ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Термин "квантовая хромодинамика** (КХД) стал одним из самых популярных в физической литературе, посвященной взаимодействиям частиц. Так на-, зывается теория взаимодействий кварков и глюонов — основных составляющих сильновзаимодействующих частиц (адронов). Фактически КХД ядляется единственным серьезным кандидатом, претевдующим на описание,структуры адронов и процессов их соударений.

Историю КХД можно разделить на три десятилетних этапа. Около 30 лет назад (в 1954 г.) были сформулированы основы неабелевых калибровочных теорий — фундамент КХД. Понятий "кварк” и пглюон" тогда еще не существовало. Они появились спустя десять лет и вначале никак не связывались с математическим аппаратом неабе;левых теорий, казавшимся в то время чисто формальным- Понадобилось еще почти десятилетие, ито向 синтез этих двух идей привел к формулировке КХД — существенно нелинейной теории взаимодействия кварков и глюонов — объектов, не наблюдавшихся в свободном состоянии, но входящих в состав адронов и полностью определяющих их взаимодействия.

Существенная нелинейность теории, проядляющаяся в самодействии глюонов, приводит к важным физическим следствиям. Одним из них ядляется свойство "асимптотической свободы**, т.е. уменьшение "константы” взаимодействия кварков и глюонов при их сближении до очень мдлых расстояний. Оно играет важную роль в процессах с большой передачей импульса и облегчает теоретикам задачу вычисления характеристик таких процессов, допуская применение методов теории возмущений.

Вместе с тем на "больших" расстояниях (> 1 ферш = 10 *13см), видимо, эта же нелинейность приводит к таким силам между кварками и глюонами, которые не пожоляют этим объектам появляться в свободном состоянии. Именно трактовка эффектов, связанных с брльшими расстояниями, является Мкам- нем преткновенияп КХД; с нею связаны основные нерешенные проблемы. А важность этих проблем нельзя недооцтшать. Даже в упомянутых выше "жестких" процессах с брльшой передачей импульса между кварками или глюонами в экспериментах наблюдаются лишь их совокупности — адроны, а не кварки и глюоны сами по себе. Значит, процесс перехода от языка кварков и глюонов к языку физических адронных состояний дрлжен быть строго описан в рамках теории. Но эти превращения происходят на достаточно больших расстояниях, где в нашем распоряжении пока нет адекватного математического метода решения уравнений квантовой хромодинамики.

Таким образом, квантовая хромодинамика еще находится в периоде ста- нодления. Вместе с тем многие важные вопросы здесь уже выяснены, и полученные теоретические результаты применяются при интерпретации и писании экспериментальных данных. Книга Ф. Индурайна подводит итог десятцлет- нему этапу развития КХД, достаточно полно отражая все успехи и пока еще не поддающиеся решению проблемы.

Поскольку эта книга возникла в результате обработки лекций, читавшихся студентам, изложение в ней построено по принципу перехода от простого к сложному с подробным раз>яснением всех вновь вводимых понятий. Предпрла- гается, что читатель уже знаком с оснсжами квантовой теории поля. Используется стандартная операторная формулировка квантовой хромодинамики и лишь в конце книги уделено некоторое место функциональным методам. Естественно, что при сраЕНительно небольшом объеме книги автору пришлось ограничиться наиболее разработанными частями КХД.

Две главы книги отведены примориям КХД к жестким процессам и к структуре адронов, т.е. помимо расчетов по теории возмущений автору приходится упоминать и о методах, выходящих за ее рамки. Однако многие из них еще не доросли до того уровня, который позволил бы включить их в учебную Литературу, поэтому они лишь кратко упоминаются. Читателю, желающему подробнее ознакомиться с этими подходами (например, с решеточными моделями, с 1,/N-ра^ложением и т.п.), придется обращаться к обзорным статьям в журналах цли же к другим более специализированным пособиям по квантовой хромодинамике. Сейчас уже имеется окало десяти книг на русском языке, которые в той цли иной мере касаются вопросов, рассматриваемых в книге Индурайна, трактуя их иногда под несколько другим углом зрения. Поэтому можно сказать, что учебная литература по взаимодейс гвиям кварков и глюонов достаточно обширна, чтобы подвести читателя к изучению обзорных и оригинальных статей по затрагиваемым здесь проблемам. Несомненно, книга Индурайна займет в ней одно из центральных мест.

Она будет весьма полезна студентам старших курсов и аспирантам, специализирующимся по теории взаимодействий частиц, при изучении ими современных методов расчета в квантовой теории поля. Конечно, и специалисты, уже активно работающие в этих направлениях, бу^гт использовать ее как краткое справочное пособие по основам квантовой хромодинамики и ее приложениям ко многим адронным процессам на современном этапе развития этой бурно прогрессирующей области физики.

Для издания на русском языке автор несколько переработал и дополнцл отдельные главы книги с учетом последних достижений квантовой хромодинамики. При переводе 6blли устранены замеченные неточности и опечатки. В ряде мест даны небольшие примечания, поясняющие мысль автора цли используемую терминологию.

И.М. Дре мин

Около тридцати лет назад, в 1954 г.., Янг и Мм』лс опубликовали результаты своих исследований по теории калибровочных полей [276]. Сейчас можно почти с уверенностью сказать, что ражитая на этой основе неабе；лева калибровочная теория — квантовая хромодинамика — способна адекватно описывать процессы, происходящие при сильных взаимодействиях частиц. И хотя мы еще не до конца понимаем содержание квантовой хромодинамики, но уже получены важные теоретические результаты, многие из которых подтверждены экспериментально, пожоляющие дать п ос ледов ательну ю и непр отиворечиву ю интерпретацию кхд.,

Конечно,,любое изложение КХД нельзя считать полным, так как сама теория еще раживается. Это нашло свое отражение в выборе вопросов, рассмотренных в книге. Я пытался обсуждать только те аспекты теории, трактовка которых, по-видимому, не изменится в будущем, В частности, рассматривались только те результаты, вывод которых из "первых принципов” требует минималь" ного числа произвольных допущений. Несомненно, мои личные склонности также подлипли на выбор излагаемого материала. .Любой из нас неизбежно стремится удалить больше внимания предмету, с которым он хорошо знаком, и избежать обсуждения вопросов, в которых он не является специалистом. Я не буду останавливаться на перечислении тех вопросов, которые, может быть, следовало включить в книгу (см. § 46)"・ Список литературы должен в некоторой степени восполнить эти пробелы.

Данная книга возникла из цикла лесций, которые я в течете нескольких последних лет читал студентам ст 叩ших курсов. Она отражает вводный и педагогический ха- pawrw этих лекций. Я попытался написать логически замкнутый текст, в котором по возможности не было бы вьражиий типа "можно показать, что …” или "как х<^)ошо известно, ・・・”・ Однако я предполагал, что читатель знаком с основными понятиями теории поля и методами феноменологического описания элементарных частиц； при этом я не сомневался также, что иногда ему все-таки придется обращаться за помощью к литературе.

” Больше всего я жалею о том, что опускаю рассмотрение КХД на решетке. В то время, когда я писал первоначальный вариент этой книги, КХД на решетке еще не испытала того бурного развития, свидетелями которого мы являемся в последнее время. К сожалению, детальное изложение этого раздела хромодинамики вызвало бы чрезмерную задержку сроков публикации книги.

Конечно, данная книга во многом обязана оригинальным статьям и обзорам по квантовой хромодинамике; все это отражено в ссылках. Я искренне признателен моим крллегам А. Гонсдлес-Арройо, К. Бекши, С. На- рисону, Дж. Барнабью, Е. де Рафаэлю, Р. Таррачу и в особенности К. Лопесу и П. Паскьюэлю (указавшим на ряд ошибок в первоначальном варианте книги) и многим другим за многочисленные полезные обсуждения. Я хочу также выразить благодарность А. Мдлене за неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати.

Глава 1

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1. Как возникла квантовая хромодинамика

Квантовая хромодинамика (КХД) возникла в результате развития кварковой модели. В начале шестидесятых годов было установлено,что адроны можно классифипмровать по представлениям группы SUF (3), которая теперь называется SUF (З)-группой аромата [136, 211]. Такая классификация обладала рядом интересных особенностей. Прежде всего в ней фигу ри- рсжали трлько некоторые довольно специфические представления этой группы. При добавлении группы спиновых вращений SU⑵ к группе внутренней симметрии S/ (3) они образовывали представления группы S U (6) [163, 214]. Но фундаментальные представления ни для группы SUF(3), ни для группы 5(7(6) (3 и 3 для SUF (3)), по-видимому, не обнаруживаются в природе. Это заставило「сдл-Манна [138] и Цвейга [282] постулировать, что физические адронй не элементарны, а состоят из трех кварков (барионы) или кварка и антикварка (мезоны). Теперь хорошо ижестны три сорта, или аромата, кварков, входящих в состав обычных адронов. Они прлучцли следующие обозначения: u (up — верхний), d(down — нижний), s(strange — странный); первые два кварка несут квантовые числа изоспина, a s -кварк — квантовое число странности. Бь^ло установлено, что в природе встречаются именно те представления группы S, (3), которые можно прлучить редукпмей произведений Зх Зх 3 (барионы) цли 3x3 (мезоны); при учете спина кварков, равного L/2, возникает схема SU(6)・ В допрлнение к этому разности масс адронов можно объяснить, если предположить, что массы кварков удодлетворяют соотношениям

切4 —« 4 МэВ, ms — m^ « 150 МэВ(1 Л)

с возможными электромагнитными радиационными поправками. Электрический заряд кварков, измеренный в др лях заряда протона, оказывается дробным:•

& =Ч，①=Q =-扌.(1.2)

Гипотеза составных адронов имела и другие прложите；льные стороны. Например, известно, что магнитный момент протона равен ц「= 2,79 х х е加/2 吗，тогда как, если бы протон бы,л элементарен, его значение 6ь「 ло бы равно цр = ehjlrnp . Значение же магнитного момента протона, вы-

численное в кварковой модели, находится в хорошем согласии с экате^ммен- тыльными результатами.

Эти успехи ддли начало широкому поиску кварков, который продолжается и по сей день. Свободные кварки пока не обнаружены, но в результате этих опытов устанодлена нижнлл граница массы свободных кварков (порядка гигаэлектронврльт), которая свидетельствует о том, что адроны представляют собой сильно связанные состояния кварков. В отношении этой модели можно выдвинуть по крайней мере два возражения. Во-первых, в основном состоянии составная система обладает нулевым орбитальным моментом. Поэтому резонанс 厶卄 дрлжен интерпретироваться как состоящий из трех u-кв арков:

〃Т,иф,〃Т，(1.3)

(стрелками обозначены спиновые состояния кварков), неподвижных один относительно другого. Однако это абсурдно: поскольку кварки имеют спин 1/2, они дрлжны подчиняться статистике Ферми — Дирака, а их состояния до.лж- ны быть антисиммез ричными по отношению к перестановке .любых двух частиц, чего явно нет в случае (1.3). Во-вторых, методами алгебры токов [141, 147, 192] можно вычислить отношения %/% • Результат

九/现户20,(14)

противоречит оценкам (1.1) для конституентных кварков с массами ~1 ГзВ.

Возможное решение первого противоречия было предложено Гринбергом [154], предположившим, что кварки подчиняются парастатистике ранга 3. Известно, что такая парастатистика может быть получена из обычной статистики Ферми — Дирака введением нового внутреннего квантового числа1 J, которое Гелл-Манн и др. [129, 130] назвали цветом, так что каждый кварк может находиться в любом из трех цветовых состояний i ^r, y,v (red—красный, yellow — желтый, violet — синий). Теперь будем интерпретировать резонанс А++ как состояние

которое полностью антисимметрично по отношению к перестановкам любых двух частиц. При этом отсутствие состояний, скажем, из двух цли четырех кварков (так называемых экзотических состояний) можно объяснить, постулировав, что все физически наблюдаемые адроны бесцветны, т.е. представляют собой синглеты по отношению к вращениям в цветовом пространстве: aWaV, а+а = 1.(1.5)

и Такое внутреннее квантовое число было введено в работе [165].

Если детерминант этих преобразований прложить равным единице, чтобы исключить тривиальную прлную фазу, то они образуют группу, а именно цветовую группу SUC (3). Теперь синглетное представление появляется только в прои^едениях Зс х Зс х Зс (барионы) или Зс х Зс (мезоны), и этим объясняется, почему мы имеем обычные частицы и не имеем мэкзотическихм, не наблюдаемых в природе.

Мы пока не станем обсуждать путей разрешения второй трудности, а вместо этого еще бо』ее обострим ситуацию, перейдя к алгебре токов. Если кварки элементарны, из них следует построить токи. Так, электромагнитный ток записывается в виде

(1.6 a)(1.6 a)(1.6 б)(1.6 б)/2 = 4力""-扌兩以-m廿气+ jcyMc,

(1.6 a)

(1.6 a)

(1.6 б)

(1.6 б)

а слабый заряженный ток (0С — y『Q』Кабиббо) в виде

"н ЙУМ—у~^4 + 订"一у^%

4 = dcosOc + ssin% ; s6 = —dsin% + scos%

(1.7)(1.7)Здесь подразумевается суммирование по опущенным цветовым индексам и учтен вклад кварка с (charmed — очарованны^. Гелл-Манн [137,. 139] постулировал, что на мцлых расстояниях коммутационные соотношения между эти-1 ми токами такие, как если бы входящие в них кварковые прля бцли свободны и описывались .лагранжианом вида

(1.7)

(1.7)

-^quarks ^-^о(^) = Е2〃(х)(汾-%)〃(х)・

Трудно 6bi』o понять, как может быть реализована стрль странная гипотеза, но именно она привела к замечательному успеху в правилах сумм Адлера — Вайссбергера, Кабиббо — Радикати и при вычислениях Цирлином и другими радиационных поправок к р-распаду ядер.

К другому взгляду на кварковую модаль приводят эксперименты по глубоконеупругому рассеянию. Виртуальный фотон или 1У-6озон с большой инвариантной массой Q2 и высокой энергией v рассеивается на некоторой мишени (например, на протоне). При этом получается удивительный результат (предсказанный Бьеркеном [39]) — сечение рассеяния имеет вид

蟲=初嘉敢/2 ｛呀°居+ 2T卜蟲=初嘉敢/2 ｛呀°居+ 2T卜(U a)(U a)

蟲=初嘉敢/2 ｛呀°居+ 2T卜

蟲=初嘉敢/2 ｛呀°居+ 2T卜

(U a)

(U a)

и еали написать

力(х, О)= 2х%|,

/2(Х，级)=3'(1.8 б)

X = Q^/v,

/ d^p^J^zW^p^-^-g^W, + 康"％2，

то функции fi почти не зарисят от Q 2 при Q 2 -> «>, когда переменная х имеет фиксированное значение (бьеркеновский скейлинг). Фейнман показал, как это можно интерпретировать. Если рассматривать рлуч ай Q 2, v - g (который ввиду (1.86) означает малые расстояния), то протон дрлжен быть построен из составляющих — "партонов”，которые не взаимодействуют между собой. Оставалось сделать трлько один шаг и отождествить эти партоны с кварками, которые снова оказываются свободными на малых расстояниях. Стрль странное поведение кварке® казалось загадочным.

Очевидно, что все эти трудности порождены сложной динамикой сильных взаимодействий, и, с^ледовательно, их можно устранить, только простроив теорию взаимодействий этого типа. Таким образом, все зависит от того, как взаимодействуют между собой адроны. Замечательный факт адрон* ной физики состоит в том, что, несмотря на разнообразие адронов (взять, например, массы мезонов тгиК), взаимодействие между ними (константы связи и сечения рассеяния при высоких энергиях, при которых можно пренебречь разностями масс) не зависит от ароматов. Это означает, что, каковы бы ни 6blли переносчики в займ одействий между кварками, они должны одинаково действовать на кварки всех ароматов.

Тем временем Глешоу, Вайнберг, Салам, Уорд и другие авторы построили единую перенормируемую теорию слабых и электромагнитных взаимодействий. Как показали Вайнберг [257] и Нанопулос [207], чтобы избежать катастрофического нарушения четности уже в первом порядке по константе связи а, сильные взаимодействия дрлжны действовать не на аромат, а на некоторое другое квантовое чис^ло. Это бцло одной из причин, заставивших физиков выдвинуть гипотезу о том, что "склеивающие" кв(ц)ки частицы (глюоны) взаимодействуют только с цветом, которого слабые и электромагнитные взаимодействия не различают (ср. с (1.6)). Берутся восемь векторных глюонов В^ , а = 1, ,.., 8, в присоединенном представлении группы SUc (3), взаимодействующих одинаково с кварками любого аромата. Теперь кварк- глюонный лагранжиан приобретает вид

N尸 *о + g> Жх)у/£д&(х)"(х)；(1.9)

9 ika

здесь лагранжиан £0 определен формулой (1.7), а 1 工入”/2, где 入° — матрицы Гелл-Манна. Последние генерируют фундаментальное представление группы § Uc (3) и удовлетворяют коммутационным соотношениям ”.

[t\tb} = i^fabctc.(LIU)

Такой цветовой и векторный хфактер глюонов имеет еще и то преимущество, что он позврляет объяснить расщепление масс резонанса А33 и нуклонов [89].

Чтобы продвинуться дальше, нужно понять, что в неабелевой калибровочной теории с безмассовыми векторными прлями (предложенной Янгом и Миллсом [276]) имеются скрытые инфракрасные сингулярности, которые могут препятствовать появлению свободных кварков й глюонов. Таким образом, можно,наконец,согласовать уаловиа (1.1) и (1.4). Свободные кварки не наблюдаются потому, что они не могут расходиться на большие расстояния вследствие взаимодействия, а не из-за брльшой массы. Это так называемая гипотеза конфайнмента (удержания). Модифицируем .лагранжиан (1.9), введя в него член, описывающий глюонные поля:

Nqcd = -^1 - Z S G广(x)G®»(x), °(LU)

GL = ¥%-#% +g> 加州纥》.

Это дает одно допрлнительное преимущество. Во всех неабелевых калибровочных теориях константа связи g автоматически прлучается универсальной. Выражение (1.11) представляет собой обычный лагранжиан КХД, с которого начнется изложение в следующей г：лаве.

До сих пор все построения бы,ли в какой-то мере шаткими. Они состояли из набора предположений, достигших своего полного выражения в формуле (1.П), каждое из которых уводило нас все дальше от реального мира (пионов, протонов и т.д.) в воображаемую область (кварков и глюонов) с набором предсказаний, едва ли численно превосходящим количество предположений, Однако ситуация радикально изменилась в начале семидесятых годов, В это время т*Хофт (неопубликованная работа), Прлитцер [218] и независимо от них Гросс и Вильчек [160 — 162] доказали, что в теориях с лагранжианом типа (1.11) эффективная константа связи на малых расстояниях стремится к нулю (асимптотическая свобода), а на больших растет. Таким обра-

1 ^ Теоретико-групповые соотношения приведены в приложении В； Цветовые индексы мы записываем произвольно в виде верхних или нижних индексов: f“ & J ~^abc 一普二壊 и т,д,

зом, они одновременно объяснили успехи алгебры токов и партонной модели, а также доказали возможность возникновения конфайнмента. Кроме того, оказалось возможным вычис^лить поправки к расчетам, проведенным в приближении свободных кварков. Результаты, учитывающие такие поправки, систематически согласуются с экспериментальными данными в пределах точности вычислений (и самих экспериментальных данных). В общем весьма вероятно, что КХД адекватно описывает процессы, происходящие при сильных взаимодействиях частиц' L

Другим важным, свойством КХД, которое, пожалуй, недостаточно подчеркивается при изложении хромодинамики, является локальный характер КХД как теории поля, что приводит (по крайней мере, если конфайнмент действительно имеет место) к локальным наблюдаемым. Точнее картина такова. Прля, являющиеся точными решениями уравнений движения, соответствующих лагранжиану (1 Л), определены в гильбертовом пространстве %CD，состоящем из кварковых и глюонных векторов состояний, и строятся, например, по теории возмущений. Кварки и глюоны представлены локальными полями ^(х) и В(х). Если гипотеза конфайнмента справедлива, то существует подпространство Xph, которое содержит физические состояния. Иными словами, eq ли точно решить уравнения теории, то сохранятся трлько синглетные по цвету операторы. К ним относятся токи типа

2亏屮(1 ± у5)д", и другие составные операторы: операторы для тг-мезона цли для протона

и т.д. Дело в том, что эти операторы локальны, хотя они и составные; если модель верна, то наблюдаемые операторы в физическом гильбертдаш щюст- ранстве Tph тоже локальны. Это существенно при выводе 力 всех стандартных результатов мстаромодной11 а/фонной физики — дисперсионных соотношений при фиксированном t, ограничений типа фруассаровского предела и т.д-, которые, будучи проверены экспериментально, привели к впечатляющим успехам.

Отметим еще одно преимущество КХД хотя оно и носит более умозритель^- ный характер, чем упомянутые выше. КХД допускает естественное обобщение до теории Великого объединения. Поскольку SUC (3) — более широкая группа, чем стандартная злектрослабая группа § 1/(2) х U(l), при некотором

Скептическая точка зрения содержится в работе [220].

2)См. работы [44, 111], в которых можно найти ссылки на соответствующую литературу.

масштабе энергий все константы связи могут стать равными по величине. Пока этот масштаб энергий (1014 ГэВ) намного выше экспериментальных возможностей, и предсказания моделей Великого объединения не противоречат существующим экспериментальным результатам.

. Теория возмущений, S-матрица и функции Грина; теорема Вика

В этом параграфе очень кратко рассматриваются основные вопросы релятивистской теории поля. Конечно, изложить теорию поля сколько-нибудь детально в стрль малом объеме невозможно. Поэтому настоящий параграф служит главным образом для того, чтобы ввести необходимые обозначения и наметить в общих чертах круг вопросов, знакомство с которыми необходимо для понимания материала, излагаемого ниже. Подробное изложение теории квантованных полей содержится, например, в книгах [40, 45, 172].

Теория поля определяется заданием соответствующего лагранжиана. Если% - поля, фигурирующие в теории, то лагранжиан является функцией от полей 5 и их пространственно-временных производных 8①「Лагранжиан £ (в действительности £ представляет собой плотность лагранжевой функции) принято разбивать на два слагаемых £Q и £int; при этом член £0 описывает динамику свободам полей (он получается из лагранжиана £ , если принять все взаимодействия равными нулю), а член 厶辻，который огфе- деляется как разность £^ 三 £ — £0 , описывает взаимодействия между полями. Например, в квантовой хромодинамике полный лагранжиан выражается в виде (1.11), а лагранжиан свободных полей записывается в следующем виде：

*。= Е亏3)(汾一勺)g(x)-1〉(а%;(х)- а»”(х))

х(а“％(х)-а»%(х)).

Кроме основных, или элементарных, прлей ①；，фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и В для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это .локальные комбинации прлей ①i ), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного "и^ла полей ①i и их производных, взятых в одной и той же точке х . Например, в КХД используются операторы токов 4(%)у 以4‘(为).Конечно, и сам лагранжиан £ (х) является составным .локальным оператором.

Из .локальных полей цли из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые .локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднсжратно рассматриваться в дальнейшем, — ваковское и хронологическое произведенил локальных операторов. Для свободных полей виковское, цли нормальное, произведение оп-

ределяется следующим образом. Разложим прля Ф(. по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид

ф，(х) =〉С「(х)а”+〉G⑺(х)粛，

где операторы а и 〃 могут совпадать 玖ли не совпадать. Например, если прля Ф отождествить с кварковыми прлями q , т。их разложение имеет вид '(X)= ^У71 ?/^ {e^V'Xu{P^)a{P^ + 6如"。(?,。我 + (?,。)},

где и и v — обычные дираковские спиноры, а а + (£+)— операторы рождения частиц (античастиц). Виковское произведение : Ф, (х, )Ф2 (%? )： прлучается перестановкой всех операторов рождения левее всех операторов уничтожения. При перестановках учитываются коммутационные (антикоммутацион- ные) соотношения между бозонными (фермионными) операторами. В результате получается

圈⑴)%®)：三 N { C「3)0")(x2)a4 + й"3)0"也КЛ4+

+玛”3)6"5)前。" + (门丿C产(占)可‘*2居九.卜

Здесь 6 = 1 для фермионов и 6 = 0 для бозонов.

Обобщение определения виковского произведения на большее число со множителей：①[(х,)... Фп (хп )： цли на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( : Ф^х, )Ф2 (勺)：)(：①з(%з)①4(%4)：)： производится непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.*

Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально1', т•& если операторы О,，“” 0n локальны, то и виковское произведение этих операторов ;R (х)….О伸(х): локально.

Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний а и b матричные элементы от виковского произведения < & :乌(х〔 )... Оп (хп ): \Ь> являются регулярными функциями переменных х 1 ,・・・,хп.

Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов 0〔 (х〔) ... 0n (хп) определяется следую-

1} Оператор Оа (х ) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по Формуле и(а, Л) Оа(х ) U -1 (а , Л) = S Рдос • (Л) 0as* +。) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.

щим образом:

ТОЮ . . . О“(х“)三 T{d(X|)О“(х“)} = ( - 1)2(%) .О,^).

В правой части этого выражения операторы расположены в такой последовательности, что их временные аргументы удовлетворяют условию х 9》 》х?2》… 力 х^，а параметр 5 равен числу перестановок индексов, соответствующих фермионным операторам, которые необхсдимо выполнить,чтобы из исад- нойпоследовательности 1,..., п составить последовательностгь ц,»..,1пО Иначе говоря, хронологическое произведение ТО〔 (дц). °. °n(%n)можно получить, перво тавляя операторы так, чтобы их временные аргументы образовывали невозрастающую последовательность, учитывая при этом коммутационные (анти- коммутационные) соотношения для бозонных (фермионных) операторов.

Например, для двух сомножителей q〔(x) и q2(y) получаем

Т^)Ч1{у) = 0{x0-y0)q^x)q^y)-9{y° - X。)敢U)%(x) цли

Tq^B^y) = 0(x° - y°)qi(x)B2(y) + 0(y° - x°)B2(y)ql(x)

Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.

S -матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени £ = 一 g, в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени 才=+ в. 5-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза

S=T exp J ^х^^х).(2.1 а)

Здесь f 卜(х) — лагранжиан взаимодействия, выраженный через нормально упорядоченные произведения полей, удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и свободные поля. Хронологическая экспонента представляет соб或 формальное выражение, фактически определяемое разложением в ряд:

5= Техр，/а%*^(х)

三 1 + ijd4x4*《x) +

+ g /小工「・.d* 7L<?t⑴)…/%(芻)+ ■ ■ ■ .(2 J В

Часто вместо матричных элементов В -матрицы будут рассматриваться матричные элементы токов (млн произведений токов), а также матричньк、зн、-

менты составных операторов брлее общего вида. Их можно получить, введя в лагранжиан взаимодействия 5^ вспомогательные члены. Предположим, например, что расематривается матричный элемент вида

〈4门为3須№〉，(2・2)

где 丿一слабые или электромагнитные токи (см. формулу (1-6)). Для этого заменим лагранжиан £int qлeдyющим выражением:

*£ = Nini + J 1д(-^)ФГ(^) + 丿2卩(*)。式*)‘(2.3)

в котором поля ф являются с -числовыми вспомогательными полями. Раэла- гая в ряд, получаем

〈a| Т exp, d"x /*(х)|Ь〉

=(«I*> +，〈。1/心{/3g)+ >4:(x)*(x中 b〉

+ ■ • ■ + g〈a|/d% . . . d4x„T

X p,^i) + >4；(xM"X|)} X . . •

X {WRt(x“) + >4；(x“)步(x“)}|b〉+ ■ ■ ■.

Предположим, что поля 屮 бесконечно малы, и сохраним в разложении только члены порядка О (<р) и。(屮？)” Последние имеют вид

X [ ^int(^/) ] ■ ' ' /2仆""1*(%"2(")1ь〉m(七)*(号)；

здесь символ [£] означает, что член, заключенный в скобки, опущен. Запи- сывая поля ф в виде 七卩(х) = %卩6(% - ”)，дифференцируя по переменным £1 и £2 И пРлагая е〔 = е? =0, получаем уравнение Гелл-Манна — Л оу

X〈a|Texpi/d4z{/^(z) + EJX(z)@*(z)}|b〉

=>o £〈力/心]...d\ T/%t(Xi)..・

Х/?g必叫XУ齐⑶渺〉.(2.4)

Для того чтобы приравнять правую часть (2.4) матричному элементу (2.2), использована формула (доказанная Боголюбовым и Ширковым [45], см. также § 39 и 42; определение функциональной производной дано в приложении 3) 而急而1丁…(2-5)

(2.6)(2.6)Рассмотрим вопрос о релятивистской инвариантности и унитарности S-матрицы. Если оператор U(a ,Л) осуществляет некоторое преобразование из группы Пуанкаре, то должно выполняться соотношение

(2.6)

(2.6)

и(а,Х)8и-\аг^)^ S,

из которого следует, что S-матрица предстадляет собой релятивистски инвариантный оператор. S-матрица является также унитарным оператором:

S + S=SS+ = 1.(2.7)

Записав выражение для S-матрицы в виде

S = 1 + К,

где матричные элементы < а\^\Ь> представляют собой так называемую амцлитуду перехода системы из состояния | а> в состояние | b >, прлучим из (2.7) соотношение для оператора 5"

Im〈a| 夕 |b〉S〈с| 夕 |b〉〈c| 夕 |а〉*.(2.8)

N all с

(При выводе соотношения (2.8) предполагалась инвариантность S-матрицы по отношению к обращению бремени.) При разложении .левой и правой частей (2.6) и (2.8) по степеням константы связи g в каждом порядке теории возмущений возникают определенные соотношения. В силу линейности уравнение (2.6) сохраняет свой вид в каждом порядке разложения по константе связи g. Нелинейность же уравнения (2.8) приводит к смешиванию членов разного порядка мдлости по константе связи. Например, если написать ?=g £ g"夕"， м = 0

то, ограничиваясь членами второго порядка малости по g, имеем

Im〈a|夕川〉=^ > {〈d%|b〉〈c?』。〉* Z all с

+〈c| 夕 2〔b〉〈c| 夕ol。〉*• (2.9)

+〈d 夕出〉〈m。〉*}.

Завершим краткий обзор основных вопросов теории^поля введением ре- дукционных соотношений. Рассмотрим амплитуду рассеяния, например для процесса а ^b^a^^b^, где а и а * — бозоны, описываемые прлями % 弘中 а' . Амплитуду рассеяния можно записать в виде

{a',bf\S\a,by = lim ^a\b',f\a,b,t).

/'->+ ОО 〜一 8

Если через pi обозначить импульс частицы £ и испрльзовать формулу (подробный вывод редукционных соотношений содержится, например, в книге Бьеркена и Дрепла [40])

。+仇)=」%爲产/成宀•晶+ (х),

то noqjie некоторых вычислений можно получить редукуцонные соотношения типа

〈优,勿15&6〉Н -储％「а宀

(2万)3/2 J

хe+欣)〈优,"1尤")故

Мн не будем выводить редукционных соотношений или выписывать их полный набор, который можно найти в книге [ 40], но приведем .лишь несколько типичных примеров их испрльзования. Если кроме бозона а предуцироватьп также бозон а *, то прлучается соотношение

〈％川5|〃” = —XU万 fd&x fалуе~^'хе^'у

X 代 + 成)佃 + 欣)〈〃|Т<М»)(犷(x)1b〉.

В результате применения редукционных соотношений в конечном счете по- лучаем фурье-образ от вакуумного среднего Т-произведения четырех операторов полей

〈。1丁。优 O)eMz)e^(%)办 +(w)|o〉.

Обобщение этой процедуры на улучай спинорных или векторных полей производится весьма просто. Например, заменяя скалярную частицу а на фермион с импульсом ра и спином о и обозначая соответствующее ему прле буквой 屮,прлучаем

〈优"|S|(%,O),b〉= 0 ；з/2 /伍(x)|b〉(7a + ^a)u(p, 0)0-勿宀.

Наконец, перейдем к теореме Вика- Выражения типа (2.16) позврляют вычислить в каждом порядке теории возмущений элементы S-матрицы

(цли матричные элементы токов и гриновские функции)- При этом испрль- зуется теорема Вика. Рассмотрим хронрлогическое произведение двух свободных прлей Тб ； (к,① (к?)• Прля Ф； можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

Ф,(х尸运扣/泰

X ?{「*■%+ (%,。)。+ (к,о) + е*弋一 (k,o)al(k,o)},

где ° обозначает спиновое состояние, £ 土一 соответствующие врлновые функции, а 仪+ л a j — операторы рождения и уничтожения частиц (+) и античастиц (-). Коммутационные соотношения между операторами (сим- врл [] для фермионов должен интерпретироваться как антикоммутатор)

имеют вед

[а 土(欠,о), а ； (К о') ] = 28аа.к^(к -乏)，

[外，"]=0；

они могут быть испрльзовань! для проверки того, что разность между хро нрлогическим и нормальным произведениями операторов

ТФ?(Х|)Ф?(Х2)-：瞰Х|)Ф?(Х2)：三 Ф?(Х|)Ф?(Х2)

представ,ляет собой с-число, называемое сверткой. Отсюда видно, что свертка совпадает с вакуумным средним от Т-произведения (ярояагатором):

Ф?(^1)Ф°(^) = <0|ГФ°(Х1)Ф^2)|0> 三〈ТФ?(Х|)Ф?(Х2)〉0・

Повторяя эту процедуру многократно, скажем для выражения (2.1), прлу- чим； что хронрлогическое произведение 丁£ ^七。。。£ ^t можно записать в виде комбинации сверток, умноженных на нормально упорядоченные произведения операторов. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вика. Матричные элементы от этих выражений легко вычисляются, и для каждого члена разложения S -матрицы по теории возмущений получается впрлне определенный результат. Фейнмановские правила диаграммной техники автоматически учитывают все упомянутые выше требования и позво- ,ляют прямо по соответствующим фейнмановским графикам записать окон- чательный результат. Правила диаграммной техники для квантовой хромодинамики приведены в приложении Г (см. также § 42, в котором некоторые из них выводятся).

Глава II

КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА КАК ТЕОРИЯ ПОЛЯ

3. Калибровочная инвариантность

Рассмотрим прля, введенные в гл. I при построении КХД, а именно цветовой триплет кварк(вых полей q * (х) для кварка каждого аромата и октет глюонов 5a (х). Кварковые прля образуют фундаментальное представление группы SU(3), т.е. если U - унитарная унимодулярная матрица размерности 3 х 3, то прля q/ преобразуются по формуле

и ：qj(x)T£Ujkqk(x} к

Любую матрицу U группы SU(3) можно записать, исходя из восьми генераторов алгебры Ли £° (матрицы ta приведены в приложении В), в виде

U = exp{-ig?&t],

где Qa — параметры группы, а множитель g введен для удобства- Представляя трицлет д / в виде трехкомпонентного столбца, получаем следующую формулу преобразования:

0")今「”9%(Х).

Для полей и и,.(соединенное (размерности 8) представле

ние группы SU^)- Генераторами группы SU(3) на этом представлении будут матрицы С а, матричные элементы которых имеют вид С農=-ifabc (значе- щ(я констант fabc приведены в приложении В). Поля В преобразуются по формуле

3"")今0一炉份工力气X).

Если параметры группы еа представляют собой константы, не зависящие от пространственно-временной точки х, то .лагранжиан квантовой хромодинамики, выписанный в гл. I, оказывается инвариантным по отношению к глобальным преобразованиям группы SU(3)1 Однако, как мы знаем из кван-

11 Преобразования называют гпобвпьными, если определяющие их параметры группы представляют собой константы, независящие от пространственно-времен- ной ТОЧКИ х . — Прим. /7叩ев.

ТОВОЙ электродинамики (КЭД), эти преобразования полезно обобщить на улучай, когда параметры группы % (х) зависят от пространственно-временной Т0Чки х. При этом (локальные) калибровочные преобразования определяются в виде

д(х)今 efа""7”).(3.1а)

Аналогично обобщаются обычные преобразования КЭД для калибр(вочных полей:

Зрх)今 e—g刑(х)с%м”)— 3 也")，(3.1 б)

цли в случае инфинитезимальных преобразований 0.

勿(x)fg«x) - fg>%(x)碳д"(х), a,&

題х)т纥*”)+ g£RM(x)绰(X)- a錫(X).(3.1 в)

В дальнейшем будет предполагаться инвариантность лагранжиана КХД относительно преобразований (3.1) (в действительности .лагранжиан (1.11) обладает этим свойством по построению). Это требование приводит к тому, что пола в лагранжиане появляются в строго определенных комбинациях. Из последующего рассмотрения станет ясно, что‘лагранжиан (1.11) является фактически наиболее общим лагранжианом, инвариантным по отношению к преобразованиям (3.1) и не содержащим констант размерности массы в отрицательной степени (ср. с § 38 и следующими за ним параграфами).

Рассмотрим, как при калибровочных преобразованиях преобразуются производные от по,лей, например производная d^q (х). Из (3.1в) вытекает следующий закон преобразования производной:

а号(х)га号(X)-电> 碌必"»"厂(X)

—g> 夂(а 錫(х))厂(X).

Мы видим, что она преобразуется иначе, чем сами поля . Требование инвариантности лагранжиана по отношению к калибровочным преобразованиям приводит к тому, что все производные от прлей должны появляться только в ковариантных комбинациях:

^VW =S {^эм - ig'ZB^x^g^x)-,(3.2)

здесь D^ 一 так называемая (калибровочная) ковариантная производная. Легко доказать ковариантный характер производной D^. С испQльзованием мат-

ричных обозначений преобразование для ковариантной производной D^q(x) имеет вид-

О^(х)^^{х)-i^taOa(x)^q(x) - 1^е^а{х))Ч(Х)

-g^B^x^t^qix) - ig^B^x)taq(X)

Tg2£f"Mx)BRx)q(x) + ig>®纥(x)),“g(x).(3.3 a)

Учитывая равенства

правую часть выражения (3.3а) запишем в виде

D%x)- ig£ 叫(x)D"q(x),(3.3 б)

что и доказывает ковариантный характер преобразования производной D^ (х). Аналогично ков ариантный ротор пр ля В имеет вид *

(ОМ X В^ )а= 6Г = ЭМВ； - ^ + g^ fabcB^ .'(3.4)

Теперь можно записать лагранжиан (1.11) в явно калибровочно-инвариантной форме. Опуская индекс КХД, для лагранжиана £ прлучаем выражение

* = ?{『х)0д(х)-%д(х)д(х)}- |(D X В).(3.5)

Член с (D х В)? представляет собой сокращенную запись .лагранжиана калибровочных янг-миллсовских прлей:

(DXB)2^G2 = ^G^; Nym 三-；(DXB)2.

Важность свойства калибровочной инвариантности заключается в следующем. Во-первых, как ясно из доказательства соотношения (3.3), оно требует универсальности константы взаимодействия, т.е. одна и та же константа связи g описывает взаимодействие кварков с глюонами и самодействие последних. Во-вторых, как показал т'Хофт [248], неабелева теория перенормиру ема только в том случае, если она калибровочно-инвариантна. Наконец, в-третьих, Коулмен и Гросс [73] доказали, что только неабелева теория может обладать свойством асимптотической свободы.

На первый взгляд кажется, что выражение (3.5) можно сформулировать на квантовом языке, непосредственно интерпретируя классические прля как квантовые. Однако из квантовой электродинамики известно, что это

не так. Калибровочная инвар!антность приводит к тому, что прля В определены не однозначно, так как можно выпрлнить преобразования типа преобразований (3.1), которые меняют вид коммутационных соотношений. Это происходат потому, что частищ>ь соответствующие прлям 5, обладая нулевой массой, имеют трлько две степени свободы, тогда как сами прля ВМ имеют четыре независимые компоненты. Для того чтобы выпрлнить квантование, нужно выбрать определенные представления каждого калибровочного класса фиксировать калибровку), что явно нарушает калибровочную инвариантность теории- По сравнению с абелевыми теориями, в которых кванты калибровочного прля не взаимодействуют между собой, само- действие глюонов приводит к доп рлни те льны м трудностям。Так, например, лоренц-ковариантные кдлибровки требуют введения вспомогательных нефизических полей * (dyxoe)i которые восстанавливают калибр(вочную инвариантность и унитарностЬо С другой стороны, можно выбрать калибровки, свободные от духов (аксиальные калибровки), но при этом явно нарушается лоренц'инвариантность теории。

Прежде чем рассматривать квантовую теорию, для полноты изложения выпишем уравнения движения для классических полей, соответствующие лагранжиану (3°5)° Уравнения движения Эйлера — Лагранжа для поля Ф определяются из условна стационарности действия Й = Jd 4х £ (х), которое записывается в виде

Э "

"э(амФ)一 碱，

и, следовательно, в случае лагранжиана (3。5) приводит к следующим уравнениям движения для прлей q и В:

亨")(涉 + /и) = 0,(£0 - m)q[x) = О,

以G『"(x)三 а©"(х) + g> fabcBb^x)Gr(x) = 0.( 3.6)

§4・ Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки

Попытаемся проквантовать свободные глюонные прляи Лагранжиан (янг-мидлсовский) для свободного глюонного поля имеет вид

N§m= — ；〉G“WG黑，

g俨、а-成"-а-в〉；(4.1)

здесь индекс 0 обозначает свободные поляа Выражение (4Л) аналогично лаг ранжиану, описывающему восемь невзаимодействующих электромагнитных прлейu Оно инвариантно относительно свободных калибровочных преобразований:

成"成二a也.(4.2)

Рассмотрим проблемы и преимущества, связанные с калибровочной инвариантностью. В силу того что прля В определены неоднозначно, невозможно непосредственно проквантовать лагранжиан (4J)。В самом деле, предпрло- жим, что для этого применяется стандартная процедура канонического кван・ тованияо Определим импульсы, канонически сопряженные прлям 5^ ° Опуская индексы 0, обозначающие свободные поля, для импульсов 冗 прлучаем выражения

崂(х)= 篩七= G『°,(4・3)

"况约再)

из которых видно, »-то нулевые компоненты импульсов 冗^ (х) тождественно равны Нулю。Канонические коммутационные соотношения записываются в виде

[<(%), В^у)]8(х° - /) = - i8abg^S(x - ^).(4.4)

Нулевые компоненты прлей 5^(х) коммутируют со всеми операторами и, таким образом, являются с-чи^ламии

В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой кдлибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантностЬо Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей 5 M рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизичежие степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. От.ложим обсуждение физических кцлибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки□

Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида "声^ = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения 85 早 0 как операторного уравнения« Введем пространство Гупты - Блейлера XGB , в котором соотношение (4°4) принимается в приведенном выше виде。Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве 雙 gb индефинитной метрики. Назовем (физическими векторы, удовлетворяющие условию

(4.5)(4.5)<Фрь|ЭмВ<Г(х)|ФрЬ> = 0.

(4.5)

(4.5)

Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. а принять

%ь〉〜典ь〉= 1%ь> + Ю(4・6)

где < ф(0> IФ <°)> = 0, то мы получим пространство физических векторов £о

Чтобы сохранить соотношение (4Л), необходимо модифицировать лагранжиан (4J), добавив к нему член -(入 /2)W; (% 8^ )2 [фиксирующий калиб- ровку)» Теперь выражение для лагранжиана принимает вид

-^AYM = - I S G}Gw—岑 S 3運)2.(4.7)

Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных прлей, так как матричные элементы добавленного улена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль- Импульсы, канонически-сопряженные прлям В» теперь имеют вид

磷(Х) = G捫(х) -”吟毋(Х),(4.8)

и ни одна из их компонент не обращается в нуль-* Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но гфм этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4«4) при ц = 0:

л[эм5а (л)，5*(/)]5(х0 -Л) = i8ab80,84(x - у).(4.9)

Это соотношение оказывается знаконеопределенным.. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство., Прложим калибровочный параметр А = 1 и введем канонические тетрады Ер)(幻，связанные с некоторым светоподобным вектором k:

<0> =编；

q)= 0,拼 2=0,i=l,2,嚟=靑勺-%；

j,)= 1,2,3.(4」"

Компоненты e{* * (t = 1, 2) соответствуют физическим частицам с нулевой массой, е ⑶ представляет собой продольную компоненту, а компонента £ {°)соответствует объекту со спином нуль • Прля В можно разложить по операторам рождения и уничтожения в Такое разложение имеет вид

州(X)=詩五/更孑{eТf 叫左)好阳

(4.11)(4.11)+ eikxe^(k)*a^b,k)}.

(4.11)

(4.11)

Используя соотношения （4.4）, пцлучаем следующие коммутационные соотношения для операторов а м а +:

[а^к^а^ （b\kf）]=-川必以左奴2一必），（4.12）

из которых видно, что вакуумное среднее < 0 | %（儿）。力（А）|0> в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.

Исходя из соотношений （4.12）, можно вычислить пропагатор калибро

вочного паля 8。Введя обозначение

（Т州住）％（0）〉0=2）常⑴,

глюонный пропагатор при произврльном значении параметра 入 можно записать в виде

_8й + （1 -入 T）左味 :7（1+，°）_8й + （1 -入 T）左味 :7（1+，°）к2 + /Ок2 + /О（4.13 а）（4.13 а）

_8й + （1 -入 T）左味 :7（1+，°）

_8й + （1 -入 T）左味 :7（1+，°）

к2 + /О

к2 + /О

（4.13 а）

（4.13 а）

Для вакуумного матричного элемента испрльзовано сокращенное обозначение

〈左•••"〉（）三 3 衣...川 0〉，

которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем。Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1 - 1/ А = § . В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного прля имеет вид

女^女）=，%女^女）=，%_g" +訣也:7（左2+Ю）_g" +訣也:7（左2+Ю）к2 + /Ок2 + /О（4.13 б）（4.13 б）

女^女）=，%

女^女）=，%

_g" +訣也:7（左2+Ю）

_g" +訣也:7（左2+Ю）

к2 + /О

к2 + /О

（4.13 б）

（4.13 б）

Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра g = Н Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению § = 1»

В действительности для случая 入 / 1 выражение （4-13） дрлжно быть получено нескрлько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член 々口 А”,/ 4 2 обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу М・ Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением

D趴 k,M） =」一D趴 k,M） =」一左2一m2+/0左2一m2+/0+ 0 —入一I）左%:7（左2 _入一1"2+,0）

D趴 k,M） =」一

D趴 k,M） =」一

左2一m2+/0

左2一m2+/0

из которого в пределе М -> 0 следует выражение （4.13）。

В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории испрльзование ковариантных калибровок не

сопряжено с допрлнит^льны ми трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие г.люонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.

§5. Унитарность, поренцевы калибровки, духи, физические калибровки

Ковариантные калибровки

Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к н叩ушению соотношения унитарности- Условие (2-7) или (2.8), выражающее унитарность S- матрицы, справедливо трлько в пространстве физических состояний . Определяя проекторы на физические состояния 尸 соотношениями

P*gb = 2, 产=尸+ =Р，(5.1)

условия унитарности (2。7) или (2。8) можно записать во всем пространстве в виде

(PSP)(PSP)+= Р.(5.2)

Если лагранжиан эрмитов, то 5-матрица унитарна в пространстве XGB, поэтому условие (5-2) будет выпрлнено трлько в том случае, когда 5-матрица коммутирует с оператором Р. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что .лагранжиан

_Z$ = 2{i^0g-%M}-}(DxB)2-^(aB)2,6=1—1/入，(5.3)

прлученный добавлением к выражению (3。5) члена, фиксирующего калибровку, не прлон, и его следует изменить»

Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5。3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае кцлмбровкм Ферми - Фейнмана» Рассмотрим процесс рассеяния кварка и анти кварка во втором порядке теории возмущений.

Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис» 1. Вычисление диаграмм рмс。1, б и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис» 1, а о Вычислим диаграмм рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D -» 4. Соответствующая амцлитуда (см. направления импульсов

6

6

д

:т；； ]'Диаграммь, 99-рассеяния (а - в), глюонная петпя (г) и пиооннь府"гоповао T"К (用.

на рис. 1, а ) имеет вид)

4 (2?г) 2以厶'%% -^ 一 口必产 — j~ 4"心"*(尸:-号)，(5.4 a)

где _ —

口黑(9)=产产叶 為.m_-

2丿(2n)D左2(左+9)2

X {[ - (2厶 + g)&0 + (左一g)0 g： + (2q + k)a gg]

x [ - (2左 + ?) ga^ + (k- g)0g"。+(2g + k^g^.(5.4 6)

Испрльзуя соотношение S/f = 8аа Сл (см- приложение В) и произведя стандартные выкладки, прлучаем для тензора 口况，следующее выражение: 口门工品

x｛号m _ ^ _(%(11*2 - 11* + 5)log(一х(1 - X)g2)g2gH

-乎M+^-(％x(- 10x2+10x + 2)

Xbg(-X(l - X)g2) g»g[;(5.5)

M 三2 - ,YE + log477,€ = 4-

Оно расходится в пределе e -> 0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im J=(]/2)JJ+. Но Im ? получается из выражения (5.4) заменой тензора Пна его мнимую часть Im ГТ, которая, согласно (5.5), имеет вид

Im 口爲(9)=%,а 强*夕2)(_号д 2gM + 為现｝,(5.6)

и конечна даже при £)=4. Она дрлжна быть равна величине (I/2)W 巾 jic фмз >< с, физ |т+, т.е. квадрату амцлитуды процесса qq ВВ с физичес-' *〃砲 глюонами ВВ (рис. 2). Испрльзуя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im Ус заменой мнимой Части поляризационного оператора Im呻(q) на комбинацию

%'e' Nz ""(自也；"，叮2)",*(",左2；%,7)2),(5.7 а)

Рис. 2. Мнимая часть величины Т.

где параметр「= ± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции 0口 имеют вид

•"=[(& + g)0 g^ - « + В)а gg + (后-k\/Sap\^{k{ ,%)e/(& ,%).

(5*7 6)

Здесь 6 p 一 вектор прляризации испущенного физического глюона, заданный выражением

寸仔方）=寸仔方）=卜0）处）+冰⑵“仔）｝,卜0）处）+冰⑵“仔）｝,

寸仔方）=

寸仔方）=

卜0）处）+冰⑵“仔）｝,

卜0）处）+冰⑵“仔）｝,

содержащим тетрады Д* *; определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выпрлняется условие потребности 心 屮旧/) 士 0, 綻=0,поэтому шражение (5.761 можно записать в виде (напомним, чго^ = 41 +，42)

"" = [2左]0以 - 2左2agg + （左2 一储）"g叩上；（左1 ,小A賀公,农）,

Легко убедиться в справедливости равенства 目口"*= 0. Очевидно, что yqлo вию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует

%口翳(9)*0.

Конечно, противоречие возникло из-за того, что .лагранжиан £nt переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман; решение проблемы для некоторых частных случаев бщло предложено Фейнманом [118], а для общего случая — Фаддеевым и Поповым [ИЗ]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести допрлнительные нефизические частицы (духи ), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые .лагранжианом £^1t. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан £§ , добавляя в него члены, отвечающие духам, в результате чего пряный лагранжиан £：口 принимает вид

*$! =「+〉(好")陋田-或"牛(х))3然),(5.8)

где Lлагранжиан E* определен формулой (5.3). Прля з м з , обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми — Дирака1 *. Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизи* ческие), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.

Рис. 3- Петля духов.Рис. 3- Петля духов.

Рис. 3- Петля духов.

Рис. 3- Петля духов.

Продрлжим рассмотрение свойства унитарности 5-матрицы, введя в лагранжиан член, описывающий вклад духов. Так как духи взаимодействуют лишь с глюонами, они изменяют трлько диаграмму рис. 1, а , которая приводила к нарушению унитарности. Выражение для тензора ГТ приобретает возникающую за счет духов добавку, для которой после простых вычислена (рис. 3) прлучаем следующий результат:

n&osgj = 6mq 奴n&osgj = 6mq 奴dDk(2球dDk(2球k^k + g)" 1仔+ g)2k^k + g)" 1仔+ g)2

n&osgj = 6mq 奴

n&osgj = 6mq 奴

dDk

(2球

dDk

(2球

k^k + g)" 1仔+ g)2

k^k + g)" 1仔+ g)2

=Л^" СА 0^+ ^ ~ I" • Х(1 - X)10g( - х(1 - X)g2) g2g

_ }м + 2('dx • х(1 - x)log(-x(l - x)g2),寸

Суммируя вклады глюонов и духов и испрльзуя формулы интегрирования, приведаные в приложоыи Б, находим для прляризационного оператора П окончательное выражение

吸% 卷(-8吋 + 叱"){-者 m -等 + 争og(g", (5.9)

которое, очевидно, удовлетворяет условию поперечности

%П&1)аа，= %П&1)3 = 6(5.10)

Проверку унитарности мы оставляем читателю в качестве простого упражнения. Далее в тексте индекс all мы опускаем и рассматриваем .лагранжиан КХД, записанный в ковариантной (лоренцевой) калибровке, т.е.

W&d = S {iq^q - %初 J (D X В У — } (ЗВ У

Начиная со следующего раздела, в обозначении .лагранжиана ,£ индекс КХД мы также будем опускать.

Физические калибровки

Появление духов вызвано тем, что оператор проекции на физические состояния Рне коммутирует с .лагранжианом КХД, записанным в .лоренцевой калибровке. Может оказаться, что такой проблемы не возникнет, eq ли выбрать кцлибровку, в которой все г.люонные состояния соответствуют физическим, так что все гильбертово пространство прлей является физическим. Известно, что уже на уровне квантовой электродинамики невозможно одновременно удовлетворить условиям прложит^льной энергии, локальности и явной .лоренц- инвариантности. Поэтому возникает необходимость испрльзования нековариантной калибровки. Одной из нековариантных кцлибровок является кулоновская кцлибровка 厶 однако она тоже не свободна от духов. Необходимость введения духов исчезает, еали потребовать выпрлнения соотношений

л • В = 0, л < 0,(5*12)

Случай пространственноподобного вектора п(п2 < 0) соответствует аксиальным калибровкам2^ а случай светоподобного векторап(п2 工 0) — светоподобной калибровке^. Так как вектор п 兄вляется по отношению к задаче внешние его введение нарушает явную ,лоренц-инвариантность промежуточных вычислений, хотя, конечно, калибровочная инвариантность обеспечивает независимость окончательных резу.льтатов для физических величин от вектора п, а аледова- т^льно, и их .лоренЦ-инвариантность.■

Начнем с рассмотрения аксиальной калибровки. Лагранжиан, записанный в аксиальной калибровке, имеет вид

^=^ {^ - W?W} -^^В^-^п-В^.(5.13)

В- дальнейшем по параметру р подразумевается предельный переход р->0, так что условие (5-12) представляет собой операторное соотношение, вы-

прлненное на всем гильбертовом пространстве. Пропагатор, соответствующий .лагранжиану (5.13), записывается в виде

(5J4)(5J4).g附-左收》(М + pk2)/(k • л)2 + ("Т + 〃女*)(〃 •左)т

(5J4)

(5J4)

в пределе р -> 0 он принимает вид

_g附-川优味17(h Л)2) + (мk" + 〃女")/化 f)

；1.(5Л5)

Обобщение теории на аксиальные калибровки нетривиально; детальное изложение этой процедуры заинтересованный читатель найдет в работе [185]. Все вычисления в аксиальных калибровках мы будем проводить трль- к0 на однопетлевом уровне, на котором трудностей не возникает.

При рассмотрении светоподобных кцлибровок удобно ввести так называемые "нулевые" координаты, определяемые для любого вектора v в виде

尸=言（0。土吟， V尸=言（0。土吟， V叫； va = v± или v1 (i = 1,2).

尸=言（0。土吟， V

尸=言（0。土吟， V

с2/

Метрика определяется следующим образом:

g+- = g- + =l, g+ + = g-_ = O, gg=-%, i,J= 1,2.

Отметим, что выпрлняются соотношения

v • w v+ w_ + v_ w+ — v w= %мЯ・

Для светоподобного вектора и "нулевые" координаты можно выбрать в виде u= 0,и_ = 0, u+» 1. Тогда допрлнительное условие и <> б » 0 можно записать в виде

8Г(к) = 0.(5Л6)

Пропагатор в светоподобной кцлибровке определяется соотношением

•尸附(К")• Г附 + (MY + “％)/(% •左)”

‘高而='1 +衿 —'(5/7)

которое представляет собой частный случай форму.лы (5.15) с вектором я « и, и2 = 0. В нулевых координатах выражение (5.17) можно переписать в следующем виде:

尸М_ -宀 а+кк 馳 к>/к

В качестве примера испрльзования светоподобной калибровки рассмотрим глюонный пропагатор во втором порядке теории возмущений. В названной калибровке он имеет вид

П-ig2cЛь「d°k .]

"厶2—J 寿 公@ + q)2

X [ _ (2々 + q)*g«B + / _ 9)^**° + (2g + к)ае^]Рар(к, u)

X [ _(2々 + g)"gB + (左一q)°g"‘ + (2g + к^у^к + %u).

П 臨а）=縱（一叁~9 丁）｛mП 臨а）=縱（一叁~9 丁）｛mБудем рассматривать трлько расходящуюся и .логарифмическую части. Это значительно упрощает вычисления, в результате которых прлучаем

П 臨а）=縱（一叁~9 丁）｛m

П 臨а）=縱（一叁~9 丁）｛m

-log(—夕?) + постоянные члены J,

(5.18)

Видно, что это выражение поперечно. При этом нет необходимости вводить духи. Интересно отметить, что пропагатор при условии (5.18) удовлетворяет трансцендентному уравнению

(5」9)(5」9)

(5」9)

(5」9)

Преобразования Бекши - Роуета — Стора

В предыдущем параграфе было показано, что е^ли в лагранжиане КХД, записанном в .лоренцевой калибровке, не учесть вклада духов, то это приводит к нарушению унитарности S -матрицы в пространстве физических состояний. Но в силу калибровочной инвариантности теории свойство унитарности S -матрицы дрлжно выполняться в любой кцлибровке. Очевидно, что данное нарушение связано с введением фиксирующего калибровку члена, который не обладает свойством калибровочной инвариантности. В таком случае можно задать вопрос： нельзя ли интерпретировать введение духов как способ восст* новить нарушенную калибровочную инвариантность лагранжиана? Доказательство справедливости данного утверждения составляет содержание настоящего параграфа.

Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики1)• Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид

аё =w(汕一m)屮一：/f*-扌@/»,(6.1)

где тензор % и ковариантная гфоизводная Лц определяются формулами 尸* =- НМ 匕 D11 = » + ieA\

(6・2)(6・2)Калибровочная инвариантность .лагранжиана нарушается членом -(К/2)(Л4)2 аМб.Ь'Хн вида В0ССТаН°ВИТЬ чледающим способом. Добавим в .лагранжи-

(6・2)

(6・2)

1‘В изложении мы рледуем работам [221, 222].

соответствующий свободному безмассовому прлю со. Обобщим кцлибровоч- нне преобразования таким образом, чтобы включить прля со. Если определить параметры инфинитезимцльных преобразований в виде 8(х) = есо(х), то прля, входящие в .лагранжиан, преобразуются по формулам

(6・3)(6・3)屮(х)-屮(Х)+近з(х)屮(х),А^Х^-^А^Х)- ^ы(х),

(6・3)

(6・3)

3(x)4 3(X) - €入8代/2(Х)

Тогда с точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, пред- стаоляюш^ собой сумму .лагранжианов £^ и <£ад:

*髭口 = *' + *з(6・4)

инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого улучая доврльно прост, благодаря тому что прля 4 не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля со можно выбрать в виде свободных действительных прлей. Однако простота лагранжиана <?w не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают в ее тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот фжт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно прлучить условие поперечноети фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)

Рассмотрим величину <Т& (х)со(0)>о. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру t прлучаем

м以“(X)(8，/ "(0))〉。=(7(乙3住))3(0)〉0 •

Фурье-образ этого выражения имеет вид

'f^xe^^TA^x^A-iO)%

-iq.f^xe^XTA^xyiO)^ iqfD^(q)

=? /"хе4*Т(»з(х))з(О)〉о

(6.5)(6.5)-^9»*p4xe^XTw(x)w(O)>o

(6.5)

(6.5)

入 q2 + Q

Последнее равенство справедливо в силу того, что прля со свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор D^v записать в виде суммы поперечной и продцльной составляющих

0咿(9)=(一9勿咿+0々'//丁)+ 粵以(寸)，(6・6)

夕

то последняя имеет вид

DL(q2)=彳^ •—，(6・7)

2,入92 +沁

аналогичный продольной части пропагатора свободных пцлей. Напомним, что пропагатор свободных прлей выражается в виде

D^{= j-g* + (i-、％Y7(『 + iO)

夕 2 + iO'

Другими цловами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням консин- ты взаимодействия

0%) = 0(”q) + ^D。)％) + …，

то все величины D guv (q ) удовлетворяют условию поперечности:

%加皿(夕)=0, л = 2,4,,

которое эквивалентно соотношению (5.10).

Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неаб^левой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом прля духов, как и все другие пцля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный .лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится кцлибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предпцлагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС е представляет собой не зависящую от пространственно- временной точки х с -числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) прлями1 J. Инфинитези-

”Г1ри этом е2» 0, есо®- сое t е^ ^ -qe, е 3 * Be и тН. Следует помнить, что попя з являются фермионньАМ и подчиняются статистике Ферми — Дирака, так что справедливо соотношение з^ з^ = ~ wc з^。

мдльные преобразования БРС определяются в виде

ВТ—В^ - €> {8ab^ -gfabc^c }%，

gT0- i€g£f%a%

包->包一^ g> fabc^b^c，(6'8)

同T电+ €人乙3广•

Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, .легко пцлучить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продрльной и поперечной частей

^q)-隘(-g%2 + q号)入 + 飢咚4，(6・9)

夕

то для продцльной части имеем

D「- *.(6.Ю)

入92 + (0

Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g2:

*£(£)/叫

Примем во внимание соотношение

少华咿Н 2川2川R％“0縛"‘

(прляризационный оператор П12 J взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений прлучаем следующий результат:

%п”о・

Справедливость этого равенства как раз и проверилась в уравнениях (5.9) и (5.10).

Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выпрлнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой син- гу.лярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величина^ ми, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенор* мировок (см. § 7 — 9). В самом деде, некоторые формальные равенства при 9ToM нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится

интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его нескрлько изменяется.

§ 7- Размерная регуляризация

Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-4б) при брльших импульсах 九 обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию прля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских да аг* рамм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана £ регуляризованным лагранжианом *, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе е -* 0 переходящим в некотором смысле в исходный .лагранжиан <£, т.е. ££ -> £. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что прлевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неиз- бежностыс нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули — Внмларса в случае неабе^левой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т,д. Конечно, в пределе е -* 0 эти свойства восстанацливаются (если мы 6blли достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и,лоренц-ин~ вариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т*Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D = 4 — £, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при е -* 0. При этом расходимости проявляются в виде прлюсов по 1,/е. Наскрлько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произврльной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна прложит^льному целому числу. Но этому не следует придавать слишком брльшого значения; нам необходимы лишь интер- прляционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре- инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерпрляционные формулы можно прлучить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2н)。/ dD kf(k2)fr^ функция 九 как прави-

ло, имеет вид f（k2） == （k 2）r（k2 a2） *m с целочисленными значениями па~ паметр（ж г и m, а величины dDk и k 2 определяются выражениями dD k == ^dkQdkA • • •旅。-1,九2 H （丸 о）2 —（丸i）2 —一伍D т）2. Так как функция f аналитична в плоскости комплексного переменного k °, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура （- “，+ в） к кон~ 寸冲（一i в, + гоо）, т.е. совершить так называемый виковский поворот, Затем можно восстановить интегрирование по прямой （— g, + а）, определив новуЮ переменную 丸 °-丸° ='丸°。Таким образом, прлучаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D

С好…（；若/（一喲，煌三（左，+…+（kD^\kE^.

Ецли элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через dD kE = =d& *.. dk D, то, вводя прлярные координаты, его можно записать в виде dDkE ^d\kE\- \kE\D~A dQDc Испрльзуя формулу ^dQD == 2ixd/2JV （Д/2）, прлучаем наконец

/券尸两品丽 广"也卜同1/（ - %『）•

Все приведенные выше выкладки справедливы трлько для целых прложитсль- ных значений размерности D. Но последнюю формулу можно использовать для определения интеграла по пространству произвольной （даже комплексной） размерности D и произврльных значений параметров гит.

Рассмотрим далее интеграл от прлиномиального по компонентам имнуль- са & и выражения, умноженного на функцию f（k2}; этот интеграл можно свести К ранее изученному случаю, записывая его, например, в виде

#%/（左2）左咁=冬 /dDk //2а2

Наконец, интеграл общего вида сводится к трлько что изученным интег- р^лам разложением подынтегрального выражения в ряд по степеням аргумента &L Таким способом можно вычислить интегралы, приведенные в пр*ло~ женИи В （а также многие другие）, в пространстве произврльной размерности D. Например, нетрудно убедиться в справедливости результата

f &«）' = j （T）i . r（r+D/2）r（wD/2）

J （2"尸企—號了（廿2 ■ r（D/2）r（m）（a2）~L。"'

Eqjih .левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D и 4, что и происходит при m~r -D,/2《0, это отражается в появлении пОлюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции

Г(т -г — D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию <p(D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию <р(4) = =L Такая свобода в выборе функции 9(D) окаа>1вается весьма полезной (см. следующий параграф).

Посмотрим теп^йэ, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином “ Внешние и внутренние .линии фейнмановских диаграмм следует различать- Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними .линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D - 4. Поскольку спиновые множители на внешних .линиях (те множители u, q % 盛 н； см. приложение Г) конечньт в пространстве размерности D= 4, их можно сразу записывать в гфостранстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор gap в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение 且“此邓 =D м т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака у °, у 1, • * -, у D ^1 • Е^ли действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы % представляют собой матрицы размерности 2°'2 х 2 °'2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со улучаем, когда матрицы 瓜 имеют размерность 4x4, так что Тг у ^ yv == 4g^v ; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)

Таким образом, обобщите интегралов и алгебры матриц Дирака на улучай произврльной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б- Несколько более ^ложным оказывается то.лько введение матрицы 丫5 в D-мерном пространстве. Например, если матрицу у5 определить в виде 丫5 н i у ° у 1 у 2 у з, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D < 4. Можно показать, что определение матрицы 丫5 в виде у5 = ：у °- -« у °т не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33-20)) Подходящим является, по-видимому, следующее определение:

Y5 =加%yY/У，

где тензор eD совпадает с обычным антисимметричным тензором только в с,лучае D 工 4. На тензор eD .не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий

岔=1, ТгхуУ = 0.

/см. приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации поп- носТьЮ определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором пвоводатся вычисление фейнмановских графиков, не равна Целому числу, все озникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком ：о那оде сохраняется калибровочная и Пуанкаре-инвариантность теории, но напутается масштабная инвариантность.

Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инваридное™ состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановс- кий интеграл типа (5-46) изменяется:

J &7丿0打尸

При этом размерности палей и констант связи, входящих в подынтегрцль- ное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить канони- ческими, если воспользоваться следующим рецептом:

勿三 f 学罩，D = 4-w,(7.1a)

где

i^=*/D-\H/2 小(7/6)

При этом вводится нарушаюпщй масштабную инвариантность лроизвольный параметр v0, имеющий размерность массы.

В качестве первого примера применения Этого метода вычислим пропагатор кварка в импульсном пространстве во втором порядке теории возмущен^:

S?S) = j>xe什十 Т『(х)丁(0)〉°.(7.2)

Соответствующие диаграммы приведены на рис. 4. В произвольной калибровке в пространстве размерности D = 4 — е для пропагатора S имеем выражение вида

S氟Р) = 6"3前一产占前g?明戏Кp) "；б

+ члены высших порядаов,(7.3 а)

где введено обозначение

砌尸)业随冲•二生.(7.3 6)

丿 (尸+ 女)2 - m2H

左，a

i 卩 )I P P+k,L p J

6

Рис. 4- Кварковый пропагатор (а) и итерация (6)

Используя тождество

依y+心+m)=(p+后)2—加2—(p2_m2)_(y_m).心，

для массового оператора прлучаем выражение

理К?)= - Jd 勿

(D — 2)(/ + fe) — D 加—£(p_ 加)左［(?+左/ -加］

После стандартных преобразований (пренебрегая членами, исчезающими в* пределе е - 0) приходим к окончательному ответу

Х^к?)=(y一m)40e(?2) + m80К?2)；

(7.4 а)

"外=Y^J • О Т)М - 1 - j'dx ［2(1 - х) /log —X； — x"

-賢尸2 -加2)「dx ~;

Jo m — xp

b = —^ -3M + 1 + 2 Г dx(l + x)log7

-^p2-m2^dx^^

(7.4 в)

Здесь введено обозначение ^e = Ve - Ye + log 4it.

В размерной регуляризации все полосы появляется именно в такой комбинации* Испрльзуя равенство 2 tf； t ^ « CF 6^ =—斗,(см“ приложение В), выражения (7.4) можно подставить в формулу (7.3) и прлучить кварковый

протагатор в виде

(7.5 а)(7.5 а)

(7.5 а)

(7.5 а)

SdK ?)SdK ?)1 - C^dKE)y-m{l - a^2年f(?2)}1 - C^dKE)y-m{l - a^2年f(?2)}+ члены высших порядков-+ члены высших порядков-(7.5 б)(7.5 б)

SdK ?)

SdK ?)

1 - C^dKE)y-m{l - a^2年f(?2)}

1 - C^dKE)y-m{l - a^2年f(?2)}

+ члены высших порядков-

+ члены высших порядков-

(7.5 б)

(7.5 б)

В действительности нетрудно убедиться, что формула (7.5а) точно учитывает вклад всех диаграмм рис. 4 и при замене 工 仪〉на Е"ав представляет собой наибрлее общее выражение для пропагатора S. Из выражения (7.56) видно, что расходимости возникают от следующих членов：'

(7.6)(7.6)1 - CF-^ (1 - 9M (содержится в Ард)

(7.6)

(7.6)

16打2

(на него умножается свободный пропагатор S) и

1 + зс.Зм16"1 + зс.Зм16"(содержится в В%)(содержится в В%)(7.7)(7.7)

1 + зс.Зм

16"

1 + зс.Зм

16"

(содержится в В%)

(содержится в В%)

(7.7)

(7.7)

(на него умножается масса кварка т)・ Но оба эти множителя конечны при услдаии е / 0.

Завершим данный параграф замечанием об инфракрасных расходимостях. В этой книге мы рассматриваем г.лавным образом ультрафиолетовые расходимости, появляющиеся в пределе к f g и дающие особенности в виде по.лю- с(® гамма-функции Г (е,/2)..Но процедура размерной регуляризации позво.ляет также выделять полюсы, отвечающие инфракрасной расходимости и связанные с областью малых значений импульса 儿-0・ Инфракрасные расходимости проявляются в вычислениях как особенности гамма-функции Г(-е/2). Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [ 134].

8. Общие сведения о процедуре перенормировок

Рассмотрим следующий процесс. Фотон соударяется с u-кварком протона, а затем u-кварк за счет слабого взаимодействия распадается по схеме 〃fd + e + +v (рис. 5). В низшем порядке по константам связи электромагнитного и слабого взаимодействий и в нулевом порядке по константе смл» них взаимодействий g в рассматрив аемый процесс дает вклад только диаграмма рис. 5, а. Возможные глюонные поправки описываются диаграмма- Мк рис. 5, 6 - %. Аргументом кваркового пропагатора S(р), фигурирующего в выражении для амплитуды рассеяния, яцляется комбинация р = р + р..

d

Рис. 5. Процесс рассеяния у + 〃 f v/d и глюонные лопрааки к нему.

(обозначения очевидны); следовательно, выражение для амплитуды рассеяния оказывается расходящимся, и никаких выводов о ее поведении, по крайней м^а в рамках теории возмущений, сделать нельзя.

В действительности это не так. При построении теории бщла допущрна некоторая неточность. Рассмотрим для простоты скалярное взаимодействие кеда ^ф, где прле 屮 безмассовое. .Лагранжиан, описывающий систему взаимодействующих пр лей, имеет вид

* =步(73一加绅+罚卩於" + g^中.(8.1)

Как уже гсюорилось выше, S -матрица определяется выражением

Sh Texpi/d&N^G)

=1 + 2 _ (d4x{ . . . d^xn Т&(Х]) . . . -^int(xn)>(8・2)

где входящие в .лагранжиан £] (х) прля рассматриваются как «жободные и записываются в н(^)мально упорядоченной форме. Член £* совпадает с трилинейным членом выражения (8.1) пос;ле замены 屮-屮°, ф -►<? 0 ：

Но эта процедура нек(фректна. Очевдно, что поля, фигурирующие в выраже- ц]^ (8.1), не яцляются свободными, а их масса т не совпадает с массой, которую имеет поле 屮 в отсутствие взаимодействиЙ. Это видно из выражения (7.5) для кваркового пропагатора, в котором масса кварка заменена на комбинацию вида m {1 — А_g?%}，а числитель умножен на выражение

1-犷仆.

В силу свойства инвариантности теории по отношению к преобразованиям групп внутренней и пространственной симметрии допустимы (лишь следующие изменения полей и параметров, фигурирующих в .лагранжиане: изменения мультипликативного типа

W~>Z『"也，@->Z「/2 丸，gr Zgg, 加->2加加，(8.4)

и изменения, вызванные добавлением в .лагранжиан некоторых дополнительных членов. Можно показать, что в рассматриваемом случае скалярного взаимодействия 屮屮<р необходимо еще добавить в лагранжиан член вида 入(<р )4 . Но мы пока этим членом пренебрежем. Таким образом, принимая во внимание только (8.4), из формулы (8.1) прлучаем выражение для так называемого "перенормированного" .лагранжиана

* R = zj 忆汾也-zjz" 屈办 + 7-iэ^э^

+ Z^'Z；'^u^u,(8・5)

откуда заключаем, что .лагранжиан взаимодействия, определяемый как разность 里也弋=£ ~£free，в Действительности имеет вид

a却=:就暇酬+ (Zg"2ZjZ J/2 - 1)感党磴

+ (ZJ - 1 殿・aw：- (z『％ - I)崛眦

+ (z「-i戸阑a 喲:，(8.6)

f即屮：и(p° — свободные пр ля, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Члены, содержащие множители (Z ••• — 1), называются ^онтрчленами. Очевидно, что разложение этих членов в ряд по степеням константы связи g должно начинаться с единицы, так как при значении g ■ 0 все перенормировочные множители Z равны единице. Поэтому пере- нсфмировочные множители можно представить в виде ряда

где коэффициенты С(『имеют конечное разложение в ряд Лорана в окрестности точки е = 0 (т.е. имеют вид Е2M。以(似е 一卜+ 0(e)). Существует и другой способ проследить за возникновением контрчленов [45]. Из выражения (8.2) для S -матрицы видно, что вследствие сингулярного характера входящих в него пр лей хронологическое произведение

/ЗЕ) • . . ^^х„)(8.8 а)

не определено при совпадающих аргументах х; = х-» Следовательно, к каждому члену разложения (8.2), имеющему вид (8.8а), можно добавить произвольное слагаемое вида

尸(a)6(Х]-x2)6(% -丐)...6(%-] - %),(8.8 6)

где символ р обозначает выражение, полиномиальное по оператору дифференцирования. Отсюда видно, что ^лены (8.86) соответствуют контрчленам.

Насколько произврльны значения коэффициентов Z ? Одно из условий, определяющих их величину, состоит в требовании, чтобы .лагранжиан £ & приводил к конечным ответам даже в пределе е - 0. Но это не полностью фиксирует коэффициенты С 了)в выражении (8.66). Чтобы однозначным образом конкретизировать все я ер ен ор мир ов очны е множители Z, фигурирующие в теории, необходимо рассмотреть столько независимых амплитуд, сколько параметров должно быть определено.

Вернемся к .лагранжиану КХД. Квантовая хромодинамика является калиб ровочной теорией поля, к, как мы видели, калибровочная инвариантность представляет собой необходимое условие того, ито&я эта теория имела смысл. Условие калибровочной инвариантности накладывает жесткие ограничения на допустимую структуру контрчленов: они дрлжны &ять калибровочно-инвариантными- Из выражения для лагранжиана 足旋口 и выражения (5.11)* видно, что единственными допустимыми изменениями являются замены1 *

g<x)->ZF"2gli(х),

B『(x)'ZG/2BZ(x),

^a{x}-^Z；'/2<^ua(xyыа{х)-^г；'^й>иа{х),

(8.9)

тЧ -* Zm.g% ,

X f Z 入A..

” Отметим, что не все множители Z независимы. Например, из тождеств Спаенова - Тейлора следует равенство "入=Z» (см. § 9).

К^дабрсжочная инвг^иантность приводит к тому, что все кварковые перенормиро- вочные множители Z равны одной и той же величине Z尸.Аналогичное утверждение справедливо и для г.люонных перенормировочных множителей, к аж дый из которых равен Z» . Кроме того, перенормировочные множите.ли для вершин qq В，ВВВ, ВВВВ и &зВ, которые, вообще говоря, мог.ли бы быть разыми, следует заменить одним перен(фмировочным множителт Zg. Та』 кого специфического набора перенормировочных множителей оказывается впрлне достаточно, чтобы обеспечить конечность функций Грина. Это яв- ляется следствием тождеств (в случае абелевых калибровочных теорий называемых тождествами Уорда, а в случае неабелевых теорий - тождествами Славнова - Тейлора), которым в силу калибровочной инвариантности должны удовлетворять функции Грина. Как уже отмечалось, эти тождества ” возникают в результате преобразований БРС. Ниже будут приведены некоторые из наибрлее важных тождеств Славнова - Тейлора.

В заключение этого параграфа введем некоторые обозначения. Если в исходном .лагранжиане провести замены (8.9), то мы прлучим выражение для перенормированного .лагранжиана ^=不｛砸0-现希｝7(方><方)2-今継)2

+ >(喇方物(8.10 а)

где тильда над симврлом означает, что данная величина содержит соответствующий множитель Z, например

0Н2曰/2%,病=Zq,,

^ - (^ - igtB )% • • • и т.д.(8.10 б)

Таким образом, ,лагранжиан £^ формально совпадает с неперенормирован- ным .лагранжианом ,£ 亨 при замене всех входящих в него неперенормирован- ных величин на перенормированные. Перенормированный .лагранжиан 後 можно представить в виде суммы

品，(8.11а)

「Де член

=岳=•孑｛吃對“ -rriququ｝ ~ |(Z>„ X B„)2- ^ (9B„)2

+ &3“)。"3“，(8.11 6)

” Детальное исспедование тождеств Уорда и Спавнова — Твйпора можно Найт* в книгах [114, 189).

содержит неперенормированные, или пгрлыеп, прля, заряды и массы, а член H&D = V N%

=(z/'-i)(SW

+ (ZGzJ〃Zg - l)g>%%。％ 曜 + ...(8.11 в)

описывает вклад контрчленов.

Мы видим, что в рамках теории возмущений взаимодействие описывается не трлько членами g 工此 у/q： В?,но к членами i(Z^ - 1) х х 工磋說^ и и.д. При этом ш)ля q： , В，со° уд咽летворяют каноническим коммутационным соотношениям для свободных полей и пцюждаюг набор фейнмановских правил диаграммной техники, которые приведены в приложении Г. Следует отметить, что оба члена .лагранжиана 里亨 и 怨弋口 требуют регуляризации； возникающие при этом бесконечности^дрлжны сокращаться так, чтобы .лагранжиан 經 при переходе к физическому пределу D - 4 приводил к конечным выражениям- Далеко не очевидно, что существуют перенормиро- вочньте множители Z, удодлетворяющие этому требованию, и действительно (по крайней мере в рамках теории возмущений) ддлеко не все теории прля обладают свойством перенормируемости. Доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий, в частности квантовой хромодинамики, впервые бцло проведено т'Хофтом [248] ". В этой книге перенормируемость КХД не доказывается; мы .лишь убедимся, что .лагранжиан 雜 в низших порядках теории возмущений приводит к конечным результатам.

В рамках излагаемой здесь теории перенормировок, основывающейся г.лавным образом на монографии Богрлюбова и Ширкова [ 45], конечные (перенормированные) функции Грина выражаются через вакуумные средние вида.

〈0|T%(Xi) • • • В“(у|). • ■ 3“(Z|). . . |0>,

для вычисления которых по теории возмущений испрльзуется прлный (содержащий и контра лены) лагранжиан*взаимодействий (8.11). Однако му.льтиплика тивныЙ характер перенормировок допускает иной подход к рассматриваемой проблеме. Можно пренебречь контра ленами и просто переопределить прля и константы связи, фигурирующие в функциях Грина в соответствии с формулами (8.9). Брлее подробно это изложено в последующих параграфах. Следует также отметить, что проводимые здесь процедуры перенормировок выпо.лня- ются в рамках теории возмущений. Это означает, что все вычисления

1’ См. также работу [ 1901. Изложение соаременного состояния проблемы перенормировок а КХД можно найти а работе [114].

должны проводиться самосогласованно в одном и том же порядке по конс- танте взаимодействия как в первоначальных уленах взаимодействия, так и в контрчленах.

. Перенормировка в КХД (однопетпевое приближение)

1・ ц-перенормировка

Рассмотрим перенормированный .лагранжиан квантовой хромодинамики. Для этого необходимо задать значения перенормировочных множителей Z. Начнем с определения неперенормированных функций Грина

GmD(X1，*，”м)，

кйторые вычисляются по неперенормированному .лагранжиану £： • Функция G предстадляет собой вакуумное среднее от произведения пр лей

〈ТФ](Х])...埶(х%)〉о = G(X],.xN),(9.1)

где символы ФА соответствуют прлям кварков qu , духов з〃，глюонов Ви цли в общем случае содержащим их .локальным операторам. Испрльзуя теорию возмущений, функции Грина можно представить в виде следующего

ряда：

G“d(X|Хд,) = > £ Jd% . .. d%”

X <ТФ«(х,)...蝎(xwX品貳Z|) . . . 士阮虱z“)〉。.

(9.2)

Вообще г(жоря, неперенормировэнные функции Грина G® расходятся в физическом пределе D - 4. Перенормированные функции Грина определяются в виде

G& (к】，л\) =〉& /d%]…d%“

X〈丁瞰修)…蝎(мХЗпО*3n&)〉o・

(9.3)

Потребуем, чтобы перенормир(жэнная функция GR 6blла конечна, т.е. что- 6bl контрч.лены, содержащиеся в выражении (9.3), сокращали сингулярности, ЧмОГгст^ющие в формуле (9.2). В случае квантовой хромодинамики имеет- ся 国есть различных перенормировочных множителей. Для их однозначного определения достаточно рассмотреть шесть независимых функций Грина- Независимость результата от выбора конкретных функций Грина, по кото- Р&м фиксируются перенормировочные множители, является следствием тож-

деств Уорда - С.лавнова - Т或лора, которым эти функции подчиняются. Данное утверждение представляет собой нетривиальную часть перенормировоч- ной процедуры. Здесь мы для определенности выберем конкретный набор функ- ций Грина, необходимых для фиксации перенормировочных множителей. Все вычирления будем проводить в импу.льсном пространстве. Начнем с пропагатора кварков

SRi(P)= •{f-m + ^p)}"',2(?) = (р-т)А(р2) + тВ(р2).(9.4 а)

Выберем пространственноподобный импульс 5, удовлетворяющий условию

万2 V()1). Тогда можно определить значения величин

4k(尸)，厶(必)，(9.4 6)

первая из которых позврляет фиксировать множитесь Zf, а вторая — комбинацию из множителей Z^, Z^ и Z^・ Затем обратимся к рассмотрению глюонного пропагатора

普魚g) =(F产 + 叱")％«) + g%RL(g).(9.5 а)

Для простоты рассмотрим с^чай q =5・ Фиксируя значения

厶仃(万)，Drl(Q),•(9.5 б)

прочим выражения для глюонного перенормировочного множителя Z& и для комбинации Zg и Zx. Рассмотрим пропагатор духов

GrS) =/d'xef *〈Тз(х)硏0)〉°.(9.6 а)

Выбирая р = 5 к задавая величину

Gr(R),(9・6 6)

фиксируем значение перенормировочного множителя духов ZQ. Рассмотрение .любой из вершин qq В, В В В, ВВВВ или coco В позволяет фиксировать зарядовый перенормировочный множитель Z^. Выберем для этой Цели первую из них. Если "усеченную” вершину Р определить формулой

J>x 办 е-Е"，•“"(>”；⑼况(х)〉。

=2 巾3 - Р2冢 pQ 吸烈мп, p^，M,(9.7 а)

ТО можно определить вершину F при р2 = ■ М，м2 > °*

厶£卜♦向・(尸1-尸2产-，(9*7 6)

Как уже отмечалось, выпрлнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан 粽 можно подучить из "затравочного" .лагранжиана £% , проводя замену фигурирую- пщх в нем клей по формулам (8.9). Для того что曲 вычислить любую 巾унк- цию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом прлучим величину「(％,•••, Рат；т, g,入)，определяемую формулой

Г(0, ・・・，&_］；九g,入)％>尸)

=&(内)...Кд,(尸N)fd% . .. 4%紋工屮〃 X〈ТФ|(Х|) ... ФМм)〉。； где К无一 обратные пропагаторы； для фермионных полей iK(p)^S^ (p)t для глюонных прлей tK(p)«D ~1(р)ит,д. 1> Вычислим неперенормирован- ную функцию Грина

Гз(Рн • • •，Pnt ；九 g,入)，

испрльзуя для этого .лагранжиан 臨 ^ (выражение (9.2)). Тогда перенор- мирсжэнная функция Грина G вручается из неперенормированной функции Грина VuD-.

；(”，•••，尸nt ；九 g,入)

・ Z^i/2... Z£"2f®(0 …，尸NT z 九 Zgg,ZB)・(9・9)(9.9)

Зто выражение приобретает 6q』ee прозрачный смысл, если ввести рледующие обозначения для затравочных параметров21:

%d " 2呻小, М = Z入入，guD =工点 (9.10)(9.10)

тогда выражение (9.9) принимает вид

ru(p^ • • •，pNT ；九 g，入)

"Z№ • • . ^Ф^^иЛ^Р^ ' ' ' ^Pn-I > ^uD ' guD，％/))•(9.11)

Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения ag = g2/(4ir) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормировэнным пропагаторами:

Sr"； gR，呵，入r) = ZPz*气3(?；Zgg,Zi，ZB).

Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений.

Поэтому множители Zg и Z 入 можно заменить на единицу, так как возникающее при этом пощ)авки будут иметь более высокий порадж малости по константе

сво1 a кваркасво1 a кварка]Используя формулы (7.4), (7.5), получаетл вьфажение для щхжагатс^а

сво1 a кварка

сво1 a кварка

Sr (尸；g, m, «) = Z/1 у—^~- (7 - Zq)Sr (尸；g, m, «) = Z/1 у—^~- (7 - Zq)1 - Gg2/!^尸2)

Sr (尸；g, m, «) = Z/1 у—^~- (7 - Zq)

Sr (尸；g, m, «) = Z/1 у—^~- (7 - Zq)

7 - Zm»» { 1 - Cfg&KpZ)}'

Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z , нужно задать значение кваркового пропагатора 5Д при некотором заданном 4-импу.льсе р « р. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор 5Д совпадал с пропагатором свободной частицы

Sr(R； g,九 a) = —— .(9.12)

Таким образом, находим, что при р2 = -ц2 перенормир(жочный множитель 2戶 имеет вид

Zf-Z^^^m2)

=1 - С恚卜11 -俠[2(1 - X)-§

хт2+ х(\ 一 工后 xlogхт2+ х(\ 一 工后 xlog

хт2+ х(\ 一 工后 xlog

хт2+ х(\ 一 工后 xlog

(9.13)

Z„，三 ZMM后）

3乂 - 1 - 2^dx(\ + x)log^

1

+ £("+硝及;rf^}GM

Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя Zf зависит от кцлибровки, расходящаяся часть множителя Z^ кцлибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормироаочного множителя все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя ZF означает, что можно выбрать такую кцлибровку, в которой этот множитель конечен. Мз выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель ZF конечен в кцлибровке Ландау, когда f = 1П •

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировоч- ная схема； в ней электроны и фотоны выбираются на массовой поверхности (т.е. электронный пропагатор S задается в точке р 2 = т?, а фотонный D • при 52 к °)，Поскрльку в КХД, по-видимому, происходит удержание кварков и глюонов, в ней не существует стрль же естественного способа выбора схемы перенормировки. Следовательно, имеется определенный проиэдрл в выборе перенормировочной схемы который может быть испрльзован для того, чтобы максимально упростить вычисления. Этим требованиям удовлетворяет схема минимального вычитания, к обсуждению которой мы переходим.

2. Схема минимального вычитания

Как заметил т'Хофт [249], простейший способ исключения расходимос* тей из функций Грина состоит в отбрасывании прлюсов по параметру 1/е, появляющихся в размерной регуляризации (минимальное вычитание MS). Впорледствии бцло показано [29], что эти прлюса всегда появляются в комбинации

М н § Ге + bg4m(9.15)

Следовательно, если отбросить трлько член 2/е, то остаются трансцендент* ные величины 丫岳，log 47r. Напомним, что зти величины возникают в результате обобщения проволимых вычислений на случай пространства проиэдрльной размерности D 尋 4 一 £, что находит свое отражение в членах вида

(4")“Т(с/2) = М + О⑹.

Кажется впрлне естественным отбросить и эти трансцендентные, слагаемые. Зто требсжание приводит к модифицированной схеме минимальною вычитания (в Дальнейшем обозначаемой MS), в которой множитель Nf исключается прл-

” Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассоаыа частиl*>i. В Этой калибровка на только перенормировочный множитель 2戶 конечен, но и массо аыА оператор £《')равен нулю.

ностью 1L В рамках этой схемы находим следующие выражения для перенор- мировочных множителей:

為=1-с启(1-9М，-(9.16)

2=1-С彌 М.(9J7)

Мы будем прльзоваться в основном схемой MS, поэтому черту над пере- нормировочными множителями Z, относящимися к этой схеме, в дальнейшем будем опускать, ф схеме MS множитель Z^ не зависит от кцлибров* ки. В двухпетлевом приближении это проверено в работе [242], но результат, по-видимому, справедлив во всех порядках теории возмущений врледст- вие калибровочной независимости массового члена mqq .) Из выражений (9.16) и (9.17) видно, что, определив коэффициент с выражением С = cN「 можно написать

ср}= -Cf(l -?),(9.18)

с^)=—3。尸(9.19)

Эти вычисления бь^ли проведены_и во втором порядке теории возмущений 2).

Вычислим теперь в схеме MS другие перенормировочные константы. Начнем с глюонного пропагатора. Поперечная часть глюонного пропагатора записывается в виде

.- У + дУ/д2

D*,ab(q，gt< ' S' %) = i%>

+ 2上号嚟鼠

X i -区『07丁 +(9.20)

Я

В этом выражении во втором порядке теории возмущений не требуется проведения перенормировки константы связи, калибровочного параметра и,ли массы. Часть поляризационного оператора П, обусловленная вкладами

1> Схемами может быть сведена к схеме MS заменой выражения dDk - v ^"D к KdDk /(2тт)пна выражение dD* = {и^ 一口/(2tt)d I /I (4тт)依-口)厶厂伊一卩々)} 2)Вычисления были проведены Нанолулосом и Россом [208]； Таррач [242] проверил их и исправил тривиальную ошибку, допущенную в оригинальной работе [208].

в

Рис. 6. Глюонный пропагатор.

духсж и глюонсж (рис. 6, а), вычирлена выше (выражение (5-9)1 >. Часть one ратора П, возникающая от вклада кварковой петли (рис- 6, 6), для кварка каждого аромата / записывается в виде

-7(2〃)3(к2 - m})[(k + q)2 - тЦ

Вычисление этого выражения проводится стандартными методами. За исключением множителя Ш" , результат совпадает с хорошо известным из КЭД выражением для фотонного прляризационного оператора. Ерли через , обозначить полное чирло ароматов кварков, то результат имеет вид

嗚…=腸(r屮+仪) low

X I ^Ncnf-4('dx-x(i _ x) 2 log—~^~

I(9.21)

"Выражение (5.9) получено без учета множителя v^"D. Если учесть его, то единственное изменение заключается в замене log(- д?) на log { — q\/v^)B

Во втором порядке теории возмущений можно просуммирсжать все диаграммы рис. 6, % где кружками обозначены петли кварков, глюонов *ли духсж. Выделяя из поляризационного оператора тензорную структуру вида

ПЙ：=-叫式 - g%? + g夕)ц,0.22 a)

прлучаем анцлог выражения (7。5)

以%g)=爲「；+需笈.(9.22 б)

(1 - 11)9

Введем запись

丿 占，

которая означает, что коэффициенты при члене % в выражениях для величин fug равны. Тогда перенормирсжэнный рлюонный пропагатор D запишется в виде

D^^Z^D^.

Из уравнений (5.9), (9-20). и (9.21) рледует равенство

С.ледоват^льно, в рамках схемы MS в калибровке Ферми — Фейнмана для перенормировочного множителя прлучаем выражение

В произврльной кцлибровке перенормировочный множитель Zb бь(л вычислен в работах [160, 218]. Соответствующий коэффициент с£* равен 嚟Н扑0 + 3e-等].(9.24)

Опуская вычирления, приведем лишь конечный результат для перенормиро- вочного множителя Z入1)

К =嚟.(9.25)

Следует отметить, что в кцлибровке Ландау параметр g в однопетлевом приближении не перенормируется. В действительности, как показано в § 6,

"С м., например, работу [2221 и цитируемую там литературу. Тождества Сла- внова - Тейлора, доказанные в § 6, обеспечивают выполнение равенства zg 二 z入 во всех порядках теории возмущений.

Рис. 7. Вершина кварк-глюонного взаимодействия.

тождества Славнова — Тейлора обеспечивают справедливость зтзо утверждения во всех порядках теории возмущений.

В заключение зтзо параграфа вычислим перенормировочный множитель Zg. Для этого используем вершину 0gB. Выбирая обозначения 4-импу.ль- с(ж в соответствии с рис. 7, можно записать выражение для этой вершины во втором порядке теории возмущений в виде (ср. с (9.7))

(9.26 a)(9.26 a)(9.26 б)(9.26 б)匕加NigY岁+h1 諾,

(9.26 a)

(9.26 a)

(9.26 б)

(9.26 б)

где

嚟。/LT"「"К,①

Величины Г(°)и「(°)обозначают вклады от диаграмм рис. 7, б мв соответственно. Диаграмма рис. 7, а приводит к первому члену igyt в формуле (9.26а). Из рассмотренных выше пример<ж очевидно, что массы кварков не играют роли в выражениях для перенормировочных множителей Z (за исключением, конечно, множителя Z^), поэтому можно упростить Bbiqwqле- ния, прложив т= 0. При этом qлeдyeт учитывать только расходящиеся части вершин Г. Тогда в калибровке Ферми — Фейнмана для рассматриваемой

вершины имеем

0追=[(?+歹+叫[(公一疔+研倒両0

=将微"鬻/"左戸力…* g石下Yu •(9.27 a)

Здесь использованы обозначения

"女三2缘唱一0,

圖三-鼠2您产t С，"？产

=居q号=4 喩 2.

При выводе последнего выражения испрльзсеано свойство антисимметрии константы f по отношению к перестановке индексов, благодаря которому можно заменить t btc на коммутатор ~—[fd, t с]^ Аналогично получаем выражение для вклада, возникающего от^диаграммы рис. 7, е ：

，•您吧-产g_》(p+幼У“(*+^%染0c。

丿 [(? + *)2 + *0][(/ + Л)2 + /0](Л2 + /0) y

div M

=里后У"e『.0.27 6)

Здесь

0° = g2?=咚(L，ta}t^(]+ ^а^с)

=8"{70 + 盡}.(9.27 b)

При выводе этого выражения использованы формулы приложения В. Таким образом, окончательное выражение для вершины Г имеет вид

焉""篇{0 + e""产(9-28)

В перенормировке вершины участвуют множители ZgJ z F и Z в :

明e = Z£Zj/2Zg 喝。.(9.29)

Рис. 8. Трехглюонная вершина.

Испрльзуя по.лученные выше выражения для перенормирсеочных множителей Zp и ZB и трлько что вычисленное значение расходящейся части вершины 「'^', прл^чаем следующий результат для зарядового перенормировочного множителя:

Zg = 1{ "V1 一 I м}м.(9.30)

Таким образом,

Интересно проследить за сокращением членов, пропорциональных множителю CF . Такое сокращение обязательно до,лжно иметь место в сцлу того, что зарядовый перенормировочный множитель Zg можно вычислить в рамках чистой глюодинамики, не содержащей фермионов (см. ниже). Очевидно, что такое сокращение происходит благодаря калибровочной структуре теории, см. выражение (9.27в). В следующем порядке теории возмущений функция В вычислена в работах [64, 179]. Вычисления коэффициента с ? были пр<жедены Гроссом и Вцльчеком [160] и Прлицером [218], которые вмес-

то кварк-г.люонной вершины qqB испрльзовцли трехглюонную вершину. Такое вычисление связано с рассмотрением диаграмм рис. 8. Для этих же целей можно испрльзовать вершину взаимодействия глюонов и духов ёЗзВ. Конечно, все способы рассмотрения приводят к одному и тому же результату что является следствием калибровочной инвариантности теории.

Следует отметить, что во всех порядках теории возмущений коэффициенты 叫)，вычисленные в схеме MS , ка期бровочно-инв^иантны [65]..

. Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи

В этом параграфе мы рассмотрим глобальные симметрии лагранжиана КХД. Поскрльку процедура перенормировок не меняет структуры лагранжиана, можно пренебречь различием между затравочным и перенормированным лагранжианами.

Очевидно, что лагранжиан инвариантен по отношению к преобразсеа- ниям из группы Пуанкаре # -► Л х +。・ Токи, соответствующие ,лоренцевым преобразс©аниям Л (являющимся генераторами полного спина системы), для нас не представляют большого интереса. Согласно теореме Нетер, инвариантность лагранжиана относительно пространственно-временных сдвигов приводит к следующему выражению для тензора энергии-импулъса: f 赢严-gy(10.1)

где суммирование по ： пр(жодится по всем нолям, фигурирующим в лагранжиане КХД. Из тензора энергии-импульса можно построить токи, удовлетворяющие условию сохранения

Эм©^-0,

и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса

尸、/成叫X).

Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид1)

I)При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса gm. в работах [60, 74].

Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (ЮЛ) калибровомно-инвариантного выражения для тензора энергии-им- лульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает л ри замене обычных

8产0，2力"q7- g"i2歹09+ g"2石狗

—gaRGgG'B + I g^G? + члены, фиксирующие калибровку + вклад духов

Дзлее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.

Если массы всех кварк(ж равны нулю, то .лагранжиан £ инвариантен относительно преобразований вида

勿—N 勿％，‘勿—£ %x%，(10.3)

при условии, что матрицы U к Р представляют собой унитарные матрицы размерности п, х п^ . Отсюда следует, что токи

嗒(X)=斤(x)Y 号(х),A^{X)= q{x)y^5q\x)(10.4)

сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане £ учесть массжые члены, то сохраняется только диагональный ток 卩右；остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет бQльшoй сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана £, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака i幽=%g приводит к следующим выражениям:

д^ = '(тч- т^ЧЧ'> м^ = *(^ + m^qy^.(10.5)

Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагонцльных переходов (q * q) если же начальный и конечный кварки совпадают ( q = 9*), то его следует

заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:

a “然(X) = i(q + m/(x)y5g(X) +(10.6)

Это так называемая треугрльная аномалия Адлера - Велла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.

Также ,легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных Л цли векторных Р токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных прлей получаем

Ь(х° - /)[ О^)^^-^)] = -8(х~У18чч"Ч'(х)>

%х° -/)["北，(х),д"(у)] = -6(х -夕)％"5产)и т.д.(10.7)

Векторные и аксиальные токи коммутируют с hqjwmk глюонов и духов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных прлей, проще всего записать, введя матрицы Гедл-Манна Аа, действующие в цветовом пространстве (см.' приложение В). Еали рассматривать кварки трех ароматов (f = 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде

S(x) = 2%(x)X^y"%(x),4扌住)=2夂(*)学了，5%5),(10.8)

то возникают следующие коммутационные соотношения:

6(х° -/)[咤(х)，/⑴]=2ib(x -у)Х£^%(х), а(х°-/)[ W(x),4f(y)] = 2i8(x - у)^АЦх), Ь(х。-/)[父(х),戏(乃]= 2ib(x-y)当通％(х) и т.д.(Ю.9)

Соотношения (10.7) и (10.9) прлучены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию 5-функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны трлько для мцлых расстояний; qлeдoвaтeль- но, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между прлями кварков и глюонов.

Также .легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся цли квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (цли лагранжианом). Если ток /ц сохраняется, то соответствующий ему заряд Qj имеет вид

Qj(f) = J dxJQ{t,x)t t = №

Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом：

QM(,J)] = 0.

Здесь К - гамильтониан (плотность функции Гамцльтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением Н = ® °°. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан К, через Н":

R = 2%河

Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение

[②"),％'(—)] = 气厶办

Конечно, заряд Qj по-прежнему коммутирует с остальными членами гамцль тониана К.

. Ренормализационная группа

Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми — Фейнмана в рамках 口 -схемы

-1-（4/3）鼠卅（尸）

3・1 а)3・1 а)(11.1 б)(11.1 б)S炉（……"“{_（”*）（#）}，

3・1 а)

3・1 а)

(11.1 б)

(11.1 б)

где

]6讶2 JoXW _ x(l _ x)p2

16讶* Joxw - x(l - x)尸

В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций Л и В имеют вид_

1-(4/3)g%(尸①

R?)-叫1-(4/3)鼠瓦(尸,吻，

4r = -16M4r = -16M' —1 — 2,%(1 — x)log' —1 — 2,%(1 — x)logxm2 — x(l — x)尸 2xm2 — x(l — x)尸 2(11.2 а)(11.2 а)瓦—ц 16M瓦—ц 16Mxm21 + 2J dx( 1 + x)logxm21 + 2J dx( 1 + x)log х(1 х)尸 х(1 х)尸(И.2б)(И.2б)

4r = -16M

4r = -16M

' —1 — 2,%(1 — x)log

' —1 — 2,%(1 — x)log

xm2 — x(l — x)尸 2

xm2 — x(l — x)尸 2

(11.2 а)

(11.2 а)

瓦—ц 16M

瓦—ц 16M

xm2

1 + 2J dx( 1 + x)log

xm2

1 + 2J dx( 1 + x)log

х(1 х)尸

х(1 х)尸

(И.2б)

(И.2б)

Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки ц 2 в ц-схеме цли шкцла масс v 2 в схеме MS .

Начнем с рассмотрения ц-схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки измрнцлась и вместо прежнего значения 口 взято новое значение Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр н заменен на 口"，то выражение для кваркового пропагатораS ‘％) будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки ц .

Поэтому перепишем выражение (11 Ла) для пропагатора в виде

S*)(尸；g，m(")) = iS*)(尸；g，m(")) = i(П.З)(П.З)1 - （4/3）.俨（尸）了一"（田｛1-（4/3）鼠现。（户）｝

S*)(尸；g，m(")) = i

S*)(尸；g，m(")) = i

(П.З)

(П.З)

Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора SR , записанного через неперенормированный пропагатор:

S，")(尸；g，m(N))匸 ^fX^ud^ g，m〃D)；

加心=zm出加陋).(11.4)

Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки н достаточно подходящим образом выбрать зависимости пере- нормировочных множителей Zf и Zm от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S(戈 при (р; g, т(ц)), то можно вычислить его значение и при (р = j g,屈(口)). После этого определим пропагатор S(% ' , нормированный в точке “в виде

眦)(W，g，f )) = 7T^у

Потребовав равенства выражений для пропагаторов при р 士 口"，можно определить функции mg") и Zf (ц "),/ Z 尸(口). В результате, например, получаем следующее выражение для функции m (『)：

阿厶(1 + x)bg嬴

В рамках схемы MS рассуждение оказывается брлее простым, но вместе с тем и брлее тонким *. После проведения регуляризации во всех вьь

ражениях возникает произвольный параметр v0 , имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра v0 , то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4тг)€ /2Г (t ,/2), а весь член (4тг)€/2Г(</2)Уд . Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра V размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z (v ) = (v0,,/v)€2/ которая сократится с мно、 жителем N= 2,/t — у£ + log4Tr + logv0. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра v, но не будут уже зависеть от v0 . Предположим, что мы хотим изменить значение параметра v , но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра v в константу связи g, массу кварка т и калибровочный параметр §/(в дополнение к зависимости от v перенормировоч- ного множителя Z ). Для функции Грина Г с отсеченными внешними .линиями получаем

ГЛ(?1，•..,尸NT ； g(v),m(v),i(v);v)

=Z^p)…Z^(v)ruD(pu …，尸мт ; guD,muD,CuD);(11.5)

Sun = Zg")g"), muD = Zm{v)m{v),

“L Z\(yp“)， C= 1 -X-1.(11.6)

:Легковидеть, какая требуется зависимость от Параметра v. Напомним, что параметр v0 входил во все выражения в комбинации

так что зависимость от v0 имеется трлько в расходящихся частях интегралов

Г(2/е)(4"/2(噺"

Следовательно, все перенормировочные множители Z (v ) имеют вид

4О)= 1 + Ь')“)詣+ • • •，(11.7 а)

Ь» ") = 0 { W - Уе + 10g4T + log £ }.(П.7б)

Коэффициенты перед членом hgv2 с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами с, . В низших порядаах теории возмущений легко показать, что в ц-схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log ц2.

Преобразования вида ц -► ц* (цли v -► v *) образуют ренормализационную группу1 *, впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, испрльзуя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзи- ком [239], которое рассматривается в следующем параграфе-

Уравнение Каллана 一 Симанзика

Уравнение Кцдлана — Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины 几，g^ ти, §“ не зависят от значения параметра v (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и_(11.6) немедленно получаем уравнение

五 ^uD(Pu ■ ■ ■ > Pn- 1 ； g“D，m“D Ad) = 0，

т.е.

居 +g喂 +(1 T)% + 2%’危

xl\(尸I，Av-1； g"),m"),入0) = 6(12.1)

Здесь введены универсальные функции 0, 〃 и 6, определяемые соотношениями

"6 g(") = g(")6，

"£”#)= /""，(12.2)

"分(")=口 - М")}4

И

Zf' = Z^/2. . . Z^2, Zf,p^Zr=yr.(12.3)

Функции В , у k 5 можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины gu, ти и £ не зависят от параметра v : в= - z”4唸Zg⑺,％,q= -Z〕⑺鳴Zm⑺,5= -Zx(w£zj"). (12.4)

в действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перекормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида т ( % f R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.

Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру vd/°v・ Но его можно представить в б0Лее удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины「衣 равна р「； тогда величина v 「衣 является безразмерной0, поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в 入 раз： р.予入рг В результате получим

广"「及（21，，…，2"1 ； 6m，07；戸）

=尸（21/戸，• • •，2"1/叭 扌m/八0-）

Чтобы отличать масштаб изменения импульсов 入 от калибровочного параметра, последний обозначим через а = А *. Теперь, заменяя частную производную V d：/d V на производную -入 @/8 入，получаем уравнение Каллана - Си- манзика

{-薄+g喘+ 5"券+平g一)就+分一У"

x「&(g，№n-i ； g,m,£") = °・(12.5)

Что&>1 решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями

熟=粉）6（武人）），熟=粉）6（武人）），(12.6 a)(12.6 a)(12.6 б)(12.6 б)时)龙(入广I _ КТ.d^x = m^y^' WT-“ 5>

熟=粉）6（武人）），

熟=粉）6（武人）），

(12.6 a)

(12.6 a)

(12.6 б)

(12.6 б)

и удовлетворяющие граничным условиям

gk=i=g")，砒= i = m(")，й|х=1 = а(р).

Тогда решение уравнения Кцдлана - Симанзика можно записать в виде 「贝(2I，…，2川-1 ； 80)，m")，6")")

=入"；(尸1，…，尸； g(入)，玩(入)，m(入尸")

(12.7)(12.7)X eхp( 一£吟logX*(g(X),历(“(人广)卜

(12.7)

(12.7)

Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в 入 раз функция Грина % не умножается просто на величину 入 °「как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает допрлнит^льный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину у「обычно называют аномальной размерностью функции Грина「五。С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей 1). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.

Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.

Перенормировке составных операторов

Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и ела曲е токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.

Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока 了募=》Qg %"，г〃е проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы 吟 имеют следующий вид:

嚟(х)=:歹(х)у勺(х):;

и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения

VW = 0・(13」》

В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток

然，(x)=，(x)Y%g*):.

Используя уравнения движения (3・6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям

а“Х旅(x) = i(/ + /，y£(x),4%(х)=：д(х)хд，(х): ,(13.1 б)

из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.

” Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].

Вообще говоря, матричные элементы .любого составного оператора представ.ляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в .лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и час- тмуно сохраняющихся токов оказываются конечными1'. Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор 耳：彳‘(％ ) q'( %):三 М (% )• Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной 彳计 Q^ к проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z ；1 気 ” ,проводя подстановки g 一 g^ = Zg g для константы связи и ти ->тц = Z^m для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, что向 величина М была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора М , необходимо умножить его на дополнительный множитель ZM, называемый перенормировочным множителем оператора:

Mr(x) = Z“M(x).(13.2)

Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом ноля, отмеченнью верхним или нижним индексом 0, являются свободными, наг пример q。三 q； или Во 三 В；. В терминах свободных прлей оператор MR записывается в виде

必住尸 Z^T :%(x)%(x):expijd4zai?t(z)・

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид

Mr(x) = Z“ZM‘ ：兆(x)go(x):

-帯 Z“2 fd4z}d4z2T《(x)go(x)::兆(z"%%(Z]):

X :兆(Z2)Y”％(Z2)： B&(Z|)稣〃(Z2).(13.3)

Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид Z^ = 1 + O(g2), множителем ZM во втором слагаемом правой части (13.3) можно прене-

Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходи- мсють включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных мно-

бречь.Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы Мд по кварковым состояниям с равным импульсом р； нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричнью элементы операторов М и М^ соответственно через < М >夕 и < 乂五>什.Тогда в калибровке Ферми - Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов прочим

〈％〉尸 z^Xm^

где(13.4)

/ 三：%%

Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9,6, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, 6. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не длияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов 5“ в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем ZF ； таким образом, остается трлько расходимость, связанная с интегралом:

打静3 吧您Г(")(甸.

Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором Su , получаем

z“") = 1 - 3^~ { I +10g4" Yg Tog#/矶.(13.5)

Вычисление перенормировочного множителя Z^ проведено в калибровке Ферми - Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.

Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин /у” пли 5yuys q，, то прлучцли бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, зто утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы

Рис. 9. Перенормировка оператора 办.

переходим. Пусть ток /р представляет собой квазисохраняющийся оператор, т-е- в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию d^j ^(х) = 0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных прлей Ф； и тока

""(X)①1(乃)…狐(厶).

Тогда, используя соотношение(9о0(х 0 - у °) = 6 (% ° - у °), можно получить тождество Уорда

а〃77“(х)Ф|(乃)...ф^(№)

=т(а j“(x)2Qi)…ф“®)

+晋(一)2(乃)……总⑷]ф"®).(13.6)

Пусть справедливо равенство

6(х。-於)[Jp), Ф《”)]=Ф，(％)6(х -拄)；

тогда, если множители Z, и Z。представляют собой аномальные размерности тока尸 и его дивергенции d^j^ соответственно, а множители

Гу и у° являются коэффициентами перед членом - (й2,/16тг2) N6 в вы

ражениях для Zj и ZD, то, применяя к левой и правой частям (13.6) опера- ратор vd/dv, получаем

гЛ77«х)Ф】5)・・・Фм(川)

=т {2勿加詣 а/“(х)}ф|(乃)...ф^(№)

+ УоТ@"(х))Ф](乃)・・・①％(№)•(13.7)

Уравнение (13.7) может выполняться трлько в том случае, если у^ = 0, а множители у° и 丫团 удодлетворяют условию

丫。乙》=-〉％т 詣а/“.(13.8)

Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток 尸 записывается в виде J ^ ^qy^q^ • При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока

ajR = i(m -加)？g,

а также явный вид аномальной размерности % , которая вычислена в § 14. Иди же можно учесть соотношения (9.17) и (П.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства

m”D®l)“D=加必貳初“о= MRZM(qq)uD= MR(qq)R,

с перенормировочным множителем Zm , равным только что вычисленному множителю 工№ •

§14. Бегущая константа саязи и бегущая масса в КХД; асимлтоти-

• ческая свобода

Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра v перенормированная константа связи достаточно мала для того, что也i функции р, у. 6 можно Зло

разложитьразложитьв ряд по степенямв ряд по степеням(MJ)(MJ)

разложить

разложить

в ряд по степеням

в ряд по степеням

(MJ)

(MJ)

константы связи g (v )：

Значение коэффициента р0 можно получить из выражений (9.30) и (12.4):

Ро = ^сл -4/у7>) =|(33-2л/).(14.2а)

Испрльзуя результат вычислений перенормировочного множителя Z во втором [64, 179]'и в третьем [241] порядках теории возмущений, для коэффициентов б и В? получаем следующие выражения

^ = ^C]-^CATFnf 一 4С.7>/ = 102 — 学"/ ；

h = ^-^TFnf

+ 崂Q 7>；-衅CA CFTFnf + «CFT^ + 2c打吗

=咿一膂"/ +笠啖(14.2 6)

Вычислим эффективную константу『в низшем порядке теории возмущений. Введем стандартное обозначение a s = й2,/4тг. Уравнение (12.6а) в низшем порядке теории возмущений имеет вид

眩-_д £ 丽X— До1б7'

и при 入2 = Q "v 2 приводит к следующему результату для эффективной константы связи:

獎「a/2M"dlogk, 27r Jo獎「a/2M"dlogk, 27r Jo(14.3)(14.3)%(02)=%(02)=1 + ag")£o(log О?/#)/4b1 + ag")£o(log О?/#)/4b

獎「a/2M"dlogk, 27r Jo

獎「a/2M"dlogk, 27r Jo

(14.3)

(14.3)

%(02)=

%(02)=

1 + ag")£o(log О?/#)/4b

1 + ag")£o(log О?/#)/4b

1 * Значения коэффициентов p0 и “ не зависят от перенормировочной схемы, выражение для коэффициента р2 выписано для случая схемы MS .

Последнее выражение удобно записать через инвариантный параметр Л, выбирая его таким образом, чтобы оно приняло вид

a(02)=也；叫⑺.(и4a)

闻。g0/A2'

Подставляя выражение для коэффициента %)получаем следующую формулу, описывающую зависимость константы связи % от переданного 4-импульса Q*

%( е2)&~~т.(14.4 б)

(33-2"/)logO/A2、'

Если учесть члены второго порядка малости по константе связи % в разложении для ренормгрупповой р -функции (член-^ ^g 2 (v)/16тг2)2 в ( 14.1)), то для бегущей константы связи прлучим

а⑵(0 2) =12^[ 1 _ з 153-19"/ loglog 0/А?)

