этом спин-орбиталь- ная связь содержала неправильный множитель, который следовало отождествить с дополнительным магнитным моментом,— нарушалась релятивистская инвариантность. При подстановке правильного значения этого множителя получается (как нам теперь известно) верный ответ, но в то время подобная процедура не представлялась сколько-нибудь убедительной. Поэтому все внимание было переключено на построение явно ковариантных методов расчета. Хотя они позволили значительно упростить вычисления, в определенный период было неясно, как корректно сшивать вклады высоких и низких частот. К этому времени (1948 г.) за проблему взялись другие группы, которые, по-разному используя нековариантные и ковариантные методы, получили множество различных ответов. Между прочим, именно Вайсскопф настаивал на одном конкретном значении, с которым все в конце концов

согласились, — оно совпадает с почти уже забытым результатом моих прежних вычислений. (Я до сих пор помню, как я был потрясен, когда, сравнив как-то эти значения, увидел, что они совпа* дают. Классификация процессов в первом методе не имела сколько- нибудь четкого физического смысла, и формулировался лишь окончательный ответ в виде аддитивной постоянной, равной некоторому дробному числу. Ковариантная же методика позволяла совершенно прозрачным с физической точки зрения способом выделить различные эффекты, которые поэтому явным образом и входили в ответ в виде соответствующих составляющих. Я решительно отметал всякие воспоминания о нековариантном расчете, и мне по* чему-то никогда не приходило в голову собрать все эти отдельные вклады воедино.) Как и в истории с формулой для рассеяния, здесь можно вывести мораль. Нужно избегать искусственного разделе* ния на высокие и низкие частоты, при котором к первым и вторым подходят по-разному. Как будет видно из дальнейшего, при релятивистском рассмотрении энергетических сдвигов это требование- выполняется.

Но прежде чем оставить нерелятивистскую область, интересно остановиться на одном методе, который позволяет объединить упругий и неупругий процессы в рассеянии и тем самым избежать упомянутого искусственного разделения. Вакуумная амплитуда, описывающая одночастичный обмен между парой причинно-упоря* доченных источников, в случае свободной частицы равна

—i j (dr) ... dtr т^ (г,力)G(r—J, t—У)т](“ 尸),(11.115)

где

% > У: G (г —r‘，£ —方‘)=—X』45P (г,力)45P (r‘，％')*,

Wp(r，Dnl^rT/ZexpUe.r-TS")]. (11.116)

Пользуясь определениями источников

Пр = j (dr) dt 屮p (г, 0*П (r, 0. 谓=j (dr) dt я* (r,力)％ (г, «), (11.117)

мы для вакуумной амплитуды (11.115) получим выражение

S(-^)(-ir)P),(11.118)

соответствующее тому, что частица, испущенная с импульсом р, детектируется с достоверностью в том же самом состоянии. Заменим теперь G на Gy и выделим опять коэффициент при (—力谓)(—%"р)・ Квадрат модуля этой амплитуды дает вероятность

того, что частица, несмотря на действие потенциала V, останется? в своем исходном состоянии. В разложении (11.41) мы сохраним только два первых члена, что дает для рассматриваемой амплитуды^ вероятности

1 — г j (dr)..・ d十屮р (厶 /)* [V (г) 6 (г—/) 6«—У) +

+ 7(r)G(r-r\ 才一У)卩『)]必(匕，)•(ll.H9>

Интегрирования по временным переменным сводятся к вычислению одного интеграла по промежутку времени Т между актами испускания и поглощения. В итоге амплитуда вероятности принимает вид

1-7爆俨(°)+)图"/胃鵠評]，"12。)、 где Е = Т (р), а V (0) есть F (р — р). Отсюда для вероятности процессов без изменения начального состояния имеем

4 — т (dp) / — о\ [m「V 仆-4_ f("P‘) I °(P — P‘)产 ]一

=1-7器)辯2口6(E - 70))尸8 一 p)卩，(11.121)

чем определяется также и полная вероятность процесса рассеяния. Если разделить эту вероятность, отнесенную к единице времени, ва поток падающих частиц [(йр)/(2л)3] [| р |/пг], то для полного сечения рассеяния получим

° =雋 J 縱 2"6 (Е-7 (р‘))I MP-Р')汽(Н-122) Введем в импульсном пространстве сферические координаты^

(dp‘)= d Q I р‘ Ed I р，] = d Q I р」mdT (р‘)，

(11.123)

где d ◎——элемент телесного угла. Тогда сразу становится очевидным, что дифференциальное сечение упругого рассеяния равно

黑=(募)1МР —Р')汽(11Л24)

Фактически это выражение совпадает с хорошо известным первым борновским приближением..

Проделанный анализ подготовил нам почву для аналогичного рассмотрения рассеивающего потенциала V + 6卩.Две составляющие 6V даются формулами (11.64) [или (11.67) с добавкой ie к энергии] и (11.65), где для нашей конкретной задачи Н следует заменить на Т. Как и прежде, применима амплитуда (11.120),,

если произвести в ней подстановки

卩(0) -> V (0) — — — f (dp) q” — I У (Р—p') J2“4 425)

I丿y(53Пт2 J(2九)3 m е十拉一r(p，)—依(1丄•丄NJ) и

Р(Р-Р，) f Р(Р-Р，) 口 + 堂』J -^г (*°T+feM^W ~

—P2K广二器；；T )]•(156)

В подстановку для V (p‘ ——p) входит тот же множитель, что и в (11.126) (а не комплексно-сопряженный ему). Так же как в выражении (11.120), члены, явно содержащие р2, здесь полностью взаимно уничтожаются. В результате для полного сечения полу

чаемчаем°=可7°=可7z Гл , 2а (р-р7)2人-十京一亢Lz Гл , 2а (р-р7)2人-十京一亢L(dp') I 卩(р-р” (2n)3 E+ie—T(p')入К(dp') I 卩(р-р” (2n)3 E+ie—T(p')入К11ооЕ 十讫—Т（р，）_”Е 十讫—Т（р，）_”(11.127)(11.127)

чаем

чаем

°=可7

°=可7

z Гл , 2а (р-р7)2人-十京一亢L

z Гл , 2а (р-р7)2人-十京一亢L

(dp') I 卩(р-р” (2n)3 E+ie—T(p')入

К

(dp') I 卩(р-р” (2n)3 E+ie—T(p')入

К

1

1

о

о

Е 十讫—Т（р，）_”

Е 十讫—Т（р，）_”

(11.127)

(11.127)

Из его структуры видно, что при / = 0 у нас нет особенности. Чтобы упростить выделение мнимой части, напишем

而十讫一7(p')泌十旭一7(p’) 一初

= м[е-Н& —Т(р，) —М — ~E + 艳一Т(р') ] •(11/28)

Тогда для добавки к сечению рассеяния получим

|р| Зя J (2九)3加2I YP Р 川 х

X J 啥 2K 2 (Е—Т е》一6 (Е — Т В)-硝 1.(11.129)

о

Оба слагаемых с полной определенностью показывают, что сечение для чисто упругих процессов уменьшается, а, следовательно, роль неупругих процессов возрастает. То обстоятельство, что при 左° -> 0 невозможно различить два этих класса событий, ком- пенсируется точным взаимным уничтожением вкладов от них в этом пределе. Чтобы получить соответствующую добавку к угловому дифференциальному сечению, можно воспользоваться выражением (11,123), которое дает

"备)=-(券『"Й" J "7(Р‘叶鼾(Р-Р')НУ(Р-Р')” К

X j 礬[6(Е —Т)—6(Е — Т—旭)].(11.130)

о

Здесь еще остается свобода в выборе области изменения кинетической энергии для рассеиваемой частицы.

Рассмотрим случай почти упругого рассеяния, когда выполняются неравенства

Е ^^<Т (pf) <^ +0,(ИЛ31)

где величина А^ин характеризует точность, с которой может быть измерена энергия рассеиваемой частицы. В предположении, что 碌0H《Е, мы будем иметь | р* | ^ | р | и интегралы, фигурирующие в формуле (11.130), сведутся к

Е+0 К

j dT \ 體 16(Е-Т)-“Е-Т-*Х =

К% 0

кк

=j黑"[1 -U(编ин一眇)]=J 駕• = In 盒• (11.132) о%ин

В результате добавка к дифференциальному сечению «почти упругого» рассеяния оказывается равной

S (5-)/1 = 一筹胃In 盡.(11.133)

В случае частиц со спином 0 релятивистские эффекты можно учесть, произведя подстановку (11.54):

=+■ (И-134)

(мы по-прежнему рассматриваем, конечно, медленные частицы), и добавив вклад от поляризации вакуума. Для частиц со спином 0 последний составляет г/8 вклада для частиц со спином 工/?, так что аддитивную постоянную в формуле (11. 134) следует заменить на

%一击=赵，(14.135)

В итоге мы приходим к тому же результату, который дает нам формула (4.99).

. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ

Как уже указывалось, в процессах, в которых могут испускаться фотоны, разбиение сечения на упругую и неупругую части проводится искусственно, поскольку экспериментально невозможно 13-0983

провести такое разделение в случае достаточно мягких фотонов. Более реальный смысл имеет не упругое сечение, а сечение «почти упругого» рассеяния, которое определяется экспериментальными возможностями контроля за энергией. Для нерелятивистской задачи мы только что изложили методику прямого расчета «почти упругого» сечения. Применим теперь тот же метод к релятивистскому рассеянию заряженных частиц кулоновским полем. Поскольку мы хотим проиллюстрировать сам метод, а не получить какие-то новые результаты, достаточно ограничиться случаем бесспиновых частиц (после чего легко могут быть получены и результаты для частиц со спином，/纟).Но для удобства мы слегка видоизменим по сравнению с § 4 ту цель, которая ставится при расчете. Там отбирались такие процессы, в которых энергия испущенного фотона была меньше, чем Лмин《Р° — т. Мы заменим этот критерий, фиксирующий область «почти упругого» рассеяния, следующими ограничениями на массу конечного двухчастичного состояния:]

г^ ^М2 с(т + 6 Л/)2, 6М《т. - (12.1)

Затем, пользуясь методами § 4, мы сначала построим «почти упругое» сечение для случая, когда выполняется данный критерий.

Амплитуда вероятности (3-14.61) для испускания мягких фотонов дает вероятность испускания с кинематическими множителями d5ndsк. Мы предпочитаем иметь дело с полным импульсом

Р = Р工 + к,(12.2)

записывая

=dsp dM2 6 (2左尸 + M2~ 吵(12.3)

Тогда, используя для сравнения полный импульс, а не импульс частицы, для относительной вероятности испускания фотона вместо (4.93) получим .

(т+6М)2

е2 JdM^dak8(2Pk + M2--m2) (-^~-^)2 •(12.4)

(т+и)2

Нижний предел в интеграле по № напоминает нам, что фотону временно приписана масса 卩.Основной интеграл по импульсам фотона можно вычислить в системе покоя вектора Р, а затем упростить его с учетом неравенства

Л/2 一 7n2 V 2т8М《疗,

что дает

} dSh д(2Рк+М^-硝=}—"(乙 J」X

X ^м^+м^)^-^-^- [ (2^)2—炉『 ^击击 KM-炉—间/а.(12.5)

Принимая во внимание это обстоятельство, перепишем интеграл (12.4) в виде

胃 J d(M-m)[(M-пг)2-炉『％ х

X \ (М)2 恤2)2 kPl кр2 / 1W电

где усреднение, обозначенное угловыми скобками, проводится по угловой переменной. Так, например,

(砌力=0)血(初或一ikimi牙=(闕)2[(呦a_iP2円+卢my,

(12.7) или

〈出2〉〜m2(M 一时+g2(1 + 論_) .(‘"8)

Последнее выражение получено в системе покоя вектора Р 生;р1т в которой, если воспользоваться обозначением

q = Pi 一 卩2,(12.9)

введенным в § 4, мы имеем

巾2产=(噜)2-及2 =濟(I +名)•(12.10)

(12.11)(12.11)Чтобы завершить вычисление интеграла (12.4), заметим, что ( 〜(

(12.11)

(12.11)

(在p1)2〜 炉(_/и - m户 и что тождество

(12.12)

：12ЛЗ)：12ЛЗ)приводит к равенству

：12ЛЗ)

：12ЛЗ)

(m一码2 (启+上卢^)+卢(宁)2个(1+搞)

где учтены соотношения

/1+и .1—и \2 Q 1 —и? „- (л -2—-h?2-2-)=m’+ -^-炉，/1+и .1—и \2 Q 1 —и? „- (л -2—-h?2-2-)=m’+ -^-炉，(12.14)(12.14)

/1+и .1—и \2 Q 1 —и? „

- (л -2—-h?2-2-)=m’+ -^-炉，

/1+и .1—и \2 Q 1 —и? „

- (л -2—-h?2-2-)=m’+ -^-炉，

(12.14)

(12.14)

11(妝一m)2 + X2g2(妝一m)2 + X2g2«+/)"*«+/)"*(12.15)(12.15)

1

1

(妝一m)2 + X2g2

(妝一m)2 + X2g2

«+/)"*

«+/)"*

(12.15)

(12.15)

Входящие сюда спектральные интегралы имеют вид [ср. с формулой (4.97)]

6М

J d(M~ni) [(Af — ТП)2—卩2]1片

и в результате'всех этих вычислений интеграл (12.4) можно представить в форме

診1g診1g26М q2|l m226М q2|l m2dvdv1+讲1 — и2 д2、4 力1+讲1 — и2 д2、4 力好⑶ (12/6)好⑶ (12/6)

診1g

診1g

26М q2

|l m2

26М q2

|l m2

dv

dv

1+讲

1 — и2 д2

、4 力

1+讲

1 — и2 д2

、4 力

好⑶ (12/6)

好⑶ (12/6)

：12.17)(12.18)(12.19)：12.17)(12.18)(12.19)

：12.17)

(12.18)

(12.19)

：12.17)

(12.18)

(12.19)

Функция 0, выраженная через переменную 0,

имеет вид

@(e)=chpj ^加/芸±^m号一 1一e ctbe,

где

E± = ~|" (，+ 办 + ~^ (' —y) exp (士 e)・

Но это не самое удачное представление функции 0. Мы можем представить ее в ином виде, если учтем тождество

Е± = ехр ( 士 у 9)[ch ^8 干 и sh ^~ о] ,(12.20)

которое приводит к выражению

壶[® + i + ecth®] =

111+(1 —v)sh2 у 01+(1 —v)sh2 у 0111(+d一讲)疝2住8 ^(1-p)sb —echУе111(+d一讲)疝2住8 ^(1-p)sb —echУеXX

1

1

1+(1 —v)sh2 у 0

1+(1 —v)sh2 у 0

111

(+d一讲)疝2住8 ^(1-p)sb —echУе

111

(+d一讲)疝2住8 ^(1-p)sb —echУе

X

X

-4i

С^ 0—Ugh 0

(12.21)(12.21)X In-4+ o

(12.21)

(12.21)

ch —e+vshye

Далее, проводя явным образом симметризацию но и и —р как по переменным интегрирования и интегрируя несколько раз по частям, в качестве эквивалента правой части равенства (12.21) получим •

11пГ1 + (1 —г2) sh3 — 0!—111 (1 —р2)9fi

f 曲 丄j+ 許 In 2.(12.22)

*1+((一叫疝2^6snu

Скомбинировав затем равенство

0cth6-l=/^ f dp —产 2 -(12.23)

° 十 4 m2

с тождеством (4.109), придем к следующему результату：

1£ 2 In / -《и 一 )_[

®(/)=^jd>a+”)\4Mr・ "24)

°十 4 m2

В итоге относительная вероятность испускания фотона, задаваемая выражением (12.16), принимает вид

券备j初口 +吟讶「(12・25)

0-新

Добавив сюда еще и коэффициент (4.86), соответствующий модификации упругого сечения, мы увидим, что «почти упругое» сечение приобретает множитель

a G久产师11编戏%）_£）一m

(12.26)(12.26)而声）3d；l-讲q2

(12.26)

(12.26)

Именно его мы и должны получить еще раз путем прямого расчета «почти упругого» сечения. Кстати, в нерелятивистском пределе, когда не нужно проводить различие между 6М и 碌ин, формула (12.26) должна давать нам комбинацию (4.99) и она действительно дает ее.

Проведем на примере локального векторного потенциала / прямой расчет сечений рассеяния. Это будет релятивистским обобщением анализа, проведенного в § 11. Вакуумная амплитуда, описывающая одночаститаый обмен при наличии потенциала, равна

i J (dx) (d^) Ki (ж) Af (с, У) К?(久‘),(12.27)

где

△f = A+ + A+[eg(p4 + 4p) —с?"]厶+ +

+ 厶十也(рА + Лр)厶+做(рА + /р) А* + ・・・(12.28)

(выписаны только члены, линейные и квадратичные по А), Выделив коэффициент при (ХК%) (iK2PM мы для амплитуды вероятности процессов с сохранением начального состояния получим выражение

1~Н j (源)(或С‘)(Ррд(/)* [6 ；%— %')(随(р4+』р)—外42)(胃)十

+ eq (рА + Ар) (x) A+ (力一力‘)(p4 + 4p)(")]屮p& ("), (12.29) в котором

屮pq (汽)=<Pg (d(op)1/2 exp (ipx).(12.30

Собственный вектор заряда(pg можно опустить, заменив при этом зарядовую матрицу ее собственным значением. В случае не зависящего от времени потенциала, который может действовать на частицу в течение промежутка времени 7, величина (12.29) принимает вид

l + ^pT[(2egp/ — eW)(0)十 J •鵠门(隘Р*”})产], (12.31)

где используются трехмерные фурье-образы, а р°‘ = р°. Из вытекающего отсюда выражения для вероятности процессов с сохранением начального состояния,

■1-d^T -«- 2л6 (У 2 + m2) I е (р + У) Л (р - РЭ |2, (12.32)

ми заключаем, что полное сечение рассеяния дается формулой ° =备欝 2而(р'2 + 戍)I е (Р + Р') 4 (Р- Р') I2.(12.33)

С учетом же соотношения

j 縹 6(р'2十欣)=jdQ謂(12.34)

для дифференциального сечения будем иметь

患=击 I' (р + р，)4 (р — р，)俨=(普)2 I е/。(р—р，)六(12.35)

Последняя форма записи отвечает чисто скалярному потенциалу. На примере кулоновского потенциала можно видеть, что мы действительно получили уже известный результат, который дается, скажем, формулой (3-14.8),

Проведенным анализом мы подготовили почву для рассмотрения модифицированного (нелокального) потенциала, который возникает за счет связи с фотонами. С одним из его аспектов, находящим свое выражение в формфакторе из § 5, мы, конечно, уже знакомы. Здесь же существенно отметить, что нам нужен не формфактор, соответствующий свободным частицам, для которого оба импульса в двойной спектральной форме лежат на массовой поверхности, как это явствует из самой его записи, а формфактор лишь с одним импульсом на массовой поверхности. Это ясно хотя бы из амплитуды вероятности (12.31), в которой значения импульса р‘ отвечают не только свободной частице. Таким образом, исходное выражение для формфактора, на который умножаются как 4 (р — р) так 迈 4 (р‘ 一 р), имеет вид

r xdx^r- dv2

[一才『J -^-"+胃)[1 + (1+/)优](加金二7nly("2十川贽二拉)-，

(12.36)

Оно получено из выражения (5.86) (с изменением в обозначениях 力一＞ ,)путем использования соотношения (6.99), но не включает вклад, содержащий комбинацию (6.100), который будет рассмотрен отдельно. Подставив сюда р，2 =——тп2, мы вновь придем к формфактору, даваемому формулами (5.98) и (5.99). При вычислении полного сечения берется мнимая часть квадрата этой функции, умноженной на (р” 十 тп?——is)'1; после отбрасывания множителя л она оказывается равной

J ?

6(//2 + wj2) 一券 g2 j ^(1 十久)[1+(1+久)叫 X

X両寸2)焉一硝2 (川十m)一 3 (№十腿)]•(12.37)

Как и при нерелятивистском анализе, мы видим, что в этом выражении упругий процесс, которому соответствует 6 (р'? + тп2),

объединен с неупругими процессами, выделяемыми дельта-функцией 6 (р'2 + Л/；). Взаимное уничтожение их вкладов при М?-> 加 означает, что величина (12.37) не имеет инфракрасной особенности. Но поскольку нам было бы удобно воспользоваться уже полученными ранее результатами для формфакторов, мы введем массу фотона и будем рассматривать два класса процессов по отдельности.

Область интегрирования в неупругом члене ограничена с одного конца комбинацией (5.102), включающей массу фотона, а с другого конца требованием М\ — тп2 V 2mBM. На всем этом интервале 力 《1, м коэффициент неупругости в выражении (12.37) можно упростить, записав его в виде

гдегдеa g2 f dr 4 力,，1 + у2a g2 f dr 4 力,，1 + у2(12.38)(12.38)И 2 m2И 2 m2(12.39)(12.39)

где

где

a g2 f dr 4 力,，1 + у2

a g2 f dr 4 力,，1 + у2

(12.38)

(12.38)

И 2 m2

И 2 m2

(12.39)

(12.39)

Это дает для величины (12.38) следующее значение:

а 92 f 1 %, (十讲 Г §М(1 —叫 1/2-

而诉 J 2"dy л . 1-P2 g2 ln /； , d、％/ d \i/2，

-L ]'十研)~V[W)」

(12.40)

где симметризация no и u —v приводит к замене

（I+鲁r-（霜）（1+7告产（12留）

(l+»2)ln (占)一2決4 I(一读q丁(12.42)(l+»2)ln (占)一2決4 I(一读q丁(12.42)Затем на основании тождества [эквивалентного тождеству (4.109)]

(l+»2)ln (占)一2決

4 I(一读q丁

(12.42)

(l+»2)ln (占)一2決

4 I(一读q丁

(12.42)

j d° (1+户)二 G— = J Jp 0'十-^诉 0

получим

a q2

2 л加2

Jdv 0

d+叫

^4 nF

(12.43)

Что касается главного логарифмического члена, то данное выражение полностью согласуется с формулой (12.25). Но' как уже указывалось, проведенный выше анализ формфактора является^ неполным. Теперь нам надлежит исследовать всю картину в целом.

Вакуумную амплитуду в случае причинного обмена фотоном для частицы, движущейся в поле с потенциалом Л, можно записать в виде

е2 j (dx) (dxr) 4)! (2П —左)(н)阻3瓦 X

X exp [ik (x—xf)] Д^4 (x, a/) (211 —左)％ ("),(12.44)

где появление калибровочно-ковариантной комбинации

И = р -《4(12.45)

говорит о том, что теперь рассматриваются акты испускания н поглощения, происходящие в области с ненулевым потенциалом. Мы снова воспользуемся разложением (12.28) для А,. Первый член разложения, Д^, при наличии причинной упорядоченности входит в комбинации

exp [fA(x—^)| А+ (x~xr) = i J @(Ор ехр [»(р +傍(力一％')]=

=Х ( dM2 d(0p6 [(Р — к)^ -j- т2] exp [iP (х — хг)].(12.46)

Вклады соответствующей вакуумной амплитуды равны

-е2 J dM2daP ds就(2PA + M2~m2) [^( — Р)( — 2){М2 + М) х

X % (p)一(也2随/)(-Р) (2p 一 用物(Р)-(₽1(-Р)(2p 一 用 X

X (2«/喲仍)+ 4 (<р曲4) (Р) (eqA^m(12.47)

где можно произвести эффективную подстановку

〃一备Р='#p(12.48)

и использовать значение интеграла (12.5). После проведения пространственно-временной экстраполяции с добавлением подходящих контактных членов получим для действия выражение

診j際喘КМ? 一叫2 -毎“叩/2 { - 2 (AF +硝^叭一p) X

X (戸2+m竇—抬一"2 一 m2十(m2 —m学，①(卩一

-(2 +1^)($2eg4p) (_ p)(p2+：2一珀-恥二2)中(P)+

+ 2 (<pM)(-P)(p2十：2一2一m22济)(也4叫(P)} •(12.49)

Мы узнаем в нем дополнит ел ьно е действие для свободной частицы с контактными членами, обеспечивающими появление эффективного множителя (р2 + 相2)2 [по существу выражение (6.40), видоизмененное в соответствии с наличием у фотона ненулевой массы]. Кроме того, имеются члены, линейные и квадратичные по векторному потенциалу. Они содержат более простой контактный член. Его оказывается достаточным, чтобы предотвратить модификацию примитивного взаимодействия в случае медленно меняющегося потенциала и полей почти свободных частиц.

Поскольку поле 屮 в формуле (12.49) описывает частицы, движущиеся под влиянием потенциала Л, можно произвести подстановку

(12.50)(12.50)(р2 _]_ т2)屮(?)(2eqpAcp) (р).

(12.50)

(12.50)

При этом выбрана лоренцевская калибровка и опущен член с Л2 — для нас здесь такая точность вполне достаточна. Для соответствующего слагаемого действия получаем выражение

舒J黑*[缈—可一4阳气/2 { [ 一 ^竺两,+

卜Л/一犷-力".]T (屮2也。4) (- p)p2十m2一讫(2也Р/屮)(p) + + 2((peg4)( —p) (?2+"2—ig 一M2一m2卜eg"中)(p)b(42.54)

Оно дает вклад в амплитуду вероятности, которая описывает неупругие процессы, так как ее мнимая часть содержит 6 (р2 十 М2). Поскольку мы рассматриваем лишь случай «почти упругого» рассеяния, в формуле (12.51) существен только член с инфракрасной особенностью. Эта добавка к множителю (12.43) равна

(12.52)

Следующий член в разложении А£ , содержащий е, (рА + + 4р) — ©2/2, дает в величину (12.44) три разных вклада, каждый из которых представляется в виде двойной спектральной формы. В члене с А2 оба импульса лежат на массовой поверхности, и мнимый вклад не возникает. Рассмотрим теперь член, сочетающий линейную зависимость от Л функции распространения с зависимостью от Л эффективного испускающего или поглощающего источника. Здесь на массовой поверхности лежит один импульс.

Соответствующая мнимая часть, которая описывает неупругие процессы, имеет следующий вид:

卜加「.)讯% 6(m+ 應),(12.53)

где тремя точками обозначены множители, обладающие конечными пределами при 方 f 0. Итак, в противоположность аналогичному члену в формуле (12.37) здесь имеется только один спектральный знаменатель, который не дает выражения с инфракрасной особенностью. В результате остается двойная спектральная форма из § 5, которая была уже рассмотрена. Завершим теперь наш анализ.

Сравнение с полным выражением (5.86) при учете соотношения (6.100) показывает, что в формфактор (12.36) не включен следующий член:

广乐4而A「(四一m2)(賜-叫]=

一而 J —死—I丄十叮 声 L (Ml-m^(p^ + Ml~i^」-

=(//2 + 加2)0 (空工八аУ 大：2 • .(12.54)

5 I 7 л J ж 2§3/2 p^+Mf —ig\ 丿

Его вклад в мнимую часть квадрата формфактора, умноженного на (р'2 + 相一％£)т и деленного на л, равен

?■ j鸟^八产 6(*+因).?■ j鸟^八产 6(*+因).(12.55)(12.55)

?■ j鸟^八产 6(*+因).

?■ j鸟^八产 6(*+因).

(12.55)

(12.55)

Он описывает неупругие процессы. Поскольку пределы интегрирования по n такие же, как и в формуле (12.39), интересующий нас коэффициент имеет вид

1111

11

11

о• о

(12.56)

или после интегрирования по частям

红——广(12.57)0 4十

Отметим, что этого вклада не возникало бы, если бы мы придерживались старой методики, которая применялась при выводе выражения (5.90) и основывалась на использовании более сложных контактных членов.

Обратимся теперь к последнему члену разложения (12.28). Если подставить его в вакуумную амплитуду (12.44), то он будет описывать процесс, в котором между испусканием и поглощением фотона происходят два акта рассеяния на векторном потенциале А. Для наших целей наиболее удобна следующая причинная последовательность. Свободная частица испускает фотон, а возникающая при этом виртуальная частица рассеивается на потенциале и превращается в реальную частицу, которая вместе с фотоном детектируется по аналогичной схеме. Это приводит к простой спектральной форме по массе М двухчастичной системы. Ее мнимая часть описывает неупругие процессы. Нас интересуют только мягкие фотоны, для которых рассматриваемый процесс можно разбить на двойное упругое рассеяние частицы и обмен фотоном. Следовательно, этот вклад в модификацию «почти упругого» рассеяния в точности равен той части выражения (12.4), которая целиком относится к начальному импульсу р2. В нем учитывается испускание фотона начальной частицей и детектирование фотона конечной частицей. Применяя формулы типа (12.8) и (12,23), получаем для него

(?п+.б-М)2

е? RdM^da^^Pk + M^-n^) (-g-)2»

(m-fg)2

6М

«^ j d(M~m)[{M~ тп)2 — fx2]1/2 X

=---Г1П 跑-1 j dv —： + ： 2. (12.58)

0[ +

Если объединить три добавочных эффекта, описываемых формулами (12.52), (12.57) и (12.58), то масса фотона и параметр неупругости выпадут и останется следующий член:

adj1—№

冗 2 J У 1 — рз g2 '(12.59)

Добавив его к величине (12.43), мы получим в точности величину (12.25), сложив которую с упругим фактором, придем к (12.26). Отметим еще раз, что, хотя мы из соображений удобства сохранили искусственное разделение на упругое и неупругое рассеяние, метод прямо дает и поправочный множитель для сечения «почти

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 205 упругого» рассеяния. Этот множитель выводится из формфактора, записанного в виде двойной спектральной формы, причем малый дополнительный член можно найти путем весьма простых рассуждений.

При заданном ЬМ поправочный множитель (12.26) зависит только от переданного импульса д^. В противоположность этому в формуле (4.114) имеется также и явная зависимость от энергии. При q2《тп2 применимо нерелятивистское выражение

当《1: 1 一祭 爲(12.60)

В другом предельном случае мы находим, что множитель, м одифи- цирующий сечение «почти упругого» рассеяния, дается формулой 备》?[(m爲一)(m爲一蜀+

+ ^(1п 磊-У + 31П 2(1 —1п2)—籌].(12.61)

Зная простое соотношение между задачами для спинов 0 и V2[формула (4.135) и относящийся к ней текст], мы можем сразу женаписать и соответствующие результаты для частиц со спином 1/2:齊《I： 1 -■&■£■ (in 羲+4^)，

高》一-亨"备一)(]n篇f) +

■^"Г (ln ^) +31n 2(1 —In 2)--Ц-J .(12.62)

РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ

Предыдущий^и следующий параграфы похищены анализу различных физических аспектов связей заряженной частицы, которые включают повторное, действие кулоновского поля. В данном же параграфе проводится аналогичный анализ, но относящийся к полям фотонов. Физический процесс представляет собой рассеяние фотонов на заряженных частицах (комптоновское рассеяние), и нас будет интеребОТать, к каким его модификациям приводят механизмы двухчастичного обмена. Один из систематических подходов к этой проблеме основывается на дополнительных слагаемых действия, которые выводятся из вакуумной амплитуды (12.44), отвечающей причинному обмену фотоном. Члены, не зависящие от Л, описывают модифицированную функцию распространения заряженной частицы; члены, линейные по 4, определяют модификацию в механизмах однофотонного испускания и поглощения; члены же, квадратичные по А, выполняют аналогичную

функцию по отношению к двухфотонным процессам. Возникающая при этом эффективная связь, которая содержит два поля частиц и два поля фотонов, описывает интересующий нас процесс. Мы намерены приступить к решению данной проблемы еще одним и, видимо, более простым способом, рассматривая процесс как единое целое, а не разбивая его на разного рода отдельные акты. Поскольку относительно фотон-электронного рассеяния нет достаточно точных экспериментальных данных, вопрос представляет в основном методологический интерес, и мы ограничимся случаем частиц со спином 0.

Чтобы проиллюстрировать возможности более прямого метода расчета, рассмотрим следующую причинную последовательность. Заряженная частица и фотон сталкиваются, и образуется новая их конфигурация. По истечении некоторого промежутка времени эти частицы снова сталкиваются, а затем детектируются конечные продукты. Таким образом, мы имеем дело с процессом двухчастичного обмена, причем в эффективных испускающем и детектирующем источниках используется механизм рассеяния. Слагаемому действия (3-12.92) соответствует следующее выражение для эффективного испускающего источника:

近<p) Ju (左)|эфф= (2冗)4 6 伯+ p 一 @ 一 p2)2川嗯Ve2V X

X (d(0P2 dcofe2)3/2 近2办2，(13.1>

где

?时=月導_喫g『(13.2)

Здесь учтены* упрощения, обеспечиваемые лоренцевской калибровкой, и введены сокращенные обозначения для источников частиц, участвующих в столкновении. Аналогичный эффективный по глощающий источник дается выражением

近(一р) J» (—田 |эфф = iK^iJ^ (dtOpi 如左尸/2 (2冗)4 x

x e (自+&—及一P)262Kpу,(1з.з>

где

Вакуумная амплитуда, описывающая двухчастичный обмен, получается из выражения для связи

J iK (— P)J"(*■-向卜诵旭①自%而)р力К (p) Jц (ft) [эфф.(13.5)

Ее можно представить в виде следующего элемента матрицы перехода (индекс с напоминает о наличии причинной упо рядоченности

событий):

« 17 I 2〉с = 2冗i (dtOpi • •・ @(о冗а)% x

X 4e4 j出0h曲"(2h)3 8(及+p一Р)6:匕叭&,(13.6}

где величина

p=瓦 + р工 =左2 + p2(13.7)

есть вектор полного импульса. Мы будем пользоваться системой покоя этого вектора, позволяющей выбрать удобную калибровку, в которой

Рех = Ре2 = 0.(13.8)

Поскольку каждый вектор поляризации ортогонален и своему собственному импульсу, можно произвести подстановки

Pi4 = р2€2 = 0, ре2 =—在2， P€i = — ^i-(13.9)

Тогда

e»尸“2 п eй 一 1 + 盟］［- 1 + 稿］他 =

=-需Г 一磊十"韬綜可3，(”3助

где круглые скобки служат для того, чтобы отличать скалярные произведения от диад. Можно также написать

pg =—瓦 ％，卩2仆=—鱼 е>(13.11)

Однако соответствующие члены после интегрирования все равна исчезают, так как, например, вектор

I % 如Р (2寸 6 3+ p一 p) * =备(1 一备)(备〉(13.12)

может быть линейной комбинацией только векторов Р и р1т но оба они при умножении на вектор е* дают нуль. То же самое можно сказать о величине〈左/也丿 и векторе поляризации е2. Итак, нам нужны лишь интегралы/ входящие в тензор

〈聯"МВт；严”电

Из последнего выражения становится ясным, что выкладки приг Pi 力 Ра ненамного сложнее, чем в случае р* —门・ И все же, поскольку результат, который мы получим при рассматриваемой причинной последовательности событий, мы будем использовать только при pi = р2, ниже мы примем это условие. Для удобства в вычислениях мы введем произвольный вектор д, который в ко-

вечном итоге отождествляется с р^ = р2:

誌—謚 £т 闷）|f.（13.14）

Тем самым необходимые нам интегрирования сводятся к вычислению величины

〈ln（"g）〉= j 扌血｛in筈詐+ 1п ［吟+z（d+（哈『у/》，

（13.15）

причем в системе покоя вектора Р единственная переменная интегрирования представляет собой косинус угла между векторами q и к. Дифференцируя один раз, получаем

*（In （他）〉=

勺-器+山。+（嘗）т

Но фигурирующий здесь вектор Р будет умножаться на один из векторов поляризации, а потому его можно опустить. Следовательно, эффективное значение этой производной таково:

1

*（Ш网））如y器皿二偌门

При следующем, и последнем, дифференцировании можно будет отбросить оба вектора Р и ,f р?・ Таким образом, существен только вклад, обусловленный дифференцированием вектора q в знаменателе. Это дает

〈■^引〉f g"V j 曲 / “2十加2 \22 / KfZ \2， （（3.18）

Me мы произвели замену

矿=或=一呜（行）2=3尸产=（经产 J, （13.19）

причем М — масса, соответствующая импульсу Р.

Наши результаты могут быть выражены через функцию

X (М2) = 1 —戍 j “Z / М2G2 \2 — / № —m3 \2，(13.20)

J°(F—) — (f-)

или

aH"丿-丄m2 -m2，2m2+加2-2（册一硏一

(13.21)(13.21)(13.22)(13.22)2/n2M2「"甘號[№

(13.21)

(13.21)

(13.22)

(13.22)

-0^—m》[乂2—"^ 丄口 k 一

которая имеет простые предельные значения, а именно: 9

取2=成：%(М2)=-9

М2》相2： % (М2) — 1.

Элемент причиннои матрицы перехода равен

<1 ? 12〉с = 2就(d®2，…d®%产 4a2承2 (1 —济)％ (M2). (13.23)

Проводя его пространственно-временную экстраполяцию, напишем(2h)4 6 (自 + Pi—左2 — pl =

=J (2я)* 6 的 + r—Р)图(2n)& 6 (P —瓦一P2)=

=j (汝)(汲‘)exp [ — r (ki + Pi) ж] "^^ 卜 j daP exp [iP (c—公)]]x

X exp [i(k2 + p^ 6】，(13.24)

где

u眺■expMQ-0〜j图号躲三誥・(13.25)

Кроме того, пропадает различие между полями начальных и конечных частиц, что приводит к кроссинг-симметрии

6：＞*~＞的， 自 工^一网,6：＞*~＞的， 自 工^一网,(13.26)(13.26)

6：＞*~＞的， 自 工^一网,

6：＞*~＞的， 自 工^一网,

(13.26)

(13.26)

или

Pl 一― Р2・Pl 一― Р2・(13.27)

Pl 一― Р2・

Pl 一― Р2・

Чтобы после таких экстраполяций сохранялась калибровочная инвариантность, векторы поляризации в формуле (13«23) следует предварительно заменить эквивалентными комбинациями 14-0983

напряженностей поля:

1КрЛ) % —(р留)&],

у (М2 —m2)

1(13.28)

1[(Р2*2)е2— (р2е2) &]•

_±(M2_m2)

Проводя вычисления в калибровке, в которой векторы поляризации ортогональны импульсу частицы (или полному импульсу), мы тогда для элемента матрицы перехода, описывающего рассеяние вперед, окончательно получаем

(11ГI 2) = — (dtoPi ..,瓦也)“2 8лае*е2 +

+ (出d〃 •. • dco卮)“2 4a2唯2 (2pz&)2 X

X F 加 ％ (К) Г_ __ , 1] /13 29)

A J М2 ЛР 一m2 L (p2十及2)2 + m2一讫 十(p2Т优产十m2」' ' '5/叮 m2

причем спектральный интеграл может быть представлен также в виде

j("2—012)2 —(2卩2應产一访.(13.30)

m2

Отметим, что теперь мы включили и член, являющийся непосредственным следствием примитивного взаимодействия, — он дается формулой (3-12.98), написанной применительно к рассеянию вперед.