'' (33-2"/)log0/A2 I (33-2"/)2 Ilog 22/Л2 J'

(14.4 в)

Мы видим, что %⑵&2)/%收2)f 1 и оба выражения (14.46) и (14.4в) логарифмически стремятся к нулю в пределе Q 2fg〔). В этом и состоит проядление замечательного свойства квантовой хромодинамику — ядления ас加мптош稣еский свободы, которое впервые обсуждалось в работах Гросса и В^льчека [160] и Прлитцера [218]. С учетом выражения (12.7) оно означает, что при брльших пространственноподобнЬ1Х импульсах 入Р广q, д 2 = =-Q 2 квантовая хромодинамика представляет собой свободную квантово- прлевую теорию с точностью до .логарифмических поправок. Брлее того, в пределе Q 2 f g константа связи % _ 0. Следовательно, эти поправки можно вычислить в виде ряда теории возмущений по малой константе связи сх§. ” Можно также вычислить бегущую массу. В низшем порядке теории возмущений потребуем выпрлнения соотношений (12.2), (12-6) и (9.14). Тогда прлучим

丄-¥玩 =?(0)-Л).=——

历 dlog入.加 16M 26olog入.

“При условии, что число ароматов 呼 < 16 = Это ограничение достаточно слабое и легко выполнимое. Экспериментально пока обнаружены кварки пяти ароматов. Современная теория предсказывает существование шестого, так называемого t-кварка. (Указания на экспериментальное обнаружение t -кварка получены в анализе адронных струй на ^-коллайдере- — Прим, перев.}

Используя выражение (14.4а), прлагая bgQ 2,/Л2 = 210g 入 и вводя константу интегрирования m (которая представляет собой аналог параметраЛ), получаем выражение для эффективной массы

(14.5 а)(14.5 а)历(2В =一(о〃[，у^= -3CF.

(14.5 а)

(14.5 а)

(QogQZ/A?)-% /岗

Подстацляя значения коэффициентов Во к 丫加，окончательно имеем

历(2 А历(2 А(|iog е2/л2/-(|iog е2/л2/-(14.5 б)(14.5 б)

历(2 А

历(2 А

(|iog е2/л2/-

(|iog е2/л2/-

(14.5 б)

(14.5 б)

где коэффициент dm иногда называют аномальной размерностью массы.

Аналогично можно вычислить бегущий калибровочный параметр. Подробное вычисление можно найти в работе [209]. Приведем лишь результат

1( Q2) = 1!丨 1 + —丨

%logO/A2 网39-4"/ *i°g02/A2)4j '

47"

В заключение этого параграфа приведем результат вычисления эффективной массы m в двухпетлевом приближении [ 242}:

而 2)( 02) = 鬲 I 1 Г俨А . 10g 10g 02/人2

柒依7图I” 0%)柒依7图I” 0%)©log 0“2广 I 闻 21og б2/Л2

柒依7图I” 0%)

柒依7图I” 0%)

(14.5 в)

где пс = 3 (число цветов). В качестве примера испрльзования развитой здесь техники приведем вывод импу.льсной зависимости кваркового пропагатора в пределе брльших импульсов Q? »А2

S/?(尸幻)")，p、一 qГР

Размерность кваркового пропагатора SR равна р5 =- 1. Следовательно, замечая, что Z ^ Zр (в пропагаторе 5Д сохранены внешние линии: "усечен-

ный11 пропагатор SR 6blл бы просто равен 5 д), при условии 力=入也， n2 = -Л2 из уравнения (12.7) прлучаем

В ведущем приближении по as выражение для кваркового пршагатора принимает вид

5R(",g(人)，硏人)，反人)；")产；

\Q2T8 Я

Используя формулу (14.4а), окончательно прлучаем

Sr(尸,g"),》»"),6")；") = e丁,(14.6 a)

e2>A^ 7 Glog0/A2产

(Q2 = _「2), где аномальная размерность кваркового прля записывается в виде

3(1-£)С尸г 1-£

詳• \\CA-4TFnf = 2 33-2"/ '(14.6 б)

Таким образом, кварковый пропагатор 5Д в пределе больших импу.льсов с точностью до .логарифмических поправок (log Q ,/А)』g ведет себя аналогично пропагатору свободного кваркового hqjw. Отметим, что аномальная размерность кваркового прля %亨,как и ожидалось, зависит от кдли- 皿вечного параметра и равна нулю в калибровке ,Ландау, в котор成 кв叩ко вый пропагатор имеет каноническую размерность.

Глава III

ПРОЦЕССЫ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО

РАССЕЯНИЯ

§ 15. е + б —аннигиляция в в дроны

.Лагранжиан, описывающий сильное и электромагнитное взаимодействия кварков, можно представить в виде

dQCD + emM^U^g-^Mg} - }(D X 8)2

+吟2而9"「}/尸r"I)

где Qq — заряд кварка q в единицах заряда протона е. В формуле (15.1) опущены члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад духов. Электромагнитный ток кварков равен

/"=2以：办"q： 一

Рассмотрим некоторое адронное состояние Г • Сечение аннигиляции неп(>ля- ризовэнных электрона е 一 и позитрона е + в адроны определяется как усредненная по спинам начальных электрона и позитрона сумма по всем возможным конечным состояниям адронной системы, возникающей в результате процесса е +「т Г. Для того чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим матричный элемент

〈F|SQCD + em|e + e-〉

=<Г| г exp i^ d\ {.Z int> qcd(^) + -^int,em(^)}|e + e->.

Проводя вычисления в низшем порядке теории возмущений по константе э.лектромагнитного взаимодействия, п(>лучаем

〈nSQCD+«n|e + e一〉= "^〈n/44Kdx2丁/久g(К1)/黑加(k2) X exp if d\^ QCD(^)|e + e~ >.

Исп(>льзуя правила диаграммной техники Фейнмана для квантовой электродинамики и учитывая обозначения рис- 10, а, амплитуду интересующего нас

Рис. 10. Диаграммы, описывающие процесс J「-» адроны.

процесса можно выразить в форме

F（e+ f г） = *■ 6（尸I, 5а/（尸2,。2）〈w"（0）10〉.

Суммируя по конечным адронным состояниям, для сечения е + е~-аннигиляции в адроны получаем

"（s） = e0伞+ё一 -F，$ = 5 +p2y） г

=岑 4М〃e3）*（0 +戸2一pГ）〈口尸（0）|0〉〈口"（0）|0〉*■

s 「（15.2）

Если пренебречь массой электрона, то тензор 公 можно записать в виде

^ = I S 6（尸1，。1）""（尸2，。2）［6（尸1，。必"（尸2,。2）］*

^^ {%% 一 夕七0 -（Р\~ Р2）^（Р\ ~?2）3-

Из приведенных формул видно； что нетривиальная часть выражения для сечения е + е ~ -аннигиляции в адроны связана с тензором

А“" = £ (2不6(八 + 厶-?г)<0|/-*(0)|Г><Г|/-(0)|0>.

Г

Используя полноту адронных состояний, в силу которой справедливо соотношение 2「|「> <Г | =1, выражение для тензора △"" можно переписать в виде

(15.3)

При выводе этой формулы использован закон сохранения энергии-импульса； благодаря которому слагаемые, отвечающие пере ставленнь] м токам J , равны нулю. Удобно определить тензор П"“ выражением

П^?) = i^d^xe^ х ( TJ^xy^^g,(15.4 а)

где р〔 +р2= q; нетрудно убедиться в справедливости соотношения ”v = =2 Im П и” 1 *: сечение е +е ~ -аннигиляции в адроны связано с мнимой частью фотонного поляризационного оператора.

Небрльшие усложнения возникают из-за интерференции сильных и э；лект- ромагнитных взаимодействий. Поскольку поляризационный оператор Пцу вычисляется во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия е, необходимо учитывать перенормировку электрического заряда, описываемую двумя диаграммами рис. 10, б. Простейшее решение этого вопроса заключается в рассмотрении тесно связанной с наблюдаемыми характеристиками процесса мнимой части прляризационного оператора 1тПцу , для которой подобных усложнений не возникает.

Электромагнитные токи яцляются сохраняющимися ； поэтому их аномальные размерности равны нулю. Если из выражения для поляризационного оператора Пцу выделить тензорную структуру —q^q2 + q^qv :

П“) = (гр2 +叱"声(办(15.4 б)

то в соответствии с общими положениями теории для мнимой части поляризационного оператора можно написать соотношение

1тПл(^; т(р), g(”); ”)= Im Hr(”叫而(2?), g( 2?)； ”)’(15・5)

2 2 = - ^2 = 5, 刁2 = 1：

1( Простой, но несколько громоздкий способ убедиться в этом состоит в применении соотношений унитарности (2.8) и (2.9) к процессу рассеяния на нулевой у гоп е + е~ т е + е ~ во втором порядке теории возмущений по констенте электромагнитного взаи модействия.

Таким образом, надо вычислить лишь величину ImHR (q ; m(v), g(v)； v) и произвести в ней замены q = v , m (v )-历(Q ?), q (v ) - q (Q ? )♦ В нулевом порядке теории возмущений возникает диаграмма рис- Ю, % из которой, пренебрегая массами кварков； приводящими к поправкам порядка М /s , получаем

ImH^=±3^g.(15.6)

Формула (15・6) подтверждает результат старой партонной модели [ 58, 120], в которой кварки считались свободными. Поэтому принято рассматривать отношение сечения аннигиляции в адроны и九 к сечению процесса е + е ""-> ц+ц l, вычисленному в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному в заимодействию:

R(s)= ~T^(瓜 7) 久+е-т/*+厂(£)

В нулевом порядке теории возмущений это отношение равно

&(o)(s) = 3 Е 味(15.8)

Поправки следующего порядка предстацлены диаграммами рис. 10, г. С точностью до замены фотона глюоном и учета теоретико-группового множителя 芝明友 t 詳端 =CF^ij 9TM диаграммы аналогичны соответствующим диаграммам квантовой электродинамики, вычисленным много .лет назад в работе [180]. Воспользовавшись этим результатом, прлучаем [18, 278]

Л(,)(5) = 3^е/Jl + ^lj.(15.9)

Поправки второго порядка вычислены в работах [67, 95]. В перенормировоч- ной схеме MS во втором порядке теории возмущений

MD = 3 録 2+ ^) + / 吆 ° В j

/=17疗2\77 /Г

г2 = [|Н3)-Ц]и/+^- Hf(3)^2.O-O.12«z.(15.10)

Здесь С — дзета-функция Римана, а для константы сильных взаимодействий а & следует использовать выражение второго порядка теории возмущений.

407,5Z0Z,5

1/Г

Рис. 11. Зависимость величины R от s • Штриховой линией показано (ведущее) лредска- занив КХД для R [265].

Необходимо рассмотреть еще вопрос о том, сколько ароматов кварков следует учитывать. Этот вопрос тесно связан с проблемой кварковых масс. Eqjih масса кварка т^ удовлетворяет условию s » m^ , то возникают поправки типа О (呜:/s ). В пределе s-» ~ они пренебрежимо малы по сравнению с поправками .любого порядка по параметру % . Совершенно иная ситуация возникает, когда 呜》s и передаваемой энергии недостаточно для рождения дополнительных кварк-антикварковых пар. Этот вопрос будет подробно рассмотрен несколько ниже; здесь же мы примем эвристический рецепт, состоящий в том, что суммы по ароматам кварков следует распространять на ароматы трлько тех кварков, массы которых удовлетворяют условию 呜 <<s. При этом порог рождения некого аромата 4呜》« s, в окрестности которого могут возникать с;ложные эффекты, рассматриваться не будет. Можно по-

казать, что в этой области теория возмущений КХД непосредственно не применима.

С учетом этих замечаний теоретические предсказания хорошо согласуются с экспериментальными данными, как видно на рис. 11, где приведены результаты первой экспериментальной проверки КХД ". Однако из-за больших систематических ошибок экспериментальных данных при такой проверке трудно выйти за рамки ведущего порядка теории возмущений КХД.

. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы

В квантовой электродинамике существует естественная перенормиро- вочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе а) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории а л % можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной' схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.

Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину Л Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, испрльзованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи

р = ¥&(/?)[%”)]",(16.1)

то коэффициенты Сп и константа связи % будут зависеть от испрльзуе- м曲 схемы перенормирсжки R * Ес;ли перейти к новой перенормировочной схеме R 二 то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину Р , вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи as(R *):

Р = ?&(?•)[%(?)]".(16.2)

“ Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.

Подстацляя в формулу (16.2) выражение для a$(R‘), записанное в виде ряда по константе % ( R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах- Разложение константы % (R *) по степеням константы а$ (R) можно записать в виде

a式 R) = g(R){ 1 + /(r1尺)%(??) +.

Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений а$ = g^；/(4ir) не зависит от выбора схемы. Это означает, что С。”(R) = СОр 1 (R ")♦ Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:

，2(R)= C2(^z) + a^R^R^C^R^vt^ *

Рассмотрим, например, величну R, введенную в предыдущем параграфе11. Eqли ее вычислить в схеме минимального вычитания (в которой устраняются трлько прлюса Z/ — а не вся комбинация М = ^人 -у 芯 + log4ir), то вместо формулы (15.10) прлучим

隔S)= 3 6 0/ + 上£°2) + 々 ( 1次3 j

尸2,ms =广2 + (10g4TT -论)里力2" .(16.3)

Выражение для константы связи %,巾$ также отличается от формулы (14.4в). Оно имеет вид

/V / /-)2、_12 力

(33 - 2/y)log 2 2/А?

log log 2 2/А? — log477 _ Ye ] fog02/A2 - Iog02/A2，(16.4)

Можно сохранить формулу (14.4в) для константы связи а$, если определить новый параметр обрезания Ams следующим образом:

AmS = e7£-1O84ffA.(16.5)

Тогда выражение(16-4) запишется в виде

„12b— 3 153- 19 丐 log log。2/小]

式丿(33-2"“og0/& I (33-2"/)2Qog02/& 广

(16.6)

с точностью до членов порядка 0( [%] з).

К сожалению, часто забывают об этом простом факте: параметры теории можно получить только во BTOpcsvi пордцке теории возмущений; в низшем же порядке параметры Л и Ams взаимозаменяемы, так как возникающая при этом ошибка второго порядка малости. Кроме того, когда приводят значение, например величины Л (то же справедливо и для эффективной массы т), надо указывать, в рамках какой перенормировочной схемы получено это значение. Как параметр обрезания Л , так и эффективная масса т жляются ренормин- вариантными величинами, но они меняются при переходе от одной схемы к другой. В этой книге в основном испрльзуется перенормировочная схема MS вследствие ее простоты. В ней не возникает трансцендентных выражений (типа — 了芯 + log 41т). К тому же эта схема, вообще говоря, приводит к малым поправкам во втором порядке теории возмущений. Например, в схеме минимального вычитания для величины г 2 ms ммеем

г211ms = 7,4-0,44п〃

в то время как в перенормирс®очной схеме MS эта величина имеет значение 2,0-0,12 九厂

В этой схеме предпочтительное экспериментальное значение параметра обрезания равно

+ 0,07

Л «0,13 ГэВ.

-0,05

Это соответствует значению Ams ^ 0,05 ГэВ. Значения эффективных кварковых масс равны

10 >> тц>5 МэВ, 20 ^md >10 МэВ, 400 ^ ms >, 200 МэВ.

Численное значение параметра обрезания Л можно 医ую бы найти, сравнивая вычисленное теоретически значение в длинны R с измеренным значением, но точность экспериментальных данных довольно мала (рис. И). Для этой не；ли можно использовать другие процессы, например процессы глубоко неупругого рассеяния электронов цли нейтрино или распады кваркониев 屮 и у. Определение эффективных масс кварков рассматривается в § 32.

. Кинематика процессов глубоконеупругого рассеяния; партонная модель

Рассмотрим процесс I + h -* / *+ all, где / и / ' —лептоны, А—адронная мишень, а символ all обозначает сумшрование по всем возможным конечным соо тояниям Г (рис- 12, а). Если начальный и конечный лептоны совпадают, т.е. / = /，= е (э.лектрон) или ц (мюон), (рис* 12, б) то этот процесс представляет собой исследование адрона h в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию, а соответствующим оператором является электромагнитный ток

& = Е 以力忆 *int,em = "24 •

Рнс・ 12, Диаграммы, описывающие процесс глубоконеупругого рассеяния.

■Если Z = vy (нейтрино), а 2 ' = 口 (мезон) (рис. 12, 6 ), то процесс обусловлен слабым заряженным током

Л?=力"0 - 了5)4 + QM(1 - X)" + •…，

константа слабого взаимодействия gw удовлетворяет соотношению g* ,/м? =4# Gр , где Gf = 1,027 m п^тон» М” 一 масса векторного бозона, а

de~ d cos 0С + s sin 0C , s§ = — d sin % + $ c0s % •

Если 2 = % ' = “у (нейтрино), то процесс вызван слабым нейтральным током (рис. 12, %); тогда в стандартной теории электрослабых взаимодействий имеем

“=“=4sin乳u / 1卜Y“+ —q +4sin乳u / 1卜Y“+ —q +2 sin 筑32 sin 筑3dy^ddy^d

“=

“=

4sin乳u / 1

卜Y“+ —q +

4sin乳u / 1

卜Y“+ —q +

2 sin 筑

3

2 sin 筑

3

dy^d

dy^d

+ ^力〜5〃 - ^行Y九比

= 2cos jsin%J£Z“ '

где sin?% 二 0,22.

Введем бьеркеновские переменные

Q2 = — q2,»=p・q, x = Q^ Rv;

заметим, что величину s в бьеркеновских переменных можно записать в виде

s =亦=-0? +欣+ 2卩=2卩{1 +欣/2卩一 х}.

Предел глубоконеупругого рассеяния, или бъеркеновский предел, соответствует значениям Q2 , v » А2 при фиксированном х = Q 2 Лу. Используя стандартные правила диаграммной техники, амплитуду рассеяния, например, для случая е/ц можно записать в виде

^e + le+f =空■初(К(/)У%化(J)

х &辛(Р + g -尸г)〈П4(0)|尸,т〉.(17.1)

Здесь о （о Л） - спины падающего （рассеянного） электрона, ат- спин адрона-мишени h^ Отметим ковариантный характер нормировки векторов состояний （см・ приложение Ж）:

〈?'，Т' 1?,T〉= 2尸储 6（方一尸）.

Для неполяризованных частиц сечение процесса е + h е + all выражается через лептонный L"" и адронный 叩""тензоры （массами лептонов мы всюду пренебрегаем）1 *

L产=^，初（K/）Y%（Ko）［初（儿'。）Y々（依0）］*

=2（左眩"+ 左%"一 KA'g"）,

%产（尸，g）T I ?审（2"）婚（尸 + g 一八）5T1 J"（o）+1r〉

Х<ф70）|Лт>.（17.2 a）

Конечно, эрмитово-сопряженный электромагнитный ток 丿"+ удовлетворяет равенству 丿"+ = Jv, но мы записали выражение （17.2а） в общем виде, справедливом и для процессов, обусловленных слабыми токами. Выражение （17.2а） можно записать в другом виде 2*

却修（尸，9）= ；（2"У/4%е"，<川［»«）+ ,1r（0）］|尸〉，（17.2 б）

где подразумевается усреднение по спину адрона-мишени т .

Рассмотрим общий случай слабых цли электромагнитных токов- Общее выражение для тензора 叩叫 записанное в терминах инвариантов, характеризующих процесс рассеяния, имеет вид

W（尸，9）= （-g"" +独7『严I + 4（尸"一也"//（，一也"犷严2 mh

+ 左…02^%3.（17.3）

2冠

Множители 1/2 в формулах（17.2） возникают в результате усреднения по спину исходного нуклона и "спиральности" виртуального фотона.

2> В эквивалентности такой записи можно убедиться, вставив в формулу （17.26） сумму по полному набору состояний 斗 | г >< Г | и заметив, что в сипу закона сохра- "ения энергии-импупьса вклад второго слагаемого равен нулю.

Другие возможные члены при свертке с .лептонным тензором А обращаются в нуль. Соответствующие сечения рассеяния в .лабораторной системе отсчета (в которой адрон h покоится) имеют вид1 *

dQdkbdQdkba2a24?п窗sin%®/?)4?п窗sin%®/?)畋cos2± +2匕sir?介畋cos2± +2匕sir?介(17.4 а)(17.4 а)dQdkddQdkd窯｛吋费"2叫』2**齊±窯｛吋费"2叫』2**齊±(17.4 б)(17.4 б)

dQdkb

dQdkb

a2

a2

4?п窗sin%®/?)

4?п窗sin%®/?)

畋cos2± +2匕sir?介

畋cos2± +2匕sir?介

(17.4 а)

(17.4 а)

dQdkd

dQdkd

窯｛吋费"2叫』2**齊±

窯｛吋费"2叫』2**齊±

(17.4 б)

(17.4 б)

где 0 — угрл между лекторами 用 и 用"，dQ = dcoe0d(p; в формуле (17.46) знаки +( —) относятся к рассеянию v (v ), GF — постоянная Ферми, которую можно выразить через константу связи и массу JV-бозона:

G.=亚 g"8“.

Функции % являются инвариантами и зависят от переменных Q? и v “ Удобно определить структурные функции 2*

/：(х, 02)= 2х%3 尤(X, 02)=々畋，方(х,。2)=粉呻，(17.5) mhл

где индекс а обозначает процессы ( ej jh , vh ,Nh)・ Иногда вместо структурной функции / ； используется продольная структурная функция

尤(X，02)0犬(X，02)一广(羽0”(17・6)

Формулу (17.3) удобно переписать в терминах структурных функций /?,叩併 небрегая импульсами q^ и q" (которые при свертке с лептонным тензором ‘2 обращаются в нуль)":

I ^^d^e^ ^p^J^zY J^fQ^p} = j 名学 + 卒尤 + 丁В筝方

=一笨尤+ ($g~ 平)龙+中胃我'(17.7)

” Все формулы относятся к процессам рассеяния электронов. Формулы для рассеяния и-мезонов аналогичны. Для случая рассеяния нейтрино мы будем рассматривать только процессы, вызванные заряженными токами.

21 Определенные таким образом функции f. несколько отличаются от стандартна Функций F, а именно f、=2xF、J?=吃，f? =*. Такой способ введения структурных функций упрощает уравнения КХД, которые будут выписаны ниже. (Фун Ции f называются структурными, так как в системе бесконечного импупьса они описывают вероятность обнаружения в адроне партона с допей импупьса х . — Прим, перев.}

3>В этом параграфе 4-вектор в координатном пространстве обозначен буквой 彳 в отличие от бьеркеновской переменной * .

В случае е+е~-аннигиляции удобно рассматривать хроналогичежоещюизве- дение адронных токов

厅(尸,g) = i(2")3jd'zew z〈川研(z)+J；(0)|尸〉.(17.8 a)

Если тензор T〉v записать в виде т”{ gf (х, * + 学項 ％ е2)

+ il^，T式X, q2),(17・86)

то, как показано на рис. 12, О, е,

/а = ^ Im 7]° .(17.8 в)

Рассмотрим бьеркеновский предал в так называемой системе бесконечного импульса:

尸=(?。,0,0,尸。)；9=(〃2尸。,尸,0,〃2尸。)；?》宀 8.(17.9)

Записав произведение q ・ z в виде

9 • z = ^(9。-尸)《。+ z3) + I ⑷ + 尸).。-z3)- ^'z1,

me видим, что случай z • q = 0 в бьеркеновском пределе соответствует приближенным соотношениям

Z°土 Z^nl/储/2,Z&1/卩"2.

Иными словами z2 ~ О".

Из хорошо известного свойства фурье-преобразования следует, что при фиксированном значении переменной х поведение фурье-образа коммутатора токов в (17.26) цли хронологического произведения в (17.8а) при больших значениях переменной q определяется областью z2 ^ О (1./q 2), иными словами, поведением коммутатора цли хронологического произведения адронных токов [JN(z)+/®] или TJ\z)+J^).(17Л0)

на световом конусе.

” В действительности компоненту z? можно сделать сколь угодно большой. Однако этому соответствует z 2 < О. При этом в сипу локального характера теории коммутатор [J ( х), J (0)1 равен нулю; ненулевой вклад возникает только в случае 鸟~工^，т.е. при z 2~ о.

Учитывая явление асимптотической свободы, следует ожидать, что эти коммутаторы и хронологические произведения можно вычислить с точностью до логарифмических поправок, пренебрегая взаимодействием кварков и рассматривая а/фонную мишень как совокупность । свободных кварков. Такая модель, названная партонной моделью, была предложена Фейнманом [119]. Чтобы понять некоторые следствия этой модели, рассмотрим процесс глубоконеупругого ер-рассеяния. Обозначим через q,(х) вероятность обнаружения в адроне кварка аромата 九 обладающего долей импульса х . Тогда полное сечение реакции е + р - е + all получается некогерентным суммированием (кварки считаются свободными) взвешенных множителем q, (х ) сечений^процессов е +f - е + / (рис. 13), вычисление которых не предстацляет трудностей. Отсюда немедленно находим /巽(x,Q2) = f 殁(х, Q2 ) и

/?(Х,。2) = х£2徇(х).(17.11)

02T8 /

Следует заметить, что сумма по индексу / распространяется также на антикварки, так как ожидается, что вероятность обнаружения внутри протона антикварка не равна нулю. Нескрлько ниже мы перепишем выражение (17.11) в более подобной форме, конкрети^руя некоторые свойства различных плотностей распределения кварков q, (х).

Замечательной особенностью выражения (17.11) является скейлинг. Скейлинг был предсказан Бьеркеном [39] еще до возникновения партонной моде-

ли, которая, по существу, была введена для его объяснения. Скейлинг означает, что в пределе Q 2fg структурные функции ff(x,Q2) становятся не зад- сящими от переменной Q 2 :

/”(Х,。2) - Г(х)(17.12)

при Q2 - °® и фиксированном х .

Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скецлинга в том смыс；ле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q，/ A2 )". Брлее того, эти поправки можно вычис；лить, и подученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.

Операторное разложение

Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion — ОРЕ) Обсуждение^этого метода начнем с простейшего случая)ф(жологического щюизведения /^х свободаых бемо- совых сжал叩ных полей Т中(х )中(у). В пределе н - у зто щюизведение сингу哪на Но сингулярность представляет собой просто с -чис;ло- Ее можно выделить из Т-проижедения, записав его в виде

Т«(х)做力=А(х - у)1 + ：ф(х)ф(у):,

где 1 — единичный оператор, а А — пропагатор скалярного прля

В пределе х ^ у оператор ：ф(х)ф(у )： и, конечно, единичный оператор 1 являются регулярными величинами.

В общем случае произведение .локальных (элементарных цли составных) операторов А и В, взятых в точках хну, разделенных малым интервалом, можно записать в виде вильсоновского разложения

ТА(х)В(у) = 2G(% -丿)乂(工丿)，(18.1)

где вильсоновские коэффициенты Cf в общем случае предстацляют собой сингулярные с -числовые функции разности х -у, aNt(x, у) 一 билокальные жра- торы, регулярные в пределе х у» Последние обозначены буквой N, чтобы подчеркнуть, что они являются составными нормально упорядоченными операторами. Разложение вида (18.1) является не чем иным, так обобщением разложения в с；лучае свободных прлей. Запишем Т-произведение двух операторов 4(х ) и В(у ) в виде

7L4 (х)В(у) = £ £ /% . . . % TA'}(x)B°(y)^l(zi) .. . *8(z”).

Здесь индекс 0 означает, что соответствующие величины строятся из свободных полевых функций. Применяя к этому выражению теорему Вика, приходим к разложению (18.1). Но необходимость записи приведенного выражения в общем виде возникает довольно редко. Если нас интересует поведение произведения операторов в пределе х у, то можно прибегнуть к бо- ,лее простому способу. А именно достаточно рассмотреть базис, образованный всеми операторами, обладающими теми же квантовыми числами и трансформационными свойствами, что и исходное произведение АВ (в частности, ес；ли операторы А и В скалярные и калибровочно-инвариантные, то при построении базиса до.лжнь! быть рассмотрены то. ль ко скалярные и калибровочноинвариантные операторы). В этом случае имеем операторы

1,河")9())：，：?(X)窃(力：，-…：(?(х)9(У)『：：G")G(y):

(18.2)

те бесконечную последовательность операторов- Но в пределе х - у требуются только некоторые из них (иногда для выяснения лидирующего поведения достаточно одного). Это можно показать следующим образом. Пусть размерность оператора N равна р“ ; тогда среди операторов (18.2) низшей размерностью обладают операторы

1(₽1 =0),:为:“列=3),:彳加：(pg加=4) н ：G2:(Pg2 = 4).

Ес；ли предпрложить, что размерность каждого из операторов А и В равна 3, то простой подсчет размерностей позврляет заключить, что размерность вильсоновского коэффициента С〔 равна 6, коэффици«{т С- имеет размерност 3, а размерность коэффициентов C-D^ и CG2 равна 2. Следовательно, явно выделяя массу из коэффициента С- , получаем

С[(х -у)^(х- у)~6,С^(х-у)^:т(х -у)『

(18.3)

Qs" -У)^(х- у)~2,СС2(х -у)^(х-川"Л

где х 6 означает (х ■ *尸，х т означает 1./х 2 и т.д. Очевидно, что эти соотношения точно выполняются jmnib в случае свободных полей. Асимптотическая свобода КХД гарантирует, что поправки к соотношениям (18.3) могут быть только логарифмическими. Эти поправки не вносят существенных изменений во все проводимые рассуждения.

Коэффициенты при других операторах в пределе х - 0 оказываются конечными. Ес;ли теперь взять какой-нибудь матричный элемент от разложения (18.1):

<Ф\ТА(х)В(())\^х2оС1(х)(Ф\^

+ e沙 9(х)〈创河(0)09(0)：№〉

+ Cg2(x)@：G2(0)：|W〉+(18.4)

то из регулярности операторов N： следует, что в пределе х - 0 поведение лев<^ части (18.4) определяется вильсоновскими коэффициентами, умноженными на конечные константы < Ф | N： | 屮，.Таким образом, в пределе х - О лидирующее поведение хронологического произведения операторов ТА(х)В(^) определяется коэффициентом С〔 (х ), а старшие поправки контролируются коэффициентами С办，иСс2.

Вернемся к разложению (18.1). Так как операторы Nf(x,y) регулярны, их можно разложить по степеням разности х — у • При у = 0 получаем

М(х,0) = ”х因…％屮М ••…(0,0).

Например, для полей /(х ) н q(x ) имеем

「(Т)”

:式0)д(-х):= 2%,…% ,!:歹(0)а因• • • a%g(O): •(18.5)

В с;лучае калибровочной теории, такой как КХД, обычные производные, фи- гурирующие в (18.5), следует заменить ковариантными производными 11. Тогда получаем

^""(О)*工6(x)1+ С*)*、…号

X :纵0)0"，. . . 0“g(O)： + • • • .(18.6)

1)Интуитивно это ясно. Формальное доказательство можно получить, заметив, Что оператор 5^(0)^ (-х ) нв является калибровочноинвариантным. Калибровочная инвариантность восстанавливается при введении экспоненциального множителя ₽**₽£^ dyp ^taB^ . См., налримвр, работу [269] и лриложаниеИ.

В пределе х -> 0 члены, содержащие производные, в (18.6) в общем случае представляют собой малые поправки, так как они содержат дополнительные степени х . Но такое утверждение неверно для разложения на световом 笈。毋усе. В этом случае нас интересует поведение в пределе х? _ 0, который отнюдь не означает, что каждая из компонент х -> 0. Поэтому при разложении на световом конусе все производные в правой части (18.6) дают одинаковые вклады.

Применим теперь операторное разложение к хронологическому произведению адронных токов, появлявшихся в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния. Поведение этих токов на световом конусе определяет в бьеркеновском пределе структурные функции кварков. Прежде чем приступить к расчетам, введем некоторые обозначения. Вначале рассмотрим векторные и аксиальные токи, описанные в § 17. Их можно записать в виде комбинаций из восемнадцати токов:

唄(х)=万:泵x)¥y%G):,

*(х)=崇京(xp&Y勺5%(х):,(18.7)

W) = ¥：%(x)Y%(x):,

《S(x) = £ :豆(x)yX分(x):.

Этим токам можно придать единообразный вид, полагая 入%，= 5^ Л и считая, что индекс а пробегает значения 0, 1, ..., 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде

&Т{%+专叫(18.8)

Отметим, что матрицы 入 действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов:外=况，q2 d и q3 s ', учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по иретовым индексам.

Начнем с рассмотрения свободных полей. Используя теорему Вика, Т-произведение даух векторных токов можно записать в виде

т嘤(X)腺(力=£т :盍(х)斌偽饱(Х)::杀(у)〜涧；％о(у):

2Пс8аь(ё^2-^),

д - I z2To7T4(Z2 — /0)

+ E (小反 + 4阮)Y^S便(x -y)Y^ :%(x)、g.(y):

+ e ( - %玩 + 4"反)/S風y - x)Y金

X：%U)、％(x)： + • • • ,(18.9)

Где z « x ~y> 九£ - число цветов (равное 3), а многоточие обозначает четырехкварковые операторы : qqqq:. К哭 объяснялось выше, в случае раз- ложения на световом конусе такие операторы дают поправки к основным членам. Мы пока ограничимся рассмотрением только основных эффектов. При прлучении формулы (18.9) использованы соотношение

Tqp(x)%O0= -4UHe(x)： +s俄(х~у),

к свойства матриц 入 м у (приложения 4 м В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:

S(z) = 2

丿宀。(2")2(z2 - iO)

которое .легко прлучить из формулы для пропагатора

(приложение Е). После некоторых вычислений с /-матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду

「％(%)*)=

■T 2e* + %)m —V—J 本х»%⑺：

4。I (2")202 -

+ ici"—一一I :号(X)入"exgb)：］

(2炉«2 _ i0)J

+ (x^y,d^b, g<->p) + постоянный член.(18.10)

Постоянный член

典(g 产z2 — 2z?)

叭z? - i0)4

He выписан в явном виде, так как он не даех вклада в коммутатор, фигурирующий в выражении для адронного тензора W^v (в других случаях, напри- МеР ПРИ вычислении < TF° ^& > 0 ? этот член может оказаться лидирующим). Прлагая затем у - 0 и разлагая регулярные операторы : q ... q : в ряды по

степеням переменной z, получаем следующее разложение хронологического произведения Т吋(z )噥(0) на световом конусе：

г2->0 лнвчетн力 2(Z? — zO)

X：g(0pCyQ …D%(0)：

лнечетнw2(z2 — /0)*

X：虱Opc^xD.D%(0)：

+ постоянньтй член + градиентные члены +

+ нечетные по перестановкам (从 ~ v , а _ Ь) члены.

(18Л1)

Выражение (18.11) приведено к такому виду, что все фигурирующие в нем производные действуют на функции, стоящие справа от них. Чтобы добиться этого, в случае необходимости добавлены градиентные члены. Нечетные относительно перестановок (从 j v , а _ Ь) члены явно не выписаны. При подстановке их в выражение для 加… все они обращаются в нуль, так как мы рассматриваем диагональные матричные элементы < р |Т〃|р>"・

В выражении (18.11) полезно произвести некоторую перегруппировку членов. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а просто продемонстрируем этот метод на примере произведения двух электромагнитных токов. В этом случае (18.8) и (18.11) приводят к следующему выражению (здесь опущены градиентные, постоянные и нечетные по перестановке 从—v члены, а также индекс ет)：

户：弘o）Qhp0"‘…0”（o）：,户：弘o）Qhp0"‘…0”（o）：,TJ^(z) Г(0) =_

户：弘o）Qhp0"‘…0”（o）：,

户：弘o）Qhp0"‘…0”（o）：,

_ j £ § ма>В Zq

z2fo л нечетнw2(z2 - /О)

где Q& — оператор электрического заряда, действующий в пространстве ароматов：

2/32/3ООQe^Qe^-1/3О一 1/3-1/3О一 1/3

2/3

2/3

О

О

Qe^

Qe^

-1/3

О一 1/3

-1/3

О一 1/3

Далее разобьем это выражение на два члена, один из которых пропорционален тензору g^v (в дальнейшем он будет отождествлен со структурной функ-

1)Для процессов, в расчетах которых фигурируют недиагональные матричные элементы, необходимо учитывать градиентные члены. Пример такой ситуации приведен в§ 27, п.З.

цией % ), а другой не зависит от него (он приводят к функции /2). Это легко сделать, испрльзуя явный вид тензоров S^a叩.После некоторых переобозначений индексов получаем

TJ^zy(0)

兀。‘( g"叭Z21To)2 . >2h Z电号可

X/(0)0务"0拒一.D“(0):

(18.12)(18.12)+ 2"202 -汾）"鳶 Z"，…z小万

(18.12)

(18.12)

X [tq^Q^D^ . . . /)“(0): + (n-叨，

где (во втором члене в правой части) испрльзовано равенство za(/(z2 ■ iO)2H « - J- ^a (z 2 - 0) , при помощи которого действие производной 乙 переносится на переменную z、. Наконец, разобьем тензор Q^ на компоненту, пропорциональную единичной матрице (являющуюся синг,летом по отношению к преобразованиям группы аромата S VF ⑶)，и компоненту, пропорциональную оператору Q© м, следовательно, несинглетную по отношению к преобразованиям группы аромата:

Qt и CfNsQe + CeFQt и CfNsQe + CeF；ns T/3,；ns T/3,Г" +击"8+ :=2/9.Г" +击"8+ :=2/9.(18.13)(18.13)

Qt и CfNsQe + CeF

Qt и CfNsQe + CeF

；ns T/3,

；ns T/3,

Г" +击"8+ :=2/9.

Г" +击"8+ :=2/9.

(18.13)

(18.13)

Окончательно получаем выражение для хронологического произведения двух электромагнитных токов в виде

^(^(0)=-^-—?~? Е z“,...z%N "2(z2-i0) “четнл 1

х{~-^""气0) +壶N雕…气0) +^N产…网(0)}

2力(Z — 1U) ” четн

+ ^Nf°w网…％(0)+ (〃<■>〃)},

(18.14 a)

где введены обозначения

N芻力…=：2 勿(0)y"Q"20% 号％(0)：:

(18.14 6)(18.14 6)N絆…"(；与:亨%(0)y w2…D%/(0)：,

(18.14 6)

(18.14 6)

a = 1, • • • , 8.

В завершение этого параграфа мы выведем вновь явление скейлинга, используя операторное разложение на световом конусе в Qj^qae свободных полей (партонную модель), а именно выражения (18Л2) и (1844). Рассмотрим тен- 3叩丁黑(ср. с (17.18))

嘿(р，g)

=(2")3 一

丁 [>ze，k 2力 丿лЧвтн

(z? — /0)2(л - 1)

(18.15 a)(18.15 a)-*/"z内z? ";；二¥[4产…%5) + (〃"")]

(18.15 a)

(18.15 a)

где индекс Bj означает, что данное равенство справедливо в бьеркеновском пределе, а

4r.. %3)=广〈川 ^_^.:弘 0)Q^D^ ... 0“(0)：1?〉.(18.15 0)

Величины 4 можно записать, исходя из инвариантов, характеризующих изучаемый процесс;'

А^ '^(р)匸-ip11'. — р%% + члены со свертками.

Члены со свертками по двум импульсным индексам (содержащие тензоры g >W) дают вклады, проюрционцльные р2, и, следовательно, здесь могут

не учитываться. При этом тензор 丁现 принимает вид

9) 2 «2")3[ ^ f"z 内 z ― J 2 (u p)4 (z2-,0)2”& "T

Сравнивая эт.о выражение с (17.86), получаем

中х, * з皆与俨”，』"諮J")"Er，

7r(x,Q2)2 山粵2 3 /)4,+2.(18.16)

力 丿z — zU "четн

Последняя формула, которая

нам понадобится, имеет вид

Ч-^глены со свертками.

(18.17)

Испрльзуя ее для замены переменной 乙^ на производную d/dq р/ в выражениях (18.16), запишем их в виде

Bj .g 2 (2")v

^(x, 02)=丁-^-*

E-3)哗沁"自圍2

= 2(2")3〉^^ = *)/x，(18.18 a)

T^,Q^i^^an+2^^ 尺抬

当-4m2")3 2(2力"%+2(説)扌

=2(2")3〉^^ = T：m(x, 02)(18.18 б)

При поучении этих выражений использованы фурье-преобразования, приведенные в приложении Е, и введено обозначение

，(х)三 2(2")3不“!а“+2 表.(18.18b)

Взяв мнимые части этих выражений, мы приходим к бьеркеновскому ске旅 Лингу и равенству структурных функций /1 (#)=厶(# )• Последнее соотноше- ние, которое приводит к обращению в нуль продольной структурной функции, и^естно как соотношение Каллана — Гросса [62] (см. также [41 ]). Другой вывод, из которого ясно, что величина /2 (х\/х имеет смысл вероятности об~ н^ужить кварк с долей х полного импульса р в системе отсчета бесконеч- ного импу.льса, содержится в работе [157].

§19. Применение операторного разложения к процессам глубоконеупругого рассеяния; моменты

В §18 не конкретизировалась теория поля, в рамках которой применялось операторное разложение. Предполагалось только, что это теория свободных полей. Перейдем теперь к реальной физической ситуации и учтем взаимодействие между полями.

Рассмотрим сн(юа хронологическое произведение ток(ю

TJ^x)+J；(y),(19.1)

где индекс р обозначает любой ток цли комбинацию ток(ю из тех, которые содержатся в (18“7). Но теперь мы хотим учесть взаимодействие между по* лями, из которых построены эти токи. По-прежнему будем пренебрегать членами, подавляемыми степенями отношения М2,/ Q 2, где М — некоторая масса. Операторное разложение можно провести по базису, содержащему оп^)аторы, дающие ведущий hq crenaiaM М2/Q2 вклад в случае свободных полей. При этом в рамках КХД возникают .лишь дополнительные логарифмические поправки. Если классифицировать операторы по твисту т, определяемому соотношением т = р — 3 где р — размерность оператора, построенного из свободных полей, а / — спин оператора, то, исходя из размерного анализа, легко видеть, что ведущий вклад возникает от операторов с т = 2у Вклады операторов с т = 2 п + 2 подавляются в отношении (Af 2,/Q2)n по сравнению с вкладами операторов с т = 2 •

Единственными операторами с т = 2, которые можно связать с (19.1), являются операторы1)

Ng" 1 万号，：式0)入勺?1 ± у5)% • . • 0“(0):,

а = 1, . . . , 8;

N#上…% =(/二②!，:弘 0)入卜"'0 ± у5)0""0“(0)：；

N》i =(三-；)!，Тг :G"M(O)0"2. .. D^-'Ga 气0):,(19.2)

где ^обозначает симметризацию, т.е. ,%「..％ = (Г/п!) ^ „^^^ %«,•・.i )； взятие следа производится по цветовым индексам, а ковариантная производная D определяется по формуле

"G：产？ {а 严 + g> 产叫 g：r .

1)Индексы F( p) обозначают синглетные операторы, построенные из попей фермионов (векторных бозонов).

С первыми двумя типами операторе® (19.2) мы уже встречались (см. (18.14)). При этом оператор N' определялся в виде суммы Ne ^ N+ + №. Очевидно, что ненулевые проекции кварк(юых токов на чисто г.люонные операторы можно прочить только в том случае, если учесть взаимодействие между глюонами и кварками. Именно поэтому теперь во^ик оператор Nv в (19.2).

Если мы работаем в калибрсдаке, требующей введения духов, то кроме операторов (19.2) необходимо учитывать также оператор, составленные из полей духов. Но можно доказать, что благодаря треугольно^ виду матрицы смешивания (см.$ например, [97, 183]) при рассмотрении операторов с т = 2 духами можно полностью пренебречь. К этому вотросу мы вернемся нескс>лько ниже. Запишем операторное разложение выражения (19.1) в виде

b(z)+j;(o)= -〉с^}^-\...^-^>)

-2 %(z2)f...z/i •%(())

+ Sс^1)^'-1^ • • • z^ • • ^(0),(19.3)

где индекс / относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения JpJp* Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами 入 / действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в с；лучае свободных полей. Например, для хронологического проигжедения Двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид

mn(Z)J；m(0)

2^沁02)["批・3・气0) +)N处产(0)

IИ чвтн°6{3

+ |crf(zw^(o)}*4l---^

+ 2 [融s(z2)["題(0) + +Л®(0)

ИЧвтн IP6j3

+ |с^(г2)УГ'"л(0)}/Ч,...^

I ПЧвтн'

+ 2 宵(0)卜 Tz“，...z%.(19.4)

” Чвтн7丿

Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка 嗚,/ Q2 пренебрегают (ср. с (18」56), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Вснт^жых поскольку oiepaTq)bi 乂尸 и Nv обладают одинаковыми квантовыми числами (онм являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов NF и Ny представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит, для операторов Nns , которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов С и операторов ^ от размернсях) параметра, который мы временно обозначим буквой н , чтобы не путать его с бьеркеновсжой переменной v = р。q・

Токи J, имеющие вид

"(х) = аУ^(х) + ЬА м(х),(19.5)

не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы Р и Л являются сохраняющимися или квази сохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения С требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.

Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добацлению перенормировочного множителя1 *:

NMs；a蟲=Z；3( м)Жй^ .(19.6 a)

В действительности множитель Z не зависит от а 士.

(19.6 б)(19.6 б)Для синглетных операторов результат проведения перенормировочной процедуры записывается в матричном виде:

(19.6 б)

(19.6 б)

Здесь введеньт вектор

(19.6 в)

1’ Заметим, что, так же как в § 13, кварковые и гпюонные попя, входящие в операторы Nns и N, предполагаются перенормированными.

и матрица

Z “Z “YnsS，g)= -(Z”(Q尸瑞 z”(q, y(”，g) = -(z”( Q)T 芻 z”( “),YnsS，g)= -(Z”(Q尸瑞 z”(q, y(”，g) = -(z”( Q)T 芻 z”( “),(19・7)(19・7)

Z “

Z “

YnsS，g)= -(Z”(Q尸瑞 z”(q, y(”，g) = -(z”( Q)T 芻 z”( “),

YnsS，g)= -(Z”(Q尸瑞 z”(q, y(”，g) = -(z”( Q)T 芻 z”( “),

(19・7)

(19・7)

(19.6 г)

Аномальные размерности и матрицы аномальной размерности для оператора ^ определены выражениями

которые можно разложить в ряды по степеням константы связи：

(19.8)

Мы вернемся к этому вопросу нескрлько ниже, а сейчас обратимся к формальному аппарату теории. Рассмотрим импульсное пространство, в котором запишем слагаемые, фигурирующие в операторном разложении и дающие ненулевой вклад в несинглетную часть структурной функции f2 (т.е° в часть структурной функции /2 , содержащую несинг.летные операторы). Выбирая соответствующие слагаемые в выражении (19.3), получаем

(19.9)(19.9)=Sj心” z/s «2)% …zj悠因…宀(0).

(19.9)

(19.9)

Если взять матричный элемент, фигурирующий в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния (например, в (17.8а)), то получим

乌 ^s =(2不?/"z…z%5N懈(0)［尸〉.

(19.10)

С точностью до членов, содержащих свертки, матричный элемент < p\NNS\p> можно записать в виде

Кр|М(^…％(0)| 尸〉= рТр /視

(19Л1)

и произвести следующую замену：

+ члены, содержащие свертки. (19.12)

Таким образом, выражение (19.10) принимает вид

Tins (х, g2； g, g)

=(2"叱諮/敌S (春)7八 C 2 1 Rns ""” /)”

7(2%乱(2丁加詣)丁dW^dsg.(19.13)

Известно, что в QJ^4ae свободных полей коэффициенты C«NS (z2) обладают следующим поведением (см. § 18V:

Gvs(z2)|g=o =•(19.14)

z2->0 力2(?2 一 Ю)

Поэтому В импульсном пространстве введем новые коэффициедты

C"s(。2/『，g2/4")三 4( е2)л+1( ф)7d%eS 工 1 C；NS^).(19.15)

В результате получим следующее окончательное выражение:

TznsW。2； g，卩)=2〉^tt42sC%s(。2/卩2, g2/477); А =(2тг)3Л.

(19.16)

Как будет показано ниже, асимптотическая свобода КХД позволяет вычислить вильсоновские коэффициенты С, входящие в выражедие (19.16k Но в общем случае коэффициенты А представляют собой неизвестные константы. Чтобы прлучить из выражения (19.16) физическую информацию, необходимо иметь возможность выделять вклады отдельных рлагаемых в этом выражении. Этого можно добиться, испрльзуя известные аналитические свойства величины Т и записав дисперсионное соотношение * для Т2 по переменной v при фиксированном зна-

чении Q ?:

5s (х，0； g，Q Т {處2 生 Im Tins 侈，。；g, “

-丄，生 Im %s 侈，О?； g，" }. (19.17)

Зто соотношение можно связать с физическими структурными функциями только в том случае, если оно обладает определенной четностью по отношению к замене q -* — q , т.е. является либо четной, .либо нечетной функцией переменной q. Таким поведением величина Т2 обладает, например, в процессах электророждения. В этом случае она яцляется четной функцией перемен- в<Жх,. т.е. Т? ( х, ...) = Т2 (« х, ...). Проигжодя замену переменных / , к 'н Q2 / 2v ',呻епишел соотнопение (19.17) в виде

T2WS (х，0； g，〃) = ± С X"步7HIm T2NS(X'，0； g，Q

Разложив в ряд по степеням к：/к , получим [77]

T2心(X，0； g，n)Н2§ £ g2^s(w + 1，22； g，n)，(19.18)

где моменты ц 2N5 определены соотношениями

M2NS (小。2； g'『)=(x，n lflNS (%/»。2； g#)‘(19.19)

сравнивая которые с (19.16), сразу получаем выражение для моментов

阳ws("，0； g, №) = ARs5ns (。2/№，g2/4").(19.20)

Следует помнить, что выражения (19.19) и (19.20) получены в предположении четности функции Т; в противном случае интеграл f°dx^ нельзя заменить интегралом /： dx‘. Следовательно, выражения (19.1 外 и (19.20) афа- ведливы трлько для четных значений п, если функция Т четная (как это имеет место в случае электророждения), или для нечетных значений п, если функ- Чия Т нечетная (как, например, функция Т3 в формулах, описывающих процессы рассеяния нейтрино)» Соответствующие выражения для других значений п приходится получать методом аналитического продолжения (Редже — Карлсона). Эта процедура тривиальна, если ограничиться вычислениями то лько ведущих вкладов (см. § 20), но содержит ряд тонкостей при пр(юедении

вычислений во втором порядке теории возмущений. Еще одна особенность заключается в том, что, как уже отмечалось выше, приходится ограничиваться такими значениями п, при котсфых выражение (19.19) сходится. Исходя из теории Редже, можно ожидать, что такая сходимость имеет место по крайней мере при Ren >1 для несинг.летных величин и при Ren >2 для синглетных величин (см. также § 23, п. 2).

. Ренормгрупповой анализ; уравнения КХД для моментов

Запишем ренормгрупповые уравнения для моментов. Так как моменты выражаются в виде интегралов от структурных функций, то они предстадляют собой физически наблюдаемые величины и, следовательно, не зависят от выбора точки нормировки. Из уравнений (19.6), (19.11) и (19.20) следует, что перенормировочная константа для вильсоновского коэффициента С точно равна обратной величине перенормировочной константы ,для операторов NR. Таким образом, мы получаем уравнение Каллана — Симанзикэ

"^ +6(g)g^ - YNS(g，")}c%s(Q2/『, g2/4") = 0,(20.1)

решение которого имеет вид

0九(02/心，鼠/甸=eFdbg(24)^(風"〃)e加"%(q2)}

f =貝Og б2/м2-(20.2)

Для синглетных операторов имеются некоторые дополнительные усложнения, обусловленные тем, что возникает система связанных уравнений.Необходимо ввести дополнительную структурную функцию f。(х, Q 2), физический смысл которой состоит в том, что она описывает распределение цлюонов в нуклоне- Испрльзуя векторные обозначения

/=(；：)， Е =僧} 口2("，О)=工％х』х, 02),(20.3)

аналог выражения (20.2) для синглетного случая можно записать в виде 放(07м2, g2/4") = Те~!'^ 27")Mg( е'2> ")С；(1,а5( g2)).(20.4)

Здесь оператор Т формально совпадает с оператором упорядочения по времени, за исключением того, что он действует на переменную £ = ； log Q2 /М・ (Подробное изложение см. в работах [157, 162].) Асимптотическая свобода КХД позволяет использовать теорию возмущений и из уравнений (20.2) и (20.4) вычислить вильсоновские коэффициенты. Но так как величины 4 п пока неизвестны, можно рассчитать лишь характер зависимости моментов от перемен-

ной Q2- Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение (20.2) в низшем по- рЯДКе теории возмущений. Решение этого уравнения имеет вл/

G%(0"'g«)/甸…N2(级广,G%(0"'g«)/甸…N2(级广,(20.5)(20.5)

G%(0"'g«)/甸…N2(级广,

G%(0"'g«)/甸…N2(级广,

(20.5)

(20.5)

где аномальная размерность d(n) определяется формулой

d(叫 и 一飓⑺/2Д>・(20.6 а)

®s("，02)®s("，02)Коэффициенты С% (1,0) равны просто вильсоновским коэффициентам, полученным в § 18 для случая свободных полей. Неи^естные константы Ап и U 2 можно исключить, нормируя на заданное значение Q g , достаточно большое, чтобы константа связи % (Q^) была малой и было оправданно применение теории возмущений. В результате получаем уравнения КХД, описывающие в ведущем порядке теории возмущений зависимость моментов ц от переменной Q2 . Опуская некоторые индексы, находим решения этих уравнений： для несинглетного случая

®s("，02)

®s("，02)

(20.6 б)

и для синглетного случая

(20.7)(20.7)D(〃)=-严)6)/26°.

(20.7)

(20.7)

Остается лишь вычислить аномальные размерности у 以 я у 10>(п). Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов М Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для опера- тор(в М Резу.льтат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин N^y ° ° ц п, которым соответствуют Диаграммы рис. 14. В фейнмановск或 калибровке диаграмма рис- 14, а дает

Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (А。р)厶■〔/ . Будем использовать обозначение а =Ь, которое означает, что величины л и 6 име-

ют одинаксюые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаем

% = ig2c尸%

-2yly+pA0+x/)%[A •(/ + лу)]"7(X + x(l-x»2)3

Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (А • р产 т/С легко выделяется и имеет вид

VA^ig^jC^'dxil-xyf —一也一—

丿[I1 + x(\ - x)p2\

X {-誉Y，弘》y#T卜(A •尸尸

=£ MO -■■ (A •尸).(20.8)

16M，M〃 + 1)、 ~

Вклад диаграммы рис. 14, 6 описывается выражением

%厂一，g C闻d X麻高

ЗМЗМтакже необходимо найти коэффициент при величине (А • р)吁 ％.также необходимо найти коэффициент при величине (А • р)吁 ％.Повторяя ^Повторяя ^же процедуру, получаемже процедуру, получаем人円 2ig2c网А( dx /d"人円 2ig2c网А( dx /d"(『 + x(l -X)尸2)2(『 + x(l -X)尸2)2

ЗМ

ЗМ

также необходимо найти коэффициент при величине (А • р)吁 ％.

также необходимо найти коэффициент при величине (А • р)吁 ％.

Повторяя ^

Повторяя ^

же процедуру, получаем

же процедуру, получаем

人円 2ig2c网А( dx /d"

人円 2ig2c网А( dx /d"

(『 + x(l -X)尸2)2

(『 + x(l -X)尸2)2

• - 2Cf%(A '尸)"幺(dx 2 X1

(20.9)(20.9)16行2J0 /=1

(20.9)

(20.9)

16 d\/ = 2 "丿

Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перекормир(юочному коэффициенту ZF , Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности у“§ , необходимо добавить вклада от контр- ЧЛ0Н<№/ обеспечивающие конечность выражения Z» f М Таким образом, используя значение перенормировочного множителя Z『 вычисленное в § 9, находим

Zfj + 譽 U4s仆)-3-而±1y }>Zfj + 譽 U4s仆)-3-而±1y }>(20.10)(20.10)

Zfj + 譽 U4s仆)-3-而±1y }>

Zfj + 譽 U4s仆)-3-而±1y }>

(20.10)

(20.10)

(20.11)(20.11)откуда поучаем儘(") = 2с/4sl(")-3 -откуда поучаем儘(") = 2с/4sl(")-3 -d(〃)■■d(〃)■■—16!133 — 2/у I 2n(n + 1)—16!133 — 2/у I 2n(n + 1)^71)卜+ Asm)卜^71)卜+ Asm)卜(20.12)(20.12)(20.13)(20.13)

(20.11)

(20.11)

откуда поучаем

儘(") = 2с/4sl(")-3 -

откуда поучаем

儘(") = 2с/4sl(")-3 -

d(〃)■■

d(〃)■■

—16!1

33 — 2/у I 2n(n + 1)

—16!1

33 — 2/у I 2n(n + 1)

^71)卜

+ Asm)卜

^71)卜

+ Asm)卜

(20.12)

(20.12)

(20.13)

(20.13)

Для синглетного случая аналогичным способом можно прочить ответ, записываемый в матричном виде:

0( л)« — ^—33 — 2?у33 — 2nf 3%—Н/) ¥•0( л)« — ^—33 — 2?у33 — 2nf 3%—Н/) ¥•XXM + 〃 + 2n(n + l)(n + 2)M + 〃 + 2n(n + l)(n + 2)№ + 〃 + 2 2w(w2 — 1)№ + 〃 + 2 2w(w2 — 1)<^ + i{詁Й + (" + I)' 匸 2了 - SQ)}<^ + i{詁Й + (" + I)' 匸 2了 - SQ)}

0( л)« — ^—

33 — 2?у

33 — 2nf 3%

—Н/) ¥•

0( л)« — ^—

33 — 2?у

33 — 2nf 3%

—Н/) ¥•

X

X

M + 〃 + 2n(n + l)(n + 2)

M + 〃 + 2n(n + l)(n + 2)

№ + 〃 + 2 2w(w2 — 1)

№ + 〃 + 2 2w(w2 — 1)

<^ + i{詁Й + (" + I)' 匸 2了 - SQ)}

<^ + i{詁Й + (" + I)' 匸 2了 - SQ)}

(20.14)

Выражения для величины S〔(也)можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной п. Согласно теореме Карлсона (см., нап~ ример, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений п . Оно имеет вид

*(")= "£研%.(20.15 a)

Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной п (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений п) величину S[(n) можно предста^ вить в виде

S]S) = W(〃+ 1) + Ye，

dlogT(z) .(20.15 б)

dz

В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции у("(п) на область комплексных значений переменной п, начинающиеся с четных пли нечетных значений п, совпадают- Поэтому никаких проблем, связанных с четностью дли нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных дли нечетных значениях переменной п, не возникает.

. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений

В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.

Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта1). Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей у^《(也) и у 11>(п) во втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов:

CAs (10(0))= q；s (1,0)卜 + С爲)(1,0) Ц^ + ••• I (21.1)

” Конечно, помимо использования выражения для константы связи %(q2 ) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.

Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов

N было выполнено в работе [125], а для синглетных - в работе [126]. По- дученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде 即旧 несинцлетных операторов в статье [150] и для синглетных — в статье [151]・ Недавно они были проверены [ 84, 131], и .лишь для коэффициента при аномальной размерности у，±(也)было найдено выражение, отличающееся от

полученного ранее1*. Пусть величины у；；± (п) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем

У；й±(") =昔 SM)У；й±(") =昔 SM)67 + 8 2" + 1 n2(n + I)267 + 8 2" + 1 n2(n + I)2—64S](n)S2(w)—64S](n)S2(w)

У；й±(") =昔 SM)

У；й±(") =昔 SM)

67 + 8 2" + 1 n2(n + I)2

67 + 8 2" + 1 n2(n + I)2

—64S](n)S2(w)

—64S](n)S2(w)

-普[S2(")72±("/叫2司(")一

弋6±(") +經(“ ^^-7] + "^)

_ 28 — 16 “I"" + 260戸 + 96"? + 3" + 10

9n\n + I)3

± 32 2"2 + 2" + 1 32吋

一 9"3(" + 1尸 方

(21.2 а)(21.2 б)(21.2 а)(21.2 б)X (6ЭД-105,(w) + 今 + 气+5： } 1

(21.2 а)

(21.2 б)

(21.2 а)

(21.2 б)

S/+ (x/2) = S/(x/2),S,- (x/2) = S/( ^!),

s±(x) = -計(3)干〉7s« + Х).

0к=\ (к + х)

Сводку формул для величин у ；；' (п) можно найти в работе [194], где для аномальной размерности у (弘 принят результат, полученный в работе [131].

Обратимся теперь к вильсоновским коэффициентам. Поскольку они пред- стацляют собой константы, их можно вычислить, взяв матричные элементы °т хродрлогического прои^едения Tjdjv между произвольными состояниями. Эту свободу в выборе состояний можно использовать, чтобы максимально упростить вычисления. Естественно, удобно выбрать кварковые и глюонные состояния. Следует помнить, что в отличие от аномальных размерностей вильсоновские коэффициенты зависят от рассматриваемого процесса и

^Результаты работы [I3l] недавно были проверены независимым образом.

структурной функции. Сводку значений * коэффициентов С爲)(1,0) и С к ⑴(1,0)можно найти в работах [ 27, 55]. Здесь мы приведем пример, вычисления продрльной структурной функции.

В ведущем порядке теории возмущений структурные функции 厶 и f2 равны, и, следовательно, продольная структурная функция % равна нулю. Для случая свободных прлей это показано в § 18. Но так как поправки ведущего порядка сводятся просто к умножению коэффициентов С£ (1,0) на множитель (logQ,/A2)5(n>, где 6 «= d или 6 =D, все моменты от продо»льной структурной функции /丄,как и утверждалось, в этом порядке равны нулю. Это означает, что для продрльной структурной функции формула (21.1) принимает вид

С£(1，О=С”(1,0启+….(21.3)

Это выражение.определяет степень пертурбативного нарушения соотношения Каллана — Гросса. Его удобно представить в виде произведения двух сомножителей

C^\i^)^8PB^\(21.4)

один из которых зависит от рассматриваемого процесса, а другой не зависит. При этом множители 6р имеют вид

для £"

Для尸

(2L5) д^虐

Для 牙 ％

где индекс N принимает значения N = р (протон) или п (нейтрон), а индекс / обозначает мизоскалярныйм нуклон. Рассмотрим теперь продольную структурную функцию f *s. Выражение для продрльной структурной функции получается в результате вычисления диаграмм рис. 15, так как все другие диаграммы дают либо одинаковые вклады, которые сокращаются при вычислении разности 3 — &，либо вклады трлько в ошглетную часть2) • Брлее того, пос- крльку разложение продрльной структурной функции fL начинается с членов первого порядка по константе связи as , нет необходимости рассматривать

Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции f l・Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции f l・

Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции f l・

Рис. 15. Диаграмма, дающая вклад в несинглетную часть продольной структурной функции f l・

вклад от перенормировочных множителей операторов N, которые в данном цдучае приводят к поправкам порядка。(《).Вычисления можно еще брлее упростить, заметив, что если в выражении для тензора Т" сохранить члены, пропорциондльные компонентам импульса qц и q\ то продольная структурная функция будет единственной инвариантной амплитудой, пропорциональней произведению q" q v* Например, в случае векторных токов имеем

W+尸",2,W+尸",2,(21.6)(21.6)7" = (g" - gK/才)笃 + 卜"_ 尸》g +

W+尸",2,

W+尸",2,

(21.6)

(21.6)

『l = ±1тТ>

В общем случае вычисления следует проводить для импульсов р2 < О, что&1 можно было контролировать инфракрасные расходимости. Но это ус- жше не является необходимым при расчете fL , которая в рассматриваемом порядке теории возмущений остается конечной в пределе р 2 fo.

+ "/фоес'厶%7?斤勿+ "/фоес'厶%7?斤勿

+ "/фоес'厶%7?斤勿

+ "/фоес'厶%7?斤勿

Р*с・ 16. Диаграмма, дающая вклад в сингпетную часть продольной структурной Функции 无.

Амплитуда, соответствующая диаграмме рис. 15, имеет вид

^(2")3耳/心6，力<?,。|""(2)/"(0)1?,。〉

T!f=-iCF8ijg2^u(P,o)

門磊許署守

+ "кросс'Хлен.

Испрльзуя соотношение 2^(/?, о)^и{р, <у) = Тг(д^),

выделяя член, пропорционцльный*произведению q^q", и вводя фейнмановские параметры, находим

Т宀忌嘴£d…好8

(1 - «2)«1

[1 - “2 —(1 - ("1 + “2)/х)『

где 〃[工 а)3 и и2 = 1 — а . Разлагая в ряд по степеням 1/х и интегрируя, получаем

2ос 1/1

i=lfc4c哈+(7

(21.7)(21.7)Перекрестные диаграммы удваивают значения коэффициенте® при четных степенях 工/x и приводят к сокращению членов разложения, содержащих 1,/х в нечетной степени. Таким образом, окончательный результат имеет вид

(21.7)

(21.7)

Записывая аналог выражения (19.18), находим

理(i)“s =—工.С— n — четное число,

碇",0) = 5竺^^ •密峻(",0).

(21.8)

Детальное изложение вычислений других коэффициентов В можно найти в 2атье [27]. Здесь мы лишь приведем результаты для процесса электророждения на протонной мишени:

磷(")=中(")

=с” 2[ S|(")『+ 3SQ) - 2s2(") - ^уу

(21.9 а)(21.9 а)+ 3 + 工 + 4-9 ,Л Л + 1 М J

(21.9 а)

(21.9 а)

屮(")=4?>/{ 7 + $ + 岛—岛—S3 "矗^翁}•

(21.9 6)

Поскрльку мы объяснили общие методы, можно записать в явном виде уравнения КХД для моменте® во втором порядке теории возмущений. Для несин- г,летного случая имеем

/»ns(“, е2)=/»ns(“, е2)=%（席） 々（О?）%（席） 々（О?）d(〃)d(〃)

/»ns(“, е2)=

/»ns(“, е2)=

%（席） 々（О?）

%（席） 々（О?）

d(〃)

d(〃)

X 1 + q?(")a,( 0)/4" 1 + 6g( 02)/4"6。

1 + 6務(")a,( 0(?)/4"卜 + 昆a,(宏)/4"6。

X"ns("，Co)； ?(")=*Y爲(")/61-Y煨(")/6。}・

Для синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы С ")(п), имеющей матричные алемен- тыСП>(п) = с(^,С(111>(п) = С<}>(п),

gp（"）=鬻^ ©買办 с$'（"）■ a?⑺+gp（"）=鬻^ ©買办 с$'（"）■ a?⑺+曾22（川）-011（九）012（冷曾22（川）-011（九）012（冷G買办G買办

gp（"）=鬻^ ©買办 с$'（"）■ a?⑺+

gp（"）=鬻^ ©買办 с$'（"）■ a?⑺+

曾22（川）-011（九）012（冷

曾22（川）-011（九）012（冷

G買办

G買办

Если принять такое определение, то матрицы С ⑴ и D коммутируют. Введем °бозначения а для % ( Q ?) и % для % (Q§ • Тогда уравнения для Моментов в синглетном случае принимают вид [149]

(21.11)(21.11)□(% Q2) = С(п,а)С-1(п,ао)м(«1а»ао)^(«э Со),

(21.11)

(21.11)

где введены обозначения С = 1 + С ”)н/(4б), R(«；«>«0)= 1 - ^^ ■夂 Y?")+ A("；a‘ao), zPo

A（n;a,a0） == —- •券工%%-38"716[m（。）（小产）「，⑴（打）m（°）（%尸）,

M(n；a,a0) « I — IR(n；a, a0),

一罢 log 立 м2", Q =⑺/32.

3#o a

Уравнение для моментов в ошглетном случае можно пописать в другом виде# брлее удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица S (п) диагонцлизует матриц D(n)：

S”")D(")S(") = $(")三广，d ； J,厶(")> d_ (").

Ее можно выбрать так, чтобы det S = S「1; тогда матрица S имеет вид

。12（"）

d_ (")-“+(")

s(") =

"+(”)- 51(")

4-(")- 51(")

•(21.12)

d_(w)- d+(w)

Определим величину у как результат преобразования матрицы у " > под действием матрицы S:

S7(〃)y ⑴6)S(〃)= 7(冷・(21.13)

Тогда прлучим

曾"中 + * r(叫ST(")L(",a) 口(",02)

(21.14)(21.14)=宓"屮+誥r⑺f」七声"小脸网",燄

(21.14)

(21.14)

三 b (л) (не зависит от Q 2).

亍12(打)d+ (n) - d_(n) + 1Y22(«) + W-(«)亍12(打)d+ (n) - d_(n) + 1Y22(«) + W-(«)Здесь испрльзовано обозначение11

亍12(打)d+ (n) - d_(n) + 1

Y22(«) + W-(«)

亍12(打)d+ (n) - d_(n) + 1

Y22(«) + W-(«)

亍 и®) + 260+(71)

""尸栽 澈")

2.⑺一 2+ (力工］

^Уравнения несколько изменяются для двух значений п+ , для которых аыгтолнМ ся соотношениеd^(n+ ) *^+ ( n± ) + 1 » 0. При этом попраак* следующего порядка теории возмущений равны нв О (% ), в О (a$ log % ).

выражения (21.10) и (21.11) применимы для моментов структурных функций j Mf3- Используя соотношения (21.8), продольную структурную функцию fL

Можно выразить через функцию /2 :

九=彦+灯+乃，

彦(х, QA 禁e衅/汽У, 02), 行6,?》翁/蚱呪，0)， 大X, 0)=芻 玩/峠("評(% 02),

где для процесса электророждения на протонной мишени

(21.15 а)

(21.15 6)

(21.15 b)

(21.15 г)

坛.才.

(21.16)

§ 22- Метод Алтарелли - Паризи

Метод операторного разложения в примен&<им к анализу процессов глубоконеупругого рассеяния является достаточно простым и впрлне строгим. Однако он, по-видимому, не опирается на физическую интуицию. В частности, не совсем ясна его связь с партонной моделью. Это является одной из причин, обусловивших успех метода Длтаредли - Паризи ([12], см. также [98]), в рамках которого такая связь сохраняется на каждом этапе.

Прежде чем обсуждать партонную интерпретацию, проанализируем еще раз прлученные уравнения. Для определенности будем рассматривать несинглетную часть структурной функции 力(х, Q2), а именно сосредоточим внимание на вкладе кварка заданного аромата f в выражения для f^s и функции 9/・ В приближении свободных партонов (см. (17.11)) функция распределения "не зависит от квадрата 4-импульса Q ?, но при учете взаимодействия она такую зависимость приобретает. Если через ц2 обозначить некоторое фиксированное характерное значение квадрата 4-импульса и переменную t определить формулой £ = ~ 1。g (Q ?,/ц ?), то выражение (17.11) можно обоб

щить следующим образом：

瞋X, 2b = £6*2),(22.1)

「Де коэффициенты известны.

Уравнения квантовой хромодинамики позвцляют выяснить изменение моментов в зависимости от переменной £. Запишем выражение (20.6) для функ-

ции распределения 夕 в дифференциальном виде:

d趴 n,t)d趴 n,t)健山g(E)健山g(E)47r47r豆(",，),豆(",，),(22.2)(22.2)

d趴 n,t)

d趴 n,t)

健山g(E)

健山g(E)

47r

47r

豆(",，),

豆(",，),

(22.2)

(22.2)

3Десь использовано выражение (14.3), в котором параметр v заменен на ц и введены моменты

(22.3)(22.3)%("」)=，厶 х〃т%(х, Е).

(22.3)

(22.3)

Конечно, выражения (22Л) — (22.3) полностью эквивалентны (20.6). Выполним теперь преобразование, обратное преобразованию Медлина (22.3). Если функЦию Р般(z ) определить соотношением

(22.4 a)(22.4 a)/加z一啖(z) П楹(办

(22.4 a)

(22.4 a)

"%(х，Е)"%(х，Е)то из теоремы о свертках * следует

"%(х，Е)

"%(х，Е)

(22.4 б)

Это так называемое уравнение Алтаре.дли — Паризи. Его можно записать в инфинитезимальном виде：

%(х, Е) + dqf{x,t) /⑶(” 6® 一 x)%(y, E)

x{b(z—1)4—^^ 卩鱈(z)山} ♦(22.5)

Мы видим, что функцию Р 駐(z) можно рассматривать как величину, определяющую скорость изменения вероятности распределения партонсж с изменением переменной t. Но ниже мы дадим более интересйую интерпретацию этой характеристики.

Рассмотрим процесс рассеяния пробной виртуальной частицы (скажем, фотона) на партоне. В рамках партонной модели предполагается, что кварки являются свободными частицами и обладают определенной вероятностью Q/ (х) иметь долю х полного импульса протона. Примем теперь, что эта вероятность зависит также от переменной £. Такая зависимость обусловлена

Рис. 17. Элементарные процессы, дающие вклад в процесс у* + р -* любые допустимые частицы.Рис. 17. Элементарные процессы, дающие вклад в процесс у* + р -* любые допустимые частицы.66

Рис. 17. Элементарные процессы, дающие вклад в процесс у* + р -* любые допустимые частицы.

Рис. 17. Элементарные процессы, дающие вклад в процесс у* + р -* любые допустимые частицы.

6

6

тем, что кварк может испускать глюоны (рис- 17). Испрльзование аксиальной кдлибрейки сильно упрощает вычисления, так как при этом нужно учиты- нать вклад только диаграммы рис- 17, б (только эта диаграмма приводит к зависимости от £). Bq лее того, можне учесть все асимптотически свободные Поправки, если заменить g ,/(4тг) величиной a J Поэтому мы будем исполь- з®ать аксиальную кцлмбровку.

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g нужно рассмот реть только диаграмму рис. 17, а. Будем считать кварки безмассовыми и перейдем в систему бесконечного импульса, определяемую соотношениями

9 = (0，°,-。)，尸=^(1,0,9)，

гДе 0 — нулевой вектор, лежащий в плоскости ху . Структурная функция /2 фактически представляет собой сечение этого процесса и, как показано в

§ 17, выражается в виде суммы сечений рассеяния фотона на точечном кварке, взвешенных с функциями распределения q, . Проводя очевидные изменения обозначений и вводя величину w, пропорциональную сечению рассеяния фотона на точечном кварке, получаем

3皮(х, 0 = S聲，务力O, t)〜…(〃，办(22.6)

Происхождение каждого унена в (22.6) очевидно. Переменная у опреде^ лена соотношением р^ = у р. Но ввиду безмассовости кварков имеем (9/ + 乌产=0, а следовательно,

Гочечн(乃‘д)= 6(”хТ)・

Как и следовало ожидать, при этом воспроизводится результат (22.1) для структурной функции『2 ・ Перепишем тождественно уравнение (22.6) в виде

(22.7)(22.7)叭 х, t)=^y s(y/x Т)%(х, t).

(22.7)

(22.7)

Конечно, уравнение (22.7) справедливо только в нулевом порядке теории возмущений по кшстанте связи g (модель свободных партонов). Вследствие взаимодействия кварков и глюонов в это уравнение должны быть введены поправки. Их можно разделить на две группы. Первую группу составляют радиационные поправки к вершине взаимодействия фотона с кварком и к кварковому пропагатору на рис. 17, а. Эти поправки описываются диаграммами рис. 17, 6. Вторую группу составляют поправки, обусловленные возможностью испускания кварком реального глюона (рис. 17》б). Рассмотрим сначала поправки второго типа. Амплитуда процесса излучения кварком реального глюона имеет вид

т“ =(2犷)-2五(6—左 + q,a'^ iyagt^u(pf,o)e*(k,X).

Следовательно, вероятность этого процесса пропор ци он а льна тензору

*，卷•爲MPf+q-k-吟 £ '/尸spins

'od,入aj丿

X6(k2)0(/_ d + g。»[(円一左+ д)2].м*.

虹.〈мм еще раз, что испускается реальный глюон, поэтому следует испрль- ^йять соотношение

、冗"8 +他%

?Q (%入)或(左，入)=_gM + -—，

I•聊 применена светоподобная калибровка * ・ £ ■ М • € = О, W2 = 0.

Учитывая эти выражения и вводя обозначение 5+ (v2) = 6 (v 2 )e(v°),

дддучаемдддучаем启gB,启gB,(22.8 а)(22.8 а)

дддучаем

дддучаем

启gB,

启gB,

(22.8 а)

(22.8 а)

^^^^Лк^[(р}-к + g)2](-gM + &*竺

(22.8 б)(22.8 б)*指5厂冷、"①厂k+峪寸①厂ку/Вр*

(22.8 б)

(22.8 б)

(…)4,

В случае безмасссжых кварке® и глюонов выражения (22.8) ока^ваются расходящимися, и их следует регуляри зовать. Для этого можно испрльзовать ра^иерную регуляризацию, но проще считать исходный кварк виртуальным: Р* ® - ц 2* Благодаря компактности области интегрирежания при этом может йозникнуть трлько логарифмически расходящийся плен, кото^ш, как будет показано ниже, имеет вид log ( Q 2,/ р^). На самом деле, только этот ,нога- рмфмическиЙ член нас и интересует; это существенно облегчает вычисления.

Прежде всего в выражениях (22-8) всюду, за исключением знаменателя, можно прложить а, = 0; поправки будут иметь величину 0( ц2,/ Q 2)- Таким образом, получаем

(-&3 + 与*" )тr(Л/ - %)/s-%+4)丿伪-冷тРеа

■ -2(» -左)2{т「у” - R+4)y火+Тг/(Д/ _ £+4)丿

X [(尸. ")旧-%) + (万-左). "尸+ 2左.勿]力

丁映 как а/ =后 2 .= °, выполняется равенство 2斤办=-(办-k)，Следова- ^льно, последний член в полученном уравнении пропорционален (р^ - А) 4 ■ не Дает вклада в логарифмический член. Испрльзуя обозначения = 0 , которое означает, что логарифмические члены в левой и правой частях уравне -

Ния равны, получаем

xTr""3f- k+4)Y"k+Yp『-必+4”

*[伪厂%)(万， u/h ")+"(万一左)• u/h "]]} .(22.9)

Запишем теперь знаменатель выражения (22.9) в виде

(» -左)2= 一『-2左%； + 2左讨cos仇

Он обращается в нуль только при условии cos0 = 1, т.е. в случае коллинеарности векторов knp^. (Это условие определяет также глюоны, приводящие к поправкам к явлению скейлинга.) Таким образом, во всех других случаях можно положить cos в н 1, так что, в частности, 5-функция в выражении (22.9) принимает вид

S[(pf~k + др] = 6(2〃 -Q2-2Qk°) = 6 2»(1 - x - jj.

Удобно ввести обозначение

1 — ^ - = p,(22.10)

и записать 6-функцию в виде

"(/у—左+ g)[ = Х(р- х).

Кроме того, мы видим, что в случае cos 0 = 1 выполнено условие

及= 0т = (1-Р)»・

Теперь легко завершить вычисление выражений (22.8):

陋」吆：3广中十(…匿

X Т*(%+0у^ 2左呀cos 0 — (g2 + 2左冴)

"(log*)券/dp^^Tr{/(p//+4)Y?/}6(x-p).

Таким.образом, для структурной функции % получаем сле/ующий результат (обозначения очевидны):

1О7T丿 丄 у"

Выражение (22.11) не дает окончательного ответа, так как оно не определено при р = 1 • Эта неопределенность обусловлена глюонами нулевой энергии, которые приводят к характерной инфракрасной расходимости. В действительности можно убедиться в том, что эта расходимость точно сокращается

радиашонными поправками к вершине и пропагатору, Котине мы еще не приняли во внимание. Так как реальный глюон при этом не испускается, иодд таких пситравок з вьфажение для w2 должен быть аналогичет (22.11) с точностью до замены (1 + р2 ),/(! -р)на А6(р- 1). Суммируя все члены, по

лучаем

2(心警迩 а。。6(хГ)] ；十 е + 入6(1 — р)}.(22*12)

Таким образом, определена искомая поправка к уравнению (22.7), которая имеет вид''

(22.13 а)(22.13 а)%(x/)=/^/dz6(zy_ l)%(y,r){6(z— 1)+ 爲尸處(z)}, 嚙(z) = С“360 - z) - 2 祢若 J,

(22.13 а)

(22.13 а)

叫小哗嘗叫小哗嘗где для любой функции <р введено определение

叫小哗嘗

叫小哗嘗

(22Л3 6)

Заметим, что если эти коэффициенты /^ идентифицировать с получеными ранее коэффициентами, то можно пров^мггц что они действительно удовлетворяют уравнению (22*4). Именно благодаря этому нет необходимости вычислять коэффициент 入 при 5(Р 二 1)； он непосредственно фиксируется условием у 風(1) = 0 (цли условием det у (叫2) = 0 для синглетного случая).

Теперь мо本но сравнить выражения (22.13) и (22.5). Фактически достаточно считать константу g определенной в точке - ц2 и заменить перемен-

“ В выражениях (22.13а), (22.136) уже учтено правильное значение параметра А.

Рис. 18. Лестничная диаграмма для несинглетного или фермионного рассеяния.

ную t дифференциалом 由,чтобы записать выражения (22.13) в инфинитези- мцльном виде.

Но существует и более интересный метод. Предпрложим, что может быть действительно испущено прои^ольное число глюонов. Тогда нужно просуммировать все диаграммы, содержащие глюон в конечном состоянии. Эта задача, конечно, неразрешима. Но она сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением трлько ведущих логарифмических членов. Можно показать [155], что в этом случае дают вклад только лестничные диаграммы (рис. 18). Оказывается, что эти диаграммы можно вычислить и даже просуммировать. Таким образом, мы воспроизведем результаты стандартных вычислений, прлучив при этом два преимущества. Во-первых, очевидно, что испрльзование ведущего приближения по бегущей константе связи эквивалентно суммированию всех ведущих логарифмических членов по константе a g : 汽 log"(Q2-/М)・ Во-вторых, такое рассмотрение дает некоторые указания, как рассчитывать те процессы, для которых метод операторного разложения неприменим. Мы не будем углубляться в изучение этого вопроса, а сощлемся на книгу [226] и цитированную в ней литературу.

Во втором порядке теории возмущений ядра рассмотренных уравнений были вычислены в работах [84, 131].

Метод Алтарелли — Паризи позволяет представить структурные функции для различных процессов в виде сумм ^плотностей распределения кварков”

*, Q2)，описывающих распределение кварков аромата q. Для упрощения ^^одадующих ссылок ниже приводятся выражения для структурных функций >«соторых наиболее важных процессов. Обозначим через / изоскалярную 1<1Ш1№, а через р - протонную мишень. Тогда имеем

/絆:/絆:^х(〃+方+ d + 2 + $ + §), /у = 3* х(〃 + 近 + d + d + $ + § + с + ①， /у^X(U — tff — j + w—tff—5+с + с),п广^х(〃+方+ d + 2 + $ + §), /у = 3* х(〃 + 近 + d + d + $ + § + с + ①， /у^X(U — tff — j + w—tff—5+с + с),п广4；4；勺■ = 3勺■ = 3(22.14 а)(22.14 а)44親Н爲;親Н爲;#NShei#NShei%х(〃 + w +d + d— 2$ — 2§), ^X(C - 5 + C —j), ?y = 4.%х(〃 + w +d + d— 2$ — 2§), ^X(C - 5 + C —j), ?y = 4.儿H 0,儿H 0,掰=0,掰=0,£" = flvl =£" = flvl =?y = 3(22Л4 6)(22Л4в)?y = 3(22Л4 6)(22Л4в)B“ = fyn = ■B“ = fyn = ■—5 + C — c),—5 + C — c),/у = 4./у = 4.

/絆:

/絆:

^х(〃+方+ d + 2 + $ + §), /у = 3

* х(〃 + 近 + d + d + $ + § + с + ①， /у

^X(U — tff — j + w—tff—5+с + с),п广

^х(〃+方+ d + 2 + $ + §), /у = 3

* х(〃 + 近 + d + d + $ + § + с + ①， /у

^X(U — tff — j + w—tff—5+с + с),п广

4；

4；

勺■ = 3

勺■ = 3

(22.14 а)

(22.14 а)

4

4

親Н爲;

親Н爲;

#NShei

#NShei

%х(〃 + w +d + d— 2$ — 2§), ^X(C - 5 + C —j), ?y = 4.

%х(〃 + w +d + d— 2$ — 2§), ^X(C - 5 + C —j), ?y = 4.

儿H 0,

儿H 0,

掰=0,

掰=0,

£" = flvl =

£" = flvl =

?y = 3

(22Л4 6)

(22Л4в)

?y = 3

(22Л4 6)

(22Л4в)

B“ = fyn = ■

B“ = fyn = ■

—5 + C — c),

—5 + C — c),

/у = 4.

/у = 4.

(22Д4г)

Некоторые из этих результатов уже были получены выше» Кроме того, можно ввести понятия распределения "валентных” кварков qv (определив •МЧ> как мз&яток числа кварков по сравнению с числом антикварков; для Ч^тона f^dxuv = 2, f^dxdv = 1) и "морх” остальных кварков и т.д. Подробное изложение этого круга вопросов можно найти в обзорах [11, 55].

'23・ Общие свойства структурных функций а КХД

Правила сумм

Как уже неоднократно утверждалось, матричные элементы операторов 4", вообще говоря, вычислить не удается. Но в некоторых случаях соответ- с^ующие составные операторы оказываются связанными с ген^аторами той

или иной группы симметрии. Тогда они представляют собой физически наблюдаемые величины, и их матричные элементы, по крайней мере в принципе, можно измерить. Как обсуждалось в § 13, такие операторы не требуют проведения перенормировок, а их аномальные размерности равны нулю. Следовательно, в пределе Q 2fg матричные элементы оператора А" можно вычислить в модели свободных кварков - партонов”.

Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n = 1 и сйн глетные операторы при п = 2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности 冷§ (и собственные значения матриц у) о^)ащаются в нуль только для приведенных значений п • Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q 2 ) интегралов

(%L%s(x,缄)，(％〃х, 02).(23.1)

Это оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики прлучцли статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.

Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций f у'з соответствующие операторы при n = 1 представляют собой комбинации величин

z球="：孙%^1 ± x)g:，

которые в действительности генерируют преобразования киральноЙ симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов рав- ны нулю: у ^ (1) = у У| (1) = 0. Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов и, d м s (в случае кварков четырех аромате® разбиение нескрлько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем

i7^(z)%(0)爲“I；。k儿02)/(0)，

цли точнее

；XLnsP"=〈川&(0)历〉=2(2e)7,以，

"В общем случае необходимо перейти к пределу Q2fg для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.

где Qw - заряд мишени в дрлях заряда электрона. Таким образом, учитывая поправки второго порядка теории возмущений, прлучаем

/dxx-y『s(x, 2?)=；以[1 +/dxx-y『s(x, 2?)=；以[1 +13 + 8“3)-2m33-2/у13 + 8“3)-2m33-2/у%(0)%(0)ЗтгЗтг(23.2)(23.2)

/dxx-y『s(x, 2?)=；以[1 +

/dxx-y『s(x, 2?)=；以[1 +

13 + 8“3)-2m33-2/у

13 + 8“3)-2m33-2/у

%(0)

%(0)

Зтг

Зтг

(23.2)

(23.2)

Аналогично в случае рассеяния нейтрино правило сумм Адлера справедливо при любых значениях квадрата 4-импульса Q 2 :

(23.3)

Соответствующим оператором здесь является оператор изоспина.

Поправок к уравнению (23.3) не возникает, так как его можно связать с одновременным коммутатором алгебры токов (см. § 10 и работу [6]). В процессах электророждения благодаря четности структурной функции /2 соответствующие поправки приводят к неравенству у，尸 # 0. Обсуждение этого вопроса см- в статье [194 ].

Структурная функция /3 удовлетворяет правил сумм Гросса — (Лавел- лин-Смита [158]

(Zxx-yu(x, е2)= зм-(Zxx-yu(x, е2)= зм-%(0) I%(0) I7777(23.4)(23.4)

(Zxx-yu(x, е2)= зм-

(Zxx-yu(x, е2)= зм-

%(0) I

%(0) I

77

77

(23.4)

(23.4)

Другие правила сумм, которым удовлетворяют несинглетные структурные функции, можно найти в обзоре [55] (см. также [27]).

(23・5 a)(23・5 6)(23・5 a)(23・5 6)Обратимся теперь к синглетным структурным функциям. В этом с^чае сохрщшющиеся операторы отвечают значению 九=2・ Этот факт находит свое отражение в равенствах det у (0* (2) = det у ⑴(2) = 0. Поскольку синглетные структурные функции всегда четные, нет необходимости различать величины у("+ и у ⑴ ~ , так как всюду входит только одна из них у(”+ 三 у ⑴.В самом деле [149],

(23・5 a)

(23・5 6)

(23・5 a)

(23・5 6)

/ 65[367 - 39初- 3666ЛДго\ -64[367 - 39^]3666nJ

Нормировка функции / ° априори произврльна; выберем ее таким образом, чтобы собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению матрицы у, бьи в точности равен сумме. Сохраняющимся оператором явля-

ется тензор энергии-импульса (см. (Ю.2))

砍=号抄也务+ g^G^-g^.

Член g“v f приводит к кладам величины О (М 2,/ Q 2 ), которыми в данном случае можно пренебречь. Таким образом, находим

(% ｛发(X, е2)+冴(％ е2))= йр + с?工^ +。(硝卜 (23.6)

где параметры 5 и с2 зависят от типа рассматриваемого процесса. В процессах электророждения

*二〈峪 q-5/9,

где < Q；> - средний заряд возбуждаемых кварков различных ароматов.

Для процессов v/ - и v/?-рассеяния параметр 6 принимает значения 6"=1,6予= 2/3.

В действительности в пределе Q 2fg можно вычислить интегралы отдела но для каждой из функций / J , i =1,2. Это обусловлено тем, что при п = 2

,) 16 + 3%

厶(2) = 0, d_ (2) = § • зз — 2^ > О-

Следовательно, в ведущем порядке по константе связи % можно написать

(матрица S определена в (21.12))

"(2,0)s(2 成(2),厶2)=此)

с некотвым коэффициентом, не зависящим от квадрата 4-импульса Q 2 • Таким образом,

Qx 依X，°2)£j受，fdx£(x, e2)eCJ^

(23・7)

К сожалению, поправки к (23.7) имеют вид

K值(0)广⑵，

где коэффициент К п(жа вычислить не удается. (Но поправки порядка О (а §) к выражениям (23.7) известны; см-, например, [194].) Выражения (23.7) при-

надлежат к чис^ тех, которые явно демонстрируют существование глюонов. Е№ бы глюонов не существовало, то весь импульс адрона распределялся 6н между кварками и был бы справедлив результат

^dxf2(Xt02)弋，

который, скажем , для кварков четырех ароматов п, = 4 вдвое превышает экспериментальное значение. Например, для процесса v/-рассеяния [87] получено значение

工*彦Р(х, 02)^0.43 士 о.оз, (Q 2 » от 30 до 100 ГэВ),

а теоретически вычисленное (с учетом глюонного вклада) значение равно1 *

工么f式х, О?)*券=043.

Ангцмз этих соотношений в ведущем пфядке теории возмущений был выполнен в работе [162], хотя импульсные правила сумм (только на кварковом уровне) обсуждались уже в обзоре [193].

2・ Поведение структурных функций в крайних точках

Начнем с рассмотрения поведения несинг.летных структурных функций в пределе х f 1. Предположим, что функции / NS обладают асимптотическим поведением вида

广S(x,22)倉/(22)(1 _ X)"⑷，(23.8)

к которому могут существовать логарифмические поправки (см. ниже). В действительности соотношение (23.8) можно д(жазать в рамках квантовой Хромодинамики, но мы не будем делать этого здесь 2>. Исходя из общих соображений, следует ожидать, что поведение структурных функций в пределе х f 1 связано с поведением моментов от структурных функций при больших значениях п. ,Легко убедиться, что

或%^ 記岗(log" + + Ye +。什))•(23・9)

Используя асимптотику (23.8), для моментов пр^чаем выражение

八〉Г(л — 1)ГГ 1 + г(а_)1

麻s("，2 )n^A(Q )—r[" +，⑷]~，

а из соотношений (23.9) и (20.6) для отношения моментов находим

麻s(% 0 2) 〜 从心(%%)"78麻s(% 0 2) 〜 从心(%%)"78]%(02) ] 16 Л呻现両『网"]%(02) ] 16 Л呻现両『网"力汴卜力汴卜

麻s(% 0 2) 〜 从心(%%)"78

麻s(% 0 2) 〜 从心(%%)"78

]%(02) ] 16 Л

呻现両『网"

]%(02) ] 16 Л

呻现両『网"

力汴卜

力汴卜

Приравнивая результаты, находим точный вид коэффициентов Л и v и выражения для асимптотики структурной функции в пределе х f 1:

,fl — х、"（а$）^（元發）禹"<-[%（22）「。击7■上aJJ,（23.10 a）

(23Л0 6)(23Л0 6)5s ⑷=5so - §3「冲 log%( Q 2),

(23Л0 6)

(23Л0 6)

Константы v0 и Л0ЛГ5 теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра voW5 лежит в пределах от 2 до 3 [122].

Для синглетного с^чая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Бцло найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для .кварков сходаы с асимптотиками несинглетных структурных функций (см- работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид

u(X, °2)质 540sl>,(02)]飞2*%⑷#og(l-x)1 •(23.12)

Здесь d° определяется формулой (23.106), а параметр v§ выражается такой же формулой, как vNS ：

% (%) = >os - 33 骂71%(22).

Коэффициенты AqS и v oS в рамках теории возмущений КХД поучить нельзя. Можно утверждать следующее: во-первых, глюонные структурные Функ-

ции в пределе х ~ 1 стремятся к нулю быстрее, чем синглетные структурные функции кварков, и，во-вторых, все структурные функции быстро убывают в пределе х f 1 при Q 2fg. Эти выводы подтверждаются всеми экспериментальными данными.

Поправки второго порядка теории возмущений несколько изменяют функциональный вид асимптотик структурных функций в пределе х f 1. Например, для несинглетных структурных функций с учетом поправок второго порядка поучаем [150]

- С r-dn Рa(%)/(°2)

fNS^2注)]+ 汀

X(1 _ x『ms(%) + 2%口og(l-x)]/3〈(23ЛЗ)

Здесь коэффициенты vlNS и а имеют вид 4% (0 2) 产ws (%) = »ns (%)-屮("心(％) + 1) —5^«i%( 0 )，

«⑷=«о+ «NS心⑷ + 1)+ ^ {[屮(“心⑷ + 1)『-W'W/vs(%) + 1)}・ a0^ 1.18,4]弋0.66.

Интересно отметить, что благодаря члену

(23.14) поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной х достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при х 1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При * ■ 1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс у * + ^ -* all, обусловленный реакцией у * + N f N )・ В действительности существуют и* другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений Становится неприменимым, когда переменная х близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной х :

1-*《1jHO |^|log(l - х)|с 1.(23Л5)

Асимптотическое поведение структурных функций в пределе х -> 1 (или n f х) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (a§log п)п [15, 71]. С точностью до замены Лолг5 夕 4。§ , v1NS vlS синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).

Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при х « 0. При изучении поведения структурных функций в пределе х -* 0 квадрату

4-импульса Q 2 необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить V f в . В этих условиях имеет место предел Редже ”，и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния юфтуального гамма- кванта у (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным —Q 2, то можно предположить [2 ] следующее асимптотическое поведение:

/(X, 02)洋0〃 02)产(О),Х=罢，(23.16)

где R — соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе х ~ 1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.

Перепишем (23.16) в более удобном вйде

fNS(X, Qb然°Bns (e2)x\(23.17 a)

/(x, C2)^5,(e2)x-\ i= F,V.(23.17 6)

В принципе можно допустить зависимость параметров А от Q2, но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов О (М? / Q 2).

Поведение структурных функций / в пределе х f 0 связано с сингулярностями моментов н (九* Q2)2). Установление этой связи требует аналитического продрлжения формул для ц(n, Q2) по переменной п. Поскрльку моменты выражаются в виде ц(п, Q2) = АпСп, соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин Л" или С" в зависимости от того, какая из них рааюложена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том cj^・ qae, когда крайняя правая сингулярная точка величины 4 п расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции С". Кроме того, eq ли п0 — такая крайняя правая сингулярная точка 4 , то она удовлетворяет равенствам

%=]—入(NS)

% = ] + A (singlet), и с необходимостью выполняется соотношение 入尸=入卩三入^ .

* Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [2в].

2)Детали приводимого доказательства можно найти для несингпетного случая в работе [199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе х -* 0, отличные от реджевских.

Так как сингулярности коэффициентных функций С" совпадают с син- Гудярностями функций d(n) или D(n), параметры 入 и 入§ удовлетворяют неравенствам

入 <1, А〉о，

В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померенного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [30] и цитируемую там’литературу).

Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина

e(02)广“"，0)

не зависит от значения Q ?・ Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению

A /厶⑺0\

S-'(n)D(n)S(n) = D(n) = ^ ；丿"(“))•(23.18)

Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая п = 1 + As + 6 , находим

g(l + А + е) 0 т(:).(23.19)

Таким образом, величина

值3)广"人大峭(0戶^

не зависит от квадрата 4-импульса Q2. Применяя.матрицу S (1 + 入§ +б) и полагая w f 0, получаем

Т ./a-((1+" О

А(°)…

При этом собственные значения диагональной матрицы обозначены так, что выполняется условие J > d_; следовательно, в ведущем порядке теории Возмущений можно пренебречь членом а 丁~ по сравнению с членом а 丁 +, и мы вручаем окончательные соотношения

工(X, Q2)含0%[%(02)「厶(""…，(23.20 a)

Pev = d+ (1 + %) - Du(l + A)

综%(1+A)

Константы B0F ,入§ в рамках КХД вычислить не удается, хотя ожидается, что As « 0,1 一 0,6.

Для несинглетных структурных функций имеем

/v5 (х» Q2)^Q^ONs[as( Q2)}( х~(23.21)

Величина коэффициента BQNS неизвестна; в си电 того что параметр 入 связан с точкой пересечения траектории Редже с осью координат, для него можно ожидать значения

入=1 — %(0) рО5

Следует отметить три важные особенности. Во-первых, в отличие от асимптотических формул в пределе х -* 1 поправки высших порядков не искажают результатов, порченных при х * 0; они сводятся просто к умножению формул (23.20) и (23.21) на 1 + fe1 as , где коэффициент Ь〔 известен. Во-вторых, так как ожидаемые значения параметров 入，入§ к комбинаций d (1 — 入)， "+ (1 + 入$ ) положительны, при мцлых значениях х все структурные функции возрастают с увеличением квадрата 4-импульса Q 2. Это свойство структурных функций также подтверждается экспериментом. Наконец, в-третьих, в отличие от случая х -* 1 при х « 0 глюонные функции распределения превышают синглетные функции распределения кварков. Действительно, правая часть (23.206) для ожидаемых значений параметра 入§ имеет величину в пределах 4—8.

§ 24・ Сравнение с экспериментом; параметризации, согласующиеся с КХД, и точечноподобная эволюция структурных функций

Поскольку теоретические предсказания для моментов оказываются проще, чем для самих структурных функций, может показаться； что с экспериментом следует сравнивать предсказания КХД именно для моментов. Но это неудобно по следующим причинам. Во-первых, чтобы экспериментально получить значения моментов структурных функций в широком интервале значений 4-импульса Q2 , необходимо провести детальные измерения структурных функций для целой последовательности близколежащих значений переменной х Экспериментально это не всегда выполнимо. Но даже при наличии хороших экспериментальных данных возникают проблемы с вычислением высших моментов. Фактически вычисление высших моментов сводится к взятию нн- тегра』® от структурной функции / с весом хп "2. Основной вклад в такие интегралы дает область х * L Так как в этой области значения структурных функций очень малы, экспериментальные ошибки возрастают и даже в самых благоприятных случаях становятся неконтролируемыми при 九》6.

Таким образом, теряется огромное количество экспериментальной информации， Указанные трудности пос^жили причиной для разработки других методов сравнения.

Можно также написать разумную параметризацию для структурной функции/, которая содержала бы результаты квантовой хромодинамики и которую можно было бы согласовать с экспериментальными данными. Это не очень строгий метод, но он очень прост и приводит к явным аналитическим выражениям для структурных функций, которые затем можно использовать для описания других процессов (Дредла — Яна, адрон-адронного рассеяния на больших pt или рассеяния виртуальных адронов).

Такая параметризация впервые была введена в рассмотрение Фейнманом и Филдом [122] и имела вид

(24Л а)(24Л а)(24.1 б)(24.1 б)曾,e2)= c^(i-x)\

(24Л а)

(24Л а)

(24.1 б)

(24.1 б)

или с учетом полюсов Редже

力(х, е2) = (Qx% + Qx)(l - х)%.

Полагая параметры С,入 к v постоянными, получим бьеркенавский скейлинг.

В работе [57] было отмечено, что, введя зависимость параметров 入 и V от константы связи % в виде

入=入о + 入 Jogq , 卩=% + /log% ,

можно вычислить коэффициент С (используя правила сумм, изложенные в § 23) как известную функцию параметров 入(),入[,у(),У[,а§. Затем нужно потребовать, чтобы рассматриваемая параметризация удовлетворила, с одной стороны, уравнениям КХД для моментов, а с другой — э коп ери м ент цльно измеренным значениям структурных функций f. Эти требования позволяют фиксировать значения параметров 入 к и .

Следующий шаг сделали Лопец и Индурайн [194] (от учли ведущий и следующий порядки теории возмущений), отметившие, что для вычисления параметров 入〔(который оказывается равным нулю) и、можно использовать результаты § 23, п. 2. Таким способом получают исключительно простые параметризации для структурных функций. Они точно удовлетворяют интегральным соотношениям известных правил сумм. Уравнениям же эволюции КХД зти параметризации точно удовлетворяют только в конечных точках х = 0』 х * 1, а при промежуточных значениях х погрешность составляет менее 1%. В ведущем порядке теории возмущений искомые параметризации

имеют ВИД

皮(X, 02) = [b。ms[%( 02)广(一)"人-x""S⑴)

(24.2 a)

片(x, О» ｛瓦』％(22)「〃а+а(хг

+ %[%( 02)厂『黑U)х-『(1 _ x产叱(24.2 б)

/К'； 0)屮。.也W；tM『a%(q2)广心

5 L JW%) + 2)J

(1 r 产)+i

* 1 + |log(l — x)| *(24.2 в)

где

^(«s) = »-o, -33^1og«s(62), i=S,NS.(24.2 r)

а параметр 入 связан с траекторией Редже р соотношением 入=1 — ар (0) « в 0,5; величину ц можно выразить через другие константы, используя для этого правила сумм, изложенные в § 23. Таким образом, мы получили набор простых выражений, параметризующих три структурные функции: / #, /f и/f, исходя из семи и叩аьетров: V()№，vos，"os，"ons，sons> bof，入s (кроме параметра обрезания Л). Их следует выбрать так, чтобы вопроизвес- ти экспериментальные результаты. На самом деле, даже не увеличивая числа параметров, можно вычислить и продольную структурную функцию 九• Поэтому тот факт, что удается добиться согласия с экспериментальными данными, является важной проверкой КХД 11. Сравнение экспериментальных данных с теоретическими параметризациями представлено на рис. 19 а.

” В частности, потому, что при этом можно утверждать, что значения парамет- P°bv°n§ n^oS 力 2 —2,5, О< 入§ < 1 согласуются с ожидаемыми.

Обратимся теперь к методу точного восстановления структурных функций. Рассмотрим несинглетный случай и выполним замену переменной log х = - §. Тогда уравнения эволюции можно записать в виде

@MS（"，02） =（8呢е-5Т%（灰 е2）,

/ 宓）Г 2（24-3）

闻S （%。）=仪（02） NnS （% 爲），

И использовать известную теорему о свертках для преобразований Лапласа, чтобы обратить （24.3） и получить формулу

/vs （% 2》=[砂 Ь（х丿;б2, Qo）fNS （^＞。2），

где ядро уравнения Ь можно выразить через параметры у к С". В ведущем порядке теории возмущений результат имеет вид [156]

Ь= *）（х,产 е2,痂）=£ G^）b^y-r-rj\

где

G°（r）=l,G|（r）=-§，G2（r） = r^l4

w“r+丿严卞 詁тур*）?。/””.

Во втором.порядке теории возмущений получаем [150]

b = Ь^ +b = Ь^ +%（02）-%（爲）*）477'%（02）-%（爲）*）477'

b = Ь^ +

b = Ь^ +

%（02）-%（爲）*）

477'

%（02）-%（爲）*）

477'

где

2 оо

ь（'\х,у； е2, е^）=〉S aPj（r）bP（x^у^г+л 尸=о/=о

々={w（r + у） - log log & }瓦，

厶={W（r+/）-loglog§『-U（r+j）卜0・

Рис. 19a. Согпасованив структурной функции /?(乂, Q2) с экспериментальными данными по ц^рассеянию [20] и величины sI/s1 с данными работ [ 16S 43] 0 Использованы параметризации (24.2), включающие поправки второго порядка. Параметр обрезания Л равен 100 МэВ. То же значение параметра Л получено прямым вычислением в работе [20]. (Графики из неопубликованной работы В。Escoubes, MJO Herrero, Са Lopez, F.J. Yndurain.)

h%(eQ2)

7,07,0

7,0

7,0

■•r=a 吩 47^X^OS-0,06

0,8

0,6

学

qz

& = az—аз

x= аз-о,4

го

О40

丄

Г

Л 工 0,5 — 0§

х ^ 0,6-0,7

80720160

Рис. 196. Согласование теоретических значений с экспериментальными данными по v-рассеянию [87] с учетом поправок второго порядка теории возмущений КХД. Значение параметра Л снижается с 400 + 250 до 180 + 130 МэВ при использовании заново проанализированных данных (см. И. Abramowicz et aL CERN print EP店L168, 1981; будет опубпиковано в Zs。Phys。С).

Наконец, коэффициенты а можно выразить через величины G:

а„-=/斗 а%,(г)；

таблицу, значений Н можно найти в работе [150],

Распространение на синглетный случай окажвается нетривиальным [149]. Степень согласия теоретических и экспериментальных результатов определяется единственным затравочным параметром f(x, Q^ ), задаваемым при некотором фиксированном значении Q^ (лежащем, как правило, в интервале 2-3 ГэВ2). Результат представлен на рис. 19 б.

Другой метод состоит в прямом использовании уравнений эволюции Ал- тарелли - Паризи. С ним можно ознакомиться в работе [4].

§ 25. Поправки на массу мишени

Рассмотрим момент от несинглетной части структурной функции /. В принципе 从川5 зависит не только от параметров и и as, но и от различных масс: массы мишени mN, масс кварков mq и, наконец, от непертурбативных масс, которыми пока будем пренебрегать. Массы кварков и мишени приводят к поправкам O(m"Q2)nO(嗚,/Q2} соответственно. Как будет показано в § 32, массы кварков и, dns малы； наибольшую массу имеет s-кварк: ms » 0,3 ГэВ. С найденными значениями параметра обрезания А теория возмущений КХД едва ли будет иметь смысл при передачах импульса Q2 < 1,5 ГэВ2； таким образом, даже на нижнем пределе поправки за счет массы s -кварка не будут превышать 5%. Тяжелые кварки приводят к поправкам иного порядка, так как их массы заметно больше: тс « 1,5 ГзВ, а 吗 =5 ГэВ; но мы пока попражами за счет тяжелых кварков бу畔i пренебрегать. Пофавки, обусикжленные массой мишени, порядка m^；/ Q 2, т.е. велики. В этом параграфе будет показано, каким образом можно учесть такие поправки.

Влияние поправок, обусловленных массой мишени, было оценено в работе [202]; это рассмотрение приводит к так называемому § -скейлингу. В своем изложении мы будем следовать методу, предложенному в статье [143]. Вспомним разложения (19.3) и (19.11). В общем случае они содержат члены еще двух типов; это члены, соответствующие операторам

g叩改D4.-q иК产硒»①陋…q.

В случае свободных прлей^ = im^q ; следовательно, они приводят к поправкам порядка m^：/ Q 2, которыми мы сейчас пренебрегаем. Но члены

〈加N席，…“(0)1p〉=gM ... g咏前為s，

как мы вскоре убедимся, дают поправки-*^m^,/ Q2 • Раньше мы пренебрегали и этими поправками; сейчас же мы сосредоточим на них внимание. Рассмотрим оператор ^И1''' Ип，； ниже будет проведена замена индексов и -* и + 2 и цп + 1 -* ц, цп + 2 "* v • Благодаря симметрии по индексам оператора ^ его матричные элементы можно записать в следующем общем виде (п - четное число):

/ =。2 к • I по перестановкам

X 2严……以您5-2,

по перестановкам

N賜=В砧网 Dm.…D^q\NS(25.1)

(индекс ТМС означает, что учтена поправка на массу мишени). Так как выполняется равенство g~ 从，< Р 丨 5叫… 从 I Р > - "мн получаем набор соотношений, разрешив которые можно выразить величины Л« через Л g □ Тогда

т羽 ¥）（х, е2）т羽 ¥）（х, е2）1/ 尸(” +丿 + 2)! (” +2/)!

т羽 ¥）（х, е2）

т羽 ¥）（х, е2）

2 " A\ Q2 ) /!"!("+ 2/+ 2)!

(25.2)(25.2)ХА^п+УС^,

(25.2)

(25.2)

小紀三小哪•

Окончательный результат имеет вид

"О»創"О»創嗚 Y ("+/)! 彦丿；!(л-2)!嗚 Y ("+/)! 彦丿；!(л-2)!(" + 2力("+2/,- 1)(" + 2力("+2/,- 1)4密+"4密+"(25.3 а)(25.3 а)

"О»創

"О»創

嗚 Y ("+/)! 彦丿；!(л-2)!

嗚 Y ("+/)! 彦丿；!(л-2)!

(" + 2力("+2/,- 1)

(" + 2力("+2/,- 1)

4密+"

4密+"

(25.3 а)

(25.3 а)

“м°("，级)=,ахх"-%тмс)(х,。2)(25.3 6)

Функцию f2 удобно определить как предел структурной функции /2(™с)при т" т 0, а момент ц задать в виде

2zs(% О?) =(%х“-%(х, б2)-(25.4)

Полученные в § 24 уравнения применимы как раз к этим величинам ц и /2 . Чтобы вычислить моменты с учетом поправок на массу мишени, используем

выражение (25.3а) и получим

("+力！ 丿!(”-2)!("+力！ 丿!(”-2)!

("+力！ 丿!(”-2)!

("+力！ 丿!(”-2)!

* (" + 2/)(」+2/_ 1)"ms(”, О);(25.5)

однако вычислять моменты нет необходимости. После несложных выкладок можно найти, что выражение (25.5) эквивалентно следующему выражению ^скейлингуУ

12吟12吟(1 +4х?欣/02)2(1 +4х?欣/02)2运$产/類晋/ЕО)'运$产/類晋/ЕО)'(25.6)(25.6)

12吟

12吟

(1 +4х?欣/02)2

(1 +4х?欣/02)2

运$产/類晋/ЕО)'

运$产/類晋/ЕО)'

(25.6)

(25.6)

где § - так называемая переменная Нахтмана:

&- 1 + (1+4х2^/е2)1/2 '侬.7)

Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных z, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как х ^齐,/ Q 2, ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной х . В самом деле, если эти формулы применить к qлyчaю х -♦ 1, то возникают йеустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе х fl. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид ЗМ 2,/Q 2 , где М «Л, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения ” • Во-вто质ix, как было показано в § 23, в пределе х - 1 теория возмущений неприменима.

найти в работах [90, 9TLнайти в работах [90, 9TLПоэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m与,/ Q ? и сохранить только ведущий член.

найти в работах [90, 9TL

найти в работах [90, 9TL

')Обсуждение этого вопроса можно

Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид

/(■У，2 В/(■У，2 В/(ТМО(х, 02)=/(х,02)

/(■У，2 В

/(■У，2 В

-x^/(x,Q2)_4/(x,。"

(25.8)

При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка

х%(% 两 (If)。?

велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m^,/ Q 4 и в то же время пренебрегать поправками порядкаМ2\/ Q2 •

§ 26. Непертурбативные эффекты в е + е "-аннигиляции и операторы высших твистов в процессах гпубоконеупругого рассеяния

Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны /фуг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих) эффектов• Как уже обсуждалось в § 15, для этого необходимо рассмотреть величину П"\ входящую в выражение (15.4)

Рассмотрим хронологическое произведение

ТУ^ху^О)

с точки зрения операторного разложения. При малых % для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импу.льсном пространстве с учетом обозначения Q2 = -g 2 имеет вид

1^4хе^ ^TJ^xyiO)

= (г” + дК)

X {&[22/户，8(叨.1 + 亨"22/户,g(叨为:%(0)%(0):

+ Cc[ Q2/v2, g(x)]as ^G^(0)Ga^0): + • • . ].(26.1)

В § 15 мы рассматривали только первый член разложения Со1. Это бь^ло сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь трлько на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты С^ и CG ведут себя следующим образом:

(constant)(constant)

9运一，Cg 弋运一•(26.2)

Во-вторых, во всех порядках теории возмущений

〈:％:〉о = 0,〈:G?:〉l 0.(26-3)

Однако, как будет показано ниже (см. § 30 и последующие параграфы), фмм ческий вакуум не совпадает с вакуумом теории возмущений, а должен содержать ряд непертурбативных эффектов. Используем индекс vac для обозначения физического вакуума. Весьма вероятно, что в реальном физическом мире выполняются неравенства

〈:亨夕:〉vac * 0，〈: G?：〉vac # 0.

Вернемся к радложению (26.1). При Q 2fg для любого п член [1(/ log(Q2/A2)] убывает медленнее, чем члены вида (М 2,/ Q 2)г, и, следовательно, превосходит их. Но могут существовать промежуточные области, где, например, члены (26.2) столь же важны, как и поправки второго порядка к коэффициенту ^口 , который является чисто пертурбативным членом. Таким образом, при практическом прсиенении операторного разложения11 полезно рассмотреть все выражение (26.1) в целом.

Результат для коэффициента Со нам уже известен:

C°(22/"2；g("),")

П*2/計卜。g子+ ^ •庚log log子+…)

Следует отметить, что в вычислениях §15 пренебрегалось пертурбативными поправками, обусловленными массами кварков； им соответствуют члены О (m2/ Q2 ) в разложении (26.4). Может показаться необоснованным учет

” Некоторые приложения можно найти в подробных основополагающих работах 〔229, 230].

старших членов в разложении (26.2), в то время как членами вида 加"Q2 пренебрегают . Члены 加;/Q2 действительно очеть важны при расчетах процессов с участие тяжелых кварков с и Z?-f их учет не представляет трудностей; пример такого расчета можно найти в § 28. Что касается лотах кв^жов (a, d м s), то эффективная масса s -кварка ms * 200 мэВ при Q 2》2 ГэВ 2. Поэтому такими поправками можно пренебречь; члены ш^,/ Q 2 при соответствующих значениях Q 2 много меньше других членов.