Полученный результат можно проверить, вычислив на его основании полное сечение рассеяния фотона на частице. О таком вычислении говорилось в § И и 12. Для этого нужно вычислить вероятность сохранения начальной конфигурации частиц, несмотря на влияние, оказываемое взаимодействием. Анализ, проведенный в гл, 3, § 12, где была введена матрица перехода, показывает, что вакуумная амплитуда с сохранением заданного двухчастичного состояния равна (в сокращенных обозначениях)

〈2 I 2〉= 1 + 缈〈2 I 7 I 2〉，(13.31)

где V ——четырехмерный объем, в котором происходит взаимодействие. Отсюда мы находим вероятность сохранения

I〈2 I 2〉产=1 - 2U Im〈2 I 7 I 2〉(13.32)

и сразу же получаем дополняющую ее до единицы полную вероятность процесса рассеяния. Этой вероятности, отнесенной к единице объема и к единичному инвариантному потоку F начальных

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 214 частиц, соответствует следующее полное сечение:

o = -^-Im (2|Т|2).(13.33)

В рассматриваемом нами случае, когда масса одной из частиц равна нулю, формулы (3-12.68) и (3-12.69) дают для потока

F = d(oP2d(ofe2 2 (—2Л2р2)7 —2k2P? = M2 — zn2, (13.34)

и мы заключаем, что

(13.35)(13.35)о = 4ла2АИ!1

(13.35)

(13.35)

В предельных случаях (13.22) мы действительно получаем те же выражения,.что и в формуле (3-12.118), и полное сечение, найденное интегрированием выражения (3-12.117), согласуется с общим выражением (13.21) для функции % (М2).

Действительную часть спектрального интеграла (13.30) удобно вычислить, подставив для % (М2) интегральное выражение (13.21) и взяв сначала интеграл по М2, Результат таков (индексы опущены):

р С 加 УМ)

J “2 (“2 — 7n2)2 — (2卩舟2

=除一；2研）2=除一；2研）211[dz 4"4一；匕；?（2徜2 ]ln[dz 4"4一；匕；?（2徜2 ]ln- 2p〃)十- 2p〃)十

=除一；2研）2

=除一；2研）2

1

1

[dz 4"4一；匕；?（2徜2 ]ln

[dz 4"4一；匕；?（2徜2 ]ln

- 2p〃)十

- 2p〃)十

■ + j 威 Zm4y_z；2 (2砲2 m(7^7卜 -1■ + j 威 Zm4y_z；2 (2砲2 m(7^7卜 -1(13.36)(13.36)При низких энергиях фотона правая часть сводится кПри низких энергиях фотона правая часть сводится к務《1：等扌口 “』） — £],（13.37）務《1：等扌口 “』） — £],（13.37）а в другом предельном случае она принимает вида в другом предельном случае она принимает вид

■ + j 威 Zm4y_z；2 (2砲2 m(7^7卜 -1

■ + j 威 Zm4y_z；2 (2砲2 m(7^7卜 -1

(13.36)

(13.36)

При низких энергиях фотона правая часть сводится к

При низких энергиях фотона правая часть сводится к

務《1：等扌口 “』） — £],（13.37）

務《1：等扌口 “』） — £],（13.37）

а в другом предельном случае она принимает вид

а в другом предельном случае она принимает вид

祭》色击[】п （言）t祭》色击[】п （言）t(13.38)(13.38)

祭》色击[】п （言）t

祭》色击[】п （言）t

(13.38)

(13.38)

Выразив в двух предельных случаях дифференциальное сечение рассеяния вперед через энергию фотона в системе покоя частицы*, т. е. через

/一* a3.3期

мы получим

枳《加需П(計同0叩+警⑶(In需一击)],

(13.40)

胪》加：翁=磊e闻山+ ^g響」1)].(13.41)

Отметим, что здесь не возникают какие-либо инфракрасные трудности, поскольку заряженная частица не отклоняется, и что сечение увеличивается по сравнению с его значением, к которому приводит скелетная схема взаимодействий. Независимо от начальной поляризации величина | е* -еа |2 при суммировании по конечным поляризациям заменяется единицей.

В случае фотон-фотонного рассеяния простая спектральная форма, возникающая при рассмотрении рассеяния вперед, будучи взятой вместе с двойной спектральной формой, полностью определяла матрицу перехода. Данный же случай, когда участвуют два поля частиц и два поля фотонов, оказывается более сложным, так как возможны два разных варианта причинной последовательности при рассеянии вперед. В качестве второго варианта можно взять столкновение двух фотонов с образованием пары частиц, которая затем участвует в рассеивающем взаимодействии. Это двухфотонный аналог последовательности, рассматривавшейся в § 4. Но здесь вместо виртуального фотона рассматриваются реальные фотоны. В системе центра масс случаю рассеяния вперед отвечает требование, чтобы направления противоположно движущихся заряженных частиц совпадали с направлениями противоположно движущихся фотонов. Эффективный двухчастичный источник, который опять можно получить из формулы (3-12.92), имеет вид

1К 3) К 侬加竝=(2吩 6 (с + Р； — 左一 К) 2^ИХ х

X (do)A Ло»" iJ 2» 厶％(13.42)

где (в диадных обозначениях)

Этот источник и следует подставить в ту часть вакуумной амплитуды (4.4), которая описывает кулоновское рассеяние. Конечно, присутствует также и член, отвечающий аннигиляционному механизму, но в него входят эффективные источники, антисимметричные по р2 и р；, тогда как источник (13.42) симметричен. В результате для элемента матрицы перехода, соответствующего нашей причинной последовательности, получаем (ненужные здесь

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 213 причинные индексы опущены)

(，1712〉с = — 2лг (d(ap ... dcoQ% 2е4 х

X J d®p2d®p，(2n)3 6(p2 + Ps—*—*z) х

X (р+р9(Р‘十 Р，) еру(р—pj

Процедуру интегрирования, необходимую для вычисления тензорного среднего значения

A*v =〈(々史(；，~Р£)卩吃〉，(13.45)

можно упростить, учитывая, что рассматривается рассеяние вперед. Соответствующее условие, записанное в ковариантной форме, имеет вид

р-р^^-^'^к-К),(13.46)

где.

“2 = - 3 + 廿)2 = - s + 炉)2.(13.47)

Поэтому тензор А следует строить из векторов км К в различных их комбинациях 屉，左％', кк\ кгк и из единичного тензора. Но имеются также и ограничения, накладываемые калибровочными свойствами

kV = К W = к.(13.48)

Они находят свое выражение в записи

А= & "-懿J +ь^ + с (林十左％')0(13.49)

Но в окончательный результат входит только коэффициент а (“纟)： (1 R7 12)с — 2л» (d(Op •・・ cfc)h，)“2 4а2 х

X(V5需尸曙 е|((%i%)r.1(13.50)

Информацию, необходимую для построения а (儿尸)，можно получить, образовав след тензора Л:

=3a一^划2а(13.51)

и вычислив к'Ак:

/(Р+Р2)(р'+р；) Г± (PzM)"丄(Р^)2_

Л -(p一p2)3 一［区麻-十一^j/_

=-^-МЧ^-^М^Ъ.(13.52)

С учетом соотношения

pj^ + pj^ =—讶屈2(13.53)

выражение (13.52) можно упростить:

а(р+р2)(р'+Р，)「4 + 2"2(丄 + 丄订、=

\S—P2)2 「十 2 妆 l^+^'J」/

=一a十^加2氏(13.54)

Сложив эту величину с величиной (13.51), получим

〃(Л/2)X*(Р.%喝片“蚩十备]〉.(13.55)

Эквивалентный этому выражению интеграл по углу рассеяния в системе центра масс выглядит следующим образом (мы опять вводим массу фотона р,):

а(М2)а(М2)2m22m21] X1] XXX

а(М2)

а(М2)

2m2

2m2

1] X

1] X

X

X

0 й2 _ 2加[M2 -W ? 一新

/ ЛР—4m4m2、％ *

i+"-需广

xm晔6)

Чтобы провести пространственно-временную экстраполяцию амплитуды вероятности (13.50), напишем

(2л)4 6 (р + // —而一*) = j (2吋& 8(p + p'-P) ~^ 6 (尸一左一К)==j (dz) (d?‘)exp [ — "p 十 p') z]罂> X

X [i j d(Op exp [iP (z —/')]] exp [i (乃十乃')a/]->

4e””，—I，)j 器E』^，”57)

где под знаком интеграла стоят некоторые дополнительные функции от М2. Соответствующий вклад в элемент матрицы физического

перехода равен

(do)p ... &0к，『/2 4a2© ((%*)—乃％) Г X

x J-_Wj "(m)(后+公户 + m2_笫.(13■58)

(2m)2

Такой вывод мы сделали, основываясь непосредственно на выражении (13.50), так как оно уже представлено в калибровочноинвариантном виде.

Рассмотрим теперь причинную последовательность, которая приводит к двойной спектральной форме. (Рекомендуем читателю нарисовать каузальную диаграмму ромбовидной формы для описываемого процесса.) Обобщенный фотонный источник, испускающий времениподобный импульс К?, порождает пару частица —— античастица. Одна из этих частиц проходит вблизи еще одного обобщенного фотонного источника, где ей передается пространственно-подобный импульс Ка, Другая же попадает в окрестность обобщенного источника частиц, где при слиянии этой частицы с виртуальной (анти)частицей с импульсом Ра рождается фотон. Затем фотон и частица, возникающие на этих промежуточных стадиях, объединяются и детектируются обобщенным источником частиц, который поглощает импульс

Рг = К2 + Ка+ Ра.(13.59)

В этой схеме участвуют реальный фотон с импульсом к и три реальные частицы с импульсами р', р", р"'. Эти импульсы определяются законами сохранения, соответствующими каждому акту взаимодействия:

e=p"+p、ра=к一р'

Ka = р‘ 一 р”, А =论 + 尸・(13.60)

Таким образом, импульс7 частицы, которая детектируется вместе с фотоном, равен

'р‘ = Р* — к,(13.61)

импульс частицы, которая участвует в рождении фотона, есть

рт = 几，(13.62)

а для оставшегося импульса имеем

р” = К— РL к = Р* — к 一 Ke J3.63)

Рассматриваемый процесс представляет собой однофотонный обмен, при котором частица последовательно взаимодействует с полями Л2 и Аа. В символической форме записи ему отвечает

следующая вакуумная амплитуда:

卜 di^h^eq [р exp (ikx)十 exp (ifcr) p] A+eg (pAa + Aap) X

X Ayg (尸4 + 4p) A+eg [p exp (— ikx) + exp (— ikx) p] q)a. (13.64)

В явном виде она представляется как

或J器•爆爆器(2吩6(p，-Pl爲一注X

/X <Pi (-Pt) 4^ (K^Ai (^2) <pa (Pa) ^V)(13.65)

где

小,=j倖)步(胪+階即В一坍+标]6[(尸1一乃一及)2+加]X

X6[(Pa-例2 + 7П2] (2Pj - A) (2Pa — 向 x

X [2 (P^kj-Ka],. [2 (Po -*) + ^2]v.(13.66)

По поводу последнего выражения заметим, что импульсный множитель, с которым входит в выражение для связи поле /), равен S' + 尸")樣，так как им обусловлено отклонение частицы с заданным зарядом, поле же/；, рождающее пару частиц с противоположными зарядами, умножается на (р" — ?"%• Соответствующие законы сохранения, или условия калибровочной инвариантности, имеют вид

凰7 吃=0, /^ = 0.(13.67)

Двум независимым способам рассмотрения возбуждений, распространяющихся в нашей системе, отвечают спектральные массы

м^ = -(ра + К^ = 一(А - к^ >М (13.68) и/

”2 = —(&2 + 乙)2 = -(А - Pa)2 >4«А(13.69)

Первая относится к распространению частицы и фотона, а вторая к паре частица — античастица. [Конечно, первое неравенство следует записывать как М2 >(加 + 卩尸；в[формуле (13.68) мы указали физический нижний предел.] Введем также массы

М：=-Р*(13.70)

В конечном итоге мы их экстраполируем, переходя от значений, соответствующих причинной последовательности, к интересующему нас значению ?п2, которое отвечает истинному процессу рассеяния. Набор шести скалярных кинематических величин (двенадцать компонент трех независимых векторов с исключенными шестью параметрами группы Лоренца) получим, включая также скаляры Ка и 左;，которые впоследствии мы положим рав-

ными нулю. Делыа-функции в формуле (13.66) приводят к соотношениям вида (масса фотона здесь опущена)

(13.71}(13.71}—2кР^М1 — т2, —2kPa^=Mi-mz,-2кКа = М1—М2, -2kK2 = Mz—Mt

(13.71}

(13.71}

Выполняются также соотношения

2P1Pa = M，z-M^-M^, -2K2Ka = M'2+Kl+Kl, (13.72> -2К2Ра = М2-М^ + К1, 2КаР^М^-М^К1,

-ЧК^Р^ = M2 + M'z-Ml + K^2КаРа =妝2 十 АГ 2 - М； + £：.

В качестве применения этих формул отметим, чтб"

(2В - © (2Ра -⑨=27И'2- 2И：-Ml- 27nz.(13.74>

Основной интеграл в выражении (13.66) имеет вид

/ = J (dA) 6 啰 + 卩2)6(2AR + M： - щ2) х

X 6(2А:/Г2 + MZ-M@ 6 (2APa + 駿一m2)=

=j ®%) 6 [В + 炉 + ("嚎，匚]X

x5(2kR +死一m2 + f—K£)X

X 6 (2%^2) 6(2k几十":一港 + 幽^^膻 &九),(13.75) где

论=% Н^2— &・(13.76)

Он очень похож на интеграл (10.7), и точно так же

(何77) где

(-А)1/2 = | “山砲欢收炉 |.(13.78>

Для вектора 乂卩 можно написать следующее общее выражение [формула (10.13)]:

%』"％—&腎)"+ь(В—/等"

+ ®v 汕 Ра£* 爲%.(13.79)

Чтобы получить уравнения, позволяющие найти а и Ь, умножим обе части равенства (13,79) на векторы Ра и Р^

-А(^-тп2 + 丝萨 Л：2Ра) = а ( — М1~^^-) +

十 Ь(РаР「一阳立)，-4И-2+tFм)= =а (PtPa-PiK^a ) +Ъ (-Ml- (-^ ).(13.80)

Определитель этой системы равен

D^^~^)(-Ml-^)-(PaPl-W^^=蹤此一(九Е)2+靑义

X {М1(К^Р^ + М1 (К^Р^ + ^РаР^аК^Р^. (13.81) Для квадрата вектора (13.79) имеем

2 (幌 一m丁.

2 a (“a —砒2 -[—К^Р^ —

/МН—М2 、

一}ь(.：一济 + -^-&Р,+發(一&d),(13.82)

тде для того, чтобы интеграл (13.75) отличался от нуля, должно выполняться условие

c2(—£D)>0・

(13.83)

Сравнивая с

；(13.82) другое выражение

乂2 = aHpQ 十 Ькр + cenvxXx^pavpjx^2%?

(13.84)

получаемое

путем умножения (13.79) на хи, получим

c^-KlD) = \c\{-^,

(13.85)

лли

— А = ( — К：О)(—蜀Ос”

(13.86)

Для иллюстрации приведенных соотношений рассмотрим непосредственно интересующий нас случай, когда

此=腌=* 鴻=К； = 0,(13.87)

хотя к значению К； = 0 следует переходить путем вычисления соответствующего предела. Приведем для удобства значения раз-

личных скаляров в этом пределе:

2尸毋。一"2一2喈 一2К2篇一〃飞

2КаР^~2К2Ра^М^~т^(')

2КаРа, — 2&Е — “2 + J/，2 - 7n2.

Далее,

司。—$ М'^ [(ЛР - m2)2 + MZM'2],(13.89)

а решения уравнений (13.80) при М\ = Ml = ?п2, имеющие видKfDa^ -±(М2-т^ [т^К2Ра +К^Р^Р^,

(13.90)

KlDb= —l(M2-m2) [т^К2Р^К2РаР^а],

дают

1 (М2 —т2)(ДР + м，2 —3^2)

,I (”2 —硝(胱+硝《3.91)

0fq (АР—7^2)2 十豚ЛГ2 •

Условие сущеетвования интеграла в случае М\ = Ма = ?п2 записывается так:

一贵(Л仆一峭 ^КгРаа + К2Рф 十^ (Л/2 一 吟]一卩2 > 0. (13.92)

Воспользовавшись линейными уравнениями (13.80), можно будет вычислить комбинацию (13.92) двумя эквивалентными способами:

青 ^к2раа + к## +^ (AГ 一噌]=^^ (- m2a+尸同力=

^-^n-(PiPaa-m2b).(13.93)

В итоге неравенство (13.92) в рассматриваемом пределе будет иметь вид

(13.94)(13.94)1 (М2—m，2)2 (М^2 —4т，2)^

(13.94)

(13.94)

T飞m2 一两2+而而2 >n.

В случае когда можно не учитывать фиктивную массу фотона, это неравенство просто содержит в себе независимые спектральные условия

М^ >ти2, ЛИ >4疗. (13.95)

Но если наличие конечной массы у фотона существенно, то ни один из входящих сюда нижних пределов не достигается. Эта спектральная область с достаточной точностью задается неравен-

ством

М2 — ?д2 >М2 — ?д2 >2 игр,[1 —(4m2/m”)『/22 игр,[1 —(4m2/m”)『/2(13.96>(13.96>

М2 — ?д2 >

М2 — ?д2 >

2 игр,[1 —(4m2/m”)『/2

2 игр,[1 —(4m2/m”)『/2

(13.96>

(13.96>

Из соотношения (13.86) вытекает следующее предельное выражение для Д:

A f 击(JfZ_ 峭2 02 ”2 _4叫-

-^ ^M'Z [(М2 - m2)2 + MZM，Z].(13.97)

В соответствии с упрощением, принятым в формуле (13.96), в коэффициенте при ц2 с достаточно хорошим приближением можно Мг заменить на «А

Как и при анализе фотон-фотонного рассеяния, величина А, получаемая путем экстраполяции, оказывается положительной, и приходится выбирать одно из значений

(—А)〃2 = 士 必工％.(13.98)

И здесь зто достигается сравнением каузального и некаузального решений сходной, но упрощенной задачи. С этой целью нужно вычислить интеграл (в 0十 входит масса фотона)

J= j (dx) ... (dxm) 0十(力醉一/) exp (ipx) A+ (z— a/) x

X Д+ 3’ 一 ") A+ (z*-aOexp(-切％*),(13.99)

где

川 + 疗=0,(13.100)

двумя разными способами — сначала некаузальным методом, при котором функций распространения записываются в четырехмерном виде:

J = (2л)& 3 (р •— Р‘) J о,

/ f (dk) 1「1]3(13.101)

八=J 而严 依+D2一ig [(论—p)2十m2 一记J，

а затем с использованием двойной спектральной формы, при помощи которой проводится пространственно-временная экстраполяция амплитуды, описывающей причинную последовательность событий. Кинематический интеграл имеет вид (13.75), причем нас интересует только результат его экстраполяции на случай К2 = Ка = 0 и Рг — Ра = р. Вводя двойные спектральные формы тем же способом, что и при анализе, приводящем к формуле (10.36), мы вместо (13.101) получим следующее выражение:

'。=T'。=T(13.102)(13.102)由М2 亚2 ((1

'。=T

'。=T

(13.102)

(13.102)

2л 2л —胱一献"2 3(±}) А’％

Первый же метод расчета 几 основывается на использовании л а раметрическо го представления обеих функций распространения, фигурирующих в формуле (13.101):

/о= J 粽г[ jidSi与匕ехр{ —is/(A—尸产+峭}] X

О

x[j i ds2 exp [ — rsa (F -f- p-2)] J .(13.103)

о

Произведя замену переменных

近 = s% s2 = s (1 — u), ds1ds2 = sdsdu,

0 < s < oo, 0 < u < 1,, (13.104)

перепишем /0 в виде

丿尸 j ^dut^dss3 j -^^- exp { — is [fc2 — 2kpu + u2 (1 — u)]}. (13.105)

При интегрировании по импульсу мы сначала выделим полный квадрат

胪=2кри = (% — pu)2 + М*(13.106)

а затем воспользуемся обычной формулой (8.57). Это дает

. 18

，°=—亞泉 j duu2 f dssexp{ — i5 [?n2u24-p,2 (1 — u)]}= о0

="^产 j "M [7w2炉+卩!®(1 —叨2 ・(13.107)

Поскольку входящий сюда интеграл положителен, сравнение его с выражением (13.102) решает вопрос о выборе ±2 в пользу +， Убедимся, однако, также и в совпадении обоих численных множителей, по крайней мере при 卩/?н《 1.

Ввиду того что член с р,2 в знаменателе существен только в том случае, когда и очень мало, множитель 1 — м можно заменить просто еданицей. Но тогда, вводя переменную

z=^m, 0V/V^~8,(13.108)

мы в этом приближении получаем

/о=: • £ de ,——U.(13.109)

и 32n2J (徹2丿

0

Альтернативная же выкладка дает

2л 2л М2 —加2 Л/" 2 м‘(М'2—4m2)“22л 2л М2 —加2 Л/" 2 м‘(М'2—4m2)“2XX["一可一纲1n2詔』『["一可一纲1n2詔』『(13.110)(13.110)

2л 2л М2 —加2 Л/" 2 м‘(М'2—4m2)“2

2л 2л М2 —加2 Л/" 2 м‘(М'2—4m2)“2

X

X

["一可一纲1n2詔』『

["一可一纲1n2詔』『

(13.110)

(13.110)

Если ввести переменную у по формуле

у, 1<У<ОО,(13.111)

то будем иметь

J ， I f 包 [ f— i I /JQ 4Л0\

16Л2 叩)? е2一代/2 J 可-128л ТпЗh , 1丄3丄丄夕 1、''(2m)2

Из формул (13.76) и (13.79) вытекает следующее явное выражение для вектора импульса фотона:

觊=а/^ + ЬР^ + c^^PavPiHK^ + dK^,(13.113)

где в соответствии с (13.93)

' d= 一备[k2几。 + &尸1ь十^("2-小2)]-> .

1 (m2一噌(m，2一4叫

2(加2—m2)2+M2J/，2 •1丄5丄丄第

Заметим, что предельные значения коэффициентов связаны соотношением

d = а — Ь.(13.115)

Вспомним также, что у коэффициента с фиксирована только абсолютная величина, а потому можно использовать среднее значение по обоим знакам этого коэффициента (основной интеграл I уже содержит двойку в качестве сомножителя). Из равенства (13.86) для экстраполированного значения величины с? получаем

—с」(1 -器)[(汕 е:『；2；”可•(13.H6)

Векторные комбинации, входящие в выражение (13.66), можно представить следующим образом:

[2 (2-/) — К。]" = (1 一а — 6) (2十Ра)а一(а — 6) К七 +

+ (1 — а + 6) К当十 4cz^PavPiyiKaU

[2(Ра-*) + ^ =

.=(1 — а — Ь) (Pj -]- Ра)11 — (а — Ъ) К豎一(1 — а 十 6) К^"—

-4cz^PavPwKik,(13.117)

РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 22Я где использованы преобразования типа

Р, =4 (Р, + Ра)+ ^ (& + &»)•(13.118)

Имеется одно соотношение между а и Ь, диктуемое условиями калибровочной инвариантности:

О = Ка [2 (Р1 -田一 Ка] = К2 [2 (Ра 一舟 + К/ =

=(М2 -加2)(1 — 〃 _ 6)— м^Ьг (13.119)

Оно действительно выполняется, так как

4,1ЛГ2(Л/2 十 ТП2)/ЛО ЛОЛ\

1 —(др—血2)2十м2M，2 •(13.120)

После пространственно-временных экстраполяций, которые мы собираемся проводить, калибровочная инвариантность не будет, вообще говоря, сохраняться, если не считать членов с коэффициентом с. Поэтому нужно сделать так, чтобы она выступала в явном виде уже на исходной стадии, когда рассматривается причинная последовательность событий. Как и в случае фотон-фотон- ного рассеяния, этого можно добиться разными способами. Один из возможных вариантов основан на калибровочном преобразовании

Аа (爲)f [~(КаК2)+ Ка (& + 爲)]Аа (Ка),

.(13.121)

厶2 (^2)f [-(АГаХ2) + К? (Kg + Ка)] Л(^2).

Новые выражения обращаются в нуль при умножении на К2 + Ка. Если выбрать затем лоренцевскую калибровку, то при скалярном умножении на любой из импульсов фотона эти комбинации также обратятся в нуль. Это позволяет нам тоже заменить сумму Рг + + Ра, когда она выступает в качестве сомножителя при векторных потенциалах, либо величиной 2Р15 либо величиной 2Ра. В результате мы имеем

4 (К?) [2 (Е — 舟一 Ка] [2 (Ра ~к) + К2]А2 (К2)=

=阖(1 — а_ Ь)2 \Р,КаК,Аа (爲)-K2KaPtAa (К。)] X

X [РаМКа^ (&) - КаК2РаА2 (&)] 一

一兔2研У 叩4V(爲)КыР^^К^Агу (&) Ка，Р讣,(13.122) где опущены члены, линейные по с. Заметим, что в одно из этих слагаемых входят напряженности поля, а в другое — дуальные им величины.

Как и при переходе от (10.34) к (10.36), пространственно-временная экстраполяция проводится путем введения структуры типа двойной спектральной формы, а именно

(13.123)(13.123)d№ №11

(13.123)

(13.123)

"2л石厂(Ра + £2)2 十 М2—旭(Ка + ^2)2+М'2_»務

Чтобы при записи наших результатов как можно реже повторялись сложные выражения, введем непосредственно двойную спектральную часть физической матрицы перехода, получаемой путем экстраполяции

Ра f 卩2, Р* f Pi» Ка 一 自，К? —> &, (13.124) дополненной кроссинг-преобразованием

及—一瓦，％ 一 ef(13.125)

или эквивалентным преобразованием

А —(13.126) Она имеет вид

(@%・.・@処J" 4启J 弋呼2 (М^ 一 2М) X

X [仇+冲)L曲一施+血二以戸下也"х

X (网一的；2+М?2 {/+ (仅"2P:优 一 ^1P1^*) (^1^2р2^2 一后2P2&02)+

+ (] — ^p2 ) f~^VH^^e*^^P^^Hk^\^}， (13.127)

тде

/ — (М2 土 тп2)2 /449加

/土 一 fps匸詆产E矛萨F •I丄з丄"> 丿

Изложенный нами способ сделать калибровочную инвариантность явной довольно прямолинеен. Но у него есть тот недостаток, что в окончательном результате зависимость числителя от импульсов оказывается приводимой. В рассматриваемом случае имеются две основные калибровочно-инвариантные и кроссинг-симметрич* ные величины, в которые входят векторы поляризации, а именно величина'

仇=k正隶这解卜2 + к^р^р^р^ —后山№也：Р2з，(13.129) которой определяется структура процесса скелетного рассеяния, и

G2 =后工％；& — к2е*кге2.(13.130)

Введя их, будем иметь

(网左宓把：—*1р1*2е*) (к^^р^ — АгРгА^г)=

=&_生2Gl -后1p2月№2G2(13.131)

И

8"住%1成15?饱允р1%£""'"后2k62V后块p2"=

=自后2伍+ (&Р2аp2 +"2儿后2)仇.(13.132)

В справедливости этих соотношений можно убедиться либо путем алгебраических преобразований, либо путем сравнения их обеих частей в какой-то координатной системе, например в системе покоя вектора「纟.Поскольку появление в числителе множителей, содержащих импульсы, диктуется исключительно калибровочной инвариантностью, лишние множители такого типа следует выкинуть, преобразовав их в дополнительные простые спектральные формы. При этом 后击2 заменится величиной /2 Мп^ а произведения —fc2P2 и 后山2, которые снабжаются соответствующим знаменателем, заменятся величиной х/2 (М2 ——тп2). В результате возникнет следующая двойная спектральная форма:

(d«*芦а?(2仇 + т^ j 弋# 义

x ("2 _ 2叫 "2 [/+ + ( 1 一器"一]义

_1Г11"1

义(財一后2)2+"'2 L(P2十的产+淤一诃 十(p2-月产+m2 J

-(d®Pi ...) 4am• Gg )—炉--(財—医产+"^ 义

которую следует проинтегрировать по М2 с соответствующим весовым множителем. Возникающая при этом простая спектральная форма содержит приводимые калибровочно-инвариантные комбинации

[(Р囱)е；—(卩曲)自][(Р2〃2)е2— (р2е2)届]= <?1 + 卷Р2G2,

[(Mi)建一伪2球)自][(Pi卷)e2— (pte2)卷]=Gj —A2P6纟.(13.136)

Преобразованное выражение имеет вид

(网，…产16a吗j靄盖丝%义

X [ (p2 + fc2)2 + M2-ie +(P2—自)2十"2 ]—

'-(d3〃 产 8a?Gz j 罂％ (М2)X

Щ2

义[优+3产]屁—竺+(p2-自产+M ]•(13.137)

В интересующем нас случае рассеяния вперед, когда р2k2 = %自, оно не содержит никаких инфракрасных особенностей. Данное выражение нужно сравнить с предельным выражением для двойной спектральной формы, отвечающим рассеянию вперед, которое получается, если наложить кинематическое ограничение (^ —— —^з)2 = 0. Один из возникающих при этом спектральных интегралов такав (n=0):

ОО"

j 響("2-2 叫[A+(I-鑑)/_] = (2m)2

一 16M f , .2. (№ + zn2)24-P2 {M^ — m^8%(M2)

~ M-m2 J °" (1 十") K〃2 十加2)2 一 阵(w2 一旗2)2]2 = R_京一滴.

0

(13.138)

Определение функции % (№), которая фигурирует здесь,

1"

х (М2) = ("2+硝2 j dp (而2+m中一睥(而2二加y- > (43439)

эквивалентно определению (13.20). Нам потребуется также интеграл

ОО1

J AV2 ("2)2 m2 "2 - 7n2 J "八上十"一 3^2 心一淖‘

(2m)2О

В результате получим следующую простую спектральную форму:

一(叫，…产8a2GJ 裁费”2) [ 1十

[7^2)，3

(13.141)(13.141)+ (d% …产：8a2GJ 加2不^1[ J,

(13.141)

(13.141)

где квадратными скобками обозначена комбинация из функции распространения, входящая в формулу (13.137). Первые два слагаемых здесь воспроизводят результат (13.137). Следует ли отсюда вывод, что нужна какая-то дополнительная простая спектральная форма, которая скомпенсировала бы последний член в$ формуле (13.141)?

Ответ на этот вопрос отрицателен — никакие простые спектральные формы с комбинациями импульсов (ра + fc2)2 и (р2 —自户 не требуются. Мы намеренно заострили внимание на этой парадоксальной, с первого взгляда, ситуации, с тем чтобы подчеркнуть одну тонкость, возникающую при анализе особого кинематического случая. Что означает термин «рассеяние вперед»—— равенство 耳=优 или же (£ — fc2)2 = 0? Выкладки, в результате которых мы получили выражение (13.137), основывались" на равенстве А】 = &2； при приведении же двойной спектральной^формы к виду (13.141) мы принимали, что (后工— fc2)2 = 0. Различие между двумя этими подходами видно из того, что G2 обращается в нуль при 后工=后2； на самом деле таким способом может быть получена только простая спектральная форма с множителем G> Нам следует вернуться к расчету среднего значения (13.13), результатом которого явилась формула (13.18), и сохранить добавочную комбинацию в числителе, приводящую к G21 по-прежнему пользуясь при этом теми упрощениями знаменателя, которые возникают благодаря соотношению ("工 —— Л2)2 = 0. Тогда, введя обозначение

д = ^4^Р1+^^Р2・(13.142)

будем иметь

1

—丽石7 Qn 伍g)〉= gUV J dz [("2+加2)/2M]2 —z2 [(ЛР —加2)/2M]2 +0

+ 2gMv ) dz0+ 2gMv ) dz0{[(M2 + m2)/27H]2—炉[(М2 — 7П2)/2Лф}2 •{[(M2 + m2)/27H]2—炉[(М2 — 7П2)/2Лф}2 •(13.143)(13.143)

+ 2gMv ) dz0

+ 2gMv ) dz0

{[(M2 + m2)/27H]2—炉[(М2 — 7П2)/2Лф}2 •

{[(M2 + m2)/27H]2—炉[(М2 — 7П2)/2Лф}2 •

(13.143)

(13.143)

Здесь учтено, что это выражение умножается на е厶 и %丫, а поэтому можно произвести замены

g/V f 宁磯园f专階小1(13.144)

К последней из них приводит результат вычисления интеграла по р, входящего в формулу (13ЛЗ). Вьшолняя в дополнительном слагаемом в формуле (13.143) интегрирование по частям, мы для (13.10) теперь получаем

е：eм ё0一6*2/2滋片；2):[% (М2) —J] ,(13.145)

или, если произвести калибровочно-инвариантную подстановку (43.28),

71y[ GE ”2) - G$ (М2—噌％ ”2) +

+ 62扌財2(%(М2)一：!)].；(13.146)

Мы видим, что отношения коэффициентов у этих трех слагаемых точно такие же, как и в комбинации (13.141).

Чтобы применить двойную спектральную форму к случаю рождения пары, произведем кроссинг-подстановки

自，е： f 】—后，е, Ра f ：— К(13.147)

а, кроме того, вместо 后纟，&,厶 напишем 匕 九 р. В результате

仇->]—кркр'ее' + крер'е'р + кр%ре*р\

Ggf — kkreer + ek'd к.：胃 (43.148)

В случае рассеяния вперед, которому соответствуют соотношения р+р』+*‘ р_р，= [1工鑑■]1/2|(fe-^), Х13.149)

мы получим

2Gl + 7n2G2 + 0,(13.150)

тогда как

ЛР 一緑十2P2的№ — M — 2P2以 '

М2 — щ2 — 2рк 1—m2—2筋/

2ЛР —m2 —喊，.._ .-.

"^ М^ ^к—к^+^М^ — т^!^] *(1<5ЛЭ1)

§ 13. РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕ | 229 Комбинация, которая входит в двойную^спектральную форму, имеет вид

12M2-m2 — kK

(左 十 Л/)2+儿Г 2一通 灰Г (无一必)2 + [(Д/2 -號)2/麻2]= 2(%2—m2)十〃‘21

=通2 -菠产十〃2〃百依+必产+启広一伍十

丄丄卫竺二吧卫竺土也1 /л 0 152、

十 小 (“2 —m2)2十儿区/|/可(左一我)2 + [(m2 一 戸)2/届2] .,

Функция

[(к —必)2 + (71/2 — m2)2/^2]-

описывает перенос пространственно-подобного возбуждения; он отличается от механизма обмена парой, которому отвечает функция

'[体+尸)2十m'2 -也尸

Вклад последнего равен

—(d3p, ...)"2 4a27n2Ga j dM'2 x2m2

(13.153)(13.153)"f dM2 2(M2 —皿2)+№”

(13.153)

(13.153)

X (AH-碎十曲2-^Г J 个方(ЛР 一m2)2十M片筋2

Входящий сюда интеграл по № можно вычислить, разбив весь интервал интегрирования на два, для чего введем промежуточное значение № —加窑=X, удовлетворяющее неравенствам

(13.154)(13.154)(13.155)(13.155)2117n《X《m2.

(13.154)

(13.154)

(13.155)

(13.155)

Это позволяет нам представить интеграл в виде

4/《4m2 \ -1/2、，

Уоо

Г dy2 f d("2 _ m2) 2(w2一們十底2 ]

J (y2- 1)l/2 十'"J m2 —m2(M以-讎产+40耳，2 _P

где

2卩m \2卩m \4mz \l/24mz \l/2(13.156)(13.156)

2卩m \

2卩m \

4mz \l/2

4mz \l/2

(13.156)

(13.156)

$0$0

$0

$0

В результате получим

4加2\—1/2「М'2 — 4mz /47n2 \ 1/2

厘)Lln—加)*

[_ [[一(47n2/ar2)『/2」'/

Сравнение с формулами (13.56) и (13.58) показывает, что к двойной спектральной форме необходимо добавить следующую простую спектральную форму, которую мы записываем для случая рассеяния фотона: 、

(<Ц>,…)/-4a2Gz j 力^『义(2m)2・

(13.158)(13.158)X 1rl 1 +[1一(4*”2)『/2：j

(13.158)

(13.158)

[fl —(4 叫”2)『/2 (融一饱)2 十 M'2

Но остается еще один вопрос. Условием рассеяния вперед (13.149) никак не определяются выражения, содержащие 6工 + + ^^G^ Правильно ли фиксирует их двойная спектральная форма или требуется какая-то дополнительная простая спектральная форма? На основании всего сказанного ранее о функции G2 можно полагать, что в двойной спектральной форме действительно содержится вся необходимая информация. Чтобы удостовериться в этом, вернемся к вычислению матричного элемента (13.44) и рассмотрим случай, когда импульсы частиц р = — р' составляют с импульсами фотонов к = — к' угол а. К тому же мы возьмем разность результатов, соответствующих случаю, когда векторы поляризации е = е‘ лежат в плоск()сти импульсов р и к, и случаю, когда они перпендикулярны ей. Тем самым мы выделим зависимость от G^ поскольку величина G2 при обеих ориентациях векторов поляризации принимает одно и то же значение, а

G/||| — G] |丄=—ккг (е・р)2|н = -^~ ("^——тп2^ sin2 a. (13.159)

Возникающий теперь интеграл имеет вид

f sine ЙО йф「2(7И2-2тп2)门 / М2、，

义("=^Г+ - j2K )义

X [( — sin a cos 0 +cos a sin 0 cos(p)2 — (sin 0 sin 屮尸],(13.160) где

-P2k-P2*-P2k-P2*81

-P2k-P2*

-P2k-P2*

2 \'

ного с импульсом р, две ориентации векторов поляризации эквивалентны, и соответствующие члены взаимно уничтожаются.

После второго дифференцирования достаточно рассмотреть предел при а 亠 0» Тогда в формуле (13.160), взяв предварительно интеграл по азимутальному углу, получим

-16(1-16(112加2 \ Г 1 л/ J У ^2-112加2 \ Г 1 л/ J У ^2-12（号一m卜1一2）+炉2（号一m卜1一2）+炉11++

-16(1

-16(1

1

2加2 \ Г 1 л

/ J У ^2

-1

1

2加2 \ Г 1 л

/ J У ^2

-1

2（号一m卜1一2）+炉

2（号一m卜1一2）+炉

1

1

+

+

1

+仆需"皿+备+5）хо

х[龙退片一^]｝，(13.162)

где введено обозначение

1-d-需№，(13.163)

Оставшееся интегрирование дает

一备(М2 —4硏 р ("2),(13.164)

где

Р (")m2—W1П "22 (1 "АР (")m2—W1П "22 (1 "А"十（」需广. 」（」豹；"十（」需广. 」（」豹；XX(13.165)(13.165)

Р (")m2—W

1П "22 (1 "А

Р (")m2—W

1П "22 (1 "А

"十（」需广. 」（」豹；

"十（」需广. 」（」豹；

X

X

(13.165)

(13.165)

В итоге мы получаем следующую спектральную форму:

(@(Йр[ • • •) " 16*(伉+ ^加唱2)X

X J 辭(1 一拱广Р("2)Е*ЕГ・(13,66)

Теперь ее нужно сравнить с той простой спектральной формой, которую выделяет из первого слагаемого в формуле (13.133) условие рассеяния вперед в его скалярном варианте. С учетом выражения для коэффициента при еег в формуле (43.448) это условие можно представить в виде равенства 2кркр* + т?кк* = 0,

так что достаточно произвести подстановку (13.151). Спектральная форма может быть записана в том же виде, что и (13.166), но с

b口丿一8丿 /4m2 U/2 J д1/2 (〃2一m2)2+m2妝，2 Х

В 一'丿

义［/++«—需(13-168)

Вьшолняя здесь интегрирование, мы приходим в точности к функции (13.165). Отсюда следует, что поправка к рассеянию фотона на частице полностью описывается двойной спектральной формой (13.133) и простой спектральной формой (13.158).

Здесь вставляет свой вопрос Гарольд.

Гарольд. Прежде чем идти дальше, скажите мне, пожалуйста, вот что. Почему ничего не говорилось об одночастичном обмене? Ведь процесс скелетного комптоновского рассеяния можно рассматривать исходя из такой причинной последовательности событий: частица рассеивается электромагнитным полем, а возникающая при этом реальная частица детектируется- в результате еще одного подобного процесса рассеяния. Тогда мы имели бы дело с динамической модификацией каждого отдельного акта рассеяния.

Швингер. Вообще говоря, Вы правы: одночастичный обмен также следует учитывать. Но спин 0 составляет исключение. Если рассматривать рассеяние частицы каким-либо подходящим полем, а затем провести экстраполяцию на случай поля фотонов, то в конечном итоге зарядовый формфактор F (府)нужно будет вычислять при 府2 = 0, а при этом условии он остается равным единице. Поэтому в случае спина 0 одночастичный обмен описывается скелетной связью.

Масса фотона входит только в двойную спектральную форму. Эта зависимость допускает простую проверку, ибо она должна сбалансировать дополнительное рассеяние, которое сопровождается мягким фотоном,——так называемое двойное комптоновское рассеяние. Теперь нас будут интересовать только коэффициенты при In l/卩，а не аддитивные константы. Соответствующий вклад двойной спектральной формы, обусловленный окрестностью М2 〜равен•

/л u/oQ 力的一闻)2 11 f dM'2

仅 P2及2P2 卩 J M2

(2m)2

27nz

'一1

X 7i4m2 \l/2— (&—如)2十"'2 *(13.169)

где учтено соотношение

(13.170)(13.170)(1 u 1 (©一冲)2

(13.170)

(13.170)

^^"2Ap2"4及 P2 局 P2

Совместно с амплитудой (12.98), описывающей процесс скелетного рассеяния, он дает

&|Т|2〉=—%, ...М&га丽爲^х

义口 一-笈 1n * 他标砧 J 而 1 +[&一：)1Хh2] (1-吟]， (13.171)

0

Отсюда видно, что относительная поправка к сечению упругого рассеяния равна

1 -兵 InA 的工加户 j dv 彳丄"目-.(13.172)

.〔0

Комбинируя ее с вероятностью (12.16) испускания мягкого фотона, в которой

g2 =①]_ 办)2 =(瓦一加J2,(13.173)

мы увидим, что зависимость от фиктивной массы фотона действительно полностью исчезает.

Низкоэнергетический предел процесса рассеяния частично характеризуется условием

他一瓦)2《47П2,(13.174)

а поэтому его можно исследовать так же, как случай рассеяния вперед, в котором мы получили простую спектральную^ форму (13.141). Но теперь нам нужно учесть инфракрасное поведение вблизи значения М2 = ?п2. Для этого мы можем повторить все сказанное только что о массе фотона с дополнительным условием (13.174), за тем исключением, что теперь нас интересует константа, которая добавляется к In (1/р,). Пусть нижний предел первого интеграла в формуле (13.141) равен М2 =壮纟 + X, где X удовлетворяет условиям (13.154). Тогда добавка к нему будет равна

网，…)"2 8次^^ J 醫х (2m)2

у

X "2( dy

乙 4絞、 % J (/一1尸/2 '

где У ——величина, определяемая формулой (13.156). Для входящего сюда двойного интеграла имеем

急，厶(1 +喲 In (青 D)=壷(In 黑 一^). (13.176)

Испускание мягкого фотона, которым компенсируется зависимость от |и, описывается выражением (12.25). В системе покоя начальной частицы процесс является нерелятивистским, и величину 6М в этом выражении можно отождествить^ с k^aRj минимальной детектируемой частотой дополнительного мягкого фотона. От всех этих характеристик фотона зависит интеграл

(^(i+^)[in(^.^)+|]=4[in^-4j. о

(13.177)

Таким образом, член, который чувствителен к инфракрасным эффектам, равен

(d0p( ...)1/2母牛а二后2)2(13.178)

' 打 丿 3 加2 1 左1P2®P22m 综 11H\)

Для отыскания низкоэнергетического предела вклада (13.141) воспользуемся интегралом, сходным с (13.36),

ОО ,.'1

f бШ2 ，/Е\1Г 1. f J z(i—Z) 一]

J Т^~ %(М)〃2一齡十忆=[絞三 + )必 z^—q—z) j J * m2-1

x In ⑵ + j dz 畸宾乐 In (昌)，(13.179)

в котором считается, что х >，0・ Чтобы получить правильное значение этого интеграла при х < 0, следует в аргументе первого логарифма написать | 况 |. Выделив ту часть выражения (13.179), которая нечетна по %, мы вновь придем к формуле (13,36). Главные члены в разложении по малым х таковы:

f Ш^J "М2- m2f Ш^J "М2- m2

f Ш^

J "М2- m2

f Ш^

J "М2- m2

=募Н1 十焉)In ( + )+/(1一扌^)+ ・••]•=募Н1 十焉)In ( + )+/(1一扌^)+ ・••]•(13.180)(13.180)

=募Н1 十焉)In ( + )+/(1一扌^)+ ・••]•

=募Н1 十焉)In ( + )+/(1一扌^)+ ・••]•

(13.180)

(13.180)

В слагаемое (13.141), содержащее величину G15 входит интегралВ слагаемое (13.141), содержащее величину G15 входит интегралвида Г dMz * (М2)1J m2 М2 一m2 М2 -健十/ 一―丄；dM) % (Л/2)(：山И2 % (М2)一力JM2 M2-加2X JM2M2 —加2十忆m2+Xm2вида Г dMz * (М2)1J m2 М2 一m2 М2 -健十/ 一―丄；dM) % (Л/2)(：山И2 % (М2)一力JM2 M2-加2X JM2M2 —加2十忆m2+Xm2(13.181)(13.181)Первый интеграл в правой части можно получить из выражения (13.180), если учесть, что а《X《?п2. ИмеемПервый интеграл в правой части можно получить из выражения (13.180), если учесть, что а《X《?п2. Имеем8m2+^rdM2 %(Л/2) f 加 28m2+^rdM2 %(Л/2) f 加 2J Мm2+XJ Мm2+X"2 一加"2 一加2=1^2=1^J m2 3 Л/2—加2 T % m2']7П2.1 \111 ~~^12)，J m2 3 Л/2—加2 T % m2']7П2.1 \111 ~~^12)，(13.182)(13.182)

В слагаемое (13.141), содержащее величину G15 входит интеграл

В слагаемое (13.141), содержащее величину G15 входит интеграл

вида Г dMz * (М2)1

J m2 М2 一m2 М2 -健十/ 一

―丄；dM) % (Л/2)(：山И2 % (М2)

一力JM2 M2-加2X JM2M2 —加2十忆

m2+Xm2

вида Г dMz * (М2)1

J m2 М2 一m2 М2 -健十/ 一

―丄；dM) % (Л/2)(：山И2 % (М2)

一力JM2 M2-加2X JM2M2 —加2十忆

m2+Xm2

(13.181)

(13.181)

Первый интеграл в правой части можно получить из выражения (13.180), если учесть, что а《X《?п2. Имеем

Первый интеграл в правой части можно получить из выражения (13.180), если учесть, что а《X《?п2. Имеем

8m2+^

rdM2 %(Л/2) f 加 2

8m2+^

rdM2 %(Л/2) f 加 2

J М

m2+X

J М

m2+X

"2 一加

"2 一加

2

=1^

2

=1^

J m2 3 Л/2—加2 T % m2'

]7П2.1 \

111 ~~^12)，

J m2 3 Л/2—加2 T % m2'

]7П2.1 \

111 ~~^12)，

(13.182)

(13.182)

откуда

(13.183)(13.183)f dM2 * (M)2

(13.183)

(13.183)

JД/2 —тп = 3 疟

m2+X

При объединении этого члена с (13.178) произвольный параметр X исчезнет.

В низкоэнергетическом пределе последнее из трех слагаемых в формуле (13.141) приводит к интегралу

m2m2dM2dM2%卄)一告此一m2%卄)一告此一m22M2 — т22M2 — т2(13.184)(13.184)

m2

m2

dM2

dM2

%卄)一告

此一m2

%卄)一告

此一m2

2M2 — т2

2M2 — т2

(13.184)

(13.184)

в существовании которого можно убедиться, переписывая (13.139) в виде

为约)一春=(^ЙT "匕-2腹г高；*2+們* "185)

о

Введя переменную一 m2 一mВведя переменную一 m2 一m0 VU V 1,0 VU V 1,(13.186)(13.186)получимполучим№(1一吟一 °" 1 —"2 睥—№(1一吟一 °" 1 —"2 睥—

Введя переменную

一 m2 一m

Введя переменную

一 m2 一m

0 VU V 1,

0 VU V 1,

(13.186)

(13.186)

получим

получим

№(1一吟一 °" 1 —"2 睥—

№(1一吟一 °" 1 —"2 睥—

备jg(l 一吁n告急.0

Последний из нужных нам интегралов дается простой спектральной формой (13.158). Он равен

)(〃，2)2~~4碎2、1/2- =(13/88)

(2m)2 '，

Собирая все вклады вместе, для матрицы перехода в низкоэнергетическом пределе будем иметь

⑴?|2〉=-m铀…)1/28m石』+

'3 m2 L 4 勺P2在2P2\ m%11H 丿

-2Д-(1п—-G2 (in I(13.189) 加2 \2 I 论2P2 I24 /\2 j 屈2P2 I 96 丿」

Мнимый член мы опустили, так как он оказывает пренебрежимо малое влияние при вычислении дифференциального сечения, которое и составляет в данный момент предмет нашего рассмотрения. В системе покоя начальной частицы и в калибровке, в которой векторы поляризации ортогональны ее импульсу (р2е = 0), наш результат записывается в виде

{i\T\2}^ —(d^ .. .)^2 8лаеТ-е2+(d(oP1 • •-)1/2 ~у" а2 (^-)2 X 义[号(l - cos9)e: a 仙 倉一1)一2建9 (in 徐一/) +

+ ((1 —cos9)еТ-ег + пг-еТпре^ (in 詣—备■)]•(13.190)

Здесь 口工,2 — единичные векторы, задающие направления распространения фотонов:

口工，％ = cos 0,(13.191)

а "° — энергия фотона, которая в рассматриваемом низкоэнергетическом столкновении практически не изменяется.

Из (13.190) сразу же можно■ получить модифицированное дифференциальное сечение для поляризованных фотонов, обобщающее результат (13.40). Мы ограничимся тем, что приведем выражение для поправки к дифференциальному сечению в случае неполяри- зованных фотонов. Необходимые суммирования по конечным поляризациям и усреднения по начальным поляризациям проводятся с помощью формул [ср. с (3-14.101)]

4s le?-e2l2 = 4(1 + cos20> (13.192)

ии

и

и

~ 2 ег-е^-еТпреа = —|-cos 0(1 —cos2 0)-(13.193)

Результат таков:

6(黑)=(*)2品管)2[(+^咿备-击)+

+ 击("一COS 8)2——^(1 —cos 0)(l-hCOS20) ^ln+ 击("一COS 8)2——^(1 —cos 0)(l-hCOS20) ^lnВ частном случае рассеяния назад мы получаемВ частном случае рассеяния назад мы получаем0= л:0= л:4)](13.194)(13.195)4)](13.194)(13.195)

+ 击("一COS 8)2——^(1 —cos 0)(l-hCOS20) ^ln

+ 击("一COS 8)2——^(1 —cos 0)(l-hCOS20) ^ln

В частном случае рассеяния назад мы получаем

В частном случае рассеяния назад мы получаем

0= л:

0= л:

4)]

(13.194)

(13.195)

4)]

(13.194)

(13.195)

а поправка к полному сечению дается выражением

6。=毕泉(爲2 [m 击 ТТ (m ^-i)].(13.196)

В зависимости от количественного соотношения между 府°/%н и (тп/2/с°)2 она может как увеличивать, так и уменьшать полное сечение. Мы не будем останавливаться на деталях высокоэнергетического поведения; заметим лишь, что относительная поправка к дифференциальному сечению по порядку величины равна коэффициенту а, взятому с логарифмическим множителем, вид которого зависит от рассматриваемой области углов; примером может служить формула (13.41).

Примечание исторического характера. Энергетическую и угловую зависимости поправки (13.194) опубликовали в эквивалентной форме в 1948 г. Коринальдези и Йост [Е. Corinaldesi^ R. Jost, Helv. Phys. Acta, 21, 183 (1948)]. Эти авторы пользовались методом унитарного преобразования, которым были получены также первые результаты, касающиеся магнитного момента электрона, энергетических сдвигов и поправок /К кулоновскому рассеянию.

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Мы уже применяли в ряде случаев некаузальные методы расчета. Самым интересным был случай низкочастотного рассеяния -света на свете и сходные задачи. Наиболее удивит ел ьным и оказались результаты вычисления вероятности порождения электрон-пози- тронной пары сильным однородным электрическим полем, поскольку этот эффект не может быть вызван конечным числом актов однократного рассеяния. Теперь же мы хотим показать, что некаузальные методы особенно подходят для исследования сдвигов

энергетических уровней связанных состояний, поскольку такие сдвиги тоже обусловлены бесконечным числом взаимодействий. Сделать это весьма желательно по той причине, что каузальные методы не подсказали нам достаточно изящного решения вопроса о едином подходе к процессам, протекающим при высоких и при низких энергиях. В самом деле, пытаясь рассчитать такими методами поправку порядка Za к энергетическому сдвигу в кулоновском поле, мы, затратив много времени и труда, убедились в излишней сложности соответствующей процедуры и вынуждены были отказаться от своей попытки. Заметим, что свободой в выборе каузального и некаузального методов расчета или какого-то их сочетания подчеркивается то обстоятельство, что в теории источников осуществлен синтез аналитической теории 5-матрицы, с ее акцентированием принципа причинности (но без предположений об аналитичности), и некаузальной операторной теории поля (но без самих операторных полей).

Чтобы показать, какого рода подход будет теперь развиваться, вернемся к вакуумной амплитуде (12.44) для случая спина 0. Функция распространения частиц сохраняет здесь свою общую пространственно-временную форму, но фотонная функция распространения входит сюда в своем причинном выражении. Чтобы снять зто ограничение, произведем замену

(14.1)

(член ——ге в знаменателе опущен) и более не будем считать, что поля 屮I и (р2 обязательно причинно-упорядочены. Однако по- прежнему требуется, чтобы они не перекрывались. Итак, в символических обозначениях вакуумная амплитуда выглядит теперь следующим образом:

*「(Mb 6(2口 一加)初(n-后产+絞(2口 一向中2,(14.2)

Можно написать

(2h-(口二!户+m(2u 一向=

= (2П —后)2.备(n—j' + M~_2 [И, [П,£ ⑴-表十送]]，(14.3) где точкой обозначено симметризованное произведение:

А.В=^{А, В}.(14.4)

Кроме того,

(2П 一 ©2 = 2 [(П 一 *)2 + ?п2]-胪 + 2П2 - 2М, (14.5)

причем первое слагаемое может быть отброшено, так как в рассматриваемых условиях, когда поля не перекрываются, соответствующий локальный член в формуле (14.3)- обращается в нуль. Итак, мы будем исходить из следующего выражения для вакуумной амплитуды:

發j 7^"中1 ( _(口一后产+诞 十(2n2 — 2n12).产(口一厶户十絞

—2 [П, [п, g(口一^ + 號]]} %•(14.6)

Для функций распространения мы будем пользоваться представлениями [ср. с формулой (8.34)]

(ц_表+ 絞=Z jdsexp{-is[(n-A:)2 + m2]},

О

会 T j ds exp (— isk2)(14.7)

о

и соответствующим выражением для их произведения

备(口一，+絞,=_j 曲1 曲2 exp { — Zsj [(n - ©2 + m2]_ 迎济}. о

(14.8)

Если в последнем произвести замену переменных

St = su, s2 = s(l — u), dSi ds2 = s ds du, (14.9) то получим

oo1

告(口_*+献.=—j 曲5 j duexp[Ts%(u)], (14.10) 00

где

X (〃) = u [(П — k)2 + m2] + (1 — u) ft2 = (Zc — uII)2 + w (1 — u)用 + 疗〃.

(14.11)

Заметим, что если мы хотим учесть массу «фотона» р,, то к % (и) следует добавить член р,2 (1 — w).

Проиллюстрируем применение представления произведения в простом случае, когда отсутствует электромагнитное поле, так что в соответствии с перестановочным соотношением (8.44)

[П,П] = ieqF(14.12)

разные компоненты вектора П коммутируют друг с другом. Благодаря этому последнее слагаемое в формуле (14.6) обращается

в нуль. Кроме того, в первом слагаемом можно заменить переменную интегрирования, произведя подстановку 府一П-> 府,после которой сразу видно, что этот вклад локален и его можно опустить. Производя в % (и) аналогичное преобразование к — иП к^ получаем

Г (d论)1£_

J必产声G_在)2 +範=

81

=—j dss j duexp{—fs [u(l —u)П2+?n2u + И2(1 — 〃)]} X оо

X J儡exp(-加胪)=

=7^戸 J -^~duexp{—is [и(1—и)И2+m2u + p2 (1 — u)]}, (14.13)

где мы включили член с массой фотона и учли формулу (8.57) для интеграла по импульсу. По переменной и удобно выполнить интегрирование по частям:

j du exp ( — is [ ]) = uexp( —fs[ ])|o + o

1

+ is j duu{(l — 2u) П2 + zn2 — |x2} exp (^-* is [ ]).(14.14)

о

Первый член в правой части при u = 1 дает вклад ехр (—ism?), который, будучи локальным, при подстановке в (14.6) обратится в нуль. Выполняя теперь интегрирование по переменной s, мы для вакуумной амплитуды (14.6) получим

1

(14.15)(14.15)；a f 小,"m (2h2一2^)[(1一2")!12+號一炉] l~^T J dW Ф1 м(1 —И) П2 + ?П2и+р,«(1—М)—中2,

(14.15)

(14.15)

о

Учитывая еще раз, что поля у нас не перекрываются, можно будет в числителе произвести замену

'(14.16)

Это дает

一 泰 j du 7二戸(1 +еT)小电 1rl ：2 I 開用，(14，17)

где для простоты мы положили 卩 в числителе равным нулю. На данной стадии и производится полная пространственно-временная экстраполяция, Для этого достаточно воспользоваться уже из-

НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 241 вестным нам рецептом и добавить соответствующие контактные члены:

lP+Ж"5旺"而匸k 丁 (恥-м户・I丄* 2丿

Если положить 卩 равным нулю, считая тем самым, что

"2=生，(14.19)

то спектральный весовой множитель, входящий в формулу (14.17), окажется равным

告告(1 + 金)苏=欝(m2 -硝(m +叫(伍.20)

в полном согласии с (6.40). В случае конечной массы фотона в спектральном п редста вл ении, к которому приводит выражение (14.17) при

膻=谷 +鲁，(14.21)

используется параметризация, уже встречавшаяся нам в интеграле (1.32). В этой связи отметим, что

=h山盜L*6б—等一告).(伍.22) о

Мы намерены повсеместно пользоваться разложениями экспоненты ехр [—is % (w)], которые являются аналогами разложения квантовомеханической теории возмущений:

ехр[ —" (/ + /)] =

=ехр (— ttHJ — i^dti exp [ — i (力一幻 HQ] Л\ exp (— 1^Я0)十 о

+ (—i)2 f dti j dt^ (^ — i2) exp [—i(t~t^ Ho] H£ X 'о 0

X exp [ — i (玄—i2) Яо] H{ exp (—话2%) + ・・•(14.23)

[вывод в связи с квантовомеханическим принципом действия можно найти в § 6 и 7 нашей монографии «Квантовая кинематика и динамика» (J. Schwinger, Quantum Kinematics and Dynamics, W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park, 1970), хотя зависимость от

16-0983

времени не выделена там явным образом]. В качестве переменных интегрирования удобно пользоваться временами, выраженными в относительных единицах, записывая их в соответствующей симметричной- форме. Так, например, в интересующем нас случае, когда

% = %。+ Xv(14.24)

мы напишем

1

ехр( —»s%) = exp(—駕笈)一係 J4■而exp {—左-i^ 笈} MX

X exp { -is~^- %。} —巒 j у di? j div wexp ^ — is^^w^ Xi X

X exp {— is(i — w) %0} Xi exp | —is-^^w^+ ... .(14.25)

Если %i — бесконечно малая величина, то разложение заканчивается членом, линейным по 乂广 Это соответствует случаю, когда % (〃) подвергается бесконечно малому изменению, иллюстрацией чему служит соотношение

[П, ехр(—is%)]= — is j -^-dv exp {—is [(1 + v)/2] %} X

Х(П, X]exp{—is((l—p)/2]x}.(14.26)

В этом примере мы имеем

[П, х (〃)〕= и 1П, (П -用2] = 2uieqF.(n -初

(14.27)

Остановимся здесь также на вычислении двойного коммутатора [П, [П, ехр (— is%)]], в котором подразумевается скалярное произведение векторов П. Рассмотрим с этой целью преобразование

ехр (%П) exp (—is %) exp (—HI)=

=ехр [―笈 ехр (入П) % ехр (—%П)],(14.28)

где 入 一 произвольный постоянный вектор. При сравнении обеих частей равенства мы будем основываться на общем коммутаторном разложении

е^Ве-А = В+{А, В\^-^[А, [А, 3]]+…，(14.29)

в справедливости которого можно убедиться путем последовательных дифференцирований по скалярному параметру, входящему в Л. Так, например, вплоть до членов, квадратичных, по

%, мы имеем

ехр (— is%) + [%П, exp ( — is%)] + 玄[И1,臥口，exp (— is%)]]=

=exp { — is% — is [Ш, %] — is ^ [Ш, [%П, %]]} . (14.30) Используя разложение (14.25), представим правую часть в виде

ехр( —is%) —is j ^ dvexp { —is工^"・ ％} [%H, %] X

X exp { — Is 1；L %} —is号 j -|- dvexp { Tsi賢％} x

X 1Щ, [%n, %]] exp { — is与卫 ％ }— ii

—s2 j -i di? j dwwexp ^ — is-'j~“- w% } [Ш, \] x -io

X exp[ —fs(l —zp) X] [%П, %]exp{ —is-'・；" zp%} . (14.31) Сравнивая результат с левой частью, мы вновь получим (14.26), а также искомое выражение:

[П, [П, ехр( —W%)H = —^ j-i-dpexp ^ — is^i^-х} X

X [П, [П, X]] ехр {—左[у %} — 2$2 ^ -1-dv ^ dwwx

хехр {—左1^切％} (П, %]exp{~is(l—W7)x}x.

т X [П, х] exp I —锯写厶歡} ,(14.32)

где•

[П, [П, %♦(〃)]]= — 2ueq(П — k).J~2ие2Р^Р^ (14.33) причем мы ввели

戸=%尸叫(14.34)

Заметим, _что симметризация в соответствующем слагаемом оказывается излишней, так как

力网,L1= VU^P.(14.35)

'16*

244 I ГЛАВА 4. ЭЛВКТРОДИНАМИКА I

Перед нами встает техническая проблема выполнить интегрировав яие по Л в случае, когда из-за некоммутативности компонент вектора П при наличии электромагнитного поля нельзя производить подстановку к — и П f А. Мы предлагаем один прием, подсказываемый следующими квантовомеханическими соображениями. В системе, где число переменных дир равно п, среднее значение 《0’ I / (?) I『〉дается выражением

⑺〃p) I 鼠〉=卜鼠 Ip')(如')"p 貝p’ |鼠)=j 線"P')(14.36)

и не зависит от д'. Соответственно этому пусть Е — координата (четырехмерный вектор), дополнительная к &; напишем

J 儼〃%)= & = 0 I 〃%)I 三' = %(伍・37)

Преимущество такой переформулировки состоит в том, что она позволяет ввести канонические преобразования, не затрагиваю* щие величины среднего значения, но изменяющие его форму удобным для нас образом. Так, например, путем операторного преобразования можно получить выражение, максимально приближающееся к случаю недопустимой теперь замены к — и П А. Действительно, когда поле равно нулю и компоненты П коммутируют друг с другом, мы имеем

ехр (—ш|П) / (% — мН) exp (ju|II) = / (")(14.38)

и

宙=о I / 3 一 мп)IV = 0)=

=宙1=0 1/3) IF = о〉・：(14.39)

Простейший способ —— выполнить то же самое преобразование и при наличии поля. Таким образом, мы хотим вычислить преобразованные величины*

(14.40)(14.40)к = ехр (—浪ЕЛ) А ехр (ги|П)#

(14.40)

(14.40)

П — ехр (―必自口) П ехр (ш|П).

Воспользовавшись наличием переменной и, можно получить дифференциальные уравнения

к = ехр (— ги|П) i [к, |П] ехр (ги|П) = П,

八 (14.41)

右 П = ехр( — t啮И) г [П, ЕЛ] ехр (ги|П)=——е成官

гдеаА 八

А = Р (х), х = ехр (—ги|П) х ехр (ги^П).(14.42)

Цепочка преобразований обрывается на х, так как благодаря коммутативности компонент Е друг с другом ми имеем

-^-х= ехр (— iu|II) г [х, Щ] ехр (ги^П) = — |.(14.43)

Следовательно,

2 = % — 〃Е,(14.44)

и мн имеем уравнение

-^n=-eqF(x-u^ Е,(14.45)

проянтегрировав которое, получим

П«вП—^g J du!F (х—优&Е・(14.46)

о

Интегрируя затем дифференциальное уравнение для А, получаем

и

к= k + uR—eq J dur J di^F (ж—и*|)|я«о о

= " + 〃!！一eq j d〃'(м —d) F (n—〃弋)己・(14.47)

о

Выпишем также комбинации

u

后一疝t = " + egj d优优尸(％—咦)E(14.48)

о

и

и

II~k=(i-u)n—k + eq j dur (и-1-и') F^x-u^l. (14.49) О

Преобразованное выражение для X (и) имеет вид

и

% (“) = [к + 用 j du'u'F g — 〃'出 E『+о

+ m(1 -m)[口一eg J d优歹(%一吸)e了+ 加2%(14.50)

о

ИЛИ

^ (u) == А^ + u (1 — и) П2 + m2u + 2eg，dururk •歹(％ — uz|) g—

uu

— 2equ(i — u) j d^II .F {x — w'H) ^ + g2 [ j ^^^^(x —wzg) |J2 +

00

и

+ 廿〃(1 — a)[ j duF (x-m七)^]:(14.51)

В качестве первого применения выделим только те члены, которые явным образом линейны по электромагнитному полю. В случае когда поля частиц подчиняются уравнению (П2 + тп2)屮=О, из полученного результата должно вытекать хорошо известное выражение для формфактора, отвечающего реальным частицам. В такой ситуации следует ввести массу фотона. Начнем с послед- ц.его слагаемого (14.6) и представим комбинацию [П, [П, ехр (——％£%)]] в виде (14.32). Чтобы не появились степени F выше первой, мы сохраним только первый член в правой части равенства (14.33) и воспользуемся упрощенным выражением (14.32):

[П, [П, ехр (— is%)]] = is j -|> du ехр {— is^^ % } lueq x -1

X (II—") J exp { —% 1£厶 %} •(14.52)

Выполнив преобразование, которое обозначается символом 人, мы с достаточной для наших целей точностью будем иметь

'% Q) — / + 〃(1 — и) П2 + 疗м, П — к f (i 一 и) П — к,

J (/) f J (忆一a自).,(14.53)

Рассмотрим теперь типичную гармоническую составляющую ехр (沙)тока J (n) и исследуем операторное выражение

ехр { —is 1£ 部} exp(-iup^) ехр { —is ^Т匕胪}，(14.54)

содержащее Е м ", или, в иной форме записи,

ехр {—左丿~^/} ехр {—垃！；" pg} ехр { 一圾哲"-戍} х

X ехр { —is 1~Р А:2| = ехр {—加 么丁 成} х

X ехр { — is 4 j~u [论—р]2} х

X ехрX ехр1 —р1 —р[к+и-^[к+и-^Р『} ехрР『} ехр{T〃1拦龙}={T〃1拦龙}==exp=exppg } [ехp (- is/) exp {—话a2(工^ ,p2 } ] Xpg } [ехp (- is/) exp {—话a2(工^ ,p2 } ] XХехp {_垃丄拦_成}・Хехp {_垃丄拦_成}・(14.55)(14.55)

X ехр

X ехр

1 —р

1 —р

[к+и-^

[к+и-^

Р『} ехр

Р『} ехр

{T〃1拦龙}=

{T〃1拦龙}=

=exp

=exp

pg } [ехp (- is/) exp {—话a2(工^ ,p2 } ] X

pg } [ехp (- is/) exp {—话a2(工^ ,p2 } ] X

Хехp {_垃丄拦_成}・

Хехp {_垃丄拦_成}・

(14.55)

(14.55)

Эти выкладки основываются только на том свойстве экспоненциальных по I сомножителей, что они приводят к соответствующим сдвигам импульсов. Если выделить диагональный матричный элемент eg = 0, то в окончательном выражении эти сомножители заменятся единицами и останется только множитель, заключенный в квадратные скобки. Коммутатор (14.52), в котором произведены подстановки (14.53), содержит также член, линейный по к. Произведя трансляции, указанные в формуле (14.55), мы для соответствующей комбинации получим к — и [(1 ——0/21 р. Но pJ = О, а оставшаяся нечетная функция импульса к при интегрировании дает нуль. Итак, при учете членов, линейных по F, мы имеем

J 偽[И, [И, exp{Ts%3)}]] =

二击2^^1 j^mexp{—is*w}x

+ exp { 一 ist?[工吟加} «ди/exp { — is■—^-屮} , (14.56) где

屮(〃)=〃(1 — 〃)ГР + 疗〃 + 卩2 a 一 ％),(14.57)

а гауссова функция переменной р определяется ее мультипликативным действием на фурье-компоненты величины J (%). Пере

ходя к полям частиц, позволяющим произвести подстановку 112 f — 加2, мы для последнего слагаемого в формуле (14.6) получим

-2打鬪f口，[n，会(口 —示+清]]=

аа1Т1Т11du J 4мм(1 - m) J ds еXp {—左[T?^泊+曲仕一 m)+du J 4мм(1 - m) J ds еXp {—左[T?^泊+曲仕一 m)+оооо

а

а

1

Т

1

Т

1

1

du J 4мм(1 - m) J ds еXp {—左[T?^泊+曲仕一 m)+

du J 4мм(1 - m) J ds еXp {—左[T?^泊+曲仕一 m)+

о

о

о

о

+ /与^ p2] }也口J =

11

—i — ( dp f duZ4(l —w)т—2едШ\

Я Ои?П2"2 十卢((一й)+U2 _ J-p2

Отметим, что если положить р, = 0, то в пределе при мт 0 возникнет инфракрасная особенность.

Рассмотрим теперь среднее слагаемое в формуле (14.6), для которого нам нужно разложение

ехр (— is^ = ехр [ —is(Z^ + x|))] —is J ；曲 х

X exp {—为丄拦-(胪+ 屮)} 2eq j dururk.F (х—и!^^ x о

X exp { -Xs(丁 (胪 + w)} + 左北 (4一m)J 扌 du X

и

X ехр {一笈I扌土佯+ 中)} 2eg J di/П .歹(%—咦)E x

о

хехр { -is-^u (胪+ 屮)} ,(14.59)

где мы ограничились первой степенью F. Комбинация

k・FE=^ 砧/^ + 4 尸&网(14.60)

имеет структуру углового момента ^йу ——己旷％旷 Она коммутирует с любой функцией переменной А:?, обращая тем самым в нуль инвариантные относительно вращений состояния 《F = 0 ] и I Е‘ = 0). Поэтому все сводится к анализу последнего члена (14.59), в котором мы сталкиваемся с произведением

ехр{ — fg-"^―胪} ехр (— iu р^) | ехр { —力s-^? »}—

；*[ехр { — 济"Ц1^ 胪} ехр( —i^pg)ехр { —is-^fc2}J f т 2si? 1工” pexp (—左胪)exp { — isu!2 '/^p2} .(14.61)

Переходя к случаю реальных частиц (П2 -> — тп2) и сохраняя только члены, линейные по F, получаем

气 ' J (2以尸2(U-期2+7n2

11

=—Z~^~ J dp J duu(l —u) (1 — p2) X

2®0

X j d优2^2 J dssexp I — is^m2u2 + H2 (1 ~u) + ^2~^P2J } egllJ.

любомлюбомДва последних интегрирования можно выполнить в порядке; например,

любом

любом

(14.63)(14.63)

(14.63)

(14.63)

Относительно первого слагаемого в формуле (14.6) заметим, что соответствующая ему экспонента содержит

X ⑴=(п —砌2 + тп2,X ⑴=(п —砌2 + тп2,(14.64)(14.64)

X ⑴=(п —砌2 + тп2,

X ⑴=(п —砌2 + тп2,

(14.64)

(14.64)

так что следует использовать преобразование по | с u == 1. Как зто явствует из наличия сомножителя 1 — и в последнем слагаемом в формуле (14.59), этот вклад не дает членов, линейных по F.

Таким способом ми для оператора, стоящего между 力屮^ и 屮2> получаем

11

—^ ^ dV \ dUU(l-u)[i+v^+(i-v^ m2^ г ]х О о

х i^~~7egW.(14-65)

W+^^p2)u2+ 炉

где произведено вполне допустимое упрощение (卩《тп)

р,2 (1 — и) ^ 卩2.(14.66>

Член 乂2 в произведении u (1 ——и) приводит к интегралу, который в пределе при р, —> 0 корректно определен; здесь массу фотона можно положить равной нулю. Член же с и дает следующие интегралы:

I du и—35:=

0(mz+l^pz)/十炉

1 In (?n2/jx2) + ln [ 1 + (1—у2) (р2/4тп2)] 现2+(1一评)@2闯'-

1

(1 - V2) \duu 小占—;fZT^~7=

= ±ln[l + (4f2)^].(14.67)

250 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

С учетом тождества (12.42) и соотношения

j 初黃 1п[1 + (13)爲]=卜。；二 (14.68)

00 7n -|pz

мы для (14.65) сразу же получим следующий результат:

]In / 47n2 痺 I 2

一盡j如(1 +喲 7h京肃 • 2砌，04.69) 0

Помещая это выражение между полями частиц ср и умножая его на 1/2，получаем добавку к действию. Поскольку в лоренцевской калибровке J = р2А, в коэффициенте при 2eqIL4 мы узнаем предполагавшееся раньше выражение для F (硏 —— 1.

В качестве сравнительно простого примера эффектов, квадратичных по F, рассмотрим поле вдали от его источника, полагая тем самым J = 0. Он относится к рассеянию фотонов, причем мы ограничимся случаем рассеяния вперед. Это позволяет нам отбросить полевую структуру F^F^^, которая порождает комбинацию G? из векторов поляризации, задаваемую формулой (13.130). В такой ситуации оба слагаемых коммутатора [П, [П, %]] обращаются в нуль и мы получаем

[П, [П, ехр (— is%)]] f 862M2廿 j --dvdwwx

X exp { — is丄拦■ ip% } F"” (IT— k)v exp { — Xs (1 — zp) %} x

X ^v (П — k)K exp ^ — is i~~ ш% J .(14.70)

Поскольку сюда уже входят необходимые степени F, расчет заметно облегчается; ^-преобразование сводится просто к замене

% —>- % + мП, х —>- х — 〃自.'(14.71)

Так как мы ограничиваемся случаем рассеяния вперед, два поля не дают никакого суммарного импульса. Рассмотрим далее комбинацию

ехр { — is(^纟шА:2} exp (iup^) exp { — Zs (1 —投)/} exp (— %〃应)X

X exp {—%'孑l刘胪} _ exp { 一 ts上拦-w (%+ up)2 } x

X exp {—25(1 — w)硝 exp { —is 1~P- w(k + up)21 ,(14.72)

которая после замены переменной интегрирования

(14.73)(14.73)kf к — wp

(14.73)

(14.73)

принимает вид

ехр (—is%?) exp {—isu?w (1 — и?) р2}.(14.74)

В применении к рассеянию фотонов, когда р2 = 0, последний сомножитель равен единице. Так как J = 0, преобразование (14.73) не затрагивает линейных по к членов в формуле (14.70). У нас возникает также импульсный интеграл

j 图eхp 一^硝=,粽鼠(击)轰exp(-is/^) =

(14.75)(14.75)1

(14.75)

(14.75)

T gvX両河5 •

Однако он порождает полевую комбинацию F^F^. а потому не дает вклада в интересующем нас частном случае. Таким путем ми получаем

八 < 簾4 [口' [П, ехр( —z^X)]]= — г8а2и2 (1 — u)2 exp (— ism2u2) x

i■

x\ dw zpFgvnv exp { — is (1 — zp) w (1 — w) (П2 + ттг2)} %?JI*・ (14.76) о，

По переменной w удобно выполнить интегрирование по частям:

1

dw w ехр {—访(1 — w)礎}= о

(14.77)(14.77):鳥口一 j 加ехр{-^(1-и；)<^}], о

(14.77)

(14.77)

где

面=〃(1 — 〃)(ГР + 疗).(14.78)

Интегрируя затем по s, получаем

-2«2 j 醫[И, [И, *(ц—^+絞]]=

= i^^ j du(l-u)2 J (^а-иО/^ЦуХ00

*2M 十(1—切)口 &—口)(ip+7n2)歹2口°(4 4.79)

Рассмотрим теперь разложение экспоненты ехр (—isX), в котором нас интересует только член, квадратичный по 尸П. При упрощаю-

252 1 ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I щем условии (П2 + тп2) ср = 0 он равен

—s2624M4 (1 — u)2 exp (— isn^i^) ^ ^-dvdwwx

X exp {一抬工茅"如依}域口 x

X exp { — i5 (1 — it) [Л2 + w (1 — и) (П2 + тп2)]} ^FII 义

X exp { —is~~~" “胪}，(14.80)

где u

戸=^ J du'F (x - u'E).(14.81)

0

Преобразуем возникающее здесь операторное выражение с й и |, пользуясь равенствами / == 0 и р2 = 0:

eхр { - is 2萨.w胪}氤 exp (私供)exp {一酒(1 - s)胪} & x

X exp (— Zu"pE) exp { — ^~g~ 加發}

-> exp {一回士护 3e+從p产} Е^eхp{ -is(l-w)胪}默X

X exp {-优与^ w (友 + 优p)2 }

->—s?(l —卢)w^k^Kexp]{ — isk?^ isw [(1 + v) uf -J- (1 — v) uv] kp}->

——^(l -v2)炉网以 exp (—左胪);——^(l -v2)炉网以 exp (—左胪);(14.82)(14.82)

——^(l -v2)炉网以 exp (—左胪);

——^(l -v2)炉网以 exp (—左胪);

(14.82)

(14.82)

здесь на последнем этапе мы воспользовались преобразованием переменной интегрирования

к — k-w (2拦" 优+ [彳" ")P. (14.83)

Параметры м‘ и ип исчезли, и F становится эффективно равным F, Итак, удерживая только квадратичный по F член, мы будем иметь

* j 偈崇 exp {—is% (м)}=——I" a2sM& (1 — u)2 exp (— isn^u^) x

X j dw i^F^Slvexp { — is(i-^w)u(l^u) (П2 + zn2)} F^IIX- (14.84) о

Целесообразно еще раз выполнить интегрированно по частйм по переменной wz

J dw и?8 exp { —• fe (1 — и;) ^}= о

R— ■^■ + _^r[‘ —2 j 加 sexp {—优(1 — 3 能}] • (14.85) о

Результат интегрирования по s таков:

_ 4^2.2 f (如)II

J (2冗)4解(口一坤+济-

=T ^ ” j du(l —u)2 J dww(i — it)2 Xоо

X Fuvnv—2 „ ,L 2、・ Flag (14.86) у m2u2+(l—и?) u (1 — u) (П2Ч-т2)丛

Относительно же первого слагаемого в формуле (14.6) заметим, что если в выражении (14.84) положить и = 1, то интересующий нас вклад обратится в нуль.