Коэффициенты С^ и CG можно найти, испрльзуя стандартные методы вычислений; детали для типичного случая приведены в § 36 (см. (36.4)— -(36.8)). Выражения для этих коэффициентов имеют вид [22 9, 230]

д7。/苏，C^^Q^^-(26.5)

Важно понимать, что аномальные размерности комбинаций m： gg： и а, ： б?： в низиол дорядае возмущений равны нулю, поэтому козф恥цменты С/ и CG не зависят от параметра v . Для величины т tqq： это можно доказать, объединяя результаты вычисления перенормировочного множителя Zm (§ 14) с результатом вычисления множителя ZM (§ 13)・ Для величины % ： G 2: соответствующее доказательство можно найти в работе [183, 243]. Исходя из сказанного, находим

11" =(3多@)(一疝"+ 收)

XXlog< Vlog< V+log log-^РоV+log log-^РоV

X

X

log< V

log< V

+log log-^

РоV

+log log-^

РоV

,2 啾电(0)%(0)：〉vac , 1%〈：G2(0)：〉vac ,力 М2 V

з ^ 冢 ё^ [ е6 /]

(26.6)

Обратимся теперь к рассмотрению процессов глубоконеупругого рассеяния. При изучении процедуры операторного разложения (§ 19) мы рассматривали операторы только низших твистов. Что касается процесса е + с~ -ан- нигцляции, то, по-видимому, здесь существуют области значений Q 2, в которых поправки от операторов высших твистов оказываются сравнимыми, например, с пертурбативными поправками второго порядка. Некоторые вклады от операторов высших твистов приводят к поправкам на массу мишени. Другие — к поправкам, обусловленным кварковыми массами (см. [23, 143, 202]). Кроме того, существуют поправки от операторов высших твистов, приводящие к новым динамическим эффектам, связанным с Изначальным11 поперечным импу.льсом кварков внутри нуклона или с конечностью размера

нуклона. Учет операторов высших твистов представляет собой гораздо более трудную задачу, чем вычисления с учетом операторов только низших твистов. Например, можно доказать, что смешивание полей глюонов и духов (19.2) для операторов низших твистов не происходит, нб для операторов высших твистов имеет место. Кроме того, вследствие смешивания операторы высших твистов приводят к появлению новых, неизвестных матричных элементов, подобных коэффициенту Л в выражении (19.11), только более сложных. Все это обусловливает тот факт, что способы учета операто* ров высших твистов еще трлько развиваются и, по-видимому, будут находиться в этой фазе достаточно дрлго. Пока выпрлнены трлько частные теоретические вычисления (см., например, [153]) и выдвинуты эвристические аргументы [90, 91]. Последние показывают, что вклад от операторов высших твистов, вероятно, имеет вид

/Rx, Q> 合士 /⑵(х, О) + А /%, 0),(26.7)

где f《2’ _ структурная функция, при вычислении которой учитываются операторы трлько твиста два. Коэффициенты At и Д2 являются феноменологическими параметрами, которые, по-видимому, имеют величины | ki | == р；, R.2, где Rn — радиус нуклона1 *. Мы не будем углубляться в эти вопросы.

Другие процессы

Инклюзивные процессы： процессы глубоконеупругого рассеяния при времениподобных передаваемых импупьсах； распады, запрещенные пра- випом ОЦИ； процессы Дреппа - Яна； рассеяние адронов на большие р^

Если принять во внимание времениподобные передаваемые импульсы, то существует еще ряд процессов глубоконеупругого рассеяния. Наибрлее важным из них является процесс у * + (тт, К, у)-Х(Х- любые допустимые частицы), который наблюдается в процессе е + е^ -♦ (тт, К , у) + X. Кроме особенностей, общих с процессами глубоконеупругого рассеяния на нуклонах при обычных пространственнотодобных передаваемых импульсах, процессы с времениподобными передаваемыми импульсами обладают и рядом специфических черт. Во-первых, и мы имеем дело с аналитическим продолжением на времениподобные передаваемые импульсы (Q 2 отрицательно), общим для всех процессов такого типа- Во-вторых, рассеяние у*у -X обладает той важной осо-

1(Тот же порядок величины коэффициентов 左(左弘 * 0J — 0,3 ГэВ) был получен в расчетах для модели мешков [178]. Подробное изучение эффектов, к которым приводят операторы высших твистов, проведено недавно в работе Ellis R。К” Furmanski 忆,Petfonzio R” CERN preprint TH-3301, 1982 (будет опубликовано в журнале Nuclear Physics В)。

女女66Рис. 20. Распады 屮・ и г)с-мезонов.Рис. 20. Распады 屮・ и г)с-мезонов.

女

女

6

6

Рис. 20. Распады 屮・ и г)с-мезонов.

Рис. 20. Распады 屮・ и г)с-мезонов.

бенностью, что при х » 0 его можно рассчитать; при этом известна не только эврлюция, но и абсолютная нормировка (кроме области % * 0). Это обусловлено тем, что основная часть процесса рассеяния описьюается новым набором операторов, содержащих трлько поля фотонов, матричные элементы которых известны. Вычисления в первом порядке теории возмущений выпрлнены в работе [272] (см. также ![181,2 56], а во втором порядке — в работе [26]. Мы больше не будем рассматривать этот вопрос, подробно излагаемый в обзоре [56], а перейдем к обсуждению распадов, запрещенных правилом Окубо - Цвейга — Иизуки (ОЦИ).

По мнению многих физиков, первый яркий успех концепции асимптотической свободы принесло объяснение узости 屮(J)-резонансов [19, 92]. Это объяснение представляет собой пример применения квантовой хромодинамики для обоснования малости ширин так называемых 011И~запрещенных распадов.

Правило Цвейга [282], или правило ОЦИ [173, 212], гласит, что распады тяжелых резонансов, которые описываются несвязанными кварковыми диаграммами Фейнмана (т.е. диаграммами, которые могут быть связаны только глюонными линиями), подавлены. Это правило работает довольно хорошо для резонансов типа <р и f "-мезонов и очень хорошо для 屮~ и Y-частиц. В действительности, чем тяжелее резонанс, тем лучше для него выполняется правило О11И. Рассмотрим, например,屮-иастм电,состоящую из с с-кварков. Поскольку самые легкие частицы с открытым чармом (D-мезоны) слишком тяжелы для того? чтобы ^-частица могла распадаться на пару DD, процесс ^ — адроны по необходимости происходит через глюоны. Согласно квантовым

числам 屮-мезона, его распад может проходить по меньшей мере через три глюона (рис. 20, а), поэтому адронная ширина распада「(屮-адроны) = а^加屮. Можно доказать, что соответствующей константой является бегущая константа связи, взятая при Q2 = - ш^ ; поэтому по аналогии с формулой для ширины трехфотонного распада позитрония с точностью до замены а т % м введения цветового фактора CD для ширины трех глюонного распада ^-частицы по

лучаем. 八

、64)卩S"0)|「 q

(27.1)(27.1)「(屮 f a/фоны) = —^―(行-9)[%(-/)],

(27.1)

(27.1)

cD =丄 A

。16% 計 18 *

Здесь 3sl (0) — волновая функция при сс при г « 0, где г — расстояние между кварком и антикварком. Можно показать, что эта формула справедлива в ведущем и следующим за ним порядках теории возмущений КХД, причем поправки к ней также могут &>1ть вычислены (см. ниже). Значение | 3sl (0) | можно получить в рамках той или иной модели; его можно найти и независимо от модели, если взять отношение адронной и лептонной ширин распадов (рис. 20,6), из которого множитель | 3sl (0)1 выпадает. Для этого отношения в ведущем порядке теории возмущений получаем

(27.2)(27.2)屛 _ r°(W7hadrons) — 10(М — 9)*( —闲) 硏—r°(W т е + e -)81g22

(27.2)

(27.2)

Недавно были вычислены наиболее важные поправки второго порядка по константе взаимодействия а^ , которые складываются из поправок к лептонной ширине распада Г^ [22]

и поправок к адронной ширине Vh [195] 1\ =叩+(3.8±0.5)^^}.

Ошибка связана с тем, что вычисления проводились, с помощью численных методов. Кроме того, имеются еще поправки, обусловленные конечностью массы мезона (фазовый объем, поправки на скорость движения кварков и т.д.). Они велики для <р~мезона (~70%), меньше для ^-частицы (~20%) и малы для Y-частицы (~ 16%). Тогда для векторного мезона Р =屮 mjw Y можно написать следующую формулу для отношения адронной и лептонной ширин рас-

падов с учетом поправок:

В；/1В；/110(М-9)а?(帚)8177 喈10(М-9)а?(帚)8177 喈1 + (9」±0.5)--请1 + (9」±0.5)--请

В；/1

В；/1

10(М-9)а?(帚)

8177 喈

10(М-9)а?(帚)

8177 喈

1 + (9」±0.5)--请

1 + (9」±0.5)--请

Для сравнения с экспериментом, по-видимому, лучше всего рассматривать отношение М》：/ ту как ошибку, требуя, чтобы оно имело указанный выше порядок величины. Действуя так, найдем, что для распада Y-мезона параметр обрезания Л = 120 二罪 МэВ, а для распада 屮-частищ>1 Л = 6О._ 10 МэВ. Согласие между этими двумя результатами представляет собой нетривиальную проверку квантовой хромодинамики, так же как и тот факт, что оба этих значения параметра Л близки к результатам, полученным из данных по глубоко неупругому рассеянию в § 24. (Чтобы получить такие значения параметра Л, надо учесть поправки О (а).)

Распады поев доска ля рных резонансов (подобных % -мезону) обладают сходными свойствами: распад происходит через два глюона (рис. 20, d) и отношение адронной ширины к двухфотонной ширине распада п с - уу (рис. 20, %) равно

「0-адроны) = 2 / 皿 j(27.3)

「(Перу) 9Qc\ а 广

Поправки второго порядка для этого случая вычислены в работе [24]; они также оказались довольно большими. Для достаточно тяжелых кварков можно получить строгие результаты не только для отношений типа (27.2) и (27.3), но и для самих ширин эксклюзивных распадов [102 ].

Перейдем к механизму Дредла - Яна [100]. В рамках этого механизма кварк из одного ащ)она и антикварк из другого, сталкивающегося с первым адрона аннигилируют в виртуальный фотон с большой инвариантной массой — Q2, который затем превращается в пару е+ е~ или ц + ц~ (рис. 21). Применяя формализм Алтарелли - Паризи, можно показать, что по крайней мере в ведущем логарифмическом приближении сечение рассеяния можно записать в виде (см. [108, 235])

х {qf,^^ Q2)4f,hkx^ е2) + ы%1> е2)Ы%2> О)}，(27.4)

где qq 一 функции распределения, введенные в § 22, a s = (「丸 + ph )2 - полная энергия сталкивающихся адронов в системе центра масс. В этом процессе очень важны недавно вычисленные поправки второго порядка1 *; они включают

“См. работы [13, 14, 124, 170, 184].Это вычисление было завершено в работах [166] И Ellis, Martinelli, Petronzio, CERN preprint ТН-3186, 1982 (будет опубликовано).

эффекты продолжения на времениподобные импульсы фотона. Вычисления чрезвычайно осложняются взаимосвязанностью массовых сингулярностей. Указанные поправки изменяют формулу (27.4), в частности приводят к появлению в ней множителя

1 +1 +4(02)4(02)4 774 77•訐+%，•訐+%，(27.5)(27.5)

1 +

1 +

4(02)

4(02)

4 77

4 77

•訐+%，

•訐+%，

(27.5)

(27.5)

где тт2 возникает в результате аналитического продолжения. Поэтому поправки очень велики (порядка единицы), так что, по-видимому, при современных Энергиях КХД позволяет дать только качественные оценки. Но положение может быть не сто,ль удручающим, если верно предположение, что членытт2 суммируются в экспоненту и множитель (27.5) можно заменить выражением

№，(q2)/3| 1 + &.№，(q2)/3| 1 + &.%©)] 477 j%©)] 477 j(27.6)(27.6)

№，(q2)/3| 1 + &.

№，(q2)/3| 1 + &.

%©)] 477 j

%©)] 477 j

(27.6)

(27.6)

в котором экспоненциальный множитель точен во всех порядках теории возмущений .Если это действительно так, то возникает хорошее крличественное

согласие с экспериментом.

dr/" + 色少 〃з + all)dr/" + 色少 〃з + all)Еще в меньшей степени непосредственно применимы методы квантовой хромодинамики к процессам рассеяния адронов на большие & (рис. 22). Экспериментальная ситуация изображена на рис. 22, б: рассеиваются два адрона 九 1 и /г2 и регистрируется адрон h3 , который имеет большой поперечный импульс относительно оси соударения. Можно доказать, что этот процесс имеет механизм, представленный диаграммой рис. 22, а. Сечение рассеяния для этого процесса в низшем порядке теории возмущений имеет вид

dr/" + 色少 〃з + all)

dr/" + 色少 〃з + all)

^ Eh,S jTldx4odx4oldXb ga-h,(х^ь^х^Чь-,ь,(xh)

XX(27.7)(27.7)s'6(s‘ + Г + u') do(a + b —优 + b)

X

X

(27.7)

(27.7)

成'

Рис. 22. Рассеяние адронов на большие pt °Рис. 22. Рассеяние адронов на большие pt °

Рис. 22. Рассеяние адронов на большие pt °

Рис. 22. Рассеяние адронов на большие pt °

где использованы обозначения

s' = xaxbs, f = Xat/xb,и1 = %口/&，

S =(尸硏 + a2y，?=(a.-аз)2» u =(A1 +//・

Элементарное сечение рассеяния do J dt^ следует вычислять в низшем порядке теории возмущений. В формуле (27.7) функция распределения обозначена как д(х), а не g(x, Q2), так как не ясно (по крайней мере нам), какое нужно использовать значение Q 2 и какова область применимости выражения (27.7). ■ Рассмотрению таких процессов посвящены, например, работы [109, 155, 176, 226].

Струи

Обратимся к изучению струй. Струи представляют собой предмет самостоятельного изучения, поэтому мы даДим лишь самый краткий обзор сложившейся ситуации. Основное замечание состоит в том, что, например, для процесса е + е 一 -аннигиляции ведущей диаграммой является абсорбционная часть диаграммы рис. 23, а , а именно квадрат диаграммы рис- 23, 6. Если бы кварки являлись реальными частицами, отсюда следовало бы. что сечение рассеяния имеет вид

曲(e+e-->qg)

q(1 + cos2^) {1 + 0(%)}.

弘匸…弘匸…

弘匸…

弘匸…

Нис. 23. Струи.

Но этого 血ть не может, поскольку, как мы видели, процессы с коллинеарными частицами （рис. 23, в） приводят к расждимостям. Однако инклюзивные сечения рассеяния, по-видимому, конечны даже в КХД". Технический прием состоит в том, что рассматривают не сами процессы, в которых кварки и （или） глюоны имеют определенные импульсы Р、* …* Рп и которые, вообще говоря, приводят к расходящимся результатам, а интегрируют сечения рассеяния с некоторыми гладкими функциями ч> （储，…，рп ）, т.е. рассматривают сечения рассеяния в интервале конечных состояний. Как правило, изучают величину

0r（&〉…•，〈К〉） = f ~ъ … 纟 e（R，…'К）0r（i—R…，А>），

J 2讲2讶

где функция（р（р） имеет острый максимум в окрестности среднего значения импульса < р >•

Поскольку кварки и глюоны, конечно, непосредственно не детектируются, необходимо развить метод, позволяющий установить струйный характер сече

” В квантовой электродинамике это утверждение известно как теорема Блоха — НордсикаЕ 42]. В КХД подобные результаты следуют из обобщений [ 191] теоремы Киношиты [182].

Ний такого рода процессов. Этот метод заключается в основном в измерении наблюдаемых величин, конечных в инфракрасном пределе [2361, которые отражают отклонения от сферической симметрии распределения по импульсам в конечных состояниях. Такой характеристикой является, например, "траст” (thrust) Т [115】 ：

для двух струйного события Т = 1, а для сферически-симметричного события Т = 1/2. Тогда можно ожидать, что в процессе е + е~ -аннигиляции Т。1 - -О(%)・

Мы не будем углубляться в изучение струй, а отсылаем читателя к работе [88], содержащей всесторонее рассмотрение двух- и главным образом трехструйных событий (как в распадах у-мезонов; рис. 23, г), к работе [200], посвященной струям в процессах глубоконеупругого рассеяния, или к обзору [109]. Добавим только, что двух- и трехструйные события наблюдались в экспериментах; при этом трехструйные события дают прямое доказательство существования глюонов и кварк-глюонного взаимодействия. Полученные для этих процессов [101 значения константы взаимодействия % (Q 2 A (35ГэВ) 2)。 ==0,125 + 0,01 и параметра обрезания Л = 110^ ；： МэВ находятся во впечатляющем согласии с полученными ранее значениями.

Эксклюзивные процессы

Рассмотрим в несколько упрощенном виде вопрос о пионном формфакторе; мы надеемся, что этого окажется достаточно, чтобы распространить данный подход на изучение других процессов, для которых будут приведены лишь окончательные результаты-

Пионный формфактор 片 определим следующим соотношением:

V"(P\，尸2)= (2")3〈"(尸2)|&(0)1"(尸I)〉

=(川+川爲⑷)，q=P「Pl，(27.8)

гДе функция 尸口 нормирована на единицу:腺(0) = L Опуская индекс еш для тока J 卩,перепишем это соотношение в виде

Q(0，?2)= (2")3〈"(八)口貝0)/*'5，？"(")〉.

Во втором порядке теории возмущений отсюда следует соотношение как

обычно, q^= q0, В： = Вол... - свободные поля)

""(p1，p2)= -(2")3 冬 //小心4伙"(厶)|7杀(0)J々冠0)

X 斗{丽(х)冷％o(x)%0)y°%U) + (xcy)}%(x)

X 唸 O)|"(尸 i)〉.(27.9)

Различные комбинации порождают дааграммы рис. 24, 〃 и 6. Члены, соответствующие диаграммам рис. 24, а, опущены, так как они не дают вклада в конечный результат. Используя для обозначения цветовых индексов символы i,j, А, а в качестве дираковских индексов символы а , р и 6 и опуская индекс 0, обозначающий свободные поля, вклад диаграммы рис. 24, б можно записать в виде

У"(П，尸 2)= - (2")3 g2 £ J>x 办〈"(А)同(0)或5 滥 s«，p ( - X)力点

Ху証洽Qw(x r)%u£G)欧⑴阮(尸 1)〉+ "кросс"-член,

где "кросс" обозначает свертку с другой комбинацией индексов. Можно произвести пространственно-временной сдвиг на величину у. Тогда получаем (z = х -у )

勺?"2)=(2")宙2 /备/备以吋办eiz(p-k)eiy(p+p2-pi)

><〈力(p2)同(一))或‘(0)多|尸〉〈尸|吟(2)冰(0)|日2)〉滥,

X尸^ У証協g/*£ + (尸1 C尸2),

「口6 (Р^ р 2 ) возникает из пкроссп-члена. Вклад калибровочных членов явно не выписан, так как в ведущем порядке теории возмущений он обращается в нуль. При получении последнего выражения введен полный набор состояний; в ведущем порядке вносят вклад только вакуумные состояния: 21尸〉(尸1=10〉〈01 + 0(%).

Глюонный пропагатор D^ использован в калибровке Ферми — Фейнмана, но результат (после добавления члена 包卩 р2 ), конечно, является кцлибровоч- но-инвариантным. Дцлее в случае трех цветов (число Цветов пс = 3) 哈(z)%*(0)=孟(/y5)s，/(0)力 了5m")，-言(У5)6,/(0)了5m(2)+ •…；

''(27.10)

Рис. 24. Диаграммы, описывающие эксклюзивные процессы (а — г — пионный формфактор).

другие члены не дают вклада, так как пион представляет собой синглетное по цвету псевдоскалярное состояние- В самом деле, оператор 4丫$口 является оператором твиста 3 и, следовательно, в ведущем порядке теории возмущений может быть опущен. Таким образом, получаем

”"(п，尸2)= (2")3”"(п，尸2)= (2")3d加aa一空d加aa一空-iy( р + р2~Р\)-iy( р + р2~Р\)

”"(п，尸2)= (2")3

”"(п，尸2)= (2")3

d加aa一空

d加aa一空

-iy( р + р2~Р\)

-iy( р + р2~Р\)

X Try /y ；：5%上"（0]2（0）力*aa）|"（尸[）〉

р к

x〈"（厶）凤》）工力矶0）〔0〉+ （0С尸2）。（27.11）

Сосредоточим внимание на вычислении членов < 01 ... | тг> . Их можно разложить в ряд по степеням переменных z и у: например,

〈3d(0)XY5"(z)|"(尸 1)〉

=? -八34(°)力力D^u^(p^ ；(27Л2 a)

если пренебречь членами, пропорциональными массе пиона, то получаем

(2t7)3/2<O|J (0)7x75Dg| ...幺〃(0)旧(尸］)〉=in+ipcPia•

(27.12 б)

Все выкладки были выполнены формально- После перенормировки надо заменить константу связи g на бегущую константу g(v2) и учесть, что множитель А" приобретает зависимость от v : 4n = 4n (v2)- Чтобы избежать пояцления логарифмических членов log(Q2t/v ?)‘ выберем параметр v2 = Q2 = - (р2 -办户， Если теперь "партонную волновую функцию11 屮 определить в виде

Cd^=An,

几(27.12 в)

то выражение (27.11) можно представить в физически очень наглядном виде

(2t7)3/2<0|J(0)yxy5w(z)|t7(/>1)> =汕不臂帀体吟宀厂，(27.13)

и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z, у^, k, р , получить следующий результат:

v^P^ =等甚6“盯信炉)/對如s，吟注得竺圭

+ (尸佇尸2)，(27.14 a)

где

(27.14 6)(27.14 6)尸=0-（1-М，

(27.14 6)

(27.14 6)

左=（1 一"）尸2一（1 一9尸「

Таким образом, нам удцлось разбить вершину на пмягкую часть", описываемую волновыми функциями 屮 м 屮 *, м на пжесткую часть0 £> (рис. 24, 6 м£)・ Переменные g м “ описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кв叩к. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату

耳d)=耳d)=4吗%(22)~~4吗%(22)~~丿о丿о*& е2)*& е2)22+ О+ О

耳d)=

耳d)=

4吗%(22)

~~

4吗%(22)

~~

丿о

丿о

*& е2)

*& е2)

2

2

+ О

+ О

?2三一/?2三一/(27.15)

?2三一/

?2三一/

Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции 屮 от Q2. Операторы, которые определяют функцию 屮 с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах .глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиаГ'онцльного характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы N：卩;％ % ,友=0, . —，к ,

(27.16)(27.16)%爲/…％ = а也+二а%2(о)/у5^"|П^м(О)

(27.16)

(27.16)

при проведении перенормировок преобразуются друг через друга по формуле

比 f Е Z；；+♦(27.17 а)

При k-n элементы матрицы Z совпадают с элементами, вычисленными в § 20：9

4+3 1 + 診舊№>(〃 +1)-3-运匚 1；〃 + 2)卜(27.17 б)

при 友《к -1 они имеют значения

4+1*=誥 *备一右卜(27.17в)

Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q 2foо 1}, нужно диагонцлизовать матрицу Z. Пусть этого можно достиг

” Красивый альтернативный метод» осноаанн^й на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].

путь при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через Ak диагональные матрицы, получаем соотношение

4(。2) = £ S*4(。2).(27.18)

Ar = O

Аномальные размерности матриц Ak представляют собой собственные значения матрицы Z . Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q 2fg имеем

4(。)［与(о)产…)&.

В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство dNS(k + 1) > > <lNS (1) = 0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат

^«( б2) 了 S〃/oo‘

откуда следует предельное соотношение

Jo 1 — J 02f 8n-0

Легко убедиться, что э.лементы Sn0 матрицы S имеет вид

л

Кроме того, известен также элемент 400. Из уравнений, осн (ж энных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство

(2")3/2〈0e(0»*й(0)1"(尸)〉=犷泛/,(。93 МэВ,

поэтому величина

A^=^d^ е2)=^л

не зависит от Q2. Отсюда получаем 400 = 6^/2/^•

Окончательный результат имеет вид1 *

(27.19)(27.19)\2^CFf^as(-t)

(27.19)

(27.19)

КС)产Z7•

*8Г

=陰6)； в действитель-=陰6)； в действитель-Поправки к этой формула имеют величину О (а：*§ “'

=陰6)； в действитель-

=陰6)； в действитель-

ности для четных значений п в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.

Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-види- мому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков и и d становятся чрезвычай но существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем т"力，и им можно пренебречь; но псевдо- скцлярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента < 0|d у5и|тг>, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине f1Km^Jtmu + mJ Повторяя проведенный выше анализ； получаем результат

I * 4dlog(-f/硝-(闻+*，I * 4dlog(-f/硝-(闻+*，(27.20)(27.20)

I * 4dlog(-f/硝

-(闻+*，

I * 4dlog(-f/硝

-(闻+*，

(27.20)

(27.20)

Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность)； простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима* Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.

пЖесткаяп часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфра- фасном пределе (член 1,/(1 一 g) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение

[Z&K& Q1^" ^J^,

” В своем изложении мы апедуем работам [ 53, 105, 11б]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54\

откуда следует предельное соотношение

屮(Е?2) - £(1—9Ло，

и возможные расходимости сокращаются. Поэтому некоторые эксклюзивные процессы в конечном счете все же поддаются расчетам в рамках простой теории возмущений. Однако, как видно из члена, описывающего в (27.20) вклад операторов твистов, следующих за ведущим, это не всегда справедливо. В действительности для некоторых процессов инфракрасные расходимости появляются уже на уровне операторов ведущего твиста. Например, можно рассмотреть скалярный формфактор

£)⑺=(2тг)-з〈俐％(0)|К。〉，％(%)=访0")了“5")・(27.21 а)

Вычисления этой величины аналогичны вычислениям пионного формфактора. Единственное отличие связано с присутствием смешанного псевдоскцлярно- аксиальнсвекторного вклада (номинально высшего твиста), который в действительности является ведущим. Используя соотношения, основанные на частичном сохранении аксиального тока (§ 31), находим

D(t)J"?”JK ｛网一硝 + (礙_咸)卩。g★•(27.21 6)

Здесь первый член имеет аксиально-аксиальный характер, второй описывает вклад смешанных операторов; но оба они в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (если использовать простую факторизацию). Эти два примера (вклад операторов следующего за ведущим твиста в пионный формфактор и скглярный формфактор (27.21)) пока^вают, что в отличие от инклюзивных процессов эксклюзивные процессы чрезвычайно чувствительны к инфракрасным расходимостям, и для каждого конкретного процесса следует проверять, применима ли непосредственно теория возмущений КХД или нет. Учитывая эти замечания, завершим настоящий параграф очень короткой сводкой результатов для некоторых эксклюзивных процессов.

Из примера рассмотрения пионного формфактора можно вывести общее ира- вило: амплитуда эксклюзивного процесса имеет вид (рис, 24, d)

где 屮-волновая функция связанного состояния 8：

• %(х”)|В〉，

ядро уравнения К определяется формулой

Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение

а для дейтона формфактор определяется формулой

которая совпадает с экспериментально полученными результатами. Сечение рассеяния на заданный угол имеет вид

do(A + B^>C+ D) 片⑴…

——— 工⑺& a/e⑴生⑺/(，)•

Gg fixed

Дальнейшие подрсбности и ссылки на литературу можно найти в работе [ 541. Многие из этих результатов сформулированы с большей степенью строгости, исходя из ренормгруппового анализа [1031 (см. также обзор [101] и цитируемую там литературу).

Глава IV

МАССЫ КВАРКОВ, ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНОГО ТОКА, КИРАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ВАКУУМ КХД

§ 28. Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика — Аппепквиста — Каррадзоне

Схема перенормировок MS не зависит от масс кварков; следовательно, при вычислении таких величин, как ренормгрупповая бета-функция р или аномальная размерность у("), нужно учитывать кварки всех ароматов. Для простоты сосредоточимся на р -функции и будем проводить выкладки в аксиальной калибровке, так что всю зависимость от квадрата переданного 4-импульса Q2 можно получить, рассмотрев только глюонный пропагатор. Кроме того, упростим обсуждение, введя в рассмотрение кварки только двух ароматов, один из которых бесклассовый т^ = 0, а другой тяжелый % » 八.Тогда в схеме перенормировок MS для бегущей константы связи получаем

%(22,舘)=%(22,舘)=12тг12тг(33- 2^)log 02/废(33- 2^)log 02/废{1 — . . , },{1 — . . , },(28.1)(28.1)

%(22,舘)=

%(22,舘)=

12тг

12тг

(33- 2^)log 02/废

(33- 2^)log 02/废

{1 — . . , },

{1 — . . , },

(28.1)

(28.1)

где , = 2。Естественно предположить, что использование значения 以『=2 приводит к правильному выражению для бегущей4константы связи а^ при Q >> mft, но существует область значений переданного импульса 吗 » Q>> Л для которой лучше использовать значение r『=1 в формуле (28.1). Это становится очевидным, если взять массу тяжелого кварка mft экстремально большой, например равной 1 г. Ясно, что физика микромира едва ли может зависеть от того, существуют или нет столь масшвные частицы.

Это утверждение составляет основное содержание теоремы, доказанной Симанзиком [ 240] и вновь открытой Аппелквистом и Каррадзоне [ 17]1J, согласно которой в случае Q « т^ существованием таких тяжелых кварков можно пренебречь с точностью до членов порядка Q?/mj . Формула (28.1) в приведенном выше виде справедлива только в случае Q2« т2, где т - любая подходящая масса, в частности масса тяжелого кварка mft . Если мы хотим со)д)анить функциональную форму (28.1), необходимо допустить иную зависимость от переменной Q2f более сложную, чем просто логарифмическая.

“ В действительности этот результат, по существу, содержался уже в работе [182]. Обсуждение этой теоремы с использованием функциональных методов см. в работе(2621

Так как указанная проблема возникает в результате пренебрежения массами кварков, мы должны вновь вывести формулу (28*1), но с учетом масс кварков. Напоминаем, что бегущая константа связи определялась выражением а = g2/4ir, где g представляет собой решение уравнений (12.6):

"1。爲訥勃可2" = g⑺，"1。爲訥勃可2" = g⑺，(28.2a)(28.2a)

"1。爲訥勃可2" = g⑺，

"1。爲訥勃可2" = g⑺，

(28.2a)

(28.2a)

где

窮 g(〃) = g(〃) 6(g(峭，# = - ZJ % Zg .(28.26)

Рассмотрим поведение поперечной части глюонного пропагатора, которую мы обозначим так же, как в выражении (6.9). Введя обозначение Q/v 二入，мз уравнений (12.1) и (12.7) получаем

，★2； g⑺,m⑺炉)

=入俨;g(入),/(2；B)exp{-「*dlogkyo[g(k)]}.(28.3)

В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна у。= 2р// 161, а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением

入0；g(")，m⑺;吟=彘就2入俨；WQ),疽(人)；吟.(28.4)

Рассмотрев пропагатор 6 точке р =/, получаем следующий результат":

%(后;武入),历(人)炉)=k。 +组：)G

С」 I I 沂2+X(l—X”2

q- x)i°g —-—二，

гДе £ - константа. Сначала выберем v = Л; тогда

%『；g(〃)，m(〃)；吟=~訂^[к+ 至(？)"

log 0 7 A2讶

х/Пхх(1 - x)log x(l — x) + m ；?)j|.(28.5)

& Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/^2.

^рим. перев.

Если т» Л, то справедливо приближенное равенство

Ar“； g(»)，m")；» )^ ]К+ —-—bg^^ ) kg 02/a2 •(28.6)

Если m2 » 0, to поправки к константе К в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенорми- ровочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [ 258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов зависящего от масштаба импульсов, например^

Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q больших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину О(т2/Q2). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q2 << т2. Рассмотрим с этой целью выражение для глюонного пропагатора. Отсюда будет ясно, как распространить доказательство на общий случай.

Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора Dtr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем

『вар” ] _ 里х(1 - x)logX0 —х), +曲(28.8)

tr7Г JoV

В этом порядке необходимости учета перенормировки величин а или m не возникает. Для случая Q2 « т2 получаем

(28.9)(28.9)(кварку 。且 曲 a q2入 T一行l。g”一而•诳，

(28.9)

(28.9)

目 Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [7б]и особенно работу [ 258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения в,). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от в, в области * = 3 — 6 очень слабая.

т.е. результат, постоянный с точностью до членов 0(Q2/т2). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматовг но имеет другое значение параметра vx2, а именно ^2 = v2! 1 + log m2 /v2l. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения v, тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q2/m2)J можно пренебречь .

Случай глюонного пропагатора особенно прост； в общем случае поправки имеют величину порядка log(舘/Q’MQ'/W).

Теорема "развязки" особенно наглядна в ц-схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем

О(кварки)( 2)= ■ + Т ё_ {2_ п -4 fdxx(l-x)x

srЕ 16d3 Т о

в, т； —х(1 — х) q

х 2 log I +

Напомним, что ц-схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D^к：：рки)(夕2 二—从2)= р^^ 仃(—从2), а следовательно, отравед- ливо равенство

嚟产⑺…%詣一*хх(1 一吟log嚟产⑺…%詣一*хх(1 一吟log"一X(1 — X)g 2 吟 4- X(1 — х)『"一X(1 — X)g 2 吟 4- X(1 — х)『

嚟产⑺…%詣一*хх(1 一吟log

嚟产⑺…%詣一*хх(1 一吟log

"一X(1 — X)g 2 吟 4- X(1 — х)『

"一X(1 — X)g 2 吟 4- X(1 — х)『

справедливо приближенноесправедливо приближенноеПоложим О? = - д?・ В случае, когда Q2t ц2 » равенство

справедливо приближенное

справедливо приближенное

dxx(l — x)logdxx(l — x)logmj 4- х(1 — х)О 呼 4- x(l - х)『mj 4- х(1 — х)О 呼 4- x(l - х)『㈠吟㈠吟

dxx(l — x)log

dxx(l — x)log

mj 4- х(1 — х)О 呼 4- x(l - х)『

mj 4- х(1 — х)О 呼 4- x(l - х)『

㈠吟

㈠吟

Для случая m； » J Q2 имеем

一加磊修■。篇鼾

§ 29. Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность

В § 28 мы видели, что при энергиях Q >> Л, когда теория возмущений по бегущей константе связи может иметь смысл, можно пренебречь существова-

ни ем кварков с массами т» Q, В этом параграфе мы рассмотрим противоположный случай, когда массы кварков удовлетворяют условию т« Л. Поскольку единственным размерным параметром в квантовой хромодинамике, как мы полагаем, является параметр обрезания A1J, можно ожидать, что в некотором приближении допустимо пренебречь массами этих легких кварков, которые могут привести к поправкам лишь порядка т2/Л2 или m2/Q2.

Вернемся к вопросам, обсуждавшимся в § 10. Рассмотрим лагранжиан КХД

* = - 2 叫勿％+ / 2 勿W/- 五(D X В )24- члены, фиксирующие калибровку,

+ духи.(29.1)

(29.2)(29.2)Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству т2 « Л2. Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований『土 в группе UJr) х 娱伍)(произведение левых и правых преобразований)

(29.2)

(29.2)

где『土一 унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член

乂"=2 叫勿％ •(29.3)

/=1

Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(l)]“：

% те%,(29.4)

но он не инв^)иантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает масссжый член общего ада, докажи две теоремы.

"Неясно, конечно f какой из параметров： Л или параметр Л , определяемый формулой а§ (Л^) = 1, является основным. Смысл неравенства т<< Л также неоднозначен Очевидно, что Л= Л , поэтому в действительности, помимо эвристических соображений, нет никаких указаний, которые помогли бы решить, какие кварки считать легкими в промежуточных случаях. Почти нет сомнений в том, что кварки и и(/ следует отнести к типу Ипегкихи； в отношении кварка s ситуация менее ясна.

Теорема 1. Еюбую массовую матрицу общего вида можно записать в биде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m > 0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.

Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами

也.=；(1 - ?5)9，"=；(1 + 七)小

Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид

= 2 {+ 力%L}•(29,5)

Пусть матрица М имеет компоненты М^「На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать1

M = mU,

где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид

= S{ч^п'Яги + qiR^nqiLG& =工 U(『q『R ,(29.6)

где использовано свойство самосопряженности матрицы т. Переопределим поля по формуле 夕'=夕;+ 夕乙；тогда выражение (29.6) в терминах полей примет вид

./=2g；叫Г办，

где использовано равенство 夕冗夕冗=^l^l = °，Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля 夕‘,используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу т* Положительность значений величин т( следует из того, что они являются собственными значениями матрицы т. (Отметим, что член 初夕 в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)

Теорема 2. Если все массы т( имеют различные ненулевые значенияt то единственными преобразованиямиt оставляющими массовый член инвариантным, являются преобразования [U(1)F вида (29.4).

Предположим, что 犷十=『_=『；проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы

приводит к соотношению

(29.7)(29.7)W+ mW = m, т.е. mW = Wm.

(29.7)

(29.7)

Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде 工，二:с ^ > если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, опа может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной, соответствующей преобразованию U(l), действующему на поле кварка д’, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.

При доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы т голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле

M=Z-'M„.

где коэффициент Z -число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 — 9 и 14, учитывая матричный характер величин W м Z^. В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим

S" О) = —L—

+ 由-[А@-М) + 0-М)年]一 6М

где введены обозначения

М = М〃 + 5М, Zf = 1 + 4.

Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям

А； 4-Af = -(1 -^^(cf-^- диагональна, 16M

AfM = MAf, М6М = (6М)М

6M = 3N«C>£m.

Таким образом, совокупность фермионных полей и массовая матрица преобразуются как одно целое, а перенормировочные множители имеют вид

z^t + MG 券'3Mq 岳，z^t + MG 券'3Mq 岳，(29 Б a)(29 Б a)

z^t + MG 券'3Mq 岳，

z^t + MG 券'3Mq 岳，

(29 Б a)

(29 Б a)

т. 6.

(29.86)(29.86)ZF = ZF • 1, Zm = Zm • 1.

(29.86)

(29.86)

Этот результат доказан в низшем порядке теории возмущений, но уравнения ренормгруппы обеспечивают его справедливость и в ведущем порядке по константе связи а .

Этот результат можно объяснить и другим способом. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (29.4) подразумевает, что контр- ч^ены всегда можно выбрать так, чтобы они обладали инвариантностью относительно этих преобразований; поэтому массовая матрица после перен(фми- ровки по-прежнему останется диагональной. Фактически это доказательство свидетельствует о том, что в не зависящей от масс перенормировочной схеме (подобной схеме MS) уравнения (29.86) в действительности справедливы во всех порядках теории возмущений.

Полученные нами результаты показывают, что, если все массы & различны и не равны нулю ° , единственная глобальная симметрия, котор或 обладает лагранжиан, связана с сохранением такого квантового числа, как аромат, и описывается преобразованиями (29.4). Однако, как утверждалось выше, пренебрежение массами кварков 勺 может представлять сюбой достаточно хорошую аппроксимацию. В таком случае все преобразования, представленные соотношениями (29.2), оказываются преобразованиями симметрии лагранжиана. Степень нарушения симметрии определяется, например, дивергенциями соответствующих генераторов. Хотя этот вопрос уже рассмотрен в § 10, мы приведем некоторые дополнительные подробности.

Параметрируем преобразование W в виде ехр{ (// 2) 2 0 入° },「口6 入-мат・ рицы Гелл-Манна2〉・ Операторы, выполняющие преобразования (29.2), обозначим q(e):

力(0)亨 qiU^'(0^^ (е"/2АМ )〃,亨分.(29.9)

"По-видимому, это действительно так. Как мы увидим ниже (см. § 31), ожида- ®тся» что массы кварков удовлетворяют соотношениям 余"金“之 2,众§/ 余壮=20, 段=6 МэВ.“'

"2)

Мы рассматриваем случай трех ароматов п, = 3. В случае двух ароматов п =2 матрицы Гепп~Манна Л следует заменить матрицами Паули ст./

Для бесконечно малых значений параметра е запишем эти операторы в виде

U± (@)як 1 - /〉£； % ,(£；)+= L； ‘

так что из (29.9) следуют уравнения

[L^ ,ql±(x)]= -^qr±(x),%± 三■Ц'%.(29」0)

Поскольку операторы U оставляют инвариантным член лагранжиана, описывающий взаимодействие, уравнения (29.10) можно решить для случая свободных полей. Результат имеет вид11

厶：(,) = ：(加2 m(Х)丹包(х)：,，= х。.'(29/1)

В этих операторах можно узнать заряды, соответствующие токам 1 + у,

^^^^(х^Г-^Чг^У •(29-12)

Если рассматриваемая симметрия точная, то д^ /+°ц = 0； тогда легко видеть, что величины La (t) в действительности не зависят от времени. Иначе, нужно определить одновременные преобразования и модифицировать уравнения (29。9) и (29.10), например, так:

[厶Ю%±(х)] =-§М%±(х)，，= х°.(29.13)

Совокупность преобразований

1/±(4，) = ехр{寸 2厶£(，)％}

образует так называемую группу киралъных преобразований, генерируемых токами (29.12). В рассматриваемом случае кварков трех ароматов л ^ 3, мы приходим к группе киральных преобразований S④(3) х S夕⑶.Ее генераторы можно выразить, исходя из набора векторных и аксиальных токов2? К^。(%) и 4力 伞)，введенных в § 10. Важной подгруппой группы S[/^(3) х 5呼面 является генерируемая векторным током подгруппа, представляющая собой просто группу аромата SU"), введенную Гелл-Манном и Нееманом.

° Для проверки решения (29.11) можно воспользоваться коммутационными соотношениями дпя свободных попей (приложение Е" это оправдано тем, что на малых расстояниях КХД переходит в свободную квантовополевую теориюо

2)Не все диагональные элементы принадлежат группе SU尸(3) х SU产⑶，но они принадлежат группе 夕(3) х U尸(3).

Точность соблюдения симметрии связана с независимостью от времени зарядов L +, которые в свою очередь связаны с дивергенциями токов. Кроме диагональных аксиальных токов, эти дивергенции пропорциона льны разностям кварковых масс т^ —勺，для векторных токов и суммам кварковых масс /п^ + т^ для аксиальных токов (см. (10.5)). Таким образом, можно заключить, что группа симметрии SU^(3) достаточно точна до тех пор, пока выполнено неравенство \т^ — т^\2 « Л2, а группа киральной симметрии SU；(3)xS[^~(3) до тех пор, пока выполнено условие /п； « Л2. По-видимому, разность масс имеет тот же порядок величины, что и сами массы, поэтому ожидается, что киральная симметрия выполняется почти с той же степенью точности, что и симметрия по ароматам. Кажется, это действительно так1} „

Симметрии Вигнера - Вейля и Намбу - Голдстоуна

Из того, что киральная симметрия SU(3) и симметрия по ароматам кварков 5[/尸(3) обладают одинаковой степенью точности, не следует, что эти симметрии реализуются одинаково. В действительности , как будет показано, существуют веские теоретические и экспериментальные причины, обусловливающие значительную разницу между ними.

Начнем с введения зарядов, обладающих определенной четностью:

Qa = L^+L\/=£：Л.(ЗОЛ)

Однобременные коммутационные соотношения для них имеют вид [0%)，炉(，)]=2；2/心0。(，)，

[0%)，。幻)]=2i£ 产/()(30.2)

[/(，)，暗)]=2i2 产0。()

Набор операторов Qa образует группу SU尸(3). В пределе 勺■> 0 все генератз рн Q 攻 Q5 не зависят от времени t и коммутируют с лагранжианом: [0",刁=[心，刁=0・(3° 周

Однако различие между ними состоит в том, как эти операторы действуют на вакуумное состояние, В общем случае, если имеется совокупность ген^ато-

'Киральная симметрия и киральная динамика представляют собой предмет специального изучения. Здесь мы касаемся только тех их аспектов, которые имеют отношение к КХД. При этом многие важные применения опускаются. Заинтересованный читатель может обратиться к работам [213, 228] и цитируемой там литературе.

ров £' преобразований симметрии лагранжиана , мы имеем два возможных результата их действия на вакуумное состояние:

〃|0〉= 0(30.4)

и

pI0>^0.(30。5)

Первый случай соответствует реализации симметрии Вигнера — Вейля, а второй —реализации симметрии Намбу — Голдстоуна. Конечно, в общем случае оба эти типа реализации симметрии могут присутствовать одновременно; часть генераторов L , j = 1, ..., г, удовлетворяет равенству (30.4), а остальные генераторы £“,左=г + ], ..., п, удовлетворяют равенству (30.5). Очевидно, что если операторы L1 и L удовлетворяют равенству (30.4), то этому же равенству удовлетворяет и их коммутатор. Следовательно, совокупность преобразований симметрий Вигнера 一 Вейля представляет собой подгруппу.

При рассмотрении данного круга вопросов важны две теоремы . П%вая из них, установленная Коулменом [ 72], гласит, что "инвариантность вакуума означает инвариантность мира", или, более строго, что физические состояния (включая и связанные состояния) инвариантны по отношению к преобразованиям из группы симметрии Вигнера — Вейля. Если предположить, что кираль- ная симметрия принадлежит к симметр<ям Вигнера — Вейля, то отсюда можно заключить, что массы мезонов должны быть вырождены с точностью до поправок порядка т /m^t где т^ — адронные массы. Это справедливо для таких мезонов, как з, р, К*, <р или /', А^ f°; но если рассмотреть дублеты по четности, то вырождения, очевидно, нет. Это обстоятельство убедительно свидетельствует о том, что группа симметрии 5[/尸(3) принадлежит к симметрии Вигнера - Вейля, а киральная группа симметрии S味(3) х SU》(3) содержит генераторы типа Намбу — Голдстоуна, Поэтому мы примем, что генераторы Q ^Qs удовлетворяют соотношениям

2Т)|0〉= 0,2М)|0〉#0.(30.6)

Второй важной теоремой является теорема Голдстоуна [148]. Она утверждает, что для каждого генератора, результат действия которого на вакуумное состояние не равен нулю, должен существовать безмассовый бозон, обладающий теми же квантовыми числами, что и соответствующий ему генератор. Таким образом, малость масс мезонов 叮 и К° мы "объясняем" тем, что в пре-

деле т , т$ m -> 0 мы получили бы zn^f 0 и /п^ ■> 0. Действителыю, несколько ниже будет показано, что °

底》丸 + ^, т^ ^ms+ mu d.底》丸 + ^, т^ ^ms+ mu d.(305)(305)

底》丸 + ^, т^ ^ms+ mu d.

底》丸 + ^, т^ ^ms+ mu d.

(305)

(305)

Мы не будем доказывать здесь этих теорем, а отметим, что соотношения (30.7) дают более количественный критерий выполнения киралыюй симметрии и

2 / 2и с точностью до поправок порядка 加〃加代2 / 2и с точностью до поправок порядка 加〃加代симметрии по ароматам; они сцраведливы с точностью до поправок порядка

2 / 2

и с точностью до поправок порядка 加〃加代

2 / 2

и с точностью до поправок порядка 加〃加代

в слу-в слу-m"W для группы SUf(2) чае группы SUF^).

в слу-

в слу-

Отметим также, что симметрия Намбу — Голдстоуна [ 203, 205, 206] не мо

жет быть реализована в рамках теории возмущений, так как во всех порядках теории возмущений Q；(t) |0> = 0. Это означает, что физический вакуум отличается от вакуума теории возмущений в пределе /п ■> 0. Там, где есть опасность ошибиться, мы будем подчеркивать этот факт, используя для вакуума теории возмущений обозначение |0> , а для физического вакуума обозначение | vac> . Поэтому соотношения (30.6) мы запишем в виде

(30.8)(30.8)2“《)|vac〉= 0,^(/)|уас> # 0.

(30.8)

(30.8)

Нетрудно видеть, как это происходито Пусть а* (р) — оператор рождения чао тицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния

<(о)(л)... <(б)|0> = I"〉

вырождены в пределе mG -> 0„ Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид

|vac> = Е&|»

Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе /п -> 0.

Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков

Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток %2(х)=初(х)¥勺5d(х),

и его дивергенцию

^力方(Х)=，(见+ S/亚(%)¥5义X).

Последняя величина имеет квантовые числа тг+-мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем

3方(х)=極加沦(冷"(3L1)

Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам.

Пионное поле %(%) нормировано следующим образом:

〈о 向(x)mp)〉= K$ei,(31.2а)

(2唄

где |тт(р)> - однопионное состояние с импульсом р. Константа 几 может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад

тг -> цу. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид

*&i = (G"也)口у« - У5)〃 力*(1 - У5)4 +….

Используя его, мы получаем

2行旅_.、

F(77f 冲)^网”>(尸2)八(1 - У5)。(")(?1，0)〈01心(0)阮(尸)〉.

Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство

〈0| 心(О)阮(尸)〉=力n，(31.26)

свернув которое с компонентой импульса р^, получим результат C^f^/^-.“

欣q = <0|эЛл^(0)|^(р)> = ^^^ —-L- ；(31.2в)

3)'

следовательно,

Г(77->/ХР)= ^ .

(1 - */欣)G^m^

Таким образом, константа /^ непосредственно связана со скоростью распада гг-> uv. Экспериментально получено значение f > 93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что,повторив тот же анализ для каонов и используя равенство

J “必(х)=е■厶哪 <Мх),(31.3)

мы получим экспериментальное значение /^ =. ПО МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины /^ В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе т . § - 0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения f 攻 /к в реальном мире оказываются такими близкими, является веским аргументом в пользу киральной симметрии SU尸(3).

Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)” , что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные кванте®ые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопион- ным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.

Следующий шаг состоит в рассмотрении двухточечных функций (индекс ud в обозначении 4以.мы опускаем)

F”q)=ijd\e^\TA\x)A^)+〉叫，

и их сверток с компонентами импульса % и % q/F*q)= - %/ 心 еМ&〈〃“(х)〃(0)+〉з

=-%/"4хе^*6(х°)〈［Х°(х),"'(0)+»*с © ~q^d\e^\T^A(x)A-(Q)+}^,-

=2，“%内冷"1))〈［4好24(0门〉3

+ /р4хе,*л<ГЭЛ(х)ЭЛ(0)+\ас.

Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем 仇％尸"(夕)=2(丸 4- md)^d4xe^' v6(%)<w(%)u(%) 4- 2(x"(x)〉vac

+ 2力Y/d%e吋 S，(x饱g >vat,

или в пределе ^ -> 0

2(丸 + wrf)<u(0)u(0) 4- Z(0)d(0)〉vac

=一2,乃寸/"“xe'…〈T%(x)弘(0) + 〉vacl у 0 ■

“ Действительно, в пределе m2To правая часть равенства (31.1) обращается в нуль.71

В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде

行".Х〈歿(味(。)+〉小。={ h?+打"督l

口 = ,/小，…〈м"鹿(0)+\「

Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс g к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределе1}皿：-° первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат'

(ти + md)(uu + ^>vac = 一片片{1 + O(Y)}・(31.4)

Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее < gg> тас не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства f^= 0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между мголыми' и перенормированными массами и операторамиu Этого и не нужно делать, так как известно, что масса ти составной оператор qq обладают противоположным иеренормировочным поведением, и справедливо равенство 皿长(利)长=ти^^и '

Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами 0恤3 или O(zn^.), получим

(ти + м,)〈血 + Ss〉vac = 一窟哪 + ,小

_(JI

(md +吗)〈或+出儿。=一窟用^。•

Если предположить, что вакуумное среднее < gg〉одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить

m、+用"〜及此+用4 ■-丸〜龙，用设一用2 +

团 + 朗" 月片' rnd + mu-,.

Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы ц- и К-мезонов. Учитывая их,

юлуиаем。

(31.6)(31.6)…±4,^=2.0±0.3

(31.6)

(31.6)

£сли теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков т§ — т. =» 100 — 200 МэВ, п^ -т =4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:

麻“(9~^р)^6,府“2~^р)^ 10，m^Q—m^^^,(31.7)

где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.

Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.

Ограничения на массы легких кварков и оценки для них

В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [ 254] и развит в работе [ 34]。Отправной точкой метода является функция %@)=»的+吗打必仪*〈77沁)项0)+〉…(32.1)

где ток J имеет вид

“=勿力% •

Во всех порядках теорий возмущений функция

= ^%(办

в пределе Q2Tg обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:

2:力空道2(32.2)

Легую часть этого равенства при больших значениях Q* можно выделить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность：

недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ 5/ 5+, вклад операторов 彳д,=九 Gq pv^v также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы а§ G’ 攻 mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминваркантными величинами, получаем

з ［河(02)+ 历(02)『з ［河(02)+ 历(02)『частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора т<дд> можно оценить, используя формулы (3L4) и (31。5); по-видимому, эти вклады имеют величину 0(計/Q?) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаемчастей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора т<дд> можно оценить, используя формулы (3L4) и (31。5); по-видимому, эти вклады имеют величину 0(計/Q?) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем与（。2）=爲，与（。2）=爲，［雨(02) + 丐(02)『［雨(02) + 丐(02)『ООXX,.11 МО)1 + У,.11 МО)1 + У7777+ 粉'С〉.+ 粉'С〉.(32。3)(32。3)

з ［河(02)+ 历(02)『

з ［河(02)+ 历(02)『

частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора т<дд> можно оценить, используя формулы (3L4) и (31。5); по-видимому, эти вклады имеют величину 0(計/Q?) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем

частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора т<дд> можно оценить, используя формулы (3L4) и (31。5); по-видимому, эти вклады имеют величину 0(計/Q?) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем

与（。2）=爲，

与（。2）=爲，

［雨(02) + 丐(02)『

［雨(02) + 丐(02)『

О

О

X

X

,.11 МО)

1 + У

,.11 МО)

1 + У

77

77

+ 粉'С〉.

+ 粉'С〉.

(32。3)

(32。3)

(32.4)(32.4)Обратимся теперь к правой части равенства (32.2) ° Вклад пионного (для ij =ud) или каонного (для ij = из, sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим

(32.4)

(32.4)

Здесь важно, что Im f 5(t)力 0; отсюда немедленно следует неравенство, свя-Здесь важно, что Im f 5(t)力 0; отсюда немедленно следует неравенство, свя-

Здесь важно, что Im f 5(t)力 0; отсюда немедленно следует неравенство, свя-

Здесь важно, что Im f 5(t)力 0; отсюда немедленно следует неравенство, свя-

зывающее величины 加

［风（02）+商（02）『）

+ т^ И т , / , < а^ 6> ： 32"^

ЗЮ)з

х

I +争吆。2）

77

+ 務 ％〈G2〉］ .(32.5)

9To ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев /V-ю производную от величины 尸(О?) и оптимизируя ее по переменным /V и ^2. Детальное изложение можно найти в работе [ 34]. В результате получаем

病+晶》库•瞪普71"±6},(32.6)

где 6 - поправка^*25%. Если использовать зйачение вакуумного среднего < a G‘> , полученное из спектроскопии чармония [ 229, 230] или в вычислениях на решетке [ 96], то получим такие численные оценки:

愈+ 也》(23±8) МзВ, <ajG2><=a0.044t^ ГэВ4.(32.7)

Эта ограничение не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего <а С2> . Если добавить и их, то получим ограничение снизу

饱 + 也》13 МэВ.(32Б)

Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается большим массам кварков.

Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im 屮 ± (t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 28 4*]

耽 + 也^(20 ±6) МэВ.(32.9)

Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматри- вать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение m + % ^ н 27 ±8 МэВ при параметре обрезания Л = 130 + 50 МэВ. Как было у^зано вн- ше> мы получаем массы кварков, согласующиеся с опенками (31.7), но смешен- нне в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство

п。Крайней мере в некотором пределе, является точным.

§ 33. Распад тг°-> уу； аксиальная аномалия

Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада тг° - уу, к детальному рассмотрению которого мы теперь.переходим.

Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде

〈Y(自，入 1)，Y (左2,入 2)|S1d(g)〉

=^1《(&,%Х*(左 2，%)/d^d^ze^-^-^-^

X (书 + Y)〈TJ2(xb：m(X2)<M(Z)〉。，(33.1)

где принято а2〃(х)= &(х),

Л - поле фотонов^ . Выделяя дельта-функцию 5也、+ 左^ -g), получаем ё2(g2 -底)

F(d f У (乂 , %), Y (质，入2))=寺"…/ < (自，%)<*(左2，入2)f"(/,左2)，

(33.2a) где вакуумное среднее

F^^k^，左2)=/d'xd夕е'"・"+尸&)〈""(x)J”U)%o(0)〉o，q = kx + k2.

(33.26)

Всюду в дальнейшем при токе 7 подразумевается индекс ет, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля тг°-мезонов:

а“4$(х) = 2»帥"°(х),©3 3

4$(х) = @(х)у，5“(х) - 2(х)у，5“(х),

и записать с его помощью равенства

мы оставляем читателю в качестве упражнения доказатепьство этого равенства, а также равенства

^^JA^(x})A\x^z} ^ T^ix^A^x^z),

означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию 6伉;-z ) в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.

"出，左 2)=(自*2)，(33.4)

7々左1，左 2)= ^/d’xd夕 е«х・&+广@〈7у“(х)_/»(О)а4з(О)〉о.

До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформужро- ванной в таком виде: ；предполагается, что в пределе 92 fo амплитуду F(iTf уу) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также % % к^ -» 0. Тогда можно написать

Т^(к{,左2)= е…％«Ал® +。(炉)•(33.5)

Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор Т"“ во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).

Первый шаг состоит в рассмотрении величины

RM(e，左 2)= у d^xdye^-^y^^TJ^^xyjyyyA ^(0)>0.(33.6)

Исходя только из требования лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение

R网(占，左2)= W咏占网+ *入%»2 +0(炉)，(33.7)

где члены 0(F) имеют вид^а^к.^ 勺卩勺入%斤 + три перестановки, и для случая m / 0 функция Ф является регулярной в пределе ^ -» 0. Сохранение электромагнитного тока <9/ = 0 приводит к равенствам

左川产入=左2m产入=0；(33，8)

первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения

ф2 = о(к\(33.9а)

а второе — соотношения

% =。(左2).(33,96)

Но из формул (33。4) и (33.6) следует равенство

те Ф = Ф2 - Ф(,(33.10)

и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [ 238, 25 5]

Ф= О(к2).(33.11)

Импульс 左 имеет величину порядка、，откуда следует оценка Ф т^„ Но это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать

Н"$(х) = 2j {小风х)¥5“(#) - mdd(x)y5d(х)}.(33.12)

Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи а^ ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе 仆，% f 0 при 5ц = 1, 5rf = — 1 имеет вид

Т户(乂也)= 3X2 X 2 8fQ/mf

* / d4Pтr¥50+" + 加/)Y"0+m/)y"年一%2 + %)

(2")4 [(尸 + e)2 -明(尸一吋)[(尸-左2)2-/]

=鳥产%./ {3( Q2 _ @)} + 0 出)

=^le^kiak + 0(k\

Множитель 2 в первом выражении является следствием учета нкроссп*диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем ф=и，(33.13)

что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].