Комбинируя (14.79) и (14.86), мы для оператора, стоящего между 力中1 и 中2, получаем

16а2 Г 器出纥厶.WF工 f E, (14.87)

где

备需餐=目加 W与」l_2s(l _ s)]x00

X 6 (Л/2 —тп2—тп2_^2L^ .(14.88)

\(1-E)(l-")/' 丿

Если исключить переменную и и написать

w=y(l+z),(14.89)

то функция %(М2) примет вид

X (АР) = 2M2m2 !号 dz [加2 + M 言:m 一响2 =

44m2加2 fl,Z〃, eС、

=1 — АР—m2 J T 威"2十加2 —Z(M2 —щ2)・(14.90)

Таким образом, мы снова получили функцию (13.21), на этот раз каузальным методом.' f

Теперь перед нами встает главная проблема: каким образом корректно учесть повторные взаимодействия, которые характеризуют возбуждения связанной системы, обладающие малыми импульсами ? Надлежащую процедуру подсказывает нам сравнение расчета двойного коммутатора (14.56) для слабых полей с выра- жениемг которое получится, если вторую коммутацию осуществить не сразу, а в конце вычисления. Чтобы вывести это последнее выражение, обратимся к формулам (14.26) и (14.27):,,

[П, ехр(—is%)] = 2su J -^ dv exp { —is^^ ^ eqF.(Д — к) X

X exp { 一 is —,(14.91)

и, сохраняя только члены, линейные по полю, выполним преобразования (14.53). Это дает

1.

[П, ехр(—is%)] f 2s〃 j -у dyexp { ~is^~-(部十屮)} x -1

X eqF(x — wS).[(l — u)U —同exp { —is ^^ 出+ 屮)} , (14.92) где

W (м) = u (1 — u) (口2 + 7n2)十 7n2M2.(14.93)

Проводя теперь выкладки (14.55) и учитывая, что

eхp {-法-^升 部} exp (-協闱%ехp { -Zs与^ 胪}->

-> exp (—左部)卜 + ^_ Mupjexp { — isu2 1~Р p21 , (14.94) мы получаем

е? J 醫exp(-ts%)] =

=Т 蚩♦ ) 4■厶 exp { - is ^"屮} exp { Is 饋 1^1 p2} X

X [(1 — u) eqF. II + 扌 iuveqj] exp { — is 】？。屮} .(14.95)

Выпишем теперь два члена второго коммутатора с П и заменим оператор П2 там, где он действует непосредственно на поля частиц,

величиной ——相2. В результате будем иметь

е2 J -^г [П, [П, ехр(—is%)]] =■^-子 exp (— isrr^-i^ J } du exp { — isu2」~^- p2 } xX {ll"exp[ 一法与二u(1一以重 + 卢)]XX [(1—u)eqFiiiV.TT，+—[(1 — u) е"ц/у・П” +е2 J -^г [П, [П, ехр(—is%)]] =■^-子 exp (— isrr^-i^ J } du exp { — isu2」~^- p2 } xX {ll"exp[ 一法与二u(1一以重 + 卢)]XX [(1—u)eqFiiiV.TT，+—[(1 — u) е"ц/у・П” +1 一 21 一 2ш1 -2ш1 -2XX

е2 J -^г [П, [П, ехр(—is%)]] =

■^-子 exp (— isrr^-i^ J } du exp { — isu2」~^- p2 } x

X {ll"exp[ 一法与二u(1一以重 + 卢)]X

X [(1—u)eqFiiiV.TT，+

—[(1 — u) е"ц/у・П” +

е2 J -^г [П, [П, ехр(—is%)]] =

■^-子 exp (— isrr^-i^ J } du exp { — isu2」~^- p2 } x

X {ll"exp[ 一法与二u(1一以重 + 卢)]X

X [(1—u)eqFiiiV.TT，+

—[(1 — u) е"ц/у・П” +

1 一 2

1 一 2

ш1 -2

ш1 -2

X

X

X exp[―访丿务了 u(1 — u) (П2 + m2)^ Пц j ,(14.96)

1-[—讲[工dXn12M2+m2 丄 j 炉 + 丄 j:"泣(1 -江)(n2 + /n2)1-[—讲[工dXn12M2+m2 丄 j 炉 + 丄 j:"泣(1 -江)(n2 + /n2)а затем

1-

[—讲[工dX

n12M2+m2 丄 j 炉 + 丄 j:"泣(1 -江)(n2 + /n2)

1-

[—讲[工dX

n12M2+m2 丄 j 炉 + 丄 j:"泣(1 -江)(n2 + /n2)

X

X [(1 — uyeqF^.It^ + 五 iuveqj卩]—

X[一痺m2w2 + w2 —^—X[一痺m2w2 + w2 —^—(14.97)(14.97)—[(4 — u) eg£卩V .IIV + 万 iuveqj^J X

X[一痺

m2w2 + w2 —^—

X[一痺

m2w2 + w2 —^—

(14.97)

(14.97)

^-и(1-и) (П^ + т2)j

Если множитель П2 + тп2 в обоих знаменателях положить равным нулю, то мы вновь получим формулу (14.58). Сохранив же его, мы получаем естественное «обрезание» для- инфракрасной особенности при и = 0, которое без этого вводили произвольным образом, приписывая конечную массу фотону.

Приведем также один вариант выражения (14.97), который применим в случае медленно меняющихся полей (Za《1). С этой целью опустим р2 в знаменателях и отбросим член с J. Кроме того, разобьем область интегрирования по переменной и на два интервала, введя промежуточное значение и = и0, удовлетворяющее условию

(14.98)(14.98)м°〜Za《1・

(14.98)

(14.98)

Тогда

f du在 J Л

g“2泣2 4-2±L u(l—u) (П2+ m2)

“о1

0m^u+^- (口2十m)1 m"

«[inW^f^j],(14-99)

где в соответствии с тем, что в знаменателе подразумевается наличие добавки —施，имеем

W + mZvO： In-j^^uln 7n^^ 十位.(14.100)

Выражение (14.97) упрощается к виду

-2济 j 書^ [п, [п,备(n_ft)2+m2 ]] «

^ ~Т "^" [ПЦ 1п П2+ш2 egF^v .IIV—eqF^ .IIV 也”立聲^ И"] ‘

(14.101)

тде использовано соотношение

J 4^ (in^±£- + 1)=0.(14.102)

С учетом выражения для коммутатора

[Пц, П2 + ?п2] = 2ieqF^ .IT(14.103)

•Этот результат можно представить также в виде

Т 彳 3 П“ (IF+峭 1nli^ %.(14.104)

Теперь нам предстоит аналогичным образом усовершенствовать выкладки (14.62) и (14.63). Сначала мы сделаем это для случая медленно меняющихся полей. В этом случае наиболее существенными членами в % (и), зависящими от поля, являются по- •следнее слагаемое (14.51), квадратичное по 尸，и слагаемое, содержащее П. Остальные члены обращаются в нуль или приводят к квадратичным по полю членам без инфракрасных особенностей. Указанные вклады в у (и) имеют вид

%(u) = fc2 + u(l — и) П2 4- тп2и —• 2egu2 (1 —• и) П. F^ -|-

+ 也公(一)用向鹏用 Ti? (1 _ u) 1&/%, (i4.105)

§ 14. НЕКАУЗАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ | 257

где мы оставили только два первых члена разложения F (х —— 〃'Е) по степеням Е・ Выполнив преобразование

ехр { 一左二产胪} e点Vехp{一放-1^-/} +

f exp { —Zs丄拦矽} [ —s (1 4- p) k^ [s(1 — p) kv] X

X exp { — is，丁 胪}(14.106)

с учетом выражения (14.75), получим следующие линейные и квадратичные по полю члены:

е? J •^exp{-is%(u)}= -f^r w3(l-u)x

X exp (-济絞喲(也W + e2严叩炉)十瑞^ su4(l — m)2 又

X exp (—笈тп电2)j dw w32ieqF^v .Uv Xо ■

X exp { — is (1 — w?) м (1 — u) (П2 + ^2)} 2ZegPg.II%.(14.107)

Воспользовавшись коммутатором (14.103), последний сомножитель можно представить и по-другому：

j dw ufl2ieq^ .Щ exp { — is (i ^w) и (1 — и) (П2十成)} 2ieqFilK.UK = =-■5“'亡可 J dw炉П"嗡 ех₽{ — is(l — w)u(l~u) (П2 + m2)} х

х 2ieqF^ .冰=sk(；—u)J dw w^ieqF^.П. x

X 嘉 exp { — is(l —辑)w (1 — u) (П2 + тп2)} Пи. (14.108)

Мы усредним два эти выражения, выполнив предварительно интегрирование по частям. Тогда коммутатор, возникающий при ш = 1,

[口匕 ieqF^Mv]= -egn/-e2F^V5 (14.109)

даст вклад, который компенсирует первое слагаемое в правой части равенства (14.107). В результате останется [напомним, что 觇 определяется формулой (14.78)]

—亲 “з (1 —五)exp (— ism2u2) j dw w2 [Пц exp{ —is(l —it)翅} Xо

X eqF^ .nv - eqF^. nv exp { — is (1 - it) ^} Пц], (14.110) 17—0983

где мы еще раз проинтегрировали по частям:

J dww1 exp { — is (1 —w?)曲}=

=话亚 口 —2 j dwirexp{—伙(1 — s)礎}]・(14.111)

о

Выполняя затем интегрирование по s, мы для членов, зависящих от поля, получаем

J (2л)4 无2 (П —A)2_|_m2

=筝 j duu(li) J dww(l- w) [П^ ^+^^^ eg%.T — 00

一叫 v.T — J(14.112)

Входящий сюда интеграл по и, если заменить в нем 1 ——w на I/? (1 + р), будет совпадать с выражением (14.99). Остальные же интегралы по параметру оказываются отличными от него:

j dww(l—w)= j ~dv ‘％吃=,

° ,т(14.113)

j dww{i—w) [In (1—必)+1] = 0

После этих упрощений выражение (14.112) может быть записано в виде

"轰备口"⑴一吩标^^-朽师.(伍.114)

Снова отметим, что, поскольку величина (14.110), например, обращается в нуль при м = 1, первое слагаемое (14.6) не дает подобного вклада. Сложив (14.104) с (14.114) и отбросив множитель г, мы для оператора, стоящего между <рх и 中2，получим выражение

一筹方叫г十方伸f^-打加 (14.115)

Соответствующая добавка к действию получится путем образования скалярного произведения с полем частиц 屮 и умножения на %.

Энергетический сдвиг, соответствующий такой прибавке к действию, можно найти либо методом обычной теории возмущений из модифицированного полевого уравнения, либо рассматривая определенную причинную последовательность событий. Испускающий и детектирующий источники, разделенные интервалом вршени 7\ обмениваются частицей, с которой ассоциировано поле

Ф (х) = ср (х) ехр (—Хр%。).(14.116)

В этом случае вакуумная амплитуда, отвечающая оператору (14.115), принимает вид

^* [^iTdE]山2，(14.117)

где

6*寸舞占Пm+呜(1nF^r+姦)口w(伍.118)

представляет собой сдвиг энергии рассматриваемого состояния (как явствует из обозначений, здесь имеется в виду трехмерное скалярное произведение). Нам осталось показать лишь, что в пренебрежении членами относительного порядка Za и выше это выражение совпадает с результатом, полученным в § 11 путем комбинирования нерелятивистского и релятивистского расчетов^ С указанной точностью мы имеем

П(Ц2+成)(1nli^+/)Hf

+ -(m + E-V)2m(H-E) \ln(m + E-V) +

+ P・2m(H-E)(ln^^ + /pf

К

f 27np.(H—E) j 滋。•林占审 P，(14.119)

0

где

lnK=ln“ +与.(14.120)

Отбросив первое слагаемое в правой части соотношения (14.119)г мы пренебрегли членами, квадратичными по V, а кроме того учли, что ф является собственным вектором оператора Н с собственным

17*

260 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I значением Е. Написав теперь

кк

(〃—Е)J а%。肋+%—% =/ Ее，_酒+吊= Оо

к

=J dW [ Е__т_к„- -И *• + £—Г—л» 卩 Т—г—л» + о

+" Е—Т—ко V Е—Н — к« V Е — Т—ко ](伍/21)

и заметив, что множитель 27n превращает ф в нерелятивистскую волновую функцию 屮，мы будем иметь в точности выражение (14.59) (если учесть компенсацию фигурирующих там контактных членов). При этом верхний предел интегрирования, фиксируемый равенством (14.120), совпадает с тем, который задается формулой (11.54). Так что действительно это и есть тот самый унифицированный вывод, к которому мы стремились. Аналогичный расчет для частиц со спином '/? будет проведен несколько позже/ Отметим, кстати, что не учтенный явным образом эффект поляризации вакуума должен приводить к изменению аддитивной константы %2・ Как показывает формула (11.135), это изменение таково:

111k f 12^。111k f 12^。(14.122)(14.122)

111

k f 12^。

111

k f 12^。

(14.122)

(14.122)

«5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.

СПИН 0, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ

Нашей целью здесь является отыскание такой поправки к полученным выше энергетическим сдвигам, относительная величина которой имеет порядок Za. Видимо, прежде всего следует показать, что подобные релятивистские поправки порядка Za действительно существуют, причем они преобладают, вообще говоря, над эффектами, которым соответствует характерный для тонкой структуры фактор (Za)". В этом проще всего убедиться на примере расчета поляризации вакуума, выполненного в § 3, где принималось приближение, состоящее в замене 丨屮(х)『+ | 屮(0) |2. Приближение можно улучшить, если учесть изменение i|)(х) в области I х f《а0 = (TnZa)-】.С достаточной для нас точностью соответствующее изменение волновой функции учитывается уравнением Шредингера

[一阳+亲▼ +舒]屮(х)= °・"I)

Ее поведение вблизи начала координат не зависит от энергии «-состояния, так что решение имеет вид

|х|《0о：屮(х) = “(0)[1—胃+…].(15.2)

Соответственно этому формула (3.53} для энергетического сдвига заменяется теперь выражением

ЗЕ — 4nZa I 屮(0) [2 j (@х) 3纫(х) +

+ 8nZ2a21 屮(0) I2 j (dx) тп |x I 3炒(x),(15.3)

где относительная величина дополнительного слагаемого действительно имеет порядок Za. Сюда входит новый интеграл, который в случае спина 0 равен

J(dx)m|x|63J(x) = ^7n j 諾工(1—捋广=

(2m)2、，

=含备4初(1一或"丛=备击・ (15.4) 0

Соответственно этому эффекту в формуле (14.122) для аддитивных констант нужно произвести следующее изменение:

-* f -击 + ii Зс.(15.5)

В качестве первого шага мы еще раз, уже иным методом, проанализируем интеграл

/ = j ^Г exp { Tsy (и)},(15.6)

что будет весьма полезно с точки зрения поставленной выше цели. При этом будем исходить из аналогичного интеграла

'/(2= j 禺 exp{Ts"(u)},(15.7)

где.

у% (и) = (Л —入ull)2 + М (1 _ м) IP + 7n2〃.(15.8)

Мы написали здесь I (Л2), поскольку совершенно очевидно, что интеграл является четной функцией переменной %. Прежде всего отметим, что выражение

/(0)=J -^г ехр (— %胪)ехр{— isi|)(и)}(15.9)

совпадает с результатом, который получается для / = / (1) в отсутствие электромагнитного поля, когда допустимо преобразование к — иП -> к. Таким образом, записывая

1

/⑴= 4(0)+ j 加談/仇2),(15.10)

о

мы выделяем в виде последнего слагаемого ту часть, которая явным образом зависит от поля. Кроме того, осуществив дополнительно преобразование

j 欧2 *? 階=談?們1『。+ j 欧2 (1-M)(務)2 /巒)，(15.11) 00

мы выделим в виде компоненты с X = 0 как раз ту часть, чувствительную к инфракрасным эффектам, которая фигурирует в формуле (14.110). В результате у нас остается член, анализ которого значительно проще.

Начнем с выражения для производной

%¥)•= ( 登 ехр { — ish^^} 2isu (/сП —lull2) X хехр { — 1$"~Ц^} ,(15.12)

которую мн намерены переписать, используя равенство

J 醫等詣 |>хр{ _笈融牛}Huexp{i%*^}] = 0.

(15.13)

Продифференцировав каждую из экспонент, получим

。=1醫1岑等[exp { -%牛亨}华"WI) xхехр {—«ПА-Ц^-"Ц^}Иехр{—£欧入-^^} +

+ ехр { — Zs%*-^"} Uexp { — гш^y-}-Ц^-X

X ("—%〃!!)exp {—is%*■^^■i^-}] ,(15.14)

или

j^T^duexpf -^^4^}*Пехр {-^±TL} =

=2Xu j 偽歹 j 等 d” j. dw w exp { — is** ^― w?} И X —f0

Xexp{ —就入(1 —w?)}Hexp { — is^ -Ц1^-叫• (15.15)

В последнем выражении трем параметрам, в сумме равным единице, придана более симметричная форма записи, такая же, как в формуле (14,25). Преобразование первого слагаемого в правой части равенства (15.14) приводит к замене

■^ — ^--^^dvdw W.(15.16)

Второе слагаемое полностью аналогично первому и дает такой же вклад. С учетом этого тождества выражение (15.12) приводится к виду

■^8^ =话饋 j 轟[2 j ^ do d^。exp {-is厶牛s} Их

X exp { — isx% (1 — w?)} П exp { — Zs%*-Ц^ w?}—

—j 4dpexp { ~^x^T^ } U^exp {—^融 ~Ц^}] • (15.17)

Чтобы убедиться в справедливости замечания, касающегося значения этой производной при X = 0, достаточно упростить ее, ограничившись полями, которые подчиняются уравнению (П2 + тп2)ф=0:

决 需 Lo f 許■牛 exP (-ism^) 2 J dw “П x 0

X [exp {—is (1 —切)施} — 1] П.(15.18)

Применив здесь тождество (14.111) и воспользовавшись коммутатором (14.103), мы узнаем в полученном результате выражение (14.110).

В случае члена с двойным коммутатором ситуация оказывается еще проще. Здесь интегралом

2 j dssdu е2 j 笥卜[П, [П, ехр{—is%* 3)川и(15.19)

дается основной член выражения (14.97) в том приближении, в котором отбрасываются члены с / и р2. Пользуясь равенством

叫 裔гехр{—优加(硝=т許土exp{Ts屮(u)}, (15.20)

мы для величины (15.19) получаем выражение

Т 券 j 勺 °，岑 ®Р ( —»sm电2)〔И, exp { — Xs "Ц^■施} X

X 2su(1—u)^F.IIexp {―笈丄产苏？}] .(15.21)

В случае когда (П2 + т2) <р = 0, будем иметь

—* f 4~dy I dwu(l —и) Гп； eg歹.П —

Л оL mW：+岑龄

— eqF.n工一.(15.22)

m21t甘号^ J

В итоге мы действительно приходим к тому самому результату, который можно выделить из выражения (14.97) упомянутым выше способом.

Исследование поправок порядка Za мы начнем с рассмотрения ошибок, которые возникают за счет приближений, принятых в формулах (14.99) и (14.119). Сравним (неполное) выражение для энергетического сдвига

胃 i duu(l-u) j 等阪宇 <р*П—口片*Пер, (15.23)

которое получается, если скомбинировать (14.112) с приближенной формой записи интеграла (14.97), и еще более упрощенное выражение (14.118):

^^（屮十呜（In詔曲+告）①（15.24）

Вычислим с этой целью интеграл

(1—u)(n24-W2)(1—u)(n24-W2)寺（屯+們寺（屯+們4絞-i^(m + m2)4絞-i^(m + m2)

(1—u)(n24-W2)

(1—u)(n24-W2)

寺（屯+們

寺（屯+們

4

絞-i^(m + m2)

4

絞-i^(m + m2)

(15.25)(15.25)

(15.25)

(15.25)

ГТ ln-j-Г絞一审(n2 + m2) 罢(n2 + 出)

面岑№手+ 1)= -土 • -1面岑№手+ 1)= -土 • -1(15.26)(15.26)где дифференцирование не распространяется на тп2 в П2 + тп2. Упрощенный вариант получится, если в знаменателе пренебречь величиной П2 + 清 по сравнению с тп2. В этой связи отметим, что

面岑№手+ 1)= -土 • -1

面岑№手+ 1)= -土 • -1

(15.26)

(15.26)

Разность двух величин

f du疝 I0m"+中(1一")(112+m2)f du疝 I0m"+中(1一")(112+m2)гЛ-ь加2гЛ-ь加2加2嗜（叫标）加2嗜（叫标）3］=3］=2&=~m~d^2&=~m~d^1 -1- уi 号(中+呐牛(中+^2)1 -1- уi 号(中+呐牛(中+^2)m2 m2m2 m2献献岑（M+絞）岑（M+絞）(15.27>(15.27>

f du疝 I

0m"+中(1一")(112+m2)

f du疝 I

0m"+中(1一")(112+m2)

гЛ-ь

加2

гЛ-ь

加2

加2

嗜（叫标）

加2

嗜（叫标）

3］=

3］=

2&

=~m~d^

2&

=~m~d^

1 -1- у

i 号(中+呐

牛(中+^2)

1 -1- у

i 号(中+呐

牛(中+^2)

m2 m2

m2 m2

献

献

岑（M+絞）

岑（M+絞）

(15.27>

(15.27>

снова можно записать как

一М备偿' ］m2戸十%\m二,］与(112+叫.0 rn2u -I— (1 — и) (П2 + 硏

(15.28>

Появление двух множителей П2 + тп2 в числителе окончательного выражения означает, что оно явным образом квадратично по полям:

屮*П“(П2 千 7ra2)( )(IF + 7ra2)11M =義24)*歹叫人()^П%(р. (15.29)

Как и для высокоэнергетических эффектов, существенным оказывается только поведение поля ф вблизи начала пространственной системы координат. В соответствии с этим мы заменим функцию Ф (х) величиной

巾=屮(х = 0),(15.30}

что эквивалентно пренебрежению зависимостью этой функции от пространственного импульса. Далее, выражение (15.29) можно переписать в виде

4沟G ［吧Р2( )^［必，月用巾十公2发尸。(一皿)()&0吋=

=-e2广jo( )J^ + ^e^F^()歹血弘 (15.31>

где величину П° мы заменили ее приближенным значением т* Сюда входят

еJ。(х) = 4nZa j -^^ ехр (ip • х),

е尸о* (х) = 4nZa J >^上謬^ ехр (ip-х).''

Кроме того, поскольку П° gm, величина П2 + тп2 в знаменателе выражения (15.28) приближенно равна р2. Получаемый таким

образом энергетический сдвиг равен

X(15.33)X(15.33)16必叫б可扌初审牛)鲁(*一)

X

(15.33)

X

(15.33)

X ( - иг2 7^-) -^- f dud.

'^2 丿 ^ J^ + _H-(1_u)p2

Нужно иметь в виду, однако, что интерес для нас представляет сравнение не с упрощенным выражением (15.24), а с его нерелятивистским пределом (14.119). Разница здесь во временной компоненте скалярного произведения, где П° ^ m + V дает дополнительный вклад

卜書).(15.34)卜書).(15.34)一窜一V 尸Рр2 (in岁+ *)ре =Зп 加2 于 г \ р2 1 12 / r

卜書).(15.34)

卜書).(15.34)

1+d \ 丿1+d \ 丿疗备)3 j dUО疗备)3 j dUОт^иД(1 — и) р2т^иД(1 — и) р2(15.35)(15.35)=_ 16nZ2a31 抨鳥 ^ j 舞• ± (In Заметим теперь, что

1+d \ 丿

1+d \ 丿

疗备)3 j dU

О

疗备)3 j dU

О

т^иД(1 — и) р2

т^иД(1 — и) р2

(15.35)

(15.35)

где нам удобно на время вернуться к явной функции от р2. Вклад последнего слагаемого (15.35) в (15.33) в точности компенсирует 《15.34), а оставшийся член приводит к частичному энергетическому сдвигу

6乃=16*3 ［川2 j毒青*

x ［岑4屐（—必备）金j九 ；1； —-

(15.36)(15.36)от2^Т—尸（1 一 u）p2

(15.36)

(15.36)

、加2丿』加%+牛（4i）pJ

Интеграл по импульсам равен

Г (dp) I= ^ /4 5 37}

а последующее интегрирование по и дает

■黄硏-у牛)Т2(15.38)

как простой частный случай следующих общих соотношений для Г-функции:

，如 м J (1 i)i =累駕,(15.39)

О

л sin ла ' Результат таков:

М=8л^аЗ|ф|2А.у 孑加宇[з(手产一

一"h"^) /2] =(8一提)如a3a12±.(15.40)

В дальнейшем не всегда возможно полностью пренебрегать пространственным импульсом в поле частицы, как это делается в формуле (15.30). В некоторых случаях необходимо учитывать и поведение на малых расстояниях, описываемое формулой (15.2). Теперь мы хотим показать, что последнюю можно рассматривать как первый шаг при решении однородного полевого уравнения

(15.41)(15.41)(р2 + /га?) ф = 2eq./ ф — е2А 2ф

(15.41)

(15.41)

методом итераций исходя из поля 巾(独)=ф ехр (— im^°).(15.42)

При сохранении только линейного по 4 члена первая итерация дает

Ч>=Ф + -р^Х2е^Р'АФ^(15.43)

или, после подстановки необходимого для связанного состояния соотношения между кулоновским полем и зарядом,

$=6+击警九(15.44)

Точнее говоря, наше утверждение состоит в особой интерпретации трехмерной функции Грина, символически представленной

множителем (р2)-1. Эта интерпретация такова:

±/(x) = l^P J 鶴^^^Ч(х')Зх'),(15.45)

где берется главное значение интеграла по Коши. В справедлив вости данного соотношения мы можем убедиться непосредственно (подразумевается Ит Р):

(15.46)(15.46)1 ] — С (dp) exp «р・х| 4冗 — 2 1f dp sin P | x | p2 I x I — ) (2冗田 p2—e2 p2~ — ~ Jx I J р2_&2

(15.46)

(15.46)

о

где последний интеграл можно переписать в виде

m4~ j筝^(空『J*。s零- f _ g1x 卩.(15.47)

Главное значение интеграла вычисляется путем перехода в комплексную плоскость и усреднения результатов, которые отвечают двум контурам, проходящим выше и ниже особой точки. Из четырех контуров, которые связывают точки е и —е, целиком расположенный выше действительной оси дает нуль. Контур же, проходящий ниже действительной оси, удваивает сумму двух других вкладов, соответствующих контурам, которые эффективно охватывает одну особую точку. Итак, мы показали, что выполняется равенство

(15-48)

которое отличается от элементарного обратного утверждения

▼得 |x| + const)=+▼得 |x| + const)=+(15.49)(15.49)

▼得 |x| + const)=+

▼得 |x| + const)=+

(15.49)

(15.49)

в силу специальной интерпретации функции Грина, предотвращающей появление аддативной константы. Тем самым подтверждается, что конструкция (15.43)——(15.45) действительно дает

屮(％)=(4 — 1^L + . . .) О (叫.(15.50)

Рассмотрим теперь ошибки, вносимые заменой I (1) на I (0) или на I (0) + dlld^ |>_0. Поскольку такие остаточные члены относятся исключительно к высокоэнергетическим явлениям, мы прибегнем к элементарному методу —— к разложению по степеням векторного потенциала. Соответственно этому перепишем теперь выражение (15.8) для %х (и) в виде

X% (и)=員(u) + 2Xu (к — Kup).eqA —

—2u (1 — u) p.eqA + [X2ua + u (1 — u)l ^2Ла,(15.51)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 0 | 269 где

寂(м) = (ft — Кир)2 + u (1 — u) р2 + m^u. (15.52) После интегрирования по к главный член в выражении для I (X2), j 轟 ехр { — is菽(“)}=击击 x

X exp { — is [u(l — u)卩2十?н2〃]},(15.53)

перестает зависеть от X, а потому не дает вклада ни в одну из интересующих нас разностей. Линейный по 4 член дается выражением / (九2)4=―川 "^г等 exp {—左"i^ 寂} [2Xu(k—lup^.eqA^

—2w (1 —u) p.eqA] exp | — is ~^~ ^} •(15.54)

При переходе к типичному матричному элементу, отвечающему импульсам р‘ и р* возникают интегралы

J ~^^ехр { - is [ ^- (Л - Хи/?7)2 + ^- (к - Xupw)2] }= =《*备exp {-is*冰与士(р，-р")2}(15.55)

И

j 鹰^ (*~ ** p # 一) exp { -"s [与g一大"尸 +

+ ^^ (" -4“P")2} = 7^5■备入"^ X

X (// — p") exp {—加九2M2，；"(卩，—卩")2} ,(15.56)

вычисление которых основывается на преобразовании

A: —Xu ^- // +丄丁 卩”) — 怎(15.57)

Если принять лоренцевскую калибровку, положив тем самым (pr -^ pf,) А = 0,(15.58)

то последний интеграл не будет давать вклада в формулу (15.54) и для матричного элемента мы получим

—— j ds s du e2I (V)a f i-^ j 等■ du м (1 —m)① +^,也力,(15.59)

где

D^^m^ + uil _以)1^^ (j?” + 7n2)+

+ u(l-u)丄声(产 + TO2) + 炉公上卢(р，_ р，，)2.(15.60)

Если бы величина (15.59) вычислялась в состоянии # с нулевым импульсом, то величина D% не зависела бы от X и никакой вклад в разность по 九 не возникал бы.

Мы должны взять поле (15.43), которое получается в результате одной итерации. Оставив только перекрестные члены между двумя составляющими ф, будем иметь .

-j dss du川屮*/ Юa中 =

=X32nZ2aз I 6 I2 mj j ydy du u(l — u) X

X j w- ■F^r (靑 У 盖，(15-61)

где теперь

。入=т2и2 + [暝1 一 u) ~y~ + X2u2 与P ] p2.(15.62)

Это выражение, или очень близкое ему, имеет два применения. Первое из них относится к среднему слагаемому суммы (14.6), в котором, согласно формулам (15.10) и (15.11), мы должны образовать разности по X, исключив тем самым из I (1) член, линейно зависящий от 入久 Таким образом, возникает комбинация

(15.63)(15.63)(卡寸 d^ 以 1a=0 一D浊,

(15.63)

(15.63)

где、

(15.64)(15.64)Do = m%2 _|_ u (1 — u)丄尹■ p2,

(15.64)

(15.64)

' Dl = mzu?+ ^u - ^-— (w-Цт^^2] p2.

Соответствующий вклад в энергетический сдвиг таков:

(15.65)не пред- главного(15.65)не пред- главного&Е= 128nZ2a3J 步 127n" J 4" duduu (1 —u) х

(15.65)

не пред- главного

(15.65)

не пред- главного

X 14 / J (2门)3 炉-82 /0 ■

При выполнении элементарного интегрирования по р полагается, что (р2 — е2)"1 интерпретируется в смысле значения. Это дает

-&Е= 32Z2a3 国2； J 也炉& j du勺* x о о "

X |"(1 — uw)3^ — (1 — uf[2—4 w (I—从)"Ml —切)】，(15-66)

гдегде!Р=^(4 + и).!Р=^(4 + и).(15.67)(15.67)

где

где

!Р=^(4 + и).

!Р=^(4 + и).

(15.67)

(15.67)

Это выражение можно упростить, выполнив два интегрирования по частям по переменной w:

62e = 3222a3|步|2_^备)dww1^ j duu^mi-^i-uw)-1^. 00

(15.68)

Общее выражение для интеграла такого типа (при % b >0、 с > — 1) дается формулой

门0"("] Г® + с) J、(15.69)门0"("] Г® + с) J、(15.69)11

门0"("] Г® + с) J、

(15.69)

门0"("] Г® + с) J、

(15.69)

J du J d^J^T (1 -m1 =与[督謂 00

Пользуясь этой формулой, получим

&Е =(京 + 备)nZ2a3 " |2 匕.(15.70)

Второе применение выражения (15.61), в родственной ему форме- записи, относится к слагаемому (14.6) с двойным коммутатором. Если не учитывать в выражении для П векторного потейциала, то за счет двойного коммутатора в матричном элементе возникает дополнительный множитель (р‘ —— 歹”尸.При вычислении среднего значения в состоянии ф, где один пространственный импульс равен нулю, а другой 土 р, это приведет к появлению в подынтв' гральном выражении формулы (15.61) дополнительного множителя р2. Остаточный эффект в слагаемом с двойным коммутатором будет точно совпадать с разностью величин, отвечающих значениям X = 1 и X = 0. В результате возникнет комбинация

1 1 м

а энергетический сдвиг, соответствующий этому источнику, будет таким:

6зЕ = — 64nZ2a31 # 127n2 j 1-dy duu{l — u)ii^，工谑 x

X j 儡■善詰16Z2a311n』x

11

X f dw W、E f du [(1 -UW^ — (1 -u)1^].(15.72}

00

Выполнив одно интегрирование по частям, получим выражение

11

/Е= — 16Z2a31 ф |2 ~^ j du;炉％ J duu~^z (1 — u) (1 — mu?)-工/%о0

(15.73)

так что

б3Е = - JiZ2a3闾 2 ； .(15.74)

По поводу первого слагаемого в формуле (14.6) отметим, что при 〃 = 1 величина I (М)« обращается в нуль и аналогичный вклад здесь не возникает.

Нам осталось исследовать члены, которые явным образом квадратичны по Л. Это делать проще, ибо достаточно положить Ф — 6 Тогда выражение с двойным коммутатором [П, [П, 7]] не будет давать никаких вкладов интересующего нас вида. В него входят квадратичные члены •

【“ [р, /厶2】】一 [р,國4 7д]1 — leqA, [р, /А]1,(15.75)

где через I^ обозначена та часть разложения I (V), которая сама квадратична по А. Поскольку теперь мы берем диагональный матричный элемент для состояния с определенным импульсом, первые два коммутатора обратятся в нуль. Третий же коммутатор с учетом тождества Якоби (1-1.22) можно представить в виде

[eqA, Ip, /А1][р, [eqA. 7Л11 — Up, eqA], I^. (15.76)

В лоренцевской калибровке, которой мы сейчас систематически пользуемся, последний из приведенных выше членов также обращается в нуль.

Явное выражение для I (Х2)А2 таково:

/(九2)а2= —s2 j ^^ j ^dvdwwexp {—広Ц^ 必寂} х

X (2九м (k — Kup).eqA — 2м(1 —乂) p.eqA] exp {—is(l ~w)厶} X

X [2Ku (k— Kup).eqA — 2й(1 — w) p.eqA] exp {—话 ^^ 力厶}—Ts j 舞 J g■彰 exp { Ts 宇支} X

X {九2M2+ %(]_%)] е2Л2 exp {—话1^嶽} .{(15.77)

§ 15. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 0 | 273

Нам нужен только диагональный матричный элемент в состоянии ф с импульсом рг (р'° = т, р' = 0). Поэтому интеграл по импульсам в последнем слагаемом формулы (15.77) равен

J 器 ехр {Ts(k-入ир'У}= J 粽ехр {-is^ = ^-L.