В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей i/g = mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]

а“4*х) = 21^тий(х)у5и(х) - mdd(x)ysd(x)^

+ 3(迷一宏)//住)加(X),(33.14)

где дуальный тензор F определяется формулой

Рис, 25. Диаграммы с аномалиями (а, 6) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).

где Л — фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей f, взаимо- действующих с векторными полями с константой взаимодействия 万『，справе ливо выражение

(33.15)(33.15).- TFh2 *

(33.15)

(33.15)

am尸 2%w+ 事““"；

(33.16)(33.16)здесь //"V — тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада тт° -» уу. Из (33.13) в пределе ЧСАТ 皿 1r~0 вычислим амплитуду распада

(33.16)

(33.16)

F(TT° - 2У) /=—1

ттxj厶 pmf

и ширину распада

Г(宀 打)= ("出号 ^7,25财 МэВ.

которую следует сравнить с экспериментально полученным значением 「екр(仃°- YY)= 795 X 10一6 мзв .

В действительности можно определить и знак амплитуды распада (используя метод Примакова), который согласуется с теоретическими предсказаниями. Важно отметить, что если бы не было цветовых степеней свободы, то резуль、 тат был бы в (1/3)2 раза меньше и отличался бы от экспериментального зна- чения на целый порядок величины.

ЧСАТЧСАТМожно поставить вопрос о том, насколько достоверны эти вычисления. В коние концов, они выполнены в нулевом порядке теории возмущений по константе связи а^ . На самом деле этот расчет верен во всех порядках теории возмущений КХД ° ； единственное приближение состоит в использовании гипотезы

ЧСАТ

ЧСАТ

m^ 0. Чтобы убедиться в этом, приведем альтернативный метод получе-

ния основного результата (33.13). Для этого вернемся к выражению (36.6). В нулевом порядке теории возмущений по константе связи а§ имеем

R = У8g2( -^ Tr/Y5(/ +如 + 吗)Y"a+ 加/)丿年一% + 吗)

(2不((卩+匕)2 一呼)(尸一吋)((尸-左£ 一呼)

+ вклад п кро сс**'диаграммы

° В действительности этот расчет верен во всех порядках теории возмущений для любого взаимодействия, подобного векторному. Доказательство этого факта в основном содержится в работе [9] (см. также [25, 80, 268]).

(рис. 25, б) В общем случае можно рассматривать произвольный аксиальный треугольник, которому соответствует выражение

* J 3)。[(尸 +发)2-"](尸-吟)[(尸-)-府]■■

Нам нужно вычислить величину ”R&" . Используя равенство

(il +%2)Y5 =一年一%2- m/)Y5 + 年+%1 - W,.)y5 -(W, + m/)Y5，

приходим к результату

外尺#" = —2(% + m,)

丿3у Г ((尸+匕了 -硝(尸-WX(尸-后『-'

(33.18а)

喷=2产 學 Tна-%2 -g)Y5 - 0+% - ")*}

X!у"」一v-!.(33.186)

/ +自一办 /一乃 /一自-m/

Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредст* венном использовании уравнений движения а屈 у，§力 =i(m. + 皿()豆 y5^^ ； второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для у-матриц коммутационные соотношения 1у" , у§} = 0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде

吩=-2户。/{Try57T六У"

(33.18b)(33.18b)+ Тгху"—^― у，—

(33.18b)

(33.18b)

Отсюда заключаем, что тензор а"" равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора 左】，второй — от вектора 左2), которой обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор а фактически не зависит от масс, так как производная (а/Нт)。"" сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать。；"(三 а цу, где тензор а"" получается из исходного тензора, если

в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор а "V должен иметь вид'

а^ = at 产°"左用左2力，а = constant,

(33.19a)(33.19a)^4 м 弘10旅2川^4 м 弘10旅2川(33.196)(33.196)так что величину а можно получи!ь двойным дифференииров^ием тензора

(33.19a)

(33.19a)

^4 м 弘10旅2川

^4 м 弘10旅2川

(33.196)

(33.196)

8(D 二 1)(4- D)8(D 二 1)(4- D)D(D + 2)16M 4-DD(D + 2)16M 4-D•TryYy 屮•TryYy 屮

8(D 二 1)(4- D)

8(D 二 1)(4- D)

D(D + 2)16M 4-D

D(D + 2)16M 4-D

•TryYy 屮

•TryYy 屮

Из зтих растящей(济 и из выражения (33.18в) следует равенство а 三 0, противоречащее теореме Велтмана — Сатерленда.

Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины а фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например Р - р + &左2 , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра ^: а ^ —§/(2тт2). Отсюда видно, что коммутационные соотношения 1у" , у } = 0” приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антик(жмута- гивности матриц 厶 и у$, то получим

Выполняя симметричное интегрирование (приложение В) и пользуясь только правилами вычислений, приведенными в приложении А для пространства размерности D =/ 4, получим однозначный результат

В этом заключается одна из особенностей аномалии: значение конечного фейн- м ^10 веко го интеграла зависит от способа регуляризации. К счастью, этой проблемы можно избежать, если использовать теорему Велтмана — Сатерленда, из

° Такие коммутационные соотношения внутренне противоречивы. Например, исполь

зуя формулы, приведенные в приложении А дпя пространства размерности 0*4, получим Тг у5уа /„УаУ” =(° 一 °)П У5rMУ” JУ” ,в то время как, предложив коммутативность, можем получить выражения Тг у у』у"fy У” 二—Тг у „Уу y'f =

=(D - 2) Тг у у"^^^, которые отличаются от предыдущих членами 0(4 — D). Но эти проблемы возникают только в том случае, еспи имеется по меньшей мере четыре у-матрицы.

которой можно заключить, что во всяком случае существует единственное значение величины а"，совместимое с калибровочной инвариантностью, а именно 喷=а""=-步е""*%«修■(3320)

Мы проверили, что выбранная нами регуляризация приводит именно к этому значению; проверку того, что при такой регуляризации сохраняется свойство калибровочной инвариантности, оставляем читателю в качестве простого упражнения.

Прежде чем продолжать, необходимо сказать несколько слов о теореме Велтмана - Сатерленда для безмассовых кварков. В этом случае первый член в правой части (33.18а) отсутствует; кажется, что теперь нельзя сохранить прежний результат для тензора J' (выражение (33*20)), так как это приводит к неравенству

分RW= 一方‘…%1/20#°'

противоречащему выводу из теоремы Велтмана - Сатерленда

力衣入2= 0. Но это не так： соотношение q入心戸二 J" и значение тензора а"" по-прежнему справедливы. Причина состоит в том, что в случае 加=0 функции Ф. в (33.7) имеют сингулярности вида 1/仁仆.Следовательно, теорема Велтмана - Сатерленда в этом случае неприменима. Это еще одна особенность треугольной аномалии: lim 一 ° ”/?"“ = 0, но если с самого начала предположить частицы безмассовыми, т.е. m = 0, то

外哨=宀0-

Вернемся к нашему обсуждению, в частности рассмотрим случай т^ 0. Настоящий метод демонстрирует, как можно доказать, что данный результат не перенормируется. Теорема Велтмана - Сатерленда представляет собой точное утверждение; как уже было показано, ее достаточно для того, чтобы доказать ,что выражение (33.20) при учете поправок высших порядков не изменяется. Рассмотрим теперь типичный вклад высшего порядка, которому соответствует диаграмма рис. 25, 6. Его можно записать в виде интегралов по им-

В действительности ситуация еще спожнее; по-видимому, значения поправок высших порядков к тензору а"" меняются при переходе от одной регупяризационной процедуры к Другой, даже если обе они сохраняют калибровочную инвариантность. Обсуждение этого вопроса и дальнейшие ссылки заинтересованный цитатепь может найти в работе: /ones D・ /?., Leveille /. Р. , The Тwo Loop Axial Anomaly in “ = 1 Supersymmet- ric Yang - Mills Theory. Univ, of Michigan preprint UM. He. 81-67, 1981 (не опубликовано).

пульсам кварка и глюона. Но в этом случае вместо треугольника в диаграмме фигурирует семиугольник (рис. 25, %), для которого интеграл по кварковым переменным сходится, и, следовательно, можно непо ср едет венно перейти к пределу D -» 4; при этом интеграл тождественно обращается в нуль. Кроме того, приведенные выше доводы показывают, что аномалия связана фактически . с поведением фигурирующих в теории величин в ультрафиолетовом пределе, поэтому ожидается, что точность выражения (33.13) не будет нарушена непертурбативными эффектами.

Мы не рассматриваем здесь детального доказательства этого утверждения, а отсылаем читателя к ли1,ературе1). Но мы приведем альтернативный вывод [268], из которого виден ультрафиолетовый характер треугольной аномалии. Аксиальный ток представляет собой произведение двух полевых функций, взятых в одной и той же пространственно-временной точке; поэтому его можно определить в виде

4黄X)= 3吧"氟X，9,

"(х，9三亨卜+扑%g卜一卦MN1)

Однако в случае g * 0 эти выражения не обладают свойством калибровочной инвариантности. Для восстановления калибровочной инвариантности необходимо заменить выражения (33,21) (см. приложение И) выражением

/気х,£)三弘工 + С/2)у ^5е^у^(х — g/2).

Дивергенция имеет вид

% 纯(x，S = hm{2im^x)y5q(x) + igA^x,^F^x +。(&?)}•

Поскольку функция 4；(%, §) в пределе § -» 0 расходится как 1/g, второй 4лен в правой части в этом пределе не равен нулю. Точные вычисления [80, 268] показывают, что, как и ожидалось, окончательный результат совпадает с(33.14).

Обсуждение вопроса о токах с аномалиями для любого типа взаимодействий можно найти в работе [ 263].

D Подробное обсуждение этого вопроса см. в обзорах [8, 1о71. Треугольная диаграмма является единственной диаграммой, обладающей простыми аномалиями; но она приводит к вторичн ым аномали ям в квадратн ых и пятиугольн ых графиках, Т риак- сиальный треугольный график содержит аномалиюt тесно связанную с аномалией аксиально-векторного графика.

Аномалиями обладают не только аксиальные токи. След тензора энергии- импульса ❸:также представляет собой аномалию, обусловленную тем, что в процессе перенормировки нарушается масштабная инвариантность . Этот круг вопросов подробно обсуждается в работе [ 60], а в контексте КХД — в работе [74]. Но эта аномалия довольно безобидна; действительно, ее анализ тесно связан с ренормализационной группой.

Распады мезонов: эффекты, обусповпенные массами кварков

Легкие кварки и радиационные распады

Рассмотрим радиационные распады мезонов*

疗+ — / + К + — / + 々у, Z = е, д,

которые тесно связаны с процессом тт° -* уу. Мы рассмотрим первый из этих распадов; распад К4--мезона может быть исследован тем же методом с очевидными изменениями (замена s - кварка на d-кварк и т.д.).

Этот распад происходит в два этапа: на первом из них лептонный ток аксиален, а на втором он носит векторный характер. Последний связан с вакуумным средним (обозначение кинематических переменных см. на рис. 26): 碑(p/)=J>x 办 е«・5&)〈”"(хМ(_у)а/(0)〉о，(34.1)

” Подробное описание общих свойств этих распадов можно найти в книге [198 ].

где； как и раньше, / — электромагнитный ток, а 4 и Р определяются формулами

片=uy^d, Ах = dy\5u,

Использование уравнений движения приводит к равенствам

8" p"=(小"_")就(34.2)

a 入n"=i{^u + s/)2Y5".(34.3)

Дивергенция электромагнитного тока, конечно, равна нулю. Как и при изучении распада тт° - уу, рассмотрим вакуумное среднее

R^{p, к) = / J d\ dye^-^У Л) < Т^(ху(у)А х(0)>0,(34.4)

которое представим в виде

R^X(P，k) ="抄抖 + е^ЧрФ2 +。(尸 3,左3)(34.5)

Свертка этого выражения с компонентой импульса 右旷 приводит к равенству ①]=0, но если массы кварков 叱 и % различны, то требовать выполнения равенства р/“" = 0 нельзя. Вместо этого имеют место равенства

p2 =…及%, q、R2 =产*/。%.

Таким образом, мы приходим к соотношению

Pgp = q、R 吟(34.6)

Учитывая формулу (34.2), для левой и правой частей получаем р»М= ig- m“)jd4xd4ye,(x'/,+^/l\TS(x)Ja(y)Afi(O))o,(34.7)

qxRa^= i(md+ m„)j'd4xd4ye,(x-/,+^/l>(rP(Oy^(y)Va(x))o+ aafi, (34.8) где использованы обозначения

S(x)三 M(x)J(x), P(x)三 J(x)y5u(x), а тензор a” ° представляет собой аномалию. Если ввести тензор S° ° по формуле 5°° =卩丿"°卩，то из уравнений (34.6) и (34.8) получим 丁出 + S^ = а0”

Как показано в § 33, тензор 产 не зависит от масс кварков, и поэтому окончательно получаем

Т* + S。。=詁 ip"。•(34.9)

Если бы масса и-кварка m была равна массе d-кварка 吗,то тензор № был бы равен нулю и мы получили бы

7”t*U*2A，(34」。)

т.е. векторная часть распада f - e^vy с точностью до известных фактфов была бы равна амплитуде распада тт° -> уу (см., например, [8 ]). Поскольку массы и- и d-кварков не равны (тц 士加^) в соотношение (34.10) должны быть внесены поправки. В общем случае вычислить их не удается, но есть одна ситуация, для которой тоуни員 результат может быть доказан во всех порядках тефии возмущений квантовой хромодинамикип . Если ” = 0, то преобразования 〃->y5"， d->d

являются преобразованиями симметрии для лагранжиана КХД. При этих преобразованиях

S+fP,d /7 У,

и, таким образом, справедливо равенство Т^ = S°° . Поэтому мы модифици- руем выражение (34.10) так, чтобы оно имело вид

邙=詰尸飞%,(34.11)

те введем множитель 1/2 в амплитуду и коэффициент 1/4 в ширину распада. Хотя имеются некоторые экспериментальные указания на существование этого эффекта, данный вопрос пока недостаточно изучен, и мы о нем говорить больше не будем.

Тяжелые кварки и механизм ГИМ

В § 33 были рассмотрены главным образом легкие кварки, т. е. кварки, массы которых малы по сравнению с Л. Теперь же мы рассмотрим тяжелые kWkm, массы которых удовлетворяют условию m » Л. К их числу принадде- Жаг кварки с и 6 .

См. работу [з8]. В отпйчие от случая аномалии неизвестно, впияют пи на этот

результат непертурбативные поправки.

В отличие от случая легких кварков здесь едва ли можно ожидать выполнения предположения о гладкости функций, несколько вольно называемого гипотезой ЧСАТ. Таким образом, необходимо обратиться к какому-то дутому источнику информации о массах тяжелых кварков.

Первое замечание состоит в том, чтсккажется маловероятным, чтобы прибли зит ель ное равенство вакуумных средних

〈"我〉弋〈近〉弋〈不5〉

могло быть распространено на величины < сс > и < 6 6 > . Однако мы ожидаем выполнения неравенств

〈%62〉1/4,1〈以外〉1"3《叫，h = C,b.

Если принять эти предположения, то очевидно, что большую часть массы тяжелого адрона можно приписать массе конституентного кварка, и, таким образом, а 人* WT wc 1»6 ГэВ, “ Q а 5 ГэВ.

До сих пор наиболее точные опенки масс тяжелых кварков получаются из правил сумм, подобных рассмотренным в § 32 и 36. Подробное изложение можно найти в работе [209] и цитируемой там литературе. Мы же обратимся к другому важному эффекту, связанному с массами кварков, — механизму Глэшоу - Илиопулоса — Майани (ГИМ) [146]. В самом деле, масса с-кварка m =1,6 ГэВ была предсказана еще до экспериментального обнаружения //Y-мезонав работе [146] и в статье [133], в коттой было дано дальнейшее усов^)шенствование метода. Подробное рассмотрение различных случаев можно найти в работе [ГЗЗ ] и в обзоре [132]. Здесь мы рассмотрим типичный пример, а именно распад К0 - ц+ц-. В низшем порядке теории возмущений по константе слабого взаимодействия и в нулевом порядке по константе ос$ этот распад описывается диаграммой рис. 27. Эту диаграмму мы вычислим точно. Соответствующая амплитуда процесса имеет влд"

卜+〃 +耳冲与X)k2[kk - P\? - MW^(k - P\ +?1)2-明[(左-?2)2- M同

“ Для первой скобки Должны быть взяты матричные элементы по спинорам, отвечающим пептонам, а для второй — по спинорам, соответствующим кваркам.

§* ~Рг~Ра

+ . кросс 力 диаграмма.

Рис. 27- Распад К0 - ц+ц*и характерная диаграмма, дающая вклад в этот процесс.

% 宁^ 宁）卜宁（^-z +〃 +耳厅号）左 2［（左 一加）2 - М岗［（左_川 +p1）2一 ^f^J^-Pl/- M^

g 吟%" a 左［（左_Му _ M 岗［（& _向 +p1）2 一明［（左_p分2 - M 岗

X ｛卜/Л%^~^）卜，伊一川 +/2）Y"^~^ + （卩0力］）

+ 0（W/m6）.（34.12）

:десь использованы обозначения 6“ = cos % sin %, 6。= -cos % sin %, где % — 户。』Кабиббо- Хотя интеграл сходится, мы записали его в пространстве произвольной размерности D по причинам, которые в дальнейшем станут очевидными. Должно быть ясно, что при тс = тц выражение （34.12） равно нулю; следовательно, ширина распада К° -以+禽一 должна быть пропорциональна разности 加：一加；.Мы будем использовать приближение тц « 0; тогда выраже-

х〃％х〃％ние (34.12) можно переписать в виде “ =—Sw (cos ^cs^n ^с )

х〃％

х〃％

1［（左一mу - m同［（左 _ m + a『 一延］（左一方 + Л）2

.(34.13).(34.13)X (y"Ry，(1 - x)/2)[y'(%一/1 +/2)Y"(1 一七)/2 + ("Q”)]

.(34.13)

.(34.13)

(к-р'^-м^

Этот интеграл содержит：импульс k в степени 10 в знаметателе и в степей 2 в числителе; следовательно, можно работать в пределе М j - «> к получить особенность не большую, чем логарифмическая. На самом деле эта особенность сокращается вкладом других диаграмм (главным образом распадами через у-кванты и Z-бозоны в промежуточном состоянии). Пренебрегая членами, подавленными в 加^/Mj раз по сравнению с ведущими членами, получаем для амплитуды распада выражение

勿=_g〃cos%sin%)彖• I

V (У 1 - Y5))(丿匕Y"(1 - Y5)+ ("Q”))

=~g^(cos6csia6c)-^ [rMYaY,,(l - Y5)][y'y，"(1 - 丫5)

+ уНР-丫5)]合(М-log军-1/2 1077 \”0

Как объяснялось выше, множитель /V — log(m2 /vj) -% при учете остальных диаграмм заменяется коэффициентом —2. (благодаря такому сокращению этот распад фактически происходит по схеме К - 2丫 -『厂•)В окончательный результат входят только члены, не зависящие от кинематических племенных; он оказывается чувствительным к величине отношения 加;/М； . Мы пренебрегаем здесь сильными взаимодеЙствяим; при более детальном анализе их следует учитывать. 3аинтересованного читателя мы отсылаем к цитированной выше литературе.

§ 35- Пертурбативные эффекты и эффекты, обусловленные спонтенным нарушением кирельной симметрии, в кверковом и глюонном пролег аторах

В гл. II вычислены пертурбативные (теоретиковозмущенч еские) вклады в глюонный и кварковый пропагаторы. Они выражались через массы частиц,

фигурирующие в лагранжиане КХД, которые обычно называют пертурбативными, механическими или (для кварков) "токовыми" массамио Однако, как известно, заметные успехи были достигнуты в так называемых конституентных (составных) моделях, в которых "конституентные** массы кварков 〃，d к s полагают равными*400 МэВ, а массу глюона - равной *800 МэВо В этом и следующих параграфах будет показано, что непертурбативные вклады в кварковый S и глюонный D пропагаторы имитируют массы частищ Будет показано, что, хотя эти массы нельзя отождествлять с конституентными массами, тем не менее данный эффект фактически ответствен за массы адронов, подобных р-мезонуо

Начнем с рассмотрения кваркового пропагатора

S?(尸)=/7%К〈ту(х)秋 0)〉з(35.1)

который мы вычислим при больших значениях импульса р° Запишем для него операторное разложение^ претебрегая членами, которые при усреднении по вакуумным состояниям обращаются в нулье Такое разложение имеет вид 硏 х)秋 0) = % ｛ С°(х)-1-&(х)孑：亍(0)鼠(Х)： +•••｝；(35.2)

в § 7 и 9 рассмотрен только коэффициент С°(%). В нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия а получаем приближенное равенство (аир- дираковские индексы)

:女(О)%(х)：*^о ； ｛%,-嘗偽｝河(0)д(0): •

Если через S^ и SNp обозначить соответственно пертурбативный и непертурбативный вклады в кварковый пропагатор, то получим (рисо 28)

S=S。+S"，S仍⑺=-(2炉空胃"気"热卜⑺ ▼3.

(35.3)

Последнее выражение при р # 0 тождественно обращается в нуль. Однако будет показано, что члены типа (35.3) играют важную роль при изучении масс наблюдаемых частиц (р, ,(р, ...). Поправки второго порядка и непертурбативной части кваркового пропагатора S^^ проще всего вычислить, записав их в виде

S^iJ(P)= 2 万｛ e\dDkiy^kSkk\p + 尢)北由％

+…

+…

Рис. 28. Глюонный и кварковый пропагаторы; а — вклад, описываемый теорией возмущений; 6— ведущие непертурбативные поправки; в — ведущие связанные непертурбативные поправки.

и заменив в правой части S”" на величину S^J *" . При этом получаем $np = S(2 + S£? +，…，

W⑺一范凡^^ {I - 勺(Г)于I

(35.4)

Отметим, что этот результат зависит от используемой калибровки, поэтому выражение

m^^(4 -

нельзя интерпретировать как физическую массу частииы.

Аналогичные вычисления можно выполнить и для глюонного пропагатора (рис, 28):

。乩(左)=/ Gx е *• <ТВ式 х)В： (0)>vac>

电(х)绰(0)=屬{ СГ(х)-1+ С《х)? : G*(0)@p(0):+ …}, (35.5)

и получить результат

О = Dp + Dnp，

。繩宀3)/碗二I)爲竺)吁2)

(35.6)(35.6)х {(Р + \)g^^-2^v}8{k).

(35.6)

(35.6)

Следует отметить, что непертурбативный вклад в глюонный пропагатор 0^ оказывается поперечным. Этот член дает также вклад в поправку второго порядка S^) к кварковому пропагатору S; эта добавка к выражению (35.4) имеет ВИД

S^NP(P)=S^NP(P)=2С戶2С戶"〈%62〉迎j"〈%62〉迎j(35.7)(35.7)

S^NP(P)=

S^NP(P)=

2С戶

2С戶

"〈%62〉迎j

"〈%62〉迎j

(35.7)

(35.7)

Можно оценить также вклады вакуумных средних <qq> t <G2> в глюонный пропагатор D. Эти вклады приводят к появлению добавки к массе глюонов, которая, к сожалению, зависит от калибровки。В действительности, как будет показано в § 36, массы физических частиц не связаны с членом типа М^ или аналогичным членом для глюонов; такие члены дают вклады только в следующем порядке теории возмущений. Основной вклад дают выражения (35.3) и (35.6). Подробное обсуждение этого вопроса в связи с вакуумным средним < qq> можно найти в работе [216].

§ 33』Массы адроноа

Вместо обсуждения общего метода исследования проблемы масс адронов" мы рассмотрим один типичный пример, а именно вычисление массы (р-мезона. Рассмотрим с этой пелью двухточечную функцию

“(g)=,./心/"〈""")旷(0)〉睜

三(-g吋+ q"q*《q2),(36.1)

“ Метод, которому мы следуем, был предложен в работах Шифмана, Вайнштейна и Захарова [229, 230]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах тех же авторов, а также в статьях [223] и цитируемой там литературе. Недавно этот метод был распространен на барионы (см. [l7l] и Chung J, et al.t Heidelberg, preprint, 1981). Дальнейшие сведения о методе правил сумм, подобном описываемому здесь, см. в превосходном обзоре [209 ].

где 中"—оператор с квантовыми числами, аналогичными квантовым числам (р-мезона; он имеет вид

Ф*(х)= С#(х) 了％(х).

Константу С^ можно получить из анализа процесса 中■♦ е+е~ но мы здесь не будем обсуждать этот вопрос. Функция П(д?) ведет себя как log 厂；следовательно, любая ее производная

при /V》1 удовлетворяет дисперсионным соотношениям без какого-либо дополнительного вычитания. При значениях | q2 | вблизи М можно аппроксимировать функцию П(")(д2) единственным резонансом —(р-мезоном. Таким образом, можно написать приближенное выражение

Взяв отношение двух последовательных производных, находим

2口片(g2)

"")=II严 1)(g2)r L (%-0”(36.2)

Если вычислить производную П(*)в рамках квантовой хромодинамики и использовать пертурбативные значения масс кварков, то получим 暇⑺^含(n 7)!卜+賢+。［%(-.(36.3)

(一0)I 夕丿

Но полученное выше значение 久 не удовлетворяет соотношению (36.2) при физическом значении массы(р-мезона. Это показывает, что существенную роль играют непертурбативные вклады. Проще всего их учесть, использовав вычисления непертурбативных частей кваркового S и глюонного D пропагаторов, выполненные в § 35. В низшем порядке теории возмущений по константе связи

а$ необходимо учесть лишь выражения (35.3) и (35.6) . Тогда формула (3 6.3) принимает следующий вид:

ПФ (夕)77"7 (% - В! 7W * Ь +，…；4WX^>vac

12"(-0 2「(-И0 4

3ttN(N+1)

^〈%G2〉vac+。(%)+0(g-6)1.(36.4)

Мы видим, что в пределе 一 q2/N -♦ а существенный (фактически главный) вклад в массу (р-мезона возникает от вакуумного среднего < а§ G?> . Таким образом, оказывается возможным в некотором смысле воспроизвести массы р, со,中，…, используя "конституентные" массы, имеющие величину порядка <а^G 2>^ Мы не будем более углубляться в этот вопрос, а сделаем лишь два замечания. Во- пефвых, использование Иконституентныхп масс в лучшем случае является грубым приближением. Это обусловлено тем, что вклад вакуумного среднего <а G?> зависит от спина операторов (в нашем примере от спина оператора (рц), с которыми оно связано; в общем случае этот вклад оказывается различным для разных частиц типа р- и ^-мезонов. Во-вторых, в настоящее время выполнены вычисления более чем 50 адронных масс и параметров. Достигнутое согласие с экспериментом кажется впечатляющим, если вспомнить, что для этого требуется весьма ограниченное число параметров — массы кварков (u, d, s , с и 6), пфаметр Л и значения вакуумных средних < а^ G2 > и < qq> . При этом последние три параметра могут быть взяты из других источников.

В заключение этого параграф а приведем пример конкретного вычисления ненертурбативного вклада, а именно вклада в поляризационный оператор %"(д)，обусловленного кварковым конденсатом < s s > . Из формулы (36.1) имеем

U贲(q)=(订心内十方⑴2⑴型力为⑼〉*(36.5)

Таким образом,

H£(g) = -iC^dDk Tr#S,(k)YS(" + 办(36.6)

Рассмотрев только пертурбативную часть кваркового пропагатора S§・=5口 мы получили бы часть поляризационного оператора

口汽q尸罕 •击 L g吋+ q"q")

X (M - log夕2 + конечные члены +。仇;)).(36.7)

Непертурбативную часть поляризационного оператора мы получим, использовав в формуле (36.6) полное выражение для кваркового пропагатора S§ = Sp+ SNp . Ведущим является смешанный член

П/ = ТС：/dDk Tr {/Sw, (к)у^Р(к + д)

+ YS，(⑺0,(" + д)},(36.8)

где S^p описывается (в ведущем порядке) выражетием (35.3), a S~k)= =ii^-ms ). Выполняя необходимые вычисления, получаем

-2C?Ws<55>vac 口盯=-^^(一g干+叫)

как уже было показано в формуле (36.4).

. Проблема U(1); глюонная аномалия

В § 33 в связи с распадом тг0 -♦ уу мы рассмотрели треугольную ансмалию. Там отмечалось, что эта аномалия не ограничивается фотонами. В частности, имеется глюонная аномалия. Определив ток формулой

"6= £ %出5%，(37.1)

получим, что он также обладает аномалией

а/卜哈产什爲％m)

где дуальный тензор G удовлетворяет соотношениям

@‘三如…屹峭，

GG^G^.

Ток (37.1) представляет собой так называемый (7(1)-ток, необычный во mikfm:: отношениях (являющийся чистым синглетом по группе аромата). В частности, с ним связана так называемая проблема (7(1), к обсуждению которой мы переходим.

Предположим, что имеется л легких кв叩ков; рассмотрим только их, а возможк^^т существованием тяжелых кварков (не относящихся к изучаемой проблеме) пренебрежем. Можно взять два легких кварка л = 2 (u, d) и обсуждать ** пробле му SU(2) 0(1)" или три легких кварка п = 3 (u, d, s) и говорить о "проблеме SU(3) U(l)”. Возьмем п2 - 1 матриц, действующих в пространстве ароматов 入］,入曜2、. Для группы SU(3) оии совпадают с матрицами Г1елл-Маниа, а

для группы S〃(2) - с матрицами Паули. Любую эрмитову матрицу разм^ноети п х п можно выразить в виде комбинации п2 матриц 入,….，入？ ，入门三】• Удобно принять, что индексы а, 6, с пробегают р^д значений oj 1 до л - 1

а индексы а, р, 5 принимают значения О, 1, ...» п2- 1. Благодаря только что сформулированному свойству полноты матриц 入^ достаточно рассмотреть токи

из них, конечно, только ток 4。обладает аномалией. Пусть % (* …,Nj* - локальные операторы (простые или составные). Рассмотрим теперь величину

(37.3)(37.3)<vac|T^(%)n^(%,-)|vac>.

(37.3)

(37.3)

В случае а # 0 из теоремы Голдстоуна следует, что в киральном пределе массы псевдоскалярных частиц Ра , имеющих квантовьте числа токов 4a , равны нулю. Вводя общий для всех кварковых масс параметр с и полагая ,= ”,， где коэффициент 「, (/ = 1, ..., п) в киральном пределе остается постоянным, получаем

欣=加鼻 с.(37.4)

9To было показано в §31 (уравнения (31.4) и (31.5)). Следовательно, в этом пределе выражение (37.3) при а = а имеет полюс в точке 厂=0. Точнее говоря, это означает, что в киральном пределе, т.е. при нулевых значениях масс кварков, справедливо равенство

lim「fgFVvacITWxEqyXvac〉

(constant)^(37.5)

Если пренебречь аномалиями, то вывод формулы (37.4) можно повторить и для случая а = 0, откуда мы получили бы, что частица (7(1) также в киральном пределе имеет нулевую массу [ 145]. В действительности это утверждение более точно сф.ормулировано в работе [259], где получено неравенство 飞 W ^«(средняя %). Это неравенство свидетельствует о неправильности всех наших построений, так как для группы SU(2) выполняется соотношение m » 也т«. Для группы SU(3) масса т , также нарушает это ограничение. § дополнение к этому было доказано [ 5@, что при таких условиях распад r ■♦ 3 卄 запрещен, что также противоречит эксперименту. Следовательно, нужно предположить, что выраж-ение (37.3) для случая а = 0 в пределе 6 -♦ 0 остается регулярным. Если бы мы могли доказать это, мы бы решили проблему U⑴.Этот вопрос подробнее обсуждается несколько ниже; здесь же мы просто предположим, что и(1)・6озонов не существует, не задаваясь вопросом, можно ли доказать это в

рамках КХД. Совершенно очевидно, что, если бы не было аномалии, это предположение было бы противоречивым. Поэтому, возможно, полезно проследить, к каким результатам приводит одновременное отсутствие голдстоуновских бозонов { и наличие аномалии в токе Ао . В решении этого вопроса мы следуем прекрасному обзору [82].

Определенный формулой (37.1) ток 4G инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям, но в киральном пределе не инвариантен по отношению к преобразованиям группы U(l) вследствие аномалии, содержащейся в выражении (37.2). Как было показано для абелевых групп в работе [7], а для общего случая в работе [25 ], можно построить другой, инвариантный относительно преобразований группы U(l) ток:

A^AS-2nK\(37.6)

где введен чисто глюонный ток

不=善t〉约中.%+"℃%%}.(37.7)

В правильности этого выражения легко убедиться, заметив, что

(37.8)

“32M

так что из формулы (37.2) в киральном пределе получаем

ЭЛ = О.(37・9)

Следует отметить, что ток К, удовлетворяющий уравнению (37.8), определен неоднозначно, так как он зависит от используемой калибровки. В принципе выражение (37.6) записано для "голых** величин, но всегда можно провести перенормировку таким образом, что оно останется справедливым и для "оде- тых** величин. Конечно, причина состоит в том, что аномалия не перенормируется.

Генератором преобразований U(l) должен быть сохраняющийся ток, а именно ток J4。. Следовательно, можно определить киралъностъ х соотношением

6(х°-У)['8(х),%(у)]=-为6(Х _у)“(у),(37.10а)

м』и в интегральном виде

[疯，旧=-为2，(37.106)

где (7(1)-киральный заряд имеет вид

盒=/戒廓(х).(37.11)

Так как ток 彳 удовлетворяет уравнению (37.9), киральный заряд 0。не зависит от времени, и, следовательно, можно ожидать, что не только соотношение (37.10) имеет смысл, но и числа х- не изменяются в процессе перенормировки. Чтобы доказать это более формально, рассмотрим вакуумное среднее

〈vac| Т久虱 х) П 斗⑴)|vac〉，

и применим к нему оператор дифференцирования 厶 Мы получим тождество Уорда

3M<vac|TX^(x) П 斗(丐)|vac〉

=-｛孑左6"- X/)｝〈vac|T[]%(Xj)|vac〉；(37.12)

при выводе мы использовали соотношения (37.9) и (37.10а). Так как ток Л (частично) сохраняется, то, как мы уже знаем, он не изменяется в процессе перенормировок, и величина х также должна обладать этими свойствами. В § 38 будет показано, что соотношение (37.12) и отсутствие (7(1)-бозонов приводят к довольно специфическим свойствам вакуума квантовой хромодинамики.

. Параметр 6, вакуум КХД, эффект безмассоаых кваркоа и решение проблемы U⑴

До сих пор мы пользовались лагранжианом КХД (опуская члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад духов)

=〉虱iD-m)q_ &GG.(ЗРД)

Зададимся теперь вопросом: какие изменения возникнут при добавлении к лагранжиану (38.1) дополнительного члена

(38.2а) 32行2

так что полный лагранжиан имеет вид

」=4 + 八.(38.26)

В действительности последний член является единственным членом, совместимым

Рис. 29. Область интегрирования при вычислении оператора топологического заряда.

с требованиями калибровочной инвариантности и перенормируемости, который может быть добавлен к лагранжиану (38.1). Кроме того, как было показано в § 37, он представляет собой 4~дивергенцию и, следовательно, не приводит к изменению уравнений движения. Конечно, от этого члена можно избавиться, положив параметр 0 равным нулю, однако, хотя и есть указания на то, что значение параметра 0 очень мало, существуют также причины, по которым оно может быть не равным нулю. Во всяком случае интересно выяснить следствия выбора более общего выражения (38.2) для лагранжиана КХД.

Так как мы добавили новое взаимодействие, следует ожидать, что теперь физический вакуум будет зависеть от значения параметра е； поэтому мы будем использовать для него обозначение |0> . Следующая наша задача состоит в исследовании зависимости функций Грина от параметра 0.

Для этого рассмотрим оператор топологического заряда ° QK^^if^GG-(38.3)

Используя формулу (37.8) и теорему Гаусса, запишем его в виде интеграла по поверхности

2k= /叫口

В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр с осью, расположенной вдоль оси времени, и основаниями, лежашими при £ 十■♦十 °°乂£_~

'Бопее подробно о 0-вакууме и вопросах, обсуждаемых в этом параграфе, можно прочитать в § 43 — 45, где становятся ясными причины возникновения некоторых довольно специфических терминов.*

(рис., 29). Устремив размеры цилиндра к бесконечности, получим

QK = jd又К% + -> + оо,Я) -/d£K°(E_ -> - 8,文)三 К+ - К_ .(38.4)

Операторы К+ являются самосопряженными, переходящими друг в друга при обращении времени; поэтому их спектры совпадают. Обозначим их собственные векторы через |n+> = | n, t +«» > ; они удовлетворяют уравнению

К± |n±> = п|п±>. (38.5)

В силу эрмитовости операторов К+ физический вакуум можно разложить по собственным векторам этих операторов. Такое разложение имеет вид

(38.6).(38.6).口〉= 2&(8)1"+〉=2以(8)1"一〉；

(38.6).

(38.6).

коэффициенты с尼 в первом и во втором равенстве одни и те же. Действительно, вакуум инвариантен по отношению к временным трансляциям; поэтому его можно рассматривать при t = 0. Тогда, применяя оператор обращения времени U(T), мы получаем, что коэффициенты % в (38.6) одинаковы в обеих суммах. Теперь необходимо определить значения этих коэффициенте®. Для этого применим оператор id/Не к функции Грина (вспомним формализм развитый в § 2)и получим

囁〈"П#е№〉

=1^<0I 7口喫号)""以"：1+/|>*»|0〉

=--^「d4x <0| tGTx'G”) n%°(x,”W不2+/冬2"0〉 32力j

=£ /"x〈8|T"x)G(x)n%G№〉.

Другими словами, оператор id/d^ эквивалентен введению в формулу опера- т^а топологического заряда 0大 С учетом хронологического порядка операторов и формул (38.3) и (38.4) выражение (38.7) принимает вид

鳴 ©тП%е№〉

=©К+ тп%(х,№〉-〈е|тп%(“к」е〉・

Разлагая его в ряд по собственйым векторам операторов К； получаем урав~

ненме"

隔 2*8)7(8) = 2("-加)cj(e)j(e).

решения которого имеют вид

с“(8)=Се 叫(38.8)

Произвольная константа С может быть выбрана равной единице.

Следствием формулы (38.8) является ортогональность вакуумов, соответствующих разным значениям параметра 0:

包I夕〉= 6(9 -伊)，(38.9)

так что с точностью до периода каждому значению 0 отвечает свой, отличный от других физический мир.

До сих пор мы не учитывали существования фермионов. Теперь мы покажем, как изменяется проведенный выше анализ при введении в рассмотрение п фермионов с исчезающе малой массой. Начнем с того, что напишем снова знакомое нам тождество Уорда (37.12):

8足17々")万2(号)18〉

=- { >6(х -叫 <Ж口％(и)”

которое мы проинтегрируем по d%：

/心8"m17/№)112(丐№〉

=-(2х/)〈"П%(и)”

Используя формулы (37.6) и (37.8), получим выражение

J"% а“〈е I т> 豆(х)у 勺 5%(х)п 斗(丐№〉

(38.10)

} Более строгий вывод можно найти в работе [81 ]; в § 45 приведено альтернативное рассмотрение.

Здесь следует сделать два замечания. Очевидно, что справедливо равенство

/ d&x 9/0 I TJ 勿(Х)卢5%(х) П %(小Р〉

=-賜吼〃"…包吟孤х)у%%(х)п YG№〉・

Но если не существует U⑴-бозонов, то это вакуумное среднее не имеет полюса в точке д? = 0, поэтому результат обращается в нуль. Далее, как было показано выше, введение в формулу оператора топологического заряда ^ эквивалентно применению оператора дифференцирования i 8/88 . Таким образом, выражение (38.10) принимает вид

2"囁〈8|7112(号)18〉= (2方№网2(左)1”(38.11)

для случая безмассовых кварков вакуум инвариантен относительно киралк ных вращений:

W〉=4”U,= ef(38.12)

С другой стороны, используя формулу (37.106), получаем

啼 УП%4=(2х/"「П%4；(38.13)

поэтому правую часть уравнения (38.11) можно переписать в виде

囁〈/7州G)”

Таким образом, видно, что под действием оператора

2嗚一嗫

все функции Грина обращаются в нуль. Это означает, что изменение значения параметра е может быть с компенсировано изменением фазы §. Следовательно ,теория е-вакуума эквивалентна теории с е = 0, а последняя, очевидно, обладает инвариантностью относительно киральных преобразований. Таким образом, в частном случае безмассовых кварков" параметр 0 можно выбрать

Более детальный анализ показывает, что достаточно, чтобы безмассовым был хота бы один кварк. Этот результат впервые получен в работе [217].

равным нулю; тогда используемое нами выражение (38.1) для лагранжиана квантовой хромодинамики представляет собой в действительности выражение наиболее общего вида.

Можно предположить, что кварки приобретают массу в результате слабых взаимодействий посредством механизма Хиггса, и следует допустить, что в ” чист ойп квантовой хромодинамике кварки безмассх)вы. Но нас интересует реальный физический мир, и, таким образом, нельзя избежать (по крайней мере в первом порядке теории возмущений) эффектов, обусловленных слабыми взаимодействиями и нарушающих исходные чисто квантовохромодинамические уравнения0.

Другое возможное предположение связано с тем, что член £^0 нарушает инвариантность по отношению к обращению времени и Р-инвариантность. Таким образом, потребовав сохранения Р- и Т- инвариантности, мы можем положите значение параметра 0 равным нулю. Но принять такую точку зрения также невозможно, потому что слабые взаимодействия нарушают Т- и Р- инвариантность и связанные с этим эффекты могут проявиться в процессах сильного взаимодействия. Если в этом состоит причина возникновения ненулевого значения параметра 0, то имеются довольно веские аргументы [1081 в пользу того, что этот эффект мал при условии, что исходное значение параметра 0qCD равно нулю.

Возможно, полезнее обсудить экспериментальные ограничения на значения параметра 仇 Как показано в § 45, эффекты, связанные с лагранжианом £〔е， в процессах типа глубоконеупругого рассеяния оказываются пренебрежимо малыми. Единственным источником, из которого можно получить информацию о значении параметра 0, являются процессы, нарушающие Р- и Г- инвариантность. При этом наиболее информативной величиной является дипольный момент нейтрона ” . Вычисления d были выполнены в работе [ 83； в которой были уточнены оценки, данные ранее в статье [ 21]. 11олучено значение

d〃Q4x 10-i6|^| (in е — cm).

(в единицах е*см), в то время как экспериментальное ограничение на дипольный момент нейтрона составляет

或中& 1.6 X 10"4, откуда получаем { е | < 10~8, т.е. очень малое значение.

11 Другая возможность состоит в использовании подходящих хиггсовских систем, обеспечивающих нулввов значение 0 [ 217]. Можно показать, что это приводит к сущвст вованию новых псевдоскалярных бозонов ("аксионов", см. [261,267]). Но нвт достаточных данных, чтобы решить, существуют пи они в природе.

Вернемся к рассмотрению проблемы вакуума. Эффекты, обусловленные наличием безмассх)вых кварков, мы уже обсудили. Теперь необходимо изучить следствия, к которым приводят нарушающие киральную инвариантность "малые" массовые члены. Например, что произойдет, по крайней мере в первом

порядке теории возмущений по параметру е (напомним, что массы кварков

постоянен), при введении впостоянен), при введении ввыражаются в виде т,="尸 где коэффициент , лагранжиан возмущающего члена

постоянен), при введении в

постоянен), при введении в

Em*

Мы здесь не будем вдаваться в детальный анализ (заинтересованному читателю рекомендуется обратиться к лекциям [82]), а просто приведем основные результаты. Рассмотрим неравенство

(38,14)(38,14)^i > 2 mfl Z2

(38,14)

(38,14)

отметим, что из результатов, полученных в § 31, следует, что оно, вероятно, выполняется в реальном мире. Тогда: 1) если неравенство (38.14) справедливо, то топологический заряд квантуется и приобретает только целочисленные значения (например, разность v между двумя собственными значениями операторов и ^_ представляет 8бой целое число); 2) если неравенство (38.14) несправедливо, то по меньшей мере существуют дробные значения величины v, На самом деле для некоторых частных значений масс параметр v должен ирм・ нимать иррациональные значения.

Завершим этот параграф двумя замечаниями. Во-первых, мы получили оп)аничения на спектр операторов К±м выражение для вакуума в терминах собственных векторов этих операторов | п+> , но мы не доказали, что спектр этих операторов нетривиален. Действительно, можно представить себе, что все собственные значения п совпадают между собой; тогда о содержании этого параграфа можно сказать: "много шума из ничего". В счастью (или к сожалению ,в зависимости от точки зрения), наличие инстантонов свидетельствует о существовании по крайней мере бесконечного счетного множества • •” -1, 0, 1, 2, .,. различных значений параметра п. Это будет показано в §45.

Во-вторых, мы предположили, что безмассовые U(l)-бозоны не существуют. Массы псевдоскалярных мезонов можно оценить так же, как это сделано в §31. Если повторить вычисления для синглетного тока 4 t то получим, что вследствие аномалии уравнение (31.5) приобретет дополнительный член

":（鑫）林":（鑫）林〈TG(x)G")G(0)G(0)〉va「〈TG(x)G")G(0)G(0)〉va「(38.15)(38.15)

":（鑫）林

":（鑫）林

〈TG(x)G")G(0)G(0)〉va「

〈TG(x)G")G(0)G(0)〉va「

(38.15)

(38.15)

Если рассматривать вакуум теории возмущений, то этот член обращается в нуль, однако, как будет показано в § 43 — 45, наличие инстантонных решений, по крайней мере в квазикласси^еском приближении, приводит в кираль- ном пределе к ненулевому значению выражения (38.15) [252]. Можно поставить вопрос о справедливости такого приближения. С другой стороны, тот же результат получается в пределе больших чисел цветов [273], Таким образом, хотя абсолютно строгого доказательства нет, но кажется чрезвычайно вероятным, что квантовая хромодинамика решает проблему U⑴.

Глава V

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ； РЕШЕНИЯ, НЕ ОПИСЫВАЕМЫЕ ТЕОРИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ

§ 39. Формулировка теории попя на языке интегралов по траекториям

До сих пор мы рассматривали главным образом те аспекты квантовой хромодинамики, которые описываются теорией возмущений. При этом вопрос о том, использовать ли каноническую формулировку теории поля или ф(^)му- лировку, основанную на применении интегралов по траекториям, является в значительной мере делом вкуса. Однако при рассмотрении аспектов КХД, не описываемых теорией возмущений, большей ясности можно достигнуть, используя язык функциональных интегралов. В этом параграфе мы рассмотрим кратко формализм фейнмановских интегралов по траекториям, в частности в применении к теории поля. Конечно, это не может заменить подробного изложения метода функциональных интегралов, которое заинтересованный читатель может найти в лекциях [112, 139] или в учебниках [114, 172, 283].

Начнем с рассмотрения нерелятивистской квантовой механики в одномерном пространстве [ 121 ]. Имеется гамильтониан Ht являющийся функций обобщенных импульсов ? и координат Q. Предполагается, что гамильтониан записан в "нормальной форме", т.е. все операторы импульса Р расположены левее всех операторов координат Q. Классический гамильтониан Н можно получить из соотношения

5 百 lq〉=(39.1)

где состояния | р> и | ^> удовлетворяют условиям Т | р> р\р> t Q\q> = =9丨 q>，<pl 9> = e-*'/У 2-гг. Оценим матричные элементы оператора эволюции

〈9"|「心门"力(39.2)

4』兄 этого запишем разложение оператора эволюции в ряд e=题(1 Y 方)"，

и вставим суммы по полным наборам векторов состояний

〈夕"16一叫矿〉=j乎J П ^ П赛〈9"1融〉〈融卩一分方版〉

X〈以麻-1〉5一串-先用9nt〉…5卩-号H、q)

Используя соотношение (39.1), получим

/ it ЛI х ехр{ - ip„q„ - {it/N)H(p„, ?„)} , I、

〈如1 -河切%〉=宙4福)，

так что окончательный результат имеет вид

х expi{pN(gS - 9n) ++P1(?1 - /)

-卡e5小)…H(pT讣(39.3)

Использованный Фейнманом прием заключается во введении в рассмотрение двух функций р(е) и д"), определяемых условиями р^^ = рп и g(tj = %. Используя эти функции, можно перейти от интегралов по дискретным переменным к интегралам по непрерывным распределениям:

П 結П 缨，П%п 響，(39.4)

т.е. теперь интегрирование производится по всем функциям, а член в скобках в (39.3) принимает вид

/% {р(0?(0~ ^(МО^(О)}- "家

Тогда полное выражение (39.3) имеет вид

<q"\e-i,H\qy =/J] ""У expi^'"'4"dt(pq -Я).(39.5)

Конечно, это выражение написано формально0 и имеет смысл только как предел выражения (39.3), но в этом отношении оно не очень сильно отличается от

11 Строгое определение функциональных интегралов типа (39.5) см. в работе(264]

стандартного римановского определения обычного интеграла. Важная особенность выражения (39.5) состоит в том, что в него входят только классические с-числовые функции. Таким образом, сложные операторные вычисления мы свели к вычислениям функциональных интегралов.

Выражение (39.5) можно упростить. Если гамильтониан Н имеет вид 〃 =р?/ (2 т)十 P(g), то интеграл по импульсам dp оказывается гауссовым, и его можно вычислить точно. Производя замену переменной р ■» р —т寸, получаем

/以粤2eхР，/力(网一芸)

=/ Р娄ехр( Т/d娶卜хр(，丿力空)；

следовательно, выполняя интегрирование, находим

nJ Wdq^^i^/1 dtL[q(t),q(t)\(39.6)nJ Wdq^^i^/1 dtL[q(t),q(t)\(39.6)〈好一У叫矿〉=

nJ Wdq^^i^/1 dtL[q(t),q(t)\(39.6)

nJ Wdq^^i^/1 dtL[q(t),q(t)\(39.6)

При этом разность mq2— V отождествляется с лагранжианом L, и вводится нормировочный множитель /V, не зависящий от динамики взаимодействий：

N =缨 ехр{т/山饗〉

Обобщение выражения (39.6) на случай нескольких степеней свободы очевидно. Будем использовать обозначение g(t,儿)вместо обозначения q^t), к = 1,…#, имея в виду применение полученных формул в теории поля, где число степеней свободы бесконечно. Лагранжиан L (плотность лагранжевой функции) определим формулой L = Е“£. Используя введенные обозначения, получим

〈W"t叫矿〉〈W"t叫矿〉

〈W"t叫矿〉

〈W"t叫矿〉

9To выражение непосредственно обобщается на случай теории поля. Рассмотрим Для простоты одно поле q>; роль переменной к здесь играет пространственная координата %? Если выбрать состояние | д>® ~х) > так, чтобы выполнялось условие

祐0 取 Х)〉= 0(Х)|0(Х)〉，

то для таких состояний справедливо соотношение

〈仪「，初 е"(—师(Г,£，)〉= nJ y(x)exp{/£"d4x_Z(6a@)}.(39.8)

Конечно, как и в случае обычной квантовой механики, функциональный интеграл следует понимать как некоторую предельную процедуру. Рассмотрим объем четырехмерного пространства V и разобьем его на конечное число п ячеек. Пусть точки %., / = 1, ..., пт лежат внутри /-й ячейки, каждая из которых имеет четырехмерный объем 6. Тогда правая часть соотношения (39.8) сятреде- ляется как предел

(39.9)(39.9)lim у(/ф(Х])...迎($)濟£С»'д№*，”

(39.9)

(39.9)

5т0

(ниже мы увидим, что нормировочный множитель N из формул для амплитуд переходов выпадает). Для получения матричных элементов S-матрищя или функций Грина требуется вычислить вакуумные средние <7q> (%)... q> (z) > °. Для этого рассмотрим амплитуду перехода вакуум - вакуум

〈016|0〉= lim 〈016-(人「用10〉；

введя источники, получим функции Грина. Согласно формуле (39.7), справедливо равенство

〈0|6|0〉= N, Гр0(х)ехрг", ” =/Л^; (39.1。) здесь л/ - действие. Добавим к лагранжиану £ член, содержащий источник: © = d + т)(х)0(х), % =//%/,,

и определим производящий функционал

^[ч] = nJgd0(x)expr：% ・

В дальнейшем будет показана справедливость соотношения

6"logZ[7)]= i"〈T$(X|)..‘$(x”)〉o

砧市F隔…芯; JML)

где правая часть представляет собой связанную функцию Грина, которую до сих пор мы обозначали как

〈T$(xJ •・• $(%)〉о，

шслючая фазу < S > ° в определение физической S-матрицы. Мы докажем соотношение (39.12) для случая свободных полей (вывод с учетом взаимодействия приводится несколько ниже). Соответствующий лагранжиан имеет

вид

士 = }аз>а% —小 2@2= _”仅2 + 小2}0+ 4, дивергенция.

Технический прием состоит в приведении интеграла к гауссовой форме. С этой целью определим поле(р‘ формулой

@'(х) = (М + 小 2)"2@(х),

которая справедлива при условии

8(х) =/《4хК-1/2(х _у)@(у),

К⑺二侖/^^ = W).(39.13)

Правило обхода полюса, задаваемое добзвкой + / 0, гарантирует получение хронологических произведений. Тогда для производящего функционала получаем z[t)] - %/ 口邮(x)det(ac/a<//)

X expijd&x { m»(x)d(x) + /办т)(х)К"2(х -y)〃(.y)};

здесь det (Hg/Hq/) — якобиан перехода (бесконечномерный) от переменной q> К переменной д/. Последний шаг состоит в замене переменной интегрирования

歹(Х)=廿(X) + Jd夕К"2(х - y)v(y)-

Таким образом, окончательный результат имеет вид

Z|>] = {%/ y<r(x)det(a“ 師〃)е-""/2}

X eU"?)"**"^4叮(幻仅х-川叭川，(39 14)

где А (% — у) — пропагатор поля:

А(х)=詣 〃％ к丿% =〈Т0(х)0(О)〉。-

IZ9TJ 丿 Л — W + /и

Член в фигурных скобках в правой части (39.14) не зависит от величины источника п； следовательно, при взятии логарифмической производной он сократится. Поэтому для производящего функционала можно написать выражение

(39.15)(39.15)z[u] = J7exp{专/八今叮⑴厶"_у)т)(у)},

(39.15)

(39.15)

из которого непосредственно получается соотношение (39.12).

Введение в рассмотрение векторных полей не вносит каких-либо трудностей; точно так же, как я в предыдущем случае, операторные вставки связаны с введением внешних источников (пример приведен в § 42). Но включение фермионных полей требует некоторых усложнений. При этом возникает необходимость во введении на классическом уровне антикоммутирующих с -числовых величин^, определяемых соотношениями

屮(X)W(y)=-屮(У)屮(Х),[屮(Х)『=0‘

Функционал (классических) фермионных полей в общем виде определяется выражением

尸[W] = &)+ /dX]K](X])屮(修)+ …

•¥ ^dxy . . . dxnKn^Xp . . . , x〃)屮(X])...屮(х/ + …、，

где К】—антикоммутирующая функция, а функции К尼 при %》2 можно считать полностью антисимметричными по своим аргументам. Из определения функциональной производной

聽=吧3^

гдее - антикоммутирующее с -число, удовлетворяющее условиям

W =一收，W =一收，/ = 0,/ = 0,

W =一收，

W =一收，

/ = 0,

/ = 0,

В математической литературе такая структура называетсн грассмановой ап・ геброй. Подробное изложение этого вопроса мохно найти в книге [37].

следует справедливость равенства

硒х")...AКx)…X)

Отметим обратный порядок следования переменных % в левой части равенства. Это вызвано антикоммутативностью полей 屮，в силу которой

驰画2讷他

Интегрирование по антикоммутирующим функциям также обладает рядом особенностей. Чтобы все построения были последовательны, необходимо потребовать выполнения соотношений

/叫(х) = 0,/叫(х)屮(у) = 6(х-у).

Наконец, если мы хотим получить одночастично~непри^одимые функции Грина, т.е. такие функции Грша, которою остаются связанными при рассечении их по одной в^тренней линии, мы должны взять функциональную фоизводную не по функции q, а по новому полю ф от нового производящего функционала Г [ф ]:

Г画=-|logZ[7)] -/^4^т)(х)ф(х),(39.16а)

%)三号符L(39.166)

切(X)

Отметим, что поле Q представляет собой вакуумное среднее оператора $.

Доказательство того, что величина Г порождает одночастично-неприво- димые функции Грина, очевидно из тождества, к доказательству которого мы переходим. Продифференцировав дважды новый производящий функционал Г (ф), получаем

62r&1(X)63(乃]7…

网 х)6$(»= —丽 1=3(xr),

опдгда, в частности, следует равенство △! 62Г/[6ф(%)6ф(у)]|Л = ；△; с точностью до коэффициента i пропагатор △ оказывается равным одночастично неприводимой функции Грина в обкладках из пропагаторов. В более общем виде имеем соотношение

专曬快詛(39.17)

которое требовалось найти.