(15.78)

В результате последнее слагаемое оказывается линейной функцией 九2 и не дает вклада в интересующую нас разность по 九. Основной интеграл по импульсам в первом слагаемом (15.77) имеет вид [он совпадает с интегралом (15.55), если в последнем произвести замену (1 + р)/2 f w]:

( 7^1 ехp {—— 加8--九观p，)2}ехp {—— 加山)(Л- 入〃p")2} =

=醐肃 exp { - EsMu2s (1 - s) (p‘ 一 p〃)2}.(15.79)

Имеется также интеграл с дополнительным множителем "——%ир\ который, как и в формуле (15.56), дает величину, кратную р‘ 一 р". В лоренцевской калибровке его вклад равен нулю. Кроме того, имеется интеграл с двумя множителями " — Хир'. Выбрав лорен- цевскую калибровку, мы снова добьемся упрощения и приведем интеграл к виду (14.75). Вследствие этого

е2/ (入2)&2 -^i-^ ^ dww ехр (— ism2i^)х

X [4九2M2 ( _木)也力 exp { — is (1 —必)м (1 —辽)(р"2 + 戍)} eqA +

+ 4tz2 {l~u^ pfeqA exp { — Zs(l —必)u(l—u) (p//24-m2)} p'e?4] X

X 0xp{一加入2庐3(]一加)Q/_p")2} .(15.80)

и

e2q)*/ (?^2)A2(p = f8nZ?a31 Ф |2 J 彳 du%^ j (黑:(青)*

X [抗2.+ 27n2M2(]—辽尸]exp( —%Z\),(15.81)

где мы написали

^=^■(1—»,(15.82)

274 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

так что Dx обладает такой же структурой, как и в формуле (15.62). Выполнив интегрировапие по s, получим

—^ ds s due2^*I (М)42屮=

=»8323]加2 j｝彰宁J图(春jх

x[_^-^ + 2 (1 i)2 ( _球盘)用•(15.83)

Требующиеся здесь разности по 入 даются формулами (15.63) и (15.71). В результате имеем следующее выражение для вклада в энергетический сдвиг:

64Е= 32nZ2a31 #阮2 j皆初 号九J 器 х

X[十 J^+2(l_〃)2("2 宁)2(一m急)歳],(15.84)

ИЛИ

5"月=3 抠+ 6:立(15.85)

где

5：£ = 8Z2a31« |2 ； J dw[i — w)歩饱 j du и-"? х оо

X [(1 -"〃产一(1一й)勺(15.86)

и

11

3再=24Z2a31 © 产 ^ j @必(1 一 必)歩a J dw y：厂 X

х[-(1-uw)1/2+ (1 - u)〃2 + ^ U a _ “)-1/2 (I _ „,)]. [(15.87)

Здесь мы сочли более удобным вновь вернуться к переменной % даваемой формулой (15.67). Интегрируя один раз по частям и используя соотношение (15.69), для 3；后 получаем

6：e= 8Z2a31 步 12^ J 协(扌疗/2一｝d/2)J dud/2 a _ 以 劝-1/2 = о0

=(4•一勘必叫今 12M(15.88)

Аналогично для ^Е два интегрирования по частям дают

1

3再=24Z2a3 W 吟j加信疗/2 一亲/2) X0

1

X J 曲L2(li)2(liu;)T2=儔 +勘必2a3国2^..(15.89) 0

Сумма двух этих вкладов равна

3*=(急一勘必2叫加嚓.(15.90)

Осталось рассмотреть первое слагаемое суммы (14.6), которое пока нам ничего еще не дало. Положим в выражении (15.81) 〃 =1:

川屮*/ (九2, %= 1)А2ф =弘JtZ2a3 I 川2 J du X

X J 器偿)2岑ехр(-Ш\),(15.91)

где2

“3=1)=m 十 炉与翼2(15.92)

есть четная функция переменной р. Соответственно этому и переписан интеграл по и, в котором отброшен лвнейпый по этой переменной член. Выполнив по и интегрирование по частям, получим

11

J dv exp (— isD^ = ехр (— ism?)——|» isX2p2 j dv 睥 exp (— isD^. оо

(15.93)

Первое слагаемое правой части приводит к появлению в формуле (15.91) члена, линейного по X2, который не дает вклада в необходимую нам разность по %. В таком случае мы фактически имеем

e2^I (X2, и= 1)А2<р f i2nZ2a31 ^> |2 X

X J 彰"J 覆з$@2)2ехр (一s“)(15.94)

о

и

ОО1

i J必0叫(* 〃=以叫=⑵iZ2a314产J八或j盡击贵(^2)2.

о,о

(15.95)

18*

Функция (X2)2, а такясе ее первая производная по А-2 обращаются в нуль при % = 0. Поэтому искомый вклад в энергетический сдвиг дается выражением

65e= 2^込3|吓 j^J 罂春* =о

=Z2a31 步 F ^ J 而吗1 - 1?2尸/2,(15.96)

о

или

8лЕ=±п^[ф\^.(15.97)

Суммировав полученные пять членов (15.40), (15.70), (15.74), (15.90) и (15.97), будем иметь

6Е=(8-^) 3122aз| 川2^..(15.98)

С учетом эффекта поляризации вакуума [формулы (15.3) и (15.4)] получаем

ЗЕ =告 Z2a31 4 吗[3“Za (1 一接十 ^ 击)].(15.99)

В такой записи мно?китель, заключенный в квадратные скобки, представляет собой поправку порядка Za к аддитивным константам % 2——1/40. Отпосптельпо же величины этого эффекта мы здесь заметим лишь, что большой численный множитель ^Зл примерно совпадает с главным логарифмом основного вклада. Поэтому в хорошем приближении молспо считать, что этот дополнительный сдвиг s-уровней вверх при Z = 1 равен a = 7,3-10-3. Обсуждение точных численных значений мы отложим до аналогичного анализа системы со спином %, которую гораздо проще реализовать экспериментально.

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ, СПИН %，РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ I

Аналогом вакуумной амплитуды (14.2) в случае спина V2 служит величина

e2 J瑞屮营(n二加艺爲7"山屯.(16.1)

Мы воспользуемся представлением вида (14.10):

СО 1

% (П—产,aFfw =_ J "ss J dwexp{Ts%®}, (16.2)о о

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 明.I | 277 где

% (и)==и[(П —左)2—egF + 加2]十([—〃)胪=

=(к—疝尸 + м (1 — и) (П2—eqcF + m2) + u2(m2 — eqcF), (16.3)

Далее произведем преобразование

У (тп—у (Л—Л)) ехр (— is%)也=

=产(тп — (1 — м) yll + у (论一иП)) ехр (— is%)环=

=丫出(тп —(1 — м) 丫口) yu ехр( —Xsx) + y (m —(1 — u) yll) X

X [exp( —isx), 丫①+丫刁佑一“II)exp(—is%)Yn，(16-4)

причем будем записывать

у (m— (1 — и) уП) = (m + (1 —м) 丫口) у + 2 (1 —и) И".(16.5)

Тогда симметризация по левой и правой частям даст нам

уи (тп — у(П—*)) ехр (—is%) 丫出=

=(—4加亠2(1 —м)у11)・ехр( —优幻+(1—从)[ГР, [ехр(—is%), Y』]+

4-g- (?n+ (1 —u) ^П) ум. [exp ( —isx), 丫 j —

一区[exp(-isx),加 y*(m + (4 -%)Y口) +

+ 丫出丫 (fc—ull).exp (—话 ％) 7U.(16.6)

Кроме того, мы будем отбрасывать все появляющиеся слева и справа члены с ylt + т, которые не порождают энергетических сдвигов. Это дает

у (йг—丫 (П —Л)) ехр (—厶у)电-> —2m (1 + м) ехр (— is%) +

+ (1—и)[Пи, [exp(—isx), ?ц]]+у wu^, [exp(—is/), %J] +

+ 屮7("一疝).exp( -is%)%,(16.7)

причем здесь полезно отметить, что

у (А—иП). ехр (—is%) =

=у.((Л: —иП). ехр( —fsx))4—i [иП, [ехр ( — is%), 丫]]・(16.8)

В отсутствие электромагйитного поля при образовании коммутаторов и интегрирований по к сохраняется только первое слагаемое правой части соотношения (16.7). В этом случае

决 J 保* eхp { - i5X 3)} = _ 2 亲 / eхp (一而戍/)ехр( _ 加网，

(16.9)

где

<й?~и(1 —w) (тп2—(уП)2).(16.10)

В итоге мы имеем

—j dss due2 j -^b Tu(m _у(П— *)) exp (— isX) уи*

=—i -^j- ?n j du (1 + w) j -- exp {— is (?n2u2+a^)}f (16.11)

или, после интегрирования по частям по переменной и с отбрасыванием локальных членов (которые обращаются в нуль в случае неперекрывающихся полей ifi и %),

1

農-mJ du (w+yu2) [2m2u+ (1 — 2u) (m2— (yll)2)] x о

OO1

XXX J ds exp { — is (m2u2+(Й?)} -> — i -^- m^ du ^u+yu2j оо

X

X

部鳥（?口+叽部鳥（?口+叽(16.12)(16.12)Г 2m2〃丄(I —2") (m2 — (уП)2)

部鳥（?口+叽

部鳥（?口+叽

(16.12)

(16.12)

L 加也2 十"(1 一")(M —(yй)2)

В последнее выражение включены контактные члены, необходимые для того, чтобы удовлетворялось условие нормировки; назначение их — ввести сомножитель (^П + 加)汽 Применительно к полям частиц, подчиняющимся уравнению (丫口 + m)中=0, это выражение всегда обращается в нуль. Интерес для нас представляют только члены, явно зависящие от поля.

В качестве первого примера рассмотрим случай слабого однородного электромагнитного поля. В этом случае на интегрировании exp (—is %) по " не сказывается некоммутативность компонент П, поскольку из-за нее может возникнуть только комбинация [Пи, IIV1 尸卩I которая квадратична по полю. Модифицируя (16.9), необходимо учесть лишь спиновый член:

外 J ^^ exp ( — is%) к

=—i (a/4ns2) exp (— isrn^u^) exp (— isSB) (1 + tsWeqGF), (16.13)

где мы оставили только два первых члена разложепия соответствующей экспоненты. Вектор, получаемый при интегрировании (左——иП)ц. ехр (——広％) но kt должен быть пропорциональным F^'TIv (эти элементарные замечания подтверждаются, конечно, и результатами явного интегрирования). Но

(16.14)(16.14)Уд/"1^ = V2 i [о尸，yll + m],

(16.14)

(16.14)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 弘•工 | 279 а эта комбинация не дает вклада в энергетические сдвиги. Кроме того, в случае однородного поля члены в формулах (16.7) и (16.8), содержащие коммутаторы с П, обращаются в нуль. Замечая, что у 屮,[6, Y|J] = y^F^+^F = 4叫(16.15)

и применяя это равенство к полному спиновому члену

鸵一便 equF — u (1 — u) (П + m2) — uequF,(16.16)

мы после подстановки <й? f 0 получим следующие два вклада в импульсный интеграл (16.7), зависящие от поля:

ё2 j -^-评 W- Y (h一用)exp ( - is%) Yuf

->^ 子 ％2(] + %)^p (—笈/n2M2)equF +

+ * ?饋 exp (— isir^it?) eqGF =

=言"? "2(1 — u) exp (— ts/n2M2)equF.(16.17)

В таком случае интегралы по параметрам, фигурирующие в формуле (16.11), дадут

280 I ГЛАВА 4. 0 ЛЁ KTF О ДИНАМИК А I

воспроизводит* выражение (16.9), отвечающее нулевому электро^ магнитному полю. Что касается первого слагаемого в правой Части соотношения (16.7) с контактными добавками, указанными в формуле (16.12), то оно не дает никаких вкладов в энергетические сдвиги. Первая производная по %2 отличается от случая нулевого спина только тем, что теперь появляется спиновый член с коэффициентом %2. Таким образом, на оснований формулы (15.17) мы заключаем, что

需=优饋 j 晋患【2 J ^dvdww^{~im^-w^y.

X exp { — isxx (1 — и^)} П exp {—左"-^^•步}—

—4" j d^exp { —is""^^} (JP—eqoF) exp { 一力炉％^^}]

(16.23) И

外需Lo ±舒? exp (一加标喲[2 j 4■初加s X

X exp { —isSB 4 j~?‘叫 II：exp{ —is曲(1 — w)} x

X П exp { —isSS —y— ^} — J у dv exp {—话務 ^^-| X

X (IP—egof)exp { —isSB〔0 }]•(16.24)

Если это выражение прямо умножить на поля, подчиняющиеся уравнению (уП + тп) \|э — 0, то оно сведется к величине

舒斗■exp(Tsn風 2)х

x[egP+2 j duwП{exp [ — is<^ (1 —必)]—】}「] (16.25) о

и мы получим

— j dssdu( —2тп) (1 + u) б2-^-

g1_2л тg1_2л т(16.26)(16.26)

g1_

2л т

g1_

2л т

(16.26)

(16.26)

где произвели замену параметра w:

(16.27)(16.27)〃=}(4у)・

(16.27)

(16.27)

Обратимся, далее, к коммутатору ехр ( —— is%) с у:【ехр( —»£%),?] =

0 一拉 J "I•而 eхp {-左х丄尹} \ -ueqGF, y] exp {-左%与'}= =—2izs J — dvexp { —^X^4^}也尸Yexp {—左％ ^士}，(16.28)

где

俨m=严(16.29)

Аналогичная величина получится и при подстановке в правукх часть равенства (16.28) величины %% вместо *・ При 九=0 будем иметь

[ехр ( — is%), у]。= — 2〃s ехр (— isk^) ехр (— isn^u?) X

X J у dv ёхр {—话兆工扌"} eqFy Охр {—话鸵-^-^-J (16.30)

决 j ■^■[exp( —is%), Yb =

■^? exp ( — isTn^u?) j ydvexp { —is掷 ^P- } X

X eqFyexp { — is战，丁 } •(16.3分

Отсюда мн приходим к следующей приведенной форме (能 ф = 0) для выражения с двойным коммутатором, содержащим П:

—j dssdu(i—u)е2 j 超* [И, [ехр( —优%),山]=

=—»"2л~ I *2* 曲 dk и (1 —и) X

х4-х4-(16.32)(16.32)4一^4

х4-

х4-

(16.32)

(16.32)

Пj-：eqFy - eqFy ^^П

B1/2 + 1■;战＞m2u2^1+jL^

Отметим, что имеет место равенство

；匆尸? = [Y口 + б，n],；匆尸? = [Y口 + б，n],(16.33)(16.33)

；匆尸? = [Y口 + б，n],

；匆尸? = [Y口 + б，n],

(16.33)

(16.33)

которое позволяет нам заменить выражение (16.32) эквивалент

ным ему выражением

^dvduu (1 — м) П丫卩扌}П.^dvduu (1 — м) П丫卩扌}П.(16.34)(16.34)

^dvduu (1 — м) П丫卩扌}П.

^dvduu (1 — м) П丫卩扌}П.

(16.34)

(16.34)

Дроби с одинаковыми знаменателями, входящие в формулы

и (16.34), различаются тем, что в числителе первой из

них стоит дифференциальный оператор Дирака второго порядка, а в числителе второй ——такой же оператор первого порядка. В силу равенства

гп? — (丫口尸=27n(丫口 + ?n) — (уП + т)2(16.35)

соотношение между ними таково:

m2ut+l+!L^!>m2ut+l+!L^!>言后;^辻声F.言后;^辻声F.(16.36)(16.36)

m2ut+l+!L^!>

m2ut+l+!L^!>

言后;^辻声F.

言后;^辻声F.

(16.36)

(16.36)

Итак, для первых двух слагаемых в формуле (16.7) мы указали те выражения, которые в соответствии со случаем спина 0 дают правильные пизкоэнергетические характеристики системы, находящейся в связанном состоянии. На остальных слагаемых не сказываются пизкоэнергетические закономерности. Мы покажем это, проведя расчет в случае слабых медленно меняющихся полей. Оп уже был выполнен для третьего слагаемого формулы (16.7), содержащего двойной коммутатор с у, причем соответствующий результат таков:

—J dssdu^mue2 J ^^- [у, [ехр (— isx), YU « * -^--^ aF, (16-37)

Отметим, между прочим, что опять мы имеем два вклада в магнитный момент, которые даются формулами (16.26) и (16.37). Рассмотрим теперь последнее слагаемое в выражении (16.7), а также его разложение (16.8). Начнем со второй части этого разложения и воспользуемся равенством (10.31) вместе с вытекающим из него следствием для слабого поля：

& J晋常限【ехр ( — is%),傾->

f i -^ у exp (— ism2n^) (HeqFy—e?歹丫口).(16.38)

В результате получим

-j dssdu^ue^^ "^■Yh口，[eхp(-%力, Y向7产一啧寻门也尸外(16.39)

Анализ члена с (А —иП). ехр (— tsy) основывается на тождестве

粽_^ехр(-^ =粽_^ехр(-^ =

粽_^ехр(-^ =

粽_^ехр(-^ =

=-2厶\罂^ j ^duexp{ —ls%"i^}(“一иП)ехр{-%%~Ц^}・

(16.40)

Интегрируя по частям по переменной v, будем иметь

(16.41)(16.41)■|"duехр {—笈%号之} (&—гЛ)ехр {—^写已

(16.41)

(16.41)

1

= ("—〃П)・ехр (—左%)—Zsii I ^-dvyv хХехр {—is%"^"} [х，П]ехр {—优％^^},

откуда вытекает, что, имея в виду последующее интегрирование по 瓦 можно произвести подстановку

(“一мН). ехр ( —isx) f

-> is"J$du^uexp{ —is%-^"} [%, ГЦ exp { — is%^^} . (16.42)

Поскольку коммутатор 区 П] уже линеен по полю, в приближении слабого поля

Y • (® — 〃П). ехр (—笈％))内

« tsu J ^du^uexp { —is%^^"} y. [%, П]exp { —is%!^},

(16.43) где

?• [%, П] = [х> ?П] —[x，出.「= [%, у]. ("—!!) =

——2竝(归一П). eqF、.(16.44)

На предпоследнем этапе используется тот факт, что оператор %, который строится из у (П — Л), коммутирует с этим последним оператором. Отметим здесь, что

—2i H.eg尸？ = [уП + т, П2] = [丫口 + ?n, egoF], ；(16.45)

а следовательно, этот член выпадает. Интеграл по к от оставшегося выражения может быть взят путем ^-преобразования. При

284 I Глава 4. электродинамика i

этом возникает интеграл

j，黑- exp {-左/-^^} "- exp(-£u/?g) exp {一抬/]，} +f 卫* 鳥 4■"叩 exp{ls"21^j)2}'(16.46)

что в случае медленно меняющихся полей дает

Q j ^~ Y"Y •- "И). exp(-isx)) 丫产

=聂 ¥ exp (— is成吩 J ^. dvv2 ^,(П, eqFy],(16.47)

так что

—J ds s 3 j 晋崇叫.(("_ “И). exp(-isX)) 丫尸

=啸青 j 4""勿2 j 而二 口 е"?]=

-1 о

=•篇煮^以匆Ь仆•(16・48)

Собрав вместе все эти вклады, мы получим оператор, стоящий между — »屮1丫° и 屮2, который, будучи добавкой к уП + тп, может быть назван поправкой к массовому оператору. Он равен

一券券S +羲 j у dy du u (1 — u) [1 + p2 — u(l — у2)] П一券券S +羲 j у dy du u (1 — u) [1 + p2 — u(l — у2)] ПyU+ myU+ m加2谑Т加2谑Т1 + ”1 + ”露+露++4^in(vn+^)n++亲;居曲(1~2)m""吟呐河+皐^仆(16・49)Второе слагаемое можно для удобства частично преобразовать^ пользуясь цепочкой равенств+4^in(vn+^)n++亲;居曲(1~2)m""吟呐河+皐^仆(16・49)Второе слагаемое можно для удобства частично преобразовать^ пользуясь цепочкой равенств便口便口4-^П(уП + 7п)П4-^П(уП + 7п)ПуПЦ- zn1 1 +руПЦ- zn1 1 +р(уН+ т) /(уН+ т) /m2u2 + l+L^m2u2 + l+L^п=п="叩砂一热…）手方;^言』加"叩砂一热…）手方;^言』加(16.50)(16.50)

一券券S +

羲 j у dy du u (1 — u) [1 + p2 — u(l — у2)] П

一券券S +

羲 j у dy du u (1 — u) [1 + p2 — u(l — у2)] П

yU+ m

yU+ m

加2谑Т

加2谑Т

1 + ”

1 + ”

露+

露+

+4^in(vn+^)n+

+亲;居曲(1~2)m""吟呐河+皐^仆(16・49)

Второе слагаемое можно для удобства частично преобразовать^ пользуясь цепочкой равенств

+4^in(vn+^)n+

+亲;居曲(1~2)m""吟呐河+皐^仆(16・49)

Второе слагаемое можно для удобства частично преобразовать^ пользуясь цепочкой равенств

便口

便口

4

-^П(уП + 7п)П

4

-^П(уП + 7п)П

уПЦ- zn

1 1 +р

уПЦ- zn

1 1 +р

(уН+ т) /

(уН+ т) /

m2u2 + l+L^

m2u2 + l+L^

п=

п=

"叩砂一热…）手方;^言』加

"叩砂一热…）手方;^言』加

(16.50)

(16.50)

В результате выражение (16.49) принимает вид

+聂春"（ Y" +加）" +

+ 含^ j ｝而(li2)duu(l-喲ё2尸?[尸? +

+ 景 $ f 4■出(I + S - "2) """ (I -"产 e^一ь?

(16.51)

Последние два слагаемых явным образом квадратичны по полю. Если отбросить их и взять интеграл по и во втором слагаемом приближеппо, так же как и в формуле (14.99), то мы получим

一告■■察+2(16.52)

2л 2m 1 Зл тл '1 1 丿、М —(丫口尸 1 24 /'/

где изменение аддитивной константы по сравнению с ее значением 1/12 для спина 0 обусловлено целиком третьим слагаемым выражения (16.51):

(16.53)(16.53)1.3111

(16.53)

(16.53)

12+УТ = 24 *

Исследование нерелятивистского предела выражения (16.52) можно несколько упростить, если вновь ввести коммутатор (16.33), после чего будем иметь

П(тП + ?п) (in m2_(yn)2 十亥)П =

=П (in + 4т-) 4- eqF、\ 齡一(Y口)2 1 24 / t x r

弋p•(1П"^■+翡)[匕p] Y°一?(ln^TF +翡)u，Y・P]

q р・(Н-Е) (1п^翡)p.(16.54)

На последних этапах мы использовали нерелятивистское приближение, перейдя к состояниям, для которых у°‘ = + 4. Отметим, что в противоположность случаю нулевого спина член, явно квадратичный по полю; теперь исчезает в нерелятивистском пределе, в том смысле, что он не будет давать вклада в поправку

порядка Za. Это обусловлено тем, что состояния с противоположными значениями у° связывает только у. Установив верелятивист- ские формулы (16.52) и (16.54), мы пришли тем самым путем некоей единообразной процедуры к главной части энергетического сдвига, в которой эффективный верхний предел энергии фотона определяется, как и в выражении (11.52), уравнением

1口K = 1口 母 7n十芸. (16.55)

И на этот раз аддитивную копстапту следует изменить, если учитывать явно эффект поляризации вакуума:

(16.56)(16.56)И 111

(16.56)

(16.56)

2424—Тв

Теперь мы должны найти поправку порядка Za к этому известному результату. Установим сначала ошибки, которые вносятся переходом от (16.51) к (16.52). Следуя do пути, проложенному при анализе нулевого спина, мы иолу耳нм следующею поправку ко второму слагаемому формулы (16.51):

"e = W屮券J ^如(1 +鸣名32/ ( f 2搐)青x -1

X j du :一叩月?w，(16.57)

0m2u + -^(1-U)(П2+т2)

куда достаточно подставить значение поля в начале координат 2 (0) с у0/ = + 1. В соответствии с этим

歹丫(加—丫口)尸Y -> 歹AoY°m (1 + 們厶oY°,(16.58)

так как ни у・р, ни временная комповепта произведения не дают вклада:

尸。飙 m(i + у0) %" f 0.(16.59)

В результате получаем

1

6扭=16絃①3|屮(0)产mj ^切(1+吟宇(一加2謚);*

0m2M4广 仕一u)pa

11

=6Z2* I 屮(0)产 $ J ^ 如(1 + 睥)(^^ )‘" j du "」/2 (1 - u)-^t n

-1о

=(5 + 备)如№ I 屮(0)卩皆.(16.60)

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН V,. I | 287 Последнее слагаемое в выражении (16.51) также содержит комбинацию (16.58) и приводит к энергетическому сдвигу

6招=16m2(?1屮(0)12^ j ^аи(1-u2)1^ J du(l-U)2X -1о

X f 1=

J (2 力 P 济“+扌(]_“)pa

= 4Z2a3| + (0)|2$ J 4"d”(l —哨(^4^)"'J 如宀3(1_"产=-iо

=^絃2句屮(0) 12M.(16.61)

Предпоследнее же слагаемое выражения (16.51) содержит произведение (с несущестгенным множителем)

尸У 尸 Y = FhoyОFkoye -尸 0*喂ь0泮".(16.62)

Так как

—Yh・Yi = Shb(16.63)

второй член здесь фактически равен удвоенному первому. Это слагаемое дает 11

63£' = 8nZ2a3|il>(0)|2-i- J ydv(l-p2) j du(l-u2)x -1о

乂 Г 皿 J1

J(2F评絞“+手(]一“)p一

=2Ta31屮(0)?土 «阪(I〜2)(手尸Г-1

X j du 〃-% (1 — м)“2 (( + м)=告 nZ2a31 屮(0) |2 ~^. (16.64) о

Сумма трех указанных вкладов такова:

&Е = & + 强 + 63) Е = (7 + 農)nZ2a31 屮(0)产备.(16.65) Следующий набор поправок связан с ошибками, возпикающи- ми при заменах I (1) на I (0) + dl/dK2 |^0. Как и в случае нулевого спина, провезем разложение по степеням векторного потенциала. Запишем поэтому функцию %入(и), определяемую форму.

лой (16.20), в виде

%х (u) — g* (u) + 2Xu (к — Xup).eqA — 2м (4 — м) p.eqA —

—[u (1 — u) + 九也2] equF + 山(1 — u) + ^2u 21 e242, (16.66) где g* (u) имеет тот же смысл, что и в формуле (15.52), Линейный член в разложении I (X2) равен [ср. с формулой (15,54)1

I(^2)а = — is J 7^*•岑ехр { —is峙％} X

X [2Xu (к — ^up)»eqA — 2u(l—м) p.eqA —

— (м(1 — u) + X2w2) eqaF] exp {—笈 1导"‘寂}.(16.67)

Поскольку его отличие от соответствующего выражения для нулевого спина выступает в совершенно отчетливой форме, мы можем сразу же выписать аналог матричного элемента (15.59), но с учетом того, что применительно к первому слагаемому (16.7) требуется ввести дополнительный множитель 1 +и:

—j ds s d〃(1 + м) e2I (入2)厶=

券 J ^ du d〃 (1 + u)券 J ^ du d〃 (1 + u)u (4 — u) (p‘ 4~p") eg4+ fu (1 — u) + X2u2] eaaFu (4 — u) (p‘ 4~p") eg4+ fu (1 — u) + X2u2] eaaF(16.68)(16.68)

券 J ^ du d〃 (1 + u)

券 J ^ du d〃 (1 + u)

u (4 — u) (p‘ 4~p") eg4+ fu (1 — u) + X2u2] eaaF

u (4 — u) (p‘ 4~p") eg4+ fu (1 — u) + X2u2] eaaF

(16.68)

(16.68)

Если вычислять это выражение в состоянии 屮(0), то результатом будет линейная функция переменной X2, которая дает нуль для интересующей нас здесь разности по 九.Как и в случае спина 0, следует рассматривать итерированное поле.

Исходя из квадрированного уравнения Дирака

(П2 — eqaF + т2)屮=0,(16.69)

мм в качестве аналога выражения (15.43) получим

屮=屮(0) + ^^ (2egp.4 + ед。尸)屮(0)(16.70)

И

^*Т° = 2 (0)*+ 2 (0)* (2едр .4 + ego尸)工^^ ,(16.71)

где мз учли, что 屮(0) описывает состояние с нулевым пространственным импульсом и с определенной четностью у" = + 1. По аналогии с (15.61) это дает

/ — j dssdu(l + u) е24)*у°/ (Х2)А 屮=

—力8冗22仪3 I 2 (0) |2 j 2. dp du (I + u) x

x居(靑广——+ 5, (16.72)

так как в состоянии 屮(0)^kFQ^lFо/ —> 一 FokFofe.так как в состоянии 屮(0)^kFQ^lFо/ —> 一 FokFofe.(16.73)(16.73)Образовав нужную нам разность по X, мы придем к следующему вкладу в энергетический сдвиг:Образовав нужную нам разность по X, мы придем к следующему вкладу в энергетический сдвиг:6也=@+6：+3；）及6也=@+6：+3；）及(16.74)(16.74)гдеb；E = 64jxZ2a* I 屮(0) |2 m3 J у dv du(l +辽)u(l —и)(饋'工？?『Xгдеb；E = 64jxZ2a* I 屮(0) |2 m3 J у dv du(l +辽)u(l —и)(饋'工？?『X3；E = 16nZ2a3 j тр (0) I2 m j -— dv du (1 + m) u33；E = 16nZ2a3 j тр (0) I2 m j -— dv du (1 + m) u3I—讲 f (dp) 11(16.75)I—讲 f (dp) 11(16.75)и6：石=—16冗窃々31 屮(0)127n j } d。du (1 + м) м (1 — и)便，工"2- Xи6：石=—16冗窃々31 屮(0)127n j } d。du (1 + м) м (1 — и)便，工"2- X(16.76)(16.76)При таком разбиении использовано соотношение 優上戶Р2 = 2-А*При таком разбиении использовано соотношение 優上戶Р2 = 2-А*(16.77)(16.77)Вклад 6：Е отличается от аналогичного выражения (15.65) для спина 0 только дополнительным множителем 1 + и, В частности, все коэффициенты совпадают, так какВклад 6：Е отличается от аналогичного выражения (15.65) для спина 0 только дополнительным множителем 1 + и, В частности, все коэффициенты совпадают, так какI 屮(0) У = 2m I 少 I2.I 屮(0) У = 2m I 少 I2.(16.78)(16.78)

так как в состоянии 屮(0)

^kFQ^lFо/ —> 一 FokFofe.

так как в состоянии 屮(0)

^kFQ^lFо/ —> 一 FokFofe.

(16.73)

(16.73)

Образовав нужную нам разность по X, мы придем к следующему вкладу в энергетический сдвиг:

Образовав нужную нам разность по X, мы придем к следующему вкладу в энергетический сдвиг:

6也=@+6：+3；）及

6也=@+6：+3；）及

(16.74)

(16.74)

где

b；E = 64jxZ2a* I 屮(0) |2 m3 J у dv du(l +辽)u(l —и)(饋'工？?『X

где

b；E = 64jxZ2a* I 屮(0) |2 m3 J у dv du(l +辽)u(l —и)(饋'工？?『X

3；E = 16nZ2a3 j тр (0) I2 m j -— dv du (1 + m) u3

3；E = 16nZ2a3 j тр (0) I2 m j -— dv du (1 + m) u3

I—讲 f (dp) 11

(16.75)

I—讲 f (dp) 11

(16.75)

и

6：石=—16冗窃々31 屮(0)127n j } d。du (1 + м) м (1 — и)便，工"2- X

и

6：石=—16冗窃々31 屮(0)127n j } d。du (1 + м) м (1 — и)便，工"2- X

(16.76)

(16.76)

При таком разбиении использовано соотношение 優上戶Р2 = 2-А*

При таком разбиении использовано соотношение 優上戶Р2 = 2-А*

(16.77)

(16.77)

Вклад 6：Е отличается от аналогичного выражения (15.65) для спина 0 только дополнительным множителем 1 + и, В частности, все коэффициенты совпадают, так как

Вклад 6：Е отличается от аналогичного выражения (15.65) для спина 0 только дополнительным множителем 1 + и, В частности, все коэффициенты совпадают, так как

I 屮(0) У = 2m I 少 I2.

I 屮(0) У = 2m I 少 I2.

(16.78)

(16.78)

Поэтому соответствующая модификация выражения (15.68) дает11

6；Е = 16Z2a3 丨屮(0)卩 % 备 f 协炉/2 j du「/2(1 — u2) (1 — шт)"/?=о0

=（最+备）必叫叭0）12m.=（最+备）必叫叭0）12m.(16.79)(16.79)

=（最+备）必叫叭0）12m.

=（最+备）必叫叭0）12m.

(16.79)

(16.79)

Интеграл по импульсам, входящий в 6圈 нам также уже встречался в формуле (15.72). Изменив должным образом численный множитель и зависимость (15.73) от и, получим

11

6；Е = 4ZV 2 (0) J $ _| j 加讲/2 j du u-i/2 (I 十 u) (I - uw)~1/2 =

00

=/必2a3|中(0)|20.=/必2a3|中(0)|20.(16.80)(16.80)

=/必2a3|中(0)|20.

=/必2a3|中(0)|20.

(16.80)

(16.80)

290 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

Выполнив в третьем члене интегрирование по импульсам, будем иметь

6；E=-2Z2a3W(0)|2』j^ 彰写"手广 х

1

X J du{l+u) U-V2 (1 _ u)1^ = - у nZ2a31 ^ (0) |2 ^-. (16.81) 0

Складывая три этих вклада, получаем

6*=隐+备)必a3|2(0)]2±.(16.82)

С первым слагаемым в формуле (16.7) мы покончим, рассмотрев ту часть величины I (X2), которая явным образом квадратична по потенциалу. Обратимся к результату (15.80), полученному для нулевого спина, и введем дополнительный спиновый член:

еЧ (九 2)舒=i 差 ^ dww exp (— ism2u2) ^ 4Mu^( — *) e?4 x

X exp { — is(l —投)％(1 — 〃)(pff2 + m2)} e?4 +

十[2u (1 — u) pfeqA + (u (1 — u)十 X2u2) eqaF] x

X exp{ -is(l — ip) m(1 -乂)(Р"2 + ^2)} *

X 12M (1 — u) pfeqA + (a (1 — u) + X2u2) eq^F] j x

X exp{ —isX2u2ip(1 — w) (// — P”)2}・(16.83)

Тогда мы в качестве аналога выражения (15.81) получим

е?屮** (也2W = i&iZ2a3g(0)E j ^.宁 j 器修 у*

X [隱"^ + 27n2M2 (1 —u)2— _^ (% (1 —u) + M〃2)2 p2^ exp ( — isDQ.

(16.84)

Проводя так же, как и в формуле (15.83), но с дополнительным множителем 1 + и, интегрирование по s, затем получаем

—j ds s du (1 + u)川屮*?。/ (Х2)лг1|)=

=讼位2心 I 屮(0) |2 j ^ dv 写^ 如(1 + m) Xxj>"(*)2[-”冰去十 2(1 一吟(f 展)击一

-^(1-叶大2炉罟(一m2謚)*]。(16.85)

Переход в этом члене к разности по 入 осуществляется путем подстановок

炉 1£_ 以f爾，A炉 1£_ 以f爾，A°оА°оА

炉 1£_ 以f爾，A

炉 1£_ 以f爾，A

°оА

°оА

(16.86)(16.86)111 I 4r 一 \4 r /

(16.86)

(16.86)

方？f方「石十帰 = 鹤

которые проводились и в формуле (15.84), а кроме того, путем подстановки

1 —

(16.87)(16.87)(1 - “+九2“)2 U 1 —U2 I 仕一"产谑一-p?瓦F—-W十羽

(16.87)

(16.87)

Из соответствующего энергетического сдвига 65Е мы выделим две части, простым образом связанные с выражениями, отвечающими нулевому спину：

6；Е = 16nZ2a312 (0) J 加 j у dv - ~— d〃 (1 + a) u& 丄不 义

6；Е = 32nZ2a3 |1|5(О)|2тп j ~ dv^- du (1 + «)(1-u)2 x

X (冰与92 ( f 2譌)J 毒•表，(16.88)

и третий член, происхождение которого связано непосредственно с наличием спина:

5:总=-8就2心|屮（0）|2^ j ^而与2九a+u）义5:总=-8就2心|屮（0）|2^ j ^而与2九a+u）义

5:总=-8就2心|屮（0）|2^ j ^而与2九a+u）义

5:总=-8就2心|屮（0）|2^ j ^而与2九a+u）义

(16.89)

Пользуясь выражением (15.88), получим1

6/ = 4Z2a31 中(0)|2$j 也(£炉/2_"!m2)хо

1

X J ^^/2(14-m)(1-^)-1/2,(16.90)

292 I ГЛАВА % ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

а выражение (15.89) дает

駿=12z2叫2(0)产$ j%(亲炉/2一专炉/2)X

X j du u~1/a (1 + u) (1 — u)2 (1 — uw)"3/2.(16.91)

Эти интегралы представляют собой частный случай общего соотношения (15.69), отвечающий равенству а = Ь:

J d" j div ua-1旣一1((——й慶尸一1 =鼻黒:,)伸(а + e)一"(a)]■(16.92) i。 о

Для наших целей достаточно знать, что функция

叭z)含 lnr(z)

(16.93)

обладает свойством

屮(Z)=屮(Z — 1)十-7ZT" 9 '

(16.94)

вытекающим из равенства

F (z) = & —今 Г (z — 1),

(16.95)

и что для нее

?(1)-^(|) = 21п2.

(16.96)

Последнее соотношение есть частный случай (когда п = 2, формулы

z = %)

п-1

碎(滋)-2 中(z+^) =%ln% h=0

(16.97)

которая вытекает из следующего свойства мультипликативности Г-функпди:

—竺12nт,

Г (hz) = (2л) 271n2 万nr(z+v)- (16.98)

fe=0

Таким образом,

蹈=(in 2-碧"z^ I 屮(0) |2 A-(16.99)

И

6；Е=(2+搐一击一31n2)如*件(о)|2$. (i6.ioo)

Обратимся теперь к спиновому члену 5：Е・ Выполнив в нем интегрирование по импульсам, получим

1

6” = Z2a31 2(0)产金[j 出(加/2_叫 x О

о

— J du; 0-1/2 (I— a) j duu^^ — u^^l+u) — 00

11

—^ J dw ^"^(l — ip)2 f d«〃_i/2(] —〃)“2(] +〃)] ,(16.101)

оb

где в первом и третьем слагаемых уже проведено интегрирование по частям по переменной w. Вычислив все эти интегралы, получим

6；Е = (1 + 書—2 In 2) nZ2a31 屮(0)产 $,(16.102)

так что сумма трех членов оказывается равной

6抠=得 + ^■-亲一4 In 2 )吻沁31 叫(0) |2 5 •(16.103)

Полный вклад первого слагаемого в выражении (16.7) выглядит следующим образом:

传4 + 65)=信 + 等 + 备 一 4 In 2 )必沁31 中(0) 12 %.(16.104)

При анализе второго слагаемого (16.7) будем исходить из равенства

[ехр( —Г5%), тк =

^= — 2u5 j ~dvехр {—话及峙■匕} eqFy exp { — rsXx i~v | (16.105)

и заметим, как в случае нулевого спина, что при вычислении дополнительного коммутатора с р, входящего в П = р ——eg4, достаточно учесть только члены, линейные по 尸.Что же касается дополнительного коммутатора с 4, то единственная компонента Л° отбирает комбинацию FGkyk, матричный элемент которой в состоянии 屮(0) с У = + 1 равен нулю. В таком случае мы получаем

г[П, [ехр( —isX),吐]=

= 2us J у dvexp {—左寂^^} e^JexP { — ^-Ц1^}(16.106)

и, имея в виду переход к матричному элементу,

«2 j 晋泰 ИП,［ехр (— isX), 丫］灯=—«2 j 晋泰 ИП,［ехр (— isX), 丫］灯=—1■^7 j 4■而 egyj exp (— isDQ,(16.107)1■^7 j 4■而 egyj exp (— isDQ,(16.107)

«2 j 晋泰 ИП,［ехр (— isX), 丫］灯=—

«2 j 晋泰 ИП,［ехр (— isX), 丫］灯=—

1

■^7 j 4■而 egyj exp (— isDQ,

(16.107)

1

■^7 j 4■而 egyj exp (— isDQ,

(16.107)

откуда следует, что,

-e2 j dssdu(l-u) j "^^屮*?" ［口，［exp(-法X), ?h］屮=

=输~ j -dvduu(l - u) ^*?0-^-屮.(16.108)

Чтобы получить интересующий нас энергетический сдвиг, достаточно образовать одну-единственную разность по %:

6招=券 j ^而九"(1 -")^*y°eqyJ (去一击)屮=

=—32nZ2a31 ip (0) |2 тп j ^- dy duu (1 — и) и2 ^工叫 х

xj^^+т^-。(16.109)

Сравнение этого выражения с его аналогом (15.72) при учете обычного соответствия

27nl 巾 |2 = I 屮⑼口(16.110)

показывает, что они совпадают, а, следовательно,

6/ = -^eZ2a3| 屮(0)|2±・(16.111)

Рассмотрим теперь третье слагаемое в выражении (16.7). И здесь, и в четвертом слагаемом мы будем применять прямое разложение по степеням Л, из которого следует исключить первые члены, даваемые здесь формулой (16.37), а в четвертом слагаемом — формулами (16.39) и (16.48). Взяв линейный член выражения (16.68) при ^ = 1, получим

—j ds s du ^ m〃e2/A =

“(£_”)做幺七竺竺.(16.112) 8n J 2%' 丿

После образования коммутатора с у останется только спиновый член, причем, согласно равенству (16.15),

［т, ［nF, yll = 8N.(16.113)

В результате для соответствующего энергетического сдвига будем иметь

67^=—*тп J -i dv du ^*y°eq(yF (-^■—生目屮，(16.114)

где мы вычли комбинацию (16.37) (умножив ее на г, чтобы выделить энергетический сдвиг). Вычисляя матричный элемент, получаем

так чтотак что67£ = — 32nZ2a31 ip (0) |2 -^ ^dwduuw^ — uw-) J "^•靑齐=67£ = — 32nZ2a31 ip (0) |2 -^ ^dwduuw^ — uw-) J "^•靑齐=-8Z2a3-8Z2a337£=-3必2a31屮(0)12鳥.37£=-3必2a31屮(0)12鳥.(16.115)(16.116)(16.115)(16.116)

так что

так что

67£ = — 32nZ2a31 ip (0) |2 -^ ^dwduuw^ — uw-) J "^•靑齐=

67£ = — 32nZ2a31 ip (0) |2 -^ ^dwduuw^ — uw-) J "^•靑齐=

-8Z2a3

-8Z2a3

37£=-3必2a31屮(0)12鳥.