§ 40. Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование

В обычной квантовой механике приближение ВКБ состоит в разлож^ии рассматриваемых величин по степеням постоянной Планка ^. В нулевом порядке получаются классические траектории; члены высших порядков по 方 описывают квантовые поправки к классическим решениям. В теории поля приближение ВКБ особенно удобно формулировать на языке интегралов по траекториям» Чтобы использовать метод ВКБ, мы теперь не будем полагать постоянную Планка равной единице, а сохраним ее в явном виде в выражении для производящего функционала (39.11):

Z|>] =/д“0(х)ехр 卡 SO],(40.1)

поля же и импульсы представим в виде рядов

@(х) = фс1(х) + 力"2$(Х)+"(х) = ^оФс1(Х) + 力"2赤(х) + …•，(402)

и сравним коэффициенты при одинаковых степенях постоянной Планка^. Член Фс1 представляет собой решение классического уравнения движения а?%】+疗九尸窘[(40.3а)

или, что эквивалентно, имеет вид

6с1(х) = Фо(х) + ^^У ^(Х 一了) ~g^ I，(4036)

где § — свободное классическое поле, удовлетворяющее однородному уравнению (8 + m')9g 二 0. Поскольку поле g>cl удовлетворяет уравнению движения, действиелг/[д>с1 ] достигает на этом поле экстремума: мы разлагаем выражение (40.1) в ряд в окрестности этой стационарной фазы. Нулевой порядок теории возмущений по константе Й соответствует древесному приближению;

поправки старших порядков описывают вклады различных петлевых дишфамм. Применимость этого метода основана на том, что в каждом порядке теории возмущений возникающие интегралы имеют гауссову форму и, следовательно, могут быть вычислены аналитически^ Покажем это на примере вычисления поправки первого порядка。В первом порядке по консч анте 方 действие лг/име- ет вид

"@1] t /心国冷④ + 硝З(х)-空萨 j ф(х)ф(х)1

I中(Ф-Фс!J

проведем замену переменной

&х) —е'(х)=卜2 + 疗一色京"j $(A

И для производящего функционала получим следующий результат：

Z = (constant)expl - |Trlog 1 - (Э2 + ^)~{-^^ I !Ztree, (40.4а)

где, используя (40,3) и соотношение!^2 + m)A(%) = 6(%), Производящий функционал древесного приближения Z^qc можно записать в виде Z—Nexp^ [f^M-if^^^

ХА(”)篇[J(40.46)

Константа в формуле (40.4а) содержит член

/ П"0'(х)е-"/2""⑺ det(a?+硝"：

где использовано обозначение

det(4 т/2) = ехр{弓ilYlogN 卜

Известно, что существуют такие квантовомеханические состояния системы, для которых классических траекторий не существует. Такая ситуация имеет место, например, при туннелировании через потенциальный барьер о Но метод приближения ВКБ можно распространить и на этот случай. Продемонстрируем это на типичном примере частицы, совершающей в одномерном пространстве движение в потенциале Р(%)・ Волновая функция такой частицы в приближении ВКБ имеет вид (см., например, [186])

+(х) == Се^х\(40.5)

где"- действие, вычисленное вдоль классической траектории, определяемой Уравнением

(40.6)(40.6)，唸 + 0(х) n Е.

(40.6)

(40.6)

... 工了仄0工了工2…

6

Рис- 30, Потенциалы с несколькими минимумами: а — потенциал с двумя минимумами ; 6 — периодический потенциал.

Выберем потенциал, имеющий два минимума в точках % = %。и %〔 и обращающийся в этих точках в нуль (рис. 30, а). Если выполняется условие Е> max Р, движение из точки 力。в точку х^ разрешено, и, исходя из выражения (40*5), для волновой функции 屮 можно вычислить амплитуду прассеянияп. Но если выполняется условие Е < max V, корректное ВКБ-рассмотрение приводит к результату, согласно которому амплитуда перехода

〈х/хо〉= СеМ*"°>(40.7)

должна быть заменена амплитудой туннелирования

Х, I х0> = Се」空"砧，(40Л)

где действие ^ вычисляется не вдоль траекторий, определяемых уравнением (40.6), а вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнению

4 欣+ Р(х) = Е(40.9)

Мы видим, что для получения амплитуды туннелирования можно использовать ту же формулу, что и для амплитуды перехода, производя лишь формальную замену переменной с на i с как в выражении для действия

"=V^dtL-^i^

так и в уравнениях движения (40.6) - (40.9).

Выражения (40*5) и (40.8) не нормированы. Но их легко нормировать, разделив на амплитуду < %/ х> , Таким образом, можно заключить, что в кван-

товой теории поля амплитуда туннелирования в ведущем приближении выражается в виде

ФЬ / = + 8 I %, / = -8〉牝 Сехр{ -/(/4三 N(史d)},(40.10)

где g)cl — классическое решение евклидовых уравнений движения, т.е. уравнений движения, в которых проведена замена %о ix^t где переменная %^ вещественна.

Согласно обсуждению, проведенному в начале данного параграфа, выр% жение (40.10) можно рассматривать как ведущий член разложения точного выражения

〈屮I，/ = + оо I Фо, / = -8〉= Nexp{ -/"田4史)}(40.11)

по степеням постоянной Планка 光 в окрестности классической траектории

— Важное свойство состояний системы, находящейся в условиях, когда возможно туннелирование, заключается в следующем. В стационарных состояниях (в частности, в основном состоянии, которое должно быть отождествлено с вакуумом теории поля) система не локализована в одном из минимумов потенциала И, а распределяется между всеми минимумами. В случае КХД это будет показано на примере периодического потенциала, подобного потенциалу рис。 30,氏

Формализм функциональных интеграпоа в каантовой хромодинамике; капиброаочная инвариантность

Формализм, развитый в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к квантовой хромодинамике, если сначала рассмотреть вопрос о калибровочной инвариантности. Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбрать физическую калибровку

4(%) = 0, 公《0,(4Li)

так что интегрирование в функциональном интеграле производится по полям В, Удовлетворяющим условию (41.1). Теперь производящий функционал с точностью до произвольного нормировочного множителя ^ определяется в виде

Z = Nj ⑷)依)(dB)其 6(и . В.( X Dexpijd%,(41.2)

「Де введены часто употребляемые в дальнейшем обозначения

(，g)三 Н , .(%), (，в)三 n dB^(X)и Т.Д., a £ - лагранжиан КХД,

не содержащий членов? фиксирующих калибровку. Эго все, что требуется, если мы хотим работать в физической калибровке. Но хотелось бы также распространить формализм функциональных интегралов и на другие типы калибровок, в частности на ковариантные калибровки. Калибровочные условия можно записать в виде

&[В(х)]=а(41.3)

где К 一 функционал, фиксирующий калибровкуо Например, лоренцева калибровка имеет вид

凡[В(х)] = %ВКх)-6(х),(41.4)

где поле g представляет собой заданную функцию (в частности, можно взять 9 = 0).

Пусть Т(е) — калибровочное преобразование, задаваемое параметрами 9(%), а By, — поля, возникающие из полей В под действием этого калибровочного преобразования:

В^х) = Bf(x)+ g£ 启做(х)理(х) - а纥(х)

(ср. с § 3). Величина

飯[в] =/qd0°(x)Jp(K/Br(x)D(41.5)

при калибровочных преобразованиях не изменяется:

Aj[8r]=厶3 [В].

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что элемент интегрирования 几 /% (力)является калибровочно-инвариантной величиной. В случае инфинитезимальных преобразований (которые только и нужны) это очевидно, так как

Т0)Т ⑺=Т(@+ 夕).

Забудем на время о существовании кварков, роль которых при калибровочных преобразованиях вполне ясна. Выражение (41.2) можно переписать в

Z=可(48)(面)П%“. В°(х))Пб(К//])Ак[%]еМм,(41.6)

где чисто янг-миллсовское действие

“YM = 一 } /"xNGajx”，(х).

Предположим, что в выражении (41.6) производится замена переменной, вызванная калибровочным преобразованием вида

В(х)^ В%"),

где преобразование 7。выбрано равным Г-1. При такой замене переменных получаем

Z^N^dB)(d6)^K[B]X[8(u-BT^y))X[8^

Пусть поля В являются глюонными полями, удовлетворяющими условию (41.1).

Поле 8丁 можно найти, производя калибровочное преобразование i/(0u). Тогда о имеем

SR* вт^ = 6(“ 纥и)，

и, таким образом, выполняется соотношение

/(龙)口6("一 %/(y))=/(面)口6(-"•3也。(y))，

которое не зависит от значений полей В и, следовательно, может быть включено в нормировочный множитель М Для производящего функционала получаем

Z = N，/(4В)Ак[В] 口6(К[В])е"，м.(41.7)

Теперь необходимо устранить 5-функцию и вычислить множитель Д^. Для устранения 5-фупкции выберем, например, лоренцеву калибровку (41.4); интегрируя выражение (41.7) по dtp с весом

eхp(^^ /心[0")了卜

в левой части получаем производящий функционал Z, умноженный на не зависящий от пол或 8 фактор

^(d<i>)e^^ ^а\[фа(х)^,

который снова можно включить в нормировочный множитель ^x, а в правой части интегрирование по полям dp тривиально выполняется с помощью 5-функ- Шш. Таким образом, для производящего функционала получаем

(41.8)(41.8)2〃/(48 ) А«[ 8]е"“丫м +”g)

(41.8)

(41.8)

где фиксирующее калибровку действие имеет вид

Обратимся к множителю А. Благодаря формуле (41.7) нам необходимы только такие функции В, описывающие глюонные поля, которые удовлетворяют условию (41.3). Для инфинитезимальных значений параметров 0 калибровочного преобразования имеем К[ВТ] = К[В] + (5К/5В)5В〜(5К/5В)5В, 5В = Вт -В, так что

А/[5] = /(或)口6( ^^ (%-ge 如5把))

Этой формуле можно придать более удобный вид, вводя духи Фаддеева — Попова, представленные антикоммутирующими с -числовыми функциями со и со. Тогда, выделяя не зависящий от полей Виз нормировочный множитель /V, величину Ar можно представить в виде

△к[% = "/(&)(血)

X exp卜J取办通⑴欝[a“(x) - g£扇成Зс(х)] |.

(41.9) Доказательство этого выражения основано на формуле

JIJ走口囹發毒4*& = (constant)detH,

которая справедлива17 для антикоммутирующих с -чисел с., и на том факте,

D Для доказательства используем соотношение

Ml No, Nq Nq д^ .

f П dc，П 吟戶= / Н dCi П S ｛〉森必阪｝ "VT *

丿 j=| у — 1丿 i=l у» I N =0

В силу правил интегрирования по фермионным переменным отличен от нуля только член с N 二 N。. поэтому получаем

(Т)"“

F。！ 2sign("%M¥gn(抬心)人用 …AkNi^e

где производится суммирование ло всем возможным перестановкам индексов 勺，…， "/V ； %； •…，” • каждый из которых пробегает значения 1, 2,..., /V°・ Это не что иное, как (—1)^0 det (Л//Уо I ). Дополнительный множитель ( Т ) в экспоненте вырен жения (41.9) Дает вклад только в коэффициент перед формулой； это означает, что фаза фермионного члена произвольна. Мы выберем ее так, чтобы она совладала с фазой члена, соответствующего обычным скалярным полям.

qTo вследствие равенства

/4 …收 JI,(，Gi，…，х*)) = det(a//a^)'

величина 踪 представляет собой просто определитель (бесконечномерна) матрицы

Осталось сделать последний шаг, чтобы завершить наше рассмотрение. Функциональная производная, входящая в (41.9), имеет вид (см. приложение 3)

“а£（х））“а£（х））=% а“б(左-/),=% а“б(左-/),

“а£（х））

“а£（х））

=% а“б(左-/),

=% а“б(左-/),

поэтому оператор дифференцирования % можно перенести в левую часть уравнения и провести интегрирование по d4y% В итоге для производящего функционала получаем

Z = W/®B)®3)(血)екм+*5р).Z = W/®B)®3)(血)екм+*5р).(4I.I0a)(4I.I0a)

Z = W/®B)®3)(血)екм+*5р).

Z = W/®B)®3)(血)екм+*5р).

(4I.I0a)

(4I.I0a)

где действие, соответствующее духам Фаддеева 一 Попова, имеет вид

"FP =/"n（8同（"））［%У -必线|（X）辰（X），（41.106）

что согласуется с результатом, полученным в § 5.

Чтобы получить функции Грина, необходимо внести антикоммутирующие источники %, %; &/,耳/ для духов з«, % и кварков 夕,，号 соответственно и коммутирующие источники 入^ для глюонных нолей В： . Таким образом, нашей отправной точкой является функционал

Z［向ЕХ；入］=，(dq)(歯)(ds)(曲)(dB) exp i/ d仅嚼 с 口+ £/ (41.11a)

где лагранжиан £$ с。описывается формулой (5.11), а

占=2｛必% + 同% + 右^/ + 勿专 +入叩纥(41.П6)

Формализм функциональных интегралов позволяет ввести чрезвычайно красивый метод, так называемый метод фоновых пилеИ” , который обладает

'Этот метод впервые был введен де Виттом и обобщен (в частности, на кали6ро> точные теории) т^офтом.

тем преимуществом, что эффективное действие, фигурирующее в этом методе (см. § 39), калибровочно-инвариантно . Это равносильно рассмотрению фиксирующего калибровку условия K[B]=W(d'B： + g1fadc % В© J, где Ь - классические "фоновые** поля, сдвигающие глюонные поля В 今 В + Ь, и вычислению функциональных производных по полям В . Подробное изложение и ссылки на литературу можно найти в работе [ 3 ].

Фейнмановские правила диаграммной техники

В § 39 утверждалось, что разложение функций Грина по степеням константы взаимодействия g, возникающее из (41.11), воспроизводит обычные фейнмановские правила диаграммной техники, которые были получены выше на основе разложения полевых операторов по операторам рождения и уничтожения и применения теоремы Вика. Правила Фейнмана можно вывести иначе, исходя из формул (41.11). Покажем это на примере трех типичных величин: глюонного пропагатора, вершины взаимодействия духов и глюонов и несинглетных составных операторов, фигурирующих в формулах процессов глубоконеупругого рассеяния.

Для получения глюонного пропагатора рассмотрим соотношение

〈т瓦'(х)處〈т瓦'(х)處6210gz6210gz入=0入=0%(х)6Му) g=o%(х)6Му) g=o(42.1)(42.1)

〈т瓦'(х)處

〈т瓦'(х)處

6210gz

6210gz

入=0

入=0

%(х)6Му) g=o

%(х)6Му) g=o

(42.1)

(42.1)

Здесь мы снова для обозначения операторов пользуемся символами с "крышками**. Повторяя рассуждения § 39 и вводя для калибровочного параметра обозначение 入=а т , с точностью до 4-дивергенции можем написать цепочку равенств

"г- 2[*(х)-叫(х)][а°%(х)- а%(х)]-写1〉[эт5；(х)]2

=J 2^(х)[э25ао(х)-(1 - а-')эоэ^ар(х)] + aj〃 Т^%(х)(кт)：：%(х)+ а/,

где множитель К имеет вид

叩正_(1 _ ? Эх2 (叩正_(1 _ ? Эх2 (J)J)(42.2)(42.2)

叩正_(1 _ ? Эх2 (

叩正_(1 _ ? Эх2 (

J)

J)

(42.2)

(42.2)

Полагая теперь источники % R, S,三酬 константу взаимодействия g в форму-

лах(41.11) равными нулю, для производящего функционала получаем

J S^(x)(X-')X(x)J S^(x)(X-')X(x)z = /(dg)(函)(4з)(曲)(期)

J S^(x)(X-')X(x)

J S^(x)(X-')X(x)

(42.3)(42.3)X exp Jd4x ^ iq{xyiq{x) +

(42.3)

(42.3)

+ X"(x)5J(x)b

Интегралы по переменным 办彳，з и со приводят к константе, которая сокращается при вычислении логарифмической производной. Если провести замену переменной

ВтВ' = 民

то формула (42.3) примет вид

Z = (constant)J* (d夕)J(K)

X expt/Gx〉{ /纥"(x)纥"(x) + \a^X)(K^B')yx)Y

где / (К) - якобиан преобразование. Наконец, заменим переменную интегрирования

В，— В“ =夕 + К"?入，

так что производящий функционал теперь описывается формулой

Z« (constant)J*(dB")J(K)

X expij>x> {:竭(Х)纥，"(х)-今％(х)(П)：(х)}.(42.4a)

Множитель К удобно представить в интегральной форме

(耳)：(х) = -，■〉/今々Их -以О)；(42・46)

тогда для логарифмической производной производящего функционала получаем

4%(х)6 入历(у) sources = 0

屯орма пропагатора D следует из его определения. Она такова, что выполняет- ся соотношение

(К 一，‘)：(х)= £ 脇{gua? _( 1 —. а Т)а〃а［風(X)；

поэтому, проводя фурье-преобразование, обозначенное тильдой над соответствующей величиной, получаем

(L加(左)=2% {-g喈 + (1 - а7)МН}頂左)；

отсюда, полагая Kf‘ = f, сразу получаем результат

而)汕T%士琮丝生点(左).

Таким образом, как и ожидалось, пропагатор глюонного поля имеет вид (TB^x)B^y))o\g_rD^(x-y)

а = Х-'.(42.5)

Доказательство того, что обход полюсов в выражении ,42.5) задается добавкой + tO, требует либо рассмотрения асимптотических состояний, либо каких-нибудь других граничных условий на глюонный пропагатор. Эти условия можно найти в работе [112].

Для получения вершины взаимодействия духов с глюонами требуется рассмотреть величину

〈应"胞(К?)瓦"(Хз)〉°〈应"胞(К?)瓦"(Хз)〉°1-й поря-= ]док ПО g1-й поря-= ]док ПО gi6310gzЧ.(Х1)%(Х2)6%(Хз)i6310gzЧ.(Х1)%(Х2)6%(Хз)入=01-й порядок ПО g入=01-й порядок ПО g

〈应"胞(К?)瓦"(Хз)〉°

〈应"胞(К?)瓦"(Хз)〉°

1-й поря-= ]док ПО g

1-й поря-= ]док ПО g

i6310gz

Ч.(Х1)%(Х2)6%(Хз)

i6310gz

Ч.(Х1)%(Х2)6%(Хз)

入=0

1-й порядок ПО g

入=0

1-й порядок ПО g

(42.6)

Обозначим через к оператор Клейна - Гордона, задаваемый соотношением A/(x) = d2f(x)X}. Произведем замену переменных В -> В' = К-%В, зтз' = =4 〃з, з~»з = к л со и проинтегрируем по кварковым полям, которые в данном рассмотрении не играют роли. Тогда для производящего функционала Z получаем

Z = (constant) J (^) (^) (dB')J(K)J(k)

X exp J g£ ( g[帆館 AR)#)]危(К"2в，)：(х)(М/2з 力(x)

+ ¥夕2_訂3+忆з)(館/23上炉)

+ (£/2^')“(х)%(х) + 心(х)(К"25，)“"(х)

5Обычно этот оператор называется оператором Дапамбера. — Прим, перев.

где многоточие обозначает члены, обращающиеся в нуль при g J 0 и нулевых значениях источников. Произведем затем преобразования переменных

В，тВ” п 8' — К"2入，s' —3〃 = s' + R/%, 方―歹=d + R/阮

Единственный член, дающий вклад в рассматриваемую вершину, содержит произведение всех трех источников и имеет вид

g2(a〃®)“(x))羸(硒：(х)(佝),(х)；

таким образом, для вершины взаимодействия духов и глюонов получаем формулу

〈?4(хМ(Х2)瓦"(Хз)〉о ЕПОР"- Док по g

丿(2")4 诉丿(2"『(2")4

g" +(l_AT" 切;/后亠上、,

X，(2")%(尸| + p2 + 尸3)或8尸1，

снова в полном соответствии с ожидаемым результатом.

Наконец, рассмотрим вершину

〈就(х“爲…“(Х2)金(Хз)〉о(42.7)

в нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия g, где операторы N (см. § 19) имеют вид '

№；&…隔(х) = #”ту :^2(х)уМ1^Д2 方隔金(х)： - члены, содержащие свертки.(42.8)

Чтобы вычислить величину (42.7), введем в выражение (41.11) новый источник

儿..“N#卜…“(х),

так что

〈叫(Х|)必寸 “(Х2)?2(Хз)〉о=羽^—-• (42.9)

58151)662(x3)%(x2)g

источники-о

В нулевом порядке по константе взаимодействия g глюоны или духи никакой РЗД1Г не играют, и по ним можно провести интегрирование. Аналогично ковариантные производные оператора ^ можно заменить обычными производными..

Кварковые поля рассматриваются так же, как поля глюонов или духов. Исполь зуя определения

%=ST/2%,寻=勿亍 Т/2,/=1>2>

где матрица 5 задается соотношениями

S-'qf(x)=^qf(x), 办(х)«т =办")0,

находим, что в нулевом порядке по константе связи g производящий функционал описывается выражением

Z = (constant)/(歯)(两)J(S)J(X)

X expi/dM {硏％ + 掰2 + 百S"2% + &S"2g；

+ (方子/2/+但亍")& + (不擋…“S "2仄…“}.

(42.10)

Проведем замену переменных

% = 0+S"2 专，q}' = q} + lfS'/2.

Единственный член, содержащий все три источника §〔， g^ и / имеет вид

三尹"T{V&宁т)(х)/証…孤(S-%)(x) - свертки}儿…“(х),

так что, используя явное выражение для матрицы S, получаем 〈忌(Х“您• “”2)兆(Хз)〉о

=/ d 尸 j 中2 */ 0.2) е~6 & ^ 1 {Уу"〉？尸十一свертки |

^^е，ргх，7^8^+^-р^^^е，ргх，7^8^+^-р^(42.11)(42.11)

^^е，ргх，7^8^+^-р^

^^е，ргх，7^8^+^-р^

(42.11)

(42.11)

Полученную формулу можно упростить, введя вектор △从，удовлетворяющий условию Д2 = 0, и свернув его с выражением (42.11):

ДМ. • • • А“〈尼(Х|)户鳥…“”2)兔(Хз)〉° =

丿 ЗУ J (2тг)4/1 V ' J (2тг)4尸з

X(2开"(尸］ + 尸2 - 尸3)■(42.12)

результат автоматически оказывается симметричным по индексам; члены, содержащие следы от произведений векторов △“ (члены вида g"“ А △，), о& ращаются в нуль. Конечно, вершину можно восстановить дифференцированием полученного результата по компонентам векторов △((?/(?△ )...((?/(?△ ). Уравнение (42.12) приводит к фейнмановским правилам диаграммной техники, приведенным в приложении Д и используемым в § 20.

Евклидова формулировка квантовой хромодинамики

Рассмотрим тензор энергии-импульса для чисто янг-миллсовской КХД, описываемый выражением (10.2). Вклад кварковых полей в этот тензор не включается; вообще кварки не имеют отношения к вопросам, рассматриваемым в этом и следующих двух параграфах. Выражение для чисто янг-миллсов- ского тензора энергии-импульса можно записать в виде

®w Т g°G G^- I g°G 研片"•®w Т g°G G^- I g°G 研片"•(43.1)(43.1)

®w Т g°G G^- I g°G 研片"•

®w Т g°G G^- I g°G 研片"•

(43.1)

(43.1)

Отсюда следует, что нулевая компонента ®°° для реальных глюонных полей положительна:

(43.2)(43.2)®°°Tm{(G黑『+ (貶)”

(43.2)

(43.2)

Таким образом, условие ❷""=0 выполняется только в том случае, когда 6=0, % следовательно, с вакуумом можно отождествить только состояние, в котором отсутствуют глюонные поля. Но выражение (43.2) не обладает определенным знаком, если допустить, что тензор глюонного поля G“" может принимать комплексные значения. Особенно важен случай, когда комплексный тензор G“v, определенный в пространстве Минковского, соответствует вещественному тензору глюонных полей Gg^ определенному в евклидовом пространстве- времени. Как обсуждалось в конце § 40, такая ситуация свидетельствует о возможном туннельном пере ходе в Это является основанием для того, ^тгобы

искать решения уравнений КХД в евклидовом пространстве".

Другая причина заключается в том, что в пространстве Минковского

各Н一G产

поэтому дуальными

@ = ±G・(43.3)

могут быть только тривиальные полевые конфигурации G = 0. (Если в правой части равенства (43.3) стоит знак +, то говорят, что тензор G самодуален, если знак -, то тензор G ант и дуа лен.) В евклидовом же пространстве справедливо равенство

^=£,

так что могут существовать и в действительности существуют нетривиальные дуальные полевые конфигурации G. Кроме того, дуальные евклидовы поля G автоматически удовлетворяют уравнениям движения. Это происходит по следую щим причинам: уравнения движения для глюонных полей имеют вид (вспсжним уравнение (3.6))

%G广三 Э.СГ + g> 麻％&嗅 0;(43.4)

условие

D^G^ = 0(43.5)

представляет собой не что иное, как тождество Бьянки, которому удовлетворяет любой тензор G = D х В, независимо от того, является или нет поле В решением уравнений движения. Но если тензор G дуален, то, как показано в работе [ 219], из (43.5) следует соотношение (43.4).

Связь с проблемой вакуума возникает в силу того, что в евклидовом пространстве формула (43.1) для тензора энергии-импульса яиг-миллсовских полей заменяется выражением вида

j=T》 ｛磷國-茹⑨｝，阁⑹

D Такая процедура обычно называется евклидовой формулировкой КХД или евклидовой формулировкой теории поля. Величины, определяемые в евклидовом пространстве-времени, мы будем отличать от соответствующих величин, определенных в пространстве Минковского, подчеркивая их снизу. Кроме того, суммы по повторяющимся пространственно-временным индексам мы будем выписывать в явном виде.

которое в случае дуальных полевых конфигураций обращается в нуль: ® = О, Таким образом, дуальные поля G могут соответствовать нетривиальным вакуумным состояниям.

Другое свойство дуальных полей состоит в том, что они должны удовлетворять условию минимума евклидова действия, для которого можно написать

t2/"工±制r¥痂现卜打"wёG耳.(43.7)

Таким образом, действие является положительно определенной величиной, достигающей минимума в случае дуальных полей, когда справедливо равенство

业=}|/"4三2 司现卜}/"4工 SJ^)2-(43.8)

Но по крайней мере в условияхf когда справедливо квазиклассическое ВКБ- 道риблм囂€~ие, известно, что амплитуда туннелирования определяется величиной ехр(-9, поэтому в ведущем порядке эффект туннелирования, если он существует, определяется дуальными полевыми конфигурациями.

Мы уже упоминали о "нетривиальных вакуумных состояниях". Нетрудно убедиться, что существуют такие ненулевые значения глюонных полей В., для которых G = 0. В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому ус- условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций 8 = 0 калибровочными преобразованиями. Чтобы убедиться в этом, запишем конечное калибровочное преобразование в виде

В^(х) -» В7(л) « 2Tr taU ~ \x)tbU{x)B^x) - -| TrtaU~\x) Э ^(л)(43.9)

(ср. с формулой (3 J)). Здесь (/(%) — любая зависящая от пространственновременной точки х матрица, удовлетворяющая условиям [Л⑺-尸《), det U(%) = 1. Но если 5 = 0, то преобразованное поле 8’ имеет вид

ва\^ = - ^Тг/^-'(л)Э^(л).(43.10)

Калибровочная инвариантность тензора напряженности глюонных полей Ggv обеспечивает равенство G» = ”旷=0. Нетривиальными будут решения, для которых G * 0.

§ 44. ИнстантоныБудем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия§ 44. ИнстантоныБудем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия咧^ |х『£收(х) = О,咧^ |х『£收(х) = О,(44.1)(44.1)где евклидова длина определяется формулойW/2где евклидова длина определяется формулойW/2国三+回У国三+回УПусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх 3, для которой det (/ = 1 и 1Г' = 炉・ Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях х глюонное поле 5 представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом ,Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх 3, для которой det (/ = 1 и 1Г' = 炉・ Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях х глюонное поле 5 представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом ,図-8 lgСГ—>0,|x| —8図-8 lgСГ—>0,|x| —8(44.2)(44.2)Попробуем рассмотреть анзаиПопробуем рассмотреть анзаи旦广学(因2)瓦'瓦nT^TrLU 4U, 学^> 1.旦广学(因2)瓦'瓦nT^TrLU 4U, 学^> 1.(44.3)(44.3)Поучительно проверить, что тензор напряженностей G , соответствующий полям 5, равен нулю. С этой целью определим матрицыПоучительно проверить, что тензор напряженностей G , соответствующий полям 5, равен нулю. С этой целью определим матрицы里m三Г"旦;，^^= ta Gju,.里m三Г"旦;，^^= ta Gju,.(44.4a)(44.4a)Очевидно, справедливы соотношенияОчевидно, справедливы соотношения及=2Trl缀，茹=2Tr严名…及=2Trl缀，茹=2Tr严名…(44.46)(44.46)4尸a^”一 2У留1Tg［络，纪］4尸a^”一 2У留1Tg［络，纪］(44.4в)(44.4в)

§ 44. Инстантоны

Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.

Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия

§ 44. Инстантоны

Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.

Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия

咧^ |х『£收(х) = О,

咧^ |х『£收(х) = О,

(44.1)

(44.1)

где евклидова длина определяется формулой

W/2

где евклидова длина определяется формулой

W/2

国三+回У

国三+回У

Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх 3, для которой det (/ = 1 и 1Г' = 炉・ Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях х глюонное поле 5 представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом ,

Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх 3, для которой det (/ = 1 и 1Г' = 炉・ Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях х глюонное поле 5 представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом ,

図-8 lg

СГ—>0,|x| —8

図-8 lg

СГ—>0,|x| —8

(44.2)

(44.2)

Попробуем рассмотреть анзаи

Попробуем рассмотреть анзаи

旦广学(因2)瓦'瓦nT^TrLU 4U, 学^> 1.

旦广学(因2)瓦'瓦nT^TrLU 4U, 学^> 1.

(44.3)

(44.3)

Поучительно проверить, что тензор напряженностей G , соответствующий полям 5, равен нулю. С этой целью определим матрицы

Поучительно проверить, что тензор напряженностей G , соответствующий полям 5, равен нулю. С этой целью определим матрицы

里m三Г"旦;，^^= ta Gju,.

里m三Г"旦;，^^= ta Gju,.

(44.4a)

(44.4a)

Очевидно, справедливы соотношения

Очевидно, справедливы соотношения

及=2Trl缀，茹=2Tr严名…

及=2Trl缀，茹=2Tr严名…

(44.46)

(44.46)

4尸a^”一 2У留1Tg［络，纪］

4尸a^”一 2У留1Tg［络，纪］

(44.4в)

(44.4в)

Соотношения (44.4) справедливы, конечно, и в пространстве Минковского. Но

если поле В описывается формулами (44.3), то оно имеет^асимптотику

(44.5)(44.5)夠品吗丁*

(44.5)

(44.5)

так что

2%気^{"0-20)_a“(0-40)}

=Jr- {-^-'(э^)^-^,,^) + ит@и)ит(а“и)}

Заметим, что члены второго и четвертого порядка по матрице U сокращают друг друга; множитель 1/g оказывается существенным в силу нелинейности тензора G. Это отражает непертурбативный характер решений.

Если U представляет собой элемент группы, который можно непрерывным обрЗзом связать с тождественным преобразованием, то тензор § обращается в нуль не только асимптотически: § = 0. Поэтому необходимо рассмотреть такую матрицу U, которую нельзя представить в простой форме ехр[/г0(х)]. Единственная возможность состоит в объединении пространственно-временных и цветовых индексов. Это оказывается допустимым только благодаря тому, что размерность пространства-времени равна четырем. Соответствующей группой инвариантности является группа SO(4), алгебра Ли которой (ее комплексная алгебра Ли) изоморфна произведению двух алгебр Ли группы 5(/(2). Таким образом, группу SO(4) можно связать с подгруппой 5[/(2) цветовой группы SU(3). Поэтому будем искать матрицу U в виде

и^^ О

/1 0\

где u — матрица SU(2) размерности 2x2. Пусть 戛=(° J — единичная матрица, а ст. - матрицы Паули. Любую матрицу размерности 2x2 можно записать в виде суммы А = S а ст . Если ввести обозначения а. = - а., % = а 产 то легко убедиться в справедливости равенств

и

det Л ='%乙；

таким образом, мы получаем, что матрицу общего вида и можно записать в виде

(44.6)(44.6)(44.7a)(44.7a)勺=万号(。/a)+ 而a)},((X) вещественно.

(44.6)

(44.6)

(44.7a)

(44.7a)

Полагая 九(%) = %, получаем простейшее решение "(X)=吉(％Х4 + 疗*)•

Пространственно-временные и цветовые индексы нетривиальным образом связаны друг с другом, поэтому для матрицы и нельзя использовать представление и(х) = ехр[ (1/2)*ст5^х)]. Как отмечалось выше, попытаемся представить глюонные поля в виде»

^(х)= ф(М2)^(^ 鱼(х) = /ит(х)а“и(х), и = (； {).

а(44.76)

Полезно вспомнить, что, так как поле Ж является чистой калибровкой, отвечающее ему значение тензора напряженностей глюонных полей § равно нулю, поэтому

纟L a〃氢- a。®一吆[纾，纱]

=(эм<р)^-(эр<р)^м+ 屮(а 产鱼-а” 遂 q

-(gф2[氢，兔]

£Йр(|л|2)

-(2/«Ы2)2Пр/р> где-(2/«Ы2)2Пр/р> где=2叫鼻兔一看遂J + (学一学В®鱼-a”遂力；8=小肝,

-(2/«Ы2)2Пр/р> где

-(2/«Ы2)2Пр/р> где

Проще всего его получить, если заметить, что В = тензор п приведен ниже. Тогда

/=誌卜‘- :xF" )头哈з"-*x*.)

Анзацы более общего вида предложены в работах [78, 266].

Смешанный тензор q определяется выражением

47 ss { %64 + &4%一6后4% ,47 ss { %64 + &4%一6后4% ,==1,2,3—4, ..., 8.==1,2,3—4, ..., 8.(44.8)(44.8)

47 ss { %64 + &4%一6后4% ,

47 ss { %64 + &4%一6后4% ,

==1,2,3

—4, ..., 8.

==1,2,3

—4, ..., 8.

(44.8)

(44.8)

Отметим, что этот тензор самодуален: “覆。= %0 ； следователь но, условие самодуальности тензора 6 выполняется в том случае, если функпия <р удовлетворяет уравнению

•т.е. глюонное поле Ж имеет вид

1

(44.9)(44.9)幽^冷=冲工入2 '气"T(xR U(x),入 Произвольно.

(44.9)

(44.9)

Это и есть инстантонное решение, найденное в работе [ 35 ]. Отметим, что оно локализовано в окрестности % * 0, т.е. в пространстве ц ро времени (отсюда и название "инстантон" - мгновенный). Из выражения (44.9) заменой * - % _у можно получить решения, локализованные в окрестности произвольной пространственно-временной точки % в у. В дальнейшем это окажется полезным. Выражению (44.9) можно придать большую наглядность, подставив в него выражение для матрицы О； при этом мы найдем, что поле Д вещественно:

(44.10)(44.10)J(x) н • |х|2 ；入2 2嗚％

(44.10)

(44.10)

6 1修十人 p

Из вида тензора「следует связь между пространственно-временными и цветовыми преобразованиями. Соответствующий тензор напряженностей имеет вид

或(х) н或(х) н1- 4入7^£何+入2广1- 4入7^£何+入2广(44.11)(44.11)

或(х) н

或(х) н

1- 4入7^

£何+入2广

1- 4入7^

£何+入2广

(44.11)

(44.11)

Как и следовало ожидать, глюонные поля В и тензор напряженностей G при продолжении их в пространство Минковского оказываются сингулярными (и кслшлексными!) величинами, так как интервал х2 не является уже положительно определенным, а следовательно, знаменатель х2 + Л2 может обращаться в нуль. Замечательная особенность инстантонных решений состоит в том, что если глюонное поле В при больших х имеет ашмптотику В = 1/| х | , то вследствие сокращения большого числа различных членов, входящих в выражение Для тензора напряженностей G, последний обладает поведением G 七 1/| х|4 и, таким образом, удовлетворяет требованию (44.1).

В дальнейшем мы будем использовать только решение (44.9); но имеются и другие решения0, найденные в работах [35, 66, 86]. Оказалось, что существует точная симметрия между самодуальными и антидуальными решениями: в антидуальных решениях, соответствующих (44.10), используется тензор

修=*‘ а, В =1,2,3,慨=-嗯，а или Д = 4.(44.12)

Такие решения называют антиинстантонами.

Вычислим теперь действие, соответствующее инстантонному решению. Используя соотношение 工 rf qa = 12 и формулы, поведенные в приложении Б, получаем результат

遂7"4工2司弱

=弊「d^x——-=绊.(44.13)

g丿(|X『+入2)g2

В § 45 показано, что туннелирование из состояния | п+> в состояние | n+ + v> , где V - целое число, осуществляется через инстантонные решения. В этом смь*с』е они доказывают существование нетртвиальной структуры вакуума КХД, которое обсуждалось в §38. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. Как обсуждалось в § 40, наблюдаемая амплитуда туннельного перехода между двумя состояниями \а > и | fe > определяется формулой

〈a I by” =〈a|e-”〉/〈*"|b〉，(44.14)

так что даже полевые конфигурации, приводящие к бесконечному значению действия (при условии что бесконечности в числителе и в знаменателе (44.14) взаимно сокращаются), могут давать конечное значение амплитуды туннельного перехода. Можно накладывать требование конечности действия, но оно не является строго обязательным. В действительности, как будет показано в § 45, инстантоны приводят к целочисленным значениям параметра v, тогда как, согласно работе [82], обсуждавшейся в § 38, при некоторых значениях масс кварков параметр v оказывается нецелочисленным2>. Важность инстан-

)Решения с конечным значением действия, определенного в пространстве Минковского, и с бесконечным в евклидовом пространстве.

G "Полуинстантоны" с конечным евклидовым действием и лолуцелым топологичес- ким зарядом, ло-видимому, недавно теоретически получены в работе [127].

тонных решений состоит в том, что они обеспечивают явные эффекты туннелирования и дают возможность оценить их. Но, ио-видимому, инстантоны не исчерпывают всех возможных непертурбативных решений в квантовой хромодинамике. Помня об этих оговорках, продолжим изучение инстаатокных решений и требования конечности действия.

§ 45. Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом

Рассмотрим величину (см. выражение (38.3))

以=名//三2五，&"-(45.1)

Как обсуждалось выше, глюонные поля, стремящиеся на бесконечности к нулю, имеют вид

电M8"仪《同々")，(45.2)

где Tr — произвольная матрица из группы 5(/(3). Рассмотрим переменную %, лежащую на поверхности четырехмерной сферы 网.Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке % величину 外(先) из калибровочной группы. Таким образом, мы имеем отображение поверхности 8§4 в группу 5[/(3). Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение В =⑤’，если они могут быть переведены одна в Другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все^калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно^, так что поля можно нумеровать целым числом п в соответствии с номером г ом отопического класса, к которому они принадлежат. Наша очередная-задача состоит в том, чтобы показать, что число п совпадает с величиной 0r, определяемой выражением (45.1). Величина 0K называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим (спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу.

Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что, как можно проверить прямыми вычислениями, выражение (45.1) инвариантно относительно непрерывных калибровочных преобразований. Далее заметим, что подынтегральное вы-

"Эго справедливо для любой простой калибровочной группы, содержащей в себе подгруппу SU ⑵.

ражение в (45.1) в действительности представляет собой 4-дивергенцию. В самом деле, как показано в § 38,

名2 4宣尸2 a国，(45.3)

где К — "киральный ток":

居•二名^“伯项度+ ;必亙或叫.(45.4)

Используя теорему Гаусса, находим

2к=含j/d%〉&yC2

где，％ - элемент поверхности четырехмерной сферы dS4 . Используя формулу (45.4), получаем выражение

Вычисления упрощаются, если принять, что Ва = 0 для всех значений % кроме а = 1, 2, 3. Это оказывается возможным благодаря тому, что гомотопические соотношения зависят только от подгруппы SU(2). В этом случае можно принять

组н ^〉％亙’

и представление (45.2) остается справедливым, если входящая в него матрица Т принадлежит группе SU(2). Тогда получаем следующее выражение для величины 0K ：

以=詣 2‘"w(s/"口{(L叫7)(厂a7)(L37)}-(45.5)

Предположим, что мы п араметр изо вали элементы группы 5[/(2) тремя углами Эйлера 気；тогда инвариантную по группе меру можно записать в виде

咖МTr{ L 好TL翟}若咳唯，.以" 12M.

Мы видим, что выражение (45.5) в точности определяет кратность, с которой поверхность четырехмерной сферы обернута вокруг группы SU(2). Таким образом, как это очевидно из формулы (44.13) и свойств самодуальных (анти- дуальных) полевых конфигураций, инстантонное (антиинстантонное) решение имеет топологическое квантовое число ^^ = ± 1, Нетрудно построить решение, отвечающее любому значению топологического заряда v. Предположим, что н叩аметр v положителен. Рассмотрим разреженный газ v инстантонов, описываемый полем

(45.6а)(45.6а)纟”(х)= 2 蜀X-%). SI

(45.6а)

(45.6а)

Пусть поле В имеет величину (44.10), и пусть выполняются условия |у. — у/ ~>в.

При вычислении тензора напряженностей G”)или его квадратапере

крытие между двумя различными чл^ами в фор州ле (45.6) при | % _ 九 | т 叫 очевидно, стремится к нулю； следовательно, в этом пределе справедливо равенство

(45.66)(45.66)看6乜0”鄧、八

(45.66)

(45.66)

Таким образом, мы успешно справились с задачей поиска решений из каждого гомотопического класса. Более интересным оказывается тот факт, что много- инстантонные полевые конфигурации дуальны, а следовательно, соответствующий тензор энергии-импульса обращается в нуль:里°° = 0. Это означает, что в квантовой хромодинамике (по крайней мере в ее евклидовой версии) нет един-* ственного вакуума, а есть бесконечное число вакуумных полевых конфигураций I v> , V = …，-1, 0, 1, 2,…，которые топологически эквивалентны друг Другу. Эта ситуация похожа на случай, представленный на рис. 30,氏

Чтобы исследовать это явление более детально, введем в рассмо трение другую гиперповерхность, а именно возьмем цилиндр с осью вДОль оси времени, как показано на рис. 31, а. Выберем кулоноподобную калибровку, так что выполняется асимптотическое условие_5 =0. Тогда

остаются интегралы только вдоль оснований цилиндров:

Поскольку поле на бесконечности обращается в нуль, пространственно беско - Нечно удаленные точки, лежащие на основаниях цилиндра, можно отождествить, *^к что возникают интегралы по большим трехмерным сферам, одна из кото- Р&х расположена при £ = - в, а другая при £=+«>. Калибровку выберем таким

Рис. 31 о Области интегрирования в выражениях для топопогичвского заряда инстантонов.

образом, чтобы выполнялось условие j dxldx2dx3 п(— со) — целое число.

J「T- 00

Доказательство существования калибровки, непрерывным образом связанной с тождественным преобразованием и удовлетворяющей этому условию, можно найти в лекциях [227]. Принимая во внимание формулу (45.66), получаем равенство

(45.7)(45.7)dx、dx2dХ3 必')=门С),л(+ оо) — л( — оо)=丸

(45.7)

(45.7)

Многоинстантонные полевые конфигурации §")связывают вакуумные состояния на — х и + х, топологические квантовые числа которых различаются на v единиц. Поэтому в квантовом случае в соответствии с обсуждением в § 40 можно ожидать, что эти два вакуумных состояния могут быть связаны туннель-

ным переходом, амплитуда которого в ведущем порядке описывается формулой

<л( + оо) I л( - оо)〉= (constant)exp(—必

Как обсуждалось выше, минимум действия достигается на само дуальных (анти- дуальных) решениях, т.е. для инстантонов или антиинстантонов (если

I п (+8)— Л(-«j) I 1). Таким образом, в ведущем порядке амплитуда перехода имеет вид

<л( + оо)|л(-оо)>^(constant)exp—”!" j.(45.8)

Поправки высших порядков можно вычислить [ 252], разлагая в ряд поля не вблизи классических траекторий Вс[ = 0, а вблизи траекторий Вс1 =_§(；)=£(". Они оказываются важными, так как дают константу в формуле (45为)* Действительно,

но эти члены не меняют качественно результат. Чтобы убедиться в справедливости выражения (45.8), необходимо рассмотреть случай, когда константа связи g мала и член ехр (- 2тг/а ) подавляет любую константу.

Обратимся теперь к рассмотрению вакуумных состояний. Определение производящего функционала дано в § 39 и 41. Если в лагранжиане пренебречь членами, описывающими вклад духов и фиксирующими калибровку, то он (в евклидовой формулировке КХД) имеет вид

+〈0|0〉一 =Z = /® 旦)exp(-//xN(旦)}(45.9a)

Но теперь необходимо решить, по каким гомотопическим классам проводить интегрирование. Напомним, что левая часть соотношения (45.9а) представляла собой амплитуду <0,£ = +国| 0" = — 8〉； поэтому равенство (45.9а) следует переопределить в виде

S(+8)|“一8)〉=/(dJf)exp{-/d4xN(^)}(45.96)

В рамках теории возмущений рассматривается лишь вакуумное состояние 丨万=0>, но очевидно, что благодаря возможности туннелирования все вакуум- нне состояния | «> связаны между собой [ 61, 174, 252 ], так что ни одно из Них не является стационарным и не может отвечать истинному вакуумному состоянию. Стационарные состояния, так же как блоковские состояния в тео-

рии твердого тела, получаются из суперпозиций

孑产1"〉三I"

Это выражение инвариантно относительно изменений топологического заряда.

В самом деле, пусть「及一оператор, изменяющий топологический заряд на к единиц; тогда

耳口〉= ?е'"°|"+ fc> =〉e'("f 叫》г〉= е~м\6\

откуда следует, что под действием этого оператора вакуумное состояние изменяет только свою фазу. Производящий функционал в терминах 6-вакуума можно записать в виде

〈式+8)、伊(一8)〉= Nb/— £)?-叫 ^d^e-fd'i^X(45.10)

Здесь можно опустить функцию 6(6 —6*), которая отражает лишь тот факт, что физические миры, соответствующие различным значениям параметра 6, не связаны друг с другом. Кроме того, интегрирование по полям В в формуле (45.10) можно распространить на все полевые конфигурации, введя множитель

8^-(g2/32^fd4X2GG^-,

но тогда суммирование по индексу v выполняется тривиально, и мы получаем

Z= N \ (d 出 e-d* 土厶,(45.11a)

где

上尸 - ：Е&С+^^ 2сС・(45.116)

Наконец, можно вернуться в пространство Минковского и сделать заключение, что из существования инстантонов следует, что истинный лагранжиан квантовой хромодинамики имеет вид

^ = - 7 S G广Gw-黑 S G}&，(45.12)

—a3277 a

подтверждая, таким образом, необходимость введения в общем случае члена go (вспомним рассмотрение в начале § 38).

Можно задаться вопросом, в какой мере явления, рассмотренные в настоящем параграфе, изменяют результаты, полученные в параграфах книги, пред-

шествующих § 37. Во-первых, ограничения, полученные для параметра е (§ 38), требуют, чтобы его значение было настолько малым, что член лагранжиана go сам по себе практически не оказывает влияния. Во-вторых, инстантонное решение и связанные с ним явления представляют собой дальнодействующие эффект; полевые конфигурации, достаточно быстро убывающие при “ т в, обладают нулевым топологическим зарядом 0K = 0. До сих пор мы обсуждали лишь эффекты, связанные с малыми расстояниями (для распада тг° 2у, глубоконеупругого рассеяния и т.д.); возможно, что режим теории возмущений по- прежнему применим и здесь. В этом можно убедиться, рассмотрев амплитуду туннелирования, обусловленного одноинстантонной полевой конфигурацией: 〈0| ± 1) (constant)exp^ — 了 }

После проведения процедуры перенормировок константу связи а^ следует заменить бегущей константой связи, так что с точностью до логарифмических поправок выражение для амплитуды перехода принимает вид

<0|±1>^ А_(45.13)

Эта формула показывает, что при больших передаваемых импульсах Q2 туннельные эффекты пренебрежимо малы, и состояние | 0> можно рассматривать как состояние истинного вакуума; при этом ошибка, вносимая выражением (45.13), оказывается много меньше, чем, например, эффекты от операторов твиста 4 или 6. В самом деле, оценки [ 31 ] показывают, что инстантонные поправки к процессам е+ е* анн иг иляции или глубоконеупругого рассеяния полностью пре- небрежимы при 0?力 1 ГэВ2. Таким образом, в случаях, когда инстантонные эффекты важны, вычисления в рамках теории возмущений неприменимы, а в случаях, когда можно использовать теорию возмущений, эффекты, обусловленные существованием инстантонов, оказываются ненаблюдаемыми. С этой точки зрения инстантоны похожи на мифическое животное — василиска, увидев которого, как гласит предание, человек умирает.

§ 46k Вопросы, не рессмотренные в книге

КХД на решетке

В принципе формализм интегралов по траекториям, повидимому, осуществляет мечту теоретиков: сводит квантовую теорию поля к квадратурам. Кажется, что достаточно перейти от непрерывного про стр анств а- врем ени к дискретной решетке с некоторым расстоянием 6 между соседними узлами и размером ^4 и проинтегрировать определенный на этой решетке производя-

щий функционал. На практике ситуация сложнее. Явно можно выполнить только гауссово интегрирование или интегрирование по фермионным полям, поэтому приходится обращаться к численным методам. Возможно, это и объясняет, почему после работы Вильсона [269], опубликованной в 1975 г., и до последнего времени почти не было получено новых результатов.

Однако за последние два года ситуация резко изменилась. Не только получено подтверждение существования явления конфайнмента, но в результате прогресса, обусловленного введением на решетку фермионов, были вычислены с хорошей точностью (~30%) различные фундаментальные величины (включая вакуумные средние <аС2 >, <qq> и, в частности, значения m^f тр, /仃)，К сожалению, мы не можем подробно обсудить это направление в теории поля и, таким образом, опустим все волнующие результаты, достигнутые на этом пути. Заинтересованному читателю следует обратиться к работам [79, 164, 188, 197 ], где имеются ссылки на дальнейшую литературу.

1/^разложение

В квантовой хромодинамике число цветов кварков равно трем, но теория упрощается, если число цветов ^ устремить к бесконечности [250, 251]. К счастью, в этом пределе основные свойства теории сохраняются, а поправки O(l/^) малы. Основная проблема состоит в том, что никто не знает, как вычислить член даже нулевого порядка теории возмущений. Однако это не означает бесполезности данного подхода; он позволяет установить связь с так н& зываемым топологическим разложением в адронной физике [ 68, 224 ], проливает некоторый свет на проблему 0(1) и, возможно, может иметь отношение к проблеме конфайнмента. Можно также использовать 1/^разложение для получения качественных оценок различных эффектов. Например, ожидается, что масса нуклона (скажем протона) равна NN* поэтому эффекты, связанные с массой мишени, имеют величину 0(№л2), в то время как эффекты, вызванные операторами высших твистов (твиста 4), имеют величину 0俱№、. Следовательно, в ведущем порядке по l/^ последними поправками по сравнению с поправками на массу мишени можно пренебречь. Аналогично на качественном уровне можно понять вырождение по массам р- и co-мезонов или отсутствие связанных состояний в спектре ^- системы. Обзор этой проблемы и ссылки на литературу читатель найдет в работах [274, 275].

Модели мешков

Можно почти с уверенностью говорить, что в настоящее время большинство физиков рассматривают модель мешков как некоторое удобное при решении частных задач приближение к квантовой хромодинамике.

Идея модели мешков состоит в следующем: если кварки (и глюоны) удерживаются на некотором среднем расстоянии 8, то можно имитировать действие у доживающих сил, налагая граничные условия, заключающиеся в том, что кварковые g(“)и глюонные 8(”)поля тождественно обращаются в нуль за пределами сферы радиуса 8. Остальные эффекты КХД можно рассматривать по теории возмущений.

Модель мешков хорошо зарекомендовала себя в различных феноменологических приложениях: не только при вычислении статических величин (масс и магнитных моментов различных адронов), но и при получении абсолютной нормировки структурных функций/(“, Q； ) [177 ]. Описание так называемой модели мешка MIT ссылки на дальнейшую литературу заинтересованный читатель найдет в обзоре [167 ].

Другой подход, связанный с моделью мешков, состшт в рассмотрении струн. В этой модели кварки и глюоны удерживаются не внутри мешка, а вдоль струны, существование которой связывается с успехами струнной динамики [144] (см. также [ 204]).

Инфракрасные свойства КХД

В то время как ультрафиолетовый предел квантовой хромодинамики, по-видимому, хорошо изучен, возможно так же хорошо (если даже не лучше), как ультрафиолетовый предел в квантовой электродинамике, очень немногое известно об инфракрасных свойствах этой теории. В рамках КХД нет ничего похожего на теорему Тирринга [ 245] или анализ Блоха - Нордсика [ 42 ], кот。 рые, по существу, и позволяют рассматривать в КХД эффекты, связанные с большими расстояниями, классически； результаты же, подобные теореме Ли - Ноенберга [191 ], обладают очень узкой применимостью15. Мы ограничимся ссылками лишь на работы [201, 277], где рассматриваются некоторые аспекты проблемы инфракрасных свойств КХД.

Функциональные методы

Много лет назад Швингер и Дайсон получили систему функциональных Уравнений, выражающих в замкнутом виде уравнения квантовой теории поля. (Эти уравнения можно найти в книгах [ 40, 45 ].) Хотя эти уравнения, конечно, нельзя решить точно, можно попытаться на^и самосогласованные непертурбативные решения, совместимые с явлением конфайнмента. Даже после усечения

” В самом деле, модели мешков или струн можно рассматривать как способы °бойти проблему инфракрасных свойств КХД, тесно связанную с вопросом о конфайн- менте.

уравнений это представляет собой трудную, хотя, возможно, и небезнадежную задачу [ 196 ].

Свободные кварки и глюоны

Доказать существование явления конфайнмента, по-видимому, очень сложно, возможно, потому, что оно не существует. Следует всегда помнить, что имеются серьезные кандидаты на роль свободных кварков [ 187]. Как следовало бы изменить КХД, чтобы решить этот вопрос и сохранить уже достигнутое? Схема, предложенная ранее Пати и Саламом, не согласуется с результат тами современных экспериментов, главным образом вследствие целочисленного заряда кварков. Возможно, наиболее привлекательной является схема, предложенная в работе [&3].

КХД при высокой температуре

В настоящей книге мы рассматривали квантовую хромодинамику только при нулевой температуре, т.е. мы не требовали, чтобы большое число кварков и глюонов было заключено внутри малого объема с высокой плотностью энергии Кроме самостоятельного интереса, который представляет изучение КХД при конечной температуре, в космологии существуют ситуации (типа очень тяжелых звезд или Большого взрыва), где такое требование может оказаться необходимым. Более того, похожие ситуации, повидимому, могут быть получены лабораторным путем в процессах столкновений тяжелых ионов. Заинтересованного читателя мы отсылаем к обзору [159].

Потенциальные модели

Важным вопросом, совершенно не затронутым в книге, является расшо трение стимулированных квантовой хромодинамикой конституентных моделей адронов, хотя своих первых успехов кварковая модель добилась именно в этом направлении. Есть две причины, побудившие меня не включать в книгу такие модели. Во-первых, хотя КХД необходима для выяснения некоторых особенностей этих моделей, тем не менее при современном уровне развития теории трудно обосновать с какой-либо степенью строгости делаемые при этом до пущения. Во-вторых, недавно вышла книга [ 123 ], посвященная именно этому кругу вопросов.

Поправки КХД к эпектроспабым процессам

Помимо того, что можно назвать "чистой" адронной физикой, КХД позволяет оценить поправки к электрослабым процессам, обусловленные сильными

взаимодействиями. В известном смысле так же можно интерпретировать поправки КХД к чисто партонной картине е+е~-аннигиляции или глубоконеупругому рассеянию. Но теперь мы имеем в виду поправки к процессам типа неле- 1ТГОННЫХ или полул^тгонных распадов тяжелых кварков, включая (частичное) объяснение правила отбора △ / = 1/ 2, чистого механизма Г ИМ или распада протона. Заинтересованный этим кругом вопросов читатель найдет дальней" шие сведения и соответствующие ссылки на литературу в обзорах [11, 132].

АЛГЕБРА у - МАТРИЦ В D- МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Матрицы у выбираются в виде квадратных матриц размерности 4. В D-мерном пространстве мы имеем набор у-матрии

…，产1

и матрицу ysn. Они удовлетворяют антикоммутаиионным соотношениям {卄，$} =2gRУ^=1,

где

冃口 = 0,代# 厶 g°°= 1, g" =-l for f=l, .・・，D-1・ 金=g叫

%af н g附ga0 + g^gpa - gl^gQ & =母/',，=厶〃・

Имеют место следующие полезные соотношения:

(odd)(odd)

Try~p = 4gw, Try5y〜'=о, TryM …у』。，TrgyM . • . уТ= о.

Тгу~,'6 = 4$^а6 = 4{ gWg&B + g出BgVa 一 g!^g»B}；

00= a2;/〃= —a?乡+2(a，b“

乙卄=D' ТМТ^М = (2- D)y°； YmY5Ym e 一0丫5；

у 勺,3“ = 4gS + (D — 4)Y,4

Y~，々%= -2Y6Y3" +(4-0к，％*

meSuvap =^Лар +gupgva -guag叩，4口= guv'： 4 = у/" 4" спучал четырехмерного пространства D = 4 матрица у§ определяется в виде у = »„2八 Введя полностью антисимметричный тензор』叩仃 так, что

е0123е0123е0123 = + Lе0123 = + L

е0123

е0123

е0123 = + L

е0123 = + L

Дополнительные сведения о матрице у, можно найти в § 7 и 33

а остальные компоненты получаются циклической перестановкой индексов, можно записать следующие соотношения:

仆 y = Si% - 1%力;力yY = Y5gM + =产%》.

Tr^y勺”/7。= 4疋叫*。;

及产依=一g"蟾般人一 8叱")-gQ(g*s _ gv)

+gtlT(gpYx~gpxg°^

Кроме того, справедливо равенство {у) ysl = 0. В представлении Паули или Вейля для у-матриц справедливы соотношения у2y у? = —у * и у^/у = у , y0(i у5)+у0 二 Zys. Наконец, если % я % — спиноры, а「】，…，「〃一 любые матрицы из набора у『％ , то выполняется равенство

(%Г1 • • •「”％)* =吃Г” 「Ml.

НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В пространстве размерности D справедливы формулы

dDk . /У = i (T)'f . r(r+D/2)I>-r-D/2) (2tt)d /2_r2)m'(i6M)”/4r(D/2)r(M)(R2)—d/2

m%。;…"出)=麗^

При интегрировании симметричных по индексам выражений следует воспользоваться равенствами

/d%h1(了*2)= 哈,d%左狄依)；

fdDkk^kxkaf(k2)=丈C +^^；;g々“ /4%抄(左2);^dDkk^' . . .k^'f(k2) = Q.

В пределе .О справедливы разложения

Г(1 + е) = 1 - УеС + Д^^-?(и),(Л2)</2= 1 + 尹0gR2 + 0(d)；

здесь Г — функции Эйлера, [ — функция Римана, а константа Эйлера у£ «0,577 Формулы фейнмановской параметризации имеют вид

1 二 Г(а + 6) р х«т(1-х)"т

А"ВВ = Г(а)Г(6) Jo х м +0 _ х)8}“+"，

1_ Г(а + 6+у)「«Г'«Г'«Г'

不爾 _ Г(а)Г(6)Г(у) Jo • хJ。少{“Е + “#+“зС}а+"+，

И] = ху, и2= х(1 -/), “з=1-х.

Л ^С^ Г(а)Г( 6)Г(у)Г(6 ) Jo Jo 7

、，С』“；т“$т吗-%：т

X I Д2,

Jo (勺乂 + 〃2®+ 〃зС+ 以

W] = 1 _ X, 〃2 =寸z, 〃3 = x(l -/), «4 = xy(l _ z) и Т.Д.

В общем случае справедлива формула

Более подробную сводку формул можно найти в обзоре [ 209]. Приведем значения некоторых определенных интегралов

//Zrlog(l + х) «= 2log2 — 1

Многие часто встречающиеся в приложениях интегралы можно вычислить, используя формулу Эйлера

[%х«(—х)"=[%х«(—х)"=Г(1 + а)Г(1+6)Г*(2 + а + Д)Г(1 + а)Г(1+6)Г*(2 + а + Д)

[%х«(—х)"=

[%х«(—х)"=

Г(1 + а)Г(1+6)Г*(2 + а + Д)

Г(1 + а)Г(1+6)Г*(2 + а + Д)

dxxalogx^dxxalogx^Например, дифференцированием получаем отсюда следующие результаты:

dxxalogx^

dxxalogx^

(« + If

(%х«(1 - x)"k>gx=2(a) - S|(l + а + 6)J В；；："?：? 丄(/十a十p I

（к三胃=_S№）,

/厶x« 爸T - 2~3) - 2sз(а),

工 ^T^『ogxlog(l-x)=^S|(a)-S|(a)S2(a) - S3(a) + 貝3),

(dxxa(\ - x)^logxlog(l - x)

'о

="；(； ?：g? {Sz(l + a + 0) - ^ + [S|(a) - S|(a + 0+1)]

x[Si(8)_Si(a + 8+ i)]}‘

/办x貿1 - xУЧog2%

{[Si(a)-Si(a + 8+l)『{[Si(a)-Si(a + 8+l)『Г(1 + а)Г(1 + 8)

{[Si(a)-Si(a + 8+l)『

{[Si(a)-Si(a + 8+l)『

Г(2 + at + 8)

+ S2(a + Д + 1) - S2(a)}

и т.д.

Здесь использованы обозначения S^(a)工](2) - 2：[ 1/(左 + 叫"],

2 > 1; S/ (a) = 2° _ (1//“)，где a - положительное целое число, а 2 может принимать любые значения. Заметим, что S (в) = №/6, а S^ (в) = ](%), где ]— функция Римана. В случае Z 二 1 приведенное выше выражение для функции S^ можно представить в виде ряда S Ja)=仪讶：卩/(左 + a)左]=2\ 】(1/j), где a — целое положительное число. Функция S^ld) представима в виде

S](a)=屮(a + 1) +>£, где 屮(z) = d log(「(z))/dz. Сведения о специальных функциях г,屮$ ( см. в книге [ 5].

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Для группы SU(3) генераторы 尸 определяются по формуле「二入“/2, где матрицы 入“ имеют вид

о о Г

0 0

"=

0(

0 0/

丿=1,2,3;入4 =

0 0 0

入5 =

0 0

0

1 о 0.

"0

0

0 0 0

0 00

1

0

入6 =

0 0 1

；入7 =

0 0 -i

；入8 =

1

1

© 1 0.

© i 0.

仔

.0

-2.

1

⑵1)

1 о/1

0/

-

-1/

Можно ввести матрицы С°, матричными элементами которых являются структурные константы группы С； 二-乙 § с 三-丿 ^ ° • Коммутационные соотношения для матрип С。я / ° имеют вид

[ta,tb] = i^fabctcy[ta,tb] = i^fabctcy[CayCb]^i^fabcCc,[CayCb]^i^fabcCc,

[ta,tb] = i^fabctcy

[ta,tb] = i^fabctcy

[CayCb]^i^fabcCc,

[CayCb]^i^fabcCc,

а антикоммутатор генераторов ta и tb имеет вид

""，f"} =2片也С+ ^6叱

Структурные константы группы / полностью антисимметричны по всем индек- сам, а структурные константы d@ 台。三 dab с полностью симметричны по всем индексам. Ниже приводятся все отличные от нуля значения структурных констант f и d:

/123 = 2/147 = 2/мб = 2厶57 = 2£= — 2/156/123 = 2/147 = 2/мб = 2厶57 = 2£= — 2/156一 2/367=^/458 =後/6"一 2/367=^/458 =後/6"万' =4l8 =厶8 = 438万' =4l8 =厶8 = 438—“888，—“888，-12疗-12疗^448 =弘58 = %8 = %78 ,^448 =弘58 = %8 = %78 ,

/123 = 2/147 = 2/мб = 2厶57 = 2£= — 2/156

/123 = 2/147 = 2/мб = 2厶57 = 2£= — 2/156

一 2/367=^/458 =後/6"

一 2/367=^/458 =後/6"

万' =4l8 =厶8 = 438

万' =4l8 =厶8 = 438

—“888，

—“888，

-1

2疗

-1

2疗

^448 =弘58 = %8 = %78 ,

^448 =弘58 = %8 = %78 ,

2 = "“б = ^157 = %47 = &56 = ^344 = ^355— ^366 = — ^377 •

Для произвольной группы SU(/V) инварианты С^, С^ я 丁尸 определяются формулами

^аЬСА = Тг СаСь = £ 尸。产J сс'

%舊=(2—) =2 枷，

' 0а,I

.壮=1^呼=2t陇.

При этом

В приложениях часто встречаются соотношение

Tvtatbtc = ； fabc + ^dabcb

а также инварианты

沁=争 /2=24,衿学…!е*

ФЕЙНМАНОВСКИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ

ТЕХНИКИ ДЛЯ КХД

Имеются следующие фейнмановские правила:

-处 gx" + （g一心& +（欠一p）^

-^2S{ fabefcde（gx屏-gx咼"）

+facefMe（g^ - g^

+产（gx屏-g^g。"）}

廿％

p；c

-月口 +砍限：7(左2 + /0)

i————8аЬ (лоренцева калибровка)

а,р к b,vа,р к b,v-g^ + ("父 + nvk^}/n •左-M(左％7〃 • к)

а,р к b,v

а,р к b,v

(аксиальная калибровка)

a k ьКТ7Б 心

При вычислении диаграмм следует добавлять общий множитель (2тг)5(Л -Р, описывающий сохранение полного 4-импульса, и коэффициент (— 1) на каждую замкнутую фермионную петлю или петлю духов. Статистические множители таковы:

』для \ }

* для* дляи т.д.и т.д.

* для

* для

и т.д.

и т.д.

Каждое интегрирование по петле содержит комбинацию

V4 -° /d°左/(2тг)° 三 / Zi . Диаграммы с несвязанными графиками не рассматриваются, Читать диаграммы следует против направлений стрелок на ориентированных линиях. Для получения матричных элементов S-матрицы нужно добавить линии, отвечающие начальным и конечным частицам：

.(2т)-з/2“ (尸,0)

(2")-3々“卄,入)*

(2т) г” 弘尸,°)

(2")-3/20(尸,0)

(2"厂3々"仔,入)*

(2"厂3&“(公入)

Спиноры и векторы поляризации предполагаются нормированными следующим образом:

?我(尸,0)网尸,0)=/+w,

2€m(左,入)*€y左，入)=(фейнмановская Калибровка).

Эта сводка правил диаграммной техники отличается от правил, приведенных в книге [40], нормировкой спиноров

а также множителями (2я)~ “ вследствие разного определения амплитуд

ФЕЙНМАНОВСКИЕ ПРАВИЛА

ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ ДЛЯ СОСТАВНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Введем обозначения： У* = 1, У_= у$ и Л — произвольный 4-вектор, удовлетворяющий условию А2 = 0. Тогда фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов имеют вид

=式О）у"' • • . а%у± д（0）

А（А・『У 士

k,p k,vk,p k,vg（„（A •左）"+ 1А“А,（А .左）”. 一 2 + A/J（A •左尸

k,p k,v

k,p k,v

• • W …У&У± %（о）"一2蚓А域务g•产М（a・П）"1У上• • W …У&У± %（о）"一2蚓А域务g•产М（a・П）"1У上^^n = 8%（0）*，.

• • W …У&У± %（о）

"一2

蚓А域务g•产М（a・П）"1У上

• • W …У&У± %（о）

"一2

蚓А域务g•产М（a・П）"1У上

Pl」 Рз，%а

P2-k

P.a.M k,c,XP.a.M k,c,Xq.b.vq.b.v亲 fabc\ ^xk^-p）+px^ •左）亲 fabc\ ^xk^-p）+px^ •左）

P.a.M k,c,X

P.a.M k,c,X

q.b.v

q.b.v

亲 fabc\ ^xk^-p）+px^ •左）

亲 fabc\ ^xk^-p）+px^ •左）

-8"3・尸）（a・左）一А"0（产.左）］

л — 2

+ 2 （T）@ ，产"7（a・左）"-）-2

J= 1

+ ［（g2£-a出入）（a•左）

См. также работы [125, 126 LСм. также работы [125, 126 L+ А入（4尤—A（）]（A •左）~2 ]+ перестановки。

См. также работы [125, 126 L

См. также работы [125, 126 L

НЕКОТОРЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Причинные функции Грина в координатном пространстве задаются формулами<

"%l，“・х一8m +统%"/(1 + (2t)41 + ю

'J (2不V-^+/0-

Иногда мы опускаем аргумент m из обозначений функций^ и 5. Эти же функ- Нии можно выразить через вакуумные средние от хронологических произведений:

〈”(Х)叫 О)〉о = А(х;加)；〈?V(x)亨方(О)〉о = 6JkS(x,m),

{TB^x)B^)y0^babD^(x).

Характер функций Грина ясно представлен уравнениями (Н： + m2)iA(x-y)=

= 5 (工一у) и т.д. Кроме того, справедливо соотношение

S(x,m) = (i8 + m)A(x,m).

На световом конусе справедливы разложения

a(*,标)4二1 .+什伙治加 加1追"2

丿宀。4M x2 TO +16т+ j^tog—•

S(x) .+ ...

。(2")2(x2 - /О)?

и т.д. Дополнительные соотношения для функций Грина можно найти в книге

[40]1} Формулы фурье-преобразований распределений приведены в книге [ 135]. В тексте использованы формулы

丿x2 士 iO к2 + /О

尸хе-*』——!~г = -M"og(公 + /0) + 住2 ± /0)

Одновременные коммутационные соотношения и коммутационные соотношения на световом конусе для фермионных операторов имеют вид

{以 х),或(х)} =0;3(х0-/){?Дх),^(^)+ }=歸必 6(х-у),

{%(х),森(0)} ^ja-im) J ^-«(х°)3(х2)

—^(Х2)€(Х°) + • * • I •

4疗^?J

° Наши причинные функции отличаются от причинных функций, введенных в кни-

И т.д.И т.д.re(40]f множителем i ： S =尚。，Q = i%D

И т.д.

И т.д.

КИНЕМАТИКА, СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ Й СКОРОСТИ РАСПАДОВ

Векторы состояния, описывающие частицу со спиральностью Л и импуль^ сом р, нормированы следующим образом :

〈",*1尸,入〉=2/6入入6(万一尸)，Р修尸,入>=，|尸,入〉.

Это соответствует плотности частиц на единицу объема

Р(尸)=Р(尸)=о „о 2P (2")3

Р(尸)=

Р(尸)=

Амплитуда рассеяния J связана с 5-матрицей соотношением S = 1 + 歹，〈/I夕"〉=6(4 - P)F(f).

В случае, когда в начальном состоянии присутствуют две частицы с массами q м %, сечение рассеяния имеет вид

do(f)

逹謊才囁…卷

Кде введены обозначения

X(a,b,c)= а2 + Ь2+ с2 - 2ab - 2ас - 26с, s = Р/.

В случае р^ + Р2 -> р, + р^ приведенная выше формула принимает вид

4(f)

紀「a%(2加，

a(i — all) = [4M/*/2(s,m；,m9JmF(i-> i).

'При этом трансформационные свойства U(a)①⑺厂%)-①佇+ a), U(a) = e® .

произвольного поля таковы：

Здесь использованы обозначения

，=(?2 -尸分2,，=(?2 -尸分2,g‘=IRcmlg‘=IRcml.「 入々S’",用)=0cm =2?^，Х1/2(5,т/2,т2/2).「 入々S’",用)=0cm =2?^，Х1/2(5,т/2,т2/2)2cmp (°cm Qcm)，2cmp (°cm Qcm)，2s"2'dQ = dcos®%2s"2'dQ = dcos®%

，=(?2 -尸分2,

，=(?2 -尸分2,

g‘=IRcml

g‘=IRcml

.「 入々S’",用)

=0cm =2?^，

Х1/2(5,т/2,т2/2)

.「 入々S’",用)

=0cm =2?^，

Х1/2(5,т/2,т2/2)

2cmp (°cm Qcm)，

2cmp (°cm Qcm)，

2s"2'

dQ = dcos®%

2s"2'

dQ = dcos®%

Аналогично скорость распада можно выразить в видеп

咏"尸盡6(”w(j")哪…翁"因.

Всюду используются единицы, в которых 方=с = 1. Приведем некоторые полезные формулы перехода к другим системам единил:

1 МэВ-1 = 1,973 -10-11 см = 6,582 • Ю-22 с.

1 ГзВ~2= 0,3894 мбарн.

1 МзВ = 1,783-10-27 г = 1,602-Ю-6 зрг.

1 см= 5,068 • Ю10 МэВ'1, 1 с= 1,519ТМ' МэВ"1.

1 мбарн = 2,568 ГэВ-2.

1 г = 5,610-1026 МэВ, 1 эрг = 6,242 -105 МэВ.

"Все формулы справедпивы как дпя нетождественных, так и для тождественных частиц. Но при вычиспении полных ширин полученное выражение необходимо разделить на чиспо тождественных перестановок. Например, если мы интегрируем по импульсам / тождественных бозонов ипи фермионов, то полученное выражение нужно разделить на / I.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Функционал представляет собой отображение пространства достаточно гладких функций {/■(%)} в пространстве комплексных чисел:

尸：/-〃/]•

Отметим, что отображение F не обязательно должно быть линейным. Таким же образом мы будем трактовать и функционалы от нескольких функций F[f, g,. ..1* Функционалы можно рассматривать как обобщение понятия обычной функции в следующем смысле. Разобьем пространство значений15 х на ^ ячеек, и пусть в каждой ячейке находится единственное значение х.. Тогда функционал F[ /] представляет собой предел, к которому стремится функция 7^(/^ где f,三 f{x,)t при стремлении размера ячейки к нулю. Производная dFN/df. определяется формулой

「尸N (/l，• • •，力 + • • •)—尸N (/l) lim

efO€

т.е. Она может быть получена сдвигом/.斗 / . + f§.., Поэтому мы определяек( функциональную производную как предел '"

где 5 есть 5-функция, обращающаяся в бесконечность в точке у: & (х) =5(х —у). Важный частный случай представляет собой функционал, задаваемый интегралом

4 Л = ^dx KF(X)f(X)'

” Мы берем это пространство таким, что оно имеет конечный размер L. Иначе необходимо выполнить допопнитепьный предельный переход L -* 8 .

тогда функциональная производная имеет вид

阮у = KF(y)-

Понятие ряда Тейлора можно обобщить и на функциональные ряды. Если ядра К — симметричные (или антисимметричные в случае фермионных переменных f) функции своих аргументов, то легко убедиться, что для функционала 尸[/] = £ * /〃| . . . dx“K“(X|, . . . , х“)/(Х|) . . ./(х“)，

n-я функциональная производная имеет вид

6/(Х|).・.叭х“)・

Процедурой, связанной с функциональной производной, является функциональное интегрирование. Функциональный интеграл определяется формулой

/ q学(X)耳刀三居j学一..%厶(力，.../).

Как и в случае функционального дифференцирования, процедура функционального интегрирования подчиняется правилам, аналогичным правилам выполнения обычного интегрирования. При функциональном дифференцировании и при функциональном интегрировании, чтобы учесть антикоммутационный характер функций /, требуется некоторая модификация приведенных выше соотношений. Эта модификация описана в § 39.

Функциональные производные от выражений, не содержащих интегралы, можно найти, переписав их в интегральном виде. Например, легко вычислить функциональную производную, фигурирующую в формуле (41.9), для которой результат имеет вид

^(у) = 6州(у)旣? /"%6(z г)%绊(z)

麻言"(x-力，

КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНОЕ

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ

Интуитивно ясно, что в калибровочных теориях в выражениях, подобных выражениям, возникающим в методе операторного разложения:

久О)д(Х)= 2史廿久О)д(Х)= 2史廿-?т, •••时д(0),-?т, •••时д(0),

久О)д(Х)= 2史廿

久О)д(Х)= 2史廿

-?т, •••时д(0),

-?т, •••时д(0),

обычные производные следует заменить на ковариантные производные:

d" т Здесь мы кратко приводим формальное доказательство того, как возникают такие замейы. В случае взаимодействующих полей их пропагаторы не являются пропагаторами свободных частиц. Например, пропагатор фермиона, помещенного в глюонное поле, удовлетворяет уравнению

(出-m)Sg(x, у) = й(х - 7).

которое получается непосредственно из лагранжиана. Сохраняя только наиболее сингулярные члены (члены низшего твиста), решение этого,-уравнения можно записать в виде

Sw(x, y^^P^pi^dz^eB^z^S^x -у),

где 5 - пропагатор свободного фермионного поля, а Р- упорядочение вдоль траектории, соединяющей точки 工 к у. Если теперь выполнить операторное разложение, учитывая указанные обстоятельства, то окажется, что вместо произведения операторов g(*)g(y) возникает калибровочно-инвариантная комбинация

q(x)^P^pi ^dz^eB^z^q^y),

разложение которой в ряд в случае 工=у к приводит к рассмотренным выше членам, содержащим вместо обычной ковариантную производную. Конечно, это справедливо и для операторов, построенных из глюонных полей. Дополнительные сведения о калибровочно-инвариантных произведениях операторов см. в статьях [ 106, 269 ].

ЛИТЕРАТУРА

Abad /., Humbert B・，Phys. Lett., B77, 105 (1978).

A barbanel H,D,, Goldberger M,L,, Treiman 5.5., Phys. Rev. Lett., 22, 500, (1969).

Abbott L.凡，Nucl. Phys., B185, 189 (1981).

Abbott L.F., Atwood W.B., Barnett R.M., Phys. Rev. D22, 582 (1980).

Abramowicz 〃.，Stegun LE,, Eds. Handbook of Mathematical Functions.— New York： Dover, 1965 [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. - М.: Наука, 1979.]

Adler 5.L., Phys. Rev., 143, 1144 (1966).'

Adler S.L., Phys. Rev., 177, 2426 (1969).

Adler S,L. — In: Lectures in Elementary Particle and Quantum Field Theory (Deser, Grisaru and Pendleton, eds.), MIT Press, 197 1.

Adler S.L,, Bardeen W.4., Phys. Rev., 182, 1517 (1969).

4〃 4, Phys. Lett., 110B, 67 (1982).

A Itarelli G・，Phys. Reports, 81C, 1 (1982).

Altarelli G・，Parisi G・，Nucl. Phys., В126$ 298 (1977).

Л Itarelli G・，Ellis RK, Martinelli G・，Nucl. Phys., B143, 521 (1978)； Erratum, B146, 544 (197 8).

Altarelli G・，Ellis R.K., Martinelli G., Nucl. Phys., В 157 , 461 (1979).

Amati D. et aZ., Nucl. Phys., B173, 429 (1980).

Anderson H.L. et a/., Phys. Rev., D20t 264 5 (197 9).

Applequist T・，Carrazzone /., Phys, Rev., D11, 286 5 (197 5). *

Applequist T・,Georgi "•, Phys. Rev., D8, 4000 (197 3).

Applequist T・，Politzer H,D., Phys. Rev.. Lett., 34, 43 {1975).

Aubert J.J. et. aZ., Phys. Lett., 105B, 315 (1981).

Baluni P・,Phys. Rev., D19, 2227 (197 9).

2. Barbieri R. et al,, Phys. Lett., 57B, 455 (197 5).

Barbieri R. et ", Nucl. Phys., В 117, 50 (1976).

2 4. Barbieri R. et aZ., Nucl. Phys., В154, 5 35 (1979).

2 5. Bardeen W.4., Nucl. Phys., B75, 246 (1974).

Bardeen IT.Л., Buras Л .J., Phys. Rev., D20, 166 (197 9).

Bardeen W.A, et aZ., Phys. Rev., D18, 3998 (1978).

Barger V,D.r Cline D.B*, Phenomenological Theories of High Energy Scattering. —New York: Benjamin, 1969.

Barnett R.M., Dine 〃.，McLerran L・，Phys. Rev., D22, 594 (1980).

Bartels J. — In： Quantum Chromodynamics (Alonso and Tarrach, eds.)— Berlin： Springer, 1979.

Baulieu L, et a/., Phys. Lett., 81B, 224 (1979).

Secchi C., Rouet Л., Stora R・，Phys. Lett., 52В, 344 (1974).

Beccht C・，Rouet 4., Stora R., Comiftun. Math.' p\iys., 42, 127 (1975).

Beccht C. et 6厶，Zs. Phys., C8, 335 (1981).

Белавин Ao 孤 dp” Phys. Lett., 59B, 8 5 (197 5).

Be“ J.S., Jackiw R., Nnovo Cimento, 60A, 47 (1969).

Березин @*4. Метод вторичного квантования. — М.: 1965.

Bemabeu J., Tarrach R・，Уndurain F.]., Phys. Lett., 79B, 464 (1979).

9. 5 jorken J.D,, Phys. Rev,, 17 9, 1547 (1969).

Вjorken /•/)・，Drell S.D., Relativistic Quantum Fields. — London: McGraw- Hill, 1965. [Имеется перевод: Бьеркен ДжвД., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. - М.: Мир, 1978」

5jorken J»D.f Paschos Е.4., Phys. Rev., 185, 1975 (1969).

BZoc儿 F., Nordsiek Л., Phys. Rev., 52, 54 (1937).

Bodek 4. et 凉” Phys. Rev., D2D, 1471 (1979).'

Боголюбов "・4” Логунов AOAO, Тодоров 〃.T. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. - М.: Наука, 1969.•

Боголюбов НЛ., Ширков ДОВЛ Введение в теорию квантованных полей.

4-е изд., исправл. - Мл Наука, 1984.

5оЛг М, Rosenfeld L., Kong. Dansk Vid. Selsk. Matt.-Fjcs. Medd・,12, No8. (1933).

5©Лг M, Rosenfeld L., Phys. Rev., 7B, 7 94 (1950).

Bollini C.G., Gianbiagi JJ・, Phys. Lett., 40B, 566 (1972).

Bollini C.G., Gianbiagi /./., Gonzalez^Domin^uez 4・，Nuovo Cimento, 31 y 550 (1964).

5(X Brandt R., Preparata G・，Ann. Phys. (N.Y) 61, 119 (1970).

Brandt R., Preparata G・，NucL Phys., B27, 541 (1971).

Bro厶Ay 5.J., Farrar G., Phys. Rev. Lett,, 31, 1153 (1973).

Brodsky S.J. et 山・，Phys. Lett., 9lBt 239 (19Й0).*

Brodsky SJ・，Lepage G.P., Phys. Rev., D22, 2157 (1980).

5 5. Buras 4.J., Rev. Mod. Phys., 52, 199 (1980).

Buras Л./, — In： Topical Questions in QCD, Phys. Scripta, 23, No 5 (1981).

Buras 4.J., Gaemers KJ.凡，Nucl. Phys., B132, 249 (197 8).

Cabibbo М, Parisi G・，Testa 〃.，Nuovo Cimento Lett., 4 , 35 (1970).

Callan C.G., Phys. Rev., D2, 1541 (1970).

Callan C.G., Coleman 5., Jackiw R・,Ann. Phys. (N.Y.), 5Э, '42 (1970).

Callan C.G., Dashen R・,Gross DJ、Phys. Lett., 66B, 37 5(1976).

6 2. ' Callan C,G； Gross Z)J・, Phys. Rev. Lett., 22, 156 (1969).

6 3. Calvo 忆，Phys. Rev., D15, 73 0 (1977).

6 4. Caswell Phys. Rev. Lett., 33, 22 4 (197 4). 1

6 5. Caswell ,E,, Wilczek 尸•，Phys. Lett., 4 9B, 291 (197 4).

6 6. Cervero JJacobs L., Nohl C・，Phys. Lett., 8 9B, 351 (1977).

Четркин К/., Катаев А.Л” Ткачев ◎.В” Phys. Lett., 85В, 27 7 (1979).

Chew G.F., Rozenzweig C., Phys. Reports, C41 s No 5 (1978).

Christ M, Lee T.D., Phys. Rev., D22, 939 (1980).

Christ /V., Hasslacher B・,Muller 4・,Phys. Rev., D6, 3543 (1972).

Ciafalloni 忆，Curd G・,Phys. Lett., 102B, 352 (1981).

7 2. Coleman 5., J. Math. Phys., 7, 787 (1966).

Coleman 5., Gross D.J.、Phys. Rev. Lett., 31, 851 (1973).

Collins J.C., Duncan A., Joglekar S.D., Phys. Rev., D16, 438 (1977).

7 5. Coquereaux R., Ann. Phys. (N.Y.), 125, 401 (1980).

Coquereaux R., Phys. Rev., D23, 136 5 (19 81).

Cornwall /.〃.，Norton R.E., Phys. Rev., 177, 2584 (1969).

Corrigan E., Fairlie D.B., Phys. Lett., 67B, 69 (1977).

Creutz M, — In： Topical Questions in QCD, Phys. Scripts, 23, No 5 (1981).

Crewther KJ.t Phys. Rev. Lett,, 28, 1421 (1972).

Crewther RJ,t Riv. Nuovo Cimento, 2, No 8, (1979).

CrewtherR>]• — In： Field Theoretical Methods in Elementary Particle Physics, Proc. Kaiserlautern School, 1979.

Crewther R J・,Di Vecchia P・,Veneziano G., Witten E., Phys. Lett., 8BB, 123; Erratum, 91B, 487 (198 0).

8 4. Cure I G・，Furmanski W” Petronzio R・，NucL Phys., B175, 27 (1980).

8 5. De Alfaro K., Fubini 5., Furlan G・，Phys. Lett., 85B, 163 (197 6).

8 6. De AIfaro K., Fubini 5., Furlan G・，Phys. Lett., 7 2B, 203 (1977).

87. De Groot J.G. et a/.,Zs. Phys., C1, 143 (1979).

88. De Rujula A, et a/., Nucl. Phys., В138, 387 (1978).

89. De Rujula 4・，Georgi H., Glashow S.L., Phys. Rev., D12, 147 (1975)

°0- De Rujula 4., Georgi，.，Politzer H.D., Ann. Phys. (N.Y.), 103, 315 (1977).

Dq Rujula A,, Georgi，.，Politzer H.D., Phys. Rev., D15, 249 5 (1977).

De Rujula 4., Glashow S.L., Phys. Rev. Lett., 34, 46 (1975),

3, De Rujula A., Giles R.G., Jaffe R., Phys. Rev,, ”D, 285 (1978).

De Witt 8., Relativity, Groups and Topology, Blakie and Son, London, 1964, p. 587.

Dine К, Sapiristein J., Phys. Rev. Lett” 43, 668 (1979).

Di Giacomo 4・，Rossi G.C” Phys. Lett., 100B, 481 (1981).

Dixon J,A., Taylor J,C., Nucl. Phys., B7B, 5 52 (197 4).

Докшицер 肌〃"Дьяконов 儿〃” Тро晶н C〃・，Fhys. Reports, С58, 269 (1980).

9 9, Dominguez C.4・，Phys. Rev. Lett., 41, 6 05 (1978).

Drell S.D,, Yan 兀K, Ann. Phys. (N.Y.), 66, 578 (1971).

Duncan 4. — In: Topical Questions in QCD, Phys. Scripta, 23, No 5 (1981).

Duncan 4・，Muller 4・,Phys. Lett., 93B, 119 (1980).

Duncan 4・，Muller 4., Phys. Rev., D21, 16 36 (1980).

Eden K・/・ et aZ・，The Ana lytic 5-Matrix, Cambridge University Press, 1966.

Ефремов 4.8” Радюшкин 4f., Phys., Lett., 94B, 245 (1980).

Ефремов 4“В” Радюшкин 4.B., Riv. Nuovo Cimento, 3, No 2 (1980).

Ellis J. — In： Weak and Electromagnetic Interactions at High Energy.— Amsterdam: North-Holland, 1976.

Ellis /., Gaillard KK., Nucl. Phys., B150, 141 (1979).

Ellis J., Sachrajda C.T. — [n： Quarks and Leptions (M.Levy et al., eds.).— London: Plenum Press, 1980, p. 285.

Ellis RK. et a/., Nucl. Phys., B152, 285 (1979).

Epstein Я., Glaser 匕，Martin 4・，Commun. Math. Phys., 13, 257 (1969).

Фаддеев 〃•儿—In： Methods in Field Theory (Balian and Zinn-Justin, eds.).— Amsterdam： North-Holland, 1976.

Фаддеев Л.Д., Попов Ю.Н., Phys. Lett., 25B, 29 (1967).

Фаддеев 〃•“., Славное 4.4. Введение в квантовую теорию калибровоч

ных полей. - М.: Наука, 1978.

Farhi, Phys. Rev. Lett., 39, 1587 (1977).

Farrar G., Jackson D.R., Phys. Rev. Lett., 43, 246 (1979).

'Ferrara 5., Gatto R., Grillo 4.尸•，Phys. Rev., D5, 5102 (1972).

Feynman R.P., Acta Phys. Polonica, 24, 697 (1963).

Feynman R.P., Phys. Rev. Lett., 23, 1415 (1969).

'Feynman R.P., Photon Hadron Interactions. — New York: Benjamin, 1972. [Имеется перевод: Фейнман РЛ. Взаимодействие фотонов с адронами.- М.： Мир, 1975.]

'Feynman К.Р., Нibbs 4.К., Quantum Mechanics and Path Integrals.— New York: MrGraw-Hill, 1965. [Имеется перевод: Фейнман Р.П., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траектории. 一 М.: Мир, 1968.]

Feynman R.P., Fie Id R,D,t Phys. Rev., D15, 2590 (1977).

Flamm D., Schoberl 凡，Introduction to the Quark Mode] of Elementary Particles. —New York: Gordon and Breach, 1981.

Floratos E.G., Kounnas C・，Lacaze R・，Nucl. Phys., B192, 417 (1981)»

5. Floratos EG, Ross D,A,, Sachrajda C.T., Nucl. Phys., B129, 66 (1977);

Erratum, B13 9, 545 (1978).

6. Floratos E,G,, Ross D.A.9 Sachrajda C.T., Nucl. Phys., B152, 4 98 (197 9),

7. Forgoes P., Horvath Z” Palla L., Phys. Rev. Lett., 46, 392 (1981).

Fritzs ch "., Gell-Mann M. — In: Broken Scale Invariance and the Light Cone (Dal Cin, [verson, and Perlmutter, eds.). — London： Gordon and Breach, 1971.

Fritzsch "•, Gell-Mann M、，Proc. XVI [nt* Conf, on High Energy Physics,

Vol. 2, p . 135, Chicago, 1972.

'Fritzsch "., Gell-Mann M・，Leutwyler "., Phys. Lett, В47, 3 65 (1973).

Furmanski IF., Petronzio R・，Phys. Lett., 97B, 437 (1980).

Gaillard M.K., Proc. SLAC Summer Institute on Particle Physics, 1978,

Gaillard M.K., Lee B.W., Phys. Rev., D10 , 897 (197 4).'

Gastmans R・,Meuldermans M” Nucl. Phys., B63, 277 (1973).

Гелъфонд 〃.K, Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Физматгиз, 1959»

Gell-Mann М・，Caltech preprint CTSL-20, 1961, не опубликовано.

Gell-Mann М・,Phys. Rev., 125, 1067 (1962).

Gell-Mann M・，Phys. Lett., 8, 214, (1964).

Gell-Mann M., Physics, 1, 63 (1964).

Gell-Mann M” Low F., Phys. Rev., 95, 1300 (1954).

Gell-Mann M・，Oakes R.]., Renner 5,, Phys. Rev., 175, 2195 (1968).

Georgi H,t Politzer H.D., Phys. Rev., D9, 416 (1974).

Georgi Politzer H.D., Phys. Rev., D14, 1829 (197 6).

Gervais J.-L., Neveu A., Nucl. Phys., 48B, 381 (197 2).

Glashow S,L,t — In： Hadrons and Treir Interactions, — New York： Academic Press, 1968, p. 63.

Glashow S.L., lliopoulos J., Maiani L・,Phys. Rev., D2, 1285 (197 0).

Glashow S.L” Weinberg 5., Phys* Rev. Lett., 20, 224 (1968).

Goldstone J., Nuovo Cimento, 19, 154 (1961).

Gonzalez-Arroyo 4r Lopez C., Nucl. Phys., B166 , 429 (1980).

Gonzalez~Arroyo 4., Ldpez С., Уndurain bj・，Nucl. Phys., B153, 161 (1979).

Gonzalez-Arroyo 4r Lopez C., Yndurain F.J., Nncl. Phys., B174, 47 4 (1980).

Gordon 5.Л. et al,, Phys. Rev., D20, 2643 (197 9).

Gottlieb J., Nucl. Phys., В 13 9, 125 (197 8).

Greenberg O.W., Phys, Rev. Lett., 13, 598 (196 4).

Трибов B.HЛипатов И.Н., Ядерная физика, 15, 438 (1972).

Gross D」Phys. Rev. Lett., 32, 1071 (1974).

Gross /)./., — In: Methods in Field Theory (Balian and Zinn-Justin, eds,).— Amsterdam： North-Holland, 1976.

Gross DJ,t Llewellyn Smith C.H., Nucl. Phys., В 14. 337 (1969).

Gross D.J., Pisarski R.D., Уaffe LG, Rev. Mod. Phys., 53, 43 (1981).

Gross D.J., WiZczeA F., Phys. Rev. Lett., 30, 1323 (1973). 1

Gross DJ., WiZczeA 凡，Phys. Rev., D8, 3635 (197 3).

Gross D,J,, Wilczek F., Phys. Rev., D9, 980 (1974),

Gursey F., Radicati L.4., Phys. Rev. Lett., 13, 173 (1964).

Hamber "., Parisi G・，Phys* Rev. Lett., 47, 17 92 (1981).

Wan M・，Nambu У., Phys. Rev., В139, 1006 (1965).

Harada K,, Muta T・,Phys. Rev., D22, 663 (1980).

Hasenfratz P,t Kuti /•, Phys. Reports , C75, 1 (1978).

Hinchliffe /., Llewellyru Smith C.“” Nucl. Phys., B128, 98 (1977).

Hubschmid W” Mallik S・，Nucl. Hiys., B193 , 368 (1981).

Humbert 5., Neerven W,L,t Nucl. Phys., B184, 225 (1981).

Иоффе 尻几，Nucl. Phys., B188, 317 (1981).

Itzykson C., Zuber J.5., Quantum Field Theory. — New York: McGraw-Hill, 1980. [Имеется перевод: Ициксон К” Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. • М.:Мир, 1984.]

3. Izuka /., Okada К・，Shito D., Progr. The or. Phys., 35, 1061 (1966).

Jackiw 艮，Nohl C., Rebbi C., Phys. Rev. D15, 1642 (1977).

/ackiw R., Rebbi C., Phys. Rev., D13, 3398 (1976).

17 6. Jacob M” Lands^off P・，Phys. Reports, C4B, 285 (1978).

Jaffe R・，Ross G.G； Phys. Lett., 93B, 313 (1980),

8. Jaffe R,, Soldate M., Phys. Lett., 105B, 467 (1981).

Jones D.T.R.t Nncl. Phys., B75, 730 (1974).

Jost R” Luttinger J., HeIvetica Physica Acta, 23, 201 (1950).

Kingsley R.L・, Nucl. Phys., B60, 45 (1973).

Kinoshita T.t J. Math. Phys., 3, 650 (1962).

KlubergStem "・，Zuber J.B., Phys. Rev., D12, 467 (1975).

Kubar-Andre J., Paige F.E,, Phys. Rev., D19, 221 (1979).

Kummer W^t Acta Physica Austriaca, 41, 315 (1975).

Ландау JI口” Лифшиц EM Квантовая механика. Нерелятивисгская теория.— Мв: Физматгиз, 1963.

LaRue G,S., Phillips ].D., Fairbank W.M., Phys. Rev. Lett., 46 , 96 7 (1981).

Lautrup £, Nauenberg M・，—In： Topical Questions in QCD, Phys., Scripta, 23, No 5 (1981).

Lee B.W. — In： Methods in Field Theory (Balian and Zinn-Justin, eds.)・— Amsterdam： North-Holland, 1976.

Lee B.W.t Zinn-Justin /., Phys. Rev., D5, 3121 (1972).

Lee T.D., Nauenberg M., Phys. Rev., 133, Bl549 (196 4).

LeutwylerH., Nucl. Phys., В76, 413 (1974),

Llewellyn Smith C."., Phys. Reports, C3 , 261 (1972),

Lopez С., Yndurain b J・，Nucl. Phys., B1B3, 157 (1981).

5. Mackenzie P.B., Lepage G.P., Phys. Rev. Lett., 47, 124 4 (1981)*

Mandelstam S., Phys. Rev., D20, 3223 (1979).

Marinari E., Rebbi C； Phys. Rev. Lett., 47, 1795 (1981).

Marshak R.E., Riazzuddin, Ryan C.P., Theory of Weak Interactions in Partide Physics. — New York: Wiley, 1969.

Martin F,, Phys. Rev., D19, 1382 (1979).-

Mendez 4, NucL Phys., B145, 199 (197 8).

2 01* Muller 4, Phys* Rev., D18, 37 05 (19 78). f

Nachtmann。・，Nucl* Phys*, B63, 237 (197 3).

203* Nambu Phys* Rev* Lett” 4, 380 (I960).

04. Nambu У», Proc. Int. Conf, on High Energy Physics, Tokyo, 1978, p* 971.

Nambu У*, Jona^Lasinio G*, Phys* Rev., 122, 345 (1961)*

206* Nambu У., Jona^Lasinio G., Phys. Rev., 124 , 246 (1961)*

07. f^anopoulos D.V^, Nuovo Cimento Lett” 8 , 87 3 (1973).

Nanopoulos ZAP*, Ross Dt, Nucl. Phys” B157, 273 (1979).

Naris on 5M Phys* Reports, CB2, 263 (1982).

Parison S*, de Rafael &, Phys* Lett*, 103B, 57 (1981).

Ne'eman K, NucL Phys” 26, 222, (1961).

212* Okubo 5», Phys* Lett*, 5r 165 (1963)*

'Panels Phys* Reports, C16, 219 (1975).

214* 'Pais Л., Phys* Rev* Lett*, 13, 175 (1964).

Parisi G” Phys, Letters, 84B, 225 (1979),

216* Pascual P・，de Rafael E“ Zs. Phys*, C12, 127 (1982),

217* Peccei R^D^> Quinn HR, Phys. Rev., 16, 1751 (1977).

218* Politzer H.D^, Phys* Rev. Lett., 30, 1346 (1973).

Поляков 4K, NucL Phys., 120B, 429 (1977),

Preparata G,, Proc* Int* Conf, chi High-Energy Physics, Vol, 1, CERN, Geneva, 1979

de Rafael E., Lectures on Quantum Electrodynamics, Universidad Autonoma de Barcelona, UAB-FT-D1,

，e Rafael E., — In： Quantum Chromodynamics (Alonso and Tarrach, eds)— Berlin： Springer, 1979.

223* Reinders L*, Rubinstein "・，Yazaki 5», NucL Phys., B186, 47 5 (1981).

Rossi C, Veneziano G” Nucl* Phys*, B123, 507 (1977).

225* Riordan E.M, et qL, SLAC Report SLAC-PUB 1634 (1978)*

Sachrajda О — In： Quantum Chromodynamics (Alonso and Tarrach, eds)— Berlin： Springer, 1979.

227* Sciuto 5», Riv* Nuovo Cimento, 2, No 8 (1979).

228* Scadron M^D» Ren. Progr* Phys., 44, 213 (1981),

Шифман М„АЧ Вайнштейн 4,〃。，Захаров 瓦〃” NucL Phys,, В147, 385 (1979).

0, Шифман 〃.4“ Вайнштейн AJf., Захаров 8財,，NucL Phys., Bl47, 448 (1979)”

Siegel 也，Phys, Lett., B4B, 193 (1979).

Славное 4 4, ЭЧАЯ, 5, 303 (1975)*

23 3, Speer E,凡，J, Math, Phys” 9, 1404 (1968).

2 34* Steinberger JM Phys* Rev*, 7 6, 1180 (1949).

2 35. Sterman G., Libby S., Phys, Rev., D18 , 3252, 4737 (197 8)*

23 6. Sterman G,t Weinberg 5., Phys* Rev. Lett, 39, 1436 (1977).

237* Steckelberg E^C.G., Peterman Л., Helvetica Physica Acta, 26, 499, '(1953),

238. Sutherland D、G、> NucL Phys. B2, 433 (1967).

239. Symanzik K., Commun* Mat* Phys., 18, 227 (1970).

2 40. Symanzik K, Commun* Mat. Phys*, 34, 7 (197 3).

41. Тарасов 0.尻，Владимиров 4 4, Жарков Л.л Phys, Lett., 93В, 429 (1980).

Tarrach 艮，NucL Phys” B183, 384 (1981),

Tarrach R・，NucL Phys” B19 6, 45 (1982).

2 44. Taylor NucL Phys” В 33, 43 6 (1971).

245* Thirring IT*, PhiL Magazine, 41, 113 (1950).

Titchmarsh E.C, Theory of Functions, Oxford University Press, 1939,

2 47. Tomboulis E” Phys. Rev., D8 , 2736 (197 3).

248・，"oo"G・, NucL Phys” B33, 173 (1971).

49. fHooft G,, NucL Phys, B61, 455 (197 3).

t9Hooft G.,NucL Phys,, В72, 461, (197 4).

2 51. £'"co" G” NucL Phys” B75, 461 (197 4).

^Hooft G” Phys, Rev, Lett., 37, 8 (1976).

ГНooft C, Veilman M., NucL Phys,, B44, 189 (1972).

54. Вайнштейн 4。〃，и 如，,Ядерная физика, 27 , 514 (1978).

bellman М” Proc. Roy* Soc. (London), A301, 107 (19 67).

2 56. Walsh 兀凡，Zerwas P” Phys. Lett” B44, 195 (197 3), <

Weinberg 5M Phys. Rev* Lett., 31, 494 (1973).

Weinberg 5., Phys* Rev*, D8, 3497 (1973).

Weinberg S,, Phys, Rev., Dll, 3583 (197 5).

Weinberg 5. — In I A Festschrift for ［丄 Rabi* — New York: New York

Academy of Sciences, 1978.

Weinberg S” Phys* Rev. Lett*, 40, 223 (1978).

Weinberg I, Phys. Lett,, 91B, 51 (1980).

Wess /•, Zumino 8” Phys* Lett*, 37B, 95 (1971),

Wiener M, J* Math* and Phys” 2, 131 (1923).

^iik 艮，Wolf G., Electron-Positron Interactions* — Berlin： Springer-Verlag,1979.

WiZczeA F* — In： Quark Confinement and Field Theory (Stump and Weingartner, eds) — New York: J. Wiley, 1977.

267* WiZczeA F., Phys* Rev* Lett., 40, 279 (1978).

Wilson R., Phys* Rev.% 179, 1499 (1969).

Wilson R・，Phys, RevM D10, 2445 (1975),

Wilson R., Zimmermann W・,Commun. Math* Phys*, 24, 87 (197 2)*

2 71. bitten 瓦，NucL Phys,, B104, 44 5 (1976),

Witten E・，NucL Phys,, В120, 189 (1977),

27 3, bitten E・，NucL Phys” В 156, 269 (1979),

27 4, Wiuen 瓦，NucL Phys*, В 160 , 57 (197 9),

27 5. bitten E” Physics Today, July 19 80, p* 38*

276* Yang C.M, Mills R.L., Phys* Rev., 96, 191 (1954).

Zachariasen £ — In ： Hadronic Matter at Extreme Density (Cabibbo and Sertorio, eds*)* — New York： Plenum Press, 1980, p* 313*

Zee 4, Phys, Rev,, D8, 4038 (1973),

2 79* Zee 4, Wilczek 凡，Treiman S.B” Phys. Rev., D1。，2881 (197 4).

2 80* ©epeda 4, Phys* Rev* Lett., 41,139 (1978).

Zimmermann W, — In： Lectures in Elementary Particles and Field Theory, M,kT, Press, 1970*

Zweig G*, CERN preprints Th* 401 and 412, 1964, не опубликовано.

Литература, добавленная при переводе

283О Андреев 4 A Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергияхв- М,: Наука, 1981.

284* Gasser J.5 Leutwyler "*, Phys* Rep” B7, 77 (1982),

Обзоры, опубликованные в журнале "Успехи физических наук"

Глешоу 必.Кварки с цветом и ароматом. - УФН, 1976, т. 119, с. 715,

Берестецкий В .Б» Пуль-заряд и асимптотическая свобода. — УФН, 1976, т. 120, с. 439.

Вайнштейн А.И., Волошин Кб., Захаров BJL* Новиков В,4., Окунь Л.В., Шифман М.А. Чармоний и квантовая хромодинамика. - УФН, 1977, т. 123, с. 217.

Арбузов БА., Логунов А.А. Строение элементарных частиц и связи между различными силами природы. 一 УФН, 1977, т.123, св 505.

Иллиопулос Дж. Введение в калибровочные теории. - УФН, 1977, т. 12 3, с. 56 5.

Намбу Й. Почему нет свободных кв叩ков? - УФН, 1978, т. 124, с. 147.

Владимиров 4*4., Ширков Д.В.Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики, - УФН, 1979, т. 12 9, с. 407.

Мастинлн С.Г. На пути объединения слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий. -УФН, 1980, т. 130, с. 3.

Гелл-Манн М^ Рамон 〃., Сланский Р. Цветовая симметрия, электрические за-

ряды и стабильность протона в единых калибровочных теориях. — УФН, 1980, т. 130, с. 459.

Дремин ИМ, О глюонных струях. - УФН, 1980 , т. 131, с. 537.

Бергман П. Единые теории поля. - УФН, 1980, т. 132, с. 177.

Азимов ЯМ., Докшицер Ю.ЛВ, Хозе В.Аа Глюоны. - УФН, 198 0, т. 132, св 443.

Переломов А.М. Решения типа инстантонов в киральных моделях. - УФН, 1981, т. 134, с. 577.

Т9Хоофт Г. Калибровочные теории сил между элементарными частицами.- УФН, 1981, т. 135, с. 479。

Джорджи X。Единая теория элементарных частиц. — УФН, 1982, т. 126, с. 287.

Вайнштейн А.И., Захаров BJL, Новиков В.А., Шифман М,А. Инстантонная азбука. -У巾Н, 1982, т. 136, с. 553.

Филиппов 4.7. Спектроскопия легких мезонов. - УФН, 1982, т. 137, с. 201.

Блум £.%, Фелдман Г.Дж. Кварконий. — УФН, 1983, т. 139, с. 529.

Хозе BaA.t Шифман М>АО Тяжелые кварки. - УФН, 1983, т. 140, с. 3.

Быков 4°4., Дремин И.М., Леонидов АВ Потенциальные модели квгцжония.- УФН> 1984, т. 143, с. 3.

Макеенко ЮвМ. Метод Монте-Карло в калибровочных теориях на решетке. 一 УФН 1984, т. 143, с. 161.

Кройц М. Физика высоких энергий. 一 УФН, 1984】т. 143, с. 2 56.

Обзоры, опубликованные в журнале "Элементарные частицы и атомное ядро"

Говорков А.Б. Цветные степени свободы в адронной физике. 一 ЭЧАЯ, 1977, т. 8, с. 1056.

Барбашов Б.М., Нестеренко 50. Динамика релятивистской струны. - ЭЧАЯ, 1978, т. 9, с. 709, 98 9.

Лезнов А.Н., Савельев МВ Точные цилиндрически-симметричные решения классических уравнений калибровочных теорий для произвольных компактных групп Ли. - ЭЧАЯ, 1980, т. 11, се 40.

Филиппов 4.Т. Нетривиальные решения нелинейных задач теории поля.- ЭЧАЯ, 1980, т. П, с. 735.

Красников Н^., Матвеев B,A.t Тавхелидзе АМ, Проблема САинвариантнос- ти в квантовой хромодинамике. - ЭЧАЯ, 1981, т. 12, с. 100.

Оез*0б А.Н., Савельев М.В. Точные решения для цилиндрически-симметричных конфигураций калибровочных полей. - ЭЧАЯ, 1981, т. 12, с. 125.

Вайнштейн 4.〃.，Захаров В.Н., Новиков В,А., Шифман М4. Квантовая хромодинамика и масштабы адронных масс. - ЭЧАЯ, 1982, т. 13, с. 542.

Радюшкин АВ Анализ жестких инклюзивных процессов в квантовой хромодинамике. -ЭЧАЯ, 1983, т. 14, с. 58.

Логунов А А,, Мествиришвили МА., Петров В ,А, Инклюзивные процессы и динамика сильных взаимодействий, - ЭЧАЯ, 1983, т. 14, с. 493.

Пронъко「《〃., Разумов АВ., 0。力об^ее Л,Д. Классическая динамика релятивистской струны. - ЭЧАЯ, 1983, т. 14, с. 558.

Ширков 〃.В. Квантовые симметрии во взаимодействиях элементарных частиц.

ЭЧАЯ, 1983, т. 14, с. 1063.

Говорков А,Б. Парасгатисгика и внутренние симметрии. -ЭЧАЯ, 1983, т. 14, с. 1229.

Гришин В.Г. Образование резонансов и струй адронов во взаимодействиях частил высоких энергий и структура адронов. - ЭЧАЯ, 1984, т. 15, с, 178

Первушин В、Н. О физическом вакууме в КХД. - ЭЧАЯ, 1984, т. 15, с, 1073。

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода 5

Предисловие7

Глава I. Общие сведения9

Как возникла квантовая хромодинамика9

Теория возмущений. S -матрица и функции Грина; теорема Вика15

Глава П. Квантовая хромодинамика как теория поля22 § 3. Калибровочная инвариантность22

Каноническое квантование, фиксация калибровки, ковариантные калибровки 25

Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки29

Преобразования Бекши — Роуета — Стора36

Размерная регуляризация40

Общие сведения о процедуре перенормировок45

Перенормировки в КХД (однопетлевое приближение)51

Глобальные симметрии лагранжиана КХД; сохраняющиеся токи62

Ренормализационная группа65

Уравнение Каллана — Симанзика68

Перенормировка составных операторов 70

Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода74

Глава III. Процессы глубоконеупругого рассеяния. . .79 § 15.е* е~-аннигиляция в адроны79

Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормиро- вочной схемы84

Кинематика процессов глубоконеупругого рассеяния; партонная модель87

Операторное разложение93

Применение операторного разложения к процессам глубоконеупругого рассеяния; моменты102

Ренормгрупповой анализ; уравнения КХД для моментов108

Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений 112

Метод Алтарелли — Паризи119

Общие свойства структурных функций в КХД127

Сравнение с экспериментом; параметризации, согласующиеся с КХД, и точечноподобная эволюция структурных функций136

Поправки на массу мишени142

Непертурбативные эффекты в е* е ~ -аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния145

Другие процессы148

Глава IV. Массы кварков, частичное сохранение аксиального тока, киральная динамика и вакуум КХД164

Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика — Аппел квиста — Кар- радзоне164

Массовые члены и свойства инвариантности; киральная инвариантность167

Симметрии Вигнера — Вейля и Намбу — Голдстоуна. . . . ；173

Частичное сохранение аксиального токаи отношения масс кварков . . . .175

Ограничения на массы легких кварков и оценки для них179

Распад тг° -* 77; аксиальная аномалия 182

Распады мезонов: эффекты, обусловленные массами кварков191

Пертурбативные эффекты и эффекты, о бусловленные спонтанным нарушением киральной симметрии, в кварковом и глюонном пропагаторах 196

Массы адронов199

Проблема 1/(1) ； глюонная аномалия 202

Параметр 0, вакуум КХД, эффект безмассовых кварков и решение проблемы 17(1)205

Глава V. Функциональные методы. Решения, не описываемые теорией возмущений213

Формулировка теории поля на языке интегралов по траекториям213

Приближение ВКБ в формализме интегралов по траекториям; туннелирование220

Формализм функциональных интегралов в квантовой хромодинамике;

калибровочная инвариантность223

Фейнмановские правила диаграммной техники228

Евклидова формулировка квантовой хромодинамики233

Инстантоны236

Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом241

Вопросы, не рассмотренные в книге247

Приложение А. Алгебра 7-матриц в D-мерном пространстве 252

Приложение Б. Некоторые полезные интегралы . . . .254

Приложение В. Теоретико-групповые соотношения 257

Приложение Г. Фейнмановские правила диаграммной техники для КХД259

Приложение Д. Фейнмановские правила диаграммной техники для составных операторов 262

Приложение Е. Некоторые сингулярные функции ..263

Приложение Ж. Кинематика, сечения рассеяния и скорости распадов265

Приложение 3. Функциональные производные267

Приложение И. Калибровочно-инвариантное произведение операторов269

Литература270

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ !

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1 Рижский пер., д. 2, издательство "Мир”.

1,Эго позврляет избежать расходимостей фумк屮й грина, возникающих при времениподобных импульсах р , удовлетворяющих условию р2 ^т2.

2)В дальнейшем везде, где это не может вызвать недоразумений, индекс и мы будем опускать.

лить, если учесть, что действие (J= /(/4х£(х)безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q] = [ м] 3/2 , полей духов [со] = [м], глюонных по

лей [в] = [м]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в ее определении. Например, размерность фермионного пропагатора р5 = - 1 (слагаемые 3/2 + 3/2 возникают из размерностей полей кварков, а

4 — из элемента объема четырехмерного пространства dAх^

1, Подробное обсуждение этого вопроса для процессов глу бок он еуп ругого рас

“ Заметим, что нейтрино v или электроны (мюоны) е (н ), используемые в качестве пробных частиц, взаимодействуют только с кварками и позволяют вкспери- ментально определить только структурную функцию / 尸.Для непосредственного измерения структурной функции fv необходимы пробные частицы, взаимодействую- Шив с глюонами.

При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (7(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.

(，+ 0)3% "(欣 +02)3 ”丄底(,+ 02)3

E J. "Widurain

Quantum Chromodynamics

An Introduction to the Theory of Quarles and Gluons

Springer-Verlag NewYoik Berlin Heidelberg Tokyo 1983

Ф. Индурайн Квантовая хромодинамика Введение в теорию кварков и глюонов

Перевод с английского А.А. БЫКОВА под редакцией д-ра физ.-мат. наук И.М. Аремина

Москва «Мир» 1986

ББК 22.382 И60

УДК 539. 12

Индурайн Ф.

И60 Кзантовая хромодинаьмка: Введение в теорию кварков и глюонов: Пер. с ант. — М.: Мир, 1986 — 288 с., ил.

Книга испанского физика Ф. Индурайна представляет собой курс современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Она содержит практически весь основной материал, необходимый для ознакомления с важнейшими результатами, полученными в рамках пертурбативной КХД, и овладения вычислительными методами теории. Материал изложен с приведением всех промежуточных выкладок и с большим педагогическим мастерством, что позволяет использовать книгу в качестве учебного или справочного пособия.

Книга предназначена для научных работников, студентов и аспирантов физических факультетов, специализирующихся в области физики элементарных частиц.

ББК 22.382530-4ББК 22.382530-41704070000-149

ББК 22.382

530-4

ББК 22.382

530-4

И 73 - 86, ч. 1

041(ОТ) - 86

Редакция литературы по физике

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983 All Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by SpringerVerlag New York — Berlin — Heidelberg — Tokyo © перевод на русский язык, дополнения, исправ

ления, **Мири, 1986.