37£=-3必2a31屮(0)12鳥.

(16.115)

(16.116)

(16.115)

(16.116)

По поводу квадратичного по Л члена отметим, что после образования коммутатора с у в /Аз останутся только члены вида о歹 и gF ..・ gF, Переписав первый из них с учетом равенства (16.113), мы увидим, что в состоянии 屮(0) с у" = + 1 конечный матричный элемент для о例 = 加°干 равен нулю. В то же время благодаря инвариантности 屮(0) * относительно вращений величина 0俯歹0冗・..о°"歹oz сводится к комбинации —歹°女..• FQk, которая кратна единичной матрице, а значит, коммутирует с ?・

Таким образом, I^ не дает никакого вклада и весь эффект, соответствующий третьему слагаемому выражения (16.7), содержится в величине 67£.

В соотношениях, вывод которых основывается на равенстве (16.106), уже содержится двойной коммутатор с И и ?, входящий в формулу (16.8). Выражение (16.108) модифицируется следующим образом:

一决 j dssdu^u j 晋务 2*旷7也[11, [eхp( -is%),河也屮=

=誥~ j —■ dv du u2^*yQ ^^ 4>,(16.117)

где мы положили X = 1. Вытекающий из него энергетический сдвиг [если исключить из него член, даваемый формулой (16.39)] дается выражением

6抠=詳j 初du饋屮*昨» (击一/r)屮=

=-16nZ2a3|屮(0)吗 j dwduuw(l-uw) j "^"亲詣

(16.118) Поскольку он точно совпадает с 丄/?*^； мы имеем

68£=-|^2^|1I:(0)^.(16.119)

Читателю предоставляется в качестве самостоятельного упражнения убедиться в том, что подстановка (16.42) дает линейный член

у?. ((А—иП). ехр (— zs%))А уц, = su j ^ dvvехр {―試 丄产} X

X [ — 2ueqyF.(加一up) + 2u(l — u) eqyF.p] exp {力或'^"””} *

(16.120)

Здесь возникает также некоторое слагаемое, которое мы опустили. Оно пропорционально комбинации

?%・Е^8/т=押 sYx/'^a%尸 g,(16.121)

которая обращается в нуль в отсутствие магнитного заряда» С учетом импульсного интеграла (15.56) будем иметь

/ j 7^ Y"Y •(3 -疝)• exp (一 泓))А Y"=

=—i^7 J -jduvexp^ — isD^x

X [ —u2veqyF (// — p") + u (1 — 〃) eqyF (/ + p*)l,(16.122)

а затем

— J dssdue2^ 舞卅丫•(侬_"H)・ exp(-湫))ayl =^~ J ^ dvv du и -^— [n^vieqyJ -}-и (i — u) eqyF (pz +p")]・ (16.123) В итоге для энергетического сдвига после необходимого вычитания получаем

6招= 6/+6；Е,(16.124)

где

6抠=一誥 j ^八。吓 duu^feqyJ (贵一鳥)2a6/25) И

6g£=粉 j ^duD j du u2 (1 — uj 2屮*?。sgy"^]+")屮.(16.126) Для первого из этих вкладов имеем (1十2?=2切)

11

5再=16nZ2a31 屮(0) |2^ f dw (2山-I)2 J du冰力(1 — 口勿)义 оо

X J (2冗)3 p2 口 11

=4Z2a31 屮(0)产 $ j 加 j du (2^— I)2 公汽苏片 (1 - ^产.a6.127)

о 0

§ 16. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧДСТИЦ. СПИН V2. I | 297

Поскольку же, как мы сейчас увидим, 6；Е = 0, это дает

6/ = (In 2 —备卜Z2a3 怦(0)产占.(16.128)

Для доказательства равенства 6；Е = 0 достаточно заметить, что

i^yQyF (// + р")屮=4*у° [ур + т, М]屮=

=屮* (0) у0 [едуЛ, gF]屮(0),(16.129)

ибо в состоянии 屮(0) коммутатор

[у0, о叫=2廿(16.130)

имеет нулевой матричный элемент.

Нам осталось рассмотреть квадратичный член, сходный с (16.123). Прежде всего отметим, что векторные потенциалы, добавляемые в (16.120) к импульсам, выпадают, так как в состоянии 屮(0) матрица

yFA = 丫俨。人(16.131)

дает нуль. Вклад дают только линейные члены разложения экспонент ехр {—is% (1 士 d)/2}・ При этом возникают сомножители

—2ueqF. (й—up) + 2и (1 — u) eqF .p + ueqdaF

(16.132) и

2u (k — up).eqA — 2u (I — u) p.eqA — ueqaF.

(16.133)

Сразу же заметим, что появляющиеся здесь спиновые члены могут быть отброшены. Как мы уже видели, имеет место равенство

у. (dob) = 0,(16.134)

которое выполняется тождественно. При перемножении двух спиновых членов нам встретится, например, комбинация

у^.<уРд^Е->ук. (ст0,ст°т) FoldhFom, (16.135)

а, поскольку входящая в нее матрица антикоммутирует с ?°, в состоянии 屮(0) она дает нуль. То же самое справедливо и в случае, когда и尸=0°厶歹0冗 входит один раз, так как y^.eok либо обращается в нуль (при р. = 0), либо, если 卩=厶 содержит трехмерную векторную матрицу [у^, 丫匕],коэффициент при которой должен равняться нулю в инвариантном относительно вращений состоянии 屮(0). Интегрирование по к приводит к дальнейшим упрощениям. Вспоминая анализ выражения (15.77), основывающийся на характерном свойстве лоренцевской калибровки, отметим еще раз, что переопределение переменной интегрирования приводит

298 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I к эффективной подстановке]

(*- и Р'У ) 4丫歹(*-м ^4^-) TKA,Fk, (16.136)

куда входит обращающийся в нуль после интегрирования член с одним множителем к. При интегрировании величины (16.136), пропорциональной yFA = yhFk(iAQ, в состоянии 屮(0) не возникает никакого вклада. Члены с одним сомножителем к в выражении (乃一up).eqA при интегрировании также дают нуль. Нетривиальные члены, возникающие при двукратном перемножении, можно переписать так:

丫卩『((/Ь—гШ). ехр (— zsX))a2 ?卩=

= —i2s^u )彳 dud^m I "22w) X

X exp { —i虱力 15K} [ — 2u(l — u) p.eqA] x

X exp{ — i^(l —w?)} [ ~2ueqyFt (A:—up)4-2u(l — iz) eqyFtp] X

X exp { 一兀^^^} _

—力2s2〃 j —dvdww (投(；"'_ 4") exp {—掠工投(B" } X

X [ — 2ueqyF. (A* — up) + 2u (1 — 〃) eqyF. p] X

.X exp {—法C (1 — ш)} [ — 2〃(1 — 〃)p.eqA] x

X exp { — is5? 4^~u } •(16.137)

Отметим, что при записи результата разложения экспонент мы ввели, как и в формулах (15.13) — (15.16), более симметричный набор параметров. Интегрируя (16.137) по А, получаем

公 J 晋* y?，(("-uU3expl 一浜%))a2Y卩=

=——^Г 〃 j dw? w-^ [一辽(1 — 〃)(卩‘ + p") eq A] exp (— isD^) x

X [ — 2i? (^ —zr) Хеду/ +〃(1 —u) eqyF (У+р^)] —

一券"J d切必^^-[2饋信-m;)»e»+〃(1-u)ё行f(// + p")]X

X exp (― zsOj [ — u (1 — 〃)(卩‘ +p") e，4],(16.138)

где, как это фактически делалось и при выводе выражения (15.87), мы произвели подстановку

ц; —> 1 — w.(16.139)

В члене

严 S' + Р") = Т°及к (Р，+ Р"产 + 卡Fh。(/ + Py (16.140)

вклад в среднее значение может давать только матрица у0. Коэффициент при ней записывается по-разному в зависимости от того, какое из двух слагаемых (16.138) рассматривается. Для первого из них (напомним, что р‘ = 0)

及目 S' + Р"产 f Fok (p〃 一 p')h = /,(16.141)

тогда как для второго

Foh (?' + p")h f - Fok (p' — 夕"尸=_ iJ\ (16.142)

Отсюда видно, что два слагаемых в формуле (16.138) оказываются одинаковыми. Учитывая это обстоятельство, напишем

-» j dssdue2 j 保*w*旷叫.((及一〃11).e冲(一话%))42?評=

~^~m j dww(l — w) du u2(l~u) (u — 2 饋 u?)屮*?%,/0 -^ eqA^^.

(16.143)

Итак, последний вклад в энергетический сдвиг равен

11

610£ = 16jiZ2a31 屮(°) Е ± j divw (1 — w) j du и (1 一 u) (1 —2uw) Xоо

" I加2 / J (2值)3 p2 ■

11

=2Z2a3 I 屮(0) |2 -~- j dw j du 力"a(1 —必)xоо

x 〃-“2(l —〃)(1 —2ш/?) (1 — uw)~1/2t(16,144)

Здесь уместно, видимо, подчеркнуть, что все встретившиеся нам вклады содержат двойные интегралы по параметрам, которые сводятся к выражению (15.69) или к его частному случаю (16.92). Применительно к рассматриваемой здесь величине это дает

6庐=(e2一^)必沁3|屮(0)|2 靑. (16.145)

Суммируя все составляющие 64Е, . . ., 610£, даваемые формулами (16.104), (16.111), (16.116), (16.119), (16.128), (16.145), получаем

6抠—(仇 + • • • + 6jo) Е =

=(-3 +装一盜一2 In 2)“Z2a31 屮⑼产鳥.(16.146)

Вспоминая, далее, выражение (16.65) для 8аЕ, мы придем к следующему полному вкладу в энергетический сдвиг:

(% + 6b)E=(4+ 专一21n2”Z2a3| 屮(0)Е$, (16.147)

где не учтен еще эффект поляризации вакуума. Он примерно на 20% меньше результата (15.98) для случая нулевого спина. Чтобы завершить наш расчет, подставим в поправки (15.3)—(15.5), обусловленные поляризацией вакуума, комбинацию, отвечающую спину %：

"曲)権国6炒(»=警加1鍔a+器)(」器广=(2m)2 ''

=^詰戸j初a-卢产戌(1 ~4戌)=器部，(16448) 0

что дает для энергетического сдвига

备必2a3|2(0)12±.•(16.149)

Окончательный результат таков:

6E=4za2W(0)|2$[3nZa(l+^—^n2 + ^)]. (16.150)

Мы опять представили его в такой форме, что величина в квадратных скобках является эффективной добавкой к набору аддитивных констант, которые прибавляются к основному логарифму.

По поводу точной величины дополнительного сдвига s-уровней вверх напомним, что при п = 2 она равна

Ма2| 屮(О)?皆=*毋аЗ($)%у =

= 135,64424(^^)3 МГц,(16.151)

где учтено, что в 屮(0) входит приведенная масса. Для водорода это дает

Н: 5砌$ =7,43 МГц.(16.152)

Складывая эту величину с полученным ранее результатом (11.114), мы теперь будем иметь следующее теоретическое значение для сдвига:

Н: &S]/2-豆2р】/2= 1057,68 МГц.(16.153)

На этот раз согласие с экспериментальным значением 1057,90 土 士 0,10 МГц даже лучше, чем этого можно было бы ожидать, так

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСтЙЦ. СПИН ХЛ. II I 301 как остались неучтенными всевозможные вторичные эффекты, самым главным из которых является поправка относительной величины порядка а (тогда как здесь рассматривались вклады порядка Za).

Попутно отметим, что вывод, п ре дет авл енный в данном параграфе, воспроизводит результаты, которые довольно давно были получены двумя независимыми группами исследователей в Гарвардском и Корнельском университетах. Первыми публикациями по этому вопросу были статьи Карплуса, Клейна, Швингера х) и Беренджера). Полностью соответствующая методика была изложена в работах Карплуса, Клейна, Швингера ) и Берендже- р% Бете, Фейнмана ). Имеется некое генетическое родство между проведенным выше анализом и прежними исследованиями гарвардской группы, но последние в своих деталях были гораздо более сложными.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Я-ЧАСТИЦ.

СПИН %, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ II

Кроме заряда, у атомных ядер имеются и другие характеристики: магнитные дипольные моменты, электрические квадрупольные моменты и т. д., причем все они определяются только спином ядра. Соответственно этому в энергетическом спектре проявляется дополнительная сверхтонкая структура. На 5-уровни атома водорода, которым свойствен лишь спиновый угловой момент, влияние может оказывать только магнитный дипольный момент ядра. Он приводит к дублетной структуре уровня lsx/2, расщепление которого измерено с очень высокой точностью в водороде, дейтерии и тритии. В данном параграфе мы изложим элементарную теорию этого эффекта и остановимся на электродинамических поправках к нему с относительной величиной порядка а и Za2.

Магнитный момент ядра выражается через его спин S и g- фактор gs：

下血g弗(17.1)

где Afp ——масса протона. Пространственный ток с нулевой дивергенцией, с которым магнитный момент связан формулой [ср. с формулой (3-10.59)]

р, = £ j (dr)rx J,(17.2)

дается выражением

(17.3)(17.3)J (г) = V X 也3 (г).

(17.3)

(17.3)

Соответствующие ему векторный потенциал и магнитное поле таковы:

.、，、(17.4)

H(r)= vx(vx 為)备)十吟(Г).

Как правило, мы будем рассматривать магнитное поле с координатной зависимостью, усредненной по всем направлениям:

〈Н (г))=皆守曷十叫(r)== 4 мб (г).(17.5)

Начнем с энергетического сдвига, к которому приводит примитивное взаимодействие в нерелятивистском приближении. Обращаясь к выражению для действия (3-10.63), описывающему поведение частицы со спином % в электромагнитном поле, и полагая в нем “рим = 2, что соответствует электрону, мы для энергетического сдвига, вызываемого слабым векторным потенциалом А (г), получаем

ВЕ= — j (办)屮(r)* ¥%0Y・ А (г)屮(г)=

=е j (dr) 1|)(г)* y°Y«A(r) i|)(r).(17.6)

В последней строке учтено, что для заряда электрона

3)「= 一 е.(17.7)

В поле основного состояния 屮(г) не включен временной множитель ехр [—ip°x°]t На основании уравнений Дирака

(丫口 十 тп)屮=0,屮*丫。(yll + тп) = 0(17.8)

перепишем выражение (17.6) в виде

8Е=——訂j (dr)屮*y。(?11y。A十Y.A?11)屮=

=訂 j (dr)屮*уО(2р・А+о・Н№(17.9)

где мы воспользовались тем обстоятельством, что при описании кулоновского поля посредством скалярного потенциала Л° имеет место равенство П = р и что симметризовать произведение р，А необязательно, так как ...

V -А = 0.(17.10)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН %. II | 303

В нерелятивистском приближении 屮(г) отвечает состоянию с нулевым орбитальным моментом (兄改)и с определенной четностью у"=十 1. Поэтому орбитальный член

P'A = ^tN・L，L=rx р,(17.11)

обращается в нуль, а магнитное поле можно заменить его средним значением (17.5). В результате мы мгновенно получаем

6e=*告。屮 a(°)产，(17.12)

где произведению

。♦卩= ^^gs5s(17.13)

приписывается одно из его собственных значений, выбор которого диктуется величиной полного углового момента

F = S + ^o.(17.14)

Эти собственные значения таковы:

F = 5 + — : S,

(u・S)' = F2-S2-^=〈(17.15)

и мы для расщепления 5-состояния имеем

АЕ = Es+“lEs7‘ = "I 索近(2S +1) gs I 屮(0)产=

=告穹Z3a%2S+l)gs (肃力飞，(]7/б)

Последнее выражение здесь написано для конкретного случая 15-состояния, причем массу ядра М мы заменили соответствующей приведенной массой.

Экспериментальное значение магнитного момента протона в единицах ядерного магнетона в/2Мр равно

Mp=ggp = 2,79278 ±0,00002.(17.17)

Тогда для величины расщепления s-состояния формула (17.16) дает

Н: ДЕнерел = 1418,83 МГц.(17.18)

Мы должны сравнить ее с экспериментальным значением (в котором на самом деле имеется гораздо больше значащих цифр)

Н: ДЕэксп = 1420,406 МГц.(17.19)

Основную часть расхождения в 1,58 МГц можно устранить, если учесть добавку а/2л к магнитному моменту электрона. Для модифицированного таким образом теоретического значения будем иметь

Н: ДЕнерел+а = 1420,48 МГц.(17.20)

Что же касается остающегося расхождения в 0,07 МГц, то в данном параграфе мы рассмотрим теоретические поправки порядка (Zee)? и Za2 по сравнению с основным эффектом.

Первая из них, порядка (Za)?, представляет собой чисто релятивистскую поправку к нерелятивистскому выражению. Ее можно попытаться вычислить, оценив соответствующие погрешности в формуле (17.9). Но проще, видимо, воспользоваться в формуле (17*6) релятивистскими волновыми функциями водорода. Для основного состояния решением уравнения Дирака

[Y.^V—YoSo + ^^+znjWrjuO(17.21)

является смесь волн 5г/2 и р»? с противоположными внутренними четностями

屮=а + ь，(17.22)

которые связываются друг с другом градиентным членом, входящим в формулу (17.21). Эта связь описывается следующей парой уравнений [丫°y —加5吐

(17.24)(17.25)Убедиться(17.26)(17.24)(17.25)Убедиться(17.26)

(17.24)

(17.25)

Убедиться

(17.26)

(17.24)

(17.25)

Убедиться

(17.26)

(pO+zn+gj 必=?56▽5.

Зависимость двух этих составляющих от спина и углов выглядит следующим образом:

% (г) = / (г)办 Wp (г) = — Ys/ng (г) % где п — единичный радиус-вектор.

а V ——произвольный единичный спинор с у" = + 1.二в этом можно, выделив чисто радиальные уравнения票+(р°+т+冬)g=°,

傷+ "l)g—(P「m + §)/=0,

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН %. II | 305 в последнем из которых учтено следующее тождество из алгебры операторов [г х Vg = 0]:

n-V^-ng-= V-ng=(!!・▽ + ~) g・(17.27)

Для диагонализации пары подобных уравнений напишем

g(r) = Y/&)(17-28)

и приравняем в них аналогичные коэффициенты:

у(р°-\-т)= —у(/?°—m), yZa = 2—^Zoc.(17.29)

В результате получим (физически приемлем только один корень квадратного уравнения для у)

Y=*{l — n — (Za)2『/2}^^Za, Za《l, (17.30)

И

Р° = m ；工步=^ (1 — Zoey) — m [1 ~(Za)2]1/2 « m—^ (Za)2 m.

'(17.31)

Далее, решив уравнение

樂+(Zom 十辱)/=0,(17.32)

для радиальной зависимости будем иметь

[/ (г) = Nt-z心 ехр (—Zaznr).(17.33)

Коэффициент N определяется (с точностью до фазового множителя) условием нормировки [ср. с соотношением (3-15.33)]

1 = j (dr)屮(г)* 屮(г) = j 4лг2 dr (产 + g2)=

о

(1 + у2) 4ji7V2 j dr r2-2ZaVexp (— 2Zamr)= о

=(1 + 衿 4n№ (费)3-2zav 门3 _2Zay).(17.34)

Пренебрегая здесь величиной 2Zay 比 4у2, мы вновь получаем известную нерелятивистскую нормировочную константу | 屮(0) |2:

2V2«|i|)(0)|2 = i(Zam)3.(17.35)

Формула (17.6), или

ЬЕ = е j (dr)巾(r)#iy5a-A (r)屮(г),(17.36)

20—0983

дает для энергетического сдвига

ВЕ= е J (dr)/(r) g(r) и*Х [а* А (г), а*п] и =

=2е j (dr) /(г) g (г) и*а・п х А (г) %(17.37)

где

пхАМх + з — пп.ц!)»!矗， (17.38)

причем на самом последнем этапе здесь проведено усреднение по всем направлениям. Таким образом, в собственном состоянии оператора G-S мы имеем

6月=暂约屮 j drf(r)g(r).6月=暂约屮 j drf(r)g(r).(17.39)(17.39)

6月=暂约屮 j drf(r)g(r).

6月=暂约屮 j drf(r)g(r).

(17.39)

(17.39)

Проще всего разделить входящий сюда радиальный интеграл на равный единице нормировочный интеграл (17.34):Проще всего разделить входящий сюда радиальный интеграл на равный единице нормировочный интеграл (17.34):J dr/g = оJ dr/g = о\行产4л 1+v2 g4л 1十丫2 U〃a码丿 r(3-2Zay) 一.о\行产4л 1+v2 g4л 1十丫2 U〃a码丿 r(3-2Zay) 一.о444m~ I 屮⑼卩(1 —Zay) (1 —2Zay)，《 ‘ 砌444m~ I 屮⑼卩(1 —Zay) (1 —2Zay)，《 ‘ 砌в результате чего получимв результате чего получим^ =肃^。.出2（°）|2e初:1一.宣初.（174）^ =肃^。.出2（°）|2e初:1一.宣初.（174）При малых Za релятивистский поправочный множитель равенПри малых Za релятивистский поправочный множитель равен

Проще всего разделить входящий сюда радиальный интеграл на равный единице нормировочный интеграл (17.34):

Проще всего разделить входящий сюда радиальный интеграл на равный единице нормировочный интеграл (17.34):

J dr/g = о

J dr/g = о

\行产

4л 1+v2 g4л 1十丫2 U〃a码丿 r(3-2Zay) 一

.о

\行产

4л 1+v2 g4л 1十丫2 U〃a码丿 r(3-2Zay) 一

.о

44

4m~ I 屮⑼卩(1 —Zay) (1 —2Zay)，《 ‘ 砌

44

4m~ I 屮⑼卩(1 —Zay) (1 —2Zay)，《 ‘ 砌

в результате чего получим

в результате чего получим

^ =肃^。.出2（°）|2e初:1一.宣初.（174）

^ =肃^。.出2（°）|2e初:1一.宣初.（174）

При малых Za релятивистский поправочный множитель равен

При малых Za релятивистский поправочный множитель равен

(1 — Za?) (1 — 2Ztz*y)(1 — Za?) (1 — 2Ztz*y)1 + 3Zay ^ 1 +— (Za)2.1 + 3Zay ^ 1 +— (Za)2.(17.42)(17.42)

(1 — Za?) (1 — 2Ztz*y)

(1 — Za?) (1 — 2Ztz*y)

1 + 3Zay ^ 1 +— (Za)2.

1 + 3Zay ^ 1 +— (Za)2.

(17.42)

(17.42)

Взятый сам по себе, этот эффект порядка (Za)2 не уменьшает, а увеличивает расхождение между значениями (17.19) и (17.20). Он приводит к увеличению соответствующей разницы до 0,19 МГц.

Поэтому перейдем к поправке порядка Za2, т. е. к поправке, которая составляет долю порядка Za от величины (17.20). Если собрать воедино все сведения, полученные в предыдущем параграфе, то сделать это не так уж трудно. Прежде всего следует учесть поляризацию вакуума. По сравнению со случаем кулоновского поля здесь она оказывается гораздо более существенной, что обусловлено большей концентрацией ядерного магнитного поля. Изменение векторного потенциала А^ на 64妙 сдвигает

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН %, II I 307 значения энергий на величину, даваемую формулой

6Е= —"^- j (dr) \|)*y° (2в^П.6А + eqa8F) \|),(17.43)

которая является обобщением выражения (17.9). При этом характер изменения поля находит свое выражение в записи

6Л (г) = j (dr') 3切(r-r，)J(r‘)，(17.44)

ИЛИ

3/(р) = p26Z(p)/(p).(17.45)

Нужно сразу же, видимо, отметить, что при пренебрежении зависимостью волновой функции 屮 от импульса [т. е. при использовании только 屮(0)] в противоположность случаю кулоновского поля никакой модификации в связи с магнитным полем за счет поляризации вакуума не возникает. Это обусловлено тем, что величина'

6Н(р) - р26^(р)Н(р) f р25切(р) у 卩 (17.46)

при р = 0 обращается в нуль. Поэтому интерес для нас представляет только итерированное поле

W=W(O)+ р2十心(2egp./ + eqo■尸)屮⑼.(17.47)

Отсюда для энергетического сдвига получаем

6Е = - W 屮(0)* (2eqp8A + eq^F)产* (2eqpA + eqoF)屮(0) =

=—J 屮(°)* (2р6/尸餐。歹 + °6F集秆2P4)巾(0),(17.48>

где учтено, что два члена с перекрестными произведениями дают равные вклады, и выделена линейная зависимость от спина. В процессе данного анализа члены, квадратичные по спину, можно отбросить, так как комбинация

nHiyBaE(17.49)

дает нуль в состоянии 屮(0), для которого 丫°’ =十 1. Приведенное выражение описывает влияние магнитного поля на поляризацию вакуума кулоновским полем и влияние кулоновского поля на поляризацию вакуума магнитным полем. Два эти эффекта оказываются одинаковыми, поскольку оба они приводят к одному и тому же члену

-ЧтА^^-^-^о.П.(17.50).

20*

308 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 工

Таким образом.,

б^пол. вак = 16ла!• "•“ I 屮(0) Е Ze j 籌靑 6切(р), (47.51) где [ср. с (3.28)]

1у2 / 1 — у2 \

ь炒(p) = ^ J 加一3—В-・(17.52)

о^2+Р2 —5—

Все энергетические сдвиги такого рода, отвечающие сверхтонкой структуре, мы будем относить к нерелятивистскому значению (17.12), обозначая его как

F = *4。屮 2(°)色(17-53)

Таким образом,

取产 =32nZ«m J镖靑6磔p)=

= Za2^j 而№(1 一 g卢卜(一喲72 = |^之2.(17.54)

о

Далее мы будем действовать так же, как в § 16, но анализ упрощается тем, что теперь не возникает инфракрасных особенностей (благодаря короткодействующему характеру магнитного поля). Поэтому мы прибегнем непосредственно к степенному разложению, используя 入-схему только в первом слагаемом выражения (16.7), с тем, чтобы выделить часть [формула (16.12)], зависящую от поля неявным образом. Последняя не дает вклада в энергетические сдвиги. При этом нужно иметь в виду лишь одно обстоятельство. Наш расчет преследует вполне определенную цель, а именно отыскание поправок к такому описанию электрона, в котором уже учтена добавка а/2л к магнитному моменту. Поэтому те два члена, которые приводят к эффекту порядка а/2л, должны быть отброшены.

Начнем с выражения (16.68) и воспроизведем его здесь, добавив дополнительный постоянный множитель:

—j dssdu(i ~{-и) ( — 2тп) еЧ (Л2)А =

=—'募7n j у^У du(l + u) X

XX(17.55)(17.55)u ([——u) (p「+ p") eg4~b [乂(] —— u)+ 九2^2] equF

X

X

(17.55)

(17.55)

(17.56)(17.56)B]E=B；E + B；E,B]E=B；E + B；E,§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН %. II I 3°9 Взяв первую разность по X, получим вклад в энергетический сдвиг, равный где

(17.56)

(17.56)

B]E=B；E + B；E,

B]E=B；E + B；E,

(17.57)(17.57)&笈=-^- m ^ ^dv du (l + u)屮*丫 电(1 — u) XX [(p'+p") eqA + eqaF](俳一击)屮

(17.57)

(17.57)

1111a=加a=加и

11

11

a

=加

a

=加

(17.58)(17.58)3；Е =

(17.58)

(17.58)

В последнем слагаемом мы отбросили член, дающий вклад в магнитный момент в случае медленно меняющихся лолей [он эквивалентен первому члену в правой части соотношения (16.17)]. Подставив в формулу (17.57) итерированное поле частиц и выделив линейный по спину член, будем иметь

3；Е= ^" т j ^ dv du (1 + u) u (1 — u) \|)(0)* (p‘ +《)eqA Xx*^(盖一合"與现⑼二

=F32Za2rr^ j ^ dv du (1 + u) u (1 — w) u2 丄丁* X xJw^WT-(17・59)

или, имея в виду соответствующим образом модифицированные формулы (15.72) и (15.73),

₽ 11

-^Д = Za2^*|~ j dww^ j duur1^ (1 —便)(1 — uw)^2. (17.60) 」、о о

Входящий сюда двойной интеграл уже встречался нам раньше, что вообще является характерной особенностью данного расчета, и мы получаем■

孥= (2 — 21n2)Za2.(17.61)

Обратившись к формуле (17.58), мы увидим, что

3；Е =彳 m j ~^ 彰如(1 + и) и?屮(0)* (// 十 p”) eqA X

X eqsF (击一爲)屮⑼=

= W16Za27n j dw du (1 + w) uw (1 — uw) j "^^■表"^"，(17.62)

откуда.

零=Zee? ^ j dw du (1 + ") “-/с歩/2 (1 - uw)1^ =

= (^ + ln2)Za2.(17.63)

Сумма двух составляющих равна

¥=(¥-ln2)Za2.(17.64)

Таким образом, она совпадает с окончательным результатом (без учета поляризации вакуума), взятым с обратным знаком.

Линейный по спину член в формуле (16.83) приводит по ана

логии с формулой (16.85) к выражению

—j tfcsd〃(l + ^)屮*丫％2/ (九2)a2屮=—x8Za2 j^-dz; •写? du (1—u2) X

x(l -" +大砌(一济杀)]图今六，(17.65)

которое дает следующий вклад в энергетический сдвиг：

Х*= — 16Za2m j d山(1 —加)d〃(l — и2) X

х(-^2 А)(得占(^屮)，(17.66)

\dM / j(2» р? \ 〃i Do /''

Разобьем его на две части:

— 16Za2?n j dw (1 —w) du(l — a2) ( — m2 X

y f (dp) I / I 4、一 — ya2 2 x

X J dw(i-W) w-^duu-^{i -^) [—^-—A-^]=

~Za2-^ j dtp j d〃(歩/2_3炉/2"-1/2([_g2)(]一〃切-3/2 = о о

=(^十"|__2m2)2必(17.67)

и

，，寳‘ =—16Za2m [ dwii — w} duu(l~u2) ( — m2 ^г) X

X J duu^^-il^-112^-^^ —j-Za2.(17.68)

0

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН */,. II | 311 Их сумма равна

竽=传_211)2)Za2.(17.69)

Складывая эту величину с 6^, получаем полный вклад первого слагаемого (I) в формуле (16.7):

竿=(半— 31n2)Za2.(17.70)

При вычислении второго слагаемого будем исходить из выражения (16.108), взятого при 九=1:

—е? J dssdu(i —u) j ^^屮*у"[П, [exp(Ts%), 丫]]屮=

=許 j ^dfd"u(l —")屮*Y°^^W,(17.71)

хотя заметим, что векторный потенциал в П не дает спинового члена. Подставив итерированное поле, получим энергетический сдвиг

6口后=誥 J ^ 曲九 口(1-北)屮(0)* х

X击(也W加；加2-图解+e取夕?2：泪)屮(0). (17.72) Здесь нужно быть внимательным и иметь в виду, что в каждом произведении содержатся два вклада, равные

-丫"。()u・H-y・J( )ХУ\・Е,(17.73)

или, поскольку 丫°屮(0)=屮(0),

-J°( )q«H + qx(VxH).( )E.(17.74)

С учетом векторного тождества

<JX(VxH)^V(a.H)^-ff(V-H) + Vx(axH), (17.75) а также равенств

▽ ・E = J°, ▽•H=0, VxE = 0,(17.76)

которыми следует воспользоваться после интегрирования по частям, мы получаем, что два слагаемых в выражении (17.73) эквивалентны, так как порядок перемножения несуществен для рассматриваемого матричного элемента. В результате имеем 5/ -—筝 J ^dvduu{i — u)^ (0)* 击 eqJ° 卩,川 «"• Hi|)(0)=

=-16ZaW j 加九 a(l-u) J 課击齐，(17.77)

или

11

”"=—Zd^J dw j duw-^m-'1^^—u)(l —шр)-“2 =

= (2-81n2)Za2.(17.78)

С третьим слагаемым в формуле (16.7) мы поступим аналогично тому, как это делалось при переходе от (16.112) к (16.114), причем здесь второй вклад в магнитный момент а/2л является уже лишним. Это дает

^е=-Тm I idvdu 炉中*Y°eg尸(击一鳥)2=

=—32Za2mF j dw du uw (1 — uw) J (器才靑 ^~, (17.79) или

-Zd^ J dw J 由d歩/2u-1/2(1 — из)%,(17.80)

о 0

куда входит тот же интеграл, что и в формуле (16.115). Таким образом，5

¥= —3Za2.(17.81}

Обращаясь к члену, который явным образом квадратичен по полю и линеен по спину, вспомним, что при образовании двойного коммутатора

[ехр ( - 2以)，旬]

спиновый член, согласно соотношению (16.113), приобретает множитель 8. Поэтому его можно получить из соответствующей комбинации, входящей в первое слагаемое формулы (16.7), если произвести подстановку

1 十 и — — 2M(17.82)

и положить X = 1. Выделив подобное выражение из (17.67), получим

然-=Z山鼻 J @加 j @ uw-y^(l — w) u-"2(l —u) (1 -u力)-1/2 = о 0

= (_6 + 121n2)Za2.(17.83)

Прибавляя к нему (17.81), будем иметь

-®Щ£==(_9 + 121п 2) Za2.(17.84)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН 】/z. II | 343

Первые три слагаемых, приводящие к формулам (17.70), (17.78) и (17.84), дают

3i+T»6m)E =(—学+ ]n2)Za2. (17.85)

Эта величина отличается от одного отдельного вклада (17.64) только знаком. Учитывая сделанное там замечание, можно заключить, что она совпадает с полным результатом. И это действительно так, поскольку оказывается, что четвертое слагаемое в (16.7) приводит к нулевому вкладу. Было бы весьма приятно, если бы удалось доказать это утверждение одним виртуозным росчерком, но мы вынуждены воспользоваться более прозаическими средствами. Энергетический сдвиг, возникающий благодаря слагаемому в (16.8) с двойным коммутатором, фактически уже получен —— он дается формулой (16.117):

自石=許 j ^dvdu^y°^-^ =

=_8Za2/n可彳加电叫舞专*,(17.86)

откуда

■^-= —Za?~^~ j ©必 j duw^1^^ — uw)~^2иУ^= —Za2. (17.87) о 0

Рассмотрим теперь слагаемое в формуле (16.123), линейное по полю, воспроизведя его здесь для удобства в форме энергетического сдвига:

—i j ds s due2 j ^^4*yVy •(伯一^П) .ехр( —is%))A 丫“ =

=^" j ^dvvdu иф*у° [ —u2veqyJ + u(l — u) ieqyF (p' + p")] ^- ф.

(17.88)

Первую из двух его компонент

8；Е= -^- J ^dvv2duu3^*y°^-^(17.89)

можно вычислить путем выкладок, аналогичных тем, которые проводились при выводе (17.77) из (t7.71). Производя соответствующие подстановки, получаем

8；E=8Z^mF^dWdU(2W-iyu^ 轟餐芬 (17.90)

Для удобства еще до дальнейших преобразований объединим эту величину с 3；£\

При анализе второго слагаемого в формуле (17.88) есть некоторая опасность запутаться в обозначениях. Во-первых, напомним, что рг — индекс строки, ар" — индекс столбца в стандартном матричном элементе. Поэтому, если мы хотим употребить индекс // для задания импульса в состоянии 屮(0), то в одном из двух слагаемых, получаемых путем подстановки итерированного поля, нужно произвести транспозицию. Во-вторых, следует обратить внимание и на условия, принятые при преобразовании выражения для D入 от вида (15.60) к виду (15.62). До сих пор мы избегали подобного балансирования на канате благодаря тому, что все подынтегральные выражения (кроме D入)были четными функциями переменной v. Второе же слагаемое в формуле (17.88) не принадлежит к этой категории. Теперь видно, что

屮*丫° 言 ieqyF (р‘ + р")屮=

=2(0)* ieqyF(p，+ p") ^(_犷方^+meg尸2⑼+

+ 屮(0)* eqoF p^mi- д^у ieqyF{p' + /) ф (0),(17.91)

где временно мы написали D± (и) с тем, чтобы указать, что Dx дается формулой (15.64), в которой

р2 = (// 一 “У = р〃2 % 疗.(17.92)

Заменим в первом слагаемом формулы (17.91) переменную интегрирования и на ——V и воспользуемся преобразованиями (16.141) и (16.142). Замечая, что два слагаемых в формуле (17.91) эффективно равны друг другу, и учитывая эквивалентность двух спиновых комбинаций, отмеченную в связи с выражением (17.73), лолучаем

屮*屮良ieq、F (р‘十р")屮f _ 2叫(0)* [eg・H严修■击eqJ° ++ 3 • Е у^г击《у • J]屮(0) f

f — 4叫(0)* eqo-H 产)病・击 eg J 呻(0).(17.93)

Таким образом, возникает вклад

6；Е= -8Za2mF j dip^w-^du u2(l-u) [ ^■靑责，(17.94) сложив который с (17.90) получим

_5^= —82必限 f dw du (2ш— 1) u2 (1 —2ют) f /然3~^~ —

=~Za2^ j d笫 j dtz3-i/2(2〃一1) u“2(l — 2uw) (i — uu)yll2 =

-( — l + 21n 2)Za2.(17.95)

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН V2. II I 345

Имеется, наконец, явно квадратичный член, который строится из линейных множителей (16.132) и (16.133). Поскольку нам нужна линейная по спину зависимость, интересующие нас члены получаются путем умножения ——ueqaF на два бесспиновых слагаемых выражения (16.132) и путем перемножения спиновых слагаемых. Последнее произведение представляет собой исключение из правила, ибо оно содержит также комбинацию с 产 в качестве сомножителя. Отметим сначала, что

丫、丫卩.(7歹丫”= — 2g^voF，Yv= ~2y^teF, (17.96) так как

YvbWYv =。.(17.97)

Опустив несущественные коэффициенты и проведя возможные интегрирования по частям, мы для спинового произведения будем иметь

у. (oF5uoF) = 丫上(о • Н% (— г) 丫。丫 ・ Е + (—讣 丫。丫 • EO/jO • H)=

=у iy0 [ Y%・ Ну仇Е/ + dkE^o-Hy11 —

一 о • H%EM 干 _ ^у1дкЕ1О^(17.98)

Следующий шаг основан на равенстве V х Е = 0, эквивалентном свойству симметрии.

dkEt = drEh.(17.99)

Оно позволяет произвести замену

-干暇 f У ｛仍,限｝=-濟(17.100)

и применить соотношение [у = iyQy^]

2*(丫”篇1?' + Y^mY^) H ~2 (。在OmS + ^l^m^ki =

=^km^l + ^im^h — ^klGmi(17.101)

вытекающее непосредственно из соотношения антикоммутативности

-^ ｛。在，S｝ = М・(17.102)

Учитывая то дополнительное обстоятельство, что V*H — 0, можно будет произвести эффективную подстановку

产.付尸8/竹-> 2 缈b・HJ。，(17.103)

а значит,

yvY^.(oFd^oF) Yv f — 4iff«HJ°.(17.104)

В качестве аналога выражения (16.138) теперь мы имеем -及 J 7^ 丫叫• ((Л) • exp (—湫))А2 Y尸

аа4лX「一2u24лX「一2u2* и j dw ш，鼻"{ 2ueqaFexp (— isD^ x (^■—u^ %妤J +〃(1 —u) eqyF (p' + "')] +* и j dw ш，鼻"{ 2ueqaFexp (— isD^ x (^■—u^ %妤J +〃(1 —u) eqyF (p' + "')] +

а

а

4л

X「一2u2

4л

X「一2u2

* и j dw ш，鼻"{ 2ueqaFexp (— isD^ x (^■—u^ %妤J +〃(1 —u) eqyF (p' + "')] +

* и j dw ш，鼻"{ 2ueqaFexp (— isD^ x (^■—u^ %妤J +〃(1 —u) eqyF (p' + "')] +

+ u24ieqo- H exp ( — isD^) eqJ°}—

-券"血^与* { [2饋传_d)/Y/十

+ u (1 — tz) eqyF (// + p")] exp (— ZsDJ 2ueqaF —

— u2iieqo* H exp (— isDi) eqJQ J .(17.105)

Те же, что и раньше, выкладки дают следующее выражение для энергетического сдвига:

-i j dss due2 j ^^ 2*旷Y"Y .(*-гШ) .exp (-泓))А2 Y"▽=

f 也加与上diz W(0)*金 X

X【4№(1 — 2шр) ego• HeqJ° 4- 4i^equ• He^J0] + (0), (17.106)

или

-=16Za2m j div du w(i—w)i^ (1 —uw) j Д^^■备=

=Za2~^~ j dw j du w^^ (1 —w)便修仕一uw)^2 — о 0

= (2 — 21n2)Za2.(17.107)

(17.107)(17.108)(17.107)(17.108)Итак, действительно сумма вкладов (17.87), (17.95) и равна нулю:

(17.107)

(17.108)

(17.107)

(17.108)

8хуЕ = 0.

Окончательный результат, который получится, если к (17.85) добавить энергетический сдвиг (17.54), обусловленный поляризацией вакуума, таков:

^=-(4-ln2)Za2.^=-(4-ln2)Za2.(17.109)(17.109)

^=-(4-ln2)Za2.

^=-(4-ln2)Za2.

(17.109)

(17.109)

Взятый сам по себе, он уменьшает теоретическое значение сверхтонкого расщепления в водороде на 0,137 МГц. Комбинация же релятивистского эффекта, описываемого формулой (17.42), с толь-

§ 17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН /2. II 丨 317 ко что вычисленным электродинамическим эффектом приводит к сравнительно небольшому уменьшению

Н: - (1 一 In 2) d = — 1,64-ЮЛ (17.110)

Оно соответствует уменьшению на 0,023 МГц, и в итоге теоретическое значение (17.20) заменяется величиной

Н: А&ел+*з = 1420,46 МГц. (17.111)

Что можно сказать об оставшемся расхождении в 0,05 МГц? Совершенно очевидно, что тут мы уже выходим за пределы области чистой электродинамики и вступаем в область сильных взаимодействий, которыми определяются свойства протона.

Из экспериментов по рассеянию электронов с высокими энергиями известно, что с точки зрения своих электрических и магнитных характеристик протон действует как некий объект, размазанный по определенному пространственному объему. Другими словами, имеются электрический и магнитный формфакторы, которые почти полностью должны определяться неэлектромагнитными взаимодействиями, ассоциируемыми с субъядерными частицами, с которыми связан протон. Из качественных соображений ясно, что отказ от точечное™ заряда и точечное™ диполя должен приводить к уменьшению величины взаимодействия, ответственного за сверхтонкое расщепление. При таком подходе энергетические уровни сдвигаются в том направлении, которое и нужно для устранения оставшегося расхождения. Оценим величину этого эффекта.

В нерелятивистской теории распределение ядерного магнетизма Pm (г), которое до сих пор бралось в виде дельта-функции, интегрируется с квадратом электронной волновой функции. В соответствии с этим теперь мы приходим к замене

I 叭 0)卩-> j (dr)Pm(r)|2(r)产. (17.112)

На малых расстояниях поведение волновой функции определяется электрическим зарядом нуклонов. Если его распределение описывается функцией ре (г), то мы должны учесть и это обстоятельство:

J^f 1一专，@')|г-门 Ре(г'). (17.113)

(17.114)(17.114)Отметим, что за пределами распределения заряда никакие изменения не возникают. Как результат совместного действия указанных эффектов получаем

(17.114)

(17.114)

348 I ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА I

где R——средний нуклонный радиус:

7?= j (dr)(dr,)pm(r)|r-r,|pe(/).(17.115)

Представим его в иной форме, для чего воспользуемся формулой (15.48):

(17.116)(17.117)(17.118)значения(17.119)(17.116)(17.117)(17.118)значения(17.119)I —门=一84 毒eхp [中.(—吟丿_^^击, откуда

(17.116)

(17.117)

(17.118)

значения

(17.119)

(17.116)

(17.117)

(17.118)

значения

(17.119)

Е= -8л j -^- -^rz^--^-р™(-р) Ре(Р)==8")7^■信)【l-Pm(-P)Pe(P)],

ооИЛИ

о

о

Мы воспользовались здесь интегралом в смысле главг

f dp 2 ■ ■ О

J L р2 — е2 О

и сферической симметрией функций распределения.

Экспериментальные данные о протоне приближенно описываются формулой

рт(р) «ре(р)«--2—г，(17-120)

㈠關

где

Мо 0,90 М^.(17.121)

Вычислив интеграл в формуле (17.118), получим

Н = ^6= 1,0・10тз см,(17.122)

откуда вытекает следующее относительное уменьшение сверхтонкого расщепления:

Н: 岑 а仓= 3,8・10-5.(17.123)

В абсолютных единицах это уменьшение составляет 0,05 МГц, и с точностью, которую мы здесь приняли, теория и эксперимент полностью согласуются.

Раз уж мы завели разговор о конечных размерах ядра, оценим заодно и влияние этого эффекта на относительное смещение s-

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СДВИГИ Н-ЧАСТИЦ. СПИН х/з. И | 319 и р-уровней. Энергия кулоновского взаимодействия изменяется на

6p(r，)=_Za j @)1^747r_}]pe(r),(17.124)

что приводит к энергетическому сдвигу

6Е= j (dr，)6P(Y)|W(r，)|2^_Za|W(0)|2j (dr)(dr')X

х[774^Т-^]Ре(г)-(17-125)

Комбинируя свойство

-叫 @')|jT』-；] = 4n(17.126)

с равенством нулю интеграла при г = 0, заключаем, что

(17.127)

Это дает

ЗЕ =石 л/a 1 屮(0) Г (г2), где

"2〉= j (dr)户Ре (r) = — v|pe(P)|p=0 =

(17.128)

=斋=(0,81・10田 CM)2.

(17.129)

Существенным энергетический сдвиг оказывается состояниях, причем ns-уровень смещается вверх на

ТОЛЬКО В S-

6E"^Z4a2 备 Ry.

(17.130)

Для 25-уровня водорода это составляет

6£2s -0,13 МГц,(17.131)

1/2

и в результате еще более уменьшается расхождение между теоретическим значением, равным теперь

Н: E2s -Е2P =1057,81 МГц, (17.132) 1/21/2

и экспериментальным значением 1057,90 士 0,10 МГц. Но мы еще раз хотим предупредить, что пока еще не учтены эффекты, которые в принципе более существенны, чем только что рассмотренный (хотя и можно утверждать, что они в значительной мере взаимно компенсируются).

Глава 5 | ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II

Выше мы уже занимались какое-то время вопросами, связанными с учетом двухчастичного обмена. Но при этом остался неисследованным ряд важных моментов. Сюда относится очевидная проблема распространения соответствующих методов на процессы более сложного многочастичного обмена. Кроме того, в практических приложениях полученных результатов мы ограничивались в сущности идеализированным случаем частицы, движущейся в заданном поле, избегая релятивистской проблемы двух тел. Данная глава посвящена исследованиям проблем того и другого типа. Правда, чтобы не было чрезмерного скопления зачастую весьма громоздких расчетов, связанных с учетом процессов многочастичного обмена высших порядков, такого рода анализ будет вкраплен на фоне двухчастичного случая (отчасти в соответствии с потребностями сравнения с экспериментом).

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ.

НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ АНАЛИЗ

В качестве подготовительного этапа в построении двухчастичной релятивистской теории полезно сначала исследовать более простой нерелятивистский случай. Рассмотрим два сорта частиц, нумеруемых индексами 1 и 2 (не следует их путать с встречающимися ниже причинными индексами). Описывающая эти частицы вакуумная амплитуда в отсутствие взаимодействия имеет вид 〈0+|0_〉n = exp[nr (rj)],

W (п)невзаим= — j (dr) dt (drz) dtr^ (rt) G (r — rz, t — t^^t')^—

-J (dr) dt (drz) dfn* (rt) G (r -r\ f-f) ^ (rT) |2.(1.1)

Чтобы не выписывать все пространственно-временные координаты, мы в подобных выражениях часто будем пользоваться следующими обозначениями:

^(Tl)HeB3aHM=-pldlV(l)G(l, Г)!!^)-

-jd2 d2'瞋⑵ G(2, 2')叮(2').(1.2)

Тот конкретный член в разложении экспоненты ехр [iW]^ который описывает две частицы, по одной каждого сорта, равен

-pl ... d2V(2)n*(l)G(l, T)G(2, 2,)ri(l，)n(2，), (1.3)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 321 откуда видно, что функция распространения системы двух невзаимодействующих частиц равна произведению функций распространения каждой из них:

(1.4) с фор-(1.5)(1.4) с фор-(1.5)6(12, Г2/)невзаим=С(1, l')G(2, 2)

(1.4) с фор-

(1.5)

(1.4) с фор-

(1.5)

Исходя из отдельных дифференциальных уравнений [ср. мулой (4-11.4)], которые мы будем записывать в виде

(E — ?),G(1") = 6(1,«),且

(Е — Т)2 G (2, 2')=6(2, 2'), - 而'

получим дифференциальное уравнение для двухчастичной функции распространения：

(后一T)i(E-T%G(12, Г2%взаШ1 = б(1, Г) 6(2, 2").(1.6)

Ее явное выражение (1.4) можно найти и из этого дифференциального уравнения, если наложить на его решение запаздывающие граничные условия типа (4-11-3).

Сходное по форме дифференциальное уравнение возникает и в том случае, когда вводятся поля отдельных частиц

屮(1)= j М6(1,")г1(Г),屮(2)= j d2，G(2,2，)ri(2，)，(1.7)

для которых

(Е — Т)珅⑴=ri (1), (Е — Т)押⑵=ri (2).(1.8)

Тогда двухчастичное поле, определяемое в отсутствие взаимодействия как

^(12)нев3аИм=4(1)Ф(2) = j dlrd2'G(l, T)G(2, 2Z) Т)(Г) n (2Z), (1.9) будет подчиняться уравнению

(Е — Т), (Е-Т)2 屮(12)Невзаим = П ⑷ П (2).(1.10)

Важнейшая особенность нерелятивистской теории ——представление об абсолютной одновременности. Поэтому естественно рассматривать частный случай наших многовременных полей и функций распространения, отвечающий равным временам. Функцию распространения, соответствующую уравнениям (4-11.3), можно написать в виде

G (г — r\ t — У) = — ivj (i — У) ехр [— iT (力—У)] б (г — г*),

(1.11) так что

氏 В — Гр t —廿)G2 (r2 — r；,力一У)=

=—П (力一，)ехр [ — i (厶 + Га) (^ — У)] 6 (口 一 г；) 6 (г2 — г?・

(1.12)

21—0983

Функция, определяющаяся равенством

G （门Q& r；rf）=沼（r^r2i,学工廿），（1.13）

будет подчиняться уравнению

（后一Ti —厶）G（I\I*2力 Г1Г2^）невзаим = 6 （rt — Г；） 6（Г2 — Г；） 6 （i — ^）, （1.14） которое представляет собой более известное обобщение уравнений （1.5） для одночастичных функций Грина на случай двух частиц.

В целях более детального исследования связи между двумя типами функций распространения удобно ввести для пространственных переменных матричную символику, сохраняя временные переменные в явном виде. Перепишем в соответствии с этим формулы （1.4）, （1.12） и （1.13） следующим образом:

a2 （方也，力j2）= G[（方1，幻G2 （力2, %）=

— 一 Л （%一%） n «2 -切 exp [-阳1 仇一幻]exp [ - iTI^ 一力；）],（1.15）

6计2 （£，%‘）=一加（方一力）exp [—X （厶 + 玛）（力-力'）]，（1.16）

где обозначение G^^ выбрано так, чтобы подчеркнуть, что выражение с равными временами относится к частицам 1 и 2, рассматриваемым в качестве составных элементов некоторой единой системы. Допустим, например, что * ＞% м 玄 ＞%• Тогда справедливо равенство

G[2 （%2,力也）=

■= -exp [ - iT^ （^ 一方2）] Л （方2 一玄）exp [ —i （?1 + 北）（方2 -幻]X

X exp [ - z?2（4 -切]=z仇（右,方2）^1+2 （^2＞，） ^2 （内,学），（1*17） являющееся частным случаем общего соотношения （в предположении, что ＞^＞）

6]2 （方也，力力2）giG （力＞,力＜）Gi+2 （力＜,£＞）G （力＞,%），（1.18） в правой части которого первая одночастичная функция Грина отвечает частице с большей （力＞）из временных переменных tv i2? а вторая одночастичная функция соответствует частице с меньшим （^＜） из значений времени 力;，弓.Явное свое выражение это свойство находит в записи

（напомним, что все функции являются запаздывающими）. Соответствующая многовременной функции распространения физическая картина, к которой приводит формула （1.18）, оказывается совсем простой. В момент времени 力｝ рождается одна из частиц.

Одна эта частица существует до момента времени ^＞, в который испускается другая частица. Двухчастичная конфигурация сохраняется до момента времени 方＜,когда одна из частиц детектируется. В конечном итоге в момент 力〉детектируется также и последняя частица. Отметим к тому же, что в соотношении (1.18) содержится и исходное определение (1.13), или

G1+2 (力尸)=娉2 (死也')，(1.20)

так как

К?(力 У) +0 = 1・(1.21)

Двухчастичное поле с равными временами определяется соответственно этому как

屮 1+2 (0 =屮 12 (")•(1-22)

Обращаясь к частному случаю равенства (1.18)

G[2(力力方I*2)=6h2(力力＞)G (力＞,方＜),(1.23)

мы для этого поля получим следующее выражение:

电+2g)= J 就；必"1+2(九科)G(J,人)% (幻 Th 传).(1.24)

Если ввести величину

%+2(，)= J dt^G (^＞, %) % (%)小(4),，=力\,(1*25)

то можно будет написать

屮h2(力)=J 山‘伍+2 (t，t‘)%+2 (y)，(1.26)

Эквивалентное полевое дифференциальное уравнение имеет вид

(Е—Л—?2)屮 1+2 (^)невзаим= Л1+2 (%),(1-27)

откуда видно, что 刀什纟(力)имеет смысл источника двухчастичного поля с равными временами. Выписывая в последнем уравнении координаты явным образом, получаем

(石—北—北)屮(Г^г^невзаим = Г] (г^).(1 • 28)

Здесь мы опустили индексы, как это принято делать, когда сами аргументы функций уже несут всю необходимую информацию. Если аналогичным образом ввести источник

偽(t) = J 晶暄闯噌(幻 G «＞,%), t= %,(1.29)

то мы сможем представить двухчастичную вакуумную амплитуду (1.3) в форме, применимой и к единой системе:

-i J 山山'113Gl+2 (t, t') %+2 «')•(1.30)

21*

*41+2 (*) j 4% % (У, %)%(%) Па (%') + J 弱G® (几 ％)小(У)屯(4田3 (方)=J由1噹(")优(％)仇(方1,")+ j就£0： (%)噌⑴鳥(力2, ")*41+2 (*) j 4% % (У, %)%(%) Па (%') + J 弱G® (几 ％)小(У)屯(4田3 (方)=J由1噹(")优(％)仇(方1,")+ j就£0： (%)噌⑴鳥(力2, ")Отметим, однако, что функции %+2 (力)R П：+2 (力)комплексно сопряжены друг другу только в том случае, когда действующий ранее испускающий источник ^^г и действующий позже детектирующий источник t]J+2 являются обобщенными, т. е. испускают и поглощают виртуальные, а не реальные частицы. Это вполне логично, поскольку именно при такой степени локализации во времени и допустимо эффективное описание, основанное лишь на одной временной переменной. Чтобы более обстоятельно в этом разобраться, развернем наши источники, пользуясь формулами (1.19):

*41+2 (*) j 4% % (У, %)%(%) Па (%') + J 弱G® (几 ％)小(У)屯(4田3 (方)=J由1噹(")优(％)仇(方1,")+ j就£0： (%)噌⑴鳥(力2, ")

*41+2 (*) j 4% % (У, %)%(%) Па (%') + J 弱G® (几 ％)小(У)屯(4田3 (方)=J由1噹(")优(％)仇(方1,")+ j就£0： (%)噌⑴鳥(力2, ")

(1-31)

где каждую функцию распространения можно представить как

Gg，i')- J(1・32)

При комплексном сопряжении первое выражение в формуле (1.31) превращается в выражение, по форме сходное со вторым, но вместо обычной функции распространения

G«,,g j嚣电零抖(1.33)

в него входит транспонированная и комплексно-сопряженная, т. е. эрмитово-сопряженная, ей функция

G(t”=j 罂胃繫？.(1.34)

Правда, эти функции эквивалентны, если несуществен знак величины i£, т. е. если наши источники таковы, что на практике соотношение Е — Т = 0, характеризующее распространение реальной частицы, никогда не выполняется.

Пусть теперь две частицы, по одной каждого сорта, сближаются и рассеиваются за счет примитивного взаимодействия. В нерелятивистской теории примитивное взаимодействие представляет собой мгновенный процесс, вообще говоря, не локализованный в пространстве. Рассеянные частицы можно описать эффективным двухчастичным источником^ который характеризуется интенсивностью возбуждения (произведением двух отдельных полей)

и некоторой функцией У, связанной с самим механизмом взаимо* действия. Соответственно этому напишем

Т-ПСгЛ)!!^) |8фф= 6(^1( 1%)Р(Г1 —Г2)屮(г闯:屮 d).(1.35)

Помимо выделенной здесь явным образом трансляционно-инвариантной зависимости от пространственных координат, функция V может содержать также импульсы, спины и прочие характеристики частиц. Согласно определению (1.9), поле, которое получится, если скомбинировать испускающие источники с эффективным источником (1.35), имеет вид

屮(12) =屮(1)屮(2)十1 J dl'd2'G(l, l')G(2, 2')卩(1'2‘)屮(1')屮(2‘)，

(1.36) где

V (12) =6(^- i2) V (Г1 - г2).(1.37)

Из выражения для добавки к действию У, описывающей обмен парой частиц между эффективным испускающим источником (1.35) и детектирующими источниками, можно вывести одно важное свойство функции взаимодействия W. Обратившись к комбинации (1.3), мы увидим, что добавка bW может быть представлена в форме

访％= - j dl ^*(2)^*(!)^ (12),(1.38)

где 5屮(12) — та часть поля в формуле (1.36), которая индуцирована взаимодействием. Таким образом,

6W=_j dld2“*⑵屮*⑴卩(12)屮⑴屮(2),(1.39)

где учтены равенства

W* (1，) = j dlr]* (1) G (1, Г), W* (2，) = J d2r)* (2) G (2, 2) (1.40)

В более явной форме записи выражение (1.39) имеет вид

6%= - J @0 @2)山中*几力)屮* О•由?(口 一3)屮(T由屮(3力)■(£41)

Допустим, что мы рассматриваем такие условия, при которых источники не могут испускать реальные частицы (Е — Т =# 0). Тогда функция [ср. с формулой (4-11.11)]

G(r —“ 力一廿)=j，北f exp{% [p・(r—r') — E(力一У)]} E_；(p, (1.42)

будет удовлетворять соотношению

G (г - “ 力一f)* = G (г‘ 一 г, f - t\ (1.43) в котором находит' свое более конкретное воплощение связь между (1.33) и (1.34). Как следствие этого каждое поле 屮* (rZ) оказывается комплексно-сопряженным полю 屮(г^). Кроме того, в рассматриваемых условиях амплитуда вероятности процессов с сохранением вакуумного состояния должна равняться единице, т. е. величина W вещественна. Это справедливо для вкладов (1-1) отдельных частиц, а также будет справедливым и для 6W при условии, что V (厶 一г2) — действительная или, в более общем случае, эрмитова функция своих переменных.

При повторных актах примитивного взаимодействия к полю (1.36) будет добавляться все больше и больше членов. Однако все эти эффекты можно легко просуммировать. Полное поле 屮(12) представляет собой суперпозицию поля 屮(1)屮(2), описывающего невзаимодействующие частицы, с полем, которое отвечает частицам после последнего их столкновения, опять-таки возбуждаемого полем 屮(12), которое порождается всеми источниками. Заменив, таким образом, под знаком интеграла величину 屮(1‘)屮(2‘) величиной 屮(1'2‘)，мы получим интегральное уравнение, описывающее бесконечно большое число актов примитивного взаимодействия:

屮(12) =屮(1)屮(2) + i J dl'd2'Ga，')G(2, 2')卩(Г2‘)屮(1'2‘). (1.44)

Эквивалентное ему дифференциальное уравнение

(后 一 Т)工出 一 Т)2 * (12) = T)⑴ n (2) + iV (12) * (12) (1.45) можно получить и непосредственно из выражения (1.35), если заменить в нем поле невзаимодействующих частиц полным полем. Итак, дифференциальное уравнение для величины 屮(12) имеет вид

[(后 一 Th (Е 一 Г% — iV (12)]屮(12) = г] (1) П (2). (1.46) Запишем его решение через функцию Грина:

屮(12) = j dl' d2，G (12, 1'2') г] (Г)^ (2'),(1.47)

причем уравнение

1(Е 一 Th (Е — Т)2 — /7(12)] G (12,12) = 6 (1,Г) 6 (2,2‘)

(1.48) обобщает (1.6) на случай взаимодействующих частиц.

Поскольку эффективный источник (1.35) действует только в совпадающие моменты времени, одновременной двухчастичный

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 327 источник, определяемый формулой (1.25), выглядит совсем просто. Дельта-функцией из G (^>, %}) выделяется предельное значение при равных временах, переход к которому осуществляется со стороны положительной разности времен [соотношение (1.21)]. Итак,

П(Г1Г2О |эфф = р(Г1—г2)屮(г#)屮(4»,(£49)

причем путем таких же рассуждений, что и в случае дифференциального уравнения (1.28), получаем

(Е — Тг — ?2)屮(г#2力)=Г] (гМ) + 卩(4 - г2)屮(г#2， (1.50) ИЛИ/

[Е — Тг — Т2 — V(Г] — г2)]屮(区「2力)=Г](屮2力).(1.51)

Решение записывается через функцию Грина как

屮(32力=j (dr；) (dr；) dt'G (r^ai, r；r；f) r] (r；r#‘)，(1.52)

причем уравнение

[石-7\ - 7\ -p(厶-Г2)]G (厶1*2力 г1г20 =

=6 (厶一 Г；) 6 (r2 一 Г? 6 心 _ Q(1.53)

обобщает (1.14) на случай взаимодействующих частиц. Мы видим, что функция примитивного взаимодействия V играет роль, приписываемую обычно потенциальной энергии.

Интуиция подсказывает нам, что связь (1.18) между двумя типами функций распространения должна сохраняться и при наличии взаимодействия, ибо его влияние сказывается только тогда, когда существуют обе частицы. Тем не менее докажем это. Интегральное уравнение для функции Грина, эквивалентное (1.44), имеет вид

G(12, 1'2') = G(1, l')G(2, 2') +

+ i j dId2G (1, T) G (2, 2) V (12) G (12, 1'2').(1.54)

Рассмотрим случай, когда h >%• Пользуясь матричными обозначениями, можно написать (при условии ^2 >，)

Gi (左，，)=exp [―力厶 & —力2)】Gi (%, 4)=

=墙(％ %) Gi (%, Q,(1.55)

так что соотношение (1.54) принимает вид

G (*2,方也)=/1 (力i，力j)[仇(力2,幻 Gz (方2,力2)+

+ i j 凉G1 g2,力 G,的，力 VG @£,律可，(1.56)

где V (г】一г2) обозначено через V. Далее, если 匕 V 打 то мы имеем

G[(力2,内)G (4 /=G1 02,玄)小(力2"；)殴(他).(1-57)

Таким образом, если определить теперь функцию С1+2 соотношением (относящимся к более общему случаю)

GQ也，也)=汨® М G1+2 (t^t^Git^ ⑵，(1.58)

то эта функция будет удовлетворять интегральному уравнению

G[+2 (& У) = XG](力 У)仇(力 У) + J dtiGi (^, t) G2 (^» 方)PG1+2 (力 У)・

(1.59) Отсюда явствует, что

iGi (f, t') G2 (i, f) = 1T)(i -f) exp [ - i (Ti + T2) (i- f)](1.60)

есть равновременная функция Грина для системы без взаимодействия, подчиняющаяся дифференциальному уравнению (1.14):

(Е 一 厶 _ 厶)沿工(右 У) G2 (t, У) = 6 (力一f).(1.61)

Следовательно,

(E 一 T]一厶)仇+2 (力y) = 6 (方一方‘)+ PR+2 (力人

(1.62)

а зто не что иное, как дифференциальное уравнение (1.53), написанное в матричных обозначениях:

也一北一北一 y]鳥+2 (力 y) = 6 (方一y).(1.63)

Здесь следует подчеркнуть, что в процессе нашего анализа предполагалось наличие промежутка времени, в течение которого существуют обе частицы сразу (力<>%&)• Если это не так (力< V ^>), то взаимодействие полностью отсутствует и функция Грина сводится просто к произведению одночастичных функций. Функции Грина для двух указанных областей сшиваются непрерывным образом.

Перейдем теперь к формулированию принципов действия, которые будут описывать взаимодействующую систему в целом, по крайней мере с точки зрения ее двухчастичных взаимодействий. Некоторые составные элементы у нас уже имеются — выражение для действия (4-11.12), отвечающее невзаимодействующим частицам:

%невзаим= - J ^1 И* (1)屮⑴+屮*⑴П⑴一屮*⑷侬一办屮(1)1-

-J d2 "⑵屮⑵ + 屮* ⑵ г] (2) — 屮* (2) (E-7% 叭2)], (1.64)

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ I 32s и примитивное взаимодействие (1.39):

%рим.взаим=-j源也屮*⑵屮*⑴卩(12)屮⑴叭2). (1.65> В принципе действия должно фигурировать также и двухчастич* ное поле 屮(12), но оно обязано входить таким образом, чтобы в отсутствие взаимодействия никаких его следов не оставалось, поскольку в таком случае ситуация полностью описывается полями 屮(1) м 屮(2). Поэтому мы введем поле

% (12)=屮(12)—屮⑴屮(2).(1.66)

Комбинируя дифференциальные уравнения (1.8) и (1.46), мы для этого разностного поля получаем уравнение

1(Е - Т)х (Е - Г% - iV (12)] х (12) = iV (12)屮⑴屮(2)・

(1.67)

Ив него видно, что источником поля х является первое взаимодей* ствие дотоле не взаимодействовавших частиц.

Сформулируем теперь соответствующий принцип действия, считая для простоты, что никаких добавочных источников поля % он не включает:

РИ»s Wневзаим*Ь ^прим. взаим + %Х,(1.68}

где.

%= -i j dl d2X* (12) [(E-r)t(E-T^-iV(12)] x(12)-

-j dld2[x*(12)K (12)屮⑴屮⑵ + 屮* (2)屮* ⑴卩(12) X (12)] • (1.69) Выбор именно такого выражения найдет свое оправдание в вытекающих из него следствиях. Полевое уравнение, получаемое варьированием %* (12), совпадает с (1.67), а при варьировании X (12) возникает аналогичное уравнение:

X* (12) [(Е - Г% (Е 一 7% - iV (12)]=屮* ⑵屮* (1) i У (12)・

(1.70)

Их решения могут быть записаны с помощью функции Грина G(12, Г2Л):

Х(12)= ( dl,d^G^, 1，2，)у(1，2，)屮(1')屮(2')，

；(1.71)

%*(Г2，)= J dl d2屮* (2)屮* (4)犷(12)6(12, 1'2)

В последнем из них мы воспользовались возможностью представить (1曲)в виде

G (12, 1'2) [(Е - Т)；(石一Т)； — iV (1'2‘)] = 6 (1,Г) 6 (2,2')・

(1.72)

Совместность этой системы подтверждается тем, что W% можно вычислить двумя разными способами, причем оба дают

жх = - J dl ... d2'W* (2) 2* (1) V (12) ZG (12, 1'2，)x

XP(1'2')2(1')屮(2').(1.73)

В сумме РГприм. взаим и W% между произведениями одночастичных полей стоит следующая комбинация:

iV (12) G (12,1'2‘)IV (1'2‘)+ ХР (12) 6 (1,Г) 6 (2,2‘)=

=(后一Г% (Е - J% G (12,Г27) IV (1'2‘)=

=(Е — Г% (Е — Г% G (12,1'2‘)(Е — Z)； (Е — Т)；—

一(石 一 Т)工｛Е 一 /% 6 (1,Г) 6 (2,2)(1.74)

при преобразовании которой последовательно использованы уравнения (1.48) и (1.52) для функции Грина. Последнюю комбинацию можно представить также в виде.

(Е 一 Т)式Е — Т% [G(12, 1 ⑵)一 G (1,1)G(22)](E—T)； (E 一 7%.

(1.75)

В итоге для явных выражений, отвечающих первой форме записи правой части (1.74) и ее записи в виде (1.75), получаем

И^прим. взаим + ЖХ=-J dl ... d2 纯* ⑵ 2* ⑴(E - Th X

x (E-r)2 G (12, Г20 V (Г2Л) ^ (Г) i|)(2Z)(1.76)

И

И'прим. взаим + И^х= i jdl ... d2 纯* ⑵旷⑴(E-办 (E — T)2 X

X [G (12, 1”，) 一G (1, lz) G (2, 2)] x

X (E — Л)；(я 一 北)；屮出)屮(2')・(1.77)

Исключив % и х*> мы теперь уже можем применить принцип действия к вариациям 屮 и 2*. Так, например, для 屮(2) из действия (1.76) получается следующее полевое уравнение:

(Е-Т)2 屮⑵一Т](2)= j di ...d2'^*(i)(E — ту (Е - Г)2 х

XG(12, Г2,)У(1，2,)1|>(Г)1|>(2/).(1.78)

В итоге возникает система нелинейных уравнений, которую можно решить методом последовательных приближений. Очевидно, что правая часть равенства (1.78) по крайней мере кубична по источникам (считая как испускающие, так и поглощающие источники). Если ее опустить, то благодаря стационарности действия W

ошибка при его вычислении будет иметь не четвертую, а шестую степень по источникам. Поэтому если в разложении вакуумной амплитуды нас интересуют члены второй и четвертой степени по источникам (описывающие одну частицу или пару частиц), то для полей 屮(1) и 1|)(2) достаточно взять решения, получаемые в отсутствие взаимодействия. В таком случае мы имеем

Wf — j dld'r]*(l)G(l, l?)n(l，)-J d2 d2%* ⑵ G(2, 2，)r)(2，) +

+ i j dl ...就可⑵不 d) [G (12, 1'2') —

(1.79)(1.79)-g(i, i，)g(2, гэзп^пСЗ')

(1.79)

(1.79)

и

(0+10_/* =l-i j dl dlV(l)G(l, l/)r](l，)-

—i J d2 d2%* ⑵ G (2, г^лСЗ^-

-j dl ... d2'r]* (2) г]* d) G (12, 1'2，) r] (1') r] (2，) + ….(1.80)

Как теперь видно, влияние члена четвертой степени в формуле (1.79) свелось к тому, что место функции Грина двух невзаимодействующих частиц заняла функция G (12,1,2/), в которой полностью учтено все взаимодействие.

В рассматриваемом случае, когда взаимодействия являются мгновенными, принцип действия может быть сформулирован также и с использованием равновременнбго поля 屮(rjJ) или, точнее, поля

X (*2力)=屮(*2t)-中(з)屮 ").(1.81)

Действие сохраняет общую структуру (1.68), причем теперь мы мйжем написать

%прим. взаим — 一 \ （而1）（及2）d方屮* （r2力屮* （门方）X

XPg-г2）屮（T由屮（4方）,XPg-г2）屮（T由屮（4方）,(1.82)(1.82)

XPg-г2）屮（T由屮（4方）,

XPg-г2）屮（T由屮（4方）,

(1.82)

(1.82)

но

%x= j (^ri) @2)山[X* (门Г由(后一T[-T*-p(门一г2)) X (г1г20 一

-x* (以r2力)?(门一r2)WG由中(电力)一

—2* (r“)屮* (门力)卩(门一0)%(32切.(1-83)

Уравнения для поля % имеют вид [V = V (гх — г2)]

(后一4 — T2 - Q % (厶f由=?屮(riO中餡力) (1-84)

И

%* (ГМ) (Е — 7\ —备一卩)=屮* (г炉)屮* (咽 V, (1.85) а их решения таковы:

% 83) = ((dr；) (dr；) drG(rir2t,r；r/)y (г；-г^ 屮(г；У)屮(#),

；(1-86)

%*(r；r；f) = j (drt) (dr2) diTp* (r2f)屮* (q尹也一出6(皿力 r；r；f). С помощью любого из этих решений для W% получаем

W% = — J 0П)... (dr；) dtdfif* (raf)屮* (г#) P(rj—г2) X

X G(rR2力 r；rf)P(r；-r；)W(r#')W(rp').(1.87)

Если добавить примитивное взаимодействие, то возникнет комбинация (используются матричные обозначения)

VG1+2 (力 У) Р + 6 (力—f) У = (Е - Т] — М)伉+2 (力 У)匕

(1.88) где в последней форме записи учтено дифференциальное уравнение (1.63). С помощью альтернативного его варианта

G1+2 (力 f) [Г 一 普-м - у] = 6 (方一У) (1.89) мы полностью избавимся от У и получим

(Е _ А _ М) с1+2 (力 У) (& -Л-备)-

一(Е —笃一厶)6 (f- У) = (Е - Т\ — Т^ [G1+2 (力 У) —

-蝎(力 У) G2 &, f)] (E' 一 a — TJ・(1.90)

Последнее выражение развертывается следующим образом: WnpHM. вазим+ w%= - J (g) • • • d^4* (г20 W* (门£)(右-驾一72)X

X [G(tM r；r；f) — iG (r^, r；f) G (r2f, г；，)] X 义⑷一窘-T,屮(#)W(r#)・(1.91)

Как было показано выше, теперь мы можем пользоваться полями, которые подчиняются уравнениям бег учета взаимодействия. В результате имеем

W f ТУневзаим — j @。. . . dt'^f (rtr2f) [G (“立力 Г；Г»') —

—猊(r#, b) G (г2г, г/)] n (r；r；f).(1.92)

Как и прежде, дополнительное слагаемое здесь служит для того, чтобы в соответствующий член вакуумной амплитуды ввести функцию Грина системы с взаимодействием [ср. с-выражением (1.80)].

систем,и отно-систем,и отно-mg +m通m工+m2mg +m通m工+m2ri—r2.ri—r2.(1.93)(1.93)

систем,и отно-

систем,и отно-

mg +m通m工+m2

mg +m通m工+m2

ri—r2.

ri—r2.

(1.93)

(1.93)

Как и всегда при рассмотрении нерелятивистских Еесьма выгодно пользоваться координатами центра масс сительными координатами

Соответствующие им импульсы равны

(1.94)(1.94)Р=Р1+Р2, р= 3丁m .

(1.94)

(1.94)

ri 1 e L 加1+加2

На основании обратных соотношений (М = пц + тп2)

(1.95)(1.95)门=r+方 a Г2 = h

(1.95)

(1.95)

Pi=登 Р + Р， Р2 = *^Р—р мы заключаем, что

北=北=т& Р2т& Р2Af 2MAf 2M6Р・Р+血，т”6Р・Р+血，т”Af 2MAf 2MJ-P.p4J-P.p42/па • (1.96)2/па • (1.96)

北=

北=

т& Р2

т& Р2

Af 2M

Af 2M

6Р・Р+血，т”

6Р・Р+血，т”

Af 2M

Af 2M

J-P.p4

J-P.p4

2/па • (1.96)

2/па • (1.96)

Отсюда вытекает известное разбиение полной кинетической энергии

北+ 4 = 务 +畳三？p + ?,北+ 4 = 务 +畳三？p + ?,(1.97)(1.97)

北+ 4 = 务 +畳三？p + ?,

北+ 4 = 务 +畳三？p + ?,

(1.97)

(1.97)

(1.98)(1.98)(1.99)(1.53) для(1.99)(1.53) для(1.100)(1.100)

(1.98)

(1.98)

(1.99)

(1.53) для

(1.99)

(1.53) для

(1.100)

(1.100)

где ц — приведенная масса, определяющаяся равенством

"一加/T叫・

Независимость движения центра масс от относительного движения находит свое выражение в свойстве факторизации функций Грина

G (г1Г^, r；rp') = iG (Ш, R'，)G (ri, r't').

Убедиться в этом можно, основываясь на уравнении функции Грина, которое здесь мы напишем в виде

[i ~-ТР-Т —V (г)] G (Rrf, R，r%) =

= 6(t-y)6(R-R，)6(r—Y).

Вводя фурье-образ

G(Rrt, R'r'f')= J 儔exp{〃P・(R—R')_爲＞«_尸)]}砲必 r't'),

(1.101)

334 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТР ОДИ НАМИК А II

получаем следующее уравнение, не содержащее Р:

[i -^― Г - 7 (г)] G (rf, rzf) = 6 (f - Г) 6 (г - /).(1.102)

Но это как раз и составляет суть равенства (1.99), в котором G(R& R'，) отождествляется с функцией Грина свободной частицы с массой М.

Собственные функции

^>Еа ⑺=^>Еа W 6Хр (—iEt),(1.403)

классифицируемые по энергии Е и совокупности прочих квантовых чисел, которая обозначается через а, являются решениями однородного уравнения для функции Грина

(Е~Т ^V)^Ea (г) = 0.(1.104)

Они обладают свойством ортонормированности, которое для состояний с дискретными индексами записывается как

j (ЙГ)ХрЙа (г) ^Ега*(Г)= ^ЕЕ,^аа,>(1.105)

Зная функцию Грина, можно указать все собственные функции, и, наоборот, из них можно построить функцию Грина. Чтобы доказать последнее утверждение, умножим обе части уравнения (1.102) на 屮乳 (г) и проинтегрируем результат. Учитывая затем уравнение

屮乳(г) (Е — Г 一 7) = 0,(1-106)

сопряженное с (1.104), будем иметь

«餐一Е) j (dr) #а (г) G (ri, г*Г) = 6 (t - Г) #о (rf). (1.107)

Решение этого уравнения для функции Грина таково:

j (dr) #о (г) G (rt, тЧ') = у т| (« — f*) ехр [ — iE (t — f)] ^а (г) (1.108)

Пользуясь затем свойством полноты, которое записывается в виде равенства

士屮Еа (Г)囉а (Г‘) =6 (Г —Г'),(1.109)

Еа

получим следующую формулу для функции Грина, выраженной через собственные функции:

G(W,r'?) =〉屮Еа(г)4"П«—Y)exp[ —iE« —t')]屮亂(г'). (1.110)

И наоборот, свойство полноты само может быть получено из сравнения (1.110) с предельным значением, которое дает дифференциальное уравнение и запаздывающее граничное условие:

iG(rt, r%)|jtJ+o = 6(r—г')・(1.111)

В соответствии с соотношением (1.99) мы можем вновь присоеди* нить движение центра масс и в итоге будем иметь следующее- разложение функции Грина:

6(门e2力rg') =

=2 WPEa(32)4"H«T')exp{ — Z ［务^+后］(力―У)}屮舐a(r£), PEa

(1.112} где

“РЕа(5)= ［^^Г exp (iP-R)屮改(「)•(1.113>

Эти собственные функции обладают свойством ортонормирован- ности

j (drt) (dr2)屮舐а (“2)屮P，E“ (r/2)= брр，%Е，6аа，.(1/14)'

Можно написать также

G (rj2t, Г；Г；Г) = уТ|(^ —f)2 ^Еа (rtr2f)屮舐а (<Г；Г), (1.115}

РЕа

где

屮РЕа (Г//)=屮pm(3?) ехр { — i ［詣 + Е］力} .(1.116}

Рассмотрим теперь разложения по собственным функциям для многовременных функций Грина, Напомним, что (при >£&》

G12 (^1^2)必 2)=XG(%>, *v) 6什2 (%<，％>) G (J,方<),(1.117)' где

G(£>, %<) = Gi(G,方2)+ 仇(方2,幻，,4 448)

G(J"2) = G2 (4,，) + G［(%；, 4),

причем матричные обозначения подразумевают интегрирования по всем пространственным координатам. Подставляя разложение (1.115) для 鳥十2 (力<，£«)，получаем

力V V 8： G(门52方2,工叫，)=

=—S 屮PEa (MJG)噬Ea (咽Г&),(1.119》

PEa

336 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II

где

屮реa (门厶е2方2)= i j (к) Gf (口片，门%2)"реа (门г2%2)+

+ " j (dl*2)©2 (「2*2, Q幻屮PEa (口「2幻，(1.120)

噬Ea (门厶32)= z j 0e)屮舐a KE幻仇(五友，r2勾)+

+ 力 j (&E)屮舐a (&2幻 G4(Г^2,门幻.(1-121)

Множители i введены с тем, чтобы выполнялись равенства

屮РЕа (厶勿2%) = 4Wa(¥2%), W$Ea 什声2%)=屮PEa (屮/)・(1422)

Как подсказывается самой конструкцией (1.119), многовременные функции являются собственными функциями однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.48) для функции Грина. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например (индексы квантовых чисел опущены),

(e 一 T)式e - T)2 w(以厶r2方2)=(i"^%) ib (G -%)屮(门r2*2)+

+ (“ 備',ib(%2 —幻屮(「＞2厶)=

=Z6 (勿一方2)(2i^— 7\ —北)4 (rir20 ,t=〃=t2 —

—& (厶一G)[屮(rir2^i) — W (г/%)].(1.123)

Поскольку

& (厶一％)[/(%) —/(%2)1 = —3 (厶一切 Г (0 |t=ti=t2»(1.124)

правая часть равенства (1.123) равна

方6(力一灰)(力"^—Ti —△)W(rjV)1力=〃=t2 ==

=ib (% — % У (ri — r2)屮 UM 心“=力.(1-125)

Учитывая первое соотношение (1.122), мы и получим ожидаемое уравнение:

[(Е — Г)】(Е - J% -.

—Z6 (%1 —力2)卩(Г1 一 г2)]屮(Г1^1Г2^2)=。，(1.126)

причем таким же путем получаем, что

W* (г心「2%) ® — T)i (Е — Т)2 —、

-i6 (左 一 ％) P (厶一r2)] = 0.(1.127)

Проводя аналогичные выкладки, можно представить в иной форме собственные функции. Так,

G （九 ％） G2 （f2）%） （Е — 厶一？2）=

=6 （力1 — О G2 （f2, %i） ~j~ 6 （% — £） G]（左，方2）, （1.128） откуда мы заключаем, что （используются матричные обозначения и опущены индексы）

W （厶%2）= " j dtG^ （ij, %）仇（%2, %） （E — M — ？2）屮（%）=

—i j dtGi （厶，t）仇（％,力）卩屮（%）•（1.129）

Последняя форма записи позволяет интерпретировать физически многовременные собственные функции с точки зрения измерений, проводимых （по окончании последнего воздействия） в системе свободных частиц. Аналогично имеем.

W* （中2）=力j dhp*⑴PGm力幻d（力方2）.（1.130）

Перейдем теперь к вопросу о том, как использовать многовременные собственные функции для записи условия ортонормиро- ванности. В качестве первого этапа некоего эмпирического исследования этого свойства рассмотрим произведение функций （в матричных обозначениях）

屮舐а （力也）=噬еа （厶）Л （勿一方2）ехр [-»7\ （% - %2）] +

+ 屮舐。 （力2）Л （方2 -幻 eXр [ 一 Х7\ （方2 -幻]（1.131）

И

Wp，E“（力也）=П （% — %2）exp [ — ITt （it 一 方2）] Wp，Ed （%） +

+ Л （方2 -幻 exp [ — XT2（方2 -厶）]加旧球（厶），（1.132）

а именно

^РЕа （%%2）W&E« （厶力2）—

=Л （%一方2）w齡X （幻 eхp [ - i （7[ +T2）（%一力2）] WFE3 （G） +

+ n （方2 -厶）^Реа （方2）ехр [ 一 Z （北 + 72）（%2 -厶）1 wp，E3 （%）. （1 -133）

В обычные соотношения ортонормированности, записанные либо в виде （1.114）, либо в эквивалентной форме

j （dr。（办2）嘅^ （吓2力）Wp，E，a，（中2力）=6pp'8EE'8aa>,（1.134）

не входят интегралы по времени. Но здесь имеются две временные переменные:片 и ^2 или, иначе,

方=*у（厶+%2）,工=厶一方2,（1.135）

22—0983

а это говорит о том, что необходимо интегрирование по относительному времени т. Отметим, что

屮舐а (* + ^т) ехр[ —"Т\ + Т2)Р 4W” 卜一■!〈)=

=Я^РЕа (О 6ХР [» ( ^^~7\ — А)工]Wp，EW«) (1.136)

И

屮舐а (力 1" т) ехр [力(Т[ + 7\) т] ^р^а* (^ + У т)=

=2舐а") ехр [ —« ”Е- — Л —^2)^]屮р®а，(%), (4.137) причем в первом из этих двух выражений величина* т должна быть по лож ител ьной, а во втором — отрицательной. Мы видим, что после компенсации эффектов, возникающих за счет интегрирования по т от ——оо до оо, множителем, пропорциональным х/2(Е + + Е‘) 一 Т* — Т2, вновь справедливо обычное условие ортонор- мированности:

$ j dT(dn)(赤2)屮舐a(г^г2力2)(包•岁——普一？!») WP，EW(r也m方2)=

=8pp»8^E^aaf-(1.138)

Более прямым путем можно прийти к такой структуре, рассматривая уравнение на собственные функции (1.126), в котором мы теперь напишем

Е^^Е + ЕХ, / = ^Е —见，(1.139)

где

Е=嗑，Ет=£^・(1-140)

Это дает

[4 (Е‘-Л-^2)2 _ (瓦一齿&■) 2 -话(Т) 7] Wp，E，a，= 0 (1.141)

и, аналогично,

^РЕа [^ (Е — Т[ —4)2 — (&^1 2~2 )—力6 (т) У ] =0.(1.142)

Здесь дифференциальный оператор Е заменен собственными значениями энергии, так как ими определяется реакция системы на общий сдвиг обеих переменных, при котором т остается фиксированным. Поэтому в формулах (1.141) и (1.142) в качестве переменных остаются г】,г2 и т. Теперь мы применим обычный способ — умножим каждое уравнение на функцию из другого уравнения, произведем вычитание и проинтегрируем разность по всем пере-

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 339 менным. В итоге получим

j dr (dr4) (dr2) 4^РЕа (ri^ir2^2)[(笈一M — ?2户一

一 (Ef 一 7\ — ?2)2] Wp企а，(Г1^Г2^2)~ 0,(1.143)

или

(E-E‘)j dr (drt) (dr2) ip?Ea (Г!^Г^2) (-Щ1 - л - ^2 ) X

X Wp，E，a，(1\厶r2"2)= 0。(1.144)

Здесь сразу можно узнать структуру выражения (1.138). Но чтобы фиксировать абсолютный множитель в условии нормировки, необходим проведенный ранее анализ.

Теперь нам известна в явном виде мно го в ременная функция Грина в двух не связанных между собой временных областях ^< >i> и £<<；»&• В первой из них две частицы существуют вместе в течение некоторого конечного интервала времени и функцию Грина можно представить в виде разложения по собственным функциям, задаваемого формулой (1.119). В другой временной области частицы вместе не существуют, а значит, они не взаимодействуют, и поэтому мы имеем

i< < i>: G(12, У2‘)=q(4,N)G(2, 2)(1.145)

Было бы желательно получить два эти выражения неким единым способом, исходя из какого-то одного выражения. Чтобы сделать это, применим интегральные уравнения, эквивалентные дифференциальным уравнениям (1.48) и (1.72), а именно

仇2 = && + G^V (12) G^(1.146)

И内

氏2 = G1G2 +：伉2力 v (12) G6a(1.147)

которые записаны в четырехмерных матричных обозначениях fcp. с формулой (3-12.21)]. Комбинируя их, придем к уравнению

Gi2 = GA + G^V (12) G62 +

+ G^V (12)；Giai7 (12)氏偽，(1.148)

которое фактически содержится также и в (1.74). Обратимся теперь к трехмерным матричным обозначениям и напишем это уравнение в развернутой^форме:

伍2(厶方2,中2)=伍(方1，力i) G2 (%，方;)+

+ J 近伍(％, 0 G2 (%, i) iVG, (f, 4)G2 (i, t；) +

+ j 或 dt'Gt (%,力)G2(?2, t)iV IG1+2«, У) x

X 卩伍(匕 QGz&，4),(1.149)

22*

где учтено, что в последнее слагаемое входит равновременная функция Грина

G1+2 (力，)=^ П « —，) 2 屮⑴屮* «')•(1.150)

Фигурирующие здесь величины * (Е) представляют собой собственные функции (1,116) с опущенными для простоты индексами. Заметим, далее, что

飞《 — ») Е W (%) W* &) = П (% — У) (Е—7\—?2)Е W (力)W* &)=

=(Е — 7\ — Т?) П (* —尸)E W (0 W* (%') — i6 (f — У), (1.151)

где использовано однородное уравнение для собственных функций (ё一北一北一T)屮0)=0, E = i 备， (1.152)

и условие полноты

工 W(£)W*«) = L ■(1.153)

Получаемое таким способом дополнительное слагаемое с дельтафункцией компенсирует линейный по V член в формуле (1.149). Кроме того, вспомним, что

仅(小 i)仇(％, t)(E-T 工一 TJ =

=6 (友一 0 % (% 幻 + 6 (% —力)仇(九 ％).(1.154)

В итоге мы приходим к следующему преобразованному выражению:

伉2(力拉2,巾;)=Gi(方i,$;)/ (力2, %；) +

+ j 出 dtr [6 (友一方)G2(方2,幻 + 6 (»2 -%)G1 (厶，力2)] X

Хn« 一 y)2 叭方)w*(方‘严仇(匕 QG^.t^ (1.155)

Чтобы полностью исключить V, будем действовать аналогичным образом и напишем

S 屮⑺ W* (/') n «—，)卩=士屮⑴ ^* (О (Е'-т^ 鎧)n « Т')=

=±2⑴屮* "')M (/一方')(砂-Л-Т2)一治«-1'). (1.156)

Комбинируя это равенство с соотношением

(Е'一北一北)俏(厶4)G2&,切=

^bit'-t^G^,切+ 6(У —%)俏(4,玄)，(1457)

§ 1. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 341 получаем

G]2 （厶力2，％%）=

=伍（з％；） g2 （%，玄）一牆（亳,玄）伉（力2,友）仇（厶，/一

—鴨（厶，幻 С/%，）G2（%2, "） +

+ J（S dtl [6 （友-t）仇（方2,厶）+ 6 （%2 一 %）伍（厶，方2）1 Л （*一尸）X

X2WG）W*&）[6&_g仇胤g+6&一4）伉蜀幻b （1.158） или

G]2（%#2,方拉2）="

=[伍色，4）一治1 （厶，％）伍（方2, 4）] X

X [G2 （^2j Q 一冶2'（方2,厶）伉（以，4）]-

一n（力V - ^>） 2 屮（厶方2） W* （4%），（1.159）

В последней форме записи мы учли, что произведение 仅（々,％2）^2 （%2，左）равно нулю и что после двукратного интегрирования по времени 方近 У заменяются на i< и i>, а также приняли во внимание выражения （1.120） и （1.121） для многовременных собственных функций. Относительно входящей сюда комбинации функций Грина свободных частиц напомним, что

力 >У >，'： G 储 t"）=沿（力 У） G&, t、,（1Л60）

причем произведение в правой части обращается в нуль, если временные переменные расположены в другой последовательности. Следовательно, слагаемое в формуле （1.159）, отвечающее свободным частицам, равно нулю, когда 々 >% >玄 или % >今 > 匀， чему соответствует неравенство £< >%«； в противоположном же случае, когда %< V ^>, равно нулю произведение двух функций Грина одной и той же частицы. В результате мы получаем выражение, которое и ожидали:

伍2 （厶方2,方嵐）=n （方& -%）G& （厶，玄）仇（£2,玄）—

-n （%-J） S W（方也）屮 * （t制）.（1.161）

Состояния двухчастичной системы распадаются на две разные группы: при Е >0 имеем состояния рассеяния, а при Е V 0 — связанные состояния. Каждое из последних отвечает составной частице, которая при принятом здесь упрощенном описании выступает в качестве некоторой стабильной частицы. Мы должны теперь убедиться в непротиворечивости нашей теории ——составной характер частицы не должен сказываться на ее феноменологическом описании. Обратимся к формуле （1.79） и выделим из члена ТУ, имеющего четвертую степень по источникам,

вклад в G (12, Г2') какого-то определенного связанного состояния, используя с этой целью выражения (1.148) и (1.149). Без особой строгости в обозначениях будем иметь

恥。ст. част = z J <и …d2't]F2) п* ⑴ G,Gz/ (42) ； X

X 仇+2 |связ. сост犷(42) G1G2n(l，)Tl(2，).(1.162)

где, согласно формулам (1.99) и (1.110),

^1+2 |связ. сост — G (R^, R'，) 2 (г力)2* (г'У),(1.163)

а

"(⑴=屮(f) еXр (一咕力)(1.164)

есть собственная функция рассматриваемого конкретного состояния. Выделяя затем движение составной частицы как целого, получаем

ТУсост. част= - j (Ж) dt (<Ж') dfT]* (Ri) G(Rt, Rzf) n (RG‘)，(1.165) где

П (Ri) = J (dr) dr d2^* (ri) V (r) G^, Г) x

XG2Bt,2')n(l')“(2'),(1/66)

ri* (Ri)= j (Л) dr ^2^* (2Z) n* (V) <?i (Г, гЛ X '

X G2 (2\ r2f) V (r)屮(г, i), а [соотношения (1.95)]

〃 = R +贵 r， 3R-齐. (1.167)

Структура действия (1.165) оказывается такой, какой она и должна быть [ср. с формулой (5.1)], но феноменологическая схема будет замкнутой лишь в том случае, если т] (R^ и “* (Ш) в действительности являются комплексно-сопряженными величинами. Это утверждение будет справедливым, когда для одночастичных функций Грина эффективно^выполняется соотношение

G (ri, “尸=G (т%, К)・ (1.168)

В полной аналогии с тем, что говорилось по поводу выражения (1.30), а также выражения (1.41), для этого необходимо, чтобы при условиях, которые характеризуют действие источников составных частиц, не распространялись никакие одиночные реальные частицы. Такое требование заведомо выполняется, если ни один из одночастичных источников не способен испускать или поглощать реальные частицы. Приведем также явные выражения

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. НЕРЕЛЯТ. АНАЛИЗ | 343 для источников какой-то определенной составной частицы,

% =[器]"[(&R)山 exp [ — Z (Р• R — Тр切外(Ri), (1.169)

片=[舞]"J @R)dW(&)exp["P・R-Tp 川

которые даются равенствами

S = j (d门)(dr2) dt dl' d2'屮S (口r2力)V (r)d(h力 r) X xG2(r2^ 2，)"1，川(2%-(1.170)

薛=j (d门)(质2)血d1气2‘展(2‘)n*(l')G](l'，门方)、x

xGzQ', r2^)V (г)屮p (门必力)，(1.171)

где 屮р (厶口%) — собственные функции (1.116). Мы видим, что сюда входят комбинации, отвечающие многовременным собственным функциям (1.129) и (1.130) (напомним, что в этих последних формулах использовались матричные обозначения), и, таким образом,

一 Хт]р= f di d2^(12)n(l)n(2),

； (1.172)

ir]^= I dl tZ2r]* (2) T]* (1) ipP(12).

Подобные многовременные конструкции возникают также и при подстановке в формулу (1.79) разложения по собственным функциям (1.119).

В данном параграфе не встречалось каких-либо определенных ссылок на бозевский или фермиевский характер источников. Некоторого комментария требует лишь связь статистики сложной частицы со статистикой составляющих ее элементов (см. т. 1, стр. 319). Произведения двух коммутирующих величин или двух антикоммутирующих величин будут объектами, полностью коммутирующими: если два составляющих элемента подчиняются статистике одного и того же типа, то сложная частица является бозоном. Произведение коммутирующей величины с антикоммутирующей дает антикоммутирующий объект: составные элементы с противоположными типами статистики образуют сложную частицу, являющуюся фермионом.

Имеется один интересный способ символического представления решения уравнения (1.48) для многовременной функции Грина. Его подсказывает нам рассмотрение первых двух слагаемых выражения (1.148), которые к тому же оказываются и начальными чле-

нами итерационного решения:

G(12, 1'2') = G(1, 4')G(2, 2') +

+ j did2G(l,i)G(2, 2)гГ(12)С(Т, Г)б(2, 2Z)+ ... (1.173) Вернемся к уравнению для одночастичной функции Грина и введем в него член с произвольной потенциальной энергией ——некоторой функцией пространства и времени:

[Е — Т 一 V (1)] Gv(l,r)= 6 (1, Г).(1.174)

Бесконечно малое изменение величины V (1) оказывает следующее влияние:

归 一 Т 一 р(1)] sGv(1, Г) = 3卩(1)Gy (1, Г),(1.175)

а решение этого дифференциального уравнения имеет вид

6Gy(l, Г) = j dlGy(l, T)67(l) Gy(i, Г).(1.176)

Для записи этого дифференциального выраже耳员я мы будем использовать символ функциональной производной

"°^岁= G'a")G'(i，")•(1/77)

Если после дифференцирования (1.177) положить вспомогательную функцию V (1) равной нулю, то мы получим как раз произведение двух свободных функций Грина, входящее (для каждой частицы) в разложение (1.173). Поэтому последнее мы можем записать как

G(12, P2，) = G(1, Г)б(2, 2) +

+ i [ did2—^-7(12) -^-Gy(l, T)GV(2, ^)+….

(1.178)

Естественно предположить, что влияние бесконечного числа последовательных актов взаимодействия выражается экспоненциальным оператором, первые члены которого указаны в формуле (1.178):■

G(12, r2^eXP[fjdld2^-r(i2)^-]x

XG「(1, 1，)GV(2, 2，)j(1-179)

Убедимся в справедливости этой гипотезы. (Аналогичный квантовомеханический анализ, основывающийся на принципе действия, можно найти в книге J. Schwinger, Quantum Kinematics and Dynamics, W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park, 1970, § 7.9.)

В соответствии с уравнениями типа (1.174) мы имеем

(Е — Т)1(Е — Т)2 G(12, <2) =

п exp[ ]{6(1, ") + М1)(?】1,г)}{6(2,2，)+M2)6V(2,2，)}%=0 =

= 6(1, r) 6(2, 2，) 十 eXp["⑴?⑵矿(1, gGУ⑵ 2，)1口，

(1.180)

где квадратными скобками обозначен функциональный дифференциальный оператор, фигурирующий в формуле (1.179), и учтены упрощения, возможные для членов, не содержащих одновременно У (1) и У (2). Заметим теперь, что имеет место равенство

{ехр[ "(1)=卩(1)ехр[ ]+ехр[]订羽卩(12) ^^, (1.181)

которое вытекает из следующего свойств а функциональной производной:

60⑴_ MD 一60⑴_ MD 一6(1,1),6(1,1),(1.182)(1.182)

60⑴_ MD 一

60⑴_ MD 一

6(1,1),

6(1,1),

(1.182)

(1.182)

соответствующего тождеству

6卩⑴=J dl67 (1)6(1, 1),(1.183)

После того как величину V (1) мы поместили слева от всех функциональных производных, ее можно положить равной нулю. На первом этапе проведения той же схемы для V (2) используется соотношение .

z j羽卩(1商_^m2)=?⑵订羽卩(^)^^+犷(12). (1.184)

Применяя теперь равенство, аналогичное равенству (1.181), получаем.

[出一7)](月-7)2一干(12)]、6(12, г2)-3(1, r) 6 (2, 2)=

=-ехр[ ] j 疯况7(12) V (21) х

X 岛矗 gV(1,，，)GV(2,2，)|『.(1.185)

Согласно формуле (1.177), для входящей сюда второй функциональной производной имеем

—，)G“ ⑵ 2，) =

=G° (1, 1) G° (彳“)Gv (2； 2) G‘ (2, 2)(1.186)

Здесь решающее значение приобретают мгновенность взаимодействия и запаздывающий характер функций Грина. Дельта-функции времени, входящие в У, требуют, чтобы выполнялись равенства

% =九 左=%•(1.187)

Следовательно, в произведении функций Грина в формуле (1.186) содержится множитель

G,(力M)Gf(%,幻=0,(1.188)

так как

П (左—%) П (% — *) =。(1.189)

всюду, кроме отдельной точки 左 ——t2 = 0, которая не дает отличного от нуля интеграла по времени. Этим и завершается проверка представления (1479).

Мгновенный характер взаимодействия можно учесть явным образом, записав выражение (1.179) в виде

G (12, ”2，) = ехр 凉隔)(“ ^ 叫 £) ^] X 疗(1")6勺2,2，)1"0.(1.190)

Можно также перейти к равновременной функции Грина:

『G(y^, г；г；Г) = ехр [ ] G%，2 (Г1г2^ г；г；Г) |v1>2=o,(1.191)

где-'

(E-Ti - ?2-%一%)或32 ("2& F；r#') =

=6 (力一 Г) 6 (口一工)6 (г2 -г；).(1.192)

Чтобы прямо вывести дифференциальное уравнение (1.53), применим предыдущее уравнение для 6卩厶2：

.{Е — 7\ —?2)G (口3力 &；£') 一6(% —"У) 3 (rj —г；) 6 (r2 —г；)=

, =eхp[ ] {匕(哨 + %(喇}GKqM 工旷)1、尸，(1.193)

а затем, воспользовавшись равенством (1.181), представим правую часть в виде

ехр [ ]{[闽)卩(以-&) Z + [(d£) V^ -r2) i —X— } X { J0У2 (r尚J -0И1 (rji) /

x GQ，2 (厶臓，г；г^)|у1)2=0.(1.194)

Далее, рассмотрим двухчастичный аналог соотношения (1.176),招/爲(门立力,Th，) = j d彳(dr0 (公2)G'n (门3% ri r2i) x

X [6匕伍冃 + M (ff)] gQ，2 ^it, r；f),(1.195)

который в функциональных производных записывается как

身詣黑严 =j (血2)gF(w也EMG%呜前г:#)

*-(1.196)

и

^Bh^-^

(1.197)

Чтобы преобразовать выражение (1.194), нам нужно вычислить эти функциональные производные при 力=力 причем подразумевается, что берется среднее арифметическое двух предельных значений при ^ -> i ± 0. Вспомнив, что

6(¥2力г广2e + 0) = 0,

一一 £ 一 一 (1.198)

G (门『2厶 Г1 г2^ —0) = — 6(Г1 —门)6(г2— г2),

мы будем иметь

Иш 冶(门【2力不斤2分=4 б(Г1 — Ft) 6 (г2 — Е),(1.199)

и тем самым

6gp32 &1r2力 г；гЗУ)5匕 G")6g‘32 (r1rl力 巾步)6% (%)6gp32 &1r2力 г；гЗУ)5匕 G")6g‘32 (r1rl力 巾步)6% (%)(1.200)(1.200)= ^3（h—X）G%，2（rir2i, г；г；Г）,=彳'（°2—「2）G“，2（Т］『2力 Г；Т；，）・

6gp32 &1r2力 г；гЗУ)5匕 G")

6g‘32 (r1rl力 巾步)6% (%)

6gp32 &1r2力 г；гЗУ)5匕 G")

6g‘32 (r1rl力 巾步)6% (%)

(1.200)

(1.200)

В результате, как и можно было ожидать, мы для правой части равенства (1.193) получаем

V (Г1 - г2) G (Г1г^, г；^')-(1.201)

Пока что мы рассматривали только взаимодействие двух разных частиц. Нужно сказать несколько слов и о тех модификациях, которые возникают в случае, когда две частицы тождественны. Если исходить из выражения

"невзаим = j dl dlf^(l)G{l, V)n(l'),(1.202)

то для квадратичного члена в разложении экспоненты ехр [гЖнеЬзаим! мы будем иметь

Т j (И …&2'瞋⑵ n* (1) G (1, Г) G (2, 2，) n (Г) n (2，)，(1.203)

где цифры 1 и 2 уже не относятся к разным сортам частиц. Это выражение можно переписать в виде

-j ^—^Tl* (2)Т1*(1)6(12, V2')n^K^')^), (1.204) причем

G(12, Г2%евзаИМ = С(1, r)G(2, 2‘)士G(l, 2')G(2, 4) (1.205) где в явной форме учитывается тип статистики рассматриваемых частиц (знак плюс отвечает бозонам, а минус — фермионам). Соответственно этому двухчастичная функция Грина обладает определенными свойствами симметрии (имеющими место и в общем случае, а не только в отсутствие взаимодействия):

G (12, 1'2‘)= 土 G (21, 1'2‘)= 土 G (12, 29)・(1.206)

Тем самым подразумевается, что благодаря множителям % в дифференциальных элементах объема не учитываются дважды тождественные частицы. Функция Грина (1.205) подчиняется дифференциальному уравнению

(Е-Т)](笈一 7%G(12, Г2‘盅 взаи^н

= 3(1, Г) 6(2, 2') ±6(1, 2，)3(2, Г).(1.207)

Теперь уже становится совсем ясным, что справедливо следующее общее правило. Все предыдущие результаты переносятся и на случай тождественных частиц. Для этого нужно заменить дельтафункции соответствующим образом симметризованными комбинациями, которые указаны выше, а, кроме того, все интегрирования следует проводить так, чтобы одни и те же частицы не учитывались 2 раза..

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ I

Прежде чем приступать к построению релятивистской теории частиц, взаимодействие между которыми обусловлено электромагнитными силами, напомним некоторые моменты теории скелетного взаимодействия, изложенной в гл. 3, § 12. Нас будет интересовать многофотонная аннигиляция частицы и античастицы со спинами %, а также обратное превращение. Таким процессам соответствуют члены скелетного взаимодействия (3-12.17), приведенные в формулах (3-12.24). Первые два из них можно представить в виде вакуумной амплитуды:

(2.1)(2.1)гЖ21= t j (&0 4"(况)几(况)Ь赫,

(2.1)

(2.1)

力力22^^/ j (及)(d成)4"(%) ЛV {xr) J^{x)Jv (zz) ,Эфф,

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 349 где эффективные фотонные источники таковы:.

人 3) I эф巾=彳屮 ® Y°也7珅(2)(2.2)

И

/ (土)人(土‘) |эф@ = 4" №土) Т°еду0 (土 一 е') 5M5 3) +

+ 屮侬)T^gVvG» 3' — z) «Yu 屮 ®] •(2-3)

Поскольку происхождение этих комбинаций связано с разложением члена взаимодействия

w2.“ = 4 j(〃)(上')n ⑶ Y唱: (瑞吟 n 侬)，(2.4)

они допускают более компактное и единообразное представление с использованием вариационных производных:

几(2)3 = J- 64：⑺ 期2..i |а=0,

人(2)Jv(e') 18фф= ； 64：(吟 £ 64V；〃，,w2"，b=o。(2。5)

Отсюда видно, в каком именно смысле (1/г) б/бЛ^ (况)играет символическую роль источника многофотонного испускания (или поглощения). Все подобные выражения содержатся в функциональной форме записи разложения в ряд Тейлора

部2,,. = ехр 口 j (龙)Лц ⑹;血i?(§, ] у j @) (") К (с) Y° X

X G，' (z, 2') T] (2，)|4，=o.(2.6)

В гл. 3, § 12 отмечалось также, что при использовании некоторых определенных калибровок для фотонных функций распространения не возникает никаких проблем, связанных с излучением фотонов источниками заряженных частиц. В нашем случае это обстоятельство находит свое выражение в записи

4"(2)= j (dx') D^v (ж - x')Jv 3),(2.7)

где D^ — функция, даваемая формулами (3-12.8) и (3-12.9). От более простой комбинации g^D^- {х —— 况‘)эта функция отличается калибровочными членами, соответствующими одному или обоим векторным индексам р, и V. Конкретные детали мы напомним ниже..

Интересующая нас в данном параграфе система состоит из двух заряженных частиц разного сорта, спин каждой из которых равен 工，2 员 которые нумеруются индексами 1 и 2. В отсутствие

350 I ГЛАВА 5. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА II

взаимодействия они описываются вакуумной амплитудой

口 ^ j @)@，)1](2)Y呜+(2-2，)Ti3)][i^ j (de)@，)n(2)X

X 丫唔+ (z —z)'』3)] = — ｝ j @1) ... (de；) n &) П (勺)X

X W%G+ (/ —名)G+ (g —砌 П (6) 11 (N),(2.8)

которую мы выразили через двух частичную функцию Грина

G+(立口2,况产2)невзаиm = G+(/["—"J G+(况2■-立*)•(2-9)

Влияние взаимодействий можно учитывать по-разному, рассматривая разные причинные последовательности. Мы выбрали такой вариант: частица и античастица сорта 2 аннигилируют, давая произвольное число фотонов, которые затем рекомбинируют, порождая частицу и античастицу сорта 1 (и обратный процесс). Скелетное описание этих процессов дает нам величина (2.6); в отбрасывании формфакторов для различных актов взаимодействия и состоит суть скелетной схемы. Кроме того, сопоставляя фотонам, которыми обмениваются частицы, простую функцию распространения D+ (проблема калибровки пока не затрагивается)» мы также применяем скелетное описание. Процессы обмена сколь угодно большим числом фотонов символически представляются в вакуумной амплитуде множителем

eхp["(啕繼，汁俞。+位 t*；备｝ (2.10)

действующим на ту ее часть, в которую входят частицы. Последняя же совпадает с величиной (2.8), если функции распространения заменить их выражениями, в которых учтено влияние электромагнитных полей 4｝炉 в соответствии с уравнениями

[Y (f G —匆4)+m]把’(勺，g)=6(土1-不),

(2.11)

[T什 a-e叫十 m]2 G：色%) = 6(3-g.

В результате мы получаем некое символическое представление 、двухчастичной функции распространения, в котором собраны все рассматриваемые скелетные взаимодействия:

G* (z<g, @；) = ехр [ — i j (我)(阳)鼎闺-D+ (5—^)^ *

X 謁丁] G* 的 砲 G" &, %)瓦,『0.(2.12)

§ 2. ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. РЕЛЯТ. ТЕОРИЯ I | 351

Мы записали эту функцию в пространственно-временнбй форме, исключив тем самым всякие ссылки на исходную причинную последовательность.

Здесь имеется совершенно очевидное сходство с нерелятивистским выражением (1.179). Поэтому при выводе дифференциального уравнения сначала можно действовать аналогично предыдущему:

(у у 5 + т^ (у ia + m.^G+^i^, 2；喲=

= ехр[ ] [6 (ж—жх) + eqyA (ж) Gf (ж, х')^ [6 (х—х') +

+ eqyA (ж) G, (е, ж*)]2 瓦, 2=о = 8 (勺 nJ 6 (立2 g) +

+ exp[ ] [едЛ (ж) G^ (ж, x')}i [eqyA (ж) G^ (ж, х')]2 (л1( ,=о •(2.13)

Следующий шаг состоит в использовании тождества

eXp[]川代)=企阳 eхp[ 1 十 eхp[ ] X

“(阳)А(ЕТ')“哼壷，(2」4)

которое вместе с аналогичным равенством для 4』дает нам [(Y；a+m)i (Y^a+加)2一7⑴("，g)]啖(2口2,g名)一

— 8(^1 — K) 6 (& — W) = — exp [ ] j (龙)(dg) (eg?快 X

X (e纣)2 □+(，< — F)n* 2 (g — EM x

X M：(E)bjg) G*('*，'；)G+2⑸，W)瓦,a=o> (2.15) где

/(D (ж^а)= — i(e^)iD+ ^ — x^^eq^.(2.16)

Из соотношений (2,11) вытекает дифференциальное уравнение

(?□ + zn) 3G? 3 х) = едуЗА (%) & (%，當')，(2.17)

решение которого имеет вид

6G, & 2，) = J (啕 G/ (土, В) eqy8A^)G, &吟.(2.18)

Через функциональную производную этот результат выражается следующим образом:

怨騎)=G： (х, § eq^Gt 借 d)..(2.19)

[Примером данного соотношения может служить эквивалентность первого из утверждений (2.5) определению (2.2).] Итак,

в полной аналогии с формулами (1.185) и (1.186) для правой части равенства (2.15) получаем

—ехр [ ] j (闺(电')(еду") 1 (egyv” D+ (/ — g 肤。+ (g—%* X

'X G) (/, E) (e严),G) (&, %) G} (&, g) x

X(egY%G)(g,硝瓦,尸・(2.20)

Однако на этом и кончается сходство с нерелятивистским случаем. Фотонная функция распространения не переносит мгновенного взаимодействия, а функции распространения частиц не удовлетворяют запаздывающим граничным условиям. Появление же в выражении (2.20) четырех функций распространения частиц означает, что в процессе отыскания С+ (力工力2，力；力；)вводятся новые классы функций распространения. Таким образом, в релятивистской области нет прямого аналога двухчастичному уравнению нерелятивистской теории, если не считать понимаемых в не совсем точном смысле некоторых приближенных схем, связывающих комбинацию (2,20) непосредственно с двухчастичной функцией Грина. Пример такого рода схемы возникает в том случае, когда мы различаем множители из функций распространения G} (Е, 2；) G絹(匕"；)и Gfl (勺，占)彎2 (g, F). Первым из них ■ описывается распространение частиц из области, где они первоначально родились, в область, где происходит процесс двухфотонного обмена, который учтен в формуле (2.20), тогда как второй множитель соответствует частицам, участвующим в процессе взаимодействия. Возможно, что при определенных условиях дополнительные взаимодействия между частицами (которым отвечает множитель ехр [ ]) весьма малы в течение процесса двухфотонного обмена, хотя ими заведомо нельзя пренебрегать во время предшествующего существования этих частиц. В таком случае мы для величины (2.20) получим приближенное выражение

(2.21)(2.21)，（此）（dg） /（2）（z口2, 2口2）G+〈ga：2,"匐,

(2.21)

(2.21)